Arklių paradoksas

Arklių paradoksas – paradoksas, kai klaidingai taikant matematinę indukciją įrodoma, jog visi arkliai yra vienos spalvos.

Tarkim, n – arklių skaičius mūsų aibėje. Jei turime tik vieną arklį (n = 1), tai, suprantama, visi arkliai aibėje vienos spalvos. Belieka įrodyti, jog teiginys teisingas bet kokiam arklių skaičiui.

Dabar tarkim, jog turime du arklius. Paimkime vieną jų iš aibės. Gausime vieno arklio aibę, kur, aišku, visi arkliai vienos spalvos. Jei paimsime antrąjį, gausime kitą, irgi vieno arklio aibę, kurioje visi arkliai taip pat vienos spalvos. Klaidingai interpretuojant matematinės indukcijos taisykles, šioje vietoje neva įrodoma, jog bet kokioje dviejų arklių aibėje visi arkliai vienos spalvos – bet kurių dviejų arklių spalva vienoda. Jei bet kurių dviejų arklių spalva vienoda, tai visi arkliai yra vienos spalvos.

Paradokso „įrodyme“ klaidingai tariama, jog abi aibės, kurios lieka iš dviejų arklių aibės pašalinus vieną arklį, turi bendrų savybių. Iš tiesų to nėra, nes šio aibės neturi bendrų elementų.

Paprastai aiškinant, klaida neatrodo nei labai sudėtinga, nei sunkiai pastebima. Tačiau ji paaiškina ir iliustruoja kitas panašaus pobūdžio matematinės logikos klaidas, kurias aptikti daug sunkiau. Greičiausiai dėl šios priežasties „arklio paradoksas“ minimas matematinėje literatūroje.

Paradoksai