Omvendt funksjonsteorem

I matematisk analyse gir det omvendt funksjonsteorem betingelser for når en funksjon har en lokal invers. Teoremet gir også en formel for den deriverte til den omvendte funksjonen.

Formulering av teoremet

Teoremet finnes i to versjoner, én i en-variabel-analyse, og en i fler-variabel-analyse. For funksjoner med én variabel sier teoremet følgende: Anta at  er en kontinuerlig funksjon med kontinuerlige deriverte, og at  i et punkt . Da finnes en omegn  om  slik at  restringert til  er injektiv, og slik at om  er verdimengden til , så er den omvendte funksjonen  kontinuerlig deriverbar, og tilfredsstiller

For funksjoner av flere variabler er påstanden helt analog. Den er som følger: Anta at  er en åpen mengde og at  har kontinuerlige partiellderiverte. Anta at  og at Jacobi-matrisen  er inverterbar. Da finnes en åpen omegn  om  slik at  restringert til  er injektiv. Verdimengden  til denne restriksjonen er en omegn om , og den omvendte funksjonen  er deriverbar i  med Jacobi-matrise

Eksempel 

Vi tar et eksempel med en funksjon med to variable. La  være definert ved . Vi skal undersøke om funksjonen er inverterbar nær punktet .  Jacobi-matrisen gitt ved

Dermed er Jacobi-determinanten gitt ved  . Setter vi inn for , får vi at determinanten er ikke-null. Det følger da fra teoremet at det finnes en omegn om  slik at funksjonen er lokalt inverterbar. Den deriverte til den omvendte funksjonen er gitt ved , som er

Dette viser at funksjonen har en lokal invers, men den har ingen global invers. Spesielt er funksjoner som har en global invers injektive, noe denne funksjonen ikke er. For å se dette, legg merke til at om , så er , så funksjonen kan ikke være injektiv.

Referanser 

 

Teorem i reell analyse
Teorem i differensialregning
Multivariat analyse