Menelaos’ teorem

Menelaos' teorem er en matematisk betingelse for at tre punkt på sidene til en trekant skal ligge på en rett linje. For at det skal være mulig må et av punktene ligge på en forlengelse av en av sidekantene, eller så må alle tre punkt ligge på slike forlengelser. 

La trekanten være gitt ved hjørner i punktene A, B og C som ligger i et plan. Betrakter man nå tre andre punkt X, Y og Z på trekantens sidelinjer som vist i figuren, så sier Menelaos' teorem at når

 

så vil disse punktene ligge på en rett linje. Her er forholdet AZ/ZB mellom linjestykkene AZ og ZB lik med delingsforholdet som punktet Z deler sidekanten AB i trekanten ABC. Da disse to linjestykkene i figuren har motsatt retning, er dette forholdet her negativt. De to andre delingsforholdene som inngår, er derimot positive. Ligger alle de tre punktene i stedet på forlengelser av sidekantene, er de tre delingsforholdene alle negative, men med samme verdi for produktet.

Omvendt kan man si at når en linje skjærer sidelinjene til en trekant i punktene X, Y og Z, så vil produktet av de tre tilsvarende delingsforholdene ha verdien -1.

Dette kravet tilsvarer Cevas setning som gir betingelsen for at tre linjer gjennom trekantens hjørner skal gå gjennom ett og samme punkt. Skjæringspunktene ligger da på sidekantene og det tilsvarende produktet av delingsforholdene vil ha verdien +1.

Teoremet har fått sitt navn fra Menelaos fra Alexandria som beviste det ca. i år 100 A.D. i sfærisk geometri. I denne mer kompliserte situasjonen er en trekant begrenset av storsirkler på en kuleflate. Det er derfor rimelig å anta at den enklere versjonen av teoremet i euklidisk geometri var allerede kjent på den tiden Menelaos levde.

Plan geometri

Betingelsen til Menelaos kan utledes ved å trekke normaler fra hjørnene til trekanten til linjen som skjærer dens sider. Ved å sammenligne likedannete trekanter i figuren, ser man at  hvor minusfortegnet ble forklart overfor. På samme måte er  og . Multipliseres disse tre forholdene sammen, fremkommer teoremet.

Menelaos' teorem inneholder et produkt av tre delingsforhold. I euklidisk geometri er hvert av disse gitt ved forholdet mellom lengdene til det oppdelte linjestykket. Men disse forholdene er også entydige i affin geometri hvor lengder av linjestykker og vinkler mellom dem ikke lenger er veldefinerte. Teoremet kan da bevises ved bruk av barysentriske koordinater som defineres relativt til trekantens hjørner.

Sfærisk geometri

Menelaos fikk sitt navn knyttet til teoremet fordi han kunne vise dets gyldighet også i sfærisk geometri. Man kan da tenke seg en trekant gitt ved skjæringspunktene  A, B og C  til tre storsirkler på overflaten til en kule. En fjerde storsirkel skjærer denne trekanten i punktene  D, E og F som figuren viser. Siden AB i trekanten blir da delt i to linjestykker DA og DB. Hvis nå størrelsen til sirkelbuen DA blir gitt ved den tilsvarende, sfæriske vinkelen og på samme måte for de andre linjestykkene, viste Menelaos at

 

Her er høyre side positiv når man ser bort fra at skjæringepunktet F ligger utenfor triangelet. 

Han kom frem til dette resulatet ved å betrakte et plan som gikk gjennom de tre hjørnene A, B og C. Ved å projisere skjæringspunktene D, E og F på dette planet fra sentrum i kulen, fant han de tilsvarende punktene D', E'  og F'. Han kunne så benytte den plane versjonen av teoremet sammen med det trigonometriske resultatet  etc. til å komme frem til sin versjon av teoremet.

Dette resultatet la mye av det geometriske fundamentet for det store verket Almagest til Ptolemaios som i mange hundre år  senere var grunnlaget for all arabisk astronomi.

Litteratur

 D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover Publications, New York (2013). ISBN  1-306-34055-1.
 T. Heath, A History of Greek Mathematics Vol. II, Dover Publications, New York (1981). ISBN 0-486-24074-6.

Teorem i geometri
Astronomi