쿠런트 준대수

미분기하학에서 쿠런트 준대수(Courant準代數, )는 리 준대수와 이차 리 대수의 개념의 공통적인 일반화이다.

정의

반대칭이 아닌 괄호를 통한 정의 
쿠런트 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 매끄러운 다양체 
 매끄러운 벡터 다발 
 벡터 다발 사상 , . 이를 닻()이라고 한다. 이를  위의 1차 미분 연산자로 간주하자. 
  위의 올별 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 
 단면 위의 쌍선형 형식 , .
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

반대칭인 괄호를 통한 정의 
쿠런트 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 매끄러운 다양체 
 매끄러운 벡터 다발 
 1차 미분 연산 
  위의 올별 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 
  위의 올별 반대칭 쌍선형 형식 
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
 
 
 
 
 

이 두 정의는 서로 동치이며, 그 사이의 관계는 다음과 같다.

디랙 구조 
매끄러운 다양체  위의 차원 쿠런트 준대수  위의 내적 의 부호수가 이라고 하자. 그렇다면, 의 디랙 구조 는 다음 조건을 만족시키는 부분 벡터 다발이다.

예

접다발과 쌍대접다발의 직합 
매끄러운 다양체  및 닫힌 3차 미분 형식

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

위에

와 같은 괄호를 주자. 여기서
 은 벡터장 또는 1차 미분 형식의 리 미분이다.
 는 벡터장과 미분 형식의 내부곱이다.
그렇다면, 는 쿠런트 준대수의 구조를 이룬다. 여기서
 은 사영 사상이다.
 은 단순히 이다.

이차 리 대수 
한원소 공간 위의 쿠런트 준대수의 개념은 이차 리 대수의 개념과 동치이다.

역사 
류장쥐() · 앨런 와인스틴() · 쉬핑()이 1997년에 도입하였다. 이 개념의 이름은 미국의 수학자 시어도어 제임스 쿠런트()의 이름을 땄다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

미분기하학
리 대수
다양체 상의 구조