Linjekoordinater

Linjekoordinater benyttes i analytisk geometri til å angi retning og posisjon for en rett linje i planet eller rommet på samme måte som vanlige punktkoordinater benyttes til å angi posisjonen til et punkt.

Linjekoordinater ble innført av Julius Plücker på midten av 1800-tallet. I dag benyttes de innen robotikk og CAD.

Rette linjer

En linje i planet med kartesiske koordinater {x, y } kan beskrives ved ligningen . Her angir a stigningstallet og b gir skjæringspunktet med y-aksen der . Dermed kan (a, b ) sies å være koordinatene for slike linjer på samme måte som  (x, y ) er koordinatene til et punkt. 

Mens den lineære ligningen  beskriver punkt langs en rett linje med koordinater  (a, b ), kan man også betrakte den når punktet (x, y ) holdes fast. Løsningene vil da gi koordinatene (a, b ) for alle linjer som går gjennom dette punktet.

En kurve i planet fremkommer når punktkoordinatene oppfyller en ligning f(x,y ) = 0 som har en løsning . Alternativt kan man anta at kurven kan uttrykkes ved en parameter t  slik at  og . På samme måte vil løsningen til en ligning  mellom de to linjekoordinatene kunne skrives på parameterform som  og . Den beskriver de rette linjene  som utgjør en linjeskare. De danner omhyllingskurven som tilsvarer ligningen mellom de to linjekoordinatene..

Homogene koordinater
De to linjekoordinatene (a, b ) i planet er mangelfulle da de ikke kan beskrive linjer parallelle med y-aksen. Det kan gjøres ved å innføre en tredje koordinat slik at en rett linje skrives som

 

Nå vil linjekoordinatene (u, v, w ) kunne angi alle linjer med både retning og posisjon   i planet. Men multipliseres de med en konstant k, vil (ku, kv, kw ) angi den samme linjen som (u, v, w ). De sies derfor å være homogene linjekoordinater av samme type som benyttes i projektiv geometri. 

Som et eksempel har linjen y = 2 - x/2 de homogene linjekoordinatene (1/2, 1, -2) som er ekvivalent med (1, 2, -4) eller  (-3, - 6, 12) og uendelig mange andre verdier.

Projektivt plan
I det projektive planet RP2 definerer to punkt en linje på samme måte som at alle linjer har et skjæringspunkt. Linjer som skjærer hverandre uendelig langt borte, erstatter parallelle linjer i euklidsk geometri. Hvert punkt kan entydig angis ved tre homogene punktkoordinater (x, y, z ). Mens punkter som ligger i det uendelige fjerne, er gitt ved , kan punkter i den endelige delen av planet angis ved å velge  da disse koordinatene er homogene.

Ligningen for en rett linje i dette planet er gitt ved

 

der (u, v, w ) ≠ (0, 0, 0) er de tre homogene linjekoordinatene for linjen. Punkter i det uendelige fjerne ligger på linjen (0, 0, 1), mens x-aksen er gitt ved linjen (0, 1, 0) og y-aksen har linjekoordinatene (1, 0, 0).

Linjer i rommet

På parameterform kan en linje i rommet skrives som  hvor vektoren n angir dens retning og punktet r0  ligger på linjen. Når rommet har tre dimensjoner, behøves det derfor i utgangspunktet 3 + 3 = 6 variable eller koordinater for å spesifisere den. Men retningen n behøver bare to koordinater, mens punktet r0  kan flyttes til andre punkt på samme linje. Det har derfor også en mindre frihetsgrad slik at man i alt har 2 + 2 = 4 uavhengige linjekoordinater i tre dimensjoner.

Plücker bestemte disse koordinatene fra linjens projeksjoner på to av de tre kartesiske koordinatflatene. Velges disse å være xz- og yz-planene, er projeksjonene gitt ved de to ligningene

 

hvor (r, s, ρ, σ ) er Plücker-koordinatene for den tredimensjonale linjen.

Disse koordinatene kan bestemmes ved å angi to punkt  og  som ligger på den. Plücker kunne uttrykke resultatet ved komponentene til de to vektorene  og  . Her gir n retningen i rommet til linjen, mens komponentene til m angir størrelsen av projeksjonene på de tre koordinatflatene av trekanten som punktene x og y danner med origo. Denne vektoren inneholder derfor informasjon om avstanden til linjen fra origo. Man har dermed , ,  og  slik at de seks komponentene (n; m) = (nx, ny, nz; mx, my, mz) kan betraktes som homogene linjekoordinater. Men de er ikke uavhengige av hverandre da vektoren m alltid er vinkelrett på n som følger fra definisjonen av det vektorielle kryssproduktet. Det gir Plücker-betingelsen  og derfor effektivt bare fire frie koordinater.

Projektivt rom

Hvis hvert punkt x i det tredimensjonale, projektive rommet RP3 beskrives ved fire homogene koordinater , vil punkter i den endelige delen tilsvare verdier som vanligvis beskrives ved å ta . De seks Plücker-koordinatene for en linje gjennom to punkt x og y kan da finnes fra den antisymmetriske matrisen  med elementer

 

De tidligere koordinatene gjenfinnes ved å sette  = 1 som gir  og . Plücker-betingelsen tilsvarer at determinanten .

Et plan i rommet kan beskrives ved ligningen u1x1 + u2x2 + u3x3 + u0 = 0 med bruk av ikke-homogene koordinater. Her angir vektoren  retningen til planets normal, mens u0 er en konstant. Sammen utgjør de fire homogene koordinater for planet. I det projektive rommet er derfor planet beskrevet ved ligningen

 

som viser at  er homogene koordinater for planet. Koordinatene for skjæringspunktet mellom planet og linjen
P = (n; m) er nå gitt ved

 

som gir x0 = - n⋅u og x = nu0 - m×u. Hvis linjen er parallell med planet, vil vektorene n og u stå vinkelrett på hverandre slik at det skalare produktet  . Da er den homogene koordinaten  som betyr at skjæringspunkt ligger i det uendelige fjerne.

Dualitet

Ligningen for et plan i det projektive rommet er symmetrisk ved ombytte av de homogene koordinatene for punkt og plan. Dette danner grunnlaget for dualitet som er av sentral betydning i projektiv geometri.

På samme måte som to punkt definerer en linje i planet, vil også to plan med koordinater (u0,u) og (v0,v) entydig spesifisere en skjæringslinje. Dens retning vil være gitt ved kryssproduktet  som inngår i en ny Plücker-matrise Q = (Qij ) for linjen. Da punkter (x0,x) på denne ligger på begge planene, må man ha  og . Sammen gir de betingelsen  der . Dermed har man de duale Plücker-koordinatene  hvor betingelsen  er oppfylt. 

De enkelte komponentene til den duale Plücker-matrisen kan nå finnes fra det antisymmetriske produktet

 

der n =  (Q23,Q31,Q12) og . Ved dualitet kan man herfra beregne koordinatene (u0,u) for planet som en vilkårlig linje  danner med et annet punkt (x0,x),

 

Mange andre, geometriske relasjoner mellom punkter, linjer og plan i rommet kan finnes ved tilsvarende metoder.

Referanser

Eksterne lenker

 Kristian Ranestad, Linjegeometri, norsk foredrag (2006).

Elementær geometri
Koordinatsystem
Analytisk geometri