순환 지표

군론과 조합론에서 순환 지표(循環指標, )는 유한 집합 위에 충실하게 작용하는 유한군에 대응되는 다변수 다항식 불변량이다. 군의 작용의 궤도들의 크기와 수에 대한 생성 함수이다.

정의 
크기가 인 유한 집합  및 그 대칭군의 부분군 이 주어졌다고 하자. (즉, 가  위에 충실하게 작용한다고 하자.) 의 순환 지표(循環指標, )

는 다음과 같은 다항식이다.

여기서 는 순열 의 길이 의 순환의 수이다. 즉, 로 생성되는 의 부분군 이  위에 작용할 때, 주어진 크기의 궤도들의 수이다.

추상적으로 서로 동형인 군이라도, 집합 위의 작용이 다르다면 서로 다른 순환 지표를 가질 수 있다.

예

자명군 
자명군은 임의의 크기 의 유한 집합 위에 충실하게 작용한다. 이 경우 순환 지표는

이다.

순환군 
차 순환군 은 크기가 인 집합 위에

와 같이 작용한다. 이 작용을 갖춘 순환군 의 경우

이다. 여기서 는 오일러 피 함수이다.

정이면체군 
차 정이면체군 은 크기 의 집합 위에 다음과 같이 작용한다.

정이면체군 의 순환 지표는 다음과 같다.

대칭군과 교대군 
크기 의 대칭군 은 크기 의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.

이 합에서 의 항은 크기 의 순환이 개 있는 순열에 대응한다.

크기 의 교대군  역시 크기 의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.

이 합에서 은 짝순열의 경우 2이며 홀순열의 경우 0이다.

정육면체 
정육면체 및 정팔면체의 방향 보존 대칭군 은 와 동형인, 크기가 24인 유한군이다. 이는 정육면체의 6개의 면 (또는 정팔면체의 6개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다.
이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.
 : 항등원
 : 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
 : 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
 : 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
 : (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

는 또한 정육면체의 8개의 꼭짓점(또는 정팔면체의 8개의 면)에 충실하게 작용한다.
이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.
 : 항등원
 : 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
 : 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
 : 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
 : (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

정사면체 
정사면체의 대칭군 은 교대군 와 동형인, 크기 12의 유한군이다. 이는 정사면체의 4개의 면 (또는 4개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다.

이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.
 : 항등원
 : 120도 (시계 방향 또는 시계 반대 방향) 회전
 : 180도 회전

역사 
헝가리의 수학자 포여 죄르지가 1937년에 포여 열거 정리에 사용하기 위하여 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

군론
열거조합론