바나흐 고정점 정리

수학에서 바나흐 고정점 정리(-固定點定理, ) 또는 축약 사상 정리(縮約寫像定理, )는 완비 거리 공간 위의 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다는 정리이다.

정의 
거리 공간  위의 축약 사상(縮約寫像, )은 1 미만의 상수에 대한 립시츠 연속 함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 이 존재하는 함수 이다.
 임의의 에 대하여, 

바나흐 고정점 정리에 따르면, 완비 거리 공간  위의 축약 사상 은 유일한 고정점을 갖는다. 즉, 인 가 존재하며, 이는 유일하다.

사실, 임의의 에 대하여, 반복 점렬 은 로 수렴한다. (여기서 은 의 번 합성이다.) 그 오차의 한 상계는 다음과 같다.

우선, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

따라서, 임의의 에 대하여,

이다. 즉, 는 코시 열이며, 어떤 점 로 수렴한다. 그렇다면, 가 연속 함수이므로

이며, 는 의 고정점이다.

반대로, 가 의 고정점이라고 하자. 그렇다면,

이므로

이다. 즉, 이다.

우선, 임의의 에 대하여,

이므로

이다. 특히, 가 모두 의 고정점일 경우 이다.

이제, 임의의 에 대하여

이다. 즉, 는 코시 열이며, 어떤 점 으로 수렴한다. 그렇다면, 이며, 또한 다음이 성립한다.

응용 
바나흐 고정점 정리는 다음과 같은 명제들의 증명에서 사용할 수 있다.
 피카르-린델뢰프 정리
 음함수 정리

역

Bessaga (1959) 
집합  및 함수  및 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 만약 임의의 에 대하여, 의 고정점이 많아야 하나라면, 가 에 대한 축약 사상이 되는,  위의 거리 함수 가 존재한다.
 만약 추가로 이 고정점을 갖는 가 존재한다면, 가 에 대한 축약 사상이 되는,  위의 완비 거리 함수 가 존재한다.

Hitzler; Seda (2001) 
T1 공간  위의 함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 유일한 고정점 을 갖는다.
 임의의 에 대하여, 점렬 이 로 수렴한다.
그렇다면, 가 1/2에 대한 축약 사상이 되는,  위의 완비 초거리 함수 가 존재한다.

일반화 
다양한 방향의 수많은 변형과 일반화가 존재한다.

축약 조건의 약화

n번 합성이 축약 사상인 경우 
완비 거리 공간  위의 함수 에 대하여, 이 축약 사상인 가 존재한다고 하자. 그렇다면, 는 유일한 고정점을 갖는다.

존재: 바나흐 고정점 정리에 따라, 은 유일한 고정점 을 갖는다.

이므로,  역시 의 고정점이다. 따라서 이다.

유일성: 의 고정점은 의 고정점이므로 로 유일하다.

n번 합성에 대한 상수의 급수가 수렴하는 경우 
완비 거리 공간  위의 함수 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 수열 이 존재한다고 하자.
 임의의  및 에 대하여, 
 
그렇다면, 는 유일한 고정점을 갖는다.

바나흐 고정점 정리의 증명을 조금 수정한다.

콤팩트 공간에서의 약화 
축약 사상의 정의에서 상수 1을 취하고 부등식을 엄격한 부등식으로 대체할 경우, 보다 더 약한 조건을 얻는다. 바나흐 고정점 정리는 축약 조건을 이 조건으로 약화할 경우 거짓이 된다. 그러나 콤팩트 공간 조건을 추가할 경우 다시 참이다. (모든 콤팩트 거리 공간은 자동적으로 완비 거리 공간이다.)

구체적으로, 콤팩트 거리 공간  위의 함수 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
 임의의 에 대하여, 만약 라면 
그렇다면, 는 유일한 고정점을 갖는다.

함수

가 연속 함수이므로, 콤팩트 조건에 따라 이 함수는 어떤 점 에서 최솟값을 갖는다. 특히

이며, 따라서 이다.

준축약 사상 
거리 공간  위의 준축약 사상()은 다음 조건을 만족시키는 이 존재하는 함수 이다.
 임의의 에 대하여, 
완비 거리 공간  위의 준축약 사상 은 유일한 고정점을 갖는다.

약축약 사상 
거리 공간  위의 약축약 사상()은 다음 조건을 만족시키는 함수 가 존재하는 함수 이다.
 임의의 에 대하여, 
 는 연속 함수이며, 증가 함수이다.
 
완비 거리 공간  위의 약축약 사상 은 유일한 고정점을 갖는다.

거리 공간의 일반화 
유사 거리 공간 또는 직사각 거리 공간() 또는 뿔 거리 공간() 따위에서의 일반화가 존재한다.

예

비(非)완비 거리 공간에 대한 반례 
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 구간 은 완비 거리 공간이 아니다. 그 위의 함수

는 축약 사상이지만, 고정점을 가지지 않는다.

비(非)콤팩트 공간에 대한, 축약 조건의 약화의 반례 
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 집합 은 완비 거리 공간이지만 콤팩트 공간이 아니다. 그 위의 함수

를 생각하자. 임의의 에 대하여, 평균값 정리에 따라

이다. 그러나 는 고정점을 가지지 않는다.

모든 축약 사상이 유일한 고정점을 가지는 비(非)완비 거리 공간 
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 집합

을 생각하자. 이는 의 닫힌집합이 아니므로 () 완비 거리 공간이 아니지만, 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다. 임의의 연속 함수 에 대하여, 의 고정점의 존재를 보이는 것으로 족하다. (이는 모든 축약 사상이 연속 함수이며, 축약 사상의 고정점은 많아야 하나이기 때문이다.) 만약 이라면, 0은 의 고정점이다. 이제 에 대하여 이라고 가정하자. 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 는 연속 함수이다. 이 콤팩트 볼록 집합이므로, 는 고정점 을 가진다. 또한, 이며 임을 보일 수 있다. (만약 이라면,

이므로 이 되어 모순이다. 그렇다면,

이므로, 이며, 따라서

이다.)

역사 
스테판 바나흐가 1922년에 처음 서술하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

계량기하학
고정점 정리