환의 표수

환론에서, (1을 갖춘) 환의 표수(標數, )는 그 환이 부분환으로 포함하는 순환환 의 크기 이다. 만약 를 부분환으로 포함할 경우, 환의 표수는 0으로 정의한다.

정의 
가 (1을 갖춘) 환이라고 하자. 정수환 는 환의 범주 의 시작 대상이므로, 유일한 환 준동형 이 존재한다. 이 준동형의 핵은 의 아이디얼이며,  ()의 꼴이다. 이 음이 아닌 정수 을 환 의 표수라고 한다.

표수가 0이 아닌 환 는 순환환 를 부분환으로 가진다. 표수가 0인 환은 정수환 를 부분환으로 가진다. 즉, 이라고 하면, 환의 표수는

인 가장 작은 양의 정수다. 만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면 환의 표수는 0이다.

유사환의 표수 
유사환 의 표수는 다음과 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수 이다.

만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면, 의 표수는 0이다.

이렇게 정의한 유사환의 표수는 환의 표수와 일치한다. 이 정의는 유사환의 덧셈군 구조에만 의존하며, 따라서 일반적인 아벨 군에 대해서도 정의할 수 있다. 아벨 군의 원소들의 차수는 최소공배수에 대하여 닫혀 있으므로, (유사)환의 표수는 그 덧셈군의 원소들의 최대 차수와 같다. (만약 원소의 차수들의 상한이 존재하지 않는다면 표수는 0이다.)

성질 
두 환 ,  사이에 환 준동형 가 적어도 하나 이상 존재한다면, 항상

이다. 즉, 의 표수는 의 표수의 약수이다. 특히, 와 가 체인 경우, 체의 표수는 소수이므로 이어야 한다.

모든 소환(특히, 모든 정역 · 체 · 나눗셈환)의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. (이는 소환의 중심은 정역이고, 정역의 분수체는 체이며, 중심을 취하는 것과 분수체를 취하는 것은 표수를 바꾸지 않는 연산이기 때문이다.) 모든 순서체의 표수는 0이다.

표수가 소수 인 유사환 에서, 다음과 같은 분배 법칙이 성립하며, 이를 신입생의 꿈(新入生-, )이라고 한다.

이는 자명하지 않는 이항 계수들이 모두 의 배수이므로 사라지게 되기 때문이다. 이 이름은 이 항등식이 신입생이나 저지를 수 있는 흔한 "실수"처럼 보이기 때문이다.

예 
유사환 의 단위화 의 표수는 항상 0이다.

환  및 모노이드 에 대하여, 모노이드 환 의 표수는 의 표수와 같다.

모든 유한체의 표수는 소수이며, 유한체의 크기는 그 표수의 거듭제곱이다. 즉, 다음과 같다.

체 의 표수와, 그 대수적 폐포의 표수는 같다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 프로베니우스 사상

환론
체론