방향 (다양체)

미분기하학과 위상수학에서, 다양체의 방향(方向, )은 다양체 위에서 시계방향 및 반시계방향의 개념을 정의하는 구조이다. 향이 주어진 다양체를 유향 다양체(有向多樣體, )라고 한다. 향을 줄 수 있는 다양체를 가향 다양체(可向多樣體, )라고 한다. 예를 들어, 구는 방향을 줄 수 있지만, 클라인 병은 방향을 줄 수 없다.

정의

위상다양체의 방향 
이 차원 위상다양체라고 하자. 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 위상 동형이므로, 모든 점 에 대하여, 상대 호몰로지 군 은

의 꼴이다.

이들을 줄기로 하는, 아벨 군 값의 국소 상수층 이 존재한다. 이를 의 방향층(方向層, )이라고 한다. 물론, 정수환  대신 다른 가환환  계수를 사용할 수 있으며, 이 경우 -가군의 국소 상수층 를 얻는다.

점 에서의 국소 방향(局所方向, )은 무한 순환군 의 두 생성원 가운데 하나이다.

 위의 방향은 방향층 의 단면 가운데, 각 점 에서 국소 방향을 이루는 것이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 열린 덮개 . 또한, 각 에 대하여 가 축약 가능 공간이라고 하자.
 이에 따라, 임의의 에 대하여,  속의 임의의 두 점 에 대하여, 표준적인 군 동형 사상 가 존재한다.
 각  및  속의 임의의 점 에 대하여, 국소 방향 . 또한, 위의 동형 사상을 통하여 임의의  속에 에서의 국소 방향을 정의할 수 있다.
이는 다음 조건을 따라야 한다.
 임의의  및 에 대하여, 에서의 국소 방향이 에서의 국소 방향과 일치한다.

미분다양체의 방향 
이 차원 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면  위의 방향은 항상 0이 아닌 차 미분 형식의 동치류다. 만약 두 차 미분 형식 , 가 의 꼴이고, 가 매끄러운 함수이며, 항상 0이 아닌 함수라면 로 간주한다.

이 정의는 위상다양체의 방향의 정의와 동치이다.

연산 
같은 차원의 두 다양체 , 의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 분리합집합  역시 표준적인 방향을 갖는다.

(서로 다른 차원을 가질 수 있는) 두 다양체 , 의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱공간  역시 표준적인 방향을 갖는다.

유향 다양체 의 열린집합인 부분 다양체 역시 표준적인 방향을 갖는다. 그러나 이는 임의의 부분 다양체에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, 뫼비우스의 띠는 방향을 가질 수 없지만, 방향을 가질 수 있는 3차원 유클리드 공간의 부분 다양체이다.)

성질

경계다양체 
차원 경계다양체 의 내부 는 차원 다양체를 이루며, 은 차원 다양체를 이룬다. 의 방향이 주어졌을 때, 이는 의 방향을 표준적으로 결정한다. 즉, 경계다양체의 경우 내부의 방향이 경계의 방향을 결정한다. 특히, 가향 경계다양체의 경계는 가향 다양체이다.

복소다양체 
모든 복소다양체는 표준적인 방향을 갖는다. 구체적으로, 차원 복소다양체 의 열린 덮개 의 복소수 국소 좌표계

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 전이 함수

는 정칙 함수이므로 방향을 보존하며, 따라서 이는 의 방향을 정의한다.

외부 링크 
 
 
 

기하학적 위상수학
미분기하학

de:Orientierung (Mathematik)#Orientierung einer Mannigfaltigkeit