위너 공간

확률론에서 위너 공간(Wiener空間, ) 또는 추상 위너 공간(抽象Wiener空間, )은 일종의 “정규 분포”에 해당하는 확률 측도를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간이다. 일반적으로, 르베그 측도의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간을 일컫는다.

정의 
위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다.
 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다.
이 두 정의는 서로 동치이다.

푸리에 변환을 통한 정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 분해 가능 실수 바나흐 공간 
 의 보렐 시그마 대수 위의 확률 측도 
 분해 가능 실수 힐베르트 공간 
 단사 연속 실수 선형 변환 . (이는 등거리 변환일 필요가 없다.) 또한, 그 상이 조밀 집합이라고 하자.
그렇다면, 이므로

이며, 는 의 조밀 집합을 이룬다. (여기서 는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

만약

라면, 가 위너 공간이라고 한다.

구체적 정의 
위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.

분해 가능 실수 힐베르트 공간  위의 기둥 집합의 족  위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다.

특히,

이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는  위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를  위의 기둥 집합 측도()라고 한다.

 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열

이 존재한다면, 이를 가측 노름()이라고 한다.
임의의 유한 차원 부분 공간 에 대하여, 만약 이라면, 이다.

의, 어떤 가측 노름 에 대한 완비화인 바나흐 공간

가 주어졌다고 하자. 이므로,

이다.

그렇다면, 의 기둥 집합의 족  위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다.

이는 로 생성되는 시그마 대수

위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간  위의 확률 측도를 이룬다. 그렇다면, 를 위너 공간이라고 한다.

성질 
위너 공간 가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수 에 대하여,  위의 측도 의 분포 함수는 평균이 0인  위의 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

또한, 만약 라면, 이다.

존재 
임의의 분해 가능 바나흐 공간 에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 가 적어도 하나 이상 존재한다.

페일리-위너 적분 
위너 공간 이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

가 성립한다. 또한,

임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다.

다시 말해, 등거리 변환인 선형 변환

이 존재한다. 는 의 조밀 집합이므로, 이를  전체로 확장할 수 있다. 즉, 등거리 변환인 단사 선형 변환

이 존재한다. 이를 페일리-위너 사상()이라고 한다. 이에 따라서, 임의의  및 에 대하여

를 정의할 수 있다. 이를 페일리-위너 적분()이라고 한다.

캐머런-마틴 정리 
위너 공간  및 에 대하여, 다음을 정의하자.

그렇다면,  위의 보렐 확률 측도

를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수

는 다음과 같다.

여기서 는 페일리-위너 적분이다. 이를 캐머런-마틴 정리()라고 한다.

연산 
두 위너 공간 , 가 주어졌을 때,
 위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다.

예 
만약 가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며, 라고 하자. 이 경우,  위의 위너 공간 구조의 개념은  위의, 평균이 0인 정규 분포와 같다.

고전 위너 공간 
다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자.

그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.

여기서 는 소볼레프 공간이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간 의 원소이다. (도함수의 L2 노름의 제곱은 에너지라고 하며, 따라서 의 원소는 유한 에너지 경로()라고 한다.)
이는 조밀 집합이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다.

이제, 임의의 확률 공간  및 위너 과정

을 생각하자. 의 궤적은 거의 확실하게 연속 함수이므로, 그 궤적들의 확률 분포는  위의 측도를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합 에 대하여,

로 놓는다.

그렇다면, 는 위너 공간을 이룬다. 이를 고전 위너 공간(古典Wiener空間, )이라고 한다.

브라운 다리 
원을

로 정의하자.

L∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간

을 생각하자. 이 위에, 부분 공간

을 생각하자. 이는 내적

에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다.

 위에, 확률 과정

의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여하자. 여기서 는 위너 과정이다. 그렇다면, 는 위너 공간을 이룬다.

힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조 
분해 가능 힐베르트 공간  및 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름

을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간 에서  역시 힐베르트 공간을 이룬다. 반대로, 임의의 위너 공간 에서 가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.

역사 
고전 위너 공간은 노버트 위너가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스()가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다.

페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(, 1907〜1933)와 노버트 위너의 이름을 땄다.

캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴(, 1911〜2004)이 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

측도론
확률론
확률 과정