푸앵카레 쌍대성

대수적 위상수학에서 푸앵카레 쌍대성(Poincaré雙對性, )은 호몰로지 군과 코호몰로지 군에 대한 대응성이다.

정의

정수 계수 
이 (경계가 없는) 콤팩트 차원 유향 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 방향은 기본류

를 정의한다.

그렇다면, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.

여기서 은 호몰로지류와 코호몰로지류의 합곱이다.

이 사상은 아벨 군의 동형 사상을 이루며, 이를 푸앵카레 쌍대성이라고 한다.

베티 수 는 호몰로지 및 코호몰로지의 차원이므로, 다음이 성립한다.
.

정수 계수에서 성립하므로, 사실 위의 푸앵카레 쌍대성은 임의의 아벨 군 계수에 대하여 마찬가지로 성립한다.

𝔽₂ 계수 
이 (경계가 없는) 콤팩트 차원 다양체 이 주어졌다고 하자. (이 가향 다양체일 필요가 없다.)

이 경우, 기본류는  계수에서 잘 정의된다.

이 경우, 마찬가지로 다음과 같은, -벡터 공간의 동형 사상이 존재한다.

성질 
짝수 차원 콤팩트 다양체 이 주어졌다고 하자. 또한, 다음과 같은 두 경우를 생각하자.
 이며, 은 유향 다양체
 
두 경우 다 기본류 가 존재한다. 이 경우, 푸앵카레 쌍대성에 의하여, -가군  위에 다음과 같은 이차 형식이 존재한다.

이를 의 교차 형식()이라고 한다.

역사 
앙리 푸앵카레가 1893년에 베티 수에 대한 관계로 제시하였다. 푸앵카레는 1895년에 푸앵카레 쌍대성의 증명을 발표하였으나, 덴마크의 수학자 포울 헤고르()가 오류를 지적하였다. 푸앵카레는 이 논문의 속편에서 수정한 다른 증명을 발표하였다.

1930년대에 코호몰로지가 발견되면서, 푸앵카레 쌍대성이 베티 수를 넘어서 호몰로지와 코호몰로지 사이의 관계라는 사실이 밝혀졌다.

참고 문헌 

 
 
 

대수적 위상수학
대수기하학 정리