초일관 논리

초일관 논리(超一貫論里, ) 또는 모순허용논리(矛盾許容論里, )란, 모순을 특별한 방법으로 다루는 논리 체계이다. 또는 모순에 대하여 내성 있는 논리 전반을 가리키는 말이기도 하다.

초일관 논리 체계의 일반적인 특징은 배중률은 허용하면서도 참과 거짓의 대립, 즉 이가(二價) 대립 체계는 잘 허용하지 않는다는 점이다. 곧 다치 논리와 연관성이 있다.

모순허용논리는 20세기 초에도 이미 연구되었으며, 사실 원시적인 형태로는 아리스토텔레스까지 거슬러 올라간다. 하지만, 초일관(paraconsistent)이라는 용어는 1976년 페루인 철학자 프란시스코 미호 케사다(Francisco Miró Quesada)가 최초로 쓴 것이며, 이때쯤부터 본격적인 연구가 시작되었다 할 수 있다.

정의 
직관논리도 포함하는 고전논리에서는 모순으로부터 온갖 것을 이끌어낼 수 있다. 이 기묘한 특징을 폭발률(爆發律)이라 부르며, 형식적으로는 다음과 같이 나타난다:이곳에서 는 논리적 귀결 관계를 의미한다. 따라서 체계에 하나의 모순이 존재한 경우 그 체계는 자명하다. 즉, 온갖 글이 증명된 명제가 된다. 모순허용논리에서는 이 폭발률을 채용하지 않는다. 결과적으로 모순허용논리는 다른 논리체계와는 다르며, 모순을 포함하는 "자명하지 않은" 체계를 다룰 수 있다.

모순허용논리는 항상 고전논리보다 약하다 
모순허용논리는 다른 논리체계보다 약하다고 여겨진다. 이것은 즉, 모순허용논리에 의한 추론능력이 약하다는 것이다. 모순허용논리에서는 통상의 논리체계에서 거짓으로 여겨지는 것을 참으로 볼 가능성이 있지만, 문제는 그것이 아니라 모순허용논리가 고전논리보다 확장된 형태가 아니며, 고전논리가 할 수 있는 모든 것을 다룰 수 있다고는 말할 수 없다는 점이다. 그런 의미로, 모순허용논리는 고전논리보다도 '신중'하며 '보수적'이라고 할 수 있다.

목적 
모순허용논리가 생겨난 동기는, 모순을 포함하는 정보로부터 추론을 제어당한 수법을 가능케 해야 한다는 사고방식이었다. 폭발률은 이것을 방해하는 것이기 때문에, 모순허용논리에서는 배제되었다. 다른 논리에서 모순을 포함한 체계는 늘 하나밖에 없으며, 그 체계에는 온갖 명제가 정리(定理)로서 포함된다. 모순허용논리에서는 모순을 포함한 체계를 구별할 수 있으며, 모순된 체계에서 추론할 수 있다. 경우에 따라 모순된 체계를 모순되지 않은 체계로 수정하는 것도 가능하다. 또한, 대규모 소프트웨어 시스템 따위에서는 모순되지 않은 것을 보증할 수는 없다.

일부 철학자는 좀 더 적극적으로 몇 가지 모순을 「참」으로 여기고, 모순을 포함하는 체계가 반드시 올바르지 않은 셈은 아니라는 입장을 취한다. 이러한 관점을 양진주의(Dialetheism)라고 부르며, 거짓말쟁이의 역설이나 러셀의 역설과 같은 역설을 액면대로 받아들이도록 하는 사고방식이 그 바탕에 있다. 단, 모순허용논리의 신봉자가 모두 그렇게 생각하고 있다는 것은 아니다. 한편으로, 양진주의(Dialetheism)의 입장에서는 모순허용논리는 필수이며, 그러하지 아니하면 모든 것이 참이라고 인정하지 않을 수 없게 되기 때문이다.

트레이드오프 
모순허용논리에는 문제도 있다. 폭발률을 배제했기 때문에, 다음 세 개의 아주 기본적인 원리 가운데 적어도 하나를 채용할 수 없게 된다:

이들 중 어느것을 배제해야하는가가 연구되어, 현재에는 선언적 삼단논법(選言的三段論法, Disjunctive syllogism)을 배제하는 것이 일반적이다. 양진주의(Dialetheism)의 입장에서는, 선언적 삼단논법이 올바르지 않음은 정당하다. A와 ¬A가 함께 참이고, B가 거짓이라고 하자. A v B는 A가 참이기 때문에 전체 역시 참이다. 따라서, 전제 A v B와 ¬A는 함께 참이지만, 결론이 되는 B는 참이 아니다.

마찬가지로 다음 세 가지 원리도 폭발률에 의존하고 있기 때문에, 적어도 하나를 배제해야만 한다.

