틀다발

위상수학에서 틀다발()은 임의의 벡터 다발에 대응되는, 일반 선형군을 올로 삼는 특별한 주다발이다. 벡터 다발의 틀다발은 원래 벡터 다발의 위상수학적 정보를 담고 있으며, 원래 벡터 다발은 틀다발의 연관 벡터 다발로서 재구성된다.

정의

틀 
차원 실수 벡터 공간  위의 차 틀()은 다음 조건을 만족시키는 미분 동형 사상

의 차 제트 이다. (그러나 가 선형 변환일 필요는 없다.) 이제, 차 틀들의 집합을 라고 표기하자. 그 위에는 차 제트 군 의 자연스러운 오른쪽 작용이 존재한다.

특히, 1차 틀은 단순히 전단사 실수 선형 변환 에 불과하다.

틀다발 
위상 공간  위의 차원 벡터 다발 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 에 대하여 올 는 실수 벡터 공간을 이룬다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

이 위에는 제트 군 의 오른쪽 작용이 다음과 같이 자연스럽게 존재한다.

이 위에는 다음과 같이 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 구체적으로, 의 국소 자명화 는 부분 집합  및 위상 동형

으로 구성된다. 이에 따라, 전단사 함수

를 정의할 수 있으며, 이를 통해 에 위상을 부여할 수 있다. 이러한 위상들은 서로 호환되며, 이들을 짜깁기하여  전체에 위상을 줄 수 있다.

그렇다면, 자연스러운 사영 함수

는  위의, 올 의 올다발을 이룬다. 또한, 의 오른쪽 작용을 통하여 이는 -주다발을 이룬다. 이를 의 차 틀다발(次-, )이라고 한다.

흔히, 만약 가 생략되었다면 1차 틀다발 를 뜻한다.

군 구조를 갖춘 다양체 위의 틀다발

직교 틀다발 
다양체  위의 차원 벡터 다발 이 주어졌다고 하고, 또 그 위에 부호수  ()의 내적 가 주어졌다고 하자. 즉, 어떤 단면

가 주어졌으며, 임의의 에 대하여 는  위의, 부호수 의 비퇴화 이차 형식을 이룬다고 하자.

이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

여기서,
 는 부호수 의 민코프스키 공간이다. 즉, 실수 벡터 공간  위에 이차 형식 을 부여한 것이다.
 는 유니터리 변환(즉, 이차 형식을 보존하는 선형 변환)들의 집합이다.

이 경우, 위와 마찬가지로 자연스럽게 직교군 의 오른쪽 작용이 존재하며, 또한 자연스럽게 위상을 부여하여 -주다발로 만들 수 있다. 이를 직교 틀다발(直交-, )이라고 한다.

위와 비슷하게, 적절한 가향성 가정 아래,  대신 특수 직교군 를 사용하여, -주다발인 특수 직교 틀다발(特殊直交-, ) 을 정의할 수 있다.

복소수 틀다발 
위와 마찬가지로, 복소구조가 주어진 차원 벡터 다발 의 경우, 복소수 틀다발() 을 정의할 수 있다. 이는 올이 복소수 일반 선형군 인 주다발이다.

또한, 추가로 에르미트 구조가 주어졌다면, 마찬가지로 유니터리 틀다발() 을 정의할 수 있으며, 그 올은 이다.

성질

포함 관계 
부호수 의 내적이 주어진 벡터 다발 를 생각하자. 군의 포함 관계 에 따라, 자연스러운 포함 관계 가 존재한다.

연관 다발과의 관계 
차원 다양체 의 접다발 의 틀다발 을 생각하자. 이 주다발의, 의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 이다. 즉, 틀다발과 연관 다발은 서로 일종의 역을 이룬다.

마찬가지로, 차원 일반화 리만 다양체 의 직교 틀다발 을 생각하자. 이 주다발의, 의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 이다.

함자성 
국소 미분 동형 사상 이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 매끄러운 주다발 사상이 존재한다.

이에 따라, 는 차원 매끄러운 다양체와 국소 미분 동형 사상들의 범주에서, -매끄러운 주다발을 갖춘 차원 매끄러운 다양체와 매끄러운 주다발 사상들의 범주로 가는 함자를 이룬다.

접속 
일반화 리만 다양체 의 직교 틀다발 의 주접속 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 군 표현 으로부터 다음과 같은 선형 사상을 정의할 수 있다.

이에 따라, 틀다발의 주접속 로부터 접다발의 코쥘 접속 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

이와 같이 정의한 접다발의 코쥘 접속의 리만 곡률은 틀다발의 주접속의 곡률과 같은 정보를 담고 있다 (이 둘 사이는  등으로 바꿀 수 있다).

반대로, 일반화 리만 다양체의 접다발에는 이미 또하나의 코쥘 접속 (레비치비타 접속)이 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 주접속을 정의할 수 있는데, 이를 스핀 접속이라고 한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

벡터 다발