그로텐디크 아벨 범주

호몰로지 대수학에서 그로텐디크 아벨 범주(Grothendieck Abel範疇, )는 특별히 좋은 성질을 가져, 호몰로지 대수학을 전개하기 간편한 아벨 범주이다.

정의 
AB5 아벨 범주(AB5 Abel範疇, )는 다음 조건들을 만족시키는 아벨 범주이다.
 쌍대 완비 범주이다.
 완전열의 여과 쌍대 극한()이 존재하며, 완전열을 이룬다. 즉, 상향 원순서 집합 의 첨자를 가진 짧은 완전열들 이 주어졌을 때, 그 쌍대 극한 이 존재하며 역시 짧은 완전열을 이룬다. (만약 쌍대 극한들이 존재한다면 이는 일반적으로 오른쪽에서만 완전열을 이룬다. 즉, 이 조건은 위 완전열이 왼쪽에서도 완전하다는 것을 뜻한다.)

쌍대 완비 아벨 범주에서 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 생성 대상을 갖는다.
 생성 집합을 갖는다.
이는 생성 집합 를 갖는 쌍대 완비 아벨 범주의 경우, 의 쌍대곱

가 생성 대상을 이루기 때문이다.

그로텐디크 아벨 범주 는 생성 대상을 갖는 AB5 아벨 범주이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 대상 가 존재한다.
 는 충실한 함자이다.

성질 
모든 그로텐디크 아벨 범주는 다음 성질들을 만족시킨다.
 완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다.
 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며, 모든 대상이 단사 껍질을 갖는다. (그러나 일반적으로 사영 대상을 충분히 가지는 범주가 아니며, 사영 덮개가 존재하지 않을 수 있다.)
 단사 대상인 쌍대 생성 대상을 갖는다.
 대상 의 부분 대상들의 부분 순서 집합 은 완비 격자이다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.
 (가브리엘-포페스쿠 정리 ) 의 임의의 생성 대상 에 대하여, 표현 가능 가법 함자 는 충실충만한 함자이며, 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이 왼쪽 수반 함자는 완전 함자이다. 즉, 그로텐디크 아벨 범주는 가군 범주의 반사 부분 범주로 여길 수 있다.

예 
1을 가진 환 에 대한 왼쪽 가군들과 가군 준동형들의 범주  (또는 오른쪽 가군들의 범주 )은 그로텐디크 아벨 범주이다.

임의의 위치  위의, 아벨 군 값의 층의 범주 는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.

임의의 환 달린 공간  위의 가군층들의 범주 는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다. 만약 가 추가로 스킴을 이룬다면, 준연접층의 범주  역시 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.

역사 
1957년에 알렉산더 그로텐디크는 범주가 만족시킬 수 있는 일련의 조건들 AB1~AB6들을 정의하였다. 이 가운데, AB1 및 AB2를 만족시키는 범주는 오늘날 "아벨 범주"로 불리며, AB1~AB3를 만족시키는 범주는 쌍대 완비 아벨 범주와 같은 개념이다. AB5는 AB4, AB3을 함의하며, 이 때문에 AB5 공리를 만족시키는 아벨 범주를 "AB5 아벨 범주"라고 한다. 같은 논문에서 그로텐디크는 생성 대상을 갖는 AB5 아벨 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주임을 증명하였으며, 이 때문에 이러한 범주가 "그로텐디크 범주"로 불리게 되었다.

가브리엘-포페스쿠 정리는 1964년에 피에르 가브리엘(, 1933~2005)과 니콜라에 포페스쿠(, 1937~2010)가 증명하였다. (이 논문은 포페스쿠의 이름에 "Popesco"로 오타를 포함한 채 인쇄되었다.)

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

호몰로지 대수학
가법적 범주