Szemerédiho veta

Szemerédiho veta hovorí, že každá podmožina prirodzených čísel s kladnou hornou asymptotickou hustotou obsahuje konečné aritmetické postupnosti lubobovolnej dĺžky. Szemerédiho veta zovšeobecnuje van der Waerdenovu vetu.

História
Tvrdenie Szemerédiho vety navrhol ako zaujímavú hypotézu Paul Erdős a Paul Turán v roku 1936.

História postupného dokazovania Szemerédiho vety sa odvíja od maximálnej dĺžky  konečných aritmetických podpostupností ktoré predchodcovia Szemerédiho vety v podmnožine prirodzených čísel garantovali.
Prípady  a , teda tvrdenia garantujúce existenciu jedno a dvojprvkových postupností sú triviálne, pretože lubovoľné číslo alebo lubovoľná dvojica čísel tvorí triviálnu konečnú aritmetickú postupnosť.
Prípad  zodpovedal pozitívne Klaus Roth v roku 1956.
Prípad  pozitívne zodpovedal Endre Szemerédi v roku 1969.
V roku 1972 prípad  vyriešil aj Roth použijúc metódu podobnú tej, ktorou predtým vyriešil prípad .
Pre lubovoľné  tvrdenie nakoniec dokázal Szemerédi v roku 1975.
V roku 1977 podal Hillel Furstenberg doležitý alternatívny dôkaz Szemerédiho vety založený na ergodickej teórii.
V roku 2001 podal Timothy Gowers iný alternatívny dôkaz.

Pozri aj
Bartel Leendert van der Waerden
Erdősova-Turánova hypotéza
Greenova-Taova veta

Matematické vety
Teória čísel