삼차 형식

대수기하학과 대수적 수론에서, 삼차 형식(三次型式, )은 어떤 벡터 공간 또는 가군 위에 정의된 3차 동차 다항식이다. 즉, 선형 형식과 이차 형식의 다음 차수의 동차 다항식이다.

정의

표수 0의 경우 
가환환 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
 인 가 존재한다.
여기서 는 의 가역원군이다.

특히, 만약 에서 ½이 존재한다면, 이 조건이 충족된다. 이 경우

을 잡을 수 있다.

이 경우, -자유 가군  위의 삼차 형식은 다음 조건을 만족시키는 함수

이다.

일반적 경우 
일반적으로 삼차 형식의 분해를 잘 정의하기 위해서는 삼차 형식의 함수 말고도 스칼라 확대를 잘 정의하는 추가 데이터가 필요하다.

가환환  위의 가군  위의 삼차 형식은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 함수 
 함수 
이는 다음과 같은 호환 관계를 만족켜야 한다.
 
 
 . 여기서  및 <mah>\iota_{M\to M\otimes_KK[t]} \colon M \to M\otimes_KK[t]</math>는 다항식환의 상수 다항식으로 가는 단사 환 준동형 또는 가군 준동형이다.

만약 가 “충분히 크다면” (즉, 첫째 정의에 등장하는 조건을 만족시킨다면), 를 로부터 재구성할 수 있으나, 이는 일반적으로 성립하지 못할 수 있다.

삼차 형식의 분해 
삼차 형식 가 주어졌을 때, 를

와 같이 분해할 수 있다. 여기서 는 가군 준동형

을 정의하며,

이다.

즉, 만약 에서 6이 가역원이라면, 로부터 를 재구성할 수 있다.

분류 
일반적으로 삼차 형식의 분류는 불가능하며, 그 분석은 복잡한 대수기하학을 요구한다. 다만, 비교적 간단한 체(복소수체, 실수체 등)에서 2항 삼차 형식은 분류될 수 있다. 이는 항 삼차 형식은

개의 계수를 갖는데, 차원 공간 위의 일반선형군 은 차원이다. 즉, 그 모듈라이 공간은 일반적으로 차원이 된다. 일 때 이는 0이지만, 일 때 이는 양수가 되게 된다.

복소수 2항 삼차 형식 
모든 복소수 2항 삼차 형식은 의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.

실수 2항 삼차 형식 
모든 실수 2항 삼차 형식은 의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

대수기하학