Rýchlosť (fyzikálna veličina)

Rýchlosť (iné názvy: vektor rýchlosti, okamžitá rýchlosť, vektor okamžitej rýchlosti, ďalšie synonymá pozri nižšie v článku; značka obyčajne v) je zmena polohového vektora (čiže jednoducho celková zmena polohy) za veľmi krátky časový interval (t.j. v = dr/dt); ide o vektorovú veličinu.

Veľkosť takto definovanej rýchlosti (nie však rýchlosť samotná) je rovná aj zmene dĺžky dráhy za veľmi krátky časový interval (t.j. |v|=ds/dt), pretože pre veľmi krátke časové intervaly (nie však pre normálne časové intervaly) zaniká rozdiel medzi veľkosťou zmeny polohového vektora a zmenou dĺžky dráhy (čiže |dr|=ds). Rozdiel medzi zmenou polohového vektora a zmenou dĺžky dráhy spočíva v tom, že kým zmena polohového vektora (nazývaná aj posunutie) udáva najkratšiu vzdušnú “vzdialenosť” medzi začiatočným a koncovým bodom pohybu, zmena dĺžky dráhy udáva dĺžku celého fyzicky prejdeného úseku (často kľukatej) “cesty” medzi začiatočným a koncovým bodom pohybu.

V literatúre sa nepresne alebo zjednodušene pojem rýchlosť niekedy definuje inak (pričom potom ale spravidla neplatia vyššie uvedené synonymá “vektor rýchlosti”, “okamžitá rýchlosť” atď., ani značka v, a často ani nejde o vektorovú veličinu), a to napríklad ako synonymum priemernej dráhovej rýchlosti (t.j. zmena dĺžky dráhy za iný než veľmi krátky časový interval, čiže Δs/Δt) alebo ako synonymum okamžitej dráhovej rýchlosti (t.j. ds/dt, čo je zároveň, ako už bolo spomenuté vyššie, rovné |v|). Podrobnejšie o definícii a vzorci rýchlosti pozri nižšie.

Definícia rýchlosti 
Význam a vysvetlenie značiek uvedených v tomto podnadpise pozri pod nasledujúcim podnadpisom.

Slovo rýchlosť (bez ďalších prívlastkov) môže znamenať:
najčastejšie a najsprávnejšie: v
menej často:
súhrnné označenie pre vp a v 
súhrnné označenie pre vd,p, vd, vp a v 
skôr neodborne (v bežnej reči, nepresne, v učebniciach pre deti a pod.): 
vd,p 
vd 
veľkosť rýchlosti (t.j.súhrnné označenie pre vd,p  v podobe Δsa/Δt, vd (=|v|) v podobe dsa/dt a prípadne aj |vp|), pričom vd,p  a vd sa zvykne uvádzať vo formulácii „pomer prejdenej dráhy a príslušného času“, „zmena dráhy za príslušný čas“, „dráha ubehnutá za jednotku času“ a pod.
zriedkavo:
 pomer zmeny dĺžky a príslušného času (t.j. Δl/Δt resp. l/t, pričom dĺžka l je veličina SI) 
súhrnné označenie pre vd,p a v 

O významoch výrazu rýchlosť v spojeniach s prívlastkami pozri pod nasledujúcim podnadpisom.

Základné vzorce 
Tu sú uvedené základné štyri vzorce, ktoré sa v literatúre vyskytujú v súvislosti s rýchlosťou, s ich rôznymi názvami v literatúre a poznámkami. Vysvetlivky značiek zo vzorcov sú uvedené dole pod názvom Vysvetlivky značiek použitých vo vyššie uvedených vzorcoch.

Poznámky  k tabuľke 
1. Hlavná definícia rýchlosti, teda rýchlosť v pravom slova zmysle, je vzorec v. Vyplýva to z príslušnej normy ISO 80000 a veľkej väčšiny odborných zdrojov, kde sa výrazom “rýchlosť” označuje špeciálne tento vzorec.

