막대 복합체

호몰로지 대수학에서 막대 복합체(막대複合體, )는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 완전열이다. Tor 함자와 Ext 함자 등을 계산할 때 쓰인다.

정의

결합 대수에 대한 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 (항등원을 갖는) -결합 대수 
 -오른쪽 가군 
 -왼쪽 가군 
그렇다면, 막대 복합체 는 다음과 같은, -가군의 범주 속의 단체 대상이다.

특히,

로 놓으면, 이는 사슬 복합체를 이룬다.

일반적 정의 
보다 일반적으로, 모노이드 범주  속의 모노이드 대상  및 그 왼쪽 가군 과 오른쪽 가군 이 주어졌을 때, 위와 같은 구성을 마찬가지로 전개할 수 있다. 이 경우, 은  속의 단체 대상을 이룬다.

예를 들어, 모노이드 와 그 왼쪽 모노이드 작용을 갖는 집합  및 오른쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 이 주어졌을 때, 은 단체 집합을 이룬다.

성질

완전성 
가환환  위의 결합 대수  및 그 위의 오른쪽 가군 과 왼쪽 가군 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 막대 복합체 를 생각할 수 있다. 또한, 막대 복합체의 마지막 항에

을 추가할 수 있다. 그렇다면,

은 완전열이다. 즉, 그 호몰로지는 자명군이다. 이에 따라, 막대 복합체 은 의 분해를 정의한다.

특히, 인 경우, 는 의 (-쌍가군으로서의) 분해()를 이룬다.

예

호흐실트 호몰로지 

가환환  위의 결합 대수 가 주어졌다고 하자. 의 각 성분은 모두 -쌍가군이므로, 포락 대수 를 정의하였을 때 는 -사슬 복합체를 이룬다. 임의의 -쌍가군 에 대하여,

는 의 계수 호흐실트 사슬 복합체이며, 마찬가지로

은 의 계수 호흐실트 공사슬 복합체이다.

군 코호몰로지 

군 코호몰로지와 군 호몰로지를 계산하는 표준적인 공사슬 복합체와 사슬 복합체는 막대 복합체의 특수한 경우이다.

분류 공간 

위상 공간의 (범주론적 곱에 대한) 모노이드 범주에서, 위상군 가 주어졌다고 하자. 이는 물론 한원소 공간  위에 자명하게 작용한다. 이에 따라, 막대 복합체 를 정의할 수 있다. 또한, 는 스스로 위에 왼쪽 및 오른쪽에서 작용한다. 따라서, 막대 복합체 를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적인 몫 사상

이 존재한다. 이는 -주다발을 이루며, 또한 위상군 의 분류 공간 을 이룬다.

역사 
사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1953년에 도입하였다. “막대 복합체”라는 이름은 에일렌베르크와 매클레인이 (오늘날 통상적으로 “”로 표기되는) 텐서곱을 막대기 모양의 기호 “”로 표기하였기 때문이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

호몰로지 대수학