레비 확률 과정

확률론에서 레비 확률 과정(Lévy確率過程, )은 모든 증분들이 서로 독립이며 정상적이며, 또한 어떤 연속성 조건을 만족시키는 확률 과정이다.

정의

확률 연속 확률 과정 
가 균등 위상에 대한 보렐 가측 공간으로 간주한 어떤 균등 공간이라고 하자. 가 어떤 위상 공간이라고 하자.

확률 과정 이 다음 조건을 만족시킨다면, 를 확률 연속 확률 과정(確率連續確率過程, )이라고 한다.
 의 임의의 측근 에 대하여, 이다.

예를 들어, 만약 가 유클리드 공간일 경우, 이 조건은 다음과 같다.
 임의의  및 에 대하여,

무한 분해 가능 과정 
가 보렐 가측 공간으로 여겨진 위상군이라고 하자. 가 전순서가 주어진 가환 모노이드(예를 들어, , , ,  등)라고 하자.

확률 과정 이 다음 조건을 만족시킨다면, 를 무한 분해 가능 확률 과정(無限分解可能確率過程, )이라고 한다.
 (증분의 독립성) 임의의 에 대하여, 은 서로 독립인 확률 변수의 족이다.
 특히, 일 경우, 은 상수이므로 자명하게 모든 확률 변수에 대하여 독립이다.
 (증분의 정상성) 임의의 에 대하여, 의 확률 분포는 의 확률 분포와 같다.
 특히, 일 경우, 이다.

여기서 ‘증분’()이란 에 대한 확률 변수 를 뜻한다. 아벨 군에서 군 연산을 덧셈으로 표기할 경우, 이는 와 같이 표기된다.

레비 과정 
모든 위상군은 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다.

위상군 를 표본 공간으로 삼고, 음이 아닌 실수 집합 를 지표 공간으로 삼은 확률 과정

이 확률 연속 확률 과정이자 무한 분해 가능 확률 과정이라면, 레비 확률 과정이라고 한다.

성질 
모든 레비 확률 과정은 마르코프 과정이다.

레비-힌친 공식 
 값의 레비 확률 과정의 확률 분포는 다음과 같은 특성 함수에 의하여 주어진다.

여기서
 는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 선형 이동을 나타낸다.
 는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 위너 확률 과정 성분의 분산을 나타낸다.
 는 아이버슨 괄호이다.
 는  위의 시그마-유한 측도이다.
즉, 레비 확률 과정의 확률 분포는 에 의하여 결정된다.

예 
위너 확률 과정은 레비 확률 과정이다. 이 경우 는 거의 어디서나 0이 된다.

역사 
폴 피에르 레비의 이름을 땄다.

참고 문헌

외부 링크 
 

확률 과정