가우스 합성

이차 형식 이론에서, 가우스 합성(Gauß合成, )은 2항 이차 형식의 동치류 집합에 정의될 수 있는 아벨 군 구조이다.

정의

이차 형식 
가환환  위의 2차 자유 가군  위의 두 이차 형식

이 다음 조건을 만족시킨다면 서로 동치라고 하자.

이에 따라, 이차 형식은 사실 임의의 1차 -자유 가군 의 값을 갖는 함수

로 생각할 수 있다. 이와 같은 함수들의 공간은

이다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴  위의 계수 2의 -국소 자유 가군층  및 -가역 가군층 이 주어졌을 때,  위의  값의 이차 형식

은 -가군층 의 단면이다.

판별식 
만약 가 국소환일 경우, 그 위의 2차 자유 가군  위의 이차 형식

의 판별식은 이다.

보다 일반적으로, 스킴  위의, 2차 -국소 자유 가군층  위의, -가역층  값의 이차 형식

의 판별식 는 국소적으로 위와 같이 주어지며, 대역적으로 이는 다음과 같은 -가역층의 대역적 단면을 이룬다.

이차 대수 
가환환  위의 이차 대수() 는 다음과 같은 가환  -결합 대수이다.
 임의의 소 아이디얼 에 대하여 는 2차 -자유 가군이다. (즉, 는 계수 2의 -평탄 가군이다.)
 위의 이차 대수  위의 가군 이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각합 가능 가군()이라고 한다.
 은  위의 계수 2의 평탄 가군이다.
 임의의 원소 에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴  위의 이차 대수층은 -가환 대수층 가운데 2차 -국소 자유 가군층을 이루는 것이다. 이차 대수층  위의 대각합 가능 가군층 은 -가군층 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
 -가군층으로서 계수 2의 국소 자유 가군층이다.
 임의의 열린집합 의 단면 에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.

두 -가군 이 주어졌을 때, 텐서곱 을 정의할 수 있으므로, -가군들의 동형류들은 가환 모노이드를 이룬다. -가역 가군 (즉, 1차원 자유 가군)의 경우, 이는 아벨 군을 이룬다.

판별식 
스킴  위의 이차 대수층  위의 대각합 가능 가군층 의 판별식은 대각합 사상

의 행렬식

이다. 이는 -가역층 의 대역적 단면이다.

가우스 합성 
임의의 가환환  및 그 위의 2차 자유 가군 에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
  위의 이차 형식들 의 동치류들의 집합
  위의 이차 대수 와 그 위의 대각합 가능 가군 들의 동치류들의 집합
구체적으로, 이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 -가군 준동형을 생각하자.

이는 -가군

의 원소를 정의하며, 이는  위에 정의된,

값의 이차 형식을 이룬다.

또한, 이 대응성은 판별식을 보존한다. 이차 형식 가 원시 이차 형식()인 것은 이 -가역층을 이루는 것과 같으며, 따라서 주어진 판별식의 원시 이차 형식들은 텐서곱에 따라 아벨 군을 이룬다. 이를 가우스 합성이라고 한다.

예

정수환의 경우 
 위의 이차 형식의 -동치류는 다음과 같은 구조와 대응한다.
 2차 -환 . 이는 그 판별식 으로부터 다음과 같이 결정된다.

 -가군  가운데 아벨 군으로서 이며, 가 가 같은 것 (둘째 조건은 이 -아이디얼일 경우 자동적으로 충족된다).

특히, 일 때, 은 항상 의 아이디얼과 동형이다. 그러나 일 경우 일반적으로 은 아이디얼로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 값이 0인 상수 이차 형식의 경우 이며 , 이다.

 위의 이차 형식의 -동치류를 분류하려면,  및 의 방향 을 사용하여야 한다.

정역의 경우 
가환환 가 정역일 때,  계수의 비퇴화 2항 이차 형식의 경우, 이에 대응하는 이차 대수  및 -가군 에 대하여, 은 항상 의 아이디얼과 동형이다. 따라서, 이 경우 가군 대신 아이디얼들의 유군을 사용할 수 있다.

역사 
카를 프리드리히 가우스가 1801년에 도입하였다. 가우스는 정수 계수 2항 이차 형식에 대하여 연구하였으나, 이는 그 뒤 임의의 가환환 계수 및 스킴 계수의 2항 이차 형식에 대하여 일반화되었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

이차 형식