Trupmena

Trupmena – matematinė skaičiaus išraiška, kuri gali reprezentuoti vieną arba kelias lygias vieneto (arba visumos) dalis.

Pagrindinė trupmenos savybė: trupmenos reikšmė nesikeičia, kai jos skaitiklis ir vardiklis yra padauginami iš to paties nelygaus nuliui skaičiaus.

Trupmenų rūšys

Paprastosios trupmenos 
Paprastosios trupmenos žymi dviejų skaičių dalmenį ir yra žymimos 3/4 arba  arba, daug rečiau, 34. Viršutinis skaičius (šiuo atveju 3) yra vadinamas skaitikliu ir rodo kiek lygių dalių trupmena reprezentuoja, o apatinis skaičius (šiuo atveju 4) yra vadinamas vardikliu ir rodo kiek tokio pat dydžio lygių dalių sudaro vienetą (arba į kiek dalių vienetas yra padalintas).

Paprastosios trupmenos yra skirstomos į taisyklingąsias ir netaisyklingąsias. Taisyklingoji trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį (pvz., 3/4). Tokių trupmenų reikšmė visada yra mažesnė už vieną. Netaisyklingoji trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis yra lygus arba didesnis už vardiklį (pvz., 19/7). Tokių trupmenų reikšmė yra lygi vienetui arba didesnė.

Visų paprastųjų trupmenų, kurias sudaro sveikasis skaitiklis ir nenulinis sveikasis vardiklis, aibė matematikoje yra vadinama racionaliųjų skaičių aibe. Ji žymima raide .

 

Čia  reiškia sveikųjų skaičių aibę, o  reiškia, kad vardiklis negali būti lygus nuliui. Taip yra todėl, kad dalyba iš nulio yra negalima.

Paprastosios trupmenos taip pat yra naudojamos santykiams ir dalybai nusakyti. Pavyzdžiui, trupmena 3/4 taip pat reiškia santykį 3:4 (trys su keturiais) ir padalijimą 3 ÷ 4 (trys padalinta iš keturių).

Mišrieji skaičiai 
Mišrieji skaičiai yra skaičiai, išreikšti sveikų skaičių ir paprastųjų taisyklingųjų trupmenų suma. Ši suma rašoma be ženklo „+“. Pavyzdžiui, kalbant apie 3 tortus ir tris ketvirtadalius kito torto, sveikas skaičius ir trupmena rašomi tiesiog vienas šalia kito: , o ne , bet abu šie parašymai reiškia tą patį.

Netaisyklingoji trupmena yra tiesiog kitas būdas parašyti mišrųjį skaičių ir mišrieji skaičiai yra nesunkiai paverčiami į netaisyklingąsias trupmenas ir atvirkščiai. Galime įsivaizduoti, kad kiekvienas iš trijų tortų yra padalintas į keturias lygias dalis, kad vardiklis būtų toks pat kaip trupmenos. Taigi, į kiekvieną pilną tortą žiūrime kaip į keturias ketvirtąsias (). Tada bendrą tortų sumą, užrašytą mišriuoju skaičiumi , galime paversti į netaisyklingąją trupmeną: . Toks būdas padeda įsivaizduoti, kas vyksta, bet yra nepatogus, kai mišrusis skaičius turi didelę sveikąją dalį. Patogesnis būdas mišriuosius skaičius versti į netaisyklingąsias trupmenas yra padauginti mišriojo skaičiaus sveikąją dalį iš trupmenos vardiklio ir pridėti gautą skaičių prie skaitiklio. Pvz.:
 

 

Norint paversti netaisyklingąją trupmeną į mišrųjį skaičių reikia padailinti trupmenos skaitiklį iš vardiklio. Gauto skaičiaus sveikoji dalis bus ir mišriojo skaičiaus sveikoji dalis. Pvz.: , taigi sveikoji dalis yra 3. Taip pat sveikąją dalį galima gauti skaičiuojant, kiek netaisyklingosios trupmenos vardiklių „telpa“ į skaitiklį t. y. iš kokio mažiausio skaičiaus padauginus vardiklį gausis skaičius, mažesnis už skaitiklį: 3  8 = 24 < 26, bet 4  8 = 32 > 26, taigi sveikoji mišriojo skaičiaus dalis yra 3.

