가측 기수

집합론에서 가측 기수(可測基數, )는 기본 매장으로 정의될 수 있는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의

필터와 측도 
음이 아닌 확장된 실수의 집합 에 대하여, 다음을 정의하자.

임의의 기수 와 -완비 불 대수  및 에 대하여, 함수 가 다음 조건들을 모두 만족시키면, 가  조건을 만족시킨다고 하자.
 이다.
 (단조성) 라면 이다.
 (-가법성) 임의의 에 대하여, 만약 이며 임의의 에 대하여 라면, 이다.
이 조건을 만족시키는 함수 를  위의,  값의 -가법 측도()라고 하자.

이 개념은 다음 개념들을 일반화한다.
 측도: 시그마 대수  위의 측도 는 를 만족시키는 함수이다.
 극대 필터:  위의 극대 필터 에 대하여, 함수 , 를 정의하면, 는 를 만족시킨다.

가측 기수 
기수 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 가측 기수라고 한다.
 크기가 인 집합 위에, 주 필터가 아닌 -완비 극대 필터가 존재한다.
 멱집합  위에, 를 만족시키는 함수 가 존재하며, 또한 임의의 에 대하여 이다. (이는 위 조건과 자명하게 동치이다.)
 는 폰 노이만 전체 로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 으로 가는 기본 매장의 임계점이다.

임의의 기수 에 대하여, 만약 를 만족시키는 확률 측도 가 존재하며, 또한 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 하자.
 만약 가 한원소 집합을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의 에 대하여 이다.)
그렇다면 를 실가 가측 기수(實價可測基數, )라고 한다.

성질

함의 관계 
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 가측 기수는 도달 불가능한 기수이며 또한 약콤팩트 기수이다. (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 강콤팩트 기수는 가측 기수이다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
초콤팩트 기수 ⇒ 강콤팩트 기수 ⇒ 가측 기수 ⇒ 약콤팩트 기수 ⇒ 말로 기수 ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 정칙 기수 ⇒ 기수 ⇒ 순서수

모든 가측 기수는 실가 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실가 가측 기수는  이하이다.

논리적 성질 
가측 기수 에 대하여,  (크기가  미만인 집합들로 구성된 폰 노이만 전체의 부분 집합)는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 모형이다. 따라서, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한, 에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적이다.

만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, 구성 가능성 공리 은 거짓이다.

울람 행렬 
임의의 두 기수 가 주어졌다고 하자.

-울람 행렬은 다음 두 성질을 만족시키는 함수

이다.
 각 열의 성분들은 서로소이다. 즉, 만약 라면, 임의의 에 대하여 
 각 행의 성분들의 합집합의 여집합의 크기는  이하이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.
만약 가 주어지지 않았다면, 을 뜻한다.

존재 
임의의 기수 에 대하여, -울람 행렬이 존재한다.
증명:
각 에 대하여, 전사 함수

를 고르자. 그렇다면, 행렬 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 는 -울람 행렬을 이룬다.
 임의의  및 에 대하여, 가 되는 유일한 는 이다.
 각 에 대하여, 이다.

측도와의 관계 
측도 의 원자()는 이지만 임의의 에 대하여 이 되는 원소 이다.

임의의 기수 가 주어졌다고 하자.

-울람 행렬이 존재한다면,  위의 임의의 -가법 확률 측도 는 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다. 즉,

인 가 존재한다.
증명:
가 울람 행렬이라고 하고, 가  위의 -가법 확률 측도라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 에 대하여 라고 하자.

그렇다면, 울람 행렬의 정의에 따라, 각 에 대하여,

이다. 따라서, 인 가 존재한다. 이제, 각 에 대하여

를 생각하자. 이므로, 인 가 존재한다.

이제,

는  개의, 양의 측도의 서로소 집합들의 족이다. 이제, 다음 부분 집합들을 정의하자.

그렇다면,

이므로, 이 가운데 인 가 존재한다. 따라서,

인데, 이는 확률 측도 조건과 모순이다.

특히,  위의 임의의 (-가법) 확률 측도는 원자를 갖는다. 따라서, 만약 연속체 가설이 성립한다면, 실수선  위에, 모든 집합이 가측 집합이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재하지 않는다.

역사 
가측 기수는 스타니스와프 울람이 1930년에 도입하였고, 가장 작은 가측 기수가 (만약 존재한다면) 도달 불가능한 기수임을 증명하였다.

실가 가측 기수는 스테판 바나흐가 1930년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

큰 기수
측도론