Hermann Grassmann

Hermann Günther Grassmann  (født 15. april 1809 i Stettin, død 26. september 1877 samme sted) var en tysk matematiker og lingvist. Som matematiker la han grunnlaget for generelle vektorrom og vektorregning. Disse arbeidene ble stort sett oversett i hans samtid, bortsett fra den forenklete beskrivelse han kunne gi av magnetiske krefter.  Likevel har disse matematiske bidragene fått stor betydning i nyere tid og da spesielt hans Grassmann-algebra som i dag benyttes i algebraisk geometri, differensialgeometri og teoretisk fysikk.

Han fikk ingen fast stilling ved et universitet og tok opp på egen hånd studier innen fargelære og lingvistikk. På dette siste feltet høstet han mye anerkjennelse og fikk sitt navn knyttet til Grassmanns lov for dissimilasjon av aspirerte konsonanter i gamle, indoeuropeiske språk. Han oversatte hele Rigveda etter at han hadde utgitt en ordbok for den versjonen av sanskrit som ble benyttet i dette verket.

Biografi

Grassmann ble født i Stettin som på den tiden var en tysk by tilhørende Preussen. Han vokste opp sammen med elleve andre søsken i en pietistisk familie der faren Justus Grassmann var utdannet prest. Likevel underviste han matematikk og naturfag ved gymnaset i byen. Den unge Hermann utmerket seg ikke noe spesielt under sin første skolegang og påbegynte i 1827 et studium i teologi ved Universitetet i Berlin.

Gjennom sine studier fattet Grassmann interesse for mer filologiske fag og generell kunnskapserkjennelse, men fulgte likevel ingen forelesninger i matematiske fag. Men da han i 1830 kom tilbake til Stettin med den hensikt å forberede seg til en større eksaminasjon ved universitetet, ble han tydeligvis influert av sin far som også hadde skrevet flere lærebøker i matematikk for skolen. Fra nå av var det denne interessen som ble den viktigste, og han fikk en stilling som assistentlærer ved gymnaset i byen. I 1834 tiltrådte han en ny lærerstilling ved en fagskole i Berlin som ble ledig etter Jakob Steiner da han overtok et professorat ved universitet. Men Grassmann ble bare ett år i Berlin før han reiste tilbake til sin hjemby som lærer ved en ny skole hvor han skulle undervise på de laveste klassetrinn. Resten av sitt liv levde han i Stettin og håpet å kunne dedikere mer av sitt liv til matematikken.

Ausdehnungslehre
For å kunne undervise på høyere nivå måtte Grassmann i 1840 gjennomgå en ny prøve i Berlin. I den forbindelse ble han nødt til å skrive en avhandling om Theorie der Ebbe und Flut,  et oppgitt tema om  flo og fjære. Det var i dette verket han for første gang gjorde bruk av metoder som senere har definert moderne vektorregning.
To år senere presenterte han mer generelt sine matematiske tanker i hovedverket Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, eller «læren om lineære utvidelser, en ny gren av matematikken».  I dag omtales dette vanligvis som en algebraisk beskrivelse av geometri i rom med vilkårlig høye dimensjoner basert på et antisymmetrisk ytre produkt av vektorer. Frem til da hadde det vært vanlig å betrakte all geometri kun i det todimensjonale planet eller i et tredimensjonalt rom. Men det inneholdt også flere kapitler med anvendelser av denne nye matematikken innen mekanikk og krystallografi.

Selv om Grassmann sendte sitt store verk til flere anerkjente matematikere, var det ingen som syntes å bry seg om det.  Det kan skyldes at det inneholdt mange filosofiske betraktninger og benyttet formuleringer som for de fleste var fremmed. Gauss skrev at han ikke forsto terminologien og hadde heller ikke tid til å lese det. For å vise hvor nyttig hans synspunkt kunne være, publiserte Grassmann en mindre artikkel som omformet Ampères lov for magnetiske krefter til den moderne formen den har i dag. Først tredve år senere oppdaget Rudolf Clausius dette viktige bidraget til elektrodynamikken, og på den måten fikk det en videre utbredelse. Clausius hadde vært elev ved gymnaset i Stettin og der blitt undervist av Grassmanns far.

