구조 (논리학)

모형 이론에서 구조(構造, )는 어떤 주어진 1차 논리 언어의 해석을 갖춘 집합이다.

정의 
자연수(음이 아닌 정수)의 집합을 이라고 쓰자.

부호수(符號數, ) 는 다음과 같은 튜플이다.
 는 집합이다. 의 원소를 연산(演算, )이라고 한다.
 는 집합이다. 의 원소를 관계(關係, )라고 한다.
 는 함수이다. 에 대하여 이라면, 를 항 연산()이라고 한다.
 는 함수이다. 에 대하여 이라면, 를 항 관계()라고 한다.

부호수 의 구조 는 다음과 같은 튜플이다.
 은 집합이다. 이를 구조의 전체(全體, )라고 한다.
 각 에 대하여, 이다. 에 대하여, 을 보통 이라고 쓰며, 항 연산 의 에서의 해석(解釋, )이라고 한다.
 각 에 대하여, 이다. 에 대하여, 을 보통 이라고 쓰며, 항 관계 의 에서의 해석(解釋, )이라고 한다.

관계를 포함하지 않는 부호수를 대수적 부호수()라고 하고, 대수적 부호수의 구조를 대수 구조라고 한다.

언어 
부호수 의 (1차 논리) 언어(言語, ) 은 공식(公式, )과 항(項, )으로 구성된다. 의 항은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
 변수 는 항이다 ().
 항  및 항 연산 에 대하여, 은 항이다.
의 공식은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
 항  및 항 관계 에 대하여, 는 공식이다.
 항 에 대하여, 는 공식이다.
 공식 에 대하여, 는 공식이다.
 공식  및 에 대하여, 만약 에 등장하는 제한 변수가 에 등장하지 않으며, 마찬가지로 에 등장하는 제한 변수가 에 등장하지 않는다면, 는 공식이다.
 변수  및 공식 에 대하여,  만약 가 이미 를 포함하지 않는다면, 는 공식이다.
만약  속에 변수 가 등장하지만 가 등장하지 않는다면, 를 자유 변수(自由變數, )라고 하고, 가 등장한다면 를 제한 변수(制限變數, )라고 한다. 자유 변수가 없는 공식을 문장(文章, )이라고 한다. 문장들의 집합을 이론(理論, )이라고 한다.

만족 
부호수 의 언어에 속하는 공식 가 개의 자유 변수 을 갖는다고 하자. 부호수 의 구조  및 에 대하여, 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 조건이 성립한다면, 이 를 치환  아래 만족시킨다(滿足시킨다, )고 하고, 라고 쓴다. 여기서 부호수의 언어의 논리 기호 , , , 은 메타 언어의 논리 기호와 구별하기 위하여 괄호  속에 적었다.
 . 여기서 는 항  속에 등장하는 모든 변수 를 이에 대응하는 로 치환하고,  속에 등장하는 모든 연산 를 으로 치환하여 얻은 원소 이다.
 
 
 
 
부호수 의 언어에서, 개의 자유 변수 를 갖는 공식 에 대하여, 만약 인 -구조  및 이 존재한다면, 를 만족 가능 공식(滿足可能命題, )이라고 한다.

이론 의 모형(模型, )은 모든 에 대하여 인 -구조 이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

모형 이론
보편대수학
수리논리학
수학적 구조