Basis (matematikk)

En basis for et rom i matematikk er en mengde objekter som kan brukes til å generere alle objekter i rommet.  Måten objektene genereres på fra objekter i basisen vil avhenge av strukturen i rommet, det vil si hvilke regler som gjelder for å kombinere objekter og på den måten danne nye objekter.

En basis er komplett i den forstand at alle objekter i rommet kan genereres ut fra basisen.  En basis er også minimal i den forstand at den er en minste mengde som trengs for å generere alle andre objekter i rommet.  Et objekt i basisen kan ikke genereres fra de andre objektene i basisen.

Et eksempel på en basis finner en i bruken av de tre primærfargene rød, grønn, blå i RGB-fargemodellen. I denne fargemodellen kombineres primærfargene ved additiv fargesyntese til å beskrive andre farger i fargespekteret.  Alle tre primærfargene er nødvendige for å kunne generere hele fargespekteret.  En basisfarge som rød kan ikke beskrives ved hjelp av de to andre fargene grønn og blå.

En basis for et vektorrom er grunnlaget for definisjonen av dimensjon og koordinater.  Ulike basis-definisjoner inngår i mange deler av matematikk, for eksempel i algebra, i funksjonalanalyse, i geometri og i topologi.

Algebraisk basis 
La  være et vektorrom over en kropp . En endelig mengde av vektorer  kalles lineært uavhengig dersom ligningen 

kun har den trivielle løsningen . En mengde  kalles lineært uavhengig hvis hver endelige delmengde av  er lineært uavhengig. En mengde  kalles basis for  hvis  er lineært uavhengig og 

Man bruker innimellom uttrykkene algebraisk basis eller Hamel-basis for å skille en slik basis fra andre basisbegreper, eksempelvis en Schauder-basis (se nedenfor). Det følger av Zorns lemma at alle vektorrom har en basis. Man kan også vise at alle basiser for et gitt vektorrom har samme kardinalitet. Man kan derfor definere dimensjonen til  til å være kardinaliteten til en basis for rommet. Eksempelvis er  en basis for , mens  ikke er en basis for  da den ikke er lineært uavhengig. 

Mer generelt kan man for en modul  over en ring  definere en basis for  over  som ovenfor. I motsetning til et vektorrom behøver ikke en modul over en ring nødvendigvis ha noen basis. En modul som har en basis kalles fri.

Schauder-basis for et Banach-rom 
En Schauder-basis for et Banach-rom  er en tellbar mengde vektorer  med egenskapen at for enhver vektor  eksisterer det en følge  av skalarer slik at

Ikke alle Banach-rom har en Schauderbasis. En Schauder-basis vil ofte være mer velegnet enn en algebraisk basis for analyse av et uendeligdimensjonalt vektorrom. Dette kommer av at Hamel-basiser for uendeligdimensjonale Banach-rom minst har kardinaliteten til kontinuumet, og således er vanskelige å arbeide med i praksis. Den polske matematikeren Juliusz Schauder arbeidet med funksjonalanalyse og har fått navnet sitt knyttet til denne basisklassen.

Ortonormal basis i indreproduktrom 
I indreproduktrom spiller ortonormale basiser en spesiell rolle. En mengde  av vektorer i et indreproduktrom  kalles ortonormal dersom

En basis som er ortonormal, kalles en ortonormal basis. 

Mange ortonormerte basiser har fått egne navn, spesielt knyttet til vektorrom av polynom:

 Chebyshev-polynom, oppkalt etter Pafnuty Chebyshev 
 Hermitske polynom, oppkalt etter Charles Hermite 
 Jacobi-polynom, oppkalt etter Carl Gustav Jacob Jacobi
 Laguerre-polynom, oppkalt etter Edmond Laguerre
 Legendre-polynom, oppkalt etter Adrien-Marie Legendre

Basis i en topologi 
En basis i en topologi er et sett av åpne mengder slik at en hver annen åpen mengde i topologien kan uttrykkes som en union av mengdene i basisen.  Basen er sagt å generere topologien.  En og samme topoplogi kan ha flere alternative basiser.

Referanser

Litteratur 

Lineær algebra
Topologi