Dedukciniai samprotavimai

Dedukcinis samprotavimas arba dedukcinis metodas arba loginė dedukcija tai samprotavimo procesas, kai iš vienos ar daugiau bendrųjų sąvokų (premisų) išvedami logiškai pagrįsti teiginiai. Dedukcinis metodas jungia premisas su išvadomis. Jei visos premisos yra teisingos ir yra laikomasi visų dedukcinio samprotavimo taisyklių, tai išvada būtinai yra teisinga. Paprasčiausiais dedukcinio samprotavimo pavyzdžiais gali būti jau mūsų nagrinėti samprotavimai, atlikti remiantis modus ponens, modus tollens ar kitais paprastais logikos dėsniais. Realiuose gyvenimiškuose uždaviniuose dažniausiai prielaidų būna daugiau nei dvi, o pačios prielaidos būna sudėtingi teiginiai, sudaryti iš tam tikro skaičiaus pirminių teiginių. Tokiai prielaidų visumai, kaip taisyklė, nepavyksta iš karto pritaikyti kokio nors žinomo paprasto logikos dėsnio. Tada išvadų pagrindimui taikomi kiti (teisingumo lentelių, formaliosios dedukcijos) logikos metodai. 
Kiekvienas kvadratas yra stačiakampis.
Visi stačiakampiai yra lygiagretainiai.
Vadinasi, kiekvienas kvadratas yra lygiagretainis.
Gauname:
p→q teisingas teiginys.
p teisingas.
Vadinasi, q teisingas.

Šiame pavyzdyje iš teisingų prielaidų gaunama teisinga išvada, remiantis klasių teorijos dėsningumais. Klasė „kvadratai“ (A) įskiriama į klasę „stačiakampiai“ (B), o klasė „stačiakampiai“ (B) įskiriama į klasę „lygiagretainiai“ (C). Iš čia seka, kad klasė „kvadratai“ (A) įskiriama į klasę „lygiagretainiai“ (C). Gauname: [(A UB) • (BUC)] →(AUC). Ši išraiška yra klasių teorijos dėsnis ir ja remiamasi pateiktame samprotavime.

Teiginių logika kaip dedukcinė sistema 
Pagrindinę logikos teoriją – teiginių logiką – galima sudaryti deduktyviai. Pirmiausia reikia nustatyti, kokios teiginių logikos išraiškos laikomos aksiomomis. Šiuo atveju yra pasirinkimo laisvė. Aksiomomis galima laikyti didesnį ar mažesnį išraiškų skaičių, vienokias ar kitokias išraiškas. Galima pasirinkti aksiomų sistemą, kurią sudaro 11 arba 4, arba 3 aksiomos ir pan.
Kiekvieną dedukcinės sistemos teoremą galima išvesti iš bet kurios tos sistemos aksiomų grupės.
Deduktyviai sudarydami teiginių logiką, naudosimės J. Lukasiewicziaus nustatyta aksiomų sistema, kurią sudaro trys aksiomos:
 (y→q) →[(q→r) →(y→r)].
 (ȳ→y) →y.
 y→(ȳ→q).
Pirmoji aksioma yra implikacijos pereinamumo dėsnis, antroji – prieštaravimo išvedimas, trečioji – dėsnis „iš klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys“. Neapibrėžiamomis laikomos sąvokos, kurios yra aksiomose, būtent neigimas ir implikacija.
Reikia nustatyti taisykles, įgalinančias iš pateiktų aksiomų išvesti visas kitas teiginių logikos išraiškas.

Tokių taisyklių yra trys:

1. Pakeitimo taisyklė: kiekvieną logikoje išraiškoje esantį kintamąjį galima pakeisti bet kuriuo kitu kintamuoju arba bet kuria kita išraiška. Šį pakeitimą reikia atlikti visoje išraiškoje, t. y. visur, kur tik keičiamas kintamasis yra. Jei pirmoje aksiomoje kurį nors kintamąjį pakeisime kitu kintamuoju, tai nuo to išraiškos esmė nepakis. Kintamąjį r pakeitę z, gauname: (p→q) →[(q→z) →(p→z)]. Galima kintamąjį pakeisti net ištisa išraiška: r pakeisime išraiška r • z. Gauname: (p→q) →{[(q→(r • z)] →[p→(r • z)]}.

