Kvantisert dreieimpuls

Kvantisert dreieimpuls gir observerbare verdier og egenskaper til dreieimpulsen for en partikkel eller et mer generelt system når den eller det beskrives kvantemekanisk. Resultatene er gyldige både for dreieimpuls som skyldes orbital bevegelse i det tredimensjonale rommet, og for indre spinn til elementærpartikler.

Klassisk er dreieimpulsen for en partikkel i posisjon r og med impuls p gitt ved vektorproduktet  og kan ha en vilkårlig retning i rommet. Kvantemekanisk går de to dynamisk variable  over til å bli tilsvarende operatorer som tilsammen inngår i dreieimpulsoperatoren 

  

Kvantiseringen medfører at dens størrelse er gitt ved et kvantetall som kan ta verdiene j = 0, 1/2, 1, 3/2 og så videre. Den kvantiserte vektoroperatoren vil da bare kunne peke i 2j + 1 forskjellige retninger i rommet. Man sier derfor noen ganger at dreieimpulsen er «romlig kvantisert». 

Egenfunksjonene til dreieimpulsoperatoren for heltallige verdier av kvantetallet j er sfærisk harmoniske funksjoner. De varierer kontinuerlig med retningen i rommet og bestemmer i stor grad egenskapene til atom og molekyl samt deres kjemiske bindinger. For elementærpartikler kan ikke dreieimpulsen knyttes til noen bevegelse i rommet og omtales derfor vanligvis som spinn. Av fundamental betydning er partikler med spinnkvantetall j = 1/2 som leptoner og kvarker. De beskrives generelt ved Dirac-ligningen som automatisk inneholder deres spinn. Det opptrer her som en direkte konsekvens av Einsteins spesielle relativitetsteori.

Grunnlag

Allerede i sitt første, felles Dreimännerarbeit som la det formelle grunnlaget for kvantemekanikken høsten 1925, kvantiserte Born, Heisenberg og Jordan dreieimpulsen for en partikkel. Det var basert på bruk av den kanoniske kommutatoren 

 

hvor ħ  er den reduserte Planck-konstanten, og som Heisenberg hadde kommet frem til om sommeren samme år. Her angir indeksen a   de tre komponentene til posisjonsoperatoren   På tilsvarende vis skrives da impulsoperatoren   Denne fundamentale kommutatoren betyr at de tre komponentene 

 

til dreieimpulsoperatoren  heller ikke vil kommutere med hverandre. For eksempel blir

 

På samme måte finner man  og  De tre komponentene opptrer på en syklisk symmetrisk måte. Man kan derfor sammenfatte dem i ett uttrykk ved bruk av Levi-Civita-symbolet. Det kan også benyttes i vektorproduktet slik at komponentene til dreieimpulsoperatoren kan skrives som  når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over de to parene med like indekser på høyre side. De tre kommutatorene mellom disse komponentene kan nå oppsummeres i den ene ligningen  Den inneholder all informasjon som behøves for kvantisering av dreieimpulser.

Egenverdier

I kvantemekanikken kan egenverdiene til to operatorer bare bestemmes samtidig når de kommuterer med hverandre. Derfor kan kun  egenverdiene til én av dreieimpulsens komponenter beregnes. Men størrelsen av den totale dreieimpulsen gitt ved operatoren

 

kommuterer med alle komponentene,

 

da leddet i parentes på høyre side er symmetrisk i sine to indekser. Den totale dreieimpulsen kan derfor bestemmes sammen med egenverdiene til én av dens komponenter. Denne velges vanligvis alltid å være  langs en tenkt z-akse.

Hvis man nå kaller egenverdiene for disse to kommuterende operatorene for λ og μ, vil kvantiseringen bestå i å bestemme deres felles egenvektorer , det vil si løse ligningene

 

Da operatoren  alltid vil gi en verdi som er positiv eller null, må de to egenverdiene oppfylle betingelsen  De kan beregnes rent algebraisk ved å innføre et par stigeoperatorer som ved kvantisering av en harmonisk oscillator.

Stigeoperatorer

Istedenfor de to komponentene  og  er det hensiktsmessig å innføre lineærkombinasjonene

 

Da er produktet

 

På samme måte blir

 

som gir differansen

 

Kommutatoren mellom  og de to andre komponentene er nå erstattet med

 

Dette betyr at når  virker på en egentilstand til  vil dennes egenverdi forandres til

 

Det er derfor naturlig å kalle  for en «heveoperator» da den øker egenverdien til . På samme måte ser man at  virker som en «senkeoperator» da den reduserer denne egenverdien like mye.
Da disse forandringene er &pm;ħ, er det praktisk å måle størrelsen til komponentene av dreieimpulsen i enheter av denne konstanten.  Skriver man μ = ħm, vil m være et dimensjonløst kvantetall.

