회전수

위상수학에서 회전수(回轉數, )는 원의 자기 위상 동형을 분류하는 불변량이다. 대략, 원에 대한 시간당 평균 회전 각도이다.

정의 
실직선의 자기 위상 동형 가 다음을 만족시킨다고 하자.

이라고 하자. 그렇다면, 의 회전수 는 다음과 같다.

여기서

이다. 이 극한은 항상 존재하며, 에 상관없다는 것을 보일 수 있으며, 이는 앙리 푸앵카레가 증명하였다.

의 주기성으로 인하여, 이로부터 원의 방향을 보존하는 자기 위상 동형 을 정의할 수 있다. 이 경우, 의 회전수 는 의 회전수와 같다. 이 경우, 와 는 같은 에 대응하지만 회전수가 정수 만큼 다르므로, 의 회전수는 의 원소이다. 예를 들어, 이다.

성질 
회전수 는 원의 방향 보존 자기 위상 동형들의 군 에서 원군 으로 가는 군 준동형이다. 만약 에  위상을 주어 위상군으로 만들면, 회전수는 연속 함수이다.

원의 두 방향 보존 자기 위상 동형  및 연속 함수 에 대하여, 만약

라면

이다.

원의 자기 위상 동형의 분류 
앙리 푸앵카레와 아르노 당주아는 회전수를 사용하여 원의 자기 위상 동형 들을 다음과 같이 분류하였다.
 1. 만약 의 회전수가 유리수 라면 (), 는 하나 이상의 주기적 궤도를 가지며, 의 모든 주기적 궤도의 주기는 이다. 또한, 의 모든 궤도는 주기적 궤도로 수렴한다. (반면, 에서 수렴하는 주기적 궤도와 에서 수렴하는 주기적 궤도는 일반적으로 다를 수 있다.)
 2. 만약 의 회전수가 무리수라면, 는 주기적 궤도를 갖지 않는다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 경우가 가능하다.
 2(a). 는 적어도 하나의 조밀 궤도를 갖는다. 이 경우, 인 방향 보존 위상 동형 이 존재하며, 모든 궤도가 조밀하다.
 2(b). 의 모든 궤도는 조밀하지 않다. 이 경우, 인 칸토어 집합 가 존재한다. 이 경우, 의 모든 궤도는 에 수렴하며, 마찬가지로 의 모든 궤도 역시 에 수렴한다. 이 경우, 가 되는 연속 함수 가 존재하며, 는 의 각 연결 성분 위에서 상수 함수이다.

또한, 만약 가  함수라면 항상 1이거나 2(a)에 해당한다. (이는 아르노 당주아가 증명하였다.)

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

동역학계
위상수학
고정점