Dualrom

Et dualrom er innen matematikk et vektorrom definert som alle funksjonaler fra et gitt vektorrom X til skalarkroppen , der  er de relle tallene  eller de komplekse tallene . Dualrommet til et vektorrom  betegnes gjerne  eller , og er i seg selv også et vektorrom. Ofte skilles det mellom algebraiske dualrom, definert generelt, og kontinuerlige dualrom, definert som kontinuerlige operatorer over normerte rom.

Dualrom er sentrale innen funksjonalanalyse, der vektorrommene gjerne er funksjonsrom.

Algebraiske dualrom

Definisjon
La  være et vektorrom definert over en skalarkropp , der  er  eller . En lineær funksjon
.
kalles for en lineær funksjonal, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for dualrommet til X. For å ikke blande dette med dualrom som definert under, kalles dette av og til også for algebraiske dualrom.

Egenskaper

Vektorrom
La X være et vektorrom over ,  være skalarer, og . Da er også  en funksjonal i , definert ved
.

Dersom man bruker dette til å definere addisjon og skalarmultiplikasjon, og lar funksjonalen  være nullelement, gir dette at  også i seg selv er et vektorrom.

Dualbasis
Dersom X er endelig-dimensjonal med basis

kan man definere en basis for dualrommet   slik at

der  er funksjonen Kronecker-delta gitt ved
.
Dette definerer n funksjonaler, alle inneholdt i , og disse definerer også en basis for . Spesielt impliserer dette at  og  har samme dimensjon.

Eksempel
Hvis  er standardbasisen bestående av enhetsvektorene

gitt som kolonnevektorer, er den korresponderende dualbasisen nøyaktig enhetsvektorene

gitt som radvektorer, ettersom  hvis og bare hvis .

Kontinuerlige dualrom

Definisjon
Dualrom kan definert generelt, men ofte er det spesielt interessant å se på kontinuerlige funksjonaler, der X er et normert rom. Noen ganger blir derfor dualrom definert begrenset til dette:

La  være et normert vektorrom definert over en skalarkropp , der  er  eller . En kontinuerlig lineær funksjon
.
kalles for en lineær funksjonal, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for dualrommet til X.

Hvis man definerer en norm over , vanligvis gitt ved

er  også et normert vektorrom. Denne normen kalles for dualnormen indusert av normen til .

Egenskaper
Generelt arver kontinuerlige dualrom egenskaper fra algebraiske dualrom. Videre er  (tilordnet en norm) også et Banach-rom, siden både  og  er komplette.

Riesz'–Fréchet-teoremet
Riesz'–Fréchet-teoremet, også kalt Riesz' representasjonsteoremet, sier at dersom  er et Hilbert-rom, har alle funksjonaler  har et unikt korrepsonderende element . Mer presist, la H være et Hilbert-rom og  være elementer i . Vi kan da definere en funksjonal ved indreproduktet definert for ,
.
Riesz'–Fréchet-teoremet sier at alle funksjonaler i  kan kan skrives slik:
La  være et Hilbert-rom og . Da finnes en unik  slik at

for alle . Videre er .

Eksempler

Lp-rom

Det kan bevises (men er ikke trivielt) at dersom , og q enten slik at

dersom , og  hvis , så er

og
.

For -rom kan man, for et gitt element  og enhver , definere en funksjonal ved

som er veldefinet (gitt ved Hölders ulikhet) er veldefinert og gir en kontinuerlig lineær funksjonal for -funksjoner, og det kan videre bevises at for enhver  finnes en slik .

For -rom kan man, for et gitt element  og enhver , definere en funksjonal ved

og det kan videre bevises at for enhver  finnes en slik .

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker

Funksjonalanalyse
Topologiske rom