Maksvela vienādojumi

Fizikā Maksvela vienādojumi ir četru diferenciālvienādojumu sistēma, kas apraksta elektromagnētisko lauku vakuumā. Tie raksturo elektriskā un magnētiskā lauka savstarpējo mijiedarbību, kā arī to saistību ar elektrisko lādiņu un strāvas blīvumu. Šos vienādojumus 1861. gadā atklāja skotu fiziķis un matemātiķis Džeimss Maksvels.

Integrālie Maksvela vienādojumi 
Integrālie Maksvela vienādojumi ir elektromagnētiskā lauka teorijas postulāti.

  un 
 
  un 
 
Šiem integrālajiem vienādojumiem mēdz pievienot vēl arī elektriskā lādiņa nezūdamības likumu

Vienādojumu sistēmas pāri 
Vienādojumu sistēma sastāv no diviem vienādojumu pāriem. 
 Pirmais vienādojumu pāris (1. un 2.) ir homogēni vienādojumi vektoriem  un . Šie vienādojumi ir spēkā visiem elektromagnētiskajiem laukiem neatkarīgi no tā, kādi ir to avoti (t.i., lādiņi un strāvas)
 Otrs vienādojumu pāris (3. un 4.) ir nehomogēni vienādojumi: tie satur lauka avotus  un , kurus savstarpēji saista lādiņa nezūdamības likums (5.).

Maksvela vienādojumu fizikālais saturs 
 Pirmajā un trešajā vienādojumā  un  cirkulāciju aprēķina pa jebkuru patvaļīgu slēgtu kontūru , bet magnētiskās indukcijas plūsmu , elektriskās intensitātes plūsmu  un lādiņnesēju plūsmu  aprēķina pa atvērtu virsmu .
 Otrajā un ceturtajā vienādojumā ir aprēķināts magnētiskās indukcijas  un elektriskās intensitātes  plūsmas caur jebkuru slēgtu viensakarīgu virsmu , bet  ir pilnais elektriskais lādiņš virsmas  ierobežotajā tilpumā. (Šī virsma  tātad nav un nevar būt tā pati, kas pirmajā un trešajā vienādojumā!)

Maksvela vienādojumu empīriskie fakti vai likumsakarības 
Katrs no postulētajiem integrālajiem vienādojumiem atbilst konkrētam empīriskajam faktam vai likumsakarībai, kurus apstiprina eksperimenti.
 Pirmais vienādojums izsaka elektromagnētiskās indukcijas likumu.
 Otrais vienādojums izsaka apgalvojumu, ka magnētiskās indukcijas līnijas vienmēr ir noslēgtas.
 Trešais vienādojums saista magnētisko lauku ar tā iespējamiem avotiem - strāvu  un nobīdes strāvu .
 Ceturtais vienādojums ir Gausa teorēma elektriskajam laukam.

Maksvela diferenciālvienādojumi 
No Maksvela integrālajiem vienādojumiem, kuri ir spēkā galīgam tilpumam , virsmai  un kontūram  var iegūt atbilstošus diferenciālvienādojumus. Tie saista vektorus  un  katrā telpas punktā, jebkurā laika momentā un tāpēc ir noteiktā nozīmē vispārīgāki nekā integrālie vienādojumi.

Lai iegūtu Maksvela diferenciālvienādojumus

, integrālie vienādojumi jāpārveido tā, lai to abās pusēs būtu integrāļi pa vienu un to pašu apgabalu - virsmu vai tilpumu. Šādi pārveidotām zemintegrāļa izteiksmēm integrālo vienādojumu kreisajā un labajā pusē jābūt vienādām, jo integrēšanas apgabals ir patvaļīgs. Zemintegrāļu izteiksmju vienādības ir meklētie diferenciālvienādojumi. Integrālo vienādojumu pārveidošanai izmanto Stoksa un Ostrogradska - Gausa teorēmas.

