Lagrangeova funkcia

Lagrangeova funkcia (iné názvy: Lagrangeov výraz, lagrangeián, lagrangián, lagranžián [výslovnosť vždy "lagra(n)ž..."], značka L) dynamického systému predstavuje východiskový bod lagrangeovej formulácie klasickej mechaniky. Je pomenovaná podľa Josepha Louisa Lagrangea.

V klasickej mechanike je lagrangeián definovaný ako zovšeobecnená kinetická energia  systému mínus jeho zovšeobecnená potenciálna energia :

Priamou substitúciou lagrangeiánu do Eulerovej-Lagrangeovej rovnice získame systém parciálnych diferenciálnych rovníc predstavujúcich pohybové rovnice študovaného systému.

Lagrangeova formulácia

Dôležitosť 

Lagrangeova formulácia mechaniky je dôležitá nielen pre jej širokú aplikáciu, ale aj pre jej úlohu v pokroku hlbšieho chápania fyziky. Hoci sa Lagrange snažil len opísať klasickú mechaniku, akčný princíp, ktorý sa používa na odvodenie Lagrangeovej rovnice sa teraz uznáva za aplikovateľný na kvantovú mechaniku. 

Fyzická akcia a kvantovomechanická fáza sú prepojené prostredníctvom Planckovej konštanty, a princíp stacionárnej akcie možno pochopiť v pojmoch konštruktívnej interferencie vlnových funkcií. 

Rovnaký princíp a Lagrangeov formalizmus sú úzko prepojené na Noetherovej teorému, ktorá prepája fyzickú konzervovanú kvantitu na kontinuálne symetrie fyzického systému.

Lagrangeovská mechanika a Noetherovef teoréma spolu dávajú prirodzený formalizmus pre prvú kvantizáciu prostredníctvom zahrnutia komutátorov medzi určitými pojmami lagrangeovských rovníc pre fyzikálny systém.

Výhody nad inými metódami 
 
 Formulácia nie je napojená na žiadnu sústavu súradníc – namiesto toho môžu byť akékoľvek vhodné premenné  použité na opísanie systému; tieto premenné sa nazývajú "zovšeobecnené súradnice" a môže ísť o akúkoľvek nezávislú premennú systému (napríklad sila magnetického poľa magnetického poľa na konkrétnej pozícii; uhol ťahu; pozícia častice v priestore; alebo stupeň excitácie konkrétneho eigenmódu v komplexnom systéme). Vďaka tomu je možné ľahko zakomponovať obmedzenia do teórie definovaním súradníc, ktoré popisujú iba stavy systému, ktorý vyhovuje obmedzeniam.
 Ak je lagrangeián invariantný na symetrii, potom výsledné rovnice pohybu sú taktiež invariantné na tejto symetrii. Toto je veľmi nápomocné pri ukazovaní, že teórie sú v súlade buď so špeciálnou relativitou alebo všeobecnou relativitou.
 Rovnice odvodené od lagrangeiánu budú takmer určite jednoznačné a konzistentné, na rozdiel od rovníc, ktoré sú výsledkom viacerých formulácií.

"Cyklické súradnice" a konzervačné zákony 

Dôležitou vlastnosťou lagrangeiánu je, že konzervačné zákony z nich možno ľahko odčítať. Napríklad, ak lagrangeián  závisí od časovej derivácie  zovšeobecnenej súradnice, ale nie od  samotnej, potom zovšeobecnená hybnosť,
,
je konzervovanou kvantitou. toto je špeciálny prípad Noetherovej teorémy, pozri nižšie. Takéto koordinanty sa nazývajú "cyklické".

Napríklad konzerváciu zovšeobecnenej hybnosti
 ,
možno pozorovať, ak lagrangeián systému má formu

Rovnako, ak čas t sa neobjavuje v , potom nasleduje konzervovanie Hamiltonianu. Toto je konzervovanie energie až kým potenciálna energia nedosiahne rýchlosť ako v elektrodynamike. Viac detailov je možné nájsť v akejkoľvek učebnici týkajúcej sa teoretickej mechaniky.

