Laplace-ligningen

Laplace-ligningen er en partiell differensialligning av andre orden. Den spiller en meget viktig rolle i teoretisk fysikk og matematisk analyse. Ved bruk Laplace-operatoren ∇ 2 som virker på en funksjon Φ med N variable,  kan den skrives på den kompakte formen

 

Generelt kan det da vises at løsningene av ligningen er harmoniske funksjoner i N dimensjoner.

Differensialligningen ble funnet i 1782 av Pierre-Simon Laplace i forbindelse med beregning fra Newtons gravitasjonsteori av gravitasjonspotensialet for en kontinuerlig massefordeling. I 1812 viste Siméon Denis Poisson at ligningen ikke gjelder inni en slik fordeling, men kan den utvides med et nytt ledd på høyre side som er proporsjonalt med massetettheten. Den er da gyldig overalt og kalles for Poisson-ligningen.

Laplace-ligningen opptrer ofte ved beskrivelse av stasjonære prosesser i  fysikk. For eksempel vil temperaturen i et legeme som styres av varmeledning, oppfylle ligningen når den ikke lenger forandrer seg med tiden. Også partikkeltettheten ved diffusjon vil være gitt som løsning av ligningen under stasjonære forhold. Likedan vil potensialene både innen elektrostatikken og magnetostatikken utenfor alle elektriske ladninger og strømmer være bestemt av Laplace-ligningen.

I kompleks analyse vil både den reelle og imaginære delen av en kompleks funksjon oppfylle den to-dimensjonale Laplace-ligningen. De er derfor begge harmoniske funksjoner. Dette er en direkte konsekvens av Cauchy–Riemanns ligninger.

Opprinnelse

I sine astronomiske arbeid basert på Newtons gravitasjonslov hadde Laplace vist at mange beregninger kunne gjøres enklere ved å innføre et  gravitasjonspotensial skapt av en masse i stedet for gravitasjonskraften som den forårsaker. Betrakter man en kontinuerlig massefordeling med tetthet ρ, er dette potensialet i et punkt r gitt ved integralet

 

hvor G er gravitasjonskonstanten. Ved bruk av kartesiske koordinater kan avstanden R = |r - r'| skrives som

 

slik at ∂R/∂x = (x - x' )/R. Dermed er ∂/∂x(1/R) = - (1/R3)(x - x' ). En videre derivasjon gir så

 

Sammen med de tilsvarende dobbeltderiverte i de to andre retningene blir dermed

 

Da disse derivasjonene kan tas inn under integrasjonssymbolet for gravitasjonspotensialet, har man dermed

 

Dette er Laplace-ligningen i kartesiske koordinater i N = 3 dimensjoner.

Elektrisk potensial

Da Coulombs lov for elektriske krefter har samme form som Newtons gravitasjonslov, er det å forvente at Laplace-ligningen også vil kunne beskrive det elektriske potensialet φ. Det følger fra Maxwells ligninger. Hvis man ikke har noe magnetisk felt, sier Faradays induksjonslov at  det elektriske feltet E må oppfylle  . Det må derfor kunne skrives som gradienten av potensialet, det vil si at  Når man i tillegg er i et område hvor det ikke er noen elektriske ladninger, sier Maxwells første ligning at . Det betyr at  som er Laplace-ligningen. Den tillater ofte å finne løsninger for det elektriske potensialet og derav feltet E, noe som er lettere enn å beregne det elektriske feltet direkte.

Potensialstrømning

En ideell væske beskrives ved Euler-ligningene. Under vanlig forhold er væsken virvelfri. Det betyr at curl til dens hastighet v  er null, det vil si at . På samme måte som for det elektriske feltet, betyr det at hastighetsfeltet til væsken må kunne skrives som gradienten av et potensial Ψ. Da har man at  og bevegelsen til væsken sies å være en potensialstrømning. I stedet for en beskrivelse ved de tre komponentene til  vektorfeltet v, kan man da klare seg med den ene potensialfunksjonen Ψ.

