사슬 조건

순서론에서 오름 사슬 조건(-條件, , 약자 ACC)과 내림 사슬 조건(-條件, , 약자 DCC)은 부분 순서 집합이 만족시킬 수 있는 두 개의 유한성 조건이다.

정의 
부분 순서 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 오름 사슬 조건이라고 한다.
 의 부분 집합 가운데, 만약 가 주어진다면, 인 이 존재한다.
 의 부분 집합 가운데, 최소 원소를 가지는 사슬은 항상 유한 집합이다.
 의 부분 집합 가운데, 공집합이 아닌 것은 항상 극대 원소를 갖는다.

부분 순서 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 내림 사슬 조건이라고 한다.
 의 부분 집합 가운데, 만약 가 주어진다면, 인 이 존재한다.
 의 부분 집합 가운데, 최대 원소를 가지는 사슬은 항상 유한 집합이다.
 의 부분 집합 가운데, 공집합이 아닌 것은 항상 극소 원소를 갖는다.

성질 
모든 유한 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건과 내림 사슬 조건을 만족시킨다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 내림 사슬 조건을 만족시킨다.
 정렬 집합이다.

예 
자연수 을, 개의 원소를 갖는 전순서 집합으로 간주하자. 그렇다면 분리합집합

은 오름 사슬 조건과 내림 사슬 조건을 만족시킨다. 그러나 이 부분 순서 집합에서, 오름 사슬의 길이의 상한과 내림 사슬의 길이의 상한은 둘 다 무한대이다.

집합 의 부분 집합들의 격자 를 생각하자. 그렇다면 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
 는 내림 사슬 조건을 만족시킨다.
 는 유한 집합이다.

역사 
이 조건들은 다비트 힐베르트와 에미 뇌터, 에밀 아르틴이 환의 아이디얼들의 격자를 연구하기 위하여 도입하였다.

외부 링크

같이 보기 
 뇌터 환
 아르틴 환

순서론