미분 등급 대수

호몰로지 대수학에서 미분 등급 대수(微分等級代數, , 약자 DGA)는 곱 규칙을 만족시키는 공경계 연산이 주어진 공사슬 복합체이다. 미분 대수의 개념의 일반화이다.

정의 
가환환 가 주어졌다고 하자.

추상적 정의 
음이 아닌 차수 공사슬 복합체의 아벨 범주 를 생각하자. 이는 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 모노이드 대상과 가환 모노이드 대상을 정의할 수 있다.

미분 등급 대수는 의 모노이드 대상이다. 가환 미분 등급 대수(可換微分等級代數, , CDGA)는 의 가환 모노이드 대상이다. 이들의 범주를 각각  및 이라고 표기하자.

음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 대신, 모든 정수 차수의 공사슬 복합체를 사용할 수도 있다. 이들을 사용하여 얻는 범주를 각각  및 라고 표기하자.

구체적 정의 
에 대한 미분 등급 대수 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 는 결합 -등급 대수이다.
 는 등급이 1인 -선형 변환이다.
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
 (멱영성) . 즉, 는 공사슬 복합체이다.
 (곱 규칙) 모든 동차 원소 에 대하여, 

에 대한 가환 미분 등급 대수는 (자연수 등급의) 미분 등급 대수 가운데, 에 대한 등급 교환 법칙을 따르는 것이다. 즉,

이다.

연산

직접곱 
가환환  위의 (유한 개 또는 무한 개의) 미분 등급 대수들의 족 이 주어졌을 때, 이들의 곱집합

은 미분 등급 대수를 이룬다.

몫 
가환환  위의 미분 등급 대수 의 미분 등급 아이디얼(微分等級ideal, ) 는 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 부분 집합이다.
 의 양쪽 아이디얼이다.
 등급 벡터 공간이다. 즉, 임의의 에 대하여, , 라면, 모든 에 대하여 이다.
 공사슬 복합체이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.
미분 등급 아이디얼 가 주어졌을 때, 몫 미분 등급 대수() 를 정의할 수 있다. 반대로, 임의의 미분 등급 대수의 준동형 의 핵은 미분 등급 아이디얼을 이룬다.

코호몰로지 
미분 등급 대수의 코호몰로지 는 인 미분 등급 대수를 이룬다. 모든 미분 등급 대수는 스스로의 코호몰로지로 가는 미분 등급 대수 준동형

을 갖는다.

또한, 임의의 미분 등급 대수 준동형 은 그 코호몰로지의 미분 등급 대수 준동형

을 유도한다.

만약 미분 등급 대수 준동형 에 대하여, 가 동형 사상이라면, 를 유사동형(類似同型, )이라고 한다.

(이름과 달리, 두 미분 등급 대수 사이의 유사동형의 존재는 동치 관계를 이루지 않으며, 동치 관계를 얻기 위해서는 이들을 포함하는 가장 작은 동치 관계를 취해야 한다. 구체적으로, 이는 유사동형들의 지그재그가 된다.)

만약 가 유사동형이라면, 를 형식적 미분 등급 대수(形式的微分等級代數, )라고 한다. 형식성은 유사동형에 대하여 불변이다.

성질 
표수 0인 체  위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.
 자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 
 자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주 
 정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 
 정수 등급의 미분 등급 대수의 범주 

 및  위에는 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.
 약한 동치는 유사동형이다.
 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다.
 모든 대상이 올대상이다.
 쌍대올뭉치는 상대 설리번 대수의 왼쪽 역사상이다.
 쌍대올대상은 설리번 대수이다. 이들은 항상 가환 대수이다.

의 경우, 망각 함자 는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다.

의 경우, 다음과 같은 모형 구조를 줄 수 있다.
 약한 동치는 유사동형이다.
 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다.
 모든 대상이 올대상이다.
 쌍대올뭉치는 약한 동치와 올뭉치로서 결정된다.

만약 가 표수 0이 아닐 경우, 위와 같은 정의들은 모형 범주 구조를 정의하지 못한다.

예 
매끄러운 다양체  위의 미분 형식 은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우, 는 외미분이고, 대수 연산은 쐐기곱이다.

위상 공간 의 특이 코호몰로지 환 은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우 는 복시테인 준동형이며, 연산은 코호몰로지류의 컵곱이다.

리 대수의 코쥘 복합체나 기저가 주어진 벡터 공간 의 텐서 대수  역시 미분 등급 대수의 구조를 줄 수 있다.

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

호몰로지 대수학
대수