리 준대수

미분기하학에서 리 준대수(Lie準代數, )는 (유한 차원) 실수 리 대수의 일반화이다. 리 대수와 리 준대수 사이의 관계는 리 군과 리 준군 사이의 관계와 같다.

정의 
리 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 매끄러운 다양체 
 매끄러운 벡터 다발 
 매끄러운 단면  위의 리 대수 구조 
 매끄러운 벡터 다발 사상 . 이를 닻()이라고 한다.
이는 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.

예 
모든 유한 차원 실수 리 대수는 한원소 공간  위의 리 준대수이다.

매끄러운 주다발에는 아티야 리 준대수라는 표준적인 리 준대수가 대응된다.

벡터장 
매끄러운 다양체  위에서,

 (항등 함수)
 (리 미분)
를 부여하면, 이는 리 준대수를 이룬다.

보다 일반적으로, 의 적분 가능 부분 다발 (즉, 인 부분 벡터 다발 )은 이 리 준대수의 부분 리 준대수를 이룬다.

아벨 리 준대수 
임의의 매끄러운 다양체  위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 에 대하여

을 부여한다면, 이는 (자명하게) 리 준대수를 이룬다. 이는 아벨 리 대수의 일반화이다.

푸아송 다양체 

푸아송 다양체 가 주어졌다고 하자. 정의에 따라, 항상

인 (2,0)차 반대칭 텐서 를 정의할 수 있다. 이제,

로 놓으면, 이는 리 준대수를 이룬다.

이를 푸아송 리 준대수()라고 한다.

역사 
리 준대수의 개념은 1967년에 장 프라딘()이 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

리 대수
미분기하학
미분 연산자
미분위상수학
미분의 일반화
벡터 다발