근방 필터

일반위상수학에서 근방 필터(近傍filter, )는 주어진 점의 모든 근방들로 구성된 필터이다. 일반위상수학에서 필터는 점렬과 그물의 일반화로 사용되며, 필터가 주어진 점에 수렴()하는 것은 필터가 주어진 점의 근방 필터를 부분 집합으로 포함하는 것이다.

정의 
위상 공간 의 부분 집합 의 근방들의 집합

은 멱집합  속의 필터를 이루며, 이를 의 근방 필터 또는 근방계(近傍系, ) 라고 한다. 의 점 의 근방 필터는 한원소 집합 의 근방 필터를 뜻하며, 로 표기한다.

근방 필터 의 공시작 집합 (즉, 이 되는 부분 집합 )을 의 국소 기저(局所基底, )라고 한다.

필터의 수렴 
위상 공간  위의 필터  및 점 가 주어졌다고 하자. 만약 라면, 가 로 수렴한다()고 하고,

로 표기한다. 이 경우, 를 의 극한()이라고 한다.

보다 일반적으로,  위의 필터 기저  및 점 에 대하여, 만약 라면, 가 로 수렴한다고 한다.

성질 
위상 공간  위의 자명한 필터 는 모든 점에 수렴한다.

위상 공간 의 모든 점 이 가산 집합인 국소 기저를 갖는다면, 를 제1 가산 공간이라고 한다.

분리 공리 
위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
  전체가 아닌,  위의 모든 필터가 수렴하는 점의 수는 1개 이하이다.
 임의의 두 점 에 대하여, 라면, 이자 이다.
 임의의 두 점 에 대하여, 이자 이며 인 열린집합 가 존재한다.
 하우스도르프 공간이다.

그물과의 관계 
임의의 그물이 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 유도 필터가 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다. 마찬가지로, 임의의 필터가 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 그물이 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다.

예 
이산 공간 의 점 의 근방 필터는 주 필터 이다. 비이산 공간 의 점 의 근방 필터는 이다.

거리 공간 에서, 다음과 같은 집합은 점 의 국소 기저를 이룬다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

일반위상수학