침몰 (수학)

미분기하학에서, 침몰(沈沒, )은 접공간 사이의 전사 함수를 유도하는 매끄러운 함수이다. 몰입의 쌍대 개념이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 두 매끄러운 다양체 , 
 매끄러운 함수 
그렇다면, 각 점 에서, 실수 선형 변환

을 정의할 수 있다. 여기서 은 의 에서의 접공간이다.

만약 가 전사 함수라면, 를 에서의 침몰이라고 하며, 를 의 정칙점()이라고 한다. 만약 가 모든 에서 침몰이라면, 를 단순히 침몰이라고 한다.

(반대로, 만약 가 단사 함수라면 를 몰입이라고 한다.)

성질

존재 
차원 매끄러운 다양체 과 차원 매끄러운 다양체  사이에서, 정칙점을 하나 이상 갖는 매끄러운 함수 가 존재할 필요 조건은 인 것이다.

점의 원상의 매끄러운 다양체 구조 
두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 가 주어졌다고 하자. 만약 에 대하여, 모든 의 원소가 정칙점이라면, 를 의 정칙치(正則値, )라고 한다.

두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 의 정칙치 에 대하여, 은 매끄러운 다양체를 이룬다.

국소 정규 형식 
차원 매끄러운 다양체 과 차원 매끄러운 다양체  사이의 매끄러운 함수 의 정칙점 이 주어졌다고 하자. 침몰 정리()에 따르면, 다음 조건을 만족시키는
 열린 근방 
 열린 근방 
 국소 좌표계(정의역과 상 사이의 미분 동형을 정의하는 단사 매끄러운 함수) 
 국소 좌표계(정의역과 상 사이의 미분 동형을 정의하는 단사 매끄러운 함수) 
가 항상 존재한다.

여기서
 은 사영 함수이다.

예 
임의의 두 매끄러운 다양체 , 이 주어졌을 때, 사영 함수

은 침몰이다.

보다 일반적으로, 임의의 매끄러운 벡터 다발 은 침몰이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

미분기하학