카우프먼 다항식

매듭 이론에서 카우프먼 다항식(Kauffman多項式, )은 연환에 대하여 정의되는 다항식 불변량이다.

정의

매듭 그림의 뒤틀림 
유향 연환 그림 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그림의 각 교차점을 다음과 같이 두 가지로 분류할 수 있다.
{| class=wikitable style="text-align: center"
| style="font-size: xx-large"| ⤱
| style="font-size: xx-large"| ⤲
|-
|| 양의 교차점 || 음의 교차점
|}
유향 연환 그림의 방향을 바꾸면, 양의 교차점은 그대로 양의 교차점으로 남으며, 음의 교차점도 마찬가지다. 따라서, (무향) 연환 그림의 양의 교차점의 수와 음의 교차점의 수롤 정의할 수 있다.

연환 그림의 양의 교차점의 수 − 음의 교차점의 수를 연환 그림의 뒤틀림()라고 하며,

로 표기한다.

카우프먼 다항식 
(무향) 연환 그림 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 세 조건으로 주어지는 다항식을 생각하자.
 (A) 자명한 매듭 그림 의 경우, 
 (B) 타래 관계()
{| class=wikitable style="text-align: center"
| style="font-size: xx-large" | ⤫
| style="font-size: xx-large" | ⤬
| style="font-size: xx-large" | ≍
| style="font-size: xx-large" | 𐠷
|-
|  ||  ||  || 
|}

 (C)  Ⅰ종 라이데마이스터 변형

이는 연환 그림 에 대하여 로랑 다항식

를 정의한다. 이는 Ⅱ종 및 Ⅲ종 라이데마이스터 변형에 대하여 불변이지만, Ⅰ종 라이데마이스터 변형에 대하여 불변이지 않다.

이제, 연환 의 임의의 그림 를 골랐을 때, 의 카우프먼 다항식은 다음과 같다.

이는 연환의 불변량임을 보일 수 있다.

(일부 문헌에서는 위와 약간 다른 타래 관계를 사용하나, 이들은 다 서로 동치이다.)

성질 
홈플리 다항식이 특수 유니터리 군 천-사이먼스 이론에 대응되는 것처럼, 카우프먼 다항식은 특수 직교군 및 심플렉틱 군 천-사이먼스 이론에 대응된다.

준위 의   천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제,

를 정의하자. 그렇다면, 윌슨 고리  연산자의 기댓값은 (복소수 위상을 무시하면) 카우프만 다항식과 같다.

 천-사이먼스 이론의 경우도 마찬가지로 카우프먼 다항식을 정의한다.

역사 

루이스 허시 카우프먼(, 1945~)이 1990년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

 

다항식
매듭 불변량