긴 직선

일반위상수학에서 긴 직선(긴直線, )은 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형이지만 파라콤팩트 공간이 아닌 위상 공간이다.

정의 
임의의 순서수 에 대하여, 곱공간 에 사전식 순서 및 순서 위상을 부여한 위상 공간을 라고 하자. 그렇다면, 를 집합

에 다음과 같은 전순서 및 순서 위상을 부여한 위상 공간으로 정의하자.

긴 직선은 이다.  여기서 은 최소 비가산 순서수이다.

성질 
에 대하여, 다음이 성립한다.
 는 공집합이다.
 만약 이라면, 이다.
 이지만, 은 국소 유클리드 공간이다.
 만약 이라면, 는 국소 유클리드 공간이 아니다. 구체적으로, 는 유클리드 공간과 위상동형인 근방을 갖지 않는다.
의 크기는

이다. 특히, 긴 직선 은 실수선 와 같은 크기이다.

긴 직선 은 다음 성질들을 만족시킨다.
 국소 유클리드 공간이다.
 T4 공간이다.
 파라콤팩트 공간이 아니다. (따라서 다양체가 아니다.)
 거리화 가능 공간이 아니다.
 경로 연결 공간이며, 국소 경로 연결 공간이며, 단일 연결 공간이다.
 축약 가능 공간이 아니다.
 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니며, 분해 가능 공간이 아니다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

위상 공간