교곱

대수적 위상수학에서 교곱(交곱, )은 호몰로지류와 코호몰로지류를 하나의 호몰로지류로 축약시키는 연산이다.

정의 
X가 위상 공간이며, R가 가환환이라고 하자. 그렇다면  계수의 교곱 은 다음과 같은 -선형 변환이다.

여기서  및 는 각각  계수의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지이다.

이 연산은 다음과 같이 정의된다. 임의의 특이 쌍대사슬  및 특이 단체 에 대하여,

여기서

()는 차원 표준 단체를 꼭짓점들이 인 차원 표준 단체의, 에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다.

경사곱 
두 위상 공간 ,  및 가환환  위의 가군 , 이 주어졌을 때,  계수의 경사곱(傾斜-, ) 은 다음과 같은 -선형 변환이다.

구체적으로, 사슬 복합체 사이에 다음과 같은 사상이 존재한다.

만약 세포 호몰로지를 사용할 경우 이는 두 CW 복합체의 곱공간 위의 표준적인 세포 구조이다. 만약 특이 호몰로지를 사용할 경우, 이는

에 대하여, 단체의 곱공간  위에 부여한 임의의 단체 복합체 구조 아래 기본류를 나타내는 특이 순환

을 골랐을 때

이다.

그렇다면, 경사곱은 다음과 같다.

역사 
교곱은 1936년 에두아르트 체흐가 처음으로 도입하였으며, 1938년에 해슬러 휘트니도 독립적으로 재발견하였다. 교곱의 기호 는 휘트니가 고안하였다.

같이 보기 
 합곱
 푸앵카레 쌍대성
 특이 호몰로지
 호몰로지

참고 문헌

외부 링크 

 

호몰로지 이론
대수적 위상수학
이항연산