Predikatų logika

Predikatų logika – matematinės logikos rūšis, kuri tyrinėja požymio priskyrimo objektui loginę raišką. Teiginys savyje turi subjektą ir predikatą, tam tikrą objektą ir požymį, kuris nusako ar apibūdina tą objektą, arba atvirkščiai, požymis, kuris nepriskiriamas ar netinkamas objektui. Objektas gali būti bet kas, apie ką galima ką nors pasakyti ir suteikti tam tikrą požymį. Yra trys skirtingos požymių rūšys: savybės, santykiai ir vardai. Vardai yra priskiriami prie požymių, dar kitaip vadinamų predikatų, tačiau vardai yra nagrinėjami loginėje semantikoje.

Savybių teorija

Savybių samprata 
Savybė yra kiekvienam objektui būdingas požymis. Savybę gali turėti keli skirtingi objektai. Tačiau savybiškumas, skirtingai nei santykis, gali apsiriboti ir tik vienu objektu, t. y. jis nereikalauja santykinio ryšio. Pvz. „Dangus yra mėlynas“ arba „Gėlė yra mėlyna“, šie teiginiai būdami teisingi ir prasmingi, nesudaro privalomojo santykinio ryšio.

Propozicinė funkcija ir pavertimas teiginiu 
Logikoje funkcija atlieka klasių elementų sugretinimo su kitais elementais operaciją. Teiginių teisingumo atžvilgiu teiginių klasė yra sugretinama su teisingumo reikšmių klase. Dėl funkcinių ryšių, logikoje egzistuoja priklausomai kintantys dydžiai. Sudėtinis teiginys turi funkcinę teisingumo reikšmę, kintančią priklausomai nuo jį sudarančių teiginių teisingumo reikšmės kitimo. Pvz.:
Peilis yra įrankis
Kūjis yra įrankis         x yra įrankis
Kirvis yra įrankis
Šių teiginių objektai susiję vienu bendru požymiu. Teiginiu „x yra įrankis“ mes negalime nurodyti jo teisingumo. Tačiau ši išraiška yra teiginio funkcija t. y. propozicinė funkcija. Propozicinė funkcija nustato konkrečias srities objektų atitikimą, laikomų jos teisingumo arba klaidingumo reikšmėmis. Šiuo atveju x yra argumentas, nustatantis išraiškų teisingumą arba klaidingumą. Įvardijus x kokio nors objekto pavadinimu, galime paprasčiausiai propozicinę funkciją paversti teiginiu. Kitas būdas propozicinę funkciją paversti teiginiu yra susieti kvantoriais. Kvantorius kiekybiškai apibūdina teiginį. Požymis gali būti priskirtas vienam, keliems arba visiems kokios nors klasės objektams. Kvantorius nurodo požymio priskyrimą objektų skaičiui. Šiuo atveju galima vartoti du kvantorius: egzistavimo (∃ x) ir bendrumo (∀ x). Egzistavimo kvantorius nurodo objektų, turinčių konkretų požymį egzistavimą. Bendrumo kvantorius nurodo kiekvieno objekto savybę turėti konkretų požymį. Bendrumo kvantorius parašytas prieš propozicinę funkciją, ją paverčia teiginiu. Tačiau propozicinių funkcijų susiejimas egzistavimo arba bendrumo kvantoriais gali suteikti ir klaidingus teiginius. Pavyzdžiui, „x yra stalius” susietas su bendrumo kvantoriumi ir požymiu būti darbininku, bus: „Kiekvienas x, jei x darbininkas, tai x yra stalius.“ Klaidingas, nes ne visi darbininkai staliai. 

Apribojantys kvantoriai užrašomi: 1) ∀ xP(x)F(x) 2) ∃ xP(x)F(x)
 kiekvienas x, turintis predikatą P, turi ir predikatą F.
 egzistuoja x, kuris turėdamas predikatą F, turi ir predikatą P.
Skaitinis kvantorius:  – egzistuoja tiksliai n tokių x, turinčių predikatą F.
Begalybės kvantorius:  – egzistuoja begalinis skaičius tokių x, turinčių predikatą F.

Kvantoriai yra loginiai operatoriai, simboliai, arba simbolių kombinacijos, vartojamos loginėse formose sukurti naujas formas. Teiginių logikos jungtyse kantoriai yra operatoriai.

Savybių teorijos alfabetas 
Savybių teorijos objektus žymėsime mažosiomis raidėmis x, y ir z. Savybes žymėsime didžiosiomis F, G ir H. Raides galima rinktis savo nuožiūra. Taigi turime išraišką: 

, , . 

Ją skaityti reiktų taip: x turi savybę F, x turi savybę G ir y turi savybę H. 
Išraiškos su kvantoriais:

;  

Skaitome: kai kurie x turi savybę F; Kiekvienas x turi savybę G. 
Formalizuokime teiginį: „Kai kurie medžiai yra spygliuočiai“ frazė, kai kurie, yra formalizuojama egzistavimo kvantoriumi (∃x), savybę būti medžiu formalizuosime raide F, o būti spygliuočiu G. Kai išraikškoje yra egzistavimo kvantorius savybes susiesime konjunkcija. Gauname: 

Skaitome: yra tokiu x kurie turi savybę F ir savybę G arba yra tokiu x, kurie turi savybę būti medžiais ir būti spygliuočiais. Tokia yra teiginio "kai kurie medžiai yra spygliuočiai” loginė stuktūra savybių teorijos požiūriu.

