목걸이 (조합론)

조합론에서 목걸이()는 순환군의 작용에 대한 문자열의 궤도이다.

정의

목걸이 
임의의 집합 가 주어졌다고 하자.  위의 길이 의 문자열 집합 을 생각할 수 있다.  위에는 차 순환군 은 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

보다 일반적으로, 크기 의 정이면체군 은 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

임의의 집합 가 주어졌을 때,  속의 색깔을 갖는, 길이 의 목걸이()는  위의,  작용에 대한 궤도이다.  속의 색깔을 갖는, 길이 의 팔찌()는  위의,  작용에 대한 궤도이다.

비주기적 목걸이(非週期的-, )는 안정자군이 자명군인 목걸이이다. 임의의 목걸이는 비주기적 목걸이의 반복으로 표준적으로 나타낼 수 있다. 즉, 길이 의 목걸이는 의 어떤 약수 에 대하여, 길이 의 비주기적 목걸이의 번 반복으로 나타낼 수 있다.

성질 
목걸이와 팔찌의 수는 포여 열거 정리를 사용하여 계산할 수 있다.

목걸이의 수 
개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 인 목걸이의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.

여기서 는 오일러 피 함수이다.

팔찌의 수 
개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 인 팔찌의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.

비주기적 목걸이의 수 
개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 인 팔찌의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.

이를 목걸이 다항식(-多項式, )이라고 한다. 여기서 는 뫼비우스 함수이다. 모든 목걸이는 비주기적 목걸이로 분해할 수 있으므로

이다.

목걸이 다항식의 공식은 다음과 같이 유도할 수 있다. 우선, 은 순환군의 작용에 대한 궤도들의 크기의 합이므로, 다음 공식이 성립한다.

이를 뫼비우스 반전 공식에 따라 풀면 다음과 같다.

특히, 임의의 소수 에 대하여,

이다.

표 
처음 몇 개의 목걸이 다항식은 다음과 같다.

응용 
목걸이 다항식 는 다음과 같은 수학 분야에서 등장한다.
 개의 문자로 구성된 알파벳 위의 길이 의 린던 단어의 수
 크기 의 집합으로 생성되는 자유 리 대수의, 차수  부분 공간의 차원
 크기 의 유한체 위의 차 일계수 기약 다항식의 수
 목걸이 항등식은 원분 항등식()에서 지수로 등장한다.

역사 
샤를 폴 나르시스 모로()가 1872년에 최초로 목걸이의 열거 문제를 연구하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 포여 열거 정리

열거조합론