Egenvektorer
De to operatorene  er eksempel på stigeoperatorer. Deres effekt på egentilstandene for dreieimpulsen kan  sammenfattes i egenskapene

 

Men man kan ikke øke kvantetallet m  for mye da man hele tiden må oppfylle betingelsen  Det må derfor finnes en spesiell, «høyeste tilstand»  definert ved at   Anvendes her senkeoperatoren  på denne, får man

 

som dermed gir det viktige resultatet  for størrelsen av den totale dreieimpulsen.

Her kan verdien av j  være et vilkårlig, positivt reelt tall. Men det kan bestemmes ved anvendelse av senkeoperatoren    på den høyeste tilstanden. Gjentas dette n  ganger, vil man komme til en tilsvarende, «laveste tilstand»  som ikke kan senkes mer på grunn av det samme kravet som definerte den høyeste tilstanden. Da er  som betyr at

 

Benyttes her resultatet for egenverdien λ  uttrykt ved kvantetallet j, finner man at

 

Dets mulige verdier følger derfor fra 2j (n + 1) = n(n + 1) eller 2j = n hvor heltallet n = 0, 1, 2 og så videre. Kvantetallet som bestemmer størrelsen av dreieimpulsen, kan derfor kun anta verdiene j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2 etc.

Egenvektorene til dreieimpulsoperatoren kan nå karakteriseres ved de to kvantetallene j  og m. Dette siste, «magnetiske kvantetallet» kan anta verdiene m = (j, j - 1, j - 2, ..., -j + 1, -j ) og kan tenkes å beskrive de  2j + 1 forskjellige retninger som dreieimpulsvektoren kan ha i et halv-klassisk bilde av denne operatoren.

Resultatet av kvantisering kan nå summeres opp ved

 

som gjelder for både heltallige og halvtallige verdier av kvantetallet j.

Normering

Praktiske beregninger med kvantisert dreieimpuls er enklere når egenvektorene har en bestemt normering. Da de står ortogonalt på hverandre i Hilbert-rommet, velges denne vanligvis å være

 

Vektorene sies da å være ortonormerte. Virkningen av en heveoperator kan skrives som  hvor koeffisienten  sørger for at normeringen blir opprettholdt under operasjonen. Den kan bestemmes fra normeringsbetingelsen som betyr at  Ved å benytte det tidligere resultatet for produktet av de to stigeoperatorene, er dens absolutte størrelse gitt. Sammen med en  tilsvarende betraktning rundt virkningen av en senkeoperator, har man dermed at

 

når man velger det positive fortegnet for kvadratroten.

Kombinert med den tilsvarende virkningen av  på den samme egenvektoren, kan man nå representere disse tre operatorene ved matriser med komponenter

 

Hver slik matrise vil ha en dimensjon (2j + 1) × (2j + 1). I det enkleste tilfellet er j = 1/2 hvor de kan uttrykkes ved 2 × 2 Pauli-matriser. For j = 1 finner man

 

mens  er en diagonal matrise med egenverdiene +ħ, 0, -ħ langs denne. I dette spesielle tilfellet kan de samme matrisene finnes fra klassiske rotasjoner av en vanlig vektor i det tredimensjonale rommet.

Egenfunksjoner

Ved å benytte en sett med basisvektorer i det abstrakte Hilbert-rommet for kvantisert dreieimpuls kan egenvektorene representeres ved kontinuerlige bølgefunksjoner. Mest vanlig er det å benytte egenvektorene til posisjonsvektoren  som basis. For alt som har med rotasjon å gjøre er det naturlig å beskrive denne med kulekoordinater  slik at de  kartesiske komponentene blir   og    Egenfunksjonen for en egentilstand  av dreieimpulsoperatoren kan da defineres som

  

De tre operatorene  blir på denne måten derivasjonsoperatorer. De kan finnes fra  når impulsen erstattes med  som  den gjør i Schrödinger-ligningen. På denne måten tar operatorene den konkrete formen

 

Da ketvektoren   er en egentilstand for   vil denne egenskapen nå ta formen

  

Herfra følger at bølgefunksjonene må ha en variasjon med de to vinklene som kan skrives som

 

hvor funksjonen  foreløbig er ubestemt. Men variasjonen med den asimutale vinkelen φ  er éntydig.

Sfærisk harmoniske funksjoner
Et makroskopisk objekt som roteres 360° eller  2π  radianer om en akse, vil komme tilbake til sin opprinnelige. stilling. Den tilsvarende bølgefunksjonen må derfor være den samme for φ = 0 som for φ =  2π. Et slikt objekt må derfor ha et asimutal kvantetall m som er heltallig. Det betyr igjen at kvantetallet j  også må ha slike verdier. For slik orbital bevegelse. er det derfor vanlig å angi det med symbolet ℓ som da tar verdiene ℓ = 0, 1, 2, 3 og så videre. De tilsvarende egenfunksjonene skrives nå som   og kalles for sfærisk harmoniske funksjoner.

