알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형

이론물리학에서 알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형(Алехандров-Концевич-Шварц-Заборонский模形, , 약자 AKSZ 시그마 모형)은 L∞-준대수의 데이터로 정의되는 위상 양자장론이다.

정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 콤팩트 매끄러운 다양체 
 매끄러운 다양체 
  위의 L∞-준대수 . 즉, 이는 가 되는 L∞-대수이다.
  위의 2차 불변 다항식. 즉, 원소  가운데, 이며, 의 꼴이어야 한다. 또한, 는  위의 비퇴화 이차 형식이어야 한다. (여기서 는 L∞-대수의 베유 대수이다.)
 가 되는 원소 . 이를 천-사이먼스 원소()라고 한다.
베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 표준적인 사영 사상

아래의 의 상을 라고 하자.

L∞-준대수 사상

는  위의 일련의 미분 형식 장들을 정의한다. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다.

여기서 는 임의의 상수이다. 이를 AKSZ 시그마 모형이라고 한다.

예

1차원 
심플렉틱 다양체 의 심플렉틱 형식 가 완전 미분 형식이라고 하자.

즉, 여기서 는 의 천-사이먼스 형식이다.

은 (0차원 벡터 다발에 해당하는) 자명한 리 준대수로 여겨질 수 있으며, 그 슈발레-에일렌베르크 대수는

이다.

리 준대수 사상

은 단순히 매끄러운 함수 이며, 이에 대한 1차원 알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형의 작용은

이다. 이에 대한 운동 방정식은

이다. 즉, 이는 움직이지 않는 입자를 나타낸다.

구체적으로, 가 공변접다발이라고 하자. 그렇다면

가 되며, 이 경우 작용은

가 된다. 이는 입자의 통상적인 작용

에서 무한대 질량 극한

을 취한 것이다. 즉, 입자가 매우 무거워, 더 이상 움직이지 않게 된다.

2차원 (푸아송 시그마 모형) 
푸아송 다양체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 은 표준적으로 리 준대수를 이룬다. 그렇다면, 리 준대수 사상

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 매끄러운 함수 . 그 미분은 이다. 이는 접다발 의 당김 올다발 에 값을 갖는 1차 미분 형식이다.
 공변접다발 의 당김 올다발 에 값을 갖는 1차 미분 형식 
의 지표를 로, 의 지표를 로 적을 때, 장들은

이며, 이에 대한 작용은

이다. 여기서 는 푸아송 다양체의 푸아송 텐서이다.

천-사이먼스 이론 

다음이 주어졌다고 하자.
 유한 차원 실수 리 대수 . 이는 한원소 공간  위의 리 준대수이다.
  위의 불변 다항식 
(예를 들어, 만약 가 단순 리 대수라면, 는 킬링 형식의 실수배이다.)

그렇다면, 에 대응하는 천-사이먼스 원소

를 정의할 수 있다. 이에 대한 작용은 천-사이먼스 형식이다.

리 준대수 사상

의 개념은 리 대수 값 1차 미분 형식

의 개념과 동치이며, 이에 대한 AKSZ 시그마 모형은 에 대한 천-사이먼스 이론이다.

보다 일반적으로, 이차 리 대수 대신 스칼라장을 포함할 수 있는 쿠런트 준대수를 사용할 수 있다. 이 경우 얻는 작용은 쿠런트 시그마 모형()이라고 한다.

역사 
알렉산드로프 · 막심 콘체비치 · 알베르트 시바르츠 · 자보론스키가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

호모토피 이론
양자장론