Vysvetlenie 

Rovnice pohybu sa získavajú prostredníctvom princípu akcie, zapísaného ako:

kde akcia,  je funkciou závislých premenných  spolu s ich derivátmi samotným s 

a kde  popisuje súbor n nezávislých premenných systému, indexovaného ako 

Rovnice pohybu získané z tejto funkcionálnej derivácie sú Euler–Lagrangeove rovnice tohto atómu. Napríklad, v klasickej mechanike častíc, jedinou nezávislou premennou je čas t. A tak Euler-Lagrangeove rovnice sú

Dynamické systémy, ktorých rovnice pohybu je možné získať prostredníctvom akčného princípu na vhodne vybranom lagrangeiáne sú známe ako Lagrangeovské dynamické systémy. Príklady Lagrangeovských dynamických systémov siahajú od klasickej verzie Štandardného modelu po Newtonove rovnice a čisto matematickým problémom ako sú geodézne rovnice a Plateauov problém.

Príklad klasickej mechaniky

V pravouhlej sústave súradníc 

Predpokladajme, že máme trojrozmerný priestor a lagrangeián

.

Potom Eulerova–Lagrangeova rovnica znie:

kde .

Derivácia dáva:

Eulerove–Lagrangeove rovnice preto možno zapísať ako:

kde derivácia času je zapísaná konvenčne ako bod nad diferencovaným objemom a  je del operátor.

Použijúc tento výsledok je možno ľahko ukázať, že lagrangeovský prístup je ekvivalentný newtonovskému. 

Ak je sila zapísané v pojmoch potenciálu ; výsledná rovnica je , čo je presne rovnaké rovnica ako v newtonovskom prístupe pre objekt konštantnej hmotnosti. 

Veľmi podobnou dedukciou dostávame výraz , ktorý je Newtonovým druhým zákonom v jeho všeobecnej podobe.

V sústave sférických súradníc 

Predpokladajme, že máme trojdimenzionálny priestor použijúc sférické súradnice  s lagrangeiánom

Potom Eulerove–Lagrangeove rovnice sú:

Tu je súbor  len časom , a dynamické premenné  sú trajektóriami  častice.

Napriek použitiu štandardných premenný ako , lagrangeián dovoľuje použitie akýchkoľvek súradníc, ktoré nemusia byť ortogonálne. Sú to "zovšeobecnené súradnice".

Lagrangeián testovacej častice 

Testovacia častica je časticou, ktorej hmotnosť a náboj sú pravdepodobne tak malé, že jej vplyv na externý systém nie je dôležitý. Je to často hypoteticky zjednodušené bodová častica, ktorá má len hmotnosť a náboj. Reálne častice ako elektróny a horné kvarky sú komplexnejšie a majú dodatočné pojmy vo svojich lagrangeiánoch.

Klasická testovacie častica s Newtonovskou gravitáciou 

predpokladajme, že máme časticu s hmotnosťou  kilogramov a pozíciou  metrov v newtonovskom gravitačnom poli s potenciálom  joulov na kilogram. Línia častice je parametrizovaná časom  v sekundách. Kinetická energia častice je:

a gravitačná potenciálna energia častice je:

Potom lagrangeián je  joulov, kde

Variujúc  v integráli (ekvivalentom Euler–Lagrangeovej diferenciálnej rovnici), dostávame

Integrujme prvý pojem po častiach and zrušme celkový integrál. Potom rozdeľme variáciu, aby sme dostali

a tak

je rovnica pohybu – dva rozdielne výrazy vyjadrujúce silu.

Špeciálna relativistická testovacia častica s elektromagnetizmom 

V špeciálnej relativite, forma pojmu, ktorý vyvodzuje deriváciu hybnosti musí byť zmenená; už nejde o kinetickú energiu. Stáva sa:

(V špeciálnej relativite, energia voľnej testovacej častice je )

kde  metrov za sekundu je rýchlosť svetla vo vákuu,  sekúnd vo vhodnom čase (t.e. čas meraný hodinami pohybujúcimi sa s časticou) a . Druhý pojem v sérii je len klasická kinetická energia. Predpokladajme, že častica má elektrický náboj  coulombov a je v elektromagnetickom poli so skalárnym potenciálom  voltov (volt je joule na coulomb) a vektorový potenciál  voltsekúnd za meter. Lagrangeián špeciálnej relativistickej testovacej častice je elektromagnetické pole:

