코시 수렴 판정법

해석학에서 코시 수렴 판정법()은 급수의 수렴 판정법의 하나이다. 이 판정법에 의하면, 급수가 수렴한다는 것은 부분합 수열이 코시 수열인 것과 동치이다.

정의 
가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실수항 또는 복소수항 급수 
 위의 수열 이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 은 수렴한다.
 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다.
 임의의 에 대하여, 
여기서 는 절댓값이다.

첫 번째 조건은 부분합 의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. 는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다.

바나흐 공간 위의 급수 
-바나흐 공간  위의 점렬 이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 은 수렴한다.
 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다.
 임의의 에 대하여, 

첫 번째 조건은 부분합 의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. 는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다.

함수항 급수 
집합  및 값 함수열  ()이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 은 균등 수렴한다.
 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다.
 임의의  및 에 대하여, 

이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다.
임의의  및 에 대하여, 
따라서, 임의의  및 에 대하여,

이다.

반대로, 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다고 가정하자.
임의의  및 에 대하여, 
그렇다면, 각 에서의 부분합 는  위의 코시 수열이며, 따라서 은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 을 취하면 다음을 얻는다.
임의의  및 에 대하여, 
이에 따라, 은 균등 수렴한다.

보다 일반적으로, 집합  및 -바나흐 공간  및 값 함수열  ()이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 은 균등 수렴한다.
 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다.
 임의의  및 에 대하여, 

이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다.
임의의  및 에 대하여, 
따라서, 임의의  및 에 대하여,

이다.

반대로, 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다고 가정하자.
임의의  및 에 대하여, 
그렇다면, 각 에서의 부분합 는  위의 코시 수열이며, 따라서 은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 을 취하면 다음을 얻는다.
임의의  및 에 대하여, 
이에 따라, 은 균등 수렴한다.

임의의 집합  및 -바나흐 공간 에 대하여, 유계 함수 의 집합 은 점별 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 대하여 벡터 공간을 이루며, 또한 다음과 같은 상한 노름에 대하여 -바나흐 공간을 이룬다.

만약 각 이 유계 함수라면, 첫 번째 조건은 이 상한 노름에 대하여 수렴하는 것과 동치이며, 두 번째 조건은 부분합 이 상한 노름에 대하여  위의 코시 점렬을 이루는 것과 동치이다.

따름정리 
일반항 판정법은 코시 수렴 판정법에서 을 취한 특수한 경우로 생각할 수 있다.

모든 절대 수렴 급수는 수렴한다는 사실은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

바이어슈트라스 M-판정법은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

관련 정리

함수의 극한에 대한 코시 수렴 판정법 
임의의 열린구간  및  및 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 함수의 극한 이 존재한다.
 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 양의 실수 가 존재한다.
 임의의 에 대하여,

이상 적분에 대한 코시 수렴 판정법 
이상 적분

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 수렴한다.
 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 가 존재한다.
 임의의 에 대하여,

각주

외부 링크 
 
 

수렴판정법
오귀스탱 루이 코시