말리아뱅 미분

확률론에서, 말리아뱅 미분(Malliavin微分, )은 위너 공간 위에 정의된 실수 값 함수에 대하여 정의되는 미분 연산이다. 말리아뱅 미분은 바나흐 공간의 프레셰 미분과 달리, 극한이 오직 위너 공간의 부분 힐베르트 공간의 방향에 대하여 존재하는 것만을 요구한다. 그 에르미트 수반은 스코로호드 적분(Скороход積分, )이라고 하며, 이는 이토 적분의 일반화이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 위너 공간 
 연속 함수 
 원소 
 원소 
그렇다면, 만약 다음 조건이 성립한다면, 가 에서 말리아뱅 미분 가능하다고 하며, 의 에서의 말리아뱅 미분이 라고 한다.
힐베르트 내적 위상에서 0으로 수렴하는 임의의 열 에 대하여 (),

이를

로 표기한다.

성질 
말리아뱅 미분은 다음과 같은 꼴의 비(非)유계 연산자를 이룬다.

여기서, 말리아뱅 미분의 정의역

은 힐베르트 공간 의 조밀 집합인 부분 벡터 공간이다. 또한, 이는 닫힌 작용소이다. 즉, 그 그래프

는  속의 닫힌집합이다.

스코로호드 적분 
말리아뱅 미분은 조밀 집합 위에 정의된 닫힌 작용소이므로, 말리아뱅 미분의 에르미트 수반

를 정의할 수 있으며, 이 역시 조밀 집합 위에 정의된 닫힌 작용소이다. 이를 스코로호드 적분이라고 한다.
 
이토 적분은 스코로호드 적분의 특수한 경우이다.

역사 
말리아뱅 적분은 프랑스의 수학자 폴 말리아뱅(, )이 도입하였다. 스코로호드 적분은 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드(, , 1930〜2011)가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

확률론
미적분학