Poincarés tilbakevendingsteorem

I fysikk og fysikalsk kjemi beskriver Poincarés tilbakevendingsteorem at enkelte systemer vil, etter en tilstrekkelig lang, men begrenset tid, gå tilbake til en tilstand vilkårlig nær (for kontinuerlige tilstandssystemer), eller nøyaktig den samme som (for diskrete tilstandssystemer), deres opprinnelige tilstand.

Poincaré tilbakevendingstid er lengden på tiden som går til gjentakelsen; denne tiden kan variere sterkt avhengig av den eksakte starttilstanden og den nødvendige graden av nærhet. Resultatet gjelder isolerte mekaniske systemer som er underlagt noen begrensninger, for eksempel må alle partikler være bundet til et begrenset volum. Teoremet blir ofte diskutert i sammenheng med ergodisk teori, dynamiske systemer og statistisk mekanikk. Systemer som Poincaré-tilbakevendingsteoremet gjelder, kalles konservative systemer.

Teoremet er oppkalt etter Henri Poincaré, som diskuterte det i 1890, og det ble bevist av Constantin Carathéodory ved hjelp av måleteori i 1919.

Presis formulering 
Ethvert dynamisk system definert av en vanlig differensialligning bestemmer et flytkart f t  for å kartlegge faseområdet på seg selv. Systemet sies å være volumbevarende hvis volumet til et sett i faseplass er uforanderlig under strømmen. For eksempel er alle Hamiltonian-systemer volumbevarende på grunn av Liouvilles teorem. Teoremet er da: Hvis en strøm bevarer volumet og bare har avgrensede baner, eksisterer det baner som krysser settet uendelig ofte for hvert åpent sett.

Formell formulering 
La

 

være et begrenset mål og la

 

være en målbevarende transformasjon. Nedenfor er to alternative utsagn om setningen.

Teorem 1 
For alle , settet med disse punktene  av  som det finnes  slik at  for alle  har null mål.

Med andre ord, nesten hvert punkt i  går tilbake til . Faktisk kommer nesten hvert punkt tilbake uendelig ofte; dvs.

 

For bevis, se den siterte referansen

Teorem 2 
Følgende er en topologisk versjon av dette teoremet:

Hvis  er et annet tellbart Hausdorffrom og  inneholder Borel sigma-algebra, har settet med tilbakevendende punkter for  full måling. Det vil si at nesten hvert punkt er tilbakevendende.

For bevis, se den siterte referansen.

Mer generelt gjelder teoremet for konservative systemer, og ikke bare for målebevarende dynamiske systemer. Grovt sett kan man si at konservative systemer er nettopp de som tilbakevendingsteoremet gjelder.

Kvantemekanisk versjon 
For tidsuavhengige kvantemekaniske systemer med diskrete energistatistikker holder en lignende setning. For hver  og  eksisterer en tid T som er større enn , slik at , hvor   betegner tilstandsvektoren til systemet på tidspunktet t.

De viktigste elementene i beviset er som følger. Systemet utvikler seg i tid i henhold til:

 

hvor  er energien egenverdier (vi bruker naturlige enheter, så  ), og  er energien egenstatene. Den kvadratiske normen for forskjellen mellom tilstandsvektoren på det tidspunktet  og tid null kan beskrives som følger:

 

Vi kan avkorte summeringen til noen n = N uavhengig av T, fordi

som kan gjøres vilkårlig liten ved å øke N, som summering , å være den kvadratiske normen til den opprinnelige tilstanden, konvergerer til 1.

Den endelige summen

 

kan gjøres vilkårlig liten for spesifikke valg av tiden T, i henhold til følgende konstruksjon. Velg en vilkårlig , og velg T slik at det er heltall  som tilfredsstiller

 ,

for alle tall . For dette spesifikke valget av T,

 

Som sådan har vi:

 .

Tilstandsvektoren  returnerer dermed vilkårlig nær den opprinnelige tilstanden .

Referanser 

Statistisk mekanikk
Fysikalsk kjemi
Fysikk