Den tomme mengden

Den tomme mengden er innenfor matematikk en mengde uten elementer.

Notasjon
Den tomme mengde skrives {}, Ø eller . De to siste symbolene ble innført av Bourbaki-gruppen i 1939, inspirert av bokstaven Ø.

Egenskaper
I henhold til eksistensialitetsaksiomet er to mengder like dersom de inneholder de samme elementene – det finnes med andre ord kun én mengde som ikke inneholder noen elementer. Denne kalles derfor den tomme mengden, snarere enn en tom mengde.

For enhver mengde A gjelder følgende:
 Den tomme mengden er en delmengde av A:
 ∀A: ∅ ⊆ A
 Unionen mellom A og den tomme mengden er A:
 ∀A: A ∪ ∅ = A
 Snittet mellom A og den tomme mengden er den tomme mengden:
 ∀A: A ∩ ∅ = ∅
 Det kartesiske produktet av A og den tomme mengden er tomt:
 ∀A: A × ∅ = ∅

Den tomme mengden har følgende egenskaper:
 Dens eneste delmengde er den tomme mengden selv:
 ∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
 Potensmengden av den tomme mengden er en mengde som kun inneholder den tomme mengden:
 2∅ = {∅}
 Antallet elementer (mengdens kardinalitet) er null:
 |∅| = 0

Mengdelære