준연접층

대수기하학과 복소기하학에서 준연접 가군층(準連接加群層, , ) 또는 단순히 준연접층은 벡터 다발(국소 자유층)의 핵 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 이는 연접층의 개념의 일반화이다. 연접 가군층의 범주는 아벨 범주를 이루지만, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 범주가 아니므로 그 층 코호몰로지를 정의하기가 복잡하다. 이 대신, 모든 무한 차원일 수 있는 벡터 다발을 포함하는 아벨 범주인 준연접 가군층의 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며, 따라서 층 코호몰로지를 쉽게 정의할 수 있다.

정의 
환 달린 공간  위에서, 다음 조건들을 만족시키는 -가군층 를 국소 단면 생성 가군층(局所斷面生成加群層, )이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 층의 완전열 이 존재하게 되는 열린 근방 와 기수 가 존재한다.

환 달린 공간  위에서, 다음 조건들을 만족시키는 -가군층 를 준연접 가군층(準連接加群層, , ) 또는 단순히 준연접층이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 층의 완전열 이 존재하게 되는 열린 근방 와 기수 가 존재한다.

국소 단면 생성 가군층/준연접 가군층의 정의에서, 기수 가 자연수이어야 한다는 조건을 추가하면 각각 유한 생성 가군층/유한 표시 가군층의 개념을 얻는다.

성질

함의 관계 
임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
연접층 ⊆ 유한 표시 가군층 ⊆ 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층
국소 자유 가군층 ⊆ 준연접 가군층
국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
유한 계수 국소 자유 가군층 ⊆ 연접층 = 유한 표시 가군층 = 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층

동치 조건 
스킴  위의 가군층 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 준연접 가군층이다.
 임의의 아핀 열린 부분 스킴 에 대하여, 는 -가군층으로서 어떤 -가군으로부터 유도된 -가군층과 동형이다.
 의 어떤 아핀 열린 덮개 에 대하여, 는 -가군층으로서 어떤 -가군으로부터 유도된 -가군층과 동형이다.

연산 
다음이 주어졌다고 하자.
 두 스킴 , 
 스킴 사상 
그렇다면,  위의 준연접층 의 당김 는  위의 준연접층이다. 반대로,  위의 준연접층 가 주어졌으며, 가  준콤팩트 준분리 사상이라면 의 밂 는  위의 연접층이다.

준연접층의 범주 
일반적 환 달린 공간 위의 준연접 가군층의 범주 는 일반적으로 아벨 범주가 아니다. 하지만, 만약 가 스킴일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다.
 그로텐디크 아벨 범주이다. 특히, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 완비 쌍대 완비 아벨 범주이다.
 포함 함자 는 오른쪽 수반 함자 를 가진다.
 따라서, 는 모든 쌍대 극한을 보존하며 오른쪽 완전 함자이다. (모든 가군층의 범주  역시 그로텐디크 아벨 범주이며 특히 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.)
 따라서, 는 모든 극한을 보존하며 왼쪽 완전 함자이다.
즉, 에서의 쌍대 극한은 가군층으로서의 쌍대 극한과 같다. 에서의 유한 극한은 가군층으로서의 극한과 같지만, 무한 극한은 가군층의 극한과 일반적으로 다르며, 가군층에서의 극한에 를 가한 것이다.

아핀 스킴 위의 준연접층 
가환환  위의 다음과 같은 두 범주는 서로 동치이다.
 -가군의 범주 
 의 스펙트럼 위의 준연접 가군층의 범주 
구체적으로, -가군 에 대응하는 준연접 가군층은 다음 조건을 만족시키는 유일한 가군층 이다.
 임의의 에 대하여, 
여기서

는 로 생성되는 곱셈 모노이드에서의 국소화이며, 그 스펙트럼은 의 열린집합을 정의한다.
반대로,  위의 준연접 가군층 에 대응하는 -가군은 이다.

예 
스킴 의 닫힌 부분 스킴 에 대응하는 아이디얼 층은 준연접 가군층이다. 특히,  전체에 대응하는 영 준연접층 은 (자명하게) 준연접층이며, 공집합 에 대응하는 구조층  역시 준연접층이다. (반면, 국소 뇌터 스킴이 아닌 스킴의 경우 구조층이 연접층이 아닐 수 있다.)

체 의 스펙트럼  위에서는 준층과 층과 준연접층의 개념이 일치하며, 이들은 모두 -벡터 공간으로 주어진다. (이 가운데 연접층은 유한 차원 -벡터 공간이다.)

이산 값매김환 위의 준연접층과 준연접층이 아닌 가군층 
이산 값매김환 의 스펙트럼 는 시에르핀스키 공간이며, 이는 두 개의 점으로 구성된다. 이 경우, 닫힌점은 극대 아이디얼 에 대응하며, 이는 잉여류체 에 해당한다. 닫힌점이 아닌 점은 영 아이디얼 에 대응하며, 이는 분수체 에 해당한다.

시에르핀스키 공간 위에서는 열린집합의 부분 순서 집합이 (크기 3의) 전순서 집합이며, 특히 두 열린집합의 합집합을 취하여 더 큰 열린집합을 만들 수 없다. 따라서, 이 경우 모든 준층이 층을 이룬다.

 위의 임의의 가군 (준)층 는 따라서 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 . 이는 -가군이다.
 . 이는 -벡터 공간이다.
 의 제약 사상 . 이는 -선형 변환이다.
즉,  위의 가군층은 위와 같은 로 주어진다.

아핀 스킴  위의 준연접 가군층은 -가군 만으로 주어진다. 이 경우, 의 단면은 (가군에 대응하는 준연접층의 정의에 따라) 이다. 즉, -가군층  가운데 준연접층인 것은 가 -벡터 공간의 동형 사상인 것이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

스킴 이론
층론