L∞-대수

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수학에서 L∞-대수() 또는 호모토피 리 대수()는  등급을 갖는 대수이다. 리 대수의 개념에서, 야코비 항등식이 오직 호모토피에 대하여 성립하도록 약화시킨 것이다.

정의

괄호를 통한 정의 
표수 0의 체 가 주어졌다고 하자.  위의 초벡터 공간 이 주어졌을 때, 다음을 정의하자.

여기서 는 텐서 대수 의, 다음 부분 집합으로 생성되는 아이디얼이다.

여기서
 는 순열의 부호수, 즉 군 준동형 에 대한 상이다.
 는 가 에 작용할 때, 에 속하는 두 원소를 교환할 때의 수가 짝수인 경우 , 홀수일 경우 이다.

물론 는 자연수 등급을 갖는다.

 위의 L∞-대수 는 다음과 같은 일련의 연산이 주어진,  위의 -등급 벡터 공간

이다.
 각 에 대하여, 등급 반대칭 항 연산 . 그 등급은 이다. (즉, 2항 괄호의 등급이 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.)

이는 다음과 같은 야코비 항등식을 만족시켜야 한다.

여기서
 는 -셔플 순열의 집합이다.
 는 순열 가 홀수 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때 , 홀수 번 뒤바꾸었을 때 이다. 이를 코쥘 부호()라고 한다.

미분 등급 대수를 통한 정의 
만약 각 등급별 차원이 유한하다면, L∞-대수는 다음과 같이 정의될 수도 있다.

표수 0의 체  위의 위의 호모토피 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
  위의 양의 정수 등급 벡터 공간 . 이로부터 다음을 정의할 수 있다.
 는 의 대수적 쌍대 공간이다.
 은 등급 벡터 공간  위의 대칭 대수이며, 이는 자연수 등급 대수를 이룬다.
 는  위의, 등급 +1의 연속 미분이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다.
 는 -선형 변환이다.
 
 이다. 여기서 는 동차 성분이다.
 . 여기서 는 동차 성분이다.
이는 다음 조건을 추가로 만족시켜야 한다.
 표준 사영 는 미분 등급 대수의 준동형이다.
(만약 이 조건을 생략한다면, 굽은 L∞-대수의 개념을 얻는다.)

두 정의 사이의 관계 
이 두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선, 괄호 를 통한 정의에서, 의 임의의 기저

를 잡자. 그 쌍대 기저는

이며, 또한

로 놓자. 그렇다면,

이다. 이 경우, 멱영 조건

을 전개하고 등급별로 분해하면, 괄호에 대한 조건들과 동치임을 알 수 있다.

예

미분 등급 리 대수 

L∞-대수 에서, 만약 오직 2항 이하 괄호만이 0이 아닌 경우, 이는 미분 등급 리 대수를 이룬다. 즉, 이 경우

로 놓으면, 가 만족시켜야 하는 항등식들은 미분 등급 리 대수의 정의와 일치한다. 즉, 3항 이상의 괄호들이 모두 0이라면, 2항 괄호의 야코비 항등식이 정확히 성립한다.

특히, 만약 추가로 일 경우, 이는 등급 리 초대수를 이루며, 만약 모든 등급이 짝수라면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

리 -대수 
L∞-대수에서, 모든 생성원의 등급이 에 속하는 경우를 리 -대수라고 한다. 이 경우,

이므로,

이다.

예를 들어, 일 경우, 오직 1항 · 2항 · 3항 연산만이 자명하지 않다.

특히, 인 경우, 1항 연산 또한 등급에 의하여 0이 되므로, 이 개념은 리 대수의 개념과 동치이다.

거스틴해버 대수 

모든 거스틴해버 대수는 L∞-대수를 이룬다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

대수 구조
호모토피 이론