Sekos riba

Skaičių sekos riba vadinama vertė, prie kurios artėja sekos narių vertės, tolstant į begalybę. Pavyzdžiui, turime seką:

 

Jokio sekos nario vertė nėra lygi nuliui, tačiau, kuo narys tolimesnis sekoje, tuo jo vertė artimesnė nuliui. Intuityviai suvokiame, kad sekos nariai artėja į nulį.

Tačiau toks apibrėžimas nėra tikslus ir netinkamas naudoti matematikoje. Griežtesnis apibrėžimas yra toks:

 Jei , tai skaičių  vadiname sekos riba. Jei tokio skaičiaus nėra – seka ribos neturi.

Kitaip tariant, jeigu egzistuoja toks sekos narys , nuo kurio pradedant, skirtumas tarp visų tolimesnių narių ir kažkokio skaičiaus  yra mažesnis, nei kažkoks iš anksto nustatytas skaičius (jis gali būti kiek norima mažas), tai sakome, kad  yra šios sekos riba. Iš esmės šis apibrėžimas atitinka mūsų natūralų suvokimą apie sekos ribą.

Jei seka turi baigtinę ribą, tai sakome, kad seka konverguoja, kitu atveju – diverguoja.

Sekos ribą žymime:

 

Čia  reiškia ribą,  yra simbolinis žymėjimas, kad eilės numeris  tolsta į begalybę, o  yra n - tasis, t. y. bendrasis sekos narys.

Dalinės ribos 
Jei seka {} turi konverguojantį posekį {}, šio posekio riba vadinama daline riba. Didžiausia sekos {} dalinė riba vadinama sekos viršutiniąja riba (žymima ). Mažiausia sekos dalinė riba – apatinioji riba .

Pavyzdžiui, seka  neturi ribos, tačiau turi du konverguojančius posekius:
  ir

Koši kriterijus 

Augustinas Koši suformulavo kriterijų, kurį tenkinančios sekos vadinamos Koši sekomis:

 Seka  yra Koši seka, jei  konverguoja tada ir tik tada kai .

Koši kriterijus yra būtina ir pakankama sekos konvergavimo sąlyga – visos konverguojančios sekos yra Koši sekos ir atvirkščiai.
[Čia paimtas koši kriterijus ne sekoms, o skaičių eilutėm, reikia pataisyti.]

Ribų savybės 

Tegul  ir , tada galime atlikti tokius veiksmus:

 
 
  

arba

Skaičiavimas 

Skaičiuodami ribas pasiremiame jų savybėmis ir keliomis elementariausiomis ribomis:

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

ir t. t. Dažnai ribos ženklas nerašomas, o rašoma tiesiog, pvz.: . Toks užrašas suprantamas ne kaip lygybė, o kaip riba.

Ieškodami ribų galime tiesiog įrašyti begalybę vietoj , tačiau dažniausiai gauname neapibrėžtumą, kurį ir reikia pašalinti, pvz.:

Skaičius e 

Nepaprastai svarbi matematikoje yra tokia riba:

 

 

Ši vertė, vadinama skaičiumi e, yra viena svarbiausių matematinių konstantų.

Pavyzdžiai 

 

 

 Seka  diverguoja, t. y. ribos neturi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 
 

 
kur keičiame kintamąjį:  Kadangi  tai 

 

 

 

 

 

 

 
 

 
 

  
kur    kai 

 Rasime ribą 
 Skaitiklis išskaidomas pagal formulę 
 Vardiklis gali būti išskaidomas surandant jo sprendinius  ir :
 
 
 
Kvadratinė lygtis yra išskaidoma 

 

 

  

 

 

 

 

Matematinė analizė