Wilsonova veta

Wilsonova veta je veta v teórii čísel, ktorá hovorí, že prirodzené číslo n > 1 je prvočíslo práve vtedy, keď

História 
Veta bola prvý raz publikovaná v roku 1770 Edwardom Waringom a pripisuje sa jeho študentovi Johnovi Wilsonovi, ani jeden z nich však neuviedol jej dôkaz. Navyše Waring publikoval vetu len v tvare nutnej podmienky. Prvý raz bola veta dokázaná (už v tvare ekvivalencie) Josephom Louisom Lagrangom v roku 1773.

Príklad

V nasledujúcej tabuľke sú uvedené hodnoty n 2-30, (n-1)!, A zvyšok po (n-1)! je rozdelený n. (Zvyšok po m delí n je napísaný m mod n). Farba pozadia je ružová na hlavných hodnotách n, svetlo zelené pre kompozitné hodnoty.

Dôkaz 

Ľahko je možné overiť, že tvrdenie platí pre n = 2 a n = 3. Predpokladajme teda, že n > 3. Ak je n zložené číslo, jeho celočíselné delitele patria do množiny , a teda najväčší spoločný deliteľ čísel n a (n-1)! je väčší ako nula, a preto neplatí . Nech je teda n prvočíslo. Potom je každé číslo z množiny M nesúdeliteľné s n, z čoho vyplýva, že pre každé číslo a z M existuje číslo b z M tak, že 

Navyše, b je určené jednoznačne a keďže je n prvočíslo, a = b práve vtedy, keď a = 1 alebo a = n-1. Navyše, tieto dvojice (okrem tých, kde a = 1 a a = n-1) je možné popárovať tak, že každé číslo sa nachádza len v jednej dvojici. Vynásobením týchto dvojíc dostávame kongruenciu

z čoho vynásobením  vyplýva požadované tvrdenie.

Referencie

Externé odkazy 

 Wilsonova veta - Wolfram MathWorld .
 Dôkaz Wilsonovej vety  - PlanetMath .

Teória čísel
Modulárna aritmetika