평탄 주접속

미분기하학에서 평탄 주접속(平坦主接續, )은 곡률이 0인 주접속이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 리 군 
 -매끄러운 주다발 
그렇다면, 의 주접속

에 대하여, 곡률

을 정의할 수 있다. 만약 이라면, 를 의 평탄 주접속이라고 한다.

제르브의 경우 
보다 일반적으로, 이러한 개념은 ∞-주다발/제르브에 대하여 일반화될 수 있다. 편의상, ∞-리 군 대신 그 국소 형태인 L∞-대수를 사용하자. (이는 기본군을 잊어 범피복군을 취하는 것에 해당한다.)

구체적으로, 매끄러운 다양체 과 L∞-대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의  값의 1차 미분 형식의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 단순히 실수 미분 등급 대수의 준동형

이다 (정의역은 의 베유 대수, 공역은 의 미분 형식의 대수).

이 경우, 매끄러운 다양체 위의 -접속은 다음과 같은 가환 그림으로 정의된다.

여기서
 은 1차원 단체에 해당한다. 즉, 은 이며, 은 하나의 0차 생성원 로 생성되는 자유 가환 미분 등급 대수이다.
 는  속의, 로 생성되는 아이디얼이다.
 사상 은 포함 사상이다.
 와 와 는 각각 L∞-대수 의 불변 다항식(으로 생성되는, 모든 미분이 0인 자유 실수 가환 결합 대수) · 베유 대수 · 슈발레-에일렌베르크 대수이며, 은 베유 대수의 추가 생성원들을 0으로 보내는 몫 준동형이다.

이 가환 그림의, 맨 위의 수평 사상은 게이지 불변량을, 가운데의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜을, 맨 아래의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜의 게이지 변환을 각각 나타낸다.

이 가운데, 평탄 -주접속은 모든 게이지 불변량이 0이 되는 경우이다. 즉, 이 경우 (완전열이 아닐 수 있는) 공사슬 복합체

가 존재한다.

성질

평탄 주접속 모듈러스 공간 위의 추가 구조 
만약 밑공간  위에 복소구조나 심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조가 존재한다면, 그 위의 평탄 주접속 모듈러스 공간은 이들 구조를 상속받을 수 있다.

복소구조 
만약 에 복소구조

가 존재한다고 하면,  위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의 를 의 원소로 나타내면,
 

여기서, 우변의 는 의 복소구조다.

심플렉틱 구조 
의 리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식 을 갖춘 가약 리 대수라고 하자. (반단순 리 대수의 경우 이는 킬링 형식 의 스칼라배다.)

만약 에 심플렉틱 구조

가 주어졌다고 하면, 평탄 주접속의 모듈라이 공간  역시 심플렉틱 구조를 가진다.는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다. 구체적으로, 임의의 의 접공간의 원소 가 주어졌다고 하자. 이들을 

로 정의할 수 있다. 평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.

만약 이 켈러 다양체이라면, 는 심플렉틱 구조와 복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히, 이 리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다.

반단순 리 군의 경우 
가 콤팩트 반단순 리 군이라고 하자.
콤팩트 곡면  위의 평탄 -주접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간은 대수학적으로

이다. 여기서 는 의 기본군이고, 은 군 준동형들의 공간이며, 는 동치관계 에 대한 동치류를 취하는 것이다. 예를 들어, 가 아벨 군이면

이다. 여기서 는 의 곡면 종수이다. 반면, 가 콤팩트 반단순 리 군인 경우, 은 복잡한 위상을 가진다.

곡면 의 기본군은 다음과 같이 표시된다.

따라서, 의 한 원소는 의 생성원 의 각 원소의 상을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는 개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에 은 개의 제약을 가하고, 또한 의 켤레 작용  또한 차원을 만큼 축소시키므로, 모듈라이 공간의 차원은

이다. 여기서 는 의 오일러 지표다.

분류 
평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, 이 연결 공간일 경우, 임의의 점 에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 다음과 같은 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.

게이지 변환에 따라서,  위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간

이다. 여기서 의 작용은 다음과 같은 공액류 작용이다.

평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

특히, 만약 가 아벨 군일 경우 이는 단순히 이며, 만약 이 원환면일 경우 이는 이다.

예

단일 연결 공간 
연결 단일 연결 매끄러운 다양체 을 생각하자. 그 위의 -주다발은 (동형 아래) 유일하며, 그 속의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 한원소 공간이다.

특히, 구 의 경우, 이는 (자명한 켈러 다양체 구조를 갖춘) 한원소 공간

이다.

원환면 
원환면 의 경우, 반단순 리 군 에 대하여

이다. 여기서 는 의 카르탕 부분군(최대 아벨 부분군)이며, 는 에 작용하는 바일 군이다.

원환면 위의 U(N''') 및 GL(N;ℂ) 주접속 ====
 위의  주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우, 개의 가환 홀로노미들은 개의 서로 가환하는  유니터리 행렬

을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여

로 놓을 수 있다. 이제

로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군 의 작용)은  위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다.

 대신 의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우  대신

이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다.

==== 원환면 위의 U(N') 및 SL(N'';ℂ) 주접속 
의 경우와 마찬가지로, 의 경우, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 (의 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인,  위의 개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.

특히, 일 때,  위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이 개의 점들은  위의, 차수 의 인자를 정의하며, 이들은  위의, 차수 의 복소수 선다발 의 단면의 사영 동치류와 일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간

이다. 리만-로흐 정리에 의하여, 의 차수가 이므로, 그 차원은

이다. 즉,

이다.

의 경우도 마찬가지지만, 덧셈 아벨 군  대신 곱셈 아벨 군 가 들어가게 된다.

응용 
물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

미분기하학
게이지 이론