Matrise

En matrise i matematikk er et rektangulært sett av elementer, ordnet i rekker og kolonner. Elementene er vanligvis reelle eller komplekse tall, men kan også være mer generelle objekter i en  kropp eller en  ring. Et eksempel på en matrise er vist i figuren til høyre.

En (n × m)-matrise har n rekker eller rader og m kolonner eller søyler, og dimensjonen til matrisen sies å være n × m. En matrise med like mange rader som kolonner kalles en kvadratisk matrise. Rangen til en matrise er det største antallet lineært uavhengige rader eller kolonner i matrisen.

Matriser har et stort anvendelsesområde i matematikk og også i andre fagfelt, som fysikk og kjemi. Viktige grunner for dette er nær sammenheng mellom matriser
og lineære algebraiske ligninger samt matriser og lineære transformasjoner.
Praktiske problemstillinger kan lede til svært store matriser, der millionvis av elementer ikke er uvanlig. 
På grunn av det store bruksområdet, er det lagt ned en stor innsats i å utvikle effektive beregningsmetoder for matriser.

I matematikk er grunnleggende teori for matriser en del av fagfeltet lineær algebra, men de studeres også i andre spesialområder, som i numerisk matematikk. 
Det er utviklet en rik terminologi for matrisetyper og matrise-egenskaper.
Matriser som består av kun én kolonne eller én rekke svarer til vektorer, mens en tensor kan betraktes som en generalisering av en matrise fra to dimensjoner (rekker, kolonner) til tre eller flere dimensjoner.

Notasjon og terminologi for generelle matriser

Dimensjon 
En matrise betegnes vanligvis med en stor bokstav , ofte også med fet skrift . Dimensjonen eller ordenen til matrisen er 
(n × m), når n er antallet rekker og m er antallet kolonner.  Dette kan markeres på flere måter:

.

Tilsvarende sier en også at n er rekke-dimensjonen og m er kolonne-dimensjonen.  Matrisen karakteriseres som en (n × m)-matrise.  

I en kvadratisk matrise er det like mange kolonner som rekker. Dersom det går klart fram at en matrise er kvadratisk, kan en oppgi dimensjonen som n.

En matrise med bare én rekke eller én søyle kan betraktes som en vektor og kalles da henholdsvis en rekkematrise og en søylematrise, alternativ 
en rekkevektor og en søylevektor.  Dimensjonen til disse vil være henholdsvis (1 × m) og (n × 1).

Matrise-elementer 
I en reell matrise er elementene reelle tall, og i en kompleks matrise er elementene komplekse.
Mengden av alle reelle matriser skrives som , der  er mengden av reelle tall.  
Mengden av komplekse matriser skrives tilsvarende som .

Flere alternative skrivemåter for å spesifisere matriser er i vanlig bruk. Dersom alle elementene skal skrives ut, bruker en som regel en form for parenteser 
til å omslutte elementene:

En generell (n × m)-matrise med n rekker og m kolonner kan skrives på formen

Matrise-elementene skrives ofte med liten bokstav, og hvert element er definert ved to indekser:
 er elementet i rekke nummer  og kolonne nummer . 
              
Matriser kan også skrives i kompakt form, uten å definere hvert enkelt element:

De enkelte elementene kan spesifiseres ved hjelp av en regel, som i det følgende eksempelet:

Diagonaler 
I en kvadratisk matrise utgjør elementene  med  prinsipaldiagonalen eller hoveddiagonalen, ofte omtalt bare som diagonalen. 
Sekundærdialogen eller skjevdiagonalen går fra øvre høyre hjørne til nedre vestre hjørne, det vil si elementene .

Sammen med hoveddiagonalen kan en definere sidediagonaler, der  eller .  Diagonalen med , 
det vil si diagonalen rett over hoveddiagonalen, kalles superdiagonalen.
Tilsvarende kan en definere subdiagonalen som diagonalen rett under hoveddiagonalen.

