힐베르트 다양체

기하학에서, 힐베르트 다양체(Hilbert多樣體, )는 국소적으로 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간이다.

정의 
힐베르트 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 분해 가능 하우스도르프 공간 
 분해 가능 무한 차원 실수 힐베르트 공간 
 열린 덮개 
 각 에 대하여, 단사 연속 함수 . 또한, 이는 와  사이의 위상 동형을 정의한다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 는 매끄러운 함수이다.

여기서, 함수 , 가 ‘매끄러운 함수’라는 것은 임의의 에 대하여

가 되는 유계 작용소들

이 존재함을 뜻한다.

분류 
모든 위상 힐베르트 공간 위에는 유일한 매끄러움 구조가 존재한다. 즉, 주어진 위상 공간 위의 매끄러운 힐베르트 공간 구조는 만약 존재한다면 유일하다.

두 힐베르트 다양체 , 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 서로 호모토피 동치이다.
 위상 동형이다.
 미분 동형이다.

또한, 두 힐베르트 다양체 사이의 임의의 위상 동형은 (위상 동형을 통하여) 미분 동형과 아이소토픽하다. 서로 호모토픽한 두 위상 동형은 아이소토픽하다.

임의의 힐베르트 다양체 는 의 열린집합과 미분 동형이다.

예 
분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간의 임의의 열린집합 는 힐베르트 다양체이다.

사상 공간 
다음이 주어졌다고 하자.
 (유한 차원) 콤팩트 리만 다양체 
 (유한 차원) 매끄러운 다양체 
이제, 소볼레프 공간 을 생각하자. 즉, 그 원소의 차 미분의 L2 노름이 유한하다고 하자. 만약

이라면, 이는 (매끄러운) 힐베르트 다양체를 이룬다.

특히, 이 경우 만약 매끄러운 함수 에 대하여 의 접공간은 표준적으로 힐베르트 공간인 소볼레프 공간

이다.

예를 들어, 이 원이라고 하자. 그렇다면, 힐베르트 다양체를 이루는 고리 공간

을 생각할 수 있다. 이 경우, 소볼레프 조건은 고리 의 에너지

가 유한함을 뜻한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

다양체 상의 구조
미분기하학
일반위상수학