Lagranža teorēma

Lagranža teorēma apgalvo, ka, ja funkcija  ir nepārtraukta nogriežņa intervālā  un diferencējamā intervālā , tad eksistē tāds punkts , ka
 .

Mehāniski to var definēt kā lai  - punkta attālums momentā  no sākumpunkta. Tad f(b) – f(a) ir attālums no momenta  līdz momentam . Attiecība  – vidējais ātrums šajā intervālā. Tātad, ja ķermena ātrums noteikts jebkurā laika momentā , tad kaut kādā momentā tas būs vienāds ar savu vidējo vienību šajā intervālā.

Pierādījums 

Funkcijai ar vienu mainīgo:

Ievadām funkciju . Priekš tās ir izpildīti Rolla teorēmas noteikumi: nogriežņa galapunktos vienības ir vienādas ar nulli.

Izmantojot doto teorēmu, iegūsim, ka eksistē punkts , kurā funkcijas  atvasinājums ir vienāds ar nulli:

Galīgie un bezgalīgie mazie pieaugumi 

Galīgo pieaugumu var skaidrot ar to faktu, ka ja formulā , kreiso pusi apzīmējam kā , bet labajā pusē faktoru  apzīmējam ar , tad mēs iegūsim formulu:  

Un tā savukārt ir ļoti līdzīga ar diferenciāla definīciju.

Pielikums 

 Lagranža teorēma var būt pielietota, nosakot nenoteiktību priekš robežām.

Variācijas un apkopojums 

Lagranža teorēma par galīgo pieaugumu – viena no svarīgākajām, galvenā teorēma visā diferenciālajā sistēmā.

Pierādījums. Visiem  un  piemīt punkts , tāda kas .

Tātad pie visiem  un  būs patiesā vineādība kur .

Analoģiski pierādās arī monotonitātes kritērijs priekš diferenciālām funkcijām. Diferencējama funkcija  pieaug/dilst nogrieznī  tikai tad, kad tās  atvasinājums uz tā nogriežņa nav ne negatīvs/ne pozitīvs.

 No Teilora formulas ar atlikuma locekli, kad  iegūstam Lagranža formulu par galīgo pieaugumu. 

 Ja funkcija ar  mainīgiem  divreiz deferencējama punkta o apgabalā, tad šajā punktā ir patiesa vienādība:

Pierādījums priekš . Piefiksēsim vienību  un  un aplūkosim dažveidīgus operātorus:

  un 

Pēc Lagrandža teorēmas eksistē skaitļi 0, tādi ka:  

Pie  nepārtrauktības spēkā otro funkciju atvasinājumu .

Analoģiski pierādās, ka .

Bet tā kā , tad tās robežas sakrīt.

Atsauces 

Matemātikas teorēmas