Sinusu teorēma

Sinusu teorēma trigonometrijā ir teorēma, kas apgalvo, ka trijstūrī malas ir proporcionālas pretleņķa sinusiem. Matemātiski tas pierakstāms šādi:

kur a, b un c ir trijstūra malu garumi, A, B un C ir malu pretējie leņķi, savukārt R ir ap trijstūri apvilktās riņķa līnijas rādiuss.

Parasti sinusu teorēmu izmanto, ja ir zināmi trijstūra divi leņķi un viena mala vai, ja zināmi divu malu garumi un kāds no pieleņķiem.

Pierādījumi

Pierādījums dažādmalu šaurleņķu trijstūriem 

Pierādījums trijstūriem, kuriem visi leņķi mazāki vai vienādi par 

 Uzzīmēt trijstūri ar augstumu  no virsotnes 
 No sinusa definīcijas:  un  jeb   un 
 Tā kā abas izteiksmes ir vienādas ar , tad  = 
 Izdalot abas puses ar  un  iegūst izteiksmi 

Novelkot citu augstumu un atkārtojot šo procesu var iegūt pilno sinusu teorēmu.

Pierādījums dažādmalu platleņķa trijstūriem 
Nepieciešams nedaudz savādāks pierādījums trijstūriem, kuriem viens leņķis ir lielāks par , jo divi augstumi ir ārpus trijstūra.

 Pēc iepriekš minētās metodes, novilkt augstumu no virsotnes no  un iegūt izteiksmi 
 Novilkt augstumu  no virsotnes . Lai to izdarītu, zīmējums ir jāpapildina
 Leņķi , jo tie ir blakusleņķi, tādēļ to sinusi ir vienādi
 Iegūstam izteiksmi  jeb 
 Lielajā trijstūrī  , jeb 
 Tā kā abas izteiksmes ir vienādas ar , tad   = 
 Izdalot abas puses ar  un  iegūst izteiksmi 
 Apvienojot izteiksmes iegūst

Pierādījums apvilktā riņķa diametra saistībai 

 Dots trijstūris  un apvilktā riņķa līnija. Uzzīmēt klāt trijstūri , lai tas šķērsotu apvilktā riņķa centru 
 Leņķis  ir  centra leņķis, tādēļ  = , jo tas ir ievilkts leņķis un balstās uz  loku 
  ir taisnleņķa trijstūris, tādēļ , kur  
 Leņķi  un  ir ievilkti leņķi un ietver to pašu loku , tādēļ  = 
 Sinuss pie tiem pašiem leņķiem ir vienāds, tādēļ 
 Pārkārtojot dotos iegūst izteiksmi 

Pierādot pārējo malu un pretējo leņķu sinusu attiecību, iegūst pilno sinusa teorēmu.

Skatīt arī 
 Kosinusu teorēma

Ārējās saites 
 Encyclopedia of Mathematics ieraksts 
 Uzdevumi.lv ieraksts

Atsauces 

Ģeometrija