케일리 변환

기하학에서 케일리 변환(Cayley變換, )은 환 위의 사영 직선의 특별한 자기 동형이다. 행렬의 경우, 이는 반대칭 행렬과 직교 행렬 사이의 대응을 정의하며, 복소수체의 경우, 이는 허수축과 단위 원 사이의 대응을 정의한다.

정의 
2가 가역원인 환  위의 사영 직선

을 생각하자. 그 위의 케일리 변환은 다음과 같다.

이는 멱등 함수이다.

따라서, 이는 -사영 직선 위의 전단사 함수를 정의한다.

보다 일반적으로, 임의의 가역원 에 대하여,

를 정의할 수 있다. 그 역사상은 다음과 같다.

성질

복소수 
케일리 변환

은 리만 구  위의 뫼비우스 변환을 이룬다. 이는 다음과 같은 성질을 갖는다.
{| class=wikitable
|-
! z=f(f(z)) || f(z)
|-
| 0 || 1
|-
| i || −i
|-
| ∞ || −1
|-
|  || U(1)
|-
|  || 
|-
|  || 
|-
|  || 
|}
즉, 이는 허수축과 단위원을 뒤바꾸며, 실수축을 고정시킨다. 또한, 음이 아닌 실수 성분을 가진 반평면은 닫힌 원판에 대응된다.

행렬 
 실수 정사각 행렬의 환  위의 케일리 변환을 생각하자.

여기서 는 이 가역 행렬이 아니게 되는 행렬들의 부분 집합이다.

이 변환에서, 만약 이 반대칭 행렬이라면 (), 은 항상 가역 행렬이며,

이므로

이 된다. 즉, 이며, 특히 이다.
그런데

은 연속 함수이며, 그 정의역 은 연결 공간이다. 따라서 이는 상수 함수이며, 그 값은 이다. 즉, 케일리 변환은 매끄러운 함수

를 정의한다. (물론, 이는 전사 함수가 아니다. 는 축약 가능 공간이지만 는 축약 가능 공간이 아니기 때문이다.)

마찬가지로, 복소수 정사각 행렬의 환

위의 케일리 변환을 생각하자. 이를 제한하면 마찬가지로 매끄러운 함수

를 정의할 수 있다. 여기서
 는 복소수 반대칭 행렬의 복소수 리 대수이다.
 는 복소수 반에르미트 행렬의 실수 리 대수이다.
 는 행렬식이 1인 복소수 직교 행렬로 구성된 리 군이다.
 는 유니터리 군이다.

사원수 
사원수 대수  위의 케일리 변환

을 생각하자. (와 는 서로 가환하므로 나눗셈을 왼쪽에서 취하든, 오른쪽에서 취하든 상관이 없다.) 이는 순허수 성분 사원수로 구성된 3차원 유클리드 공간의 알렉산드로프 콤팩트화

를 절댓값이 1인 사원수로 구성된 3차원 초구

에 대응시킨다. 이는 리 대수 (의 알렉산드로프 콤팩트화)와 리 군 SU(2) 사이의 사상으로 여길 수 있다. (이는 리 대응과 다른 사상이다.)

역사 
아서 케일리가 반대칭 행렬에 대하여 1846년에 최초로 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

연속 함수
공형사상
변환 (수학)