리우빌 장론

양자장론에서 리우빌 장론(Liouville場論, )은 비임계 끈 이론의 세계면 이론으로 등장하는 2차원 등각 장론이다.
무리 등각 장론의 대표적인 예이며, 1차장들의 스펙트럼이 연속적이다. 모든 상관 함수들이 알려져 있다.

역사와 어원 
이 이론의 운동 방정식이 조제프 리우빌이 리만 곡면의 균일화 정리를 증명할 때 사용했던 2차 비선형 편미분 방정식과 유사해 이러한 이름이 붙었다.

정의 
리우빌 장론은 스칼라장 와 실수 매개 변수 를 가지는 2차원 등각 장론이며, 그 작용은 다음과 같다.

여기서 는 2차원 곡면 의 계량 텐서이며, 는 그 스칼라 곡률이다. 스칼라장 를 리우빌 장()이라고 한다.

성질

운동 방정식 
리우빌 장의 고전적 운동 방정식은 다음과 같다.

여기서

는 굽은 공간의 라플라스-벨트라미 연산자이다. 평탄한 공간에서는 이는 다음과 같다.

등각 대칭 
리우빌 장의 비라소로 대수의 중심 전하()는 다음과 같다.

보통

로 정의한다.

스펙트럼 
리우빌 이론의 (규격화 가능) 상태들은 연산자-상태 대응에 따라서 다음과 같은 꼴의 국소 연산자에 대응한다.

여기서 이다. 이러한 상태의 등각 차원은

이다. 스펙트럼이 연속적이므로, 이 경우 카디 엔트로피 공식이 적용되지 않는다.

또한, 일반적으로

의 형태의 연산자가 존재하지만, 라면 이는 규격화 가능한 상태에 대응하지 않는다. 이 부등식을 자이베르그 한계()라고 한다.

3점 상관 함수 계수 
2차원 등각 장론은 1차장의 스펙트럼과 3점 상관 함수의 계수에 따라서 완전히 결정된다. 리우빌 이론의 경우 3점 계수들이 모두 알려져 있으며, 그 공식을 DOZZ 공식()라고 한다. 이는 하랄트 도른(), 한스외르크 오토(), 알렉산드르 자몰롯치코프, 알렉세이 자몰롯치코프() 가 발견하였다.

응용

끈 이론 
끈 이론에서, 리우빌 장론은 10차원 미만의 차원에서 존재하는, 소위 비임계 끈 이론()들의 세계면 등각 장론의 하나로 등장한다.

끈 이론에서, 차원 시공간에서 움직이는 비임계 끈의 작용은

인 리우빌 이론이다.

2차원 양자 중력 
리우빌 이론은 또한 (만약 계량 텐서  또한 동역학적 장으로 취급한다면) 2차원 양자 중력의 장난감 모형이 된다. 이 경우, 이 이론을 리우빌 중력()이라고 한다.

참고 문헌 

 

등각 장론
끈 이론
양자장론