남 변환

미분기하학과 이론물리학에서 남 변환(Nahm變換, )은 기본적으로 4차원 원환면 위에 정의된 양-밀스 순간자를 그 쌍대 원환면 위의 양-밀스 순간자 위에 대응시키는 변환이다.

정의 
4차원 원환면  및 그 쌍대 원환면 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 임의의 점 에 대하여,  위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발  위의 평탄 접속

을 정의할 수 있다. 마찬가지로, 의 임의의 점 에 대하여,  위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발  위의 평탄 접속

을 정의할 수 있다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.
  위의 차원 복소수 벡터 다발 
  속의 접속 . 또한, 그 곡률은 반(半) 자기 쌍대이므로, 이는  양-밀스 순간자를 이룬다.
그렇다면, 남 변환은 를  위의 복소수 벡터 다발  및 그 속의 양-밀스 순간자 에 대응시킨다.

구체적으로, 각 에 대하여,  위의 차원 차원 복소수 벡터 다발  위의 접속

을 정의할 수 있다. 그렇다면, 이에 대응되는 디랙 연산자

를 정의할 수 있다. 임의의 에 대하여 그 핵은 항상 0차원이며, 따라서 그 여핵은  위의 복소수 벡터 다발을 이룬다.

복소수 힐베르트 공간 를 올로 하는 자명한 힐베르트 다발 을 생각하자. 그렇다면, 정의에 따라 자연스러운 사영 사상

이 존재하며, 따라서 를 의 부분 벡터 다발로 간주할 수 있다.

이에 따라서, 자명 벡터 다발  위의 자명한 접속으로부터  위의 자명한 접속을 유도할 수 있다. 이를 로 정의한다.

성질 
남 변환은  위의, 순간자수 n의 SU(k) 양-밀스 순간자를  위의, 순간자수 k의 SU(n) 양-밀스 순간자에 대응시킨다. 이 변환은 또한 전단사 함수이며, 대합이다. 즉, 남 변환을 두 번 가하면, 원래 양-밀스 순간자를 얻는다.

응용 
남 변환은 초끈 이론으로 해석할 수 있다. 구체적으로, 4차원 원환면  위에 감은 개의 D(4+p)-막을 생각하자. 그 위의 초대칭 게이지 이론 속에, 개의 양-밀스 순간자가 존재한다고 하자. 순간자는 D(4+p)-막 속에 녹은 Dp-막으로 해석할 수 있다. 이제, 4차원 원환면을 따라 T-이중성을 가하자. 그렇다면, k개의 D(4+p)-막들은 Dp-막이 되며, 반대로 n개의 Dp-막들은 D(4+p)-막이 된다. 이는 남 변환과 같다.

역사 
베르너 남()의 이름을 땄다.

참고 문헌

외부 링크 
 

미분기하학
이론물리학