사영 평면

사영기하학에서 사영 평면(射影平面, )은 일반적인 평면과 유사하지만, “무한대”의 점이 존재하여 모든 두 직선이 항상 교차하게 되는 결합 구조이다.

정의

다각형 
결합 구조  속의, 크기 의 유한 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, 각형(角形, )이라고 한다.
 임의의 서로 다른 세 점 에 모두 인접하는 직선 은 존재하지 않는다.

사영 평면 
결합 구조  가운데, 다음 세 조건을 만족시키는 것을 사영 평면이라고 한다.
 임의의 서로 다른 두 점  ()에 대하여, 인 유일한 직선 이 존재한다. 이를 보통 로 표기한다.
 임의의 서로 다른 두 선 에 대하여, 인 유일한 점 이 존재한다. 이를 으로 표기하자.
 사각형이 존재한다.

데자르그 사영 평면 
사영 평면  속의 두 삼각형 , 이 주어졌다고 하고, 그 변들을 각각 이라고 하자.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 축배경적()이라고 한다.
 , ,  세 점에 모두 인접하는 직선이 존재한다.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 중심 배경적()이라고 한다.
 , ,  세 직선에 모두 인접한 점이 존재한다.

만약 주어진 사영 평면 속의 임의의 두 삼각형에 대하여, 축배경성이 중심 배경성과 동치라면, 이 사영 평면이 데자르그 사영 평면(Desargues)이라고 한다.

연산

쌍대 사영 평면 
사영 평면 이 주어졌을 때, , 즉
 의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
 의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
 에서 인접하는 점과 직선은 인접하는 직선과 점에 대응되는
사영 평면을 구성할 수 있다. 이를 의 쌍대 사영 평면()이라고 한다.

성질 
모든 사영 평면 에 대하여, 다음이 성립한다.
 인 2 이상의 (유한 또는 무한) 기수 가 존재한다. 즉, 모든 직선은 개의 점과 인접한다.
 모든 점은 개의 직선과 인접한다.
 이다.
 이다.

다음과 같은 추측이 존재하지만, 이는 아직 미해결 난제이다.
유한 사영 평면의 차수 는 항상 소수의 거듭제곱이다 (즉, 크기 의 유한체 가 존재한다.)
예를 들어, 는 차수 의 유한 사영 평면이다.

또한, 다음과 같은 추측이 존재하지만, 이 역시 미해결 난제이다.
소수 차수 의 사영 평면은  밖에 없다.

예

사각형이 존재하지 않는 결합 구조 

결합 구조 가운데, 사영 평면의 세 공리 중 처음 두 개를 만족시키지만 셋째를 만족시키지 못하는 것들은 모두 분류되었으며, 다음 세 족 가운데 하나에 속한다.
 . 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 로 표기하자.
 와 은 공집합이 아닌 임의의 집합, , , . 이를 로 표기하자. 의 쌍대 사영 평면은 이다.
 는 임의의 집합, , , . 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 로 표기하자.

이다. 이 경우를 제외하면, 이 세 족들은 서로소이다.

데자르그 사영 평면 

모든 데자르그 사영 평면은 분류되었으며, 다음과 같은 꼴이다. 어떤 나눗셈환 에 대하여,
 
 의 원소는  속의 2차원 부분 공간에서 0을 제거한 뒤, 동치 관계를 취한 것이다.
이를 로 표기한다.

특히, 크기 2의 유한체  위의 사영 평면은 파노 사영 평면()이라고 한다.

작은 유한 사영 평면 
작은 차수 의 유한 사영 평면들을 생각하자. 인 유한 사영 평면들은 다음과 같다.
 유한체 위의 사영 평면 , , , , , , 
 이 밖에도, 차수가 9인 세 개의 비(非)데자르그 사영 평면이 존재한다.

비(非)데자르그 사영 평면 
교대 대수 에서, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 그렇다면,  위의 사영 평면을 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 사영 평면을 무팡 사영 평면()이라고 한다. 모든 데자르그 사영 평면은 무팡 사영 평면이다. 반면, 예를 들어 팔원수 위의 사영 평면은 데자르그 사영 평면이 아닌 무팡 사영 평면이다.

삼진환을 통한 구성 

모든 사영 평면은 삼진환으로부터 구성될 수 있다. 반대로, 각 삼진환에는 사각형이 주어진 사영 평면을 대응시킬 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

사영기하학
결합기하학