1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

I matematikken er 1 − 2 + 3 − 4 + … den uendelige rekken hvis ledd er de positive heltallene i økende rekkefølge, med alternerende fortegn. Summen av de m første leddene i rekken uttrykkes med summenotasjon som

Den uendelige rekken divergerer, i den forstand at følgen av delsummene  ikke går mot noen endelig grense. Ekvivalent sier man at  ikke har noen sum.

På tross av dette skrev Leonhard Euler på midten av 1700-tallet noe han innrømte var en paradoksal ligning:

En rigorøs forklaring på denne ligningen kom ikke før langt senere. Fra 1890 av satte Ernesto Cesàro, Émile Borel og andre igang undersøkelser av veldefinerte metoder for å utlede generaliserte summer til divergerende rekker – inkludert nye tolkninger av Eulers forsøk. Mange av disse summeringsmetodene leder greit til at  har en «sum» på 1/4 likevel. Cesàro-summering er én av få metoder som ikke summerer , så denne rekken er et eksempel hvor en litt sterkere metode, som f.eks. abelsk summasjon, er nødvendig.

Rekken 1 − 2 + 3 − 4 + … er nært relatert til Guido Grandis rekke . Euler behandlet disse to som spesialtilfeller av  for en vilkårlig n. Dette var en utvidelse av hans arbeid knyttet til Basel-problemet og ledet til funksjonalligningene vi nå kjenner for Riemanns zetafunksjon og Dirichlets etafunksjon.

Divergens
Rekkens ledd (1, −2, 3, −4, …) nærmer seg ikke 0; derfor divergerer  ved en divergenstest. For senere bruk, vil det også være nyttig å se divergensen på et fundamentalt nivå. Per definisjon er konvergensen eller divergensen til en uendelig rekke bestemt ved konvergensen eller divergensen av dens følge med delsummer, og delsummene av  er:
1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,
…
Denne følgen treffer hvert heltall én gang – til og med 0 dersom man regner med den tomme delsummen – og viser dermed at mengden  med heltall er tellbar. Den konvergerer åpenbart ikke mot et spesifikt tall, så  divergerer.

Heuristikk for summering

Stabilitet og linearitet
Siden leddene 1, −2, 3, −4, 5, −6, … følger et enkelt mønster, kan rekken  manipuleres ved bytting og summeres ledd-for-ledd for å oppnå en numerisk verdi. Hvis man på en logisk måte kan skrive  for et vanlig tall s, vil følgende manipulasjoner argumentere for 

 Så . Denne utledningen vises grafisk på bildet til høyre.

Selv om 1 − 2 + 3 − 4 + … ikke har noen sum i egentlig forstand, kan ligningen  bli støttet som det mest naturlige svaret, dersom en slik sum skal defineres. En generalisert definisjon av «summen» av en divergent rekke blir kalt summemetoden eller summabilitetsmetoden, som summerer noen delmengder av alle mulige rekker. Det finnes mange forskjellige metoder (noen av disse blir forklart nedenfor). Disse karakteriseres ved hvilke egenskaper de har til felles med normal summering. De ovenstående manipulasjonene beviser følgende: Gitt en hvilken som helst summemetode som er lineær og stabil og som summerer rekken , så vil summen bli 1/4.  Videre, siden

må en slik metode også summere Grandis rekke som

Cauchy-produkt
I 1891 uttrykte Ernesto Cesàro håp om at divergente rekker ville bli ledet mot infinitesimalregning, og påpekte at «Man skriver allerede  og hevder at begge sidene er lik 1/4.» For Cesàro var denne ligningen en anvendelse av et teorem som han hadde offentliggjort året før, som kanskje var det første teoremet i summerbare divergerende rekkers historie. Detaljene rundt summeringsmetoden vises under; den grunnleggende tanken er at  er Cauchy-produktet av  med .

Cauchy-produktet av to uendelige rekker defineres selv om begge divergerer. I dette tilfellet, hvor Σan = Σbn = Σ(−1)n, er leddene i Cauchy-produktet gitt ved de endelige diagonale summene

Produktrekken er da

Derfor vil en summeringsmetode som tar hensyn til Cauchy-produktet av to rekker og summer  også summere .  Med resultatet fra forrige avsnitt, impliserer dette en ekvivalens mellom summabiliteten av  og  med metoder som er lineære, stabile og som respekterer Cauchy-produktet.

