분해체

대수적 수론에서, 주어진 다항식의 분해체(分解體, )는 그 다항식을 완전히 인수 분해할 수 있는 체의 확대 중 가장 작은 것이다.

정의 
가 체라고 하고, 가 하나의 변수에 대한 차 다항식이라고 하자. 그렇다면 의 에 대한 분해체 는 다음을 만족시키는 의 확대이다.
 다항식 가 로 완전 인수 분해된다.
 은 위 성질은 만족시키는 체의 확대 가운데 그 차수가 가장 작다.
이 성질은 만족시키는 체의 확대는 (동형인 것을 제외하면) 유일함을 보일 수 있다.

구성 
분해체는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 에 대한, 기약 다항식 의 분해체 은 다음과 같다.

여기서 는 에 의해 생성되는 의 소 아이디얼이다. 는 주 아이디얼 정역이고, 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이며, 극대 아이디얼에 대한 몫환은 체를 이루므로, 이 체임을 알 수 있다.

기약이지 않은 다항식 의 경우, 기약다항식들의 곱

으로 인수 분해하여, 분해체 을

로 나타낼 수 있다. 이는 의 순서에 (체의 확대의 동형을 무시하면) 관계없음을 보일 수 있다.

예 
복소수체 는 실수체 에 대하여 기약 다항식 의 분해체다. 즉,

이다.

유리수체 에 대하여 기약 다항식 의 분해체는

이다.

외부 링크

같이 보기 
 최소 다항식
 정규 확대
 갈루아 확대

체론