코시 적분 공식

복소해석학에서 코시 적분 공식(-積分公式, )은 정칙 함수를 경곗값에 대한 경로 적분으로 나타내는 공식이다.

정의 
유계 연결 열린집합 의 경계 가 유한 개의 조각마다  곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 가 에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 공식에 따르면, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

우변의 적분을 코시 적분(-積分, )이라고 부른다.

고계 도함수 
이는 에 코시 변환을 가하여 얻는 함수이므로, 임의의 음이 아닌 정수  및 에 대하여,

이다.

코시 부등식 
이에 따라, 임의의 음이 아닌 정수  및  및 에 대하여,

이다. 이를 코시 부등식이라고 한다.

증명 
임의의 를 취하자. 그렇다면, 항등식

과 코시 적분 정리에 의하여,

이며, 따라서

이다.

예 
적분

를 생각하자. 함수

는

의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 정리에 의하여

이다. 첫째 항에서 함수

는

의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여

이며, 마찬가지로 둘째 항에서 함수

는

의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여

이다. 따라서,

이다.

각주

외부 링크 
 
 

복소해석학 정리
오귀스탱 루이 코시