크룰 높이 정리

가환대수학에서 크룰 높이 정리()는 뇌터 환에서 n개의 원소로 생성된 아이디얼의 높이가 n 이하라는 정리이다.

정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 가환 뇌터 환 
 자연수  및 
 임의의  성분의  행렬 
그렇다면, 은 개의  소행렬식()들을 갖는다. 크룰 높이 정리에 따르면, 이 소행렬식들로 생성되는 -아이디얼이  전체가 아니라면, 그 높이는  이하이다.

특히, 인 경우, 개의 원소로 생성되는 아이디얼 의 높이는  이하이다.

반대로, 높이가 인 소 아이디얼은 개의 원소로 생성될 수 있다.

특히, 크룰 높이 정리에서 을 취하면, 가역원이 아닌 원소로 생성되는 주 아이디얼의 높이는 1 이하임을 알 수 있다.

크룰 정역의 경우 
크룰 높이 정리는 크룰 정역에 대하여 부분적으로 성립한다. 구체적으로, 크룰 정역의 모든 진 아이디얼인 주 아이디얼의 높이는 0 또는 1이다. (그러나 뇌터 환이 아닌 크룰 정역의 경우, 이는 2개 이상의 원소로 생성되는 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

역사 
볼프강 크룰이 1928년에 인 경우를 증명하였다.

1961년에 존 얼론조 이건()이 이를 소행렬식에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

가환대수학
아이디얼
대수학 정리