Mišriojo skaičiaus trupmeninės dalies vardiklis bus toks pat, koks buvo netaisyklingosios trupmenos. Mišriojo skaičiaus skaitiklį galima gauti iš netaisyklingos trupmenos skaitiklio atėmus vardiklio ir sveikosios dalies sandaugą. Pvz.:

Dešimtainės trupmenos 
Dešimtainė trupmena yra tokia trupmena, kurios vardiklis yra skaičiaus 10 laipsnis, nustatomas pagal į dešinę nuo kablelio einančių skaitmenų kiekį. Kai kuriose kitose šalyse vietoje kablelio (,) naudojamas taškas (.) arba pakeltas taškas (•), bet kablelis yra naudojamas dažniau. Taigi, dešimtainė trupmena 0,75 reiškia, kad skaitiklis yra 75, o vardiklis – 10 pakelta antruoju laipsniu (arba, kitaip tariant, 100), nes į dešinę nuo kablelio yra du skaitmenys (7 ir 5). Tai reiškia, kad dešimtainę trupmeną 0,75 galima užrašyti paprastąja trupmena 75/100. Jei imtume dešimtainę trupmeną su penkiais skaičiais po kablelio (pvz., 0,00158), tai vardiklis būtų 105 ir skaičių būtų galima alternatyviai užrašyti trupmena 158/100000.

Procentai 
Pagrindinis straipsnis: Procentai

Kitas dažnai naudojamas trupmenų tipas yra procentai, kurie žymimi ženklu %. Procentai yra trupmenos, kuriose vardiklis visada yra šimtas, tad 100 % reiškia 100/100.

Veiksmai su trupmenomis

Trupmenų prastinimas 
Padauginus trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš to paties (nenulinio) skaičiaus, gaunama nauja trupmena, kuri yra ekvivalenti pirmajai (t. y. jų reikšmės yra vienodos), nes yra išlaikomas tas pats proporcingumas. Pvz.: . Taip yra todėl, kad dauginti ir skaitiklį, ir vardiklį iš kokio nors skaičiaus n, yra tas pats, kaip dauginti iš trupmenos , kuri yra lygi vienetui. Pavyzdžiui, , ,  ir  yra ekvivalenčios trupmenos.

Paprasčiausia trupmena yra ta, kurios skaitiklis ir vardiklis neturi jokių bendrų daugiklių išskyrus vieną. Pavyzdžiui,  nėra paprasčiausia trupmena, nes ir 3, ir 9 dalijasi iš 3, taigi ją galima suprastinti iki . Tuo tarpu,  yra paprasčiausia trupmena, nes vienintelis bendras trijų ir aštuonių daugiklis yra vienetas.

Trupmenų prastinimas yra jų pavertimas paprastesnėmis ekvivalenčiomis trupmenomis. Vienas iš būdų prastinti trupmenas yra bandyti dalinti skaitiklį ir vardiklį iš tų pačių pirminių skaičių. Pvz., turime trupmeną . Padalinę skaitiklį ir vardiklį iš 2, gauname . Matome, kad abu skaičiai vis tiek lyginiai, tad galime dalinti iš 2 dar kartą. Gauname . Kadangi 189 nesidalina iš dviejų, pereiname prie sekančio pirminio skaičiaus – 3. . Matome, kad vardiklis toliau iš 3 nesidalina. Nei vienas iš skaičių nesidalina ir iš sekančio pirminio skaičiaus 5, bet dalijasi iš 7, tad galime suprastinti . Galime būti tikri, kad suprastinome iki paprasčiausios trupmenos, kai vardiklis arba skaitiklis yra pirminis skaičius, arba kai sekantis pirminis skaičius yra didesnis už prastinamos trupmenos skaitiklį arba vardiklį. Kitas panašus būdas yra išskaidyti skaitiklį ir vardiklį dauginamaisiais ir išbraukti pasikartojančius skaičius. Taip pat galima rasti skaitiklio ir vardiklio didžiausią bendrąjį daliklį ir abu skaičius iš jo padalinti.

