심플렉틱 군

군론에서 심플렉틱 군(-群, ) 또는 사교군(斜交群)은 고전적 행렬 리 군의 하나다.

정의

심플렉틱 군 Sp(2n; K) 
가 체라고 하자. 다음과 같은  행렬을 정의하자.

여기서 은  단위 행렬이다.

그렇다면 는 를 만족하는  행렬 들의 곱셈군이다. 즉,
.
이 성질을 만족하는 행렬을 심플렉틱 행렬이라고 한다.

유니터리 심플렉틱 군 USp(2n) 
유니터리 심플렉틱 군 은  유니터리 심플렉틱 복소수 행렬의 리 군이다. 즉,

이다. 간혹 USp(2n)을 Sp(n)으로 쓰기도 한다. 하지만 이는 Sp(n,F)와 다른 군이다.

유니터리 심플렉틱 군 은 사원수의 유니터리 군과 같다.

리 대수 
에 대응하는 리 대수 는 해밀턴 행렬(), 즉 이 대칭 행렬인 행렬 들로 구성된다.

복소수체의 경우에도 마찬가지이다.

유니터리 심플렉틱 군의 리 대수 는  사원수 반에르미트 행렬로 구성된다. 또한, 이는  복소수 에르미트 행렬이자  해밀턴 행렬인 것들로 구성할 수도 있다.

성질

군론적 성질 
의 중심은 다음과 같다.

만약 의 표수가 2가 아닐 경우, 의 중심은 다음과 같다.

만약 의 표수가 2일 경우, 의 중심은 자명군이다.

(유니터리) 심플렉틱 군의 중심에 대한 몫군은 사영 (유니터리) 심플렉틱 군()이라고 한다.

유한체에 대한 심플렉틱 군의 크기는 다음과 같다.

리 이론적 성질 
심플렉틱 군 는 계수가 인 단순 리 군이며, 단순 리 군의 분류에서 에 해당한다. 그 콤팩트 실수 형태는 이며, 분해 실수 형태는 이다. 의 딘킨 도표는 다음과 같다.

의 최대 콤팩트 부분군은 유니터리 군 이다.

을  사원수 유니터리 행렬들의 군으로 생각한다면, 의 극대 원환면은 다음과 같다.

위 식에서는 사원수 대수  속에서, 복소수체와 동형인 부분 대수를 임의로 골랐다. 이러한 부분 대수로는  또는  또는  따위를 사용할 수 있다.

의 바일 군은 다음과 같으며, 이는 의 바일 군과 같다.

이는 구체적으로 다음과 같이 작용한다. 각 는 를

와 같이 대응시키며, 은 극대 원환면의 기저에 대하여 순열로 작용한다.

위상수학적 성질 
복소수 심플렉틱 군 은  복소수 차원의 연결 단일 연결 리 군이다. 이는 콤팩트하지 않으며, 다음과 같은 위상 동형이 존재한다.

실수 심플렉틱 군 은  (실수) 차원의 연결 리 군이며, 이는 콤팩트하지 않는다. 또한, 다음과 같은 호모토피 동치가 존재한다.

따라서, 그 기본군은 다음과 같다.

이에 따라 두 겹 피복군을 취하면 메타플렉틱 군()

을 얻는다.

유니터리 심플렉틱 군 은  (실수) 차원의 콤팩트 연결 단일 연결 리 군이다.

포함 관계 
유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 포함 관계를 가진다.
 
 
 
 .

낮은 차수의 유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 예외적 동형()을 보인다.

복소군의 경우 이는 해당 딘킨 도표로부터 쉽게 알 수 있다.

모든 체 에 대하여, 다음과 같은 동형이 성립한다.

유한체에 대한 심플렉틱 군의 경우 다음과 같은 동형이 존재한다.

여기서  및 은 각각 대칭군과 교대군을 뜻한다.

역사 
심플렉틱 군은 닐스 헨리크 아벨이 도입하였다.

"심플렉틱 군"이라는 이름은 헤르만 바일이 1939년에 도입하였다. 이 책에서 바일은 다음과 같이 적었다.

이 어원에 대하여 다른 저자는 다음과 같이 적었다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 심플렉틱 다양체
 심플렉틱 행렬

리 군
심플렉틱 기하학