가역층

수학에서 가역층(可逆層, )은 텐서곱에 대한 역원이 존재하는 연접층이다.

정의 
환 달린 공간  위의 연접층 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 경우 를 가역층이라고 한다.
 는 텐서곱에 대한 역원을 갖는다. 즉, 어떤 연접층 에 대하여, 이다.
 는 1차원 국소 자유 가군층이다.

스킴을 통한 정의 
스킴 위의 층의 경우, 가역층은 보다 구체적으로 대수적 선다발()의 단면으로 주어진다.

가 스킴이라고 하자.  위의 대수적 선다발은 1차원 대수적 선다발이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 스킴 
 전사 함수인 스킴 사상 
 의 어떤 열린 덮개 
 각 에 대하여, 스킴 동형 사상 
이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.
 임의의  및 아핀 열린 부분 스킴 에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 은 어떤 가역원 에 대하여 , 의 꼴로 주어지는 가환환 동형 사상이다.
같은 스킴  위의 두 대수적 선다발 ,  사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 -스킴의 동형 사상 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 은 대수적 선다발을 이룬다.

그렇다면, 대수적 선다발의 단면들은 가역층을 이룬다. 반대로, 임의의 스킴 위의 임의의 가역층은 어떤 대수적 선다발의 단면층과 동형이다.

성질

호몰로지와의 관계 
환 달린 공간  위의 가역층에 대하여, 층 코호몰로지류 의 원소를 대응시킬 수 있다. 이는 표준적이며 전단사이며, 또한 텐서곱을 보존한다.  위의 가역층들의 동형류의 아벨 군을 피카르 군 이라고 하는데, 이에 따라 표준적으로 아벨 군의 동형

이 존재한다.

인자와의 관계 
임의의 국소 뇌터 스킴  위의 카르티에 인자 가 주어졌다면, 이에 대응되는 가역층을 정의할 수 있다. 구체적으로, 카르티에 인자 가 열린 덮개 에서 로 표현된다고 하자. (여기서 는 유리 함수층이다.) 그렇다면, 에 대응되는 가역층 은 로 생성되는 부분 가군층이다. 이 경우, 임의의 카르티에 주인자 에 대하여 이므로, 이는 카르티에 인자류군에서 피카르 군으로 가는 군 준동형

을 정의한다.

뇌터 가환환  위의 사영 스킴 가 주어졌다고 하자. (는 축소 스킴일 필요는 없다.) 그렇다면,  위의 모든 가역층은 카르티에 인자로 정의되는 가역층과 동형이다. 즉, 이 경우 피카르 군은 카르티에 인자류군과 동형이다. 반면, 임의의 뇌터 스킴의 경우, 카르티에 인자로 표현될 수 없는 가역층이 존재할 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 

대수기하학