De Moivres formel

De Moivres formel er et matematisk uttrykk som forbinder komplekse tall med trigonometri. Den sier at for hvert  reelt tall x og heltall n har man sammenhengen

 
 
hvor i er den imaginær enhet, det vil si i 2 = -1.

En indirekte utgave av formelen ble først publisert  av Abraham de Moivre på begynnelsen av 1700-tallet, men ble mer systematisk formulert av Leonhard Euler noen tiår senere. Den er da en direkte konsekvens av Eulers formel  og egenskapen  til eksponentialfunksjonen.

Formelen kan utvides til å gjelde for det mer generelle tilfellet der n er et rasjonalt tall. Den man da benyttes til å beregne n-te enhetsrøtter, det vil si komplekse løsninger av ligningen . Historisk har disse spilt en viktig rolle innen tallteori.

Noen anvendelser

Når n = 2 sier formelen at

 

Ved å sammenligne de reelle og imaginære leddene på begge sider, finner man sammenhengene

 

De er to av de viktigste, trigonometriske identitetene.

På samme måte kan binomialformelen benyttes for n = 3 og gir

 

Nå betyr dette at

 

som man finner etter å ha benyttet Pythagoras' setning  Slik kan man fortsette og finne uttrykk for  og  ved enklere, trigonometriske funksjoner.

Enhetsrøtter

Da cosnφ = 1 og sinnφ = 0 når φ = 2π k/n når både k og n er heltall, gir de Moivres formel at løsningene til ligningen  med  er gitt som

 

Det finnes k slike forskjellige røtter som er verdiene til disse komplekse tallene for k = 0,1,2,..,n - 1. I det komplekse planet tilsvarer de en oppdeling av enhetssirkelen i n like store deler. Ligningen omtales derfor også som sirkeldelingsligningen.

Enhetsrøttene spiller en avgjørende rolle ved løsning av mer generelle polynomligning. For eksempel gjorde Niels Henrik Abel bruk av dem i forbindelse med løsninger av femtegradsligningen. Galois-teori sier at de alle kan reduseres til de tre basale regneartene, det vil si addisjon, multiplikasjon og rotuttrekning.

Referanser

Litteratur

 A. de Moivre, De sectione anguli, Phil. Trans. 32(374), 228–230 (1723).
 L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Vol I, Kap.8,  §133 (1748).

Kompleks analyse
Trigonometri