Beregning av dette potensialet forenkles når væsken i tillegg er  inkompressibel, det vil si at den medfølgende tettheten er konstant. Kontinuitetsligningen sier da at væskens hastighet v tilfredsstiller .  Benytter man her kravet  om virvelfrihet, følger igjen Laplace-ligningen 

Dette er vanligvis en tredimensjonal ligning da potensialet avhenger av tre koordinater, det vil si at Ψ = Ψ(x,y,z). Men løsning av den todimensjonale ligningen kan også ha praktisk betydning. For eksempel, så følger det fra Young-Laplace-ligningen for en glatt hinne av såpevann med en høyde H = H(x,y) over et plant referansenivå, at den er bestemt av  hvor nå Laplace-operatoren involverer bare de to koordinatene x og y. Den glatte egenskapen til denne flaten og likedan såpebobler er en konsekvens av overflatespenningen til såpevannet.

Generell definisjon

Laplace-ligningen i et N-dimensjonalt euklidsk rom med kartesiske koordinater x = (x1, x2, ... ,xN ) er definert som

 

Ved å innføre nabla-operatoren for å kunne beregne gradient og divergens, kan ligningen på mer kompakt form skrives som

 

Her inngår på venstre side Laplace-operatoren i N dimensjoner. Ved å benytte andre koordinatsystem i dette rommet, vil den ta andre former som kan finnes fra denne generelle definisjonen.

Kulesymmetrisk løsning

Den enkleste, ikke-trivielle løsningen av Laplace-ligningen finnes ved å anta at den er invariant under rotasjoner. Den er da kun en funksjon av radius

 

Potensialet kan da skrives som Φ(r) = u(r ). Ved å benytte at  ∂r/∂xi = xi /r,  blir dermed

 

for hver koordinat xi. Dermed tar ligningen formen

Herav følger at løsningen må oppfylle betingelsen

 

som betyr at

 

der a er en konstant.  Dermed vil de kulesymmetriske løsningene være av formen

 

hvor c er en konstant som sammen med a kan bestemmes av grensebetingelsene.

Standardform
Det er vanlig å skrive disse løsningene på en standardform som benyttes ved beregning av Greens funksjon. Hvis man innfører den fulle  romvinkel i N dimensjoner,

 

når den uttrykkes ved gammafunksjonen Γ(z ),  er de kulesymmetriske løsningene

De gir potensialet utenfor en punktpartikkel i origo. Med denne standardnormeringen er potensialet Φ = 1/4π r i N = 3 dimensjoner.

Coulomb-potensialet oppfyller generelt Laplace-ligningen i alle områder av rommet hvor det ikke er ladninger. Da potensialet skapt av en punktladning alltid er  kulesymmetrisk, betyr det at Coulomb-potensialet utenfor en slik ladning i N = 2 dimensjoner varierer logaritmisk med avstanden og går ikke mot null ved store avstander. Derimot vil Coulomb-potensialet skapt av en punktladning i rom med N > 3 dimensjoner avta mot null raskere ved store avstander enn i tre dimensjoner.

To dimensjoner

Den todimensjonale Laplace-ligningen

 

opptrer i kompleks analyse hvor en funksjon f (x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) må oppfylle Cauchy-Riemanns ligninger

Ved å derivere den første med hensyn på x og den andre med hensyn på y, vil en addisjon av de to resulterende ligningene gi at den reelle funksjonen u(x,y) tilfredsstiller Laplace-ligningen i to dimensjoner. Det samme gjelder for funksjonen v(x,y) som vises ved å derivere de to ligningene med hensyn på y i stedet.

Homogene polynom og harmoniske løsninger
I N = 2 dimensjoner er det kun løsningen ln(x2 + y2)  som er rotasjonssymmetrisk. Men oppgis dette kravet, er det en uendelighet av andre løsninger. En spesiell klasse  er homogene polynom. De to enkleste er xy og x2 - y2 som er slike polynom av andre grad og oppfyller Laplace-ligningen. Uttrykkes disse i polare koordinater  og , er de to løsningene proporsjonale med henholdsvis  og .

