내부곱

미분기하학에서 내부곱(內部곱, )은 벡터장과 미분 형식 사이에 정의되는, 일종의  대수적 미분 연산이다. 기호는  또는 .

정의 
매끄러운 다양체  위의 내부곱

은 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다. (는 간혹 로 표기되기도 한다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.)

공리적 정의 
 위의 내부곱

은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 연산이다.
 (차수 −1) 벡터장  및 동차 미분 형식 에 대하여, 
 (곱 규칙) 벡터장 에 대하여, 는 외대수 위의 미분 등급 대수를 이룬다. 즉, 임의의  및 에 대하여, 다음이 성립한다.

 (1차 미분 형식의 경우) 1차 미분 형식에 대하여 내부곱은 단순히 벡터장과의 축약이다. 즉, 임의의 벡터장 와 1차 미분 형식 에 대하여, 다음이 성립한다.

구체적 정의 
 위의 내부곱

은 임의의 차 미분 형식 에 대하여 다음과 같이 정의되는 연산이다.

성질 
임의의 미분 형식  및 두 벡터장 에 대하여, 다음이 성립한다.

특히,

이다.

리 미분과의 관계 
카르탕 마법 공식(Cartan魔法公式, )에 따르면, 임의의 벡터장 와 미분 형식 에 대하여 다음이 성립한다.

여기서 은 리 미분이다.

또한, 임의의 두 벡터장  및 미분 형식 에 대하여, 다음이 성립한다.

역사 
내부곱의 개념과 용어()는 헤르만 그라스만이 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

다중선형대수학
미분 형식