행렬식 다양체

대수 기하학에서 행렬식 다양체()는 계수에 주어진 상한이 있는 행렬들의 공간이다. 이 다양체의 중요성은 사영 공간 두 개의 곱의 세그레 매장과 같은 대수 기하학의 많은 예가 이러한 형식이라는 사실에서 비롯된다.

정의 
주어진 과  에 대해 행렬식 다양체  은 체 의 원소를 성분으로 갖는 계수 이하의 모든  행렬들의 집합이다. 이것은 행렬이 계수  이하를 갖는 조건으로서 부분 행렬식들의 근들로 자연스럽게 주어지는 대수다양체이다. 성분들이 대수적 독립인 변수 들인  행렬을 고려하면, 이 행렬의 부분행렬식들은 차 다항식이다. 이러한 다항식들에 의해 생성된 의 이데알은 행렬식 이데알이다. 부분행렬식을 정의하는 방정식이 동차이기 때문에 를  차원 아핀 공간에서 아핀 다양체, 또는  차원 사영 공간에서 사영 다양체로 볼 수 있다.

성질 
행렬식 다양체를 정의하는 반소 이데알은  부분행렬식들로 생성된다.(Bruns-Vetter, Theorem 2.10).

를 아핀 다양체로 고려한다고 가정하면, 그 차원은 이다. 이를 확인하는 한 가지 방법은 다음과 같다. 위에 곱 공간 을 형성한다. 여기서 는  차원 선형 공간에서 차원 평면들의 그라스만 다양체이고 의 비특이화인 부분 공간 을 고려한다. (계수가 정확히 인 행렬들의 열린 집합에 대해 이 사상은 동형사상이다.) 는 과 동형인 위의 선형 다발이다. 여기서 은 그라스만 다양체에 대한 tautological 다발이다. 그들은 쌍유리적 동치이기 때문에 이고, 의 올의 차원이 이기 때문에이다..

위는 계수  이하인 행렬이 의 특이 영점들을 포함함을 보여준다. 사실 둘은 같다. 이 사실은 비특이성에 대한 야코비 판별과 함께 부분행렬식에 의해 반소 이데알이 주어짐을 통해 확인할 수 있다.

다양체 은 자연스럽게 일반 선형 군의 곱 의 군 작용을 가진다. 체의 표수가 0일 때 의 syzygies를 결정하는 문제를 알랭라스코가 의 자연 군 작용을 사용하여 해결했다.

관련 주제 
대수적 다양체에서 두 선형 다발 사이의 선형 사상 공간을 고려하여 결정적 다양체의 개념을 "전역화"할 수 있다. 그러면 행렬식 다양체는 축퇴 영점의 일반적인 연구에 속한다. 이들 축퇴 영점의 코호몰로지류에 대한 표현은 Thom-Porteous 공식으로 주어진다(Fulton-Pragacz).

참고 문헌 
 
 
 
 
 

대수다양체
대수기하학