피카르 군

대수기하학에서 피카르 군(Picard群, )은 환 달린 공간 위에 존재하는 가역층들의 군이다.

정의 
가 환 달린 공간이라고 하자. 그렇다면  위에 존재하는 가역층(가역 선다발)들의 집합을 생각하자. 이 집합에 텐서곱을 통해 군의 연산을 줄 수 있다. 이 군을 피카르 군 이라고 한다. 이는 층 코호몰로지를 사용하여

와 같이 정의할 수도 있다.

피카르 스킴 
대수적으로 닫힌 체 에 대한 사영 공간의 부분 스킴인 정역 스킴에 대하여, 피카르 군에 -스킴의 주조를 줄 수 있는데, 이를 피카르 스킴() 이라고 한다.

피카르 스킴에서, 원점을 포함하는 연결 성분을 라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

여기서 몫군 을 네롱-세베리 군()이라고 하며, 로 쓴다. 네롱-세베리 군의 계수를 피카르 수() 라고 한다. 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 의 크기를 세베리 수()라고 한다.

성질 
대수적으로 닫힌 체 위의 완비 비특이 대수다양체 의 네롱-세베리 군은 유한 생성 아벨 군이며, (네롱-세베리 정리 ) 또한 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 은 쌍유리 동치에 대하여 불변이다.

예 
체 에 대한 차원 사영 공간 의 경우, 가역층들은  ()이고, 이들은 를 만족한다. 따라서 의 피카르 군은 무한 순환군 와 동형이다.

데데킨트 정역의 피카르 군은 그 아이디얼 유군이다.

체 에 대하여, 두 개의 를 0이 아닌 원소들의 열린 집합 에서 이어붙이면, 원점이 두 개인 아핀 직선을 얻는다. 이 경우, 피카르 군은 무한 순환군 와 동형이다.

역사 
피카르 군은 에밀 피카르의 이름을 땄다. 네롱-세베리 군은 앙드레 네롱과 프란체스코 세베리의 이름을 땄다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 야코비 다양체
 알바네세 다양체
 선다발
 가역층
 인자 (대수기하학)

대수기하학