코호몰로지 연산

대수적 위상수학에서 코호몰로지 연산(cohomology演算, )은 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환, 또는 이를 나타내는 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류이다.

정의

1차 코호몰로지 연산 
자연수  및 아벨 군 에 대하여, 형 1차 코호몰로지 연산()은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류

이다. 형 1차 코호몰로지 연산들의 집합은 에일렌베르크-매클레인 공간의 코호몰로지

를 이룬다. 형 1차 코호몰로지 연산 는 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환

을 유도한다.

2차 코호몰로지 연산 
에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같은 세르 올뭉치를 갖는다.

여기서 는 고리 공간, 는 밑점에서 시작하는 경로 공간을 뜻한다. 임의의 1차 코호몰로지 연산 에 대하여, 올뭉치의 당김

을 정의할 수 있다.  위의 형 2차 코호몰로지 연산은  위의 코호몰로지류

이다. 즉, 다음과 같은 호모토피류들이 존재한다.

그렇다면,

를 사용하여

를 정의할 수 있다.

2차 코호몰로지 연산 는 코호몰로지류 위의 함수

를 정의한다. 구체적으로, 코호몰로지류

가 주어졌을 때,

이다. 여기서 사용한 역함수 는 일반적으로 잘 정의되지 않는다. 하지만,
 는  위에서 항상 하나 이상의 값을 갖는다.
 는 일반적으로 여러 개의 값을 가지지만, 가능한 값들의 차는 모두 에 속한다.

고차 코호몰로지 연산 
보다 일반적으로, 차 코모홀로지 연산에 대응하는 차 코호몰로지 연산의 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 1차 코호몰로지 연산 에 대한 2차 코호몰로지 연산 이 주어졌다고 할 때, 그 위의 3차 코호몰로지 연산은 호모토피류 이다. 즉, 다음과 같다.

이는 연산

을 정의한다.

예 
특이 코호몰로지에 대하여 정의되는 코호몰로지 연산은 다음을 들 수 있다.
 합곱 . 이는 불안정 연산이다.
 스틴로드 제곱 
 스틴로드 축소 제곱 ,  소수
 폰트랴긴 제곱 
 아벨 군의 짧은 완전열 에 대하여, 복시테인 준동형 
 포스트니코프 제곱
 매시 곱. 이는 2차 코호몰로지 연산이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

대수적 위상수학