Kvantisert harmonisk oscillator

Kvantisert harmonisk oscillator er den kvantemekaniske beskrivelsen av en klassisk, harmonisk oscillator.  Historisk var denne den første anvendelsen av moderne kvantemekanikk som Werner Heisenberg kunne gjøre. Senere fikk den en grunnleggende rolle i all kvantefeltteori som kan bygges opp som uendelig mange slike oscillatorer.

Den harmoniske oscillatoren er ett av de få systemer i kvantemekanikken som lar seg løse eksakt. I tillegg er det spesielt at dette gjelder både når oscillatoren svinger i én eller i flere dimensjoner. Da de fleste andre kvantefysiske problem ikke lar seg løse på den måten, vil likevel en harmonisk oscillator ofte kunne gi en god approksimasjon. Korreksjoner til denne første tilnærmelsen kan så beregnes på en systematisk måte. 

En kvantemekanisk partikkel i et oscillatorpotensial skiller seg i størst grad fra en tilsvarende klassisk partikkel ved at det er umulig for den å ligge i ro på bunnen av potensialet. Det skyldes Heisenbergs uskarphetsrelasjon som sier at hvis partikkelens  posisjon er kjent, vil den bevege seg med stor hastighet.

Algebraisk metode

En harmonisk oscillator betegner en partikkel som beveger seg i et potensial som øker med kvadratet av avstanden fra et senter. Den kvantemekaniske beskrivelsen er basert på Hamilton-operatoren som kan finnes fra det klassiske uttrykket for energien til partikkelen. Hvis den har masse m  og oscillerer med vinkelfrekvens ω, er derfor dens bevegelse gitt ved Hamilton-operatoren 

 

når man betrakter det enkleste tilfellet der partikkelen kun kan bevege seg i én dimensjon.

De viktigste egenskapene til dette systemet er gitt ved dets stasjonære tilstander og tilsvarende egenverdier for energien. En grunn til at den harmoniske oscillatoren er så viktig, er at disse kan finnes ved en ren algebraisk fremgangsmåte. Den er i praksis den samme som Heisenberg benyttet i sin første løsning av dette problemet.

Stigeoperatorer

Hamilton-funksjonen til partikkelen er dens klassiske energi uttrykt ved koordinaten q  og impulsen p. Siden den er kvadratisk i begge disse størrelsene, kan man på et vis ta dens «kvadratrot» ved å skrive den som et produkt av to komplekse variable ved å innføre den imaginære enheten i = √-1. Denne faktoriseringen gjør det naturlig å innføre operatoren 

 

i den kvantemekaniske Hamilton-operatoren. Sammen med den hermitisk adjungerte operatoren

 

gir nå produktet

 

Ved bruk av den kanoniske kommutatoren  kan Hamilton-operatoren skrives som

 
 
Direkte utregning fra den samme kommutatoren finner man også 

 

som viser at disse to operatorene er stigeoperatorer. Derfor er   en antallsoperator med  heltallige egenverdier n = 0, 1, 2 og så videre. Det gir resultatet

 

for de kvantiserte energinivåene til oscillatoren. Den laveste verdien er E0 = (1/2)ħω  som er dens «nullpunktsenergi».
Over denne grunntilstanden ligger eksiserte nivå i samme avstand ħω  fra hverandre.

Nullpunktsenergi

Klassisk ville partikkelen ligge i ro i bunnen av det harmoniske potensialet og dermed ha null energi. Grunnen til at den kvantiserte oscillatoren alltid har større energi, skyldes Heisenbergs uskarphetsrelasjon  For et utslag q, må derfor impulsen  Det betyr at energien til oscillatoren må oppfylle betingelsen

 

Funksjonen på høyre side har et minimum for et visst utslag. Ved derivasjon finnes det å opptre for  Innsatt i funksjonen gir det den minimale energien

 

Nødvendigheten av en slik nullpunktsenergi i grunntilstanden hadde tidligere vært diskutert i forskjellig andre sammenhenger, men det var Heisenbergs kvantisering som etablerte den med sikkerhet. I dag tilsvarer grunntilstanden  for oscillatoren vårt fysiske vakuum hvor nullpunktsenergien opptrer i Casimir-effekten og kan spille en rolle som «sort energi» i kosmologisk sammenheng.

Egentilstander

Egenverdiene til antallsoperatoren  gir antall kvant eller eksitasjoner n  som finnes i en stasjonær tilstand   Denne er en egentilstand og oppfyller

 

Grunntilstanden er per definisjon ikke eksistert og inneholder n = 0. Den må derfor tilfredsstille  Det følger også fra at  er en «senkeoperator» som ikke kan redusere antall kvant lavere enn til null. 

