이국적 초구 모노이드

미분위상수학에서 이국적 초구 모노이드(異國的超球monoid, )는 어떤 주어진 차원에서, 매끄러운 초구와 위상 동형이지만 미분 동형이 아닐 수 있는 매끄러운 유향 다양체들의 집합이다. 이 집합은 연결합을 통해 가환 모노이드를 이룬다. 4차원이 아닌 다른 모든 차원에서 이국적 초구 모노이드는 유한 아벨 군이지만, 4차원의 경우는 이 모노이드가 심지어 유한 집합인지 여부도 알려지지 않았다.

정의 
차원 유향 다양체인 초구  위의 매끄러움 구조들(의 미분 동형류)들의 집합 을 생각하자. 두 초구의 연결합은 물론 초구와 위상 동형이다 (). 따라서, 유향 다양체의 연결합은  위의 이항 연산을 정의하며, 이는 교환 법칙과 결합 법칙을 따른다. 즉, 은 가환 모노이드를 이룬다. 이를 차원 이국적 초구 모노이드라고 한다.

성질 
차원 이국적 초구 모노이드 은 다음 성질들을 만족시킨다.
 은 가산 집합이다.
 표준 매끄러운 초구는 의 항등원을 이룬다.
 일 때, 은 유한 아벨 군이다.
 일 때, 은 자명군이다.
 이 1, 3, 5, 61이 아닌 홀수라면, 이다.
 은 크기 28의 순환군이다.

예 
의 크기는 다음과 같다. 

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! n !! 0 || 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15 !! 16 !! 17 !! 18 !! 19 !! 20
|-
! 
| 1 || 1 || 1 || 1 || ? || 1 || 1 || 28 || 2 || 8 || 6 || 992 || 1 || 3 || 2 || 16256 || 2 || 16 || 16 || 523264 || 24
|}

는 아직 알려지지 않았으나, 아마 가산 무한일 것으로 추측된다. 그러나 (2018년 기준) 아직 심지어 인지 조차도 알려지지 않았다.

7차원 이국적 초구의 예 
존 밀너가 발견한 7차원 이국적 초구는 구체적으로 다음과 같다.

경계다양체 를 생각하자. 그 경계는 이다. 3차원 초구는 단위 절댓값의 사원수의 집합 로 여길 수 있다.

이제, 그 경계를 다음과 같이 이어붙이자.

여기서 곱셈은 사원수의 곱셈이다.

이렇게 하여 얻는 7차원 매끄러운 다양체 는 7차원 매끄러운 초구와 위상 동형이지만, 미분 동형이 아니다. 구체적으로, 는 7차원 매끄러운 초구와 달리 다음과 같은 성질들을 갖는다.
 방향을 뒤집는 미분 동형 이 존재하지 않는다. (반면, 매끄러운 초구의 경우 이것이 간단하게 존재한다.)
 4차 베티 수가 0인 8차원 매끄러운 경계다양체의 경계가 될 수 없다. (반면, 7차원 매끄러운 초구는 물론 자명한 베티 수를 갖는 8차원 공의 경계이다.)

보다 일반적으로, 7차원에서 존재하는 28개의 초구 매끄러움 구조는 다음과 같다. 복소수 벡터 공간 에서, 다음 다항식으로 정의되는 복소수 4차원 (실수 8차원) 대수다양체를 생각하자.

이제, 의 원점에서 충분히 작은 9차원 초구를 생각하자. 9차원 초구와 8차원 다양체의 교집합은 (여차원이 더해지므로) 7차원 매끄러운 다양체를 정의한다. 이제, 에 대하여 이들은 각각 28개의 7차원 이국적 초구들을 이룬다.

역사 

1952년에 에드윈 에버리스트 모이즈(, 1918~1998)가 이 자명군이라는 사실을 증명하였다. (2차원 이하의 경우는 자명하다.)

최초의 이국적 초구는 존 밀너가 1956년에 발견한 7차원 이국적 초구이다. 이에 대하여 밀너는 훗날 다음과 같이 적었다.

이후 1963년에 미셸 케르베르()와 존 밀너가 5차원 이상의 경우 이 유한 아벨 군이며, 또한 호모토피 이론을 통해 계산될 수 있다는 사실을 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

미분위상수학