밂 (범주론)

범주론에서 밂()은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, 쌍대곱의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 올쌍대곱()이라고 불린다.

정의 
어떤 범주에서 대상  및 사상

이 주어졌을 때, 와 의 밂 는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상  및 사상 이다.

이는 범주론적 쌍대극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상  및 사상 , 에 대하여, 만약 라면 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 가 존재한다.

만약 이며 일 경우, 의 밂은 쌍대핵쌍(雙對核雙,)이라고 한다.

성질 
(유한) 쌍대곱과 쌍대동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 쌍대곱

이 주어졌을 때,

의 밂은

의 쌍대동등자이다. 반대로, 밂과 쌍대곱이 존재하는 범주에서는 쌍대동등자가 존재한다.

만약 가 끝 대상일 경우, 이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.

밂은 당김의 반대 개념이다. 즉, 범주 에서의 밂은 그 반대 범주 에서의 당김이며, 반대로 에서의 당김은 에서의 밂이다.

예

집합 
집합과 함수의 범주에서,

의 밂은 다음과 같은 몫집합이다.

대수적 범주 
대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우는 완비 범주이자 쌍대완비 범주이므로, 밂이 항상 존재한다. 이 경우, 두 대수 구조

의 밂은 와 의 쌍대곱에서, 에 존재하는 관계들에 대한 몫대수이다.

예를 들어, 군의 범주에서 밂은 융합된 자유곱()라고 불린다.

위상 공간 
위상 공간의 범주에서,

의 밂은 분리합집합 의 다음과 같은 몫공간이다.

특수한 경우로, 만약 가 한원소 공간일 경우 이는 쐐기합이라고 불린다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 쌍대곱
 당김 (범주론)

극한 (범주론)