2. O dvoch spôsoboch definovania s: 
Značku s použitú vo vyššie uvedených vzorcoch sa možno pri bližšom pohľade definovať dvoma odlišnými spôsobmi (a tým pádom z jedného vzorca pre rýchlosť obsahujúceho sfakticky dostaneme dva rôzne vzorce):
a)  Jedna možnosť je definovať „s“ ako dĺžku spojitej čiary, ktorú daný hmotný bod opisuje, od začiatočného bodu pohybu. Takto definované „s“ bude vždy kladné. Ak sa hmotný bod pohybuje vpred, toto „s“ pochopiteľne stúpa (čiže Δs resp. ds je kladné), ale „s“ stúpa aj vtedy, ak sa hmotný bod pohybuje vzad. Toto „s“ sa označuje ako dĺžka (či veľkosť) dráhy či dráha a ide o základnú, najbežnejšiu definíciu „s“ vyučovanú na nižších školách.
b) Druhá možnosť je definovať „s“ ako krivočiaru súradnicu (iné názvy: jednorozmerná (polohová) súradnica s, dráhová súradnica, dĺžka oblúka, dĺžka (či veľkosť) dráhy/dráha), teda ide o jednorozmernú polohovú súradnicu na krivke pohybu daného hmotného bodu, čiže počet jednotiek meraných pozdĺž  krivky pohybu od počiatku krivočiarej súradnicovej sústavy (teda od bodu s=0). Zjednodušene povedané sme tu teda vlastne klasickú súradnicovú sústavu zredukovali na len jednu os - (napr.) os x, túto os x sme „prilepili“ (respektíve „premenili“) na krivku pohybu a „x“ sme premenovali na „s“. Na rozdiel od „s“ podľa možnosti a), takto definované „s“ môže byť aj záporné (napriek slovu „dĺžka“ či „veľkosť“ v niektorých názvoch tohto „s“). Ak sa hmotný bod pohybuje vpred (čiže Δs resp. ds je kladné), toto „s“ stúpa, ak sa pohybuje vzad, toto „s“ klesá (čiže Δs resp. ds je záporné). Toto „s“ sa v literatúre značí aj písmenom u.
Z toho vyplýva (vysvetlivky: a znamená „podľa možnosti a“, b znamená „podľa možnosti b“):
Ak sa hmotný bod pohybuje stále len s jednou orientáciou (teda buď stále len vpred alebo stále  len vzad), tak Δsa = |Δsb|,  a ak je navyše začiatočný bod pohybu zhodný s počiatkom krivočiarej súradnicovej sústavy , tak platí aj sa = |sb|. 
Vždy platí, že Δsa dostaneme z Δsb tak, že v možnosti b) celý pohyb rozdelíme na jednotlivé časti (úseky), v rámci ktorých sa pohyb uskutočňuje vždy len s jednou orientáciou (teda buď stále len vpred alebo stále len vzad), a následne sčítame absolútne hodnoty všetkých týchto úsekov. Formálne teda vždy platí Δsa =|Δsb,1|+|Δsb,2|+…+|Δsb,n|, kde sb,i znamená krivočiaru súradnicu týkajúcu sa úseku i (=1 až n), v rámci ktorého sa pohyb uskutočňuje len s jednou orientáciou. 
Pre úplnosť treba dodať, že existuje ešte kvázi tretia možnosť pre význam značky „s“: Ojedinele sa totiž symbolom Δs či Δs (resp. pre „celkový“ pohyb s či s) - a niekedy dokonca aj verbálne výrazom “(prejdená) dráha” a pod. – nevhodne označuje  posunutie (teda Δr). Podobná ale trochu odlišná, je tu situácia pri infinitezimálnych zmenách (teda d namiesto Δ). Aj tu sa možno stretnúť aj so zápisom v podobe ds, ktorá vlastne znamená dr. Vzhľadom na to, že (pozri nižšie) platí dr = ds. τ (resp. dr =|dsb|. τ), tak sa pre nevhodnú značku ds dá uviesť aspoň aké-také opodstatnenie, a síce také, že ds je len iný zápis pre výraz ds. τ (pri zápis Δs takéto opodstatnenie uviesť nemožno).

3. O vzťahu medzi r a s: 
Je dôležité si uvedomiť, že kým medzi Δs a Δr je veľký rozdiel, medzi ds a dr je rozdiel minimálny:
Kým Δs sa meria pozdĺž krivky pohybu so všetkými jej záhybmi a otočkami, Δr je len najkratšia (čiže priamočiara) spojnica medzi začiatočným a koncovým bodom pohybu. vd,p teda udáva rýchlosť zmeny dĺžky dráhy hmotného bodu, kým vp udáva rýchlosť celkovej zmeny polohy hmotného bodu. Výnimku tvorí priamočiary pohyb, pretože pri ňom má Δr a Δs rovnakú veľkosť (|Δr|=Δs, resp. |Δr| = |Δsb|) aj smer, majú však (ak pracujeme s sb) prípadne rozdielnu orientáciu a samozrejme platí aj to, že kým Δrsa zapisuje ako vektor, Δs sa zapisuje ako skalár. Celkovo teda platí: Δr = Δs.τ (resp. Δr = |Δsb|.τ), pričom ak stanovíme sb,0 =0 a pohybujeme sa len v kladnom smere „číslovania“ trajektórie (čiže sb je kladné), tak dostaneme Δr = sb.τ.
Pri ds a dr platí to isté, čo pri Δs a Δr pre priamočiary pohyb, čiže medzi dr (značeným aj ds či dl) a ds je rozdiel malý, lebo majú rovnakú veľkosť (|dr| = ds, resp. |dr| = |dsb|) aj smer, majú však (ak pracujeme s sb) prípadne rozdielnu orientáciu a samozrejme platí aj to, že kým dr sa zapisuje ako vektor, ds sa zapisuje ako skalár. Celkovo teda platí a platí dr = ds. τ (resp. dr =|dsb|. τ) . 
Súhrnne teda možno konštatovať, že medzi s a r je v zásade značný rozdiel a nie je možné uviesť všeobecný vzorec, ktorý ich spája. Výnimku tvoria nasledujúce špeciálne prípady, v ktorých takýto všeobecný spájajúci vzorec možno uviesť: 
 pre priamočiary pohyb: Δr = |Δsb|.τ, čiže r = r0 + |sb-sb,0|.τ. Ak stanovíme sb,0 =0 a pohybujeme sa len v kladnom smere „číslovania“ trajektórie (čiže sb je kladné), tak dostaneme Δr = sb.τ, čiže r = r0 + sb.τ.
 pre veľmi krátke časové intervaly: dr=|dsb|.τ
Istá (zložitejšia) súvislosť medzi s a r sa dá uviesť aj pre rovnomerný pohyb: |dr|/dt  (= |dsb|/dt) = |Δsb|/Δt

4. Z predchádzajúcich dvoch poznámok vyplýva, že vo vzorci pre v a |v| treba vykonať nasledujúce spresnenie: Keďže |dr|=|dsb|=dsa (Poznámka: Pre infinitezimálne malé zmeny (?vždy) platí |dsb|=dsa, teda pohyb má za ten veľmi krátky čas maximálne jednu orientáciu, čiže sa ide stále len vpred alebo stálen len vzad), tak: 
|v|= |dr/dt|=|dsb/dt|= dsa/dt (resp. |v|= |dr|/dt = |dsb|/dt = dsa/dt)
 v =|v|.τ= |dr/dt|.τ = |dsb/dt|.τ = (dsa/dt). τ (resp. v =|dr|.τ /dt = |dsb|.τ /dt = dsa.τ/dt 

