띠그래프

그래프 이론과 위상수학에서, 띠그래프() 또는 뚱뚱한 그래프()는 주어진 꼭짓점에 인접한 변들에 대한 순환 순열이 주어진 그래프이다. 주어진 띠그래프로부터, 이에 대응하는 곡면을 구성할 수 있다.

정의 
그래프 의 반변(半邊, ) 또는 유향변(有向邊, )는 꼭짓점 와, 이에 인접한 변 의 순서쌍이다. (이는 변 의 쪽 “절반”, 즉 “”로 생각할 수 있다. 이에 따라, 반변의 집합 은 의 부분 집합이다.

반변의 집합  위에는 다음과 같은 자연스러운 집합의 분할이 존재한다.

띠그래프 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 는 그래프이며, 모든 꼭짓점의 차수는 유한하다. 즉, 임의의 에 대하여 는 유한하다.
 는 전단사 함수(즉, 순열)이며, 다음 조건을 만족시킨다.
순열 에 따라, 는 의 순환들로 분할되는데, 이 분할은 과 일치한다.

띠그래프에 대응되는 곡면 
띠그래프 가 주어졌을 때, 다음을 정의하자.
 각 꼭짓점 에 대하여, 일 때, -정다각형 . 정다각형의 변들은 각각 와 인접한 반변 들과 대응시킬 수 있으며, 이들은 (시계 반대 방향으로) 에 의하여 정의된 순환 순열에 따라 배치된다.

그렇다면, 이 정다각형의 족 가 주어졌을 때, 이들을 다음과 같이 짜깁기할 수 있다.
 각 변 에 대하여, 에서 에 대응하는 변과 에서 에 대응하는 변을 (방향을 보존하며) 짜깁기한다.
그렇다면, 어떤 유향 곡면(2차원 다양체) 를 얻는다. 이를 띠그래프 의 기하학적 실현()이라고 한다.

띠그래프에 대응되는 리만 곡면 
계량 띠그래프() 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 는 유한 개의 꼭짓점과 변을 갖는 연결 띠그래프이다.
 는 각 변에 양의 실수를 대응시키는 함수이다. 이를 변의 길이()라고 한다.
그렇다면, 각 계량 띠그래프에 표준적으로 어떤 연결 콤팩트 리만 곡면  및 그 속의 유한 집합  및 이에 대한 슈트레벨 미분을 대응시킬 수 있다. 또한, 은 의 기하학적 실현과 위상 동형이다.

구체적으로, 계량 띠그래프 에 대하여 다음을 정의하자.
 . (사실 이는 이 값 이하의 임의의 양의 실수로 놓아도 된다.)
 각 꼭짓점 에 대하여, 원 .
 각 유향변 에 대하여, 복소평면의 부분 집합 
 각 경계 성분 에 대하여, 단위 원 
 각 유향변 에 대하여, 함수

 각 꼭짓점  및 번째 유향변 에 대하여, 함수

 길이 의 경계 성분  및 에 대하여, 함수

그렇다면,
 모든 들과 들과 들을 정칙 함수 들로 짜깁기하여 리만 곡면 를 만들 수 있다. 의 경계들은 모두  및 에 의하여 덮이므로, 이는 콤팩트 리만 곡면이다.
 또한, 들의 원점들은 특별한 유한 집합 을 구성한다.
  위의 상수 정칙 이차 미분들은 짜깁기를 통해  위의 정칙 이차 미분을 구성한다. 이는 각  근처에서 2차 극을 가져, 의 슈트레벨 미분을 이룬다. 이 경우, 경계 성분 에 대응되는 양의 실수는 를 구성하는 유향변들의 길이들의 합이다.

띠그래프에 대응되는 벨리 사상 
가 계량 띠그래프이며, 그 어떤 꼭짓점도 차수가 0, 1 또는 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 로 정의되는 리만 곡면 는 대수적 수의 체  위의 대수 곡선을 이룬다. 즉, 벨리 사상  및 이에 대응되는 데생당팡이 존재한다.
 모든 변의 길이가 같다.

성질

조합론적 성질 
그래프  위의 띠그래프 구조들의 수는 다음과 같다.

여기서 는 꼭짓점의 차수(즉, 꼭짓점과 인접한 변의 수)이다. 특히, 모든 꼭짓점의 차수가 2 이하라면, 띠그래프 구조는 유일하다.

위상수학적 성질 
띠그래프는 (CW 복합체로 여겼을 때) 그 기하학적 실현과 항상 호모토피 동치이지만, 보통 위상 동형이 아니다.

띠그래프 가 주어졌을 때, 전단사 함수

를 생각하자. 그렇다면, 와 의 순환들을 생각할 수 있다. 그렇다면, 다음 세 집합 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다.
 순열 의 순환들의 집합
 순열 의 순환들의 집합
 의 구멍들의 집합

또한, 가 연결 유한 그래프이고, 의 구멍들의 수를 이라고 하고, 그 종수를 라고 할 때, 다음이 성립한다.

예

나무 
나무에 대응되는 곡면은 (띠그래프 구조에 상관 없이) 항상 , 즉 하나의 구멍이 뚫린 구이다.

순환 그래프 
꼭짓점 개의 순환 그래프는 유일한 띠그래프 구조를 갖는다. 구체적으로, 꼭짓점들을 라고 하면,

이다. 이에 대응하는 곡면은 , 즉 두 개의 구멍이 뚫린 구이다. 순환 그래프 의 경우

이며, 순열

및

둘 다 각각 두 개의 순환을 갖는다. 이에 따라 종수가

임을 알 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

그래프 이론