수직 벡터 다발

미분기하학에서 수직 벡터 다발(垂直vector-, )은 올다발의 접다발 속의 특별한 부분 벡터 다발이다. 대략, 밑공간의 접다발을 "수평" 방향으로 간주하였을 때, 수직 벡터 다발은 순수하게 올 방향의, 즉 "수직" 방향의 벡터들로 구성된다.

반면, 올다발의 접다발 속의 "수평 벡터 다발"은 일반적으로 추가 구조 없이 정의되지 않는다. 이를 정의하기 위한 추가 구조는 에레스만 접속이라고 한다.

정의 
매끄러운 다양체  위의 매끄러운 올다발

이 주어졌다고 하고,  및 의 각 올이 매끄러운 다양체를 이룬다고 하자. 사영 사상의 미분

을 정의할 수 있다. 그렇다면,  위에 다음과 같은 수직 벡터 다발 를 정의할 수 있다.

즉,

즉, 벡터 다발 의 에서의 올은 의 올의 접공간이다.

 위의 벡터장 에 대하여, 만약 라면 (즉, 만약 모든 에 대하여 라면) 를 수직 벡터장(垂直vector場, )이라고 한다. 마찬가지로,  위의 차 미분 형식 에 대하여, 만약

라면, 를 수평 미분 형식(水平微分形式, )이라고 한다.

성질 
수직 벡터 다발의 정의에 따라, 짧은 완전열

이 존재한다. 이를 아티야 완전열(Atiyah完全列, )이라고 한다. (여기서 이다.) 이는 (벡터 다발의 범주이므로) 물론 분할 완전열이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다.  위의 에레스만 접속은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다.

예

자명한 올다발 
두 매끄러운 다양체 과 가 주어졌고, 를  위의 올다발로 여기자.

이 경우, 자연스럽게

이며, 수직 벡터 다발 는 다음과 같다.

(이 경우, 자연스럽게 "수평 벡터 다발"  역시 존재한다. 그러나 이는 임의의 올다발에 대하여 성립하지 않는다.)

주다발 
리 군 에 대하여, 가 -주다발이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발 는 리 대수 에 대한 자명한 벡터 다발과 동형이다.

구체적으로, 우선, 임의의 에 대하여, 의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을

로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, 의 상은 의 수직 벡터 다발 과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상

를 정의한다. (좌변은 올이 인 자명한 벡터 다발이다.)

벡터 다발 
매끄러운 다양체  위의 매끄러운 벡터 다발 이 주어졌다고 하자. 이 경우, 의 수직 벡터 다발은 스스로의 당김 와 표준적으로 동형이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

미분위상수학
올다발
접속 (수학)