코언-매콜리 환

가환대수학과 대수기하학에서 코언-매콜리 환(Cohen-Macaulay環, )은 국소적으로 어느 곳에서나 차원이 동일한 아핀 스킴의 개념을 형식화한 개념이다.

정의

코언-매콜리 가군과 코언-매콜리 국소환 
뇌터 국소 가환환  위의 유한 생성 가군 에 대하여, 항상 다음이 성립한다.
이다.
여기서 는 깊이이며, 은 크룰 차원이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, 을 코언-매콜리 가군()이라고 한다.

임의의 뇌터 국소 가환환 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환()이라고 한다.
  스스로 위의 가군으로서 코언-매콜리 가군인 뇌터 국소 가환환이다. 즉, 이다.
 모든 매개계가 정칙열이다.
 적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다.
여기서 는 깊이이며, 는 아이디얼의 높이이며, 은 크룰 차원이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, 를 코언-매콜리 국소환이라고 한다.

코언-매콜리 환과 코언-매콜리 스킴 
뇌터 가환환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 코언-매콜리 환이라고 한다.
 모든 극대 아이디얼 에 대하여, 국소화 은 코언-매콜리 국소환이다.
 모든 소 아이디얼 에 대하여, 국소화 는 코언-매콜리 국소환이다.
 임의의 아이디얼  및 의 연관 소 아이디얼 에 대하여, 의 여차원(높이)과 의 여차원이 같다. 즉, 이다.

마지막 조건은 차원이 국소적으로 일정하다는 조건의 매우 강한 형태이다. 즉, 아이디얼 는 의 닫힌 부분 스킴 을 정의한다. 이는 으뜸 분해로 인하여 기약 성분들로 분해되며, 각 성분은 연관 소 아이디얼 에 대응한다. 따라서, 위 조건은 임의의 닫힌 부분 스킴에 대하여, 그 기약 성분들의 차원이 모두 같음을 뜻한다.

마찬가지로, 국소 뇌터 스킴 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 뇌터 스킴을 코언-매콜리 스킴이라고 한다.
 임의의 점 에 대하여, 구조층의 줄기 가 코언-매콜리 국소환이다.
 임의의 점 에 대하여, 구조층의 줄기 가 코언-매콜리 국소환이다.

성질

함의 관계 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
정칙환 ⊊ 완비교차환() ⊊ 고런스틴 환 ⊊ 코언-매콜리 환

특히, 모든 정칙 스킴은 코언-매콜리 스킴이다.

코언-매콜리 환이 될 충분 조건으로는 다음이 있다.
 모든 정칙환은 코언-매콜리 환이다. 특히, 모든 체나, 함수체  등은 정칙 국소환이므로 코언-매콜리 환이다.
 모든 아르틴 환은 코언-매콜리 환이다.
 모든 크룰 차원이 1인 뇌터 축소환은 코언-매콜리 환이다.
 모든 고런스틴 환은 코언-매콜리 환이다.

연산에 대한 닫힘 
뇌터 가환환 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 코언-매콜리 환이다.
 다항식환 는 코언-매콜리 환이다.
뇌터 국소환 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 코언-매콜리 국소환이다.
 에 대응하는 완비 국소환은 코언-매콜리 국소환이다.

코언-매콜리 조건의 필요 충분 조건 
다음이 주어졌다고 하자.
 정칙 국소환 
 국소 가환환 
 단사 환 준동형 . 이에 따라서, 가 -유한 생성 가군이라고 하자.
그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 가 코언-매콜리 국소환이다.
 가 -평탄 가군이다.
 가 -자유 가군이다.
이 사실을 히로나카 기적적 평탄성()이라고 한다.

예

고런스틴 환이 아닌 코언-매콜리 환 
체 에 대하여, 다항식환 의 부분환 를 생각하자. 이는 코언-매콜리 환이지만 고런스틴 환이 아니다. 구체적으로, 극대 아이디얼 에서의 국소화는 고런스틴 국소환이 아닌 코언-매콜리 국소환이다.

코언-매콜리 환이 아닌 환 
체 에 대하여 가환환

를 생각하자. 기하학적으로, 이므로, 이는 ‘두꺼운’ 원점 을 갖는 직선 이다. 원점에서 0차원과 1차원의 공존으로 인해 이는 코언-매콜리 환이 될 수 없다. (반면, ‘두꺼운 점’만이 존재하는 경우인 는 코언-매콜리 환이다.)

구체적으로, 원점에 해당하는 극대 아이디얼 에서의 국소 가환환 을 취하자. 이 경우, 에 속하는 임의의 원소 에 대하여, 이므로, 의 극대 아이디얼에 포함되는 모든 원소는 영인자이며, 특히 극대 아이디얼에 포함되는 모든 정칙렬의 길이는 0이다. 따라서 의, 에서의 깊이는 0이다. 그러나 

이므로 의 크룰 차원(의 높이)은 1이다.

따라서 은 코언-매콜리 국소환이 아니며, 는 코언-매콜리 환이 아니다.

차원이 일정하지만 코언-매콜리 환이 아닌 환 
체 에 대하여,

를 생각하자. 기하학적으로, 이는 4차원 아핀 공간 속의,  평면과  평면의 합집합이다. 이 환은 어디서나 같은 차원(즉, 2차원)을 갖는다 (즉, 극대 아이디얼의 국소 가환환의 크룰 차원이 항상 2이다). 그러나 이는 (원점에서) 코언-매콜리 환이 아니다.

역사 
프랜시스 소어비 매콜리()는 1916년에 다항식환이 (현대적인 용어로) 코언-매콜리 환임을 증명하였고, 어빈 솔 코언은 1946년에 형식적 멱급수환도 마찬가지 성질을 가짐을 보였다. 이후 매콜리와 코언의 이름을 따서 이름붙여졌다.

코언-매콜리 환의 개념에 대하여 멜빈 혹스터()는 다음과 같이 적었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

가환대수학