교차 가군

군론과 대수적 위상수학에서 교차 가군(交叉加群, )은 2-군의 데이터를 담고 있는 대수적 구조이다. 구체적으로, 서로 군 준동형 및 작용을 갖는 두 군으로 구성된다.

정의 
교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 군 
 군 
 군 준동형 
 군 준동형 
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

 (파이퍼 항등식 )
가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다.

이 개념은 사실 군의 범주 속의 내적 범주 또는 범주의 범주 속의 군 대상과 사실상 같다. 전자의 경우, 대상의 군은 이며, 사상의 군은 이다. 이 경우

이며, 항등 사상은 포함 군 준동형 이다.

구체적으로, 군의 범주 속의 내적 범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 대상의 군 
 사상의 군 
 항등 사상을 정의하는 군 준동형 
 사상의 정의역을 정의하는 군 준동형 
 사상의 공역을 정의하는 군 준동형 
 사상의 합성을 정의하는 군 준동형 
이는 교차 가군의 데이터와 다음과 같이 대응된다.

예

정규 부분군 
임의의 군 의 정규 부분군 이 주어졌을 때,

로 잡으면, 이는 교차 가군을 이룬다.

가군 

다음 두 개념이 서로 동치이다.
 군 의 군환 의 왼쪽 가군 
  (치역이 의 항등원인 상수 함수)인 교차 가군 
증명:
의 왼쪽 가군 가 주어졌다고 하자. 이제, 으로 놓으면, 이는 교차 가군의 데이터를 이룬다 (의 군 연산은 가군의 덧셈). 만약 일 때, 교차 가군의 두 조건 가운데 하나는 자명하며 다른 하나(파이퍼 항등식)는 가 아벨 군임을 의미한다.

반대로, 인 교차 가군 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교차 가군의 조건(파이퍼 항등식)에 의하여 는 아벨 군이며, 작용 는  위에 -가군의 구조를 정의한다.

즉, -왼쪽 가군의 범주는 에 대한 교차 가군의 범주의 부분 범주를 이룬다. 다시 말해, 교차 가군의 개념은 군의 가군의 개념의 일반화이다.

사실, 파이퍼 항등식을

와 같이 쓰면, 이는 가 “뒤틀린 교환 법칙”을 따른다는 것으로 해석될 수 있다.

중심 확대 
군의 짧은 완전열

에서, 가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면,

을 정의하면, 는 교차 가군을 이룬다.

특히, 만약 이며 가 임의의 아벨 군일 경우, 이는 교차 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약 이며 가 임의의 군일 경우, 이 역시 교차 가군을 이룬다. 이 경우

이다.

자기 동형군 
임의의 군 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 표준적인 군 준동형

이 존재한다. 즉, 이는 군 원소를 내부 자기 동형에 대응시킨다. 이에 따라, 는 교차 가군을 이루며, 이를 라고 한다.
증명:파이퍼 항등식은 정의에 따라 성립한다. 나머지 한 조건은

이다. 이를 확인하려면, 임의의 에 대하여, 좌변은

인데, 우변은

이므로, 따라서 이 조건 역시 참이다.

2-기본군 
위상 공간 의 부분 공간  및 에 대하여,
 (기본군)
 (2차 호모토피 군)
을 정의하고,

가 상대 호모토피류의 경계로 정의되는 군 준동형이라고 하자. 그렇다면, 이는 교차 가군을 이룬다.

리 교차 가군 
교차 가군 에서, 만약 와 가 리 군이라고 하고, 또 모든 작용 및 군 준동형이 매끄러운 함수라고 하자. 이 경우, 교차 가군 의 구조를 그 리 대수에 제한할 수 있다. 구체적으로, , 라고 할 때, 교차 가군의 구조는 다음과 같이 제한된다.
 두 유한 차원 실수 리 대수 , 
 리 대수 준동형  (공역은 의 미분 리 대수)
 리 대수 준동형 
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

 (무한소 파이퍼 항등식)
특히, 파이퍼 항등식으로부터, 의 리 괄호가 완전히 결정된다. 따라서,

를 정의하면, 는 등급이 0 또는 1인 미분 등급 리 대수이며, 특히 (3차 이상의 괄호들이 모두 0인) L∞-대수의 특수한 경우이다.

역사 
존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1941년에 최초로 도입하였으며, 화이트헤드는 1949년에 ‘교차 가군’()이라는 용어를 최초로 사용하였다. 이에 대하여 화이트헤드는 다음과 같이 적었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

군론
대수적 위상수학