Sfēra

Sfēra ģeometrijā ir punktu kopa, kas definēta kā trīs dimensiju Eiklīda telpas apakškopa, sastāvoša no visiem punktiem, kuri atrodas vienā un tajā pašā attālumā no kāda fiksēta punkta Eiklīda telpā. Šo attālumu sauc par sfēras rādiusu, bet fiksēto punktu — par sfēras centru. Sfēra nesatur tos punktus, kas atrodas tās iekšpusē. Tas ir, sfērai nav tilpuma, jo sfēra ir divdimensionāla virsma, kas atrodas trīs dimensiju telpā.

Ikdienā vārdus “sfēra”, “lode” un “bumba” lieto kā sinonīmus, lai apzīmētu apaļu priekšmetu. Matemātikā “sfēra” un “lode” ir formāli jēdzieni, kas apzīmē dažādas lietas. Sfēra ir lodes virsma, lode satur arī tos punktus, kas atrodas tās iekšpusē. Tāpēc lodei, kā trīs dimensiju telpas daļai, ir tilpums un sfērai, kā divu dimensiju objektam, ir laukums.

Lai iegaumētu šo atšķirību, visvienkāršāk ir atcerēties, ka sfēra ir lodes virsma. Var arī izmantot mnemoniku lielgabala lode un debesu sfēra.

Sfēras vienādojums

Dekarta koordinātu sistēmā 

Dekarta koordinātu sistēmā sfēru, kas ir lodes virsma, apraksta vienādojums

kur x0, y0, z0 ir sfēras centra koordinātas un r > 0 ir tās rādiuss. Sfēru ar rādiusu 1 sauc par vienības sfēru. Bieži vien papildus pieņem, ka tās centrs atrodas koordinātu sākumpunktā (x0 = y0 = z0 = 0).

Jebkuri četri punkti, kas neatrodas vienā plaknē, viennozīmīgi nosaka sfēru. Ja šo punktu koordinātas ir (xi, yi, zi), 1 ≤ i ≤ 4, tad caur tiem novilktās sfēras vienādojumu var atrast ar šāda determinanta palīdzību:

Sfēriskajā koordinātu sistēmā 

Sfēriskajā koordinātu sistēmā lodes virsmu apraksta vienādojumi

kur parametri θ un φ atbilst attiecīgi platuma un garuma grādiem un tie apmierina nevienādības
 un ,
kur  = 180°.

Sfēras laukums un lodes tilpums

Virsmas laukuma elements 

Lai atrastu izteiksmi sfēras virsmas laukuma elementam, ir jāizrēķina determinants no Jakobi matricas:

Tātad sfēras virsmas laukuma elements sfēriskajās koordinātēs ir

Virsmas laukums 

Virsmas laukumu sfērai ar rādiusu r var atrast ar integrāļa palīdzību:

Lodes tilpums 

Tilpums lodei ar rādiusu r ir

Sfēriskā ģeometrija 

Sfēriskā ģeometrija ir ģeometrija uz sfēras virsmas. Galvenie jēdzieni sfēriskajā ģeometrijā ir lielais riņķis, lielā riņķa loks, sfēriskais trīsstūris un antipodālu punktu pāris.

Sfēras vispārinājums n dimensijās 

Sfēru n > 3 dimensijās sauc arī par hipersfēru. Tāpat kā trīs dimensijās, arī n dimensijās (jebkuram n ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa, kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra.

Skatīt arī 

 Sfēriskā ģeometrija
 Hipersfēra
 Lode
 Banaha-Tarska paradokss
 Smeila paradokss
 Puankarē hipotēze
 Aleksandra "ragainā sfēra"

Atsauces

Ārējās saites 

 
 Sphere , PlanetMath.
 

Video:

  Datoranimācija, kurā tiek izskaidrots, kā sfēras iekšpusi var “izgriezt uz āru”.
 The Alexander Sphere, YouTube.

Ģeometrija