순환 범주

호몰로지 대수학에서 순환 범주(循環範疇, )는 단체 범주를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 작은 범주이다. 순환 범주의 반대 범주를 정의역으로 갖는 함자를 순환 대상(循環對象, )이라고 한다. 가군 범주 속의 순환 대상에 대하여 순환 호몰로지를 정의할 수 있다.

정의

순환 범주 
순환 범주(循環範疇, ) 는 다음과 같은 작은 범주이다.
 의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수) 이다.
 의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.
 (면 사상)
 (퇴화 사상)
 (순환 사상)
 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, 를 포함하지 않는 것들은 단체 범주 의 정의에 등장하는 것과 같다.)

이제, 임의의 범주  위의 순환 대상은 순환 범주의 반대 범주에서 로 가는 함자

이다.

순환 대상의 구체적 정의 
구체적으로, 범주  속의 순환 대상은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 단체 대상 . 여기서 는 면(面)이며, 는 퇴화 단체이다.
 일련의 동형 사상들 , 
이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다.
 (순환의 순환성) . 특히, 이다.
 (순환과 면의 호환) 
 (순환과 퇴화 단체의 호환)

일반적 정의 
순환 대상의 개념은 순환군 말고도 정이면체군이나 대칭군 등으로 일반화될 수 있다.

교차단체군(交叉單體群, )은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 단체 집합 
 임의의 에 대하여,  위의 군 구조
 임의의 에 대하여,  위의, 의 오른쪽 군 작용 
이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
 임의의  및  및 에 대하여,

 임의의  및 에 대하여,

교차단체군의 예는 다음이 있다.
 모든 단체군은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.)
 순환군 
 정이면체군 
 쌍순환군 
 대칭군 

교차단체군 이 주어졌을 때, 임의의  및 에 대하여 편의상

로 표기하자. 이는

를 만족시킨다.

교차단체군 가 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주 를 정의할 수 있다.
 의 대상은 자연수이다. 즉, 단체 범주 의 대상과 같다.
 의 사상들은 다음과 같은 꼴의 순서쌍이다.

 사상의 합성은 다음과 같다. 여기서, 에 대하여 은 에 대응하는 사상이며, 이다.

그렇다면, 범주  속의 -대상은 함자

이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.

그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한 -대상은 순환 대상이라고 한다.

성질 
순환 범주 는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.

사상 
순환 범주 에서, 모든 사상 는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 교차단체군 에 대하여, 범주 에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.

순환 범주 에서, 다음이 성립한다.
 
증명:
 
증명:

단체와의 관계 
단체 범주 에서 순환 범주로 가는 포함 함자

가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉, 에는 으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다).

이에 따라, 임의의 범주 에 대하여, -순환 대상의 범주에서 -단체 대상의 범주로 가는 망각 함자

가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다.

예 
모든 성분이 자명군인 교차단체군 을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 은 단체 범주 와 같다.

각 성분이 대칭군인 교차단체군

을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 는 유한 집합과 함수의 작은 범주 와 동치이다.

결합 대수의 순환 가군 
가환환  위의 결합 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

즉, 이는 -가군 범주  속의 순환 가군을 이룬다. 이를 에 대응되는 순환 가군()이라고 한다.

이 구성은 결합 대수의 순환 호몰로지 및 호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다.

역사 
알랭 콘이 1983년에 도입하였다. 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “”라고 표기하였다.

교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치()와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

호몰로지 대수학