CAT(κ) 공간

기하학에서 CAT(κ) 공간(-空間, )은 단면 곡률이 어디서나  이하인 거리 공간이다.

정의 
임의의 실수 에 대하여, 가 단면 곡률이 인 2차원 연결 단일 연결 공간 형식이라고 하자. 즉, 일 경우 이는 구, 일 경우는 유클리드 평면, 일 경우는 쌍곡 평면이다. 이 공간 형식의 지름은 다음과 같다.

측지선 거리 공간() 은 다음 조건을 만족시키는 길이 거리 공간이다.
 임의의 두 점 에 대하여, 두 점을 잇는 측지선 가 존재한다.

두 점 를 잇는 측지선을 로 표기하자.

측지선 거리 공간  속의 세 점 에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가 존재한다면, 삼각형 가  부등식을 만족시킨다고 한다.
 , , 
  위의 두 점 사이의 거리는  위의 대응하는 하는 두 점 사이의 거리보다 같거나 짧다. 즉, 다음이 성립한다.
임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 
측지선 거리 공간  속의 임의의 세 점 에 대하여  부등식이 성립한다면, 를  공간이라고 한다.

완비  공간을 아다마르 공간()이라고 한다.

성질 
임의의  공간은  공간이다 (). 만약 거리 공간 가 모든 에 대하여  공간이라면, 는  공간이다.

예 
모든 (완비일 필요가 없는) 내적 공간은  공간이다. 임의의 노름 공간 가 어떤 실수 에 대하여  공간이라면, 는 내적 공간이다.

차원 쌍곡 공간은  공간이다.

반지름이 인 차원 초구 은  공간이다. (이 초구의 길이 거리 공간으로서의 지름은 이다.)

역사 
CAT(κ) 공간의 개념은 알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프가 도입하였다. 알렉산드로프는 이를 원래 " 영역"으로 명명하였다. 이후 미하일 그로모프가 1987년의 유명한 논문에서 "CAT(κ) 공간"이라는 용어를 도입하였다. 이름에서 "CAT"는 앙리 카르탕(Cartan) · 알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프(Александров) · 빅토르 안드레예비치 토포고노프(Топоногов)의 머릿글자를 딴 것이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

계량기하학