5차원 회전군

리 군론에서 5차원 회전군(五次元回轉群, )은 5차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(5) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 사원수의 2×2 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.

정의 
단순 리 대수의 분류에서, 형을 생각하자. 이는 딘킨 도표

에 대응한다. 이에 대응하는 리 군은 B₂(직교군)로, 또는 C₂(심플렉틱 군)로 해석될 수 있다.

이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군  및 그 스핀 군 의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준
 (5차원 로런츠 군)

및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군은

이며, 마찬가지로 분할 형태

가 존재한다.

이들은 다음과 같이 대응한다.

{| class=wikitable
! 킬링 형식의 부호수 !! 기호 !! 직교군 기호 !! 심플렉틱 군 기호 !! 군의 중심 !! 기본군 !! 사타케 도표 !! 보건 도표 !! 비고
|-
| rowspan=2 | (0,10) 
| rowspan=2 | B₂, C₂
|| Spin(5) ||  ||  || 0
| rowspan=2 | 
| rowspan=2 | 
| 단일 연결 콤팩트 형태
|-
| SO(5) ||  || 0 ||  || 무중심 콤팩트 형태
|-
| rowspan=2 | (6,4)
| rowspan=2 | B₂Ⅰ, C₂Ⅰ
|| Spin(2,3) ||  ||  || 
| rowspan=2 | 
| rowspan=2 | 
|| 분할 형태
|-
| SO⁺(2,3) ||  || 0 ||  || 무중심 분할 형태
|-
| rowspan=2 | (4,6)
| rowspan=2 | B₂Ⅱ, C₂Ⅱ
|| Spin(1,4) ||  ||  || 0
| rowspan=2 | 
| rowspan=2 | 
|-
|| SO⁺(1,4) ||  || 0 || 
|}

성질

콤팩트 형태 
Spin(5)의 최소 스피너는 복소수 4차원 디랙 스피너이다. 이는  또는 의 정의(定義) 표현이다.

콤팩트 형태에서, 는 2×2 사원수 유니터리 행렬의 군이다. 즉,
 
이다. (여기서 는 에르미트 수반이다. 즉, 전치 행렬에서, 각 성분에 켤레 사원수를 취한 것이다.)

이것의 군의 중심은 다음과 같다.

이것에 대한 몫을 취하면 다음과 같은 특수 직교군을 얻는다.

의 실수 5차원 표현은 구체적으로 다음과 같다.

분할 형태 
Spin(2,3)은 (1,2)차원 민코프스키 공간의 등각군이다. 의 최소 스피너는 실수 4차원 마요라나 스피너이다. 이는 의 4차원 실수 정의(定義) 표현에 해당한다.

이는 심플렉틱 군

에 대응한다.  이 경우, 마찬가지로 군의 중심은 에 해당한다.

로런츠 형태 
이 경우는 (1,4)차원 민코프스키 공간의 로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간의 등각군이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너이다. 

심플렉틱 군으로서, 이는 다음과 같다.

이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다.

표현론 
이 리 군의 낮은 차원 표현들 및 그 영 타블로는 다음과 같다.

{| class=wikitable
|-
! 표현 || SO(5) 해석 || SO(5) 영 타블로 || USp(4) 해석 || USp(4) 영 타블로
|-
| 4 ||스피너
| style="line-height:1" | ■
| 벡터
| style="line-height:1" | □
|-
| 5 || 벡터
| style="line-height:1" | □
| 무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1)
| style="line-height:1" | □□
|-
| 10 || 반대칭 2-텐서 (5×4/2!)
| style="line-height:1" | □□
| 대칭 2-텐서 (4×5/2!)
| style="line-height:1" | □□
|-
| 14 || 무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1)
| style="line-height:1" | □□
| 4-텐서
| style="line-height:1" | □□□□
|-
| 16 || 라리타-슈윙거 장 (4×(5−1)) 
| style="line-height:1" | □■
|| 3-텐서
| style="line-height:1" | □□□
|}

즉,

이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

리 군