2차원 실수 특수선형군

2차원 실수 특수선형군(二次元實數特殊線型群, ) 는 수학과 물리학에 자주 등장하는 3차원 리 군이다. 2×2 행렬군으로, 또는 실수 선형 분수 변환군으로, 또는 3차원 민코프스키 공간의 로런츠 군으로 여길 수 있다.

정의 
다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.
 2×2 실수 특수선형군 
 2×2 실수 심플렉틱 군 
 부정부호 특수 유니터리 군 
 분할 사원수 대수() 에서, 절댓값을 로 정의하면, 단위 분할 사원수들의 곱셈군
 3차원 스핀 군 

다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.
 2×2 실수 사영 특수선형군 . 이는 에서, 중심 에 대한 몫군이다.
 복소수 단위 원판 의 등각 자기 동형군 
 뫼비우스 변환  가운데, 복소수 상반평면 을 보존하는 부분군
 실수 사영 직선 의 방향 보존 사영 변환군
 3차원 로런츠 군의 연결 성분

실수 사영 직선 위의 작용 
는 실수 사영 직선  위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다.

상반평면 위의 작용 
는 복소수 상반평면  위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다.

이를 상반평면의 경계인 실수축에 국한하면, 실수 사영 직선 위의 작용을 얻는다.

딸림표현 
는 3차원 리 군이며, 따라서  위에 딸림표현을 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

이는 단사 함수이다.

의 킬링 형식의 부호수는 (2,1)이며, 따라서 이는 와 로런츠 군  사이의 동형을 정의한다.

성질

켤레류 
의 임의의 원소 는 다음 원소들 가운데 정확히 하나와 켤레 원소이다.
 인 경우: , . 이러한 경우를 타원형 원소(楕圓型元素, )라고 한다.
 인 경우: , . 이러한 경우를 포물선형 원소(抛物線型元素, )라고 한다.
 인 경우: ,. 이러한 경우를 쌍곡선형 원소(雙曲線型元素, )라고 한다.

대수학적 성질 
는 비가산 군이며, 아벨 군이 아니다.

의 중심은 이며, 이에 대한 몫군 는 단순군이다. 의 이산 부분군은 푹스 군이라고 하며, 모듈러 군 이 대표적인 예이다.

원군 는 의 극대 콤팩트 부분군이다. 마찬가지로, 이보다 두 겹 더 큰 원군은 의 극대 콤팩트 부분군이다.

위상수학적 성질 
와 는 둘 다 연결 3차원 매끄러운 다양체이며, 콤팩트 공간이 아니다.

위상수학적으로, 는 상반평면 의 접다발  속의 단위 벡터로 구성되는 원다발의 전체 공간과 위상동형이다. 는 이 원다발의 두 겹 피복 공간이며, 일종의 스피너 다발로 생각할 수 있다.

는 축약 가능 공간이며, 따라서 와 는 원 과 호모토피 동치이다. 즉, 그 호모토피 군은 다음과 같다.

범피복 공간 에 왼쪽 곱셈 불변 리만 계량을 부여한다면, 이는 기하화 추측에 등장하는 8개의 기하 가운데 하나를 이룬다.

표현론

유한 차원 표현 
의 유한 차원 표현론은 의 유한 차원 표현론과 동형이다. 즉, 각 음이 아닌 정수 에 대하여 차원 기약 표현이 존재한다. 이 표현들은 (인 자명 표현을 제외하면) 모두 유니터리 표현이 아니다.

무한 차원 표현 
의 무한 차원 표현론은 의 경우와 전혀 다르다. 의 무한 차원 기약 허용 표현()은 완전히 분류되었고, 다음과 같다.
 모든 0이 아닌 정수 에 대하여, 이산열 표현(離散列表現, ) 
 이산열 표현의 극한 , 
 주열 표현(主列表現, ) , , , . 는 와 동형이다.
이들 가운데 유니터리 표현인 것은 다음과 같다.
 모든 이산열 표현  및 극한 
 주열 표현 , 
 주열 표현 ,

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 뫼비우스 변환
 모듈러 군
 푹스 군
 3차원 직교군

리 군