등각 켤레점

기하학에서 등각 켤레점(等角-點, )은 주어진 점과 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 잇는 직선을 삼각형의 각 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선들의 교점이다.

정의 
삼각형 의 한 꼭짓점  (또는  또는 )를 지나는 직선의 등각 켤레선(等角-線, )은 그 직선을 내각  (또는  또는 )의 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 등각 켤레선의 등각 켤레선은 자기 자신이므로, 두 직선이 서로 등각 켤레선이라고 하기도 한다. 즉, 삼각형 의 한 꼭짓점 를 지나는 등각 켤레선은 다음 두 조건을 만족시키는 두 직선 와 를 뜻한다.
 둘 다 삼각형의 내부를 지나거나, 둘 다 삼각형의 내부를 지나지 않는다.
  (즉, )

삼각형  및 같은 평면 위의 점 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 세 직선 , , 의 등각 켤레선은 한 점 에서 만난다. 이 점을 삼각형 에 대한 점 의 등각 켤레점이라고 한다. 등각 켤레점의 등각 켤레점은 자기 자신이므로, 두 점 와 이 서로 등각 켤레점이라고 하기도 한다.

AP, BP, CP와 BC, CA, AB의 교점을 D, E, F라 하고, AP, BP, CP를 각각 각 A, B, C에 대해 각대칭시킨 세 직선과 BC, CA, AB의 교점을 D', E' F'이라 하자. 삼각형 ABC와 점 P에 대해 각체바 정리를 쓰면,

AD, BE, CF와 AD', BE', CF'은 각대칭이므로 다음이 성립한다.

따라서 각체바 정리의 역에 의해 AD', BE', CF'은 한 점 Q에서 만난다.

성질 
삼각형 에 대한 등각 켤레점 와 이 주어졌다고 하자. 점 를 삼각형의 각 변 , , 에 반사시켜 얻는 점을 , , 라고 하자. 그렇다면 삼각형 의 외심은 이다.

등각 켤레점의 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다. 즉, 삼각형  및 등각 켤레점 와 가 주어졌다고 하자. 점 에서 세 변 , , 에 내린 수선의 발을 각각 , , 라고 하고, 점 에서 세 변 , , 에 내린 수선의 발을 각각 , , 라고 하자. 그렇다면 두 수족 삼각형의 6개의 꼭짓점 , , , , , 은 와 의 중점 을 중심으로 하는 원 위의 점이다.

대칭성에 따라 , , , 이 을 중심으로 하는 원 위의 점임을 증명하는 것으로 충분하다. 직선 와 의 교점을 라고 하자. , , , 은 한 원 위의 점이므로

이다. 따라서 직선 는 의 수선이며, 삼각형 와 , 삼각형 와 은 닮음이다. 따라서

이며, 방멱의 성질에 따라 , , , 은 한 원 위의 점이다. 은 선분 의 중점이며 직선 와 , 직선 와 은 평행하므로 은 선분 과 의 수직 이등분선의 교점이다. 즉, 은 네 점 , , , 을 지나는 원의 중심이다.

드로츠파르니 원 
삼각형  및 등각 켤레점 와 가 주어졌다고 하자. 점 를 지나는 변 , , 의 수선의 발을 , , 라고 하고, 점 을 지나는 변 , , 의 수선의 발을 , , 라고 하자. 점 , , 를 중심으로 하고 점 을 지나는 원이 변 , , 와 각각 두 점 와 , 과 , 과 에서 만난다고 하자. 마찬가지로 점 , , 를 중심으로 하고 점 을 지나는 원이 변 , , 와 각각 두 점 와 , 과 , 과 에서 만난다고 하자. 그렇다면 6개의 점 , , , , , 는 점 를 중심으로 하는 한 원 위의 점이며, 다른 6개의 점 , , , , , 은 점 을 중심으로 하는 한 원 위의 점이다. 또한 이 두 원의 반지름은 같다. 이 두 원을 등각 켤레점 와 의 드로츠파르니 원()이라고 한다.

점 와 의 중점을 이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

첫째 등호는 피타고라스 정리, 둘째 등호는 점 의 정의, 셋째 등호는 코사인 법칙에 따른다. 은 점 와 의 수족 삼각형의 공통 외접원의 반지름이므로, 점 와 에만 의존한다. 따라서 는 점 와 에만 의존하며, 를 남은 5개의 점 가운데 하나로 대체하여도 결과는 같다.

예 
다음과 같은 두 점의 쌍들은 등각 켤레점이다.
 외심과 수심
 내심과 자기 자신
 무게 중심과 대칭 중점

각주

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

삼각 기하학