Gradient

I matematikk er gradienten til et skalarfelt et vektorfelt der vektoren i et hvert punkt peker i retningen til den største økningen i skalarfeltet. Lengden av vektoren er et uttrykk for endringen til skalarfeltet i retning av vektoren.

Gradienten til en funksjon f = f(x1, ..., xn)  skrives vanligvis ∇f  der ∇ er nabla-operatoren. Den utgjør den fundamentale operasjon i vektoranalysen.

I figurene til høyre er to forskjellige skalarfelt tegnet i svart/hvitt, der svart symboliserer høyere verdier. Den tilhørende gradienten er vist med blå piler. 

Ordet gradient brukes også ofte i en løsere betydning for å betegne variasjon i en eller annen størrelse.

Formell definisjon 
Gradienten til et generelt skalarfelt  definert i et kartesisk koordinatsystem er definert ved

 

der den i-te  vektorkomponenten er lik den partiellderiverte av funksjonen  f med hensyn på den i-te koordinaten.

Definisjonen av gradienten vil avhenge av koordinatsystemet brukt.  sylinderkoordinater er definisjonen

som gir de fysiske komponentene av gradienten. I kulekoordinater er på samme måte

Eksempel 
Gradienten til den følgende funksjonen, definert i kartesiske koordinater,
 
 ,

er gitt ved

Taylorutvikling av skalarfelt 
For et punkt der gradienten er definert vil variasjonen i et skalarfelt til første orden kunne uttrykkes ved hjelp av gradienten som

der restleddet E går mot null når  går mot null.

Se også 
 Divergens
 Curl
 Laplace-operator
 Temperaturgradient
 Trykkgradient

Referanser 

Differensialregning
Differensialoperatorer
Generalisering av den deriverte
Vektorregning