Hipersfēra

Sfēras vispārinājumu n > 3 dimensijās sauc par hipersfēru, taču bieži vien to sauc arī vienkārši par sfēru. Tāpat kā trīs dimensijās, arī n dimensijās (jebkuram n ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa, kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra. Šo attālumu sauc par sfēras rādiusu un parasti apzīmē ar r.

Hipersfēras vienādojums

Dekarta koordinātu sistēmā 

Dekarta koordinātu sistēmā sfēra ar centru (a1, a2, …, an) un rādiusu r > 0 sastāv no punktiem ar koordinātēm (x1, x2, …, xn), kas apmierina vienādojumu

Hipersfēriskajā koordinātu sistēmā 

Sfēriskās koordinātu sistēmas vispārinājums ir hipersfēriskā koordinātu sistēma. Tajā sfēru apraksta vienādojumi

kur parametri  apmierina nevienādības
 un

Hipersfēras laukums un lodes tilpums

Virsmas laukuma elements 

Virsmas laukuma elements sfērai ar rādiusu r hipersfēriskajā koordinātu sistēmā n dimensijās ir

Virsmas laukums 

Virsmas laukumu sfērai n dimensijās var atrast ar integrāļa palīdzību:

Integrējot iegūst

Daudz vienkāršāk šo formulu ir iegūt pa tiešo (bez virsmas laukuma elementa atrašanas).

Formulas izvedums
Ieviesīsim funkciju

un ar A apzīmēsim vērtību integrālim, ko iegūst integrējot f no -∞ līdz +∞ visās n dimensijās:

Funkcijas f vērtība ir atkarīga tikai no vektora (x1, x2, …, xn) garuma r, tāpēc tā ir konstanta uz jebkuras sfēras, kas novietota koordinātu sākumpunktā. Ja sfēras rādiuss ir r, tad funkcija f pieņem vērtību exp(−r2) uz tās virsmas. Ievērosim, ka n dimensijās sfērai ar rādiusu r virsmas laukums S ir proporcionāls vienības sfēras laukumam s jeb S = srn−1. Tātad tilpuma elements ir dV = srn−1dr. Tas nozīmē, ka lielumu A var aprēķināt arī šādi:

Izteiksim šos integrāļus izmantojot Gamma funkciju. Gamma funkciju no z > 0 definē ar integrāļa palīdzību:

kur otrā izteiksme ir iegūta ar substitūciju t = r2. Ievērosim, ka

Tātad pirmajā gadījumā lielumu A var izteikt pavisam vienkāršā veidā:

Otrajā gadījumā lielumu A var izteikt šādi:

Pielīdzinot abas izteiksmes atrodam vienības sfēras laukumu s:

Tātad laukums sfērai ar rādiusu r ir

Lodes tilpums 

Tilpumu n-dimensionālai lodei ar rādiusu r atrod integrējot:

Izmantojot Gamma funkcijas īpašību , iegūst

Izteiksmes bez Gamma funkcijas 

Veseliem un pusveseliem argumentiem Gamma funkciju var izteikt attiecīgi ar faktoriāla un dubultfaktoriāla palīdzību. Tad laukuma S izteiksmi var pārrakstīt šādi:

bet tilpuma V izteiksmi var pārrakstīt šādi:

Hipersfēra un lode mazās dimensijās 

 nogrieznis, divi punkti
 riņķis, riņķa līnija
 lode, sfēra

Skatīt arī 

 Riņķa līnija
 Sfēra

Atsauces

Ārējās saites 

 Eric W. Weisstein, Hypersphere, MathWorld.
 Howard Haber, The volume and surface area of an n-dimensional hypersphere, lekcijas konspekts.
 Al Lehnen, Properties of Spherical Coordinates in n Dimensions.

Ģeometrija
Raksti, kas satur pierādījumus