일차원 격자 속의 입자

양자역학에서 일차원 격자 속의 입자(Particle in a one-dimensional lattice) 문제는 주기성을 가진 결정 격자(crystal lattice)에서 입자의 파동함수를 모델링하면서 등장한다. 이 주기적 퍼텐셜은 결정 내에 주기적으로 존재하는 이온에 의해 생겨나는 전자기장에 의한 것이다. 결정 내의 전자들의 파동함수는 이 주기를 가진 퍼텐셜에 의해 결정된다. 이는 자유전자 모델을 확장하여 풀어낼 수 있다.

크로니-페니 모델 
1931년 랄프 크로니(Ralph Kronig)와 윌리엄 페니(William Penney>)에 의해서 명명된 크로니-페니 모델은 유한한 주기적인 전위장벽들로 구성된 단순하고 이상적인 양자역학적 시스템이다.

이 모델의 결과로 주기 격자(periodic lattice)에서 전자의 양자역학적 운동의 중요한 요소들을 알 수 있다. 대표적으로, 원자가 결정화(crystallization)가 잘 되어 주기적으로 배열되어 있으면 퍼텐셜(potential)이 주기적인 모양이 된다. 슈뢰딩거 파동방정식과 경계조건을 적용하여 얻은 해로부터 에너지 허용 영역과 금지영역이 생김을 알 수 있다.

1차원 격자 속 입자 모델을 단순화한 전위 함수는 아래와 같다.

경계조건 

 위치에너지(전위)는 이며 전위장벽(potential wall)의 폭은 이고 격자상수(lattice constant)는 이다.
 전위장벽의 전위는 입자의 에너지보다 크다.

유도 
1차원 슈뢰딩거 파동방정식의 해는 다음과 같다.

이고 이다.

1차원 시간독립 파동방정식

으로부터, 두 번째 경계조건, 이므로 다시 쓰면 아래와 같다.

로 나타낼 수 있다.

퍼텐셜 
전위 장벽 사이 공간(0<x<a)을 '영역 1', 전위 장벽 내부(-b<x<0)를 '영역 2'로 한다면 퍼텐셜은 아래와 같이 주어진다.

위의 퍼텐셜 조건을 1차원 시간 독립 파동방정식에 경계조건을 대입하면 다음과 같다.

블로흐 파 
크로니-페니 모델 전위함수는 주기적이다. 이 함수의 해 에서 파동의 형성에는 함수가, 주기성에는 가 관여한다.

블로흐 파에 따라 로 나타낼 수 있고 격자상수 는 이다.

전개 
먼저, 영역 1에 대하여 식을 식에 대입하면,

이고 전미분하여 전개하면,

다시 한번 전미분하여 전개하면,

이 된다.

이고 소거하여 정리하면 아래 식으로 표현 할 수 있다.

또, 영역 2에 대하여 식을 식에 대입하여 정리하면

로 정리할 수 있다.

해 
식와 식의 해를 구하면 아래와 같다.

여기서 이고 이다.

계수 는 경계조건을 도입하여 관계식을 만들 수 있다.

 
 
 
 

행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

위의 행렬의 행렬식이 0이 될 때, 해를 얻을 수 있다.

풀이 
행렬식이 0이 되는 조건으로부터 크로니-페니 모델의 최종식은 아래와 같다.

위의 식은 단결정 격자에 갇혀있는 입자의 에너지와 k의 관계에 관한 식이다. 위 식에서 P'가 증가하면 입자는 전위우물 즉, 원자에 더욱 강하게 결합됨을 의미한다. P는 아래와 같이 나타내며 퍼텐셜 장벽의 크기에 대응한다.

해석 
입자들이 결정화가 잘 되어서 원자가 주기적으로 배열되어있다면 퍼텐셜은 주기적인 모양이 되고 에너지의 허용영역과 금지영역이 생긴다. 이들은 각각 에너지밴드와 밴드갭으로 불린다.

각주

같이 보기 
 상자 속 입자
 양자 조화 진동자
 퍼텐셜 우물
 슈뢰딩거 방정식

응집물질물리학
양자역학
양자 모형