주접속

미분기하학에서 주접속(主接續, )은 주다발 위에 정의되며, 그 군 작용과 호환되는 에레스만 접속이다. 이를 통해, 주다발 위에 평행 이동과 곡률을 정의할 수 있다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 리 군 . 그 실수 리 대수를 라 하자.
 매끄러운 주다발 
 위의 주접속의 개념은 여러 가지로 정의할 수 있다.
 주접속은 특정한 두 조건을 만족시키는, 리 대수  값의 1차 미분 형식 으로 정의할 수 있다.
 주접속은 특정한 호환 조건을 만족시키는 에레스만 접속 으로 정의할 수 있다.
 주접속은  위의 특정한 올다발의 특정한 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다.
 주접속은 주다발의 국소 자명화에 대하여 각 조각 위의  값의 1차 미분 형식들의 족으로 정의할 수 있다.
이 정의들은 모두 서로 동치이다.

미분 형식을 통한 정의 
의 주접속 는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는,  위의 값을 가진 1차 미분 형식이다.

여기서
 는 군의 오른쪽 작용을 나타내는 매끄러운 함수 이다.
 는 1차 미분 형식 의, 에 대한 당김이다.
 는 의 딸림표현이다.
 는 의,  위의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

에레스만 접속을 통한 정의 
의 에레스만 접속 가 다음 조건을 만족시킨다면, 를 주접속이라고 한다.

여기서
 는 의  위의 오른쪽 작용이다.
 는 위 매끄러운 함수의 미분이다.

미분 형식을 통한 정의에 따른 주접속 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 에레스만 접속은 다음과 같다. 우선, 임의의 에 대하여, 의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을

로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, 의 상은 의 수직 벡터 다발 과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상

를 정의한다. (좌변은 올이 인 자명한 벡터 다발이다.) 따라서, 를 의 단면으로 여길 수 있으며, 는 벡터 다발 사상

를 정의한다. 이는 멱등 함수이며 (), 따라서 그 핵으로 완전히 명시된다. 그 핵 은 에레스만 접속이다.

벡터 다발을 통한 정의 
딸림표현의 연관 벡터 다발

을 생각하자. 또한, 는 접다발  위에 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 따라 몫공간 를 정의할 수 있다. 그 차원은 이며, 또한
 벡터장의 밂 는 매끄러운 올다발을 이룬다. (그러나 이는 일반적으로 벡터 다발이 아니다.)
 은 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.
올다발 을 주접속 다발()이라고 한다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

이는 다음과 같은 표준적인  위의 매끄러운 벡터 다발들의 짧은 완전열을 이룬다.

는 이 열 위에 작용하며, 와 는 의 작용 아래 불변이다.

이 경우, 의 주접속은 위 짧은 완전열의 분할이다. 즉, 아벨 범주의 분할 보조정리에 따라, 다음과 같은 두 데이터가 서로 동치이며, 이는 주접속의 데이터와 같다.
  의 왼쪽 역사상인 -매끄러운 벡터 다발 사상 
 의 오른쪽 역사상인 -매끄러운 벡터 다발 사상 

짧은 완전열의 성질에 따라, 두 주접속의 차는 매끄러운 벡터 다발 사상 를 정의하며, 이는 벡터 값 미분 형식

의 원소와 같다. 즉, 주접속의 모듈라이 공간은 이 실수 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.

국소 자명화를 통한 정의 
를 자명화할 수 있게 충분히 섬세한 임의의 의 열린 덮개 를 골랐다고 하자. 그렇다면, 의 주접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 에 대하여, 리 대수 값 1차 미분 형식 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 어떤 매끄러운 함수 에 대하여, 다음이 성립해야 한다.

여기서
 는 리 군에 대응되는 실수 리 대수이다.
 는 리 군의, 스스로의 리 대수 위의 딸림표현이다.

같은 열린 덮개  위에 정의된 두 주접속 , 에 대하여, 만약 어떤 매끄러운 함수들의 족

에 대하여

라면, 와 을 같은 주접속으로 간주한다.

이러한 정의는 이론물리학에서 자주 쓰이며, 물리학에서 위와 같은 동치 관계를 게이지 변환이라고 한다.

이 정의는 다른 정의들과 동치이다. 구체적으로, 주접속을  위에 정의된 1차 미분 형식 으로 정의하였다고 하자. 이 경우, 열린 덮개 에 대한 국소 자명화는 각 에 대한 매끄러운 단면 으로 주어진다. 이 경우,

로 놓으면 국소 자명화를 통한 정의를 얻는다. 이 과정에서, 만약 사용한 자명화를

와 같이 바꾸면

가 되어, 같은 주접속을 얻는다.

성질

곡률 
주접속 의 곡률(曲率, ) 는 다음과 같다.

여기서 는 리 괄호와 외적을 결합한 연산으로, 와 같이 정의한다.

곡률은 벡터 값 미분 형식

를 정의하며, 이 데이터는 곡률의 개념과 동치이다.

곡률이 0인 주접속을 평탄 주접속이라고 한다.

분류

게이지 변환 

다음과 같은 연관 다발 를 생각하자.

이는 의, 스스로 위의 켤레 작용

에 대한, 의 연관 다발이다. 

의 매끄러운 단면들의 공간은 마찬가지로 다음과 같은 매끄러운 함수의 공간으로 여겨질 수 있다.

는 점별 곱셈을 통해 위상군을 이루며, 그 원소를 게이지 변환이라고 한다.

주접속의 모듈러스 공간 
또한, 다음과 같은, 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발을 생각하자.

그 매끄러운 단면의 벡터 공간은 게이지 변환군 에 대응하는 리 대수이다.

그렇다면, -주다발  위의 주접속의 모듈라이 공간 는 다음과 같은 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.

게이지 변환군 는  위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

예

자명한 주다발 
만약 가 자명한 주다발일 경우, 는 자명한 벡터 다발이며, 또한 표준적인 자명한 주접속 이 존재한다. 따라서, 이 경우 주접속의 모듈러스 공간은 리 대수 값 미분 형식의 실수 벡터 공간 를 이루며, 주접속을 단순히 리 대수 값 미분 형식으로 간주할 수 있다.

한원소 공간 위의 주접속 
만약 이 한원소 공간이라고 하자. 이 경우,
 주다발 은 -토서(, 군에서 원점을 망각한 구조)이다.
 표준적으로 이다.
 는  위의, -오른쪽 군 작용에 대하여 불변인 벡터장들의 실수 벡터 공간이며, 이 역시 와 표준적으로 대응한다. (리 대수의 원소는 이에 대한 군 작용으로서 불변 벡터장을 정의하며, 이는 전단사 함수를 이룬다.)
따라서, 이 경우 주접속이 유일하게 존재하며, 주접속 자체가 게이지 불변이다.  위의 1차 미분 형식으로서, 이는 마우러-카르탕 형식이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

올다발
미분기하학