Arkimedes’ aksiom

Arkimedes’ aksiom sier at for to matematiske størrelser av samme slag (tall, lengder, flater e.l.) kan man alltid mangedoble den minste slik at den blir større enn den største. Hvis man kaller de to størrelsene x og y der y > x > 0, vil det da finnes et naturlig tall n slik at

 

Aksiomet kan tilsynelatende virke helt opplagt, men spiller en sentral rolle i moderne tallteori hvor tall benyttes som ikke oppfyller aksiomet. Det er oppkalt etter Arkimedes som hadde lært det av Eudoksos fra Knidos.

Rasjonale tall er brøker  av heltall. Selv om de danner en fullstendig tallkropp Q, må denne likevel utvides til reelle tall R for å kunne gi løsning av polynomligninger. De oppfyller det arkimediske aksiomet og kan derfor ordnes etter størrelse. 

Men de rasjonale tallene kan utvides på en andre måter. For hvert primtall p finnes det en tallkropp Qp  av p-adiske tall som danner sitt eget tallsystem. To slike tall kan ordnes eller sammenlignes når man kan si hvilket som er større eller mindre enn det andre. Men da størrelsen av disse tallene er definert på en ny måte, viser det seg at  de ikke lenger oppfyller Arkimedes' aksiom.

Interessen for ikke-arkimediske tallsystem oppsto for vel hundre år siden da man fattet spesiell interesse for matematikkens og geometriens logiske oppbygning. Fremdeles er der uavklarte spørsmål på dette feltet.

Referanser

Eksterne lenker

 Bill Kinney, The Archimedean Property, Blog (2021).