위그너-에카르트 정리

양자역학에서 위그너-에카르트 정리()는 텐서 연산자의 행렬 원소에 대한 정리다. 유진 위그너와 칼 에카트()가 증명하였다.

전개 
3차원 회전군 SO(3)는 (국소적으로) 특수 유니터리 군 SU(2)와 같다. SU(2)의 기약 표현()은 0, ½, 1, 1½, …… 가 있다. 기약 표현 는 개의 성분을 가진다. 임의의 텐서 표현 은 이런 기약 표현의 합으로 나타낼 수 있다. 이 때, 텐서 표현의 기약 분해는 오직 가 정수인 표현 만을 포함하고, 가 반정수인 스피너 표현 (½, 1½ 등)을 포함하지 않는다.

SU(2) 표현 를 따라 변환하는 값을 차 구면 텐서()라고 하고, 이러한 표현을 따라 변환하는 연산자를 차 구면 텐서 연산자()라고 한다.

차 구면 연산자  ()를 생각하자. 이 구면 연산자의 행렬 성분을, 각운동량 고유 기저  (즉, , 을 만족하는 기저)에서 계산하자. 그렇다면 행렬 성분들은 다음과 같은 꼴을 취한다.
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여기서 는 와 , 에만 의존하는 값이고, 은 클렙슈-고르단 계수다. 이 식을 위그너-에카르트 정리라고 한다.

낮은 차수에서의 위그너-에카르트 정리 
흔히 다루는 텐서 연산자는 인 스칼라 연산자나 인 벡터 연산자다. 스칼라 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 단순히

이다. (여기서 는 물론 크로네커 델타다.) 벡터 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 다음과 같다.

이다. 이 클렙슈-고르단 계수는 다음과 같다.

(나머지 계수는 모두 0이다.)

구면 1-텐서로서의 성분 는 벡터로서의 성분  ()으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

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참고 문헌

외부 링크 
 

양자역학
표현론 정리