Denne sammenhengen kan man også se ved å betrakte homogene polynom av tredje grad. Av dem er der fire, nemlig , ,  og . Men bare de to kombinasjonene  og  oppfyller Laplace-ligningen. I polarkoordinater kan de skrives som henholdsvis  og  når man benytter de Moivres formler. Og slik fortsetter det for polynom av høyere grad. Disse spesielle løsningene sies å være harmoniske da de kan uttrykkes ved trigonometriske funksjoner som beskriver harmoniske svingninger.

Separasjon av variable

Mer generelle løsninger kan finnes ved å anta at løsningene kan skrives som et produkt av to funksjoner hvor hver kun avhenger av en variabel. Dette kalles for metoden med «separasjon av variable».

Med denne antagelsen Φ(x,y) = X(x)Y(y) kan den to-dimensjonale Laplace-ligningen omformes til

 

Da x og y er uavhengige variable, kan denne ligningen bare være gyldig hvis hver side er lik med en konstant. Kalles den for K, vil dermed den opprinnelige Laplace-ligningen være redusert til de to vanlige differensialligningene

 

som er enklere å løse. For eksempel, hvis konstanten K er positiv slik at man kan skrive K = k2, vil  og  gi den enkle løsningen  av den opprinnelige Laplace-ligningen. Mer generelle løsninger finnes ved å kombinere flere slike løsninger med verdier for K som er valgt for å oppfylle gitte grensebetingelser.

Polarkoordinater

Laplace-operator tar forskjell form avhengig av hvilke koordinatsystem man benytter. I to dimensjoner kan det ofte være hensiktsmessig å benytte polarkoordinater . Laplace-ligningen tar da formen

 

Løsninger kan igjen finnes ved separasjon av variable. Man skriver da V = R(r)F(φ) og setter inn i ligningen. Det vil da gi at

 

hvor λ er en konstant. Skal løsningene være periodiske i φ, må λ =  n 2 hvor n er et helt positivt tall eller null. Vinkelavhengigheten til løsningene må derfor være

 

Den resterende, radielle ligningen er nå

 

som har løsningene

 

Her er an , bn , cn  og  dn integrasjonskonstanter som må bestemmes ut fra grensebetingelsene. For eksempel, hvis man vil at løsningene skal være regulære i punktet , da må alle   slik at den mest generelle løsningen tar formen

 

hvor man her har redefinert konstantene slik at cn = 1. Hvis man lar radius r = konstant, finner man her de harmoniske løsningene cos nφ og sin nφ som oppsto på en mer komplisert måte som homogene polynom ved bruk av kartesiske koordinater.

Tre dimensjoner
Ved bruk av kartesiske koordinater i  N = 3 dimensjoner har Laplace-ligningen formen

 

Som for to dimensjoner kan man finne løsninger med form av homogene polynom i de tre variable x, y og z.  Disse har formen  og kombinasjoner av slike hvor heltallene p, q og r  har en konstant sum som er graden til polynomet. Har disse polynomene grad ℓ , er det i allminnelighet  slike løsninger av Laplace-ligningen. De danner sfærisk harmoniske funksjoner  ,  også kalt for kuleflatefunksjoner.

Av laveste grad ℓ = 1 har man tre løsninger som ganske enkelt er de tre koordinatene x, y og z.  For ℓ = 2 finner man de fem løsningene ,   samt .
Uttrykkes disse i  kulekoordinater (r, θ, φ) slik at ,   og  ser man at denne siste kombinasjonen  tilsvarer Y20. På samme måte danner xy og  de to sfæriske harmoniske funksjonene , mens  xz og yz kan kombineres til å gi  Med bruk av komplekse variable viser man lett at det homogene polynomet  er direkte proporsjonal med  den spesielle kuleflatefunksjonen

