Følge (matematikk)

En følge er i matematikk en ordnet liste av objekter i en mengde. Antall objekter eller ledd i følgen kan være endelig eller tellbart uendelig, og det vil si at objektene kan nummereres ved hjelp av de naturlige tallene. 

Dersom det n-te leddet i en uendelig følge i et metrisk rom nærmer seg en grenseverdi når n øker, sies følgen å være konvergent. En følge som ikke er konvergent er divergent.  Følger opptrer i alle områder av matematikk, og studiet av følger er en viktig del av matematisk analyse.  Konvergente følger spiller en spesielt viktig rolle, blant annet i definisjonen av irrasjonale tall.

Følger der elementene er reelle eller komplekse tall kalles tallfølger.  Tilsvarende er en funksjonsfølge en følge der elementene er  funksjoner.  On-Line Encyclopedia of Integer Sequences er en database over heltallsfølger.

En  rekke er definert som summen av en endelig eller uendelig følge.

Formell definisjon 
En uendelig følge er en funksjon fra mengden av de naturlige tallene N:

Følgen sies å være definert i mengden V, der V er verdiområdet til funksjonen. Funksjonsverdiene  kalles leddene i følgen. 

Alle de følgende eksemplene viser vanlig notasjon for en følge: 

For en endelig følge brukes en endelig delmengde av N som indeksmengde istedenfor N. Vanligvis brukes mengden  eller mengden  for en følge med n elementer.

Grenseverdi og konvergens 
En følge  i et metrisk rom  konverger mot en grenseverdi  x dersom det for en hver verdi av epsilon  eksisterer et heltall N slik at

der d  er  metrikken.  For tallfølger er metrikken som regel definert ved hjelp av absoluttverdien:

Eksistensen av en grenseverdi kan skrives som

.

«lim» er en forkortelse for det latinske ordet limes, med betydning «grense».
Den første kjente bruken av denne notasjonen er fra Simon Antoine Jean L'Huilier i 1786.
I tidlig bruk ble likhetstegn benyttet istedenfor en pil: .

Definisjonen av grenseverdien kan kompakt skrives som

Cauchyfølger
En Cauchyfølge eller en fundamentalfølge er en følge i et metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlige elementer gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgen de to elementene befinner seg:

En hver konvergent følge er en Cauchyfølge, men en Cauchyfølge trenger ikke å ha en grense i den verdimengden en studerer.  
Et metrisk rom sies å være komplett dersom enhver  Cauchyfølge i rommet konvergerer mot en grenseverdi som er inneholdt i rommet.  Mengden av reelle tall er komplett, mens mengden av rasjonale tall ikke er det.  En følge av rasjonale tall kan konvergere mot et irrasjonalt tall, som for eksempel .  Dette kan brukes til å definere de irrasjonale tallene.  Ved hjelp av en følge av rasjonale tall kan en tilnærme et irrasjonalt tall med så stor nøyaktighet som en måtte ønske.

Begrensede følger 
En følge  i et metrisk rom er begrenset dersom verdiområdet er begrenset.  Det vil si at det eksisterer et element x i det metriske rommet og en konstant M slik at 

.

Alle konvergente følger er begrenset.

Monotone følger 
En følge av reelle tall  er monoton dersom den er opptil eller nedtil monoton:

En opptil monoton følge kalles også monotont voksende.  En monotont avtagende følge er det samme som en nedtil monoton følge.

En monoton følge er konvergent hvis og bare hvis den er begrenset.

Delfølger
En delfølge er avledet fra en følge  ved å velge ut en delmengde av leddene, men beholde rekkefølgen.   
La  være en monoton voksende følge av naturlige tall.  En delfølge kan da skrives som

Som eksempel er  en delfølge av følgen .

Dersom delfølgen er konvergent med grenseverdi x, sier en at x også er en delfølgegrense for følgen .

Bolzano-Weierstrass' teorem kan formuleres som at en hver begrenset følge av reelle tall inneholder en konvergent delfølge.

Regneregler for konvergente følger 

Gitt to konvergente følger  og  av komplekse tall, med grenseverdier henholdsvis  og .  Da gjelder regnereglene

Den siste regelen krever at alle leddene og grensen er ulik null.

Cauchyprodukt 
Cauchyproduktet av to følger  og  er definert som en ny følge  der hvert ledd er definert ved summasjonen

Dette er en diskret konvolusjonssum.

Eksempler på tallfølger

Eksempel 1: Aritmetiske følger 
En aritmetisk følge er en tallfølge der differensen mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

Aritmetiske følger er divergente for alle verdier av konstanten d ulik null.

Eksempel 2: Geometriske følger 
En geometrisk følge er en tallfølge der forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

Følgene konvergerer mot null dersom absoluttverdien av konstanten k er mindre enn 1.

Eksempel 3: Harmoniske følger 
I en harmonisk følge er leddene definert som inversen av leddene i en aritmetisk følge.  Dersom følgen  er en aritmetisk følge med ledd ulik null, så vil  være en harmonisk følge. Leddene i en harmonisk følge kan defineres ved

der  er en konstant slik at  ikke er et naturlig tall.

Eksempel 4: Fibonaccifølge
En fibonaccifølge er definert rekursivt ved 

Fibonaccifølgen er divergent.

Eksempel 5: Følge for Eulertallet 

Grenseverdien er  Eulertallet e.

Eksempel 6

Eksempel 7

Eksempel 8

Funksjonsfølger

Konvergens 
En følge av funksjoner  som for hvert argument  i definisjonsmengden konvergerer mot en grense  sies å konvergere punktvis.  Punktvis konvergens trenger ikke medføre konvergens med hensyn på metrikken.  For eksempel konvergerer følgen

punktvis mot null, men følgen er ikke konvergent i metrikken definert ved

Generelt er konvergens med hensyn på metrikken  ekvivalent med uniform konvergens.

Egenskaper til grensefunksjonen 
Et generelt problem i matematisk analyse er å studere om egenskaper til funksjonene  overføres til grensefunksjonen .  For eksempel, vil funksjonen  være kontinuerlig dersom alle funksjonene  er det?  Svaret på dette spørsmålet er generelt «nei», det eksisterer følger av kontinuerlige funksjoner som konvergerer mot funksjoner som ikke er kontinuerlig overalt i definisjonsmengden.  Hvis følgen konvergerer uniformt, da er imidlertid svaret «ja» - grensefunksjonen vil være kontinuerlig.

Polynomfølger 
For en kompleks kontinuerlig funksjon  definert i et intervall  gjelder Weierstrass' approksimasjonsteorem.  Dette sier at det eksisterer en uendelig følge av polynomfunksjoner , slik at

Konvergensen er uniform.  En generalisering av dette teoremet kalles Stone-Weierstrass' teorem.  Teoremet medfører at en kan tilnærme en kontinuerlig funksjon så nøyaktig en måtte ønske ved hjelp av et polynom.

Se også 
 Primtallsørken

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker 

Følger og rekker