그로텐디크 스펙트럼 열

호몰로지 대수학에서 그로텐디크 스펙트럼 열(Grothendieck spectrum列, )은 두 왼쪽 완전 함자의 합성 함자의 오른쪽 유도 함자를 각 왼쪽 완전 함자의 오른쪽 유도 함자들로 나타내는 스펙트럼 열이다. 즉, 유도 함자에 대한 일종의 연쇄 법칙이다.

정의 
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주  사이의 -풍성한 왼쪽 완전 함자 가 주어졌다고 하자.  -비순환 대상()은 다음 조건을 만족시키는 대상 이다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 아벨 범주 
 왼쪽 완전 함자 , 
 의 대상 
이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
 와 는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.
 는 -비순환 대상을 -비순환 대상으로 대응시킨다.
 는 -비순환 대상들로의 분해를 갖는다.
그렇다면, 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열 은 다음과 같은 제1 사분면 스펙트럼 열이다.

이 스펙트럼 열은 합성 함자의 의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다.

그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며, 와 의 단사 분해에 의존한다.

유도 범주와의 관계 
유도 범주 대신 유도 범주 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 자연 변환

이 존재한다. 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 유도 범주 사이의 함자의 성분을 표시한다.

성질 
함자 , 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 5항 완전열은 다음과 같다.

예

르레 스펙트럼 열 

르레 스펙트럼 열()은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.

여기서 는 위상 공간 사이의 연속 함수 에 의하여 유도되는 층의 직상이며, 는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 로의 직상)이다. 층의 직상 은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상

을 가지므로, 직상 은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

국소-대역 Ext 스펙트럼 열 
환 달린 공간  위의 두 -가군층 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.

여기서

는 가군층의 국소 Ext 함자이다. (가군층의  함자는 단사층을 말랑한 층으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 비순환층이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.) 는 가군의 (대역) Ext 함자이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다.

밑 전환 
가환환 ,  및 환 준동형  및  위의 가군 이 주어졌다고 하자.

그렇다면 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

이들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 Tor 함자의 밑 전환()을 계산한다. 즉,  위의 가군 에 대하여 다음과 같은 스펙트럼 열들이 존재한다.

만약 가 -평탄 가군이라면,

이며, 따라서 스펙트럼 열이 다음과 같이 퇴화하게 된다.

군 코호몰로지 
군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열() 역시 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

유한군 와 정규 부분군  및 -가군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.

여기서 은 의 작용에 대한 불변 원소들로 구성된 부분 가군이다.
이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이라고 하며, 다음과 같다.

이에 대응하는 5항 완전열은 팽창-제한 완전열()이라고 하며, 다음과 같다.

여기서 "팽창"은

이며, "제한"은

이다.

역사 
1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다. 1948년에 로저 코넌트 린던()은 군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 게르하르트 호흐실트와 장피에르 세르는 이를 개량하였다.
이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 도호쿠 대학 저널 논문에서 아벨 범주의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

호몰로지 대수학