반환 (수학)

추상대수학에서 반환(半環, , )은 환과 유사하지만 덧셈의 역원이 존재하지 않는 대수 구조이다. 즉, 덧셈에 대하여 가환 모노이드를, 곱셈에 대하여 모노이드를 이루며, 분배 법칙이 성립하는 대수 구조이다.

정의 
반환() 은 다음과 같은 연산이 갖추어진 대수 구조이다.
 는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
 (덧셈의 결합 법칙) 모든 원소 에 대하여 이다.
 (덧셈의 교환 법칙) 모든 원소 에 대하여 이다.
 (덧셈의 항등원) 모든 원소 에 대하여 이다.
 는 모노이드를 이룬다.
 (곱셈의 결합 법칙) 모든 원소 에 대하여 이다.
 (곱셈의 항등원) 모든 원소 에 대하여 이다.
 (분배 법칙) 모든 원소 에 대하여, 이며 이다.
 (0과의 곱) 모든 원소 에 대하여, 이다.

유사 반환(, ) 은 다음과 같은 연산이 갖추어진 대수 구조이다.
 는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
 (덧셈의 결합 법칙) 모든 원소 에 대하여 이다.
 (덧셈의 교환 법칙) 모든 원소 에 대하여 이다.
 (덧셈의 항등원) 모든 원소 에 대하여 이다.
 는 반군을 이룬다.
 (곱셈의 결합 법칙) 모든 원소 에 대하여 이다.
 (분배 법칙) 모든 원소 에 대하여, 이며 이다.
 (0과의 곱) 모든 원소 에 대하여, 이다.

환 또는 유사환의 정의에서, 이라는 성질은 환 (또는 유사환)의 다른 공리들로부터 유도되므로 따로 명시하지 않아도 된다. 그러나 (유사) 반환의 경우 이 조건을 따로 명시해야만 한다.

예 
모든 환은 반환을 이루며, 모든 유사환은 유사 반환을 이룬다.

자연수 
자연수의 집합

은 표준적인 덧셈과 곱셈 연산을 통하여 반환을 이룬다. 임의의 양의 정수 에 대하여 는 표준적인 덧셈과 곱셈 연산을 통하여 유사 반환을 이룬다.

아이디얼 
환  속의 양쪽 아이디얼들의 집합은 아이디얼의 덧셈과 곱셈에 대하여 반환을 이룬다. 이 경우 덧셈 항등원은 영 아이디얼 이며, 곱셈 항등원은 전체 아이디얼 이다.

분배 격자 
모든 유계 분배 격자 (예를 들어, 불 대수)는 만남과 이음을 통하여 반환을 이룬다. 이 경우, 덧셈을 만남으로, 곱셈을 이음으로 삼거나, 또는 곱셈을 만남으로, 덧셈을 이음으로 삼아 두 개의 반환 구조를 줄 수 있다. 덧셈이 만남일 경우 덧셈 항등원은 최소 원소 , 곱셈 항등원은 최대 원소 이며, 덧셈이 이음일 경우 덧셈 항등원은 , 곱셈 항등원은 이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

추상대수학