동형 정리

추상대수학에서 동형 정리(同型定理, )는 준동형과 부분 대수, 합동 관계 사이의 관계를 나타내는 3개의 정리다. 이는 보편 대수학의 정리로, 임의의 대수 구조에 대하여 정의할 수 있다.

정의 
대수 구조 는 집합 와,  꼴의 함수들의 집합 의 순서쌍이다. 같은 연산들을 갖는 두 대수의 준동형은 연산들을 보존시키는 함수이다.

제1 동형 정리 
대수 준동형 에 대하여, 다음 명제들이 성립한다.
 는 의 부분대수이다.
 는  위의 합동 관계이다.
 는 대수의 동형 사상이다.

제2 동형 정리 
대수  및 부분대수  및  위의 합동 관계 가 주어졌다고 하면, 다음 명제들이 성립한다.
 는  위의 합동 관계이다.
 가 와 겹치는 -동치류들의 원소들의 집합이라고 하자. 그렇다면 은 의 부분대수이다.
 은 와 동형이다.

제3 동형 정리 
대수  위에 두 합동 관계 가 주어졌으며, 라면 이라고 하자. 즉, 이 보다 더 고른 동치 관계라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
  위의 이항 관계 를 로 정의하자. 그렇다면 는  위의 합동 관계이다.
 는 과 동형이다.

예 
위 3개의 동형 정리는 보편 대수학에 따라, 임의의 대수 구조에 적용할 수 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.

군 동형 정리

제1 동형 정리 
군 준동형 에 대하여,

제2 동형 정리 
군  및 부분군  및 정규 부분군 에 대하여,

제3 동형 정리 
군  및 정규 부분군 에 대하여,

환 동형 정리

제1 동형 정리 
환 준동형 에 대하여,
 는 의 부분환이다.
 는 의 아이디얼이다.

제2 동형 정리 
환  및 부분환  및 아이디얼 에 대하여,
 는 의 아이디얼이다.
 는 의 부분환이다.

제3 동형 정리 
환  및 아이디얼 에 대하여,
 은 의 아이디얼이다.

가군 동형 정리 
모든 가군은 주어진 환 에 대한 왼쪽 가군이다.

제1 동형 정리 
가군 준동형 에 대하여,
 은 의 부분가군이다.
 는 의 부분가군이다.

제2 동형 정리 
가군 의 부분가군 에 대하여,
 는 의 부분가군이다.
 는 의 부분가군이다.
 따라서, 는 의 부분가군이다.

제3 동형 정리 
가군 의 부분가군 에 대하여,
 은 의 부분가군이다.

역사 
에미 뇌터가 1927년에 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 준동형 정리

추상대수학