대칭 중선

기하학에서 대칭 중선(對稱中線, )은 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 중선을 같은 꼭짓점에서의 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 즉, 대칭 중선은 중선의 등각 켤레선이다. 대칭 중점(對稱中點, ) 또는 르무안 점() 또는 그레베 점()은 주어진 삼각형의 세 대칭 중선이 공통으로 지나는 점이다. 즉, 대칭 중점은 무게 중심의 등각 켤레점이다.

정의 
삼각형 의 대칭 중선은 중선의 등각 켤레선이다. 즉, 각 꼭짓점 , , 을 지나는 중선의, 내각 , , 의 이등분선에 대한 반사상이다. 삼각형 의 대칭 중점 은 무게 중심의 등각 켤레점이다. 즉, 세 대칭 중선의 교점이다.

성질 
직각 삼각형의 대칭 중점은 직각 꼭짓점을 지나는 빗변의 수선의 중점이다.

대칭 중점은 삼각형의 세 변과의 거리의 제곱의 합이 가장 작은 점이다. 삼각형 의 세 변의 길이를 , , 라고 하고, 넓이를 라고 하고, 브로카르 각을 라고 하자. 그렇다면 대칭 중점 와 세 변 , ,  사이의 거리는 다음과 같다.

삼각형 의 대칭 중선 , , 의 발을 , , 라고 하고, 대칭 중점을 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

삼각형 의 각 꼭짓점 , , 을 지나는 대변의 수선의 발을 , , 라고 하자. 그렇다면 , , 을 지나는 대칭 중선은 각각 수심 삼각형의 변 , , 를 이등분한다.

삼각형 의 한 꼭짓점 를 지나는 대칭 중선은 남은 두 꼭짓점 , 에서의 외접원의 접선의 교점을 지난다. 제르곤 삼각형의 대칭 중점은 제르곤 점이다. 이는 위 명제의 따름정리이다.

외접원의 , 에서의 접선의 교점을 라고 하자. 를 중심으로 하고 를 반지름으로 하는 원이 , 의 연장선과 각각 , 에서 만난다고 하자. 접현각의 크기는 원주각과 같으므로

이다. 또한 사각형 에서

이므로 , , 는 공선점이다. 따라서 삼각형 는 삼각형 와 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 를 의 이등분선에 대하여 반사시킨 뒤 다시 를 중심으로 적절한 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형 를 얻는다. 이러한 변환은 닮음 변환이며, 특히 아핀 변환이므로 중점을 보존한다. 를 지나는 직선은 를 중심으로 하는 중심 닮음 변환에 대하여 불변이므로 의 상은 자신의 등각 켤레선이다. 는 삼각형 의 중선이므로 의 등각 켤레선은 삼각형 의 중선이다. 즉, 는 삼각형 의 대칭 중선이다.

삼각형 의 내접원과 꼭짓점 , , 의 대변의 접점을 각각 , , 라고 하자. 그렇다면 삼각형 의 내접원은 제르곤 삼각형 의 외접원이다. 삼각형 의 각 변은 삼각형 의 외접원의 각 꼭짓점 , , 에서의 접선이며, 점 , , 는 접선들의 교점이다. 따라서 직선 , , 는 삼각형 의 대칭 중선이며, 그 교점인 제르곤 점은 대칭 중점이다.

삼각형 의 한 꼭짓점 를 지나는 대변의 수선의 중점 과 대변의 중점 를 잇는 직선은 대칭 중점 를 지난다.

대칭 중점 를 지나는 외접원의 꼭짓점 에서의 접선의 평행선 와 변 , 의 교점을 각각 , 라고 하자. 대칭 중점 를 지나는 외접원의 꼭짓점 에서의 접선의 평행선 와 변 , 의 교점을 각각 , 라고 하자. 그렇다면 선분 , 는 제2 르무안 원의 두 지름이므로 사각형 는 직사각형이다. 직사각형의 변 , 의 중점을 각각 , 라고 하자. 그렇다면 이 꼭짓점 에서 내린 대변의 수선 의 중점이므로 , , 은 한 직선 위의 점이며, , ,  역시 한 직선 위의 점이다. 대칭 중점 는 선분 의 중점이며 는 선분 의 중점이므로 , , 는 한 직선 위의 점이다.

대칭 중점은 자기 자신의 수족 삼각형의 무게 중심이다.

르무안 원 
삼각형 의 대칭 중점 를 지나는 각 변 , , 의 평행선 , , 와 남은 두 변의 교점을 각각 와 , 와 , 와 라고 하자. 그렇다면 6개의 점 , , , , , 는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 와 외심 를 잇는 선분 의 중점이다. 이 원을 삼각형 의 제1 르무안 원()이라고 한다.

마찬가지로, 삼각형 의 대칭 중점 를 지나는 각 변 , , 의 평행선 , , 와 남은 두 변의 교점을 각각 와 , 와 , 와 라고 하자. 그렇다면 6개의 점 , , , , , 는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 이다. 이 원을 삼각형 의 제2 르무안 원()이라고 한다.

대칭 중선은 반평행선을 이등분하므로

이다. 반평행선의 성질에 따라

이므로

이다.

제1·제2 르무안 원은 터커 원의 특수한 경우이다.

각주

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

삼각 기하학