Schrödinger-ligning

Schrödinger-ligningen beskriver hvordan et kvantemekanisk system forandrer seg med tiden. Den ble først stilt opp i 1926 av den østerrikske fysikeren Erwin Schrödinger basert på betraktninger fra klassisk mekanikk. Bakgrunnen for dette var forslaget til den franske fysiker Louis de Broglie to år tidligere om at partikler kunne tilordnes bølgeegenskaper. Ligningen var derfor en konkret realisasjon av denne idéen og beskriver det som av denne grunn blir kalt materiebølger. Ligningens betydning oppsto da Schrödinger kunne vise at den ga riktige verdier for spektrumet til hydrogenatomet. Den viste seg snart å være ekvivalent med matrisemekanikken som Werner Heisenberg hadde utviklet året før.

I sitt opprinnelig arbeid fokuserte Schrödinger på bølgeligningen for én ikke-relativistisk partikkel. Det ble raskt klart at man kan også stille opp en Schrödinger-ligning for mange partikler som vekselvirker i atomer og molekyler. Spesielt etter arbeidene til Paul Dirac ble det klart at formen på den opprinnelige ligningen er generelt gyldig for alle kvantemekaniske systemer, også for relativistiske partikler og kvantefelt. Men selv om formen alltid er den samme, er inneholdet av ligningen vidt forskjellig og avhengig av hva den beskriver. Generelt kan ligningen uttrykkes ved en Hamilton-operator  som bestemmer hvordan systemet man betrakter, utvikler seg med tiden. Schrödinger-ligningen kan da alltid skrives som

 

hvor Ψ er en generalisert bølgefunksjon eller «tilstandsvektor» avhengig av de variable som opptrer i Hamilton-operatoren. Her inngår den reduserte  Planck-konstanten ħ = h/2π  og den imaginære enheten i = √-1. 

Bølgefunksjonen  Ψ er i alminnelighet et komplekst tall. Da Max Born viste at det reelle produktet  Ψ*Ψ er sannsynligeten for å finne systemet i  denne tilstanden  ved tiden t, omtales den også som en «sannsynlighetsamplitude».

For én ikke-relativistisk partikkel med masse m som beveger seg i et potensial V = V(x,t), er bølgefunksjonen gitt som en løsning av Schrödinger-ligningen

 

Den er en lineær, partiell differensialligning som i motsetning til vanlige bølgeligninger er av første orden i tiden. På høyre side av ligningen inngår Hamilton-operatoren for dette forholdsvis enkle systemet.

Bølgefunksjoner og operatorer

Schrödinger-ligningen kan ikke utledes fra klassisk fysikk eller mer kjente, fundamentale lover. Den beskriver noe helt nytt som tilhører en mikroskopisk verden som vi i utgangspunktet har vanskeligheter med å fatte og gjøre forståelig. Det er på samme måte som i klassisk mekanikk hvor alt kan forklares ved mekaniske lover som oppstår fra et fundamentalt virkningsprinsipp. Hvor dette kom fra, visste man opprinnelig ikke. Men i dag vet vi at dette er en konsekvens av den underliggende kvantemekanikken hvor Schrödinger-ligningen danner fundamentet.

Men man kan sannsynliggjøre formen på Schrödinger-ligningen ved betraktninger basert på klassisk fysikk. Det enkleste er å første betrakte en fri partikkel med masse m og impuls p har energi E = p2/2m . Impulsen p er konstant for en fri partikkel.  Inspirerert av dualiteten til lys som noen ganger kan beskrives som bølger og noen ganger som partikler, foreslo de Broglie at kanskje kunne en materiell partikkel som et elektron beskrives som en bølge. Som for et foton skulle den ha en frekvens gitt ved ν = E/h  hvor h er Plancks konstant. Denne sammenhengen var først foreslått av Einstein i hans forklaring av den fotoelektriske effekt. Likedan skulle partikkelen ha en bølgelengde  λ = h/p  som også gjelder for fotonet. Den matematiske formen på bølgen må da være

 

hvor  k = 2π/λ  er det vanlige bølgetallet og ω = 2πν er vinkelfrekvensen. Men denne amplituden kan man nå likså godt uttrykke ved partikkelens egenskaper,

 

Dette er da materiebølgen for en fri partikkel som de Broglie og Schrödinger først tenkte seg. Den har kanskje den litt overraskende egenskapen at den har en utbredelseshastighet u = E/p som er forskjellig fra partikkelens hastighet v = p/m .

