정규화 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, )는 아벨 범주의 단체 대상에 대하여 정의되는 사슬 복합체이다. 이는 아벨 범주의 단체 대상의 범주와 자연수 등급 사슬 복합체의 범주 사이의 동치를 정의하며, 이 동치를 돌트-칸 대응(Dold–Kan對應, )이라고 한다.

정의

무어 복합체 
다음이 주어졌다고 하자.
 아벨 범주 
 준단체 대상 
이제, 다음을 정의하자.

그렇다면, 은  사슬 복합체를 이루며, 이를 준단체 대상 의 무어 사슬 복합체()라고 한다.
증명:
편의상 집합

및

을 정의하자. 이 사이에는 전단사 함수

가 존재한다.

그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다.

사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상 
다음이 주어졌다고 하자.
 아벨 범주 
  속의 자연수 등급 사슬 복합체

이제, 에 다음과 같은 준단체 대상의 구조를 줄 수 있다.

퇴화 복합체와 정규화 복합체 
다음이 주어졌다고 하자.
 아벨 범주 
 단체 대상 
이제, 다음을 생각하자.

(※ 에서, 합이 을 포함하지 않는다.)

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

그렇다면, 와  둘 다 역시 사슬 복합체를 이룬다. 을 퇴화 사슬 복합체(退化사슬複合體, )라고 하며, 을 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, )라고 한다.
퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명:
퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

여기서 는 임의의 사상이다.

그런데

이다.
정규화 사슬 복합체의 존재의 증명:
의 핵의 경계가 의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

여기서 는 임의의 사상이다.

그런데

이다.

준단체 대상에 대응하는 단체 대상 
우선, 다음 기호를 정의하자.
 은 모든 전사 증가 함수  ()들의 집합이다.

아벨 범주  속의 준단체 대상

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은  위의 단체 대상을 정의할 수 있다.

즉, 각 에 대하여 포함 사상

이 있다.

그 위의 단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주  속의 임의의 사상(증가 함수)은 전사 증가 함수와 단사 증가 함수의 합성으로 유일하게 표현된다.

임의의 단체 범주 사상

에 대하여,

은 다음과 같다.

여기서,
 은 가 의, 단사 함수()와 전사 함수()로의 (유일한) 분해임을 뜻한다.
 은 함자  아래의, 의 상이다.

성질

짧은 완전열 
아벨 범주  속의 단체 대상 에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체의 짧은 완전열이 존재한다.

즉,

이다.

정규 사슬 복합체의 표준 분해 
아벨 범주  속의 단체 대상 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다.

여기서

은 함자  아래 의 상이다.

돌트-칸 대응 
아벨 범주  위에서, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

여기서
 는  위의 단체 대상의 범주이다.
 는  위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체들의 범주이다.

이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다.
 는 단체 대상에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다.
 는 자연수 등급 사슬 복합체에 대응되는 준단체 대상에 대응되는 단체 대상이다.

또한, 이 범주의 동치는 자연 동형으로부터 유도된다. 즉, 자연 동형

가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자를 이룬다.

모형 구조 
돌트-칸 대응을 사용하여,  위의 모형 범주 구조를 에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은 와  사이의 퀼런 동치를 이룬다.

이 경우, 의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군의 동형을 유도하는 것이다.

역사 
돌트-칸 대응은 알브레히트 돌트와 다니얼 칸이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 칸 확대의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 가군의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 디터 푸페는 곧 이를 임의의 아벨 범주에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

 
 
 

호몰로지 대수학
호모토피 이론