영다양체

미분위상수학에서 영다양체(零多樣體, )는 멱영 리 군의 몫공간으로 얻어지는 동차공간이다. 해다양체의 특수한 경우이며, 기하화 추측에서 3차원 다양체를 분류하는 기하 가운데 하나이다.

정의 
연결 멱영 리 군  속의 격자()는 다음 조건들을 만족시키는 부분군 이다.
 는 이산 공간이다.
 몫공간 는 콤팩트 공간이다.
연결 멱영 리 군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 은 (하나 이상의) 격자를 갖는다.
 (말체프 조건 ) 모든 구조 상수가 유리수가 되는 리 대수 의 기저가 존재한다.

연결 매끄러운 다양체 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 연결 매끄러운 다양체를 영다양체라고 한다.
 연결 멱영 리 군에 대한 동차 공간이다. 즉, 연결 멱영 리 군 의 추이적 작용 이 존재하며, 모든 에 대하여 이 미분 동형을 이룬다.
 이 되는 연결 멱영 리 군  및 격자 이 존재한다.
 반복된 U(1) 주다발과 유클리드 공간의 곱공간과 미분 동형이다. 즉, 이며 (한원소 공간)인 매끄러운 주다발의 열  이 존재한다.
즉, 멱영 리 군에 대한 동차 공간의 안정자군은 격자를 이룬다.

성질 
모든 영다양체는 자명하게 해다양체이며, 따라서 해다양체의 성질들을 만족시킨다. 특히, 영다양체의 2차 이상 호모토피 군은 모두 자명하며, 콤팩트 영다양체는 그 기본군으로 완전히 분류된다.

모든 영다양체는 콤팩트 영다양체와 유클리드 공간의 곱공간이다. 따라서 영다양체의 분류는 콤팩트 영다양체의 분류로 귀결된다.

원환면이 아닌 콤팩트 영다양체는 형식적 공간이 아니며, 특히 켈러 구조를 가질 수 없다. 정의에 따라, 모든 영다양체는 가향 다양체이며, 추가로 평행화 가능 다양체이다.

군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이 되는 영다양체 이 존재한다.
 는 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군이다.

예 
모든 연결 아벨 리 군은 영다양체이다. 특히, 원환면 은 콤팩트 영다양체이다.

하이젠베르크 군 는 차원 멱영 리 군을 이룬다. 정수 계수 하이젠베르크 군 은 그 속의 격자를 이루며, 은 영다양체를 이룬다.

낮은 차원의 영다양체

2차원 이하 
2차원 이하의 연결 영다양체는 원환면과 유클리드 공간의 곱공간 밖에 없다. 콤팩트 영다양체를 구성하려면, 1차원에서는 한원소 공간 위에 하나의 U(1) 주다발이 존재하며, 2차원에서는 원 위의 U(1) 주다발은 역시 하나 밖에 없다. (원 위에는 두 개의 원다발이 존재하며, 이는 각각 원환면과 클라인 병에 해당한다. 그러나 후자의 경우는 U(1) 주다발을 이루지 못한다.)

3차원 콤팩트 영다양체 
3차원 콤팩트 영다양체는 자연수에 의하여 분류된다. 구체적으로, 2차원 원환면  위의 U(1) 주다발 는 그 연관 복소수 선다발의 천 특성류의 적분인 2차 코호몰로지

로 분류된다. 그런데 이 경우 와 반대 방항을 갖는 주다발 은 서로 미분 동형인 다양체를 정의한다. 즉, 3차원 연결 콤팩트 영다양체의 미분 동형 동치류는 자연수 로 분류된다. 이 가운데, 3차원 원환면은 에 해당한다.

이는 다음과 같이 하이젠베르크 군의 몫으로 표현될 수 있다. 하이젠베르크 군

속에서, 리 군 곱셈 규칙이

이므로, 격자

를 고를 수 있으며,

는 콤팩트 영다양체를 이룬다. 사영 사상

아래, 이는 2차원 원환면 위의 원다발을 이룬다. 이 경우, 는 와 미분 동형이다. 다시 말해, 모든 3차원 콤팩트 연결 영다양체는  또는  ()와 미분 동형이다.

역사 
아나톨리 말체프가 1949년에 도입하였고, ‘영다양체’()라는 용어를 정의하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

다양체
리 군