그로텐디크-리만-로흐 정리

대수기하학에서 그로텐디크-리만-로흐 정리(定理, )는 히르체브루흐-리만-로흐 정리의 상대적인 일반화이다.

정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 체 
  위의 두 개의 준사영() 매끄러운 스킴  및 
 -스킴의 고유 사상 .
이 위에 다음과 같은 구조들을 정의하자.
  또는  위의 저우 환 , . 여기에 유리수 계수를 취하여 를 정의할 수 있다.
 저우 환 사이의 밂 사상 . 이는 귀진 사상의 일종이며, 올에 대한 적분에 해당한다. 유리수 계수의 경우에도 마찬가지로 귀진 사상 가 존재한다.
 토드 특성류 , . 이는 의 접다발의 천 특성류 의 성분들의 유리수 계수 선형 결합이다.
 천 지표 . (천 특성류는 정수 계수 저우 환에 정의되지만, 천 지표를 정의하려면 유리수가 필요하다.)
  또는  위의 연접층들의 범주 , 
  위의 연접층의 에 대한 상 . 이는 왼쪽 완전 함자이다.
  위의 연접층의 에 대한 상 의 오른쪽 유도 함자 .
  위의 연접층들의 그로텐디크 군 . 이는 K이론에서 0차 K군이다.
 그로텐디크 군에서도 연접층의 상(의 유도 함자)를 정의할 수 있다. 즉, .
 그로텐디크 군에서는 부호를 붙인 직합 를 정의할 수 있다.
정리하자면, 다음과 같은 사상이 존재한다.

그렇다면, 이 그림이 가환하는지 여부를 물을 수 있다. 일반적으로 왼쪽 정사각형은 가환하지 않지만, 큰 직사각형 전체는 가환 그림을 이룬다. 이를 그로텐디크-리만-로흐 정리라고 한다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.

역사 
알렉산더 그로텐디크가 1956년 경 장피에르 세르에게 보낸 편지에서 증명하였다. 그로텐디크는 1957년에 이 정리에 대하여 강의하였으나 출판하지 않았다. 장피에르 세르와 아르망 보렐은 그로텐디크의 증명을 정리하여 1958년에 출판하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 리만-로흐 정리
 히르체브루흐-리만-로흐 정리
 아티야-싱어 정리

대수기하학
베른하르트 리만
대수기하학 정리