Maxwellove rovnice

Maxwellove rovnice sú základné zákony v makroskopickej teórii elektromagnetického poľa, ktoré sformuloval James Clerk Maxwell v roku 1865. Možno ich zapísať buď v integrálnom alebo diferenciálnom tvare. V integrálnom tvare opisujú elektromagnetické pole v istej oblasti a v diferenciálnom tvare v určitom bode tejto oblasti.

Formulácia Maxwellových rovníc 
Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla c a  (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.

Prvá Maxwellova rovnica (zákon celkového prúdu, zovšeobecnený Ampérov zákon) 
integrálny tvar

 

Cirkulácia vektoru H po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná súčtu celkového vodivého prúdu I a posuvného prúdu , uzavretého krivkou c, Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka vymedzuje sú navzájom pravotočivo orientované.

diferenciálny tvar

Rotácia vektoru intenzity magnetického poľa H je rovná hustote vodivého prúdu j a hustote posuvného (Maxwellovho) prúdu

Druhá Maxwellova rovnica (Zákon elektromagnetickej indukcie, Faradayov indukčný zákon) 
integrálny tvar

Cirkulácia vektoru E po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetického indukčného toku prechádzajúceho plochou S, ktorá je ohraničená krivkou c. Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka obopína, sú vzájomne orientované pravotočivo.

diferenciálny tvar

Rotácia vektoru intenzity elektrického poľa E je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetickej indukcie B .

Tretia Maxwellova rovnica (Gaussov zákon elektrostatiky) 

integrálny tvar

Elektrický indukčný tok ľubovoľnou von orientovanou plochou S je rovný celkovému voľnému náboju v priestorovej oblasti V ohraničenej plochou S.

diferenciálny tvar

Divergencia vektoru elektrickej indukcie D je rovná objemovej hustote voľného náboja ρ. Ekvivalentná formulácia: siločiary elektrickej indukcie začínajú alebo končia tam, kde je prítomný elektrický náboj.

Štvrtá Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti  magnetického indukčného toku) 
integrálny tvar

Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou S je rovný nule.

diferenciálny tvar

Divergencia vektoru magnetickej indukcie B je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).

Fyzikálne premenné použité v Maxwellových rovniciach zhŕňa nasledujúca tabuľka

Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou 

Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie P (C/m2) a hustota magnetizácie M (A/m) vyjadrené ako:

a že pole D a B sú s E a H sú zviazané vzťahmi:

kde:

 je elektrická susceptibilita materiálu,

 je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé od času, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:

V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé od polohy a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.

Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.

Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare

kde γ je merná vodivosť daného materiálu.

Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálov 

Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu  a , ktoré sú definované tak, aby platilo

 

 a  sa pritom nezmenia, ak od potenciálu  odčítame ľubovolnú , alebo k  pričítame , kde  je ľubovolná skalárna funkcia. 
Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme navyše zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku

Maxwellove rovnice potom majú tvar vlnových rovníc v časopriestore

kde  je d’Alembertov operátor.

V špeciálnej teórii relativity tvorí elektrický a magnetická potenciál dohromady štvorvektor nazývaný štvorptenciál  D'Alembertov operátor je tiež možné zobecniť na štvorvektory. V tomto formalizme (a s predpokladom Lorenzovej podmienky) sa dajú všetky Maxwellove rovnice napísať pomocou jednej nehomogénnej vlnovej rovnici

kde je elektrický štvorprúd a  je permeabilita. Vo vákuu je štvorprúd nulový, takže rovnica sa stane homogénnou a jej riešenie zodpovedá šíreniu elektromagnetických vĺn.

Zdroj 
 

Elektromagnetizmus