포커르-플랑크 방정식

확률 과정 이론에서, 포커르-플랑크 방정식(Fokker-Planck方程式, )은 어떤 이토 확률 과정의 확률 밀도 함수가 따르는 편미분 방정식이다. 이는 시간에 대하여 1차, 공간에 대하여 2차 편미분 방정식이다. 형식적으로, 슈뢰딩거 방정식의 윅 회전의 꼴이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 확률 공간 
  위의 위너 확률 과정 
 에 대한,  값의 이토 확률 과정 . 또한, 가 에 대하여 1차 연속 미분 가능 함수이며, 가 에 대하여 2차 연속 미분 가능 함수라고 하자.

편의상, 다음 행렬을 정의하자. 이는 이토 확률 과정의 분산을 나타낸다.

이 경우, 이 이토 확률 과정에 대응되는 포커르-플랑크 방정식은 함수

에 대한, 다음과 같은 편미분 방정식이다.

(편의상 아인슈타인 표기법을 사용하였다.)

성질 
이토 확률 과정의, 시간 에서의 확률 밀도 함수 는 포커르-플랑크 방정식을 따른다.

예 
위너 확률 과정 는 , 인 이토 확률 과정이다. 이 경우 포커르-플랑크 방정식은

가 된다. 이는  위의 열 방정식이다.

역사 
아드리안 다니얼 포커르(, 1887〜1972)와 막스 플랑크가 도입하였다.

외부 링크 
 

편미분방정식
확률 과정
막스 플랑크