수슬린 수

일반위상수학에서 수슬린 수()는 위상 공간의 서로소 열린집합들의 집합족의 크기의 상한이다. 이 글에서는 수슬린 수를 비롯한 위상수학의 다양한 기수 값 불변량을 다룬다.

정의

무게 

위상 공간 의 무게() 는 의 기저의 최소 크기이다. 제2 가산 공간은 인 위상 공간이다.

무게의 개념의 몇 가지 변형은 다음과 같다.

유사 무게 
위상 공간 의 유사 기저() 또는 ψ-기저()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 이다.
 임의의 에 대하여, 
위상 공간이 유사 기저를 가질 필요충분조건은 T1 공간인 것이다.

T1 공간 의 유사 무게() 또는 ψ-무게() 는 그 유사 기저의 최소 크기이다.

π-무게 
위상 공간 의 π-기저()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 이다.
 의 공시작 집합이다. 즉, 이며, 임의의 열린집합 에 대하여, 만약 라면, 인 가 존재한다.
위상 공간 의 π-무게() 는 그 π-기저의 최소 크기이다.

망 무게 
위상 공간 의 망()은 다음 조건을 만족시키는 집합족 이다.
 임의의 열린집합 에 대하여, 인 이 존재한다.
따라서, 기저는 열린집합들로 이루어진 망이다.

위상 공간 의 망 무게() 는 그 망의 최소 크기이다.

밀도 

위상 공간 의 밀도() 는 의 조밀 집합의 최소 크기이다. 분해 가능 공간은 인 위상 공간이다.

유전적 밀도 
위상 공간 의 유전적 밀도()  또는 너비() 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
 는 의 부분 집합의 밀도의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 을 취한다).

 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 을 취한다).
 모든 상집합이 열린집합이 되는  위의 정렬 전순서가 존재한다.
즉,

이다. 유한한 값을 허용할 경우 두 정의는 더 이상 동치가 아니다.

의 증명. 가 부분 집합이며, 가  위의 정렬 전순서이며, 의 모든 상집합이 의 열린집합이라고 하자. 를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 에 대하여, 임을 보이면 충분하다. 가 의 순서형이라고 하자. 이므로, 순서형이 인 부분 집합

가 존재한다. 임의의 상집합 는 의 에서의 상폐포와 의 교집합이므로, 의 열린집합이다. 는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, 만약 가 조밀 집합이라면, 는 의 공종 집합이며, 이다. 즉,

이다.

의 증명. 임의의 에 대하여, 임을 보이면 충분하다. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 을 만들 수 있다.

이제,

라고 하자.  위에 그 원소의 첨수에 따른 순서를 부여하면, 순서형이 인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, 임의의 상집합 에 대하여, 그 최소 원소가 라고 하면,

이므로, 는 열린집합이다. 따라서,

이다.

수슬린 수 

위상 공간 이 주어졌을 때, 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 의 강하향 반사슬들은 정확히 의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들로 이루어진 집합족들이다.

위상 공간 의 수슬린 수() 또는 세포도() 는 의 강하향 반사슬의 크기의 상한이다.

유전적 수슬린 수 
위상 공간 의 유전적 수슬린 수()  또는 퍼짐() 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이는 서로 동치이다.
 는 의 부분 집합의 수슬린 수의 상한이다.

 는 의 이산 집합의 크기의 상한이다.
즉,

이다.

의 증명. 의 부분 집합  및 의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족 가 주어졌을 때, 임의의 에 대하여

를 고르면,

는 의 부분 집합이며, 또한 이산 공간이다.

의 증명. 의 이산 집합 가 주어졌을 때,

는 의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이다.

린델뢰프 수 

위상 공간 의 임의의 열린 덮개 에 대하여, 가 그 부분 덮개의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 의 린델뢰프 수() 는 다음과 같다.

린델뢰프 공간은 인 위상 공간이다.

유전적 린델뢰프 수 
위상 공간 의 유전적 린델뢰프 수()  또는 높이() 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
 는 의 부분 집합의 린델뢰프 수의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 을 취한다).

 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 을 취한다).
 모든 하집합이 열린집합이 되는  위의 정렬 전순서가 존재한다.
즉,

이다. 유한한 상한을 허용할 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다. (반례로 시에르핀스키 공간이 있다.)

