형식적 멱급수

대수학에서 형식적 멱급수(, )는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다.

정의 
환 에 대한 형식적 멱급수환 는 집합으로서 이다. 형식적 멱급수환에서, 원소

는 통상적으로

으로 쓴다.

 위에는 자연스러운 아벨 군 및 좌·우 -가군 구조가 존재한다. 또한, 다음과 같은 곱셈을 정의하여, 환으로 만들 수 있다.

이에 따라 는 결합 -대수를 이룬다.

형식적 멱급수환의 원소를 형식적 멱급수라고 한다. 은 을 뜻한다.

미분 
형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은 -선형 연산

이 존재하며, 이를 미분이라고 한다.

합성 
임의의 가 주어졌고, 이라고 하자 (즉, ). 그렇다면 와 의 합성 은 다음과 같다.

만약 가 가환환이라면, 합성의 결합 법칙이 성립한다. 하지만 가환환이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

성질 
환 에 대하여,
 만약 가 가환환이라면,  역시 가환환이다.
 만약 가 가환 뇌터 환이라면,  역시 가환 뇌터 환이다.
 만약 가 정역이라면,  역시 정역이다.
 만약 가 체라면, 는 이산 값매김환이다.

형식적 멱급수환의 원소

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 가역원이다.
 는 가역원이다.
구체적으로, 의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

거리 공간 구조 
형식적 멱급수환  위에 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간을 이루며, 또한 위상환을 이룬다. 이는 다항식환 의 완비화이다.

이 거리 공간 구조 아래, 임의의 형식적 멱급수

는 부분합의 점렬

의 극한이다.

형식적 로랑 급수 
체 에 대하여, 형식적 로랑 급수체 은 형식적 멱급수환의 분수체이다.

정의에 따라, 이는 체를 이룬다. 구체적으로, 는

의 꼴로 전개할 수 있다 (). 즉, 유한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있다. 이는 (무한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있는) 복소해석학의 로랑 급수와 다르다.

다항식환, 유리 함수체, 형식적 멱급수환에서는

가 성립하지만, 와 는 서로 다른 체이다. 일반적으로, 는 의 부분환이며, 단사 준동형

이 존재한다. 예를 들어,

이다.
그러나  및 는 동형 사상이 아니다. 예를 들어,

이다.

같이 보기 
 다항식환
 퓌죄 급수
 국소화 (환론)

각주

외부 링크 
 

환론
가환대수학
열거조합론