Stokastisk prosess

En stokastisk prosess er et matematisk objekt som anvendes for å beskrive tilfeldige (stokastiske) forandringer.

En reell stokastisk prosess  er en samling
 av stokastiske variabler
 som er
definert i samme sannsynlighetsrom . Hvis indeksmengden  er
diskret, sier man at  er en stokastisk prosess i
diskret tid, og dersom indeksmengden er kontinuerlig sier man at
 er en stokastisk prosess i kontinuerlig tid.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel er et
sannsynlighetsmål  på Borel
sigma-algebraen på mengden av de reelle tallene
: 

 

De endelig-dimensjonale fordelingene for en stokastisk prosess er mengden 
av alle tenkbare flerdimensjonale sannsynlighetsfordelinger som assosieres
med den stokastiske prosessen:

 

der index  og mengdene
 for hvert valg av heltallet 

Assosiert med en stokastisk prosess er dens forventningsverdifunksjon
 
 

og dens kovariansfunksjon 

 

Disse defineres av følgende integraler med hensyn på sannsynlighetsmålet .

og

,
 
der forventningsverdien  beregnes i produktrommet 

Hvis det viser seg at de endelig-dimensjonale fordelingene for den stokastiske prosessen X er absolutt kontinuerlige med hensyn på Lebesgue-målet, så kan den forventningsverdien over skrives som

og

der funksjonen  er den Radon-Nikodym-deriverte av sannsynlighetsfordelingen for den stokastiske variabelen  med hensyn på Lebesgue-målet på 

 

Denne deriverte kalles innenfor sannsynlighetsteori og statistikk for den stokastiske variabelens tetthetsfunksjon. På motsatt vis er funksjonen  Radon-Nikodym-derivatet

av sannsynlighetsfordelingen for den to-dimensjonale stokastiske variabelen  med hensyn på Lebesgue-målet i området 

Stokastiske prosesser forekommer ofte i teknisk, økonomisk og finansiell teori.

Stokastiske prosesser