바벤코-베크너 부등식

수학에서, 바벤코-베크너 부등식 (K.Ivan Babenko 및 William E.Beckner의 이름을 따서 지어짐)은 하우스도르프-영 부등식의 더 정확한 형태 중 하나이다.

개념 

n차원 푸리에 변환의 (q, p norm)은 다음과 같이 정의된다.

1961년, Babenko는 이 norm의 값을 q가 짝수일 때에 한정하여 구하였고. 1975년에, Beckner는 에르미트 함수가 푸리에 변환의 고유벡터라는 것을 이용하여 이 norm의 값을 2보다 작지 않은 모든 실수 q에 대하여 정확하게 구하였다. 해당 값은 다음과 같다:

엄밀히 말하자면, 이 부등식은, 사용되는 푸리에 변환의 정의가, 1차원에서는 아래와 같이 정의되고 n차원에서는 seperable kernel n개를 곱한 것을 kernel로 하는 방식으로 정의되어야만 성립한다.

then we have

 아래의 증명은 르베그 측도와 Bernoulli trial 및 중심 극한 정리를 이용한다:

Main ideas of proof 
Throughout this sketch of a proof, let

 

(Except for q, we will more or less follow the notation of Beckner.)

The two-point lemma 
Let  be the discrete measure with weight  at the points  Then the operator

 

maps  to  with norm 1; that is,

 

or more explicitly,

 

for any complex a, b.  (See Beckner's paper for the proof of his "two-point lemma".)

A sequence of Bernoulli trials 
The measure  that was introduced above is actually a fair Bernoulli trial with mean 0 and variance 1.  Consider the sum of a sequence of n such Bernoulli trials, independent and normalized so that the standard deviation remains 1.  We obtain the measure  which is the n-fold convolution of  with itself.  The next step is to extend the operator C defined on the two-point space above to an operator defined on the (n + 1)-point space of  with respect to the elementary symmetric polynomials.

Convergence to standard normal distribution 
The sequence  converges weakly to the standard normal probability distribution  with respect to functions of polynomial growth.  In the limit, the extension of the operator C above in terms of the elementary symmetric polynomials with respect to the measure  is expressed as an operator T in terms of the Hermite polynomials with respect to the standard normal distribution.  These Hermite functions are the eigenfunctions of the Fourier transform, and the (q, p)-norm of the Fourier transform is obtained as a result after some renormalization.

각주 

부등식