Faktoriál

V matematike sa pojmom faktoriál prirodzeného čísla  označuje súčin všetkých prirodzených čísel od  po 1. Zapisuje sa  a číta sa „n faktoriál“. Napríklad:

Definícia 
Faktoriál kladného celého čísla  je definovaný vzťahom:

Pre potreby kombinatoriky je výhodné definovať aj faktoriál nuly. V takom prípade sa definitoricky kladie .

Kombinatorické súvislosti 
Faktoriál čísla  sa rovná počtu rôznych permutácii -prvkovej množiny.

Asymptotické vlastnosti 
Funkcia faktoriál rastie rýchlejšie, než akákoľvek exponenciálna funkcia a tým skôr rýchlejšie než akýkoľvek mnohočlen.
Pre zaujímavosť, už  predstavuje približne číslo 1,197·10100 čo je číslo väčšie ako odhadovaný počet atómov v nám známom vesmíre.

Algoritmické implementácie 
Implementácia pomocou rekurzívnej funkcie. Ukážka v pseudokóde:

  function faktorial(n)
      if n = 0
          then return 1
          else return n * faktorial(n - 1)

Ukážka implementácie v programovacom jazyku C:

  long double faktorial (int n) {
      long double b = 1;
      while (n--)
           b*=n+1;
      return b;
  }

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál 
Okrem bežného faktoriálu sa môže definovať tiež dvojitý faktoriál, označený n!!, v ktorom sa činitele znižujú po dvoch namiesto po jednom. Je možno ho rekurzívne definovať ako

Napríklad 8!! = 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 384, 9!! = 9 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 = 945.

Postupnosť dvojitých faktoriálov čísel 0, 1, 2, … začína
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …

Okrem dvojitého faktoriálu môžeme túto ideu zovšeobecniť na (už nie príliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atď. (všeobecne n!(k)).

Externé odkazy 
  Výpočet faktoriálu (0≤N≤40000)
  Faktoriál 

Matematika
Kombinatorika
Teória čísel