연속 원순서 집합

순서론에서 연속 원순서 집합(連續原順序集合, )은 모든 원소가 그 원소를 ‘제한적으로 근사’하는 원소들로도 충분히 잘 근사되는 원순서 집합이다. 연속 완비 격자는 흔히 연속 격자(連續格子, )로 불린다.

정의 
원순서 집합 의 두 원소 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 임의의 상향 집합 에 대하여, 만약 라면, 인 가 존재한다.
 임의의 순서 아이디얼 에 대하여, 만약 라면, 이다.
이 경우, 가 를 근사한다() 또는 가 보다 훨씬 아래()라고 하며, 이를

로 적는다.

근사 관계 는 추이적 관계이며, 가 부분 순서 집합인 경우 반대칭 관계이지만, 원순서가 아닐 수 있다. 가 원순서인 것은 의 오름 사슬 조건과 동치이다.

원순서 집합 의 임의의 원소 에 대하여,

라고 하자. 이는 각각 의 상집합과 하집합을 이룬다. 만약 가 이음 반격자라면, 는 상향 집합이다. 그러나 가 만남 반격자이더라도 는 하향 집합이 아닐 수 있다.

원순서 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 연속 원순서 집합이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 는 상향 집합이며, 이다.

성질

순서론적 성질 
연속 원순서 집합 의 두 원소 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 임의의 상향 집합 에 대하여, 만약 라면, 인 가 존재한다.

둘째 조건은 첫째 조건을 자명하게 함의한다. 이제, 이며, 가 상향 집합이며, 라고 하자.

를 생각하자. 가 연속 원순서 집합이므로, 는 순서 아이디얼들의 상향 집합의 합집합이다. 따라서  역시 순서 아이디얼이다. 또한,

이다. 따라서, 이다. 즉, 인 가 존재한다.

이를 사용하여, 연속 원순서 집합 의 근사 관계 가 다음과 같은 보간 성질을 만족시킴을 보일 수 있다.

위 명제에서, 를 취한다.

dcpo 
dcpo 의 두 원소 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이며, 
 임의의 상향 집합 에 대하여, 만약 라면, 이며 인 가 존재한다.
따라서, 만약 가 연속 dcpo라면, 다음과 같은 더 강한 보간 성질이 성립한다.

dcpo 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 연속 원순서 집합이다.
 순서 아이디얼의 상한 함수 는 (작은 얇은 범주 사이의 함자로서) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 여기서 는 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합이다.
구체적으로, 연속 dcpo 에 대하여, 의 왼쪽 수반 함자는

이다.

임의의 연속 dcpo 가 주어졌다고 하자. 다음 두 명제를 보이면 족하다.
 임의의 에 대하여, 
 임의의 순서 아이디얼 에 대하여, 
이 두 명제는 연속 원순서 집합의 정의에 따라 자명하다.

반대로, 가 dcpo이며, 가 의 왼쪽 수반 함자이며, 라고 하자. 그렇다면, 는

인 최소의 의 순서 아이디얼이다. 근사 순서 의 정의에 따라,

이다. 따라서, 는 연속 원순서 집합이다.

완비 격자 
완비 격자 의 두 원소 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 임의의 부분 집합 에 대하여, 만약 라면, 인 유한 부분 집합 가 존재한다.

완비 격자 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 연속 원순서 집합이다.
 순서 아이디얼의 상한 함수 은 임의의 부분 집합의 하한을 보존한다. 여기서 은 순서 아이디얼들의 완비 격자이다.
 임의의 상향 집합들의 집합 에 대하여, 
 두 원소 격자 의 (유한 또는 무한 개) 직접곱 위의 스콧 연속 멱등 함수 의 상 과 동형이다.

연속 완비 격자 이 주어졌다고 하자. 이 임의의 순서 아이디얼들의 집합이라고 하자.

를 보이면 족하다. 은 자명하다. 이므로, 반대 방향의 부등식은

를 보이면 족하다. 이는 임의의 에 대하여

이므로 참이다.

반대로, 이 완비 격자이며, 이 임의의 하한을 보존한다고 하자. 의 왼쪽 수반 함자 를 찾으면 족하다. 다음과 같은 함수를 생각하자.

이는 자명하게 순서 보존 함수이다. 따라서, 다음 두 부등식을 보이면 족하다.
 임의의 에 대하여, 
 이는 이므로 참이다.
 임의의 에 대하여, 
 이 하한을 보존하므로, 이다.

연속 완비 격자 이 주어졌다고 하자. 가 임의의 의 상향 집합들의 집합이라고 하자. 
은 자명하다. 따라서, 임의의 에 대하여, 임을 보이면 족하다. 임의의 에 대하여, 이므로, 인 가 존재한다. 따라서,

이다.

반대로, 이 완비 격자이며, 또한 임의의 상향 집합들의 집합 에 대하여, 라고 하자. 임의의 에 대하여, 자명하게 이다. 따라서 임을 보이면 족하다. 를 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합 들의 집합으로 취하자.
 는 상향 집합이다.
 
