준층

범주론에서, 범주에 대한 준층 는 함자 이다. 가 위상 공간에서 열린 집합들의 부분 순서 집합이고 범주로 해석되면, 위상 공간에서 일반적인 준층 개념을 의미한다.

준층들의 사상은 함자의 자연 변환으로 정의된다. 이렇게 하면  위에서 범주로 가는 모든 준층들의 모임이 만들어지며, 이는 함자 범주의 예이다. 기호로 로 나타낸다.

C의 일부 대상 A에 대해 반변형 hom-함자 Hom(–, A )과 자연 동형 인 준층을 표현 가능한 준층이라고 한다.

일부 저자는 함자 를  - 값 준층으로 정의한다.

예 
 단체 집합은 단체 범주 의 집합 값 준층이다.

성질 
 가 작은 범주일 때, 함자 범주 는 데카르드 닫힌 범주이다.
 의 부분 대상의 부분 순서 집합은 가 작은 에 대해 의 대상일 때 헤이팅 대수를 형성한다.
 의 모든 사상 에 대해, 부분 대상의 당김 함수 는 로 나타내는 오른쪽 수반 함자와 왼쪽 수반 함자 를 가진다. 이들은 보편적이고 실존적인 양화사이다.
 국소적으로 작은 범주 는 의 모든 대상 를 hom 함자 와 연결짓는 요네다 매장을 통해 집합 값 준층  범주에 충만하고 충실하게 매장된다.
 범주 는 작은 극한과 작은 여극한을 인정한다. 자세한 내용은 준층의 극한 및 여극한 참조.
 조밀성 정리는 모든 준층이 표현 가능한 준층의 여극한임을 나타낸다. 사실, 는 의 여극한 완비이다.  (아래의 보편 성질 참조.)

보편 성질 
 구성은 다음 보편 성질 때문에 C의 여극한 완비라고 한다.
 명제

가 범주들이고 가 작은 여극한들을 허용한다고 하자. 그러면, 각 함자 는

로 함자화 된다. 여기서 는 요네다 매장이고 은, 동형 사상에 대해 유일한, 의 요네다 확장으로 불리는 여극한 보존 함자이다.

증명 : 조밀성 정리에 의해 준층 가 주어지면  이다. 여기서 는 C의 대상이다. 그러면 이라 하자. 이는 가정에 의해 존재한다. 는 함자성을 가지므로 함자 를 결정한다. 간결하게, 은 를 따른 의 왼쪽 칸 확대이다.  가 작은 여극한들과 가환임을 보이기 위해,  일부 함자에 대해 왼쪽 인접임을 보이자. 를 의 각 대상 과 의 각 대상 에 대해

 

로 주어진 함자로 정의하자. 그러면, 의 각 대상 에 대해   이므로, 요네다 보조정리에 의해 다음을 얻는다:

 

말하자면 는 에 왼쪽 인접이다. 

이 명제는 몇 가지 따름 정리들을 산출한다. 예를 들어, 이 명제는  구성은 함자적이다: 즉, 각 함자 는 함자 를 결정한다.

변형들 
-범주 위의 공간들의 준층은 에서 공간 -범주로 가는 반공변 함자이다(예: CW-복합체 범주의 신경) 이는 "집합"이 "공간"으로 대체된 집합 준층의 범주 버전이다. 이 개념은 무엇보다도 다음과 같이 말하는 요네다 보조정리의 ∞ 범주 공식화에 사용된다. :는 완전히 충실하다.(여기서 는 단체 집합일 수 있다.)

같이 보기 
 토포스
 원소들의 범주
 단체 준층 (이 개념은 "집합"을 "단체 집합"으로 대체하여 얻음)
 전송이 포함된 준층

각주

참고 문헌

추가 자료 
 
 
 Daniel Dugger, Sheaves and Homotopy Theory, the pdf file provided by nlab.

층론
함자