균등 비압축성 오일러 방정식

유체 동역학에서, 균등 비압축성 오일러 방정식(均等非壓縮性Euler方程式, )은 비압축성 비점성 유체를 다루는 편미분 방정식이다. 보다 일반적인 오일러 방정식에서, 유체의 밀도가 상수 함수인 경우이다.

정의 
리만 계량을 갖춘 경계다양체 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 균등 비압축성 오일러 방정식은 어떤 시간 의존 스칼라장

과 시간 의존 벡터장

에 대한, 다음과 같은 1차 편미분 방정식이다.

여기서
 은 음악 동형의 하나이며, 1차 미분 형식을 벡터장으로 대응시킨다. 즉, 는 스칼라장 의 기울기 벡터장이다. 이 연산을 정의하려면 리만 계량이 필요하다.
 은 리만 계량 로 정의된 부피 형식이다. (만약 이 비가향 다양체라도 이는 국소적으로 정의되며, 방향은 중요하지 않다.)
 는 (국소적으로 정의된 미분 형식의) 리 미분이다.
 방정식 은 벡터장 의 발산이 0임을 뜻한다.
 은 경계다양체 의 경계이다.
 은 경계 의 접다발이다. 은 그 단면의 집합이며, 이는 의 경계에 평행한 접벡터들로 구성된다.
 은 경계다양체  위에 정의된 벡터장 가 의 경계 에서 경계와 평행함을 뜻한다.
는 보통 변수가 아니라 주어진 배경장으로 취급한다. 오일러 방정식에는 의 도함수만이 등장하므로, 만약 어떤 상수 에 대하여 와 같이 치환하더라도 의 해는 바뀌지 않는다. 또한, 만약 둘째 및 셋째 방정식을 만족시키는 (즉, 경계에 평행한 무발산 벡터장 가 주어지면), 는 상수항을 무시하면 유일하게 결정된다.

물리학적 해석 
이 방정식은 물리학적으로 다음과 같이 해석된다.

물리학에서는 보통 압력 를 중력 퍼텐셜 와 질량당 일 로 구분한다.

즉,

이다. 여기서 는 중력 퍼텐셜 에 대응하는 중력장이다.

측지선 방정식으로의 형태 
오일러 방정식은 어떤 무한 차원 다양체 위의 측지선 방정식으로 표현될 수 있다.

구체적으로, 이 콤팩트 리만 경계다양체라고 하고, 의 자기 미분 동형

들의 공간

을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이루는 리 군이다. 그 실수 리 대수는  위의 벡터장의 리 대수

이다. 이는 리만 계량으로부터 양의 정부호 이차 리 대수를 이룬다. 따라서, 이로부터  위에 오른쪽 평행 이동 불변 리만 계량을 부여할 수 있다.

 가운데, 부피를 보존하는 미분 동형들로 구성된 부분군

이다. 여기서 은 리만 계량 로 주어지는 부피 밀도이다. 이에 대응되는 실수 리 대수는

이며, 이는 발산이 0인 벡터장들의 부분 리 대수이다. 그 연속 쌍대 공간의 매끄러운 부분 공간은 다음 공간과 표준적으로 동형이다.

여기서 는 미분 형식의 공간이다. 사실, 리만 계량의 음악 동형을 사용하면, 동치류 공간 의 각 동치류에서 표준적인 대표원을 고를 수 있다.

이제,  위에 다음과 같은 불변 양의 정부호 이차 형식을 부여할 수 있다.

이는 유체의 (밀도당) 운동 에너지로 해석될 수 있다. 이는 프레셰 리 군  위의 리만 계량을 정의한다.

이 경우, 오일러 방정식은  위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 가 주어졌을 때,

를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 였던 유체 입자의, 시각 에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,

이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서

이므로

이다. 첫째 오일러 방정식은

인데, 항상 부분 적분에 따라

이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은

을 함의한다. 여기서 는 프레셰 다양체  위의,  방향의 공변 미분이다.

해밀턴 방정식으로의 형태 
오일러 방정식은 또한 무한 차원 선형 푸아송 다양체 위의 해밀턴 방정식으로 간주할 수 있다.

이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체라고 하자. 의 연속 쌍대 공간(의 매끄러운 부분 공간)

이 주어졌다고 하자. 이는 리 대수의 연속 쌍대 공간(의 부분 공간)이므로, 자연스럽게 선형 푸아송 다양체를 이루며, 그 푸아송 괄호는 다음과 같다.

그렇다면, 여기에는  위의 양의 정부호 쌍선형 형식

으로부터 자연스러운 이차 형식

을 정의할 수 있다. 이를 푸아송 다양체 위의 해밀토니언으로 삼아, 다음과 같은 해밀턴 방정식을 적을 수 있다.

여기서
 은  위의 1차 미분 형식의 동치류이다.
 은 (음악 동형에 대한) 벡터장 의 발산이 0인 () 유일한 대표원 이다.
 는 벡터장 에 대한 리 미분이다.
구체적으로, 이 방정식은 에 정의된다. 이를  위에 제약()을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우, 인 임의의 1차 미분 형식 에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.

여기서 은 의 제약을 위한 보정항이다.

이 방정식은 오일러 방정식과 동치이다. 즉, 속도장 에 대하여 음악 동형으로

로 놓으면,

가 되어, 오일러 방정식을 얻는다.

성질 
이 (경계가 없는) 콤팩트 유향 매끄러운 다양체라고 하자.

만약 이 홀수 차원이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

그렇다면, 임의의 에 대하여

이므로, 이는 사실  위의 실수 값 함수를 정의한다.

마찬가지로, 만약 이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 부피 형식 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소  및 임의의 다항식 에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

이 역시 마찬가지로 실수 값 함수

를 정의한다.

공간

은 리 대수의 쌍대 공간이므로, 이를 선형 푸아송 다양체로 여길 수 있으며, 특히 리 군 의 쌍대딸림표현을 갖는다. 와 는 의 작용에 대하여 불변량이며, 따라서 이 위의 해밀턴 방정식인 오일러 방정식의 운동 상수이다. 특히, 홀수 차원의 경우, 는  위의 리만 계량이나 부피 형식에 의존하지 않으므로, 이는 임의의 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 운동 상수를 이룬다. 짝수 차원의 경우, 는 의 부피 형식에만 의존하므로, 이는 같은 부피 형식을 정의하는 서로 다른 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 무한히 많은 운동 상수들을 이룬다.

예 
실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 버거스 방정식()이라고 하며, 다음과 같다.

이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은

이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.

즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.

여기서 는 의 초기 조건인 임의의  함수이다.

만약 일 때, 그 해는 다음과 같다.

역사 
오일러 방정식은 레온하르트 오일러가 1757년에 발표하였으며, 최초로 연구된 편미분 방정식 가운데 하나이다. 버거스 방정식은 얀 버거스()의 이름을 땄다.

참고 문헌 

유체역학
편미분방정식