고리 공간

호모토피 이론에서 고리 공간(-空間, )은 어떤 공간 위에 존재하는, 밑점을 보존하는 고리들의 공간이다. 축소 현수의 오른쪽 수반 함자이다.

정의 
점을 가진 공간  위의 고리 공간은 콤팩트-열린집합 위상을 가한, 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간 이며, 로 쓴다.

위상 공간  위의 자유 고리 공간()은 콤팩트-열린집합 위상을 가한 연속 함수들의 공간 이며, 로 쓴다.

고리군 

위상군 는 항등원 을 통해 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 위의 고리 공간  및 자유 고리 공간 는 다음과 같이 자연스럽게 위상군을 이룬다.

이를 각각 고리군() 및 자유 고리군()이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 군 준동형

이 존재하며, 그 핵은 고리군이다.

유한 에너지 고리의 힐베르트 다양체 
이 (유한 차원) 리만 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 고리 공간 위에 일종의 다양체 구조를 주는 것을 생각할 수 있다.

구체적으로,  위의 고리

가운데, 일종의 소볼레프 공간 에 속하는 것들을 생각하자. 즉,

인 것들을 생각하자. 다시 말해, 이는 유한 에너지 고리들의 공간이다.

그렇다면, 이는 힐베르트 다양체(국소적으로 실수 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간) 을 이룬다. 국소적으로 이는 실수 힐베르트 공간

과 동형이다.

또한, 표준적으로

가 된다.

소볼레프 매장 정리()에 의하여, 모든  함수 동치류는 연속 대표원을 갖는다. 즉, 이 공간은 연속 고리들로 구성된 것으로 간주할 수 있으며, 또한 모든 연속 고리들의 공간과 호모토피 동치이다.

매끄러운 고리들의 프레셰 다양체 
이 (유한 차원) 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 매끄러운 함수

들의 공간 에는 프레셰 다양체 구조를 줄 수 있다. 이는 국소적으로 프레셰 공간

과 동형이다.

성질

위상수학 
고리 공간의 호모토피 군은 다음과 같다.

특히, 고리 공간의 기본군은 항상 아벨 군이며, 단일 연결 공간의 고리 공간은 항상 경로 연결 공간이다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해, 임의의 점을 가진 공간 , 에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군의 동형이 존재한다.

여기서 는 의 축소 현수이며, 는 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다.

또한 다음과 같은 자연스러운 전단사 함수가 존재하지만 이는 동형 사상은 아니다.

고리 공간의 임의의 두 원소가 주어지면, 고리를 이어붙이는 이항 연산

이 존재한다. 이는 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, "호모토피 아래" 결합 법칙을 따른다. 이 연산으로써 고리 공간은 A∞-공간을 이룬다.

미분기하학 
유한 차원 매끄러운 다양체  위의 매끄러운 자유 고리 공간 을 생각하자. 이 위에는 원군 U(1)이 자연스럽게 다음과 같이 작용한다.

이는 벡터장

을 정의하며, 따라서 미분 형식 위에는 표준적으로 내부곱

이 존재한다.

고리 공간 위에는 천 미분 형식() 또는 반복 적분()이라는 특별한 미분 형식들이 존재한다. 구체적으로, 유한 차원 매끄러운 다양체  위의 미분 형식

일 때, 천 미분 형식

을 정의할 수 있다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

여기서
 에 대하여, 값매김 사상 은 이다. 은 이에 대한, 미분 형식의 당김이다.
 은 차원 단체  위의 적분이다.
특히, 만약 한 1차 미분 형식 만이 주어졌을 때, 이는 함수

에 해당한다.

천 미분 형식은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있다. 구체적으로, 천 미분 형식의 쐐기곱은 다음과 같다.

여기서
 은 셔플 순열의 집합이다. 즉, 의 순열 가운데 이며 인 것이다.
 는 순열의 홀짝성이다.

천 미분 형식의 외미분은 다음과 같다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 기본군
 아핀 리 대수
 현수 (위상수학)

위상 공간
호모토피 이론