코르테버흐-더프리스 방정식

수학에서 코르테버흐-더프리스 방정식(, KdV 방정식)은 옅은 수면파를 나타내는 비선형 편미분 방정식이다. 적분가능계의 하나다.

정의 
코르테버흐-더프리스 방정식은 2변수 함수 에 대한 3차 비선형 편미분 방정식이며, 다음과 같다.

계수 6은 일부 공식의 편의를 위하여 삽입한 것이다. 사실, 에 서로 다른 상수를 곱하여, 코르테버흐-더프리스 방정식의 세 항의 계수들을 각각 임의의 0이 아닌 수로 놓을 수 있다.

라그랑지언 형태 
다음과 같은 라그랑지언 밀도의 오일러-라그랑주 방정식을 생각하자.

여기에

로 치환하면, 이는 코르테버흐-더프리스 방정식과 같다.

성질

대칭 
코르테버흐-더프리스 방정식은 변환

에 대하여 불변이다. 즉, 만약 코르테버흐-더프리스 방정식의 해 가 주어졌을 때,  역시 코르테버흐-더프리스 방정식의 해이다.

럭스 쌍 
코르테버흐-더프리스 방정식은 다음과 같은 럭스 쌍을 가진다.

즉, 코르테버흐-더프리스 방정식을 다음과 같은 럭스 방정식

으로 쓸 수 있다. 따라서 코르테버흐-더프리스 방정식은 적분가능계임을 알 수 있다.

운동 상수 
코르테버흐-더프리스 방정식은 무한히 많은 운동 상수를 갖는다. 구체적으로, 변수 에 대하여 다음과 같은 다항식들을 생각하자.

그렇다면, 임의의 자연수 에 대하여 다음 적분은 코르테버흐-더프리스 방정식의 운동 상수를 이룬다.

다만, 만약 이 짝수일 때 이는 항상 0이다. 그러나 이 홀수일 때 이는 0이 아니다.

낮은 차수의 운동 상수들은 다음과 같다.

솔리톤 해 
코르테버흐-더프리스 방정식은 솔리톤 해를 갖는다. 이러한 해의 가설 풀이는

의 꼴이다. 여기서 는 솔리톤의 속도이다. 또한, 솔리톤이 공간에서 국소적이어야 하므로,

이다.

이러한 가설 풀이를 대입하면, 다음과 같은 3차 상미분 방정식을 얻는다. (여기서 윗점은 에 대한 미분이다.)

양변을 에 대하여 적분하여 2차 상미분 방정식을 얻을 수 있다.

여기서 는 적분 상수이다. 이는 다음과 같은 라그랑지언의 오일러-라그랑주 방정식이다.

이는 퍼텐셜

속에서 움직이는 입자로 해석할 수 있다. 이제, 솔리톤의 가설 풀이를 만족시키려면, 이어야 한다. 이는 입자가 퍼텐셜의 국소 극대점에서 에서 시작하여, 퍼텐셜의 반대 벽을 기어오른 뒤, 다시 원래 국소 극대점으로 에 도달하는 것에 해당한다. 이는 이며 일 때에만 가능하다.

이러한 해는 쉽게 계산할 수 있으며, 구체적으로 다음과 같다.

여기서 는 초기 조건 에서 솔리톤의 위치이다.

역사 
조제프 발랑탱 부시네스크( )가 1877년에 최초로 발견하였다. 이를 1895년에 연구한 디데릭 요하너스 코르테버흐()와 귀스타브 더프리스()의 이름을 땄다.

참고 문헌

외부 링크 

 
 
 

편미분방정식
유체역학 방정식
적분가능계