에르미트 수반

작용소 이론에서 에르미트 수반(Hermite隨伴, )은 행렬의 켤레전치의 개념을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 일반화시킨 개념이다.

정의 
가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

임의의 두 -바나흐 공간 ,  사이의 -선형 변환 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 에르미트 수반은 다음과 같은 -선형 변환이다.

여기서 와 은 연속 쌍대 공간을 뜻한다.

만약  또는 가 -힐베르트 공간이라면, 자연스러운 동형 사상 , 가 존재하므로, 이 경우 에르미트 수반은 가 된다.

부분 정의 작용소의 경우 
-바나흐 공간 , 가 주어졌으며,  속의 조밀 부분 -벡터 공간  위에 -선형 변환

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 위의 정의를 사용하여 선형 변환

을 얻을 수 있다. 그러나 이므로, 만약 공역이 이 되게 하려면 정의역을 적절한 부분 공간 으로 제한하여야 한다.

이 경우, 를 다음과 가 유한 유계 작용소가 되게 하는 들의 공간으로 정의하자.

그렇다면, 정의에 따라, 임의의 에 대하여,

는  위의 유계 작용소이다. 즉, 이며, 이는 -선형 변환

을 정의한다. 사실, 한-바나흐 정리에 따라, 임의의 에 대하여 는 사실 에 속하는 것을 보일 수 있다. 즉, -선형 변환

이 존재한다. 이를 의 에르미트 수반이라고 한다.

힐베르트 공간 위의 부분 정의 작용소의 경우 
-힐베르트 공간 의 조밀 부분공간 에 정의된 선형변환 의 수반()  은 다음 두 성질을 만족시키는 유일한 작용소이다. (이는 리스 표현 정리에 따라 유일하다. 만약 가 조밀하지 않다면 이는 유일하지 못할 수 있다.)

성질 
일반적으로, 가 조밀하더라도 는 조밀하지 못할 수 있다.

 및 이 -힐베르트 공간  전체에 정의된 유계 작용소라고 하고, 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
 
 
 
 
  (는 작용소 노름)
 

유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 (인 경우) 대칭 행렬이거나 (인 경우) 에르미트 행렬이다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 자기 수반 작용소

힐베르트 공간
함수해석학