핵작용소

함수해석학에서,  핵작용소(核作用素, )는 그 성분들의 거듭제곱들의 합이 수렴하는 콤팩트 작용소이다. 특히, 일 경우(즉, 성분들의 합이 절대 수렴)를 대각합류 작용소(對角合類作用素, )라고 하며, 이 경우 무한 차원의 경우에도 대각합을 정의할 수 있다. 인 경우를 힐베르트-슈미트 작용소(Hilbert-Schmidt作用素, )라고 한다.

정의 
가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. 임의의 양의 실수 가 주어졌다고 하자.

두 -힐베르트 공간 ,  사이의 유계 작용소

가 다음과 같은 꼴의 급수로 표현될 수 있다면, 를 차 핵작용소(次核作用素, )라고 한다.

여기서
 이다.
 는  속의 정규 직교열이다. 즉, 이어야 한다. (그러나 는 의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
 는  속의 정규 직교열이다. 즉, 이어야 한다. (그러나 는 의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
 . (여기서 은 크기 의 이산 공간 위의 르베그 공간이다. 만약 라면 이는 이며, 라면 이는 이다.)
 급수의 수렴은 유계 작용소 공간 의 작용소 노름에 대한 것이다.

만약 일 경우, 1차 핵작용소는 대각합류 작용소 또는 단순히 핵작용소라고 불린다. 만약 일 경우, 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 작용소라고 불린다.

와  사이의 차 핵작용소들의 -벡터 공간을

로 표기하자. 이는 유계 작용소 공간 의 부분 공간이므로, 따라서 -노름 공간을 이룬다.

바나흐 공간의 경우 
핵작용소의 정의는 의 경우 바나흐 공간으로 일반화될 수 있다. 그러나 일 경우 이는 그렇지 않다.

연산

대각합  
임의의 -힐베르트 공간 에 대하여,  위에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 대각합이라고 한다.

이는 사용되는 정규 직교 벡터열 에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

이는  위의 -선형 변환을 이룬다.

샤텐 노름 
마찬가지로,  위에 다음과 같은 샤텐 -노름()을 정의할 수 있다.

(는 에르미트 수반이다. 거듭제곱을 취하는 것은 가 자기 수반 작용소이기 때문에 가능하며, 그 결과는 항상 에 속한다.) (물론, 일 경우 샤텐 -노름은 사실 노름이 아니다.) 이는 위와 동치로 의 (대수적 중복수를 고려한) 특잇값 들이 주어졌을 때

로 정의될 수 있다.

위와 같은 -노름을 부여하면, 는 -바나흐 공간을 이룬다.

힐베르트-슈미트 내적 
특히, 인 경우, 는 힐베르트 공간을 이룬다. 구체적으로, 그 내적은 다음과 같다.

이 내적은 힐베르트-슈미트 내적(Hilbert-Schmidt內積, )이라고 한다.

이에 따라, 다음과 같은 -힐베르트 공간 사이의 동형(유니터리 변환)이 존재한다.

여기서 는 (대수적) -텐서곱의 완비화 (=힐베르트 텐서곱)를 뜻한다.

임의의 에 대하여,  위에도 힐베르트-슈미트 내적을 부여할 수 있으나, 이 경우 일반적으로 이 내적 공간은 힐베르트 공간을 이루지 못하며, 내적에 대한 완비화는 이다.

성질

포함 관계 
정의에 따라, 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.

또한, 만약 와 가 무한 차원이라면 이 포함 관계는 일치하지 않는다. (만약 와 가 유한 차원이라면 물론 항상 이다.)

특히, 두 -힐베르트 공간 사이의 선형 변환에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
선형 변환 ⊇ 유계 작용소 ⊇ 콤팩트 작용소 ⊇ 힐베르트-슈미트 작용소 ⊇ 대각합류 작용소

연산에 대한 닫힘 
임의의 에 대하여, 는 -벡터 공간을 이룬다. 즉, 이들은 유한 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있다. 또한, 임의의 에 대하여, 그 에르미트 수반 역시 다음과 같은 핵작용소이다.

만약 일 경우, 임의의 에 대하여, 는 바나흐 대수 의 양쪽 아이디얼을 이룬다.

다음과 같은 곱셈 정리(-定理, )가 성립한다. 임의의

에 대하여,

를 정의하면, 임의의 세 -힐베르트 공간 에 대하여 다음이 성립한다.

위상수학적 성질 
힐베르트 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 (유계 작용소들의 바나흐 대수 에 작용소 노름 위상을 부여하였을 때) 닫힌집합이다.
 는 유한 차원 -힐베르트 공간이다.

고윳값과의 관계 
다음이 주어졌다고 하자.
 -힐베르트 공간 
 대각합류 작용소 
 의 고윳값들이 (대수적 중복수를 포함하여) 라고 하자.
그렇다면, 리츠키 정리(Лидский定理, )에 따르면 다음이 성립한다.

예 
힐베르트-슈미트 작용소의 대표적인 예는 힐베르트-슈미트 적분 작용소()이다.

연결 열린집합  및 함수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대응하는 힐베르트-슈미트 적분 작용소는 다음과 같다.

이 경우, 그 힐베르트-슈미트 노름은 의 L2 노름과 같다.

역사 
힐베르트-슈미트 적분 작용소는 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트 가 1900년대에 연구하였다. 이후 그 특성을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 추상화하여 힐베르트-슈미트 작용소의 개념이 도입되었다.

힐베르트 공간에서, 임의의 에 대한 -핵작용소의 개념은 로베르트 샤텐(, 1911~1977)과 존 폰 노이만이 1948년에 도입하였다.

리츠키 정리는 우크라이나 태생의 수학자 빅토르 보리소비치 리츠키(, , 1924~2008)가 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

연산자 이론
함수해석학