Trikampio nelygybė

Trikampio nelygybė teigia, kad bet kokio trikampio bet kurių dviejų kraštinių ilgių suma yra nemažesnė už trečios kraštinės ilgį. Euklido geometrijoje ir kai kuriose kitose geometrijose tai yra teorema. Euklido geometrijoje dviejų kraštinių ilgių suma yra lygi trečiosios kraštinės ilgiui tada ir tik tada, kai trikampis turi vieną 180° kampą ir du 0° kampus, kaip parodyta apatiniame dešinėje esančio paveikslėlio pavyzdyje. 

Normuotoje vektorinėje erdvėje V, trikampio nelygybė yra 

t. y. dviejų vektorių sumos norma yra nedidesnė už tų pačių dviejų vektorių normų sumą.

Realiųjų skaičių tiesė yra normuota vektorių erdvė, kurioje norma yra modulis. Taigi, trikampio nelygybė teigia, kad bet kuriems realiesiems skaičiams x ir y galioja nelygybė

Iš atvirkštinės trikampio nelygybės išeina, kad bet kuriems realiesiems skaičiams x ir y galioja ir nelygybė

Euklido geometrija 

Euklidas įrodė trikampio nelygybę atstumams esantiems Euklidinėje geometrijoje, žr. 1 pav. Turimam trikampiui , pratęsiant kraštinę  sudaromas lygiašonis trikampis, kurio kraštinė  yra  pratęsimas. Tada teigiama, kad kampas  yra didesnis negu kampas , todėl kraštinė  yra ilgesnė už kraštinę . Kadangi , tai  ir  ilgių suma yra didesnė už  ilgį. Šis įrodymas yra pateikiamas Euklido Pradmenų 1-ojoje knygoje, kaip 20-asis teiginys.

Šaltiniai 

Tiesinė algebra
Trikampiai