탈레스 정리 (평행)

기하학에서, 탈레스 정리()는 삼각형의 밑변에 평행한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 분할한다는 정리이다.

정의 
평면 위 3개의 서로 다른 평행선 , , 이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이 , , 과 하나는 각각 점 , , 에서 만나고, 다른 하나는 각각 점 , , 에서 만난다고 하자. 탈레스 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

특히, 만약 이 에 대하여 과 같은 쪽에 있다면,  역시 에 대하여 과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약 이 에 대하여 과 다른 쪽에 있다면,  역시 에 대하여 과 다른 쪽에 있다.

증명 
우선 인 경우를 보이자. 를 지나는 의 평행선과 의 교점을 이라고 하고, 을 지나는 의 평행선과 의 교점을 이라고 하자. 그렇다면 , , 이므로, 삼각형 과 은 합동이며, 특히 이다. 사각형 , 은 모두 평행 사변형이므로,

이다. 즉, 가 성립한다.

이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 과 양의 정수 에 대하여 이라고 하자. 선분 을 등분하고, 직선 의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 등분점을 지나는 의 평행선과 직선 의 교점 역시 선분 을 등분하며, 또한 직선 의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 이 성립한다.

이제 가 일반적인 실수인 경우를 보이자. 이라고 가정하자. 임의의 유리수 에 대하여, 직선  위에서 인 점 를 취하고, 를 지나는 의 평행선과 직선 의 교점을 라고 하자. 그렇다면 이다. 과 는 평행하므로, 만약 라면 , 만약 라면 , 만약 라면 이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여, 가 성립한다.

따름정리와 일반화

닮음 삼각형의 성질 
삼각형 의 두 변 , 의 직선과 점 , 에서 만나는 직선 이 다른 한 변 에 평행한다고 하자. 그렇다면,

이다.

점 를 지나는 의 평행선과 직선 , 에 탈레스 정리를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다.

라고 하자. 그렇다면,

이다.

중심 닮음 변환의 성질 
평면 위의 중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행하는 직선으로 변환시킨다.

우선, 중심 닮음 변환은 아핀 변환이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 이제, 중심 닮음 변환의 중심을 라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점 , 를 취하자. 의 상을 이라고 하고, 을 지나는 의 평행선과 직선 의 교점을 이라고 하자. 그렇다면

이므로,  역시 의 상이다. 따라서 직선 의 상직선 은 원래 직선에 평행한다.

다차원 아핀 공간 일반화 
체  위의 아핀 공간 의 서로 다른 평행 아핀 초평면 가 주어졌고, 어떤 아핀 직선 가 , , 과 각각 점

에서 만난다고 하자. 그렇다면,

은 아핀 초평면 , , 에만 의존하며, 아핀 직선 의 선택과 무관하다.

아핀 초평면 의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간 에 대한 몫아핀 공간 로 가는 아핀 사영 변환

를 생각하자. 그렇다면 는 아핀 변환이며, 유도된 선형 변환 를 갖는다. 이제

라고 가정하자. 그렇다면

이며, 의 정의에 의하여

이다. 따라서,

은 아핀 직선 의 선택과 무관하다.

역사 
고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다.

각주 

아핀기하학
평면기하학 정리