표현환

리 군론에서 표현환(表現環, )은 어떤 리 군의 유한 차원 표현들로 생성되는 그로텐디크 환이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 콤팩트 리 군  (특히, 모든 유한군은 이산 공간으로서 콤팩트 리 군을 이룬다)
  (실수체 또는 복소수체)
그렇다면, 의 매끄러운 유한 차원 표현

들의 동치류들의 집합을 생각하자. (이는 항상 가산 집합이다.) 이는 텐서곱과 직합을 통하여 가환 반환을 이룬다. 그 덧셈 항등원은 (유일한) 0차원 표현이며, 그 곱셈 항등원은 상수 함수인 자명한 1차원 표현

IHÉS
이다.

따라서, 이 반환의 그로텐디크 환

을 취할 수 있다. 이를 의 계수 표현환이라고 한다. 일 때 이 가환환을 라고 하며, 일 때 이 가환환을 라고 한다.

사원수의 경우 
위와 마찬가지로, (사원수의 나눗셈환)인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우, 표현의 직합은 잘 정의되지만, 사원수의 비가환성으로 인하여, 표현의 텐서곱을 일반적으로 취할 수 없다. 따라서 이 경우 얻어지는 아벨 군 은 일반적으로 가환환의 구조를 갖지 못한다. 그러나 실수 표현과 사원수 표현의 텐서곱은 잘 정의되므로, 는 가환환  위의 가군을 이룬다.

성질 
표현환에는 항상 표현의 차원을 나타내는 환 준동형

이 존재한다.

 위에는 복소수 켤레 사상에 따라서 자기 동형

이 존재한다. 이는 등급을 보존하는 전단사 환 준동형이다. 마찬가지로,  위에는

가 존재하며, 이는 등급을 보존하는 덧셈군의 군 준동형이다.

또한, 복소화에 따라 환 준동형

이 존재한다. 반대로, 복소수 또는 사원수 구조의 망각에 따라서 덧셈군의 군 준동형

이 존재한다. 는 유사환의 준동형이지만, 복소수 1차원 표현을 실수 2차원 표현에 대응시키므로, 환 준동형을 이루지 못한다. 또한, 포함 관계  의 모듈러스 공간은 이므로, 이에 따라 망각 사상

이 존재한다.

외부 자기 동형군 은  및  위에 환의 자기 동형으로 작용한다.

함자성 
가 콤팩트 리 군 의 닫힌집합 부분군일 때, 그 표현환 사이에 다음과 같은 환 준동형이 유도된다.

이에 따라, 는  위의 유한 생성 가군을 이루며, 마찬가지로 도  위의 유한 생성 가군을 이룬다.

연결 콤팩트 리 군의 경우 
가 연결 콤팩트 리 군이라고 하고, 그 극대 원환면

및 이에 대한 바일 군

을 정의하자. 그렇다면, 표준적으로

이다. 여기서 우변은 의 원소 가운데, 바일 군의 작용에 대하여 불변인 것들로 구성된 부분환이다.

유한 아벨 군의 경우 
임의의 유한 아벨 군 에 대하여, 그 지표군

을 생각하자. 그렇다면, 복소수 표현환은 항상 지표군의 정수 계수 군환이다.

예

자명군 
자명군의 표현환은 정수환이다.

즉, 그 표현들은 모두 자명한 표현이다.

순환군 
차 순환군 의 경우,

이며, 그 차원은

이다.
 
이 동형 아래, 는 다음과 같은, 1의 거듭제곱근을 통한 1차원 표현에 대응한다.

3차 대칭군 
3차 대칭군 의 경우,

이다. 여기서 에 대응하는 1차원 표현은

이며, 에 대응하는 2차원 표현은  위에 벡터 성분의 순열로 작용한다.

원군 
원군 의 복소수 계수 표현환은 로랑 다항식의 환

이며, 그 차원은

이다. 이 동형 아래,  ()는 다음과 같은 1차원 표현에 대응한다.

원군의 실수 계수 다항식은 다음과 같은 부분환이다.

원환면군 
원환면군

의 복소수 계수 표현환은 다음과 같은 가환환이다.

이 동형 아래,

이다.

유니터리 군 
유니터리 군 의 경우, 극대 원환면은 대각 행렬

로 구성되며, 이에 따른 바일 군은 대칭군 이다. 즉, 그 표현환은

이다. 여기서 는 번째 기초 대칭 다항식에 대응된다.

특히, 은 유니터리 군의 차원 정의 표현이며, 또한 은 행렬식 표현에 해당한다.

이는 1차원 표현이므로 역원 을 갖는다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
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표현론
리 군