Ring (matematikk)

En ring er i matematikk en algebraisk struktur definert med to binæroperasjoner, addisjon og multiplikasjon
, som har mange av de samme egenskapene som vi finner hos heltallene. Mengden av hele tall , sammen med den vanlige definisjonen av addisjon og multiplikasjon, er et eksempel på en ring. Denne kan utvides til nye ringer. Ett eksempel er gaussiske heltall . Mengden av alle matriser er et eksempel på en ikke-kommutativ ring.

Definisjon 
En ring  er en trippel , hvor  er en mengde og  og  binæroperasjoner slik at følgende aksiomer er oppfylt.  For alle  har vi:

 (assosiativitet) 
 (kommutativitet) 
 (additiv identitet) Det fins et element  slik at 
 (multiplikativ identitet) Det fins et element  slik at 
 (additiv invers) Det fins et element  slik at 
 (distributivitet)  og 

 er med andre ord en abelsk gruppe og  er en semigruppe.

Videre definisjoner 

  er en kommutativ ring viss  også er kommutativ:  for alle .
  er en kropp viss  danner en gruppe, hvor  er mengden av alle elementer i  utenom den additive identiteten .

Referanser 

Ringteori
Matematiske strukturer