상한과 하한

순서론에서, 어떤 집합 T의 부분 집합 S에 대해 S의 상한(上限, ) 또는 최소 상계(最小上界, , LUB)는 T의 원소 중 S의 모든 원소보다 큰 최소의 원소 (최소 상계)를 말한다. 마찬가지로, 하한(下限, ) 또는 최대 하계(最大下界, , GLB)는 T의 원소 중 S의 모든 원소보다 작은 최대의 원소 (최대 하계)를 말한다.

정의

상계와 하계 
원순서 집합 의 부분 집합 의 상계(上界, ) 는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.
 모든 에 대하여, 이다.
원순서 집합 의 부분 집합 의 하계(下界, ) 는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.
 모든 에 대하여, 이다.

상한과 하한 
원순서 집합 의 부분 집합 의 상한 는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.
 모든 에 대하여, 만약 가 의 상계라면, 이다.
원순서 집합 의 부분 집합 의 하한 는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.
 모든 에 대하여, 만약 가 의 하계라면, 이다.
즉, 어떤 집합의 상한은 그 상계들의 집합의 최소 원소이며, 하한은 그 하계들의 집합의 최대 원소이다.

모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 부분 순서 집합을 완비 격자라고 한다.

성질 
임의의 원순서 집합에서, 정의에 따라, 공집합 의 상한은 (만약 존재한다면) 의 최소 원소이며, 공집합 의 하한은 (만약 존재한다면) 의 최대 원소이다.

유일성 
원순서 집합의 최소 원소들은 서로 동치이며, 따라서 어떤 집합의 상한의 동치류는 (만약 존재한다면) 유일하다. 이는 하한도 마찬가지다.

만약 가 부분 순서 집합이라면, 최소 원소 및 최대 원소는 유일하며, 이 경우 어떤 집합의 상한 또는 하한은 만약 존재한다면 유일하다. 이 경우 집합 의 상한은  또는 로, 하한은  또는 로 쓴다.

존재 
부분 순서 집합의 부분 집합 가 최대 원소 를 갖는다면, 이 집합은 상한을 가지며, 이다. 마찬가지로, 만약 최소 원소가 존재한다면 하한이 존재하며, 최소 원소와 하한은 같다.

예 
실수의 전순서 집합에서, 모든 유계 집합은 상한과 하한을 갖는다. 반대로, 모든 유계 집합이 상한과 하한을 갖는 순서체는 실수체밖에 없다.

확장된 실수의 전순서 집합 의 경우, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다. 유계가 아닌 실수 집합의 상한·하한은 확장된 실수 집합으로서의 상한·하한을 말하는 것이다. 즉, 상계가 없는 실수 집합의 상한은 , 하계가 없는 실수 집합의 하한은 이다.

실수의 부분 집합으로서, 열린 구간 은 상한 을 갖지만, 최대 원소를 갖지 않는다.

외부 링크

같이 보기 
 유계 집합
 극대 원소와 극소 원소
 상한공리

순서론
실해석학