멱영 리 대수

리 군론에서 멱영 리 대수(冪零Lie代數, )는 유한한 길이의 내림 중심열을 갖는 리 대수이다.

정의 
가환환  위의 리 대수 의 내림 중심렬(-中心列, )은 다음과 같다.

만약 어떤 자연수 에 대하여 이라면, 를 멱영 리 대수라고 한다. (은 유일한 0차원 리 대수이다.) 즉, 다음 명제가 성립하는 자연수 이 존재해야 한다.

가환환  위의 리 대수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 엥겔 조건 리 대수()라고 하자.
가 되는 함수 가 존재한다.

멱영 리 군 
라고 하자. 리 군 의 리 대수가 -리 대수 라고 할 때, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 항등원을 포함하는 연결 성분 은 (군으로서) 멱영군이다.
 는 멱영 리 대수이다.

성질 
멱영 리 대수의 킬링 형식은 0이다.

포함 관계 
임의의 가환환 에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
-아벨 리 대수 ⊆ -멱영 리 대수 ⊆ -가해 리 대수 ⊆ -리 대수
-멱영 리 대수 ⊆ -엥겔 조건 리 대수 ⊆ -리 대수
엥겔 정리에 따르면, (임의의 표수의) 체  위의 유한 차원 엥겔 조건 리 대수는 항상 멱영 리 대수이다.

연산에 대한 닫힘 
멱영 리 대수의 모든 부분 리 대수는 멱영 리 대수이다. 멱영 리 대수의 모든 몫 리 대수 역시 멱영 리 대수이다.

예 
체 에 대하여, 다음과 같은  정사각 행렬들의 집합을 생각하자.

즉, 대각 성분이 0인 상삼각 행렬의 집합이다. 이는 의 부분 리 대수를 이루며, 또한 멱영 리 대수이다. 구체적으로, 의 번째 내림 중심열은 0이다. 엥겔 정리에 따라서, 모든 멱영 리 대수는 충분히 큰 에 대한 의 부분 리 대수로 나타낼 수 있다.

역사 
엥겔 정리는 프리드리히 엥겔()이 1890년 7월 20일 빌헬름 킬링에게 보낸 편지에서 대략적으로 증명하였다. 이후 엥겔의 제자 카를 아르투어 움라우프()가 1891년 박사 학위 논문에서 이 정의의 완전한 증명을 제시하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 멱영군
 가해 리 대수
 이와사와 분해
 영다양체

리 대수