브라우너 공간

함수해석학에서 브라우너 공간(Brauner空間, )은 모든 콤팩트 집합을 포함하는 콤팩트 집합렬을 갖는 완비 콤팩트 생성 국소 볼록 공간 이다. 스테레오 공간의 이론에서, 프레셰 공간의 개념의 쌍대 개념이다.

정의 
라고 하자.

-국소 볼록 공간 가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, -브라우너 공간이라고 한다.
 는 (균등 공간으로서) 완비 균등 공간이다. (여기서 사용된 균등 공간 구조는 아벨 위상군의 표준적 균등 공간 구조이다.)
 콤팩트 생성 하우스도르프 공간이다.d
 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 이 존재한다. (그러나 이 데이터는 브라우너 공간의 정의에 포함되지 않는다.)
 임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 인 자연수 가 존재한다. (즉, 이다.)

성질 
임의의 -프레셰 공간 의 연속 쌍대 공간  위에, 의 모든 완전 유계 집합에서 균등 수렴하는 위상을 부여한 것을 스테레오 쌍대 공간()이라고 하자.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 스테레오 공간 이 브라우너 공간이다.
 스테레오 쌍대 공간 은 프레셰 공간이다.
즉, 브라우너 공간의 개념은 프레셰 공간의 개념과 서로 쌍대이다.

예

국소 콤팩트 공간 위의 측도 공간 
시그마 콤팩트 국소 콤팩트 공간 이 주어졌다고 하자. 이제, 연속 함수의 공간

위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.
임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 함수열 는 로 균등 수렴한다.
그렇다면 이는 위상 벡터 공간을 이룬다. 그 연속 쌍대 공간

은 측도의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.
임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 범함수열 는 로 균등 수렴한다.
그렇다면, 는 브라우너 공간이다.

매끄러운 다양체 위의 분포 공간 
매끄러운 다양체 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간

위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.
 임의의 콤팩트 공간 에 대하여, 함수열 의 임의의 차수 도함수 는  위에서 로 균등 수렴한다.
이제, 이 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 공간

은 분포의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.
임의의 유계 집합 에 대하여, 범함수열 는 로 균등 수렴한다.
그렇다면, 는 브라우너 공간이다.

슈타인 다양체 
이 슈타인 다양체()라고 하자. 을 에 있는 콤팩트 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 에 있는 정칙함수의 공간이라고 두자. 에 있는 유계 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 에 있는 해석적 범함수의 쌍대 공간 은 브라우너 공간이다.

또한, 를 콤팩트 생성 슈타인 군이라고 하자. 의 지수형 정칙 함수()의 공간 은 자연위상의 관점에서 볼 때 브라우너 공간이다.

역사 
칼만 조지 브라우너 2세()가 이 개념을 최초로 연구하였다.

참고 문헌 

 

 

함수해석학