Grupa (matematika)

Grupa je jednou zo základných algebraických štruktúr. V sekcii „Definícia“ možno nájsť formálnu definíciu grupy. Sekcia „Základné vysvetlenie“ podáva informácie o motivácii k štúdiu grúp aj pre laika.

Základné vysvetlenie 
Všimnime si napríklad množinu všetkých celých čísel, teda čísel ako sú -10, -4, 0, 1, 2, 65, atď. Na tejto množine je definovaná operácia sčítanie. Zaoberajme sa ďalej len operáciou sčítanie a množinou celých čísiel. Všimnime si pre štandardné sčítanie niekoľko vlastností:
 Sčítanie je na celých číslach asociatívna operácia. Teda napríklad platí, že 3 + (5 + 7) = (3 + 5) + 7. Poloha zátvoriek teda pre asociatívne operácie, ako napríklad „bežné“ sčítanie nie je dôležitá.
 Ďalej pre operáciu sčítanie a celé čísla platí, že vzhľadom na danú operáciu existuje neutrálny prvok, ktorým je pri „bežnom sčítaní“ číslo 0. Inak povedané, neutrálny prvok je prvok, pre ktorý platí: x + 0 = x = 0 + x, teda neutrálny prvok „nezmení hodnotu“ pôvodného čísla.
 Ku každému celému číslu existuje opačné číslo. Napríklad opačné číslo k číslu 689 je pre bežné sčítanie, ktorým sa zaoberáme, číslo -689. Pre číslo(označme ho x) a k nemu opačné číslo(označme ho y) platí: x + y = neutrálny prvok. Teda, ak číslo sčítame s opačným číslom, dostávame neutrálny prvok (v tomto prípade 0).Poznámka: y sa v algebre, aby bolo jasné ku ktorému číslu to je opačné číslo zvykne označovať značkou x-1. Neoznačujeme tým však bežnú operáciu mocnina.

Tieto 3 vlastnosti, teda asociatívnosť, existencia neutrálneho prvku a inverzných prvkov sú v matematike veľmi časté. Preto je užitočné študovať ich spoločné vlastnosti a vzťahy s inými štruktúrami. Pre podobné dvojice množín a operácií sa prijal spoločný názov grupa.

Základné príklady 
 Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti spĺňajú.
 Množina {... 1/625, 1/125, 1/25, 1/5, 1, 5, 25, 125, 625, ...} a operácia násobenia tieto vlastnosti spĺňajú (číslo 1 je neutrálny prvok a napríklad k číslu 125 existuje opačné číslo: 1/125).
 Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje neutrálny prvok.
 Množina {... ,-12, -9, -6, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje opačné číslo k číslu 3.

Definícia 
 Nasledujúca definícia formalizuje závery zo sekcie „Základné vysvetlenie“
Grupa (G, ) je usporiadaná dvojica, kde G je neprázdna množina a  je binárna operácia na tejto množine, pričom
 operácia  je na G asociatívna, t. j. ,
 existuje tzv. neutrálny prvok  s vlastnosťou ,
 ku každému prvku  existuje inverzný prvok  taký, že .

Ak je binárna operácia  navyše komutatívna, tak hovoríme o komutatívnej alebo abelovskej grupe.

Ďalšie vlastnosti 
 V grupe platia zákony o krátení:

 V grupe majú riešenie všetky rovnice typu

pre všetky

Podgrupy 
Grupa  sa nazýva podgrupou grupy , ak  je podmnožinou  a platí .

Neprázdna podmnožina H grupy  tvorí podgrupu, ak je uzavretá na binárnu operáciu a aj na tvorbu inverzných prvkov, t.j.
 Pre ľubovoľné  platí .
 Pre ľubovoľné  platí .

Ak H je konečná množina, tak stačí uzavretosť na binárnu operáciu.

Ďalšie príklady 
 množina celých čísel  s klasickou operáciou sčítania + tvorí grupu , ktorú nazývame aj aditívna grupa celých čísel,
 množina racionálnych čísel okrem čísla 0 s operáciou násobenia  tvorí grupu , ktorej sa hovorí aj multiplikatívna grupa racionálnych čísel,
 všeobecnejšie, pre ľubovoľné pole F je množina  s operáciou násobenia grupou. (Je to multiplikatívna grupa poľa F.)
 dôležitou triedou grúp sú predovšetkým v informatike v teórii šifrovania tzv. grupy zvyškových tried  s operáciou  a  s operáciou  (ak n je prvočíslo),
 ústrednú úlohu pri štúdiu grúp hrá grupa všetkých bijekcií nejakej množiny na tú istú množinu s operáciou skladania zobrazení označovaná ako grupa transformácií a jej špeciálne varianty grupa permutácií a alternujúca grupa (Cayleyho veta vraví, že každá grupa je izomorfná s nejakou grupou transformácií),
 všetky binárne bijektívne funkcie (zobrazenia) n prvkovej množiny s operáciou skladania permutácií vytvárajú grupu, ktorá sa nazýva symetrická grupa rádu n! (n faktoriál)

Externé odkazy 
  Teória grúp

Literatúra

Referencie 

Algebrické štruktúry
Teória grúp
Symetria