외측도

측도론에서 외측도(外測度, )는 집합의 덮개를 통해 부피를 근사하는 함수이다.

정의 
집합  위의 (추상적) 외측도((抽象的)外測度, )는 다음 세 조건을 만족시키는 함수

이다.
 
 임의의 에 대하여, 
 (가산 준가법성) 임의의 가산 집합  ()에 대하여, 

집합  위의 외측도 에 대한 카라테오도리 가측 집합(Καραθεοδωρή可測集合, )은 다음 조건을 만족시키는 집합 이다.
 임의의 에 대하여, 
카라테오도리 가측 집합의 집합은 로 표기한다.

성질 
집합  위의 외측도 에 대하여, 는 의 부분 시그마 대수를 이루며, 는  위의 측도를 이루며, 또한 완비 측도를 이룬다. 즉, 는 완비 측도 공간이다.

거리 외측도 
거리 공간  속 두 집합  사이의 거리는 다음과 같다.

거리 공간  위의 외측도 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 거리 외측도(距離外測度, )라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 
 . 즉, 모든 보렐 집합은 -카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라 는 측도 공간을 이루지만, 이는 완비 측도 공간일 필요가 없다.)
 모든 열린집합은 -카라테오도리 가측 집합이다.

거리 공간  위의 거리 외측도 가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수와 하반연속 함수 는 가측 함수이다.

카라테오도리 확장 정리 

집합  속의 집합 반환은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 이다.
 
 (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 인 유한 개의 서로소 집합들의 족  ()이 존재한다.

집합  속의 집합 반환  위에 정의된, 음이 아닌 확장된 실수 값의 함수

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를  위의 준측도(準測度, )라고 한다.
 (가산 가법성) 임의의 가산 서로소 집합  ()에 대하여, 만약 이라면, . (특히, 을 생각하면 을 얻는다.)
 다음 두 조건을 만족시킨다.
 (유한 가법성) 임의의 유한 서로소 집합  ()에 대하여, 만약 이라면, . (특히, 을 생각하면 을 얻는다.)
 (가산 준가법성) 임의의 가산 집합  ()에 대하여, 만약 이라면, 

집합  속의 집합족 에 대하여, 가 로 생성된 최소의 시그마 대수라고 하자.

다음이 주어졌다고 하자.
 집합 
 집합 반환 
 준측도 
이제, 다음과 같은 함수를 정의하자.

카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음 조건들이 성립한다.
 는  위의 외측도이다.
 
 
 만약 이며 인 가산 집합  ()이 존재한다면, 는 를 만족시키는 유일한  위의 측도이다.
그러나 보다 큰 시그마 대수 위에서 의 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

예

1차원 르베그-스틸티어스 외측도 

실수선  위에서, 구간들의 족

은 집합 반환을 이루며, 이다. 또한, 이다.

임의의 증가 함수 에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

그렇다면, 는  위의 준측도를 이룬다. 이 경우  (또는 )를 르베그-스틸티어스 측도 공간이라고 한다.

자명하게 는 과 유한 가법성을 만족시킨다. 따라서 가산 준가법성을 보이면 된다. 임의의 가산 집합  ()
이 주어졌고, 이라고 하자. 편의상 의 모든 원소가 유계 구간이며,

라고 가정하자. (다른 경우의 증명은 유사하므로 생략할 수 있다.) 임의의  및 에 대하여,

인 을 취하자. 그렇다면 가 우연속 함수임에 따라

인 가 존재한다. 는 의 열린 덮개를 이루며, 하이네-보렐 정리에 의하여 이는 유한 부분 덮개

를 갖는다. 따라서

이다. 여기서 첫 번째 부등호는

때문이다. 여기에 을 취하면

를 얻으며, 다시  및 를 취하면 의 우연속성에 따라

를 얻는다.

n차원 르베그-스틸티어스 외측도 

임의의 에 대하여, 선형 연산자

를 정의하자.

또한, 임의의 에 대하여,

라고 하자.

함수

가 주어졌을 때, 집합 반환

위에 준측도

를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 르베그-스틸티어스 측도 공간 을 구성할 수 있다.

르베그 외측도 

함수

또는

에 대한 르베그-스틸티어스 외측도를 르베그 외측도라고 하며, 이에 대응하는 측도를 르베그 측도라고 한다.

하우스도르프 외측도 

하우스도르프 외측도는 거리 외측도이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

측도론