Pirmais Maksvela diferenciālvienādojums 
Pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst no integrālā vienādojuma . Šeit plūsma  ir aprēķināta virsmai , kuru aptver noslēgts kontūrs . Vienādojuma kreiso pusi pārveido , izmantojot Stoksa teorēmu:  Labajā pusē mainam atvasināšanas un integrēšanas secību, . Šo pārveidojumu rezultātā iegūstam, ka 

Pielīdzinot zemintegrāļa izteiksmes vienu otrai, iegūst pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu

Otrais Maksvela diferenciālvienādojums 
Otrā Maksvela diferenciālvienādojuma uzrakstīšanai izmanto Ostrogradska - Gausa teorēmu integrālam vienādojumam , proti, nosacījumam, ka magnētiskā plūsma caur jebkuru noslēgtu virsmu  ir vienāda ar nulli. Patvaļīgam tilpumam  . No tā izriet otrais Maksvela diferenciālvienādojums

Trešais Maksvela diferenciālvienādojums 
Trešo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst analogi pirmā diferenciālvienādojuma pārveidošanai , kur strāva  un vektora  plūsma  ir saķēdēta ar kontūru , kas savukārt ietver virsmu . Izmantojot Stoksa teorēmu magnētiskās indukcijas cirkulācijai, . Lietojot strāvas tilpuma blīvuma formulu , strāvu var uzskatīt par lādiņnesēju plūsmu caur virsmu , kuras robežkontūrs . Mainot atvasināšanas un integrēšanas secību vienādojuma labās puses otrajā saskaitāmajā, var atrast, ka  un tātad iegūstam trešo Maksvela diferenciālvienādojumu

Ceturtais Maksvela diferenciālvienādojums 
Ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu uzraksta, izmantojot Gausa teorēmu . Noslēgtas virsmas  ierobežotā tilpumā  lādiņš  ( ir tilpuma lādiņa blīvums). Pārveidojot elektriskās intensitātes plūsmu pēc Ostrogradska-Gausa teorēmas, , varam uzrakstīt, ka .

Tātad, rezultātā iegūstam pēdējo, ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu:

Maksvela diferenciālvienādojumu interpretācija vektorlauka teorijas jēdzienos 
 Pirmais vienādojums elektriskā lauka intensitātes rotoram ir elektromagnētiskās indukcijas likums diferenciālā formā: laikā mainīgs magnētiskais lauks  inducē elektrisko virpuļlauku . Ja magnētiskā lauka nav vai arī ja tas ir stacionārs, tad  un elektriskais lauks ir potenciāls lauks. Potenciālu elektrisko lauku rada nekustīgi elektriskie lādiņi. Ja tie izvietoti tilpumā tā, ka to blīvums ir , elektriskā lauka intensitāti nosaka ceturtais Maksvela vienādojums, . Saskaņā ar šo vienādojumu intensitātes līnijas izplūst no telpas punktiem, kuros lādiņa blīvums ir pozitīvs (), bet ieplūst punktos, kuros tas ir negatīvs ().
 Otrais Maksvela vienādojums, , ir magnētiskā lauka solenoidalitātes nosacījums;  līnijas vienmēr ir noslēgtas: tām nav izteču un noteču.
 Trešais Maksvela vienādojums saista magnētisko lauku ar tā avotiem: 1) strāvu, kuras blīvums ir , un 2) laikā mainīga elektriskā lauka atvasinājumu .
 Ceturtā Maksvela vienādojumu interpretāciju skatīt pie pirmā Maksvela vienādojuma interpretācijas.

Maksvela vienādojumi koordinātās 
Maksvela vienādojumus var uzrakstīt arī koordinātās. Piemēram, Dekarta koordinātās iegūstam astoņus parciālos diferenciālvienādojumus trim elektriskās intensitātes koordinātām , ,  un trim magnētiskās indukcijas koordinātām , , :

Maksvela vienādojumi nav jebkuru elektromagnētisko procesu vienādojumi 
Maksvela vienādojumi ir elektromagnētiskā lauka dinamikas vienādojumi. Tomēr tie nav jebkuru elektromagnētisko vai elektrodinamisko procesu vienādojumi, un, piemēram, no tiem neizriet lauka avotu - lādiņu (vai, precīzāk sakot, lādiņnesēju) kustības likumi elektriskajā un magnētiskajā laukā. Tie jāformulē īpaši, iepriekš noskaidrojot, kādi ir spēki un momenti, kuri uz lādiņnesējiem un strāvas vadītājiem darbojas elektriskajā un magnētiskajā laukā.

Papildu literatūra 
 .
 .
 .

Ārējās saites 
 Eric W. Weisstein, Maxwell Equations, scienceworld.wolfram.com 
 Maxwell's Equations, Hyperphysics 

Speciālā relativitātes teorija
Elektrodinamika
Elektromagnētisms
Fizikas pamatvienādojumi