Karl Menger

Karl Menger (* 13. január 1902, Viedeň, Rakúsko – † 5. október 1985, Highland Park, Illinois, USA) bol rakúsky matematik, jeden z najvýznamnejších matematikov 20. storočia. Popri matematike sa vážnejšie venoval filozofii, ekonómii a etike. Bol člen známeho Viedenského krúžku a zakladateľ Viedenského matematického kolokvia.

Život 
Karl Menger sa narodil do váženej viedenskej rodiny. Jeho otec, slávny rakúsky ekonóm Carl Menger, známy ako jeden zo zakladateľov rakúskej ekonomickej školy, dával hodiny ekonómie samotnému korunnému princovi Rudolfovi. Mengerova matka, Hermione Andermann, bola o tridsať rokov mladšia od svojho manžela a vo vtedajšej Viedni bola známa ako spisovateľka a hudobníčka. V rokoch 1913 až 1920 Menger študoval na Döblingskom Gymnáziu vo Viedni. Tamojší pedagógovia sa zhodli na tom, že Menger je zázračné dieťa, a preto ho zaradili do triedy nadaných študentov spolu s budúcim laureátom Nobelovej ceny za chémiu Richardom Kuhnom. Treba poznamenať, že gymnázium v Döblingu vychovalo začiatkom 20. storočia mnoho iných významných osobností -- ďalší Mengerov spolužiak z gymnázia bol napríklad o dva roky starší Wolfgang Pauli, neskôr laureát Nobelovej ceny za fyziku.

Na jeseň roku 1920 začal študovať fyziku na Viedenskej univerzite u Hansa Thirringa. To sa však malo rýchlo zmeniť. V marci 1921 nastúpil na tamojšiu katedru matematiky Hans Hahn a Menger sa rozhodol zo zvedavosti navštevovať jeho seminár pomenovaný Novinky o koncepte krivky. Hahn na seminári prezentoval dlhé roky odolávajúci problém rýdzo topologickej definície pojmu krivky. Mengera problém zaujal a v priebehu týždňa usilovnej práce poskytol Hahnovi riešenie. Keď prekvapený Hahn potvrdil správnosť jeho úvah, Menger, povzbudený úspechom presunul oblasť svojho záujmu z fyziky na matematiku.

Krátko nato Mengerovi diagnostikovali v tom období bežnú tuberkulózu. Od jesene 1921 až do jari 1923 sa liečil v sanatóriu Alfenz v Steyerských alpách. Tu sformuloval svoju teóriu dimenzie a dokončil článok o teórii kriviek, v ktorom používa rekurzívnu definíciu dimenzie. Počas pobytu v Alpách zomreli obaja Mengerovi rodičia. Menger neskôr, spomínajúc na toto obdobie, nezabudol nikdy poznamenať, že v rovnakom čase v inom rakúskom sanatóriu zomieral na tuberkulózu Franz Kafka. Po návrate zo sanatória Menger dokončil svoje štúdium u Hahna a v roku 1924 získal doktorát. V tomto roku začal u Mengera študovať Witold Hurewicz, ktorý sa neskôr vyprofiloval ako expert na teóriu dimenzie.

Mengerova povesť sa rýchlo rozšírila po celej matematickej komunite a odozva na seba nedala dlho čakať. Luitzen Egbertus Jan Brouwer, zakladateľ modernej topológie, významný logik, teoretik základov matematiky a zakladateľ intuicionizmu, ponúkol Mengerovi docentské miesto na Amsterdamskej univerzite. Menger, sám topológ, sa nesmierne zaujímal o Brouverovu prácu v topológii. Popri tom ho ale zaujímal aj intuicionizmus a Brouwerove názory na základy matematiky, a preto pozvanie prijal. V Amsterdame sa však Menger postavil do opozície voči Brouwerovmu intuicionizmu a celý zvyšok jeho pobytu charakterizovala hašterivá atmosféra. Napriek tomu však s Brouwerom spolupracoval na topologických problémoch. V roku 1926 prišiel za Mengerom do Amsterdamu aj Witold Hurewicz. Na jeseň 1926 získal Menger habilitáciu. Aj keď na Brouwera neskôr spomínal ako na nevrlého človeka, na obdobie v Amsterdame nedal dopustiť a vždy pripomínal ústretovosť Brouwera k začínajúcim matematikom.

