Lagrangeov polynóm

Lagrangeov polynóm, pomenovaný podľa Josepha Louisa Lagrangea, je v numerickej matematike interpolujúci polynóm pre danú množinu bodov v Lagrangeovom tvare. V roku 1779 ho objavil Edward Waring a v roku 1783 ho znovuobjavil Leonhard Euler.

Je povšimnutia hodné, že pre danú množinu bodov existuje len jeden polynóm (najmenšieho možného stupňa), ktorý interpoluje dané body. Preto je správnejšie o Lagrangeovom polynóme hovoriť ako o Lagrangeovom tvare interpolujúceho polynómu, než o Lagrangeovom interpolujúcom polynóme.

Definícia 
Nech je daná množina k + 1 bodov

kde žiadne dve hodnoty  nie sú rovnaké. Potom interpolujúci polynóm v Lagrangeovom tvare pre túto množinu bodov je lineárna kombinácia

Lagrangeových bázických polynómov

Je povšimnutia hodné, že za predpokladu, že žiadne dve hodnoty  nie sú rovnaké (a to ani nemôžu byť, keďže by daná úloha nedávala zmysel), platí , čiže daný výraz je vždy dobre definovaný.

Dôkaz 

Aby funkcia L(x) naozaj bola hľadaným interpolujúcim polynómom, musí platiť, že je to polynóm najviac k teho stupňa, pričom pre každé  musí platiť .

Ak toto tvrdenie platí pre všetky j, hovoríme, že daný polynóm je riešením interpolačného problému. 

Dokážeme teda dané tvrdenie:
 Vo výraze  je k členov súčinu, pričom každý člen obsahuje práve x práve raz, teda L(x) (ktorý je tým pádom súčtom polynómov k-teho stupňa) musí byť tiež polynóm k-teho stupňa.
 
Skúmajme teraz, čo sa stane, ak rozvinime tento súčin. Keďže súčin vynecháva hodnotu , ak , tak všetky členy sú rovné  (lebo stále platí ). Ak , jeden z členov súčinu, konkrétne ten, pre ktorý platí , bude mať hodnotu , a teda vynuluje celý súčin. Čiže platí
 

kde  is the Kroneckerov symbol. Teda:

To ale znamená, že L(x) je polynóm stupňa najviac k, pričom platí .
Navyše, takýto interpolujúci polynóm je určený jednoznačne.

Zdroj

Externé odkazy 
 Článok na ALGLIB o polynomiálnej interpolácii s implementáciami metódy v jazykoch C++, C#, VBA a Pascal .
 Článok o Lagrangeových polynómoch na Wolfram MathWorld .
 Rôzne materiály  k Lagrangeovej interpolácii .

Numerická matematika
Matematická analýza

he:אינטרפולציה#צורת לגראנז'