선적분의 기본정리

선적분의 기본정리는 다음과 같다.

집합 의 열린집합 에서 정의된 벡터장 가 인 일급함수 가 존재하면 일급곡선 를 따르는 선적분은

로 주어진다.

(증명)

선적분 기본정리의 역 
벡터장 의 선적분값이 곡선 의 출발점과 도착점에만 의존하면 인 함수 가 존재한다.

(증명) 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 출발점을 , 도착점을 라고 하면 선적분값을 , 의 함수 로 나타낼 수 있다. 한 점을 라고 할 때, 로 놓으면

인데, 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 는 점 와 를 잇는 직선 을 따라 선적분한 값이다. 직선 을 로 매개화하면 직선의 속도벡터는 이므로

이다. 따라서 이다.

벡터 미적분학
기본 정리