Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu

Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu (alebo základná veta infinitezimálneho počtu, základná veta kalkulu) je jednou z najdôležitejších viet matematickej analýzy, ktorá určuje príbuzenstvo medzi hlavnými operáciami infinitezimálneho počtu, derivovaním a integrovaním. Skladá sa z dvoch častí.

Podľa prvej základnej vety infinitezimálneho počtu derivácia neurčitého integrálu funkcie  je funkcia . Táto časť garantuje existenciu primitívnej funkcie pre každú spojitú funkciu.

Druhá základná veta infinitezimálneho počtu umožňuje vypočítať určitý integrál funkcie použitím hociktorej z jej nekonečného množstva primitívnych funkcií. Má obrovské množstvo praktických aplikácií, keďže výrazne zjednodušuje počítanie určitého integrálu.

Fyzikálna intuícia 
Základná veta infinitezimálneho počtu hovorí, že súčet všetkých infinitezimálnych zmien nejakej veličiny za čas (alebo inú veličinu) je rovný celkovej zmene tejto veličiny.

Nech častica pohybujúca sa priamočiarym pohybom má funkciu pozície x(t) (je vo vzdialenosti x v čase t). Derivácia tejto funkcie je rovná infinitezimálnej zmene veličiny, dx, za infinitezimálnu zmenu času, dt (derivácia je teda tiež závislá na čase). Táto zmena vzdialenosti za zmenu času je rýchlosť v(t) tejto častice. Leibnizovým zápisom:

Preusporiadaním tejto rovnosti dostávame:

Z predchádzajúcich tvrdení vyplýva, že zmena veličiny x (alebo Δx) je súčtom infinitezimálnych zmien dx, a je tiež rovná súčtu infinitezimálnych súčinov derivácie a času. Tento súčet nekonečného množstva infinitezimálnych zmien je integrál; preto proces integrácie umožňuje nájsť pôvodnú funkciu z jej derivácie. Dá sa ukázať, že to platí aj naopak: proces derivovania umožňuje nájsť pôvodnú funkciu z jej neurčitého integrálu.

Geometrická intuícia 

Nech je  spojitá funkcia, ktorej grafom je krivka. Definujeme funkciu  tak, že pre každé  určíme hodnotu výrazu  ako obsah plochy pod krivkou  medzi  až 

Obsah plochy pod krivkou medzi  a  môže byť vypočítaný ako rozdiel . Obsah obdĺžnika so stranami  a  je tiež približne rovný tejto hodnote:

 

Je zrejmé, že presnosť je tým väčšia, čím menšie je . Ak sa  limitne približuje k nule, výrazy sú si rovné.

Delením obidvoch strán rovnosti hodnotou  dostávame:

 

Keď , pravá strana prechádza na deriváciu funkcie plochy , takže môžeme neformálne ukázať, že , teda že derivácia funkcie plochy  je pôvodná funkcia  (funkcia plochy je primitívnou funkciou pôvodnej funkcie).

Počítanie derivácie funkcie a hľadanie obsahu plochy pod krivkou funkcie sú teda inverzné operácie. Toto je kľúčom Základnej vety infinitezimálneho počtu.

Formálne vyjadrenie 
Jednoducho povedané prvá časť hovorí o derivácii primitívnej funkcie a druhá časť o príbuzenstve primitívnej funkcie a určitého integrálu.

Prvá časť 
Nech  je reálna funkcia definovaná na uzavretom intervale  tak, že pre všetky  platí

kde  je spojitá reálna funkcia definovaná na intervale . Potom aj  je spojitá na intervale , derivovateľná na otvorenom intervale , a

pre všetky .

Dôkaz 
Pre dané f(t) definujme funkciu F(x) takto

Pre každé dve čísla x1 a x1 + Δx v intervale  máme

a

Odčítaním prvej rovnice od druhej:

Dá sa ukázať, že

Z tohoto vidíme že tieto dve integrály môžu byť spočítané (pozri vlastnosti integrálov)

Substitúciou do (1) dostávame

Podľa vety o strednej hodnote pre integrály existuje také c v , že

Substitúciou do (2) dostávame

Predelením oboch strách Δx

Všimnite si že výraz na ľavej strane je Newtonov diferenčný kvocient pre F v x1.

Spravme limitu pre Δx → 0 na oboch stranách rovnice

Výraz na ľavej strane rovnice je definícia derivácie funkcie F v x1.

Na nájdenie druhej limity použijeme vetu o zovretí. Číslo c je v intervale , takže x1 ≤ c ≤ x1 + Δx.

Taktiež  a 

Preto, podľa vety o zovretí

Substitúciou do (3) dostávame

Funkcia f je spojitá v bode c, takže limita je vnútri funkcie. Z toho

čo bolo treba dokázať.

(Leithold et al., 1996)

Následok 
Základná veta sa často používa na výpočet určitého integrálu funkcie ƒ, ktorej primitívna funkcia  je známa. Ak teda ƒ je reálna funkcia definovaná na intervale  a  je v tomto intervale jej primitívnou funkciou, potom

 
Následok predpokladá spojitosť na celom intervale.

Dôkaz 
Nech    s ƒ spojitou v . Ak g je primitívna funkcia k ƒ, potom g aj F majú tú istú deriváciu (podľa prvej časti tejto vety). Ďalej existuje číslo c také, že , pre všetky x v .  Nech , potom

čo znamená že c = − g(a). Inými slovami F(x) = , a teda

Druhá časť 
Táto časť sa niekedy volá aj Newton-Leibnizova formula.

Nech  je reálna funkcia definovaná na uzavretom intervale  a  je jej primitívnou funkciou na tomto intervale, teda pre všetky  platí

Ak  je integrovateľná na intervale , potom

Pretože táto veta nepredpokladá spojitosť funkcie , je silnejšia, než následok prvej časti.

Ak primitívna funkcia  existuje, existuje ďalšie nekonečné množstvo primitívnych funkcií k funkcii , ktoré dostaneme pripočítanim ľubovoľnej konštanty (konštanty integrácie) ku . Táto konštanta sa zruší pri diferenciácii. Podľa prvej časti tiež platí, že ak je  spojitá, má vždy primitívnu funkciu.

Matematická analýza