Påskeformelen

Påskeformelen er metoden som brukes for å beregne tidspunktet for påskehøytiden i et gitt år. På latin og engelsk kalles prosedyren for Computus og har siden tidlig middelalder vært svært betydningsfull, da datoene for store deler av kirkeåret bestemmes ut fra dette tidspunktet. Ordet «computer» («komputist» på norsk) betydde opprinnelig en person som var i stand til å regne ut påsketidspunktet. Komputistene kan på mange måter betraktes som forløperne til den nyere tids matematikere. De mest kjente komputistene fra middelalderen er Dionysius Exiguus (Denys le Petit) og Beda den ærverdige.

Definisjon 
I de fleste oppslagsverk finner man regelen formulert som følger:
Første påskedag faller på første søndag etter første fullmåne på eller etter vårjevndøgn.
Imidlertid gir en slik regel stort rom for ulike tolkninger, blant annet hvordan påskens tidspunkt da vil avhenge av hvor man befinner seg på jordkloden i forhold til datolinjen og andre astronomiske forhold, som detaljkunnskaper om månens bane og hvilken geografisk lengde den observeres fra.

Den kanoniske definisjonen av påskedatoen er kom konsilet i Nikea frem til i året 325:
«Påsken er den søndagen som følger den fjortende dagen til den månen som oppnår denne alderen på den 21. mars eller umiddelbart deretter.»

Av definisjonen fremgår det at påsken ikke fastsettes i forhold til det astronomiske vårjevndøgn, men til en fast kalenderdato. Denne ligger riktignok nær det astronomiske vårjevndøgnspunktet, men faller likevel aldri helt sammen med dette. Herav fremgår det også at påsketidspunktet ikke fastsettes i forhold til fullmånen, men til nymånen som opptrer 8. mars eller umiddelbart deretter. «Månens alder» angir det antall dager som er gått siden nymåne. Videre er det ikke den virkelige månen, som har en svært komplisert bane, men en tenkt middelmåne som går med jevn fart i banen sin rundt jorden.

Fullmånen som går forut for tidspunktet for påskehøytiden er gjennom tidene (også etter den julianske kalenderen) blitt kalt for påskefullmånen.

Påskedatoen som de to settene med påskeformler under gir i hver sin periode er blitt brukt i de fleste vesteuropeiske land siden kristendommen ble innført og altså etter kirkemøtet i Nikea i 325. Fordi påskedatoen er gjort uavhengig av lengdegrad og den virkelige månens bevegelse, oppnår man dermed en dato som er lik for alle, og som lett kan beregnes for et hvilket som helst fremtidig eller tidligere tidspunkt, uten at det er nødvendig å foreta noen faktiske måneobservasjoner. I jødedommen benytter man imidlertid en annen formel.

For å beregne påskedatoen trenger man derfor en «evigvarende månekalender» som går ut fra denne tenkte middelmånen som kalles den eklesiastiske månen. Denne regnemåten heter «Computus Eclesiasticus». Man skiller da mellom to regneskjemaer:

Juliansk påskeformel

Det ene regneskjemaet gjelder frem til og med året 1582 (1699 i Norge og Danmark) og kalles den julianske påskeformelen. Denne er viktig for historiske undersøkelser. Den opprinnelige påskeformelen ble først utarbeidet av Denis le Petit på 500-tallet. På 700-tallet publiserte så engelskmannen Beda boken De temporum ratione, som ble brukt som standard læreverk på dette området gjennom hele middelalderen.

I de fleste ortodokse kirkene baseres påskeformelen fortsatt på den julianske kalenderen. Siden landene vanligvis bruker den gregorianske kalenderen som sin borgerlige kalender, betyr det at påskedagen vil ligge i tidsrommet 4. april – 8. mai i perioden 1900 – 2099. (Forskjellen mellom den julianske og den gregorianske kalenderen øker med tre døgn i løpet av 400 år.)

Månekalenderen som ligger til grunn for påskeformelen bygger på en syklus på 532 år  (Metons syklus × solsyklus) (dvs.  måneder,  uker =  døgn). Månesyklusen bygger på det fra gammelt av kjente faktum at den synodiske månen gjennomfører nokså nøyaktig 235 omløp i løpet av 19 julianske år (ett juliansk år består av 365¼ døgn). Denne 19-årige månesyklusen er kjent fra den greske astronomen Meton og kalles etter ham for Metons syklus. Den 28-årige solsyklusen er satt sammen av den 4-årige skuddårssyklusen og den 7-årige ukedagssyklusen.

