Metrisk rom

Et metrisk rom i matematikk er en mengde der det er definert en metrikk eller et  avstandsmål mellom to vilkårlige elementer i mengden. Et metrisk rom har en struktur kun bygd opp omkring avstanden mellom to objekter, og definisjonen gjør det mulig å studere matematiske sammenhenger basert på de formelle egenskaper til avstandsmålet.  Et matematisk resultat der beviset bygger ene og alene på de generelle egenskapene til en metrikk, vil være gyldig i alle metriske rom.  

Et eksempel på et metriske rom er mengden av reelle tall, definert med metrikken . Andre eksempler euklidske rom  Rn, definert sammen en avstandsmetrikk, og Manhattan-metrikken for et sett av punkter i et kartesisk plan, gitt en metrikk basert på en sum av absoluttverdien av koordinatene til disse punktene.

Ethvert metrisk rom er også et topologisk rom, og mengden av alle metriske rom er derfor en undermengde av alle topologiske rom. Motsatt er alle normerte vektorrom, herunder alle indreproduktrom, metriske rom og mengden av alle normerte vektorrom (hhv. alle indreproduktsrom) er derfor ungdermengder av alle metriske rom.

Formell definisjon 
Et metrisk rom (V,d) er en mengde V der det er definert en metrikk d, det vil si en  funksjon som  for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:

Eksempler på metriske rom

Mengden reelle tall og absoluttverdien mellom to tall
Mengden av alle reelle tall , kombinert med en metrikk definert som absoluttverdien mellom to punkter

er et metrisk rom. Vi har her at

og lik 0 hvis og bare hvis . Videre er

så symmetribetingelsen er oppfylt, og for alle  gjelder
,
det vil si at trekantulikheten også gjelder.

Euklidske rom og avstanden mellom to punkter
Ethvert euklidsk rom , der metrikken er lik avstanden mellom to punkter, gitt ved

er et metrisk rom. Denne metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis . Videre er den er symmetrisk; å bytte om på x og y vil gi samme avstand:

for alle i. Trekantulikheten holder også: For alle punkter , vil
.

Altså er alle betingelser oppfylt – og ethvert euklidsk rom, med metrikk gitt ved avstanden mellom to punkter, utgjør et metrisk rom.

Euklidske rom og Manhattan-metrikken

Manhattan-metrikken er definert over , med metrikk gitt ved

for alle punkter . Dette tilsvarer avstanden man må kjør dersom man følger en kvadratisk gatestruktur mellom to punkter.

Et generelt rom og en diskret metrikk
Et annet eksempel på et metrisk rom er en mengde punkter  og en diskret metrikk, gitt ved
.
Metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis , så første betingelse er oppfylt. Hvis  så er  og hvis ikke så er ; dermed gjelder også symmetribetingelsen. Videre, hvis  er punkter i rommet , der  så gjelder  uansett hva  er. Hvis  så kan ikke både  og  (men muligens er én av de sanne) så minst én av  og  har verdi 1 og dermed gjelder også  for alle punkter . Ettersom alle betingelsene er oppfylt, er  med tilhørende metrikk et metrisk rom.

Egenskaper

Konvergens 
En følge i et metrisk rom  er en mengde punkter , ofte skrevet som , i dette rommet. Man sier at en følge konvergerer til en grense  dersom man for enhver  kan finne en verdi  slik at 

for alle .

Kontinuitet 
En funksjon , der  og  er to metriske rom, sies å være kontinuerlig dersom den oppfyller epsilon-delta-betingelsen: Funksjonen  er kontinuerlig for enhver , der , og enhver , finnes en  slik at dersom  og , så er .

Kompletthet

Et metrisk rom V sies å være komplett dersom en hver Cauchyfølge konvergerer mot et element som også ligger i V. Alle lukkede mengder av komplette rom utgjør også i seg selv et komplett rom. 

Mengden av reelle tall  er et eksempel på et komplett metrisk rom; det samme gjelder et generelt m-dimensjonalt euklidsk rom . Det er derimot ikke mengden av  rasjonale tall , dvs tall som kan skrives som en brøk.  I  er det mulig å konstruere Cauchyfølger som konvergerer mot et grense som selv ikke er et rasjonalt tall.

Kompakthet
En undermengde A i et metrisk rom (V,d) er begrenset dersom det eksisterer et objekt x i A og en positiv konstant M slik at 

Et delmengde A i et metrisk rom V sies å være kompakt dersom enhver følge i A har en konvergent delfølge. Enhver kompakt mengde er lukket og begrenset.

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker
 

Matematisk analyse
Topologi
Matematiske strukturer
Topologiske rom