자이페르트-판 캄펀 정리

대수적 위상수학에서 자이페르트-판 캄펀 정리(-定理, )는 위상 공간의 기본군을 두 조각으로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 정리이다.

정의 
위상 공간  및 두 부분 공간 가 주어졌고, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
 
또한, 부분 공간 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
  또는  또는 의 임의의 경로 연결 성분과의 교집합은 공집합이 아니다.
그렇다면, 자이페르트-판 캄펀 정리에 따르면 다음 명제들이 성립한다.
 는 의 모든 경로 연결 성분들과 교차한다.
 포함 관계에 의하여 유도되는 다음과 같은 기본 준군의 사상들은 준군 범주에서의 밂을 이룬다.
 

특히, 와 가 경로 연결 공간이며, 는 한원소 집합이며, 는 공집합이 아닌 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면 는 경로 연결 공간이며, 다음과 같은, 기본군의 (군의 범주에서의) 밂이 존재한다.

예

원 
원 에서,

를 생각하자. 또한

라고 놓자. 그렇다면, 와  및 의 밑점 집합 에서의 기본 준군은 다음과 같다. (항등 사상은 생략하였다.)

따라서, 원의 기본은 와 의 준군들의 쌍대곱이다. 이 경우 항등 사상이 아닌 사상 이 존재하므로,  및  둘 다 무한 순환군 이다. 과 는 에서 서로 동형이다. 따라서 의 기본군은 무한 순환군이다.

구 
2차원 이상의 초구 에서, 세 개의 서로 다른 점 를 잡고,

로 놓자. 그렇다면 와  둘 다 차원 유클리드 공간 과 위상 동형이며, 특히 축약 가능 공간이다. 는 기둥 와 위상 동형이다.

자이페르트-판 캄펀 정리에 따라, 다음이 성립한다.

그런데 와  둘 다 자명군이므로,  역시 자명군이다.

역사 
헤르베르트 자이페르트와 에흐베르튀스 판 캄펀이 증명하였다. 로널드 브라운()이 이를 기본 준군에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

대수적 위상수학
대수적 위상수학 정리