Eksisterte tilstander kan bygges opp ved bruk av «heveoperatoren» 
Det gir første eksiterte nivå   Gjentatt bruk gir høyere eksisterte nivå.   
Da kan man benytte at for alle slike stigeoperatorer av denne typen gjelder sammenhengene

  

som kan verifiseres ved bruk av den fundamentale kommutatoren.

En vilkårlig tilstand kan dermed skrives som

 

Den er automatisk normerert som  når grunntilstanden er normert slik.

Tidsutvikling

De harmoniske svingningene til oscillatoren kan beskrives i Heisenberg-bildet ved å finne hvordan dens forskjellige operatorer forandrer seg med tiden. I praksis er det bestemt av tidsutviklingen til de to stigeoperatorene. Den er styrt av Heisenbergs bevegelsesligninger

 

Begge ligningene kan løses enkelt fra definisjonen av eksponentialfunksjonen og gir

 

Posisjonsoperatoren til den oscillerende partikkelen varier nå som

 

Dette resultatat har samme form som den klassiske svingningen  Denne formen fremkommer når man lar de kvantemekaniske stigeoperatorene ble de komplekse variable  og  der θ  er en fasevinkel som er bestemt av posisjonen ved tiden t = 0.

Bølgefunksjoner

Mens egentilstandene  til oscillatoren er ket-vektorer i et Hilbert-rom med uendelige dimensjoner, er bølgefunksjone 

  

rent formelt projeksjoner av disse vektorene på en koordinatbasis i det samme rommet. Det medfører at impulsoperatoren kan representeres ved en vanlig derivasjonsoperator,  Dette gjør det mulig å bestemme bølgefunksjonen for grunntilstanden på en direkte måte fra definisjonen   av den tilsvarende ket-vektoren. Den betyr at  og gir dermed den enkle differensialligningen

 

Løsningen kan uttrykkes ved funksjonen som beskriver Gauss-kurven. Hvis man samtidig vil at den skal ha normeringen

 

som følger fra kravet   og  bruk av Gauss-integralet, er grunntilstanden beskrevet ved bølgefunksjonen

 

Funksjonen har et maksimum i posisjon q = 0. Det er det mest sannsynlige sted partikkelen kan finnes når systemet er i grunntilstanden. I tillegg er det posisjonen til den klassiske partikkelen når den ligger i ro.

Eksiterte energinivå

Kvantetilstandene med høyere energi har bølgefunksjoner som også kan finnes fra definisjonen av de tilsvarende egenvektorene. Den gir

 

når man introduserer den nye variable x = q √(mω /ħ). Dermed kan disse egenfunksjonene skrives på formen

 

når de uttrykkes ved de spesielle Hermite-polynomene 

 

De åtte første er

 

Bølgefunksjonene er derfor vekselvis symmetrisk og antisymmetrisk om origo x = 0. De har like mange nullpunkter som eksitasjonstallet n  eller antall kvant i tilstanden.

Schrödinger-ligning

Omtrent for alle kvantemekaniske beregninger av energinivå og bølgefunksjoner i realistiske potensial, er bruk av den tidsuavhengige  Schrödinger-ligningen den foretrukne og i det hele tatt praktisk anvendelige fremgangsmåte. Men akkurat for den harmoniske oscillatoren er denne analytiske metoden den mest omstendelige. Det kan man se fra ligningen som i dette tilfelle blir

 

Den kan ikke uten videre løses ved kjente funksjoner. Men den kan forenkles ved å betrakte den først i store avstander fra origo.

Ved å innføre den dimensjonsløse koordinaten 

 

vil den opprinnelige differensialligningen omformes til

 

Når den variable x  blir veldig stor, dominerer leddet med den potensielle energien på høyre side. Dette er et klassisk forbudt område og tilsvarer at impulsen til partikkelen er rent imaginær. Bølgefunksjonen vil avta raskt mot null her. Beholder man derfor bare dette leddet, vil ψ(x) = exp(-x2/2)  være en approksimativ løsning i dette området.

Hvis man faktoriserer ut dette dominerende leddet i store avstander fra den eksakte bølgefunksjonen, kan denne skrives som

 

hvor H(x) er en ny funksjon som må bestemmes. Ved å sette inn denne formen på løsningen i den fulle ligningen, tar den formen

 

Dette er Hermites differensialligning. For at den skal ha løsninger som ikke dominerer over den eksponensielt avtagende oppførselen i store avstander, må parameteren λ  være et oddetall. Skriver man derfor λ = 2n + 1 med n = 0, 1, 2 og så videre, finner man igjen de kvantiserte energinivåene

 

i overensstemmelse med hva man mer direkte fant med den algebraiske metoden.

Referanser

Eksterne lenker

 HyperPhysics, Quantum Harmonic Oscillator

Kvantemekanikk