단조 수렴 정리 (수열)

실해석학에서, 단조 수렴 정리(單調收斂定理, )는 실수 항의 단조 유계 수열이 항상 수렴한다는 정리이다.

정의 
실수 수열 이 주어졌다고 하자. 단조 수렴 정리에 따르면, 만약 가 증가 수열이라면 (), 다음이 성립한다.

마찬가지로, 만약 가 감소 수열이라면 (), 다음이 성립한다.

여기서 는 각각 상한과 하한을 나타낸다.

이에 따라, 임의의 실수 단조 수열 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 은 (에서) 수렴한다.
 는 유계 수열이다.

임의의 실수 증가 수열 에 대하여, 그 상한을

이라고 하자.

만약 이 유계 수열이라면, 이다. 의 정의에 따라, 임의의 에 대하여,

인 이 존재한다. 따라서, 임의의 에 대하여,

이다. 즉,

이 성립한다.

만약 이 무계 수열이라면, 이다. 임의의 에 대하여,

인 이 존재하며, 임의의 에 대하여

이다. 즉,

이 성립한다.

예 
확장된 실수

를 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수 수열 의 극한이다.

수학적 귀납법을 통해 이 증가 수열임을 다음과 같이 보일 수 있다.

또한 은 다음에 따라 을 상계로 가지므로, 유계 수열이다.

단조 수렴 정리에 따라, 은 수렴한다. 이제

이라고 하고 등식

의 양변에 극한을 취하면

을 얻으며, 이를 풀면 이거나 임을 얻는다. 또한 이므로,

이다.

일반화 
실수 수열 이 주어졌고, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수  및 연속 함수 이 존재한다고 하자.
 임의의  및 에 대하여, 만약 이라면 이다.
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 
그렇다면,

이다. 또한, 이 수렴할 필요 충분 조건은 유계 수열이다.

각주

외부 링크 
 

미적분학 정리
실해석학 정리
수열