아이디얼화 부분 모노이드

추상대수학에서, 아이디얼화 부분 모노이드(ideal化部分monoid, )는 모노이드의 주어진 부분 집합의 원소의 왼쪽 및 오른쪽에 곱하여도 여전히 그 부분 집합에 속하도록 하는 모노이드 원소들로 구성된 부분 모노이드이다.

정의 
모노이드 의 부분 집합 의 아이디얼화 부분 모노이드 는 다음과 같은 부분 집합이다.

이는 의 부분 모노이드를 이룬다. 마찬가지로, 다음과 같은 두 부분 집합 역시 부분 모노이드를 이룬다.

물론,

이다.

가환 모노이드의 경우, 물론 왼쪽 · 오른쪽을 구별할 필요가 없다.

성질

군 
군의 부분 집합의 경우, 일반적으로  및  및  가운데 어느 것도 부분군을 이룰 필요는 없으며, 다음이 성립한다.

유한군 의 부분 집합 의 경우, 다음이 성립한다.

이에 따라, 유한군의 경우 이들은 각각 부분군을 이룬다. 즉, 이 경우 와 는 (일종의) 의 대칭들을 나타낸다.

환 
환 의 부분 덧셈 아벨 군 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 의 아이디얼화 부분 모노이드 는 를 포함하는 최소의 양쪽 아이디얼이다. 마찬가지로, 는 를 포함하는 최소의 왼쪽 아이디얼이며, 는 를 포함하는 최소의 오른쪽 아이디얼이다.

만약 가 추가로 의 부분환을 이룬다면 (특히, 1을 포함한다면),  역시 의 부분환을 이룬다.

같이 보기 
 중심화 부분 모노이드
 정규화 부분군

참고 문헌 

반군론
추상대수학
환론