4차원 회전군

리 군론에서 4차원 회전군(四次元回轉群, )은 4차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(4) 또는 이와 관련된 군들을 말한다.

정의 
4차원 특수 직교군  및 이를 2겹 몫군으로 갖는 스핀 군 이 있다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준
 (4차원 로런츠 군)

및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

이 군에 대응하는 딘킨 도표는

이다. 딘킨 도표가 연결 그래프가 아닌 것은 이 군이 반단순 리 군이지만 단순 리 군이 아니기 때문이다.

이들은 다음과 같이 대응된다.
{| class=wikitable
! 킬링 형식의 부호수 !! 실수 기반 기호 !! 복소수 · 사원수 기반 기호 !! 군의 중심 !! 기본군 !! 비고
|-
| rowspan=3 | (0,4)
| Spin(4) ||  ||  || 0 || 단일 연결 콤팩트 형태
|-
| SO(4) ||  ||  ||  ||
|-
| PSO(4) ||  || 0 || 0 || 무중심 콤팩트 형태
|-
| rowspan=3 | (4,2)
| Spin(2,2) ||  ||  || 0 || 단일 연결 분할 형태
|-
| SO⁺(2,2) ||  ||  ||  ||
|-
| PSO⁺(2,2) ||  || 0 ||  무중심 분할 형태 ||
|-
| rowspan=2 | (3,3)
| Spin(1,3) ||  ||  || 0 || 단일 연결 로런츠 군
|-
| SO⁺(1,3) ||  || 0 ||  || 무중심 로런츠 군
|-
| (2,4)
| SO*(4) || — ||  ||  ||
|}

성질

콤팩트 형태 
Spin(4)의 최소 스피너는 복소수 2차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

에 해당한다.

마찬가지로, 의 4차원 실수 정의(定義) 표현은 의 쌍벡터 표현

에 해당한다.

부호수 (4,0)에서, 2차 미분 형식의 호지 쌍대는 대합을 이루며, 따라서 2차원 반대칭 텐서(2차 미분 형식)에 대하여 호지 쌍대에 대한 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 있다. 이들은 의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

4차원 유클리드 공간을 사원수의 공간

으로 생각하자. 그 위에는 양의 정부호 쌍선형 형식

가 주어져 있다. 여기서 우변의 는 사원수의 켤레이다.

사원수 공간 위에는 사원수 대수가 양쪽에서 다음과 같이 작용한다.

즉, 이는  위의, 가역 사원수의 리 군 의 2차 직접곱

의 표현을 정의한다. 이는 일반적으로 쌍선형 형식 을 보존하지 않지만, 노름 1의 순허수 사원수로 구성된 부분군

은 이 쌍선형 형식을 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

를 정의하며, 그 핵은 다음과 같은 2차 순환군이다.

분할 형태 
Spin(2,2)은 (1,1)차원 민코프스키 공간의 (대역적) 등각군이다. (국소적 등각군은 비트 대수로 주어진다.) 의 최소 스피너는 실수 2차원의 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

에 해당한다.

부호수 (2,2)에서도, 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 대합을 이루어, 자기 (반)쌍대 조건을 정의할 수 있다. 이들은 마찬가지로 의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

이 군의 중심은 크기 4의 아벨 군

이다. 이는 에서

에 해당하며, 에서 이 중심 부분군은 몫군

에 해당한다. 중심에 대한 몫군은

이다.

구체적으로, 실수 2×2 행렬의 공간  위에, 행렬식

은 실수 이차 형식을 이루며, 이에 대응하는 실수 쌍선형 형식

을 계산할 수 있다. 이는 부호수 (2,2)를 가지며, 그 정규 직교 기저는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 기저 벡터
| 
| 
| 
| 
|-
! 노름
| +1 || −1 || +1 || −1
|}

 위에는 가 다음과 같이 작용한다.

이는 일반적으로 쌍선형 형식 을 보존하지 않으나, 그  부분군은 이를 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

을 정의한다. 이는 전사 함수이며, 그 핵은 2차 순환군

이다.

로런츠 형태 

은 2차원 유클리드 공간의 (대역적) 등각군이다. 즉, 이는 사실 리만 구의 자기 동형군(뫼비우스 변환들의 군)

이다.

의 최소 스피너는 복소수 2차원의 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 의 정의 표현  및 그 복소수 켤레 에 대응한다. 의 4차원 실수 정의 표현 는 의 표현

에 대응한다.

이 부호수에서, 호지 쌍대는 2차 미분 형식의 대합이 되지 못한다. 즉, 2차 미분 형식 에 대하여

이다. 이에 따라 2차 미분 형식의 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 없다. 이는 이 두 군의 직접곱으로 분해되지 못하여, 그 딸림표현이 기약 표현이기 때문이다.

구체적으로, 다음과 같은 꼴의 2×2 행렬들의 4차원 실수 벡터 공간을 생각하자.

 위에는 다음과 같은 실수 쌍선형 형식이 존재한다.

이 쌍선형 형식의 부호수는 (3,1)이며, 이에 대한 정규 직교 기저는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 기저 벡터
| 
| 
| 
| 
|-
! 노름
| +1 || +1 || +1 || −1
|}
즉, 를 민코프스키 공간 으로 여길 수 있다.

이 위에는 다음과 같은 꼴의 의 작용이 존재한다.

이 작용은 위의 쌍선형 형식을 보존하며, 따라서 군 준동형

을 정의한다. 그 핵은 물론

이다.

SO*(4) 
SO(4)는 SO*(4)라는 또다른 실수 형식을 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 군 준동형들을 생각하자.

여기서 첫째 화살표는 자명한 부분군 관계이며, 둘째 화살표 는 2겹 몫군 관계이다. 여기에 다음과 같은 실수 조건을 가할 수 있다.

즉, SO*(4)는 이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다.

다시 말해, 이는 (5,1)차원 민코프스키 공간의 4차원 (왼쪽 또는 오른쪽) 바일 스피너의 실수 선형 변환 가운데, (5,1)차원 로런츠 변환에 속하는 것들이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

리 군
특수 상대성이론
4차원 기하학
사원수