디리클레 분포

디리클레 분포(Dirichlet distribution)는 연속 확률분포의 하나로, 차원의 실수 벡터 중 벡터의 요소가 양수이며 모든 요소를 더한 값이 1인 경우 (이를 차원 단체라고 한다)에 대해 확률값이 정의되는 분포이다.

디리클레 분포는 베이즈 통계학에서 다항 분포에 대한 사전 켤레확률이다. 이 성질을 이용하기 위해, 디리클레 분포는 베이즈 통계학에서의 사전 확률로 자주 사용된다.

분포 

2 이상의 자연수 와 양의 상수 에 대하여, 디리클레 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 정의된다.
실수값 가 모두 양의 실수이며 을 만족할 때

의 값을 가지며, 그 외의 경우는 0의 값을 가진다.
이때 이며, 는 정규화 상수로서 다음의 값을 가진다.
 (는 감마 함수)

디리클레 분포에서 인 경우 베타 분포가 된다.

성질

사전 켤레확률 

디리클레 분포 와 그에 대한 다항 분포 에 대하여,
가 주어졌을 때 의 사후 확률 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

즉, 디리클레 분포는 다항 분포에 대한 사전 켤레확률인 성질을 가지며, 사후 확률 분포는  벡터에 덧셈하는 것으로 계산이 가능하다.

베이즈 통계학
연속분포