최소 다항식

추상대수학에서 최소 다항식(最小多項式, )은 체에 대한 결합 대수의 원소가 만족시키는 가장 간단한 일계수 다항식이다.

정의 
체 에 대한 멱결합 대수 의 원소 에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

(만약 가 1을 갖지 않는다면, 이다.) 그렇다면 는 의 아이디얼이다. 는 주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다.
 이다. 이 경우, 는 초월원이며, 는 초월 대수이다.
 가 되는 일계수 다항식 가 존재한다. 이 경우, 를 의 최소 다항식이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며, 에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은 보다 차수가 더 크다.)

성질 
멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건은 대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.

체의 확대 
체의 확대 에 대하여, 은 가환 -단위 결합 대수를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서, 에서 의 최소 다항식 가 인수 분해가 가능하다면 (), 는 정역이므로 이거나 이며, 이다. 그러나 는 의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.

대수적 확대 에서, 가 완전체라면 임의의 에 대하여 의 (대수적 폐포 에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나 가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우 가 분해 가능 확대가 아니라고 한다.

행렬 
체  위의  정사각 행렬의 유한 차원 -단위 결합 대수 에서, 임의의 행렬 은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬 에 대하여, 과 의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약 이 를 포함하는 더 큰 체일 경우, 의 에서의 최소 다항식과 에서의 최소 다항식은 일치한다.

체  위의  행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.
 은 삼각화 가능 행렬이다.
또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 의 최소 다항식은 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다.
 은 대각화 가능 행렬이다.

케일리-해밀턴 정리에 따라, 의 최소 다항식은 특성 다항식을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로, 의 최소 다항식의 소인수 분해가

라면,

이다.

예 
체의 확대 에서, 라면, 이다.

실수체의 확대인 복소수체 에서, 의 최소 다항식은 다음과 같다.

실수 행렬

의 특성 다항식은

이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로, 의 최소 다항식 역시

이다.

대수적 수체 
이차 수체 에서, 가 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면 의 최소 다항식은 이다.

의  위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.

원분체 에서, 의 최소 다항식은 원분 다항식() 이라고 하며, 다음과 같다.

특히, 이 소수일 경우

이다.

분해 가능 확대가 아닌 확대에서의 최소 다항식 
분해 가능 확대가 아닌 체의 확대 에서, 의 최소 다항식은

이다. 이 경우,  위에서

이다. 즉, 는 분해 가능 다항식이 아니다.

참고 문헌

같이 보기 
 분해체
 체 노름
 분해 가능 확대
 갈루아 확대

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

대수
체론
선형대수학