Vektorrom

Et vektorrom eller et lineært rom er i matematikken en struktur med en mengde av elementer kalt vektorer og en tilhørende mengde av skalarer, sammen med operasjoner som gjør at vektorene kan skaleres og adderes.  Operasjonene er ikke definert eksplisitt, men gjennom et sett av aksiomer som beskriver egenskaper til operasjonene.  Skalarene er vanligvis reelle eller komplekse tall, men kan mer generelt være elementer i en kropp.  Vektorrom er basert på en abstraksjon av egenskaper fra geometri, og gjør at vektoregenskapene kan generaliseres til høyere dimensjoner og mange typer elementer.  Mange viktige matematiske resultater kan utledes for samtlige vektorrom ved å basere utledningen kun på de definerte aksiomene. 

Fra plangeometri og romlig geometri er det kjent at to geometriske vektorer kan skaleres og adderes, slik som vist i planet på figuren til høyre.  Vektorrommet har to operasjoner, kalt vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon, som generaliserer egenskapene til romlige vektorer.  Elementene i et vektorrom kan adderes og skaleres, og resultatet vil også være inneholdt i vektorrommet.  Denne egenskapen omtales som at rommet er lukket under vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon.  Linearitetsegenskapene til vektoraddisjonen er også svært viktige, og vektorrom er sentrale i studiet av lineær algebra og i funksjonalanalyse.

Ut fra definisjonen av vektorrom kan ett og samme matematiske resultat vise seg å være gyldig for tilsynelatende ulike objekter som funksjoner og matriser, fordi begge disse typene objekter er elementer av vektorrom. Vektorrom er dermed en abstraksjon som gjør en i stand til å studere mange ulike matematiske objekter ut fra et sett av felles egenskaper.   

Et vektorrom inneholder generelt ingen definisjon av nærhet, lengde eller vinkel, og vektorrommet kan dermed brukes til å studere egenskaper som ikke avhenger disse begrepene.  Det er imidlertid mulig å utvide definisjonen av vektorrom til også å inneholde et lengdemål, kalt en norm, og et vinkelmål, kalt et indreprodukt.        

Dimensjonen til et vektorrom er løst sagt lik antall uavhengige «retninger» i rommet.  Dimensjonen kan være endelig eller uendelig.  Dimensjonen er lik antall basisvektorer i rommet.  For eksempel vil mengden av alle vektorer med tre reelle koordinater (x,y,z) kunne defineres som et tredimensjonalt vektorrom, med en passende definisjon av addisjon og skalarmultiplikasjon.  Mengden av alle kontinuerlige funksjoner kan defineres som et uendeligdimensjonalt vektorrom (et funksjonsrom).

Formell definisjon 
Et vektorrom er en mengde V av vektorer sammen med en tilhørende kropp K med skalarer.  I vektorrommet er det definert to operasjoner kalt vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon, slik at for alle vektorer u og v og skalarer a og b, så er også lineærkombinasjonen (au + bv) et element i V.  For vektoraddisjonen gjelder de følgende aksiomene:

For skalarmultiplikasjonen gjelder følgende aksiomer:

Aksiomet kalt Multiplikasjon gir en sammenheng mellom skalarmultiplikasjon og multiplikasjon i K, og dette må ikke forveksles med assosiativitet.

Notasjon 
Vektorer skrives ofte i fet skrift, slik som vist over.  Dersom typen objekt går fram av sammenhengen vil en ofte skrive både skalarer og vektorer med samme typesetting, som i skalarproduktet (ku).  I håndskrift brukes ofte en strek under eller over bokstaven for å markere en vektor.  Formen der en vektor skrives som en bokstav med pil over  er kanskje mest vanlig i fysikk.  

Vanlig addisjonssymbol brukes både for vektoraddisjon og addisjonen av skalarer, selv om dette er to ulike operasjoner, definert i to forskjellige mengder.  For likhet mellom vektorer brukes i dag det vanlige likhetstegnet =, men historisk har en rekke ulike symboler vært brukt, blant annet #,  og .

Et vektorrom V med en mengde skalarer K uttrykkes gjerne i kortform som vektorrommet «V over K».  Skalarene er vanligvis reelle eller komplekse tall.  Et vektorrom med reelle skalarer kalles et reelt vektorrom.  Likedan har et komplekst vektorrom komplekse skalarer og et rasjonalt vektromrom har rasjonale tall.  Dersom en ønsker å presisere at skalarobjektene er i en kropp K, kan en bruke skriveformen K-vektorrom.

