토메 함수

수학에서 토메 함수()는 디리클레 함수와 유사하게 정의된 함수의 하나이다.

정의 
토메 함수 는 다음과 같다.

성질

연속성 
토메 함수 는 모든 유리수점에서 불연속이며, 모든 무리수점에서 연속이다. 이는 임의의 에 대하여,

이기 때문이다.

임의의  및 에 대하여, 인 양의 정수 를 취하자. 분모가 에 속하는 분수로 나타낼 수 있는 유리수들의 집합을

라고 하자. 그렇다면,  속 임의의 서로 다른 두 점 사이의 거리는  이상이므로, 는 극한점을 갖지 않는다. 특히, 는 의 극한점이 아니므로,

인 를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 에 대하여, 는 무리수이거나, 는 분모가 양의 정수인 기약 분수로 나타냈을 때 분모가 보다 큰 유리수이므로,

이다.

만약 라면

이므로 에서 불연속이다. 만약 라면

이므로 에서 연속이다.

극댓값 
토메 함수 는 모든 유리수점에서 엄격 극댓값을 갖는다.

임의의 에 대하여,

이므로,

인 가 존재한다.

미분 
토메 함수 는 모든 점에서 미분 불가능이다.

는 모든 유리수점에서 불연속이므로 모든 유리수점에서 미분 불가능이다.

이제, 임의의 에 대하여, 의 소수점 표기를

라고 하고, 다음과 같은 유리수 수열 을 취하자.

그렇다면, 은 로 수렴하며, 임의의 에 대하여,

이다. 따라서

이다. 반면, 로 수렴하는 임의의 무리수 수열 을 취했을 경우, 임의의 에 대하여,

이므로,

이다. 따라서, 극한

은 존재하지 않는다.

적분 
토메 함수 는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 또한,

이다.

의 불연속점의 집합 는 가산 집합이므로 그 르베그 측도는 0이며, 따라서 는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 닫힌구간의 임의의 분할에 대하여, 분할된 각 구간에서 무리수점을 취할 경우 리만 합은 0이 된다. 따라서 의 닫힌구간에서의 적분은 0이며,

이다.

역사 
카를 요하네스 토메()의 이름을 땄다.

참고 문헌 
 Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert (1999), Introduction to Real Analysis, 3rd Edition (Example 5.1.6 (h)). Wiley. 
 Michael Spivak, Calculus on manifolds. 1965. Perseus Books. 
 Abbot, Stephen. Understanding Analysis. Berlin: Springer, 2001.

외부 링크 
 
 

미적분학
특수 함수