Formalizuokime teiginį: „visi seimo nariai yra politikai” žodis visi formalizuojame bendrumo kvantoriumi (∀x). Savybę buti seimo nariu formalizuosime raide F, o savybę buti politiku raide G. Kai išraikškoje yra bendrumo kvantorius, savybes susiesime implikacija (→). Formalizuojame ir gauname: 

 

Skaitome: visi x, jei x turi savybę F tai x turi savybę G arba visi x, jei x turi savybę būti seimo nariu, vadinasi x turi savybę būti politiku. Tokia yra teiginio “visi seimo nariai yra politikai” loginė stuktūra savybių teorijos požiūriu. 

Predikatų logikoje, taip pat, ir kitose logikos teorijose, operuojama ir teiginių logikos veiksmais – neigimu, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija. 

Neigiant savybę, prieš ją rašomas neigimo ženklas: 

 

Skaitome: x neturi savybės F. 

Galima neigti ne tik savybes, bet ir kvantorius: 

;  

Skaitome: nevisi x; netiesa, kad yra toks x.

Panagrinėkime teiginį: „mūsų šeimoje nėra negeriančiu kavos” 
Savybę būti mūsų šeimos nariu pažymėkime raide F, o savybę būti negeriančiu kavos žymėkime raide G, o jos neigimą žymėkime pridėdami neigimo ženklą ¬G, susieję savybes konjunkcija, nustatome nagrinėjamo teiginio loginę struktūrą: 

 

Skaitome: netiesa, kad yra tokių x, kurie turi savybę F ir neturi savybės G arba netiesa, kad yra tokiu x, kurie turi savybę būti mūsų šeimos nariais ir neturėti savybės gerti kavą. 

Teiginys “akli nemato” būtų formalizuojamas taip: 

, 

t. y. kiekvienas x, jei x aklas, tai x nemato. 

Išraiškoje gali pasitaikyti ir keli kvantoriai: 

 

Skaitoma: yra toks x ir yra toks y, iš kurių x turi savybę F arba y turi savybę F. Pavyzdžiui, yra koks nors žmogus x ir koks nors žmogus y, iš kurių x turi savybę „būti filosofu“ arba y turi savybę „būti filosofu“. Visuomet galima rasti du žmones, kurių vienas arba kitas yra filosofas.
Išraiška:

Skaitoma: kiekvienas x turi savybę F ir yra tokių y, kurie turi savybę F. Pavyzdžiui, šuo yra keturkojis, tačiau yra ir kitų gyvūnų, kurie taip pat yra keturkojai.

Kvantoriaus galiojimo sritį parodo skliaustai.
Išraiškoje: 

, 

bendrumo kvantorius galioja visai išraiškai, o išraiškoje: 

, 

bendrumo kvantorius galioja tik iki konjunkcijos ženklo.

Predikatų logikos išraiškose būna trijų rūšių kintamieji:

 Individiniai kintamieji – tai х, у z…, juos galima pakeisti paskirų objektų vardais.
 Predikatiniai kintamieji – tai F, G, H… . Juos galime pakeisti konkrečiais predikatais (savybėmis arba santykiais).
 Propoziciniai kintamieji – tai p, q, r… . Jie paimti iš teiginių logikos ir gali būti pakeisti konkrečiais teiginiais.

Išraiškoje: 

 

yra visų trijų rūšių kintamieji: x – individinis, F – predikatinis, p – propozicinis kintamasis.
Kintamieji x, y, z predikatų logikos išraiškose yra dvejopo pobūdžio – suvaržyti arba laisvi.
 Suvaržytas kintamasis – tai tas, kuris yra kvantoriuje ir tam tikroje kvantoriaus galiojimo srityje.
 Laisvas kintamasis – tai tas, kurio kvantoriuje nėra. 

Išraiškoje: 

kvantoriuje esantis kintamasis x – suvaržytas; laužtiniuose skliaustuose esantis x taip pat suvaržytas, nes jis yra kvantoriaus galiojimo srityje; y – laisvas kintamasis; paskutinis x – taip pat laisvas, nes jis yra už kvantoriaus galiojimo srities. Esminė kvantoriaus savybė ta, kad jis laisvus kintamuosius paverčia suvaržytais. Išraiška, kurioje nėra laisvų kintamųjų, yra teiginys, o ne propozicinė funkcija. Objektai, kuriems galima priskirti tam tikrą savybę, sudaro tos savybės sritį. Pavyzdžiui, savybės „mėlynas" sritis yra visi objektai, kuriems būdinga ši spalva.

Išraiškų pertvarkymas 

Savybių teorijos išraiškos įvairiai pertvarkomos, iš vienų išraiškų išvedant kitas joms ekvivalentes išraiškas. 

Dėsniai: 

; 

 

nurodo, jog kurioje nors išraiškoje pakeitę kintamąjį kitu kintamuoju, gausime jai ekvivalentę išraišką. Taip pat ir išraiškoje: 

 

kintamąjį x pakeitę kintamuoju y gausime ekvivalentę išraišką: 

 

Keičiant kintamąjį kitu, privaloma pakeisti visus kintamuosius, ir negalima pakeisti laisvųjų kintamųjų suvaržytaisiais kintamaisiais, ar atvirkščiai, pavyzdžiui: 

 

tokios išraiškos negalima pakeisti į išraišką: 

, 

nes y kintamasis pirmojoje išraiškoje yra laisvas, o antrojoje pakeičiamas į suvaržytą kintamąjį x. Išraiška, kurios savybių teorijos išraiškas pertvarkant taip, kad kvantoriai iškeliami prieš visus kitus išraišką sudarančius simbolius įgauna normaliąją formą, pavyzdžiui: 

 

išraiškos normalioji forma yra: 

, 

kurią skaitome taip: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad x turi savybę F arba y turi savybę G. Taikant kvantorių ekvivalencijos bei teiginių logikos dėsnius, savybių teorijos išraiškas įmanoma pertvarkyti taip, kad neigimas tektų tiktai savybėms. 

