근판정법

근판정법(根判定法, )은 무한급수의 수렴판정법으로, 다음 식을 이용해 수렴성을 판정한다.

여기서 은 상극한, 은 급수의 항이다.

이 판정법은 실수, 복소수, 더 나아가 노름 벡터 공간 위의 벡터를 항으로 하는 급수에 적용된다.

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 처음 고안하였다.

내용 
급수 에 대하여,

의 값을 1과 비교하여 수렴성을 판단할 수 있다. 즉,

 이면, 급수는 절대수렴한다.
 이면, 급수는 발산한다.
 이면, 수렴성을 단정짓지 못한다. 발산, 조건수렴, 절대수렴 모두 가능하다.

수열 의 극한이 존재한다면, 를 극한으로 대신할 수 있다.

증명 
이면, 임의의 (은 어떤 자연수)에 대해 , 즉 인 실수 (예를 들어 )이 존재한다. 따라서 기하급수의 수렴성과 비교판정법에 의해 은 절대수렴한다.

이면, 1보다 큰 무한 개의 이 존재한다. 따라서 은 0으로 수렴하지 않으며, 은 발산한다

근판정법은 일 경우 효력을 잃는다. 다음 급수들은 이며 각기 다른 수렴성을 가진다.

 조화급수 는 무한대로 발산한다.
 조화급수의 교대급수 은 조건수렴한다.
 디리클레 급수의 한 예인 은 절대수렴한다.
 그란디 급수 은 발산한다.

그러나 이어도 이 충분히 큰 모든 에 대해 성립하면 급수가 발산한다는 결론이 있다.

멱급수 

근 판정법은 멱급수의 수렴반지름을 논할 때 유용하다. 멱급수

 (는 복소변수, 과 는 복소상수)

의 수렴역은 를 중심으로 하며, 반지름은 다음과 같다.

같이 보기 
 비판정법#근판정법과의 관계

참고 문헌 
 
 

수렴판정법