단순 함수

측도론에서 단순 함수(單純函數, )는 유한 가지 값만을 가지는 가측 함수이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 
 -바나흐 공간 
 가측 공간 
그렇다면, 에서 로 가는 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수이다.

여기서 는 지시 함수이다.

성질 
모든 단순 함수는 가측 함수이다. 따라서 단순 함수의 열의 점별 극한은 (만약 존재한다면) 가측 함수이다. 페티스 가측성 정리에 따라, 만약 공역 가 분해 가능 바나흐 공간일 경우, 가측 함수는 단순 함수의 열의 점별 극한과 동치이다. 그러나 일반적인 바나흐 공간 값 함수의 경우 단순 함수의 열의 점별 극한이 아닌 가측 함수가 존재할 수 있다.

예 
모든 지시 함수 또는 계단 함수는 단순 함수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

실해석학
측도론
함수의 종류