데데킨트 에타 함수

수학에서 데데킨트 에타 함수()은 복소평면의 열린 상반평면 위에 정의된, 원환면의 모듈러 군 대칭을 따르는 정칙함수다. 리하르트 데데킨트의 이름을 땄다. 기호는 그리스 소문자 에타

정의 
열린 상반평면을 라고 쓰자. 데데킨트 에타 함수 는 다음과 같은 함수이다.
.
보통 를 정의한다. 그렇다면 에타 함수의 정의는 다음과 같이 더 간단해진다.
.

성질 
데데킨트 에타 함수는 열린 상반평면 위에서 정칙함수이나, 복소 평면 전체로 해석적 연속할 수 없다.

함수 방정식 
데데킨트 에타 함수는 무게(weight)가 ½이고 준위(level)가 1인 모듈러 형식이다. 즉, 모듈러 군 에 대하여 무게 ½로 변환한다. 즉, 데데킨트 에타 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다.

.
보다 일반적으로, 임의의 뫼비우스 변환
 (, )
에 대하여, 데데킨트 에타 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.
.
여기서
 (인 경우)
 (인 경우)
여기서

를 데데킨트 합()이라고 한다.

특별한 값 
함수 방정식 등을 사용하여, 다음과 같은 특별한 값들을 계산할 수 있다.

 
 
 
여기서 는 감마 함수이다.

같이 보기 
 데데킨트 제타 함수

참고 문헌

외부 링크 
 
 

모듈러 형식
타원함수
프랙탈