Hom 함자

수학에서, 특히 범주론에서 hom 집합 (즉, 대상 사이의 사상들의 집합)은 집합 범주에 대한 중요한 함자를 생성한다. 이러한 함자는  함자라고 하며 범주론 및 여러 수학 분야에 수많은 응용이 있다.

공식적인 정의 
를 국소적으로 작은 범주(즉, hom-classes가 고유 모임이 아니고 집합인 범주)라고 가정한다.

의 모든 대상 와 에 대해 다음과 같이 집합 범주에 두 개의 함자를 정의한다.

함자 은 대상 의 점 함자라고도 한다.

의 첫 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 공변 함수가 발생하고 두 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 반공변 함수가 생성된다.

한 쌍의 함자 는 자연스러운 방식으로 관련된다. 임의의 한 쌍의 사상 와 에 대해 도식

은 가환이다. 두 경로 모두 를 로 보낸다.

위 도식의 가환성은  이 첫째 항에 대해 반변하고 둘째 항에 대해 공변하는 에서 로 가는 쌍함자임을 함의 한다. 동등하게, 를

 

인 쌍함자라고 말할 수 있다. 여기서 는 의 반대 범주이다. 정의역을 형성하는 범주를 강조하기 위해 에   표기법이 사용되는 경우가 있다.

요네다 보조정리 
위의 가환 도식을 참조하면, 모든 사상

 

은 자연 변환

 

을 가져온다. 그리고 모든 사상

 

은 자연 변환

 

을 가져온다. 요네다 보조정리는  함자 사이의 모든 자연스러운 변환이 이 형식임을 의미한다. 즉,  함자는 함자 범주 (사용되는  함자에 따라 공변 또는 반변)에 범주 를 완전하고 충실하게 매장하도록 한다.

내부 Hom 함자 
일부 범주에는  함자처럼 동작하는 함자가 있을 수 있지만 이 아니라 범주  자체의 값을 사용한다. 이러한 함자는 내부  함자라고 하며 종종 다음과 같이 작성된다.

 

곱과 같은 특성을 강조하거나

 

그것의 함자적 특성을 강조하기 위해, 또는 때로는 단순히 소문자로:

  예를 보려면 관계 범주를 참조.

내부 Hom 함자가 있는 범주를 닫힌 범주라고 한다. 하나는 그것을 가지고

 

여기서 는 닫힌 범주의 단위 대상이다. 닫힌 모노이드 범주의 경우 이는 커링 개념으로 확장된다.

 

여기서 는 모노이드 범주를 정의 하는 내부 곱 함자인 쌍함자이다. 그 동형 사상은 와 모두에서 자연스럽다. 즉, 닫힌 모노이드 범주에서 내부  함자는 내부 곱 함자에 대한 인접 함자이다. 대상 은 내부 이라고 한다.  가 데카르트 곱 일 때, 대상 는 지수 대상라고 하며 종종 기호로 과 같이 나타낸다.

내부 는 함께 연결될 때 범주의 내부 언어라고 하는 언어를 형성한다. 이들 중 가장 유명한 것은 데카르트 폐쇄 범주의 내부 언어인 단순 유형 람다 미적분과 폐쇄 대칭 단일 범주의 내부 언어인 선형 계이다.

성질 
함자

 

가 준층임을 유의하라; 마찬가지로 은 여준층이다.

함자 에서 일부 에 대해 자연스럽게 과 동형인 집합을 표현 가능한 함자(또는 표현 가능한 여준층)라고 한다. 마찬가지로 에 해당하는 반공변 함수자는 여표현가능이라고 할 수 있다.

은 pro함자이며, 구체적으로는 항등 pro함자 이다.

내부  함자는 극한을 보존한다. 는 극한을 극한으로 보내는 반면 는 안의 극한, 즉,  안의 여극한을 극한으로 보낸다. 어떤 의미에서 이것은 극한 또는 여극한의 정의로 볼 수 있다.

기타 성질 
가 아벨 범주이고 가 의 대상인 경우 는 에서 아벨 군의 범주 까지의 공변 왼쪽 완전 함수이다. 가 사영인 경우에만 완전하다.

을 환이라고 하고 을 왼쪽 -가군이라고 하자. 함자 는 텐서 곱 함자 에 인접한다.

같이 보기 
 Ext 함자
 함자 범주
 표현 가능 함자

메모

참조

외부 링크 
 
 

함자