Spesifikk relativ drivmoment

Det spesifikke relative drivmomentet  spiller en viktig rolle i himmelmekanikk for å løse tolegemeproblemet. Man kan vise at vektoren er konstant for en gitt bane under ideale forhold, noe som beviser Keplers andre lov.

Navnet spesifikk drivmoment kommer fra at man ikke ser på det egentlige drivmomentet , men på drivmomentet per masse

Det betyr at SI-enhet er: m2·s−1.  betegner her den reduserte massen .

Kraver 
Det som følger trenger noen forenklende kraver som også gjelder for Newtons gravitasjonsteori.

Man ser på to punktformede masser  og  som er i avstand  fra hverandre. Tyngdekraften  virker uten forsinkelse og over hvilken som helst distanse og er den eneste kraften. Koordinatsystemet er inersial.

Nå antar man at . Det betyr at  er sentrallegemet i origo, og at  er satellitten som går rundt den. Den reduserte massen er nå lik  og tolegemeproblemets ligning er

med gravitasjonsparameteren  og avstandsvektor  (lengden er ) som peker fra origo (sentrallegemet) til satellitten fordi .

Det er viktig å ikke forveksle gravitasjonsparameteren  med den reduserte massen som blir ofte betegnet med den samme bokstaven .

Spesifikk relativ drivmoment 

Man får det spesifikke drivmomentet når man multipliserer (kryssprodukt) tolegemeproblemets ligning med avstandsvektoren 

Kryssproduktet av en vektor med seg selv (høyre side) er 0. Den venstre siden forenkler seg slik

ifølge produktregelen i derivasjon.

Der betyr at  er konstant (blir bevart). Og dette er akkurat satellittens drivmoment per masse 

Vektoren står vinkelrett på banen. Den forblir pa det samme plan fordi drivmomentet er konstant.

Med definisjonen av "Flight Path Angle"  og de transversale og radiale komponentene til hastighetsvektoren (se på bildet til høyre) får man noen viktig kunnskap om tolegemetproblemet. De neste tre ligningene er alle mulige former for å angi lengden til drivmomentvektoren

Keplers lover 

Med dem som ble funnet ut i det forrige avsnittet kan man bevise Keplers lover nesten direkte.

Keplers første lov 
Beviseet begynner igjen med tolegemetproblemets ligning. Denne gangen multipliserer (kryssprodukt) man med det spesifikke relative drivmomentet

Den venstre siden er lik derivasjonen  fordi drivmomentet er konstant.

Den høyre siden kan omskrives slik etter flere trinn 

Hvis man setter begge lik og integrerer over tiden får man med integrasjonskonstanten 

Nå multipliserer man dette (skalarprodukt) med 

Til slutt følger ligningen til Omløpsbanen
Schließlich erhält man die Bahngleichung 

som beskriver et kjeglesnitt i polare koordinater med semi latus rectum  og eksentrisiteten . Derved er Keplers første lov beviset som er i ord:

Keplers andre lov 
Den andre av de tre ligningene for å angi lengden til drivmomentvektoren fører direkte til Keplers andre lov.

Forbinder man nemlig denne formen av ligningen  med arealet  av en sektor med en infinitesimal liten vinkel  (altså arealet til en trekant med en veldig liten side), følger 

som er ligningen til loven:

Keplers tredje lov 
Den tredje loven får man ut av den andre loven. Integrasjon over et omløp gir omløpstiden

for arealet  til en ellipse. Hvis man skriver  for den liten halvaksen og  for det spesifikke relative drivmomentet blir ligningen til 

Det er altså en sammenheng mellom den store halvaksen og omløpstiden til en satellitt som er bare avhengig av en konstant til sentrallegemet. Det er det samme som Keplers formulering av loven:

Se også 
 Spesifikk baneenergi, en annen størrelse som bevares i tolegemeproblemet.

Fotnoter

Referanser 

Astrodynamikk
Baner