스피너 라플라스 연산자

미분기하학에서, 스피너 라플라스 연산자()는 스핀 다양체의 스피너 다발의 단면에 대하여 자연스럽게 정의되는 2차 미분 연산자이다. 이는 라플라스-벨트라미 연산자와 스칼라 곡률의 ¼의 합과 같다.

정의 
콤팩트 스핀 다양체 의 스피너 다발 이 주어졌으며, 이에 대한 디랙 연산자

가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 그 제곱

을 정의할 수 있다. 이를 스피너 라플라스 연산자라고 한다.

만약 이 짝수 차원이라면, (디랙) 스피너 다발은 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.

그렇다면,

이다.

보다 일반적으로, 리만 다양체  위의 클리퍼드 다발 의 클리퍼드 가군 다발  및 의 클리퍼드 가군 다발 접속 가 주어졌을 때, 스피너 라플라스 연산자

를 사용하여 스피너 라플라스 연산자

를 정의할 수 있다. 여기서

는 클리퍼드 다발을 정의하는 표준적인 포함 사상(감마 행렬)이다.

성질 
스핀 다양체 위의 스피너 다발은 리만 계량으로서 표준적인 벡터 다발 접속을 갖는다. 즉, 1차 미분 연산자

가 존재한다. 이 경우, 스피너 위에 작용하는 라플라스-벨트라미 연산자

를 정의할 수 있다. (여기서 는 복소수 힐베르트 공간 에서 의 에르미트 수반이다.)

이 경우 다음이 성립한다.

여기서
 는 의 스칼라 곡률이다.

보다 일반적으로, 4차원 스핀C 다양체 이 주어졌다고 하자. 즉, 그 스피너 다발 에 대하여

이라고 하자. 그렇다면 디랙 연산자

가 존재하며, 이로부터 스피너 라플라스 연산자

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 다음이 성립한다.

여기서
 는 U(1) 주접속 의 주곡률의 자기 쌍대 성분이다. 이는 클리퍼드 다발의 단면 (올다발) 에 대응된다.
 은 클리퍼드 다발 단면의, 클리퍼드 가군 다발 위의 작용이다.
이를 리흐네로비치 공식(Lichnerowicz公式, )이라고 한다.

역사 
리흐네로비치 공식은 폴란드계 프랑스 수학자 앙드레 리흐네로비치(, 1915 ~ 1998)가 1963년에 증명하였다.

참고 문헌 
 

리만 기하학
이론물리학