H-공간

H-공간()과 쌍대 H-공간()은 위상 공간으로부터 정의된 대수 구조이다.

정의 

위상 공간 가 주어졌을 때, H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 연속 함수 
 항등원 : 모든 에 대해 와 가 모두 항등 함수 와 호모토피 동치가 되게 한다.

H-공간은 항등원이 있는 마그마이지만 일반적으로 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않는다. 만약 군의 공리를 만족하는 경우 H-군()이라 부른다.

쌍대 H-공간 

쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 연속 함수 
 항등원

예와 성질

위상군 

위상군 와 그 연산 는 그 자체로 H-군을 이룬다.

초구 

초구의 경우 H-공간이 되는 것은 , , , 밖에 없다. 을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 리 군을 이룬다.

일 경우 초구 에 다음과 같은 CW 복합체 구조를 줄 수 있다:
 0차원 세포 1개 . 이는 의 적도 위의 한 점이다.
 차원 세포 1개. 즉, 차원 뼈대는 초구 이다. 이는 의 적도에 해당한다.
 차원 세포 2개. 이들은 각각 의 북반구와 남반구에 대응한다.
적도에 있는 차원 세포 에 대한 몫공간 을 취하면 두 초구의 쐐기합을 얻는다.

이 몫공간 함수 을 연산자로 삼아서  위의 쌍대 H-공간을 정의할 수 있다.

현수 공간과 고리 공간 

일반적으로 임의의 점을 가진 공간 에 대하여 그 축소 현수 는 쌍대 H-공간을 이룬다.  위에서 연산을 다음과 같이 정의한다.

여기서 는 분쇄곱, 는 쐐기합이고, 은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우 이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다.

거꾸로 고리 공간 는 H-공간을 이룬다. 구체적으로,  위의 곱셈은 다음과 같다.

여기서

이다.

에일렌베르크-매클레인 공간과 피터슨 공간 

아벨 군  및 자연수 에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 는 다른 공간의 고리 공간이다.

그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간 은 H-공간을 이룬다.

마찬가지로 유한 생성 아벨 군  및 의 경우 피터슨 공간 는 다른 공간의 축소 현수 공간이다.

그러므로 피터슨 공간 은 쌍대 H-공간을 이룬다.

호모토피류의 연산 

호모토피 군은 초구에서 공간 으로 가는 호모토피류 로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수 에 의해 정의된다:
 

일반적으로, 쌍대 H-공간 에서 공간 로 가는 호모토피류  위의 이항 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.
 
거꾸로 공간 에서 H-공간 로 가는 호모토피류의 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

위에서 만약 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우 은 군의 구조를 가진다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해 축소 현수 와 고리 공간 는 서로 수반 함자를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다:
 

특히, 이므로 호모토피 군에 대해 가 성립한다.

역사 

장피에르 세르가 하인츠 호프의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름의 머리글자인 H를 붙였다.

참고 문헌 

호모토피 이론