인자 대수

함수해석학에서 인자 대수(因子代數, )는 ‘분해’되지 못하는 폰 노이만 대수이다. 모든 폰 노이만 대수는 이를 구성하는 인자 대수들로 유일하게 표현된다. 양자역학에서, 인자 대수는 물리계를 구성되는 국소화된 ‘요소’로 해석된다.

정의 
폰 노이만 대수 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 폰 노이만 대수를 인자 대수라고 한다.
 . 즉, 의 중심은 모두 1의 스칼라배이다.
 어떤 복소수 힐베르트 공간 표현 에 대하여, 이다.
 어떤 복소수 힐베르트 공간 표현 에 대하여, 이다.
여기서
 는 어떤 복소수 힐베르트 공간이다.
 는  유계 작용소의 폰 노이만 대수이다.
 는  속에서 취한 중심화 부분환이다.

위 세 조건 가운데, 마지막 조건은  위의 모든 유계 작용소를 의 원소 및 와 가환하는 원소들의 곱들의 열의 (약한 작용소 위상 또는 강한 작용소 위상에서의) 극한으로 나타낼 수 있다는 뜻이다. 다시 말해, 를 상태 공간으로 하는 양자 역학 계는 에 속하는 관찰 가능량들과 와 ‘분리된’ (즉, 가환하는) 관찰 가능량들로 구성되며, 는 를 구성하는 ‘인자’로 여길 수 있다.

특별한 원소 
C* 대수 의 원소  가운데, 인 것을 사영원(射影元, )이라고 하고, 사영원들의 집합을 로 표기하자.

복소수 힐베르트 공간  위에 표현된 폰 노이만 대수 의 사영원 의 상 으로 나타내어지는 부분 공간을 에 속하는 부분 공간이라고 하자. 그렇다면, 이는 의 사영원들의 집합과 에 속하는 부분 공간들의 집합 사이에 일대일 대응을 정의한다.

폰 노이만 대수 의 두 사영원 에 대하여, 만약 이자 인 가 존재한다면, 와 가 서로 머리-폰 노이만 동치()라고 하고, 로 표기하자. 이는 의 사영원들의 집합 위의 동치 관계를 이룬다.

의 사영원들의 집합 위에 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.

폰 노이만 인자의 경우, 이는 사실 사영원들의 머리-폰 노이만 동치류들의 집합 위의 전순서를 이룬다.

의 사영원  가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 유한 사영원()이라고 한다.

분류 
인자들은 통상적으로 Ⅰ종 · Ⅱ1종 · Ⅱ∞종 · Ⅲ종으로 분류된다. 이들의 정의는 각각 다음과 같다.
Ⅰ종 인자 의 경우, 은 최소 원소를 갖는다. 즉, 가장 작은, 0이 아닌 사영원 동치류가 존재한다.
 Ⅱ종 인자는 Ⅰ종 인자가 아니며, 0이 아닌 유한 사영원을 갖는다.
 Ⅱ1종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이다.
 Ⅱ∞종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이 아니다.
 Ⅲ종 인자는 Ⅰ종 인자나 Ⅱ종 인자가 아니다.
이들에 대해서는 각각 다음과 같은 구조 정리가 알려져 있다.
 Ⅱ1종 인자는 일반적으로 복잡하다.
 Ⅱ∞종 인자는 항상 Ⅰ종 인자와 Ⅱ1종 인자로부터 구성될 수 있다.
 Ⅲ종 인자는 항상 Ⅱ1종 인자로부터 구성될 수 있다.
즉, 폰 노이만 대수의 분류는 사실상 Ⅱ1종 인자의 분류로 귀결된다.

Ⅰ종 인자 대수 
Ⅰ종 인자 대수는 어떤 복소수 힐베르트 공간 에 대하여 와 C* 대수로서 동형이다.

구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 의 임의의 단위 벡터 에 대하여, 는 0이 아닌 유한 사영원이다.

복소수 힐베르트 공간은 그 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류된다. 차원이 기수 일 때, 이에 대응하는 Ⅰ종 인자 대수를 형이라고 한다. (분해 가능 복소수 힐베르트 공간의 경우 차원이 가산 기수이다. 이 경우 차원 경우는 보통 으로 표기된다.)

Ⅱ∞종 인자 대수
Ⅱ∞종 인자 대수는 항상 Ⅱ1종 인자 대수와 무한 차원 Ⅰ종 인자 대수의 텐서곱으로 표현될 수 있다.

Ⅲ종 인자 대수 
Ⅲ종 인자의 분류 이론은 도미타-다케사키 이론이라고 한다.

구체적으로, 도미타-다케사키 이론에서는 각 폰 노이만 대수 에 대하여 어떤 음이 아닌 실수 집합 를 대응시키며, 이를 의 콘 스펙트럼()이라고 한다. 만약 가 Ⅲ종 인자 대수일 경우, 가능한 콘 스펙트럼들은 다음과 같다.
 . 이는 Ⅲ0종 인자 대수라고 한다.
 . 이는 Ⅲλ종 인자 대수라고 한다.
 . 이는 Ⅲ1종 인자 대수라고 한다.
(은 항상 의 닫힌 부분군이므로 다른 가능성은 존재하지 않는다.)

역사 
인자 대수의 개념 및 Ⅰ종· Ⅱ종·Ⅲ종 인자 대수로의 분류는 존 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(, 1911~1996)가 양자역학을 분석하기 위하여 도입하였다.

도미타-다케사키 이론을 통한 Ⅲ종 인자 대수의 분류는 알랭 콘이 1976년에 완료하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

함수해석학
대수