삼진환

사영기하학에서 삼진환(三進環, )은 사영 평면의 점의 일종의 좌표계를 구성할 수 있는 대수 구조이며, 하나의 3항 연산을 갖는다.

정의 
삼진환 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 는 3항 연산이다.
  및 는 상수(0항 연산)이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
 
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 만약 라면, 인 가 유일하게 존재한다.
 임의의 에 대하여, 인 가 유일하게 존재한다.
 임의의 에 대하여, 만약 라면, 다음 연립 방정식은 유일한 해 를 갖는다.

성질

특별한 이항 연산 
삼진환 이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 연산을 정의하자.

그렇다면,  및 은 각각 항등원을 갖는 유사군을 이룬다.

삼진환에 대응하는 사영 평면 
삼진환 이 주어졌을 때, 이에 대응하는 다음과 같은 사영 평면 을 구성할 수 있다. 우선, 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.

이 사이의 인접 관계

는 다음과 같다.

또한,

은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요 충분 조건이 알려져 있다.

예 
가 나눗셈환이라고 하자. 그렇다면,

를 정의한다면, 이는 삼중환을 이룬다.

역사 
1941년에 마셜 홀()이 사영 평면을 연구하기 위하여 삼진환의 개념 및 “삼진환”()이라는 용어를 도입하였다. 이름과 달리, 삼진환은 환이 아니다.

일부 문헌에서 이 개념은 “삼진체”(三進體, ) 또는 “평면 삼진환”(平面三進環, ) 등으로 불린다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

사영기하학