클리퍼드 군

이차 형식 이론에서, 클리퍼드 군(Clifford群, )은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 군이며, 직교군의 특정한 확대이다.

정의

국소 동차 원소 
가환환 가 주어졌을 때, -등급 -대수 의 원소 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 국소 동차 원소()라고 한다.
 , 인 원소 가 존재한다.
 모든 소 아이디얼 에 대하여, 는 동차 원소이다. 여기서 는 환의 스펙트럼이며, 는 에서의 가환환의 국소화이다.
 모든 극대 아이디얼 에 대하여, 는 동차 원소이다. 여기서 는 에서의 가환환의 국소화이다.
(물론 가 체인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군 은 의 가역원군 의 부분군을 이룬다.

국소 동차 가역원 가 주어졌으며, 가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때, 이며, 다음과 같은 -자기 동형을 정의할 수 있다.

여기서

는  등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다.

클리퍼드 군 
가환환  위의 클리퍼드 대수 의 클리퍼드 군()

은 다음과 같은 원소 로 구성된, 가역원군의 부분군이다.
 는 가역원이며 국소 동차 원소이다.
 이다.
 모든 에 대하여, 이다.
즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다.

가환환  위의 클리퍼드 대수 의 특수 클리퍼드 군()

은 다음과 같다.

즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다.

스핀 군과 핀 군 
클리퍼드 군 의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군을 핀 군()이라고 한다.

마찬가지로, 다음과 같은 부분군을 스핀 군()이라고 한다.

성질 
임의의 가환환  위의 가군  위의 이차 형식 에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

체 위의 클리퍼드 군 
가 체라고 하고, 가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 가 그 위의 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은 -대수군의 짧은 완전열을 이룬다.

여기서
 은 에서 1의 제곱근의 대수군이다. 만약 의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 이는 크기 2의 순환군이다.
 는  속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군 는 의 제곱 유군이다.
 준동형 은 스피너 노름이다. 마찬가지로  역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다.
 는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군 의 부분군이다.
 준동형 는 클리퍼드 군의  위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다.  역시 마찬가지다.

위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다.

(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

여기서
 는 딕슨 불변량이며, 는 그 제한이다.
 는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, 는 그 제한이다.

실수 계수 
이며, 가 차원 실수 벡터 공간이며, 가 비퇴화 이차 형식일 때, 의 가역원군 은 차원 리 군을 이룬다. 만약 가 음의 정부호 이차 형식이라면, 는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

즉, 는 차원 리 군이다. 전체 가역원군 은 차원 리 군이므로, 이는 여차원 의 부분군이다.

직교군과의 관계 
정의에 따라, 클리퍼드 군 는  위의 -선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 를 보존하며, 따라서 직교군

으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

클리퍼드 군 는 를 부분 집합으로 포함한다 (는 의 가역원군). 이 경우

이다. 즉, 의 작용은 를 축 에 대하여 반사시키는 것이다.

딕슨 불변량 
가 체이며, 가 유한 차원 벡터 공간이며, 가 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 딕슨 불변량()이라는 군 준동형이 존재한다.

즉, 이는 로 인하여 생성되는 -선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약 의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.

핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다.

갈루아 코호몰로지와의 관계 
체  위의 유한 차원 벡터 공간  위의 비퇴화 이차 형식 에 대하여, 짧은 완전열

에서 뱀 보조정리로 유도되는, 군 코호몰로지 의 긴 완전열을 생각해 보자. (비아벨 군의 2차 이상 코호몰로지는 정의되지 않으므로, 이는 2차 코호몰로지에서 끝난다.) 이 긴 완전열은 다음과 같다.

여기서 0차 갈루아 코호몰로지

등은 단순히  계수의 유리점들의 군이며, 1차 갈루아 코호몰로지

는 제곱 유군이며, 연결 사상 는 스피너 노름이 된다.

참고 문헌

외부 링크 
 

리 군
이차 형식