영근기

환론에서 상영근기(上零根基, )와 하영근기(下零根基, )는 멱영원들로 구성된, 환의 특별한 아이디얼들이다. 가환환의 경우 이 둘은 일치하며, 영근기(零根基, )라고 불린다.

정의 
환 의 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼이 멱영원들로만 구성되어 있다면, 이를 멱영원 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼()이라고 한다. (이는 멱영 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼과 다르다.)

환 의 상영근기(上零根基, ) 또는 쾨테 근기()는 모든 멱영원 양쪽 아이디얼들의 합이다.

환 의 하영근기(下零根基, ) 또는 베어-맥코이 근기()는 영 아이디얼의 소근기이다. 즉, 의 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.

환 의 레비츠키 근기()는 모든 국소 멱영 아이디얼들의 합이다. 여기서 국소 멱영 아이디얼() 는 임의의 유한 부분 집합 가 주어졌을 때, 충분히 큰 자연수 에 대하여 이 되는 아이디얼이다.

성질 
하영근기 · 레비츠키 근기 · 상영근기는 환의 양쪽 아이디얼을 이룬다. 일반적으로 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
하영근기 ⊆ 레비츠키 근기 ⊆ 상영근기 ⊆ 제이컵슨 근기
상영근기의 모든 원소들은 멱영원이지만, 일반적인 환에서는 상영근기에 속하지 않는 멱영원이 존재할 수 있다.

만약 환 가 가환환이거나 왼쪽 뇌터 환이거나 오른쪽 뇌터 환이라면, 상영근기 · 하영근기 · 레비츠키 근기가 모두 일치하며, 이를 영근기라고 한다.

쾨테 추측 
다음 명제들은 모두 서로 동치이며, 이들이 참인지 여부를 쾨테 추측()이라고 한다.
 임의의 환에서, 두 멱영원 왼쪽 아이디얼의 합은 멱영원 왼쪽 아이디얼이다.
 임의의 환에서, 모든 멱영원 왼쪽 아이디얼은 상영근기에 속한다.
 임의의 환  및 임의의 멱영원 양쪽 아이디얼 에 대하여, 행렬 아이디얼 은 멱영원 아이디얼이다.
 임의의 양의 정수  및 임의의 환  및 임의의 멱영원 양쪽 아이디얼 에 대하여, 행렬 아이디얼 은 멱영원 아이디얼이다.
쾨테 추측은 오른쪽 뇌터 환이나 다항 항등식 환에 대하여 증명되었지만, 일반적인 환에 대하여 아직 미해결 문제이다.

가환환의 경우 
가환환의 경우, 영근기는 모든 멱영원의 집합과 같으며, 영 아이디얼의 소근기이다. (이는 비가환환의 경우 성립하지 않을 수 있다.)

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 멱영원
 제이컵슨 근기

환론
가환대수학