Mocninová funkcia

Mocninová funkcia je typ elementárnej matematickej funkcie jednej premennej, v ktorej vystupuje len jeden člen s mocninou. Mocninová funkcia je špeciálnym prípadom polynomickej funkcie. Najznámejším príkladom mocninovej funkcie je špeciálny prípad kvadratickej funkcie. Podľa stupňa mocniny premennej sa rozlišujú mocninové funkcie rôznych druhov. V začiatkoch budovania matematickej teórie o funkciách boli predmetom skúmania práve mocninové funkcie, z ktorých bolo odvodené množstvo vlastností a vzťahov. K mocninovým funkciám sa neskôr pridružili aj ďalšie funkcie a spolu vytvorili skupinu pod názvom elementárne funkcie. Pomocou základných mocninových funkcií je možné modelovať veľmi veľa jednoduchých situácii a javov. Svoje opodstatnenie našli v samotnej matematike, vo fyzike, ekonómii a v mnohých ďalších oblastiach.

Krajne asymetrickým rozdelením/rozložením sa zaoberal napr. český geograf, demograf a štatistik Jaromír Korčák v dielach Deux types fondamentaux de distribution statistique (1938) alebo 
Přírodní dualita statistického rozložení (1941).

Definícia 
Nech . Potom predpis

nazývame mocninová funkcia s reálnym mocniteľom. Ak  potom ide o mocninovú funkciu so záporným celočíselným mocniteľom. Ak  ide o mocninovú funkciu s kladným celočíselným mocniteľom alebo s prirodzeným mocniteľom.

Druhy mocninových funkcií 

Mocninové funkcie sa rozlišujú podľa stupňa mocniny premennej, ktorú obsahujú. Lineárna a konštantná funkcia sú špeciálnym prípadom mocninovej funkcie. Obvykle sa ale v definícii týchto funkcii nepíšu mocniny. V nasledovnej tabuľke sú mocninové funkcie s ich názvami nanajvýš tretieho stupňa:

Vlastnosti mocninových funkcií 
Vlastnosti mocninových funkcií sú závislé od stupňa mocniny. Grafy tohto typu funkcií sú rôzne, čo závisí opäť od veľkosti a druhu mocniteľa. Napríklad parabola alebo hyperbola. Mocninové funkcie s kladným mocniteľom majú tú spoločnú vlastnosť, že všetky prechádzajú začiatkom sústavy súradníc. Ostatné vlastnosti sa navzájom líšia. Keďže vlastnosti závisia od mocniteľa, je lepšie obmedziť sa na funkcie s celočíselným párnym resp. nepárnym mocniteľom.

Funkcia s kladným párnym mocniteľom

Funkcia s kladným nepárnym mocniteľom

Funkcia so záporným párnym mocniteľom

Funkcia so záporným nepárnym mocniteľom 

Funkcia má dve asymptoty. Prvá - vodorovná je os  a druhá - zvislá je os

Mocninové funkcie a polynómy 

Súčtom viacerých mocninových funkcií vznikne polynóm určitého stupňa. Spravidla sa označuje symbolom , kde  označuje premennú. Stupeň polynómu sa určí podľa najvyššej mocniny, ktorú obsahuje. Polynómy tvoria nadradenú skupinu funkcií k mocninovým, nazvanú polynomické funkcie.

Nech  sú mocninové funkcie takého stupňa, aký majú index. Potom zápis

kde koeficienty  sú ľubovoľné reálne čísla, nazývame polynóm -teho stupňa.

Mocninové rady

Definícia 
Mocninovým radom rozumieme rad funkcií v tvare

respektíve

kde .

Polomer konvergencie mocninového radu 

Ak mocninový rad konverguje v bode , potom absolútne konverguje pre všetky , pričom najväčšiu vzdialenosť bodu  od počiatku (píšeme ) nazývame polomerom konvergencie . Vždy platí, že . K určeniu polomeru konvergencie sa používajú klasické metódy pre konvergenciu nekonečných číselných radov. Ak je polomer konvergencie nenulový, potom je súčet mocninového radu spojitá funkcia v .

Vlastnosti mocninových radov 
Ak platí, že pre ľubovoľné  konverguje rad , potom taktiež konverguje rad . Hovoríme, že mocninový rad sa dá derivovať člen po člene.

Taktiež platí, že 

na ľubovoľnom intervale  a hovoríme, že mocninový rad možno integrovať člen po člene.

