종순 바나흐 대수

함수해석학에서 종순 바나흐 대수(從順Banach代數, )는 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명군인 바나흐 대수이다. 종순 폰 노이만 대수들은 완전히 분류되었으며, 상당량의 종순 C* 대수의 분류 역시 완결되었다.

정의

바나흐 쌍가군 
두 복소수 바나흐 대수 ,  위의 바나흐 쌍가군 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 -쌍가군 
  위의 복소수 바나흐 공간 구조 
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

이 경우, 연속 쌍대 공간 은 자연스럽게 -바나흐 쌍가군을 이룬다.

유계 미분 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 복소수 바나흐 대수 
 -바나흐 쌍가군 
값의 유계 미분()은 다음 두 조건을 만족시키는 복소수 선형 변환

이다.
 은 미분이다. 즉, 임의의 에 대하여 이다.
 유계 작용소이다.

종순 바나흐 대수 
복소수 바나흐 대수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 종순 바나흐 대수라고 한다.
 임의의 -바나흐 쌍가군  및 유계 미분 에 대하여, 가 되는 가 존재한다. (여기서 는 의 연속 쌍대 공간이다.)
여기서, 유계 미분들의 군은 1차 유계 호흐실트 순환들의 군으로,  꼴의 유계 미분들의 군은 1차 완전 호흐실트 순환들의 군으로 생각할 수 있다. 즉, 종순 바나흐 대수의 정의는 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명하다는 조건이다.

만약 위 조건을 인 경우에만 성립하게 약화시키면, 약종순 바나흐 대수(弱從順, )의 개념을 얻는다.

성질 
폰 노이만 대수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 종순 바나흐 대수이다.
 (초유한성 ) 부분 폰 노이만 대수들의 증가하는 열 가 존재하여, 각 들은 모두 유한 차원 폰 노이만 대수이며, 는 의 (노름 거리 위상에서의) 조밀 집합을 이룬다.
종순 폰 노이만 대수는 단사 폰 노이만 대수() 또는 초유한 폰 노이만 대수()라고도 불린다.

C* 대수 의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 종순 바나흐 대수이다.
 로 생성되는 폰 노이만 대수는 종순 바나흐 대수이다.
종순 C* 대수는 핵 C* 대수()라고도 불린다.

모든 C* 대수는 약종순 바나흐 대수이다.

예 
모든 가환 C* 대수는 종순 바나흐 대수이다. 모든 유한 차원 C* 대수는 종순 바나흐 대수이다.

역사 
종순 바나흐 대수의 개념은 1972년에 도입되었다. 이후 알랭 콘이 폰 노이만 대수의 경우 종순성이 초유한성 등 여러 다양한 조건들과 동치임을 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

연산자 이론