Zermelo-Frenkelio aibių teorija

Zermelo-Frenkelio aibių teorija – aibių teorijos variantas, besiremiantis aksiomomis, sukurtomis Ernsto Zermelo 1908 m. ir papildytomis Abrahamo Frenkelio bei Toralfo Skolemo.

Zermelo-Frenkelio aibių teorija remiasi pirmojo lygio logika su apibrėžta lygybe. Taip pat pridedamas vienas santykis – priklausymas aibei, žymimas  ( reiškia, kad  priklauso aibei , yra jos elementas).

Aksiomos 

Zermelo-Frenkelio aibių teorijos aksiomos yra šios:

 Ekstensionalumo aksioma
 Tuščios aibės aksioma
 Porų aksioma
 Visų galimų poaibių aibės aksioma
 Sąjungos aksioma
 Begalybės aksioma
 Atskyrimo aksiomų schema
 Pakeitimo aksiomų schema
 Pagrindo aksioma
 Pasirinkimo aksioma

Ekstensionalumo aksioma teigia, kad aibės yra lygios, kai jos turi tuos pačius elementus:

 

Tuščios aibės aksioma teigia, kad egzistuoja tuščia aibė, kuriai niekas nepriklauso:

 

Tuščia aibė toliau žymima .

Porų aksioma teigia, kad porai elementų egzistuoja aibė, kurioje jie yra:

 

Aibė, kurioje yra elementai  ir  toliau žymima .

Visų galimų poaibių aibės aksioma teigia, kad egzistuoja aibė, kurioje yra visi duotos aibės poaibiai:

 

Aibė, kurioje yra visi aibės  poaibiai toliau žymima , o tai, kad  yra  poaibis – .

Sąjungos aksioma teigia, kad kiekvienai aibei egzistuoja aibė, kuri yra pradinės aibės elementų sąjunga:

 

Aibės  elementų sąjunga toliau žymima .

Begalybės aksioma teigia, kad egzistuoja bent viena begalinė aibė:

 

Atskyrimo aksiomų schema teigia, kad kiekvienai aibei ir predikatui galima rasti aibę iš pradinės aibės elementų, kuriems predikatas teisingas:

 

Pakeitimo aksiomų schema teigia, kad galima aibės elementams pritaikyti funkciją, ir gauti aibę, kurios elementai bus grąžinti tos funkcijos:

 

Pagrindo aksioma teigia, kad kiekvienoje netuščioje aibėje yra elementas, kuriame nėra jokio šios aibės elemento:

 

Pasirinkimo aksioma teigia, kad jei turime aibę netuščių ir nesikertančių aibių, galime suformuoti aibę, kurioje būtų po vieną elementą iš jų.

Išnašos 

Aibių teorija