에일렌베르크-질버 사상

호몰로지 대수학에서 에일렌베르크-질버 사상(Eilenberg-Zilber寫像, )과 알렉산더-휘트니 사상(Alexander-Whitney寫像, )은 아벨 범주 위의 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱을 비교하는, 서로 반대 방향의 두 사슬 복합체 사상이다. 이들의 합성은 사슬 복합체의 호모토피를 이루어, 호몰로지 군의 동형을 유도한다. 즉, 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱은 같은 호몰로지 군을 정의한다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 아벨 범주 
  위의 두 단체 대상 
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
 는  위의, 자연수 등급의 사슬 복합체의 범주이다.
 단체 대상 에 대하여, 무어 사슬 복합체  및 정규화 사슬 복합체 를 정의할 수 있다. 후자는 전자의 몫 사슬 복합체이다.

에일렌베르크-질버 사상 
아벨 범주  위의 두 단체 대상 , 에 대한 에일렌베르크-질버 사상은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다.

여기서
 은 모든 -셔플 순열 들의 집합이다. 셔플 순열 의 성분은  및 이다.
 이며  역시 마찬가지로 정의된다.
 는 순열의 부호 를 셔플 순열 에 적용한 것이다.

이 사상은 무어 사슬 복합체에 대하여 정의되지만, 그 몫인 정규화 사슬 복합체 위에서도 잘 정의된다. 즉, 다음과 같은 에일렌베르크-질버 사상이 존재한다.

알렉산더-휘트니 사상 
아벨 범주  위의 두 단체 대상 , 에 대한 알렉산더-휘트니 사상은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다.

여기서
 는 앞면 사상(, )이라고 하며, 단체 범주의 다음과 같은 사상 에서 유도된 것이다.
 
 
 는 뒷면 사상(, )이라고 하며, 단체 범주의 다음과 같은 사상 에서 유도된 것이다.

성질

호모토피 
에일렌베르크-질버 사상은 알렉산더-휘트니 사상의 오른쪽 역사상이지만, 일반적으로 왼쪽 역사상이 아니다. 즉, 다음과 같은 합성은 항등 사상이다.

그 반대 합성은 항등 사상이 아닐 수 있지만, 항상 사슬 호모토피이다. 즉, 모형 범주 의 약한 동치이며, 특히 같은 호몰로지를 정의한다.

이 사실을 에일렌베르크-질버 정리()라고 한다.

대칭성 
에일렌베르크-질버 사상은 (텐서곱의 순서를 뒤바꾸었을 때) 대칭 사상이지만, 알렉산더-휘트니 사상은 그렇지 않다.

모노이드 돌트-칸 대응 
가환환 가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.
 -결합 대수들의 범주  (즉, 가환환의 범주의 조각 범주)의 단체 대상의 범주 . 이는  속의 모노이드 대상들의 범주이다.
 -미분 등급 대수의 범주 . 이는 -사슬 복합체의 모노이드 범주  속의 모노이드 대상이다.
그렇다면, 돌트-칸 대응으로부터, 이 두 범주 사이에 서로 다른 두 쌍의 수반 함자들이 존재한다. 이들은 각각 퀼런 동치를 정의하며, 이를 모노이드 돌트-칸 대응()이라고 한다. (그러나 일반 돌트-칸 대응과 달리, 이는 범주의 동치가 아니다.)

구체적으로, 돌트-칸 대응의 함자

에서, 둘 중 하나를 취하면, 다음과 같은 두 수반 함자를 얻는다.

여기서 등장하는 자연 변환의 성분은 각각 알렉산더-휘트니 사상

과 에일렌베르크-질버 사상

이다.

가환 모노이드 돌트-칸 대응 
다음이 주어졌다고 하자.
 표수 0의 체 
그렇다면, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.
  위의 가환 결합 대수들의 범주  (즉, 가환환의 범주의 쌍대 조각 범주)
 -가환 미분 등급 대수의 모형 범주 
그렇다면, 다음 두 모형 범주 사이에 퀼런 동치가 존재하며, 이를 가환 모노이드 돌트-칸 대응()이라고 한다.

이는 에일렌베르크-질버 사상에 의하여 정의된다 (알렉산더-휘트니 사상은 비대칭이어서 사용될 수 없다).

(여기서, 를 표수 0의 체로 가정하는 것은, 아닐 경우 에 모형 범주 구조가 자연스럽게 주어지지 못하기 때문이다.)

역사 
에일렌베르크-질버 사상은 사무엘 에일렌베르크와 조지프 에이브러햄 질버(, 1923~2009)의 이름을 땄다. 알렉산더-휘트니 사상은 제임스 워델 알렉산더와 해슬러 휘트니의 이름을 땄다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

호몰로지 대수학
호모토피 이론
대수적 위상수학 정리