직교 배열

조합론에서 직교 배열(直交配列, )은 좌표들의 부분 집합으로 제한하였을 때 모든 가능한 벡터들이 균등하게 분포되어 있는, 주어진 유한 집합 위의 벡터들의 유한 집합이다.

정의 
자연수 가 주어졌다고 하자.

-직교 배열 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 크기 의 유한 집합 . 이를 알파벳이라고 하며, 그 원소를 수준(水準, )이라고 한다.
 자연수 . 이를 인자수(因子數, )라고 한다.
 부분 집합 . 그 원소를 실험 실행(實驗實行, )라고 한다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 의 개의 좌표 가운데 임의의 개를 골랐을 때, 수준의 모든 -순서쌍들은 (선택한 레벨 및 좌표에 상관없이) 같은 수 번 만큼 등장한다. 즉, 임의의 단사 함수  및 임의의 에 대하여, 자연수 는  및 의 선택에 의존하지 않는다.

이는 해밍 결합 도식  속의 블록 설계의 개념과 같다.

여기서, 를 직교 배열의 강도(強度, )라고 하며, 를 -직교 배열의 지수(指數, )라고 한다.

성질 
상수 에 대한 -직교 배열 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
 임의의 자연수 
 임의의 단사 함수 
 임의의 
에 대하여, 다음이 성립한다.

즉,

를 정의하면, 임의의 -직교 배열은 임의의 에 대하여 -직교 배열을 이루며, 그 상수는 이다. 여기서, 는 물론 의 크기와 같다.

이에 따라, 임의의  속에서 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
 = 0-직교 배열 ⊇ 1-직교 배열 ⊇ 2-직교 배열 ⊇ … ⊇ -직교 배열 =

예

자명한 직교 배열 
임의의 유한 집합 에 대하여,  속의 유일한 -직교 배열은  및 이며, 이 경우 각각  및 이다.

반대로, 의 임의의 부분 집합은 0-직교 배열을 이룬다.

라틴 방진 

 라틴 방진 은

인 2-직교 배열

에 해당한다.

(즉, 2-직교 배열과 라틴 방진 사이의 관계는 2-블록 설계와 2-슈타이너 계 사이의 관계와 같다.)

예를 들어, 3×3 라틴 방진
{| class=wikitable
| 1 || 2 || 3
|-
| 2 || 3 || 1
|-
| 3 || 1 || 2
|}
은 다음과 같은 표의 9개 행들로 구성되는 2-직교 배열을 이룬다.
{| class=wikitable
| 1 || 1 || 1
|-
| 1 || 2 || 2
|-
| 1 || 3 || 3
|-
| 2 || 1 || 2
|-
| 2 || 2 || 3
|-
| 2 || 3 || 1
|-
| 3 || 1 || 3
|-
| 3 || 2 || 1
|-
| 3 || 3 || 2
|}

2-직교 배열의 예 
알파벳

위에서, 다음 표의 16개 행들로 구성된 부분 집합

은 지수

을 갖는 2-직교 배열을 이룬다.
{| class=wikitable style="text-align: center"
| A || A || A || A || A
|-
| A || B || B || B || B
|-
| A || C || C || C || C
|-
| A || D || D || D || D
|-
| B || A || D || B || C
|-
| B || B || C || A || D
|-
| B || C || B || D || A
|-
| B || D || A || C || B
|-
| C || A || B || C || D
|-
| C || B || A || D || C
|-
| C || C || D || A || B
|-
| C || D || C || B || A
|-
| D || A || C || D || B
|-
| D || B || D || C || A
|-
| D || C || A || B || D
|-
| D || D || B || A || C
|}

알파벳

위에서, 다음 표의 27개 행들로 구성된 부분 집합

은 지수

을 갖는 2-직교 배열을 이룬다.

{| class=wikitable style="text-align: center"
| A || A || A || A || A
|-
| A || A || B || A || B
|-
| A || A || C || A || C
|-
| A || B || A || B || B
|-
| A || B || B || B || C
|-
| A || B || C || B || A
|-
| A || C || A || C || C
|-
| A || C || B || C || A
|-
| A || C || C || C || B
|-
| B || A || A || C || A
|-
| B || A || B || C || B
|-
| B || A || C || C || C
|-
| B || B || A || A || B
|-
| B || B || B || A || C
|-
| B || B || C || A || A
|-
| B || C || A || B || C
|-
| B || C || B || B || A
|-
| B || C || C || B || B
|-
| C || A || A || B || A
|-
| C || A || B || B || B
|-
| C || A || C || B || C
|-
| C || B || A || C || B
|-
| C || B || B || C || C
|-
| C || B || C || C || A
|-
| C || C || A || A || C
|-
| C || C || B || A || A
|-
| C || C || C || A || B
|}

역사 
1947년에 칼리암푸디 라다크리슈나 라오가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

조합론
실험 설계