강제법

집합론에서 강제법(强制法, )은 특정한 조건을 만족시키는 집합론 모형을 정의하는 방법이다.

강제법은 주어진 집합론의 모형에 새로운 집합을 추가함으로써 새로운 모형을 만드는 과정이다. 가령, 연속체 가설의 부정이 충족되는 모형을 만드려는 경우를 고려하자. 이면 연속체 가설이 거짓이므로, 자연수 집합 의 부분 집합을 충분히 많이 추가해서 새로운 모형을 만듦으로써 연속체 가설이 성립하지 않게 만드는 것을 생각할 수 있다. 강제법은 그러한 모형을 만드는 것을 가능하게 해 준다.

강제법에 대하여 파트리크 드오르누아()는 다음과 같이 비유하였다.

정의

강제법 언어 
이 추이적 집합이라고 하자. 또한, 임의의 집합  및 그 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면

을 정의하자. 이는 에서 -해석할 수 있는 -이름들의 집합이다.

그렇다면 강제법 언어 는 집합론의 1차 논리 언어 에 의 원소들을 상수(0항 연산)로 추가한 1차 논리 언어이다.

임의의 원소 에 대하여, 이름

를 정의하자. 이는 의 이름이라고 한다.

강제법 모형 
집합 와 그 부분 집합  및 추이적 집합 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 추이적 모형 를 다음과 같이 정의하자.
 집합으로서, 는 에 속하는 이름들의 해석들이다.
 의 해석은 외적인 개념과 같다.
 에서, 상수 의 해석은 이다.

이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 적었다.

강제성 관계 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 추이적 집합 
 원순서 집합  및 그 부분 집합 . 대략, 라면 가 보다 "더 많은 정보를 제공한다"고 여긴다.
 강제법 언어 의 1차 논리 문장 
 원소 . 이를 강제 조건()이라고 한다.
그렇다면, 다음과 같은 관계를 정의하자.

여기서 는 에 속하는 의 모든 공종 집합들의 족 에 대하여 모든 -포괄적 순서 아이디얼들의 집합이다.

또한, 다음과 같은 관계

를 재귀적으로 정의하자. (여기서 는 임의의 두 -이름이다.)

성질

강제법 모형 
집합 와 그 부분 집합  및 추이적 집합 이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

이다. 만약 이라면

은 단사 함수이며, 만약 추가로 이라면

이다. 따라서, 이라면 이다.

또한, 만약 일 때, -이름

을 생각하면

이다. 따라서, 이 경우 이다.

만약 이 추가로 ZFC의 추이적 모형이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
임의의 에 대하여, 만약   역시 ZFC의 추이적 모형이며 라면, 이다.
즉, 는 와 을 포함하는 최소의 ZFC 추이적 모형이다.

이에 대하여 티머시 이청 차우()는 다음과 같이 적었다.

강제성 관계의 성질 
이 ZFC의 추이적 모형이며, 이며, 가  위의 포괄적 순서 아이디얼이라고 하자.
그렇다면 다음을 보일 수 있다. 의 (자유 변수가 없는) 명제 에 대하여,
 . 즉, 에서 어떤 명제가 참이려면, 그러할 이유(즉, 명제를 강제하는 )가 존재해야 한다.
 (내적 정의 가능성) 임의의 문장 에 대하여, 
 (일관성) 는 순서 보존 함수 를 정의한다. 즉, 이며 라면 이다.
이 핵심적인 성질들을 사용하여 각종 성질을 만족시키는 강제법 모형을 구성할 수 있다.

이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 설명하였다.

기수의 보존 
순서수의 개념은 절대적이다. 즉, 모형 속의 순서수의 개념은 모형 밖의 순서수의 개념과 일치한다. 그러나 기수의 개념(즉, 어떤 순서수가 기수인지 여부)은 절대적이지 않으며, 모형 의 기수가 에서는 기수가 아닌 순서수일 수 있다.

ZFC의 추이적 모형  및  및  위의 원순서 가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, 가 의 기수를 보존한다()고 한다.
 임의의 포괄적 순서 아이디얼  및 순서수 에 대하여, 이다.
만약 다음 조건이 성립한다면, 가 의 공종도를 보존한다()고 한다.
 임의의 포괄적 순서 아이디얼  및 두 순서수 에 대하여, 이다. (여기서 는 순서수의 공종도를 뜻한다.)
그렇다면, 임의의 에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
((는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다)) ⇒ 는 의 공종도를 보존한다 ⇒ 는 의 기수를 보존한다

예

무작위 강제법 
라고 하자. 여기서 은 단위 구간  위의, 르베그 측도가 양수인 보렐 집합들의 집합족이다. 는 최소 원소 을 갖는 부분 순서 집합이다.

이 경우, 포괄적 필터 는  속의 필터 기저로서 어떤 실수 로 수렴하게 된다.

이 경우, 는 무작위 강제법()이라고 한다.

코언 강제법 

기수 에 대하여, 가 정의역의 크기가  미만인 부분 정의 함수 들의 부분 순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 이 부분 순서 집합에 대한 강제법을 코언 강제법()이라고 하며, 이를 사용하여 연속체 가설의 독립성을 보일 수 있다.

응용 
강제법을 사용하여, 집합론의 여러 명제들이 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이라는 것을 보일 수 있다. 연속체 가설이나 구성 가능성 공리가 그 대표적인 예이다. 또한 강제법과 내부 모형을 이용하면 선택 공리의 독립성 또한 보일 수 있다.

계산 가능성 이론에서도 강제법이 응용된다.

역사 
폴 코언이 ZFC에서 연속체 가설의 독립성을 증명하기 위해 1963년에 도입하였다. 코언이 사용한 기법은 구성 가능 위계를 핵심적으로 사용하였고, 오늘날 분기 강제법(分岐強制法, )이라고 불린다.

이후 데이나 스콧과 로버트 솔로베이가 완비 불 대수를 사용하여 구성 가능 위계를 사용하지 않는 기법을 개발하였으나, 출판하지 않았다. 이 기법은 조지프 로버트 숀필드가 정리하여 비분기 강제법(非分岐強制法, )이라는 이름으로 1971년에 출판하였다. 비분기 강제법이 더 간편하므로, 오늘날 "강제법"이라는 용어는 통상적으로 후자를 일컫게 되었다.

1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움은 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크