대각 사상

범주론에서 대각 사상(對角寫像, )은 어떤 대상에서 그 거듭제곱으로 가는 표준적인 사상이다. 마찬가지로, 어떤 대상의 거듭쌍대곱에서 원래 대상으로 가는 쌍대 대각 사상(雙對對角寫像, )이 존재한다.

정의 
기수  및 범주  속의 대상 와 가 주어졌다고 하자. 만약 개의 들의 곱 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 로부터 유도되는 사상

이 존재한다. 이를 대각 사상이라고 한다. 만약 일 경우 이는 항등 사상 이며, 만약 일 경우 이는 끝 대상 으로 가는 유일한 사상 이다.

마찬가지로, 만약 개의 들의 쌍대곱 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 로부터 유도되는 사상

이 존재한다. 이를 쌍대 대각 사상()이라고 한다. 만약 일 경우 이는 항등 사상 이며, 만약 일 경우 이는 시작 대상 에서 로 가는 유일한 사상 이다.

예

집합의 범주 
집합과 함수의 범주 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합 과 기수 가 주어졌을 때, 곱집합 으로 가는 대각 함수는 다음과 같다.

대각 사상의 치역을 대각 부분 집합()이라고 한다.

이며, 가 유한 집합이며, 에 임의의 전순서를 주면 의 원소는 변의 길이가 인 정사각 행렬의 한 성분으로 생각할 수 있다. 이 경우, 대각 사상은 모든 원소를 정사각 행렬의 (왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는) 대각선 위의 성분에 대응시키며, "대각 사상"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.

작은 범주의 범주 
작은 범주와 함자의 범주 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 작은 범주  위의 대각 함자

는 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.

조각 범주 
범주  속의 대상  위의 조각 범주 를 생각하자. 조각 범주의 대상 의 대각 사상 은 (만약 존재한다면) 에서 다음과 같다.

즉, 이는 당김 에 대한 대각 사상 을 이룬다.

위상 공간의 범주 
위상 공간의 범주 에서, 대각 사상 은 집합으로서의 대각 함수와 같으며, 대각 사상은 항상 그 상으로의 위상 동형을 정의한다.

위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 하우스도르프 공간이다.
 대각 사상 의 상이 닫힌집합이다.

스킴의 범주 
스킴의 범주에서, 당김에 대한 대각 사상 는 다음과 같이 다양한 정의·정리들에 등장한다.
 스킴 사상 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 는 항상 스킴 몰입이다. 즉, 어떤 열린 몰입  및 닫힌 몰입 의 합성이다.
 스킴 사상 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 가 준콤팩트 함수라면 를 준분리 사상이라고 한다.
 스킴 사상 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 가 닫힌 몰입이라면 를 분리 사상이라고 한다. 이는 대각 사상의 상이 닫힌집합인 것과 동치이다.
 국소 유한 표시 사상 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 가 열린 몰입이라면 를 비분기 사상이라고 한다.
 스킴 사상 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 사상을 보편 단사 사상()이라고 한다.
 임의의 스킴 사상 에 대하여, 밑 변환 이 단사 함수이다.
 대각 사상 가 전사 함수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

함수와 사상
범주론