단사 가군

환론에서 단사 가군(單射加群, )은 이를 포함하는 모든 가군을 직합으로 쪼갤 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 단사 대상이다.

정의 
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 단사 왼쪽 가군이라고 한다.
 임의의 짧은 완전열 은 분할 완전열이다. 즉, 임의의   위의 왼쪽 가군 에 대하여 이라면, 인 부분 가군 이 존재한다.
 는 범주 의 단사 대상이다. 즉, 함자 은 완전 함자이다.
 임의의 가군 준동형  및 단사 가군 준동형 에 대하여, 인 가군 준동형 가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)

 (베어 조건 ) 임의의 왼쪽 아이디얼  및 가군 준동형 에 대하여, 인 가군 준동형 가 존재한다.

마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 단사 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

성질 
임의의 왼쪽 가군들의 집합 에 대하여, 다음이 동치이다.
 직접곱 이 단사 왼쪽 가군이다.
 모든 에 대하여 가 단사 왼쪽 가군이다.

유한 개의 가군의 직합은 직접곱과 같으므로, 위 성질이 성립한다.

배스-파프 정리 에 따르면, 임의의 환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 왼쪽 뇌터 환이다.
 의 왼쪽 단사 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.
 의 왼쪽 단사 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.
 의 가산 개의 왼쪽 단사 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.

분류 
단사 가군은 데데킨트 정역 또는 보다 일반적으로 뇌터 가환환 위에서 분류될 수 있다.

데데킨트 정역 
데데킨트 정역  위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다. (분해 불가능 가군은 자명하지 않은 가군들의 직합으로 나타낼 수 없는 가군이다.)

데데킨트 정역 에 대하여,  위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은  위의 소 아이디얼들의 집합 와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 다음과 같다.
 만약 일 경우: 
 만약 일 경우: 분수체 
여기서 는 에서의 국소화이다. 예를 들어, 분수체 는 의 분해 불가능 단사 가군이며, 영 아이디얼 에 대응한다.

예를 들어, 데데킨트 정역인 정수환  위의 단사 가군 (=나눗셈군) 가운데  분해 불가능 단사 가군인 것은 다음이 전부이다.
 유리수체의 덧셈군 
 소수 에 대하여, 프뤼퍼 군 
모든 나눗셈군은 위 아벨 군들의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

뇌터 가환환 
뇌터 가환환  위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다.

뇌터 가환환 에 대하여,  위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은  위의 소 아이디얼들의 집합 와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 의 단사 폐포(, 를 포함하는 가장 작은 단사 가군)이다. 의 단사 폐포는 표준적으로 -가군을 이루며, 의 -가군으로서의 단사 폐포는 의 -가군으로서의 단사 폐포와 일치한다.

예 
자명 가군은 단사 가군이다. 체 위의 벡터 공간은 단사 가군이다.

정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이라고 한다.

임의의 정역  위에서, 를 포함하는 가장 작은 단사 가군은 분수체 이다. 특히, 체가 아닌 정역은 스스로 위의 단사 가군이 아니다.

스스로 위의 가군으로서의 환 
몫환 은 스스로의 가군으로서 단사 가군이다. 보다 일반적으로, 데데킨트 정역 의 아이디얼 에 대하여 (), 는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

모든 프로베니우스 대수는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

역사 
라인홀트 베어(, 1902~1979)가 1940년에 단사 가군의 개념을 정의하였고, 또 베어 조건을 증명하였다. 이후 단사 가군의 개념은 단사 대상으로 일반화되었다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 사영 가군
 단사 대상
 나눗셈군
 단사층

가군론