Rymano integralas

Rymano integralas () – vienas iš apibrėžtinio integralo apibrėžimų, pasiūlytas vokiečių matematiko Georgo Rymano. Kaip ir kiti apibrėžtinio integralo variantai, Rymano integralas naudojamas skaičiuoti plotui, tūriui, masei ir kitiems adityviems dydžiams.

Apibrėžimas

Integralinė suma 

Pirmiausia sudaroma funkcija, vadinama Rymano integralinė suma. Ji apibrėžiama labai panašiai kaip ir Darbu sumos.

Tegul funkcija  apibrėžta intervale . Intervalas suskaidomas tokiu būdu:

Gautų intervalų ilgiai žymimi . Jų iš viso yra . Ilgiausio gabaliuko ilgį pažymėkime , t. y.  . Toks intervalo skaidinys vadinamas . 

Kiekviename skaidinio gabaliuke bet kur parenkami taškai:

.

Toks taškų parinkimą simboliškai žymimas .
Sudaroma suma:

.

Geometriškai, ši suma reiškia stačiakampių, besikertančių (besiliečiančių) su kreivine trapecija, plotų sumą. Šių stačiakampių kraštinės yra  ir . Priešingai, nei Darbu sumos, ši suma priklauso ne tik nuo to, kaip skaidomas intervalas, bet ir nuo taškų parinkimo, t. y.  yra  ir  funkcija.

Integralinė suma pasižymi tokiomis savybėmis:

  ir  galioja nelygybė:

 .

Čia  ir  yra Darbu sumos.

 Galioja sąryšiai:

t. y. minimali integralinės sumos vertė keičiant taškų parinkimą yra apatinė Darbu suma, maksimali vertė – viršutinė Darbu suma.

Geometriškai šios savybės akivaizdžios, nes pagal apibrėžimą,  ir  yra atitinkamai mažiausia ir didžiausia įmanoma integralinės sumos vertės.

Integralo apibrėžimas 

Sudaroma funkcijos  integralinė suma. Jeigu riba, kai intervalo gabaliukų didžiausias ilgis  artėja į nulį, turi baigtinę vertę ir nepriklauso nei nuo taškų parinkimo, nei nuo intervalo skaidymo būdo, sakoma, kad funkcija  yra integruojama intervale  Rymano prasme ir žymima:

Dydžiai  ir  vadinami integravimo rėžiai.

Geometriškai Rymano integralas reiškia plotą, po kreivine trapecija, kuri apribota tiesėmis , x ašimi ir funkcija  (apie kitus taikymus žr. taikymų skyrelyje).

Būtina integruojamumo sąlyga 

Iš integralinės sumos apibrėžimo aišku, kad, jeigu  intervale  yra neaprėžta, tai kažkuriame skaidinio gabaliuke galime imti tašką , su kuriuo dydis  bus kiek norima didelis. Taigi ir integralinės sumos riba bus neapibrėžta, t. y. augs į begalybę. Geometriškai tai reiškia, kad funkcija, kuri bent viename intervalo taške artėja į begalybę, neriboja baigtinio ploto – plotas po ja yra begalinis.

Būtina ir pakankama integruojamumo sąlyga 

Jeigu funkcija intervale  yra aprėžta, t. y. tenkina būtiną integruojamumo sąlygą, tai dar nereiškia, kad ji yra integruojama Rymano prasme. Kaip pavyzdį galime pateikti funkciją
,
kuri yra apibrėžta, bet nėra integruojama intervale [-1; 1].

Kad funkcija būtų integruojama, ji turi tenkinti tokią sąlygą:

Čia  ir  yra Darbu sumos. Jei tenkinama ši sąlyga, tai funkcija yra integruojama Rymano prasme ir atvirkščiai: jeigu funkcija yra integruojama Rymano prasme – teisinga ši sąlyga.

Ši sąlyga reiškia, kad intervalo skaidinio gabaliukams be galo mažėjant, apatinė ir viršutinė Darbu sumos tampa lygios kreivinės trapecijos plotui.

