Kvalitātes faktors Q

Kvalitātes faktors Q (kādreiz saukts arī par rezonatora labumu) tiek lietots fizikā un inženierzinātnēs. Tas ir bezdimensionāls parametrs, kas apraksta to, cik vāji rimst oscilators vai rezonators. To definē kā sākotnējās rezonatorā uzglabātās enerģijas un oscilāciju ciklā viena radiāna laikā zaudētās enerģijas attiecību. Cita definīcija kvalitātes faktoru apraksta kā rezonatora centrālās frekvences un joslas platuma attiecību, kad rezonators pakļauts oscilējošam spēkam. Šīs definīcijas sniedz skaitliski līdzīgus, bet ne identiskus rezultātus. Augsts kvalitātes faktors nozīmē to, ka enerģija tiek zaudēta lēnāk, tātad oscilācijas rimst lēnāk. Piemēram, svārstam, kas piekārts kvalitatīvam gultnim, ir augsts Q, bet svārstam, kas iemērkts eļļā – zems. Rezonatori ar augstu Q rimst lēnāk, tie turpina vibrēt ilgāk.

Ievads 
Kvalitātes faktors Q jeb labums ir parametrs, kas apraksta vāji rimstoša harmoniska oscilatora (rezonatora) rezonanses uzvedību. Sinusoidāliem rezonatoriem ir augstāks kvalitātes faktors, tie rezonē ar lielāku amplitūdu (pie rezonanses frekvences), bet ap rezonanses frekvenci tiem apkārt ir mazāks frekvenču apgabals, pie kurām tie vēl rezonē. Šo frekvenču apgabalu, pie kura oscilators rezonē, sauc par joslas platumu. Tas nozīmē, ka augsta kvalitātes faktora shēmu radio saņēmējā ir grūtāk noregulēt, bet tai ir lielāka selektivitāte. Šāda shēma labi izfiltrē signālus no citām stacijām, kas spektrā atrodas tuvu. Augsta kvalitātes faktora oscilatori oscilē pie mazāka frekvenču apgabala un ir stabilāki.

Oscilatoru kvalitātes faktors ievērojami mainās atkarībā no sistēmas un to ražošanas. Sistēmām, kurās rimšana ir svarīga (piemēram, sistēmas, kas neļauj aizcirsties durvīm), kvalitātes faktors ir aptuveni 0,5. Pulksteņiem, lāzeriem un citām rezonanses sistēmām, kurām vajadzīga vai nu spēcīga rezonanse, vai augsta frekvenču stabilitāte, ir augsts kvalitātes faktors. Toņdakšām kvalitātes faktors ir aptuveni 1000. Rezonatoru, ko izmanto paātrinātājos, un dažos lāzeru veidos, kvalitātes faktors var sasniegt 1011   un vairāk.

Fiziķi un inženieri lieto arī citus lielumus, lai aprakstītu oscilatora rimšanu. Piemēram: rimšanas ātrums, relatīvais joslas platums, līnijas platums un joslas platums, kas mērīts oktāvās.

Kvalitātes faktora ideja ir dzimusi Western Electric Company K. S. Džonsona vadībā inženierijas departamentā, novērtējot spoļu (induktoru) kvalitāti. Angliski tiek lietots termins "Q factor". Burts “Q” sākotnēji izvēlēts, jo tajā laikā citi alfabēta burti jau bijuši aizņemti. Nebija domāts, ka “Q” apzīmēs “quality” (kvalitāte) vai “quality factor”, taču šie termini tagad tiek asociēti ar Q.

Definīcija 
Kvalitātes faktora definīcija kopš 1914. g., kad termins tika lietots pirmo reizi, ir vispārināta, un ar to var aprakstīt spoles, kondensatorus, rezonējošas shēmas, rezonanses iekārtas, rezonanses pārraides līnijas, dobuma rezonatorus, materiāla kvalitātes faktoru un spektrālās līnijas.

Rezonanses iekārtas 
Ar rezonatoriem tiek saistītas divas kvalitātes faktora definīcijās, kuras nav precīzi vienādas. Jo kvalitātes faktors ir augstāks, jo tuvākas kļūst šīs definīcijas: rezonators kļūst mazāk rimstošs. Viena no definīcijām ir rezonatora frekvences un joslas platuma attiecība:

,

kur fr ir rezonanses frekvence, Δf ir rezonanses platums jeb pilnais platums pie pusintensitātes (FWHM), tas ir, joslas platums, pie kura vibrāciju jauda/intensitāte ir uz pusi mazāka nekā rezonanses frekvences jauda, ωr = 2πfr ir leņķiskā rezonanses frekvence un Δω ir leņķiskais pusjaudas joslas platums.

Spoles un kondensatori 
Vēl viena izplatīta definīcija, kas dod līdzīgu rezultātu, ir oscilējošajā rezonatorā uzglabātās enerģijas un oscilāciju cikla rimšanas procesā zaudētās enerģijas attiecība:

,

kur E(uzgl.) ir uzglabātā enerģija. E(izkl.) ir ciklā izkliedētā enerģija, P(zud.) ir jaudas zudumi.

