Lie-derivasjon

Lie-derivasjon er i matematisk analyse en generalisering av den retningsderiverte av skalare funksjoner til å gjelde for vektorer og tensorer. 

All derivasjon er basert på muligheten til å sammenligne en variabel størrelse i to nærliggende punkt. Men en vektor kan ikke uten videre bringes  entydig til det punkt hvor vektoren den skal sammenlignes med, befinner seg. Parallelltransport gjør dette mulig og leder til kovariant derivasjon av vektorer og tensorer. En annen mulighet er transport av slike størrelser basert på strømlinjene som hvert vektorfelt definerer. Dette danner grunnlaget for Lie-derivasjon som dermed også vil være koordinatuavhengig.

Denne  form for derivasjon ble oppdaget av den norske matematiker Sophus Lie i forbindelse med hans arbeider med etablering av teorien for Lie-grupper. I dag benyttes den i mange andre sammenhenger og er spesielt nyttig for undersøkelse av symmetrier i forskjellige grener av teoretisk fysikk.

Definisjon

Et vektorfelt u på en mangfoldighet definerer en strømlinje som er en glatt kurve bestemt ved ett utgangspunkt. Fra kjennskap til komponentene til en generell tensor T i dette punktet kan man beregne tilsvarende verdier av komponentene i andre punkt på kurven. Dette omtales noen ganger som om tensoren flyter eller blir Lie-transportert langs kurven. Dette mentale bildet er basert på at parameteren som beskriver kurven, oppfattes som en tid i mekanikk eller hydrodynamikk. Man kan da tenke seg at en slik flyt- eller strømlinje starter ut i et punkt x på mangfoldigheten når kurveparameteren har verdien  og i en retning gitt ved vektorfeltet ux  i det punktet.  På samme måte kan tensoren og dens komponenter der angis som  . 

For en senere parameterverdi  går flytlinjen gjennom punktet . Der har tensoren komponenter som inngår i   da den er veldefinert over hele mangfoldigheten. Men samtidig er det mulig å beregne hva den ville ha vært hvis den strømmet med langs flytlinjen. Denne kan betegnes med   og vil i alminnelighet være litt forskjellig fra . Differansen kan benyttes til å beregne den Lie-deriverte av T i punktet xt  når parameteren t  blir liten nok.

Denne definisjonen benyttes enklest når den deriverte beregnes i flytlinjens startpunktet x. Da er den gitt ved differansen mellom  og  etter at den Lie-transporteres tilbake fra xt  til x. Kalles denne tensoren , vil den ha en Lie-derivert i retning u som kan finnes fra

 

I det enkleste tilfelle kan man betrakte en skalar funksjon F(x). Den vil ikke forandres under en slik flyt, og den Lie-deriverte faller sammen med den retningsderiverte  av funksjonen. Den kan uttrykkes ved komponentene  uμ  til retningsvektoren u slik at man har

  

når  Einsteins summekonvensjon benyttes og man summerer over de to like indeksene forbundet med koordinatene xμ =  på en n-dimensjonal mangfoldighet. 

Denne Lie-deriverte av en skalar funksjon kan skrives som  når man betrakter tangentvektoren u som en derivasjonsoperator

 

De partiellderiverte ∂μ opptrer da som basisvektorer eμ på mangfoldigheten. Denne formuleringen benyttes i moderne differensialgeometri og forenkler i stor grad den matematiske notasjonen. For eksempel kan den Lie-deriverte av et vektorfelt v(x) i retning u da skrives som

 

hvor på høyre side kommutatoren  er en ny vektoroperator. Den  spiller også en fundamental rolle i kvantemekanikken. På lignende, kompakt vis kan nå Lie-derivasjon av differensialformer og mer generelle tensorer sammenfattes.

Flytlinjer
Et vektorfelt på en n-dimensjonal mangfoldighet kan skrives som u(x) = uμ(x) eμ hvor basisvektorene eμ = ∂μ kan betraktes som tangentvektorer til koordinatlinjene og vil derfor ha varierende retninger på mangfoldigheten. Komponentene  til vektoren er skalare funksjoner og vil derfor også variere fra punkt til punkt.