5. K vzorcu vd,p :
V menej náročnej literatúre sa niekedy formálne rozlišuje podľa zohľadneného rozsahu trajektórie hmotného bodu:
vzorec  pre úsek (teda len časť) trajektórie: Δs/Δt (Vzorec pre úsek trajektórie sa obyčajne používa, ak sa rýchlosť počas pohybu mení a chceme pohyb rozdeliť na úseky majúce konštantnú rýchlosť)
vzorec pre celkovú trajektóriu: Ten sa zapisuje
ako s/t  (Zápis Δs/Δt sa matematicky zredukuje na zápis s/t, ak pohyb začína v bode, kde s=0 a t=0, teda ak sledujeme trajektóriu od jej úplného začiatku a začiatočný čas stanovíme ako 0) alebo
ako (Δs1 + Δs2 + ... +Δsm)/ (Δt1 + Δt2 + ...+ Δtm), kde Δsk je dĺžka dráhy na trajektóriovom úseku k (=1 až m) a Δtk je príslušný časový interval 

6. Dôležité je si všimnúť, že matematicky platí vd = |v|, teda okamžitá dráhová rýchlosť je jednoducho to isté ako veľkosť okamžitej rýchlosti (presnejšie pri použití sb: vd = +/-|v|)..

Vysvetlivky značiek použitých vo vyššie uvedených vzorcoch 
t: čas
x, y, z… súradnice v klasickej (teda pravouhlej karteziánskej) sústave súradníc; niečo iné je x
i, j, k…sú jednotkové vektory v smere jednotlivých osí súradníc (teda osí x, y, z…)
Δ: (neinfinitezimálna) zmena (iné názvy: prírastok, časť, element, interval) danej veličiny 
d: diferenciál (iné názvy: diferenciálna (či elementárna či infinitezimálna) zmena (či prírastok, časť, element, interval)) danej veličiny ; niečo iné je d
||: 1. V prípade skalárov táto značka znamená absolútnu hodnotu. 2. V prípade vektorov táto značka znamená tzv. veľkosť vektora (iné názvy: dĺžka, absolútna hodnota, norma či modul vektora). Ak si nejaký vektor nazveme napr. w, tak |w| = |(x, y, z...)| =  = w/w0 (kde w0 je príslušný jednotkový vektor). Namiesto značky |w| sa používa aj značka w (t.j. píše sa „normálne“ písmeno bez tučného formátovania resp. bez šípky) alebo w (t.j. písmeno sa píše kurzívou).. 
Orientácia vektora (iný názov: zmysel vektora) znamená buď „vpred“ alebo „vzad“ (oboje po čiare smeru vektora).
τ (alebo: τo, et, i): tangenciálny (či dotyčnicový) jednotkový vektor, čiže jednotkový vektor v smere dotyčnice krivky pohybu (trajektórie) v danom bode krivky pohybu a s orientáciou rastúceho sb (teda v smere pohybu); je to vlastne „smerová zložka“ vektora rýchlosti (keďže v = |v|. τ) 
τo: pozri pod τ
et: pozri pod τ
i:(1) pozri pod τ, (2) pozri pod i, j, k
vd,p , vd, vp, v: bližšie vysvetlené v tomto článku
s : (1) sa, t.j. (i) dĺžka dráhy (iné názvy: veľkosť dráhy, dráha), teda dĺžka spojitej čiary reálne opísanej hmotným bodom pri jeho pohybe, (ii) ako i, ale len pre prípad, že sa pohyb začína v bode s=0 a t=0; (2) sb (alebo u), t.j. krivočiara súradnica (iné názvy: jednorozmerná polohová súradnica s, dĺžka oblúka, dĺžka dráhy, veľkosť dráhy, dráha) – pozri poznámku 2 vyššie
s: Vektor s nie je celkom ekvivalent k skaláru s. Vektor s sa totiž vyskytuje iba (1) v spojení ds ako iný zápis pre ds.τ, čiže dr alebo (2) (zriedkavo a nevhodne) v spojení Δs (resp. aj v podobe s, ak sa pohyb začína v s=0 a t=0) ako iný zápis pre Δr - pozri poznámku 2 vyššie
Δs nazývame zmena (či prírastok) dĺžky (či veľkosti) dráhy, zmena (či prírastok) dráhy, prebehnutá (či prejdená/ urazená/ vykonaná) dĺžka (či veľkosť) dráhy, prebehnutá (či prejdená/urazená/vykonaná) dráha, dĺžka (či veľkosť) časti (či úseku/elementu/intervalu) dráhy, dráhový úsek, dĺžka (či veľkosť) dráhy či dráha (pričom názvy dĺžka dráhy/veľkosť dráhy/dráha sa sú aj – primárne – názvy pre s). 
ds nazývame diferenciál (dĺžky či veľkosti) dráhy, elementárna (či infinitezimálna/diferenciálna) dĺžka (či veľkosť) dráhy, elementárna (či infinitezimálna/diferenciálna) dráha, elementárny (či infinitezimálny/diferenciálny) prírastok (dĺžky či veľkosti) dráhy, (diferenciálny) element dráhy a pod. 
Δs: pozri pod s (a pod Δ)
ds: pozri pod s (a pod d)
d alebo D: pozri pod Δr.
r (alebo x): polohový vektor (iné názvy: sprievodič, rádiusvektor ). Je to vektor, ktorý sa začína v počiatku klasických súradníc, teda v bode (0,0,0…), a končí v aktuálnej polohe hmotného bodu. Ide len o inú formu zápisu súradníc aktuálnej polohy hmotného bodu; napríklad ak sa hmotný bod nachádza v polohe so súradnicami (2,5,7), tak jeho polohový vektor znie (2,5,7) (ide o vektor spájajúci bod (0,0,0) a bod (2,5,7) ). Ako pri všetkých vektoroch, aj pre tento vektor platí r = (x, y, z …) = x.i + y.j + z.k ... Nahrádzanie znaku r značkou x je časté najmä pri jednorozmernom priamočiarom pohybe (potom sa namiesto x často píše jednoducho x), čiže pri pohybe, ktorý sa v klasickej sústave súradníc dá zobraziť ako pohyb len po jednej osi (napríklad po osi x); x potom znamená nielen r, ale zároveň aj jednoducho súradnicu x. Pozri aj Δr a dr nižšie.
Δr (alebo Δx) nazývame zmena (či prírastok a pod. – pozri pod Δ) polohového vektora (či sprevodiča/rádiusvektora) alebo vektor posunutia (iné názvy: posunutie, vektor premiestnenia, premiestnenie, orientované posunutie alebo zriedkavo vektor posunu). De facto je oboje to isté (lebo vektor posunutia je výsledok zmeny polohového vektora), hoci niektoré texty používajú priamo koncept vektora posunutia (resp. jeho synoným), bez toho, aby tento koncept výslovne charakterizovali ako výsledok zmeny polohového vektora.. Namiesto Δr (či Δx) sa  ojedinele používa aj značka d či D (ako značka posunutia – angl. displacement); d je pritom niečo úplne iné než značka d pre diferenciál.. Okrem toho sa namiesto Δr (či Δx) ojedinele používa (nevhodne) znak Δs – k tomu pozri poznámku 2 vyššie.
dr (alebo dx) nazývame (a) diferenciál polohového vektora (či sprievodiča/rádiusvektora), elementárna (či infinitezimálna či diferenciálna) zmena polohového vektora (či sprievodiča/rádiusvektora), elementárny (či infinitezimálny či diferenciálny) prírastok polohového vektora (či sprievodiča/rádiusvektora) a pod. (pozri pod d), (b) orientovaný element (krivky) dráhy, (c) diferenciál (vektora) posunutia (či premiestnenia), elementárny (či infinitezimálny) vektor posunutia (či premiestnenia), elementárne (či infinitezimálne) posunutie (či premiestnenie), element posunutia (či premiestnenia) a pod.. Namiesto značky dr (či dx) sa občas používa aj značka ds (správnejšie je písať: ds.τ) a ojedinele aj značka dl.
x: pozri pod r
Δx: pozri pod Δr
dx: pozri pod dr
dl: pozri pod dr
Δx/Δt, Δy/Δt, Δz/Δt… nazývame zložky (či komponenty či súradnice) vektora vp  alebo priemety vektora vp do jednotlivých súradnicových osí  
dx/dt, dy/dt, dz/dt… nazývame zložky (či komponenty či súradnice) vektora v  alebo priemety vektora v do jednotlivých súradnicových osí alebo súradnicové rýchlosti 
u: pozri pod s
vd,0: vd v čase t0
v0: v v čase t0
ad: okamžité dráhové zrýchlenie – podrobnosti pozri nižšie
a: vektor okamžitého zrýchlenia –podrobnosti pozri nižšie

