Kvadratroten av 2

Kvadratroten av 2 er det tallet som gir 2 når det multipliseres med seg selv. Det er et irrasjonalt tall og symboliseres som  (se kvadratrot). Tallet har en tilnærmet verdi på  .

Bevis for irrasjonalitet 
At kvadratroten av 2 er irrasjonal, kan vises ved hjelp av et kontradiksjonsbevis (som for første gang ble beskrevet av Evklid i det 3. århundre f.Kr.):

Anta at  er et rasjonalt tall. Dermed finnes det to naturlige tall,  og , slik at . Vi sier at brøken er forkortet (forenklet) så mye at det ikke går an å forenkle den mer. Om vi kvadrerer på begge sider, får vi . Vi ser at  er et partall, siden det har  som faktor. Siden da også  er et partall, er  et partall, og vi kan skrive det som . Da får vi . Forkorter vi, får vi , og dermed må  også være et partall (siden det kan skrives som produktet av et heltall og ), og dermed er også  et partall. Men siden både  og  er partall, så kan faktisk brøken  forkortes mer (siden de begge har  som faktor). Og siden vi har kommet frem til en selvmotsigelse, og bare har gjort én eneste antagelse, er denne antagelsen feil. Og den antagelsen var at  var et rasjonalt tall, og siden det motsatte av dette er at  er irrasjonal, så har vi bevist at kvadratroten av  er et irrasjonalt tall.

Eksterne lenker 
 De første 5 millioner desimaler av kvadratroten av 2

Aritmetikk
Elementær algebra
Irrasjonale tall