Hromadný bod

Hromadný bod množiny M je bod, v okolí ktorého sa hromadí nekonečne veľa bodov množiny M. Podstata hromadného bodu nachádza svoj zmysel pri definovaní spojitých štruktúr. Príkladom môže byť limita a derivácia, ktoré vo svojej definícií obsahujú pojem hromadného bodu, v ktorého okolí má zmysel uvažovať proces približovania sa k určitej hodnote.

Definícia hromadného bodu
Nech . Hovoríme, že  je hromadný bod množiny  práve vtedy, keď pre každé jeho prstencové okolie  existuje bod  s vlastnosťou  a zároveň .

Definíciu možno chápať tak, že v ľubovoľne malom okolí hromadného bodu, vždy existujú body množiny M. V samotnej definícii limity sa pod zápisom  myslí, že bod a je hromadný bod definičného oboru funkcie f. Problém by mohol nastať v prípade, že bod a by nebol hromadným bodom definičného oboru funkcie. V tomto prípade by bolo nezmyselné definovať proces približovania k nejakej hodnote v rámci jeho prstencového okolia, ktorého body nie sú pre túto funkciu definované.

Príklad
Možno dokázať, že množina  má hromadný bod . Stačí podľa definície zvoliť prstencové okolie bodu 0, . Dokážeme, že pre ľubovoľne malé  existuje prvok  s vlastnosťami podľa definície. Majú platiť nasledovné nerovnosti

Keďže množina je obmedzená pre prirodzené čísla, stačí písať jednu nerovnosť

Jednoduchou úvahou možno zistiť, že 

Preto stačí zvoliť vyhovujúci bod

Týmto spôsobom sa našlo vyhovujúce , ktoré leží v ľubovoľnom okolí bodu 0 a zároveň nie je rovné 0.

Teória množín