스핀C 다양체

미분기하학에서 스핀C 다양체(spin多樣體, )는 그 직교 틀다발이 스핀C 군에 대한 주다발로의 올림을 갖춘 준 리만 다양체이다. 스핀C 구조는 자이베르그-위튼 방정식 등을 정의하기 위한 필요 조건이다.

정의 
스핀C 구조()의 정의는 스핀 구조의 정의와 유사하지만, 스핀 군 대신 스핀C 군을 사용한다.

즉, 차원 가향 준 리만 다양체  위의 스핀C 구조()는 다음 조건을 따르는 Spin(n)c-주다발 과 주다발 사상 으로 구성된다.
 
 임의의 , 에 대하여 이다. (여기서 은 적절한 군의 작용이며, 은 군 준동형이다.) 즉 군의 작용은 와 가환한다.

성질 
매끄러운 다양체  위에 스핀C 구조가 존재할 필요 충분 조건은 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류

가 0인지 여부이다. 여기서 는 복시테인 준동형

이다.

분류 
만약 다양체  위에 스핀C 구조가 존재할 수 있다면, 가능한 스핀C 구조들의 공간은  위의 아핀 공간이다.

이는 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 아벨 군의 짧은 완전열

을 생각하자. 이에 따라, 지그재그 보조정리를 사용하여 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

여기서 는 복시테인 준동형이다.

스핀C 구조는 원래 방해물(obstruction)에 막혀 스핀 구조를 이루지 못하는 구조를, 같은 방해물에 막혀 U(1) 주다발을 이루지 못하는 구조로 뒤틀어(twist) 만든 것이다. U(1) 주다발들은 그 천 특성류 에 의하여 분류된다. 이는 위 긴 완전열에서 첫 에 해당하며, 이는 두 번째 에서 의 상에 해당한다. 반면, 방해물에 막힌 U(1) ‘주다발’은 두 번째 에서 의 상에 속하지 않은 원소들이다. 이 원소를 라고 하자. 스핀 구조의 방해물은 2차 슈티펠-휘트니 특성류 이므로, 이 방해물이 U(1) ‘주다발’의 방해물 와 같으려면 에 따른 의 상이 이어야 한다. 완전열의 성질에 의하여, 이 조건은 의 복시테인 준동형에 따른 상 인 조건과 동치이다.

예 
다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀C 구조를 갖는다.
 모든 4차원 이하 콤팩트 유향 다양체는 스핀C 구조를 갖는다.
 모든 개복소 다양체는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발은 복소수 접다발 의 행렬식 선다발 이다.
 모든 스핀 다양체는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발은 자명한 다발이다.

외부 링크 
 
 
 
 

리만 기하학