내림 데이터

범주론에서 내림 데이터(-data, , )는 어떤 올범주의 밑범주 속의 대상의 덮개 위에 주어진, 각 덮개 원소 위의 올범주의 대상들로 구성된 구조이다. 이를 사용하여, 일부 경우 밑범주 속의 대상의 올범주의 한 원소를 유일하게 재구성할 수 있다. 어떤 경우 이러한 재구성이 가능한지를 연구하는 수학 분야를 내림 이론(, )이라고 한다.

정의

체를 통한 정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 작은 범주 
  위의 올범주 
  속의 대상 
  위의 체 
그렇다면, 는 함자

로 생각할 수 있다. 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가하여 올범주

를 정의할 수 있다. 여기서 의 대상 는  및 로 구성된다. 즉,  위의 올은 이다.

 위의 내림 데이터는 -올범주의 사상

이다. 즉, 가환 그림

을 이루며, 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 대응시키는 함자이다.

구체적 정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 위치 
  위의 올범주 
 의 대상 
 의 덮개체 
그렇다면,  위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 에 대하여, 대상 
 임의의 사상 에 대하여 (),  인 데카르트 사상 
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
 일 때, 
 임의의 에 대하여 (, ), 

만약 올범주 의 쪼갬이 주어졌다면, 쪼갬에 의하여 주어진 표준적 올림 이 주어지며, 이 경우 (데카르트 사상의 보편 성질에 의하여) 는 (유일하게 결정되는) 동형 사상 으로 생각해도 된다. 그러나 내림 데이터의 개념은 선택한 쪼갬에 의존하지 않는다.

덮개를 통한 정의 
체를 사용한 정의는 체를 생성하는 사상 집합 에 대하여 적용되도록 변역할 수 있다. 즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 모든 당김을 갖는 작은 범주 
  위의 올범주 
 의 대상 
 를 공역으로 하는 사상들의 집합 .
그렇다면,  위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각  및 사상 에 대하여, 대상 
 각 가환 오각형  에 대하여, 인 데카르트 사상 
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
 에 대하여, 
 임의의 당김 에 대하여, 
 임의의 가환 그림 에 대하여, 

올범주 의 정규 쪼갬이 주어졌다고 하자. 즉, 각  및 에 대하여 올림

가 주어졌고, 항등 사상의 올림이 항등 사상이라고 하자. 또한, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 각 에 대하여, 대상 
 각  및 당김 에 대하여, 동형 사상 
이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
 모든 에 대하여 이며, 이다.
 (공사슬 조건 ) 모든 에 대하여, . 여기서 는 의 각종 사영 사상이다.
그렇다면, 임의의 사상 에 대하여 인 내림 데이터를 찾을 수 있다. 또한, 모든 내림 데이터는 이러한 꼴의 내림 데이터와 동형이다. 즉, 위와 같이, 쪼갬과 공사슬 조건을 통해 정의한 내림 데이터의 범주는 체를 통하여 정의한 내림 데이터의 범주와 동치이다.

효과적 내림 
올범주  및  위의 그로텐디크 위상 및 대상  및 그 덮개 에 대하여, 다음과 같은 두 범주를 생각할 수 있다.
  위의 올 
 덮개 에 대한 내림 데이터의 범주 
또한,  위의 쪼갬이 주어졌다면, 자연스러운 함자

가 존재한다. 이 함자는 에 대하여, 에 대하여

를 대응시킨다.

만약 이 함자 
가 충실충만한 함자라면, 덮개 가 충실충만한 내림(充實充滿-, )을 보인다고 한다. 만약 이 함자가 범주의 동치라면, 덮개 가 효과적 내림(效果的-, )을 보인다고 한다. 충실충만한 내림의 경우, 특정 내림 데이터로부터  속의 올을 재구성할 수 있으며, 효과적 내림의 경우 모든 내림 데이터로부터 이러한 올을 재구성할 수 있다. (이 조건들은 올범주의 쪼갬의 손택에 의존하지 않는다.)

올범주  및  위의 그로텐디크 위상에 대하여,
 만약  위의 모든 덮개에 대하여 충실충만한 내림이 성립한다면, 를 준스택()이라고 한다.
 만약  위의 모든 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다면, 를 스택()이라고 한다.

예

연속 함수 
위상 공간의 범주의 화살표 범주 를 생각하자. 연속 함수를 그 공역으로 대응시키는 함자

에 의하여, 이는 올범주를 이루며,  위의 올은 조각 범주 이다.

이 경우, 위상 공간의 통상적인 그로텐디크 위상에서, 덮개는 (위상수학의) 열린 덮개이며, 모든 열린 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다. 즉, 은  위의 스택을 이룬다.

준연접층 
준연접층 는 스킴의 범주  위의 올범주를 이룬다.  위의, fpqc 위상에서의 모든 덮개에 대하여 유효 내림이 성립한다. 따라서, 는 (fpqc 위상을 부여한)  위의 스택을 이룬다. fpqc 위상은 매우 섬세하며, 이보다 더 엉성한 위상 (에탈 위상, 자리스키 위상) 등에서도 따라서 효과적 내림이 성립한다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 에 대하여, 는 조각 범주  위의 올범주를 이루며, fpqc 위상을 부여한다면 이 역시 스택을 이룬다.

역사 
내림 이론 및 내림 데이터는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권에서 도입되었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

층론
대수기하학