Giovanni Girolamo Saccheri

Giovanni Girolamo Saccheri (født 5. september 1667 i San Remo i Italia, død 25. oktober 1733 i Milano) var en italiensk katolsk prest tilhørende jesuittordenen og en ledende matematiker. Han er mest kjent for å ha utforsket alternativ til parallellpostulatet i euklidsk geometri i et forsøk på å bevise dette. Hundre år etter hans død ble det vist at disse alternativene tilsvarer eksistensen av ikke-euklidsk geometrier.

Biografi
I 1690 begynte Saccheri å studere filosofi og teologi ved en jesuittisk skole i Milano. Der fulgte han også forelesninger i matematikk under matematikereren og jesuitten Tommaso Ceva. Denne var bror til den mer kjente Giovanni Ceva. Her publiserte han i 1693 sitt første større, matematiske verk Quaesita geometrica som var en lærebok i geometri. Fra 1694 underviste han i filosofi ved Universitetet i Torino og publiserte i 1697 verket Logica demonstrativa. Her innførte han en mer stringent fremgangsmåte ved logiske utledninger. Denne metoden brukte han senere i sine matematiske arbeid. Samme år begynte han å undervise filosofi og teologi ved universitetet i Pavia hvor han i 1699 også fikk lærestolen for matematikk. Denne beholdt han til sin død.

Saccheri forsøkte å utlede parallellpostulatet fra Euklids øvrige aksiomer ved reductio ad absurdum. Samme år som han døde, offentliggjorte han sine resultat i sitt mest berømte verk Euclides ab omni naevo vindicatus (Euklid rensket for alle feil ). Han lyktes ikke i å bevise parallellpostulatet på denne måten, men utledet tvertimot mange av de teoremene som i dag regnes til den hyperbolske geometrien. Noen av disse minner delvis om resultat som tidligere var oppnådd av Omar Khayyam og senere videreført av Nasir al-Din al-Tusi. Man må gå ut fra at Saccheri kjente disse arbeidene.

Betraktningene til Saccheri ble raskt glemt etter hans død selv om hans bok fantes ved flere tyske universitet. Da ikke-euklidsk geometri ble oppdaget av Janos Bolyai og Nikolaj Lobatsjevskij hundre år senere, skjedde dette uten direkte kjennskap til hans verk. Dette ble først gjenoppdaget i 1889 av den italienske matematiker Eugenio Beltrami som selv var med på å videreutvikle denne delen av moderne matematikk.

Saccheris firkant

Euklids geometri var basert på fem postulater. De fire første definerer både hva en rett linje og en sirkel er. Av dette følger også hvordan man alltid kan konstruere en rett vinkel. Med disse antagelsene kunne Euklid så bevise åtte og tyve påstander som omhandler mer kompliserte, geometriske konstruksjoner. Men fra og med den neste påstanden må han ta i bruk det femte postulatet som definerer en parallell linje. Dette postulatet hadde vært omdiskutert siden antikken, og mange hadde prøvd å bevise det ut fra de fire første postulatene som virket mer fundamentale.

Saccheri var overbevist om at euklidsk geometri var riktig. Han ville bevise det femte postulatet ved å finne en selvmotsigelse som ville oppstå hvis man antok noe annet. På samme måte som  Omar Khayyam tok han utgangspunkt i en symmetrisk firkant med en visse grunnlinje som går gjennom to punkt A og B. Mens Khayyam og mange andre etter han antok at en linje parallell med linjestykket AB måtte ha konstant avstand til denne, var Saccheri mer forsiktig i sin argumentasjon. For å definere firkanten, opprettet han en perpendikulær i A og en i B. Langs disse kunne han så sette av to punkt C og D slik at linjestykkene AD og BC er like lange. Ifølge Euklids første postulat, kan så en linje trekkes fra B til C. Han sier ingenting om at denne  topplinjen er parallell eller ikke med linjen gjennom A og B. Firkanten ABCD med to rette vinkler ved A og B samt med sidelinjer AD = BC, kalles en Saccheri-firkant. Hans viktigste resultat finnes fra videre betraktninger av denne figuren.

Når parallellpostulatet ikke lenger gjelder, må man være mer bevisst på hva en rett linje er. Ifølge Euklid kan den alltid trekkes mellom to gitte punkt. Rent praktisk kan man tenke seg å ha et måleband som strekkes mellom de to punktene. Dermed kan en også avlese avstanden mellom punktene. Denne spesielle linjen som tilsvarer en rett linje i euklidsk geometri, har den korteste avstanden av alle kurver som forbinder de to punktene. I moderne terminologi kalles den en geodetisk linje. Når en slik linje fremstilles på et plant stykke papir, vil det kunne virke misvisende å tegne den som en rett linje. Ofte vil den derfor være buet.

Tre geometrier

Basert på de fire første postulatene til Euclid, kunne Saccheri vise at vinklene i  de nye hjørnene C og D er like store. Han hadde da tre muligheter å vurdere for størrelsen av denne hjørnevinkelen. Den første og mest opplagte mulighet er at den er rett. Ut fra den antagelsen, kunne da Saccheri ganske raskt bevise det vanlige parallellpostulatet og dermed hele den euklidske geometrien.

