클리퍼드 다발

미분기하학에서 클리퍼드 다발(Clifford다발, )은 각 올이 클리퍼드 대수의 구조를 갖는 벡터 다발이다.

정의 
위상 공간  위의 벡터 다발 이 주어졌다고 하자. 또한, 대칭 다발

의 연속 단면

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 에 대하여, 벡터 공간 와 이차 형식 로부터 실수 클리퍼드 대수 를 정의할 수 있다. 이를 올로 하는,  위의 벡터 다발

을 자연스럽게 정의할 수 있으며, 이를 클리퍼드 다발이라고 한다.

만약 미분기하학을 전개하려면, 가 매끄러운 다양체이며, 가 매끄러운 벡터 다발이며, 가 매끄러운 단면인 경우를 생각하여 매끄러운 클리퍼드 다발을 정의할 수 있다.

클리퍼드 다발 접속 
매끄러운 클리퍼드 다발  위의 코쥘 접속 가 다음과 같은 곱 규칙을 만족시킨다면, 클리퍼드 다발 접속이라고 한다.

즉, 코쥘 접속이 클리퍼드 대수의 연산과 호환되어야 한다.

예

리만 다양체 
준 리만 다양체 가 주어졌을 때, 그 접다발 의 올 위에는 자연스러운 이차 형식 이 존재하며, 마찬가지로 공변접다발 의 올 위에는 이차 형식 가 존재한다. 이에 따라, 클리퍼드 다발

과

를 정의할 수 있다. 리만 계량에 따라 사실 표준적인 벡터 다발 동형

이 존재하므로, 이 두 클리퍼드 다발은 사실 동형이다.

이는 직교군의 클리퍼드 대수 위의 표현을 통해, 직교 틀다발 의 연관 벡터 다발로도 구성될 수 있다.

이 경우, 레비치비타 접속을  위로 자연스럽게 확장할 수 있으며, 이는 클리퍼드 대수 구조와 호환된다. 만약  위에 스핀 구조 또는 스핀C 구조가 주어졌을 때, 스피너 다발 은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

일반화 기하학 
매끄러운 다양체  위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 가 주어졌다고 하자. 그렇다면  위에는 자연스러운 이차 형식

이 주어지며, 이에 따라 클리퍼드 다발 을 정의할 수 있다.

이 경우, 은  위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

참고 문헌

외부 링크 
 

미분기하학
벡터 다발
클리퍼드 대수