부분 대상과 몫 대상

범주론에서 부분 대상(部分對象, )은 어떤 범주에서 주어진 대상의 일부분으로 여길 수 있는 구조이며, 몫 대상(-對象, )은 어떤 범주에서 주어진 대상에 동치 관계를 가한 것으로 여길 수 있는 구조이다. 부분집합이나 부분군 및 동치류 집합, 몫군의 개념을 추상화한 것이다.

정의 
부분 대상과 몫 대상은 서로 쌍대되는 개념이다. 즉, 범주 에서 대상 의 부분 대상 범주 가 주어졌다면,

이다. 여기서 는 범주의 동형이다.

부분 대상 
범주 의 대상 의 부분 대상은 를 공역으로 하는 단사 사상들의 동치류이다. 여기서 사용되는 동치 관계는 다음과 같다. 만약

이며,

인 사상

이 존재한다면,

로 놓는다. (이 경우 와 는 유일하며, 동형 사상이며, 서로 역사상이다.)

의 부분 대상의 모임 에는 다음과 같은 자연스러운 부분 순서 가 정의된다.

이에 따라, 는 (사상 모임이 공집합이거나 하나의 원소만을 가진) 범주로 간주할 수 있다.

몫 대상 
범주 의 대상 의 몫 대상은 를 정의역으로 하는 전사 사상들의 동치류이다. 여기서 사용되는 동치 관계는 다음과 같다. 만약

이며,

인 사상

이 존재한다면,

로 놓는다. (이 경우 와 는 유일하며, 동형 사상이며, 서로 역사상이다.)

의 몫 대상의 모임 에는 다음과 같은 자연스러운 부분 순서 가 정의된다.

이에 따라, 는 (사상 모임이 공집합이거나 하나의 원소만을 가진) 범주로 간주할 수 있다.

정멱 범주 
범주 에서, 주어진 대상 의 부분 대상 모임 은 고유 모임일 수 있다. 만약 모든 대상의 부분 대상 모임이 집합이라면, 를 정멱 범주(整冪範疇, )라고 한다.

마찬가지로, 범주 의 모든 대상의 몫 대상 모임이 집합이라면, 를 쌍대 정멱 범주(雙對整冪範疇, )라고 한다.

정의에 따라, 부분 대상 분류자를 갖는 국소적으로 작은 범주는 정멱 범주이다.

예 
순서수의 고유 모임에 최대 원소를 추가하여 만든 정렬 전순서 모임

은 범주로서 정멱 범주가 아니다.

우리손 공간과 연속 함수들의 범주 는 쌍대 정멱 범주가 아니다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

범주론