2. Pakeitimo ekvivalenčia išraiška taisyklė: kiekvieną išraišką galima pakeisti jai ekvivalenčia išraiška. Kadangi naudojamoje aksiomatikoje pasitaiko tik viena jungtis – implikacija, tai kitas jungtis teks išvesti iš implikacijos.

Kadangi naudojamoje aksiomatikoje
pasitaiko tik viena jungtis – implikacija, tai kitas jungtis teks išvesti iš
implikacijos, taikant šias pakeitimo ekvivalenčia išraiška taisykles:

      

}  Dvigubas neigimas (DN)      ¬(¬p)~p

}  De Morganas (DeM)         ¬(p∧q)~(¬pV¬q)

}                                              ¬(pVq)~(¬p∧¬q)

}  Materiali implikacija (MI)   (p→q)~(¬pVq)

}  Duplikacija (Dup)                (p∧p)~p

}                                              (pVp)~p

}  Komutacija 
(Com)             (p∧q)~(q∧p)

}                                              (pVq)~(qVp)

}  Asociacija 
(Asoc)              [(p∧q)∧r]~[p∧(q∧r)]

}                                              [(pVq)Vr]~[pV(qVr)]

}  Distribucija (Dist)                 [p∧(qVr)]~[(p∧q)V(p∧r)]

}                                              [pV(q∧r)]~[(pVq)∧(pVr)]

}  Kontrapozicija (Contr)        (p→q)~(¬q→¬p)

}  Materiali ekvivalencija (ME)   (p~q)~[(p→q)∧(q→p)]

}  Eksportacija (Exp)               [(p∧q)→r]~[p→(q→r)] 

3. Išvados taisyklė: jei A yra teisingas
teorijos teiginys ir jei iš A seka B, tai B taip pat yra teisingas tos teorijos
teiginys.

Vadinasi A teisingas.
A→B.
B teisingas.
Ši išvada teigia, kad iš teisingo antecedento logiškai seka teisingas konsekventas. Iš tiesų, jei koks nors teorijos teiginys teisingas, tai iš jo logiškai išvestas kitas teiginys taip pat turi būti teisingas. Nustatę aksiomas ir teiginių išvedimo iš aksiomų taisykles, parodysime, kaip teiginiai išvedami iš aksiomų.

Reikalavimai dedukcinei teorijai 
Dedukcinė teorija aiškinama dviem požiūriais – sintaksiniu ir semantiniu.
Sintaksinis tyrimas reiškia, kad kalba formalizuojama, ji aiškinama kaip sistema formalių teiginių, susietų tarpusavyje pagal tam tikras formalias taisykles. Sintaksiniu požiūriu dedukcinė teorija suprantama kaip visuma kurios nors kalbos ženklų ir išraiškų, kurie nagrinėjami tik kaip grafiniai ženklai, sutvarkyti pagal bendras kalbos sudarymo ir loginio išvedimo taisykles.
Semantinis tyrimas išaiškina, kokius objektus ji išreiškia, kokiai objektų sričiai ji taikoma. Suradus objektus, kuriems taikoma dedukcinė sistema, sakoma, kad surasta tos sistemos interpretacija.

Dedukcinei teorijai keliami trys pagrindiniai reikalavimai:

1. Aksiomų nepriklausomumas. Aksiomos turi būti nepriklausomos viena nuo kitos, t. y. jos turi būti parinktos taip, kad bet kurios aksiomos nebūtų galima išvesti iš kitų aksiomų.
Jei kuri nors aksioma nėra nepriklausoma, tai reiškia, kad ji bereikalinga, ją galima išvesti iš kitų tos teorijos aksiomų. Bereikalingos aksiomos buvimas apsunkina dedukcinės teorijos neprieštaringumo įrodymą.

2. Neprieštaringumas. Dedukcinė teorija turi būti neprieštaringa, t. y. tokia, kad iš jos aksiomų nebūtų galima išvesti kokio nors teiginio ir to teiginio neigimo. Toks neprieštaringumas vadinamas sintaksiniu neprieštaringumu.
Jei iš dedukcinės teorijos aksiomų galima išvesti teiginį ӯ ir jo neigimą, tai ji yra prieštaringa. Išeina, kad y teisingas ir ӯ teisingas. Bet žinome, kad prieštaravimo dėsnis neleidžia laikyti kartu teisingais teiginių y ir ne ӯ. Prieštaringoje teorijoje nėra skirtumo tarp tiesos ir klaidingumo, joje galima įrodyti bet kuriuos teiginius. Neprieštaringumo reikalavimas – pats svarbiausias reikalavimas, keliamas dedukcinei teorijai.
Kita neprieštaringumo samprata yra semantinis neprieštaringumas: teorija yra semantiškai neprieštaringa, jei ji turi bent vieną modelį, t. y. tam tikrą objektų sritį, kurioje ši teorija įvykdoma.

