분할 거듭제곱 환

가환대수학에서 분할 거듭제곱 환(分割-環, , )은 표수의 배수인 의 경우에도, 적어도 어떤 아이디얼의 원소 의 경우에는 “”과 유사한 연산이 가능하게 하는 구조가 주어진 가환환이다. 표수 0의 체 위의 가환 결합 대수의 경우에는 분할 거듭제곱 구조는 유일하지만, 양의 표수에서는 일반적으로 그렇지 않다.

정의 
분할 거듭제곱 환 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 가환환 
 의 아이디얼 
 각 자연수 에 대하여, 함수 . 이를  위의 분할 거듭제곱 구조(分割-構造, , )라고 한다.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

간혹  대신 와 같은 표기도 사용된다.

분할 거듭제곱 환 준동형 
두 분할 거듭제곱 환 ,  사이의 준동형 은 다음 두 조건을 만족시키는 환 준동형이다.

이에 따라, 분할 거듭제곱 환과 그 준동형들로 구성된 구체적 범주가 존재한다.

분할 거듭제곱 스킴 
분할 거듭제곱 환의 개념을 스킴으로 일반화시킬 수 있다.

분할 거듭제곱 스킴(分割-scheme, )은 다음 데이터로 주어진다.
 스킴 
  위의 아이디얼 층 
 의 각 (자리스키) 열린집합 에 대하여, 분할 거듭제곱 구조 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 임의의 두 (자리스키) 열린집합  및 에 대하여, 다음 그림이 가환한다. (즉, 준층의 사상을 이룬다.)

분할 거듭제곱 스킴 사이의 사상 역시 분할 거듭제곱 환 사이의 준동형과 유사하게 정의된다.

성질 
임의의 분할 거듭제곱 환 에서, 다음이 성립한다.

물론, 만약 에서 이라면, 좌변과 우변 둘 다 0이다.
증명:
분할 거듭제곱 구조의 공리에 따라,

이다. 이를 반복하면

을 얻는다.

분할 거듭제곱 포락 
다음이 주어졌다고 하자.
 분할 거듭제곱 환 
 가환환 
 환 준동형 
 의 아이디얼 . 또한, 라고 하자.
그렇다면, 다음 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 가 항상 존재함을 보일 수 있다.
임의의 분할 거듭제곱 환 에 대하여,

여기서
 은 분할 거듭제곱 환의 범주이다.
 은 가환환의 아이디얼들의 범주이다. 즉,
 의 대상 은 가환환 와 그 속의 아이디얼 의 순서쌍이다.
 의 사상 은 인 환 준동형 이다.
 은 조각 범주를 뜻한다.

이 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 을  위의 분할 거듭제곱 포락(分割-包絡, )이라고 한다. 즉, 이는 아이디얼에 분할 거듭제곱 구조를 “가장 자연스럽게” 부여한 것이다.

분할 거듭제곱 미분 
고전적인 켈러 미분의 이론은 양의 표수에서 잘 작동하지 않는다. 분할 거듭제곱 환의 이론을 사용하면, 양의 표수에서도 공사슬 복합체를 이루는 분할 거듭제곱 드람 복합체를 정의할 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 분할 거듭제곱 환 
 환 준동형 
켈러 미분의 가군과 유사하게, 분할 거듭제곱 미분 가군(分割-微分加群, ) 를 다음과 같은 항등식들을 만족시키는 들로 생성되는 -가군으로 정의할 수 있다.

이것이 보통 켈러 미분하고 다른 점은 넷째 조건 밖에 없다.

이제, 켈러 미분과 마찬가지로

를 정의하면, 이것이 다음과 같은 공사슬 복합체를 이룸을 보일 수 있다.

이를 분할 거듭제곱 드람 복합체(分割-de Rham複合體, )라고 한다.

이 드람 복합체의 존재는 궁극적으로 구조층 가 결정 위치 위의 결정이기 때문이다.

예

표수 0의 대수 
표수 0의 체  위의 가환 결합 대수 의 임의의 아이디얼  위에는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 존재하며, 다음과 같다.

증명:
에서는 이 가역원이다. 이에 따라 이므로 이다.
물론, 이 경우 로 놓을 수 있다.

자유 분할 거듭제곱 구조 
가환환

의 주 아이디얼  위에는 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조가 존재한다.

이 분할 거듭제곱 대수는 하나의 생성원에 대한 자유 -분할 거듭제곱 대수이다. 여기서 “자유”라는 것은, 범주 이론의 의미로 붙인 것이다.

분할 거듭제곱 다항식환 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 유한 집합 
그렇다면, 분할 거듭제곱 단항식(分割-單項式, )은 다음과 같은 꼴의 형식적 단항식이다.

이와 같은 분할 거듭제곱 단항식들의 (유한 개의) 합들로 구성된 가환 -결합 대수 를 분할 거듭제곱 다항식환(分割-多項式環, )이라고 한다.

이 속에서, 양의 차수(즉, 인 것)인 분할 거듭제곱 단항식들로 구성된 아이디얼을 생각할 수 있다. 이 위에는

와 같은 표준적인 분할 거듭제곱 구조가 주어진다.

양의 표수 
양의 표수의 체 위의 가환 결합 대수의 경우, 는 성립하더라도, 로 나눌 수 없는 경우가 생길 수 있으므로, 분할 거듭제곱 구조는 유일하지 않을 수 있다.

예를 들어, 만약
 소수 의 표수를 갖는 가환환 
 인 멱영 아이디얼 
에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조를 정의할 수 있다.

일반적으로 양의 표수의 환에서 주의할 점 하나는, 아이디얼 과, 모든 에 대해 로 생성된 아이디얼 사이에는 차이가 있다는 점이다. 전자는 0이 아닐 수 있지만, 후자의 경우는 분할 거듭제곱 구조가 존재한다면 항상 0이 된다는 것을 증명할 수 있다.

응용 
분할 거듭제곱 구조는 분할 거듭제곱 미분 연산자의 이론이나 결정 코호몰로지 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 표수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들이 극복될 수 있다.

구체적으로, 양의 표수 의 경우, 에탈 코호몰로지는 인 경우에서만 유용하다. 직관적으로, 표수 의 가환환  위의 다항식환 에서, 미분의 곱 규칙

을 생각하자. 만약 일 경우

이 된다. 이 때문에 쿠머 열()이 에서는 에탈 위상 위에서 완전열이 되지 못하게 된다.

이를 해결하기 위해서는 앞에 붙는 을 처리해야만 한다. 이러한 미분을 위해서, 다음과 같은 특수한 곱을 정의하자.

그렇다면, 여기에 미분 구조를 주었다고 하면

가 되며, 골칫거리인 이 사라지게 된다.

즉, 가환환 에 대하여, 다음과 같은 정의를 생각할 수 있다.

이와 같은 구성을 조금 더 일반화하면, 분할 거듭제곱 환 및 분할 거듭제곱 스킴의 개념에 도달하게 된다.

보통, 대수기하학에서는 멱영 아이디얼 위의 분할 거듭제곱 구조만을 고려하는데, 이는 분할 거듭제곱 구조를 주어야 하는 곳은 한정되어야 하기 때문이다. 예를 들면, 같은 경우는 로 생성되는 주 아이디얼에만 “작업을 가하면” 된다. 우리가 어려움을 겪는 이유는 가 들어간 것의 미분 때문이기 때문이다. 아이디얼을 더 크게 잡으면, 망가지지 말아야 할 의 연산도 망가지게 된다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

가환대수학
다항식