Darbu sumos

Darbu (Darboux) sumos – dvi sąvokos naudojamos apibrėžiant Rymano integralą. Šiomis sumomis apibrėžiamas ir Darbu integralas. Sąvokas pirmą kartą panaudojo Žanas Gastonas Darbu.

Apatinė Darbu suma 

Tegul funkcija  apibrėžta intervale . Suskaidome šį intervalą tokiu būdu:

 

Gautų intervalų ilgius žymėsime  . Jų iš viso yra . Ilgiausio gabaliuko ilgį žymėsime .

Tokį intervalo skaidinį vadinsime . Apibrėžiame tokius taškus:

 

T.y. kiekviename intervalo skaidinio gabaliuke surandame mažiausią funkcijos reikšmę.
Sudarome tokią sumą:

 .

Šią sumą ir vadinsime apatine Darbu suma, ji yra intervalo skaidinio  funkcija, t. y. ji priklauso nuo to, kokiu būdu skaidome intervalą .
Geometrinė apatinės Darbu sumos prasmė yra stačiakampių, besiremiančių į kreivinę trapeciją iš apačios, plotų suma. Šių stačiakampių pločiai priklauso nuo to, kaip skaidome intervalą, t. y. nuo .

Viršutinė Darbu suma 

Viršutinę Darbu sumą apibrėžiame labai panašiai. Intervalą  skaidome tokiu pat būtų ir pasirenkame tokius taškus:

 

T.y. didžiausias funkcijos reikšmes kiekviename intervalo gabaliuke.
Analogiškai sudarome sumą:

 .

Ši suma irgi priklauso nuo intervalo skaidymo būdo . Geometriškai ji yra kreivinę trapeciją iš viršaus ribojančių stačiakampių plotų suma.

Darbu sumų savybės 

Abi Darbu sumos pasižymi tokiomis savybėmis:

 , t. y., kad ir kaip beskaidytume intervalą, viršutinė suma visada bus ne mažesnė už apatinę.
 Pridėjus naujus skaidymo taškus prie esamo skaidinio, apatinė Darbu suma gali tik padidėti, o viršutinė – tik sumažėti.

Šios savybės yra akivaizdžios geometriškai.

Apibrėžiami ir tokie dydžiai:

  – didžiausia įmanoma apatinė Darbu suma.
  – mažiausia įmanoma viršutinė Darbu suma.
Šie dydžiai pasižymi tokiomis savybėmis:

 
  ir , t. y. gabaliukų ilgiams be galo mažėjant, atitinkamos sumos pasiekia savo mažiausią ir didžiausią įmanomas vertes.

Paskutinė savybė dar vadinama Darbu lema.

Matematinė analizė