비라소로 대수

리 군론과 이론물리학에서 비라소로 대수(Virasoro代數, )는 원의 미분 동형 자기 동형군의 리 대수의 (유일하게 자명하지 않은) 중심 확대인 무한 차원 리 대수이다. 물리학에서, 2차원 등각 장론의 대칭으로 사용된다.

정의

대수적 구성 
비라소로 대수 는  ()과 로 인하여 생성되는 복소수 리 대수이며, 다음과 같은 리 괄호를 가진다.

중심 원소 가 0인 대수를 비트 대수() 라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적 형태로 볼 수 있다.

이에 따라, 복소수 리 대수의 짧은 완전열

이 존재한다.

비라소로 대수는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. (이는 복소수 벡터 공간 위의 반선형() 사상이다.)

이는 을 원 위의 벡터장

으로 간주하여 유도한 것이다. 그렇다면, 이에 대한 고정점

을 생각하자. 이는 실수 리 대수

를 생성하며, 마찬가지로 실수 리 대수의 짧은 완전열

을 구성한다. 정의에 따라 자연스러운 포함 관계

가 존재한다.

원을 통한 리 대수의 구성 
1차원 매끄러운 다양체인 원  위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수

를 생각하자. 이는 실수 프레셰 공간이다. 그 속에는 푸리에 급수로 인하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

이는 다음과 같은 리 대수 코호몰로지 2차 공사슬을 갖는다.

이를 겔판트-푹스 공사슬()이라고 한다. 이에 대한 중심 확장

을 생각할 수 있다.  역시 프레셰 공간이다.

 속에서, 과 로 생성되는 부분 리 대수를 비라소로 대수라고 한다.

원을 통한 리 군의 구성 
1차원 매끄러운 다양체인 원 을 생각하자. 그 (매끄러운) 자기 미분 동형 사상들의 군

을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이룬다. 이는 두 개의 연결 성분을 가지는데, 만약 원에 임의의 방향을 부여하여 유향 다양체로 만든다면, 한 연결 성분은 방향을 보존하지만, 다른 한 연결 성분은 방향을 뒤집는다. 물론, 항등 함수는 전자에 속한다. 그 연결 부분군을 이라고 하자.

이 경우, 그 실수 리 대수를 취할 수 있으며, 이는 실수 프레셰 공간이 된다. 구체적으로, 이는 원 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수 이다.

프레셰 리 군 은 특별한 1차원 중심 확대를 가지며, 기하학적으로 이는 리 군의 U(1) 주다발을 이룬다. 이는 다음과 같이 구성된다.

우선, 르베그 복소수 힐베르트 공간

을 생각하자. 여기서 동형 사상은 푸리에 급수에 의한 것이다. 이 가운데, 다음과 같은 부분 복소수 힐베르트 공간을 생각할 수 있다.

(여기서 은 자연수의 집합이다.) 즉, 이는 각각 음이 운동량 성분을 갖지 않는 파동 함수와 음의 운동량만을 갖는 파동 함수의 부분 공간들이다.

이제, 은  위에 다음과 같은 유니터리 표현을 갖는다.

그렇다면, 이제 다음과 같은 유니터리 작용소들의 부분 공간을 정의할 수 있다.

여기서
 는  힐베르트-슈미트 작용소들의 공간이다.
이제, 를 어떤 양자장론의 위상 공간으로 삼고, 를 그 심플렉틱 구조로 삼자. 그렇다면, 기하학적 양자화에 따라, 다음과 같은 페르미온 포크 공간을 얻는다.

여기서
 은 내적 공간을 힐베르트 공간으로 만드는 완비화이다.
 는 의 복소켤레 이다.
 는 외대수이다.
기하학적 양자화에 따라, 자연스럽게 유계 작용소로의 표현

가 존재한다. (는  유계 작용소의 공간이다.) 이에 따라서,  위의 유니터리 작용소 가 다음과 같이  위에 로 표현될 수 있는지를 따질 수 있다.

이 경우, 위 조건을 만족시키는 가 존재할 필요 충분 조건은 인 것이다. 이러한 는 노름 1의 복소수 스칼라 곱셈을 무시하면 유일하다. 따라서, 이와 같은 유니터리 연산자의 공간

을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열

을 이룬다.

이제, 단사 군 준동형

을 통해  속에 부분군

을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열

을 이룬다. 이 짧은 완전열의 모든 항들은 프레셰 다양체이다.

이에 대한 실수 리 대수의 짧은 완전열을 취할 수 있다.

이 짧은 완전열의 각 항은 프레셰 공간이다.

특히, 복소수 리 대수  속에 다음과 같은 부분 집합

으로 생성되는 (대수적) 부분 리 대수

를 비라소로 대수라고 한다. 는 비라소로 대수의 (프레셰 공간으로의) 완비화이며, 는 그 실수 형태에 대응되는 프레셰 리 군이다.

성질

유니터리 표현 
비라소로 대수의 복소수 힐베르트 공간  위의 표현

가운데, 만약 다음이 성립한다면, 이를 비라소로 대수의 유니터리 표현이라고 한다.

비라소로 대수의 유니터리 표현은 모두 기약 표현들의 직합으로 분해된다.

비라소로 대수의 아벨 부분 리 대수

를 생각하자. 각 기약 표현 에서

이게 되며, 반대로 주어진 두 실수 에 대응되는 기약 유니터리 표현은 (동형 아래) 유일하다. 주어진 에 대응되는 기약 표현은 베르마 가군의 몫으로 구성될 수 있다.

비라소로 대수의 기약 유니터리 표현들의 목록은 다음과 같다.
 인 경우, 모든 에 대한 표현 가 존재한다.
 인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다.
 
 
 
 
 
의 경우는 2차원 등각 장론의 일종인 최소 모형의 구성에 등장한다. 함수 는 다음과 같은 대칭을 가진다.

특히, 인 경우 이며, 이는 2차원 등각 장론의 진공 또는 대칭류()에 해당한다. (2차원 등각 장론은 두 개의 비라소로 대수 대칭을 갖는데, 진공의 경우 가 둘 다 0이지만, 대칭류의 경우 둘 가운데 하나만이 0이다.) 인 경우는 이며, 이는 1차원 자명한 표현에 해당한다.

비라소로 대수의 모든 기약 유니터리 표현은 을 제외하면 무한 차원 표현이다. (인 자명한 표현은 물론 1차원이다.)

복소수 비라소로 군의 부재 
비라소로 대수의 실수 형태 의 실수 프레셰 공간으로의 완비화는 어떤 프레셰 리 군의 리 대수이다. 그러나 이 리 군은 복소화될 수 없으며, 복소수 비트 대수와 복소수 비라소로 대수는 복소수 리 군의 리 대수가 될 수 없다.

리 지수 사상의 비(非)전사성 
비트 대수의 지수 사상

을 생각하자. 이는 존재하지만, 프레셰 다양체 에서 항등 함수의 임의의 근방에서, 의 치역에 포함되지 않는 원소가 존재한다.

역사 
엘리 카르탕이 1909년에 비트 대수를 발견하였고, 에른스트 비트가 이를 유한체의 경우에 대하여 1930년대에 연구하였다.

비트 대수의 중심 확장은 리처드 얼 블록()과 이즈라일 겔판트, 드미트리 푹스() (1968)가 발견하였다.

아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로()가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다. 이후 그 중심 확장은 와이스 ()가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

등각 장론
리 대수
미분기하학
수리물리학