양-밀스 순간자

미분기하학에서 양-밀스 순간자(楊-Mills瞬間子, )는 4차원 매끄러운 다양체 위의 주다발의 주접속 가운데, 그 주곡률의 호지 쌍대가 스스로의 −1배와 같은 것이다. 양자역학에서, 이는 양-밀스 이론의 특별한 (고전적) 해에 해당하며, 순간자로 해석될 수 있다. 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간으로부터 도널드슨 불변량을 정의할 수 있다.

정의

(반) 자기 쌍대 형식 
다음이 주어졌다고 하자.
 차원 유향 콤팩트 리만 다양체 
  위의 임의의 매끄러운 벡터 다발  및 그 위의 양의 정부호 내적 
그렇다면, 벡터 값 미분 형식의 공간 를 정의할 수 있으며, 그 호지 쌍대

를 정의할 수 있다. 물론, 차 미분 형식에 대하여 이다.

특히, 가운데 차수 (차) 미분 형식에 대하여, 호지 쌍대는 자기 사상을 이루며, 이 경우 이다. 만약 이 짝수일 경우, 의 고윳값은 ±1이 된다. 이에 따라, 가운데 차수 미분 형식의 공간을 호지 쌍대의 고유 공간에 따라 다음과 같이 분해할 수 있다.

여기서 의 원소는 자기 쌍대 미분 형식(), 의 원소는 반 자기 쌍대 미분 형식()라고 한다. 이에 대한 사영 사상을

라고 표기하자.

(만약 이 홀수라면, 의 고윳값은 가 된다. 따라서 복소수 계수에서 유사한 분해를 가할 수 있다.)

다양체 의 방향을 뒤집으면, 자기 쌍대 미분 형식은 반 자기 쌍대 미분 형식이 되며, 그 역도 마찬가지다. 즉, 자기 쌍대 / 반 자기 쌍대의 선택은 임의적이다.

순간자수 
다음이 주어졌다고 하자.
 4차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체 
 콤팩트 리 군 
  위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 
 -매끄러운 주다발 
그렇다면, 의 천-베유 준동형

을 정의할 수 있으며, 의 천-베유 준동형 아래의 상

를 정의할 수 있다. 이는 천 특성류로 정의되는 특성수이며, 모든 가능한 주다발들에 대하여 그 값들은 어떤 에 대하여

의 꼴이다. 이 경우, 를 주다발 의 순간자수()라고 한다. (이는  아래 부호의 모호성을 가진다.)

만약  (4차원 초구)이며, 가 콤팩트 단순 리 군이라면,  위의 -주다발은 순간자수만으로 완전히 분류된다.
증명 개략:
 위의 주다발이 주어졌다고 하자. 그 위에 임의의 주접속 를 부여하자. 또한, 어떤 임의의 점 을 무한대로 여겨, 로 여길 수 있다.

4차원 유클리드 공간 은 축약 가능 공간이므로, 그 위의 -주다발은 하나 밖에 없으며, 이를 자명한 주다발로 여길 수 있다. 는 그 위의 주접속으로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간 의 무한대는 이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속 함수

를 나타낸다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 같은  위의 서로 동형인 주다발에 정의될 수 있다. 따라서, 주다발들은  호모토피류, 즉 의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다. 그런데 가 콤팩트 단순 리 군이라면 이는 이며, 이는 순간자수에 해당한다.

(반) 자기 쌍대 주접속 
다음이 주어졌다고 하자.
 4차원 유향 콤팩트 리만 다양체 
 콤팩트 리 군 
  위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 
 -매끄러운 주다발 
그렇다면, 의 주접속들을 생각하자. 연관 벡터 다발

을 정의하면, 주접속 모듈라이 공간은

에 대한 아핀 공간이다. (는 의 딸림표현이다.) 주접속 로부터, 주곡률 을 정의할 수 있다. 가 양의 정부호 2차 불변 다항식이므로, 이는  위의 양의 정부호 내적을 정의한다. 따라서 주곡률의 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

주접속 가운데, 그 주곡률이 반 자기 쌍대인 것을 반 자기 쌍대 주접속() 또는 양-밀스 순간자()라고 한다.