V roku 1927 Kurt Reidemeister, docent geometrie na Viedenskej univerzite, získal pozíciu na univerzite v Königsbergu. Hans Hahn ponúkol voľné docentské miesto Mengerovi. Menger sa teda vrátil do rodnej Viedne. Na jeseň 1927 vstúpil do známeho Viedenského krúžku. Viedenský krúžok založili Moritz Schlick, Otto Neurath a Hans Hahn. Bola to skupina Viedenských filozofov, logikov, matematikov, ale aj prírodovedcov a sociológov, ktorí sa pravidelne každé dva týždne stretali na spoločnom seminári. Dielo účastníkov Viedenského krúžku možno považovať za jedno z najvplyvnejších a najpodnetnejších v priebehu celého 20. storočia. Menger v tom období založil aj vlastný seminár známy ako Viedenské matematické kolokvium, ktorý predstavoval matematickú protiváhu filozoficky ladeného krúžku. Tento seminár nebol zameraný výhradne na matematiku a logiku, ale poskytoval priestor pre seriózne výskumy základných problémov rôznych empirických vied. Mnohí účastníci kolokvia navštevovali aj krúžok. Bolo to práve kolokvium, kde Kurt Gödel prvýkrát prezentoval svoju slávnu vetu o neúplnosti.

Roky 1930 a 1931 strávil Karl Menger v USA na Harvarde a na Riceho inštitúte v Houstone v Texase. Počas tohto hosťovania bol Menger v kontakte s Viedenským kolokviom vďaka Georgovi Nöbelingovi, ktorý mu začiatkom roku 1931 poslal prelomovú prácu Kurta Gödela. Menger okamžite prerušil prednášky, ktoré viedol na Riceho Inštitúte, aby referoval o tomto prevratnom objave. Tak sa stalo, že tamojší matematici boli prvou skupinou v Amerike, ktorá mala možnosť vypočuť si dôkaz Gödelovej vety o neúplnosti.

V roku 1935 sa Karl Menger oženil s Hildou Axamit, študentkou poisťovníctva. Mali spolu 4 deti: Karla 1935, dvojičky Rosemary a Freda 1937 a Evu 1942.

Medzitým sa intelektuálne ovzdušie vo Viedni zhoršovalo. Progresívny Hans Hahn zomrel v roku 1934. Navyše po tom, čo prišiel v Nemecku k moci Hitler, začali sa v Rakúsku ozývať hlasy za pripojenie k Nemecku. Pronemeckí nacionalisti ovládli fakulty viedenských univerzít a proti členom Viedenského krúžku vystupovali so znevažujúcou nenávistnou rétorikou. V júni 1936 bol Moritz Schlick, zakladateľ krúžku, zastrelený pomäteným študentom. Celková atmosféra tých čias nepriala hĺbavému intelektuálnemu životu. Menger sám spomínal, že mal v tomto období ťažkosti sústrediť sa na matematiku.

V roku 1936 sa Menger zúčastnil Medzinárodného kongresu matematikov v Osle a bol zvolený za jedného z viceprezidentov. Keď opísal zhoršujúcu sa politickú situáciu vo Viedni a jej dopad na jeho priateľov a kolegov, bola mu okamžite ponúknutá pozícia hosťujúceho profesora na univerzite Notre Dame v Indiane. Túto pozíciu Menger prijal a na Notre Dame nastúpil v roku 1937. Menger si pôvodne na svojej domovskej univerzite vyžiadal iba povolenie na dlhodobé vycestovanie, no po druhej svetovej vojne mu post na Viedenskej univerzite nebol obnovený.

