결합 대수

추상대수학에서 결합 대수(結合代數, )는 결합 법칙을 만족시키는 대수이다. 즉, 가군과 유사환의 구조를 동시에 갖춘 대수 구조이다. 가군이 아벨 군을 일반화하는 것처럼, 단위 결합 대수는 환을 일반화한다.

정의

유사 결합 대수 
가환 유사환  위의 유사 결합 대수() 는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.
 는 의 가군을 이룬다.
 은 유사환을 이룬다.
이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다.
 모든  및 에 대하여, 
이는 유사환의 준동형 과 같다. 여기서 은 의 중심이다.

유사 결합 대수의 준동형은 를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 유사환의 준동형을 이루는 함수이다. 유사 결합 대수와 유사 대수 준동형의 범주를 이라고 하자.

결합 대수 
가환환  위의 (단위) 결합 대수(單位結合代數, ) 는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.
 는  위의 유사 결합 대수를 이룬다.
 은 환을 이룬다.
이는 환 준동형 과 같다. 여기서 은 의 중심이다.

결합 대수의 준동형은 를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 환 준동형을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를 이라고 하자.

가환 대수 
가환환  위의 결합 대수 가운데, 가환환인 것을 가환 대수()라고 한다.  위의 단위 가환 대수 은 가환환 준동형 과 같다.

성질 
결합 대수의 모임과 유사 결합 대수의 모임 둘 다 대수 구조 다양체를 이루며, 이에 따라 곱 · 쌍대곱 · 시작 대상 · 끝 대상의 존재를 알 수 있다.

즉, 유사 결합 대수의 범주는 영 대상을 가지지만, 결합 대수의 경우는 시작 대상과 끝 대상이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, 곱집합과 호환되지만, 쌍대곱은 서로 다르다.

또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 텐서곱 이 존재하며, 이는  위의 가군의 텐서곱과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

망각 함자 
유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자

및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자

가 존재한다. 후자의 왼쪽 수반 함자는 이다.

또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자

가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는
단위원이 없는 유사 결합 대수 를

로 대응시킨다 (는 아벨 군의 직합). 이 경우,  위의 연산은 다음과 같다.

분류 
복소수체 위의 5차원 이하의 (유사) 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다.

3차원 이하 복소수 결합 대수 
 위의 1차원 결합 대수는  자체 밖에 없다.  위의 2차원 단위 결합 대수는 두 개가 있으며, 다음과 같다.

둘 다 가환 대수이므로, 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점 으로 구성되어 있으며, 후자는 (축소환이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 · 퇴화 이차 형식에 대한 클리퍼드 대수이다.

 위의 3차원 결합 대수는 다섯 개가 있으며, 다음과 같다.

이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다.

예

환론 
특별한 가환환 위의 (유사) 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름이 있다.

모든 환 는 스스로의 중심 에 대한 결합 대수를 이룬다. 또한, 임의의 가환환 에 대하여 환 준동형 가 주어졌다면, 는  위의 결합 대수를 이룬다. 특히, 가환환의 준동형 가 주어졌다면, 는  위의 가환 결합 대수를 이룬다.

추가 구조를 갖는 대수 
리 대수의 보편 포락 대수는 결합 대수이다. 마찬가지로, 클리퍼드 대수나 외대수는 결합 대수이다.

복소수체 와 사원수 대수 는 실수 위의 결합 대수이다. 복소수체에서 사원수 대수로 가는 포함 관계 를 잡으면, 사원수 대수는 복소수체 위의 결합 대수를 이룬다.

함수 대수 
가 위상환이라고 하자. 위상 공간  위의 연속 함수 의 집합은 자연스럽게  위의 결합 대수의 구조가 존재한다.

마찬가지로, 매끄러운 다양체  위의 매끄러운 함수의 집합 은 실수체 위의 결합 대수의 구조를 가진다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 자유 단위 결합 대수
 리 대수

대수
대수기하학