Ohraničená množina

Pojem ohraničená množina možno definovať pre množiny reálných čísel alebo všeobecnejšie pre metrické priestory. Na množine reálných čísel, ktorá je zároveň metrickým priestorom, sú obe definície ekvivalentné.

Definícia pre reálne čísla
Ak existuje také číslo  , že pre všetky čísla  platí , potom množinu  označujeme ako ohraničenú zhora. Číslo  nazývame horným ohraničením množiny.

Ak existuje také číslo , že pre všetky čísla  platí , potom množinu  označujeme ako ohraničenú zdola. Číslo  nazývame dolným ohraničením množiny.

Množina reálnych čísel ohraničená zdola aj zhora sa nazýva ohraničená. 

Najmenšie horné ohraničenie množiny  sa nazýva supremum množiny  a označujeme ho . 

Najväčšie dolné ohraničenie množiny  sa nazýva infimum množiny  a označujeme ho .

Definícia pre metrické priestory 

Ak je    metrický priestor, potom množinu  nazveme ohraničenou, pokiaľ existuje  a reálné číslo  také, že pre každé  je 

Na rozdiel od pojmu uzavretá množina, ktorý nie je absolútny (tento istý metrický priestor môže byť uzavretý v jednom svojom nadpriestore a neuzavretý v inom), ohraničenosť je absolútny pojem.

Totálne ohraničený metrický priestor je vždy ohraničený, opačne to však neplatí.

Vlastnosti
Pre každé  platí  a  
Ak množina  je ohraničená zhora, tak má aj supremum. 
Ak množina  je ohraničená zdola, tak má aj infimum.
Ak , tak  je . 
Ak , tak  je .

Pozri aj 
ohraničená funkcia

Externé odkazy 
 Ohraničená množina  

Teória množín