Finstrukturkonstant

Finstrukturkonstanten, vanligvis betegnet ved den greske bokstaven alfa, er en dimensjonsløs fysisk konstant som angir størrelsen til elektromagnetiske vekselvirkninger mellom elementærpartikler. Med god nøyaktighet er dens numeriske verdi α = 1/137. Den ble innført av den tyske fysiker Arnold Sommerfeld i 1916 for å forklare finstruktur i atomspektra.

Den er koblingskonstanten i kvanteelektrodynamikk hvor den gir størrelsen på korreksjonene til klassisk elektrodynamikk som skyldes kvanteeffekter. I Standardmodellen inngår den sammen med tre andre, tilsvarende fundamentale koblingskonstanter.

Definisjon
Sommerfeld definerte finstrukturkonstanten som forholdet mellom hastigheten til et elektron i laveste bane av et H-atom i Bohrs atommodell og lyshastigheten. Det betyr at

 

i  det vanlige SI-målesystemet hvor ħ = h/2π  er den reduserte Planck-konstanten og c er lyshastigheten. Mer generelt kan den skrives som  hvor ke  er Coulomb-konstanten. Den blir da spesielt enkel i det Gaussiske målsystemet hvor denne er satt lik med 1.

Definisjonen til Sommerfeld var basert på at den observerte finstrukturen skyldes relativistiske effekter forårsaket av den store hastigheten til elektronet i sin bane rundt atomkjernen. På den tiden var dette beskrevet ved Bohrs atommodell hvor elektronene beveget seg i kvantiserte, men sirkulære baner beskrevet ved klassisk mekanikk. Newtons andre lov sier da at sentripetalakselerasjonen mv2/r  til et elektron må være lik med Coulomb-kraften e2/4πε0r2  i H-atomet. Kvantisering av bevegelsen betyr at dreieimpulsen   kan bare ta de diskrete verdiene nħ  hvor kvantetallet  bestemmer størrelsen til banen. Den innerste banen har  som betyr at elektronet i denne banen har hastigheten  Relativt til lyshastigheten er da denne finstrukturkonstanten .

Bohrs atommodell ble etter noen år erstattet med kvantemekanikken som gir et ganske annet bilde av atomene. Man kan ikke lenger snakke om veldefinerte, klassiske baner med gitte radier og hastigheter. I tillegg har elektronet i laveste energinivå til H-atomet den kvantiserte dreieimpulsen L = 0. Men samtidig ble det nå mulig å beregne nøyaktig finstrukturen i atomspektrene med det resultat at Sommerfelds konstant opptrådde omtrent på samme måte som i den semi-klassiske Bohr-modellen. Derfor har hans definsjon av denne naturkonstanten blitt stående.

Eksperimentell verdi

Størrelsen til finstrukturkonstanten ble første bestemt med god nøyaktighet fra Rydberg-konstanten som ga en verdi nær . En mer nøyaktig verdi fulgte etter at kvantemekanikk ble benyttet til beregning av finstruktur i spektrallinjer fra forskjellige atomer.

Men det var først ved etableringen av kvanteelektrodynamikk og bruk av nye, eksperimentelle teknikker at den største fremgangen ble gjort. Elektronets elektriske ladning e  sier hvor sterkt det kobler til et foton. Denne koblingen gir også modifikasjoner av verdien til elektronets magnetiske moment μe. Den første av disse kvantekorreksjone ble beregnet av Schwinger i 1948 med resultatet

 

Her er μB  en Bohr-magneton som er verdien som følger direkte fra Dirac-ligningen. Siden er disse beregningene gjennomført til orden α 5 og tilsvarende for muonet. Disse magnetiske momentene lar seg også måle med stor presisjon.

En alternativ måte å bestemme finstrukturkonstanten kom med oppdagelsen av kvante-Hall-effektenen. Den elektriske motstanden i dette systemet viste seg å være kvantiserte i enheter av h/e2 = 25812.807 Ohm. Siden denne størrelsen bare skiller seg fra finstrukturkonstanten gjennom den definerte lyshastigheten   og konvensjonen , kan disse nye målingene også benyttes til å bestemme α. Det kombinerte resultatet av disse forskjellige fremgangsmåtene gir

Ved studier av spektrallinjer fra de fjerneste galakser og kvasarer har man ikke kunne påvise at verdien av finstrukturkonstanten har forandret seg gjennom Universets utvikling.

Flytende verdier

Finstrukturkonstanten gir et mål for størrelsen til kraften mellom elektriske ladninger. På enkleste nivå kan denne uttrykkes ved Coulombs lov som sier at den varierer omvendt proporsjonalt med kvadratet til avstanden r  dem. Men når denne blir mindre enn den reduserte Compton-bølgelengden, vil kvanteeffekter opptre som vil gi korreksjoner til denne lovmessigheten.

Det er vanlig å tilordne disse en variasjon av selve ladningene slik at disse blir avstandsavhengige. På den måten vil finstrukturkonstanten dermed forandres α → α(r)  hvor den vanlige verdien α = 1/137 opptrer når r >> λC. Denne variable verdien blir vanligvis omtalt som at finstrukturkonstanten er blitt «flytende».

Compton-bølgelengden til et elektron med masse me  er  hvor  er den reduserte Planck-konstanten. Denne avstanden er derfor 137 større enn den klassiske elektronradius som er rundt 10−13 cm.

Ved bruk av kvanteelektrodynamikk kan variasjonen av finstrukturkonstanten beregnes. Resultatet kan skrives på formen

 

Tilsvarende korreksjoner vil også komme fra  andre leptoner og kvarker i Standardmodellen. Alle bidragene gjør at finstrukturkonstanten øker i verdi med avtagende avstand. Men denne variasjonen er meget langsom da den skjer gjennom en logaritmisk funksjon.

Denne effekten er eksperimentelt blitt påvist. Ved LEP-akseleratoren ved CERN fant man verdien α(rZ) = 1/128 for en avstand rZ  som er den reduserte Compton-lengden til Z0-bosonet. Denne avstanden er mindre enn en hundre tusendel av elektronets Compton-lengde.

Elektrosvak teori

Kvanteelektrodynamikk for elektriske og magnetiske vekselvirkninger er en gaugeteori basert på Lie-gruppen U(1). Svake vekselvirkninger mellom elementærpartikler kan kombineres i en elektrosvak teori med gaugegruppen SU(2)×U(1) med de to fundamentale koblingskonstantene g1  og g2. Fotonet blir da en blanding av to andre gaugebosoner fra hver av disse Lie-gruppene. Av denne grunn vil det også opptre med en koblingskonstant e som er en blanding av de to andre koblingskonstantene. Ved å innføre den svake miksevinkelen θW, kan dette skrives som at   hvis man bruker målenheter slik at den elektriske konstant ε0 = 1. Denne sammenhengen kan også uttrykkes ved de elektrosvake «finstrukturkonstantene» α1 =  g12/4π ħc  og tilsvarende for α2. På den måten finner man relasjonen

 

Disse nye koblingskonstantene kan også betraktes som flytende. Med det eksperimentelle resultatet sin2θW = 0.23 for den svake blandingsvinkelen, finner man da for store avstander de inverse verdiene   og  som summerer seg opp til 137.

Referanser

Litteratur
 J.D. Barrow, The Constants of Nature - From Alpha to Omega, Pantheon Books (2002). ISBN 978-0-22-406135-3.

Atomfysikk
Kvantemekanikk
Partikkelfysikk