톰 공간

대수적 위상수학에서 톰 공간(Thom空間, )은 실수 벡터 다발에 하나의 “무한대” 점을 추가하여 얻는 위상 공간이다. 이를 사용하여 미분위상수학의 일부 대상들을 호모토피 이론의 기법으로 다룰 수 있다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 파라콤팩트 공간 
 차원 실수 벡터 다발 
그렇다면, 각 올의 알렉산드로프 콤팩트화를 취하여, 초구 를 올로 하는 올다발 을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 톰 공간 이라고 한다.

내적을 통한 정의 
 위에, 올별 임의의 연속 양의 정부호 내적

을 임의로 고르자. 이를 통하여, 임의의 에 대하여 올 의 닫힌 공

및 초구

을 정의할 수 있다. 이 둘은  위의 올다발을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

톰 공간은 다음과 같은 몫공간이다.

이는 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은 의 동치류이다.

성질

연산에 대한 호환 
두 파라콤팩트 공간 , 과 그 위의 두 유한 차원 벡터 다발

가 주어졌다고 하자. 곱공간 으로부터의 사영 사상

을 잡고, 각 벡터 다발의 사상과의 당김

을 구한다. 이들의 직합을 로 표기하겠다.
 
이 때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간 는 각각의 톰 공간에 서로 분쇄곱을 취한 것과 위상 동형이다.

특히, 만약 가 한원소 공간 위의 (자명한) 벡터 다발이라고 하자.

그렇다면, 의 톰 공간은 초구이므로, () 다음을 얻는다.

여기서 은 축소 현수를 번 취한 것이다.

함자성 
두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 벡터 다발

및 연속 함수

위의 벡터 다발 사상

가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 연속 함수

가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 점을 가진 공간의 범주로 가는 함자

를 정의한다.

호몰로지 
초구 다발 의 무한대 단면을 , 영단면을 라고 적자.

톰 공간의 축소 코호몰로지는 다음과 같은 상대 호몰로지와 같다.

톰 동형 
유한 차원 실수 벡터 다발  및 음이 아닌 정수 에 대하여, 다음과 같은 -벡터 공간의 표준적인 동형 사상이 존재한다.

여기서 우변은 축소 코호몰로지이다. 이를 톰 동형()이라고 한다.

톰 동형은 구체적으로 어떤 원소

에 의한 합곱으로 주어진다.

만약 가 유향 벡터 다발이라면, 이는 임의의 가환환  계수에 대하여 존재한다.

예

자명한 벡터 다발 
파라콤팩트 공간  위의 자명한 벡터 다발 의 톰 공간을 생각하자. 이 경우

이며,

이다. 여기서 은 초구 에 부여한 임의의 밑점으로, 공 의 경계에 속한다.

만약 가 에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 이는

가 된다. 여기서 은 위상 동형이며, 는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다.

특히, 만약 일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은

이다.

콤팩트 공간 위의 벡터 다발 
콤팩트 공간  위의 벡터 다발 의 톰 공간 은 의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.

톰 스펙트럼 

분류 공간

위의 연관 벡터 다발

의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.

이들 사이에는 자연스러운 사상

이 존재하여, 스펙트럼 를 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼이라고 한다.

역사 
르네 톰이 1954년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

대수적 위상수학