위상 T-이중성

대수적 위상수학과 끈 이론에서 위상 T-이중성()은 끈 이론의 T-이중성의 일부를 포함하는 수학적 공식화이다. 이는 일반화 기하학과 뒤틀린 드람 코호몰로지와 뒤틀린 K이론의 동형을 정의하며, 이는 각각 NS-NS 배경장 · 라몽-라몽 장 · D-막의 대응 관계를 나타낸다.

정의 
끈 이론의 T-이중성의 일부는 수학적으로 다음과 같이 공식화될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 자연수 
 차원 콤팩트 아벨 리 군 , 
 -주다발 
 -주다발 
  위의 3차 특이 코호몰로지류 
  위의 3차 특이 코호몰로지류 
그렇다면, 올곱 를 정의할 수 있으며, 이에 대한 사영 사상

을 정의할 수 있다. 만약

라면, 를 서로 T-이중라고 한다.

성질

뒤틀린 드람 코호몰로지 
T-이중 공간 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 뒤틀린 드람 코호몰로지롤 정의할 수 있으며, 양쪽의 뒤틀린 드람 코호몰로지는 다음과 같이 서로 표준적으로 동형이다.

이는 ⅡA 초끈 이론과 ⅡB 초끈 이론의 라몽-라몽 장 사이의 관계를 나타낸다.

뒤틀린 K이론 
T-이중 공간 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 뒤틀린 K이론

을 정의할 수 있다. 이 경우, 마찬가지로 양쪽의 뒤틀린 K이론 사이의 표준적인 동형이 존재한다.

뒤틀린 K이론은 캘브-라몽 장이 존재하는 시공간의 D-막을 분류하므로, 이는 ⅡA 초끈 이론과 ⅡB 초끈 이론의 D-막 사이의 관계를 나타낸다.

기하학적 구조 
T-이중 공간 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 쿠런트 준대수를 정의할 수 있으며, 이는 서로 동형이다. 이에 따라, 쿠런트 준대수의 구조만으로 정의되는 모든 기하학적 구조의 모듈러스 공간은 양쪽에서 서로 동형이다. 특히, 표준적인 동형 사상

에 따라서,  위의 일반화 복소구조는  위의 일반화 복소구조와 일대일 대응한다.

마찬가지로, 일반화 리만 계량(=NS-NS 배경장) 및 일반화 켈러 다양체 구조의 모듈러스 공간 역시 양쪽에서 일대일 대응한다.

예 
3차원 초구는 2차원 구 위의 U(1) 주다발을 이룬다 (호프 올다발).

만약  위에 아무런 캘브-라몽 장세기가 없다면 , 이에 대응되는 T-이중 원다발은 자명한 위상을 가지지만 한 단위의 캘브-라몽 장세기를 갖는다. 즉, 이는 이며, 은 무한 순환군의 생성원이다.

만약  위에 한 단위의 캘브-라몽 장세기가 주어졌다면 , 이는 스스로와 T-이중이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

대수적 위상수학
끈 이론