Bernoulliho rovnica

Bernoulliho rovnica je dôležitý vzťah používaný v hydrodynamike, ktorý je matematickým vyjadrením 
zákona zachovania energie v ustálenom toku kvapaliny alebo plynu. Zákon odvodil švajčiarsky matematik Daniel Bernoulli.

Odvodenie 
Jedno z možných odvodení Bernoulliho rovnice vychádza zo zákona zachovania energie v kvapaline. Pri odvádzaní sa využíva predpoklad
ustálenosti prúdenia, t. j. že na žiadnom mieste tekutiny sa rýchlosť nemení s časom.

Predstavme si zväzok blízkych prúdnic, ktoré formujú prúdovú trubicu ako na obr. 1a. Keďže steny
trubice sú tvorené prúdnicami, nevyteká nimi žiadna tekutina. Označme plochu prierezu na vtoku do
trubice , rýchlosť tekutiny v tomto bode označme . Obdobne označme
plochu prierezu a rýchlosť tekutiny na výtoku ako  a . Keďže
prúdenie je ustálené, v trubici sa nemôže hromadiť tekutina. To znamená, že hmotnosť vytečenej a
vtečenej tekutiny za jednotku času musí byť rovnaká:
 
Máme teda rovnosť:
 
Tiež známu ako rovnicu kontinuity.

Teraz vypočítame prácu, ktorú vykonal tlak v tekutine. Práca vykonaná na tekutine, ktorá vteká do
 je  zatiaľ čo práca odovzdaná na výtoku je
. Výsledná práca vykonaná na tekutine medzi  a
 je preto:
 
a musí byť rovná zvýšeniu energie tekutiny hmotnosti  pri prechode z  do . Teda:
 
pričom  je energia na jednotku hmotnosti tekutiny na vtoku a  na
výtoku. Energiu na jednotku hmotnosti môžeme zapísať ako:
 
Kde  je kinetická energia na jednotku hmotnosti,  je potenciálna energia na jednotku hmotnosti a  je člen, ktorý
reprezentuje vnútornú energiu jednotky hmotnosti tekutiny. Dosadením vzťahu do predchádzajucej
rovnice potom dostávame:
 
Keďže však , tak dostaneme výraz:
 

známy tiež ako Bernoulliho rovnica.

Bernoulliho rovnica pre ideálnu kvapalinu  

Ideálna kvapalina je nestlačiteľná a neviskózna, preto je vnútorná energia na oboch stranách rovnice rovnaká a možno ju od oboch strán odčítať. Rovnako je rovnaká hustota, ktorá sa z premenej stane konštantou. Po úprave:

Vymedzenie platnosti 
Vyššie uvedená rovnica platí len pre nasledovné prípady:
 stále sa uvažuje ustálené prúdenie tekutiny 
 ide o niektorú z nasledovných geometrických podmienok:
 nevírivé prúdenie kvapaliny – v tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet všetkých členov jednej strany je konštantný v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdiacej tekutiny. 
 vírivé prúdenie po prúdnici – rovnica platí len pre jednotlivú prúdnicu, súčet členov pre rôzne prúdnice nie je rovnaký.
 vírivé prúdenie po vírovej čiare – rovnica platí len pre jednotlivú vírovú čiaru, súčet členov pre rôzne vírové čiary nie je rovnaký.
 skrutkový pohyb kvapaliny – je to pohyb pri ktorom je každá prúdnica totožná s nejakou vírovou čiarou. častice kvapaliny teda prúdia po prúdnici a pritom sa okolo nej otáčajú. V tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet členov v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdu je konštantný.

Prúdenie v gravitačnom poli 
Pre špecifický (a prakticky najužitočnejší) prípad prúdenia v gravitačnom poli zeme sa člen potenciálnej energie na jednotku hmotnosti môže nahradiť vzťahom  Potom je platí:

 

Táto, ako aj všetky vyššie uvedené rovnice sú vo forme špecifických energií. Každý člen, ako aj súčet má rozmer J.kg−1.

Iné formy rovnice 
Pre praktické účely sa využívajú aj iné formy vyjadrenia Bernoulliho rovnice:
Po vydelení základnej formy gravitačným zrýchlením je rovnica v tvare výšok s rozmerom každého člena v m:
 
kde jednotlivé členy v uvedenom poradí sa nazývajú:
 tlaková výška
 rýchlostná výška
 výška (polohová výška)

Po vynásobení základnej formy hustotou je rovnica v tvare tlakov s rozmerom každého člena v Pa:
 
kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:
 tlak
 dynamický tlak
 hydrostatický tlak

Zjednodušená Bernoulliho rovnica 
Ak kvapalina neprekonáva žiaden potenciálový rozdiel, rovnica sa zjednoduší do známejšieho tvaru:
 
Ktorý hovorí, že súčet hustoty kinetickej energie kvapaliny a jej tlaku je v každom bode prúdnice rovnaký. 
 ρ – hustota kvapaliny
 p – tlak v kvapaline
 v – rýchlosť prúdenia kvapaliny 
Z tejto rovnice vyplýva, že čím je rýchlosť prúdenia kvapaliny vyššia, tým je tlak v nej nižší (Venturiho efekt).

Názvoslovie členov v Bernoulliho rovnici 
V zjednodušenej Bernoulliho rovnici:
 
Vyjadruje prvý člen prácu vykonanú na kvapaline a druhý člen jej kinetickú energiu. Z tohto dôvodu sa občas prvý člen zvykne nazývať hustotou tlakovej práce, často sa však stretneme aj s pojmom hustota tlakovej energie. Je dôležité upozorniť, že nejde o energiu v pravom slova zmysle, ale člen svoj názov pravdepodobne dostal preto, že má rozmer hustoty energie. Niektorí autori preto odporúčajú vyvarovať sa používaniu mätúceho, ale zaužívaneho, pojmu hustota tlakovej energie a
hovoriť miesto toho o hustote tlakovej práce

Zdroje 
Feynmanove prednášky z Fyziky, druhý diel (ISBN 80-7200-420-4)

Referencie 
 

Hydrodynamika