이 경우, 게이지 변환에 대하여 서로 동치인 주접속은 같은 순간자로 간주한다. 이 경우 게이지 변환군은

이다. 이 대신, 에 임의의 밑점을 골라 점을 가진 공간 을 만들어, 밑점에서 자명한 게이지 변환들의 부분군

을 생각할 수 있다. 이는 짧은 완전열

을 이룬다. 에 대한 반 자기 쌍대 주접속의 동치류를 틀 갖춘 순간자()이라고 한다. 순간자의 모듈라이 공간을 , 틀 갖춘 순간자의 모듈라이 공간을 이라고 하면, 이는 -주다발

을 이룬다.

성질

순간자 모듈라이 공간의 국소 모형 
반 자기 쌍대 주접속의 모듈라이 공간 의 접공간은 다음과 같이 묘사할 수 있다. 우선, 반 자기 쌍대 주접속 이 주어졌을 때, 다음과 같은 짧은 완전열을 정의할 수 있으며, 이를 순간자 변형 복합체(瞬間子變形複合體, )라고 한다.

완전열 조건의 증명:
임의의 가 주어졌을 때,

이다. 여기서 는 의 주곡률이다. 가 반 자기 쌍대 2차 미분 형식이라고 가정하였으므로,

이다.
여기서
 는 자기 쌍대 미분 형식으로 구성된, 의 부분 실수 벡터 공간이다.
 는 자기 쌍대 2차 미분 형식에 대한 사영이다.
 는 에 대한 공변 미분이다.
순간자 변형 복합체의 (가운데) 코호몰로지 군

은 의, 에서의 접공간과 표준적으로 동형이다. 그 해석은 다음과 같다. 임의의 에 대하여,
  조건은 반 자기 쌍대 조건이 성립해야 함을 뜻한다.
  조건은 게이지 변환군의 작용에 대한 몫을 취한 것이다.

순간자 변형 복합체의 오일러 지표

를 모듈라이 공간의 가상 차원(假想次元, )이라고 한다. 이는 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산될 수 있으며, 모듈라이 공간의 실제 차원의 하계를 이룬다. 많은 주접속의 경우, 이는 실제 차원과 일치한다.

주다발 에 대하여, 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 다음과 같다.

여기서 는 순간자수이며, 는 의 이중 콕서터 수이다. 즉, 이는 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 하계이다. 틀이 없는 순간자 모듈라이 공간의 차원은 물론 이보다 만큼 작다.

순간자 모듈라이 공간 
양-밀스 순간자의 모듈라이 공간 를 생각하자. 그 위에는 의 리만 계량 및  위의 2차 불변 다항식으로 유도되는 리만 계량이 존재한다.

만약 이 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화라면, 이에 따라 틀 달린 순간자 모듈라이 공간 는 (특이점을 제외하면 국소적으로) 초켈러 다양체를 이룬다. 특히, 그 가상 차원은 항상 4의 배수이다.

4차원 유클리드 공간(의 콤팩트화) 위에서, 게이지 군이 일 경우, 1차 및 2차 베티 수가 0이므로, 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 일치하며, 다음과 같다.

모든 순간자들을 평행 이동시킬 수 있고, 이 방향으로는 모듈라이 공간이 평탄하다. 즉, 모듈라이 공간 은  등거리 대칭을 갖는다. 이에 대한 몫을 취하면,  차원의 초켈러 다양체를 얻는다.

