데카르트 닫힌 범주

범주론에서 데카르트 닫힌 범주(Descartes닫힌範疇, , 약자 CCC)는 사상 집합을 대상으로 간주할 수 있어, 정의역이 곱 대상인 사상을, 사상 집합을 공역으로 갖는 사상으로 치환할 수 있는 범주이다.

정의

지수 대상 
모노이드 범주 에서, 두 대상 의 지수 대상() 은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 대상이다. 임의의 대상  및 사상 에 대하여, 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 이 존재한다.

데카르트 닫힌 범주 
모노이드 범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 모노이드 범주를 닫힌 모노이드 범주()라고 한다.
 임의의 두 대상 에 대하여, 지수 대상 가 존재한다.
 모든 대상 에 대하여 다음과 같은 수반 함자가 존재한다.
 

곱 에 대한 닫힌 모노이드 범주를 데카르트 닫힌 범주라고 한다.

국소 데카르트 닫힌 범주 
범주  위의 사상 에 대하여, 두 조각 범주 사이에 자연스러운 함자

가 존재한다. 만약 가 유한 완비 범주라면 밑 변환() 함자

의 왼쪽 수반 함자 가 존재한다.  함자를 의존합(依存合, )이라고 부른다.

유한 완비 범주 에서 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유한 완비 범주를 국소 데카르트 닫힌 범주()라고 한다.
 임의의 대상 에 대하여, 조각 범주 는 데카르트 닫힌 범주이다.
 임의의 사상 에 대하여, 조각 범주 사이의 함자 는 또한 오른쪽 수반 함자 를 갖는다.
끝 대상 에 대한 조각 범주 은 와 동형이므로, 모든 (유한 완비) 국소 데카르트 닫힌 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.

국소 데카르트 닫힌 범주에서, 사상 에 대하여 존재하는 오른쪽 수반 함자 는 의존곱(依存-, )이라고 한다. 대략, 사상 이 주어졌을 때 이를  위의 "다발"로 해석하고, "밑공간"  위의 -점에 대하여 그 "올" 을 정의할 수 있다. 그렇다면, 의존곱은 이를 다발 의 "단면"들의 모임으로 대응시킨다. 이러한 해석은 물론 임의의 범주에서 적용되지 않지만, 집합의 범주나 다른 토포스 속에서 성립한다.

예

데카르트 닫힌 범주 
데카르트 닫힌 범주의 예는 다음과 같다.

일반적인 위상 공간의 범주 에서는 곱 (=곱위상을 갖춘 곱공간) 및 끝 대상 (=한원소 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 일반적으로 존재하지 않는다. (그러나 이 위에는 독특한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다.)

닫힌 모노이드 범주 
체  위의 벡터 공간의 범주 에서는 곱 (=직합 ) 및 끝 대상 (=0차원 벡터 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 존재하지 않는다. 그러나 텐서곱()에 대해서는 지수 대상과 유사한 대상 (선형 변환의 집합 )이 존재한다. 즉, 이는 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

아벨 군의 범주 는 아벨 군의 텐서곱에 대하여 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 두 아벨 군 사이의 군 준동형들의 집합은 점별 합에 대하여 자연스럽게 아벨 군을 이룬다.

모든 위상 공간의 범주  위에는 유일한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다. 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조에서,
 대칭 이항 연산은 집합으로서 곱집합이지만, 이 위에는 곱공간과 현저히 다른 위상이 주어진다. (이는 지수 대상의 위상으로부터 유일하게 결정된다.)
 항등원은 한원소 공간이다.
 지수 대상은 집합으로서 연속 함수의 집합이지만, 이 위에는 콤팩트-열린 집합 위상 대신 점별 수렴 위상이 주어진다.
이 때문에 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조는 위상수학에서 그리 유용하지 않다.

국소 데카르트 닫힌 범주 
모든 토포스와 모든 준토포스는 국소 데카르트 닫힌 범주이다. 토포스의 조각 범주 역시 토포스이며, 토포스  속의 사상 에 의하여 수반 함자

가 유도된다. 이는 토포스의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.

특히, 집합과 함수의 토포스 는 국소 데카르트 범주이다. 집합의 범주에서, 함수 에 대한 의존곱은 함수 를

로 대응시킨다. 여기서

이며,

는 "단면 집합"이다.

특히, 만약 가 끝 대상인 한원소 집합이라면, 에 대한 의존곱은 를 단면 집합 으로 대응시킨다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 커링

범주론
람다 대수