야코비 행렬

벡터 미적분학에서 야코비 행렬()은 다변수 벡터 함수의 도함수 행렬이다. 야코비 행렬식()은 야코비 행렬의 행렬식을 뜻한다.

정의 
열린집합 에 정의된 함수 가 점 에서 미분 가능하다고 하자. 이 경우 의 에서의 야코비 행렬 은 다음과 같다.

즉, 각 는 의 번째 성분의 번째 변수에 대한 편도함수이다.

만약 일 경우, 야코비 행렬은 정사각행렬이므로, 그 행렬식 을 취할 수 있다. 이를 의 에서의 야코비 행렬식이라고 한다.

특히, 열린집합 에 정의된 미분 가능 함수 의 야코비 행렬 은 다음과 같다.

야코비 행렬의 표기에는 다음과 같은 표기들이 쓰인다.
 
 
 
 
마지막 표기는 일부 문헌에서 야코비 행렬식을 나타내는 데 사용된다.

성질 
열린집합 에 정의된 함수 가 점 에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

즉, 는 의 에서의 프레셰 도함수이다.

예 
다음과 같은 함수 를 생각하자.

모든 편도함수는 다음과 같다.

따라서, 의 야코비 행렬은 다음과 같다.

또한, 의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

같이 보기 
 헤세 행렬
 설계 행렬

외부 링크 
 

다변수 미적분학
미분학
미분의 일반화
행렬
행렬식