2π faktors kvalitātes faktoru padara izsakāmu vienkāršāk, iesaistot 2. kārtas diferenciālvienādojuma koeficientus, kas apraksta lielāko daļu rezonanses sistēmas – elektriskas vai mehāniskas. Elektriskās sistēmās uzglabātā enerģija ir enerģijas summa, kas uzglabāta bezzuduma induktoros un kondensatoros; zaudētā enerģija ir izkliedētās enerģijas summa rezistoros vienā ciklā. Mehāniskās sistēmās uzglabātā enerģija ir maksimālā iespējamā uzglabātā enerģija jeb kopējā enerģija, tas ir, potenciālās un kinētiskās enerģijas summa kādā laika brīdī; zaudētā enerģija ir darbs, ko padara kāds ārējs saglabāšanās spēks vienā ciklā, lai saglabātu amplitūdu.

Vispārīgāka un reaktīvo komponenšu specifikāciju (īpaši induktoru) raksturojoša definīcija ir no frekvences atkarīga:

kur ω ir leņķiskā frekvence, pie kuras tiek mērīta maksimālā uzglabātā enerģija un jaudas zudumi.

Kvalitātes faktors un rimšana 
Kvalitātes faktors vienkāršu rimstošu oscilatora apraksta kvalitatīvi. Matemātisku aprakstu šīm sistēmām sniedz harmoniskais oscilators un LTI (linear time invariant) sistēma.

 Sistēmu ar zemu kvalitātes faktoru (Q < 0,5) sauc par virsvājinātu (overdamed). Šāda sistēma neoscilē, bet, kad tā tiek izkustināta no nekustīgā līdzsvara stāvokļa, tā atgriežas šajā stāvoklī ar eksponenciālu rimšanu, tuvojoties nekustīgajam stāvoklim asimptotiski.
 Sistēmu ar augstu kvalitātes faktoru (Q > 0,5) sauc par vāji rimstošu. Šāda sistēma apvieno oscilācijas kādā noteiktā frekvencē un signāla amplitūdas samazināšanos. Ar Q tikai nedaudz virs 0,5, sistēma oscilē vienu vai dažas reizes pirms apstājas. Pieaugot Q, rimšanas relatīvais daudzums samazinās. Augstas kvalitātes zvans zvana ar vienu tīru toni ļoti ilgu laiku pēc tā nospiešanas. Tīras oscilējošas sistēmas, piemēram, kad zvans nebeidz zvanīt, Q ir bezgalīgi liels.
 Sistēmu ar vidēju kvalitātes faktoru (Q = 0,5) sauc par kritiski rimstošu. Šāda sistēma nodrošina visātrāko atbildes laiku, kāds iespējams bez pārsnieguma.

Fizikālā interpretācija 
Kvalitātes faktora aptuvena fizikālā interpretācija ir uzglabātās enerģijas un oscilācijas ciklā viena radiāna laikā izkliedētās enerģijas attiecība. Līdzvērtīgi, pie pietiekami augsta Q, tas ir 2π reizināts ar vienā ciklā kopīgo uzglabātās enerģijas un zaudētās enerģijas attiecību.

Q ir bezdimensionāls parametrs, kas salīdzina oscilējošas fiziskas sistēmas amplitūdas eksponenciālo rimšanas laika konstanti tau ar tās oscilāciju periodu. Līdzīgi var teikt, ka tiek salīdzināta frekvence, kurā sistēma oscilē, ar ātrumu, ar kuru sistēma enerģiju iekliedē. Precīzāk – izmantotajai frekvencei un periodam būtu jābalstās uz sistēmas dabīgo frekvenci, kas pie zemām Q vērtībām ir nedaudz augstāka, nekā oscilāciju frekvence, kas tiek izmērīta pie nulles pārejas.

Pie lielām Q vērtībām kvalitātes faktors aptuveni ir oscilāciju skaits, kas brīvi oscilējošas sistēmas enerģijai nepieciešams, lai nokristos uz e-2π vai uz aptuveni 1/535 jeb 0,2 % no sākotnējās enerģijas. Tas nozīmē, ka amplitūda nokrītas uz aptuveni e-π jeb 4 % no sākotnējās amplitūdas.

Rezonanses platums (joslas platums) tiek definēts kā:

,

kur fN ir dabīgā frekvence, Δf (joslas platums) ir frekvenču apgabala platums, pie kura enerģijas vērtība ir puse no maksimālās.

Rezonanses frekvenci bieži izsaka dabīgajās vienībās (radiāni uz sekundi), nevis fN, kas ir hercos:

.

Q, rimšanas ātrums ζ, dabīgā frekvence ωN, rimšanas ātrums α un eksponenciālā laika konstante τ savā starpā ir saistīti:

,

un rimšanas ātrumu var izteikt kā:

.

