계수-퇴화차수 정리

선형대수학에서 계수-퇴화차수 정리()는 행렬의 상과 핵의 차원의 관계에 대한 정리이다.

정의 
선형 변환 의 정의역 가 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음의 계수-퇴화차수 정리가 성립한다.

여기서 은 차원이며, 는 의 상이며, 는 의 핵이다. 상의 차원을 계수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

핵의 차원을 퇴화차수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

그렇다면, 계수-퇴화차수 정리를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

증명 
사실, 계수-퇴화차수 정리는 벡터 공간의 제1 동형 정리

의 자명한 따름정리이다. 이를 의존하지 않는 한 가지 증명은 다음과 같다. 이라고 하자. 의 기저 ()를 취한 뒤, 이를 확장하여 의 기저 을 만들자. 정리를 증명하려면, 이 의 기저를 이룸을 보이는 것으로 족하다. 이를 보이려면, 다음 두 명제를 증명하기만 하면 된다.
 은 선형 독립이다.
 증명: 이며 라고 하자. 선형 변환의 성질에 따라 이며, 의 정의에 따라 이다. 가 의 기저이므로, 인 가 존재한다. 따라서, 인데, 이 의 기저이므로, 선형 독립이다. 따라서 이며, 특히 이다.
 은 를 선형 생성한다.
 증명: 라고 하자. 그렇다면, 의 정의에 따라 인 가 존재한다. 이 는 기저 의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 즉, 인 가 존재한다. 따라서 인데, 이므로, 이다. 즉, 이다. 즉, 임의의 는 의 선형 결합으로 표현할 수 있다.
이에 따라, 은 의 기저가 맞으며, 이로써 계수-퇴화차수 정리가 증명되었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

선형대수학 정리