큰 기수

집합론에서 큰 기수(큰基數, )는 집합론의 표준적인 공리계(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)로는 그 존재를 증명할 수 없는 매우 큰 기수이다.

정의 
큰 기수 공리는 명확히 정의되지 않는 용어이나, 대개 다음과 같은 성질을 만족시키는 공리 를 큰 기수 공리로 여긴다.
 는 "어떤 성질 를 만족시키는 기수가 존재한다"의 꼴이다.
 
 즉, 만약 ZFC가 일관적이라면, ZFC + "를 만족시키는 기수의 부재" 역시 일관적이다.
 
 ZFC + "를 만족시키는 기수의 존재"는 ZFC의 일관성을 증명한다.
큰 기수는 큰 기수 공리에 의해 그 존재가 요구되는 기수이다.

성질 
큰 기수 공리들은 대체로 무모순성 세기에 대하여 전순서를 이루는 것으로 보인다. 즉, 두 큰 기수 공리 , 에 대하여, 다음 가운데 하나가 성립한다.
 
 
 
이는 메타정리가 아니며, 단지 경험적인 관찰에 불과하다. 휴 우딘은 만약 오메가 추측()이 성립한다면 이 현상이 설명된다는 것을 보였다.

무모순성의 전순서는 기수의 크기의 전순서와 대체로 일치하나, 일반적으로 다르다. 예를 들어, 거대 기수()의 존재는 무모순성 세기에 따라서 초콤팩트 기수()의 존재보다 더 강력하나, 만약 거대 기수와 초콤팩트 기수가 둘 다 존재한다면, 가장 작은 거대 기수는 가장 작은 초콤팩트 기수보다 더 작다.

예 
증가하는 무모순성 순서로 정렬한, 대표적인 큰 기수 공리들의 목록은 다음과 같다.
 도달 불가능한 기수
 말로 기수
 반사 기수()
 약콤팩트 기수
 형언 불가능한 기수()
 에르되시 기수()
 램지 기수()
 가측 기수
 강기수()
 우딘 기수()
 초강기수()
 강콤팩트 기수
 초콤팩트 기수
 보펜카 기수()
 공리 I3
 공리 I2
 공리 I1
 공리 I0

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

 
집합론 공리