양자 코호몰로지

대수기하학과 심플렉틱 기하학에서 양자 코호몰로지(量子cohomology, )는 코호몰로지 환의 q-변형이다. 양자 코호몰로지의 곱은 그로모프-위튼 불변량으로부터 정의된다.

정의 
이 콤팩트 켈러 다양체라고 하자.

노비코프 환 
격자 의 기저 를 의 각 2차원 부분 다양체에 대응하게 잡자.

의 노비코프 환()

은 다음과 같은 생성원들로 생성되는 정수 계수 가환 형식적 멱급수환이다.
 각 에 대하여, . 이들의 등급은 이다.
임의의

에 대하여,

로 쓰자.  대신 로 쓰기도 한다.

만약 이 칼라비-야우 다양체인 경우 이므로 노비코프 환의 모든 원소들은 등급이 0이다.

작은 양자 코호몰로지 
 위의 작은 양자 코호몰로지() 는 아벨 군으로서 다음과 같다.

이 위의 곱

은 코호몰로지의 합곱 과 다르며, 다음과 같이 그로모프-위튼 불변량으로 정의된다.

이는 결합 법칙 및 등급 가환 법칙을 만족시키며, 등급을 덧셈법으로 보존한다.

 위의 작은 양자 코호몰로지의 짝수 차수 성분 에서, 0의 (충분히 작은) 근방

은 프로베니우스 다양체의 구조를 가진다. 이 경우 작은 양자 코호몰로지 곱 은 의 접다발  위의 접속을 이룬다. 작은 양자 코호몰로지 곱의 가환 법칙은 비틀림이 0임을, 결합 법칙은 리만 곡률이 0임을 뜻한다.

큰 양자 코호몰로지 
임의의 에 대하여, 다음과 같은 큰 양자 코호몰로지 곱을 정의하자.

그렇다면, 를 큰 양자 코호몰로지()라고 한다. 작은 양자 코호몰로지는 종수 0의 그로모프-위튼 불변량 가운데 일부만을 포함하지만, 큰 양자 코호몰로지는 모든 종수 0 그로모프-위튼 불변량을 포함한다.

예 
복소수 사영 공간 은 푸비니-슈투디 계량을 부여하면 콤팩트 켈러 다양체를 이룬다. 이 경우, (고전적) 코호몰로지는

이다.

이므로, 양자 코호몰로지에는 한 개의 추가 생성원 가 존재하며,

이므로

이다. 구체적으로, 작은 양자 코호몰로지는 다음과 같다.

이다. 이면 양자 코호몰로지가 고전적 코호몰로지로 수렴하는 것을 알 수 있다.

응용 
양자 코호몰로지는 위상 끈 이론에서 2차원  시그마 모형의 A-모형 위상 뒤틂의 손지기환으로 등장하며, A-모형과 B-모형 사이의 거울 대칭에 핵심적인 역할을 한다.

참고 문헌 
 
 
 
 

대수기하학
심플렉틱 위상수학
끈 이론
호몰로지 이론