Trupmenų palyginimas 
Lyginant trupmenas su tuo pačiu vardikliu reikia tik palyginti jų skaitiklius:
 , nes 3>2.

Lyginant trupmenas su tuo pačiu skaitikliu, didesnė būna ta trupmena, kurios vardiklis yra mažesnis:
 , nes 8<9.

Vienas iš būdų palyginti trupmenas su skirtingais vardikliais ir skaitikliais yra rasti jų bendrą vardiklį. Lyginant trupmenas  ir , jas galima pakeisti į  ir . Čia pasinaudojama trupmenų savybe, kad skaitiklį ir vardiklį padauginus iš to paties skaičiaus, trupmenos reikšmė nepasikeičia (. Trupmenos  ir  turi bendrą vardiklį bd, tad telieka palyginti trupmenų skaitiklius ad ir bc. Pavyzdys:
subendravardiklinus trupmenas : ir  gaunasi  ir . Taigi, 

Lyginant trupmenas  ir  galima ir iš karto lyginti sandaugas ad ir bc. Pavyzdžiui, , nes 517 > 418.

Jei viena trupmenų yra neigiama, o kita teigiama, tai didesnė yra teigiama, nes visi teigiami skaičiai yra didesni už visus neigiamus. Lyginant dvi neigiamas trupmenas (arba bet kokius kitus realiuosius skaičius), nelygybė ženklas apsiverčia, t. y. jei , tai .

Sudėtis ir atimtis 
Be papildomų veiksmų galima sudėti arba atimti tik tokias trupmenas, kurios turi tuos pačius vardiklius. Pavyzdžiui, ketvirtąsias su ketvirtosiomis. Tada tereikia sudėti (arba atimti) trupmenų skaitiklius, o vardiklis lieka toks pat. Pvz.:
 

 

Kai trupmenų vardikliai yra skirtingi, jas prieš sudedant reikia subendravardiklinti (pakeisti trupmenas ekvivalenčiomis trupmenomis, kurios turėtų bendrą vardiklį). Vienas iš būdų rasti bendrą vardiklį yra sudauginti abiejų trupmenų vardiklius. Pavyzdžiui, trupmenų  ir  bendras vardiklis yra 3  4 = 12. Taigi, jei norime šias trupmenas sudėti, reikia jas abi paversti į ekvivalenčias trupmenas, kurių vardikliai būtų 12:
 

 

Taigi:
 

Panašiai yra ir su atimtimi:
 

Šį metodą galima užrašyti ir algebriškai:
  (čia a, b, c ir d yra bet kokie realieji skaičiai)
Sudedant tris ar daugiau trupmenų, reikia rasti jų visų bendrą vardiklį:
 

Šis metodas visada veikia, bet kartais egzistuoja mažesnis bendras vardiklis nei abejų vardiklių sandauga. Pavyzdžiui, sudedant  ir  galima naudoti bendrą vardiklį 48, bet galima panaudoti ir mažesnį bendrą vardiklį – 12:

 

Norint rasti mažiausią skaičių, kurį galima panaudoti kaip trupmenų bendrą vardiklį, reikia rasti abejų sudedamų trupmenų vardiklių mažiausią bendrą kartotinį.

Daugyba 
Dauginant trupmenas iš trupmenų, gaunama nauja trupmena, kurios skaitiklis yra dauginamų trupmenų skaitiklių sandauga, o vardiklis – dauginamų trupmenų vardiklių sandauga:

 

 

Prieš dauginant trupmenas, kartais galima suprastinti vienos trupmenos skaitiklį su kitos trupmenos vardikliu. Tarkime, kad turime atlikti veiksmą . Matome, kad pirmosios trupmenos vardiklis ir antrosios trupmenos skaitiklis yra vienodi (7), tad juos galime suprastinti ir vietoje jų parašyti vienetus. Taip pat 2 susiprastina su 8, tad:
 

