Matemātiskā analīze

Matemātiskā analīze, ko reizēm sauc vienkārši par analīzi, ir matemātikas apakšnozare, kuras pamatā ir bezgalīgi maza lieluma rēķini, un tā ir daļa no "tīrās matemātikas". Matemātiskā analīze satur tādus jēdzienus kā atvasināšana un diferencēšana, integrēšana un mēra teorija, rindas un analītiskas funkcijas. Šos jēdzienus parasti apskata reāliem skaitļiem, kompleksiem skaitļiem un reālām un kompleksām funkcijām. Tie var tikt definēti un pētīti arī jebkurā citā matemātisku objektu telpā, kurā ir definēts tuvums (topoloģiska telpa) vai, specifiskāk, attālums (metriska telpa).

Vēsture 

Pirmie rezultāti analīzē bija tiešas sekas sengrieķu matemātikas pirmsākumiem. Piemēram, bezgalīgas ģeometriskas summas tieši seko no Zenona dalīšanas paradoksa. Vēlāk grieķu matemātiķi, kā, piemēram, Eidokss un Arhimēds, izveidoja daudz precīzāku, bet neformālu robežu un konverģences jēdzienu lietošanu, kad viņi izmantoja "izsmelšanas metodi", lai aprēķinātu laukumus un tilpumus apgabaliem un ķermeņiem. Indijā 12. gadsimta matemātiķis Bhāskara II deva piemērus atvasinājumam un lietoja to, kas tagad ir pazīstams kā Rolla teorēma.

14. gadsimtā Madhava izveidoja izvirzījumus bezgalīgās rindās, tāpat kā pakāpju rindas un Teilora rindu tādām funkcijām kā sinuss, kosinuss, tangenss un arktangenss. Līdzās viņa ieguldījumam trigonometrisku funkciju Teilora rindās, viņš arī novērtēja kārtu atlikuma locekļiem, ko iegūst, apraujot šīs rindas, un deva racionālu aproksimāciju bezgalīgām rindām. Viņa sekotāji no Kerala astronomijas un matemātikas skolas tālāk attīstīja viņa darbus līdz 16. gadsimtam.

Eiropā 17. gadsimta otrajā pusē Ņūtons un Leibnics neatkarīgi viens no otra izstrādāja bezgalīgi mazu lielumu rēķinus, kuri attīstījās ar praktisku darbu stimulu, kas turpinājās visā 18. gadsimtā, līdz tādiem analīzes jautājumiem kā, piemēram, variāciju rēķini, vienkārši un parciālie diferenciālvienādojumi, Furjē analīze un ģenerējošas funkcijas. Šajā laika periodā analīzes paņēmieni tika izmantoti, lai aproksimētu diskrētus uzdevumus ar nepārtrauktiem.