대수적 독립 집합

대수적 수론에서 대수적 독립 집합(代數的獨立集合, )은 어떤 부분체 계수의 자명하지 않은 다항식을 만족시키지 않는, 체의 부분 집합이다.

정의 
체 의 부분환인 체 가 주어졌다고 하자. (즉, 는 체의 확대이다.)

의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 (정의에 따라) 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 에 대한 대수적 독립 집합이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 로 생성되는 체 를 생각한다면, 는 의 초월원이다.
 임의의 자연수  및 다항식  및 에 대하여, 만약 이라면, 인 가 존재하거나, 이다.

성질 
에 대한 대수적 독립 유한 집합 가 주어졌으며, 가 에 대하여 선형 독립 집합이라고 하자. 린데만-바이어슈트라스 정리(Lindemann-Weierstraß定理, )에 따르면,  역시 에 대한 대수적 독립 집합이다.

예 
체의 확대  속에서, 정의에 따라, 한원소 집합 이 대수적 독립 집합일 필요 충분 조건은 가 초월수인 것이다.

에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합이다.
 
 
에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합이 아니다.
 
 
 . 예를 들어, 에 대하여 이다.
 
 
 임의의 양의 정수 에 대하여, 
2018년 기준으로, 에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합인지 여부가 알려지지 않았다.

역사 
린데만-바이어슈트라스 정리는 카를 바이어슈트라스가 1885년에 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

대수적 수론
매트로이드 이론