단순 확대

체론에서 단순 확대(單純擴大, )는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대이다.

정의 
체의 확대 가 주어졌다고 하자. 만약 가 되는 이 존재한다면, 를 단순 확대라고 하고, 를 원시 원소(原始元素, )라고 한다.

성질 
유한 확대의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 원시 원소 정리(原始元素定理, )에 의하여 주어진다.

원시 원소 정리에 따르면, 임의의 유한 확대 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 단순 확대이다.
  사이에, 이 되는 체 의 수는 유한하다.
또한, 만약 가 유한 분해 가능 확대라면, 그 사이에 존재하는 체들의 수는 유한하며,는 항상 단순 확대이다.

예

단순 유한 확대 
는 단순 확대이며, 원시 원소는 이다. 이차 수체  역시 단순 확대이며, 그 원시 원소는 이다.

를 생각하자. 이는, 차수가 4인 유한 확대이며, 또한 표수가 0이므로 분해 가능 확대이다. 따라서, 원시 원소 정리에 따라서 이는 단순 확대이다.

구체적으로, 으로 적자. 그렇다면 은  위에서 선형 독립이며, 이를  기저로 전개할 수 있다. 따라서 는 원시 원소이다.

단순 무한 확대 
체 의 유리 함수체 는 단순 확대이지만, 무한 확대이다.

단순하지 않은 유한 확대 
의 확대

를 생각하자. 이는 차수 의 유한 확대이다.

임의의 에 대하여, 이므로, 하나의 원소로 생성되는 확대의 차수는 항상  이하이다. 따라서, 이는 단순 확대가 될 수 없다.

외부 링크 
 

체론