라이데마이스터 비틀림

위상수학에서 라이데마이스터 비틀림(Reidemeister뒤틀림, ) 또는 해석적 뒤틀림(解析的뒤틀림, )은 그 기본군의 표현이 주어진 위상 공간에 대하여 정의되는 불변량이다. 특별한 경우, 이는 평탄 코쥘 접속을 갖는 매끄러운 벡터 다발 값을 갖는 미분 형식의 라플라스 연산자의 제타 함수 조절 행렬식으로 계산될 수 있다.

정의

해석적 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 연결 콤팩트 가향 리만 다양체 
 매끄러운 벡터 다발 
  위의 평탄 코쥘 접속 
그렇다면, 값 차 미분 형식의 공간  위의 라플라스 연산자

를 정의할 수 있다. 그 고윳값들을 라고 하자. (콤팩트성 가정에 의하여 연속 스펙트럼이 존재하지 않는다.)

그렇다면, 의 차 제타 함수는 충분히 큰 실수 성분을 갖는 에 대하여 다음과 같다.

이를 복소평면에 해석적 연장을 가할 수 있다.

그렇다면, 의 행렬식을 다음과 같이 제타 함수 조절로 정의할 수 있다.

이 값들은 물론 일반적으로 리만 계량  및 의 매끄러움 구조에 의존한다. 그런데 다음과 같은 조합은 리만 계량 및 매끄러움 구조에 의존하지 않음을 보일 수 있으며, 이를 라이데마이스터 비틀림이라고 한다.

위상수학적 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 연결 유한 CW 복합체 . 그 범피복 공간을 라고 하자.
 의 유한 차원 직교 행렬 표현 
그렇다면, 실수 계수 사슬 복합체 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

그 호몰로지가 모두 0이라고 하자.

이제, 다음 조건을 만족시키는 임의의 사슬 사이의 성분별 사상

을 생각하자.

(이는 사슬 사상이 아니다.) 그렇다면

를 생각할 수 있다. 이들은 과  사이의 실수 벡터 공간 동형을 정의한다.

그렇다면, 의 라이데마이스터 비틀림은 다음과 같다.

이 값은 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

두 정의 사이의 관계 
다음이 주어졌다고 하자.
 연결 콤팩트 리만 다양체 
  위의 매끄러운 벡터 다발 
 의 평탄 코쥘 접속 
그렇다면, 임의의 점 에 대하여, 홀로노미

를 정의할 수 있다. 이는 군 준동형이다.

그렇다면,

이다. 여기서 좌변은 위상수학적 정의이며, 우변은 해석적 정의이다.

응용 
라이데마이스터 비틀림은 천-사이먼스 이론의 섭동 이론적 양자화에서 등장한다.

역사 
쿠르트 베르너 프리드리히 라이데마이스터(, 1893~1971)가 1935년에 렌즈 공간을 분류하기 위하여 라이데마이스터 비틀림의 위상수학적 정의를 도입하였다. 라이데마이스터의 정의는 오직 성분별 선형 위상 동형()에 대하여 불변이었으나, 1960년에 브로디()가 이 값이 모든 위상 동형에 대하여 불변임을 증명하였다.

1971년에 대니얼 버릴 레이(, 1928~1980)와 이저도어 싱어가 라이데마이스터 비틀림의 해석적 정의를 도입하였으며, 이 두 정의가 서로 동치라고 추측하였다. 이 추측은 1978년 경에 제프 치거와 베르너 뮐러()가 각각 독자적으로 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

미분위상수학
양자장론
3-다양체