En strømlinje eller flytlinje for et vektorfelt u er en kurve på mangfoldigheten som i hvert punkt har en tangentvektor som sammenfaller med vektorfeltet i det samme punktet. Flytlinjen er da beskrevet ved n funksjoner xμ(t) som avhenger av en parameter t. I hvert punkt har den da en tangentvektor  slik at dens koordinater på oppfylle

 

Dette er en første ordens differensialligning hvis løsning er bestemt når man angir begynnelsespunktet  til kurven for . Med denne grensebetingelsen kan den generelle løsningen skrives som  hvor . Hvis  , vil . For alle mulige valg av begynnelsespunktet   vil disse flytlinjene fylle ut mangfoldigheten. Men de vil ikke kunne skjære hverandre da det i hvert punkt kun er én tangentvektor. Flytlinjene sies å utgjøre en kongruens for vektorfeltet.

Eksempel

Flytlinjer i én dimensjon går bare i én retning. Er denne langs x-aksen, kan et generelt vektorfelt skrives som u = ux ex. Dette kunne beskrive en vannstråle med et variabelt hastighetsfelt hvor parameteren t er tiden. Tangentvektoren angir da hastigheten til en partikkel i strålen. 

Hvis man så antar at vektorfeltet har komponenten , vil posisjonen til partikkelen være bestemt ved . Løsningen av denne differensialligningen finnes ved direkte integrasjon å være   når man benytter samme grensebetingelse som tidligere angitt. Den er derfor

 

Man kan nå lett verifisere at den tilfredsstiller .

Mer interessant er en todimensjonal mangfoldighet med vektorfeltet  . Flytlinjene er da bestemt ved ligningene
 og . Multipliseres den første med x og den andre med y, får man

 

etter å addere dem sammen. Flytlinjene er derfor sirkler der   er den kvadrerte radius. Hvis partikkelen ved tiden   er  i punktet  med , vil parameterfremstillingen av denne lukkete flytlinjen være 

 

Denne løsningen oppfyller de definerende ligningene  og  samt grensebetingelsen og beskriver en rotasjon i xy-planet. Ved bruk av trigonometriske identiteter følger herav at ved et senere tidspunkt vil posisjonen   på samme kunne uttrykkes ved   i stedet for .

Eksponensiering
Ved bruk av en Taylor-utvikling kan koordinatene  xμ(t) til et vilkårlig punkt på flytlinje beregnes fra et kompakt uttrykk. Det er basert på at dens tangentvektor kan skrives som . Da blir

 

hvor de deriverte tas i utgangspunkt for t = 0 der koordinatene skrives som  xμ. Den uendelige rekken kan nå uttrykkes ved eksponentialfunksjonen og man har

 

Nå er   slik at løsningen på denne formen har den forventete egenskap at . Operatorene  utgjør elementene i den enkleste Lie-gruppe. Den er generert av vektoroperatoren u og har egenskapen  Det inverse elementet til  er  da enhetselementet er .

I det enkle eksemplet i én dimensjon hvor vektorfeltet har bare en komponent, er u = x 2(∂/∂x) og

 

da den uendelige rekken er geometrisk. Dette er resultatet som tidligere ble funnet ved å løse en differensialligning.

En sirkulær flytlinje er generert av vektoren u = x ∂y - y ∂x. Derfor er  og  slik at en endelig forskyvning fra (x,y) ved  blir

 

og tilsvarende for  når man bruker Taylor-rekkene for de to trigonometriske funksjonene.

Kommutator

Når mangfoldigheten inneholder to vektorfelt u = uμ eμ og v = vμ eμ, kan man fra et gitt utgangspunkt P  generere flytlinjer i to forskjellige retninger. Hvis man da betrakter en liten forflytning tilsvarende en parameter ε << 1 til et punkt langs v  og videre derfra langs u med den samme parameterforandringen, vil man i alminnelighet ikke ankomme samme punkt hvis man starter fra P og først beveger seg langs u og deretter langs v. Det følger fra

 

i grensen hvor parameteren  ε → 0. Om man ankommer det samme punktet langs de to forskjellige veiene eller ikke, er derfor bestemt av verdien til  kommutatoren

 

Når den er forskjellig fra null, definerer den et nytt vektorfelt som representerer en forflytning i en tredje retning.

