Logaritmers historie

Logaritmers historie startet i 1614 da John Napier publiserte verket Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio hvor ordet logaritme ble brukt for første gang. Verket ga en metode til forenkling av beregninger hvor stor nøyaktighet var påkrevet. Dette gjaldt spesielt innen astronomi og navigasjon. Fremgangsmåten hadde noen likhetspunkter med prostaferese hvor multiplikasjon og divisjon kunne erstattes av addisjon og subtraksjon ved bruk av trigonometriske tabeller. Hans verk inneholdt logaritmer med syv siffers nøyaktighet for sinus til alle vinkler mellom 0° og 90° for hvert bueminutt samt noen eksempler på deres bruk.

En beskrivelse av hvordan han hadde konstruert sine logaritmer ble først gitt i verket Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio som ble publisert av hans sønn samme år som han døde i  1617. Der kom det frem at han hadde brukt tyve år på dette arbeidet.

Napiers logaritmer var basert på en direkte sammenheng mellom tall i en geometrisk rekke og tilsvarende tall i en aritmetisk rekke som i den moderne definisjonen. Tallene i den aritmetiske rekken var gitt ved forhold mellom forskjellige tall i den geometrisk rekken og ble kalt for logaritmer eller «tall for forhold» ut fra de greske ordene logos (ord, relasjon eller forhold) og arithmos (tall).

Napiers logaritmer
Basert på sin egen fremgangsmåte kunne Napier for hvert heltall N definere en ekvivalent og heltallig logaritme L ut fra sammenhengen

 

skrevet i moderne notasjon. Tallet 107 = 10 000 000 valgte Napier ut fra den nøyaktighet han ville benytte i sine beregninger. Det har dermed logaritmen  og alle mindre tall har større logaritmer.  Dette spesielle tallet tilsvarte antall enheter som han delte radius opp i ved beregning av de trigonometriske funksjonene.

Napier la merke til at differansen i logaritmene til alle tallpar hvor det ene var to ganger større enn det andre, var . Likedan var denne differansen  når det ene var ti ganger større enn det andre. I dag forstår vi disse tallene som meget gode tilnærmelser av de naturlige logaritmene  og  når de multipliseres med 107 slik at desimaltegnet flyttes syv plasser til høyre.

Dette følger fra den moderne definisjon av logaritmer som sier at tallene  er konstruert med grunntallet  Alternativt kan man skrive denne sammenhengen som

 

når man benytter definisjonen av Eulers tall e = 2.71828 1828 ... og betrakter 107 som et uendelig stort tall. Jo større tallet N er, desto mindre er den tilsvarende napierske logaritmen L. Fremstilt på denne måten, bygger de napierske logaritmene på grunntallet  Av denne grunn blir Eulers tall noen ganger omtalt som Napiers konstant.

Jost Bürgi

Omtrent på samme tid som Napier etablerte sine logaritmer, hadde den sveitsiske instrumentmaker og astronom Jost Bürgi konstruert sin egne logaritmer. Han arbeidet i en periode som assistent for Johannes Kepler og publiserte sine alternative logaritmetabeller  Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen først i 1620. På den måten kom dette arbeidet i skyggen av Napiers verk.

Bürgi bygger også på sammenhengen mellom en geometrisk og aritmetisk rekke og skriver hvert tall i N sin tabell på formen

 

hvor L angir logaritmen, et navn som han selv ikke brukte da han sannsynligvis ikke visste om Napiers arbeid. Derimot var tallene N i tabellen trykt med svart og 10L med rødt, så han omtalte dem som «svarte tall» og «røde tall».

Grunntallet  i denne fremstillingen er 1.0001. Faktoren 108 betyr at N kan angis med åtte siffers nøyaktighet. Disse ble regnet ut for L fra 0 til 23027 som tilsvarer verdier av  antilogaritmen N fra  til  Betrakter man igjen tallet 104 som så stort at man kan gjøre samme approksimasjon som for Napiers logaritmer, har man

 

Det største, røde tallet 23027 for N = 109 oppstår derfor fra sammenhengen  som er tilnærmet riktig fordi den naturlige logaritmen . Grunntallet i logaritmesystemet til Bürgi kan da med en viss nøyaktighet sies å være Eulers tall e. I motsetning til Napiers logaritmer, vil de til Bürgi øke med tallet N.

