Linje

Begrepet linje ble introdusert av oldtidens matematikere til å representere rette objekter med ubetydelig bredde og dybde. Linjer er en idealisering av et slike objekter og ble klart definert i Euklids Elementer. Vanligvis brukes ordet kun i betydningen rett linje, slik som her. En kurvet linje kalles gjerne bare en kurve.

En linje er en kontinuerlig rekke med punkter som kan være vannrett, loddrett eller diagonal. Den er entydig bestemt ut ifra enten to punkter eller et punkt og en vektor. Linjer finnes i alle geometrier som i Euklidsk rom eller i Minkowski-rom for relativitetsteorien. Generelt kan de beskrives i affine rom. I ikke-euklidsk rom erstattes de av geodetiske kurver.

Per definisjon er en linje uendelig. Hvis den er begrenset av to punkter i hver ende, kalles det et linjestykke. Hvis den kun er begrenset av et punkt i den ene enden og går mot uendelig i den andre, kalles det en stråle.

Stråle
En stråle er en del av en linje som er avgrenset av et punkt i den ene enden og er uavgrenset i den andre. Gitt en linje og et vilkårlig punkt A på linja, kan vi se på det som at A deler opp linja i to stråler. Punktet A ses vanligvis på som en del av strålen.

En stråle kan bestemmes entydig av to punkter A og B der strålen starter i A og går gjennom B. Et punkt P på linjen i et generelt, affint rom kan da skrives som

 

hvor t er en kontinuerlig parameter. For t = 0  blir P = A  og for t = 1  er P = B. Ved å la t > 1  finner man da punkter på strålen utenfor B, mens for t < 0  fremkommer punkt utenfor A.

Velger man et punkt O som origo i dette rommet, blir ligningen for denne strålen

 

hvor r = P - O  er posisjonsvektoren til punktet P på samme måte som  og  er posisjonsvektorene til de to, gitte punktene. 

Innfører man vektoren  som forbinder punktene A og B, kan ligningen skrives på den mer vanlige formen . Den beskriver en stråle som starter i punktet A  og peker i retning v. Den er gyldig uansett hva dimensjonen til rommet er.

Linjer i det kartesiske planet
I et kartesisk koordinatsystem har posisjonsvektoren  for hvert punkt på linjen koordinatene (x,y).
Vektoren v ligger langs linjen. Ved å innføre vektoren n med komponentene (a,b) som står vinkelrett på denne slik at n⋅v = 0, kan linjen beskrives algebraisk som den lineære ligningen

 

Her angir konstanten c =  - n⋅rA hvor langt linjen ligger fra origo til koordinatsystemet. Mer kompakt kan derfor ligningen for linjen skrives som .

Hvis , er linjen ikke parallell med y-aksen og den kan da forenkles til

 

Her er k = - a/b  stigningstallet til linjen, mens  l = - c/b  angir hvor den skjærer y-aksen og kalles for konstantleddet.

To linjer ax + by + c = 0 og a'x + b'y + c'  = 0 som står vinkelrett på hverandre, vil ha normaler  og  som oppfyller . Da dette betyr at , vil de to stigningstallene  og  være relatert som .

For en linje som går gjennom to punkt A = (xA,yA) og B = (xB,yB), er stigningstallet

 

Ligningen for denne linjen er da gitt ved koordinatene til disse to punktene og kan skrives som . Setter man her inn uttrykket for k, kan ligningen uttrykkes ved en determinant som

På denne formen kan man lett finne ut om tre punkter i planet ligger på en rett linje.

Avstand mellom punkt og linje

For å finne avstanden mellom linjen   og et punkt P med koordinater (x0, y0) kan man betrakte et vilkårlig punkt Q =  Q(x1,y1) på linjen. Avstanden d er da gitt ved projeksjonen av vektoren u = P - Q på vektoren n normalt på linjen som vist i figuren. Den er derfor gitt ved uttrykket d = u⋅n /|n | hvor lengden av normalvektoren er |n | = . Da vektoren u har komponentene  er produktet . Benytter man nå at punktet Q skal ligge på linjen, vil . Med denne betingelsen oppfylt, kan avstanden mellom P og linjen skrives på den enklere formen

 

Herav ser man også direkte at om P ligger på selve linjen, er avstanden lik null. På samme måte er den positiv eller negativ avhengig om punktet ligger over eller under linjen. 

