무모순적 이론

수리논리학에서 무모순적 이론(無矛盾的理論, )은 거짓을 추론할 수 없는 이론이다. 이러한 성질을 무모순성(無矛盾性, ) 또는 일관성(一貫性)이라고 한다. 즉, 무모순적 이론에서는 스스로와 그 부정을 모두 증명할 수 있는 문장이 존재하지 않는다. 반대로 모순적인 이론은 모든 문장이 증명 가능하므로 무의미한 이론이 된다.

정의 
1차 논리 언어 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 1차 논리 -문장(즉, 자유 변수가 없는 -논리식)들의 집합 의 멱집합 을 생각하자. -문장들의 집합 을 -이론()이라고 한다.

-이론 가 다음 조건을 만족시킨다면, 를 무모순적 이론()이라고 한다.

여기서 은 거짓(모순)인 1차 논리 문장이며 (예를 들어, ), 는 1차 논리의 추론 관계이다.

페아노 공리계 의 언어 는 하나의 상수 과 하나의 1항 연산 을 포함한다.

의 기호들이 자연수의 재귀 집합을 이룬다고 하자 (특히, 오직 가산 개의 기호만이 존재한다). 그렇다면, -이론 이 무모순적인지 여부는 페아노 공리계의 언어로 나타낼 수 있다. 이 -문장을 라고 한다.

상대적 무모순성 
의 이론 가 참이라고 하자. 즉,

라고 하자 (은 자연수의 -구조).

그렇다면, -이론들의 집합  위에 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.

이것이 성립한다면,  아래 는 에 대하여 상대적으로 무모순적이라고 한다. 이 원순서를 (메타이론  아래의) 상대적 무모순성 원순서()라고 하며, 가 에 대하여 상대적으로 무모순적()이라고 한다.

라면, 와 이 (메타이론  아래) 등무모순적(等無矛盾的, )이라고 한다.

성질 
원순서 집합 의 최대 원소는 모순적 이론이다. 반대로, 의 최소 원소는 로 증명할 수 있는 문장만으로 구성된 이론이다.

만약 메타이론 를 자연수의 완전 이론  (즉, 에서 참인 모든 -문장의 집합)으로 놓는다면,  은 물론 정확히 2개의 동치류를 갖는다 (무모순적 이론의 동치류와 모순적 이론의 동치류).

불완전성 정리 

를 로 해석할 수 있다고 하자. 그렇다면, 괴델의 불완전성 정리에 따르면, 임의의 이론 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 는 모순적이거나 아니면 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다.

보존적 확장 
두 이론 와 이 주어졌다고 하자. 메타이론  아래, 만약 이 의 보존적 확장이라면, 와 는 (메타이론  아래) 등무모순적이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

수리논리학