Kosinusu teorēma

Kosinusu teorēma trigonometrijā ir teorēma, kas apgalvo, ka trijstūrī jebkuras malas kvadrāts ir izsakāms ar divu pārējo malu kvadrātu summu, no kuras atņemts šo malu divkāršais reizinājums ar ietvertā leņķa (izsakāmās malas pretējais leņķis) kosinusu. Matemātiski tas pierakstāms šādi:

,

kur  ir leņķis starp a un b malām.

No kosinusu teorēmas var tikt iegūta Pitagora teorēma, kas ir pareiza taisniem leņķiem: ja leņķis  ir 90° liels, tad  un kosinusu teorēma reducējas uz Pitagora teorēmu:

Parasti kosinusu teorēmu izmanto, ja ir zināmi trijstūra visu trīs malu garumi vai arī, ja ir zināmi divu malu garumi un leņķis starp tām.

Mainot malu a, b un c lomas oriģinālajā formulā, var tikt iegūtas šādas formulas:

Teorēmu rietumu pasaulē 16. gadsimtā popularizējis Fransuā Vjets.

Pierādījumi

Pierādījums dažādmalu šaurleņķu trijstūriem 
Pierādījums trijstūriem, kuriem visi leņķi mazāki vai vienādi par 

 Pēc kosinusa definīcijas  jeb 
 Noņemot šo no malas  iegūst 
 Pēc sinusa definīcijas  jeb 
 Izmantojot Pitagora teorēmu, trijstūrī  
 Ievietojot  un , iegūst 
 Atverot iekavas, 
 Pārkārtojot izteiksmi, 
 Izvelkot  pirms iekavām, 
 Pēc trigonometriskās pamatidentitātes , tādēļ izteiksme vienkāršojas

Pierādījums dažādmalu platleņķa trijstūriem 
Nepieciešams nedaudz citādāks pierādījums trijstūriem, kuriem viens leņķis ir lielāks par , jo divi augstumi ir ārpus trijstūra, līdz ar to nepieciešams papildināt zīmējumu.

 Pēc sinusa definīcijas,  jeb 
 Pēc kosinusa definīcijas  jeb 
 Noņemot b no abām pusēm, iegūst 
 Izmantojot Pitagora teorēmu, trijstūrī  
 Ievietojot  un  iegūst 
 Atverot iekavas iegūst 
 Izvelkot  pirms iekavām, 
 Pēc trigonometriskās pamatidentitātes , tādēļ izteiksme vienkāršojas 

Novelkot citu augstumu un atkārtojot šo procesu, var pierādīt kosinusu teorēmu pārējām malām.

Skatīt arī 
 Sinusu teorēma

Ārējās saites 
 Encyclopedia of Mathematics ieraksts 
 Uzdevumi.lv ieraksts

Atsauces 
Ģeometrija