Komplekst tall

Et komplekst tall er i matematikk et tall på formen , der   og  er reelle tall, og  er den imaginære enheten med egenskapen .

Mengden av komplekse tall skrives vanligvis C  eller . Denne mengden inneholder de reelle tallene R (eller ) som en delmengde, og innføringen av komplekse tall gir en naturlig utvidelse av begrepet reelle tall.

Et komplekst tall  er definert ved en realdel  og en imaginærdel . Hvis , sies tallet å være «rent imaginært».  

Mange assosierer komplekse tall med løsningen av andregradsligninger, som for eksempel ligningen .  Anvendelsesområdet er imidlertid langt videre enn dette, og komplekse tall spiller en viktig rolle i mange grener av matematikk.  Studiet av komplekse funksjoner, det vil si funksjoner der definisjonsmengden og/eller verdimengden ligger i  C,  kalles kompleks analyse. 

Formelt blir komplekse tall definert basert på definisjon av operasjonene addisjon og multiplikasjon for tallmengden.

Formell definisjon av komplekse tall 
Formelt er et komplekst tall  innført som et ordnet par av reelle tall , definert med to operasjoner addisjon og multiplikasjon:

Mengden av komplekse tall utgjør en  kropp.  

Reelle tall er en delmengde av de komplekse tallene, og et reelt tall kan skrives .  Addisjon og multiplikasjon, slik de opptrer i definisjonen av komplekse tall, reduserer seg til de velkjente operasjonene for reelle tall.  Ordningsrelasjoner i  lar seg imidlertid ikke generalisere til , slik at  har mening bare for reelle verdier av  og .  

Den imaginære enheten  er definert ved . Fra definisjonen av multiplikasjonsoperasjonen følger det at .

Grunnleggende definisjoner og egenskaper

Additiv og multiplikativ invers 
Til ethvert komplekst tall  eksisterer det en additiv invers , slik at .  Den additive inversen er brukt til å definere subtraksjon.

Til ethvert komplekst tall  ulik null eksisterer det også en multiplikativ invers , slik at :

Absoluttverdi 
Absoluttverdien eller modulus til et komplekst tall  er definert ved 

For denne gjelder trekantulikheten:

Kompleks konjungert 
Den  kompleks konjungerte til et komplekst tall  er definert ved 
 

Fra definisjonen av multiplikasjon følger det at

Geometrisk tolkning 

Ethvert komplekst tall  kan representeres ved et punkt i et todimensjonalt, kartesisk koordinatsystem, som vist i figuren. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den reelle og den imaginære aksen. 

Den geometriske tolkningen av et komplekst tall ble introdusert av den norske matematikeren Caspar Wessel, men fremstillingsmåten kalles likevel ofte for et «Argand-diagram» etter den sveitsiske matematikeren Jean Robert Argand. Alternativt brukes også navnet et «gaussisk plan» etter Carl Friedrich Gauss eller ganske enkelt det komplekse planet.

Siden den kompleks konjungerte til tallet  er definert ved  representerer den kompleks konjungerte en refleksjon om den horisontale aksen i det komplekse planet.

Rotasjonsvinkelen  som vektoren  danner med den reelle aksen kalles argumentet til det komplekse tallet, og fra figuren følger de  trigonometriske relasjonene

Polarform
For et gitt kompleks tall  definerer absoluttverdien  og argumentet  et sett av polarkoordinater, og  kan skrives på trigonometrisk form som 

Alternativt kan man bruke en eksponential form

basert på Eulers formel for sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner,

Eksponentialformen er praktisk for analyse, siden de vanlige eksponentialreglene gjelder.  For multiplikasjon av to komplekse tall gjelder for eksempel at

Geometrisk kan multiplikasjon av et komplekst tall med et annet , tolkes som en forlenging med faktoren , samt en rotasjon med vinkelen .

For divisjon av to komplekse tall gjelder

Komplekse vektorrom
Et vektorrom er lukket under operasjonene

der  er vektorer og  en skalar. Et vektorrom sies å være komplekst dersom man lar skalarene være komplekse tall.

Rommet 
Vektorrommet  består av alle ordnede n-tupler av komplekse tall. Hver vektor kan skrives på formen
 
der  er komplekse tall. Prikkproduktet (det vanlige indreproduktet) i dette rommet er gitt ved

 

som igjen generelt også er et komplekst tall. Dersom vektorene består av komponenter der imaginær-delen er lik 0 overalt, slik at de også ligger i , er de to prikkproduktene sammenfallende. Videre har prikkproduktet alle de samme egenskapene som definert for prikkproduktet i , men i tillegg holder også at

hvilket man kan vise direkte ved regning.  sammen med det tilordnede indreproduktet danner et indreproduktrom.

Se også
 Caspar Wessel

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker

Kompleks analyse
Tall
1000 artikler enhver Wikipedia bør ha