코쥘 복합체

가환대수학에서 코쥘 복합체(Koszul複合體, )는 가환환의 가군 및 가군의 특별한 원소로부터 정의되는 미분 등급 대수이다. 이를 통하여 가군의 코쥘 코호몰로지()를 정의할 수 있다.

정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 (단위원을 갖는) 가환환 
  위의 가군 
 -가군 준동형 
그렇다면 외대수

은 쐐기곱을 통해 결합 등급 가환 -대수가 된다. 이 위에 다음과 같은 경계 사상을 정의하자.

여기서 는 쐐기곱에서 만을 제외한다는 뜻이다.
이므로, 은 사슬 복합체이자 미분 등급 대수를 이룬다. 이를 코쥘 복합체라고 한다.

-가군  및 사상 이 주어졌을 때, 의 코쥘 호몰로지는 그 코쥘 복합체의 호몰로지다.

마찬가지로, 의 코쥘 코호몰로지는 그 쌍대 복합체

의 코호몰로지다.

예

가환환 계수 
이며 이라고 하자 (). 그렇다면, 코쥘 복합체는

이 된다. 즉, 이는 길이가 2인 사슬 복합체이며, 그 호몰로지는

이다 (은 소멸자).

자유 가군 계수 
마찬가지로, 이 자유 가군 이며

이라고 하자 (). 그렇다면, 코쥘 복합체는

가 되며, 복합체의 길이는 이 된다.

성질 
대수다양체나 스킴 위의 연접층의 층 코호몰로지는 코쥘 코호몰로지의 귀납적 극한으로 계산할 수 있다.

역사 
장루이 코쥘이 1950년에 리 대수 코호몰로지를 정의하기 위해 도입하였다.

참고 문헌

각주

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

가환대수학
호몰로지 대수학