무어-펜로즈 유사역행렬

선형대수학에서 무어-펜로즈 유사역행렬(Moore-Penrose疑似逆行列, )은 모든 모양의 행렬에 대하여 정의되는 연산이며, 가역 행렬의 역행렬 연산을 일반화한다. 특잇값 분해를 통해 계산할 수 있다.

정의 
체 가 주어졌다고 하고, 그 위의 체의 대합

이 주어졌다고 하자. (예를 들어, 복소수체의 복소켤레 등이 있다. 이를 항등 함수로 놓을 수도 있다.) 그렇다면,  계수 행렬의 에르미트 수반

의 개념이 정의된다.

임의의 계수  행렬

의 무어-펜로즈 유사역행렬

은 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 행렬이다.
 
 즉, 는 일반적인 단위행렬일 필요는 없으나, 의 모든 열벡터를 보존하는 행렬이어야 한다.
 
 즉, 는 반군에서의 약한 역이다.
 
 즉, 는 에르미트 행렬이다.
 
 즉, 도 에르미트 행렬이다.

성질

존재와 유일성 
무어-펜로즈 유사역행렬은 항상 존재하며, 유일하다. 즉, 임의의 행렬 에 대하여, 무어-펜로즈 유사역행렬 정의의 네 가지 조건을 만족하는 행렬 는 반드시 정확히 한 개 존재한다.

반면, 이 네 조건 가운데 하나를 제거하면 이는 더 이상 유일하지 않다.

연산과의 호환 
무어-펜로즈 유사역행렬 연산은 전치 행렬 연산 · 성분별 켤레 · 켤레전치와 교환 법칙을 따른다.

행렬 에 스칼라를 곱한 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 를 그 스칼라로 나눈 것과 같다.

무어-펜로즈 유사역행렬은 스스로의 역함수이다.

행렬 곱셈과의 호환 
무어-펜로즈 유사역행렬은 (역행렬 연산과 달리) 일반적으로 행렬 곱셈과 호환되지 못한다. 다만, 호환을 보장하는 충분 조건들이 존재한다.

구체적으로, 임의의 두 행렬

이 주어졌으며, 다음 네 조건 가운데 적어도 하나 이상이 성립한다고 하자.
 이다.
 이다.
 의 열벡터들은 모두 서로 선형 독립이며, 또한 의 행벡터들도 모두 서로 선형 독립이다.
 이다.
그렇다면, 다음과 같이 무어-펜로즈 유사역행렬은 행렬 곱셈과 호환된다.

그러나 이는 임의의 행렬에 대하여 성립하지 않는다.

대수적 표현 
는 모든 행렬 에 대하여 항상 유일하게 존재하지만, 일부 경우 이는 간단한 대수적 공식을 갖는다.

구체적으로, 만약 의 열벡터가 모두 -선형 독립이라면, 는 가역 행렬이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

이러한 무어-펜로즈 유사역행렬을 좌측 역행렬이라고 하는데, 가 성립하기 때문이다.

반대로, 의 행벡터가 모두 -선형 독립인 경우, 는 가역 행렬이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

이러한 경우에는 가 성립하므로, 를 우측 역행렬이라고 부른다.

물론, 의 열벡터와 행벡터 모두 -선형 독립인 경우는  및 가 가역 행렬이며, 이 경우

이다.

특잇값 분해로의 표현 
행렬 가 다음과 같은 특잇값 분해를 갖는다고 하자.

그렇다면, 의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

여기서, 에 대하여

이다.

예 
가역 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 역행렬이다.

1×1 행렬 
 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

대각 행렬 
직사각형 대각 행렬

의 경우, 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

여기서 는 1×1 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬(즉, 가역원일 경우 역원, 0일 경우 0)이다.

특히, 영행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 그 행렬의 전치 행렬인 영행렬이다.

응용 
무어-펜로즈 유사역행렬은 유일한 해가 존재하지 않는 선형연립방정식에서 최소제곱법에 따른 최적해를 구하기 위해 흔히 사용된다. 혹은 해가 여러 개 존재하는 선형연립방정식에서 유클리드 노름을 최소화하는 해를 찾는 데에 사용되기도 한다. 또한 무어-펜로즈 유사역행렬을 사용하면 선형대수학의 많은 부분을 보다 쉽게 서술하고 증명할 수 있다.

역사 
1920년에 일라이어킴 헤이스팅스 무어가 최초로 발견하였다. 이후 아르네 볘르함마르(, 1917〜2011)와 로저 펜로즈가 이 개념을 1950년대에 재발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

선형대수학
행렬론
수치선형대수학