Analizinė funkcija

Analizinė funkcija – funkcija, kuri bet kuriame apibrėžimo srities taške gali būti išskleista konverguojančia laipsnine eilute (tai tapatu teiginiui, kad funkcija yra analizinė, jei kiekviename taške gali būti išskleista Teiloro eilute).

 

Analizinės funkcijos yra be galo daug kartų diferencijuojamos funkcijos. Analizinės funkcijos sąvoka gali būti taikoma tiek realaus, tiek ir kompleksinio kintamojo argumento funkcijoms. Tačiau kompleksinio kintamojo funkcijos atveju analiziškumas reikalauja tenkinti papildomas, taip vadinamas Koši-Rymano sąlygas, todėl tokio tipo funkcijos vadinamos holomorfinėmis funkcijomis.

Kompleksinio kintamojo funkcija  (čia  ir  – realiosios kompleksinio argumento funkcijos) yra analizinė, jei tenkinama viena iš sąlygų (visos jos yra ekvivalenčios):
 Funkcija tenkina Koši-Rymano sąlygą kiekviename taške (analiziškumas Koši-Rymano prasme);
 Teiloro eilutė konverguoja į  funkciją kiekviename taške (analiziškumas Vejerštraso prasme );
 Integralas uždaru kontūru  (analiziškumas Koši prasme)

Savybės 
 Aritmetinės savybės
Jei  ir  yra analizinės , tuomet
 funkcijos ,  ir  yra taip pat analizinės .
 jei  srityje  nelygi nuliui,  irgi bus analizinė srityje 
 jei  srityje  nėra lygi nuliui, atvirkštinė funkcija  irgi bus analizinė srityje .

 Analizinė funkcija be galo daug kartų diferencijuojama funkcija. Tačiau atvirkštinis teiginys bendru atveju nėra teisingas.

Pavyzdžiai 
Polinominės, eksponentinės, trigonometrinės, logaritminės ir daugelis specialiųjų (Beselio, Lagero ir pan.) funkcijų yra analizinės.

Neanalizinių funkcijų pavyzdžiai:
 Funkcija  nėra analizinė , kadangi neturi išvestinės taške .
 Funkcija  nėra analizinė, nes netenkina Koši-Rymano sąlygos.

Atvaizdžiai