Variáciami s ohľadom na , dostávame

čo je

čo je rovnica, ktorá je rovnicou pre Lorentzovu silu, kde

Všeobecná relativistická testovacia častica 

Vo všeobecnej relativite, prvý pojem zovšeobecňuje ako klasickú kinetickú energiu a interakciu medzi newtonovským gravitačným potenciálom. Stáva sa:

Lagrangeián všeobecnej relativistickej testovacej častice v elektromagnetickom poli je:

A štvorrozmerné priestorovočasové súradnice  sú dané v arbitrárnych jednotkách (t. j. bezjednotkových), potom  metrov štvorcových je symetrické na úrovni 2 metrického tenzoru, čo je taktiež gravitačným potenciálom. Taktiež,  voltsekúnd je elektromagnetický 4-vektorový potenciál. Všimnite si, že faktor c bol absorbovaný do druhej mocniny, pretože toto sa rovná 

Všimnite si, že tento pojem bol vo všeobecne odvodený od špeciálnej relativity.

Lagrangeiány a hustoty lagrangeiánu v teórii poľa 

Časový integrál lagrangeiánu sa nazýva akcia popísaná prostredníctvom .
V teórii poľa, rozdiel je niekedy robený medzi lagrangeiánom , ktoré je akcia integrálom času:

a hustota Lagrangeiánu , ktorý sa integruje ponad všetok časopriestor aby sa získala akcia:

Lagrangeián je potom priestorovým integrálom lagrangeiánskej hustoty.  sa však takisto často nazýva lagrangeián, hlavne vo svojom modernom používaní; je oveľa užitočnejší v relativistických teóriách, keďže ide o definíciu lokálne definovanú Lorentzovým skalárnym poľom. Obe definície lagrangeiánu možno vidieť ako špeciálne prípady všeobecnej formy, v závislosti na tom, či priestorová premenná  je zahrnutá do indexu  alebo parametrov  v . Teórie kvantového poľa v časticovej fyzike, ako kvantová elektrodynamica, sú obvykle popísané v pojmoch , a pojmy v tejto forme lagrangeiánu sa rýchlo transformujú do pravidiel používaných pri hodnotení Feynmanových diagramov.

Vybrané polia 

Pre pokračovanie v sekcii o testovacích časticiach vyššie, tu sú rovnice pre polia v ktorých sa pohybujú. Rovnice nižšie sa týkajú polí, v ktorých testovacie častice popísané vyššie sa pohybujú a dovoľujú výpočet týchto polí. Tieto rovnice nedajú rovnice pohybu testovacej častice, ale dávajú potenciál (pole) vyvolaný kvantitami ako sú hmotnosť alebo hustota náboja v akomkoľvek bode . Napríklad, ak v prípade newtonovskej gravitácie je lagrangeiánska hustota integrovaná v časopriestore, dáva rovnicu, ktorá, ak je vyriešená, poskytne . Toto , keď je substituované späť v rovnici (1), Lagrangeova rovnica pre testovaciu časticu je Newtonovské gravitačné pole, pričom poskytuje informáciu potrebnú pre výpočet akcelerácie častice.

Newtonovská gravitácia 

Lagrangeián (hustota) je  joulov na meter 3 (kubický). Interakčný pojem  je nahradený pojmom zahŕňajúcim kontinuálnu hustotu hmotnosti  kilogramov na meter kubický. Toto je nevyhnutné, pretože používajúc podobný zdroj pre pole by vyústilo v matematické ťažkosti. Výsledný lagrangeián pre klasické gravitačné pole je:

kde  metrov kubických na kilogram sekundu na druhú je gravitačná konštanta. Variácia integrálu s ohľadom na  dáva:

Integrujte časti a zrušte celkový integrál. Potom vydeľte prostredníctvom  aby ste dostali:

a tak

čo dáva Gaussov zákon pre gravitáciu.

Elektomagnetizmus v špeciálnej relativite 

Interakčný pojem  je nahradený pojmami zahŕňajúcimi kontinuálnu hustotu náboja  coulombov na meter kubický a aktuálnu hustotu  ampérov na meter štvorcový. Výsledný lagrangeián pre elektromagnetickú pole je:

Variujúc toto s ohľadom na , dostávame

čo dáva Gaussov zákon.

Variujúc namiesto toho s ohľadom na , dostávame

čo dáva Ampèrov zákon.

