비르팅거 부등식 (실함수)

해석학에서 비르팅거 부등식은 푸리에 해석에서 사용되는 부등식이다. 빌헬름 비르팅거의 이름을 따서 명명되었다. 등주부등식을 증명하기 위해 1904년에 사용되었다. 밀접하게 관련된 다양한 결과는 오늘날 비르팅거 부등식으로 알려져 있다.

정리

첫 번째 형태 
주기가 인 주기함수  가 연속 함수이고  전체에 걸쳐 연속 도함수를 가지며 다음을 만족한다고 하자.

 

그렇다면 다음 부등식이 성립한다.

 

이 부등식에서 등식이 성립할 필요충분조건은 어떤 , 에 대하여 인 것이며, 이는 어떤 와 에 대하여 인 것과 동치이다.

비르팅거 부등식의 이 형태는 최적의 상수에 대한 1차원 푸앵카레 부등식이다.

두 번째 형태 
이와 관련된 다음 부등식도 또한 비르팅거 부등식이라고 한다.  가 을 만족하는  함수일 때마다

 

이 형태의 비르팅거 부등식은 프리드리히의 부등식의 1차원 꼴과 같다.

증명 
두 부등식의 증명은 비슷하다. 다음은 첫 번째 형태에 대한 증명이다. 디리클레의 조건이 충족되므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

게다가 의 적분이 소멸하기 때문에 이다. 파르스발 항등식에 의해

 

이며

 

두 급수의 항에 대하여 부등식하므로 원하는 부등식을 얻는다. 등식이 성립하는 경우는 모든 항이 같은 경우, 즉 모든 에 대하여 인 경우이다.

참고 문헌 
 
 Paul J. Nahin (2006) Dr. Euler's Fabulous Formula, page 183, Princeton University Press 
 Komkov, Vadim (1983) Euler's buckling formula and Wirtinger's inequality. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 14, no. 6, 661–668.

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