완비 원순서 집합

순서론에서 완비 원순서 집합(, 약자 cpo)은 모든 사슬이 상한을 갖는 원순서 집합이다.

정의 
원순서 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 를 완비 원순서 집합이라고 한다.
 모든 사슬의 상한이 존재한다.
 모든 정렬 사슬의 상한이 존재한다.
 최소 원소를 가지며, 모든 상향 집합의 상한이 존재한다.
 최소 원소를 가지며, 표준적인 매장 는 (얇은 작은 범주 사이의 함자로 여겼을 때) 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
 임의의 순서 보존 함수 의 고정점 집합 은 최소 원소를 갖는다.

완비 원순서 집합에서, 주 순서 아이디얼 의 왼쪽 수반 함자는 순서 아이디얼의 상한

이다.

보다 일반적으로, 순서수 가 주어졌을 때, 원순서 집합 이 다음 조건을 만족시키면, 를 -완비 원순서 집합()이라고 한다.
 순서형  미만의 모든 정렬 사슬의 상한이 존재한다.

두 완비 원순서 집합 ,  사이의 함수 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 완비 원순서 집합의 사상이라고 한다.
 사슬의 상한을 보존한다. 즉, 임의의 사슬 에 대하여, 
 최소 원소를 보존하며, 상향 집합의 상한을 보존한다. 즉, 이며, 임의의 상향 집합 에 대하여 .
 정의역과 공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.
완비 원순서 집합의 사상은 항상 순서 보존 함수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

성질 
모든 완비 원순서 집합은 닫힌 원순서 집합이다. 따라서 초른 보조정리를 적용할 수 있다.

격자 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 완비 원순서 집합이다.
 완비 격자이다.
즉, 완비 원순서 집합은 완비 격자의 개념을 일반화한다.

고정점 
완비 원순서 집합  위의 순서 보존 함수 의 고정점 집합 은 완비 원순서 집합이다. 이는 타르스키 고정점 정리를 일반화한다.

완비 원순서 집합  위의 순서 보존 함수들의 집합 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

그렇다면, 는 최소 공통 고정점을 갖는다.

범주론적 성질 
완비 원순서 집합과 그 사상의 범주 는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

순서론