Lopitāla kārtula

Lopitāla kārtula ļauj netieši atrast funkciju dalījuma robežu, ja tiešie robežas noteikšanas paņēmieni noved līdz nenoteiktībai  vai . Šim nolūkam sākotnējo funkciju dalījuma vietā aplūko to atvasinājumu dalījumu, kas daudzos gadījumos palīdz atbrīvoties no nenoteiktības.  

Kārtula nosaukta franču matemātiķa Gijoma Lopitāla (1661–1704) vārdā, kaut arī to atklāja Lopitāla skolotājs, Šveices matemātiķis Johans (I) Bernulli. 
Lopitāls bija pirmais, kurš šo kārtulu nopublicēja — savā diferenciālrēķinu mācības grāmatā 1696. gadā.

Formulējums un noteikumi 

Pieņemsim, dotas funkcijas , , un
.

Ja eksistē robeža 
, tad 
.

Noteikumi:
  un  ir skaitļi no paplašinātās reālo skaitļu ass (t. i. ass, kas iekļauj ne tikai reālos skaitļus, bet arī negatīvo bezgalību  un pozitīvo bezgalību ). 
 Funkcijām  un  jābūt diferencējamām kādā atvērtā intervālā , kurš ietver sevī punktu  vai kuram punkts  ir viens no galiem. Līdz ar to aplūkojamā robeža var būt arī vienpusīga .
  visā intervālā  (izņemot, varbūt, punktu , ja tas atrodas intervāla iekšienē un aplūkojamajā uzdevumā ir vienāds nullei).

Kārtulas neapgriežamība
Apgrieztais princips nedarbojas: no tā, ka robežvērtība  eksistē, nevar izsecināt, ka eksistē arī .
Arī  neesamība vēl nenozīmē  neesamību.

Piemēri

Piemērs ar skaitlisku robežvērtību

Jāatrod robeža .                  
Šeit         un        .   
Tā kā  un , pastāv nenoteiktība .

Tāpēc aplūkosim . Ja šī robeža eksistē, varēs izmantot Lopitāla kārtulu. 
 .
Tātad, saskaņā ar Lopitāla kārtulu: 
.

Piemērs ar robežvērtību ∞ 

Jāatrod robeža .                
Šeit        un        .   
Tā kā    un   , pastāv nenoteiktība .

Ja  eksistē, varēs izmantot Lopitāla kārtulu. 

 . 
Lopitāla kārtulas izpratnē  ir skaitlis un robežvērtība  tiek uzskatīta par eksistējošu. Tātad, saskaņā ar Lopitāla kārtulu, 
 .

Kārtulas secīgas izmantošanas piemērs
Ja pēc vienas diferencēšanas atkal rodas nenoteiktība  vai , Lopitāla kārtulu var pielietot atkārtoti, aplūkojot otro atvasinājumu attiecību, utt. 
Pieņemsim, jāatrod robeža . Šeit pēc pirmās diferencēšanas nenoteiktība  vēl saglabājas, bet pēc otrās pazūd.

Brīdinoši piemēri

Nenoteiktības neesamība

Neievērojot nenoteiktības esamības nepieciešamību, var iegūt nepareizus rezultātus. 
Aplūkosim sekojošo piemēru, kurā Lopitāla kārtula tiek uzreiz pielietota divas reizes ātras risināšanas labad. 

Šis rezultāts ir nepareizs. Kļūda ir radusies tāpēc, ka pirms otrās diferencēšanas netika ievērota prasība par nenoteiktības esamību. Pirmie atvasinājumi dod noteiktu dalījumu , no kura var tieši atrast pareizo robežvērtību .

Robežvērtības neesamība

Prasība par robežvērtības  esamību ir būtiska, jo dažas funkcijas  un/vai  var nerimstoši svārstīties. Ja tas notiek, Lopitāla kārtulu pielietot nevar. 
Piemēram,  un . Tātad, argumentam  tiecoties uz , pastāv nenoteiktība .

Bet Lopitāla kārtulu pielietot nevar, jo  neeksistē kosinusa un sinusa funkciju periodiskuma dēļ, argumentam  tiecoties uz . 
Tajā pat laikā sākotnējam dalījumam robežvērtība ir — to var atrast, pārveidojot sākotnējo dalījumu divos dalījumos: .

Kārtulas pieminēšana daiļliteratūrā

Arkādija un Borisa Strugacku fantastikas romānā "Pirmdiena sākas sestdien" (1965) dežurējoši dēmoni laika kavēšanai stāsta viens otram anekdotes par nenoteiktības novēršanu ar Lopitāla metodi.

Saites 

 Lopitāla kārtula saitā MathWorld (angliski)

Matemātiskā analīze