행렬의 합동

선형대수학에서, 행렬의 합동(合同, )은 두 행렬이 같은 이차 형식의 서로 다른 기저에 대한 표현임을 나타내는 관계이다.

정의 
체  위의 두  행렬 에 대하여, 만약 다음을 만족시키는 가역 행렬 가 존재한다면, 가 서로 합동이라고 한다.

여기서 는 전치 행렬이다. 행렬의 합동은 동치 관계를 이룬다.

예

대칭 행렬 
표수가 2가 아닌 체 를 원소로 하는 대칭 행렬 은 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 가 존재한다.

0이 아닌 대각 원소의 개수 는 의 계수와 같다.

행렬의 크기에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

우선,  행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이다.

이제,  행렬에 대하여 성립한다고 가정하고  행렬 에 대하여 성립함을 증명하자. 영행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이므로, 인 경우만을 생각하자. 그렇다면, 인 이 존재한다. 만약 라면, 의 번째 행에 번째 열을 더한 뒤, 다시 번째 열에 번째 열을 더하여 얻는 행렬 은 원래 행렬과 합동이며, 번째 대각 원소는 이며, 체의 표수가 2가 아니므로 이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 라고 할 수 있다. 만약 이라면, 의 1번째 행과 번째 행을 교환한 뒤, 1번째 열과 번째 행을 교환하여 얻는 행렬 은 원래의 행렬과 합동이며, 1번째 대각 원소가 이므로, 일반성을 잃지 않고 라고 할 수 있다. 즉, 가 를 만족시킨다고 보아도 무방하다. 이제 다시 다음과 같은 일련의 기본 행 연산의 합성을 생각하자.

그렇다면, 는 원래 행렬과 합동이며,

이 성립한다. 또한, 그 오른쪽 아래의 부분 행렬 은  행렬이므로 수학적 귀납법의 가정에 따라 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는  및 가 존재한다.

따라서, 는 다음과 같은 대각 행렬과 합동이다.

대칭 쌍선형 형식 가 있다고 하자. 증명하려는 바는  ()인 기저 의 존재이다.

벡터 공간의 차원에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

1차원의 경우는 자명하다.

차원의 경우에 대하여 성립한다고 가정하고, 차원의 경우에 대하여 증명하자. 인 경우는 자명하므로, 의 경우만을 생각하자. 이 경우, 인 가 존재한다. (그렇지 않다면, 이며 의 표수가 2가 아님에 따라 이므로 모순이다.) 그렇다면, 를 직교 여공간

에 제한시켰을 때 여전히 쌍선형 형식을 이루므로, 수학적 귀납법의 가정에 따라,  ()인 의 기저 이 존재한다. 또한, 직교 여공간의 정의에 따라,

이며, 는 의 기저를 이룬다.

이차 형식이 0인 경우 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이므로, 0이 아닌 이차 형식에 대하여 증명하면 된다.

체 의 표수가 2가 아니므로, 그 위의 이차 형식은 다음과 같은 꼴이다.

이차 형식의 변수의 개수 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

1변수의 경우, 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이다.

변수에 대하여 성립한다고 가정하고 변수에 대하여 증명하자. 만약 계수가 0이 아닌 제곱항을 가진다면, 일반성을 잃지 않고 라고 하자. 그렇다면, 이차 형식을 다음과 같이 변형할 수 있다.

오른쪽의

는 변수 이차 형식이므로, 제곱합이 되는 가역 변수 변환이 다음과 같이 존재한다.

또한, 변수 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 이러한 변수 변환은 가역 변환이며, 원래의 이차 형식을 제곱합으로 만든다.

만약 모든 제곱항의 계수가 0이라면, 이차 형식이 0이 아니라고 전제하였으므로, 일반성을 잃지 않고 이라고 하자. 그렇다면, 가역 변수 변환

을 통해 원래의 이차 형식은

로 바뀌며, 이는 계수가 0이 아닌 제곱항이 있는 이차 형식이므로 다시 가역 변수 변환을 통해 제곱합으로 만들 수 있다.

표수가 2가 아닌 체 위의 대칭 행렬에 일련의 서로 전치 기본 행 연산의 쌍들을 가하여 그와 합동인 대각 행렬로 만들 수 있다. 실수 대칭 행렬의 경우 고윳값을 대각 원소로 하는 대각 행렬을 취하면 된다.

복소수 대칭 행렬 
복소수 대칭 행렬 는 1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 동치이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 가 존재한다.

1의 개수 는 합동의 완전한 불변량이다.

실수 대칭 행렬 
실수 대칭 행렬 는 1, -1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 가 존재한다.

1의 개수 와 -1의 개수 는 합동의 완전한 불변량이다. 이를 실베스터 관성 법칙이라고 한다.

대칭 쌍선형 형식 가 다음을 만족시키는 기저 를 갖는다고 하자.

다음을 보이는 것으로 족하다.

우선, 는 에 제한시켰을 때 양의 정부호 형식이며, 에 제한시켰을 때 음의 정부호 형식임은 자명하다.

이제, 가 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간 를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

이는 만약 이며 이며 이며 이라면,

이므로, 이며,이기 때문이다. 따라서 이다. 또한  역시 양의 정부호 형식이므로, 는 의 제한이 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간의 최대 차원이며, 는 유일하다.

귀류법을 사용하여, 두 이차 형식

이 서로 동치이며, 라고 가정하자. 또한, 이 둘 사이의 가역 선형 변환이 다음과 같다고 하자.

그렇다면, 이므로, 연립 일차 방정식

은 0이 아닌 해 를 가진다. 이 경우,

이며, 이는 모순이다.

반대칭 행렬 
표수가 2가 아닌 체  위의 반대칭 행렬 는 는 몇 개의  행렬 과 하나의 영행렬의 직합과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 가 존재한다.

같이 보기 
 행렬의 닮음

각주

외부 링크 
 
 
 

행렬
선형대수학