Mišrioji sandauga

Mišrioji vektorių sandauga yra trinarė vektorių operacija.

Apibrėžimas 

Mišriąją trijų vektorių sandaugą gauname, kai du vektorius sudauginame vektoriškai, o po to rezultatą dauginame iš trečiojo vektoriaus skaliariškai. Dažniausiai mišrioji sandauga yra užrašoma (a × b)·c. Mišriosios sandaugos rezultatas yra skaičius.

Mišriosios sandaugos skaičiavimas 

Tegu vektorių a, b ir c koordinatės yra  (ax, ay, az), (bx, by, bz) ir (cx, cy, cz). Tada mišriąją šių vektorių sandaugą patogu apskaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą, kurį sudaro vektorių koordinatės, t.y
 

Geometrinė mišriosios sandaugos modulio prasmė yra gretasienio, kurio trys kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais a, b ir c, tūrį.

Pavyzdys: Raskime gretasienio, kurį sudaro vektoriai a = (1; 0; 0), b = (1; 1; 0) ir c = (1; 1; 1), tūrį.

Sprendimas: Raskime vektorių mišriąją sandaugą:
 
Matome, kad tokio gretasienio tūris yra lygus 1.

Savybės 

Mišrioji sandauga tenkina šias savybes:
 ;
 Jeigu vektoriai a, b ir c yra vienoje plokštumoje (t.y komplanarūs), tai jų mišrioji sandauga 
 Jeigu vektoriai a, b ir c sudaro dešininį trejetą, tai jų mišrioji sandauga 
 Jeigu vektoriai a, b ir c sudaro kairinį trejetą, tai jų mišrioji sandauga

Taikymai 

Naudojant mišriąją sandaugą galima rasti ne tik gretasienio, tačiau ir piramidės tūrį. Trikampės piramidės, kurios tris kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais a, b ir c, tūrio V3p skaičiavimo formulė yra:
 
Tarkime, turime keturkampę piramidę EABDC, kurios pagrindą ABCD sudaro vektoriai AB = a ir AD = b, o šoninė kraštinė AE = c. Šios piramidės tūrio V4p skaičiavimo formulė yra:
 
Kiekvienos iš šių figūrų aukštinė h, nuleista į pagrindą, kurį sudaro vektoriai a ir b, gali būti apskaičiuota pagal formulę:
 

Mišrioji sandauga taip pat taikoma trijų vektorių komplanarumui nustatyti. Atskiruoju atveju ji taikoma plokštumos lygčiai gauti.

Vektoriai
Abstrakčioji algebra