이차 리 대수

리 군론에서 이차 리 대수(二次Lie代數, )는 리 괄호와 호환되는 비퇴화 쌍선형 형식이 주어진 유한 차원 리 대수이다.

정의 
가환환  위의 이차 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 -리 대수 
 -비퇴화 쌍선형 형식 , 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

아인슈타인 표기법을 사용하여, 의 원소를 와 같이 윗첨자로 표기하고, 의 구조 상수를

와 같이 적고 (), 쌍선형 형식을

와 같이 적을 경우 (), 위 조건은 다음과 같다.

여기서 는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.

연산 
같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.

이중 확대 
다음이 주어졌다고 하자.
 체 
 -이차 리 대수 
 -리 대수  및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식  (이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
 -리 대수 준동형  (여기서 는 대칭 쌍선형 형식 에 대한 직교 리 대수)
그렇다면, 직합 -벡터 공간

위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.

여기서

이다. 이를 의, 를 통한 이중 확대()라고 한다.

만약 일 때, 의 부호수가 이며, 가 차원이라면,  위의 대칭 쌍선형 형식에 관계 없이, 의 를 통한 이중 확대의 부호수는 이다.
증명:
이중 확대 에서, 의 부호수를 계산하면 된다.  위의 대칭 쌍선형 형식을 대각화하였을 때,  위의 대칭 쌍선형 형식은

의 꼴의 블록들로 구성된 블록 대각 행렬이 된다. 이 블록들은 의 값에 관계 없이 모두 부호수가 임을 쉽게 확인할 수 있다.

성질 
비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다.

실수체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 양의 정부호의 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
 콤팩트 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다.
증명:
실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, 양의 정부호 단순 리 대수 및 1차원 아벨 리 대수들의 직합을 취할 수 밖에 없다.

분류 
실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수이거나, 1차원 아벨 리 대수이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.
즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.

마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.
 직합
 1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대

예 
표수 0의 체 위의 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0에서 모든 반단순 리 대수는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.

임의의 체  위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식 및 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.

비콤팩트 이차 리 대수 
가환환  위의 이차 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환  위에 리 괄호

를 줄 수 있다. 또한, 임의의 에 대하여,

는 그 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수

를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 주자.

그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다.

이제, 만약 예를 들어 가 표수 0의 체이며, 가 단순 리 대수이며, 일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이 아니다.

아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수 
다음과 같은 리 대수를 생각하자.

여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식

을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

또한, 다음을 생각하자.

여기서 는 크로네커 델타이며, 는 레비치비타 기호이며, 아인슈타인 표기법을 사용하였다. 
이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

낮은 차원의 이차 리 대수 
6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.

실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다.

참고 문헌

외부 링크 
 

리 대수
이차 형식