가중 사영 공간

대수기하학에서 가중 사영 공간(加重射影空間, )은 사영 공간의 개념의 일반화이다. 보통 사영 공간에서 동차 좌표의 무게가 모두 같은 데 반하여, 가중 사영 공간에서는 각 동차 좌표가 서로 다른 무게를 가질 수 있다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 양의 정수 
그렇다면, 등급환인 가환환

을 정의할 수 있다. 그 사영 스펙트럼

을 무게 의 가중 사영 공간이라고 한다. 물론, 이는 정수 계수 가중 사영 공간과 의 곱이다.

즉, 만약 가 체일 때, 는 에 고정점 없이 다음과 같이 작용한다.

따라서, 이는 다음과 같은 몫으로 표현된다.

그 닫힌점들의 집합은 다음과 같다.

분류 
가 대수적으로 닫힌 체라고 하자.

임의의 양의 정수  및 에 대하여, 다음과 같은 스킴 동형 사상이 존재한다.

무게  가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 잘 만들어진 무게()라고 하자.
임의의 개의 성분들의 최대공약수는 1이다. 즉, 임의의 에 대하여, . (여기서 는 를 생략하라는 뜻이다.)
따라서, 대수적으로 닫힌 체 위에서, 모든 가중 사영 공간은 잘 만들어진 무게의 가중 사영 공간과 동형이다.

성질 
정의에 따라, 가중 사영 공간은 원환 다양체이다. 대수적으로 닫힌 체  위의 가중 사영 공간은  위의 사영 대수다양체를 이룬다.

아핀 덮개 
가환환 에 대하여, 가중 사영 공간 는 다음과 같이 개의 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 각 에 대하여, 로 정의되는 열린집합

은 아핀 스킴이다.

특히, 가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면, 에 대응되는 가환환은 다음과 같다.

여기서 는 1의 거듭제곱근으로 구성된 순환군이며, 그 작용은

이다. 구체적으로, 이 작용은 고정점을 갖지 않으므로, 이 몫은 기하 불변량 이론 몫()

이다. 여기서 는 의 작용에 불변인 의 원소들의 부분환이다.

이 경우, 만약 인 경우, 이는 원점 에서 특이점을 갖는다.

예 
만약 모든 무게들이 1이라면, 무게 사영 공간은 (일반) 사영 공간과 같다.

0차원 가중 사영 공간은 모두 0차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다.

1차원 가중 사영 공간은 모두 1차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다.

ℙ(1,1,n) 
2차원에서는 사영 공간과 동형이 아닌 가중 사영 공간이 존재한다. 그 가운데 가장 간단한 것은 이다. 이는 닫힌 몰입

을 가지며, 이는 사영 대수다양체

를 이룬다. 이는 좌표 에 의존하지 않으므로, 유리 곡선  위의 뿔을 이루며, 뿔의 꼭짓점은 이다.

예를 들어, 인 경우

이며, 이는 다음과 같은 사영 대수다양체와 동형이다.

이는 3차원 사영 공간 속의 이차 초곡면이다.

ℙ(1,2,3,…) 
가환환 에 대하여, 사영 공간 를 생각하자. 그 위에는 대칭군 이 좌표 에 대한 순열로 작용한다. 이에 대한 기하 불변량 이론 몫

을 생각하자. 이 경우, 은 다음과 같은 기초 대칭 함수로 생성된다.

따라서 이는 가중 사영 공간

을 이룬다.

역사 
이 개념은 이미 1975년에 샤를 들로름()이 ‘비등방 사영 공간’()이라는 이름으로 연구하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

대수기하학