 

išraiška skaitoma: netiesa, kad jei yra koks x, kuris turi savybę F, tai kiekvienas y turi savybę G. Šiai išraiškai pritaikius teiginių logikos dėsnį: 

 

gausime išraišką: 

 

Jeigu pritaikysime kvantorių ekvivalencijos dėsnį: 
 
, 

tuomet gausime išraišką: 

 

Gautoje išraiškoje, neigimas taikomas tiktai savybėms.

Formalioji implikacija 
Teiginys, kurio forma yra tokia: „iš to, kad x turi predikatą F, visuomet seka, kad x turi predikatą G“ Šis teiginys vadinamas formaliąja implikacija, kurios išraiška yra tokia: 

 

Formalioji implikacija reiškiama materialiąja implikacija bei bendrumo kvantoriumi, kurios reikšmė: kiekvienas objektas, turintis predikatą F, turi predikatą G. 

Galimi du atvejai: 

1. Objektų klasė x yra baigtinė ir jos elementai žinomi. Pavyzdžiui, ant žemės guli 10 obuolių. Tuomet tokio teiginio, kaip „kiekvienas x, jei x yra obuolys, gulintis ant žemės, tai x yra raudonas“, teisingumas yra nustatomas peržiūrint visus obuolius. Tokiu atveju išraiška: 

 

turi konjunkcijos prasmę: [F(x1) → G (x1)] • [F(x2) → G (x2)] • [F(x3) → G (x3)]… [F(xn) → G (xn)]. Ši formalioji implikacija yra teisinga tokiu atveju, jeigu jos visi konjunkcijos nariai (visos atskiros implikacijos) yra teisingos. 

2. Objektų x klasė yra nesuskaičiuojama. Tokiu atveju, formaliosios implikacijos teisingumas negali būti reiškiamas atskirų implikacijų konjunkcija. Pavyzdžiui, teiginio, „kiekvienas x, jei x yra automobilis, tai x yra būdingas vidaus degimo variklis“ teisingumo negalima nustatyti stebint pavienius objektus, nes tų objektų neina suskaičiuoti. Formalioji implikacija reikalinga formalizuoti vienam iš jungties „jei…, tai“ vartojimo variantų, siekiant išreikšti prasminį antecedento ir konsekvento ryšį.

Savybių teorijos dėsniai 

Savybių teorijos dėsniai, skiriasi nuo santykių teorijos dėsnių tuo, kad savybių teorijoje dėsniai yra taikomi tuo atveju, kai egzistuoja bent vienas objektas (santykių teorijoje privalomi du objektai tarp kurių išreikštas santykis.) 

Pagrindinė sąvoka santykių teorijoje yra kvantoriaus sąvoka. Kvantorius yra tam tikra funkcija, kuri išreiškia tam tikrą mąstymo objektų kiekį. Kadangi gali būti daug mąstomų objektų ir mažai mąstomų objektų, tai pat egzistuoja kvantoriai, kuriais naudojantis formalizacijos metodu yra užrašomas objektų kiekis. 

Kvantoriai yra skirstomi į egzistencijos kvantorių ir bendrąjį kvantorių. Egzistencijos kvantorius yra žymimas , kuris reiškia, kad egzistuoja bent vienas objektas. Bendrumo kvantorius, kuris žymimas  reiškia, kad kiekvienas arba visi turi tam tikrą savybę. Susipažinus su kvantorių žymėjimais ir reikšmėmis prieisime prie jų naudojimo kartu su savybėmis. 

Naudojant egzistencijos kvantorių, prie jo priskiriant savybę F(x) sakoma, kad egzistuoja bent vienas objektas, kuris turi savybę F(x) pvz.: jei automobilis yra raudonas, tai sakoma, kad egzistuoja bent vienas automobilis, kuris turi savybę būti raudonu. Formalus šios išraiškos užrašas yra: 

 

apie tai ar visi automobiliai raudoni mes nežinome. Naudosime bendrumo kvantorių kai apie jo priskiriamą savybė F(x) bus sakoma, kad visi arba kiekvienas objektas turi savybę F(x), pvz.: kiekvienas važiuojantis automobilis turi ratus, šios išraiškos formalus užrašas yra: 

 

reiškia, kad kiekvienas važiuojantis automobilis turi savybę būti ratuotam. 

Savybių teorijos dėsniai. 

Keturi dėsniai, kurie yra taikomi vieniems kvantoriams paverčiant kitais. Tai yra egzistencijos kvantorius galima paversti bendraisiais kvantoriais ir bendrumo kvantorius galima paversti egzistencijos kvantoriais. Kvantorių keitimas yra pagrįstas kvantorių neigimu, kai yra neigiamas pats kvantorius arba jo savybė. 

Kvantorių tapatybės arba dėsniai yra keturi: 

1.)  

Teiginys: „kiekviena knyga turi puslapius“ ekvivalentus teiginiui „Netiesa, kad yra tokia knyga, kuri neturėtų puslapių.“

2.)  

Teiginys: „kadangi netiesa, kad kiekvienas žmogus yra doras, tai yra žmonių, kurie nėra dori.“ 

3.)  

Teiginys: „kadangi yra dorų žmonių, tai netiesa, kad kiekvienas žmogus nedoras.“ 

4.)  

Teiginys: „netiesa, kad mūsų grupėje yra toks studentas, kuris moka Estų kalbą ekvivalentus teiginiui: kiekvienas mūsų grupės studentas Estų kalbos nemoka.“ 

Egzistuoja dėsniai kurie nurodo, kaip kvantoriai gali būti įkelti į skliaustus ir iškelti iš jų. Šie dėsniai vadinami kvantorių išskaidymo ir jungimo dėsniais. 

