곡면 리만–로흐 정리

수학에서 곡면에 대한 리만-로흐 정리()는 대수 곡면 위의 선형 계의 차원을 설명한다. 그것의 고전적인 형태는 막스 뇌터(1886)와 페데리고 엔리퀘스(1894)에 의해 초기 형태가 발견된 후, 카스텔누오보(1896, 897)에 의해 처음 주어졌다. 층-이론적 버전은 히르체브루흐가 발표했다.

서술 
리만-로흐 정리의 한 형태는 가 비특이 사영 곡면의 약수인 경우

 

여기서 는 정칙 오일러 특성이다. 점 .은 교차수이고 는 정준 약수이다. 상수 는 자명한 다발의 정칙 오일러 특성이며, , 여기서 는 곡면의 산술 종수이다. 비교를 위해 곡선에 대한 리만–로흐 정리는

뇌터 공식 
뇌터 공식은

 

여기서 은 정칙 오일러 특성이고, 는 천 수와 표준 특성류 의 자기 교차수이고 는 위상수학적 오일러 특성이다. 리만-로흐 정리에서 이라는 용어를 위상 용어로 대체하는 데 사용할 수 있다. 이것은 곡면에 대한 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 제공한다.

히르체브루흐-리만-로흐 정리와의 관계 
곡면의 경우 히르체브루흐-리만-로흐 정리는 본질적으로 뇌터 공식과 결합된 곡면에 대한 리만-로흐 정리이다. 이를 확인하려면 곡면의 각 약수 에 대해 의 선형 시스템이 의 단면 공간과 거의 같은 가역 다발 가 있다는 것을 기억하라. 곡면의 경우 토드 특성류는 다음과 같다. , 층 의 천 특성류는 이다, 그래서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는 다음과 같이 말한다.

 

다행히도 이것은 다음과 같이 보다 명확한 형식으로 작성할 수 있다. 먼저 로 놓으면

  (뇌터 공식)

임을 보일 수 있다. 가역 층(선다발)의 경우 두 번째 천 특성류가 사라진다. 두 번째 코호몰로지 동치류의 곱은 피카르 군의 교차수로 식별할 수 있으며 곡면에 대한 리만-로흐 정리의 보다 고전적인 모습을 얻는다.

 

원한다면 세르 쌍대성을 사용하여 를  표현 할 수 있다. 그러나 곡선의 경우와 달리 일반적으로 층 코호몰로지를 포함하지 않는 형식으로 항을 작성하는 쉬운 방법이 없다(실제로는 종종 사라지지만).

초기 형태 
곡면에 대한 리만-로흐 정리의 초기 형태는 첫 번째 코호몰로지 군에 대한 직접적인 기하학적 설명이 없었기 때문에 종종 등식보다는 부등식으로 언급되었습니다. 전형적인 예는  , 이는

 

여기서

 은 전체 선형 시스템의 차원 | 디 | 제수 의 (그래서 )
 은 자기 교차수 로 주어진 의 가상 차수이다.
 는 의 가상 종수이다. 와 같다.
 는 곡면의 산술 종수 이다.
 는  (세르 쌍대성에 의해 와 동일).

이 부등식의 두 변 사이의 차이를 제수 의 과잉  라고 불렀다. 이 부등식을 리만-로흐 정리의 층 이론 버전과 비교하면 의 과잉이 로 주어진다는 것을 알 수 있다.  제수 는 과 같은 경우 정규라고 하고,(즉, 의 모든 상위 코호몰로지 군이 사라지는 경우) 인 경우 과잉이라고 한다.

참고 문헌 
 Topological Methods in Algebraic Geometry by Friedrich 히르체브루흐 
 

대수기하학 정리
대수곡면