합동 관계

보편 대수학에서 합동 관계(合同關係, )는 대수 구조의 몫 대수를 정의하는 동치 관계이다.

정의 
대수 구조 는 집합 와,  위의

꼴의 함수들의 집합 의 순서쌍이다. 대수 구조  위의 합동 관계() 는 다음 조건을 만족시키는,  위의 동치 관계이다.
 모든 ,  및 에 대하여, 만약 모든 에 대하여 라면 이다.
대수 구조  위의 합동 관계들의, 함의에 따른 부분 순서 집합은 로 표기한다. 이는 의 동치 관계 격자 의 부분 격자를 이루며, 또한 이는 완비 격자이자 대수적 격자이다.

합동 관계의 동치 관계 조건을 반사 대칭 관계로 약화하면, 허용 관계의 개념을 얻는다.

예 
군 는 이항 연산 , 일항 연산 , 영항 연산 이 정의되어 있는 대수 구조이다. 이 경우, 군 의 합동 관계는 의 정규 부분군과 일대일 대응한다. 합동 관계 에 대응하는 정규 부분군은

이며, 반대로 정규 부분군 에 대응하는 합동 관계는

이다.

유사환 은 이항 연산 와 , 일항 연산 , 영항 연산 이 정의된 대수 구조이다. 이 경우, 의 합동 관계는 의 아이디얼과 일대일 대응한다. 합동 관계 에 대응하는 아이디얼은

이며, 반대로 아이디얼 에 대응하는 합동 관계는

이다.

정수환 에서, 주 아이디얼 에 대응되는 합동 관계는 정수의 합동 이다.

군과 유사환과 같은 경우는 합동 관계가 부분 대수로 주어지지만, 일반적으로는 이는 그렇지 않다. 예를 들어, 모노이드 의 경우 합동 관계는 부분 모노이드로 정의되지 않는다.

참고 문헌

외부 링크 
 

추상대수학
모듈러 산술