Alhazens (Ibn al-Haythams) problem

Alhazens problem eller al-Hayshams problem er oppkalt etter den ellevte århundres arabiske matematiker Alhazen (Ibn al-Haytham) som presenterte en geometrisk løsning på problemet i sin bok Optikkens bok. Denne geometriske løsningen består av kvadratiske ligninger og ble oppdaget så sent som i 1997 av den britiske matematikeren Peter M. Neumann.

Geometrisk formulering av problemet 
Problemet består av å sende ut lys fra to punkter på en sirkel (eller tegne to linjer), slik at de møtes i et tredje lyspunkt med samme vinkelgrader som står vinkelrett på dette tredje lyspunktet (eller punktet). Det er et gjennombrudd i optikk, fordi kan man bruke denne løsningen til å løse følgende problem i optikk: «Gitt en lyskilde og et sfærisk speil der lys vil bli reflektert til øyet av en observerer.»

Ibn al-Hayshams løsning 
Ibn al-Haytham løste problemet ved bruk av koniske seksjoner og et geometrisk bevis. Han utledet en formel for summen av fjerdegradpotenser.

Hans metode gikk ut på å finne en formel for summen av n-te potens. Dette resultatet brukte han til å lage integraler. Summer av integraler med annengradpotens og fjerdegradpotens lot ham kalkulere volumet av paraboloiden.

Algebraisk løsning 
Senere forsøkte mange matematikere å finne en algebraisk løsning på det ibn al-Haysham kom fram til. Disse matematikere var Christiaan Huygens, James Gregory, Guillaume de l'Hôpital, Isaac Barrow, blant mange andre. De brukte flere metoder, inkludert geometriske undersøkelser og derivasjon av komplekse tall.

En algebraisk løsning ble endelig oppdaget i 1965 av aktuaren Jack M. Elkin. Andre løsninger ble oppdaget i 1989 av Harold Riede og i 1997 av matematikeren ved Oxford universitet, Peter M. Neumann.

Generalisering 
Mitsubishi Electric Research Labs utvidet problemet til å gjelde generell rotasjonell symmetriske kvadratiske, inkludert hyperbolske, parabolske og eliptiske speil. De viste at et speils refleksjonspunkt kan bli beregnet ved å løse en åttendegradligning. Hvis utgangspunktet eller kamera (linsen) er plassert vinkelrett på speilet, vil graden av ligningen bli redusert til sjettegrads. Ibn al-Hayshams løsning kan også bli utvidet til flere lysbrytningrefleksjoner fra en sfærisk ball; Gitt en lyskilde og en sfærisk ball av bestemt lysbrytningsindeks, kan det nærmeste punktet på den sfæriske ballen bli reflektert til øyet av en observerer ved å løse en tiendegradsligning.

Referanser

Eksterne lenker 

 Ptolemy-Alhazen problem and spherical mirror reflection (2017)

Matematiske problemer
Islamsk matematikk
Geometrisk optikk