Grupė (algebra)

Grupės – paprasčiausia algebrinė struktūra, aibė, apibrėžiama vienintele binarine operacija (vidinės kompozicijos dėsniu), tenkinančia tam tikras aksiomas. Grupes ir jų savybes nagrinėja algebros mokslo šaka grupių teorija.

Grupės apibrėžimą tenkina dauguma nagrinėtų matematinių struktūrų. Pavyzdžiui, grupės sudėties atžvilgiu yra sveikųjų, racionaliųjų, realiųjų ir kompleksinių skaičių aibės, grupės daugybos atžvilgiu yra racionalieji skaičiai (be 0), realieji ir kompleksiniai skaičiai.

Grupės plačiai naudojamos matematikoje, kituose tiksliuosiuose moksluose, inžinerijoje. Pavyzdžiui, grupės naudojamos tiriant reliatyvumą, kvantinę mechaniką, dalelių fiziką, taip pat grupėmis išreikštos geometrinės transformacijos naudojamos chemijoje, kompiuterinėje grafikoje.

Savybės 
Elementų aibė  vadinama grupe jai apibrėžto aibės elementų kompozicijos dėsnio  atžvilgiu, jei tenkina šias savybes:
Uždarumas Bet kokiems a, b  grupės elementams, kompozicijos  rezultatas a * b irgi priklauso tai grupei .
Asociatyvumas Dėsnis  yra asociatyvus, t. y. , bet kokiems grupės  elementams 
Vienetinis elementas Egzistuoja neutralus elementas  (dar vadinamas grupės vienetu), su kuriuo teisinga lygybė 
Atvirkštinis elementas Kiekvienam elementui egzistuoja simetrinis elementas kompozicijos dėsnio atžvilgiu (dar vadinamas atvirkštiniu elementu), t. y.  (g – bet kuris grupės elementas,  – simetrinis elementas iš tos pačios grupės.

Abelio grupė 
Jeigu kompozicijos dėsnis  yra komutatyvus, t. y. bet kokiems dviem grupės elementams  galioja sąryšis , tokia algebrinė struktūra vadinama Abelio grupe.

Pogrupiai 
Grupės pogrupiu vadinami tokie grupės G poaibiai H, kurie tenkina savybes:
 bet kurių dviejų poaibio H elementų sandauga priklauso H;
 kiekvienam poaibio H elementui atvirkštinis elementas priklauso H.
Kiekvienas šias savybes tenkinantis pogrupis taip pat yra grupė.

Pavyzdžiui, racionalių skaičių aibė yra grupė sudėties atžvilgiu, o sveikųjų skaičių aibė yra šios grupės pogrupis.

Abstrakčioji algebra