퍼펙토이드

퍼펙토이드(perfectoid)란 독일인 수학자 페터 숄체(Peter Scholze)가 도입한 개념이다.

정의 
가 표수 의 완전 비아르키메데스적 체라고 하자. 그리고 다음을 정의하자.

그렇다면 가 퍼펙토이드 체란 것은 가 이산 국소환이 아니고 프로베니우스 사상이 에서 전사인 것을 뜻한다.

가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 바나흐 -대수 가 퍼펙토이드 -대수란 것은 의 원소들

들이 열린 집합이고 유계인 데다가 적당한 위상수학적 멱영원 가 있어서가 전사인 것이다.

이 정의에서 이산 국소환이 아니라는 조건은 안 좋은 것 같지만 정말로 중요한 역할을 하는데, 퍼펙토이드 체에서 거의 수학을 할 수 있게끔 만들어주기 때문이다.
perfectoid field란 많이 대충 말해서 그 위에 분기 확장체가 거의 없는 체라고 보면 된다. 예를 들면 의 완전화를 들 수 있는데, 이 체 위의 모든 확장은 그 켈러 미분들이 거의 수학으로 이 된다. (Tate)

젖히기(tilting) 
다음을 생각하자.

여기에서 는 를 만족하는 어떤 한 원소다. 이는 를 만족하도록 를 잡고

로 선택하면 된다. 그렇다면 다음 곱셈적 준동형사상이 존재한다.

이는 를 로 정의하는 걸로 (이는 잘 정의된다.) 먼저

를 정의할 수 있고, 이것으로 사상을 확장할 수 있다.

의 의미는 의 표수를 에서 로 바꾸었다는 것이다. 그리고 perfectoid field에서 표수 바꾸기는 정말로 잘 작동한다.
 둘은 에선 완전히 같다.

다음은 퍼펙토이드 체에 대한 가장 중요한 성질들 중 하나다.

Theorem. 두 perfectoid -algebra 가 있을 때 이 둘 사이의 cotangent complex는 이 된다.

이것의 증명은 cotangent complex의 base change theorem을 이용하는데, 이 과정에서 perfect -algebra의 cotangent complex는 란 사실을 이용히게 된다.

이것하고 almost mathematics의 deformation theory를 이용해서 다음을 증명할 수 있다.

여기에서 표시는 almost sense를 말하는 것이고 는 그 위의 perfectoid algebra를 모아놨다는 것이다. 좀 더 정확하겐 이렇게 정의한다.

Definition. perfectoid -algera란 -adically complete flat -algebra 에다가 Frobenius가 를 만드는 것이다.

Definition perfectoid -algebra란 flat -algebra 에 Frobenius가 를 만드는 것을 말한다.

그렇다면 를 생각하면 다음을 얻을 수 있다.

Theorem. perfectoid -algebra들과 perfectoid -algebra들의 category는 서로 동치가 된다.

여기에서 이 동치가 되게 만드는 functor는 를 하나 잡으면

으로 구성할 수 있다. 이는

를 따라서 구성한 것이다. 그렇다면 다음이 성립한다.

이렇게, 를 의 tilt라고 한다.

폰테인-윈텐버저(Fontaine-Wintenberger) 
다음이 성립한다.

이는 좀 더 분석해보자면 의 completion을 라고 한다고 할 때 는 의 completion이 되며, 저 갈루아 군의 동형사상을 구성하는 것은 다음을 증명하는 것이 된다.

그리고 이것 역시 tilt를 구성할 때 증명했던 것과 거의 같은 방법으로 구성한다. 을 perfectoid -algebra라고 할 때

를 생각한다. 여기에서 가장 중앙에 있는 것은 당연하고, 바로 주위에 있는 둘은 tilt 정의할 때 소개했던 cotangent complex를 쓰면 된다. 그러면 가장 문제는 가장 바깥쪽에 있는 둘인데, 이 둘도 equivalence다. 다만 이 둘의 증명은 어렵다.

가장 왼쪽에서 가 field일 때만 증명하자면 다음을 증명하자.

Proposition. perfectoid field 이 algebraically closed라면 는 algebralically closed다.

Proof monic irreducible polynomial 을 하나 잡자. 그러면 이것이 zero가 있음을 증명해야 하는데 의 Newton polygon은 line이고 이제 에서 보자. 를 에서 봤을 때 하고 모든 계수가 같은 다항식이라고 하고 그 zero를 라고 하자. 그러면 다항식 를 생각하고 이것의 상수항이 에 의해서 나누어지므로, 그러니까 가 대충 의 근사해가 되므로 인 에 대해서  또한 Newton polygon이 line이고 irreducible이다. 이걸 반복하면

라고 정의하면 가 된다.

이 성질을 이용해서 젖히기의 반대인 untilt를 하는데, 그 젖히기의 반대를 라고 쓰자. 그러면 의 대수적 폐포의 completion을 라고 한다면 는 위의 proposition으로 algebraically closed field에 적당한 norm을 주는 것으로 perfectoid -algebra라고 할 수 있다. 따라서 모든 perfectoid -algebra 에 대해서 는 의 subfield가 되고, 는 에서 dense이므로 Krasner's lemma로 그 union을 라고 하면 도 algebraically closed field고 따라서 모든 finite extension 에 대해서 는 적당한 의 finite field extension 가 있어서 는 를 포함하고, 체일 때의 증명이 끝난다.

퍼펙토이드 공간(perfectoid space)  
먼저 아피노이드 대수(affinoid algebra)를 정의하자. 가 체일 때 가 테이트 -대수(Tate k-algebra)란 것은 어떤 부분환 가 있어서 가 들에 대해서 의 열린 근방들의 기저를 이룰 때를 말한다. 그리고 쌍 가 아피노이드 -대수란 것은 그 자체의 환과 정폐정역 의 쌍이다.

가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 아피노이드 -대수 가 퍼펙토이드 아피노이드 -대수란 것은 이 퍼펙토이드 -대수인 것을 뜻한다.

퍼펙토이드 아피노이드 -대수 가 있을 때 다음을 정의할 수 있다.

그리고 여기에 위상을 하나 주는데, 를 주고, 가 를 생성한다고 할 때

를 기저로 하는 것으로 준다. 그리고 이런 꼴 열린 집합을 유리형 집합이라고 하자. 이는 환의 스펙트럼과 거기에 주는 라는 열린 집합들을 따라한 것이다.

가 아피노이드 -대수라고 하자. 그리고 여기에 의 열린 집합 를 주자. 그러면

꼴들을 의 기저로 가지는 다음 아피노이드 -대수를 생각하자.

여기에서 는  안에서 의 정수적 폐포다. 그러면 이것의 완전화를 라고 하자. 이는 시프를 정의하기 위해서다. 그렇다면 일반적으로 열린 집합 에 대해서

라고 정의하자. 그렇다면  위의 준시프 를 정의할 수 있다.

다시 퍼펙토이드 아피노이드 -대수 로 돌아오면 가 시프라는 결과가 있다. (퍼펙토이드가 아니면 일반적으로 준시프만 되고 시프가 되지 않을 수도 있다.)

팔팅스의 거의 순수성 정리(Faltings' almost purity theorem) 
유한 에탈 덮개 에 대해서 가 퍼펙토이드 -대수라면 는 위의 유한 에탈 대수가 된다. 특히 는  위의 균등 거의 유한표현 -모듈이 된다.

참고 문헌 
 

대수적 수론