라돈 측도

측도론에서 라돈 측도(Radon測度, )는 위상 공간의 구조와 특별히 잘 호환되는, 보렐 시그마 대수 위에 정의되는 측도이다. 국소 콤팩트 공간 위의 라돈 측도는 함수 공간 위의 범함수로 나타낼 수 있다.

정의

정칙 측도 
하우스도르프 공간  위의 시그마 대수  위의 측도 가 주어졌다고 하자. 의 콤팩트 집합들의 집합족을 로, 열린집합들의 집합족을 로 표기하자.

가측 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, -내부 정칙 가측 집합()이라고 한다.

가측 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, -외부 정칙 가측 집합()이라고 한다.

만약 모든 가측 집합이 -내부 정칙 가측 집합이라면, 를 내부 정칙 측도()라고 한다. 만약 모든 가측 집합이 -외부 정칙 가측 집합이라면, 를 외부 정칙 측도()라고 한다.

라돈 측도 
가 하우스도르프 공간이라고 하자.
보렐 시그마 대수  위의 측도 가 다음을 만족시키면 라돈 측도라고 한다.
 (내부 정칙성) 내부 정칙 측도이다. 즉, 모든 보렐 집합은 -내부 정칙 집합이다.
 (국소 유한성) 모든 점 에 대하여, 인 열린 근방 가 존재한다.

성질 
가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 를 지지집합으로 하는 실수값 연속 함수들의 집합 은 노름

에 따라서 바나흐 공간을 이룬다.  위의, 콤팩트 지지집합을 갖는 실수값 연속 함수의 집합 을 생각하자. 그렇다면

이므로, 는 국소 볼록 공간의 구조를 가진다.

어떤 실수값 함수 공간 위의 범함수 에 대하여, 만약 인 에 대하여 이라면, 를 음이 아닌 범함수()라고 하자. 그렇다면  위의 라돈 측도들의 집합과  위의 음이 아닌 연속 범함수들의 집합 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 라돈 측도 에 대하여,

는 음이 아닌 범함수이다.

예 
보렐 시그마 대수에 국한시킨 르베그 측도는 유클리드 공간 위의 라돈 측도이다.

임의의 하우스도르프 공간  및 점 에 대하여, 의 보렐 시그마 대수 위에 디랙 측도 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면 이는 라돈 측도이다.

유클리드 공간 위의, 보렐 시그마 대수에 국한시킨 셈측도는 라돈 측도가 아니다.

역사 
요한 라돈의 이름을 땄다.

외부 링크 
 
 

측도