단순환

환론에서 단순환(單純環, )은 비자명 아이디얼을 갖지 않는 비자명 환이다. 군론에서의 단순군(정규 부분군을 갖지 않는 군)에 대응되는 개념이다.

정의 
(곱셈 항등원을 갖는) 환 가 다음 두 성질을 만족시킨다면, 를 단순환이라고 한다.
 이다. 즉, 자명환이 아니다.
 의 모든 (양쪽) 아이디얼 에 대하여, 이거나 이다. 즉, 영 아이디얼을 제외한 진 아이디얼을 갖지 않는다.

단순환 의 중심 은 항상 체이다. (이는 임의의 에 대하여, 이라면 주 아이디얼 이므로 가 가역원이기 때문이다.) 체  위의 단위 결합 대수  가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것을  위의 중심 단순 대수(中心單純代數, )라고 한다.
 는 단순환이다.
 는 유한하다. 즉,  위의 유한 차원 단위 결합 대수이다.
 이다. 즉, 중심이 정확하게 이다.
즉, 모든 아르틴 단순환은 스스로의 중심 위의 중심 단순 대수를 이룬다.

성질 
극대 아이디얼에 대한 몫환은 단순환이다. 특히, 모든 체나 나눗셈환은 단순환이다.

어떤 환 에 대한 행렬환 의 아이디얼은 의 아이디얼과 일대일 대응하므로, 단순환에 대한 행렬환은 단순환이며, 비단순환에 대한 행렬환은 비단순환이다.

스콜렘-뇌터 정리 
체  위의 단순 대수 와 중심 단순 대수 가 주어졌다고 하자. 스콜렘-뇌터 정리()에 따르면, 임의의 두 -단위 결합 대수 준동형

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역원 이 존재한다.

특히, 중심 단순 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형 이다.

분류 
단순환에 대하여 왼쪽 아르틴 환 및 오른쪽 아르틴 환 조건이 서로 동치이다. 아르틴-웨더번 정리()에 따르면, 왼쪽 아르틴 환 또는 오른쪽 아르틴 환인 단순환 는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.

여기서 는 나눗셈환이며, 는 환 에 대한  행렬환이다. 또한, 이러한 표현은 유일하다. 즉, 와 은 유일하게 결정된다.
구체적으로, 가 왼쪽 아르틴 환이라고 하자. 는 단순환이므로 충실한 단순 왼쪽 가군 을 갖는다. 슈어 보조정리에 의하여 은 나눗셈환이며, 왼쪽 아르틴 환 조건에 의하여 는 항상 유한 차원 자유 가군이며, 제이컵슨 조밀성 정리에 의하여 이다. 즉, 으로 놓으면, 이며, 또한 이다.

만약 가 오른쪽 아르틴 환인 경우에도 마찬가지 구성을 사용할 수 있다.

따라서, 아르틴 단순환의 분류는 그 중심체 위의 유한 차원 나눗셈환의 분류로 귀결된다. 이는 체 의 브라우어 군으로 결정된다.

예 
모든 체와 모든 나눗셈환은 단순환이다.

바일 대수 는 단순환이다. 그러나 이는 왼쪽 아르틴 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니며, 따라서 아르틴-웨더번 정리에 해당하지 않는다.

자명환은 정의에 따라 단순환이 아니다.

역사 
1927년에 토랄프 스콜렘은 스콜렘-뇌터 정리를 발표하였으며, 1933년에 에미 뇌터가 독자적으로 재발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

환론