가역원

추상대수학에서 가역원(可逆元,  또는 )은 환 또는 모노이드에서 곱셈에 대한 역원이 있는 원소들이다.

정의 
모노이드 의 원소 의 역원() 는

이 되는 원소 이다. 주어진 원소의 역원은 유일한데, 이는 만약 이 두 역원 을 갖는다면 가 되기 때문이다.

모노이드에서, 역원을 갖는 원소를 가역원이라고 한다. 모노이드 의 가역원들로 구성된 부분 집합

은 의 부분 모노이드이자 군을 이루며, 이를 의 가역원군(, )이라고 하며,  또는  또는 으로 표시한다.

환의 가역원(군)이란 곱셈 모노이드로서의 가역원(군)을 뜻한다.

범주론적 정의 
범주론적 관점에서, 모노이드는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 생각할 수 있으며, 이 경우 모노이드의 원소들은 유일한 대상의 자기 사상들에 대응한다. 이 경우, 가역원은 모노이드의 동형 사상과 같으며, 가역원군은 유일한 대상의 자기 동형군과 같다. 즉, 가역원의 개념은 동형 사상의 개념의 특수한 경우이다.

임의의 작은 범주는 여러 개의 대상들을 가지며, 따라서 각 대상에 대하여 고유의 가역원군을 정의할 수 있다. 또한, 주어진 작은 범주에서 동형 사상이 아닌 사상들을 삭제하면 준군을 얻으며, 이 역시 가역원군의 일반화로 간주할 수 있다.

가역원층 
환 달린 공간 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 두 열린집합 에 대하여

인 아벨 군 값의 층 가 존재하며, 이를 의 가역원층(可逆元層, )이라고 한다. (여기서 는 층의 단면군을 뜻하며, 는 두 층 단면군 사이의 제한 준동형을 뜻한다.)

성질 
환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 는 나눗셈환이다.

환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 가 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.
 는 국소환이다.

환 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 이다.
 이다.
 는 자명환이다.
이는 만약 0이 역원을 갖는다면 이 되기 때문이다.

예 
 이다.
 나눗셈환의 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이다. 예를 들어, 이다.
 체 에 대한 행렬환 의 가역원군은 일반선형군 이다. 이는 가역행렬로 구성된 군이다.
 대수기하학에서, 스킴 의 구조층 의 가역원층  계수의 1차 층 코호몰로지 는 의 피카르 군이라고 한다.

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

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대수적 수론
반군론
환론