신경 (범주론)

범주론에서 신경(神經, )은 작은 범주로부터 구성되는 단체 집합이다.

정의 
신경은 작은 범주 · 함자 · 자연 변환의 2-범주 에서 단체 집합 · 단체 집합 사상 · 단체 집합 호모토피의 2-범주 로 가는 함자이다.

즉, 신경 함자는 다음과 같은 대응을 정의한다.
 작은 범주 → 단체 집합
 작은 범주 사이의 함자 → 단체 집합 사이의 사상
 작은 범주 사이의 두 함자 사이의 자연 변환 → 단체 집합 사이의 두 사상 사이의 호모토피

단체 집합의 2-범주에서 위상 공간의 2-범주로 가는 기하학적 실현 함자

또한 존재한다. 신경과 기하학적 실현을 합성한 함자를 분류 공간() 함자라고 한다.

신경은 추상적으로 간단히 정의할 수 있으며, 추상적 정의를 구체적으로 길게 풀어서 정의할 수도 있다.

추상적 정의 
작은 범주 가 주어졌다고 하자. 단체 범주 은 유한 전순서 집합과 순서 보존 함수의 범주이다. 모든 전순서 집합은 (보다 일반적으로, 모든 부분 순서 집합은) 가는() 작은 범주로 생각할 수 있다.

함자 를 다음과 같이, 전순서 집합에서 로 가는 함자들의 집합으로 정의하자.

이러한 꼴의 함자는 단체 집합이라고 한다. 단체 집합 를 의 신경이라고 한다. 정의에 따라, 신경은 작은 범주의 범주에서 단체 집합의 범주로 가는 함자

를 이룬다.

구체적 정의 

신경의 추상적인 정의는 구체적으로 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

작은 범주 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 자연수 에 대하여 집합 을 다음과 같은, 합성이 가능한 -사상들의 열

들의 집합이라고 하자. (특히, 은 단순히 의 대상의 집합이며, 은 단순히 의 사상의 집합이다.)

또한, 각 양의 정수  및 자연수 에 대하여 함수 를 다음과 같이, 번째 대상을 생략하는 함수로 정의하자.

또한, 각 자연수  및 자연수 에 대하여 함수 를 다음과 같이, 번째 대상을 반복하며 그 사이에 항등 사상을 삽입하는 함수로 정의하자.

그렇다면 는 단체 집합을 이룬다. 이를 작은 범주 의 신경 이라고 한다.

성질 
신경 함자 는 충실충만한 함자이다.

단체 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 작은 범주 가 존재한다.
 끝 대상으로 가는 유일한 사상 은 모든 내부 뿔 포함 사상  (, )에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.

단체 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 준군 가 존재한다.
 끝 대상으로 가는 유일한 사상 은 모든 뿔 포함 사상  (, )에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.

작은 범주 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 준군이다.
 는 칸 복합체이다. 즉, 끝 대상으로 가는 유일한 사상 은 모든 뿔 포함 사상  (, )에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다.
 끝 대상으로 가는 유일한 사상 은 모든 뿔 포함 사상  (, )에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.

위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 단체 집합 가 존재한다.
 인 작은 범주 가 존재한다.

예 
이산 위상을 부여한 군 의 분류 공간 를 정의할 수 있다.

군 는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 여길 수 있다. 그렇다면, 범주로서 의 분류 공간은 이산 위상군으로서의 분류 공간과 호모토피 동치이다.

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

범주론
호모토피 이론