Gausa teorēma

Gausa teorēma elektriskajam laukam: ja lādiņu sistēmu (kopu) aptver iedomāta, patvaļīga, slēgta, viensakarīga virsma , tad elektriskā lauka intensitātes plūsma  caur šo virsmu ir proporcionāla pilnajam elektriskajam lādiņam  virsmas ierobežotajā tilpumā.

Nosaukums 
Teorēmas nosaukums nenozīmē, ka tā ir kādas žiperīgas teorēmas pretstats. Tā nodēvēta Kārļa Gausa vārdā, kurš to atklāja 40 gadus pēc tam, kad to 1773. gadā atklāja Lagranžs, kurš tiek uzskatīts par pirmo teorēmas atklājēju.

Skalārā forma 

 
 kur
  - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)
  - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
  8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmu viegli pārbaudīt punktveida lādiņa laukam, ja lādiņu aptver ar sfēriski simetrisku virsmu. Elektriskā lauka intensitāte  visos sfēras virsmas punktos ir konstanta un vektors vērsts perpendikulāri virsmai. Tādēļ intensitātes plūsma caur sfēras virsmu ir šāda:

 
 kur
  - sfēras virsmas laukums m2

Tā kā

 
 
un
 
tad

Vektoriālā forma 

 
 kur
  - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)
  - elektriskā lauka intensitāte (N/C)
  - virsmas vektors (m2)
  - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
  8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmas pierādījums 

 Gausa teorēmu var pamatot, lietojot elektrisko lauku superpozīcijas principu.
 Punktveida lādiņam  pierādījums izriet no Kulona likuma. Elektriskā lauka intensitāte uz virsmas ir
 
Savukārt
 
 kur  - virsmas normāle.

Tādēļ lauka elementārplūsma caur virsmas elementu  ir 
 

 
  - virsmas elementa projekcija uz sfēras virsmu, kuras rādiuss ir 
  - leņķis starp intensitātes vektoru  un normāles vektoru 

Līdz ar to formula

 

pārvēršas šādi:

 

 var izteikt vēl ar telpas leņķa elementu, tas ir:

 
  - telpas leņķa elements

Līdz ar to var iegūt, ka

 

Lai iegūtu punktveida lādiņa elektriskā lauka intensitātes plūsmu, šī izteiksme ir jāintegrē caur virsmu , tas ir:

 
  sr

Gausa teorēmas secinājumi 
 Plūsma nav atkarīga no virsmas izvēles.
 Ja virsmas ierobežotajā tilpumā atrodas patvaļīga lādiņu  kopa, tad, piemērojot Gausa teorēmu katram lādiņam , pēc superpozīcijas principa iegūstam integrālo teorēmu , kurā

Atsauces 

Elektriskais lauks