Cesàros teorem er et spissfindig eksempel. Rekken  er Cesàro-summerbar i svakeste forstand, kalt  mens  krever en sterkere form av Cesàros teorem, siden den er  Siden alle formene av Cesàros teorem er lineære og stabile, blir verdien av summene akkurat som utregnet.

Spesifikke metoder

Cesàro og Hölder

For å finne (C, 1) Cesàro-summen av 1 − 2 + 3 − 4 + …, dersom den eksisterer, må man regne ut det aritmetiske gjennomsnittet av delsummene i rekken.
Delsummene er

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

og de aritmetiske gjennomsnittene av disse delsummene er

1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, ….

Denne følgen av gjennomsnitt konvergerer ikke, så 1 − 2 + 3 − 4 + … er ikke Cesàro-summerbar.

Det eksisterer to velkjente generaliseringer av Cesàro-summering: den konseptuelt enkleste av disse er følgen av (H, n)-metoder for naturlige tall n. (H, 1)-summen er Cesàro-summering, og høyere metoder gjentar utregningen av gjennomsnitt. Over konvergerer de like gjennomsnittene mot 1/2, alle de andre gjennomsnittene er lik 0, så gjennomsnittene av gjennomsnittene konvergerer mot middelverdien av 0 og 1/2, som er 1/4. Så  er (H, 2) summerbar til 1/4.

«H» står for Otto Hölder, som først beviste i 1882 hva matematikere nå anser som sammenhengen mellom Abel-summasjon og (H, n)-summering;  var hans første eksempel. Det at 1/4 er (H, 2)-summen av  garanterer at det også er den abelske summen; dette vil også bli direkte bevist nedenfor.

Den andre vanlige generaliseringen av Cesàro-summeringen er følgen av (C, n)-metoder. Det har blitt bevist at (C, n)-summering og (H, n)-summering alltid gir samme resultat, men de har forskjellige historiske bakgrunner. I 1887 var Cesàro nær en definisjon på (C, n) summeringen, men han ga bare noen få eksempler. I hovedsak; han summerte  til 1/4 med en metode som kan omskrives til (C, n), men som ikke var godtatt på den tiden. Han definerte formelt (C, n) metoder i 1890, for å kunne underbygge sitt teorem om at Cauchy-produktet av en (C, n)-summerbar rekke og en (C, m)-summerbar rekke er (C, m + n + 1)-summerbar.

Abelsk summasjon

I et skriv fra 1749 innrømmer Leonhard Euler at rekken divergerer, men forbereder seg på å summere den likevel:

«...når det blir sagt at summen av denne rekken 1−2+3−4+5−6 etc. er 1/4, må det se paradoksalt ut. For ved å addere 100 ledd i denne rekken får vi −50, og likevel, summen av 101 ledd gir +51, noe som er ganske forskjellig fra 1/4, og den blir enda større når man øker antall ledd. Men jeg har tidligere lagt merke til at det er nødvendig å gi ordet sum en mer utfyllende mening….»

Euler ba om en generalisering av ordet «sum» flere ganger. I tilfeller av  er ideene hans like med det vi idag kjenner som abelsk summasjon:

«...det er ikke lenger tvil om at summen av denne rekken 1−2+3−4+5 + etc. er 1/4, siden det kommer fra utvidelsen av formelen 1/(1+1)2 som unektelig har en verdi på 1/4. Dette blir klarere hvis man tar for seg den generelle rekken 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + &c. som kommer frem når man utvider uttrykket 1/(1+x)2, som denne rekken definitivt er lik med, etter at vi setter x = 1.»

Det finnes mange måter å se at, spesielt for absoluttverdier |x| < 1, har Euler rett i at

Man kan ta taylorrekken av høyresiden, eller foreta vanlig polynomdivisjon. Ved å starte på venstresiden, kan man følge den typiske heuristikken ovenfor og prøve å multiplisere to ganger med (1+x) eller å ta kvadratroten av den geometriske rekken  Euler ser også ut til å foreslå derivasjon av den siste rekken, ledd for ledd.

Sett fra et moderne ståsted, definerer ikke rekken 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + … en funksjon ved  så den verdien kan ikke omgjøres  til det resulterende uttrykket. Siden funksjonen er definert for alle  kan man likevel ta grenseverdien når x går mot 1, og dette er definisjonen av den abelske summen:

Euler og Borel

Euler innførte en annen teknikk for rekken som vanligvis omtales som en « Euler-transformasjon». Den består i å begynne med følgen med positive ledd som skaper de alternerende rekkene — i dette tilfellet  Det første elementet i denne følgen er merket a0.

