Black-Scholes

Black-Scholes er et begrep hentet fra matematisk finans som brukes løst om tre ulike ting:

 Den stokastiske differensialligningen som ofte brukes som modell for et verdipapir, som for eksempel en aksje.
 Den partielle differensialligningen som utledes fra modellen i punktet over.
 Løsningen av den partielle differensialligningen i punktet over.

Begrepet tar sitt navn fra forfatterne Fisher Black og Myron Scholes som arbeidet med prissetting av en Europeisk opsjon på begynnelsen av 1970-tallet. Sammen med Robert C. Merton, som først innførte begrepet, løste de problemet med å finne en rettferdig pris på en Europeisk opsjon gitt visse betingelser. Senere ble Merton og Scholes tildelt Sveriges Riksbanks pris i økonomisk vitenskap til minne om Alfred Nobel for sitt arbeid i 1997, mens Black ikke kunne motta prisen da han døde i 1995.

Black-Scholes som en stokastisk prosess

Som en stokastisk differensialligning er Black-Scholes-modellen formulert på følgende vis:

under antagelsene at både driften  og volatiliteten  er konstante. Videre er "støyen"  en standard Brownsk bevegelse, og følgende antagelser er gjort med tanke på markedet og aksjen:
 Short-salg er tillatt.
 Det er ingen transaksjonskostnader.
 Markedet er arbitrasje-fritt.
 Aksjen betaler ikke ut fortjeneste.
 Handel foregår kontinuerlig.
 Man kan handle fraksjoner av en aksje.
 Man kan låne penger i banken til en gitt risiko-fri rente.

Denne modellen kan løses analytisk og gir da en pris for en Europeisk opsjon under disse antagelsene kombinert med startbetingelsen . Dette gjøres blant annet på online opsjonskalkulatore slik den Oslo Børs benytter .

Black-Scholes som en partiell differensialligning

Fra Black-Scholes modellen over kan man utlede en partiell differensialligning. Dette kan gjøres på flere måter, avhengig av hvilken teknikk man bruker.

Arbitrasje-fri utledning

Under antagelsene at man har et komplett marked kan man bruke Feynman-Kacs teorem samt den karakteristiske generatoren assosiert med Black-Scholes stokastiske differensialligningen. Fra dette får man den partielle differensialligningen

med sluttbetingelsen

Utledning med delta-hedging

Ved å komponere en portefølje bestående av en aksje og en opsjon kan man finne en arbitrasje-fri pris ved bruk av delta hedging. Vi tar utgangspunkt i at aksjedynamikken beskrives ved

og at opsjonen kan beskrives som en funksjon av denne, slik at 

ved bruk av Itôs lemma.

Nå konstruerer vi en portefølje med én opsjon og  aksjer, og får da følgende:
.
Dersom vi holder antallet aksjer fiksert over et lite tidsintervall  vil porteføljens verdi forandre seg etter relasjonen

Setter vi nå inn for  og  gitt over finner vi at 

Siden vi ønsker at all usikkerhet skal bort – vi vil hedge – velger vi  i starten av tidsintervallet  Nå har vi en portefølje hvor usikkerheten er fjernet og endringen er helt deterministisk:

Ved arbitrasjeargumenter må verdien til porteføljen være , og vi finner at 

Setter vi nå inn for  og  finner vi Black-Scholes partielle differensialligning:

Kritikk

Portfolio.com ved Michael Lewis skrev i 2008 en kritisk artikkel som omhandler denne modellen.

Referanser

Matematisk finans