작은 범주

범주론에서 작은 범주(-範疇, )는 그 대상의 모임과 사상의 모임이 충분히 “작은” 범주를 말한다. 그 정확한 의미는 사용하는 수학 기초론에 따라 달라지는데, 예를 들어 그로텐디크 전체를 사용할 경우 대상과 사상의 집합이 사용되는 그로텐디크 전체의 원소이어야 한다.

정의 
범주들의 모임을 다루려면, 원하는 수학 기초론을 선택해야 한다. 여기서는 편의상 그로텐디크 전체를 사용하자.

그로텐디크 전체 가 주어졌다고 하자. -작은 범주 는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.
 의 대상들은 집합 을 이루며, 이는 의 원소이다.
 의 사상들은 집합 을 이루며, 이는 의 원소이다.
-작은 범주들과, 그 사이의 함자들과, 그 사이의 자연 변환들은 2-범주를 이룬다. 이를 라고 표기하자.

국소적으로 작은 범주 
임의의 범주 가 다음 조건을 만족시킨다면, -국소적으로 작은 범주(-局所的으로 작은範疇, )라고 한다.
 임의의 두 대상 에 대하여, 이다.

연산 
는 -완비 범주이자 -쌍대 완비 범주이다. 즉, 임의의 -작은 범주  및 함자

에 대하여, 는 극한과 쌍대극한을 갖는다. 특히,
 의 시작 대상은 인 유일한 범주 이다.
 의 끝 대상은  (한원소 집합)이며, 인 유일한 범주 이다. (이를 준군으로 간주하면, 이는 자명군에 해당한다.)

는 -국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 은 (두 -작은 범주 사이의) 함자와 자연 변환의 범주 이다. 다시 말해, 두 -작은 범주 사이의 함자 범주는 -작은 범주이다.

성질 
-국소적으로 작은 범주 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
 임의의 기수 와 임의의 대상 에 대하여, 곱 이 존재한다.
그렇다면 는 원순서 집합이다.
즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 1개 이하이다.
증명:
임의의 두 대상 이 주어졌다고 하자. 이제,

임을 보이면 족하다.

사상 집합

의 크기는 (각 성분마다 의 한 원소를 고를 수 있으므로) 다음과 같다.

(여기서 우변은 기수의 거듭제곱이다.) 그런데 정의에 따라

이므로, 칸토어의 정리에 따라서 이다.

범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 -작은 범주와 동치이다.
 는 -국소적으로 작은 범주이며, 준층 범주  역시 -국소적으로 작은 범주이다.

함자 
가 -작은 집합과 함수의 범주라고 하자. 즉, 다음과 같은 범주라고 하자.
 
 의 사상은 에 속하는 함수이다.

그렇다면, 망각 함자

가 존재한다. 이는 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이는 임의의 집합 를 다음과 같은 범주로 대응시킨다.
 대상은 의 원소이다.
 모든 사상은 항등 사상이다.

예 
임의의 -작은 아벨 범주 에 대하여, 그 유도 범주 를 취할 수 있다. 그러나 일반적으로 는 -작은 범주가 아니며, 이를 다루려면 더 큰 그로텐디크 전체를 사용하거나, 또는 그로텐디크 아벨 범주 조건을 가정해야 한다.

칸토어 역설에 따라, 는 의 대상이 아니다. 다만, 를 포함하는 더 큰 그로텐디크 전체 이 주어졌을 때, 는 의 대상이 되며, 이 경우 포함 함자

가 주어진다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

범주론