A∞-오퍼라드

오퍼라드 이론에서 A∞-오퍼라드()는 호모토피를 무시한다면 결합 법칙이 성립하는 대수들을 나타내는 오퍼라드이다.

정의 
위상 공간 위에 작용하는 오퍼라드 에 대하여, 만약 이 (이산 공간의 위상을 준) 대칭군 과 호모토피 동치이며, 또한  위의 대칭군 의 작용이 군 위의 스스로의 작용과 같다면, 를 A∞-오퍼라드라고 한다.

A∞-대수 
A∞-오퍼라드를 벡터 공간의 모노이드 범주 위에 표현하면, A∞-대수를 얻는다. A∞-대수 는 다음과 같이 정수 등급을 갖는 벡터 공간이며,

다음과 같은 무한한 수의 연산들을 갖는다. 모든 에 대하여, 항 겹선형 연산

이 존재한다.

이들은 다음과 같은 무한한 수의 항등식들을 만족시킨다. 모든 에 대하여 다음이 성립한다.

처음 몇 개의 항등식은 다음과 같다. 여기서 , 으로 쓰자.
 (공경계의 멱영성) 
 (곱 규칙) 
 (호모토피 결합 법칙) 
 
 
따라서, 는 공사슬 복합체를 이룬다.

두 A∞-대수 ,  사이의 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 에 대하여, 차수 인 겹선형 사상 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든 에 대하여,

구체적으로, 처음 몇 에 대하여 이 조건은 다음과 같다.

A∞-대수 의 코호몰로지 를 취하자. 그렇다면,  위에도 자연스러운 A∞-대수의 구조가 존재하며, 이 경우 이 된다.

예 
결합 오퍼라드는 인 오퍼라드이다. 즉, 결합 법칙이 (호모토피를 무시하지 않아도) 정확하게 성립하는 대수를 나타낸다.

작은 구간 오퍼라드()의 경우, 은 단위 구간  속에 존재하는 개의 서로소 열린 구간들의 공간이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

호모토피 이론
대수
대수적 위상수학