쌍선형 형식

선형대수학에서 쌍선형 형식(雙線型形式, , )은 두 개의 벡터 변수에 대하여 각각 독립적으로 선형인 스칼라 값 함수이다.

정의 
가환환  위의 가군  위의 쌍선형 형식 는 다음과 같은 가군 준동형이다.

여기서 는 -가군의 텐서곱이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 이다.
 (왼쪽 선형성) 임의의 , 에 대하여, 
 (오른쪽 선형성) 임의의 , 에 대하여, 

가환환 가 다음과 같은 2차 자기 동형을 가진다고 하자.

에 대한 반쌍선형 형식(半雙線型形式, ) 는 다음 조건을 만족시키는 함수 이다.
 (왼쪽 반선형성) 임의의 , 에 대하여, 
 (오른쪽 선형성) 임의의 , 에 대하여, 
일부 문헌에서는 대신 왼쪽 선형성 · 오른쪽 반선형성을 요구하는 경우도 있다. 대개 전자는 물리학에서, 후자는 순수 수학에서 더 많이 쓰이지만, 힐베르트 공간 따위를 다룰 때에는 대개 전자를 사용한다. 반쌍선형 형식은 쌍선형 형식의 개념의 일반화이며, 만약 자기 동형 가 항등 함수라면 이는 쌍선형 형식을 이룬다.

대칭 형식 
가환환  위의 가군  위의 쌍선형 형식 가 다음 조건을 만족시킨다면, 대칭 쌍선형 형식(對稱雙線型形式, )이라고 한다.

가환환  위의 가군  위의 쌍선형 형식 가 다음 조건을 만족시킨다면, 반대칭 쌍선형 형식(反對稱雙線型形式, )이라고 한다.

가환환  위의 가군  위의 쌍선형 형식 가 다음 조건을 만족시킨다면, 교대 쌍선형 형식(交代雙線型形式, )이라고 한다.

가 체라고 하면, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.
 가 표수가 2가 아닌 체인 경우: 교대 형식 = 반대칭 형식이며, 대칭 형식이자 반대칭 형식인 경우 0인 상수 함수이다.
 가 표수가 2인 체인 경우: 교대 형식  반대칭 형식 = 대칭 형식

자기 동형 를 갖는 가환환  위의 가군  위의 반쌍선형 형식 가 다음 조건을 만족시킨다면, 에르미트 반쌍선형 형식(Hermite半雙線型形式, )이라고 한다.

이는 대칭 쌍선형 형식의 일반화이다. 마찬가지로, 반쌍선형 형식 가 다음 조건을 만족시킨다면, 반에르미트 반쌍선형 형식(反Hermite半雙線型形式, )이라고 한다.

만약 의 표수가 홀수라면, 에르미트 형식의 개념과 반에르미트 형식의 개념은 일치한다. 교대 반쌍선형 형식(交代半雙線型形式, )의 정의는 교대 쌍선형 형식과 같다.

비퇴화 형식 
체  위의 벡터 공간  위의 쌍선형 형식 의 왼쪽 근기()와 오른쪽 근기()는 각각 다음과 같다.

대칭 쌍선형 형식과 반대칭 쌍선형 형식의 경우 왼쪽 근기와 오른쪽 근기가 일치하며, 이 경우 단순히 의 근기() 라고 한다.

체  위의 벡터 공간  위의 대칭 또는 반대칭 쌍선형 형식 의 근기가 이라면, 를 비퇴화 쌍선형 형식(非退化雙線型形式, )이라고 한다. 이 조건은 구체적으로 다음과 같다.

이 경우, 를 통해 벡터 공간의 표준적인 동형

이 주어진다. (만약 가 대칭 쌍선형 형식일 경우 이는 유일하지만, 가 반대칭 쌍선형 형식일 경우 왼쪽과 오른쪽 동형이 −1배로 서로 다르다.) 이러한 동형이 존재하려면 는 유한 차원 벡터 공간이어야 하므로, 비퇴화 쌍선형 형식은 유한 차원 벡터 공간 위에서만 존재할 수 있다.

쌍선형 형식에 대응하는 이차 형식 
체  위의 벡터 공간  위의 쌍선형 형식 에 대응하는 이차 형식() 은 다음과 같은 이차 형식이다.

쌍선형 형식과 이차 형식의 관계는 의 표수가 2인지 여부에 따라 다르다.

홀수 표수 
의 표수가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 를 대칭 성분과 반대칭 성분

으로 분해할 수 있으며, 에 대응하는 이차 형식은 대칭 성분 에 의하여 완전히 결정된다.

반대로, 이차 형식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

그렇다면 는 에 대응하는 이차 형식이다.

따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 이차 형식의 개념과 대칭 쌍선형 형식의 개념은 서로 동치이다. 즉, 하나가 주어졌을 때 다른 하나는 유일하게 결정된다.

짝수 표수 
의 표수가 2인 경우, 를 정의할 수 없다. 만약 벡터 공간 가 1차원인 경우 여전히 (반)대칭 쌍선형 형식은 이차 형식과 일대일 대응하지만, 가 2차원 이상일 경우 이차 형식과 쌍선형 형식 사이의 일대일 대응이 더 이상 성립하지 않는다.

예

이차 형식에 대응하는 쌍선형 형식 
2차원 벡터 공간 위의 다음과 같은 이차 형식을 생각하자.

표수가 2가 아닌 경우, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 다음과 같다.

만약 표수가 2인 경우, 를 정의할 수 없다. 만약 이라면, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 존재하지 않는다.

짝수 표수에서 교대가 아닌 반대칭 형식 
표수가 2인 체 위의 2차원 벡터 공간 위에서 다음과 같은 쌍선형 형식을 생각하자.

이는 (반)대칭 쌍선형 형식이지만,

이므로 교대 형식이 아니다.

참고 문헌

같이 보기 
 이차 형식
 내적 공간
 직교군
 유니터리 군

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

선형대수학