리 대수 코호몰로지

리 군론에서 리 대수 코호몰로지(Lie代數cohomology, )는 리 대수 위에 정의되는 코호몰로지 이론이다. Ext 함자의 특수한 경우이다.

정의 
가환환  위의 리 대수  의 보편 포락 대수가 라고 하고, 이 의 표현(즉,  위의 가군)이라고 하자.

를 의 자명한 표현이라고 여기면, 리 대수 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.

즉, 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자

의 오른쪽 유도 함자이다.

마찬가지로, 리 대수 호몰로지()는 다음과 같은 Tor 함자이다.

즉, 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자

의 왼쪽 유도 함자이다.

성질 
연결 콤팩트 리 군 에 대하여, 그 드람 코호몰로지는 그 리 대수 의 리 대수 코호몰로지와 (등급 가환 대수로서) 일치한다.

(같은 리 대수에 여러 개의 연결 리 군이 대응할 수 있는데, 이는 꼬임 부분군을 포함하지 않는 실수 계수인 드람 코호몰로지로 구별할 수 없다.)

슈발레-에일렌베르크 복합체 
체  위의 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 복합체(Chevalley-Eilenberg複合體, )라는 공사슬 복합체로 계산할 수 있다.

구체적으로, 차 슈발레-에일렌베르크 공사슬()은 -선형 변환

이며, 그 공경계는 다음과 같다.

여기서 는 해당 항을 생략하라는 뜻이다.

만약 가 콤팩트 단일 연결 리 군 의 리 대수인 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체는  위의  계수 -불변 미분 형식의 드람 복합체와 동형이다.

낮은 차원의 리 대수 코호몰로지

0차 코호몰로지 
정의에 따라, 0차 리 대수 코호몰로지는 리 대수의 작용에 대하여 불변인 가군 원소들로 구성된 부분 가군이다.

1차 코호몰로지 
리 대수의 미분()은 다음 조건을 만족시키는 -가군 준동형이다.

미분들은 -가군을 이루며, 이를 이라고 쓰자.

임의의 가군 원소 에 대하여, 는 미분을 이룬다. 이렇게 나타낼 수 있는 미분을 내부 미분()이라고 한다. 내부 미분들 역시 -가군을 이루며, 이를 이라고 쓰자.

그렇다면, 1차 리 대수 코호몰로지는 미분 가군의 내부 미분 가군에 대한 몫가군이다.

2차 코호몰로지 
2차 리 대수 코호몰로지 군 은 리 대수의 확대

의 동치류들의 아벨 군과 동형이다. (여기서 은 아벨 리 대수로 간주한다.)

예

아벨 리 대수 
체  위의 아벨 리 대수 와 그 자명한 표현 를 생각하자. 이 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체의 공경계는 항상 0이다. (첫 항은 가군 작용이 들어가며, 둘째 항은 리 괄호가 들어간다.) 따라서, 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 공사슬 공간과 같다.

특히, 라고 하자. 그렇다면

이며, 가 유한 차원일 경우

이다.

기하학적으로, 라고 하고, 아벨 리 군 을 생각하자. 이는 위상수학적으로 차원 원환면이며, 그 드람 코호몰로지는

이다. 즉, 리 대수 코호몰로지가 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지와 일치하는 것을 알 수 있다. 호지 이론에 따라, 드람 코호몰로지는 (임의의 리만 계량을 주었을 때) 조화 형식의 벡터 공간과 표준적으로 동형이다. 평탄한 리만 계량을 준 원환면 위의 조화 형식은 평행 이동에 대하여 불변인 것이며, 이는 슈발레-에일렌베르크 공사슬과 표준적으로 대응함을 쉽게 알 수 있다.

코쥘 복합체 

가환환  위의 가군  및 가군 준동형 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 을  위의 아벨 리 대수로 여길 수 있으며, 또한  위에

로 정의하여 를 아벨 리 대수 의 표현으로 생각하자. 이 경우,  계수의 의 슈발레-에일렌베르크 복합체는 에 대한 코쥘 공사슬 복합체와 같다. 즉, 코쥘 복합체는 아벨 리 대수의 1차원 표현의 슈발레-에일렌베르크 복합체이다.

2차원 비아벨 리 대수 
체  위의 유일한 2차원 비아벨 리 대수

가 주어졌다고 하자. 이는 가해 리 대수이다. 그렇다면,  계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

즉,  계수의 리 대수 호몰로지는 다음과 같다.

즉, 호몰로지 베티 수는 각각 , , 이다. 마찬가지로, 슈발레-에일렌베르크 공사슬 복합체는 다음과 같다.

따라서, 코호몰로지의 차원도 , , 이다.

3차원 직교 대수 
3차원 직교군의 리 대수 의 리 대수 코호몰로지를 계산해 보자. 의 기저는 다음과 같다.

따라서,  계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

따라서, 이 경우

이다. 리 군 은 3차원 초구 와 위상 동형이며, 위 값들은 3차원 초구의 베티 수와 일치한다.

역사 
클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크가 1948년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

리 대수
호몰로지 대수학