Lp-rom

{{DISPLAYTITLE:Lp-rom}}
Innen matematikk er -rommene funksjonsrom definert som en naturlig generalisering av p-normen for endeligdimensjonale vektorrom. De kalles også for Lesbesgue-rom, navngitt etter Henri Lebesgue. -rom er også Banachrom, og utgjør en viktig klasse av topologiske vektorrom innen funksjonalanalyse. De spiller en nøkkelrolle i matematisk analyse av mål- og sannsynlighetsrom, og er derfor også viktig for det teoretiske grunnlaget for og diskusjonen rundt problemer innenfor blant annet fysikk, statistikk og finans.

Definisjon
La  være et målrom og  kan man definere en norm gitt ved

for , og

nesten overalt (med hensyn til målet ). Da er det korresponderende Lp-rommet er definert som mengden av A-målbare funksjoner der dette integralet konvergerer (er endelig).

Man kan tenke på -rom som en generalisering av -rom, mengden av kvadratiske integrerbare funksjoner, der disse er definert som mengden av funksjoner hvis 

er endelig. Dette tilsvarer normen indusert av det generelle indreproduktet

definert over et funksjonsrom.

Lp-rom over 
Dersom  er det vanlig å referere til -rommet som .

Lp-rom over følgerom
Dersom  er tellemålet er det vanlig å referere til -rommet som , eller bare .

Egenskaper

Grunnleggende egenskaper
For alle Lp-rom gjelder følgende:
For alle  og alle skalarer  gjelder

 er et vektorrom
 For alle  finnes det en følge av enkle funksjoner  i Lp som konvergerer til f nesten overalt:

Hölders ulikhet
Hvis p og q er to (utvidet reelle) tall, slik at  og , og slik at , og  to A-målbare funksjoner, har vi at

med likhet for p > 1 hvis og bare hvis det finnes to konstanter  som ikke begge er 0, slik at
.

Dette kalles for Hölders ulikhet, og hvis  får vi Cauchy–Schwarz’ ulikhet.

Dersom vi jobber med funksjonsrom over , der  f.eks. kan være et interval  kan ulikheten uttrykkes som

Minkowskis ulikhet
La  igjen. Da gjelder 

for alle .

Dette kalles for Minkowskis ulikhet.

Riesz' teorem
For  er  et komplett metrisk rom med hensyn på normen gitt ved , altså et Banach-rom.

Dette kalles for Riesz' teorem. For  har vi at  fortsatt er et vektorrom, men  er ikke lenger en norm – derimot kan man vise at det er en metrikk, så for  er  et metrisk rom. For  er  også et Hilbertrom.

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker

Normerte rom
Målteori