군 스킴

대수기하학에서 군 스킴(群scheme, , )은 군과 유사한 구조를 갖는 스킴이다. 즉, 대수군의 정의에서 대수다양체를 스킴으로 대체한 것이다.

정의 
군 스킴은 스킴 범주의 군 대상으로, 또는 특정한 함자로 정의할 수 있다.

군 대상을 통한 정의 
스킴 가 주어졌다고 하자.  위의 군 스킴은 스킴의 범주의 조각 범주  속의 군 대상이다. 즉, 군 스킴 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 는 -스킴이다.
 는 -스킴 사상이다. 이는 군의 곱셈에 해당한다.
 는 -스킴 사상이다. 이는 군의 항등원에 해당한다.
 는 -스킴 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.
이들은 군 대상의 공리를 나타내는 가환 그림들을 만족시켜야 한다.

함자를 통한 정의 
스킴  위의 군 스킴은 다음 조건을 만족시키는 함자

이다.
 는 표현 가능 함자이다. 즉, 가 되는 -스킴 가 존재한다.
여기서

는 군의 구체적 범주의 망각 함자이다.

이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로,  속의 군 대상 가 주어졌을 때, 표현 가능 함자 는 둘째 정의에 부합한다.

성질 
스킴의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 표준적인 망각 함자

를 생각하자. 이는 충실한 함자가 아니며, 이 함자 아래 군 스킴은 일반적으로 위상군(또는 군)을 이루지 않는다. 일반적으로 스킴의 범주의 곱 또는 올곱은 곱공간(또는 곱집합)에 대응하지 않는다.

반면, 임의의 체 에 대하여,  위의 군 스킴 의 -유리점의 집합 을 취할 수 있다. 이 경우,

이므로, 집합  위에는 군의 구조가 존재한다.

복소수체  위의 군 스킴 가운데 비특이 대수다양체를 이루는 것의 경우, 비특이 대수다양체에 대응하는 복소다양체를 취할 수 있다. 이 경우 군 스킴은 보통 대수군이라고 하며, 이에 대응하는 복소다양체는 복소수 리 군을 이룬다.

예

곱셈 군 스킴 
스킴  위의 군 스킴 은 스킴으로서 원점을 제거한 -아핀 직선 이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

여기서 는 아벨 군 층의 단면군을 뜻하며, 는 구조층 의 가역원군층이다. 특히, 만약 가 아핀 스킴이라면, 그 군 스킴은 계수 로랑 다항식환의 스펙트럼이다.

이 경우, 군 이항 연산

은 다음과 같은 -결합 대수의 준동형에 대응한다.

마찬가지로, 항등원

은 다음과 같은 -결합 대수의 준동형에 대응한다.

이는 로랑 다항식환 의 호프 대수 구조에서 유래한다.

보다 일반적으로, 스킴  위의 일반 선형군 스킴(一般線型郡scheme, ) 는 함자로서 다음과 같다.

여기서 는 행렬환을 뜻한다. 이 경우 이다.

덧셈 군 스킴 
스킴  위의 군 스킴 는 스킴으로서 -아핀 직선 이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

여기서 는 아벨 군 층의 단면군을 뜻한다.

특히, 만약 가 아핀 스킴이라면, 이다. 이 경우, 군의 이항 연산

은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

군의 항등원 사상

은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

1의 거듭제곱근 군 스킴 
양의 정수 에 대하여, 1의 제곱근 군 스킴() 은 제곱 사상 의 핵이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

특히, 만약 가 아핀 스킴이라면, 이다.

상수 군 스킴 
군 가 주어졌다고 하자. 스킴  위의 상수 군 스킴() 는 스킴으로서 분리합집합 이다 (즉, 위상 공간으로서 에 이산 위상을 준다면 이다). 그 위의 군 스킴의 구조는 의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서 이는 다음과 같다.

여기서 는 의 연결 성분의 집합이다. 즉, 이는 스킴을 그 연결 성분의 수만큼의 군 직접곱에 대응시킨다.

특히, 가 자명군인 경우, 항등 사상을 갖춘 는  위의 군 스킴을 이룬다. 함자로서, 이는 모든  위의 스킴을 자명군에 대응시킨다.

대각화 가능 군 스킴 
아벨 군 가 주어졌다고 하자. 스킴  위의 대각화 가능 군 스킴() 는 함자로서 다음과 같다.

만약 가 아핀 스킴이라면, 는 군환 의 스펙트럼이다.

아핀 군 스킴 
가환환  위의 가환 호프 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 는 표준적으로 -군 스킴을 이룬다. 반대로,  위의 모든 아핀 군 스킴은  위의 가환 호프 대수의 스펙트럼과 동형이다. 이 경우, 군 스킴으로서의 연산은 호프 대수로서의 연산과 다음과 같이 대응한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

대수군
스킴 이론