Dėsniai yra šie: 

1.)Bendrumo kvantoriaus išskaidymas konjunkcijoje: 

 

Pvz.: teiginys: „kiekviename universitete yra fakultetai ir katedros“ ekvivalentus teiginiui: „kiekviename universitete yra fakultetai ir kiekviename universitete yra katedros.“ 

2.) Kitaip išskaidomas egzistavimo kvantorius konjunkcijoje: 

 

Pvz.: teiginys: „yra toks sportininkas, kuris pasiekė geriausią rezultatą pasaulyje ietės metimo rungtyje 1960 m. ir yra toks sportininkas, kuris pasiekė geriausią rezultatą pasaulyje ietės metimo rungtyje 2000 m.“ 

3.) Egzistavimo kvantoriaus išskaidymas disjunkcijoje: 

 

Pvz.: teiginys: „yra toks automobilis kuris yra raudonas arba juodas tai yra ekvivalentu išraiškai: yra toks automobilis kuris yra raudonas arba yra toks automobilis kuris yra juodas.“ 

4.) Bendrumo kvantoriaus išskaidymas implikacijoje: 

 

Pvz.: teiginys: „visi automobiliai, jei jie yra su paauksuotais ratlankiais yra brangūs, iš to išplaukia, kad jei kiekvienas automobilis yra su paauksuotais ratlankiais, kiekvienas automobilis yra brangus.“

5.) Bendrumo kvantoriaus jungimas konjunkcijoje: 

 

Pvz.: teiginys: „kiekvienas automobilis turi veidrodėlius ir kiekvienas automobilis turi langus yra ekvivalentu, kad kiekvienas automobilis turi veidrodėlius ir langus.“ 

6.) Bendrumo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje: 

 

Pvz.: teiginys: „tarkime, kad kiekvienas mūsų grupės narys keliavo Nerimi arba kiekvienas mūsų grupės narys keliavo Nemunu. Iš čia seka, kad kiekvienas mūsų grupės narys keliavo Nerimi arba Nemunu.“ 

7.) Egzistavimo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje: 

 

Pvz.: teiginys: „egzistuoja automobilis kuris yra juodas arba egzistuoja automobilis kuris turi dureles, ekvivalentus išraiškai egzistuoja automobilis kuris yra juodas arba turi dureles.“ 

8.) Egzistavimo kvantoriaus jungimas implikacijoje: 

 

Pvz.: teiginys: „jei egzistuoja komanda kuri yra varžybų dalyvė, tai egzistuoja komanda kuri laimi, iš to išplaukia, kad jei kažkokia komanda egzistuoja kaip varžybų dalyvė tai ji laimi.“

Santykių teorija

Santykių samprata 
Santykių teorija nagrinėja tokius požymius, kurie priskiriami dviem, trims, keturiems ar daugiau objektų, tačiau negali būti priskiriami vienam objektui. Turi būti mažiausiai du objektai. Tikrovės objektų sąveikos logiškai reiškiamos santykiais. Kalboje gausu žodžių, kurie reiškia santykius, pavyzdžiui: mažiau, brolis, puolimas, tėvas, būti tarp, priešas, judėjimas ir taip toliau. Santykių teorijoje objektai žymimi mažosiomis raidėmis x, y, z, o patys santykiai – didžiosiomis raidėmis R, S, T. Tokia išraiška, kaip  skaitoma taip: tarp objektų x ir y yra santykis R. Tokią struktūra turi teiginys: „Medžiotojas nušovė šerną“ (Medžiotojas yra x, nušovė – R, šernas – y). 

Santykis, esantis tarp dviejų objektų, vadinamas dviviečiu santykiu, tačiau santykiai, kurie yra tarp trijų, keturių ir daugiau objektų, sakoma, kad santykis yra tarp trijų, keturių ir taip toliau vietų. Jeigu savybės yra vienviečiai predikatai, tokiu atveju santykiai yra daugiaviečiai predikatai. 

Tokiame teiginyje, kaip „Katė yra tarp stalo ir kėdės“ reikalauja trijų objektų. Katę pažymėjus raide x, stalą – y, kėdę – z, gaunama formulė – R(x, y,z), kuri skaitoma: tarp objektų x, y, z yra santykis R. Žodis „duoti“, taip pat yra trivietis santykis, nes kas nors kam nors duoda ką nors, pavyzdžiui, senelė duoda anūkėliui saldainį. Žodis „mainai“ – keturvietis santykis, nes kas nors su kuo nors keičia ką nors į ką nors, pavyzdžiui, berniukas su mergaite keičia apelsiną į obuolį. 

Dauguma požymių, kurie dabar laikomi santykiais, kažkada buvo laikomi savybėmis. Terminas „būti geresniam“ yra trijų vietų santykis, kadangi x geresnis už y z požiūriu, pavyzdžiui mokinys x geresnis už mokinį y pažymių atžvilgiu z. 

Pagrindinis santykis loginių santykių teorijoje yra santykis tarp dviejų objektų, kuris žymimas išraiška . Santykių teorijoje taip pat plačiai naudojami kvantoriai. Tokios išraiško, kaip: x mokosi geriau už y; x įveikė y, yra ne teiginiai, o propozicinės funkcijos. Santykių teorijoje teiginiai iš propozicinių funkcijų sudaromi panašiai, kaip savybių teorijoje. Lengviausias būdas tai padaryti yra kintamuosius dydžius pakeisti objektų vardais, pavyzdžiui: Justas mokosi geriau už Arūną; imtynininkas įveikė boksininką. Kitas būdas propozicinę funkciją pakeisti teiginiu, tai susieti ją kvantoriais: 

 (x mokosi geriau už y); 

