8차원 회전군

리 군론에서 8차원 회전군(八次元回轉群, )은 8차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(8) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 삼중성()이라는 특별한 대칭을 갖는다.

정의 
8차원 회전군은 8차원 실수 계수 직교군 이다. 그 딘킨 도표는

이다. 이 그래프는 중심 밖의 꼭짓점의 순열에 대하여 3차 대칭군  대칭을 갖는데, 이를 삼중성()이라고 한다. 삼중성을 갖는 연결 딘킨 도표는 이것이 유일하다.

그 복소수 리 대수 은 5개의 실수 형태를 갖는다. 이에 대응하는 리 군들은 다음이 있다.

성질

콤팩트 형태 
Spin(8)의 최소 스피너는 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 8차원 벡터 표현과 같은 크기이며, 삼중성은 이 세 표현 위에 작용한다.

Spin(8)의 군의 중심은 클라인 4원군

이며, 이는 유한체  위의 2차원 벡터 공간 의 벡터들의 덧셈군으로 여겨질 수 있다. 이 군의 자기 동형군은

이다. 구체적으로, 는 영벡터가 아닌 세 개의 벡터 (0,1), (1,0), (1,1)을 갖는데, 자기 동형군은 이 위의 순열로서 작용한다.

특수 직교군 에서, 이 중심군은 로 깨지며, 이에 따라 삼중성 역시 깨지게 된다. 이는 스피너가 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.

물론, 모든 중심을 몫군을 취해 없애 사영 특수 직교군 을 취하면, 다시 삼중성이 존재하게 된다. 이는 벡터 표현 또한 사영 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.

분할 형태 
의 군의 중심은 이며, 위상수학적으로 그 호모토피 유형은 이므로, 그 기본군은 이다. 다시 말해, 의 범피복군의 군의 중심은

이다. 그 자기 동형군은 크기 168의 유한 단순군

이며, 삼중성은 그 위에 작용한다.

Spin(4,4)의 최소 스피너는 8차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 삼중성은 이 두 스피너와 8차원 벡터 표현 위에 작용한다.

SO(3,5) 
Spin(3,5)의 최소 스피너는 복소수 8차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 실수 16차원 마요라나 스피너이다.

의 범피복군의 군의 중심은 마찬가지로 이다.

SO(2,6) = SO*(8) 
실수 리 대수 은 과 일치한다. 이에 대응하는 리 군의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 (1,5)차원 민코프스키 공간의 등각군으로 해석될 수 있다.

동형 사상

은 6차원 회전군의 동형 사상

을 확장시킨다.

로런츠 형태 SO(1,7) 
실수 리 대수 은 실수 16차원 마요라나 스피너 및 복소수 8차원 바일 스피너를 갖는다. 이는 6차원 유클리드 공간의 등각군으로 해석될 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

리 군