3. Pilnumas. Dedukcinė teorija laikoma pilna, jei kiekvieną joje suformuluotą teiginį galima įrodyti arba paneigti.
Teiginio įrodymas dedukcinėje teorijoje – tai jo išvedimas iš aksiomų arba iš jau įrodytų teoremų. Teiginio paneigimas – to teiginio neigimo išvedimas. Jei dedukcinė teorija pilna, tai kiekvieną teiginį, suformuluotą tos teorijos teiginiais, galima išvesti iš jos aksiomų (arba iš jau įrodytų teoremų) arba iš jų galima išvesti to teiginio neigimą.
Teorijos pilnumas yra kiek mažesnės reikšmės negu neprieštaringumas, nes ir pilna teorija gali teikti daug duomenų apie joje tiriamus objektus.
Teiginių logika, kaip nesudėtinga dedukcinė sistema, yra pilna. Kiekvieną teiginių logikos išraišką galima išvesti iš aksiomų, tuo įrodant jos teisingumą, arba įrodyti, kad ji neišvedama iš jų (t. y. kad ji klaidinga). Tačiau ne kiekviena dedukcinė teorija yra pilna. Jei dedukcinė teorija yra sudėtinga, tai ji nepilna. Dedukcinės teorijos nepilnumas reiškia, kad joje galima suformuluoti teisingų teiginių, kurių negalima išvesti iš jos aksiomų. Deduktyviai sudaryta aritmetikos teorija jau nepilna.
Giödelio teorema:
Jei dedukcinė teorija pakankamai sudėtinga, išplėtota, tai iš jos aksiomų negalima išvesti visų tos teorijos teiginių. Tai 1931 metais įrodė austrų logikas K. Giödelis, ir šis jo įrodymas vadinamas pirmąją Giödelio teorema. Ši teorema parodo, jog mokslo neįmanoma išreikšti tik deduktyviai, kad negalima visiška mąstymo proceso formalizacija. Formaliai sistema neišsemia teorijos. Teorijoje esama tokių pradinių prielaidų, kurios aiškiai neformuluojamos, jomis remiamasi intuityviai. Lieka ir tam tikro neapibrėžtumo interpretuojant formalios sistemos alfabetą. Giödelio teorema rodo, kad kuriant sąvokines konstrukcijas susiduriama su problemomis, kurios neišsprendžiamos anksčiau sukurtais metodais.
Antroji Giödelio teorema susijusi su neprieštaringumu. Ši teorema teigia: formalios teorijos neprieštaringumo neįmanoma įrodyti tos pačios teorijos priemonėmis. Teorija deduktyviai sudaroma tada, kai ji jau pakankamai ištirta, išplėtota. Siekiant tiksliai ir griežtai išreikšti teorijos teiginius, ji sudaroma deduktyviai, vienus jo teiginius laikant aksiomomis ir iš jų logiškai išvedant kitus teiginius.

