아다마르 곱

선형대수학에서 아다마르 곱()은 같은 크기의 두 행렬의 각 성분을 곱하는 연산이다. 즉, 일반 행렬곱은 과 의 꼴의 두 행렬을 곱하지만, 아다마르 곱은 과 의 꼴의 두 행렬을 곱한다. 덧셈에 대하여 분배 법칙을 따른다. 기호는 .

정의 
환 의 성분을 갖는, 같은 크기 의 두 행렬

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 과 의 아다마르 곱은 다음과 같다.

성질 
환 가 주어졌다고 하자.

아다마르 곱은 결합 법칙과 덧셈에 대한 분배 법칙을 따른다. 즉, 임의의

에 대하여, 다음이 성립한다.

아다마르 곱의 항등원은 모든 성분이 1인 행렬

이다. 이에 따라, 는 환을 이루며, 이는 환의 직접곱 과 동형이다.

만약 가 가환환이라면, 아다마르 곱은 교환 법칙을 따른다. 즉, 임의의

에 대하여, 만약 가 가환환일 경우 다음이 성립한다.

만약 의 모든 성분이 가역원이라면, 에 대한 아다마르 곱은 다음과 같은 역원을 갖는다.

두 대칭 행렬의 아다마르 곱은 대칭 행렬이다. 두 복소수 에르미트 행렬의 아다마르 곱은 에르미트 행렬이다.

슈어-오펜하임 부등식 
임의의 두 양의 준정부호 에르미트 행렬

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 슈어-오펜하임 부등식(Schur-Oppenheim不等式, )에 따르면, 다음이 성립한다.
 은 역시 양의 준정부호 에르미트 행렬이다.

역사 
“아다마르 곱”이라는 용어는 자크 아다마르의 이름을 딴 것이다.

슈어-오펜하임 부등식의 경우, 이사이 슈어가 1911년에 을 증명하였으며, 알렉산더 오펜하임(, 1903~1997)이 1930년에 이를 개량하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

행렬
이항연산
행렬론