Halveringslinjesetningen

Halveringslinjesetningen er et teorem i euklidsk geometri om halveringen av en vinkel i en trekant. Hvis trekanten er gitt ved hjørnene A, B og C, og vinkelen i A halveres ved en linje som går gjennom punktet D på den motsatte siden, så vil forholdet mellom de to linjestykkene denne blir delt i, være gitt som

 

Setningen ble allerede bevist i Euklids Elementer om geometri. Den er av stor, praktisk betydning i løsning av mange geometriske oppgaver.

Det er mange måter å bevise setningen på. Hvis man for eksempel betrakter trekantene ADB og ADC, så er forholdet mellom deres areal lik med BD/DC når disse linjestykkene betraktes som grunnlinjene i trekantene som dermed får felles høyde. Men det samme forholdet mellom de to trekantarealene kan også beregnes ved å betrakte AD som en felles grunnlinje. Da blir forholdet mellom høydene lik med AB/AC da de begge har en vinkel i punktet A som er en halvdel av den fulle vinkelen i dette punktet. Derfor må BD/DC = AB/AC, og halveringslinjesetningen er bevist.

Et rent geometrisk bevis kan gjennomføres ved å trekke en linje gjennom hjørnet B parallell med AD. Denne nye linjen skjærer forlengelsen av AC i et nytt punkt E.  Da er trekantene ECB og ACD formlike slik at EA/AC = BD/DC. Denne sammenhengen er ofte omtalt som et av Tales’ teorem. I tillegg er trekanten EAB likebent med EA = AB. Disse to forholdene gir nå til sammen at  AB/AC = BD/DC, og setningen er igjen bevist.

Litteratur
 A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).

Eksterne lenker
 Cut the Knot, Angle Bisector Theorem, med flere bevis.

Elementær geometri
Trekanter
Teorem i geometri