모멘트 문제

해석학에서, 모멘트 문제(moment問題, )는 어떤 값들이 분포의 모멘트가 될 수 있는지 및 모멘트로부터 분포를 재구성할 수 있는지 여부에 대한 문제이다.

정의 
어떤 측도 공간  위에, 일련의 적분 가능 함수들의 집합 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 모멘트 문제는 다음과 같은 일련의 문제들이다.
 (존재 문제) 임의의 수열 에 대하여, 인 가 존재하는가?
 (유일성 문제) 임의의 수열 에 대하여, 인 가 유일한가? 아니면, 이러한 의 공간이 어떤 모양인가?

고전적 모멘트 문제 
다음과 같은 특별한 모멘트 문제들은 이름이 붙어 있다.
 함부르거 모멘트 문제()는 이며 인 경우이다.
 스틸티어스 모멘트 문제()는 이며 인 경우이다.
 하우스도르프 모멘트 문제()는 이며 인 경우이다.

함부르거 문제 
함부르거 모멘트 문제의 해는 다음과 같다.

존재 문제의 경우, 수열 가 모멘트를 이룰 필요충분조건은 항켈 행렬의 열

가 모든 에 대하여 양의 준정부호이어야 한다는 것이다.

유일성 문제의 경우는 복잡하며, 칼레만 조건() 및 크레인 조건()이라는 충분 조건이 알려져 있다.

칼레만 조건에 따르면, 만약 모멘트 가

라면, 모멘트 에 대응하는 측도는 유일하다. 특히, 만약 짝수 차수 모멘트가

이라면, 모멘트에 대응하는 측도는 유일하다.

크레인 조건에 따르면, 만약 모멘트 를 갖는 함수 가

를 만족시킨다면, 모멘트 에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

스틸티어스 문제 
스틸티어스 모멘트 문제에서, 수열 가 주어졌을 때 행렬

을 정의하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 이 어떤 분포의 모멘트를 이룰 필요충분조건은 모든 에 대하여 이며 인 것이다.

유일성에 대하여, 여러 충분 조건이 존재한다. 함부르거 문제와 마찬가지로, 칼레만 조건에 따르면, 만약 모멘트 가

라면, 모멘트 에 대응하는 측도는 유일하다.

크레인 조건에 따르면, 만약 모멘트 를 갖는 함수 가

를 만족시킨다면, 모멘트 에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

하우스도르프 문제 
하우스도르프 모멘트 문제의 경우, 존재와 유일성은 다음과 같다.

수열 가 어떤 측도의 모멘트일 필요충분조건은 모든 에 대하여

인 것이다. 여기서 는 수열의 차 연산자

이다.

모멘트가 주어지면 스톤-바이어슈트라스 정리에 의하여 이에 대응하는 분포는 유일하다.

체비쇼프-마르코프-크레인 부등식 
체비쇼프-마르코프-크레인 부등식()은 모멘트가 알려져 있는 함수 또는 측도의 적분의 최솟값 및 최댓값을 제시하는 정리이다.

가 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하고, 가  위의 측도이며, 라고 하자. 가 임의의 유한 차원 실수 벡터 공간이라고 하자. 또한, 가 모든 에 대하여 인 함수 를 적어도 한 개 포함한다고 하자.

가

인 측도 들의 집합이라고 하자.

임의의 에 대하여, 체비쇼프-마르코프-크레인 부등식은

의 상한과 하한에 대한 부등식이다.

이 경우, 다음이 성립한다.

따라서, 의 상한·하한을 찾는 문제는

의 최솟값을 찾는 문제와 동치이다. 임의의 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 위 최솟값을 포화시키며, 모든 에 대하여 이다.
 다음 두 조건을 만족시키는  및 양의 실수 가 존재한다 ().
 
 
이러한 를 찾았을 때, 다음이 성립한다.

또한, 이 하한을 포화시키는 측도 는 다음과 같다.

여기서 는 에서의 디랙 델타 측도이다. 즉,

이다.

마찬가지로, 상한을 찾으려면 의 하한을 찾으면 된다.

구간 위의 모멘트 문제 
닫힌구간  위의 모멘트 문제를 생각하자. 만약 유한 차원 벡터 부분 공간 에 대하여, 임의의 에 대하여 가 개 미만의 영점들을 갖는다면, 를 체비쇼프 공간(, )이라고 하며, 그 기저를 체비쇼프 계(, )라고 한다.

 위의 체비쇼프 공간 가 주어졌다고 하자.  위의 유한 측도 가, 임의의 에 대하여 만약 이면 이라고 하자. 그렇다면, 에 대하여,

이며

인 꼴의 측도 가 정확히 두 개 존재하며, 두 개 가운데 하나는 를 갖는다. 이를 이라고 하며, 의 상·하 주표현()이라고 한다. 임의의  위의 유한 측도 에 대하여, 항상 다음과 같은 부등식이 성립한다.

즉, 상·하 주표현들은 체비쇼프 공간에 대한 모멘트 문제의 상·하한을 이룬다.

예 
실수선 위의 함수

를 생각하자. 이 함수의 모멘트는 모두 유한하다.

그러나 크레인 조건에 따라

이므로, 이 함부르거 모멘트 문제는 유일하지 않다. 반대로, 칼레만 조건을 적용한다면, 짝수 차수 모멘트들은

이므로, 칼레만 조건을 통해 유일성을 보일 수 없다.

참고 문헌

외부 링크 
 

해석학 (수학)
확률론
힐베르트 공간