폰 노이만 대수

함수해석학에서 폰 노이만 대수(von Neumann代數, )는 어떤 복소수 바나흐 공간의 연속 쌍대 공간으로 나타낼 수 있는 C* 대수이다. 이러한 C* 대수는 항상 적절한 위상에 대하여 닫힌집합을 이루는, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 나타낼 수 있다.

정의 
폰 노이만 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
 추상적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 특별한 성질을 만족시키는 C* 대수로 정의될 수 있다.
 구체적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 적절한 위상에 대하여 닫힌집합인, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 C* 대수로 정의될 수 있다.
이 두 정의는 서로 동치이다.

추상적 정의 
C* 대수 가 주어졌다고 하자. 이는 복소수 바나흐 대수, 특히 복소수 바나흐 공간을 이룬다. 만약 가 되는 복소수 바나흐 공간 가 존재한다면, 를 폰 노이만 대수라고 한다. (여기서 은 복소수 바나흐 공간 사이의 등거리 복소수 선형 전단사 함수의 존재이며, 는 의 복소수 연속 쌍대 공간이다.)

사실, 이러한 복소수 바나흐 공간 는 (등거리 복소수 선형 전단사 함수 아래) 유일하다. 이를 의 원쌍대 공간()이라고 한다.

구체적 정의 
복소수 힐베르트 공간  위의 유계 작용소들의 C* 대수 를 생각하자. 그 부분 집합 가 덧셈과 합성과 에르미트 수반과 복소수 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으며 항등원을 포함한다고 하자. 이제, 집합

및

를 정의할 수 있다.

그렇다면, 폰 노이만 정리에 따르면, 의 다음 세 부분 집합이 모두 같다.
 의 강한 작용소 위상(즉, 점별 노름 수렴 위상)에서의 폐포
 의 약한 작용소 위상(즉, 점별 약한-* 위상 수렴 위상)에서의 폐포
 

만약 이라면, (와 동형인 C* 대수)를 폰 노이만 대수라고 한다. 이 정의에 따라, 임의의 부분 집합 가 주어졌을 때 를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수

가 존재함을 알 수 있다. 이를 로 생성되는 폰 노이만 대수()라고 한다.

추상적 정의에 따른 임의의 폰 노이만 대수에 대하여, 겔판트-나이마르크 정리를 통해 이를 힐베르트 공간 위의 작용소 대수로 표현할 수 있다. 반대로, 구체적 정의에 대한 폰 노이만 대수는 (힐베르트 공간 위의 작용을 무시할 때) 항상 추상적 정의에 부합한다.

무게 
폰 노이만 대수 의 원소 에 대하여, 만약 인 가 존재한다면, 를 양원소(陽元素, )라고 한다. 양원소의 집합을 로 표기하자. 이들의 집합은 반환  위의 가군을 이룬다. 마찬가지로, 는  위의 가군을 이룬다.

-선형 함수

를 무게라고 한다. 즉, 무게는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

위 정의에서 으로 놓는다.

만약 무게 가 을 만족시킨다면, 이를 상태(狀態, )라고 한다. 무게 가

를 만족시킨다면, 이를 대각합(對角合, )이라고 한다.

분류 
폰 노이만 대수  가운데, 만약 라면, 를 폰 노이만 인자(von Neumann因子, )라고 하자. (여기서 는 환으로서의 중심이다.)

모든 폰 노이만 대수는 인자들의 직접 적분()

으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 사실상 유일하다. 따라서, 폰 노이만 대수의 분류는 인자 대수의 분류로 귀결된다. 인자 대수의 분류는 상당 부분 알려져 있다.

예

유계 작용소 
임의의 복소수 힐베르트 공간 에 대하여, 모든 유계 작용소의 대수 는 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, 그 원쌍대 공간은 대각합을 부여한, 대각합류 작용소의 복소수 바나흐 공간 이다.

르베그 공간 
가 시그마 유한 측도 공간이라고 하자.

복소수 값 ∞-르베그 공간 은 (점별 덧셈과 곱셈 및 복소수 켤레에 대하여) 폰 노이만 대수를 이룬다. 그 원쌍대 공간은 1-르베그 공간 이다.

는 복소수 힐베르트 공간  위에 작용하는 유계 작용소 대수로 여길 수 있다. 즉, 다음과 같은 표준적인 매장이 존재한다.

이중 연속 쌍대 공간 
셔먼-다케다 정리(Sherman-[武田]定理, )에 따르면, 임의의 C*-대수 에 대하여, 그 이중 연속 쌍대 공간 는 표준적으로 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, 를 의 포락 폰 노이만 대수()라고 한다.

역사 
폰 노이만 정리는 존 폰 노이만이 증명하였다. 이후 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(, 1911~1996)가 폰 노이만 대수의 기초적 연구를 진행하였다. 폰 노이만 대수의 추상적인 정의는 사카이 쇼이치로(, 1928~)가 도입하였다.

셔먼-다케다 정리는 시모어 셔먼(, 1917~1977)이 1950년에 증명 없이 발표하였으며, 1954년에 다케다 지로()가 증명을 출판하였다.

이후 알랭 콘과 본 존스 등이 폰 노이만 대수의 이론에 크게 공헌하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

연산자 이론
대수
존 폰 노이만