헤세 행렬

미적분학에서 헤세 행렬(Hesse行列, )은 어떤 함수의 이계도함수를 행렬로 표현한 것이다. 헤세 행렬은 독일의 수학자 루트비히 오토 헤세의 이름을 따서 명명되었다. 헤세 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.

정의 
실함수 이 주어졌을 때, 헤세 행렬은 다음과 같이 주어진다.

헤세 행렬은, 함수의 기울기 벡터 에 대한 야코비 행렬로도 설명이 가능하다.

함수 의 이계도함수가 연속이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 대칭행렬이다.

테일러 급수와 헤세 행렬 

함수 의 인 테일러 급수는 헤세 행렬을 이용해서 나타낼 수 있다.
에 대해  (여기서 는 가 열벡터라고 할 때 그 전치행렬인 행벡터를 의미한다.)
만약 가 임계점이라면 이므로 에 대해 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다.

이계도함수 판정
함수 의 이계도함수가 연속일 때 헤세 행렬은 대칭행렬이므로 스펙트럼 정리에 따라 헤세 행렬을 다음과 같이 직교대각화할 수 있다.

로 두면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

헤세 행렬의 고윳값의 부호에 따라 이차형식의 정부호성을 판별한다.
 헤세 행렬의 고윳값이 모두 양수일 경우, 이차형식은 양의 정부호이고, 임계점은 극솟값이다.
 헤세 행렬의 고윳값이 모두 음수일 경우, 이차형식은 음의 정부호이고, 임계점은 극댓값이다.
 헤세 행렬의 고윳값에 양수와 음수가 섞여 있는 경우, 이차형식은 부정부호(indefinite)이고, 임계점은 안장점이 된다.

외부 링크

같이 보기 
 야코비 행렬

미적분학
다변수 미적분학
행렬
모스 이론
특이점 이론