Funkcija

Funkcija ir viena mainīgā atkarība no otra mainīgā, ja katrai neatkarīgā mainīgā vērtībai atbilst ne vairāk kā viena atkarīgā mainīgā vērtība.

Pamatjēdzieni 
Funkcija ir definēta tad, ja norādīts piekārtojuma likums, pēc kura katrai argumenta vērtībai var atrast atbilstošo funkcijas vērtību. Piekārtojuma likumu var uzdot:
 ar vārdiem;
 ar tabulu;
 ar formulu;
 ar grafiku.

Ja funkcionālo sakarību (atbilstību) starp diviem mainīgajiem  un  pieraksta šādi , tad , to sauc par funkcijas formulu,  par neatkarīgo mainīgo jeb argumentu, bet  par atkarīgo mainīgo jeb funkciju.

Lasa:  ir vienāds ar  no . Pierakstā burts  norāda likumu (kārtulu), pēc kura katrai argumenta  vērtībai var noteikt atbilstošo  vērtību.

Gan funkciju, gan argumentu var apzīmēt arī ar citiem burtiem, piemēram, , , . Dažkārt funkciju apzīmē ar to pašu burtu, ar kuru apzīmēts atkarīgais mainīgais, piemēram, , , .

Par funkcijas  definīcijas apgabalu (pieļaujamo vērtību kopu) sauc visas tās neatkarīgā mainīgā  vērtības, ar kurām izteiksmei  ir jēga.

Definīcijas apgabalu apzīmē ar simbolu  vai .

Saskaņā ar šo definīciju, funkcijas  definīcijas apgabals  sakrīt ar izteiksmes  definīcijas apgabalu.

Par funkcijas  vērtību apgabalu sauc visas atkarīgā mainīgā  vērtības. Vērtību apgabalu apzīmē ar  vai .

Funkciju sauc par pāra funkciju, ja katram  izpildās vienādība . Funkciju sauc par nepāra funkciju, ja katram  izpildās vienādība . Ja funkcijai neatbilst neviens no šiem abiem nosacījumiem, to sauc par ne pāra, ne nepāra funkciju.

Funkciju sauc par periodisku, ja eksistē tāds pozitīvs skaitlis , ka katram  pastāv sakarība . Mazāko no šādiem skaitļiem  sauc par funkcijas periodu.

Funkcija ir augoša, ja lielākai argumenta vērtībai atbilst lielāka funkcijas vērtība. Funkcija ir dilstoša, ja lielākai argumenta vērtībai atbilst mazāka funkcijas vērtība. Augošas un dilstošas funkcijas sauc par monotonām funkcijām. Katrai monotonai funkcijai pastāv apgrieztā (inversā) funkcija.

Ja funkcijas  arguments ir funkcija , funkciju  sauc par saliktu funkciju jeb funkciju  (ārējā funkcija) un  (iekšējā funkcija) kompozīciju. Vienas funkcijas ievietošanu citas funkcijas argumenta vietā sauc par superpozīciju.

Lai uzzīmētu funkcijas  grafiku, parasti sastāda vērtību tabulu, atbilstošos punktus (, ) atliek koordinātu plaknē un caur šiem punktiem novelk nepārtrauktu līniju (vai līnijas). Ja koordinātu plaknē atliek punktus, kuru abscisa (x ass) ir funkcijas arguments (x vērtība), bet ordināta (Y ass) — atbilstošā funkcijas vērtība, tad visi šie punkti veido funkcijas grafiku.

Elementārās funkcijas 
Elementārās pamatfunkcijas:

 pakāpes funkcija ,
 eksponentā funkcija ,
 logaritmiskā funkcija ,
 trigonometriskās funkcija , , , ,
 ciklometriskās funkcijas , , , .

Funkcijas, kuras iegūst no elementārajām pamatfunkcijām un konstantēm, galīgā skaitā izpildot ar tām saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu, saliktu funkciju veidošanas operāciju, sauc par elementārajām funkcijām. Tās iedala algebriskās un transcendentās funkcijās. Algebriskajām, aprēķinot vērtību, jāizpilda galīgs skaits algebrisku operāciju (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana, kāpināšana racionāla skaitļa pakāpē), tās iedala racionālās — funkcijas izteiksme nesatur saknes — un iracionālās — funkciju izteiksmes satur saknes — funkcijās. Pārējās elementārās funkcijas ir transcendentās.

