Deltaedras

Deltaedras – briaunainis, kurio sienos yra lygiakraščiai trikampiai. Figūros pavadinimas kilęs iš graikų abėcėlės mažosios raidės delta (Δ), kuri primena lygiakraštį trikampį. Egzistuoja be galo daug deltaedrų, bet tik aštuoni yra iškilieji briaunainiai, turintys 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ir 20 sienų.  Šie deltaedrai aprašyti žemiau pateikiamoje lentelėje.

Aštuoni iškilieji deltaedrai 
Iš viso egzistuoja tik aštuoni griežtai iškilūs deltaedrai: trys taisyklingieji briaunainiai ir penki Džonsono kūnai.

Kai kurios šešiasienių deltaedrų viršūnės yra trečio laipsnio, o kai kurios – ketvirto. Kai kurių 10, 12, 14 ir 16 sienų turinčių deltaedrų viršūnės yra ketvirto laipsnio, o kai kurios – penkto. Penki netaisyklingieji deltaedrai yra Džonsono kūnai: iškilūs briaunainiai, kurių sienos yra taisyklingieji daugiakampiai.

Deltaedrai išsaugo savo pavidalą net jei briaunoms leidžiama laisvai suktis apie savo viršūnę taip, kad kampai tarp briaunų gali būti neišsaugoti. Ne visi briaunainiai turi šią savybę: pavyzdžiui, jei atpalaiduotume kai kuriuos kubo kampus, jį galėtume deformuoti į nestačiąją stačiakampę prizmę.

Griežtai iškilas 18 sienų deltaedras negali būti sudarytas. Nors leidžiant sutrumpinti kai kurias ikosaedro briaunas, galima gauti tam tikrą oktadekaedrą, kurio iškilumas gali būti išsaugotas, jei visos 18 sienų bus įvairiakraščiai trikampiai, arba išsaugant lygiakraščius trikampius, bet tada dvi plokštumoje išsidėsčiusios grupės po tris trikampius.

Negriežtai iškili deltaedrai 
Galima sudaryti begalinę aibę briaunainių, kurių visos ar kai kurios sienos būtų koplanariniai trikampiai (išsidėstę vienoje plokštumoje), kitaip tariant kurių sienas sudarytų trikampiai klojiniai. Koplanarinių trikampių sienos gali jungtis į rombines, trapecines, šešiakampes ir kitokias lygiakraščių daugiakampių sienas Jeigu koplanarinių ttrikampių grupes laikysime viena siena, pavyzdžiui: , , , , , ,  ir , ..., tokius briaunainius turėtume laikyti negriežtai iškilais deltaedrais.

Lentelėje pateikiama keletas mažesnių pavyzdžių:

Neiškilosios formos 
Egzistuoja begalinė daugybė neiškilųjų deltaedrų.

Keli susikertančių sienų deltaedrai:

 Didysis ikosaedras – Keplerio-Puanso kūnas, sudarytas iš 20 tarpusavyje susikertančių trikampių.
 

Kiti dažniau nagrinėjami neiškilieji deltaedrai gaunami iš visų 5 Platono kūnų, kai prie jų sienų priauginamos lygiakraštės piramidės:

* Pastaba: graikų lotynų kalbų hibridai triakis, tetrakis, pentakis reiškia, kad sienoje yra iškilusios atitinkamai 3, 4 ar 5 briaunos, arba „keteros“.

Kai kurie kitokie tetraedro priauginimai:

Deltaedrai gaunami ne tik priauginant piramides, bet ir atvirkščiu veiksmu – išduobiant sienas piramidėmis: 

Tarp aukštesnų matavimų figūrų, deltaedrams yra giminingi simpleksiniai politopai, kurių kiekvienas fasetas yra simpleksas.

Nuorodos 

  (Įrodoma, kad egzistuoja tik 8 iškilieji deltaedrai.)
 O. Rausenberger Konvexe pseudoreguläre Polyeder. Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 46, 135-142, 1915. 
 H. Martyn Cundy Deltahedra. Math. Gaz. 36, 263-266, Dec 1952. 
 H. Martyn Cundy and A. Rollett Deltahedra. §3.11 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 142–144, 1989. 
 Charles W. Trigg An Infinite Class of Deltahedra, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 1 (Jan., 1978), pp. 55–57 
 M. Gardner Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations, Scientific American Magazine. New York: W. H. Freeman, pp. 40, 53, and 58-60, 1992. 
  pp. 35–36

Briaunainiai