게이지 변환군

이론물리학과 미분기하학에서 게이지 변환군(gauge變換群, )은 어떤 주다발의 자기 동형으로 구성된 위상군이다. 그 원소를 게이지 변환(gauge變換, )이라고 한다. 양-밀스 이론이나 천-사이먼스 이론과 같은 게이지 이론은 이러한 군을 대칭으로 갖는다.

정의

함수로서의 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 리 군 
 -매끄러운 주다발 
그렇다면, 의 게이지 변환은 의 자기 동형 사상이다. 즉, 매끄러운 함수

가운데, 등변 함수 조건

을 만족시키는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

두 게이지 변환 는 다음과 같이 점별 곱셈으로 곱할 수 있다.

그렇다면, 게이지 변환들의 집합은 위상군을 이룬다. 이를 게이지 변환군이라고 한다.

연관 다발을 통한 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 리 군 
 -매끄러운 주다발 
그렇다면, 연관 다발 을 취할 수 있다. 여기서 의, 스스로 위의 왼쪽 군 작용은 켤레 이다.
이 올다발의 매끄러운 단면

을 의 게이지 변환이라고 한다.

이 정의는 함수로서의 정의와 동치이다.

무한소 게이지 변환 
게이지 변환군 에 대응하는 실수 리 대수는 딸림표현 연관 벡터 다발

의 매끄러운 단면

의 실수 벡터 공간이다. 이 경우, 의 리 괄호는 의 딸림표현 작용에 공변이므로,

이는  위에 점별로 잘 정의되며, 이는 실수 리 대수를 이룬다. 그 원소는 무한소 게이지 변환()으로 해석될 수 있다.

큰 게이지 변환 
게이지 변환군 는 위상군이며, 그 연결 성분의 군

을 정의할 수 있다. 이를 큰 게이지 변환()의 군이라고 한다. 반면, 항등원을 포함하는 연결 성분 의 원소를 작은 게이지 변환()이라고 한다.

성질

연관 벡터 다발의 단면 위의 작용 
임의의  위의 의 유한 차원 실수 표현 이 주어졌을 때, 연관 벡터 다발

의 매끄러운 단면의 공간 를 생각할 수 있다. 게이지 변환군 은 그 위에 다음과 같은 표준적인 왼쪽 군 작용을 갖는다.

여기서

는 연관 벡터 다발의 정의에 등장하는 전사 함수이다.

주접속과 주곡률 위의 작용 
매끄러운 다양체  위의 -주다발  위의 주접속 이 주어졌다고 하자. 의 게이지 변환 는 주다발의 자기 동형

를 정의하며, 따라서 주접속 위에도

와 같이 작용한다.

게이지 변환군은 주접속 의 곡률  위에 마찬가지로 다음과 같이 작용한다.

반면, 예를 들어, 킬링 형식  및 준 리만 계량 에 대하여, 양-밀스 라그랑지언 는 게이지 불변이다.

큰 게이지 변환에 대한 레벨의 양자화 
매끄러운 다양체  위의 주다발 를 생각하자.

어떤 작용 가 게이지 변환 에 대하여 다음과 같은 꼴로 변환한다고 하자.

,  ()

여기서 의 당김은 켤레 변환 불변성에 대하여 의 임의의 국소 자명화에 상관없이 잘 정의된다.

이론이 양자장론에 따라 잘 정의되려면 (즉, 가 게이지 불변이려면), 항상

이어야 한다.

만약 가 작은 게이지 변환이라면, 가 완전 미분 형식이 된다. 즉, 라고 하면,

가 되어, 이 작용은 작은 게이지 변환에 대하여 불변임을 알 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환에 대하여 불변이 아닐 수 있다. 즉, 만약 가 자명하지 않은 코호몰로지류를 갖는다면, 이는 이론에서

의 꼴의 제약을 유도한다. 이는 디랙 양자화의 한 경우이다. (여기서 는 실수 계수 기본류이다.)

특히, 만약 일 경우, 이는

를 유도한다. 이 경우, 이 값 를 레벨()이라고 한다.

예를 들어, 아벨 또는 비아벨 천-사이먼스 이론이 이와 같은 경우에 해당한다.

예

자명한 주다발 
가 자명한 주다발이라고 하자 (즉, 대역적 단면이 주어졌다고 하자). 이 경우, 표준적으로 가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 가 된다.
함수를 통한 정의:
만약 가 자명한 주다발이라면, 매끄러운 함수 에 대응하는 게이지 변환은

이다.
연관 다발을 통한 정의:
만약 가 자명한 주다발이라면, 이다. 구체적으로, 의 올을

로 정의하면, 모든 동치류는

의 동치 관계 아래 의 꼴의 대표원을 갖는다.

만약 이 초구이며, 가 자명한 주다발이라면, 큰 게이지 변환의 군은 호모토피 군 과 집합으로서 같다. 그러나 호모토피 군으로서의 군 연산은 큰 게이지 변환의 군으로서의 군 연산과 일반적으로 다르다.

특히, 만약 이며, 가 콤팩트 단순 리 군일 경우,  (무한 순환군)이 된다.

아벨 주다발 
만약 가 아벨 리 군이라고 하고, 이를 올로 갖는 매끄러운 주다발 를 생각하자. 이 경우,  위의 켤레 작용이 자명하므로, 표준적으로

가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 가 된다. 마찬가지로, 무한소 게이지 변환은 리 대수 값 미분 형식 가 된다.

이 경우, 주접속의 곡률은 사실  위의 리 대수 값 미분 형식 가 되며, 이는 게이지 불변이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

양자장론
미분기하학
게이지 이론