일반화 리만 다양체

미분기하학에서 일반화 리만 다양체(一般化Riemann多樣體, )는 리만 계량과 2차 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체이다.

정의 
일반화 리만 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다.

미분 형식을 통한 정의 
일반화 리만 다양체 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 리만 다양체 
 2차 미분 형식

일반화 접다발을 통한 정의 
매끄러운 다양체  위의 일반화 접다발은 다음과 같은 차원 매끄러운 벡터 다발이다.

즉, 접다발과 공변접다발의 직합이다. 그 위에는 자연스러운 쌍선형 형식
 
이 존재하며, 그 부호수는 이다. 이에 따라 자연스러운 벡터 다발 동형 사상

이 존재한다.

 위의 일반화 리만 계량

은 다음 조건들을 만족시키는 벡터 다발 사상이다.
 (자기 수반) 이다. 즉, 이다.
 (직교성) 는 벡터 다발의 동형 사상이며, 이다.
 (정부호성) 는 양의 정부호이다.

두 정의 사이의 관계 
이 두 정의는 서로 동치이다.

일반화 접다발  위의 일반화 리만 계량 가 주어졌다면, 이므로 그 고윳값은 ±1이다. 즉, 는 고유 공간

로 분해되며, 이들은 서로 직교이다.

이 부분 공간 는 어떤 벡터 다발 사상 의 그래프로 해석할 수 있다. 이 벡터 다발 사상은 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해하여

로 쓸 수 있으며, 이는 각각 리만 계량과 2차 미분 형식에 해당한다. 마찬가지로, 는 의 그래프가 된다.

예 
모든 켈러 다양체는 (심플렉틱 형식과 리만 계량을 사용하여) 자연스럽게 일반화 리만 다양체를 이룬다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

미분기하학