특성곡선법

해석학에서 특성곡선법(特性曲線法, )은 1차 편미분 방정식을 연립 1차 상미분 방정식으로 환원하여 푸는 방법이다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 차원 매끄러운 다양체 
  위의 두 매끄러운 벡터 다발 
  위의 차 미분 연산자 
의 주표상이 국소 좌표계에서

라고 하자. 이는 벡터 다발 사상

를 정의한다. (는 올별 차 대칭 대수 벡터 다발이다.) 이 벡터 다발 사상의 핵, 즉

을 의 특성점의 집합이라고 한다.

임의의 실수 값 매끄러운 함수

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 에 대하여 는 (적절한 조건 아래) 차원 초곡면을 이룬다. 만약

일 경우, 각 를 의 특성 초곡면()이라고 한다. 만약 일 경우 이는 의 특성 곡선()이라고 하며, 일 경우 특성 곡면()이라고 한다.

예 
매끄러운 다양체  위의 벡터장

이 주어졌다고 하자. 이에 대한 미분 연산자

를 생각하자. 의 특성 초곡면을 정의하는 함수 는

을 만족시킨다.

예를 들어, 편의상 준 리만 계량 를 부여하였을 때, 임의의 곡선 에 대하여, 그 상이 특성 곡선을 이룰 조건은

인 것이다. 이는 1차 상미분 방정식이다.

매우 구체적으로, 이며 라고 하자. 그렇다면 특성 곡선들은

로 정의되는 직선족 이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

편미분방정식