팔라티니 변분

팔라티니 변분(Palatini變分, )은 아인슈타인-힐베르트 작용(및 추가 물질 작용)을 리만 계량 또는 필바인의 2차 도함수에 대한 범함수 대신, 필바인과 스핀 접속의 1차 도함수에 대한 범함수로 여겨 변분법을 가하는 것을 말한다. 이 경우, 필바인은 일종의 보조장을 이루며, 페르미온 물질이 존재할 경우 일반적으로 스핀 접속은 0이 아닌 비틀림 텐서를 갖는다.

정의 
준 리만 다양체 의 필바인

과 스핀 접속

을 생각하자. 여기서 는 -구조 벡터 다발이다.

그렇다면, 아인슈타인-힐베르트 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서

는 규격화된 완전 반대칭화이며, 는  정사각 행렬

의 행렬식이며, 부피 형식의 성분이다.

이제, 이 범함수를 (의 2차 도함수의 범함수 대신) 필바인과 (의 0차 도함수)와 스핀 접속 (의 0차 및 1차 도함수)의 범함수로 여겨, 변분법을 적용할 수 있다. 이를 팔라티니 변분이라고 한다. 이 경우, 필바인의 도함수가 등장하지 않으므로, 필바인은 보조장을 이룬다.

그렇다면, 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

여기서 우변은 물론 를 사용한, 의 (원래) 정의와 같다. 이 조건은 스핀 접속이 비틀림 텐서가 0인 레비치비타 접속임을 의미한다.

또한, 이 작용에서 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 마찬가지로 리치 곡률이 0임, 즉

임을 의미한다. 이는 아인슈타인 방정식과 같다.

페르미온 물질이 있을 경우 
필바인을 사용하지 않으면 일반적으로 스피너를 정의할 수 없다. 필바인을 사용하여 페르미온을 추가하고 팔라타니 변분을 적용할 경우, 스핀 접속은 페르미온의 세기의 제곱에 비례하는 비틀림 텐서를 갖게 된다.

구체적으로, 스피너장 에 대하여 공변 미분

를 정의하자. 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 작용을 적을 수 있다.

이 경우, 위와 같이 팔라티니 변분을 취했을 때, 다음을 얻는다.

즉, 이는 비틀림 텐서

에 해당한다.

이는 물리학적으로 를 필바인의 2차 도함수로 구성된 범함수로 여기는 것과 다른 결과이다. (다만, 중력 상수가 매우 작으므로, 이 효과는 측정하기 매우 힘들다.)

역사 
이탈리아의 수학자 아틸리오 팔라타니(, 1889~1949)의 이름이 붙어 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 

일반 상대성이론
리만 기하학
라그랑주 역학