Augustin-Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy (Ogiustenas Lui Koši; 1789 m. rugpjūčio 21 d. – 1857 m. gegužės 23 d.) – prancūzų matematikas, vienas matematinės analizės pradininkų, taip pat suformulavęs kelias svarbias kompleksinės analizės teoremas.

Biografija

Vaikystė ir mokymosi metai
Koši tėvas Louis François Cauchy buvo aukštas Paryžiaus policijos pareigūnas. Savo darbą prarado dėl Didžiosios Prancūzų revoliucijos, prasidėjusios likus mėnesiui iki Augustino-Luiso gimimo. Koši šeima išgyveno revoliuciją, tačiau dėl po jos sekusio teroro pabėgo į Arkelį, kur Koši iš tėvo įgijo pirmąjį išsilavinimą. Po Robespjero mirties 1794 metais saugiai su šeima grįžo į Paryžių. Ten jo tėvas rado biurokrato darbą ir greitai kilo karjeros laiptais. Kai į valdžią grįžo Napoleonas (1799), Koši tėvas jau buvo generalinis senato sekretorius ir dirbo tiesiogiai su Laplasu (geriau žinomas dėl matematinės fizikos darbų).

Patartas Lagranžo, Augustinas-Luisas buvo įtrauktas į Centrinę panteono mokyklą, tuo metu geriausią pagrindinę Paryžiaus mokyklą Paryžiuje. Mokymo planas daugiausia susidėjo iš klasikinių kalbų. Jaunas ir ambicingas Koši, būdamas nuostabus studentas, laimėjo daugybę premijų iš lotynų kalbos ir humanitarinių mokslų. Įkvėptas sėkmės, Augustinas-Luisas pasirinko inžinieriaus specialybę ir pats pasiruošė stojamiesiems egzaminams į Paryžiaus politechnikos mokyklą.

1805 metais užėmė antrą vietą iš visų 293 laikiusiųjų šį egzaminą ir buvo priimtas. Vienas iš tos mokyklos tikslų buvo ruošti statybos ir karo inžinierius, aukšto lygio mokslininkus ir matematikus. Mokykloje vyravo karinė drausmė, kuri jaunam ir dievobaimingam Koši sukėlė problemų prisitaikant. Ne gana to, jis baigė Politechnikumą 1807 metais būdamas 18 metų amžiaus ir tęsė studijas Nacionalinėje tiltų ir kelių mokykloje, kur su pagyrimu baigė statybos inžinerijos studijas.

Inžinieriaus dienos
Po mokyklos, 1810 metais, Koši įsidarbino jaunesniojo inžinieriaus pareigose Cherbourge, kur Napaleonas statė karinio jūros laivyno bazę. Ten Augustin-Louis pasiliko trejus metus, kur dirbo labai daug laiko reikalaujantį vadybininko darbą, bet jis rado laiko paruošti ir tris matematinius rankraščius, iš kurių pirmi du buvo išleisti.

1812 spalį, jau 23 metų pradėjo sirgti nuo persidirbimo. Jį vis labiau pradėjo traukti matematika; Paryžiuje jis turėjo žymiai geresnius šansus išleisti savo darbus. Nors liko inžinierius, persikėlė iš Jūrų laivyno ministerijos į Vidaus ministerija. Kitus trejus metus išėjo neapmokamų atostogų dėl sveikatos, tą laiką sėkmingai praleido prie matematikos: išleido straipsnius apie simetrines funkcijas, grupių simetrijas ir aukštesnės eilės algebros lygčių teoriją.

Profesorius École Polytechnique

1815 metais Louis Poinsot, kolega profesorius iš École Polytechnique paprašė jį pavaduoti sutrikus sveikatai. Koši buvo kylanti matematikos žvaigždė, kuris tikrai nusipelnė būti profesoriumi. Vienas didžiausių jo pasisekimų buvo Ferma daugiakampių skaičių teoremos įrodymas. Vis dėlto faktas, kad Koši buvo labai ištikimas Burbonams neabejotinai padėjo užimti Poinsot vietą. Koši galiausiai metė inžinieriaus darbą ir pasirašė vienerių metų sutartį dėl matematikos dėstymo antramečiams studentams École Polytechnique. 1816 ši Bonapartiška mokykla buvo reorganizuota ir keli laisvų pažiūrų profesoriai atleisti; taip veiklus Koši tapo profesoriumi.

