막 스캔

초끈 이론에서 막 스캔(幕scan, )은 각 차원에서 존재할 수 있는 BPS 막들의 분류이다.

정의 
차원 막이 차원 시공간 속에서 움직인다고 하자. 이는 매장

으로 주어진다. 편의상 정적 게이지()를 사용하여, 이를

로 나타낼 수 있다. 즉, 차원 막은 개의 보손 자유도를 갖는다.

이제, 세계 부피 초대칭을 위하여, 페르미온을 생각하자. 페르미온은 세계 부피 로런츠 군 의 스피너 표현을 따른다. 이 차원에서의 최소 비(非)손지기 스피너(즉, 디랙 스피너 또는 마요라나 스피너)의 실수 성분의 수가

이라고 하고, 초대칭 수가 이라고 하자. 그렇다면, 그 질량 껍질 위 자유도의 수는

이다. 여기서 인자 ¼는 다음과 같다.
 게이지 대칭인 κ-대칭에 의하여 성분이 ½로 줄어든다. (κ-대칭의 존재는 시공간에서 ½-BPS 조건에 해당한다.)
 질량 껍질 조건을 가하면 성분이 ½로 줄어든다.
즉, 초대칭 막이 존재하려면 다음이 성립해야 한다.

마지막으로, 차원 초중력의 존재에 의하여,

이다.

이에 따라, 가능한 초대칭 막은 다음 12개이다.
{| style="border-spacing: 1em; text-align: center"
! D || p=1 || p=2 || p=3 || p=4 || p=5
|-
| 11 || || ●
|-
| 10 || ●  || || || || ●
|-
| 9 || || || || ●
|-
| 8 || || || ●
|-
| 7 || || ●
|-
| 6 || ● || || ●
|-
| 5 || || ●
|-
| 4 || ● || ●
|-
| 3 || ●
|}

특히, 만약 가 가능하다면  역시 가능함을 알 수 있다. 이는 물리학적으로 차원 시공간을 한 차원 축소화하고, -막을 축소화한 차원에 감는 것에 해당한다. 
이렇게 하면, 막들은 다음과 같은 네 개의 족으로 분류된다.
 . 일 때 이는 M2-막에 해당하며, 일 때 이는 초끈 이론의 끈에 해당한다.
 . 일 때 이는 꼬마 끈 이론에 해당한다.
 
 

이 분류는 세계 부피에 스칼라장 이외의 보손 장이 존재하지 않는 것을 전제로 한다. 만약 기타 보손 장이 존재한다면 추가 종류의 막들이 가능하다. 예를 들어, D-막은 일반적으로 세계 부피에 미분 형식 장들을 갖는다.

초대칭 대수의 중심 전하 
막 스캔은 사실 각 차원의 초대칭 대수의 중심 전하의 존재를 나타낸다. 구체적으로, 각 차원에서 감마 행렬들을 조합하여, 다음과 같은 반대칭 연산자들을 만들 수 있다.

{| class=wikitable
|-
! 차원 || 감마 행렬 반대칭 텐서 지표 수 (mod 4)
|-
| 2 || 1
|-
| 3 || 1, 2
|-
| 4 || 1, 2
|-
| 5 || 2, 3
|-
| 6 || 3
|-
| 7 || 0, 3
|-
| 8 || 0, 1
|-
| 9 || 0, 1
|-
| 10 || 1
|-
| 11 || 1,2
|}

여기서, “감마 행렬 반대칭 텐서 지표 수”가 라면, 임의의 두 (최소 표현) 스피너 에 대하여 다음이 성립한다.

위 표의 성분은 법 4에 대한 것이다. 즉, 가 가능하다면 , , … 역시 가능하다.

예를 들어, 의 마요라나 스피너 에 대하여, 가 수록돼 있으므로,

이다. 마찬가지로, 일 때, 이 수록돼 있으므로,

이다.

이 표로부터, 각 차원에 존재하는 초대칭 대수의 중심 전하들을 읽을 수 있으며, 이는 각 차원에 존재하는 막에 대응한다. 예를 들어, 일 때,  초대칭 대수는 다음과 같은 두 중심 전하를 갖는다.

이는 위 표에서 의 존재에 해당한다. 따라서, 11차원 초중력(M이론)에는 M2-막과 M5-막이 존재할 수 있다.

역사 
1987년에 스칼라장 이외의 텐서장이 없다는 가정 아래 최초로 도입되었다. 이후 텐서장 등을 포함한 막들이 역시 마찬가지로 분류되었다.

“막 스캔”()이라는 이름은 뇌 스캔()에 대한 언어 유희이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

끈 이론