Spojitá funkcia

Spojitá funkcia je pojem z matematickej analýzy, ktorý označuje takú funkciu, že pri veľmi malej zmene hodnoty  sa funkčná hodnota  zmení veľmi málo. Za istej dodatočnej okolnosti si definíciu spojitosti možno čiastočne preložiť jednoduchou predstavou, že graf spojitej funkcie sa nikde nepretrhne, respektíve sa dá nakresliť súvislou čiarou. Dodatočnou okolnosťou k tejto predstave je, že definičný obor funkcie musí byť interval. Všetky základné elementárne matematické funkcie sú spojité.

Definícia 
Hovoríme, že funkcia  je spojitá v bode , ak platí

Ekvivalentná definícia znie, že funkcia  je v bode  spojitá ak pre každé kladné  existuje kladné , že pre všetky  z definičného oboru funkcie , pre ktoré  platí, že  

Pojem spojitosti možno zaviesť aj pre funkcie ktorých definičný obor a obor hodnôt sú odlišné od reálnych čísel. Vyžaduje sa pri tom len dodatočná štruktúra, ktorá umožňuje hovoriť o nejakej blízkosti resp. vzdialenosti bodov. Pojem spojitosti sa priamočiaro zovšeobecňuje na funkcie zobrazujúce metrický priestor do metrického priestoru. Ak  sú metrické priestory a  tak hovoríme, že  je spojitá v bode , ak je pravda . 

Ešte všeobecnejšie hovoríme o spojitosti pre zobrazenie topologických priestorov.

Definícia pomocou limity 

Pomocou pojmu limita možno spojitosť funkcie definovať takto. Funkcia  je spojitá v bode  práve vtedy keď 

  

A obdobne v každom metrickom priestore.

Vlastnosti spojitých funkcií z  do  

 Ak je funkcia  spojitá ( je uzavretý interval) a číslo  leží medzi hodnotami , tak existuje číslo  také, že . Toto tvrdenie má široké uplatnenie v numerických metódach riešenia rovníc. Napríklad funkcia  má hodnoty . Takže vieme, že niekde v intervale  existuje číslo  také, že  . 

 Spojitá funkcia  je ohraničená a nadobúda maximálnu a minimálnu hodnotu. V tomto tvrdení nemožno uzavretý interval nahradiť (polo)otvoreným. Napríklad funkcia  je spojitá, je aj ohraničená, ale nenadobúda minimum ani maximum. A zase funkcia  je spojitá ale nie je ani ohraničená.

Princíp spojitého rozšírenia 
Nech funkcie  a  sú spojité funkcie (zľava, resp. zprava spojité) v bode . Ak v každom okolí (resp. v ľavom, pravom okolí) bodu  existuje bod  taký, že , potom

Weierstrassova veta o ohraničenosti spojitej funkcie 

Ak funkcia  je spojitá na  potom  je ohraničená na .

Weierstrassova veta o maxime a minime spojitej funkcie 
Ak funkcia je spojitá na  potom  také, že , pre

Nespojité funkcie 

Ak funkcia nie je v niektorom bode svojho definičného oboru spojitá, tak hovoríme, že je nespojitá, resp. že má v danom bode bod nespojitosti. Poznamenajme, že nanpríklad funkcia  je na svojom definičnom obore spojitá funkcia v zmysle definície. Práve tento príklad ukazuje na nedokonalosť definície spojitej funkcie cez možnosť nakresliť súvisle jej graf. Príkladom nespojitej funkcie je funkcia signum - je nespojitá v bode 0. Platí pre ňu 

 

Iný známy príklad je takzvaná Dirichletova funkcia, ktorá priraďuje racionálnemu číslu hodnotu 1 a iracionálnemu hodnotu 0: 

  

Táto funkcia je nespojitá v každom reálnom čísle.

Matematická analýza
Vlastnosti matematických funkcií