오일러 치환

미적분학에서 오일러 치환(-置換, )은 와 에 대한 유리 함수의 적분을 구할 때 사용되는 치환 적분이다.

정의 
오일러 치환은 다음과 같은 적분을 구할 때 사용된다.

여기서 는 2변수 유리 함수이며, 이다. 오일러 치환은 이 적분을 유리 함수의 적분으로 만들며, 이는 다음과 같은 세 가지 경우로 나뉜다. 같은 함수가 여러 가지 경우에 속할 수 있음에 주의하자.

제1 오일러 치환 
만약 일 경우, 다음과 같이 치환한다.

이를 제1 오일러 치환(第一-置換, )이라고 한다. 이 경우 원래의 적분은 다음과 같이 새 변수 에 대한 유리 함수의 적분으로 귀결된다.

제2 오일러 치환 
만약 일 경우, 다음과 같이 치환한다.

이를 제2 오일러 치환(第二-置換, )이라고 한다. 마찬가지로 원래의 적분은 에 대한 유리 함수의 적분으로 귀결된다.

사실, 제1 및 제2 오일러 치환의 조건을 만족시키는 꼴의 적분은 다음과 같은 변환을 통해 각각 제2 및 제1 오일러 치환을 적용할 수 있다.

제3 오일러 치환 
만약 의 두 근 가 실수일 경우, 다음과 같이 치환한다.

이를 제3 오일러 치환(第三-置換, )이라고 한다. 이 경우 역시 의 유리 함수의 적분이 된다.

사실, 제1 및 제3 오일러 치환은 모든 경우를 포함한다. 이는 만약 이며 일 경우 가 모든 곳에서 실수가 아니기 때문이다.

팁 
오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분을 구하는 데에는 계산량을 줄여주는 요령과 보다 더 간편할 수 있는 대안적인 방법이 존재한다. 예를 들어, 다음과 같은 공식은 특수한 꼴의 함수의 적분의 계산을 단순화한다.

여기서 는 각각 차 다항식 및 차 이하 다항식이며 는 상수이다. 각 에 대하여 이러한 조건을 만족시키는  및 는 위 식 양변에 도함수를 취한 뒤 다시 양변에 을 곱하여 양변의 다항식의 계수를 비교하면 구할 수 있다. 다음과 같은 꼴의 적분은 와 같이 치환하면 위와 같은 꼴의 적분으로 귀결된다.

다음과 같은 꼴의 적분은 치환  및 을 통해 구할 수 있다.

다음과 같은 꼴의 적분에서 일 경우, 적절한 치환 를 통해 1차항을 없앤 뒤, 부분 분수 분해의 각 항에 치환  및 을 사용하여 구할 수 있다.

오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분은 완전 제곱꼴을 만든 뒤 삼각 치환 또는 쌍곡 치환을 통해 구할 수도 있다. 정리된 루트 부분이 일 경우  또는 와 같이 치환하며, 일 경우  또는 와 같이 치환하며, 일 경우  또는 와 같이 치환한다. 그러면 적분하려는 함수는 삼각 함수 또는 쌍곡선 함수에 대한 유리 함수로 변하며, 이는 바이어슈트라스 치환 등을 통해 구할 수 있다.

예 
다음과 같은 적분들을 생각하자.

제1 오일러 치환의 예 
첫 번째 적분에 다음과 같은 제1 오일러 치환을 사용하자.

이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

제2 오일러 치환의 예 
두 번째 적분에 다음과 같은 제2 오일러 치환을 사용하자.

이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

제3 오일러 치환의 예 
세 번째 적분에 다음과 같은 제3 오일러 치환을 사용하자.

이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

다른 방법의 예 
네 번째 적분에서는 와 같은 치환이 더 편리하다.

각주

외부 링크 
 
 
 

적분학