Variansanalyse

Variansanalyse (ANOVA, fra det engelske «analysis of variance») er en fellesbetegnelse for en rekke statistiske metoder for å teste likhet mellom to eller flere utvalg, der én eller flere faktorer gjør seg gjeldende. Variansanalyse er i de enkle tilfellene et alternativ til Z/t-testene for å sammenligne gjennomsnitt i populasjoner.

De to grunnleggende formene for variansanalyse beskrives gjerne som 'enveis' og 'toveis' variansanalyse. I enveistilfellet hensyntar man kun én egenskap som varierer mellom gruppene, i toveistilfellet hensyntar man i tillegg egenskaper som varierer mellom individene i gruppene.

Variansanalyse med én faktor 
Det enkleste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der man har  grupper med like størrelser , og ønsker å sammenligne gjennomsnittene til gruppene. Den brukes gjerne der man ønsker å sammenligne forskjeller i respons på forskjellige behandlinger (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen man tester er for et antall populasjoner 
 
  minst to av gruppene er forskjellige.

Forutsetningene for testen er at alle observasjonene er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

Kvadratavvik og varians 
De fundamentale størrelsene i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), kvadratavvik mellom individ og gruppe (SSE) og kvadratavvik mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Disse er definert ved 

Sammenhengen mellom disse gir opphav til den fundamentale ANOVA-identiteten SST = SSTr + SSE. Videre har vi at

Dette gir opphavet til det man kaller en ANOVA-tabell:

Test av nullhypotesen 
For å teste nullhypotesen, bruker man ofte en f-test. Testobservatoren er gitt ved

som er tilnærmet -fordelt. Forkastningsområdet for  er  for ønsket signifikansnivå

Tukeys prosedyre 
F-testen er ment for å sammenligne gjennomsnittene i flere populasjoner, men den gir ikke svar på hvilke av populasjonene som er signifikant ulike hverandre. Tukeys prosedyre bruker en Q-fordeling til å beregne hvilke intervaller gjennomsnittene i populasjonen kan ligge i for å være signifikant like hverandre. For et signifikansnivå  definerer vi  som

De gjennomsnittene som har større differanse enn  er være signifikant ulike, med signifikansnivå

Relasjon til t-testen 
For tilfellet med to populasjoner, vil variansanalyse og en alminnelig t-test gi samme resultat for hypotesen  mot . T-testen er mer fleksibel, da man og kan teste hvorvidt et gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn et annet.

For  kan man i prinsippet også utføre t-tester for alle kombinasjoner av grupper, men dette vil gi større sannsynlighet for type 1-feil.

Referanser

Kilder 
 Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: Modern Mathematical Statistics with Applications. Thomson 2007.

Statistisk analyse
Eksperimentdesign
Statistiske tester
Parametrisk statistikk
Variansanalyse