당김 (범주론)

범주론에서 당김()은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, 곱의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 올곱(, )이라고 불린다.

정의 
어떤 범주에서 대상  및 사상

이 주어졌을 때, 와 의 당김 는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상  및 사상 으로 구성된다.

위와 같은 가환 그림을 당김 사각형()이라고 한다. 이 그림에서, 를 에 대한 당김 또는 밑 변환(-變換, )이라고 한다.

이는 범주론적 극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상  및 사상 , 에 대하여, 만약 라면 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 가 유일하게 존재한다.

만약 이며 일 경우, 의 당김은 핵쌍(核雙, )이라고 한다.

밑 변환 
범주 의 사상에 대한 어떤 성질 가 주어졌다고 하자. (즉, 의 사상들의 모임 가 주어졌다고 하자.)

만약 모든  사상  및 임의의 사상 에 대하여 밑 변환  역시  사상이라면, 를 밑 변환에 대하여 안정적인 성질()이라고 한다.

밑 변환에 대하여 불안정한 성질 에 대하여, 보편  사상()은 다음 조건을 만족시키는 사상 이다.
 임의의 사상 에 대하여, 밑 변환 은  사상이다.

범주 가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, 밑 변환에 의하여, 임의의 사상 에 대하여 조각 범주 사이의 함자

가 존재하며, 이는 조각 범주의 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.

여기서 사상 는 다음과 같이, 당김 보조정리에 의하여 존재한다.

즉, 왼쪽·오른쪽 사각형이 둘 다 당김 사각형이므로 전체 사각형 역시 당김 사각형이며, 이 된다.

만약 가 토포스라면, 그 위의 조각 범주 ,  역시 토포스이며, 밑 변환 함자는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 갖는다.

또한, 는 토포스 사이의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.

성질

곱과의 관계 
(유한) 곱과 동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 곱

이 주어졌을 때,

의 당김은

의 동등자이다. 반대로, 당김과 곱이 존재하는 범주에서는 동등자가 존재한다.

만약 이 끝 대상일 경우, 이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.

당김 사각형의 붙임 
다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

이 그림에서, 왼쪽 사각형 · 오른쪽 사각형 · 전체 사각형이 각각 당김 사각형을 이루는지 여부를 고려할 수 있다. 그렇다면, 당김 보조정리()에 따르면 다음이 성립한다.
 오른쪽 사각형이 당김 사각형이라고 가정했을 때, 왼쪽 사각형이 당김 사각형인 것은 전체 사각형이 당김 사각형인 것과 동치이다.
그러나 이러한 정리는 왼쪽 사각형에 대하여 성립하지 않는다.  즉, 두 개의 당김 사각형을 붙여 당김 사각형을 만들 수 있고, 반대로 당김 사각형을 반으로 갈랐을 때 오른쪽이 당김 사각형이라면 왼쪽도 마찬가지다. (그러나 왼쪽이 당김 사각형일 경우 오른쪽은 아닐 수 있다.)

즉, 다음과 같은 경우가 가능하다. (표에서 "예"는 당김 사각형인 경우, "아니오"는 당김 사각형이 아닌 경우이다.)

예

대수적 범주 
대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우, 당김이 항상 존재하며, 보통 올곱으로 불린다. 다음과 같은 대수 구조 및 준동형

의 당김은 다음과 같다.

이 경우 사상 , 는 자연스러운 사영 함수 , 이다. 예를 들어, 집합과 함수의 범주 는 아무런 연산을 갖지 않는 대수 구조이므로 당김이 존재한다. 마찬가지로, 군의 범주 , 아벨 군의 범주 , 유사환의 범주 , 환의 범주 , 가환환의 범주  등에서도 모두 당김이 존재한다.

위상 공간 
위상 공간의 범주에서, 의 당김은 곱공간 의 다음과 같은 부분 공간이다.

집합으로서 이는 집합의 범주에서의 당김과 같다.

특히, 올다발  및 연속 함수 가 주어졌을 때, 는  위에서 정의된 의 당김 올다발이다. "당김"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.

스킴 
스킴의 범주 는 유한 완비 범주이며, 특히 모든 당김을 갖는다. 스킴의 당김은 (망각 함자  아래) 일반적으로 위상 공간의 당김과 다르다.

스킴 사상의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 안정적인 것은 다음이 있다.
 전사 함수
 준콤팩트 함수
 닫힌 몰입
 열린 몰입
 분리 사상
 준분리 사상
 유한 사상
 국소 유한 표시 사상
 유한 표시 사상 = 준콤팩트 함수 + 준분리 사상 + 국소 유한 표시 사상
 국소 유한형 사상
 유한형 사상 = 준콤팩트 함수 + 국소 유한형 사상
 고유 사상
 평탄 사상
 형식적 매끄러운 사상
 매끄러운 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 매끄러운 사상
 형식적 비분기 사상
 비분기 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 비분기 사상
 에탈 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 매끄러운 사상 + 형식적 비분기 사상

스킴 사상의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 불안정한 것은 다음이 있다.
 전단사 함수
 단사 함수
 열린 함수
 닫힌 함수
 우세 사상
 위상 동형

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 곱 (범주론)
 밂 (범주론)
 데카르트 사상

극한 (범주론)