Kardioide

Kardioide er en plan og lukket kurve med en spiss. Formen kan minne om et hjerte slik at den ofte blir omtalt som hjertekurven. 

Den er en episykloide som er generert av et punkt på en sirkel som ruller på en annen, stasjonær sirkel med samme radius. Av denne grunn kan den også betraktes som et spesialtilfelle av Pascals snegle.

En matematisk beskrivelse av kardioiden er enklest ved bruk av polarkoordinater (r,θ). Den er da gitt ved ligningen

 

hvor parameteren a bestemmer dens størrelse. Med disse koordinatene har den spissen i origo , mens punktet med størst avstand fra origo er i .

Evoluten til kardioiden er en mindre kardioide. Kurven beskriver også formen til den største delen av Mandelbrot-mengden når man ser bort fra dens fraktale detaljer.

Matematisk beskrivelse

Fra dens fremstilling i polarkoordinater kan man finne en ekvivalent beskrivelse i kartesiske koordinater  og . Det gir

 
 

som viser at den er en episykloide av to sirkler med samme radius a hvorav den ene ruller utenpå den andre. I motsetning til standardfremstillingen av episykloiden, er denne kardioiden forskjøvet et stykke a langs den negative x-aksen.

En implisitt ligning for kurven i dette koordinatsystemet kan utledes fra observasjonen at  Da finner man ligningen

 

når man benytter at  Den viser at kardioiden er en kurve av fjerde grad.

Buelengde

I polarkoordinater er den differensielle buelengden til en plan kurve gitt som . Hele omkretsen til kardioiden er dermed

 

Nå er 

 

slik at omkretsen blir

 .

Areal

På samme måte er arealet til kardioden gitt ved flateintegralet

Geometriske egenskaper

Kardioiden opptrer i mange forskjellige sammenhenger. For eksempel er den omhyllingskurven til en skare sirkler som har sitt sentrum på en sirkel og som går gjennom et gitt punkt på sirkelen. Velges den faste sirkel å ha radius r = 1 og sentrum i punktet (-1, 0), vil hvert punkt på den være gitt som

 

avhengig av vinkelen θ. Hvis nå origo (0, 0) velges som det faste punktet på sirkelen, vil dette ha den kvadrerte avstanden 

 

til sirkelsenteret. Den gitte skaren av sirkler er gitt ved ligningen  eller  hvor

 

For at to sirkler i denne skaren med nesten samme verdi av parameteren θ skal tangere den samme omhyllingskurven, må  = 0. Nå er  slik at denne betingelsen er oppfylt når punktene (x,y) på omhyllingskurven kan skrives på formen  og .  Den ukjente størrelsen r  bestemmes fra   som gir de to løsningene r = 0 og . Denne siste fremstiller en kardioide med størrelse  som tilsvarer radius til den gitte sirkelen.

Evolute

Punkter x på evoluten til kardioiden r = 4a sin2θ/2 (cosθ, sinθ) er definert ved formelen  hvor ρ er krumningsradius  til kurven og n er dens normerte normal. Begge disse størrelsene kan finnes fra tangentvektoren  med komponenter

 

Den normerte tangentvektoren er derfor

 

når man benytter de trigonometriske identitetene for sinus og cosinus for en sum av to vinkler. Den normerte normalvektoren er derfor 

Kardioidens krumningsradius ρ finnes nå direkte fra  Frenets første formel  = . Det betyr at  hvor  er kjent fra dens buelengde. 

Dermed er x-koordinatene til evoluten  gitt ved

  

På samme vis finnes y-koordinatene å være  Evoluten til kardioiden er derfor en ny kardiode som 1/3 av den opprinnelige, speilvendt om y-aksen og forskjøvet (4/3)a langs den negative x-aksen. Før denne forskyvningen er den gitt ved den polare ligningen  som tydeliggjør speilingen om y-aksen.

Referanser

Litteratur

 E. H. Lockwood, A Book of Curves, Cambridge University Press, England (1967). ISBN 0-5210-4444-8.

Eksterne lenker
 Stackexchange, Why does the boundary of the Mandelbrot set contain a cardioid?, argument basert på eksistens av fikspunkt

 Kurver