Funkcijas y=f(x) pētīšanas shēma

1. solis 
 Atrod funkcijas definīcijas apgabalu D(f), tas ir, tādu x kopu, kurā funkcijas f(x) ir noteikta;
 Nosaka pārtraukuma punktus, un to veidus, aprēķinot vienpusējās robežas. Ja x=a ir funkcijas pārtraukuma punkts, tad jāaplūko vienpusīgās robežas šajā punktā:
 un

2. solis - atrod funkcijas grafika asimptotas 
 Taisne x=a ir funkcijas vertikālā asimptota, ja punkts x=a ir funkcijas 2. veida pārtraukuma punkts;
 Taisne y=b ir funkcijas f(x) horizontālā asimptota ( Ox asij paralēla taisne ), un
 ja  , tad eksistē horizontālā asimptota labajā pusē, kur , un
 ja  , tad eksistē horizontālā asimptota kreisajā pusē , kur  ;
 Taisne  ir funkcijas f(x) slīpā asimptota ( kas veido leņķi  ar Ox asi) , kur  un

3. solis 
 Noskaidrot, vai funkcija f(x) ir pāra vai nepāra funkcija.
 Pāra funkcija, ja  un funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret Oy asi.
 Nepāra funkcija, ja  ; grafiks ir simetrisks attiecībā pret koordinātu sākumpunktu;
 Noskaidro, vai funkcija ir periodiska, tas ir,  , un atrod periodu T.

4. solis 
 Atrod grafika krustpunktus ar koordinātu asīm;
 Nosaka, kādos intervālos funkcija ir pozitīva un kādos negatīva.

5. solis 
 Atrod 1. kārtas atvasinājuma  kritiskos punktus un funkcijas ekstrēmus.
 Punkts  ir šī atvasinājuma kritiskais punkts, ja  ;
 Nosaka intervālus, kādos funkcija ir augoša un kādos - dilstoša.
 Funkcija ir dilstoša  intervālā, ja .
 Funkcija ir augoša  intervālā, ja .
 Nosaka ekstrēmu koordinātas. Ekstrēma punkts atdala funkcijas augšanas intervālu no dilšanas intervāla.
 Kritiskais punkts  ir minimuma punkts, ja funkcija dilst intervālā pirms  un aug intervālā pēc .
 Kritiskais punkts  ir maksimuma punkts, ja funkcija aug intervālā pirms  un dilst intervālā pēc .

6. solis 
 Atrod 2. kārtas atvasinājuma  kritiskos punktus un funkcijas grafika pārliekuma punktus.
 Punkts  ir šī atvasinājuma kritiskais punkts, ja .
 Nosaka izliekuma un ieliekuma intervālus.
 Funkcijas grafiks ir izliekts  intervālā, ja .
 Funkcijas grafiks ir ieliekts  intervālā, ja .
 Atrod pārliekuma punktu koordinātas.
 ir pārliekuma punkts, ja šis punkts atdala funkcijas grafika izliekto daļu no ieliektās daļas.

7. solis - konstruē funkcijas grafiku.

Lineāra funkcija 
Par lineāru funkciju sauc funkciju , kur k nav vienāds ar nulli. Lineāras funkcijas grafiks ir taisne. Lai konstruētu grafiku, sastāda tabulu, kurā izvēlas trīs "x" vērtības. Taisnes virziena koeficients k norāda, kādu leņķi taisne veido ar X ass pozitīvo virzienu:
Ja , taisne ar X asi veido šauru leņķi
Ja , taisne ar X asi veido platu leņķi
Definīcijas un vērtību apgabals lineārai funkcijai ir visi reālie skaitļi.

Ja , tad 

(tiešās proporcionalitātes funkcija). Tādā gadījumā funkcijas grafiks ir taisne, kas iet caur koordinātu sākumpunktu.

Apgrieztās proporcionalitātes funkcija 

Par apgrieztās proporcionalitātes funkciju sauc funkciju , kur  ir konstante un nav vienāda ar nulli..
Līkne sastāv no diviem zariem.
Sastādot tabulu, izvēlas vismaz 6 "x" vērtības. Nedrīkst izvēlēties nulli!
Ja , tad hiperbola atrodas I un III kvadrantā.
Ja , tad hiperbola atrodas II un IV kvadrantā.

