3차원 직교군

3차원 직교군(三次元直交群, )은 3차원 유클리드 공간의 회전 및 반사로 구성되는 리 군이다.

정의 
3차원 직교군 는 3×3 실수 직교 행렬들로 구성된 리 군이다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.
 3차원 특수직교군 . 3×3 실수 직교 행렬의 행렬식은 ±1이며, 이 가운데 행렬식이 +1인 것들은 의 부분군을 이룬다. 이 부분군을 라고 한다.
 2차원 사영 특수 유니터리 군 .
 3차원 사영 특수직교군 . 차원이 홀수이므로 사영 직교군은 특수직교군과 같다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.
 2차원 특수 유니터리 군 는 2×2 복소수 유니터리 행렬 가운데, 행렬식이 1인 것들로 구성된 리 군이다.
 3차원 스핀 군 
 1차원 심플렉틱 군 . 이는 노름이 1인 사원수들의 곱셈군이다.

복소수 표현 
다음과 같은 두 겹 피복이 존재한다.

즉, 는 3차원 스핀 군 과 동형이다. 이 피복 사상은 다음과 같다.

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 우선, 는 2차원 구  위에 등거리 사상으로 구성된 표준적인 충실한 표현을 가진다. 또한, 는 리만 구 로 해석할 수 있으며, 이 경우 구의 등거리 자기 동형은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

이 경우, 의 상은 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들이다.

마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

따라서, 이는 동형 를 정의한다.

사원수 표현 
동형 은 다음과 같이 이해할 수 있다. 은 정의에 따라 노름이 1인 사원수들로 구성된다. 주어진 사원수에 대응하는 2×2 특수 유니터리 행렬은 다음과 같다.

마찬가지로, 두 겹 피복군 는 다음과 같이 이해할 수 있다.

이는 를 축으로 하여, 각도 만큼 회전하는 행렬이며, 여기서 각도 는 다음과 같다.

즉, 단위 사원수 집합을 4차원 극좌표계 로 나타내었을 때, 는 극각에 해당한다..
이 경우, 사원수 와 가 같은 직교 행렬에 대응하므로, 이는 2겹 피복임을 알 수 있다.

이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터 를 사원수 로 나타내자. 그렇다면, 4차원 회전 의 작용은 다음과 같이 생각할 수 있다. 각 의 원소를 단위 사원수 , 로 나타낸다면, 4차원 회전은 다음과 같다.

여기서 에 대한 몫군을 취하는 것은 와 가 같은 작용을 갖기 때문이다.

3차원 공간의 회전은 이 작용에서, 축의 안정자군이다. 축이 고정될 조건은 인 것이며, 따라서 이다. 즉, 의 작용은 다음과 같다.

여기서 에 대한 몫군을 취하는 것은 가 같은 작용을 갖기 때문이다.

리 대수 
의 리 대수 의 기저는 파울리 행렬 로 주어진다.

의 리 대수 의 기저는 무한소 3차원 회전 로 다음과 같이 주어진다.

는 번째 축에 대한 무한소 회전이며, 다음과 같은 구조 상수를 갖는다.

이 경우, 리 대수의 동형 는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

성질

대수학적 성질 
의 중심은 이며, 이에 대하여 몫군을 취하면 를 얻는다.

SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다.

위상수학적 성질 
와 는 둘 다 콤팩트 연결 3차원 매끄러운 다양체이다.

는 위상수학적으로 3차원 초구 이다. (초구에 리 군의 구조를 줄 수 있는 경우는 0·1·3차원밖에 없다.) 이는 콤팩트 단일 연결 공간이다.

는 위상수학적으로 3차원 실수 사영 공간 이다. 여기서 에 대한 몫공간을 취하는 것은 대척점을 이어붙이는 것과 같다.

는 두 개의 연결 성분을 가진다. 이는 행렬식이 ±인 직교 행렬들로 구성된다.

표현론 
의 유한 차원 표현은 차원에 따라 완전히 분류된다. 즉, 주어진 차원 에 대하여, (동형 아래) 유일한 차원 복소수 표현이 존재하며, 이는 유니터리 표현이다. 만약 이 짝수인 경우, 이는 차원 실수 표현으로 나타낼 수 있다. 양자역학에서, 차원 표현은 스핀  표현으로 일컬어진다.

의 유한 차원 표현들은 의  차원 표현들 가운데, 이 홀수인 것들이다. 예를 들어, 인 경우는 를 정의하는, 3차원 유클리드 공간 위의 특수 직교 행렬로서의 표현이다.

외부 링크

같이 보기 
 클렙슈-고르단 계수
 구면 조화 함수
 오일러 각
 스핀
 2차원 실수 특수선형군
 원군
 로런츠 군

리 군
3차원 회전