강콤팩트 기수

집합론에서 강콤팩트 기수(强compact基數, )는 티호노프 정리와 유사한 성질을 만족시키는 무한 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의 
기수 에 대하여, 위상 공간 가 다음 성질을 만족시키면, 가 -콤팩트하다고 한다.
 의 모든 열린 덮개는 크기가  미만인 부분 덮개를 갖는다.
일반적인 콤팩트 공간의 개념은 -콤팩트 공간이다.

두 무한 기수 가 주어졌을 때, 무한 논리 는 개 미만의 항들의 논리합·논리곱과 개 미만의 변수들에 대한 한정 기호 ∀및  ∃를 적용할 수 있는 논리이다.

무한 기수 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 무한 기수를 강콤팩트 기수라고 한다.
 임의의 개수의 -콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 -콤팩트 하우스도르프 공간이다.
 임의의 집합 위의 -완비 필터는 -완비 극대 필터의 부분 필터이다.
 무한 논리 는 콤팩트성 정리를 만족시킨다. 즉, 임의의 명제들의 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 구조 이 존재한다.
 크기가  미만인 임의의 부분집합 에 대하여, 인 구조 가 존재한다.

성질 
모든 비가산 강콤팩트 기수는 가측 기수이다. (가측 기수는 정의에 따라 비가산 기수이므로, 는 강콤팩트 기수이지만 가측 기수가 아니다.) 모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.

예 
선택 공리를 가정하면, 티호노프 정리에 따라서, 은 강콤팩트 기수이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이 밖의 다른 강콤팩트 기수의 존재를 증명할 수 없다.

역사 
하워드 제롬 카이슬러()와 알프레트 타르스키가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

큰 기수