Julius Plücker

Julius Plücker (født 16. juli 1801 i Elberfeld i Tyskland, død 22. mai 1868 i Bonn) var en tysk matematiker og fysiker. Han gav grunnleggende bidrag til algebraisk og projektiv geometri hvor han innførte bruk av homogene koordinater. Innen fysikken arbeidet han eksperimentelt med magnetiske effekter på krystaller,  elektriske utladninger og spektroskopi. 

På sine eldre dager returnerte han til matematikken og ga et nytt grunnlag for geometrien basert på linjer. Dette ble fullført av hans mest berømte elev, Felix Klein. Plückers geometriske arbeid hadde stor betydning internasjonalt og spesielt for Sophus Lie i Norge.

Livsløp
Plücker vokste opp i en borgelig familie i Elberfeld i nærheten av Wuppertal. Etter normal skolegang hvor han utmerket seg ved sin interesse for geometri, begynte han i 1816 videregående skolering ved et gymnasium i Düsseldorf. Med denne bakgrunn kunne han i 1819 fortsette studier ved flere forskjellige universiteter som på den tiden var vanlig i Tyskland.

I 1823 kom han til Paris hvor han ble sterkt influert av geometriske betraktninger som var rådende der. De skyldes i stor grad Gaspard Monge som hadde dødd noen få år tidligere. Geometri ble også tema for hans doktorgradsavhandling som han sendte til Universitetet i Marburg for godkjenning. Den omhandlet geometriske metoder, spesielt for bruk i fysikk og mekanikk. Etter at avhandlingen var godkjent, forble han i Paris i to år for å arbeide mot habilitasjon i Tyskland. Denne gjennomførte han i 1825 ved Universitetet i Bonn hvor han dermed kunne fortsette som dosent. 

Selv om Plücker i 1828 ble utnevnt til professor i Bonn, søkte han likevel en tilsvarende stilling ved Universitetet i Berlin i 1833. Men der ble han i bare ett år, noe som sannsynligvis skyltes samarbeidsproblem med Jakob Steiner ved samme fakultet. Plücker var på denne tiden blitt en viktig talsmann for nye, analytiske metoder i geometrien, mens Steiner representerte den syntetiske geometrien basert på konstruksjoner. Resultatet av denne konflikten ble at Plücker flyttet til Halle hvor han ble full professor ved universitet der.

Etter tre år i Halle returnerte Plücker i 1836 til Universitetet i Bonn som full professor i matematikk. Han giftet seg året etter og fikk en sønn i 1838. I denne perioden vendte hans faglige interesser seg bort fra ren matematikk og mot mer praktiske anvendelser. I 1847 ble han utnevnt til full professor i fysikk ved samme universitet hvor spesielt magnetiske effekter opptok han. Ved å studere elektriske utladninger i tynne gassblandinger, kunne han gjøre spektroskopiske undersøkelser av forskjellige stoffer. Da han var i stand til å skape svært lave gasstrykk i disse utladningene, var han  nær ved å påvise katodestråling som J.J. Thomson flere tiår senere viste bestod av elektroner. Selv om disse arbeidene var av stor betydning, hadde hans innsats som fysiker kanskje vært større hvis han hadde tatt mer hensyn til andres resultat og vært mer praktisk anlagt for eksperimentelle oppgaver.

Muligens var en slik selverkjennelse grunnen til at han i 1865 returnerte til rent matematiske problemstillinger. I 1868 skrev han ferdig første del av sitt verk om linjegeometri. Da han døde samme år, ble dette fullført av hans student og medarbeider Felix Klein. Plücker hadde da fått Copleymedaljen i 1866 for sine bidrag både til fysikk og matematikk.

