류스테르니크-시니렐만 범주

대수적 위상수학에서 류스테르니크-시니렐만 범주(Люстерник-Шнирельман範疇, ) 또는 LS 범주()는 위상 공간에 대한 자연수 값의 호모토피 불변량이다. 거칠게 말하면 공간이 얼마나 복잡한지를 나타내는 척도 중 하나라고 할 수 있다.

정의 
류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다.

열린 덮개를 통한 정의 
점을 가진 공간 가 주어졌으며, 가 CW 복합체와 호모토피 동치이며, 가 쌍대올뭉치라고 하자.

의 류스테르니크-시니렐만 범주 를 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 로 정의한다.
 X를 덮는 어떤  개의 열린 덮개 가 존재해서, 모든 포함 함수 가 상수 함수와 호모토피 동치이다.
만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면, 로 놓는다.

일부 문헌에서는 류스테르니크-시니렐만 범주를  대신 로 정의한다.

화이트헤드의 정의 
영 대상(시작 대상이자 끝 대상인 대상)을 갖는 모형 범주 가 주어졌다고 하자. 이 모형 범주에서, 다음과 같은 성질을 생각할 수 있다.
육면체 공리(): 임의의 정육면체 꼴의 호모토피 가환 그림

에서, 만약 윗면({y}–{x,y}–{x,y,z}–{y,z})이 호모토피 밂이며 모든 네 옆면들이 호모토피 당김이라면, 밑면 (ø–{x}–{x,z}–{z}) 역시 호모토피 밂이다.
(육면체 공리는 점을 가진 공간의 모형 범주 의 경우 성립한다. 육면체 공리는 자기 쌍대 조건이 아니다. 예를 들어 점을 가진 공간의 범주의 반대 범주인 는 와 마찬가지로 영 대상을 갖는 모형 범주지만 육면체 공리는 성립하지 않는다.)

이러한 모형 범주에서, 올대상이자 쌍대올대상인 대상 의 차 부케가르니() 또는 뚱뚱한 쐐기합() 은 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다.
 이다.
 이 주어졌을 때, 은 모형 범주 에서의, 다음과 같은 꼴의 호모토피 밂이다.

특히, 다음이 성립한다.
 (스스로와의 쌍대곱)

점을 가진 공간의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다.

즉, 이는 은 곱공간 에서, 적어도 한 좌표가 밑점 이 되는 점들로 구성된 부분 공간이다.

의 류스테르니크-시니렐만 범주는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 연속 함수 가 존재하는 최소의 자연수 이다.

여기서 은 대각 사상이다.

가네아의 정의 
영 대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주 를 생각하자.

올대상이자 쌍대올대상인 대상 에 대하여, 가네아 구성은 다음과 같은 올뭉치들의 가환 그림이다.

여기서
 이다.
 다음과 같은 네모들은 호모토피 당김이다. (즉, 은 올뭉치 의 호모토피 올이다.)
 
 다음과 같은 네모들은 모형 범주 에서의 호모토피 밂이다.
 

이를 가네아 올뭉치()라고 한다. 이제, 의 류스테르니크-시니렐만 범주 는

이 호모토피 범주에서 오른쪽 역사상(즉, 단면) 을 가질 수 있는 최소의 자연수 이다.

점을 가진 공간의 범주에서, 은 경로 공간 으로 잡을 수 있으며, 그 호모토피 올은 고리 공간 이다. 이 경우

으로 잡을 수 있다. (여기서 는 두 위상 공간의 이음이다.) 또한, 이 경우

로 잡을 수 있다. 여기서 는 축소 현수이다.

정의 사이의 관계 
영대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주가 주어질 경우, 올대상이자 쌍대올대상인 대상에 대하여 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다. 또한 그 범주가 일 경우, CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대하여 열린 덮개를 통한 정의와 일치한다.

성질 
류스테르니크-시니렐만 범주는 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다.

연산에 대한 호환 
다음이 성립한다. (여기서 는 점을 가진 공간의 쐐기합이다.)

만약 사상 가 호모토피 오른쪽 역사상을 갖는다면, 이다.

