반소 아이디얼

환론에서 반소 아이디얼(半素ideal, )은 소 아이디얼들의 교집합이다. 주어진 양쪽 아이디얼을 포함하는 최소의 반소 아이디얼을 그 소근기(素根基, )라고 한다.

정의

소근기 
환  속의 양쪽 아이디얼 의 소근기(素根基, ) 또는 단순히 근기(根基, ) 는 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다. 즉, 다음과 같은 양쪽 아이디얼이다.

여기서 는 의 소 아이디얼들의 집합이다. 양쪽 아이디얼의 소근기는 이는 항상 반소 아이디얼이며, 를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다. (이 개념은 가군의 근기와 다른 개념이다.)

가환환의 경우 
가환환의 경우, 다음 집합들이 모두 일치한다.
 
 . 즉, 충분히 거듭제곱하면 의 원소가 되는 것들의 집합이다.
 의 멱영원들의 집합 에 대하여, . 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 것들의 집합이다.
가환환의 아이디얼의 소근기는 자리스키 위상의 폐포 연산자와 같다.

반소 아이디얼 
환  속의 양쪽 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양쪽 아이디얼을 반소 아이디얼(半素ideal, ) 또는 근기 아이디얼(根基ideal, )이라고 한다.
 임의의 양쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 에 대하여 라면, 이다.
 임의의 왼쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 에 대하여 라면, 이다.
 임의의 오른쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 에 대하여 라면, 이다.
 임의의 에 대하여, 만약 라면 이다.
 는 n-계를 이룬다.
 인, 소 아이디얼들의 집합 이 존재한다.
 스스로의 소근기와 같다. 즉, 이다.
여기서 는 의 소 아이디얼들의 집합이며, n-계()란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 이다.

가환환의 경우 
가환환 의 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 반소 아이디얼이다.
 임의의  및 양의 정수 에 대하여, 만약 라면 이다.
 임의의 에 대하여, 이다.

성질 
환의 양쪽 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
완전 소 아이디얼 ⊂ 소 아이디얼 ⊂ 반소 아이디얼 ⊂ 양쪽 아이디얼

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
{| style="text-align: center"
|-
| 극대 아이디얼 ⊂ 완전 소 아이디얼 = || 소 아이디얼 || ⊂ || 반소 아이디얼
|-
| || ∩ || || ∩
|-
| || 으뜸 아이디얼 || ⊂ || 아이디얼
|}
사실, 가환환의 아이디얼의 경우 소 아이디얼인 것은 으뜸 아이디얼이자 반소 아이디얼인 것과 동치이다.

영 아이디얼의 소근기 는 하영근기 또는 (가환환의 경우) 단순히 영근기라고 하며, 가환환의 경우 이는 멱영원들의 집합과 같다.

영 아이디얼이 반소 아이디얼인 환을 반소환이라고 하며, 가환환의 경우 이는 축소환인 것과 동치이다.

예

정수환 
정수환 에서, 이 반소 아이디얼일 필요충분조건은 이 제곱 인수가 없는 정수 또는 0인 것이다. 특히, 이 반소 아이디얼이므로 정수환은 반소환이다.
정수환 의 경우, 아이디얼 의 소근기는 다음과 같다.

여기서 는 의 소인수들의 곱이다. 예를 들어

이다.

다항식환 
대수적으로 닫힌 체  위의 다항식환 은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다항식

으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

데데킨트 정역 
보다 일반적으로, 데데킨트 정역 에서, 영 아이디얼이나 가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 인수 분해되어

의 꼴로 유일하게 나타내어진다. 이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

역사 
반소 아이디얼()의 개념은 가환환의 경우 볼프강 크룰이 도입하였고, 일반적 환의 경우 나가타 마사요시가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

아이디얼
폐포 연산자