고립 특이점

복소해석학에서, 고립 특이점(孤立特異點, )은 주어진 함수가 스스로를 제외한 주위의 모든 점에서 복소숫값의 정칙 함수가 되는 특이점이다.

정의 
연결 열린집합  및 점  및 함수 에 대하여, 가 정칙 함수가 되는 근방 이 존재한다면, 을 의 고립 특이점이라고 한다.

만약 0이 의 고립 특이점이라면, 무한대 를 의 고립 특이점이라고 한다.

분류 
고립 특이점은 제거 가능 특이점, 극점, 본질적 특이점으로 분류된다.

구체적으로, 연결 열린집합  및 점  및 함수 가 주어졌고, 이 의 고립 특이점이라고 하자.

제거 가능 특이점 
그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 의 제거 가능 특이점이라고 한다.
 는 에서 해석적 연속을 갖는다. 즉, 인 근방  및 정칙 함수 가 존재한다.
 는 에서 존재한다.
 는 에서 국소 유계 함수이다. 즉, 가 유계 함수가 되는 근방 이 존재한다.
 
 의 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분은 0이다.

극점 
또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 의 극점이라고 한다.
 는 에서 해석적 연속을 갖지 않으며, 는 에서 해석적 연속을 갖는다.
 
 의 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 적어도 하나이며, 많아야 유한하다.

본질적 특이점 
또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 의 본질적 특이점이라고 한다.
 와 는 에서 해석적 연속을 갖지 않는다.
 는 에서 존재하지 않는다.
 의 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 무한하다.

무한대의 경우 
무한대 의 의 고립 특이점으로서의 분류는 0의 의 고립 특이점으로서의 분류와 일치한다.

예 
함수

는 0을 제거 가능 특이점으로 갖는다.

함수

는 0을 극점으로 갖는다.

함수

는 0을 본질적 특이점으로 갖는다.

0은 함수

의 고립 특이점이 아니다.

전해석 함수 
모든 전해석 함수 는 를 고립 특이점으로 갖는다. 이는 가 상수 함수라면 제거 가능 특이점이며, 가 1차 이상의 다항 함수라면 극점이며, 초월 전해석 함수라면 본질적 특이점이다.

각주

외부 링크 
 
 

복소해석학