L’Hospitalovo pravidlo

L’Hospitalove pravidlá alebo L'Hôpitalove pravidlá (vyslovuje sa lopitalove) slúžia na výpočet limít tzv. neurčitých výrazov typu  a . Tieto pravidlá možno použiť tiež pri riešení neurčitých výrazov typu , , ,  alebo , ktoré však vhodnými úpravami prevádzame na neurčité výrazy typu  alebo .

Ako prvý tieto pravidlá zverejnil Guillaume de l’Hospital v roku 1692. Tieto pravidlá však pravdepodobne boli známe už Johannovi Bernoullimu.

Znenie vety 
Ak máme funkcie , pre ktoré v bode c platí  a , potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) limita , platí

kde  označuje deriváciu funkcie.

Podobne v prípade, kedy máme funkcie , pre ktoré v bode c platí  a . Ak existuje (vlastná alebo nevlastná) limita , potom opäť platí vzťah 

Uvedené l'Hospitalove pravidlá sú použiteľné aj v nevlastných bodoch.

Ak je  v bode c opäť neurčitým výrazom, možno l’Hospitalove pravidlá použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, dokiaľ nezískame nejaký výraz, ktorý nie je neurčitý.

Úprava výrazov pre použitie l’Hospitalovho pravidla 
l’Hospitalove pravidlá sú definované len pre neurčité výrazy typu  alebo . Ostatné neurčité výrazy je nutné previesť na tento typ neurčitého výrazu.

Uvažujme ďalej funkcie , ktoré v bode c naberajú hodnôt 0 alebo .
 Ak  predstavuje v c výraz , potom ho môžeme upraviť na , čo je výraz typu , alebo na , čo je výraz typu .
 Ak  predstavuje v c výraz typu , potom ho možno upraviť na , čo je výraz typu .
 Ak  predstavuje v c výraz typu , potom ho upravíme na , kde v exponente je výraz , ktorý možno ďalej upraviť na výraz  alebo . Pri riešení potom využijeme toho, že .
 Ak  predstavuje v c výraz typu , potom ho upravíme na , kde v exponente je výraz , ktorý ďalej riešime rovnako ako v predchádzajúcom bode.
 Ak  predstavuje v c výraz typu , potom ho upravíme na , kde v exponente je výraz , ktorý ďalej riešime rovnaku ako v predchádzajúcom bode.

Príklady 
 Výraz  predstavuje pre  neurčitý výraz typu . Pomocou l’Hôpitalovho pravidla teda bude

 Neurčitý výraz typu  prevedieme úpravou súčinu f(x)g(x) na podiel  alebo  získame tak neurčitý výraz typu  alebo . Ten už určíme l’Hôspitalovým pravidlom.

Pozri aj 
 Limita
 Derivácia
 Priebeh funkcie
 Stolzova veta

Zdroj

Externé odkazy 
 L’Hospitalovo pravidlo na www.math.sk

Matematická analýza