아핀 리 대수

리 대수 이론에서, 아핀 리 대수(affine Lie代數, )는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다. 물리학의 등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우다.

정의 
아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
 아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특별한 종류이다.
 아핀 리 대수는 단순 리 대수 계수의 로랑 다항식의 리 대수의 중심 확대이다.
 아핀 리 대수는 어떤 특별한 프레셰 리 군의 리 대수(의 복소화의 부분 공간)이다.
이 정의들은 서로 동치이다.

카츠-무디 대수로서의 정의 
아핀 리 대수는 카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬 가 양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수 가 개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은  정사각 행렬이며 그 계수는 이다.

대수적 구성 
다음이 주어졌다고 하자.
 복소수체 위의 유한 차원 이차 리 대수 . (만약 가 반단순 리 대수라면, 이는 킬링 형식으로 잡을 수 있다. 만약 가 아벨 리 대수라면, 마찬가지로 적절한 쌍선형 형식을 잡을 수 있다. 만약 둘 다 아니라면, 이는 0으로 놓을 수 있다.)
그렇다면, 아핀 리 대수 는 -벡터 공간으로서 다음과 같다.
.
즉, 의 계수를 가진 로랑 다항식 에 중심 확대 를 더한 것이다. 물리학적으로 는 대칭의 보존류들을 나타내고, 는 대칭의 변칙을 나타낸다.

 위에는 다음과 같은 리 괄호를 정의한다. 라고 하면,

는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열

이 존재한다.

형식적 변수  대신, 의 정규 직교 기저 를 잡아, 직접

를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다.

여기서 는 의 구조 상수이다.

실수 형태 
가 실수 이차 리 대수 의 복소화라고 하자. 그렇다면,
복소수 아핀 리 대수 는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.

즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형() 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점

은 실수 리 대수를 이룬다.

미분 연산의 추가 
복소수 벡터 공간

위에 다음과 같은 리 괄호를 정의할 수 있다.

즉,

이다. 만약 형식적으로 로 놓는다면,

가 된다.

또한,

이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 에도 잘 정의된다.

뒤틀린 아핀 리 대수 
를 원 위의 푸리에 급수로 해석할 수 있다. 즉, 로 놓으면, 를 주기적 함수 로 해석할 수 있다. 즉, 의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.

만약 가 자명하지 않은 자기 동형 를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.
.
이와 같은 경우를 뒤틀린 아핀 리 대수()라고 한다. 마찬가지로 뒤틀린 카츠-무디 대수()를 정의할 수 있다.

아핀 리 대수의 기하학적 정의 
아핀 리 대수는 기하학적으로 리 대수 값의 주기 함수를 통해 구성될 수 있다.

구체적으로, 킬링 형식이 음의 정부호인 실수 단순 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 프레셰 공간

을 정의할 수 있다. 이는 값의 매끄러운 주기 함수로 구성된다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호를 부여하면 이는 리 대수를 이룬다. 그 복소화는 (푸리에 급수로서) 다음과 같은 부분 벡터 공간을 갖는다.

이 경우, 우변을 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는

이다.

고리 리 대수 의 리 대수 코호몰로지에서, 다음과 같은 2차 공사슬이 존재한다.

여기서
 은  위의 어떤 임의의 불변 비퇴화 이차 형식이다. (이는 킬링 형식의 스칼라배이다.) 비퇴화성으로 인하여, 이는 쌍대 공간  위의 비퇴화 이차 형식으로도 여길 수 있다.
 는 의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 여기서 제곱 노름은 에 따른 것이다.
 의 측도 에 따르면, 이다.
이 2차 공사슬은 리 대수의 짧은 완전열

을 정의한다. 이 경우, 에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수 는 자연스럽게 다음과 같이 의 부분 리 대수가 된다.

리 군의 기하학적 정의 
실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체인 리 군의 리 대수이다.

구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 와 그 실수 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군을 정의할 수 있다.

즉, 이는 값의 매끄러운 주기 함수의 공간이다. 이는 프레셰 다양체를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군을 이룬다.

아핀 리 대수는 의 중심 확대이다. 위상군으로서, 이는 짧은 완전열

에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발을 이룬다.

구체적으로, 원판 를 생각하자. 이제,

이다. 여기서 는 일종의 게이지 변환군으로 여길 수 있다. 이제,  위의 다음과 같은 함수를 생각하자.

여기서
 는  위의 불변 비퇴화 이차 형식이며, (예를 들어) 딸림표현에서의 대각합 으로 여길 수 있다.
 는 에 따른, 의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 
그렇다면,

는 (자명한 계수의) 의 군 코호몰로지의 2차 공사슬을 이루며, 이는 의 중심 확대

를 정의한다. 

이제, 임의의 에 대하여,

를 정의할 수 있다. 여기서

는 의, 3차원 공 으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형의 작용의 항에 해당한다.

이 사상은 단사 함수이자 군 준동형이며, 는 의 정규 부분군이다. 따라서, 몫군

을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열

을 구성한다. (정수 은 의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, 의 리 대수는 (일 경우, 의 값에 상관없이) 이다.

성질 
아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.

