Pilnųjų diferencialų integravimas

Jeigu funkcijos   ir jų dalinės išvestinės  yra tolydžios vienjungėje srityje E, be to,  tuomet reiškinys P(x, y)dx+Q(x, y)dy yra tam tikros funkcijos u(x, y) pilnasis diferencialas du, o pati pirmykštė funkcija u(x, y) išreiškiama formule

 Raskime reiškinio  pirmykštę funkciją.
 Pažymekime   Uždavinį galime išspręsti tada, kai duotasis reiškinys bus pilnasis diferencialas. Taip yra iš tikrųjų, nes dalinės išvestinės  yra lygios. Tuomet

čia konstanta C pažymėtas suskliaustas reiškinys, nes jis priklauso tik nuo taško  koordinačių, vadinasi yra pastovus.

 Išspręskime lygtį

Kadangi kairėje esantis reiškinys  yra funkcijos u(x, y) pilnasis diferencialas  be to, lygus nuliui, todėl ta funkcija lygi konstantai. Taigi duotosios diferencialinės lygties sprendinys yra reiškinys  Kadangi  yra reiškinio, parašyto kairiojoje lygties pusėje, pirmykštė funkcija, tai ją rasime taikydami kurią nors iš dviejų formulių, pavyzdžiui, antrąją. Gauname:

čia 
Integruojame:

 
arba

nes pastovųjį dydį  galima prijungti prie C. Taigi duotosios lygties bendrasisi integralas nusakomas formule 

Jeigu integralo   reikšmė nuo integravimo kelio nepriklauso tai galima sukūrti pilnąjį diferencialą.
Jei
 tai integruodami gauname

Pavyzdžiui,  Integruojant gauname  Dešinės pusės sutampa jeigu   Tokiu budu 
 Apskaičiuosime integralą 
 Kelias yra nuo taško A(-1; 2) iki taško B(2; 3). Duotuoju ateveju funkcijos    netrūkios ir dalinės išvestinės lygios tarpusavyje. Todėl skaičiuosime šitaip:
 

 Raskime reiškinio  pirmykštę funkciją F.
 Kadangi  Tai
 
 

Matome, kad  ir  skiriasi tik  Vadinasi pirmyktė funkcija yra:
 

 Išspręskime lygtį 
 Kadangi  tai galime ieškoti pirmykštę funkciją kairės lygties pusės. Žinome, kad

 
 
Prie pirmo reiškinio pridėję tai ko neturi pirmas reiškinys , gauname pirmykštę funkciją ir tuo pačiu išsprendžiame lygtį:
 
 Norėdami ja išintegruoti nuo taško A(-1; 2) iki taško B(2; 3), galime daryti taip:

Taip pat skaitykite 
 Antrojo tipo kreivinis integralas
 Apibrėžtinis integralas
 diferencialas

Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas