Bidomene-modellen

Bidomene-modellen er en matematisk modell av hjertemuskelens elektriske egenskaper. Den er en kontinuumsmodell basert på forskjeller mellom det ekstracellulære og instracellulære domenet – området på innsiden av og på utsiden av muskelceller – der hver av disse er antatt å eksistere overalt, definert ut fra et lokalt gjennomsnitt. Bidomene-modellen er formulert som et ligningssett, bidomene-ligningene, som sammen med gitte randbetingelser kan løses i et gitt domene.

Bidomene-modellen ble utviklet på slutten av 1970-tallet, første gang presentert av Leslie Tung i januar 1978. Den brukes i dag blant annet til å modellere defibrillering av hjertet.

Grunnlag
Hjertemuskelen består av muskelceller, der man regner området som er på innsiden av disse som det intracellulære området og området som er rundt, utenfor, som det ekstracellulære området. I bidomene-modellen antar man at disse eksisterer overalt, og at hvert punkt i et gitt domene har egenskaper som tilhører hvert av disse. Som vanlig i kontinuumsmodeller er disse egenskapene basert på gjennomsnittsverdier i et lite område rundt et gitt punkt i domenet.

Spenningsforskjell i det ekstracellulære og det intracellulære området, membranpotensialet, karakteriserer alle muskelceller. Dette er vesentlig for hjertet og dets funksjonalitet. Bidomene-modellen kobler sammen ligninger som beskriver et legemets elektriske egenskaper generelt, og ligninger som karakteriserer denne forskjellen.

Muskelfibrene i hjertet er organisert i lag der hvert lag består av «rør» av sarkomerer. Disse er lokalt velorganisert og går i samme retning. Man kan derfor lokalt definere tre vektorer som henholdsvis angir retningen disse går i, retningen på tvers (men i samme lag) og normalen av disse, som vil være på hvers av lagene. Konduktansverdiene til hjertevevet avhenger av denne retningen, og antas å være sterkest i samme retning som muskelfibrene, dernest kommer på tvers av disse og minst i retning av normalen. Den er videre ulik i det ekstracellulære og det intracellulære området.

Matematisk modell

Standardformulering
Bidomene-ligningene er gitt ved

der  angir cellemembranens overflateareal, per enhetsvolum,  cellemembranens elektriske kapasitans per enhetsareal,  er  den intracellulære spenningen og  den ekstracellulære spenningen, og  ionestrømmen over membranen per enhetsareal.

Sammen med gitte randbetingelser kan man løse disse ligningene over et gitt domene numerisk.

Utledning
La  med rand  betegne alle punkter  i hjertet. I hvert punkt i  kan vi definere en intra- og ekstracellulær spenning, samt en intra- og ekstracellulær strøm, kalt henholdsvis , ,  og . Konduktansen i det intra- og ekstracellulære domenet er videre gitt ved  og .

Vi antar at forholdet mellom strøm, spenning og konduktans er gitt ved Ohms lov, hvilket gir

Vi antar at ladning ikke akkumuleres i noe enkeltpunkt i  – så total ladning er alltid bevart – hvilket gir

som ved ligningene over kan skrives om til

Denne ligningen sier at all strøm som går ut fra ett domene (enten det ekstracellulære eller det intracellulære) må gå inn i det andre.

Man kan anta at transmembranpotensialet, definert som , er relatert til spenningsforskjellen ved

der  og  angir intra- og ekstracellulær ladning,  angir overflateareal per enhetsvolum og  cellemembranens kapasitans. Videre tar vi den tidsderiverte av dette, og antar vi at strømmen inn og ut av hvert domene er bevart. Fra dette kan vi utlede at

hvilket kombinert gir

som er den andre bidomene-ligningen.

Konduktansverdier
Konduktansverdiene i henholdsvis samme retning som fibrene, på tvers av disse og normalt på hvert lag er ulik; videre er disse igjen ulike i det intracellulære og ekstracellulære området. Dette kan modelleres ved hjelp av diagonale matriser (annengrads tensorer), der konduktivitetsverdiene lokalt er angitt ved
,
der  angir konduktivitetverdi i henholdsvis retning  (i retning fibrene, på tvers, normalt) for  (intracellulært, ekstracellulært). Dette er lokale verdier som må omregnes til globale verdier ut fra vektorfeltet som definerer fibrenes geometri i et gitt punkt.

Disse verdiene er skalare estimerte verdier, og ikke gitt direkte i originalformuleringen av bidomene-modellen. Forskning på dette antyder at forholdet mellom verdiene er gitt ved 4:2:1, men ulike artikler oppgir ulike konduktansverdier.

Ved å anta at konduktansverdiene er proporsjonale i det intra- og ekstracellulære domenet, altså at  for en skalarverdi , kan modellen reduseres til monodomene-modellen.

Randbetingelser
For å finne en løsning for ligningssettet over, må man angi randbetingelser. Dersom man antar at domenet er omgitt av et isolerende medium, kan man modellere dette som

der n er overflatens normalvektor, og ligningene angir at henholdsvis at den intracellulære og ekstracellulære strømmen er null på randen. Ved å bruke ligningene over kan dette skrives om til

Referanser

Eksterne lenker
Artikkel om bidomene-modellen på Scholarpedia

Elektrofysiologi
Hjertet
Matematisk modellering
Partielle differensialligninger
Biofysikk