차원 축소 (물리학)

이론물리학에서, 차원 축소(次元縮小, )는 고차원에 정의된 장론으로부터, 더 낮은 차원에 존재하는 장론을 구성하는 방법이다.

정의 
차원에서, 어떤 장론이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 다음과 같은 과정을 가하자.
 우선, 이 이론을 의 꼴의 공간 위에 정의한다 (축소화). 여기서 은 콤팩트 리만 다양체이며, 보통 차원 원환면을 사용한다.
 이제, 의 부피가 0이 되는 극한을 취한다. 그렇다면, 질량이 의 크기의 역수에 비례하는 칼루차-클라인 장들은 무한대의 질량을 갖게 되어, 이론에서 적분하여 없앨 수 있다.
그렇다면,  위에 정의되는 차원 장론을 얻게 된다. 이를 원래 이론의 차원 차원 축소라고 한다.

성질 
구체적으로, 장들은 차원 축소 아래 다음과 같은 표현을 갖는다. 여기서
 는 차원에서의 벡터 지표이다.
 는 차원에서의 벡터 지표이다.
 는 축소된 차원들의 지표이다.

스칼라장 
스칼라장은 차원 축소 아래 하나의 스칼라장으로 남는다.

양-밀스 장 
 차원에서, 게이지 군 에 대한 양-밀스 장 는 차원에서 1개의 양-밀스 장  및 개의 딸림표현 스칼라장 들로 분해된다.

미분 형식 
차원에서 차 미분 형식 게이지 장 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 차원에서 다음과 같은 장들을 이룬다.
 각 에 대하여, 개의 차 미분 형식 게이지장 
이때, 차 미분 형식 게이지장은 물론 쌍대화에 따라서 차 미분 형식 게이지장과 동치이다.

중력장 
차원의 중력장 은 차원에서 다음과 같이 분해된다.
 개의 스칼라장 . 이 가운데 하나는 딜라톤을 이룬다.
 1개의 중력장 
 개의 U(1) 게이지장 . 그 게이지 대칭은 차원 미분 동형 사상 게이지 대칭 가운데 차원 미분 동형 사상 게이지 대칭에 속하지 않는 것들로 구성된다.

페르미온 
페르미온은 차원 축소 아래 페르미온으로 남게 된다. 만약 가 홀수일 때, 차원에서의 바일 스피너는 차원에서의 디랙 스피너가 된다.

예 
4차원 일반 상대성 이론을 3차원으로 차원 축소한다고 하자. 이 경우, 4차원 중력장은 3차원에서 하나의 중력장과 하나의 게이지장 및 하나의 딜라톤으로 분해된다. 그런데 3차원은 다음과 같은 특별한 성질을 갖는다.
 3차원에서 중력장은 국소 자유도를 갖지 않는다.
 3차원에서 게이지장은 스칼라장과 동치이다.
즉, 이 경우 2개의 스칼라장만이 남게 되어, 일종의 시그마 모형으로 적을 수 있게 된다.

구체적으로, 4차원 필바인 을 다음과 같이 적자.

여기서
 는 3차원 필바인이다.
 는 딜라톤이다.
 는 3차원의 게이지장이다.
이 경우, 작용은 다음과 같다.

여기서 물론 지표의 올림과 내림은 3차원 계량 에 의한 것이다.
이제, 게이지장을 다음과 같이 스칼라장으로 쌍대화할 수 있다. 게이지장의 가우스 법칙

은 다음과 같은 자기 퍼텐셜 스칼라장

으로 (국소적으로) 풀 수 있다. 이를 대입하면, 다음과 같은 작용을 얻는다.

이는 에 대한 시그마 모형이며, 이 시그마 모형의 과녁 공간인 리만 다양체는 2차원 쌍곡 평면이다.

물론, 3차원 중력장은 국소 자유도를 갖지 않지만, 대역적 (위상수학적) 자유도를 가질 수 있다. 즉, 위와 같은 분석은 국소적 자유도만을 고려한 것이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

이론물리학
양자장론
끈 이론