미분 리 대수

리 대수 이론에서, 미분 리 대수(微分Lie代數, )는 어떤 쌍선형 이항 연산에 대한, 곱 규칙을 따르는 미분 연산들로 구성된 리 대수이다. 대략, 이 대수 구조의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 -가군 . 로 표기하자.
 -가군 준동형 , 
 
그렇다면, 의 -미분은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 
 
편의상 로 표기하자. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

이는

을 정의하면

로 표기될 수 있다.

 위의 -미분들의 집합을 로 표기하자. 그렇다면,

위에 리 초괄호

을 정의하면, 이는 -리 초대수를 이룬다. 이를 의 미분 리 초대수()라고 한다.

물론, 만약 일 때, 모든 등급을 잊을 수 있으며, 이 경우 의 미분 리 대수() 를 정의할 수 있다. 이는 -리 대수이다.
리 대수 이론에서, 리 대수 미분()은 리 대수 위의, 곱 규칙을 따르는 자기 선형 변환이다. 일종의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

특히, 이 정의는 가 리 대수 또는 리 초대수일 때 적용될 수 있다.

성질

내부 미분 
가환환  위의 리 대수 의 임의의 원소 에 대하여, 딸림표현

은 (야코비 항등식에 의하여) 미분을 이룬다. 즉, 이는 리 대수 준동형

을 정의한다. 그 상 은 일반적으로 리 대수 아이디얼이 아니지만, 그 상에 대한 -몫가군은 다음과 같은, 딸림표현 계수 1차 리 대수 코호몰로지로 주어진다. 

표수 0의 체  위의 반단순 리 대수  위의 모든 미분은 내부 미분이며, 이 경우 중심 또한 자명하므로, 다음이 성립한다.

반면, 표수 0의 체 위에서도, 를 만족시키는 가해 리 대수 및 가해 리 대수도, 반단순 리 대수도 아닌 리 대수가 존재한다.

리 대수 자기 동형 
표수 0의 체  위의 리 대수  위의 미분 가 멱영원이라고 하자. 즉,

라고 하자.
그렇다면, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다.

이는 의 리 대수 자기 동형 사상을 이룬다. 즉,

가 성립한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

리 대수