Divergencia (vektorové pole)

Divergencia je diferenciálny operátor používaný vo vektorovej analýze. Ak je skúmaným poľom napr. gradient teploty (vektory nech udávajú napr. rýchlosť vedenia tepla), potom kladná divergencia v danom bode znamená, že v danom bode vzniká teplo, záporná naopak, že v danom mieste teplo zaniká.

Divergenciu využíva Gaussova veta, ktorá prevádza výpočet toku vektorového poľa cez uzavretú plochu na výpočet integrálu divergencie daného vektorového poľa z objemu v tejto ploche uzavretého.

Definícia 

Ak sú x, y, z karteziánske súradnice v 3-rozmernom euklidovskom priestore, a ex, ey, ez je báza jednotkových vektorov v danom priestore, a 

je spojité diferencovateľné vektorové pole, potom jeho divergenciu definujeme ako skalárnu veličinu

Napriek tomu, že je divergencia definovaná v karteziánskych súradniciach, ide o invariantnú veličinu, ktorá nadobúda rovnaké hodnoty vo všetkých súradných sústavách.

V n-rozmernom priestore možno operátor divergencie vyjadriť prostredníctvom skalárneho súčinu operátoru nabla a vektoru v, tzn.
,
kde sa využilo Einsteinove sumačné pravidlo.

Operátor divergencie sa zapisuje aj ako

Deriváciou tenzora T n-tého stupňa dostaneme tenzor stupňa n+1 so zložkami . Kontrakciou indexu t proti indexu s získame divergenciu tenzoru T, čo je tenzor stupňa n-1.

Divergencia teda znižuje stupeň tenzoru o 1, napr. divergenciou vektora získame skalár.

Vlastnosti 

Ak označíme F, G ako vektorové polia, f ako skalárne pole, a,b reálne čísla, potom operátor divergencie spĺňa nasledujúce identity:

Je lineárna voči reálnym číslam

aplikovaná na súčin funkcie a vektorového poľa spĺňa identitu

.

Pre divergenciu vektorového súčinu platí
,

kde ∇ × F je rotácia F.

Ďalej divergencia rotácie sa rovná nule:
.

Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách 

Nasledujúce vzťahy udávajú vyjadrenie divergencie v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je F vektorové pole v  v daných súradniciach, tak platí

Vo valcových súradniciach:

Vo sférických súradniciach:

Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x1,x2,x3, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h1,h2,h3

V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí

 

Dohovor: Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme.

Diferenciálne operátory
Vektorový počet