Vandens bangų dispersija

Hidrodinamikoje vandens bangų dispersija paprastai remiasi dažnio dispersija. Dažnio dispersija reiškia, kad skirtingo ilgio bangos juda skirtingais fazės greičiais. Vandens bangos, šiame kontekste, yra bangos, susidarančios vandens paviršiuje, jas sukelia gravitacija ir paviršiaus įtempimas. Vanduo su nejudančiu paviršiumi yra laikomas dispersine terpe.

Paviršinės gravitacinės bangos, judančios dėl gravitacijos, susidaro greičiau tam, kad padidintų bangos ilgį. Tam tikro bangos ilgio, gravitacinės bangos gilesniame vandenyje turi didesnį fazės greitį negu seklesniame vandenyje. Skirtingai nuo to, kapiliarinės bangos, sukeltos paviršiaus įtempimo, susidaro greičiau esant trumpesniam bangos ilgiui.

Dažnių dispersijos paviršiaus gravitacijos bangos 

Šis skyrius yra apie dažnio dispersiją bangoms susidarančioms skystyje dėl gravitacijos.

Bangos sklidimas ir dispersija 
Paprasčiausia banga, kurios forma nekinta, yra sinusinė banga. Sinusinės bangos, kuri susidaro vandens paviršiuje, aukštį η (x, t) galima apskaičiuoti pagal formulę:

kur a- amplitudė (metrais) ir θ = θ (x, t) yra fazės funkcija (radianais), priklauso nuo horizontalios padėties (x, metrais) ir laiko (t, sekundėmis):

kur:

 λ yra bangos ilgis (metrais),
 T yra periodas (sukundėmis),
 k yra bangų kiekis (radianais metre) ir
 ω yra kampinis dažnis (radianais per sekundę).
Būdingos vandens bangos fazės:
 kylantis į viršų nulinis susikirtimas θ = 0,
 bangos ketera at θ = ½ π,
 einantis žemyn nulinis susikirtimas θ = π ir
 bangos įduba θ = 1½ π.
Tam tikra fazė pasikartoja po sveikojo skaičiaus m dauginamo iš 2π:
sin(θ) = sin(θ +m • 2 π).
Vandens bangoms, ir kitiems bangos reiškiniams fizikoje, yra būdinga tai, kad laisvai sklindančios bangos nenulinė amplitudė egzistuoja tik tada, kai kampinis dažnis ω ir bangų skaičius k (ar ekvivalentiškai bangos ilgis λ ir periodas T) patenkina funkcinį santykį: dažnio dispersijos ryšys  

Dispersijos atžvilgiu yra du sprendimai: ω = + Ω (k) ir ω-Ω = (K), atitinkamai su bangomis, judančiomis teigiama ir neigiama x-kryptimi. Be bangų skaičiaus k dispersija priklauso nuo keleto kitų parametrų. Gravitacinėms bangoms, pasak linijinės teorijos, šie parametrai yra gravitacijos pagreitis ir vandens gylis.
Pradinę bangos fazę θ = θ 0 galima aprašyti erdvės ir laiko funkcija. Jos vėlesnė pozicija apskaičiuojama pagal formulę:

Tai rodo, kad fazė juda greičiu:

kuris yra vadinamas faziniu greičiu.

Fazinis greitis 

Sinusinė banga, mažo paviršinio pakėlimo amplitudės ir su pastoviu bangos ilgiu, juda faziniu greičiu, taip pat vadinamu spartumu ar fazės greičiu. Tuo metu, kai fazės greitis turi kryptį, spartumas ir fazės greitis aprūpina tiktai greičio dydį, o ne jo kryptį. Pagal linijinę teoriją bangoms, sukeltoms gravitacijos, fazės greitis priklauso nuo bangos ilgio ir vandens gylio. Esant pastoviam vandens gyliui, ilgosios bangos (su dideliu bangos ilgiu) susidaro greičiau negu trumpesnės bangos.
Iš kairės formulės pusės, matyti, kad seklaus vandens bangos, kurių bangos ilgiai λ daug didesnis už vandens gylį h, juda faziniu greičiu:

Kadangi šis seklaus vandens fazės greitis nepriklauso nuo bangos ilgio, tai seklaus vandens bangos neturi dažnio dispersijos.
Giliame vandenyje, kai vandens gylis h didesnis už pusę bangos ilgio λ (taip h / λ> 0.5), fazės greitis nepriklauso nuo vandens gylio:

kur T bangos periodas (analogas dažnio f, T=1/f). Taigi giliame vandenyje fazės greitis padidėja su bangos ilgiu, ir su periodu.
Kadangi fazės greitis patenkina lygybę cp = λ/T = λf, tai bangos ilgis ir periodas (ar dažnis) yra susieti., Pavyzdžiui, giliame vandenyje:

Grupės greitis 

Dviejų sinusinių bangų, su skirtingu bangos ilgiu, bet ta pačia amplitude ir sklidimo kryptimi interferencijos rezultatas yra vadinamas bangos grupe.
Sekliame vandenyje, grupės greitis yra lygus seklaus vandens fazės greičiui. Taip yra todėl, kad seklaus vandens bangos negali išsiskaidyti. Giliame vandenyje, grupės greitis yra lygus pusei fazės greičio: cg = ½ cp.
Grupės greitis taip pat yra energijos perdavimo greičis. Tai yra greitis, kuriuo yra perduodama bangos energija horizontalia kryptimi. 
Kitu atveju, kai grupės greitis skiriasi nuo fazės greičio, pasekmė yra ta, kad bangos grupėje esančių bangų skaičius, skiriasi nuo skaičiaus, kuris yra gautas iš kosmoso fotografijų tam tikru momentu. Grupės greitis yra:

