Bestemthet (matriser)

I lineær algebra sies en symmetrisk, reell n × n-matrise  å være positivt bestemt (også kalt positivt definitt) dersom skalaren  er positiv for enhver ikke-null kolonnevektor  av  reelle tall. Her symboliserer  den transponerte av .

Mer generelt sies en Hermitsk n × n-matrise  å være positivt bestemt hvis skalaren  er reell og positiv for alle ikke-null kolonnevektorer  av  komplekse tall. Her symboliserer  den konjungerte transponeringen av .

En Hermitesk matrise sies å være negativt bestemt  (negativt definitt) dersom uttrykket  eller  alltid er negativt. Matrisen kalles semi-positivt bestemt dersom uttrykket  eller  er ikke-negativ (større enn eller lik null), og semi-negativt bestemt dersom uttrykket er ikke-positivt (mindre enn eller lik null).

En Hermitesk matrise som hverken er positivt bestemt, negativt bestemt, semi-positivt bestemt eller semi-negativt bestemt, kalles ubestemt (indefinitt).

Noen forfattere bruker mer generelle definisjoner av positivt og negativt bestemthet, som inkluderer noen ikke-symmetriske reelle matriser, eller ikke-Hermiteske komplekse matriser.

Egenverdier 
 En Hermitesk n × n-matrise er positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er positive. 
 En Hermitesk n × n-matrise er negativt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er negative.
 En Hermitesk n × n-matrise er semi-positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-negative (større enn eller lik null).
 En Hermitesk n × n-matrise er semi-negativ bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-positive (mindre enn eller lik null).
 En Hermitesk n × n-matrise er ubestemt hvis og bare hvis den har både positive og negative egenverdier.

Eksempler 
 Identitetsmatrisen  er positivt bestemt. Sett som en reel matrise, er den symmetrisk, og for enhver ikke-null kolonnevektor z med reelle elementer a og b, har vi
 .
 Sett som en kompleks matrise, for enhver ikke-null kolonnevektor z med komplekse elementer a og b, har vi
 .
 Uansett er resultatet positivt, siden z ikke er nullvektoren (det vil si at minst én av elementene a og b er forskjellig fra null).
 Den reelle symmetriske matrisen
 
 er positivt bestemt, siden for enhver ikke-null kolonnevektor z med elementer a, b og c, har vi
 
 Dette resultatet er en sum av kvadrater, og derfor ikke-negativt. Dessuten er det bare null hvis a = b = c = 0, men det skjer kun hvis z er nullvektoren.
 Den reelle symmetriske matrisen
 
 er ikke positivt bestemt. Hvis z er vektoren , har vi 
 For enhver ikke-singulær matrise  er produktet  en positivt bestemt matrise. Et enkelt bevis er at for enhver ikke-null vektor , gjelder siden den ikke-singulære matrisen  betyr at 
Eksemplene M og N ovenfor viser at en matrise med noen negative elementer likevel kan være positivt bestemt, og motsatt, at en matrise med bare positive elementer ikke nødvendigvis er positivt bestemt.

Referanser 

Lineær algebra