Goniometrická funkcia

Goniometrická funkcia v matematike je termín používaný pre jednu zo šiestich funkcií veľkosti uhla používaných pri skúmaní trojuholníkov a periodických javov. Goniometrické funkcie sú základom goniometrie. Obvykle sa definujú ako pomer dvoch strán pravouhlého trojuholníka alebo dĺžky určitých častí úsečiek v jednotkovej kružnici. Jej modernejšia definícia je založená na nekonečných radoch alebo riešeniach určitých diferenciálnych rovníc, vďaka čomu ich je možné aplikovať tiež na komplexné čísla. Inverzné funkcie ku goniometrickým funkciám sa označujú ako cyklometrické funkcie.

Goniometrické funkcie poznáme:
 sínus (sin)
 kosínus (cos)
 tangens (tg = sin/cos), (niekedy tiež tan)
 kotangens (cotg = cos/sin), (niekedy tiež cot, ctg alebo cotan)
 sekans (sec = 1/cos)
 kosekans (cosec = 1/sin)
Historicky sa používali ešte nasledujúce dve funkcie:
 versin = 1 − cos
 exsec = sec − 1

Najdôležitejšími funkciami sú sínus, kosínus a tangens.

Definícia

Pravouhlý trojuholník 

Pri definícii pomocou pravouhlého trojuholníka sú jednotlivé prvky trojuholníka ABC nasledujúce:
 pravý uhol  je pri vrchole C
 určovaným uhlom je uhol , vzhľadom k nemu je
 strana a označovaná protiľahlá odvesna
 strana b označovaná priľahlá odvesna
 najdlhšia strana c je nazývaná prepona trojuholníka
Predpokladá sa, že trojuholník leží v euklidovskom priestore a súčet jeho vnútorných uhlov je tak  radiánov resp. 180 °. Potom:

 Sínus  je pomer dĺžky odvesny protiľahlej tomuto uhlu a dĺžky prepony.

 Kosínus  je pomer dĺžky odvesny priľahlej k tomuto uhlu a dĺžky prepony.

 Tangens  je pomer dĺžok odvesny protiľahlej k tomuto uhlu a dĺžky odvesny k nemu priľahlej.

 Kotangens  je pomer dĺžok odvesny priľahlej k tomuto uhlu a dĺžky odvesny k nemu protiľahlej.

 Sekans  je pomer dĺžky prepony a dĺžky odvesny priľahlej k tomuto uhlu.

 Kosekans  je pomer dĺžky prepony a dĺžky odvesny protiľahlej k tomuto uhlu.

Jednotková kružnica 

Týchto šesť funkcií môže byť tiež definovaných pomocou jednotkovej kružnice, čo je kružnica o polomere jedna so stredom v počiatku súradnicového systému. Tento spôsob definície nemá praktické využitie, pre väčšinu uhlov ide o postup založený na pravouhlých trojuholníkoch. Na druhej strane ide o postup veľmi názorný a umožňujúci definovať uhly v rozsahu 0 – 2 π a nie len 0 – π /2 radiánov, ako pri predchádzajúcom postupe. Rovnica jednotkovej kružnice je:
 
Na jednotkovú kružnicu sú vynášané orientované uhly θ tak, že ich vrchol je v strede kružnice a počiatočné rameno je totožné s kladnou (pravou) polosou vodorovnej osi súradníc. Ak sú veľkosti týchto uhlov kladné (väčšie ako nula) je uhol orientovaný proti smeru otáčania hodinových ručičiek. Ak sú záporné je uhol orientovaný v smeru otáčania. Druhé rameno uhla pretína jednotkovú kružnicu v bode, ktorého súradnice v danej sústave sú [x, y]. Úsečka daná počiatkom súradnicovej sústavy a týmto bodom je preponou trojuholníka, ktorého odvesny majú dĺžku x a y. Pretože má tato prepona dĺžku 1, tak platí:  a .
Pre uhly väčšie ako 2π, alebo menšie ako −2π, sa jednoducho pokračuje v otáčaní ramena uhla okolo stredu kružnice. Potom sa hodnoty funkcií sínus a kosínus začnú opakovať – hovoríme, že tieto funkcie sú periodické s periódou 2π (360°) a platí:

kde θ je ľubovoľný uhol a k ľubovoľné celé číslo.

