Determinants

Lineārajā algebrā determinants ir lielums, ko var piekārtot jebkurai kvadrātveida matricai. Matricas A determinantu parasti apzīmē ar det(A) vai |A| un to var izteikt kā polinomu no matricas A elementiem.

Definīcija

Aksiomātiska definīcija 

Determinants ir definēts jebkurai kvadrātveida matricai pār komutatīvu gredzenu R (piemēram, veseli, reāli vai kompleksi skaitļi). Funkciju ƒ: Rn×n → R, kas n×n matricām pār gredzenu R piekārto elementus no R, sauc par determinantu, ja tai izpildās šādas trīs īpašības:
 ƒ(I) = 1, kur I ir n×n vienības matrica (šeit 1 apzīmē gredzena R vienības elementu),
 funkcija ƒ ir lineāra attiecībā pret matricas rindiņām (skatīt zemāk),
 ƒ(A) = 0, ja jebkuras divas matricas A rindiņas ir vienādas (šeit 0 apzīmē gredzena R nulles elementu).
Var pierādīt, ka eksistē viena vienīga funkcija ƒ, kurai izpildās šīs trīs īpašības. Šo funkciju parasti apzīmē ar "det".

Linearitāte 

Ja A ir n×n matrica un ar ri apzīmē rindas vektoru, kas vienāds ar šīs matricas i-to rindiņu, tad matricu A var pierakstīt šādi:

Funkciju ƒ: Rn×n → R sauc par lineāru attiecībā pret matricas rindiņām, ja tai izpildās šāda īpašība:

kur α un β ir patvaļīgi gredzena R elementi un i ir vesels skaitlis no 1 līdz n.

Formula 2×2 matricām

Formula 3×3 matricām 

Piemēram, ja

tad

Lai aprēķinātu determinantu 3×3 matricai, var izmantot Sarusa metodi.

Formulas n×n matricām 

Determinantu n×n matricai

var izteikt kā polinomu no tās elementiem ai,j. Šo polinomu parasti apzīmē ar det(A) un tas satur n! saskaitāmos. Katrs no šiem saskaitāmajiem ir vai nu ar plus vai mīnus zīmi un sastāv no n matricas Aelementu reizinājuma (pa vienam no katras rindas un kolonnas). Šo polinomu var izteikt ar vairāku ekvivalentu formulu palīdzību.

Leibnica formula 

Bieži vien determinantu definē ar Leibnica formulas palīdzību:

Šajā formulā Sn apzīmē simetrisko grupu jeb kopu, kas sastāv no visām n elementu permutācijām, sgn(σ) ir permutācijas σ zīme, σ(i) ir skaitlis no 1 līdz n, uz kuru σ attēlo i.

Intuitīvi par permutāciju σ var domāt kā par virkni garumā n, kas satur skaitļus no 1 līdz n patvaļīgā secībā tā, ka katrs skaitlis parādās tieši vienu reizi; Sn ir kopa no visām šādām virknēm, σ(i) ir i-tais skaitlis virknē σ, bet zīme sgn(σ) ir vienāda ar +1 vai -1, atkarībā no tā vai virknē σ esošos skaitļus nepieciešams mainīt vietām pāra vai nepāra skaitu reižu, lai to sakārtotu augošā secībā.

Summa ar Levi-Čivita simbolu 

Leibnica formulā esošā summa ir pār visām virknēm σ garumā n, kurā katrs no skaitļiem no 1 līdz n parādās tieši vienu reizi. Šo summu var pārrakstīt tā, lai tajā parādītos visas iespējamās virknes garumā n (tā satur skaitļus no 1 līdz n un katrs no tiem drīkst parādīties patvaļīgi daudz reižu — sākot no nevienas, līdz pat n reizēm). Šī summa sastāv no nn saskaitāmajiem, taču lielākā daļa no tiem ir vienāda ar nulli:

Šajā formulā  ir Levi-Čivita simbols, kas ir vienāds ar 0, ja virkne i1i2…in nav permutācija, bet pretējā gadījumā ir vienāds ar šīs permutācijas zīmi.

Laplasa formula 

Ja A = (a1,1) ir 1×1 matrica, tad det(A) = a1,1. Lielākām matricām determinantu var aprēķināt rekursīvi ar Laplasa formulas palīdzību. Tā izsaka dotās matricas determinantu kā funkciju no mazāku apakšmatricu determinantiem. Šo procesu sauc par determinanta izvirzīšanu pēc attiecīgās rindiņas vai kolonnas:

Pirmajā izteiksmē indekss i ir fiksēts un tā atbilst izvirzījumam pēc i-tās rindiņas, bet otrajā izteiksmē indekss j ir fiksēts un tā atbilst izvirzījumam pēc j-tās kolonnas. Šajās formulās Mi,j apzīmē determinantu apakšmatricai, kas iegūta atmetot matricas A i-to rindiņu un j-to kolonnu (šos lielumus sauc par matricas A minoriem).

Determinanta ģeometriskā interpretācija 

Paralelograma laukums ir vienāds ar determinanta absolūto vērtību matricai, kas sastāv no paralelogramu veidojošajiem vektoriem.

Īpašības

Pielietojums

Skatīt arī 

 Permanents

Atsauces

Papildu literatūra 

Latviski:

Angliski:

 , Nodaļa VI, Determinants, 140. lpp.
 , Nodaļa VII, Determinants, 195. lpp.

Vāciski:

 , Nodaļa 1.3, Determinanten, 20. lpp.

Ārējās saites 

 

Matricu teorija
Lineārā algebra
Algebra