Elektromagnetizmus vo všeobecnej relativite 

Pre lagrangeián gravitácie vo všeobecnej relativite, pozri Einstein-Hilbertova akcia. Lagrangeián elektromagnetického poľa je:

V štvorrozmerných časopriestorových súradniciach  sú dané arbitrárne jednotky, potom:  joulsekúnd lagrangeián, skalárna hustota;  coulombov je prúd, vektorová hustota denzity; a  voltsekúnd is elektromagnetický tenzor, kovariantný antisymetrický tenzor radu dva. Všimnite si, že determinant pod znakom druhej odmocniny je aplikovaný na maticu komponentov kovariantného metrického tenzoru , a  je jeho inverzia. Všimnite si, že jednotky lagrangeiánu sa menia, pretože integrujeme ponad , ktoré sú bezjednotkové, a nie ponad , ktoré majú jednotky v sekundometroch kubických. Elektromagnetický tenzor poľa je formovaný antisymetrizáciou čiastkových derivácií elektromagnetického vektorového potenciálu; takže to nie je nezávislá premenná. Druhá odmocnina je potrebná na konverziu tohto pojmu na skalárnu hustotu namiesto len skalára a tiež pre kompenzáciu zmien v jednotkách premenných integrácie. Faktor  vnútri druhej odmocniny je potrebný na normalizáciu, aby ho druhá odmocnina zredukovala na pojem špeciálnej relativity (keďže determinant je  v špeciálnej relativity).

Lagrangeiány v kvantovej teórii poľa

Diracov lagrangeián 
Lagrangeiánska hustota pre Diracove pole je:

kde  je Diracov spinor,  je jeho Diracova prípojka,  je kalibračná kovariantná derivácia, a  je Feynmanova anotácia pre .

Kvantovo elektrodynamický lagrangeián 
Lagrangeiánska hustota pre QED je:

kde  je elektromagnetický tenzor.

Kvantovo chromodynamický lagrangeián 
Lagrangeiánska hustota pre kvantovú chromodynamiku je    :

kde  je QCD kalibračná kovariantná derivácia, 
 počíta kvarkové typy, a  je gluónový tenzor silového poľa.

Matematická formalizácia 
predpokladajme, že máme n-dimenzionálnu rozmanitosť, , a cieľovú rozmanitosť, . Nech  je konfiguračný priestor hladkej funkcie z  na .

Príklady 
 V klasickej mechanike, Hamiltonianskom formalizme,  je jednorozmerná rozmanitosť , reprezentujúca čas a cieľový priestor v kotangentnom zhluku priestoru zovšeobecnených pozícií.
 V teórii poľa,  je časopriestorová rozmanitosť a cieľový priestor je súbor hodnôt polí v akomkoľvek bode. Napríklad, ak existujú m reálne=číselné skalárne polia, , potom cieľová rozmanitosť je . Ak pole je reálne vektorové pole, potom cieľová rozmanitosť je izomorfná pre . V skutočnosti existuje omnoho elegantnejší spôsob použitia tangentného zhluku nad , ale budeme trvať len na tejto verzii.

Matematický vývoj 

Uvažujme funkctionálne, , nazvané akcia. Fyzické dôvody určujú, že to je mapovanie na , ne .

Za účelom toho, aby akcia bola lokálna, potrebujeme dodatočné obmedzenia ohľadom akcie. Ak , predpokladáme, že  je integrál nad  funkcie , jej derivátov a pozície zvanej lagrangeián, . Inými slovami,

Nižšie sa na dôvažok predpokladá, že Lagreangian závisí len na hodnote poľa a jeho prvej derivácii, ale nie od ďalších derivácií.

Za predpokladu hraničných podmienok, v zásade špecifikácia hodnoty  na hranici ak  je kompaktný ale bo nejaký limit na  keďže x pristupuje  (toto pomôže urobiť integráciu po častiach), podpriestoru  pozostávajúc z funkcií, , t. j. že všetky funkcionálne derivácie na  pri  sú nulové a  uspokojujúce dané hraničné podmienky je podpriestorom na škrupine riešení.

Riešenie je dané prostredn9ctvom Euler–Lagrangeových rovníc (vďaka hraničným podmienkam),

Ľavá strana je funkcionálna derivácia akcie s ohľadom .

Poznámky

Referencie 
 Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity , Motion Mountain
 David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)

Dynamické systémy
Klasická mechanika
Teoretická mechanika