Tačiau dažniausiai literatūroje minima būtina ir pakankama funkcijos tam tikrame intervale integruojamumo sąlyga yra ta, kad funkcija turi būti tame intervale dalimis tolydi.

Rymano integralo savybės 

Rymano integralas pasižymi tokiomis savybėmis, kurias gana lengva suprasti, laikant integralą plotu.

  Stačiakampio, kurio viena kraštinė lygi 0, plotas lygus 0.

 Jei , tai . T. y. integruojant iš dešinės į kairę, plotas laikomas neigiamu. Taip yra todėl, kad dydžiai  integralinėje sumoje yra neigiami.

 Jei , tai . Plotus galima sudėti, jei jie nesikerta. Dėl praeitos savybės, taip sudėti galima net ir tada, kai  yra už intervalo galų, jei tik ten funkcija yra integruojama.

 Jei  ir  yra integruojamos kažkokiame intervale, tai integruojama ir šių funkcijų sandauga . Atvirkščias teiginys yra neteisingas.

Skaičiavimas 

Skaičiuoti Rymano integralą naudojantis apibrėžimu ne visada įmanoma, be to, tai yra labai sudėtinga. Dažniausiai praktikoje naudojama Niutono-Leibnico formulė, kuri sieja neapibrėžtinį integralą su apibrėžtiniu, nors iš esmės tai yra visiškai skirtingi dalykai:

Čia  yra viena iš  pirmykščių funkcijų. Pavyzdžiui, rasime integralą , t. y. plotą po parabolės šaka, apribota tiesėmis :
Iš pradžių surandame:

Tada į šitą formulę įstatome a ir b reikšmes:

Tada atimame F(a) iš F(b):

Radome plotą esantį po dešine parabolės šaka, kuris apribotas, šiuo atveju, tik viena iš dešinės pusės statmena x ašiai tiese (kurios ilgis yra ).

 

kur      
Apibrėžtinio integralo integravimas dalimis:

  kur    

 Apskaičiuosime 100 cm ilgio strypo masę, kai jo ilginis tankis   

  Keičiame   Kadangi , kai  ir  kai  tai 

 Apskaičiuosime figūros, apribotos kreivių  ir  plotą. 
Pirmiausia turime rasti tų kreivių susikirtimo taškų abscises. Tuo tikslu sprendžiame lygtį  iš čia   Tuomet

 Apskaičiuokime figūros, apribotos elipse  plotą.
Apskaičiuokime plotą tos figūros dalies, kuri yra pirmajame ketvirtyje, po to gautą rezultatą padauginsime iš 4. Elipsės kanonine lygtį pakeičiame parametrinėmis lygtimis   Piramjame ketvirtyje x kinta nuo 0 iki a, todėl t kinta nuo  iki 0 (tokias t reikšmes gavome, įrašę į lygtį  vietoje x jo reikšmes 0 ir a). Į formulę  vietoje y įrašykime  o vietoje  įrašykime  kadangi  Tuomet

 Apskaičiuosime kūno, apriboto paraboloido  ir plokštumos , tūrį.
Jei paraboloidą kirstume plokštuma  tai jo pjūvyje gautume elipsę

kurios kanoninė lygtis

Tos elipsės pusašės lygios  Kadangi  (iš ankstesnio pavyzdžio), tai  Tuomet

 Apskaičiuosime plotą figūros, apribotos grafikais funkcijų  ir 
Rasime abscises taškų susikirtimo tiesės  su prabole  Išsprendę lygtį 
    gauname   Tai ir yra integravimo ribos. Ieškomas figūros plotas pagal formulę toks:

 Tą patį plotą apribota parabole  ir tiese  apskaičiuosime paprastu budu. Surandame su x ašimi susikirtimo tašką parabolės    Surandame plotą po parabole kai 

Dabar surandame plotą po parabole nuo  iki 

 Dabar iš pirmo ploto po parabole atimame trikampio plotą:
 