Bølgefunksjonen inneholder nå informasjon om partikkelens impuls og energi. For eksempel, ved å bruke nabla-operatoren kan man definere en impulsoperator

 

slik at  den har egenskapen . Den gir partikkelens impuls multiplisert med samme bølgefunksjon. Man sier at bølgefunksjonen i dette tilfellet er en egenfunksjon for impulsen. På samme måte vil operatoren  iħ∂ /∂ t gi energien E til partikkelen.

Partikkel i ytre potensial

For å finne Schrödingers ligning for en partikkel som beveger seg i et ytre potensial slik at den har en potensiell energi V = V(x) , kan man gå ut fra Hamilton-funksjonen

 

Den gir Hamiltons ligninger som beskriver den klassiske bevegelsen. I dette tilfellet er Hamilton-funksjonen 
uavhengig av tiden og partikkelen i potensialet har derfor en konstant energi E.

I den kvantemekansike bølgebeskrivelsen er partikkelens bevegelse styrt av Hamilton-operatoren. Den finnes fra den klassiske Hamilton-funksjonen ved å erstatte den klassiske impulsen   med impulsoperatoren .  Det gir Hamilton-operatoren

 

Når denne nå virker på bølgefunksjonen, skal den gi energien E til partikkelen. Bølgefunksjonen skal altså være en egenfunksjon for energien. Mer presist betyr det matematisk at  som skrevet ut gir

 

Dette kalles den stasjonære Schrödinger-ligningen. Variasjonen med tiden i denne bølgefunksjonen er nå gitt ved energien E på samme måte som for en fri partikkel.  Men avhengigheten av koordinaten x er nå mer komplisert og må finnes ved å eksplisitt løse denne differensialligningen. Det viser seg at det kun lar seg gjøre når energien E tar bestemte, ofte diskrete verdier. Denne matematiske egenskapen ga dermed en mer generell kvantisering av et system med partikler enn reglene til Bohr og Sommerfeld.

I det generelle tilfellet der potensialet V = V(x,t)  varierer med tiden, er ikke Hamilton-funksjon for partikkelen lenger konstant. Den har derfor heller ikke noen bestemt energi. Tidsavhengigheten i bølgefunksjonen Ψ(x,t) er derfor annerledes enn for en fri partikkel, og den stasjonære Schrödinger-ligningen gjelder ikke lenger. Tidsavhengigheten til bølgefunksjonen må nå beregnes fra den generelle ligningen gitt i innledningen. Denne generelle Schrödinger-ligningen kan ikke lenger utledes, men er et kvantemekanisk postulat. Denne stemmer med alle observasjoner og mest nøyaktige eksperiment.

Superposisjon

Schrödinger-ligningen er en lineær differensialligning. Det betyr at hvis Ψ1(t) og Ψ2(t) er to løsninger, så er også. kombinasjonen 

 

også en løsning der c1 og cc er komplekse konstanter. Denne matematiske egenskapen sier derfor at et kvantemekanisk system kan være i en superposisjon av to forskjellige tilstander ved samme tidspunkt.  Det er dette som ligger bak fenomen og diskusjoner rundt det som populært omtales som Schrödingers katt. Man kan på samme vis kombinere mange flere tilstander i mer generelle superposisjoner.

Hvis de forskjellige tilstandene som inngår i superposisjolnen, er egentilstander av Hamilton-operatoren slik at

  

vil tidsutviklingen av enn vilkårlig tilstand kone skrives som

  

Dette er formen til en generell løsning av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen.

Sannsynlighetstetthet

Sannsynligheten for å observere en partikkel beskrevet ved bølgefunksjonen Ψ(t,x) i punktet x ved tiden t, er proporsjonal med det reelle produktet Ψ*Ψ. Da partikkelen med sikkerhet må være et eller annet sted, er derfor integralet

 

Det er derfor naturlig å omtale produktet

 

for en «sannsynlighetstetthet». Midlere er mest sannsynlige posisjon til partikkelen kan da for eksempel beregnes fra integralet 

 

som I alminnelighet vil være en funksjon av tiden. Men hvis partikkelen er i en energi-egentilstand, vil tidsavhengigheten kansellere ut. Det er én god grunn for å omtale en slik tilstand som «stasjonær».

