쌍가군

환론에서 쌍가군(雙加群, )은 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 결합 법칙을 만족시키는 대수 구조이다.

정의 
환 와 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -쌍가군() 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 아벨 군 
  위의 -왼쪽 가군 구조 
  위의 -오른쪽 가군 구조 
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.
 모든 , , 에 대하여, 

보다 일반적으로, 가환환 와 -단위 결합 대수 와 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -쌍가군 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 아벨 군 
  위의 -왼쪽 가군 구조 
  위의 -오른쪽 가군 구조 
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.
 모든 , , 에 대하여, 
 모든 에 대하여, 
-쌍가군은 일 때 -쌍가군의 개념과 같다.

두 -쌍가군 ,  사이의 쌍가군 준동형() 은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.
 는 -왼쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, 이다.
 는 -오른쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, 이다.

성질

가군과의 관계 
다음 네 개념들이 서로 동치이다.
 -쌍가군
 -쌍가군
 -왼쪽 가군
 -오른쪽 가군
(여기서 는 반대환을 뜻한다.)

다음 세 개념들이 서로 동치이다.
 아벨 군
 -가군
 -쌍가군

환 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
 -왼쪽 가군
 -오른쪽 가군
 -쌍가군
 -쌍가군

환 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
 -오른쪽 가군
 -왼쪽 가군
 -쌍가군
 -쌍가군

가환환 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
 -가군
 -쌍가군
 -쌍가군
 -쌍가군

또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어, -쌍가군 준동형은 -왼쪽 가군의 가군 준동형과 같은 개념이다.

즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

가환환 에 대하여, 모든 -가군 (즉, -쌍가군)은 망각을 통하여 -쌍가군을 이루지만, 일반적으로 -쌍가군이 아닌 -쌍가군이 존재한다.

텐서곱 가군과 준동형 가군 
-쌍가군  및 -쌍가군 이 주어졌을 때, 텐서곱

은 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

를 정의한다.

또한, -쌍가군  및 -쌍가군 가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군

은

를 통해 -쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면 -쌍가군  및 -쌍가군 가 주어졌을 때, 준동형군

은

를 통해 쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자

를 정의한다.

이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다.

특히,  또는  또는 를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다.

쌍가군의 2-범주 
임의의 가환환 와 -단위 결합 대수 , 에 대하여, -쌍가군을 대상으로 하고, -쌍가군 준동형을 사상으로 하는 범주 가 존재한다. 인 경우 이는 단순히 로 표기한다.

보다 일반적으로, 가환환 에 대하여 다음과 같은 2-범주 가 존재한다.
 의 대상은 -단위 결합 대수이다. (즉, 의 대상과 같다.)
 에서, 단위 결합 대수 ,  사이의 1-사상은 -쌍가군 이다. 의 정의역은 , 공역은 이다.
 두 쌍가군 , 의 합성은 쌍가군의 텐서곱 이다.
 환  위의 항등 사상은 이다.
 같은 정의역과 공역을 갖는 두 1-사상 ,  사이의 2-사상은 -쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서 이다.

예

아이디얼 
환 의 왼쪽 아이디얼은 -왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼은 -오른쪽 가군을 이룬다. 의 양쪽 아이디얼 은 -쌍가군을 이룬다.

특히,  전체는 의 양쪽 아이디얼이며, 따라서 -쌍가군을 이룬다.

보다 일반적으로, 가환환  위의 단위 결합 대수 가 주어졌을 때, -가군을 이루는 -양쪽 아이디얼 는 -쌍가군을 이룬다. 특히,  전체는 -쌍가군을 이룬다.

부분환 
-쌍가군  및 의 부분환 와 의 부분환 가 주어졌을 때, 은 망각을 통해 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다.

특히, 환 의 부분환 가 주어졌을 때, 쌍가군 에 망각을 가하여 쌍가군  및  및 를 정의할 수 있다.

가군의 자기 사상 
환  위의 오른쪽 가군 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는 가법 범주이므로 의 자기 사상 집합 는 환을 이룬다. 이 자기 사상환은  의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서 는 -쌍가군을 이룬다.

마찬가지로,  위의 왼쪽 가군 은 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다.

이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다.

행렬 쌍가군 
환  위의  행렬로 구성된 아벨 군 을 생각하자. 만약 이라면 (즉, 정사각 행렬이라면) 는 환을 이룬다.

행렬의 곱셈은 자연스러운 -쌍선형 함수

를 이룬다. 이에 따라, 는 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다.

물론, 는 (대각 행렬로서) 의 부분환을 이룬다. 이에 따라, 는 -쌍가군을 이룬다. 이 경우, 는 단순히 자유 가군 으로 생각할 수 있다.

응용 
쌍가군에 대하여, 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지를 정의할 수 있다.

쌍가군의 개념은 모리타 동치 및 모리타 쌍대성을 정의할 때 쓰인다.

외부 링크 
 
 
 

가군론