라그랑주 부분 다양체

심플렉틱 기하학에서 라그랑주 부분 다양체(Lagrange部分多樣體, )는 심플렉틱 형식의 당김이 0이 되어, 국소적으로 일반화 좌표(또는 일반화 운동량)의 부분 다양체로 간주할 수 있는 최대 차원 부분 다양체이다.

정의 
차원 심플렉틱 다양체  속의 매끄러운 부분 다양체 가 다음 조건을 만족시킨다면, 등방성 부분 다양체(等方性部分多樣體, )라고 한다.

즉, 심플렉틱 형식 를 에 국한하였을 때 0이 되어야 한다.

차원 심플렉틱 다양체의 차원 등방성 부분 다양체를 라그랑주 부분 다양체()라고 한다. 즉, 라그랑주 부분 다양체는 최대 차원의 등방성 부분 다양체이다.

이와 마찬가지로, 만약 가 매끄러운 매장이 아니라 매끄러운 몰입일 경우, 마찬가지로 등방성 몰입() 및 라그랑주 몰입()을 정의할 수 있다.

라그랑주 올뭉치 
라그랑주 올뭉치()

는 일반올 이 전체 공간 의 라그랑주 부분 다양체를 이루는 올뭉치이다. 이 경우, 합성 에서, 가 국소 미분 동형이 되지 않는 점, 즉  행렬 의 계수가  미민인 점들의 집합

을 라그랑주 올뭉치의 초점면(焦點面, )이라고 한다.

특수 라그랑주 부분 다양체 
차원 켈러 다양체 위의 부피 형식이 이며, -복소수 미분 형식 가

를 만족시킨다고 하자. 의 실수 성분과 허수 성분을 분해하자.

그렇다면,  속의 특수 라그랑주 부분 다양체()는 다음 조건을 만족시키는 라그랑주 부분 다양체 이다.

칼라비-야우 다양체 속의 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념은 끈 이론, 특히 거울 대칭에서 등장한다.

성질 
임의의 두 심플렉틱 다양체 ,  사이의 미분 동형

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 심플렉틱 사상이다. 즉, 이다.
 의 그래프 는 의 라그랑주 부분 다양체이다.

예

심플렉틱 벡터 공간의 라그랑주 부분 벡터 공간 
차원 심플렉틱 벡터 공간의 부분 벡터 공간 가운데 라그랑주 부분 다양체를 이루는 것을 라그랑주 부분 벡터 공간()이라고 하며, 그 모듈라이 공간을 라그랑주 그라스만 다양체()라고 한다.

심플렉틱 벡터 공간에 심플렉틱 구조와 호환되는 내적을 주자 (이는 표준적이지 않다). 그렇다면, 내적의 선택에 따라 라그랑주 그라스만 다양체는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

그러나 이 동형은 내적의 선택에 의존하므로 표준적이지 않다. 라그랑주 그라스만 다양체는 단일 연결 공간이 아니며, 그 기본군은 무한 순환군

이다. 이로부터 마슬로프 지표를 정의할 수 있다.

2차원 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체 
2차원 심플렉틱 다양체  속의 매끄러운 곡선 은 항상 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. (곡선 위에는 0이 아닌 2차 미분 형식이 존재할 수 없기 때문이다.)

예를 들어, 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 2차원 유클리드 공간 을 생각하자. 이 경우, 임의의 곡선 은 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 이 경우, 축으로의 사영

을 정의한다면, 이 사영에 대한 곡선의 초점면은 기울기가 무한대가 되는 점(즉, 접선이 축과 평행한 점)이다. 예를 들어, 타원

은 해밀토니언 의 준위 부분 집합 인 라그랑주 부분 다양체이며, 초점면은 운동량이 0이 되는 점

이다.

공변접다발 
매끄러운 다양체  위의 공변접다발 은 자연스럽게 심플렉틱 다양체를 이룬다. 임의의 매끄러운 함수 에 대하여, 다음과 같은 의 부분 다양체를 정의하자.

그렇다면 이는 의 라그랑주 분 다양체를 이룬다. 특히, 상수 함수 일 경우 이는 는 라그랑주 부분 다양체를 이룬다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 마슬로프 지표
 기하학적 양자화

심플렉틱 기하학