Kulekoordinater

Løsninger av Laplace-ligningen som involverer sfærisk harmonisk funksjoner kommer mer direkte frem ved å uttrykke Laplace-operatoren i kulekoordinater. For potensialet  har den da formen

 

Ved en første separasjon av variable kan man skrive V = R(r)Y(θ,φ). Det gir

 

hvor λ må være en konstant. For at den  partielle differensialligningen på høyre side skal ha regulære løsninger, må   hvor ℓ er et helt, positivt tall. Den går da over til differensialligningen som definerer sfærisk harmoniske funksjoner. De betegnes med  hvor heltallet m må ligge i intervallet  og derfor tar  forskjellige verdier.

Den radielle ligningen tar nå formen

 

og har løsninger av formen r ℓ eller 1/r ℓ + 1. Disse siste divergerer når r → 0. Disse løsningene har derfor den generelle formen

 

hvor Aℓm og Bℓm er konstanter som må bestemmes ut fra grensebetingelsene. For eksempel, hvis man vil at løsningene skal være regulære i grensen r → 0, må man ha at .

Sylinderkoordinater

Noen løsninger av Laplace-ligningen finnes mer direkte i sylinderkoordinater  (r, φ, z) der x = r cosφ og y = r sinφ. Fra uttrykke for den tilsvarende Laplace-operatoren tar ligningen da formen

 

Igjen kan løsninger finnes ved en separasjon av variabler. Ved å anta formen , vil φ-avhengigheten være gitt av løsninger til den enklere differnsialligningen  hvor på venstre side opptrer den dobbeltderiverte, her med hensyn på φ. For at den skal ha skal periodiske løsninger, må  hvor m er et positivt heltall. Det gir

 

hvor Am og Bm   er kontanter.  Likedan vil z-avhengigheten følge fra differensialligningen  hvor K er en foreløbig ubestemt parameter.  Hvis man ønsker at ligningen skal ha løsninger som ikke er periodiske i z-retningen, må  .  Da vil løsningene av denne differensialligningen kunne skrives som

 

der integrasjonskonstantene a og b avhenger av grensebetingelsene. Hele Laplace-ligningen involverer nå bar den radielle funksjonen R som må oppfylle

 

Dette er Bessel-ligningen med løsninger som er gitt ved de to Bessel-funksjonene  og . Denne siste er ikke regulær i grensen r → 0. De kan kombineres med to ubestemte konstanter Cm og Dm  til å gi den generelle, radielle løsningen.

 

Den fulle løsningen av Laplace-ligningen i sylinderkoordinater er nå gitt som produktet av de tre delløsningene R(r),  F(φ) og  Z(z) summert over alle mulige verdier for k og m. Integrasjonskonstantene vil i allminnelighet også avhenge av disse verdiene.

Som et enkelt eksempel på en fullstendig løsning kan man tenke seg at den skal være regulær i origo r = 0. Det betyr med en gang at alle . Mulige verdier for k kan så finnes ved å forlange en viss verdi for den radielle funksjonen R for en endelig verdi av r.  Hvis ikke, kan k variere fritt mellom null og uendelig og man må integrere løsningen over alle disse verdiene. Videre kan man forlange at løsningen ikke skal divergere for store verdier av koordinaten z, noe som medfører at alle konstantene . Dermed vil den generelle løsningen i dette tilfellet kunne skrives som

Middelverditeoremet

Løsningene av Laplace-ligningen er harmoniske funksjoner. En av de viktigste egenskaper til disse, er at slike funksjoner tilfredsstiller et generelt teorem om deres midlere verdi i hvert punkt.

Dette kan nesten trivielt illustreres i det endimensjonale tilfellet for Laplace-ligningen d 2Φ/dx2 = 0. Den mest generelle løsningen er  hvor a og b er konstanter. Ved direkte innsetting i løsningen ser man da at verdien til funksjon Φ i et vilkårlig punkt x er gitt ved verdiene i to nabopunkt som

 

hvor h her er vilkårlig stor eller liten. Dette er  den middelverdien av de to verdiene i nabopunktene. Man ser dette også geometrisk da løsningen representerer en rett linje.

