Goppa-kode

Innenfor algebraisk geometri i matematikken er en Goppa-kode definert som bildet til avbildningen  gitt på følgende måte: La  være en primtallspotens og  en ikke-singulær, projektiv kurve definert over  og med minst ett -rasjonalt punkt. La  være -rasjonale punkter på  og la  være en -rasjonal divisor på  med støtte disjunkt fra . Vi definerer da  ved . Hvis vi definerer divisoren , betegner vi gjerne koden ved .

Dimensjonen  til en kode  er gitt ved , og minimumsdistansen  er gitt ved . Disse resultatene finner man lett ved hjelp av Riemann–Roch-teoremet.

Goppa-koden ble først konstruert i 1981 av V.D. Goppa.

Bruk av Goppa-koder

Goppa-koder ble brukt da den asymptotiske Gilbert–Varshamov-begrensningen (1950) ble forbedret av Tsfasman, Vladut og Zink i 1982. Her ble en uendelig følge av ikke-singulære, projektive kurver med et stort antall -rasjonale punkter definert, og en Goppa-kode ble definert på hver kurve slik at lengden på Goppa-kodene var lik antallet -rasjonale punkter på kurvene.

I senere tid har flere kodeteoretikere jobbet med å definere koder ved hjelp av algebraiske kurver med metoder inspirert av Goppas konstruksjon.

Generaliseringer av Goppa-koder

I 1999 definerte Xing, Niederreiter og Lam en generalisering av Goppa-kodene. La  være en ikke-singulær, projektiv kurve definert over  og  være lukkede punkter på . Sett . Hvis  slik at , da er . La  og  være positive heltall for  slik at det eksisterer en -lineær kode for hver , og definér en isomorfisme  for hver . La  være en -rasjonal divisor med støtte disjunkt fra , og sett . Xing, Niederreiter og Lams kode er da definert som bildet til avbildningen  gitt ved .

Det er klart at dette utgjør en generalisering av Goppa-kodene, siden  gir samme konstruksjon som Goppas definisjon.

Koden til Xing, Niederreiter og Lam har gitt en del forbedringer av parametrene til enkeltkodene, men har ennå ikke gitt noen forbedringer når det gjelder asymptotiske begrensninger.

Andre naturlige generaliseringer av Goppa-koder er å bruke varieteter fra algebraisk geometri som ikke nødvendigvis er kurver.

Kodeteori
Algebraiske kurver
Endelige kropper