Mer generelt er forventningsverdien av en generell variabel F(x,p) gitt ved

 

På denne måten kan også midlere energi til partikkelen beregnes i en vilkårlig tilstand ved å finne forventningsverdien til Hamilton-operatoren.

Sannsynlighetsstrøm

Tidsvariasjonen til sannsynlighetstettheten ρ = Ψ*Ψ kan finnes direkte ved derivasjon,

 
 
Ved bruk av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen for Ψ og også for den komplekskonjugerte bølgefunksjonen Ψ*, vil dette forenkles. Resultatet kan skrives på formen til en kontinuitetsligning

 

når man definerer en «sannsynlighetsstrøm» som

  

Denne uttrykker hvordan sannsynligheten for å finne partikkelen forskjellige steder varierer med tiden på en slik måte at den integrerte sannsynlighetstettheten er konstant.

Endimensjonale eksempel

Flere viktige, kvantemekaniske effekter kan illustreres ved å betrakte en partikkel som beveger seg i én dimensjon hvor den er påvirket av potensialet V(x). En stasjonær løsning med energi E  er da løsning av den endimensjonale Schrödinger-ligningen

 

I klassisk mekanikk kan ikke den totale energien E  være mindre en den potensielle energien V(x), men i kvantemekanikken er det ikke noe som den hindrer dette. Et punkt hvor E = V(x0) kalles et klassisk «vendepunkt». Bølgefunksjonene ψ1(x) og ψ2(x) på hver side av dette punktet må ha samme verdi. I tillegg må også de deriverte av de to funksjonene være like store da differensialligningen er av andre orden. Dermed har man grensebetingelsene

 

som må gjelde i vendepunktet x0. Generelt må disse gjelde også i andre punkt hvor bølgefunksjonen skifter karakter.

Potensialstepp

Hvis en klassisk partikkel beveger seg med en hastighet v1 inn i et potensial med en konstant verdi V0 < E, vil den fortsette i samme retning med en redusert hastighet v2. Hvis derimot V0  > E, vil den stoppe opp og så bevege seg tilbake med den samme hastigheten.

Kvantemekanisk kan denne situasjonen lettest beskrives ved å anta at potensialet har en plutselig forandring slik at det ser ut som et stepp eller trinn,

 

Til venstre for steppet har partikkelen en impuls   gitt ved at  Løsningen av Schrödinger-ligningen i dette området har generelt formen

 

hvor det første leddet representerer en innkommende, plan bølge med bølgetall . Det andre leddet beskriver den reflekterte bølgen. På høyre side av steppet når  vil man kun ha en bølge  som beveger seg mot høyre med bølgetallet  som er reelt i dette tilfellet.

De to grensebetingelsene gir nå  sammen med . Herav finner man

 

Fluksen av partikler til venstre x < 0 for steppet er gitt ved sannsynlighetsstrømmen

 

Men det første leddet representerer fluksen av innkommende partikler, gir det andre fluksen av reflekterte partikler. Forholdet mellom disse to er «refleksjonskoeffisienten»

 

På samme måte er fluksen av partikler som beveger seg mot høyre x > 0 gitt ved sannsynlighetsstrømmen  slik at «transmisjonskoeffisienten» er

 

Koeffisientene oppfyller  som uttrykker bevarelse av den totale sannsynligheten. En partikkel som beveger seg mot steppet, vil ikke splittes opp ved at noe av den reflekteres til venstre og resten fortsetter til høyre. Derimot har den sannsynligheten R  for å reflekteres og T   for å fortsette i samme retning. Da dette resultatet er uavhengig av Plancks konstant ħ , kan det derfor synes å være i motstrid med klassisk mekanikk som sier at ingen partikler blir reflektert. Men for et realistisk potensialsstep med avrundete hjørner vil ikke dette problemet oppstå.

