별난 4차원 유클리드 다양체

수학에서 별난 는 유클리드 공간 와 위상동형이지만 미분동형이 아닌 미분 가능 다양체이다. 첫 번째 예는 1982년 마이클 프리드먼과 다른 사람들이 위상 4-다양체에 대한 프리드먼의 정리와 매끄러운 4-다양체에 대한 사이먼 도널드슨의 정리 사이의 대조를 사용하여 발견되었다. 에 부여 할 수 있는 서로 미분동형이 아닌 미분구조들이 이루는 연속체가 있다. 이는 클리포드 타우베스가 처음으로 증명했다.

이 구성에 앞서 4차원 구에 대한 미분동형이 아닌 매끄러운 구조별난 구는 이미 존재하는 것으로 알려져 있지만 특정 사례에 대한 그러한 구조의 존재에 대한 질문은 여전히 미해결이다(2023년 현재 미해결). 4 이외의 모든 양의 정수 n에 대해 은 유일한 미분 구조를 가진다.

작은 별난 R4 
별난 가 표준 의 열린 부분 집합으로 매끄럽게 매장될 수 있으면 작다고 한다.

작은 별난  자명하지 않은 매끄러운 5차원 h - 보충경계( h -보충경계 정리가 4차원에서 실패한다는 도널드슨의 증명에 의해 존재함)에서 시작하고 위상수학적 h -보충경계 정리가 이 차원에서 유지하는 프리드먼의 정리를 사용하여 구성할 수 있다.

큰 별난 R4 
별난 가 표준 의 열린 부분 집합으로 매끄럽게 매장될 수 없는 경우 크다고 한다.

큰 별난  예들은 콤팩트 4-다양체 종종 위상수학적 합(프리드먼의 작업에 의해)으로 분할될 수 있지만 매끄러운 합(도널드슨의 작업에 의해)으로 분할될 수 없다는 사실을 사용하여 구성할 수 있다.

마이클 하틀리 프리드먼과 로렌스 R. 테일러(1986)는 극대 별난 가 있다는 것을 보여주었다. 다른 모든 가 극대 별난 의 열린 부분 집합으로 매끄럽게 매장된다.

관련 별난 구조 
카슨 손잡이들은 프리드먼 정리(여기서 는 닫힌 단위 원판)에 따라 와 위상동형이다. 그러나 도널드슨의 정리에 따라 모두 와 미분동형이 아니다. 즉, 일부 카슨 손잡이는 별난 

(2022년 현재) 별난 4차원 구가 있는지 여부는 알려져 있지 않다. 그러한 별난 4차원 구는 4차원에서 매끄럽게 일반화된 푸앵카레 추측에 대한 반례가 된다. 일부 그럴듯한 후보는 글럭 비틀림으로 제공된다.

같이 보기 
 Akbulut cork - 에서 별난 를 구성하는 데 사용된다.
 지도책(위상수학)

각주

참고 문헌 
 
 
 
 
  
 
 

미분 구조
4차원 기하학
4-다양체