Riba (matematika)

Riba – pamatinė matematinės analizės sąvoka, kuri intuityviai suvokiama kaip reikšmė, prie kurios matematinė funkcija „artėja“, kai funkcijos argumentas artėja prie tam tikros reikšmės. Ribos yra plačiai naudojamos daugelyje matematikos sričių, įskaitant integralinį ir diferencialinį skaičiavimą, apibrėžiant funkcijos tolydumą, išvestines ir integralus.

Ribos formulių pavidalu dažnai yra rašomos taip:
 
skaitoma taip: „funkcijos f, kurios argumentas n artėja prie c, riba yra lygi L“. Čia „lim“ reiškia limit (ribą). Faktas, jog funkcija f(n) artėja prie ribos L kai n artėja prie c yra vaizduojamas rodykle į dešinę pusę (→):

Funkcijos riba 

Sakykime  yra realias reikšmes įgyjanti funkcija, o  yra realusis skaičius. Intuityviai kalbant, užrašas

 

reiškia, kad  galima priartinti kaip norima arti , priartinant  prie . Šiuo atveju pastarąją formulę galima skaityti „funkcijos  riba, kai  artėja prie , yra “. Taip pat sakoma kad „funkcijos  riba taške  yra “.

Matematikas Ogiuestenas-Lui Koši (Augustin-Louis Cauchy) 1821 metais, o vėliau ir matematikas Karlas Vaierštrasas (Karl Weierstrass), pateikė griežtą ribos apibrėžimą, kuris dabar kartais vadinamas (ε, δ) ribos apibrėžimu: pagal šį apibrėžimą,  reiškia, kad kiekvienam teigiamam skaičiui  egzistuoja teigiamas skaičius ε, kad visiems x tenkinantiems  galioja .

Apibrėžime raidė ε (mažoji graikų alfabeto raidė epsilon) žymi bet kokį mažą teigiamą skaičių, taigi „ kaip norima priartėja prie “ reiškia, kad  galiausiai patenka į intervalą , ką taip pat galima užrašyti naudojant absoliučios reikšmės ženklą kaip . Frazė „kai  artėja prie “ nurodo, kad turimos omenyje kintamojo  reikšmės, nutolusios nuo skaičiaus  mažesniu atstumu nei tam tikras teigiamas skaičius  (mažoji graikų alfabeto raidė delta) – tai yra, kai  priklauso arba  arba , ką kitaip galime užrašyti . Iš pirmosios nelygybės išplaukia, jog .

Iš ribos egzistavimo neišplaukia, jog . Funkcija netgi neturi būti apibrėžta taške .

Aukščiau nurodytas apibrėžimas turi prasmę, kai  yra baigtinis skaičius, tačiau ribą galima apibrėžti ir kai c lygus +∞ ar -∞. Šiuo atveju  reiškia, kad kiekvienam teigiamam skaičiui  egzistuoja teigiamas („didelis“) skaičius S, kad visiems x tenkinantiems  galioja  (analogiškai , jei  galioja visiems x tenkinantiems ).

Verta pastebėti, kad ribos apibrėžimas begaliniuose taškuose nėra iš esmės kitoks, kadangi natūrali baigtinio skaičiaus c aplinka yra intervalų  ir  sąjunga, o begalybės +∞ aplinka yra intervalas pavidalo (S, +∞) (bei begalybės -∞ aplinka yra intervalas pavidalo (-∞, S). Šis pastebėjimas leidžia natūraliai pratęsti ribos sąvoką funkcijoms apibrėžtoms topologinėse erdvėse, negriežtai šnekant, aibėse, kuriose apibrėžta aplinkų struktūra.

Šaltiniai 

Matematinė analizė