내접 사각형

기하학에서 내접 사각형(內接四角形, )은 네 꼭짓점이 한 원 위의 점인 사각형이다. 즉, 이는 어떤 원에 내접하는 사각형이며, 다시 말해 이는 외접원을 갖는 사각형이다.

정의 
(볼록) 사각형 의 네 꼭짓점 , , , 가 공원점이라면, 이 사각형 를 내접 사각형이라고 한다. 모든 꼭짓점을 지나는 이 원을 사각형 의 외접원이라고 하고, 이 원의 중심을 사각형 의 외심이라고 한다.

성질

각 
내접 사각형은 두 대각의 합이 180도인 사각형과 동치이다. 다시 말해, 내접 사각형의 외각은 내대각과 같으며, 반대로 외각이 내대각과 같은 사각형은 내접 사각형이다. 즉, 사각형 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 사각형 는 내접 사각형이다.
 
 

만약 사각형 는 내접 사각형이라면, 꼭짓점 와 에서의 내각은 각각 와 를 끝점으로 하는 합이 외접원의 두 켤레호에 대한 원주각이므로 합은 180도이다. 만약 라면, 또한 와 는 직선 의 서로 반대쪽에 위치하므로, , , , 는 공원점이며, 사각형 는 내접 사각형이다.

사각형의 네 내각의 이등분선으로 이루어진 사각형은 내접 사각형이다.

사각형 의 와 , 와 , 와 , 와 에서의 내각의 이등분선이 각각 점 , , , 에서 만난다고 하자. 그렇다면

이므로

이다.

대각선 
프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형은 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같은 사각형과 동치이다. 즉, 사각형 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 사각형 는 내접 사각형이다.

넓이 
브라마굽타 공식에 따르면, 내접 사각형의 네 변의 길이가 , , , 라고 하고, 반둘레를 라고 할 경우, 이 내접 사각형의 넓이는

이다. 만약 이라고 하면, 내접 사각형은 변의 길이가 , , 인 삼각형이 되고, 브라마굽타 공식은 헤론 공식

가 된다.

반중심 

내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 내접 사각형의 반중심(反中心, )이라고 한다. 내접 사각형의 반중심은 무게 중심에 대한 외심의 반사상이다.

내접 사각형 의 각 변 , , , 의 중점을 , , , 라고 하고, 무게 중심 에 대한 외심 의 반사상을 라고 하자. 그렇다면 는 선분 와 의 공통 중점이므로, 삼각형 와 는 서로 에 대한 반사상이며, 특히 와 는 평행한다. 는 선분 의 수직 이등분선이므로,  역시 의 수선이다.

내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 중점과 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 수심이다. 특히 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다. 즉, 만약 내접 사각형의 두 대각선이 직교한다면, 두 대각선의 교점에서 사각형의 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다. 이를 브라마굽타 정리라고 한다.

내접 사각형 의 대각선 , 의 교점을 라고 하고, 선분 의 중점을 , 의 중점을 이라고 하자. 그렇다면 는 선분 의 중점이다. 또한 이는 외심 와 반중심 를 잇는 선분 의 중점이므로, 삼각형 와 는 서로 에 대한 반사상이며, 특히 와 은 평행한다. 은 선분 의 수직 이등분선이며, 특히 이는 삼각형 의 변 의 수선이다. 따라서  역시 의 수선이다. 마찬가지로 는 의 수선이다. 즉, 는 삼각형 의 수심이다.

각주

외부 링크 
 
 

사각형