Elementær funksjon

En elementær funksjon er en matematisk funksjon av en enkelt variabel, laget ved algebraiske kombinasjoner av en liten gruppe grunnfunksjoner: rasjonale funksjoner, eksponetialfunksjoner, 
logaritmefunksjoner, trigonometriske funksjoner og den generelle potensfunksjonen.

Grunnfunksjonene kan settes sammen ved et endelig antall aritmetiske operasjoner addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon.  
I tillegg regner også sammensatte funksjoner av elementære funksjoner som elementære. 
Noen definisjoner utvider klassen ved også å inkludere alle inverse funksjoner av elementære funksjoner som elementære.

Elementære funksjoner kan være definert for en reell variabel eller for et komplekst argument.

Elementære grunnfunksjoner 

Til de elementære grunnfunksjonene av en reell eller kompleks variabel regnes

 De rasjonale funksjonene, inkludert polynomfunksjonene
 Eksponentialfunksjonen
 Logaritmefunksjonen
 Trigonometriske funksjoner, inkludert arcus-funksjonene
 Den generelle potensfunksjonen

Polynomfunksjoner

Polynomfunksjoner av en variabel er funksjoner på formen 

hvor  er konstanter, og  er graden til polynomet, forutsatt at  er ulik null.  Polynomfunksjoner er kontinuerlige, glatte og hele.

Rasjonale funksjoner

En rasjonal funksjon er en funksjon definert som forholdet mellom to polynomfunksjoner:

Her er  og  polynomfunksjoner.  Definisjonsmengden til en rasjonal funksjon er alle reelle eller komplekse verdier av  som ikke gjør nevneren 
 lik null.  

Siden en konstant i nevneren også er et polynom, regnes polynomfunksjonene som en delmengde av de rasjonale funksjonene.

Eksponentialfunksjonen

Eksponentialfunksjonen med grunntall  er en funksjon på formen

der  er et positivt reelt tall.  

Grunnformen for denne typen funksjoner er definert med grunntallet e = 2,718...

 

Funksjonen er vanligvis formelt definert som en uendelig potensrekke:

Logaritmefunksjoner

Logaritmefunksjonen med grunntall kan defineres som den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen:

Spesielt viktig er funksjonen med grunntall :

Trigonometriske funksjoner

De trigonometriske funksjonene er funksjoner som kan uttrykkes som et forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant, når en vinkel i trekanten brukes som funksjonsargument.  Grunnleggende
funksjoner er sinus, cosinus og tangens.  De inverse funksjonene betegnes med arcus sinus, arcus cosinus og arcus tangens.

Potensfunksjoner

Den generelle potensfunksjonen har formen

der  er en konstant.  Funksjonen kan uttrykkes ved hjelp av logaritmer, som

Eksempler på elementære funksjoner 

Til de elementære funksjonene hører

 Konstante funksjoner, som 
 Funksjoner sammensatt av potens- og rot-uttrykk, som 
 Hyperbolske funksjoner, som 
 Inverse hyperbolske funksjoner, som 
 Sammensetninger som 

Den siste funksjonen er lik  i hele det komplekse planet.

Som et eksempel på en funksjon som ikke er elementær kan nevnes gammafunksjonen:

Egenskaper til elementære funksjoner 

Ved ikke å inkludere generelle inverse funksjoner oppnår en direkte fra definisjonen at mengden av elementære funksjoner er lukket under de aritmetiske operasjonene, samt sammensetning.

Refereanser 

Elementær algebra
Funksjoner