유니터리 표현

군 표현론에서 유니터리 표현(unitary表現, )은 모든 군 원소의 상이 어떤 복소수 힐베르트 공간 위의 유니터리 작용소를 이루는 군 표현이다.

정의 
위상군 의 유니터리 표현은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 복소수 힐베르트 공간 
 군 준동형 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 는 연속 함수이다. (여기서  위에는 작용소 노름 거리 위상을 부여한다.)

같은 위상군 의 두 유니터리 표현 ,  사이의 유니터리 얽힘 연산자()는 다음 조건을 만족시키는 유니터리 작용소 이다.

두 유니터리 표현 사이에 유니터리 얽힘 연산자가 존재한다면, 서로 유니터리 동치()라고 한다.

성질

제2 페터-바일 정리 
위상군 의 유니터리 표현 이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 부분 복소수 벡터 공간 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 의 작용에 대하여 불변이다. (즉, 임의의 에 대하여 이다.)
그렇다면 와  역시 닫힌 불변 부분 공간이며,

로 분해된다.
증명:
가 불변 공간임을 보이려면, 임의의  및  및 에 대하여,

임을 보이면 족하다. 그런데 유니터리 표현의 정의에 의하여

이다. 특히,  역시 닫힌 불변 부분 공간이다. 이에 따라:
이다.

사실, 다음과 같은 제2 페터-바일 정리가 성립한다.
임의의 콤팩트 위상군 의 유니터리 표현 에 대하여,

가 되는 유한 차원 기약 유니터리 표현들의 족 이 존재한다.
여기서 는 힐베르트 공간의 직합, 즉 (대수적) 직합의 완비화이다.

제1 페터-바일 정리 
콤팩트 위상군  위의 르베그 공간 를 생각하자. 여기서 제곱 적분 가능이란 하르 측도에 따른 것이며, 편의상 로 규격화하자.

의 임의의 유한 차원 유니터리 기약 표현 에 대하여, 에 임의의 기저를 잡아 행렬 성분들  ()을 정의할 수 있다. 페터-바일 정리(Peter-Weyl定理, )에 따르면, 함수들

은 의 정규 직교 기저를 이룬다.

역사 
페터-바일 정리는 프리츠 페터()와 헤르만 바일이 1927년에 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

표현론
위상군
조화해석학