덮개 (대수학)

호몰로지 대수학에서 덮개()는 주어진 대상의, 특정 조건을 만족시키는 "가장 가까운" 근사이며, 이는 동형 사상 아래 유일하다. 특히, 주어진 대상을 사영 대상으로 근사하는 사영 덮개()의 개념이 자주 사용된다. 그 쌍대 개념은 껍질()이며, 특히 주어진 대상을 단사 대상으로 근사하는 단사 껍질()의 개념이 자주 사용된다.

정의 
범주  속의 대상들의 모임 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대상 의 -덮개는 다음 세 조건들을 만족시키는 사상 이다.
 
 임의의 대상  및 사상 에 대하여, 항상 가 되는 사상 가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다.) 즉, 의 모든 원소는 -사영 대상이다.

 임의의 자기 사상 에 대하여, 만약 라면 는 자기 동형 사상이다.
만약 마지만 조건을 생략할 경우, 준덮개(準-, )의 개념을 얻는다.

그 쌍대 개념은 -껍질()이라고 한다.

특히, 다음과 같은 경우가 흔히 쓰인다.
 만약 가 사영 대상들의 모임일 경우, -덮개를 사영 덮개()라고 한다.
 만약 가 단사 대상들의 모임일 경우, -껍질을 단사 껍질()이라고 한다.
 만약 가 어떤 가군 범주이며, 가 평탄 가군들의 모임일 경우, -덮개를 평탄 덮개()라고 한다.
 만약 가 어떤 가군 범주이며, 가 꼬임 없는 가군들의 모임일 경우, -덮개를 꼬임 없는 덮개()라고 한다.

성질 
-덮개는 항상 동형 사상 아래 유일하다. (그러나 이 동형 사상은 유일하지 않을 수 있다.)
'''증명:
대상 의 두 -준덮개 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -준덮개의 성질에 의하여 이자 가 되는  및 가 존재한다.

만약 , 이 추가로 -덮개라면,  및 는 자기 동형 사상이며, 따라서 와  역시 동형 사상이다.

사영 대상을 충분히 가지는 범주 의 사영 대상  및 사상 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 사영 대상에 대한 덮개이다.
 는 잉여적 전사 사상이다.
증명:
덮개 → 잉여적 전사: 다음 두 조건을 증명하면 족하다.
 (a): 는 전사 사상이다.
 (b): 임의의 사상 에 대하여, 가 전사 사상이라면  역시 전사 사상이다.
(a): 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 사영 대상  및 전사 사상 를 찾을 수 있다. 그렇다면, 준덮개의 정의에 의하여 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 사상 를 찾을 수 있다.

가 전사 사상이므로, 전사 사상의 성질에 의하여  역시 전사 사상이다.

(b): 가 전사 사상이라고 하자. 사영 대상의 정의에 의하여, 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 가 존재한다.

덮개의 정의에 의하여, 는 자기 동형 사상이며, 따라서 는 전사 사상이다.

잉여적 전사 → 덮개: 사영 대상  및 잉여적 전사 사상 가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다.
 (a) 준덮개이다.
 (b) 덮개이다.
(a): 는 전사 사상이므로, 사영 대상의 정의에 의하여 자명하게 참이다.

(b): 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 자기 사상 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 가 전사 사상이므로 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여  역시 전사 사상이다. 공역이 사영 대상인 전사 사상은 항상 분할 전사 사상이므로, 는 오른쪽 역사상 , 를 가지며, 는 단사 사상이다.

그렇다면, 이므로, 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여  역시 전사 사상이다. 는 단사 사상이자 분할 전사 사상이므로 동형 사상이며, 따라서  역시 동형 사상이다.
마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 범주 의 단사 대상  및 사상 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 단사 대상에 대한 덮개이다.
 는 본질적 단사 사상이다.
특히, 환 에 대하여, -왼쪽 가군의 범주  또는 -오른쪽 가군의 범주 는 둘 다 사영 대상을 충분히 가지는 범주이자 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 위 두 정리가 성립한다.

존재 
단사 대상을 충분히 가지는 쌍대 완비 AB5 아벨 범주 의 모든 대상은 항상 단사 껍질을 갖는다. 마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 완비 AB5* 아벨 범주 의 모든 대상은 항상 사영 덮개를 갖는다.

환 가 주어졌다고 하자. -왼쪽 가군의 범주 의 임의의 대상 에 대하여, 다음이 성립한다.
 은 항상 단사 껍질을 갖는다.
 은 항상 평탄 덮개를 갖는다.
 만약 가 왼쪽 완전환이라면, 은 항상 사영 껍질을 갖는다. (그러나 임의의 환 위의 가군에 대하여, 사영 껍질은 일반적으로 존재하지 않을 수 있다.)
 은 항상 꼬임 없는 덮개를 갖는다. 여기서 꼬임 없는 왼쪽 가군 은 임의의 에 대하여 을 만족시키는 왼쪽 가군이다.

부자연성 
범주 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
 사영 대상을 충분히 가지는 범주이며, 모든 대상이 사영 덮개를 가진다.
 생성 대상을 갖는다.
 사영 대상이 아닌 대상이 존재한다.
그렇다면, 다음과 같은 조건들을 만족시키는 자기 함자  및 자연 변환 가 존재할 수 없다.
 임의의 대상 의 에 대한 상 는 사영 대상이다.
 의 모든 성분 는 사영 덮개를 이룬다.

특히, 임의의 환 에 대하여, 왼쪽 가군 범주 는 항상 쌍대 생성 대상을 가지므로 위 정리가 적용된다. 즉, 모든 왼쪽 가군이 단사 가군이거나, 아니면 단사 껍질은 자연 변환의 성분이 될 수 없다. 마찬가지로, 왼쪽 가군 범주 에서 는 생성 대상을 이룬다. 만약 추가로 가 왼쪽 완전환이라고 하면, 항상 사영 덮개가 존재하지만, 만약 사영 왼쪽 가군이 아닌 왼쪽 가군이 존재한다면, 위 정리에 따라서 사영 덮개는 자연 변환의 성분이 될 수 없다.

예 
자명한 경우로, 만약 범주 에서 대상 모임 가 주어졌을 때, 대상 의 -덮개의 개념은 를 공역으로 하는 동형 사상의 개념과 같으며, -껍질의 개념은 를 정의역으로 하는 동형 사상의 개념과 같다.

역사 
단사 껍질의 개념은 1953년에 베노 에크만()과 안드레아스 쇼프()가 도입하였고, 같은 논문에서 이들은 모든 가군이 유일한 단사 껍질을 가짐을 증명하였다. "단사 껍질"()이라는 용어는 1958년에 최초로 사용되었다.
그 쌍대 개념인 사영 덮개의 개념은 1960년에 하이먼 배스가 도입하였다.
꼬임 없는 덮개의 개념은 1963년에 에드거 얼 이넉스()가 도입하였다.

일반적인 범주에서의 덮개의 개념은 이넉스가 1981년 논문에서 도입하였다. 이 논문에서 이넉스는 모든 가군이 평탄 덮개를 가진다고 추측하였고, 이 추측은 2001년에 증명되었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

호몰로지 대수학
범주론
가군론