프로토타일

테셀레이션과 관련된 수학 이론에서, 프로토타일()은 테셀레이션에 쓰인 타일의 모양이다.

정의 
테셀레이션은 '타일'이라는 닫힌 모양으로 평면 등의 공간을 채우는 것을 말하는데, 이때 타일은 내부가 서로소 집합이어야 한다(겹치지 않아야 한다). 다른 타일과 합동인 타일도 있을 수 있다. 테셀레이션에서 쓰인 타일 집합을 라 하자. 그러면 프로토타일의 집합 에서는 어느 두 도형도 서로 합동인 것이 없고, 에 있는 모든 타일은 에 있는 타일 하나와 항상 합동이어야 한다.

테셀레이션에서 다양한 프로토타일 집합 중에서 선택해서 쓸 수 있다. 프로토타일 중 어느 하나를 평행, 회전, 대칭 이동시키면 프로토타일 집합이 달라질 수 있기 때문이다. 하지만 프로토타일 집합은 모두 크기가 같아서, 프로토타일의 개수는 잘 정의된다. 테셀레이션에서 프로토타일 개수가 1개뿐이면 일면(一面, ) 테셀레이션이라고 한다.

비주기성 

어떤 프로토타일 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션이 된다면, 프로토타일이 비주기적이라고 한다. 주기적 테셀레이션을 하나도 이루지 않고 비주기적 테셀레이션만 이루는 1개의 이차원 모양이 존재하는지 아직 알려져 있지 않다(아인슈타인 문제). 즉 일면 비주기적 프로토타일 집합이 존재하는지가 열린 문제이다. 소콜라-테일러 타일은 2차원 비주기적 타이링을 만들지만, 순수하게 그 모양보다는 조합적으로 연결되는 상태로 만들어진다. 고차원에서 이 문제는 해결되었는데, 슈미트-콘웨이-댄저 타일은 3차원 유클리드 공간을 주기적으로 채울 수 없고 비주기적으로만 채우는 일면 프로토타일이다.

각주 

테셀레이션