보고몰니 방정식

양자장론에서 보고몰니 방정식(Богомольный方程式, )은 3차원 공간 위의 주접속과 딸림표현 스칼라장에 대한 1차 비선형 편미분 방정식이다. 그 해는 자기 홀극을 나타낸다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 3차원 유향 리만 다양체 
 이를 통하여, 호지 쌍대 가 존재한다.
 콤팩트 단순 리 군 
 -주다발 
 이로부터 의 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발 을 정의할 수 있다.
 의 주접속 
 그 곡률을 라고 하자.
 의 매끄러운 단면 
 이에 대한 공변 미분 을 정의할 수 있다.
그렇다면, 이 데이터에 대한 다음과 같은 1차 편미분 방정식을 보고몰니 방정식이라고 한다.

보고몰니 방정식의 해는 물리학적으로 자기 홀극을 나타낸다.

자기 홀극 
편의상, 게이지 군  및 를 생각하자.

보고몰니 방정식의 해 가운데, 유한한 에너지

를 가지는 것들의, 게이지 변환군

의 작용에 대한 동치류를 자기 홀극이라고 한다. 만약 인 경우, 이는 다음 조건을 함의한다.

여기서 는 의 구면 좌표에서 임의의 방향으로의 각 좌표이며, 는 원점으로부터의 거리이다. 는 임의의 상수이며, 는 자하(磁荷, )이다. 주어진 자하의 보고몰니 방정식의 모듈라이 공간을 라고 하자.

이 대신, 의 임의의 한 방향을 골라, 이 방향의 무한대에서 게이지 변환이 자명하다는 조건을 가할 수 있다. 이러한 게이지 환의 군을

라고 하자. 그렇다면 유한 에너지 보고몰니 방정식 해의  동치류를 틀 갖춘 자기 홀극()이라고 하자.. 자하가 인 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간을 라고 하자. 그렇자면 정의에 따라 이는 U(1) 주다발

을 이룬다.

성질

순간자와의 관계 
보고몰니 방정식은 4차원 양-밀스 순간자가 따르는 자기 쌍대성 방정식

을 차원 축소하여 얻을 수 있다. 이 경우, 4차원의 게이지 퍼텐셜 는 3차원의 게이지 퍼텐셜과 스칼라장으로 분해된다. 즉, 4차원 주접속의 곡률은

의 꼴이다. 따라서, 이 경우 자기 (반)쌍대 방정식은

가 된다. 물론, 부호 ±는 를 재정의하여 없앨 수 있다.

모듈라이 공간 
 위의 SU(2) 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간 는 차원 리만 다양체이며, 초켈러 다양체이다. (그 위의 리만 계량은 해의 L2 계량으로 주어진다.) 즉, 는 차원 리만 다양체이다. 또한, 이 위에는 아벨 리 군 이 작용하며, 이에 대한 몫공간

을 정의할 수 있다. 는 차원 초켈러 다양체이다.

특히, 이다. 즉, 하나의 자기 홀극은 자명한 모듈라이 공간을 갖는다. 이러한  해는 프라사드-소머필드 해()라고 하며, 다음과 같다.

여기서 는 리 대수 의 기저를 이루는 파울리 행렬이다.

일 때, 는 아티야-히친 다양체이다. 이는 점근 국소 평탄 공간이며, ADE 분류에서 D0형에 해당한다. (반면, A−1형은 이며, A₀형은 토브-너트 공간이며, An은 중 토브-너트 공간이다. E형은 존재하지 않는다.) 아티야-히친 다양체는 SU(2) 등거리군을 가지며, 이는 원점을 중심으로 하는 회전에 해당한다. 아티야-히친 다양체의 2겹 피복 공간은 D₁형 점근 국소 평탄 공간이다.

남 방정식 

보고몰니 방정식의 해는 남 방정식으로 구성된다.

역사 
예브게니 보리소비치 보고몰니()가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

편미분방정식
자기 홀극