특이점 (대수기하학)

대수기하학에서 특이점(特異點, )은 대수다양체를 정의하는 다항식들의 야코비 행렬의 계수가 다른 곳보다 더 작은 점이다.

정의 
스킴 가 다음 조건을 만족시킨다면, 정칙 스킴()이라고 한다.
 임의의 (닫힌 점이 아닐 수 있는) 점 에 대하여, 줄기 국소환 가 정칙 국소환이다.
마찬가지로, 스킴 의 특이점은 가 정칙 국소환이 아니게 되는 점 이다.

대수적으로 닫힌 체  위의 대수다양체 에 대하여, 만약 가 정칙 스킴이라면, 를 비특이 대수다양체()라고 한다.

성질 
아핀 대수다양체  및 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 특이점이 아니다.
 가 으로 생성된다면,  행렬 의 계수는 이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴
즉, 모든 정칙 스킴은 정규 스킴이며, 임의의 체 에 대하여 모든 매끄러운 -스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체  위의 -스킴 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 매끄러운 사상이다.
 정칙 스킴이며, 는 국소 유한형 사상이다.

예 
임의의 대수적으로 닫힌 체  및 자연수 에 대하여, 아핀 공간  및 사영 공간 은 각각 비특이 -대수다양체를 이룬다.

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체에서의 복소 평면 대수 곡선

을 생각하자. 이 경우, 1×2 야코비 행렬은

이며, 그 계수는 이면 0, 아니면 1이다. 이 두 점 가운데 은 곡선 위에 있으므로, 이는 대수 곡선의 특이점이다.

같이 보기 
 매끄러운 스킴

각주

외부 링크 

 
 
 
 

대수기하학
특이점 이론