아르틴 상호 법칙

유체론에서 아르틴 상호 법칙(Artin相互法則, )은 이차 상호 법칙을 대역체의 임의의 유한 아벨 확대로 일반화하는 정리이다.

정의 
가 대수적 수체이며, 가 유한 아벨 확대라고 하자.

의 정수환 의 소 아이디얼 에 대하여, 만약 가 에서 분기()되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 프로베니우스 자기 동형 사상

가 존재한다.  위의, 의 모든 소 아이디얼 에 대하여,

가 에서 분기되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, 에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 에서 갈루아 군 으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상()이라고 한다.

아르틴 상호 법칙은 아르틴 사상의 핵이 무엇인지를 제시한다. 구체적으로, 어떤 모듈러스 에 대하여, 군 준동형

의 핵은 다음과 같은 꼴이다.

여기서 은 에 대한 반직선이며, 는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 의 정의 모듈러스()라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을 의 인도자(引導者, )라고 한다.

예

이차 수체 
이차 수체 을 생각하자 (은 제곱 인수가 없는 정수). 그렇다면 에서 분기되는 소수들은 다음과 같다.
 만약 인 경우, 인 소수 . 이 경우, 판별식은 이다.
 만약 인 경우, 인 홀수 소수  및 2. 이 경우, 판별식은 이다.
이 경우, 갈루아 군은

이다. 이 경우, 아르틴 사상은 의 인수가 아닌 소수에 대하여 정의된 르장드르 기호이다.

원분체 
원분체 을 생각하자 (은 소수이거나 4의 배수). 그렇다면 갈루아 군은

이다. 여기서 은 의 가역원군이다. 구체적으로, 은 갈루아 군의 원소 에 대응된다.

이 경우, 의 인수가 아닌 소수 에 대하여, 아르틴 사상은

이다.

역사 
에밀 아르틴이 1924년~1930년 동안 3편의 논문에서 증명하였다.

같이 보기 
 아르틴 L-함수
  모듈러스

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

유체론