각의 이등분선

기하학에서 각의 이등분선(角-二等分線, )은 주어진 각을 같은 크기의 두 각으로 나누는 직선이다. 이 직선 가운데 각의 내부에 포함되는 부분으로 구성된 반직선을 각의 이등분선으로 삼아도 좋다.

정의 
주어진 각 의 내부의 점 가 를 만족시키면, 직선 또는 반직선 를 각 의 이등분선이라고 한다.

성질 
주어진 각의 이등분선은 유일하게 존재한다. (직선으로서의) 각의 이등분선은 각의 양변과의 거리가 같은 평면 위 점들의 자취이다. 즉, 각 와 이 각의 평면 위의 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 직선 는 각의 이등분선이다.
 와 직선  사이의 거리는 와 직선  사이의 거리와 같다.

단순비 
삼각형 의 꼭짓점 에서의 내각과 외각의 이등분선 , 과 대변 의 교점을 , 라고 하자. 그렇다면

가 성립한다. 여기서 좌변의 비율은 유향 선분의 비율로 봐야 한다. 즉, 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양수이며, 반대일 경우 음수이다.

길이 
삼각형 의 각 변 , , 의 길이가 각각 , , 라고 하고, 꼭짓점 , , 에서의 내각의 이등분선 , , 와 대변 , , 의 교점을 , , 라고 하자. 그렇다면

이다. 이에 따라, 같은 삼각형 속 내각의 이등분선은 대변이 짧을수록 더 길다. 예를 들어, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 
이다. 또한, 다음 두 조건 역시 서로 동치이며, 이를 슈타이너-레무스 정리라고 한다.
 
 
이에 따라, 두 내각의 이등분선의 길이가 같은 삼각형은 이등변 삼각형이다.

내심과 방심 
삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 내심이라고 한다. 삼각형의 한 내각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 외각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 방심이라고 한다. 모든 삼각형은 한 개의 내심과 세 개의 방심을 갖는다. 내심과 방심의 존재는 각의 이등분선 위의 점과 각의 두 변 사이의 거리가 같다는 사실을 통해 증명하거나, 체바 정리를 통해 증명할 수 있다.

이와 평행하는 결과는 다음과 같다. 삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 같은 직선 위의 점이며, 한 외각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 내각의 이등분선의 발 역시 같은 직선 위의 점이다. 이는 메넬라오스 정리를 통해 증명할 수 있다.

같이 보기 
 각의 3등분

각주

외부 링크 
 
 
 
 

유클리드 평면 기하학