Vitenskapelige bidrag

Tidlig etter ansettelsen ved Universitetet i Bonn skrev Plücker sammen resultatet av sine geometriske arbeider i et større verk Analytisch-geometrische Entwickelungen. Det første bindet kom ut i 1828 og inneholdt mer tradisjonell, analytisk geometri. I 1829  introduserte han såkalte trilineære koordinater for punkter i planet. De var nær forbundet med barysentriske koordinater som Möbius hadde introdusert ett par år tidligere. Men Plücker innså den betydning de hadde som homogene koordinater. Dette utgjorde derfor en større del av andre bind av verket om analytisk geometri. Det kom ut i 1831 og omhandlet også kjeglesnitt som omhyllingskurver til rette linjer. Bruken av homogene koordinater kunne her gi en elegant formulering av dualitet som tidligere var formulert i syntetisk geometri.

Plückers formler
Et kjeglesnitt kan fremstilles analytisk som nullpunktene til et polynom av andre grad i koordinatene x og y. Ved bruk av homogene koordinater, vil dette polynomet beholde sin grad samtidig som det blir homogent i tre koordinater x, y og z. Etter sitt opphold i Berlin publiserte Plücker et nytt verk System der analytischen Geometrie hvor han også tok opp undersøkelsen av kurver gitt ved tilsvarende homogene polynom av tredje grad som da fremstiller en plan kurve av tredje orden. Som for kjeglesnittene kunne han beregne dens tangenter og dermed ved dualitet finne en dual kurve gitt i linjekoordinater.

Dette kan sies å være begynnelsen på teorien for algebraiske kurver som Plücker videreførte i et nytt verk Theorie der algebraischen Kurven noen få år senere. Her undersøkte han slike kurver av høyere grad d  som i alminnelighet kan ha singulære punkt. Består disse av δ dobbelpunkt og κ spisser, viste han at den duale kurven vil ha orden

 

Samtidig vil den ha et visst antall dobbeltpunkt  og et visst antall spisser . Da den duale av den duale kurven er den opprinnelige kurven av orden d, må man derfor ha

 

hvor Plücker kunne utlede at

 

Da alle disse karakteristiske tallene må være heltall, fører dette til flere strenge kriterier for egenskapene til slike algebraiske kurver.

Kjeglesnitt er kurver av andre orden slik at d = 2. De er glatte og derfor uten singulariteter som betyr at både  δ og κ er null. Den duale kurven har orden  og er derfor ett nytt kjeglesnitt.

Det maksimale antall slike singulariteter en kurve kan ha er (d - 1)(d - 2)/2 når den er av orden d. Differansen mellom dette tallet og det aktuelle tallet  δ + κ kalles dens defekt eller aritmetiske genus

 

med et tilsvarende uttrykk for den duale kurven. Da de homogene koordinatene  x, y og z også kan ta komplekse verdier, vil en slik algebraisk kurve også beskrive en vanlig flate i fire dimensjoner. Disse ble spesielt undersøkt av Riemann og kunne tilordnes et topologisk genus. Dette viste seg å være identisk med det aritmetiske genus for den tilsvarende, algebraiske kurven.

Linjegeometri

I vanlig geometri er den fundamentale størrelsen et punkt hvorav man kan bygge opp linjer, kurver, plan og generelle flater. Når man kun har to dimensjoner, vil dualitet forbinde punkt og linjer slik at disse kan identifiseres med hverandre. Ved bruk av kartesiske koordinater (x,y) vil en lineær ligning

 

beskrive en rett linje for gitte verdier av parametrene a, b og c. Disse kan sies å være koordinatene for linjen. Samtidig kan ligningen sies å beskrive et punkt (x,y) der alle linjer med variable verdier av koordinatene (a,b,c) skjærer hverandre. En tilsvarende form av dualitet benyttes også i projektiv geometri hvor hvert punkt på et kjeglesnitt kan identifiseres med tangenten og dermed linjen som går gjennom dette punktet.

På samme måte som et punkt er dualt til en linje i to dimensjoner, vil et punkt være dualt til et plan i et rom med tre dimensjoner. Begge kan fremstilles ved en lineær ligning mellom koordinatene. Den analytiske beskrivelsen av en linje er derimot mer vanskelig i dette tilfellet. I 1865 publiserte Plücker arbeidet On a New Geometry of Space som gjorde bruk av hans nye, selvduale linjekoordinater.
Her betraktet han linjene i rommet som de fundamentale størrelsene i en ny linjegeometri for det tredimensjonale rommet. Hver linje tilsvarte dermed et punkt i et abstrakt, firedimensjonalt rom. Et spørsmål om hvordan forskjellige linjer ligger i forhold til hverandre eller til andre plan, kan da besvares med metoder basert på vanlig punktgeometri.

