평균자유행로

평균자유행로, 또는 평균자유이동경로()는 물리학에서 어떤 입자(원자, 분자, 광자 등)가 연속적으로 충돌하면서 이동하는 평균 거리이다.

평균자유행로는 그 계의 특성이나 입자에 따라 달라진다. 그래서 일반적인 경우 랜덤한 속도를 가진 입자가 고정되어 있는 산란원에 충돌하기까지의 거리로, 다음 식과 같이 표현된다.

 

여기서 은 평균자유행로(단위 m), 은 산란원의 밀도(단위 m−3), 는 산란될 때의 유효 단면적(m2)이다.

산란원을 포함한 모든 입자의 속도가 맥스웰 분포를 따른다고 가정될 경우, 평균자유행로는 다음과 같이 표현된다.

 

일반적으로 위 식은 아래의 과정을 통해서 유도된다.

우선 입자는 직경이 인 완전한 구형이라는 가정이 필요하다. 완전한 구형이 아닌 입자, 그 중에서도 특히 복잡한 분자의 경우 충돌하는 방향의 다양성으로 인해 평균자유행로를 구할 때 많은 변수가 생긴다.

나머지 입자들은 균일하게 분포된 상태로 고정되어 있고, 한 입자만 의 속력으로 움직이는 계 (물리학)를 생각했을 때, 이 공간에 밑면의 직경이 이고 높이는 입자가 초 동안 이동한 거리, 즉 와 같은 원기둥을 설정할 수 있다.

움직이는 입자가 원기둥 내의 고정된 입자, 즉 오른쪽 그림에서의 녹색 입자와 충돌하므로, 그 수를 알아야 하고, 이를 이라 했을 때 은 다음 식을 통해 구할 수 있다.

여기서 는 원기둥의 부피이고, 는 단위 부피당 입자 수이다. 는 주어진 조건을 통해 구할 수 있으므로 원기둥 내의 입자 수를 다시 표현하면

 이 된다.

입자가 초 동안 이동할 수 있는 총 이동 거리 위에 개의 고정된 입자가 있으므로 은 초 동안 움직이는 입자가 고정된 입자와 충돌한 횟수와 같게 된다. 따라서 움직이는 입자가 다른 입자와 부딪힐 때까지 이동한 거리, 즉 평균자유행로 는 다음과 같이 표현된다.

가 산란 시 유효 단면적이므로,  라 하면

 로 글의 처음에 언급했던 식과 동일한 식이 된다.

실제 계 내에서는 모든 입자가 운동하므로, 실제 계는 맥스웰-볼츠만 분포를 따르게 된다. 이 때 두 입자 간의 상대속도의 평균은 가 된다. 따라서 이 경우 입자의 평균자유행로 는 다음과 같이 유도되어 이 역시 글의 처음에 언급했던 식과 동일한 식이 된다.

요한 요제프 로슈미트의 경우 점성의 측정을 통해 평균자유행로를 구하기도 했다.

각주 

물리화학
통계역학