단면 범주

단면 범주() 또는 시바르츠 종수()는 올다발의 자연수 값 불변량이다.

정의 

를 올공간으로 하는 올다발 에 대해서 다음을 만족시키는 최소의 자연수 k를 단면 범주 로 정의한다:
 를 덮는  개의 열린 덮개 가 존재해서 각각의 덮개에 대해 를 만족한다.
만약 위 조건을 만족시키는 자연수 k가 없다면 로 표기한다.

성질 

위의 정의에서 가 한원소 공간일 경우 단면 범주는 류스테르니크-시니렐만 범주와 같다. 다시 말해, 올다발 에 대해 이다. 그러므로 단면 범주는 류스테르니크-시니렐만 범주의 일반화라 할 수 있다.

위상 복잡도 

단면 범주를 통해 위상 복잡도()를 다음과 같이 정의할 수 있다.

위상공간 가 주어졌을 때, 그  를 만들고 사영 사상 를 로 정의한다. 이 때 의 위상 복잡도 를 의 단면 범주로 정의한다.

역사 

1960년 알베르트 시바르츠가 ‘종수()’라는 이름으로 발표했다. 이후 1978년 가 시바르츠를 인용하면서 이 불변량과 류스테르니크-시니렐만 범주와의 상관관계를 밝히고 ‘단면 범주()’라는 말을 썼다.

각주 

대수적 위상수학