Homogēns diferenciālvienādojums

Diferenciālvienādojums var būt homogēns kādā no diviem gadījumiem: 1) diferenciālā formā dota pirmās pakāpes diferenciālvienādojuma saskaitāmo koeficienti  ir homogēnas mainīgo funkcijas; 2) jebkuras kārtas lineāra diferenciālvienādojuma gadījumā nav konstanta saskaitāmā.

Pirmās pakāpes homogēns diferenciālvienādojums 
Vienkāršs pirmās pakāpes diferenciālvienādojums formā:

 

ir homogēns, ja gan M(x, y), gan N(x, y) ir homogēnas funkcijas kopīgai pakāpei n. Jeb, reizinot katru mainīgo ar  , mēs iegūstam

  un 

Tātad

Risināšanas metode 
Attiecībā   ,mēs varam ievietot    lai vienkāršotu šo attiecību par funkciju  no viena mainīgā  :

 

Ieviešam jaunu mainīgo ; to diferencējam, izmantojot reizināšanas likumu:

 

Tādējādi pārveidojot doto diferenciālvienādojumu par diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem:
 
Šādā formā diferenciālvienādojums var tikt tieši integrēts un tādējādi atrisināts.

Šī piemēra vienādības nevajag izmantot kā formulas atrisinājuma iegūšanai, tās ir šeit pieminētas tikai atrisinājuma gaitas demonstrēšanai.

Speciālgadījums 

Pirmās pakāpes diferenciālvienādojums formā (a, b, c, e, f, g ir konstantes)
 ,
 kur af ≠ be, var tikt pārveidots par homogēnu, izmantojot lineāru mainīgo transformāciju abiem mainīgajiem ( un  ir konstantes):

Lineāri homogēni diferenciālvienādojumi 

Definīcija.  Lineāru diferenciālvienādojumu sauc par homogēnu, ja izpildās sekojošs nosacījums: ja   ir atrisinājums, tad arī  ir atrisinājums, kur  - nenulles konstante. Jāpievērš uzmanība tam, ka, lai izpildītos šis nosacījums,  lineārā atkarīgā mainīgā y diferenciālvienādojumā katram saskaitāmajam jāsatur vai nu y, vai y atvasinājums. Lineārs diferenciālvienādojums, kuram šis nosacījums neizpildās, tiek saukts par nehomogēnu.

Lineārs diferenciālvienādojums var būt pasniegts kā lineārs operators, kurš balstās uz y(x), kur parasti x ir neatkarīgais mainīgais un y - atkarīgais. Tātad vispārīgā veidā lineārs homogēns diferenciālvienādojums ir:

kur L ir diferenciāloperators, atvasinājumu summa (definējot "0. atvasinājumu" kā sākotnējo, neatvasināto funkciju), katru reizinot ar funkciju    no x:

 
kur    var būt konstantes, taču visi    vienlaicīgi nevar būt nulles.

Piemēram, šis diferenciālvienādojums ir homogēns:

 

Taču šie divi ir nehomogēni:

 
 
Jāpiemin, ka konstanta saskaitāmā eksistence ir pietiekamais nosacījums, lai vienādība būtu nehomogēna, kā tas parādīts pēdējā piemērā.

Piezīmes

Atsauces 
 . (This is a good introductory reference on differential equations.)
 . (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)

Ārējās saites 
 Homogeneous differential equations at MathWorld
 Wikibooks: Ordinary Differential Equations/Substitution 1

Algebra
Vienādojumi