푸앵카레-벤딕손 정리

동적계 이론에서 푸앵카레-벤딕손 정리()는 2차원 평면 위의 연속 시간 동적계에서는 혼돈이 일어나지 않는다는 정리이다.

정의 
가 평면 속의 열린집합이라고 하자.  위의 2차원 연속 시간 동역학계

가  함수라고 하자.

의 궤도() 는 다음과 같다.

의 ω+-극한 집합() 은 다음과 같다.

의 ω−-극한 집합() 은 다음과 같다.

가 다음 네 조건들을 만족시킨다고 하자.
 
 는 콤팩트 집합이다.
 는 연결 공간이다.
 에 속하는 고정점은 유한 개이다.
그렇다면, 푸앵카레-벤딕손 정리에 따르면 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
 는 고정점이다.
 는 (양의 주기를 갖는) 주기적 궤도이다. 즉, 인 가 존재한다.
 는 유한 개의 고정점 과 비주기 궤도 들로 구성되며, 모든  및 에 대하여, 가 되는 가 존재한다. 즉, 각 는 에서 로 가는 궤도이다.

에 대해서도 마찬가지 정리가 성립한다.

1차원 푸앵카레-벤딕손 정리 
푸앵카레-벤딕손 정리는 1차원에서도 (자명하게) 성립한다. 즉, 의 열린집합 위에서의 연속 시간  동역학계에서, 공집합이 아닌, 유한 개의 고정점을 포함하는 콤팩트 연결 -극한 집합은 다음 두 가지 가운데 하나이다.
 은 고정점이다.
 에서, 과 은 고정점이며, 인 가 존재한다.
이는 "1차원 벡터장"(=실수 함수)의 중간값 정리의 보조 정리이다.

예 
푸앵카레-벤딕손 정리는 평면의 부분 집합에서만 성립한다. 예를 들어, 원환면 위에서는 콤팩트 조밀 비주기 궤도가 존재할 수 있다. 이 경우, -극한 집합은 원환면 전체가 된다.

푸앵카레-벤딕손 정리는 3차원 이상에서 성립하지 않는다. 3차원 이상에서는 로렌즈 방정식과 같이 야릇한 끌개가 존재할 수 있다.

푸앵카레-벤딕손 정리는 이산 시간 동적계에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 로지스틱 사상은 혼돈 현상을 보이지만, 1차원 계이다.

역사 
앙리 푸앵카레 가 1880년대에 제시하였지만, 엄밀한 증명을 제시하지 않았다. 이후 1901년에  이바르 오토 벤딕손()이 엄밀한 증명을 제시하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

동역학계