카츠-무디 대수

리 이론에서, 카츠-무디 대수(Кац-Moody代數, )는 복소수 리 대수의 일종이다. 단순 리 대수와 아핀 리 대수의 공통적인 일반화이다.

정의 
카츠-무디 대수 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 는 정수 성분의  정사각 행렬이며, 그 계수는 이다. 이를 (일반화) 카르탕 행렬(一般化Cartan行列, )이라고 한다.
 는 차원 복소수 벡터 공간이다. 이를 카르탕 부분 대수(Cartan部分代數, )라고 한다.
 은 개의 선형 독립 벡터이며, 는 개의 선형 독립 벡터이다. 를 단순근(單純根, ), 를 단순쌍대근(單純雙對根, )이라고 한다.
이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 모든 에 대하여, 
 모든 에 대하여, 
 모든 에 대하여, 만약 라면 
 모든 에 대하여, 만약 이라면 
이 경우, 카츠-무디 대수 는  및 생성원 , 으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 리 대수이다.

여기서 를 슈발레 생성원()라고 한다.

만약 카츠-무디 대수 의 카르탕 행렬 에 대하여, 인 대각 행렬 와 대칭 행렬 가 존재한다면, 를 대칭화 가능 카츠-무디 대수()라고 한다.

카츠-무디 대수 의 계수() 는 그 카르탕 행렬의 계수 와 같다.

근계 
카츠-무디 대수 가 주어졌을 때, 만약  및 에 대하여

라면, 를 의 근(根, )이라고 하고, 를 의 근 벡터(根vector, )라고 한다. 의 모든 근들의 집합을 라고 하자.

의 근 에 대응하는 근공간() 은 에 대응하는 모든 근 벡터들의 집합이다. 즉, 다음과 같다.

이는 복소수 벡터 공간을 이룬다.

모든 카츠-무디 대수 는 복소수 벡터 공간으로서 다음과 같은 직합으로 나타내어진다.

또한, 모든 근 는 단순근들의 정수 계수 선형 결합이며, 이 경우 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 아니면 모두 음의 정수이다.

이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 양근(陽根, ), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 음근(陰根, )이라고 한다.

모든 단순근 는 양근이며, 는 음근이다. 또한,  및 는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다.

딘킨 도표 
카츠-무디 대수는 딘킨 도표(Дынкин圖表, )로 나타낼 수 있다. 이는 그래프의 일종이다. 카르탕 행렬 에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다.
 딘킨 도표의 꼭짓점은 개가 있으며, 에 대응한다. 즉, 각 단순근에 대응한다.
 일 때, 두 꼭짓점  사이의 변의 수는 이다.
 만약 라면, 와  사이의 변에 로 향하는 화살표를 그린다.

실근과 허근 
카츠-무디 대수 의 근 는 다음과 같이 두 종류로 분류된다.
 만약 가 단순근인 바일 군 원소 가 존재한다면, 를 실근(實根, )이라고 한다.
 실근이 아닌 근을 허근(虛根, )이라고 한다.

분류 
대칭화 가능 카츠-무디 대수 의 카르탕 행렬 는 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱 로 나타낼 수 있다. 카츠-무디 대수는 의 부호수에 따라서 다음과 같이 분류된다.
 만약 가 양의 정부호일 경우, 는 (유한 차원) 단순 리 대수이다. 이 경우, 이다.
 만약 가 양의 준정부호이지만 양의 정부호가 아닐 경우, 는 아핀 리 대수이다. 이 경우, 이다.
 만약 가 부정부호일 경우, 는 부정부호 카츠-무디 대수()이다.
 대각선 성분들이 양수이므로, 는 음의 정부호이거나 음의 준정부호일 수 없다.
이들 가운데, 단순 리 대수 및 아핀 리 대수는 완전히 분류되었다. 또한, 부정부호 카츠-무디 대수 가운데 쌍곡선형 카츠-무디 대수()라는 것은 총 238개가 있으며, 역시 완전히 분류되었다. 그러나 단순 리 대수 · 아핀 리 대수 · 쌍곡 카츠-무디 대수가 아닌 것들은 아직 잘 알려지지 않았다.

역사 
캐나다의 로버트 본 무디() 가 토론토 대학교 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이와 독자적으로 소비에트 연방의 빅토르 카츠가 거의 동시에 이들을 발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

리 대수