스톤-체흐 콤팩트화

일반위상수학에서 스톤-체흐 콤팩트화(Stone-Čech compact化, )는 어떤 위상 공간에 대하여 대응되는 표준적인 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 공역이 콤팩트 하우스도르프 공간인 모든 연속 함수는 그 정의역의 스톤-체흐 콤팩트화로 표준적으로 확장시킬 수 있다.

정의 
위상 공간의 범주 와 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 가 주어졌다고 하자. 후자는 전자의 부분 범주이며, 따라서 망각 함자

가 존재한다. 이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.

이 경우, 를 스톤-체흐 콤팩트화라고 한다. 이에 따라, 는 의 반사 부분 범주를 이룬다.

구성 
위상 공간 가 주어졌다고 하자. 그 스톤-체흐 콤팩트화는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

이 연속 함수 들의 집합이라고 하자. 그렇다면 에 곱위상을 주자. 이 경우, 다음과 같은 자연스러운 함수가 존재하며, 이는 연속 함수를 이룬다. (만약 가 티호노프 공간이라면 이는 추가로 단사 함수이다.)

는 콤팩트 공간들의 곱공간이므로, 티호노프 정리에 따라서 콤팩트 공간이다. 그렇다면,

의 폐포는 (부분 공간 위상을 부여하면) 의 스톤-체흐 콤팩트화와 동형이다.

성질 
수반 함자의 단위원 로부터, 임의의 위상 공간 에 대하여, 표준적인 연속 함수

가 존재한다. 이는 일반적으로 단사 함수가 아니다. 만약 가 티호노프 공간이라면, 이는 단사 함수이며, 이는 와 그 상  사이의 위상동형을 정의하며, 는 의 조밀 집합을 이룬다. 만약 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 는 와 위상동형이다.

일반적인 공간의 스톤-체흐 콤팩트화의 존재를 증명하려면 선택 공리가 필요하다. 일반적으로, 스톤-체흐 콤팩트화의 성질은 사용하는 집합론의 공리(연속체 가설 등)에 따라서 크게 달라진다.

집합을 그 이산 공간에 대응시키는 함자

및 망각 함자

가 주어졌다면, 는 집합의 범주 위의 모나드를 이루며, 이 모나드 위의 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 이 함자는 집합 의 멱집합 에 대응하는 스톤 공간과 같다.

예 
(순서 위상을 갖춘) 최소의 비가산 순서수 의 스톤-체흐 콤팩트화는 이다.

이산 공간 
이산 공간 의 스톤-체흐 콤팩트화 의 크기·무게·작은 귀납적 차원은 다음과 같다.

특히, 는 완전 분리 공간이다.

자연수의 이산 공간 의 스톤-체흐 콤팩트화 은 추가적으로 다음 성질들을 만족시킨다.
 임의의 무한 닫힌집합 은 과 위상 동형인 부분 집합을 갖는다.
 모든 수렴 점렬은 최종적으로 상수 점렬이다. 따라서, 의 점렬 집합은 이산 집합밖에 없다.

역사 
마셜 하비 스톤과 에두아르트 체흐 가 1937년에 독자적으로 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 알렉산드로프 콤팩트화

일반위상수학