Begge vektorfeltene u og v er representert ved førsteordens derivasjonsoperatorer. Når de virker sammen i et produkt, vil de også gi derivasjoner av andre orden. Men i differeransen mellom produktene forsvinner disse bidragene slik at kommutatoren er en ny operator av første orden.  Det følger fra en direkte utregning,

 

når notasjonen   benyttes. I tillegg kommuterer partiellderivasjoner med hverandre slik at . Kommutatoren av to vektorfelt   er derfor et nytt vektorfelt med komponenter . Dette er av sentral betydning i teorien for Lie-grupper.

Lie-transport

Et punkt x på en flytlinje generert av et vektorfelt u = uν ∂ν vil flyttes til et nytt punkt . Når parameteren t << 1 vll koordinatene til dette nye punktet kunne skrives som

 

når man neglisjerer høyere ordens ledd i rekkeutviklingen av eksponentialfuksjonen. En skalar funksjon vil i dette punktet ha verdien F(y) som uten videre kan sammenlignes  med verdien  F(x ) i utgangspunktet til flytlinjen. Den Lie-transporterte funksjonsverdien  fra y tilbake til x er derfor  . Fra definisjonen følger herav at den Lie-deriverte av funksjonen blir

 

som sammenfaller med den retningsderiverte av funksjonen.

Vektorfelt

For den Lie-deriverte av et v = vμ eμ langs den samme flytlinjen definert ved u, vil Lie-transporten av komponentene vμ fra y til x være den samme som for en skalar funksjon. Men basisvektorene  vil være forskjellig fra basisvektorene . Sammenhengen er gitt ved transformasjonen . Den betyr at

 

Fra definisjonen av den Lie-deriverte kan nå denne beregnes og blir

 

På samme måte følger at 

 

slik at Lie-derivasjon oppfyller Leibniz' produktregel.

Differensielle former

Basisformene på mangfoldigheten er gitt ved differensialene dxμ slik at en generell 1-from kan skrives som  når man igjen benytter Einsteins summekonvensjon. Mens komponentene vil transformere som skalare funksjoner under Lie-transport, vil basisformene i de to punktene  være forbundet ved

 

Dermed blir den Lie-deriverte av 1-formen

 

Dette resultatet kan også finnes ved ytre derivasjon  og kontraksjon  av formen med vektoren u. Hvis nå den ytrederiverteo blir tatt av denne kontraksjonen og addert til kontraksjonen med u av , ser man at

 

Den Lie-deriverte av formen kan derfor skrives som

 

og er uavhengig av koordinater. Selv om resultatet her er utledet for en 1-form, viser det seg å være gyldig for en vilkårlig k-form og bærer navnet til Élie Cartan.

Fra disse generelle egenskapene til den Lie-deriverte av differensialformer, finner man for eksempel også viktige konsekvenser som

 

og 

 

som er Leibniz' produktregel for vilkårlige differensialformer α og β.

Tensorer

Ved bruk av produktregelen som Lie-derivasjon oppfyller, kan også dens effekt på tensorer finnes. Det kan illustreres ved å betrakte tilfellet når den er av andre grad med en kovariant og en kontravariant indeks,

 

Den deriverte i retning u er da

 

hvor den Lie-deriverte av komponentene er gitt ved den retningsderiverte Du og

 

Etter navneskifte på noen av indeksene kan resultatet skrives som

 

Anvendelser på tensorer av høyere rang kan herav lett finnes. Når tensoren bare  har kovariante og fullstendig antisymmetriske komponenter, vil denne fremgangsmåten sammenfalle med hva som tidligere ble funnet for den Lie-deriverte av en differensialform.

Referanser

Differensialgeometri
Multivariat analyse