Riccatiho rovnica

Riccatiho rovnica je nelineárna Obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu 

kde funkcie  sú zadané a predpokladá sa, že .

Transformácia na lineárnu rovnicu druhého rádu  

Riccatiho rovnicu možno upraviť na lineárnu rovnicu druhého rádu. 

Ak , tak nová funkcia  je riešením špeciálnej Riccatiho rovnici 

kde význam symbolov  je nasledovný 

 . 

Ak teraz urobíme substitúciu , 
tak zistíme, že funkcia   spĺňa lineárnu rovnicu druhého rádu 

Riešenie  pôvodnej Riccatiho rovnice potom súvisí s riešením  lineárnej rovnice vzťahom

Štruktúra riešení Riccatiho rovnice  

Vzťah medzi Riccatiho rovnicou a lineárnou rovnicou druhého rádu umožňuje detailne preskúmať množinu riešení Riccatiho rovnice. Menovite, ak poznáme nejaké riešenie Riccatiho rovnice, označme ho , tak potom všeobecné riešenie je tvaru 

Dosadením tohoto vzťahu do Riccatiho rovnice dostávame podmienku na funkciu  

čo je Bernoulliho diferenciálna rovnica, ktorú riešime úpravou na lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pomocou substitúcie 

s výslednou rovnicou 

Čiže zhrnieme, ak  je nejaké riešenie pôvodnej Riccatiho rovnice, tak všeobecné riešenie Riccatiho rovnice má tvar 

kde  je všeobecné riešenie uvedenej lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu.

Diferenciálny počet