점과 직선 사이의 거리

점과 직선 사이의 거리는 점에서 직선에 이를 수 있는 가장 가까운 거리를 의미한다. 점에서 직선에 수선의 발을 내릴 때, 그 점과 수선의 발을 이은 선분의 길이와도 같다.

공식

직선의 방정식 
직선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이 때 , , 는 모두 실수 상수이고 와 는 동시에 0이 될 수 없다. 이 직선에서 점 까지의 거리는 다음과 같다.

 

이 때 점 과 가장 가까운 직선상의 좌표, 즉 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표는 다음과 같다.

 

수직선과 수평선의 경우

위에서 와 가 동시에 0이 될 수 없다고 했는데, 이 경우 직선이 정의되지 않기 때문이다. 하지만 나  둘 중 하나만 0이 될 수는 있다. 가 0인 경우 직선의 방정식은 이 되어 수평선의 형태를 띈다. 이 때 점 로부터의 거리는 단순히 선분의 길이를 재면 되고, 그 결과 로 나타난다. 이와 비슷하게 만 0인 경우에는 직선이 수직선이 되어 점과 직선 사이의 거리는 가 된다.

두 점을 지나는 직선에 대해 
방정식이 아니라 두 점 과 를 지난다고 정의된 직선의 경우를 한 번 살펴보자. 이 경우 점 과 직선 사이의 거리는 다음과 같다.

 

여기서 분모는 점 와  사이의 거리를 나타낸다. 분자는 세 점 , , 가 이루는 삼각형의 넓이의 2배와도 같다. 밑변의 길이가 , 높이가 라고 할 때 삼각형의 넓이가 인 것을 생각해보자. 이 때 점과 직선 사이의 거리는 이 식에서 를 남기고 나머지를 이항한  과 다름 없다.

증명

대수적 증명 
이 증명은 와 가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다.

이 나타내는 직선의 기울기는 이므로, 그 직선에 수직한 직선의 기울기는 이다. 이 때 점 을 지나고 기울기가 인 직선이 와 만나는 교점을 이라 해보자. 그러면 기울기의 정의에 의해 다음의 식이 성립한다.

 

따라서 이고, 양변을 제곱하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

 

이제 다음을 생각해보자.

 

여기에 이  위의 점이기 때문에 다음의 식도 성립한다.

 

즉 이 둘을 연립하면 아래의 식이 나온다.

 

유클리드 거리의 정의에 의해 과 의 거리는 다음과 같이 유도된다.

기하학적 증명 

이 증명은 와 가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다.

점 에서 직선 에 내린 수선의 발을 이라 하자. 또 에서 y축에 평행한 직선을 내려 직선과 만나는 교점을 라 하자. 직선에서 임의의 점 를 잡아 우측 그림과 같이 직각삼각형 를 만들자. 이 때 직선의 기울기는 로 쓸 수 있다.

와 는 인고로 세 내각이 모두 같아 서로 닮음이다. 이에 따라 다음의 공식이 성립한다.

 

점 의 좌표를 라 할 때 선분 의 길이를 고려하면 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

이 때 가 놓여있는 직선의 방정식을 알기 때문에 은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

따라서 최종적으로 다음의 식을 얻는다.

벡터의 사영을 사용한 증명 

점 와 직선  사이의 거리를 구하고 싶다고 해보자. 이 때 직선에서 임의의 점 을 잡고 이를 출발점으로 직선에 수직한 벡터 을 잡는다. 점 와 직선 사이의 거리는 를 에 정사영한 길이와 같다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

 

이므로 이다. 이므로 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

이 때 가 놓인 직선의 방정식을 알기 때문에 식은 최종적으로 다음과 같다.

각주

참고 문헌

읽을 거리 

 

수학 용어
유클리드 기하학
거리