하이젠베르크 스핀 사슬

물리학에서 하이젠베르크 스핀 사슬()은 1차원 자석의 간단한 양자 역학 모형이다. 양자 적분 가능 모형의 일종이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 자연수 . 이는 스핀 사슬의 길이이다.
 의 복소수 표현 , , . 이는 스핀 에 의하여 유일하게 결정되며, 스핀 에 대응되는 표현은  복소수 차원 표현이다.
 3×3 실수 대칭 행렬 .
그렇다면, 이 데이터에 의하여 주어지는 하이젠베르크 스핀 사슬의 힐베르트 공간은 텐서곱

이다. 각 에 대하여, 그 스핀에 대응하는 힐베르트 공간  및 그 위에만 작용하는  표현 를 정의할 수 있다.

일 경우, 그 위의 해밀토니언 연산자는 다음과 같다.

여기서 은 법 로 취급된다. 즉, 이다.

특히, 다음과 같은 용어가 사용된다.
 만약 의 세 고윳값 이 모두 같다면 (즉, 가  불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXX 스핀 사슬()이라고 한다.
 이 경우, 만약 이 양수라면 이는 강자성 XXX 스핀 사슬(強磁性XXX spin사슬, )이라고 한다.
 이 경우, 만약 이 음수라면 이는 반강자성 XXX 스핀 사슬(反強磁性XXX spin사슬, )이라고 한다.
 만약 의 세 고윳값  가운데 두 개가 같다면 (즉, 가  불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬()이라고 한다.
 만약 의 세 고윳값 이 모두 서로 다르다면 (즉, 의 안정자군이 자명군이라면), 이를 하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬()이라고 한다.
또한, 사용되는 스핀 를 첨자로 표기한다. 예를 들어, “XXX½ 스핀 사슬”은 이며, 인 하이젠베르크 스핀 사슬을 뜻한다.

성질 
하이젠베르크 XXX½ 스핀 사슬의 해밀토니언 연산자는  방향 총 스핀 연산자

와 가환하며, 이를 마그논 수로 해석할 수 있다.

하이젠베르크 XXXs 스핀 사슬의 -마그논 베테 방정식은 다음과 같다.

역사 
베르너 하이젠베르크가 1928년에 도입하였다. 곧 1931년에 한스 베테가 XXX 스핀 사슬을 베테 가설 풀이()를 도입하여 풀었다.

참고 문헌 

 Rodney J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, London, Academic Press, 1982

외부 링크 
 

양자역학
자기
베르너 하이젠베르크