모듈라이 공간

대수기하학에서 모듈라이 공간(moduli空間, )은 각 점이 어떤 공간족의 각 원소와 대응하는 공간이다. 이를 사용하여, 여러 분류 문제를 해결할 수 있다. 대수적 위상수학의 분류 공간과 유사한 개념이다.

정의 
스킴을 집합으로 대응시키는 함자 가 주어졌다고 하자. 이 함자의 섬세한 모듈라이 공간() 은 의 표현이다. 즉,
 은 스킴이다.
 는 자연 동형이다.
이 정의는 다음과 같이 해석한다.
 함자 는 어떤 밑공간  위에 존재할 수 있는 모든 공간족(族)들의 집합으로 생각한다.
 는  위에 존재하는 공간족들이 사상 과 대응한다는 것을 의미한다. 즉,  위의 임의의 공간족은 사상 으로 인한,  위의 보편 공간족()의 당김으로 유도된다.

함자 의 거친 모듈라이 공간() 은 다음을 만족시키는 순서쌍이다.
 은 스킴이다.
 는 자연 변환이다.
 모든 대수적으로 닫힌 체 에 대하여, 함수 은 전단사 함수이다.
 임의의 스킴  및 자연 변환 에 대하여, 인 자연 변환 이 존재한다.

이 밖에도, 스킴의 범주 대신 예를 들어 어떤 주어진 스킴 위의 스킴들의 범주나 다른 기하학적 범주에서도 섬세한·거친 모듈라이 공간을 정의할 수 있다.

일반적으로, 자기 동형 사상을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다. 이 경우 추가 구조를 주어 자기 동형을 없애거나,  아니면 스택과 같은 대상을 사용하여야 한다.

예

그라스만 다양체 
어떤 -벡터 공간 에 대하여, 그라스만 다양체 는 의 (원점을 지나는) 차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간이다. 인 경우, 이는 사영 공간으로 불린다.

저우 다양체 
저우 다양체 는  속의 차수 의 곡선들의 모듈라이 공간이다. 보다 일반적으로, 힐베르트 스킴은 사영 공간 속의 모든 닫힌 부분 스킴들을 분류하는 모듈라이 공간이다.

곡선의 모듈라이 공간 
종수가 인 비특이 사영 대수 곡선들의 경우 (섬세한) 모듈라이 공간이 존재하지 않고, 대신 오직 모듈라이 스택만이 존재하는데, 이를 라고 한다. 여기에 안정 곡선을 추가하여 콤팩트화하면, 종수 의 안정 곡선들의 모듈라이 스택 를 얻는다. 물론 종수가 인 비특이 (또는 안정) 곡선들의 거친 모듈라이 공간은 존재하지만, 이는 모듈라이 스택보다 더 적은 양의 정보를 담고 있다.

같이 보기 
 모듈러스 (물리학)
 표현 가능 함자

참고 문헌

외부 링크 
 
 

모듈라이 이론