쿠라토프스키 모노이드

일반위상수학에서 쿠라토프스키 모노이드()는 주어진 위상 공간의 부분 집합 위의 폐포 · 내부 · 여집합 연산들로 구성된 모노이드이다.

정의 
위상 공간 가 주어졌다고 하자. 이제, 문자 로 생성되는 자유 모노이드(클레이니 스타) 가 멱집합  위에 다음과 같이 작용한다고 하자.

즉, 는 폐포 연산이며, 는 여집합 연산이다.

이제,  위에 똑같이 작용하는 연산들을 서로 동치로 간주하자.

이는 합동 관계를 이루며, 이에 대한 몫 모노이드 를 의 쿠라토프스키 모노이드()라고 한다.

분류

가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드 
가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드는 14개의 원소를 가지며, 다음과 같은 세 항등식으로 정의된다. (은 길이 0의 문자열이다.)
 (폐포의 멱등성) 
 (여집합의 대합성) 
 (폐포의 내부의 정칙성) 
 편의상, 내부 연산 를 정의하면, 이는 와 나머지 두 항등식으로부터 함의된다. 즉, 이는 폐포의 내부가 항상 정칙 열린집합임을 나타낸다.
이 사실을 쿠라토프스키 14개 집합 정리(Kuratowski十四個集合定理, )라고 한다. 이 모노이드를 라고 표기하자. 즉, 쿠라토프스키 14개 집합 정리에 등장하는 14개의 집합들은 다음과 같다.

그렇다면, 임의의 위상 공간의 임의의 부분 집합의 쿠라토프스키 모노이드는 의 몫 모노이드이다.

이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.

위상 공간의 가능한 쿠라토프스키 모노이드 
임의의 위상 공간의 쿠라토프스키 모노이드는 다음 7가지 가운데 하나이다.
 ㈎  (가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드)
 ㈏ 크기 10의 모노이드. 이는 로 생성되는 합동 관계에 대한 의 몫 모노이드이다.
 ㈐ 크기 10의 모노이드. 이는 로 생성되는 합동 관계에 대한 의 몫 모노이드이다.
 ㈑ 크기 8의 모노이드. 이는 로 생성되는 합동 관계에 대한 의 몫 모노이드이다.
 ㈒ 크기 6의 모노이드. 이는 로 생성되는 합동 관계에 대한 의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 모든 열린집합이 열린닫힌집합이지만 이산 공간이 아닌 것이다.
 ㈓ 크기 2의 모노이드 (2차 순환군). 이는 로 생성되는 합동 관계에 대한 의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 공집합이 아닌 이산 공간인 것이다.
 ㈔ 크기 1의 모노이드 (자명군). 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가지는 위상 공간은 공집합 밖에 없다.

성질

조밀 집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합 
의 원소 에 대하여, 이 되는 특별한 부분 집합 을 생각할 수 있다. 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 6개가 있으며, 다음과 같다.

즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립함을 알 수 있다.
조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 공집합
조밀 집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 공집합의 여집합

열린집합·닫힌집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합 
마찬가지로, 의 원소 에 대하여, 가 되는 특별한 부분 집합 을 생각할 수 있다. 가 를 짝수 개 포함한다고 가정하면, 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 5개가 있으며, 다음과 같다.

즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center"
| || ⇗ || 정칙 열린집합 ⇒ 열린집합 || ⇘
|-
| 열린닫힌집합
|colspan=3| || 부분 집합
|-
| || ⇘ || 정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합 || ⇗
|}
만약 가 를 홀수 개 포함한다면, 인 것은 인 경우 밖에는 불가능하다.
증명:
이라고 가정하자. 다음과 같은 7개 경우가 있다.
 (0) 
당연히 불가능하다.
 (1) 
이 경우, 이다. 따라서 이어야 한다. 그런데 이므로 이는 불가능하다.
 (1′) 
이 경우, 는 정칙 닫힌집합이므로 인데, 이는 경우 (1)이다.
 (1″) 
이 경우, 는 정칙 닫힌집합이므로 인데, 이는 경우 (1)이다.
 (2) 
당연히 불가능하다.
 (2′) 
이 경우 는 정칙 열린집합이므로, 인데, 이는 경우 (2)이다.
 (2″) 
이 경우 는 정칙 열린집합이므로, 인데, 이는 경우 (2)이다.

예 
실수선의 쿠라토프스키 모노이드는 이다. 구체적으로, 실수선의 다음과 같은 부분 집합을 생각하자.

그렇다면, 는  위에 서로 다르게 작용한다.

역사 
쿠라토프스키 14개 집합 정리는 카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

일반위상수학
반군론