Robeža (matemātika)

Matemātikā robeža ir vērtība, uz kuru tiecas funkcija vai skaitļu virknes elementi. Robežas ir nozīmīga matemātiskās analīzes sastāvdaļa, un tās tiek izmantotas bezgalības, atvasinājumu un integrāļu, kā arī matemātikas konstanšu definēšanā.

Apzīmējums 
Formulās robeža parasti tiek apzīmēta, izmantojot vārdu lim, pilnajā formā , un robežvērtība, kurai tuvojas funkcija, tiek rakstīta aiz labās bultiņas (→), proti, an → a.

Pamatjēdzieni 
Funkcijas , kad , robeža ir skaitlis , ja katram pozitīvam skaitlim  var atrast tādu pozitīvu skaitli , ka ar visām tām  vērtībām, izņemot , kurām , ir spēkā nevienādība .

Funkcijas robežu, kad  un , sauc par robežu no labās puses . Funkcijas robežu, kad  un , sauc par robežu no kreisās puses . Abas šīs robežas sauc par vienpusējām. Ja , tad . Ja , tad  neeksistē.

Ja , tad  sauc par bezgalīgi mazu funkciju. Ja , tad  sauc par bezgalīgi lielu funkciju. Šādu funkciju īpašības:

 bezgalīgi mazas funkcijas apgrieztā (inversā) funkcija ir bezgalīgi liela funkcija, savukārt, bezgalīgi lielas funkcijas apgrieztā funkcija ir bezgalīgi maza funkcija;
 bezgalīgi mazu funkciju summa ir bezgalīgi maza funkcija;
 bezgalīgi mazas funkcijas reizinājums ar ierobežotu funkciju ir bezgalīgi maza funkcija;
 bezgalīgi mazu funkciju reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija;
 bezgalīgi mazas funkcijas dalījums ar funkciju, kuras robeža nav nulle, ir bezgalīgi maza funkcija.

Robežu īpašības 

 ;
 ;
 , ja ;
 ja katram  punkta  apkārtnē , tad ;
 ja katram  punkta  apkārtnē , tad ;
 ja katram  punkta  apkārtnē  un , tad .

Nenoteiktības 

Nenoteiktības ir , , , , , , , šajos gadījumos rezultātā var būt gan bezgalība, gan nulle, gan cits galīgs skaitlis. Lai aprēķinātu robežu ar nenoteiktību, jāpārveido funkcija: dala katru skaitli ar augstāko mainīgā pakāpi vai pārveido un pēc tam saīsina izteiksmi.

Lai novērstu  nenoteiktību, kad izteiksme satur trigonometrisku funkciju, var izmantot pirmo ievērojamo robežu

.

 nenoteiktību var novērst, izmantojot otro ievērojamo robežu

 vai ,kur  ir Eilera skaitlis.

Bezgalīgi mazu lielumu salīdzināšana 
Robežu aprēķināšanai dažkārt ērti izmantot bezgalīgi mazu funkciju salīdzināšanu.

Divas bezgalīgi mazas funkcijas  un  sauc par vienādas kārtas bezgalīgi mazām funkcijām, kad , ja

,

kur  ir galīgs skaitlis, kurš nav nulle.

Ja ,  un  ir ekvivalentas funkcijas:

.

Aprēķinot bezgalīgi mazu funkciju attiecības robežu, tās var aizvietot ar ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām. Savsarpēji ekvivalentas ir () , , , , , , ,  un citas funkcijas.

Bezgalīgi mazai funkcijai  ir augstāka kārta nekā bezgalīgi mazai funkcijai  (to pieraksta kā ), ja

.

Ja , tad

.

 sauc par n-tās kārtas bezgalīgi mazu funkciju salīdzinājumā ar , kad  (to pieraksta kā ), ja

.

Funkcijas nepārtrauktība, funkcijas pārtraukumi 

Funkcija  ir nepārtraukta punktā , ja 

,

kur  ir argumenta pieaugums,  ir funkcijas pieaugums.

Ja funkcija ir nepārtraukta šajā punktā, tad

.

Ja funkcija ir pārtraukta punktā ,

  sauc par pirmā veida pārtraukuma punktu, ja abas vienpusīgās robežas ir galīgas, kad ;
  sauc par otrā veida pārtraukuma punktu, ja vismaz viena no vienpusīgajām robežām ir bezgalība vai neeksistē, kad .

Atsauces 

Robežas
Matemātiskā analīze