균등 유계성 원리

함수해석학에서 균등 유계성 원리(均等有界性原理, ) 또는 바나흐-스테인하우스 정리(Banach-Steinhaus定理, )는 바나흐 공간 위의 일련의 유계 작용소들에 대하여, 점별 유계성이 균등 유계성과 동치라는 정리이다.

정의 
실수 바나흐 공간  및 실수 노름 공간  사이에 일련의 유계 작용소들 가 존재한다고 하자. 그렇다면, 균등 유계성 원리에 따르면 다음 두 조건들이 서로 동치이다.
 (점별 유계성) 모든 에 대하여, 
 (균등 유계성) 
여기서 는 작용소 노름이다.

균등 유계성 원리로부터 다음과 같은 따름정리를 쉽게 증명할 수 있다.
 바나흐 공간  및 노름 공간  사이의 유계 작용소들의 열 이 선형 변환 로 점별 수렴한다면, 는 유계 작용소이다.

증명 
바나흐 공간에 대한 균등 유계성 정리는 베르 범주 정리를 사용해 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.
베르 범주 정리를 사용한 증명:
균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 점별 유계성을 가정하자.

모든 에 대하여

를 정의하자. 이는 닫힌집합이다.

이므로, 베르 범주 정리에 따라서 다음 조건을 만족시키는  및 , 가 존재한다.

그렇다면 임의의  () 및 에 대하여

이다. 따라서

이며, 즉 점별 유계성은 균등 유계성을 함의한다.

이 밖에도, 앨런 소칼은 베르 범주 정리를 사용하지 않는 다음과 같은 증명을 제시하였다.
베르 범주 정리를 사용하지 않는 증명:
균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 균등 유계성이 성립하지 않는다고 하자.

그렇다면,

인 작용소 열 를 고를 수 있다. 이제,

인 벡터 열 를 고르자. 이는 코시 열이므로, 로 수렴한다. 그렇다면

이므로

이다. 따라서 는 점별 유계가 아니다.

역사 
스테판 바나흐와 후고 스테인하우스가 1927년에 증명하였다. 한스 한 또한 같은 정리를 독자적으로 발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

함수해석학
함수해석학 정리