불변량

수학에서 불변량(不變量, invariant, 불변값)은 어떤 유형의 변형이 객체에 적용될 때 변경되지 않고 보존되는, 수학적 객체의 클래스에 의해서 계속 유지되는 속성을 가리킨다.

또한, 특정 클래스의 객체와 변환 유형은 해당 적용상에서 특정적으로 정의되므로,  이에 따라 불변량의 표현도 조금씩 다르게, 그리고 다양하게 표현될 수 있다.

예를 들면 불변량은 변하지 않는 고유한 값이기에 한편으로는 괴물군에서 존스 다항식처럼  동일한 매듭들에서 이들이 서로 다른 매듭들인지를 변별하는 수학적 특성이나 값을 가리킬 수도 있다.

예시
예를 들어, 삼각형의 영역에서 보면,  내각의 합이 라는 불변량을 갖는데 이러한 불변량의 값은 삼각형의 클래스에서 일정한 속성이 된다.

또 다른 예로, 피타고라스의 정리에서처럼 직각 에 대한 빗변은 항상 밑변의 제곱과 높이의 제곱의 합의 제곱근으로 나타내어지는 관계를 갖는 일종의 불변량이다.

또한, 등각 사상은 각도를 유지하는 평면의 변형으로 정의된다.

또한 함수에서도 의도된 조작으로 변하지 않는 불변량을 찾는 것이 가능하다.

이처럼 불변량은 기하학, 위상수학 및 대수학과 같은 다양한 수학 영역에서 사용된다. 몇 가지 중요한 변환 클래스는 변형되지 않는 불변 값으로 정의되기도 한다.

불변량의 정의는 수학적 객체를 분류하는 과정에서 중요한 단계이다.

불변량을 이용한 문제 접근
가우스가 제시한  불변량을 사용한 부터 까지의 합 계산식

여기서 가우스가 사용한 불변량의 값은 이다.

함수에서의 불변량
 불변량
 도널드슨 불변량
 호프 불변량
 카시미르 불변량

농도
소금물에서, 소금의 양은 변하지 않는 불변량으로 볼 수 있다.

소금물 에  소금이 만큼 녹아있다면, 이 소금물의 농도는 이다.
이 소금물에 물을 만큼 부으면, 이 소금물의 양은 이 되고 소금물의 농도는 로 변한다.
그러나 소금의 양은 여전히 으로 일정하기 때문에, 소금의 양은 일종의 불변량이라고 볼 수 있다.

각주

같이 보기 
 함수
 농도

참고
중등수학에서 활용할 수 있는 불변량에 관한 연구(http://www.riss.kr/search/detail/DetailView.do?p_mat_type=be54d9b8bc7cdb09&control_no=42ab5cf1365b8931ffe0bdc3ef48d419#redirect) 성균관대학교 교육대학원 2010 김광일

함수와 사상