열핵

해석학에서 열핵(熱核, )은 열 방정식의 그린 함수이다. 해석학에서 함수를 매끄럽게 만들기 위해 쓰인다.

정의

일반화 라플라스 연산자 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 차원 리만 다양체 
 매끄러운 벡터 다발 
 위의 라플라스형 연산자는 (임의의 국소 좌표계에서) 다음과 같은 꼴의,  위의 2차 미분 연산자이다.

여기서 는 매끄러운 단면의 공간을 뜻한다. 마찬가지로, 연속 단면을 로 표기하자.

다시 말해, 라플라스형 연산자는 어떤 임의의 리만 계량 와 코쥘 접속  및 매끄러운 단면 에 대하여

의 꼴로 나타내어지는 미분 연산자이다.

열핵 
이제, 가  위의, 무게 의 밀도 다발이라고 하자. (이는 의 방향과 관계없이 정의된다.) 그렇다면,  위에 다음과 같은, 차원 벡터 다발을 생각하자.

이 콤팩트 공간일 경우, 의 열핵

은 다음 조건들을 만족시키는, 의 (연속) 단면이다.
 에 대하여  함수이다. 즉, 가 존재하며, 연속 함수 를 이룬다.
 에 대하여  함수이다. 즉, 가 연속적으로 존재한다.
 열 방정식이 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.
 
 (초기 조건) 다음과 같은 경계 조건이 성립한다. 임의의 에 대하여,
 
여기서 극한은  위의 균등 노름에 대한 것이다.

만약 이 콤팩트 공간이 아니라면, 적절한 경계 조건을 주어야 한다.

경계다양체 위의 열핵 
만약 이 리만 계량이 주어진 콤팩트 매끄러운 경계다양체라고 하고, 가 그 위의 매끄러운 벡터 다발이라고 하자. 또한, 마찬가지로  위의 라플라스형 연산자가 주어졌다고 하자.

이 경우, 열핵을 정의하기 위해서는 경계 조건을 주어져야 한다. 구체적으로, 경계에서의 수직 단위 벡터를 이라고 하자. 그렇다면, 단면  위에 다음과 같은 꼴의 디리클레 경계 조건을 생각할 수 있다.

또는 다음과 같은 일반화 노이만 경계 조건을 생각할 수 있다.

여기서

이다.

이와 같은 경계 조건을 부여하면, 마찬가지로 열핵을 (유일하게) 정의할 수 있다.

성질

존재 조건 
만약 이 콤팩트 리만 다양체라면, 그 위의 임의의 라플라스형 연산자는 열핵을 가지며, 이는 유일하다.

적분 
콤팩트 리만 다양체  위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 라플라스형 연산자를 생각하자.

여기서 는  위의 임의의 벡터장이며, 는 임의의 스칼라장이다.

이 경우, 열핵의 적분은 부분 적분을 통해 다음 성질을 만족시킨다.

즉,

로 놓으면 다음이 성립한다.

특히, 만약 이라고 하면, 는 에 의존하지 않으며, 이 경우 에서의 경계 조건에 의하여 상수 함수

가 된다.

반군 성질 
콤팩트 리만 다양체  위의 매끄러운 벡터 다발  위의 라플라스형 연산자 의 열핵 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

즉, 이는 반군 준동형

을 정의한다. (여기서 는 양의 실수들의 덧셈 반군이다. 이는 항등원 0을 갖지 않으므로 모노이드가 아니다.) 이를 열핵의 반군 성질(半群性質, )이라고 한다.

이를 사용하여 열핵의 다양한 성질들을 증명할 수 있다. 예를 들어, 가 자명한 선다발이라고 하고, 라플라스형 연산자가 상수항을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 시각 에서, 콤팩트 공간  위의 실수 값 연속 함수 는 최댓값

을 갖는다. 그렇다면,  초과의 임의의 시각 , 에서,

이다.
따라서, 함수

는 항상 감소 함수이다.

점근적 전개 
콤팩트 차원 리만 다양체  위의 매끄러운 벡터 다발  위의 라플라스형 연산자 가 주어졌을 때, 그 열핵 는 다음과 같은 꼴로 전개된다.

여기서

이다.

약간 다르게, 다음과 같은 전개를 사용할 수도 있다. 임의의 에 대하여,

위 합에서는 오직 짝수 만이 등장한다. 만약 이 콤팩트 경계다양체인 경우, (적절한 경계 조건 아래) 홀수  역시 등장할 수 있다.

고윳값 
 위의 라플라스형 연산자 가 주어졌다고 하자. 만약 이 콤팩트 다양체이며, 가 에르미트 작용소라고 하자. 그렇다면, 를 복소수 힐베르트 공간

에 확장시킬 수 있으며, 스펙트럼 정리에 의하여 그 실수 고윳값들이 존재한다. 또한, 만약 의 고윳값들이 추가로 모두 양이 아닌 실수라면, 이 고윳값들은 0을 제외하고 모두 음의 실수이다.

이에 대응하는, 복소수 힐베르트 공간 의 정규 직교 기저를 라고 하면, 열핵은 다음과 같은 점근적 급수로 주어진다.

그러나 이 급수가 수렴하는지 여부는 일반적으로 복잡하다.

예

유클리드 공간 
유클리드 공간  위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스형 연산자

의 열핵은 다음과 같다.

대칭 공간 
이 밖에도, 일부 리 군 또는 대칭 공간 위의 경우 열핵의 급수 표현이 알려져 있다. 예를 들어, 구  위의 (표준적) 라플라스 연산자의 경우, 열핵은 다음과 같다.

여기서

는 파울리 행렬이며, 는 르장드르 다항식이다.

멜러 핵 
실수선  위의 다음과 같은 라플라스형 연산자를 생각하자.

이는 무게 의 조화 진동자의 해밀토니언 연산자이다. 의 열핵은 다음과 같다.

이를 멜러 핵(Mehler核, )이라고 한다.

역사 
멜러 핵은 구스타프 페르디난트 멜러(, 1835~1895)가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

스펙트럼 이론
특수 함수
편미분방정식
열전도