Funksjonen yℓm(θ) kan finnes ved bruke senkeoperatoren  på den høyeste egenvektoren  Dens bølgefunksjon finnes fra definisjonen 
Den gir differensialligningen 

 

med løsningen . Den fulle bølgefunksjonen for denne tilstanden er derfor

 

hvor  er en normeringskonstant. Den bestemmes fra  eller

 

for m = m'  = ℓ. Benytter man da integralet

 

finner man for normeringskonstanten verdien

 

hvor fortegnet er konvensjonelt bestemt.

Ved å anvende senkeoperatoren   på den høyeste egenfunksjonen, kommer man frem til den generelle egenfunksjonen 

 

Dette kan forenkles ved å gjøre bruk av at

 

slik at det endelige resultatet  for disse egenfunksjonene blir

 

I det spesielle tilfellet at m = 0 har man dermed at

 

kommer ut med konvensjonelt riktig fortegn når funksjonene reduseres til Legendre-polynom.

Spinn-1/2

Når den kvantiserte dreieimpulsen har et halvtallig kvantetall j, kan den ikke skyldes noen vanlig rotasjon i vårt tredimensjonale rom. Den blir da vanligvis omtalt som spinn og er en egenskap ved elementærpartikler. De sies å være «punktpartikler» fordi alle observasjoner viser at de ikke har noen utstrekning. Av den grunn kan de heller ikke ha noen indre rotasjon og derfor en orbital dreieimpuls. Spinn til en partikkel kan føres tilbake til Einsteins spesielle relativitetsteori. For å skille det fra orbital dreieimpuls L, betegnes det vanligvis med symbolet S med et tilsvarende kvantetall s. Det enkleste eksempel er elektronet som har s = 1/2 og er beskrevet ved Dirac-ligningen. 

Kommutatorene for de tilsvarende spinnkomponentene  er de samme som for dreieimpulsen og egentilstandene tilfredsstiller

 

hvor det magnetiske kvantetallet tar (2s + 1) forskjellige verdier mellom +s og -s. For en partikkel med s = 1/2, er det derfor bare to egenvektorer  med m = &pm;1/2. De omtales ofte som om at spinnet er oppeller ned langs en tenkt z-akse og betegnes i litteraturen på forskjellig vis, for eksempel

  
 

Det finnes ikke noe koordinatrom som nå kan benyttes til å finne tilsvarende egenfunksjoner. Men spinnoperatorene og egentilstandene kan representeres ved 2 × 2 matriser.

Spinorer

En partikkel med spinn s = 1/2,  kan være i en vilkårlig spinntilstand 

   

som er en superposisjon av to egentilstander. De to komponentene er gitt ved  som i alminnelighet er komplekse tall. Sammen utgjør de en kolonnematrise

 

som kalles en spinor. Det er i motsetning til en vektor som har tre komponenter i det tredimensjonale rommet. Egenvektorene kan nå representeres ved basisspinorene

 

slik at en generell spinntilstand kan skrives som  Dette er en slags diskret bølgefunksjon.

På samme måte kan operatorene representeres ved  2 × 2 matriser med komponenter

  

En direkte utregning gir da at

 

hvor σ utgjør de tre Pauli-matrisene

 

Når partikkelen beveger seg og har en posisjon r som eventuelt kan variere med tiden, må man benytte basisvektorene  i Hilbert-rommet. Dens komponenter er da  slik at den kan den kan fremstilles som

 

Spinoren har en tidsutvikling som er beskrevet av Pauli-ligningen. Den er en utvidelse av Schrödinger-ligningen for partikler med spinn s = 1/2, men gjelder bare når bevegelsen er ikke-relativistisk. Når det ikke er tilfelle, må man i stedet benytte Dirac-ligningen hvor den tilsvarende Dirac-spinoren inngår og har fire komponenter.

Rotasjon av spinorer

Den mest karakteristiske egenskap ved spinorer er at de forandrer fortegn under en rotasjon med 360°. Dette er i motsetning til vanlige vektorer som alltid kommer tilbake til seg selv etter en slik rotasjon.

Størrelsen av en rotasjon kan beskrives ved en enhetsvektor n som angir retningen til rotasjonsaksen samt selve rotasjonsvinkelen φ  om denne aksen. En kvantemekanisk tilstand  vil da forandres som

 

hvor  og

 

er rotasjonsoperatoren uttrykt ved dreieimpulsoperatoren for tilstanden som roteres. For en spinor med spinn s = 1/2 vil denne operatoren da bli

 

når den skrives i matriserepresentasjonen.

