리우빌 수

수론에서 리우빌 수()는 충분히 빠르게 수렴하는 유리수 수열로 근사할 수 있는 초월수이다.

정의

무리성 측도 
무리수 의 무리성 측도()는 다음과 같다.

리우빌 수 
무리수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 리우빌 수라고 한다.
 . 즉, 임의의 양의 실수 에 대하여, 인 두 정수 가 무한히 많이 존재한다.
 임의의 양의 정수 에 대하여, 이며 인 두 정수 가 존재한다.

성질

초월성 
임의의 무리수 에 대하여, 가 성립한다. 만약 가 대수적 무리수(즉, 2차 이상의 대수적 실수)일 경우, 이다. 특히, 모든 리우빌 수는 초월수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 초월수는 리우빌 수가 아닐 수 있으며, 무리성 측도가 2일 수도 있다.

모든 리우빌 수가 초월수임은 리우빌 정리()를 사용하여 보일 수 있다. 리우빌 정리에 따르면, 임의의 차 대수적 무리수 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 가 존재한다.
 임의의 정수  및 양의 정수 에 대하여, 

정리의 조건에 따라 인 차 유리수 계수 기약 다항식 이 존재한다.

인 양의 정수 를 취하자. 임의의 정수  및 양의 정수 가 주어졌다고 하자. 만약 이라면,

이다. 만약 이라면, 부등호는 는 유리근을 갖지 않으므로 는 양의 정수이다. 평균값 정리에 따라

이다.

이제, 귀류법을 사용하여, 리우빌 수 가 차 대수적 무리수라고 하자.

인 양의 정수 를 취하자. 리우빌 수의 정의에 따라, 다음을 만족시키는 두 정수 가 존재한다.

따라서

이며, 이는 모순이다.

집합론적 성질 
리우빌 수의 집합의 크기는 실수와 같은 이다.

위상수학적 성질 
리우빌 수의 집합은 제1 범주 집합의 여집합이며, (실수선 는 베르 공간이므로) 특히 이는 조밀 집합이다.

측도론적 성질 
리우빌 수의 집합의 르베그 측도는 0이며, 보다 일반적으로 임의의 차원의 하우스도르프 측도는 0이다.

예 
다음은 일부 무리수의 무리성 측도 또는 그 상계들이다.

여기서 는 자연 로그의 밑, 는 원주율, 는 리만 제타 함수, 는 아크탄젠트, 은 자연 로그이다.

리우빌 상수 
리우빌 상수()
 
는 리우빌 수이다. 보다 일반적으로, 임의의 2 이상의 정수  및 에 대하여, 만약 인 가 존재하지 않는다면,

은 리우빌 수이다.

순환 소수가 아니므로 는 무리수이다.

임의의 에 대하여,

를 취하면

이다. 즉, 는 리우빌 수이다.

역사 
조제프 리우빌의 이름을 땄다.

각주

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

초월수
수론
디오판토스 근사