Banachova veta o pevnom bode

Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície

Pevný bod 

Nech  je zobrazenie. Bod  nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak .

Kontraktívne zobrazenie 

Nech  je metrický priestor, nech . Nech  je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L,  taká, že pre všetky  platí 

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre .

Znenie vety 

Nech  je úplný metrický priestor. Nech  je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod . Navyše, pre každé  platí  pre  (symbol  označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí .

Dôkaz

Existencia pevného bodu 

Z kontraktívnosti zobrazenia f možno matematickou indukciou dokázať, že platí

Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla n,k platí 

Keďže

je postupnosť  fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru  potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu u. Potom platí

čiže u je pevný bod zobrazenia f.

Jednoznačnosť pevného bodu 

Sporom. Nech  sú dva rôzne pevné body zobrazenia f. Z kontraktívnosti zobrazenia f:

z čoho , čo je spor.

Rýchlosť konvergencie 

Tvrdenie 

dokážeme matematickou indukciou:

 Nech . Potom z kontraktívnosti f:
 
 Nech tvrdenie platí pre . Ukážeme, že platí aj pre :

Aplikácie 

K štandardným aplikáciam Banachovej vety o pevnom bode patria dôkazy niektorých viet o existencii riešení diferenciálnych a integrálnych rovníc, či numerické metódy hľadania koreňov nelineárnych rovníc. Využíva sa však aj vo viacerých ďalších oblastiach, napríklad vo finančnej matematike, či v teórii fraktálov.

Literatúra 

 Agrawal, R. P., Meehan, M., O'Regan, D.: Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press, 2004.
 Švec, M., Šalát, T., Neubrunn, T.: Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Alfa, 1987.

Externé odkazy 

 Dôkaz Banachovej vety o pevnom bode  na Bourbawiki .   
 Banach Fixed Point Theorem .
 Článok o Banachovej vete o pevnom bode na PlanetMath .

Funkcionálna analýza
Numerická matematika