사영 초공간

이론물리학에서, 사영 초공간(射影超空間, )은 8개의 초대칭을 갖는 양자장론을 편리하게 다루는 초공간이다. 일반 초공간과 사영 직선(리만 구)의 곱공간이다.

4차원에서,  초대칭의 경우, 일반적인 초공간을 사용한다면 두 가지의 문제가 발생한다.
 반가환수 좌표가 너무 많아서, 초다중항이 지나치게 커지므로, 초장에 여러 개의 제약 또는 게이지 대칭을 임의로 가해야 한다.
 이러한 제약을 가하려면, 일반적으로 운동 방정식을 사용해야 한다. 이 문제는 유한 개의 성분을 가지는 초장으로 해결할 수 없다.
이를 해결하기 위하여, 무한 개의 성분을 가지는 초장을 사용해야 한다. (물리적으로, 이 성분들은 유한 개를 제외하고는 모두 보조장이다.) 사영 초공간에서, 이 성분들은 리만 구 위의 로랑 급수의 성분들로서 등장한다.  초대칭의 SU(2) R대칭은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 표현된다.

정의 
4차원 시공간에서,  초대칭을 생각하자. 이 경우, 일반 초공간의 좌표는 다음 세 가지이다.
 
 스피너 좌표 , 
여기서  및 는 왼손 · 오른손 스피너 지표이며, 는 SU(2) R대칭의 기본 표현 지표이다.

사영 초공간은 여기에 추가 가환 좌표 를 갖는다. 좌표들의 표현은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 좌표 || 로런츠 군  표현 || R대칭  표현 (스핀 )|| R대칭  표현
|-
|  || (½,½) || 0 || 0
|-
|  || (0,0) || ½ || 1
|-
|  || (½,0) || ½ || 1
|-
|  || (0,½) || ½ || −1
|}
여기서, 의 두 복소수 성분은 사실 리만 구 의 동차 좌표로 여겨진다.

공변 미분 
일반 초공간의 공변 미분

은 다음과 같은 리 괄호를 갖는다.

이제, 다음을 정의하자.

사영 초장 
조화 초공간 위에 정의된 초장 가

를 만족시키며,

를 만족시킨다면, 이를 무게 의 사영 초장()이라고 한다. 이는 이제  위의 만큼 뒤틀린 선다발의 해석적 단면으로 여겨질 수 있다. 또한, 사영 초장은 극점 및 기타 특이점을 가질 수 있다.

이제, 이 극점 및 특이점을 피하는 리만 구 속의 폐곡선 가 주어졌다고 하자. 이제, 4차원  초대칭 이론의 라그랑지언 은 무게 2의 사영 초장을 이루며, 이에 대한 작용은 다음과 같다.

예 
편의상, 의 좌표 를 생각하자.

사영 초장은 다음과 같이 로랑 급수로 전개될 수 있다.

스칼라 초다중항(4개 스칼라장과 1개 디랙 스피너장)의 경우, 보통 가 에서 정칙 함수인 것을 가정한다. 즉,

이다.

이제 초대칭 게이지 이론을 생각하자. 위 스칼라 초장은 게이지 변환에 따라 다음과 같이 변환한다.

여기서 는 에 대하여 해석적인, 게이지 변환 매개 변수를 나타내는 초장이다.

게이지 초장(즉, 게이지 보손과 게이지노, 스칼라장을 포함하는 초다중항)은 다음과 같이, 변환을 변환으로 대응시켜, 게이지 불변 운동항을 적을 수 있게 한다.

게이지 초장  역시 조화 초장이며, 이는 또한 다음과 같은 꼴의 로랑 급수를 갖는다.

참고 문헌 

 
 
 

초대칭