헨젤 환

가환대수학에서 헨젤 환(Hensel環, )은 잉여류체에서의 다항식의 근이 환에서의 근으로 항상 올려질 수 있는 가환환이다.

정의 
국소 가환환 이 주어졌다고 하자. (여기서 은 의 유일한 극대 아이디얼이며, 은 그 잉여류체이다.) 그렇다면, 몫 사상 으로 유도되는, 다항식환 사이의 환 준동형

이 존재한다.

임의의 일계수 다항식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면  역시 일계수 다항식이다. 체 계수의 다항식환은 유일 인수 분해 정역이므로, 는 다음과 같이 일계수 기약 다항식들의 곱으로 (순서를 무시하면 유일하게) 표현된다.

(반면, 일반적 국소 가환환 위의 다항식환은 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니다.)

이제, 이 인수 분해가 에서 유래하는지, 즉

가 되는 가 존재하는지 여부를 생각할 수 있다.

특히, 만약 인지 여부를 생각할 수 있다. 이 경우, 라면,  계수에서 존재하는 근 가 에서도 존재한다는 것이 된다.

국소 가환환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 가환환을 헨젤 국소환(Hensel局所環, )이라고 한다.
 임의의 일계수 다항식  및 이며 인 에 대하여, 이자 인 가 존재한다.
 임의의 일계수 다항식  및 이며 인 에 대하여, 이자 인 가 유일하게 존재한다.
 임의의 일계수 다항식  및 인 에 대하여, 만약 이라면, , , 인 가 존재한다.

순 헨젤 국소환 
만약 헨젤 국소환 의 잉여류체 가 스스로의 분해 가능 폐포라면 (), 를 순 헨젤 국소환(純Hensel局所環, )이라고 한다.

헨젤 환 
헨젤 환은 유한 개의 헨젤 국소환들의 직접곱과 동형인 가환환이다.

성질 
헨젤 국소환의 범주 는 국소 가환환과 국소환 준동형의 범주 의 충만한 부분 범주를 이루며, 이는 또한 반사 부분 범주를 이룬다. 즉, 포함 함자 의 왼쪽 수반 함자

가 존재한다. 이를 국소 가환환의 헨젤화(Hensel化, )라고 한다. 즉, 국소 가환환 에 대하여, 다음 보편 성질을 만족시키는 헨젤 국소환  및 국소환 준동형

이 항상 존재하며, 이를 의 헨젤화라고 한다.
 임의의 헨젤 국소환  및 국소환 준동형 에 대하여, 인 국소환 준동형 이 유일하게 존재한다.

반면, 순 헨젤 국소환의 범주는 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 임의의 국소 가환환의 순 헨젤화()를 정의할 수 있으며 이는 동형 아래 유일하지만, 이는 자기 동형을 가져 보편 성질을 만족시키지 않는다.

예 
다음과 같은 환들은 헨젤 환이다.
 임의의 체
 임의의 완비 국소환
 진 정수환 
 체 에 대하여, 형식적 멱급수환 
 실수체나 복소수체 위의, 수렴하는 거듭제곱 급수들의 환

p진 정수환의 헨젤 보조 정리 
임의의 소수 에 대하여, p진 정수환 은 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 이며, 잉여류체는 유한체 이다. 이 경우, 헨젤 보조 정리에 따르면, 임의의 일계수 다항식이  계수의 근의 근을 가지며, 이 근에서 기울기가 0이 아니라면, 이 근은  계수의 근으로 올려질 수 있다. 사실

이므로, 이는 임의의 에 대하여  계수의 근을 갖는다는 것과 동치이다.

이는 합동 산술의 용어로 다음과 같이 쓸 수 있다. 임의의 정수 계수 다항식 이 주어졌으며, 어떤 임의의 정수 에 대하여

라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

인 이 존재한다.

진 정수의 경우, 헨젤 보조 정리는 사실 일종의 뉴턴 방법에 해당한다. 구체적으로, 만약

인 가 주어졌다고 하자. 그렇다면

로 놓자. 이는 일반적으로 정수가 아니지만, 가정에 의하여 는 진 정수이며, 따라서 은 진 정수로서 존재한다. 그렇다면 매클로린 급수에 따라서

이 된다. 이 과정을 반복하면 어떤 유일한 진 정수 로 수렴하는 수열 을 얻는다.

응용 
대수기하학에서, 국소환이 자리스키 위상에서의 줄기환인 것처럼, 니스네비치 위상에서의 "국소환"은 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 "국소환"은 순 헨젤 국소환이다.

역사 
쿠르트 헨젤이 20세기 초에 (현대적인 용어로는) 진 정수환 가 헨젤 국소환임을 증명하였다. 1951년에 아즈마야 고로가 이를 추상화하여 헨젤 환의 개념을 도입하였다.

나가타 마사요시가 1953년에 헨젤화의 존재를 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

가환대수학