스미스 표준형

선형대수학에서, 스미스 표준형()은 주 아이디얼 정역 위에 주어진 임의의 모양의 행렬과 동치인 매우 단순한 꼴의 대각 행렬이다. 스미스 표준형의 존재는 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 자유 가군과 부분 가군의 적절한 기저 사이의 선형 관계는 아주 간단할 수 있다는 사실과 동치이다.

정의 
주 아이디얼 정역  (예를 들어, 정수환  또는 체 계수 일변수 다항식환 ) 위의 임의의  행렬 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 와  및 유한 개의 원소 가 존재한다.

(여기서 는  영행렬이다.) 또한 은 가역원배의 차이를 무시하면 유일하다. 이를 의 스미스 표준형이라고 한다.

알고리즘 
행렬의 스미스 표준형은 두 행 또는 두 열을 교환하는 연산과 한 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 구할 수 있다. 는 유일 인수 분해 정역이므로, 모든 0이 아닌 원소는 유일한 인수 분해를 갖는다. 임의의 에 대하여, 이 의 소인수의 중복집합의 크기라고 하자.

우선  위의  행렬

을 생각하자. 가 베주 정역이므로, 와 의 최대공약수 에 대하여, 인 가 존재한다. , 라고 하자. 그렇다면 이다. 따라서

은 가역 행렬이며,

이다. 마찬가지로, 왼쪽에 가역 행렬을 곱하여 첫 행 첫 열 성분이 와 의 최대공약수이며 둘째 행 첫 열 성분이 0이도록 만들 수 있다.

이제 일반적인  행렬 를 생각하자. 만약 이라면, 는 이미 스스로의 스미스 표준형이다. 이라고 가정하자. 행과 열의 교환을 통해, 편의상 이라고 가정하자. (보통 과정을 간단하게 만들기 위해 가 가장 작도록 행·열을 교환한다.) 만약 모든 에 대하여 라면, 각 열에 첫 열의 배수를 더하고 각 행에 첫 행의 배수를 더하여, 첫 행과 첫 열의 을 제외한 모든 성분이 0이 되게 만들 수 있다. 만약 인 이 존재한다면, 행과 열의 교환 및 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 이거나 라고 가정할 수 있다. (예를 들어, 만약 이지만 라면, 첫 행의 적절한 배수를 둘째 행에서 빼 둘째 행 첫 열의 성분을 0으로 만들고, 마찬가지로 첫 행 둘째 열의 성분을 0으로 만든 뒤, 다시 둘째 행을 첫 행에 더하면, 은 변하지 않으며, 이 바로 오른쪽 성분을 나누지 못하게 된다.) 편의상 라고 하자. 그렇다면

인 가역 행렬 이 존재한다. 따라서

는 가역 행렬이며, 행렬 의 첫 행 첫 열 성분은 이다. 또한 이므로 은

을 만족시킨다. (인 경우에도 가역 행렬의 왼쪽 곱셈을 통해 첫 행 첫 열의 소인수의 수를 감소시킬 수 있다.) 첫 행 첫 열의 원소는 소인수의 수가 줄어들수록 가역원에 가까워져 ‘다른 성분들을 나눌 가능성’이 늘어난다. 따라서 이와 같은 과정을 반복하면 결국 첫 행 첫 열의 성분이 모든 다른 성분을 나누는 행렬을 얻는다. 이제 첫 행의 적절한 배수를 다른 행에 더하고 첫 열의 적절한 배수를 다른 열에 더하면 는 다음과 같은 꼴의 행렬과 동치가 된다.

다시 에 대하여 같은 과정을 반복하면 와 동치인 다음과 같은 꼴의 행렬을 얻는다.

여기서 인 이유는 가 의 성분의 선형 결합이기 때문이다.

위와 같은 과정을 반복하면 결국 스미스 표준형을 얻는다.

예 
유리수 계수 다항식환  위의 행렬

의 스미스 표준형은 다음과 같이 구할 수 있다.

응용

주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 구조 
스미스 표준형을 통해 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 불변 인자 분해를 유도할 수 있다.

역사 
헨리 존 스티븐 스미스의 이름을 땄다.

외부 링크 
 
 
 
 
 

행렬 분해