거스틴해버 대수

추상대수학과 대수적 위상수학 및 양자장론에서 거스틴해버 대수()는 결합 법칙을 만족시키는 대수와 리 대수의 구조를 합친 대수 구조의 하나이다.

정의 
거스틴해버 대수 는  등급을 갖는 대수이다.

이 위에 정의된 연산들은 다음과 같다.
 곱 은 초교환 법칙 · 결합 법칙을 만족시키는, 등급 0의 이항 연산이다.
 리 괄호 은 등급 −1의 이항 연산이며, 이는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
 (초교환 법칙) 
 (야코비 항등식) 
 곱과 리 괄호는 다음과 같은 푸아송 항등식을 만족시킨다.

호모토피 거스틴해버 대수 
호모토피 거스틴해버 대수(, , , )는 역시  등급을 갖는 대수이다. 이 위에는 모든

에 대하여, 항 연산 이 존재하며, 이는 등급 을 갖는다.

처음 몇 연산들은 다음과 같다.
 1항 연산은 하나밖에 없으며, 보통 로 쓴다. 이는 등급 1의 연산자이며, 공사슬 복합체의 공경계이다.
 2항 연산은 두 개가 있다. 보통 , 로 쓴다.
 3항 연산은 4개가 있으며, , , , 이다.
이들 사이의 처음 몇 개의 항등식들은 다음과 같다.
 (멱영성) 
 (곱 규칙) 
 (호모토피 결합 법칙) 
 (호모토피 교환 법칙)

성질 
호모토피 거스틴해버 대수는 A∞-대수(결합 대수의 호모토피화)와 호모토피 리 대수의 공통적인 일반화이다.
 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들  가운데, 인 연산들은 A∞-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 A∞-대수이다.
 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들  가운데, 인 연산들의 완전 등급 반대칭화는 L∞-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 L∞-대수이다.

거스틴해버 대수는 호모토피 거스틴해버 대수의 특수한 경우이다. 호모토피 거스틴해버 대수 에서, 2항 연산이 아닌 모든 연산이 0이며, 또한

이라면, 은 거스틴해버 대수를 이룬다. 또한, 일반적인 호모토피 거스틴해버 대수의 코호몰로지는 거스틴해버 대수를 이룬다.

예 
결합 법칙을 따르는 대수 의 호흐실트 코호몰로지 는 거스틴해버 대수를 이루며, 호흐실트 공사슬들의 대수는 호모토피 거스틴해버 대수를 이룬다. 또한, 위상 꼭짓점 연산자 대수 역시 자연스럽게 호모토피 거스틴해버 대수를 이루며, 여기에 BRST 양자화로 물리적인 상태들로 구성된 코호몰로지를 취하면 이 위에는 거스틴해버 대수의 구조가 존재한다.

바탈린-빌코비스키 대수는 추가 구조 ( 연산자)를 갖춘 거스틴해버 대수이다.

리 대수 의 외대수 는 자연스럽게 거스틴해버 대수의 구조를 갖는다.

역사 

머리 거스틴해버()가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 바탈린-빌코비스키 대수
 A∞-대수

대수
이론물리학
호모토피 이론
심플렉틱 기하학