수렴 수열 공간

함수해석학에서 수렴 수열 공간(收斂數列空間, )은 어떤 값으로 수렴하는 수열들로 구성된 바나흐 공간이다. 기호는 c.

정의 
가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

수렴하는 -수열 (=코시 열)의 집합

은 자연스럽게 -벡터 공간을 이룬다. 그 위에 다음과 같은 노름을 부여하자.

그렇다면 이는 -바나흐 공간을 이룬다. 이를 수렴 수열 공간 라고 한다.

0으로 수렴하는 수열들로 구성된 부분 공간

은 의 닫힌 부분 벡터 공간이므로, 마찬가지로 -바나흐 공간을 이룬다. 이를 영 수렴 수열 공간(零收斂數列空間, ) 이라고 한다.

성질 
와 는 -위상 벡터 공간으로서 서로 동형이지만 (즉, 그 사이에 전단사 연속 선형 변환이 존재하지만), 바나흐 공간으로서 서로 동형이지 않다 (즉, 그 사이에 전단사 등거리 선형 변환이 존재하지 않는다).

구체적으로, 이 전단사 연속 -선형 변환은 다음과 같다.

분해 가능성 
와 는 분해 가능 -바나흐 공간이다.

의 경우,

는  속의 가산 조밀 집합을 이룬다.

는 그 부분 집합이며, 분해 가능 거리 공간의 부분 집합은 분해 가능 공간이므로 마찬가지로 분해 가능 공간이다. 구체적으로, 는 의 가산 조밀 집합을 이룬다.

연속 쌍대 공간 
의 연속 쌍대 공간과 의 연속 쌍대 공간은 둘 다 르베그 공간 과 동형이다.

의 경우 이는 다음과 같다.

의 경우 이는 다음과 같다.

의 쌍대 공간은 르베그 공간 이므로, 와 는 반사 바나흐 공간이 아니다.

포함 관계 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

여기서 는 르베그 공간이며, 이다. 물론, 라면 가 성립한다.

위 포함 관계들은 -선형 변환이지만 일반적으로 등거리 변환이 아니다. 다만, 다음 포함 관계들은 등거리 변환이다 (즉, 같은 노름을 갖는다).

샤우데르 기저 
다음과 같은 수열들을 생각하자.

여기서 는 크로네커 델타이다.

그렇다면, 은 의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

바나흐 공간
수열