Dedukcinio metodo struktūra 
Teorija, kurioje taikomas dedukcinis metodas, vadinama dedukcine teorija. Dedukcinė teorija – tai sąvokų ir teiginių sistema, turinti šiuos požymius:
 Visi dedukcinės teorijos teiginiai teisingi.
 Dedukcinėje teorijoje nedidelis skaičius teiginių priimama be įrodymo, o iš jų pagal iš anksto nustatytas logikos taisykles išvedami kiti dedukcinės teorijos teiginiai.
 Dedukcinėje teorijoje nedidelis skaičius sąvokų neapibrėžiama, ir šiomis neapibrėžiamomis sąvokomis apibrėžiamos visos kitos dedukcinės teorijos sąvokos.
Panagrinėsime šiuos dedukcinės teorijos požymius:
Pirmasis požymis labai reikšmingas. Kadangi mokslas ieško tiesos, o dedukcinėje teorijoje visi teiginiai teisingi, tai, atrodo, mokslai turėtų siekti savo teorijas kurti deduktyviai. Tačiau ne kiekvieną mokslo discipliną galima sudaryti deduktyviai. Dedukcinis metodas taikomas logikoje, matematikoje, kai kuriuose teoriniuose gamtos moksluose. Šių mokslų sąvokos pakankamai stabilios, kad joms būtų galima taikyti dedukcinio metodo reikalavimus. Tačiau daugelyje mokslų dedukcinis metodas nepritaikomas, pavyzdžiui, zoologijoje, botanikoje, socialiniuose moksluose. Šiaip ar taip, dedukcinis metodas taikomas vis naujose disciplinose, naujose teorijose, pavyzdžiui, struktūrinėje lingvistikoje.
Antrasis dedukcinės teorijos požymis tas, kad šioje teorijoje nedidelis skaičius teiginių priimama be įrodymo. Šie pradiniai teorijos teiginiai, kurie laikomi teisingais be įrodymo, vadinami aksiomomis. Dėl to ir dedukcinis metodas kitaip dar vaidinamas aksiominiu metodu. Pradiniai teiginiai – aksiomos – iš kokių nors kitų teiginių neišvedami. Tačiau iš aksiomų išvedami kiti tos teorijos teiginiai. Teiginiai iš aksiomų išvedami pagal iš anksto nustatytas logikos taisykles. Vadinasi, deduktyviai kuriant kokią nors mokslo teoriją, remiamasi: 1) konkrečia tos mokslo teorijos medžiaga; 2) logika, nes iš tos teorijos aksiomų teiginiai išvedami pagal logikos dėsnius.
Trečiasis dedukcinės teorijos požymis nurodo, kad nedidelis skaičius šios teorijos sąvokų joje neapibrėžiama. Neapibrėžiamos sąvokos – tai sąvokos, esančios aksiomose, t. y. tie terminai, kuriais suformuluotos aksiomos. Iš sąvokų apibrėžimo teorijos žinome, kad sąvoka A apibrėžiama sąvoka B, o sąvoka B apibrėžiama sąvoka C ir t. t. Tačiau šis procesas negali būti nepabaigiamas, esama tokių sąvokų, kurios yra pradinės, kitomis sąvokomis neapibrėžiamos, – tai sąvokos, esančios pačiose aksiomose. Šiomis sąvokomis apibrėžiamos visos kitos dedukcinės teorijos sąvokos.
Sudarant koki nors mokslo teoriją dedukciniu metodu, kai kurie tos teorijos teiginiai laikomi aksiomomis (jose esančios sąvokos neapibrėžiamos) ir iš aksiomų pagal iš anksto nustatytas logikos taisykles išvedami kiti jos teiginiai.

Dedukcija. Išvestiniai samprotavimai iš paprastų sprendinių.
Išvestiniai samprotavimai, susidedantys iš kelių (dviejų ar daugiau) prielaidų, būna įvairių rūšių. Pirmiausia jie skirstomi į išvestinius samprotavimus iš paprastų sprendinių ir išvestinius samprotavimus iš sudėtingų sprendinių.
Išvestiniai samprotavimai iš paprastų sprendinių savo ruožtu yra skirstomi į samprotavimus iš atributinių (kategoriškų) sprendinių ir samprotavimus iš reliacinių sprendinių.
Samprotavimai iš atributinių sprendinių priklausomai nuo prielaidų skaičiaus – dviejų ar daugiau – skirstomi į paprastąjį kategorišką silogizmą ir sudėtingąjį kategorišką silogizmą.
Paprastasis kategoriškas silogizmas:
Paprastasis kategoriškas silogizmas (gr. Syllogistikos – išvedantis samprotavimą) yra labiausiai paplitusi ir svarbiausia samprotavimo iš paprastųjų atributinių sprendinių forma. Paprastojo kategoriško silogizmo struktūra. Jis paprastuoju vadinasi būtent todėl, kad susideda tik iš dviejų prielaidų, ypatingu būdu susijusių tarpusavyje, ir išvados.
Sąvokos, sudarančios silogizmo premisas, yra vadinamos silogizmo terminais. Kiekviename silogizme yra trys terminai:
 Išvados subjektas vadinamas mažuoju terminu. Žymimas S.
 Išvados predikatas vadinamas didžiuoju terminu. Žymimas raide P.
Mažasis ir didysis terminai (S ir P) vadinami kraštutiniais terminais.
 Terminas, esantis abiejose premisose ir nesantis išvadoje, yra vadinamas viduriniuoju terminu. Žymimas M.

