Koši - Švarco nelygybė

Matematikoje Koši–Švarco nelygybė (dar vadinama Koši–Buniakovski–Švarco arba CBS nelygybe) yra viena iš pagrindinių optimizavimo priemonių tiesinėje algebroje, analizėje, tikimybių teorijoje, fizikoje ir kitose srityse. Nelygybė turi labai daug apibendrinimų, tarp kurių pati svarbiausia – Holderio nelygybė. Koši–Švarco nelygybė gali būti išreikšta vektorinėje, algebrinėje ir integralinėse formose.

Pirmasis šią nelygybę skaičių sekoms suformulavo ir įrodė Augustinas Liuisas Koši (1821), o teoremą integralinėje formoje pirmasis įrodė Viktoras Buniakovskis (1859). Pirmas modernus integralinės nelygybės įrodymas buvo pateiktas Hermano Amadėjaus Švarco (1888).

Algebrinio tipo nelygybė dar gali būti išreikšta vadinamoje Engel formoje. Titas Andreskas ir Bogdanas Aneskas buvo pirmieji matematikai, kurie pateikė save apibendrinantį įrodymą tokioje formoje.

Nelygybės formuluotės

Vektorinė forma 

Teorema: Tegul  – tiesinės erdvės vektorių skaliarinė sandauga, tai su vektoriais x ir y, priklausantiems šiai erdvei, galioja nelygybė: 

 

be to, lygybė galioja tada ir tik tada kai vektoriai x ir y yra tiesiškai priklausomi.

Integralinė forma 

Teorema: Bet kokioms tolydžioms ir integruojamoms intervale  funkcijoms  ir  galioja nelygybė: 

 

Lygybė galioja tada ir tik tada, kai egzistuoja toks , kad .

Algebrinė forma 

Teorema: Tarkime  ir  yra realiųjų skaičių sekos, tuomet galioja nelygybė: 

 

Lygybės atvejis pasiekiamas tada ir tik tada, kai:

Algebrinės formos įrodymai

Lagranžo būdas 

Nelygybė lengvai įrodoma pasinaudojus Lagranžo tapatybe:

Kvadratinės lygties metodas 
Tarkime  ir  yra realiųjų skaičių sekos. Pastebėkime, kad kvadratinė funkcija  yra teigiama su bet kokiu , taigi jos diskriminantas D turi būti mažesnis arba lygus už nulį. Taigi: 

, bei

AM – GM metodas 

Pažymėkime  ir , tuomet pagal aritmetinio – geometrinio vidurkio (AM  GM) nelygybę turime: 

, o pakėlus abi puses kvadratu gausime tai, ką ir reikėjo įrodyti.

Jenseno nelygybės metodas 
Akivaizdu, kad funkcija  yra įgaubta visoje skaičių tiesėje (t. y. jos ), todėl galime taikyti pasvertąją Jenseno nelygybę: 

 ,čia  yra pasirinktas funkcijos svorio vienetas, o šių svorio vienetų suma yra apibrėžta ir lygi vienetui:  

Dabar kiekvienam  ir  parenkame  bei , o tai įsistačius į Jenseno nelygybės išraišką gausime Koši – Švarco nelygybę.

Andresko – Anesko įrodymas 
Tarkime  ir , tuomet akivaizdu, kad galioja: 
 

 

 

, o pertvarkę gauname: 

 Ši nelygybė dar vadinama Tito lema. Dabar pakeitę  į  , kur  , bei  į  , kur  ir pritaikę Tito lemą, gausime: 

, o kartodami šias pakeitimo operacijas n kartų, gausime apibendrintą Tito lemą, dar vadinamą Koši – Švarco nelygybe Engel formoje (matematiko Artūro Engelio garbei): 

 Belieka tik pastebėti, kad parinkę tokius  ir  gausime standartinę Koši – Švarco nelygybę:

Nuorodos 
 Some Proofs of the Cauchy-Schwarz Inequality 2013-09-25. Shubhendu Trivedi;

Tiesinė algebra
Matematinė analizė
Tikimybių teorija
Matematinės teoremos