 Apatinį (ieškomą) plotą trečiajame ketvirtyje gauname atėmę  iš trikampio ploto:
 
 Susumavę viršutinį (virš ašies Ox) ieškomą plotą  ir apatinį (po ašimi Ox) ieškomą plotą  gauname visą ieškomą plotą apribotą parabolės ir tiesės:

Taikymai 

Integralai labai plačiai naudojami praktikoje, ypač tiksliuosiuose moksluose, kaip fizika. Visų apibrėžtinių integralų prasmė yra kažkokia masė, pvz.: plotas, tūris, mechaninis darbas ir t. t.

Bendra integralo taikymo schema 

Tarkime, kad turime kažkokį pastovų dydį , kuris susietas su kažkokiu intervalu  taip, kad skaidant intervalą, skaidosi dydis : . Pvz., jei  laikysime plotu po kreivine trapecija, tai šią savybę aiškiname taip: du nesikertančius plotus galime sudėti ir gausime bendrą plotą. T. y. dydis  yra adityvus.
Taip pat tarkime, kad paėmę gana mažą intervalo gabaliuką  galime užrašyti apytikslę lygybę:

 

Pavyzdyje su plotu, , t. y. jeigu paimsime ganėtinai mažą intervalą, tai plotą po kreive jame galime užrašyti kaip stačiakampio plotą. Dydžio nuokrypis neturėtų būti didesnis, nei pirmos eilės nykstamas dydis, t. y.:

 

Pavyzdyje su plotu taip ir yra – nedarome klaidos didesnės už .

Kadangi dydis  yra adityvus, visą jo vertę gausime sumuodami:

 

 
 

Perėje prie ribos, kai didžiausias skaidymo gabaliuko ilgis  nyksta, gauname:

 

Kairėje pusėje ribos galime ir nerašyti, nes  yra pastovus dydis.

Dydis  pagal apibrėžimą yra Rymano integralas.

Taigi gavome universalią formulę adityviems dydžiams skaičiuoti:

 

Toliau pateikiama keletas tokių adityvių dydžių pavyzdžių.

Plotai 

Plotas po kreivine trapecija yra adityvus dydis, o mažas jo gabaliukas apytikriai užrašomas formule:

 ,

taigi:

Tūriai 

Tarkime turime kažkokį kūną erdvėje. Pjaustome jį plokštumomis statmenomis  ašiai. Gauto pjūvio plotą galime užrašyti kaip koordinatės  funkciją . Tada, pjaustant kūną gana plonais sluoksniais, galime apytikriai užrašyti tokio sluoksnio tūrį:

 

Taigi visas tūris:

 

Kūną nebūtina pjaustyti statmenai  ašiai – tinka bet kuri.
S(x) ne visada būna konkreti analiziniu būdu užrašoma funkcija (pavyzdžiui, ). Kartais tai būna nereguliari kreivė (kaip parodytas kaulas paveiksliuke - tokio kitimo analiziškai neįmanoma suintegruoti, tačiau visada galima suintegruoti skaitmeniškai).

Mechaninis darbas 

Jei kūnas juda išilgai  ašies veikiant jėgai , tai jėgos atliktą darbą gana mažame intervale galime užrašyti lygybe:

 

Tada visas darbas:

 

Kai jėga yra pastovi, gauname klasikinę formulę .
Jeigu kūnas juda ne tiese, o kažkokia žinoma kreive, reikia naudoti kreivinį integralą.

Kiti taikymai 

Integralas taikomas labai plačiai, juo dar galima suskaičiuoti: masę, inercijos momentus, statinius momentus, kūnų paviršiaus plotus ir t. t.
Taikant integralą, svarbiausia nepadaryti klaidos, didesnės nei pirmos eilės nykstamas dydis.

Taip pat skaitykite 

 Niutono-Leibnico formulė
 Pagrindinė matematinės analizės teorema
 Neapibrėžtinis integralas

Matematinė analizė
Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas