반단순 가군

환론에서 반단순 가군(半單純加群, )은 단순 가군들의 직합으로 분해되는 가군이다.

정의 
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 왼쪽 반단순 가군이라고 한다.
 왼쪽 단순 가군들의 직합으로 나타낼 수 있다. 즉, 가 되는 단순 가군의 집합 이 존재한다.
 의 모든 단순 부분 가군들의 합이다. 즉, 의 단순 부분 가군들이 일 때, 로 정의한다면, 이다. (여기서 은 의 원소의 합이다.)
 임의의 부분 가군 에 대하여, 인 왼쪽 가군 가 존재한다.
 이다. 여기서 는 가군의 주각이다.
오른쪽 반단순 가군도 마찬가지로 정의된다.

성질 
반단순 가군의 부분 가군과 몫가군 역시 반단순 가군이다.

반단순 가군들의 직합 역시 반단순 가군이다.

환  위의 반단순 가군 의 자기준동형환 은 폰 노이만 정칙환이다 (따라서 반원시환이다).

반단순환 위의 모든 가군은 반단순 가군이다.

예 
나눗셈환  위의 모든 가군은 반단순 가군이다. (이는 나눗셈환은 반단순환이기 때문이다.) 이 경우, 단순 가군은 나눗셈환  스스로이며, 모든 자유 가군은 의 직합과 동형이다. 특히, 체 위의 모든 벡터 공간은 반단순 가군이다.

정수환  위의 가군은 아벨 군이며, 정수환 위의 단순 가군은 (아벨 군인 단순군이므로) 소수 크기의 순환군 이다. 따라서, 정수환 위의 반단순 가군은 소수 크기의 순환군들의 직합이다.

외부 링크 
 
 
 

가군론