극대 원환면

리 군론에서 극대 원환면({極大圓環面, )은 어떤 콤팩트 리 군 속의 연결 콤팩트 닫힌 아벨 부분군 가운데 극대 원소인 것이다.

정의 
가 연결 콤팩트 리 군이라고 하자.  속의, 원환면 과 미분 동형인 닫힌 부분군

들의 집합을 생각하자. 이들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를 의 극대 원환면이라고 한다.

성질 
연결 콤팩트 리 군  및 그 극대 원환면이 주어졌을 때, 모든 원소 는 (임의의) 극대 원환면 의 원소와 켤레 동치이다. 즉, 항상 가 되는 를 찾을 수 있다.
증명:
임의의 에 대하여, 가 되는 를 찾아야 한다. 이러한 는

이므로,  위의 의 왼쪽 군 작용의 고정점을 이룬다. 가 부분군이므로, 반대로 의 모든 고정점 은 이러한 에 대응한다.

가 콤팩트 공간이므로, 렙셰츠 고정점 정리를 사용하여, 의 작용의 렙셰츠 수가 0이 아님을 보이면 족하다. 렙셰츠 수는 호모토피류에 대하여 불변량이다. 가 경로 연결 공간이므로, 의 작용은 의 작용(즉, 항등 함수)과 호모토픽하며, 항등 함수의 렙셰츠 수는 오일러 지표와 같다. 즉, 의 오일러 지표 가 0이 아님을 보이면 족하다.

이를 계산하기 위하여, 원소  가운데, 로 생성되는 부분군 가 의 조밀 집합을 이루는 것을 고르자. (가 원환면이므로, 이는 항상 가능하며, 거의 모든 에 대하여 이러한 성질이 성립한다.) 그렇다면, 의 작용의 고정점은 의 정규화 부분군 의 원소이다. 즉,  위의 고정점의 집합은 이다. 가 극대 원환면이라면, 이는 유한 집합이다. 그 모든 원소들은 서로 켤레이므로, 같은 지표를 갖는다. 따라서, 고정점 의 지표가 0이 아님을 보이면 족하다. 이는 1임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉, 이며, 모든 에 대하여 인 가 존재한다.

존재와 유일성 
모든 연결 콤팩트 리 군은 하나 이상의 극대 원환면을 갖는다. 극대 원환면은 일반적으로 유일하지 않지만, 연결 콤팩트 리 군 의 모든 극대 원환면들은 서로 켤레 동치이다.
증명:
임의의 두 극대 원환면 , 이 주어졌으며,  및 에 대하여, 로 생성되는 부분군이 의 조밀 집합이며, 도 에 대하여 마찬가지라고 하자. 그렇다면, 항상 인 를 찾을 수 있으므로, 가 된다.
즉, 연결 콤팩트 리 군 의 경우 바일 군이 유일하게 정의된다.

단순 리 군과 단순 리 대수는 근계에 의하여 분류된다. 이 경우, 리 군/대수의 바일 군은 그 근계의 바일 군과 일치한다.

차원 
연결 콤팩트 리 군 의 극대 원환면의 차원은 의 계수와 같다. 즉, 그 리 대수 를 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합

으로 분해하였을 때, 의 차원은 의 차원과 의 딘킨 도표의 꼭짓점의 수의 합과 같다.

바일 군의 작용 
연결 콤팩트 리 군 의 극대 원환면 가 주어졌을 때, 그 바일 군

은  위에 자연스럽게 작용한다. 이에 대한 몫공간

은 의 켤레류의 공간과 동형이다.

예 
유니터리 군 의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.

특수 유니터리 군 의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.

특수 직교군 의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.

여기서

이다. 특수 직교군 의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

리 군