프라티니 논증

군론에서, 프라티니 논증(-論證, )는 유한군을 정규 부분군과 이 부분군의 쉴로브 부분군의 정규화 부분군의 곱으로 나타낼 수 있다는 정리이다.

정의 
군 와 소수 가 주어졌고, 이 의 유한 정규 부분군이며, 가 의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 프라티니 논증에 따르면, 다음이 성립한다.

여기서 는  속 의 정규화 부분군이다.

증명 
임의의 에 대하여, 은 의 쉴로브 p-부분군이다. 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 에서 와 켤레이다. 즉,

인 이 존재한다. 따라서 이며,

이다.

응용 
유한군 와 소수 가 주어졌고, 가 의 쉴로브 p-부분군이며, 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

특히,

이다.

가 의 정규 부분군이며,

는 의 쉴로브 p-부분군이므로, 프라티니 논증에 의하여

이다.

역사 
1885년에 조반니 프라티니()가 유한군의 프라티니 부분군이 멱영군이라는 사실을 증명하기 위해 도입하였다.

각주

외부 링크 
 

유한군
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