Oscilāciju pakete samazinās proporcionāli e-αt vai e-t/τ, kur α un τ var izteikt kā:

un

.

Oscilāciju enerģija vai jaudas zudumi samazinās divreiz ātrāk, tas ir, kā amplitūdas kvadrāts e-2αt vai e-2t/τ.

Elektriskas sistēmas 

Elektriskās rezonanses sistēmās kvalitātes faktors reprezentē elektriskās pretestības efektu. Elektromehāniskiem rezonatoriem, piemēram, kvarca kristāliem, Q reprezentē mehānisko berzi.

Mehāniskas sistēmas 
Vienai rimstošai masas-atsperes sistēmai kvalitātes faktors ir vienkāršots viskozās rimšanas jeb pretestības efekts, kur rimšanas spēks jeb pretestības spēks ir proporcionāls ātrumam. Kvalitātes faktora formula ir:

,

kur M ir masa, k ir atsperes konstante, D ir rimšanas koeficients, ko definē vienādojums Frimšanas = - Dv, kur v ir ātrums.

Akustiskas sistēmas 
Mūzikas instrumentiem kvalitātes faktors ir ļoti svarīgs. Pārmērīgi augsts Q rezonatorā nespēs vienmērīgi pastiprināt dažādās frekvences, ko instruments veido. Tāpēc stīgu instrumentiem ir sarežģītas formas – tas ļauj veidot plašu frekvenču apgabalu salīdzinoši vienmērīgi.

Metāla instrumentu un pūšaminstrumentu Q jābūt pietiekami augstam, lai tie spētu izvilkt vienu frekvenci no lūpu vibrēšanas plašā spektra. Pārmērīgi augsts Q var apgrūtināt pareizās nots atrašanu. Instrumentos Q var variēt pie dažādām frekvencēm, taču tas nav vēlams.

Helmholca rezonatoriem ir ļoti augsts Q, jo tie ir veidoti, lai spētu atlasīt ļoti šauru frekvenču apgabalu.

Optiskas sistēmas 
Ar optiskām sistēmām šajā gadījumā saprot dažādus optiskos rezonatorus. Q apraksta rezonatora spēju uzglabāt enerģiju kādā noteiktā frekvencē. Optiskajās sistēmās Q ir vairākas fizikālas interpretācijas. Viena no tām: Q ir kopējā rezonatorā esošo modu enerģija, dalīta ar jaudu, kas jāpievada rezonatoram vienas apriņķošanas laikā, lai saglabātu līdzsvaru (jo lielāks Q faktors, jo lielāka ir modu intensitāte pie vienādas pievades jaudas). To var aprēķināt:

,

kur ω ir leņķiskā frekvence (2πfr, kur fr – rezonanses frekvence), E(uzgl.) ir enerģija, kas uzglabāta rezonatorā, P(zud.) ir jaudas zudumi rezonatorā vienas apriņķošanas laikā.

Cita interpretācija Q raksturo kā dabisko uzglabātās enerģijas rimšanas laiku (jo lielāks Q faktors, jo ilgāk tiek uzglabāta):

,

kur τ ir fotona dzīves laiks rezonatorā.

Taču eksperimentāli kvalitātes faktoru visbiežāk nosaka, izmantojot rezonanses pīķa attiecību pret tās līnijas platumu pie pusintensitātes:

,

kur ΔωFWHM = τ-1 ir līnijas platums (FWHM – full-width-at-half-maximum), λ ir rezonanses viļņa garums, Δλ ir rezonanses līnijas platums.

Rezonatori ar Q faktoru 103 līdz 106 ir ar augstu Q faktoru, ar 107 un augstāku – ultra-augsts Q faktors.

Kopējais Q faktors veidojas no dažādu veidu zudumiem:

,

Q(mat.) – materiāla zudumi, kas rodas dielektriskā materiāla, no kura pagatavots rezonators, absorbcijas un izkliedes dēļ. Q(virsm.) – virsmas izkliede, kas rodas virsmas negludumu dēļ. Q(star.) – starojuma zudumi, kas rodas rezonatora liektās virsmas dēļ. Q(sav.) – savienojuma zudumi, kas rodas, ja rezonatorā gaisma ievadīta ar kādu starpelementu.

Rezonatori, kas izceļas ar ultra-augstiem kvalitātes faktoriem, ir čukstošās galerijas modu rezonatori. Tajos gaisma riņķo pa rezonatora perimetru pilnīgas iekšējās atstarošanās dēļ. Visvienkāršākās formas rezonatori ir sfēriski, taču, eksperimentējot ar formām, ir iespējams ievērojami uzlabot Q faktoru. Šādus rezonatorus to augstā Q dēļ var izmantot kā sensorus, frekvenču ķemmes u. c.

Atsauču saraksts

Ārējās saites 

Elektronika
Elektrotehnika
Svārstības