Hilbert-rom

Et Hilbert-rom er et (ofte reelt eller komplekst) indreproduktrom som er et komplett metrisk rom med hensyn på metrikken indusert av indreproduktet. Det kan ses på som en spesialisering av klassen av vektorrom til rom med et begrep om (grader av) ortogonalitet. Hilbert-rom er viktige eksempler på Banach-rom.

Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren David Hilbert (1862–1943).

Indreproduktrom 
La være et vektorrom over  (evt. ). Et indreprodukt på  er en funksjon  slik at 

 (Positivitet)  for alle  med likhet hvis og bare hvis ; 
 (Additivitet i hver variabel)  for alle ; 
 (Linearitet i første variabel)  for alle  og ; 
 (Antisymmetri)  for alle .

Et vektorrom utstyrt med et indreprodukt kalles et indreproduktrom. To umiddelbare konsekvenser av definisjonen er at 

 (Antilinearitet i andre variabel)  for alle  og ; 
 (Additivitet i andre variabel)  for alle .

Definisjonen tilpasset enklet til vektorrom over reelle tall ved å fjerne alle konjugasjoner. 

Det er enkelt å sjekke at et indreprodukt  induserer en norm  på  gitt ved  for alle . Et indreproduktrom kalles et Hilbert-rom hvis det er et komplett metrisk rom med hensyn på denne normen.

Sentrale eksempler

Euklidske og hermitiske rom 
Det n-dimensjonale euklidske rommet  er et Hilbert-rom under indreproduktet gitt ved  for , som kalles det euklidske indreproduktet. Tilsvarende er  et indreproduktrom under det hermitiske indreproduktet gitt ved  for .

Kvadratsummerbare følger 
Mengden  av kvadratsummerbare følger av komplekse tall er et Hilbert-rom med indreprodukt gitt ved for .

Kvadratintegrerbare funksjoner 
La  være et målrom. Man definerer rommet av kvadratintegrerbare funksjoner ved 

Man kan forsøksvis definere et indreprodukt på  ved , men denne funksjonen tilfredsstiller generelt ikke punkt 1 i definisjonen ovenfor da funksjoner som er 0 bortsett fra på en mengde av mål 0 vil få norm 0. Løsningen er å identifisere funksjoner som er like bortsett fra på en mengde av mål 0 og i steden studere det tilsvarende vektorrommet av ekvivalensklasser av funksjoner. Dette gjøres som følger: Definer en ekvivalensrelasjon  på  ved 

For  lar vi  betegne ekvivalensklassen til . Vi skriver for mengden av slike, som arver en vektorromssstruktur fra . Vi kan nå definere et indreprodukt på  ved  for Riesz-Fischer-teoremet sier at dette rommet er komplett med hensyn på den induserte normen og således er et Hilbert-rom. Merk at forrige eksempel er et spesialtilfelle av denne konstruksjonen der det relevante målrommet er  med -algebraen bestående av alle delmengder og tellemålet.

Riesz' representasjonsteorem 
Et av de viktigste grunnleggende resultater om Hilbert-rom generelt er Riesz' representasjonsteorem. (Riesz' representasjonsteorem). La  være et Hilbert-rom over  (enten  eller ) og anta at  være en begrenset lineær funksjonal. Da finnes en unik vektor  slik at  for alle  Dessuten er Riesz' representasjonsteoremet gir en antilineær isometrisk isomorfi mellom Hilbert-rommet  og dualrommet .

Eksterne lenker 
 

Lineær algebra
Funksjonalanalyse
Normerte rom