퀼런 수반 함자

호모토피 이론에서 퀼런 수반 함자(Quillen隨伴函子, )는 두 모형 범주 사이의 수반 함자 가운데, 모형 범주 구조와 호환되는 것이다.

정의

퀼런 수반 함자 
두 모형 범주 ,  사이의 수반 함자

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 수반 함자를 퀼런 수반 함자()라고 한다.
 는 쌍대올뭉치를 쌍대올뭉치로 대응시키며, 자명한 쌍대올뭉치를 자명한 쌍대올뭉치로 대응시킨다.
 는 올뭉치를 올뭉치로 대응시키며, 자명한 올뭉치를 자명한 올뭉치로 대응시킨다.
이 경우, 를 왼쪽 퀼런 수반 함자(), 를 오른쪽 퀼런 수반 함자()라고 한다.

퀼런 동치 
퀼런 수반 함자

에 대해 다음 조건들은 모두 동치이며, 이를 만족시킨다면 퀼런 동치(Quillen同値, )라고 한다.
 임의의 쌍대올대상  및 올대상 에 대하여, 가 약한 동치일 필요 충분 조건은 가 약한 동치인 것이다.
 가 호모토피 범주들의 동치이다.
 가 호모토피 범주들의 동치이다.

성질

사상 성질의 보존 
왼쪽 및 오른쪽 퀼런 함자는 약한 동치를 보존한다. 즉, 다음과 같은 표가 성립한다.
{| class=wikitable style="text-align: center"
! 사상 !! 왼쪽 함자  || 오른쪽 함자 
|-
! 약한 동치
| ⭕ || ⭕
|-
! 쌍대올뭉치
| ⭕ || ❌
|-
! 자명한 쌍대올뭉치
| ⭕ || ❌
|-
! 올뭉치
| ❌ || ⭕
|-
! 자명한 올뭉치
| ❌ || ⭕
|}
위 표에서, ⭕는 함자가 이 사상 모임을 항상 보존한다는 것이며, ❌는 함자가 이 사상 모임을 보존하지 못할 수 있다는 것이다.

유도 수반 함자 
왼쪽 퀼런 함자는 왼쪽 유도 함자를, 오른쪽 퀼런 함자는 오른쪽 유도 함자를 가진다. 왼쪽 유도 함자

및 오른쪽 유도 함자

역시 서로 수반 함자이며, 이를 퀼런 수반 함자 의 유도 수반 함자(誘導隨伴函子, )라고 한다.

예

단체 집합과 위상 공간 
단체 집합의 모형 범주 와 위상 공간의 모형 범주  사이에는 퀼런 동치가 존재한다. 구체적으로, 기하학적 실현 함자

와 특이 단체 복합체 함자

는 수반 함자

를 이루며, 양 범주에 각각 (퀼런) 모형 범주 구조를 부여할 경우 이는 퀼런 동치를 이룬다.

미분 등급 대수 
자연수 등급 미분 등급 대수의 모형 범주 와 자연수 등급 가환 미분 등급 대수의 모형 범주 를 생각하자. 그렇다면, 망각 함자

는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다.

역사 
대니얼 퀼런이 모형 범주의 개념과 함께 1967년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

호모토피 이론
범주론
연속 함수