호흐실트 호몰로지

추상대수학에서 호흐실트 호몰로지()와 호흐실트 코호몰로지()는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 호몰로지 · 코호몰로지 이론이다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 가환환 
 -결합 대수 
 -쌍가군 . 즉, 은 -쌍가군이며, 또한  위의 왼쪽 -작용이 오른쪽 -작용과 일치한다고 하자.

호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.
 호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
 호흐실트 (코)호몰로지는 호흐실트 (공)사슬 복합체()라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다.
 호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다.
흔히, 인 특수한 경우가 자주 사용된다.

추상적 정의 
의 포락 대수(包絡代數, )

를 정의할 수 있다. 이는 -결합 대수이며, 은 -왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로, 도 의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로,

이다.

의 계수의 호흐실트 호몰로지 군  및  호흐실트 코호몰로지 군 은 다음과 같이 Ext 함자 및 Tor 함자로 정의된다.

구체적 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 -가군 범주의 단체 대상 
그렇다면,

를 정의하면,

이 되어, 사슬 복합체

를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지를 단체 가군 의 호흐실트 호몰로지라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군들로 구성된 공사슬 복합체

의 코호몰로지를 단체 가군 의 호흐실트 코호몰로지라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상 이 쓰이지 않는다.)

특히, 만약 위와 같이  위의 결합 대수 와 -쌍가군 이 주어졌다면, 다음과 같은 호흐실트 단체 가군() 을 정의할 수 있다.

결합 대수 의 계수 호흐실트 호몰로지란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.

은 사슬 복합체로서

의 꼴이다. 여기서 는 의 막대 복합체이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체

를 정의할 수 있으며, 의 계수 호흐실트 코호몰로지란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.

위상수학적 정의 
 계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 가군 범주 속의 단체 대상에 대하여 일반화될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
  속의 단체 대상 . 여기서 은 단체 범주이다.
그렇다면, 단체 가군의 범주 은 아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.

이 경우, 의 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지는 각각 다음과 같다.

여기서 는 모든 성분이 1차원 자유 가군 이며,  및  모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다.

(사실, 만약 이라면, 호흐실트 단체 가군 는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주 에서 Tor 함자와 Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.)

성질 
가환환  위의 결합 대수  및 -쌍가군 에 대하여, 호흐실트 호몰로지  및 호흐실트 코호몰로지 는 -가군이며, 사실 -가군을 이룬다.

함자성 
임의의 가환환  위의 (항등원을 갖는) 결합 대수의 범주 와, -결합 대수 가 주어졌을 때 -쌍가군의 범주 를 생각하자.

그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자를 정의한다.

또한, 임의의 -결합 대수 준동형

및 -쌍가군 에 대하여, 은 -쌍가군을 이루며,
이는 호흐실트 호몰로지의 사상

및 호흐실트 코호몰로지의 사상

을 유도한다.

특히, 만약 일 때, 이는 -결합 대수의 범주(의 반대 범주)에서 -가군의 범주로 가는 함자

를 정의한다.

예

0차 호흐실트 (코)호몰로지 
가환환  위의 결합 대수  및 -쌍가군 이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

이에 따라,

이다.

마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

이에 따라,

는 환의 중심의 개념의 일반화이다.

1차 호흐실트 코호몰로지 
가환환  위의 결합 대수  및 -쌍가군 이 주어졌다고 하자.

1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다. 1차 호흐실트 공순환은 -가군 준동형

가운데

와 같은 곱 규칙을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 미분()이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는

와 같은 꼴의 -가군 준동형이다. 즉, 이러한 것들을 내부 미분()이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 외부 미분()의 공간으로 여겨질 수 있다.

가환 대수 
가환환  위의 가환 결합 대수  및 -가군 에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.

여기서 는 켈러 미분의 가군이다.

즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식에 대응한다. 비가환 기하학에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.

다항식환 
복소수 계수 다항식환  ()의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.

여기서 는 외대수이다. 구체적으로, 차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다.

호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.

역사 
게르하르트 호흐실트가 1945년에 체 위의 결합 대수에 대하여 도입하였다. 이후 앙리 카르탕과 사무엘 에일렌베르크가 일반적인 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

대수
호몰로지 대수학