Usporiadané pole

Usporiadané pole je v matematike pole, na ktorom je definované totálne usporiadanie s istými vlastnosťami. Tento koncept zaviedol Emil Artin v roku 1927.

Definícia 
Pole (F, +, *) s totálnym usporiadaním ≤ na F je nazývame usporiadaným poľom, ak toto usporiadanie spĺňa nasledovné vlastnosti (0 označuje neutrálny prvok aditívnej operácie poľa):
 Ak a ≤ b, potom a + c ≤ b + c
 Ak 0 ≤ a a 0 ≤ b, potom 0 ≤ a b

Prvky a poľa, pre ktoré platí 0 ≤ a, nazývame nezápornými.

Z tejto definície vyplýva, že pre každé a, b, c, d v F platí:
 Buď −a ≤ 0 ≤ a alebo a ≤ 0 ≤ −a,
 Ak a ≤ b a c ≤ d, potom a + c ≤ b + d (môžeme "sčítavať nerovnosti"),
 Ak a ≤ b a 0 ≤ c, potom ac ≤ bc (môžeme "násobiť nerovnosti kladnými prvkami").

Vlastnosti usporiadaných polí 
 1 je nezáporná. (Dôkaz: buď 1 je nezáporná alebo −1 je nezáporná. Ak −1 je nezáporná, tak (−1)(−1) je nezáporná, čo je spor.)
 Usporiadané pole má charakteristiku 0. Konečné polia tak nemôžu byť usporiadané.
 Druhé mocniny sú nezáporné. 0 ≤ a2 pre všetky a v F.

Každé podpole usporiadaného poľa je takisto usporiadané pole (s indukovaným usporiadaním). Najmenšie podpole je izomorfné s poľom racionálnych čísel. Ak každý prvok usporiadané poľa leží medzi dvomi inými jeho prvkami, hovoríme, že pole je archimedovské; napríklad pole reálnych čísel je archimedovské, ale každé hyperreálne pole je nearchimedovské.

Príklady usporiadaných polí 
Príkladmi usporiadaných polí sú polia:
 racionálnych čísel,
 reálnych algebrických čísel,
 vypočítateľných čísel,
 reálnych čísel,
 superreálnych čísel,
 hyperreálnych čísel,
 pole reálnych racionálnych funkcií , kde p(x) a q(x),  sú polynómy s reálnymi koeficientami sa dá usporiadať do poľa, kde p(x) = x je väčší ako každý konštantný polynóm definiovaním:  keď , pre . Takto usporiadané pole nie je archimedovské.
 Pole formálnych mocninových radov s reálnymi koeficientami 
 reálne uzavreté polia.

Algebra