Som begynnelsesår for denne 532-årige påskesyklusen valgte man skuddåret 608 e.Kr. (påskedag var 7. april). Dette årets første nymåne kom 23. januar og året fikk tildelt gyldentallet 1. I dette året falt 1. januar på en mandag. Året var tildelt søndagsbokstavene G og F. Går man herfra 532 år fremover i tid til året 1140 e.Kr., så finner man at sistnevnte år har nøyaktig det samme gyldentallet 1 og søndagsbokstavparet  som det førstnevnte (og dermed påskedag 7. april). Dette er fordi den samme kombinasjonen av gyldentall og søndagsbokstaver alltid gjentar seg efter 532 år, men ikke før. Et års gyldentall er ett av tallene 1, 2, … 19 og et års søndagsbokstav er én av de syv bokstavene A, B, … G, to bokstaver når det er et skuddår.

Tabell

Det var mulig å finne den julianske påskedagen utfra en tabell. Man måtte da vite gyldentallet og søndagsbokstaven(e) for det aktuelle året. Ved hjelp av denne tabellen kunne man så finne datoen for påskedagen.

Påskedagen var den første søndagen etter den viste fullmåne-datoen. Juliansk epakt var månens alder 22. mars.

Eksempel
Finn datoen for påskedagen 1520.
Gyldentallet for 1520 var 1.
1520 hadde søndagsbokstavene A&hairsp;G.
Tabellen viser at ved gyldentall 1 var det fullmåne 5. april; siden 5. april har dagsbokstaven D, ble 8. april den første etterfølgende søndag i 1520.

Gregoriansk påskeformel

Det andre regneskjemaet gjelder fra og med året 1583 med unntak for de land som innførte den gregorianske kalenderen ved et senere tidspunkt, deriblant Norge (1700) og kalles den gregorianske påskeformelen. Fordi skuddårene i den gregorianske kalenderen ikke følger en like enkel regel som i den julianske, er den gregorianske påskeformelen litt mer komplisert enn den julianske.

Påskeformelen gir nå en periodisk syklus på  år (eksakt):
 ((19 × 30 × 4 × 25 × 100 år)
 (Metons syklus × ant. gregorianske epakter × solkorreksjonssyklus (sekler) × månekorreksjonssyklus (sekler) × 100 år) 
 (dvs.  måneder,  uker =  døgn)).
Påskedagen kan falle på 35 forskjellige datoer; 22. mars er den tidligste, og 25. april er den seneste datoen. Sistnevnte dato var fra gammelt av en merkedag som kaltes gangdagen eller markusmesse. Ikke siden 1818 har påskedagen falt på den tidligst mulige datoen, og den vil ikke gjøre det igjen før i 2285. I 1913 og 2008 falt påskedagen på 23. mars, neste gang det skjer er i 2160. Påskedagen var på den senest mulige datoen i 1886 og 1943, neste gang det skjer er i 2038. 19. april er den vanligste datoen, i løpet av syklusen faller påskedagen på denne datoen hele  ganger, dette tilsvarer 3,87 % av alle gangene (gjennomsnittet for alle datoene er 2,86 %). 22. mars er den sjeldneste datoen, den forekommer bare  ganger (0,48 %), dernest følger 25. april som forekommer  ganger (0,74 %) i løpet av  år.

Tabell

Det er mulig å finne den gregorianske påskedagen utfra en tabell. Man må da vite epakten og søndagsbokstaven(e) for det aktuelle året. Ved hjelp av denne tabellen kan man så finne datoen for påskedagen.

Påskedagen er den første søndagen etter den viste fullmåne-datoen. Gregoriansk epakt er månens alder 1. januar.

Eksempel
Finn datoen for påskedagen 2030:
 G = 17
 JE = 26
 S = 15
 L = 6
 Gregoriansk epakt, GE = (JE − S + L + 8) mod 30 = 25
 hvor
 mod gir resten etter en heltallsdivisjon.
2030 har søndagsbokstaven F.
Tabellen viser at ved epakt 25 er det fullmåne 18. eller 17. april. Fordi gyldentallet (G) er større enn 11, velges 17. april som fullmåne-datoen. Siden 17. april har dagsbokstaven B, blir 21. april den første etterfølgende søndag i 2030.

