측지선 완비 준 리만 다양체

리만 기하학에서 측지선 완비 준 리만 다양체(測地線完備準Riemann多樣體, )는 그 측지선들이 중간에 임의로 끊기지 않는 준 리만 다양체이다.

정의 
가 준 리만 다양체라고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, 를 측지선 완비 준 리만 다양체라고 한다.
임의의  및 에 대하여, 이며 이며 모든 에 대하여 인 측지선 이 존재한다.
즉, 측지선 완비 준 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 준 리만 다양체이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 리만 다양체이지만, 유클리드 공간의 (전체 공간이 아닌) 열린집합은 측지선 완비 리만 다양체가 아니다.

준 리만 다양체  및 임의의 점 가 주어졌을 때, 초기 속도에 측지선을 대응시키는 지수 사상

을 정의할 수 있다. 물론, 정의역 는 의 근방을 포함한다. 측지선 완비성은 위 지수 사상이  전체에 정의될 수 있음을 뜻한다.

리만 다양체  속의 점 의 단사성 반지름(單射性半-, )은 가 단사 함수가 되는 들의 상한이다. (물론 이 개념은 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체에 대하여 무의미하다.)

확장 불가능성 
준 리만 다양체 가 다음 조건을 만족시킨다면, 확장 불가능 준 리만 다양체(擴張不可能準Riemann多樣體, )라고 한다.
임의의 연결 성분 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 연결 준 리만 다양체  및 등거리 매장 이 존재하지 않는다.
는 의 열린집합이다.
이다.

성질 
임의의 준 리만 다양체에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
측지선 완비 ⇒ 확장 불가능 ⇐ 모든 연결 성분이 콤팩트 ⇐ 콤팩트

리만 다양체의 경우, 호프-리노프 정리(Hopf-Rinow定理, )에 따르면 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 측지선 완비 준 리만 다양체이다.
 모든 연결 성분이 완비 거리 공간이다.
 (하이네-보렐 정리) 각 연결 성분 속에서, 모든 유계 닫힌집합이 콤팩트 집합이다.
여기서, 임의의 연결 리만 다양체 위에는 표준적인 거리 함수를 줄 수 있는데, 위의 "완비 거리 공간" 및 "유계 집합"은 이 거리 함수에 대한 것이다.

그러나 호프-리노프 정리는 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체의 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 클리프턴-폴 원환면은 그 반례이다.

다만, 콤팩트 로런츠 다양체의 리만 곡률이 어디서나 0이라면, 이는 항상 측지선 완비 다양체이다.

예 
호프-리노프 정리를 만족시키지 않는 로런츠 다양체의 대표적인 예는 클리프턴-폴 원환면(Clifton-Pohl圓環面, )이다. 이는 콤팩트 공간이지만, 확장 불가능 다양체가 아니다.

원점을 제거한 평면  위에 다음과 같은 로런츠 계량을 주자.

이를 클리프턴-폴 평면(Clifton-Pohl平面, )이라고 한다.
그렇다면, 다음과 같은 변환들은  위의 등거리 변환이다.

이제, 로 생성되는 이산 부분군을 생각하자. 이에 대한 몫공간

은 원환면 과 미분 동형이며, 특히 콤팩트 공간이다. 을 클리프턴-폴 원환면이라고 한다.

은 콤팩트 로런츠 다양체이지만, 이는 측지선 완비 다양체가 되지 못한다. 예를 들어, 측지선

은 에서 정의되지 않는다. 마찬가지로, 측지선

역시 에서 정의되지 않는다.

사실, 다음과 같은 좌표 변환을 가하자.

그렇다면, 클리프턴-폴 평면의 계량은 다음과 같다.

이는 자연스럽게

위에 정의된다. 즉, 단사 등거리 변환

이 존재하며, 그 상은

이다. 을 확장 클리프턴-폴 평면(擴張Clifton-Pohl平面, )이라고 하며, 이는 과 달리 측지선 완비 다양체이다. 그러나 의 경우 을 정의하는 데 사용되었던 자기 등거리 변환이 존재하지 않는다.

역사 
호프-리노프 정리는 하인츠 호프와 빌리 루트비히 아우구스트 리노프(, 1907~1979)가 1931년에 증명하였다.

클리프턴-폴 원환면은 1962년에 이턴 클리프턴()과 윌리엄 폴()이 발견하였으나, 출판하지 않았다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

다양체
리만 기하학