단면환

대수기하학에서 단면환(斷面環, )은 어떤 가역층의 거듭제곱들의 단면들로 구성된 등급환이다. 그 차원−1을 가역층의 이타카 차원([飯高]次元, )이라고 한다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 대수적으로 닫힌 체 
  위의 대수다양체 
  위의 가역층 
그렇다면, 다음과 같은, 자연수(음이 아닌 정수) 등급의,  위의 등급 대수를 정의할 수 있다.

즉, 그 속에서 차 등급의 원소는 가역층 의 단면이다. 이를 의 단면환이라고 한다.

단면환은 -벡터 공간이며, 항상 단면들로 정의되는, 사영 공간으로의 유리 사상

이 존재한다. 이 사영 공간의 차원(즉, 단면환의 차원 빼기 1)을 의 이타카 차원이라고 한다. 다만, 만약 이 효과적 인자가 아니어서 단면을 가지지 않는다면, 이타카 차원은 로 놓는다.

큰 가역층 
다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가역층을 큰 가역층()이라고 한다.
 은 풍부한 가역층과 효과적 가역층의 텐서곱으로 나타낼 수 있다.
 이타카 차원이 상계 를 포화한다.
 단면환의 힐베르트 다항식은 차 다항식이다.
이 조건은 쌍유리 변환에 대하여 불변이며, 따라서 쌍유리 기하학에서 중요하게 쓰인다.

역사 
이타카 시게루(, 1942〜)가 이타카 차원의 개념을 “D-차원”()이라는 이름으로 도입하였다.

참고 문헌 

대수기하학
벡터 다발