초켈러 다양체

미분기하학에서 초켈러 다양체(超Kähler多樣體, )는 그 접공간이 사원수의 좌표를 가진 공간의 구조를 가지는 리만 다양체이다.

정의 
매끄러운 다양체 이 주어졌을 때, 접다발의 대수

를 생각하자. 실수체 위의 결합 대수의 준동형

이 주어졌다고 하자. 만약 절댓값 1의 순허수 사원수 , 에 대하여 가 항상 복소구조라면, 를 초복소다양체()라고 한다. 즉, 세 복소구조

가 주어졌을 때,

이 성립한다. 즉, 초복소다양체 위에는 복소구조의 모듈라이 공간 이 존재한다.

리만 다양체  위의 초복소구조  가운데, 만약 , , 에 대하여 가 항상 켈러 구조라면, 를 초켈러 구조라고 하며, 초켈러 구조를 갖춘 리만 다양체를 초켈러 다양체라고 한다. 즉, 초켈러 다양체 위에는 켈러 구조의 모듈라이 공간 이 존재한다. 즉, 지표로 쓰면, 리만 다양체  위의 초켈러 구조는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 세 개의 (1,1)차 텐서장  (은  좌표)
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시킨다.
  (사원수 대수 및 개복소구조)
  (에르미트성)
  (복소구조의 적분가능성)
이들 데이터로부터 세 개의 심플렉틱 구조

를 정의할 수 있다.

성질 
초켈러 다양체의 (실수) 차원은 항상 4의 배수이다. 이는 켈러 다양체의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것과 마찬가지다.

위상수학적 성질 
다양체가 초켈러 다양체의 구조를 가지려면, 위상수학적으로 특수한 성질들을 만족시켜야 한다.

차원 콤팩트 초켈러 다양체의 베티 수  및 오일러 지표 에 대하여, 다음이 성립한다.

8차원 콤팩트 초켈러 다양체의 가능한 베티 수에 대해서는 많은 정보가 알려져 있다.

호지 이론적 성질 
차원 콤팩트 초켈러 다양체의 호지 수 에 대하여, 다음이 성립한다.

리만 기하학적 성질 
차원 초켈러 다양체의 홀로노미는 의 부분군이다. 이에 따라, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이자 사원수 켈러 다양체()이다. (칼라비-야우 다양체는 홀로노미가 의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가 인 경우다. 이다.)

복소기하학적 성질 
초켈러 다양체 의 임의의 한 심플렉틱 형식 을 골라, 켈러 다양체로 여긴다고 하자. 그렇다면, 2차 복소수 미분 형식

은 정칙 미분 형식이며, 켈러 다양체  위의 심플렉틱 형식을 이룬다. 이를 정칙 심플렉틱 형식()이라고 한다. 즉, 이 경우 두 심플렉틱 형식

이 존재한다.

반대로, 칼라비-야우 정리()에 따라, 정칙 심플렉틱 형식을 갖춘 콤팩트 켈러 다양체는 항상 초켈러 다양체를 이룬다. (콤팩트 조건을 생략할 수 없다.)

응용 
초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서 )를 가진 초대칭 게이지 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 중력이 없을 경우, 16개의 초전하를 가진 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은  초등각 장론을 이룬다.

역사 
에우제니오 칼라비가 1979년에 도입하였다. 이 논문에서 칼라비는 다음과 같이 적었다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 K3 곡면
 사원수 켈러 다양체
 홀로노미
 사원수
 초대칭 게이지 이론

미분기하학
대수기하학
사원수