위상 함자

범주론과 일반위상수학에서 위상 함자(位相函子, )는 위상 공간의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자이다. 구체적으로, 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합을 공역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.

정의

원천과 흡입 
범주 의 원천(源泉, ) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 는 대상이다.
 는 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
 는 의 사상들의 모임이다.
마찬가지로, 의 흡입(吸入, ) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 는 대상이다.
 는 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
 는 의 사상들의 모임이다.

만약 가 공집합이라면, 원천 은 단순히 대상 이며, 만약 가 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상 이다.

시작 원천과 끝 흡입 
범주 의 원천  및 함자 가 주어졌다고 하자. 만약 가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, 를 -시작 원천(始作源泉, )이라고 한다.
 임의의 대상  및 사상  및 사상족 에 대하여, 라면, 이자 인 가 유일하게 존재한다.

마찬가지로, 그 쌍대 개념인 -끝 흡입(-吸入, )을 정의할 수 있다.

만약 가 한원소 집합이라면, 시작 원천은 데카르트 사상이라고 한다.

올림 
두 범주 ,  사이의 함자 가 주어졌다고 하자. 의 원천 에서, 만약 인 가 존재한다면, 원천 를 -구조 원천(構造源泉, )이라고 한다. 마찬가지로 -구조 흡입(構造吸入, )을 정의한다.

-구조 원천 의 올림은 이자 인  -원천 이다.

-구조 흡입의 올림 역시 마찬가지로 정의된다.
시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.

임의의 -구조 원천 이 만약 시작 원천 을 갖는다면, 를 원천 에 대한 의 시작 -구조(始作構造, )라고 한다. 마찬가지로, -구조 흡입에 대한 끝 -구조(-構造, )를 정의할 수 있다.

위상 함자 
함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 위상 함자()라고 한다.
 모든 -구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다.
 모든 -구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다.

위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.

성질 
모든 위상 함자는 충실한 함자이다.

가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.
 완비 범주
 쌍대 완비 범주
 정멱 범주
 쌍대 정멱 범주
위상 함자 에 대하여, 만약 가 라면,  역시 이다.

예 
다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다.
 집합과 함수의 범주 
 위상 공간과 연속 함수의 범주 
 콜모고로프 공간과 연속 함수의 범주 
 T1 공간과 연속 함수의 범주 
 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 
 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 
 균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 
 가측 공간과 가측 함수의 범주 
 원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 
 부분 순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 
 확장 유사 거리 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 
 로비어 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.
 차분한 공간과 연속 함수의 범주 
 정규 공간과 연속 함수의 범주 
 정규 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 
 장소와 장소 사상의 범주 
 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주

위상 공간 
위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 시작 위상(始作位相, )과 끝 위상(-位相, )이라고 불린다.

즉, 집합 와 위상 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면,  위의 시작 위상은 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로, 의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.

여기서 는 의 위상(열린집합들의 족)이다.

마찬가지로,  집합 와 위상 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면,  위의 끝 위상은 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로, 의 끝 위상은 다음과 같다.

가측 공간 
집합 와 가측 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 시작 시그마 대수()는 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로, 의 시작 시그마 대수는

로 생성된다.

마찬가지로, 집합 와 가측 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 끝 시그마 대수()는 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수이다. 구체적으로, 의 끝 시그마 대수 는 다음과 같다.

균등 공간 
집합 와 균등 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 시작 균등 구조()는 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, 의 시작 균등 구조는

로 생성된다.

마찬가지로, 집합 와 균등 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 끝 균등 구조()는 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, 의 끝 균등 구조 는 다음과 같다.

유계형 집합 
집합 와 유계형 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 시작 유계형()은 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로, 의 시작 유계형은 다음과 같다.

마찬가지로, 집합 와 유계형 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 끝 유계형()은 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로, 의 끝 유계형은

로 생성된다.

원순서 집합 
집합 와 원순서 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 시작 원순서()는 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로, 의 시작 원순서는 다음과 같다.

마찬가지로, 집합 와 원순서 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 끝 원순서()는 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로, 의 끝 원순서 는

로 생성된다.

역사 
1974년에 호르스트 헤를리히(, 1937~2015)가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

범주론
일반위상수학