마우러-카르탕 형식

미분기하학에서 마우러-카르탕 형식(Maurer-Cartan形式, )은 리 군 위에 정의된, 리 대수 값의 1차 미분 형식이다. 리 군의 연산 구조를 나타낸다.

정의 
마우러-카르탕 형식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

편의상, 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 함수를 다음과 같이 정의하자.

내재적 정의 
리 군 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터장의 밂

를 정의할 수 있다.

의 리 대수는 항등원에서의 접공간과 같다.

이제, 각 점 에서, 마우러-카르탕 형식

은 다음과 같은 성분을 갖는 리 대수 값 1차 미분 형식이다.

외재적 정의 
임의의 자연수 에 대하여, 일반 선형군  위의 매끄러운 함수

가 행렬의 번째 성분을 고르는 함수라고 하자. 그렇다면, 1차 미분 형식

들을 정의할 수 있다. 이들을 모아

를 정의할 수 있다.

 위의 마우러-카르탕 형식은 다음과 같다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.
 (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군  및 그 리 대수 
그렇다면, 다음을 임의로 고르자. 우선, 는 유한 차원 실수 리 대수이므로, 충분히 큰 에 대하여 항상 다음과 같은 단사 실수 리 대수 준동형이 존재한다.

이는 마찬가지로 매끄러운 군 준동형

을 정의한다. 이는 (정의에 따라) 항상 몰입이지만, 일반적으로 단사 함수일 필요가 없다.

그렇다면, 의 마우러-카르탕 형식

는 의 마우러-카르탕 형식 의 당김

이다. 이는 사실 에 속하는 것을 보일 수 있다.

또한, 이 표현은 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

단일 연결이 아닌 연결 리 군 의 마우러-카르탕 형식은 그 범피복군

에 대하여,

가 되는 유일한 미분 형식이다.

공리적 정의 
리 군  위의 마우러-카르탕 형식은 다음 조건들을 모두 만족시키는 유일한 값 1차 미분 형식

이다.
 
 임의의 에 대하여, 
이 정의는 주접속의 정의과 같다. 즉, 를 한원소 공간  위의 주다발

로 간주하면, 마우러-카르탕 형식은 그 위의 유일한 주접속이다.

성질 
임의의 벡터장 에 대하여, 만약

라면, 는 상수 함수이다.
유도:
임의의 에 대하여,

마우러-카르탕 방정식 
마우러-카르탕 형식은 다음 조건을 만족시킨다.

이를 마우러-카르탕 방정식(Maurer-Cartan方程式, )이라고 한다.
유도:
임의의 두 벡터장 이 왼쪽 곱셈 밂에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, 와 는 둘 다 상수 함수이다. 따라서,

이다. 따라서,

이다. 그런데 왼쪽 불변인 벡터장들은 의 각 점에서의 접공간의 기저를 이루므로, 위 방정식은 점별로 모든 벡터장에 대하여 성립한다. 즉,

이다.

마우러-카르탕 방정식의 일반화 
리 군  위의,  값의 미분 형식들은 미분 등급 리 대수 를 이룬다. 이에 따라, 마우러-카르탕 방정식은 임의의 미분 등급 리 대수 에 대하여 일반화된다. 즉,

위의 마우러-카르탕 방정식은 1차 원소에 대한 방정식

이다. 그러나 그 해는 일반적으로 유일하지 못하다. (차수 조건을 생략할 경우, 예를 들어  역시 마우러-카르탕 방정식을 자명하게 만족시킨다.)

보다 일반적으로, 임의의 L∞-대수 를 생각하자. L∞-대수에서, 미분 연산 는 1항 괄호에 해당한다. 이 경우,  위의 마우러-카르탕 방정식은 다음과 같다.

역사 
루트비히 마우러(, 1859~1927)와 엘리 카르탕의 이름을 땄다.

예 
아벨 군 을 생각하자. 그 위의 마우러-카르탕 형식은 단순히

이다.

이 경우, 마우러-카르탕 방정식은 단순히

이므로, 마우러-카르탕 방정식은 마우러-카르탕 원소를 완전히 결정하지 못한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

리 군
미분기하학
호모토피 이론