클라인 부분군

군론에서 클라인 부분군(Klein部分群, )은 의 이산 부분군이다.

정의 
복소수 계수 2차원 사영 선형군 를 생각하자. 이는 다음과 같이 여겨질 수 있다.
 3차원 쌍곡 공간 의 (방향을 보존하는) 등거리 변환의 군이다.
 3차원 열린 공 의 (방향을 보존하는) 등각 변환의 군이다.

의 부분군 이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 클라인 부분군이라고 한다.
 임의의 의 안정자군 은 유한군이다.
 임의의 의 궤도 는 (의 부분 공간으로서) 이산 공간이다.

무한구 
열린 공 의 ( 속에서의) 폐포 를 생각하자.  및 모든 클라인 부분군은  위에 자연스럽게 작용한다.

경계

를 무한구()라고 한다. (이 구는 3차원 쌍곡 공간의 “무한”에 있는 것으로 여겨질 수 있다.) 클라인 부분군 는 그 위에 작용한다. 임의의 점 의 궤도

의 응집점의 집합을 의 극한 집합()이라고 한다.

성질 
클라인 부분군 이 주어졌다고 하자. 그 극한 집합 을 생각하자. 만약 가 의 유한 생성 부분군이라면,

는 리만 곡면의 유한형 오비폴드이다.

역사 
펠릭스 클라인과 앙리 푸앵카레가 1883년에 도입하였다. “클라인 부분군”()이라는 이름은 앙리 푸앵카레가 같은 논문에서 사용하였다.

예 
자명군은 자명하게 클라인 부분군이다.

비안키 군 
양의 제곱 인수가 없는 정수 에 대하여, 허수 이차 수체 의 대수적 정수환 이 주어졌을 때,

는 클라인 부분군이다. 이러한 클라인 부분군을 비안키 군()이라고 한다.

쌍곡 다양체의 기본군 
임의의 가향 쌍곡 3차원 다양체의 기본군은 클라인 부분군이다. 어떤 쌍곡 3차원 다양체 의 기본군 이 클라인 부분군 과 (군으로서) 동형일 때, 은 와 미분 동형이다. 이 경우, 를 의 클라인 모형()이라고 한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

군론
리 군
보형 형식
이산 군
3-다양체