자유군

군론에서 자유군(自由群, )은 그 아무런 관계를 갖지 않는 표시를 가질 수 있는 군이다. 즉, 군의 대수 구조 다양체의 자유 대수이다.

정의 
자유군은 군의 구체적 범주 의 자유 대상이다. 즉, 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자

는 왼쪽 수반 함자

를 가지며, 집합 로부터 생성되는 자유군 은 함자 에 대한 상이다.

구성 
집합 로부터 생성되는 자유군은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 의 원소들을 형식적 기호로 생각하고, 기호들의 집합 를 생각하자. 그렇다면, 알파벳 으로 구성되는 문자열 을 생각할 수 있다 (는 클레이니 스타).

문자열 이

또는

꼴의 부분 문자열을 갖지 않는다면, 이를 기약 문자열()이라고 한다. 임의의 문자열 에 대하여, 위의 꼴의 부분 문자열들을 (임의의 순서로) 거듭하여 제거하면 결국 기약 문자열을 얻으며, 이렇게 얻는 기약 문자열은 부분 문자열의 제거 순서와 무관하다. 이를 문자열의 축소화()라고 하자. 그렇다면, 자유군 은  속의 기약 문자열들의 집합으로 구성할 수 있다. 이 경우, 기약 문자열 에 대하여, 군 이항 연산 은 두 문자열의 이음 의 축소화이다.

이 구성에서 군의 항등원은 길이 0의 문자열이며, 기약 문자열 의 역원은 의 순서를 거꾸로 한 뒤,  꼴의 알파벳은 로,  꼴의 알파벳은 로 치환하여 얻는 문자열이다. (이러한 문자열은 항상 기약 문자열이다.)

성질

크기 
집합 로부터 생성되는 자유군 의 크기는 다음과 같다.

두 집합 , 에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.
 
 와 는 군으로서 서로 동형이다.
자유군 의 계수는 를 생성하는 집합의 크기이다. 이는 위 정리에 따라 유일하다.

군론적 성질 
계수가 0인 자유군은 자명군이다. 계수가 1인 자유군은 무한 순환군이다. 계수가 2 이상인 자유군은 비아벨 군이다. 정의에 따라, 모든 군은 어떤 자유군의 몫군으로 나타낼 수 있다. 가산 계수의 자유군의 몫군으로 나타내어지는 군을 유한 생성 군()이라고 한다.

자유군의 아벨화는 자유 아벨 군이다.

부분군 
닐센-슈라이어 정리()에 따르면, 자유군의 모든 부분군은 자유군이다. 이 정리는 야코브 닐센(, 1890~1959)이 1921년에 유한 생성 부분군에 대하여 증명하였으며, 오토 슈라이어(, 1901~1929)가 1927년 하빌리타치온 논문에서 일반적인 경우에 대하여 증명하였다. 닐센-슈라이어 정리의 증명은 선택 공리를 필요로 한다. 선택 공리가 성립하지 않으며, 닐센-슈라이어 정리 역시 거짓인 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이 존재한다.

계수가 2개 이상인 자유군은 모든 가산 계수의 자유군을 부분군으로 갖는다.

논리학적 성질 
알프레트 타르스키는 1945년 경에 계수가 2 이상인 자유군의 1차 논리 이론은 모두 동형이며, 이는 결정 가능 이론이라고 추측하였다. 이 두 추측을 증명하는 두 편의 논문이 2006년에 발표되었으나, 이 논문들에 대해서는 아직 논란이 있다.

응용 
계수 2의 자유군의 케일리 그래프는 바나흐-타르스키 역설의 증명에 등장한다.

대수적 위상수학에서, 임의의 기수 에 대하여, 개의 원들의 쐐기합 의 기본군은 계수 의 자유군이다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 자유곱
 자유 아벨 군

군론
기하군론