절단점

일반위상수학에서 절단점(切斷點, )은 연결 공간을 연결되지 않은 둘 이상의 부분들로 분리하는 점이다.

정의 
연결 공간 의 점 의 절단점 차수(切斷點次數, )는 의 연결 성분들의 수이다. 연결 공간 의 점 의 절단점 차수가 2 이상이라면 (다시 말해, 가 비연결 공간이라면), 를 의 절단점이라고 한다. 절단점 공간(切斷點空間, )은 모든 점이 절단점인 연결 공간이다.

연결 공간 가 다음 조건을 만족시키면, 연결 순서 위상 공간(連結順序位相空間, ) 또는 COTS라고 한다.
 임의의 세 원소 부분집합 에 대하여, 의 두 원소가 의 서로 다른 두 연결 성분에 속하게 되는 가 존재한다.

위상 공간 에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 두 점 가 존재한다면, 를 끝점 공간(-連結空間, )이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 인 의 열린닫힌집합 가 존재한다.

성질 
연결 공간의 모든 절단점은 한원소 집합으로서 열린집합이거나 닫힌집합이다. 즉, 고립점이거나 ‘닫힌 점’이다.

연결 공간 의 절단점 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 의 열린닫힌집합 가 존재하며, 이에 대하여

인 의 열린집합  및 닫힌집합 가 존재한다. 가 연결 공간이므로 일 수밖에 없다. 따라서 이거나 이다. 만약 가 참이라면 는 열린집합이다. 만약 가 참이라면 는 닫힌집합이다.

크기 2 이상의 절단점 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
 무한 집합이다. 이는 아래 두 성질의 공통적인 특수한 경우이다.
 무한한 수의 닫힌 점을 갖는다.
 콤팩트 공간이 아니다. 보다 일반적으로, 크기 2 이상의 콤팩트 연결 공간은 적어도 두 개의 비절단점을 갖는다.

크기 2 이상의 절단점 공간 가 주어졌다고 하자. 서로 다른 닫힌 점 를 구성하면 족하다. 수학적 귀납법을 사용하여, 개의 열린집합  및 개의 열린집합  및 서로 다른 개의 닫힌 점 가 주어졌으며, 또한

이라고 하자. 그렇다면, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

은 연결 공간. 귀류법을 사용하여, 열린닫힌집합 이 주어졌다고 하자. 편의상 라고 하자. (만약 라면 를 그 여집합 로 대체한다.) 가 의 열린집합이며, 는 의 열린집합이므로, 는 의 열린집합이다. 마찬가지로, 가 의 닫힌집합이며, 가 의 닫힌집합이므로, 는 의 닫힌집합이다. 이는 의 연결성과 모순이다.

닫힌 점 이 존재. 귀류법을 사용하여,  속에 닫힌 점이 없다고 하자. 임의의 에 대하여, 가 닫힌집합이 아니며, 이 닫힌집합이며, 은 고립점들로 이루어지므로, 이다. 따라서 은 연결 공간이다.  역시 연결 공간이므로, 에 대하여,

은 연결 공간이다. 즉, 은 절단점이 아니며, 이는 모순이다.

이며 이며 인 의 열린집합 가 존재. 이는 이 닫힌 절단점이며, 이기 때문이다. 만약 이라면 과 을 교환한다.

. 이 연결 공간이며, 이므로, 이거나 인데, 이다. 따라서 이다.

. 임의의 에 대하여, 이므로 이며, 또한 이다. 따라서 이다.

1개 이하의 비절단점을 갖는, 크기 2 이상의 연결 공간 가 콤팩트 공간이 아님을 보이면 족하다. 의 절단점의 집합은  전체이거나, 어떤 한 비절단점의 여집합이므로, 연결 공간이다. 따라서, 닫힌 절단점 가 존재한다. 가 열린집합이며, 또한 이며 이며 이라고 하자. 그렇다면, 와  가운데 적어도 한 집합은 절단점으로 이루어진다. 편의상 의 모든 점이 절단점이라고 하자. 이제,

라고 하고,  위에 다음 부분 순서를 주자.

그렇다면, 다음 명제들을 차례로 보이는 것으로 족하다.

는 극대 사슬 를 가짐. 가 연결 공간이므로 는 닫힌집합이 아니며, 가 열린집합이므로 은 닫힌집합이다. 따라서 이며, 이다. 하우스도르프 극대 원리에 따라 극대 사슬 가 존재한다.