Zrýchlenie 
Kvôli ďalšiemu textu článku je potrebné stručne najprv vysvetliť pojem zrýchlenie.

Podobne ako pri rýchlosti, aj pri zrýchlení možno rozlíšiť 4 typy vzorcov, z toho najdôležitejšie dva sú:
ad = dvd/dt = (+/-)d|v|/dt; ad sa volá okamžité dráhové zrýchlenie (iné názvy: dráhové zrýchlenie, okamžité zrýchlenie, zrýchlenie)
a =dv/dt; a sa volá vektor okamžitého zrýchlenia (iné názvy: okamžité zrýchlenie, zrýchlenie).

Vektor a možno vždy rozdeliť na dve zložky a = at + an, pričom:
at = |at|. τ = (d|v|/dt). τ ; at sa volá tangenciálne (či dotyčnicové) zrýchlenie a informuje nás o ad, a teda o zmene |v|, čiže veľkosti rýchlosti, v priebehu času; smer vektora tangenciálneho zrýchlenia je vždy rovnobežný so smerom vektora v, pričom pri zrýchlenom pohybe má aj rovnakú orientáciu ako v a pri spomalenom pohybe má opačnú orientáciu než v
an = |v|.(dτ/dt); an sa volá normálové (najmä v kontexte pohybu po kružnici aj: dostredivé či centripetálne) zrýchlenie a informuje nás o zmene τ, teda o zmene smeru a orientácie vektora rýchlosti, v priebehu času; smer vektora normálového zrýchlenia je vždy kolmý na smer vektora at a teda aj vektora v, a to s orientáciou dovnútra oblúka krivky dráhy, teda dovnútra “kopca” 
Vyššie uvedené vzorce dostaneme matematicky uplatnením pravidla pre deriváciu súčinu (teda v našom prípade pre deriváciu |v|.τ) takto: a = dv/dt = d(|v|.τ)/dt = (d|v|/dt).τ+|v|.(dτ/dt)

Pre veľkosti týchto vektorov platí:
|at| = ad (Presnejšie platí +/-|at| = ad podľa toho, či ide o pohyb zrýchlený alebo spomalený, čiže podľa toho či sú vektory v a at rovnako alebo opačne orientované)        
|an|= |v|2/R  (R sa volá polomer krivosti krivky a je to polomer oskulačnej kružnice v danom bode krivky, čiže polomer takej kružnice priloženej ku krivke v danom bode krivky, ktorá najlepšie “kopíruje” priebeh krivky v okolí daného bodu krivky; ak má krivka tvar kružnice, tak je pochopiteľne R zhodné s polomerom tejto kružnice.)
|a| =

