가능 공종도

집합론에서 가능 공종도(可能共終度, , 약자 pcf)는 어떤 정칙 기수의 집합의 모든 가능한 초곱들의 공종도들의 집합이다.

정의 
정칙 기수의 집합 이 주어졌다고 하자. 각 기수는 순서수로, 즉 정렬 집합으로 여길 수 있다. 정렬 순서의 이론은 1차 논리로 서술할 수 없지만 전순서의 이론 은 1차 논리로 서술된다. 그렇다면, 를 전순서의 이론의 모형들의 집합으로 간주하였을 때, 의 임의의 극대 필터 를 잡아 초곱 을 정의할 수 있다. 이는 워시 정리에 따라서 마찬가지로 전순서 집합을 이루지만, 일반적으로 정렬 집합이 아닐 수 있다. 순서수와 마찬가지로 전순서 집합의 공종도를 정의할 수 있다.

정칙 기수의 집합 의 가능 공종도 는 의 모든 초곱들의 공종도의 집합이다.

여기서 는  위의 극대 필터의 집합이다.

성질 
임의의 정칙 기수의 집합 에 대하여, 다음이 성립한다.
 는 정칙 기수의 집합이다.
 이다.
 이는 주 필터인 극대 필터를 고려하여 알 수 있다.
만약 라면, 다음이 성립한다.
 
 가 존재한다.
 

정칙 기수의 집합 와 에 대하여,

라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
 
 임의의 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 가 존재한다.

역사 
사하론 셸라흐가 1978년에 도입하였다.

응용 
가능 공종도 이론을 사용하여, 기수의 기멜 함수의 다양한 상한을 증명할 수 있다. 기수의 거듭제곱은 기멜 함수 와 연속체 함수 로 결정되는데, 후자는 이스턴 정리()에 따라 ZFC로 결정할 수 없는 반면, 전자에 대해서는 여러 가지의 성질을 증명할 수 있다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 기멜 함수
 특이 기수 가설

기수