Partiell derivasjon

Partiell derivasjon er en operasjon i matematikk for å finne den partiellderiverte til en flervariabel funksjon, som er funksjonens deriverte med hensyn på en variabel, mens de andre blir holdt konstant.

Notasjonen for den partiellderiverte for en funksjon  med variablene  med hensyn på  skriver en som oftest på formen

 

men en kan også skrive han som . En les "den partiellderiverte av  med hensyn på ".

∂, en stilisert kursiv d, blir brukt for å vise til partiellderiverte og skiller det fra deriverte av envariable funksjoner, .

Den deriverte til en envariablet funksjon er stigningstallet til tangenten i punktet . I en funksjon med to variabler er det uendelig mange tangenter i hvert punkt , men som oftest er det tangentene parallelt til enten  eller -aksen som er av høyest interesse. Når en partiellderiverer finner vi stigningstallet til en av disse to tangentene.

Definisjon

R2 
La  være en funksjon av to variabler,  og .

Den partiellderiverte til  med hensyn på  er definert som

 ,

dersom grenseverdien eksisterer.

Korresponderende er den pariellderiverte med hensyn på  definert slik:

Rn 
Vi kan generalisere definisjonen i andredimensjon til å gjelde for alle dimensjoner

La  vere en funksjon av  variabler, .

Vi definerer den partiellderiverte til  med hensyn på  slik:

 

Hver funksjon i  har  partiellderiverte; en til hver variabel.

Eksempel i R2 
Vi har funksjonen 

 

Når en partiellderiverer med hensyn på en variabel behandler vi den andre som konstant. De to partiellderiverte til  er dermed

 

Stigningstalet til tangenten parallelt med -aksen i punkt (1,1) er

 

Tilsvarende har vi stigingstalet til tangenten parallelt med -aksen:

Partiellderiverte av høyere orden 
Slik som for funksjoner med en variabel, kan vi definere partiellderiverte av høyere orden for funksjoner med flere variabler. Dersom en partiellderivert er deriverbar kan en fortsette å derivere med hensyn på samme eller en annen variabel så langt det lar seg gjøre.

Deriverer vi en førstepartiellderivert med samme variabel finner vi den andrepartiellderiverte, og skriver følgende notasjoner:

 

Deriverer vi med en annen variabel får vi en krysset andrepartiellderivert

 

Symmetrien eller likheten av andre partiellderiverte fastslår at rekkefølgen for å oppnå en krysset andrepartiellderivert er likegyldig

 

Deriverer vi en andrepartiellderivert får vi en tredjepartiellderivert, og så videre... Deriverer vi en funksjon -ganger med samme variabel får vi n-te ordens partiellderivert

 

Vi får en n-te ordens kryssene partiellderivert dersom vi deriverer en funksjon  ganger med  ulike variabler

Se også 

 Retningsderivert
 Gradient
 Hessematrisen

Referanser 

Differensiallikninger
Funksjoner
Matematisk analyse