는 극대 원소를 갖지 않음. 임의의 가 주어졌다고 하고, 라고 하자. 그렇다면, 닫힌 점 가 존재한다고 단언한다. 의 모든 점이 닫힌 점이 아니라고 가정하자. 임의의 에 대하여, 은 닫힌집합이 아니며 는 닫힌집합이며 의 모든 점은 고립점이므로, 이며, 따라서 는 연결 공간이다. 임의의 에 대하여, 는 의 열린닫힌집합이 아니며, 와 는 각각 의 열린집합과 닫힌집합이므로, 와  가운데 에 속하는 한 집합은 의 열린닫힌집합이 아니다. 즉, 는 연결 공간이다. 따라서, 임의의 를 취했을 때,

는 연결 공간이다. 즉, 은 절단점이다. 이는 인 것과 모순이다. 이제, 가 닫힌 절단점이므로, 이 의 열린집합이며, 이며 이라고 하자. 가 연결 공간이므로, 이거나 이다. 편의상 전자가 참이라고 하자. 그렇다면, 이며 이므로, 이다. 즉, 이며, 는 극대 원소가 아니다.

는 콤팩트 공간이 아님. 열린 덮개 가 유한 부분 덮개를 갖지 않음을 보이면 족하다. 가 극대 원소를 갖지 않음을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, 가 의 극대 원소라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재한다. 그렇다면 은 새로운 사슬이며, 는 그 진부분집합이다. 이는 의 극대성과 모순이다.

. 귀류법을 사용하여, 가 공집합이 아니라고 하자. 이므로, 의 모든 점은 절단점이며, 따라서 고립점이거나 닫힌 점이다. 는 닫힌집합이므로, 열린집합일 수 없으며, 따라서 닫힌 절단점 가 존재한다. 가 의 열린집합이며, 이며, 라고 하자. 임의의 는 의 극대 원소가 아니므로, 인 가 존재한다. 따라서,

이다. 각 는 연결 공간이며, 이므로, 는 연결 공간이다. 따라서, 이거나 이다. 편의상 전자가 참이라고 하면, 이며 이므로, 이다. 가 극대 원소를 갖지 않으므로, 이다. 이는 의 극대성과 모순이다.

예 
유클리드 평면  속의 개의 직선이 절단점 공간일 필요충분조건은, 공점선이거나, 개의 직선이 평행하며 남은 한 직선과 교차하는 것이다.

실수 
실수선 는 절단점 공간이며, 모든 점의 절단점 차수는 2이다. 반대로, 다음 결과들이 성립한다.
 모든 점의 절단점 차수가 2인 연결 국소 연결 분해 가능 거리화 가능 공간은 와 위상동형이다.
 모든 점의 절단점 차수가 2이며, 모든 점의 여집합의 두 연결 성분들의 집합이 부분기저를 이루는 분해 가능 하우스도르프 공간은 와 위상동형이다.

2차원 이상의 유클리드 공간  ()은 연결 공간이지만, 절단점을 갖지 않는다.

기약 절단점 공간 
정수 집합  위에 다음과 같은 위상을 부여한 위상 공간을 칼림스키 직선(-直線, )이라고 한다.
 모든 홀수는 고립점이다.
 모든 짝수 은 최소 열린 근방 을 갖는다.
즉, 칼림스키 직선의 위상은 다음과 같은 기저로 생성된다.

기약 절단점 공간(旣約切斷點空間, )은 모든 진부분집합이 절단점 공간이 아닌 절단점 공간이다. 칼림스키 직선은 기약 절단점 공간이며, 반대로 기약 절단점 공간은 칼림스키 직선과 위상동형이다. 즉, 칼림스키 직선은 위상동형 아래 유일한 기약 절단점 공간이다.

칼림스키 직선 는 연결 공간. 짝수 에 대하여, 은 의 최소 근방이므로, 과 은 연결 공간이다. 수학적 귀납법에 따라, 에 대하여,

은 연결 공간이며, 따라서 칼림스키 직선

은 연결 공간이다.

모든 는 절단점. 이는 과 이 모두 의 열린집합이기 때문이다.

모든 진부분집합 는 연결 공간이 아니거나, 비절단점을 가짐. 칼림스키 직선 의 연결 진부분공간은 다음 세 가지 꼴 가운데 하나이다 ().
 
 
 
가 연결 공간이라고 하자. 즉, 는 어떤 에 대하여 위 세 집합 가운데 하나라고 하자. 그렇다면,  역시 위 세 가지 꼴 가운데 하나이며, 따라서 연결 공간이다. 즉, 은 의 비절단점이다.

