정규 스킴

대수기하학에서 정규 스킴(正規scheme, )은 모든 국소환이 정수적으로 닫힌 정역인 스킴이다.

정의 
국소환 달린 공간 에서, 만약 모든 에 대하여 구조층의 줄기 가 정수적으로 닫힌 정역인 국소환이라면, 를 정규 국소환 달린 공간()이라고 한다.

정규 스킴은 정규 국소환 달린 공간인 스킴이다. 정규환(正規環, ) 는 그 스펙트럼 가 정규 스킴인 가환환이다. 즉, 임의의 소 아이디얼 에 대하여, 국소화 가 정수적으로 닫힌 정역인 경우이다.

정규화 
임의의 기약 축소 스킴 에 대하여, 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 기약 정규 스킴  및 스킴 사상 가 존재하며, 이를 의 정규화()라고 한다.
 임의의 기약 정규 스킴  및 우세 사상 에 대하여, 가 되는 스킴 사상 가 유일하게 존재한다.

이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다.  위에 열린 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개 를 잡았을 때, 각 의 정수적 폐포 들의 스펙트럼 을 이어붙여 스킴 를 구성할 수 있다. 자연스러운 사상 는 가환환의 포함 준동형 으로부터 유도된다.

만약 가 기약 스킴이 아닌 축소 스킴이라면, 그 정규화는 의 각 기약 성분 의 정규화 들의 분리합집합

으로 정의된다.

성질 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

세르 조건 
뇌터 가환환 에 대하여, 다음과 같은 조건들을 정의하자.
 Rk: 모든 소 아이디얼 에 대하여, 만약 라면, 국소화 는 정칙 국소환이다. 여기서 는 아이디얼의 높이이다.
 Sk: 모든 소 아이디얼 에 대하여, . 여기서 는 (스스로 위의 가군으로서의, 유일한 극대 아이디얼에 대한) 깊이이다.
세르 조건()에 따르면, 뇌터 가환환의 경우, 다음 표에서 각 행에 적힌 두 조건이 서로 동치이다.

대수기하학적으로, 정규 스킴의 세르 조건에서, R1 조건은 대략 "여차원 1의 특이 부분 집합이 존재하지 않음"을 뜻한다. 마찬가지로, 대수기하학적으로 S2 조건은 하르톡스 확장정리에 해당한다.

정규 대수다양체 
대수적으로 닫힌 체  위의 대수다양체 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 정규 대수다양체이다.
  위의 임의의 대수다양체  및 ( 전체에 정의된) 및 임의의 유한 쌍유리 사상 에 대하여, 는 (대수다양체의) 동형 사상이다.
이는 정수적으로 닫힌 정역의 정의를 그대로 기하학적으로 번역한 것이다. 즉, 에 대하여 라고 놓으면, 모든 환 에 대하여, 만약 다음 두 조건
 (쌍유리 사상) 
 (유한 사상) 는  위의 유한 생성 가군
이 성립한다면, 이어야 한다.

역사 
정규 스킴의 개념은 오스카 자리스키가 1939년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

가환대수학
스킴 이론