비각운동량

천체 역학에서 비각운동량 는 이체 문제의 분석에서 중추적인 역할을 한다. 뉴턴 역학에서 이러한 물리량이 이상적인 궤도에 대한 상수 벡터임을 보일 수 있다. 이는 본질적으로 케플러의 제2법칙을 증명해준다.

이 값은 각운동량 이 아니라 각운동량에 질량을 나눈 값이므로 비각운동량이라고 한다. 따라서 "비"라는 단어는 "질량비" 또는 질량으로 나눈 것임을 뜻한다.

 

따라서 SI 단위는 m 2 · s −1이다. 은 환산 질량 을 나타낸다.

정의 
상대 비각운동량은 상대 위치 벡터 과 상대 속도 벡터 의 외적으로 정의된다.

 

 벡터는 항상 순간 회전 궤도면과 수직하며, 순간 회전 궤도면은 순간 섭동 궤도와 일치한다. 따라서  벡터는 수년간의 섭동이 포함된 평균 평면과는 수직하지 않는다.

물리학에서 늘 그렇듯이 벡터 의 크기는 로 표시된다:

이상적인 조건에서 상대 비각운동량이 일정하다는 증명

전제 조건 
다음 증명은 뉴턴의 만유인력 법칙에도 적용된 단순화 하에서만 유효하다.

점질량 과 가 서로 거리 만큼 떨어져있으며, 중력에 의해 서로 의 힘이 작용한다. 이 힘은 거리에 관계없이 즉시 작용하며 계에 존재하는 유일한 힘이다. 좌표계는 관성의 법칙을 만족한다.

추가적인 단순화를 위해 를 가정한다. 따라서 좌표계의 원점에서 은 중심체이며,  주위를 도는 위성이다. 이때 환산질량은 와 같다. 그리고 2체 문제의 방정식은 다음과 같이 써진다.

 

은 표준 중력 변수이며, 거리 벡터  (절대값: )은 위에서 가정한 조건에 의해 원점(중심체)에서 위성을 가리키게 된다.

때때로 를 환산 질량으로 표기하는 경우도 있기 때문에, 본 글의 표준 중력 변수 를 환산 질량과 혼동하지 않는 것이 중요하다.

증명 

2체 문제의 방정식을 거리 벡터 와 외적하면 상대 비각운동량을 얻는다.

 

벡터 자체와의 외적(우변)은 0이다. 왼쪽은 곱의 미분법에 따라 다음과 같이 단순화된다.

 

이는  가 일정함을 의미한다(따라서 이는 보존량이다). 그리고 이는 정확히 위성의 비각운동량이다.

 

이 벡터는 궤도 평면과 수직이며, 각운동량은 바뀌지 않으므로 궤도 평면도 바뀌지 않는다.

비행 경로 각도 의 정의와 그리고 속도 벡터의 횡단 및 반경 성분(오른쪽 그림 참조)을 통해 2체 문제에 대한 추가적인 통찰을 얻을 수 있다. 다음 세 공식으로도 상대 비각운동량 벡터의 절대값을 계산할 수 있다.

 
 
 

이때 는 곡선의 원뿔 곡선 이라고 부른다.

케플러의 행성 운동 법칙 
케플러의 행성 운동 법칙은 위의 관계를 통해 거의 직접적으로 증명될 수 있다.

제1법칙 
증명은 이체 문제의 방정식에서 시작된다. 이번에는 방정식에 상대 비각운동량을 외적한다.

 

좌변은 각운동량은 일정하기 때문에 와 같다.

우변은 다음과 같이 정리할 수 있다:

 

이 두 식을 동일하게 설정하고 시간이 지남에 따라 적분하면 다음과 같다(이때 적분 상수 또한 고려).

 

이제 이 방정식에 을 내적하고 재배열하면 다음 식을 얻을 수 있다.

 

마지막 식을 정리하면 궤도 방정식을 의미한다.

 

이것은 반통경(semi-latus rectum) 와 이심률 일 때 극좌표계에서 원뿔 단면의 방정식이다. 이는 곧 케플러의 제1법칙과 같다.

제2법칙 
두 번째 법칙은 상대 비각운동량의 절댓값을 계산하는 세 방정식 중 두 번째 방정식을 사용하면 즉시 도출된다.

두 번째 방정식에 의해 도출된 식 과 무한소의 각도에서 궤도 내부 영역을 나타내는 식인 을 다음과 같이 통합할 수 있다.

 

위 식을 문장으로 풀어 쓰면 다음과 같다.

제3법칙 
케플러 제3법칙은 두 번째 법칙에서 바로 유도된다. 위 식을 1회전에 걸쳐 적분하면 공전 주기를 얻을 수 있다.

 

는 타원의 면적이다. 단반경에 를 대입하고, 상대 비각운동량에 를 대입하면 다음 식을 얻을 수 있다.

 

따라서 위성의 장반경과 공전 주기 사이 관계는 표준 중력 상수만 관여한다. 이는 케플러 제3법칙과 동일하다.

참고 문서 
 궤도 비에너지, 2체 문제에서 보존된 또 다른 양.
 고전적인 중심력 문제#특정 각운동량

각주 
 내용주

 참조주

궤도
천체동역학