초곱

모형 이론에서 초곱(超곱, )은 여러 구조들의 곱집합의 동치류 집합 위에 정의된 더 큰 구조이다.

정의 
형이 인 구조들의 집합  및  위의 극대 필터 가 주어졌다고 하자. 는 부분 순서 집합이므로, 이를 범주로 간주할 수 있다. 그렇다면 다음과 같은 함자를 정의하자.

그렇다면, 의 초곱 은 집합으로서 의 쌍대극한 이다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 순서쌍

사이에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.

그렇다면

이다. 여기에 다음과 같은 -구조를 부여한다. 여기서 , ,  따위로 쓰자.
 의 각 항 연산  ()에 대하여,

 의 각 항 관계  ()에 대하여, 다음과 같다.

이는 형의 구조를 이룬다는 것을 보일 수 있다.

만약 모든 가 공집합이 아니거나, 아니면 라면 에서 인 경우로 국한할 수 있다. 즉,

으로 정의할 수 있다.

만약 모든 들이 같을 경우, 의 초곱을 의 초거듭제곱(超거듭제곱, )이라고 한다.

워시 정리 
워시 정리()는 1차 논리의 명제가 초곱에서 성립할 필요충분조건을 제공한다. 부호수 의 구조의 집합  및 극대 필터  및  및
에 대한, 개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 명제 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 
이는 예르지 워시()가 증명하였다.

예 
초곱 에서, 만약 사용되는 극대 필터가 의 주 필터

라면, 초곱은 단순히 를 얻는다.

실수 집합 는 순서체의 형 의 구조이다. 실수의 집합의 개 초승은 실수의 모든 1차 논리적 성질들을 만족시키며, 이를 초실수라고 한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

모형 이론