나카지마 화살집 다양체

대수기하학과 그래프 이론에서 나카지마 화살집 다양체([中島]화살집多樣體, )는 화살집에 대응되는 특별한 초켈러 다양체이다. 카츠-무디 대수의 표현론과 관련되어 있다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 화살집 
 각 꼭짓점 에 대하여, 두 유한 차원 복소수 벡터 공간 , 
그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다.

그 차원은

로 놓고,  위의 브라-켓 표기법을 사용하면

이다. 여기서 는 의 인접 행렬이다. 만약 에 각각 복소수 내적 공간의 구조를 부여하면,  역시 복소수 내적 공간이 된다. 또한,

위에는 자연스럽게 사원수 벡터 공간의 구조가 주어진다.

이 위에는 대수군

이 작용하며, 이는 의 초켈러 다양체 구조와 호환된다. 의 작용의 운동량 사상

의 정귯값 에 대하여 초켈러 몫

를 취할 수 있다. 이는 특이점을 가질 수 있으며, 기하 불변량 이론 몫을 취하여 준안정점이 아닌 점들을 버릴 수 있다. 이렇게 하여 얻는 복소수 대수다양체를 의 나카지마 화살집 다양체라고 한다. 이는 흔히 로 표기된다. 그 복소수 차원은

이다. 여기서

는 일반화 카르탕 행렬이라고 한다. (만약 가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집이라면, 이는 해당 ADE형 아핀 리 대수의 카르탕 행렬과 같다.)

성질 
나카지마 화살집 다양체는 정의에 따라 항상 비(非)콤팩트 초켈러 다양체를 이룬다.

예

ALE 공간 
가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집(즉, 해당 ADE형의 확장 딘킨 도표)라고 하자. (여기서, 자명한 표현에 해당하는 꼭짓점을 버리지 않는다. 즉, 일반 딘킨 도표 대신 확장 딘킨 도표를 사용한다.) 이 경우, 인접 행렬 는 대각 성분이 0인 정수 계수 대칭 행렬이다.

이제,

인 를 고를 수 있다. 여기서 은 자명한 표현에 대응되는 매케이 화살집 꼭짓점에 대한 단위 벡터이다. 확장 카르탕 행렬의 핵은 항상 1차원이므로, 이는 를 유일하게 결정한다. 그렇다면

은 해당 유한 부분군에 대한 4차원 점근 국소 유클리드 공간()이다. 즉, 이 경우

이다.

이 경우, 초켈러 축소에 등장하는 매개 변수 는 ALE공간의 크기를 결정한다.  극한은 ALE 공간이 오비폴드 로 가는 극한에 해당한다.

ADHM 작도 

가 하나의 꼭짓점과 하나의 변을 갖는 화살집이라고 하자. 그렇다면,

이다. 이 경우

인 초켈러 다양체를 얻는다. 이는 순간자수가 인  양-밀스 순간자의 모듈라이 공간이며, 이는 ADHM 작도와 같다.

이 밖에도, ALE 공간 위의 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간도 위와 마찬가지로 주어진다. 이 경우 는 SU(2) 유한 부분군  매케이 화살집이며, 와 는 순간자의 각종 성질을 나타낸다. 구체적으로, 는 순간자가 기본군 를 돌았을 때의 홀로노미를 묘사하며, 는 마찬가지로 각 홀로노미에 대한 순간자수를 묘사한다. 이 경우, 꼭짓점 기저는 의 성분들의 “비아벨 푸리에 변환”에 해당한다.

원환 다양체 
만약 모든 에 대하여 이라면 (즉, 모든 의 차원이 1이라면) 몫을 취하는 군은 원환면

이며, 이 경우 나카지마 화살집 다양체는 원환 다양체의 특수한 경우이다.

역사 
나카지마 화살집 다양체들은 피터 크론하이머()와 나카지마 히라쿠(, 1962〜)가 1990년에 ALE 공간 위로 양-밀스 순간자의 ADHM 작도를 일반화하는 동안 최초로 등장하였다.
이후 1994년에 나카지마는 이 구성을 일반적 화살집에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

대수다양체
이론물리학
그래프 이론