콕서터 수와 쌍대 콕서터 수 
아핀 리 대수 의 단순근들이 이며, 단순 쌍대근들이 라고 하자. 콕서터 라벨() 와 쌍대 콕서터 라벨() 는 카르탕 행렬 에 대하여

를 만족시키는 벡터이다. 이 경우,  및 의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다.

아핀 리 대수의 콕서터 수() 와 쌍대 콕서터 수() 는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.

아핀 리 대수 의 표준 중심 원소(標準中心元素, ) 는 다음과 같이 정의되는, 카르탕 부분 대수 의 원소이다.

그렇다면, 의 중심은 1차원 부분 대수

이다. 마찬가지로,

를 정의하자.

근계의 구조 
아핀 리 대수 의 기본 단순 리 대수가 라고 하자. 가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형의 차수라고 하자. 예를 들어, 의 경우, 이다. 그렇다면, 의 실근들의 집합 는 구체적으로 다음과 같다.

의 허근들의 집합 는 다음과 같다.

(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, 는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.

기본 단순 리 대수 
단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, 의 축척 원소() 는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.

축척 원소를 선택하였다면, 와 그 카르탕 부분 대수 는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.

에서,  및 에 수직이 되는 부분 공간을 라고 하자.

아핀 리 대수 의 슈발레 생성원을

이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 의 기본 단순 리 대수() 는  및 로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수이며, 기본 단순 리 대수 의 카르탕 부분 대수는 이며, 그 근계 및 쌍대 근계는

이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각

이다.

바일 군 
아핀 리 대수 의 바일 군 은 아핀 콕서터 군이며, 그 기본 단순 리 대수 의 바일 군 과 어떤 자유 아벨 군의 반직접곱이다.

여기서

는  속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 를 암묵적으로 사용하였다.

표현론 
의 유한 차원 유니터리 표현

이 주어졌으며, 자연수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 에서, 포함 관계 에 대하여

이며

가 되는, 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간으로 가는 기약 표현

이 유일하게 존재한다.

스가와라 구성 
단순 리 대수 에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수 의 표현 가 주어졌다고 하자.

이 경우, 에 다음과 같은 비라소로 대수의 표현이 존재한다.

이를 스가와라 구성([菅原]構成, )이라고 한다. 여기서
 는 단순 리 대수 의 이중 콕서터 수이다.
 는 의 킬링 형식의 스칼라배이며, 이 비퇴화 이차 형식에 따라서 의 근 가운데 가장 긴 것의 제곱 길이가 2이다. (만약 짧은 근이 존재한다면, 그 제곱 길이는 1이 된다.)
 는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다. 따라서 단순히 수로 취급할 수 있다.
 합이 무한해 보이지만, 이들이 사다리 연산자로 작용하므로, 실제로는 각 베르마 가군에서 적절한 기저에서 각 기저 벡터의 경우 오직 유한 개의 항만이 작용하게 된다.
 의 정의가 특별한 것은 표준 순서를 가했기 때문이다.

보다 일반적으로, 반단순 리 대수 의 표현  및 부분 단순 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대응하는 스가와라 구성

및 에 대응하는 스가와라 구성

이 주어진다. 이 경우,

를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다. 이를 공액류 구성() 또는 고더드-켄트-올리브 구성() 또는 GKO 구성()이라고 한다.

이를 통하여 비라소로 대수의 모든  유니터리 표현을 구현할 수 있다. 구체적으로,  유니터리 표현을 구현하려면,

를 취하면 된다. 여기서 는 의 대각 성분이다. 이 경우

이므로,

임을 계산할 수 있다.

분류 
단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근 에서, 를 더한 것을 무시한 동치류들의 수 가운 데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. (의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다.) 이 경우 긴 근의 길이는 항상 로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.

딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서 인 경우)는  및 로 표기하였다. 이 경우 인 경우는 이며, 인 경우는 이다.

아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.

Ãn 
일 경우, 의 카르탕 행렬은 다음과 같은  대칭 정사각 행렬이다.

의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

의 딘킨 도표는 일 경우 개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프이다.

Ã2n(2) 
일 때, 의 카르탕 행렬은 다음과 같은  비대칭 정사각 행렬이다.

여기서 행·열 의 순서는 다음과 같다.

의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.

G̃2와 D̃4(3) 

의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

이다.

의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

이다.

예 
가 1차원 아벨 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수

역시 아벨 리 대수이다. 이 경우, 중심 확대

에서

이 된다. 이 경우,

로 놓으면,

가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수와 (으로 생성되는) 1차원 아벨 리 대수의 직합이 된다. 특히, 이는 무한 차원 보손 포크 공간  위에 표준적으로 작용한다.

이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.

물리학적으로, 이는 자유 보손에 대한 2차원 등각 장론에 해당한다.

역사 
아핀 리 대수는 (다른 카츠-무디 대수와 함께) 빅토르 카츠와 로버트 무디()가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군이 근계에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다.

스가와라 구성은 스가와라 히로타카()가 1968년에 발견하였다. 공액 구성은 피터 고더드(, 1945〜) · 에이드리언 켄트() · 데이비드 올리브(, 1937〜2012)가 1985년에 발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 

 
 
 
 
 
 
 

리 대수
등각 장론