Kāpināšana

Kāpināšana ir matemātiska operācija, kas atbilst lieluma atkārtotai reizināšanai ar sevi. Kāpināšanu parasti pieraksta kā an, kur a ir kāpināmais, n ir kāpinātājs, bet iegūtais rezultāts — pakāpe. Izteiksmi an lasa kā "a pakāpē n".

Pakāpes ar veselu kāpinātāju

Pozitīvs kāpinātājs 
Ja kāpinātājs n ir naturāls skaitlis (vesels, pozitīvs skaitlis), tad izteiksme an atbilst skaitļa a atkārtotai reizināšanai ar sevi n reižu:

Tas ir analoģiski tam, kā reizinājums a·n atbilst skaitļa a saskaitīšanai ar sevi n reižu:

Mazām pakāpēm n ir atvēlēti īpaši nosaukumi:
 Ja n = 2, tad izteiksmi a2 = a·a sauc par lieluma  kvadrātu, jo pēc šādas formulas aprēķina kvadrāta laukumu;
 Ja n = 3, tad izteiksmi a3 = a·a·a sauc par lieluma a kubu, jo pēc šādas formulas aprēķina kuba tilpumu.

Negatīvs kāpinātājs 
Kāpinot doto lielumu pakāpē −1, iegūst tā apgriezto lielumu:

Vispārīgā gadījumā, lai aprēķinātu dotā lieluma negatīvu pakāpi, skaitli 1 dala ar atbilstošu lieluma pozitīvo pakāpi:

Kāpinātāji 0 un 1 
Lieluma a kāpināšana pakāpē 1 atbilst reizinājumam, kurā a ietilpst tieši vienu reizi, tāpēc rezultāts ir vienāds ar a:

Ja jebkuru skaitli, kas atšķirīgs no nulles, kāpina pakāpē 0, tad iegūst skaitli 1:

Savukārt nulli nulltajā pakāpē nevar kāpināt (izteiksme 00 ir nenoteiktība).

Pakāpes ar daļveida kāpinātāju 
Kāpinātājs var būt arī racionāls skaitlis, piemēram, izteiksmi

sauc par kvadrātsakni no a. Kāpināšana pakāpē 1/n, kur n ir naturāls skaitlis, atbilst n-tās pakāpes saknes vilkšanai:

Vispārīgā gadījumā, ja pozitīvu skaitli a kāpina racionālā pakāpē m/n, kur m ir vesels skaitlis un n ir vesels, pozitīvs skaitlis, tad iegūst

Ja a ir negatīvs, tad šo formulu var lietot tikai tad, ja m ir pāra skaitlis.

Pakāpju īpašības 
Reizinot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju summu:

Līdzīgā kārtā, dalot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju starpību:

Kāpināšana ir distributīva pār reizināšanu:

Atkārtotu kāpināšanu var aizstāt ar kāpināšanu pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju reizinājumu:

taču kāpināšana nav asociatīva:

Apgrieztā darbība 
Tāpat kā saskaitīšanai pretējā darbība ir atņemšana un reizināšanai pretējā darbība ir dalīšana, kāpināšanai pretējā darbība ir logaritmēšana (ja grib atgūt kāpinātāju) un saknes vilkšana (ja grib atgūt kāpināmo).

Kāpināšanas tabula

Skatīt arī 
 Kvadrātsakne
 Kubsakne
 Logaritms
 Polinoms
 Saknes vilkšana

Ārējās saites 
 Eric W. Weisstein, Exponentiation, MathWorld.
 Exponential , PlanetMath.
 Eric W. Weisstein, Complex Exponentiation, MathWorld.
 Introducing 0th power , PlanetMath.
 Exponentiation, answermath.com.
 Exponents Calculator (pakāpju kalkulators).

Algebra
Elementārās funkcijas