ADHM 작도 

4차원 유클리드 공간의 콤팩트화 (즉, 4차원 초구)  위의 양-밀스 순간자 모듈라이 공간은  게이지 이론의 힉스 가지()로 나타낼 수 있다. 이를 통해 순간자를 힉스 가지의 모듈라이로 작도할 수 있다. 이를 ADHM 작도라고 한다. 마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 1978년에 3쪽밖에 되지 않는 유명한 논문에 발표하였다.

보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 
(반) 자기 쌍대 주접속은 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식(, BPS 부등식)을 충족시킨다.

 위의 부피 형식 가 리만 계량에 의하여 주어지며, 또한  위에 양의 정부호 쌍선형 형식을 이루는 2차 불변 다항식 이 주어졌다고 하자. (반단순 리 대수의 경우, 이는 킬링 형식에 비례한다.) 이 경우,  위에 자연스러운 양의 정부호 내적

이 주어진다. 이 내적 아래, 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간과 반 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간은 서로 수직이다.

이에 대한 주곡률의 노름 을 주접속의 양-밀스 작용()이라고 하며, 이는 양-밀스 이론의 작용이다. 임의의 주곡률

의 (반) 자기 쌍대 성분을 이라고 하자 (, ). 그렇다면

이다. 우변은 의 (어떤 충실한 표현에 대한 연관 벡터 다발의) 2차 천 특성류(의 절댓값)에 비례한다. 즉, 양-밀스 작용은 천 특성류의 절댓값에 의하여 하계를 갖는다. 이를 주접속의 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식이라고 한다.

(반) 자기 쌍대 접속의 경우,  또는 가 0이므로, 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 부등식이 포화된다. 즉, (반) 자기 쌍대 접속은 양-밀스 작용을 (국소적으로) 최소화시킨다.

예

유클리드 공간 
4차원 유클리드 공간  위의, 게이지 군 의 양-밀스 순간자를 생각하자. 의 콤팩트화 는 자명한 위상을 가지므로, 그 위의 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 같다.

예를 들어, 인 경우 이중 콕서터 수는 이며, 틀 달린 순간자 모듈라이 공간의 차원은 이다. 하나의 순간자()인 경우, 이는 다음과 같다.
 4차원 공간 속의 점입자이므로, 4개의 평행 이동() 자유도가 있다.
 4차원 순수 양-밀스 이론(또는 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론)은 등각 장론이므로, 순간자의 크기를 마음대로 놓을 수 있다. 이에 따라 1개의 확대 변환() 자유도가 있다.
 이므로, 원점에서 무한히 떨어진 에서 순간자의 게이지 퍼텐셜은 이 SU(2)를 따라 감기게 된다. SU(2)는 3차원이므로, 무한대에서 상수 게이지 변환 3개가 있다.
 에서 SU(2) 부분군을 골라야 하는데, 이 모듈라이 공간은 잉여류 공간

이고, 그 차원은

이다.
따라서, 순간자수 1의 모듈라이 공간의 가상 차원은

이다. 만약 순간자수가 라면, 순간자들이 멀리 떨어져 있을 경우 차원이 이 되며, 모듈라이 공간의 가상 차원은 일정하므로 이는 순간자들이 서로 가까이 있을 때에도 성립한다.

하나의 순간자의 모듈라이 공간은

이다. 이 경우, 오비폴드의 특이점은 작은 순간자 극한에 해당한다.

칼로론 

 위의 양-밀스 순간자는 칼로론이라고 하며, 잘 알려져 있다.

초켈러 다양체 
점근 국소 유클리드 공간과 토브-너트 공간의 경우에도 양-밀스 순간자가 알려져 있다.

토브-너트 공간 위의 (무한대에서 주어진 모노드로미 행렬 을 갖는) 개의 SU(2) 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간은 초켈러 축소

로 주어진다. 이는 활 도형()으로 유도할 수 있다. 따라서, 모듈라이 공간의 실수 차원은

이다.

역사 
양-밀스 순간자의 수학적 중요성은 사이먼 도널드슨이 1983년에 지적하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

미분기하학
게이지 이론