구면 모형

통계역학에서 구면 모형(球面模型, )은 강자성을 나타내는 간단한 격자 모형이다. 이징 모형과 유사하나, 이징 모형과 달리 임의의 차원에서 정확히 간단히 풀 수 있다. 2차원 이하에서는 상전이를 갖지 않지만, 2차원 초과에서는 상전이를 갖는다. 이 모형의 임계 지수들은 일반적으로 차원에 의존하는 독특한 현상을 보인다.

정의 
구면 모형은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 유한 그래프 
 함수 , . 이는 외부 자기장을 뜻한다.
 함수 , . 이는 온도의 역수를 뜻한다.
이 모형에서, 변수는 그래프 꼭짓점 위의 “스핀”의 분포이다. 여기서 “스핀”은 임의의 실수 값을 가질 수 있지만, 모든 스핀들의 제곱평균제곱근은 1이어야 한다.

즉, 짜임새 공간은 유클리드 공간  속의, 반지름 의 초구이다.

구형 모형의 분배 함수는 다음과 같다.

이는 다음과 같이 표기할 수 있다. 우선, 실수 힐베르트 공간

위의 연산자

를 정의하자. 여기서 는 의 인접 행렬이다.

즉, 만약 가 상수 함수라면 이다.

그렇다면, 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다.

여기서 디랙 델타를

로 표현하였다. 여기서, 는 의 모든 고윳값의 실수 성분이 양수가 되게 충분히 커야 한다.

즉, 이 경우

이 된다.

즉,

이다. 여기서 는 의 고유 벡터로 구성된 정규 직교 기저이다.

성질

최급강하법 근사 
그래프가 매우 큰 경우, 다음과 같이 최급강하법을 사용하여 분배 함수를 근사할 수 있다. 구체적으로, 분배 함수를 다음과 같이 적자.

이다. 여기서

라고 가정하였다. (예를 들어, 만약 가 원환면 그래프(개의 순환 그래프들의 그래프 데카르트 곱)이며, 자기장  또한 상수 함수라면, 위 조건이 성립한다.)

그렇다면, 인 극한에서,

가 된다.

원환면 그래프 
가 크기 의 순환 그래프 의 겹 그래프 데카르트 곱이라고 하자. 즉, 이는 주기적 경계 조건이 주어진 차원  초입방체에 해당한다. 이 경우, 의 스펙트럼은 다음과 같은 중복집합이다.

따라서 가 상수 함수일 때,  극한에서, 은 따라서  위의 적분으로 근사될 수 있다.

이러한 그래프에서, 상수 함수 자기장 는 의 인접 행렬의 고유 벡터이며, 따라서 이 경우 자기장의 항 역시 계산될 수 있다.

이 경우, 상태 방정식은 다음과 같다.

여기서
 는 온도이다.
 은 의 평균값이다.
 는 다음과 같이 정의되는 함수이다. 이는 의 적분 근사에서 유래한다.

이 경우

가 된다. 여기서 는 0차 베셀 함수이다.

이 경우

 
이다. 따라서,
 일 때 구면 모형은 상전이를 갖지 않는다. 즉, 퀴리 온도가 0이다.
 일 때 구면 모형은 1차 상전이를 갖는다. 즉, 퀴리 온도가 (유한한) 양수이며, 그 역수는

이다.

일 때, 임계 지수들은 다음과 같다.

즉, 이 경우 임계 지수들이 에 의존하게 된다.

이징 모형과의 관계 
물리학적으로, 이는 이징 모형의 근사로 여겨질 수 있다. 이징 모형에서 분배 함수는 차원 유클리드 공간 속의 초입방체의 개 꼭짓점에 대한 합을 취하는 것인데, 이 모형은 이를 대신 비슷한 크기의 초구의 표면에 대한 적분으로 근사한다.

역사 

1952년에 시어도어 벌린(, 1917-1963)과 마레크 카츠(, 1914-1984)가 도입하였다.

참고 문헌 

격자 모형