선형 푸아송 다양체

리 군론에서 선형 푸아송 다양체(線型Poisson多樣體, )는 성분이 선형인 푸아송 다양체의 구조를 갖춘 벡터 공간이다. 이는 항상 유한 차원 실수 리 대수의 쌍대 공간의 꼴이다. 그 심플렉틱 잎들은 쌍대딸림표현 궤도(雙對딸림表現軌道, )라고 하는데, 일부 경우 리 대수의 기약 유니터리 표현에 대응하며, 이러한 표현들은 심플렉틱 잎의 기하학적 양자화로 얻어진다. 이 경우, 키릴로프 지표 공식(Кириллов指標公式, )에 따라서, 군 표현의 지표는 심플렉틱 잎의 부피를 나타내는 분포의 푸리에 변환으로 주어진다.

정의 
유한 차원 실수 벡터 공간  위에 푸아송 다양체 구조 가 주어졌으며, 다음과 같은 꼴이라고 하자.

그렇다면, 쌍대 공간  위에 다음과 같은 리 대수 구조를 부여할 수 있다.

반대로, 유한 차원 실수 리 대수 가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간  위에 다음과 같은 푸아송 다양체 구조를 정의하자. 임의의  및 에 대하여,

여기서

이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다.

즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 선형 푸아송 다양체라고 한다.

성질

심플렉틱 잎 (쌍대딸림표현 궤도) 
리 지수 사상에 따라 가 되는 단일 연결 리 군 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 는 물론 리 군 의 표현

을 갖춘다. 구체적으로, 임의의  및 에 대하여,

이다. 여기서 는 딸림표현이다.

의 심플렉틱 잎들은  속의, 의 작용에 대한 궤도에 해당한다. 이를 쌍대딸림표현 궤도()라고 한다.

멱영군의 경우 
가 연결 단일 연결 멱영 리 군이라고 하자. 그렇다면, 의 유니터리 기약 표현들의 집합은 의 쌍대딸림궤도들의 집합과 표준적으로 일대일 대응을 갖는다. 구체적으로, 어떤 쌍대딸림궤도 가 주어졌다고 하자. 이는 심플렉틱 다양체이며, 기하학적 양자화를 통해 의 유니터리 표현을 갖는 복소수 힐베르트 공간을 구성할 수 있는데, 이것이 쌍대딸림궤도에 대응하는 유니터리 기약 표현이다.

또한, 이 경우 표현 의 지표는 의 부피 형식의 (분포로서의) 푸리에 변환으로 주어진다.

콤팩트 군의 경우 
가 연결 단일 연결 콤팩트 리 군이라고 하자. 그렇다면, 의 쌍대딸림표현 궤도들은 의 바일 방의 점과 일대일 대응한다.

콤팩트 리 군의 경우, 다음과 같은 지표 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.
 콤팩트 리 대수 (반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합) 
 의 카르탕 부분 대수 
 의 양근 집합 
 기약 표현 
 의 최고 무게 
그렇다면,

가 모든 양근의 합의 절반이라고 하자. 궤도

는 심플렉틱 다양체를 이루며, 따라서 그 위에 심플렉틱 형식의 거듭제곱인 부피 형식 가 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

여기서
 는 리 지수 사상 의, 에서의 야코비 행렬 의 행렬식이다.

고리 리 대수 
단일 연결 반단순 리 군 의 리 대수 를 생각하자. 그렇다면, 매끄러운 함수로 구성된 고리 공간

은 표준적인 프레셰 다양체 구조를 갖는다. 이에 대응되는 프레셰 공간인 리 대수

를 생각하자. (그 위의 리 괄호는 점별로 리 괄호를 취한 것이다.) 푸리에 변환을 통하여

이며, 우변은 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 간주할 수 있다.

원 은 평행화 가능 다양체이므로, 그 방향을 골라

으로 놓을 수 있다. 또한, 의 킬링 형식을 사용하여 이므로

이다. 이 공간

은 원 위의 자명한 -주다발의 주접속의 공간으로 해석할 수 있다. 이 경우, 는 원 위의 게이지 변환군으로 해석할 수 있으며, 선형 푸아송 다양체  위의 작용은 게이지 변환에 해당한다. 즉, 그 심플렉틱 잎들은 원 위의 자명한 주다발의 주접속의 게이지 변환 동치류들의 공간 이다.

예

아벨 리 군 
아벨 리 대수 를 생각하자. 그렇다면,  위의 푸아송 다양체 구조는 상수 함수 0이며, 그 심플렉틱 잎은 모두 한원소 공간이다.

구체적으로,

이라고 하자. 이에 대응하는 단일 연결 리 군 은 (자명하게) 멱영 리 군이다. 이는 아벨 군이므로, 그 유니터리 기약 표현은 모두 1차원이며, 다음과 같은 꼴이다.

이 기약 표현은 점 으로 구성된 한원소 공간인 심플렉틱 잎에 대응된다. 그 지표

는 부피 형식(에서의 디랙 델타)의 푸리에 변환이다.

SU(2) 
(3차원 직교군의 리 대수)라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. (가 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식 에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.

즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 의 구이다. 이는 의 바일 방인 반직선과 일대일 대응한다.

일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, 일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 심플렉틱 잎의 심플렉틱 형식은 구면 좌표계 에서

이다. 즉, 구면의 넓이 원소에 비례한다.

이 경우, 최고차 무게는 스핀이며, 양의 정수 × ½의 꼴이다. 유일한 양근은 에 해당하며, 이다.

이 경우, 스핀 에 대하여,

이며,

이다.

여기서 정적분

을 사용하였다.

이 경우, 야코비안은

이다.

즉, 스핀 에 대응하는 군 표현의 지표는 다음과 같다.

사실, 스핀 의 차원의 경우, 표현의 대각선의 성분은 구체적으로

가 된다. 이 경우, 기하 급수의 합을 취하면 키릴로프 지표 공식이 성립하는 것을 확인할 수 있다.

하이젠베르크 군 
단일 연결 멱영 리 군인 하이젠베르크 군

을 생각하자. 그 실수 리 대수는 다음과 같은 꼴의 행렬로 구성된다.

3×3 실수 행렬의 공간 위에 내적

을 사용한다면, 의 쌍대 공간은 3×3 실수 행렬의 내적 공간  속에서 다음과 같은 직교 여공간으로 표현된다.

이 위의 쌍대딸림표현은 다음과 같다.

따라서, 그 궤도(심플렉틱 잎)는 다음 두 종류가 있다.
 인 점은 군의 작용의 고정점이다. 이 경우, 심플렉틱 잎은 0차원이다. 이는 의 표현 가운데, 아벨 몫군 의 표현으로 유도되는 것에 해당한다.
 일 때, 궤도는 의 꼴이다. 즉, 심플렉틱 잎은 2차원이며, 그 위의 심플렉틱 형식 은 2차원 유클리드 부피 형식에 비례한다. 이는 의 표현 가운데, 메타플렉틱 표현에 해당한다. 이 경우, 는 메타플렉틱 표현을 결정하는 중심 원소의 값에 대응한다.

역사 
선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎과 기약 표현 사이의 관계는 알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프(, 1936〜)가 1961년에 발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

미분기하학
리 군
표현론
심플렉틱 기하학