Kombinācija

Kombinācija kombinatorikā ir galīgas kopas apakškopa, kas var būt arī pati kopa. Elementi apakškopā drīkst atkārtoties (tomēr biežāk apskata gadījumu, kad elementi neatkārtojas), bet atšķirībā no variācijām to secībai nav nozīmes (kopas pieraksti ar atšķirīgu vienu un to pašu elementu novietojumu apraksta vienu un to pašu kopu).

Bieži runā arī par k-kombinācijām vai k-apakškopām — tās ir apakškopas ar  elementiem.

Kombināciju skaits 
Ja ir dota kopa ar  elementiem, tad tās k-kombināciju (k-apakškopu) skaitu, sauktu par kombinācijām no n pa k, var aprēķināt pēc formulas:

,

kur  ir  faktoriāls un  ir binomiālkoeficienti.

Pierādījums 
Dota kopa ar  elementiem. Cik veidos no šīs kopas var izvēlēties sakārtotas  elementu virknes?

Apskatām divus variantus, kā nonākt līdz atbildei.

1)

Pēc kombināciju skaita definīcijas — no dotās kopas var izvēlēties  dažādas (nesakārtotas) apakškopas.

Cik dažādos veidos var sakārtot  elementus ( elementu kopu)?

Par pirmo elementu varam izvēlēties vienu no  elementiem, par otro — vienu no , pat trešo — vienu no  utt. Līdz par pēdējo —  — elementu varam izvēlēties vienu palikušo elementu.

Pēc kombinatorikas reizināšanas likuma  elementu sakārtoto virkņu skaits tātad ir: .

Līdz ar to no sākotnēji dotās kopas var paņemt sakārtotas  elementu virknes  veidos.

2)

Par pirmo elementu varam izvēlēties vienu no  elementiem, par otro — vienu no , pat trešo — vienu no  utt. Līdz par pēdējo —  — elementu varam izvēlēties vienu no palikušajiem  elementiem.

Pēc kombinatorikas reizināšanas likuma sakārtoto virkņu skaitu tātad var aprēķināt šādi: .

Abu atbilžu vērtībām ir jābūt vienādām: 

Tātad

Skatīt arī 
 Permutācija
 Binomiālais koeficients

Matemātika