리 대수 값 미분 형식

기하학에서 리 대수 값 미분 형식(Lie代數값微分形式, )은 리 대수인 자명한 벡터 다발의 값의 미분 형식이다. 이 경우, 일반 벡터 값 미분 형식과 달리, 두 미분 형식에 대한, 쐐기곱과 리 괄호를 합성한 연산을 취할 수 있다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 유한 차원 실수 리 대수 
그렇다면, 자명한 벡터 다발 을 생각할 수 있다. 이 벡터 다발의 값을 갖는 미분 형식

을 값 미분 형식이라고 한다.

L∞-대수 값의 1차 미분 형식 
1차 미분 형식의 경우, 다음과 같이 L∞-대수에 대하여 일반화될 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 유한형 (즉, 각 차수별 차원이 유한한) 실수 L∞-대수 . 이는 물론 코쥘 쌍대성에 따라 가환 미분 등급 대수 로 여겨질 수 있다.

그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.
  위의 미분 형식들의 공간은 가환 미분 등급 대수 를 이룬다.
 의 베유 대수  역시 가환 미분 등급 대수를 이룬다.
그렇다면,  위의  값의 미분 형식은 미분 등급 대수의 준동형

이다.

만약 가 리 대수일 경우 (즉, 의 모든 등급이 0차일 경우, 또는 마찬가지로 의 생성원의 모든 등급이 1차일 경우), 이 정의는 값의 1차 미분 형식의 정의로 귀결된다.
설명:
구체적으로, 리 대수 의 기저가 라고 하고, 그 베유 대수 의 등급 1의 생성원이 , 등급 2의 생성원이 라고 하자. 즉, 다음과 같다.

그렇다면, 준동형

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
  값의 1차 미분 형식 
  값의 2차 미분 형식 
그런데, 후자는 전자로서 다음과 같이 결정된다.

즉, 이는 임의의  값의 1차 미분 형식 만으로 완전히 결정된다.

연산

리 괄호 
매끄러운 다양체  위의, 실수 리 대수  값의, 차 미분 형식 와 차 미분 형식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 리 괄호는 다음과 같은,  값의 차 미분 형식이다.

이에 따라,  위의  값의 미분 형식들은 실수 등급 대수를 이룬다.

준동형 
임의의 실수 리 대수의 준동형  및 값의 차 미분 형식 가 주어졌을 때,

로 정의하면, 는  위의  값의 차 미분 형식을 이룬다.

외부 링크 
 
 

리 대수
미분 형식