코시 곱

해석학에서, 두 급수의 코시 곱()은 그 두 급수의 곱으로 수렴하는 급수의 하나이다. 급수에 대한 합성곱과 같다.

정의 
두 복소수 급수  및 의 코시 곱은 다음과 같다.

특히, 두 복소수 멱급수  및 의 코시 곱은 다음과 같다.

성질

메르텐스 정리 
만약 가 절대 수렴하며, 는 수렴한다면, 코시 곱은 두 급수의 곱으로 수렴한다. 즉, 다음이 성립한다.

이를 메르텐스 정리()라고 한다.

증명 
다음과 같이 쓰자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

정리의 가정에 의하여, 다음과 같이 정의한 은 유한한 수이다.

임의의 을 취하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 이 존재한다.
 모든 에 대하여, 
 모든 에 대하여, 
따라서, 모든 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 은 로 수렴하며, 정리의 결론이 성립한다.

예

코시 곱이 발산하는 두 수렴 급수 
급수 와 자기 자신의 코시 곱을 이라고 하자. 그렇다면,

이다. 따라서 다음이 성립한다.

즉, 코시 곱 은 발산한다. 그러나 원래의 급수 는 조건 수렴한다.

역사 
프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름을 땄다.

외부 링크 
 

수열
복소해석학
오귀스탱 루이 코시