Kopu teorija

Kopu teorija ir matemātikas nozare, kas pēta kopas un to īpašības. Kaut gan kopas var sastāvēt no jebkādiem objektiem, kopu teorija parasti tiek lietota objektiem, kas ir saistīti ar matemātiku. Kopu teorijas valodu var izmantot gandrīz visu matemātisko objektu definīcijās.

Modernos kopu teorijas pētījumus aizsāka Georgs Kantors un Rihards Dēdekinds ap 1870. gadu. Pēc paradoksu atklāšanas naivajā kopu teorijā, 20. gs. sākumā tika piedāvātas daudzas aksiomu sistēmas, no kurām labi pazīstamas ir Cermelo-Frenkela aksiomas un izvēles aksioma.

Pamatjēdzieni

Kopa 
Kopa ir matemātikas pamatjēdziens, to nevar definēt ar citu jēdzienu palīdzību.   Ar jēdzienu "kopa" matemātikā saprot vairākus priekšmetus vai objektus, kas apvienoti vienā veselā pēc kādas visiem tiem kopīgas pazīmes.  Piemēram, Eiropas valstu kopa, pirmā kursa studentu kopa, visu naturālo skaitļu kopa.

Kopas elementi 
Objekti, no kuriem veidotas kopas, var būt ne tikai materiāli priekšmeti, bet arī abstrakti jēdzieni, kā punkti, skaitļi, figūras u.t.t. Šos  objektus, no kuriem viedojas kopa, sauc par kopas elementiem. Piemēram, naturālo skaitļu kopas  elementi  ir  1, 2, 3, 4, ...

Kopas un tās elementu apzīmējumi 
Kopas parasti apzīmē ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem, bet kopu elementus - ar mazajiem burtiem. Attieksmi starp kopu un tās elementiem, ko izsaka ar vārdiem "būt elementam", "ietilpt kopā", apzīmē arī ar vārdu "piederēt".

Ja kāds objekts  ir kopas  elements, tad raksta  un lasa " pieder pie kopas ", " ir kopas  elements".

Ja objekts  nav kopas  elements, tad raksta  jun lasa " nepieder pie kopas ", " nav kopas  elements"

Kopu uzdošana matemātikā 
Kopu uzskata par uzdotu, ja ir norādīta kāda pazīme, pēc kuras par jebkuru objektu var pateikt, vai tas pieder pie kopas vai nepieder. Visbiežāk kopas uzdod divos veidos:
 sastāda pilnīgu un izsmeļošu kopas elementu sarakstu;
 norāda īpašību, kas piemīt visiem aplūkojamās kopas elementiem un kas nepiemīt nevienam citam objektam.

Kopu pieraksts 
Ja kopu uzdod ar pirmo veidu, tās elementus sarakstu ieslēdz figūriekavās. Piemēram, ; pavasaris, vasara, rudens, ziema.

Ja kopu uzdod ar otro veidu, tad figūriekavā vispirms raksta kopas elementu vispārīgo apzīmējumu, novelk vertikālu svītru un aiz tās raksta elementu raksturīgo īpašību. 

Piemēram,  ir pirmskaitlis,  ir bērzi, kuru augstums pārsniedz 20 metrus.

Tukša kopa 
Kopu, kura nesatur nevienu elementu sauc par tukšu kopu. Piemēram,  ir naturāls skaitlis, kurš mazāks par 1. Tukšu kopu apzīmē ar simbolu .

Galīgas kopas 
Kopu sauc par galīgu, ja var saskaitīt tās elementus, vai arī, ja var pierādīt, ka elementu skaits kopā nepārsniedz iepriekš dotu naturālu skaitli.

Kopu  ir galīga, jo tajā ir trīs elementi.

Latvijas zaķu kopa. Protams, nevar precīzi pateikt, cik zaķu ir Latvijā, tomēr var droši apgalvot, ka zaķu skaits tajā nepārsniedz .

Tukša kopa ir galīga, jo elementu skaits tajā ir 0.

Bezgalīgas kopas 
Kopu, kurā elementu skaits ir lielāks nekā jebkurš iepriekš dots naturāls skaitlis , sauc par bezgalīgu.

Taisnes punktu kopa, naturālu skaitļu kopa .

Kopu grafiskā ilustrācija 
Katru kopu var attēlot grafiski kā Eilera-Venna diagrammu, uzzīmējot slēgtu kontūru, pieņemot, ka dotās kopas elementus reprezentē iegūtās figūras punkti. Pašus punktus zīmējumā var arī neuzrādīt. Attēlā pa labi redzams, ka kopa  ietilpst kopā , kaut arī šajā zīmējumā tieši neredzam kopas  un  elementus un nezinām, kādas ir kopas  un .

Apakškopas 
Kopu  sauc par kopas  apakškopu, ja katrs kopas  elements ir arī kopas  elements. 

, kopa  ir kopas  apakškopa, līdzvērtīgi , kopa  aptver kopu .  Attieksmes  grafiskais attēlojums redzams zīmējumā.

Īstās un neīstās apakškopas 
Matemātikā uzskata, ka tukša kopa  ir katras kopas  apakškopa. Kā arī pēc definīcijas kopa  ir pati sev apakškopa. Pašu kopu  un tukšo kopu  sauc par kopas  neīstām apakškopām. 

Kopas  jebkuru netukšu apakškopu, kas nav vienāda ar visu kopu , sauc par kopas  īstu apakškopu.

Vienādas kopas 
Kopas sauc par vienādām, ja kopas  un  sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem. Kopas elementu secībai nav nozīmes.

Kopu vienādības pietiekamais un nepieciešamais nosacījums ir, ka kopas  un  ir vienādas tad un tikai tad, ja  un arī .

Attieksmju "" un "" transitīvā īpašība 
Dažus spriedumus var vienkāršot izmantojot īpašības, ka
 ja  un , tad 
 ja  un , tad

Darbības ar kopām 
Ar kopām var veikt dažādas darbības, kuru rezultātā var iegūt jaunas kopas. Visu aplūkojamo objektu kopu sauc par universu jeb universālo kopu un apzīmē ar burtu .

Kopu šķēlums 
Par divu kopu  un  šķēlumu sauc kopu , kura satur tos un tikai tos elementus, kuri pieder gan kopai , gan kopai . 

 un 

Īpašības:
 Komutatīvā ;
 Asociatīvā ;
 ;
 ;
 Ja , tad .

Kopu apvienojums 
Par divu kopu  un  apvienojumu sauc kopu , kas satur tos un tikai tos elementus, kas pieder vismaz vienai no abām kopām.

 vai 

Īpašības:
 Komutatīvā ;
 Asociatīvā ;
 Distrubutīvā īpašība:
 Šķelšanās operācijai attiecībā pret apvienojuma operāciju ;
 Apvienojuma operācijai attiecībā pret šķelšanās operāciju ;
 ;
 
 Ja , tad

Kopu starpība 
Par divu kopu  un  starpību sauc kopu  , kur satur tos un tikai tos kopas  elementus, kas nepieder kopai .

 un 

Īpašības:
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 Ja , tad .

Kopas papildinājums 
Par kopas  papildinājumu līdz kopai  sauc kopu  , kas ir  un  starpība, ja kopa  ir kopas  apakškopa.

, ja 

Par kopas  papildkopu  sauc universālkopas  visu to elementu kopu, kas nepieder kopai .

Īpašības:
 ;
 ;
 ;
 .

Atsauces 

Kopu teorija
Matemātiskā loģika