범주의 동치

범주론에서, 두 범주 사이의 동치(同値, )는 두 범주가 사실상 같은 구조를 지니게 하는 함자이다. 범주의 동형보다 더 약한 개념이며, 범주의 동형보다 더 널리 쓰인다.

정의 
두 범주 와  사이의 함자 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이며, 이 조건을 만족시키는 를 와  사이의 동치라고 한다.
 와 가 항등 함자와 자연 동형인 함자 가 존재한다 (이러한 함자는 유일하지 않을 수 있다).
 충실충만한 함자이며, 본질적 전사 함자()이다 (즉, 의 모든 원소는 적어도 하나의 의 상의 원소와 동형이다).

성질 
서로 동치인 두 범주는 범주론에서 다루는 거의 모든 성질이 같다. 예를 들어, 동치는 모든 극한과 쌍대극한을 보존하며, 또한 전사 사상 및 단사 사상을 보존한다.

작은 범주 
범주 의 부분 범주 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이며, 이를 만족시키는 를 의 뼈대()라고 한다.
 충만한 부분 범주이며, 의 임의의 대상은 정확히 하나의 의 대상과 동형이다.
 포함 함자 는 동치이며, 뼈대 범주()이다 (즉, 의 임의의 서로 다른 두 대상은 동형이 아니다).
모든 작은 범주는 뼈대를 가지며, 이는 범주의 동형 아래 유일하다. 이는 선택 공리와 동치이다. 또한, 두 작은 범주 와 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.
 와 는 서로 동치이다.
 와 의 뼈대는 서로 동형이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

수반 함자