산술-기하 수열

수학에서, 산술-기하 수열은 등차수열의 항과 대응하는 등비수열의 항을 항별로 곱한 수열이다.  더 쉽게 말해서, 산술-기하 수열의 n항은 등차수열의 n항과 등비수열의 n항의 곱이다. 산술-기하 수열은 확률론에서 기댓값을 계산하는 것과 같은 다양한 응용에서 나타난다. 예를 들어, 수열

 

은 산술-기하 수열이다. 산술 성분은 분자에 나타나고 (파란색), 기하 성분은 분모에 나타난다. (초록색)

이것은 등차수열과 등비수열의 특징을 둘 다 나타내는 다른 대상들에 적용될 수 있다. 예를 들어 산술-기하 수열의 프랑스식 개념은 와 같은 형태로 나타나는 수열을 의미하는데, 이는 등차수열과 등비수열의 일반화이다. 이러한 수열은 선형 계차 방정식의 특별한 경우이다.

수열의 항 
공차가 이고 초항이 인 등차수열(파란색)과 초항이 이고 공비가 인 등비수열로 이루어진 산술-기하 수열의 처음 몇 개의 항은 다음과 같이 주어진다:

예 
예를 들어, 수열

 

은 , , 에 의해 정의된다.

부분합 
산술-기하 수열의 첫 개 항의 합은 다음 형태를 가진다.

 

이 때 와 는 등차수열과 등비수열의 i항을 각각 의미한다.

이 합은 다음과 같은 닫힌 형태 표현을 갖는다.

증명 
다음에 r을 곱한 다음,

 

 을 에서 빼고 망원 급수의 기법을 이용하면 다음을 얻는다.

 

이 때 마지막 등식은 등비수열의 합으로부터 얻어진다. 마지막으로  을 나누면 결론을 얻는다.

급수 
만일 −1 < r < 1이면, 산술-기하 급수 S는 말하자면 무한히 많은 항들을 더해서 얻은 것인데, 이는 다음과 같이 주어진다.

 

만일 r 이 위의 범위를 벗어나면, 급수는 다음 둘 중 하나이다.

 발산한다 (r > 1 또는 r = 1이고 등차수열의 a와 d가 모두 0이 아닌 경우. 만일 후자의 경우 a와 d가 모두 0이면, 급수의 모든 항이 0이 되어 급수는 상수가 된다.)
 또는 교대급수 (when r ≤ −1).

예 : 기댓값에 대한 응용 
예를 들어, 합

 ,

는 , , 로 정의된 산술-기하 급수인데, 이는 로 수렴한다.

이 수열은 "뒷면"을 얻기까지 예상되는 동전 던지기의 기댓값과 관련있다. k번째 동전 던지기에서 처음으로 뒷면을 얻을 확률 는 다음과 같다:

 .

따라서 동전 던지기의 기댓값은

  .

참고 문헌

더 읽을거리 
 
 

급수