공종도

집합론에서 공종도(共終度, )는 주어진 원순서 집합의 공종 집합의 최소 크기이다. 이는 원순서 집합의 일종의 복잡도를 나타낸다.

정의 
임의의 원순서 집합 에 대하여, 의 공종도 는 의 공종 집합들의 크기들의 최솟값이다. 마찬가지로, 의 공시작도 는 의 공시작 집합들의 크기들의 최솟값이다.

순서수의 공종도 
정렬 전순서 집합의 부분 집합은 항상 정렬 전순서 집합이다. 이 경우, 순서수 의 공종 집합들의 순서형들의 최솟값은 항상 기수이며, 이는 의 공종도와 일치한다.

기수의 공종도 
기수 의 공종도 는 순서수로서의 공종도이다.

무한 기수 의 공종도는 다음과 같이 직접적으로 정의할 수도 있다.

즉, 를 그보다 더 작은 기수들의 합으로 나타낼 때, 합의 항들의 수의 최솟값이다.

순서수 에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 정칙 기수(正則基數, )라고 한다.
 공종도 함수의 고정점이다. 즉, 이다.
 임의의 순서수들의 집합 에 대하여, 라면 (즉, 가 공종 집합이라면) 는 와 순서 동형이다.
 는 기수이며, 이며, 개 미만의,  미만 기수들의 기수 합으로 나타낼 수 없다. 즉, 임의의 기수의 집합 에 대하여 라면 이거나, 인 가 존재한다. (여기서 은 기수의 합이다.)
 는 기수이며, 크기가  미만인 집합들의 범주 는 크기  미만의 모든 쌍대 극한을 갖는다.
(일부 문헌에서는 유한 정칙 기수인 0과 1을 정칙 기수로 치지 않는 경우도 있다.)
만약 라면, 를 특이 기수(特異基數, )라고 한다. 는 불가능하다.

성질 
공종도 함수는 멱등 함수이다. 즉, 모든 순서수 에 대하여

이다. 즉, 는 항상 정칙 기수이다.

임의의 순서수 에 대하여 다음이 성립한다.

이는  전체가 자명하게 공종 집합이기 때문이다.

임의의 무한 기수 에 대하여 다음이 성립한다. (이는 쾨니그의 정리에 의하여 함의된다.)

1을 제외한 모든 정칙 기수는 극한 순서수이다.

예

유한 순서수 
임의의 양의 자연수 의 경우, (따름 순서수이므로) 이다. 0의 경우 이다. 따라서, 유한 정칙 기수는 0과 1 밖에 없다.

임의의 순서수 에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

따름 순서수 
임의의 순서수 에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.
 
 는 따름 순서수이다.
이는 가 의 공종 집합이기 때문이다.

극한 순서수 
임의의 극한 순서수 에 대하여,

이므로

이다.

이다. 또한, 모든 따름 기수는 정칙 기수이므로, 임의의 순서수 에 대하여

이다.

정칙 기수가 아닌 가장 작은 무한 기수는 이며,

이다. 반면

이므로,

이다. 그러나 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 은 보다 클 수도, 작을 수도 있다.

편의상 선택 공리를 가정하자. 다음과 같은 기수들은 정칙 기수이다.
 
 임의의 순서수 에 대하여, 
 임의의 기수 에 대하여,

정렬 전순서 집합이 아닌 경우 
실수의 전순서 집합 의 공종도는 이다. 이는 자연수의 가산 무한 집합 이 의 공종 집합이기 때문이다.

확장된 실수의 전순서 집합 의 공종도는 1이다. 이는 가 최대 원소 를 갖기 때문이다.

집합 의 진부분 집합들의 멱집합 의 공종도는 이다. 이는 공종 집합

이 최소의 공종 집합이기 때문이다.

닫힌 원순서 집합 의 공종도는 의 극대 원소들의 동치류들의 수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

기수
순서수
순서론