결합 구조

기하학에서 결합 구조(結合構造, )는 두 집합 및 그 사이의 어떤 이항 관계로 구성된 수학적 구조이다. 일부 경우, 이는 각각 점과 직선으로 이루어진 기하계로 해석될 수 있다.

정의 
결합 구조 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 집합 . 그 원소를 점(點, )이라고 한다.
 집합 . 그 원소를 직선(直線, )이라고 한다.
 부분 집합 . 만약 라면 이를  또는 로 표기하고, 가 과 결합한다(結合-, )고 한다. (이 이항 관계는  또는  등으로 표기되기도 한다.)

결합 구조 에서, 부분 집합

이 주어졌을 때, 를 의 부분 결합 구조(部分結合構造, )라고 한다.

균등 결합 구조 
결합 구조 가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 균등 결합 구조(均等結合構造, )라고 한다.
 임의의 두 점 에 대하여, 이다.

결합 구조 가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 정칙 결합 구조(正則結合構造, )라고 한다.
 임의의 두 직선 에 대하여, 이다.

이 두 개념은 서로 쌍대이다. 즉, 균등 결합 구조의 쌍대 결합 구조는 정칙 결합 구조이며, 그 역도 성립한다.

선형 공간 
결합 구조 가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 준선형 공간(準線形空間, )이라고 한다.
 (A) 임의의 서로 다른 두 점 에 대하여, 인 직선 이 적어도 하나 이상 존재한다.
 (B) 임의의 직선 에 대하여, 인 서로 다른 두 점 이 항상 존재한다.
다음 조건을 만족시키는 준선형 공간 을 선형 공간(線形空間, )이라고 한다.
 (A′) 임의의 서로 다른 두 점 에 대하여, 인 직선 이 유일하게 존재한다.

연산

쌍대 결합 구조 
결합 구조 가 주어졌을 때, , 즉
 의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
 의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
 에서 결합하는 점과 직선은 결합하는 직선과 점에 대응되는
결합 구조를 구성할 수 있다. 이를 의 쌍대 결합 구조(雙對結合構造, )이라고 한다.

스스로의 쌍대와 동형인 결합 구조를 자기 쌍대 결합 구조(自己雙對結合構造, )라고 한다.

만약 가 사영 평면이라면 그 쌍대 결합 구조 역시 사영 평면이다.

결합 행렬 
결합 구조 가 주어졌으며, 와 이 둘 다 유한 집합이라고 하자. 와  위에 각각 임의의 전순서를 부여하여

로 적자. 그렇다면, 다음과 같은  행렬을 정의할 수 있으며, 이를 결합 구조 의 결합 행렬(結合行列, )이라고 한다.

레비 그래프 
결합 구조 가 주어졌을 때, 다음과 같은, 검은색 및 흰색의 그래프 색칠을 갖는 이분 그래프를 정의할 수 있다.
 검은 꼭짓점은 점(의 각 원소)에 대응한다.
 흰 꼭짓점은 직선(의 각 원소)에 대응한다.
 검은 꼭짓점  및 흰 꼭짓점  사이에 변이 있을 필요 충분 조건은 인지 여부이다.
이를 결합 구조 의 레비 그래프()라고 한다.

예

자명한 결합 구조 
임의의 집합 에 대하여, 으로 정의하면, 유일한 결합 구조 를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 직선이 존재하지 않는다.

마찬가지로, 임의의 집합 에 대하여, 으로 정의하면, 유일한 결합 구조 를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 점이 존재하지 않는다.

그래프 

임의의 그래프 가 주어졌을 때,
 점을 의 꼭짓점으로 삼으며,
 직선을 의 변으로 삼으며,
 결합 관계를 변이 꼭짓점을 끝점으로 갖는지 여부로 삼는
결합 구조 를 정의할 수 있다.

다각형 

2 이상의 정수 가 주어졌다고 하자. 집합

위에, 다음과 같은 결합 관계를 주자.

이 결합 구조 를 각형(角形, )이라고 한다.

특히, 만약 일 경우 이는 길이 의 순환 그래프에 대응하는 결합 구조이다.

블록 설계 

임의의 블록 설계 가 주어졌을 때,
 점을 의 원소로 삼으며,
 직선을 블록(즉, 의 원소)으로 삼으며,
 결합 관계를 점이 블록의 원소인지 여부로 삼는
결합 구조 를 정의할 수 있다.

사영 평면 

사영 평면은 특별한 균등 정칙 결합 구조이다.

리만 다양체 

임의의 리만 다양체 가 주어졌을 때,
 점을 의 원소로 삼으며,
 직선을 의 (확장 불가능) 측지선으로 삼으며,
 결합 관계를 점이 측지선에 속하는지 여부로 삼는
결합 구조를 정의할 수 있다.

일반화 다각형 

일반화 다각형은 사영 평면의 일반화이며, 특별한 종류의 준선형 공간이다.

역사 
“레비 그래프”라는 용어는 독일의 수학자 프리드리히 빌헬름 다니엘 레비(, 1888~1966)의 이름을 딴 것이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

집합족
조합론
유한기하학
결합기하학