모리타 문맥

환론에서 모리타 문맥([森田]文脈, )은 두 개의 쌍가군으로 정의되는 수학적 구조이며, 이를 사용하여 모리타 환([森田]環, )이라는, 2×2 행렬들로 구성된 환을 정의할 수 있다. 만약 두 쌍가군 가운데 하나가 0이라면, 이에 대응되는 환은 삼각환(三角環, )이라고 하며, 이는 2×2 상삼각행렬들로 구성된다.

정의

행렬을 통한 정의 
환 와  사이의 모리타 문맥은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 -쌍가군 
 -쌍가군 
 -쌍가군 준동형 
 -쌍가군 준동형 
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
 
 
모리타 문맥 이 주어졌을 때, 아벨 군

위에 다음과 같은 이항 연산을 부여하면 이는 환을 이루며, 이를 모리타 환()이라고 한다.

의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬

로 나타내며 와 를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로

로 표기한다.

특수한 경우로, 이며  , 는 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환 은 상삼각행렬로 구성되며, 이를 삼각환이라고 한다. 즉, 이는 아벨 군으로서 직합 이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다.

멱등원을 통한 정의 
삼각환은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다. 모리타 문맥 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 는 환이다.
 는 멱등원이다. 즉, 를 만족시킨다.
이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, 가 주어졌을 때,

로 놓으면, 는 모리타 문맥을 이룬다. 반대로, 모리타 문맥 이 주어졌을 때,

로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다.

특히, 만약 일 경우, 는 삼각환 을 정의한다.

준가법 범주를 통한 정의 
모리타 문맥의 개념은 범주론적으로 간단히 정의할 수 있다.

모리타 문맥은 2개의 대상을 갖는 준가법 범주(즉, 아벨 군의 범주  위의 풍성한 범주)이다. 이러한 준가법 범주 가 주어졌으며, 그 두 대상이 와 라고 하자. 그렇다면

로 놓으면, (준가법 범주에서의 자기 사상 모노이드는 환을 이루므로) 와 는 자연스럽게 환의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해 은 -쌍가군, 은 -쌍가군을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상

이 존재한다. 만약 일 경우 이는 삼각환을 정의한다.

2-범주를 통한 정의 
2-범주 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, 2-범주  속의 모리타 문맥 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 와 는 의 대상(=0-사상)이다.
 와 는 의 1-사상이다.
 와 는 의 2-사상이다.

다음과 같은 쌍가군 2-범주 를 생각하자.
 의 대상(=0-사상)은 환이다.
 의 두 대상 ,  사이의 1-사상은 -쌍가군이다. 1-사상의 합성은 쌍가군의 텐서곱 으로 주어진다.
 의 두 대상 ,  사이의 두 1-사상 ,  사이의 2-사상은 -쌍가군 준동형 이다.
그렇다면, 2-범주  속의 모리타 문맥은 위의 다른 정의들과 동치이다.

성질 
삼각환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 은 가환환이다.
 와 는 가환환이며, 이다.

아이디얼 
환 와  및 -쌍가군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환 의 왼쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.

여기서
 는 의 왼쪽 아이디얼이다.
 은 의 -부분 가군이며, 이다.

마찬가지로, 삼각환 의 오른쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.

여기서
 는 의 오른쪽 아이디얼이다.
 은 의 -부분 가군이며, 이다.

마찬가지로, 삼각환 의 양쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.

여기서
 는 의 양쪽 아이디얼이다.
 는 의 양쪽 아이디얼이다.
 은 의 -부분 쌍가군이며, 이자 이다.

뇌터·아르틴 조건 
삼각환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  은 왼쪽 뇌터 환이다.
 와 는 왼쪽 뇌터 환이며, 은 -뇌터 가군이다.

삼각환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  은 오른쪽 뇌터 환이다.
 와 는 오른쪽 뇌터 환이며, 은 -뇌터 가군이다.

삼각환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  은 왼쪽 아르틴 환이다.
 와 는 왼쪽 아르틴 환이며, 은 -아르틴 가군이다.

삼각환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  은 오른쪽 아르틴 환이다.
 와 는 오른쪽 아르틴 환이며, 은 -아르틴 가군이다.

예

자명한 경우 
만약 이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 환의 직접곱과 같다.

만약 이며, 과 이 의 양쪽 아이디얼이라면, 모리타 환

은  계수 2×2 행렬환의 부분환이다.

오른쪽 가군에 대응되는 모리타 문맥 
환  위의 오른쪽 가군 가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.
 
 
 , 
 , 
이러한 모리타 문맥은 모리타 동치의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약 가 유한 생성 사영 가군이며 오른쪽 가군 범주 의 생성 대상이라면, 이는 와  사이의 모리타 동치를 정의한다.

역사 
모리타 문맥과 모리타 환은 모리타 기이치가 모리타 동치 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"()이라는 용어는 하이먼 배스가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

환론