완비화 (환론)

환론에서 완비화(完備化, )는 형식적 멱급수를 취하는 연산의 일반화이며, 대략 어떤 양쪽 아이디얼을 형식적 변수처럼 생각하여 이에 대한 형식적 멱급수를 추가하는 연산이다.

정의 
(곱셈 항등원을 갖는) 환 와 그 양쪽 아이디얼 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 몫환들을 정의할 수 있다.

의, 에 대한 완비화 는 이 몫환들의 (환의 범주 에서의) 극한이다. (만약 가 가환환이라면, 이는 가환환의 범주 에서 생각하여도 좋다. 이는 이 의 반사 부분 범주이기 때문이다.) 구체적으로, 이는 다음과 같다.

이에 대하여 자연스러운 환 준동형

가 존재한다.

만약 표준적 환 준동형 가 동형 사상이라면, 가 -완비환()이라고 한다.

성질 
양쪽 아이디얼 에 대한 -완비환 에 대하여, 다음이 성립한다.
 
 의 임의의 멱등원 에 대하여, 가 되는 의 멱등원 가 존재한다.

예 
정수환 를 0이 아닌 소 아이디얼 에서 완비화하면 진 정수환 를 얻는다.

체 에 대한 다항식환 을 극대 아이디얼 에서 완비화하면 형식적 거듭제곱 급수환 을 얻는다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

환론