축차가속완화법

축차가속완화법(逐次加速緩和法,successive over-relaxation,SOR)은 가우스-자이델 방법의 수렴성을 가속시키는 반복법이다.

공식 
n개의 선형방정식과 미지수 x를 가진 사각형 시스템에서:

여기서

A는 대각성분 D, 하삼각행렬 부분 L, 상삼각행렬 부분 U의 합으로 행렬 분리될 수 있다.:

여기서

연립방정식을 아래와 같이 다시 쓰자.

상수 ω를 완화계수(relaxation factor)라고 하는데, 가우스-자이델 방법은 ω=1에 해당한다. 가우스-자이델 방법보다 x를 빠르게 바꾸는 가속완화(over-relaxation)를 위해서는 ω > 1이어야 한다. 반대로 ω < 1인 경우는 감속완화(under-relaxation)이라고 한다.

축차가속완화법은 왼쪽에 새로운 x를 놓고, 이전의 x는 오른쪽에 놓는 반복법이다. 해석학적으로, 다음과 같이 설명할 수 있다.

여기서 는  의 k번째 근사 또는 반복이고, 는  의 k+1번째 근사이다.
하지만 (D+ωL)이 하삼각행렬임을 활용하기 위해, x(k+1)의 각 원소는 전진대입(forward substitution)을 통해 순차적으로 구할 수 있다.:

수렴성 
1947년에 대칭 정부호 행렬에서는  가 일 때 성립함이 보여져, 이면 감속완화이든 가속완화이든 수렴한다는게 보여졌다. 가 1보다 조금 클때 가장 수렴이 빠르다.

같이 보기 
 가우스-자이델 방법
 야코비 방법
 대칭축차가속완화법
 리처드슨 외삽법

수치선형대수학
완화법 (반복법)