유계 집합 (위상적 벡터 공간)

함수해석학과 수학의 관련 분야에서, 영벡터의 모든 근방을 팽창시켜서 위상 벡터 공간의 어떤 집합을 포함할 수 있으면 유계 집합 또는 폰 노이만 유계 집합이라고 불린다. 반대로 집합이 유계가 아니면 무계 집합이라고 불린다.

유계 집합의 극은 절대 볼록 집합이고 흡수 집합이기 때문에, 유계집합은 쌍대 쌍인 백터 공간의 국소 볼록 극 위상을 정의하는 일반적인 방법이다. 이 개념은 1935년에 존 폰 노이만과 안드레이 콜모고로프에 의해서 처음으로 나타나게 되었다.

정의 

체 F의 위상 벡터 공간 (X,τ)가 주어졌을 때, 영벡터의 모든 근방 N에 대해서 다음을 만족하는 α가 존재할 때, S를 유계 집합이라고 부른다:

이 때, 은 다음과 같다:

이것은 S가 영벡터의 모든 근방에 흡수된다는 조건과 동등하다. 즉, 모든 근방 N에 대해서, 다음을 만족시키는 t가 존재한다:
.
실 또는 복소체에 있는 위상 벡터 공간의 유계 부분집합도 그 수열로 특정될 수 있다. 0으로 수렴하는 모든 스칼라의 수열 (cn)과 S의 모든 (유사하게 색인된) 가산 부분집합 (xn)에 대해서 그 곱의 수열 (cn xn)이 X에서 영으로 수렴하면 S는 X에서 유계집합이다.

국소 볼록 공간에서 공간의 위상 τ는 반노름의 집합 P에 의해 특정될 수 있다. 이 경우의 유계집합의 동등한 특성화: 모든 반노름 공간 (X,p)에서 S가 P의 모든 반노름 p에 대해서 유계이면 (X,P)의 집합 S는 유계집합이다.

유계인 예시와 유계가 아닌 예시 

 모든 유한한 점들의 집합은 유계이다
 코시 열의 점들의 집합은 유계집합이지만, 코시 그물의 점들의 집합은 유계일 필요는 없다.
 위상 벡터 공간의 모든 상대 콤팩트 집합은 유계집합이다. 공간에 약한 위상이 있으면 그 반대도 참이다.
 하우스도르프 위상 벡터 공간의 (영공간이 아닌) 부분집합은 유계가 아니다

특성 

 유계 집합의 폐포는 유계이다.
 국소 볼록 공간에서, 유계 집합의 볼록 폐포는 유계이다. (국소 볼록성이 없다면, 인 공간이 자명하지 않은 열린 볼록 부분집합을 가지지 않기 때문에, 이것은 거짓이다.)
 유계 집합의 유한한 합집합이나 유한합은 유계이다.
 위상 벡터 공간들 간의 연속 선형 사상은 유계성을 제공한다.
 국소 볼록 공간은 영의 유계 근방이 존재할 때만 반노름화 가능하다.
 유계 집합의 극은 절대 볼록이고 흡수 집합이다.
 집합 A의 모근 가산 부분집합이 유계이면 집합 A는 유계이다

일반화 

유계 집합의 정의는 위상 가군으로 일반화 할 수 있다. 위상환 R에 있는 위상 가군 M의 부분집합 A는 0M의 모든 근방 N에 대해서 w A ⊂ N가 성립하도록 하는 0R의 근방 w이 있을 때, 유계 집합이라고 한다.

같이 보기 

 완전 유계 공간
 국소 유계성
 유계 함수
 경계점

참고 문헌 

 
 

위상 벡터 공간