Gauss-integral

Gauss-integralet gir arealet under Gauss-kurven y = e−x2. I tillegg til å være av betydning i forskjellige deler av matematikken, har det mange anvendelser i sannsynlighetsregning, statistisk mekanikk, kvantemekanikk og kvantefeltteori. Integralet er definert som

 

og gir opphav til mange andre, relaterte integraler. Dets navn er knyttet til Carl Friedrich Gauss selv om flere andre matematikere som Leonhard Euler, Pierre-Simon Laplace og Siméon Denis Poisson var kjent med det.

Beregning

Det er ikke mulig å beregne det gaussiske integralet I  direkte fra de vanligste reglene for integrasjon. Men det lar seg gjøre fra det dobbelte integralet

 

som kan beregnes ved å innføre polarkoordinater x = r cosθ og y = r sinθ. Det gir
 
 

hvor verdien til den radielle integrasjonen følger fra eksponentialfunksjonen ved å innføre t = r 2 som ny integrasjonsvariabel. Dermed har man verdien  av Gauss-integralet.

Relaterte integral

Ved et skifte av integrasjonsvariabel har Gauss-integralet på litt mer generell form verdien

 

Tar man her den deriverte av begge sider med hensyn på parameteren a, finner man at

 

Fortsatte derivasjoner gir verdien av mer kompliserte integral. 

En videre generalisering av Gauss-integralet er

 

som fremkommer ved å skrive eksponenten som et fullstendig kvadrat,

 

og så skifte integrasjonsvariabel til y = x - b/2a.

Sammenheng med gammafunksjonen

Ved å bruke t = x 2 som ny variabel i Gauss-integralet, tar det formen

 

Det er derfor ekvivalent med den spesielle verdien Γ(1/2) = √π  for gammafunksjonen.

Mer generelle Gauss-integral kan gjøres på samme måte ved bruk av gammafunksjonen. For eksempel, 

 

igjen etter substitusjonen x →  t = x 2 slik at dt = 2xdx. For n = 1 gir dette  =  = √π /2 i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet.

Se også

 Normalfordeling
 Gammafunksjon

Litteratur
 T. Lindstrøm, Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-1502-710-4.
 M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Eksterne lenker
 K. Conrad, University of Connecticut,  The Gaussian Integral

 Integralregning
 Funksjoner