합성열

추상대수학에서 합성열(合成列, )은 군이나 가군을 보다 단순한 부분들로 분해하는 방법 중 하나이다. 합성열은 존재하지 않을 수도 있고, 존재한다 해도 유일하지 않을 수 있다. 그러나 카미유 조르당과 오토 횔더의 이름을 딴 조르당-횔더 정리()에 따르면 합성열에 나타나는 몫군이나 몫가군들의 동형류와 각각의 동형류가 나타나는 횟수는 유일하게 결정된다. 단, 합성열 안에서 각 동형류가 나타나는 순서는 달라질 수 있다. 이는 슈라이어 정리를 통해 보일 수 있다. 조르당-횔더 정리는 초한 오름차순 합성열에 대해서도 성립하지만, 초한 내림차순 합성열에 대해서는 성립하지 않는다. 

합성열과 비슷한 개념으로 주합성열()이 있다. 합성열은 극대 부분정규열인 데 비해, 주합성열은 극대 정규열이다. (모든 정규열은 부분정규열이지만, 주합성열이 합성열일 필요는 없다.) 작용소군의 개념을 사용하면 군과 가군의 합성열 및 군의 주합성열을 통일되게 기술할 수 있다.

정의

작용소군 
모노이드  위의 작용소군 의 부분정규열()은 다음 두 조건을 만족시키는, 의 부분 작용소군들의 열

이다.
 모든 는 의 부분 작용소군이다.
 모든 는 의 정규 부분군이다 ().
부분정규열에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분정규열을 합성열이라고 한다.
 몫 작용소군 들은 단순 작용소군(=자명군과 스스로를 제외한 정규 부분 작용소군이 없는 비자명 작용소군)이다. 이 몫군들을 합성인자()라고 부른다.
 모든 에 대하여, 이며, 인 부분 작용소군 가 존재하지 않는다.
 모든 는 의 극대 정규 부분 작용소군이다.
즉, 합성열은 더 큰 부분정규열의 일부가 아닌 부분정규열이다.

군 
군  위에는 다음과 같은 두 작용소군 구조를 부여할 수 있다.
 자명 모노이드 의 자명한 작용. 이 작용소군 구조에 대한 부분정규열과 합성열은 군 의 부분정규열과 합성열이다.
 내부 자기 동형군 의 작용. 이 작용소군의 부분정규열을 군 의 정규열()이라고 하며, 이 작용소군의 합성열을 군 의 주합성열이라고 한다.
즉, 군 의 부분군의 열

에 대하여,
 만약 모든 가 의 정규 부분군이라면, 이 부분군의 열을 부분정규열이라고 한다.
 만약 부분정규열이며, 몫군 들이 단순군이라면 (즉, 이며, 를 포함하는 의 정규 부분군이 와 밖에 없다면), 이 부분군의 열을 합성열이라고 한다.
 만약 모든 가 의 정규 부분군이라면, 이 부분군의 열을 정규열이라고 한다.
 만약 정규열이며, 몫군 들이 의 극소 정규 부분군이라면 (즉, 이며, 와  사이에 의 정규 부분군이 와 밖에 없다면), 이 부분군의 열을 주합성열이라고 한다. 따라서, 주합성열은 더 큰 정규열에 포함되지 않는 정규열이다.
아벨 군의 경우, 모든 부분군이 정규 부분군이므로, 부분정규열과 정규열의 개념이 일치하며, 합성열과 주합성열 역시 같은 개념이다.

가군 
왼쪽 가군은 그 환의 작용을 갖춘 작용소군으로 여길 수 있다. 이 경우, 부분 작용소군·정규 부분 작용소군·부분 가군의 개념이 일치한다. 따라서, 환  위의 왼쪽 가군 의 부분정규열은 단순히 부분 가군의 열

이며, 모든 몫가군 가 단순 가군일 때 이 열은 합성열이다.

성질

존재 
임의의 모노이드  및 -작용소군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 합성열을 갖는다.
 의 부분정규 부분 작용소군의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건과 내림 사슬 조건을 만족한다.
 다음 두 조건이 성립한다.
 임의의 의 부분 작용소군의 열 에 대하여, 만약 모든 가 의 정규 부분군이라면, 인 이 존재한다.
 임의의 의 부분 작용소군의 열 에 대하여, 만약 모든 가 의 정규 부분군이라면, 인 이 존재한다.
특히, 모든 유한군은 합성열을 갖는다. 무한군은 합성열을 갖지 않을 수 있다. 예컨대 는 합성열이 없다.

유일성 
조르당-횔더 정리에 따르면, 임의의 작용소군의 두 합성열은 ‘동형’이다. 즉, 모노이드  및 -작용소군  및 의 두 합성열

이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
 
 모든 에 대하여 와 가 동형이 되는 의 순열 가 존재한다.

슈라이어 정리에 의해 두 합성열은 동형인 세분을 갖는다. 그러나 합성열의 몫군은 모두 단순 작용소군이므로 어떠한 합성열도 더 이상의 세분을 갖지 않는다. 따라서 임의의 두 합성열은 동형이다.

참고 문헌 

 

군론