Diskret versjon

Teoremet kan lett sannsynliggjøres ved å erstatte Laplace-operatoren med en diskret versjon. For en funksjon f(x) er den deriverte i et punkt definert som

i grensen der h → 0. Lar man istedet h være tilstrekkelig liten og endelig, er dette definisjonen for en «diskret derivasjon» av funksjonen. Den andrederiverte kan man da skrive som

Tilfredsstiller denne funksjonen den endimensjonal Laplace-ligningen f "(x) = 0, vil derfor igjen f(x) være gitt ved middelverdien i de to nabopunktene.

Ved bruk av denne diskrete derivasjonen for en funksjon F(x,y) som tilfredsstiller den todimensjonale Laplace-ligningen, vil man da på samme måte ha

 

Denne verdien er igjen middelverdien av de fire naboverdiene. Man kan utvide dette resultatet på samme måte til vilkårlige høyere dimensjoner, men størrelsen h må her være tilstrekkelig liten.

Middelverditeoremet

Harmoniske funksjoner mer generelt har en meget spesiell egenskap som er uttrykt ved «middelverditeoremet». Det sier at for en generell løsning Φ(x) av Laplace i N dimensjoner hvor punktet x er angitt ved N koordinater , så er verdien av funksjonen i hvert punkt lik med den midlere verdi av funksjonen på en vilkårlig stor kuleflate rundt det samme punktet. På matematisk form kan dette uttrykkes som

 

hvor y angir punkt på kuleflaten S omkring x med vilkårlig stor radius r. For en generell kule i N dimensjoner,  vet man at den har et areal

 

For den mest vanlige situasjon med N = 3 dimensjoner gir denne generelle formelen det kjente resultatet  S2 = 4π r 2. Hvis punktet x er i origo og man benytter kulekoordinater slik at flateelementet  sier teoremet at verdien der er

 

uavhengig av verdien til radius r. Dette viser med klarhet at harmoniske funksjoner må ha veldig spesielle egenskaper.

Elektrostatisk eksempel

En elektrisk punktladning Q er plassert på z-aksen i avstand z fra origo. Det elektriske potensialet i origo er derfor  der ke er Coulombs konstant. Ifølge middelverditeoremet skal dette være lik den midlere verdien av potensialet på en kuleflate med sentrum i origo. Har den radius r, er potensialet i hvert punkt på denne flaten  hvor

 

når man benytter cosinussetningen og hvert punkt på flaten er angitt ved de sfæriske koordinatene (θ,φ). Den søkte middelverdien er dermed

 

Integranden er uavhengig av den asimutal vinkelen φ slik at integrasjon over denne variable gir ganske enkelt 2π . Integrasjonen over den polare vinkelen θ forenkles ved  å la x = cosθ være ny integrasjonsvariabel. Det gir

 
 
som er uavhengig av radius r og bekrefter middelverditeoremets korrekthet. For at Laplace-ligningen skal være gyldig innenfor kuleflaten,  må ladningen Q ligge utenfor denne. Det betyr her at .

Maksima og minima
Middelverditeoremet legger store krav på formen til harmoniske funksjoner. Det viktigste er at de ikke kan ha noe lokalt maksimum eller minimum innenfor et begrenset område. Slike ekstremalpunkt kan eventuelt kun finnes på randen av området. Grunnen er at hvis det for eksempel fantes et lokalt maksimum inni området, så kunne ikke dette være middelverdien av punktene på en liten kuleflate som omslutter punktet da alle verdiene på denne ville være mindre enn verdien i det gitte punktet. Tilsvarende ville gjelde for et lokalt minimum.

Referanser

Litteratur 
 J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics,  W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.
 M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Eksterne lenker 
 

Matematisk analyse
Partielle differensialligninger