보렐 부분군

대수군 이론에서, 보렐 부분군(Borel部分群, )은 대수군의 극대 가해 부분군이다. 보렐 부분군을 포함하는 부분군을 포물형 부분군(抛物型部分群, )이라고 한다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 대수적으로 닫힌 체 
  위의 (자리스키 위상에서) 연결 대수군 
의 보렐 부분군은 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.

정의 1 
의 부분군 가운데, 다음 세 조건들을 만족시키는 것들을 생각하자.
 자리스키 위상에 대하여 닫힌집합이다.
 자리스키 위상에 대하여 연결 공간이다.
 군으로서 가해군이다.
이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를 보렐 부분군이라고 한다.

대수군 의 부분 대수군 가운데, 의 어떤 보렐 부분군을 포함하는 것을 포물형 부분군(抛物型部分群, )이라고 한다.

정의 2 
의 부분군  가운데, 잉여류 공간 가 -완비 대수다양체를 이루는 것을 의 포물형 부분군이라고 한다.

포물형 부분군들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 최소 원소를 보렐 부분군이라고 한다.

성질 
보렐 부분군은 켤레 아래 유일하다. 즉, 대수적으로 닫힌 체  위의 대수군 의 임의의 두 보렐 부분군 가 주어졌을 때,

가 되는 가 존재한다.

보렐 부분 리 대수 
체  위의 반단순 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 부분 리 대수 가운데, 가해 리 대수인 것들을 생각할 수 있다. 이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 의 보렐 부분 리 대수()라고 한다.

일 때, 유한 차원 -반단순 리 대수  및 그 보렐 부분 리 대수 를 생각하자. 그렇다면, 를 리 군으로 갖는 임의의 대수적 리 군 에 대하여,  의 보렐 부분군은 리 군이며, 그 리 대수는 와 동형이다.

예

자명한 경우 
대수적으로 닫힌 체  위의 가해 연결 대수군 의 유일한 보렐 부분군 및 유일한 포물형 부분군은  자신이다. 이 경우 는 자명하게 -완비 대수다양체를 이룬다.

일반 선형군 
대수적으로 닫힌 체  위의 일반 선형군 을 생각하자. 그 위의 가역 상삼각 행렬들의 부분군

은 의 보렐 부분군이다.

이 경우 는 기 대수다양체이다.

표준 보렐 부분 리 대수 
복소수체 위의 반단순 리 대수 를 생각하자. 이 경우, 다음 데이터를 고를 수 있다.
 카르탕 부분 대수 
 양근 집합 
그렇다면, 멱영 리 대수

를 정의할 수 있다. 이 경우 을 의 표준 보렐 부분 리 대수(標準Borel部分Lie代數, )라고 하며, 이는 의 보렐 부분 리 대수를 이룬다.

역사 
아르망 보렐이 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

대수군