Integrasjon

Se sosial integrasjon for ordets betydning i samfunnsfagene
Integrasjon er en matematisk operasjon som utføres på en matematisk funksjon. Ved å utføre denne operasjonen finner man en ny funksjon, man sier at man finner funksjonens integral. Integrasjon brukes blant annet til å beregne areal og volum.

Integrasjon er på mange måter det motsatte av derivasjon, og kalles i noen sammenhenger også for antiderivasjon. For reelle funksjoner er sammenhengen mellom det ubestemte og det bestemte integralet gitt ved den såkalte fundamentalsatsen for matematisk analyse. Sammen med derivasjon utgjør integrasjon det området man kaller matematisk analyse. Integrasjon kalles også for integrasjonsregning, og derivasjon for differensialregning; samlet betegnet dette som infinitesimalregning. Ligninger som inneholder integral kalles for integralligninger.

Det ubestemte integralet  til en reell funksjon er en ny funksjon med egenskapen at den deriverte er lik den opprinnelige funksjonen.  Et slik integral kalles også en antiderivert og en primitiv til den opprinnelige funksjonen.  En gitt funksjon kan ha en hel familie av primitiver, der differansen mellom to primitiver er en konstant.

 Det bestemte integralet  til en funksjon  er en generalisert sum av elementer , der summasjonen foregår mellom to funksjonsargument  og . Definisjonen bygger på en grenseprosess der antall ledd i summasjonen går mot uendelig, mens størrelsen av hvert element  går mot null. For reelle funksjoner av en variabel representerer det bestemte integralet arealet mellom funksjonsgrafen og x-aksen, regnet med fortegn.

Formell definisjon av ubestemt integral 
La  være en reell funksjon av en reell variabel, og la  være en ny funksjon med egenskapen at den deriverte av  er lik 

.

Det ubestemte integralet av  skrives med en langstrakt «s» som i ordet «sum» og er definert ved

.

Her er  en vilkårlig konstant. Funksjonen  kalles integranden i integralet.  Dersom funksjonen  eksisterer sies funksjonen  å være integrerbar.

Eksempler på ubestemte integral

Formell definisjon av bestemt integral 
Definisjonen av et bestemt integral bygger på definisjonen av en partisjon (oppdeling) av det  lukkede intervallet .  

Det eksisterer flere ulike definisjoner av et bestemt integral, og presentert her er definisjonen av et Riemannintegral, som igjen er ekvivalent med et Darbouxintegral.  For en videre klasse av funksjoner kan en også definere Riemann-Stieltjesintegral og Lebesguesintegral.

Partisjoner 
En partisjon er en endelig mengde

slik at 

Bredden til partisjonen  er definert som den største avstanden mellom to påfølgende element:

Videre sier en at partisjonen er merket dersom det til hvert par av påfølgende elementer i partisjonen  og  er definert en verdi  slik at

Riemann-integrasjon 
En Riemannsum for en gitt merket partisjon er definert ved

Det bestemte integralet av funksjonen  over intervallet  er definert lik  dersom det for et hver positivt tall  eksisterer en verdi  slik at for alle partisjoner med bredde mindre enn , så er 

Notasjon for verdien av integralet  er på forma

. 

Noe mer uformelt kan en si at integralet er lik grenseverdien for Riemannsummen når bredden av partisjonen går mot null, dersom en slik grenseverdi eksisterer.  Grenseverdien er lik arealet under grafen til funksjonen, dersom denne er positiv, slik som vist på figurene under.

Lesbegue-integrasjon 
Riemann-integrasjon kan generaliseres ved Lesbegue-integrasjon. Denne generaliseringen danner grunnlaget for målteori.

Integrerbare funksjoner 
En funksjon der grenseverdien for Riemannsummen eksisterer sies å være (Riemann-)integrerbar.

 Alle kontinuerlige funksjoner er integrerbare.
 Hvis  er begrenset i  og har et endelig antall diskontinuiteter i intervallet, så er  integrerbar i intervallet.