Bangos grupėje bangų skaičius, išmatuotoje erdvėje tam tikru momentu, yra: Λg / λ. Išmatuotas pastovioje vietoje laiko atžvilgiu, bangų skaičius grupėje yra: τg / T. Taigi santykis bangų skaičiaus, išmatuotų erdvėje į išmatuotus laiko atžvilgiu, yra:

Taigi giliame vandenyje, su cg = ½ cp, bangos grupė turi dukart daugiau bangų laiko atžvilgiu, nei erdvėje.
Vandens paviršiaus pakilimas η (x, t), kaip horizontalios padėties funkcija x ir laikas t, pilnos moduliacijos bangos grupei gali būti matematiškai suformuluotas taip:

kur:
 a yra bangos amplitudė,
 k1 ir k2 yra bangų skaičius,
 ω1 ir ω2 yra kampinis dažnis.
ω1 ir k1, kaip ir ω2 ir k2, turi tenkinti dispersijos ryšį:

Naudojant trigonometrines tapatybes, paviršiaus pakilimas gali būti užrašytas taip:

Dalis tarp laužtinių skliaustų yra lėtai kintančios amplitudės grupės, su grupės bangos ½ skaičiumi (k1 – k2) ir grupės kampiniu dažniu ½ (ω1 – ω2). Todėl, grupės greitis yra lygus ribai k1 → k2:

Daugialypiai bangų modeliai 

Dažnio dispersijos padarinys yra toks, kad bangos juda kaip bangos ilgio funkcija, kad erdvinės ir laikinos susidarančios bangos fazės ypatybės pastoviai pasikeistų. Pavyzdžiui, po gravitacijos, vandens bangos su ilgesniu bangos ilgiu juda greičiau nei trumpesnės vandens bangos.
Jūros valstybė – kuri yra: tikros bangos jūroje ar vandenyne – gali būti apibūdinta kaip superpadėtis daugelio sinusinių bangų su skirtingu bangos ilgiu, amplitudėmis, pradinėmis fazėmis ir sklidimo kryptimis. Kiekvienas iš šitų komponentų juda su savu fazės greičiu, pagal išsklaidymo ryšį. Tokio paviršiaus statistika gali būti apibūdinta jo spektriniu tankiu.

Dispersijos ryšys 

Žemiau esančioje lentelėje yra pavaizduotas dispersijos ryšys ω2 = [Ω(k)]2 tarp kampinio dažnio ω = 2 π / T ir bangos skaičiaus k = 2 π / λ, kuris yra duotas, taip pat kaip ir fazė, bei grupės greičiai.

Giliame vandenyje, ilgesnio periodo bangos susidaro greičiau ir perduoda savo energiją greičiau. Giliame vandenyje grupės greitis yra lygus pusei fazės greičio.

Paviršiaus įtempimo įtaka 

Esant gravitacijos kapiliarinėms bangoms, kurių paviršių veikia įtempimas, dispersijos ryšys yra:

kur σ yra paviršiaus įtempimas (N/m).

Netiesiniai padariniai

Seklus vanduo 

Amplitudės dispersijos padariniai pasirodo, pavyzdžiui, vienišoje bangoje: viena ketera judančio su pastoviu greičiu sekliame vandenyje su horizontalia įduba. Vienišos bangos aukščio H vandens gylyje h toli nuo bangos keteros judėjimo greitį galima rasti iš Korteweg de Vries lygties:

Taigi šiai netiesinei gravitacinei bangai, tai yra visas vandens gylis po bangos ketera, kuri nustato greitį, su aukštesnėmis bangomis, judančiomis greičiau negu žemesnės bangos. Pažymėkite, kad vienišos bangos sprendiniai egzistuoja tiktai su teigiamomis H vertėmis, vienišos gravitacinės bangos neegzistuoja.

Gilus vanduo 

Dispersijos ryšys giliai po vandeniu gali būti aprašomas:

Tai leidžia suprasti, kad didelės bangos juda greičiau nei mažos, nors jos yra to paties dažnio.

Bangos: Doplerio poslinkis 

Vandens bangos srautas patiria Doplerio poslinkį. Dispersijos ryšys nejudančioje terpėje yra:

kur k bangų skaičius. Tuomet vidutinio greičio vektoriaus V dispersijos santykis su Doplerio poslinkio terpe tampa:

kur k yra bangų skaičiaus vektorius, susietas su k taip: k = |k|. Skailiarinė sandauga K•V yra lygi V=K•kV cos α, kur V vidutinio greičio vektoriaus V ilgis: V = | A |.

Taip pat skaitykite 

 Dispersija
 Benjamin–Bona–Mahony lygtis 
 Davey–Stewartson lygtys
 Kadomtsev–Petviashvili lygtis
 Korteweg–de Vries lygtis
 Netiesinė Schrödinger lygtis
 Seklaus vandens lygtys

Išnašos

Literatūra 
 
 
 , 2 Parts, 967 pages.
  Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.

Nuorodos 
 Mathematical aspects of dispersive waves are discussed on the  Dispersive Wiki .

Fizika