Aritmetinė progresija

Matematikoje aritmetinė progresija – tai tokia skaičių seka, kurios skirtumas tarp šalia esančių narių yra pastovus. Pavyzdžiui, seka 5, 7, 9, 11, 13, 15 … yra aritmetinė progresija, kurios skirtumas yra 2.

Jei pirmasis progresijos narys yra , o skirtumas tarp šalia esančių narių lygus d, tai n-tąjį progresijos narį () galima apskačiuoti pagal formulę:
 

o bendruoju atveju pagal formulę:

 

Aritmetinė progresija, turinti ribotą kiekį narių, kartais dar vadinama baigtine aritmetine progresija. Tokios progresijos narių suma vadinama aritmetine skaičių eilute.

Aritmetinės funkcijos savybės priklauso nuo skirtumo d. Jei skirtumas yra

 Teigiamas, nariai didėja teigiamos begalybės link (didėjanti).
 Neigiamas, nariai didėja neigiamos begalybės link (mažėjanti).

Suma 
Baigtinės aritmetinės progresijos narių suma yra vadinama skaičių eilute. Ši progresijos suma

 

gali būti lengvai apskaičiuojama pagal formulę

 

kur n – sudedamų narių skaičius, o  – pirmojo ir ntojo narių suma. Taigi pateiktos skaičių eilutės radimas:

Išvedimas 
Tam, kad išvestume aukščiau pateiktą formulę, reikia parašyti progresijos sumą dviem skirtingais būdais:
 

 

Sudėjus abi puses gaunama lygybė:

 

Abi puses padalijus iš 2, gaunama įprasta formulės išraiška:

 

Kitas formulės variantas gaunamas į lygybę įstačiusn-tojo nario formulę :

 

Skaičių eilutės vidurkio radimas per formulę :

 

499 m. pr. m. e. žymus matematikas ir astronomas Aryabhata iš klasikinės Indijos matematikos ir astronomijos eros šį metodą pateikė savo veikale Aryabhatiya (2.18 skyrius).

Matematika