클리퍼드 가군 다발

미분기하학에서 클리퍼드 가군 다발(Clifford加群다발, )은 각 올이 (클리퍼드 다발의 올인) 클리퍼드 대수의 가군의 구조를 갖는 벡터 다발이다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
  위의 클리퍼드 다발 
  위의 벡터 다발 
만약 각 에서, 의  위의 작용이 주어져 가 의 위상 왼쪽 가군이 되며, 그 작용이 모두 연속적이라면, 를 의 클리퍼드 가군 다발()이라고 한다. 물론, 마찬가지로 매끄러운 클리퍼드 가군 다발을 정의할 수 있다.

클리퍼드 가군 다발 접속 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 매끄러운 클리퍼드 다발  및 그 위의 클리퍼드 다발 접속 
 의 매끄러운 클리퍼드 왼쪽 가군 다발 
  위의 코쥘 접속 
만약 가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속()이라고 한다. 임의의  및 벡터장  및 매끄러운 단면 에 대하여,

즉, 클리퍼드 접속은 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는 코쥘 접속이다.

연산

직합 
같은 클리퍼드 다발 위의 두 클리퍼드 가군 다발의 직합은 역시 클리퍼드 가군 다발이다.

텐서곱 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
  위의 클리퍼드 다발 
  위의 클리퍼드 가군 다발 
  위의 매끄러운 벡터 다발 
그렇다면,  위에는 표준적인 클리퍼드 가군 다발 구조가 다음과 같이 존재한다.

특히, 가 (실수 또는 복소수) 선다발일 경우가 자주 사용된다.

예

스피너 다발 
준 리만 다양체 가 주어졌을 때, 그 접다발 에 대한 클리퍼드 다발 이 존재한다. 만약 에 스핀 다양체의 구조가 주어졌다면, 그 스피너 다발 은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 이 경우 레비치비타 접속을 통해  위의 클리퍼드 가군 다발 접속을 정의할 수 있다. 만약 이 짝수 차원이라면, 스피너 다발은 바일 스피너 다발

으로 분해되며, 이 역시 각각 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 또한, 적절한 부호수에서 마요라나(-바일) 스피너 다발을 정의할 수 있으며, 이 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

이 경우, 레비치비타 접속을  위로 자연스럽게 확장할 수 있으며, 이는 클리퍼드 가군 다발 접속을 이룬다. 만약  위에 스핀 구조가 주어졌을 때, 스피너 다발 은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

보다 일반적으로,  위의 스핀C 다양체 구조가 주어졌다면, 이에 대한 스피너 다발은 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

일반화 기하학 
매끄러운 다양체  위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 가 주어졌다면,  위의 자연스러운 이차 형식

을 통해 클리퍼드 다발 을 정의할 수 있다. 이 경우, 의 단면은 임의의 미분 형식  위에 다음과 같이 작용한다.

여기서 는 내부곱이며 는 쐐기곱이다.
이 작용은

를 따르므로, 은  위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

특히, 인 경우, 미분 형식은 이 클리퍼드 다발의 일종의 ‘스피너’처럼 행동하는 것을 알 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 

미분기하학
벡터 다발
클리퍼드 대수