포화 집합

일반위상수학에서, 포화 집합()은 (임의의 수의) 열린집합들의 교집합인 부분 집합이다.

정의 
위상 공간 의 부분 집합 의 포화화() 는 의 모든 근방들의 교집합이다.

여기서 는 의 근방 필터이다. 이 정의에서 는 의 임의의 국소 기저로 대체할 수 있다.

위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 포화 집합이라고 한다.
 (열린집합들의 교집합) 인 열린집합들의 집합 가 존재한다.
 (스스로의 포화화와 일치) 

위상 공간 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 재귀 집합()이라고 한다.
 (모든 포화 집합과 겹침) 인 포화 집합 은 공집합밖에 없다.

성질

함의 관계 
정의에 따라, 모든 Gδ 집합은 자명하게 포화 집합이다. 모든 재귀 집합은 자명하게 조밀 집합이다.

콤팩트 공간과의 관계 
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 콤팩트 집합이다.
 포화화 는 콤팩트 집합이다.

임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 모든 점 는 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
 모든 점 는 콤팩트 포화 국소 기저를 갖는다.

차분한 공간에서, 콤팩트 포화 집합들의 하향 집합의 교집합은 콤팩트 포화 집합이다.

베르 공간과의 관계 
임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 베르 공간이다.
 모든 재귀 집합은 베르 공간이다.
 베르 재귀 집합을 갖는다.

예 
임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 모든 부분 집합은 포화 집합이다.
 재귀 집합이 스스로밖에 없다.
 T1 공간이다.

원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  위에 스콧 위상을 가하였을 때, 는 포화 집합이다.
 는 상집합이다.

스콧 열린집합들은 상집합이므로, 그 교집합 역시 상집합이다. 반대로, 만약 가 상집합이라면,

이며, 각 는 스콧 열린집합이다.

초른 보조정리에 따라, 닫힌 원순서 집합  위에 스콧 위상을 주었을 때, 극대 원소들의 집합 은 재귀 집합을 이룬다.

참고 문헌

외부 링크 
 

일반위상수학