Prvočíslo

Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré je väčšie ako 1 a ktorého jedinými deliteľmi sú 1 a ono samo. Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočíslami sa s výnimkou čísla 1 nazývajú zložené čísla.

Čísla 0 a 1 nie sú považované ani za prvočísla ani za zložené čísla. Každé prirodzené číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslom, alebo zloženým číslom. Skúmaním vlastností prvočísel sa zaoberá teória čísel.

Začiatok radu prvočísel:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...

Vlastnosti 
 Ak p je prvočíslo a p delí súčin čísel a a b, potom p delí a alebo p delí b.
 Ak p je prvočíslo a a je ľubovoľné celé číslo, potom je ap − a deliteľné p. (Malá Fermatova veta).
 Ak n je kladné celé číslo, existuje prvočíslo p také, že platí n < p ≤ 2n. (Bertrandov postulát)
 Pre každé prvočíslo p > 2 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 4n ± 1.
 Pre každé prvočíslo p > 3 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 6n ± 1.
 Ak p je prvočíslo iné ako 2 a 5, potom 1/p má v desiatkovej číselnej sústave nekonečný desatinný rozvoj.
 Každé zložené číslo sa dá jednoznačne vyjadriť ako súčin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné delitele sa nazýva faktorizácia. Napr. 24 = 2³ ⋅ 3.
 Ak p je prvočíslo a G je grupa s pn prvkami, potom G obsahuje prvok rádu p.
 Ak G je konečná grupa a pn je najvyššia mocnina prvočísla p, ktorá delí rád grupy G, potom má grupa G podgrupu rádu pn.
 Okruh Z/nZ je teleso, práve vtedy, keď n je prvočíslo. Inak povedané: n je prvočíslo, práve vtedy keď φ(n) = n − 1.
 Prvočísel je nekonečne veľa. Dôkaz sporom: Nech existuje iba konečne veľa prvočísel. Označme ich p1, p2, …, pn. Potom číslo x = p1 · p2 ··· pn + 1 nie je deliteľné žiadnym z týchto prvočísel, pretože pri delení ľubovoľným z nich dostaneme vždy zvyšok 1. Teda číslo x je buď prvočíslo, alebo je deliteľné nejakým iným prvočíslom, ktoré nebolo medzi p1...pn. To znamená, že množina prvočísel p1...pn nebola úplná, čo je spor s predpokladom.
 Množina prvočísel je spočítateľná.
 Množina všetkých prvočísel spolu s reláciou deliteľnosti je príkladom spočítateľného protireťazca.
 Množina prvočísel obsahuje konečné aritmetické postupnosti ľubovoľnej dĺžky. Toto tvrdenie predstavovalo mnoho rokov odolávajúcu hypotézu. V roku 2004 ju pozitívne zodpovedali Ben Green a Terence Tao.

Mersennove prvočísla 
Istou skupinou prvočísel sú takzvané Mersennove prvočísla. Takéto prvočíslo sa dá zapísať v tvare 2p-1, kde p je tiež prvočíslo. Príkladmi na Mersennove prvočísla môžu byť prvočíslo 3=22-1 alebo 7=23-1. Čo je na nich také zaujímavé je skutočnosť, že takýchto prvočísel je zatiaľ odhalených pomerne málo, presne 51. Zatiaľ posledné bolo objavené 21. decembra 2018 a skladá sa z 24 862 048 číslic. Toto číslo je zároveň najvyšším známym prvočíslom. Je výsledkom 282 589 933-1.

Hľadanie prvočísel 
Na vytvorenie zoznamu prvočísel existujú rôzne algoritmy, napr. Eratostenovo sito.

Využitie 
Veľký praktický význam majú prvočísla v kryptológii.

Referencie

Externé  obrazy 
 www.prime-numbers.org – Prvočísla do 10 miliárd
 www.perhac.com – Prvočísla do 100 miliónov (slovenská stránka)

Aritmetika
Teória čísel
Prvočísla