Dualus briaunainis

Geometrijoje, briaunainiai tarpusavyje yra susiję poromis, vadinamomis dualiais briaunainiais, arba tiesiog vienas kito dualais: dviejų dualių briaunainių poroje, vieno briaunainio viršūnės tiesiogiai atitinka kito briaunainio sienas. Bet kurio briaunainio dualo dualas yra tas pats pradinis briaunainis. Izogono dualas, kadangi (pagal apibrėžimą) jis privalo turėti viršūnėms ekvivalentiškas sienas, bus izoedras (ir atvirkščiai), o izotokso, kadangi privalo turėti ekvivalentiškas briaunas, – taip pat bus izotoksas. Taisyklingieji briaunainiai (Platono kūnai ir Keplerio-Puanso kūnai) irgi, kaip ir visi briaunainiai, sudaro dualias poras, tik čia išimtį sudaro tetraedras, kuris yra dualus pats sau.

Dualumas yra glaudžiai susijęs su apgręžiamumu, arba poliarumu.

Bendrojoje matematikoje, dualumas, pačia bendriausia prasme, yra savybė, leidžianti pakeisti sąvokas, teoremas ar matematines struktūras atitinkamai kitomis sąvokomis, teoremomis ar matematinėmis struktūromis pagal principą „vienas prie vieno“, ir, dažniausiai (bet ne visuomet), naudojant involiuciją: jei A dualas yra B, tuomet B dualas yra A. Ši involiucija kartais turi fiksuotus „taškus“, tada A dualas yra tas pats A.

Dualumo atmainos 
Dualumas turi daug įvairių atmainų. Su elementariais briaunainiais tiesiogiai susijusios dvi:
 Poliarinis dualumas (apgręžiamumas)
 Topologinis, arba abstraktus, dualumas

Poliarus dualumas 
Briaunainio dualumą labiausiai įprasta apibrėžti kaip koncentrinės sferos poliarų apgręžiamumą (arba tiesiog poliarumą). Čia kiekviena viršūnė (polius) yra susiejama su sienos plokštuma (poliarine plokštuma) taip, kad spindulys iš centro į viršūnę yra statmenas plokštumai, o atstumų nuo centro iki poliaus ir poliarinės plokštumos sandauga yra lygi sferos spindulio kvadratui. Koordinačių plokštumoje, apgręžiamos sferos
 
viršūnės
 
yra susijusios su plokštuma
 .
Dualaus briaunainio viršūnės yra poliai, dualūs pirminio briaunainio sienų plokštumoms, o dualo sienos yra išsidėsčiusios poliarinėse plokštumose, dualiose pirminio briaunainio viršūnėms. Taip pat, bet kurias dvi gretimas viršūnes jungia briauna, kuri transformavimo metu virsta dviem gretimomis sienomis, kurios susikirsdamos sukuria naują susikuriančio dualo briauną. Šios dvi dualios poros briaunos visada yra statmenos viena kitai.

Jei  yra sferos spindulys, o  ir  atitinkamai yra atstumas nuo jos centro iki jos poliaus ir iki poliarinės plokštumos, tada:

Simetriškesniems briaunainiams, turintiems akivaizdų centroidą (pusiausvyros centrą), būdinga, kad briaunainio ir apibrėžtinės sferos centrai sutampa, kaip žemiau aprašyta ''Dormano Luke'o'' konstrukcijoje.

Kita vertus briaunainio dualą galima sudaryti aplink bet kurią sferą, o gautas dualas bus priklausomas nuo pasirinktos sferos; sukant sferą dualo forma išsikraipys. Jeigu briaunainis turi kelias simetrijos ašis, jos būtinai kirsis viename taške, ir paprastai jis laikomas šio darinio centroidu. Jei to nesiseka padaryti su apibrėžtine sfera, galima imti įbrėžtinę arba tarpinę įbrėžtinę sferą (liečiančią visas briaunas).

Topologinis dualumas 

Nepaisant, kad kiekvieną dualą galima taip deformuoti, jog būtų nebeįmanoma jo gauti (jokioje sferoje) laipsniškai transformuojant originalą, vis dėlto, šiuo atveju galima sakyti, kad abu briaunainiai vis dar yra topologiniai arba abstraktieji dualai.

Iškilo briaunainio viršūnes ir briaunas galima suprojektuoti ant sferos paviršiaus arba tikrosios plokštumos, kur iš jų gausime grafą, kitaip dar vadinamą Šlėgelio (Schlegel) diagrama; o tokiu pat būdu suprojektuoti šio briaunainio dualo elementai sudarytų pirmajam dualų grafą.

