입자물리학과 표현론의 관계

1930년대에 유진 위그너가 처음 언급한 것처럼, 입자 물리학과 표현론 사이에는 자연스러운 연결이 있다. 소립자의 속성을 리 군 및 리 대수 구조로 잘 설명 할 수 있다. 예를 들어, 소립자의 서로 다른 양자 상태는 푸앵카레 군의 기약 표현에 해당한다. 또한 스펙트럼을 포함한 다양한 입자의 속성들은 우주의 "근사적 대칭"에 해당하는 리 대수 표현과 관련될 수 있다.

일반적 설명

양자 계의 대칭들 

양자 역학에서, 특정 단일 입자 상태는 힐베르트 공간 에서 벡터로 표현된다. 어떤 유형의 입자들이 존재할 수 있는지 이해하려면,  의 대칭들이 허용하는 가능성들과 그 성질들을 분류하는 것이 중요하다. 가 특정 양자 시스템을 설명하는 힐베르트 공간이고, 가 주어진 양자계의 대칭들로 이뤄진 군이라 하자. 예를 들어, 상대론적 양자계에서 는 푸앵카레 군일 수 있고, 수소 원자의 경우 는 회전군 일 수 있다. 입자 상태는 사영 힐베르트 공간 으로 보다 정확하게 묘사된다. 즉, 0이 아닌 스칼라 배만큼 다른 두 벡터는 힐베르트 공간 의 동치류인 힐베르트 공간에서 0을 뺀 직선으로 표현되는 동일한 물리적 양자 상태에 대응한다.

양자계의 대칭의 정의에 의해  위로의 군 작용이 있다. 각 원소 에 대해, 에서 해당 변환 이 있다. 보다 구체적으로, 만약 가 계의 어떤 대칭(예를들어, x축을 기준으로 12° 회전)이고 에서 해당 변환 은 에 대한 함수다. 예를 들어, 중심을 기준으로 고정된 (운동량이 0인) 스핀 5 입자를 회전할 때, 는 3차원 공간에서 회전(의 원소)이며, 는 치역과 공역이 각각 이 입자의 가능한 양자 상태 공간인 연산자이다. 이 예에서는, 사영 공간 는 11차원 복소 힐베르트 공간 의 사영 공간이다.

각 함수 는 대칭의 정의에 의해 에서 다음 곱 을 보존한다:

.

여기서 는 에 주어진 내적이다. 위그너의 정리에 따르면, 에서 이 변환은 의 유니타리 또는 반 유니타리 변환 에서 온다. 에 대응되는 이 유일하지 않고, 배들을 같게 볼 때 유일함에 주의하라. 따라서 연산자 들의 합성은 에서 연산 법칙을 반영해야 한다:

  ,

여기서 는 와 에 따라 다르다. 따라서 함수 는 의 사영 유니타리 표현이다(가 연결 공간이 아닐 때는 반 유니타리도 포함할 수 있다. ). 반유니타리 연산자는 항상 시간 역전 대칭과 연관된다.

일반 표현과 사영 표현 
가 반드시 의 일반 표현일 필요는 없다는 점은 물리적으로 중요하다. 의 정의에서 을 선택해서, 연산에서 를 제거하는 것이 불가능할 수 있다.  구성 법칙에서 위상 요인을 제거하다. 예를 들어 전자는 스핀 1/2 입자이며, 전자의 힐베르트 공간은 위에서 파동 함수로 구성된다. 스피너 공간 위로 의 군 작용은 사영적일뿐이며,이는 의 일반 표현으로부터 온 것이 아니다. 그러나, 스피너 공간 위에서 의 범피복 공간 의 일반 표현이 있다.

많은 흥미로운 군 들의 종류에 대해, 바그만의 정리 는, 의 모든 사영 유니타리 표현이 의 범피복 군 의 일반 표현에서 온다는 것을 말해준다. 사실, 만약 가 유한 차원인 경우 군 에 관계 없이, 의 모든 사영 유니타리 표현들은, 일반 유니타리 표현 에서 비롯된다. 만약에 가 무한 차원일 때 원하는 결론을 얻으려면, 에 몇 가지 추가적인 대수적 가정을 해야 한다. 이 조건에서 결과는 바그만 정리이다. 다행스럽게도, 푸앵카레 군의 중요한 경우에는 바그만 정리가 적용된다. (푸앵카레 군의 범피복 군의 표현에 대한 위그너 분류를 참조하라. )

위에서 언급한 요구 사항은 리 대수 가 자명하지 않은 1차원 중심 확대를 허용하지 않는 것이다. 이것은 의 두 번째 코호몰로지 군이 자명함과 동치다. 이 경우, 그 군이 이산 군에 의한 중심 확대를 허용 할 수는 있다. 그러나 이산 군에 의한 의 확장은 의 피복이다. 예를 들어, 범피복 군 는, 의 중심 로 얻은 몫군 을 통해 와 연관되어있다.

