리만 재배열 정리

실해석학에서 리만 재배열 정리(-再配列定理, )는 실수항의 조건 수렴 급수의 항의 순서를 적절히 변경하여 임의의 실수 또는 음과 양의 무한대로 수렴하도록 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 유한 개의 실수의 덧셈에 대한 교환 법칙이 무한 개의 실수에 대하여 성립하지 않는다는 것보다 더 많은 내용을 담는다.

정의 
실수항 급수

가 조건 수렴한다고 하자. 리만 재배열 정리에 따르면, 임의의 확장된 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 순열 이 존재한다.

증명 
자연수(음이 아닌 정수)의 집합 을 다음과 같이 분할하자.

그렇다면,

임을 보일 수 있다. (만약 두 급수가 모두 실수로 수렴한다면, 은 절대 수렴하므로 모순이다. 만약 두 급수가 하나는 무한대로 발산하고 하나는 실수로 수렴한다면, 은 무한대로 발산하므로 모순이다.) 특히, 와 는 모두 무한 집합이다.

이제, 급수가 로 수렴하도록 항을 재배열하는 방법을 찾자. 편의상 이라고 하자. 우선

인 자연수 를 취할 수 있다. 이 경우

이다. 이제

인 자연수 을 취하자. 그렇다면 마찬가지로

가 성립한다. 위와 같은 과정을 반복하면 다음을 만족시키는 자연수열  및 을 얻는다.

이제, 순열 을 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 임의의 에 대하여,

이므로

이다. 즉,

이다.

예 
조화 급수에 대응하는 교대 급수

를 생각하자. 이 급수는 로 수렴한다. 그러나 하나의 양의 실수항과 2개의 음의 실수항을 번갈아 가며 배열하여 얻는 새로운 급수는 로 수렴한다.

역사 
베른하르트 리만의 이름을 땄다.

각주

외부 링크 
 
 

급수
해석학 정리
순열
베른하르트 리만