그렇다면, 의 정의에 따라, 임의의 에 대하여,

이다. 따라서,

이다.

연속 완비 격자에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 분배 격자이다.
 완비 헤이팅 대수이다.

모든 완비 헤이팅 대수는 자명하게 분배 격자이다. 반대로, 이 연속 완비 격자이자, 분배 격자라고 하자. 임의의 원소  및 부분 집합 에 대하여,

임을 보이면 족하다. 연속 완비 격자의 세 번째 조건에서,

을 취하자. (두 번째 집합이 상향 집합임은 쉽게 보일 수 있다.) 그렇다면, 이 연속 완비 격자이자 분배 격자이므로, 다음이 성립한다.

모든 연속 완비 분배 격자는 국소 콤팩트 공간의 열린집합 격자와 순서 동형이다.

연산에 대한 닫힘 
유한 개의 연속 dcpo들의 직접곱은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 성분별 근사 관계와 동치이다. 유한 또는 무한 개의 최소 원소를 갖는 연속 dcpo 들의 직접곱 
는 연속 dcpo이며, 직접곱의 두 원소 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 임의의 에 대하여 이며, 는 유한 집합이다.

연속 dcpo의 스콧 닫힌집합은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 원래 근사 관계를 제한한 것이다.

범주론적 성질 
연속 완비 격자와 스콧 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

예 
모든 유한 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다. 보다 일반적으로, 오름 사슬 조건을 만족시키는 모든 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다.

폐구간 
실수 폐구간 은 표준적인 순서에 의하여 완비 격자를 이룬다. 또한, 임의의 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 이거나, 
따라서, 항상

이며, 은 연속 완비 격자를 이룬다.

보다 일반적으로, 전순서 완비 격자 의 임의의 두 원소 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 다음 세 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
 
 
 이며, 는 의 어떤 도약 의 두 번째 성분이다.
따라서, 모든 전순서 완비 격자는 연속 완비 격자이다.

멱집합 
임의의 집합 에 대하여, 멱집합 는 완비 격자를 이룬다. 이 경우 는 가 의 유한 부분 집합인 것과 동치이다. 모든 집합은 그 유한 부분 집합들의 합집합이므로, 는 연속 완비 격자를 이룬다.

열린집합 격자 
위상 공간 의 열린집합들은 포함 관계에 의하여 완비 헤이팅 대수 를 이룬다. 임의의 두 열린집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 임의의 열린 -덮개는 유한 부분 -덮개를 갖는다.
 이며, 를 원소로 갖는  위의 임의의 극대 필터는  속의 점으로 수렴한다.

가 완비 격자이므로 첫째 조건과 둘째 조건은 서로 동치이다. 이제, 이며, 가 위의 극대 필터이며, 라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 가 의 극한이 아니라고 가정하자. 즉, 인 의 근방 가 존재한다. 가 극대 필터이므로, 인 가 존재한다. 그렇다면, 는 -덮개이므로, 유한 부분 -덮개 을 갖는다. 따라서,

이며, 이는 모순이다.

이제, 이며, 를 원소로 갖는  위의 임의의 극대 필터는  속의 점으로 수렴한다고 하자. 가 열린집합들의 상향 집합이며, 라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 에 대하여, 라고 하자. 그렇다면, 는 하향 집합을 이룬다. 이를 포함하는 최소의 필터

를 생각하자. 인  위의 극대 필터 를 취하자. 를 고정하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

이다. 따라서 이며, 는 어떤 로 수렴한다. 인 를 취하자. 그렇다면, 이므로,

이다. 이는 모순이다.

만약 가 국소 콤팩트 공간(즉, 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 위상 공간)이라면, 추가로 다음 조건이 동치이다.
 인 콤팩트 집합 가 존재한다.
따라서, 임의의 국소 콤팩트 공간 의 열린집합 격자 는 연속 완비 격자를 이룬다. 보다 일반적으로, 위상 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 핵콤팩트 공간()이라고 한다.
 는 연속 완비 격자이다.
 의 차분화는 국소 콤팩트 공간이다.
 위상 공간의 범주 에서, 임의의 위상 공간 에 대하여, 지수 대상 가 존재한다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
국소 콤팩트 공간 (모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 공간) ⇒ 핵콤팩트 공간 ⇒ 쇼케 공간 ⇒ 베르 공간

반례 
다음과 같은 부분 순서 집합 을 생각하자.

이는 완비 격자를 이룬다.

가 상향 집합이므로, 임을 알 수 있다. 따라서

이며, 이 완비 격자는 연속 완비 격자가 아니다.

모든 원자 없는 완비 불 대수는 연속 완비 격자가 아니다. 원자 없는 완비 불 대수 의 두 원소 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

합동 관계 격자 
환 의 아이디얼들은 포함 관계에 의하여 완비 격자 를 이룬다. 임의의 두 아이디얼 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 인 유한 생성 아이디얼 가 존재한다.
모든 아이디얼은 그 유한 생성 부분 아이디얼들의 합집합이므로, 는 연속 완비 격자를 이룬다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

순서론