Sobolev-rom

Innen matematikk er Sobolev-rom et funksjonsrom som består av funksjoner som tilhører et -rom, og hvis deriverte, opp til en viss orden og forstått som svake deriverte, også tilhører dette rommet. Intuitivt er Sobolev-rom funksjonsrom som har tilstrekkelig mange deriverte til å gi det teoretiske grunnlaget for visse anvendelser, der spesielt løsning av partielle differensialligninger er sentralt. Dette kommer av at flere viktige ligninger har løsninger som eksisterer i Sobolev-rom, men ikke i rom av kontinuerlige funksjoner der de deriverte er forstått på vanlig måte (sterke deriverte). Sobolev-rom er også viktige i det teoretiske grunnlaget for elementmetoden, som brukes for å finne numeriske løsninger av partielle differensialligninger.

Sobolev-rom tilordnes en norm definert som en sum av -normen av funksjonen i seg selv og dens (svake) deriverte. Et Sobolev-rom er dermed et normert rom, og også komplett, hvilket gjør det til et Banach-rom. For , altså der funksjonene og deres deriverte er -funksjoner, er det også et indreproduktrom og dermed et Hilbert-rom. Sobolev-rom er oppkalt etter den russiske matematikeren Sergei Sobolev.

Definisjon
La  for ,  et ikke-negativt heltall og  et tall slik at . Sobolev-rommet  består av alle lokalt deriverbare funksjoner  slik at for alle multiindekser  slik at , eksisterer de (svake) deriverte  og tilhører .

Dersom  definerer vi den tilhørende normen til å være

der

for en vektor  der hver indeks igjen er et ikke-negativt heltall og .

Normen over er ekvivalent med normen

for .

Egenskaper

Lineære egenskaper
La , og . Da gjelder

 dersom  og  er multiindekser slik at 
Hvis  er også  
Hvis  er  
Hvis  er en åpen delmengde av  er 
Dersom  (mengden av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte i U) er også , og
 (Leibniz' formel).

Kompletthet
For enhver  er Sobolev-rommet  komplett, og dermed et Banach-rom.

Utvidelser
Under visse betingelser kan funksjoner i et Sobolev-rom , der  utvides til å også være funksjoner i Sobolev-rommet , altså fra en begrenset mengde til en ubegrenset mengde. Disse betingelsene er gitt i utvidelsesteoremet, og er nødvendig for å bevise flere av Sobolev-ulikhetene.

Utvidelsesteoremet
Dersom  er begrenset og randen  er kontinuerlig (i ). Da finnes det en begrenset lineær operator E

slik at for enhver , er
 nesten overalt i ,
og

der  er en konstant avhengig av  og . E kalles for utvidelsen av  til .

Traser
I flere tilfeller er det interessant å studere randen av , og (hvis de ikke allerede er definert) tilordne verdier til u langs denne. Dersom u er kontinuerlig i  (tillukningen av den åpne mengden ) har den allerede slike verdier; en generell  kan imidlertid generelt være diskontinuerlig, og vil heller ikke nødvendigvis være definert på (hele) randen. Som for utvidelser kan man gjøre dette under visse (lignende) betingelser.

Traseteoremet
Anta at , og at  er begrenset og at randen  er kontinuerlig (i ). Da finnes det en begrenset lineær operator

slik at
 dersom 
og

for alle , der C er en konstant avhengig av  og . T kalles for sporet til  på .

Sporet T er altså sammenfallende med verdiene u allerede har dersom u er kontinuerlig i tillukningen av , og normen er begrenset oppad av en konstant multiplisert med normen til u i .

Traser med verdi 0
Anta at  er begrenset og at randen  er kontinuerlig (i ), samt at . Da er
 hvis og bare hvis  på .

Her betegner  mengden av alle funksjoner  som er slik at det finnes en følge  av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte ( for alle m) som konvergerer til  med hensyn på normen .

Sobolev-ulikhetene
Sobolev-ulikhetene er en klasse ulikheter som beskriver hvordan relasjonen mellom n, p og k sier noe om hvilke Sobolev-rom som er inneholdt i andre Sobolev- og -rom.

For  kan man definere den Sobolev-konjugerte av p til å være

hvilket brukes gjennomgående i flere av ulikhetene under.

For to Banach-rom  slik at  sier vi at X er kompakt embeddet i Y dersom
 for alle , for en konstant , og
for hver begrenset følge  i X har denne en konvergent delfølge:
.

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten
Anta at . Da finnes en konstant C (kun) avhengig av p og n slik at

for alle .

Her betegner  rommet av alle kontinuerlige funksjoner  med kompakt støtte. Denne ulikheten ble bevist for  av Sergei Sobolev, og for  både av Emilio Gagliardo og Louis Nirenberg (uavhengig av hverandre).

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten impliserer at dersom  er slik at  nesten overalt i , så er også  nesten overalt i . Videre impliserer det også at for alle  gjelder ulikheten

der C er en konstant (kun) avhengig av , ,  og .

Morreys ulikhet
Anta at . Da finnes det en konstant C, avhengig av (kun) p og n, slik at

for alle , der  angir Hölder-normen med eksponent , og  er gitt ved
.

Hvis , så er  altså også Hölder-kontinuerlig med eksponent , gitt at man eventuelt tilordner verdier ti l  over en mengde med mål 0.

Rellichs og Kondrachovs kompakthetsteorem
Anta at U er en begrenset, åpen delmengde av  og at randen  er kontinuerlig. Anta videre at . Da er  en kompakt embeddet i  for alle .

Referanser

Litteratur

Matematisk analyse
Normerte rom