Målrom

Et målrom er en trippel av en mengde, en σ-algebra og et ikke-negativt mål på de ulike delmengdene gitt ved σ-algebraen. Mengden kan for eksempel være de reelle tallene. σ-algebra gir en måte å dele opp disse i ulike delmengder, for eksempel intervaller.  er en måte å tilordne et mål på hver delmengde i σ-algebraen, for eksempel lengden av hvert intervall.

Målrom et basiskonsept innen målteori, og generaliserer konsepter som lengde, areal og volum fra euklidsk geometri.

Definisjon
En mengde er innen matematikk en veldefinert samling av objekter. En σ-algebra er videre en familie  av delmengder i en gitt mengde  slik at

  er ikke tom.
 Lukket under komplement: Hvis  er med i  så er komplementet  også være med i 
 Lukket under tellbare unioner: Hvis  er en samling av mengder i  er også unionen  med i 

og et mål  på er en utvidet reell funksjon slik at
  for alle 
 
 Dersom  er en følge av parvis disjunkte delmengder av , altså slik at  for , så er
.

En trippel  kalles for et målrom.

Egenskaper 
Et målrom sies å være komplett dersom alle delmengder av alle  med mål 0 også er i ; altså dersom  og , så er . Ethvert målrom kan alltid utvides til et komplett målrom.

Eksempel 
La , og  potensmengden til , altså
.

Definer  til å være

Trippelen  er et målrom, og mer nøyaktig et sannsynlighetsrom, siden .

Referanser

Litteratur
 

Målteori