유계 함수

실해석학에서 유계 함수(有界函數, )는 그 치역이 유계 집합인 함수이다.

정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 위상 공간 
 체 
 -위상 벡터 공간 
 연속 함수

유계 함수 
의 치역이 유계 집합이라면, 를 유계 함수라고 한다. 즉, 의 임의의 근방 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 수 가 존재하여야 한다.

유계 함수가 아닌 함수를 무계 함수(無界函數, )라고 한다. 유계 연속 함수 의 벡터 공간을 로 표기하며, 이 위에는 균등 수렴 위상을 부여한다.

콤팩트 지지 함수 
가 추가로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자.
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 콤팩트 지지 연속 함수()라고 한다.
 인 콤팩트 집합 가 존재한다. (여기서 는 영벡터 상수 함수이다.)
 지지 집합 이 콤팩트 집합이다. (여기서 은 폐포를 뜻한다.)
콤팩트 지지 연속 함수 들의 집합을 로 표기하자.

무한에서 0이 되는 함수 
가 추가로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자.
만약 가 다음 조건을 만족시킨다면, 무한에서 0이 되는 연속 함수()라고 한다.
 의 임의의 근방 에 대하여, 이 되는 콤팩트 집합 가 존재한다. (여기서 은 치역을 의미한다.)
무한에서 0이 되는 연속 함수 들의 집합을 로 표기하자. 만약 가 노름 공간이라면, 에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.

만약 가 바나흐 공간이라면,  역시 바나흐 공간이다.

성질 
가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 때, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

여기서 는 모든 연속 함수 들의 공간이다.
만약 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 하이네-보렐 정리에 의하여 이 네 함수 공간들은 모두 다 일치한다.

또한, 모든 유계 변동 함수는 유계 함수이다.

노름 
가 노름 공간이라고 하면,  위에 균등 노름

을 정의할 수 있다. 만약 가 추가로 바나흐 공간이라면,  역시 바나흐 공간이다. 또한,  역시 균등 노름에 의하여 바나흐 공간을 이룬다. 는 노름 공간이지만 일반적으로 바나흐 공간이 아니며, 그 완비화는 이다.

리스 표현 정리 

리스 표현 정리에 따르면, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여,  및 의 위상 쌍대 공간인 바나흐 공간은  위의 측정 측도들의 바나흐 공간과 동형이다.

예 
다음 함수들은 정의역과 공역이 모두 (표준적 거리 함수를 갖춘) 실수 집합 이라고 가정한다.

함수 는 치역이  전체이므로 유계 함수가 아니다. 반면, 함수 는 치역이 구간 이므로 유계 함수이다.

마찬가지로, 삼각함수  와  또한 치역이 닫힌구간  이므로 유계함수이다. 그러나 는 치역이 실수 전체이므로 유계함수가 아니다.

유리수 집합의 지시 함수

(디리클레 함수라고 한다)는 연속 함수가 아니지만 치역이 이므로 유계 함수이다.

정규 분포 확률 밀도 함수

는 무한에서 0이 되는 매끄러운 함수이지만, 콤팩트 지지 함수가 아니다.

함수

는 콤팩트 지지 매끄러운 함수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

실해석학
함수해석학
복소해석학
함수의 종류