정칙 이차 미분

리만 곡면 이론에서, 정칙 이차 미분(正則二次微分, )은  표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다.

정의 
리만 곡면  위의 정칙 이차 미분은 그 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 층 코호몰로지이다.

여기서 는 의 표준 선다발이다. 즉, 의 국소 좌표를 라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로

의 꼴이다.

표준 좌표계 
리만 곡면  위의 정칙 이차 미분 가 주어졌다고 하고, 임의의 점 에 대하여 이라고 하자. 그렇다면, 의 어떤 (충분히 작은) 근방 에 다음과 같은 국소 좌표계를 정의할 수 있다.

이를 로부터 정의되는 표준 좌표계(瓢樽座標系, )라고 한다.

또한, 에서, 리만 계량

를 정의할 수 있다 (). 이 리만 계량의 리만 곡률은 0이다.

수직엽과 수평엽 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 리만 곡면 
 의 한 점 
  위의 정칙 이차 미분 . 또한, 가  근처에서 차 극을 갖는다고 하자. 즉, 는  근처에서 다음과 같은 꼴을 갖는다.

그렇다면, 만약 어떤 연속 미분 가능 곡선

에 대하여 다음과 같은 두 조건을 생각하자.
㉠ 
㉡ 
이 두 조건은 매개 변수의 재정의 에 대하여 (만약 라면) 불변이다. 즉, 이들은 단순히 의 부분 집합으로 취급할 수 있다. ㉠을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을  의 수평엽(水平葉, )이라고 한다. 마찬가지로, ㉡을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 의 수직엽(垂直葉, )이라고 한다.

성질 
리만 곡면  위의 정칙 이차 미분의 벡터 공간은 그 타이히뮐러 공간의 공변접공간과 표준적으로 동형이다.

리만 곡면  위의 정칙 이차 미분 의 수직엽들의 족은 리만 곡면 의 (실수) 여차원 1의 엽층을 이루며, 의 수평엽들의 족 역시 마찬가지다.

슈트레벨 미분 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 종수 의 연결 콤팩트  리만 곡면  ().
  속의 유한 집합 . 또한, 이다. (즉, 일 때는 이며, 일 때는 이다.)
 각 에 대하여, 양의 실수 .
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 유일한 정칙 이차 미분

이 존재하며, 이를 의 슈트레벨 미분(Strebel微分, )이라고 한다.
 는 각  근처에서, 국소적으로 다음과 같이 2차 극을 갖는다.

 의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간이 아닌 것들의 합집합은 르베그 측도 0인 닫힌집합이다.
 의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간인 것 은 항상 어떤 을 한 번 휘감는 폐곡선이며, 또한 다음 조건을 만족시킨다. (여기서, 제곱근의 분지는 이 적분이 양수가 되게 택한다.)

예

상수 정칙 이차 미분 

비콤팩트 리만 곡면인 복소평면  위의 상수 정칙 이차 적분

을 생각하자. 이는 영점을 갖지 않는다.

이 경우, 수평엽의 조건은

인 것이다. 즉, 이어야 한다. 이에 따라, 수평엽들은 다음과 같은 수평선들이다.

마찬가지로, 수직엽의 조건은

인 것이다. 즉, 이어야 한다. 이에 따라, 수직엽들은 다음과 같은 수직선들이다.

이들은 물론 각각 복소평면의 엽층을 이룬다.

보다 일반적으로, 임의의 리만 곡면  및 임의의  및 임의의 정칙 이차 적분 에 대하여, 만약 이라면, 의 충분히 작은 근방 에서 는 (표준 좌표계에서) 상수 정칙 이차 미분이 되며, 표준 좌표계에서 수평엽과 수직엽은 위와 같이 (복소구조로 정의되는 등각 계량에 대하여) 서로 직교한다.

2차 극 근처의 정칙 이차 미분 

복소평면 위의 정칙 이차 미분

를 생각하자. 그렇다면, 수평엽의 조건은

이므로, 수평엽은 원점에서 시작하는 반직선

이다. 마찬가지로, 수직엽의 조건은

이므로, 수직엽은 원점을 중심으로 하는 원

의 꼴이다.

역사 
슈트레벨 미분은 스위스의 수학자 쿠르트 슈트레벨(, 1921~2013)이 도입하였다.

참고 문헌 

 

리만 곡면