Nors sulaukęs 28 metų, Koši vis dar gyveno su tėvais. Taigi jo tėvas rado savo sūnui nuotaką, penkeriais metais jaunesnę Aloïse de Bure. Bure šeima turėjo leidyklą ir prisidėjo prie daugumos Koši darbų išleidimo. 1818 metų gegužės 4 jie susituokė Saint-Sulpice bažnyčioje. 1816 ir 1823 gimė dukros Marie Françoise Alicia ir Marie Mathilde.

Tremtyje
1830 liepą Prancūzijoje įvyko dar viena revoliucija. Čarlis X pabėgo iš šalies, tai buvo paranku Burbonų oponentui karaliui Louis-Philippe. Riaušės, kuriose uniformuoti École Polytechnique studentai paėmė valdžią Paryžiuje, privertė Koši išvykti.

Šitie įvykiai pakeitė Koši gyvenimą ir sustabdė jo matematinę veiklą. Koši, sukrėstas valdžios pasikeitimo, išvyko į šalies gilumą. Visgi šeima buvo palikta Paryžiuje. Trumpai pabuvojo Fribūre Šveicarijoje, kurioje nusprendė ir pasiryžo tvirtai prisiekti ištikimybę naujai valdžiai. Todėl greitai neteko visų savo pareigų Paryžiuje, išskyrus narystės Akademijoje, kuriai priesaika buvo nereikalinga. 1831 Koši išvyko į Italijos miestą Turiną, ir po kurio laiko priėmė Sardinijos karaliaus pasiūlymą užimti fiziko teoretiko vietą, įsteigtą būtent jam. Turine gyveno 1832–1833. 1831 buvo išrinktas į Karališkąją Švedijos Mokslų Akademiją.

1833 rugpjūtį Koši pasuko iš Turino į Prahą, kur tapo trylikamečio Duke of Bordeaux Henri d'Artois, Čarlio X anūko, (1820–1883) mokslo repetitoriumi. Kaip École Polytechnique profesorius Koši buvo neabejotinai blogas dėstytojas, pagal mokymo lygį vos keli geriausi mokiniai suprasdavo aiškinamą temą. Jaunasis Duke nesuprato ar nenorėjo mokintis, todėl blogai sutarė su Koši.

Jo repetitoriaus darbas tesėsi iki 1838 spalio, kuomet Duke jau sukako aštuoniolika. 1834, Koši žmona ir dukros persikėlė į Prahą ir jis po ketverių metų pertraukos vėl buvo su savo šeima.

Paskutiniai metai
Koši sugrįžo į Paryžių ir į Mokslų Akademiją 1838 metų antroje pusėje. Jis jau negalėjo susigrąžinti dėstytojo pareigų, nes neprisiekė perversmininkams. Visgi jis norėjo susigrąžinti vardą, įgytą Prancūzijos moksle.

1839 rugpjūtį apsistojo Ilgumų matavimo Biure (Bureau des Longitudes). Šis Biuras turėjo panašumų su Akademija. Koši manė jog Biuras gali užmiršti apie "ištikimybę" be to formaliai nesutarė su Akademija taigi buvo tarsi ir priversti jį priimti. Biuras buvo organizacija įkurta 1795 metais spręsti problemas, iškylančias jūroje nustatant ilgumas, kadangi platumos koordinates paprasta nustatyti pagal Saulę. Kadangi buvo manoma, kad ilgumą geriausia nustatinėti astronominiais stebėjimais, Biuras tapo astronomijos mokslų akademijos atitikmeniu.

1839 lapkritį Koši buvo išrinktas į Biurą, tačiau dėl jo praeities karalius ketverius metus netvirtino į šias pareigas. Negana to devynioliktame amžiuje vyko švietimo reforma kurios metu vyko kova tarp valstybės ir bažnyčios. Kai 1843 metais Collège de France atsirado laisva matematiko vieta, jis tegavo tris balsus iš 45.

