쉼표 범주

범주론에서 쉼표 범주(-標範疇, )는 같은 공역을 갖는 두 함자로부터 정의되고, 함자들의 공역의 사상들을 대상으로 하는 범주이다.

정의 
범주 , ,  및 함자

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 쉼표 범주 는 다음과 같은 범주이다.
 의 대상은 다음과 같은 튜플 이다.
 , 는 각각  또는 의 대상이다.
 는  속의 사상이다.
 의 사상 은 다음과 같은 순서쌍이다.
 이며 이며, 또한 이다.
 의 사상의 합성은 이다.
 의 항등 사상은 이다.

화살표 범주 
화살표 범주()는 이며 인 경우이다. 이 경우는 라고 쓰며,  의 대상은 의 사상이며,  의 사상은 의 가환 사각형들이다.

조각 범주 
이 자명군에 대응하는, 하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주이며, 가 의 유일한 대상을 로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 쉼표 범주

를 에 대한 조각 범주()라고 한다. 반대로, 두 함자의 순서를 바꾼 쉼표 범주

를 에 대한 쌍대 조각 범주()라고 한다.

예 
 이 한원소 집합이라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 는 점을 가진 집합의 범주이다. 마찬가지로, 은 점을 가진 공간의 범주이다. 이들은 대수적 위상수학에서 쓰인다.
  대수기하학에서 는 체의 아핀 공간 에 대한 스킴들의 조각 범주이다. 보다 일반적으로, 스킴 에 대하여, 는 -스킴들의 범주이다.
 함자 가 라고 하자. 그렇다면 는 (스스로로 가는 변을 허용하는) 유향 그래프의 범주이다. 이 경우, 대상은 의 꼴인데 는 변의 집합, 는 꼭짓점의 집합, 함수 는 각 변을 양 끝점의 순서쌍으로 대응시키는 함수이다.
 무향 그래프의 범주를 얻으려면, 를 로 치환하면 된다.
 시작점과 끝점이 같은 변을 허용하지 않으려면, 를 로 치환하면 된다.
 이 가환환의 범주라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 은 에 대한 가환 대수의 범주 와 동치이다.
 가 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자라고 하고, 가 의 유일한 대상을 집합 로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 의 대상은 에서 군 로 가는 함수 이며, 의 사상은 군 준동형과 일대일 대응된다. 이 경우, 의 시작 대상은 로 생성되는 자유군이다.

역사와 어원 
프랜시스 윌리엄 로비어가 1963년 박사 학위 논문에서 도입하였다. 원래 쉼표 범주의 표기법이 쉼표를 사용하여 였기 때문에 ‘쉼표 범주’라고 불렸다. 오늘날 이 표기법은 더 이상 쓰이지 않지만, ‘쉼표 범주’라는 이름만은 그대로 쓰이고 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

범주론