Abstraktus briaunainis yra tam tikra nepilnai sutvarkyta elementų aibė (), kurioje aibės elementų gretimumas ar ryšiai yra susieti su briaunainio elementų (sienų, briaunų ir t. t.) gretimumu. Tokią nepilnai sutvarkytą aibę galima „realizuoti“ kaip geometrinį briaunainį, turintį tokią pačią topologinę struktūrą. Minėtą aibę galima išreikšti Hasės (Hasse) diagrama. Bet kuri tokia aibė turi savo dualą. O dualaus briaunainio Hasės diagrama užrašoma labai paprastai: tereikia apgręžti pirminę diagramą.

Dormano Luke’o konstravimo metodas 

Tolygiojo briaunainio dualo sieną galima rasti iš pirminio briaunainio viršūnės plano, pasinaudojus Dormano Luke’o konstravimo metodu. Šis metodas pirmą kartą buvo aprašytas Cundy & Rollett (1961), o vėliau jį apibendrino Wenninger (1983).

Pateiktame pavyzdyje turime kuboktaedro viršūnės planą (raudonas), iš šios viršūnės gaunama rombinio dodekaedro siena (mėlyna).

Pirmiausia atliekame parengiamąjį konstravimo veiksmą: nukertame viršūnę per (šiuo atveju) į ją sueinančių briaunų vidurį ir gauname viršūnės plano daugiakampį ABCD.

Tada pradedame Dormano Luke’o konstravimą:

 Nubraižome viršūnės plano daugiakampį ABCD.
 Apibrėžiame jį apskritimu (liečiančiu kiekviena daugiakampio viršūnę A, B, C ir D).
 Nubrėžiame apskritimo liestines prie kiekvieno viršūnės taško A, B, C, D.
 Pažymime liestinių susikirtimo taškus E, F, G, H.
 Daugiakampis EFGH yra dualaus briaunainio siena.

Šiame pavyzdyje buvo paimtas tokio dydžio viršūnės plano daugiakampis, kad jo apibrėžtinis apskritimas eina paviršiumi tarpinės įbrėžtinės briaunainio sferos (liečiančios visų briaunų vidurį), kuri tampa lygiai tokia pat rombinio dodekaedro tarpine įbrėžtinė sfera.

Dormano Luke’o konstravimo metodą galima taikyti tik tada, kai briaunainiui galima įbrėžti tokią tarpinę sferą, o jo viršūnės planas yra pasikartojantis, vadinasi, šis metodas tinka visiems tolygiems briaunainiams.

Briaunainiai, dualūs patys sau 
Topologiškai, briaunainiai, dualūs patys sau, yra tokie, kurių dualų viršūnės, briaunos ir sienos yra susietos lygiai taip pat, kaip pirminio briaunainio. Abstrakčiai, jų Hasės diagrama yra identiška.

Geometrine prasme, briaunainis, dualus pats sau, yra ne tik topologiškai dualus pats sau, bet kartu, poliariai apgręžtas aplink tam tikrą tašką (įprastai, aplinkui centroidą), yra lygus pirminiam briaunainiui. Pavyzdžiui, taisyklingo tetraedro dualas yra kitas taisyklingas tetraedras (pirminio tetraedro atspindys).

Kiekvienas daugiakampis yra topolgiškai dualus pats sau (jis turi tiek pat viršūnių ir kraštinių, ir šios gali būti dualiai sukeistos), bet bendru atveju, jis nebus geometriškai dualus pats sau. Taisyklingieji daugiakampiai yra dualūs patys sau: visi kampai ir kraštinės yra lygūs, tad dualaus transformavimo metu šis tapatumas susikeičia.

Yra be galo daug briaunainių, geometriškai dualių patiems sau. Paprasčiausia begalinė šeima yra n-sienės piramidės. Kita begalinė šeima – ištemptos piramidės, kurios yra toks briaunainis, paprastai tariant, kurį sudaro piramidė, iškilusi ant pagrindo daugiakampio, kartu esančio ir žemiau esančios prizmės viršumi (suprantama, tokia prizmė turi tiek pat sienų, kiek piramidė). Jeigu po šia prizme dar būtų nukirsta piramidė, turėtume dar vieną begalinę šeimą, ir t. t.

Yra daug kitų iškilųjų briaunainių, dualių patiems sau. Pavyzdžiui, yra 6 skirtingi briaunainiai turintys 7 viršūnes ir 16 – turinčių 8 viršūnes.

