복소화

수학에서, 실수 체 스칼라를 가진 선형 공간 ("실수 선형 공간")의 복소화는 복소수 체에 대한 선형 공간 를 구성하며, 벡터의 실수 스칼라를 복소수 범위 까지 형식적으로 확장하여 얻은 것이다. 실 선형 공간 에 대한 모든 기저는 또한 복소 선형 공간 에 대한 기저 역할을 할 수 있다.

정의 
가 실 선형 공간이라 하자. 의 복소화는 와 2차원 실 선형 공간으로서의 복소수 공간의 텐서 곱으로 정의된다.

 

텐서 곱에서 아래 첨자 은 텐서 곱이 실수 위에서 이뤄짐을 나타낸다.(는 실 선형 공간이므로 어쨌든 이것이 유일하게 합리적인 선택이므로 아래 첨자는 혼동의 여지 없이 생략할 수 있다.) 현재 상태 그대로,  는 실 선형 공간이다. 그러나, 복소수 곱셈을 다음과 같이 정의하여 를 복소 선형 공간으로 변환한다:

 

보다 일반적으로, 복소화는 스칼라 확대의 예이다. 여기서는 실수에서 복소수로 스칼라를 확장한다. 이는 모든 체 확대 또는 환의 모든 사상에 대해 수행될 수 있다.

범주론적으로, 복소화는 실 선형 공간의 범주에서 복소 선형 공간의 범주로 가는 함자 이다. 이것은 복소 구조를 잊어 버린 망각 함자 에 대한 왼쪽 수반 함자이다.

복소 선형 공간 의 복소 구조에 대한 이러한 망각은 실수화라고 부른다.

기저 를 가진 복소 선형 공간 의 실수화는 복소수 스칼라 곱을 없애버리고

를 기저로 하여 차원을 두배로 만든다.

기본적 성질들 
텐서 곱의 특성상 의 모든 벡터 는 다음과 같은 형식으로 유일하게 쓸 수 있다:

 

여기서 와 는 의 벡터이다. 텐서 곱 기호를 버리고 그냥 쓰는 것이 일반적이다.

 

복소수 에 의한 곱셈은 일반적인 규칙에 의해 주어진다.

 

그런 다음 를 두 의 직합으로 볼 수 있다:

 

복소수에 의한 곱셈에 대한 위의 규칙을 사용한다.

다음과 같이 주어진 에 의 자연스러운 매장이 있다.

 

그러면 선형 공간 를 의 실수 부분 공간으로 볼 수 있다. (실수 체에 대해) 기저 를 갖는 경우 에 대한 해당 기저는 복소수 체에 대해 로 주어진다. 따라서 의 복소 차원은 의 실수 차원과 같다.

 

또는 텐서 곱을 사용하는 대신 이 직합을 복소화의 정의로 사용할 수 있다.

 

여기서 는 과 같이 정의된 연산자 에 의해 선형 복소 구조가 제공된다. 여기서 는 "에 의한 곱셈" 연산을 의미한다. 행렬 형식으로 는 다음과 같다:

 

이것은 공간을 다르게 구성하지만 동일한 공간을 생성한다. 선형 복소 구조를 가진 실 선형 공간은 복소 선형 공간과 동일하다. 따라서, 는  또는 로 쓸 수 있다. 는 직합의 첫 번째 성분으로 식별한다. 이 접근법은 더 구체적이고 기술적으로 관련된 텐서 곱의 사용을 피하는 이점이 있지만 임시적이다.

예 

 실수 좌표 공간 의 복소화는 복소 좌표 공간 이다.
 마찬가지로, 가 실수 성분이 포함된  행렬로 구성된 경우 는 복소수 성분이 포함된  행렬로 구성된다.

딕슨 배환 
에서 로 이동하는 복소화 과정은 레너드 딕슨을 비롯한 20세기 수학자에 의해 추상화되었다. 하나는 항등사상 을  에 대한 자명한 대합으로 사용하는 것으로 시작한다. 다음으로 의 두 복사본을 사용하여, 복소 켤레는 를 사용하여 를 형성한다. 배가 된 집합의 두 원소 와 는 다음과 같이 곱한다.

