여과 확률 공간

확률론에서 여과 확률 공간(濾過確率空間, )은 어떤 순서 집합에 따라 증가하는 부분 시그마 대수들의 족이 갖추어져 있는 확률 공간이다. 대략, 시간에 따라 증가하는 (감소하지 않는) ‘지식’이 갖추어진 확률 공간으로 여길 수 있다. 이 개념을 통해, 주어진 ‘지식’ 이상을 알지 못하는 확률 과정인 마팅게일 따위를 정의할 수 있다.

정의 
여과 확률 공간은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 하계 와 상계 를 갖는 전순서 집합 
 집합 
 각 에 대하여,  위의 시그마 대수 
 확률 공간 구조 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 는 증가 함수이다. 즉, 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.
 (오른쪽 연속성 右連續性 ) 임의의 에 대하여, 
 (완비성) 

보통,  (연속 시간) 또는  (이산 시간)를 사용한다.

시그마 대수는 (가산 또는 비가산) 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, 의 하계의 존재는 크게 중요하지 않다. 만약 에 하계가 존재하지 않는다면, 여기에 하계 을 추가하고,

를 정의할 수 있다. 반면, 의 상계의 존재는 덜 자명하다. 시그마 대수는 (가산 또는 비가산) 합집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, 합집합으로 생성되는 시그마 대수를 취하더라도, 여기에 확률 측도가 잘 정의되는지 여부는 일반적으로 자명하지 않다. 의 상계에서의 시그마 대수 는 어떤 전지적(全知的) 인물의 지식을 나타낸다.

오른쪽 연속성과 완비성은 보다 전문적인 조건이며, 대부분의 정리들을 증명할 때 필요하다. 이들은 대략 다음과 같이 해석될 수 있다.
 오른쪽 연속성: 현재의 지식은 모든 미래 지식들의 교집합이다. (반면, 현재의 지식은 과거의 지식들의 합집합이 아닐 수 있는데, 이는 정확히 현재에 새 정보를 알 수 있기 때문이다.)
 완비성: 만약 어떤 사건이 불가능하다면(또는 확실하다면), 그 불가능성(또는 확실성)은 처음부터 알 수 있다.
일부 문헌에서는 이 조건들이 생략되며, 이 조건들을 만족시키는 여과 확률 공간을 ‘표준 여과 확률 공간’() 또는 ‘보통 조건을 만족시키는 여과 확률 공간’()이라고 둘러 일컫게 된다.

연산 
전순서 집합 을 지표 집합으로 하는, 완비 확률 공간  위의 확률 과정 이 주어졌다고 하자. 또한, 표본 공간 의 시그마 대수를 라고 하자. 그렇다면,  위의, 다음과 같은 여과 확률 공간을 정의할 수 있다.

이를 에 대응하는 자연 여과 확률 공간(自然濾過確率空間, )이라고 한다. 모든 확률 과정은 스스로의 자연 여과 확률 공간 위의 순응 확률 과정을 이룬다.

참고 문헌 
 
 

확률론