등급 가군

환론에서 등급 가군(等級加群, )은 등급이 붙어, 등급환이 (왼쪽 또는 오른쪽에서) 작용할 수 있는 가군이다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 모노이드 
 -등급환 
그렇다면,  위의 왼쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 아벨 군의 족 . 또한, 로 표기하자.
  위의 -왼쪽 가군 구조 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

마찬가지로,  위의 오른쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 아벨 군의 족 . 또한, 로 표기하자.
  위의 -오른쪽 가군 구조 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

만약 이 체일 때, -등급 가군은 (-벡터 공간이므로) 보통 -등급 벡터 공간(等級vector空間, )이라고 부른다.

등급 가군 준동형 
두 -왼쪽 등급 가군 ,  사이의 준동형 은 다음 조건을 만족시키는 -왼쪽 가군 준동형이다.

두 -오른쪽 등급 가군 사이의 준동형 역시 마찬가지로 정의된다.

연산

직합 
-등급환  위의 왼쪽 등급 가군들의 족 이 주어졌을 때, 이들의 직합

역시 -왼쪽 등급 가군을 이룬다.

오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.

텐서곱 
-등급환  위의 두 왼쪽 등급 가군 , 이 주어졌을 때, 그 텐서곱

을 정의할 수 있다. 이 역시 -왼쪽 등급 가군을 이룬다.

오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.

뒤틂 
-등급환  위의 왼쪽 등급 가군  및 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 -뒤틂() 은 다음과 같다.

마찬가지로, -등급환  위의 오른쪽 등급 가군  및 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 -뒤틂() 은 다음과 같다.

힐베르트-푸앵카레 급수 

-등급환  위의 왼쪽 등급 가군 의 힐베르트-푸앵카레 급수()는 (만약 존재한다면) 다음과 같다.

여기서
 는 (-왼쪽 가군으로서의) 길이이다. 만약 이것이 무한하다면 힐베르트-푸앵카레 급수는 존재하지 않는다.
 는 정수 계수 1변수 형식적 멱급수환이다.

예 
체 에 자명한 -등급을 부여하였을 때, -등급 가군

은 -초벡터 공간()이라고 한다.

정수환 에 자명한 등급을 부여하였을 때, 그 위의 등급 가군은 등급 아벨 군()이라고 한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

가군론