고유 함수

일반위상수학에서 고유 함수(固有函數, )은 콤팩트 집합의 원상이 콤팩트한 연속 함수이다.

정의 
위상 공간  사이의 연속 함수 가 다음 성질을 만족시키면, 를 고유 함수라고 한다.
임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 는 콤팩트 집합이다.
(스킴의 고유 사상은 이 조건과 다른 조건이다.)

위상 공간  사이의 연속 함수 가 다음 성질을 만족시키면, 를 준콤팩트 함수(準-, )라고 한다.
임의의 콤팩트 열린집합 에 대하여, 는 콤팩트 열린집합이다.
이 조건은 스킴 이론에서 쓰인다. 두 스킴 사이의 준콤팩트 사상()은 준콤팩트 함수인 스킴 사상이다. (스킴 사상은 항상 연속 함수이다.) 공역 가 하우스도르프 공간이라면 의 콤팩트 열린집합은 열린닫힌집합이며, 가 하우스도르프 연결 공간인 경우 이는 공집합이거나  전체이다. 따라서, 공역이 하우스도르프 연결 공간인 경우 준콤팩트 함수의 개념은 자명하다. 그러나 대부분의 스킴은 하우스도르프 공간이 아니다.

성질 
정의에 따라서, 연속 함수에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
고유 함수  준콤팩트 함수  연속 함수

필요 조건 · 충분 조건 
어떤 연속 함수 에 대하여, 닫힌 함수이며 또한 모든 점 의 원상이 콤팩트 집합이라면 는 고유 함수이다. 만약 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 그 역도 성립한다.

만약 가 거리 공간이라면, 고유성은 다음 개념을 통해 정의할 수 있다.
거리 공간  속의 수열 가 주어졌다고 하자. 만약 모든 콤팩트 집합 에 대하여 가 유한 집합이라면, 를 무한대로 달아난다()고 한다.
거리 공간 사이의 연속 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 고유 함수이다.
  속의 모든 무한대로 달아나는 수열의 상이 ( 속에서) 항상 무한대로 달아난다.

스킴 사상 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 준콤팩트 사상이다.
 임의의 아핀 열린집합 에 대하여, 는 콤팩트 집합이다. (모든 아핀 스킴은 콤팩트 공간이다.)
 는 에 대한 원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개 를 갖는다.
그러나 마지막 조건에서, "원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개"를 "원상이 콤팩트 집합인 콤팩트 열린 부분 스킴으로 구성된 열린 덮개"로 약화시킨다면 이는 동치이지 않다.

기타 성질 
위상 공간 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 가 콤팩트 공간이다.
 한원소 공간으로 가는 유일한 함수 가 고유 함수이다.
 한원소 공간으로 가는 유일한 함수 가 준콤팩트 함수이다.

정의역이 콤팩트 공간이고 공역이 하우스도르프 공간인 연속 함수는 고유 함수이자 닫힌 함수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

일반위상수학
연속 함수