 (x įveikė y), kuriuos skaitome: yra toks x ir yra toks y, iš kurių x mokosi geriau už y; yra toks x ir yra toks y, iš kurių x įveikė y. Šie teiginiai yra teisingi, nes kiekvienoje mokyklos klasėje gali būti du moksleiviai, iš kurių vienas mokosi geriau, nei kitas; daug yra tokių imtininkų, kurie įveikia boksininkus. 
Santykių teorijoje propozicinės funkcijos gali būti susiejamos įvairiais kvantoriais. Tokia išraiška, kaip 

 yra skaitoma: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad tarp jų yra santykis R. 
Išraiška  skaitoma: yra toks x, kuris su kiekvienu y yra santykyje R, pavyzdžiui, yra gyvūnų, kurie pamatę ugnį bando ją užgesinti. 
Išraišką susiejantiems kvantoriams esant vienodiems, galima juos sukeisti vietomis, taip nepakeičiant išraiškos esmės, pavyzdžiui: 
 ar , prasmė nesikeičia. Bet jeigu išraišką susiejantys kvantoriai nevienodi, tuomet sukeitus juos vietomis pasikeistų išraiškos prasmė ir todėl jų keisti negalima. 
Santykių teorijoje yra ir tokių išraiškų, kai ne visi kintamieji yra susieti kvantoriais, tai yra, ne visi kintamieji suvaržyti, būna ir laisvų kintamųjų, pavyzdžiui, tokioje išraiškoje, kaip:  kintamasis x suvaržytas, o y – laisvas.

Teiginių formalizacija 

Santykių teorijoje formalizuojant teiginius, pasinaudojama ir savybių teorijoje nustatytomis priemonėmis. 
Teiginio „Kiekvienam automobiliui reikia atsarginių detalių“ dalinė formalizacija yra tokia: (automobilis )  (atsarginės detalės )   reikia . Savybę „būti automobiliu“ pažymėjus raide F, o savybę „būti reikalingumu“ pažymėję raide G, galima visiškai formalizuoti: 

 

Ši išraiška skaitoma: kiekvienam x yra tokie y, kad, jei x turi savybę F ir y turi savybę G, tai tarp x ir y yra santykis R. 
Teiginio „esama šunų, kurie nepaklūsta šeimininkams“ dalinė formalizacija yra tokia: (šunys )  (šeimininkai )  ( nepaklūsta ). Visiška formalizacija: 

 

kuri skaitoma: yra tokie x ir yra tokie y, kad jei x turi savybę F ir y turi savybę G, tai tarp x ir y nėra santykio R. 

Teiginio „joks gyvūnas neišgėrė viso vandens“ dalinė formalizacija yra tokia: (gyvūnas )  (visas vanduo )  ( neišgėrė ). Visiška formalizacija: 

 

kuri skaitoma: kiekviename x yra toks y, kad, jei x turi savybę F ir y turi savybę G, tai tarp x ir y nėra santykio R.

Veiksmai su santykiais 
Santykiai yra sąvokos, todėl, atliekant veiksmus su santykiais, gaunami nauji santykiai ir tuo pačiu kuriamos naujos sąvokos. Jie taip pat išreiškia didžiąją dalį žmogaus mąstyme naudojamų sąvokų, kaip antai paprastus santykius tarp objektų (daugiau, lygu, būti tarp) sąvokas, nusakančias laiko, erdvės, socialinius santykius (vėliau, arčiau, brolis, uošvis, įstabesnis) bei veiksmus (x atsiskaito y, x perduoda y, x nemėgsta y).

Santykio neigimas 
Santykį neigiant, virš arba šalia santykio rašomas neigimo ženklas. Išraišką , kai ji yra neigiama, skaitome: netiesa, kad tarp x ir y yra santykis R; tarp x ir y nėra santykio R. Pavyzdžiui, teiginyje „netiesa, kad tvarka ir teisingumas sutampa" nurodoma, kad tarp šių objektų tokio santykio nėra. Šis neigimas išreiškiamas formule: 

 

Kalboje santykio neigimo reikšmė atitinka teiginio, kuris išreiškia santykį, tarinio neigimą. Pavyzdžiui, teiginio „automobilis yra garaže“ neigimo – „netiesa, kad automobilis yra garaže“ prasmė bus „automobilio nėra garaže“. 
Santykio dvigubas neigimas lygus santykiui.

Santykio konversija 
Jeigu turime santykį xAy, tai santykio A konversija bus toks santykis A−1 (dažnai žymimas Â), kuris užrašomas atvirkščia kintamųjų x ir y tvarka, tačiau išlaiko tą pačią prasmę: 

xÂ y ↔ yA−1x 

Santykio x yra y tėvas" konversija – tai santykis y yra x sūnus. Kalboje, jeigu santykis yra veiksmas, o jį reiškiąs žodis yra veiksmažodis, tai santykio konversija reiškiama neveikiamąja dalyvio rūšimi (pasyvu). 
Pažymėtina, kad konversijos neigimas nieko nekeičia (A-A), todėl konversijos neigimas ekvivalentus konversijos neigimui. Galima konversuoti ir santykių konjunkciją ar disjunkciją. 

Pvz.: (yi,xi) ∈ A−1 → (xi, yi) ∈ A 

Tegul A žymi santykį „perskaityti“, o S – santykį „parašyti". Sudarom teiginį: „x perskaitė y arba x parašė y„. Jį konversavę, gausime: „y buvo x-so perskaitytas arba y buvo x-so parašytas“.

Santykių sudėtis 
Tai veiksmas, kai iš dviejų santykių  ir  gaunamas naujas santykis , kurį sudaro poros (x, y), gautos sujungus santykio R ir santykio S x-sų ir y-kų poras: 

 

Pvz.: jei  – santykis „x-as yra y-ko tėvas“,  – santykis „x-as yra y-ko motina“,
tai  – santykis „x-as yra y-ko gimdytojas“, bus: 

 

iš to išplaukia: „būti gimdytoju reiškia būti arba tėvu, arba motina“.

