변형 수축

호모토피 이론에서 변형 수축(變形收縮, )은 호모토피 유형을 보존시키면서 어떤 위상 공간을 그 부분 공간으로 오그라뜨리는 과정이다. 모든 변형 수축은 호모토피 동치이며, 반대로 모든 호모토피 동치는 변형 수축들로 나타낼 수 있다.

정의 
위상 공간 의 부분 공간 에 대하여, 만약 연속 함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 를 에서 로의 약한 변형 수축이라고 한다.

 
즉, 그림으로는 다음과 같다.

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 가 존재하여야 한다.

위상 공간 의 부분 공간 에 대하여, 만약 연속 함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 를 에서 로의 강한 변형 수축()이라고 한다.

 
즉, 그림으로는 다음과 같다.

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 가 존재하여야 한다.

성질 
위상 공간 의 약한 변형 수축 가 주어졌을 때, 는 와 (강하게) 호모토피 동치이다.

일반적으로, 위상 공간  및 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 와 가 (강하게) 호모토피 동치이다.
 어떤 위상 공간  및 포함 사상  및 에 의하여, 와 는 둘 다 의 약한 변형 수축이다.
 어떤 위상 공간  및 포함 사상  및 에 의하여, 와 는 둘 다 의 강한 변형 수축이다.

위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 축약 가능 공간이다.
 가 의 약한 변형 수축을 이루는 가 존재한다.
그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.

예 
원점을 제거한 유클리드 공간 의 부분 공간인 차원 초구

는 다음과 같은 호모토피를 통해 강한 변형 수축을 이룬다.

역사 
카롤 보르수크가 1930년 박사 학위 논문에서 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 수축 (범주론)
 호모토피 동치

호모토피 이론