매개계

가환대수학에서, 매개계(媒介界, , 약자 )는 국소 가환환 위의 ‘국소 좌표계’의 일종이다. 구체적으로, 매개계는 국소 가환환의 유일한 극대 아이디얼의 (충분히 큰 차수의) 거듭제곱을 생성하는 유한 부분 집합이며, 그 크기는 국소 가환환의 크룰 차원과 같다. 이 정의에서 극대 아이디얼 대신 그 거듭제곱을 생각하는 이유는 국소 가환환이 특이점의 근방을 나타내는 경우일 수 있기 때문이며, 정칙 국소환의 경우 극대 아이디얼 자체를 생성하는 매개계가 존재한다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 뇌터 국소 가환환 
 -유한 생성 가군 . 그 크룰 차원을 라고 하자.
이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 충분히 큰 양의 정수 에 대하여, 이다.
여기서 는 가군의 길이이다.

그렇다면, 임의의 유한 집합인 부분 집합 에 대하여, 만약

이 된다면 가 된다. 이를 포화시키는 부분 집합, 즉

 (즉, )
인 부분 집합 를 의 매개계라고 한다.

특히, 인 경우를 생각하자. 즉, 임의의 유한 집합인 부분 집합 에 대하여, 만약
 (즉, )
라면,

이다. 이를 포화시키는 부분 집합, 즉

인 부분 집합 를 의 매개계라고 한다. 위 조건에서 만약 으로 놓을 수 있다면, 를 정칙 매개계(正則媒介界, )라고 한다.

성질 
뇌터 국소 가환환에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 정칙 국소환이다.
 정칙 매개계를 갖는다.

뇌터 국소 가환환 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 코언-매콜리 국소환이다.
 모든 매개계가 정칙열이다.
 적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다.

정칙 국소환 
차원 정칙 국소환 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 인 정칙 매개계 가 존재한다.
 는 차원 정칙 국소환이다.
 는 -벡터 공간인 자리스키 공변접공간  속에서 선형 독립이다.

독립성 
차원 정칙 국소환 의 매개계 가 주어졌다고 하자. 임의의 계수 차 동차 다항식

에 대하여, 만약

이라면, 의 모든 계수는 에 속한다. (즉, 의  속의 상이 0이다.)

예 
아르틴(즉, 0차원) 국소 가환환 의 경우, 매개계는 공집합이다. 이 경우 극대 아이디얼 은 멱영 아이디얼이다. (예를 들어, 소수 에 대하여 국소 가환환 가 이에 해당한다.) 이 경우, 가 정칙 국소환인지 여부는 가 체인지 여부와 동치이다. (체의 경우 이므로, 공집합이 정칙 매개계를 이룬다.)

체  위의 아핀 평면 의 원점에서의 국소환 을 생각하자. 이는 2차원 정칙 국소환이다. 이 경우

는 정칙 매개계이다. 보다 일반적으로, 임의의

에 대하여

역시 정칙 매개계이다.

반면, 

는 정칙 매개계가 아닌 매개계이다. 이 경우

이다.

정수환의 소수 에서의 국소화 를 생각하자. 이는 1차원 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 로 생성되는 주 아이디얼이다. 따라서 는 정칙 매개계를 이룬다. 보다 일반적으로, 와 서로소인 임의의 0이 아닌 정수 에 대하여 는 의 정칙 매개계이다. 또한, 2 이상의 양의 정수 에 대하여 는 의 정칙 매개계이지만, 이는 매개계가 아니다.

역사 
국소환의 개념을 볼프강 크룰이 1938년에 도입한 뒤, 이미 1943년에 클로드 슈발레가 매개계의 개념을 사용하였다.

매개계의 개념에 대하여 데이비드 아이젠버드는 다음과 같이 적었다.

참고 문헌

외부 링크 
 

가환대수학