경계다양체

미분기하학에서 경계다양체(境界多樣體, )는 국소적으로 유클리드 공간 또는 유클리드 반(半)공간에 위상 동형인 위상 공간이다. 다양체의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 "경계"를 가질 수 있다.

일부 문헌에서는 경계다양체의 개념을 단순히 "다양체"로 부르고, 다양체의 개념을 "경계 없는 다양체"로 부른다.

정의 
임의의 자연수 에 대하여, 유클리드 공간  및 유클리드 반(半)공간 을 정의할 수 있다.

임의의 양의 정수 에 대하여, 차원 경계다양체()는 다음 조건을 만족시키는 하우스도르프 파라콤팩트 공간 이다.
 임의의 에 대하여, 의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방 가 존재한다.

차원 경계다양체 의 경계(境界, ) 는 다음 조건을 만족시키는 점들로 구성되는 부분 집합이다.
 임의의 에 대하여, 의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방 이 존재하지 않는다.
이에 따라, 는 차원 다양체를 이루며, 는 차원 다양체를 이룬다.

매끄러운 경계다양체 
차원 경계다양체  위의 국소 좌표계()는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 열린집합들의 족 
 각 에 대하여, 단사 연속 함수 . 또한, 는 와  사이의 위상 동형을 정의한다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 는 매끄러운 함수이다.
국소 좌표계가 주어진 경계다양체를 매끄러운 경계다양체()라고 한다. 서로 호환되는 두 국소 좌표계는 같은 매끄러운 경계다양체를 정의한다.

이중 다양체 
임의의 차원 경계다양체 가 주어졌을 때, 분리합집합

에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

그렇다면, 몫공간

은 항상 차원 다양체를 이루며, 자연스러운 사상

이 존재한다. 이 경우, 를 의 이중 다양체(二重多樣體, )이라고 한다.

만약 가 매끄러운 경계다양체라면, 그 이중 다양체는 항상 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다.

성질 
다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
다양체 ⇒ 경계다양체 ⇒ 오비폴드
즉, 모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 경계다양체는 오비폴드이다. 이름과 달리 다양체가 아닌 경계다양체가 존재한다.

예 
모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 매끄러운 다양체는 매끄러운 경계다양체이다.

유클리드 공간  속의 닫힌 공

은 자연스럽게 차원 매끄러운 경계다양체를 이루며, 그 경계는 차원 초구이다. 이는 다양체를 이루지 않는다.

특히, 일 때, 닫힌구간은 항상 경계다양체를 이룬다. 닫힌구간 의 경계는 양끝점 이다.

외부 링크 
 
 
 

미분기하학