Tolygusis briaunainis

Tolygusis briaunainis – toks briaunainis, kurio sienos yra taisyklingieji daugiakampiai ir kurio viršūnės yra tranzityvios (t. y. viršūnių kampai yra lygūs ir šis briaunainis yra izogonas). Tolygaus briaunainio visos viršūnės yra tolygios (tapačios), o pats briaunainis pasižymi didelio laipsnio atspindėjimo ir sukimo simetrija.

Tolygieji briaunainiai gali būti taisyklingi (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios sienos ir briaunos), kvazitaisyklingi (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios briaunos, bet sienos netranzityvios) ir pustaisyklingiai (jei tranzityvios vien viršūnės, o sienos ir briaunos netranzityvios). Šių briaunainių sienos ir viršūnės gali būti ir neiškilos, tad daug tolygiųjų briaunainių yra žvaigždiniai.

Atmetus begalines prizminių briaunainių klases, suskaičiuosime 75 tolygiuosius briaunainius (arba 76, jei įskaičiuosime Skilingo figūrą).
 Iškilieji:
 5 Platono kūnai – taisyklingieji iškili briaunainiai;
 13 Archimedo kūnų – 2 kvazitaisyklingieji ir 11 pustaisyklingių iškilių briaunainių.
 Žvaigždiniai:
 4 Keplerio-Puanso kūnai – taisyklingi neiškili briaunainiai;
 53 tolygūs žvaigždiniai braiunainiai – 5 kvazitaisyklingieji ir 48 pustaisyklingiai;
 1 žvaigždinis briaunainis, turintis sutampančių briaunų poras, geometriškai vadinamas didžiuoju dinusklembtu dirombiniu dodekaedru, kurį atrado Džonas Skilingas (John Skilling), todėl neretai jis svadinamas tiesiog Skilingo figūra.

Greta šios suskaičiuojamos aibės dar yra dvi begalinės briaunainių klasės – prizmės ir antiprizmės, apimančios prizmines iškilas ir žvaigždines formas.

Tolygiųjų briaunainių dualai turi tranzityvias sienas (yra izoedrai) ir jų viršūnės planas yra taisyklingas daugiakampis. Įprastai klasifikuojant, dualūs briaunainiai gretinami su jų pirminiais tolygiaisiais briaunainiais. Taisyklingųjų briaunainių dualai taip pat yra taisyklingieji, o Archimedo kūnų – Katalano kūnai.

Tolygieji briaunainiai yra atskiras trimatis tolygiųjų politopų atvejis. Tolygiųjų politopų teorija apibendrina tolygiąsias figūras ne vien trimatei bet ir kitų matavimų erdvėms: tiek aukštesnio matavimo (keturmatei ir aukštesnei), tiek žemesnėms (dvimatei, vienmatei ir pan.). Trimačių tolygiųjų briaunainių nagrinėjimas leidžia akivaizdžiai pažvelgti į tolygiųjų politopų savybes žmogui lengvai suvokiamoje trimatėje erdvėje.

Istorija 
 Platono kūnai buvo studijuojami dar Senovės Graikijoje, kur jais domėjosi filosofas Platonas, matematikai Teatetas (Theaetetus) ir Euklidas.
 Johanas Kepleris (1571–1630) pirmas paskelbė išsamų Archimedo kūnų sąrašą, nors pradinis Archimedo veikalas buvo jau prarastas.

Taisyklingieji žvaigždiniai briaunainiai:
 Kepleris 1619 metais atrado du Keplerio-Puanso briaunainius, o prancūzų matematikas Lui Puanso (Louis Poinsot), 1809 metais, kitus du.

