카라테오도리 확장 정리

측도론에서 카라테오도리 확장 정리(Carathéodory擴張定理, ) 또는 한-콜모고로프 정리(Hahn-Колмого́ров定理, )는 완비 측도를 특수한 부분 집합의 측도 값들로부터 구성하는 정리이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 집합 
 집합 반환(集合半環, ) . 즉, 이는 다음 세 조건을 만족시키는 집합족이다.
 
 (유한 교집합에 대한 닫힘) 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 인 유한 개의 서로소 집합 이 존재한다.
 준측도(準測度, ) . 즉, 이는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.
 
 (준측도 가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합 에 대하여, 만약 이라면, 
 (단조성) 특히, 만약 이며 라면, 이다. (아래 증명 참고)
 (준측도 가산 준가법성) 특히, 만약 이며 이라면, 이다. (아래 증명 참고)
또한,

가 으로 유도된 외측도라고 하고,

가 -카라테오도리 가측 집합의 집합이라고 하자. 카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
 는 의 부분 시그마 대수를 이룬다.
 는 완비 측도를 이룬다.
  (따라서 )
 
 만약 이 시그마 유한 준측도라면 (즉, 이며 인 이 존재한다면), 은 을 확장하여 얻을 수 있는  위의 유일한 측도이다.
여기서 은 을 포함하는 최소의 시그마 대수이다.

증명 
우선, 는 추상적 외측도라는 것을 증명하자. 우선 자명하게 이며, 또한 만약 라면 이다. 따라서 가 가산 준가법성을 만족시킨다는 것을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수  및 에 대하여,

이며 인 이 존재한다. 그렇다면 이므로,

이다.

-카라테오도리 가측 집합의 집합 가 의 부분 시그마 대수라는 사실과 는 그 위의 완비 측도라는 사실은 가 (추상적) 외측도라는 세 가지 조건만을 사용하여 증명된다. 우선, 가 의 부분 불 대수임을 보이자. 우선 자명하게 이며, 임의의 에 대하여 이다. 따라서 가 유한 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의  및 에 대하여,

이므로, 이다. 여기서 첫째, 둘째 줄의 등호는 각각  때문이며, 마지막 두 줄의 부등호는 의 가산 준가법성 때문이다.

이제, 가 의 부분 시그마 대수임을 보이자. 이는 가 서로소 집합의 가산 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 서로소 집합  및 임의의 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

이다. 여기서 첫째, 셋째 줄의 등호는 각각  때문이며, 둘째 줄의 등호는 의 단조성 때문이다. 이에 에 대한 극한을 취하면

를 얻는다. 여기서 둘째, 셋째 부등식은 의 가산 준가법성 때문이다.

이제, 가  위의 완비 측도를 이룸을 보이자. 위 증명에서 를 취하면

를 얻으며, 이에 따라 는  위의 측도를 이룬다. 따라서 임의의 외측도가 0인 집합의 부분 집합이 -카라테오도리 가측 집합임을 보이면 된다. 이제 가 을 만족시키며, 또한 라고 하자. 그렇다면,

이다. 첫째 줄의 부등호는 의 가산 준가법성, 둘째 줄의 등호는  및 의 단조성, 셋째 줄의 부등호는  및 의 단조성 때문이다.

이제, 를 증명하자. 임의의  및 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 에 대하여,

이며 인 이 존재한다. 각 에 대하여, 인 서로소 집합 을 취하자. 그렇다면,

이므로,

이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 의 가산 준가법성, 셋째 줄의 등호는 준측도 의 가산 가법성 때문이다.

이제, 의 단조성을 증명하자. 이며 라고 하자. 그렇다면 인 서로소 집합 을 고를 수 있다. 그렇다면

이다.

이제, 준측도 의 가산 준가법성을 증명하자. 이며 이라고 하자. 그렇다면 각 에 대하여,

인 서로소 집합 을 고를 수 있다. 그렇다면 각 에 대하여

이므로,

이다. 여기서 둘째, 넷째 줄의 등호는 준측도  의 가산 가법성 때문이다.

이제, 를 증명하자. 임의의 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 에 대하여,

이며 인 이 존재한다. 그렇다면

이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 의 정의, 셋째, 넷째 줄의 부등호는 각각 준측도 의 가산 준가법성, 단조성 때문이다.

마지막으로, 확장된 측도의 에서의 유일성을 증명하자. 임의의 두 측도 에 대하여, 만약 이며, 준측도 이 시그마 유한 준측도라면, 임을 보이면 된다. 이에 대한 증명에는 가 π계(즉, 유한 교집합에 대한 닫힘)라는 것을 제외한 에 대한 추가 조건은 사용되지 않는다.

라고 하자. 그렇다면, 는 λ계이며 이므로, π-λ 정리에 따라 이다. 이며 인 을 취하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

이다. 여기서 셋째 줄의 등호는 포함배제의 원리 때문이며, 넷째 줄의 등호는 각 에 대하여 이기 때문이다.

역사 
오늘날 카라테오도리 가측 집합이라고 불리는 개념은 콘스탄티노스 카라테오도리가 도입하였다. 오늘날 카라테오도리 확장 정리라고 불리는 정리는 모리스 르네 프레셰가 증명하였다. 얼마 지나지 않아 카라테오도리의 방법을 통한 카라테오도리 확장 정리의 더 간단한 증명이 발견되었으며, 이는 안드레이 콜모고로프, 한스 한, 에베르하르트 호프의 논문·저서에 소개되었다.

각주

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

측도론 정리