합곱

대수적 위상수학에서 합곱(合곱, )은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다.

정의

쌍대사슬의 합곱 
위상 공간  및 가환환 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 합곱은 다음과 같은  -선형 변환이다.

이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 차 특이 쌍대사슬  및 차 특이 쌍대사슬  및 차 특이 단체 에 대하여,

여기서

()는 차원 표준 단체를 꼭짓점들이 인 차원 표준 단체의, 에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다.

코호몰로지류의 합곱 
쌍대사슬의 합곱은 다음과 같이 쌍대경계 와 호환된다.

따라서, 쌍대사슬의 합곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 합곱

이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 는 등급환을 이룬다.

텐서곱 
두 위상 공간  및 가환환  위의 가군 , 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬에 대한 다음과 같은 사상이 존재한다.

여기서

는 곱공간의 사영 사상이다.
이 역시 쌍대경계와 호환되어, 코호몰로지류의 텐서곱

을 정의할 수 있다. 만약 라면, 이므로 이는

이다. 이 사상은 퀴네트 정리에 등장하는 사상과 같다.

성질 
코호몰로지류의 합곱은 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다.

합곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수 에 대하여, 코호몰로지로 인한 당김

을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여,

즉, 는 등급환의 준동형을 이룬다.

합곱과 텐서곱의 관계 
위상 공간  및 가환환  위의 가군 , 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대각 사상

이 존재한다. 그렇다면, 텐서곱의 대각 사상의 당김

이 존재한다. 만약 라면, 이는 합곱 과 일치한다.

역사 
1935년 9월 4일~10일 동안 모스크바에서 열린 제1차 세계 위상 수학 학회()에서 제임스 워델 알렉산더와 안드레이 콜모고로프는 독자적으로 코호몰로지류의 개념 및 코호몰로지류의 곱셈을 도입하였다. 이후 에두아르트 체흐와 해슬러 휘트니는 코호몰로지류의 합곱을 구체적으로 정의하였다. 1944년에 사무엘 에일렌베르크는 그 정의를 일반화하였다. 합곱의 기호 는 휘트니가 고안하였다.

같이 보기 
 특이 호몰로지
 호몰로지
 교곱
 매시 곱

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

호몰로지 이론
대수적 위상수학
이항연산