하우스도르프 측도

측도론에서 하우스도르프 측도()는 임의의 거리 공간에 차원 "부피"를 부여하는 방법이다.

정의 
거리 공간 의 지름은 다음과 같다.

임의의  및 에 대하여, 함수

를
다음과 같이 정의하자.

그렇다면 하우스도르프 외측도

는 다음과 같다.

즉, 덮개를 열린 집합 또는 닫힌 집합에 국한하여도 상관없다. 이는 외측도를 이루며, 이를 하우스도르프 외측도에 대한 카라테오도리 가측 집합들로 국한하면 이는 측도를 이룬다. 이를 차원 하우스도르프 측도라고 한다.

성질 
하우스도르프 측도는 완비 측도이다.

모든 보렐 집합은 하우스도르프 가측 집합이며, 완비 측도이므로 모든 르베그 가측 집합 역시 하우스도르프 가측 집합이다.

차원 유클리드 공간에서, 차원 하우스도르프 가측 집합들은 르베그 가측 집합과 일치하며, 이 경우 하우스도르프 측도는 (상수 계수를 제외하고) 르베그 측도와 일치한다. 일 경우 차원 하우스도르프 가측 집합 가운데 르베그 가측 집합이 아닌 것이 있을 수 있다.

수슬린() 거리 공간  위의 차원 하우스로르프 측도 를 생각하자. 그렇다면, 임의의 보렐 집합  및 에 대하여,

인 콤팩트 집합 가 존재한다.

같이 보기 
 하우스도르프 차원

참고 문헌

외부 링크 
 
 

프랙탈
계량기하학
측도
차원론