변형 함자

수학에서, 변형 함자(變形函子, )는 어떤 수학적 대상의 변형을 나타내는 함자이다. 이러한 함자의 연구를 변형 이론(變形理論, )이라고 한다. 변형 함자의 정의역 범주의 원소는 국소 아르틴 가환환인데, 이는 어떤 점의 ‘무한소 근방’으로 해석할 수 있다. 변형 함자 의, 어떤 아르틴 가환환 에 대한 값 는 다루고자 하는 대상의,  위의 가능한 변형들의 집합이다. 쌍대적으로, 이는 이러한 국소 아르틴 아핀 스킴들의 범주 위의 준층으로 여길 수 있다. 일부 경우, 이 준층은 어떤 스킴으로 표현될 수 있다. 그러나 일반적으로는 이러한 모듈러스 스킴이 존재하지 않을 수 있다.

정의

국소 아르틴 가환환의 범주 
체  위의 대수이며, 자명환이 아닌 아르틴 국소환 이 주어졌다고 하자. 이는 벡터 공간으로서 유한 차원이며, 이러한 환의 (유일한) 극대 아이디얼 의 모든 원소는 멱영원이다. 특히, 이러한 환 는 항상 완비 국소환이다. 이러한 가환환은 항상 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

또한, 의 스펙트럼 은 위상 공간으로서 한원소 공간이다. 예를 들어, 체 가 주어졌을 때 는 이러한 꼴의 가환환이며, 극대 아이디얼은 이다.

체 에 대하여, 범주 를 다음과 같이 정의하자.
 의 대상 은 를 정의역으로, 어떤 국소 아르틴 가환환 을 공역으로 하는 환 준동형 가운데, 가 환의 동형 사상을 이루는 것이다.
 의 사상 은 구조 사상과 호환되는 환 준동형 이다. 즉, 이어야 한다.

이 범주에서, 는 영 대상을 이룬다. 이 범주에서, 두 대상 , 의 곱 는 곱집합과 다르며, 구체적으로

이다. (여기서 은 곱집합을 뜻한다.) 이 위의 가환환 구조는 가환환의 직접곱 의 부분환으로서 주어진다.

보다 일반적으로, 세 대상  및 사상 이 주어졌을 때, 올곱

이 존재한다.

이 범주에서, 대상 을 생각하자. 이 경우,

이다. 표준적인 환 준동형

을 통해, 이는 군 대상을 이루며, 이는 아벨 군 대상이다.

작은 농화 
두 국소 아르틴 가환환

사이의 환 준동형

이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 작은 농화(-濃化, )라고 한다.
 전사 함수이다.
 는 의 주 아이디얼이다.
 이다.
이에 따라, 는 1차원 -벡터 공간이다. 예를 들어, 체  및 양의 정수 에 대하여

은 작은 농화이다.

두 국소 아르틴 가환환 사이의 모든 전사 환 준동형은 (유한 개의) 작은 농화들의 합성으로 표현될 수 있다.

변형 함자 
체 가 주어졌을 때, 에서 집합과 함수의 범주 로 가는 함자

가 주어졌다고 하자.

그렇다면,  속의 두 환 준동형 에 대하여, 올곱의 보편 성질에 의하여 함수

가 표준적으로 존재한다.

이에 대하여, 다음과 같은 조건들을 가할 수 있다.
 (H0) 집합 는 한원소 집합이다.
 여기서 의 유일한 원소는 변형하고픈 대상을 뜻한다.
 (H1) 만약 가 작은 농화라면, 가 전사 함수이다.
 (H2) 만약 이며, 라면, 가 전단사 함수이다.
 (H4) 만약 가 작은 농화이며 가 동형 사상이라면, 가 전단사 함수이다.
(H0), (H1), (H2) 조건들을 만족시키는 함자 를 변형 함자라고 한다. (만약 H0이 성립한다면, 이를 준변형 함자 라고 한다.)

성질

접공간 
변형 함자 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합 를 생각하자. 이 위에, 다음과 같은 -벡터 공간 구조를 정의할 수 있다.

여기서

는 국소 아르틴 가환환의 자기 사상이며,

는 (H2) 공리에 따라 존재하는 전단사 함수이며,

는  위의 군 대상 구조이다.

이 경우, 벡터 공간 를 변형 함자 의 접공간(接空間, )이라고 한다.

표현 가능성 
변형 함자 가 주어졌다고 하자. 가 -대수 가운데, 완비 국소환이며 뇌터 가환환인 것들의 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 완비 국소 뇌터 -대수 에 대하여, 다음을 정의할 수 있다.

여기서 유한한 에 대하여 이 국소 아르틴 가환환이므로, 우변은 잘 정의된다. 이는 함자

를 정의한다.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 가 표현 가능 함자이다.
 (H4)가 성립하며, 접공간이 유한 차원 -벡터 공간이다.

예 
대수적으로 닫힌 체  위의 매끄러운 대수다양체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 데이터를 생각하자.
 국소 아르틴 -대수 
 스킴 
 평탄 사상 
 스킴 사상 
이 데이터에 대하여, 다음 조건들을 생각하자.
 다음 네모가 가환 그림을 이룬다.
 
 이 네모로부터, 올곱의 보편 성질로 정의되는 사상 는 스킴의 동형 사상이다. (다시 말해, ‘원점’에서 — 아무런 변형을 가하지 않았을 때 — 값은 원래 대수다양체 이다.)
그렇다면, 가 위 조건을 만족시키는 모든 데이터들의 집합이라고 하자. 이 경우, 는 변형 함자를 이룬다. 이 변형 함자의 접공간은

이다.

역사 
변형 함자의 개념은 1968년에 존 마이클 슐레싱어()가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

대수기하학
대수기하학 정리