Avvik i Danmark-Norge
Ved innføringen av den gregorianske kalenderen i Danmark-Norge mandag 1. mars 1700 valgte man å følge de astronomiske tidspunktene for vårjevndøgn og fullmåne med utgangspunkt i Vens meridian etter anbefaling fra astronomen Ole Rømer.

Det eneste året da dette ga seg praktisk utslag var i 1744, da Danmark-Norge feiret påske én uke før alle andre land som hadde gått over til den gregorianske kalenderen. I 1724 var det også én ukes avvik, men da valgte man likevel å følge påskeformelen. I 1778 ville det også ha vært avvik, men da hadde man allerede besluttet å gå tilbake til å bruke den gregorianske påskeformelen.

Beregninger
Beregningen av datoen for påskedagen kan utføres på flere måter. Her er noen av de mest benyttede i nyere tid:

Gauss' metode (for både juliansk og gregoriansk kalender) 
Metoden ble utarbeidet av Carl Friedrich Gauss og publisert i 1816 i artikkelen: «Berichtigung zu dem Aufsatze: Berechnung des Osterfestes».

Definisjoner
 K = årstallet
 a = K mod 19
 b = K mod 4
 c = K mod 7
 
 Definér fra tabell:
 Årstall |  M  | N
 ------------------
 Juliansk kalender
            15   6
 Gregoriansk kalender
 1583-1699  22   2
 1700-1799  23   3
 1800-1899  23   4
 1900-2099  24   5
 2100-2199  24   6
 2200-2299  25   0
 2300-2399  26   1
 
 d = (19a + M) mod 30
 e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7
 Hvis (d + e) < 10, vil påskedagen være (d + e + 22). mars ellers (d + e – 9). april.
 
 Med unntak av:
 26. april erstattes med 19. april.
 25. april erstattes med 18. april hvis d = 28, e = 6 og a > 10.
 
 Tallene M og N beregnes slik (skal bare gjøres for gregoriansk kalender, se over):
 Hvis k er årstallets to første sifre (hundretallet),
 p er kvotienten av divisjonen (13 + 8k)/25 uten hensyn til resten og
 q er kvotienten av divisjonen k/4 uten hensyn til resten, så er
 M = (15 - p + k - q) mod 30 og
 N = (4 + k - q) mod 7.

Meeus/Jones/Butchers formel (bare for gregoriansk kalender) 
Denne formelen, som bare gjelder for den gregorianske kalenderen, ble første gang presentert i tidsskriftet Nature i 1876. Siden er den blitt trykt flere ganger bl.a. i bøker av Harold Spencer Jones (side 73) og Jean Meeus. Den er uten unntak, på lik linje med flere av eksemplene under.

Nedenfor vises formelen implementert med JavaScript. function EasterSunday (inputYear)  {
  const a = inputYear % 19;
  const b = Math.floor(inputYear / 100);
  const c = inputYear % 100;
  const d = Math.floor(b / 4);
  const e = b % 4;
  const f = Math.floor((b + 8) / 25);
  const g = Math.floor((b - f + 1) / 3);
  const h = (19 * a + b - d - g + 15) % 30;
  const i = Math.floor(c / 4);
  const k = c % 4;
  const l = (32 + 2 * e + 2 * i - h - k) % 7;
  const m = Math.floor((a + 11 * h + 22 * l) / 451);
  const n = Math.floor((h + l - 7 * m + 114) / 31);
  const p = ((h + l - 7 * m + 114) % 31) + 1;

  return new Date(`${inputYear}-${n}-${p}`);
};

Meeus' formel (bare for juliansk kalender) 
Belgieren Jean Meeus beskrev denne formelen i den andre utgaven (den engelske) av boken sin, «Astronomical Formulæ for Calculators» (side 33), i 1982. Formelen er kort og uten unntak, men den gjelder bare for den julianske kalenderen.