Skladanie vektorov rýchlostí
Pri tzv. zložených pohyboch (napr. človek bežiaci v pohybujúcom sa vlaku, šikmý vrh, prechod cez tečúcu rieku a pod.) je potrebné sčítavať viaceré rýchlosti. Ak je rýchlosť vyjadrená ako vektor, tak je potrebné použiť zásady platné všeobecne pre skladanie (teda sčítanie) vektorov. Pokiaľ ide o veľkosť výsledného vektora, platia pre skladanie dvoch vektorov (v našom prípade v1 a v2) tieto zásady (* znamená „výsledný“; v hranatých zátvorkách je využitý vzťah |v|= vd, nemalo by sa ale zabúdať, že ide o zjednodušenie, lebo v skutočnosti |v|= +/- vd – porov. napr. poznámku na začiatku kapitoly Vzorce rýchlosti pre rôzne druhy pohybov): 
a) všeobecne platný vzorec: Z tzv. kosinusovej vety vyplýva vzorec |v*| =  [resp. vd* =], pričom γ je uhol zvieraný vektormi v1 a v2 a cosγ = (v1.v2)/(|v1|.|v2|) [resp. cosγ = (v1.v2)/vd1.vd2)] , kde v1.v2 je skalárny súčin týchto dvoch vektorov. Ak chceme vo vzorci z nejakého dôvodu radšej použiť sin namiesto cos, tak treba využiť všeobecný vzťah cosγ = -sin(γ-90°).
b) niektoré špeciálne prípady (teda špeciálne aplikácie vzorca z a) ):
 vektory zvierajú pravý uhol (čiže γ = 90°): |v*| =  [resp. vd* =], lebo cos90=0; zodpovedá to vlastne Pytagorovej vete
oba vektory majú rovnaký smer (čiže γ = 0° alebo 180°): 
a majú aj rovnakú orientáciu (čiže γ = 0°): |v*| = |v1| + |v2| [resp. vd*= vd,1 + vd,2], lebo cos0 =1 ( =|v1| + |v2|)
a majú opačnú orientáciu (čiže γ = 180°): |v*| = |v1| - |v2| [resp. vd*= vd,1 - vd,2] alebo |v*| = |v2| - |v1| [resp. vd*= vd,2 - vd,1], lebo cos180=-1
Ak treba skladať viac než dva vektory, skladanie vykonáme postupne, a to v ľubovoľnom poradí

Vzorce rýchlosti pre rôzne druhy pohybov
Na úvod zhrnutie vzorcov potrebných či užitočných v naslejúcom texte (prvá časť vzorcov je opakovenia zhora a druhá časť vzorcov, teda vzorce pre pohyb po kružnici, je bližie vysvetlená ku koncu tohto článku resp. ešte bližšie v článku pohyb po kružnici):
|v| = vd = ds/dt (Toto s je konkrétne sb, čiže môže byť aj záporné, takže vlastne presnejšie platí +/- |v|= vd podľa toho, či pohyb prebieha v smere „číslovania“ krivočiarej súradnice sb alebo v opačnom smere)
|at| = d|v|/dt = ad = dvd/dt (Presnejšie platí +/-|at| = ad podľa toho, či ide o pohyb zrýchlený alebo spomalený, čiže podľa toho či sú vektory v a at rovnako alebo opačne orientované)
|an|= |v|2/R  
|a| =
 v = |v|.τ
at = |at|. τ = (d|v|/dt). τ
an = |v|.(dτ/dt)
a = at + an
|v|= r.ω (r je polomer kružnice, a teda pri tomto type krivky zároveň veľkosť polohového vektora r; ω je (okamžitá) uhlová rýchlosť)
|at|= r.α (α = dω/dt je (okamžité) uhlové zrýchlenie)
|an| = r. ω2 = |v|2/r
 v =  ω x r (x tu značí vektorový súčin; ω je vektor (okamžitého) uhlového zrýchlenia)

Delenie pohybov je takéto (písmená A, B, C…označujú rôzne významy toho istého názvu)  :

a) Podľa tvaru trajektórie 
Podľa tvaru trajektórie (teda smeru a orientácie vektora rýchlosti τ), inak povedané podľa normálového zrýchlenia (an), rozlišujeme:
priamočiary pohyb (t.j. pohyb po priamke): τ  je konštatné, inak povedané: |an| =0
krivočiary pohyb (t.j. pohyb po krivke, vrátane krivky v tvare kružnice): τ nie je konštantné, inak povedané: |an| ≠0  (v prípade rovnomerného pohybu po kružnici je možné špecifickejšie povedať, že |an| je konštatné)

Na označenie krivočiareho pohybu hmotného bodu okrem pohybu po kružnici je možné použiť aj výraz všeobecný pohyb, ale tento výraz sa v literatúre používa jednak častejšie pre pohyb telesa (a nielen hmotného bodu) a jednak čiastočne nejednotne (pozri rozlišovaciu stránku).

b) Podľa veľkosti tangenciálneho zrýchlenia

Vyjadrené pomocou „normálnych“ veličín
Podľa veľkosti tangenciálneho zrýchlenia (|at|; inak povedané podľa dráhového zrýchlenia (+/-) ad) resp. podľa veľkosti rýchlosti (|v|; inak povedané podľa dráhovej rýchlosti (+/-)vd) rozlišujeme:

Vysvetlivky značiek v tabuľke:
konšt = konštantné
nekonšt. = nie je konštantné
tnekonšt. = typicky nekonštantné, ledaže sa nekonštantné zložky danej veličiny (t.j. pri |a|: |at| a |an|, pri a:  at a an a pri |an|: |v|2 a R) vzájomne dopĺňajú tak, že ich výsledok je konštantný; napr. pri parabolickom pohybe (t.j. napr. pri šikmom vrhu) je takto konštatné a
00 =nulový vektor, čiže (0,0,0 ...)
PP= priamočiary pohyb
KP = krivočiary pohyb

