유리 함수층

대수기하학에서 유리 함수층(有理函數層, )는 어떤 대수다양체 위에 존재하는 유리 함수들로 구성된 층이다.

정의

정역 스킴의 경우 
정역 스킴  위의 유리 함수층 는 다음과 같은 체 값을 갖는 층이다. 임의의 공집합이 아닌 열린집합 에 대하여,

즉, 각 열린집합에 대응하는 정칙 함수들의 정역에 분수체를 취한 것이다. 물론, 공집합의 경우 층의 값은 항상 자명환이다.

일반적 스킴의 경우 
임의의 국소환 달린 공간 의 유리 함수층 는 다음과 같이 정의한다.

각 열린집합  및 에 대하여, 줄기 로 가는 표준적인 제약 사상

이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의하자.

여기서 는 가환환에서 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드이다. 이는 곱셈 모노이드들의 교집합이므로 역시 곱셈 모노이드를 이룬다.

그렇다면  위의 준층 를 다음과 같은 국소화로 정의하자.

여기서 은 국소화이다. 이 경우, 제약 사상은 국소화로 유도되는 자연스러운 사상들이다.  위의 유리 함수층 는 준층 의 층화이며, 이는 -가군층을 이룬다.

임의의 스킴 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 체를 이루지 않을 수 있다.

성질

줄기 
가 국소 뇌터 스킴이거나, 또는 축소 스킴이며 그 기약 성분의 집합이 국소적으로 유한하다고 하자 (즉, 임의의 점 에 대하여, 그 기약 성분의 수가 유한한 열린 근방 가 존재한다). 그렇다면, 유리 함수층의 줄기는 구조층의 줄기의 전분수환과 같다.

아핀 스킴의 유리 함수층 
가환환 에 대하여, 전분수환 에서 스펙트럼 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 환 준동형

이 존재하며, 이는 항상 단사 함수이다.

만약 가 뇌터 환이거나, 또는 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는 축소환이라면, 이는 환의 동형 사상을 이룬다. 그러나 일반적으로 이는 동형 사상이 아니다.

코호몰로지 
국소환 달린 공간  위에는 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.

여기서 는 가역원층을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 층 코호몰로지 긴 완전열이 존재한다.

여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.
 : 가역 정칙 함수군
 : 가역 유리 함수군
 : 카르티에 인자 군
 : 카르티에 인자 유군
 : 피카르 군

예 
체 에 대하여, 0차원 아핀 공간 은 한원소 공간이며, 이 경우

이다.

체 에 대하여, 아핀 직선 의 경우,

이다. 즉, 의 계수의 유리 함수들의 체이다.

역사 
알렉산더 그로텐디크가 1967년에 도입하였으나, 그로텐디크의 정의는 문제가 있었다. 이를 스티븐 클라이먼()이 1979년에 지적하고 교정하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

스킴 이론
층론