Elektromagnētiskā lauka enerģija

Elektromagnētiskā lauka enerģija ir enerģija, kura piemīt elektromagnētiskajam laukam. Par to, ka elektromagnētiskajam laukam ir enerģija, liecina enerģijas bilances vienādojums.

Enerģijas bilances vienādojums 

Enerģijas bilances vienādojums ir

 
 kur
  - tilpums
  - laiks
  
 
 

Ja pārraksta enerģijas bilances vienādojumu, neizmantojot augstāk minētos apzīmējumus ,  un , tad vienādojums izskatās šāds:
 

Lai iegūtu enerģijas bilances vienādojumus, jāapskata elektromagnētisko lauku (, ) un tā avoti - lādiņnesēji, kuru izraisītās strāvas blīvums .

Enerģijas bilances vienādojuma pierādījums 

Uz lādiņnesējiem tilpuma elementā  darbojas Kulona spēks , tāpēc ka , un Lorenca spēks, kurš atkarīgs no lādiņnesēju orientētās kustības ātruma  un magnētiskās indukcijas . Kulona spēka iedarbības rezultātā elektriskais lauks  laika vienībā veic darbu . Darbs laika vienībā ir jauda, ko elektriskais lauks patērē lādiņu pārvietošanai. Ja lādiņu kustība notiek pa tilpumu , tad elektriskā lauka patērētā jauda

 

Saskaņā ar formulu  Lorenca spēka vektors  vienmēr darbojas perpendikulāri lādiņa  ātruma  virzienam un tādēļ darbu neveic: . No tā var secināt, ka integrālis  ir pilnā jauda, ko lādiņiem, tos pārvietojot, atdod elektromagnētiskais lauks.

No trešā Maksvela vienādojuma  izsaka strāvas blīvumu : . Tātad jaudas blīvums . Izteiksmi var simetrizēt, izmantojot pirmo Maksvela vienādojumu, . Saskaņā ar to  un jaudas blīvums . Iegūtās vienādības labās puses pirmo saskaitāmo pārveido, izmantojot to, ka , bet otro uzraksta formā . Līdz ar to iegūstam enerģijas vienādojuma skalāro reizinājumu

 

Atliek tik nointegrēt pēc tilpuma elementa un iegūstam pilno enerģijas bilances vienādojumu.

Enerģijas bilances vienādojuma vienkāršais pieraksts 

Enerģijas bilnaces vienādojumu, kurš dots šī raksta sākumā, ērti var uzrakstīt šādi:

 
 kur
 
 
  (Šī formula izriet no Ostrogradska-Gausa teorēmas, kur  ir tilpumu  norobežojoša virsma)
  ir elektromagnētiskā lauka enerģija, kuras dimensija ir 
  ir elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums, kuras dimensija ir

Pointinga vektors 

Vektoru  sauc par elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvuma vektoru jeb Pointinga vektoru. Vektora  modulis  ir elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvums. Tā dimensija ir .

Džoula siltums 

Džoula siltums ir enerģijas zudumi, kurus izraisa elektromagnētiskā lauka darbs (laika vienībā) , plūstot strāvai pa vadu.  ir Džoula siltums, bet jaudas blīvumu  dēvē dažreiz par īpatnējo Džoula siltumu.

Enerģijas bilances vienādojuma interpretācija 

Elektromagnētiskajam laukam tilpumā  piemīt enerģija , kura mainās laikā divu iemeslu dēļ:
 enerģija plūst caur lauka tilpumu norobežojošo virsmu ;
 tās plūsma ir , vai arī elektromagnētiskais lauks pārvieto lādiņus un līdz ar to veic darbu.

Piemēram, enerģija plūst, izplatoties elektromagnētiskajam vilnim. Maiņstrāvas ķēdēs, kuras satur spoles un kondensatorus, pastāv vektora  plūsma, kura liek magnētiskajā un elektriskajā laukā uzkrātajai enerģijai divreiz periodā mainīties no nulles līdz maksimālajai vērtībai. Šāda plūsma rodas arī līdzstrāvas ķēdēs: ieslēgšanas brīdī tā piegādā enerģiju spoļu un kondensatoru laukam, bet, ķēdi atslēdzot, nodrošina šīs enerģijas izkliedēšanos (disipāciju). Un beidzot, vektora  plūsma ir tā, kura pārnes enerģiju gan pa elektropārvades, gan pa sakaru un citām līnijām.

Pointinga vienādojums 

Pointinga vienādojums ir šāds: . Šo diferenciālvienādojumu iegūst, kad, salīdzinot zemintegrāļa izteiksmes, enerģijas bilances vienādojuma kreisās un labās puses integrācijas apgabals  ir patvaļīgs, ar elektromagnētisko lauku "pildīts" tilpums.

Pointinga vienādojuma interpretācija 

Telpas elementi , kuros laikā mainās elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums (), ir enerģijas plūsmas vektora  līniju izteču un noteču vietas vai arī tajos elektromagnētiskais lauks, pārvietojot lādiņus, laika vienībā veic darbu  (šis lielums, kā jau teikts, ir zudumu jaudas blīvums).

Elektrodinamika