Derivácia v smere

Derivácia v smere, presnejšie derivácia diferencovateľnej funkcie viacerých reálnych premenných v smere daného vektora „V“ v danom bode „P“, je koncept, ktorý formalizuje intuitívnu predstavu "sklonu" rezu danej funkcie rovinou určenou (jednotkovým) vektorom „V“ a osou závislej premennej v bode „P“. Derivácia v smere teda určuje mieru rastu funkcie, ak všetky závislé premenné meníme v smere vektora „V“. Je teda zovšeobecnením konceptu parciálnej derivácie, pri ktorej je tento smer vždy rovnobežný s niektorou zo súradnicových osí - parciálna derivácia je teda špeciálnym prípadom derivácie v smere. Derivácia v smere je zas špeciálnym prípadom tzv. Gâteauxovej derivácie.

Definícia
Derivácia funkcie
 
v smere vektora 
 
je funkcia definovaná ako limita

Niekedy sa derivácia v smere označuje aj ako  alebo . Ak je funkcia  diferencovateľná v bode , tak existuje derivácia v smere ľubovoľného vektora  pričom platí

,

kde  označuje gradient a  je skalárny súčin.

Vlastnosti
Pre derivácie v smere platia viaceré vlastnosti, ktoré platia pre klasické derivácie funkcií jednej reálnej premennej alebo pre parciálne derivácie. Konkrétne, nech f a g sú funkcie definované na okolí bodu p a diferencovateľné v p. Potom platia nasledujúce vlastnosti:
 
 Pre ľubovoľnú konštantu c: 
 
 Ak g je diferencovateľná v p a h je diferencovateľná v bode g(p), tak

Pozri aj
Parciálna derivácia
Gradient

Externé odkazy
Článok o deriváciách v smere na stránkach Wolfram MathWorld .

Diferenciálne operátory