Effekten av denne operatoren kan tydeliggjøres ved å betrakte en rotasjon om z-aksen. Da tar den formen

 

Ved nå å benytte at  forenkles dette til

 

Mer generelt vil en rotasjon φ  om en vilkårlig akse gitt ved enhetsvektoren n resultere fra transformasjonen

 

når man gjør bruk av at  En full rotasjon på 360° som tilsvarer φ = 2π  radianer, gir da en rotasjonsmatrise som ganske enkelt er . Først etter to fulle omdreininger med φ = 4π  vil spinoren komme tilbake til seg selv. Dette resultatet er uavhengig av hvilken akse som rotasjonen foretas rundt.

Total dreieimpuls

Den første antydning til at det fantes en indre dreieimpuls eller spinn S i atomene i tillegg til den orbitale dreieimpulsen L, var den anomale Zeeman-effekten. Vekselvirkningen eller spinn-banekobling mellom disse to dreieimpulsene ga opphav til et nytt ledd i Hamilton-operatoren til atomet som dermed tok den skjematiske formen

 

Mens den tidligere delen  er rotasjonsinvariant og derfor gir egenverdier for energien som kan karakteriseres ved det orbitale kvantetallet ℓ, kommuterer ikke det siste leddet med dreieimpulsoperatoren . Det følger fra

 

når man bruker Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser. Sammenlignes dette nå med den tilsvarende kommutatoren

 

vil

 

da leddet i parentes er symmetrisk i de to indeksene, mens Levi-Civita-symbolet er antisymmetrisk i de samme indeksene. Dette betyr at den totale dreieimpulsoperatoren

 

kommuterer med spinn-baneleddet slik at dens egenverdier kan brukes til å beregne egenverdiene for den fulle Hamilton-operatoren.

Hvis størrelsen til den nye operatoren er gitt ved et kvantetall j, vil den ha egenvektorer som oppfyller

 

hvor det magnetiske kvantetallet m igjen kan ta 2j + 1 forskjellige verdier mellom +j  og -j. Det kan anta både heltallige og halvtallige verdier. Derfor kan dette både kalles for spinn og dreieimpuls.

Addisjon av dreieimpulser

Konstruksjon av de egenvektorene  til den totale dreieimpulsen  kan igjen gjøres ved å la senkeoperatoren   virke på den høyeste egenvektoreren  Den er igjen definert ved at  og må være gitt ved produktet

 

Dens egenverdi for   gir det magnetiske kvantetalllet m = ℓ + 1/2 som derfor også må være verdien til kvantetallet j. Ved nå å anvende  på denne tilstanden, vil man finne en ny med samme verdi for j, men med m = ℓ - 1/2. Utregningen gir

 

Slik kan man fortsette og generere ny egenvektorer i den samme stigen hvor alle har samme kvantetall j = ℓ + 1/2, men stadig mindre kvantetall m. Til slutt står man igjen med den laveste tilstanden  En generell tilstand i denne stigen blir

 

Koeffisientene i slike lineærkombinasjoner av egentilstander for dreieimpuls kalles for «Clebsch-Gordan-koeffisienter» og kan utregnes en gang for alle.

Da egenvektoren  er en lineærkombinasjon av to andre tilstander, kan man finne en ny vektor

 

som er ortogonal til denne. Den har et magnetisk kvantetall m = ℓ - 1/2. 
Når   virker på denne egenvektoren, er resultatet null. Den må derfor være den høyeste tilstanden i en ny stige med j = ℓ - 1/2 og inneholdende  i alt  2j + 1 = 2ℓ andre tilstander med samme j. De to stigene består av tilsammen 2ℓ + 2 + 2ℓ = 2⋅(2ℓ +1) egenvektorer som er lik med antallet av de opprinnelige tilstandene. Man kan dermed konkludere at addisjon av dreieimpulsen ℓ og et spinn s = 1/2 gir en total dreieimpuls som kun kan være j = ℓ &pm; 1/2. Dette resultatet kan generaliseres til å gjelde for addisjon av vilkårlig store dreieimpulser.

Addisjon av to spinn s = 1/2 kan gjøres på samme måte. Det resulterende spinnet vil da enten bli j = 1 med tre tilstander eller j = 0 med én tilstand. Disse to multiplettene blir derfor omtalt som henholdsvis en triplett og en singlett.

Referanser

Eksterne lenker

 Professor M, Ladder operators in angular momentum, YouTube video
 Cornell University, Orbital Angular Momentum And Spin Angular Momentum, forelesningwsnotat
 B. Zwiebach, Angular Momentum, MIT OpenCourseWare on YouTube 

 Kvantemekanikk