Riemannova guľa

Riemannova guľa alebo Riemannova sféra, pomenovaná podľa Bernharda Riemanna, je matematický koncept umožňujúci rozšíriť Gaussovu rovinu komplexných čísel o bod reprezentujúci nekonečno takým spôsobom, že možno zmysluplne pracovať s výrazmi typu
. 

Riemannova guľa sa niekedy označuje aj:
 Komplexná projektívna priamka, označovaná  alebo
 Rozšírená komplexná rovina, prípadne rozšírená Gaussova rovina, označovaná  alebo .

Z čisto algebraického pohľadu, komplexné čísla s nevlastným bodom v nekonečne tvoria systém, ktorý býva označovaný ako rozšírené komplexné čísla. Avšak aritmetika s nekonečnom sa neriadi zvyčajnými pravidlami, a preto takáto štruktúra netvorí pole. Výpočty na Riemannovej guli sa však z geometrického aj analytického pohľadu správajú rozumne aj v nekonečne.

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, nazývaná aj Riemannova plocha.

V komplexnej analýze sa Riemannova guľa používa najmä v teórii meromorfných funkcií. Veľmi často sa využíva v projektívnej a algebraickej geometrii, keďže je jedným zo základných príkladov komplexnej variety, projektívneho priestoru, ako aj algebraickej variety. Koncept Riemannovej gule tiež nachádza uplatnenie v nematematických odvetviach, ktoré využívajú matematickú analýzu a geometriu - predovšetkým v kvantovej mechanike a iných oblastiach fyziky.

Komplexná varieta 

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, ktorej atlas pozostáva z dvoch komplexných súradníc , kde
 je definovaná ako 
a
 je definovaná ako  pre  a 0 pre .

Takáto definícia intuitívne zodpovedá zlepeniu dvoch rovín, ktoré pokrývajú takmer celú guľu, až na jeden bod (ktorý je pre jednu rovinu 0 a pre druhú ). Počiatok -súradnice hrá v tomto prípade úlohu nekonečna pre -súradnicu a naopak.

Stereografická projekcia 

Riemannova guľa môže byť interpretovaná nasledujúcim spôsobom: ide o guľu, ktorá sa južným pólom dotýka počiatku Gaussovej roviny. Ktorémukoľvek bodu z Gaussovej roviny možno priradiť bod na Riemannovej gule preložením priamky medzi bodom z a severným pólom gule. Bod, v ktorom sa táto priamka pretne s povrchom Riemannovej gule je bod Riemannovej gule odpovedajúci bodu z. Severný pól Riemannovej gule odpovedá nekonečnu, čo je v súlade s prirodzenou geometrickou predstavou.

Referencie

Pozri aj 
 Komplexná analýza
 Gaussova rovina
 Stereografická projekcia

Iné projekty

Externé odkazy 
 Riemannova guľa  - PlanetMath 
 Riemannova guľa - Wolfram MathWorld

Zdroje 

Geometria
Komplexná analýza