Tredjegradsligning

En tredjegradsligning er en polynomligning av tredje grad i en variabel. Den har hatt stor betydning for utviklingen av moderne matematikk og var utgangspunktet for oppdagelsen av komplekse tall.

Ligningen har den generelle formen

 

hvor koeffisienten . De andre koeffisientene antas vanligvis å være hele eller rasjonelle tall. Ifølge algebraens fundamentalteorem har ligningen i alminnelighet tre røtter. Én vil alltid være et reelt tall, mens de to andre kan være reelle eller kompleks konjugerte. De er algebraiske løsninger som kan finnes ved bruk av de fire aritmetiske regningsartene pluss kvadratrot og kubikkrot. Dette ble vist av italienske matematikere under renessansen.

Beregning av røttene forenkles ved å ta utgangspunkt i en redusert form av tredjegradsligningen. Ved å innføre den nye variable , forenkles ligningen  til

hvor

Hvis de opprinnelige koeffisientene er rasjonale tall, er derfor også de nye koeffisientene  og  rasjonale. I det spesielle tilfellet  kan røttene uttrykkes ved kubikkroten av .

Røtter
Røttene til tredjegradsligningen kan betraktes som skjæringspunktene mellom den algebraiske kurven beskrevet ved funksjonen  og -aksen som har ligningen . Når koeffisienten , vil  når den variable  , mens funksjonen går mot minus uendelig i den motsatte grensen. Den vil derfor ta en verdi  mellom disse to grensene og har dermed alltid minst én reell rot. Det har den også for tilfellet .

Kalles de tre røttene for ,  og , kan funksjonen skrives som . De tre røttene er nødvendigvis ikke alle forskjellige. Ved å multiplisere sammen og sammenligne resultatet med den opprinnelige formen til funksjonen, finner man relasjonene

 
mellom koeffisientene i ligningen og dens røtter. Disse sammenhengene går tilbake til den franske matematiker François Viète. Herav ser man at når for eksempel  er den reelle roten, må  og  enten også være reelle eller eventuelt kompleks konjugerte av hverandre da koeffisientene i ligningen er reelle.

Diskriminanten

Mer detaljert informasjon om røttene finnes fra diskriminanten til ligningen. For en tredjegradsligning er den gitt som

 

Den er symmetrisk under ombytte av de tre røttene og kan derfor uttrykkes ved de tre symmetriske kombinasjonene til Viète. På den måten kan man finne verdien av diskriminanten direkte fra koeffisientene ved bruk av formelen

For den reduserte ligningen  er derfor diskriminanten  når den reduserte diskriminanten skrives som

Fra definisjonen av diskriminanten kan man nå si følgende om egenskapene til røttene og illustrert i figuren:

: Tre reelle løsninger (tilfelle D).
: Én reell trippelrot (tilfelle A) eller én reell rot pluss én annen, reell dobbeltrot (tilfelle C).
 : Én reell og to kompleks konjugerte løsninger (tilfelle B).

Verdien til de tre røttene kan alltid beregnes approksimativt ved bruk av numeriske metoder som det finnes mange av. Av større betydning er at røttene til tredjegradsligningen kan også finnes eksakt ved bruk av algebraiske formler.

Historie
Interessen for tredjegradsligningen kom til Europa etter at den var studert av persiske og arabiske matematikere. Mest bemerkelsesverdig var de geometriske løsningene som Omar Khayyām skrev om på 1100-tallet. Knapt hundre år senere kunne den italienske matematiker Fibonacci gi en numerisk løsning av ligningen  som var riktig med ni desimalers nøyaktighet. Det er uklart hvordan han kom frem til denne.

Luca Pacioli omtalte i sitt store verk Summa helt på slutten av 1400-tallet løsningen av tredjegradsligningen som umulig og av samme type som det klassiske problemet med vinkelens tredeling. Denne negative omtalen av ligningen kunne kanskje virke inspirerende på andre. Og noen få år senere fant virkelig Scipione del Ferro en algebraisk løsning av den reduserte tredjegradsligningen uten at han bekjentgjorde det. Noe senere utviklet også Niccolò Tartaglia en algebraisk metode som Girolamo Cardano fikk høre om. Dette medførte at han ble kjent med metoden til del Ferro. Denne kunne han utvide til også å gi en løsning av den generelle ligningen. Alt dette presenterte han i sin bok Ars Magna slik at løsningen senere er blitt omtalt som Cardanos formel.

