Gryno formulė

Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.

Pavyzdžiai 
 Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą  kur L - apskritimas  
Funkcijos   ir   netrūkios uždarame rate  Todėl pagal Gryno teoremą turime ( ):

 Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą 

kai L - apskritimas  (a>0), apeinamas teigiama kryptimi.
Kadangi skritulyje  funkcijos  ir  bei jų dalinės išvestinės  ir  yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę.
Turime:

Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas  kinta nuo  iki  Vadinasi (  ),

 
kur pasinaudojome dvigubu faktorialu.

Ploto apskaičiavimas 
Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės:

Jos išvedamos šitaip:
 
 Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities D (ploksčios figūros ploto). Jei   Tada  Pagal formulę turime:

Integralas  lygus paaviršiui srities D , todėl,

 Sakykime,   analoginiu budu randame, kad

 Ir, pagaliau, paėmę funkcijas  gauname formulę

Pavyzdžiai
 Apskaičiuosime plotą apribotą elipse  pagal formulę  Panaudoję parametrinę lygtį elipsės:     gauname:

Jėgos darbas 
Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę

Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip:

 Apskaičiuosime darbą jėgos  persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.
 Pagal sąlyga,  Jėgos F(x, y) koordinatės tokios:   [ženklas "" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime  kur L - elipsė    Todėl

 Jei t keistusi nuo 0 iki  integralas butu lygus

Taip pat skaitykite 
 Antrojo tipo kreivinis integralas
 Pilnųjų diferencialų integravimas
 Apibrėžtinis integralas

Integralinio ir diferencialinio skaičiavimo teoremos