Determinant (matematika)

Determinant je multilineárne zobrazenie, ktoré každej reálnej (resp. komplexnej) štvorcovej matici priraďuje jedno reálne (resp. komplexné) číslo.

Značenie 
Determinant matice  značíme v skrátenej forme, ktorá nešpecifikuje jej jednotlivé prvky  nasledovným spôsobom: 

V prípade explicitného vyjadrenia jednotlivých prvkov  matice  používame nasledujúce značenie:

,

Ďalším zaužívaným spôsobom je nasledujúce označenie: 

.

Definícia determinantu

Všeobecná definícia 
Pre ľubovoľnú reálnu alebo komplexnú maticu  rozmeru  definujeme determinant nasledujúcim predpisom (nazývaným tiež Leibnizova formula):

Znak  znamená sumu cez všetky permutácie  čísel . Znakom  označujeme znamienko permutácie . Znamienko permutácie nadobúda hodnotu +1 pre párne permutácie a −1 pre nepárne permutácie. Z dôvodu sčítania cez všetky permutácie čísel  sa v Leibnitzovej formule vyskytuje  sčítancov (každý zodpovedá práve jednej permutácii). V praxi sa preto pre matice vyšších rádov používajú rôzne výpočetné algoritmy.

Hore uvedená definícia sa veľakrát prepisuje pomocou všeobecného Levi-Civitovho symbolu :

Špeciálny prípad

Matica rádu 1 
Matica rádu jedna (teda rozmeru 1×1) pozostáva z jediného čísla . Determinant matice prvého rádu je preto rovný práve tomuto prvku:

Matica rádu 2 
Pre maticu rádu dva (teda rozmeru 2×2) vedie obecná definícia k nasledujúcemu vzorcu:

Matica rádu 3 
Maticu rádu tri (teda rozmeru 3×3) je možné indexovať troma číslami: 1, 2 a 3. Výsledný vzorec bude preto obsahovať šesť sčítancov, pretože podľa definície sumujeme cez všetky permutácie takýchto indexov:

Vhodnou mnemotechnickou pomôckou pre výpočty podľa vyššie uvedeného vzorca sa ukazuje byť takzvané Sarrusovo pravidlo.

Výpočet determinantu 
Determinant môžeme vypočítať viacerými spôsobmi.

Sarrusovo pravidlo 
Sarrusovo pravidlo má viacero podôb. Všeobecne (a najčastejšie) sa využíva pre počítanie determinantu matíc typu 3 x 3.

Postup: K matici pripíšeme na pravú stranu ešte raz jej prvý a druhý stĺpec v tomto poradí. Potom vyrátame všetky diagonálne súčiny, ktoré majú po tri činitele. Spolu je takýchto súčinov šesť. Výslednú sumu tvorí súčet týchto šiestich súčinov, pričom zo znamienkom "+" sú tie tri z nich, ktoré sú rovnobežné s hlavnou diagonálou, so znamienkom "-" sú zvyšné tri z nich, tj. tie, ktoré sú rovnobežné s vedľajšou diagonálou.

Názorná schéma:

Teda:

Laplaceova veta o rozvoji determinantu podľa jedného riadka, resp. stĺpca 
Majme štvorcovú maticu . Potom pre každé  existuje nasledujúce vyjadrenie rozvoja determinantu matice A podľa t-teho riadka:

 

pričom matica  je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním t-teho riadka a k-teho stĺpca.
Analogicky sa dá odvodiť vzorec pre rozvoj determinantu podľa t-teho stĺpca:

 

pričom matica  je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním k-teho riadka a t-teho stĺpca.

Všeobecná Laplaceova veta o rozvoji determinantu 
Nech je daná matica . Pevne zvoľme čísla  (kde k je ľubovoľné, pevne zvolené číslo z množiny {1, ..., n - 1}) také, že: . 

Potom:

kde:
  je podmatica matice  typu k x k, ktorá je tvorená prvkami ležiacimi na priesečníkoch riadkov s indexami  a stĺpcov s indexami  (pričom platí: ).
  je matica typu (n-k) x (n-k), ktorá je vytvorená z matice A vynechaním riadkov s indexami  a stĺpcov s indexami 
 Algebrický doplnok determinantu  je prvok takéhoto tvaru:

Základné vlastnosti determinantov 
 Pre každú štvorcovú maticu  platí, že determinant matice sa rovná determinantu transponovanej matici, teda 

 Ak matica B vznikne z matice  vzájomnou výmenou dvoch riadkov (resp. vzájomnou výmenou dvoch stĺpcov), potom determinant výslednej matice B sa rovná zápornej hodnote determinantu matice A, teda 

 Nech  je štvorcová matica stupňa n nad daným poľom R. Potom pre každé  existuje algebrický doplnok  a má tvar:

pričom  je štvorcová matica typu , ktorá vznikne z matice A vynechaním r-tého riadka a s-tého stĺpca.

 Ak matica  () má dva riadky (resp. dva stĺpce) rovnaké, tak:

 Ak matica B vznikne z matice  tak, že jeden riadok (resp. jeden stĺpec) v A vynásobíme , tak:

 

 Nech sú dané dve matice: , . Ak sa tieto dve matice líšia len v niektorom k-tom riadku, pre niektoré , tak potom platí:

 Ak je v matici  aspoň jeden riadok (resp. stĺpec) nulový tak platí:

 Majme maticu , (). Ak matica B vznikne z matice A prirátaním -násobku () hociktorého riadka (resp. stĺpca) k inému riadku (resp. stĺpcu) v A. Potom platí:

Pozri aj 
 Matica (matematika)
 Lineárny priestor

Iné projekty

Literatúra

Externé odkazy 
 Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikácia, ktorá vypočíta determinant z matice rádu 2-8
  Determinant (matematika) 

Matematika
Teória matíc
Lineárna algebra