부분 정의 함수

수학에서 부분 정의 함수(部分定義函數, ) 또는 부분 함수(部分函數, )는 정의역의 일부분에만 정의되는, 함수의 개념의 일반화이다.

정의 
집합 와 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에서 로 가는 부분 정의 함수는 정의역 이 의 부분 집합이며, 공역이 인 함수 이다. 이들의 집합을 로 표기하자.

부분 정의 함수는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합

를 정의하자. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다.
 부분 정의 함수 
 점을 보존하는 함수 
 함수 
이 경우

이다. 특히, 는 지수 집합 와 표준적으로 일대일 대응한다.

부분 순서 
 부분 정의 함수들의 집합을 라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

그렇다면 는 부분 순서 집합을 이룬다.

기수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는 정의역의 크기가  미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.

이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.

성질

조합론적 성질 
의 크기는 다음과 같다.

(이는 , 가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)

의 크기는 다음과 같다.

순서론적 성질

극대·극소 원소 
의 (유일한) 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이다.
의 극대 원소는 인 함수 이다.

반사슬 조건 
만약 가 가산 집합이라면, 는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. (이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.)

임의의 집합 ,  및 기수 가 주어졌다고 하고,

라고 하자. 그렇다면, 는 -강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

포괄적 순서 아이디얼 
임의의 기수  및 의 포괄적 순서 아이디얼 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한 가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.
 만약 라면, 이다. 즉, 는 ( 전체에 정의된) 함수이다.
증명:
임의의 에 대하여, 에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합 는 의 공종 집합이다. 따라서 가 존재하며, 특히 이자 이다.
 만약 라면, 이다. 즉, 는 전사 함수이다.
증명:
임의의 에 대하여, 가 치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합 는 의 공종 집합이다. 따라서 가 존재하며, 특히 이자 이다.

범주론적 성질 
다음과 같은 범주 를 생각하자.
 의 대상은 집합이다.
 두 집합 ,  사이의 사상 은 부분 정의 함수 이다.
그렇다면, 는 점을 가진 집합의 범주 와 동치이다.

다음과 같은 범주 를 생각하자.
 의 대상은 집합이다.
 두 집합 ,  사이의 사상 은 단사 부분 정의 함수 이다. (즉, 이는 의 부분 집합과 의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)
그렇다면 는 스스로의 반대 범주와 동치이다.

강제법적 성질 
(편의상, 강제법에 공시작 집합·포괄적 필터 대신 공종 집합·포괄적 순서 아이디얼을 사용하자.)

ZFC의 가산 표준 추이적 모형  및 과 이 주어졌다고 하자. 그렇다면  속에서 을 구성할 수 있다. 그렇다면, 에 의 포괄적 순서 아이디얼 를 추가한 강제법 모형 를 정의할 수 있다. 이를 코언 강제법()이라고 한다.

구체적으로, 에 대하여 이자 , 이라고 놓자. (는 절대적이다.) 또한

라고 하자. 즉,

이라고 하자. (여기서 은 순서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면

임을 보일 수 있다 (는 연속체 가설).
증명:
순서 아이디얼 조건에 의하여 이며, 또한 는 포괄성 조건에 따라서 사실  전체에 정의된 함수이다.

다음을 정의하자.

그렇다면 포괄성 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다.
 
 
 
따라서, 는 의 개의 부분 집합들을 이루며, 따라서

이다.

이제,  속에서 는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시키므로, 이에 대한 강제법은 기수를 보존한다. 따라서 의 크기는 과  속에서 같으며, 따라서

이다.

참고 문헌

외부 링크 

 
 
 
 

함수와 사상
집합론