완비 범주

범주론에서 완비 범주(完備範疇, )는 집합 크기의 모든 극한들을 갖는 범주이다.

정의 
범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 완비 범주라고 한다.
 (작은 극한의 존재) 임의의 작은 범주  및 함자 에 대하여, 는 극한 를 갖는다.
 다음 두 조건이 성립한다.
 (동등자의 존재) 임의의 두 사상 에 대하여, 동등자 가 존재한다.
 (작은 곱의 존재) 임의의 의 대상들의 집합 에 대하여, 곱 가 존재한다.

범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 쌍대 완비 범주(雙對完備範疇, )라고 한다.
 (작은 쌍대극한의 존재) 임의의 작은 범주  및 함자 에 대하여, 는 쌍대극한 를 갖는다.
 다음 두 조건이 성립한다.
 (쌍대동등자의 존재) 임의의 두 사상 에 대하여, 쌍대동등자 가 존재한다.
 (작은 쌍대곱의 존재) 임의의 의 대상들의 집합 에 대하여, 쌍대곱 가 존재한다.

범주 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 유한 완비 범주라고 한다.
 (작은 극한의 존재) 유한 개의 대상 및 유한 개의 사상을 갖는 범주  및 함자 에 대하여, 는 극한 를 갖는다.
 다음 두 조건이 성립한다.
 (동등자의 존재) 임의의 두 사상 에 대하여, 동등자 가 존재한다.
 (유한 곱의 존재) 임의의 의 대상들의 유한 집합 에 대하여, 곱 가 존재한다.
 다음 두 조건이 성립한다.
 (당김의 존재) 임의의 에 대하여, 당김 가 존재한다.
 (끝 대상의 존재) 끝 대상 가 존재한다.
 다음 세 조건이 성립한다.
 (동등자의 존재) 임의의 두 사상 에 대하여, 동등자 가 존재한다.
 (이항 곱의 존재) 임의의 의 두 대상 에 대하여, 곱 가 존재한다.
 (끝 대상의 존재) 끝 대상 가 존재한다.

성질 
작은 범주에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 완비 범주이다.
 쌍대완비 범주이다.
 유한 완비 범주이다.
 유한 쌍대완비 범주이다.
또한, 작은 완비 범주는 항상 얇은 범주이다. 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 0개 아니면 1개이다.

모든 아벨 범주는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대완비 범주이다.

예 
대수 구조 다양체의 범주는 모두 완비 범주이자 쌍대완비 범주이다. 예를 들어, 다음 범주들은 완비 범주이자 쌍대완비 범주이다.
 집합과 함수의 범주 
 군의 범주 
 아벨 군의 범주 
 환의 범주 
 가환환의 범주 
 환 에 대하여,  위의 왼쪽 가군들의 범주 

작은 범주들의 범주  역시 완비 범주이자 쌍대완비 범주이다.

부분 순서 집합 를 얇은 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.
 는 완비 범주이다.
 는 완비 격자이다.

군 를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.
 는 완비 범주이다.
 는 자명군이다.

완비 범주가 아닌 범주 
체의 범주는 유한 완비 범주가 아니며, 유한 쌍대완비 범주도 아니다. 체의 범주에서는 일반적으로 곱이나 쌍대곱이 존재하지 않는다.

모든 순서수들의 얇은 범주는 쌍대완비 범주이지만, 끝 대상이 없으므로 완비 범주가 아니다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

범주론