스콧 위상

일반위상수학 및 순서론에서 스콧 위상()은 임의의 원순서 집합 위에 정의할 수 있는 위상의 하나이다.

정의 
원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 열린집합()이라고 한다.
 다음 두 조건을 만족시킨다.
 는 상집합이다.
 임의의 상향 집합 에 대하여, 만약 라면, 이다. (가 상집합이므로, 인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
 스콧 닫힌집합의 여집합이다.
마찬가지로, 원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 닫힌집합()이라고 한다.
 다음 두 조건을 만족시킨다.
 는 하집합이다.
 임의의 상향 집합 에 대하여, 만약 이며, 가 존재한다면, 이다. (가 하집합이므로, 인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
 스콧 열린집합의 여집합이다.
원순서 집합 의 스콧 열린집합들의 집합은  위의 위상을 이룬다. 이를 의 스콧 위상이라고 한다.

성질

스콧 위상에 대한 연속 함수 
두 원순서 집합 ,  사이의 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 스콧 연속 함수()라고 한다.
 정의역과 공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.
 (상향 집합의 상한의 보존) 임의의 상향 집합 에 대하여, 만약 가 존재한다면, 
스콧 연속 함수는 항상 증가함수이다.

함자성 
스콧 위상은 원순서 집합과 스콧 연속 함수의 범주 와 위상 공간의 범주  사이의 함자

를 정의한다.

곱과의 호환 
위 함자는 연속 dcpo의 범주 와 콜모고로프 공간의 범주  사이로 제한시켰을 때, 유한 곱을 보존한다. 보다 일반적으로, 임의의 dcpo 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 임의의 dcpo 에 대하여, 다음 두 위상이 일치한다.
 와 의 직접곱 의 스콧 위상
 와 의 스콧 위상의 곱위상
 의 스콧 열린집합들의 완비 헤이팅 대수는 연속 완비 헤이팅 대수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

일반위상수학
순서론