이합체 모형

통계역학과 그래프 이론에서 이합체 모형(二合體模型, )은 어떤 그래프 위의 완벽 부합들의 공간 위에 정의되는 통계역학 모형이다.

정의

이합체 모형 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 유한 그래프 
 실수 값 함수 . 이를 각 변의 에너지라고 한다.
그렇다면, 의 완벽 부합들의 집합을

로 표기하자. 통계 역학에서, 완벽 부합은 보통 이합체 배치(二合體配置, )라고 하며, 그래프의 변은 이합체라고 한다. 즉, 흔히 사용되는 수학 용어 및 대응되는 물리학 용어는 다음과 같다.

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.
 위상 공간은 완벽 부합의 집합 이다.
 임의의 완벽 부합 의 에너지는 부합에 속하는 변들의 에너지들의 합 이다.
 온도 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 로 정의되는 기브스 측도이다.
 
 
여기서 값 는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 이합체 모형이라고 한다.

단량체-이합체 모형 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 유한 그래프 
 실수 값 함수 . 이를 이합체 에너지(二合體energy, )라고 한다.
 실수 값 함수 . 이를 단량체 에너지(單量體energy, )라고 한다.
그렇다면, 의 부합들의 집합을

로 표기하자.

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.
 위상 공간은 부합의 집합 이다.
 임의의 부합 의 에너지는 부합에 속하는 변들의 이합체 에너지들과, 부합에 인접하지 않는 꼭짓점들의 단량체 에너지들의 합이다.
 
 온도 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 로 정의되는 기브스 측도이다.
 
 
여기서 값 는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 단량체-이합체 모형()이라고 한다.

성질

단량체-이합체 모형과 이합체 모형의 관계 
적어도 하나 이상의 완벽 부합을 갖는 유한 그래프 위에서, 만약 단량체 에너지를 무한대로 취할 경우,

단량체-이합체 모형은 이합체 모형으로 수렴한다.

상관 함수 
유한 그래프  위의 이합체 모형이 주어졌다고 하자. 각 변 에 대하여, 관측 가능량 을 지시 함수

로 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합

에 대하여, 상관 함수

를 정의할 수 있다. 만약 가 서로 닿는 두 변을 포함한다면,

이다.

보다 일반적으로, 유한 그래프  위의 단량체-이합체 모형이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 변  및 각 꼭짓점 에 대하여 지시 함수 관측 가능량

을 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합

및 꼭짓점 집합

에 대하여, 상관 함수

를 정의할 수 있다. 만약 가 서로 닿는 두 변을 포함하거나, 만약 의 원소가 의 원소와 인접한다면,

이다.

예 

2차원 이징 모형은 피셔 격자()라는 어떤 특별한 평면 삼차 그래프 위의 이합체 모형과 동치이다. 피셔 격자는 정12각형과 정삼각형으로 구성된 평면 테셀레이션의 그래프이다.

구체적으로, 평면의 정사각 격자 그래프에서, 각 꼭짓점
╳
을 나비 모양의 삼차 그래프
─┬┐ ┌┬─
 │├─┤│
─┴┘ └┴─
로 치환하여 얻는다. 즉, (45도 회전하여 그린) 사각형 격자의 부분
 ╳
╳ ╳
 ╳
은 피셔 격자의 부분
      ─┬┐ ┌┬─
       │├─┤│
─┬┐ ┌┬─┴┘ └┴─┬┐ ┌┬─
 │├─┤│       │├─┤│
─┴┘ └┴─┬┐ ┌┬─┴┘ └┴─
       │├─┤│
      ─┴┘ └┴─
에 대응한다.
이 경우, 각 꼭짓점에서 완벽 부합은 다음과 같은 8개의 가능한 꼴을 가진다.

(굵게 표현된 변이 완벽 부합에 속하는 변이다.)

즉, 이는 2차원 이징 모형의 임의의 상태에서, 각 스핀 사이의 변을
 서로 다른 스핀 사이의 변은 굵게,
 서로 같은 스핀 사이의 변은 가늘게
칠한 뒤, 각 꼭짓점을 위와 같은 8개의 나비 그래프 가운데 하나로 치환하면, 이징 모형의 각 상태와 피셔 격자의 완벽 부합 사이의 2대 1 대응을 얻는다. (2대 1인 것은 이징 모형의 상태에서 모든 스핀을 뒤집어도 같은 완벽 부합에 대응하기 때문이다.)

예를 들어, (45도 기울여서 그린) 평면 이징 모형의 상태의 일부분이
    ╲ ╱
     +
  ╲ ╱ ╲ ╱
   +   +
╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱
 −   +   +
╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲
   +   −
  ╱ ╲ ╱ ╲
     −
    ╱ ╲
와 같은 꼴이라면, 이는 다음과 같은 피셔 격자 완벽 부합에 대응한다.
      ─┰┐ ┌┰─
       ┃┝━┥┃ 
━┭┐ ┌┰─┸┘ └┸─┮┓ ┏┭─
 │┝━┥┃       │┞─┦│
━┵┘ └┸─┮┓ ┌┮━┵┘ └┶━
       │┞─┧│ 
      ━┵┘ ┗┵─

참고 문헌

독서 자료

외부 링크 
 

통계역학
그래프 이론
격자 모형