심플렉틱 벡터 공간

선형대수학에서 심플렉틱 벡터 공간(symplectic vector空間, )은 비퇴화 교대 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간이다.

정의 
체  위의 벡터 공간  위의 쌍선형 형식

가 다음 조건을 만족시키면, 심플렉틱 쌍선형 형식()이라고 한다.
 
 (비퇴화성) 선형 변환 , 는 단사 함수이다. 즉, 만약 라면, 이다.

심플렉틱 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간 를 심플렉틱 벡터 공간이라고 한다.

성질

다르부 기저 
표수가 2가 아닌 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간 는 항상 짝수 차원이며, 가 다음과 같은 행렬로 표현되게 만드는 기저가 존재한다.

이러한 기저를 다르부 기저()라고 한다.

라그랑주 부분 공간 
임의의 체  위의 유한 차원 벡터 공간 이 주어졌을 때,

위에 다음과 같은 심플렉틱 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

심플렉틱 벡터 공간의 동형

가 주어졌을 때, 를 의 라그랑주 부분 공간이라고 한다. 모든 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간은 라그랑주 부분 공간을 가지며, 이는 일반적으로 유일하지 않다.

표준 부피 형식 
차원 심플렉틱 벡터 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

는  위의 부피 형식을 이룬다. 이를 의 표준 부피 형식()이라고 한다.

외부 링크 
 
 
 

선형대수학
심플렉틱 기하학