Markovs ulikhet

I sannsynlighetsteori gir Markovs ulikhet en øvre grense for sannsynligheten av at en ikke-negativ stokastisk variabel er større enn en gitt positiv verdi. Ulikheten er oppkalt etter den russiske matematikeren Andrej Andrejevitsj Markov.

Ulikheten

Hvis X er en stokastisk variabel og a > 0, så er

Bevis

Hvis A er en hendelse, la IA være indikatorvariabelen til A. Det vil si at IA = 1 hvis A skjer, og 0 ellers.
Da er

Derfor er

Merk at den venstre siden av denne ulikheten er det samme som

Dermed har vi at

og siden a > 0, kan vi dividere begge sider med a.

Eksempler

 Markovs ulikhet brukes til å bevise Tsjebysjevs ulikhet.
 Hvis X er en ikke-negativ stokastisk variabel med bare heltallige utfall, noe som ofte forekommer i kombinatorikk, så følger det av Markovs ulikhet at P(X > 0) ≤ E(X), ved å sette a =1.

Sannsynlighetsteori