Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Derivasjonen av trigonometriske funksjoner er den matematiske prosessen for å finne ut hvor fort en trigonometrisk funksjon endres med hensyn til en variabel. Vanlige trigonometriske funksjoner omfatter sin(x), cos(x) og tan(x). For eksempel, ved derivasjon av f(x) = sin(x), beregner man en funksjon f ′(x) som beregner hvor fort sin(x) endrer seg ved et spesielt punkt a. Verdien som viser hvor fort funksjonen endrer seg ved a er dermed gitt av f ′(a). Kunnskap om derivasjon fra grunnprinsippene er nødvendig, sammen med kompetanse i bruk av trigonometriske identiteter og grenser. Alle funksjoner involverer den vilkårlige variabelen x, med all derivasjon utført med hensyn til x.

Det viser seg at med en gang man kjenner de deriverte til sin(x) og cos (x), kan man enkelt beregne de deriverte av de andre sirkulære trigonometriske funksjonene fordi de alle kan uttrykkes ved sinus eller cosinus; regelen for derivasjon av en kvotient blir dermed iverksatt for å derivere dette uttrykket. Beviser for de deriverte av sin(x) og cos(x) er gitt i avsnittet for beviser. Resultatene er sitert for å gi bevisene til de deriverte av de andre sirkulære trigonometriske funksjonene. Å finne de deriverte av de inverse trigonometriske funksjonene involverer bruk av implisitt derivasjon og de deriverte av vanlige trigonometriske funksjoner er også gitt i avsnittet for beviser.

Deriverte av trigonometriske funksjoner og deres inverse

Beviser for deriverte av sinus- og cosinusfunksjonene

Bevis for  

I diagrammet over, er arealet av trekant OPA < arealet av sektor OPA < arealet av trekant OAQ

La vinkelen utspent av buen AP være x og radius i sirkelen være r.

Når 

Arealet av trekant OPA er . Arealet av sektor OPA er . Arealet av trekant OAQ er . Da har vi

Når 

Derfor, når  for 

Siden blir uttrykket «klemt flat» mellom 1 og 1, og vi konkluderer med at

Derivasjon av sinusfunksjonen 

Definisjonen av den deriverte av en funksjon f(x):

Derivasjon av cosinusfunksjonen 

Fra den trigonometriske identiteten

Som vist over, siden

Derfor,

Beviser for deriverte av inverse trigonometriske funksjoner
De følgende deriverte er funnet ved å sette en variabel y lik den inverse trigonometriske funksjonen vi vil derivere. Ved å bruke implisitt derivasjon og deretter løse med hensyn på dy/dx, blir den deriverte til den inverse funksjonen funnet uttrykt ved y. For å konvertere dy/dx tilbake til å være uttrykt ved x, kan vi tegne en referansetrekant på enhetssirkelen, og la θ være y. Ved å bruke Pythagoras' læresetning og definisjonen av de vanlige trigonometriske funksjonene, kan vi endelig uttrykke dy/dx ved x.

Derivasjon av den inverse sinusfunksjonen 
Vi lar

Der

Så

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

Ved substitusjon av  fra uttrykket over,

Ved substitusjon av  fra uttrykket over,

Derivasjon av den inverse cosinusfunksjonen 
Vi lar

Der

Så

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

Ved substitusjon av  fra uttrykket over, får vi

Ved substitusjon av  fra uttrykket over, får vi

Derivasjon av den inverse tangensfunksjonen 
Vi lar

Der

Så

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

Ved substitusjon av  fra uttrykket over,

Ved substitusjon av  fra uttrykket over,

Derivasjon av den inverse cotangensfunksjonen
Vi lar

Der

Så

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

Ved substitusjon av  fra uttrykket over,

Ved substitusjon av  fra uttrykket over,

Se også 
 Trigonometri
 Kalkulus
 Derivasjon
 Tabell over deriverte

Referanser

Bibliografi 
Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964).

Differensialregning
Trigonometriske funksjoner