주곡률

미분기하학에서 주곡률(主曲率, )은 곡면이 각 방향에 따라 굽은 정도를 나타내는 값들이며, 제2 기본 형식의 고윳값들이다.

정의 
d+1차원 리만 다양체  속에 여차원이 1인 부분다양체 가 매장돼 있다고 하자. 그렇다면, 의 제2 기본 형식 과 제1 기본 형식 를 사용해 다음과 같은 (1,1)-텐서를 정의할 수 있다.

이 텐서를 모양 연산자()라고 한다. 의 주곡률은 그 모양 연산자의 고윳값들이다. 즉, 주곡률 는 다음을 만족시킨다.

모양 연산자의 행렬식, 즉 주곡률들의 곱을 가우스 곡률 라고 하고, 대각합의 1/d, 즉 주곡률들의 평균을 평균 곡률() 라고 한다.

분류 
여차원이 1인 부분다양체 의 점 는 모양 연산자의 계량 부호수에 따라 분류된다.
 타원점()에서는 모양 연산자가 양의 정부호이다. 즉, 모든 주곡률들이 양수이다.
 배꼽점()에서는 모든 주곡률들이 같으며 양수이다. 이 점에서 곡면은 국소적으로 구면처럼 보인다.
 포물점()에서는 모든 주곡률들이 양수이거나 0이고, 적어도 한 주곡률이 0이다.
 쌍곡점()에서는 적어도 한 주곡률이 음수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

곡면
미분기하학