올대상

모형 범주의 이론에서, 올대상(對象, )은 끝 대상으로의 유일한 사상이 쌍대올뭉치를 이루는, 모형 범주 속의 대상이다. 마찬가지로 쌍대올대상(雙對-對象, )은 시작 대상으로의 유일한 사상이 올뭉치를 이루는 모형 범주 속의 대상이다.

정의 
모형 범주 의 시작 대상을 , 끝 대상을 이라고 하자. 그렇다면, 다음을 정의한다.
 에서의 올대상()은 유일한 사상 이 올뭉치인 대상 이다.
 에서의 쌍대올대상()은 유일한 사상 가 쌍대올뭉치인 대상 이다.
 에서의 쌍올대상(雙-對象, )은 올대상이자 쌍대올대상인 대상이다.

올대상 분해 
모형 범주 의 대상 의 올대상 분해()는 다음과 같다.

여기서 는 호모토피 동치이며, 는 올뭉치이며, 은 끝 대상이다. 즉, 는 올대상이다. 만약 가 추가로 쌍대올뭉치라면, 이를 좋은 올대상 분해()라고 한다.

모형 범주 의 대상 의 쌍대올대상 분해()는 다음과 같다.

여기서 는 호모토피 동치이며, 는 쌍대올뭉치이며, 은 시작 대상이다. 즉, 는 올대상이다. 만약 가 추가로 올뭉치라면, 이를 좋은 쌍대올대상 분해()라고 한다.

성질 
모형 범주의 정의에 따라, 모든 대상은 좋은 올대상 분해 및 좋은 쌍대올대상 분해를 갖는다.

예 
단체 집합의 모형 범주에서 올뭉치는 칸 올뭉치()이며, 올대상은 칸 복합체()라고 한다.

위상 공간의 (퀼런) 모형 범주에서 CW 복합체는 쌍대올대상이다. 이에 따라, 모든 위상 공간은 CW 복합체와의 약한 호모토피 동치를 갖는다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

호모토피 이론