측도 수렴 함수열

측도론에서, 측도 수렴 함수열(測度收斂函數列, )은 극한과의 오차가 큰 부분이 점차 사라지는 가측 함수의 열이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 측도 공간 
 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 

가측 함수의 열  및 가측 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 이 로 측도 수렴한다고 한다.
 임의의 에 대하여, 

가측 함수의 열 이 다음 조건을 만족시키면, 측도 코시 열(測度-列, )이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 

만약 가 확률 측도일 경우, 확률 수렴(確率收斂, )과 확률 코시 열(確率-列, )이라는 용어를 대신 사용하기도 한다.

성질 
만약 이 와 로 측도 수렴한다면, 거의 어디서나 이다.

함의 관계 
모든 측도 수렴 함수열은 항상 거의 어디서나 수렴 부분 함수열을 갖는다. 만약 가 가산 집합일 경우, 모든 측도 수렴 함수열은 거의 어디서나 수렴한다.

만약 일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 로 측도 수렴한다.
 임의의 부분열 에 대하여, 로 거의 어디서나 수렴하는 부분열 이 존재한다.
(특히, 일 경우 모든 거의 어디서나 수렴 함수열은 측도 수렴한다.)

모든 측도 수렴 함수열은 측도 코시 열이다. 만약 이며, 가 분해 가능 완비 거리 공간일 경우, 모든 측도 코시 열은 측도 수렴한다.

확률 측도 공간 이 주어졌다고 하자. 또한, 실수 값 가측 함수 에 대하여 측도 수렴과 거의 어디서나 수렴이 동치라고 하자. 그렇다면 는 원자적 측도다.

예

측도 수렴하지 않는 거의 어디서나 수렴 함수열 
보렐 시그마 대수와 르베그 측도를 갖춘 실수선  위에 다음과 같은 함수열을 정의하자.

그렇다면 은 0으로 점별 수렴하며, 특히 거의 어디서나 수렴하지만, 측도 수렴하지 않는다.

거의 어디서나 수렴하지 않는 측도 수렴 함수열 
실수 구간  위에 다음과 같은 함수열을 정의하자.

그렇다면 은 0으로 측도 수렴하지만, 모든 곳에서 발산하며, 특히 거의 어디서나 수렴하지 않는다.

참고 문헌

외부 링크 
 

측도론