힐베르트 기호

유체론에서 힐베르트 기호()는 국소체의 0이 아닌 원소에 대하여 정의된 르장드르 기호의 일반화이다. 이를 사용하여, 이차 상호 법칙을 모든 위치에 대칭적인 형태로 적을 수 있는데, 이를 힐베르트 상호 법칙()이라고 한다.

정의

이차 힐베르트 기호 
가 유리수체의 자리라고 하자. 즉,

는 실수체 또는 p진수체이다. 체 의 가역원군을 라고 하자. 그렇다면, 유리수체의 에서의 힐베르트 기호는 다음과 같은 함수이다.

일반적 힐베르트 기호 
위의 힐베르트 기호는 유리수체의 자리에 대한 것이며, 이를 임의의 대수적 수체에 대하여 일반화할 수 있다.

대수적 수체 의 자리 에 대하여, 다음과 같은 함수를 힐베르트 기호라고 한다.

여기서
 는 자리 에서의 국소체이다.
 는 에 포함된 1의 거듭제곱근들로 구성된 아벨 군이다.
 는 에 포함된 1의 거듭제곱근의 수이다.
 는 원분 확대 에 대한 국소 아르틴 기호이다. 이는 갈루아 군의 원소이므로 원분 확대체의 원소  위에 작용한다.

사실, 힐베르트 기호는 제곱 잉여류에만 의존한다. 즉, 이는 다음과 같은 함수를 정의한다.

성질 
만약 가 복소수 자리라면 (), 는 자명한 확대이므로, 그 갈루아 군 은 자명군이며, 따라서 이다.

임의의 대수적 수체 의 자리 에 대하여, 힐베르트 기호는 다음 성질들을 만족시킨다.

유리수체의 국소 힐베르트 기호 
실수체에서는

이다.

2진수체에서, 와 가 정수이고

라면,

이다.

홀수 소수 에 대한 진수체에서, 와 가 정수이고

라면,

이다. 여기서 는 르장드르 기호이다.

힐베르트 상호 법칙 
힐베르트 상호 법칙(Hilbert相互法則, )에 따르면, 임의의 대수적 수체 의 두 원소 에 대하여, 인 자리 의 수는 유한하며, 또한

이다. 여기서 는 모든 자리에 대한 곱이다.

힐베르트 상호 법칙은 이차 상호 법칙을 일반화한다. 만약 와 가 서로 다른 양의 홀수 소수라면, 유리수체의 국소 힐베르트 기호들을 계산하면 다음과 같다.

따라서

이다.

역사 
다비트 힐베르트가 1897년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 

유체론
다비트 힐베르트