Lukket mengde

I topologi er en lukket mengde en mengde som inneholder sine egne randpunkter. Et eksempel på lukkede mengder er lukkede intervall, som for eksempel intervallet [0,1], som består av alle tall fra 0 til 1, inklusive 0 og 1. «Randen» til denne mengden består av endepunktene 0 og 1, og siden disse er med i intervallet, er det lukket.

Intervallet (0,1), som består av tallene som ligger mellom 0 og 1, er ikke en lukket mengde, men derimot en åpen mengde, siden den ikke inneholder endepunktene. Det finnes også mengder som verken er lukkede eller åpne, som det halvåpne intervallet [0,1).

Definisjon 

La A være en mengde inneholdt i et metrisk rom M, som for eksempel den reelle tallinja R, eller det n-dimensjonale euklidske rommet Rn. De følgende definisjonene er ekvivalente:

 A er en lukket mengde hvis komplementet til A er en åpen mengde.
 A er en lukket mengde hvis det for enhver x i M som ligger utenfor A, finnes en verdi ε > 0, slik at ethvert punkt y i M, hvis avstand til x er mindre enn ε, også ligger utenfor A.
 A er en lukket mengde hvis den inneholder alle sine egne opphopningspunkt.  Dette er det samme som å si at hvis {an} er en følge av tall i A som konvergerer mot et tall a i M, så vil a alltid ligge i A.

I topologiske rom definerer man en lukket mengde ved den førstnevnte definisjonen ovenfor; det vil si at lukkede mengder er de mengdene hvis komplement er åpne.

Topologi