자이베르그-위튼 불변량

위상수학에서 자이베르그-위튼 불변량(זייברג-Witten不變量, )은 4차원 매끄러운 다양체의 불변량의 하나로, 게이지 이론의 자기 홀극 모듈라이 공간의 성질을 나타낸다. 이는 도널드슨 불변량과 동치인 것으로 추측된다.

정의 
4차원 콤팩트 매끄러운 다양체  위에 스핀C 구조 가 주어졌다고 하자.

수학적 정의 
 위의, 스핀C 구조 에 대한 스피너 벡터다발

을 정의하자. 은 각각  위의 복소수 2차원 벡터다발이다. 가 의 단면이라고 하고, 가 의 표준 선다발 위의 접속이라고 하자. 그렇다면, 자이베르그-위튼 방정식  및 에 대한 비선형 연립 편미분 방정식이며, 다음과 같다.

여기서 는 에 의한 공면 미분이며, 는 의 장세기

의 자기 쌍대 성분이며, 는 파울리 행렬이다.

자이베르그-위튼 방정식의 해는 자기 홀극이라고 하며, 자이베르그-위튼 방정식의 해의 모듈라이 공간의, 게이지 군의 작용에 대한 몫공간을 자기 홀극 모듈러스 공간()이라고 한다.

다양체 이 단순형 다양체()일 경우, 자기 홀극 모듈러스 공간은 0차원이며, 이 경우 자이베르그-위튼 불변량은 모듈러스 공간의 점의 수를 부호를 붙여 센 것이다.

물리학적 정의 
 SU(2) 초대칭 게이지 이론에서, 낮은 에너지 극한을 취하면  U(1) 초대칭 양자 전기역학, 즉 U(1) 초대칭 게이지 이론 및 대전된 하이퍼 초다중항을 얻는다. 이 경우, 하이퍼 초다중항으로부터 새로 유도되는 장들은 다음과 같다.

이 경우 는 의 다중항을 이룬다. 은 방정식 에 대응한다.

성질 
 초대칭 게이지 이론은 재규격화군 이론을 통해 적외선 (=낮은 에너지) 극한을 가지며, 이 극한은 자이베르그-위튼 이론을 사용하여 완전히 계산할 수 있다. 위상 뒤틀기는 재규격화군 흐름과 가환하므로, 도널드슨 불변량을 자이베르그-위튼 이론을 통해 계산할 수 있어야 한다. 따라서, 물리학적으로는 자이베르그-위튼 불변량이 도널드슨 불변량과 동치라는 것은 분명하지만, 이는 수학적으로 엄밀히 증명되지 않았다.

역사 
1994년에 에드워드 위튼은 자이베르그-위튼 이론을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이들의 크론하이머-므로카 기본류와의 관계를 제시하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

기하학적 위상수학
미분위상수학
편미분방정식
4-다양체