Binær operasjon

En  binær operasjon eller en binæroperasjon er i matematikk en operasjon som har to argumenter fra samme mengde og der også resultatet tilhører samme mengde. De grunnleggende aritmetiske regneartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon for reelle tall er alle binære.  

Den vanligste definisjonen av en binæroperasjon krever at resultatet ligger i samme mengde som argumentene.  En del forfattere vil likevel bruke begrepet mer generelt om operasjoner som involverer to argument, uten hensyn til resultatet.  Ifølge den første definisjonen vil indreproduktet mellom to vektorer ikke være en binær operasjon, mens den vil være det ifølge den mer generelle definisjonen.

Formell definisjon 
Formelt kan en definere en binær operasjon som en funksjon  f: M × M →  M.  Denne funksjonen har aritet lik 2, det vil si at den tar to argument.  

Mengden M kalles definisjonsmengden.

Notasjon 
Dersom (a,b) er et ordnet par i det kartesiske produktet M × M kan en skrive en generell binær operasjon  på formen

 

Når operatorsymbolet  i en binær operasjon plasseres mellom argumentene kalles notasjonen for infiks, og dette er den vanligste skriveformen.  En prefiks- og en postfiks notasjon er også mulig, med operatorsymbolet plassert henholdsvis før eller etter det ordnede paret.  Polsk notasjon bruker prefiks notasjon, mens omvendt polsk notasjon er basert på postfiks.

Veldefinerte binære operasjoner 
En binær operasjon  er veldefinert dersom a = b og c = d medfører at (a,c) = (b,d).  All vanlige binære operasjoner er veldefinerte.  

Et eksempel på en binær operasjon som ikke er veldefinert er gitt ved det følgende definisjonen av en addisjonsoperasjon i mengden av rasjonale tall:

 
   
At definisjonen ikke er veldefinert ser en ved å bruke x/y = 1/3 = 2/6 og a/b = 1/2 = 7/14.

Egenskaper til binære operasjoner

Kommutativitet 
En binær operasjon   er kommutativ i M dersom den følgende relasjonen er oppfylt:

Addisjon av reelle tall er kommutativ, mens divisjon ikke er det.

Assosiativitet 

En binær operasjon   er assosiativ i M dersom 

 

Addisjon av reelle tall er assosiativ, mens subtraksjon ikke er assosiativ.

Enhetselement 
En binær operasjon   har et enhetselement dersom det eksisterer et element e i M, slik at 

Addisjon av reelle tall har enhetselementet 0.  Subtraksjon har ikke noe enhetselement.
Enhetselement kalles også for nøytralelement.

Invers 
Dersom en binær operasjon   har enhetselement e, så kan et element a i M ha en invers betegnet med a-1, dersom 

Det er mulig at enkelte element i M har en invers, mens andre ikke har det.

Idempotens 
En binær operasjon   er idempotent dersom

Operasjonen som tar maksimumsverdien av to reelle tall er idempotent, da max(a,a) = a.

Regnearter i aritmetikk 
I aritmetikk regner man med fire grunnleggende regnearter, som alle er binære operasjoner:

Addisjon
Addend + addend = sum
Addisjon i mengden av reelle tall R er kommutativ, assosiativ og har enhetselementet 0.

Subtraksjon
Minuend − subtrahend = differanse
Subtraksjon i R er hverken kommutativ eller assosiativ, og operasjonen har ikke enhetselement.

Multiplikasjon
Faktor × faktor = produkt
Multiplikasjon i R er kommutativ og assosiativ, med enhetselement 1. 

Divisjon
Dividend / divisor = kvotient
Divisjon i R er hverken kommutativ eller assosiativ, og operasjonen har ikke enhetselement.

Referanser 

Algebra
Binære operasjoner