프로이덴탈 마방진

추상대수학에서 프로이덴탈 마방진(Freudenthal魔方陣, )은 요르단 대수로부터 단순 리 대수를 구성하는 방법이다. 특히, 만약 요르단 대수를 실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수의 3×3 에르미트 행렬의 요르단 대수로 잡을 경우, 예외적 단순 리 대수 F₄ · G₂ · E₆ · E₇ · E₈을 대수적으로 구성할 수 있다.

정의 
다음 두 데이터가 주어졌다고 하자.
 (항등원 을 갖는) 유한 차원 실수 요르단 대수 
  위의 불변 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 . 즉, 다음이 성립해야 한다.

 (항등원 를 갖는) 실수 합성 대수 . 여기서 내적을 이 되게 규격화한다.
이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

여기서
 는 쌍선형 이항 연산에 대한 미분 리 대수이다.
 은 내적에 대한 직교 여공간이다.
이 가운데, 는 이미 실수 리 대수를 이루며, 이는  위의 표준적인 리 대수 표현을 갖는다. 즉, 만약  전체가 실수 리 대수를 이루려면, 야코비 항등식을 만족시키는,  위의 리 괄호가 존재하면 족하다.

이제, 다음과 같은 괄호를 정의하자.

여기서
 는 에 의한 요르단 곱셈이며, 그 교환자는 미분을 이룬다 ().
 는  위의 미분이다.

이제, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, 는 실수 리 대수를 이룬다.
 가 실수 결합 대수이다.
 에서 다음 항등식이 성립한다.

성질 
특히, 다음과 같은 특수한 경우가 성립한다.
 (미분 리 대수)

여기서  및 은 칸토르-쾨허-티츠 구성을 통해 에 대응되는 리 대수들이다.

예 
프로이덴탈 마방진을 구성하는 실수 리 대수들은 다음과 같다.

여기서
 은 분할 복소수()의 실수 가환 결합 대수이다.
 는 분할 사원수의 실수 결합 대수이다. 이는 사실  (2×2 실수 정사각 행렬의 대수)와 실수 결합 대수로서 동형이다.
 는  계수  에르미트 행렬들의 요르단 대수이다.

3×3 
3×3 행렬의 경우, (분할) 팔원수의 3×3 행렬 공간  및 가 요르단 대수가 되므로, 프로이덴탈 마방진에 이를 추가할 수 있다.

2×2 
2×2인 경우, 팔원수의 경우 약간의 해설이 필요하다. 이 경우,

는 잘 정의되지만, 반대로

는 잘 정의되지 않는다. 이 경우, 대칭성을 사용하여 둘째 대수를 첫째와 같게 임의로 정의할 수 있다. 사실, 이러한 경우 항상

임을 보일 수 있다. (계량 부호수는 와 의 고유 내적으로부터 유도된다.) 이를 통해, 인 경우 등의 칸을 채워 넣을 수 있다.

1×1 
1×1 행렬의 경우, 이므로, 더 이상 대칭성이 성립하지 않는다. 이는 행렬이 “너무 작아서” 있어야 하는 일부 미분들이 자명하게 작용하기 때문이다.

역사 
자크 티츠와 한스 프로이덴탈이 1950년대 말에 각각 독자적으로 발견하였다. 그러나 티츠는 이 내용을 1966년에 와서야 출판하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

리 대수