Lineárne zobrazenie

Lineárne zobrazenie (alebo tiež lineárny operátor) je abstraktný jav v algebre, ktorý možno chápať v istom zmysle ako funkciu. Lineárne zobrazenie priraďuje vektoru (vzoru) z vektorového priestoru, nový vektor (obraz) z iného resp. rovnakého vektorového priestoru. Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory  prípadne .

Definícia
Nech  sú vektorové priestory nad telesom . Zobrazenie  sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:

Príklad
Zobrazenie  nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)

Tu ale neplatí , pretože . Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.

Matica lineárneho zobrazenia

Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak  je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať

Vektor  je chápaný ako matica . Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice  je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru) . Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu . Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti

kde vektor  je k-ty jednotkový vektor a  je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.

Príklad
Nájdime maticu  lineárneho zobrazenia , ktoré ku každému vektoru  priradí jeho -násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).

Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom

Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory  ortonormálnej bázy priestoru , keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj -násobok, teda

Matica tohto lineárneho zobrazenia je 

Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru  dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia  je jeho -násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom

Príklady matíc ďalších lineárnych zobrazení

Základná veta o lineárnych zobrazeniach
Nech  je ľubovolná báza vektorového priestoru  a nech  sú ľubovolné vektory priestoru . Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie  pre ktoré platí:  ,  , ... ,

Literatúra 
 Chalmovianský. P: Geometria afinných zobrazení euklidovských priestorov. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2010, s. 2-5
 Zlatoš. P: Lineárna algebra a geometria. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2011, s. 122-134

Algebra