에일렌베르크-매클레인 공간

대수적 위상수학에서 에일렌베르크-매클레인 공간(-空間, )은 주어진 특정 차수의 호모토피 군을 제외하고 다른 호모토피 군이 모두 자명군인 위상 공간이다.

정의 
군  및 양의 정수 에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 은 다음과 같은 호모토피 군을 갖는 위상 공간이다.

만약 이라면, 는 아벨 군이어야만 한다. 이러한 성질을 갖는 공간은 항상 존재하며, 항상 CW 복합체로 잡을 수 있으며, 약한 호모토피 동치를 무시하면 유일하다.

주어진 아벨 군 에 대하여, 고리 공간 함자 을 통해

을 정의할 수 있다. 이는 스펙트럼을 이루며, 에일린베르크-매클레인 스펙트럼이라고 한다. 이는  계수의 코호몰로지를 나타내는 스펙트럼이다.

구성 
임의의 군  및 양의 정수 이 주어졌으며, 만약 이라면 가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면
는 다음과 같이 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.

CW 복합체를 통한 구성 
을 이루는 CW 복합체를 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, 차원 초구들의 쐐기합의 차 호모토피 군은 일 경우 자유군이고, 일 경우 자유 아벨 군이다.

군 의 표시

를 임의로 고르자. 여기서 는 일 경우 집합  위의 자유군이며 일 경우 집합  위의 자유 아벨 군이다. 그렇다면, 차원 초구들의 쐐기합

을 생각하자. 각 에 대하여, 에 대응하는 사상

을 고르자. 이 사상을 따라, 차원 세포들을 붙여 CW 복합체 을 만들 수 있다. 그렇다면

이다. 그러나 은 자명하지 않은 고차 호모토피 군을 가질 수 있다.

이를 차례로 다음과 같이 없앨 수 있다.
 의 생성원들을 골라, 그 수만큼 차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 라고 하자.
 의 생성원들을 골라, 그 수만큼 차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 라고 하자.
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이와 같이 계속하여 모든 에 대하여 을 정의한 뒤, 그 귀납적 극한

을 취하자. 그렇다면 은 을 이룬다.

분류 공간을 통한 구성 
군 에 이산 위상을 주자. 그렇다면, 분류 공간 는 1차 에일렌베르크-매클레인 공간

을 이룬다.  이러한 분류 공간은 다음과 같이 단체 복합체로 구성할 수 있다. 우선, 가 다음과 같은 무한 차원 단체 복합체라고 하자.
 의 차원 단체의 집합은 이다.
 은 각 에 대하여 면 과 붙여져 있다.
이는 축약 가능 공간이다.  위에는 다음과 같은 의 작용이 존재한다.

이에 따라 몫공간 를 정의할 수 있다. 정의에 따라 이는 이며 고차 호모토피 군을 갖지 않는다.

마찬가지로 고차 에일렌베르크-매클레인 공간도 유사한 방법으로 정의할 수 있다.

성질 
다음이 성립한다.

여기서 는  위의 고리 공간()이다.

에크먼-힐튼 쌍대성() 및 브라운 표현 정리에 따라, 코호몰로지는 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼에 의하여 표현된다.

특히,

이다.
 첫 등식은 이 무한 순환군의 분류 공간 이므로, -주다발은 1차 코호몰로지류에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, 에 대응하는 코호몰로지류는 의 유일한 1차 코호몰로지류의 당김이다.
 둘째 등식은 이 원군의 분류 공간 이므로, U(1)-주다발 (복소수 선다발)은 2차 코호몰로지류 (천 특성류)에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, 에 대응하는 코호몰로지류는 의 2차 코호몰로지 의 생성원의 당김이다.

예 
대표적인 에일렌베르크-매클레인 공간으로는 다음이 있다.

유한 차수 원소를 갖는 군 에 대하여, 은 유한 차원 CW 복합체가 될 수 없다.

역사 
사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 도입하였다.

같이 보기 
 포스트니코프 탑
 무어 공간 (대수적 위상수학)

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

호모토피 이론