내적 범주

범주론에서 내적 범주(內的範疇, )는 작은 범주의 정의에서 사용되는 집합의 범주를 대체하여, 임의의 범주 속에서 범주처럼 작동하는 구조이다. 작은 범주의 개념의 일반화이다.

정의 
범주 가 유한 곱 및 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면,  속의 내적 범주() 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 는 의 대상이다. 이는 범주 대상의 대상들의 "모임"이다.
 는 의 대상이다. 이는 범주 대상의 사상들의 "모임"이다.
 은 의 사상이다. 이는 항등 사상을 나타낸다.
 는 의 사상이다. 이는 사상의 정의역을 나타낸다.
 는 의 사상이다. 이는 사상의 공역을 나타낸다.
 이 의 당김이라면, 은 의 사상이다. 이는 사상의 합성을 나타낸다.
이 데이터는 다음과 같은 조건들을 만족시켜야 한다.
 (항등 사상의 정의역과 공역) . 즉, 다음 그림이 가환한다.

 (합성 사상의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.

 (합성의 결합 법칙) 다음 그림이 가환한다.

 (항등원의 흡수 법칙) 다음 그림이 가환한다.

내적 준군 
유한 곱과 당김을 갖는 범주  속의 내적 준군() 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 는 내적 범주를 이룬다.
 은 사상이다. 이는 사상의 역원을 나타낸다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 (역원의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.

 (역원의 존재) 다음 그림이 가환한다.

예 
집합과 함수의 범주  속의 내적 범주는 작은 범주이다.

군과 군 준동형의 범주  속의 내적 범주는 작은 범주의 범주  속의 군 대상과 사실상 같으며, 교차 가군()이라고 불린다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 군 대상

범주론