Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuitet angir en form for kontinuitet innen matematisk analyse, strengere enn uniform kontinuitet og intuitivt en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. En funksjon sies å være Lipschitz-kontinuerlig dersom det finnes et reelt tall slik at, for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse ganget med konstanten større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Rudolf Lipschitz.

En deriverbar funksjon er alltid Lipschitz-kontinuerlig, og en Lipschitz-kontinuerlig funksjon er alltid (uniformt) kontinuerlig. Det motsatte er ikke nødvendigvis sant; en funksjon kan være (uniformt) kontinuerlig uten å være Lipschitz-kontinuerlig, og en funksjon kan være Lipschitz-kontinuerlig uten å være deriverbar. Lipschitz-kontinuitet kan generaliseres til Hölder-kontinuitet.

Definisjon
En funksjon , der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være Lipschitz-kontinuerlig (eller å være en Lipschitz-funksjon) dersom det finnes en konstant  slik at

Dersom det finnes en slik C, kalles denne for en Lipschitz-konstant for funksjonen f. Denne betingelsen kalles for Lipschitz-betingelsen.

Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom  og , der  og  angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon  Lipschitz-kontinuerlig (eller at f er en Lipschitz-funksjon) dersom det finnes en konstant C slik at

Dersom betingelsen holder i en omegn rundt en  sier man at funksjonen er lokalt Lipschitz-kontinuerlig.

Klassen av alle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner over et intervall  angis av

og for generelle metriske rom kan dette analogt defineres som
.

Eksempler
Lipschitz-kontinuerlige funksjoner
 Funksjonen  er Lipschitz-kontinuerlig, siden

 for alle  (alle lineære funksjoner er Lipscitz-kontinuerlige).
 Funksjonen  er Lipschitz-kontinuerlig, siden sinus er kontinuerlig, og ved middelverdisetningen finnes en  slik at

Siden  som er bundet ovenifra av 1, vil dette si at
.

Funksjoner som ikke er Lipschitz-kontinuerlige
 Funksjonen  er ikke Lipschitz-kontinuerlig over hele , siden man alltid kan finne tall (x, y) som gjør at betingelsen ikke holder.
 Funksjonen  er ikke Lipschitz-kontinuerlig siden den blir uendelig bratt når x går mot 0. Hvis man antar (for motsigelse) at det finnes en konstant , kan man se på en følge  som går mot 0, bruke middelverdisetningen og vise at funksjonen er større enn noe som går mot uendelig.

Egenskaper
Alle lineære funksjoner  er Lipschitz-kontinuerlige.
Dersom  er Lipschitz-kontinuerlig, avbilder den alle mengder med mål 0 til mengder med mål 0, og alle målbare mengder til målbare mengder.
Dersom , der  er et intervall i  er deriverbar over , der  er bundet over , er f Lipschitz-kontinuerlig; dette følger av middelverdisetningen.
Dersom  er deriverbar med kontinuerlig derivert, altså , er f Lipschitz-kontinuerlig over  (). Videre, dersom  er Lipschitz-kontinuerlig, er f en absolutt kontinuerlig funksjon over  (). Dersom  er absolutt kontinuerlig, er f en funksjon med avgrenset variasjon over  (). Vi har altså at

(Rademachers teorem) Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er deriverbare nesten overalt.
(McShanes, eller McShane-Whitneys utvidelsesteorem) Dersom  er Lipschitz-kontinuerlig med Lipschitz-konstant C, og , så finnes det en funksjon  slik at  (g definert over definisjonsmengden X) er lik . Resultatet kan ikke generaliseres til alle metriske rom, for eksempel ikke for X delmengde av ℓ2, rommet av alle kvadratisk summerbare følger.
(Kirszbrauns teorem) Det samme gjelder i flere dimensjoner – dersom  er Lipschitz-kontinuerlig med Lipschitz-konstant C, og , så finnes det en funksjon  slik at  (g definert over definisjonsmengden X) er lik .

Referanser

Eksterne lenker

Lipschitz condition på Encyclopedia of Mathematics
Lipschitz constant på Encyclopedia of Mathematics

Matematisk analyse