정규화 부분군

군론에서 정규화 부분군(正規化部分群, )은 어떤 부분군을 정규 부분군으로 포함하는 가장 큰 부분군이다.

정의 
모노이드 의 부분 집합 의 정규화 부분 모노이드()는 다음과 같은, 의 부분 집합이다.

이는 의 부분 모노이드를 이룬다.

사실, 임의의 모노이드 의 부분 집합 에 대하여 다음 두 집합 역시 각각 부분 모노이드를 이룬다.

이들은 를 포함하지만, 일반적으로 이 세 집합은 (심지어 이 군이며 가 부분군이더라도) 서로 다르다.

군의 부분 집합의 정규화 부분 모노이드는 항상 부분군을 이루며, 이를 정규화 부분군이라고 한다. (그러나  및 는 일반적으로 부분군이 아니다.)

성질 
임의의 모노이드 의 부분 집합 에 대하여, 정의에 따라 다음이 성립한다.

중심화 부분 모노이드는 항상 정규화 부분 모노이드의 부분 모노이드이다. 즉, 임의의 모노이드 의 부분 집합 에 대하여, 다음이 성립한다.

군 
군 의 부분 집합 의 중심화 부분군은 의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.

군의 경우 다음이 성립한다.

가 부분군이라고 하자. 그렇다면, 는 를 정규 부분군으로 갖는 가장 큰 부분군이다. 즉, 임의의 부분군 에 대하여, 만약 가 의 정규 부분군이라면, 는 의 부분군이다.

환 
환의 부분 집합의 (곱셈에 대한) 정규화 부분 모노이드는 부분 모노이드이지만 일반적으로 부분환을 이루지 못한다.

나눗셈환 의 경우, 다음이 성립한다.

증명:
임의의 에 대하여 임을 보이면 족하다. 우선, 만약 이라면 이는 자명하다. 따라서 이라고 가정하자. 그렇다면,

이므로 이며 이다.

예 
만약 이 가환 모노이드라면, 그 임의의 부분 집합의 정규화 부분군은  전체이다.

한원소 집합의 정규화 부분 모노이드는 중심화 부분 모노이드와 같다. 즉, 임의의 모노이드 의 원소 에 대하여, 다음이 성립한다.

공집합의 정규화 부분 모노이드는 (자명하게) 전체 집합이다. 즉, 임의의 모노이드 에 대하여 다음이 성립한다.

임의의 군 에 대하여, 다음이 성립한다.

(그러나 이는 임의의 모노이드에 대하여 성립하지 못한다.)

참고 문헌

외부 링크 
 
 

반군론
군론