Lauks (matemātika)

Matemātikā lauks ir algebriska struktūra: kopa, kurā ir definēta saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana, un tās darbojas tāpat kā atbilstošās darbības ar racionāliem un reāliem skaitļiem. Laukus izmanto algebrā, skaitļu teorijā un citās matemātikas nozarēs. 

Pazīstamākie lauki ir racionālo skaitļu lauks, reālo skaitļu lauks un komplekso skaitļu lauks. Citus laukus, piemēram, racionālu funkciju laukus, algebrisku funkciju laukus, algebrisku skaitļu laukus un p-adisku skaitļu laukus, izmanto un pēta matemātikā, piemēram, skaitļu teorijā un algebriskajā ģeometrijā. Vairums kriptogrāfijas metožu balstās uz galīgiem laukiem, tas ir, laukiem, kuru elementu skaiti ir galīgi. 

Saistību starp laukiem un lauku saistību ar grupām aplūko Galuā teorijā, ko 19. gadsimta 30. gados aizsāka Evarists Galuā. Tā sniedz noraidošas atbildes uz tūkstošiem gadu senajiem jautājumiem: vai ar cirkuli un lineālu iespējama leņķa trisekcija un kuba divkāršošana. Tāpat šī teorija arī parāda, ka nav iespējams ar algebrisku formulu no koeficientiem izteikt piektās kārtas polinoma saknes.

Definīcijas un īpašības

Apzīmējumi 

Bināra operācija kopā  ir attēlojums : katram sakārtotam  elementu pārim ir piekārtots kāds  elements. Lauka operācijas parasti sauc saskaitīšanu un reizināšanu. Elementu, ko saskaitīšana piekārto pārim  sauc par summu un apzīmē kā . Savukārt reizināšanas rezultātu sauc par reizinājumu un apzīmē kā  vai .

Lauka definīcija 

Lauks  ir algebriska struktūra, ko veido kopa  un divas tajā definētas bināras operācijas, kuras sauc par saskaitīšanu un reizināšanu. Šīs darbības jebkuriem  elementiem  izpildās saskaņā ar šādām aksiomām.

Asociativitāte 
Saskaitīšana un reizināšana ir asociatīvas:

Komutativitāte 
Saskaitīšana un reizināšana ir komutatīvas:

Saskaitīšanas un reizināšanas identitātes 
Kopā  ir divi dažādi elementi  (nulles elements jeb saskaitīšanas identitāte) un  (vienības elements jeb reizināšanas identitāte) tādi, ka

Apgrieztie elementi 
Katram  eksistē pretējais elements, ko apzīmē ar  un ar ko izpildās

Katram nenulles elementam  eksistē inversais elements, ko apzīmē ar  un ar ko izpildās

Distributivitāte 
Reizināšanas ir distributīva attiecībā pret saskaitīšanu:

Izmantojot citus matemātikā pazīstamus terminus, var šīs aksiomas apkopot šādi: laukam ir divas operācijas, ko sauc par saskaitīšanu un reizināšanu; ar saskaitīšanu tas veido Ābela grupu, kuras identitāte ir ; nenulles elementi ar reizināšanu, veido Ābela grupu, kuras identitāte ir ; reizināšana ir distributīva attiecībā pret saskaitīšanu.

Sekas un īpašības 

Pretējā un inversā elementa eksistence ļauj veikt saskaitīšanai un reizināšanai pretējās darbības: atņemšanu  un dalīšanu , definējot tās šādi: 

Izmantojot distributivitāti un nulles elementa definīciju redzams, ka :

Līdzīgi var parādīt, ka :
 

Ja  tad vismaz viens no reizinātājiem pats ir . Aplūkosim gadījumu, kad  nav . Tādā gadījumā :
.

Harakteristika 
Var definēt lauka elementa reizinājumu ar pozitīvu naturālu skaitli: , kur  ar sevi saskaitīts  reizes. Ja neeksistē tāds skaitlis , ka , tad saka, ka šī lauka harakteristika ir . Savukārt, ja tāds eksistē, tad mazākais , kam tas izpildās, ir pirmskaitlis un to parasti apzīmē ar  un saka, ka lauka harakteristika ir . Jebkuriem lauka elementiem  izpildās

;

,

kur  ir kāpināšana jeb –kārtīgs  reizinājums ar sevi:

Apakšlauki un paplašinājumi 
Ja lauka  apakškopa  pati veido lauku ar to pašu saskaitīšanu un reizināšanu, kas laukā , tad  sauc par lauka  apakšlauku. Savukārt  ir lauka  paplašinājums. Lauku, kuram nav mazāka apakšlauka sauc par primitīvu lauku. Primitīvi lauki, kuru harakteristika ir kāds pirmskaitlis , ir izomorfi galīgam laukam , bet pārējie — izomorfi racionālajiem skaitļiem .

Piemēri 

Lauki ir racionālie skaitļi , reālie skaitļi  un kompleksie skaitļi  — katram no tiem ar parasto saskaitīšanu un reizināšanu izpildās visas lauka aksiomas. Nulles elements ir , bet vienības elements ir .

Savukārt naturālie skaitļi  lauku (un pat grupu) neveido, jo tiem neeksistē pretējais elements. Piemēram, nav tāda naturāla skaitļa, ko varētu pieskaitīt pie  un iegūt . Veselo skaitļu kopā  pretējie elementi eksistē, taču neeksistē inversie elementi: nav vesela skaitļa, kuru pareizinot ar  varētu iegūt . Tāpēc arī veselie skaitļi neveido lauku, tie veido tikai gredzenu.

Galīgi lauki 

Galīgi jeb Galuā lauki ir tādi lauki, kuros ir galīgs elementu skaits. Pats mazākais lauks ir divu elementu lauks  jeb , kurā ir tikai  un , to mēdz saukt arī par triviālo lauku. Galīga lauka kārta jeb elementu skaits vienmēr ir kāda pirmskaitļa pakāpe . Galīgi lauki ar to pašu kārtu ir izomorfi, t.i. to struktūra ir vienāda, tikai elementi var būt nosaukti atšķirīgos vārdos. Pieņemts lauku ar kārtu  apzīmēt kā  vai .

Atsauces 

Abstraktā algebra
Algebriskas struktūras