쿠쟁 문제

복소기하학에서 쿠쟁 문제(Cousin問題, )는 복소다양체 위의, 정칙 함수의 층과 유리형 함수의 층 사이의 관계에 대한 두 개의 유명한 문제이다.

정의 
복소다양체  및 열린 덮개  및 유리형 함수 가 주어졌다고 하자.

제1 쿠쟁 문제 
모든 에 대하여, 만약 이라면 가 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 가 존재하는지에 대한 문제이다.
 모든 에 대하여, 는 정칙 함수이다.

이는 층 코호몰로지로 다음과 같이 서술할 수 있다. 가  위의 유리형 함수의 층이며, 가  위의 정칙 함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 를 정의할 수 있으며, 자연스러운 사상

가 존재한다. 여기서 은 대역적 단면들의 아벨 군이다.

는 의 대역적 단면을 정의한다. 만약 위 조건을 만족시키는 유리형 함수 가 존재한다면, 이는 가 사상 의 상에 포함된다는 것과 같다. 즉, 제1 쿠쟁 문제는 사상 가 전사 사상인지 여부를 묻는다.

층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면, 은 0차 층 코호몰로지 과 같으므로,

와 같은 긴 완전열이 존재한다. 따라서, 만약 가 자명군이라면 는 전사 사상이 되며, 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다. 특히, 카르탕 B정리에 따라서, 만약 이 슈타인 다양체라면 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다.

제2 쿠쟁 문제 
모든 에 대하여, 만약 이라면 가 어디서나 0이 아닌 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 가 존재하는지에 대한 문제이다.
 모든 에 대하여, 는 정칙함수이며, 어디서나 0이 아니다.

가 어디서나 0이 아닌 정칙 함수들의 곱셈군의 층이며, 가 모든 곳에서 0이 아닌 유리형 함수들의 곱셈군의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층  및 사상

를 정의할 수 있다. 이 경우 는 의 대역적 단면을 정의하며, 는 의 대역적 단면이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 가 전사 사상인지 여부와 동치이다.

제1 쿠쟁 문제와 마찬가지로, 층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면

이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 인 경우에만 풀 수 있다. 이 층 코호몰로지 군은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 다음과 같은 짧은 완전열

이 존재하므로, 이로부터 다음과 같은 지수열을 정의할 수 있다.

슈타인 다양체의 경우, 카르탕 B정리에 의하여 이다. 따라서

이므로, 이며, 슈타인 다양체에서의 제2 쿠쟁 문제의 해결의 필요충분조건은 이다.

역사 
프랑스의 수학자 피에르 쿠쟁()이 1895년에 제시하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 카르탕 정리
 미타그레플레르 정리
 바이어슈트라스의 곱 정리
 지수열

복소해석학
복소다양체
다변수 복소함수론