Eksempel på bestemt integral 
Det følgende eksemplene på bestemt integral er basert på det tilsvarende eksempelet for ubestemt integral:

Her er brukt den følgende notasjonen, som er vanlig i forbindelse med utregning av bestemte integral:

Egenskaper til integral

Linearitet 
Integralet er en lineær funksjon med hensyn på integranden:

Additivitet 
Integral av samme funksjon over to nabointervall kan summeres:

Monotonisitet 
Hvis   og  er to funksjoner som begge er integrerbare på intervallet , og der , så er

Absoluttverdi-integrasjon 
Dersom  er integrerbar på intervallet , så er absoluttverdi-funksjonen  integrerbar, og

Uekte integral 

Et uekte integral er et integral der integranden  går mot uendelig når argumentet nærmer seg en verdi i integrasjonsområdet, eller der integrasjonsområdet er uendelig. I begge tilfeller må verdien av integralet defineres ved en grenseprosess. For eksempel kan en definere

.

Et eksempel på et uekte integral av denne typen er

Numerisk integrasjon

Vanligvis kan ikke et integral beregnes eksakt. Man er derfor ofte henvist til å bruke numeriske metoder og elektroniske regnemaskiner. Disse tar vanligvis utgangspunkt i Riemann-summen som definerer integralet. Det er også hensiktsmessig å beregne funksjonsverdiene i diskrete punkt  med konstant avstand . 

Da integrasjon av en funksjon  som beskriver en kurve i -planet, gir arealet under kurven, kan dette deles opp i mindre deler som kan beregnes mer nøyaktig. Trapesintegrasjon er basert på å dele arealet opp i mindre trapeser. Deles hele integrasjonen opp i  slike interval, har man for integralet

hvor  og . Denne fremgangsmåten kan gjøres mer nøyaktig i form av Simpson-integrasjon eller Romberg-integrasjon.

Generaliseringer 
For funksjoner av flere variable eksisterer det en rekke generaliseringer av integralet, som i hovedsak skiller seg fra hverandre i elementet som funksjonen summeres over.

Multippelintegral 

For en funksjon av én variabel utføres integrasjonen over et intervall. Tilsvarende kan funksjoner av flere variable integreres over en region  i definisjonsområdet til funksjonen, og resultatet av slik integrasjon kalles et multippelintegral:

For funksjoner i to variable kalles integralet et dobbeltintegral. Verdien av et dobbeltintegral til en positiv funksjon svarer til volumet av legemet mellom kurva og planet definert ved  innenfor integrasjonsområdet. Fubinis teorem gir vilkår for når et dobbeltintegral kan beregnes ved suksessivt å integrere over en og en variabel.  

Et multippelintegral over et tredimensjonalt område kalles et trippelintegral eller et volumintegral.  Et volumintegral over området  kan skrives med både ett og tre integraltegn:

Linjeintegral 
I et linjeintegral utføres integrasjonen av et vektorfelt over lengde-elementer langs en kurve.   Også navnet kurveintegral er vanlig brukt. La  være en kurve i et flerdimensjonalt rom og anta at kurva er definert med en parametrisering , der parameteren  er inneholdt i intervallet . La  være et vektorfelt definert i et område som inneholder  og med komponenter i det samme rommet . Da er linjeintegralet  langs  definert ved

Alternativt skrives linjeintegralet også som

 

når .

Flateintegral 
I et flateintegral utføres integrasjon av et skalarfelt over et elementer av en parametriserbar flate. La  være en flate definert for en region  i -planet. La  være en skalar funksjon definert og begrenset på . Flateintegralet av  over  er da definert ved

Historie 
Den moderne notasjonen for et ubestemt integral ble innført av Gottfried Leibniz i 1675.  Han innførte integrasjonssymbolet som en forlenget «S».

Litteratur
 
 Atkinson, Kendall E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd edition). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2.

Eksterne lenker 
 Kalkulator som kan integrere funksjoner av én variabel

Integralregning
Funksjoner