호지-라플라스 연산자

미분기하학에서 호지-라플라스 연산자(Hodge-Laplace演算子, ) 또는 호지-드람 라플라스 연산자(Hodge-de Rham-Laplace演算子, ) 또는 라플라스-드람 연산자(Laplace-de Rham演算子, )는 콤팩트 리만 다양체 위의 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이다. 호지-라플라스 연산자의 값이 0인 미분 형식을 조화 미분 형식(調和微分形式, )이라고 하며, 호지 이론에 따라 이는 실수 계수 코호몰로지류와 표준적으로 대응된다.

정의 
콤팩트 리만 다양체  위의 미분 형식의 실수 벡터 공간

을 생각하자. 임의의 에 대하여, 차 미분 형식의 벡터 다발의 에서의 올공간

은 차원 실수 벡터 공간이며, 리만 계량 로 인하여 이는 실수 내적 공간을 이룬다. 즉, 차 미분 형식의 벡터 다발은 양의 정부호 내적을 가지게 되며, 이를 통하여 미분 형식의 공간에 다음과 같은 내적을 줄 수 있다.

이에 따라 의 완비화 를 취할 수 있으며, 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다.

이 구조를 사용하여, 미분 형식의 외미분

의 에르미트 수반

을 의 조밀 집합 위에 정의할 수 있다. 마찬가지로 이다.

호지-라플라스 연산자는 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이며, 다음과 같다.

그 핵은 조화 미분 형식이라고 한다.

성질

스펙트럼 
이므로, 라플라스-드람 연산자의 스펙트럼은 모두 음이 아닌 실수이다.

접속을 통한 라플라스 연산자와의 관계 
리만 다양체  위의 임의의 차 텐서장

에 대하여, 레비치비타 접속을 사용하여 다음과 같은 라플라스-벨트라미 연산자를 정의할 수 있다.

만약 일 경우, 차 텐서장은 차 미분 형식과 같다. 이 경우, 일반적으로 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자와 다르며, 그 차는 리만 곡률에 비례하는 (0차 미분) 국소 선형 연산자이다. 이 관계를 바이첸뵈크 항등식()이라고 한다.

다만, 스칼라 함수의 경우 (), 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자(의 −1배)와 같다.

증명:
차수로 인하여, 에 대하여 이다. 따라서

이다. 따라서, 임의의 함수 에 대하여 

임을 보이면 족하다. 그런데 스토크스 정리에 의하여

이다.

조화 미분 형식 
가 타원형 미분 연산자이므로, 조화 미분 형식들의 실수 벡터 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지 와 표준적으로 동형이다.

구체적으로, 닫힌 미분 형식 의 동치류

를 생각하자. 이 위에 힐베르트 공간 노름은 함수

를 정의하며, 조화 미분 형식은 이 함수를 최소화한다. 이러한 대표원은 각 동치류 속에서 유일하게 존재함을 보일 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 

미분기하학