Mer vanskelig var det å se konsekvensene fra antagelsen at denne vinklen kunne være stump, det vil si større enn en rett vinkel. En direkte konsekvens ville være at summen av vinklene i en trekant er større en to rette vinkler. Men Saccheri mente å kunne påvise at denne muligheten ville føre til at linjer ikke lenger kan forlenges i det uendelige, noe som strider med Euklids andre postulat. Antagelsen måtte derfor forkastes.

Den siste muligheten besto i at hjørnevinkelen er spiss, det vil si mindre enn en rett vinkel. Summen av vinklene i en trekant må da være mindre en to rette vinkler. Det ville også føre til nye egenskaper ved parallelle linjer, og Saccheri kunne ikke finne noen opplagte selvmotsigelser. Likevel forkastet han også denne muligheten ut fra den observasjon at to linjer kunne møtes uendelig langt bort og der ha en felles perpendikulær. Dette stred mot all sunn fornuft slik at han også kunne forkaste denne antagelsen. På den måten sto han igjen med kun euklidsk geometri som en logisk, konsistent geometri.

Hvis ikke Saccheri hadde vært så overbevist om parallellpostulatets riktighet og akseptert de to andre mulighetene for hjørnevinkelen, ville han ha kunnet oppdage ikke-euklidsk geometri. Ingen hans argument for å forkaste dem var overbevisende og var i direkte strid med hans ellers så stringente bevisførsel.

I dag vet man at disse tre antagelsene til Saccheri om hjørnevinkelens størrelse, fører til tre forskjellige og logisk konsistente geometrier:

 Vinkelen er rett: euklidsk geometri
 Vinkelen er stump: sfærisk geometri
 Vinkelen er spiss: hyperbolsk geometri

I euklidsk geometri vil det gjennom hvert punkt utenfor en linje gå kun én parallell linje. I sfærisk geometri vil derimot alle linjer skjære hverandre slik at det finnes ingen paralleller. Det mest kjente eksemplet er storsirkler på en kuleflate. Men disse linjene har endelig lengde, noe som lenge medførte at denne geometrien, som hadde vært kjent fra antikken, ikke ble ansett som en geometri på like for med Euklids. En annen grunn var også at den inneholder punkter (motpoler) som kan forbindes med uendelig mange, forskjellige linjer i motstrid med det første postulatet. Men disse punktene kan fjernes slik at man får elliptisk geometri. I motsetning til overflaten til en kule, er det ikke like enkelt å forestille seg en slik flate eller rom hvor denne geometrien gjelder.

Ved å opprette en loddrett linje i midtpunktet O til linjestykket AB, viste Saccheri at denne skjærer linjestykket CD også under en rett vinkel i punktet P . Linjestykket OP er da en felles perpendikulær både til linjen gjennom A og B og den gjennom C og D. Når disse forlenges vilkårlig langt, vil de aldri kunne skjære hverandre når hjørnevinkelene ved C og D er spisse. Begge disse linjene har da egenskaper som man vil tilordne parallelle linjer.

Når hjørnevinkelen i Saccheris firkant er spiss, har man hyperbolsk geometri. For dette tilfellet viste Saccheri at det for en vilkårlig linje kan trekkes et uendelig antall linjer gjennom et utenforliggende punkt som ikke skjærer den gitte linjen. Alle disse kan da kalles for parallelle linjer. Men ved en nærmere analyse viste han at de kan klassifiseres i to typer, avhengig av deres forløp uendelig langt borte. Egenskapene til hyperbolsk geometri blir dermed bestemt ut fra linjers oppførsel i et område av rommet man i utgangspunktet ikke vet noe om.

Paralleller i hyperbolsk geometri

I den halve Saccheri-firkanten OBCP kan man trekke en linje PQ fra P til et punkt Q innen vinkelen OPC. Saccheri viste at forlengelsen av denne linjen får stadig mindre avstand til forlengelsen av linjen OB etterhvert som man beveger seg bort fra O. Derfor kan disse to forlengete linjer enten skjære hverandre eller ikke. Hvis skjæringspunktet er endelig langt borte, kalles linjen gjennom P og Q for en vanlig skjæringslinje. Hvis det ligger uendelig langt borte, er linjen en grenseparallell eller ganske enkelt en parallell linje. I dette siste tilfellet vil hver linje gjennom P som har en litt større vinkel OPQ , ikke skjære forlengelsen av OB i det hele tatt. I mer moderne terminologi sies slike linjer å være ultraparallelle og at de har et ultraparallelt skjæringspunkt som ligger lenger borte enn uendelig langt borte.

Gjennom et punkt P utenfor en hyperbolsk linje, kan det ut fra dette trekkes to paralleller - en til hver side. Avstanden mellom en slik parallell og den gitte linjen er ikke konstant som i euklidsk geometri. I tillegg kommer et uendelig antall ultraparalleller til hver side. Disse er adskilt fra den ekte parallellen i samme retning med en grensevinkelen OPQ. Denne parallelvinkelen nærmer seg en rett vinkel desto kortere linjestykket OP er. Det eksisterer derfor en funksjonsavhengighet mellom disse to størrelsene som først ble funnet av Bolyai og Lobatsjevskij hundre år senere.

Referanser

Litteratur
 Martin Gardner: Non-Euclidean Geometry, Chapter 14 of The Colossal Book of Mathematics, W.W. Norton & Company, New York (2001). ISBN 0-393-02023-1.
 M.J. Greenberg: Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, W. H. Freeman, New York (2008). ISBN 978-0-71679948-1.

Personer fra Sanremo
Italienske jesuitter
Italienske katolske prester
Italienske matematikere