균등 수렴

해석학에서 균등수렴(均等收斂, )하는 함수열은 주어진 함수로 일제히 '동일한 속도'로 수렴하는 함수열이다. 균등수렴은 점마다 수렴보다 더 강한 개념이며, 점마다 수렴이 보존하지 않는 여러 성질(예: 연속성)을 보존한다.

균등수렴은 고른수렴, 평등수렴(平等收斂), 일양수렴(一樣收斂)이라고도 불린다.

정의 
는 임의의 집합, 은 거리공간, 을 함수열, 을 또 하나의 함수라고 하자. 만약 임의의 에 대해, 어떤 이 존재하여, 임의의 과 에 대해, 이라면, 함수열 이 (균등극한) 로 균등수렴한다고 하고, 로 표기한다. 균등수렴은

과 동치이다. 즉, 균등수렴은 함수열의 균등 노름 하의 수렴이다.

기본적으로,

 만약 이면, 이다. (은 의 부분집합 로의 제한)
 만약  이면, 이다. (무한 개의 합집합에 대해서는 성립하지 않는다)

실함수 
균등수렴은 실함수열에 대해서도 정의되며, 이때 위에서 사용된 는 절댓값에 의한 거리로 특화된다. 덧셈이 정의되어 있으므로, 실함수항급수의 균등수렴도 논의할 수 있다. 실구간 에 정의된 실수값함수들만을 논의하자면, 함수항급수 의 균등수렴은 부분합 의 균등수렴으로 정의된다. 절대균등수렴은 의 균등수렴으로 정의된다. 절대균등수렴이면 반드시 절대수렴이고 균등수렴이다. 그러나, 절대수렴이고 균등수렴인 급수가 반드시 절대균등수렴인 것은 아니다.

이들 논의는 복소수, 나아가 노름 벡터 공간에 대해서도 잘 적용된다.

실함수열에 대해 기본적으로, 만약  이면, (는 상수), 이다. 만약  둘 모두 균등유계이기도 하면, 이다(균등유계가 아닐 경우 반례가 존재한다).

다음은 실함수항급수의 균등수렴에 대한 판정법들이다. 대다수는 실수항급수의 수렴판정법의 전제 조건이 정의역의 모든 곳에서 '균등적'으로 성립하는 것을 전제 조건으로 한다.

 (코시 수렴 판정법)실함수항급수가 수렴할 필요충분조건은 임의의 에 대해, 어떤 이 존재하여, 임의의 과 에 대해, 
 (바이어슈트라스 M-판정법)항상 이고, (양수항급수) 이 수렴하면, 은 절대균등수렴한다.
 (디리클레 판정법)만약 의 부분합 이 균등유계이고, 이 에 대해 단조롭고, 0으로 균등수렴하면, 은 균등수렴한다.
 (아벨 판정법)만약 이 균등수렴하고, 이 에 대해 단조롭고, 균등유계이면, 은 균등수렴한다.

연속성 보존 

가 위상공간(예: 실구간)이라고 하자. 그러면 함수의 연속성을 논의 가능하며, 균등수렴정리에 의하면, 연속함수열의 균등극한은 여전히 연속이다.

균등극한정리의 증명은 ε-δ 논법과 삼각부등식의 실례인

로 이루어진다.

점마다 수렴은 연속성을 보존하지 않는다.

더 나아가, 균등연속함수의 균등극한은 여전히 균등연속이다. 국소 콤팩트 공간에서는 연속성이 국소균등연속성과 동치이므로, 두 결론은 같은 얘기이다.

적분가능성 
리만 적분에 한하면, 적분가능 함수열의 균등수렴은 여전히 적분가능하고, 그 적분은 항별적분의 극한과 같다.

그러나 역은 성립하지 않는다.

실제로, 유계함수열의 균등수렴(여전히 유계)의 리만 상·하적분은 항별 상·하적분의 극한과 같다.

점마다 수렴은 리만 적분가능성을 보존하지 않는다.

르베그 적분에 대해서는, 더 많이 약화된 전제 조건을 사용할 수 있다.

미분가능성 
미분가능성에 대해서는 적분가능성과는 다르게, 함수열의 미분가능성과 균등수렴 조건만을 요구하는 것은 아니다.

외부 링크 
 
 

미적분학
급수
수렴