수술 (수학)

미분위상수학에서 수술(手術, )은 다양체 속의 원기둥을 도려내고 그 자리에 다른 모양의 원기둥을 붙여 전체의 위상을 바꾸는 연산이다. 수술은 고차원 (5차원 이상) 다양체의 연구에 매우 중요한 역할을 하며, 그 이론을 수술 이론(手術理論, )이라고 한다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 차원 다양체 
 연속인 매장 
여기서 는 차원 초구이며 는 차원 닫힌 공이다. 이 때 의 상에 해당하는 의 부분다양체 의 경계는 의 경계와 같다.

그러므로 을 도려내고 그 자리에 를 채워넣어 새로운 차원 다양체 을 만들 수 있다.

이와 같은 과정을 -수술이라고 한다.

만약 이 매끄러운 다양체일 경우, 수술한 자리 주변에 매끄럽게 하는 작업()을 가해서 이 매끄러운 구조를 가지도록 만들 수 있다. 조각적 선형 다양체일 경우에도 비슷한 작업이 가능하다.

예

원 위의 수술 
원 위에서 0-수술을 다음과 같이 가하자.

즉, 원 속에서 을 도려내고, 그 속에 다른 방향으로 를 이어붙인다. 이 경우, 수술의 방향에 따라 두 가지가 존재하는데, 하나는 한 개의 원, 다른 하나는 두 개의 원을 얻는다.

구 위의 수술 
구  위에 1-수술을 가한다면, 두 개의 구를 얻는다.

구  위에 0-수술을 가하자. 이 경우, 를 도려내면 원기둥 을 얻으며, 여기에 을 이어붙인다면 이는 방향에 따라 원환면  또는 클라인 병을 얻는다.

모스 함수 

차원 매끄러운 다양체  위의 모스 함수 의 임곗값 이 정확히 하나의 임계점 에 대응한다고 하고, 의 모스 지표가 이라고 하자. 모스 이론에 따르면 이 때 충분히 작은 에 대하여 다양체 를 에 -수술을 가하여 얻을 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

미분위상수학