마타이-퀼런 형식

미분기하학과 이론물리학에서 마타이-퀼런 형식(മത്തായി-Quillen形式, )은 벡터 다발의 톰 특성류를 표현하는 미분 형식이며, 벡터 다발의 올 방향으로 가우스 함수를 따른다. 무한 차원 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 대하여 정의될 수 있으며, 이는 위상 양자장론과 깊은 관계를 가진다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 (유한 차원) 연결 유향 매끄러운 다양체 
 (유한 차원) 콤팩트 리 군 
 -주다발 
 유한 짝수 차원 실수 내적 공간 
 의 유한 짝수 차원 직교 표현 .
 이로부터 연관 벡터 다발 유한 짝수 차원 벡터 다발 을 정의할 수 있으며, 그 올 위에는 양의 정부호 내적이 주어진다.
  위의 주접속 
 이로부터 의 단면에 대해서도 벡터 다발 접속이 주어진다.

그렇다면,  위에 다음과 같은 미분 형식을 정의하자.

여기서
 는 의 벡터 지표이다. 이는 의 내적을 통하여 올리거나 내릴 수 있다.
 는 주접속 의 주곡률 의 에 의한 표현이다.
 은  위의 직교 좌표계를 이룬다. 이들의 공변 미분 는  위의 -불변 1차 미분 형식들이다. 공변 미분의 정의에 따라, 이는  위의 1차 미분 형식을 이룬다.
 는 개의 형식적 반가환 변수 에 대한 베레진 적분이다. 변수 는 홀수차 (가환) 미분 형식과 반가환한다.
 은  위의 2차 미분 형식과 1차 미분 형식의 합이다. 그 (형식적) 지수 함수는 미분 형식 쐐기곱에 대한 멱급수 전개로 정의된다. 베레진 적분은 이 멱급수에서, 미분 형식 등급이 인 항만을 골라낸다.
 는 스칼라 보조장 에 대한 적분이다.

즉, 다음과 같다.

보조장 에 대한 적분을 취하면, 다음을 얻는다.

이 작용은 초대칭

을 가지며, 이에 따라

이다.

베레진 적분에 의하여, 는  위의 차 미분 형식을 이룬다. 정의에 따라 이는 -불변이므로, 연관 벡터 다발  위의 차 미분 형식을 이룬다. 또한, 이는 초대칭 에 의하여 닫힌 미분 형식이다. 이를 마타이-퀼런 형식이라고 한다.

무한 차원에서는  등이 무한대가 되기 때문에 이 공식을 직접 해석할 수 없지만, 일부 경우 양자장론의 경로 적분 등을 사용하여 이 값을 정의할 수 있다.

성질 
만약 가 유한 차원 매끄러운 다양체일 때, 의 마타이-퀼런 형식

의 드람 코호몰로지 동치류

는 의 오일러 특성류

의 실수 계수와 같다.

특히, 이는 사용한 단면 에 의존하지 않는다.

그러나 무한 차원에서는 마타이-퀼런 형식은 일반적으로 에 의존하게 된다.

예

초대칭 양자 역학 (드람 코호몰로지) 
다음과 같은 경우를 생각하자.
 는 차원 유한 차원 콤팩트 리만 다양체이다.
 는 둘레가 인 원이다.
 는 유한 에너지 고리들로 구성된 소볼레프 공간이다. 이는 힐베르트 다양체이며, 의 고리 공간(과 호모토피 동치)이다. 즉, 가측 함수  가운데, 미분 가 거의 어디서나 존재하며, L2 르베그 공간에 속하는 것들로 구성된다.
 는 직교군 에 대한 게이지 군 이며, 는 리만 다양체 의 틀다발로서 유도된다.
 이며, 는 함수의 합성으로 정의된다. 이에 따라, 는 그 접다발이다.
 단면 는 속력 이다. 그 영점은 상수 함수 고리들의 공간이다.

이 경우,

을 얻는다. 이는 의 L2 완비화를 힐베르트 공간으로 하는 초대칭 양자역학의 분배 함수와 일치한다.

도널드슨 이론 

만약
 는 어떤 4차원 매끄러운 다양체  위의 -주다발 의 주접속들의 공간이다.
 는  위의, -값 자기 쌍대 2차 미분 형식들의 공간이다.
 는 2차 미분 형식을 자기 쌍대 성분으로 대응시킨다.
이에 따라, 의 영점은 반 자기 쌍대 미분 형식들의 공간이다. 만약 이 공간이 0차원이라면 (점으로 구성된다면), 도널드슨 이론은 이 공간의 점의 수를 계산한다.

역사 
마타이 바르기스(, )와 대니얼 퀼런이 1986년에 도입하였다. 이후 마이클 아티야와 리사 제프리()가 이 개념이 무한 차원에서 위상 양자장론에 해당한다는 것을 증명하였다.

참고 문헌

각주 

미분기하학
대수적 위상수학
양자장론