라마누잔 g함수와 G함수

수학에서 라마누잔 g함수와 G 함수는 모듈러 함수에서 유도된 함수이다. 이 함수의 이름은 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔에서 유래됐다. g함수와 G함수는 타원 모듈러 람다 함수와 대수적 관계를 갖는다. 모듈러 람다 함수는 합동 부분군 Γ(2)에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 타원 모듈러 람다 함수 λ*(x)의 아크탄젠트를 두 배로 늘리는 코탄젠트는 함수 g(x)의 12 제곱과 정확히 동일하다. 타원 모듈러 람다 함수 λ*(x)의 아크사인을 두 배로 늘리는 코시컨트는 함수 G(x)의 12 제곱과 정확히 동일하다.

정의 
라마누잔에 따른 정의:

 
 

타원 모듈러 람다 함수를 기반으로하는 함수 g(x) 및 G(x)의 정의:

 
 

데데킨트 에타 함수에 기반한 정의:

역함수 
역함수를 표현하려면 제 1 종의 완전한 타원 적분만 필요하다:

 
 

다음 문장이 유효하다:

 면: , 그런: 
 면: , 그런:

성질 
라마누잔 함수 g(x) 과 G(x) 함수는 열린 상반평면 위에서 정칙함수이나. 이 초등이 아닌 초등 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다:

특별한 값 
중요한 피솟 비자야라가브한 상수:

다음 값이 정확하다:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
함수 값 g(74)를 결정하려면 오차 방정식을 풀어야 한다:

 

다음 추가 값이 정확하다:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
함수 값 G(47)를 결정하려면 오차 방정식을 풀어야 한다:

참고 
 Ramanujan, S. "Modular Equations and Approximations to pi." Quart. J. Pure. Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.
 Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.
https://mathworld.wolfram.com/Ramanujang-andG-Functions.html
https://mathworld.wolfram.com/EllipticLambdaFunction.html
https://mathworld.wolfram.com/DedekindEtaFunction.html
https://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html
https://oeis.org/A000073
https://oeis.org/A000930
https://oeis.org/A000931
https://oeis.org/A084540
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1601/1601.07110.pdf

모듈러 형식