Tre år senere kom en større, tysk utgave Neue Geometrie des Raumes av dette verket. Plücker hadde da planer om å følge dette opp med enda en utvidelse, men døde før han var ferdig. Dette arbeid ble fullført av hans student og medarbeider Felix Klein. 

Plückers linjegeometri fikk stor betydning for Sophus Lie som rundt 1870 kom i nær kontakt med Klein i Berlin. Ved lignende betraktninger kunne han etablere en sammenheng mellom linjer og kuler som gjorde det mulig å utvikle en egen kulegeometri. Det var gjennom disse arbeidene Lie først gjorde seg internasjonalt bemerket.

Elektriske gassutladninger

Selv om Plücker hadde brukt flere tiår av sitt liv til matematiske arbeider innen geometrien, engasjerte han seg med eksperimentalfysikk da han overtok ansvaret for fysikkutdannelsen ved universitetet i Bonn. Spesielt var det hans undersøkelser av elektriske og magnetiske fenomen i gasser ved lave trykk som viste seg å bli av betydning. Selv om disse arbeidene fikk liten oppmerksomhet i Tyskland, fikk de innflytelse på utviklingen andre steder og spesielt i England hvor Faraday tidligere hadde startet slike eksperiment.

Avgjørende for Plücker eksperiment på dette feltet var Heinrich Geissler som også holdt til i Bonn. Han kunne bedre enn noen andre konstruere rør av glass som inneholdt gasser ved svært lave trykk takket være gode vakuumpumper som han selv hadde utviklet. Plücker hadde tidligere undersøkt magnetiske egenskaper ved forskjellige krystaller og kunne benytte lignende metoder til å studere hvordan magnetfeltet påvirket elektriske utladninger i slike Geissler-rør.

Ved veldig lave trykk avtok utladningene gjennom gassen. Ved tilstrekkelig høye spenninger kunne Plücker i 1857 rapportere at det da istedet opptrådte et grønnlig glimlys i glassveggen til Geissler-røret. Dette ble forklart som en fluorescens, men kunne beveges under påvirkning av et ytre magnetfelt. Det var først hans elev og senere medarbeider Johann Hittorf som i 1869 viste at lyset skyldes stråling fra katoden i røret. Noen få år senere ble dette fenomenet omtalt som katodestråling som igjen J.J. Thomson i 1897 viste bestod av elektroner.

I 1859 gjorde Plücker kjent at han hadde identifisert tre spesielle spektrallinjer i utladninger gjennom gasser av ren hydrogen. Han ga dem navnene Hα, Hβ og Hγ og la grunnlaget for utledning av Balmer-formelen noen år senere. Denne viste seg å bli av avgjørende betydning for etablering av moderne atomfysikk. Lignende, spektroskopiske arbeid førte til at Plücker og Hittorf i 1865 foreslo at spektrallinjene er typiske for hvert stoff og kan brukes til deres identifikasjon. Dette var kort tid før Gustav Kirchhoff og Robert Bunsen viste mer grundig hvordan dette henger sammen og dermed etablerte moderne spektralanalyse..

Referanser

Litteratur
 M.U. Plump, Julius Plücker – Leben und Werk eines analytischen Geometers im 19. Jahrhundert, doktorgradsavhandling ved universitetet i Wuppertal (2014).
 E. Straume, A Survey of the Development of Geometry up to 1870, arXiv:1409.1140.

Eksterne lenker 
 
 Felix Klein, Plücker: Geometer der Crelleschen Journals, Historia Mathematica Heidelbergensis.
 MacTutor, Plücker biography, University of St. Andrews, Skottland.
 W. Burau, Julius Plücker, Encyclopedia.com.

Tyske matematikere
Geometere
Medlemmer av Royal Society
Mottakere av Copleymedaljen