스펙트럼 정리

선형대수학과 함수해석학에서 스펙트럼 정리(spectrum定理, )는 선형작용소들을 그 고윳값 및 고윳값의 일반화인 스펙트럼으로 나타내는 일련의 정리들이다.

행렬에 대한 스펙트럼 정리 
이  에르미트 행렬(정규 행렬만 되어도 충분하다.)이라고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 의 고유벡터들로 구성된, 의 정규 직교 기저가 존재한다. 다시 말해, 는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

여기서 는 유니터리 행렬이며, 은 (중복도를 고려한) 의 고윳값들이다.

마찬가지로, 실수 대칭행렬 이 주어졌을 때, 스펙트럼 정리에 따라

로 적을 수 있다. 여기서 는 직교행렬이며, 은 (중복도를 고려한) 의 고윳값들이다.

콤팩트 작용소에 대한 스펙트럼 정리 
힐베르트 공간  위에 콤팩트 자기 수반 작용소 가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 의 고유벡터들로 구성된, 의 정규 직교 기저가 존재하며, 모든 고윳값들은 실수이다.

일반적 작용소에 대한 스펙트럼 정리 
힐베르트 공간  위에 부분적으로 정의된 자기 수반 작용소

가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 다음 조건을 만족시키는 측도 공간  및 가측 함수  및 유니터리 작용소

가 존재한다 (, ).

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

선형대수학
행렬론
선형대수학 정리
함수해석학
함수해석학 정리