I det motsatte tilfellet der   vil en klassisk partikkel ikke trenge inn i potensialet og alltid bli reflektert. Det følger også fra kvantemekanikken siden bølgetallet k2 = iκ2 dette tilfellet blir rent imaginært med

 

Dermed blir  slik at refleksjonskoeffisienten . På høyre side er ikke sannsynlighetsbølgen lik null, men eksponensielt avtagende, . Dette er en reell funksjon slik at sannsynlighetsstrømmen her blir  og derfor . Men sannsynlighetstettheten for å finne partikkelen i dette området er ikke null og proporsjonal med . Hvis potensialsteppet hadde en endelig lengde, vil partikkelen derfor ha en viss sannsynlighet for å kunne komme ut på den andre siden. Det ville da være et eksempel på kvantemekanisk tunnellering.

Reflekson og transmisjon fra et potensialstepp har mange likhetspunkter med en klassisk lysbølge som beveger seg fra et medium med brytningsindeks n1 vinkelrett inn i et annet medium hvor denne er n2 og konstant.

Partikkel i kassepotensial

Når partikkelen befinner seg i et konstant, negativt potensial som har en endelig utstrekning, sies den å befinne seg i en kasse eller «brønn». Schrödinger-ligningen har da stasjonære løsninger som beskriver partikkelen permanent lokalisert eller bunden til potensialet. Slike løsninger finnes bare for diskrete verdier av dens energi E som dermed blir kvantisert.

Enklest er å betrakte en uendelig dyp brønn. Hvis man da måler energier i forhold til dens bunn, vil alle disse måtte være postive. Potensialet utenfor brønnen er da også positivt og uendelig stort. Bølgefunksjonene kan ikke trenge inn i dette slik at de må alle være null ved brønnens overflate som i dette endimensjonale tilfellet tilsvarer to punkt. Har brønnen utstrekning L, og origo til x-aksen er plassert i dens midtpunkt, må alle bølgefunksjonene være null i punktene .

Da dette brønnpotensialet er symmetrisk om origo x = 0, vil også bølgefunksjonene ha en tilsvarende symmetri. Det tilsvarer paritet i tre dimensjoner. For en partikkel med energi  har bølgefunksjonen inni brønnen den generelle formen . Disse funksjonene er nå symmetriske eller antisymmetriske under x → -x  bare når B = ±A. Det tilsvarer løsninger  med positiv paritet eller  med negativ paritet.

Grensebetinngelsene ψ(± L/2) = 0 gir nå de kvantiserte bølgetallene  hvor n  er et oddetall for løsningene med positiv paritet og et partall for de som har negativ paritet. De kan sammenfattes som

 

De tilsvarende egenverdiene for energien kan skrives som

 

som gjelder for både ikke og odde verdier av kvantetallet n.  Det er uendelig mange slike løsninger for dette tilfellet med en  uendelig dyp brønn.

Når partikkelen er i en kasse med endelig dybde V0 kan man gå frem på samme måte. Bølgefunksjonene inni kassen vil fremdeles være av formen  eller   der  avhengig av pariteten. Utenfor kassen vil de ikke lenger plutselig bli null, men falle av eksponensielt som  for x > L/2 hvor denne gangen . Da de deriverte av bølgefunksjonene må være kontinuerlige ved x = ± L/2, gir dette kravet de to betingelsene

 

for bestemmelse av mulige verdier for energien E. Dette kan ikke lenger gjøres eksakt, men appproksimativt med numeriske metoder. Man finner på denne måten nå bare et endelig antall slike bundne løsninger. Grunntilstanden er den med lavest energi og har alltid positiv paritet.

Harmonisk oscillator

Et uendelig dypt kassepotensial er ikke realistisk for en fysisk virkelig situasjon. Av større betydning har derimot potensialet for en harmonisk oscillator,

 

hvor k er en konstant. Klassisk vil en partikkel med masse m  utføre svingninger med frekvens ω = √(k/m).  Egenskapene til en kvantisert harmonisk oscillator kan finnes fra den stasjonære Schrödinger-ligningen som kan omformes til

 

ved å innføre en dimensjonsløs x-koordinat 

 .

Oscillatorpotensialet er igjen symmetrisk om x = 0 slik at løsningene vil opptre med positiv eller negativ paritet. De kan i dette tilfellet  finnes eksakt for bestemte verdier  av energiparameteren som tilsvarer egenverdiene

 

De tilsvarende egenfunksjonene kan uttrykkes ved klassiske Hermite-polynom eller kan skrives på den kompakte formen

  

hvor Cn er en normeringskonstant. Pariteten til løsningene er gitt som (-1)n .

