결정 코호몰로지

대수기하학에서 결정 코호몰로지(結晶cohomology, , )는 양의 표수를 가지는 가환환 위에서 푸앵카레 보조정리를 모방하려 만들어진 코호몰로지 이론이다.

정의

결정 열린 몰입 
스킴 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  속으로의 결정 열린 몰입() 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 스킴 
 (자리스키) 열린 몰입 
 의 (자리스키) 닫힌 부분 스킴 . 이는 물론 어떤 준연접 -아이디얼 층 를 정의한다.
 는  위의 분할 거듭제곱 구조이다. 즉, 는 분할 거듭제곱 스킴을 이룬다.

결정 위치 
다음이 주어졌다고 하자.
 분할 거듭제곱 스킴 
 스킴  및 스킴 사상 

(작은) 결정 위치(-結晶位置, ) 는 범주로서 다음과 같다.
 의 대상은  속으로의 결정 열린 몰입  가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
 와 는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
 의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상  가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.
이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다.

유사하게, 다음과 같은 큰 결정 위치() 를 정의할 수 있다. 이는 작은 범주를 이루지 못한다.
 의 대상은 분할 거듭제곱 스킴 사상  가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
 와 는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
 의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상  가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.
이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다.

작은 결정 위치 위의 층의 층 코호몰로지 군

을 결정 코호몰로지라고 한다.

결정 
다음이 주어졌다고 하자.
 스킴 사상 . 이를 통해 결정 위치 를 정의할 수 있다.
 결정 위치  위의 -가군층 
그렇다면,   속의 임의의 두 대상 ,  사이의 사상

에 대하여, 자연스러운 사상

이 존재한다. 만약 이 사상이 항상 의 동형 사상이라면, 를 결정(結晶, )이라고 한다. 이는 에 있는 결정 구조에 가 “자연스럽게 배여 있다”는 것이다.

구조층  자체는  위의 결정을 이룬다.

성질

적분 가능 접속 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 분할 거듭제곱 환 
 환 준동형 
 -가군 
 속의 접속(接續, )이란 다음 조건을 만족시키는 가군 준동형

이다.

여기서 는  위의 분할 거듭제곱 미분 가군이다.

이 경우, 항등식

를 통해 임의의 차수 미분 형식들에 대한 미분

을 정의할 수 있다.

만약 이 연산이 멱영 연산이라면, 즉, 만약

가 사슬 복합체라면, 접속 를  속의 적분 가능 접속(積分可能接續, )이라고 한다.

결정 위의 적분 가능 미분 
결정 위에는 표준적인 적분 가능 미분이 존재하며, 따라서 드람 복합체를 구성할 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
 분할 거듭제곱 스킴 
 스킴  및 스킴 사상 
 의 결정 열린 부분 스킴 
  위의 결정 
그렇다면,

로 정의하고, 로 사영을 잡았을 때,

를 생각할 수 있으며, 양 화살표는 가정에 의해서 모두 동형 사상이다.

를 생각하면

로 정의하자. 여기에서 다. 이것은 보통 접속을 정의할 때 쓰는 리 미분 를 모방한 것이다. 그러면 이는

를 만들고, 이는 적분 가능 접속이 된다.

미분은 당연히 다항식에서 해야 하고, 표수는 불편하니 다음을 정의하자. 가 분할 거듭제곱 환이고 가 환 준동형이라면 적당한 를 잡아서 가 전사 준동형이 되도록 하자. 그리고 그 핵을 라고 하면

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 여기 위에서 적절한 성질을 가진 적분 가능 접속과 의 (결정 위치에서) 준연접층은 서로 일대일 대응한다.

푸앵카레 보조정리 
다음을 생각하자.
 가환환 
 유한 집합 
 계수의, 개 변수 분할 거듭제곱 다항식환 
  위의 임의의 가군 
그렇다면, 분할 거듭제곱 드람 복합체 의 각 항에 의 텐서곱을 취하여도, 이는 완전열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 완전열이 존재한다.

이 완전열의 존재는 일종의 “푸앵카레 보조정리”에 해당하며, 반면 일반 다항식환 의 경우에는 성립하지 않는다 (이기 때문).

보다 일반적으로, 다음을 생각하자.
 가환환 
 분할 거듭제곱 환  및 환 준동형 
  위의 분할 거듭제곱 다항식환 
  위의 가군 
  위의 적분 가능 접속 
그렇다면,  속의 아이디얼

를 생각하자. 여기서 는 양의 차수 항들로 구성된 의 부분 집합이다. 또한,  위에 자명한 분할 거듭제곱 구조 를 부여한다.

그렇다면, -가군 범주의 유도 범주  안에서

이라는 유사 동형 사상이 있다 (즉, 이는 코호몰로지 군 사이의 동형을 정의한다).

결정 코호몰로지와 분할 거듭제곱 드람 코호몰로지의 비교 
이제 다음을 생각하자. 의 결정 위치를 로 표기하자.

그러면 는 하고 유사동형사상이다. 이는 마치 체흐 신경과 비슷한 역할을 한다. 이것과 드람 복합체와의 스펙트럼 열을 계산하면 를 결정 위치에서 준연접층이라고 하고 를 하고 대응되는 p진으로 완벽한 -가군이라고 하면 는 대응되는 적분 가능 접속으로 만들어지는 하고 유사 동형이 된다. 즉, 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것이란 곧 드람 복합체를 계산하는 것과 동치이다.

역사 
알렉산더 그로텐디크가 1966년에 도입하였다. 이후 피에르 베르틀로()가 그 이론에 공헌하였다.

응용 
결정 코호몰로지는 대수적 수론에서 중요한 역할을 한다.

어떤 유한체  위의 스킴 가 주어졌을 때, 그냥 결정 코호몰로지 군 를 계산하는 것은 별로 도움이 되지 않는다. 이는 정수론도 그냥 다항식을 쓰는데, 결정 코호몰로지는 위에서 확인한 바에 의하면 만이 진짜 미분을 정의하고 따라서 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것도 이것이기 때문이다.

하지만 표수가 커지면 커질수록 는 와 “가까워진다”. 따라서, 비트 벡터를 생각해서

를 생각할 수 있고, 이것을 일 때의 코호몰로지로 에탈 코호몰로지 대신 쓸 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

대수기하학
호몰로지 대수학
호몰로지 이론