리우빌 미분 형식

미분기하학에서, 리우빌 미분 형식(Liouville微分形式, )은 매끄러운 다양체의 공변접다발(의 외대수) 위에 정의되는 표준적인 미분 형식이다. 그 외미분은 심플렉틱 다양체(또는 멀티심플렉틱 다양체)의 구조를 정의한다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 자연수 
그렇다면, 의 공변접다발 의 차 올별 외대수

를 생각하자. 그 국소 좌표는

의 꼴이다. 이 경우 동형 사상

및

에 의하여, 사영 사상

이 존재한다. 그렇다면, 임의의 점 에 대하여

를 정의할 수 있다. 이는  위의 차 미분 형식

를 정의한다. 이를  위의 리우빌 미분 형식이라고 한다.

국소 좌표를 통한 정의 
위 정의는 국소 좌표를 사용하여 간단히 적을 수 있다.  근처의 국소 좌표계 를 생각하자. 이 경우 의 국소 좌표는

의 꼴이다. 이 경우

이다.

성질 
매끄러운 다양체 에 대하여,  위의 리우빌 미분 형식 가 주어졌을 때,

는  위의 차 멀티심플렉틱 다양체 구조를 이룬다. 특히, 일 때, 공변접다발의 전체 공간 은 항상 표준적으로 심플렉틱 다양체를 이룬다.

예 
일 때, 0차 리우빌 미분 형식은  위의 0차 미분 형식 (매끄러운 함수)

이다.

일 때, 이므로, 이 경우 차 리우빌 미분 형식은 0이다.

일 때, 은 선다발이다. 이 가향 다양체일 때, 임의의 부피 형식 를 고르면, 이는 자명한 선다발로 여길 수 있다. 그렇다면

이다.

역사 
조제프 리우빌의 이름을 땄다.

외부 링크 
 

미분기하학
심플렉틱 기하학
해밀턴 역학
라그랑주 역학