Binomická veta

Binomická veta je dôležitá matematická veta, vďaka ktorej môžeme n-tú mocninu dvoch sčítancov rozložiť na výraz súčtov n+1 sčítancov. Veta vychádza z kombinatoriky.

Znenie vety 
Ak je dané ľubovoľné kladné prirodzené číslo n, tak potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y platí:

kde  je kombinačné číslo, ktoré môžeme vypočítať nasledovným vzorcom:

Tieto kombinačné čísla sa tiež nazývajú binomické koeficienty Pascalovho trojuholníka a číslo n! je faktoriál čísla n.

Iný zápis vyzerá takto:

pričom pre k-ty člen v tomto výraze platí:

Dôkaz 
Použijeme matematickú indukciu. 
 Keď n = 0, rovnosť platí:

 Pre indukčný krok budeme predpokladať, že veta platí pre exponent m. Potom pre :
 	 

z indukčného predpokladu:

násobené číslami  a :

vyjmutie  zo sumy:

substitúciou :

vyjmutie  zo sumy:

zloženie dvoch súm:

z Pascalovho pravidla:

pridaním  mocniny do výrazu:
 . 	 

Q.E.D.

Príklady 
Príklady použitia binomickej vety pre n = 2, n = 3 a n = 4:

Newtonova binomická veta 
Binomickú vetu možno zovšeobecniť aj pre prípad, že daný súčet dvoch reálnych (resp. komplexných) čísel je umocňovaný na reálne číslo.
Nech je teda a reálne číslo. Potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y také, že  platí:
 kde:
 
 , kde k > 0

Referencie

Pozri aj 
 Binomické rozdelenie
 Pascalov trojuholník
 Kombinatorika
 Multinomická veta

Matematika
Kombinatorika