Residyteoremet

I kompleks analyse, er residyteoremet, noen ganger kalt Cauchys residysetning, et kraftig verktøy for å evaluere linjeintegraler av komplekse analytiske funksjoner over lukkede kurver; det kan også brukes til å beregne reelle integraler og uendelig serie. Teoremet generaliserer Cauchy integralteorem og Cauchys integrerte formel. Fra et geometrisk perspektiv kan det sees på som et spesielt tilfelle av generalisert stokes teorem.

Uttalelse 
Erklæringen er som følger:

La  være et enkelt lukket åpen mengde av de kompleks plan som inneholder en endelig liste over punktene , 
,
og en funksjon  som er definert og holomorf på . La  være en lukket korrigerbar kurve i , og betegn viklingsnummeret av  rundt  av . Linjeintegralet til  rundt  er lik  ganger summen av residyene av  på punktene som er tellt like mange ganger som  vikler seg rundt punktet:Hvis  er en positivt orientert enkel lukket kurve.  hvis  er på imsiden av , og 0 hvis ikke, derfor følgermed summen over  inni .

Forholdet mellom restsetningen og Stokes teorem er gitt av Jordans curve theorem. Den generelle plan kurven  må først reduseres til et sett med enkle lukkede kurver  hvis total tilsvarer  for integrasjonsformål; dette reduserer problemet til å finne integralet av  langs en Jordan-kurve  med i  på insiden. Kravet om at  skal være holomorf på  tilsvarer uttalelsen om at utvendige derivater  på . Dermed hvis to regioner av plan  og  av  omslutter samme delmengde  av , vil regionene  og  ligger fullstendig innenfor . Dermed følger det ater veldefinert og lik null. Følgelig så er konturen integrert av  langs  er lik summen av et sett med integraler langs stier , hver omslutter en vilkårlig liten region rundt en enkelt  - rester av  (opp til den konvensjonelle faktoren ) på . Oppsummering over , gjenoppretter vi det endelige uttrykket for konturintegralet når det gjelder svingete tall .

For å evaluere reelle integraler brukes resedysetningen på følgende måte: integranden utvides til det komplekse planet og dets residyer blir beregnet (noe som vanligvis er enkelt), og en del av den virkelige aksen utvides til en lukket kurve ved å feste en halv sirkel i øvre eller nedre halvplan, og danner en halvsirkel. Integralet over denne kurven kan deretter beregnes ved hjelp av residyteoremet. Ofte vil halvsirkeldelen av integralet gå mot null ettersom radiusen til halvsirkelen vokser, og etterlater bare den reelle aksedelen av integralet, som vi opprinnelig var interessert i.

Referanser

Eksterne lenker 

  
 Residue theorem in MathWorld
Analytiske funksjoner
Teorem i kompleks analyse