바이어스트라스 준비 정리

수학에서 바이어스트라스 준비 정리()는 주어진 점 에서 복소 다변수 해석 함수를 처리하는 방법이다. 그러한 함수는  에서 0이 아닌 함수에 의한 곱셈까지, 하나의 고정 변수 z 에서 다항식이며, 이는 일계수 다항식이고 그의 계수가 낮은 항의 계수는 나머지 변수에서 해석 함수이고 에서 0이다.

또한 일부 환 에서 로 분해의 아이디어를 확장하는 정리의 여러 변형이 있다. 여기서 는 단원이고 는 일종의 고유한 바이어스트라스 다항식이다. 카를 지겔은 19세기 말 일부 Traités d'analyse 에서 정당한 이유 없이 현재 이름으로 발생했다고 말하면서 바이어스트라스에 대한 정리의 속성에 대해 이의를 제기했다.

복소 해석 함수 
하나의 변수에 대해 0에 가까운 해석 함수 의 국소 형식은 이다. 여기서 는 0이 아니며 는 0에서 f 의 0의 차수이다. 이것은 준비 정리가 일반화되는 결과이다. 첫 번째라고 가정할 수 있는 변수 z 하나를 선택하고 복소 변수를 으로 쓴다. 바이어스트라스 다항식 는 다음과 같다.

 

여기서 는 해석적이고 이다.

그런 다음 정리는 해석 함수 f 에 대해 다음과 같이 말한다.

 

그리고

 

멱급수에는 만 포함하는 항이 있으므로 (국소적으로  근처)라고 쓸 수 있다.

 

이며, 는 바이어스트라스 다항식이다.

이는 에 가까운 의 근들의 집합이 의 작은 값을 고정한 다음 방정식 를 풀면 찾을 수 있다는 즉각적인 결과를 가져온다. 의 해당 값은 에서 의 차수와 같은 수로 연속적으로 변화하는 여러 분기들을 형성한다. 특히 는 고립된 근을 가질 수 없다.

나눗셈 정리 
관련 결과는 가 해석 함수이고 가 차 바이어스트라스 다항식이면 를 만족하는 고유한 쌍 와  가 존재한다는 바이어스트라스 분할 정리이다. 여기서 는 보다 작은 차수의 다항식이다. 사실, 많은 저자들이 나눗셈 정리의 귀결로서 바이어스트라스 준비를 증명한다. 두 정리가 동치라서 준비 정리에서 나눗셈 정리를 증명하는 것도 가능하다.

응용 
바이어스트라스 준비 정리는  변수에서 해석 함수들의 싹들의 환이 뤼케르트 기저 정리라고도 하는 뇌터 환임을 보여주기 위해 사용할 수 있다.

매끄러운 함수 
말그랑주 준비 정리라고 하는 베르나르 말그랑주로 인해 매끄러운 함수에 대한 더 깊은 준비 정리 가 있다. 또한 존 매더의 이름을 따서 명명된 관련 나눗셈 정리가 있다.

완비 국소 환의 형식 멱급수 
완비 국소 환 에 대한 형식적 멱급수 환에 대해 바이어스트라스 준비 정리라고도 부르는 비슷한 결과가 있다. 모든 멱급수 에 대해 들 중 의 극대 이데알 에 있지 않는 것이 존재하고, 의 유일한 단원 u가 있다. 그리고 인  형식의 다음과 같은 다항식 (소위 고유 다항식)이 존재한다:

 

는 다시 완비 국소 환이므로 결과를 반복할 수 있다. 따라서 다변수에서 형식적 멱급수에 대해 비슷한 분해 결과를 제공한다.

예를 들어 이것은 p-진 체의 정수 환에 적용된다. 이 경우 정리는 멱급수 가 항상 로 유일하게 분해될 수 있다고 한다. 여기서 는 형식적 멱급수 환의 단원이고, 는 고유 다항식 (모닉, 극대 이데알에서 각각의 비선두 항의 계수를 가짐)이고 는 고정된 균일자이다.

환 에 대한 바이어스트라스 준비 및 분할 정리의 적용(이와사와 대수라고도 함)은 이와사와 이론에서 이 환에 대해 유한하게 생성된 가군을 설명할 때 발생한다.

바이어스트라스 분할 및 준비의 비가환 버전이 존재하며, 는 반드시 가환 환일 필요는 없으며 형식적 멱급수 대신에 형식 스큐 멱급수를 사용한다.

테이트 대수 
완비 비 아르키메데스 체 에 대한테이트 대수를 위한 바이어스트라스 준비 정리도 있다:

 

이 대수는 강체 기하학의 기본적 구성 요소이다. 이 형태의 바이어스트라스 준비 정리는 은 환 들이 뇌터이라는 사실에 적용된다.

같이 보기 

 오카 정리

참조 

 
 , reprinted in 
 
 
  reprinted by 존son, New York, 1967.

외부 링크 
 

복소해석학 정리
가환대수학
다변수 복소함수론