리 군 위의 입자

물리학에서 리 군 위의 입자()는 리 군의 구조를 가진 공간 속에서 움직이는 입자를 나타내는 물리학 모형이다. 고전적으로 그 해(리 군의 측지선)는 간단하게 표현될 수 있으며, 대칭으로 인하여 쉽게 양자화될 수 있다.

정의 
콤팩트 연결 리 군 가 주어졌다고 하자. 의 리 대수  위의 양의 정부호 2차 대칭 불변 다항식

은  위의 리만 계량을 정의하며, 이는 의 왼쪽 · 오른쪽 작용에 대하여 불변이다. 즉, 군의 준동형

이 존재한다 (은 전단사 등거리 변환의 군).

이 경우, 라그랑지언

을 정의할 수 있다. (편의상, 입자의 질량을 리만 계량 속에 흡수하였다.) 그 변분은

이다.
유도:
우선,

이므로,

이며,

이다. 따라서, 대각합의 순환성 및 부분 적분을 사용하여, 다음과 같이 계산할 수 있다.

이다. 여기서 둘째 항은 완전 적분이므로 오일러-라그랑주 방정식을 구할 때 무시할 수 있다. 
오일러-라그랑주 방정식(측지선 방정식)은

이다. 그 해는 항상 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

여기서
 는 상수이다. 특히, 는 초기 조건이다.
 는 의 리 대수의 카르탕 부분 대수이다.
 는 카르탕 부분 대수의 임의의 원소이다.
이에 따라, 를 위상 공간의 좌표계로 여길 수 있다. 그러나 위상 공간은 차원이므로 (측지선은 초기 위치와 초기 속력으로 완전히 결정되므로), 개의 성분을 갖는  좌표계는 차원의 게이지 변환을 갖는다. 구체적으로, 이 게이지 군은 의 극대 원환면 이며, 이에 따라 좌표는 다음과 같이 변환한다.

게이지 변환을 도입하면, 계의  대칭이

와 같이 분해된다.

해밀턴 역학 
위상 공간은 리 군의 공변접다발 이며, 그 위에는 표준적인 심플렉틱 형식이 존재한다. 이 위의 심플렉틱 형식은  좌표계에서 다음과 같은 꼴로 두 성분으로 분해된다.

양자화 
콤팩트 연결 리 군  위의 입자의 힐베르트 공간은  위의 복소수 2차 르베그 공간

이다. 이 경우 사용한 측도는 하르 측도이다. (콤팩트 리 군의 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도가 일치한다.) 이 위에는 의 왼쪽 군 작용이 다음과 같이 존재한다.

이에 따라서, 는 의 표현들로 분해된다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

여기서
 는 의 모든 복소수 기약 표현들의 동형류들의 가산 집합이다.
 는 가산 무한 개의 유한 차원 내적 공간들의 직합으로 구성되는 분해 가능 힐베르트 공간이다.
 는 기약 표현 의 표현 공간인 유한 차원 복소수 벡터 공간이다.
 는 기약 표현 의 켤레 표현이다.

해밀토니언 
의 무한소 작용을 나타내는 연산자

를 생각하자. 그렇다면,

는  위의 (양의 고윳값) 라플라스-벨트라미 연산자이다.

이 해밀토니언은 기약 표현에 대한 분해에 대하여 대각형이다. 구체적으로,  위에서, 해밀토니언의 고윳값 은

로 주어진다.

양자 모형과 고전 모형 사이의 관계 
양자 모형과 고전 모형 사이의 관계는 파인먼-카츠 공식으로 주어진다. 즉, 해밀토니언 의 핵(즉,  위의 열핵)은 다음과 같이 주어진다.

여기서
 은 , 인 연속 함수 로 구성된 위너 공간이다.
 는 이 위너 공간 위의 확률 측도이다.
 는 고전 모형의 작용이다.
 는 표현 의 지표이다.
특히,  극한에서 이는 디랙 델타가 된다.

예

원군 
인 경우(원군)를 생각하자. 이 경우 고전적으로 모든 상수 속도 곡선이 측지선이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은

이다. 로 좌표 를 주었을 때, 이는 정규 직교 기저

를 갖는다.

원군의 기약 표현은 (아벨 군이므로) 모두 1차원이며,

이다. 즉, 그 기약 표현들의 집합은 정수의 집합과 표준적으로 일대일 대응된다.

힐베르트 공간의 분해

는 의 정규 직교 기저 에 대한 분해이다.

해밀토니언

에 대하여, 각 정규 직교 기저의 고윳값은

이다. 그 위의 열핵은

이며, 사실

이다.

3차원 초구 
인 경우(3차원 초구)를 생각하자. 이 경우, 측지선은 대원이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은

이다. 의 기약 표현은 스핀 에 의하여 결정된다. 힐베르트 공간의 분해는

이다. 차원 기약 표현에서, 해밀토니언 연산자의 고윳값은 (적절한 비례 상수에 대하여)

이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

양자역학
리 군
표현론