Na Notre Dame Menger spolu s Arthurom Milgramom, Paulom Pepperom, Johnom Kellym a Emilom Artinom založil doktorandské štúdium matematiky. Pre doktorandov zorganizovali sériu matematických prednášok, ktoré spísali a publikovali knižne. Druhý diel týchto prednášok -- Galoisova teória od Artina sa stala obzvlášť známou a obľúbenou učebnicou. Keď Hitler v marci 1938 obsadil Rakúsko, Menger okamžite rezignoval na svoje docentské miesto vo Viedni a na Notre Dame prijal definitívu. Menger tiež opätovne založil Matematické kolokvium. Žiaľ, druhá svetová vojna ovplyvnila aj akademický život v USA a Matematické kolokvium sa nedočkalo takej tvorivej sily, akou sa vyznačoval jeho Viedenský predchodca.

Lester Randolph Ford ponúkol Mengerovi v roku 1942 pozíciu na novozaloženom Illinoiskom technologickom inštitúte v Chicagu. Ford tam v tom období šéfoval katedre matematiky. Mengera si pamätal z obdobia, keď Menger hosťoval na Riceho inštitúte. Keďže sa najstaršie Mengerove deti blížili školskému veku a Chicago im ponúkalo lepšie vzdelanie a kozmopolitné prostredie, Menger pozíciu prijal. Na Chicagskej univerzite Rudolf Carnap navyše organizoval Chicagsky krúžok, akúsi obdobu Viedenského krúžku, a Menger sa snažil na tomto podujatí participovať už v období, keď pracoval na Notre Dame. Na Illinoiskom inštitúte sa Menger počas druhej svetovej vojny zapojil do vyučovania základnej matematiky pre námorných kadetov v rámci programu V-12. Práve táto skúsenosť Mengera v 50. a 60. rokoch priviedla k jeho záujmu o teóriu vyučovania matematiky. Okrem iného ho to motivovalo k napísaniu knihy Algebra analýzy (Algebra of analysis). Až na niekoľko drobných prestávok strávil zvyšok života v Chicagu.

Počas sabatikálu 1951/52 Menger hosťoval na Sorboni v Paríži. V roku 1963 sa po prvýkrát po dlhej dobe vrátil do Rakúska. V roku 1968 hosťoval na Univerzite stredného východu v Ankare v Turecku. V roku 1971 bol zvolený za dopisujúceho člena Rakúskej akadémie vied. V roku 1971 sa stal emeritným profesorom na Illinoiskom technologickom inštitúte.

Karl Menger miloval hudbu a modernú architektúru. Zbieral ozdobné obkladačky a kachličky z celého sveta, ktorými si obložil obývačku svojho domu v Chicagu. Nemal rád víno, zato obľuboval sladké likéry. Hoci nebol vegetariánom, mäso jedol zriedkavo, obzvlášť v posledných rokoch života. Zakaždým však s radosťou skúšal jedlá exotických kuchýň. Miloval pečené jablká. Menger mal rád dlhé výlety a vychádzky. S obľubou poskytoval svojim študentom konzultácie počas ranných vychádzok okolo Michiganského jazera. Veľmi si obľúbil Ameriku a bratov Marxovcov.

Karl Menger zomrel v spánku v dome svojej dcéry Rosemary v Highland Park, neďaleko Chicaga.

Dielo

Teória grafov 

V teórii grafov je po Mengerovi pomenovaná tzv. Mengerova veta o súvislosti grafov. Veta hovorí, že veľkosť minimálneho hranového rezu grafu pre dané vrcholy x a y, teda minimálny počet hrán, ktorý treba z grafu odobrať na to, aby boli x a y v rôznych komponentoch súvislosti, je rovný maximálnemu počtu ciest z x do y, ktoré majú po dvoch disjunktné množiny hrán. 

Existuje aj obmena vety, ktorá hovorí, že pre nesusedné vrcholy x a y je veľkosť minimálneho vrcholového rezu grafu pre vrcholy x a y (počet vrcholov, ktoré treba odobrať, aby boli x a y v rôznych komponentoch súvislosti) rovný maximálnemu počtu ciest z x do y, ktoré majú po dvoch disjunktné množiny vrcholov.

