바탈린-빌코비스키 대수

이론물리학과 수학에서 바탈린-빌코비스키 대수()는 게이지 이론을 BRST 양자화할 때 등장하는 대수이다.

정의

고차 미분 연산자 
(단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수

가 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자

및 초괄호

를 정의할 수 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다.

이 위의 연산자

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 차 등급 미분 연산자()라고 한다.

여기서 초괄호에서  및 로 간주한다.

예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우

인 것이다. 1차 미분 연산자는

인 것이다. 즉,

이며, 이는 곱 규칙이다.

홀수 등급 2차 미분 연산자 는

를 만족시킨다.

거스틴해버 괄호 
등급 가환 결합 대수

및  위의 사슬 복합체 구조

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다.

이를 항 거스틴해버 괄호라고 한다. 예를 들어

이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면,

는 L∞-대수를 이룬다.

물론, 만약 이 차 미분 연산자라면, 오직 만이 0이 아닐 수 있다.

바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 거스틴해버 괄호() 또는 반괄호() 를 정의할 수 있다.

이는 다음과 같은 성질들을 따른다.
 (차수 −1) 
 (등급가환성) 
 (등급 야코비 항등식) 
 (등급 라이프니츠 규칙)

바탈린-빌코비스키 대수 
바탈린-빌코비스키 대수 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 등급 가환 결합 대수 
  위의 2차 −1등급 미분 연산자 . 이를 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자라고 한다.

게이지 이론의 양자화 
바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다.

게이지 이론이 장 와 고전적 작용 에 의해 정의된다고 하자. 또한, 이 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자.

여기서 는 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다.

이다. 여기서 는 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은
 1차 게이지 변환 
 2차 게이지 변환 
 3차 게이지 변환 
등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다.

그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환 에 대응하는 유령장 을 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 및 물리적 장 에 대응하는 반대장(反對場, ) , 를 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 유령수(幽靈數, )라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0, 차 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수 , 그리고 유령수 에 대응하는 반대장은 유령수 을 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다.

즉, 장들은 유령수에 따라 등급대수를 이룬다.

Δ 연산자와 거스틴해버 괄호 
모든 장들을 통칭해

로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다.

또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다.

이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서 와 는 각각 좌·우미분이다.

고전 으뜸 방정식 
고전적 작용 는 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 및 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다.

여기서 는 개의 유령장의 곱을 포함하며, 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉, 의 유령수는 0이다.

이렇게 교정된 작용 는 다음과 같은 고전 으뜸 방정식()을 만족시킨다.

이로부터 를 완전히 계산할 수 있다.
이 경우, 이론의 BRST 대칭은

의 꼴이다. 이 경우 자동적으로

이 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다.

임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지

를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지 의 원소이다. 고전적인 연산자 가 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다.

게이지 고정 
유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 를 선택하자. 이를 게이지 고정 페르미온()이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.

작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.

게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다.

양자 으뜸 방정식 
양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분의 측도 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건은

이다. 예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 이 조건이 성립한다.

만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 에 비례하게 된다. 즉, 으로 놓으면,

이다. 이에 대한 양자 으뜸 방정식()은

이다. 다음 표현은 위와 동치이다.

이다. 이를 전개하면

등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다.

피적분량 를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다. 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분

를 고려하면 양자 으뜸 방정식

이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로

가 성립해야 한다. 이는 스토크스 정리와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서, 를 다중벡터(multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도 를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면, 는 경로 공간 위의 미분형식이고, 그 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자 이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간  위의 적분은

이고, 또한 만약 이라면

는 의 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉, 의 호몰로지류에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는 가 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다.

예

양-밀스 이론 
로런츠 지표는 로, 게이지 리 대수 지표는 로 쓰자.

비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장 는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.

따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장  및 반대장 , 가 존재한다. 작용

에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.

게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 와 유령수 0의 보손 를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자.

그렇다면 게이지 고정 페르미온

를 삽입한다. 여기서 는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다.

미분형식 전기역학 
p차 미분형식 전기역학의 경우, p차 미분형식 게이지 퍼텐셜 는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다.

⋮

여기서 는 차 미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.

유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.

역사 
이고리 아니톨리예비치 바탈린()과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키()가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다. 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다.

같이 보기 
 거스틴해버 대수

참고 문헌

외부 링크 
 
 

수리물리학
양자장론
대수
심플렉틱 기하학