Lambdakalkyle

Lambdakalkylen (også kjent som -kalkylen) er et formelt system innenfor informatikk, logikk og matematikk utviklet av Alonzo Church i 1930-årene.
Formålet var å undersøke fundamentet for matematikk, men Stephen Kleene og J.B. Rosser viste i 1935 at systemet er, logisk sett, inkonsistent.
I 1940 presenterte Alonzo Church et typesystem for lambdakalkylen som gir opphav til et konsistent system, men som begrenser beregnbarhetsstryket betraktelig.

Senere ble systemet forsket med som et fundament for beregninger, og Alan Turing viste i 1937 at lambdakalkylen er turingkomplett. I dag er det
i denne forbindelse den utypete lambdakalkylen er mest kjent. Se typeteori for typede varianter av lambdakalkylen.

Formell definisjon av termer 
Termene til lambdakalkylen, i sin rene form, veldig enkle. Det er tre former for uttrykk: (1) variabler, (2) funksjoner, og (3) funksjonskall.
Termene kan beskrives med en grammatikk som:
.
Hvor variablene  hentes fra mengden , og mengden av alle termer kalles .
Termen  representerer funksjonskall, hvor  er funksjonen, og  er argumentet. Dette skrives gjerne som  i konvensjonell matte.
Termen  representerer en funksjon som tar ett argument og binder det til ,
for så å regne ut verdien til kroppen . I konvensjonell matte kan man skrive dette som . 
Termen  kalles ofte abstraksjon eller lambda-abstraksjon.

I utgangspunktet kan en term  tolkes på to måter,  og . 
Men det er standard konvensjoner som sier:
 Applikasjon binder mot venstre, altså skal  tolkes som .
 Skopet for abstraksjon binder så langt til høyre som mulig. For eksempel skal  tolkes som .
 Flere etterfølgende -abstraksjoner slås sammen: f.eks. er  en forkortelse for .

Eksempler 
Noen eksempler vi nå kan definere i den rene lambdakalkylen er:
 , identitesfunksjonen
  og  fra kombinatorisk logikk.
  som tar en funksjon og et argument, og sender argumentet to ganger gjennom funksjonen.

Hvis vi beveger oss bort fra den rene lambdakalkylen og godtar konstanter for tall og operasjoner som pluss, kan vi definere funksjoner slik som:
 , som er funksjonen som tar et tall og ganger med to.
 , som kvadrere et tall.

Det er viktig å merke seg at  ikke er en del av den rene lambdakalkylen, men er bare ment for gi navn til termer i metaspråket.

Fri- og bundede variable 
Lambda-abstraksjoner binder en variabel i skopet sitt. F.eks. i , så bindes variablen  i termen ,
men den bindes ikke i deltermen  .
En variabel kan også forekommer fritt i en term: variabelen  er fri i termen . En variabel kan både forekomme som
bundet og fri i en term, men en gitt variabel på en gitt lokasjon i en gitt term er enten fri eller bundet, ikke begge deler.

Funksjonen  gir mengden av frie variabler som forekommer i en term, og er definert rekursivt over strukturen til termer, som:

Substitusjon 
Substitusjon (eng: capture-avoiding substitution) er et viktig begrep i lambdakalkylen. Formålet med substitusjon er å bytte ut en variabel i en term med en annen term.
For eksempel ønsker vi at det å bytte ut  med  i uttrykket  skal gi uttrykket .
I lambdakalkylen ønsker vi derfor å definere en funksjon ,
som leses som bytt ut alle forekomster av  i  med .

En naiv, tekstelig substitusjon vil bli feil, fordi variabler som forekommer fritt i  kan bli bundet hvis  settes rett inn i .
F.eks. vil  være feil, siden den tidligere frie variabelen  i  er blitt bundet 
i .

I litteraturen beskrives flere måter å håndtere dette på. Den letteste måten er å definere substitusjon som en partiell funksjon som ikke gir noe svar dersom det blir navnekræsj, på følgende måte:
 
  når  og  er forskjellige
 
 
  gitt at 

En korrekt, total funksjon, endrer den siste regelen til:
  hvor ,  og  er forskjellige, og .

Omskrivningsregler 
Termene vi definerte over har ikke blitt gitt noen formell mening. Historisk sett, så har det vært tre hovedregler som forteller hvordan man kan evaluere en term: 
alpha-konvertering (), beta-konvertering () og eta-ekspansjon ().

Nedenfor vil forskjellige relasjoner bli definert, men disse vil kun gjelde for toppen av en term, og kan ikke brukes på deltermer. Anta derfor at vi har en relasjon 
på termer, og vi kan så definere relasjonen  som følger:
 hvis , så 
 hvis , så 
 hvis , så 
 hvis , så 
Relasjonen  er dermed relasjonen som gjør ett -steg på en del-term av .

Fra en relasjon  kan man definere relasjonen  som gjør null eller flere R-steg, som er den refleksive og transitive tillukningen av .
Og videre kan man definere , som er den refleksive, symmetriske, transitive tillukningen av .

Alpha-konvertering 
Intuisjonen vår rundt variabler er at navnet til en lokal variabel er irrelevant, funksjonene  og  representerer
samme funksjon. Alpha-regelen gjør det at man kan bytte om lokale navn formelt.

gitt at  ikke forekommer fritt i .

Med unntak av noen få, især de som jobber med implementasjoner av programmeringspråk, så er det vanlig å alltid jobbe med lambda-termer modulo alpha-ekvivalens,
altså på ekvivalensklasser av relasjonen .

Beta-reduksjon 
Den viktigste regelen for lambdakalkylen er beta-reduksjon (-redkusjon), som forteller hvordan en funksjon samhandler med et funksjonskall.
Å kalle på en funksjon  med et argument  betyr at man setter inn argumentet  for variabelen 
i kroppen, , til funksjonen. Formelt skrives dette som:

hvor  er substitusjon av  for  i .

En term  er på beta normalform hvis det ikke finnes noen  slik at , og
to termer  og  er beta-ekvivalente hvis .

Eta-ekspansjon 
Eta-ekspansjon handler om ekstensionalitet, og sier at alle funksjoner beskrives ved hjelp av lambda-abstraksjon og applikasjon. Formelt er regelen

hvor  ikke forekommer fritt i .

Egenskaper ved lambdakalkylen 
Lambdakalkylen er konfluent under beta-reduksjon. Mer presist: for alle ,  og , 
hvis  og , så eksisterer en  slik
at  og 

Lambdakalkylen er hverken svakt eller sterkt normaliserende (eng: weakly og strongly normalizing), ettersom 
f.eks. termen  ikke har noen beta normalform.

Koding av data 
I den rene lambdakalkylen er det ingen data bortsett fra funksjoner. Det er likevel mulig å kode forskjellige datatyper som lambdatermer.

Sannhetsverdier 
De bolske verdiene sann og usann kan kodes som følger:
 
 
 
Vi kan se at dette fungerer ved å se på hvordan  
reduserer til :
.

Ordnede par 
Et par  sammen med to projeksjoner  og 
kan defineres slik at  og .
 , hvor  er en forkortelse for .

Naturlige tall 
I Churchs koding av naturlige tall, så representeres et tall  som termen , hvor
 er definert som  og .
Intuisjonen er at tall  representeres ved en iterator som gitt en funksjon og et startverdi vil kalle på
funksjonen  ganger med startverdien.

Det er mulig å definere funksjoner slik som pluss, minus, gange, og relasjoner som sammenligner tall.

Litteratur 
 H. P. Barendregt. Lambda Calculus, Its Syntax and Semantics.  North Holland, 1985. ISBN 0444875085.

Logikk
Programmering