Kvadrātvienādojums

Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir

kur  ir nezināmais un  ≠ 0. Izteiksmi  sauc par kvadrāttrinomu. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).

Kvadrātvienādojuma saknes 

Kvadrātvienādojuma  saknes  un  var aprēķināt pēc formulas

jeb (izvērstā veidā)

Lietot var arī -

Kvadrātvienādojuma diskriminants 

Lielumu

sauc par kvadrātvienādojuma  diskriminantu. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:
 ja , tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
 ja , tad kvadrātvienādojumam ir divkārša sakne, kuru aprēķina pēc formulas ;
 ja , tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.

Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos 

Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma  saknes  un , tad attiecīgo kvadrāttrinomu  var sadalīt reizinātājos:

Vjeta teorēma 

Ja  un  ir kvadrātvienādojuma  saknes, tad to summa ir vienāda ar koeficientu , kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar :

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā , kur  ≠ 0, un  un  ir tā saknes, tad

Šo apgalvojumu sauc par Vjeta teorēmu, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.

Vjeta teorēmas pierādījums
Ja  un  ir kvadrātvienādojuma  saknes, tad ir spēkā vienādība

Atverot iekavas, iegūstam

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā , kur  ≠ 0, tad abas vienādojuma puses var izdalīt ar  un iegūt kvadrātvienādojumu

Šis kvadrātvienādojums ir formā  kur  un , tāpēc tam var pielietot augstāk aprakstīto vienkāršoto Vjeta teorēmas versiju. Rezultātā iegūst

kur  un  ir vienādojuma  saknes. Tā kā šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējajam vienādojumam, tad  un  ir arī vienādojuma  saknes.

Skatīt arī 

 Bikvadrātvienādojums
 Diskriminants
 Lineārs vienādojums
 Polinoms
 Vienādojums

Ārējās saites 

 Eric W. Weisstein, Quadratic Equation, MathWorld.
 Quadratic formula , PlanetMath.
 Quadratic equation in C , PlanetMath.
 Derivation of quadratic formula , PlanetMath.
 Alexander Bogomolny, Graph and Roots of Quadratic Polynomial, cut-the-knot.org.
 Chris Budd, Chris Sangwin, 101 uses of a quadratic equation , 101 uses of a quadratic equation: Part II , Plus, 2004.

Elementārā algebra
Vienādojumi
Raksti, kas satur pierādījumus