대칭 작용소

작용소 이론에서 대칭 작용소(對稱作用素, )는 스스로의 정의역 위에서, 스스로가 에르미트 수반과 일치하는 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다. 자기 수반 작용소의 개념과 달리, 그 정의역이 에르미트 수반의 정의역보다 더 작을 수 있다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
  (실수체 또는 복소수체 가운데 하나)
 -위상 벡터 공간 
 의 조밀 부분 벡터 공간 
 -선형 변환 
만약 가 다음 조건을 만족시킨다면, 를 대칭 작용소라고 한다.

여기서
 는 의 연속 쌍대 공간이다.
 는 일 경우 복소켤레이며, 일 경우 항등 함수이다.
 는 와  사이의 자연스러운 곱 (즉, 연속 범함수의 값매김)이다.

힐베르트 공간의 경우 
가 힐베르트 공간이라고 하자. 리스 표현 정리에 따라 이다. 이 경우, 대칭 작용소는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

-힐베르트 공간 의 조밀 부분 벡터 공간 에 정의된 선형 변환

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 대칭 작용소이다.
 모든 에 대하여, 이다.
 이며, 모든 에 대하여 이다. 여기서 는 에르미트 수반이다.
힐베르트 공간 위의 대칭 작용소의 경우 항상 이며, 따라서  역시 조밀 집합이다.

대칭 작용소 의 경우, 일 필요는 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, 자기 수반 작용소의 개념을 얻는다.

성질

함의 관계 
힐베르트 공간 의 조밀 부분 벡터 공간  위에 정의된 작용소 들의 종류에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center"
| 자기 수반 작용소 || ⊂ || 대칭 작용소 || ⊂ || 작용소
|-
| ∪ || || ∪ || || ∪
|-
| 유계 자기 수반 작용소 || = || 유계 대칭 작용소 || ⊂ || 유계 작용소
|}
여기서 둘째 줄(유계 작용소)의 경우 이다. 즉, 헬링거-퇴플리츠 정리()에 따르면, 정의역이 힐베르트 공간 전체인 대칭 작용소는 유계 작용소이다.

유한 차원 힐베르트 공간  위의 작용소 에 대하여, 다음이 서로 동치이다.
 는 대칭 작용소이다.
 는 자기 수반 작용소이다.
 의 행렬은 에르미트 행렬이다.

결점 지표 
복소수 힐베르트 공간  위의 대칭 작용소

를 생각하자. 즉, 부분 공간

이 존재한다. 이제 다음과 같은 두 부분 공간을 정의하자.

이들은 직교 여공간이므로 닫힌집합이며, 특히 힐베르트 공간을 이룬다. 그 차원

을 의 결점 지표(缺點指標, )라고 한다.

폰 노이만 공식()에 따르면, 다음이 성립한다.

대칭 확장 
-힐베르트 공간  위의 대칭 작용소 의 대칭 확장(對稱擴張, )은 다음을 만족시키는 작용소 이다. 이 경우 라고 표기하자.
 
 
즉, 이는

인 조건과 같다.

대칭 확장 관계를 통해,  위의 대칭 작용소들의 집합은 부분 순서 집합을 이룬다. 대칭 작용소의 대칭 확장은 일반적으로 유일하지 않으며, 존재하지 않을 수도 있다.

라고 추가로 가정하자. 대칭 작용소 의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.

특히, 가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 같은 것이다.

또한, 가 유일한 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 모두 0인 것이다.

예 
다음을 생각하자.

그렇다면, 는 대칭 작용소이다. 이 경우, 은 다음과 같은 미분 방정식의 해의 공간이다.

이는 각각 1차원이며, 구체적으로

이다. 따라서 는 자기 수반 연산자가 아니지만, 자기 수반 확장을 갖는다. 자기 수반 확장의 공간은 과 동형이다.

구체적으로,

을 생각하자. 이는 의 대칭 확장인데, 이 경우 이므로, 유일한 자기 수반 확장을 갖는다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

함수해석학
힐베르트 공간