Energien til denne oscillatoren med «nullpunktsenergien» E0 = (1/2)ħω ble først funnet av Heisenberg ved bruk av hans matrisemekanikk. Denne algebraiske formalismen gir fremdeles den enkleste og mest direkte fremgangsmåte til å bestemme både egenverdier og egenfunksjoner.

Kvantisering av en harmonisk oscillator har mange anvendelser i teoretisk fysikk. Løsningen av det endimensjonale tilfellet for en svingende partikkel kan lett generaliseres. For eksempel varierer potensialet i en tredimensjonal oscillator proporsjonalt med r 2 = x 2 + y 2 + z 2. Løsningen av den tilsvarende Schrödinger-ligningen vil da ha den faktoriserte formen

 

hvor hver faktor er en egenfunksjon for den endimensjonale oscillatoren. De tilsvarende egenverdiene for energien til den tredimensjonale oscillatoren er derfor

 

hvor hvert av kvantetallene nx,ny og nz tar verdiene 0, 1, 2 og så videre. De kan derfor skrives som (n + 3/2)ħω hvor hvert heltall n  angir energinivåene. Bortsett fra grunntilstanden med n = 0 er alle disse «degenererte» da det finnes mer enn én kvantetilstand med samme energi.

Hver komponent av et klassisk felt med en viss frekvens ω  beskrives som en harmonisk oscillator. Når denne kvantiseres, vil hver eksitasjon med energi  være et kvant med denne energien.  Kvantetallet n  til oscillatoren angir da hvor mange kvant som har denne frekvensen.

Mange partikler

At bølgefunksjonen ikke beskriver en vanlig bølge i vårt rom, blir mer tydelig hvis man betrakter et system av N ikke-relativistiske partikler av samme type. Hvis de har en gjendig, potensiell vekselvirkningsenergi  på den mest generelle form V = V(x1, x2, ..., xN) . Bølgefunksjonen Ψ = Ψ(x1, x2, ..., xN, t ) vil nå avhenge av koordinatene til alle partiklene og beskriver ikke noen enkel bølge lenger. Den kan beregnes fra en mer komplisert Schrödinger-ligning som igjen kan finnes ved å gå ut fra den klassiske Hamilton-funksjonen

 

til systemet.  Den tilsvarende Hamilton-operatoren utledes nå ved å la . Det gir Schrödinger-ligningen

 

Det er slike ligninger som må løses for å beregne energien til elektronene i et atom eller egenskapene til en atomkjerne hvor protoner og nøytroner er sterkt bundet sammen. Matematisk er dette et vanskelig problem og kan vanligvis kun gjøres ved bruk av forskjellige approksimasjoner.

I det spesielle tilfellet at den potensielle energien kan skrives som en sum

 

kan løsningen av Schrödinger-ligningen for en partikkel gi bølgefunksjonen for alle partiklene. Dette tilsvarer at partiklene beveger seg i et felles, ytre potensial  uten gjensidig vekselvirkning.

To partikler

I mange sammenhenger har man kun med to partikler å gjøre. Typiske eksempler er hydrogenatomet bestående av et proton og et elektron som beveger seg i et felles Coulomb-potensial. Eller det kan være et proton og nøytron som er holdt sammen av den sterke kraften i atomkjernen til deuterium. I begge disse tilfeller er partiklene kun påvirket av en gjensidig kraft som avhenger av avstanden mellom dem. Schrödinger-ligningen for dette systemet er den kvantemekaniske versjonen av det klassiske tolegemeproblemet.

Betegnes posisjonene til de to partiklene med vektorene x1 og x2, vil de derfor bevege seg i et gjensidig potensial V(r) hvor den relative avstanden er gitt ved differensen  r =  x1 - x2. Den stasjonære Schrödinger-ligningen for dette systemet med total energi Etot er derfor

 

når de to partiklene har masser  m1 og m2. Ved å innføre posisjonsvektoren 

 

for massesenteret, finner man for den deriverte

 

og tilsvarende for ∇2 som får motsatt fortegn i siste ledd. Med bruk av de nye posisjonsvektorne R og r tar dermed Schrödinger-ligningen formen

 

der  M =  m1 +  m2  er den totale massen til systemet. Den beveger seg med messesenteret, mens 