Teória dimenzie

Geometria metrických priestorov 
Mengerovou obľúbenou témou bolo štúdium štruktúry metrických priestorov geometrickými metódami -- sám túto disciplínu nazýval metrickou geometriou. Zahŕňala štúdium geodetík alebo krivosti oblúkov a povrchov. To sú pojmy, ktoré sa štandardne študujú v rámci diferenciálnej geometrie a medzi klasické pomôcky patria lokálne mapy a súradnice. Menger si uvedomil, že vo vhodných metrických priestoroch možno tieto pojmy rozumne definovať a skúmať aj bez použitia súradníc. V roku 1930 publikoval prácu, v ktorej definuje krivosť oblúka v konvexnom metrickom priestore:

Definícia: Krivosť ľubovolnej trojice bodov p,q,r v konvexnom metrickom priestore je obrátená hodnota polomeru nimi určenej kružnice. Nech A je oblúk v tomto priestore a nech a je bod na ňom ležiaci. Krivosť oblúka A v bode a je limita krivostí takých trojíc bodov p,q,r, ktoré ležia na A a ich vzdialenosti od bodu a konvergujú k nule.

Tu si treba uvedomiť, že už len existencia niečoho, čo sa dá nazvať "kružnica určená troma bodmi" je vysoko netriviálny výsledok o štruktúre konvexných metrických priestorov. To, že je pojem krivosti takto dobre definovaný, predstavuje tiež netriviálny fakt -- totiž, nie je jednoduché ukázať, že ak limita krivostí existuje, tak nezávisí od voľby konvergentnej postupnosti trojíc p,q,r.

Iný Mengerov výsledok z metrickej geometrie je veta o izometrickom vnorení metrického priestoru do lineárneho priestoru.

Veta: Metrický priestor P možno izometricky vnoriť do Hilbertovho priestoru H vtedy a len vtedy, ak sú splnené nasledujúce dve podmienky:
 P je separabilný
 pre každé prirodzené číslo n možno každú n+1-prvkovú podmnožinu P izometricky vnoriť do

Projektívne priestory a teória zväzov 
V roku 1927, keď získal miesto na Viedenskej univerzite, začal si Menger pripravovať podklady na prednášku o projektívnej geometrii. Pri tejto príležitosti dôkladne preštudoval staršie Veblenove a Hilbertove práce o axiomatizácii projektívnej geometrie. Mengerovi sa ani jeden z prístupov nezdal dostatočne elegantný.

Vo Veblenovej axiomatizácii mali body projektívneho priestoru výnimočné postavenie oproti priamkam, rovinám a objektom vyšších dimenzií. Toto privilegované postavenie však nemá žiadne opodstatnenie v samotnej projektívnej geometrii -- napríklad už len kvôli tomu, že body sú v n-rozmernom projektívnom priestore duálne k n-1-rozmerným podpriestorom. Hilbertova axiomatizácia zase potrebovala celú hierarchiu objektov rôznych typov odstupňovaných podľa dimenzie.

V roku 1928 Menger publikoval článok Axiomatik der endlichen Mengen und der elementargeometrischen Verknüpfungsbeziehungen, v ktorom prezentoval nový prístup. Menger si ako východisko zvolil základnú konštrukciu projektívneho priestoru, keď sa projektívny priestor dimenzie n stotožňuje so systémom všetkých lineárnych podpriestorov vopred zvoleného n+1-rozmerného vektorového priestoru. Menger v tomto systéme zaviedol operácie prieseku a spojenia podpriestorov a vyšetril vlastnosti týchto, zatiaľ ešte, geometrických operácií. Tak dospel k algebraickej štruktúre, ktorej dal neskôr Garrett Birkhoff názov lattice -- po slovensky zväz. Menger ďalej charakterizoval tú triedu zväzov, ktoré zodpovedajú projektívnym priestorom. Neskôr zväzovo teoretickými metódami skúmal aj geometriu afinných priestorov. Nezávisle od Mengera dospel k podobným výsledkom aj Birkoff.

Pre úplnosť je treba poznamenať, že k pojmu zväzu sa už začiatkom 20. storočia, aj keď na základe iných úvah, dopracoval Dedekind a v 19. storočí Boole.

Pravdepodobnostné metrické priestory 
Menger sa počas svojho štúdia na gymnáziu a neskôr, počas prvého roku štúdia na vysokej škole, profiloval ako fyzik. Skúsenosť s fyzikou sa potom tiahla celou jeho profesionálnou kariérou a kde-tu motivovala k zaujímavým počinom. Aj pri zrode idey pravdepodobnostného metrického priestoru stála fyzikálna motivácia.

