초등적이지 않은 원시함수

수학에서 주어진 초등함수의 초등적이지 않은 원시함수()는 초등함수가 아닌 원시함수(또는 부정적분)이다(즉, 상수함수, 다항함수, 무리함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수 들의 유한한 사칙연산과 합성으로 구성된 함수). 1835년 리우빌 정리는 초등적이지 않은 원시함수가 존재한다는 첫 번째 증명을 했다. 이 정리는 또한 초등적 원시 함수를 갖는 초등함수를 결정하기 위한 리슈 알고리듬의 기초가 된다.

예 
초등적이지 않은 원시함수를 갖는 초등 함수의 예에는 다음 함수들이 있다:

  (타원 적분)
  (로그 적분)
  (오차 함수, 가우스 적분)
 과  (프레넬 적분 )
  (사인 적분, 디리클레 적분)
  (지수 적분)
 
 
  (불완전 감마 함수); 이면 원시함수는 로그 적분으로 표현할 수 있다.  이면 오차 함수로 표현 할 수 있다; 이면 원시함수는 초등적이다.

일부 일반적인 초등적이지 않은 원시함수는 특수 함수의 일종으로 고유한 이름이 붙으며, 이러한 새 함수를 포함하는 공식은 더 큰 종류의 초등적이지 않은 원시함수를 표현할 수 있다.

성질 
초등적이지 않은 원시함수는 종종 테일러 급수를 사용하여 계산할 수 있다. 함수에 초등적인 원시함수가 없더라도 테일러 급수는 항상 다항식의 적분과 같이 항별로 적분할 수 있으며, 동일한 수렴 반경을 가진 테일러 급수로 원시함수를 얻는다. 그러나 원시함수에 수렴하는 테일러 급수가 있는 경우에도 계수의 수열에는 종종 초등적 공식이 없으며 항별로 계산해야 한다.

초등함수로 원시함수를 계산할 수 없더라도 항상 수치 적분을 통해 해당 정적분을 근사할 수 있다. 초등적인 원시함수가 없는 경우도 있지만 특정 정적분(종종 무한 구간에 대한 이상 적분)은 초등함수로 계산할 수 있다. 가장 유명한 것은 가우스 적분 이다.

모든 초등 함수들의 원시함수들의 집합은 리우빌리안 함수 집합이다.

같이 보기

참조

추가 자료 
 Williams, Dana P., 초등적이지 않은 원시함수들, 1993년 12월 1일. 2014년 1월 24일에 액세스함.

적분
적분학