삼각형의 외접원과 두 변에 접하는 원

아래는 삼각형의 외접원과 두 변에 접하는 원(Mixtilinear Incircle)에 대한 설명이다.

개요 
삼각형의 외접원과 두 변에 접하는 원은 3개가 있다. 그리고 이 원들의 두 변과의 접점의 중점이 삼각형의 내심이 된다. 또한 이 원들과 삼각형 외접원과의 접점과 마주보는 삼각형의 꼭짓점을 이은 세 개의 직선은 한 점에서 만나고, 이 점은 삼각형의 외심과 내심을 잇는 선 위에 있다.

기하학적 성질 

를 각각 변 AB, CA에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 내접(접점을 X라 하자)하는 원, 변 AB, BC에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 내접(접점을 Y라 하자)하는 원, 변 AC, BC에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 내접(접점을 Z라 하자)하는 원이라 하자.

원의 위치 

 선분 AX, BY, CZ는 한 점에서 만나고, 그 점은 직선 OI위의 점이다.(O는 외심, I는 내심)
점 A는 내심과 의 중심의 R(내접원의 반지름):(의 반지름) 외분점이다.(이는 닮음을 이용하여 쉽게 보일 수 있다.)

또한 X는 외심과 의 중심의 r(외접원의 반지름):(의 반지름) 외분점이다.(외접원과 가 접하므로 자명)

그러므로 달랑베르 정리에 의해 O와 I의 R:r 외분점은 선분 AX위에 존재한다.

같은 방법으로 선분 AX, BY, CZ는 O와 I의 R:r 외분점을 지난다.

 내심 I는 (와 변 AB의 접점)와 (와 변 AC의 접점)를 잇는 선분의 중점이다.
직선 와 외접원이 만나는 또 다른 점을 이라 하자.

(외접원에서 열호 과 열호 의 원주각의 합)= =(에서 열호 의 원주각)=(외접원에서 열호 의 원주각) 이므로

은 열호 AB의 중점이 된다.

(, , )

 

이제 에 대한 파스칼의 정리에 의하여 내심 I는 와 를 잇는 선분 위에 있다.

그런데 내심 I는 각 BAC의 이등분선 위에 있으므로

내심 I는 와 를 잇는 선분의 중점이다.

원의 반지름 

 의 반지름은 이다.
(  : 변 AC와 내접원의 접점)

 는 한 원 위에 있다.
이므로 성립한다. 마찬가지로 등도 한 원 위에 있다.

두 원의 근축에 대한 성질 

 선분 XI는 각 BXC를 이등분한다.

세 원의 근심에 관한 성질 

 (A를 포함하지 않는 호 BC의 중점)은 원 의 근축 위의 점이다.
 이므로  (스튜어트의 정리)이다.

마찬가지로  이므로 은 원 의 근축 위의 점이다.

각주 

삼각 기하학