정칙 국소환

가환대수학에서 정칙 국소환(正則局所環, )은 극대 아이디얼의 최소 생성원 집합의 크기가 크룰 차원과 같은 뇌터 국소환이다.

정의 
가환 뇌터 국소환 에 대하여, 다음 두 성질들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환 뇌터 국소환을 정칙 국소환이라고 한다. (여기서 은 의 유일한 극대 아이디얼이며, 은 그 잉여류체이다.)
 극대 아이디얼을 생성하는 매개계가 존재한다. 즉, 극대 아이디얼 은 개의 원소들로 생성된다 (는 크룰 차원).
 크룰 높이 정리에 따라, 임의의 뇌터 환의 극대 아이디얼에 대하여, 은 최소한 개 이상의 원소로 생성된다. 즉, 이 조건은 크룰 높이 정리에 따른 하한이 포화된다는 것이다.
 이다. 여기서 는 -벡터 공간의 차원이다.
 는 의 유일한 닫힌 점 에서의 자리스키 공변접공간이다. 즉, 이 조건은 자리스키 (공변)접공간의 차원이 아핀 스킴  자체의 (크룰) 차원과 같다는 것이다.
  위의 모든 가군들의 사영 차원은 상계를 갖는다.

  위의 모든 가군들의 사영 차원은  이하이다.

정칙 스킴은 모든 국소환이 정칙 국소환인 스킴이다. 정칙환(正則環, ) 는 아핀 스킴 가 정칙 스킴인 가환환이다. 즉, 모든 소 아이디얼에서의 국소화가 정칙 국소환인 가환환이다.

성질 
체를 포함하는 정칙 국소환 는 스스로의 분수체에 대한 형식적 멱급수환이다. 즉,

이다.

연산에 대한 닫힘 
정칙 국소환의 모든 국소화 및 완비화 역시 정칙국소환이다.

국소 가환환이 정칙 국소 가환환일 필요 충분 조건은 그 (극대 아이디얼에서의) 완비화가 정칙 국소 가환환인 것이다.

함의 관계 
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이라는 사실은 오슬랜더-북스바움 정리()라고 한다.

또한, 다음이 성립한다. 정칙 국소환 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
 는 체이다.
 이다.
(체는 크룰 차원이 0이며, 체에서는 영 아이디얼이 극대 아이디얼이다.)

정칙 국소환 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
 는 이산 값매김환이다.
 이다.

분류 

정칙 국소환은 국소화를 가하여 완비 국소환으로 만들 수 있다. 이 가운데 뇌터 가환환인 것은 구조 정리가 알려져 있다.

예 
소수 에 대한 p진 정수환 은 이산 값매김환이므로 정칙 국소환이다. 이는 체를 포함하지 않는 정칙 국소환의 예이다.

국소환 에 대한, 개의 변수에 대한 형식적 멱급수환 은 정칙 국소환이다. 특히, 체 에 대한 형식적 멱급수환 은 차원의 정칙 국소환이다.

정칙 국소환이 아닌 국소환 
체 에 대하여 국소 가환환 를 생각하자. 그 크룰 차원은 0차원이지만, 그 극대 아이디얼 은 영 아이디얼이 아니며, 하나의 원소로 생성된다. 따라서 이는 정칙 국소환이 아니다.

호몰로지 대수학적으로, 는 다음과 같은 무한 분해를 갖는다.

따라서 그 가군의 사영 차원은 무한히 클 수 있으며, 상계를 갖지 못한다.

대수기하학적으로, 는 아핀 직선  속의 원점 의 ‘무한소 근방’에 해당한다. 따라서 이는 기하학적으로 특이점을 이룬다. 이는 사실

응용 
대수기하학에서, 완전체에 대한 대수다양체 가 에서 비특이인 필요 충분 조건은 싹의 국소환 가 정칙 국소환인 것이다. ‘정칙 국소환’이라는 이름은 이 성질에서 유래하였다. 이를 사용하여, 정칙성을 일반적인 스킴에 대하여 정의할 수 있다. 정칙 스킴()은 정칙환의 스펙트럼으로 덮을 수 있는 스킴이다.

대수적으로 닫힌 체 에 대한 아핀 대수다양체  속의 (닫힌) 점 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
 국소환 가 정칙국소환이다.
 가 다항식들 의 영점들의 교집합이라고 하자. 그렇다면, 에서의  야코비 행렬 의 계수가 이다.
즉, 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수다양체의 경우 이 조건은 고전적인 비특이점의 개념과 일치함을 알 수 있다.

역사 
정칙 국소환의 개념은 볼프강 크룰이 1937년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

가환대수학