Taylorov rad

Taylorov rad funkcie  premennej  v bode  je potenčný rad (mocninový rad) so stredom  v tvare

pričom
  je -tá derivácia funkcie  v bode , 
  má v okolí bodu  derivácie všetkých rádov.

Funkcia sa nazýva analytická (v bode ) ak jej Taylorov rad sa v niektorom okolí bodu  zhoduje s danou funkciou. Toto neplatí univerzálne, čiže jestvujú funkcie, ktorých Taylorove rady sa s nimi nezhodujú. Príkladom takej funkcie je 
. 
Jej Taylorov rad so stredom v bode 0 je nulový rad, pričom daná funkcia má hodnotu nula jedine keď jej argument je nula. 

Taylorov rozvoj (funkcie  premennej  v bode ) je Taylorov rad, pre ktorý platí, že jeho súčet (teda výsledná hodnota) v okolí bodu  sa rovná . Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom v bode .

Účel 
Mnohoznačne zložité funkcie je ťažké si predstaviť, zobraziť ich, prípadne odhadnúť ich funkčné hodnoty. Tiež elementárne funkcie, napríklad sínus, kosínus, nadobúdajú najmä iracionálne hodnoty, ktoré nie je možné presne vyčísliť, niekedy ani odhadnúť. Práve Taylorov rad umožňuje tieto základné goniometrické funkcie, a mnohé iné, formálne definovať. Napríklad pre funkciu sínus platí nasledujúci odhad v okolí nuly
.
Je to veľmi silná aproximácia. Hodnoty funkcie sínus v okolí nuly sa dajú vypočítať s veľmi malou chybou. Na prelome 17. a 18. storočia sa viacerí matematici pokúšali nahradiť funkciu nejakou jednoduchšou. Za najjednoduchšie sa všeobecne považujú polynomické funkcie, respektíve polynómy. Vybudovanie teórie, ktorá umožňovala aproximáciu funkcií práve polynómami, však vyžadovala poznatky z vyššej matematiky, hlavne diferenciálneho počtu. Teóriu nezávisle od seba budovali Brook Taylor a Colin Maclaurin. Táto teória umožňuje zapísať, za určitých predpokladov, funkciu ako súčet nekonečného mocninového radu, ktorý sa nazýva Taylorov rad.

Intuitívne odvodenie 
Hlavná myšlienka konštrukcie Taylorovho radu spočíva v rovnosti derivácií dvoch funkcií. Obmedzme sa na polynóm stupňa . Zovšeobecnenie pre polynóm nekonečného stupňa – Taylorov rad bude presnejšie opísané v samotnej definícii. Majme dve funkcie definované v okolí nejakého bodu ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú a ich derivácie všetkých rádov sú v tomto bode rovnaké, potom možno považovať funkcie za rovnaké. Na zjednodušenie uvažujme bod . Vezmime funkciu  a všeobecný polynóm

Treba však nájsť koeficienty , aby nastala rovnosť , pre . Jednoducho možno odvodiť, že . Ďalší koeficient možno osamostatniť derivovaním a dosadením nuly. Koeficient  teda vypočítame prvou deriváciou 

Po dosadení jednoducho . Všeobecne pre -ty člen polynómu platí 

Týmto spôsobom jednoducho nájdeme tvar hľadaného polynómu. V tomto odvodení, ktoré je veľmi hrubé, nie sú zahrnuté všetky predpoklady na existenciu takého polynómu. Nie pre každú funkciu jestvuje Taylorov polynóm, respektíve Taylorov rad. Všetky predpoklady sú zhrnuté spolu so všeobecnou formálnou definíciou v nasledujúcom odseku.

Definícia 
Nech  je -krát diferencovateľná funkcia v bode , definovaná na okolí  bodu . Potom platí 

kde výraz  označuje zvyšok. Tento vzorec sa nazýva Taylorov vzorec a jeho prvá časť (teda časť bezo zvyšku) sa nazýva (-tý) Taylorov polynóm alebo Taylorov aproximačný polynóm funkcie  so stredom v bode . 

Aby bol polynóm  konečného stupňa  Taylorovým polynómom, musí platiť:

Implikácia platí aj opačne, teda ak je uvedená limita nulová, potom  je Taylorovým polynómom funkcie  stupňa .

Ak sa  blíži k nekonečnu, nazýva sa Taylorov aproximačný polynóm Taylorov rad.

