붙임 공간

위상수학에서 붙임 공간(-空間, )은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 밂이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 쌍대올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 밂을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 붙임 공간()을 사용하여야 한다.

마찬가지로, 당김 공간(-空間, )은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 당김이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 당김을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 당김 공간()을 사용하여야 한다.

정의

붙임 공간 
같은 정의역을 가진 두 연속 함수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합  위에 다음과 같은 이항 관계를 정의하자.

이는 일반적으로 대칭 관계도, 추이적 관계도 아니다. 이를 포함하는 가장 작은 동치 관계를 라고 표시하자. 즉, 에 대하여, 라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

마찬가지로, 에 대하여 이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

마찬가지로, 에 대하여 이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

와 의  및 를 통한 붙임 공간은 분리합집합의 다음과 같은 몫공간이다.

이는 위상 공간의 범주의 밂을 이룬다.

붙임 공간의 구성에 따라, 붙임 공간은 의 위상에 의존하지 않는다. 따라서, 에 와 에 대한 시작 위상을 부여하거나 이산 위상을 부여할 수 있다.

호모토피 붙임 공간 
붙임 공간은 나  가운데 하나가 쌍대올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 붙임 공간을 사용하여야 한다.

연속 함수

가 주어졌을 때, 호모토피 붙임 또는 이중 사상 기둥()은 다음과 같다.

이 경우, 표준적인 함수

는 (비호모토피 붙임 공간과 달리) 쌍대올뭉치를 이룬다.

당김 공간 
같은 공역을 가진 두 연속 함수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간()은 다음과 같은, 곱공간 의 부분 공간이다.

이는 위상 공간의 범주의 당김을 이룬다.

이 경우, 표준적 연속 함수

가 존재하지만, 이들은 일반적으로 올뭉치가 아니다.

호모토피 당김 공간 
당김 공간은 나  가운데 하나가 올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 당김 공간을 사용하여야 한다.

같은 공역을 가진 두 연속 함수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간()은 다음과 같은, 곱공간 의 부분 공간이다.

여기서 는 (콤팩트-열린집합 위상을 부여한) 경로 공간이다.

예

사상뿔 
연속 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 은 한원소 공간이다.)

이에 대한 붙임 공간은 의 몫공간 이다. 그러나 이는 일반적으로 각종 분리 공리를 따르지 않는다.

반면, 호모토피 붙임 공간은 다음과 같은 뿔로 구성된다.

이를 사상뿔(寫像-, )이라고 한다. 만약 와 가 각종 분리 공리를 만족시킨다면, 그 사상뿔 역시 각종 분리 공리를 만족시킨다. 이는 호모토피 범주에서의 "몫공간"으로 생각할 수 있다. 사상뿔은 몫공간보다 더 나은 성질을 보이므로, 상대 호몰로지 는 보통 포함 함수 의 사상뿔의 축소 호몰로지로 정의된다.

특히, 이며 일 경우, 이는  위의 뿔() 이 된다.

사상기둥 
연속 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 는 항등 함수이다.)

붙임 공간은 다음과 같은 의 몫공간이며, 이는 와 위상 동형이다.

호모토피 붙임 공간은 다음과 같이,  위의 기둥을 에 붙인 것이다.

이를 사상기둥(寫像-, ) 라고 한다.

이 경우, 변형 수축

이 존재하며, 따라서 와 는 서로 호모토피 동치이다. 또한,

는 쌍대올뭉치를 이룬다.  따라서, 모든 함수는 쌍대올뭉치 및 호모토피 동치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 쌍대올분해()이다.

특히, 이고 일 경우 사상기둥은 단순히 기둥 이 된다.

이음 

다음과 같은, 곱공간의 사영 사상의 (호모토피) 붙임 공간을 생각하자.

이에 대한 붙임 공간은 한원소 공간이다. (이는 곱공간 사영 사상이 쌍대올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 반면, 이에 대한 호모토피 붙임 공간

은 와 의 이음이라고 하며, 일반적으로 축약 가능 공간이 아니다.

특히, 0차원 초구 와의 이음은 현수 라고 한다. 마찬가지로, 한원소 공간과의 이음은 뿔 을 이룬다.

사상 경로 공간 

연속 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대한 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다. (여기서 는 항등 함수이다.)

당김 공간의 경우는 이는 의 부분 공간 위상을 부여한 의 그래프

이며 따라서 와 위상 동형이다.

호모토피 당김 공간의 경우, 이는

를 이루며, 이를 사상 경로 공간(寫像經路空間, ) 또는 사상 쌍대기둥()이라고 한다. 그렇다면, 가환 그림은 다음과 같다.

여기서 는 와 약한 호모토피 동치이며 는 올뭉치이다. 따라서, 모든 함수는 호모토피 동치 및 올뭉치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 올분해()이다.

경로 공간 
위상 공간 의 두 점 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

의 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다.

당김 공간은 단순히 한원소 공간이다. (이는 점 포함 사상이 올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 그러나 호모토피 당김 공간은 더 많은 정보를 가진다. 구체적으로, 이는  위의, 에서 으로 가는 경로들의 공간이다. 만약 이라면, 이 호모토피 당김 공간의 경로 연결 성분들은 기본군 을 이룬다.

쐐기합 

점을 가진 공간 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

의 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다.

붙임 공간은 쐐기합 이다. 호모토피 붙임 공간은

이다. 즉, 선분 의 양끝에 와 를 각각 점에서 붙인 것이다. 이는 쐐기합과 호모토피 동치이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

대수적 위상수학