𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론

이론물리학에서, 4차원  초대칭 양-밀스 이론(四次元超對稱[楊]-Mills理論, )은 중력을 포함하지 않는, 4차원에서 최대의 초대칭 대수를 갖는 초대칭 게이지 이론이다. 이 이론은 사실 초등각 장론을 이루며, 초끈 이론과 깊은 관계를 갖는다.

정의 
콤팩트 리 군 를 게이지 군으로 삼는 4차원  초대칭 양-밀스 이론의 라그랑지언은 다음과 같다.
 
여기서 는 3+1차원 시공간 벡터 표현의 지표이며, 는 Spin(6)=SU(4) R대칭 벡터 표현의 지표이며, 는 게이지 군 의 딸림표현의 지표이다. 는 SU(4)의 구조 상수이다. 는 양-밀스 이론의 게이지 장세기

이다 (는 게이지 퍼텐셜). 와 는 게이지 결합 상수이며, 게이지 군의 종류와 더불어 이론의 유일한 매개 변수이다. 비재규격화 정리에 따라서, 와 는 재규격화를 겪지 않으며, 이 이론은 4차원  초등각 대칭을 갖는다.

구성 
4차원  초대칭 양-밀스 이론은 같은 게이지 군을 갖는 10차원 초대칭 양-밀스 이론의 차원 축소()로 얻어진다. 이 경우, Spin(6) R대칭군은 축소된 6개의 차원에 대한 회전 대칭으로서 발생한다.

또한, 적어도 특정한 게이지 군에 대하여, 이 이론은 D3-막 위에 자연스럽게 존재하는 양자장론이다(이 사실은  AdS/CFT 대응성에 핵심적인 역할을 한다). 이 경우, 게이지 군의 종류는 겹쳐진 D3-막의 수와 오리엔티폴드의 유무에 따라 결정된다. 예를 들어, 오리엔티폴드가 없으며, 개의 D3-막이 존재한다면, 이 경우  게이지 군이 발생한다.

성질

몬토넨-올리브 이중성 
 초대칭 양-밀스 이론에서는 일종의 S-이중성이 성립하는데, 이를 몬토넨-올리브 이중성()이라고 한다. 구체적으로, 두 결합 상수 와 를 다음과 같이 하나의 복소수 결합 상수

로 표기하였을 때, 이 이론은

에 의하여 불변이며 (즉, 는  주기의 각도), 또한 게이지 군 의, 결합 상수 의 초대칭 양-밀스 이론은 게이지 군 와 결합 상수

를 갖는 이론과 동형이다. 여기서 는 의 랭글랜즈 쌍대군이며, 는 랭글랜즈 쌍대성에 등장하는 정수이다. 특히, 인 경우 이는  모듈러 군을 이룬다.

몬토넨-올리브 이중성은 IIB종 초끈 이론으로 설명할 수 있다.   양-밀스 이론은 개의 겹친 D3-막들 위에 존재하는 유효 이론이다. D3-막에는 기본 끈(F-끈)과 D1-막(D-끈)이 붙어 있는데, F-끈의 끝은 전기 홀극, D-끈의 끝은 자기 홀극을 이룬다. IIB종 초끈 이론에서는 S-이중성은 F-끈과 D-끈을 맞바꾸게 되고, 이 이중성은 물론 D3-막의 유효 이론도 따르게 된다. 이 이중성이 몬토넨-올리브 이중성이다.

AdS/CFT 대응성 

AdS/CFT 대응성에 따라,  초대칭 양-밀스 이론은 5차원 초구 와 4+1차원 반 더 시터르 공간 의 곱공간  위에 존재하는 IIB종 초끈 이론과 사실상 같은 이론이라고 추측된다.

적분 가능성 
  초대칭 양-밀스 이론에서,  극한에서 개의 고리(=끈 세계면의 종수)를 갖는 파인먼 도형의 확률 진폭은 에 비례하게 된다. 즉, 색깔의 수가 매우 클 경우, 오직 낮은 종수의 파인먼 도형만이 살아남게 된다.

이러한 극한에서, 양자장론의 국소적 연산자들은 일종의 스핀 사슬() 모형으로 나타내어질 수 있다.

역사 
 초대칭 양-밀스 이론은 1977년에 10차원 초대칭 양-밀스 이론의 차원 축소로 발견되었다.

같은 해에, 양-밀스 이론의 S-이중성은 클라우스 몬토넨()과 데이비드 이언 올리브()가 1977년에 제시하였다. 몬토넨과 올리브의 원래 가설은 초대칭을 포함하지 않았는데, 이후 1979년에 휴 오즈번()이 이 가설이 성립하려면  초대칭이 필요함을 지적하였다.

참고 문헌

같이 보기 
 S-이중성
 자이베르그-위튼 이론
 초끈 이론
 AdS/CFT 대응성

양자장론
끈 이론
초대칭