Mocninové funkcie a infinitezimálny počet 

Derivácia mocninovej funkcie je definovaná ako limita

Odvodenie derivácie mocninovej funkcie 

Všeobecné odvodenie sa uskutoční výpočtom vyššie uvedenej limity

Primitívna funkcia k mocninovej funkcii 

Pre mocninové funkcie platí

Tento integrál sa nazýva aj tabuľkový integrál. Primitívna funkcia k mocninovej funkcii je od nej o jeden stupeň vyššia (hodnota mocniny sa zvýši o jeden stupeň). To znamená, že primitívna funkcia k lineárnej je kvadratická, ku kvadratickej je kubická atď. Špeciálnym prípadom je nepriama úmernosť, kde primitívna funkcia vyzerá nasledovne

Určitý integrál mocninovej funkcie 

Nech . Potom určitým integrálom mocninovej funkcie rozumieme číslo

V prípade nepriamej úmernosti

Aplikácie mocninových funkcií 
Pomocou mocninových funkcií je možné modelovať rôzne jednoduché situácie z bežného života. Príkladom môžu byť ekonomické aplikácie, fyzikálne aplikácie i aplikácie priamo v matematike.

Aplikácie vo fyzike 

Jednoduchou, ale významnou fyzikálnou aplikáciou mocninových funkcií je opis dráhy telesa pri voľnom páde. Tento jav popisuje funkcia

kde  je gravitačná konštanta. Podľa druhu mocninovej funkcie ide o kvadratickú funkciu, kde ako premenná vystupuje čas - .

Aplikácie v matematike 

V matematike by sa dala aplikácia hľadať pri výpočtoch obsahov a objemov. Aby vznikla funkcia jednej premennej, je možné opísať závislosť obsahu štvorca od veľkosti jeho strany. Tento jav sa dá popísať funkciou obsahu štvorca

Ide o kvadratickú funkciu, kde premenná je  a vyjadruje dĺžku strany štvorca. Iný príklad by bol na výpočet obsahu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Táto funkcia je

Aplikácia kubickej funkcie by sa dala hľadať pri výpočte objemu kocky a táto funkcia potom vyzerá nasledovne

Podobne ako pri trojuholníku, z funkcie objemu kocky by sa dala vyjadriť funkcia objemu ihlana. Zovšeobecnením predchádzajúceho je možné zistiť, že všetky matematické vzorce pre výpočet nejakej kvantity, sú závislé od hodnôt, ktoré do vzťahu dosadzujeme. Všetky tieto predpisy sú teda funkcie a hodnoty, ktoré sa do nich dosadzujú, sú chápané ako premenné.
Aplikácie nepriamej úmernosti možno hľadať v praktických situáciách. Nepriama úmernosť vyjadruje taký vzťah dvoch veličín, že nárast jednej spôsobí pokles druhej a opačne. Všeobecne sa problémové úlohy nepriamej úmernosti riešia cez tzv. trojčlenku. Jednoduchý príklad objasňuje základný princíp nepriamej úmernosti: Auto prejde pri rýchlosti /h určitú vzdialenosť za 30 minút. Ako dlho by autu trvala rovnaká cesta, ale pri rýchlosti /h? Zostavením trojčlenky

Výpočtom danej rovnice dostávame výsledok, že auto prejde pri rýchlosti /h danú vzdialenosť za 25 minút. Na trojčlenku sa dá pozrieť aj všeobecnejšie. Ak by sme potrebovali opakovať ten istý algoritmus s inou rýchlosťou, potom treba zopakovať celý výpočet trojčlenky. Jednoduchým odvodením všeobecného vzťahu je možné vyhnúť sa počítaniu cez trojčlenku a chápať zápis ako funkciu:

Úpravami získame funkciu

kde za premennú  dosadzujeme konkrétnu rýchlosť a získame tak hodnotu , ktorá vyjadruje počítaný čas. Z matematického hľadiska ide o mocninovú funkciu - nepriamu úmernosť a číslo 3000 nazýva koeficient nepriamej úmernosti .

Referencie

Zdroje 
 Medek, V. a kol.: Repetitórium stredoškolskej matematiky, Alfa, 1975

Pozri aj 
 Zobrazenie (matematika)
 Kvadratická funkcia
 Polynóm
 Derivácia (funkcia)
 Určitý integrál
 Fraktál

Externé odkazy 
 Vlastnosti mocninových funkcií
 Grafy mocninových funkcií 
 O funkciách
 Korčákov zákon čiže zaujímavá história Prírodnej duality štatistického rozloženia 

Matematické funkcie