적분의 점화식

적분 미적분학에서 적분의 점화식은 점화식의 형태로 된 적분 공식이다. 주로 초등함수의 거듭제곱, 초월함수와 n차다항식의 곱의 형태 같은 정수 매개변수를 포함하는 수식을 직접 적분하기 어려울 때 쓰인다.

이러한 점화식과 다른 적분법을 이용하면 피적분함수를 정수 매개변수의 값이 더 작은 동일하거나 유사한 형태의 식으로 바꾸어 쉽게 적분이 가능하도록 단순화 할 수 있다. 이 방식은 가장 초기에 사용된 적분법 중 하나이다.

적분의 점화식을 유도하는 원리 
적분의 점화식은 치환 적분, 부분 적분, 삼각 치환, 부분 분수에 의한 적분 등과 같은 일반적인 적분법을 이용하여 유도할 수 있다. 핵심은 정수 매개 변수를 이용하여 나타낼 수 있는 함수 (예 : 거듭 제곱)를 더 낮은 값의 매개 변수(더 낮은 거듭 제곱)를 포함하는 함수(예 :  또는 )에 대하여 나타내는 것이다. 즉 원래의 적분을 점화식의 형태로 나타내는 것이다. 결론적으로 적분의 점화식은 다음과 같이 적분

을 인 정수 에 대하여

 

의 형태로 나타내는 것이다.

적분의 점화식을 이용한 함수의 적분 
점화식을 이용하여 함수를 적분하기 위해서 의 적분을 점화식을 사용하여   또는  에 대한 적분으로 나타내야 한다. 이 쉽게 적분될 때까지 (주로 n=1 또는 n=0일 때까지) 점화식을 반복적으로 사용하여, 결과를 적분하고, 다시 대입하여 을 계산한다.

예시 
아래는 점화식을 이용한 적분 과정의 예시이다.

코사인함수의 적분

일반적으로

 

와 같은 적분은 적분의 점화식을 이용하여 적분할 수 있다.

 

라고 하자.

 

 

라고 치환하면

 

부분 적분을 이용하면

 

 

 

 

따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

 

이 예시를 보충하기 위해 n = 5를 대입해 보면.

 

n=5, n=3을 대입하면

 

 

결과를 대입하면

 

 

 

여기서 C는 적분상수이다.

지수함수의 적분

또 다른 전형적인 예는 다음과 같다.

 

 

라고 하자.

치환 적분을 하면

 

로 치환하면

 

부분 적분을 하면

 

 

n + 1 → n, n → n – 1으로 바꾸면

 

 

따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

 

를 치환하여 이 공식을 유도하는 다른 방법도 있다.

결과를 다시 대입하면 점화식을 구할 수 있다.

즉

적분의 점화식의 표

유리함수 
다음의 적분 은 아래를 포함한다:

 선형 라디칼 
 선형 인수   또는 선형 라디칼 
 이차식 
 이차식  ()
 이차식  ()
 (기약 다항식) 
 기약 다항식의 라디칼

지수법칙에 따라:

초월함수 
다음의 적분 은 아래의 함수들을 포함하는 함수들이다:

 사인
 코사인
 사인 및 코사인의 곱 또는 나누었을 때의 몫
 x의 거듭 제곱과 지수함수의 곱
 사인 / 코사인과 지수함수의 곱

참고 문헌

서지 

 Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.
적분학