Multiplikasjon, divisjon og rotutdragning av tall i dette intervallet kan regnes ut som ved bruk av vanlige logaritmer når man betrakter dem som desimaltall som kan skaleres opp eller ned ved flytting av komma. Beregning av en kubikkrot med denne metoden er derimot ikke uten videre mulig.

Johannes Kepler

I sine første, astronomiske beregninger gjorde Kepler bruk av prostaferese som til en viss grad forenklet arbeidet. Men da han ble kjent med Napiers logaritmer noen få år etter deres publikasjon i 1614, forsto han at dette var en bedre metode. Men da det på det tidspunkt ikke var kjent hvordan disse logaritmetabellene var blitt konstruert, gikk Kepler i gang med å konstruere sine egne. Den første utgaven av disse Chilias logarithmorum («Tusenvis av logaritmer») ble trykt i 1624 mens han arbeidet med sine Rudolfinske tabeller. Dette var samme år som Henry Briggs utga sitt store verk Arithmetica Logarithmica om logaritmer med grunntall 10.

Kepler benyttet en helt annen tankegang enn Napier i sin utledning av logaritmen til et tall x. Dette kunne også være et rasjonalt tall, det vil si en brøk a/b av to heltall. Hans konstruksjon var basert på eksistensen av det vi i dag ville kalle en funksjon M(x ) med den fundamentale egenskapen at

 

Hvis nå c er den geometriske middelverdien av de to tallene a og b slik at c 2 = a⋅b, vil a/b = (a/c)2 . Funksjonen M(x ) oppfyller derfor

 

som betyr at M(x 2) = 2⋅M(x ). Ved å gjenta denne argumentasjonen har man dermed funksjonalligningen

 

som må være oppfylt. Den har som løsning at M(x ) = z⋅lnx når den utrykkes ved den naturlige logaritmefunksjonen og z er et vilkårlig tall. Kepler kunne dermed reprodusere de napierske logaritmene ved å skrive dem som

 

hvor z = 107 er den nøyaktighet som Napier hadde brukt.

Numerisk beregning

Den moderne forståelsen av logaritmer ble først etablert vel hundre år etter at Kepler var død. Han kunne derfor ikke gjøre bruk av noen naturlige logaritmer, men benyttet beregninger av geometriske middelverdier. I praksis betyr det å beregne kvadratrøtter. For eksempel, når x = 10/7 kunne han skrive dette rasjonelle tallet også som 1000/700 eller multiplisere teller og nevner med enda høyere potenser av 10 for å øke nøyaktigheten. Hvis nå  x1 er det geometriske middel av a og b, er . Videre kan man på samme måte la  xn+1 være det samme middel mellom a og xn  slik at . Etter n slike iterasjoner har man dermed

 

hvor på høyre side xn  nærmer seg a.  Da funksjonen M(x ) har egenskapen at , setter Kepler at

 

når n blir tilstrekkelig stor. Det er akkurat denne betingelsen som definerer funksjonen som en naturlig logaritme og tilsvarer ln(1 + ε) = ε i grensen der den lille størrelsen ε blir tilstrekkelig liten.

Briggs-logaritmer

Hvis man betrakter heltallene 107  hos Napier og 108 hos Bürgi som desimaltallet 1.0 med et tilsvarende antall nuller etter seg, er logaritmen til dette tallet L = 0 i begge formuleringene. Da den engelske matematiker Henry Briggs ble kjent med Napiers logaritmer etter deres publikasjon i 1614, innså han med en gang betydningen av denne egenskapen. Men i tillegg ville han forbedre Napiers logaritmer ved å definere dem på en ny måte som reflekterer den enkle egenskapen at når et helt tall multipliseres med 10, så føyes bare en null til høyre ende av tallet.

