분수 아이디얼

가환대수학과 대수적 수론에서 분수 아이디얼(分數ideal, )은 분모가 허용되는, 아이디얼의 일반화이다. 아이디얼 유군을 정의할 때 사용된다.

정의

분수 아이디얼 
가환환 가 주어졌다고 하고, 그 전분수환을 라고 하자. 의 분수 아이디얼 는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.
 는 에 대한 가군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
 는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.
 임의의  및 에 대하여, 이다.
 인 가 존재한다.

두 분수 아이디얼 의 곱은 다음과 같다.

이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, 는 곱셈에 대한 항등원을 이룬다 (). 따라서, 정역 의 분수 아이디얼들의 집합 은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

분수 아이디얼들의 가환 모노이드의 가역원을 가역 분수 아이디얼()이라고 하며, 가역 분수 아이디얼들은 아벨 군 을 이룬다.

두 분수 아이디얼 의 합

역시 분수 아이디얼을 이룬다. (이는 만약 에 대하여 라면 이기 때문이다.) 이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, 영 아이디얼 은 그 항등원을 이룬다. 또한, 곱셈에 대하여 분배 법칙 역시 성립하므로, 는 반환을 이룬다.

유한 또는 무한 개의 분수 아이디얼들 의 교집합

역시 분수 아이디얼을 이룬다. 그러나 ( 자체는 일반적으로 분수 아이디얼이 아니므로) 이 연산은 일반적으로 항등원을 갖지 않는다.

주 분수 아이디얼 
다음과 같은 곱셈 모노이드 준동형이 존재한다.

그러나 일반적으로 이므로 이는 반환의 준동형을 이루지 못한다.

의 주 분수 아이디얼(主分數ideal, )의 집합 은 이 모노이드 준동형의 치역이다. 즉, 주 분수 아이디얼은 의 꼴로 나타낼 수 있는 분수 아이디얼이다.

이 모노이드 준동형의 핵은 다음과 같다.

즉, 다음과 같다.

인자 아이디얼 
의 -부분 가군 에 대하여, 다음 기호를 정의하자.

즉, 는 를 부분 집합으로 포함하는 모든 주 분수 아이디얼들의 교집합이다.

만약 분수 아이디얼 가

를 만족시킨다면, 를 인자 아이디얼(因子ideal, )이라고 한다. 그 집합을 로 표기하자.

 위에 다음과 같은 곱을 정의할 수 있다.

이 곱에 대하여 는 가환 모노이드를 이룬다. 만약 가 뇌터 정수적으로 닫힌 정역의 경우 이는 아벨 군을 이루며, 이 경우 의 역원은 이다.

에 대하여 이므로, 모든 가역 주 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이다. 보다 일반적으로, 모든 가역 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이며, 이 경우 이다.

성질 
임의의 정역 에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

크룰 정역 
크룰 정역에서, 인자의 이론은 인자 아이디얼을 통해 전개할 수 있다. 크룰 정역 에서 높이가 1인 소 아이디얼들은 인자 아이디얼을 이루며, 를 생성한다.

이 경우, 몫군

을 의 인자 유군이라고 하며, 이는 아이디얼 유군을 부분군으로 갖는다.

데데킨트 정역 
데데킨트 정역의 경우, 0이 아닌 모든 분수 아이디얼이 가역 분수 아이디얼이다. 즉, 다음이 성립한다.
주 아이디얼 ⊆ 주 분수 아아디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼
구체적으로, 정역 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  는 데데킨트 정역이다.
 의 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역 분수 아이디얼이다.
이 경우, 몫군

을 의 아이디얼 유군이라고 한다.

두 데데킨트 정역 이 주어졌으며, 가 의 (분수체  속의) 정수적 폐포라고 한다면, 아이디얼 노름이라는 곱셈 모노이드 준동형

을 정의할 수 있으며, 이는 (주 분수 아이디얼에 대하여 적용한다면) 체 노름의 일반화이다.

유일 인수 분해 정역 
유일 인수 분해 정역의 경우, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다. 즉, 유일 인수 분해 정역의 경우 다음이 성립한다.
주 아이디얼 ⊆  {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 ⊆ 분수 아이디얼
구체적으로, 정역 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 유일 인수 분해 정역이다.
 는 크룰 정역이며, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다.

주 아이디얼 정역과 체 
주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이자 유일 인수 분해 정역이므로, 다음이 성립한다.
주 아이디얼 = 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼

체에서는 아이디얼이 과 밖에 없다. 이 경우, 다음이 성립한다.
주 아이디얼 = 아이디얼 = {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 = {(0), (1)}

예 
정수환 의 경우, 임의의 유리수 에 대하여

는 정수환의 분수 아이디얼이다. 이는 에 의하여 생성되므로, 주 분수 아이디얼이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 분수 아이디얼이 이러한 꼴이다.

만약 이라면

이며,

이다. 따라서 이는 인자 아이디얼을 이룬다. 만약 이라면,

이므로, 영 아이디얼 역시 인자 아이디얼이다.

외부 링크 
 
 
 
 
 

아이디얼
가환대수학
대수적 수론