절대 갈루아 군

수학에서, 체 의 절대 갈루아군 는  위의 의 갈루아군이다. 여기서 는 의 분리 가능한 폐포이다. 또는 를 고정하는 의 대수적 폐포의 모든 자기동형의 군이다. 절대 갈루아 군은 내부 자기동형사상을 기준으로 잘 정의되어 있다. 또한 사유한군이다.

(가 완전체일 때 는 의 대수적 폐포 K alg 와 동일하다. 이것은 예를 들어 표수 0인  또는 유한 체 에 대해 유지된다)

예 
 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군은 자명하다.
 실수의 절대 갈루아 군은 가 과 인 분리 가능한 폐포이기 때문에 두 원소(복소 켤레 및 항등 사상)의 순환 군이다.
 유한 체 의 절대 갈루아 군은 군

 

과 동형이다.(표기법은 역극한을 참조)

 프로베니우스 자기동형사상 은 의 표준(위상) 생성자이다. (임을 기억하라. 여기서 q는 의 원소들의 수이다)

 복소수 계수를 갖는 유리 함수 체의 절대 갈루아 군은 자유군(사유한군으로서)이다. 이 결과는 아드리앙 두아디에 기인하며 리만의 존재 정리에 기원을 두고 있다.
 보다 일반적으로, 를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 x를 변수라고 하자. 그러면 의 절대 갈루아 군은 의 기수와 동일한 랭크를 가진 자유군이다. 이 결과는 David Harbater와 Florian Pop에 의한 것이며 Dan Haran과 Moshe Jarden에 의해 나중에 대수적 방법으로 증명되었다.
 를 p진수 의 유한 확대라 하자. 에 대해, 절대 갈루아 군은 개의 원소들에 의해 생성된다. 그리고 관계와 생성자에 대한 의한 명시적 묘사가 있다. 이것은 Uwe Jannsen과 Kay Wingberg의 결과이다. 인 경우 일부 결과가 알려져 있지만 에 대한 구조는 알려져 있지 않다.
 절대 갈루아 군이 결정된 또 다른 경우는 대수 체의 가장 큰 총 실수 부분 체에 대한 것이다.

난제들 
 유리수의 절대 갈루아 군에 대한 직접적인 설명은 알려져 있지 않다. 이 경우, 절대 갈루아 군이 대수적 수체의 갈루아 이론을 "볼" 수 있게 하는 그로텐디크의 데셍당팡 (곡면의 지도)에 대한 충실한 작용를 갖는다는 것은 Belyi의 정리에서 따른다.
 를 유리수의 최대 아벨 확대라고 한다. 그런 다음 샤파레비치의 추측은 의 절대 갈루아 군이 자유 사유한군이라고 주장한다.

몇 가지 일반적인 결과 
 모든 사유한군은 일부 갈루아 확대의 갈루아 군으로 발생하지만 모든 사유한군이 절대 갈루아 군으로 발생하는 것은 아니다. 예를 들어, Artin–Schreier 정리는 유일한 유한 절대 갈루아 군이 자명하거나 차수가 2, 즉 두 개의 동치류라는 것을 주장한다.
 모든 사영 사유한군은 유사 대수적 완비 체의 절대 갈루아 군으로 실현될 수 있다. 이 결과는 Alexander Lubotzky와 Lou van den Dries가 증명했다.

각주

참고 문헌 
 
 
 
 
 
 
 

갈루아 이론