Einsteinova sumačná konvencia

Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je v matematike a fyzike, špeciálne v oblasti lineárnej algebry, spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein v roku 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

automaticky znamená

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexov 
Ak máme priestor s metrickým tenzorom , zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

kde  je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak  a rovný 0, ak ). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

Veličinám  sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora . V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore , čísla  a  sú rovnaké, pre každé . Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Zápis vektorov a kovektorov 
V každom vektorovom priestore si možno zvoliť bázu. Ak , tak báza má  bázových prvkov  a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent . Zapisuje sa teda

K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor  lineárnych zobrazení  (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza . Je to zobrazenie, pre ktoré platí

Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako

Bežné operácie

Operácie s vektormi 
Skalárny súčin dvoch vektorov možno zapísať ako
 ,
kde  je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene 
 

Vektorový súčin v E3 dvoch vektorov možno zapísať ako
 ,
kde  je úplne antisymetrický Levi-Civitov tenzor, .

Veľkosť vektora v priestore s metrickým tenzorom  sa počíta ako
 .

Operácie s operátorom  
 (nabla) je diferenciálny operátor, so zložkami 
 
ktoré budeme označovať ako . Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať

Maticové operácie 
Maticami možno reprezentovať všetky dvojindexové tenzory. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.

Maticové násobenie 
 

Stopa matice

Matematické aplikácie 
Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú skalárne, vektorové a tenzorové súčiny. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v E3. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:
 (ortonormovanosť bázy)
 (pravotočivosť bázy)
 (vyplýva z antisymetričnosti Levi-Civitovho tenzora)
 (Mnemotechnická pomôcka: Davis-cupová identita. Prvý deň hrál prvý s prvým a druhý s druhým, druhý deň prvý s druhým a druhý s prvým.)

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!
|-
|Pre -tu zložku vektora vľavo dostávame
{|
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}
Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. 
{|
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}
V úprave (1) sme použili ortonormovanosť bázy, teda . Dospeli sme k rovnosti dvoch vektorov v -tej zložke. Index  ale môže nadobúdať hociktorú z hodnôt 1,2,3, to znamená že vektory sa rovnajú v každej zložke. Tým dostávame dokazovanú identitu.
|}

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!
|-
|V Einsteinovej sumačnej konvencii dostávame pre tento skalárny súčin
{|
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}
Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. 
{|
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}
|}

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!
|-
|Pre -tu zložku vektora vľavo platí
{|
|
|
|-
|
|
|}
Keďže  je konštanta, možno ho vybrať pred operátor derivácie . Ďalej využijeme "Davis-cupovú" identitu.
{|
|
|
|-
|
|
|}
Poradie derivácii možno zameniť, preto možno prvý člen ešte upraviť.
{|
|
|
|-
|
|
|}
Vidíme, že ľavá a pravá strana sa rovnajú vo všetkých zložkách. To znamená, že dokazovaná identita platí.
|}

Fyzikálne aplikácie 
Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:

Hookov zákon v tenzorovom tvare

kde  je tenzor napätia,  tenzor deformácie a tenzor  je tenzor vyjadrúci tuhosť prostredia. Má  komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.

Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy obsahujúca divergenciu tenzora sa dá pohodlne prepísať ako
,
kde  označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda  neznamená voľný index.

Christoffelove symboly (druhého druhu) sú definované pomocou metrického tenzora predpisom
 
kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.

Riemannov tenzor krivosti sa vyjadruje cez Christoffelove symboly vzťahom

Referencie 
M. Fecko: Sylabus k prednáškam z teoretickej mechaniky: http://davinci.fmph.uniba.sk/~fecko1/teormech/primech13.pdf
M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Vydavateľstvo Iris, Bratislava, 2008.

Lineárna algebra