Darcy-Weisbachs ligning

Darcy-Weisbachs ligning, eller Darcy-Weisbachs falltapsligning er en empirisk ligning som brukes til å beregne falltap, eller trykkfall, på grunn av friksjon langs en gitt lengde av et rør når det fører en væskestrøm. Ligningen forutsetter at gjennomsnittelig hastighet av væsken i røret er kjent. Ligningen er oppkalt etter Henry Darcy og Julius Weisbach.

Darcy-Weisbach ligningen inneholder en dimensjonsløs friksjonsfaktor, kjent som Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor. Den er også kalt Darcys friksjonsfaktor eller Moodys friksjonsfaktor. Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor er fire ganger større enn Fannings friksjonsfaktor, som den ikke må forveksles med.

Falltapet etter Darcy-Weisbachs ligning
Falltapet i et rør kan beregnes ved hjelp av formelen:

hvor:
 hf er falltap på grunn av friksjon [m]
 L er lengden av røret [m]
 D er hydraulisk diameter av røret (for et rør med sirkulært tverrsnitt, tilsvarer dette den indre diameter av røret) [m]
 V er den gjennomsnittlige hastigheten til fluidstrømmen, lik volumetrisk strømningshastighet per enhet av tverrsnittet av det våte flaten [m/s]
 g er akselerasjon på grunn av tyngdekraften [m/s2]
 fD er en koeffisient kalt Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor som gjelder for laminær eller turbulent strømning.  Det kan finnes fra  Moodys diagram eller mer presist ved å løse en av de mange ligninger for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor. Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor må ikke forveksle med Fannings friksjonsfaktor, f.

Darcy-Weisbachs ligning på trykktapform 
Gitt at trykktap hf uttrykker trykkettap, Δp, som høyden av en søyle av fluidet, dermed kan ligningen uttrykkes slik:

der ρ er tettheten av væsken, og de andre faktorene som definert over. Dermed kan Darcy-Weisbachs ligningen også uttrykkes i form av trykktap:

hvor trykktapet på grunn av friksjon Ap, målt i Pa, er en funksjon av:
 Forholdet av lengden over diameteren av røret, L/D
 Tettheten av fluidet, ρ [kg/m3]
 Den midlere hastighet av strømningen, V [m/s], som definert ovenfor
 Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor fD.

En kan forsikre seg om at ligningen på trykktapsform (over) er den samme som ved falltap (opprinnelig ligning) ved å  multiplisere hver side med ρ og g.

Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor 

Friksjonsfaktoren fD, eller strømningskoeffisient λ, er ikke en konstant og avhenger av parametrene for røret og fluidstrømmens hastigheten, dog er den kjent med stor nøyaktighet innenfor visse strømningsregimer. Den kan evalueres for gitte betingelser ved bruk av ulike empiriske eller teoretiske betingelser, eller den kan finnes fra diagrammer. Disse diagrammene blir ofte referert til som Moodys diagrammer, etter L.F. Moody, og dermed blir faktoren i seg selv  noen ganger kalt Moodys friksjonsfaktor. Den blir også noen ganger kalt Blasius friksjonsfaktor, etter den omtrentlig formelen som han foreslo.

For laminær (sakte) væskestrømning, er det en konsekvens av Poiseuille lov at:

der faktorene betyr:

Re er Reynoldstall 
ρ er tettheten av fluidet [kg/m3
r er rørets radius
η fluidets dynamiske viskositet [Pa·s]

For turbulent strømning er metoden for å finne friksjonsfaktoren fD å bruke Moodys  diagram, eller tilsvarende hjelpemiddel, eller en kan løse ligninger som Colebrook-White ligningen eller Swamee-Jain-ligningen. Mens diagrammet og Colebrook-White-ligningen er iterative metoder, gjør Swamee-Jain ligning at fD kan bli funnet direkte for et sirkulær rør.

Forvirring med Fanning friksjonsfaktor 
Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor, fD er fire ganger større enn Fannings-friksjonsfaktor, f, slik at ved bruk av diagramer for friksjonsfaktorer eller når en likning brukes må denne forskjellen tas hensyn til. Darcy-Weisbachs faktor, fD brukes mest innenfor  bygnings- og maskinteknikk, mens Fannings faktor, f, er mest brukt innenfor kjemiteknikk.

Legg spesielt merke til at forholdet mellom Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor og Fannings faktor blir slik innsatt i ligningen:

De fleste diagrammer og tabeller er av typen som oppgir friksjonsfaktoren, eller i det minste oppgir formelen for friksjonsfaktoren med laminær strømning. Hvis formelen for laminær er f = 16/Re, er det snakk om Fannings faktor, f , og hvis formelen for laminær er fD = 64/Re, er Darcy-Weisbachs faktor, fD.

Hvilken friksjonsfaktor som er plottet i et Moody-diagram kan bestemmes ved inspeksjon hvis en er i tvil:

 Finn verdien av friksjonsfaktoren for laminær strømning ved et Reynolds-tall på 1000.
 Hvis verdien av friksjonsfaktoren er 0,064, er det Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor som er plottet i Moody-diagrammet. Merk at sifrene 6 og 4 i tallet 0,064 er telleren i formelen for laminær strøming i Darcys-friksjonsfaktor: fD = 64/Re.
 Hvis verdien av friksjonsfaktoren er 0,016, er det Fannings friksjonsfaktor som er plottet i Moody-diagrammet. Merk at sifrene 1 og 6 i tallet 0,016 er telleren i formelen for laminær strømning i Fannings-friksjonsfaktor: f = 16/Re.

