가군의 길이

환론에서, 가군의 길이()는 가군의 크기를 나타내는 측도이며, 벡터 공간의 차원의 일반화이다.

정의 
부분 순서 집합 의 길이 는 의 부분 집합 가운데 전순서 집합인 것의 크기의 최댓값 빼기 1이다. 즉, 다음과 같다.

가 (곱셈 항등원을 갖는) 환이라고 하고, 이 의 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 의 길이는 의 부분 가군의 격자 의 길이이다.

오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 길이를 정의할 수 있다.

보다 일반적으로, 아벨 범주 의 대상 의 길이는 의 부분 대상 격자 의 길이이다.

예 
길이가 0인 가군은 영가군밖에 없다. 길이가 1인 가군은 단순 가군이라고 한다.

가군의 길이가 유한하다는 것은 가군이 아르틴 가군이자 뇌터 가군이라는 것과 동치이다.

에 대한 왼쪽 가군의 짧은 완전열

이 있다고 하자. 그렇다면

이다.

체 에 대한 유한 차원 벡터 공간 의 길이는 벡터 공간으로서의 차원과 같다. (무한 차원 벡터 공간의 길이는 무한대이다.)

외부 링크 
 
 
 

가군론