Extrém (funkcia)

Extrém je hodnota funkcie, ktorá má tú vlastnosť, že je buď najmenšia alebo najväčšia spomedzi všetkých funkčných hodnôt. Extrémy funkcie sa rozlišujú na lokálne a globálne.

Lokálne extrémy

Lokálne minimum 
Lokálne minimum  je najmenšia hodnota, ktorú funkcia  nadobúda na nejakej podmnožine jej definičného oboru .

Lokálne maximum 
Lokálne maximum  je opak lokálneho minima, teda najväčšia hodnota, ktorú daná funkcia nadobúda na určitej podmnožine jej definičného oboru.

Globálne extrémy

Globálne minimum
Globálne minimum  je najmenšia funkčná hodnota, spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

Globálne maximum
Globálne maximum  je najväčšia funkčná hodnota, spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

Hľadanie extrémov funkcie
Funkcia môže mať extrém v bode   vtedy, ak je v danom bode derivácia funkcie nulová. Teda platí

Ak , potom ide o lokálne maximum.
Ak , potom ide o lokálne minimum.
Ak , potom ide o tzv. sedlový bod, teda sa tu lokálny extrém nenachádza.

Príklad 1
Pri hľadaní extrémov funkcie  treba najprv funkciu zderivovať. Deriváciou vznikne funkcia . Extrém je v tom bode, v ktorom je derivácia danej funkcie nulová, a teda

Druhou derivácia je kladná pre každé  z definičného oboru, a preto má daná kvadratická funkcia v bode -2 minimum.

Príklad 2 
Prípad, kedy je derivácia v bode nulová, ale nie je tam extrém je funkcia , jej derivácia je . Možný extrém je v bode 0, pretože , ale funkcia je na celom intervale stúpajúca, takže sa v tom bode nemôže extrém nachádzať.

Externé odkazy 
 Maximum a minimum funkcie 

Matematická analýza