Rekke (matematikk)

En rekke er i matematikk en sum av ledd i en følge.   En betegner rekken som henholdsvis endelig eller uendelig, avhengig av om antall ledd er endelig eller uendelig.

Dersom en uendelig rekke har en endelig sum sies rekken å være  konvergent, ellers er den  divergent.

Rekker opptrer i mange områder av matematikk, og studiet av rekker er en viktig del av matematisk analyse.

Formell definisjon 
La  være en følge.  En  rekke med n-te ledd lik  er definert som summen av alle N leddene i følgen, der N kan være endelig eller uendelig:

Startindeksen for en rekke kan variere, tilsvarende som for en følge.

Til en uendelig følge  kan en definere en assosiert følge  der

Dersom følgen  konverger sier en at den uendelige rekken konverger, og 

Leddet  kalles den n-te partialsummen til rekken. En alternativ definisjon av en rekkesum er gitt ved Cesàro-summering.

Eksempler på rekker

Eksempel 1: Aritmetisk rekke 
En aritmetisk rekke er en rekke der differensen mellom leddene er konstant, det vil si at rekken er summen av en aritmetisk følge. Dersom det første leddet er x0 og n-te leddet er  , så er

En uendelig aritmetisk rekke er divergent.

Eksempel 2: Geometrisk rekke 
En geometrisk rekke er en rekke der forholdet mellom leddene er konstant, og en uendelig geometrisk rekke har formen:

Rekken konverger kun dersom absoluttverdien av x er strengt mindre enn 1, dvs dersom |x| < 1:
 

En partialsum er gitt ved:

Eksempel 3: Harmonisk rekke 
En harmonisk rekke er divergent

Mer generelt vil den følgende rekken konvergere hvis og bare hvis :

Eksempel 4 
Den følgende rekken konvergerer for :

Eksempel 5: Eulertallet og eksponensialfunksjonen 
 Eulertallet e er ofte definert ved hjelp av den følgende  konvergente rekken:

Uttrykket i nevneren i brøken er  n-fakultet.  Generelt kan  eksponentialfunksjonen defineres ved

Eksempel 6: Endelige heltalsrekker 
Summen av de N første naturlige tallene kan skrives som en endelig rekke, med et enkelt uttrykk for summen:

Summen av de N  første kvadrattallene og  kubikktallene kan skrives tilsvarende

  

Summen av de N  første potensene av tallet 2:

Konvergens 
En uendelig rekke vil konvergere bare dersom leddene utgjør en følge som konvergerer mot null.

En rekke  sies å konvergere absolutt dersom rekken  konvergerer.  Dersom  konvergerer, mens  divergerer, sies rekken å konvergere betinget.

Dersom  og  er to rekker av reelle positive tall, så siest den siste rekken å konvergere langsommere enn den første dersom

Konvergenskriterier 
Det eksisterer en rekke kriterier for å bestemme når en uendelig rekke er konvergent, uten krav til at en kjenner summen som rekken konverger mot.

Forholdskriteriet 
En rekke  av reelle tall der alle leddene er ulik null, konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

Rotkriteriet 
En rekke  av reelle tall konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

Alternerende rekker 
Alternerende rekker er rekker der leddene veksler fortegn, det vil si at annenhvert ledd er positivt negativt. 

Leibniz’ kriterium for alternerende rekker sier at rekken

er konvergent dersom   er en monotont minkende følge av positive tall som konvergerer mot null.  Den følgende rekken er for eksempel konvergent:

Potensrekker 
Potensrekker er rekker der leddene er relle eller komplekse tall, på forma

Her er c kalt senter for rekken og  er koeffisientene.   En potensrekke vil generelt konvergere eller divergere avhengig av valg av variablene x, som kan være et vilkårlig reelt eller komplekst tall.  Til en hver potensrekke er det assosiert en konvergenssirkel i det komplekse planet, slik at rekken konverger dersom x ligger innenfor sirkelen.  Konvergenssirkelen har sentrum i c.  Radiusen til konvergenssirkelen kalles konvergensradiusen.

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

Taylorrekker og maclaurinrekker 
Utdypende artikkel: Taylorrekke
En taylorrekke for en uendelig mange ganger deriverbar reell funksjon f(x) er en potensrekke med sentrum i et vilkårlig verdi c på forma

Her er den n-te deriverte av funksjonen betegnet med . 

For argument innenfor konvergensradiusen til taylorrekken vil 

En taylorrekke med senter i null kalles en  maclaurinrekke.

 Se også 
 Abels teorem for potensrekker
 Grandis rekke
  Logaritmer – Seksjonen Rekkeutviklinger for logaritmefunksjonen 
  Niels Henrik Abel – Seksjonen Uendelige rekkerLitteratur
 
 
 
 
 
Sandvold, Øgrim, Bakken, Pettersen, Skrindo, Thorstensen, Thorstensen: Gyldendals formelsamling i matematikk'', 1.utg. 2008,Gyldendal, ISBN 978-82-05-38499-6

Matematiske rekker