Parciálna diferenciálna rovnica

Parciálna diferenciálna rovnica je v matematike rovnica obsahujúca neznámu funkciu niekoľkých nezávisle premenných a jej parciálne derivácie podľa týchto premenných. Najvyšší z rádov parciálnych derivácii vyskytujúcich sa v rovnici sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

Parciálne diferenciálne rovnice sú zovšeobecnením obyčajných diferenciálnych rovníc, ktoré obsahujú neznámu funkciu jednej premennej a jej derivácie. Každá obyčajná diferenciálna rovnica je súčasne aj parciálnou diferenciálnou rovnicou.

Definícia 

Parciálna diferenciálna rovnica je matematická rovnica tvaru

 
kde  je neznáma funkcia n premenných. Číslo k sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

Príklady

Elementárny príklad 

Uvažujme parciálnu diferenciálnu rovnicu

 

Zjavne, riešením tejto rovnice sú všetky funkcie nezávislé od x, preto možno všeobecné riešenie zapísať ako

 

kde f je ľubovoľná funkcia o jednej premennej. Uvedená rovnica je analógiou obyčajnej diferenciálnej rovnice

 

ktorej riešením je ľubovoľná konštanta c (nezávislá od x).

Rovnica vedenia tepla 

Dôležitým príkladom parciálnej diferenciálnej rovnice je rovnica vedenia tepla, ktorá opisuje šírenie tepla v telesách v závislosti od času. Pre funkciu  kde  vyjadruje polohu bodu v priestore a t udáva čas, má rovnica vedenia tepla tvar

kde  je konštanta.

Vlnová rovnica 

Vlnová rovnica je parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu, ktorá sa využíva na opis vlnenia (akustického, mechanického, elektromagnetického, atď.).

Vo všeobecnosti ide o typ rovnice, ktorá sa dá vyjadriť v tvare

kde c je konštanta.

Literatúra 

 Evans, L. C.: Partial Differential Equations. Springer, 2010.
 Farlow, S. J.: Partial differential equations for scientists and engineers. Dover, 1993.

Externé odkazy 

 EqWorld - stránka s informáciami o riešeniach rovníc, vrátane parciálnych diferenciálnych .
 Parciálna diferenciálna rovnica - MathWorld 

Diferenciálny počet