Pagrindinė algebros teorema

Pagrindinė algebros teorema teigia, kad kompleksinių skaičių laukas yra algebriškai uždaras. Tai taip pat ekvivalentu formuluotei, kad kiekvienas nelygus konstantai polinomas su kompleksiniais koeficientais turi bent vieną kompleksinę šaknį. Pastarasis teiginys teisingas ir polinomams su realiaisiais koeficientais, kadangi realusis skaičius gali būti laikomas kompleksiniu skaičiumi, kurio menamoji dalis lygi nuliui.
Ši teorema gali būti formuluojama ir dar kitaip – kiekvienas n-tojo laipsnio polinomas su kompleksiniais koeficientais turi n kompleksinių šaknų.

Pirmasis šią teoremą suformulavo ir įrodė 1799 metais Karlas Frydrichas Gausas. Tiesa, jis nenaudojo sąvokos „kompleksinis skaičius“. Gausas teigė, kad kiekvieną polinomą galima išskaidyti daugikliais – pirmojo ir antrojo laipsnio polinomų sandauga (faktorizuoti).

Nors šiais laikais tai svarbi algebros teorema, tačiau ji nebėra pagrindinė. Pagrindine ji buvo pavadinta tais laikais, kai svarbiausiu algebros uždaviniu buvo algebrinių lygčių sprendinių paieška.

Griežtai algebrinio šios teoremos įrodymo nėra. Įrodymuose paprastai naudojamos kitų matematikos sričių sąvokos (pvz., aibių teorijos arba topologijos ir kt.).

Reikia pažymėti, kad ši teorema nėra konstruktyvi – ji nenusako, kaip surasti polinomo šaknis, iš jos tik seka, kiek tokių šaknų yra.

Algebra