Rīmaņa integrālis

Rīmaņa integrālis ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Bernhards Rīmanis ieviesa šo jēdzienu 1854. gadā, un tā ir viena no pirmajām integrāļa jēdziena formalizācijām.

Neformāls ģeometriskais apraksts 

Rīmanis formalizēja Ņūtona un Leibnica izstrādāto integrāļa jēdzienu, kā laukumu zem fukcijas grafika (figūra, kas ierobežota ar grafika līkni no vienas puses un ar abscisu asi no otras puses). 

Lai to izdarītu, viņš izpētīja figūras, kas sastāv no vairākiem vertikāliem taisnstūriem, kuru pamati kopā veido integrācijas intervālu un tiek iegūti, sadalot intervālu (sk. zīmējumu) vairākās daļās. 

Šādas figūras, kas sadalīta apakšintervālos ar platumu  (ne obligāti vienādu visiem taisnstūriem), kuru augstums ir , laukums S ir izsakāms kā integrālsumma: 

 

Ja eksistē robeža, uz kuru tiecas laukums S (integrālsumma) jebkuram izvēlētam sadalījumam (kad lielākais no  tiecas uz nulli), tad šo robežu sauc par Rīmaņa integrāli šajā intervālā.

Definīcijas

Ar integrālsummām 
Pieņem, ka funkcija , kas pieņem reālas vērtībās, tiek definēta slēgtā intervālā . 

Aplūko intervāla sadalījumu  — galīgs punktu skaits dotajā intervālā. Šis sadalījums sadala intervālu   n apakšintervālos . Garāko no sadalījuma apakšintervāliem apzīmē ar , šo skaitli sauc par sadalījuma normu, kur  — i-tā apakšintervāla garums. 

Katrā sadalījuma apakšintervālā brīvi izvēlas punktu . Izteiksmi  sauc par intergālsummu.  

Ja sadalījuma norma tiecas uz nulli un integrālsumma tiecas uz to pašu skaitli neatkarīgi no  izvēles, tad šo skaitli sauc par funkcijas  integrāli  intervālā , tas ir,  . 

Šajā gadījumā saka, ka funkcija  ir integrējama (pēc Rīmaņa) intervālā ; pretējā gadījumā funkcija  ir neintegrējama (pēc Rīmaņa) intervālā  .

Īpašības 

 Nedeģenerācija:  . 
 Pozitivitāte: ja integrējama funkcija  ir nenegatīva, tad tās integrālis intervālā  arī ir nenegatīvs. 
 Linearitāte: ja funkcijas  un  integrējamas un  tad funkcija  arī ir integrējama, un  . 
 Nepārtrauktība: ja integrējamas funkcijas  vienmērīgi saplūst intervālā  funkcijā , tad  integrējama un  (šo formulu var iegūt kā formālas sekas no īpašībām 1-3 un robežfunkcijas integrējamības). 
 Aditivitāte, sadalot intervālu: Ja , funkcija  ir integrējama intervālā  tad un tikai tad, ja tā ir integrējama katrā no intervāliem  un , un līdz ar to . 
 Ja funkcija  ir primitīvā funkcija nepārtrauktai funkcijai , tad funkcijas  integrāli  intervālā  var aprēķināt pēc Ņūtona-Leibnica formulas: n (tā ir visu integrāļu vispārīga īpašība, kas atbilst 1.—5. īpašībai, un darbojas ne tikai Rīmaņa integrālim). Kādā intervālā nepārtrauktai funkcijai  vienmēr eksistē primitīvā funkcija, un katrai primitīvajai funkcijai ir šāda forma:  kur  ir patvaļīga konstante .

Nosacījumi Rīmaņa integrāla pastāvēšanai 
Kādā intervālā nepārtraukta funkcija vienmēr ir integrējama pēc Rīmaņa (1.—5. īpašības sekas). Pārtrauktas funkcijas var būt integrējamas, bet var arī nebūt. Piemērs funkcijai, kas nav integrējama pēc Rīmaņa, var būt pārtrauktā Dirihlē funkcija.

Lebega kritērijs funkcijas integrēšanai pēc Rīmaņa  
Funkcija ir integrējama pēc Rīmaņa intervālā , tad un tikai tad, ja šajā intervālā tā ir ierobežota un tās pārtraukuma punktu Lebega mērs ir nulle — ierobežota funkcija ar galīgu vai sanumurējamu pārtraukuma punktu kopu ir integrējama.

Cits kritērijs 
Lai funkcija  būtu integrējama intervālā, ir nepieciešams un pietiek ar to, ka summa  tiecas uz nulli ar sadalījuma diametru  .   

 svārstības  funkcijas  kopā  - ir starpība  , 
 sadalījuma diametrs   .

Dažas funkciju klases integrējamas pēc Rīmaņa  
Zemāk ir minētas dažas funkciju klases, kurām vienmēr pastāv Rīmaņa integrāļa vērtība  . 

 Nepārtrauktas funkcijas intervālā  
 Funkcijas, kas ierobežotas intervālā  un tām šajā intervālā ir ierobežots skaits pārtraukumu punktu. 
 Monotonas ierobežotas funkcijas.

Vēsture 
Iepriekš minēto integrāla definīciju deva Košī , tā tika izmantota tikai nepārtrauktām funkcijām. 

Rīmanis 1854. gadā (publicēts 1868. gadā  ) sniedza tādu pašu definīciju neņemot vērā nepārtrauktību. Darbū (1879) sniedza mūsdienīgu Rīmaņā teorijas izklāstu.

Skatīt arī 
 Lebega integrālis un tam pielīdzināmais Daniela integrālis, Junga integrālis 
 Stiltjesa integrālis 
 Vairākkārīgais Rīmaņa integrālis 
 Neīstais integrālis

Atsauces

Ārējās saites 
 Nenoteiktu un definētu integrāļu tabulas - EqWorld: Matemātisko vienādojumu pasaule. 
 Rīmaņa integrāļa stingra definīcija. 

Integrāļi
Integrālrēķini