음악 동형

미분기하학에서 음악 동형(音樂同型, )은 매끄러운 다양체의 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상이다. 준 리만 다양체나 심플렉틱 다양체의 경우 표준적인 음악 동형이 존재한다.

정의 
매끄러운 다양체 의 음악 동형은 그 접다발 과 공변접다발  사이의 벡터 다발 동형 사상이다. 이는 보통 기호로 다음과 같이 표기된다.

이를 사용하여, 벡터장을 1차 미분 형식에 대응시킬 수 있으며, 또 그 역도 가능하다. 이는 다음과 같이 표기된다.

성질

존재와 유일성 
임의의 매끄러운 다양체에서, 음악 동형은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않다. (사실, 임의의 매끄러운 다양체 위에는 항상 리만 다양체의 구조를 줄 수 있다.)

리만 구조 및 심플렉틱 구조와의 관계 
음악 동형이 주어졌을 때, 각 점 에서 접공간  위에 쌍선형 형식

이 존재한다.

이 쌍선형 형식은 대칭 쌍선형 형식일 필요가 없으며, 일반적으로 다음과 같이 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해된다.

만약 이라면, 는  위의 준 리만 다양체 구조를 정의한다. 마찬가지로, 만약 이라면, 는  위의 준 심플렉틱 다양체() 구조를 정의한다. (만약 추가로 이라면, 이는 심플렉틱 다양체 구조를 이룬다.)

반대로, 준 리만 다양체 가 주어졌을 때, 음악 동형

을 정의할 수 있다. 마찬가지로, 준 심플렉틱 다양체 가 주어졌을 때, 음악 동형

을 정의할 수 있다.

역사 

‘음악 동형’이라는 용어는 마르셀 베르제가 1971년에 이미 사용하였다.

‘음악 동형’이라는 용어 및 그 기호는 일종의 말장난이다. 물리학에서는 보통 벡터장(접다발의 단면)을 윗첨자 로, 1차 미분 형식(공변접다발의 단면)을 아랫첨자 로 표기한다. 그런데 물리학과 달리 수학에서는 보통 이와 같은 첨자 표기법을 잘 사용하지 않으며, 다른 표기법이 필요하다. 이에 따라, 접다발을 공변접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “올리는” 것이므로, 음악의 올림표(♯)를 사용하여 표기하며, 반대로 공변접다발을 접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “내리는” 것이므로, 음악의 내림표(♭)를 사용하여 표기한다. 이 두 기호가 음악에서 유래하였으므로 이러한 벡터 다발 동형 사상에 ‘음악 동형’이라는 이름이 붙었다.

참고 문헌

외부 링크 
 

미분기하학
리만 기하학
벡터 다발
심플렉틱 기하학