이진 유리수

수학에서 이진 유리수(二進有理數, ) 또는 이진 분수(二進分數, )는 이진법 전개가 유한한 유리수이다. 즉, 분자가 정수, 분모가 2의 거듭제곱인 분수로 나타낼 수 있는 유리수이다. 예를 들어, 1/2, 3/8은 이진 유리수이며, 1/3은 이진 유리수가 아니다.

정의 
이진 유리수는 다음과 같은 꼴의 수이다.

성질

연산에 대한 닫힘 
두 이진 유리수의 합·차·곱 역시 이진 유리수이다.

그러나, 두 이진 유리수의 몫은 이진 유리수가 아닐 수 있다.

대수적 성질 
이진 유리수의 집합은 유리수환의 부분환을 이루며, 이 부분환은 정수환의 2의 거듭제곱의 곱셈 모노이드에 대한 국소화 이다. 이진 유리수의 덧셈군의 정수 덧셈군에 대한 몫군은 프뤼퍼 2-군과 동형이다.

순서론적 성질 
임의의 가산 전순서 집합은 항상 의 부분 집합과 동형이다.

위상수학적 성질 
이진 유리수들은 실수선의 조밀 집합을 이룬다. 구체적으로, 임의의 실수 를 이진 유리수열 로 얼마든지 가깝게 근사할 수 있다.

응용 
초현실수는 유한 이진 분수를 만든 후 무한대, 무한소 그리고 다른 수들을 만들어 내는 구성 규칙을 반복하여 만들어진다.

이진 반 데르 코르푸트 수열은 양의 이진 유리수의 균등 분배적인 순열이다.

이진 유리수는 우리손의 보조정리를 비롯한 명제들의 증명에서 응용된다.

측량 
인치의 소수부분은 습관상 이진분수로 표시한다. 고대 이집트인들도 측량에 분모가 64 이하인 이진분수를 사용하였다.

음악 
박자표는 관례적으로 이진분수로 이루어진 서양 기보법이다. 20세기쯤 비이진법적 박자표가 작곡가들에 의해 도입되었지만 말이다.

같이 보기 
 반정수는 홀수를 2로 나눠 얻어지는 수이며, 이진 유리수의 특수한 경우이다.
 2진수는 이진 유리수를 확장한 수 체계이다.

각주 

분수
유리수