아델 환

유체론에서 아델 환(adèle環, )은 유리수체나 다른 대수적 수체의 모든 완비화를 대칭적으로 포함하는 위상환이다. 아델 환의 원소를 아델()이라고 한다.

정의

정수 아델 환 
정수환 의 사유한 완비 는 다음과 같다.

여기서 후자 (모든 p진 정수환들의 곱)는 중국인의 나머지 정리에 의한 것이다.

정수 아델 환() 는 다음과 같다.

대역체의 이델 환 
대역체 의 아델 환은 다음과 같다.

여기서 는 자리 에 대한 완비화 국소체이며, 는 모든 자리에 대한 제약된 곱이다. 여기서 "제약된 곱"이란 다음 조건을 말한다.

즉, 유한 개의 원소들을 제외한 나머지는 모두 국소체의 대수적 정수환에 속해야 한다.

만약 가 대수적 수체 인 경우, 아델 환은 다음과 같이 정수 아델 환으로 나타낼 수도 있다.

예를 들어, 유리 아델 환은 다음과 같다.

여기서 는 p진수체이고, 는 다음과 같이 정의된, 제약된 곱을 의미한다. 의 원소  가운데, 유한개의 원소를 제외한 나머지는 모두 p진 정수이어야 한다.

성질 
수체 에 대하여, 아델 환 의 덧셈군은 국소 콤팩트 위상군이다. 이 아벨 군의 폰트랴긴 쌍대군은 스스로와 동형이다.

이델 군 
아델 환 의 가역원들의 군 를 이델 군(idèle群, )이라고 한다. 이 경우, 부분 공간 위상을 주면 곱셈 연산이 연속적이지 않아 위상군이 될 수 없으며, 따라서 대신 다음과 같은 위상을 준다. 우선, 아델 환의 곱집합 에 곱공간 위상을 주자. 이델 군 는 그 속에 다음과 같은 부분 집합을 이룬다.

이 매장에 대하여 부분 공간 위상을 주면, 는 위상군을 이룬다.

대역체 의 이델 군 의 경우, 가역원군 로부터 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

이 준동형의 상을 주 이델()이라고 한다. 이델 군의 주 이델 부분군에 대한 몫군 를 이델 유군(idèle類群, )이라고 한다.

성질 
이델 군은 국소 콤팩트 위상군을 이룬다.

유체론에 따라서, 임의의 대역체 에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군 준동형이 존재하며, 이를 대역 아르틴 준동형이라고 한다.

여기서 는 의 극대 아벨 확대이다.
이를 통하여, 다음과 같은 사유한군의 동형이 존재한다. (여기서 좌변은 이델 유군의 사유한 완비이다.)

역사 
"이델"()의 개념은 클로드 슈발레가 도입하였다. 슈발레는 이를 1936년에 "아이디얼 원소"()이라는 이름으로 도입하였고, 1940년에는 헬무트 하세의 의견을 따라 로 축약하였다. 이는 "아이디얼 원소"를 "id.el."로 축약한 것을 그대로 읽은 것이다.

앙드레 베유는 1938년에 함수체의 아델 환을 정의하였지만 명명하지 않았다. 이후 존 테이트는 이를 "값매김 벡터"()라고 불렸고, 클로드 슈발레는 이를 재분배()라고 불렀다. "아델"이라는 이름은 1954년에 문헌에 등장하기 시작하며, 아마 앙드레 베유가 지어낸 것으로 추측된다. "아델"()은 프랑스어에서 여성 이름이며, "덧셈적 이델"()을 줄인 것이다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 아이디얼 유군
 반직선 유군

유체론
대수적 수론