표현 가능 함자

범주론에서 표현 가능 함자(表現可能函子, )는 어떤 요네다 함자와 자연 동형인 함자이다.

정의 
국소적으로 작은 범주 에서 집합의 범주로 가는 함자 의 표현 은 다음과 같은 순서쌍이다.
 는 의 대상이다.
 는 자연 동형이다.
표현 가능 함자는 적어도 하나의 표현이 존재하는 함자이다.

국소적으로 작은 범주 에서 집합의 범주로 가는 함자 의 보편 원소 는 다음과 같은 순서쌍이다.
 는 의 대상이다.
 는 다음 조건을 만족시키는 원소이다.
 임의의  및 에 대하여, 인 유일한 사상 가 존재한다.
함자의 표현들은 그 보편 원소와 일대일 대응한다. 표현 에 대응하는 보편 원소 는 다음과 같다.

반대로, 보편 원소 에 대응하는 표현 는 다음과 같다.

성질 
주어진 함자의 표현들은 (만약 존재한다면) 모두 서로 표준적으로 동형이다. 즉, 의 두 개의 표현 , 에 대하여,

인 유일한 가 존재한다.

예 
가 집합을 그 멱집합으로 대응시키고, 함수를 그 역함수 로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 은 보편 원소를 이룬다.

대수 구조 다양체의 범주 의 경우, 항상 망각 함자  및 그 수반 함자인 자유 함자 가 존재한다. 이 경우, 보편 원소는 이 된다. 여기서 은 크기가 1인 임의의 집합이다.

위상 공간의 범주 의 망각 함자 의 보편 원소는 이다. 여기서 은 한원소 공간이다.

점을 가진 공간의 호모토피 범주에서 점을 가진 집합의 반대 범주로 가는 함자들의 표현 가능성은 브라운 표현 정리에 의하여 주어진다.

외부 링크

같이 보기 
 요네다 보조정리
 부분 대상 분류자
 모듈라이 공간

함자