Kofinál

Kofinál a kofinálnosť limitného ordinálneho čísla je matematický pojem z oblasti teórie množín (ordinálnej aritmetiky). Je to jedna zo základných charakteristík limitných ordinálnych čísel, vyjadruje „mieru prístupnosti horných úrovní ordinálneho čísla“.

Definícia 
Pojem kofinálnosti má zmysel definovať len pre limitné ordinálne čísla. Ďalej teda  budú označovať ľubovolné ordinálne čísla a  budú označovať vždy limitné ordinálne čísla.

Kofinálna podmnožina 
Povedzme, že množina  je kofinálnou podmnožinou , ak existuje pre každé  také , že . Hovoríme tiež, že A je kofinálne s .

Napríklad
 množina  je kofinálna podmnožina ordinálu .
 množina  je kofinálna podmnožina ordinálu .
 množina  je kofinálna podmnožina ordinálu  pre každé .

Kofinál a kofinálnosť 
Kofinálom limitného ordinálu  rozumieme najmenšie ordinálne číslo  také, že existuje množina  kofinálna s , ktorej ordinálnym typom je  (tj. A je -izomorfná s ). Kofinál limitného ordinálneho čísla  sa značí .

Kofinálnosťou  rozumieme mohutnosť (kardinalitu) . Dá sa ukázať, že pre každé  je  kardinálne číslo, a teda pojmy kofinál a kofinálnosť splývajú.

Napríklad
 
 
  pre každé

Regulárny a singulárny ordinál 
Limitné ordinálne číslo, ktoré sa rovná svojej kofinálnosti sa nazýva regulárne. V opačnom prípade (ak je kofinálnosť menšia) sa nazýva singulárne.

Vlastnosti 
 Pre každé limitné ordinálne číslo  platí 
 Pre každé limitné ordinálne číslo  platí .
 Pre všetky  je  kardinálne číslo.
Ďalej za predpokladu axiómu výberu:
 Pre každé nekonečné kardinálne číslo  platí .

Pozri aj 
 regulárne ordinálne číslo
 singulárne ordinálne číslo
 limitné ordinálne číslo

Ordinálne čísla