Homomorfizmus grúp

Homomorfizmus grúp alebo morfizmus grúp alebo homomorfné zobrazenie grúp  a  je zobrazenie , pri ktorom pre všetky prvky  platí , pričom  je operácia grupy  a  operácia grupy  (hovoríme tiež, že homomorfizmus zachováva operáciu).

Z tejto definície je možné odvodiť aj nasledujúce vlastnosti homomorfizmu :
  (daný homomorfizmus zobrazí neutrálny prvok grupy  na neutrálny prvok grupy ),
  (daný homomorfizmus zobrazí inverzie prvkov na inverzie ich funkčných hodnôt)

Intuícia 
Cieľom definovania homomorfizmu je zostrojiť funkcie, ktoré zachovávajú algebraické štruktúry. Ekvivalentnou definíciou homomorfizmu je: Funkcia  je homomorfizmus ak pre každé  také, že  máme 

Inými slovami, grupa  má v istom zmysle podobnú algebraickú štruktúru ako  a homomorfizmus  ju zachováva.

Typy homomorfizmov grúp 
Monomorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je injektívny.
Epimorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je surjektívny.
Izomorfizmus je homomorfizmus, ktorý je bijektívny (t.j. injektívny aj surjektívny). Ak medzi grupami  a  existuje izomorfizmus, hovoríme, že su dané grupy izomorfné, píšeme . Ak sú dve grupy izomorfné, znamená to, že sú identické a líšia sa len v notácií ich prvkov.

Obraz a jadro 
Nech  je homomorfizmus grúp. 

Potom množina  sa nazýva jadro homomorfizmu . zvyčajne sa označuje  (z anglického slova kernel, respektíve z nemeckého kern). Ekvivalentne .

Obrazom homomorfizmu  nazveme množinu  (označenie  pochádza z anglického slova image).

Jadro a obraz homomorfizmu môžu byť interpretované ako vyjadrenie, do akej miery je daný homomofizmus blízko izomorfizmu. Prvá veta o izomorfizme hovorí, že obraz homomorfizmu grúp  je izomorfný faktorovej grupe .

Referencie

Zdroje 
 Július Korbaš: Lineárna algebra a geometria 1. Bratislava: Univerzita Komenského Bratislava, 2003 (definícia 1.5.6)

Teória grúp