완비 불 대수

순서론에서 완비 불 대수(完備Boole代數, )는 완비 격자인 불 대수이다.

정의

순서론적 정의 
완비 불 대수는 완비 격자인 불 대수이다. 두 완비 불 대수 사이의 완비 불 대수 준동형은 완비 격자 준동형이자 불 대수 준동형인 함수이다.

마찬가지로, 임의의 기수 에 대하여, -완비 불 대수는 크기  미만의 모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 불 대수이며, -완비 불 대수 준동형은 크기  미만의 상한과 하한을 보존하는 불 대수 준동형이다. -완비 불 대수는 불 대수와 같은 개념이며, -완비 불 대수는 시그마 대수라고 한다.

위상수학적 정의 
불 대수와 불 대수 준동형의 범주는 스톤 공간과 연속 함수의 범주의 반대 범주이다. 이 경우, 불 대수 에 대응하는 스톤 공간 이 주어졌을 때, 만약 다음 조건이 성립한다면 를 완비 불 대수라고 한다.
 임의의 열린집합 의 폐포는 열린집합이다.

성질

함의 관계 
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center"
|| || 완비 격자 || ⇐ || 완비 헤이팅 대수 ||  ⇐ || 완비 불 대수
|-
|| || || || || || ⇓
|-
|| || ⇓ || || ⇓ || || 시그마 대수
|-
|| || || || || || ⇓
|-
| 원순서 집합 ⇐ 부분 순서 집합 ⇐ || 유계 격자 || ⇐ || 헤이팅 대수 || ⇐ || 불 대수
|}

기초적 성질 
임의의 완비 불 대수 의 원소  및 부분 집합 에 대하여, 다음이 성립한다.
 (무한 분배 법칙) 
 (무한 분배 법칙) 
 (무한 드 모르간 법칙) 
 (무한 드 모르간 법칙)

크기 
기수 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 인 완비 불 대수 가 존재한다.
 인 시그마 대수(-완비 불 대수) 가 존재한다.
 만약 가 무한 기수라면, 이다. 만약 가 유한 기수라면, 인 기수 이 존재한다.

시코르스키 확장 정리 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 불 대수 의 부분 불 대수 
 완비 불 대수 
 불 대수 준동형 
시코르스키 확장 정리()에 따르면, 가 성립하는 불 대수 준동형 가 존재한다.

매장 가능성 
부분 순서 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 순서 집합을 분리 부분 순서 집합(分離部分順序集合, )이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 라면, 임의의 에 대하여, 는 하계를 갖지 않는다.
 가 되는 완비 불 대수 와 부분 집합 가 존재한다. (은 순서 동형이다.)

범주론적 성질 
완비 불 대수와 완비 불 대수 준동형의 범주 는 구체적 범주이며, 완비 격자와 완비 격자 준동형의 범주 의 충만한 부분 범주이다.

망각 함자

는 왼쪽 수반 함자를 갖지 않는다. 즉, 자유 완비 불 대수는 일반적으로 존재하지 않는다. 그러나 임의의 기수 에 대하여, -완비 불 대수 및 -완비 불 대수 준동형의 범주 의 경우 자유 대상이 존재한다.

특히, 는 쌍대 완비 범주가 아니다.

예 
모든 유한 불 대수는 완비 불 대수이다.

멱집합 
완비 불 대수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 집합 가 존재한다.
 임의의 원소 에 대하여, 인 가 존재한다.
특히, 후자가 성립한다면

이다. 여기서 는 부분 순서 집합 의 극소 원소들의 집합이며, 는 의 최소 원소이다. 의 원소는 보통 원자()라고 한다.

위상 수학 
위상 공간 의 정칙 열린집합들의 족은 완비 불 대수를 이룬다.

역사 
시코르스키 확장 정리는 로만 시코르스키(, 1925~1983)가 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

강제법
격자 이론
순서론