제트 (수학)

미분기하학에서 제트()는 어떤 매끄러운 함수 또는 단면의 테일러 급수를 유한 차수로 절단한 것이다. 제트는 제트 다발()이라는 올다발의 단면을 이룬다. (그러나 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.)

정의 
차원 매끄러운 다양체  위의 올다발 이 주어졌다고 하자. 또한, 의 올 역시 차원의 매끄러운 다양체라고 하자.

점 의 근방에 정의되는, 의 매끄러운 단면의 공간을 라고 표기하자.

제트 
의 두 매끄러운 국소 단면 이 에서 같은 차 제트()를 갖는다는 것은 다음과 동치이다.
임의의 의 국소 좌표계 및 의 국소 자명화 및 다중지표 에 대하여, 만약 이라면 
즉, 에서의 차 제트는 위 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면 의 에서의 차 제트를 로 표기한다.

제트 공간 
임의의 에 대하여, 차 제트들의 집합 에는 다음과 같이

차원의 매끄러운 다양체의 구조를 줄 수 있다. 의 에서의 국소 좌표계  및 이를 확장하는 의 에서의 국소 좌표계 가 주어졌다면,

는 의 국소 좌표계를 정의한다. 를 의 차 제트 공간(次jet空間, )이라고 한다.

차 제트 공간에서 차 제트 공간으로 가는 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

그러나 차 제트 공간에서 차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다.

제트 다발 
 위에, 차 제트 공간 을 올로 하는 자연스러운 올다발을 정의할 수 있다. 이를 차 제트 다발 이라고 한다. 즉, 제트 다발 의 전체 공간은 차원이다.

자연스러운 사영 이 존재하므로, 이는  위의 올다발로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상

이 존재한다. 를 의 차 제트 연장(次jet延長, )이라고 한다.

제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.

무한 제트 다발 
제트 다발 사이에는 사영 사상

이 존재한다. 이에 대한 역극한

을 무한 제트 다발()이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 매끄러운 다양체가 아니지만, 자연스럽게 미분학적 공간()의 구조를 줄 수 있다.

편미분 방정식 
매끄러운 다양체 위의 편미분 방정식의 개념은 제트 다발로 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체  위의, 올다발 의 단면에 대한 차 편미분 방정식은 차 제트 다발 의 매끄럽게 매장된 부분 다양체 이다. 편미분 방정식 의 해(解, )는 제트 연장 의 상 이 에 속하는, 의 매끄러운 단면 이다.

변분 이중 복합체 
무한 제트 다발 은 미분학적 공간()의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식을 정의할 수 있다.  위의 미분 형식 공간 에서, 차수 은 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.
  방향의 차수 . 이를 수평 차수()라고 한다.
 무한 제트 다발의 올  방향의 차수 . 이를 수직 차수()라고 한다.
따라서,

가 된다. 이를 의 변분 이중 복합체(變分二重複合體, )라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분  역시 수평 방향 와 수직 방향 로 분해할 수 있다.

이 구조는 변분법에서 핵심적인 역할을 한다.

예를 들어, 차원 시공간  위의 라그랑주 고전 장론을 변분 이중 복합체의 언어로 서술하면 다음과 같다. 우선, 장은 어떤 올다발 의 단면 이 되고, 라그랑지언 밀도는 미분 형식 이다. 이를 시공간 위에 적분하면 작용

을 얻으며, 오일러-라그랑주 방정식은

가 된다.

성질 
올다발  위의 변분 이중 복합체를 사용하여, 다음과 같은 오일러-라그랑주 복합체()를 정의할 수 있다.

여기서

는 을 0번째 쪽으로 하는 스펙트럼 열의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계

가 존재한다.

오일러-라그랑주 복합체는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지는 올다발의 전체 공간 의 드람 코호몰로지와 동형이다.

예

0차 제트 
임의의 올다발

의 0차 제트 다발은 이다.

즉, 0차 제트 연장은 항등 함수이다.

자명한 올다발의 1차 제트 
자명한 올다발

의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 매끄러운 함수와 같다.

매끄러운 함수 의 1차 제트는 함수의 미분이다.

여기서  및 은 각각 공변접다발과 접다발이다.

따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은

이다. 여기서

는 곱공간의 자연스러운 사영 사상이며, 은 이러한 사영 사상에 대한 벡터 다발의 당김이다.

특히, 일 경우

이며, 반대로 일 경우

이다. 후자에서 인 경우는 자연스럽게 접촉다양체를 이룬다. 구체적으로, 의 국소 좌표계 를 잡는다면, 접촉 형식은 다음과 같다.

일반적 올다발의 1차 제트 
올과 밑공간이 매끄러운 다양체인 올다발

을 생각하자. 이 경우, 올다발의 접다발 의 자연스러운 부분 다발인 수직 다발() 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

즉, 올다발 의 수직 다발 의 올 는 의 올의 접공간이다.
는  위의 차원 벡터 다발을 이룬다.

그렇다면,  위의 1차 제트 다발은 ( 위의 올다발로서) 다음과 같다.

의 단면 는 (이므로)  위의 값의 1차 미분 형식을 정의한다. 또한, 를 다발 사상 로 생각할 수 있다. 만약 이 다발 사상이 (각 올에서) 사영작용소를 이룰 경우, 그 핵 는  위의 에레스만 접속을 이룬다. 즉,

가 되어, 를 수평 다발로 여길 수 있다.

피복 공간의 제트 
겹 피복 공간

은 올이 개의 점의 이산 공간인 올다발이다. 이 경우, 의 (충분히 작은) 매끄러운 국소 단면은 올의 한 점을 고르는 것과 같으며, 국소 자명화 아래 국소 단면은 국소 상수 함수가 되므로 임의의 에 대하여 차 제트는 0차 제트와 같은 정보를 담는다. 다시 말해,

가 된다.

역사 
제트의 개념은 샤를 에레스만이 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

미분기하학
매끄러운 함수
특이점 이론