유사 거리 공간

기하학에서 유사 거리 공간(類似距離空間, )은 임의의 두 점 사이의 거리를 잴 수 있지만, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 0이 될 수 있는 기하학적 공간이다. 유사 거리 공간 가운데, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 양수인 것을 거리 공간이라고 한다.

정의 
집합  위의 확장 유사 거리 함수(擴張類似距離函數, )는 다음 조건을 만족시키는 함수

이다.
 임의의 에 대하여, 
 (대칭성) 임의의 에 대하여, 
 (삼각 부등식) 임의의 에 대하여, 
둘째·셋째 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체될 수 있다.
 (삼각 부등식) 
여기서 로 잡으면 가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 만약 의 공역을 음이 아닌 확장된 실수  대신 음이 아닌 실수 로 대체할 경우, 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.

만약 (확장) 유사 거리 함수 가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, (확장) 거리 함수라 한다.
 (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 에 대하여, 

(확장) 유사 거리 공간() 은 (확장) 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.

유사 거리 공간의 특별한 집합 

확장 유사 거리 공간 에서, 점 를 중심으로 하는, 반지름이 인 열린 공 는 다음과 같다.

유사 거리 공간 의 유계 집합 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.
 인 점 가 존재한다.

거리 위상 
확장 유사 거리 공간 의 유사 거리 위상(類似距離位相, )은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 유사 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 이다.
모든 에 대하여, 인 가 존재한다.
이에 따라 모든 확장 유사 거리 공간은 표준적으로 위상 공간을 이룬다. 그러나 거리 공간의 경우와 달리 이는 콜모고로프 공간이 되지 않을 수 있다.

연산

지름 
확장 유사 거리 공간 의 지름() 는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

마찬가지로, 유사 거리 공간의 부분 집합은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 확장 유사 거리 공간을 유계 유사 거리 공간 이라고 한다.

거리화 
유사 거리 공간  위에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.

그렇다면, 이에 대한 몫집합  위에 다음과 같은 거리 함수가 존재한다.

이에 따라 은 거리 공간을 이룬다.

성질 
유사 거리 공간 의 임의의 부분 집합 에 대하여, 는 유사 거리 공간을 이룬다.

위상수학적 성질 

모든 유사 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
 파라콤팩트 공간이다.
 완전 정규 공간이다.
 제1 가산 공간이다.

함의 관계 
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간

예 
불 대수  위의 유한 유한 가법 측도 가 주어졌을 때,  위에는 다음과 같은 자연스러운 유사 거리 함수가 존재한다.

여기서 은 대칭차이다.

함수해석학에서, Lp 거리 공간 은 어떤 함수 공간 의 거리 공간화로 정의되며, 는 유사 거리 공간이지만 일반적으로 거리 공간이 아니다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

계량기하학
위상 공간의 성질