무한 논리

수리논리학에서 무한 논리(無限論理, )는 무한한 논리합·논리곱·전칭 기호·존재 기호를 나타낼 수 있는 논리 체계이며, 유한 1차 논리를 일반화한다.

정의 
가 무한 정칙 기수이며,  역시 무한 기수라고 하자. 무한 논리 의 항()들은 다음과 같다.
 임의의 순서수 에 대하여, 변수 는 항이다.
 자연수 에 대하여, 만약 항 연산  및 항 이 존재한다면, 은 항이다.
의 공식()들은 다음과 같다.
 자연수 에 대하여, 만약 항 관계  및 항 이 존재한다면, 은 공식이다.
 (등식) 임의의 항 , 에 대하여, 는 공식이다.
 (부정) 임의의 공식 에 대하여, 는 공식이다.
 (무한 논리합) 크기가  미만인, 공식들의 집합 에 대하여, 
 (무한 전칭 기호) 크기가  미만인 변수들의 집합  및 공식 에 대하여, 만약 의 어느 원소도 에서 속박 변수가 아니라면, 는 공식이다.

크기가  미만인 공식들의 집합 에 대하여,

는

의 약자이다. 마찬가지로, 크기가  미만인 변수들의 집합  및 가 속박 변수로 등장하지 않는 공식 에 대하여,

는

의 약자이다. 마찬가지로,

는

의 약자이며,

는

의 약자이다. 문장()은 자유 변수가 없는 공식이다. 이론()은 문장들의 집합이다.

무한 논리는 (유한) 1차 논리와 마찬가지로 증명 이론과 모형 이론을 정의할 수 있다. 논리 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 논리()라고 한다.
 어떤 문장 이 모든 모형 에서 성립한다면, 의 증명이 존재한다.
논리 가 다음 조건을 만족시키면, 강완전 논리()라고 한다.
 임의의 이론  및 문장 에 대하여, 만약 라면 이다. 여기서 는 임의의 모형 에 대하여, 만약 라면 라는 뜻이다.
강완전성은 완전성보다 더 강한 조건이다. 즉, 모든 강완전 논리는 완전 논리이나, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

성질 
만약 가 강완전 논리라면, 는 강콤팩트 기수이다.

예 
대표적인 무한 논리로는 다음을 들 수 있다.
 . 이는 (유한) 1차 논리이며, 또한 강완전 논리이다 (괴델의 완전성 정리).
 . 이는 완전 논리이지만 강완전 논리가 아니다.

역사 
데이나 스콧과 알프레트 타르스키가 1958년에 도입하였다.

응용 
무한 논리는 집합론에서 약콤팩트 기수·강콤팩트 기수 등의 큰 기수들을 정의할 때 쓰인다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 약콤팩트 기수
 강콤팩트 기수

수리논리학