알렉산드로프 콤팩트화

일반위상수학에서 알렉산드로프 콤팩트화(Александров compact化, )는 주어진 위상 공간에 한 점을 추가하여 콤팩트 공간으로 만드는 방법이다. 한 점 콤팩트화()이라고 부르기도 한다. 스톤-체흐 콤팩트화와 달리, 알렉산드로프 콤팩트화는 원래 공간이 콤팩트 하우스도르프 공간이더라도 항상 한 개의 점을 추가하며, 또한 원래 공간이 국소 콤팩트 공간이 아닐 경우 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

정의 
가 임의의 위상 공간이라고 하자. 여기에 한 점 를 추가하여, 에 다음과 같은 위상을 부여하자. 의 부분집합 가 열린 집합일 조건은 다음과 같다.
 만약 라면, 가 의 위상에서 열린 집합일 때
 만약  라면, 가 의 위상에서 닫힌 집합이며 콤팩트 집합일 때
이렇게 위상을 부여한 위상 공간 는 항상 콤팩트 공간이다.
증명:
의 열린 덮개 가 주어졌다고 하자. 그 유한 부분 덮개를 찾으면 족하다.

열린 덮개의 정의에 따라, 가 존재한다. 알렉산드로프 콤팩트화의 정의에 따라, 는 콤팩트 공간이며, 를 이에 제한하면 이는 의 열린 덮개를 이룬다. 따라서 그 유한 부분 덮개 를 찾을 수 있다. 이제, 는 를 덮는 유한 부분 덮개이다.
이를 알렉산드로프 콤팩트화라고 한다. 또한, 자연스러운 포함 사상 가 존재하며, 는 밑점 로 인하여 자연스럽게 점을 가진 공간을 이룬다.

성질 
포함 사상 는 항상 연속 함수이며 (열린집합의 원상은 열린집합) 열린 함수이다 (열린집합의 상은 열린집합). 만약 가 콤팩트하지 않은 경우 의 상은 조밀 집합이다.

임의의 위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 가 하우스도르프 공간이다.
 가 하우스도르프 국소 콤팩트 공간이다.

연산과의 호환 
임의의 두 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 , 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서 은 점을 가진 공간의 위상 동형이며, 는 두 점을 가진 공간의 분쇄곱이다.

함자성 
다음과 같은 두 범주를 생각하자.
 의 대상은 위상 공간이며, 사상은 연속 함수인 고유 함수이다.
 의 대상은 위상 공간과 연속 함수의 범주 의 화살표 범주이다. (즉, 그 대상은 연속 함수이며, 그 사상은 두 연속 함수 사이의 가환 네모이다.)
그렇다면, 알렉산드로프 콤팩트화는 함자

를 이룬다. 특히, 임의의 연속 고유 함수 에 대하여, 다음과 같은 가환 네모를 만족시키는 자연스러운 연속 함수 가 존재한다.

예 
유클리드 공간 의 알렉산드로프 콤팩트화는 초구 과 위상 동형이다.

가산 무한 개의 열린 구간 의 알렉산드로프 콤팩트화는 하와이 귀고리와 위상 동형이다.

역사 
파벨 세르게예비치 알렉산드로프가 1924년 정의하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

일반위상수학