아딘크라 (물리학)

물리학에서 아딘크라()는 초대칭 대수의 표현을 나타내는 일종의 그래프이다.

정의 
자연수 에 대하여, 차원 아딘크라()는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 는 유한 연결 차 정규 그래프이다. (특히, 같은 양끝을 갖는 변은 존재하지 않으며, 서로 다른 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 1개 또는 0개이다.)
  위에는 두 개의 색의 그래프 색칠이 주어져 있다. 꼭짓점의 색을 라고 하자. (이는 보손과 페르미온의 머릿글자이다.) 특히, 는 이분 그래프이어야 한다.
 또한, 의 각 꼭짓점에는 정수가 주어져 있다. 이를 꼭짓점의 계수()라고 하자.
  위에는 에 대한 변 색칠이 주어져 있다.
 또한, 의 각 변에는 부호 가 붙어 있다. (그러나 같은 부호의 변들이 맞닿을 수 있어, 이는 변 색칠을 이루지 않을 수 있다.)
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

 각 변의 양끝은 서로 다른 색의 꼭짓점이며, 그 계수의 차는 1이다.
 각 꼭짓점에 닿은  개의 변에 붙은 색들은 모두 서로 다르다.
 임의의 두 정수 에 대하여,  또는 가 붙은 변들의 집합은 서로 교차하지 않는, 길이 4의 순환들의 분리 합집합을 이룬다. 또한, 이러한 길이 4의 순환 속에서, 부호가 인 변의 수는 홀수 개(즉, 1개 또는 3개)이다.

아딘크라의 동형 
두 차원 아딘크라 , 가 주어졌다고 하자. 또한, 각  및 각 계수 에 대하여,  속의 -꼭짓점의 수는  속의 -꼭짓점의 수와 같다고 하자. 또한, 이러한 꼭짓점의 집합을  및 로 표기하자.

이 두 아딘크라 사이의  C-동형은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각  및 각 계수 에 대하여, 전단사 함수 
 각 에 대하여, 부호 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 (색의 보존) 각 변 에 대하여, 의 색 은 의 색과 같다.
 (부호의 보존) 임의의 변 의 부호가 이라고 할 때, 의 부호는 이다.

이 데이터는 성분이 에 속하는 가역 행렬로 나타낼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 복소수 가역 행렬을 허용하면 아딘크라의 동형의 개념을 얻는다. 그러나 이 개념은 아딘크라의 그래프 자체를 그래프 동형이 아닌 다른 그래프로 변환할 수 있다.

아딘크라의 크로모토폴로지()는 아딘크라의 정의에서
 꼭짓점에 칠해진 색깔 
 변에 주어진 부호 
 꼭짓점의 계수 (및 부분 순서)
를 잊고, 대신
 그래프 구조
 변의 색깔 
만을 남긴 구조이다.

성질

초대칭 표현과의 관계 
생성원 을 갖는 초대칭 대수

를 생각하자. 이는 리 초대수 을 이룬다. 여기서, 해밀토니언 연산자의 단위는 [시간]−1이며, 따라서 초대칭 연산자 의 단위는 [시간]−½이다.

이 경우, 아딘크라 가 주어졌을 때,

를 생각하자. 이 복소수 벡터 공간 위에 다음과 같은 의 표현을 생각하자.

변

에 대하여, 만약 가 보손이며 가 페르미온이라면,

만약 가 페르미온이며 가 보손이라면,

이를 아딘크라 에 대응하는 초대칭 표현이라고 한다.

아딘크라와 이 아딘크라에 대응하는 초대칭 표현 (초다중항) 사이의 관계는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 아딘크라 || 초다중항
|-
| 가 붙은 꼭짓점 || 보손 장
|-
| 가 붙은 꼭짓점 || 페르미온 장
|-
| 변 || 초대칭의 작용
|-
| 변에 붙은 숫자  || 작용하는 초대칭 연산자 
|-
| 변에 붙은 부호  || 초대칭 연산자가 작용했을 때 붙는 부호 ()
|-
| 꼭짓점의 계수 || 장의 단위 ([시간]−k/2에서의 k)
|}
이와 같이 차원 아딘크라로 표시될 수 있는 의 표현을 아딘크라 표현(adinkra表現, )이라고 한다.

리만 곡면 
모든 크로모토폴로지에는 표준적으로 어떤 리만 곡면을 대응시킬 수 있으며, 이 대응은 데생당팡을 사용한다.

구체적으로, 차원 아딘크라와, 이 개 변 색깔들의 전순서가 주어졌다고 하자. (후자를 무지개()라고 하기도 한다.) 그렇다면,
 아딘크라의 그래프에, 무지개의 정보를 추가하면, 띠그래프를 이룬다.
 띠그래프의 각 변에 길이 1을 부여하면, 이는 계량 띠그래프이다.
 계량 띠그래프에는 항상 벨리 사상 및 -대수 곡선 (리만 곡면)을 대응시킬 수 있다.
 또한, 이 데이터에는 마찬가지로 데생당팡이 대응된다.

이에 따라, 아딘크라의 구조는 다음과 같은 데이터에 대응된다.

분류 
(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 크로모토폴로지의 분류는 다음과 같다.

-벡터 공간  속의 선형 부호 가운데, 만약 모든 원소 에 대하여 라면, 를 겹짝 선형 부호()라고 한다. (여기서 는 해밍 거리이다.)

(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 차원 크로모토폴로지는 의 꼴의 그래프로 나타내어진다. 여기서 은 초입방체 크로모토폴로지이며, 는 겹짝 선형 부호이다.

예

간단한 예 
2차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.
 　　Ｂ
  ¹／　＼²
 Ｆ　　　Ｆ
  ₂＼　／₁
 　　Ｂ
여기서 변에 붙은 부호는 검은 색 또는 붉은 색으로 표시하였으며, 꼭짓점의 계수는 그림에서의 높이로 표시된다 (즉, 그림을 하세 도표로 생각한다).

이는 초다중항

을 나타낸다.

1차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.
 Ｆ
 ｜1
 Ｂ

이는 초다중항

를 나타낸다.

초입방체 크로모토폴로지 
보다 일반적으로, 임의의 자연수 에 대하여, 차원 초입방체의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프를 생각하자. 그 꼭짓들의 집합을 유한체  위의 벡터 공간 으로 생각할 수 있다.

이 경우, 각 변에 색

를 부여하자. 그렇다면, 이는 크로모토폴로지를 이룬다. 이를 초입방체 크로모토폴로지(超立方體chromotopology, )라고 한다.

초입방체가 아닌 크로모토폴로지 
초입방체가 아닌 가장 간단한 연결 크로모토폴로지는 4차원이며, 다음과 같은 이진 선형 부호에 대응한다.

즉, 다음과 같은 꼴이다. (편의상 변의 색칠을 생략하였다.)
 _ F, G, H _
/    / \    \
B   C   D   E
 \   \ /    /
  `-  A  -´
즉, 여기서 F, G, H는 각각 B, C, D, E와 모두 변으로 연결돼 있지만, F와 G와 H 사이에는 변이 존재하지 않는다.

역사 

2004년에 마이클 폭스()와 실베스터 제임스 게이츠 2세()가 초대칭 양자장론을 분석하기 위하여 도입하였다. “아딘크라”라는 단어는 아샨티족의 문화에서 사용되는 일종의 문양인 아딘크라()에서 유래하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

초대칭
그래프