Každý fyzikálny experiment, každá meraná fyzikálna veličina, či už objem, plocha alebo pozícia, je obeťou experimentálnych chýb merania. Podľa Heisenbergovho princípu neurčitosti sú niektoré dvojice veličín dokonca principiálne nemerateľné s ľubovolnou presnosťou. V roku 1942 Menger publikoval krátku správu nazvanú Statistical metrics, v ktorej ukazuje zaujímavý spôsob ako popísať a študovať priestory, v ktorých nie je možné presne merať vzdialenosti. Ako východisko použil pojem klasického metrického priestoru, pričom vzdialenosť dvoch bodov p, q neohodnotil jednoduchou číselnou hodnotou, ale distribučnou funkciou Fpq, ktorej hodnotu Fpq(x) v bode x interpretoval ako pravdepodobnosť, že vzdialenosť bodov p a q je menšia než x.

Raná teória pravdepodobnostných metrických priestorov bola plná otvorených problémov, ktorých sa zhostili Mengerovi žiaci. Nesmierny kus práce tu odviedol Abraham Wald, po ktorom sú pomenované Waldovské priestory -- špeciálna trieda pravdepodobnostných metrických priestorov. Žiaľ, Wald predčasne zahynul pri havárii lietadla. Po jeho smrti sa teórii intenzívne venovali Mengerov kolega Abe Sklar a bývalý Mengerov študent Berthold Schweizer. Ich pričinením sa teória vyvinula na úroveň rešpektovanej matematickej disciplíny. Výsledky a pojmy z teórie pravdepodobnostných metrických priestorov našli významné uplatnenie v iných odvetviach matematiky a vo fyzike. Napríklad bez pojmu t-normy si dnes nevieme predstaviť fuzzy logiku a teóriu fuzzy množín. Iný príklad -- pojem kopule sa stal legitímnym nástrojom matematickej štatistiky. Pritom oba pojmy boli zavedené a preskúmané práve v kontexte pravdepodobnostných metrických priestorov.

Ekonómia 
Od roku 1923, keď editoval druhé vydanie Grundsätze des Ökonomie, knihy svojho otca Carla Mengera, zaujímal sa Menger aj o ekonómiu. Jeho vlastný prínos spočíva hlavne v teórii neistoty a vo formálnom uchopení zákona klesajúcich výnosov.

V roku 1934 Menger na matematickom kolokviu prezentoval a vzápätí aj publikoval prácu Unsicherheitsmoment in der Wertlehre zaoberajúcu sa problémom známym tiež ako Petrohradský paradox. Petrohradský paradox je jednoduchá antagonistická hra dvoch hráčov, v ktorej zohráva dôležitú rolu náhoda. V krátkosti: hru hrajú dvaja hráči A a B. Hráč A na začiatku zaplatí dohodnutú sumu i korún, aby sa vôbec mohol hry zúčastniť. Potom začne hráč B hádzať mincou a hádže dovtedy, kým nepadne hlava pričom počíta počet hodov n. Potom ako padne prvýkrát hlava, zaplatí hráč B hráčovi A sumu 2n korún a hra končí. Je zrejmé, že ak hráč B nezvolí dostatočne citlivo cenu hry i, ktorú musí hráč A zaplatiť ako vstupný poplatok, môže rýchlo zbankrotovať. Tiež je zrejmé, že ak chce B v dlhodobom horizonte na prevádzkovaní hry zarábať, musí byť vstupný poplatok väčší ako stredná hodnota výplaty. Vtip je v tom, že výplata takejto hry je náhodná veličina, ktorá nemá strednú hodnotu. Presnejšie povedané, má nevlastnú strednú hodnotu . To znamená asi toľko, že bez ohľadu na výšku vstupného poplatku i bude hráč B v dlhodobom horizonte stratový. Zaujímavé je pritom ale to, že drvivá väčšina nepoučených respondentov v psychologickom teste navrhne ako spravodlivú cenu hry sumu v hodnote okolo 2 korún.

