추이 측도

측도론과 확률론에서 추이 측도(推移測度, )는 첫 번째 변수에 대하여 가측 함수이며 두 번째 변수에 대하여 측도인 이변수 함수이다. 추이 측도를 통해 곱 가측 공간 위에 측도를 유도할 수 있다.

정의 
두 가측 공간 와  사이의 추이 측도는 다음 두 조건을 만족시키는 함수

이다.
 임의의 에 대하여, 는  위의 측도이다.
 임의의 에 대하여, 는  가측 함수이다.
만약 임의의 에 대하여 가 확률 측도라면, 를 확률 추이 측도(確率推移測度, )이라고 한다.

시그마 유한 추이 측도 
두 가측 공간 와  사이의 추이 측도 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 가 존재한다면, 를 시그마 유한 추이 측도(-有限推移測度, )라고 한다.

두 가측 공간 와  사이의 추이 측도 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족  및 가 존재한다면, 를 균등 시그마 유한 추이 측도(均等-有限推移測度, )라고 한다.

성질

유한 차원 곱공간 위의 측도 

다음이 주어졌다고 하자.
 유한 개의 가측 공간 
 각 에 대하여, 와  사이의 시그마 유한 추이 측도 . (특히, 은  위의 시그마 유한 측도이다.)
그렇다면, 곱 가측 공간  위에 다음과 같은 시그마 유한 측도를 부여할 수 있다.

이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도이다.

또한, 임의의 적분 가능 가측 함수 에 대하여, 다음이 성립한다.

가산 차원 곱공간 위의 확률 측도 
다음이 주어졌다고 하자.
 가산 무한 개의 가측 공간 
 각 에 대하여, 와  사이의 확률 추이 측도 . (특히, 은  위의 확률 측도이다.)
그렇다면, 이오네스쿠 툴체아 정리(-定理, )에 따르면 곱 가측 공간  위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 확률 측도 가 존재한다.

범주론적 성질 
3개의 가측 공간 , ,  및  위의 확률 추이 측도  및  위의 확률 추이 측도 가 주어졌을 때,  위에 다음과 같은 확률 추이 측도를 정의할 수 있다.

확률 추이 측도의 합성은 결합 법칙을 만족시키며, 이에 따라 가측 공간과 확률 추이 측도는 범주를 이룬다.

예 
두 가측 공간 ,  및  위의 측도 가 주어졌을 때, 함수

는 와  사이의 추이 측도를 이룬다. 만약 가 시그마 유한 측도 · 확률 측도라면, 이는 각각 (균등) 시그마 유한 추이 측도 · 확률 추이 측도를 이룬다.

유한 이산 가측 공간 이 주어졌고, 행렬 가

를 만족시킬 때, 함수

는  위의 확률 추이 측도를 이룬다. 이 경우 확률 추이 측도의 합성은 행렬의 곱셈에 대응한다.

역사 
이오네스쿠 툴체아 정리는 카시우스 토크빌 이오네스쿠 툴체아()가 증명하였다.

참고 문헌 

 
 

측도론
확률 과정