Santykių daugyba 
Tai toks veiksmas, kai iš dviejų santykių  ir  gaunamas naujas santykis , kurį sudaro poros (x, y), bendros santykiui R ir santykiui S. 

 

Pvz.: jei  – santykis „x-as dėsto y-ui anglų k.“,  – santykis „x-as dėsto y-ui rusų k.“, tai santykis: 

 

reikš poras tų studentų y, kurie pas tuos pačius dėstytojus x mokosi ir anglų, ir rusų kalbos.

Santykių kompozicija 
Santykių kompozicija yra vadinamas veiksmas, kai iš dviejų santykių sudaromas naujas sudėtinis santykis. Santykiai „brolio draugas", „motinos motina" ir pan. gaunami santykius komponuojant. Santykių kompozicija žymima taip: . 
Santykių kompozicija – veiksmas, veiksmas, kai iš dviejų santykių  ir  dėl jų bendro elemento z gaunamas naujas santykis , kurį sudaro poros (x, y), gautos iš porų (x, z) ir (z, y) kraštinių elementų, kai jų viduriniai elementai z sutampa: 

 

Tokiu atveju egzistuoja objektas z, su kuriuo x yra santykyje R ir kuris yra santykyje S su y: . 

Pvz.: santykis dėdė (D) gaunamas iš santykio brolis (BR) ir santykio gimdytojas (GI): 

 

Skaitome „x-as yra dėdė y-ui tada ir tik tada, kai egzistuoja kažkas, kam x-as yra brolis, ir kas yra gimdytojas y-ui“. Sukomponavę santykius „gimdytojas" ir „brolis", gavome naują santykį „brolio sūnus". 
Galima santykių kompozicijos konversija: 

 

Tegul R žymi santykį „būti mokytoju", S – „būti vyresniuoju draugu". Kompozicijos „x yra z mokytojas, o z yra y vyresnysis draugas" konversija bus tokia: „y yra x mokinio jaunesnysis draugas". Tegul x žymi Sokratą, y – Aristotelį, z – Platoną. Teiginio „Sokratas yra Platono mokytojas, o Platonas yra Aristotelio vyresnysis draugas" konversija yra teiginys „Aristotelis yra Sokrato mokinio (Platono) jaunesnysis draugas.

Loginės santykių savybės 
Nors pasaulyje be galo daug objektų ir įvairiausių santykių tarp jų, tačiau santykiai turi tam tikrų savybių. Santykiai – tai labai didelė mūsų mąstyme dalyvaujančių sąvokų grupė, ir yra prasminga panagrinėti pačių santykių, kaip tokių, logines savybes.

Refleksyvumas 

Refleksyviu vadinamas toks santykis, kai objektas yra tame santykyje su pačiu savimi. Lygybės, tapatybės, panašumo santykiai yra refleksyvūs, nes kiekvienas objektas lygus pats sau, tapatus pats sau ir pan. 

,  

Jeigu santykis  refleksyvus, tai jam būtinai priklauso ir abiejų, jį sudarančių elementų poros:

Antirefleksyvumas 

Santykis  vadinamas antirefleksyviu, jeigu nei vienam aibės x elementui xi, jo pora su pačiu savimi (xi, xi) nėra santykio R elementas: 

,  

 

Antirefleksyvių santykių pavyzdžiais gali būti: , . 

Santykiai gali būti ir nei refleksyvūs, nei antirefleksyvūs, jei į juos įeina kai kurios, bet ne visos poros (xi, xi). Pavyzdžiui, santykį  tenkina poros: (1,2), (2,2), (3,2), tačiau netenkins nei poros (1,1), nei poros (3,3).

Simetriškumas 

Simetrišku vadinamas toks santykis, kai, būdamas tarp objektų x ir y, jis yra tarp objektų y ir x. Simetriškumo santykis užrašomas: 

 

Santykis „sėdėti greta" simetriškas, nes jei x sėdi greta y, tai y sėdi greta x. Skirtumo santykis taip pat simetriškas: x skiriasi nuo y, o y skiriasi nuo x. Jei santykio, kuris yra tarp objektų x ir y, nėra tarp objektų y ir x, jis vadinamas nesimetrišku. Nesimetriškumo santykis užrašomas: 

 

Santykiai „būti motina", „būti aukštesniam" – nesimetriški: jei x yra y motina, tai y yra x sūnus arba duktė; jei x aukštesnis už y, tai y yra žemesnis už x. Kartais negalima pasakyti, ar santykis simetriškas, ar nesimetriškas. Pavyzdžiui, jei x myli y, tai vien logikos priemonėmis neįmanoma nustatyti, ar y myli x, ar nemyli. 

Santykis  vadinamas antisimetriniu, jeigu esant kintamųjų porai , būtinai nebus kintamųjų poros , nebent . Tai reiškia, kad abu santykiai  ir  galimi drauge tada ir tik tada, kai . 
Antisimetrinių santykių pavyzdžiais gali būti santykiai: x nedalus iš y, x didesnis už y, x≥ y. 

Santykis  vadinamas asimetriniu, jeigu esant kintamųjų porai (xi, yj)∈R, būtinai nebus kintamųjų poros (yj, xi)∈R: 

R∈X×Y∩R−1∈X×Y=ø 

arba, 

∀ x∀ y((xi,yj)∈R↔ (yj,xi)∉R) 

Asimetrinių santykių pavyzdžiais gali būti santykiai: x>y, x įspūdingesnis už y, x lakesnis už y.

