KR이론

수학에서, KR이론(KR理論, )은 대합을 갖춘 위상 공간 위의 안정 벡터 다발을 분류하는, 위상 K이론의 일종이다.

정의 
대합 공간() 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 콤팩트 하우스도르프 공간 
 대합인 연속 자기 함수 , 
대합 공간  위의 대합 벡터 다발()은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 복소수 벡터 다발 
  위의 연속 대합 
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
 영단면을 라고 하면, 이다.

 는 ( 위의) 실수 벡터 다발의 동형 사상이며, 임의의 에 대하여 는 복소수 벡터 공간의 반선형 변환이다. 즉,  및 에 대하여 이다.

대합 공간 위의 대합 벡터 다발들의 직합을 취할 수 있으며, 이에 따라서 주어진 대합 공간 위의 대합 벡터 다발의 동형류는 가환 모노이드를 이룬다. 이 가환 모노이드의 그로텐디크 구성을 대합 공간의 KR군이라고 한다.

성질

다른 K이론과의 관계 
복소수 벡터 다발의 위상 K군 과 실수 벡터 다발의 위상 K군 은 KR군의 특별한 경우로 주어진다.

콤팩트 하우스도르프 공간  위에 항등 함수인 대합 을 부여하자. 그렇다면, 이 대합 공간 위의 대합 벡터 다발 이 주어졌을 때, 항상 실수 벡터 다발

을 정의할 수 있으며, 따라서 그 위의 대합 벡터 다발(의 동형류)은  위의 실수 벡터 다발(의 동형류)과 동치이다. 따라서, 이 경우 KR군은 KO군과 같다.

콤팩트 하우스도르프 공간 가 주어졌을 때,  위에 대합

을 부여하자. 그렇다면,  위의 대합 벡터 다발은  위의 복소수 벡터 다발과 동치이다. 따라서, 이 경우 의 KR군은 의 KU군과 같다.

보트 주기성 
일반 위상 K이론과 마찬가지로, 축소 KR군() 을 정의할 수 있다.

유클리드 공간  위에 대합

을 부여한 것을 으로 표기하자. 그 속의 차원 공 및 초구를 다음과 같이 표기하자.

그렇다면, 다음과 같이 두 개의 등급을 갖는 (축소) KR군들을 정의할 수 있다.

(여기서 는 분쇄곱이다.) 그렇다면, 다음과 같은 보트 주기성()이 성립한다.

즉, KR군은 오직 에만 의존한다. 보통

으로 표기한다. 특히, 은 ‘차원 초구’로 해석되며, 이를 통하여 음의 차원의 초구를 생각할 수 있다.

실수 · 복소수 K이론의 보트 주기성은 KR이론의 보트 주기성의 특수한 경우이다.

응용 
끈 이론에서, 오리엔티폴드가 주어진 시공간은 대합 공간을 이루며, 그 위의 D-막들은 KR군에 의하여 분류된다.

역사 
1966년에 마이클 아티야가 도입하였다. 이름 ‘KR’에서, ‘K’는 원래 K이론에서 딴 것이다. (이는 의 첫 글자이다.) ‘R’는 의 첫 글자이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

K이론