로랑 다항식

추상대수학에서 로랑 다항식(Laurent多項式, )은 어떤 형식적 변수의 음 또는 양의 거듭제곱을 단항식으로 하고, 유한 개의 단항식들로 구성된 다항식이다. 로랑 다항식들의 집합은 가환 및 쌍대가환 호프 대수를 이루며, 이는 다항식환의 국소화 또는 군환으로서 구성될 수 있다.

정의 
임의의 가환환 가 주어졌다고 하자. 로랑 다항식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

가환환론적 정의 
 계수의 다항식환 에서, 로 생성되는 곱셈 부분 모노이드

를 생각하자. 이에 대한 국소화 를 취할 수 있다. 이를 로 표기하며,  계수의 로랑 다항식의 대수라고 한다.

군론적 정의 
무한 순환군 의  계수의 군환을 로랑 다항식의 대수라고 한다.

구체적으로, 편의상, 무한 순환군의 군 연산을 곱셈으로 표기하자. 즉,

이다. 이 경우, 그 원소는

의 꼴이 된다.

군환의 일반적 성질에 따라서, 로랑 다항식의 대수는 호프 대수를 이룬다.

구체적 정의 
 계수의 로랑 다항식은 다음과 같은 형식적 다항식이다.

즉, 이는 형식적 변수 의 양 또는 음의 차수의 거듭제곱들의 항으로 구성된 다항식이며, 항의 수는 유한하다.

그 덧셈과 곱셈은 다음과 같다.

이에 따라, 로랑 다항식들의 집합은  위의, 항등원을 갖는 가환 결합 대수를 이룬다. 이를 로 표기한다.

성질 
체 에 대하여, 는 뇌터 가환환이다. 그러나 이는 아르틴 가환환이 아니다.

가역원 
만약 가 정역일 경우, 의 가역원의 집합은 다음과 같다.

값매김 
임의의 가환환 의 가역원 에 대하여, 다음과 같은 값매김 준동형()이 존재한다.

이는 -가환 결합 대수의 준동형이다.

미분 
로랑 다항식환 위에는 다음과 같은 형식적 미분이 정의된다.

역사 
‘로랑 다항식’이라는 용어는 피에르 알퐁스 로랑의 이름을 딴 것이며, 복소해석학에서 쓰이는 정칙 함수의 로랑 급수에 빗댄 것이다. 그러나 이름과 달리 로랑 급수는 일반적으로 무한 개의 음의 차수 단항식 및 무한 개의 양의 차수 단항식들을 가질 수 있으므로 일반적으로 로랑 다항식이 아니다.

외부 링크 
 
 

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