Einstein-forhold (kinetisk teori)

Einstein-forholdet (også kjent som Wright-Sullivan-forholdet) er i fysikk (spesielt den kinetiske teorien om gasser) en tidligere uventet forbindelse avslørt uavhengig av William Sutherland i 1904, Albert Einstein i 1905, og av Marian Smoluchowski i 1906 i deres arbeid på Brownsk bevegelse. Den mer generelle formen på ligningen er

 

hvor 

 D er diffusjonskoeffisienten;
 μ er "mobiliteten", eller forholdet mellom partikkelens terminaldrifthastighet og en påført kraft, μ = vd/F;
 kB er Boltzmanns konstant;
 T er den absolutte temperaturen.

Denne ligningen er et tidlig eksempel på et forhold mellom svingninger og spredning.

To ofte brukte viktige spesielle former for forholdet er:

  (elektrisk mobilitetsligning, for diffusjon av ladede partikler)

  (Stokes-Einstein-ligning, for diffusjon av sfæriske partikler gjennom en væske med lavt Reynolds-antall)  Hvor
 q er den elektriske ladningen til en partikkel;
 μq er den elektriske mobiliteten til den ladede partikkelen;
 η er den dynamiske viskositeten;
 r er radien til den sfæriske partikkelen.

Spesielle tilfeller

Elektrisk mobilitetsligning 

For en partikkel med elektrisk ladning q, dets elektriske mobilitet μq er relatert til den generelle mobiliteten μ ved ligningen μ = μq/q. Parameteren μq er forholdet mellom partikkelens terminaldrifthastighet og et påført elektrisk felt. Derfor blir ligningen i tilfelle av en ladet partikkel gitt som

 

hvor

  er diffusjonskoeffisienten ().
  er den elektriske mobiliteten().
  er den elektriske ladningen til partikkel (C, coulomb)
  er elektrontemperaturen eller ionetemperaturen i plasma (K).

Hvis temperaturen er gitt i Volt, som er mer vanlig for plasma:

 

hvor

  er ladetallet på partikkelen (enhetsløs)
  er elektrontemperatur eller ionetemperatur i plasma (V).

Stokes–Einstein ligning 

I grensen for lavt Reynolds-tall er mobiliteten μ den omvendte av dragkoeffisienten. En dempende konstant brukes ofte for den omvendte momentumavslappingstiden (tid som trengs for at treghetsmomentet blir ubetydelig sammenlignet med det tilfeldige momenta) til det diffusive objektet. For sfæriske partikler med radius r, Stokes lov gir

 

hvor  er viskositeten til mediet. Dermed resulterer forholdet Einstein-Smoluchowski i forholdet Stokes-Einstein

 

Dette har blitt brukt i mange år for å estimere selvdiffusjonskoeffisienten i væsker, og en versjon i samsvar med isomorfteorien er bekreftet av datasimuleringer av Lennard-Jones-systemet. 

I tilfelle rotasjonsdiffusjon er friksjonen , og rotasjonsdiffusjonskonstanten  er

Halvleder 
I en halvleder med en vilkårlig tilstandstetthet, dvs. et forhold mellom formen  mellom tettheten til hull eller elektroner  og tilsvarende kvasi Fermi-nivå (eller elektrokjemisk potensial) , Einstein-forholdet er

 

hvor  er den elektriske mobiliteten. Et eksempel som antar en parabolsk dispersjonsforhold for tilstandstettheten og Maxwell-Boltzmann-statistikken, som ofte brukes til å beskrive uorganiske halvledermaterialer, kan man beregne (se tilstandstetthet):

 

hvor  er den totale tettheten av tilgjengelige energitilstander, som gir den forenklede relasjonen:

Nernst-Einstein ligningen 
Ved å erstatte diffusivitetene i uttrykkene for elektriske ioniske mobiliteter av kationene og anionene fra uttrykkene for ekvivalent ledningsevne til en elektrolytt, blir Nernst-Einstein ligningen avledet:

Referanser 

Statistisk mekanikk
Albert Einstein
Termodynamikk