Han kom frem til at dette kunne gjøres enklest ved å definere nye logaritmer  med 10 som grunntall og som oppfyller  sammen med . Han presenterte disse nye, briggske logaritmene først for tallene 1 - 1000 i et mindre arbeid Logarithmorum Chilias Prima i 1617 og ga en mer fullstendig fremstilling i 1624 i det store verket Arithmetica Logarithmica. Her var logaritmer for alle tall fra 1 til 20 000 og 90 000 til 100 000 beregnet, igjen med fjorten siffers nøyaktighet. Disse er mye mer anvendelige og enklere å bruke enn både Napiers og Bürgis logaritmer, og er de som benyttes i dag ved praktiske beregninger.

Den sentrale fremgangsmåten Briggs benyttet til sine beregninger av logaritmen til et primtall, var ved beregne påfølgende kvadratrøtter av tallet. Dette ga et nytt tall som ble stadig mindre og raskt nærmet seg 1. Etter et stort antall n slike operasjoner, kom han da frem til at logaritmen til tallet var

 

hvor konstanten k = 0.4342 9448 med åtte desimalers nøyaktighet. I dag vet vi at denne tilsvarer  hvor e er Eulers tall. Logaritmen til et sammensatte heltall kunne så finnes ved addisjon av logaritmen til primtallene det besto av.

Hyperbolske logaritmer
I den andre utgaven av Napiers Constructio som ble oversatt til engelsk av Edward Wright like før han døde i 1615, finnes det et tillegg som er en tabell med det som dag kalles naturlige logaritmer. Det er uklart hvordan den er oppstått.

Logaritmer ble i årene etterpå betraktet som isolerte tall som gjorde praktiske beregninger enklere. Men på midten av 1600-tallet ble det klart at arealet under hyperbelen y = 1/x kunne benyttes til å definere en logaritmisk funksjon log(x ) med den fundamentale egenskapen . Spesielt ble dette klarlagt av Christian Huygens i et arbeid fra 1661. Slike hyperbolske logaritmer kan defineres ved integralet

 

hvor rekken er konvergent for |x | < 1.  Det var derfor mulig å beregne dem mer direkte enn det var for tidligere logaritmer.

Spørsmålet om denne nye logaritmefunksjonen kunne utvides til negative verdier av argumentet, dukket snart opp. Dette kan illustreres av diskusjonen mellom Johann Bernoulli og Gottfried Leibniz på begynnelsen av 1700-tallet. Ut fra den vanlige egenskapen ved logaritmer at , var det kanskje naturlig å definere logaritmen til et negativt tall ved  =  Derfor ville log(-a) = log a som Bernoulli mente måtte være riktig. Det ville i så fall   bety at  = 0. Men Leibniz pekte da på at log(-1) = log i 2 = 2 logi som han fant helt meningsløst.

Ved å bruke definisjonen av den hyperbolske logaritmen, oppdaget Bernoulli i 1702 et nytt problem. Det oppsto i integralet som definerer den inverse tangensfunksjonen. Ved en omskrivning fant han

 

som viser at logaritmen til dette komplekse argumentet må være rent imaginært. Likevel kom ikke Bernoulli mye nærmere en løsning av problemet med logaritmen til negative og komplekse tall.

Euler og naturlige logaritmer

Leonhard Euler ble tidlig student hos Johann Bernoulli i Basel, og de diskuterte dette og mange lignende problem. I 1727 da han var 20 år gammel,  påpekte han at integralet til Bernoulli kunne benyttes til å beregne arealet av en sirkulær sektor. Hvis radius i sirkelen er a og sektoren tilsvarer en buelengde θ, så er dette arealet  I et kartesisk koordinatsystem med sirkelens senter i origo og en side langs x-aksen, er  hvor punktet (x,y) på sirkelen angir den andre siden til sektoren. Bernoullis resultat for integralet gjør det derfor mulig å skrive arealet som

 

ved å sette inn  u =  y /x. En kvadrant av sirkelen tilsvarer en sektor som utspinner en vinkel θ = π /2 radianer. Det tilsvarer punktet (0,a) i denne formelen. Da kvadranten har arealet , får man dermed

 

Dette skulle vise seg å være et avgjørende resultat. Euler tok det med seg da han samme år ble ansatt ved Det russiske vitenskapsakademiet i St. Petersburg.

