오일러 벽돌

기하학에서 오일러 벽돌() 또는 오일러 직육면체()는 모서리와 면대각선의 길이가 모두 자연수인 직육면체이다. 원시 오일러 벽돌()란 모서리의 길이가 서로소인 오일러 벽돌이다. 완벽한 오일러 벽돌()은 입체대각선의 길이가 자연수인 오일러 벽돌이며, 아직 발견되지 않았다.

정의 
오일러 벽돌의 각 선분의 길이는 다음의 디오판토스 방정식을 푸는 것과 같다.

, , 는 모서리의 길이이고 , , 는 면대각선의 길이이다.

성질 
 가 오일러 벽돌의 모서리의 길이라면 임의의 에 대해 도 오일러 벽돌의 모서리의 해가 된다. 따라서 오일러 벽돌의 유리수해는 정수해로 바꿀 수 있다. 또 가 오일러 벽돌의 모서리의 길이라면 도 오일러 벽돌의 모서리의 해가 된다.
 오일러 벽돌의 적어도 두 모서리는 3의 배수이다.
 오일러 벽돌의 적어도 두 모서리는 4의 배수이다.
 오일러 벽돌의 적어도 한 모서리는 11의 배수이다.

오일러 벽돌의 예시 
가장 작은 오일러 벽돌은 1719년에 Paul Halcke가 발견하였으며, 모서리의 길이는 이고 면대각선의 길이는 이다. 아래는 오일러 벽돌의 다른 예시로, 왼쪽 괄호는 모서리, 오른쪽 괄호는 면대각선의 순서쌍이다.
{| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"
|(|| 85,|| 132,|| 720||) — (|| 157,|| 725,|| 732||)
|-
|(||140,|| 480,|| 693||) — (|| 500,|| 707,|| 843||)
|-
|(||160,|| 231,|| 792||) — (|| 281,|| 808,|| 825||)
|-
|(||187,||1020,||1584||) — (||1037,||1595,||1884||)
|-
|(||195,|| 748,||6336||) — (|| 773,||6339,||6380||)
|-
|(||240,|| 252,|| 275||) — (|| 348,|| 365,|| 373||)
|-
|(||429,|| 880,||2340||) — (|| 979,||2379,||2500||)
|-
|(||495,||4888,||8160||) — (||4913,||8175,||9512||)
|-
|(||528,||5796,||6325||) — (||5820,||6347,||8579||)
|}

완벽한 오일러 벽돌 

완벽한 오일러 벽돌() 또는 완벽한 직육면체()는 입체대각선의 길이가 자연수인 오일러 벽돌이다. 이는 기존의 오일러 벽돌의 디오판토스 방정식에 다음의 식을 추가하는 것과 같다. 는 입체대각선의 길이이다.

2020년 10월 기준으로, 완벽한 오일러 벽돌의 예시 또는 오일러 벽돌이 존재하지 않는다는 증명은 나오지 않았다.

컴퓨터 계산 결과, 완벽한 오일러 벽돌이 존재한다면 다음의 조건을 만족해야 한다.

 홀수인 모서리의 길이가 2.5×1013보다 크다.
 가장 작은 모서리의 길이가 5×1011보다 크다.

또한 합동 산술에 의해 모서리의 길이가 서로소인 완벽한 오일러 벽돌은 다음의 조건을 만족해야 한다.

 한 모서리와 두 면대각선, 입체대각선은 홀수이고, 다른 한 모서리와 다른 한 면대각선은 4의 배수이며, 나머지 한 모서리는 16의 배수이다.
 두 모서리는 3의 배수이고, 이중 적어도 한 모서리는 9의 배수이다.
 한 모서리는 5의 배수이다.
 한 모서리는 7의 배수이다.
 한 모서리는 11의 배수이다.
 한 모서리는 19의 배수이다.
 한 모서리 또는 입체대각선은 13의 배수이다.
 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 17의 배수이다.
 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 29의 배수이다.
 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 37의 배수이다.
 입체대각선은 소수의 거듭제곱이나 반소수가 아니다.
 입체대각선은 4로 나눈 나머지가 1인 소인수만을 포함한다.

완벽한 평행육면체 
완벽한 평행육면체()는 모든 모서리와 면대각선, 입체대각선의 길이가 정수인 평행육면체이다. 완벽한 오일러 벽돌은 완벽한 평행육면체의 특수한 경우이다. 2009년에 완벽한 평행육면체의 예시가 발견되었다. 가장 작은 평행육면체는 모서리는 271, 106, 103; 짧은 면대각선은 101, 266, 255; 긴 면대각선은 183, 312, 323; 입체대각선은 374, 300, 274, 272의 길이를 가진다.

각주

참고 문헌

같이 보기 
 수학의 미해결 문제 목록
 피타고라스 삼조

기하학
디오판토스 방정식
수론의 미해결 문제