고리군

리 군론에서 고리군()은 리 군의 고리 공간이며, 위상군을 이룬다. 이에 대하여, 반단순 리 군의 경우와 마찬가지로 보렐-베유-보트 정리 등의 이론을 전개할 수 있다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 콤팩트 리 군 
 콤팩트 매끄러운 다양체 
그렇다면, 매끄러운 함수의 공간

위에는 점별 곱셈 및 콤팩트-열린집합 위상을 통해 위상군의 구조를 줄 수 있다. 이를 의,  위의 게이지 변환 군()이라고 한다. 만약 일 때, 이를 의 고리군이라고  하며, 라고 표기된다.

고리군 위에는 자기 동형의 족

이 주어지며, 이를 통해 반직접곱

를 정의할 수 있다.

양에너지 표현 
복소수 힐베르트 공간  위의, 원군의 표현

이 다음과 같은 꼴이라면, 양에너지 표현()이라고 한다.

여기서 는 양의 실수 스펙트럼을 갖는 (유계 또는 비유계) 작용소이다.

복소수 힐베르트 공간  위의 연속 표현

이 다음 조건을 만족시킨다면, 양에너지 표현()이라고 한다.
 가 원군의 양에너지 표현이며, 인 연속 표현 이 존재한다.

성질

위상수학적 성질 
가 연결 공간일 필요 충분 조건은 가 연결 단일 연결 공간인 것이다.

가 연결 단일 연결 콤팩트 반단순 리 군이라고 하고, 그 카르탕 부분군이 라고 하자. 그렇다면, 올다발

이 존재한다.

의 2차 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

대수적 성질 
아핀 리 대수는 고리군의 리 대수의 중심 확장이다.

표현론 
각

에 대하여  위의 복소수 선다발

을 정의할 수 있다. 또한, 그 정칙 단면의 복소수 힐베르트 공간

을 생각하자. 동차 공간  위에는 의 표준적인 왼쪽 작용이 존재하며, 이는  위의 왼쪽 작용을 유도한다. 즉, 이는 의 표현을 이룬다.

또한, 만약 에서 양근의 집합을 선택할 경우, 보렐-베유-보트 정리에서의 구성으로서 아벨 군의 동형

이 결정된다. 여기서 는 의 폰트랴긴 쌍대군(즉, 의 꼴의 군 준동형의 군)이다.

고리군에 대하여, 다음과 같은 보렐-베유-보트 정리의 일종이 성립한다.
 는 0차원이거나 또는 의 기약 양에너지 표현을 이룬다.
 반대로, 의 모든 기약 양에너지 표현에 대하여, 이를 위와 같이 구성하는 가 존재한다.
 일 필요 충분 조건은 다음과 같다.
 의 모든 양의 쌍대근 에 대하여, 
여기서 은 의 리 대수  (즉, 쌍대근의 공간) 위의 표준적인 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

리 군