단체 리 대수

호모토피 이론에서 단체 리 대수(單體Lie代數, )는 리 대수의 범주 속의 단체 대상이다. 즉, 단체 집합 구조로 주어지며 리 괄호와 호환되는 위상을 갖춘 리 대수이다.

정의 
가환환 가 주어졌다고 하자. -단체 리 대수는 -리 대수의 범주  속의 단체 대상이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 자연수 에 대하여, -리 대수 
  위의 단체 집합 구조 , . 또한, 함수들은 모두 -리 대수 준동형이어야 한다.

성질 
단체 리 대수의 범주에서, -리 대수 → -가군 망각 함자

를 통해, 망각 함자

를 정의할 수 있다. 여기서 는 자연수 등급의 -가군 사슬 복합체의 아벨 범주이며, 마지막 범주의 동치는 돌트-칸 대응이다. 이 망각 함자를

라고 하자.

가 표수 0의 체라고 하자. 그렇다면, 단체 리 대수 에 대하여, 사슬 복합체  위에 다음과 같은 리 괄호를 줄 수 있다.

여기서 첫째 사상은 에일렌베르크-질버 사상이며, 둘째 사상은 성분별로 리 괄호를 취하는 것이다.

그렇다면, 는 -미분 등급 리 대수를 이룬다. 이는 함자

를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자

를 가진다. 구체적으로,

이다. 여기서
 는 자유 리 대수 함자이다.
 는 단체 가군에서 단체 리 대수로 가는, 성분별 자유 리 대수 함자이다.
 는 로 생성되는 단체 리 대수 아이디얼이다.
 여기서 은 에일렌베르크-질버 사상 을 취한 뒤 각 성분별 리 괄호 를 취한 것이다.

모형 범주 구조 
표수 0의 체 에 대하여, 단체 리 대수의 범주  위에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
 올뭉치는 칸 올뭉치(즉, 단체 집합의 모형 범주의 올뭉치)이다.
 약한 동치는 단체 집합의 약한 동치(즉, 기하학적 실현에 대한 약한 호모토피 동치)이다.
또한, 이에 따라 함자 는 퀼런 동치를 이룬다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

호모토피 이론
리 대수