Metrikk (matematikk)

En metrikk i matematikk er en funksjon som definerer en avstand eller distanse mellom to elementer i en mengde.   En mengde med en definert metrikk kalles et metrisk rom.

I et euklidsk rom har en definert avstanden mellom to punkter på en måte som sammenfaller med vår dagligdagse bruk av avstandsbegrepet.  I den matematiske definisjonen av en metrikk har en abstrahert egenskapene til avstandsbegrepet, slik at en kan definere en distanse eller metrikk mellom to vilkårlige mengde-elementer, for eksempel mellom to funksjoner.   

En metrikk vil definere en topologi i mengden, men ikke alle toplogier kan defineres ut fra en metrikk.  En topologi som er avledet av en metrikk sies å være metriserbar.

Formell definisjon 
En metrikk for mengden V er en funksjon som  for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:

Definisjonen formaliserer intuitive egenskaper til en distansefunksjon:  En avstand kan aldri være negativ.  Avstanden mellom to element kan bare være lik null dersom elementene er like.  Avstanden fra x til y er like lang som fra y  til x.   Den korteste avstanden mellom to punkt er en rett linje.

Metrikk-eksempler

Diskrete metrikk 
For en vilkårlig mengde er den diskrete metrikken er definert som følger

Euklidsk metrikk 
Et punkt i det tredimensjonale euklidske rommet kan skrives som x = (x1,x2,x3).  Metrikken i dette rommet er definert ved

Taxicab-metrikk 
For det tredimensjonale rommet  kan en bruke taxicab-metrikken definert ved

.

Denne metrikken er også kjent under navnet Manhattan-metrikken.

Litteratur 

Matematisk analyse
Topologi
Metrikk (matematikk)