Kontinuerlig funksjon

En kontinuerlig funksjon  er intuitivt sett en funksjon som har den egenskapen at små endringer i 
 medfører små endringer i funksjonsverdien . Overfører vi denne intuisjonen til geometrien
ser vi at funksjonsgrafen til en kontinuerlig funksjon kan skisseres uten å løfte pennen. For en presis matematisk definisjon av kontinuitet, se under. En funksjon som ikke er kontinuerlig kalles diskontinuerlig.

Skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen følger av resultater for kontinuerlige reelle funksjoner.

Kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel 
Se på funksjoner  hvor definisjonsmengden og verdimengden er delmengder av de reelle tall.
Ofte er slike funksjoner gitt ved formeluttrykk. Vi har følgende tre ekvivalente definisjoner:

Epsilon-delta definisjon 
La  være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at  er 
kontinuerlig i  dersom det for hver  finnes en 
slik at
 når  og  ligger i definisjonsmengden til .
Funksjonen  kalles kontinuerlig dersom  er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Ved grenseverdier 
La  være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at  er 
kontinuerlig i  dersom  er et isolert punkt i definisjonsmengden eller
grenseverdien  eksisterer og er lik .
Funksjonen  kalles kontinuerlig dersom  er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Ved sekvensielle grenseverdier 
La  være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at  er 
kontinuerlig i  dersom for hver følge  av punkt i definisjonsmengden med , så eksisterer grenseverdien  og er lik .
Funksjonen  kalles kontinuerlig dersom  er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Eksempler 
Følgende funksjoner er kontinuerlige:
 , hvor  er en konstant.
 
 Absoluttverdien 
 n-te potenser 
 n-te røtter 
 De trigonometriske funksjonene ,  og 
 Eksponentialfunksjonen 
 Logaritmefunksjonen 
 Arcusfunksjonene ,  og 
 De hyperbolske funksjonenen , ,  og 

Funksjonen  er ikke kontinuerlig i .

Funksjonen  er ikke kontinuerlig i noe punkt.

Å avgjøre kontinuitet 
Dersom en reell funksjon  er gitt ved en formel, så er det upraktisk å bruke definisjonen til å avgjøre om  er kontinuerlig. I stedet bruker man teoremet som sier at dersom funksjonen  er bygget opp av kontinuerlige funksjoner ved operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og sammensetning, så er også  kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde.

Eksempler:
  kontinuerlig siden  er summen av de kontinuerlige funksjonene  og .
  er kontinuerlig siden  er sammensetningen av  med produktet .
  er kontinuerlig siden  er den kontinuerlige funksjonen  delt på den kontinuerlige funksjonen . Merk at  ikke er diskontinuelig i , men kun udefinert i dette punktet. Videre er det umulig å utvide definisjonsområdet til  slik at  blir kontinuerlig i .

Viktige resultater 

Skjæringssetningen: Anta at  er en kontinuerlig funksjon hvor
 og  har motsatte fortegn. Da finnes et tall  mellom  og  slik at .

Ekstremalverdisetningen: La  være en kontinuerlig funksjon
definert på et lukket, begrenset intervall. Da eksisterer både maksimumspunkt og minimumspunkt for .

Kontinuitet for komplekse funksjoner av en kompleks variabel 
Kontinuitet for en kompleks funksjon  av en kompleks variabel  defineres på samme måte
som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

Kontinuitet for funksjoner av flere variable 
Kontinuitet for en funksjon  av flere variable  defineres på samme måte
som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

Følgende eksempel viser at man må være litt forsiktig når man ser på kontinuitet til funksjoner av flere variable:
La  Selv om  og  begge er kontinuerlige i , så er ikke  kontinuerlig i .

Kontinuerlige funksjoner mellom metriske rom

Epsilon-delta definisjon 
La  og  være metriske rom med metrikker  og  henholdsvis. En funksjon  er kontinuerlig i punktet  dersom
det for alle  finnes en  slik at
  for alle  med .
En funksjon er kontinuerlig dersom funksjonen er kontinuerlig i alle punkt  i .

Ved grenseverdier 
La  være en funksjon mellom metriske rom og la  være et punkt i . Vi sier at  er kontinuerlig i  dersom  er et isolert punkt i  eller grenseverdien  eksisterer og er lik .
Funksjonen  kalles kontinuerlig dersom  er kontinuerlig i alle punkt i .

Ved sekvensielle grenseverdier 
La  være en funksjon mellom metriske rom og la  være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at  er kontinuerlig i  dersom for hver følge  av punkt i  med , så eksisterer grenseverdien  og er lik .
Funksjonen  kalles kontinuerlig dersom  er kontinuerlig i alle punkt i .

Kontinuerlige funksjoner mellom topologiske rom

Definisjon 
En funksjon  mellom topologiske rom er kontinuerlig dersom
 er en åpen mengde i  for hver åpen mengde 
i .

En kan også gi en ekvivalent definisjon ved bruk av omegnsstrukturer. En slik definisjon
viser at kontinuitet er en lokal egenskap.

Merk at sammensetningnen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.

Viktige resultater 
Følgende to resultater generaliserer skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen:

 Bildet av en sammenhengende mengde under en kontinuerlig funksjon er sammenhengende.
 Bildet av en kompakt mengde under en kontinuerlig funksjon er kompakt.

Litteratur
 
 
 
 

Matematisk analyse
Funksjoner