적중과 비적중 변환

수학적 형태학에서 적중과 비적중 변환()은 형태학적 침식 연산자와 서로소 구조적 요소 쌍을 사용하여 이진 이미지의 주어진 구성(또는 무늬)을 감지하는 연산이다. 적중과 비적중 변환의 결과는 첫번째 구조적 요소가 입력 이미지의 전경에 완전히 맞고 두 번째 구조적 요소가 완전히 맞지 않는 위치들의 집합이다.

수학적 정의 

이진 형태학에서, 이미지는 d차원 유클리드 공간 이나 정수 격자 의 부분집합으로 볼 수 있다. 여기서는 공간이나 격자를 E로 표기한다.

구조적 요소는 이진 이미지로 표현된 단순하고 미리 정의된 모양으로, 침식, 팽창, 열기, 그리고 닫기 같은 형태학적 연산에서 다른 이진 이미지를 탐색하는데 사용된다.

와 를 인 두 구조적 요소로 두자. 이 (C,D)쌍은 종종 합성 구조적 요소(composite structuring element)라고 불린다. B=(C,D)에 의한 주어진 이미지 A의 적중과 비적중 변환은 다음과 같다:

,

여기서 는 A의 여집합을 의미한다.

즉, E에 있는 점 x는 C를 x로 이동 시켰을 때 A와 맞고 D를 이동시키면 맞지 않는 (A의 배경에 맞는)점일 때, 적중과 비적중 변환의 결과에 있다.

일부 적용

얇게하기

로 두고, 다음으로 구성된 합성 구조적 요소 여덟 개를 고려하자:

 and ,
 and 
그리고 각각을 90°, 180°, 그리고 270°로 회전시킨 것이다. 대응하는 합성 구조적 요소는 로 표기한다.

모든 1에서 8까지의 i와, 이진 이미지 X에 대해서, 다음을 정의하자:

이 때, 는 차집합을 의미한다.

이미지 A의 얇게하기는 수렴할 때까지 주기적 반복을 통해 얻어진다:

다른 적용

 패턴 검출. 정의에 의하면, 적중과 비적중 변환은 (합성 구조적 요소 B로 특정된) 특정한 무늬가 입력 이미지에서 나타나는지를 가리킨다.
 가지치기. 적중과 비적중 변환은 선의 끝점을 인식해서 필요없는 가지를 제거하도록 선이 줄어들게 할 수 있다.
 오일러 지표 계산.

서지학
 An Introduction to Morphological Image Processing by Edward R. Dougherty,  (1992)

수학적 형태학
디지털 기하학