칸 확대

범주론에서 칸 확대(Kan擴大, )는 어떤 함자의 정의역을 다른 정의역으로 바꾸는 "최적의" 방법이다. 왼쪽 칸 확대와 오른쪽 칸 확대 두 가지가 있다.

정의

대역적 칸 확대 
범주 ,  및 함자

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 와의 합성은 임의의 범주 에 대하여,  두 함자 범주 사이의 함자

를 정의한다. 만약 가 왼쪽 수반 함자

를 갖는다면, 임의의 함자 에 대하여 함자 를 의 에 대한 왼쪽 칸 확대()라고 한다. 왼쪽 칸 확대는 로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 에 대하여 자연 동형

이 존재한다.

마찬가지로, 만약 가 오른쪽 수반 함자

를 갖는다면, 임의의 함자 에 대하여 함자 를 의 에 대한 오른쪽 칸 확대()라고 한다. 오른쪽 칸 확대는 로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 에 대하여 자연 동형

이 존재한다.

국소 칸 확대 
위에서 정의된 함자  및 가 일반적으로 존재하지 않더라도, 특별한 함자 에 대하여  또는 가 존재할 수 있다.

이러한 국소 칸 확대()의 정의는 대역적 칸 확대의 정의를 국소화한 것이다. 즉, 의 에 대한 (국소) 왼쪽 칸 확대는 함자

및 자연 동형

으로 구성된다. 마찬가지로, 의 에 대한 (국소) 오른쪽 칸 확대는 함자

및 자연 동형

으로 구성된다.

예

극한 
이 하나의 대상 및 그 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 함자 에 대하여, 의 에 대한 오른쪽 칸 확대는 의 극한이며, 왼쪽 칸 확대는 의 쌍대극한이다.

수반 함자 
함자 의  왼쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자 의 에 대한 오른쪽 칸 확대 와 같다.

함자 의  오른쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자 의 에 대한 왼쪽 칸 확대 와 같다.

역사 
다니얼 칸이 1960년에 도입하였다. 손더스 매클레인은 칸 확대의 중요성에 대하여 다음과 같이 적었다.

참고 문헌

외부 링크 
 

수반 함자