연산 (수학)

수학에서 연산(演算, )은 공집합이 아닌 집합에서, 집합에 속하는 임의의 두 원소로부터 제3의 원소를 만드는 것이다. 또는, 연산자의 정의에 따라 한 개 이상의 피연산자를 계산하여 하나의 결과값(답)을 구하는 것이다. 피연산자 또는 항이 하나일 때 단항연산, 두 개일 때 이항연산, n개일 때 n항 연산이라고 한다.

정의 
집합 와 음이 아닌 정수 이 주어졌다고 하자.  위의 항 연산(項演算, )은 다음과 같은 함수이다.

즉, 이는 임의의  위의 조 를 유일한 의 원소 에 대응시킨다. 특히,  위의 영항 연산(零項演算, )은 의 원소 이다.  위의 일항 연산(一項演算, ) 또는 단항 연산(單項演算)은  위의 함수 이다.  위의 이항 연산(二項演算, )은 의 두 원소로부터 의 한 원소를 얻는 함수 이다. 편의상 이항 연산을 덧셈 또는 곱셈이라고 하기도 한다. 이항 연산을 갖춘 집합을 마그마라고 한다.  위의 삼항 연산(三項演算, )은 의 세 원소로부터 의 한 원소를 얻는 함수 이다.

넓은 의미에서, 항 연산은 다음과 같은 함수이다.

또한, 무한 순서수 항수를 허용하여 연산의 개념을 일반화할 수 있다. 이 경우, 원래의 항수가 유한한 연산을 유한항 연산(有限項演算, )이라고 하며, 항수가 무한한 연산을 무한항 연산(無限項演算, )이라고 한다.

구체적으로, 집합 와 순서수 에 대하여,  위의 항 연산은 다음과 같은 함수이다.

넓은 의미에서, 항 연산은 다음과 같은 함수이다.

연산은 관계의 특수한 경우이다.

연산에 대한 닫힘 
집합  및 그 위의 항 연산 가 주어졌다고 하자. 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 가 에 대하여 닫혀있다(에對하여닫혀있다, )고 한다.
 임의의 에 대하여, 
또한, 의 에 대한 폐포(閉包, ) 는 에 대하여 닫혀있는 최소 집합 이다. 즉, 이는 다음과 같다.

보다 일반적으로, 집합  및 그 위의 연산의 부분 집합 이 주어졌다고 하자. 가 다음 조건을 만족시키면, 에 대하여 닫혀있다(에對하여닫혀있다, )고 한다.
 임의의 에 대하여, 는 에 대하여 닫혀있다.
또한, 의 에 대한 폐포(閉包, ) 는 에 대하여 닫혀있는 최소 집합 이다.

표기 
연산의 표기법은 함수 표기법 이외에도 여러 가지가 있다. 자주 사용되는 표기법으로는 연산자를 피연산자의 앞에 배치하여 표기하는 전위 표기법(=폴란드 표기법), 연산자를 피연산자의 뒤에 배치하여 표기하는 후위 표기법(=역폴란드 표기법), 연산자를 두 피연산자의 사이에 표기하는 중위 표기법 따위가 있다.

일항 연산은 전위 표기법 (반수), (부정) 또는 후위 표기법 (계승)  또는 함수 표기법 (사인) 등을 사용하여 표기할 수 있다. 연산자를 위 첨자 표기하는 방법 (전치 행렬)도 있다. 제곱근 의 경우, 연산자가 피연산자의 왼쪽과 위쪽에 걸쳐 위치한다.

이항 연산은 보통 함수 표기법  대신 중위 표기법 , 를 사용하거나 연산자를 생략하는 방식 를 사용한다. 거듭제곱 의 경우, 연산자를 생략하되 두 번째 변수인 지수를 위 첨자 표기한다. 전위 표기법 , 이나 후위 표기법 , 을 사용하기도 한다.

연산 
주어진 연산으로부터, 새로운 연산을 다음과 같이 유도할 수 있다.

제한 
 위의 항 연산

은 그에 대하여 닫혀있는 부분 집합  위에 새로운 항 연산

을 유도한다. 이를 의 에서의 제한(制限, )이라고 한다.

멱집합 위에 유도되는 연산 
항 연산

는 멱집합  위에 다음과 같은 연산을 유도한다.

즉, 이는 상을 취하는 연산이다. 이를 에 의해 멱집합 위에 유도되는 연산이라고 한다.

점별 연산 
항 연산

은 함수 집합  위에 다음과 같은 항 연산을 유도한다.

이를 에 대한 점별 연산(點別演算, )이라고 한다.

예

사칙 연산 

실수 집합  위에 정의된 사칙 연산 가운데,
 덧셈 , 은  위의 이항 연산이다.
 뺄셈 ,  역시  위의 이항 연산이다.
 곱셈 ,  역시  위의 이항 연산이다.
 그러나, 나눗셈 , 은 이항 연산이 아니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았기 때문이다. 다만, 나눗셈은 넓은 의미에서 이항 연산이다.
자연수 집합 이 사칙 연산에 대하여 닫혀있는지의 여부는 각각 다음과 같다.
 은 에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.
 은 에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어, 이지만, 이다. 사실, 이다. (여기서 는 정수 집합이다.)
 은 에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.
 은 에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어, 이지만, 이다. 사실, 이다. (여기서 는 유리수 집합이다.)

논리 연산 

논리식의 논리합과 논리곱은 논리식 집합 위의 이항 연산이다. 논리식의 부정은 논리식 집합 위의 일항 연산이다.

군 위의 연산 
군  위에 정의된 연산들 가운데,
 항등원 는  위의 영항 연산이다.
 곱셈 , 는  위의 이항 연산이다.
이들에 의해 멱집합에 유도되는 연산들은 각각 다음과 같다.
 자명군 
 임의의 에 대하여, 
 특히, 임의의 에 대하여,

벡터 공간 위의 연산 
체  위의 벡터 공간 에 정의된 연산들 가운데,
 영벡터 는  위의 영항 연산이다.
 벡터 덧셈 , 은  위의 이항 연산이다.
 그러나, 스칼라 곱셈 , 은 이항 연산이 아니며, 넓은 의미의 이항 연산이다. 이를 일항 연산 ,  ()의 집합으로 여길 수 있다.
이들은 각각 함수 집합  위에 점별 연산을 유도하며, 선형 변환 공간 은 이에 대하여 닫혀있다. 따라서  위에 다음과 같은 점별 연산들이 유도된다.
 영선형 변환 , 
 임의의 선형 변환  및 벡터 에 대하여, . 이를 점별 덧셈이라고 한다.
 임의의 선형 변환  및 벡터  및 스칼라 에 대하여, . 이를 점별 스칼라 곱셈이라고 한다.

관계 

항 관계

은 다음과 같은 특수한 항 연산으로 여길 수 있다.

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

대수학
산술