카시미르 원소

리 대수 이론에서, 카시미르 원소(Casimir元素, )는 리 대수의 보편 포락 대수의 중심의 특별한 원소이다.

정의 
체  위의 리 대수 의 보편 포락 대수 의 환으로서의 중심 를 생각하자. 이는  위의 벡터 공간이다. 물론, 이는 의 표준적인 자연수 등급에 의하여 등급 벡터 공간으로 분해된다.

푸앵카레-버코프-비트 정리에 따라서, 는  변수의 차 불변 다항식들의 공간과 같다.

두 불변 다항식의 곱은 물론 불변 다항식이다. 두 (양의 차수의) 불변 다항식의 곱으로 표현될 수 없는 동차 불변 다항식에 대응하는 의 원소를 의 카시미르 원소라고 한다.

이차 카시미르 원소 
특히, 만약 가 표수 0의 체 위의 단순 리 대수라면, 그 킬링 형식 는 비퇴화 이차 형식이며, 그 역행렬 은  위의 2차 불변 다항식이므로, 카시미르 원소를 이룬다. 이를 의 이차 카시미르 원소()라고 한다.

특히, 만약 가 대수적으로 닫힌 체일 때, 에 대한 정규 직교 기저를 라고 하면, 이차 카시미르 원소는 다음과 같다.

성질

하리시찬드라 동형 
만약 가 (대수적으로 닫힌 체일 필요가 없는) 표수 0의 체 위의 가약 리 대수일 경우, 하리시찬드라 동형()에 의하여, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

여기서 우변은 로 생성되는 대칭 대수의 원소 가운데, 바일 군 의 작용에 대하여 불변인 것들의 부분 공간이다.

라플라스-벨트라미 연산자 
리 군 의 리 대수가 반단순 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 위에서 킬링 형식 는 준 리만 계량을 정의하며, 2차 카시미르 불변량은 이 준 리만 다양체 의 라플라스-벨트라미 연산자 와 같다.

예 
표수 0의 체  위의 (양의 정부호) 3차원 직교 리 대수 를 생각하자. 그 기저는 다음과 같이 잡을 수 있다.

그렇다면, 이차 카시미르 원소

을 정의할 수 있다. 이는 대각 행렬이므로, 보편 포락 대수의 중심에 속함을 알 수 있다.

양자역학에서, 는 세 직교 방향에 대한 각운동량에 해당하며, 이차 카시미르 원소 는 각운동량의 크기의 절댓값의 제곱의 기댓값이다. (이는 물론 각운동량의 크기의 절댓값의 기댓값의 제곱과 다르다.) 총 각운동량 양자수의 스칼라 값을 이라고 할 때, 이는 에 해당한다. 여기서 사용한 3차원 정의(定義) 표현은 스핀 에 해당하므로, 가 된다.

역사 
헨드릭 카시미르가 양자 강체 동역학에 대한 1931년 박사 학위 논문에서 의 이차 카시미르 불변량을 최초로 사용하였다.

하리시찬드라 동형은 하리시찬드라 메로트라가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

리 대수