베주 정역

가환대수학에서 베주 정역(Bézout整域, )은 베주 항등식을 만족시키는 정역이다.

정의 
환 가 다음 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 베주 환()이라고 한다.
 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 주 아이디얼이다.
 두 주 왼쪽 아이디얼의 합이 주 왼쪽 아이디얼이다. 즉, 임의의 두 원소 에 대하여, 가 되는 가 존재한다.
마찬가지로, 오른쪽 베주 환()을 정의할 수 있다. 물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

정역 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 베주 정역이라고 한다.
 왼쪽 베주 환이다.
 오른쪽 베주 환이다.
 (베주 항등식) 임의의 에 대하여, 최대공약수 가 존재하며, 또한 인 가 존재한다.
 모든 소 아이디얼 에 대하여, 국소화 가 값매김환이다.
 모든 극대 아이디얼 에 대하여, 국소화 이 값매김환이다.

성질 
베주 정역은 최대공약수 정역()이자 프뤼퍼 정역()이다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 주 아이디얼 정역이다.
 베주 정역이며 유일 인수 분해 정역이다.
 베주 정역이며 뇌터 환이다.

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 베주 정역이자 국소환이다.
 값매김환이다.

가군 
오른쪽 베주 환 위에서, 꼬임 없는 왼쪽 가군의 개념은 평탄 왼쪽 가군과 일치한다. (여기서, 꼬임 없는 왼쪽 가군 은 임의의 에 대하여 인 것이다.) 반대로, 왼쪽 베주 환 위에서,  꼬임 없는 오른쪽 가군의 개념은 평탄 오른쪽 가군과 일치한다.

예 
모든 대수적 정수의 정역은 베주 정역이지만, 뇌터 환이 아니며 유일 인수 분해 정역도 아니다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

환론