자기쌍대군

군론에서 자기쌍대군(自己雙對群, )은 모든 부분군이 어떤 몫군과 동형이며, 마찬가지로 모든 몫군이 어떤 부분군과 동형인 군이다.

정의 
군 가 다음 조건을 만족시키면 s-자기쌍대군()이라고 한다.
 (부분군이 몫군과 동형) 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.
군 가 다음 조건을 만족시키면 q-자기쌍대군()이라고 한다.
 (몫군이 부분군과 동형) 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.
s-자기쌍대군인 q-자기쌍대군을 자기쌍대군이라고 한다. 즉, 자기쌍대군은 부분군의 동형류의 집합과 몫군의 동형류의 집합이 일치하는 군이다.

성질 
모든 s-자기쌍대군은 멱영군이다. s-자기쌍대군의 부분군은 s-자기쌍대군이다. 자기쌍대 아벨 군의 꼬임 부분군은 자명하지 않다.

예 
모든 유한 아벨 군은 자기쌍대군이다.

분류 
자기쌍대군은 매우 제한적인 형태를 취한다. 특수한 종류의 자기쌍대군의 구조 정리로는 다음이 있다.

유한 자기쌍대군 
모든 유한 자기쌍대군 는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

여기서
 는 소수이다.
 인 경우, 는 아벨 p-군이다.
 인 경우, 는 아벨 p-군이거나, 이다.

모든 유한 s-자기쌍대군 는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

여기서
 는 소수이다.
 인 경우, 는 아벨 p-군이거나, 표시 를 갖는 군과 지수  미만의 아벨 p-군의 직접곱이다.
 인 경우, 는 아벨 p-군이거나, 표시 를 갖는 군과 지수  미만의 아벨 p-군의 직접곱이거나, 이다.

가산 아벨 자기쌍대군 
계수가 0인 가산 아벨 자기쌍대군 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서
 는 소수이다.
 는 다음 두 형태 가운데 하나다.
  ()
 . 여기서 는 프뤼퍼 군이며, 는 를 부분군으로 갖지 않는, 지수가 무한한 아벨 p-군이다.

0이 아닌 유한 계수의 가산 아벨 자기쌍대군 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서
 는 소수이다.
 는 를 부분군으로 갖지 않는, 지수가 무한한 아벨 p-군이다.

계수가 무한한 가산 아벨 자기쌍대군 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 는 임의의 가산 아벨 군이다.

참고 문헌 

군론