르베그 분해

측도론에서 르베그 분해()는 임의의 시그마 유한 측도를 절대 연속 성분(絶對連續成分, )과 특이 연속 성분(特異連續成分, )과 순수 점 성분(純粹點成分, )의 합으로 나타내는 표준적인 표현이다. 이 세 성분 가운데 절대 연속 성분과 순수 점 성분의 경우 간단한 구조 정리가 존재하지만, 특이 연속 성분의 구조는 매우 복잡하다. 일부 경우, 특이 연속 성분이 0임을 증명할 수 있다.

복소수 힐베르트 공간 위의 자기 수반 작용소는 그 스펙트럼 위의 측도를 정의하며, 그 르베그 분해는 이에 대응되는 복소수 힐베르트 공간의 직합 분해를 정의한다.

정의

특이 측도 
가측 공간  위의 두 측도 , 에 대하여, 만약 다음 조건들을 만족시키는 가 존재한다면, 이 두 측도가 서로 특이 측도()라고 한다.

르베그 분해 
시그마 유한 측도 공간 에 대하여, 의 르베그 분해는 다음과 같은 꼴의 분해이다.

여기서
 . 즉, 는 -절대 연속 측도이다.
 
또한, 특이 성분 는 다음과 같이 추가로 분해된다.

여기서
 는 순수하게 원자로만 구성된 측도이다. 즉, 어떤 가산 집합  및 함수 에 대하여, 다음이 성립한다.
 
 
 는 원자를 갖지 않는다. 즉, 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이자 인 가 존재한다.

절대 연속 성분 는 라돈-니코딤 정리에 의하여 쉽게 이해될 수 있다. 즉, 특이 연속 성분을 제외하면 르베그 분해의 나머지 두 성분은 쉽게 이해된다.

작용소의 경우 
복소수 힐베르트 공간  위의 조밀 부분 집합  위에 정의된 자기 수반 작용소 는 그 스펙트럼  위의 측도를 정의한다. 이 경우,  위의 측도 를 위와 같이 분해할 수 있다.

이에 따라, 측도의 분해에 대응하는 힐베르트 공간의 직합 분해를 정의할 수 있다.

예 

칸토어 3진 함수(Cantor三進函數, )를 다음과 같이 정의하자.

즉, 이 함수는 수의 3진법 표현에 일종의 알고리즘을 가해 2진법으로 표현된 수를 정의한다.

그렇다면, 를 누적 분포 함수로 갖는,  위의 르베그 측도는 르베그 분해 아래 순수하게 특이 연속 성분만으로 구성된다.

역사 
앙리 르베그가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

측도론