Postupnosť (matematika)

Postupnosť (symbol je  alebo len (an) či {an} ) je ľubovoľná funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je podmnožina prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme an.

Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ..., m}, kde m je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel.

Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie, hovoríme o funkcionálnej postupnosti.

Vlastnosti 
Postupnosť je
 neklesajúca, ak pre všetky i platí ,
 nerastúca, ak pre všetky i platí ,
 rastúca, ak pre všetky i platí ,
 klesajúca, ak pre všetky i platí ,
 zdola ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí ,
 zhora ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí .
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.

Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.

Limita 
Hovoríme, že postupnosť
 konverguje, ak má konečnú limitu (napr.  konverguje k 0),
 diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr.  diverguje k ),
 osciluje, ak limitu nemá (napr. ).

Vybraná postupnosť 
Ak je  postupnosť (všeobecne reálnych) čísiel a  rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz  nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z  (inými slovami, z  vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).

Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je  ohraničená postupnosť v , potom z nej možno vybrať postupnosť , ktorá je konvergentná.

Referencie

Pozri aj 
 Cauchyovská postupnosť
 Aritmetická postupnosť
 Geometrická postupnosť
 Rad

Algebra