 

er den  reduserte massen til de to partiklene. Bølgefunksjonen kan nå betraktes som en funksjon . 
Da Hamilton-operatoren er en sum av to deler hvor hver avhenger kun av en posisjonsvektor, vil denne nye funksjonen ha formen

 

hvor den første delen beskriver bevegelsen av messesenteret, mens ψ(r) beskriver kvantemekanisk den relative bevegelsen. Da ingen ytre krefter virker på messesenteret, vil det bevege seg som en fri partikkel med en viss, konstant impuls P slik at den tilsvarende bølgefunksjonen er

 

Innsatt i den fulle Schrödinger-ligningen for systemet, ser man da at dets totale energi er

 

hvor nå E er energien til den relative bevegelsen. Den er gitt ved løsning av den reduserte Schrödinger-ligningen 

 

Hele beregningen er på denne måten forenklet til et «ettlegemeproblem» i form av en differensialligning for en bølgefunksjon med tre variable r = (x,y,z). Det er på denne formen ligningen danner utgangspunktet for beregning av energinivåene i hydrogenatomet og i andre, lignende system.

Klassisk grense

Schrödinger konstruerte sin bølgeligning ved å ta utgangspunkt i den klassiske Hamilton-Jacobi-ligningen. For en ikke-relativistsik partikkel i et ytre potensial   er denne

 

hvor S = S(x,t) er Hamiltons prinsipale funksjon, også kalt klassisk virkning. Impulsen til partikkelen  p = ∇S  står normalt på flaten S = konst.  Disse  flatene definert av virkningsfunksjonen S kan derfor i noen henseende betraktes som bevegelige bølgefronter. For en fri partikkel med impuls p og energi E er også  som ikke er noe annet enn fasefunksjonen for en plan bølge med fasehastighet u = E/p.

Med dette utgangspunktet tenkte Schrödinger seg at bølgefunksjonen for en partikkel i et potensial kunne skrives på formen

 

hvor A= A(x,t)  er en ukjent funksjon, mens S = S(x,t) er den klassiske virkningen. I eksponenten må vi dividere den med Plancks konstant da den har samme dimensjon som virkningen. Denne konstanten kalles også derfor noen ganger for virkningskvantet. I grensen hvor dette går mot null, skal alle kvanteeffekter forsvinne og klassisk fysikk være gyldig. Oppgaven til Schrödinger var da å finne en bølgeligning som ga Hamilton-Jacobi-ligningen i denne grensen h → 0 .

Vil man verifisere at hans tidsavhengige bølgeligning oppfyller dette kravet, må man først beregne den tidsderiverte

 

og deretter den dobbelte, romlige deriverte

 

Settes nå dette inn i den tidsavhengige Schrödinger-ligningen, og man beholder kun de leddene som er uavhengige av Plancks konstant, ser man at man står igjen med akkurat Hamilton-Jacobi-ligningen. Det er dette som ligger til grunn for WKB-approksimasjonen for løsning av den fulle Schrödinger-ligningen.

Det er interessant at Schrödinger tok aller først utgangspunkt i Hamilton-Jacobi-ligningen for en relativistisk partikkel. Det ga han på samme måte en relativistisk bølgeligning som i dag kalles for Klein-Gordon-ligningen. Men den forkastet han da den ikke ga riktig verdier for energinivåene til elektronet i hydrogenatomet. Men det er ingen feil med denne bølgeligningen. Grunnen er bare at i en relativistisk beskrivelse av elektronet må man også ta hensyn til at det har et spinn. Kombinasjonene av disse to effektene ble først gjort et par år senere av Dirac og matematisk formulert i Dirac-ligningen.

Se også

 Materiebølger
 Matrisemekanikk
 Kvantemekanikk

Referanser

Litteratur

 E. Schrödinger, An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules, Physical Review 28, 1049–1070 (1926). 
 P. C. Hemmer, Kvantemekanikk, Tapir akademiske forlag, Trondheim (2005).

Eksterne lenker 

 «Schrödinger equation», fra Encyclopedia of Mathematics (engelsk)
 «Quantum Mechanics and the Schrödinger Equation», fra professor Dave (engelsk)

Kvantemekanikk
Atomfysikk
Teoretisk kjemi
Partielle differensialligninger