푸앵카레-호프 정리

미분위상수학에서 푸앵카레-호프 정리()는 다양체의 오일러 지표를 다양체 위에 존재하는 "일반적" 벡터장의 해석적 데이터와 연관짓는 정리다.

정의

벡터장의 지표 
차원 매끄러운 다양체  위에 벡터장 를 생각하자. 이 벡터장의 영점(인 )들이 고립되었다()고 하자. 즉, 영점 에 대하여, 를 포함하고 와 다른 영점들을 포함하지 않는 근방 가 존재한다. 이 근방 는 항상 닫힌 차원 공과 위상동형이게 잡을 수 있다. 그렇다면 임의로 국소좌표계를 잡아, 함수 를 로 정의할 수 있다. 영점의 지표() 는 함수 의 브라우어르 차수 이다. 이는 국소좌표계나 에 의존하지 않는 값이다.

고립된 영점을 가진 벡터장의 지표는 그 영점들의 지표들의 합이다. 즉,

푸앵카레-호프 정리 
이 콤팩트 가향 다양체라고 하자. 그렇다면 의 오일러 지표는  위에 존재하는 고립된 영점들을 가지는 임의의 벡터장의 지표와 같다.

이 사실을 푸앵카레-호프 정리라고 한다.

예 
2차원 구는 오일러 지표가 2이다. 따라서 구 위에는 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재하지 않는다. 이 사실을 털난 공 정리()이라고 하기도 한다. 구 위에 다음과 같이 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장 또는 지표가 1인 두 개의 벡터장을 잡을 수 있다. 반면, 2차원 원환면은 오일어 지표가 0이므로, 다음과 같이 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재한다.

역사와 어원 
앙리 푸앵카레와 하인츠 호프의 이름을 땄다. 푸앵카레는 2차원의 경우를 증명하였고, 호프는 이를 고차원으로 일반화하였다.

각주

참고 문헌 
 

미분위상수학 정리