Lagranža punkti

Lagranža punkti ir tādi punkti debess mehānikā, kuri atrodas netālu no diviem lieliem ķermeņiem orbītā, kur daudz mazāks objekts saglabā savu pozīciju attiecībā pret lielajiem debesu ķermeņiem.
Citās vietās neliels objekts ieņemtu savu orbītu ap vienu no lielajiem ķermeņiem, bet pie Lagranža punktiem abu lielo ķermeņu gravitācijas spēki, orbitālās kustības centrtieces spēks un (dažiem punktiem) Koriolisa paātrinājums iedarbojas tā, ka mazais objekts saglabā stabilu vai gandrīz stabilu pozīciju attiecībā pret lielajiem ķermeņiem.

Ir pieci šādi punkti, kas apzīmēti ar L1 līdz L5, un tie visi atrodas divu lielu ķermeņu orbītā, katrā no tiem kombinējot divus orbitālus ķermeņus. Piemēram, Saules−Zemes sistēmai ir pieci Lagranža punkti L1 līdz L5, un līdzīgi ir arī pieci dažādi Lagranža punkti Zemes−Mēness sistēmai. L1, L2 un L3 atrodas rindā starp divu lielo ķermeņu centriem, bet L4 un L5 katrs darbojas kā trešā vienādmalu trijstūra virsotne, kas veidota kopā ar abu lielo ķermeņu centriem. L4 un L5 ir stabili, kas nozīmē, ka objekti ap tiem var būt orbītā rotējošā koordinātu sistēmā, kas saistīta ar diviem lielajiem ķermeņiem.

Vairākām planētām ir Trojas satelīti, kas atrodas netālu no viņu L4 un L5 punktiem attiecībā  pret Sauli. Jupiteram pieder vairāk nekā miljons šo trojiešu. Mākslīgie pavadoņi ir izvietoti punktos L1 un L2 attiecībā uz Sauli un Zemi, un attiecībā uz Zemi un Mēnesi. Lagranža punkti ir  izmantojami kosmosa izpētē.

Mazāki objekti (attēlā iezīmēti zaļā krāsā) Lagranža punktos paliek nemainīgā relatīvajā stāvoklī. Jebkurā citā vietā gravitācijas spēki ievilks nelielu objektu orbītā ap kādu no diviem ķermeņiem, kas nav stabilā stāvoklī attiecībā pret otru ķermeni.

Vēsture 
Trīs kolineāros Lagranža punktus (L1, L2, L3) atklāja Leonards Eilers dažus gadus pirms tam, kad Žozefs Lagranžs atklāja divus atlikušos.
1772. gadā Lagranžs publicēja “Essay on the three body problem”. Pirmajā nodaļā viņš apskata trīs ķermeņu problēmu. No tās izriet, ka otrajā nodaļā viņš demonstrēja divus īpašus, stabilus risinājumus - kolineāru un vienādsānu − visām trim masām ar apļveida orbītām.

Pieci Lagranža punkti ir apzīmēti un definēti šādi:

L1 punkts 
L1 punkts atrodas uz līnijas, ko nosaka divas lielas M1 un M2 masas, starp abām masām. Tas ir punkts, kur M2 gravitācija daļēji atceļ M1 gravitācijas pievilkšanās spēku. Objektam, kuram Saule ir tuvāk par Zemi, parasti ir īsāks orbitālais periods nekā Zemei, un tas ignorē Zemes gravitācijas spēka ietekmi. Ja objekts atrodas tieši starp Zemi un Sauli, tad Zemes gravitācija daļēji neitralizē Saules gravitācijas spēku uz objektu un tādējādi palielina objekta orbitālo periodu. Jo tuvāk Zemei ir objekts, jo lielāks ir šis efekts. L1 punktā objekta orbitālais periods kļūst precīzi vienāds ar Zemes orbītas periodu. L1 ir aptuveni 1,5 miljoni kilometru no Zemes jeb 0,01 astronomisko vienību jeb 1/100 no attāluma līdz Saulei [6].

L2 punkts 
L2 punkts atrodas uz līnijas starp abām lielajām masām, aiz mazākās no tām. Šeit abu lielo masu gravitācijas spēki līdzsvaro centrbēdzes efektu uz ķermeņa pie L2. Zemes pretējā pusē no Saules objekta orbitālais periods parasti būtu lielāks nekā Zemes orbitālais periods. Zemes gravitācijas papildus pievilkšanas spēks samazina objekta orbitālo periodu, un L2 punktā orbitālais periods kļūst vienāds ar Zemes periodu. Tāpat kā L1, arī L2 ir apmēram 1,5 miljoni kilometru jeb 0,01 astronomisko vienību attālumā no Zemes.

L3 punkts 
L3 punkts atrodas uz līnijas, kura vilkta caur divām lielajām masām, aiz lielākās no abām. Saules−Zemes sistēmā L3 punkts pastāv Saules pretējā pusē, nedaudz ārpus Zemes orbītas un nedaudz tālāk no Saules nekā Zeme. Šāds izvietojums rodas, jo Sauli ietekmē arī Zemes gravitācija un tātad orbītas ap divu ķermeņu masas centru, kas atrodas Saules ķermeņa iekšpusē. Objektam Zemes attālumā no Saules būtu viena gada orbitālais periods, ja tiktu ņemts vērā tikai Saules gravitācijas spēks. Bet objekts Saules pretējā pusē “sajūt” Zemes gravitāciju, kas nedaudz papildina Saules pievilkšanas spēku, un tāpēc tam ir jābūt mazliet tālāk no Saules, lai tam arī būtu viena gada periods. 

Jebkuram objektam, kas atrodas pie L1, L2 vai L3, piemīt nosliece izkrist no orbītas; tāpēc reti gadās tur atrast dabīgas izcelsmes objektus, un kosmosa kuģiem, kas novietoti šajās vietās, ir jāizmanto staciju noturēšanas sistēmas, lai saglabātu to atrašanās vietu.

L4, L5 punkti 

L4 un L5 punkti atrodas divu vienādmalu trīsstūru virsotnēs, kuru kopīgā mala ir līnija starp abu lielo masu centriem.  Ja abiem lielajiem ķermeņiem ir ļoti atšķirīgas masas, L4 un L5 atrodas aptuveni mazākā ķermeņa orbītā, 60° priekšā un aizmugurē.

Trijstūra punktos (L4 un L5) ir stabils līdzsvars pie nosacījuma, ka M1/M2 attiecība ir lielāka par 24.96.  Tas attiecas uz Saules – Zemes sistēmu, Saules – Jupitera sistēmu un, mazākā mērā, uz Zemes – Mēness sistēmu. Ja ķermeņa kustība šajos punktos tiek traucēta, tas izkustas no punkta, bet faktors, kas ir pretējs tam, kurš ir palielināts vai samazināts ar perturbāciju (vai nu gravitācijas vai leņķiskā impulsa izraisīts ātrums), arī palielinās vai samazinās, izliecot objekta ceļu stabilā, pupas formas orbītā ap punktu.

Atšķirībā no L4 un L5, kur pastāv stabils līdzsvars, punkti L1, L2 un L3 ir nestabila līdzsvara pozīcijas.

Debess mehānika