Normálne rozdelenie

Normálne rozdelenie (iné názvy: Gaussovo rozdelenie, normálne rozdelenie pravdepodobnosti, Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti) je jedno z najdôležitejších rozdelení pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny.

Týmto rozdelením pravdepodobnosti sa síce neriadi veľké množstvo veličín, ale jeho význam spočíva v tom, že za určitých podmienok dobre aproximuje rad iných pravdepodobnostných rozdelení (spojitých aj diskrétnych).

V súvislosti s normálnym rozdelením sa často spomínajú náhodné chyby, napr. chyby merania, spôsobené veľkým počtom neznámych a vzájomne nezávislých príčin. Preto sa normálne rozdelenie označuje aj ako zákon chýb. Podľa tohoto zákona sa riadi aj rozdelenie niektorých fyzikálnych a technických veličín.

Rozdelenie pravdepodobnosti 

Normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami  a , pre  a , je pre  definované hustotou pravdepodobnosti v tvare
.

Normálne rozdelenie sa väčšinou značí . Rozdelenie  býva označované ako normované (alebo štandardizované) normálne rozdelenie. Normované normálne rozdelenie má teda hustotu pravdepodobnosti

Charakteristiky rozdelenia 
Stredná hodnota normálneho rozdelenia je

Normálne rozdelenie má rozptyl 

Pre medián dostaneme

Koeficienty šikmosti a špicatosti normálneho rozdelenia sú:

Momentovou vytvárajúcou funkciou normálneho rozdelenia možno zapísať v tvare

Pre prirodzené čísla  možno momenty písať ako

Distribučná funkcia 
Distribučná funkcia normálneho rozdelenia je

Distribučnú funkciu normálneho rozdelenia nemožno vyjádriť elementárnymi funkciami.

Viacrozmerné rozdelenie 
Keď máme -rozmerný náhodný vektor , ktorého združená hustota pravdepodobnosti má tvar

pre , , kde  je symetrická, pozitivne definitná matica a  a  sú stĺpcové vektory. V takom prípadě hovoríme o -rozmernom normálnom rozdelení, ktoré predstavuje zovšeobecnenie normálneho rozdelenia pre viacrozmernú náhodnú veličinu.

Charakteristiky viacrozmerného rozdelenia 
Momentovú vytvárajúcu funkciu možno vyjadriť ako

Z predchádzajúceho vzťahu možno odvodiť, že  predstavuje vektor stredných hodnôt a  kovariančnú maticu.

Marginálne rozdelenie 
Marginálnym rozdelením veličiny  je jednorozmerné normálne rozdelenie , marginálnym rozdelením veličín  pre  je dvojrozmerné normálne rozdelenie, atď.

Pozri aj 
 Rozdelenie pravdepodobnosti

Zdroje 
 

Pravdepodobnosť
Náhodné rozdelenia