관상 주변

미분기하학에서, 관상 주변(管狀周邊, )은 어떤 부분 다양체의 근방과, 이 부분 다양체의 법다발 사이의 위상 동형이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 위상 공간 
 의 부분 집합 . 그 포함 사상을 라고 하자.
의 관상 주변은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 벡터 다발 
 단사 연속 함수 . 이는 와  사이의 위상 동형을 정의해야 한다..
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 값이 항상 0인 단면 에 대하여, 이다.

성질

존재와 유일성 
매끄러운 다양체 ,  및 매끄러운 매장 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 는 항상 관상 주변을 (하나 이상) 가지며, 이 경우 벡터 다발은 법다발

으로 잡을 수 있다.

의, 법다발에 대한 관상주변들의 집합을 라고 하자. 이는 포함 관계

를 갖는다.  위에  위상을 부여할 수 있다. 만약 과 이 추가로 콤팩트 공간이라면, 그 부분 공간 는 축약 가능 공간이다. 즉, 이러한 조건 아래 관상 주변은 호모토피에 대하여 유일하다.

폰트랴긴-톰 사상 
두 콤팩트 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 매장 의 관상 주변

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 다음과 같은 연속 함수이다.

이는 물론 몫공간에 대한 표준적 전사 함수이다. 그 공역 은 정의에 따라 법다발의 톰 공간 과 위상 동형이며, 이 위상 동형의 호모토피류는 표준적이다.

특히,  (초구)인 경우를 생각하자. 휘트니 매장 정리에 따라서, 모든 차원 콤팩트 다양체는 충분히 큰 차원의 초구  속의 매장

을 갖는다. 이 경우, 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 호모토피 군의 원소

를 정의한다. 법다발은 의 구조를 가지므로, 분류 공간 로 가는, 법다발을 분류하는 사상 을 찾을 수 있다. 즉, 

이다.

선형 포함 관계

의 알렉산드로프 콤팩트화

에 따라, 이는 톰 스펙트럼()이라는 어떤 스펙트럼의 안정 호모토피 군의 원소를 정의한다. 이는 사실 매장 에 의존하지 않으며, 의 보충 경계에 대한 모든 정보를 담고 있다 (톰 정리 ).

역사 
폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 르네 톰과 레프 폰트랴긴의 이름을 땄다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

미분위상수학