「귀류법」과 「구조규칙」의 배제가 시도되어 왔다. 「이중부정의 배제」의 배제도 이루어져 있으나, 그것은 별개의 이유에서이다. 이중부정의 배제만을 잃어도, 모순에서 모든 부정명제를 증명 가능케 한다.

단순한 모순허용논리 
가장 유명한 모순허용논리는 LP(Logic of Paradox)라고 하는 단순한 체계이다. 아르헨티나의 논리학자 F. G. Asenjo가 1966년에 제창하고, 그 뒤 Priest가 보편화했다.

LP의 의미론을 표현하는 방법으로서, 일반적으로는 함수의 평가로 여겨지는 바를 관계에서 치환하는 방법이 있다. 이항관계 V는 정논리식과 진릿값을 관련짓는다. V(A,1)는 A가 참이라는 것을 의미하고, V(A,0)는 A가 거짓이라는 것을 나타낸다. 각 논리식에는 적어도 하나의 진릿값이 대응되나, 대응하는 진릿값은 반드시 하나일 필요는 없다. 부정과 논리합의 의미는 다음과 같다:
 
 
 
 
다른 논리연산은 부정과 논리합의 조합으로 정의할 수 있다. 보다 비형식적으로 표현하면 다음과 같다:
 not A는 A가 거짓일 때에만 참이다.
 not A는 A가 참일 때에만 거짓이다.
 A or B는, A가 참이거나 B가 참일 때에만 참이다.
 A or B는, A가 거짓이자 B도 거짓일 때에만 거짓이다.
논리적 귀결관계의 의미론은 다음과 같다:
 Γ  A  Γ 의 모든 요소가 참일 때에만 A가 참이다.
여기서, V(A,1)와 V(A,0)라는 관계가 있으며, V(B,1)라는 관계가 없다고 한다. 이들의 관계에서 폭발률과 논리합에 의한 삼단논법의 반례는 쉽게 이끌어낼 수 있다. 하지만 그것은 동시에 LP의 조건문을 위한 전건긍정에 대한 반례이기도 하다. 이 때문에, LP에서는 부정과 논리합이 조합으로는 정의할 수 없는 강한 조건결합자를 채용하는 일이 많다.

LP는 대부분의 (보통 참인) 추론 패턴을 지니고 있으며, 드 모르간의 법칙, 부정/논리곱/부정합에 관한 자연연역이 성립한다. 또한, 놀랍게도 항진식은 LP에서도 일반적인 논리체계에서도 변함없다. LP와 고전논리의 다른 점은, 추론이 참이 되는 범위이다. 각 논리식이 반드시 참이나 거짓의 값을 가진다는 조건에서 벗어난 모순허용논리를 FDE(First-Degree Entailment)라고 부른다. LP와는 달리 FDP에는 항진식이 없다.

LP는 수많은 모순허용논리의 하나에 지나지 않는다는 점을 주의해야 한다. 비교적 단순한 예로서 이곳에 소개한 것에 지나지 않는다.

다른 논리학과의 관계 
모순허용논리의 중요한 체계로서 연관 논리가 있다. 논리는 이하의 조건을 만족할 때에만 「적절」(relevant)하다고 여긴다:

 A → B가 정리(定理)일 때, A와 B는 하나의 비논리적 상항을 공유한다.

이 때문에, 연관논리에서는 p & ¬p → q를 정리로서 가질 수 없다. 또한, {p, ¬p}에서 q를 이끌어내는 추론도 불가능하다.

연관논리와 다치논리는 겹치는 부분도 많이 있지만, 연관논리가 도무 다치논리라는 것은 아니다. 물론, 모든 다치논리가 모순허용논리라는 것도 아니다.

직관논리에서는 A ∨ ¬A를 거짓으로 할 가능성이 있지만, 모순허용논리에서는 A ∧ ¬A를 참으로 할 가능성이 있다. 이 점에서, 모순허용논리와 직관논리는 서로 쌍대로 보아야 한다고 여겨진다. 하지만, 직관논리는 특수한 논리체계이고, 모순허용논리는 다양한 체계를 내포하는 논리체계의 클래스이다. 따라서, 직관논리의 쌍대는 특정 모순허용논리의 체계이며, 쌍대직관논리(dual-intuitionistic logic) 또는 (역사적인 이유에서)Brazilian logic라고 불린다. 두 개의 논리체계의 쌍대성은 시퀀트 계산의 프레임워크로 알 수 있다. 직관논리에서는 다음 시퀀트를 도출해낼 수 없다.

 

그러나, 쌍대직관논리에서는 다음 시퀀트를 도출해낼 수 없다.

