스테인하우스 정리

실해석학에서, 스테인하우스 정리()는 양의 르베그 측도를 갖는 실수 집합 속 두 점의 차가 0의 열린 근방을 포함한다는 정리이다.

정의 
((왼쪽) 하르 측도 를 갖춘) 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군 가 주어졌다고 하자. 스테인하우스 정리에 따르면, 임의의 양의 측도의 가측 집합

에 대하여, 항등원 는 집합

의 내부점이다.

편의상 가 (르베그 측도 를 갖춘) 실수선이라고 하자. 가 양의 측도의 콤팩트 부분 집합을 가지므로, 편의상 가 콤팩트 집합이라고 가정할 수 있다. 그렇다면

인 열린집합 가 존재한다. 또한, 가 콤팩트 집합이므로,

인 0의 열린 근방 이 존재한다. 이제,

를 보이는 것으로 충분하다. 즉,

을 보이면 충분하다. 임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면

이므로

이다. 따라서 위 조건이 성립한다.

역사 
후고 스테인하우스가 (르베그 측도를 갖춘) 실수선의 경우를 증명하였다. 한스 아돌프 라데마허()가 (르베그 측도를 갖춘) 유클리드 공간의 경우를 증명하였다.

참고 문헌 

실해석학 정리
측도론 정리