특성 단순군

군론에서, 특성 단순군(特性單純群, )은 특성 부분군이 자명 부분군과 자기 자신밖에 없는 군이다.

정의 
군 가 와 가 아닌 특성 부분군을 갖지 않는다면, 를 특성 단순군이라고 한다.

성질 
유한군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 특성 단순군이다.
 는 유한 개의 같은 단순군 의 직접곱 과 동형이다.

우선, 가 유한 특성 단순군이라고 하고, 가 유한 개의 같은 단순군의 직접곱임을 보이자. 편의상 이라고 하자. 의 임의의 극소 정규 부분군 을 취하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,  역시 극소 정규 부분군이다. 이제 이

의 한 극대 원소라고 하자. 그렇다면, 이며, 임의의 에 대하여, 이다. 따라서 이거나 이며, 의 극대성에 의하여 이다. 즉,

이며, 은 의 특성 부분군이다. 는 특성 단순군이므로 이다. 또한, 임의의 에 대하여, 이므로, 의 극소성에 의하여 이거나 이다. 즉, 은 단순군이며,

이다.

반대로, 임의의 단순군  및 음이 아닌 정수 에 대하여, 이 특성 단순군임을 보이자. 만약 이 아벨 군이라면, 은 소수이며, 에 체의 구조를 부여할 수 있고, 을 이 체에 대한 차원 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이 경우 의 군으로서의 자기 동형 사상은 전단사 선형 변환과 동치이며, 특성 부분군은 모든 전단사 선형 변환에 대하여 불변인 부분 벡터 공간과 동치이다. 이러한 부분 공간은 영공간과 자기 자신뿐이므로, 은 특성 단순군이다.

만약 이 아벨 군이 아니라면, 개의 자연스러운 단사 군 준동형

의 상을 로 표기하자. 그렇다면 은 다음과 같은 내직접곱과 같다.

우선 임의의 를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다는 사실을 보이자.

이는 임의의  및  및 에 대하여, 만약 이며, 일 경우, 임을 보이는 것으로 족하다. 는 비아벨 단순군이므로 이며, 특히 이다. 따라서,

인 가 존재하며,

이다. (여기서 는 의 켤레류로 생성된 부분군을 뜻한다.)

이제 가 의 자명하지 않은 특성 부분군이라고 가정하자. 편의상

이라고 하자. 다음과 같은 의 자기 동형 사상을 생각하자.

그렇다면

이며, 이는 모순이다. 즉, 은 자명하지 않은 특성 부분군을 갖지 않는다.

예 
유한 개의 소수  크기의 군의 직접곱은 특성 단순군이다.

임의의 군의 극소 정규 부분군은 특성 단순군이다.

외부 링크 
 

군론