Jei šių veiksmų neatliekame, sudauginę gausime trupmeną, kurią galima suprastinti iki to paties skaičiaus:

Trupmenų ir sveikųjų skaičių daugyba 
Dauginant trupmenas iš sveikų skaičių, iš sveiko skaičiaus dauginti reikia skaitiklį, o vardiklis lieka toks pat:

 

 

Taip pat galima sveiką skaičių pasiversti į trupmeną, kurios vardiklis yra 1, ir tada skaičius dauginti kaip dvi trupmenas:

Mišriųjų skaičių daugyba 
Vienas iš būdų dauginti mišriuosius skaičius yra pasiversti juos į netaisyklingąsias trupmenas:
 

 

Dauginant iš sveikų skaičių, kartais yra patogiau atskirai padauginti sveikąją ir trupmeninę mišraus skaičiaus dalis ir gautus rezultatus sudėti:

Dalyba 
Dalinti iš trupmenos yra tas pats kaip dauginti iš jai atvirkštinės trupmenos. Kitaip tariant, jei daliklis yra trupmena, tai ją reikia „apversti“ (sukeisti skaitiklį su vardikliu) ir iš gauto skaičiaus padauginti. Pvz.:

 

 

Tai galima užrašyti ir algebriškai:
 

Dalinant trupmeną iš sveiko skaičiaus, sveiką skaičių reikia pasiversti į trupmeną, kurios vardiklis būtų 1 ir tada atlikti tuos pačius veiksmus:
 
Taip pat galima tiesiog sveiką skaičių reikia padauginti iš vardiklio.

„Daugiaaukščių“ trupmenų supaprastinimas 
Kartais gaunamos trupmenos, kurių skaitiklis arba vardiklis yra kita trupmena arba mišrus skaičius (pvz.:  ir ). Norint tokias trupmenas supaprastinti, reikia padalinti skaitiklį iš vardiklio taip, kaip dalijamos ir kitos trupmenos. Pvz.:

Iracionalaus vardiklio panaikinimas 
Atlikti veiksmus su trupmenomis, kurių vardiklis yra iracionalusis skaičius yra nepatogu, todėl, kai tai įmanoma, jis dažniausiai yra panaikinamas. Jei vardiklis yra vienanaris ir jame yra kvadratinė šaknis, tereikia skaitiklį ir vardiklį padauginti iš tos šaknies:

 

Jei vardiklyje yra kubinė šaknis, skaitiklį ir vardiklį iš tos šaknies reikia dauginti 2 kartus, jei ketvirto laipsnio šaknis – 3 kartus ir t. t.:

 

Nesunkiai galima panaikinti iracionalų vardiklį ir tada, kai vardiklis dvinaris, kurio vienas arba abu nariai turi kvadratinę šaknį. Tam reikia pasinaudoti savybe 

Jei trupmenos vardiklis yra  panaikinti jo iracionalumą galima padauginus skaitiklį ir vardiklį iš , nes tada, pagal aukščiau minėtą savybę, vardiklis bus:

Apibendrinus, jei vardiklyje yra dvinaris , panaikinti iracionalumą vardiklyje galima vardiklį ir skaitiklį padauginus iš  ir, atvirkščiai, jei vardiklyje yra dvinaris , panaikinti iracionalumą vardiklyje galima vardiklį ir skaitiklį padauginus iš . Pvz.:

 

Kai vardiklyje yra dvinaris su dviem kvadratinėmis šaknimis, iš esmės niekas nesikeičia, tik reikia dauginti iš dvinario, kurio abu nariai turi šaknis:

Kompleksinio vardiklio panaikinimas 
Kompleksinio vardiklio panaikinimas yra analogiškas iracionalaus vardiklio panaikinimui. Kai trupmenos vardiklyje yra kompleksinis skaičius, skaitiklis ir vardiklis dauginami iš vardikliui jungtinio skaičiaus. Kompleksiniam skaičiui  jungtinis yra skaičius . Pvz.:

Šaltiniai

Nuorodos 

Matematika