Analytisk funksjon

En analytisk funksjon er en matematisk funksjon, som i rundt  hvert punkt i sitt definisjonsområde kan beskrives som en konvergent potensrekke. Funksjonen f(x) er analytisk i punktet p dersom den kan uttrykkes som en konvergent potensrekke i et intervall omkring p dersom det er snakk om reelle analytiske funksjoner eller en sirkelskive omkring p i det komplekse tilfellet. Dersom f(x) er analytisk i hvert punkt i sitt definisjonsområde, kalles den bare en analytisk funksjon eller en Cω-glatt funksjon. Reelle analytiske funksjoner er definert i åpne områder i den relle tall-linjen og tar relle verdier, mens  komplekse analytiske funksjoner er definert i åpne områder i det komplekse tallplanet og tar komplekse verdier. Komplekse analytiske funksjoner sies også å være holomorfe.  En hel funksjon er en holomorf funksjon som er definert i hele det komplekse planet.

Egenskaper til analytiske funksjoner 

 Enhver sum, og ethvert produkt  av analytiske funksjoner er analytiske. Likeledes er sammensetningen av to analytiske funksjoner analytisk.
 Den inverse til en analytisk funksjon uten nullpunkter er analytisk. Det er også den inverse av en speilvendt analytisk funksjon hvis deriverte aldri har verdien null.
 En analytisk funksjon er alltid glatt.
 Et polynom kan ikke ha flere nullpunkter  enn polynomgraden  tilsier. Et lignende men svakere utsagn, den såkalte identitetessetningen,  gjelder for analytiske funksjoner. Hvis mengden  av nullpunkter til en analytisk funksjon har et opphopningspunkt i funksjonens definsjonsområde, er funksjonen identisk lik null i den sammenhengskomponenten til definisjonsområdet der opphopningspunktet ligger. Formelt kan dette fremstilles som følger: Hvis zn er en følge, slik at f(rn) = 0 for alle n og denne følgen konvergerer mot et punkt z i definisjonsområdet D, så er f identisk lik null i sammenhengskomponenten til D som inneholder z. Dette innebærer at to analytiske funksjoner som begge er definert på et sammehengenede område og som stemmer overens på en mengde med et opphopningspunkt i det felles definisjonsområdet er identisk like.

Analytiske funksjoner