직교 여원 격자

순서론에서 직교 여원 격자(直交餘元格子, )는 불 대수와 유사한 여원 연산을 갖는 유계 격자이다. 그러나 불 대수와 달리 분배 격자일 필요가 없으며, 심지어 모듈러 격자도 아닐 수 있다.

정의

순서 반대 보존성의 동치 조건 
유계 격자  위의 함수 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 (순서 반대 보존) 임의의 에 대하여, 라면 
 (드 모르간 법칙 1) 임의의 에 대하여, 
 (드 모르간 법칙 2) 임의의 에 대하여, 
증명:
순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 1: 임의의 에 대하여,

이므로

이다. 따라서, 상한의 정의에 따라

이다.

순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 2: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

드 모르간 법칙 1 ⇒ 순서 반대 보존: 임의의 에 대하여, 라고 하자. 그렇다면,

이므로

이다. 따라서

이다.

드 모르간 법칙 2 ⇒ 순서 반대 보존: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

직교 여원 격자 
유계 격자  위의 직교 여원(直交餘元, ) 은 다음 네 조건들을 만족시키는 함수이다.
 (대합) 임의의 에 대하여, 
 (순서 반대 보존) 임의의 에 대하여, 라면 
 (배중률) 임의의 에 대하여, 
 (비모순율) 임의의 에 대하여, 

직교 여원 격자()는 직교 여원이 부여된 격자이다. 이들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 직교여원 격자 사이의 직교 여원 격자 사상() 은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.
 격자 사상이다. 즉, 임의의 에 대하여 이며, 이다.
 임의의 에 대하여 이다.
이 경우, 임의의 에 대하여

이므로 이는 자동적으로 유계 격자 사상이 된다.

가환성 
직교 여원 격자 에서, 두 원소 가 다음 조건을 만족시키면 가 와 가환한다()고 한다.

이는 로 표기한다.

가환 관계는 일반적으로 대칭 관계가 아니다. 즉, 이라면일 필요는 없다.

직교 여원 격자 의 두 원소 에 대하여, 라면 이다.

직교모듈러 격자 

직교 여원 격자 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 직교모듈러 격자()라고 한다.
 임의의 에 대하여, 이라면 이다 (즉, 이다).
 임의의 에 대하여, 이다.
 가환 관계는 대칭 관계이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이라면 이다.
 임의의 에 대하여, 이라면 이다.
 임의의 에 대하여, 이자 이라면 이다.
 임의의 에 대하여, 라면 이다.
 육각형 격자를 부분 격자로 갖지 않는다.
여기서 육각형 격자()는 다음과 같은 유계 격자이다.

성질

함의 관계 
모든 불 대수는 직교 여원 격자이다.

직교여원 격자가 분배 격자일 필요는 없다.

직교 여원 격자 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 불 대수이다.
 분배 격자이다.
 임의의 원소 에 대하여, 이며 인 가 유일하게 존재한다. (이는 물론 이다.)
 (엘칸 법칙 ) 임의의 에 대하여, 

모든 모듈러 직교 여원 격자는 직교모듈러 격자이지만, (이름과 달리) 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유일성 
주어진 격자 위에 직교 여원이 유일할 필요는 없다. 다만, 분배 격자 위의 직교 여원은 만약 존재한다면 유일하다.
증명:
분배 격자 의 원소 에 대하여

라고 하자. 그렇다면

이다. 따라서

이다. 마찬가지로 임을 보일 수 있으며, 따라서 이다.
직교 여원을 갖는 분배 격자를 불 대수라고 한다.

범주론적 성질 
직교 여원 격자와 직교 여원 격자 준동형의 구체적 범주 는 대수 구조 다양체의 범주이므로 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 자유 대상이 존재한다.

예

양자 논리 

힐베르트 공간 의 부분 벡터 공간들은 포함 관계에 대하여 유계 격자를 이룬다. 이 경우, 직교여원

을 정의하면, 이는 직교모듈러 격자를 이룬다. "직교 여원"이라는 용어는 이에서 비롯하였다. 이 사실은 양자 논리에서 중요한 역할을 한다.

대합환 
가 대합환이라고 하자. 그렇다면,

로 놓으면, 은 직교모듈러 격자를 이룬다. 또한, 이 경우

이다. 즉, 환으로서의 가환성 개념이 직교 여원 격자로서의 가환성 개념과 일치한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

격자 이론