유한형 사상

대수기하학에서 유한형 사상(有限型寫像, , )은 대략 유한 개의 변수에 대한 다항 함수에 대응하는 스킴 사이의 사상이다.

정의

유한형 환 준동형 
두 가환환 사이의 환 준동형 가 주어졌을 때, 는 를 통해 -가환 결합 대수를 이룬다. 만약 가 -유한 생성 가환 결합 대수라면 (즉, 만약 어떤 충분히 큰 자연수 에 대하여 가 의 -몫대수와 -가환 결합 대수로서 동형이라면), 를 유한형 준동형(有限型準同型, )이라고 한다.

유한형 사상 
이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다.
스킴 사상 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 국소 유한형 사상(局所有限型寫像, )이라고 한다
 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방  및 가 존재한다.
 환 준동형 은 유한형 준동형이다.
 다음 조건을 만족시키는 의 아핀 열린 덮개  및 각 에 대하여 의 아핀 열린 덮개 가 존재한다.
각  및 에 대하여, 환 준동형 는 유한형 준동형이다.

준콤팩트 함수인 국소 유한형 사상을 유한형 사상(有限型寫像, )이라고 한다.

유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

유한 표시 사상 
두 가환환 사이의 환 준동형 가 주어졌을 때, 는 를 통해 -가환 결합 대수를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 를 유한 표시 준동형(有限表示準同型, )이라고 한다.
 만약 어떤 충분히 큰 자연수 에 대하여, 가 의 -몫대수 와 -가환 결합 대수로서 동형이며, 는 유한 생성 아이디얼로 잡을 수 있다.

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 가 주어졌다고 하자. 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방  및 가 존재한다면, 를 국소 유한 표시 사상(局所有限表示寫像, )이라고 한다.
 환 준동형 은 유한 표시 준동형이다.

준콤팩트 함수이자 준분리 사상인 국소 유한 표시 사상을 유한 표시 사상(有限表示寫像, )이라고 한다.

성질

함의 관계 
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center"
|| 스킴 사상 || ⊃ || 국소 유한형 사상 || ⊃ || 유한형 사상 || ⊃ || 고유 사상 || ⊃ || 유한 사상 || ⊃ || 닫힌 몰입
|-
|| || || ∪ || || ∪
|-
|| || || 국소 유한 표시 사상  || ⊃ || 유한 표시 사상
|-
|| || || ∪
|-
|| || || 에탈 사상
|-
|| || || ∪
|-
|| || || 열린 몰입
|}

공역이 국소 뇌터 스킴인 스킴 사상의 경우,
국소 유한형 사상 = 국소 유한 표시 사상
유한형 사상 = 유한 표시 사상
이 성립한다.

닫힘 
가 유한형 사상 · 국소 유한형 사상 · 유한 표시 사상 · 국소 유한 표시 사상 · 유한 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 (합성에 대한 닫힘) 에 대하여, 만약 와 가 -사상이라면  역시 -사상이다.
 (밑 변환에 대하여 안정)  에 대하여, 만약 가 -사상이라면 밑 변환  역시 -사상이다.
 (fpqc 위상에서의 내림) 에 대하여, 만약  밑 변환 가 -사상이며, 가 fpqc 사상이라면  역시 -사상이다.
여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

예 
체 에 대하여, 아핀 공간 은 자연스러운 사상

을 갖는다. 이는 유한형 사상이지만, 이라면 유한 사상이 아니다.

환 준동형

으로 유도되는 아핀 스킴 사상

는 유한 사상이며 따라서 유한형 사상이다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 고유 사상

스킴 이론