Dirac-formalisme

Dirac-formalisme elller bra-ket-notasjon benyttes i lineær algebra hvor operatorer virker i et komplekst
vektorrom. Den ble oppfunnet av den engelske fysiker Paul Dirac i 1939 for bruk i kvantemekanikk, men kan lett benyttes ved andre anvendelser.

En vektor v omtales som en «ket-vektor» og betegnes med symbolet , mens en dual vektor u* kalles en «bra-vektor» med betegnelsen . Dermed kan indreproduktet av disse to vektorene skrives som   På denne formen minner dette om en engelsk bracket  hvor bokstaven c  er erstattet med en loddrett strek som skiller vektorene.

Matrisenotasjon
I et komplekst vektorrom  med en basis kan operatorer representeres som N × N  matriser. De virker på vektorer som er kolonnematriser og kan betraktes som ket-vektorer. Hvis vektorens komponenter er vn  hvor indeksen n = 1, 2, ..., N, kan den derfor representeres ved kolonnevektoren

 

hvor T  står for transponering.

Når en operator  virker på denne, vil den gi en ny ketvektor  Da operatoren er representert ved matrisen A = (Amn) i denne basisen, er hver komponent til denne transformerte vektoren  gitt som

 

Den duale vektoren til ket-vektoren  er bra-vektoren  med komponenter i en radvektor,

 

Formelt finnes den fra kolonnevektoren  ved  kompleks konjugasjon etterfulgt av transponering.

Indreproduktet mellom en bra-vektor  og ket-vektoren   kan uttrykkes ved vektorenes komponenter som

 

Formelt kan derfor bra- og ket-vektorer betraktes som rad- og kolonnevektorer med komplekse komponenter.

Kvantemekanikk
Kvantemekaniske bølgefunksjoner kan beregnes fra en tilstandsvektor   i et komplekst og lineært vektorrom kjent som et Hilbert-rom. Det kan ha uendelig mange dimensjoner og vektorene kan ha indekser som varierer kontinuerlig.

Med en diskret basis I Hilbert-rommet kan denne «ortonormeres» slik at

 

hvor det vanlige Kronecker-deltaet opptrer på høyre side. I denne basisen kan man uttrykke tilstandsvektoren som

 

hvor komponenten   er å betrakte som en «sannsynnlighetsamplitude» for at systemet befinner seg i tilstand 

For en partikkel som kan bevege seg langs en linje med kontinuerlig koordinat x, er det naturlig å benytte en koordinatbasis basert på egentilstander . Deres normering er nå

 

hvor Diracs deltafunksjon opptrer på høyre side. 

Bølgefunksjon til partikkelen er formelt komponenten   Den er sannsynlighetsamplituden for at partikkelen skal finnes i punktet x. Indreproduktet mellom to tilstandsvektorer  og  er nå gitt som

 

Denne beskrivelsen lar seg lett utvide til å gjelde for en kvantemekanisk partikkel som kan bevege seg i tre dimensjoner.

Referanser

Kvantemekanikk