ADM 에너지

ADM 질량() 또는 ADM 에너지()는 ADM 형식에서 자연스럽게 등장하는 일종의 해밀토니언의 값이다.

정의 
 위의, 로런츠 부호수의 계량 가 주어졌다고 하고, 또한 계량 텐서가 공간의 무한에서 점근적으로 평탄하다고 가정하자.

이에 따라,

를 정의하자. 그렇다면, 그 ADM 질량은 다음과 같다.

여기서
 은 원점에서 반지름이 인 구면에 대하여 계산되는 적분이다.
 는 구면에 대한 수직 단위 벡터이다.
 는 구면의 넓이 원소이다.
 계수 는 슈바르츠실트 계량의 질량과 비교하여 고정된 것이다.

마찬가지로, ADM 운동량(ADM運動量, )을 정의할 수 있으며, 다음과 같다.

고차원 시공간에서도 마찬가지 정의가 가능하다.

성질 
ADM 에너지-운동량 는 점근적 로런츠 변환에 대하여 4차원 벡터로 변환한다.

존재 조건 
만약 계량이 공간의 무한에서 점근적으로 평탄하지 않다면 (예를 들어, 우주 상수가 존재한다면), 위 적분들은 수렴하지 않을 수 있다.

구체적으로, 차원 리만 다양체 가 주어졌으며, 는 유클리드 공간의 부분 집합

와 미분 동형이라고 하자 (는  속의 단위 초구). 즉, 이 경우 위 미분 동형 사상에 의하여 좌표계  및 함수 를 정의할 수 있다. 의 ADM 질량이 유한하게 존재할 충분 조건은, 다음 부등식들을 만족시키는 상수 가 존재하는 것이다.

여기서 는 인 임의의 상수이며, 는 스칼라 곡률 함수이며, 는  위의 절댓값 적분 가능 실함수들의 집합(즉, Lp 공간의 특수한 경우)이다.

양 에너지 정리 
양 에너지 정리(陽energy定理, )에 따르면, 다음이 성립한다.
 ① 우세 에너지 조건을 만족시키고, ② 점근적으로 평탄한 4차원 시공간의 ADM 에너지는 음이 아닌 실수이며,
 ①과 ②를 만족시키며, ③ ADM 에너지가 0인 4차원 시공간은 민코프스키 공간 밖에 없다.

리만-펜로즈 부등식 
점근적으로 평탄한 3차원 리만 다양체 가 주어졌다고 하고, (시간 불변 시공간으로 간주하였을 때) 그 ADM 질량이 이라고 하자. 또한, 의 극소 곡면 가운데 제일 바깥에 있는 것의 넓이가 라고 하자. (이러한 극소 곡면은 연결 공간이 아닐 수 있다.) 그렇다면, 리만-펜로즈 부등식(Riemann-Penrose不等式, )에 따르면, 다음이 성립한다.

이는 양 에너지 정리의 일반화이다.

역사 

리처드 루이스 아노윗(, 1928~2014) · 스탠리 데세르(, 1931~) · 찰스 미스너(, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다.

양 ADM 에너지 정리는 1979년에 리처드 멜빈 셰인()과 야우싱퉁이 최초로 증명하였다. 이후 1981년에 에드워드 위튼이 순간자를 통한 새 증명을 제시하였고, 이듬해에 토머스 파커()와 클리퍼드 헨리 토브스()가 위튼의 증명을 수학적으로 엄밀하게 보완하였다.

리만-펜로즈 부등식은 1973년에 로저 펜로즈가 물리학을 사용하여 추측하였으며, 2001년에 휴버트 루이스 브레이() · 게르하르트 후이스켄(, 1958~) · 톰 일매넌(, 1961~)이 수학적으로 엄밀히 증명하였다.

참고 문헌 

일반 상대성이론
리만 기하학