Undermatriser 
Fra en generell matrise kan en definere en undermatrise eller en submatrise ved å slette at antall rekker og/eller søyler. 
Det følgende eksempelet viser hvordan en undermatrise er laget fra matrisen  ved å slette en enkelt rad og en enkelt søyle, vist i rød farge;

Blokkmatriser 
En matrise definert ved et sett av undermatriser kalles en blokkmatrise eller en partisjonert matrise.
I det følgende eksempelet er en blokkmatrise  definert ved fire undermatriser :

Skrevet med alle elementene fullt ut, er matrisen gitt ved

Matriseoperasjoner

Elementære operasjoner 

De følgende rekkeoperasjonene er kalt de elementære rekkeoperasjonene:

 Ombytting av to rekker i matrisen.
 Multiplikasjon av alle elementene i en rekke med et tall ulik null.
 Addisjon av et multiplum av en rekke til en annen rekke.  

De elementære søyleoperasjonene er definert tilsvarende.  Sammen utgjør disse de elementære matriseoperasjonene.

Addisjon og subtraksjon 
To matriser  og  med samme dimensjon kan adderes ved å summere de enkelte elementene:

 

Subtraksjon defineres tilsvarende.  Fra definisjonen følger det umiddelbart at matriseaddisjon er kommutativ, det vil si at .

Skalarmultiplikasjon 
Multiplikasjon med en skalar  er definert ved å multiplisere alle elementene i matrisen:

 

De to operasjonene matriseaddisjon og skalarmultiplikasjon gjør at mengden av (n×m)-matriser definerer et vektorrom.

Matrisemultiplikasjon 
Dersom  er en (n×m)-matrise og  er en (m×p)-matrise,
så kan produktmatrisen  defineres ved at matrise-elementene til  er gitt ved summen

 .

Her er  og  matrise-elementene til  og .
Produktmatrisen C er en (n×p)-matrise.

Matrisemultiplikasjon er assosiativ, slik at , når matrisene ,  og  
er slik at multiplikasjonene er definert. Videre er multiplikasjon distributiv med hensyn på addisjon, slik at  og . 
Derimot er multiplikasjonen ikke kommutativ, slik at  generelt ikke er lik . Produktene  og  
vil bare være definert samtidig dersom  har dimensjonen (n × m) og  har dimensjonen (m × n). Dette er tilfelle dersom begge matrisene er kvadratiske.

Et skalarprodukt mellom to vektorer kan betraktes som et produkt av en rekkematrise og en søylematrise.  Matriseproduktet kan en dermed se på som 
en generalisering av skalarproduktet.

Produkt av en matrise med seg selv kan skrives som en potens: . Ved å addere slike potenser kan en også lage matrisepolynom. 
En kan også definere kvadratroten av en matrise  som en matrise  med egenskapen . 

Med matrisemultiplikasjon er mengden av matriser en gruppe. Med både addisjon og multiplikasjon er mengden også en algebraisk struktur.

Kronecker-produkt 
Dersom  er en (n×m)-matrise og  er en (p×q)-matrise, så er Kronecker-produktet definert ved

 

Resultatmatrisen har dimensjon (np)×(mq). Produktet kalles også tensorprodukt og direkte produkt.

Hadamard-produkt 
Hadamard-produktet eller Schur-produktet for matriser er et elementvis produkt av to matriser med samme dimensjon (n×m):

Direkte sum 
Den direkte summen av to kvadratiske matriser er definert ved

Transponering 
Den transponerte matrisen  er definert ved en ombytting av rekker og kolonner i den opprinnelige matrisen :

 

For den transponerte matrisen brukes også notasjonen , ,  og .

Konjungert transponering 
Den konjugert-transponerte matrisen  er definert ved en ombytting av rekker og kolonner i den opprinnelige matrisen  samt kompleks konjugasjon av matrise-elementene:

 

 kalles også den hermitsk-adjungerte til matrisen. Notasjonen  er også brukt.

Invers 
Inversen til en kvadratisk matrise  er definert som den entydig bestemte matrisen  som oppfyller ligningen

 

der  er identitetsmatrisen.

Matrisen  er invertibel hvis determinanten til  er ulik null: . I motsatt fall er matrisen singulær.

