홈플리 다항식

매듭 이론에서 홈플리 다항식(HOMFLY多項式, )은 유향 연환에 대하여 정의되는 2변수 다항식 불변량이다.

정의 
홈플리 다항식은 모든 유향 연환

에 대하여 정의되는, 두 변수 , 에 대한 정수 계수 다항식

이며, 다음과 같은 두 조건으로 유일하게 결정된다.
 (임의의 방향이 주어진) 자명한 매듭 에 대하여, 
 (타래 관계 ) 임의의 연환 그림의 한 부분을 국소적으로 수정하여, 다음과 같은 세 연환 , , 를 정의하였다고 하자.

그렇다면, 이들의 홈플리 다항식은 다음과 같은 관계를 갖는다.

존스 다항식과 알렉산더 다항식 
홈플리 다항식으로부터, 다음과 같은 두 다항식을 정의할 수 있다.
 존스 다항식(): 
 알렉산더 다항식():

성질 
홈플리 다항식 은 정수 계수 로랑 다항식이다. 또한, 존스 다항식과 알렉산더 다항식

은 에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다.

연산과의 호환성 
홈플리 다항식은 매듭의 연결합에 대하여 곱셈적이다. 즉, 임의의 두 유향 매듭 , 에 대하여, 다음이 성립한다.

서로 얽히지 않은 두 성분으로 구성된 연환 에 대하여, 다음이 성립한다.

유향 연환 의 거울 대칭을

이라고 할 때, 다음이 성립한다.

즉, 홈플리 다항식은 거울 대칭 매듭을 구별할 수 있다.

매듭의 홈플리 다항식은 선택한 방향에 의존하지 않는다. 보다 일반적으로, 유향 연환에서, 모든 연결 성분의 방향을 동시에 뒤집으면, 홈플리 다항식은 바뀌지 않는다.

천-사이먼스 이론과의 관계 

홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리의 기댓값으로 주어진다.

구체적으로, 3차원 초구 위의, 준위 의  천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제, 초구 속의 유향 연환 에 대한, 차원 정의 표현()에서 취한 윌슨 고리 연산자의  (정규화) 상관 함수는 다음과 같이, 홈플리 다항식으로 주어진다.

예 
간단한 매듭들의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

타래 관계의 예

자명한 연환 
다음과 같은 타래 관계를 생각하자.
{| style="text-align: center"
| 
| 
| 
|-
|  ||  || 
|-
| 자명한 매듭  || 자명한 매듭  || 자명한 연환 
|}
그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

즉, 2개 성분의 자명한 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

호프 연환 
다음과 같은 타래 관계를 생각하자.
{| style="text-align: center"
| 
| 
| 
|-
|  ||  || 
|-
| 호프 연환  (연환수 +1) || 자명한 연환  || 자명한 매듭 
|}
그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

즉, 호프 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

만약 호프 연환의 두 성분 가운데 하나의 방향을 바꾼다면, 거울 대칭이 되어 가 되며,

를 얻는다.

세잎매듭 
다음과 같은 타래 관계를 생각하자.
{| style="text-align: center"
| 
| 
| 
|-
|  ||  || 
|-
| 세잎매듭  || 자명한 매듭  || 호프 연환  (연환수 +1)
|}
이에 따라 타래 관계는

이다. 즉,

이다. 물론, 그 거울 대칭을 취하면

이다.

홈플리 다항식이 방향을 구별하지 못하는 매듭 
매듭 942은 스스로의 거울 대칭과 다르지만, 이 두 매듭은 같은 홈플리 다항식을 갖는다 (즉, 홈플리 다항식은 이 경우 거울 대칭을 구별하지 못한다). 매듭 1071의 경우도 마찬가지다.

역사 
제임스 워델 알렉산더가 1923년에 알렉산더 다항식을 발견하였다. 1969년에 존 호턴 콘웨이가 알렉산더 다항식이 타래 관계를 통해 정의될 수 있음을 보였다.
이후 1984년에 본 존스가 존스 다항식을 발견하였다.

1985년에 이들의 일반화인 홈플리 방정식을 피터 존 프라이드(, 1936~) · 데이비드 예터() ·
짐 호스트() · 윌리엄 버나드 레이먼드 리커리시(, 1938~) · 케네스 밀렛(, 1941~) · 아드리안 오크네아누()가 공동으로 발견하였다. “홈플리”()라는 이름은 이를 발견한 6인의 머리글자(FYHLMO)를 발음할 수 있게 재배열한 것이다.

거의 동시에 유제프 헨리크 프시티츠키(, 1953~)와 파베우 트라치크()가 같은 다항식을 발견하였으나, 2년 늦게 출판하였다. 이 때문에 홈플리 다항식은 간혹 “홈플리-PT 다항식”() 또는 “플립모스 다항식”() 따위로 불리기도 한다.

이후 1989년에 에드워드 위튼이 홈플리 다항식과 천-사이먼스 이론 사이의 관계를 발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

매듭 불변량