이중 장론

이론물리학에서 이중 장론(二重場論, , DFT)은 끈 이론에서 유래하는 고전적 중력 이론의 일종이다. 이 이론은 중력장과 2차 미분 형식 게이지장을 포함하며, T-이중성을 만족시킨다. T-이중성을 만족시키기 위하여, 차원 시공간을 묘사하기 위하여 차원의 매끄러운 다양체를 사용한다.

전개

시공간 
일반적으로, 다음과 같은 데이터를 생각하자.
 차원 실수 벡터 공간  및 그 위의 비퇴화 이차 형식 
 두 리 군 . 또한, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자.

 차원 매끄러운 다양체  및 그 접다발의 구조군 . 즉, 어떤 -주다발 (틀다발)  및 벡터 다발의 동형 사상 이 주어져 있다.
 접다발의, 로의 구조 축소. 즉, -주다발  및 벡터 다발의 동형 사상 .

의 접다발 지표를 , 의 지표를 로 표기하면, 의 데이터는 각 점에서 국소적으로 다음과 같다.

이제, 는 다음과 같은 준 리만 다양체 구조 를 정의한다. (그 부호수는 의 부호수와 같다.)

이제, 에 다음과 같은 -게이지 대칭을 부여하자.

그렇다면, 는 각 점에서 물리적으로 동차 공간

의 원소를 나타내게 된다. 또한, 계량 텐서 는 (이므로) 게이지 불변이다.

이제, 위 구성에서 다음과 같은 특수한 경우를 생각할 수 있다.

즉, 인 경우는 차원 일반 상대성 이론의 필바인에 해당한다. 반면, 인 경우, 이는 개의 성분을 가지며, 이는  대칭 행렬(중력장)과  반대칭 행렬(캘브-라몽 장)로 분해될 수 있다.

계량의 분해 
구체적으로, 필바인 에 의하여 정의되는 계량 텐서

를 생각하자. 물리적으로, 이는 중력장과 캘브-라몽 장을 나타낸다.

편의상, 를 다음과 같이 만드는 게이지를 선택하자.

즉, 이는 분해

를 정의한다. (물론, 이러한 게이지는 일반적으로 유일하지 않다.)

는 매끄러운 다양체 의 국소 모형이므로, 이는 마찬가지로 각 점에서 접공간 의 마찬가지 분해

를 정의한다.

이러한 게이지에서, 의 원소

를 정의할 수 있다. 여기서, 는 중력장을 나타내며, 는 2차 미분 형식인 캘브-라몽 장이다.

이 시공간에서는 일반적으로 공변 미분이 존재하지 않는다. 더 엄밀히 말하자면,  및 와 호환되는 코쥘 접속의 개념을 도입할 수 있지만, 크리스토펠 기호의 모든 성분이 물리학적 의미를 갖는 일반 상대성 이론과 달리 이 접속은 물리학적으로 결정되지 않는 성분들을 포함하며, 이에 따라 임의의 선택이 필요하다. 이에 대한 리만 곡률도 마찬가지다.

필바인 
일반 상대성 이론과 마찬가지로, 다음과 같이 필바인을 도입할 수 있다. 필바인은 다음과 같은 동차 공간의 원소이다.

여기서 은 의 블록 대각 행렬 부분군이다.

즉, 이는 대표원

에 의하여 결정되며, 이는 게이지 변환

을 겪는다. 여기서 는 필바인 지표를 뜻한다. 이 대표원에 대응되는 리만 계량 텐서는

이다.

필바인이 주어졌다면, 다음과 같은 일반화 바이첸뵈크 접속()을 정의할 수 있다.

작용 
이중 장론에서는 다음과 같은 작용을 사용한다.

여기서 

여기서 는 딜라톤 스칼라장이다. 이는  위의,  구조를 보존하는 미분 동형 사상들을 대칭으로 갖는다.

장방정식 
위 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

이들은 각각  및 에 대한 오일러-라그랑주 방정식이다.

단면 조건 
 위의 장들은  차원의 매끄러운 다양체 위에 정의된다. 실제 시공간은 차원이므로, 올바른 수의 자유도를 갖추기 위하여 조건을 부여해야 한다. 이는 단면 조건()이라고 하며, 스칼라장 에 대하여 다음과 같은 꼴이다.

역사 
워런 시걸()이 1993년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

끈 이론