보편 포락 대수

리 대수 이론에서, 보편 포락 대수(普遍包絡代數, )는 주어진 리 대수의 리 괄호를, 결합법칙을 만족시키는 곱셈에 대한 교환자로 나타내는 대수이다.

정의 
보편 포락 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
 구체적으로, 텐서 대수의 특정한 양쪽 아이디얼에 대한 몫으로 정의될 수 있다.
 추상적으로, 결합 대수를 리 대수로 여기는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자로 정의될 수 있다.
이 두 정의는 서로 동치이다.

구체적 정의 
가환환 에 대한 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서 대수

에 다음과 같은 원소들로 생성되는 양쪽 아이디얼 를 생각하자.

이 양쪽 아이디얼에 대한 몫대수

를 의 보편 포락 대수 라고 한다. 이는 -결합 대수를 이룬다.
이므로, 자연스러운 -선형 변환

이 존재한다.

보편 포락 대수 는 텐서 대수 로부터 자연스럽게 호프 대수의 구조를 물려받는다. 즉, 모든 에 대하여, 호프 대수의 연산은 다음과 같다.
 곱셈: 
 단위원: 
 쌍대곱: 
 쌍대단위원: 
 앤티포드:

범주론적 정의 
가환환 가 주어졌을 때, -리 대수의 범주 와 -결합 대수의 범주 를 생각하자. 이 두 범주는 둘 다 대수 구조 다양체의 범주이다. 따라서, 망각 함자

는 왼쪽 수반 함자

를 갖는다. 리 대수의, 이 함자에 대한 상을 그 보편 포락 대수라고 한다.

보편 포락 대수의 쌍대 대수 
보편 포락 대수는 쌍대 가환 호프 대수이므로, 그 쌍대 공간은 가환환을 이룬다. 이는 직접적으로 정의할 수 있다. 가 체  위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면, 보편 포락 대수를 정의하는 -벡터 공간의 짧은 완전열

은 다음과 같이 쌍대화된다. (이 경우 ‘쌍대 공간’은 등급별 쌍대 공간들로 구성된 등급 벡터 공간이다.)

여기서

이며, 보편 포락 대수의 쌍대는 이러한 텐서 대수의 부분 대수이다. 구체적으로, 보편 포락 대수의 쌍대의 원소

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 각 자연수 에 대하여, 선형 변환 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

예를 들어

이다. (는 항등식에 등장하지 않는다.)

이 위의 가환환 구조는 다음과 같다.

일반적으로 의 표현은 개의 항을 갖는다. 그 항등원은

이다.

성질

환론적 성질 
임의의 가환환  위의 아벨 리 대수의 보편 포락 대수는 가환환이다.

임의의 체  위의 리 대수의 보편 포락 대수는 영역이며, 만약 추가로 비아벨 리 대수라면 는 비가환환이다 (즉, 정역이 아니다).

연산과의 호환 
체  위의 두 리 대수 , 의 직합 의 보편 포락 대수는 각 성분의 보편 포락 대수들의 (결합 대수로서의) 텐서곱이다.

푸앵카레-버코프-비트 정리 
푸앵카레-버코프-비트 정리(-定理, )에 따라, 리 대수에서 그 보편 포락 대수로 가는 선형 변환은 단사 함수이다.

또한, 는 항상 로부터 생성된다.

구체적으로, 임의의 가환환  위의 리 대수 가 주어졌다고 하고, 가 -자유 가군이라고 하자. 의 (하멜) 기저 를 고르자. 또한,  위에 임의의 전순서를 부여하자.

그렇다면,  역시 -자유 가군이며, 집합

은 의 (하멜) 기저를 이룬다. 여기서 은 자연수의 집합이며, 특히 일 경우 0개 항의 곱은 1이다.

하리시찬드라 동형 정리 
복소수체 위의 가약 리 대수() 의 보편 포락 대수 의 중심 을 생각하자. 이 경우, 바일 군 을 정의할 수 있다. 또한, 의 카르탕 부분 대수 를 고른다면, 는  위에 자연스럽게 작용하며, 나아가  위의 다항식환 (대칭 대수)  위에도 자연스럽게 작용한다.

하리시찬드라 동형 정리(हरीश चन्द्र同型定理, )에 따르면, 다음과 같은 표준적인 결합 대수 동형이 존재한다.

여기서 는 바일 군의 작용에 불변인 원소들로 구성된 불변 부분 대수를 뜻한다.

카시미르 불변량 
차원 복소수 단순 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 킬링 형식

이 존재한다. 그렇다면, 임의의 -정규 직교 기저

가 주어졌을 때, 의 카시미르 불변량(Casimir不變量, )은 다음과 같은 보편 포락 대수 의 원소이다.

보다 일반적으로, 체  위의 유한 차원 리 대수  위의 대칭 쌍선형 형식

가 딸림표현 아래 불변이라고 하자. 즉, 다음 항등식이 성립한다고 하자.

그렇다면, 마찬가지로 카시미르 불변량 를 정의할 수 있다.

카시미르 불변량은 항상 보편 포락 대수의 중심에 속한다. 일 경우, 단일 연결 리 군 의 리 대수  위의 불변 대칭 쌍선형 형식 는  위의 리만 계량을 정의하며, 이에 대한 카시미르 불변량은  위의 라플라스-벨트라미 연산자 와 같다.

역사 
1880년대에 알프레도 카펠리()가 리 대수 에 대한 푸앵카레-버코프-비트 정리를 증명하였다. 그러나 그의 업적은 오랫동안 알려지지 않았다. 1900년에 앙리 푸앵카레가 푸앵카레-버코프-비트 정리를 임의의 리 대수에 대하여 증명하였다. 그러나 푸앵카레의 논문 역시 한동안 잘 알려지지 못했다.

이후 1937년에 개릿 버코프와 에른스트 비트가 독자적으로 푸앵카레-버코프-비트 정리를 재발견하였다. (버코프와 비트 둘 다 카펠리 및 푸앵카레의 업적을 인용하지 않았다.) 이후 이 정리는 “버코프-비트 정리”로 불리다가, 1960년에 니콜라 부르바키가 이를 “푸앵카레-버코프-비트 정리”()로 일컫기 시작하였다.

하리시찬드라 동형 정리는 하리시찬드라가 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

리 대수
환론