Išvestiniai
samprotavimai iš paprastų sprendinių. Išvestiniai
samprotavimai, susidedantys iš kelių (dviejų ar daugiau) prielaidų, būna
įvairių rūšių. Pirmiausia jie skirstomi į išvestinius
samprotavimus iš paprastų sprendinių ir išvestinius
samprotavimus iš sudėtingų sprendinių. 

Išvestiniai
samprotavimai iš paprastų sprendinių savo ruožtu yra skirstomi į samprotavimus iš atributinių
(kategoriškų) sprendinių ir samprotavimus
iš reliacinių sprendinių.

Samprotavimai
iš atributinių sprendinių priklausomai nuo prielaidų skaičiaus – dviejų ar
daugiau – skirstomi į paprastąjį
kategorišką silogizmą ir sudėtingąjį
kategorišką silogizmą.Paprastasis
kategoriškas silogizmas: 
Paprastasis
kategoriškas silogizmas (gr. Syllogistikos
– išvedantis samprotavimą) yra labiausiai paplitusi ir svarbiausia samprotavimo
iš paprastųjų atributinių sprendinių forma. Paprastojo kategoriško silogizmo
struktūra. Jis paprastuoju vadinasi būtent todėl, kad susideda tik iš dviejų
prielaidų, ypatingu būdu susijusių tarpusavyje, ir išvados.

Sąvokos,
sudarančios silogizmo premisas, yra vadinamos silogizmo terminais. Kiekviename silogizme yra trys terminai: 

1.      Išvados
subjektas vadinamas mažuoju terminu.
Žymimas S.

2.      Išvados
predikatas vadinamas didžiuoju
terminu. Žymimas raide P.

Mažasis
ir didysis terminai (S ir P)  vadinami kraštutiniais terminais.

3.      Terminas,
esantis abiejose premisose ir nesantis išvadoje, yra vadinamas viduriniuoju terminu. Žymimas M.

Silogizmas 
Silogizmas – tai dedukcinis samprotavimas, kuriame nustatomas ryšys tarp išvadoje esančių kraštutinių terminų, remiantis jų santykiu su viduriniuoju terminu premisose. Premisa, kurioje yra didysis terminas (P), vadinama didžiąja premisa, o toji, kurioje yra mažasis terminas (S), vadinama mažąja premisa. Paprastai didžioji silogizmo premisa rašoma pirmoje eilutėje.
Iš šių premisų silogizme išvedama ne bet kokia išvada, o tokia, kokią leidžia silogizmo taisyklės, kurios skirstomos į terminų ir premisų taisykles.

Terminų taisyklės: 
1. Kiekviename silogizme turi būti tik trys terminai – mažasis, didysis ir vidurinysis.

Iš dviejų terminų negalima daryti išvados, nes nėra juos siejančio termino. Jei terminų daugiau negu trys, išvada taip pat negalima. Terminų suketverinimas yra klaida, kuri atsiranda, kai vidurinysis terminas vienoje premisoje vartojamas viena reikšme, o antrojoje – kita reikšme (tapatybės dėsnio pažeidimas).

2. Vidurinysis terminas turi būti suskirstytas bent vienoje premisoje.

3. Terminas, nesuskirstytas premisoje, negali būti suskirstytas išvadoje. Pažeidus šią taisyklę, daroma klaida, vadinama neteisėtu termino išplėtimu.

Premisų taisyklės: 
 Iš dviejų dalinių premisų nedaroma jokia išvada.
 Jei viena premisa dalinė, tai ir išvada dalinė.
 Iš dviejų neigiamų premisų negalima daryti jokios išvados.
 Jei viena iš premisų neigiama, tai ir išvada neigiama.
 Jei abi premisos yra teigiamos, tai negalima padaryti neigiamos išvados.
Sudėtingasis kategoriškas silogizmas:

Sudėtingasis kategoriškas silogizmas yra sudarytas iš keleto tam tikru būdu tarpusavyje susijusių silogizmų. Toks samprotavimas vadinamas polisilogizmu (gr. Poly – daug). Polisilogizmų būna dviejų rūšių. Tai soritai (gr. Sorites – krūvos pavidalo) ir epichereimos. Sorituose yra praleidžiama tarpinė išvada. Epichereimose prielaidomis yra entimemos.

