Konvergens (matematikk)

Konvergens er i matematikk en egenskap knyttet til uendelige følger, rekker og produkt samt til uekte integral og innebærer at disse har en endelig grenseverdi.
Dersom en uendelig følge har en endelig grenseverdi, sies følgen å være konvergent, og tilsvarende kan en definere en konvergent rekke, et konvergent produkt eller et konvergent uekte integral.   
Også en matematisk metode kan karakteriseres som konvergent, dersom resultatet av metoden er en konvergent følge.

Det komplementære antonymet til konvergens er divergens.  

Begrep som «grenseverdi» og «nærmer seg» er naturlig knyttet til et avstandsmål, og konvergens kan defineres i et metrisk rom, der et slikt avstandsmål er gitt ved metrikken.  En kan også definere konvergens i et  topologisk rom.

Et konvergenskriterium er en regel som brukes for å avgjøre om en følge, rekke eller integral er konvergent.

Konvergens av uendelige følger i et metrisk rom 
En følge  i et metrisk rom konverger mot en grenseverdi   dersom det for en hver verdi av epsilon  eksisterer et heltall  slik at

der   er  metrikken.  Eksistensen av en grenseverdi kan skrives som

For følger av reelle eller komplekse tall brukes ofte metrikken definert ved absoluttverdien:

Definisjonen Av konvergens kan kompakt skrives som

Et eksempel på en konvergent følge er gitt ved

Grenseverdien er eulertallet e.

Konvergens av følger i et normert vektorrom 
I et normert vektorrom er metrikken definert ut fra  normen.  Konvergens i norm kalles for sterk konvergens.

Dersom  er et normert vektorrom og  er mengden av lineært begrensede funksjonaler på , så sier en at en følge  konvergerer svakt mot en grense  dersom

Konvergens av følger i et topologisk rom 
I et topologisk rom   vil følgen  konvergere mot grenseverdien , hvis det for hver omegn  til  gjelder at  bare inneholder endelig mange elementer fra følgen.

Punktvis konvergens 
En følge av funksjoner  der alle elementene har samme definisjonsmengde og verdiområde er punktvis konvergent dersom det for hvert argument  eksisterer en grenseverdi for følgen, dvs at

For ikke-trivielle klasser av funksjoner kan punktvis konvergens ikke defineres ved hjelp av en metrikk.
Punktvis konvergens er en svakere form for konvergens enn uniform konvergens.  Uniform konvergens vil alltid medføre punktvis konvergens, men ikke omvendt. 

I det følgende eksempelet konvergerer følgen punktvis i intervallet [0,1), men ikke uniformt:

Uniform konvergens 
En følge av funksjoner  med samme definisjonsmengde og verdiområde er uniform konvergent med grense   dersom det for en hver verdi av epsilon  eksisterer et heltall N, uavhengig av argumentet x, slik at

Uniform konvergens medfører at konvergenshastigheten er uavhengig av argumentet .

Konvergenshastighet for følger 
Generelt kan konvergenshastighet for en konvergent følge være et vilkårlig mål for hastigheten som følgen konvergerer med, for eksempel antall ledd som kreves for å oppnå en viss nøyaktighet.  Det eksisterer en rekke definisjoner av konvergenshastighet.

En følge  i et metrisk rom som konverger mot  sies å ha lineær konvergens med konvergenshastighet  dersom

Følgen sies å konvergere superlineært dersom  og sublineært dersom den er konvergent, men .  

Generelt sies en rekke å konverger med orden  dersom det eksisterer en  og en konstant  slik at 

 
For  = 1, 2, 3 har en henholdsvis lineær, kvadratisk og kubisk konvergens.  Konstanten   kalles den asymptotiske feilkonstanten.

Konvergens av uendelige rekker 
En uendelig rekke definert ved

er konvergent dersom følgen av partialsummer er konvergent.  Den m-te partialsummen er definert ved

 
Rekken konvergerer dersom følgen  konvergerer.

Rekken konverger absolutt dersom også den følgende rekken konvergerer:
 

En rekke konvergerer betinget dersom den konvergerer, men ikke konvergerer absolutt.

Konvergensradius for potensrekker 
En potensrekker på forma

er uniformt konvergent dersom argumentet   ligger innenfor en sirkel med senter i  og radius lik den såkalte konvergensradiusen. 

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

Konvergens av uendelige produkt 
En uendelig produkt definert ved

er konvergent dersom følgen av partialprodukt er konvergent.  Den m-te partialproduktet er definert ved

 
Produktet konvergerer dersom følgen  konvergerer.

Et kjent eksempel på produkt-konvergens er Wallis' produkt:

Konvergens av uekte integral 
Et uekte integral er et bestemt integral der en eller flere av integrasjonsgrensene er uendelig, eller der integranden har en singularitet i integrasjonsområdet. 
Et uekte integral er konvergent dersom det eksisterer en endelig grenseverdi:

Konvergens av numeriske metoder 
I numerisk analyse kan en iterativ metode brukes for å finne tilnærmete løsninger til et matematisk problem.  Metoden karakteriseres som konvergent dersom den produserer en konvergent følge av 
løsninger.
Konstruksjon av konvergente metoder og studiet av vilkår for konvergens er viktige aktiviteter i numerisk analyse.

Referanser

Litteratur 

 

Konvergens

de:Konvergenzkriterium
en:Convergent series
eo:Konverĝa serio
fa:سری همگرا
fr:Série convergente
it:Serie convergente
ja:収斂級数
ko:수렴급수
zh:收敛级数