스틴로드 대수

대수적 위상수학에서 스틴로드 대수(Steenrod代數, )는 유한체 계수의 안정 코호몰로지 연산들로 구성되는 호프 대수이다.

정의 
소수 에 대하여, 스틴로드 대수는 안정 코호몰로지 연산으로 구성된,  위의 등급 호프 대수이다.

홀수 표수 
홀수 소수 에 대하여,  위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.

는 차 스틴로드 축소 거듭제곱()이라고 한다. 는 아벨 군 짧은 완전열 에 대응하는 복시테인 준동형이다.

이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.
 는 자연 변환 을 정의한다.
 은 항상 항등 함수이다.
 이다.
 만약 이라면 이다.
 (카르탕 공식 ) 이다.

짝수 표수 
 위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.

이를 차 스틴로드 제곱()이라고 한다. (짝수 표수의 경우, 이며 이다.)

이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.
 는 자연 변환 을 정의한다.
 은 항상 항등 함수이다.
 이다.
 만약 이라면 이다.
 (카르탕 공식 ) 이다.

구성 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 크기 의 집합 위에 자유롭게 작용하는 유한군 
 위상 공간 
그렇다면, 제곱 함수

를 생각하자. (만약 코호몰로지가 소수 크기 유한체  계수이며 라면 이는 프로베니우스 사상이며, -선형 변환을 이룬다. 그러나 일반적으로 이는 선형이 아니다.)
이는 다음과 같이 분해될 수 있다.

여기서 각 사상은 다음과 같다.
 는 코호몰로지에 의한 의 당김이다.
 : 에 대하여, 을 정의하자. 이는 의  위의 작용에 대하여 불변이므로, 등변 코호몰로지 에 속한다.
 는 코호몰로지에 의한 의 당김이다. 는 의 작용의 고정점으로 구성되므로, 이다.
 : 몫공간 사상 의 코호몰로지에 의한 당김이다.
 는 생성원 와의 경사곱이다.

이제, 가 소수이며 가 순환군이라고 하자. 그렇다면

이다.

특히, 인 경우 분류 공간은 무한 실수 사영 공간

이며, 그  계수 코호몰로지는

이다. (여기서 은 자명한 실수 선다발의 슈티펠-휘트니 특성류이다.) 체 계수의 퀴네트 정리에 따라서

이다. 따라서, 합성

을

로 전개한다면 스틴로드 제곱

을 얻는다.

마찬가지로, 가 홀수 소수일 경우를 생각하면 스틴로드 축소 거듭제곱을 얻는다.

성질

아뎀 관계 
스틴로드 대수는 아뎀 관계()라는 관계들을 만족시킨다.

이들은 다음과 같다. 일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자.

그렇다면, 아뎀 관계는 다음과 같다.

여기서 우변은 좌변과 같지만, 와 를 서로 바꾼 것이다.

일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자.

그렇다면, 아뎀 관계는 다음과 같다.

여기서 이며, 우변은 좌변과 같지만, 와 를 서로 바꾼 것이다.

애덤스 스펙트럼 열 
유한 차원 CW 복합체 , 가 주어졌을 때,  계수의 코호몰로지 군은 스틴로드 대수  위의 가군을 이룬다. 이 경우, 애덤스 스펙트럼 열()은 다음과 같은 스펙트럼 열이다.

이는 호모토피 군 의 차 꼬임 부분군으로 수렴한다.

특히, 와 가 초구일 때, 애덤스 스펙트럼 열은 초구의 호모토피 군을 계산한다.

역사 
의 경우는 노먼 스틴로드가 1947년에 도입하였고, 인 경우는 노먼 스틴로드가 1953년에 도입하였다.

아뎀 관계는 멕시코의 수학자 호세 아뎀 차인(, 1921~1991)이 1952년에 도입하였다. 애덤스 스펙트럼 열은 1958년에 존 프랭크 애덤스가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

대수적 위상수학