Laplace-operator

Laplace-operator er en differensiell vektor-operator i matematikk, definert som divergensen til gradienten til en funksjon i et euklidsk rom. Laplace-operatoren anvendt på en funksjon  skrives som regel som ,  eller , der  er nabla-operatoren.

Definisjon 
Laplace-operatoren er en andreordens differensial operator som i kartesiske koordinater er gitt ved:

Merk at  må være to ganger deriverbar og at  er definert ved:

Forskjellige koordinatsystem 
Hvordan Laplace operatoren uttrykkes, avhenger av koordinatsystemet.

To dimensjoner 

I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

der  og  er standard kartesiske koordinater i -planet.

I et polarkoordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

der  er avstand fra origo og  er vinkel i forhold til det man vil kalle -aksen i et kartesisk koordinatsystem.

Tre dimensjoner
I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

 
der ,  og  er standard kartesiske koordinater i -rommet.

I sylinderkoordinater er Laplace operatoren gitt ved

der  er avstand fra origo til projeksjonen i -planet,  er vinkel i forhold til det man vil kalle -aksen i et kartesisk koordinatsystem, og  er høyden.

I kulekoordinater er Laplace operatoren gitt ved

der  er avstand fra origo og  angir vinkelen.

Se også 
 Gradient
 Divergens
 Curl

Referanser 
  

Multivariat analyse
Differensialoperatorer
Fourieranalyse
Partielle differensialligninger