Cauchyho veta o strednej hodnote

Cauchyho veta o strednej hodnote alebo Cauchyho veta o prírastku funkcie je matematická veta v diferenciálnom počte pomenovaná podľa Augustina Louisa Cauchyho.

Znenie vety 

Nech,  sú funkcie, pre ktoré platí:
sú spojité na <a,b>,
v každom bode z intervalu (a,b) majú vlastnú alebo nevlastnú deriváciu.
Potom existuje bod  tak, že platí

Ak navyše platia podmienky:
,
,
potom možno uvedenú rovnosť prepísať ako

DôkazNeubrunn, T., Vencko, J.: Matematická analýza I. Univerzita Komenského v Bratislave, 1992.

Definujme

Funkcia F(x) spĺňa predpoklady Lagrangeovej vety o strednej hodnote, a preto existuje  tak, že

Keďže ale platí F(a) = F(b), musí platiť F'(c) = 0, čo dosadením do vzorca pre deriváciu F v bode c implikuje

z čoho už priamo plynie prvá časť dokazovaného tvrdenia.

Na to, aby bolo možné prepísať rovnosť do ekvivalentného tvaru, musí platiť , ako aj . Prvá z podmienok je zaručená v predpokladoch vety, ostáva ukázať, že z predpokladu  vyplýva . Ale keby platilo , muselo by podľa dokázaného vzťahu platiť , čo ale nie je možné, keďže oba činiteľe sú z predpokladov vety nenulové.

Referencie

Pozri aj 

 Lagrangeova veta o strednej hodnote
 Rollova veta o strednej hodnote

Diferenciálny počet