아티야 준군

미분기하학에서 아티야 준군(Atiyah準群, )은 매끄러운 주다발에 대하여 표준적으로 대응되는 리 준군이다. 그 리 준대수를 아티야 리 준대수(Atiyah Lie準代數, )라고 한다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 리 군 . 그 리 대수를 라고 표기하자.
 매끄러운 주다발 

그렇다면, 이에 대응되는 아티야 준군 은 다음과 같은 리 준군이다.
 대상의 매끄러운 다양체는 이다.
 사상의 매끄러운 다양체는 이다. 여기서 의 오른쪽 군 작용은  위에 성분별로 작용한다.
 정의역과 공역 사상 는 의 두 사영 사상 으로 주어진다.
 사상의 합성은 자명하게 로 주어진다.
 항등원 사상 은 대각 사상  ()으로 주어진다.
이에 대응하는 리 준대수를 아티야 리 준대수라고 한다.

아티야 리 준대수의 직접적 정의 
아티야 리 준대수는 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

의 미분

을 생각하자. 이는 다음과 같은  위의 벡터 다발들의 짧은 완전열을 정의한다.

여기서 수직 벡터 다발 은 가 주다발이므로 자명한 벡터 다발이다.

이 위의 각 항의 전체 공간은 의 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 대한 몫공간을 취하면 다음과 같은 가환 그림을 얻는다.

여기서
 연관 벡터 다발 은 무한소 게이지 변환의 벡터 다발이며, 그 매끄러운 단면은 무한소 게이지 변환이다.
 의 매끄러운 단면 은  위의 벡터장  가운데, 의 작용에 대하여 불변인 것이다. 즉, 다음 가환 그림이 성립한다.

 -벡터 다발 사상 의 오른쪽 역사상의 데이터는  위의 주접속의 데이터와 동치이다.

이에 따라, 는 다음과 같이  위의 리 준대수의 구조를 갖는다.
 닻 은 위 가환 그림에 등장하는 -벡터 다발 사상이다.
 의 단면 공간 위의 리 괄호는 포함 사상 에 의하여 의 리 미분의 제한으로 정의된다.
이를 매끄러운 주다발 의 아티야 리 준대수라고 한다.

역사 
마이클 아티야가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

미분기하학
리 대수