Parallellogramloven

Parallellogramloven er i geometri en sammenheng mellom lengdene av sidene og diagonalene i et parallellogram.  I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet gjelder også en generalisert form for parallellogramloven, som en normidentitet mellom lineærkombinasjoner av to  vektorer.  

Lar en hjørnene i et parallellogran være betegnet A, B, C og D, slik som vist på figuren til høyre, så kan lengden av sidene betegnes AB, BC, CD og DA.  Lengden av de to diagonalene er  AC og BD.  I euklidsk geometri  er lengden av motstående sider i et parallellogram like lange, slik at AB = CD and BC = DA.  Parallellogramloven kan da uttrykkes som 

 

Dersom parallellogrammet også er et rektangel, så er de to diagonalene like lange:  AC = BD.  Parallellogramloven reduserer seg da til Pythagoras’ læresetning:

Parallellogramloven i indreproduktrom

I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet er parallellogramloven en identitet mellom vektornormer:

Identiteten vil være oppfylt for alle vektorer x og y.  Sammenhengen mellom normen og indreproduktet er gitt ved

og bevis for at identiteten er oppfylt følger umiddelbart fra egenskaper til indreproduktet:

Parallellogramloven framkommer ved å summere de to uttrykkene:

Dersom x er ortogonal til y, da er  og 
parallellogramloven reduserer seg igjen til Pythagoras' læresetning:

Referanser 

Euklidsk plangeometri
Firkanter
Teorem i geometri