Grunnleggende egenskaper  
Definisjonen av vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon medfører at rommet er lukket med hensyn på disse operasjonene.  

Subtraksjon av to vektorer defineres umiddelbart fra vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon, ved

Et vektorrom er en abelsk gruppe med hensyn på vektoraddisjon.  I en slik gruppe er den definerte operasjonen kommutativ. 

Det første distributivitetsaksiomet betyr at multiplikasjon med elementer i kroppen K opererer som en gruppeendomorfi, og de resterende aksiomene impliserer at kroppstrukturen til K og ringstrukturen til endomorfisme-ringen End(V) er kompatible.[Trenger forklaring og referanse]

Alternative definisjoner 
I litteraturen blir definisjonen av vektorrom presentert på flere ulike måter, der grunnleggende konsekvenser blir tatt som forutsetninger, og omvendt.  For eksempel kan operasjonene i K presiseres med aksiomer, med egenskapen at disse utgjør en kropp som en avledet konsekvens.[Trenger referanse]   

Aksiomene for vektoraddisjon om eksistens av nullelement og av invers kan erstattes av ett enkelt aksiom:  For alle vektorer u og v i mengden eksisterer det en entydig bestemt vektor w slik at u + w = v.  Dette aksiomet inneholder de to andre som spesialtilfeller.    

Med terminologi fra abstrakt algebra kan vektorrom defineres som en matematisk struktur sammensatt av en abelsk gruppe V, en kropp K og en ringhomomorfi K → End(V). 
Gitt en skalarmultiplikasjon som over, så eksisterer det en ringhomomorfi ξ : K→ End(V) gitt ved  ξ(α)(u) := αu. En ringhomomorfi ξ : K→ End(V) definerer en skalarmultiplikasjon ved αu := ξ(α)(u).

Eksempler og moteksempler

Koordinatrom 
Et koordinatrom er et vektorrom med endelig dimensjon der vektorene er  n-tupler eller koordinatvektorer på formen . Hver komponent   kalles en koordinat og tilhører en kropp K. Addisjon av to koordinatvektorer er definert ved å summere koordinat for koordinat: 

 . 

Multiplikasjon med en skalar k som også tilhører kroppen K, er definert ved å multiplisere hver koordinat med skalaren: 

.

Dette koordinatrommet er n-dimensjonalt og betegnes som Kn.  I det enkleste tilfellet med bare én koordinat, blir kroppen K er et vektorrom over seg selv.  

Mest vanlig er koordinatrom som er definert  ved kroppen R av reelle tall eller kroppen C med komplekse tall. Disse danner i seg selv endimensjonale vektorrom. De tilsvarende koordinatrommene med dimensjon n betegnes som Rn og Cn.

Matriser 
Mengden av alle (n × m)-matriser utgjør et vektorrom ved å bruke definisjonen av matriseoperasjonene addisjon og skalarmultiplikasjon.  Dimensjonen til vektorrommet er lik produktet nm.

Nullvektorrommet 
Nullvektorrommet er et vektorrom som består av bare ett element, kalt 0 = (0,0,0, ..., 0) sammen med operasjonene

 .

Dimensjonen til vektorrommet er lik 0.

Kontinuerlige funksjoner 
Vektorrommet C1 er definert som mengden av alle  kontinuerlige reelle funksjoner definert på hele R.  Vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er definert som

 
 .

Dette vektorrommet har uendelig dimensjon.

Polynom 
Mengden Pn av  polynom av grad mindre eller lik (n - 1), definert på et lukket intervall [a,b], er et vektorrom med dimensjon n.  Et element i dette vektorrommet kan skrives på formen

Vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er definert som i det forrige eksempelet.

Naturlige tall 
Mengden av naturlige tall er ikke et vektorrom, da mengden ikke inneholde inverselement.  Alle naturlige tall er positive.

Lineær uavhengighet 
Utdypende artikkel Lineær uavhengighet
En mengde av vektorer er lineært uavhengige dersom det ikke er mulig å uttrykke en vilkårlig vektor i mengden som en lineærkombinasjon av de andre.  Dersom vi er en vektor i mengden kan en alternativt uttrykke dette som at ligningen

medfører at alle skalarverdiene αi  er lik null.

