사원수 벡터 공간

선형대수학에서 사원수 벡터 공간()는 사원수 대수  위의 가군이다.

정의 
사원수 벡터 공간은 환론에서의 가군의 개념으로 직접적으로 정의할 수도 있고, 대신 추가 구조를 갖춘 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 정의할 수도 있다. 이 세 가지 정의는 서로 동치이다.

사원수 대수의 가군 
사원수 대수 는 노름을 갖춘 나눗셈환이며, 따라서 그 위의 가군들은 모두 자유 가군이다. 또한, 는 비가환환이지만 사원수 켤레 연산

아래 스스로의 반대환과 표준적으로 동형이다.

따라서,  위의 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 표준적으로 일대일 대응하며, 왼쪽 · 오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.

사원수 대수  위의 (자유) 가군을 사원수 벡터 공간이라고 한다.

복소수 벡터 공간 위의 사원수 구조 
 차원 복소수 벡터 공간  위의 사원수 구조는 다음 조건을 만족시키는 -반선형 변환 이다.

사원수 구조를 갖춘  차원 복소수 벡터 공간을  차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다.

실수 벡터 공간 위의 사원수 구조 
 차원 실수 벡터 공간  위의 사원수 구조 는 다음 조건을 만족시키는, 세 개의 -선형 변환

로 구성된다.

즉, 는 을 보존하는 군 준동형

를 정의한다. 여기서 는 사원수군이다.

사원수 구조를 갖춘  차원 실수 벡터 공간을  차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다.

사원수 선형 변환 
사원수 벡터 공간 가 주어졌을 때,  위의 사원수 선형 변환 는  위의 가군으로서의 준동형이다. 이들은 사원수 일반 선형군 를 이루며, 가 유한 차원일 경우 그 원소는 사원수 행렬들로 생각할 수 있다.

사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조 
차원 복소수 벡터 공간  위의 실수 구조는 인 반선형 변환 에 의하여 주어진다. 이 경우 는 각 성분의 복소수 켤레 연산에 해당한다. 마찬가지로, 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조()는 인 반선형 변환으로서 주어진다.

예 
복소수 벡터 공간 가 주어졌을 때, 는 다음과 같은 자연스러운 사원수 구조를 가진다.

이 함수가 -반선형이라는 것은 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

이 경우, 나머지 두 복소수 구조는 구체적으로 다음과 같다.

그렇다면

임을 쉽게 확인할 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

선형대수학
가군론
사원수