대응 정리

추상대수학에서, 대응 정리()는 또는 제4 동형 정리() 또는 격자 정리()는 몫 대수 구조의 합동 관계들을 묘사하는 정리이다.

정의 
대수 구조 와 그 위의 합동 관계 가 주어졌다고 하자. 대응 정리에 따르면, 다음 두 격자는 동형이다.
 몫 대수 위의 합동 관계들의 격자 
 의 합동 관계들 가운데, 에 의하여 함의되는 것들의 격자 . 이는 의 합동 관계 격자 의 부분 격자를 이룬다.
두 격자 사이의 동형 사상은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

여기서 은 다음과 같은  위의 이항 관계다.

즉, 대응 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.
 만약 이 을 포함하는  위의 합동 관계라면, 은  위의 합동 관계이다.
  위의 모든 합동 관계는 어떤 을 포함하는  위의 합동 관계 에 대하여 의 꼴로 나타낼 수 있다.
 을 포함하는  위의 합동 관계 에 대하여, 다음이 성립한다.
 가 를 함의하는 것과 는 를 함의하는 것은 서로 필요충분조건이다.
 . 여기서 는 과 로 생성되는 합동 관계이다.
 . 여기서 는 로 정의된다.

예 
대응 정리는 모든 종류의 대수 구조에 적용할 수 있다. 군, 환, 가군 등 일부 대수 구조의 경우, 합동 관계가 특별한 부분 대수와 일대일 대응하며, 대응 정리에 등장하는 동형 사상을 몫 대수의 부분 대수에 대하여 확장할 수 있다.

군 
군  및 정규 부분군 에 대하여, 을 포함하는 의 부분군의 격자와 몫군의 부분군들의 격자 사이의 함수

를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 은 격자의 동형 사상이다. 즉,
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.
 임의의 에 대하여,
 일 필요충분조건은 이다.
 . 여기서 는 로 생성된 부분군이다.
 
 일 필요충분조건은 이다.

환 
환  및 아이디얼 에 대하여, 를 포함하는 부분군의 격자와 몫환의 부분환 격자 사이의 함수

를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 는 격자의 동형 사상이다. 즉,
 임의의 부분환 에 대하여, 는 의 부분환이다.
 임의의 부분환 에 대하여, 인 부분환 가 존재한다.
 임의의 부분환 에 대하여,
 일 필요충분조건은 이다.
 . 여기서 는 로 생성된 부분환이다.
 
 가 의 아이디얼일 필요충분조건은 가 의 아이디얼인 것이다.

가군 
환  위의 왼쪽 가군  및 부분 가군 에 대하여, 을 포함하는 부분 가군의 격자와 몫 가군의 부분 가군 격자 사이의 함수

는 격자의 동형 사상이다. 즉, 다음이 성립한다.
 임의의 부분 가군 에 대하여, 는 의 부분 가군이다.
 임의의 부분 가군 에 대하여, 인 부분 가군 가 존재한다.
 임의의 부분 가군 에 대하여,
 일 필요충분조건은 이다.

같이 보기 
 모듈러 격자

참고 문헌 

추상대수학 정리