균등 수렴 위상

해석학에서 균등 수렴 위상(均等收斂位相, )은 일반위상수학적인 극한이 균등 수렴과 일치하게 하는, 함수 공간 위의 위상이다. 이 경우, 공역에 위상 벡터 공간 또는 (보다 일반적으로) 균등 공간 구조가 필요하다. 만약 공역에 거리 공간이나 노름 공간과 같은 구조가 주어지면, 이 위상 및 균등 공간 구조와 호환되는 균등 거리 함수() 및 균등 노름()을 정의할 수 있다.

정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 집합 
 균등 공간 
그렇다면, 함수 집합  위에 다음과 같은 기본계를 통해 균등 공간 구조를 부여할 수 있다.

이를  위의 균등 수렴 균등 구조라고 하며, 이로부터 유도되는 위상을 균등 수렴 위상이라고 한다.

보다 일반적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 집합 
 의 덮개 
 균등 공간 
그렇다면, 함수 집합  위에 다음 조건을 만족시키는 가장 엉성한 균등 공간 구조를 부여할 수 있다.
 임의의 에 대하여, 제약 사상 는 (에 균등 수렴 균등 구조를 부여할 때) 균등 연속 함수이다.
이를  위의 -균등 수렴 균등 구조라고 하며, 이로부터 유도되는 위상을 -균등 수렴 위상이라고 한다.

만약 가 한원소 덮개라면 -균등 수렴 균등 구조는 균등 수렴 균등 구조와 같다.

균등 거리 함수 
확장 거리 함수()는 거리 함수와 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수 이다. 확장 거리 함수 에 대하여 는 거리 함수를 이루며, 와 은 같은 위상을 정의한다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 집합 
 거리 공간 
그렇다면,  위에 다음과 같은 확장 거리 함수를 부여할 수 있다.

이를  위의 균등 수렴 확장 거리 함수() 또는 단순히 균등 거리 함수()이라고 한다.

균등 노름 
벡터 공간  위의 확장 노름()은 노름과 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수 이다. (이때 으로 놓는다.)

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 집합 
 노름 공간 

그렇다면, 함수 집합  위에 다음과 같은 확장 노름을 부여할 수 있다.

만약 이를 유계 함수의 집합

으로 국한한다면, 이는 참된 노름을 정의한다. 이를 균등 노름() 또는 상한 노름()이라고 한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

일반위상수학
함수해석학
위상 벡터 공간