Laplacetransformasjon

Laplacetransformasjon er en matematisk operasjon som overfører en funksjon fra tidsdomenet til frekvensdomenet. Laplace brukes ofte til analyse av forskjellige dynamiske systemer. Ved å bruke transformasjonen vil spesielt løsning av lineære, ordinære differensialligninger og dets relaterte initialverdiproblem – samt systemer av disse – kunne utføres lettere.

En ordinær differensialligning blir ofte forkortet som ODE (Ordinary Differential Equation), som brukt videre i denne artikkelen.

Definisjon 
Den ensidige laplacetransformasjonen er definert:

der  er variabelen man bruker i laplacedomenet og  er funksjonen som skal transformeres. Her er  en kompleks variabel:

Invers laplacetransformasjon 
Den inverse laplacetransformasjonen er definert ved følgende

Dette impliserer videre at

og

Linearitet 
Laplacetransformasjonen er en lineær operasjon; hvilket betyr at, for en hver funksjon  og  som har eksisterende transformasjoner, kan man dele opp transformasjonen slik:

Vekstrestriksjon 
Per definisjon har en funksjon  en laplacetransformasjon hvis den ikke vokser for fort. Det er gitt en vekstrestriksjon for alle  på følgende måte:

der  og  er konstanter. Siden  er stykkevis kontinuerlig, vil også  være integrerbar over et hvert Intervall intervall på t-aksen. Fra forrige ligning, kan man da utlede bevis for eksistens:

Hvis en funksjon  er definert og stykkevis kontinuerlig på et hvert intervall der  og tilfredsstiller vekstrestriksjonen for alle  og konstantene  og  , vil laplacetransformasjonen  eksistere for alle .

Transformasjoner av differensialkvotienter og integraler

Laplacetransformasjon av første- og andreordens differensialkvotient 
Transformasjonen av første- og andreordens differensialkvotient av , tilfredsstiller følgende:

Laplacetransformasjon av differensialkvotienter i alle ordener
Det kan bevises ved bruk av induksjon at hvis en stykkevis kontinuerlig funksjon  har  antall kontinuerlige deriverte for , og den tilfredsstiller vekstrestriksjonen, vil transformasjonen av  tilfredsstille:

Laplacetransformasjon av integraler 
La  være den laplacetransformerte av funksjonen  som er stykkevis kontinuerlig for  og tilfredsstiller vekstrestriksjonen. Da, for ,  ( i forhold til vekstrestriksjonen), og , er

som også gir:

Laplace og ODE'er

Prosess for løsing av lineære ODE'er 
Prosedyren for å løse disse ligningene ved bruk av Laplacetransformasjon består av tre steg:
 Steg 1. Den oppgitte ODE transformeres til en algebraisk ligning, ved bruk av Laplacetransformasjon. Denne er ofte referert som en hjelpeligning.
 Steg 2. Denne hjelpeligningen løses deretter ved bruk av vanlige algebraiske manipuleringer.
 Steg 3. Løsningen i Steg 2 transformeres tilbake ved bruk av invers-laplacetransformasjon, som gir løsningen på den opprinnelige ODE.

Fordeler framfor vanlig framgangsmåte 
 I. Problemene blir løst mer direkte: Initialverdiproblemer blir løst uten å først måtte bestemme en generell løsning. Inhomogene ODE'er blir løst uten å først måtte løse den korresponderende homogene ODE'en.
 II. Mer viktig: bruken av Heavisides stegfunksjon og Diracs deltafunksjon gjør metoden særlig mektig for problemer med inndata som er usammenhengende eller representerer korte impulser eller kompliserte periodiske funksjoner.

Tabell over noen kjente laplacetransformasjoner

Se også	 
 Fouriertransformasjon

Kilder	 
 .

Transformasjoner
Differensiallikninger
Fourieranalyse
Fysiske ligninger
Eponymer