Grandininė linija

Grandininė linija (GL) – plokščia transcendentinė kreivė, kurios formą homogeniniame gravitaciniame lauke įgauna lanksti, netąsi, vienalytė sunki grandinė su įtvirtintais galais.
Angl. k. GL yra catenary curve – pavadinimas, kilęs iš lotyniško žodžio „catena“ – grandinė.

Lygtis Dekarto koordinatėse:

  
(1)

Taškas (0,) – vadinamas viršūne,   ašis - direktrise.
Matematines GL savybes pirmą kartą ištyrė Robert Hooke (1670), o jos matematinę lygtį, praktiškai vienu metu, išvedė Gotfridas Leibnicas , Christiaan Huygens ir Johannu Bernoulli 1691-iais metais .
GL ir su ja susijusios kreivės yra naudojamos architektūroje ir inžinerijoje, tiltų ir arkų dizainuose.

Grandininės linijos savybės 

 Diferencialinė GL lygtis:  Jos sprendinys yra hiperbolinio kosinuso funkcija (1).
 Lanko ilgis skaičiuojant nuo GL viršūnės: 
 Kreivumo spindulys: 
 Normalės ilgis:  t. y. bet kokiam GL taškui kreivumo spindulys yra lygus normalės ilgiui.
 Plotas apribotas GL lanko, dviem ordinatėmis  ir  ir  ašimi:
  t. y. plotas, apribotas GL lanku, tiesėmis  ir  ir  ašimi, yra proporcingas to lanko ilgiui  ir parametrui .
 Parametrinė GL lygties forma:
 
 
 Polinėse koordinatėse lygtis atrodo taip:
 
 Naturali GL lygtis: 
 X-ašimi riedančios parabolės židinys x-y plokštumoje brėžia GL. Arba x-ašimi riedančios GL taškas x-y plokštumoje brėžia parabolę.
 Y koordinatė ir lanko ilgis  susieti formule: 
 GL yra traktrisės (angl. tractrix) evoliutė.
 GL evoliutės parametrinė lygtis yra
 ,  
 GL sukimosi paviršius yra katenoidas, kuris priklauso minimalių paviršių šeimai.
 Bet kurio kreivės taško  atstumo iki direktrisės projekcija į normalę taške  yra lygi viršūnės atstumui iki direktrisės.
 Tikrai, jei taškas   yra taško   ortogonalioji projekcija   ašyje, tiesė   yra kreivės normalė taške , o taškas   yra taško   ortogonalioji projekcija tiesėje   tai  . Kadangi iš grandininės linijos lygties turime  tai  todėl .     
 Bet kurio kreivės taško  atstumo iki simetrijos ašies projekcija į liestinę taške  yra lygi kreivės lanko nuo taško  iki viršūnės ilgiui.
Tikrai, jei taškas  yra taško  ortogonalioji projekcija liestinėje , tai iš trikampio  ir iš prieš tai minėtos savybės turime, kad  

 Grandininė linija yra kreivė, kurios lanko ilgis nuo fiksuoto taško  – kreivės viršūnės iki bet kurio jos taško  yra proporcingas liestinės krypties koeficientui taške .
 Dviejų grandininės linijos lankų nuo viršūnės  iki taškų, per kuriuos eina statmenos kreivės liestinės, ilgių sandauga yra pastovus skaičius.
 Bet kurio grandininės linijos taško ordinatė yra kreivumo spindulio tame taške ir grandininės linijos parametro geometrinis vidurkis.
 Grandininės linijos   taškuose, kuriems  antrosios eilės kreivė, turinti aukščiausios eilės lietimąsi su grandinine linija yra elipsė (tokie taškai vadinami kreivės elipsiniais taškais); kai ,  tokia kreivė yra hiperbolė (hiperboliniai kreivės taškai), o dviejuose taškuose, kuriems  , glaudžiausiai su grandinine linija liečiasi parabolė (paraboliniai taškai).

Lygties išvedimas

Energijos minimumo principas
Be galo mažos masės  GL elemento potencinė energija homogeniniame gravitaciniame lauke:
 (2)
čia  –  laisvojo kritimo pagreitis ,  –  GL elementщ aukštis virš “žemės”(lygio, kuriame potencinė energija laikoma lygi nuliui). Jei grandinė vienalytė, tai
 (3)
čia  –  GL tankis, –  skerspjuvio plotas,  –  GL elemento ilgis.

