도이치–조사 알고리듬

도이치–조사 알고리듬은 1992년 데이비드 도이치와 리처드 조사가 제안하고 1998년 리차드 클리브, 아서 에케르트, 키아라 맥카벨로 및 마이클 모스카가 개선한 결정론적 양자 알고리듬이다. 현재 실용성은 거의 없지만, 가능한 결정론적 고전 알고리듬보다 기하급수적으로 빠른 양자 알고리듬의 첫 번째 예 중 하나로 역사적인 의미가 있다.

도이치-조사 알고리듬으로 푸는 문제는, 양자 알고리듬에는 쉽고 결정적 고전 알고리듬에는 어렵도록 의도적으로 설계된 문제이다. 이는 양자 컴퓨터로 오류 없이 효율적으로 해결할 수 있는 블랙박스 문제인 반면, 결정론적 고전 컴퓨터는 문제를 해결하기 위해 블랙박스에 대한 기하급수적인 쿼리가 필요하다. 보다 자세히 설명하면, 양자 컴퓨터에서 다항식 시간 내에 정확하게 해결할 수 있는 문제 클래스인 EQP와 P가 다른 것과 관련하여 오라클을 생성한다.

이 문제는 확률적 고전 컴퓨터에서 해결하기 쉽기 때문에 확률적 고전 컴퓨터에서 다항식 시간의 유계 오류로 해결할 수 있는 문제 클래스인 BPP와 오라클 분리를 생성하지 않는다. 반면에, 사이먼 문제는 BQP와 BPP 사이에 오라클이 분리되는 문제의 예이다.

문제 설명 
도이치-조사 문제에서 다음 함수를 구현하는 오라클로 알려진 블랙박스 양자 컴퓨터가 주어져 있다:

이 함수는 비트 이진수를  또는 로 보낸다. 이 함수는 상수 함수(정의역 전체에서  또는 정의역 전체에서 )이거나 균형 함수 (정확히 정의역의 원소들 절반에 대해 , 나머지 절반에 대해 )이다. 이때, 도이치-조사 문제는, 오라클을 사용하여 가 상수 함수인지 균형 함수인지 판단하는 것이다.

고전적인 해 
기존의 결정론적 알고리듬의 경우  비트에 대해, 최악의 경우 를 계산해야하는 횟수는 지수함수적으로 증가한다. 반면에 함수가 균형 함수이고 처음 두 출력 값이 다른 경우 최상의 경우가 발생한다. 기존의 무작위 알고리듬의 경우, 충분히 큰 에 대해 를 번 계산하면 높은 확률로 정답을 생성한다.(에 대해 확률로 실패). 하지만, 오류 가능성이 없는 답을 원할 경우 필요한  계산의 횟수는 여전히 지수함수적이다. 그러나, 도이치-조사 양자 알고리듬은 에 대한 계산 한 번으로 항상 올바른 답을 내놓는다.

역사 
도이치-조사 알고리듬은 인 경우에만 해를 제공했던 다음 데이비드 도이치의 초기(1985)작업"입력이 1비트인 불 함수가 주어졌을 때, 이 함수가 상수 함수인가?"

을 일반화 하였다. 도이치가 원래 제안한 알고리듬은 사실 결정론적이지 않았다. 알고리듬은 절반의 확률로 성공했다. 1992년에 도이치와 조사는 비트 입력을 가진 함수로 일반화된 결정적 알고리듬을 만들었다. 도이치의 알고리듬과 달리, 이 알고리듬에는 하나가 아닌 두 개의 함수 계산이 필요했다.

도이치-조사 알고리듬에 대한 추가 개선 사항은 클레브와 다른 사람들에 의해 이루어졌다. 이들은 도이치-조사 알고리듬을 결정론적이며 의 쿼리 하나만 필요한 알고리듬으로 만들었다. 그러나 알고리듬의 이름은 도이치와 조사가 사용한 획기적인 방법을 기리기 위해 여전히 도이치-조사 알고리듬이라고 한다.

연산 
도이치-조사 알고리듬이 작동하려면 에서  값을 계산하는 오라클 계산은  결어긋남이 없는 양자 오라클이어야 한다. 또한 의 사본을 만들면 안된다. 만약 복제가 된다면 양자역학의 복제 불가능성 정리를 위반 하기 때문이다.

알고리듬은  큐비트가 인 상태에서 시작한다. 즉, 처음  큐비트는 각각 상태 에 있고 마지막 큐비트는 인 상태이다. 그 다음, 각 큐비트에 아다마흐 변환을 적용 해서 다음 상태를 얻는다:

  .

이때, 는 양자 오라클로 구현되었다고 가정한다. 이 오라클은 상태 를 로 보낸다. 여기서, 는 를 법으로 하는 덧셈을 나타낸다. 여기에 양자 오라클을 적용하면 다음을 얻는다:

  .

한편, 와 는 각각  또는 이다. 이 두 가지 가능성을 시험하면 위의 상태가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.

 .

이 때, 마지막 큐비트 는 무시할 수 있으며,

 

부분만 고려하면 된다

다음으로, 첫 번째 큐비트에 아다마흐 변환을 적용하여

 

(여기서 는 비트 곱들의 합이다.) 다음을 얻는다:

 

이것으로부터 우리는 상태 에 대한 확률이

 

로 측정됨을 알 수 있다.

에 해당하는 을 측정할 확률은

 

이다.

가 상수(보강 간섭)이면 위 상태는 로 측정 되고, 균형 함수(상쇄 간섭)이면 로 측정 된다. 즉, 오직 가 상수 함수일 때 만 최종 측정 값이 (모두 )이다.

도이치 알고리듬 
도이치 알고리듬은 일반 도이치-조사 알고리듬의 에서  일 때에 해당한다. 인지 확인 하는 것과  값을 확인하는 것은 같다.  (여기서,  제어된 NOT 게이트로 구현되었고 양자 XOR 게이트로 볼 수도 있는 를 법으로 하는 덧셈이다.) 이 값이 이면 는 상수 함수고, 이면 는 균형 함수다.

 큐비트 상태 에서 시작한다. 아다마흐 변환을 각 큐비트에 적용해서 다음을 얻는다:

 

를 로 보내는 함수 의 양자 구현이 주어졌다고 가정한다. 이를 현재 상태에 적용하면

 
 
 

를 얻는다.

마지막 큐비트와 전체 페이즈를 무시하므로 다음 항만 고려한다:

 

이 상태에 아다마흐 변환을 적용하면

 
 

여기서, 임과 을 측정하는 것이 동치이고 임과  를 측정하는것이 동치이다. 따라서 확실하게 가 상수 함수인지 아닌지 알 수 있다.

같이 보기 
 번스타인-바지라니 알고리듬

각주

외부 링크 
 도이치-조사 알고리듬에 대한 도이치의 강의

양자 알고리즘