기약 공간

대수기하학과 일반위상수학에서 기약 공간(旣約空間, ) 또는 초연결 공간(超連結空間, )은 대수다양체의 자리스키 위상과 같이, 두 닫힌 진부분 집합의 합집합으로 나타낼 수 없는 위상 공간이다.

정의 
위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 기약 공간이라고 한다.
 닫힌집합 에 대하여, 만약 이라면, 이거나 이다.
 임의의 두 열린집합 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.
 모든 열린집합은 공집합이거나 아니면 조밀 집합이다.
 닫힌집합 의 내부가 이라면, 이다.

기약 스킴(旣約scheme, )은 (자리스키) 위상 공간으로서 기약 공간인 스킴이다.

위상 공간 의 기약 성분(旣約成分, )은 포함 관계에 대하여 극대인 기약 부분 공간이다.

성질 
모든 기약 공간은 연결 공간이며, 국소 연결 공간이다. (그러나 경로 연결 공간이거나 국소 경로 연결 공간일 필요는 없다.)

두 개 이상의 점을 갖는 기약 공간은 하우스도르프 공간이 아니다. 따라서, 하우스도르프 공간의 기약 성분들은 한 점만을 갖는 부분 집합들이다.

기약 공간의 연속 함수에 대한 상은 기약 공간이다. 따라서, 기약 공간에서 하우스도르프 공간으로 가는 연속 함수는 상수 함수밖에 없다.

예 
모든 대수다양체(즉, 기약 대수 집합)는 (자리스키 위상을 주었을 때) 정의에 따라 기약 공간을 이룬다. 예를 들어, 아핀 공간과 사영 공간은 기약 공간이다.

기약 스킴이 아닌 대수 집합으로는 (어떤 체 에 대하여) 를 들 수 있다. 이는 x축 와 y축 의 합집합이므로, 기약 공간이 아니다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

대수기하학
위상 공간의 성질