Lineær funksjonal

En lineær funksjonal er i lineær algebra en lineær transformasjon fra et vektorrom inn på kroppen som vektorrommet er definert over.
Egenskaper og bruk av lineære funksjonaler studeres i disiplinen funksjonalanalyse.

Mengden av alle lineære funksjonaler fra vektorrommet V inn på kroppen K utgjør selv et vektorrom med operasjonene addisjon og skalarmultiplikasjon definert punktvis.  Dette rommet kalles
det duale rommet til V og også det algebraisk duale rommet.

For det euklidske vektorrommet R3 kan enhver lineær funksjonal representeres ved en vektor i R3.

Formell definisjon 

La V være et vektorrom over kroppen K.  En lineær funksjonal  er en funksjon  som er lineær: 

For et vektorrom definert over mengden av reelle tall R er en lineær funksjonal en lineær avbilding av en vektor inn på mengden av reelle tall. 

Funksjonaler har mange likhetstrekk med en reell funksjon av en reell variabel, og funkjonaler skrives ofte tilsvarende som funksjoner ved hjelp av små bokstaver:  .

Mengden av alle lineære funksjonaler på V kalles det (algebraisk) duale rommet til V og skrives V*.  

V* er også et vektorrom, ved å definere addisjon og skalarmultiplikasjon for funksjonaler punktvis:

Funksjonaler på et endelig-dimensjonale rom 

Dersom vektorrommet V har endelig dimensjon, så kan enhver vektor i V skrives som en lineærkombinasjon av vektorene i en algebraisk basis i rommet:

Dersom  er en vilkårlig funksjonal definert på V, så kan skalarene  defineres ved ligningene

Fra lineariteten til funksjonalen følger det da at

Definer også vektoren 

For hver funksjonal  på V svarer det altså en og kun en vektor w i vektorrommet V.  Når V har endelig dimensjon er altså mengden av funksjonaler V* 
isomorf med rommet V, det vil si at de to rommene har samme algebraiske struktur.

For det euklidske vektorrommet R3 så kan enhver lineær funksjonal representeres ved hjelp av et skalarprodukt:

Referanser

Litteratur

 

Lineær algebra