Den eneste som uttrykte en viss interesse for Grassmanns synspunkter, var Möbius som med sine barysentriske koordinater så noen lignende betraktninger. Da det i forbindelse med Leibniz's fødselsdag ble utlyst en pris for et Festschrift for å markere 200-årsjubileum i 1846, anbefalte Möbius at Grassmann skulle delta i denne konkurransen. Han ble den eneste deltager og hans bidrag vant prisen med en avhandling som omhandlet mye av det samme som i hans Ausdehnungslehre. I tillegg til hans ytre produkt, innførte han her også et indre produkt av vektorer. Ved et heldig sammentreff var det akkurat Leibniz som i sin tid hadde etterspurt en algebraisk oppbygning av geometrien.

Omtrent på samme tid som Grassmann hadde utviklet sin geometriske algebra, hadde Hamilton etablert sin teori for kvaternioner. Her opptrer også et antisymmetrisk vektorprodukt og et skalart indreprodukt, men kun for vektorer i tre dimensjoner. Det er derfor ikke overraskende at Hamilton i flere brev til kollegaer uttrykker beundring for hva Grassmann hadde gjort. Men denne anerkjennelsen ble første kjent mye senere.

Oppmuntret av å vinne prisen ved Leibniz-jubileumet, søkte Grassmann i 1847 de prøyssiske myndigheter om professorkompetanse. En av de to som skulle vurdere hans arbeid, var  den anerkjente Ernst Kummer ved Universitetet i Berlin. Vurderingen konkluderte med at Grassmann ikke kunne anbefales for en høyere, akademisk stilling på tross av at han ble funnet å ha den nødvendige kompetanse. Dette førte sannsynligvis til at Grassmann ble ved gymnaset i Stettin resten av livet.

Ekteskap og senere liv

Sammen med sin bror engasjerte Grassmann seg i februarrevolusjonen 1848 ved å opprette en ny, konservativ avis. Man etter vel et år trakk han seg ut av denne aktiviteten. Han forlovte seg med Marie Therese Knappe og giftet seg med henne året etterpå. Det ble et lykkelig ekteskap og de fikk i alt elleve barn. En sønn med samme fornavn som faren, utdannet seg til matematiker og gjorde sitt for dennes verk skulle bli bedre kjent.

På denne tiden begynte Grassmann å studere sanskrit samtidig som han ville skrive en nye og bedre fremstilling av sin algebraiske geometri. Etter at faren døde i 1852 kunne Grassmann overta hans professorat ved gymnaset. Dette ga han mindre undervisningstid og høyere lønn slik at han også kunne ta opp andre interesser. I denne perioden bidrog han  til å systematisere fargelæren. Her foreslo han nye lovmessigheter som på den tiden fikk større oppmerksomhet enn hans Ausdehnungslehre. Lignende tanker  lanserte han også om fonetikk og hvordan vokaler dannes.

Først i 1862 var han ferdig med et forbedret versjon av sitt matematiske verk.. Den skulle gjøre hans nye matematikk mer forståelig for omverdenen, men etter kort tid ble det klart at interessen var like lav som tidligere. Som en konsekvens henga han seg i stedet til studiet av indoeuropeiske språk og publiserte allerede i 1863 sin lov for dissimilasjon av aspirerte konsonanter. Vel ti år senere skrev han ferdig en ordbok i sanskrit som han benyttet til en oversettelse av Rigveda. For denne innsatsen høstet han anerkjennelse både i Tyskland og i andre land.

I mellomtiden hadde andre matematikere begynt å oppdage Grassmanns bidrag til matematikken. Dette skyltes til en viss grad Felix Klein og hans bestrebelser med å formalisere og generalisere den klassiske geometri. Sophus Lie reiste spesielt til Stettin for å diskutere med Grassmann og finne ut av hans metoder. Denne økende interessen medførte at han i 1871 ble innvalgt som medlem av vitenskapsakademiet i Göttingen. For sin innsats innen lingvistikken ble han i 1876 kreert til æresdoktor ved Universitetet i Tübingen.
Året etter døde Grassmann i Stettin.

Først etter sin død fikk Grassmann full, internasjonal anerkjennelse. Det skjedde da bruken av Hamiltons kvaternioner ble erstattet av moderne vektorregning slik som den ble utformet av Gibbs og Heaviside. Men multiplikasjon av vektorer ble fortsatt gjort i tre dimensjoner. Det var ikke før Élie Cartan på begynnelsen av 1900-tallet innførte differensielle former som kunne benyttes i alle dimensjoner og geometrier, at storheten i Grassmanns tanker fikk sitt endelige gjennombrudd.

Grassmanns samlete, matematiske arbeid ble utgitt i tre bind av Friedrich Engel i perioden 1894 - 1904.