I et brev til Christian Goldbach i 1731 definerte han et spesielt tall  hvis hyperbolske logaritme . Senere er dette blitt kalt for Eulers tall selv om det var tidligere blitt undersøkt av Jakob Bernoulli.

På denne måten kunne den hyperbolske logaritmefunksjonen log x defineres med e som grunntall. Den er derfor den inverse av den naturlige eksponentialfunksjonen ex som Johann Bernoulli hadde tidligere studert.

Euler ga en fullstendig fremstilling av denne nye matematikken i sitt store verk Introductio in Analysin Infinitorum skrevet i årene før 1745, men utgitt først i 1748 da han bodde i Berlin. Siden har hyperbolske logaritmer også blitt kalt naturlige logaritmer og betegnes ofte som ln eller loge . De kan defineres generelt som

 

som er ekvivalent til definisjonen Briggs ga av sine logaritmer. Det ser man ved å sette 2n = 1/h i hans uttrykk for n kvadratrøtter av tallet x.

Denne mer generelle definisjonen av logaritmefunksjonen basert på den naturlige eksponentialfunksjonen gjorde det også mulig å definere logaritmen av negative og komplekse tall på en entydig måte.  Det kan gjøres av Eulers formel

 

som han fant i 1745. Da de trigonometriske funksjonene er periodiske, vil den naturlige logaritmen kunne være mangetydig. For et generelt, komplekst tall  kan fasevinkelen θ økes med et vilkårlig antall av den hele vinkel 2π uten at det forandres. Det betyr at den tilsvarende logaritmen

 

hvor m er et positivt eller negativt heltall. Prinsipalverdien fremkommer for m = 0. Det betyr at for et reelt tall a er ln (-a) = ln a + iπ + m⋅2π i. Samme år som denne endelige syntesen ble publisert i 1748, døde Eulers læremester Johann Bernoulli.

Richard Feynman

I sine berømte forelesninger i fysikk på begynnelsen av 60-tallet benyttet Richard Feynman anledningen til å gå nærmere inn på den praktiske beregning av logaritmer. Han anvendte da samme fremgangsmåte som Henry Briggs i sin tid hadde brukt ved å ta et stort antall kvadratrøtter at tallet. Men Feynman gikk videre og viste hvordan naturlige logaritmer også for komplekse tall kan beregnes på denne måten. Han kom dermed frem til Eulers formel ved en ren numerisk metode.

Tyve år senere år senere arbeidet Feynman delvis som konsulent for The Connection Machine som på den tiden skulle bli en av de største supercomputere. En av hans oppgaver var å utvikle en rask algoritme til beregning av binære logaritmer lb, det vil si med basis 2 slik at de også skrives som log2. Her kom han frem til en metode som bygger på samme prinsipp som Henry Briggs brukte i Arithmetica Logarithmica i 1624 og som i dag ofte kalles for radix-metoden. Lignende fremgangsmåter for elektroniske regnemaskiner hadde han vært med å utvikle i Los Alamos i forbindelse med konstruksjon av de første atombombene i 1945.

Se også
 Logaritmer
 Briggs-logaritmer
 Naturlig logaritme
 Napiers logaritme

Referanser

Eksterne lenker
 F. Cajori, A History of Mathematics, MacMillan and Co, New York (1894). Archive.org online version.
 K. M. Clark and C. Montelle,  Logarithms: The Early History of a Familiar Function, Mathematical Association of America,  Convergence (2011).

Logaritmer
Matematikkens historie