약도함수

해석학에서 약도함수(弱導函數, )는 일반적인 도함수의 개념의 일반화이다. 이를 통하여 고전적으로 도함수를 취할 수 없는 함수들의 도함수를 취할 수 있다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 리만 다양체 
 (매끄러운) 벡터장 
 두 함수 
만약 다음 조건이 성립한다면, 가 의 방향의 약도함수라고 한다.

여기서 는 콤팩트 지지 매끄러운 함수들의 공간이다.

이는 흔히

로 표기된다.

만약 일 때는 표준적인 벡터장 들이 존재하며, 이에 대한 약도함수를 취할 수 있다.

성질 
약도함수는  르베그 공간 속에서 유일하다.  함수의 경우, 약도함수는 그 도함수와 일치한다.

예 
실수선 위의 절댓값 함수

의 약도함수는 부호 함수

(의 르베그 공간에서의 동치류)이다. 에서의 값은 어느 값이든 상관이 없다 (이는 모두 르베그 공간 속의 같은 동치류에 속한다).

실수선 위의, 유리수 집합의 지시 함수

를 생각하자 (는 아이버슨 괄호). 이는 어디서나 연속 함수가 아니며, 따라서 어디서나 도함수를 갖지 않는다. 그러나 이 함수는 약도함수를 가지며, 이는 상수 함수 0이다. 사실, 유리수 집합의 측도가 0이므로, 르베그 공간에서 는 값이 0인 상수 함수와 같은 동치류에 속한다.

칸토어 함수는 거의 어디서나 도함수를 갖지만, 약도함수를 가지지 않는다. 칸토어 함수의 도함수는 분포로서 존재하지만, 이 분포는 L1 르베그 공간의 원소로 나타내어질 수 없다.

참고 문헌 
 
 
 

미분의 일반화
함수해석학
일반화