멀티심플렉틱 다양체

미분기하학에서 멀티심플렉틱 다양체(multisymplectic多樣體, )는 임의의 0이 아닌 벡터장과의 내부곱이 0이 아닌 닫힌 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체이다. 심플렉틱 다양체와 부피 형식의 개념의 공통적인 일반화이다.

정의 
자연수 가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체  위의 차 멀티심플렉틱 구조()

은 다음과 같은 성질을 갖는 차 닫힌 미분 형식이다.
 임의의 점  및 접벡터 에 대하여, 이다.
여기서

는 에서, 접벡터와 미분 형식의 내부곱이다.

차 멀티심플렉틱 다양체() 는 매끄러운 다양체와 그 위의 차 멀티심플렉틱 구조의 순서쌍이다.

성질 
차원 매끄러운 다양체 위에 차 멀티심플렉틱 구조가 존재할 필요 조건은 다음과 같다.

여기서 첫째 부등식은 자명하지 않은 차 미분 형식이 존재할 필요 조건이며, 둘째 부등식은 의 차원이 의 차원보다 작지 않을 조건이다.

일반적으로, 차원 매끄러운 다양체 위에는 2차〜차 멀티심플렉틱 구조가 항상 존재한다.

멀티심플렉틱 다양체에 대응되는 L∞-대수 
차 멀티심플렉틱 다양체  위의 해밀토니언 미분 형식()은 다음 조건을 만족시키는 차 미분 형식 이다.

그 공간을 이라고 하자.

이제, 등급 벡터 공간

위에 다음과 같은 L∞-대수의 구조를 줄 수 있다.

연산 
(서로 다른 차원일 수 있는) 두 차 멀티심플렉틱 다양체 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱공간

에 대하여,

를 정의하자. 만약 이라면, 이는  위의 차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.
증명:
임의의 에서, 접벡터

에 대하여,

이다. 이라면, 이 두 항은 서로 다른 벡터 공간에 속하므로, 합이 0일 필요 충분 조건은 각 항이 0인 것이다. 그런데 과 가 각각 차 멀티심플렉틱 다양체이므로, 이것이 0일 필요 충분 조건은 과 가 각각 0인 것이다.

예 
0차 멀티심플렉틱 다양체는 1차원에서만 존재하며, 그 개념은 부피 형식을 갖춘 1차원 매끄러운 다양체와 같다.

1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 심플렉틱 다양체의 개념과 같다.

차원 차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 부피 형식이 주어진 차원 매끄러운 다양체의 개념과 같다.

리 군 
콤팩트 단순 리 군이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에는 표준적인 3차 미분 형식이 존재하며, 그 계수는 리 대수의 구조 상수이다. 이를 통하여 콤팩트 단순 리 군은 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 콤팩트 단순 리 대수는 2차 멀티심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

의 실수 리 대수를

라고 하자. 그렇다면, 끈 L₂-대수()

를 정의할 수 있다.

2-멀티심플렉틱 다양체 에 대응되는 L₂-대수

를 생각하자. 는 스스로 위에 왼쪽 곱셈으로 작용하며, 이에 대한 불변 L₂-대수

를 적을 수 있다. 여기서 표준적으로

이며, 따라서 이는 끈 L₂-대수와 동형이다.

특수 홀로노미 
홀로노미가 리 군 G₂인 7차원 리만 다양체는 표준적으로 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

초켈러 다양체의 세 심플렉틱 구조 이 주어졌을 때

은 그 위의 3차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.

공변접다발의 외대수 
매끄러운 다양체 이 주어졌을 때, 그 공변접다발의 차 외대수

을 생각하자. 그 위에는 표준적인 차 미분 형식

이 존재한다. 그 외미분

은 차원 매끄러운 다양체  위의 차 멀티심플렉틱 구조를 정의한다.

시그마 모형 
다음이 주어졌다고 하자.
 차원 매끄러운 다양체 
 차원 매끄러운 다양체 
  위의 부피 형식 
그렇다면 벡터 다발

의 전체 공간의 국소 좌표를

위에 다음과 같은 구조를 생각하자.

이는 차 미분 형식을 이룬다. 그 외미분

은 차 미분 형식이며, 만약 일 경우 차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.
증명:
임의의

에 대하여,

이다. 여기서 편의상

으로 정의하였다. 일 경우 이게 된다. 즉, 이 경우, 위 표현이 0이 될 필요 충분 조건은 와 와  가 각각 0인 것이다.

이 구성은  시그마 모형의 공변 위상 공간()으로 해석할 수 있다. 이 경우 좌표 는 일반화 운동량에 해당한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

미분기하학