표준환

대수기하학에서 표준환(標準環, )은 주어진 대수다양체의 표준 선다발의 텐서 거듭제곱들의 단면들로 구성된 등급환이다.

정의 
가 대수다양체라고 하고, 그 표준 선다발을 라고 하자. 그렇다면 표준환 는 다음과 같은 등급환이다.

여기서 은 0차 층 코호몰로지, 즉 단면들의 아벨 군이다. 은 표준 선다발의 승 텐서곱이다.

다중 종수 
대수다양체 의 다중 종수(多重種數, , 복수 )는 표준환의 각 등급 의 차원들이다.

은 항상 1이다. 은 모두 음이 아닌 정수들이다.

표준 모형 
대수다양체 의 표준환 에 대한 사영 공간 을 표준 모형()이라고 한다. 이는 모리 시게후미의 최소 모형 프로그램(minimal model program)의 중요한 요소다.

고다이라 차원 
표준 모형의 차원을 고다이라 차원([小平]次元, ) 라고 하며, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.
 인 최소의 . 여기서 는 점근 표기법이다.
만약 모든 양의 정수 에 대하여  이라면, 고다이라 차원을 로 정의한다. 고다이라 차원은 고다이라 구니히코의 이름을 땄다.

고다이라 차원은 다음을 만족시킨다.

즉, 차원의 일종으로 생각할 수 있다.

성질 
표준환은 쌍유리 동치에 대하여 불변이다. 이에 따라, 모든 다중 종수 및 고다이라 차원 역시 쌍유리 동치 불변량이다.

참고 문헌

같이 보기 
 엔리퀘스-고다이라 분류

외부 링크 
 

대수기하학