분해 불가능 대상

범주론에서 분해 불가능 대상(分解不可能對象, )은 더 작은 대상들의 쌍대곱으로 나타낼 수 없는 대상이다.

정의 
시작 대상  및 모든 쌍대곱을 갖는 범주 의 대상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 분해 불가능 대상()이라고 한다.
 임의의 대상들의 집합  및 동형 에 대하여, 이며 가 되는 가 유일하게 존재한다.
여기서 는 쌍대곱을 뜻한다.

마찬가지로, 끝 대상  및 모든 곱을 갖는 범주 의 대상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 쌍대 분해 불가능 대상()이라고 한다.
 임의의 대상들의 집합  및 동형 에 대하여, 이며 가 되는 가 유일하게 존재한다.
여기서 는 곱을 뜻한다.

예

집합 
집합과 함수의 범주 에서, 분해 불가능 대상은 한원소 집합이다.

준층 
작은 범주 가 주어졌을 때, 준층 범주  속의 대상 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 분해 불가능 대상이며, 사영 대상이다.
 에서 어떤 표현 가능 준층 으로 가는 분할 단사 사상 이 존재한다.

가군 
환 가 주어졌을 때, 분해 불가능 왼쪽 가군()은 -왼쪽 가군 범주 의 분해 불가능 대상이다. (오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.) 즉, 와 같은 꼴로 분해할 수 없는 가군을 뜻한다.

환  위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 분해 불가능 가군이다.
 영가군이 아니며, 자기 사상환 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
이는 만약 자기 사상환 의 멱등원 이 주어졌을 때, 가 되기 때문이다.

환  위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 유한한 길이를 갖는다.
 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
 합성열을 갖는다.

환  위의 왼쪽 가군 이 유한한 길이를 갖는다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 분해 불가능 가군이다.
 영가군이 아니며, 자기 사상환 은 국소환이다.
 (피팅 보조정리, ) 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다.
이는 자기 사상 이 주어졌을 때, 충분히 큰 에 대하여 임을 보여 증명할 수 있다.

체  위의 가군(=벡터 공간)의 경우, 분해 불가능 벡터 공간은 1차원 벡터 공간과 동치이다.

모든 왼쪽 아르틴 가군은 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군들의 직합과 동형이다. 크룰-슈미트 정리()에 따르면, 환  위의 왼쪽 가군 이 유한한 길이를 갖는다면, 을 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 이 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합  및 와 동형이라면, 이며, 인 가 존재한다.

모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이다. 그러나 단순 가군이 아닌 분해 불가능 가군이 존재한다.

군 
군에 대하여 가군과 유사한 결과들이 존재한다.

군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 쌍대 분해 불가능 군이다. 즉, 군의 범주 의 쌍대 분해 불가능 대상이다. 즉, 만약 라면, 과  가운데 정확히 하나가 성립한다.
 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는, 자기 사상 모노이드 의 멱등원은 0 또는 1이다. (여기서 0은 모든 원소를 군의 항등원으로 대응시키는 자기 사상 이다.)

군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족한다.
 주합성열을 갖는다.

군 의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 쌍대 분해 불가능 군이다.
 자명군이 아니며, 임의의 두 자기 사상 에 대하여, 만약 와 가 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하며, 의 원소와 의 원소가 가환하며, 와 가 자기 동형 사상이 아니라면, 자기 사상  역시 자기 동형 사상이 아니다.
 (피팅 보조정리, ) 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다. (여기서 멱영 함수는 충분히 거듭 합성하면 0이 되는 함수를 뜻한다.)

군 의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 는 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군의 직접곱과 동형이다. 크룰-슈미트 정리()에 따르면, 군 의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 를 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 가 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱  및 와 동형이라면, 이며, 인 가 존재한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

범주론
가군론
군론