기약 절단점 공간 가 주어졌다고 하자. 기약성에 따라, 칼림스키 직선 에서 로 가는 매장 를 구성하면 족하다. 우선, 모든 점 의 절단점 차수는 2라고 단언한다. 가 의 열린닫힌집합이라고 하자. 와 가 연결 공간임을 보이면 족하다. 전자만을 증명한다. 귀류법을 사용하여, 가 연결 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, 는 의 절단점이다. 임의의 에 대하여,

는 연결 공간이 아니며, 이므로, 와  가운데 하나 이상은 연결 공간이 아니다. 그런데 가 연결 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 는 연결 공간이 아니며,  역시 의 절단점이다. 즉, 는 절단점 공간이다. 이는 기약 절단점 공간 조건과 모순이다.

이제, 닫힌 점 을 취하자. 와 이 의 두 연결 성분이라고 하자. 수학적 귀납법을 사용하여,

가 주어졌으며, 또한 각 에 대하여, 가 연결 공간이라고 하자. 또한, 각 의 두 연결 성분이 와 라고 하고, 인 경우 이며, 인 경우 라고 하자. 그렇다면, 과 이 연결 공간인  및 이 존재한다고 단언한다. 후자를 증명한다. 의 극한점 을 찾으면 족하다. 만약 이 닫힌 점이라면, 이 연결 공간이며, 가 기약 절단점 공간이므로, 은 비절단점 을 갖는다. 즉, 은 연결 공간이다. 은 열린집합이므로, 닫힌집합이 아니며, 은 닫힌집합이므로, 은 의 극한점이다. 하지만 이 연결 공간이 아니므로, 은 의 극한점일 수 없다. 따라서, 은 의 극한점이다. 만약 이 고립점이라면, 은 닫힌집합이므로, 열린집합이 아니며, 은 열린집합이므로, 은 의 극한점이다. 수학적 귀납법의 마지막으로, 과 이 의 두 연결 성분이며, 과 이 의 두 연결 성분이며, 이며 이라고 정의한다.

이제, 수학적 귀납법에 따라 구성된 부분집합

및 각 의 두 연결 성분 과 을 생각하자. 정의에 따라 인 경우 이며, 인 경우 이다. 이제, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

, . 편의상 이라고 하자. 그렇다면,

은 둘 다 연결 공간이며, 이며 이므로, 이며 이다.

각 은 이 짝수인 경우 닫힌 점, 이 홀수인 경우 고립점. 정의에 따라 은 닫힌 점이다. 만약 이 닫힌집합이라면, 와 이 연결 공간이므로, 과 은 닫힌집합이 아니며, 따라서 열린집합이다. 마찬가지로, 만약 이 열린집합이라면, 과 은 닫힌집합이다.

부분집합 은 기저

를 가짐. 홀수 에 대하여, 이 고립점임은 이미 증명하였다. 짝수 에 대하여, 은 과 의 극한점임을 증명하였으므로, 의 모든 열린 근방은 과 을 원소로 포함한다. 반대로, 과 이 열린집합이므로,

은 열린집합이다. 따라서, 은 의 최소 열린 근방이다.

모든 점의 차수가 3인 절단점 공간 
모든 점의 차수가 3인 절단점 공간이 존재한다. 그러나, 모든 점의 차수가 3 이상인 절단점 공간은 분해 가능 거리화 가능 공간일 수 없으며, 특히 유클리드 공간에 매장될 수 없다. 구체적으로, 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간 는 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, 다음과 같은 집합 을 만들자.
 수평 개구간 에서 시작한다.
 각 이진 유리점  위에 수직 개구간 을 덧붙인다.
 덧붙여진 수직 개구간의 이진 유리점 의 오른쪽에 수평 개구간 를 덧붙인다.
 위와 같은 과정을 계속 반복한다. 새로운 구간은 마지막 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합과 위에서 설명한 처음 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합이 닮음이도록 시계 방향으로 돌며 추가한다.
그렇다면, 의 모든 이진 유리점의 절단점 차수는 3이며, 그 밖의 점들의 절단점 차수는 2이다. 이들의 집합을 각각 과 이라고 하자. 이제,

라고 하자 (는 클레이니 스타). 또한,  및 에 대하여, 다음 집합을 정의하자.

그렇다면,

은  위의 기저를 이루며, 이 기저로 생성되는 위상을 부여한 위상 공간 은 다음 성질들을 만족시킨다.
 하우스도르프 공간이다.
 연결 공간이다.
 모든 점의 절단점 차수는 3이다.

참고 문헌 

일반위상수학