En (2×2)-matrise kan inverteres med formelen

 .

Generalisert invers 

For en generell matrise  er en generalisert invers  en matrise som oppfyller ligningen

 .

Dersom  er en kvadratisk (n×n)-matrise med rang n, så er . Den generaliserte inversen er generelt ikke entydig.

Matrisetyper

Kvadratiske matriser 

De følgende definisjonene gjelder for kvadratiske matriser.

 En båndmatrise er en matrise der det eksisterer to positive heltall  og  slik at elementene er lik null for  og for . Båndbredden til matrisen er .

 En diagonalmatrise er en matrise der alle elementene utenom diagonalen er lik null. En diagonalmatrise kan skrives , med elementene på diagonalen spesifisert.

 En diagonaldominant matrise er en matrise der absoluttverdien av et diagonalelement er større eller lik summen av de andre elementene i en rekke.

 En hermitisk matrise er en matrise der . 

 En Hessenberg-matrise er en matrise der elementene i matrisen eller i den transponerte matrisen er lik null for .

 En Hilbert-matrise er en matrise der .

 En idempotent matrise er en matrise der .

 En identitetsmatrise er en diagonalmatrise der alle diagonalelementene er lik 1. En vanlig notasjon for identitetsmatrisen er .

 En M-matrise eller en Minkowski-matrise er en ikke-singulær matrise der  for  og der også .

 En nilpotent matrise er en matrise der  for et heltall .

 En normalmatrise er en matrise der .

 En ortogonal matrise er en ikke-singulær matrise der , det vil si  . 

 En positiv-definit matrise er en matrise der produktet  alltid er ikke-negativt. Tilsvarende er en negativt-definit matrise en matrise der produktet  alltid er ikke-positivt.

 En singulær matrise er en matrise med determinant lik null. Tilsvarende er en regulær matrise eller ikke-singulær matrise en matrise med determinant ulik null.

 En skalarmatrise er en diagonalmatrise der alle diagonalelementene er samme tall , det vil si matrisen .

 En skjevsymmetrisk matrise er en matrise der .

 En symmetrisk matrise er en matrise der .

 En Toeplitz-matrise er en matrise der elementene på en vilkårlig diagonal er reelle og like, det vil si at  og  er reelle tall.

 En triangulærmatrise er en matrise der elementene over eller under diagonalen er lik null.

 En tridiagonal matrise er en matrise der elementene er lik null dersom .

 En unitær matrise er en ikke-singulær matrise der .

 En Vandermonde-matrise er en matrise der  og  er reelle eller komplekse tall.

Generelle matriser 

 En glissen matrise er en matrise der de fleste elementene er lik null.

 En nullmatrise er en matrise der alle elementene lik null.  Nullmatrisen kan skrives som .  
 
 En positiv matrise er en reell matrise der alle elementene er positive.

Teori for kvadratiske matriser

Determinanter 
 Utdypende artikkel: Determinant

For en reell, kvadratisk matrise er determinanten et reelt tall, entydig bestemt av elementene i matrisen.  Tilsvarende er determinanten til en kompleks matrise
et komplekst tall. Presist kan en si at determinanten er en funksjon med definisjonsmengde lik mengden av reelle/komplekse, kvadratiske matriser og 
med verdimengde lik mengden av reelle/komplekse tall.

Dersom en uttrykker en matrise som en samling av rekker, , så kan en definere determinanten
som en funksjon  med de følgende egenskapene:

 Funksjonen er homogen i hver rekke, det vil si at .

 Funksjonen er additiv i hver rekke, det vil si at .

 Funksjonen er lik null dersom to rekker er like.

 Funksjonen er lik 1 for identitetsmatrisen.

