Sfærisk harmonisk funksjon

Sfærisk harmoniske funksjoner er spesielle funksjoner definert på overflaten til en kule. De kalles derfor ofte for kuleflatefunksjoner. Når Laplace-operatoren uttrykkes i kulekoordinater, er de egenfunksjoner til den vinkelavhengige delen av operatoren. På den måten spiller de en viktig rolle i løsning av mange partielle differensialligninger. Dette gjelder også for løsninger av Schrödinger-ligningen slik at funksjonene dermed bidrar til forståelse av egenskapene til atomer og molekyler.

Trigonometriske funksjoner er periodiske i vinkelkoordinaten på en sirkel. De kalles derfor alternativt for «sirkelfunksjoner». På tilsvarende vi er de sfærisk harmoniske funksjonene periodiske i de to koordinatene på en kuleflate. Betegnelsen «harmonisk» skyldes at de opptrer i løsningene av Laplace-ligningen  når denne uttrykkes i kartesiske koordinater x, y og z. Løsningene av denne ligningen er da homogene polynom i disse tre variable og sies å være harmoniske. De sfærisk harmoniske funksjonene fremkommer når disse polynomene uttrykkes i kulekoordinater r, θ og φ  som også omtales som «sfæriske koordinater».

Rent matematisk danner funksjonene grunnlaget for representasjoner av rotasjonsgruppen SO(3) i tre dimensjoner. Mer fysisk fremkommer de på tilsvarende vis ved kvantisering av dreieimpuls i kvantemekanikken.

Definisjon

De kartesiske koordinatene x, y og z  kan uttrykkes ved kulekoordinater  som   og   Laplace-operatoren i tre dimensjoner tar dermed formen 

 

Løsninger av Laplace-ligningen   kan da skrives som et produkt  av en radiell del  og en angulær del. Hvis denne siste delen skal være kontinuerlig og periodisk i begge sine koordinater, må den oppfylle den partielle differensialligningen

 

hvor ℓ er et heltall. Samtidig må indeksen m ligge i intervallet  og tar derfor  forskjellige verdier. Løsning av ligningen er de sfærisk harmoniske funksjonene.

Beregning

Fra formen til differensialligningen som definerer kuleflatefunksjonene, følger at dens løsninger må kunne skrives som et produkt av to funksjoner,

 

Disse må igjen tilfredsstille hver sin egen differensialligning. Den første er

 

som har løsninger av formen  eller reelle kombinasjoner av to slike. For at  må m  være et heltall. Samtidig må den andre funksjonen oppfylle

 

Denne differensialligningen definerer de assosierte Legendre-polynomene  På denne måten finner man at de sfæriske harmoniske funksjonene kan skrives som

når de normeres ved integralet

 

over hele kuleflaten. Da funksjonene er komplekse, er her konvensjonen

benyttet. I litteraturen forekommer også andre konvensjoner.

Eksempel

De første sfærisk harmonisk funksjoner fra ℓ = 0 til og med ℓ = 3:

Noen egenskaper

På en kuleflate med koordinater  danner de sfærisk harmoniske funksjoner et «komplett sett». Det betyr at en vilkårlig funksjon  kan utvikles i en uendelig rekke som

 

hvor koeffisientene Cℓm kan finnes fra integralet

 

Dette tilsvarer å utvikle en funksjon på sirkelen som en uendelig Fourier-rekke med ledd som involverer de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus.

Addisjonsteorem

En variant av den vanlige cosinussetningen i planet eksistrer også på en kuleflate med sfærisk geometri. Der kan man angi et punkt med enhetsvektoren n i retning punktet (θ, φ). For to forskjellige retninger n og n'  som danner vinkelen γ, gjelder da setningen

 

Ved å benytte at kuleflatefunksjonene utgjør et fullstendig sett, kan man da utlede den viktige forbindelsen

 

med Legendre-polynom. Den kalles for addisjonsteoremet for sfærisk harmoniske funksjoner og har mange anvendelser.

Kvantemekanikk

En partikkel i posisjon r og med impuls p har i klassisk mekanikk dreieimpulsen L = r × p. I en kvantemekanisk beskrivelse  blir impulsen erstattet med en operator p → -iħ ∇ der ħ  er den reduserte  Planck-konstanten. På denne måten blir også dreieimpulsen en operator

 

Den kan kvantiseres ved bruk av komponentene  sammen med  Ved bruk av kulekoordinater tar disse tre operatorene formen

 

Kvadratet av den totale dreieimpuls finnes da som

 

Fra definisjonen av kuleflatefunksjonene ser man herav at de er egenfunksjoner til de to operatorene  og 

 

Indeksen ℓ er derfor et kvantetall som angir størrelsen tilden totale, kvantiserte dreieimpuls. Den blir derfor ofte omtalt som det «orbitale kvantetallet». Da indeksen m samtidig gir egenverdien til dreieimpulsen langs z-aksen som ofte sammenfaller med retningen til et ytre magnetfelt, kalles denne vanligvis for det «magnetiske kvantetallet».

Rotasjonsmatriser

En egentilstand til dreieimpulsoperatoren kan skrives som en ketvektor  De sfærisk harmoniske funksjonene kan da betraktes som bølgefunksjoner

 
 
i en posisjonsbasis dannet av punkter på kuleflaten. En rotasjon  av dette koordinatsystemet er nå gitt ved den kvantemekaniske rotasjonsoperatoren

 

hvor α = (α,β,γ) er de tre eulervinklene som definerer rotasjonen. Bølgefunksjonene til systemet vil da forandres og finnes fra

 

etter å ha innført rotasjonsmatrisene 

 

til Eugene Wigner. De kan eksplisitt beregnes for hver verdi av det orbitale kvantetallet ℓ og har dimensjon (2ℓ +1)×(2ℓ + 1). For ℓ = 1 kan de finnes uten bruk av kvantemekanikk da de tilsvarer rotasjon av en tredimensjonal vektor.

Se også

 Laplace-ligning
 Legendre-polynom
 Kvantisert dreieimpuls

Referanser

Eksterne lenker
 H. Haber, The Spherical Harmonics, Phys. 116C, UC Santa Cruz  (2012).
 Professor M, The Spherical Harmonics, YouTube video
 R.G. Littlejohn, Orbital Angular Momentum and Spherical Harmonics, Physics 221A , UC Berkeley (2019).

Polynomer
 Funksjoner
 Matematiske rekker