Vejerštraso funkcija

Vejerštraso funkcija matematikoje – pavyzdys realaus argumento funkcijos, tolydinės bet kuriame taške, tačiau nediferencijuojamos.

Apibrėžimas 

Vejerštraso straipsnyje pateikiama tokio pavidalo išraiška:

 

kur ,  yra teigiamas nelyginis skaičius, ir
 

Minimali vertė, tenkinanti šias sąlygas yra . Šią funkciją, kartu su įrodymu, kad ji nediferencijuojama, pateikė Karlas Vejerštrasas 1872 m. liepos 18 d.

Sukūrimo istorija 
1806 m. Andrė Mari Amperas suformulavo teiginį, kad bet kuri funkcija turėtų būti diferencijuojama, išskyrus tik tam tikrus ypatingus ar įzoliuotus taškus. XIX amžiaus pirmoje pusėje buvo mėginama Ampero hipotezę įrodyti bet kokioms tolydinėms funkcijoms. 1861 m. Bernardas Rymanas savo paskaitose pateikė tokį funkcijos pavyzdį:
 ;
Nors jos diferencijuojamumas sunkiai analizuojamas, 1870 m. Džonas Dževeris parodė, kad vis tik ta funkcija turi išvestinę kai kuriuose taškuose. 1872 m. Vejerštrasas sukūrė savo nediferencijuojamos funkcijos  versiją kartu su griežtu nediferencijuojamumo įrodymu. 1930 metais dar paprastesnės nediferencijuojamos funkcijos pavyzdį pateikė van der Vardenas:
 ,
kur riestiniai skliausteliai reiškia trupmeninės dalies išskyrimo operaciją.

Šaltiniai

Nuorodos 
 Niekur nediferencijuojama tolydinė funkcija.
 Nemonotoninė tolydinė funkcija.
 
 Vejerštraso funkcija kompleksinėje plokštumoje  Gražus fraktalas.
 SpringerLink – Journal of Fourier Analysis and Applications, Volume 16, Number 1 Simple Proofs of Nowhere-Differentiability for Weierstrass’s Function and Cases of Slow Growth
 Weierstrass functions: continuous but not differentiable anywhere

Atvaizdžiai