뒤틀린 K이론

K이론에서, 뒤틀린 K이론(뒤틀린K理論, )은 어떤 3차 특이 코호몰로지류에 의존하는, 위상 K이론의 일반화이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 하우스도르프 콤팩트 공간 
 3차 특이 코호몰로지류 
임의의 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간 의 프레드홀름 작용소의 공간을

라고 하자. 이는 작용소 노름을 통하여 거리 공간을 이루며, 이는 0차 복소수 위상 K군의 분류 공간이다.

의 사영 유니터리 군

을 생각하자. 그 호모토피 유형은 무한 순환군의 2차 에일렌베르크-매클레인 공간 이다.

따라서, 에 대응되는 -주다발

을 고를 수 있다. 그렇다면, 는  및  위의 오른쪽 군 작용을 갖는다.

따라서, 등변 함수

의 개념을 정의할 수 있다.

등변 호모토피류를 통한 정의 
의, 에 대한 뒤틀린 K군은 등변 연속 함수 공간의 연결 성분의 집합

이다.

단면 호모토피류를 통한 정의 
연관 벡터 다발

를 생각하자. 의, 에 대한 뒤틀린 K군은 그 연속 단면의 공간의 연결 성분의 집합이다.

연산 
뒤틀린 K군은 아벨 군을 이룬다. 뒤틀린 K군 사이의 다음과 같은 텐서곱이 존재한다.

즉, 모든 뒤틀린 K군들의 직합은 가환환을 이룬다.

예 
일반 위상 K이론의 분류 공간은 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간 의  즉, 어떤 위상 공간 의 0차 복소수 위상 K군은 호모토피류로 주어진다.

즉, 매끄러운 다양체  위의 자명한 -주다발

을 정의하였을 때, 함수

가운데 의 작용에 대한 등변 함수인 것들의 호모토피류들은 0차 복소수 위상 K군과 같다.

이제, 위 구성을 자명한 -주다발 대신 자명하지 않은 주다발로 일반화할 수 있다. 이 경우, 의 사영 유니터리 군 은
따라서, -주다발은 의 3차 코호몰로지류 로 분류된다.

응용 
뒤틀린 K이론은 끈 이론의 D-막을 분류한다. 이 경우, 사용된 3차 코호몰로지류는 캘브-라몽 장의 장세기이다.

역사 
막스 카루비()와 피터 도노번()이 1960년대 말에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

대수적 위상수학
K이론
끈 이론