의 증명. 가 부분 집합이며, 가  위의 정렬 전순서이며, 의 모든 하집합이 의 열린집합이라고 하자. 를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 에 대하여 임을 보이면 충분하다. 가 의 순서형이라고 하자. 이므로, 순서형이 인 부분 집합

가 존재한다. 의 모든 하집합 역시 의 열린집합임을 쉽게 알 수 있다. 는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, 의 열린 덮개

의 모든 부분 덮개의 크기는 이다. 즉,

이다.

의 증명. 임의의 부분 집합  및 무한 기수 에 대하여, 임을 보이면 충분하다. 인 의 열린 덮개 를 고르자. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬  및 을 만들 수 있다.

이제,

라고 하자. 는 자연스럽게 순서형이 인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, 의 임의의 하집합

은 의 열린집합이다. 따라서,

이다.

지표 

위상 공간 의 부분 집합 의 국소 지표() 는 의 국소 기저의 최소 크기이다.

위상 공간 의 지표() 는 모든 점의 국소 지표의 상한이다.

제1 가산 공간은 인 위상 공간이다.

마찬가지로, 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.

유사 지표 
위상 공간 의 부분 집합 의 국소 유사 기저() 또는 국소 ψ-기저()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 이다.

위상 공간 의 부분 집합 의 국소 유사 지표() 또는 국소 ψ-지표() 는 의 국소 유사 기저의 최소 크기이다.

T1 공간 의 유사 지표() 또는 ψ-지표() 는 모든 점의 국소 유사 지표의 상한이다.

π-지표 
위상 공간 의 점 의 국소 π-기저()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 이다.
 이며, 의 임의의 근방 에 대하여, 인 가 존재한다.

위상 공간 의 점 의 국소 π-지표() 는 의 국소 π-기저의 최소 크기이다.

위상 공간 의 π-지표()는 는 모든 점의 국소 π-지표의 상한이다.

밀착도 

위상 공간 의 부분 집합  및 그 폐포의 점 에 대하여, 가 인 의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 의 점 의 국소 밀착도()는 다음과 같다.

위상 공간 의 밀착도()는 는 모든 점의 국소 밀착도의 상한이다.

가산 생성 공간은 인 위상 공간이다.

성질 
위상 공간 이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
 (ㄱ) 
 (ㄴ) 
 (ㄷ) 
 (ㄹ) 
 (ㅁ) 
 (ㅂ) 
 (ㅅ) 

의 증명. 가 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이라고 하자. 가 조밀 집합이라고 하자. 임을 보이면 족하다. 조밀성에 따라, 임의의 에 대하여

를 고를 수 있다. 가 서로소이므로, 는  단사 함수이다. 따라서 이다.

의 증명. 가 의 π-기저라고 하자. 인 조밀 집합 를 찾으면 족하다. 임의의 에 대하여 를 고르자. 그렇다면,

는 조밀 집합이며, 이다.

의 증명. 모든 기저는 π-기저이므로 자명하다.

의 증명. 는 의 기저를 이루므로 자명하다.

의 증명. 이므로 자명하다.

의 증명. 이 의 망이라고 하자. 임을 보이면 족하다. 이는

가 전사 함수이므로 자명하다.

의 증명. 이 의 망이라고 하자. 인 조밀 집합 를 찾으면 족하다. 임의의 에 대하여 을 고르자. 그렇다면,

는 조밀 집합이며, 이다.

의 증명. 이 의 망이라고 하자. 가 의 열린 덮개라고 하자. 인 부분 덮개 를 찾으면 족하다.

라고 하자. 임의의 에 대하여

인 를 고르자. 그렇다면,

은 의 부분 덮개이며, 이다.

의 증명. 가 의 망이므로 자명하다.

의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다.

의 증명. 가 의 국소 기저라고 하자. 이며 라고 하자.

인 를 찾으면 족하다. 임의의 에 대하여, 를 고르자. 그렇다면,

는 위 조건들을 만족시킨다.

의 증명. 의 임의의 국소 기저 에 대하여,

는 열린 근방들로 이루어진 국소 기저이며, 특히 의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다.

의 증명. 의 임의의 기저  및 임의의 에 대하여,

는 의 국소 기저이므로 자명하다.

