Cauchy-følge

En Cauchy-følge eller en fundamentalfølge  er en følge av elementer i et metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlige elementer gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgen de to elementene befinner seg.  Velger en et vilkårlig positivt tall kan en alltid finne to elementer i følgen slik av avstanden mellom disse elementene er mindre enn  det valgte tallet.

Navnet har følgene fått etter matematikeren Augustin Louis Cauchy, og begrepet «Cauchy-følge» (Cauchy sequence) ble første gang kjent brukt i 1906.

Cauchy-følger spiller en svært viktig rolle i studiet av  konvergens for følger, blant annet fordi de gjør det mulig å studere konvergens uten å ha kjennskap til grenseverdien som følgene konvergerer mot.  I et komplett metrisk rom vil en Cauchy-følge alltid være konvergent, og omvendt.  Dette gjelder for eksempel for Cauchy-følger av  reelle tall, såkalte tallfølger.

Formell definisjon 
La S være et metrisk rom utstyrt med metrikken  d.  En følge   av elementer i S er en Cauchy-følge dersom det for enhver  eksisterer et naturlig tall N slik at 

. 

For et metrisk rom som består av reelle tal bruker en vanligvis metrikken

Egenskaper 
 I et vilkårlig metrisk rom vil en konvergent følge alltid være en Cauchy-følge.  Det motsatte er ikke generelt tilfelle: en følge kan være en Cauchy-følge uten å være konvergent.
 I et  kompakt metrisk rom vil en Cauchy-følge alltid være konvergent og ha en grenseverdi i rommet.

Komplette metriske rom 
Et metrisk rom S sies å være komplett dersom en hver Cauchy-følge konvergerer mot et element som også ligger i S.  

Mengden av reelle tall R er et eksempel på et komplett metrisk rom.  Det er derimot ikke mengden av  rasjonale tall Q, dvs tall som kan skrives som en brøk.  I Q er det mulig å konstruere Cauchy-følger som konvergerer mot en grense som ikke selv er et rasjonalt tall. Ett eksempel er gitt i det følgende:

Alle elementene er rasjonale, men følgen konvergerer mot kvadratroten av to, som er et irrasjonalt tall.

Cauchy-kriteriet 
Cauchy-kriteriet for en følge av reelle tall sier at følgen er konvergent  hvis og bare hvis følgen er en Cauchy-følge.

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker

Følger og rekker
Reell analyse
Kompleks analyse