Teória miery

Teória miery je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá z najvšeobecnejších hľadísk exaktným uchopením pojmu kvantity.
Základným pojmom teórie je miera, ktorá zovšeobecňuje pojmy, ako dĺžka, plocha, či
objem. Teória miery je úzko spätá s teóriou integrálu (preto sa často vyskytuje aj označenie Teória miery a integrálu) a tiež s teóriou pravdepodobnosti.

Miera 
Miera je základným pojmom teórie miery. Z neformálneho pohľadu je miera zovšeobecnením pojmov dĺžka, obsah, objem] alebo počet (množstvo).

Definícia 
Majme merateľný priestor . Množinovú funkciu  nazveme miera, ak spĺňa tieto podmienky:
 Miera prázdnej množiny je nulová: .
 Miera je vždy nezáporná: 
 σ-aditivita: Pre ľubovoľnú spočítateľnú postupnosť po dvoch disjunktných množinách  platí 

Trojicu  potom nazývame priestor s mierou.

Vlastnosti miery 
 
 Pre postupnosť množín  platí: 
 Pre postupnosť podmnožín  platí: 
 Naopak pre postupnosť nadmnožín:  pokiaľ  potom platí:

Príklady mier 
 Diracova miera : Nech X je neprázdna množina a a jej prvok. Diracova miera  je definovaná na σ-algebre P(X) všetkých podmnožín množiny X predpisom: 

 Aritmetická miera
 Lebesgueova miera
 Hausdorffova miera
 Lebesgue-Stieltjesove miery

 
Matematika