카르탕 행렬

수학에서, 카르탕 행렬(Cartan行列, )은 특정 조건을 만족시키는 정수 정사각 행렬이다.

정의 
정수 성분 정사각 행렬

가 다음 조건을 만족시킨다면, 카르탕 행렬이라고 한다.
 모든 에 대하여, 
 모든 에 대하여, 만약 라면 
 모든 에 대하여, 만약 이라면

딘킨 도표 
카르탕 행렬 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 딘킨 도표()는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 그래프 

 각 변 에 대하여, 양의 정수 순서쌍 
이 데이터로부터 카르탕 행렬을 재구성할 수 있다.

분류 
 정사각 행렬 에 대하여, 만약

인 가 존재하지 않는다면, 을 분해 불가능 행렬()이라고 하자. 모든 행렬은 분해 불가능 행렬들의 직합으로 표현된다.

분해 불가능 카르탕 행렬  가운데, 다음과 같이 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 것을 대칭화 가능 카르탕 행렬()이라고 한다.
, 

이 경우, 항상 의 대각선 성분을 양의 정수로, 의 성분을 유리수로 잡을 수 있다.
증명:
분해 가능 대칭화 가능 카르탕 행렬은 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬들의 직합이므로, 분해 불가능인 경우만 고려하면 족하다.

가 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬이라고 하고, 그 분해를

라고 하자. 이제, 각 에 대하여, 이므로 이다.

이제, 각 에 대하여, 만약 이라면, 

이다. 분해 불가능 조건에 따라, 이 값들은 의 사영 동치류를 결정하며, 성분의 비가 모두 양의 유리수이므로 이 동치류는 양의 정수 성분의 대표원

을 갖는다. 이 경우

를 놓으면

이다. 또한,

이므로,

이다.

대칭화 가능 카르탕 행렬은 개의 실수 고윳값을 가진다. 대칭화 가능 카르탕 행렬 들은 그 고윳값에 따라 다음과 같이 분류된다.
 만약 의 고윳값이 모두 양수일 경우, 카르탕 행렬을 유한형 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 복소수 단순 리 대수와 일대일 대응한다.
 만약 의 고윳값이 모두 양수 또는 0이며, 0을 하나 이상 포함할 경우, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다.
 만약 의 고윳값이 음수를 포함한다면, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다.

예 
1×1 카르탕 행렬은

밖에 없다.

2×2 카르탕 행렬들은 다음과 같다.

2×2의 경우, 만약 이라면 항상

으로 놓을 수 있어, 항상 대칭 카르탕 행렬이다. 의 고윳값은

이다.

이 경우,
 유한형 카르탕 행렬은 (라고 놓으면) 이다. 이들은 각각 반단순 리 대수 , , , 에 대응된다.
 아핀 카르탕 행렬은 (라고 놓으면) 이다. 이들은 각각 아핀 리 대수  및 에 해당한다.

역사 
엘리 카르탕의 이름을 땄으나, 이름과 달리 빌헬름 킬링이 최초로 사용하였다.

외부 링크 
 
 

리 대수
행렬