Invers funksjon

En invers funksjon eller en omvendt funksjon er en funksjon som «opphever virkningen av» en annen funksjon. Mer presist uttrykt er to funksjoner f og g inverse hvis og bare hvis
 og 
for alle x, y i domenet til henholdsvis x og y.
Vi uttrykker det inverse forholdet med:

Uttrykket må ikke forveksles med 

En funksjon har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Hvis den finnes, er den unik. En funksjon som har en invers, sies å være inverterbar. Begrepet «invers» ble først brukt på 1900-tallet i en tekst av James Pierpont.

Egenskaper

Definisjonsområder
Dersom  er en inverterbar funksjon med domene  og kodomene , vil den inverse funksjonen av f ha domene  og kodomene :
 og 

De sammensatte funksjonene  og  er like identitetsfunksjonen definert over domenet X og Y respektivt:
 og

Eksistens
En funksjon  har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Dette følger av at dersom den har en invers, vil den være surjektiv og injektiv:
 Dersom  har en invers , så vil for enhver , slik at , altså er f surjektiv
 Dersom  og f har en invers , så er , altså er  og f er injektiv
Motsatt vil en bijektiv funksjon alltid ha en invers:
 Dersom  er bijektiv, og , vil det finnes én og bare én  slik at . Altså kan man definere en funksjon  slik at  for enhver , som vil være en invers av f.

Se også
Omvendt funksjonsteorem

Referanser

Eksterne lenker

Funksjoner