보편 계수 정리

대수적 위상수학에서 보편 계수 정리(普遍係數定理, )는 정수 계수 호몰로지 또는 코호몰로지로부터 다른 모든 아벨 군 계수의 (코)호몰로지를 계산할 수 있다는 정리이다.

정의

호몰로지 보편 계수 정리 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 가환환 
 -가군 
 각 성분이 -평탄 가군인 사슬 복합체 
호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

여기서 Tor는 Tor 함자이다.

특히, 가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면 에 대하여 이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.

그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.
즉, 은 다음과 같은 상승 여과를 갖는다.

특히, 가 주 아이디얼 정역이며 추가로 이 평탄 가군이라고 하자. (만약 라면, 이는 이 꼬임 부분군이 없는 아벨 군이라는 조건이다.) 그렇다면 이며, 따라서

이다.

코호몰로지 보편 계수 정리 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 가환환 
 -가군 
 각 성분이 -자유 가군인 사슬 복합체 
코호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

여기서 Ext는 Ext 함자이다.

특히, 가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면 에 대하여 이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.

그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.
즉, 은 다음과 같은 하강 여과를 갖는다.

특히, 가 주 아이디얼 정역이며 추가로 이 단사 가군이라고 하자. (만약 라면, 이는 이 나눗셈군이라는 조건이다.) 그렇다면 이며, 따라서

이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

대수적 위상수학
호몰로지 대수학
대수적 위상수학 정리