등각 다양체

미분기하학에서 등각 다양체(登角多樣體, )는 리만 계량의 (스칼라 함수의 곱에 대한) 동치류가 갖추어진 매끄러운 다양체이다.

정의 
매끄러운 다양체  위의 두 준 리만 계량 , 에 대하여, 다음과 같은 관계가 존재한다면 서로 동치라고 하자.

위와 같은 준 리만 계량의 동치류를 등각 계량()이라고 하자. 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체를 등각 다양체라고 한다.

성질

곡률 
차원 준 리만 다양체 의 리만 곡률

을 생각하고, 리치 곡률

를 정의하자. 그렇다면,

에 대하여, 리치 곡률은 다음과 같이 변환한다.

즉, 리치 곡률은 일 경우 등각 불변량이 아니며, 등각 다양체에 대하여 정의될 수 없다. (물론 일 경우 모든 곡률은 항상 0이다.)

반면, 일 때, 바일 곡률 텐서

를 정의하면, 이는 등각 변환에 대하여 불변임을 보일 수 있다. 즉, (1,3)차 텐서인 바일 곡률은 등각 다양체에 대하여 잘 정의된다.

호지 쌍대 
차 미분 형식의 경우, 호지 쌍대 사상은 등각 변환 에 대하여 다음과 같이 변환한다.

다시 말해, 만약 일 경우에만, 호지 쌍대 사상은 등각 불변이다.

등각 킬링 벡터장 
등각 다양체  위의 등각 킬링 벡터장()은 다음 조건을 만족시키는 벡터장이다.

이는 구체적으로 다음과 같다.

이는 등각 다양체의 대칭을 나타낸다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

미분기하학
리만 기하학