분리 집합쌍

일반위상수학에서 분리 집합쌍(分離集合雙, )은 서로의 폐포와 겹치지 않는 두 개의 집합을 뜻한다. 이 개념 및 이를 강화한 조건들을 통해, 위상 공간의 다양한 분리공리(分離公理, )들을 정의할 수 있다.

정의 
위상 공간 의 두 부분 집합 에 대하여, 다음을 정의한다.
 만약 이라면, 와 는 서로소 집합쌍(-素集合雙, )이다.
 만약 이거나 또는 이라면, 와 는 위상 구별 가능 집합쌍(位相區別可能集合雙, )이다.
 만약 이라면, 와 는 분리 집합쌍(分離集合雙, )이다.
 만약 이 되는 의 근방  및 의 근방 가 존재한다면, 와 는 근방 분리 집합쌍(近傍分離集合雙, )이다.
 만약 이 되는 의 닫힌 근방  및 의 닫힌 근방 가 존재한다면, 와 는 닫힌 근방 분리 집합쌍(-近傍分離集合雙, )이다.
 만약 이자 인 연속 함수 가 존재한다면, 와 는 함수 분리 집합쌍(函數分離集合雙, )이다.
 만약 이자 인 연속 함수 가 존재한다면, 와 는 정밀 함수 분리 집합쌍(精密函數分離集合雙, )이다. 이 경우, 는 닫힌집합 의 원상이므로 의 닫힌집합이며, 또한 가산 개의 열린집합들 의 교집합이므로 Gδ 집합이다. 이는 도 마찬가지다.
이들 사이에는 서로 함의 관계 전순서가 존재한다.
서로소 ⇐ 분리 ⇐ 근방 분리 ⇐ 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리 ⇐ 정밀 함수 분리
이 가운데 자명하지 않은 것은 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리로, 만약 와 가 에 의하여 서로 함수 분리라면, , 로 놓으면 이들이 닫힌 근방 분리임을 알 수 있다.

성질 
위상 공간 에 대하여, 다음과 같은 꼴의 조건을 정의할 수 있다.
〜인 부분 집합 에 대하여, 만약 이라면, 와 는 〜분리이다.
이러한 조건을 분리공리라고 한다. 대표적인 예는 다음과 같다. (아래 표에서, "점"이란 사실 한원소 집합을 뜻한다.)

여기서
 ㉠은 모든 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. (마찬가지로, 모든 닫힌집합도 열린닫힌집합이다.)
 ㉡은 모든 정칙 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. 이는 ㉠보다 약한 조건이다. (예를 들어, 시에르핀스키 공간은 ㉡을 만족시키지만 ㉠을 만족시키지 않는다.)
 ㉢에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 공간 + (모든 한원소 집합이 Gδ 집합)에 의하여 함의된다.
 ㉣에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 하우스도르프 공간 + (모든 닫힌집합이 Gδ 집합)을 함의하며, 완전 정규 하우스도르프 공간에 의하여 함의된다.

'''증명 (㉠과 동치인 조건들):
다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.
 (A) 열린집합과 닫힌집합이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
 (A′) 열린집합과 점이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
 (A″) 열린집합과 열린집합이 함수 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
 (B) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 열린(닫힌)집합은 정밀히 함수 분리
 (B′) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 점은 함수 분리
(A): 임의의 열린집합 에 대하여, 와 닫힌집합 가 분리되었다고 하자. 그렇다면 이므로 는 닫힌집합이다.

(A′): 귀류법을 통해, 닫힌집합이 아닌 열린집합 이 존재한다면, 를 고를 수 있으며, 이 경우 와 는 서로 분리되지 않는다.

(A″): 함수 분리되는 두 집합은 항상 닫힌집합이다.

(B): 에서 모든 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 임의의 두 서로소 열린닫힌집합 에 대하여,

는 와 를 정밀히 분리하는 연속 함수이다.

(B′): 에서 열린집합과 닫힌집합이 일치한다고 하자. 열린집합 와 를 고른 뒤, 로 놓자. 그렇다면 (B)에 의하여 와 를 분리하는 함수가 존재한다.
증명 (㉡과 동치인 조건):
다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.
 (C) 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리 ⇒ 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합
 (C′) 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합 ⇒ 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리

(C): 의 임의의 정칙 열린집합 에 대하여,  라고 하자. 그렇다면

이다. 이제, 와 가 닫힌 근방 분리된다는 것은

를 뜻하므로, 는 닫힌집합이다. 따라서, 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합이다.

(C′): 에서 모든 정칙 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면, 의 두 서로소 열린집합 에 대하여,

라고 하자. 그렇다면 는 의 닫힌 근방이며,

이므로 는 의 닫힌 근방이다. 따라서 와 는 닫힌 근방으로 분리된다.

'''증명 (이산 공간과 동치인 조건):
한원소 집합과 열린집합이 정밀히 함수로 분리된다는 것은 모든 열린집합이 닫힌집합이며, 또 한원소 집합이 닫힌집합이어야 한다는 것을 함의한다. 후자는 T1 공간의 정의이며, 따라서 이러한 공간은 이산 공간이다. 반대 방향 함의는 자명하다.

'''증명 (㉢의 함의):
완비 정칙 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 모든 한원소 집합이 Gδ 집합이다.
 임의의 에 대하여, 인 연속 함수 가 존재한다.
따라서, 임의의 에 대하여

인 를 고른다면,

는 와 을 정밀히 분리한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

일반위상수학