천-사이먼스 형식

미분위상수학에서 천-사이먼스 형식([陳]-Simons型式, )은 리 대수 값 미분형식에 대해 곡률 특성 형식(curvature characteristic form)을 자명화시키는 미분형식이다. 이차 특성류 가운데 하나로 볼 수도 있다. 1974년 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다. 특수한 경우로서 G-주다발과 접속이 주어진 홀수 차원 매끄러운 다양체에서 정의하기도 한다.

정의

천-사이먼스 원소 
다음이 주어졌다고 하자.
 유한 차원 실수 리 대수 
 의 차 불변 다항식 
그렇다면, 로 구성되는 베유 대수 를 정의할 수 있다. 이는 가환 미분 등급 대수이다. 또한, 불변 다항식의 공간 은 자연스럽게 베유 대수의 부분 공간으로 간주될 수 있다.

이제, 의 원소는 베유 대수  속에서 항상 닫힌 원소이며, 베유 대수의 코호몰로지는 (정의에 따라) 자명하다. 따라서,

가 되는 차 원소

를 찾을 수 있다. 이를 의 천-사이먼스 원소()라고 한다.

이과 같은 구성은 임의의 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화된다.

리 대수 값 미분 형식의 천-사이먼스 형식 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 유한 차원 실수 리 대수 
 값의 1차 미분 형식 
그렇다면, 는 가환 미분 등급 대수의 준동형

과 같은 데이터를 갖는다. 구체적으로, 의 기저를 라고 하고, 의, 이에 대응하는 등급 1의 생성원을 라고 할 때, 미분 등급 대수 준동형 에 대응하는 1차 미분 형식은

이다.

이에 따라서, 의 차 불변 다항식 에 대한  속의 대수적 천-사이먼스 원소

에 대하여, 그 상

은  위의 차 미분 형식을 이룬다. 즉, 이는

를 만족시킨다.

주접속의 천-사이먼스 형식 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 리 군  및 그 리 대수 
 -주다발 
  위의 주접속 
그렇다면, 의 주접속의 공간은 에 대한 아핀 공간이지만, 이는 표준적인 원점을 갖지 않는다.

원점을 고르는 것은 주접속 의 임의의 자명화 및 각 자명화의 단면을 선택하는 것에 해당한다. 즉, 충분히 섬세한 열린 덮개  및 미분 동형 들을 고르면, 주접속 는 덮개의 각 원소 위의 값 1차 미분 형식들의 모임

의 데이터로 주어진다. 이에 따라, 선택한 불변 다항식 에 대한 각 조각별 천-사이먼스 형식들을 정의하여 짜깁기하여  전체에 정의된 미분 형식

을 얻을 수 있다.

이렇게 하여 얻은 미분 형식은 가 게이지 불변이므로 무한소 게이지 변환(즉, 항등 함수와 호모토픽한 게이지 변환 )에 대하여 자동적으로 게이지 불변이다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환(즉, 의 자명하지 않은 연결 성분)에 대하여 불변이지 않다. 즉, 이는 일반적으로 대역적으로 잘 정의되지 않는다.

다만, 만약 (예를 들어) 이 차원 매끄러운 다양체라면, 그 적분

을 생각할 수 있다. 이 경우, 큰 게이지 변환의 군

은 이 값 위에 작용하게 된다. 만약 의 작용이

의 꼴이라면, 이 경우

는 잘 정의된다. 이와 같은 구성은 이론물리학에서 천-사이먼스 이론의 정의에 사용되며, 큰 게이지 변환의 작용은 물리학적으로 천-사이먼스 이론의 전위()의 양자화로 귀결된다.

성질 
매끄러운 다양체  위의 평탄 주접속 의 (임의의 불변 다항식)에 대한) 천-사이먼스 형식은 (정의에 따라) 닫힌 미분 형식이다. 마찬가지로, 차 불변 다항식 에 대하여, 만약

이라면, 천-사이먼스 형식은 최고차이므로 닫힌 미분 형식이다. 이와 같은 경우, 천-사이먼스 형식은 실수 계수 코호몰로지류를 정의한다.

예 
가장 자주 사용되는 천-사이먼스 형식은 다음과 같다.

리 대수 의 유한 차원 표현

이 주어졌을 때,

는 대각합의 순환성에 의하여 항상 차 불변 다항식이다.

따라서, 이에 대한 차 천-사이먼스 형식 을 정의할 수 있다. 즉,

이 된다. 여기서 이란 를 사용하여 를 2차 미분 형식의  정사각 행렬로 간주한 뒤, 행렬 곱셈과 미분 형식 쐐기곱을 합성한 연산에 대한 제곱이다.

만약 일 때, 들은 의 개 불변 다항식에 각각 대응한다. (만약 일 경우, 이 된다.)

이러한 7차 이하의 천-사이먼스 형식들은 다음과 같다.

이러한 식에서, 는 사실 (리 대수의 표현을 사용하여) 미분 형식의 정사각 행렬로 간주한 것들의 행렬곱이다. 즉, 리 대수의 지표는 (정사각 행렬로 표현하여) 행렬곱을 취하고, 행렬의 각 성분인 미분 형식은 쐐기곱을 취하는 것이다.

천-사이먼스 형식의 계산 
이러한 꼴의 불변 다항식에 대한 천-사이먼스 형식은 다음과 같이 대수적으로 모형화될 수 있다.

하나의 등급 1의 생성원 로 생성되는 유리수 계수 자유 미분 대수

를 생각하자. 이는 등급 가환 법칙을 따르지 않지만, 미분 연산 는 멱영 연산이며 에 대한 곱셈과 등급 가환한다. 즉,

이다.

이제, 다음과 같은 꼴의 항들로 생성되는 부분 벡터 공간을 생각하자.

(이는 대각합의 순환성에 의하여 대각합을 취하면 0이 되는 항들의 공간이며, 특히 아이디얼이 아니다. 예를 들어, 이지만 이다.) 그렇다면, 임의의 양의 정수 에 대하여,

가 되는 원소 가 존재함을 보일 수 있으며, 그 동치류 는 유일하다. 이것이 차 천-사이먼스 형식이 된다.

특히, 천-사이먼스 형식을 계산할 때,

이라는 사실이 자주 사용된다.

이를 통해, 처음 몇 개의 천-사이먼스 형식을 다음과 같이 계산할 수 있다. 여기서 편의상 이며, “대각합” 은 로 동치류를 취하는 것이다.
1차 천-사이먼스 형식의 계산:

3차 천-사이먼스 형식의 계산:

역사 
천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 1974년에 도입하였다. 천싱선과 사이먼스는 리만 다양체의 폰트랴긴 특성류를 조합론적으로 계산하려고 하였는데, 이러한 공식의 존재에 대한 방해물로 천-사이먼스 형식을 발견하였다.

물리학에 응용
1978년 러시아 수리물리학자 알베르트 시바르츠는 천-사이먼스 형식을 이용하여 3차원 위상 양자장론 가운데 하나인 천-사이먼스 이론을 최초로 발견하였다. 이는 3차원 양자중력과도 연결되며 분수 양자 홀 효과를 설명하기도 한다. 또한 양-밀스 이론과도 연결되어 topologically massive Yang-Mills theory같은 물리학 이론을 만든다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

미분기하학
대수적 위상수학
끈 이론