아인슈타인 반경

아인슈타인 반경(Einstein radius)은 아인슈타인 고리의 반경이다. 중력렌즈를 일반화하여 설명할 때 유용하게 사용되는 개념이다.

이하 유도에서 우리는 렌즈 역할을 하는 천체 의 모든 질량 이 은하 중심에 한 점으로 집중되어 있다고 가정한다.

광원 은하의 실제 위치와 천구상에서의 위치 사이의 각거리 는 그 크기가 매우 작으며, 는 다음과 같이 나타낼 수 있다(슈바르츠실트 계량 참조).

이때
 는 충돌경수(광원의 빛이 지나가는 경로 중 렌즈 질량중심에서 가장 가까운 지점까지의 거리)
 는 중력상수
 는 광속이다.

위 그림의 모든 각도들이 매우 작고 단위가 라디안일 때 렌즈 역할을 하는 천체까지의 거리 과 천구상에서 렌즈 역할을 하는 천체와 광원 천체 사이의 겉보기 각거리 은 다음 관계를 갖는다.

 

그리고 를 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.
   (식 1)

렌즈 역할 천체와 광원 천체의 실제 위치 사이의 각거리를 로 잡으면

이것을 다시 쓰면
   (식 2)

(식 1)과 (식 2)가 같다고 한 뒤 식을 정리하면

렌즈 너머의 광원이 관찰자-렌즈와 일직선상에 있을 때, 즉 일 때  값을 아인슈타인 반경이라고 하며, 기호는 이다. 위 식에 을 대입하여 에 대하여 풀면

결국

이므로 이것을 에 대한 2차방정식 으로 생각하면

이면  로 광원 천체가 렌즈 천체 주위의 고리 모양으로 보이며, 이것을 아인슈타인 고리라고 한다. 아인슈타인 고리의 반경은 아인슈타인 반경과 같다.

이면 광원 천체는 렌즈 천체 주위에 아인슈타인 반경보다 큰 반경의 호가 하나, 아인슈타인 반경보다 작은 반경의 호가 하나의 모습으로 보이게 된다.

같이 보기 
 아인슈타인 고리

참고 자료 

  (The first paper to propose rings)
  (The famous Einstein Ring paper)
 

반경
중력렌즈