Kiti 53 netaisyklingieji žvaigždiniai briaunainiai:
 Iš likusių 53, 1878 metais Edmundas Hesas (Edmund Hess) atrado du briaunainius, 1881 metais Alberas Banduro (Albert Badoureau) atrado 36, o Pičas (Pitsch), tais pačiais 1881 metais, nepriklausomai atrado dar 18, iš kurių 15 buvo dar visiškai nežinomi.
 JAV geometras Haroldas Kokseteris (Harold Scott MacDonald Coxeter), bendradarbiaudamas su Džefriu Mileriu (Jeffrey Charles Percy Miller), 1930–1932 metais atrado likusius dvylika briaunainių, bet neskubėjo apie tai publikuoti, tad panašiai tuo pačiu metu broliai Maiklas ir Kristoferis Longet-Higinsai (Michael Selwyn Longuet-Higgins, Hugh Christopher Longuet-Higgins) nepriklausomai atrado 11 šių briaunainių.
 1954 metais Kokseteris, broliai Longet-Higinsai ir Mileris bendrai publikavo tolygiųjų briaunainių sąrašą.
 1970 metais Sopovas įrodė, kad jų sąrašas yra išsamus.
 1974 metais Magnusas Veningeris (Magnus Wenninger) publikavo veikalą Polyhedron models (Briaunainių modeliai), kuriame pavaizduoti visi 75 neprizminiai tolygieji briaunainiai ir pateikti matematiko Normano Džonsono (Norman Johnson) suteikti pavadinimai, kurie, daugelio jų, nebuvo anksčiau skelbti.
 1975 metais Dž. Skilingas (John Skilling) nepriklausomai dar kartą įrodė, kad Kokseterio ir kitų sąrašas yra išsamus, o jei būtų leista tolygiesiems briaunainiams priskirti figūrą, kurios kelios briaunos sutampa, tuomet reikėtų įtraukti dar vieną, ir tiktai vieną briaunainį, vėliau pavadintą Skilingo figūra.
 1987 metais Edmondas Bonanas (Edmond Bonan) nubraižė visų tolygiųjų briaunainių trimates projekcijas kompiuterio programa (turbo paskalio kalba parašyta programa Polyca) – šie vaizdai buvo pristatyti Tarptautiniame steroskopijos kongrese (International Stereoscopic Union Congress, Eastbourne, UK).
 1993 metais Zvi Har Elis (Zvi Har’El) sukūrė kompiuterinę programą Kaleido, skirtą kaleidoskopiniam tolygiųjų briaunainių konstravimui ir aprašė ją straipsnyje Uniform Solution for Uniform Polyhedra (Vieningas sprendimas tolygiems briaunainiams). Jis figūras numeravo nuo 1 iki 80.
 Tais pačiais 1993 metais, R. Mėderis (R. Mäder) Kaleido programos sprendimui pritaikė kitokį figūrų indeksavimą ir viską perkėlė į Mathematica programinę aplinką.
 2002 metais Peteris Meseris (Peter W. Messer) atrado minimalią aibę, apimančią uždaro pavidalo išraiškas, kuriomis galima išreikšti kombinatorinių ir metrinių bet kurio tolygiojo briaunainio (ir jo dualo) savybių kiekybinius parametrus, kai žinomas tik Vithofo simbolis.

Tolygieji žvaigždiniai briaunainiai 

Visi 57 neprizminiai neiškili briaunainiai gali būti sudaryti taikant Vithofo konstravimo metodą.

Iškilos (nežvaigždinės) formos: Vithofo konstravimas 

Iškili tolygieji briaunainiai yra vadinami pagal Vithofo konstravimo veiksmo pavadinimą ir (arba) pagal sąsają su taisyklingąja forma. Žemiau pateikiami iškili tolygieji briaunainiai išdėstyti pagal Vithofo konstravimo veiksmą ir simetrijos grupę.

Vithofo konstravimo metu sukuriami pakartojimai, kuriuos atitinka žemesnės simetrijos atvejai. Kubas vienu metu yra ir taisyklingasis briaunainis, ir kvadratinė prizmė. Oktaedras vienu metu yra ir taisyklingasis briaunainis, ir trikampė antiprizmė; be to, jis dar yra rektifikuotas tetraedras. Daug briaunainių gali būti sukurti pakartotinai iš skirtingų Vithofo konstravimo taškų – tik tada jie yra kitaip nuspalvinami. (Kadangi Vithofo konstravimas vienodai tinkamas tiek tolygiems briaunainiams, tiek tolygiems klojiniams, tai lentelėje pateikiami abeji vaizdai. Sferiniai klojiniai apima ir vadinamuosius hosoedrus bei diedrus, kurie yra netikrieji, „išsigimę“ briaunainiai.)

Vithofo konstravimo metu simetrijos grupės sukuriamos iš trimačio atspindžio taškų grupių, kurių kiekvieną atitinka fundamentinis trikampis (p q r), kur p>1, q>1, r>1 ir 1/p+1/q+1/r<1.

 Tetraedrinė simetrija (3 3 2) – eilė 24
 Oktaedrinė simetrija (4 3 2) – eilė 48
 Ikosaedrinė simetrija (5 3 2) – eilė 120
 Diedrinė simetrija (n 2 2), visiems n=3,4,5,… – eilė 4n

Likusios neatspindėjimo formos yra konstruojamos nupjaunant pakaitomis () sienų daugiakampius, turinčius lyginį kraštinių skaičių, kai nupjaunamas kas antras briaunanio sienos daugiakampio kampas.

