음계산법

조합론에서 음계산법(陰計算法, )은 특정 수열 · 다항식열에서의 아랫첨자를 마치 거듭제곱처럼 여겨 계산하는 계산법이다.

정의 
표수가 0인 체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 다항식환 는  위의 벡터 공간을 이룬다. 이 속의 다항식열()은 다음과 같은 조건들을 만족시키는 열이다.

음합성 
다항식

와 다항식열

의 음합성()은 다음과 같은 다항식열이다.

마찬가지로, 두 다항식열 의 음합성은 다음과 같다.

이에 따라, 다항식열들은 모노이드를 이룬다. 음합성의 항등원은 다음과 같다.

셰퍼 다항식열 
다항식열 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 -선형 작용소를 정의할 수 있다.

이를 다항식열 의 델타 연산자()라고 한다.

또한, 임의의 에 대하여, 다음과 같은 -선형 작용소를 정의할 수 있다.

만약 가 모든 와 가환한다면, 를 셰퍼 다항식열()이라고 한다.

두 셰퍼 다항식열의 음합성 역시 셰퍼 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 셰퍼 다항식열들은 군을 이룬다.

셰퍼 다항식열 의 지수 생성 함수는 다음과 같은 꼴이다.

따라서, 셰퍼 다항식열은 일반화 아펠 다항식열의 특수한 경우이다.

아펠 다항식열 
셰퍼 다항식열 에 대하여, 델타 연산자가 다항식의 미분과 같다면, 를 아펠 다항식열()이라고 한다.

두 아펠 다항식열의 음합성 역시 아펠 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 아펠 다항식열들은 아벨 군을 이룬다. 이는 셰퍼 다항식열의 군의 정규 부분군이다.

모든 아펠 다항식열 은 어떤 수열 에 대하여

의 꼴임을 보일 수 있다. 역으로, 아펠 다항식열이 주어졌다면

이 된다.

아펠 다항식열의 예로는 다음이 있다.
 베르누이 다항식 . 이에 대응하는 수열은 베르누이 수이다.
 (확률론의) 에르미트 다항식 . 이에 대응하는 수열은 , 이다.
 오일러 다항식
 . 이에 대응하는 수열은 이다 (는 크로네커 델타).

이항형 다항식열 
셰퍼 다항식열 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 셰퍼 다항식열을 이항형 다항식열()이라고 한다.
 이며 이다.
 다음 항등식이 성립한다.

이항형 다항식열은 음합성에 대하여, 셰퍼 다항식열의 군의 부분군을 이룬다. 이는 정규 부분군이 아니며, 아벨 군이 아니다. 셰퍼 다항식열의 군 은 아펠 다항식열의 군 과 이항형 다항식열의 군 의 반직접곱이다.

이항형 다항식열은 그 델타 연산자로부터 완전히 결정된다.

이항형 다항식열의 예로는 다음이 있다.
 . 이에 대응하는 델타 작용소는 미분 이다.
 하강 포흐하머 기호 . 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분 이다.
 상승 포흐하머 기호 
 아벨 다항식 
 투샤르 다항식 . 여기서 는 제2종 스털링 수이다.

아펠 다항식의 음계산법 
아펠 다항식열

이 주어졌다고 하자. 이 경우, 형식적 변수 에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의할 수 있다.

이 경우, 를 음변수()라고 한다. 을 가하면, 의 윗첨자(거듭제곱)가 의 아랫첨자로 바뀌는 것을 알 수 있다.

그렇다면, 다음과 같은 식들이 성립한다.

따라서, 를 포함하는 표현을 로 나타낸 뒤, 음변수 의 다항식으로 다룰 수 있다. 이를 음계산법이라고 한다.

예를 들어, 다음과 같은 항등식을 음계산법으로 쉽게 보일 수 있다.

이항형 다항식의 음계산법 
델타 연산자 에 대응하는 이항형 다항식 이 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.

그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

따라서, 아펠 다항식의 경우와 같이 를 포함하는 표현을 로 나타내어 편하게 다룰 수 있는 음계산법이 성립한다.

특히, 임의의 에 대하여, 이므로

인 다항식

가 존재한다. 이 경우,

이다. 따라서,

가 된다. 이를 음 테일러 급수()라고 한다.

특히, 이 하강 포흐하머 기호

일 경우,

이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분

이다. 따라서

이다. 이는 뉴턴 급수라고 한다.

보다 일반적으로, 셰퍼 다항식열은 아펠 다항식열과 이항형 다항식열의 음합성이므로, 이에 대한 음계산법을 개발할 수 있다.

예

베르누이 공식 
베르누이 다항식 은 아펠 다항식열을 이룬다. 따라서, 선형 작용소

를 정의하자. (여기서 은 인 베르누이 수이다.) 그렇다면, 음계산법을 사용한다면 거듭제곱수의 합에 대한 베르누이 공식은 다음과 같이 깔끔하게 적을 수 있다.

역관계 
두 수열 , 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

이는 다음과 같이 음계산법으로 쉽게 유도할 수 있다.
우선

라고 하자. 그렇다면, 만약

라면,

로 정의할 수 있다. 그렇다면

임을 알 수 있다. (반대 방향의 함의도 마찬가지로 성립한다.)

역사 
음계산법은 1861년에 존 블리사드()가 도입하였다. 그러나 블리사드는 선형 범함수를 사용하지 않았으며, 단순히 특정 경우 아랫첨자를 윗첨자처럼 간주할 수 있다는 선에서 음계산법을 이해하였다.

이후 음계산법은 에두아르 뤼카와 제임스 조지프 실베스터 등에 의하여 널리 사용되었으나, 오랫동안 음계산법이 왜 성립하는지는 의문에 싸여 있었다. 1938년에 에릭 템플 벨()은 음계산법을 엄밀하게 유도하려고 시도하였으나, 그리 성공적이지 못하였다.

1970년대에 잔카를로 로타는 선형 범함수를 사용하여 음계산법을 엄밀하게 유도하였다.

아펠 다항식열은 프랑스의 수학자 폴 에밀 아펠(, 1855~1930)이 도입하였다. 셰퍼 다항식열은 미국의 수학자 이자도어 미첼 셰퍼(, 1901~1992)가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

조합론
다항식
유한차분법