Egenvektor

I matematikk er en egenvektor til en lineær transformasjon T: V → V et element i vektorrommet V som ikke endrer retning når den avbildes av transformasjonen.  Egenverdien er et uttrykk for hvor mye egenvektoren strekkes av den lineære transformasjonen.  En egenverdi og en egenvektor opptrer i samhørende par, og en gitt lineær transformasjon kan ha ingen eller mange slike par av egenverdier/egenvektorer. 

Begrepet egenløsning blir brukt til å referere til både egenverdi og egenvektor.  Dersom vektorrommet V er et rom av funksjoner brukes også navnet egenfunksjon synonymt med egenvektor.  Retninger bestemt av egenvektorer kalles av og til egenretninger.  Å finne sammenhørende verdier for egenverdi og egenvektor kalles å løse et egenverdiproblem.

Egenverdier og egenvektorer spiller en svært viktig rolle i studiet av lineære transformasjoner, blant annet for å kartlegge hvilke egenskaper til transformasjonen som er uavhengig av valg av basis i definisjonsmengden og verdimengden.  Mange problemstillinger i anvendt matematikk og fysikk kan formuleres som egenverdiproblem, for eksempel beskrivelse av svingninger i en membran.

Formell definisjon

Egenverdi og egenvektor 
En egenverdi og egenvektor til en lineær transformasjon T: V → V er et samhørende par av en skalar verdi  og et ikkenull-element x i vektorrommet V som oppfyller ligningen

Dersom x er en egenvektor, så vil også kx være det, der k er en skalar.  Egenvektoren med lengde 1 er en enhetsegenvektor. 

Absoluttverdien til den største egenverdien, dersom en slik verdi eksisterer, kalles spektralradien til transformasjonen.

Egenrom 
Til en og samme egenverdi  kan det eksisterer flere egenvektorer.  Rommet utspent av egenvektorene til en gitt egenverdi kalles for egenrommet svarende til egenverdien.  Dimensjonen til dette rommet kalles for den geometriske multiplisiteten til egenverdien.

Egenrommet svarende til egenverdien  er lik nullrommet til transformasjonen (T – I).

Lineære transformasjoner på endeligdimensjonale rom
Dersom vektorrommet V har endelig dimensjon, så har den lineære transformasjonen en matriserepresentasjon, og definisjonen av egenløsning for en lineær transformasjon og for en matrise er sammenfallende.

For en kvadratisk matrise A er egenverdiene en løsning av det såkalte karakteristiske polynomet, definert ved

.

Her er I enhetsmatrisen med samme dimensjon n som A.  Polynomet i  har grad n, og tar en  multiplisiteten med i betraktning vil alltid matrisen ha n komplekse egenverdier.  Faktorisert kan det karakteristiske polynomet skrives som

.

Her er  en egenverdi, og di kalles den algebraiske multiplisiteten til denne.  Sammenhengen mellom den algebraiske om den geometriske multiplisiteten til en egenverdi er komplisert, men den geometriske multiplisiteten er alltid mindre eller lik den algebraiske.

Eksempel på egenløsninger

Eksempel for endelig-dimensjonale rom 
Gitt en transformasjon T: R2 → R2 definert ved den følgende matrisen

Transformasjonen har egenverdier lik 3 og -2, med tilhørende egenvektorer (1,1) og (2,-3).  For det første paret gjelder altså at

Eksempel for uendelig-dimensjonale rom 
Gitt en transformasjon T definert på mengden av reelle funksjoner på intervallet [0,2π] som er to ganger deriverbare, og som har egenskapen f(0) = f(2π) = 0.  La T avbilde enhver funksjon på den andrederiverte av seg selv, det vil si

Transformasjonen har egenverdier lik k  = 1/n (n = 1,2,...) og egenfunksjoner f(x) = sin kx.

Eksempel på ikke-eksistens av egenløsninger 
Det er ikke gitt at en lineær transformasjon har egenløsninger.  Et eksempel på en transformasjon som ikke har egenløsning er gitt ved den følgende:

La V være vektorrommet av alle polynomfunksjoner. Definer transformasjonen T på dette rommet ved

Siden integrasjon av et polynom øker graden til polynomet med én eksisterer det ingen egenløsninger til denne transformasjonen.

Eksempel på eksistens / ikke-eksistens 
Gitt en transformasjon T definert ved matrisen

Dersom T er definert som en transformasjon på mengden av reelle vektorer R2, så eksisterer det ingen egenløsninger.  Definert som en transformasjon på mengden av komplekse vektorer C2 så eksisterer egenverdiene  i og (-i)  med de tilhørende egenvektorene (-1,i) og (1,i).  Her er i den imaginære enheten.

