교환 가능 확률 변수족

확률론과 통계학에서 교환 가능 확률 변수족(交換可能確率變數族, )은 유한 개를 재배열하여도 결합 확률 분포가 변하지 않는 확률 변수 집합이다. 교환 가능 시그마 대수(交換可能σ代數, )는 유한 개의 확률 변수를 재배열하여도 발생 여부가 바뀌지 않는 사건들로 구성된 시그마 대수이다.

정의

교환 가능 시그마 대수 
두 집합 , 의 대칭차는 다음과 같다.

집합 에 대하여, 가 인 의 수가 유한한 전단사 함수 의 집합이라고 하자.

실수 수열  및 에 대하여,

이라고 하자.

확률 공간  위의, 실수 수열  값의 확률 변수

의 교환 가능 시그마 대수는 다음과 같다.

교환 가능 시그마 대수의 원소를 교환 가능 사건(交換可能事件, ) 또는 순열 가능 사건(順列可能事件, ) 또는 대칭 사건(對稱事件, )이라고 한다.

교환 가능 확률 변수족 
확률 공간  위의, 실수  값의 확률 변수들의 가산 집합

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 교환 가능 확률 변수족이라고 한다.
 임의의 유한 집합  및 두 전단사 함수 에 대하여, 와 의 확률 분포는 같다.
 임의의  및 두 단사 함수 에 대하여, 와 의 확률 분포는 같다.

데 피네티 정리()에 따르면, 만약 가 가산 무한 집합일 경우, 다음 네 조건이 서로 동치이다.
 는 교환 가능 확률 변수족이다.
 는 어떤 사건 시그마 대수 에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
 는 꼬리 시그마 대수 에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
 는 에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.

성질 
교환 가능 확률 변수열이 주어졌을 때, 만약 모든 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이라면, 모든 교환 가능 사건의 확률 역시 0 또는 1이다. 특히, (콜모고로프 0-1 법칙에 따라 독립 동일 분포 확률 변수열의 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이므로,) 독립 동일 분포 확률 변수열의 교환 가능 사건의 확률은 0 또는 1이다. 이 특수한 경우를 휴잇-새비지 0-1 법칙()이라고 한다.

예 
실수 값의 확률 변수열의 모든 꼬리 사건은 교환 가능 사건이다.

모든 독립 동일 분포 확률 변수열은 교환 가능 확률 변수열이다.

역사 
데 피네티 정리는 브루노 데 피네티()의 이름을 땄다. 휴잇-새비지 0-1 법칙은 에드윈 휴잇()과 레너드 지미 새비지()의 이름을 땄다.

참고 문헌

외부 링크 
 

확률론
통계학
통계적 무작위성