Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica

Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica -tého rádu je rovnica tvaru 

  

kde funkcie  sú zadané. Špeciálnym prípadom takej rovnice je lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu (ODR).
Ľavá strana tejto diferenciálnej rovnice sa zvykne značiť takto 

   

a priradenie  voláme lineárny diferenciálny operátor n-tého rádu. V prípade, že  hovoríme o homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici.

Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami 

Ide o rovnicu 

 

ktorej koeficienty sú konštanty. Už Euler si všimol, že exponenciálna funkcia  s vhodným  je riešením tejto rovnice. Dosadením do rovnice dostaneme podmienku na číslo , ktorú voláme charakteristická rovnica 

  

čo je algebrická rovnica stupňa , ktorá má podľa základnej vety algebry práve  koreňov ak počítame aj ich násobnosť. Rozoznávame dva prípady: 

 ak sú korene  charakteristickej rovnice jednoduché, tak týmto postupom získame  lineárne nezávislých riešení 
 ak je niektorý koreň   charakteristickej rovnice -násobný, tak potom funkcie  (je to  lineárne nezávislých funkcií) sú riešením diferenciálnej rovnice. 

V každom prípade takto získame práve  lineárne nezávislých riešení homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice -tého rádu s konštantnými koeficientami. 

Ak sú koeficienty  reálne čísla, tak spolu s koreňom  má charakteristická rovnica aj koreň komplexne združený . V tomto prípade z koreňov  máme 2 reálne funkcie 

  

kde  V prípade, že uvedený koreň je viacnásobný, tak sa pridávajú násobky trigonometrických funkcií mocninou nezávisle premennej. 

Rovnice
Diferenciálny počet