상태 (함수해석학)

C* 대수 이론에서, 상태(狀態, )는 C* 대수 위에 정의된, 특정한 부등식을 만족시키는, 작용소 노름 1의 복소수 값 유계 작용소이다. 이는 대략 C* 대수를 비가환 공간으로 여겼을 때 일종의 “확률 측도”로 여길 수 있다. 양자역학의 밀도 행렬을 추상화한 개념이다.

겔판트-나이마르크-시걸 구성(Гельфанд-Наймарк-Segal構成, , 약자 GNS 구성)에 따라, 상태들은 C* 대수의, 복소수 힐베르트 공간 위의 표현(의 동치류)와 일대일 대응한다.

정의 
(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수  위의 복소수 선형 변환

가 다음 조건을 만족시킨다면, 상태라고 한다.
 임의의 에 대하여, 이다.
 이다.

C* 대수 의 상태들의 공간을 라고 하자 (는 의 연속 쌍대 공간). 이는 콤팩트 볼록 집합이며, 크레인-밀만 정리에 의하여 이는 극점들을 갖는다. 극점인 상태들을 순수 상태(純粹狀態, ), 아닌 상태들을 혼합 상태(混合狀態,)라고 한다. (이 용어들은 양자역학에서 유래하였다.)

*-표현 
C* 대수 의 *-표현(*-表現) 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 는 복소수 힐베르트 공간이다.
 는 복소수 대합 대수의 준동형이다. 즉, 환 준동형이며, 복소수 선형 변환이며, 대합과 항등원을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 
 임의의  및 에 대하여, 
 임의의 에 대하여,  (우변의 는 에르미트 수반)
  (항등 함수)

의 *-표현 에 대하여, 만약 가 다음 조건을 만족시킨다면 순환 벡터라고 한다.
는 의 (노름으로 정의된 거리 위상에 대한) 조밀 집합이다.

성질

기초적 성질 
복소수 대합 대수  위의 상태 가 주어졌을 때, 에르미트 형식

을 정의할 수 있다. 이는 양의 준정부호이므로, 코시-슈바르츠 부등식

가 성립한다. 즉,

이다.

C* 대수 위의 상태의 작용소 노름은 항상 1이다. 특히, 항상 연속 함수를 이룬다.
증명:
우선, 다음 보조 정리를 증명하자.
① C* 대수 의 자기 수반 원소 가 이라면, 인 자기 수반 원소 가 존재한다.
①의 증명: 로 생성되는 (1을 포함하는) 부분 C* 대수 를 생각하자. 이는 가환 C* 대수이며, 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 에 대한 로 표현되며, 이 표현 아래 는 치역이 의 부분 집합인 연속 함수 에 대응된다. 이 경우, 에 대응되는 원소가 이다.

임의의 C* 대수  위의 임의의 상태 를 생각하자. 이므로 이다. 즉, 임을 보이면 족하다.

임의의 에 대하여, 이라고 하자. 이제 임을 보이면 족하다. 그런데 코시-슈바르츠 부등식에 의하여

이다. 즉, , 즉 임을 보이면 족하다. 그런데 이는 보조 정리 ①에 의하여 참이다.

분해 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 C* 대수 
 유계 작용소 
또한, 다음이 성립한다고 하자.
 임의의 자기 수반 원소 에 대하여, 
그렇다면, 는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다.

여기서
 는  위의 두 상태이다.
 는 음이 아닌 두 실수이며, 이다.

정규 상태 
폰 노이만 대수  위의 상태 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 상태를 정규 상태(正規狀態, )라고 한다.
 는 약한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
 는 강한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
 임의의 *-표현 에 대하여, 가 성립하는 대각합류 작용소 가 존재한다. (이 경우, 를 의 밀도 행렬이라고 한다.)

겔판트-나이마르크-시걸 구성 
겔판트-나이마르크-시걸 구성에 따르면, 다음이 성립한다.
① C* 대수 의 상태 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 *-표현  및 그 속의 순환 벡터 가 존재한다.

② 위 조건을 만족시키는, 순환 벡터가 부여된 두 *-표현 , 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 전단사 유니터리 변환 이 존재한다.

즉, C* 대수의 상태들은 순환 벡터가 부여된 *-표현들의 (②에 대한) 동치류들과 일대일 대응한다.
구성:
구체적으로, 상태 에 대응하는 *-표현 및 순환 벡터는 다음과 같다. 우선, 양쪽 아이디얼

를 정의하면, 복소수 힐베르트 공간은

이다. (위의 줄은 내적 공간의 완비화를 뜻한다.) 그 위의 내적은 다음과 같다.

그 위의 *-표현은 다음과 같다.

그 위의 순환 벡터는 다음과 같다.

순수 상태 ⇔ 기약 *-표현 
C* 대수 의 *-표현 가 다음 두 조건을 만족시킨다면 기약 *-표현()이라고 한다.
 
 임의의 닫힌 부분 벡터 공간 에 대하여, 만약 라면, 인 가 존재한다.

이 경우, 겔판트-나이마르크-시걸 구성 아래, 순수 상태들은 기약 *-표현(의 동치류)들과 일대일 대응한다.

예 
임의의 유한 차원 복소수 힐베르트 공간  및 모든  복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 를 생각하자. 이 경우, 대각합이 1인 에르미트 행렬 를 생각하자.

또한, 의 모든 고윳값이 음이 아닌 실수라고 하자.
그렇다면, 함수

는  위의 상태를 이룬다.

이 가운데 순수 상태들은  (는 단위 벡터)의 꼴의 상태들이다. 이 경우

이다.

역사 
상태의 개념은 양자역학에서 유래하였다.

겔판트-나이마르크-시걸 구성은 이즈라일 겔판트와 마르크 아로노비치 나이마르크가 1943년에 겔판트-나이마르크 정리를 증명하는 데 사용하였으나, 명시적으로 정의하지 않았다. 이후 어빙 에즈라 시걸()이 겔판트와 나이마르크의 논문에서 이 개념을 추출하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

연산자 이론