형식적 군 법칙

대수기하학에서, 형식적 군 법칙(形式的群法則, )은 리 군의 국소적 곱셈 법칙을 형식적 멱급수로 공리화하여 얻은 대수적 구조이다. 구체적으로, 이는 일종의 결합 법칙을 만족시키는 형식적 멱급수이다. 표수 0의 체의 경우 이 개념은 사실상 리 대수와 동치이나, 다른 표수의 경우 이는 추가 정보를 포함한다.

정의 
임의의 가환환 가 주어졌다고 하자.

형식적 변수 을 생각하자. 편의상 이들을

와 같이 표기하자.

이에 대한 형식적 멱급수환

을 생각하자. 이에 대한 형식적 군 법칙은 개의 형식적 멱급수

로 구성되며, 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 (군 법칙의 최소차항)
 (형식적 결합 법칙)

형식적 군 법칙 가 다음 조건을 따른다면, 가환 형식적 군 법칙()이라고 한다.

준동형 
같은 가환환 를 계수로 하는 차원 형식적 군 법칙 와 차원 형식적 군 법칙  사이의 형식적 군 법칙 준동형() 은 다음 조건을 만족시키는 다항식

이다.

역원을 가지는 형식적 군 법칙 준동형을 형식적 군 법칙의 동형이라고 한다. (이는 일 때에만 존재한다.) 형식적 군 법칙 동형이

이라면, 이를 순동형(純同形, )이라고 한다.

성질 
형식적 군 법칙의 정의에는 역원의 존재에 대한 특별한 조건에 없지만, 이는 항상 자동적으로 성립한다. 즉, 임의의 형식적 군 법칙 에 대하여, 항상

인 가 존재한다.

로그 
만약 가환환 가 유리수체 를 포함한다면,  계수의 임의의 차원 형식적 군 법칙 는 덧셈 형식적 군 법칙와 순동형이다. 즉, 어떤 순동형 에 대하여

가 된다.

리 대수와의 관계 
임의의 차원 형식적 군 법칙

에서, 는 차원 리 대수를 정의한다.

표수 0의 체의 경우, 형식적 군 법칙의 범주는 리 대수의 범주와 동치이다. 그러나 이는 양의 표수의 경우 성립하지 않는다.

예 
덧셈 형식적 군 법칙은 임의의 차원 및 계수에서 정의되는 다음과 같다.

임의의 에 대하여, 곱셈 군 법칙은 다음과 같은 1차원 군 법칙이다.

리 군의 형식적 군 법칙 
차원 리 군 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 그 리 대수 의 임의의 기저를 잡고, 리 지수 함수

로서 의, 항등원  근방의 국소 좌표계를 정의할 수 있다. 의 곱셈은 매끄러운 함수이므로 이에 대한 테일러 급수를 취할 수 있으며, 이는 차원 실수 계수 형식적 군 법칙을 이룬다.

특수 상대성 이론 
특수 상대성 이론의 속도 덧셈 공식

은 형식적 군 법칙을 이룬다.

역사 
잘로몬 보흐너()가 1946년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

다항식
대수기하학
대수군
대수적 위상수학
대수적 수론