가약군

대수기하학에서 가약군(可約群, )은 그 군 표현론이 특별히 규칙적인 대수군이다. 표수가 0인 경우, 기약군의 모든 표현은 기약 표현으로 완전히 분해된다.

정의 
대수적으로 닫힌 체 에 대한 선형 대수군 가 주어졌다고 하자. 의 근기() 는 단위원을 포함하는 연결 성분 의 최대 연결 가해 부분군이다. 근기는 항상 존재하며, 항상 닫힌 부분군이다. 만약 의 근기가 자명군이라면,  를 반단순 대수군()이라고 한다.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 가약군이라고 한다.
 의 근기 속에서, 1이 아닌 모든 원소들이 멱일원이 아니다.
 는 반단순 대수군과 대수 원환면()의 곱이며, 이 두 군은 의 닫힌 부분군을 이룬다.

성질 
만약 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수군의 모든 -벡터 공간 표현이 기약 표현들로 유일하게 분해된다면, 는 기약군이다. 그 역은 표수 0에서 성립하지만, 양의 표수에서는 성립하지 않는다.

만약 가 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체라면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 가약군이다.
 의 모든 -벡터 공간 표현은 기약 표현들로 유일하게 분해된다.
 의 리 대수 가 가약 리 대수이다. 즉, 딸림표현 는 기약 표현들로 유일하게 분해된다.

복소수체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 복소 가약군이다.
 의 단위원의 연결 성분 은 콤팩트 연결 실수 리 군의 복소화이다.

예 
대수적으로 닫힌 체 에 대하여, 다음과 같은 군들이 기약군이다.
 곱셈군 
 대수 원환면 
 일반선형군 . 이는 반단순군이 아니다.
 특수선형군 . 이는 반단순군이다.
 -이차 형식 에 대하여, 특수직교군 .
반면, 다음과 같은 군들은 가약군이 아니다.
 아벨 다양체는 선형 대수군이 아니므로 가약군이 아니다. 특수한 경우로, 덧셈군 나 타원 곡선이 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

대수군
표현론