O vysvetlenie tohoto javu sa pokúšal už Bernoulli pomocou pojmu funkcie úžitku. Menger sa naproti tomu snažil fenomén vysvetliť pomocou subjektívnych pravdepodobností tak, ako ich vníma hráč B. Táto práca neskôr stimulovala von Neumanna k vybudovaniu axiomatickej teórie úžitku a teórie hier.

Mengerov článok The Logic of the Laws of Return z roku 1954 je prísne formálna a matematická analýza zákona klesajúcich výnosov. V tom čase bolo v ekonomickej literatúre množstvo formulácií a dôkazov tohto zákona pochádzajúcich napríklad od Ludwiga Misesa, Eugena Bawerka alebo Knuta Wicksella. Menger vyjasnil logické a matematické vzťahy medzi nimi a poskytol solídne základy pre ďalšie matematické štúdium tejto problematiky.

Etika 
Menger sa spolu so Schlickom vážne zaujímal o otázky etiky. V roku 1934 publikoval knihu Moral, Wille und Weltgestaltung, v ktorej aplikoval precízne logicko-deduktívne postupy na poli etiky. Jeho zámerom bolo pristúpiť ku štúdiu vybraných otázok etiky tak precízne a disciplinovane, ako je to zvykom v logike alebo matematike. Preto sa v úvahách prísne vyhýbal nepodloženým predpokladom a metafyzickým argumentom. Jednou z diskutovaných tém je Kantov kategorický imperatív. Menger dokazuje, že kategorický imperatív nijako neobstojí ako vysvetlenie konania jednotlivcov alebo skupín. Kniha bola v roku 1974 vydaná v anglickom jazyku s podtitulom Toward a Logic of Ethics. Významný filozof a teoretik vedy Karl Popper o nej povedal:

"This is one of a few books in which the author attempts to depart from the stupid talk in ethics."

Dramatická tvorba 
Pokus o dramatickú tvorbu treba chápať skôr ako kurióznu kapitolu v Mengerovom živote. V roku 1920, keď bol Menger študentom posledného ročníka na gymnáziu, bol jeho spolužiakom aj Heinrich Schnitzler, ktorého otec Arthur bol známy dramatik. V denníku Arthura Schnitzlera sa nachádza niekoľko poznámok o Mengerovi datovaných 1920 až 1931. Ani jedna z nich nie je priaznivá. Menger v skutočnosti pracoval na dráme o spornej Pápežke Jane. Schnitzler poznamenáva, že Mengerove snahy o drámu sú neúspešné, že dielo je nepríjemné a že Mengerove ambície nesiahajú ďalej než po jeho dokončenie. O Mengerovi sa Schnitzler vyjadruje ako o nenormálnom podivínovi a megalomanovi so samovražednými sklonmi, aj keď pripúšťa jeho kvality v matematike a fyzike. Snahy o dramatickú tvorbu, akokoľvek nevýznamné boli, poskytujú nám svedectvo o nesmiernej Mengerovej všestrannosti a tvorivej sile.

Mengerova cena 
Mengerova cena sa udeľuje ako odmena za výnimočné výsledky v matematických súťažiach. Väčšinou to býva Annual William Lowell Putnam Mathematical Competition, tiež známej ako Putnamova súťaž. Táto sa koná každoročne a je prístupná všetkým študentom bakalárskych smerov na amerických a kanadských univerzitách. Každá zúčastnená univerzita vyberie tím troch študentov. Výsledky tohto tímu určujú umiestnenie univerzity. Členovia najlepších tímov okrem toho absolvujú pohovor s komisiou zostavenou z členov katedry matematiky na Duke University a na základe tohto pohovoru a dosiahnutého umiestnenia v súťaži sa vyhlásia laureáti.

Mengerova cena sa udeľuje od roku 1989 a vypláca sa z daru, ktorý poskytli George Hammond a jeho manželka a Mangerova dcéra Eva Menger-Hammond.

Externé odkazy 
 Životopis na stránkach katedry matematiky, Illinois Institute of Technology kde Menger pôsobil

Rakúski matematici
Osobnosti z Viedne