리 지수 사상

리 군론에서 리 지수 사상(指數寫像, )은 어떤 리 군을 공역으로 하고, 그 리 대수를 정의역으로 하는 특별한 함수이다. 행렬군의 경우 이는 행렬의 지수 함수와 같다.

정의 
(유한 차원) 리 군 의 리 대수 를 생각하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

가 되는 매끄러운 함수인 군 준동형이 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 이에 따라, 의 리 지수 사상은 다음과 같은 함수이다.

구체적 정의 
리 군 가 다음과 같이 행렬군의 부분군이라고 하자.

즉, 가 충실한 차원 실수 표현을 갖는다고 하자.

그렇다면, 의 리 대수  역시 실수 표현

을 갖는다.

이 경우, 의 리 지수 사상은 행렬 지수 함수와 같다.

성질 
리 지수 사상은 매끄러운 함수이며, 그 치역은 리 군 의 항등원을 포함하는 연결 성분 의 부분 집합이다.

항등식 
리 지수 사상은 다음을 만족시킨다.

또한, 리 군의 스스로의 리 대수 위의 딸림표현

에 대하여, 다음이 성립한다.

함자성 
리 지수 함수는 유한 차원 실수 리 대수의 범주 에서,

두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형

가 주어졌다고 하자. 이는 리 대수 사이의 준동형

를 유도한다. 그렇다면, 지수 함수는 다음 그림을 가환 그림으로 만든다. 즉, 리 지수 함수는 함자성을 갖는다.

전사성 
리 군 가 만약 다음 세 조건 가운데 적어도 하나 이상을 만족시킨다면, 그 리 지수 사상은 전사 함수이다.
 는 연결 공간이며 콤팩트 공간이다.
 는 연결 공간이며 멱영군이다.
 는 의, 이산군에 대한 몫군이다.

예

아벨 리 군 
이 아벨 리 군이라고 하자. 그렇다면, 그 리 지수 사상은 다음과 같다.

마찬가지로, 가 아벨 리 군이라고 하자. 그렇다면, 리 지수 사상은 다음과 같다.

SU(2) 

SU(2)는 절댓값이 1인 사원수의 리 군과 동형이다.

이 경우, 그 리 대수는 순수 허수 성분만을 갖는 사원수의 실수 벡터 공간이다.

이 경우, 리 지수 함수는 사원수의 지수 함수와 같다.

SL(2;ℝ) 

리 군 의 리 지수 사상은 전사 함수가 아니다. 그 치역은 다음 조건들 가운데 적어도 하나를 만족시키는 2×2 실수 행렬들로 구성된다.
 복소수체에서 대각화가 가능하며, 그 고윳값은 모두 실수이다.
 복소수체에서 대각화가 가능하며, 그 고윳값은 모두 절댓값이 1인 복소수이다.
 고윳값 1이 중복해서 등장한다.
 이다.

특히, 예를 들어 는 리 지수 사상의 치역에 포함되지 않는다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

리 군
리 대수