올뭉치

에 대하여,

이다.

임의의 점을 가진 공간 의, 크기 2의 열린 덮개

가 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다.

차원과의 관계 
위상 공간 가 -연결 공간이라고 하자. 즉,

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

여기서 는 의 르베그 덮개 차원이다. (다양체의 경우 이는 물론 다양체 차원과 일치한다.)

모스 이론과의 관계 
연결 콤팩트 매끄러운 다양체  위의 연속 미분 가능 함수 의 임계점의 집합

의 크기 − 1은 류스테르니크-시니렐만 범주의 상계를 이룬다.

증명 개략:
일 경우엔 부등식이 자명하게 성립하므로 가 유한 개의 임계점만을 가질 경우만 확인하면 충분하다.

에 임의의 리만 다양체 구조를 주고, 의 기울기 흐름

을 생각하자. 그렇다면, 각 임계점 에 대하여

를 정의하자. 이 콤팩트 공간이며 임계점들이 유한 개 밖에 없기 때문에, 이들은 의 덮개를 정의한다. 그 원소들은 닫힌집합이며, 또한 기울기 흐름의 존재에 의하여 은 모두 상수 함수 와 호모토피 동치이다.

이제, 각 에 대하여, 이며, 호모토피 성질을 보존하는 열린 근방 을 찾을 수 있음을 보일 수 있다. 즉, 는 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의에 등장하는 조건을 만족시키는 열린 덮개이다.

예를 들어, 초구 을 유클리드 공간  위의 단위구로 놓았을 때, 높이 함수는 두 개의 임계점(북극과 남극)을 갖는다. 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는 1이므로, 등호가 성립한다.

이 성질은 모스 이론과 유사하다. 그러나 모스 이론은 모스 함수의 임계점의 수의 하한에 대한 것이지만, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 연속 미분 가능 함수의 임계점의 수에 대한 것이다.

코호몰로지 길이와의 관계 
일반적으로, 위상 공간 의, 개의 축소 특이 코호몰로지류들의 합곱이 0이 아니라고 하자.

그렇다면,

이다.

유리수 류스테르니크-시니렐만 범주 
유리수체 위의 가환 미분 등급 대수의 모형 범주 를 생각하자. 그렇다면, 조각 범주

는 영 대상을 가지는 모형 범주이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서, 이 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 수 있다. (CW-복합체와 호모토피 동치이며, 점 포함 사상이 쌍대올뭉치인) 점을 가진 공간 에 대하여, 이에 대응되는 가환 미분 등급 대수 의 류스테르니크-시니렐만 범주를

라고 표기하자. 이는 사실 와 유리수 호모토피 동치인 점을 가진 공간의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다. 특히, 다음이 항상 성립한다.

또한, 만약 와 가 단일 연결 공간이며, 그 최소 설리번 대수들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

예 

콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 에 대하여 의 증명:
심플렉틱 형식 의 드람 코호몰로지류

를 생각하자. 그렇다면,

이다. (이는 부피 형식을 이룬다.) 따라서 의 코호몰로지 길이는  이상이며,

이다. 반면, 이 단일 연결 공간이므로 이다.

역사 

라자리 류스테르니크와 레프 시니렐만이 도입하였다. 두 명의 공동 논문은 시니렐만의 사후인 1947년에 처음 출판되었다. 그들은 위상 공간의 LS 범주와 그 공간 위의 연속 함수의 임계점의 수의 관계를 밝힘으로써 위상수학과 미분기하학 사이에 관계가 있음을 알아냈다. 그들은 공간의 성질을 나타내는 이 불변량에 ‘범주’(, )라는 이름을 붙였는데, 이는 범주론의 범주와는 관련이 없고 당시는 아직 범주론이 정립되기 전이었다.

부케가르니를 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 가 도입하였다. 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 가 도입하였다.

1971년 가네아는 LS 범주에 관한 명제인 가네아 추측을 제안했다. 하지만 1998년에 이와세 노리오()가 이 추측에 대한 반례를 발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

대수적 위상수학
모스 이론