리 준군

미분기하학에서, 리 준군(Lie準群, )은 대상과 사상의 공간이 각각 매끄러운 다양체를 이루는 준군이다. (이산) 준군과 리 군의 공통적인 일반화이다.

정의 
리 준군은 매끄러운 다양체의 범주 속의 준군 대상이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 매끄러운 다양체 , 
 매끄러운 함수 , . 이들은 사상의 정의역과 공역을 나타낸다.
 사상의 합성 
 매끄러운 함수 . 이는 항등 사상을 나타낸다.
이 데이터는 준군의 공리들을 만족시켜야 한다.

마찬가지로, 리 2-준군(), 리 3-준군() 등등을 정의할 수 있다. 예를 들어, 리 2-준군은 2-범주 가운데, 모든 1-사상과 2-사상이 가역원을 가지며, 또한 0-사상, 1-사상, 2-사상들이 각각 매끄러운 다양체 , , 를 이루며, 정의에 등장하는 모든 사상들이 매끄러운 함수가 되는 경우이다.

예

분류 공간 

리 군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 하나의 대상만을 갖는 자명한 준군으로 여길 수 있으며, 이는 리 준군을 이룬다. 이를 와 구별하기 위하여 로 쓴다. (이에 대응하는 슈발레-에일렌베르크 대수를 설리번 대수로 여기면, 이에 대응하는 위상 공간은 의 분류 공간이다.)

만약 가 아벨 리 군일 때는, 마찬가지로 ,  등등을 정의할 수 있다. 즉, 는 하나의 0-사상, 1-사상, ……, 하나의 -사상을 가지며, 그 -사상의 매끄러운 다양체는 이다.

만약 가 아벨 군이 아니라면, 고차에서의 구성에서, 수평 합성이 수직 합성과 아래와 같이 가환해야 한다는 조건이 성립하지 못한다.

체흐 준군 
매끄러운 다양체 의 열린 덮개 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 체흐 준군() 은 다음과 같은 리 준군이다.
  의 대상들의 매끄러운 다양체는 이다. 즉, 그 대상은 가 되는 순서쌍 이다.
 의 사상들의 매끄러운 다양체는 이다. 즉, 사상 은 순서쌍 이다.
 두 사상의 합성은 단순히 이다.
 항등 사상은 단순히 의 꼴의 사상이다.

그렇다면, 다음과 같은 함자가 존재한다.

(이 함자의 공역은 모든 사상이 항등 사상인 자명한 리 준군이다.)

보다 일반적으로, 임의의 양의 정수 에 대하여, 체흐 -준군을 정의할 수 있다. 이 경우, -사상의 매끄러운 다양체는

이다.

순서쌍 리 군 
임의의 매끄러운 다양체 에 대하여, 다음과 같은 순서쌍 리 준군()을 정의할 수 있다.
 그 대상(0-사상)의 매끄러운 다양체는 이다.
 1-사상의 매끄러운 다양체는 이다.
 1-사상 , 의 합성은 이다.
이에 대응하는 리 준대수는  위의 벡터장들의 리 준대수 이다.

참고 문헌 
  재출판

외부 링크 
 
 

대칭
리 군
미분기하학
범주론