Egenskaper 
I det følgende, la  og x være samhørende egenverdi og egenvektor til transformasjonen  T: V → V.

 Egenvektorer svarende til to ulike egenverdier er lineært uavhengige.  

 Egenverdiene er uavhengige av valg av basis i vektorrommet V. 

 Dersom inversen T -1 eksisterer, så har denne en egenvektor lik x og egenverdien (1/).

 Transformasjonen T 2 har en egenvektor lik x og egenverdien 2.

 En Hermitsk matrise har kun reelle egenverdier.  Det samme gjelder for en reell symmetrisk matrise.  Egenvektorene er parvis ortogonale.

 En idempotent matrise er en kvadratisk matrise der A = A, og for en slik matrise er alle egenverdiene lik 0 eller 1.

 En nilpotent matrise er en kvadratisk matrise der A = 0 for et heltall k, og en slik matrise har alle egenverdier lik 0.

 For en reell ortogonal matrise er alle egenverdiene lik -1 eller 1.

 For en n × n matrise er determinanten lik produktet av de n  egenverdiene, og sporet er lik summen av egenverdiene.

Egenverdier til similære matriser 
To matriser A og B er similære dersom de representerer den samme lineære transformasjon T: V → V med hensyn på to ulike basis-sett for V.  Det eksisterer da en ikke-singulær matrise M slik at

 

Similære matriser har samme sett av egenverdier.

Diagonalisering 
Et viktig problem i Lineær Algebra er det såkalt diagonaliseringsproblemet, gitt en lineær transformasjon T på et endeligdimensjonalt vektorrom V, kan vi finne en basis β for V slik at den tilhørende matrisa til T i basisen β er en diagonalmatrise? Siden regning med diagonalmatriser er enkelt vil en slik basis gi innsikt i transformasjonen, og gi en enkel løsning på mange praktiske problemer som involverer matriseregning. Løsningen på problemet, dersom den finnes, er å velge en basis av egenvektorene til T. For at dette skal være mulig må egenvektorene utspenne det n- dimensjonale vektorrommet V, og dette fører oss til en generell test for diagonaliserbarhet:  
 Det karakteristiske polynomet til T har n reelle røtter.  
 For hver egenverdi  til T er den algebraiske multiplisiteten lik den geometriske multiplisiteten.   
Dersom disse kriteriene er oppfylt kan vi finne en basis for V bestående av egenvektorer, slik at matrisa til T i denne basisen er en diagonal matrise med de n reelle egenverdiene på diagonalen. Anta  er matrisa til T i en gitt basis, om T er diagonaliserbar finnes det altså en matrise  bestående av egenvektorer til T slik at  for en diagonal matrise .   

En reell symmetrisk matrise er alltid diagonaliserbar, og vil ha n distinkte reelle egenverdier. Da er det også alltid mulig å finne en ortonormal basis for V bestående av egenvektorer. Anta  er en symmetrisk matrise, og  er en ortogonal matrise bestående av (de ortonormale) egenvektorene til . Da er  der  er den diagonale matrise bestående av egenverdiene.

Generaliseringer

Singulærverdier 
For ikke-rektangulære matriser representerer singulærverdiene en generalisering av egenverdi-konseptet.  For en vilkårlig matrise kan en vise at det alltid vil eksistere to unitære matriser U = Unn og V = Vmm slik at

der p er lik den minste av verdiene m og n.   Diagonalelementene i kalles singulærverdiene til matrisen.  Singulærverdiene er alltid ikke-negative.

Singulærverdiene for en matrise A = Anm  er lik kvadratrøttene til egenverdiene til matriseproduktet (AHA) dersom m er større eller lik n og ellers lik egenverdiene til (AAH).   Her er bokstaven H brukt for å markere konjungert transponering av en matrise.

Spektralteori 
Spekteret til en lineær transformasjon er mengden av skalarer  som gjør at inversen

ikke eksisterer eller ikke er begrenset.  Skalarene inneholdt i spekteret kalles spektralverdier .  Mengden av egenverdier til T er inneholdt i spekteret til T og blir i denne sammenhengen kalt for punktspekteret til T.  

Studiet av spektralverdiene til en lineær transformasjon og egenskapene til disse blir kalt spektralteori.    

Generelt kan en transformasjon ha spektralverdier som ikke er egenverdier.  For en matrise er spekteret identisk med mengden av egenverdier.

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker 
 EISPACK – Fortran-bibliotek for løsning av egenverdiproblem.  Besøkt 24. april 2010.
 LAPACK – Fortran90-bibliotek med rutiner for løsning av egenverdiproblem.  Besøkt 24. april 2010

Lineær algebra
Matematisk fysikk