Tranzityvumas 

Tranzityviu vadinamas toks santykis, kuris, būdamas tarp objektų x ir y, ir tarp objektų y ir z, yra taip pat tarp objektų x ir z. Tranzityvumo santykis užrašomas: 

 

Santykiai „lygus", „didesnis", „ankstesnis" – tranzityvūs: jei x įvyko anksčiau už y, o y įvyko anksčiau už z, tai x įvyko anksčiau už z. 
Netranzityviu vadinamas santykis, kuris, būdamas tarp objektų x ir y ir tarp objektų y ir z, nėra tarp objektų x ir z. Netranzityvumo santykis užrašomas: 

 

Pavyzdžiui, jei x yra y tėvas ir y yra z tėvas, tai x jau ne z tėvas, o senelis. Kartais vien logikos priemonėmis neįmanoma nustatyti, ar santykis tranzityvus, ar netranzityvus. Pavyzdžiui, jei x yra y draugas, o y yra z draugas, tai dar nežinia, ar x yra z draugas. 
Santykių savybės nustatomos apibendrinant patirtį – tai semantikos sritis.

Vienareikšmiškumas 

Dažnai svarbu nustatyti kiekį objektų, tarp kurių yra kuris nors santykis. Kiekvienas turi tik vieną tėvą ir vieną motiną, tuo tarpu pastarieji gali turėti ir daugiau vaikų. 

Vienareikšmiu vadinamas toks santykis, kai santykyje  kiekvieną objektą y atitinka tik vienas objektas x. Santykis „x yra y pirmasis mokytojas" – vienareikšmis. Kiekvienas (y), pirmą kartą atėjęs į mokyklą, turi savo pirmąjį mokytoją (x). Tačiau pirmasis mokytojas turi ne vieną mokinį, o visą klasę. Vienareikšmiškumo santykis užrašomas: 

 

Jei x yra y motina, tai z yra x sūnus ir x = z, nes y tegali turėti vieną motiną. 

Abipusiai vienareikšmis santykis yra tada, kai santykyje  kiekvieną, objektą y atitinka tik vienas objektas x, ir atvirkščiai: kiekvieną objektą x atitinka tik vienas objektas y. Teiginyje „M. Mažvydas išleido pirmąją lietuvišką knygą" išreikštas abipusiai vienareikšmis santykis. Turimomis žiniomis, pirmąją lietuvišką knygą išleido vienas asmuo – M. Mažvydas, ir atvirkščiai: M. Mažvydas išleido vienintelę pirmąją lietuvišką knygą. Abipusio vienareikšmiškumo santykis užrašomas išraiška:

Tapatybė 
Tapatybės pagrindinis dėsnis yra x lygus y. Visi x požymiai turi būti tapatūs ir su y požymiais, kad jie reikštų tą patį. Tapatybę žymėsime , o savybes raide  ir tapatybės pagrindinį dėsnį išreikštume taip: 

 

Tai skaitytusi taip: x tapatus y, jei ir tik jei kiekvieną požymį Q, kai jį turi objektas x, tai jį turi objektas y, ir priešingai. 

Kadangi kyla problema, kad nėra dviejų lygiai tokių pačių daiktų, iš to kyla kitas dėsnis kuris teigia, kad x yra tapatus tik sau. Jį užrašutyme šitaip: 

 

Taip pat kyla problema, dėl daikto tapatybės išlaikymo laike, tačiau visuotiniame kitime yra santykinio pastovumo momentas. Šio santykinio objektų pastovumo momento atsispindėjimas mąstyme yra loginis tapatybės dėsnio aspektas: kiekviena mintis tapati sau. Šis dėsnis užrašomas išraiška kurioje A simbolizuoja mintį: 

 

Iš to išplaukia, kad sąvokas galima naudoti tik vienareikšmiškai, nes kai tarkime žmogus sako žodį “grožis” jo pašnekovas gali tą grožį suprasti tik tapatų su savo mintyse atsispindinčia grožio sąvoka.

Santykių išreiškimas savybių teorijos terminais 
Santykiai galimi tarp individualių objektų, objektų klasių ir pačių santykių. Skirtumas tarp savybių ir santykių nėra absoliutus. Santykis atlieka tą patį vaidmenį, kaip ir savybė, bet tarp dviejų, trejų ar keturių objektų ir nusako šių objektų eiliškumą, tarkim, santykio „daugiau“ atveju, negalima sakyti, kad objektas, kuris yra kiekybiškai mažesnis už lyginamą su juo objektą, būtų prieš „daugiau“. Norint savybę paversti santykiu, reikia išskaidytus narius sujungti į vieną, pavyzdžiui: „žvejys yra pagavęs žuvį“ ir „žuvis yra pagauta žvejo“ yra savybės; ‚žvejys pagavo žuvį“ yra santykis.

Santykių teorijos dėsniai 
Santykių teorijoje dėsniai išvedami iš teiginių logikos dėsnių. Teiginių logikos nariai pakeičiami santykiais, o loginės konstantos lieka. Tarkim, norint gauti dvigubo neigimo dėsnį santykių teorijoje naudojama išraiška ,  pakeitus , jos išraiška yra: 

 

skaitoma: kiekvienam x ir kiekvienam y yra teisinga, kad teiginys „netiesa, kad tarp x ir y nėra santykio R“ ekvivalentiška teiginiui „tarp x ir y yra santykis R. 

Teiginių logikos išraiškoje esant keliems kintamiesiems, santykių teorijoje visi jie pakeičiami skirtingais santykių kintamaisiais: p pakeičiams xRy, o q pakeičiamas xSy. Implikacijos dėsnis: 

 

santykių teorijoje atrodo taip: 

 

skaitoma: kiekvienam x ir kiekvienam y yra teisinga, jeigu tarp x ir y yra santykis R, tarp jų nėra santykio S.

Kontrapozicijos dėsnis: 

 

jeigu p yra xRy, o q yra xSy keičiamas:

 

skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad jei tarp jų yra santykis R, tai tarp jų yra santykis S; iš to išplaukia, kad jei tarp x ir y nėra santykio S, tai tarp jų nėra santykio R.