Najmenšou periódou funkcií sin, cos, sec a cosec je plný uhol – teda 2π radiánov alebo 360 stupňov. Najmenšou periódou funkcií tg a cotg je uhol priamy – π resp. 180°.

Zatiaľčo priebeh funkcií sínus a kosínus je možné zostrojiť takýmto relatívne jednoduchým spôsobom, konštrukcia grafov ostatných funkcií je o niečo zložitejšia. Bežne sa používa ešte konštrukcia funkcií tangens a kotangens.

Rady 

Za pomoci geometrie a vlastností limít je možné ukázať, že derivácia sínusu je kosínus a derivácia kosínusu je mínus sínus. Potom je možné pomocou Taylorových radov vyjadriť sínus a kosínus pre všetky komplexné čísla x takto:
 

Polynómy pre ďalšie goniometrické funkcie sú:
, kde 
, kde

Diferenciálne rovnice 
Ako funkcia sínus, tak i kosínus sú výsledkom diferenciálnej rovnice . To teda znamená, že pre obe tieto funkcie platí, že ich druhá derivácia je rovná mínus danej funkcie. V dvojrozmernom vektorovom priestore V obsahujúcom všetky riešenia tejto rovnice je sínus práve to riešenie spĺňajúce počiatočné podmienky y(0) = 0 a y′(0) = 1 a kosínus riešenie s počiatočnými podmienkami y(0) = 1 a y′(0) = 0.
Pretože sú sínus a kosínus lineárne nezávislé tvoria bázu vektorového priestoru V. Tento spôsob definície goniometrických funkcií je v zásade ekvivalentný definícii cez Eulerovu formulu. 

Funkcia tangens je riešením rovnice  pre počiatočnú podmienku y(0) = 0.

Pomocou vlastností 
Existuje práve jedna dvojica funkcií s a c s týmito vlastnosťami:
:

, pre .

Výpočty hodnôt 
V súčasnosti sa už väčšina ľudí nestretne s počítaním hodnôt goniometrických funkcií vďaka dostupností počítačov a vedeckých kalkulátorov. Historicky sa hodnoty goniometrických funkcií určovali interpoláciou hodnôt z predpočítaných tabuliek obsahujúcich ich hodnoty pre najdôležitejšie uhly. Tieto tabuľky vznikli so zrodom samotných goniometrických funkcií a boli zostavované opakovaným použitím sčítania a delenia známych uhlov.

Počítače používajú pre výpočet goniometrických funkcií niekoľko metód. Obvyklým postupom je kombinácia polynomiálnej aproximácie (pomocou Taylorových alebo Maclaurinových polynómov) a vyhľadávanie v tabuľke už pripravených uhlov. Najprv je teda nájdená hodnota blízkeho uhla a presná hodnota je dopočítaná vhodným aproximačným polynómom. Tak však môžu postupovať výkonnejšie stroje vybavené jednotkou pre operácie s plávajúcou desatinnou čiarkou, v jednoduchších zariadeniach sa používa algoritmus zvaný CORDIC, ktorý je v tomto prípade efektívnejší. Obe metódy sú kvôli lepšiemu výkonu často súčasťou už počítačového hardvéru.

Presne určiť hodnoty goniometrických funkcií pre všetky násobky 60° a 45° je možné nasledujúcim spôsobom:

Majme rovnoramenný pravouhlý trojuholník s dĺžkami odvesien a=b=1; uhly pri prepone sú rovnaké a teda rovné  (45°). Potom podľa Pytagorovej vety:

a teda 

Goniometrické funkcia uhlov  radiánov (60°) a  radiánov (30°) sa určí pomocou rovnostranného trojuholníka so stranami dĺžky 1. Všetky jeho uhly sú rovné  radiánov (60°). Keď ho rozdelíme na polovice, získame pravouhlý trojuholník s uhlami o veľkosti  a . Jeho kratšia odvesna má dĺžku , dlhšia  a prepona dĺžku 1. Potom teda:

História 
Snáď ako prvý sa štúdiu goniometrických funkcií a počítaním ich hodnôt venoval Hipparchos z Nikaie (180 pr. Kr. - 125 pr. Kr.), ktorý porovnával dĺžky oblúka kružnice pri danom stredovom uhle (αr) s dĺžkami im odpovedajúcich tetív (2r sin(α/2)). O niečo neskôr, v 2. storočí nášho letopočtu, Ptolemaios obohatil tieto znalosti v svojom diele Almagest o odvodení vzorcov zodpovedajúcich tým dnešným pre súčet a rozdiel uhlov: sin(α + β) a sin(α − β). Dokázal tiež odvodiť vzorec pre uhol polovičný (sin2(α/2) = (1 − cos(α))/2), vďaka čomu mohol zostaviť tabuľky pre uhly s prakticky ľubovoľnou presnosťou. Do dnešných dní sa však ani jedny tabuľky nedochovali.

