Levi-Civita-symbol

Levi-Civita-symbolet er et matematisk objekt som ofte opptrer i sammenheng med determinanter og antisymmetriske tensorer. Det omtales også som permutasjonssymbolet og angir fortegnet til en permutasjon av de naturlige tallene 1,2,3, ..., N. For hver verdi av N finnes et slikt symbol. Navnet er forbundet med den italienske matematiker Tullio Levi-Civita som var en av grunnleggerne av tensoranalysen.

Definisjon

Levi-Civita-symbolet kan defineres som en tensor ε av rang n som er antisymmetrisk i alle sine indekser. Dets komponenter kan derfor skrives som εi1i2 ... in og oppfyller betingelsen

for hvert ombytte av to vilkårlige indekser. Hvis to eller flere av dem er like, har derfor symbolet verdien null. Antall komponenter som er forskjellig fra null, vil da være n!. De kan alle finnes fra

hvor p kalles «pariteten» til permutasjonen av indeksene og   er dens fortegn. Den absolutte verdien av symbolet er dermed gitt ved   som vanligvis velges å ha verdien +1. Med dette valget vil

 

når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over alle par med like indekser.

Determinanter

En determinant er antisymmetrisk i ethvert ombytte av to rader eller to kolonner. Determinanten til en n × n matrise A med elementer Aij kan derfor skrives på en kompakt form ved bruk av Levi-Civita-symbolet. Da er den gitt som

eller kan finnes fra den ekvivalente formen

når man igjen summerer over alle par med like indekser.

Anvendelser

Betegnelsen «det n-dimensjonale Levi-Civita-symbolet» refererer til antall indekser som symbolet har. Den definerer samtidig dimensjonen til vektorromet eller mangfoldigheten hvor symbolet benyttes. Dets detaljerte egenskaper avhenger av denne dimensjonen.

To dimensjoner

Når antall dimensjoner er n = 2, har symbolet bare to komponenter  og  som er forskjellig fra null. Det kan derfor representeres ved  matrisen

Komponentene oppfyller nå den viktige likheten

 

hvor Kronecker-symbolet δij opptrer på høyre side.  Den får bare bidrag når  and  og må være antisymmetrisk i disse to indeksparene. Setter man m = i, blir dermed . Dermed er  som forventet i  dimensjoner.

Resultatet for produktet av to Levi-Civita-symbol kan skrives på den ekvivalente formen

På denne formen kan resultatet generaliseres til å gjelde for et vilkårlig antall indekser.

Levi-Civita-symbolet i to dimensjoner benyttes spesielt i forbindelse med Weyl-spinorer som har to komponenter. De spiller en fundamental rolle i moderne teorier med supersymmetri. Tidligere ble slike spinorer benyttet til å beskrive masseløse nøytrinoer.

Tre dimensjoner

Med tre indekser har symbolet 3! = 6 komponenter som er forskjellig fra null. De kan alle finnes fra ε123 = 1. Ved ombytte av indekser finner man da  ε213 = -1 og ε231 = 1. De tre like komponentene ε123 = ε231 = ε312 = 1 fremkommer ved syklisk ombytte av indeksene (1,2,3) i positiv retning, mens de tre odde komponentene ε132 = ε321 = ε213 = -1 finnes  ved det tilsvarende ombytte i motsatt retning.

Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner kan brukes til å forenkle mange beregninger i vektoranalysen. Kryssproduktet av to vektorer  og   er antisymmetrisk og kan nå skrives på den kompakte formen

 

ved bruk av Einsteins summekonvensjon. Det skalare trippelproduktet mellom tre vektorer u, v and w blir dermed

 

Mer kompliserte vektorprodukt kan forenkles ved å bruke at

 
 

som følger fra det generelle produktet

For eksempel, det  vektorielle trippelproduktet reduseres til

 

Resultatet er antisymmetrisk i vektorene v og w som det skal være.

På samme måte finner man for vektorproduktet av fire vektorer,

 

når man benytter at ei⋅el = δil  og summerer over alle like par med indekser. Tilsvarende forenklinger kan gjøres i vektoranalysen som involverer nabla-operatoren.

Fire dimensjoner
I et firedimensjonalt, euklidsk rom har Levi-Civita-symbolet 4! = 24 komponenter som ikke er null. De kan alle bestemmes fra konvensjonen ε1234 = 1. Men i dette tilfellet er ikke verdien uforandret under syklisk ombytte. For eksempel blir ε4321 = - ε3214 =  - ε2134 =  ε1234 = 1, mens ε4123 = - ε1234 = - 1.

Symbolet benyttes også i relativistisk fysikk som finner sted i et firedimensjonalt Minkowski-rom med koordinater  hvor c er lyshastigheten og en diagonal metrikk med komponentene   og  . Sammen med de kontravariante komponentene  kan den benyttes til å heve og senke indekser. Hvis man i dette Minkowski-rommet nå definerer , vil dette Levi-Civitas-symbolet ha de kontravariante komponentene

 

som gir  og på samme måte for alle andre komponenter med hevete indekser.

Herav kan man så utlede nyttige identiteter mellom produkter av symbolet. Av størst viktighet er

 

som ved kontraksjon mellom indeksene α og ρ gir

 

En videre kontraksjon mellom σ og β gir da som forventet

 

da   i fire dimensjoner.

Dette Levi-Civita-symbolet opptrer også i relativistisk kvantemekanikk når man foretar beregninger som involverer Dirac-matrisene  og

 .

Når man regner ut trasen (eller «sporet») til et produkt av slike matriser, kan man da benytte at

 

Slike utregninger opptrer spesielt når partiklene som Dirac-ligningen beskriver, har retning på spinnet som er kjent eller skal måles.

Levi-Civita-tensor

Determinanten til en N × N matrise A = (Aij) kan uttrykkes ved hjelp av Levi-Civita symbolet. Det betyr at man i alminnelighet har

Hvis man i et N-dimensjonalt euklidsk rom med kartesiske koordinater xm  innfører krumlinjete koordinater ved koordinattransformasjonen , er elementene til transformasjonsmatrisen A

 

Levi-Civita-symbolet i dette mer mer generelle koordinatsystemet vil da måtte oppfylle ligningen

Den viser at det transformerer som en fullstendig antisymmetrisk tensor av rang N under et slikt skifte av koordinater når man ser bort fra determinanten det(A) til transformasjonsmatrisen. Men den kan beregnes fra den nye metrikken

 

hvor metrikken i det kartesiske koordinatsystemet er gitt ved Kronecker-delta som . Herav følger derfor at determinanten  er gitt som kvadratet av det(A). Definerer man derfor størrelsen

 

vil den transformere som en vanlig tensor. Dette er Levi-Civita-tensoren som er fullstendig antisymmetrisk i alle indeksene og med den spesielle verdien

 

i et generelt koordinatsystem hvor g er determinanten til metrikken for disse koordinatene.

Volumformen

Fra disse antisymmetriske tensorkomponentene kan man konstruere en differensiell N-form

 

som ofte blir omtalt som volumformen. Det kan man se når man for eksempel benytter kulekoordinater i tre dimensjoner

 
 
 

Da blir denne 3-formen

 

og har størrelsen dV = r 2 sinθ dr dθ dφ  som er det vanlige volumelementet i dette koordinatsystemet.

Referanser

Lineær algebra