Banachov priestor

Banachov priestor, pomenovaný podľa Stefana Banacha, je v matematike normovaný lineárny priestor, ktorý je navyše úplný. Banachove priestory sú jedným z centrálnych objektov záujmu funkcionálnej analýzy.

Definícia 

Banachov priestor je úplný normovaný lineárny priestor. To znamená, že Banachov priestor je lineárny priestor  nad poľom reálnych alebo komplexných čísel s normou , v ktorom má každá cauchyovská postupnosť v indukovanej metrike  limitu.

Príklady 

 Priestory  a  (všetky n-tice reálnych, resp. komplexných čísel) sú Banachove priestory v ľubovoľnej norme. Pokiaľ na priestoroch  a  definujeme euklidovskú normu 

kde , budú tieto priestory dokonca priestormi Hilbertovými.

 Priestor všetkých spojitých funkcií  s normou

je Banachov. 
 Pokiaľ na predchádzajúcom priestore definujeme normu
 alebo 
daný priestor už Banachov priestor nebude.

 Ak X je normovaný lineárny priestor a Y je Banachov priestor, potom priestor všetkých obmedzených lineárnych operátorov z X do Y s normou

je Banachov priestor. Špeciálne, duálny priestor X* k priestoru X je vždy Banachov, keďže v tomto prípade .

 Ak X je Banachov priestor, tak aj ľubovoľný jeho uzavretý podpriestor je Banachov priestor.

Pozri aj 

 Hilbertov priestor
 Lebesgueov priestor

Zdroj

Externé odkazy 

 Banachov priestor - Wolfram MathWorld .

Funkcionálna analýza