1848 buvo revoliucijų metai visoje Europoje. Karalius Louis-Philippe bijodamas Louis XVI pabėgo į Angliją. 1849 metų kovo 1 Koši prisiekė ir tapo Faculté de Sciences profesoriumi. Koši visą laiką liko profesoriumi, iki kol mirė sulaukęs 67.

Darbai

Ankstyvoji stadija
Koši genialumą iliustruoja paprasti pavyzdžiai - išspręsta Apolonijaus problema (kai apskritimą liečia trys duoti apskritimai) 1805 metais, Oilerio formulės daugiasieniams apibendrinimas 1811 metais ir keletas kitų uždavinių. Dar svarbiau už bangų teorijos tyrimus 1816 metais gavo Prancūzų Mokslų akademijos apdovanojimą Grand Prix. Koši rašė ir kitomis temomis: eilučių teorija kur apibrėžė konvergavimo sąvoką ir pagrindines formules q-eilutėms; skaičių teorija ir kompleksinė erdvė; jis pirmas apibrėžė kompleksinius skaičius kaip realių skaičių porą. Jis taip pat rašė apie grupių teoriją ir keitinius; Funkcijų teoriją, diferencialines lygtis, ir determinantus.

Kompleksinės funkcijos
Koši geriausiai žinomas kaip Kompleksinių funkcijų teorijos pradininkas. Pirmoji rimta Koši įrodyta teorema žinoma kaip Integralinė Koši teorema, kuri teigia :

kur f(z) yra kompleksinė funkcija holomorfiška su nepersikertančia uždara kreive C gulinčia kompleksinėje plokštumoje. Kontūro integralas yra skaičiuojamas išligai kreivės C. Šios teoremos pradmenys buvo parašyti dvidešimt ketverių metų Koši rankraščiuose, kuriuos jis pristatė Académie des Sciences 1814 metų rugpjūčio 11 dieną. Pateikta pilnai teorema buvo 1825. 1825 ši Koši teorema paskelbta kaip viena svarbiausių indėlyje į matematiką.

1826 Koši suformulavo funkcijos reziduumo apibrėžimą. Ši koncepcija leidžia nagrinėti funkcijas su poliais – izoliuotais ypatingais taškais, kuriuose funkcijos reikšmė tampa begaline. Jei kompleksinė funkcija f(z) gali būti išskleista eilute taško a - poliaus - atžvilgiu kaip

kur φ(z) yra analizinė, tada sakoma, kad f turi n eilės polių taške a. Jei n = 1, polius vadinamas paprastu.
Koeficientą B1 Koši pavadino f reziduumu taške a. Jei f neturi poliaus taške a tada f reziduumas taške a yra nulinis. Aišku reziduumas pirmos eilės poliaus atveju yra

kur B1 pakeista šiuolaikine reziduumo sąvoka.

1831, kol Koši buvo Turine, išspausdino du straipsnius Turino Mokslo Akademijoje. Pirmame buvo formulė dabar žinoma kaip Integralinė Koši formulė,

kur f(z) yra analizinė uždarame kontūre C ir kompleksiniu skaičiumi a viduje to kontūro. Kontūrinis integralas yra skaičiuojamas laikrodžio rodyklės kryptimi. Aišku, integralas turi polių taške z = a. Antrame pristatinėjama reziduumo teorema,
  
kur sumuojami visi n f(z) poliai esantys C kontūro viduje. Šitie Koši kompleksinių funkcijų teorijos rezultatai iki šiol naudojami fizikoje ir elektros inžinerijoje. Ilgą laiko tarpą ši teorema buvo nepripažįstama, nes laikoma per daug sudėtinga. Tik 1840 teorija buvo pripažinta, kuomet Pierre-Alphonse Laurent įnešė savo indėlį kompleksinių funkcijų teorijoje (matematikams gerai žinoma Lorano eilutė).

Koši sekos 
Koši kriterijus yra būtina ir pakankama sąlyga sekoms konverguoti. 

Seka  yra Koši, kada

Koši kriterijus eilutėms 
Koši kriterijus yra būtina ir pakankama sąlyga eilutės konvergavimui nustatyti. Koši kriterijus eilutėms teigia, kad eilutė  konverguoja tada ir tik tada kai

Nuorodos 
 Koši konvergavimo kriterijus

Šaltiniai

Koši