Hölder-rom

Et Hölder-rom er et funksjonsrom av kontinuerlige funksjoner som er Hölder-kontinuerlige i seg selv og sine deriverte. Formelt definerer man en norm over et funksjonsrom av kontinuerlige funksjoner, og definerer et Hölder-rom til å være mengden av alle funksjoner der denne normen er endelig. Hölder-rom brukes innen funksjonalanalyse for å studere partielle differensialligninger.

Definisjon

Hölder-norm
La , og la  være alle begrensede og kontinuerlige funksjoner . Definer en norm

og en seminorm
.

Da kan man definere Hölder-normen med eksponent  til å være
.

Hölder-rom
Hölder-rommet  består av alle funksjoner  slik at  og normen

er endelig. Her angir  partiellderiverte av orden , og  en multiindeks  der  i første ledd, og  i andre ledd. Det første leddet tilsvarer at dette er funksjoner som er k ganger kontinuerlig deriverbare. Det andre leddet tilsier at disse k-deriverte er begrensede og Hölder-kontinuerlige med eksponent .

Egenskaper
Funksjonsrommet  er et Banach-rom.

Referanser

Eksterne lenker
Hölder space på Encyclopedia of Mathematics

Matematisk analyse
Normerte rom