Vektorový priestor

Vektorový priestor (niekedy sa používa aj pomenovanie lineárny priestor) je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.

"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovoľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.

Definícia 
Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému ,  priradený prvok , pričom:
 1)  je komutatívna grupa
pre ľubovoľné ,   V a c,d  F platí:
 2)  (distributívny zákon)
 3) 
 4)  (asociativita)
 5) 
potom  je vektorový priestor nad poľom .

Vektorové priestory vo fyzike

Bra-Ket formalizmus 
Vektory  tvoria vektorový priestor (alebo lineárny priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia

patrí taktiež do tohoto priestoru. 

Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty  komplexné čísla.
Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:

,

kde hviezdička  označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory  vlnové funkcie  a bra-vektory  sú komplexne združené vlnové funkcie . 
Skalárny súčin 

je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor  a bra-vektor . Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že

.

Dôsledkom toho je, že  je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné: 

.

Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že  zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru .
V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu

, ktorý má zjavne vlastnosť , rovnako ako

 má vlastnosť , pretože  je kladné.

Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že  a  vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo .

Pozri aj 
 Vektor (matematika)
 Vektorový podpriestor

Lineárna algebra