군환

추상대수학에서 군환(群環, )은 군의 원소로 생성되는 자유 가군이다. 가군과 환의 구조를 가진다.

정의 
집합 와 환 가 주어졌을 때, 로부터 생성되는 -자유 가군을 다음과 같이 표기하자.

가 유한 개의 대상(및 유한 또는 무한 개의 사상)을 갖는 작은 범주이며, 가 환이라고 하자. 그렇다면, 의 사상의 집합 으로부터 생성되는 -자유 가군  위에 다음과 같은 -선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.

즉, 다음과 같다.

이 곱셈은 결합 법칙 및 분배 법칙을 따르며, 항등원

을 가진다. (만약 가 무한 개의 대상들을 갖는다면, 곱셈 항등원이 존재하지 않게 된다.) 따라서, 이는 환을 이루며, 이를  위의 범주환() 이라고 한다.

특히, 만약 가 하나의 대상만을 갖는다면, 이는 모노이드로 여길 수 있다. 이 경우 범주환을 모노이드 환()이라고 한다. 만약 추가로 가 군이라면, 이 경우 범주환을 군환이라고 한다.

성질 
모노이드 에 대한  계수 모노이드 환은 자연스럽게 -쌍가군의 구조를 가진다. 이는 왼쪽 자유 가군이자 오른쪽 자유 가군이다.

가 체 일 경우, 군환 는 벡터 공간을 이룬다. 이 경우, 의 차원은 이다. (이는 가 무한 반군일 경우에도 하멜 차원()으로서 성립한다.)

군의 가군 
군  위의 가군()은 그 정수 계수의 군환 의 가군이다. 이는 군 표현을 일반화한 개념이며, 군 코호몰로지에 쓰인다. 구체적으로, 군의 가군 는 아벨 군 과 군의 작용 으로 이루어져 있으며, , 에 대하여 을 만족시킨다.

유한군 와 체 가 주어졌고, 또

라고 하자. (즉, 의 크기는 의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 -벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. 마슈케 정리()에 따르면, 군환 는 반단순환이다. 즉, 모든 왼쪽 또는 오른쪽 -가군은 반단순 가군이다.

이는 하인리히 마슈케(, 1853~1908)가 증명하였다.

예

다항식환 
자연수의 덧셈 모노이드 를 생각하자. 이는 곱셈 표기법으로 로 적을 수 있다. 임의의 환 에 대하여, 모노이드 환 은 다항식환 와 같다.

마찬가지로, 무한 순환군  위의 군환은 다음과 같다.

마찬가지로, 유한 순환군  위의 군환은 다음과 같다.

행렬환 
집합 에 대하여, 순서쌍 준군 는 다음과 같은 준군이다.
 대상은 의 원소이다. 즉, 대상 집합은 이다.
 임의의 두 대상 에 대하여 유일한 사상 이 존재한다. 따라서, 사상 집합은 순서쌍으로 구성된 곱집합 로 생각할 수 있다.
만약 가 크기 의 유한 집합일 때, 임의의 환 에 대하여 준군환 는 행렬환 와 동형이다.

함수환 
유한 집합  위의 이산 범주 (모든 사상이 항등 사상인 범주) 위의 범주환 는  위의  값의 함수들의 환 이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

군론
환론
표현론