Neiškilieji patys sau dualūs briaunainiai taip pat aptinkami, pavyzdžiui išduobtas dodekaedras.

Sudėtiniai briaunainiai, dualūs patys sau 

Paprastai, bet kurio briaunainio ir jo dualo sudėtinis darinys yra figūra, duali pati sau.

Jei briaunainis yra dualus pats sau, tada jį sudėjus su dualu, gausime kongruentinį briaunainį. Jei taisyklingai sudėsime du tetraedrus, gausime aštuoniakampę žvaigždę, dėl savo taisyklingumo nuo seno žinomą lotynišku stella octangula pavadinimu. Šiuo metu tik ši sudėtinė figūra yra žinoma, kaip visiškai kongruentiška.

Dualūs politopai ir klojiniai 

Dualumą galima apibendrinti n-matės erdvės dualiems politopams, kurie dvimatėje erdvėje vadinami dualiais daugiakampiais.

Tegul vieno politopo viršūnės atitinka kito politopo (n − 1)-mačius elementus, arba sienas, tada j taškai, kurie apibrėžia (j − 1)-mačius elementus, atitiks j hiperplokštumas, kurios susikirsdamos sudaro (n − j)-mačius elementus. Panašiai galima apibūdinti ir 'n-mačius klojinius bei korius.

Bendru atveju, politopo dualo sienos bus pirminio politopo viršūnių plano topologiniai dualai. Taisyklingųjų ir tolygiųjų politopų dualų sienos bus poliariai apgręžtos politopo viršūnės plano figūros. Pavyzdžiui, keturmatėje erdvėje, šešiašimtaelemenčio () briaunainio viršūnės planas yra taisyklingasis ikosaedras; šešiašimtaelemenčio dualas yra šimtasdvidešimtelementis (), kurio sienos yra dodekaedrai, o dodekaedras ir ikosaedras kaip tik yra dualai.

 Politopai ir klojiniai, dualūs patys sau 

Pirmus iš politopų, dualių patiems sau, reikia paminėti taisyklinguosius politopus, kurių Šlafli simboliai yra palindromai (vienodai skaitomi tiek iš kairės, tiek iš dešinės). Dualūs patys sau yra visi taisyklingieji daugiakampiai, {a}; briaunainiai, kurių pavidalas yra {a, a}; 4-mačiai politopai {a, b,a}; 5-mačiai politopai {a, b,b, a} ir t. t.

Dualūs patys sau yra šie taisyklingieji politopai:
 Visi taisyklingi daugiakampiai {a}.
 Taisyklingi tetraedrai {3,3} ir,
 bendru atveju, visi taisyklingi n-simpleksai {3,3,…,3}.
 Taisyklingas 4-matis 24-elementis () {3,4,3}.
 Didysis 4-matis 120-elementis () {5/2,5,5/2} ir didysis žvaigždinis 120-elementis () {5/2,5,5/2}.
Dualūs patys sau (begaliniai) taisyklingi Euklidiniai koriai yra šie:
 Apeirogonai: {∞}
 Kvadratiniai klojiniai: {4,4}
 Kubiniai koriai {4,3,4} ir,
 bendru atveju, visi taisyklingi n-mačiai Euklidiniai hiperkubiniai koriai {4,3,…,3,4}.
Dualūs patys sau (begaliniai) taisyklingi hiperboliniai koriai yra šie:
 Kompaktiški hiperboliniai klojiniai: penktos eilės penkiakampiai klojiniai {5,5}, šeštos eilės šešiakampiai klojiniai {6,6}, … {p, p}.
 Parakompaktiški hiperboliniai klojiniai {∞,∞}.
 Kompaktiški hiperboliniai koriai: ikosaedrinis korys {3,5,3}, penktos eilės dodekaedrinis korys {5,3,5} ir 120-elementinis korys {5,3,3,5}.
 Parakompaktiški hiperboliniai koriai: {3,6,3}, {6,3,6}]], {4,4,4} ir {3,3,4,3,3}

 Nuorodos 

 Išnašos 

 Bibliografija 
 H.M. Cundy & A.P. Rollett, Mathematical models, Oxford University Press (1961).
 
 B. Grünbaum & G. Shephard, Duality of polyhedra, Shaping space – a polyhedral approach, ed. Senechal and Fleck, Birkhäuser (1988), pp. 205–211.
 P. Gailiunas & J. Sharp, Duality of polyhedra, Internat. journ. of math. ed. in science and technology'', Vol. 36, No. 6 (2005), pp. 617–642.

Briaunainiai
Politopai