Greens teorem

Greens teorem gir forholdet mellom et linjeintegral langs en enkel lukket kurve C og dobbeltintegralet over planet D.

Bevis for Greens teorem 
Først beviser vi teoremet for et rektangel R. Da vil teoremet se slik ut:

Ved lineariteten til Riemann-Integralet skriver vi dobbeltintegralet over R om til følgende:

Siden R er et rektangel lar vi , betrakt først integralet:

Ved Fundamentalteoremet i Kalkulus ser vi at

Og for   får vi at 

Disse resultatene gir oss et nytt uttrykk for høyre side av det opprinnelige uttrykket vårt

For linjeintegralet deler vi opp rektangelet i fire linjer som åpenbart har positiv orientering.

Vi kan parametrisere den første kurven med 

 hvor 

den andre kurven med

 hvor 

den tredje kurven med

 hvor 

og til slutt:

 med 

Med disse parametriseringene kan vi uttrykke linjeintegralet slik:

Vi betrakter først

Vi ser umiddelbart at integralene over  og  vil bli null, det er siden den eneste variabelen som endrer seg medfører endringer på y-koordinatene og ikke x-koordinatene i det hele tatt.

Ved definisjonen til linjeintegralet får vi at 

Ser vi på   observerer vi at integralene over  og  blir null. Vi får derfor at

Vi får derfor at vårt opprinnelige linjeintegral er lik:   , Plugger vi dette uttrykket inn i samme ligning som uttrykket vårt for dobbeltintegralet får vi:

  Som er ekvivalent til at , altså uttrykkene er like.

Siden alle regioner i  kan bli tilnærmet så nærme som vi vil med en sum av rektangler må Greens teorem også holde for mer generelle områder. Dette er fordi for to rektangler  og 

som tangerer hverandre med  så vil , dermed kan vi si at beviset er fullført.

Referanser

Teorem i differensialregning