Harmonisk gjennomsnitt

Det harmoniske gjennomsnittet av to tall er definert ved at forholdet mellom det største tallet minus gjennomsnittet og gjennomsnittet minus det minste tallet, skal være lik forholdet mellom det største og minste tallet. Hvis det største tallet er a og det minste er b, så  følger herav den matematematiske definisjonen av det harmoniske gjennomsnittet c fra ligningen

 

Denne tilsvarer den mer eksplisitte definsjonen

 

av det samme gjennomsnittet. Alternativt kan man finne det fra det ekvivalente uttrykket c = 2ab/(a + b). For eksempel, så er 4 det harmoniske gjennomsnitt av 3 og 6. I den harmoniske rekken 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... er hvert ledd 1/n det harmoniske gjennomsnittet av de to naboleddene 1/(n + 1)  og 1/(n - 1). Dette har gitt rekken sitt harmoniske navn.

Den harmoniske middelverdien ble benyttet sammen med de tilsvarende aritmetiske og geometriske middelverdier allerede av Pythagoras og skolen rundt ham i forbindelse med deres studier av geometri og musikk.

Generalisering

Det harmoniske gjennomsnittet H  av n  tall x1, x2, ..., xn er definert ved

som også kan skrives som

For eksempel, så er det harmoniske gjennomsnittet av 2, 6 i 12

Eksempel

En bil kjører en strekning s  med en hastighet v1  og tilbake samme vei med en annen hastighet v2 . Hele turen frem og tilbake har da tatt en tid . Siden den i alt har tilbakelagt en strekning 2s, vil gjennomsnittshastigheten på hele strekningen bli . Dette kan nå skrives som

 .

slik at gjennomsnittsfarten er gitt ved den harmoniske middelverdien av de to hastighetene til og fra. For eksempel, hvis  og , så er ikke gjennomsnittshastigheten den aritmetiske middelverdien , men derimot den harmoniske middelverdien .

Andre middelverdier

De forskjellige middelverdier av to størrelser a  og  b  er ikke uavhengige av hverandre. Da den  aritmetiske middelverdien er  og den geometriske middelverdien er , så følger det at  hvor  er den harmoniske middelverdien.

Dette kan benyttes til å gi en geometrisk fremstilling av de relative størrelsesforholdene mellom disse forskjellige middelverdiene. Man konstruerer en halvsirkel med diameter a + b  som vist i figuren. Da er radius lik det aritmetiske gjennomsnittet A. Det geometriske gjennomsnittet G  er da gitt ved den røde linjen i figuren. Det følger fra definisjonen  og elementær trigonometri. På samme måte følger det også fra  at det harmoniske gjennomsnittet H  er gitt ved den brune linjen da A  er radius i sirkelen.

Fra figuren følger det også at den grønne linjen har en lengde Q  gitt ved Pythagoras' setning ved ligningen

 

Derfor er Q  det kvadratiske gjennomsnittet av størrelsene a  og b. Det er det største av alle gjennomsnittene,

 

noe som kan leses direkte ut av figuren. Man kan vise at disse relative størrelsesforholdene også er gyldige når de forskjellige gjennomsnittene omhandler mer enn to variable som i det geometriske eksemplet her.

Se også

 Gjennomsnitt
 Aritmetisk gjennomsnitt
 Geometrisk gjennomsnitt
 Kvadratisk gjennomsnitt
 Vektet gjennomsnitt
 Effektivverdi
 Median

Eksterne lenker

 Wolfram MathWorld, Harmonic Mean.

Middelverdier