Analytisk geometri

Analytisk geometri eller koordinatgeometri er en gren av geometri der geometriske figurer og objekt blir beskrevet ved hjelp av koordinater 
og der metoder fra algebra og matematisk analyse anvendes for å løse problemer. 

Analytisk geometri danner grunnlaget for moderne geometri, inkludert retninger som algebraisk geometri og differensialgeometri.  Det er også mye brukt som verktøy i andre naturvitenskaper, som fysikk og astronomi. 
Metoder fra analytisk geometri har mange industrielle anvendelser, for eksempel i datagrafikk og alle former for geometrisk modellering.

Vanligvis studeres i analytisk geometri det todimensjonale planet eller det tredimensjonale rommet, i en euklidsk geometri.  
Hvert punkt er definert med et ordnet sett av tall, kalt koordinater.   
Geometriske objekt som linjer, kurver og plan blir definert ved ligninger som gir relasjoner mellom koordinatene. Til å beskrive en orientert lengde brukes en vektor.

I motsetning til analytisk geometri brukes i syntetisk geometri ikke koordinater, men problemstillinger løses ved logiske resonnement og konstruksjon med passer og linjal.

Som grunnlegger av den analytiske geometri regnes René Descartes med Discours de la méthode (1637). Også Pierre de Fermat ga tidlig viktige bidrag til fagområdet.

Punkt og koordinater

I analytisk geometri er hvert punkt i planet  definert ved to koordinater, mens et punkt i rommet er gitt ved tre koordinater.  Verdiene til koordinatene
vil avhenge av valg av koordinatsystem og definisjon av origo og koordinatakser.  Flere alternative koordinatsystem er i bruk, og avsnittet omtaler de vanligste systemene.

Kartesiske koordinater 

Det vanligste koordinatsystemet er et kartesisk system definert med to eller tre akser som står vinkelrett på hverandre.  Koordinatene til et punkt blir bestemt ved projeksjoner ned på koordinataksene.  
Et vilkårlig punkt i planet betegnes ofte  og et punkt i rommet .   

Standardbasisen i det kartesiske koordinatsystemet for  er definert ved

På vektorform kan ligningen for et vilkårlig punkt da skrives

Polarkoordinater for planet 

Polarkoordinatene  til et punkt i planet er definert ved avstanden  fra origo til punktet, samt vinkelen  som forbindelseslinjen mellom punktet og
origo danner med en gitt referanselinje gjennom origo.  

Dersom referanselinjen er -aksen i et kartesisk koordinatsystem, så er sammenhengen mellom de to systemene gitt ved

Noen plane kurver uttrykkes enklest i polarform, for eksempel vil den følgende ligningen definere en kurve kalt Arkimedes spiral for vilkårlige parametre  og :

Polarkoordinater kan generalisere til rommet i form av sylinderkoordinater eller sfæriske koordinater.

Sylinderkoordinater 

Et punkt i rommet kan i sylinderkoordinater defineres som . Definisjonen av  og  er tilsvarende som for polarkoordinater, men nå basert på projeksjonen
av forbindelseslinjen mellom punktet og origo ned på et referanseplan.  Den tredje koordinaten  er høyden fra referanseplanet til punktet.

Dersom referanseplanet er det kartesiske -planet, så er sammenhengen mellom de to koordinatsystemene gitt ved

Kulekoordinater 

I kulekoordinater, også kalt sfæriske koordinater, kan et punkt defineres ved hjelp av tre koordinater .  Nå er  avstanden fra punktet til origo.  Vinkelen 
 er vinkelen mellom projeksjonen av forbindelseslinjen og den horisontale aksen.  Forbindelseslinjen danner vinkelen  med -aksen.

Vektorer 

Et orientert linjestykke kan i analytisk geometri defineres som en vektor, basert på den valgte basisen i koordinatsystemet.  Vektorer kan adderes ved å legge sammen koordinatene:

Lengden av en vektor skrives ofte som  og er definert ved

To vektorer står normalt på hverandre dersom indreproduktet mellom de to vektorene er lik null.

Linjer, kurver og plan 

I analytisk geometri vil ligninger som involverer koordinatene kunne definere delmengder av punkt i planet eller rommet.  Ligninger kan dermed brukes til å definere geometriske objekt som linjer, kurver og plan.  

Ligningen for en rett linje kan i kartesiske koordinater uttrykkes på flere ulike måter, for eksempel i vektorform:

En viktig familie av plane kurver er kjeglesnitt, som inkluderer ellipser, hyperbler, parabler og sirkelen.  Alle kurvene kan beskrives i et kartesisk koordinatsystem 
av en ligningen på formen

 

Et plan gjennom et punkt  og normalt på vektoren  kan defineres ved ligningen

Skifte av koordinatsystem 

Ved skifte mellom alternative koordinatsystemer spiller lineær algebra en viktig rolle.

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker
 Analytisk geometri hos Store norske leksikon