안정점

대수기하학에서, 안정점(安定點, )은 어떤 대수군의, 사영 대수다양체 위의 작용 아래, 그 안정자군이 유한하며, 그 궤도가 닫힌집합인 점이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 복소수 벡터 공간 
 가약 대수군 
그렇다면, 점 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 안정점이라고 한다.
 군의 작용의 궤도 의 차원이 의 차원과 같다. (즉, 안정자군이 유한하다.)
 가 의 닫힌집합이다.
안정점의 집합을 라고 표기하자.

점 가 다음 조건을 만족시킨다면, 준안정점()이라고 한다.
 어떤 차 -불변 동차 다항식 에 대하여 (), 이다.
준안정점의 집합을 라고 표기하자.

에 대한 복소수 사영 공간 의 점 의 경우, 그 점의 대표원 이 (준)안정점일 경우 마찬가지로 (준)안정점이라고 한다. 가  속의, 의 작용에 대하여 불변인 사영 대수다양체일 경우에도 마찬가지로 정의한다.

성질 
사영 대수다양체 를 정의하는 동차 아이디얼

을 생각하자. 그렇다면, 는  위에 작용한다. 이에 대한 고정점의 집합

을 생각하자. 이는 복소수체 위의 유한 생성 가환 결합 대수를 이루며, 어떤 사영 대수다양체를 정의한다. 이를 라고 한다.

이 경우, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

여기서, 와 는 의 열린집합이며, 마찬가지로 는 의 열린집합이다.

안정성의 수치 조건 
차원 복소수 벡터 공간 의 복소수 사영 공간  위에 가 작용한다고 하자. 그렇다면, 임의의 대수적 군 준동형

에 대하여, 를 다음과 같이 복소수 벡터 공간의 직합으로 분해할 수 있다.

(일부 에 대하여 일 수 있다.) 이에 대한 사영 사상을

라고 하자.

그렇다면, 임의의 에 대하여

을 정의하자. 힐베르트-멈퍼드 수치 조건(Hilber-Mumford數値條件, )에 따르면, 임의의 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 임의의 에 대하여 이다.
 는 안정점이다.
마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 임의의 에 대하여 이다.
 는 준안정점이다.

역사 
1893년에 다비트 힐베르트가 (현대적 용어로는) 준안정점이 아닌 점을 ‘영형식’()이라는 이름으로 연구하였다. 이후 데이비드 멈퍼드가 1965년에 안정점과 준안정점의 개념을 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

대수군
대수기하학
스킴 이론