크룰 정역

가환대수학에서 크룰 정역(Krull整域, ) 또는 크룰 환(Krull環, )은 아이디얼의 인수 분해 이론이 비교적 단순한 정역이다. 데데킨트 정역의 고차원 일반화이다.

정의 
임의의 정역 이 주어졌으며, 가 그 높이 1의 소 아이디얼들의 집합이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
 만약 가 정규환이라면, 이며, 만약 가 뇌터 환이라면 이다.
 만약 가 뇌터 환이라면, 임의의 에 대하여 는 유한 집합이다.
 만약 가 정규 뇌터 환이라면, 에 대한 국소화 는 이산 값매김환이다. (이는 1차원 뇌터 정수적으로 닫힌 정역이 이산 값매김환 조건과 동치이기 때문이다.)
그러나 위 세 성질은 임의의 정역에 대하여 성립하지 않는다.

크룰 정역은 위 세 성질들을 만족시키는 정역이다. 즉, 정역 가 다음 세 조건들을 모두 만족시키면 크룰 정역이라고 한다.
 의 높이 1의 소 아이디얼들의 집합을 라고 하자. 임의의 에 대하여, 국소화 는 이산 값매김환이다.
 국소화는 분수체의 부분환 으로 생각할 수 있다. 그렇다면 이다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면 는 유한 집합이다.

성질 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

크룰 정역 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 유일 인수 분해 정역이다.
 높이가 1인 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.

뇌터 국소환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 크룰 환이다.
 의 (유일한 극대 아이디얼 에 대한) 완비화는 크룰 환이다.

정역 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 데데킨트 정역이다.
 크룰 차원이 0 또는 1인 크룰 정역이다.

뇌터 정역 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 크룰 정역이다.
 정수적으로 닫힌 정역이다.

만약 가 크룰 정역이라면, 다음 두 가환환 역시 크룰 정역이다.
 다항식환 
 형식적 멱급수환 

모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, )에 따르면, 가 뇌터 정역이며, 이 분수체  위의 유한 대수적 확대라고 하자. 그렇다면, 의  속의 정수적 폐포는 크룰 정역이다. 이 정리는 모리 요시로()와 나가타 마사요시 가 증명하였다.

크룰 정역의 인자 이론 
크룰 정역(의 스펙트럼) 위에서는 대수다양체와 마찬가지로 인자 이론을 정의할 수 있다.

크룰 정역  위의 베유 인자는 높이가 1인 소 아이디얼들의 형식적 선형 결합이다. 이들이 이루는 자유 아벨 군을 라고 하자. 영 아이디얼이 아닌 주 아이디얼인 소 아이디얼 은 주인자()라고 하며, 이들은 아벨 군 를 이룬다.  크룰 정역  위의 카르티에 인자는 국소 주 베유 인자()이다. 카르티에 인자들 역시 아벨 군 를 이룬다. 이에 따라 아벨 군의 포함 관계

가 존재한다.

인자군의 주인자군에 대한 몫군

를 의 인자 유군이라고 한다. 카르티에 인자군의 주인자군에 대한 몫군

를 의 피카르 군이라고 한다. 이는  위의 가역층들의 텐서곱에 대한 아벨 군과 동형이다.

예 
유일 인수 분해 정역  위의, 가산 무한 개의 변수의 다항식환 는 크룰 정역이지만, 뇌터 환이 아니다.

역사 
볼프강 크룰이 1931년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

가환대수학