Lichtenbergs formel (for både juliansk og gregoriansk kalender) 
Denne formelen ble publisert av tyskeren Heiner Lichtenberg i Historia Mathematica 24 i 1997: «Zur Interpretation der Gaußschen Osterformel und ihrer Ausnahmeregeln» (sidene 441 – 444). Den er enklere enn Meeus/Jones/Butchers formel, er uten unntak og har også en variant for den julianske kalenderen. Under er den skrevet som norsk Microsoft Excel hvor cellen A1 inneholder et årstall som bør være større enn 325.

OS er datoen for påskedagen uttrykt som en dato i mars (OS = 32 betyr 1. april osv.). I en dato-formatert celle i Excel kan fullstendig dato da skrives som:
 =DATO(A1;HVIS(OS>31;4;3);HVIS(OS>31;OS−31;OS))

Påskeformler i én enkelt celle i regneark (bare for gregoriansk kalender) 
Det kan være fristende å bruke et regneark for å beregne den gregorianske datoen for påskedagen; én enkelt celle er tilstrekkelig. Da er det et par ting man bør være klar over først:
Kalenderen i «Microsoft Office Excel» på PC (og en del andre regneark) begynner med år 1900, som disse regnearkene mener var et skuddår som begynte på søndag. Men det året var ikke skuddår i den gregorianske kalenderen og det begynte på mandag! Fra og med torsdag 1. mars 1900 samsvarer ukedag og dato riktig i disse regnearkene. Dette betyr at hvis man teller antall døgn fra 1. januar 1900, blir det feil etter slutten av februar i 1900. Man må ta hensyn til disse feilene når man f.eks. skal beregne datoen til fastelavnssøndag 1900 (49 døgn før påskedagen) (riktig dato er 25. februar).

Formlene under kan brukes direkte i én enkelt celle i et regneark, f.eks. «Microsoft Excel» både på PC (1900-datosystem) og Mac (1904-datosystem):
 Norsk:   =AVRUND.GJELDENDE.MULTIPLUM.NED
  (DATO(A2;3;27−DAG(0))+0,97*REST(18,998*REST(A2+8/9;19)+HELTALL(0,68*HELTALL(A2/100)−HELTALL(A2/400)−5/9);30);7)+DAG(1)
 
 Engelsk: =FLOOR(DATE(A2,3,27−DAY(0))+0.97*MOD(18.998*MOD(A2+8/9,19)+INT(0.68*INT(A2/100)−INT(A2/400)−5/9),30),7)+DAY(1)
hvor cellen A2 inneholder det fire-sifrede årstallet til datoen som man ønsker å finne for påskedagen i perioden 1900 – 9999. Cellen som inneholder utregningen bør formateres som en dato.

Det finnes også forenklede formler for beregning av påskedagens gregorianske dato, men disse gjelder bare for et begrenset tidsrom. Dette kan likevel være tilstrekkelig for å finne datoen(e) for påskedagen i en kortere periode. Flere av dem kan brukes direkte i én enkelt celle i et regneark, f.eks. «Excel» både på PC (1900-datosystem) og Mac (1904-datosystem):
 Norsk: =AVRUND(DATO(A3;4;1−DAG(0))/7+REST(19*REST(A3;19)−7;30)*0,14;0)*7−6+DAG(0)
 
 Engelsk:  =ROUND(DATE(A3,4,1−DAY(0))/7+MOD(19*MOD(A3,19)−7,30)*0.14,0)*7−6+DAY(0)
hvor cellen A3 inneholder det fire-sifrede årstallet til datoen som man ønsker å finne for påskedagen i perioden 1900 – 2203. Cellen som inneholder utregningen bør formateres som en dato. Den viste formelen vil gi riktig dato for påskedagen til og med år 2203. Deretter gir den hyppige feil (bl.a. i år 2204, 2207 og 2209). Andre forenklede formler kan gi feil dato for år 2079 også.

Se også 
 Epakt
 Gyldentall
 Søndagsbokstav
 Solsyklus
 Ukedager
 Ukenummer

Referanser

Eksterne lenker
 http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/phenomenes/eclipses/lune/ Les éclipses de Lune (fransk).
 http://eclipse.gsfc.nasa.gov/eclipse.html NASA Eclipse Web Site (engelsk).

Påske
Kalendere
Astronomi
Artikler i astronomiprosjektet
Kristne begrep