Gaussisk heltall

Gaussisk tall er et komplekst tall hvor både realdelen og imaginærdelen er heltall. Typiske eksempel er derfor 7 + 6i,  5 - 3i, men også 2 og -4i  hvor i = √-1 er den imaginære enheten. Tallene utgjør en matematisk ring Z[i ] hvor man kan utføre addisjon og multiplikasjon på vanlig måte. 

De gaussiske heltallene har mange av de samme egenskapene som de vanlige heltallene Z. I den utvidete ringen Z[i ] kan primtall defineres, og hvert tall har en éntydig faktorisering som produkt av slike primtall i overensstemmelse med aritmetikkens fundamentalteorem. En bestemt klasse av vanlige primtall i Z kan faktoriseres i ringen Z[i ] av gaussiske heltall.

Navnet til tallene viser tilbake til  den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss. Han ga en systematisk fremstilling av deres egenskaper i sitt store verk Disquisitiones Arithmeticae fra 1801 i forbindelse med studiet av kvadratiske rester og deres utvidelse til kongruenser av høyere grad.

Definisjon

Hvert gaussisk heltall kan skrives som

 

hvor i er  den imaginære enheten, mens  a og b er  heltall i den vanlige tallringen Z. De gaussiske heltallene er derfor spesielle, komplekse tall. Summen av to slike tall er dermed

 

som er et nytt tall av samme sort. Denne egenskapen har også produktet av de to heltallene,

 

slik at de danner en ny ring. Den betegnes vanligvis med Z[i ] som en påminnelse om at den er en utvidelse av de vanlige heltallene Z basert på den imaginære enheten.

Norm

Størrelsen av komplekse tall blir vanligvis angitt ved deres absoluttverdi. For gaussiske heltall er det mer vanlig å benytte kvadratet av denne som gir dets norm. For det gaussisk heltallet z = a + bi er den definert ved

 

og er derfor et positivt heltall. Normen av et produkt oppfyller

 

som betyr at

 

Denne identiteten for summen av to kvadrat kan føres tilbake til Diofant og den indiske matematiker Brahmagupta som levde noen hundre år senere.

Gaussiske heltall som har norm N = 1, kalles for enheter. Det er fire av dem, nemlig 1, -1, i  og -i. De har også den egenskapen at hver av dem a har sin egen invers a-1 slik at  i overensstemmelse med den vanlige definisjonen av enheter. For eksempel er (-1)⋅(-1) = 1 og -i⋅i = 1. Sammen danner disse fire tallene en syklisk gruppe generert av elementet i. Blant de vanlige heltallene Z er bare 1 og -1 enheter.

Faktorisering

Noen vanlige primtall kan skrives som produkt av gaussiske heltall. For eksempel er 2 = (1 + i )(1 - i ). Ved å ta med enheter kan man også skrive dette som 2 =  i (1 - i )2.  På samme måte er 5 = (2 + i )(2 - i ), mens en slik oppsplitting er umulig for primtallene 3 eller 7. 

Faktorisering av vanlige tall kan systematisk gjennomføres ved bruk av Euklids algoritme. Den kan utvides til å gjelde også for gaussiske heltall. Hvis normen til z1 er større enn normen til z2, kan man da bestemme to nye gaussiske heltall w1 og w2 slik at

 

Her må resten  w2 ha en norm som er mindre enn den til  z2. Dette kan gjøres på flere forskjellige måter slik at hvert stepp i algoritmen ikke er helt éntydig. Men likevel gir den et éntydig resultat for største felles faktor for de to tallene z1 og z2. Dermed kan den også benyttes til å gi en éntydig faktorisering av hvert gaussisk heltall når man ser bort fra enheter. Den gaussiske heltallsringen Z[i ] er derfor euklidsk.

Gaussiske primtall

Resultatet av en fullstendig faktorisering av et gaussisk heltall z er et produkt av «gaussiske primtall». Hvert stepp i en slik faktorisering tilsvarer en oppsplitting z = z1⋅z2. Da normen til til z er produktet av normene til z1 og z2, vil hvert gaussisk heltall med en faktoriserbar norm være faktoriserbart. For eksempel har tallet z = 3 + i normen N = 10 = 2⋅5 og er derfor faktoriserbart. Nå er N(1 + i ) = 2 og N(2 - i ) = 5 slik at man har

 

hvor begge faktorene er gaussiske primtall. Derimot er  3 + 2i et gaussisk primtall da N(3 + 2i ) = 13 ikke kan faktoriseres i vanlige primtall.

Generelt for det gaussiske heltallet z = a + bi er normen N(z ) = a2 + b2. Dette er et primtall når det kan skrives som 4n + 1 for et vanlig heltall n. Da det er en sum av to kvadrater, kalles det et pytagoreiske primtall. De resterende primtall på formen 4n + 3 kan ikke skrives på denne måten.

Hvis man ser bort fra enheter, har man da det minste, gaussiske primtallet som er 1 + i  med norm 2. Det er et pytagoreisk primtall. Andre slike pytagoreiske primtall kan også faktoriseres i gaussiske primtall. For eksempel er 5 =  (2 + i )⋅(2 - i ) og  13 = (3 + 2i )⋅(3 - 2i ). Den siste gruppen av gaussiske primtall kan skrives som a + bi  hvor a er et vanlig primtall på formen 4n + 3  og b = 0 eller omvendt. De befinner seg derfor kun langs de to aksene i det komplekse planet.

Referanser

Eksterne lenker

 E.W. Weisstein, Gaussian integer, Wolfram MathWorld
 Youtube, The Basics of Gaussian Integers , enkel orientering

Tall
Ringteori