들리뉴-베일린손 코호몰로지

기하학에서 들리뉴-베일린손 코호몰로지(Deligne-Бе́йлинсон cohomology, ) 또는 들리뉴 코호몰로지는 접속을 갖는 원군 -주다발을 나타내는, 미분 형식으로 구성된 공사슬 복합체로서 정의되는 코호몰로지 이론이다. 복소다양체와 매끄러운 다양체에 적용될 수 있다.

정의 
매끄러운 다양체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 아벨 군 사슬 복합체를 정의할 수 있다.

여기서
 은 임의의 자연수이다. (특히, 의 차원과는 관련이 없다.)
 는 를 정의역으로, 원군 U(1)을 공역으로 하는 매끄러운 함수의 점별 곱셈군이다.
 는 의 차 (실수) 미분 형식의 실수 벡터 공간이다.
 는  위의 미분 형식의 외미분이다.
 는 다음과 같다. 우선, 원군을 으로 여기면, 충분히 작은 열린집합 에서, 함수 의 자연 로그 는 분지 절단 없이 매끄럽게 정의될 수 있다. 이 분지에 대하여, 는 실수 값의 매끄러운 함수이다. 물론, 이는 선택된 분지에 의존하며, 분지를 바꾸면 그 값은 상수 씩 바뀌게 된다. 그러나 그 미분 은 분지에 의존하지 않는다. 따라서, 이들을 짜깁기하여 1차 미분 형식 을 정의할 수 있다.

이 공사슬 복합체를 들리뉴-베일린손 공사슬 복합체()라고 하며, 그 코호몰로지를 차 들리뉴-베일린손 코호몰로지라고 한다.

위 묘사는 (실수) 매끄러운 다양체에 대한 경우이다. 이 밖에도, 복소다양체에 대한 경우가 존재한다. 이 경우, 차 미분 형식 대신 차 복소 미분 형식을 사용하며, 외미분  대신 정칙 외미분 을 사용하며, 첫째 항은 복소다양체  위의,  값의 정칙 함수들의 곱셈군이다. (이는 구조층 의 가역원층 의 단면에 해당한다.)

성질 
매끄러운 다양체  위의 차 들리뉴-베일린손 코호몰로지 는  위의, 접속을 갖는 원군 -주다발을 나타낸다.

다른 코호모로지 코호몰로지와의 관계 
들리뉴-베일린손 공사슬 복합체는 드람 복합체와 유사하지만, 첫째 항이 다르다. 이는 매우 중요한 역할을 한다.

마찬가지로, 표준적인 망각 함자

가 존재한다. (여기서 공역은 특이 코호몰로지이다.)

보다 일반적으로, 완전열

이 존재한다. 여기서, 사상 은 원군 -주다발 위의 접속이 차 미분 형식으로 정의됨을 뜻하며, 사상 은 같은 접속을 나타내는 두 차 미분 형식의 차이는 정수 주기()의 미분 형식임을 뜻한다.

또한, 완전열

이 존재한다. 여기서
 은 접속을 갖는 -주다발의 곡률이 차 미분 형식임을 뜻한다.
 은 같은 곡률을 갖는 두 -주다발의 차는 평탄한 -주다발임을 뜻한다.

역사 
피에르 들리뉴가 1971년에 복소다양체에 대하여 도입하였다. 이후 1993년에 장뤼크 브릴린스키()가 이 이론이 매끄러운 다양체에 대해서도 잘 작동한다는 것을 밝혔다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

호몰로지 이론
대수기하학
미분기하학