초타원 곡선

대수기하학에서 초타원 곡선(超楕圓曲線, )은 사영 직선 위의 2차 분지 피복을 이루는 대수 곡선이다.

정의 
체  위의 초타원 곡선은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 크룰 차원이 1인 스킴 
 매끄러운 사상 . 또한, 가 기하학적 기약 사상()이라고 하자. (즉, 은 기약 스킴이다.)
 이 조건에 따라서 는 기약 스킴이자 축소 스킴이다.
  위의, 차수가 2인 분해 가능 유한 사상 . (즉, 체의 확대 는 2차 분해 가능 확대이다.) 여기서 는 사영 직선이다.
 이 조건에 따라서 는 유한형 사상이다.

특히, 만약 가 대수적으로 닫힌 체라면, 그 위의 초타원 곡선은 다음과 같다.
 크룰 차원이 1인 정칙 기약 스킴 
  위의, 차수 2의 유한 사상

분류 
종수 의 초타원 곡선 는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. 우선, 에서 아핀 좌표

를 고르자. 그렇다면, 만약 인 경우, 는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

이 경우 를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

즉, 다음과 같다.

표수가 2인 경우, 는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

이 경우 를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

즉, 다음과 같다.

표수가 2가 아닌 경우, 항상

를 통해 으로 놓을 수 있다.

이 경우, 다음과 같은 변환을 하더라도 이로서 정의되는 초타원 곡선은 동형이다.
: 
: , 

즉, 이 경우 가중 사영 공간

속에서 부분 대수다양체

를 이룬다. 이 경우 는

이다.

분지점 
표주가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체인 경우, 이러한 사상 는 짝수 개의 분지점을 갖는다. (분지점은 의 닫힌 점  가운데, 올 이 하나의 점만으로 구성된 경우이다. 분지점이 아니라면, 는 항상 두 개의 점으로 구성된다.)
표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 의 사영 공간에서의 근이다. 즉,
 라면, 분지점은 의 개의 근이다.
 라면, 분지점은 의 개의 근 및 이다.
이는 가중 사영 공간에서 대합

의 고정점이다.

표수가 2인 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 의 근이다. 이는 가중 사영 공간에서 대합

의 고정점이다.

다음 조건이 주어졌다고 하자.
 분지점의 수가 라고 할 때, 이다.

이 경우,  위에서 는 다음과 같은 꼴이 된다.

모듈러스 공간 
가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체이며 종수가 일 때, 초타원 곡선은 그 개의 분지점의 집합만으로 완전하게 결정된다. 즉, 그 모듈라이 공간은

이다. 그 차원은

이다.

보다 일반적으로, 표수가 2가 아닌 체에서, 초타원 곡선은 가중 사영 공간에서

의 꼴로 표현되며, 는 (종수 의 경우) 차 2변수 형식()이다. 따라서 그 분류는 2변수 형식의 분류로 귀결된다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

대수기하학
대수 곡선