크룰 차원

가환대수학과 대수기하학에서 크룰 차원(Krull次元, )은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다.

정의

위상 공간의 차원 
위상 공간 의 기약 집합()은 기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다. (이는 아핀 스킴의 경우 소 아이디얼에 대응한다.) 의 크룰 차원은 의 기약 집합들의 사슬

의 길이들의 상한 이다. 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 공집합인 경우), 크룰 차원은 이다.

보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 자명환의 스펙트럼의 크룰 차원은 이다.

위상 공간 의 열린 덮개 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

가군의 차원 
가환환  위의 가군 의 크룰 차원은 다음과 같다.

여기서 은 의 소멸자이며, 은 환의 스펙트럼이다. 대수기하학적으로, 이는 을  위의 가군층으로 여겼을 때, 그 지지 집합의 차원에 해당한다.

아이디얼의 높이 
가환환 의 소 아이디얼 의 높이() 는 다음과 같은 소 아이디얼의 사슬의 최대 길이 이다.

이는 국소화 의 크룰 차원과 같다.

가환환 의 아이디얼 의 높이() 는 를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 하한이다.

(초른 보조정리에 따라, 를 포함하는 극대 아이디얼이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.)

대수기하학적으로, 이는 의 여차원과 같다.

성질

가환환의 차원 
가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 의 소 아이디얼들 가 다음과 같은 진부분집합의 사슬

을 이룰 때, 음이 아닌 정수 을 집합 의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 의 크룰 차원은 의 상한이다. 즉,
 자명환의 경우, 크룰 차원은 이다.

그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다.
  의 환으로서의 크룰 차원
 스펙트럼 의 크룰 차원
 를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, 의 가군 크룰 차원

가환환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 체이다.
 크룰 차원이 0인 정역이다.

가환환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 아르틴 환이다.
 크룰 차원이 0인 뇌터 환이다.

일반적인 가환환 에 대하여, 다음이 성립한다.

만약 가 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.

대수다양체의 차원 
대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다.

대수적으로 닫힌 체 에 대한 아핀 대수다양체  (는 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 의 크룰 차원이 이다.
 의 임의의 비특이점에서의 뇌터 국소환의 크룰 차원이 이다.
 의 유리 함수체 의 에 대한 초월 차수가 이다.
 의 힐베르트 다항식이 차 다항식이다.

대수적으로 닫힌 체 에 대한 사영 대수다양체  (는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 의 크룰 차원이 이다.
 의 임의의 비특이점에서의 국소환의 크룰 차원이 이다.
 의 에 대한 초월 차수가 이다.

뇌터 국소환의 차원 
뇌터 국소환 의 차원은 다음과 같이 세 가지 방법으로 정의할 수 있다. 이들은 모두 같으며, 항상 유한하다.
 의 크룰 차원 
 에서, 가 자명환이 아닌 아르틴 환이 되는 아이디얼 의 생성원들의 최소 크기 
 가 임의의 -으뜸 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 형식적 멱급수를 정의할 수 있다 (, 은 가군의 길이). 이는 항상 유리 함수이며, 의 에서의 극점의 차수를 라고 하자. 이 값은 의 선택에 관계없다.
이렇게 정의하면, 항상

이다.

정칙 국소환의 차원 
정칙 국소환 의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.
 뇌터 국소환으로서의 차원  (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.)
 . 여기서 은 체  위의 벡터 공간의 차원이다.
 의 최소 생성 집합의 크기
 일 때, . 여기서 이다.

예

가환환의 차원 
크룰 차원이 인 유일한 가환환은 자명환이다.

체의 소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 체는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다.

가 체라고 하자. 그렇다면 는 주 아이디얼 정역이므로 이다. 보다 일반적으로, 이다.

자연수 에 대하여, 가환환 의 크룰 차원은 다음과 같다.

위상 공간의 차원 
위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상과는 잘 호환되지만, 하우스도르프 위상과는 호환되지 않는다. 하우스도르프 공간의 경우, 기약 집합은 한원소 집합이며, 따라서 공집합이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다.

시에르핀스키 공간 , 의 기약 집합은  및 이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다.

벡터 공간의 크룰 차원 
체  위의 벡터 공간 의 가군으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우 이며, 는 항상 한원소 공간으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.

무한 차원의 뇌터 가환환 
체 에 대하여, 무한 개의 변수의 다항식환

를 생각하자. 임의의 증가 정수열

가 주어졌을 때, 소 아이디얼들의 열

을 생각하자. 그렇다면 를

에 국소화하면, 는 뇌터 환이며, 그 크룰 차원은

이다. 만약 라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 나가타 마사요시가 제시하였다.

역사 
볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.

같이 보기 
 호몰로지 차원
 기약 공간
 크룰 높이 정리

참고 문헌

외부 링크 
 
 

가환대수학
대수기하학
차원