Hausdorffova miera

Hausdorffova miera alebo Hausdorffova dimenzia alebo Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia je, v matematike, nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.

Hausdorffova miera (ďalej označená ) je "dolnodimenzionalnou" mierou na , ktorá nám dovoľuje merať isté „veľmi malé“ podmnožiny . Základnou myšlienkou je, že množina  je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny , kde platí
, i keď  je veľmi komplikovaná.  je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.

Definícia Hausdorffovej miery 
Definícia: Nech  definujeme:

kde

túto

je obyčajná gamma funkcia.

Pro  a  s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:

 nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na .

Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie 
 je Borelova regulárna miera pre , nie je ale Radonova miera.

Z toho vyplýva toto:

 je miera.

 je miera.

 je Borelova miera.

Ďalšie zaujímavé vlastnosti:

 je čítacia miera.

 na , kde  je Lebesgueova miera.

 na  pre všetky .

 pre všetky .

 pre všetky afinné izometrie .

Literatúra 
 Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.

Matematika