Visos GL potencinė energija yra
.(4)

Pareikalaukime, kad kabančios GL forma būtų tokia, kad ji turėtų mažiausią potencinę energiją. Tai reiškia, kad energijos funkcionalas (4) turi minimalią reikšmę tarp visų glotnių kreivių su fiksuotomis kraštinėmis sąlygomis, t. y. variacinė funkcionalo  išvestinė   ,:
(5)

čia –  energijos funkcionalo (4) tankis.

Įstatę į Oilerio–Lagranžo lygtį (5) funkcionalo tankį (4), gausime antros eilės paprastą netiesinę dif. lygtį, kurią išsprendę, gausime funkciją –  GL formą.

Galima padaryti truputi paprasčiau, jei pastebėti, kad funkcionalas (4) nepriklauso nuo nepriklausomojo kintamojo  išreikštoje formoje. Tai reiškia, kad tokiam funkcionalui dydis
(6)

yra pastovus, nepriklausantis nuo . Iš (6) seka:

 ir (7)

t. y. pastovaus nario , arba poslinkio tikslumu, GL forma yra hiperbolinis kosinusas .

Statikos dėsniai

Galimas ir kitoks GL formos išvedimas, kuris remiasi statikos dėsniais ir fizinių jėgų savybėmis.
Norėdami gauti GL lygtį, y-ašimi laikysime kreivės simetrijos ašį, o atstumą  nuo GL viršūnės iki x-ašies pasitikslinsime vėliau.
Visoje GL pasirenkame jos dalį: atkarpą  nuo GL viršūnės  iki taško . Kadangi grandinė nejuda, lanką  galima laikyti kietu kūnu, kuris veikiamas trijų jėgų: taške  – grandinės įtempimo jėgos , nukreiptos liečiamąja, taške  – grandinės įtempimo jėgos , nukreiptos liečiamąja taške , ir grandinės masės centre – jėgos , kuri lygi grandinės atkarpos  svoriui. Jei lanko ilgį  pažymėsime , o jos linijinį tankį , tai  .

Suprojektavę jėgą  x ir y-ašimis, turėsime:

Žinodami, kad grandinė yra pusiausvyros padėtyje, pritaikykime jos atkarpai  I Niutono dėsnį:
,

iš kurio seka, kad:

Įstatę projekcijų  ir svorio jėgos  reikšmes, gausime lygčių sistemą:

Padalinę pirmąją lygtį iš antrosios gauname:
.

Pakeitę  ir žymėdami  , turėsime: .

Ši lygtis leidžia apibrėžti GL kaip geometrinę kreivę, kurios lanko ilgis, apskaičiuotas nuo viršūnės iki bet kurio taško, yra proporcingas liestinės kampiniam koeficientui, nubrėžtam lanko pabaigoje. Atkreipsime dėmesį į svarbią GL savybę: parametro  reikšmė tiesiogiai proporcinga GL įtempimui  jos viršūnėje.

Diferencijuodami lygtį pagal x, gausime:
.

Žinodami, kad 
, gauname GL diferencialinę lygtį :
.

Pažymėkime  , tada  , ir vietoj šios lygties gauname  . Integruodami šią lygtį, turėsime: . Bet koordinačių sistema parinkta taip, kad kai , tai , todėl integravimo konstanta . Iš to gauname:, iš kur .
  
Pasinaudoję dydžio  žymėjimu ir vėl suintegravę, gausime:
.
Pasinaudojame teise priskirti atkarpos  vertę: tegul ; tuo mes įvedame pradinę sąlygą , o tai reiškia, kad .

Taigi, GL lygtį galima užrašyti taip:
.

