Euklidova veta

Ako Euklidove vety sa označujú dve matematické vety týkajúce sa pravouhlého trojuholníka. Pomenované sú po svojom objaviteľovi, gréckom matematikovi Eukleidovi z Alexandrie.

Euklidova veta o výške 
Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov na prepone.

Dôkaz pomocou Pytagorovej vety 

    c = ca + cb
    vc2 = a2 − ca2
    vc2 = b2 − cb2

Rovnice sčítame:

    2vc2 = a2 + b2 − ca2 − cb2

Upravíme prvé dva členy podľa Pytagorovej vety:

    2vc2 = c2 − ca2 − cb2

Rozpíšeme dĺžku prepony:
    
    c2 = (ca + cb)2

Dosadíme:

    2vc2 = (ca + cb)2 − ca2 − cb2
    2vc2 = ca2 + 2ca cb + cb2 − ca2 − cb2
    2vc2 = 2cacb

Vydelíme dvomi:

    vc2 = ca . cb

Euklidova veta o odvesne 
Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a úseku na prepone priľahlého k odvesne. Pre jednotlivé odvesny trojuholníka teda platí:

Dôkaz pomocou Pytagorovej vety 

    vc2 = a2 − ca2
    vc2 = b2 − (c − ca)2 = b2 − c2 + 2cca −ca2

Vytvoríme jednu rovnicu:

    a2 − ca2 = b2 − c2 + 2cca −ca2

Vyjadríme  b2 − c2 pomocou a:

    a2 + b2 = c2
    b2 − c2 = −a2

Dosadíme:

    a2 = −a2 + 2cca
    2a2 = 2cca

Vydelíme dvomi:

    a2 = c . ca

Dôkaz pomocou Euklidovej vety o výške 

Predpokladáme, že platí Euklidova veta o výške (dôkaz vyššie), z Pytagorovej vety vyplýva:

    a2 = vc2 + ca2
    a2 = ca cb + ca2
    a2 = (cb + ca) ca
    a2 = c . ca

Pozri aj 
 Euklides

Trigonometria
Matematické vety