끝 (범주론)

범주론에서 끝()과 쌍대끝(雙對-, )은 어떤 데이터들을 범주론적으로 “이어붙이는” 연산이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 범주 
 함자 
그렇다면, 의 쐐기()는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 대상 
 각 에 대하여, 사상 
이는 임의의  및 사상 에 대하여, 다음 그림을 가환 그림으로 만들어야 한다.

마찬가지로, 함자 의 쌍대쐐기() 는 의 쐐기이다.

함자 의 끝 은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 쐐기이다.
임의의 쐐기 에 대하여, 인 사상 이 유일하게 존재한다.
이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 유일한 동형 사상 아래 유일하다. 이를

로 표기한다.

마찬가지로,  함자 의 쌍대끝은 의 끝이다. 이를

로 표기한다.

성질 
다음이 주어졌다고 하자.
 범주 
 함자 
끝에 대한 푸비니 정리()에 따르면, 만약

와

와

가 존재한다면, 이 세 대상은 모두 표준적으로 동형이다. (이 이름은 측도론의 푸비니 정리에 빗댄 것이다.)

예

자연 변환 

다음이 주어졌다고 하자.
 범주 
 국소적으로 작은 범주 
 함자 
그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

이 함자의 끝

은 두 함자 와  사이의 자연 변환들의 집합과 같으며, 그 성분

는 다음과 같다.

즉, 자연 변환들의 집합을 그 성분들의 집합 들을 이어붙인 것으로 여길 수 있다.

기하학적 실현 

위상 공간의 범주 속의 단체 대상

과, 단체의 위상 공간 모형 함자

를 생각하자. 그렇다면, 함자

을 정의할 수 있다. (여기서 우변은 위상 공간의 곱공간이다.)

그렇다면, 그 쌍대끝

을 의 기하학적 실현이라고 한다. 특히, 만약 의 각 성분이 이산 공간일 때 (즉, 단체 집합일 때), 이는 단체 집합의 기하학적 실현을 이룬다.

입방체 집합의 기하학적 실현 역시 마찬가지로 정의된다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

범주론