사영 표현

군 표현론에서, 사영 표현(射影表現, )은 어떤 군의 원소들을 어떤 벡터 공간 위의 행렬 또는 선형 변환으로 나타내되, 행렬로서의 교환자가 군의 연산과 단위 행렬의 스칼라배만큼 다른 것을 허용한 것이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 체 
 -벡터 공간 
 군 
그렇다면, 의  위의 -선형 사영 표현은 군 준동형

이다. 여기서 는 사영 선형군이다.

사영 유니터리 표현 
다음이 주어졌다고 하자.
 
 -힐베르트 공간 
 리 군 
그렇다면, 의 사영 유니터리 표현(射影unitary表現, )은 연속 함수인 군 준동형

이다. 여기서 는 사영 유니터리 군을 뜻한다. 사영 유니터리 표현은 사영 표현의 특수한 경우이다.

성질

선형 표현과의 관계 
모든 (선형) 표현

이 주어졌을 때, 몫군 사상

을 통하여 사영 표현

을 정의할 수 있다. 즉, 모든 선형 표현은 사영 표현을 유도한다.

반대로, 사영 표현

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 군을 정의하자.

이는 군의 범주의 다음과 같은 올곱이다.

이에 따라서, 군 준동형

이 존재한다. 또한, 군 준동형

은 전사 함수이며, 그 핵인 정규 부분군은

이다. 즉, 는 의 중심 확대이며, 군의 범주에서 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

사영 유니터리 표현 
리 군 의 유한 차원 복소수 사영 유니터리 표현은 항상 그 범피복군 의 유니터리 표현으로 유도된다. 즉, 임의의 연결 리 군 의 사영 유니터리 표현

이 주어졌을 때, 항상 다음 가환 네모를 완성하는 유니터리 표현 을 찾을 수 있다.

무한 차원 표현의 경우, 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 그러나 바르그만 정리()에 따르면, 만약 실수 계수 2차 리 대수 코호몰로지 가 자명하다면, 무한 차원 사영 유니터리 표현도 역시 범피복군의 유니터리 표현으로부터 유도된다.

예 
특수 직교군 의 유한 차원 실수 사영 유니터리 표현 가운데 선형 표현으로부터 유도되지 않는 것은 스피너 사영 표현이다. 이들은 중심 확대이자 범피복군인 스핀 군

의 유니터리 표현으로부터 유도된다.

범피복군으로부터 유도되지 않는 사영 유니터리 표현 
아벨 리 군

의, 르베그 공간  위의 다음과 같은 사영 표현

을 생각하자.

이는 양자역학에서 위치 및 운동량 연산자에 해당한다. 이 두 연산자의 교환자는 절댓값 1의 복소수이므로, 이는 사영 유니터리 표현을 이룬다.

은 단일 연결 공간이다 (스스로의 범피복군이다). 그러나 이 사영 유니터리 표현은 의 유니터리 표현으로부터 유도되지 못하며, 의 중심 확장인 하이젠베르크 군

의 유니터리 표현으로 유도된다.

역사 
바르그만 정리는 발렌티네 바르그만(, 1908〜1989)이 1954년에 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

표현론