귀납적 차원

일반위상수학에서 귀납적 차원(歸納的次元, )은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 차원 개념이다. 대부분의 경우, 르베그 덮개 차원의 상한과 하한을 정의한다.

정의 
위상 공간 의 작은 귀납적 차원() 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 이다.
 임의의  및 열린 근방 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 가 존재한다.
 
 
위상 공간 의 큰 귀납적 차원() 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 이다.
 임의의 닫힌집합 의 열린 근방 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 가 존재한다.
 
 

공집합의 경우, 아무런 점이 없으므로 자명하게 이다.

성질 
T1 공간  또는 정칙 공간 의 경우,

이다.

임의의 위상 공간 에 대하여,

이다. 여기서 은 르베그 덮개 차원이다.

린델뢰프 공간 의 경우,

이다.

거리화 가능 공간 의 경우,

이다.

우리손 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 공간 의 경우

이다.

부분 집합 
위상 공간  및 부분 집합 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

만약 가 닫힌집합이거나, 가 완전 정규 공간이라면, 다음이 추가로 성립한다.

합집합 
완비 정규 공간  및 부분 집합 에 대하여, 만약 라면, 다음이 성립한다.

이 부등식들은 작은·큰 귀납적 차원에 대한 우리손 부등식이라고 불린다.

스톤-체흐 콤팩트화 
정규 하우스도르프 공간  및 그 스톤-체흐 콤팩트화 에 대하여, 다음이 성립한다.

0차원

함의 관계 
위상 공간 에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.
 만약 이라면, 는 완비 정칙 공간이다.
 만약 이며, 가 콜모고로프 공간이라면, 는 완전 분리 공간이며, 따라서 티호노프 공간이다.
 만약 가 완전 분리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 이다.
 만약 이며, 가 티호노프 공간이라면, 이다.
 만약 이며, 가 린델뢰프 T1 공간 이라면, 이다.

T1 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 . 즉, 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 갖는다.
 두 점 이산 공간의 곱공간 의 부분 집합과 위상 동형이다. (여기서 는 열린닫힌집합들의 집합이다.)
이 경우, 곱공간으로의 매장은 다음과 같이 잡을 수 있다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 완전 분리 공간이다.

국소 콤팩트 파라콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 완전 분리 공간이다.
 
 

거리화 가능 공간 에 대하여, 만약

라면, 이다.

임의의 점  및 열린 근방 가 주어졌다고 하자.

인 을 잡자. 이므로,

인 이 존재한다. 따라서,

이다.

분해 가능 거리화 가능 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 
 는 칸토어 집합 의 부분 집합과 위상 동형이다.
 는 무리수 집합 의 부분 집합과 위상 동형이다.

실수들의 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 (둘 이상의 점을 갖는) 구간을 포함하지 않는다.

작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 0차원 공간(零次元空間, )이라고 한다. 르베그 덮개 차원이 0인 위상 공간은 흔히 강한 0차원 공간(强-零次元空間, )이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 T1 조건을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 티호노프 조건을 추가한다.

연산에 대한 닫힘 
위상 공간들의 집합  및 곱공간

에 대하여, 만약 모든 에 대하여 이라면, 이다.

예 
유클리드 공간, 단체, 초구의 작은·큰 귀납적 차원은 통상적인 차원과 일치한다.

의 작은·큰 귀납적 차원은 이다.

외부 링크

같이 보기 
 르베그 덮개 차원

위상 공간의 성질
차원
차원론