Kreivumas

Kreivumas arba kreivis – bendras pavadinimas kiekybinių charakteristikų, nusakančių geometrinių objektų (kreivių, paviršių ir pan.) santykinį skirtumą nuo „plokščių“ ar „tiesių“ jų atitikmenų (tiesės, plokštumos ir pan.). Dažniausiai kreivumas apibrėžiamas kiekvienam objekto taškui.

Plokštumos kreivės kreivumas 

Plokštumos kreivės kreivumas taške P(x0, y0) yra dydis, atvirkščias kreivio apskritimo spinduliui tame taške. Jei kreivė Dekarto koordinačių sistemoje nusakyta lygtimi y = f(x), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

 

Tokiu atveju neretai naudojama aproksimacija:

 

Jei kreivė nusakoma parametrinėmis lygtimis x = p(t), y = r(t), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

Paviršių kreivumas 

Tarkime, kad  yra glodus paviršius trimatėje euklidinėje erdvėje. Tegu  – taškas paviršiuje ,  –  liečiančioji plokštuma taške ,  – vienetinis normalinis vektorius (normalė)  taške , o  – plokštuma einanti per  ir vektorių , esantį . Kreivė , gaunama kertantis plokštumai  su nagrinėjamu paviršiumi , yra vadinama  pjūviu taške  vektoriaus  kryptimi.
Skaliarinis dydis  yra normalinis paviršiaus  kreivumas  kryptimi
 
Čia  reiškia skaliarinę sandaugą,  – kreivumo vektorius  taške .

Bendru atveju, kiekviename paviršiaus taške yra dvi statmenos kryptys  ir , kuriomis kreivumas yra didžiausias ir mažiausias. Šios kryptys vadinamos pagrindinėmis arba normalinėmis. Kreivumą bet kokia kryptimi galima aprašyti Oilerio formule:
 ,
kur  – kampas tarp krypties ir , o  ir  yra normaliniai kreivumai  ir  kryptimis.

Galimi ir kitokie kreivumo apibrėžimai:
 , (kartais )
yra vadinamas vidutiniu paviršiaus kreivumu.
O dydis
 
yra vadinamas paviršiaus Gauso kreivumas.

Diferencialinė geometrija