삼각군

군론과 기하학에서 삼각군(三角群, )은 음 또는 양 또는 0의 곡률을 갖는 평면에서, 삼각형을 이루는 세 개의 직선에 대한 반사들로 생성되는 군이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 2 이상의 세 수 .
-삼각군 은 군이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다.
 대수적으로, 삼각군은 콕서터 군의 일종이다.
 기하학적으로, 삼각군은 어떤 평면의 삼각형 테셀레이션을 정의하는 대칭군이다.
세 정수 의 순열을 취해도 서로 동형인 군을 얻는다. 따라서, 보통 인 순서로 배열한다.

대수적 정의 
-삼각군 은 다음과 같은 표시를 갖는 콕서터 군이다.

여기서,  또는  또는 이 ∞라면, 해당 관계를 생략하는 것으로 처리한다. 예를 들어,

이다.

기하학적 정의 
를 다음과 같이 정의하자.
 만약 라면, 는 쌍곡 평면 이다.
 만약 라면, 는 유클리드 평면 이다.
 만약 라면, 는 실수 사영 평면 이다.
이 경우,  위에, 세 각이 각각  라디안인 삼각형을 그릴 수 있다. (여기서 이다.) 이 삼각형의 세 변을 축으로 하는 반사들로 생성되는 군을 -삼각군이라고 한다. 이에 따라, 예를 들어 만약 라면 삼각군 은 2차원 유클리드 군

의 부분군이 된다.

쌍곡 평면에서는 세 각 가운데 일부가 0인 삼각형이 존재한다. 유클리드 평면에서, 각이 으로 이루어진 “삼각형”은 무한한 넓이의 도형, 예를 들어

이다.

폰 뒤크 군 
폰 뒤크 군(von Dyck群, ) 은 -삼각군 의, 다음과 같은 부분군이다.
 대수적 정의: -삼각군 의 원소들 가운데, 짝수 개의 생성원 로 생성되는 원소들의 군이다. 즉, 로 놓으면, 이다.

 기하학적 정의: -삼각군  가운데, 국소적으로 방향을 보존하는 것이다. (가향 다양체인 쌍곡 평면 및 유클리드 평면의 경우, 이는 대역적으로 방향을 보존하는 것이지만, 실수 사영 평면은 가향 다양체가 아니므로 대역적인 방향의 개념이 존재하지 않는다.)

성질 
삼각군 이 유한군일 필요 충분 조건은 구형인 경우, 즉 인 것이다. 이는 쌍곡 평면이나 유클리드 평면과 달리, 실수 사영 평면은 콤팩트 공간이기 때문이다.

쌍곡 폰 뒤크 군은 푹스 군이다.

분류 
구형 삼각군, 즉 인 경우의 목록은 다음과 같다.
 , 
 . 이는 정사면체의 대칭군이다.
 . 이는 정육면체 및 정팔면체의 대칭군이다.
 . 이는 정십이면체 및 정이십면체의 대칭군이다.

유클리드 삼각군, 즉 인 경우의 목록은 다음과 같다.
 . 이는 평면의 정육각형을 통한 테셀레이션에 대응한다.
 . 이는 평면의 정사각형을 통한 테셀레이션에 대응한다.
 . 이는 평면의 정삼각형을 통한 테셀레이션에 대응한다.

위 목록에 속하지 않은 것들은 모두 쌍곡 삼각군이다. 즉, 그 목록은 다음과 같다.
 , 
 , 
 , 
 , 
 ,

예 
(2,3,7)-폰 뒤크 군은 클라인 4차 곡선의 이론에서 등장한다.

모듈러 군

은 (2,3,∞)-폰 뒤크 군이다.

역사 
1856년에 이미 윌리엄 로언 해밀턴이 정이십면체의 대칭군이 폰 뒤크 군 임을 증명하였으며, 이 군을 “정이십면체 산법”()이라고 불렀다. 이 논문에서 해밀턴은 다음과 같이 적었다.

“폰 뒤크 군”이라는 용어는 독일의 수학자 발터 프란츠 안톤 폰 뒤크(, 1856~1934)의 이름을 딴 것이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

군론
다포체
유한군
테셀레이션
구면삼각법
기하군론