Basis og dimensjon 
Utdypende artikkel: Basis (matematikk)
En mengde av lineært uavhengige vektorer i et vektorrom er en algebraisk basis eller en Hamel-basis for vektorrommet, dersom en vilkårlig vektor i rommet kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av disse.  Ofte brukes bare kortversjonen basis.  
En snevrere definisjon av begrepet «Hamel-basis» er også i bruk, da definert som en basis i det rasjonale vektorrommet R.  

Det vil alltid eksistere mange alternative basiser for et vektorrom. Ulike valg fører til forskjellige koordinatsystem. Dersom antallet vektorer i en basis er endelig, så vil alle alternative basiser ha samme antall vektorer, og antallet vektorer i en basis kalles dimensjonen til rommet.  

Dersom et vektorrom med dimensjon n har basisvektorene  a1, a2, .... an, så kan en vilkårlig vektor u i rommet skrives på formen

der u1, u2,... un er et sett av skalarer. Disse skalarene kalles koordinatene eller komponentene til vektoren u med hensyn på den valgte basisen.
 
Vektorene   e1 = (1,0,0),  e2 = (0,1,0) og  e3 = (0,0,1) er en spesiell basis for vektorrommet R3 som har tre dimensjoner. En vilkårlig vektor v =  kan da skrives som . Denne basisen kalles ofte standardbasisen for R3. Den danner et kartesisk koordinatsystem og med kartesiske vektorkomponenter. Tilsvarende kartesiske koordinatsystem finnes for Rn.

Underrom og undermengder 
I et vektorrom kan en definere en rekke undermengder eller delmengder:

Underrom 
Et underrom er et vektorrom som er en delmengde av et annet vektorrom, og der operasjonene vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er felles.  En nødvendig forutsetning for at en mengde W skal være et underrom av et vektorrom V er at W inneholder nullelementet i V.  I tillegg må W være lukket under vektoraddisjonen og skalarmultiplikasjonen.  

Alle underrom vil ha minst to underrom, nemmelig nullvektorrommet og vektorrommet selv.  Alle andre underrom enn disse to kalles ekte underrom.  

I vektorrommet R3 vil ethvert plan gjennom origo være et underrom.  Vektorer i planet kan skaleres og adderes, men vil fortsatt ligge i planet.   

Definerer en vektorrommet Pn som mengden av alle polynom av grad mindre eller lik n-1, så vil Pi være et underrom av Pj når i < j.

For en lineær transformasjon T(x) mellom to vektorrom V og W vil nullrommet til transformasjonen være et underrom i V.   Nullrommet er mengden av alle vektorer i V som avbildes inn  på nullelementet i W.   Dette må ikke forveksles med nullvektorrommet.

Konvekse mengder 
I en konveks mengde i et reelt vektorrom er enhver vektor på linjesegmentet mellom to vektorer i mengden også inneholdt i mengden.  Dersom u og v er to vektorer i mengden S, så er S er konveks dersom

Ethvert underrom er konveks, men en konveks mengde trenger ikke være et vektorrom.   Mengden av alle vektorer i R3 med positive koordinater er konveks, men er ikke et vektorrom.

Kjegler 
En kjegle i et vektorrom er en undermengde S som har egenskapen at dersom vektoren u ligger i S, så ligger også skalarproduktet ku i S for all k ≥ 0.  En kjegle som også er en konveks mengde kalles en konveks kjegle.

Affine underrom 
La W være et underrom av vektorrommet V og la v0 være en vektor i V.  Mengden av vektorer

er da et affint underrom i V.  Begrepene affin mangfoldighet og lineær mangfoldighet blir også brukt.  Et affint underrom vil generelt ikke være et vektorrom, da det ikke inneholder nullelement. 

Planet { (x,y,z) | x + y + z = 3 } er et eksempel på et affint underrom i R3.  Det følger definisjonen over ved å velge  v0 = (1,1,1) og W = { (x,y,z) | x + y + z = 0 }.  I dette tilfellet er det affine underrommet ikke et vektorrom.

Isomorfe vektorrom 
To vektorrom er isomorfe dersom det eksisterer en bijektiv lineær transformasjon mellom de to vektorrommene.  To isomorfe vektorrom har samme struktur:  Elementene i de to vektorrommene kan være forskjellige, men egenskapene til vektorrommene er ellers like.

Reelle endeligdimensjonale vektorrom er isomorfe dersom de har samme dimensjon.  Det vil si at alle  n-dimensjonale reelle vektorrom er isomorfe med Rn.   Tilsvarende gjelder for komplekse vektorrom.  For eksempel vil vektorrommet Rn være isomorft med vektorrommet av polynom Pn.

