유리 사상

대수기하학에서 유리 사상(有理寫像, )은 “거의 어디서나” (즉, 조밀 열린 부분 스킴)에서 정의되는 스킴 사상이다. 이를 통해, 쌍유리 동치(雙有理同値, ), 즉 두 스킴의 “거의 어디서나” 동형의 개념을 정의할 수 있다.

정의

유리 사상 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 두 스킴 , 
 의 조밀 열린 부분 스킴 
 연속 함수 , 
만약 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다면, 와 이 서로 유리 동치라고 하자.
 는 의 조밀 열린 부분 스킴이다.
 이다.
 (스킴 사상으로서) 이다.
의 조밀 열린 부분 스킴을 정의역으로 하고,  를 공역으로 하는 -스킴 사상들의 집합 를 생각하자. 그렇다면, 위 관계는  위의 동치 관계를 이룬다. 이에 대한 몫집합 의 원소를  유리 사상이라고 한다.

스킴  위의 항등 유리 사상은 의 동치류이다.

우세 유리 사상 
일반적으로, 유리 사상은 합성할 수 없다. 이 문제를 해결하려면, 우세 유리 사상의 개념을 도입해야 한다.

두 위상 공간 ,  사이의 함수 에 대하여, 만약 그 치역이 공역 의 조밀 집합이라면, 를 우세 함수()라고 한다.

두 스킴 ,  사이의 유리 사상 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유리 사상을 우세 유리 사상(優勢有理寫像, )이라고 한다.
 동치류 의 원소 가운데 적어도 하나 에 대하여, 는 우세 함수이다.
 동치류 의 모든 원소는 우세 함수이다.
두 기약 스킴 사이의 우세 유리 사상은 합성이 가능하며, 항등 유리 사상은 우세 유리 사상이다. 따라서, 기약 스킴과 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 대수적으로 닫힌 체 에 대하여,  -대수다양체와 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다.

쌍유리 사상 
기약 스킴과 우세 유리 사상의 범주의 동형 사상을 쌍유리 사상(雙有理寫像, )이라고 한다. 마찬가지로, 대수적으로 닫힌 체 에 대하여, -대수다양체와 우세 유리 사상의 범주의 동형 사상을 -쌍유리 사상이라고 한다.

쌍유리 동치 
대수적으로 닫힌 체 에 대하여, 두 -대수다양체 ,  사이에 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 두 대수다양체를 서로 쌍유리 동치(雙有理同値, )라고 한다.
 와  사이에 쌍유리 사상이 존재한다.
 서로 동형인 (자리스키) 열린 집합 , 가 존재한다.
  위의 유리 함수체 와  위의 유리 함수체 는 -대수로서 서로 동형이다.

예 
부풀리기는 쌍유리 사상이지만, 대수다양체의 동형이 아니다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

대수기하학