국소 볼록 공간

함수해석학에서 국소 볼록 공간(局所볼록空間, )은 그 위상이 일련의 반노름들에 대한 시작 위상으로 유도되는 위상 벡터 공간이다. 함수해석학에서 다루는 가장 일반적인 공간 가운데 하나이다.

정의 
라고 하자. -국소 볼록 공간은 특별한 종류의 -위상 벡터 공간이며, 두 가지로 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.

볼록 집합을 통한 정의 
-위상 벡터 공간 가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 의 근방 에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 집합 가 존재한다면, 를 -국소 볼록 공간이라고 한다.
 0의 근방이다.
 
 (볼록성) 
 (균형성) 
 (흡수성)

반노름을 통한 정의 
-국소 볼록 공간 는 다음 성질들을 만족시키는 -위상 벡터 공간이다.
 의 위상은 일련의 반노름들 로 유도된다. 즉, 다음과 같은 기저를 갖는다.
 
 
국소 볼록 공간을 정의하는 데이터는 벡터 공간 구조 및 위상 공간 구조만을 포함하고, 반노름들을 포함하지 않는다. 일반적으로, 같은 국소 볼록 위상이 서로 다른 반노름들의 집합으로 유도될 수 있다.

임의의 반노름 집합 가 주어졌을 때, 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.

임의의 반노름 집합 에 대하여,

는 원래 반노름 집합과 같은 위상을 정의하며, 또한 상향 원순서 집합을 이룬다. 즉, 국소 볼록 공간을 정의하는 반노름 집합이 항상 상향 원순서 집합이라고 가정할 수 있다.

성질

분리 공리 
반노름 집합 로 정의되는 국소 볼록 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 하우스도르프 공간이다.
 . 즉, 모든 반노름으로 재었을 때 0인 벡터는 영벡터이다.

연속성과 유계성 
두 국소 볼록 공간 , 이 각각 반노름 상향 원순서 집합 , 로 정의된다고 하자. 임의의 선형 변환  및 에 대하여, 는  위의 반노름이다.

그렇다면, 임의의 선형 변환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 연속 함수이다.
 (유계성) 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다. 즉, 다음이 성립해야 한다.
 
이는 노름 공간에서 연속성이 유계성으로 나타내어지는 것의 일반화이다.

예 
흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 벡터 공간들은 국소 볼록 공간이다. 프레셰 공간은 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간이다. 바나흐 공간과 힐베르트 공간은 프레셰 공간의 특수한 경우이므로 역시 국소 볼록 공간이다.

임의의 벡터 공간  및 임의의 실수 선형 변환들의 집합 에 대한 시작 위상은 국소 볼록 공간이다. 이 경우 반노름들은 가 된다.

국소 볼록 공간이 아닌 위상 벡터 공간의 예 
구간  위의 르베그 공간 은 에 대하여 국소 볼록 공간이 아니다. (원점의 유일한 볼록 근방은 공간 전체이다.) 마찬가지로, 수열 공간  역시 에 대하여 국소 볼록 공간이 아니다.

역사 
존 폰 노이만이 1934년에 "볼록 선형 집합"()이라는 이름으로 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

위상 벡터 공간