축소구간정리

수학에서 축소구간열(縮小區間列, )은 각 구간이 바로 앞 구간의 부분 집합인 구간들의 열이다. 축소구간정리(縮小區間定理, )에 따르면, 닫힌구간으로 구성된 축소구간열은 적어도 하나의 공통 원소를 갖는다.

정의

축소구간열 
축소구간열은 임의의 자연수 에 대하여 을 만족시키는 구간열 이다.

축소구간열 의 각 항 의 양쪽 끝점을 이라고 하자. 그렇다면 자명하게, 임의의 자연수 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
  (여기서 은 구간의 길이이다.)

축소구간정리 

구간열 이 다음 조건들을 만족한다고 하자.
 모두 닫힌구간이다. 즉, 임의의 자연수 에 대하여, 이다.
 축소구간열이다. 즉, 임의의 자연수 에 대하여, 이다.

축소구간정리에 따르면, 이 구간열의 교집합은 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다. 즉,

이게 되는 두 실수 가 존재한다.

특히, 이 다음과 같은 조건을 추가로 만족한다고 하자.
  즉, 구간의 길이가 0으로 수렴한다.

그렇다면, 이며, 교집합은 한원소 집합이다.

축소구간정리는 코시 성질과 동치이다. 즉, 아르키메데스 성질을 덧붙이면 실수의 완비성을 나타내는 여러 공리들과 동치가 된다. 문헌에 따라서는 세 번째 조건이 빠진 서술을 뜻하기도 하는데, 이 또한 더 강한 조건의 축소구간정리와 동치이다.

예와 반례 
다음 구간열들은 축소구간정리의 전제 조건을 만족하며, 따라서 교집합이 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다.
 
 

일반적인 축소구간열의 교집합은 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간일 필요가 없다. 즉, 열린구간이나 공집합 등일 수 있다.

다른 전제 조건 
축소구간열의 "닫힌구간" 전제 조건은 다음과 같은 조건으로 바꿀 수 있다.

축소구간열 이 만약 조건
 임의의 자연수 에 대하여, 이다.
를 만족시킨다면, 교집합은 역시 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다. 이는

이기 때문이다. 여기서 은 폐포이며, 이들은 닫힌구간으로 구성된 축소 구간열을 이룬다. 예를 들어, 다음과 같다.
 
  (이는 오른쪽 끝점에만 위 결론을 적용한 경우이다.)

비슷하게, 축소구간열 이 만약 조건
 임의의 자연수 에 대하여, 이다.
를 만족시킨다면, 교집합은 역시 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다.

일반화

거리 공간 
축소구간정리는 유클리드 공간을 비롯한 거리 공간으로 일반화할 수 있다.

거리 공간 의 부분 집합의 열 이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
 임의의 에 대하여, 은 공집합이 아닌 콤팩트 집합이다.
 임의의 에 대하여, 이다.
그렇다면, 그들의 교집합은 공집합이 아니다. 또한, 추가적으로 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
  즉, 거리 공간의 지름이 0으로 수렴한다.
그렇다면, 그들의 교집합은 한원소 집합이다.

위상 공간 
위상 공간 속, 공집합이 아닌 콤팩트 닫힌집합의 하강 열의 교집합은 공집합이 아니다.

응용 
이분법 (수학)

실수 집합
실해석학 정리