대수적 벡터 다발

대수기하학에서 대수적 벡터 다발(代數的vector다발, )이란 전이 함수가 다항함수인 벡터 다발의 개념이다. 이는 다양체 위의 벡터 다발의 개념과 달리 임의의 체를 계수로 하여 정의될 수 있다.

정의 
대수적 벡터 다발의 개념은 기하학적으로 어떤 특정한 스킴 사상으로 정의될 수 있으며, 어떤 특별한 가군층으로 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

1차원 대수적 벡터 다발은 대수적 선다발()이라고 한다.

스킴을 통한 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 스킴 
 자연수 

만약 다음 조건들이 성립한다면, 를 차원 대수적 벡터 다발이라고 한다.
 스킴 
 전사 함수인 스킴 사상 
 의 어떤 열린 덮개 
 각 에 대하여, 스킴 동형 사상 
이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.
 임의의  및 아핀 열린 부분 스킴 에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 은 어떤 정사각 행렬 에 대하여 , 로 주어진다. 또한, 이는 환의 동형 사상이어야 한다. 즉, 은 가역 행렬이다.
같은 스킴  위의 두 대수적 벡터 다발 ,  사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 -스킴의 동형 사상 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 은 대수적 벡터 다발을 이룬다.

층 이론을 통한 정의 
환 달린 공간  위의 국소 자유 가군층은 -가군층  가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.
 임의의 에 대하여, 인 자연수 과 열린 근방 dㅣ 존재한다.

환 달린 공간  위의 차원 대수적 벡터 다발(또는 유한 계수 국소 자유층)은 -가군층  가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.
 어떤 열린 덮개 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 이는 국소 자유 가군층 가운데 계수가 일정하며 유한한 것이다.

두 정의 사이의 관계 
층 이론을 통한 정의는 임의의 환 달린 공간에 대하여 정의되며, 반대로 스킴을 통한 정의는 스킴에 대해서만 정의된다. 스킴은 환 달린 공간의 특수한 경우이며, 스킴의 경우 이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 스킴을 통한 정의에서, 대수적 벡터 다발 의 단면들은 가군층을 이루며, 이 가군층은 층을 통한 정의에 부합한다.

성질 
가가 정리에 따라서, 복소수 사영 대수다양체에 대응되는 콤팩트 복소다양체 위의 모든 해석적 벡터 다발은 대수적 벡터 다발로 주어진다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

대수기하학
층론