끈 군

대수적 위상수학과 이론물리학에서 끈 군(-群, )은 스핀 군과 유사하지만, 3차 호모토피 군이 자명한 위상군이다. 이는 유한 차원 리 군으로 표현될 수 없으나, 무한 차원 프레셰 리 군으로 존재한다. 이에 대응하는 리 대수는 유한 차원의 L∞-대수로 여길 수 있다.

정의 
임의의 콤팩트 단순 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에

를 정의할 수 있다. 여기서 는 킬링 형식이다.

끈 2-리 대수는 실수 벡터 공간으로서 다음과 같다.

코쥘 쌍대성에 따라서, 이에 대응되는 등급 가환 미분 등급 대수는 다음과 같다.

이 경우, 추가된 2차 리 미분은 다음과 같다.

이에 대하여 대응되는 위상군을 끈 군이라고 한다. 즉, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 의 경우

이므로, 이는 화이트헤드 탑

의 일부를 이룬다. 특히, 의 경우, 이는 직교군

의 화이트헤드 탑

의 한 성분을 이룬다.

2-군으로서의 구성 
일반적으로, 2-군은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 군 
 군 
 군 준동형 
 계수의 의 3차 코호몰로지류 . 여기서 는 를 통하여 -가군으로 간주한다.

이제,

를 생각하자. 천-사이먼스 형식으로부터, 어떤 1차원 격자

로부터 코호몰로지 사상

을 정의할 수 있다. 따라서, 각 정수 에 따라서 이 데이터로 정의되는 2-군 를 정의할 수 있다. 그러나 이 코호몰로지류는 연속 코호몰로지가 아니므로 이는 리 군을 정의하지 못한다.

끈 군 이 존재하며, 이는 짧은 완전열

을 갖는다. 여기서 에일렌베르크-매클레인 공간 는 로 여길 수 있다. 이 위상군은 유한 차원 리 군으로 표현될 수 없다.

프레셰 리 군으로서의 구성 
단일 연결 단순 콤팩트 리 군 에 대하여, 끈군 는 무한 차원 프레셰 리 군으로 표현될 수 있다.

구체적으로, 임의의 무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사영 유니터리 군 에 노름 위상을 주면, 이는 를 이룬다. 이제, 호모토피 군

의 생성원

을 고르면, 이를 표현하는 주다발

를 고를 수 있다. 또한, 망각 사상

이 존재한다. 물론, 군은 스스로 위의 왼쪽 곱셈 함수

를 갖는다. 즉

이다. 그렇다면, 끈 군은 다음과 같다.

프레셰 교차 가군으로서의 구성 
끈군은 프레셰 리 군으로 구성된 교차 가군으로 구성될 수도 있다. 이 교차 가군 은 구체적으로 다음과 같다.
  (매끄러운 함수 의 점별 곱셈군인 프레셰 리 군)
  (차 아핀 리 대수에 대응되는 프레셰 리 군)
 는 경로군의, 고리군에 대한 자연스러운 켤레 작용을 아핀 리 대수로 올린 것이다.
 는 아핀 리 군에서 고리군으로 가는 사영 사상 과, 고리군에서 경로군으로 가는 포함 사상 을 합성한 것이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

위상군
호모토피 이론
끈 이론