르레 스펙트럼 열

층 이론에서, 르레 스펙트럼 열(Leray spectrum列, )은 층 코호몰로지를 그 직상의 층 코호몰로지로부터 계산하는 스펙트럼 열이다. 세르 스펙트럼 열(Serre spectrum列, )은 세르 올뭉치에 대한, 층 코호몰로지가 단순히 특이 코호몰로지가 되는, 르레 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

정의 
르레 스펙트럼 열()은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.

여기서 는 위상 공간 사이의 연속 함수 에 의하여 유도되는 층의 직상이며, 는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 로의 직상)이다. 층의 직상 은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상

을 가지므로, 직상 은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

르레 스펙트럼 열은 구체적으로 다음과 같다.

여기서 은 층 코호몰로지이다. 이를 사용하여  위의 층 코호몰로지를  위의 층 코호몰로지로서 계산할 수 있다.

세르 스펙트럼 열 
르레 스펙트럼 열의 특수한 경우로, 가 올이 인 세르 올뭉치라고 하고, 가  위의, 아벨 군  값의 상수층이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
 는 경로 연결 CW 복합체이다.
 기본군 는  위에 자명하게 작용한다.
그렇다면

가 된다. 즉, 는 올의 코호몰로지 값의 상수층이다. 따라서, 르레 스펙트럼 열은 다음과 같다.

여기서 는 특이 코호몰로지이다. 이를 세르 스펙트럼 열()이라고 한다.

예

고리 공간 
양의 정수 이 주어졌다고 하자. 임의로 밑점이 부여된 초구 에 대하여, 경로 공간 올뭉치

를 생각하자. (인 경우, 0차원 초구는 경로 연결 공간이 아니므로 이는 올뭉치를 이루지 않는다.) 여기서 는 고리 공간이며, 는 밑점에서 시작하는 (그러나 임의의 점에서 끝날 수 있는) 경로들의 공간이다.

이 경우, 호몰로지 세르 스펙트럼 열은 다음과 같다.

은 경로 연결 공간이므로, 일 경우

이다. 특히, 모든 쪽에서 0이 아닐 수 있는 유일한 열은  및  밖에 없다.

경로 공간은 (밑점에서의 상수 함수로) 축약 가능 공간이므로,

이다. 따라서, 둘째 쪽에 있는  성분이 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 성분이 0이 아닌 열은  및 밖에 없으므로, 는 오직 번째 쪽에서만 상쇄될 수 있다. 번째 쪽에서

이므로, 은 과 상쇄되어야 한다. 즉,

이다. 따라서

이다.

그런데 이제  역시 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 마찬가지로, 이 성분이 상쇄될 수 있는 유일한 쪽은 번째 쪽이며, 이는 과 상쇄되어야 한다. 따라서

이며

이다. 이 논리를 계속해서 반복하면 고리 공간의 호몰로지를 다음과 같이 계산할 수 있다.

귀진 완전열 

올이 초구인 세르 올뭉치

가 주어졌을 때, 그 세르 스펙트럼 열 은 오직 인 행에서만 성분을 가지며, 따라서 이는 번째 쪽에서 퇴화한다. 이를 통해 의 코호몰로지와 의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열을 적을 수 있는데, 이를 귀진 완전열이라고 한다.

역사 
1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

호몰로지 대수학
층론
대수적 위상수학
연속 함수