Elliptisk partiell differensialligning

En elliptisk partiell differensialligning er en andreordens differensialligning der koeffisientene oppfyller visse krav. Ut fra disse kravene kan man utlede ønskelige egenskaper ved slike ligninger, slik som eksistens av løsning og begrensninger på maksimumsverdier. Elliptiske partielle differensialligninger omfatter en stor klasse av ulike kjente partielle differensialligninger, herunder de gitt ved Laplace-operatoren, som igjen blant annet brukes for å formulere Laplace-ligningen og Poisson-ligningen.

En elliptisk partiell differensialligning formuleres ved hjelp av differensialoperatoren, med gitte koeffisienter. Dersom koeffisientene utgjør indekser i en positiv definitt matrise, regnes ligningen for å være elliptisk. Andre mulige klassifiseringer av partielle differensialligninger er hyperbolsk og parabolsk.

Definisjon
Dersom  er en partiell differensialoperator, gitt på divergensform ved

sier vi at  er elliptisk dersom det eksisterer en konstant  slik at

for alle  og for alle . Her er  er reelle funksjoner fra , og  en vektor.

Eksempel
La , og se på Laplace-ligningen gitt ved

Her blir , Kronecker-delta-funksjonen, dvs. ,  og . Da er

så betingelsen gitt over holder med  og ligningen er altså elliptisk.

Bilineær form
For en gitt elliptisk differensialoperator , og et gitt underrom  er den assosierte bilineære formen  gitt ved

for alle , der  er et Sobolev-rom bestående av alle funksjoner som er én gang deriverbar og null på randen av U.

Dersom man ønsker å løse randverdiproblemet

for en gitt  og en ukjent , sier man at  er en svak løsning dersom

for alle , der  betegner indreproduktet i . Betingelser for eksistens av slike løsninger er gitt ved Lax-Milgrams teorem.

Referanser

Partielle differensialligninger