초자연 변환

범주론에서 초자연 변환(超自然變換, )은 자연 변환의 개념의 일반화이다. 자연 변환과 달리, 초자연 변환은 정의역이 서로 다른 두 함자 사이에도 정의될 수 있다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.

 범주 , , , 
 두 함자

그렇다면, 에 대하여 자연적이며, 와 에 대하여 초자연적인 초자연 변환 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 , , 에 대하여, 사상 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 (에서의 자연성) 각 에 대하여, 는 자연 변환이다. 즉, 임의의 사상 에 대하여 다음 그림이 가환 그림이다.

 (에서의 초자연성) 각  및 에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다.

 (에서의 초자연성) 각  및 에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다.

연산 
임의의 초자연 변환은 임의로 합성될 수 없으나, 합성이 가능한 경우는 끈 그림()이라는 위상수학적 모형으로 계산될 수 있다.

구체적으로, 에서 로 가는 초자연 변환은 다음과 같은 꼴의 끈 그림()으로 나타낼 수 있다.

A B B
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C

두 초자연 변환의 합성은 위와 같은 끈 그림의 합성으로 나타내어지는데, 이 경우 합성된 끈 그림이 순환을 갖지 않아야 한다. 예를 들어

    A
╭─╮ │
A A A
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C
는 가능하며, 초자연 변환
A
│
│ ╭─╮
A C C
을 정의한다. 반면, 예를 들어
A
│ ╭─╮
A B B
│ ╰─╯
A
와 같은 합성은 불가능하다.

예 
닫힌 모노이드 범주 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 지수 대상의 텐서곱 함자

및 항등 함자

가 존재한다. 이 사이에는 다음과 같은 초자연 변환이 존재한다.

이는 에 대하여 자연적이며, 에 대하여 초자연적인 초자연 변환이다.

예를 들어, 만약 가 체  위의 유한 차원 벡터 공간의 범주 이며, 일 때, 이는 벡터 공간과 그 쌍대 공간 사이의 내적

에 해당한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

범주론