Cardanos løsning

I den reduserte ligningen  skriver man . Da er ; slik at man må ha  og . Ved nå å benytte at , vil  og  være de to løsningene av andregradsligningen . Dermed har man

hvor  er den reduserte diskriminanten. En løsning av ligningen er derfor gitt som  som kan regnes ut uten vanskeligheter når . På Cardanos tid var man ikke klar over hvor mange slike røtter man skulle forvente.

De to andre løsningene oppstår fra de komplekse kubikkrøttene som må tas med når  og  beregnes. De finnes fra ligningen  som gir

På denne måten kan alle tre røttene skrives som

Hver av disse løsningene er konstruert slik at de oppfyller betingelsen  som ligger til grunn for resultatet.

I dette tilfellet med  er både  og  reelle størrelser slik at roten  er reell. Derimot er de to røttene  og  komplekse, men hverandres konjugerte. Det følger fra 

 

som betyr at  . Produktet av de tre røttene er dermed reelt som det også må være.

Casus irreducibilis
Når diskriminanten , må man beregne kubikkroten av et komplekst tall. Da må  være negativ og tilstrekkelig stor i forhold til . I dette tilfellet kunne ikke Cardano finne en løsning og ligningen ble derfor sagt å være et «casus irreducibilis». Dette voldte stort bry, spesielt fordi denne klassen av ligninger skulle ha tre reelle røtter. Et kjent eksempel er ligningen  som ved inspeksjon har den reelle roten . Men fra Cardanos formel får man derimot  

 

som man på hans tid ikke uten videre kunne gjøre noe med. Men det klarte Rafael Bombelli i 1550. Han var den første som fant ut hvordan man på en logisk konsistent måte kunne regne med slike størrelser som involverer kvadratrøtter av negative tall. Med disse nye regnereglene fant han at

 

som gir den første roten . De to andre røttene blir  og . Det er fra denne beregningen at Bombelli regnes som opphavsmannen til komplekse tall.

I denne situasjonen med  er begge størrelsene  og  komplekse, men hverandres konjugerte slik at . Det er nødvendig for at produktet  er reelt. Roten  blir da også reell, noe som kommer tydelig frem ved å skrive . Nå er  som bestemmer Vinkelen  kan bestemmes fra  som gir

Dermed har man de eksplisitte formlene 

 

for de tre reelle røttene i dette tilfellet.

Viètes løsning
De tre reelle røttene som finnes for «casus irreducibilis» kan mer direkte beregnes ved en metode oppdaget av François Viète. Fra arbeid med vinkelens tredeling kjente han til den trigonometriske relasjonen

Den har samme form som den reduserte ligningen  hvis man kan foreta identifikasjonen  for en passende verdi av konstanten . Innsatt i den reduserte ligningen tar denne den trigonometriske formen for den spesielle verdien  som medfører at

Herfra kan så vinkelen  finnes som gir den reelle løsningen  i overensstemmelse med det tidligere resultatet. De to andre, reelle løsningene  og  kommer også ut på samme måte da 

Metoden til Viète kan også brukes for tilfellet . Men da blir argumentene til de trigonometriske funksjonene komplekse og må erstattes med hyperbolske funksjoner.

Eksempel
Et typisk eksempel er ligningen . Den fulle diskriminanten  er slik at der er én reell rot og to kompleks konjugerte løsninger. Ved å skrive  tar ligningen den reduserte formen . 

Ved bruk av Cardanos metode setter man  som gir den ønskede formen når . Da blir   og . Det betyr at  og  er løsninger av andregradsligningen

som blir  og . Den reelle roten er dermed

som så benyttes til å finne de to komplekse røttene som vist over.

Se også
 Andregradsligning
 Fjerdegradsligning
 Femtegradsligning

Referanser

Litteratur 
 C.B. Boyer, A history of mathematics,  John Wiley & Sons Inc, New York (1968). ISBN 0-691-02391-3.

Eksterne lenker
 MacTutor, Quadratic, cubic and quartic equations, University of St. Andrews, Scotland.

Elementær algebra
Ligninger