Aritmetikkens fundamentalteorem

Aritmetikkens fundamentalteorem er et teorem i tallteori som sier at ethvert naturlig tall større enn 1 kan skrives som et entydig produkt av primtall. For eksempel er:

Det eksister ingen annen måte å faktorisere disse tallene på, og den gitte faktoriseringen kalles primtallsfaktoriseringen. Dette betyr at primtallene kan ses på som en type «byggesteiner», som alle de andre heltallene består av. Siden multiplikasjon er kommutativ, spiller det ingen rolle hvilken faktor som skrives først. Som regel skriver man fra de minste til høyeste.

Anvendelser 

Aritmetikkens fundamentalteorem, og det faktum at alle naturlige tall er bygd opp av primtall, har gjort at matematikere opp gjennom tidene har vært svært opptatt av nettopp primtall. Dette teoremet viser hvor viktige primtallene er.

Kjenner man primtallsfaktorisingen til et gitt tall, så er det lett å finne største felles nevner og minste felles multiplum. Eksempelvis er største felles nevner til tallene over 

. 

Dersom primtallsfaktoriseringen ikke er kjent, så er det som regel raskere å bruke Euklids algoritme for å finne største felles nevner.

Bevis 

Vi skal vise at enhvert naturlig tall  på en entydig måte kan skrives som produktet av primtall (om man ser bort i fra rekkefølgen faktorene skrives i). Vi beviser først at man kan skrive et vilkårlig tall på denne måten. Etterpå beviser vi at denne representasjonen er entydig.

Enten er  et primtall eller ikke. Hvis  er et primtall så er det ikke noe mer å bevise. Om  ikke er noe primtall, så finnes det et heltall  som deler , hvor . Blant alle slike , velg  som det minste. Da må  våre et primtall. Ellers ville også det tallet hatt en divisor  hvor , noe som motsier at  er det minste tallet som deler .

Vi kan dermed skrive . Hvis  er et primtall er det ikke mer å bevise. Hvis ikke kan vi gjenta argumentasjonen og produsere et nytt primtall  slik at .

Dette kan vi fortsette med lenge, men  kan ikke fortsette evig, så til slutt vil  være et primtall vi kan kalle .

For å bevise at denne representasjonen er unik, anta at  kan skrives som produktet av primtall på to måter, la oss si , der , og  og  er primtall skrevet i stigende rekkefølge slik at  og .

Fordi  deler  må  for en eller annen . Men da er . Om vi argumenterer på lignende måte får vi også at , og dermed at . Om vi gjentar denne prosessen får vi at , altså at . Om  får vi at , noe som er absurd, og dermed er , og , , noe som gjør de to faktoriseringene identiske. Beviset er dermed fullført.

Litteratur 
 

Teorem i tallteori
Aritmetikk
Fundamentalteorem

de:Primfaktorzerlegung#Fundamentalsatz der Arithmetik