다항식환

대수학에서 다항식환(多項式環, )은 어떤 주어진 환을 계수로 하는 다항식들로 구성된 환이다.

정의 
환 에 대한 다항식환 는 집합으로서

이다. 이 집합의 원소를 다항식이라고 한다. 각 원소 를

으로 쓰자. 이 집합에서 덧셈

은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우 -가군 구조가 존재한다.

또한, 에는 다음과 같은 환의 구조가 존재한다.

다변수 다항식환(多變數多項式環, ) 은 과 같다. 다변수 다항식환의 각 원소 는

로 표기한다.

성질

차수 

다항식 의 차수(次數, )는

이다. 다항식 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은  또는 을 사용한다).

보다 일반적으로, 다변수 다항식 의 차수는

이다.

다항식  (또는 다변수 다항식 )가 주어졌고, 편의상 라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.
 
 만약 라면, 
 
 만약 가 영역이라면,

근 
다항식 의 근(根, )은 을 만족시키는 환의 원소 를 뜻한다. 이 경우 를 만족시키는 최대의 정수 을 근 의 중복도(重復度, )라고 한다. 중복도가 1인 근을 단순근(單純根, )이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 다중근(多重根, )이라고 한다.

가환환 를 계수로 하는 다항식  및 환의 원소 가 주어졌다고 하자. 인수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 근이다.
 

가환환 를 계수로 하는 다항식 의 근 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 단순근이다.
 

표수 의 체 를 계수로 하는 다항식 의 근 의 중복도가 이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 만약 이라면, 에 대한 의 중복도는 이다.
 만약 이라면, 에 대한 의 중복도는  이상이다.
특히, 만약 이거나 이라면, 에 대한 의 중복도는

이다.

대수적으로 닫힌 체 를 계수로 하는 다항식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 다중근을 가진다.
 

대수적으로 닫힌 체 를 계수로 하는 기약 다항식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 다중근을 가진다.
 

체 를 계수로 하는 기약 다항식 가 주어졌고, 의 대수적 폐포가 라고 하자. 만약 의 표수가 0이거나, 가 유한체라면, 는 에서 다중근을 갖지 않는다 (즉, 는 분해 가능 다항식이다).

환론적 성질 
환 에 대하여,
 만약 가 가환환이라면,  역시 가환환이다.
 만약 가 영역이라면,  역시 영역이다.
 만약 가 정역이라면,  역시 정역이다.
 만약 가 유일 인수 분해 정역이라면,  역시 유일 인수 분해 정역이다.
 (힐베르트 기저 정리) 만약 가 가환 뇌터 환이라면,  역시 가환 뇌터 환이다.
 만약 가 체라면, 는 유클리드 정역이다.

영역 를 계수로 하는 다항식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 가역원이다.
 이며, 는 의 가역원이다.

보편 성질 
다항식환은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 가환환 ,  및 환 준동형  및 원소 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 환 준동형 가 존재한다.
 
 
특히, 다음 그림이 가환한다.

구체적으로,

이다.

같이 보기 
 비가환 다항식환

참고 문헌

외부 링크 
 

환론
가환대수학
대수