Hölder-kontinuitet

Hölder-kontinuitet angir en form for kontinuitet innen matematisk analyse, strengere enn uniform kontinutitet og gir en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. Hölder-kontinuitet kan sees på som en generalisering av Lipschitz-kontinuitet; mens Lipschitz-kontinuitet gir en lineær begrensning, gir Hölder-kontinuitet en eksponensiell begrensning. En funksjon sies å være Hölder-kontinuerlig dersom det finnes to reelle tall C (større eller lik 0) og  (større enn 0) slik at for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse, opphøyd i  og ganget med C, større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Otto Hölder.

En funksjon som er Hölder-kontinuerlig med eksponent  er Lipschitz-kontinuerlig. Hvis  er funksjonen konstant. Alle Hölder-kontinuerlige funksjoner er også uniformt kontinuerlige, og dermed også kontinuerlige; det motsatte er ikke alltid sant.

Funksjoner som i seg selv og i sine partiell-deriverte er Hölder-kontinuerlige, hvis norm er endelig, sies å tilhøre et Hölder-rom.

Definisjon
En funksjon , der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være Hölder-kontinuerlig (med eksponent ) dersom det finnes en konstant  og en konstant  slik at

Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom  og , der  og  angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon  Hölder-kontinuerlig (med eksponent ) dersom det finnes en konstant C slik at

Eksempler
Funksjoner som er Hölder-kontinuerlige
Alle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er også Hölder-kontinuerlige. Dette gjelder f.eks. alle lineære funksjoner , siden
 der  og 
Funksjonen  er ikke Lipschitz-kontinuerlig over , men den er Hölder-kontinuerlig med konstant  og eksponent :

Anta , da får vi

Referanser

Eksterne lenker

Hölder condition på Encyclopedia of Math

Matematisk analyse