Determinanten til matrisen  betegnes som regel  eller . Notasjonen  brukes også, 
men det er lett å forveksle dette symbolet med absoluttverdien av matrisen. For absoluttverdien av en matrise brukes både  og .
Ønsker en å presisere elementene i matrisen, skrives determinanten vanligvis ved å omgi elementene med loddrette streker:

 

Leibniz' formel uttrykket determinanten som en sum av n produkt.
Hvert produkt inneholder n faktorer, der hver faktor er et matrise-element. I hvert produkt er hver rekke og hver søyle i matrisen 
representert med ett og kun ett element. For en (2×2)-matrise er determinanten gitt ved formelen

 .

Determinanter kan også beregnes ved hjelp av Laplace-ekspansjon.

Determinanten kan brukes til å karakterisere egenskaper til matrisen og til den lineære transformasjonen som matrisen representerer.
For eksempel vil en kvadratisk matrise med en determinant ulik null, ha definert en invers.  Determinanten til en ortogonal matrise har alltid
absoluttverdi lik 1.

Matrisespor 
Sporet til en kvadratisk matrise  skrives  og er lik summen av elementene på diagonalen:

 

Notasjonen er avledet av det engelske begrepet «trace», som betyr spor.

Sporet er også lik summen av egenverdiene.  En rekke generelle relasjoner gjelder for matrisespor:

Egenverdier og egenvektorer 
 Utdypende artikkel: Egenvektor
Egenverdiene til en kvadratisk matrise er definert som  nullpunktene til det karakteristiske polynomet, definert ved

 .

Her er  enhetsmatrisen med samme dimensjon n som . Polynomet i  har grad n, og tar en  multiplisiteten med i betraktning vil matrisen ha n egenverdier.

Alternativt kan en definere en egenverdi som et tall  som gjør at ligningen

 .

har en løsning ulik nullvektoren. Løsningsvektoren  kalles en egenvektor til .  

Ifølge Caley-Hamiltons teorem tilfredsstiller matrisen  sitt eget karakteristiske polynom, det vil si

 ,

der høyre side nå er nullmatrisen.

Teori for generelle matriser

Matriserang 
Rangen til en matrise er det største antallet lineært uavhengige rekker eller kolonner i matrisen.

Dersom rangen i en matrise er lik , så eksisterer det en kvadratisk, ikke-singulær undermatrise av dimensjon (p×p), mens eventuelle kvadratiske
undermatriser av høyere dimensjon  er singulære.

Rangen til en matrise endres ikke dersom det utføres en eller flere elementære operasjoner på matrisen.

Matrisenorm 
 Utdypende artikkel: Norm (matematikk)
Normen til en generell matrise  er et ikke-negativ reelt tall  definert med de følgende egenskapene

  hvis  og  hvis og bare hvis .

  for alle skalarer .

  for alle matriser  og .

Det eksisterer en stort utvalg av matrisenormer, eksempelvis:

Den siste normen kalles Frobenius-normen og er mye brukt i numerisk analyse.

Lineære ligninger 
Lineære algebraiske ligninger er ligninger på formen

 

der  er en kjent koeffisientmatrise og  en kjent vektor. Den ukjente  er også en vektor. For et system med like mange ligninger som ukjente kan en formelt skrive en entydig løsning som

 
 
Løsningen eksisterer dersom den inverse matrisen  er definert, det vil si dersom matrisen er ikke-singulær. Lineære ligninger kan løses ved hjelp av Cramers regel eller ved Gauss-eliminasjon.

I det generelle tilfellet der  er en ikke-kvadratisk matrise, så kan matriserang brukes til å studere om systemet har ingen, én eller mange løsninger.

Lineære transformasjoner 
Matriser er nært knyttet til lineære transformasjoner.
La  være en lineær transformasjon mellom to endelig-dimensjonale vektorrom: .
Anta at det er valgt basis for hver av de to vektorrommene. Da kan transformasjonen representeres på matriseform: 

 

Matrisen  har dimensjon (n×m). Hver kolonne i  representerer transformasjonen av en basisvektor i 
relativ til den valgte basisen i .  Elementene i  kalles komponentene til transformasjonen, relativ til de to valgte basisene.  
Med valgte basiser for  og  er vektorrommet av matriser  isomorft med vektorrommet 
av lineære transformasjoner fra  til .

