안둘레

그래프 이론과 매트로이드 이론에서 안둘레()는 그래프 또는 매트로이드 속의 가장 작은 “구멍”, 즉 최소의 순환의 크기이다. 마찬가지로 그래프 또는 매트로이드의 밖둘레()는 최대의 순환의 크기이다.

정의

매트로이드 
매트로이드 의 회로들의 집합을

라고 하자.

매트로이드 의 안둘레는 그 회로의 크기의 최솟값이다.

여기서 는 모든 기수들의 모임이다.
만약 회로가 존재하지 않는다면, 이 경우 안둘레를 형식적인 기호 로 정의한다.

매트로이드 의 밖둘레는 그 회로의 크기의 최댓값이다.

만약 회로가 존재하지 않는다면, 이 경우 밖둘레를 형식적인 기호 로 정의한다.

그래프 
임의의 다중 그래프 의 변들의 집합  위에는 다음과 같은 두 매트로이드 구조를 줄 수 있다.
 (유한) 순환 매트로이드 에서, 회로는 의 (유한) 순환이다.
 접합 매트로이드 에서, 회로는 접합()라고 하며, 의 변의 (유한 또는 무한) 집합  가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
 의 연결 성분 가운데 적어도 하나 이상은 에서 연결 성분이 아니게 된다.
 임의의 에 대하여, 의 모든 연결 성분은 에서도 연결 성분으로 남는다.
이 두 매트로이드는 서로 쌍대 매트로이드를 이룬다.

다중 그래프 의 안둘레는 그 순환 매트로이드 의 안둘레이다. 즉, 그래프 의 안둘레는 그 그래프 속의 순환의 최소 길이이다. 순환을 갖지 않는 그래프(즉, 숲 그래프)의 경우, 안둘레를 무한대로 정의한다. 즉, 그래프의 안둘레의 가능한 값은 다음과 같다.

다중 그래프 의 밖둘레는 그 순환 매트로이드 의 밖둘레이다. 즉, 그래프 속의 순환의 길이들의 상한이다. 순환을 갖지 않는 그래프(즉, 숲 그래프)의 경우, 밖둘레를 로 정의한다. 즉, 그래프의 밖둘레의 가능한 값은 다음과 같다.

물론, 유한 그래프의 밖둘레는 가 될 수 없다.

다중 그래프 의 변 연결도(邊連結度, )는 그 접합 매트로이드 의 안둘레이다. 즉, 그래프 의 가장 작은 접합의 크기, 즉 새 연결 성분을 만들기 위해서 제거해야 하는 변의 수의 최솟값이다. 무한 그래프의 경우, 변 연결도는 (안둘레와 달리) 임의의 기수 값을 가질 수 있다. 무변 그래프가 아닌 모든 다중 그래프는 하나 이상의 접합을 가지므로, 이 경우 변 연결도는 잘 정의된다. 무변 그래프의 경우, 변 연결도는 로 놓는다.

마찬가지로, 다중 그래프 의 접합 매트로이드의 밖둘레 (접합의 크기의 상한) 역시 정의될 수 있으며, 이를 최대 접합 크기()라고 하자. 무한 그래프의 경우, 최대 접합 크기는 (밖둘레와 달리) 임의의 기수 값을 가질 수 있다. 무변 그래프가 아닌 모든 다중 그래프는 하나 이상의 접합을 가지므로, 이 경우 최대 접합 크기는 잘 정의된다. 무변 그래프의 경우, 최대 접합 크기는 로 놓는다.

성질

분리합집합 
임의의 그래프들의 족 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서 는 그래프의 분리합집합이다.

상계 
꼭짓점이 개인 유한 그래프의 밖둘레는  이하이며, 이 상계는 해밀턴 순환에 의하여 포화된다. 즉, 밖둘레가 인 것은 해밀턴 순환을 갖는 것과 동치이다.

차수 의 정규 그래프 에 대하여, 다음이 성립한다.

이 부등식을 포화시키는 정규 그래프를 무어 그래프()라고 한다.

그래프 에서, 주어진 꼭짓점에 연결된 모든 변들의 집합은 접합을 이룬다. 따라서,
꼭짓점의 차수들의 상한은 그 최대 접합 크기의 하계를 이루며, 꼭짓점의 차수들의 최솟값은 변 연결도의 상계를 이룬다.

예 

완전 그래프의 변 연결도 및 최대 접합 크기의 계산:
완전 그래프 의 접합을 제거하면, 개의 꼭짓점으로 구성된 연결 성분이 생긴다고 하자. 그렇다면, 이를 분리하기 위해 제거해야 할 변의 수는

이다. 이를 최소화하려면, 를 최대화해야 한다. 이는 (또는 )에서 달성되며, 그 접합의 크기는 이다.

반대로, 접합의 크기를 최대화하려면, 를 최소화해야 하며, 이는 (또는 )에서 달성되며, 그 접합의 크기는 이다.

완전 이분 그래프의 변 연결도 및 최대 접합 크기의 계산:
개의 검은 꼭짓점 및 개의 흰 꼭짓점을 갖는 완전 이분 그래프 의 접합을 제거하면, 개의 흰 꼭짓점과 개의 검은 꼭짓점으로 구성된 연결 성분이 생긴다고 하자. 그렇다면, 이를 분리하기 위해 제거해야 할 변의 수는

이다. 이를 최소화하려면, 를 최대화해야 한다. 이는  또는  (또는  또는 )에서 달성되며, 그 접합의 크기는 이다.

반대로, 접합의 크기를 최대화하려면, 를 최소화해야 한다. 이는

에서 달성되며, 그 접합의 크기는

이다.

역사 
무어 그래프의 개념은 미국의 수학자 에드워드 포리스트 무어(, 1925~2003)가 도입하였다. 변 연결도는 카미유 조르당이 1869년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

그래프 이론
매트로이드 이론