Funksjonalanalyse

Funksjonalanalysen er en gren av den matematiske analysen og kan beskrives som studiet av topologiske vektorrom og kontinuerlige lineæravbildninger mellom dem.

Topologiske vektorrom 
Et topologisk vektorrom er et vektorrom  over en topologisk kropp  (som regel er  enten  eller  med topologiene gitt av absoluttverdiene på disse kroppene) med en topologi slik at strukturavbildningene 

er kontinuerlige. Sentrale eksempler på topologiske vektorrom er Banach-rom, Hilbert-rom og lokalt konvekse rom. Det følger eksempelvis av trekantulikheten at et normert rom er et topologisk vektorrom.

Kontinuerlige lineæravbildninger 
Lineæravbildninger mellom de endeligdimensjonale rommene  og er automatisk kontinuerlige. Dette er derimot ikke lenger tilfelle i uendeligdimensjonale rom. For en lineæravbildning  mellom normerte rom er følgende ekvivalent: 

  er begrenset, det vil si at det finnes en konstant  slik at  for alle 
  er kontinuerlig.
  er kontinuerlig i 0.
  er uniformt kontinuerlig.

Matematisk analyse
Lineær algebra