천-베유 준동형

미분기하학에서 천-베유 준동형([陳]-Weil準同型, )은 리 군의 작용에 대하여 불변인 리 대수 변수 다항식을 드람 코호몰로지 동치류에 대응시키는 환 준동형이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 연결 콤팩트 리 군의 복소화인 복소수 리 군 
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
 의 복소수 리 대수 
  위의 다항식환 
  위의 의 딸림표현 작용. 이에 따라 는 군환 의 왼쪽 가군을 이룬다.

 의 작용에 대한 불변량 부분 대수 .

 의 불변량 부분 대수는 동차 다항식 부분 공간들의 합으로 다음과 같이 분해된다.

 동차 다항식 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 개의 변수를 갖는 함수 가 존재한다.

또한, 다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 -매끄러운 주다발 
그렇다면, 천-베유 준동형은 다음과 같은 -결합 대수 준동형이다.

추상적 정의 
리 군 에 대하여, 분류 공간 를 생각하자. (의 기본군은 상관이 없다.) 그렇다면, 리 대수 코호몰로지를 통해 다음이 성립함을 보일 수 있다.

(복소수 계수이므로, 좌변은 의 기본군에 더 이상 의존하지 않는다.) 이 동형에서, 우변의 등급(동차 다항식의 차수)은 좌변의 등급(코호몰로지류의 차수)의 절반이다.

이에 따라, -주다발 는 어떤 연속 함수

에 의하여

로서 주어진다. 또한, 이 는 코호몰로지 환의 등급환 준동형

을 정의한다. 이를 정수 계수 대신 복소수 계수로 취하면, 는 등급환 준동형

을 정의한다. 이를 천-베유 준동형이라고 한다.

콤팩트 실수 리 군 은 그 복소화와 호모토피 동치이므로, 복소수 리 군 대신 콤팩트 실수 리 군을 사용해도 좋다.

구체적 정의 
천-베유 준동형은 구체적으로 다음과 같이 주어진다. 우선,  위의 임의의 주접속을 고르고, 그 곡률이

라고 하자. 그렇다면, 에 대하여 다음을 정의하자.

여기서 사용된 기호는 다음과 같다.
 는 주다발 전체 공간의 점
 는 주다발의 한 접공간의  개의 벡터들
 는 순열의 부호수
 는 크기 의 대칭군
그렇다면, 다음을 보일 수 있다.
 의 -불변성에 의하여, 는  위의 닫힌 미분 형식이다. 즉, 이다.
 가 되는 유일한 미분 형식 가 존재하며, 이 또한 닫힌 미분 형식이다.
 또한, 는 사용된 주접속에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지 동치류 는 주접속에 의존하지 않는다.
이에 따라, 천-베유 준동형은 다음과 같다.

예

1차 천 특성류 

 (또는 이에 대응하는 콤팩트 군 )을 생각하자. 그 분류 공간은 무한 차원 복소수 사영 공간

이며, 그 유리수 계수 코호몰로지는 설리번 대수

이다.

는 아벨 군이므로, 모든 다항식이 불변량이다. 즉, 이 경우

이다.

-주다발은 연관 벡터 다발 구성을 통하여 복소수 선다발과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 천 특성류

로서 주어진다.

천 특성류 

보다 일반적으로, -매끄러운 주다발을 생각하자. 그렇다면, 다음을 생각하자.

그렇다면, 이에 대응하는 특성류는 총 천 특성류

이다. 물론, 이를 차수별로 분해하여

차 천 특성류

를 정의할 수 있다.

이 경우, -주다발  대신, 이에 대한 (정의 표현에 대한) 연관 다발

을 사용하여

로 적을 수 있다.

역사 
1940년대 말에 천싱선과 앙드레 베유가 도입하였다. 이 내용은 천싱선의 1951년 프린스턴 고등연구소 강의록에서 최초로 출판되었으며, 이 강의록의 서문에서 천싱선은 베유의 공헌을 다음과 같이 인정하였다.

참고 문헌 

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 Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) , .
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외부 링크 
 
 
 
 

미분기하학
특성류