모리타 동치

환론에서 모리타 동치([森田]同値, )는 두 환 위의 가군 범주가 서로 동치가 되는 현상이다.

정의

모리타 동치 
환  위의 오른쪽 가군 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥 을 다음과 같이 정의할 수 있다.
 
 
 , 
 , 

가 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 의 생성 대상이라고 하자. 그렇다면, 에 대응되는 모리타 문맥 에 대하여,
 는 범주의 동치를 이룬다.
 는 가법 범주의 가법 동치를 이룬다.

반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의하여 유도되며, 이 모리타 문맥은 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 의 생성 대상인 가군에 의하여 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치

가 주어졌을 때,
 
 
로 놓으면, 는 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 의 생성 대상이며, 위 범주의 동치는 에 의하여 생성되는 모리타 문맥에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

또한, 임의의 두 환 에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 일대일 대응한다.
 가법 동치 의 (자연 동형에 대한) 동형류
 다음 두 조건을 만족시키는 -쌍가군 들의 동형류
 는 사영 가군이며, 유한 생성 가군이며, 범주 의 생성 대상이다.
 는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군이다.

이와 같이, 두 환 ,  위의 가군 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 모리타 동치()라고 하며,

로 표기한다.

모리타 쌍대성 
쌍가군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다.

수반 함자의 성분인 자연스러운 사상

이 동형 사상일 경우, -오른쪽 가군 를 -반사 가군()이라고 하자. 마찬가지로 -왼쪽 가군에 대하여 마찬가지로 반사 가군의 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를  및 로 표기하자. 이 경우, 와 는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다.

아벨 범주 의 충만한 부분 가법 범주 가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다.
짧은 완전열 에 대하여, 라면 이다.

쌍가군 에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.
 는 의 세르 부분 범주이며, 는 의 세르 부분 범주이며, 이며, 이다.
 , , , 의 모든 몫가군은 -반사 가군이다.
 는 단사 가군이자 의 쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로 는 단사 가군이자 의 쌍대 생성 대상이며, 또한 는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다.
이 경우, 가 모리타 쌍대성()을 정의한다고 한다.

또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군 및 유한 쌍대 생성 가군은 -반사 가군이다. 또한, 위 조건을 만족시키는  및 에 대하여, -반사 가군인지 여부는 -반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은 에 의존하지 않는다.

모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다.

예 
모든 환  및 양의 정수 에 대하여, 는 와 모리타 동치이다. 이를 정의하는 모리타 문맥은 -자유 가군 에 의하여 생성된다. 즉,
 
 . 이는 행벡터(= 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
 . 이는 열벡터(= 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
 는 행벡터와 열벡터의 스칼라곱이다.
 는 열벡터와 행벡터의 외적이다.

아르틴-웨더번 정리에 따라서, 모든 반단순환 는 유한 개의 나눗셈환  위의 행렬환 들의 직접곱과 동형이며, 따라서 유한 개의 나눗셈환들의 직접곱과 모리타 동치이다.

역사 
모리타 동치와 모리타 쌍대성은 모리타 기이치(1915~1995)가 1958년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

가군론