I neste omgang trenger følgen av fremtidige differanser i ; dette er bare  Det første elementet i denne følgen er merket Δa0. Euler-transformasjonen avhenger også av differanser av differanser, og høyere gjentakelser, men alle fremtidige differanser i  er 0. Euler-transformasjonen av  er dermed definert som 

I moderne terminologi sier man at  er Euler-summerbar med 1/4.

Euler-summeringen impliserer også en annen type summering. Ved å skrive  som

har man en relatert, «evig-konvergent» rekke

Borel-summering av 1 − 2 + 3 − 4 + … er derfor

Separering av skalaer
Saichev og Woyczyński havner på  ved å bruke to fysiske lover: infinitesimalsk avslapping og separering av skalaer. Altså leder disse lovene dem til definisjonen av et bredt system som "φ-summeringsmetoder", hvor alle summerer rekken til 1/4:

 Dersom φ(x) er en funksjon med første- og annenderiverte som er kontinuerlige og integrerbare for (0, ∞), slik at φ(0) = 1 og grenseverdiene til φ(x) og xφ(x) ved +∞ begge er 0, da er

Dette resultatet generaliserer Abel-summeringen, som kan finnes ved å la φ(x) = exp(−x). Det generelle uttrykket kan finnes ved å sette leddene i par i en rekke over m og konvertere uttrykket til et Riemann-integral. For det sistnevnte, vil  det tilsvarende beviset for  gi oss middelverditeoremet, men her trenger man sterkere Lagrange-form av Taylors teorem.

Generaliseringer

Det tredoble Cauchy-produktet av  er  den alternerende rekken av trekanttall; dens Abel- og Euler-sum er 1/8. Det firedoble Cauchy-produktet av  er  den alternerende rekken av tetraedriske tall, som har en Abel-sum på 1/16.

En annen generalisering av 1 − 2 + 3 − 4 + … i en litt annen retning er rekken  for andre verdier av n. For positive heltall n, har rekken følgende Abel-summer:

hvor Bn er Bernoulli-tallene. For n i partall, reduseres denne til

Denne siste summen ble latterliggjort av Niels Henrik Abel i 1826:

«Divergente rekker er djevelens verk, og det er en skam at noen tør å skape eller bevise dem. Man kan få hva man ønsker ut av dem, dersom man bruker dem, og de har skapt masse ulykke og mange paradokser. Kan man komme på noe mer forferdelig enn å si at

 0 = 1 − 2n + 3n − 4n + etc.

hvor n er et positivt tall. Dette er noe å le av, mine venner.»

Cesàros lærer, Eugène Charles Catalan, pratet også nedsettende om divergente rekker. Påvirket av Catalan, refererte Cesàro først til de «konvensjonelle formlene» for  som «absurde likheter», og i 1883 uttrykte Cesàro et typisk synspunkt på den tiden, om at formlene var falske, men merkelig nok likevel nyttige. Til slutt, i hans Sur la multiplication des séries fra 1890, tok Cesàro en moderne tilnærming som startet med definisjoner.

Rekken blir også undersøkt for verdier av n som ikke er heltall; disse utgjør Dirichlets etafunksjon. Deler av Eulers motivasjon for å undersøke rekker som er relatert til  var funksjonalligningen for etafunksjonen, som leder direkte til funksjonalligningen for zetafunksjonen. Euler hadde allerede blitt kjent for å finne verdiene av disse funksjonene for positive partall (inkludert Basel-problemet), og han prøvde å finne verdiene av positive oddetall (inkludert Apérys konstant), et problem som fortsatt er unnvikende. Spesielt eta-funksjonen er lettere å hanskes med i Eulers metoder, siden dens Dirichlet-rekker er Abel-summerbare overalt; zeta-funksjonens Dirichlet-rekke er mye vanskeligere å summere der den divergerer. For eksempel, motparten av   i zeta-funksjonen er den ikke-alternerende rekken , som har store anvendelsesområder i moderne fysikk, men krever kraftigere metoder for å summere.

Referanser

Litteratur
  
  
   Opprinnelig publisert som

Eksterne lenker 
 Om rekker og uendelige rekker fra Wolfram's Mathworld (engelsk)

Divergente rekker
Matematiske problemer
Matematiske paradokser