슈티펠-휘트니 특성류

대수적 위상수학에서 슈티펠-휘트니 특성류(Stiefel-Whitney特性類, )는 실수 벡터 다발을 분류하는 유한체  계수 특성류이다. 이는 복소수 벡터 다발이 천 특성류에 의하여 분류되는 것과 마찬가지다.

정의 
위상 공간  위의 실수 유한 차원 벡터 다발 의 슈티펠-휘트니 특성류

는 다음 네 조건을 만족시키는 유일한 특성류이다.
 (직합의 분해) 임의의 벡터 다발 에 대하여, 
 (당김) 임의의 연속 함수 에 대하여, 
 (계수) 이며, 이다.
 (규격화) 실수 사영 직선 의 자명 선다발 의 슈티펠-휘트니 특성류는 자명하지 않다. 즉, 의 코호몰로지 환이 , 이라면 이다.
이 네 조건들을 모두 만족시키는 특성류는 유일하게 존재한다는 것을 보일 수 있다.

정수 슈티펠-휘트니 특성류 
아벨 군의 짧은 완전열

에 대한 복시테인 준동형

를 생각하자. 유한 차원 실수 벡터 다발 의 정수 슈티펠-휘트니 특성류 는 슈티펠-휘트니 특성류의, 이 복시테인 준동형에 대한 상이다.

우 특성류 
유한 차원 실수 벡터 다발 의 우 특성류([吳]特性類, ) 는 그 총 스틴로드 제곱이 슈티펠-휘트니 특성류가 되는 코호몰로지류이다.

구성 
슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같이 여러 방법으로 구성할 수 있다.

톰 동형을 통한 구성 

슈티펠-휘트니 특성류는 톰 동형을 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다.

차원 실수 벡터 다발 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

또한,  속에 다음 조건을 만족시키는 유일한 코호몰로지류 가 존재한다.
 모든 에 대하여, 올 에 국한한 코호몰로지류 는 0이 아니다.
이를 톰 특성류라고 한다.

그렇다면, 각종 코호몰로지 공간 사이에 다음과 같은 사상들을 정의할 수 있다.

이 경우, 는  벡터 공간의 동형 사상이다. 이를 톰 동형이라고 한다.

기본 코호몰로지류 의 총 스틴로드 제곱

를 생각하자. 그렇다면, 슈티펠-휘트니 특성류는 톰 특성류의 총 스틴로드 제곱의 톰 동형에 대한 원상이다.

무한 사영 공간을 통한 구성 
선다발의 슈티펠-휘트니 특성류는 무한 사영 공간을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.

차원 실수 벡터 다발은 무한 그라스만 다양체 에 의하여 분류된다. 특히, 실수 선다발은 무한 사영 공간 에 의하여 분류된다. 무한 사영 공간은 에일렌베르크-매클레인 공간

이다.

실수 선다발 에 대응하는 연속 함수

를 생각하자. 에일렌베르크-매클레인 공간의 성질에 따라,

이다. 그렇다면, 실수 선다발 의 슈티펠-휘트니 특성류 는 다음과 같다.

여기서 는 의 호모토피류를 뜻한다.

성질 
일반적으로 특성류는 매끄러움 구조 또는 복소구조에 의존한다. 유리수 계수 폰트랴긴 특성류는 (위상) 다양체의 불변량이다. 즉, 매끄러움 구조에 의존하지 않는다. 그러나 이는 호모토피 동치에 대한 불변량이 아니다. 우 정리([吳]定理, )에 따르면, 슈티펠-휘트니 특성류는 호모토피 동치에 대한 불변량이다.

방해물 이론 
처음 몇 개의 슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같은 구조의 존재에 대한 방해물을 이룬다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
 가향 벡터 다발이다.
 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.
특히, 다양체 이 가향 다양체일 필요충분조건은 그 접다발의 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
 스핀 구조를 갖는다.
 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.
특히, 다양체 이 스핀 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 그 접다발의 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
 스핀C 구조를 갖는다.
 1차 슈티펠-휘트니 특성류 가 0이고, 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류 가 0이다.
특히, 다양체 이 스핀C 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 가향 다양체이며 접다발의 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

역사 
에두아르트 슈티펠()과 해슬러 휘트니가 발견하였다.

우 특성류는 우원쥔()이 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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