단조 정규 공간

일반위상수학에서 단조 정규 공간()은 서로소 닫힌집합을 분리하는 서로소 열린집합을 단조함수를 통해 고를 수 있는 정규 공간이다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 위상 공간 
 의 부분 집합의 순서쌍들의 집합 
그렇다면, 단조 정규성 연산자() 는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.
 에 부분 순서 를 주었을 때, 는 단조함수이다.
 
만약 다음 조건을 추가로 만족시키면, 자기 서로소 단조 정규성 연산자()라고 한다.

단조 정규성 연산자 가 주어졌을 때, 만약 라면,

는 자기 서로소 단조 정규성 연산자를 이룬다.

다음과 같은 집합들을 정의하자.

그렇다면, 항상 이며, 가 T1 공간이라면 이다.

위상 공간 가 다음 조건을 만족시키면, 단조 정규 공간이라고 한다.
 단조 정규성 연산자 가 존재한다.

T1 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 단조 정규성 연산자 가 존재한다.
 단조 정규성 연산자 가 존재한다.
 자기 서로소 단조 정규성 연산자 가 존재한다.

가 T1 공간이므로,

이다. 따라서, 만약 가 단조 정규성 연산자라면,  역시 단조 정규성 연산자이다. 만약 가 자기 서로소 단조 정규성 연산자라면,  역시 자기 서로소 단조 정규성 연산자이다. 즉, 첫 번째 조건은 두 번재 조건을 함의하며, 두 번째 조건은 세 번째 조건을 함의한다. 이제, 자기 서로소 단조 정규성 연산자

가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수를 정의하자.

만약

라면, 자명하게 이다. 또한, 임의의 에 대하여,

이다. 따라서, 는 단조 정규성 연산자이다.

성질

함의 관계 
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center; white-space: nowrap"
| 거리화 가능 공간 || → || 완전 정규 하우스도르프 공간 (T6) || → || 완비 정규 하우스도르프 공간 (T5) || → || 정규 하우스도르프 공간 (T4)
|-
| || ↘ || || || ↑ || || ↑
|-
| || || 단조 정규 하우스도르프 공간 || → || 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간 || → || 집합족적 정규 하우스도르프 공간
|}

모든 거리 공간 가 단조 정규 공간임을 보이면 충분하다. 다음과 같은 함수를 정의하자.

그렇다면,

가 연속 함수 이므로, 는 열린집합이다. 만약

라면,

이므로,

이다. 또한,

이다. 즉, 는 단조 정규성 연산자이다.

단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이므로, 모든 단조 정규 하우스도르프 공간이 집합족적 정규 공간임을 보이면 충분하다. 단조 정규 하우스도르프 공간  및 자기 서로소 단조 정규성 연산자

및 닫힌집합들의 이산 집합족

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 열린집합들의 서로소 집합족

을 찾으면 충분하다. 모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이므로, 폐포와 합집합 연산의 순서를 교환할 수 있다. 특히, 닫힌집합들의 이산 집합족의 합집합은 닫힌집합이다. 이제, 임의의 에 대하여,

라고 하자. 의 정의에 따라, 는 열린집합이며, 이다. 만약 이며 라면,

이다. 즉, 는 서로소 집합족이다.

순서 위상을 갖춘 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다.

임의의 전순서 집합  위에 순서 위상을 주자. 다음 두 조건을 보이면 충분하다.
 (T1) 모든 한원소 집합은 닫힌집합이다.
 (단조 정규성) 자기 서로소 단조 정규성 연산자 가 존재한다.

T1. 임의의 에 대하여,

이므로 한원소 집합 는 닫힌집합이다.

단조 정규성. 선택 공리와 동치인 정렬 정리에 따라,  위에 임의의 정렬 전순서 를 주자. 임의의 닫힌집합  및 점 에 대하여, 다음과 같이 정의하자.
 는 를 포함하는 의 순서 볼록 성분이다.
 만약 이라면, 
 만약 이라면, 
이제,

라고 하자. 가 자기 서로소 단조 정규성 연산자임을 보이면 충분하다.
 는 열린집합이다.
 인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이며 가 열린집합이므로, 인 가 존재한다. 는 를 포함하는 순서 볼록 집합이므로, 이다. 이므로, 이다. 따라서, 이다.
 
 이는 자명하다.
 
 인 경우를 생각하자. 이 경우, 이다.
 만약 가 닫힌집합이며, 라면, 
 이며 인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, , 이다. 만약 라면, 이며, 특히 이다. 이제, 라고 가정하자. 이므로, 이다. 따라서, 이며, 이므로 이다. 의 정의에 따라, 는 의 원소일 수 없다. 따라서, 이며, 이다.
 임의의 서로 다른 에 대하여, 
 이며 인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, , 이다. 귀류법을 사용하여, 이라고 가정하자. , 이므로, 일 수밖에 없다. 따라서 이며, 이는 모순이다.

연산에 대한 닫힘 
단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 반대로, 위상 공간 가 단조 정규 하우스도르프 닫힌집합들로 구성된 국소 유한 덮개를 갖는다면, 단조 정규 하우스도르프 공간이다.

단조 정규 하우스도르프 공간  및 단조 정규성 연산자

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

이며,

는 단조 정규성 연산자이다.

단조 정규 하우스도르프 공간  및 닫힌 연속 함수 에 대하여, 그 상 는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.

편의상 라고 하자. 단조 정규성 연산자

가 주어졌을 때, 다음과 같은 함수를 정의하자.

이는 자명하게 단조함수이다.

이므로,

이다. 따라서, 는 단조 정규성 연산자이다.

단조 정규 하우스도르프 공간  및 닫힌집합  및 연속 함수 에 대하여, 붙임 공간 는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.

다음 두 조건을 보이는 것으로 충분하다.
 는 T1 공간이다. 즉, 모든 한원소집합은 닫힌집합이다.
 는 단조 정규 공간이다. 즉, 단조 정규성 연산자 가 존재한다.

T1. 표준적인 연속 함수

를 생각하자. 그렇다면, 부분 집합 이 열린집합일 필요충분조건은 와 가 둘 다 열린집합인 것이다. 마찬가지로, 닫힌집합일 필요충분조건은 와 가 둘 다 닫힌집합인 것이다. 또한, 는 열린 위상수학적 매장이며, 는 닫힌 위상수학적 매장이며,

이다. (그러나 는 두 상의 분리합공간일 필요가 없다.) 이제, 임의의  및 에 대하여,

이다. 따라서, 와 는 닫힌집합이며, 는 T1 공간이다.

단조 정규성. 단조 정규성 연산자

가 주어졌다고 하자. 임의의 서로소 닫힌집합 에 대하여,

이다. 이제,

라고 하자. 그렇다면, 이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.

이제,

인 열린집합 을 잡고,

라고 하자.

는 모두 열린집합이므로, 는 열린집합이다. 또한,

이며 (가 열린 매장이며 가 닫힌 매장이라는 사실을 사용하였다), 만약

라면

이므로

이다. 따라서, 는 단조 정규성 연산자이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

위상 공간의 성질