Diferenciálna rovnica

Diferenciálna rovnica je matematická rovnica, v ktorej ako premenné vystupujú derivácie funkcií. Diferenciálne rovnice tvoria základy fyzikálnych výpočtov a sú používané vo väčšine 
oblastí ľudského poznania (pozri napríklad Schrödingerovu rovnicu).

Definícia 
Diferenciálnou rovnicou nazývame každú rovnicu, ktorá je zapísateľná v tvare

Rovnica teda obsahuje premenné, funkcie, konštanty i derivácie funkcií. Podľa stupňa derivácie, ktorú rovnica obsahuje rozlišujeme rády diferenciálnych rovníc.

Druhy diferenciálnych rovníc 
Základné rozdelenie diferenciálnych rovníc je podľa typu obsiahnutých derivácii:
 obyčajné diferenciálne rovnice (skr. ODR alebo ODE) — rovnice obsahujúce derivácie len podľa jednej premennej.
 parciálne diferenciálne rovnice (skr. PDR alebo PDE) — obsahujú derivácie podľa viacerých premenných.
 stochastické diferenciálne rovnice (skr. SDR alebo SDE) — rovnice zahŕňajúce najmenej jeden stochastický proces
 diferenciálne algebrické rovnice (skr. DAE) — diferenciálne rovnice, v ktorých sa nachádzajú aj čisto algebrické vedľajšie podmienky.

Rád diferenciálnej rovnice 
Rád diferenciálnej rovnice je rád najvyššej derivácie, ktorá je v nej obsiahnutá. 

Matematická teória diferenciálnych rovníc sa zaoberá existenciou riešení, jednoznačnosťou riešení, závislosťou riešení na počiatočných a krajných podmienkach. 

Vo fyzike a ďalších aplikáciách je zaujímavé najmä získanie analytického riešenia, teda napríklad funkcie , ktorá rovnicu rieši. Ak taká funkcie nejde analyticky vyjadriť, potom je nutné numerické riešenie diferenciálnych rovníc.

Príklady

1. príklad 
Typickým príkladom diferenciálnej rovnice prvého rádu je rovnica 
 
kde pod  rozumieme deriváciu funkcie . Rovnica sa rieši ekvivalentnými úpravami. Z rovnice sa snažíme vyjadriť funkciu :

Rovnica je upravená. Použili sme tzv. separovanie premenných. K finálnemu tvaru riešenia dospejeme integrovaním oboch strán rovnice:

Poznámka: Integrály daných funkcií počítame podľa tabuľkových integrálov:

Poznámka: Konštanta C je vyjadrená v logaritme. Konštanta sa píše v tvare, v akom je funkcia 

Teraz vypočítané integrály dosadíme a vyjadríme funkciu :

V tomto riešení sa vyskytuje konštanta, ktorú sme schopní dopočítať zo začiatočných podmienok. Obvykle sa zadáva začiatočná podmienka .

2. príklad 
Riešme diferenciálnu rovnicu  bez začiatočných podmienok. Opäť ako v prvom príklade, aj tu sa snažíme separovať premenné tým spôsobom, že  oddelíme na jednu stranu a ostatné na druhú:

Premenné sú oddelené, môžeme integrovať  a dostaneme rovnicu:

Softvér 

 ExpressionsinBar
 Maple: dsolve
 SageMath
 Xcas: desolve(y'=k*y,y)

Referencie 

Matematická analýza
Diferenciálny počet