Dirichletova funkcia

Dirichletova funkcia je funkcia, ktorá je definovaná na obore všetkých reálnych čísel a pritom nie je spojitá v žiadnom bode.

Definícia 
Dirichletova funkcia D(x) je definovaná následujúcim predpisom:

Skutočný graf tejto funkcie nemožno žiadnym spôsobom nakresliť ani si ho predstaviť, čo viedlo mnohých matematikov hlavne v 19. storočí k pochybnostiam, či je Dirichletova funkcia skutočne funkciou či akousi „príšerou“, ktorá nepatrí do matematiky. Dnes už matematika celkom bez námietok uznáva aj omnoho zvláštnejšie funkcie.

Vlastnosti 
Vlastnosti Dirichletovej funkcie: 
 nie je spojitá v žiadnom bode 
 nemá dokonca v žiadnom bode limitu a to ani jednostrannú. 
 nie je monotónna na žiadnom intervale.
 nadobúda maximum v každom racionálnom bode a minimum v každom iracionálnom bode
 Lebesgueov integrál cez celý definičný obor je rovný 0, jej Newtonov integrál ani Riemannov integrál neexistujú

Lebesgueov integrál Dirichletovej funkcie
Môžeme ho uviesť napr. na intervale , podľa teórie Lebesgueovho integrálu má byť interval cez ktorý integrujeme lebesgueovsky merateľný. Interval  je podmnožina množiny reálnych čísel, teda je to zjednotenie množiny  racionálnych čísel a množiny  iracionálnych čísel (teda množina iracionálnych čísel je rovná množinovému rozdielu reálne čísla – racionálne čísla :.Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny  : (racionálne čísla) rovná 0, :, pretože ide o spočítateľnú množinu, teda príspevok všetkých racionálnych čisel k integrálu je 0. Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny  : ( na intervale  ). V iracionálnych čislach je však , teda aj príspevok iracionálnych je rovný 0.
Teda platí, že .

Pozri aj 
 Riemannova funkcia

Matematické funkcie