요르단 대수

추상대수학에서 요르단 대수(Jordan代數, )는 교환 법칙을 따르지만 결합 법칙을 따르지 않을 수 있는 쌍선형 이항 연산을 갖춘 대수 구조의 일종이다.

정의

쌍선형 형식을 통한 정의 
2가 가역원인 가환환  위의 요르단 대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 -가군 
 교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산 
 이 이항 연산의 항등원 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 (요르단 항등식 ) 

(일부 문헌에서는 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)

이차 형식을 통한 정의 
가환환  위의 요르단 대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 -가군 
 원소 
 함수 , 
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
 
 
 
  ()
또한, 이 공리들은 의 임의의 스칼라 확장 에 대하여 성립하여야 한다.

만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.
{| class=wikitable
! 첫째 정의 !! 둘째 정의 !! 가 결합 대수일 경우
|-
|  ||  || 
|-
|  ||  || 
|-
|  ||  || 
|}
그러나 이 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.

연산

직합 
같은 가환환  위의 두 요르단 대수 , 가 주어졌을 때, 그 직합 을 정의할 수 있다. -벡터 공간으로서 이는 벡터 공간의 직합이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.

두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 기약 요르단 대수()라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.

몫 
가환환  위의 요르단 대수 의 요르단 아이디얼()은 다음과 같은 -부분 가군 이다.
 
로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다.
 
요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 몫 요르단 대수()

를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형 이 주어졌을 때, 그 핵 은 요르단 아이디얼을 이룬다.

요르단 아이디얼은 (라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다.

정확하게 두 개의 아이디얼()을 갖는 요르단 대수를 단순 요르단 대수(單純Jordan代數, )라고 한다.

동위 연산 
가환환  위의 요르단 대수 의 임의의 원소 에 대하여, 가 전단사 함수라고 하자 (즉, ). 그렇다면,  위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다.

만약 라면, 새 이항 연산 은 다음과 같다.

이 요르단 대수 구조를 라고 하며, 이를 의 동위(同位, )라고 한다. (가 가역원이라는 조건은 의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.)

동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.

이에 따라, 동위성은 동치 관계를 이룬다.

피어스 분해 
요르단 대수 에서, 만약 어떤 원소 가 를 만족시킨다면, 다음 항등식이 성립한다.

이에 따라서, 만약 이며 가 유한 차원이라면, 에 의한 왼쪽 곱셈 사상 의 고윳값은 0, 1, 또는 ½이며, 는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다.

이를 피어스 분해()라고 한다.

구조 리 대수 
가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, 가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 이룬다고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서

이 성립함을 보일 수 있다. 여기서

이며, 리 괄호는 의 것이며, 은 의 미분 리 대수이다.

이에 따라서, -벡터 공간

위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 -리 대수로 만들 수 있다.

이를 요르단 대수 의 구조 리 대수(構造Lie代數, )라고 한다.

물론, 의 항등원 은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 -리 대수

를 정의할 수 있다.

성질 
일반적으로, 요르단 대수는 결합 법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수 에서 다음이 성립한다.
 (멱결합성 ) 임의의 원소 에 대하여, 로 생성되는 부분 요르단 대수는 결합 법칙을 따른다. 특히,  ()과 같은 표현이 잘 정의된다.
 
두 명제의 증명:
편의상, 결합자

를 정의하자.

우선, 교환 법칙에 의하여, 다음이 항상 성립한다.

요르단 항등식에 의하여,

를 전개하고, 에 비례하는 항만을 추출하면, 다음을 얻는다.

수학적 귀납법을 사용하여, 에 대하여 이 잘 정의된다고 하자. 이제,

임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해

이므로, 이를 통해

이다. 그런데 로 놓으면

이 되어, 즉 이 된다.

맥도널드 원리 
3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식 이 주어졌다고 하자. 만약
 가 에 대하여 1차 이하이며,
 가 결합 대수를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면,
는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다. 이를 맥도널드 원리()라고 한다. 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다.

형식적 실수 요르단 대수 
형식적 실수 요르단 대수()는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 다.
임의의 에 대하여, 이다.

분류 
실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다. 이러한 요르단 대수들은 단순 요르단 대수()의 직합으로 나타낼 수 있다.

단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.
  실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
  복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
  사원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
 으로 생성되고 조건 을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 차원 요르단 대수이며, 스핀 인자() 또는 클리퍼드형 대수()라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다.
  팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다. 이를 예외 요르단 대수() 또는 앨버트 대수()라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트의 이름을 딴 것이다.

여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다.

구체적으로,

로 잡으면,

임을 알 수 있다 (는 크로네커 델타).

예

자명한 요르단 대수 
임의의 가환환 에 대하여, 0차원 또는 1차원 -자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙 및 교환 법칙을 따른다.

결합 대수에 대응되는 요르단 대수 
표수가 2가 아닌 체  위의 임의의 결합 대수 가 주어졌을 때,

를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.
증명:
요르단 항등식을 증명하면 족하다.
이는 -결합 대수의 범주에서 -요르단 대수의 범주로 가는 함자

를 정의한다.

자유 요르단 대수 
주어진 체 위의 요르단 대수의 개념은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 자유 요르단 대수()의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자

의 왼쪽 수반 함자가 존재한다.

0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원 -벡터 공간이다.

하나의 원소 로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 다항식환 이다.

응용 
요르단 대수의 개념은 이론물리학에 사용된다.

역사 

파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다. 가 에르미트 관측 가능량이라면  또한 관측 가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.

이후 케빈 맥크리먼()이 표수 2에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

비결합대수