에탈 기본군

대수기하학에서 에탈 기본군(étale基本群, )은 대수다양체와 스킴에 대하여 정의되는 기본군이다.

정의 
에탈 기본군은 대수적 위상수학과 갈루아 이론 사이의 다음과 같은 대응성으로부터 출발하며, 이 둘을 대수기하학적으로 일반화하여 공통적으로 다룬다.

연결 스킴  의 기하점() 는 에서의 줄기 의 잉여류체를 포함하는 분해 가능 폐포 이다. 즉, 다음과 같은 사상

를 합성하여, 사상 를 정의할 수 있다. 이는  속의,  값의 좌표를 갖는 점으로 여긴다.

를 공역으로 하는 유한 에탈 사상들의 범주를 라고 쓰자. (에탈 코호몰로지와 달리, 여기에 그로텐디크 위상을 정의할 필요가 없다.) 그렇다면, 스킴 사상  및 의 기하점 이 주어졌을 때, 기하올() 을 스킴의 범주의 올곱으로 정의할 수 있으며, 에탈 사상의 정의에 따라서 이는 어떤 자연수 에 대하여 와 동형이다.

따라서, 밑점이 주어졌을 때, 다음과 같은 요네다 매장을 생각하자.

이는 기하학적으로 를 그 원상 “”에 대응시킨다. 이들 집합들은 사상에 따라 사영계()를 이룬다. 따라서 다음과 같은 역극한을 취할 수 있으며, 이를 의 밑점 에서의 에탈 기본군이라고 한다.

이는 유한군의 역극한이므로, 사유한군을 이룬다. 또한, 이 요네다 함자에 의하여 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

여기서, 범주 는 의 작용을 갖는 집합들의 범주이다.

예

체의 에탈 기본군 
체 가 주어졌을 때, 의 밑점 는 의 분해 가능 폐포 과 대응한다. (모든 분해 가능 폐포들은 서로 동형이지만, 표준적으로 동형이지 못하다.) 이 경우, 밑점 에서의 에탈 기본군은 의 절대 갈루아 군과 동형이다.

복소 대수다양체의 에탈 기본군 
복소 유한형 스킴 의 에탈 기본군은 그 복소해석공간 의 (대수적 위상수학적) 기본군의 사유한 완비이다.

역사 
알렉산더 그로텐디크가 《마리 숲 대수 기하학 세미나》(, SGA) 1권에서 정의하였다.

각주

참고 문헌

같이 보기 
 에탈 코호몰로지

외부 링크 
 

스킴 이론
대수적 위상수학