끝 (위상수학)

일반위상수학에서, 끝()은 대략 어떤 위상 공간의 "경계"의 "연결 성분"을 뜻한다. 구체적으로, 점점 더 큰 콤팩트 집합을 잘라냈을 때 남는 연결 성분들의 사영 극한이다.

정의 
위상 공간 이 주어졌다고 하자. 그 속의 모든 콤팩트 집합들의 부분 순서 집합 를 생각하자.

이제, 임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 그 여집합의 연결 성분들의 집합

을 생각할 수 있다. 각 포함 사상 에 대하여 자연스러운 함수

가 존재한다. 이에 따라, 사영 극한

를 취할 수 있다. 를 의 끝들의 집합이라고 한다.

끝 콤팩트화 
위상 가 주어졌을 때, 분리합집합 에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 줄 수 있다.

여기서 는 의 열린집합들의 족이다.

이를 의 끝 콤팩트화(끝compact化, )라고 하며, 이는 항상 콤팩트 공간이다.

성질 
다음과 같은 두 범주를 생각하자.
 은 그 대상이 위상 공간이며, 그 사상이 연속 고유 함수인 범주이다.
 은 집합과 함수의 범주이다.
그렇다면, 끝 집합은 함자

를 정의한다. 구체적으로, 임의의 연속 고유 함수  및 끝 에 대하여,

이다. 여기서

는 로 유도되는 표준적인 함수이다.

위상군 
경로 연결 위상군은 두 개 이하의 끝을 갖는다.

예 
콤팩트 공간은 (정의에 따라) 끝을 갖지 않으며, 그 끝 콤팩트화는 스스로와 같다.

실수선은 두 개의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 확장된 실수의 공간이다. 2차원 이상의 유클리드 공간은 하나의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 같은 차원의 초구이다.

콤팩트 다양체  속에 유한 개의 점 을 고르자. 그렇다면, 은 개의 끝을 갖는다. 그 끝 콤팩트화는 원래의 다양체 이다.

역사 
끝의 개념은 한스 프로이덴탈이 1931년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

위상 공간의 성질
일반위상수학