Cullen-tall

Et Cullen-tall  er i matematikken et naturlig tall i rekken n · 2n + 1 (skrives Cn). Disse tallene ble først studert av James Cullen i 1905. Cullen-tall er spesielle typer Proth-tall.

Christopher Hooley viste i 1976 at den aritmetiske tettheten til de positive heltallene  er o(x) for , hvis Cn er et primtall. Dermed er nesten alle Cullen-tall sammensatte tall. Hooleys bevis ble igjenarbeidet av Hiromi Suymama for å vise at det virker for alle tallrekker n · 2n+a + b hvor a og b er heltall, særlig også for Woodall-tall. Den eneste kjente Cullen-primtallene er:
1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881.
Ennå er det antatt at det er uendelig mange slike.

I august 2009 er det høyeste kjente Cullen-primtallet 6 679 881 × 26 679 881 + 1. Det er et megaprimtall med 2 010 852 sifre og ble oppdaget av en PrimeGrid-aktør fra Japan.

Et cullen-tall Cn er dividerbar med p = 2n - 1 hvis p er et primtall av formen , videre følger det fra Fermats lille teoem at hvis p er et oddetall og primtall, divideres p med Cm(k) for hver m(k) = (2k − k) 
 (p − 1) − k (for k > 0). Det har også blitt vist at primtallet p deler C(3p − 1) / 2 når Jacobi-symbolet (2 | p) er +1.

Det er ukjent hvorvidt det eksisterer et primtall p som Cp også er primtall. Noen ganger er et generalisert Cullen-tall definert som et tall i formen n · bn + 1, hvor n + 2 > b'', og hvis et primtall kan bli skrevet sånn, kalles det et generallisert Cullen-primtall. Woodall-tall kalles noen ganger Cullen-tall av andre sort.

Referanser

Heltallsfølger
Uløste problemer i matematikken