가군의 근기

환론에서, 가군의 근기(根基, )는 모든 극대 부분 가군에 포함되는 가장 큰 부분 가군이다. 반대로, 가군의 주각(柱脚, )은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 부분 가군이다.

환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 제이컵슨 근기(Jacobson根基, )라고 한다. 이는 대략 단순 가군으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 아이디얼이다.

정의 
환  위의 왼쪽 가군 이 주어졌다고 하자. 의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 극대 부분 가군이라고 하자. (즉, 극대 부분 가군 은 이 단순 가군이 되는 것이다.) 마찬가지로, 의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소(즉, 부분 가군 가운데 단순 가군인 것)를 극소 부분 가군()이라고 하자.

환  위의  왼쪽 가군 이 주어졌을 때, 그 특별한 부분 가군인 근기(根基, ) 와 주각(柱脚, ) 을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다.

왼쪽 가군 의 모든 극대 부분 가군들의 교집합은  의 잉여적 부분 가군들의 합과 일치하며, 이를 의 근기 라고 한다. (만약 극대 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 과 같다.) 왼쪽 가군 의 모든 극소 부분 가군들의 합은 의 본질적 부분 가군들의 교집합과 일치하며, 이를 의  주각 이라고 한다. (만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.) 오른쪽 가군의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.

환의 근기와 주각 
환 를 스스로 위의 왼쪽 가군  또는 오른쪽 가군 으로 생각할 수 있다. 이 경우, 와 의 근기 및 주각을 생각할 수 있다.

와 의 근기는 의 동일한 부분 집합을 정의한다.

이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며, 의 제이컵슨 근기()라고 한다.

근기의 경우와 달리, 일반적으로 (=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과 (=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를 의 왼쪽 주각() 및 오른쪽 주각()이라고 한다.

성질 
임의의 -가군 준동형 에 대하여, 다음이 성립한다.

모든 유한 생성 가군은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 가지므로, 영가군이 아닌 가군 의 경우 이다.

가군의 (유한 또는 무한) 직합

에 대하여, 다음이 성립한다.

모든 왼쪽 가군 에 대하여, 다음이 성립한다.

환·가군 성질의 필요충분조건 
왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 반단순 가군이다.
 이다.

환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 반단순환이다.
 이다.
 이다.
 모든 왼쪽 가군 에 대하여 이다.
 모든 오른쪽 가군 에 대하여 이다.

환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 반원시환이다.
 이다.

아이디얼성 
제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼이다. 모든 환은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼을 가지므로, 자명환이 아닌 환 의 경우 이다.

환 의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 양쪽 아이디얼이다.

나카야마 보조정리 
환  위의 왼쪽 가군 이 주어졌다고 하자. 는 아이디얼이므로,

는 의 부분 가군을 이룬다. 나카야마 보조정리()에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다.
 은  유한 생성 왼쪽 가군이 아니다.
 이다.
 이다.
증명:
이 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
 (생성 집합) 
 (극소성) 임의의 에 대하여, 
이 영가군이 아니므로 이다.

귀류법을 사용하여, 이라고 가정하자. 그렇다면,

가 되는  및 가 존재한다. 제이컵슨 근기의 성질에 의하여, 모든 에 대하여 는 가역원이다. 따라서,

가 되며, 이는 의 극소성과 모순된다.

제이컵슨 근기의 원소의 성질 
환 의 원소 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 이다.
 임의의 왼쪽 단순 가군 에 대하여, 이다.
 임의의 오른쪽 단순 가군 에 대하여, 이다.
 모든 왼쪽 극대 아이디얼 에 대하여, 
 모든 오른쪽 극대 아이디얼 에 대하여, 
 모든 에 대하여, 는 가역원이다.
 모든 에 대하여, 는 가역원이다.
 모든 에 대하여, 는 가역원이다.
즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자들의 교집합이다. (이는 가환환의 영근기가 모든 소 아이디얼들의 교집합인 것과 유사하다.)

가환환 의 제이컵슨 근기는 영근기를 부분 아이디얼로 갖는다.

만약 가환환 가 정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수라면, 제이컵슨 근기는 영근기와 같다.

예

환의 근기와 주각 
체 는 영 아이디얼와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다.

보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환 의 근기는 영 아이디얼이다.

국소환 의 근기는 (극대 아이디얼이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼 이다.

정수환의 몫환 의 극대 아이디얼들은 의 소인수들의 주 아이디얼이다. 따라서, 의 소인수 분해가

라면, 의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 영근기와 같으며, 만약 이 제곱 인수가 없는 정수라면 이는 영 아이디얼과 같다.

아벨 군의 근기와 주각 
아벨 군은 정수환  위의 가군과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.

순환군 
무한 순환군 은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수 에 대하여 의 꼴이다. 따라서, 근기와 주각 둘 다 자명군이다.

임의의 자연수 의 소인수 분해

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기

를 정의할 수 있다. 차 순환군 의 극소 부분군은 의 소인수  크기의 순환군 이며, 극대 부분군은  크기의 순환군 에 대응한다. 따라서, 이 경우

이다.

나눗셈군 
나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.

프뤼퍼 군의 부분군들은

이므로, 그 유일한 극소 부분군은 이며, 이는 그 주각과 같다.

역사 
환의 주각의 개념은 장 디외도네가 1942년에 도입하였다.

제이컵슨 근기의 개념은 네이선 제이컵슨이 1945년에 도입하였다.

나카야마 보조정리는 나카야마 다다시가 1951년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 영근기
 소근기
 반원시환

환론
가군론
아이디얼