Fourierov rad

Fourierov rad je pomenovaný po francúzskom fyzikovi a matematikovi Josephovi Fourierovi. Slúži na zápis periodického priebehu pomocou funkcií sínus a kosínus. Základná myšlienka zápisu funkcie vo forme radu z funkcií sínus a kosínus je rozklad vektora do ortogonálnej bázy. Lineárnym priestorom je v tomto prípade priestor (istých) funkcií definovaných na intervale   a skalárnym súčinom je integrál: 

 

Vzhľadom na tento skalárny súčin tvoria funkcie 

ortogonálnu množinu a pre každú integrovateľnú funkciu  vieme nájsť jej súradnice voči uvažovanej ortogonálnej množine. Súradnica zodpovedajúca prvku  je určená vzťahom 

 

Keďže , tak funkcii  priraďujeme jej Fourierov rad 

 

ktorého koeficienty sa zadávajú vzorcami 

,

.

Ak sa dve integrovateľné funkcie líšia v konečnom počte bodov tak je jasné, že majú rovnaký Fourierov rad. Z toho dôvodu nepíšeme medzi funkciou  a jej Fourierovým radom znak rovnosti. Ak je však funkcia vybraná z lepšej množiny ako len z množiny integrovateľných funkcií, tak sa jej Fourierov rad môže rovnať. Napríklad platí nasledujúce tvrdenie: Ak je funkcia  ohraničená a po častiach spojitá a má aj ohraničenú po častiach spojitú prvú deriváciu, tak jej Fourierov rad má v každom bode súčet a ten je rovný aritmetickému priemeru pravej a ľavej limity tejto funkcie v tomto bode. Teda v bode spojitosti je to hodnota funkcie. Fourierov rad spojitej funkcie nemusí (v niektorom bode) vôbec konvergovať. 

V praxi sa funkcia f aproximuje konečným rozvojom, kde sčítame len niekoľko prvých členov, pričom sa genericky s narastajúcim počtom členov zvyšuje presnosť tejto aproximácie.

Pozri aj 
 Fourierova transformácia

Externé odkazy 
 Fourierove rady
  Fourierove rady 

Matematická analýza