이산 값매김환

가환대수학에서 이산 값매김환(離散-環, , 약자 DVR) 또는 이산 부치환(離散付値環)은 정확히 하나의 0이 아닌 극대 아이디얼을 갖는 주 아이디얼 정역이다. 대수기하학적으로, 대수 곡선의 비특이점에서의 국소환을 나타낸다. 그 분수체의 원소는 ‘유리형 함수’의 ‘싹’에 해당하며, 원점(유일한 닫힌 점)에서의 ‘극점’ (또는 ‘영점’)의 ‘차수’를 정의할 수 있다. 이 차수는 정수 값이며, 이산 값매김환의 값매김이라고 한다.

정의 
가 정역이라고 하자. 편의상, 가 만족시킬 수 있는 다음 조건들을 정의하자.
 (N) 뇌터 환이다.
 (LR): 국소환이다.
 (Ded): 데데킨트 정역이다. (이는 (N)을 함의한다.)
 (UFD): 유일 인수 분해 정역이다. ((Ded) + (UFD)는 주 아이디얼 정역이라는 것과 같다. 또한, (Ded) + (UFD) + (NF) = (UFD) + (1D)이다.)
 (NF) 체가 아니다.
 (1D) 크룰 차원이 1이다. (이는 (NF)를 함의한다.)
 (VR) 값매김환이다. (이는 (L)을 함의한다.)

그렇다면, 정역에 대하여 다음 조건들은 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 이산 값매김환이라고 한다.
 (VR) + 값군이 와 동형이다.
 (VR) + (N) + (NF)
 (L) + (Ded) + (NF)
 (L) + (N) + (NF) + 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.
 (L) + (N) + (1D) + 정수적으로 닫힌 정역이다.
 (1D) + 정칙 국소환이다.
 (UFD) + (Ded) + 유일한 0이 아닌 소 아이디얼을 가진다.
 (UFD) + (Ded) + 스펙트럼이 시에르핀스키 공간과 위상 동형이다.
 (UFD) + (가역원과의 곱에 대한) 유일한 기약원 동치류를 가진다.

성질

함의 관계 
모든 이산 값매김환은 유클리드 정역을 이룬다.

연산에 대한 닫힘 
이산 값매김환 의 완비화

역시 이산 값매김환이다.

원소의 구조 
이산 값매김환 의 원소 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 원소를 균등화원()이라고 한다.
 이다. 즉, 유일한 극대 아이디얼 은 로 생성되는 주 아이디얼이다. (이산 값매김환은 주 아이디얼 정역이므로 이러한 원소는 항상 존재한다.)
 는 의 기약원이다. (즉, 가역원 또는 0이 아닌 두 원소의 곱으로 표현될 수 없다. 이산 값매김환은 정역이므로 이 개념이 잘 정의된다.)
균등화원은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 균등화원 의 경우, 임의의 에 대하여

이다. 즉, 균등화원의 서로 다른 자연수 지수의 거듭제곱은 항상 서로 다르다.

이산 값매김환 의 균등화원 이 주어졌을 때, 의 모든 아이디얼과 모든 원소는 다음과 같이 표준적으로 분류된다.
  속의 모든 아이디얼은 이거나 또는 어떤 에 대하여 의 꼴이다. (여기서 물론 이다.)
  속의 모든 0이 아닌 원소 는 다음과 같이, 가역원과 의 거듭제곱의 곱의 꼴로 유일하게 표현된다.

즉, 이산 값매김환의 곱셈 구조는 그 가역원군 으로서 완전히 결정된다. 물론, 가환환은 곱셈과 덧셈으로 정의되며, 환의 덧셈 구조는 이와 별개의 데이터이다.

대수 곡선의 비특이점의 국소환 
이산 값매김환은 1차원 정칙 국소환이므로, 대수기하학에서 이산 값매김환은 대수 곡선 (1차원 스킴) 의 닫힌 비특이점 에서의 줄기 이다.

특히, 대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 경우는 다음과 같다.
가 대수적으로 닫힌 체라고 하고, 가  위의 대수 곡선(1차원 대수다양체)이며, 가 특이점이 아닌 닫힌 점이라고 하자. 그렇다면, 국소환 은 이산 값매김환이며, 포함 관계

가 성립한다. 또한, 는 에서 값매김이 0 또는 인 원소들로만 구성된다.

반대로, 가 대수적으로 닫힌 체이며, 가 이산 값매김환이며, 의 원소들의 값매김이 0 또는 라고 하자. 그렇다면 는 유리 함수체 를 갖는 어떤  위의 대수 곡선의 특이점이 아닌 닫힌 점에서의 국소화이다. 구체적으로, 라고 하고, 다항식환 의  속에서의 정수적 폐포를 라고 하자. 그렇다면, 는 데데킨트 정역이자  위의 유한 생성 단위 결합 대수이며, 따라서 는  위의 아핀 대수 곡선이다. 또한, 의 극대 아이디얼을 이라고 하면, 는 의 극대 아이디얼이며, 의 에서의 국소환은 와 동형이다.

위상환의 위상 
이산 값매김환 은 국소 가환환이므로 표준적으로 위상환을 이룬다. 이 위상과 호환되는 다음과 같은 거리 함수가 존재한다.

여기서 은 이산 값매김이다.

이 경우, 이산 값매김환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 (위상환으로서) 콤팩트 공간이다.
 는 완비 거리 공간이며, 그 잉여류체 는 유한체이다.

스킴 구조 
이산 값매김환 는 (국소환이므로) 유일한 극대 아이디얼 을 가지며, (크룰 차원이 1이므로) 소 아이디얼은 두 개 , 이다. 즉, 이산 값매김환의 스펙트럼 는 두 개의 점을 가진다. 그 가운데 은 닫힌 점, 은 일반점이다. 특히, 는 위상 공간으로서 시에르핀스키 공간이다.

이 경우, 이산 값매김환 위의 두 표준적인 환 준동형

은 각각 닫힌 점과 일반점에 대응되는 스킴 사상

에 해당한다.

예 
데데킨트 정역의, 0이 아닌 소 아이디얼에서의 국소화는 이산 값매김환이다. 특히, 대수적 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이므로, 대수적 정수환을 0이 아닌 소 아이디얼에서 국소화하여 이산 값매김환의 다양한 예를 얻을 수 있다.
예를 들어, 정수환의 0이 아닌 소 아이디얼 에서의 국소화 는 이산 값매김환이다.

대표적인 이산 값매김환의 예는 다음과 같다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

가환대수학