다각수

수학에서 다각수(多角數, )는 삼각수와 정사각수를 임의의 정다각형에까지 일반화하여 얻는 평면 도형수이다. 기하학적으로, 다각수는 정다각형에 배열된 공의 수를 나타낸다. 주어진 다각수 바로 다음에 오는 다각수를 얻으려면 다각형의 이웃하는 두 변의 길이를 늘려 원래와 닮은 새로운 다각형으로 확장하면 된다. 이 경우 늘리려는 두 변에 각각 한 개의 공이 추가되며, 새로운 다각형의 남은 변을 만들기 위한 공들 역시 추가된다. 이렇게 추가되는 부분을 다각수의 그노몬()이라고 부른다. 대수학적으로, 다각수는 1에서 시작하는 자연수 공차의 등차 수열의 부분합을 나타내며, 그노몬은 이 등차 수열의 각 항에 대응한다.

정의 
자연수  및 이 주어졌을 때, 번째 각수(角數, ) 은 다음과 같이 정의된다.

특히,
 를 삼각수라고 한다. 1~5번째 삼각수는 다음과 같다 (빨간색 부분은 그노몬을 나타낸다).

 를 정사각수라고 한다. 1~5번째 사각수는 다음과 같다.

 를 오각수라고 한다. 1~5번째 오각수는 다음과 같다.

 를 육각수라고 한다. 1~5번째 육각수는 다음과 같다.

성질

점화식 
다음과 같은 점화식이 성립한다.

생성 함수 
다각수의 생성 함수는 다음과 같다.

페르마 다각수 정리 

임의의 자연수는 많아도 개의 각수의 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 자연수 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 이 존재한다.

이를 페르마 다각수 정리라고 한다. (만약 에 대하여 개의 각수로 나타내려면 을 취하면 된다.)

예 
주어진 자연수 에 대하여, 각수는 다음과 같다.

역사 
일반적인 다각수는 힙시클레스()가 기원전 2세기에 처음 정의하였다.

외부 링크 
 
 

도형수
다각형
유희 수학