절대평탄환

환론에서 절대평탄환(絶對平坦環, ) 또는 폰 노이만 정칙환(正則環, , 약자 VNR환)은 모든 원소가 ‘가역원에 근접하여’ 모든 가군이 평탄 가군이 되는 환이다.

정의 
(항등원을 갖는) 환  속의 원소 의 약역원(弱逆元, )은 다음 조건을 만족시키는 원소 이다.

만약 가 가역원이라면, 그 약역원은 역원  밖에 없다. 그러나 가역원이 아닌 원소는 여러 개의 약역원들을 가질 수 있다. 특히, 0은 모든 원소를 약역원으로 갖는다. 이 경우,  및 는 멱등원을 이룬다. 가 의 약역원이라도, 가 의 약역원일 필요는 없다. (예를 들어, 임의의 원소는 0의 약역원이지만, 0을 약역원으로 갖는 원소는 0 밖에 없다.)

(항등원을 갖는) 환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 절대평탄환 또는 폰 노이만 정칙환이라고 한다.
 의 모든 왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다.
 의 모든 오른쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다.
 의 모든 원소는 (적어도 하나 이상의) 약역원을 갖는다.
 의 모든 주 왼쪽 아이디얼은 어떤 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 원소 에 대하여, 이며 인 원소 가 존재한다.
 의 모든 주 오른쪽 아이디얼은 어떤 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 원소 에 대하여, 이며 인 원소 가 존재한다.

성질 
가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 절대평탄환이다.
 그 위의 모든 단순 가군이 단사 가군이다.

함의 관계 
절대평탄환인 정역은 체 밖에 없다. 모든 나눗셈환은 절대평탄환이다.

불 대수는 (가환환으로 간주하였을 때) 절대평탄환이다. (이는 불 대수에서 모든 원소가 멱등원이기 때문이다.)

연산에 대한 닫힘 
절대평탄환 와 자연수 에 대하여, 행렬환 은 역시 절대평탄환이다.

역사 
이 개념은 존 폰 노이만이 ‘정칙환’()이라는 이름으로 1936년에 도입하였다. 그러나 그 뒤 ‘정칙환’이라는 용어는 다른 뜻으로 쓰이게 되었으며, 혼동을 피하기 위하여 ‘폰 노이만 정칙환’(, ) 또는 ‘절대평탄환’() 등의 용어로 대체되었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

환론
존 폰 노이만