Lie-gruppe

I matematikk er en Lie-gruppe en gruppe som også er en deriverbar mangfoldighet, slik at gruppeoperasjonen og inversen er glatte avbildninger.

Alternativt kan man definere en liegruppe som at mangfoldighetsstrukturen og avbildningene skal være glatte. Hilberts 5. problem handler om hvorvidt disse to definisjonene er ekvivalente, og svaret er ja. Dette ble bevist av blant andre Gleason, Montgomery og Zippin på 50-tallet.

Et eksempel er de reelle tallene  med gruppeoperasjon  og standardtopologien: Her er gruppeoperasjonen 

 

kontinuerlig, og det samme gjelder inversfunksjonen 

. 

Et annet eksempel er den generelle lineære gruppen  og alle dens lukkede delmengder.

Navnet Lie-gruppe kommer fra den norske matematikeren Sophus Lie, som arbeidet med differensialligninger, og oppdaget at løsningene han fant hadde symmetrier. Hans arbeide med disse symmetriene la grunnen for den moderne geometrien, der liegrupper og deres operasjoner på topologiske rom spiller mange av hovedrollene.

Formell definisjon

En liegruppe består av en trippel 

der  er en mengde,  er en binær operasjon på mengden og  er en topologi på mengden, slik at  er en gruppe,  er en deriverbar mangfoldighet, og avbildningene  og  gitt av , og , er glatte.

Symmetri
Mangfoldigheter
Lie-grupper