모듈러 곡선

수론과 대수기하학에서 모듈러 곡선(modular曲線, )은 상반평면의 모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간인 리만 곡면이다. 타원곡선과 모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.

정의 
모듈러 군 의 부분군 가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 에 대하여 라면, 를 모듈러 군의 합동 부분군(合同部分群, )이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 을 합동 부분군 의 준위()라고 한다.

Γ(1)은 자연스럽게 상반평면 에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군  또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 를 (비콤팩트) 모듈러 곡선 라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.

콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 확장 상반평면()

을 정의하자. 그렇다면 콤팩트 모듈러 곡선을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.

대표적인 합동 부분군 Γ0(N), Γ1(N) 및 Γ(N)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 X0(N), X1(N), X(N)이라고 적는다.

타원점과 첨점 
합동 부분군 의 타원점 는 그 점에서의 -작용에 대한 안정자군 가 자명하지 않는 (보다 더 큰) 점이다. 이 경우, 의 크기를 타원점 의 계수()라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 의 모듈러 곡선  위의 한 점으로 간주할 수 있다.

합동 부분군 의 첨점(尖點, )은 :
의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.

타원곡선과의 관계 
모듈러 곡선은 소위 준위 구조()를 가진 복소 타원곡선의 모듈라이 공간이다. 예를 들어, 은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다. 는 타원 곡선

과 대응된다. 여기서 는 에 의하여 생성되는 2차원 격자이며, 는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른 를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)

X(N) 
X(N)의 경우, 타원곡선  위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 이다.
 와 의 차수는 의 약수이다. 즉, 이다.
 와 의 베유 쌍(Weil pairing)은 이다.
복소수체의 경우, 두 차 점

의 베유 쌍은

이다.

이에 따라서 는 N차 꼬임 부분군

의 기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의 에 대하여 이는

로 주어진다.

X0(N) 
X0(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 N차 순환 부분군

이다. 구체적으로, 에 대하여 이는

이다.

X1(N) 
X1(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 인 점 (즉, 인 )이다. 구체적으로, 에 대하여 이는

이다.

성질 
모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군 의 콤팩트 모듈러 곡선 의 종수(genus)는 다음과 같다.

여기서
 는 부분군의 지표다.
 는 의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
 는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
 는 의 첨점들의 수이다.

예

Γ(1) 
모듈러 군 의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 은 리만 구 와 동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.

이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.
 계수가 2인 타원점 1개 ()
 계수가 3인 타원점 1개 ()
 첨점 1개 ()
를 가진다. 따라서

이다. 이는 리만 구에 해당한다.

Γ(N) 
Γ(N)의 경우 이면 타원점이 없다. 이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.

또한, 이 경우 개의 첨점이 있다.
따라서 이 경우 종수는

이다. 예를 들어, 인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는

이다.

N이 소수 p일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. 

따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다. 부분군의 지표는 , 첨점의 수는 , 종수는 이다.

X(1)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 j-불변량 에 의해 주어지고, X(2)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 모듈러 람다 함수 에 의해 주어진다.

Γ1(N) 
Γ1(2)와 Γ1(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ1(N)의 경우 N>3이면 타원점이 없다. Γ1(N)의 지표는

이며, 첨점의 개수는 다음과 같다.

(는 오일러 피 함수이다.)
따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.
여기서 부분군의 지표는 , 첨점의 수는 , 종수는 이다.

Γ0(N) 
Γ0(N)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.

여기서 는 오일러 피 함수이고, 는 르장드르 기호이다. 는 가 의 인수라는 뜻이다. 는 가 의 소인수라는 뜻이다.

이 경우 부분군의 지표는 , 계수 2의 타원점의 수는 , 계수 3의 타원점의 수는 , 첨점의 수는 , 모듈러 곡선의 종수는 이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

대수 곡선
리만 곡면
모듈러 형식