반단순 리 대수

리 대수 이론에서, 반단순 리 대수(半單純Lie代數, )는 단순 리 대수들의 직합인 리 대수이다.

정의 
체  위의 리 대수 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 단순 리 대수(單純Lie代數, )라고 한다.
 의 리 대수 아이디얼은 과  전체 밖에 없다.
 는 아벨 리 대수가 아니다. 즉, 인 가 존재한다.

의 표수가 0이라고 하고, 가  위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 반단순 리 대수라고 한다.
 의 가해() 아이디얼은 밖에 없다. 즉, 의 근기()가 이다.
 의 아벨 아이디얼은 밖에 없다.
 는 단순 리 대수들의 직합이다.
 (카르탕 반단순성 조건 ) 의 킬링 형식 는 비퇴화 쌍선형 형식이다.

반단순 리 군 
반단순 리 군(半單純Lie群, )은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다. 마찬가지로, 단순 리 군(單純Lie群, )은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.

분류 
복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라 , , , , E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 복소수체 위의 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다. 이렇게 유한한 수의 무한한 족과 예외적 대상으로 분류하는 것은 유한 단순군의 분류와 유사하지만, (반)단순 리 대수의 분류는 유한 단순군의 경우보다 훨씬 더 간단하며, 고전적으로 증명할 수 있다.

복소수 단순 리 대수 
복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 단순 리 대수의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다.

모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.
 ,  (복소 무대각합(無對角合, ) 행렬 대수)
 ,  (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
 ,  (복소 해밀턴 행렬() 대수)
 ,  (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
 𝖊6, 𝖊7, 𝖊8
 𝖋4
 𝖌2
이 가운데, 처음 네 가지를 고전적(), 나머지를 예외적()이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.

실수 단순 리 대수 
대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 반단순 리 대수 의 경우, 우선 그 대수적 폐포  위의 대수 를 분류한 뒤, 이를 에서 로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다.

실수체 의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 복소화() 라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은  실수 형식()이라고 한다.

실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 전사 함수지만, 단사 함수는 아니며, 그 원상은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.

목록 
복소수 및 실수 단순 리 대수들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 복소수 리 대수 !! 차원 !! 실수 리 대수 !! 로마 숫자 표기 !! 다른 이름 !! 극대 콤팩트 부분 리 대수
|-
! rowspan=4 | An
| rowspan=4 | 
| An(−n2−2n) (콤팩트) || ||  || 
|-
| An(n) (분할) || AⅠ ||  || 
|-
| An(−n−2) || AⅡ || ,  () || 
|-
|  || AⅢ ||  () || 
|-
! rowspan=3 | Bn
| rowspan=3 | 
| Bn(−2n2−n) (콤팩트) || ||  || 
|-
| Bn(n) (분할) || BⅠ ||  || 
|-
| || BⅡ ||  () || 
|-
! rowspan=3 | Cn
| rowspan=3 | 
| Cn(−2n2−n) (콤팩트) || || ,  || 
|-
| Cn(n) (분할) || CⅠ ||  || 
|-
| || CⅡ ||  () || 
|-
! rowspan=4 | Dn
| rowspan=4 | 
| Dn(−2n2+n) (콤팩트) || ||  || 
|-
| Dn(n) (분할) || DⅠ ||  || 
|-
| || DⅡ ||  () || 
|-
| Dn(−n) || DⅢ ||  || 
|-
! rowspan=5 | E6
| rowspan=5 | 78
| E6(−78)  (콤팩트) || || || 
|-
| E6(6) (분할) || EⅠ || || 
|-
| E6(2) || EⅡ || || 
|-
| E6(−14) || EⅢ || || 
|-
| E6(−26) || EⅣ || || 
|-
! rowspan=4 | E7 
| rowspan=4 | 133
| E7(−133) (콤팩트) || || || 
|-
| E7(7) (분할) || EⅤ || || 
|-
| E7(−5) || EⅥ || || 
|-
| E7(−25) || EⅦ || || 
|-
! rowspan=3 | E8
| rowspan=3 | 248
| E8(−248) (콤팩트) || || || 
|-
| E8(8) (분할) || EⅧ || || 
|-
| E8(−24) || EⅨ || || 
|-
! rowspan=3 | F4
| rowspan=3 | 52
| F4(−52) (콤팩트) || || || 
|-
| F4(4) (분할) || FⅠ || || 
|-
| F4(−20) || FⅡ || || 
|-
! rowspan=2 | G2
| rowspan=2 | 14
| G2(−14) (콤팩트) || || || 
|-
| G2(2) (분할) || GⅠ || || 
|}

위 표에서,
 은 항상 복소수 리 군의 계수이다.
 과 같은 표기에서, 킬링 형식의 부호수가 일 때, 이다. 즉, 는 리 대수의 차원 − 2 × 극대 콤팩트 부분 대수의 차원이다. 특히 분할 형식의 경우 이며, 콤팩트 형식의 경우 는 −1 × 리 대수의 차원이다.
위 표에서, 중복되는 것들은 다음이 전부이다.
 (3차원 회전군)

 (5차원 회전군)

 (6차원 회전군)

 (8차원 회전군)
또한, 는 단순 리 대수가 아니다.

역사 
복소수 반단순 리 대수는 엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 분류하였다. 실수 반단순 리 대수는 펠릭스 루비노비치 간트마헤르()가 1939년에 분류하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

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