호모토피 범주

호모토피 이론에서 호모토피 범주(homotopy範疇, )는 주어진 모형 범주에서, 모든 약한 동치를 동형 사상으로 만들어 얻는 범주이다.

정의 
모형 범주 가 주어졌다고 하자. 이에 대응하는 호모토피 범주() 는 다음과 같은 범주이다.
 의 대상들은 의 대상 가운데 올대상이자 쌍대올대상인 것들이다.
 의 사상들은 의 사상들의 호모토피류이다. (정의역과 공역이 모두 올대상이자 쌍대올대상일 경우), 오른쪽 호모토픽 및 왼쪽 호모토픽 조건이 서로 동치이다.

성질 
모형 범주 에서, 그 호모토피 범주로 가는, 다음 조건을 만족시키는 함자

가 항상 존재한다.
  속의 약한 동치 의 상 는 의 동형 사상이다.
 올대상이자 쌍대올대상인 대상 의 상 는  자신이다.
 올대상이자 쌍대올대상인 두 대상  및 사상 에 대하여, 는 의 호모토피류이다.

이러한 함자는 일반적으로 유일하지 않으나, 이러한 두 함자 사이에는 항상 유일한 자연 동형이 존재한다.

퀼런 수반 
두 모형 범주 ,  사이의 퀼런 수반 함자

가 주어졌을 때, 각각 왼쪽 유도 함자

및 오른쪽 유도 함자

를 정의할 수 있으며, 이 역시 서로 수반 함자

를 이룬다.

예 
위상 공간의 (퀼런) 모형 범주의 호모토피 범주는 CW 복합체와 그 사이의 연속 함수의 호모토피류들의 범주와 동치이다.

외부 링크 
 
 

호모토피 이론
범주론