Når matrisen A er ortogonal, sies også  å være en ortogonal transformasjon. Slike transformasjoner har mange anvendelser, blant annet i geometri 
for å beskrive operasjoner som translasjon, rotasjon, speilvending, projeksjon og skalering av objekter i rommet.

To kvadratiske matriser  og  sies å være similære dersom det eksisterer en tredje invertibel matrise  slik at

.

Similære matriser er representasjoner av én og samme lineære transformasjon, men relativ til ulike basis-valg.

Singulærverdier 
Singulærverdiene til en matrise  med dimensjon (n × m) er  kvadratrøttene til egenverdiene til produktet  
dersom  og til produktet  dersom .

En matrise  kan alltid skrives som et matriseprodukt

 

der  er en diagonalmatrise av singulærverdiene, og  og  er unitære matriser. Matriseproduktet  kalles singulærverdi-dekomponeringen til matrisen.

Numerisk matriseregning 

Matriser inngår i svært mange praktiske problemstillinger, og det eksisterer derfor et rikt utvalg av metoder for matriser på datamaskiner.
Slike metoder studeres i numerisk lineær algebra, et fagfelt i numerisk analyse. En rekke standard bibliotek med implementasjon av numeriske algoritmer for
matriser er utviklet, slik som BLAS 
og LAPACK.

Numeriske metoder for matriser omfatter både direkte metoder og iterative metoder.  En vanlig direkte metode for å finne løsningen av mindre ligningssystem
, er Gauss-eliminasjon med pivotering. Dimensjonen til matriser som har opphav i løsning av differensialligninger kan bli svært stor, 
med mange millioner elementer.  For ligningssystem med slike matriser brukes typisk iterative metoder, slik som konjugerte-gradient-metoden.

For å finne elementene i et produkt av to (n × n)-matriser numerisk, trenger en orden  operasjoner, 
dersom en bruker summasjonsformelen gitt over. Det har vært jaktet intenst på mer effektive metoder, og den gjeldede teoretiske hastighetsgrensen (mars 2021) 
for matrisemultiplikasjon er .
 
For å analyse egenskaper til en numeriske matrisemetode, brukes noen ganger kondisjonstallet til matrisen, definert ved

Definisjonen avhenger av hvilken norm som brukes.

Generaliseringer

Tensorer 
En matrise der elementene er tall kan representere en lineær transformasjon mellom to vektorrom, med valgte faste basiser i begge vektorrommene. 
Den lineære transformasjonen er i seg selv uavhengig av basisene.   
I mange problemstillinger i fysikk og geometri kan det være hensiktsmessig å la valgt basis endre seg i rommet, for eksempel i problemstillinger
knyttet til en kuleflate. En tensor er en multilineær transformasjon som også har definert transformasjonsregler knyttet til endringer
i basisvektorene.
Tilsvarende en lineær transformasjon kan en tensor representeres ved et multi-dimensjonal sett av komponenter, og tensoren kan 
i den forstand betraktes som en generalisering av en matrise. En matrise kan være en representasjon av en 2.ordens tensor.

Historie og etymologi 
Bruk av matriser har en lang historie, med utgangspunkt i studiet av ligninger og determinanter. Arthur Caley er kalt «grunnleggeren av matriseteori»,
etter å ha publisert flere artikler i 1840-årene om emnet.
I disse artiklene brukte han både doble vertikale streker og forskjellige typer parenteser for å angi matriser.  

Selve ordet «matrise» ble første gang bruk av James Joseph Sylvester i 1850.

Stammen i det latinske ordet «matrix» er «mater» med betydning «mor». Ordet «matrix» ble i latin brukt som betegnelse på et avlsdyr av hunnkjønn, men gikk etter hvert over 
til å bety «livmor» og også «gravid kvinne». Gradvis fikk ordet også metaforisk betydning, brukt for å betegne «noe som er opphav til noe annet». 
En matrise i matematikk er opphav til geometriske og algebraiske transformasjoner.

Se også 
 Determinant
 Identitetsmatrise

Litteratur

Referanser 

Lineær algebra
Matematiske strukturer