멱영 공간

호모토피 이론에서 멱영 공간(冪零空間, )은 기본군이 멱영군이며 고차 호모토피 군에 특별히 간단하게 작용하는 위상 공간이다. 멱영 공간의 경우 유리수 호모토피 이론을 깔끔하게 전개할 수 있다.

정의 
점을 가진 공간 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 기본군 은 고차 호모토피 군  위에 다음과 같이 작용한다. 우선, 은 쌍대올뭉치이므로, 호모토피 확장 성질을 사용하여 임의의 경로

및 호모토피 군의 원소

에 대하여 호모토피류

를 유일하게 정의할 수 있다. 만약 인 경우 위와 같은 경로의 호모토피류는 기본군 의 원소이므로, 이는 군의 작용

을 정의한다.

주어진 점을 가진 공간 에서, 만약 각 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 유한한 길이의 호모토피 군 중심열

이 존재한다면, 를 멱영 공간이라고 한다.
 임의의  및 에 대하여, 이다. 즉, 의  위의 작용은 자명하다.

(특히, 인 경우의 조건은 기본군 이 멱영군인 것이다.)

마찬가지로, 주어진 점을 가진 공간 에서, 만약 기본군 의, 임의의 차수 호모토피 군에 대한 작용이 모두 자명하다면, 를 단순 공간(單純空間, )이라고 한다. (특히, 인 경우의 조건에 따라 기본군 아 아벨 군이어야 한다.)

성질 
모든 단순 공간은 멱영 공간이다. 단일 연결 공간은 (기본군이 자명군이므로) 항상 단순 공간이다.

역사 
에마누엘 드로르 파르준(, )이 도입하였다.

예 
홀수 차원 실수 사영 공간은 멱영 공간이다. 그러나 (예를 들어) 실수 사영 평면은 멱영 공간이 아니다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

대수적 위상수학
위상 공간의 성질