Poznámky k tabuľke: 
1.Ak je nejaká ľubovoľná veličina „z“ konštantná, tak samozrejme možno vždy pre ňu písať z = z0, kde 0 znamená v čase t0, čiže ak je napr. |v|=konšt., tak platí aj |v|=|v0|, ak je v = konšt., tak platí aj v = v0 a pod. 
2. Δt=t – t0; Δs= s – s0; Δ|v|=|v| -|v0| 
3.Samozrejme vždy platí, že: 
ak t0=0, tak Δt=t (čiže namiesto Δt môžeme písať jednoducho t)
ak s0=0, tak Δs=s (čiže namiesto Δs môžeme písať jednoducho s)
ak |v0|=0, tak Δ|v|=|v| (čiže namiesto Δ|v| môžeme písať jednoducho |v|)
4. Znakom s sa v tejto tabuľke presnejšie myslí sb (teda krivočiara súradnica). Preto sa vzorce v tabuľke pre s začínajú na “s0 +/-“ (namiesto s0 +) a v prvom riadku tabuľky je vo vzorci pre |v| použité „|vd|” a „|vd,p|“a “|Δs|” (namiesto vd a vd,p a Δs).To znamená, že v dôsledku toho, že sa v tejto tabuľke dôsledne chápe s ako sb, je zápis vzorcov v tejto tabuľke v prípadoch uvedených v predchádzajúcej vete mierne odlišný od zápisu v predchádzajúcej tabuľke prehľadu rýchlostí, v ktorej sú (kvôli lepšej prehľadnosti) vzorce primárne zapísané pre s chápané ako sa.
5. (*) Naďalej však samozrejme platí všeobecný vzorec |v|=|ds|/dt
6. (**) Naďalej však samozrejme platí všeobecný vzorec |at|= d|v|/dt (resp. |a|=d|v|/dt) 
7. (***) Tento vzorec dostaneme dosadením vzorca |v|=|v0|+/-|at,0|.Δt do vzorca  (ktorý vyplýva z |v|=|ds|/dt) a následným integrovaním.
8.(****) Naďalej však samozrejme platí všeobecný vzorec at= dv/dt (resp. a=dv/dt)

Vyjadrené pomocou uhlových veličín
Vyššie uvedené delenie sa dá pri pohybe po kružnici (resp. všeobecnejšie aj pre jednu oskulačnú kružnicu ľubovoľnej krivky, pričom potom ale píšeme R namiesto r) ekvivalentne vyjadriť aj pomocou uhlových veličín, čiže vznikne takéto delenie (porov. aj pohyb po kružnici):

Podľa uhlovej rýchlosti (ω, inak povedané: podľa veľkosti vektora uhlovej rýchlosti |ω|), resp. podľa uhlového zrýchlenia (α, inak povedané: podľa veľkosti vektora uhlového zrýchlenia |α|) rozlišujeme:
rovnomerný pohyb A (iný názov: pohyb s konštantnou uhlovou rýchlosťou): ω je konštantné (čiže α=0)
nerovnomerný pohyb A (iné názvy: pohyb s meniacou sa uhlovou rýchlosťou, premenný pohyb A, zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb A): ω je nekonštantné (čiže α ≠0)
I. rovnomerne premenný pohyb A (iné názvy: rovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb A): ω je nekonštantné (čiže α ≠0) a α je konštantné, čiže ω je nekonštantné a ω = ω0 +/- α0.Δt
II. nerovnomerne premenný pohyb A (iné názvy: nerovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený]/zrýchlený a spomalený pohyb A, nerovnomerný pohyb B): ω = nekonštatné (čiže α ≠0) a α je nekonštantné, čiže ω je nekonštantné a ω ≠ ω0 +/- α0.Δt

c) Podľa celkového zrýchlenia 
Podľa (vektora) celkového zrýchlenia (a) resp. podľa (vektora) rýchlosti (v) rozlišujeme:
pohyb bez zrýchlenia (iný názov: nezrýchlený pohyb, pohyb s konštantnou (vektorovou) rýchlosťou, nevhodne : rovnomerný pohyb B): a je nulový vektor (čiže v je konšt.)– sem patrí iba priamočiary rovnomerný pohyb A (pri ňom je mimochodom |v| konštatné) 
pohyb so zrýchlením (iné názvy:  zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb B, premenný pohyb B, pohyb s nekonštantnou (vektorovou) rýchlosťou, nevhodne: nerovnomerný pohyb C): a je nenulový vektor (čiže v je nekonštantné) – sem patrí krivočiary rovnomerný pohyb A a všetky nerovnomerné pohyby A:
pohyb s konštantným zrýchlením (iný názov: rovnomerne premenný pohyb B, rovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený])  pohyb B):  a je konštantné a nenulový vektor (čiže v = v0 +a0.Δt a je nekonštantné); |v| je mimochodom nekonštantné – sem patrí priamočiary rovnomerne premenný pohyb A a parabolický pohyb (napr. šikmý vrh, čo je druh krivočiareho nerovnomerne premenného pohybu A)
pohyb s nekonštantným zrýchlením (iné názvy: nerovnomerne premenný pohyb B, nerovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený]/ zrýchlený a spomalený pohyb B, nerovnomerný pohyb D): a je nekonštantné a nenulový vektor (čiže v ≠ v0 +a0.Δt a je nekonštantné); |v| je mimochodom pri krivočiarom rovnomernom pohybe konštantné, inak je nekonštantné

Ako vidno z delení b) a c), rýchlosť teda možno rozdeliť podľa kritéria “zrýchlenie” dvoma spôsobmi – buď podľa dráhového zrýchlenia ad (resp. veľkosti vektora tangenciálneho zrýchlenia |at|), alebo podľa vektora celkového zrýchlenia a.

