아르프 불변량

이차 형식 이론에서, 아르프 불변량(Arf不變量, )는 표수 2의 체 위의 이차 형식을 분류하는 불변량이다.

정의

의 경우의 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 유한 차원 -벡터 공간 
  위의 비퇴화 이차 형식 
그렇다면, 항상

임을 보일 수 있다.

의 아르프 불변량은 다음과 같다.

일반적 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 표수 2의 체 
 유한 차원 -벡터 공간 
  위의 이차 형식 
그렇다면, 를 다음과 같은 꼴로 나타내는 의 기저 가 존재함을 보일 수 있다.

특히, 만약 가 비특이 이차 형식이라면 은 항상 짝수이다.

그렇다면, 다음과 같은 값을 생각하자.

이 값은 선택한 기저 에 의존하지만, 다른 기저 를 선택하였을 경우

가 된다. 또한, 이 집합은  의 덧셈 부분군을 이룬다.
증명:
임의의 에 대하여,

이다.
이에 따라, 덧셈 아벨 군  속에서 취한 이 합은 의 불변량이다. 이를 의 아르프 불변량이라고 한다.

특히, 만약 일 경우 이므로, 아르프 불변량은 의 원소가 된다.

성질 
가 표수 2의 완전체라고 하자. 그렇다면,  위의 유한 차원 비특이 이차 형식의 동형류들은 항상 그 차원과 아르프 불변량에 대하여 완전히 결정된다. (그러나 이는 완전체가 아닌 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

역사 
자히트 아르프가 1941년에 도입하였다.

응용 
아르프 불변량은 매듭 이론 및 의 꼴의 차원의 매끄러운 다양체의 분류에 등장한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
  
 

이차 형식