화살집 (수학)

그래프 이론과 범주론에서 화살집()은 유향 그래프의 개념의 일반화이며, 유향 그래프와 다중 그래프를 합친 것으로 여길 수 있다. 즉, 모든 변은 방향을 가지며, 두 꼭짓점 사이에 임의의 수의 변이 존재할 수 있다.

정의

기초적 정의 
화살집 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 집합 . 그 원소를 꼭짓점(-點)이라고 한다.
 집합 . 그 원소를 변(邊)이라고 한다.
 함수 . 변 에 대하여, 를 의 시점(始點, )이라고 하며, 를 의 종점(終點, )이라고 한다.

두 화살집 ,  사이의 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 함수 
 함수 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

범주론적 정의 
다음과 같은 작은 범주 를 생각하자.
 의 대상은 와  두 개이다.
 의 사상은 항등 사상 및 이다.
그렇다면, 화살집은  위의 준층

이며, 화살집 사상은 준층 사상(자연 변환)이다.

보다 일반적으로, 에 대하여, 다음과 같은 작은 범주 를 생각할 수 있다.
 의 대상은 이다.
 의 사상은 다음과 같은 사상들의 합성으로 주어진다.
 
 
즉, 이다 ().
 이들은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
 
 

이 경우,  위의 준층은 -초화살집()이라고 한다.

이 경우, 1-초화살집은 화살집이며, 0-초화살집은 집합이다.

연산 
모든 작은 범주는 (사상 합성과 항등 사상을 망각하면) 망각 함자를 통해 화살집을 이룬다. 이는 작은 범주의 범주 에서 화살집의 범주 로 가는 함자를 이룬다.

이는 왼쪽 수반 함자

를 가지며, 이를 화살집으로 생성되는 자유 범주()라고 한다. 구체적으로, 화살집 에 대응하는 자유 범주 는 다음과 같다.
 의 대상은 의 꼭짓점이다.
 의 사상은 의 중복 가능 경로, 즉 다음 조건을 만족시키는 변의 열 이다 ().
 
 사상의 합성은 경로들의 연결이다.
 항등 사상은 길이 0의 경로이다.

성질 
화살집의 범주는 준층 범주이므로 그로텐디크 토포스를 이룬다.

표현 
체  계수의, 화살집 의 표현(表現, ) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 각 꼭짓점 에 대하여,  계수의 벡터 공간 
 각 변 에 대하여,  계수의 선형 변환 
자연스럽게  계수의 의 표현의 범주 를 정의할 수 있다. 이는 아벨 범주를 이룬다. 이는 사실  위의 화살집 대수 (로 생성되는 자유 범주의 범주 대수) 위의 왼쪽 가군 범주 와 동치이다.

역사 
‘화살집’()이라는 용어는 화살집이 여러 개의 “화살”(즉, 방향을 갖는 변)들을 포함하기 때문에 붙었으며, 피에르 가브리엘(, 1933~2015)이 1972년 논문에서 도입하였다. 이 논문에서 가브리엘은 다음과 같이 적었다.

참고 문헌

외부 링크 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

그래프 이론
범주론
유향 그래프