아티야-싱어 지표 정리

미분기하학에서 아티야-싱어 지표 정리(-指標定理, )는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 가우스-보네 정리 등을 일반화한다.

정의 
이 차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고, 가  위의 매끄러운 벡터 다발들이라고 하자.  위의 타원 복합체

의 해석적 지표()는 다음과 같다.

이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서 는 프레드홀름 지표이다.

타원 복합체의 위상 지표()는 다음과 같다.

여기서
 는 매끄러운 벡터 다발의 천 지표이다.
 는 의 접다발 의 복소화의 토드 특성류이다.
 은 접다발 의 오일러 특성류이다.
이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.

아티야-싱어 지표 정리에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다.

여기서, 이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사 미분 연산자에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.)

특히, 하나의 프레드홀름 미분 연산자

에 대하여, 이를 타원 복합체

로 간주하면, 다음을 얻는다.

예 
수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.

오일러 지표 
이 콤팩트 유향 다양체라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체

에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표 이다. 그 위상 지표는 오일러 특성류 의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리()

를 얻는다.

계산:
미분 형식 벡터 다발의 천 지표는 분할 원리를 사용하여 계산하면 다음과 같다.

여기서 는 를 분할 원리로 개의 복소수 선다발들의 직합이라고 가정할 때 번째 복소수 선다발의 1차 천 특성류이다. 이는 실수 벡터 다발의 복소화이므로

로 놓을 수 있다.

즉

이다. 토드 특성류와 오일러 특성류는 각각

이므로, 지표 밀도는

이다.

히르체브루흐-리만-로흐 정리 

아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다.
이 복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터 다발 가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체

에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 의 코호몰로지의 오일러 지표

이고, 그 위상 지표는

이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.
계산:
복소수 차원이 라고 하자.
분할 원리에 따라, 복소수 접다발이 복소수 선다발의 직합이라고 하자.

또한

라고 하자. 그렇다면

이며, 따라서

이다. 

이제

이므로, 지표 밀도는

이다.
가 0차원 벡터 다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술 종수 이다. 따라서, 복소다양체의 산술 종수는 복소 접다발의 토드 특성류의 적분에 의하여 주어진다.

디랙 연산자 
이 짝수 차원의 스핀 다양체라고 하고, 그 위에 스피너 다발

을 생각하자. 그렇다면 디랙 연산자

는 다음과 같이 작용한다.

이에 따라, 디랙 연산자 의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다.

여기서 는 디랙 종수() 또는 Â 종수()라고 불리는 특성류로,

이다. 여기서 는 폰트랴긴 특성류이고, 는 2차 미분 형식들의 행렬인 곡률 의 고윳값들

이다. 일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.

역사 
마이클 아티야와 이자도어 싱어가 1963년에 발표하였다. 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다. 이 공로로 마이클 아티야와 이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.

1983년에 루이스 알바레스가우메()가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다. 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러()가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다. 즉, 디랙 연산자의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 위튼 지표에 불과하여, 초대칭 양자역학을 사용해 계산할 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

미분기하학
타원 편미분 방정식
기하학 정리
미분기하학 정리