베르마 가군

리 대수의 표현론에서 베르마 가군(वर्मा加群, )은 주어진 무게에 대한 가장 “일반적인” 최고 무게 가군이다.

정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 체 
  위의 리 대수 
 의 부분 리 대수 
 의 표현  (즉, 의 왼쪽 가군)
그렇다면, 이에 대응되는 일반화 베르마 가군(一般化वर्मा加群, )은 다음과 같다.

여기서
 는 리 대수의 보편 포락 대수이다.
 의 오른쪽 -작용은 (푸앵카레-버코프-비트 정리에 의하여 이므로) 보편 포락 대수의 오른쪽 곱셈 연산이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.
 는 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이다.
 는  위의 반단순 리 대수이다.
 는 보렐 부분 대수이다.
 는 의 무게 를 이루는 1차원 표현이다.
이 경우를 베르마 가군이라고 한다.

등급 
복소수체 위의 반단순 리 대수  및 그 포물형 부분 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  위에 자연스러운 등급

이 주어지며,

이다. 즉, 는 등급 에 대한 복소수 등급 대수이며, 는 그 가운데 음이 아닌 등급만을 취한 부분 대수이다.

임의의 의 표현 에 대하여, -일반화 베르마 가군은 (푸앵카레-버코프-비트 정리를 사용하면) 다음과 같다.

성질 
베르마 가군은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 반단순 리 대수 의 카르탕 부분 대수 의 무게 에 대응하는 -최고 무게 가군 에 대하여, 유일한 전사 -표현 준동형

가 존재한다.

예 
의 베르마 가군을 생각하자. 이는 기저

로 표현될 수 있다. 여기서 를 카르탕 부분 대수로, 를 보렐 부분 대수로 잡자.

의 무게는 하나의 복소수 로 결정된다. 그 기저를 로 적자. 즉,

이다.

그렇다면, 이 무게의 베르마 가군은 다음과 같은 기저를 갖는다.

이 위의 의 작용은 구체적으로 다음과 같다.

만약  (음이 아닌 정수)일 경우,

이며, 따라서 베르마 가군 의 부분 공간

는 의 부분 가군을 이룬다. 이 경우, 위 부분 가군에 대한 몫을 취할 수 있으며, 이는 의 차원 표현을 이룬다. 이 조건은 가 정수 우세 무게인 것에 해당한다.

역사 
다야난드 베르마가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

리 대수
표현론