Vektorrommet av komplekse tall C = { x + iy } er isomorft med mengden av reelle ordnede par (x,y).  Vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er de samme i de to rommene.

Vektorrom med tilleggsstruktur

Normerte vektorrom 
Vektorrom som er definert med en  norm kalles et normert vektorrom.  Normen er et lengdemål for vektorer, som gjør at det er mulig å snakke om lengder og avstander i vektorrommet.  Normen innfører både en metrikk og en topologi i vektorrommet.  
Med et definert avstandsmål er det også mulig å introdusere begreper som kontinuitet og   konvergens i rommet.

Et normert vektorrom er komplett dersom en hver Cauchyfølge av vektorer har en grenseverdi som også er en vektor i rommet.  Et komplett normert vektorrom kalles et Banachrom, oppkalt etter den polske matematikeren Stefan Banach (1892-1945).

Indreproduktrom 
Et indreproduktrom er et vektorrom definert med et indreprodukt.  Til hvert par av vektorer (u,v) vil indreprodukt definerer en tilhørende skalarverdi, og dette gjør det mulig å generalisere vinkelegenskaper slik de er kjente fra romlig geometri.  To vektorer defineres som ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er lik null.  

Fra indreproduktet følger det en naturlig definert norm, slik at indreproduktrom også er normerte vektorrom.  Et komplett indreproduktrom kalles et Hilbertrom, oppkalt etter en tysk matematiker David Hilbert (1862-1943).  Fra definisjonen følger det umiddelbart at alle Hilbertrom også er Bannachrom.  Dersom indreproduktrommet ikke er komplett kalles det et pre-Hilbertrom.

Et Euklidsk vektorrom er et reelt vektorrom der det er definert et spesielt indreprodukt, det såkalte Euklidske indreproduktet.  Et n-dimensjonalt Euklidske vektorrom er isomorf med Rn.

Generalisering  
En modul er en matematisk struktur der vektoraddisjonen og skalarmultiplikasjonen oppfyller samme aksiomer som i et vektorrom, men der skalarene er elementer i en ring.  Siden enhver kropp er en ring, så vil ethvert vektorrom være en modul.  Det eksisterer imidlertid moduler som ikke er vektorrom.

Historie 
Teori for vektorrom vokste ut fra studiet av analytisk geometri og introduksjonen av koordinater i planet og det tredimensjonale rommet.  Den franske matematikeren René Descartes (1596-1650)  regnes som opphavsmannen til analytisk geometri, sammen med landsmannen Pierre de Fermat (1601-1665).  I 1636 publiserte Descartes verket La Geométrie, der han drøfter koblingen mellom geometri og algebra.  Fermat sirkulerte samme år et manuskript som også drøfter emner i analytisk geometri, men dette manuskriptet ble først publisert etter Fermats død.

Den analytiske geometrien ble generaliserte til høyere dimensjoner av engelskmannen Arthur Caley (1821-1895).  Ved hjelp av determinanter generaliserte han ligninger for linjer og plan til n dimensjoner.

Ett år etter at Caley hadde publisert det første arbeidet på geometri i høyere dimensjon, i 1844, ga den tyske matematikeren Hermann Grassmann (1809-1877) ut verket Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, der han forsøker å bygge en vektoranalyse for høyere dimensjoner.  Grassmann hevdet at når geometri var gitt en algebraisk form, så er det ikke noe spesielt ved det tredimensjonale rommet, sammenlignet med et vilkårlig n-dimensjonalt rom.  Antall dimensjoner kan også være uendelig.  Arbeidet til Grassmann møtte imidlertid ikke særlig forståelse i samtiden.

Den første formuleringen av aksiomene for et vektorrom ble gitt av italieneren Giuseppe Peano (1858-1932), som i 1888 i prinsippet definerte et reelt vektorrom.

David Hilbert (1862-1943) var professor i matematikk i Göttingen og arbeidet mye med å gjøre matematikk aksiomatisk, det vil si bygge opp teori fra et grunnleggende sett av aksiomer.  Under arbeid med differensial- og intergralligninger rundt 1909 innførte han begrepet «Euklidsk rom»  for det som senere ble omdøpt til Hilbert-rom.  Ytterligere formalisering av vektorrom ble innført av Stefan Banach (1892-1945), en av grunnleggerne av moderne funksjonalanalyse.

Referanser

Litteratur 

Lineær algebra