기하 불변량 이론 몫

대수기하학에서 기하 불변량 이론 몫(幾何不變量理論몫, )은 대수군이 작용하는 대수다양체가 주어졌을 때, 이에 대한 몫을 정의하는 방법이다. 이 경우, 일부 ‘매우 나쁜’ 점들(준안정점이 아닌 점)을 버리게 되며, 또한 일부 ‘조금 나쁜’ 점(안정점이 아닌 준안정점)의 경우 해당 상의 원상이 궤도 전체가 아닐 수 있다.

정의

아핀 스킴의 경우 
다음이 주어졌다고 하자.
 체 
  위의 아핀 스킴 
  위의 대수군 
 작용 
그렇다면,  위에는 군의 작용

이 주어진다. 그렇다면, 불변량의 대수

를 정의할 수 있다. 이 역시  위의 가환 결합 대수이다.

그렇다면, 의 기하 불변량 이론 몫은 다음과 같다.

만약 가  위의 유한 생성 가환 결합 대수이며, 가 가약군이라면,  역시  위의 유한 생성 가환 결합 대수이다 (나가타 정리 ).

일반 스킴의 경우 
다음이 주어졌다고 하자.
 체 
  위의 유한형 스킴 
 대수적 선다발 
  위의 대수군 
 작용 
그렇다면, 이 데이터의 선형화는  위의 의 다음과 같은 조건을 만족시키는 작용이다.
 임의의 에 대하여, . 즉, 이는 각 올 에 대하여 사상 를 정의한다.
 또한, 임의의 에 대하여, 는 -선형 변환이다.

이 경우, 대수적 선다발 에 대하여 의 기하점(대수적으로 닫힌 체 계수의 유리점)

에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 를 준안정점이라고 한다.
 어떤 양의 정수  및 -불변 단면 에 대하여, 이며 이 아핀 열린 부분 스킴이다.
만약 위 정의에 추가로 에서 모든 기하점의 궤도가 자리스키 닫힌집합이라는 조건이 추가로 성립하면 를 안정점이라고 한다.

준안정점들은 열린 부분 스킴

을 구성한다. 정의에 따라서, 충분히 큰  및 -불변 단면

에 대하여

가 된다. 따라서 각 아핀 열린 스킴에 대하여 기하 불변량 이론 몫

를 정의할 수 있으며, 이들을 짜깁기하여  위의 유한형 스킴

를 정의할 수 있다. 이를 의 기하 불변량 이론 몫이라고 한다. 이 개념은 사용한 선형화에 의존한다.

성질 
체  위의 유한형 스킴  및 그 위에 작용하는 대수군  및 선다발  및 선형화가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 안정점으로 구성된 열린 부분 스킴  및 준안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 이 존재한다. 이 경우 의 경우 몫공간인 스킴 를 정의할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 사상들이 존재한다.

예

오비폴드 
아핀 스킴  위의, 이산군 (2차 순환군)의 작용

을 생각하자. 또한, 라고 하자. 그렇다면,

가 된다. 따라서

는 3차원 아핀 공간 속의 이차 초곡면이다.

사영 공간 
체 가 주어졌다고 하자.  곱셈군 이 사영 공간  위에 다음과 같이 작용한다고 하자.

그렇다면, 닫힌 점 는 힐베르트-멈퍼드 수치 조건에 의하여 다음과 같이 분류된다.
 만약 이며 이라면, 는 안정점이다.
 만약 이라면, 는 안정점도, 준안정점도 아니다.
 만약 이라면, 는 안정점도, 준안정점도 아니다.
(이 경우 모든 준안정점은 안정점이다.)

즉, 이 경우 준안정점의 부분 공간은

이며, 그 위의 의 작용은

이다. 따라서 그 기하 불변량 이론 몫은

이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

대수기하학