Cramers regel

I lineær algebra er Cramers regel et teorem som gir uttrykk for løsningen til et lineært ligningssystem med like mange ukjente som ligninger, i tilfeller der en entydig løsning eksisterer.  

Teoremet er oppkalt etter Gabriel Cramer (1704–1752), som i 1750 publiserte teoremet i verket Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (Introduksjon til analyse av algebraiske kurver).   Også Colin Maclaurin beskrev metoden i  avhandlingen Treatise of Algebra, utgitt i 1748.

Løsningen av ligningssystemet er uttrykt ved hjelp av determinanten til koeffisientmatrisen, samt determinanter til matriser dannet ved å erstatte en kolonne i koeffisientmatrisen med en vektor lik høyresiden i ligningssystemet.  

Cramers regel er ikke praktisk for løsning av ligningssystem der antall ukjente er høyt.  Teoremet blir sporadisk benyttet som er teoretisk resultat.

Cramers regel for et 2  ×  2 system
Et lineært ligninssystem med to ukjente kan skrives på forma

 

På matriseform skrives ligninssystemet som

 

De to ukjente x og y er gitt ved Cramers regel som

Cramers regel for et 3  ×  3 system 
Tilsvarende skrives et lineært ligningssystem med tre ukjente som

 

Matriseforma er 

 

Cramers regel sier at løsningen for de tre ukjente x og y og z er gitt ved

Cramers regel for et generelt system 

Et generelt ligningssystem med n ligninger og n ukjente kan skrives på matriseforma

Matrisen A er antatt å være ikke-singulær, slik at determinanten til A er ulik null og en entydig løsning til ligningssystemet eksisterer.  Kolonnevektoren  x = (x1, ..., xn)T inneholder de ukjente i ligningssystemet. 

Cramers regel sier at løsningen av ligningssystemet kan skrives på forma

  

der  Ak er matrisen dannet ved å erstatte kolonne nummer k i matrisen A med kolonnevektoren  b.

Litteratur 

Lineær algebra
Determinanter