경험적 누적 분포 함수

확률론과 통계학에서 경험적 (누적) 분포 함수(經驗的累積分布函數, ) 또는 표본 (누적) 분포 함수(標本累積分布函數, )는 반복된 시행을 통해 확률 변수가 일정 값을 넘지 않을 확률을 유추하는 함수이다. 글리벤코-칸텔리 정리()에 따르면, 독립 동일 분포 확률 변수의 열의 경험적 누적 분포 함수는 거의 확실하게 실제 누적 분포 함수로 균등 수렴한다.

정의 
확률 공간  위의 개의 동일 분포 확률 변수

의 경험적 누적 분포 함수는 다음과 같다.

성질

점근적 성질 
확률 공간  위의 독립 동일 분포 확률 변수의 열

이 주어졌다고 하자. 또한, 가 공통의 (우연속) 누적 분포 함수라고 하고, 이 의 경험적 누적 분포 함수라고 하자. 글리벤코-칸텔리 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

즉, 은 거의 확실하게 로 균등 수렴한다.

큰 수의 강법칙에 따라, 임의의 에 대하여,

는 각각 거의 확실하게 와 로 수렴한다.

이제, 각 에 대하여,

라고 하자. 그렇다면 거의 모든 에 대하여,

인 가 존재한다. 따라서, 각  및  및 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 거의 확실하게

이다.

역사 
글리벤코-칸텔리 정리는 발레리 이바노비치 글리벤코()와 프란체스코 파올로 칸텔리()의 이름을 땄다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

확률론
통계학