단체 가환환

가환대수학과 호모토피 이론에서, 단체 가환환(單體可換環, )은 단체 집합의 구조를 갖는 가환환이다.

정의 
단체 가환환은 가환환의 범주  위의 단체 대상이다.

성질 
모든 단체 가환환은 (덧셈군 구조를 생각하면) 단체군이므로, 칸 복합체이다. 따라서, 그 호모토피 군

을 취할 수 있다. 이는 등급 가환 등급환을 이룬다.

특히, 연결 성분의 집합(=0차 호모토피 군)은 가환환을 이룬며, 그 오른쪽 수반 함자는 가환환 를, 모든 단체 집합 사상이 항등 함수인 단체 가환환으로 포함시키는 것이다. 이에 따라, 가환환의 범주는 단체 가환호나의 범주의 반사 부분 범주를 이룬다.

또한, 고차 호모토피 군 은  위의 가군을 이룬다.

모형 범주 구조 
단체 가환환의 범주  위에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
 올뭉치는 단체 집합의 (퀼런 모형 범주 구조의) 올뭉치이다.
 약한 동치는 단체 집합의 (퀼런 모형 범주 구조의) 약한 동치이다. 즉, 각 성분별 호모토피 군의 동형을 유도하는 단체 가환환 사상이다.
(쌍대올뭉치는 위 두 정의로부터 결정된다.)

또한, 망각 함자

는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 모형 범주의 퀼런 수반 함자를 이룬다.

사실, 모노이드 돌트-칸 대응에 따라서, 표수 0의 체 에 대하여 모형 범주의 퀼런 동치

가 존재한다. 여기서 는  위의 가환 미분 등급 대수의 모형 범주이다.

예 
모든 성분 가 체인 단체 가환환 은 자명하며, 모든 단체 사상들 , 이 동형 사상다. 이는 단체 범주의 항등식에 의하여, 사상

이 오른쪽 역사상

을 가지므로, 이들이 체의 동형 사상을 이루어야 하기 때문이다.

외부 링크 
 
 
 

가환대수학
호모토피 이론