Grenseverdi

I matematikk er en grenseverdi (kortform grense) en verdi som en funksjon nærmer seg, når funksjonsargumentet nærmer seg et bestemt punkt, eller uendelig.  Også en følge kan ha en grenseverdi, som det n-te leddet nærmer seg når n går mot uendelig. For både funksjoner og følger krever en formell definisjon at en først har definert uttrykk som «nær» og «nærmer seg», noe som kan gjøres både i et metrisk rom og i et normert vektorrom.

Grenseverdier spiller en grunnleggende rolle i matematisk analyse.

Skrivemåter og grunnlegende begrep 

Grenseverdien  til en funksjon  når funksjonsargumentet nærmer seg verdien , kan uttrykkes på de to ekvivalente måtene

Symbolet  er en forkortelse for det latinske ordet limes, som opprinnelig betydde grensen mellom to landområder.  Når en romer nærmet seg limes, kom han nærmere en områdegrense. 

Verdien  kan være endelig eller uendelig.  Dersom funksjonen  er definert for et endelig argument , så kan  være lik eller ulik grenseverdien . Dersom , så er funksjonen kontinuerlig i .

En grenseverdi til en følge kan tilsvarende skrives som

En følge som har en grenseverdi sies å være konvergent.  En følge som ikke er konvergent, er divergent.

Definisjon av grenseverdien til en reell funksjon 

For mengden av reelle tall  måler en vanligvis avstand ved hjelp av absoluttverdi, og to reelle tall er nær hverandre dersom absoluttverdien av differansen er liten. En reell funksjon av én variabel har grenseverdien  når funksjonsargumentet nærmer seg et opphopningspunkt , dersom det for et hvert reelt tall  finnes et reelt tall , slik at hvis  er et tall i definisjonsmengden til , så gjelder det at

Definisjonen kan uttrykkes slik: Forskjellen mellom  og  kan gjøres så liten man vil, ved å velge  tilstrekkelig nær .

I definisjonen over er både  og grenseverdien  endelige størrelser.  Definisjonen må justeres litt dersom en ønsker å studere en grenseverdi når funksjonsargumentet går mot uendelig: En funksjon har grenseverdien  når funksjonsargumentet går mot uendelig, dersom det for et hvert reelt tall  finnes et reelt tall , slik at 

Definisjonen for minus uendelig er tilsvarende.  

Definisjonen av grenseverdi kan også utvides til også å omfatte  som funksjonsverdier.  En definisjon som uttrykker at en funksjon går mot uendelig kan skrives kompakt som

Eksempler på grenseverdier til reelle funksjoner 

For en kontinuerlig funksjon vil grenseverdien til funksjonen i et endelig punkt alltid være lik funksjonsverdien selv, og grenseverdien kan finnes ved direkte funksjonsberegning:

 

For en rasjonal funksjon kan en bruke L'Hôpitals regel til å bestemme grenseverdier, i tilfeller der både nevneren og telleren i funksjonen går mot null.  I slike tilfeller kan «alt» skje:

Denne regel kan også brukes når nevneren går mot uendelig.

Definisjon av grenseverdien for en reell følge 

En reell følge kan betraktes som en funksjon fra mengden av naturlige tall inn i .  Definisjonen av en grenseverdi er derfor tilsvarende som for grenseverdien til en funksjon når argumentet går mot uendelig.

En følge  konverger mot verdien  dersom det for et hvert reelt tall  finnes et naturlig tall , slik at 

En følge kan ikke ha mer enn en grenseverdi.

Eksempler på grenseverdier for reelle følger 

Et utvalg av grenseverdier for følger:

Den siste grenseverdien definerer eulertallet .

Definisjon av grenseverdier i metriske rom 

Mengden av reelle tall er et spesialtilfelle av et metrisk rom, definert med metrikken

For en funksjon , der både  og  er delmengder av metriske rom, definerer en grenseverdier tilsvarende som for en reell funksjon, ved å erstatte absoluttverdien med metrikken.  Funksjon har grenseverdien  når funksjonsargumentet nærmer seg den endelige verdien , dersom det for et hvert reelt tall  finnes et reelt tall , slik at

Her er  og  metrikken i henholdsvis  og .

En grenseverdi for en følge i et metrisk rom defineres tilsvarende.

Definisjon av grenseverdier i normerte rom 

For normerte vektorrom vil normen definere en metrikk:

I definisjon av en grenseverdi kan en la normen erstatte metrikken.

