점근적 평탄 다양체

리만 기하학과 일반 상대성 이론에서 점근적 평탄 다양체(漸近的平坦多樣體, )는 어떤 콤팩트 집합("중심")을 제외하면, 유클리드 공간에 점근적으로 근접하는 리만 계량을 갖는 조각들("끝")로 구성된 리만 다양체이다.

정의 
차원 리만 다양체 가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수 가 주어졌다고 하자.
의 점근적 평탄 끝() 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 의 차원 부분 다양체 
 미분 동형 사상 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

여기서

이다. 위 조건을 지표 표기법으로 줄여 쓰면 다음과 같다.

차원 리만 다양체 와 그 유한 개의 점근적 평탄 끝 이 주어졌으며, 만약

이 콤팩트 공간이라면, 을 점근적 평탄 다양체()라고 한다. 이 경우, 위의 의 최솟값을 의 끝의 수()라고 한다.

로런츠 다양체의 경우 
위 조건은 리만 다양체를 마치 공간처럼 여겨 정의한 개념이다. 마찬가지로, 로런츠 다양체를 시공간으로 여겨 비슷한 조건을 정의할 수 있다.

 로런츠 다양체 가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수 가 주어졌다고 하자.

의 점근적 평탄 끝() 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 의 차원 공간형 부분 다양체  (즉, 는 리만 계량을 이룬다)
 미분 동형 사상 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

여기서

이며, 는 의 제2 기본 형식이다. (이는 의 단면인데, 법다발 은 의 로런츠 계량 로 인하여 표준적으로 단위 벡터 단면을 잡을 수 있다.)

진공 아인슈타인 방정식의 해의 경우, 이라면  항상 로 잡을 수 있다.

예 
콤팩트 리만 다양체는 자명하게 0개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다. 유클리드 공간은 자명하게 하나의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.

원점을 제외한 유클리드 공간  위에 다음과 같은 리만 계량을 주자.

좌표 변환

를 가하면 이는

가 되므로, 이는 에서

이다. 따라서, 이는 두 개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.

4차원 이상의 시공간에서, 슈바르츠실트 계량은 (질량 중심 틀에서  조각을 생각한다면) 점근적 평탄 다양체를 이룬다.

참고 문헌

같이 보기 
 아인슈타인 방정식

일반 상대성이론
리만 기하학