Pauli-matrise

Pauli-matriser er tre 2 × 2 matriser som ble innført av Wolfgang Pauli for å beskrive ikke-relativistiske partikler med spinn-1/2.  De er hermitiske og kan benyttes til å beskrive alle andre kvantemekaniske system som har et todimensjonalt Hilbert-rom. 

Et viktig eksempel  er en qubit som er den minste enheten i en kvantedatamaskin. Tillatte tilstander for slike system kan representeres av punkter på en kuleflate som kalles en «Bloch-sfære».

Matrisene er definerte som:

hvor i = √-1 er den imaginære enheten. De utgjør den fundamentale representasjonen av generatorene til Lie-gruppen SU(2) som beskriver rotasjoner. Samtidig kan de betraktes som basiselementene i Clifford-algebraen Cℓ(3,0). Dirac-ligningen og dens løsninger for relativistiske partikler med spinn-1/2 er fundert på Pauli-matriser.

Algebraiske egenskaper

Ved direkte utregning finner man

 

hvor  er 2 × 2 enhetsmatrisen. Den blir ofte utelatt i mange sammenhenger der den ikke har noen betydning. Når matrisene er forskjellige, finner man på samme måte

 
 
 

Det betyr at  Disse forskjellige produktene kan sammenfattes delvis i kommutatoren

 

når man benytter det antisymmetriske Levi-Civita-symbolet og Einsteins summekonvensjon, samt antikommutatoren

 

ved bruk av  Kronecker-deltaet. Addisjon av disse to uttrykkene gir den fundamentale sammenhengen

 

Den inneholder alle de algebraiske egenskapene til Pauli-matrisene.

I tillegg til at matrisene er  hermitiske, har også deres determinanter (det) og spor (tr) bestemte verdier,

 

Grunnen for dette er at de alle har de samme to egenverdiene +1 og -1.

Pauli-vektorer

I mange sammenhenger er det hensiktsmessig å betrakte de tre Pauli-matrisene som komponentene til en vektor  Det gjør det mulig å beregne dens komponent langs en vilkårlig annen vektor u = (ux, uy, uz } som

 

På denne måten konstrueres en «Pauli-vektor» med determinant 

 

Dens kvadrat kan skrives som 

 

når man dropper enhetsmatrisen på høyre side.

Mer generelt  produktet mellom to forskjellige Pauli-vektorer

 

da vektorproduktet kan uttrykkes ved Levi-Civita-symbolet som inngår i det siste leddet.

Pauli-matrisene kan benyttes ved Lorentz-transformasjoner slik de opptrer i kovariant relativitetsteori. Sammen med enhetsmatrisen utgjør de da en firevektor med kovariante komponenter  Hvis nå   er en firevektor, kan den fremstilles som en kovariant Pauli-vektor

 

Dens determinant er nå

 

slik at  metrikken i Minkowski-rommet kommer riktig ut.

Bloch-sfære

Wolfgang Pauli viste at en partikkel med  spinn s = 1/2 har en spinnvektor som kan fremstilles ved de tre matrisene 

 

hvor ħ  er den reduserte Planck-konstanten. De to egenverdiene &pm;1 til σz  tilhører to ortogonale egenvektorer som representeres ved spinorene  

 

der   og  Man sier derfor at de to tilstandene beskriver et spinnet som peker i retning +z  eller den motsatte retningen  -z.

Spinn i andre retninger kan beskrives ved spinorer på den generelle formen  hvor a  og b  er komplekse komponenter. For eksempel er

  

en egentilstand for σy  med egenverdi +1. Spinoren beskriver tilstanden hvor spinnet peker langs y-aksen.

Spinn i en vilkårlig retning gitt i kulekoordinater ved enhetsvektoren n = (sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ), må tilsvare en egentilstand av matrisen

 

med egenverdi +1. Den kan finnes mest direkte ved å rotere egentilstanden  med spinnet langs z-aksen slik at det får sin retning langs n. Anvendes rotasjonsmatrisene for spinn-1/2, først med θ  om y-aksen og så φ  om z-aksen, går spinoren over til

 

Hver slik egentilstand er éntydig gitt ved koordinatene (θ, φ) som angir et punkt på en kuleflate. Denne kalles ofte for en «Bloch-sfære» etter Felix Bloch når den anvendes i denne sammenhengen.

Referanser

Eksterne lenker

 Professor M, The Pauli matrices, Youtube video.
 E.W. Weisstein, Pauli Matrices, Wolfram MathWorld
 B. Zwiebach, Spin One-half, Bras, Kets, and Operators, MIT OpenCourseWare, YouTube video (2013).

Kvantemekanikk