Tvary zvyšku

Cauchyho tvar zvyšku 
Cauchyho tvar vychádza z Lagrangeovej vety o strednej hodnote diferenciálneho počtu. Oveľa praktickejšie je však jeho zovšeobecnenie – Lagrangeov tvar, ktorý je ľahšie zapamätateľný. Nech číslo  je medzi  a stredom . Teda v prípade  je , v opačnom prípade  je . Potom je zvyšok možné zapísať v tvare

Lagrangeov tvar zvyšku 
Lagrangeov tvar je zovšeobecnením Cauchyho tvaru a využíva Cauchyho vetu o strednej hodnote diferenciálneho počtu. Tento tvar je jednoduchší než Cauchyho, pretože sa podobá na nasledujúci -vý člen rozvoja.

Integrálny tvar zvyšku

Taylorove rady elementárnych funkcií 
V tabuľke sú odvodené Taylorove rady niektorých elementárnych funkcií. Na základe ich znalosti je možné odvodiť rozvoje iných, zložitejších funkcií.
{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"
|-
! Funkcia
! Taylorov rad
! Konvergencia
|-
| align="left"|Exponenciálna funkcia
| align="left"|
| 
|-
| align="left"|Goniometrická funkcia sínus
| align="left"|
| 
|-
| align="left"|Goniometrická funkcia cosínus
| align="left"|
| 
|-
| align="left"|Cyklometrická funkcia arkussínus
| align="left"|
| 
|-
| align="left"|Cyklometrická funkcia arkustangens
| align="left"|
| 
|-
| align="left"|Nekonečný geometrický rad
| align="left"|
| 
|-
| align="left"|Prirodzený logaritmus
| align="left"|
| 
|-
| align="left"|Zovšeobecnený binomický dvojčlen
| align="left"|
| 
|}

Príklad 
Nájdime Taylorov rad funkcie  so stredom v bode . Najprv uvážime Taylorove rady funkcií arkustangens a prirodzený logaritmus. Pre arkustangens platí

Podobne odvodíme vzťah pre logaritmus

Súčtom týchto radov a úpravou do vhodného tvaru dostaneme Taylorov rad funkcie

Použitie 
V praxi je využiteľný práve Taylorov polynóm, čo je špeciálny prípad Taylorovho radu, pričom sa vypočíta niekoľko prvých členov. Chyba, ktorej sa pri určovaní funkčnej hodnoty dopustíme, sa dá odhadnúť pomocou zvyškov. V teórii a pri teoretických dôkazoch je dôležité používať rozvoje funkcií cez definíciu Taylorovho radu ako nekonečného súčtu. Ak používame pri výpočte radu len niekoľko  prvých členov, ostatné je zvykom zapísať v tvare . Tento zápis znamená napríklad pre , že ide o členy stupňa vyššieho, ako . Zároveň platí, že

Súčty radov 
Nájdime súčet nekonečného číselného radu

Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus, pričom zvolíme

Výpočet niektorých limít 
Niektoré limity nie je možné vypočítať bežnými prostriedkami, prípadne je to príliš zdĺhavé. Napríklad použitie L’Hospitalovho pravidla nezaručuje vždy jednoduchý postup. Dá sa ním však jednoducho vypočítať mnoho známych limít

Maticová exponenciála 
Pomocou Taylorovho radu sa dá definovať aj abstraktný pojem z algebry – maticová exponenciála. Táto exponenciála sa využíva napríklad pri riešení systémov diferenciálnych rovníc. Uvažujme systém obyčajných diferenciálnych rovníc, ktorý môžeme napísať v tvare

Podobne ako obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu, má aj táto maticová diferenciálna rovnica riešenie v tvare

kde  je vektor s počiatočnými podmienkami pre partikulárne riešenie. Definovať maticovú exponenciálu umožňuje teoretický poznatok o diagonalizácii matice a Taylorovom rade. Exponenciálnu funkciu , bez ohľadu na to, aký objekt predstavuje  (v tomto prípade matica) môžeme zapísať 

Z diagonalizácie matice platí

Matica  je matica vlastných vektorov a matica  je matica vlastných čísel matice . Podmienka diagonalizovateľnosti matice je však nutná. V prípade, že matica nie je diagonalizovateľná, je možné použiť na riešenie Jordanov tvar matice a rozklad . Pre všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej sústavy platí

Referencie

Pozri aj 
 Nekonečný číselný rad
 Funkcionálny rad
 Infinitezimálny počet
 Derivácia
 Lagrangeova veta o strednej hodnote
 Cauchyho veta o strednej hodnote
 Fourierov rad

Matematika
Matematická analýza