해석적 집합

집합론과 일반위상수학에서 해석적 집합(解析的集合, )은 폴란드 공간의 연속적 상인 폴란드 공간 부분 공간이다.

정의 
폴란드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 부분 집합을 해석적 집합이라고 한다.
 인 폴란드 공간  및 연속 함수 가 존재한다.
 인 폴란드 공간  및 보렐 집합  및 연속 함수 가 존재한다.
 는 공집합이거나, 아니면 인 연속 함수 가 존재한다.
 인 보렐 집합 가 존재한다.
 인 폴란드 공간  및 보렐 집합 가 존재한다.
 인 닫힌집합 가 존재한다.
 인 Gδ 집합 가 존재한다.
의 해석적 집합들의 족은 로 표기한다. (여기서 첨자들은 사영 위계의 일부이기 때문이다.)

성질

연산에 대한 닫힘 
해석적 집합들은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.
 폴란드 공간  속에서 가산 개의 해석적 집합들의 합집합은 해석적 집합이다.
 폴란드 공간  속에서 가산 개의 해석적 집합들의 교집합은 해석적 집합이다.
 두 폴란드 공간 ,  사이의 보렐 가측 함수  및 해석적 집합 에 대하여, 그 상  역시 해석적 집합이다.
 두 폴란드 공간 ,  사이의 보렐 가측 함수  및 해석적 집합 에 대하여, 그 원상  역시 해석적 집합이다.

폴란드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 보렐 집합이다.
 와  둘 다 해석적 집합이다.

분리 정리 
루진-노비코프 분리 정리(Лузин-Новиков分離定理, )에 따르면, 임의의 폴란드 공간  속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 , 에 대하여, 만약 이라면, 이자 인 보렐 집합들의 집합족 이 존재한다.

쿠라토프스키 분리 정리에 따르면, 폴란드 공간  속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 , 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합족 가 존재한다.
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 라면

실수의 해석적 집합 
실수선 의 해석적 집합은 보편 가측 집합이며, 준열린집합이며, 완전 집합 성질을 갖는다.

역사 
니콜라이 루진과 미하일 수슬린 이 1917년에 정의하였다.

루진-노비코프 분리 정리의 2개의 집합에 대한 경우를 니콜라이 루진이 1927년에 증명하였고, 이를 1931년에 표트르 세르게예비치 노비코프가 가산 개의 집합에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 보렐 집합
 사영 집합

집합론