Cosinussetningen

I trigonometrien er cosinussetningen en setning om sammenhengen mellom sidene i en generell trekant og cosinus til en av vinklene i trekanten. Ved å bruke notasjonen i figur 1, sier cosinussetningen at

 

der c er den motstående siden til vinkel γ mellom sidene a og b.

Cosinussetningen generaliserer Pythagoras’ læresetning, som bare gjelder for rettvinklede trekanter: hvis vinkel γ er en rett vinkel (90 grader eller π/2 radianer), blir cosγ = 0, og da reduseres cosinussetningen til

 

som er Pythagoras' læresetning.

Cosinussetningen er nyttig for å regne ut den tredje siden i en trekant når to sider og den mellomliggende vinkelen er kjent, og for å regne ut vinklene i en trekant når alle tre sidene er kjent.

I sfærisk geometri på en kuleflate finnes det også en cosinussetning som det også gjør i  hyperbolsk geometri.

Anvendelser

Setningen brukes i triangulering for å regne ut sider og vinkler i trekanter. Cosinussetningen kan brukes  for å finne (se figur 2)

 den tredje siden i en trekant der to sider og vinkelen mellom dem er kjent:  

 vinklene i en trekant der alle tre sidene er kjent:

 den tredje siden i en trekant der to sider og den motstående vinkelen til en av disse er kjent (man kan også bruke Pythagoras' læresetning til dette hvis trekanten er rettvinklet):

Disse formlene gir høye avrundingsfeil i flyttallsberegninger hvis trekanten er meget spiss, det vil si hvis c er liten i forhold til a og b eller γ er liten sammenlignet med 1.

Den tredje formelen vist over er løsningen av andregradsligningen a2 − 2ab cosγ + b2 − c2 = 0 med hensyn på a. Denne ligningen kan ha 2, 1 eller ingen positive løsninger; antallet positive løsninger svarer til antall mulige trekanter som passer til betingelsene. Den vil ha to positive løsninger hvis b sinγ < c < b, bare en positiv løsning hvis c > b eller c = b sinγ, og ingen løsning hvis c < b sinγ.

Bevis

Med vektorer 
La sidene være representert ved vektorene a, b og c=a-b. 
Da har vi at

Med avstandsformelen 

Betrakt en trekant med sider a, b, c, der  er den motstående vinkelen til side c. Vi kan plassere denne trekanten i et koordinatsystem ved å plotte   Ved å bruke avstandsformelen har vi .  Nå arbeider vi bare videre med denne ligningen.

 

En fordel med dette beviset er at man ikke behøver å ta i betraktning forskjellige tilfeller ut fra om trekanten er spiss eller stump.

Med trigonometri 

Tegn høyden på side c; vi får (se figur 3)

(Dette er fortsatt sant hvis α eller β er stump; i et slikt tilfelle faller høyden utenfor trekanten.)  Multipliser hvert ledd med c:

Ved å betrakte de andre høydene får vi

Ved å legge sammen de to siste ligningene får vi

.

Ved å trekke den første ligningen fra den siste får vi

som kan forenkles til

Mange bevis behandler tilfellene med stump og spiss vinkel γ separat.

Den utvidede cosinussetningen

Den utvidede cosinussetningen kan brukes til å finne den siste siden i en firkant hvor man kjenner 3 sider og vinklene mellom dem.

Som kan forkortes til:

Se også 
 Triangulering
 Sinussetningen
 Tangenssetningen

Eksterne lenker
 Mange utledninger av cosinussetningen på cut-the-knot

Trigonometri