Diofantisk ligning

Diofantisk ligning betegner i matematikken en eller flere polynomligninger med heltallige koeffisienter og som bare består av addisjon og multiplikasjon av de ukjente størrelsene. Deres antall er større enn antall ligninger. Løsninger søkes vanligvis i form av heltallige verdier for de ukjente. En fullstendig løsning inneholder alle tall som tilfredsstiller ligningen eller ligningene.

Et enkelt eksempel på en slik ligning er 2x - 3y = 4. Denne viser seg å ha uendelig mange løsninger hvorav x = 5 og y = 2 er én. Andre ligninger har ingen løsninger, mens noen har bare et endelig antall. Noen kjente eksempel er Pells ligning med to ukjente og ligningen xn + yn = zn med tre ukjente. Når n > 2 har denne ingen løsninger, noe som er innholdet av Fermats siste teorem. Dette ble først bevist av Andrew Wiles i 1995.

Diofantiske ligninger er oppkalt etter den greske matematikeren Diofantos som levde i Alexandria i det tredje århundret. Forskjellige slike ligninger og noen av deres løsninger ble senere samlet sammen i det store verket Arithmetica. Dets oversettelse til latin gjorde Bachet i 1621,  og det fikk dermed stor betydning for Fermat og den videre utvikling av tallteorien.

Eksempel

En lineær, diofantisk ligning med to ukjente har formen 

 

hvor a, b og c er heltall. Hvis c = 0, er den spesielt enkel å løse. Hvis man kaller den største felles faktor av a og b for d = gcd(a,b), så er  sammen med   en løsning for alle heltall n. Den har derfor uendelig mange løsninger. 

Når denne fremgangsmåten anvendes på ligningen 4x - 6y = 0, er d = gcd(4,6) = 2 slik at løsningene (x,y) blir (3n, 2n). Bortsett fra den trivielle løsningen (0,0), er de minste da (3,2), (-3,-2), (6,4), (-6,-4) og så videre.

Generelt når konstanten c ikke er null, er det ikke like rett frem å finne løsninger. Det er bare mulig når d = gcd(a,b) som deler venstresiden av ligningen,  også  deler c. Derimot hvis c og d er relativt primiske, har ligningen ingen løsninger. Det ville for eksempel være tilfelle med ligningen . Her d = gcd(6,9) = 3 som ikke deler konstanten 5 på høyresiden. 

Hvis ligningen har én løsning (x0,y0), vil den også ha mange andre. De er gitt som

 

som verifisers lett ved direkte innsetting. Hvis man da som et eksempel betrakter , har  denne d = gcd(2,3) = 1 som opplagt deler høyresiden. Siden (5,2) er en løsning, er  alle andre gitt ved

 

For n = -1, 1 og 2 har man da de tilsvarende løsningene (8,4), (2,0) og (-1,-2). Slik kan man finne uendelig mange andre løsninger. 

Denne fremgangsmåten er avhengig av at man kjenner én løsning (x0,y0). For ligninger med større koeffisienter  kan det være vanskeligt. Men ved bruk av en liten utvidelse av Euklids algoritme, kan dette alltid gjøres på en systematisk måte.

Bachets ligning

Et mye mer komplisert eksempel på en diofantisk ligning er

 

Den ble først systematisk undersøkt av Claude Bachet og bærer ofte hans navn. Denne ligningen har en opplagt, heltallig løsning (3,5). Med den som utgangspunkt kunne Bachet beregne uendelig mange andre løsninger som er rasjonale tall. Hans fremgangsmåte tilsvarer den Diofantos benyttet mer enn tusen år tidligere for å beregne rasjonale punkt på enhetssirkelen. 

Den samme ligningen fikk Fermat til å interessere seg for andre, heltallige løsninger enn (3,5). Selv mente han at det ikke kunne være andre, men ga ikke noe bevis for denne påstanden. Spørsmålet ble stilt til Wallis som var enig, men han fant heller ikke noe bevis. Omtrent hundre år senere kom  Euler langt på vei med dette spørsmålet, men det tok likevel mange år til før et tilfredsstillende bevis var etablert for at ligningen ikke har andre løsninger i hele tall.

En mer generell utgave av Bachets ligning er y2 = x3 + c  hvor koeffisienten c er heltallig. Slike ligninger beskriver igjen spesielle utgaver av det som i dag kalles elliptiske kurver og er av stor interesse i moderne tallteori. Avhengig av verdien til konstanten c, har disse ligningene bare et endelig antall heltallsløsninger. For eksempel når c = - 4 er både (2,2) og (5,11) løsninger, mens for c = 3 er der ingen løsninger.

Den norske matematiker Axel Thue ga på begynnelsen av 1900-tallet et viktig bidrag til forståelsen av heltallige løsningene av slike polynomligninger i to variable. Han beviste at de kun vil ha et endelig antall løsninger når de er av tredje grad eller høyere. Likevel finnes det ennå ikke noen systematisk metode for beregning av løsningene.

Referanser

Eksterne lenker

 E.W. Weisstein, Diophantine Equation, Wolfram MathWorld

Tallteori
Ligninger