본질적 단사 사상

범주론에서 본질적 단사 사상(本質的單射寫像, )은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 단사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 단사 사상이다. 마찬가지로, 잉여적 전사 사상(剩餘的全射寫像, )은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 전사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 전사 사상이다.

정의 
범주 의 단사 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 가 본질적 단사 사상이라고 한다.
임의의 사상 에 대하여, 만약 가 단사 사상이라면,  역시 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 의 전사 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 가 잉여적 전사 사상이라고 한다.
임의의 사상 에 대하여, 만약 가 전사 사상이라면,  역시 전사 사상이다.

보다 일반적으로, 위 정의에서, 단사 사상의 모임 또는 전사 사상의 모임을 다른 종류의 사상의 모임 로 바꾸어 -본질적 사상 및 -잉여적 사상을 정의할 수 있다.

예 
임의의 범주에서, 동형 사상은 항상 본질적 단사 사상이자 잉여적 전사 사상이다.

집합 
집합과 함수의 범주 에서, 본질적 단사 사상 및 잉여적 전사 사상은 전단사 함수 밖에 없다.

가군 
환  위의 왼쪽 가군 의 부분 가군 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 이 의 본질적 부분 가군, 이 의 본질적 확대라고 한다.
 포함 사상 은 왼쪽 가군 범주 의 본질적 단사 사상이다.
 의 임의의 부분 가군 에 대하여, 만약 이라면 이다.
(이 두 조건이 동치인 것은 을 핵으로 갖는 가군 준동형 를 생각하면 알 수 있다.)

마찬가지로, 환  위의 왼쪽 가군 의 부분 가군  및 몫가군 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 가 의 잉여적 부분 가군이라고 한다.
 몫 사상 은 왼쪽 가군 범주 의 잉여적 전사 사상이다.
 의 임의의 부분 가군 에 대하여, 만약 이라면 이다.
(이 두 조건이 동치인 것은 을 상으로 갖는 가군 준동형 를 생각하면 알 수 있다.)

본질적 부분 가군은 흔히 로, 잉여적 부분 가군은 흔히 로 표기한다.

특히,  자체의 본질적/잉여적 부분 가군을 본질적/잉여적 왼쪽 아이디얼이라고 한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

범주론
가군론