평행 운송

미분기하학에서, 평행 운송(平行運送, )은 올다발 속의 에레스만 접속을 사용하여 정의되는, 곡선의 양 끝점의 올 사이의 함수이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 실수 폐구간 
 조각마다 매끄러운 연속 곡선 
 매끄러운 올다발 
 의 에레스만 접속 (수평 다발) 
그렇다면, 의 로의 올림은 다음 그림이 가환하게 되는 곡선

이다.

 위에 에레스만 접속 가 주어졌다고 하자.  만약 가 다음 조건을 만족시킨다면, 에 대하여 수평 올림(水平-, )이라고 한다.

즉, 올림의 접벡터가 항상 수평이어야 한다 (수평 다발 에 속해야 한다).

주어진 에레스만 접속  및 초기 조건 에 대하여, 모든 곡선은 의 근방에서 유일한 수평 올림을 갖는다. (그러나 일반적으로 곡선의 대역적 수평 올림은 존재하지 않을 수 있다.) 즉, 이는 함수

를 정의한다. 이를 의, 를 따른 평행 운송(平行運送, )이라고 한다.

예

벡터 다발 
가 매끄러운 벡터 다발이며, 에레스만 접속이 의 코쥘 접속 로 주어진다고 하자. 이 경우, 평행 운송

는 두 실수 벡터 공간 사이의 실수 선형 변환을 이룬다.

특히, 만약 가 폐곡선이라면, 이는 일반 선형군의 원소를 이룬다.

이러한 폐곡선 평행 운송들이 구성하는 군을 홀로노미라고 한다.

주다발 
리 군 에 대하여 가 -매끄러운 주다발이며, 에레스만 접속이 의 주접속이라고 하자. 이 경우, 마찬가지로 평행 운송

을 정의할 수 있다. 만약 가 폐곡선이라면,

는 어떤 군 원소 의 오른쪽 군 작용에 의하여 주어진다.

즉, 이 경우 평행 운송은 의 원소로 주어진다.

외부 링크 
 
 
 
 

미분기하학