자이페르트 곡면

매듭 이론에서 자이페르트 곡면(Seifert曲面, )은 3차원 초구 속의 연결 2차원 유향 경계다양체이다. 그 경계는 연환을 정의하며, 모든 연환은 이러한 꼴로 표현될 수 있다. 어떤 주어진 연환의 자이페르트 곡면이란 이 연환을 경계로 삼은 자이페르트 곡면을 뜻한다.

정의 
차분한() 유향 연환 의 자이페르트 곡면은 인  속의 2차원 유향 연결 경계다양체 이다.

성질

존재와 유일성 
모든 연환은 자이페르트 곡면을 갖는다. 그러나 이는 유일하지 않다.

연환의 자이페르트 곡면은 구체적으로 다음과 같은 알고리즘으로 구성된다. 우선, 연환 이 개의 연결 성분을 갖는다고 하자. 의 임의의 그림(평면으로의 투영)이 주어졌다고 하자.
이 그림이 개의 교차점을 갖는다고 하자. 그렇다면,
 ⇒ 
와 같이, 그림에서 교차점들을 해소할 수 있다. 교차점을 모두 해소하면 연환의 그림은 서로 교차하지 않는 원들로 구성되는데, 개의 원들이 있다고 하자.

그렇다면, 다음과 같은 자이페르트 곡면을 구성할 수 있다.
 연환면의 그림의 해소의 각 원 안에 원판을 붙인다. 즉, 개의 원판이 존재한다.
 연환면에서, 해소된 각 교차점에 대응하는 띠를 이어붙인다. 이 경우, 아래 그림과 같이 띠를 뒤틀어 이어붙이며, 띠를 뒤트는 방향은 해소되기 이전의 교차점의 방향을 따른다.
 

이 경우, 교차점의 해소에서 방향을 보존해야 한다. (방향을 보존하지 않으면, 비가향 다양체를 얻을 수 있다.) 즉, 다음과 같은 꼴의 해소는 불가능하다.
 ⇒ ⩆

종수 
위 알고리즘으로 구성된 자이페르트 곡면은 개의 구멍을 가지며, 종수가

인 2차원 경계다양체이다. 물론, 어떤 연환 의 자이페르트 곡면 가 주어졌을 때, 임의의 원환면과의 연결합  역시 의 자이페르트 곡면이며, 그 종수는 원래 자이페르트 곡면의 종수 + 1이다. 주어진 연환의 자이페르트 곡면들의 최소 종수를 연환의 종수(種數, )라고 한다.

임의의 두 유향 매듭 , 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 매듭의 연결합은 종수를 보존한다.

자이페르트 행렬 
연환 의 자이페르트 곡면 가 주어졌다고 하고, 그 종수가 라고 하자. 그렇다면, 그 1차 호몰로지 군은 다음과 같은 자유 아벨 군이다.

이 경우, 그 교차 형식이

가 되게 하는 기저

가 존재한다.

이 기저에 대한 자이페르트 행렬(Seifert行列, ) 은 정수 성분의  정사각 행렬이며, 그 번째 성분은 와 의 연환수이다. 이 경우

가 성립한다. (은 수반 행렬이다.) 반대로, 의 꼴인 임의의 정수 성분의 짝수 크기 정사각 행렬은 어떤 매듭의 자이페르트 곡면의 자이페르트 행렬로 표현될 수 있다.

자이페르트 행렬의 다음과 같은 행렬식

은 연환의 알렉산더 다항식이라고 한다. 이는 자이페르트 곡면의 선택이나 그 호몰로지의 기저의 선택에 의존하지 않는, 유향 연환의 불변량이다. 이에 따라, 연환의 종수 은 다음과 같은 부등식을 따른다.

자이페르트 행렬의 대칭화

의 부호수 역시 연환의 불변량이며, 이를 연환의 부호수(符號數, )라고 한다.

예

자명한 원환 
공집합은 0개의 연결 성분을 갖는 연환이다. 그 자이페르트 곡면은 경계를 갖지 않는 임의의 유향 곡면이며, 이 연환의 종수는 물론 0이다.

자명한 매듭의 경우, 원판이 그 원환면이므로 그 종수는 0이다. 보다 일반적으로, 개의 연결 성분을 갖는 자명한 연환의 자이페르트 곡면은 개의 구멍을 뚫은 구이며, 따라서 그 종수는 0이다. 종수가 0인 매듭은 자명한 매듭 밖에 없다. (그러나 종수가 0이지만 자명하지 않은 연환이 존재한다.)

원환면 매듭 

-원환면 매듭의 종수는 이다. 예를 들어, (2,1)-원환면 매듭인 세잎매듭의 종수는 1이다. 세잎매듭의 그림

에서, 자이페르트 알고리즘을 가하면, 이므로 종수 을 얻는다. (이 경우, 해소된 그림은 밖의 큰 원과 속의 작은 원으로 구성된다. 세잎그림의 그림에서 방향을 무시하는 해소를 취하면, 이지만, 이 경우 얻게 되는 곡면은 세 번 뒤튼 뫼비우스 띠이므로 유향 다양체가 아니다.)

호프 연환 
호프 연환의 한 자이페르트 곡면은 다음과 같다.

아이소토피를 무시하면, 이는 두 개의 구멍이 뚫린 구(즉, 두 개의 원판의 연결합와 미분 동형)이다. 따라서, 호프 연환의 종수는 0이다.

8자 매듭 
8자 매듭(41번 매듭)의 종수는 1이다.

역사 
헤르베르트 자이페르트가 1934년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 

 
 
 
 

매듭 이론
곡면