역 오일러 방법

수치해석학과 계산과학에서 역 오일러 방법(또는 암시적 오일러 방법)은 가장 기본적인 상미분방정식의 수치적 방법이다. 이것은 (일반적인) 오일러 방법과 유사하지만 암시적 방법이라는 점에서 다르다. 역 오일러 방법은 시간에 대하여 1차 방법이다.

해설 
상미분방정식을 생각해 보자
 
이것의 초기값은  여기서 함수 와 초기 데이터 와 는 모른다; 함수 에 의존하고 이 또한 모른다. 수치적 방법은 수열  여기서 , 여기서 는 단계 크기라고 불린다.

역 오일러 방법은 다음을 사용하여 근사치를 계산한다
 
이것은 (일반적인) 오일러 방법과는  대신에 .

역 오일러 방법은 암시적 방법이다: 새로운 근사치 는 등식의 양 쪽에서 나타난다. 따라서 이 방법은 모르는 . 가끔은 이것은 고정점 반복법으로 수행될 수 있다:
 
만약 이 수열이 주어진 허용오차 내에서 수렴한다면, 이 방법은 이 극한을 새로운 근사치 .

대신에 뉴턴 방법(의 일부 변형)을 이용하여 대수방정식을 풀 수 있다.

파생 
미분방정식 을 
 
적분을 직사각형이 하나뿐인 우측 직사각형 방법으로 오른쪽에서 적분을 근사하자:
 
마지막으로 은 를 근사하고 역 오일러 방법의 공식은 다음을 따른다.

같은 추론에서 우측 직사각형 규칙 대신 좌측 직사각형 규칙을 사용하면 (일반적인) 오일러 방법을 얻는다.

해석 

오일러 방법의 차수는 1이다. 이것은 국소절단오차(한 단계에서 생기는 오차이다)는 점근 표기법으로 . 특정 시간 .

역 오일러 방법의 절대 안정성 영역은 그림에서 나타내듯이 복소평면에서 중심이 1이고 반지름이 1인 원판의 상보적 영역이다. 이것은 복소평면의 왼쪽 절반을 전부 포함하기 때문에 딱딱한 방정식의 해로 적합하다. 사실, 역 오일러 방법은 심지어 L-안정하다.

확장과 수정 
역 오일러 방법은 (일반적인) 오일러 방법의 변종이다. 다른 변종은 반-암시적 오일러 방법과 지수적 오일러 방법이다.

역 오릴러 방법은 다음의 Butcher 테이블을 갖는 한 단계의 룽게-쿠타 방법으로도 볼 수 있다:
 
역 오일러 방법은 한 단계 선형 다단계 방법으로도 볼 수 있다. 이것은 아담스-몰톤 방법 중 첫번째 방법이고, 역 미분 공식에도 포함된다.

같이 보기 
 크랭크-니콜슨 방법

각주

참조 
 .

수치미분방정식
룽게-쿠타 방법