Historie 
Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor oppsto som en variant på Prony ligning utviklet av den  franske  ingeniøren Henry Darcy, og har denne formen:

I denne likningen er falltapet (hf) relatert til rørfriksjon avhengig av forholdet mellom lengde (L) og diameter (D) til røret, L/D, væskehastigheten V og de to empiriske faktorene a and b som er bestemt av friksjonen.

Darcy-Weisbachs likningen slik som den i dag brukes er igjen en videreutviklet utført av matematikeren og ingniøren Julius Weisbach fra Sachsen i Tyskland i 1845. Til å begynne med manglet data for variasjon av fD med hensyn på hastigheten, dermed ble den den empiriske Prony ligningen foretrukket fremfor Darcy-Weisbach likningen i mange tilfeller. Senere ble det gjort mange studier for å lage enkle empiriske likninger for forskjellige strømningsregimer, slik som  Hazen-Williams ligning og Mannings formel. Disse var betydelig enklere å bruke i beregninger. 

Med introduksjon av datamaskin ble beregninger for å finne sammenhengen mellom fD og vannhastighet ikke lenger et stort problem. Darcy-Weisbachs ligning med sin generelle form har gjort den til den foretrukne ligningen for å beregne falltap.

Utledning 
Darcy-Weisbach ligningen er en fenomenologisk formel som finnes ved dimensjons analyse.

I stor avstand fra begynnelsen og slutten av røret vil egenskapene til væskestrømningen være  uavhengig av posisjonen langs røret. De sentrale størrelser er da trykkfallet langs røret per lengdeenhet, Δp/L, og den volumetriske strømningshastighet. Strømningshastigheten kan bli omdannet til en gjennomsnittshastighet V ved å dividere volumstrømmen (m3/s) med det fuktede tverrsnittet (den delen av røret eller kanalen som er fylt med væske) av røret, som er lik tverrsnittet av røret hvis røret er helt fylt av væske.

Trykk har dimensjonen energi per volumenhet. Derfor må trykkfall mellom to punkter være proporsjonal med (1/2)ρV2, som har samme dimensjon og som også ligner (se nedenfor) uttrykket for den kinetiske energi per volumenhet. Samtidig må også trykket være proporsjonal med lengden av røret mellom to punkter L, fordi trykktapet per lengdeenhet er konstant. For å uttrykke dette forholdet som en dimensjonsløs proporsjonalitetsfaktor, må dette forholdet også divideres på den fuktede diameteren av røret, D, som også er konstant langs røret. Derfor må:

Proporsjonalitetskoeffisienten er den dimensjonsløse Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor. Denne dimensjonsløse koeffisient kan være en kombinasjon av geometriske faktorer slik som π, Reynolds-tallet, og (utenfor det laminære strømningsregimet) den relative ruhet av røret (forholdet mellom trykkfall på grunn av ruhet og hydraulisk diameter).

Legg merke til at (1/2)ρV2 ikke er den kinetiske energi av fluidet per volumenhet av følgende grunner: Selv i tilfelle av laminær strømning hvor alle strømlinjene er parallelle med lengden av røret, hastigheten av fluidet på den indre overflate av røret er null på grunn av viskositeten, må hastigheten som oppstår i sentrum av røret derfor være større enn den gjennomsnittlige hastighet som oppnås ved å dividere den volumetriske strømningshastighet av det våte område. Den midlere kinetisk energi involverer den midlere kvadrathastigheten som alltid overstiger kvadratet av den midlere hastighet. I tilfelle av turbulent strømning får fluid tilfeldige hastighetskomponenter i alle retninger, til og med hastighetskomponenter vinkelrett på lengden av røret. Dermed vil turbulens som oppstår bidra til kinetisk energi per volumenhet, men ikke til det gjennomsnittlige langsgående hastigheten av væsken.

Praktisk bruk 
I hydrauliske regneprogrammer for datamaskiner er det ofte ønskelig å uttrykke trykktapet i form av volumetrisk strømningshastighet i røret. For dette er det nødvendig å erstatte det følgende i den opprinnelige trykktapet form av Darcy-Weisbach ligningen

hvor:
 V er som angitt ovenfor, den gjennomsnittlige hastigheten til fluidstrømmen, lik volumetrisk strømningshastighet per enhet tverrsnitt av det fuktede område [m/s]
 Q er den volumetrisk strømningshastighet [m3/s]
 Aw er tverrsnittet av det fuktet område [m2].

For det generelle tilfelle av en vilkårlig fyllingsgrad av et rør vil ikke verdien av Aw  være umiddelbart kjent, men være en implisitt funksjon av røret helling, tverrsnittsform, strømningshastighet og andre variabler. Hvis imidlertid røret forutsettes å være fullstendig fylt, og med sirkulært tverrsnitt, som er vanlig i praktiske situasjoner, så vil:

hvor D er diameteren av røret

Anvendelse av disse resultatene i den opprinnelige formulering gir den endelige ligning for falltap i form av volumetrisk strømningshastighet i en fullstendig væskefylt sirkulært rør

hvor alle symbolene er som definert ovenfor.

Se også 
Vannkraftverk

Referanser

Eksterne lenker 
  The History of the Darcy–Weisbach Equation 
 Pipe pressure drop calculator  for single phase flows.
 Pipe pressure drop calculator for two phase flows. 
 Open source pipe pressure drop calculator.
 Web application with pressure drop calculations for pipes and ducts

Fluiddynamikk