그로텐디크 군

K이론에서 그로텐디크 군(Grothendieck群, )은 아벨 범주 또는 퀼런 완전 범주로부터 정의되며, 그 짧은 완전열들에 대한 정보를 담고 있는 아벨 군이다. 0차 대수적 K군과 같다.

정의

그로텐디크 군 
작은 퀼런 완전 범주 (예를 들어, 작은 아벨 범주) 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 짧은 완전열

에 대하여, 형식적 관계

를 정의하자. 그렇다면, 의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 아벨 군을 의 그로텐디크 군이라고 하며, 로 표기한다. (이 기호 는 K이론에서 딴 것이다.)

“최소” 퀼런 완전 범주의 경우 
작은 가법 범주  위에, 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 퀼런 완전 범주 구조를 주자.

(여기서 위의 두 사상은 곱 및 쌍대곱의 보편 성질에 등장하는 것들이다. 는 곱 (범주론)=쌍대곱이다.) 이는  위에 존재하는 “최소의” (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) 퀼런 완전 범주 구조이다.

이 경우, 의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

우선, 일반적으로, 가환 모노이드의 범주 와 아벨 군의 아벨 범주  사이의 포함 함자

는 (둘 다 대수 구조 다양체이므로) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 이 함자를

라고 하자. 이 함자의 구체적 구성은 다음과 같다.
함자 의 구성:
가환 모노이드 의 상은 다음과 같다.

여기서 순서쌍 의 동치류는 보통 으로 표기된다. 위 연산에서, 의 의 동치류의 역원은 의 동치류이며, 덧셈 항등원은 (임의의 에 대하여) 의 동치류이다.

두 가환 모노이드 사이의 모노이드 준동형 의 상은 다음과 같다.
그렇다면, 의 대상들의 (동형 사상에 대한) 동치류들의 집합 을 생각하면, 는 가환 모노이드를 이룬다. 이 경우 의 그로텐디크 군은 다음과 같다.

간혹 일부 문헌에서는 함자  자체를 그로텐디크 군이라고 일컫기도 한다.

예

위상 K이론 

라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간  위의 유한 차원 -벡터 다발들의 범주 를 생각하자. 이는 가법 범주이며, 그 대상(들의 동형류)들은 집합을 이룬다. 이 경우, 그 위에 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군을 취할 수 있다. 이를 의 -위상 K이론이라고 한다.

가군 
가환환  위의 유한 생성 가군들의 아벨 범주 를 생각하자. 그렇다면 그 그로텐디크 군 를 취할 수 있다.

또한, 가환환  위의 유한 생성 사영 가군들의 가법 범주 를 생각하자. 이는 아벨 범주가 아니지만, 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군 를 취할 수 있다.

또한, 가환환  위의 모든 단순군들의 동형류들은 집합을 이루며, 따라서 이로 생성되는 자유 아벨 군 을 생각할 수 있다.

만약 가  어떤 체 위의 유한 차원 결합 대수라면, 위의 세 아벨 군은 서로 동형이다.

유한 차원 벡터 공간 
체  위의 유한 차원 벡터 공간들의 아벨 범주 를 생각하자. 이 아벨 범주의 동형류들은 자연수의 집합과 일대일 대응하며, 이는 차원에 의하여 주어진다.

벡터 공간의 직합은 차원의 덧셈에 대응한다. 따라서, 의 그로텐디크 군은 무한 순환군 이다.

역사 
알렉산더 그로텐디크가 K이론을 다루기 위하여 정의하였다.

외부 링크 
 
 
 
 

K이론
호몰로지 대수학
대수적 위상수학
추상대수학