Retningsderivert

En retningsderivert angir hvordan en flervariabelfunksjon i et punkt på en mangfoldighet varierer i forskjellige retninger som bestemmes av en vektor i det samme punktet. Den er en utvidelse av den mer vanlige partiellderiverte og er direkte relatert til gradienten av funksjonen.

Definisjon
Det eksisterer forskjellige notasjoner for den retningsderiverte.Ofte angis den ved bruk av nabla-symbolet. Den er definert på tilsvarende måte som derivasjon av funksjoner med en enkelt variabel. I et punkt x med koordinatene (x1, x2, .. , xn)  på en n-dimensjonal mangfoldighet og i en retning angitt ved tangentvektoren v,  er den retningsderiverte av en funksjon F(x) gitt som

 

Ved å benytte gradientoperatoren som gjør det mulig å skrive  i grensen der parameteren t → 0, har man dermed den fundamentale sammenhengen

 

Hvis man har en annen funksjon G(x), vil det fra definisjonen følge at den retningsderivert har de viktige egenskapene

 

hvor a og b er konstanter. Likedan er produktregelen 

 

oppfylt. Dette er også en direkte konsekvens av egenskapene til gradienten.

På en generell mangfoldighet vil tangentvektoren beskrive et vektorfelt v(x) med komponenter som i alminnelighet varierer med koordinatene til det gitte punktet. Den gitte definisjonen og egenskapene til den retningsderiverte vil likevel være gitt på samme måte som her når den virker på skalare funksjoner. Retningsderiverte av vektorer eller tensorer kan defineres ved kovariant derivasjon eller ved Lie-derivasjon.

Annen notasjon

Den deriverte av en funksjon    skrives vanligvis som , men skrivemåten ,    eller lignende benyttes også. 

På samme vis finnes det flere notasjoner for den retningsderivert. I stedet for  , benyttes  eller . Men alternative skrivemåter som ,   eller  kan også opptre. De tilsvarer notasjonen  som benyttes der gradienten beskrives som en differensialform.

Eksempel

En funksjon  er gitt. Den deriverte i punktet  i retning  skal beregnes. Gradienten finnes ved direkte derivasjon og blir . I det gitte punktet er den derfor  slik at

 .

Da resultatet er positivt, vil funksjonen i dette punktet øke i retningen gitt ved v. Den  deriverte i andre retninger følger på samme måte og vil generelt ta andre verdier.

Tangentvektorer som retningsderiverte
Retningen i et punkt   på mangfoldigheten er gitt ved tangentvektoren . Hvis  betegner dens komponenter og  er basisvektorene på mangfoldigheten, kan retningsvektoren skrives som  der man med Einsteins summekonvensjon summerer over de to like indeksene fra 1 til n som er mangfoldighetens dimensjon. På samme måte kan gradienten skrives som  når de duale  basisvektorene er . De gir opphav til et indreprodukt  når det uttrykkes ved Kronecker-deltaet.

Lineæritet

Hvis nå  er en annen vektor i samme punkt som , vil den deriverte i den nye retningen  være

 

der a og b er konstanter. Den retningsderivert er derfor lineær i vektoren som angir retningen til derivasjonen. Det betyr igjen at for tangentvektoren  kan man skrive

 

Derfor er den deriverte i en av koordinatretningene    gitt ved

 

som er den vanlige partiellderiverte i denne retningen.

Derivasjonsoperatorer
Denne direkte sammenhengen mellom den deriverte i en bestemt retning og vektoren som bestemmer denne, gjør det mulig å identifisere vektoren med en ekvivalent derivasjonsoperator. Det kan tydeliggjøres ved å innføre notasjonen  

 

for den retningsderiverte. I et vilkårlig punkt kan dermed vektoren betraktes som operatoren

 

Dens virkning på en funksjon F i et vilkårlig punkt skrives da som v F. De karakteristiske egenskapene ved den retningsderiverte forblir de samme. For eksempel er  som følger direkte fra den vanlige produktregelen for derivasjon. Dette kommer også naturlig frem når man betrakter vektorer som tangenter til kurver lagt inn i mangfoldigheten.

Egenskapene til den tidligere gradienten vil på dette vis være en direkte konsekvens av at  basisvektorene er derivasjonsoperatorer

 ,

Når de er definert på denne måten, vil den duale basisen  være gitt ved differensialformer slik at .  Moderne differensialgeometri er formulert på denne måten.

Se også

 Lie-derivert

Referanser

Differensialgeometri
Multivariat analyse