Išsprendžiamumas predikatų logikoje 
Predikatų logikoje teiginio teisingumą galima nustatyti tik paverčiant formulės kintamuosius konkrečiais objektais. Matricų metodas čia netaikomas. Yra trys formulių išsprendžiamumo tipai: 

 Formulė įvykdoma kokioje nors objektų srityje (pakeitus visus individinius ir predikatų kintamuosius tam tikrais individualiais objektais ir predikatais, formulė tampa teisinga);
 Formulė visuomet teisinga arba bendrareikšmė kokioje nors objektų srityje (pakeitus visus individinius ir predikatų kintamuosius bet kuriais tos objektų srities objektais ir predikatais, formulė tampa teisinga);
 Formulė visuomet teisinga arba bendrareikšmė bet kurioje objektų srityje (pakeitus visus individinius ir predikatų kintamuosius bet kuriais bet kurios objektų srities objektais ir predikatais, formulė tampa teisinga). 

Akivaizdus yra atvejis, kai daiktas, turėdamas tam tikrą savybę nėra daiktas, kuris tos savybės neturi, todėl dažnas yra neigimo arba dvigubo neigimo atvejis, tarkim: 

 

Skaitoma: visiem x yra neteisinga, kad x turi savybę F ir x neturi savybės F. 

Aukščiau pateiktuose apibrėžimuose numatoma, kad predikatų logikos formulėse nėra individualius objektus žyminčių simbolių. Jei yra metodas, galintis nustatyti formulių įvykdomumą arba surasti, kada formulė visuomet teisinga, tada predikatų logikos išsprendžiamumas laikomas įrodytu.

Išplėstinė predikatų logika 
Išplėstinė predikatų logika (dar kitaip siauroji predikatų logika) – logikos rūšis, kur kvantoriai suvaržo individualius kintamuosius (x, y,z) – anksčiau nagrinėti atvejai. Aukštesnės eilės predikatų logikoje kvantoriai suvaržo propozicinius (p, q,r…) ir predikatinius (F,G,R,S….) kintamuosius. Pavyzdžiai: 

 

Skaitoma: kiekvienam p teisinga, kad „netiesa, kad ne p“ yra ekvivalentiška p.

 
 
Skaitoma: yra tokia savybė F, kurią turi visi x.

Predikatų logika filosofijoje 
Predikatų logika padėjo išspręsti seną loginį ginčą ir mąstymo prieštaravimą, kurį atrado senovės graikų filosofas Zenonas Elėjietis. Ginčai ir prieštaravimai kildavo dėl mąstymo paradoksų, kurie yra vadinami aporijomis. Daugiausia žinomos Zenono Elėjiečio aporijos (Zenono paradoksai). Vienoje iš Zenono aporijų apie strėlę sakoma, kad nuo taško A strėlė pasiekia tašką B per tam tikrą laiko atkarpą, kurią žymėsime t1-t2. Kiekviename laiko t1-t2 momente strėlė turi būti kuriame nors tarpiniame laiko taške. Todėl, strėlė būdama kuriame nors laiko taške, turi, tuo laiko momentu (nors ir itin trumpai), būti rimtyje, tai reiškia nejudėti. Atsiranda paradoksas, nes taip išeina, kad rimties būvių suma sudaro judėjimą. Todėl Zenonas daro išvada, jog strėlės judėjimo protas įrodyti negali.

Pabandykime išanalizuoti šią aporiją predikatų logikos terminais: 

 – judąs kūnas (strėlė);
 – bet kuris laiko t1-t2 momentas;
 – bet kuris erdvės taškas.

Teiginį, kad kiekvienu laiko t1-t2 momentu yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti, užrašome: 

 (a yra taške m laiko t1-t2 momentu T)

Tačiau iš to dar neseka, kad strėlė laiko tarpu t1-t2 yra rimties būvio. Strėlė per laiką t1-t2 būtų rimties būvio tuo atveju, jei iš teiginio „bet kuriuo laiko t1-t2 momentu T yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti" būtų galima išvesti teiginį „yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti bet kuriuo laiko t1-t2 momentu T„. Šį antrą teiginį užrašysime: 

 (a yra taške m laiko t1-t2 momentu T)

Vadinasi, Zenono įrodinėjimas, kad strėlė nejuda, būtų teisingas, jei būtų teisinga implikacija: 

 (a yra taške m laiko t1-t2 momentu T)   (a yra taške m laiko t1-t2 momentu T) 

Tačiau ši implikacija yra neteisinga, nėra logikos dėsnis, nes iš teiginio: 

 (a yra taške m laiko t1-t2 momentu T)

negalima išvesti teiginio 

 (a yra taške m laiko t1-t2 momentu T).

Toks antecedento kvatorių ∀T∃ m sukeitimas vietomis konsekvente ∃ m∀T neleistinas todėl, kad išraiška:

nėra predikatų logikos dėsnis. Tačiau predikatų logikos dėsnis yra išraiška:

. 

Pagal šią išraišką, nagrinėjant strėlės kelią erdvėje, tegalima pasakyti: iš teiginio „yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti bet kuriuo laiko t1-t2 momentu T“ seka teiginys „bet kuriuo laiko t1-t2 momentu T yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti". Tačiau iš to neseka išvada, kad strėlė laiko tarpu t1-t2 yra rimties būvio. 
Vadinasi, Zenono Elėjiečio samprotavime, kad strėlė nejuda, slypi tiesiog loginė klaida. Pateiktas pavyzdys parodo, kad naudojant simbolinę kalbą galima išspręsti loginius prieštaravimus ir kokią naudą teikia filosofijai bei kitiems mokslams.

Literatūra 
 Romanas Plečkaitis. Logikos pagrindai. Vilnius: Tyto alba. 2009.
Logika