Ermito matrica

Ermito matrica – kompleksinė kvadratinė matrica, kuri lygi transponuotai kompleksiškai jungtinei (tai yra  eilutės ir  stulpelio elementai yra lygūs kompleksiškai jungtiniams  eilutės  stulpelio elementams, visiems  ir ):

  arba .

Ermito matricos gali būti traktuojamos kaip realiųjų simetrinių matricų kompleksinis plėtinys.

Jei matricos  kompleksiškai jungtinė ir transponuota matrica žymima , tada ermito matrica užrašoma kaip

 

Ermito matricos pavadintos vardu 19 amžiaus prancūzų matematiko Šarlio Ermito, kuris 1855 m. parodė, kad šio pavidalo matricos kaip ir realios simetrinės matricos turi realias tikrines vertes ir tikrinius vektorius.

Pavyzdys 
Tokio pavidalo matrica yra ermito matrica:

 

Ermito matricos dažnai naudojamos teorinėje fizikoje ir kvantinėje mechanikoje (Paulio matricos, Gell-Manno matricos).

Savybės 
 Diagonalieji elementai visada realieji skaičiai, nes jie turi būti kompleksiniai jungtiniai sau patiems.
 Šalia diagonalės esantys kompleksiniai elementai negali būti simetriški. Realiųjų skaičių simetrinė diagonalės atžvilgiu matrica visada yra ermito matrica.
 Kiekviena ermito matrica yra normalioji matrica.
 Matematinė spektrinė teorema teigia, kad kiekviena ermito matrica gali būti suvesta į diagonaliąją formą naudojant unitariąją matricą. Gauta diagonalioji matrica turės tik realiuosius diagonalinius elementus. Iš to išplaukia, kad ermito matricos tikrinės vertės yra realieji skaičiai, o tikriniai vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (ortogonalūs). Net kartotinių tikrinių verčių atveju jas atitinkantys tikriniai vektoriai (tarpusavyje nebūtinai ortogonalūs) bus visada ortogonalūs likusiems tikriniams vektoriams.
 Dviejų ermito matricų suma yra ermito matrica taip pat.
 Ermito matricos atvirkštinė matrica taip pat yra ermito matrica.
 Dviejų ermito matricų  ir  sandauga yra ermito matrica tik jei .
 Bet kokiam kompleksiniam vektoriui  sandauga  yra realusis skaičius, kadangi . Ši savybė ypač svarbi kvantinėje mechanikoje, kai ermito matricos yra operatoriai, kuriems veikiant gaunamos realiaisiais skaičiais aprašomos sistemos savybės (pvz., sukinys).
 Kvadratinės ir jai kompleksiškai jungtinės transponuotos matricų suma  yra ermito matrica.
 Kvadratinės matricos ir jai kompleksiškai jungtinės transponuotos matricos skirtumas  yra asimetrinė ermito matrica. Iš to seka, kad dviejų ermito matricų komutatorius yra asimetrinė ermito matrica.
 Bet kokia kvadratinė matrica  gali būti išskleista ermito  ir asimetrinės ermito  matricų suma:
 
 Ermito matricos determinantas yra realusis skaičius:
 ,
 Taigi

Nuorodos 

 Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo , by Chao-Kuei Hung from Chaoyang University, gives a more geometric explanation.

Matricos