Geometrisk algebra

Grassmanns Ausdehnungslehre gikk ut på å bygge opp stadig mer kompliserte geometriske strukturer som består av mindre element satt sammen ifølge regler som han på logisk vis argumenterte seg frem til. I motsetning til analytisk geometri kunne han gjennomføre dette programmet uavhengig av koordinater og koordinatsystem. Hans minste element var punkt. To punkt A og B definerer et linjestykke AB som har en viss lengde gitt ved avstanden mellom de to punktene. Hvert linjestykke kan forlenges til en uendelig lang linje. Et tredje punkt C som ligger langs linjen gjennom A og B, gir opphav til et nytt linjestykke . Dets lengde og retning definerer summasjon av linjestykker. Hvis man tar hensyn til at hvert linjestykke har en retning angitt ved rekkefølgen av bokstavene i AB, så vil  Dermed er uttrykket  også gyldig når C ligger mellom A og B eller til venstre for A.

Lignende betraktninger rundt addisjon av linjestykker langs samme linje var tildligere gjort av Möbius i hans barysentriske kalkulus. Men for Grassmann var det avgjørende at denne addisjonen også skulle gjelde når punktet C ligger utenfor linjen gjennom A og B. Da vil linjestykket  generelt ha en  retning som er forskjellig fra retningene til både AB og BC. Likedan vil dets lengde ikke lenger være summen av lengdene til disse to gitte linjestykkene. På denne måten fikk hvert orientert llinjestykke samme egenskaper som dagens vektorer. Hvis linjestykket fra A til B tilsvarer vektoren , kan addisjonen  skrives som . Subtraksjon av vektorer kan gjennomføres på samme måte da det tilsvarer addisjon av en vektor med reversert retning.

På denne måten konstruerte Grassmann et nytt, geometrisk objekt ut fra mer elementære punkt. Vektoren AB anså han som et produkt av to punkt A og B. Den fremkommer ved at punktet B beveger seg en i viss retning og avstand fra A. Et produkt av tre punkt ABC definerte han som en trekant med en viss orientering gitt ved bokstavenes rekkefølge og størrelse som skulle være gitt ved trekantens areal. Likedan vil produktet ABCD av fire punkt kunne tolkes som et tetraeder. Hvis de fire punktene ligger i samme plan, er dets størrelse lik med null.

Multiplikasjon av vektorer

I noen av sine lærebøker hadde Grassmanns far diskutert multiplikasjon av linjestykker og forbundet det med størrelsen av rektangelet som linjestykkene danner. Men hans sønn så denne operasjonen som involverer multiplikasjon av to vektorer i en større sammenheng. På lignende måte som produktet av to punkt mente den yngre Grassmann at produktet av u og v må være gitt ved det geometriske objektet som fremkommer ved at vektoren u forflyttes parallelt med seg selv i retning v. Denne bevegelsen danner et parallellogram med areal uv sinα hvor u og v er lengden til de to vektorene og α er vinkelen mellom dem. Dette vektorproduktet kalte Grassmann for et ytre produkt og blir idag betegnet med en hake eller kile. Det skrives derfor som  og har størrelsen

 

For vektorer i tre dimensjoner har det vanlige vektorproduktet den samme størrelsen og er en ny vektor. Men for Grassmann representerte ytreproduktet  et nytt, geometrisk objekt som i dag omtales som en bivektor eller 2-vektor. Produktet er også distributivt i den forstand at  som følger fra en enkel, geometrisk betraktning. Disse egenskapene gjelder i alle rom, uavhengig av dimensjon.
 
Ut fra definisjonen har man for alle vektorer at v ∧ v = 0. Det betyr at man også må ha  Benytter man den distributive egenskapen til ytreproduktet, følger det da at

 

slik at produktet er antikommutativt. Man kan videre bygge opp et trippelprodukt u ∧ v ∧ w av tre vektorer. Det tilsvarer et tredimensjonalt parallellepiped som fremkommer ved å forskyve bivektoren u ∧ v i langs vektoren w. Slik kan man videre fortsette å bygge opp stadig mer abstrakte strukturer som er nøstet inn i hverandre. De blir fortsatt studert innen algebraisk geometri hvor slike Grassmann-mangefoldigheter opptrer.

Referanser

Eksterne lenker

 MacTutor, Hermann Günther Grassmann, University of St. Andrews, Scotland.

Tyske matematikere
Geometere