따라서, 알맞은 경우에, 양자 계는 그 계의 대칭에 해당하는 군 의 범피복 군 의 유니타리 표현과 연관된다. 이는, 선형 공간이 아닌 에서 이론을 전개하는 것보다 선형 공간인 에서 하는 것이 더 쉽기 때문에 바람직하다. 의 표현들이 분류 될 수 있다면, 에서의 가능성과 성질들에 대한 더 많은 정보를 얻을 수 있다.

비 가환적인 경우 
바그만 정리가 적용되지 않는 예는, 에서 움직이는 양자 역학적 입자로부터 나온다. 이와 연관된 페이즈(phase) 공간 의 병진 대칭들로 이뤄진 군은 가환군 이다. 일반적인 양자 역학에서,  대칭성은 의 유니타리 표현으로 구현되지 않는다. 결국 양자역학적 상황에서 위치 공간의 병진 변환과 운동량 공간의 병진 변환은 비(非) 가환이다. 이러한 비 가환성은, 위치 및 운동량 연산자들(각각 운동량 공간 및 위치 공간에서 변환의 무한소 생성자)의 비 가환성을 반영한다. 그럼에도 불구하고 위치 공간의 병진 변환과 운동량 공간의 병진 변환은, 배들을 같다고 고려하는 경우, 가환이다. 따라서 우리는 잘 정의 된 의 사영 표현을 얻는다. 그러나, 그것은, 가 단일 연결이라도, 의 일반 표현에서 오지 않는다.

이 경우, 일반적 표현을 얻으려면, 의 자명하지 않은 1차원 중심 확대인 하이젠베르크 군을 통해야 한다.

푸앵카레 군 

병진 대칭 군과 로런츠 변환 군은 푸앵카레 군을 형성하며, 푸앵카레 군은 상대론적 양자 계의 대칭이어야 한다( 일반 상대론적 효과는 무시한다. 즉 민코프스키 공간에서). 푸앵카레 군의 표현은, 많은 경우 음이 아닌 질량과 반 정수 스핀으로 특징 지어진다( 위그너 분류 참조). 이것은 입자가 양자화 된 스핀을 가진 이유라고 생각할 수 있다. (사실, 타키온이나 infraparticles 등과 연관되는 다른 가능한 표현들도 있는데, 이런 다른 경우들에는 양자화 스핀이나 고정 질량이 없는 경우도 있다. )

기타 대칭들 

푸앵카레 군의 시공간 대칭들은 특히 시각화 하기 쉽지만 내부 대칭이라고 하는 다른 유형의 대칭도 있다. 한 가지 예는, 세 가지 쿼크 색상의 연속적인 교환에 해당하는 정확한 대칭인 색깔 이다.

리 대수와 리 군 
(전부는 아니지만) 많은 대칭들 또는 근사 대칭들은 리 군을 형성한다. 이러한 리 군의 표현론을 연구하는 것보다는, 그 리 군과 밀접한 리 대수의 표현이 일반적으로 계산하기 더 간단하다.

이제, 리 대수의 표현은, 원래 군의 범피복 군의 표현에 해당한다. 유한 차원의 경우와 바그만 정리가 적용되는 무한 차원의 경우에 원래 군의 기약 사영 표현은 범피복 군의 일반 유니타리 표현에 해당한다. 이런 경우에는 리 대수 수준에서 계산하는 것이 적절하며, 특히, 회전 군 의 기약 사영 표현을 연구하는 경우가 이에 해당한다. 이들은 의 범피복 군 의 일반적인 표현과 일대일 대응한다. 그러면 의 표현들은, 의 리 대수 와 동형인, 리 대수 의 표현과 일대일 대응이 된다.

요약하자면, 의 기약 사영 표현은 리 대수 의 기약 일반 표현과 일대일 대응 관계에 있다. 예를 들어, 리 대수 의 2차원 "스핀 1/2" 표현은 군 의 일반(단일 값) 표현에 해당하지 않는다. (이 사실이 "전자의 파동 함수를 360도 회전 시키면 원래 파동 함수에 -1을 곱한 것을 얻는다"는 설명의 기원이다. ) 그러나, 스핀 1/2 표현은 의 잘 정의된 사영 표현을 주며, 이는 관련 물리학에서 필요한 전부라고 할 수 있다.

근사적 대칭 
위의 대칭들은 정확한 대칭들이지만, 근사적인 대칭들도 있다.

가설적 예시 
근사적 대칭이 무엇을 의미 하는지 설명하기 위해 다음의 예를 들자: 실험하는 사람이 특정 방향으로 자화되는 무한 강자성체 내부에 있다고 가정하자. 그러면, 하나가 아닌 두 가지 유형의 전자를 발견할 것이다. 하나는 자화 방향을 따라 스핀이 있으며 약간 더 낮은 에너지(결과적으로 더 낮은 질량)를 갖는 전자이고, 다른 하나는 스핀이 반대로 정렬 되어 있는 더 많은 질량을 가진 전자다. 일반적으로 스핀-업 전자와 스핀-다운 전자를 연결하는 일반적인  회전 대칭은 이 가설적인 상황에서 서로 다른 유형의 입자들을 서로 관련시키는 근사 대칭이다.