Kartu su prizmėmis ir jų diedrine simetrija, sferinio Vithofo konstravimo veiksmas prideda dvi taisyklingas klases, kurios yra „išsigimę“ briaunainiai – diedrai ir hosoedrai, iš kurių pirmieji turi tik dvi sienas, o antrieji tik dvi viršūnes. Nupjaunant taisyklingąjį hosoedrą gauname prizmes.

Žemiau, iškili tolygieji briaunainiai, kurie nėra prizmės, pateikiami simetrinių formų tvarka ir indeksuojami nuo 1 iki 18. Pasikartojančios formos numeris apskliaustas laužtiniais skliaustais.

Begalinės prizminės formos indeksuojamos, paskirsčius jas į keturias šeimas:
 Hosoedrai H2… (Tik kaip sferiniai klojiniai)
 Diedrai D2… (Tik kaip sferiniai klojiniai)
 Prizmės P3… (Nupjautiniai hosoedrai)
 Antiprizmės A3… (Nusklembtos () prizmės)

Apibendrinančios duomenų lentelės 

p – sienos kraštinių (arba kampų) skaičius;
q – į vieną viršūnę sueinančių sienų (arba briaunų) skaičius.

Diedrinės simetrijos vaizdai:

Vithofo konstravimo veiksmai

(3 3 2) Td Tetraedrinė simetrija 

Sferos tetraedrinė simetrija sukuria 5 tolygiuosius briaunainius, o šeštas suformuojamas nusklembimo veiksmu.

Tetraedrinės simetrijos pagrindas yra fundamentinis trikampis, turintis vieną viršūnę su dviem veidrodžiais ir dvi viršūnes su trimis veidrodžiais, kas užrašoma simboliu (3 3 2). Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe A2 arba [3,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Tetrakis heksaedras turi 24 regimus trikampius, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius ant analogiško sferinio briaunainio:

(4 3 2) Oh Oktaedrinė simetrija 

Sferos oktaedrinė simetrija sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 7 pasitelkiant nupjovimą pakaitomis. Šeši pavidalai kartojasi iš aprašytos tetraedrinės simetrijos lentelės (aukščiau).

Oktaedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (4 3 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe B2 arba [4,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Disdyakis dodekaedras turi 48 regimus sienų trikampius, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius, vaizduojančius analogišką sferinį briaunainį:

(5 3 2) Ih Ikosaedrinė simetrija 

Sferos ikosaedrinė simetrija sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 1, pasitelkiant nupjovimą pakaitomis. Tik 1 pavidalas kartojasi iš aprašytų tetraedrinės ir oktaedrinės simetrijos lentelių (aukščiau).

Ikosaedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (5 3 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe G2 arba [5,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Disdyakis triakontaedras turi 120 regimų sienų trikampių, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius, vaizduojančius analogišką sferinį briaunainį:

(p 2 2) Prizminės [p,2], I2(p) šeimos (Dph diedrinė simetrija) 

Sferos ikosaedrinė simetrija sukuria dvi begalines tolygiųjų briaunanių aibes, prizmes ir antiprizmes, ir dar dvi begalines išsigimusių briaunanių aibes, hosoedrus ir diedrus, kurie egzistuoja tik kaip sferos klojiniai.

Diedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (p 2 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe I2(p) arba [n,2], taip pat prizmine Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Žemiau pavaizduoti pirmi penki diedrinės simetrijos atvejai: D2 … D6. Diedrinės simetrijos Dp eilė yra 4n, atspindi bipiramidės sienas, o ant sferos – tai pusiaujo linija ir n tolygiai viena nuo kitos nutolusių dienovidinių.

(2 2 2) diedrinė simetrija 

Yra 8 fundamentalūs trikampiai, matomi ant kvadratinės bipiramidės sienų (oktaedras) ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos:

(3 2 2) D3h diedrinė simetrija 

Yra 12 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant šešiakampės bipiramidės sienų ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos:

(4 2 2) D4h diedrinė simetrija 

Yra 16 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant aštuoniakampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

(5 2 2) D5h diedrinė simetrija 

Yra 20 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant dešimtkampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

(6 2 2) D6h diedrinė simetrija 

Yra 24 fundamentalūs trikampiai, kurie matomi ant dvylikakampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

Nuorodos

Šaltiniai 
 Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. 
  
 
 
 
 Har’El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El , Kaleido software , Images , dual images 
 Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. 
 Messer, Peter W. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals., Discrete & Computational Geometry 27:353-375 (2002).

Briaunainiai