K ďalšiemu pokroku v oblasti goniometrie došlo v Indii. V spise Siddhantas zo 4–5. storočia bola po prvýkrát uvedená definícia sínusu ako pomeru medzi polovicou uhla a polovicou priesečníka. Tento spis tiež obsahuje prvé dodnes dochované tabuľky hodnôt sínusu a funkcia (1 − cos) pre uhly v 3,75 stupňových intervaloch medzi 0 a 90 stupňami. Neskôr bol spis preložený a rozšírený Arabami, ktorí zhruba v desiatom storočí, v diele Abu'l-Wefy, už používali šesť goniometrických funkcií a mali tabuľky hodnôt funkcií sínus a tangens s presnosťou na 8 desatinných miest pre uhly vzdialené od seba o štvrtinu stupňa.

Dnes používané slovo sínus pochádza z latinského výrazu pre záhyb resp. zátoku. Vzniklo nesprávnym prekladom zo sanskritu, z tamojšieho slova jiva (resp. jya). jiva (pôvodne ardha-jiva), vo význame „poltetiva“, bola v diele Aryabhatiya zo 6. storočia Arabmi prepísaná ako jiba (جب). Európskymi prekladateľmi (Robert of Chester a Gherardo of Cremona) z Toleda (Španielsko) však bolo toto slovo v 12-tom storočí zamenené so slovom jaib (جب) znamenajúcim „zátoka“. Dôvodom omylu bol rovnaký arabský zápis oboch slov.

Všetky doterajšie práce sa na goniometriu dívali ako na doplnok astronómie. Snáď prvým dielom zaoberajúcim sa goniometriou samostatne bolo Regiomontanovo De triangulis omnimodus z roku 1464 a neskôr tiež jeho Tabulae directionum (kde sa objavila, zatiaľ nepomenovaná, funkcia tangens).

Rhaeticova práca Opus palatinum de triangulis konečne definovala goniometrické funkcie pomocou pravouhlých trojuholníkov namiesto tetív kružníc a obsahovala tabuľky pre šesticu goniometrických funkcií. Prácu dokončil Rhaeticov študent Valentin Otho v roku 1596.

Analytický náhľad na goniometrické funkcie vytvoril Leonhard Euler roku 1748 v spise Introductio in analysin infinitorum, kde tieto funkcie definoval pomocou nekonečných radov a kde tiež predstavil Eulerov zápis komplexného čísla: eix = cos(x) + i sin(x). Používal tiež (takmer) dnešné skratky pre funkcie: sin., cos., tang., cot., sec., a cosec..

Vybrané vzorce z oblasti goniometrie 

Nasledujúce vzorce sú platné tam, kde majú dané formule zmysel
 Záporné hodnoty uhlov:

 Vzájomné vzťahy medzi goniometrickými funkciami rovnakého uhla:

 Goniometrické funkcie súčtu a rozdielu (inak tiež súčtové vzorce goniometrických funkcií):

 Súčet a rozdiel goniometrických funkcií:

 Súčiny goniometrických funkcií:
 
 
 
 
 
 

 Dvojnásobný uhol (k odvodeniu goniometrických funkcií viacnásobného argumentu používame Moivrove vety):

 Polovičný uhol:
 
 
 
 

 Mocniny goniometrických funkcií:

Hodnoty funkcií vo vybraných uhloch

Trigonometrické vety 
 Sínusová veta
 Kosínusová veta
 Tangensová veta

Pozri aj 
 Trigonometria
 Cyklometrická funkcia

Referencie

Literatúra 
 Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Premetheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Externé odkazy 
 Trigonometric Functions na MathWorldu – anglicky
 Goniometrie  na Matematice Polopatě

Goniometria