Pagrindinė aritmetikos teorema

Pagrindinė aritmetikos teorema, teigia, kad bet kuris sveikasis skaičius gali būti išreikštas pirminių skaičių sandauga (faktorizuotas) vieninteliu būdu. Pavyzdžiui,

Teorema teigtų, kad 1200 gali būti išskleistas pirminių skaičių sandauga. Ir visada tame skleidinyje bus tik keturi 2, vienas 3, du 5, kitų variantų nėra.

Jei daugikliai nebūtų pirminiai skaičiai, faktorizavimas gali nebūti vienintelis (pvz., 12 = 2 × 6 = 3 × 4).

Ši teorema yra vienintelė priežastis, kodėl 1 nėra laikomas pirminiu skaičiumi. Jei jis toks būtų, faktorizavimas nebūtų vienintelis, pavyzdžiui

Praktiniai taikymai

Kanoninis skaidinys  

Kiekvieną natūralųjį skaičių n vieninteliu būdu išskaidome pirminių skaičių sandauga:

kur p1 < p2 < ... < pk yra pirminiai skaičiai, o n yra natūralieji skaičiai. Šis skaidinys tinka visiems teigiamiems skaičiams, tarp jų ir 1. Pagal susitarimą, jei daugiklių nėra (situacija k = 0), .

Tokio tipo skaidinys vadinamas kanoniniu n skaidiniu arba kartais standartine n forma.  Pavyzdžiui,

999 = 33×37,
1000 = 23×53,
1001 = 7×11×13.

Jei postuluosime, kad galimi ir neigiami laipsniai, tokiu būdu galėsime apibrėžti ir racionaliųjų skaičių kanoninius skaidinius.

Aritmetinės operacijos 
Kanoninis sandaugos skaidinys, dviejų skaičių a ir b didžiausias bendrasis daliklis (DBD) ir mažiausias bendras kartotinis (MBK) gali būti išreikštas a ir b kanoniniais skaidiniais:

Žinoma, dideliems skaičiams šios formulės praktinės naudos turi mažai.

Įrodymas

Skaidinio egzistavimas 
Mes norime parodyti, kad bet kokį natūralųjį skaičių, didesnį už 1 galime išskaidyti pirminių skaičių sandauga.
Panaudojame matematinę indukciją. Tarkime, kad prielaida teisinga visiems skaičiams tarp 1 ir n. Jei n yra pirminis tai daugiau nieko įrodinėti nebereikia. Jei ne, tai visada yra a ir b,  tokie, kad n = ab ir 1 < a ≤ b < n.
Tuomet,
a = p1p2...pj
ir
b = q1q2...qk yra pirminių skaičių sandaugos. Iš to seka, kad
n = ab = p1p2...pjq1q2...qk irgi yra pirminių skaičių sandauga.

Skaidinio vienatis 
Tarkime, kad s > 1 galima išreikšti pirminių skaičių sandauga dviem būdais:

Mes norime parodyti, kad m = n, o kiekvienam qj atitinka vienas pi.

Kadangi p1 yra skaičiaus s daliklis, iš Euklido lemos išplaukia, kad  vienas iš qj taip pat dalinasi iš p1; Jei reikia, pakeičiame qj indeksus taip, kad p1 dalijasi iš q1. Tačiau q1 yra pirminis skaičius, todėl jo vieninteliai dalikliai yra jis pats ir 1. Tuo būdu, p1 = q1,

Panašiai samprotaudami padarysime išvadą, jog, p2 turi būti lygus vienam iš likusių qj. Jei būtina, pakeičiame indeksus taip, kad p2 = q2. Tuomet

Taip galime padaryti kiekvienam skaičiaus m daugikliui pi, parodydami, kad m ≤ n, o kiekvienam pi atitinka qj. Pritaikydami tokius pat argumentus  ir  kita tvarka, gautume n ≤ m (taigi iš to seka  m = n), o kiekvienam qj atitinka pi.

Apibendrinimai 
Pirmasis apibendrinimus pateikė Gausas savo antrojoje 1832 metų monografijoje. Joje jis nagrinėjo kompleksinius skaičius a + bi, kai a ir b yra sveikieji skaičiai. Šiuolaikinėje matematikoje tos struktūros vadinamos žiedais ir žymimos  Gausas parodė, kad tokiame žiede yra keturi vienetai ±1 and ±i, o nenulinius ir nevienetinius žiedo elementus taip pat galima suskaidyti į dvi klases - pirminiai ir sudėtiniai skaičiai. Pastarieji gali būti vieninteliu būdu išskaidyti pirminių skaičių sandauga.

Panašiai, 1844 metais Eizenšteinas nagrinėjo žiedą , kuriame     ir yra šeši vienetiniai elementai . Tame žiede taip pat galima vienintelė bet kokio nenulinio žiedo elemento faktorizacija.

Tačiau yra žinoma žiedų, kur ši teorema negalioja. Jei turime, pavyzdžiui, žiedą .
Jame

Tokie pavyzdžiai privertė peržiūrėti pirminio skaičiaus sąvoką žieduose. Daugikliai čia gali netenkinti Euklido lemos. Pavyzdžiui, 2 nėra (1 + √−5) arba (1 − √−5) daliklis, nors iš 2 dalijasi jų sandauga 6. Todėl 2 žiede  vadinamas neredukuojamu (dalinasi iš savęs ir 1), bet nėra pirminis . Tačiau bet kuris pirminis skaičius žiede turi būti neredukuojamas.

Nagrinėdamas tokius žiedus 1843 metais Ernestas Kumeris įvedė idealiojo skaičiaus sąvoką, kurią vėliau vystė  Ričardas Dedekindas 1876.

Taip pat žiūrėkite
 Oilerio begalinė sandauga
 Faktorizavimas

Šaltiniai

The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.
 
 

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n". Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".
 
 

These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.
 
 
 
 .
 .

Nuorodos 
 Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
 GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
 PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
 Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.
 "Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 Pirminiai skaičiai

Aritmetika