Kompakt operator

I matematikk er en kompakt operator en lineær operator , der X og Y er normerte vektorrom, slik at verdimengden til L i Y er relativ kompakt (tillukningen er kompakt).

Definisjon
La X og Y være normerte rom. En lineærtransformasjon  er kompakt dersom for enhver begrenset følge  i X, inneholder følgen  i Y en konvergent delfølge.

Ekvivalent kan en kompakt operator defineres slik: Dersom T er en lineær operator, er T kompakt hvis og bare hvis for enhver begrenset delmengde , er  relativt kompakt.

Egenskaper
La X, Y og Y være normerte vektorrom, og  og  betegne mengden av henholdsvis begrensede og kompakte operatorer fra ett normert vektorrom til et annet.

Forhold til mengden av begrensede operatorer
En kompakt operator er også en begrenset operator. Mengden av kompakte operatorer  er derfor inneholdt i mengden av begrensede operatorer B(X, Y). Hvis , og  skalarer, så er også operatoren definert ved  kompakt, og hvis  og  og minst en av de er kompakt, er også operatoren  kompakt.

Dersom X er et normert rom, Y et Banach-rom og  en følge i  som konvergerer til en operator  er T også kompakt. Mengden av kompakte operatorer er derfor lukket i mengden av begrensede operatorer.

Endelig-dimensjonale rom
Dersom T er en lineær operator endelig rang, eller dersom enten X eller Y har endelig dimensjon, er T kompakt.

Verdimengden til T er separabel
Dersom T er en kompakt operator, er verdimengden (bildet)  samt verdimengden til tillukningen  separable.

Følger av begrensede operatorer i Banach- og Hilbert-rom
Hvis X er et normert rom, Y et Banach-rom og  en følge av begrensede operatorer med endelig rang, slik at  konvergerer til T, er T kompakt. Hvis Y i tillegg er et Hilbert-rom er det motsatte også sant: Hvis T er kompakt, finnes det en følge  av begrensede operatorer med endelig rang som konvergerer til T. Dette impliserer videre at T har samme rang som sin adjungerte, og at T er kompakt hvis og bare hvis den adjungerte T* er kompakt.

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker

Funksjonalanalyse