아다마르 행렬

선형대수학에서 아다마르 행렬(또는 하다마드 행렬, Hadamard行列, )은 모든 성분이 ±1이며, 행벡터들과 열벡터들이 각각 서로 직교하는 정사각 행렬이다.

정의 
실수 성분  정사각 행렬 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 아다마르 행렬이라고 한다.
 모든 성분이 이며, 은 직교 행렬이다.
 모든 성분이 이며, 모든 행벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 에 대하여 이다. 즉, 이다.
 모든 성분이 이며, 모든 열벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 에 대하여 이다. 즉, 이다.
 모든 성분이 절댓값 1 이하의 실수이며, 이다.
여기서 는 크로네커 델타이다.

아다마르 설계 
첫째 행과 첫째 열이 모두 +1만으로 구성된 아다마르 행렬을 표준형 아다마르 행렬(標準型Hadamard行列, )이라고 한다. 모든 아다마르 행렬은 행 및 열의 순열 및 −1을 곱하는 것을 통해 표준형으로 만들 수 있다.

 표준형 아다마르 행렬 이 주어졌을 때,
 첫째 행과 첫째 열을 제거하고,
 성분을 으로 치환하자.
그렇다면, 성분이 0 또는 1인  정사각 행렬을 얻는다.

만약 이 4의 배수일 경우, 이  행렬은 -블록 설계의 결합 행렬을 이루며,

이다. 즉,
 개의 블록이 있으며,
 모든 점은 개의 블록에 속하며,
 서로 다른 임의의 두 점은 개의 블록에 공통적으로 속한다.
이를 아다마르 설계(Hadamard設計, )라고 한다.

반대로, 인 -블록 설계가 주어졌을 때, 위와 같이 표준형 아다마르 행렬을 재구성할 수 있다.

성질

존재 
임의의 자연수 에 대하여,  아다마르 행렬이 존재할 필요 조건은 다음과 같다.
이거나, 또는 은 4의 배수이다.
이 조건이 필요 충분 조건이라는 추측은 아다마르 추측(Hadamard推測, )이라고 하며, 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 다만, 적어도 에 대해서는 위 조건이 필요 충분 조건이다.

 아다마르 행렬이 존재하기 위한 알려진 충분 조건은 다음이 있다.
 은 다음과 같은 꼴의 양의 정수들의 곱이다.
 2
 , , 는 소수의 거듭제곱
 , , 는 소수의 거듭제곱

행렬식 
행렬 공간 을 정의하자. 그렇다면, 아다마르 부등식()에 따르면,

이다.

 아다마르 행렬의 행렬식은 이다. 즉, 만약  아다마르 행렬이 존재한다면, 이는  위에서 행렬식 절댓값 함수 를 최대화한다.

정칙 아다마르 행렬 
 아다마르 행렬 의 초과량(超過量, )은 그 모든 성분들의 합이다.

이는 다음과 같은 상계를 갖는다.

 아다마르 행렬 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아다마르 행렬을 정칙 아다마르 행렬()이라고 한다.
 
 각 행의 합과 각 열의 합이 각각 일정하다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.

정칙 아다마르 행렬의 크기는 항상 제곱수이다. 즉,  또는 의 꼴이다.

연산 
만약 가 아다마르 행렬이라면,  역시 아다마르 행렬이다. 보다 일반적으로, 아다마르 행렬에 다음 연산을 가해도 아다마르 행렬을 이룬다.
 임의의 한 열에 −1을 곱하기
 임의의 한 행에 −1을 곱하기
 열의 순서를 뒤바꾸기
 행의 순서를 뒤바꾸기

실베스터 구성 
임의의 두 아다마르 행렬

이 주어졌을 때, 그 크로네커 곱

은 역시 아다마르 행렬이다. 특히,

를 사용하여, 크기 의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다. 이를 실베스터 구성()이라고 한다.

이에 따라,

로부터 시작하여  크기의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다.

페일리 구성 
페일리 구성()은 유한체를 사용하여 아다마르 행렬을 구성하는 방법이다.

가 홀수 소수의 거듭제곱이라고 하자. 이제, 함수

를 정의하자. (여기서 는 유한체이다.)

이제, 임의의 전단사 함수

를 고르자. 그렇다면,  행렬

를 정의할 수 있다. 이를 야콥스탈 행렬()이라고 한다. 만약 일 경우 은 제곱수이며, 는 대칭 행렬이다 (). 반면, 만약 일 경우 은 제곱수가 아니며, 는 반대칭 행렬이다 ().

이제,  행렬

을 정의할 수 있다. 여기서

이다.

만약 일 경우,

는  아다마르 행렬이다.

만약 일 경우, 의 각 성분을

로 치환하면,  아다마르 행렬을 얻는다.

예 
1×1 행렬

및

은 아다마르 행렬이다. 이는 추가로 정칙 아다마르 행렬이다.

2×2 행렬

은 표준형 아다마르 행렬이지만, 정칙 아다마르 행렬이 아니다.

역사 
1867년에 제임스 조지프 실베스터가  크기의 아다마르 행렬을 최초로 구성하였다. 이후 1893년에 자크 아다마르가 행렬의 행렬식의 절댓값의 최댓값의 상계를 발표하였으며, 이 때문에 이를 포화시키는 행렬이 “아다마르 행렬”이라고 불리게 되었다.

1933년에 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(, 1907~1933)가 유한체를 사용한 페일리 구성을 발견하였다.

같이 보기 
 윌리엄슨 형식
 심플렉틱 행렬

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

수학의 미해결 문제
조합론
행렬