삼중성 리 대수

추상대수학에서 삼중성 리 대수(三重性Lie代數, )는 합성 대수로부터 정의되는, 3차 대칭군의 작용을 갖는 특별한 리 대수이다. 가장 대표적인 예는 팔원수로부터 정의되는 실수 리 대수 이며, 이에 따라 이 리 대수의 8차원 벡터 표현 및 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너들이 서로 삼중성 아래 순열로 변환한다.

정의 
가 2와 3이 가역원인 체라고 하자.  위의 합성 대수  에 대하여, 다음을 정의하자.

여기서 는 의 이차 형식 (에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다.

이는 의 부분 리 대수를 이룬다. 이를 의 삼중성 리 대수라고 하며, 로 표기한다.

이는 다음과 같은 -벡터 공간 동형 사상을 갖는다.

증명:
각 에 대하여, 교환자

를 정의하면, 교대 법칙에 의하여

이며, 이는

로 번역된다. 마찬가지로

은

로 번역된다. 이들은 각각 선형 변환

를 정의한다.

이에 따라, -선형 변환

이 존재한다. 또한, 이는 왼쪽 역사상

를 갖는 것을 쉽게 확인할 수 있으며, 이 왼쪽 역사상은 단사 함수인 것을 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

성질

3차 대칭군의 작용 
 위에는 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.

여기서

를 뜻한다. 그렇다면,

가 된다. 즉, 이는 군 준동형

를 정의한다 (은 3차 대칭군). 이를 삼중성()이라고 한다.

또한, 와  사이에, 의 대각 성분으로 구성되는, 벡터 공간으로서 인 리 대수 가 존재한다. 이 위에는  삼중성이  이중성으로 깨지게 된다.

프로이덴탈 마방진과의 관계 
두 실수 합성 대수 , 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상이 존재한다.

여기서 는 와 로 정의되는 3×3 프로이덴탈 마방진 실수 리 대수이다. 특히, 우변에서 는 의 부분 리 대수를 이룬다.

또한, 임의의 실수 합성 대수 에 대하여, 그 위의 3×3 에르미트 행렬로 구성된 실수 요르단 대수 의 미분 리 대수는 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상을 갖는다.

특히, 우변에서 는 의 부분 리 대수이다.

예 
실수 합성 대수에 대하여, 삼중성 리 대수는 다음과 같다.

여기서 , , 는 각각 분할복소수 · 분할 사원수 · 분할 팔원수의 실수 합성 대수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

리 대수
스피너