Išvestiniai samprotavimai iš sudėtingų sprendinių 
Šio tipo samprotavimuose loginę išvados seką nulemia ne subjektyvūs predikatiniai santykiai, kaip samprotavimuose iš paprastų sprendinių, o tik loginis ryšys tarp sudėtingą samprotavimą sudarančių sprendinių. Priklausomai nuo šio ryšio pobūdžio yra skiriami du tipai išvestinių samprotavimų iš sudėtingų sprendinių – sąlyginis ir atskiriamasis. 

I. Sąlyginiai samprotavimai
Sąlyginiu vadinamas samprotavimas, kuriame nors viena iš prielaidų yra sąlyginis sprendinys. Priklausomai nuo to, kiek yra prielaidų – sąlyginių sprendinių – viena ar abi, yra skiriamos dvi sąlyginių samprotavimų rūšys – sąlyginiai kategoriški ir grynai sąlyginiai.
Sąlyginis kategoriškas samprotavimas. Jį sudaro viena sąlyginė ir viena kategoriška prielaida. Išvada šiuo atveju – kategoriškas sprendinys. Loginiu tokio samprotavimo pagrindu yra ryšys tarp priežasties ir pasekmės (antecedento ir konsekvento).
Sąlyginiame kategoriškame samprotavime mąstoma keturiomis galimomis kryptimis:
 Nuo priežasties teigimo prie pasekmės teigimo;
 Nuo priežasties neigimo prie pasekmės neigimo;
 Nuo pasekmės teigimo prie priežasties teigimo;
 Nuo pasekmės neigimo prie priežasties neigimo.

II. Atskiriamieji samprotavimai
Atskiriamuoju vadinamas toks samprotavimas, kurio bent viena prielaida – atskiriamasis sprendinys (disjunkcija). Priklausomai nuo kitos prielaidos pobūdžio yra skiriamos trys atskiriamųjų samprotavimų rūšys: atskiriamasis kategoriškas, atskiriamasis sąlyginis ir grynai atskiriamasis.
Atskiriamasis kategoriškas samprotavimas. Jį sudaro atskiriamoji ir kategoriška prielaidos. Išvada – kategoriškas sprendinys.

Atskiriamojo kategoriško samprotavimo taisyklės:
 Sprendinys privalo būti griežtai atskiriamasis, t. y. mąstymo variantai (skirstymo nariai) privalo atmesti vienas kitą;
 Griežtai atskiriamasis sprendinys turi būti išsamus;
 Griežtai atskiriamajame sprendinyje neturi būti „atliekamų“ narių.
Atskiriamasis sąlyginis samprotavimas dar kitaip vadinamas „dilema“ (gr. Dilema – dis – dukart, lemma – prielaida). Jame viena premisa – sąlyginis teiginys, kita – atskiriamasis. Išvada gali būti kategoriška arba atskiriamoji. Priklausomai nuo minties krypties yra skiriamos dvi pagrindinės dilemų rūšys konstruktyvioji (kuriamoji) ir destrukcinė (griaunamoji).

Formalios dedukcijos metodas 
Įrodyti samprotavimo pagrįstumą FD metodu – tai išvadą nuosekliai, žingsnis po žingsnio išvesti iš duotųjų prielaidų pagal logikos taisykles. Kiekvienas tokio išvedimo žingsnis turi būti pateisintas konkrečia išvedimo ar ekvivalencijos taisykle. Kiekvieno žingsnio rezultatas – turėtų prielaidų loginio turinio išsklaida, taigi – nauja prielaida tolesniems išvedimo žingsniams.

IŠVEDIMO TAISYKLĖS (logiškai pagrįsto samprotavimo formos):

''

Taip pat skaitykite 
 Nededukciniai samprotavimai

Šaltiniai 

 Plečkaitis R. Logikos pagrindai. Vilnius : Tyto alba. 2004.
 Norgėla S. Logika ir dirbtinis intelektas. Vilnius : TEV. 2007.
 Eidukienė D. Logikos pratimai. Vilnius: Technika. 2005.
 Bubelis R., Jakimenko V., Valatka V. Logika. II dalis. Vilnius: MRU. 2012.
 Radavičienė N. LOGIKA. Deduktyvaus samprotavimo analizės pagrindai. Uždavinynas. Vilnius: Justitia. 2011.

Nuorodos 
 http://ruccs.rutgers.edu/~logic/naturalDeduction2.pdf 
 https://sites.google.com/site/informacijosklodai/analitinio-mastymo-logika/8-dedukcija-teiginiu-logikoje  
 http://www.cs.cornell.edu/courses/cs3110/2012sp/lectures/lec15-logic-contd/lec15.html

Logika