고차 논리

고차 논리(高次論理, )는 관계 또는 관계의 관계 등을 지칭하는 변수에 전칭·존재 기호를 가할 수 있는 일련의 논리 체계들이다. 모든 고차 논리는 ω차 논리(ω次論理, )의 부분 논리 체계로 생각할 수 있다.

정의

문법 
가 2 이상의 자연수 또는 가장 작은 무한 극한 순서수 라고 하자.

d차 논리(d次論理, )의 종류(種類, )와 이들의 차수(次數, )는 다음과 같다. (편의상 연산의 종류를 다루는 것을 생략하자.)
 는 0차 종류이다.
 차수가 각각 인 종류 에 대하여, 만약 라면, 은 차 종류이다.

d차 논리의 언어는 각 종류의 변수와 상수들로 구성된다. 종류가 인 변수를 개체 변수(個體變數, )라고 하며, 종류가 인 변수를 명제 변수(命題變數, )라고 한다.

d차 논리의 논리식(論理式, )은 다음과 같다.
 종류 의 변수 또는 상수  및 종류가 각각 인 변수 또는 상수 에 대하여, 은 논리식이다.
 차 미만의 같은 종류 의 두 변수 또는 상수 에 대하여, 는 논리식이다.
 논리식  및 변수 에 대하여,
 는 논리식이다.
 만약 의 속박 변수가 에 등장하지 않으며, 의 속박 변수가 에 등장하지 않는다면, 는 논리식이다.
 만약 가 의 자유 변수라면, 는 논리식이다.
여기서 논리식 와 그 속에 등장하는 변수 에 대하여, 만약 가 를 포함하지 않는다면, 를 의 자유 변수(自由變數, )라고 하며, 그렇지 않다면 를 의 속박 변수(束縛變數, )라고 한다.

증명 이론 
다음과 같은 기호들을 사용하자.
 , , 는 임의의 논리식이다.
 각 종류 에 대하여, , , , , 는 종류 의 변수이다.
 각 종류 에 대하여, 는 종류 의 변수 또는 상수이다.

d차 논리의 추론 규칙들은 다음과 같다.
 (전건 긍정) 
 (일반화) 
 여기서 는 의 자유 변수이어야 한다.

d차 논리의 공리 기본꼴들은 다음과 같다.
 
 
 
 
 여기서 는 의 자유 변수이며, 는 에 등장하는 자유 변수 를 모두 로 대체하여 얻는 논리식이다. 만약 가 변수일 경우, 는 의  꼴의 부분 논리식 속에 등장하지 않아야 한다.
 
 여기서 는 에 등장하지 않는 변수이며, 의 자유 변수이어야 한다.
 (분류 공리 기본꼴) 
 여기서 은 의 자유 변수일 수 없다.
 
 
 (확장 공리) 
물론 모든 공리는 d차 논리의 유효한 논리식이어야 한다. 예를 들어, 확장 공리는 3차 논리에서부터 사용된다. (다른 공리들은 2차 논리에도 존재한다.)

같이 보기 
 1차 논리

각주 

수리논리학