Brahmaguptas formel

Brahmaguptas formel gir arealet av en syklisk firkant uttrykt ved lengdene av de fire sidene i firkanten.  I en syklisk firkant ligger alle hjørnene på en sirkel. Formelen er oppkalt etter den indiske matematiker  Brahmagupta som levde på 600-tallet.

Kaller man sidelengdene  i firkanten for a, b, c og d, kan dens areal skrives som

etter at man har innført den halve omkretsen til firkanten,

 

Når en av sidene i firkanten blir forsvinnende liten, går den over til å bli en trekant. Formelen til Brahmagupta går da over i Herons formel som gir arealet til trekanten uttrykt ved  dens sidelengder.

På 1800-tallet ble det vist at Bramhaguptas formel kunne utvides til å gjelde for en vilkårlig firkant.

Utledning

La lengden av sidene i firkanten være  a, b, c og d. Arealet S av firkanten er da lik summen av arealene til de to trekantene ABD og BDC som vist i figuren. Ved bruk av formelen for arealet til en vanlig trekant, har man da

 

hvor A er vinkelen i hjørnet A og tilsvarende for C. I en syklisk firkant er summen av vinklene  som følger fra teoremet om periferivinkler. Derfor er  slik at arealet er gitt ved

 

Vinklene A og C kan nå finnes fra cosinussetningen brukt på trekantene ABD og BDC. De har siden BD felles slik at

 

Da nå cosA = - cosC, følger herav at . Dette resultatet for cosA kan nå benyttes i uttrykket for arealet til frikanten da

 

Settes her inn for , får man

 

Dette er nå Brahmaguptas formel som sees ved å sette inn den halve omkretsen s = (a + b + c +d)/2 til firkanten.

Generalisering

I en vilkårlig firkant er vinkelen θ = (A + C)/2 ikke nødvendigvis nøyaktig lik 90° som i det sykliske tilfellet.  Men den samme beregningen kan likevel benyttes til å gi resultatet

for arealet av en alminnelig firkant. Det ble vist vist  i 1842 av de tyske matematikerne Carl Anton Bretschneider og Karl von Staudt uavhengig av hverandre. Da summen av de indre vinklene i en firkant alltid er 360°, spiller det ingen rolle hvilke to motstående vinkler blir brukt i bestemmelsen av vinkelen θ.

Litteratur

 C.B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.

Areal
Euklidsk plangeometri
Teorem i geometri
Firkanter