Z변환

Z 변환(Z-transform)은 수학이나 신호 처리에서 실 수열 또는 복소 수열로 나타나는 시간 영역의 신호를 복소 주파수 영역의 표현으로 변환한다.

Z 변환은 연속 시간 신호에 대한 라플라스 변환에 대응하는 이산 시간 영역에서의 변환으로 볼 수 있다.

역사 
Z 변환에 대한 기본적인 생각은 라플라스도 알고 있었고, 1947년에 W. Hurewicz에 의해 선형 상수 계수 차분 방정식을 푸는 유용한 수단으로 다시 알려졌다. Z 변환이라는 이름은 1952년에 콜롬비아 대학의 sampled-data control group에 속한 Ragazzini와 Zadeh로부터 유래되었다.

고등 Z 변환은 후에 Jury에 의해 개발되고 대중화되었다.

정의 
다른 적분 변환들과 마찬가지로 Z 변환은 단방향 또는 양방향 변환으로 정의될 수 있다.

양방향 Z 변환 
연속시간 신호 의 양방향 Z 변환은 로 표현되는 formal power series로, 다음과 같이 정의된다.

여기서 은 정수이고 는 일반적으로 복소수이다. 즉, 는 복소수의 크기 와 허수 단위 , 그리고 편각 를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

단방향 Z 변환 
만약 이 에 대해서만 정의되어 있다면 단방향 Z 변환은 다음과 같이 정의된다.

이러한 정의는 신호 처리에서 이산 시간 causal system의 단위 펄스 응답의 Z 변환을 구하는데 사용될 수 있다. 여기서부터는 별도의 언급이 없는 한 단방향 Z 변환을 고려하기로 한다.

예제 
 단위 계단 신호
다음과 같은 신호를 생각해 보자.

그러면 의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

 등비수열
다음과 같은 신호를 생각해 보자.

그러면 의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

성질

선형성 (Linearity) 
두 이산 시간 신호 , 의 Z 변환을 각각 , 라 두면, 상수 , 에 대해 의 Z 변환은 다음과 같다

시간에 대한 평행 이동 (Time shifting)

양방향 Z 변환의 경우 
이산 시간 신호 의 Z 변환을 라 두면 정수 에 대해 의 Z 변환은 다음과 같다.

단방향 Z 변환의 경우 
단방향 Z 변환의 경우 조금 다르다. 만약 인 경우

인 경우

Z 역변환 
Z 역변환은 다음과 같이 구해진다.

여기서 는 원점을 반시계방향으로 둘러 싸면서 수렴 반경 안에 있는 닫힌 경로이다.

하지만 라플라스 역변환의 경우와 유사하게 대부분의 경우 Z 역변환은 부분분수 분해를 통해 구해진다. 예를 들어 다음과 같은 Z 변환을 생각하자.

부분분수 분해를 통해 는 다음과 같이 표현된다.

따라서, 이고 Z 변환의 선형성으로부터 은 다음과 같이 구해진다.

수렴 반경

응용

차분방정식의 풀이 
다음과 같이 주어진 상수 계수를 갖는 선형 차분방정식을 생각하자.

양변에 Z 변환을 취하면 다음을 얻는다.

따라서, 이다.

Z 변환 표

각주

같이 보기 
 라플라스 변환
 푸리에 변환
 이산 시간 푸리에 변환
 이산 푸리에 변환

 Kamen, E.; Heck, B. (2000), Fundamentals of Signals and Systems: With MATLAB Examples (2nd ed.); Prentice Hall; , 9780130172938.
 Ingle, V. K.; Proakis, J. G. (2007), Digital Signal Processing Using Matlab (2nd ed., Int. Stud. Ed.); Thomson.
 Nekoogar, F. and Moriarty, G. (1999), Digital control using digital signal processing; Prentice Hall.

해석학 (수학)
신호 처리
변환 (수학)