Debye-lengde

I plasmaer og elektrolytter er Debye-lengden (også kalt Debye-radius), oppkalt etter Peter Debye, et mål på en ladningsbærers netto elektrostatiske effekt i en løsning og hvor langt den elektrostatiske effekten vedvarer. En Debye-kule er et volum hvis radie er Debye-lengden. For hver Debye-lengde blir ladninger i økende grad skjermet elektrisk. Hver Debye-lengde , det elektriske potensialet vil reduseres i størrelse med 1/e. Debye-lengde er et viktig parameter i plasmafysikk, elektrolytter og kolloider (DLVO teori). Den tilsvarende Debye-screeningbølgevektoren  for partikler med tetthet , ladning  ved temperatur  er gitt ved  i gaussiske enheter. Uttrykk i MKS-enheter vil bli gitt nedenfor. De analoge mengdene ved veldig lave temperaturer () er kjent som Thomas–Fermi-lengden og Thomas–Fermi-bølgevektoren. De er av interesse for å beskrive oppførselen til elektroner i metaller ved romtemperatur.

Fysisk opprinnelse 
Debye-lengden oppstår naturlig i den termodynamiske beskrivelsen av store systemer for mobilavgifter. I et system av  forskjellige specier av ladninger,   specier som bærer ladning  og har konsentrasjon  ved possisjon . Ifølge den såkalte "primitive modellen" fordeles disse ladningene i et kontinuerlig medium som bare er preget av sin relative statiske permittivitet., . Denne fordelingen av ladninger innenfor dette mediet gir et elektrisk potensial  som tilfredsstiller Poissons ligningen:

 ,

hvor , er den elektriske konstanten, og  er en ladetetthet utenfor (logisk, ikke romlig) til mediet.

De mobile ladningene bidrar ikke bare til å etablere  men også bevege seg som svar på den tilhørende Coulomb-kraften,.Hvis vi videre antar at systemet er i termodynamisk likevekt med et varmebad ved absolutt temperatur , deretter vil konsentrasjonene av diskrete ladninger, , kan betraktes som termodynamiske (ensemble) gjennomsnitt og det tilhørende elektriske potensialet for å være et termodynamisk middelfelt. Med disse antagelsene, konsentrasjonen av  ladde specier bli beskrevet av Boltzmann-distribusjonen,

 ,

hvor  er Boltzmanns konstant og hvor   er den gjennomsnittlige konsentrasjonen av ladninger av specie .

Å identifisere de øyeblikkelige konsentrasjonene og potensialet i Poisson-ligningen med deres gjennomsnittsfelt-kolleger i Boltzmanns fordeling, gir Poisson-Boltzmann-ligningen:

 .

Løsninger på denne ikke-lineære ligningen er kjent for noen enkle systemer. Løsninger for mer generelle systemer kan oppnås i grensen for høy temperatur (svak kobling), ,av Taylorutvidelsen eksponentiell:

 .

Denne tilnærmingen gir den lineariserte Poisson-Boltzmann-ligningen

 

som også er kjent som Debye–Hückel-ligningen: Det andre begrepet på høyre side forsvinner for systemer som er elektrisk nøytrale. Begrepet i parentes delt på , har enhetene med en omvendt lengde i kvadrat og fører ved dimensjonsanalyse til definisjonen av den karakteristiske lengdeskalaen

 

som ofte kalles Debye–Hückel-lengden. Som den eneste karakteristiske lengdeskalaen i Debye–Hückel-ligningen,  setter skalaen for variasjoner i potensialet og i konsentrasjonene av ladede specier. Alle ladede specier bidrar til Debye–Hückel-lengden på samme måte, uavhengig av tegnet på ladningen. For et elektrisk nøytralt system blir Poisson-ligningen

 

For å illustrere Debye-screening, potensialet som produseres av en ekstern punktladning  is

 

Coulomb-potensialet blir eksponentielt screenet av mediet over en avstand av Debye-lengden.

Lengden på Debye–Hückel kan uttrykkes i form av Bjerrum-lengden  som

 ,

hvor  er heltallsladingstallet som relaterer ladningen på   ioniske specier til elementærladningen .

I plasma 
I et ikke-isotermisk plasma kan temperaturene for elektroner og tunge specier variere mens bakgrunnsmediet kan behandles som vakuum (), og Debye-lengden er

 

hvor

 λD er Debye-lengden,
 ε0 er permittiviteten til ledig plass,
 kB er Boltzmanns konstant,
 qe er ladningen til et elektron,
 Te og Ti er temperaturene til henholdsvis elektronene og ionene,
 ne er tettheten til elektroner,
 nj er tettheten til atomarter j, med positiv ionisk ladning zjqe

Selv i kvasineutralt kaldt plasma, hvor ionebidrag praktisk talt ser ut til å være større på grunn av lavere ionetemperatur, faller ionebetegnelsen ofte, noe som gir

 

selv om dette bare er gyldig når mobiliteten til ioner er ubetydelig sammenlignet med prosessens tidsskala.

Vanlige verdier 
I romplasmaer der elektrondensiteten er relativt lav, kan Debye-lengden nå makroskopiske verdier, slik som i magnetosfæren, solvinden, det interstellare mediet og det intergalaktiske mediet. Se tabellen nedenfor:

I en elektrolyttløsning 
I en elektrolytt eller en kolloid suspensjon er Debye-lengden for en monovalent elektrolytt betegnes vanligvis med symbolet κ−1

 

hvor

 I er ionestyrken til elektrolytten i molare enheter (M eller mol/L),
 ε0 er permittiviteten til vaccum,
 εr er den dielektriske konstant,
 kB er Boltzmanns konstant,
 T er den absolutte temperaturen i kelvin,
 NA er Avogadros tall.
  er elementærladningen,

eller for en symmetrisk monovalent elektrolytt,

 

hvor 

 R er gasskonstanten,
 F er Faradays konstant,
 C0 er elektrolyttkonsentrasjonen i molar enheter (M ellermol/L).

Alternativt,

 

hvor

  er Bjerrum-lengden på mediet.

For vann ved romtemperatur, λB ≈ 0.7 nm.

Ved romtemperatur (20 ° C eller 70 ° F) kan man vurdere forholdet i vann:

 

hvor

 κ−1 er utrykt i nanometer (nm)
 I er ionestyrken uttrykt i molar (M eller mol/L)

Det er en metode for å estimere en omtrentlig verdi av Debye-lengden i væsker ved bruk av ledningsevne, som er beskrevet i ISO-standard, og boka.

I halvledere 

Debye-lengden har blitt stadig viktigere i modelleringen av solid state-enheter ettersom forbedringer i litografisk teknologier har muliggjort mindre geometrier.

Debye-lengden på halvledere er gitt:

 

hvor

 ε er den dielektriske konstanten,
 kB er Boltzmanns konstant,
 T er den absolutte temperaturen i kelvin,
 q er elementærladning, og
 Ndop er netto tetthet av dopanter (enten givere eller akseptorer).

Når dopingprofiler overstiger Debye-lengden, oppfører ikke majoritetsbærerne seg lenger i henhold til fordelingen av dopantene. I stedet gir et mål på dopinggradientprofilen en "effektiv" profil som bedre samsvarer med profilen til majoritetsbærertettheten.

I sammenheng med faste stoffer kalles Debye-lengden også Thomas–Fermi screeninglengde.

Referanser 

Plasmafysikk
Elektrokjemi
Elektrisitet