 

마지막으로, 배가 된 집합에는 노름 가 주어진다. 항등 대합을 사용하여 에서 시작할 때 배가 된 집합은 노름 를 사용하는 이다. 를 두 배로 하고 켤레 를 사용하면 사원수를 생성한다. 다시 두 배로 하면 케일리 수라고도 하는 팔원수가 생성된다. 1919년 딕슨이 대수적 구조를 밝히는 데 기여한 것은 바로 이 시점이었다.

이 과정은 와 자명한 대합  로 시작할 수도 있다. 생성된 노름은  두 배로 하여  를 생성하는 것과는 달리 단순히 이다. 이 가 2배가 되면 쌍복소수이고, 2배가 되면 쌍사원수이고, 다시 2배가 되면 쌍팔원수이다. 기본이 되는 대수가 결합적일 때, 이 케일리-딕슨 구성에 의해 생성된 대수는 합성 대수라고 불린다. 왜냐하면 다음과 같은 성질이 있기 때문이다.

복소 켤레 
복소화된 선형 공간 는 일반적인 복소 선형 공간보다 더 많은 구조를 가지고 있다. 표준 복소 켤레 사상과 함께 제공된다.

 ,

는 인 켤레 선형 사상 또는 인 복소 선형 동형 사상으로 볼 수 있다.

반대로 복소수 켤레 를 갖는 복소 선형 공간 이 주어지면 는 실 부분공간의 복소화 에 대한 복소 선형 공간과 동형이다.

 

즉, 켤레 복소수가 있는 모든 복소 선형 공간은 실 선형 공간의 복소화이다.

예를 들어, 일 때 표준 복소 켤레

 

의 불변 부분공간 는 단순히 실 부분공간 이다.

선형 변환 
두 실 선형 공간 사이에 주어진 실 선형 변환 에 대해 자연 복소 선형 변환

 

이 있다. 여기서

 

사상 는 의 복소화라고 한다. 선형 변환의 복소화는 다음 성질을 갖는다:

 
 
 
 

범주론에서 복소화는 실 선형 공간 범주에서 복소 선형 공간 범주로 가는 (가산) 함자를 정의한다고 말한다.

사상 는 켤레와 사용하여 교환하므로 의 실 부분 공간을 의 실 부분 공간에 사상한다 (사상  를 통해). 또한 복소 선형 사상 는 오직 켤레로 교환하는 경우에만 실 선형 사상의 복소화이다.

예를 들어  행렬로 생각되는 선형 변환 을 고려하자. 해당 변환의 복소화는 정확히 동일한 행렬이지만 인 선형 사상으로 여겨진다.

쌍대 공간과 텐서 곱 
실 선형 공간 의 쌍대공간은 인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간 이다. 의 복소화는 당연히 인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간으로 생각할 수 있다. 즉,동형은 다음과 같이 주어진다.여기서 는 의 원소이다. 그런 다음 일반적인 작업에 의해 복소 켤레가 제공된다.주어진 실 선형 사상 에 대해 복소 선형 사상 를 얻기 위해 선형으로 확대할 수 있다. 즉,이 확대는 에서 까지의 동형 사상을 제공한다. 후자는 단지 에 대한 복소 쌍대 공간이므로, 다음과 같은 자연스러운 동형사상이 있다:더 일반적으로, 실 선형 공간 와 가 주어지면 자연스러운 동형사상이 있다. 복소화는 또한 텐서 곱, 외승 및 대칭승을 취하는 작업과 교환한다. 예를 들어, 와 가 실 선형 공간인 경우 자연스러운 동형사상이 있다. 왼쪽 텐서 곱은 실수를 인계받는 반면 오른쪽 텐서 곱은 복소수를 인계한다. 일반적으로 동일한 패턴이 적용된다. 예를 들어, 하나는모든 경우에 동형사상은 "자명한" 동형사상이다.

같이 보기 

 스칼라의 확장 - 일반적 과정
 선형 복소 구조
 베이커–캠벨–하우스도르프 공식

참조 

 
 
 

벡터 공간
복소다양체