화살집 표현

화살집 표현(-表現, )은 환론에서 화살집의 각 꼭짓점에 가군을 대응시키며 각 변에 가군 준동형을 대응시키는 수학 구조이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 화살집

추상적 정의 
의  계수 화살집 표현 는 다음과 같은 함자이다.

여기서 는 로 생성되는 자유 범주이며, 는 -가군의 범주이다.

두 화살집 표현 ,  사이의 사상 은 함자 사이의 자연 변환이다.

구체적 정의 
의  계수 화살집 표현 은 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 꼭짓점 에 대하여, -가군 
 각 변 에 대하여, -가군 준동형 

두 화살집 표현 ,  사이의 사상 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 꼭짓점 에 대하여, -가군 준동형 
이는 다음 가환 그림을 만족시켜야 한다. 임의의 변 에 대하여,

환론적 정의 
화살집  속의, 길이 의 보행()은 다음 조건을 만족시키는 유한 개의 꼭짓점과 변들의 열

이다.

(보행 속에서 같은 꼭짓점 또는 변이 중복되어 등장할 수 있으며, 길이 0의 보행 역시 가능하다. 길이 0의 보행들의 집합은 꼭짓점 집합과 일대일 대응한다.)

의 보행들을 기저로 갖는 -자유 가군 위에 다음과 같은 곱을 정의하자.
 임의의 두 보행 , 에 대하여,
 만약 이라면, 
 만약 이라면, 
이는 유사환을 이루며, 만약 가 유한 개의 꼭짓점을 갖는다면, 이는 항등원

을 가져 환을 이룬다. 이를  위의 보행 대수() 라고 한다.

이제, 만약 의 꼭짓점 집합이 유한 집합일 경우, 의 -표현은 보행 대수 의 왼쪽 가군 이다.

이 정의들은 다음과 같이 대응한다.

연산

분리합 
화살집들의 집합  및 각 에 대하여 의 표현 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 의 -표현 이 자연스럽게 존재한다.

반대로, 의 모든 -표현은 들의 표현들의 족 의 분리합으로 유일하게 나타내어진다.

(이는 화살집의 분리합집합이 대응되는 범주의 쌍대곱에 대응하기 때문이다.)

직합 
화살집 의 -표현들의 집합 의 직합은 다음과 같은 화살집 표현이다.

직합의 항등원은 모든 성분이 영가군인 영 표현(零表現, )이다. 하나 이상의 영 표현이 아닌 화살집 표현들의 직합으로 표현될 수 없는 화살집 표현을 분해 불가능 표현(分解不可能表現, )이라고 한다.

성질 
임의의 가환환  및 화살집 에 대하여, 의 -표현들의 범주는 (작은 범주에서 아벨 범주로 가는 함자 범주이므로) 아벨 범주이다.

가브리엘 정리 

가브리엘 정리(Gabriel定理, )에 따르면, 화살집 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 분해 불가능 복소수 표현의 동형류의 수가 유한하다.
 유한 개의 연결 성분을 가지며, 각 연결 성분은 (변의 방향을 망각하면)  ·  ·  ·  ·  꼴의 딘킨 도표를 이룬다. (특히, 다중 그래프일 수 없다.)
또한, 위와 같은 꼴의 연결 화살집의 분해 불가능 -표현의 동형류는 이에 대응되는 (A/D/E 꼴의) 근계의 양근과 일대일 대응한다.

예 
임의의 가환환 가 주어졌다고 하자.

공집합(즉, 0개의 꼭짓점을 갖는 화살집)은 유일한 (자명한) -표현을 갖는다.

A₁ 
하나의 꼭짓점을 갖는 화살집 의 표현들은 -가군이다. 특히, 만약 가 체일 때, 의 분해 불가능 -표현은 1차원 표현  밖에 없다. (이는  근계의 유일한 양근에 대응한다.)

A₂ 

두 개의 꼭짓점을 갖는 화살집 의 표현들은 두 -가군 사이의 가군 준동형이다. 특히, 만약 가 체일 때,

의 분해 불가능 -표현은 다음 세 개이다. (이는  근계의 세 양근에 대응한다.)
 , , 는 값이 0인 상수 함수
 , , 는 값이 0인 상수 함수
 , 는 항등 함수

역사 
가브리엘 정리는 피에르 가브리엘(, 1933~2015)이 1972년에 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

표현론
표현론 정리