히친 계

수학과 물리학에서 히친 계()는 양-밀스 이론의 순간자를 수학화한 적분가능계이다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 리만 곡면 
 콤팩트 리 군 
  위의 -정칙 벡터 다발 (-주다발의 연관 벡터 다발) 
 의 벡터 다발 접속 . 그 곡률을 라고 하자.
  위의 (1,0)차 복소수 미분 형식 . 이를 힉스 장이라고 한다.
그렇다면 히친 방정식()은 다음과 같다.

.
여기서 는 공변 미분이고, 는 호지 쌍대이다.

여기서, 는 -주다발의 주접속으로 해석할 수 있다. 이렇게 생각하면, 히친 방정식은 -주다발 주접속이 평탄 주접속임을 나타낸다.

히친 방정식을 만족시키는 데이터 를 히친 쌍()이라고 한다. 히친 쌍의 공간은 안정 -벡터 다발들의 모듈라이 공간 의 공변접다발 과 표준적으로 동형이며, 따라서 심플렉틱 다양체를 이룬다.

이제, 의 임의의 차 불변 다항식 을 생각하자. 그렇다면,

를 취할 수 있다. 여기서 는 의 (1,0)차 복소수 미분 형식의 복소수 선다발(즉, 표준 선다발)이다. 따라서, 복소수 벡터 공간

의 임의의 기저를 취하면,  위의 일련의 함수들을 정의할 수 있다. 이러한 함수의 수는 의 차원과 같으며, 이들은 또한 푸아송 괄호 아래 서로 가환한다. 따라서, 이를 해밀토니언들로 삼았을 때, 이는 적분가능계를 이룬다. 이 적분가능계를 히친 계라고 한다.

역사 
나이절 히친이 1987년 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

대수기하학
미분기하학
해밀턴 역학
리 군