원순서 집합

순서론에서 원순서 집합(原順序集合, )은 그 속의 두 원소를 추이적으로 비교할 수 있는 집합이다. 부분 순서 집합과, 동치 관계를 갖는 집합의 공통적인 일반화이다. 어떤 집합의 몫집합 위의 부분 순서로도 생각할 수 있다.

정의 
원순서 집합의 개념은 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 서로 동치이다.
 순서론적으로, 특별한 이항 관계를 갖춘 집합으로 여길 수 있다.
 범주론적으로, 특별한 작은 범주로 여길 수 있다.
 위상수학적으로, 특별한 종류의 위상 공간으로 여길 수 있다.

순서론적 정의 
집합  위의 원순서는 다음 조건들을 만족시키는 이항 관계 이다.
 (반사성) 임의의 에 대하여, 
 (추이성) 임의의 에 대하여, 라면 
원순서를 갖춘 집합을 원순서 집합(, )이라고 한다. 이 정의에 반대칭성()을 추가하면 부분 순서를 얻는다.

범주론적 정의 
얇은 범주(-範疇, ) 는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.
 임의의 두 대상  및 그 사이의 두 사상 에 대하여, 이다.  즉, 사상 모임 는 한원소 집합이거나 공집합이다.

범주론적으로, 원순서 집합은 얇은 작은 범주이다. 구체적으로, 원순서 집합 은 다음과 같은 범주로 여길 수 있다.
 의 대상은 의 원소이다.
 의 사상은 인 두 원소의 순서쌍 이며, 이는 에서 로 가는 사상이다. 즉, 사상 모임이 다음과 같다.

위상수학적 정의 
알렉산드로프 공간(Александров空間, )은 임의의 열린집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합이 열린집합인 위상 공간이다.

알렉산드로프 공간의 개념은 원순서 집합의 개념과 동치이다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 에 대하여 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

여기서 는 한원소 집합의 폐포이다. 반대로, 임의의 원순서 집합 이 주어졌을 때, 상집합을 열린집합으로, 하집합을 닫힌집합으로 하는 위상을 부여할 수 있으며, 이렇게 하여 얻는 위상 공간은 항상 알렉산드로프 공간이다.

성질 
원순서 집합 가 주어졌을 경우,  위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

이에 따른 몫집합  위에서 은 부분 순서를 정의한다. 반대로, 어떤 집합 의 몫집합 위에 부분 순서가 주어졌다면, 이는  위의 원순서를 정의한다.

크기가 인 유한 집합 위의 가능한 원순서의 수는 다음과 같다 ().
1, 1, 4, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, 

유한 집합 위의 위상들과 원순서들 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 위상  (열린집합들의 집합)가 주어졌다면,

와 같이 원순서를 정의할 수 있다. 반대로, 원순서 가 주어졌다면,

를 기저로 하는 위상을 정의할 수 있다.

예 
범주  속의 대상 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 를 다음과 같이 정의하자.
 의 대상은 공역이 인 -단사 사상 이다.
 의 두 대상 ,  사이의 사상 는 가 되는 -사상 이다.
그렇다면, 는 (단사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 의 부분 대상들의 모임 이다.

마찬가지로, 범주 를 다음과 같이 정의하자.
 의 대상은 정의역이 인 -전사 사상 이다.
 의 두 대상 ,  사이의 사상 는 가 되는 -사상 이다.
그렇다면, 는 (전사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 의 몫 대상들의 모임 이다.

외부 링크 
 
 
 
 
 

순서론