Horofunction

수학에서, horofunction은 완비 거리 공간 X 위에서 정의된 함수로, X의 거리 함수의 극한이다. 미하일 레오니도비치 그로모프가 부스만 함수를 일반화하여 소개하였다.

정의 
(X,d)를 완비 거리 공간이라고 하고, 를 원점이라고 하자. 그러면 고정된 에 대하여, 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

 

이러한 는 에 균등 노름을 주었을 때 등장사상이 되고, 이를 쿠라토프스키 매장이라고 한다.

라는 몫공간을 생각하면, X의 유계집합에서 균등수렴하는 위상을 얻는다. 이제 의 사영을 취하면, 원점 에 상관없는 매장 을 얻는다.

X를 가산 콤팩트 공간이라고 하자. 를X의 에서의 폐포라 하고, horofunction 콤팩트화 (horofunction compactification)라 부른다. 또한 그 경계를 X의 horofunction 경계 (horofunction boundary, horoboundary)라 한다.  중에서 이라는 매장을 통해서 horofunction 경계로 들어가는 함수들, 즉 horofunction 컴팩트화를 할 때 추가되는 함수들을 horofunction한다. 를 열린 horoball, 를horosphere라 한다.

함수와 사상