Tangenssetningen

I trigonometrien er tangenssetningen en setning om forbindelsen mellom tangens til to vinkler av en trekant og lengdene av de motstående sidene.

I figur 1 er a, b og c lengdene av tre sider av trekanten, og α, β og γ er henholdsvis vinklene motstående disse sidene. Tangenssetningen sier at

Tangenssetningen er, selv om den ikke er så vidt kjent som sinussetningen eller cosinussetningen, like nyttig, og kan brukes i alle tilfeller der to sider og en vinkel, eller to vinkler og en side, er kjent.

Tangenssetningen for sfæriske trekanter ble beskrevet i det 13. århundre av den persiske matematikeren Nasir al-Din al-Tusi (1201–74), som også presenterte sinussetningen for trekanter i planet i sitt fembinds verk Treatise on the Quadrilateral.

Bevis
For å bevise tangenssetningen kan vi starte med sinussetningen:

 

La

 

slik at

 

Det følger at

 

Ved å bruke trigonometriske identiteter, er faktorformelen for sinus

 

vi får

Som et alternativ til å bruke identiteten for summen og differansen av to sinusverdier, kan man sitere den trigonometriske identiteten

 

(se formelen for tangens av halve vinkelen).

Se også
 Sinussetningen
 Cosinussetningen
 Mollweides formel

Fotnoter 

Trigonometri
Artikler som inneholder beviser