비이산 공간

일반위상수학에서 비이산 공간(非離散空間, )은 주어진 집합 위에서 가장 적은 수의 열린집합들을 갖는 위상 공간이다. 이러한 공간에서는 서로 다른 두 점들을 위상수학적으로 구별할 수 없다.

정의 
위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을  비이산 공간이라고 한다.
 의 열린집합은 공집합 및  전체 밖에 없다.
 는 공집합이거나, 또는 그 콜모고로프 몫공간이 한원소 공간이다.
 를 공역으로 하는 모든 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간  및 임의의 함수 에 대하여, 는 연속 함수이다.
 를 정의역으로 하고, 공역이 T1 공간인 연속 함수는 상수 함수 밖에 없다.
 공집합이 아닌 의 모든 부분 집합은 조밀 집합이다.
  속의 모든 점렬은 모든 점으로 수렴한다.
  전체가 아닌 의 모든 부분 집합의 내부는 공집합이다.
 공집합이 아닌 의 모든 부분 집합의 폐포는 이다.

범주론적으로, 위상 공간의 구체적 범주의 망각 함자 는 오른쪽 수반 함자

를 가지며, 이 함자를 비이산 함자라고 한다. 집합 의 에 대한 상 는  위의 비이산 공간이다. (반대로, 망각 함자의 왼쪽 수반 함자는 이산 공간 함자이다.)

성질 
두 개 이상의 점을 갖는 비이산 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
 콜모고로프 공간이 아니다. (따라서 T1 공간이나 하우스도르프 공간이 아니다.)
 거리화 가능 공간이 아니다.
 호 연결 공간이 아니다.

모든 비이산 공간 는 다음 성질들을 만족시킨다.
 R0 공간이다.
 경로 연결 공간이다.
 콤팩트 공간이다.
 완비 정규 공간이다. (따라서 정칙 공간이며, 완비 정칙 공간이며, 정규 공간이다.)
 제2 가산 공간이다. (따라서 린델뢰프 공간이며, 분해 가능 공간이며, 제1 가산 공간이다.)
 베르 공간이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

위상 공간