Embedding

Innen matematikk er en embedding en funksjon som definerer en relasjon mellom en mengde X og en delmengde Y. Dersom en slik funksjon finnes, sier man at X er embeddet i Y. Embeddinger er isomorfier som bevarer visse egenskaper, avhengig av sammenhengen og hvilke matematiske strukturer X og Y representerer. Embeddinger brukes blant annet innen ordensteori, topologi, funksjonalanalyse og diskret matematikk.

I ordensteori
La X og Y være totalt ordnede mengder, for hvis addisjon og multiplikasjon er definert, og la Z være en delmengde av Y. En embedding av er en isomorfi , og vi sier at X er embeddet i Y hvis og bare hvis en slik isomorfi finnes.

En isomorfi er her bijektiv funksjon  som er slik at 

og en funksjon som oppfyller dette kalles for strukturbevarende.

I topologi og geometri

I generell topologi
La X og Y være topologiske rom. Dersom det finnes en homeomorfi , der , sier vi at f er en embedding og at X er embeddet i Y.

Her er en homeomorfi en funksjon  slik at
f er bijektiv
f er kontinuerlig
den inverse av f, f−1, er også kontinuerlig.

To embeddinger  og  sies å være ekvivalente dersom det finnes en homeomorfi  slik at . Dette definerer en ekvivalensrelasjon.

I differensialtopologi
La X og Y være glatte manifolder, av dimensjon m og n. En glatt avbildning  kalles for en immersjon dersom  og  for ethvert punkt . f kalles for en embedding hvis den også er en homeomorfi fra X til bildet . To embeddinger  er isotopiske dersom det finnes en glatt homotopi   slik at for enhver  er også avbildningen

en embedding.

Whitneys embeddingsteorem sier at ethvert mangfold av dimensjon n kan embeddes i  som en lukket delmengde av .

I funksjonalanalyse
Metriske rom er også topologiske rom, og vi sier som for topologiske rom at hvis X og Y er metriske rom, er X embeddet i Y dersom det finnes en homeomorfi f fra X til en delmengde i Y.

Videre sier vi at f er en kontinuerlig embedding, og at X er kontinuerlig embeddet i Y, dersom f er kontinuerlig (begrenset), og at f er en kompakt embedding, og at X er kompakt embeddet i Y, dersom f er en kompakt.

Gelfand-Naimark-teoremet sier at enhver C*-algebra er embeddet i B(H), rommet av begrensede operatorer (eller kontinuerlige operatorer) fra H til H, for et Hilbert-rom H.

I diskret matematikk

I grafteori

En embedding av en avbildning av en graf til et vektorrom, slik som for eksempel planet, og en graf G kan embeddes i dette vektorrommet hvis den kan tegnes slik at ingen kanter krysser hverandre (ikke har noen felles punkter utenom endepunktene, dvs. nodene).

En planar graf er en graf som kan tegnes (embeddes) i planet uten at kantene krysser hverandre. En slik embedding gir en oppdeling i disjunkte delmengder av planet, og disse kalles for ansikter (faces). Det er alltid ett ansikt som ikke er begrenset, og dette kalles for et ytre ansikt (outer face) eller uendelig ansikt (infinite face). Det finnes generelt mange ulike embeddinger av en villkårlig planar graf, og vi sier at to embeddinger er ekvivalente (som gir en ekvivalensrelasjon) dersom randen av ett ansikt i en embedding tilsvarer nøyaktig randen av ett ansikt i den andre.

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker

Ordensteori
Topologi
Funksjonalanalyse
Grafteori