일반적 정의 
일반적으로 근사 대칭은 대칭을 따르는 매우 강한 상호 작용과 그렇지 않은 약한 상호 작용이 있을 때 발생한다. 위의 전자들에 대한 예에서, 두 "유형"의 전자는 강한 상호작용과 약한 상호작용에 대해서 동일하게 행동 하지만 전자기력에 대해서는 다르게 행동 한다.

예: 아이소스핀 대칭 
실제 물리 계에서 예 하나는 위 쿼크 와 아래 쿼크 사이의 유사성에 해당하는, SU(2)군에 해당하는 아이소스핀 대칭이다. 이것은 근사 대칭이다. 위 쿼크와 아래 쿼크는 강한 상호작용 하에서 상호 작용하는 방식은 동일하지만, 질량과 약 전자기 상호 작용이 다르다. 수학적으로, 다음과 같은 추상적인 2차원 선형 공간이 있다.

 

이 공간에 행렬 식이 1인 유니타리 변환을 적용해도 물리학 법칙은 거의 변하지 않는다:

 

예를 들어서, 로 우주의 모든 위 쿼크를 아래 쿼크로 바꾸거나 그 반대의 경우도 마찬가지다. 다음 몇 가지 예들은 이런 변환이 가지는 가능한 효과들을 명확히 하는데 도움이 된다:

 이러한 유니타리 변환이 양성자에 적용되면 중성자로 변환되거나 양성자와 중성자의 중첩으로 변환될 수 있지만, 다른 입자로는 변환되지 않는다. 따라서, 변환은 양자 상태의 2차원 공간 주위에서 양성자를 이동 시킨다. 양성자와 중성자는 "아이소스핀 이중항"이라고 불리며, 수리 물리적 관점에서 스핀 1/2 입자의 일반적인 회전에서 행동과 유사하다.
 이러한 유니타리 변환이 세 개의 파이온들(, , ) 중 하나에 적용될 때, 파이온을 다른 파이온으로 변경할 수 있지만, 비(非) 파이온 입자로는 변경할 수 없다. 따라서, 변환은 양자 상태의 3차원 공간 주위로 파이온을 이동시킨다. 파이온은 " 아이소스핀 삼중항"이라고 불리며,  수리 물리적 관점에서 스핀-1 입자의 일반적인 회전에서 행동과 유사하다.
 이러한 변환은 전자에는 전혀 영향을 미치지 않는다. 전자에는 위 쿼크도 아래 쿼크도 포함되어 있지 않기 때문이다. 전자를 아이소스핀 일중항이라고 하며, 수리 물리적 관점에서 스핀-0 입자의 일반적인 회전에서 행동과 유사하다.

일반적으로 입자는 리 대수 의 기약 표현에 해당하는 등 아이소스핀 다중항을 형성한다. 아이소스핀 다중항의 입자들은 질량이 아주 유사하지만 동일하지는 않다. 왜냐하면 위 및 아래 쿼크는 아주 유사하지만 동일하지 않기 때문이다.

예: 맛깔 대칭 
아이소스핀 대칭은 위 쿼크, 아래 쿼크 및 기묘한 쿼크 사이의 유사성에 해당하는  군인 맛깔 대칭으로 일반화될 수 있다. 이것은 쿼크 질량 차이와 약한 전자기 상호작용에 의해 위반되는 근사 대칭이다. 사실, 기묘한 쿼크의 눈에 띄게 더 높은 질량 때문에 아이소스핀보다 더 좋지 않은 근사 값이다.

그럼에도 불구하고, 입자들은 머리 겔만에 의해 처음으로, 그리고 유발 네만에 의해 독립적으로 언급된 것처럼, 리 대수 의 기약 표현을 형성하는 군으로 실제로 깔끔하게 나눌 수 있다.

같이 보기 

 전하(물리)
 강한 상호작용
 표현론
 리 군
 리 대수
 사영 표현
 특수 유니타리 군
 푸앵카레 군
 쿼크

각주

참고 문헌 

 Coleman, Sidney (1985) Aspects of Symmetry: Selected Erice Lectures of Sidney Coleman. Cambridge Univ. Press. .
 Georgi, Howard(1999) Lie Algebras in Particle Physics. Reading, Massachusetts: Perseus Books. ISBN 0-7382-0233-9.
 .
 .
 Sternberg, Shlomo (1994) Group Theory and Physics. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-24870-1. Especially pp. 148–150.
  특히 2장의 부록 A와 B.

외부 링크 
 

양자장론
보존 법칙
이론물리학
수리물리학
리 대수