디리클레 함수

수학에서 디리클레 함수()는 실수 집합 위에 정의된 유리수 지시 함수이다.

정의 
디리클레 함수 는 다음과 같다.

여기서 는 계승, 는 코사인, 와 는 각각 유리수와 무리수의 집합이다. 위 정의에 따라, 디리클레 함수 는 베르 2급 함수이다. 두 가지 정의가 같음은 다음과 같이 보일 수 있다.

만약 라면, 인 를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 에 대하여, 이므로, 이다. 따라서,

이다.

만약 라면, 임의의 에 대하여 이므로, 이다. 따라서,

이다.

성질

주기성 
디리클레 함수 는 모든 유리수를 주기로 갖는 주기 함수이며, 이에 따라 최소 양의 주기가 없다.

임의의  및 에 대하여, 임을 보이면 된다. 만약 라면, 이므로,

이다. 만약 라면, 이므로,

이다.

이제, 귀류법을 사용하여, 가 의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그렇다면,  역시 의 양의 주기이며, 이다. 이는 이 최소 양의 주기인 것과 모순이다.

연속성 
디리클레 함수 는 모든 점에서 불연속이다. 이는 임의의 에 대하여,

이기 때문이다.

임의의 에 대하여, 로 수렴하는 유리수 수열 과 무리수 수열 을 취할 수 있다. 그렇다면

이다.

적분 
디리클레 함수 는 모든 점에서 불연속이므로, 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 불가능이다. 구체적으로, 그 상적분과 하적분은 각각 다음과 같다.

그러나 디리클레 함수는 단순 함수이므로, 르베그 적분 가능하며, 그 르베그 적분은

이다.

임의의 닫힌구간  및 임의의 분할

에 대하여, 각 소구간 은 유리수와 무리수를 원소로 포함하므로,

이다. 따라서 에 대한 리만 상합과 리만 하합은

이며, 그 상적분과 하적분은

이다.

유리수의 집합 는 가산 집합이므로, 실수선  위의 보렐 집합이며, 특히 르베그 가측 집합이다. 따라서 는 단순 함수이며, 특히 가측 함수이다. 그 르베그 적분은

이다. 이에 따라 는 르베그 적분 가능하다.

역사 
독일의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레가 1829년에 제시하였다.

같이 보기 
 토메 함수

각주

외부 링크 
 
 

특수 함수
실해석학