꼬임 없는 가군

환론에서 꼬임 없는 가군()은  및 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" 인 가군 이다. 마찬가지로, 나눗셈 가군()은  및 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" 이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 가군 이다.
꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다.

보다 구체적으로, 임의의 환  및 왼쪽 가군 에서, 임의의 에 대하여 만약 이라면, 당연히 이다. 따라서, 임의의 에 대하여 일 필요 조건은 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, 을 꼬임 없는 가군이라고 한다.

마찬가지로, 임의의 환  및 왼쪽 가군 에서, 임의의 에 대하여 이라고 하자. 그렇다면 이므로, 임의의 에 대하여 이 존재할 필요 조건은 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, 을 나눗셈 가군이라고 한다.

정의 
환 의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을  나눗셈 왼쪽 가군()이라고 한다.
 임의의  및 에 대하여, 이라면, 이다.
 임의의 에 대하여, 이다.

환 의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 꼬임 없는 왼쪽 가군()이라고 한다.
 임의의  및 에 대하여, 이라면, 이다.
 임의의 에 대하여, 이다.
 임의의 에 대하여, 자연스러운 군 준동형 은 아벨 군의 동형이다.
여기서

는 각각 의 왼쪽·오른쪽 소멸자이며,

이며, Tor는 Tor 함자이며, Ext는 Ext 함자이다.

성질 
모든 왼쪽 단사 가군은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다. 이는 왼쪽 가군 이 단사 가군일 필요충분조건은 모든 왼쪽 아이디얼 에 대하여 인 것이기 때문이다.

환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 폰 노이만 정칙환() 또는 절대 평탄환()이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.
 모든 -왼쪽 가군은 꼬임 없는 왼쪽 가군이다.
 모든 -오른쪽 가군은 꼬임 없는 오른쪽 가군이다.
 모든 -왼쪽 가군은 나눗셈 왼쪽 가군이다.
 모든 -오른쪽 가군은 나눗셈 오른쪽 가군이다.
 모든 -왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다.
 모든 -왼쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다.
 모든 주 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 에 대하여, 이자 인 가 존재한다.
 모든 주 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 에 대하여, 이자 인 가 존재한다.
 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 에 대하여, 이자 인 가 존재한다.
 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 에 대하여, 이자 인 가 존재한다.

평탄 가군과의 관계 
모든 왼쪽 평탄 가군 은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼이라면 (예를 들어, 베주 정역의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다. 이는 왼쪽 가군 이 평탄 가군일 필요충분조건은 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼 에 대하여 인 것이기 때문이다.

꼬임 없는 왼쪽 가군 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 평탄 왼쪽 가군이다.
 임의의 오른쪽 아이디얼 에 대하여, 이다.
 임의의 유한 생성 오른쪽 아이디얼 에 대하여, 이다.
여기서

이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

가군론
호몰로지 대수학