Nabla

Nabla jeb Hamiltona operators ir diferenciāls operators, ko lieto vektoru analīzē. To var pierakstīt kā formālu vektoru:

kur  apzīmē parciālo atvasinājumu pēc mainīgā x.

Pielietojums 
Operatoru nabla var izmantot, lai kompakti pierakstītu sarežģītas vektoru analīzes izteiksmes, kā arī atvieglotu darbības ar tām. Ar tā palīdzību var definēt citus svarīgus vektoru analīzes jēdzienus, piemēram, gradients, diverģence, rotors, atvasinājums norādītajā virzienā un Laplasa operators jeb Laplasiāns. Šos jēdzienus plaši izmanto matemātiskajā fizikā, hidrodinamikā un kvantu mehānikā.

Gradients 
Skalāra lauka ƒ(x,y,z) gradientu var pierakstīt kā vektora  un skalārās funkcijas ƒ formālu reizinājumu:

Diverģence 
Ja  ir vektoru lauks, kura komponentes apraksta skalāras funkcijas ,  un , tad šī lauka diverģenci var pierakstīt kā vektoru  un  formālu skalāro reizinājumu:

Rotors 
Vektoru lauka  rotoru var pierakstīt kā vektoru  un  formālu vektoriālo reizinājumu:

Atvasinājums norādītajā virzienā 
Skalāra lauka ƒ(x,y,z) atvasinājumu vektora  virzienā aprēķina pēc formulas

Ar operatora nabla palīdzību šo izteiksmi var pierakstīt divos ļoti līdzīgos veidos:

Pirmajā gadījumā vispirms tiek aprēķināts vektoru  un  formāls skalārais reizinājums un tad ar iegūto operatoru iedarbojas uz funkciju ƒ, formāli sareizinot abus objektus kā skalārus lielumus. Otrajā gadījumā aprēķina vektora  formālu skalāro reizinājumu ar vektoru .

Laplasiāns 
Laplasa operators ir skalārs operators, ko, līdzīgi operatoram nabla, var pielietot gan skalāriem, gan vektoru laukiem. To var definēt kā operatora nabla formālu skalāro reizinājumu pašam ar sevi:

Saīsināti šo sakarību mēdz pierakstīt arī šādi:

Atšķirības no parasta vektora 
Lielākoties ar operatoru nabla var darboties kā ar parastu vektoru, taču dažos gadījumos ir jābūt uzmanīgam. Piemēram, ja  ir vektoru lauks, tad tā skalārais reizinājums ar operatoru nabla nav komutatīvs:

jo pirmā izteiksme ir vienāda ar lauka  diverģenci, taču otra izteiksme ir vienāda ar operatoru

kas aprēķina lineāru kombināciju no atvasinājumiem.

Skatīt arī 
 Gradients
 Laplasa operators
 Maksvela vienādojumi

Atsauces

Papildu literatūra 
 .

Ārējās saites 
 
 Nabla , PlanetMath.

Matemātiskā analīze