추이적 집합

집합론에서 추이적 집합(推移的集合, )은 원소의 원소를 원소로 하는 집합이다.

정의 
집합 에 대하여 다음 조건들이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 추이적 집합이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 
 
 
마찬가지로,  추이적 모임()을 정의할 수 있다.

집합 의 추이적 폐포()는 를 포함하는 가장 작은 추이적 집합이다. 즉, 다음과 같다.

초추이적 집합 
집합 에 대하여 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 초추이적 집합()이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약  또는 라면, 
 임의의 에 대하여, 
초추이적 집합은 추이적 집합이다.

보다 일반적으로, 순서수 에 대하여, 다음과 같은 누적 위계

를 생각하자. 이 경우, 다음 조건을 만족시키는 집합을 -초추이적 집합()이라고 한다.
 임의의  및 순서수 에 대하여, 
즉, 모든 집합은 0-초추이적 집합이며, 1-초추이적 집합은 추이적 집합이며, 2-초추이적 집합은 초추이적 집합이다.

집합 의 -초추이적 폐포는 를 포함하는 가장 작은 -초추이적 집합이며, 다음과 같다.

성질

연산에 대한 닫힘 
임의의 추이적 집합 에 대하여, 와  역시 추이적 집합이다.

임의의 추이적 집합들의 족 에 대하여, 와  역시 추이적 집합이다.

예 
순서수의 폰 노이만 정의에 따르면, 순서수는 추이적 집합만을 원소로 하는 추이적 집합이다.

폰 노이만 전체의 정의에서, 임의의 순서수 에 대하여 는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체 는 추이적 고유 모임이다.

구성 가능 전체의 정의에서, 임의의 순서수 에 대하여 는 추이적 집합이다. 구성 가능 전체 은 추이적 고유 모임이다.

응용 
추이적 집합 · 모임은 모형 이론에서 집합론의 모형을 정의하기 위하여 쓰인다. 모스토프스키 붕괴 보조정리에 의하여, "괜찮은" 모형은 항상 추이적 모형으로 나타낼 수 있다.

외부 링크 
 
 

집합론