닫힌 작용소

함수해석학에서 닫힌 작용소()는 그 그래프가 닫힌집합인, 조밀 집합 위에 정의된 선형 변환이다. 닫힐 수 있는 작용소()는 그 그래프의 폐포를 취하여 닫힌 작용소로 만들 수 있는 작용소이다. 이 경우, 에르미트 수반 등의 연산이 잘 정의된다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 
 -위상 벡터 공간 
 하우스도르프 -위상 벡터 공간 
 의 조밀 -부분 벡터 공간 
 -선형 변환 
그렇다면, 의 그래프

를 생각할 수 있다.

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립한다면 를 닫힌 작용소라고 한다.
 의 그래프가 위상 벡터 공간 의 닫힌집합이다.
 임의의  및 그물 에 대하여, 만약 이며 라면, 이며 이다.
물론, 만약  및 가 프레셰 공간이라면, 둘째 조건에서 그물 대신 점렬을 사용해도 된다.

닫힐 수 있는 작용소 
다음이 주어졌다고 하자.
 
 -위상 벡터 공간 
 -위상 벡터 공간 
 의 조밀 -부분 벡터 공간 
 연속 -선형 변환 

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 를 닫힐 수 있는 작용소라고 한다.
 인 연속 선형 변환 이 존재한다. (여기서 이다.)
 임의의  및 두 그물  및 에 대하여, 만약 이며 이며 \textstyle\lim_{i'\to\infty}x'_{i'} = y'</math>라면, 이다.

다시 말해, 닫힐 수 있는 작용소에서는, 임의의 의 원소에서 의 값을 그물 또는 점렬의 극한으로 정의하려고 한다면, 이러한 가능한 정의는 (만약 가능하다면) 유일하다.

이 경우, 로 정의되는 작용소를 로 표기하며, 의 폐포()라고 한다.

성질 
-힐베르트 공간 의 조밀 부분 집합

위의 선형 변환

의 에르미트 수반을 정의하려 한다고 하자. 이 경우, 그 수반의 정의역은

이다. 이것이 조밀 집합일 필요 충분 조건은 가 닫힐 수 있는 작용소인 것이다.

이 경우, 가 닫힐 수 있는 작용소일 때

이다. 즉, 닫힌 작용소의 경우 이다.

힐베르트 공간 위의 모든 대칭 작용소는 닫힐 수 있는 작용소이다. 힐베르트 공간 위의 모든 자기 수반 작용소()는 닫힌 작용소이다.

즉, 힐베르트 공간 위에서 다음 포함 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center"
| 대칭 작용소 || ⊂ || 닫힐 수 있는 작용소 
|-
| ∪ || || ∪
|-
| 자기 수반 작용소 || ⊂ || 닫힌 작용소
|-
|  || || ∪
|-
| || || 유계 작용소
|}

닫힌 그래프 정리 
두 -바나흐 공간 ,  사이의,  전체에 정의된 -선형 변환 을 생각하자. 이 경우, 가 닫힌 작용소인 것은 가 유계 작용소인 것과 동치이다. 이를 닫힌 그래프 정리()라고 한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

함수해석학