Dette resultatet kan direkte generaliseres til å gjelde for avstanden mellom et punkt og et plan i tre dimensjoner eller mellom et punkt og et hyperplan i et rom med høyere dimensjoner

Linjer i rommet

Linjer i rommet med kartesiske koordinater (x,y,z) kan ikke beskrives like enkelt. Men man kan alltid benytte den generelle parameterfremstillingen  hvor vektoren v er parallell til linjen,  r0 angir et vilkårlig punkt på den og t er en parameter. Skal den gå gjennom to gitte punkt  og , er koordinatene til punktene på linjen gitt ved ligningene

Man kan her eventuelt bestemme parameteren t  fra en ligning, og man står da igjen med to ligninger mellom de tre ukjente koordinatene.

Alternativ kan en linje i rommet defineres som skjæringslinjen mellom to plan i rommet. Hvert plan er gitt ved en lineær ligning med den generelle formen   hvor de tre koeffisientene a, b og c angir komponentene til vektoren  som står normalt på planet. 

To slike plan med normaler n1 og n2 er da beskrevet ved det lineære ligningssystemet

Løses dette ligningsettet med hensyn på de uavhengige variable x, y og z, finnes koordinatene til punktene som de to planene har felles, det vil si for punkter på skjæringslinjen mellom planene såfremt disse ikke er parallelle med hverandre. Vektoren  er da parallell til skjæringslinjen og kan så benyttes til å beregne denne.

Linjekoordinater

For en linje beskrevet ved y = kx + l  kan de to tallene (k,l ) sies å være koordinatene til linjen i planet. Alternativt kan ligningen skrives som  hvor de tre tallene (a,b,c) spesifiserer linjen. Men disse er ikke uavhengige av hverandre. Man kan multiplisere dem alle med en konstant uten at linjen forandres. Det betyr at den er likså godt beskrevet ved tallene (a/c, b/c, 1) eller (a' ,b' ,1). De tre tallene sies derfor å være homogene koordinater for linjen. Slike linjekoordinater benyttes i det projektive planet.

En linje er med koordinatene  (k,l ) består av alle punkt  (x,y ) som oppfyller ligningen y = kx + l . Alternativt kan man si at for et gitt punkt  (x,y ) vil alle løsninger av den samme ligningen gi koordinatene (k,l ) for alle linjer som går gjennom dette punktet.

For linjer i det tredimensjonale rommet  som er bestemt ved to punkt, behøves i utgangspunktet seks koordinater. Men av disse er bare fire uavhengige av hverandre. Det kan man forstå ved at linjens retning kan angis ved to koordinater. I tillegg må man angi et punkt som den går gjennom. Til det trenges det bare to nye koordinater da dette punktet kan ligge hvor som helst på linjen. Dette er bakgrunnen for de kjente linjekoordinatene til Julius Plücker.

Geodetiske linjer

En linje i det euklidiske rommet er den kurven som gir den korteste avstand mellom to punkter. Dette definerer en geodetisk kurve. I rom med ikke-euklidsk geometri kan man også snakke om linjer når disse er definert som geodetiske kurver. For eksempel, i sfærisk geometri på en kuleflate er disse storsirkler som går gjennom to diametralt motsatte punkt på kuleflaten. Alternativt kan man si at disse geodetiske kurvene fremstår som skjæringspunktet mellom kuleflaten og et plan gjennom kulens sentrum.

Ifølge Einsteins generelle relativitetsteori vil masse og energi gi tidrommet en ikke-euklidsk geometri slik at lyset ikke lenger vil bevege seg langs rette linjer. I stedet følger det geodetisk kurver som har krumning slik at lyset blir avbøyet. Dette ble først eksperimentelt verifisert av den engelske astrofysiker Eddington ved en total solformørkelse i 1919 og benyttes i dag til å utforske gravitasjonslinser som dannes av store galakser og mørk materie i Universet.

Se også
 Vektor
 Kurve
 Lineær funksjon
 Kartesisk koordinatsystem

Litteratur

 A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen, vol. III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).

Elementær geometri
Kurver