코호몰로지 환

대수적 위상수학에서 위상 공간 의 코호몰로지 환은 환 곱셈 역할을 하는 합곱과 함께 의 코호몰로지 군에서 형성된 환이다. 여기서 '코호몰로지'는 일반적으로 특이 코호몰로지로 이해되지만 환 구조는 드 람 코호몰로지와 같은 다른 이론에도 존재한다. 그것은 또한 함자적이다: 공간의 연속 사상에 대해 코호몰로지 환에서 반변인 환 준동형사상을 얻는다.

구체적으로, 계수가 가환 환 (일반적으로 )인  상의 코호몰로지 군 들의 열이 주어지면 다음과 같은 형태로 합곱을 정의할 수 있다:

 

합곱은 코호몰로지 군들의 직합

 

에 곱셈으로 볼 수 있다. 이 곱셈은 를 환으로 바꾼다. 사실, 음이 아닌 정수 가 차수 역할을 하는 -등급 환이다. 합곱은 이 등급을 준수한다.

코호몰로지 환은 합곱이 등급에 의해 결정된 부호까지 교환한다는 의미에서 등급-가환적이다. 구체적으로, 와  차의 순수 원소에 대해;

 

코호몰로지 환에서 파생된 수치적 불변량은 합곱 길이이며, 이는 곱했을 때 0이 아닌 결과가 나오는 차수 ≥ 1인 등급 원소의 최대 수를 의미한다. 예를 들어 복소 사영 공간의 합곱 길이는 복소 차원과 같다.

예 

  어디 .
  어디 .
  어디 .
  어디 .
  어디 .
  어디 .
 퀴네트 공식에 의해,  개의 들의 데카르트 곱의 mod 2 코호몰로지 환은 계수가 의 원소인 변수의 다항식 환이다..
 쐐기 합의 축소된 코호몰로지 환은 그들의 축소된 코호몰로지 환의 직곱이다.
 서스펜션의 코호몰로지 환은 0차인 부분을 제외하고 사라진다.

같이 보기 
 양자 코호몰로지

참조 

 

호몰로지 이론