Istorija 

Dažnai sakoma , kad Galilejus manė, jog kabančios grandinės kreivė yra parabolinė. Savo darbe „Du nauji mokslai“ (1638) Galilejus sako, kad kabantis laidas apytiksliai yra parabolė, ir jis teisingai pastebi, kad šios aproksimacijos mažesnis iškrypimas gaunamas ir beveik yra tikslus, kai vertikalioji projekcija yra mažesnė nei 45 °. Tai, kad grandinėje linija nėra parabolė, buvo įrodyta Joachimu Jungiusu (1587–1657); šis rezultatas buvo paskelbtas po jo mirties 1669 metais .
Grandininės linijos naudojimas arkų statybai yra priskirtas Robertui Hukui, kuris savo darbe „Teisinga matematinė ir mechaninė forma“ Šv Pauliaus katedros atkūrime užsiminė apie grandininę liniją. Kai kurios, daug vyresnės, arkos aproksimuoja grandininę liniją, pavyzdžiui, Taki – Kisroje (angl. Taq Kasra) arka Ktesifone (angl. Ctesiphon) (Irakas).
1671 metais R. Hukas pranešė Karališkajai draugijai, kad jis išsprendė optimalios formos arkos problemą, ir 1675 m. paskelbė šifruotą sprendimą Lotynų Anagrama jo darbo „Helioskopo aprašymas“ priedėlyje, kur jis rašė, kad rado „tikrą matematinę ir mechaninę formą visų arkų statybai“. Jis nepaskelbė šios anagramos sprendimo, tačiau 1705 jo vykdytojas pareiškė: „Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum“, reiškiantį "Kaip kabo lankstus kabelis, taip apverstos stovi arkos. " 
1691 metais Leibnicas, Christiaan Huygensas, Johann Bernoulli, atsakydami į Jakobo Bernoulli iššūkį, išvedė lygtį. 1697 metais Davidas Gregory parašė traktatą apie grandininę liniją.
1744 metais Oileris įrodė, kad sukama apie x ašį grandininė linija sudaro minimalaus ploto paviršių (katenoidą). 1796 metais Nicolas Fuss išvedė lygtis, apibūdinančias grandinės pusiausvyrą veikiant bet kokiai jėgai .

Trumpa istorinė apžvalga 
 Leonardo da Vinci užrašų knygelėje yra kabančių grandinių eskizai.
 Galilejus supainiojo kreivę su parabole.
 Simonas Stevin suformulavo problemas, susijusias su kabančiu lynu.
 René Descartes spėliojo, remdamasis Isaaco Beeckmano laiškais:
" laidas … fiksuotas vinimis … gali apibūdinti dalį kūgio pjūvio " 
 Jungas paneigia, kad kreivė yra parabolė (1669).
 Huygensas , Leibnicas ir Jonas Bernulis – visi atsakė į Jacobo Bernulio iššūkį, išspausdintą „Acta Eruditorum“: rasti grandininės linijos kreivės lygtį (1690–1691).
 Davidas Gregory parašė traktatą apie grandininę liniją (1697).
 Huygensas įrodė Mersenne, kad kabanti grandinė nėra parabolė.
 Vėliau, Leonhard Euler parodė, kad sukamoji grandininė linija sukuria minimalų paviršių.

Apverstos grandininės linijos 

Grandininių linijų arkos dažnai naudojamos krosnių statyboje.
Kartais sakoma , kad Sent Luiso Vartai (Misūris, JAV) yra (apversta) grandininė linija, bet tai netiesa. Ji yra arčiau bendresnės kreivės, vadinamos suplota GL, su lygtimi , kuri yra GL, jei . Grandininė linija yra idealios formos, o Sent Luiso Vartų arka yra siauresnė viršuje.

Grandininių linijų tiltai 

Laisvai kabančiose grandinėse veikianti formą jėga priklauso nuo grandinės ilgio. Tą patį galima pasakyti apie laisvai kabančius tiltus, arba „grandininius tiltus“, kur kelias atkartoja kabantį kabelį.
Tačiau kabančiame tilte su pakabinamu keliu tilto svorį remia grandinės arba kabeliai, todėl tokie tiltai nėra laisvai pakabinti. Daugeliu atvejų jų važiuojamoji dalis yra plati, todėl kai kabelio svoris palyginus su paramos svoriu yra nedidelis, susijusios su horizontaliu atstumu jėgos yra vienodos, o rezultatas yra parabolė. Kai kabelis yra sunkus, tada atsiranda kreivė, kuri yra tarp grandininės linijos ir parabolės.

Nuotraukų galerija

Šaltiniai 

12.
13.
14.Weisstein, Eric W., „Catenary“, MathWorld.
Kreivės
Diferencialinės lygtys