Geometrinė progresija

Geometrinė progresija - skaičių seka, kurioje kiekvienas narys pradedant antruoju gaunamas padauginus ankstesnįjį iš pastovaus skaičiaus (koeficiento, dar vadinamo geometrinės progresijos vardikliu), kuris nėra lygus nuliui.

Skirtingai nei aritmetinės progresijos, geometrinės progresijos augimas arba mažėjimas yra eksponentinis, o ne tiesinis.

Apibrėžimas 
Skaičių seka  vadinama geometrine progresija, jei tam tikram skaičiui  tenkinama ši sąlyga:

 

Skaičius  vadinamas geometrinės sekos vardikliu .

Jeigu yra žinomas pirmasis progresijos narys a=a1 ir vardiklis q, tada n-asis narys gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

 

Priklausomai nuo vardiklio reikšmės, sekos riba skiriasi:
 Jei 0 < q < 1, seka artėja į 0
Jei q = 1, sekos riba yra a (visi sekos nariai yra lygūs)
Jei q > 1, seka artėja į begalybę
 Jei 0 > q > −1, seka artėja į 0. Šiuo atveju yra du posekiai (teigiamų ir neigiamų narių), artėjantys į 0
 Jei q = −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba a, kito −a
 Jei q < −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba yra  (begalybė), kito −

Pavyzdžiai 
 Seka  yra geometrinė seka su vardikliu 
 Seka  yra geometrinė seka su vardikliu 
 Seka  yra geometrinė seka su vardikliu

Geometrinės progresijos narių suma 
Geometrinės progresijos baigtinio n narių skaičiaus suma yra:
 .

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma ( | q | < 1 ! ) yra:
.

Istorija 
Vienintelis žinomas geometrinės progresijos įrašas iš Babilono matematikos laikų yra įspaustas molio lentelėje, šios progresijos pagrindas - 3, o vardiklis 1/2.

Euklido Pradmenų (apie 300 m. pr. m. e.) VIII ir IX knygose yra analizuojamos geometrinės progresijos ir pateikiamos jų savybės.

Šaltiniai 

Matematika