무게 (표현론)

리 대수 이론에서, 무게()는 리 대수의 표현을 분류하는 일련의 수들이다.

정의 
체 에 대한 리 대수 의 무게 는 다음 성질을 만족시키는 -선형 범함수이다. (여기서 는 쌍대 공간이다.)

무게는 리 괄호에 대하여 0이므로, 리 대수 의 무게는 그 가환화 의 무게로 제한될 수 있다. 즉, 의 무게는 의 원소를 정의한다.

무게 가군 
다음이 주어졌다고 하자.
 체 
 -리 대수 
 의 표현 
 의 무게 
그렇다면,  속의, 무게 의 무게 공간() 는 의 다음과 같은 부분 공간이다.

이라면 를 의 무게라고 하고, 무게 공간의 원소를 무게 벡터()라고 한다.

만약 가 그 무게 공간들의 직합이라면, 를 의 무게 가군(-加群, )이라고 한다.

마찬가지로, 다음을 정의하자.  속의, 무게 의 일반화 무게 공간() 는 의 다음과 같은 부분 공간이다.

이라면 를 의 일반화 무게()라고 하고, 무게 공간의 원소를 일반화 무게 벡터()라고 한다. (유한 차원 의 경우 사실 항상 로 잡을 수 있다.)

마찬가지로, 일반화 무게 공간들의 직합으로 표현되는 표현을 일반화 무게 가군()이라고 한다.

성질 
복소수체 위의 유한 차원 멱영 리 대수 의 모든 유한 차원 표현은 항상 일반화 무게 가군이다.

복소수체 위의 유한 차원 아벨 리 대수 의 모든 유한 차원 표현은 항상 무게 가군이다.

반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수의 무게 
만약 가 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 를 고르자. 이므로,  위의 모든 무게는 자명하다. 그러나 아벨 리 대수 는 (물론) 자명하지 않을 수 있다. 이 경우, 의 모든 유한 차원 표현은 (에 제한되었을 때) 의 무게 가군을 이룬다.

딸림표현 의 -무게들을 의 근(根, )이라고 하며, 이들은 의 벡터들의 집합으로서 근계를 이룬다. 근 에 대응하는 쌍대근(雙對根, ) 은

이다.

단순 리 대수의 무게 
가 복소수체 위의 유한 차원 단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 를 고르자. 의 정수 무게(整數-, ) 는 다음 조건을 만족시키는 무게이다.
 모든 쌍대근 에 대하여, . (다시 말해, 모든 근 에 대하여, .)
정수 무게들의 집합 는 (덧셈군으로서) 와 동형이며, 이를 정수 무게 격자()라고 한다.

의 근계의 양근  및 이를 생성하는 단순근 를 고르자.
그렇다면, 의 기본 무게(基本-, ) 는 (선택한 양근 집합에 대한) 단순근에 대응되는 쌍대근들의 집합의 쌍대 기저의 원소이다. 즉, 단순근 집합 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 무게 이다.

이에 따라, 정수 무게는 기본 무게의 정수 계수 선형 결합이 된다.

의 우세 무게(優勢-, )는 기본 무게의 음이 아닌 실수 계수 선형 결합이다. 즉, 무게 가 우세 무게가 될 필요 충분 조건은 모든 양근 (또는 단순근) 에 대하여

인 것이다. 의 우세 정수 무게(優勢-, )는 기본 무게들의 음이 아닌 정수 계수의 선형 결합이다. 우세 무게들의 닫힌집합(즉, 우세 정수 무게들의 볼록포)를 기본 바일 방()이라고 한다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center"
| 무게 || ⊃ || 정수 무게 || ⊃ || 근 || ⊃ || 양근 || ⊃ || 단순근
|-
| ∪ || || ∪
|-
| 우세 무게 || ⊃ || 우세 정수 무게 || ⊃ || 기본 무게
|-
| || || ⟒
|-
| || || 영벡터 (0)
|}
여기서
 밑줄로 강조된 것들은 양근의 선택에 의존하지만, 나머지는 그렇지 않다.
 기울어지게 쓰인 것들은 유한 집합이며, 나머지는 무한 집합이다.

예 
다음과 같은 A2 근계를 생각하자.

여기서
 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
 삼각형 격자의 모든 꼭짓점은 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
 굵게 칠해진 꼭짓점들은 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
 굵게 칠해진 꼭짓점들의 볼록포인 60° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
 화살표의 머리들(, , )은 근이다. (즉, 총 6개의 근이 있다.)
 양근은 , , 이다. (즉, 총 3개의 양근이 있다.)
 단순근은 , 이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
 기본 무게는 , 이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

다음과 같은 B2 근계를 생각하자.

여기서
 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
 격자 의 원소는 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
 의 원소는 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
 제1사분면의 점 가운데, y좌표가 x좌표보다 더 큰 점들로 구성된 45° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
 화살표의 머리들(, ,  )은 근이다. (즉, 총 8개의 근이 있다.)
 양근은 , , , 이다. (즉, 총 4개의 양근이 있다.)
 단순근은 , 이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
 기본 무게는 , 이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

리 대수
표현론