Cauchy–Schwarz’ ulikhet

Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren
Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Herman Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.

Om ulikheten 
For vektorer  og  i planet sier ulikheten at:
.

Generelt gjelder: For vektorer  og  i et reelt vektorrom med indreprodukt , eksempelvis 
det Euklidske n-rommet , er
.
Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.

Der elementene i følgende og er i den reelle tallmengden

Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i Course d’analyse (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.

Eksempler

Vinkler 
Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik , er veldefinert. Denne vinkelen 
er spesifisert ved
 og .

Amplitude for svingninger 

Svingninger beskrives ved en funksjon , hvor  og  er parametere.
Ved å se på  og  som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at

siden .

Bevis 
Dersom  eller  er lik , så er ulikheten opplagt.
Anta derfor at begge vektorene er ulik .

La  være en skalar, og se på vektoren . Vi har
.
Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i , får vi
.
Et annengradspolynom  er større enn eller lik  for alle  dersom
 og diskriminanten  er mindre enn eller lik . I vårt tilfelle fås:
.
En rydder opp og ser at:
.
Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:
.

Referanser

Eksterne lenker 

 Video om Cauchy–Schwarz’ ulikhet

Lineær algebra