탁구 정리

군론에서, 탁구 정리(卓球定理, )는 어떤 부분군들의 합집합으로 생성되는 부분군이 각 성분들의 자유곱임을 보이는 정리이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 군 
 의, 집합  위의 왼쪽 작용
 의 두 부분군 
 의 두 부분 집합 
또한, 다음이 성립한다고 하자.
 
 
 
 
 
탁구 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

여기서 좌변은 의 부분 집합으로 생성되는 부분군이며, 우변은 군들의 자유곱이다.
증명:
임의의

에 대하여,
 ㈎ 
 ㈏ 
 ㈐ 
 ㈑ 
임을 보이면 족하다.

우선, ㈎의 경우는

인데, 이므로 이다.

㈏의 경우, 임의의 를 고르면, ㈎에 의하여 이므로 이다.

㈐의 경우, 임의의 를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 이므로, 이다.

㈑의 경우, 임의의 를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 이므로, 이다.

역사 
이 정리의 이름은 증명 과정에서 와 의 번갈아 가는 군의 작용을 탁구에서 탁구공을 양 선수가 번갈아서 치는 것에 빗댄 것이다.

탁구 정리는 펠릭스 클라인이 19세기 말에 클라인 부분군을 연구하기 위하여 최초로 사용하였다. 이후 자크 티츠 등이 이 정리의 기법을 다시 사용하였다.

예 
에서,

로 생성되는 부분군을 생각하자. 와 는 각각 무한 차수의 원소이다. (즉, 이 되는 는  밖에 없으며, 의 경우도 마찬가지이다.) 사실,

이다. 이제, 는  위에 선형 변환으로 작용한다.
 

로 잡으면,

임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 탁구 정리에 의하여 은 2개의 원소로 생성되는 자유군이다.

외부 링크 
 
 

군론
대수학
리 군
이산 군