일반화 복소다양체

미분기하학에서 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, )는 복소다양체와 심플렉틱 다양체의 공통적인 일반화이다. 물리학적으로, 캘브-라몽 장 가 존재하는 IIB 초끈 이론 축소화를 나타낸다.

정의 
차원 매끄러운 다양체  위의  일반화 개복소구조(一般化槪複素構造, )는 실수 벡터 다발  위의 개복소구조이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 다발 사상 이다.
 
 
여기서 는 부호수 의 자연스러운 내적 사상이다. 일반화 개복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 개복소다양체(一般化槪複素多樣體, )라고 한다.

일반화 개복소다양체 위의 일반화 정칙접다발()은 다음과 같은 복소수 벡터 다발이다.

이에 따라

가 된다.

의 두 매끄러운 단면 , 에 대하여, 다음과 같이 쿠란트 괄호(Courant括弧, )를 정의하자.

여기서 는 리 미분이며, 는 외미분이다.

일반화 개복소구조 가운데, 의 매끄러운 단면들이 쿠란트 괄호에 대하여 닫혀 있는 것들을 일반화 복소구조(一般化複素構造, )라고 하며, 일반화 복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, )라고 한다.

순수 스피너 

차원 실수 벡터 공간 가 주어졌을 때,  위에는 자연스러운  구조가 존재한다. 이 경우, 리 대수의 작용은

이다.

는 외대수  위에 다음과 같은 작용을 갖는다.

이 경우

이며, 이는 디랙 행렬과 같은 형태이다. 이를 사용하여, 의 디랙 스피너 공간을 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

이는 짝수 차원 디랙 스피너 공간이며, 이는 바일 스피너 공간의 직합으로 나타낼 수 있다.

스피너  가운데,

인 것을 의 순수 스피너(純粹spinor, )라고 한다.

이 모든 정의들은 벡터 공간 대신, 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발에 대하여 정의할 수 있다.

일반화 칼라비-야우 다양체 
매끄러운 다양체 의 일반화 접다발 이 자명한 순수 스피너 복소수 선다발을 갖는다면, 를 일반화 칼라비-야우 다양체라고 한다. 즉,

가 의 순수 스피너이며, 이며, 또한 모든 곳에서 이라면 은 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

일반화 칼라비-야우 다양체 가 주어졌을 때, 은 위의 일반화 복소구조를 정의한다. 즉, 모든 일반화 칼라비-야우 다양체는 일반화 복소다양체를 이룬다.

예

복소다양체 
모든 복소다양체는 자명하게 일반화 복소다양체를 이루며, 모든 칼라비-야우 다양체는 자명하게 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 복소수 차원 복소다양체 의 경우, 는 정칙 벡터장 및 -복소수 미분 형식들의 다발의 직합이다.

이 경우, 순수 스피너는 -복소수 미분 형식이며, 칼라비-야우 다양체의 경우 정칙 부피 형식 이 존재하므로 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

심플렉틱 다양체 
모든 심플렉틱 다양체 역시 일반화 복소다양체를 이루며, 또한 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 차원 심플렉틱 다양체 가 주어졌을 때, 순수 스피너는 다음과 같은 꼴의 복소수 미분 형식이다.

순수 스피너의 다발은 항상 자명하므로, 이는 항상 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룸을 알 수 있다. 이 경우, 일반화 정칙 접다발은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다.

역사 
나이절 히친이 2002년에 거울 대칭을 다루기 위하여 도입하였다. 이후 히친의 박사 과정 학생인 마르코 괄티에리()가 박사 학위 논문에서 이를 체계적으로 연구하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

복소다양체