P진수 L-함수

p진수 제타함수(p-adic zeta function) 또는 p진수 L-함수(p-adic L-function)란 리만 제타 함수 또는 디리클레 L-함수와 유사한 함수이며, 함수의 정의역과 치역이 p진수인 것을 말한다(여기서 p는 소수이다).

디리클레 L-함수 
디리클레 L-함수는 급수

의 해석적 연속으로부터 정의할 수 있다. 음의 정수에 대한 디리클레 L-함수의 값은

이다. 여기에 Bn,χ는 일반화된 베르누이 수이며, 인도자(conductor) f를 갖는 디리클레 지표 χ에 대하여,

로 정의된다.

보간법을 이용한 정의 
구보타 토미오(久保田富雄)와 하인리히-볼프강 레오폴트(Heinrich-Wolfgang Leopoldt)에 의해 처음 정식화된 p진수 L-함수 Lp(s, χ)는 p에서의 오일러 인자를 제거한 디리클레 L-함수를 통해 보간법으로 정의될 수 있다. 이를테면, p-1로 나눌 수 있는 양의 정수 n에 대하여 Lp(s, χ)는 p진수 s의 연속함수로써 다음

을 만족하는 유일한 함수이다. 이때 우변은 통상의 디리클레 L-함수로부터 p에서의 오일러 인자를 제거한 것이다. p에서의 오일러 인자를 제거하지 않은 경우에는 우변은 p진수에서 연속이 되지 않는다. 우변의 연속성은 쿠머 합동(Kummer congruence)과 밀접한 관계가 있다.

n이 p-1로 나누어지지 않는 경우에는 일반적으로 이것이 성립하지 않는다. 대신 양의 정수 n에 대하여 다음이 성립한다.

여기서 χ는 타이히뮬러 지표(Teichmüller character) ω에 의한 뒤틀림 사상(twist map)을 가리킨다.

참고 문헌 
 

대수적 수론
해석적 수론