스코로호드 공간

확률론과 실해석학에서 스코로호드 공간(Скороход空間, )은 실수 구간 위에 정의된, 왼쪽 극한을 가지며 오른쪽 연속인 함수들의 폴란드 공간이다. 그 원소를 카들라그 함수(càdlàg函數, )라고 한다. 그 위의 위상인 스코로호드 위상(Скороход位相, )에서의 수렴은 시간의 측정(특히, 함수의 불연속점이 발생하는 시각)이 오차를 가질 수 있음을 반영한다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 분해 가능 완비 거리 공간 
 닫힌구간 
그렇다면, 함수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 카들라그 함수라고 한다.
 
 
즉, 오른쪽 극한과 왼쪽 극한이 둘 다 존재하며, 실제 함수 값은 오른쪽 극한과 같아야 한다.

카들라드 함수들의 집합을 라고 하자. 이 위에, 다음과 같은 거리 함수를 주자.

여기서
 는  전단사 증가 연속 함수들의 군이다.

그렇다면, 이는 분해 가능 완비 거리 공간을 이룬다. 를 스코로호드 공간이라고 한다.

성질 
스코로호드 공간에 다음과 같은, 더 단순한 거리 함수를 줄 수도 있다.

이는 와 같은 위상을 정의하지만, 이는 일반적으로 완비 거리 공간을 정의하지 못한다.

임의의 에 대하여,

는 정의에 따라 전단사 등거리 변환을 이룬다.

포함 관계 
정의에 따라, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

만약 에 거리 함수

를 부여할 경우, 이 포함 사상은 연속 함수이다. 또한, 연속 함수의 스코로호드 수렴은 이 거리 함수에서의 수렴과 동치이다. 따라서, 는 의 닫힌집합을 이룬다.

수렴 
스코로호드 위상에서, 카들라그 함수열

이

로 수렴할 필요 충분 조건은 다음과 같다.
어떤 함수열 에 대하여, 가 로 균등 수렴하며, 또한 가 항등 함수 로 균등 수렴한다.

특히, 만약 함수열 가 연속 함수만으로 구성된다면, 그 (스코호로트 위상에서의) 수렴은 의 균등 수렴과 동치이다.

다른 위상 
 위에 L∞ 노름

을 주면 이는 바나흐 공간을 이루지만, 이는 분해 가능 공간을 이루지 못한다. 이 때문에 이 위상은 확률론에서 잘 사용되지 않는다.

역사 
“카들라그 함수”()라는 용어는 (오른쪽에서 연속, 왼쪽에서 극한)의 머리글자를 딴 것이다.

카들라그 함수의 공간 위의 스코로호드 위상은 L∞ 노름의 분해 가능성의 실패를 고치기 위하여 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드(, , 1930〜2011)가 1956년에 도입하였다. 이 논문에서 스코로호드는 여러 개의 위상들(, , , )을 정의하였는데, 그 가운데 오늘날 ‘스코로호드 위상’이라고 불리는 것은 이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

함수의 종류
확률론
확률 과정