칸토어 집합 (집합론)

집합론에서, 칸토어 집합()은 모든 원소에 한원소 집합을 취하여 얻는 집합과 크기가 같은 집합이다.

정의 
집합 가 다음 조건을 만족시키면, 칸토어 집합이라고 한다.

집합 가 다음 조건을 만족시키면, 강한 칸토어 집합()이라고 한다.
 는 집합이다.

성질 
새 기초에서, 다음 세 명제들이 서로 동치이며, 이는 새 기초에서 증명 불가능하다.
 모든 유한 집합은 칸토어 집합이다.
 모든 유한 집합은 강한 칸토어 집합이다.
 강한 칸토어 집합인 무한 집합이 존재한다.

예 
체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 집합은 칸토어 집합이자 강한 칸토어 집합이다.

새 기초에서, 콰인-로서 자연수 집합 은 칸토어 집합이다. 이 강한 칸토어 집합이라는 명제를 셈 공리()라고 한다. 이는 (새 기초가 무모순적이라면) 새 기초와 독립적이다.

칸토어 역설에 따라, 새 기초에서 모든 집합의 집합 는 칸토어 집합이 아니다. 부랄리포르티 역설에 따라, 새 기초에서 모든 순서수의 집합 는 칸토어 집합이 아니다.

참고 문헌 

집합론