V tomto článku sa vyššie uvedené termíny ďalej primárne používajú vo významoch tu označených ako “A”.

Vzorce rýchlosti pre špecifické typy pohybov
Najznámejšie špecifické typy pohybov hmotných bodov sú pohyb v homogénnom tiažovom poli planéty Zem vo vákuu a pohyb po kružnici

Pohyb v homogénnom tiažovom poli planéty Zem vo vákuu 

Pohyb v homogénnom tiažovom poli Zeme vo vákuu znamená, že kdekoľvek na Zemi či nad Zemou platí, že a = g = konšt., čiže vektor zrýchlenia sa rovná vektoru tiažového zrýchlenia Zeme (g) a je konštantný. Z rovnice pre pohyb s konštantným zrýchlením (v = v0 + a0.Δt) teda dostaneme v = v0 + g.Δt. Okrem toho v tomto článku volíme súradnicovú sústavu v takej podobe, že x-ová os je na povrchu Zeme a y-ová os smeruje kolmo nahor do vesmíru, čiže g = (0,-g,0), pričom g (=|g|) je tiažové zrýchlenie. . Tento druh pohybu delíme na voľný pád a vrh:

Voľný pád 
Voľný pád je definovaný tak, že hmotný bod padá (v homogénnom tiažovom poli Zeme vo vákuu) zvislo nadol a nemá udelenú začiatočnú rýchlosť, teda v0=0. Ide o príklad rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu. Po dosadení do vzorcov pre rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb (v = v0 + at0.t a vd = vd,0 + a0.t) dostaneme: v =g.t a vd = -g.t (nižšie budeme pre voľný pád presnejšie používať označenia vg a vd,g). Niekedy sa voľný pád klasifikuje ako špeciálny prípad vrhu (pozri nižšie), keďže ide vlastne o vrh s v0=0.

Vrh 
Vrh je definovaný tak, že hmotný bod je hodený (v homogénnom tiažovom poli Zeme vo vákuu) ľubovoľným smerom s určitou začiatočnou rýchlosťou, teda v0≠0. Ak je vrh zvislý, jeho trajektória je priamka (t.j. ide o priamočiary pohyb) a pohyb je rovnomerne premenný; v ostatných prípadoch vrhu (teda pri vodorovnom alebo šikmom vrhu) je trajektória časť paraboly (t.j. ide o krivočiary pohyb) a ide o nerovnomerne premenný pohyb (teda |at|, a tým aj at, sa mení), ale zároveň pohyb s konštantným (celkovým) zrýchlením (teda a je konštantné, lebo sa rovná g). Aby bol výpočet jednoduchší, súradnicovú sústavu volíme tak, že celý vrh prebieha v rovine x-y (súradnica z je teda nulová). Môžeme rozlíšiť tieto prípady:
a) všeobecný prípad (t.j. šikmý vrh): v0 je vektor rýchlosti v smere a orientácii hodenia hmotného bodu, jeho veľkosť je konštantná hodnota vd,0.Uhol zvieraný (smerom nahor) medzi medzi v0 a vodorovnou čiarou nazveme elevačný uhol a označíme α (Pozor na zámenu so znakom α ako symbolom uhlového zrýchlenia). Jedna možnosť riešenia je dosadiť (zo vzťahov v trojuholníku vyplývajúce) v0= (|v0|.cosα, |v0|.sinα, 0)= (vd,0.cosα, vd,0.sinα, 0) do vzorca v =v0 + g.Δt a potom vypočítať vd = |v| s použitím klasického vzorca pre normu vektora. Druhá možnosť je vykonať skladanie vektorov v0 a vg (vg =g.Δt, vd,g = -g.Δt) s použitím vzorca pre skladanie vektorov rýchlostí (teda vd* = , pričom α= γ-90° a teda cosγ = -sin α, kde γ je uhol medzi v0 a vg). Výsledné vd bude pri oboch postupoch vd=.
b) niektoré špeciálne prípady (teda špeciálne aplikácie šikmého vrhu):
vodorovný vrh (čiže α = 0): vd= 
zvislý vrh:
nahor (čiže α = 90°):vd = vd,0 –g.Δt
nadol (čiže α = 270° resp. -90°): vd = -vd,0 –g.Δt
Pri zvislom vrhu (keďže je pri ňom – na rozdiel od šikmého a vodorovného vrhu – je |at| konštantné) možno k uvedenému výsledku dospieť alternatívne tak, že (s patričným prihliadnutím na správne znamienka) dosadíme g do rovnice pre rovnomerne premenný pohyb, teda vd = vd,0 - |ad,0|t resp. vd = vd,0 + ad,0.Δt.

Pohyb po kružnici

Pohyb po kružnici (nazývaný aj kruhový pohyb) je druh krivočiareho pohybu – je to taký (rovinný) krivočiary pohyb, pri ktorom trajektória má tvar kružnice. V tomto kontexte rozlišujeme medzi (“normálnou”) rýchlosťou, (“normálnym”) zrýchlením a (“normálnou”) dráhou na jednej strane a uhlovou rýchlosťou, uhlovým zrýchlením a uhlovou dráhou na strane druhej. Tieto “normálne” veličiny na odlíšenie od uhlových v tomto kontexte voláme aj obvodové (t.j. obvodová rýchlosť, obvodové zrýchlenie a obvodová dráha).

