최대 절댓값 원리

복소해석학에서 최대 절댓값 원리(最大絶大-原理, ) 또는 최대 절댓값 정리(最大絶大-定理)는 상수 함수가 아닌 정칙 함수의 절댓값이 극대점을 갖지 않는다는 정리이다.

정의 
연결 열린집합 에 정의된 정칙 함수 가 상수 함수가 아니라고 하자. 최대 절댓값 원리에 따르면, 는 극대점을 가지지 않는다. 즉, 임의의  및 근방 에 대하여,

이다.

유계 연결 열린집합 에 정의된 연속 함수 가 에서 정칙 함수이며, 상수 함수가 아니라고 하자. 그렇다면, 의 모든 최대점은 의 경계점이다. 즉, 임의의 에 대하여,

이다. 이는 경계점이 아닌 최대점은 에서의 극대점이기 때문이다.

증명

열린 사상 정리를 통한 증명 
열린 사상 정리에 의하여, 임의의  및 근방 에 대하여, 는 열린집합이므로, 는 의 내부점이다. 따라서, 인 가 존재한다. 즉, 는 에서의 최댓값이 아니다.

코시 적분 공식을 통한 증명 
귀류법을 사용하여, 가 근방 에서 의 최대점이라고 하자.

인 을 취하자. 코시 적분 공식에 의하여

이다. 만약

인 가 존재한다면,

에 모순이므로, 임의의 에 대하여,

이다. 이에 따라, 는 상수 함수이며, 이는 모순이다.

따름정리 
최대 절댓값 원리는 다음과 같은 명제들을 증명하는 데 쓰인다.
 대수학의 기본 정리
 슈바르츠 보조정리
 보렐-카라테오도리 정리

각주

외부 링크 
 
 

복소해석학 정리