불변 다항식

리 대수 이론에서, 불변 다항식(不變多項式, )은 어떤 리 대수의 원소를 변수로 가지며, 그 딸림표현 작용에 대하여 불변인 다항식이다.

정의 
체  위의 유한 차원 리 대수 의 쌍대 공간  위의 대칭 대수

를 생각하자. 가 다음 조건을 만족시킨다면, 의 차 불변 다항식이라고 한다.

 위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.

베유 대수 
유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수 의 베유 대수() 는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며, 의 동차 원소 기저를 라고 할 때, 의 생성원은  및 이다 (). 또한, 그 미분은 다음과 같다.

여기서 란 슈발레-에일렌베르크 대수 의 미분이다. 즉, 이는 을 따른다.

물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형

이 존재한다.

L∞-대수의 불변 다항식 
유한형 L∞-대수 의 불변 다항식은 베유 대수 의 원소  가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.

즉, 베유 대수의 닫힌 원소 가운데, 만으로 생성되는 것이다.

이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다. 가 리 대수인 경우, 불변 다항식은

의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다.

성질 
리 대수 에 대하여,

는 리 군 의 분류 공간

의 (표수 0 특이 코호몰로지의) 모형이다. 즉, 그 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 이 위상 공간들의 (꼬임을 제외한) 특이 코호몰로지와 같다.

다시 말해,

이다. (의 원소들은 정의에 따라 모두 닫힌 원소이므로, 코호몰로지를 취할 필요가 없다.) 여기서 는 리 대수 코호몰로지이다.

예 
체  위의 리 대수 의 킬링 형식

은 2차 불변 다항식이다. 즉,

이다.

단순 리 대수의 불변 다항식 
계수 의 단순 리 대수는 개의 불변 다항식을 가진다. 그 차수는 다음과 같다.

위 표에서, 첫 2차 불변 다항식은 항상 킬링 형식이다. “차수”란 다항식의 차수를 뜻한다. 이를 L∞-대수로 해석할 경우, 각 변수의 등급이 2이므로, L∞-대수로서의 등급은 다항식 차수의 2배이다. 이 수들은 해당 리 대수의 콤팩트 형식의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환을 결정한다. 즉, 만약 불변 다항식의 차수가 라면, 리 군의 특이 코호몰로지 환은 차수

의 개의 생성원으로 생성되는 외대수이다. 특히,

이다.

의 경우, 그 불변 다항식은 다음과 같은 꼴이다. 리 대수의 원소를  무대각합 반 에르미트 행렬로 표현할 경우,

이다. 만약 인 경우는 (행렬이 무대각합이므로) 이 되며, 인 경우는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있다.

의 경우, 그 리 대수의 원소는 반대칭  행렬이며, 따라서 다음과 같은 불변 다항식을 적을 수 있다.

이 경우 가 홀수일 때 이다. 즉, 짝수 차수만이 남게 된다. 이 홀수일 때 불변 다항식들은 로 구성된다. 이 짝수일 때는 추가로 차 불변 다항식

이 존재한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

가환대수학
다항식
리 대수