Regneregler for grenseverdier 

Anta at to funksjoner  og  begge er definert med en grenseverdi når funksjonsargumentet nærmer seg verdien :

Da gjelder regnereglene

Tilsvarende regneregler gjelder for følger.

Ensidige grenseverdier for en funksjon 
For en reell funksjon  av én variabel kan en også definere ensidige grenseverdier, ofte kalt henholdsvis venstresidig og høyresidig grenseverdi. Anta at definisjonsområdet for funksjonen inneholder intervallet .  Dersom  for alle følger  konvergerer mot verdien  når  går mot uendelig, så er  den venstresidige grenseverdien i .  Det eksisterer mange skrivemåter for en venstresidig grenseverdi:

 eller  eller  eller 

Også en forenklet skrivemåte  kan bli brukt.

En høyresidig grenseverdi  defineres og skrives tilsvarende.  En funksjon har en grenseverdi i  hvis og bare hvis begge de to ensidige grenseverdiene eksisterer samt at de er like:

Itererte grenseverdier 

For en en reell funksjon av flere variable kan en definere en grenseverdie ved hjelp en norm i definisjonsmengden, men det er også mulig å definere itererte grenseverdier, ved suksessivt å ta en-dimensjonale grenser.

Gitt for eksempel funksjonen

For denne funksjonen kan en definere de to itererte grensene

Generelt vil rekkefølgen av grenseverdiene i iterasjonen være avgjørende for resultatet.  Dersom funksjonen har en grenseverdi i norm, så må all itererte grenseverdier være lik denne. Funksjonen i eksempelet over har altså ingen grenseverdi når  går mot null.

Delfølgegrenser 

En delfølge konstrueres ved å velge ut en uendeleig delmengde av elementene i en følge.  Dersom det er mulig å konstruere en delfølge som konvergerer mot en grense , så er
 en delfølgegrense for den opprinnelige følgen.  En følge kan ha flere delfølgegrenser, uten selv å konvergere.

For en konvergent følge må alle delfølger ha samme grenseverdi som følgen selv.  

Dersom mengden av delfølgegrenser  til en gitt følge har en minste øvre skranke, en supremum, så defineres denne som limes superior for følgen.  Dette skrives på formen

Limes inferior defineres tilsvarende, som den største nedre skranken.  

Et eksempel er gitt ved følgen der det -te leddet er definert ved

Denne rekken konvergerer ikke, men den har delfølgegrenser lik null og 1.  Lim sup er dermed lik 1 og lim inf lik null.

Eksempler på bruk av grenseverdier

Klassifikasjon av diskontinuiteter til en funksjon 

En diskontinuitet til en funksjon  i verdien  kan studeres ved å se på de ensidige grenseverdiene til funksjonen. Dersom begge ensidige grenseverdier eksisterer, men ikke er lik en eventuell funksjonsverdi i , så sies funksjonen å ha en diskontinuitet av første type i .  Alle andre diskontinuiteter er av andre type.

For en diskontinuitet av første type kan begge de to ensidige grenseverdiene være like, men ulike en eventuell funksjonsverdi i .  I dette tilfelle er diskontinuiteten en uvesentlig (eller fjernbar) diskontinuitet.  Dersom de to ensidige grenseverdiene er ulike, så har funksjonen et sprang i .  

For  har funksjonen vist i grafen til høyre en venstresidig grenseverdi lik null og en høyresidig grenseverdi lik 1.  Funksjonen har et sprang i .

Grenseverdier for rekker 

En rekke er en sum med et uendelig antall ledd.  Rekken har en grenseverdi dersom følgen av delsummer har en grenseverdi, det vil si dersom den følgende grenseverdien eksisterer:

Forenklet skriver en grenseverdien ved å sette inn tegnet for uendelig i summetegnet:

Definisjon av uekte integral 

I teorien for integrasjon av en reell funksjon av én variabel forutsetter en vanligvis at funksjonen er begrenset og definert på et endelig intervall.  Definisjonen av integralet kan imidlertid generaliseres til uekte integral, der disse forutsetningene ikke er oppfylte, ved å bruke grenseverdier.  Et integral over et uendelig område kan for eksempel defineres slik:

Se også 

 Asymptote
 Opphopningspunkt

Referanser

Litteratur 

 

Grenser (matematikk)