점근 국소 유클리드 공간

미분기하학에서 점근 국소 유클리드 공간(漸近局所Euclid空間, )는 무한대에서 4차원 유클리드 공간의 오비폴드로 근사되는 4차원 초켈러 다양체이다.

정의 
SU(2)의 유한 부분군 가 주어졌다고 하자. 이는 매케이 화살집을 통해 ADE 분류를 갖는다.

4차원 초켈러 다양체  가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 점근 국소 유클리드 공간이라고 한다.
어떤 콤팩트 집합 을 제외하면, 는 와 미분 동형이며, 적절한 좌표계에서 다음과 같은 꼴이다.

여기서 는 의 원소의 L2 노름이며, 는 충분히 큰 임의의 상수이다.

분류 
SU(2)의 유한 부분군 가 주어졌다고 하자. (이는 매케이 화살집을 통해 ADE 분류를 갖는다.) 그렇다면, 복소수 아핀 대수다양체

의 최소 분해()

를 생각하자. 즉, 그 예외 인자 는 사영 직선들의 합집합이며, 특히 그 2차 특이 호몰로지는 (예외 인자를 구성하는 사영 직선들로 생성되므로) 유한 생성 자유 아벨 군이다.

여기서 은 을 구성하는 사영 직선의 수이다.

또한, 이 사영 직선 들의 교차 형식은 의 매케이 화살집의 카르탕 행렬의 −1배와 같다.

이 경우, 의 2차 드람 코호몰로지류

가운데 다음 조건이 성립한다고 하자.
 임의의 에 대하여, 만약 라면, 인 가 존재한다.
그렇다면, 이 데이터를 사용하여  위에 어떤 표준적인 초켈러 구조를 구성할 수 있으며, 이 경우 세 개의 켈러 구조의 드람 코호몰로지류는 각각 이다.

또한, 반대로, 임의의 점근 국소 유클리드 공간은 위와 같이 의 데이터로 결정된다.

구성

기번스-호킹 구성 
점근 국소 유클리드 공간 가운데, A형은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표

를 정의하자. 그렇다면, An형 점근 국소 유클리드 공간의 계량은 다음과 같다.

여기서

는  위의 1차 미분 형식 가운데

인 것이다.

이 경우 인 경우는 평탄 공간과 같으며, 인 경우는 에구치-핸슨 공간이다. 즉, A형 점근 국소 유클리드 공간은 여러 개의 에구치-핸슨 공간들을 겹친 것으로 이해할 수 있다.

초켈러 몫 구성 
모든 종류의 점근 국소 유클리드 공간은 초켈러 몫으로 구성될 수 있다.

역사 
이러한 공간들은 원래 일반 상대성 이론에서 중력의 ‘순간자’로서 최초로 거론되었다. 최초로 발견된 점근 국소 유클리드 공간은 (4차원 유클리드 공간 자체를 제외하면) 에구치-핸슨 공간이다. 이후 1989년에 피터 크론하이머가 이들을 모두 분류하였다.

응용 
점근 국소 유클리드 공간은 초끈 이론에서 자주 등장한다.

참고 문헌

외부 링크 
 

미분기하학