의 증명. 모든 에 대하여 국소 기저 가 주어졌을 때,

는 의 기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다.

의 증명. 모든 점 에 대하여 국소 π-기저 가 주어졌고, 임의의 조밀 집합 가 주어졌을 때,

는 의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

임의의 에 대하여 이므로 자명하다.

의 증명. 의 임의의 π-기저 가 주어졌다고 하자. 의 크기  이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수

를 찾으면 족하다. 임의의 정칙 닫힌집합 에 대하여,

가 인  속의 서로소 열린집합 들로 구성된 집합족 가운데 극대 원소인 하나라고 하자. (이는 초른 보조정리에 따라 존재하며, 선택 공리에 따라 극대 원소들 가운데 하나를 고를 수 있다.) 이제, 함수

를 생각하자. 자명하게 이다. 만약 라면,

이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

의 증명. 임의의 조밀 집합 가 주어졌다고 하자. 단사 함수

를 찾으면 족하다. 함수

를 생각하자. 만약 라면,

인 열린집합 를 골랐을 때,

이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.

콜모고로프 공간 에서, 다음이 성립한다.
 (ㄱ) 

의 임의의 기저 가 주어졌다고 하자. 단사 함수

를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수

는 단사 함수이다.

T1 공간 에서, 다음이 성립한다.
 (ㄱ) 
 (ㄴ) 
 (ㄷ) 
 (ㄹ) 
 (ㅁ) 

의 증명. T1 조건에 따라 가 의 유사 기저이므로 자명하다.

의 증명. T1 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다.

의 증명. T1 조건에 따라 모든 은 의 열린집합이므로 자명하다.

T1 조건에 따라 의 모든 국소 기저는 국소 유사 기저이므로 자명하다.

의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다.

의 증명. 의 임의의 유사 기저  및 임의의 에 대하여,

는 의 국소 유사 기저이므로 자명하다.

의 증명. 의 임의의 유사 기저 가 주어졌다고 하자. 단사 함수

를 찾으면 족하다. 함수

를 생각하자. 만약 라면,

이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

의 증명. 의 임의의 망 이 주어졌다고 하자. 의 크기  이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수

를 찾으면 족하다. 임의의 에 대하여, 인 의 국소 유사 기저 를 고르자. 임의의  및 에 대하여, 인 을 고르자. 이제, 함수

생각하자. (이므로 이다.) 만약 라면,

이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.

의 임의의 유사 기저 에 대하여,

는 의 망을 이루며,

이다.

하우스도르프 공간 에서, 다음이 성립한다.
 (ㄱ) 
 (ㄴ) 

의 증명. 임의의 조밀 집합 가 주어졌다고 하자. 단사 함수

를 찾으면 족하다. 함수

를 생각하자. 만약

라면, 하우스도르프 조건에 따라

이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라 이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

의 증명. 만약 이라면, 는 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, 이라고 하자. 임의의 조밀 집합 가 주어졌다고 하자. 단사 함수

를 찾으면 족하다. 임의의 에 대하여, 인 국소 기저 를 고르자. 임의의 에 대하여

를 고르고,

라고 하자. 이제, 함수

를 생각하자. 자명하게

이다. 하우스도르프 조건에 따라

이다. 따라서, 만약

라면,
의 증명. 하우스도르프 공간에서, 정칙 닫힌집합들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

의 증명. 만약 라면, 는 유한 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, 이라고 하자. 의 임의의 망 이 주어졌다고 하자. 인 유사 기저 를 찾으면 족하다.

라고 하자. 임의의 에 대하여,

인 열린집합 를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라,

는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게

이다.

정칙 하우스도르프 공간 에서, 다음이 성립한다.
 

정칙 하우스도르프 공간에서, 정칙 열린집합들은 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

콤팩트 T1 공간 에서, 다음이 성립한다.
 (ㄱ) 

T1 공간에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다.

콤팩트 하우스도르프 공간 에서, 다음이 성립한다.
 

위상 공간  및 부분 집합 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
 
 
 가 T1 공간일 때, 
 
 가 T1 공간일 때, 
 

만약 가 닫힌 연속 전사 함수라면, 다음이 성립한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

일반위상수학