Matica (matematika)

Matica je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu. 

Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má  riadkov a  stĺpcov, hovorí sa o matici typu  krát . Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny  hovorí sa o matici nad množinou . Príkladom matice typu 2 krát 5 nad množinou celých čísel môže byť

Prvky matice A zvyčajne označujeme ako , pričom i je číslo riadku a j stĺpca.

Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou  sa reprezentujú konečné binárne relácie.

Operácie s maticami 
Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie je jedno, v akom poradí sa násobia matice.

Sčítavanie matíc 

Sčítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tieto dve matice majú rovnaký rozmer. Sčítavajú sa čísla na rovnakých pozíciách. Napríklad:

Skalárne násobenie 

Každý prvok v matici A sa vynásobí číslom c. Napríklad:

 

Sčítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.

Násobenie matíc 

Násobenie môže prebiehať len vtedy, ak je počet stĺpcov ľavej matice rovnaký ako počet riadkov pravej matice. Ak A je m-krát-n matica a B je n-krát-r matica, tak ich maticový produkt AB má rozmery m-krát-r (m počet riadkov (ako v prvej matici) -krát- r počet stĺpcov (ako v druhej matici)). Výsledná hodnota na pozícií [i,j] je:

 
pre každé i a j.

Napríklad:

 

 

Pričom nie je jedno, v akom poradí sa to vykonáva, napríklad:

 

 

Dokonca ani rozmer matíc nemusí byť rovnaký pri vymenenom poradí. Aj v prípade, že oba súčiny majú rovnaké rozmery, môžeme dostať rôzne výsledky.

Vidíme teda, že násobenie matíc nie je komutatívne. Násobenie matíc je však asociatívne, 
 
Pre sčitovanie a násobenie matíc platí distributívnosť, teda 

(pre ľubovoľné matice takých rozmerov, že uvedené súčiny existujú).

Riadková ekvivalencia a stupňovitý tvar 
Matice A a B sú riadkovo ekvivalentné vtedy (označujeme ), ak jedna vznikla z druhej konečným počtom nasledujúcich operácií nazývaných elementárne riadkové operácie:
 vzájomná výmena dvoch riadkov matice
 vynásobenie niektorého riadka nenulovým prvkom z A (predpokladáme, že A je okruh, alebo pole)
 prirátanie ľubovoľného násobku niektorého riadku matice k inému

 je reláciou ekvivalencie.
Analogicky môžeme definovať aj stĺpcovú ekvivalenciu a elementárnu stĺpcovú operáciu.

Vedúcim prvkom riadku sa nazýva prvý nenulový prvok daného riadku.

Matica A je v stupňovitom tvare ak platí:
 ak  a  sú vedúce prvky A a , tak potom nutne 
 nad nenulovým riadkom v A nie je žiaden nulový.
Ak navyše platí, že:
 vedúci prvok každého riadku je 1
 ak stĺpec obsahuje vedúci prvok niektorého riadku, všetky jeho ostatné prvky sú nulové
tak sa A nazýva redukovaná stupňovitá matica.

Každá matica je riadkovo ekvivalentná s práve jednou redukovanou stupňovitou maticou.

Hodnosť matice 
Hodnosť matice je počet lineárne nezávislých riadkov matice. Hodnosť matice sa rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých riadkov matice. To je ekvivalentné s počtom nenulových riadkov matice v stupňovitom tvare (špeciálne redukovanom stupňovitom tvare).

Externé odkazy 
 
  Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)
 Operácie s maticami

Teória matíc