Stigeoperator

Stigeoperatorer benyttes i lineær algebra og kvantemekanikk til å heve eller senke  egenverdien til en annen operator. Når de benyttes i kvantefeltteori, kalles de vanligvis for kreasjons- og annihilasjonsoperatorer siden de skaper eller fjerner partikler eller kvant. 

Operatorene spiller en sentral rolle i kvantisering av en harmonisk oscillator. De benyttes også ved kvantisering av dreieimpuls. Dette tilsvarer etablering av representasjoner til Lie-gruppen SU(2) for rotasjoner. Mer generelt opptrer de i klassifikasjon og representasjon av alle Lie-grupper.

Definisjon

Bruk av stigeoperatorer i fysikk kan føres tilbake til Paul Dirac og hans første bidrag til kvantemekanikken. Med sin egen formalisme basert på lineær algebra beskrev han den matematisk ved operatorer som virker i et multidimensjonalt vektorrom.

La  være en hermitisk operator i dette vektorrommet med egenverdi n. Ved å benytte Diracs notasjon, vil da

 

Anta at det finnes i tillegg en annen operator  med den spesielle egenskapen

 

hvor s er et reelt tall. Kommutatoren mellom to operatorer er her definert som  i kvantemekanikken. Operatoren   kalles nå for en «stigeoperator» hvor navnet kommer fra egenskapen

 

Det betyr at vektoren  er en ny egenvektor med egenverdi n + s. Gjentatt bruk av denne operatoren vil da kunne skape nye egenvektorer med tilsvarende egenverdier med samme avstand fra den forangående. Hvis konstanten s  er positiv, er det naturlig å kalle operatoren  mer spesifikt for en heveoperator.

Da den  hermitisk adjungerte operatoren   har kommutatoren 

vil man på samme vis få at denne virker som en tilsvarende senkeoperator da den reduserer egenverdien med s.

Harmonisk oscillator

Hamilton-operatoren for en harmonisk oscillator med frekvens ω  er

 
 
hvor ħ  er den reduserte Planck-konstanten. Operatorene  og  har den fundamentale kommutatoren

 

Egenvektorene til Hamilton-operatoren er  de samme som for den hermitiske operatoren   Den har derfor egenvektorer  med egenverdier n  som er reelle tall. Nå er

 

slik at  er en senkeoperator som reduserer egenverdien med én. Siden energien til oscillatoren må være positiv, må  ha en minste egenverdi  Den tilsvarende tilstanden må oppfylle   slik at ikke senkeoperatoren genererer tilstander med negativ energi. 

Basert på denne «grunntilstanden»  med energi E0 = (1/2)ħω  kan man så konstruere tilstander med høyere energi ved å benytte den hermitisk adjungerte operatoren  Den virker nå som en heveoperator og vil øke energien i stepp med størrelse ħω.

Normering

Bruk av stigeoperatorer forenkles betraktelig når de virker på normerte tilstander, det vil si med vektorer i tilstandsrommet som har samme lengde. Ved å velge denne å være gitt ved  vil også de eksisterte tilstandene få samme normering.

Da tilstanden  har egenverdi n - 1, må den kunne skrives som

 

hvor c  er en normeringskonstant som må bestemmes. Men hvis vektorene på begge sider av ligningen er normerte til én, vil

 

Det betyr at c = √n  når man velger dette tallet å være reelt. Derfor har man 

  

etter å ha brukt at 
i den siste relasjonen. Denne kan nå brukes til å konstruere en vilkårlig egenvektor som

 

Den er da automatisk normert og kan benyttes til å gi de tilsvarende bølgefunksjonene på en mye enklere måte enn å finne disse som løsninger av Schrödinger-ligningen.

Dreieimpuls og spinn

De tre komponentene til dreieimpulsoperatoren   kommuterer med kvadratet  men ikke med hverandre. Ved å innføre lineærkombinasjonene  kan kommutatorene skrives som

 

Kvantisert dreieimpuls har nå egenvektorer  for både  og samtidig for komponenten  langs z-aksen,

 

Her vil kvantetallet j  kunne anta verdiene 0, 1/2, 1, 3/2 og så videre. Det gir størrelsen til den totale dreieimpulsen, mens kvantetallet m  gir verdien av denne langs z-aksen og varierer fra +j  til -j  i stepp på  én. 

Disse 2j + 1 steppene kan betraktes som trinn i en stige hvor øverste trinn er representert ved den høyeste tilstanden  Fra kommutatorene ser man at  virker som heve- og senkeoperatorer i denne stigen. Deres numeriske effekt kan summeres opp ved at

 

For hver verdi av kvantetallet j  kan man herav beregne matriserepresentasjoner av de abstrakte operatorene   I det enkleste tilfellet er j = 1/2 og operatorene er representerte ved Pauli-matriseer.

Addisjon av dreieimpulser

Et atom har en total dreieimpuls som er gitt av summen

 

hvor  er den orbitale dreieimpulsen som skyldes elektronenes bevegelse omkring atomkjernen og  er dens og elektronenes indre dreieimpuls eller spinn. Egenvektorene til denne kombinerte operatoren vil nå bestå av lineærkombinasjoner av produkt  av egentilstander til hver av operatorene. Disse kan igjen finnes ved å la senkeoperatoren  virke på den høyeste tilstanden  Den har m = ℓ + s  som også er verdien til totalspinnet j. Resultatet etter én gangs bruk av senkeoperatoren er en lineærkombinasjon av tilstandene  og  Selv om denne har m = ℓ + s - 1, er totalspinnet uforandret og lik med j = ℓ + s. Fortsatt bruk av  vil skape nye trinn i denne stigen eller multipletten med mindre verdier av m, men samme j. Derimot hvis man danner en ny tilstand som er ortogonal med de to tilstandene som utgjør egentilstanden  vil den være den høyeste tilstanden for en ny stige med j = ℓ + s - 1.

På denne måten kan man bygge opp nye egentilstander med total dreieimpuls j = ℓ + s,  ℓ + s - 1, ℓ + s - 2, ..., ℓ - s  hvis man antar at ℓ ≥ s. Det opprinnelige antall (2ℓ  + 1)⋅(2s + 1) tilstander splittes dermed opp i forskjellige spinnmultipletter, hver med 2j + 1 tilstander. Men det totale antall tilstander forblir uforandret,

 

I det motsatte tilfellet med ℓ < s, vil de resulterende spinnmultiplettene ha j =  s + ℓ, s + ℓ - 1, ..., s - ℓ og kan finnes på samme vis.

Referanser

Kvantemekanikk