유니터리 작용소

함수해석학에서 유니터리 작용소(unitary作用素, )는 힐베르트 공간의 자기동형사상이다. 즉, 내적을 보존시키는 전단사 선형 변환이다.

정의 
힐베르트 공간  위의 유계 작용소 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유계 작용소를 유니터리 작용소라고 한다.
  (는 의 에르미트 수반)
 는 전사 함수이며, 모든 에 대하여 이다.
 의 상은 의 조밀 집합이며, 모든 에 대하여 이다.
만약 마지막 조건에서 상에 대한 조건을 생략할 경우, 는 등거리 변환이라고 한다. 이는 유니터리 작용소보다 더 약한 개념이다. 등거리사상은 를 만족시키지만, 는 만족시키지 않을 수 있다.

예 
항등 함수 는 항상 유니터리 작용소이다.

유한 차원 실수 힐베르트 공간의 경우, 유니터리 작용소는 직교행렬이다. 유한 차원 복소 힐베르트 공간의 경우, 유니터리 작용소는 유니터리 행렬이다.

힐베르트 공간 의 기저  위의 대칭군 의 원소 로부터 유도되는 선형변환

은 유니터리 작용소이다. 대신, 가 단사 함수이지만 전사 함수가 아니라면, 이는 등거리 변환이지만 유니터리 작용소가 아니다.

유클리드 공간 위의 복소수 L2 공간  위의 푸리에 변환 연산자

는 유니터리 작용소이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

힐베르트 공간