바이어슈트라스 치환

미적분학에서 바이어슈트라스 치환(-置換, ) 또는 탄젠트 반각 치환(-半角置換, ) 또는 t-치환(-置換, )은 반각의 탄젠트를 새로운 변수로 대신하는 치환 적분이다. 삼각 함수의 유리 함수를 적분하는 데 사용된다.

정의 
모든 삼각 함수의 유리 함수는 어떤 2변수 유리 함수 에 대하여 와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 바이어슈트라스 치환은 이러한 함수를 적분하는 데 사용되는 다음과 같은 치환 적분 기법이다.

이 경우 다음이 성립한다.

따라서 의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.

모든 유리 함수의 원함수는 초등 함수이므로, 모든 삼각 함수의 유리 함수의 원함수 역시 초등 함수이다.

다른 방법 
바이어슈트라스 치환은 때로 복잡한 계산을 가져온다. 다음과 같은 몇 가지 특수한 꼴의 경우에는 보다 더 간편한 기법이 존재한다.
 만약 라면, 이는 항상  꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 와 같이 치환하는 것이 좋다.

 만약 라면, 이는  꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 와 같이 치환하는 것이 좋다.

 만약 라면,  꼴이므로, 이 경우 와 같이 치환하는 것이 좋다.

사실 모든 유리 함수는 각각 위와 같은 성질을 만족시키는 세 유리 함수의 합으로 나타낼 수 있다.

쌍곡선 함수의 경우 
바이어슈트라스 치환의 쌍곡선 함수 버전인 쌍곡 탄젠트 반변수 치환(雙曲-半變數置換,  또는 쌍곡 t-치환(雙曲-置換, )은 쌍곡선 함수의 유리 함수 를 적분하는 데 사용되며, 이는 다음과 같다.

이 경우 다음이 성립한다.

따라서 의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.

따라서 모든 쌍곡선 함수의 유리 함수의 원함수는 초등 함수이다.

예 
다음과 같은 적분들을 생각하자.

첫째 적분은 바이어슈트라스 치환 을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

둘째 적분 역시 바이어슈트라스 치환 을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

셋째 적분은 를 만족시키므로, 바이어슈트라스 치환을 사용할 필요가 없다. 이는 치환 을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

쌍곡선 함수의 경우의 예 
다음과 같은 적분을 생각하자.

이는 쌍곡 탄젠트 반변수 치환 를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

각주

외부 링크 
 
 
 

적분학