그래프 라플라스 연산자

그래프 이론에서 그래프 라플라스 연산자(graph Laplace演算子, )는 그래프의 꼭짓점들로 생성되는 힐베르트 공간 위에 정의되는 유계 작용소이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 그래프 . 또한, 의 모든 꼭짓점의 차수가 유한한 상한을 갖는다고 하자 ().
 체 

그렇다면, 로 생성되는 -힐베르트 공간

를 생각하자.

그래프 라플라스 연산자

는 유계 작용소이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으나, 이 두 정의는 서로 동치이다.

만약 가 유한 그래프라면,  위에 임의의 전순서를 부여하면 그래프 라플라스 연산자는  정수 성분 대칭 행렬로 표현된다. 이를 의 라플라스 행렬이라고 한다.

직접적 정의 
편의상, 의 원소는 함수

로 여겨질 수 있다.

이제, 다음과 같은 -선형 변환

을 정의할 수 있다.

즉, 임의의 두 꼭짓점 에 대하여 다음과 같다.

인접 연산자를 통한 정의 
그래프 의 (방향이 없는) 변들로 생성되는 -힐베르트 공간을 정의하자.

또한,  위에 임의의 유향 그래프 구조를 주고, 그 유향 변들의 집합을

라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다.

이는 자명하게 유계 작용소를 정의한다. 따라서, 그 에르미트 수반

를 정의할 수 있으며, 이들을 합성하여 유계 작용소

를 정의할 수 있다. 또한, 이것이 의 유향 그래프 구조에 의존하지 않음을 보일 수 있다. (반면, 는 일반적으로 유향 그래프 구조에 의존한다.)

성질 
그래프 라플라스 연산자는 유계 작용소이자 자기 수반 작용소이며, 그 성분들은 꼭짓점에 대한 표준 정규 직교 기저에서 모두 정수이다. 즉, 모든 꼭짓점의 차수가 유한한 임의의 그래프  및 에 대하여

이다. 또한, 그 고윳값들은 모두 음이 아닌 실수이다. 즉, 그래프 라플라스 연산자의 고윳값들을 (중복수를 고려하여)

로 표기하면,

이다.

그래프 라플라스 연산자의 작용소 노름은 다음과 같은 상계를 갖는다.

생성나무 
다음이 주어졌다고 하자.
 유한 그래프 
 임의의 꼭짓점 
그렇다면, 에서 에 대응하는 행과 열을 생략한  행렬을 로 표기하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 정수 는 항상 자연수이다.
 는 의 선택에 의존하지 않는다.
 는 의 생성나무의 수와 같다.
 이다.

부분 그래프 
다음이 주어졌다고 하자.
 유한 그래프 
 꼭짓점 집합 
그렇다면, 다음이 성립한다.

표현 
유클리드 공간 이 주어졌다고 하자. 유한 그래프 의 균형 직교 표현()은 다음 조건을 만족시키는 함수

이다.
 (균형성) 
 (직교성) 
이 두 조건에 의하여, 균형 직교 표현이 존재하려면 이어야 한다.

유한 그래프 의  속의 균형 직교 표현 가 주어졌으며, 또한

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

예

완전 그래프 
유한 완전 그래프 의 라플라스 행렬은 다음과 같다.

즉,

이며, 여기서 는 모든 성분이 1인 행렬(아다마르 곱의 항등원)이다. 이에 따라,  속의 생성 나무의 수는

이다.

특히, 의 라플라스 행렬은 다음과 같다.

즉, 그 고윳값은

이다.

무변 그래프 
꼭짓점 차수가 상한을 갖는 (유한 또는 무한) 그래프에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 무변 그래프이다.
 그래프 라플라스 연산자가 0이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

그래프 이론
대수적 그래프 이론