지수열

복소기하학에서, 지수열(指數列, )은 복소수의 지수 함수로부터 유도되는 층들의 긴 완전열이다.

정의 
복소다양체  위에서, 이 정칙 함수의 층, 이 가역 정칙 함수의 층이라고 하자. 이는 둘 다 아벨 군의 층이다. 그렇다면, 지수 함수

로부터, 층의 사상

을 정의할 수 있다. 이로 인하여, 다음과 같은 층의 짧은 완전열이 존재한다.

여기서 는 의 값을 갖는 상수층이다.

임의의 열린집합 에 대하여, 단면 함자 를 취하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

이를 지수열이라고 한다.

성질

로그의 존재 
지수열

에서, 지수 함수 의 역함수 가 (적어도 하나 이상) 존재하려면, 가 전사 함수여야 한다. 따라서, 가 단일 연결 공간이라면 (), 어디서도 0이 아닌 모든 함수는 (적어도 하나의) 로그를 취할 수 있다.

예를 들어, 인 경우, 는 어디서도 0이 아니지만, 로그를 취할 수 없다.

천 특성류 
지수열

에서, 는 의 피카르 군(해석적 선다발의 텐서곱군)이다. 따라서, 사상 는 해석적 선다발을 그 천 특성류로 대응시킨다.

만약 가 슈타인 다양체인 경우, 카르탕 B정리에 의하여

이다. 따라서

이다. 즉, 해석적 선다발들은 2차 코호몰로지류와 (천 특성류에 의하여) 일대일 대응한다.

예 
가 종수 의 연결 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. 그렇다면 특이 코호몰로지 군들은 다음과 같다.

또한, 연결 콤팩트 리만 곡면 위의 정칙 함수는 상수 함수밖에 없으므로, 다음이 성립한다.

또한, 돌보 코호몰로지에 의하여 다음이 성립한다.

따라서, 지수열은 다음과 같다.

여기서, 는 전사 함수이므로, 이 부분은 끊어 없앨 수 있다. 따라서, 지수열의 자명하지 않은 부분은 다음과 같다.

따라서, 야코비 다양체(피카르 군의 항등원의 연결 성분)는 다음과 같다.

또한, 네롱-세베리 군은 다음과 같다.

이 동형은 인자의 차수에 의하여 주어진다.

같이 보기 
 쿠쟁 문제

각주

외부 링크 
 

층론
복소다양체