보존적 확장

수리논리학에서 보존적 확장(保存的擴張, )은 주어진 이론을 확장하되, 원래 이론의 언어로서 나타낼 수 있는 모든 명제의 증명 가능성 여부가 바뀌지 않게 하는 확장이다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 1차 논리 언어 과 그 확장 
 -문장들의 집합 와 -문장들의 집합 
만약 다음 조건이 성립한다면, 이 의 (증명 이론적) 보존적 확장()이라고 한다.

즉, 로 서술할 수 있는 문장에 대하여, -증명 가능성은 -증명 가능성과 동치이다.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 의 모형 이론적 보존적 확장()이라고 한다.
 임의의 -구조 에 대하여 라면, 이자 인 -구조 이 항상 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요는 없다.)

성질 
이론 의 증명 이론적 보존적 확장 이 주어졌다고 하자. 그렇다면,  가 무모순적인지 여부는 가 무모순적인지 여부와 동치이다.

(여기서 은 거짓인 문장이다.)

무모순적 이론 의 확장 에 대하여, 라면, 괴델의 불완전성 정리에 따라 은 의 보존적 확장이 아니다.

예 
언어 의 1차 논리 문장들의 집합 이 주어졌다고 하고, 로부터 다음과 같은 꼴의 문장을 증명할 수 있다고 하자.

여기서 논리식 의 자유 변수들은 이며, 은 자연수이다 (특히, 0일 수 있다).

그렇다면, 에 개의 새 항 연산 기호 를 추가한 언어를 이라고 하고,

을 정의하자. 그렇다면, 은 의 모형 이론적 보존적 확장이다.

참고 문헌 

수리논리학