Stirlingova aproximácia

Stirlingova approximácia, tiež nazývaná ako Stirlingova formula je približný vzťah na výpočet veľkých faktoriálov. Je pomenovaná po Jamesovi Stirlingovi, škótskom matematikovi.

Zjednodušená (a menej presná aproximácia), znie takto:

Táto aproximácia sa tiež nazýva po Stirlingovi.
Presnejšie vyjadrenie Stirlingovej approximácie vyzerá takto:

Odvodenie 
Nasledujúce odvodenie platí len pre zjednodušenú aproximáciu, ktorá je však väčšinou postačujúca. Namiesto toho, aby sme aproximovali n!, vyjadríme prirodzený logaritmus tohoto faktoriálu:

Pravú stranu si musíme predstaviť ako určitý integrál zjednodušený podľa lichobežníkového pravidla. Ak by sme x-ovú os rozdelili po jednotkových intervaloch, tak ide vlastne o výpočet integrálu  podľa lichobežníkového pravidla.

Táto aproximácia je zaťažená chybou, ktorá sa dá odhadnúť na základe určitých pravidiel a jej započítanie vedie k presnejšej Stirlingovej formule.

Táto aproximácia je veľmi dôležitá v štatistike, keďže vo výrazoch na výpočet pravdepodobnosti často figurujú faktoriály. V štatistickej termodynamike sa vďaka nej dajú zo základných princípov odvodiť niektoré ďalšie vzorce.

Pozri aj 
 Faktoriál
 Zmiešavacia entropia

Štatistická fyzika
Pravdepodobnosť a štatistika