Maksimum og minimum

Et maksimum eller en maksimumsverdi er i matematikk et største element i en mengde.  Tilsvarende er et minimum eller en minimumsverdi et minste element.
For en funksjon er en maksimumsverdi den største verdien funksonen tar globalt eller lokalt.

En samlebetegnelse for maksimums- og minimumsverdier er ekstrema (flertall av ekstremum) eller ekstremalverdier (ikke til å forveksle med ekstremverdier).

For en mengde  er en vanlig notasjon for maksimum og minimum  og , og for en funksjon  kan en tilsvarende skrive
 og .

Karakterisering av ekstremalverdier er ofte viktig i analyse av både mengder og funksjoner, for eksempel i funksjonsdrøfting.
I optimering er et viktig mål å lokalisere globale ekstremalverdier.

Maksimum og minimum i en mengde

I enkle tallmengder, som

kan en ha en intuitiv  forståelse av hva som er det minste og det største elementet.  Mer formelt er i mengdelære en totalt ordnet mengde en mengde der det gitt en binær relasjon som definerer 
rekkefølgen til samtlige element i mengden.  En slik relasjon kan skrives som , og relasonen skal oppfylle tre aksiomer:

 Relasjonen er antisymmetrisk : Hvis  og , så er .   
 Relasjonen er transitiv: Hvis  og , så er .    
 Relasjonen er total, slik at for to elementer  og , så er enten  eller .

Med grunnlag i en slik ulikhetsrelasjon kan en definere et største element i en mengde som

,

forutsatt at et slikt element eksisterer.   En minimumsverdi defineres tilsvarende.

En gitt ordnet mengde kan ha ekstremalverdier, men det trenger ikke være tilfelle.  To eksempler på mengder som ikke har ekstremalverdier
er det åpne intervallet  og mengden av reelle tall .

Hvis  er en delmengde av en større mengde , så vil maksimum til  eksistere kun dersom  har en øvre skranke i .
Hvis maksimum eksisterer, så vil supremum og maksimum til  være like.

Maksimum og minimum til en funksjon

Grunnleggende begrep 

En reell funksjon  av en eller flere variable kan ha flere ekstremalverdier.  Et argument  der funksjonen har en ekstremalverdi kalles et ekstremalpunkt, 
henholdsvis et maksimumspunkt eller et minimumspunkt.

De globale eller absolutte  ekstremalverdiene til funksjonen er lik ekstremalverdiene til verdimengden til funksjonen, forutsatt at disse finnes.  
Dette vil være minste og største verdi som funksjonen har, for alle argument i definisjonsmengden.  For den globale maksimalverdien gjelder at

.

Den globale minimumsverdien defineres tilsvarende.  En global ekstremalverdi kan svare til flere ekstremalpunkter.

En funksjon kan også ha en lokal (eller relativ) ekstremalverdi for et punkt , dersom definisjonmengden  er et metrisk rom.  I et slikt rom kan en definere en omegn 
 om punktet .  Funksjonen har et lokalt ekstremalpunkt i  dersom dette er et globalt ekstremalpunkt 
når funksjonen begrenses til å være definert i .  Ofte utelates ordet «lokal», for eksempel i en setning som «funksjonen har en maksimumsverdi for », 
og det er da underforstått at maksimumsverdien er lokal.  Et globalt maksimumspunkt er også et lokalt maksimumspunkt.

En lokalt eller globalt maksimumsverdi er en strikt eller streng maksimumsverdi, dersom relasjonen  i definisjonen kan erstattes med streng ulikhet .

Uformelt svarer enhver lokal topp i grafen til en kontinuerlig funksjon til en lokal maksimumsverdi.

Ekstremalpunkt for en reell funksjon av én variabel 

En reell funksjon av én reell variabel er en funksjon  der .  Et ekstremalpunkt for en slik funksjon vil alltid være et kritisk punkt,
det vil si et punkt  av en av de tre følgende typene:

 Et punkt der funksjonen er deriverbar, og .   Slike punkt kalles stasjonære punkt.
 Et punkt der funksjonen ikke er deriverbar.
 Et endepunkt i et intervall som inngår i definisjonsmengden .

For et punkt der funksjonen er deriverbar, er det altså et nødvendig vilkår for å ha et ekstremalpunkt at den deriverte av funksjonen er lik null.

For et punkt  der en funksjon er deriverbar vil hver av de to følgende testene gi tilstrekkelige vilkår for at punktet er et maksimumspunkt:

  er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom  og den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ når  vokser gjennom .
  er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom  og .

Tilsvarende har en for et minimumspunkt:

  er et lokalt strengt minimumspunkt dersom  og den deriverte skifter fortegn fra negativ til positiv når  vokser gjennom .
  er et lokalt strengt minimumspunkt dersom  og .

Ekstremalverdisetningen 

Ekstremalverdisetningen sier at dersom en reell funksjon er kontinuerlig på et lukket intervall , må  ha både en maksimums- og en minimumsverdi minst én gang på dette intervallet. 
Det vil si at det finnes tall  og  i [a, b] slik at

Ekstremalpunkt for et skalarfelt 

Et skalarfelt er en reell funksjon av flere variable, på formen

.

Argumentet  er her en n-dimensjonal vektor.

Dersom et skalarfelt har partiell deriverte av første og andre orden, så er de to følgende vilkårene til sammen tilstrekkelig for at funksjonen skal ha en lokalt 
ekstremalverdi:

 Gradienten til funksjonen er lik null.  Punkt der dette er oppfylt kalles stasjonære punkt.
 Egenverdiene til hessematrisen er alle positive, for en minimumsverdi, eller alle negative, for en maksimumsverdi.

Dersom hessematrisen har noen positive og noen negative egenverdier i et stasjonært punkt, så er dette et sadelpunkt.

Ekstremalpunkt for en funksjonal 

En funksjonal er en funksjon fra et vektorrom  inn i mengden av skalarer, vanligvis mengden av reelle tall:

.

Vektorrommet  kan for eksempel være mengden av kontinuerlige funksjoner på et gitt intervall. Ekstremalverdiproblemer for funksjonaler studeres i variasjonsregning og i funksjonalanalyse.

Et nødvendig vilkår for at en funksjonal som er Gateaux-deriverbar skal ha en ekstremalverdi, er at Gateaux-deriverte i alle retninger er lik null.

Matematisk optimering 

En type problemstilling i matematisk optimering er å finne ekstremalpunkt for en funksjonal, gitt et sett av sidevilkår på de uavhengige variable.  Dersom sidevilkårene er gitt i form av
likheter, så gir bruk av Lagrange-multiplikatorer en metode for å løse problemet.
Et klassisk problem er å finne en funksjon , slik at kurven til funksjonen har en fast lengde , faste endepunkt og samtidig avgrenser 
et maksimalt areal .  En matematisk formulering kan være å finne  som gir , når

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker

Matematisk analyse
Mengdelære
Matematisk optimalisering
Differensialregning