분리 사상

대수기하학에서 분리 사상(分離寫像, , )은 스킴 사이의 사상의 일종이다. 정수환의 스펙트럼으로 가는 유일한 사상이 분리 사상인 스킴을 분리 스킴(分離scheme, , )이라고 한다. 스킴이 분리 스킴인 것은 위상 공간이 하우스도르프 공간인 것과 유사한 조건이다.

정의 
스킴의 범주는 모든 올곱을 갖는다. 임의의 스킴 사상 에 대하여 올곱 을 취할 수 있으며, 대각 사상 이 항상 보편 성질에 의하여 존재한다.

스킴 사상 이 다음 조건을 만족시킨다면, 준분리 사상(準分離寫像, )이라고 한다.
 대각 사상 은 준콤팩트 함수이다.
준분리 스킴(準分離scheme, )은 가 준분리 사상인 스킴 이다.

스킴 사상 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 사상을 분리 사상이라고 한다.
 대각 사상 의 상이 닫힌집합이다.
 대각 사상 이 닫힌 몰입이다.
 (값매김 조건 ) 준분리 사상이며, 임의의 값매김환  및 표준적 포함 사상 에 대하여, 오른쪽 올림이 만약 존재한다면 유일하다. 즉, 임의의 값매김환  및 임의의 사상  및 임의의 사상 에 대하여, 만약 라면, 인 사상 는 만약 존재한다면 유일하다.

분리 스킴은 가 분리 사상인 스킴 이다.

뇌터 스킴의 값매김 조건 
만약 가 국소 뇌터 스킴이며, 가 국소 유한형 사상이라면, 값매김 조건에서 "모든 값매김환  …"를 "모든 이산 값매김환  …"로 약화시킬 수 있다. 국소 뇌터 스킴을 정의역으로 하는 모든 스킴 사상은 준분리 사상이므로, 만약  또한 국소 뇌터 스킴이라고 가정한다면 "는 준분리 사상이며, …" 역시 생략할 수 있다.

분리 사상의 값매김 조건에서 "존재한다면 유일하다"를 "유일하게 존재한다"로 바꾸면, 고유 사상의 값매김 조건을 얻는다.

성질 
임의의 두 아핀 스킴 사이의 사상은 분리 사상이다. 특히, 모든 아핀 스킴은 분리 스킴이다. 이 경우, 대각 사상

은 자연스러운 환 준동형 사상

이다. 이는 항상 전사 준동형임을 알 수 있다.

모든 분리 스킴은 준분리 스킴이다.

예 
모든 대수다양체는 분리 스킴이다.

체 에 대하여, 두 개의 아핀 직선 을, 0을 제외한 열린 집합 에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.

역사 
원래 그로텐디크는 《대수기하학 원론》 1권 초판에서 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "준스킴"(, )라고 불렀고, 오직 분리 "준스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 2판에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다.

같이 보기 
 고유 사상

각주

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

스킴 이론