작용소 K이론

수학에서, 작용소 K이론(作用素K異論, )는 C* 대수에 대응되는 K이론이다. 주기 2의 보트 주기성을 가지며, 가환 C* 대수의 경우 겔판트 표현 정리에 의하여 이는 위상 K이론과 일치한다.

정의

사영원 
(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 의 원소 가 만약 를 만족시킨다면, 를 사영원()이라고 한다. 사영원의 집합을 로 표기하자.

원소 에 대하여, 만약 라면, 를 부분 등거리원()이라고 한다. 만약 가 부분 등거리원이라면,  역시 부분 등거리원이다. 부분 등거리원들의 집합을 로 표기하자.

 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

무한 행렬 공간 
(항등원을 갖는) C* 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 성분의  정사각 행렬들의 C* 대수 를 정의할 수 있다.  행렬에 모든 성분이 0인 번째 행 및 열을 추가하는 사상을

라고 하면, 이들을 통해 다음과 같은 귀납적 극한을 취할 수 있다.

이는 그러나 항등원을 갖지 않아 환이 아니다.  위에 이항 연산

을 정의하자.

 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

그렇다면, 는 가환 모노이드를 이룬다. 이를 로 표기하자. 의 그로텐디크 군을 의 0차 K군이라고 하며, 로 표기한다.

K1 
마찬가지로, 계수의 일반 선형군

및

를 정의하자. (는 항등원을 갖지 않아 사실 군이 아니다.) 이 경우, 의 차 K군은 다음과 같다.

성질 
보트 주기성에 따라

이다.

예 
1차원 C* 대수 를 생각하자. 는 다음과 같다.

구체적으로,

이다. 이는 복소수 정사각 행렬  가운데 이라면

의 꼴이기 때문이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

K이론
연산자 이론