고유 궤도 에너지

이체 문제에서 고유 궤도 에너지 () 또는 활력에너지()는 궤도에 관여하는 두 물체의 위치 에너지 와 운동 에너지 의 합을 환산 질량으로 나눈 값으로, 활력방정식에 의해 이 값은 시간과 관계없이 일정하게 유지된다. 단위는 J/kg = m2⋅s−2 또는 MJ/kg = km2⋅s−2이다.

은 상대 궤도 속도이다.
은 두 물체 사이의 거리이다.
은 두 물체의 표준 중력 변수의 합이다.
은 상대 비각운동량이다.
은 궤도 이심률이다.
은 궤도 긴반지름이다.

타원 궤도에서 고유 궤도 에너지는 해당 궤도를 도는 1 kg의 물체를 탈출 궤도로 진입시키는 데 필요한 에너지의 역수이며, 쌍곡선 궤도의 경우에는 포물선 궤도에 비해 추가로 보유한 에너지의 양과 같다.

각 궤도에 대한 방정식 형태
타원 궤도에서 고유 궤도 에너지의 식은 상대 비각운동량과 결합하면 다음으로 단순화된다.

은 표준 중력 변수이다.
은 궤도 긴반지름이다.

증명
타원 궤도에서 고유 각운동량 h는 다음으로 구해진다.

고유 궤도 에너지 식의 일반형은 다음과 같다.

궤도 근점에서의 상대 속도와 관련시키면 다음과 같이 변한다.

따라서 고유 궤도 에너지 방정식은 다음과 같이 변형된다.

포물선 궤도에서 고유 궤도 에너지는 다음으로 고정된다.

쌍곡선 궤도에서는 a의 표시 방법에 따라, 타원 궤도와 형태가 같게 표시하거나 부호를 반전하여 표시한다. 이 경우의 고유 궤도 에너지는 특성 에너지()로서 간주할 수 있으며, 포물선 궤도에 비해 추가로 소유한 에너지의 양과 같다.

쌍곡선 초과 속도 와는 다음의 관계가 있다.

따라서, 궤도 위치 벡터  또는 궤도 속도 벡터 를 알고 있으면 고유 궤도 에너지와 공전 속도를 계산할 수 있다.

변화율
타원 궤도에서 궤도 긴반지름의 변화에 대한 고유 궤도 에너지의 변화율은 다음과 같다.

은 표준 중력 변수이다.
은 궤도 긴반지름이다.

추가 에너지
궤도 중심체의 반지름이 R이라 하면, 중심체 표면에 대한 타원 궤도에서 필요한 추가적인 고유 궤도 에너지는 다음과 같다.

 

은 중심체의 중심과 표면으로부터의 거리를 각각 더한 값과 같다. 지구의 경우 가 에 비해 큰 차이가 없는 경우에는 추가로 필요한 고유 궤도 에너지는 로 구해지며, 이는 속도의 수평 성분에 대한 운동 에너지이다.
 ,

예시

보이저 1호
보이저 1호의 궤도 수치는 다음과 같다.
태양의 표준 중력 변수:  = 132,712,440,018 km3⋅s−2
r = 17 km
v = 17.1 km/s

따라서 고유 궤도 에너지는 다음으로 구해진다.
  = 146 km2⋅s−2 − 8 km2⋅s−2 =  138 km2⋅s−2

또한, 쌍곡선 초과 속도는 다음으로 구해진다.
 16.6km/s

추력의 적용
로켓의 시간당 고유 궤도 에너지 변화는 으로 표현할 수 있으며, 이는 운동 에너지 측의 값 과 위치 에너지 측의 값 의 합이다.
a은 추력으로 인해 생기는 가속도로, 시간당 델타 V가 소모되는 비율이다.
g은 중력장의 세기이다.
v은 로켓의 속도이다.

로켓의 단위 델타 V 변화당 고유 궤도 에너지 변화는 다음으로 표현되며,

이는 |v|에 v와 a 사이 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같다.

따라서 고유 궤도 에너지를 증가시키기 위해 델타 V를 가할 때, 가속도 a가 v의 방향과 같은 방향으로 가해졌을 때 가장 효율이 높다.

로켓을 처음 발사할 때나 더 높은 궤도로 올라갈 때, 즉 v와 g 사이의 각도가 둔각일 경우, 델타 V를 최대한 빠르고 짧게 가하는 것이 가장 효율이 높다. 즉 행성을 근접 통과할 때는 행성에 가장 가까운 지점에서 분사하는 것이 가장 효율이 좋다는 뜻으로, 오베르트 효과와 같은 뜻이다.

반대로 고유 궤도 에너지를 감소시킬 때는, a가 v와 반대 방향일 때 효율이 가장 높으며, v와 g 사이 각도가 예각인 착륙이나 낮은 궤도로 내려가는 경우에는 델타 V를 최대한 늦게 가하는 것이 효율이 높다.

a의 방향이 v와 같다면 식은 다음이 된다.

고도별 속도와 고유 궤도 에너지의 값

같이 보기 
 치올콥스키 로켓 방정식

각주 

천체동역학
궤도