파면 집합

조화해석학에서 파면 집합(波面集合, )은 어떤 분포가 특이점을 갖는 위치 및 방향들의 집합이다. 특이점이 발생하는 위치들의 집합으로 정의되는 고전적 개념인 특이 지지 집합()과 달리, 파면 집합은 특이점이 발생하는 위치뿐만 아니라 특이점이 일어나는 방향에 대한 정보를 담는다.

정의 
차원 매끄러운 다양체  위의 분포

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 에서의 특이올()

은 다음과 같다.

여기서
 는 를 포함하는 열린 뿔 이 존재하는 것을 뜻한다.
 뿔()이란 임의의 음이 아닌 실수 에 대하여, 에 대한 곱에 대하여 닫혀 있는 집합이다.
 는 국소좌표계  위에 정의된, 인 콤팩트 지지 매끄러운 함수 가 존재함을 뜻한다.
 은 국소 좌표계에서의 푸리에 변환을 뜻한다.
 는 적절한 리만 계량에 대한 노름이다. (이 정의는 리만 계량의 선택에 의존하지 않는다.)
특이올은 열린집합들의 합집합의 여집합이므로,  속의 닫힌집합이다.

의 파면 집합

은 특이올들의 합집합이다.

이는 항상 닫힌집합이다.

예

디랙 델타 분포 
유클리드 공간  위의 디랙 델타 분포 를 생각하자. 디랙 델타 분포의 푸리에 변환은 상수 함수이며, 따라서 에서는 어떤 방향에서도 특이올의 정의에 등장하는 추정이 성립하지 않는다. 따라서, 이 경우 파면 집합은

이다. 즉, 디랙 델타 분포는 원점에서 모든 방향으로 특이점을 가지며, 디랙 델타 분포의 거듭제곱은 잘 정의되지 않는다.

 위의 단위 계단 함수

의 파면 집합 역시

이다. 즉, 디랙 델타 분포의 파면 집합과 같다. 단위 계단 함수의 경우, 특이올의 정의에서 인 경우 추정이 성립하지만, 일 경우 추정이 (어느 방향에서도) 성립하지 않는다.

1/x 
 위에, 분포 은 임의의 콤팩트 지지 매끄러운 함수 에 대하여

로 정의된다. (이 표기는 경로적분법을 따른 것이다.) 이 경우

이다. 즉, 는 잘 정의된다.

지시 함수 
매끄러운 다양체  속에, 매끄러운 경계를 갖는 부분 집합 이 주어졌다고 하자. 그 위의 지시 함수 의 파면 집합은 다음과 같다.

응용 
일반적으로, 분포의 곱셈은 잘 정의될 수 없다. 그러나 파면 집합에 대한 적절한 조건이 성립한다면 두 분포의 곱을 정의할 수 있게 된다. 구체적으로, 두 분포 의 곱이 잘 정의되기 위한 충분 조건은

이다. 즉,  두 분포의 특이 지지 집합이 겹치더라도, 특이점의 방향이 일치하지 않는다면 두 분포의 곱을 잘 정의할 수 있다.

역사 
라르스 회르만데르가 1970년 경에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

조화해석학