카르탕 대합

리 군론에서 카르탕 대합(Cartan對合, )은 킬링 형식을 음의 정부호로 만드는 리 대수 대합이다.

정의 
실수 반단순 리 대수 가 주어졌으며, 그 킬링 형식

을 생각하자.

의 리 대수 자기 동형

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 카르탕 대합이라고 한다.
 (대합 조건) 
 는  위의 음의 정부호 이차 형식이다.

성질

존재와 유일성 
모든 실수 반단순 리 대수 는 카르탕 대합을 갖는다. 또한, 임의의 두 카르탕 대합 , 에 대하여

가 되는, 에 대응하는 단일 연결 리 군 의 원소 가 존재한다. 즉, 실수 반단순 리 대수에 대하여 카르탕 대합은 내부 자기 동형을 무시하면 유일하게 존재한다.

카르탕 분해 
표수가 2가 아닌 체  위의 리 대수 의 대합

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 고윳값은 이므로, 이에 대한 고유 공간

을 정의할 수 있다. 는 리 대수 자기 동형이므로,

이다. 특히, 는 부분 리 대수를 이룬다. 이를 대합 에 대한 카르탕 분해라고 한다.

만약 이며 가 카르탕 대합이라면, 다음 성질들이 추가로 성립한다.
 킬링 형식 는 에서 음의 정부호 이차 형식이며, 에서 양의 정부호이다.
 와 는 에 대하여 서로 수직이다. 즉, 이다.

예 
 위의 카르탕 대합은

이다. (여기서 은  정사각 행렬의 전치 행렬이다.) 이에 따른 카르탕 분해는

이다.

만약 실수 반단순 리 대수 의 킬링 형식이 음의 정부호라면 (즉, 콤팩트 리 군에 대응한다면), 카르탕 대합은 항등 함수이다. 이 경우 카르탕 분해는 이며 이다.

역사 
1880년대에 엘리 카르탕과 빌헬름 킬링의 업적에서 최초로 등장한다.

외부 링크 
 
 

리 군
리 대수