 

마찬가지로, 직관논리에서는 다음 시퀀트를 도출해낼 수 없다.

 

한편, 쌍대직관논리에서는 다음 시퀀트를 도출해낼 수 없다.

 

쌍대직관논리에는 결합자 #가 있으며, 이는 직관적 함의의 쌍대이다. 대강 말하면, A # B는「A이지만 B가 아니다」(A but not B)라는 의미이다. 단, #는 진리함수가 아니다.

응용 
모순허용논리는 다양한 영역에서 모순을 다루는 수단으로 이용되어왔다.
 의미론: 거짓말쟁이의 역설 따위에 빠져들지 않는 진실의 형식적이자 단순한 설명수단으로서 모순허용논리가 제안되어왔다. 하지만, 그러한 체계에서는 커리의 역설도 방지할 필요가 있으나, 이 경우 부정을 사용할 수 없기 때문에 대처가 더욱 어렵다.
 집합론 등 수학의 기초: 러셀의 역설이나 괴델의 불완전성 정리와의 관련으로 모순허용논리를 중시하는 입장도 있다.
 인식론: 모순되는 이론이나 가설로 추론하는 수단으로서, 혹은 이들을 개선하는 수단으로서 모순허용논리가 제안되어왔다.
 지식경영과 인공지능: 모순되는 정보를 다루는 수단으로서 모순허용논리가 일부 사용되어왔다.
 의무논리와 메타윤리학: 윤리적·규범적 모순을 다루는 수단으로서 모순허용논리가 제안되어왔다.

비판 
전술한 세 가지 원리(의 일부 혹은 모두)를 배제하지 않으면 성립하지 않는 모순허용논리에 대하여, 폭발률을 배제하는 것의 직관적 정당성보다도, 그 세 원리의 직관적 정당성이 낫다고 주장하는 철학자도 있다.

또한, 데이비드 루이스는, 어느 명제와 그 부정이 함께 참이라고 보는 모순허용논리에 반대의 입장을 주장했다. 관련해서, 모순허용논리의 「부정」은 이른바 부정이 아니라, 아리스토텔레스가 일컫는 소반대(小反對)에 상응한다는 주장도 있다.

연구자 
모순허용논리의 주요 연구자를 이하에 열거한다:
 Alan Anderson (미국,  1925년 - 1973년) 모순허용논리의 일종이기도 한 연관논리를 구축한 연구인 중 한 명.
 F. G. Asenjo (아르헨티나)
 Diderik Batens (벨기에)
 Nuel Belnap (미국, 1930년 - ) Anderson과 함께 연관논리를 구축.
 Jean-Yves Béziau (프랑스/스위스, 1965년 - )
 Ross Brady (오스트레일리아)
 Bryson Brown (캐나다)
 Walter Carnielli (브라질)
 Newton da Costa (브라질, 1929년 - ) 모순허용논리의 형식체계를 구축한 초기의 연구자중 한 명.
 Itala M. L. D'Ottaviano (브라질)
 J. Michael Dunn (미국) 연관논리의 연구자
 Stanisław Jaśkowski (폴란드) 모순허용논리의 형식체계를 구축한 초기의 연구자중 한 명.
 R. E. Jennings (캐나다)
 데이비드 루이스 (미국, 1941년 - 2001년) 모순허용논리에 대한 비평가
 얀 우카시에비치 (폴란드, 1878년 - 1956년)
 Robert K. Meyer (미국/오스트레일리아)
 Chris Mortensen (오스트레일리아) 모순허용수학
 Val Plumwood (Val Routley라고도, 오스트레일리아, 1939년 - ) 
 Graham Priest (오스트레일리아) 모순허용논리에 대한 현재의 세계적 일인자
 Francisco Miró Quesada (페루) 모순허용논리(paraconsistent logic)라는 용어를 만들어냈다.
 Peter Schotch (캐나다)
 B. H. Slater (오스트레일리아) 모순허용논리에 대한 비평가
 Richard Sylvan (Richard Routley라고도, 뉴질랜드/오스트레일리아, 1935년 - 1996년) 
 Nicolai A. Vasiliev (러시아, 1880년 - 1940년)

각주

참고 문헌

외부 링크 
 Stanford Encyclopedia of Philosophy "Paraconsistent Logic"
 Stanford Encyclopedia of Philosophy "Inconsistent Mathematics"
 "World Congress on Paraconsistency, Ghent 1997, Juquehy 2000, Toulouse, 2003, Melbourne 2008, Kolkata, 2014"
 Paraconsistent First-Order Logic with infinite hierarchy levels of contradiction LP#. Axiomatical system HST#, as paraconsistent generalization of Hrbacek set theory HST
 Ideal Paraconsistent Logics

신념 수정
철학적 논리학
수리논리학
비고전 논리