Elementi

"Elementi" (, Stoicheia) ir matemātikas un ģeometrijas traktāts, kas sastāv no 13 grāmatām, kuras sarakstīja sengrieķu matemātiķis Eiklīds Aleksandrijā apmēram 300. gadā p.m.ē.

Grāmatās ir definīcijas, postulāti (aksiomas), dažādas teorēmas un to pierādījumi. Tās aptver Eiklīda ģeometriju un elementārās skaitļu teorijas sengrieķu versiju. Darbā ir iekļauta arī algebras sistēma, kas kļuvusi pazīstama kā ģeometriskā algebra, ar ko pietiek daudzu algebras problēmu atrisināšanā, piemēram, kvadrātsaknes no skaitļa izvilkšanā.

Eiklīda "Elementi" tiek uzskatīta par visu laiku veiksmīgāko un ietekmīgāko mācību grāmatu. Tas bija viens no pirmajiem matemātikas darbiem, kas tika iespiests pēc iespiedmašīnas izgudrošanas.

Iedalījums 
“Elementi” sastāv no 13 grāmatām, kurās pētītas plaknes ģeometriskās figūras un aplūkota mācība par veseliem, pozitīviem skaitļiem un to daļām. Tika aplūkoti arī nesamērojami ģeometriski lielumi, virsmu savstarpējais novietojums un ķermeņu tilpuma aprēķināšana.

Darbā “Elementi” sastopami darbi no daudziem ievērojamiem matemātiķiem, kā – Pitagors, Hipokrats, Eudokss utt.. Tajā ir aprakstīta un izmantota Pitagora teorēma, Eiklīda algoritms, attiecību teorija, izsmelšanas metode u.c.

Pirmajā grāmatā tiek definēti visi jēdzieni, kuri tiks izmantoti visā darbā (punkts, taisne, plakne), kā arī tajā ir aprakstītas nepieciešamās aksiomas. Pēc tam Eiklīds ir formulējis 5 postulātus. Tālāk pirmajā grāmatā tiek aprakstītas teorēmas par kongruenci, paralēlām līnijām, perpendikuliem, vienādām figūrām, paralelogramiem. Pirmajā grāmatā pēdējās divas teorēmas ir Pitagora teorēma un tai apgrieztā teorēma.

Otrajā grāmatā tiek aprakstīta ģeometriskā algebra

Trešā grāmata ir par riņķa līniju, tās lielumiem, leņķiem, pieskarēm utt.

Ceturtajā grāmatā tiek definētas un aplūkotas riņķa līnijā ievilktas un ap riņķa līniju apvilktas figūras

Piektā grāmata aplūko attiecību teoriju starp nogriežņiem, kuru izstrādāja grieķu matemātiķis Eudokss

Sestajā grāmatā tiek izmantota iepriekš aplūkotā attiecību teorija un tiek aprakstītas līdzīgas figūras

Septītā , astotā un devītā grāmata ir par skaitļu teoriju.

Septītajā grāmatā Eiklīds ir aprakstījis Eiklīda algoritms, kurš ļauj atrast divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju

Astotajā grāmatā – ģeometriskā progresija

Devītajā grāmatā tiek aplūkoti pirmskaitļi, tiek aplūkots skaitļa faktoriāls

Desmitā grāmata apraksta iracionalitāšu klasifikāciju

Vienpadsmitā grāmata, divpadsmitā un trīspadsmitā grāmata ir par stereometriju

Vienpadsmitajā grāmatā, tāpat kā pirmajā grāmatā tiek definēti jēdzieni, kurus izmantos turpmāk.

Divpadsmitajā grāmatā tiek izmantota izsmelšanas metode, lai pierādītu telpisku figūru – konusa, cilindra, piramīdas un sfēras tilpumu formulas.

Trīspadsmitajā grāmatā tiek aplūkoti sfērā ievilkti regulāri daudzskaldņi, Šajā grāmatā Eiklīds arī ir teicis, ka ir iespējams konstruēt tikai piecus regulārus daudzskaldņus.

Postulāti 
Šī darba pirmajā grāmatā tiek formulēti pieci postulāti:

1.       No jebkura punkta līdz jebkuram punktam var novilkt taisni

2.       Ierobežotu taisni var nepārtraukti turpināt pa taisni

3.       No jebkura centra ar jebkuru atvērumu var novilkt riņķi

4.       Visi taisnie leņķi ir vienādi

5.       Ja taisne, krustojoties ar divām taisnēm, veido iekšējus vienpusleņķus, kuru summa mazāka par diviem taisniem leņķiem, tad neierobežoti turpinās, minētās divas taisnes krustojas tajā pusē, kurā šī leņķu summa ir mazāka par diviem taisnajiem leņķiem

Piektais postulāts tiek dēvēts arī par paralelitātes postulātu, taču daudzi matemātiķi līdz galam to nepieņem, jo atšķirībā no pārējiem postulātiem, tas nav tik pārliecinošs un tam nav tieša pierādījuma. Šie matemātiķi, kuri nepiekrīt piektajam postulātam bieži vien mēģinājuši pierādīt pretējo, no kā ir veidojusies jauna aksiomātiska teorija – neeiklīda ģeometrija, par kuras pamatlicēju tiek uzskatīts Nikolajs Lobačevskis.

Atsauces

Ārējās saites 
 Eiklīda "Elementi" 

Grāmatas
Matemātika