텐서곱

환론에서 텐서곱()은 두 쌍가군 또는 가군 또는 결합 대수에 대하여 정의할 수 있는 이항 연산이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 -결합 대수 , , 
 -쌍가군 (=-왼쪽 가군) 
 -쌍가군 (=-왼쪽 가군) 
그렇다면, 과 의 텐서곱은 다음과 같이 구성되는 -쌍가군이다.
 곱집합  위의 자유 -쌍가군 를 생각하자.
  위에 다음과 같은 이항 관계 로 생성되는 동치 관계 를 생각하자.
 이 동치 관계는 -쌍가군의 합동 관계임을 보일 수 있다. 따라서 은 -쌍가군이며, 이를 텐서곱 이라고 한다.

특수한 경우 
다음과 같은 특수한 경우들을 생각할 수 있다.
 만약 라면, 은 -오른쪽 가군이며, 은 -왼쪽 가군이다. 이 경우, -오른쪽 가군과 -왼쪽 가군의 텐서곱은 아벨 군(=-쌍가군)이다.
 만약 라면, 과 은 -가군이다. 이 경우, 두 -가군의 텐서곱은 -가군이다.
 특히, 만약 가 체일 때, 두 -벡터 공간의 텐서곱은 -벡터 공간이다.
 특히, 만약 일 때, 두 아벨 군의 텐서곱은 아벨 군이다.
 만약 가 체이며, 와 가 군이며, , (즉, 계수 군환)이라고 하자. 그렇다면, 과 은 각각 와 의 표현이며, 이 경우 은 -왼쪽 가군을 이룬다. 즉, 은 직접곱 의 표현을 갖는다. 이를 두 군 표현의 외부 텐서곱()이라고 한다.
 특히, 위의 경우에서 만약 라면, 대각 사상 를 통해, 은 의 표현을 이룬다. 이를 두 군 표현의 텐서곱이라고 한다.

결합 대수의 텐서곱 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 -결합 대수 , 
그렇다면, 와 는 둘 다 -가군이므로, 텐서곱 를 정의할 수 있으며, 이는 -가군을 이룬다. 그런데, 이 경우 는 자연스럽게 -결합 대수의 구조를 가지며, 이는 다음과 같다.

이에 따라, -결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주가 된다.

성질 
가환환  위의 가군의 범주 를 생각하자. 이는 텐서곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 특히,
 텐서곱은 결합 법칙을 따른다.
 텐서곱의 항등원은 1차원 자유 가군 이다.
또한, 는 닫힌 모노이드 범주이다. 다시 말해, 임의의 -가군 , , 에 대하여 다음이 성립한다.

Tor 함자 

텐서곱 함자의 유도 함자를 Tor 함자라고 한다.

예 
가환환  위의 두 유한 차원 자유 가군

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서곱은 다음과 같은 자유 가군이다.

즉, (차원이 더해지는) 직합과 달리, 텐서곱에서는 차원이 곱해진다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

환론
가군론