교차수

대수기하학에서 교차수(交叉數, )는 서로 다른 부분 대수다양체가 만나는 수를 중복도를 고려하여 센 것이다. 중복도를 적절히 고려해야지만 베주 정리 등이 성립하게 된다.

정의 
가 대수적으로 닫힌 체 에 대한 비특이 준사영 대수다양체라고 하며, 이라고 하고, 라고 하자. 가 의 개의 초곡면(여차원이 1인 부분 대수 다양체)들이며, 이들이  근처에서 국소 방정식

으로 정의된다고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
 . 즉, 이다.
 는 에서 특이점을 갖지 않는다.
 (일반 위치 조건 ) 

이 경우, 에서의 의 교차수는 다음과 같다.

여기서 는 의 구조층의 에서의 줄기인 국소환이며, 은 이들 다항식으로 생성되는 의 아이디얼이다. 이 아이디얼에 대한 몫환은 -벡터 공간을 이루며, 는 -벡터 공간으로서의 차원이다.

이제, 일반 위치에 있는 들의 교차수는 각 점에서의 교차수들의 합이다.

이는 유한함을 보일 수 있다.

효과적 인자들은 초곡면들의 형식적 선형 결합이므로, 일반 위치에 있는 효과적 인자의 교차수는 (일반 위치의) 초곡면들의 교차수를 선형으로 확대하여 정의한다. 임의의  인자는 두 효과적 인자의 차로 나타낼 수 있으므로, 일반 위치에 있는 인자들의 교차수는 효과적 인자의 교차수를 선형으로 확대하여 정의한다. 임의의 인자들의 집합은 저우 움직임 보조정리를 사용하여, 유리 동치인 일반 위치 인자로 대체할 수 있으므로, 이에 대하여 교차수를 정의할 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 

대수기하학