케일리 그래프

군론과 그래프 이론에서 케일리 그래프()는 군의 구조를 반영하는 그래프이다.

정의 
군  및 부분집합 가 주어졌다고 하자. 케일리 그래프 는 다음과 같은 그래프이다.
의 원소를 꼭짓점으로 갖는다. 즉 .
각각의 원소 와 에 대하여, 와 를 연결하는 변을 갖는다. 즉 .
가 의 생성집합일 때, 는 연결그래프가 되고, 그렇지 않을 때 비연결 그래프가 된다. 

 및 라고 할 때, 케일리 그래프는 색의 자연스러운 변 색칠을 갖는다. 색의 집합은 이며, 변 의 색은

이다. 또한, 케일리 그래프는 의 자연스러운 작용을 가지며, 이는 그래프의 자기동형사상이다.

성질 
자비두시 정리()에 따르면, 그래프 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 가 존재한다.
  위에는 의 정추이적 작용이 존재하며, 이 작용은 의 그래프 자기동형사상이다.
이는 오스트리아의 수학자 게르트 자비두시()가 증명하였다.

케일리 그래프 는 -정규 그래프이다.

군  및 에 대하여, 다음이 서로 동치이다.
 는 국소 유한 그래프이다. (즉, 모든 꼭짓점의 차수가 유한하다.)
 는 유한 집합이다.
군  및 에 대하여, 다음이 서로 동치이다.
 는 유한 그래프이다. (즉, 꼭짓점의 수가 유한하다.)
 는 유한군이다.
군  및 에 대하여, 다음이 서로 동치이다.
 는 연결 그래프이다.
 이다. 즉, 는 의 생성 집합이다.
의 연결 성분의 수는 부분군의 지표 이다.

예 

무한 순환군 의 케일리 그래프 는 무한 경로 그래프이다.

순환군의 케일리 그래프 는 순환 그래프이다.

임의의 곱군 의 케일리 그래프는 각 성분의 케일리 그래프의 데카르트 곱 그래프이다.

자유군 의 케일리 그래프 는 무한 4차 나무이다. 이 케일리 그래프는 바나흐-타르스키 역설의 증명에 등장한다.

역사 
아서 케일리가 1878년에 도입하였다. 막스 덴이 1909년에 이를 재발견하였으며, "군 그림"(, (군) + (그림))이라고 이름붙였다.

참고 문헌

외부 링크 

 

군론
순열군
그래프족
기하군론
대수적 그래프 이론
그래프의 응용