푸르만 원

기하학에서, 푸르만 원()은 삼각형의 수심과 나겔 점을 잇는 선분을 지름으로 하는 원이다.

정의 
삼각형 의 외접원의 호 , , 의 중점을 각각 , , 라고 하자. 직선 에 대한 의 반사상을 , 직선 에 대한 의 반사상을 , 직선 에 대한 의 반사상을 라고 하자. 그렇다면 삼각형 를 원래 삼각형 의 푸르만 삼각형()이라고 한다. 푸르만 삼각형의 외접원을 푸르만 원이라고 한다.

성질 
푸르만 원은 수심과 나겔 점을 잇는 선분을 지름으로 한다. 특히, 푸르만 원의 중심은 수심과 나겔 점을 잇는 선분의 중점이다.

삼각형 의 수심을 , 나겔 점을 이라고 하자. 그렇다면 은 선분 의 수직 이등분선이므로, 선분 의 중점 와 외심 를 지난다. 특히 에 대한 의 반사상을 이라고 할 경우 선분 은 외접원의 지름이다. 와 는 모두 의 수선이므로 평행한다. 또한

이므로 선분 는 선분 의 평행 이동상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다.

삼각형 의 반중점 삼각형 의 , , 에 대한 꼭짓점을 , , 이라고 하자. 그렇다면 은 삼각형 의 내심이며, 특히 은 삼각형 의 내각 이등분선이다.  역시 삼각형 의 내각 이등분선이므로, 과 은 평행한다. 는 선분 과 의 공통 중점이므로, 선분 과 는 서로 에 대한 반사상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다. 따라서, , , 는 공선점이며, 와 은 평행한다.

선분 은 삼각형 의 외접원의 지름이므로, 과 은 서로 수직이다. 따라서 와  역시 서로 수직이며, 는 선분 를 지름으로 하는 원 위의 점이다.

삼각형 의 세 변의 길이를 , , 라고 하고, 외접원의 반지름을 라고 하자. 그렇다면 푸르만 원의 반지름은

이다.

삼각형 의 내접원의 반지름을 라고 하고, 각 꼭짓점 , , 에서 대변에 내린 수선과 푸르만 원 사이의 수심이 아닌 교점을 , , 라고 하자. 그렇다면

이다.

삼각형 의 세 변의 길이를 , , 라고 하고, 외심을 , 내심을 라고 하자. 그렇다면 푸르만 삼각형의 세 변의 길이는

이다.

삼각형 의 내심을 , 외심을 , 수심을 , 나겔 점을 , 푸르만 원의 중심을 라고 하자. 그렇다면 사각형 과 사각형 는 모두 평행 사변형이며, 그 무게 중심은 각각 슈피커 중심 및 구점원의 중심이다. 특히, 슈피커 중심은 외심과 푸르만원의 중심을 잇는 선분의 중점이며, 구점원의 중심은 내심과 푸르만 원의 중심을 잇는 선분의 중점이다.

삼각형 의 외접원과 내접원의 반지름을 와 라고 하자. 그렇다면 내심 와 푸르만 원의 중심  사이의 거리는 다음과 같다.

여기서 은 구점원의 중심이다.

각주

외부 링크 
 
 
 

삼각 기하학