Begrenset operator

Innenfor matematikk er en begrenset operator er en lineær operator en transformasjon mellom to normerte rom der forholdet mellom vektoren og avbildningen av denne er oppad begrenset av en konstant.

Begrensede lineære operatorer fra et vektorrom til skalarkroppen det er definert over kalles for funksjonaler, og rommet av disse kalles for dualrommet til V. Begrensede lineære operatorer som er relativt kompakte kalles for kompakte operatorer.

En begrenset operator er generelt ikke en begrenset funksjon.

Definisjon
La  og  være to normere rom med norm gitt ved henholdsvis  og . En lineær operator  er begrenset dersom det finnes en konstant  slik at

for alle vektorer .

Den minste verdien M som dette er sant for, benevnt  og definert som

der  betegner supremum, kalles for operatornormen til A.

Rommet av begrensede operatorer fra  til  benevnes videre for , og  dersom  i denne teksten.

Egenskaper

Kontinuitet
For en lineær operator mellom to normerte rom, er følgende ekvivalent:
A er en begrenset operator
A er uniformt kontinuerlig
A er kontinuerlig i 0.

Dette impliserer at hvis én av disse gjelder, så gjelder også de andre (f.eks. hvis A er begrenset, er den også både uniformt kontinuerlig og kontinuerlig i 0).

Kompletthet
Dersom V og W er normerte rom, og W er komplett, er også rommet  komplett.

Referanser

Litteratur
 

Funksjonalanalyse