부분 행렬

선형대수학에서 부분 행렬(部分行列, )은 주어진 행렬의 일부 행과 일부 열을 취한 더 작은 행렬이다. 소행렬식(小行列式, )은 부분 정사각 행렬의 행렬식이다. 부분 행렬과 그 행렬식은 라플라스 전개와 코시-비네 공식 등의 항등식에서 등장한다. 양의 정부호 행렬의 한 가지 필요충분조건도 부분 행렬의 행렬식을 통해 기술할 수 있다.

정의 
환  위의  행렬 과 그 행의 집합  및 열의 집합 에 대하여, 의 -부분 행렬

은 의 에 속하는 행과 에 속하는 열을 취하여 원래의 순서대로 배열한  행렬이다. 즉, 만약

라고 하면, 이는 다음과 같다.

특히,
 의 에 대한 주부분 행렬(主部分行列, )은 부분 행렬 를 뜻한다.
 의  선행 주부분 행렬(先行主部分行列, )은 부분 행렬 를 뜻한다.
 의 번째 행벡터(行-, )는 이다.
 의 번째 열벡터(列-, )는 이다.

소행렬식과 여인자 
가환환 성분의 행렬의 부분 정사각 행렬의 행렬식은 흔히 소행렬식이라고 부른다. 주부분 행렬의 행렬식은 주소행렬식(主小行列式, )이라고 하며, 선행 주부분 행렬의 행렬식은 선행 주소행렬식(先行主小行列式, )이라고 한다.

가환환  위의  정사각 행렬  및 크기가 같은 행과 열의 집합 에 대하여 (), 의 -소행렬식 은 에 속하는 행과 에 속하는 열을 제거한 부분 행렬의 행렬식이다. 의 -여인자 는 -소행렬식에 적절한 부호 를 추가한 것이다.

가환환  위의  정사각 행렬 의 여인자 행렬(餘因子行列, )

는 각 -여인자

를 -성분으로 하는  정사각 행렬이다.

예 
실수 3×3 행렬

에서 2번째 행과 1번째 열을 제거한 부분 행렬은

이다. 따라서 (2,1)-여인자는

이다.

응용

라플라스 전개 

가환환  위의  정사각 행렬  및 행·열의 집합 에 대하여, 다음이 성립한다.

코시-비네 공식 

가환환  위의  행렬  및  행렬 에 대하여, 다음이 성립한다 ().

역행렬 

가환환  위의  정사각 행렬 의 고전적 수반 행렬 은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 가역 행렬 의 역행렬은 고전적 수반 행렬과 행렬식을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

양의 정부호성 

에르미트 행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 양의 정부호 행렬이다.
 모든 선행 주소행렬식이 양의 실수이다.
또한 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 양의 준정부호 행렬이다.
 모든 주소행렬식이 음이 아닌 실수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

행렬론
행렬식