Opis pohybu po kružnici má širší význam než sa na prvý pohľad môže zdať, pretože (takmer) ľubovoľný krivočiary pohyb sa dá opísať tak, že ku krivke pohybu (teda trajektórii) v danom bode priložíme kružnicu, ktorá túto krivku v danom “záhybe” krivky čo najlepšie aproximuje (tzv. oskulačná kružnica) a potom počítame pomocou údajov pre túto kružnicu (existujú však pochopiteľne aj iné metódy opisu krivočiareho pohybu). Okrem toho v kontexte pohybu nie jedného hmotného bodu, ale nejakého celého telesa (presnešie tzv. dokonalého tuhého telesa, teda tvarovo nemennej sústavy hmotných bodov) tvorí pohyb po kružnici základ analýzy tzv. otáčavého pohybu telesa (napríklad pohyb listu vrtule).

Nasleduje len základný prehľad vzorcov, podrobnosti a odvodenia sú uvedené v článku pohyb po kružnici:

Všeobecný prípad 
Symboly a vzorce platné všeobecne pre akýkoľvek pohyb po kružnici:
stred kruhu je na zjednodušenie výkladu stotožnený s počiatkom karteziánskej súradnicovej sústavy
r je polomer kružnice (|r|=r)
ϕ = |ϕ| je polohový uhol (iné názvy: uhlová súradnica, uhol otáčania) resp. uhlová dráha
 ϕ je vektor polohového uhla; jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania)
ω = dϕ/dt =|ω| je (okamžitá) uhlová rýchlosť, 
ω = dϕ/dt = (1/r2).(r x v) je vektor (okamžitej) uhlovej rýchlosti; jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania)
α = dω/dt = d2ϕ/dt = |α| je (okamžité) uhlové zrýchlenie (alternatívne sa značí: ɛ)
α = dω/dt = d2ϕ/dt =(1/r2).(r x a)  je vektor (okamžitého) uhlového zrýchlenia (alternatívne sa značí: ɛ); jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania)
τ =(-sinϕ, cosϕ)
τn =(-cosϕ, -sinϕ) je jednotkový vektor v smere an (tzv. normálový jednotkový vektor) a teda aj v smere opačnom než r (čiže an =|an|.τn a r=-|r|. τn = -r. τn)
s= s0+r.(ϕ- ϕ0)
|v|=r.ω (presnejšie: |v| = |r.ω|)
|at|= r.α (presnejšie: |at|= |r.α|)
|an|=r. ω2=|v|2/r
|a|=r.√(α^2+ω^4 )
 r=(r.cosϕ, r.sinϕ)
 v=ω x r 
at= r.α.τ (presnejšie: |r.α|. τ)
 an =|an|.τn
a=|at|.τ + |an|.τn

Podtypy

Rovnomerný pohyb po kružnici
Definícia: 
z hľadiska uhlových veličín: ω je konštantné (inak povedané α = 0)
z hľadiska obvodových veličín: |v| je konštantné (inak povedané |at|=0) [a |an| je konštantné]

Vzorce pre skalárne veličiny:
uhlové:
ϕ = ϕ0 + ω0.Δt
ω = ω0 
α=0
obvodové:
s = s0 + r. ω0.Δt (presnejšie: s=s0+/-r.ω0.Δt)
|v|=r.ω0
|at|=0
|an|=r. ω02
|a| = |an|

Rovnomerne premenný pohyb po kružnici
Definícia: 
z hľadiska uhlových veličín: α je konštantné a ω je nekonštantné (inak povedané: α ≠ 0)
z hľadiska obvodových veličín: |at| je konštantné a |v| je nekonštantné (inak povedané|at| ≠0)

Vzorce pre skalárne veličiny:
uhlové:
ϕ = ϕ0 + ω0.Δt + (1/2).α0.Δt2
ω = ω0 +α0.Δt = ((ω02-2.α0.ϕ0) + 2.α0. ϕ)1/2
α= α0≠0
obvodové:
s = s0 + r. ω0.Δt + (1/2).r.α0.Δt (presnejšie: s = s0 +/- r. ω0.Δt +/- (1/2).r.α0.Δt)
|v| = r(ω0+ α0.Δt) (presnejšie: |v| = |r(ω0+ α0.Δt)|)
|at|= r. α0 (presnejšie: |at|= |r.α0|)
|an| =r.(ω0 +α0.Δt)2
|a| =

Nerovnomerne premenný pohyb po kružnici
Definícia: 
z hľadiska uhlových veličín: α je nekonštantné a ω je nekonštantné (inak povedané: α ≠ 0)
z hľadiska obvodových veličín: |at| je nekonštantné a |v| je nekonštantné (inak povedané|at| ≠0)
Inak povedané: ide o každý pohyb po kružnici, ktorý nie je ani rovnomerný pohyb po kružnici, ani rovnomerne premenný pohyb po kružnici.

Vzorce pre skalárne veličiny:
uhlové:
ϕ ≠ ϕ0 + ω0.Δt; ϕ ≠ ϕ0 + ω0.Δt + (1/2).α0.Δt2
ω ≠ ω0; ω ≠ ω0 +α0.Δt, čiže ω ≠ ((ω02-2.α0.ϕ0) + 2.α0. ϕ)1/2
α ≠0; α ≠ α0
obvodové:
 s ≠ s0 + r. ω0.Δt (presnejšie: s≠s0+/-r.ω0.Δt); s ≠ s0 + r. ω0.Δt + (1/2).r.α0.Δt (presnejšie: s ≠ s0+/-r.ω0.Δt+/-(1/2).r.α0.Δt)
|v| ≠ |v0|; |v| ≠ r(ω0+ α0.Δt) (presnejšie: |v| ≠ |r(ω0+ α0.Δt)|)
|at|≠0;|at| ≠ r. α0 (presnejšie |at| ≠ |r. α0|)
|an|≠ r. ω02; |an|≠r.(ω0 +α0.Δt)2
|a|≠ |an|; |a| ≠

Poznámky

Referencie

Fyzikálne veličiny
Kinematika
Rýchlosť