힐베르트 스킴

대수기하학에서, 힐베르트 스킴()은 어떤 스킴의 부분 스킴들의 모듈라이 공간인 스킴이다. 모든 사영 대수다양체는 힐베르트 스킴을 가진다. 이 경우, 섬세한 모듈러스 공간의 정의에서, 부분 스킴의 족은 평탄 사상을 뜻한다. 평탄 사상의 올들은 같은 힐베르트 다항식을 가지므로, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대응하는 성분들로 분해된다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 스킴 
 스킴 ,  및 스킴 사상 . 즉, 와 는  위의 스킴이며, 조각 범주 의 대상이다.
그렇다면,  위의, 매개 변수 공간 에 대한 의 부분 스킴의 족()은 닫힌 부분 스킴

가운데, 표준적 -스킴 사상

이 평탄 사상인 것이다. 에 대한 의 부분 스킴의 족의 집합을 라고 하자.

-스킴 사상  및  위의 부분 스킴의 족 이 주어졌을 때, 사상

아래 의 원상

을 정의할 수 있다. 즉, 는
  위의 조각 범주의 반대 범주 에서
 집합과 함수의 범주 로 가는
함자를 정의한다. 즉, 이는  위의 준층이다.

만약 이 함자가 표현 가능 함자라면, 이를 표현하는 스킴을 이라고 한다. 즉, 표준적으로

이다.

물론, 로 놓아, 절대적 힐베르트 스킴을 정의할 수 있다. 이 경우

이다.

성질

존재 
만약 가 국소 뇌터 스킴이며, 가 사영 스킴이라면, 가 존재한다.

특히, 정수 계수의 사영 공간 

은 힐베르트 스킴을 갖는다.

반면, 힐베르트 스킴을 갖지 않는 대수다양체가 존재한다. 구체적으로, 히로나카 헤이스케는 사영 대수다양체가 아닌 어떤 복소수 비특이 완비 대수다양체 에 대하여, 대수 공간 가 스킴으로서 존재하지 않음을 보였으며, 이에 따라 모듈러스 공간 는 스킴이 아니다.

힐베르트 다항식으로의 분해 
가 국소 뇌터 스킴이며, 가  계수의 사영 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 -부분 스킴에 대하여 힐베르트 다항식을 정의할 수 있다. 이는 유리수 계수 다항식이다.

평탄 스킴 족의 올들은 같은 힐베르트 다항식을 갖는다. 따라서, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대한 성분들의 분리합집합이다.

즉, 각 유리수 계수 다항식 에 대하여, 는 힐베르트 다항식이 인 닫힌 부분 스킴의 모듈라이 공간이다.

사영 공간의 힐베르트 스킴의 구성 
정수 계수 사영 공간 의 힐베르트 스킴 은 다음과 같이 구체적으로 구성된다.

다항식 의 고츠만 수(Gotzmann數, )는 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 이다.
 의 임의의 포화 아이디얼 , 에 대하여, 만약 의 힐베르트 다항식이 라면, 는 차 이하의 생성원만으로부터 생성될 수 있다.

힐베르트 스킴 는 구체적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

여기서
 는 벡터 공간  속의 차원 부분 벡터 공간의 모듈라이 공간인 그라스만 다양체이다.
 는 의 고츠만 수이다.
 는 변수 에 대한 차 동차다항식들의 공간이다.
 는 이항 계수이다.

예 
임의의 국소 뇌터 스킴 에 대하여, 힐베르트 다항식이 상수 인 힐베르트 스킴 을 생각하자. 이는  위의 개의 점으로 구성된 아르틴 부분 스킴의 모듈라이 공간이며, 따라서 짜임새 공간 이다 (은 대칭군). 특히, 이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

대수기하학
미분기하학
모듈라이 이론
스킴 이론