융합 규칙

이론물리학과 추상대수학에서 융합 규칙(融合規則, )은 2차원 등각 장론에 대응되는 특별한 대수 구조이다. 융합 규칙은 1차장 사이의 연산자 곱 전개에 어떤 1차장이 등장하는지를 기록하며, 그 계수는 모듈러 S변환과 페를린더 공식()이라는 공식으로 계산될 수 있다. 융합 규칙에는 항상 자연스럽게 융합환(融合環, ) 또는 페를린더 대수(Verlinde代數, )라는 가환환이 대응된다.

정의 
유한 집합  및 대합

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로 생성되는 자유 가환 모노이드

를 생각할 수 있다. 그 원소는 의 원소들로 구성된 중복집합으로 생각할 수 있다.

 위의 융합 규칙은 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수

이다.
 (규격화) 
 (대합에 대한 대칭) 
 (융합) 
 (부호) 
 (비퇴화성)

성질

항등원과 3점 계수 
임의의 융합 규칙 가 주어졌을 때, 어떤 원소 에 대하여

이게 된다. 이를 융합 규칙의 항등원()이라고 하며, 보통 단순히 로 표기한다. (이는 2차원 등각 장론에서 항등 연산자에 해당한다.)
증명:
공리로부터,

이다. 이므로, 이는 어떤 인 경우 이며 다른 나머지 에 대하여 임을 의미한다. 그런데 공리에 의하여 인 가 존재하여야 하므로, 이는 일 수 밖에 없으며, 이다. 이므로 이다.
이는 다음과 같이 항등원을 이룬다.

증명:
공리로부터,

이다.
또한, 항상 다음이 성립한다.

증명:
공리로부터,

이다. 를 만족시키는 정수 는 0 및 1 밖에 없다. 이 경우 이므로

이며, 따라서

이다.

만약 이라면, 임의의 에 대하여

인데, 이는 공리에 의하여 불가능하다. 따라서 항상 이다.

사실, 융합 규칙은 다음과 같은 데이터로만 완전히 결정된다.
 항등원 
 3점 계수 
증명:
2점 이하의 계수는 로 완전히 결정된다. 또한,

이므로, 점의 계수는 3점 계수와 점 계수로 결정된다. 물론, 3점 계수 에서 만약  가운데 하나가 에 속한다면 그 값은 자명하다.
보통 3점 계수는

로 표기한다. 대칭에 의하여

가 된다. (는 크로네커 델타이다.) 즉, 융합 규칙은 다음 조건을 만족시킨다.
s
만약 를 행렬 로 표기한다면, 이는 다음과 같다.

즉, 이 조건은 융합 행렬들이 서로 교환 법칙을 따르는 것으로 해석할 수 있다. 따라서, 복소수 계수에서 이들을 동시에 대각화하는 기저를 찾을 수 있다. 페를린더 공식에 따라서, 이 기저는 모듈러 변환의 S행렬에 의하여 주어진다.

고차 종수 융합 규칙 
융합 규칙  및 자연수 에 대하여, 다음과 같은 함수들을 재귀적으로 정의할 수 있다.

이들은 2차원 등각 장론에서, 종수 의 콤팩트 리만 곡면 위에 정의된 상관 함수에 대응된다.
그렇다면, 이는 다음과 같은 성질을 따른다.

융합환 
융합 규칙 이 주어졌을 때, 로 생성되는 자유 아벨 군  위에 다음과 같은 -쌍선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.

이는 항등원 을 갖는 가환환을 이루며, 융합환이라고 한다.

특히, 융합환 의 가환환으로서의 항등원은 0개의 원소의 곱이므로,

이다. 즉, 융합환의 항등원은 융합 규칙의 항등원과 같다. 물론 1개의 원소의 곱은

이므로 이 정의는 일관적이다. 이 정의가 결합 법칙을 따르는 이항 연산을 정의하는 것은 융합 규칙의 융합 공리에서 비롯된다.

융합환  위에는 항상 다음 조건을 만족시키는 덧셈 군 준동형

이 존재한다.

따라서 는 -가군의 동형 사상

을 정의한다. 따라서, 모든 융합환은 고런스틴 환이다. 이 가군 동형에서, 대각합

에 대응되는 의 원소는 카시미르 원소

이다.

등각 장론의 융합환 
2차원 등각 장론 가운데 최소 모형이 주어졌다고 하자. 이 경우, 를 1차장의 집합으로 놓고, 를 항등 함수로 놓고,

로 놓자. (여기서 는 등각 장론의 3점 상관 함수의 계수이다.) 그렇다면, 이는 융합 규칙을 정의한다.

보다 일반적으로, 비라소로 대수 대신 초대칭 비라소로 대수나 아핀 리 대수(베스-추미노-위튼 모형)에 대한, 유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에 대해서도 유사하게 융합환을 정의할 수 있다. 이 경우 대합 이 자명하지 않을 수 있다.

페를린더 공식 
유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에서, 최고 무게 표현들의 지표가

라고 하자. 그렇다면, 원환면 위에서의 모듈러 불변성

에 의하여

가 되는 행렬

이 존재한다. (보다 일반적으로,  위에는 의 표현이 존재한다.) 는 항상 유니터리 행렬이며, 대칭 행렬이며 (※에르미트 행렬이 아니다), 이다.

이 경우, 다음과 같은 페를린더 공식()이 성립한다.

여기서 는 성분별 복소켤레이다 (즉, ).

예

이징 모형 
임계 2차원 이징 모형에 해당하는 최소 모형 을 생각하자. 이 경우, 세 개의 일차장이 존재하며, 다음과 같다.

이에 대응되는 융합 규칙은 다음과 같다.

이 경우, 페를린더 대수는 3차원이며, 다음과 같다.

즉, 곱셈이 다음과 같다.

베스-추미노-위튼 모형 
다음이 주어졌다고 하자.
 복소수 단순 리 대수 
 의 카르탕 부분 대수 
 따라서, 근계 를 정의할 수 있다.
 근계  위의 순서. 이에 따라서 최고(最高) 근 을 고를 수 있다.
 양의 정수 
이제, 의 우세 무게  가운데 인 것들의 집합을 라고 하자. 이들은 아핀 리 대수 의 준위 의 표현들과 일대일로 대응한다. 에 대응하는 -표현을 라고 표기하자.

이제, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 콤팩트 연결 리만 곡면 
 의 유한 부분 집합 
 함수 
그렇다면, 의 표현

을 생각하자. 또한, 값 정칙 함수의 복소수 리 대수 는 이 표현 위에 표준적으로 작용한다. 따라서, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다.

여기서 는 의, -작용에 대한 쌍대불변량의 공간, 즉 에 불변인, 의 가장 큰 몫 벡터 공간이다. 

아핀 리 대수 의 표현을 갖는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형을 정의할 수 있다. 이 경우, 복소수 벡터 공간 는 각 점 에 에 해당하는 일차장을 삽입한 경우의 등각 블록이다.

두 유한 집합 ,  및 전단사 함수 가 주어졌을 때, 표준적인 벡터 공간 동형 사상

이 주어진다. 즉, 등각 블록의 차원은 선택한 점들의 수 및 대응되는 표현에만 의존하고, 점의 위치에 의존하지 않는다.

이 경우, 다음과 같은 융합 규칙을 생각하자.

즉, 이는 리만 구 위의 등각 블록의 차원이다. 이는 베스-추미노-위튼 모형에 대응되는 융합 규칙이다.

역사 

에릭 페를린더(, 1962〜)가 1988년에 2차원 등각 장론을 연구하기 위하여 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

등각 장론