사인-고든 방정식

수학 및 물리학에서 사인-고든 방정식()은 솔리톤 해를 가지는 비선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 적분가능계를 대표하는 예이다.

이 방정식은 단진자 운동 을 2차원 시공간으로 확장한 것으로도 볼 수 있다.

역사와 어원 
1862년에 에드몽 부르()가 최초로 연구하였다. 1939년에 야코프 프렌켈()과 콘토로바()가 재발견하였다.

"사인-고든"이라는 이름은 클라인-고든 방정식에 빗댄 말장난인데, 이는 사인고든 방정식이 클라인-고든 방정식 중 질량항을 사인 함수 모양 퍼텐셜로 바꾼 꼴이므로, "클라인"을 각운(脚韻)이 같은 "사인"으로 대체한 것이다.

정의 
2차원 시공간 에서, 사인-고든 방정식은 다음과 같다.

(※ 를 뜻한다.)

이는 다음과 같은 라그랑지언 밀도로부터 유도할 수 있다.

즉, 퍼텐셜이

인 스칼라 장론이다.

공식 
이 사인고든방정식을 만족하는 답이면 아래 공식을 통해 또다른 답 을 구할 수 있다.

(※ a는 상수)

위 공식은 아래 식들을 통해 만들어진다.

솔리톤 해 
사인-고든 방정식은 다음과 같은 솔리톤 해를 갖는다.

이는 속도 로 움직이고, 초기 위치가 인 솔리톤을 나타낸다.

1-솔리톤 풀이 
일때는

이니, 양변에다 를 곱한 뒤 적분하면

(※ m은 상수)

이 되어, 이걸 2로 나눠주면 사인고든 방정식이

으로 바뀐다.

그다음 로 잡으면 이니, 양변에 를 곱하고 정리해보면 야코비 타원함수 sn에 대한 방정식

이 나와

임을 알수있고 이걸 아까 바꾸는 식에다 넣고 정리하면

이 된다.

이 식에서 m=1로 놓고 정리한 뒤 로런츠 변환을 시키면 위에서 말한 식이 나온다.

2-솔리톤 풀이

양자화 
사인-고든 모형은 양자화할 수 있다. 양자화하면 플랑크 상수에 해당하는 매개변수가 하나 더 추가되며, 이에 따라서 입자 스펙트럼이 달라진다. 이 모형의 산란 행렬은 해석적으로 계산 가능하며, 이는 티링 모형과 S-이중성을 통해 동형이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

편미분방정식
양자장론
물리학 방정식
수리물리학