Ir divu veidu saucēji:

1) kur n ir nepāra skaitlis un .  Funkcijai ir vertikālā asimptota , jo definīcijas apgabals ir , kā arī horizontālā asimptota , jo vērtību apgabals ir 

2) kur n ir pāra skaitlis un . Šādas funkcijas atrodas 1. un 2. kvadrantā. Funkcijai ir vertikālā asimptota , jo definīcijas apgabals ir , kā arī horizontālā asimptota . Funkcijas vērtību apgabals ir .

Saknes funkcijas 

1) 

Par kvadrātsaknes funkciju sauc funkciju .
Funkcijas grafiks ir parabolas zars. Funkcijas grafiks atrodas I kvadrantā. Funkcijas definīcijas un vērtību apgabals ir visi nenegatīvie skaitļi (nulle un visi pozitīvie skaitļi)

2) 

Par kubsaknes funkciju sauc funkciju, kur . Funkcijas grafiks atrodas 1. un 3. kvadrantā, ja . Funkcijas grafiks atrodas 2. un 4. kvadrantā, ja

Pakāpes funkcija 

1)  (kvadrātfunkcija).

Funkcijas grafiks ir parabola. Sastādot tabulu, jāizvēlas piecas "x" vērtības. Definīcijas apgabals ir visi reālie skaitļi, bet vērtību apgabals ir visi pozitīvie skaitļi, ieskaitot nulli
 Par parabolu sauc tādu plaknes punktu kopu, kuras jebkurš punkts atrodas vienādā attālumā no dotā šīs plaknes punkta, ko sauc par fokusu, un dotās taisnes, ko sauc par direktrisi. Attālumu no fokusa līdz direktrisei sauc par parabolas parametru; to apzīmē ar burtu p. Direktrises vienādojums ir  , bet fokusa F koordinātas ir .

2)  (trešās pakāpes funkcija).

Funkcijas grafiks ir kubiskā parabola. Sastādot tabulu, jāizvēlas piecas "x" vērtības. Gan definīcijas, gan vērtību apgabals šai funkcijai ir visi reālie skaitļi.

3)  (Neila parabola)

Parametriskā formā:

Eksponentfunkcijas grafiks 
Funkcijai ir horizontālā asimptota . Funkcijas vērtībām pieaugot, grafiks neierobežojas. Definīcijas apgabals ir , vērtību apgabals ir . grafiks krustojas ar y asi punktā , jo 

1) , kur a > 1

Funkcijas grafiks ir augošs no kreisās puses. Horizontālā asimptota to ierobežo 2. kvadrantā, kad .

2) , kur 0 < a < 1

Funkcijas grafiks ir dilstošs no kreisās puses. Horizontālā asimptota to ierobežo no kreisās puses Horizontālā asimptota to ierobežo 1. kvadrantā, kad..

Hiperbola 
Par hiperbolu sauc tādu plaknes punktu kopu, kuras brīvi izraudzīta punkta attālumu starpība līdz diviem dotiem šīs plaknes punktiem, ko sauc par fokusiem, ir konstanta. Fokusus apzīmē ar burtiem  un . Ja M(x; y) ir brīvi izraudzīts hiperbolas punkts, tad lietosim arī šādus apzīmējumus:  un . Nogriežņus  un  sauc par hiperbolas fokālajiem rādiusiem. Punktus  un  sauc par hiperbolas reālajām virsotnēm, bet  un  - par imaginārajām (šķietamajām) virsotnēm. Nogriežņa  un  garumu 2a sauc par hiperbolas reālo asi, nogriežņa  un garumu 2b - par hiperbolas imagināro asi. Lielumus a un b sauc attiecīgi par hiperbolas reālo pusasi un imagināro pusasi. Hiperbolai ir divas asimptotas, kas savstarpēji simetriskas attiecībā pret koordinātu asīm; un tās ir taisnes:  un . Izsakot fokālos rādiusus ar punktu ,  un  koordinātām, iegūst hiperbolas kanonisko vienādojumu: . Parametriskā formā (labajam zaram): . No hiperbolas kanoniskā vienādojuma iegūstam vienādības:  un .

Skatīt arī 

 Lineāra funkcija
 Būla funkcija

Atsauces