절대 수렴

해석학에서 절대 수렴(絶對收斂, )은 급수가 각 항에 절댓값을 취하였을 때 수렴하는 성질이다. 만약 어떤 실수항 또는 복소수항 급수가 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다.

실수항 또는 복소수항 급수

정의 
가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

 항의 급수  ()가 주어졌을 때, 만약 각 항에 절댓값을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

라면, 원래의 급수 가 절대 수렴한다고 한다.

성질 
 항의 급수  ()가 주어졌다고 하자.

만약 이 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다 (절대 수렴 판정법, 絶對收斂判定法, ). 그러나 그 역은 성립하지 않는다.  항의 급수가 수렴하지만 절대 수렴하지 않는다면, 조건 수렴한다고 한다. 또한, 임의의 순열 에 대하여, 그 순열을 통해 항을 재배열하여 얻는 급수  역시 수렴하며, 합은 원래의 급수와 같다. 이는 임의의 바나흐 공간 또는 프레셰 공간 위에서도 성립한다.

실수항 급수  ()가 절대 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 자연수 에 대하여 이므로, 임의의 자연수 에 대하여

이다. 따라서

이다. 즉, 는 수렴한다.  역시 수렴하므로, 는 수렴한다.

만약 이 조건 수렴한다면, 이 발산하게 되는 순열 이 존재한다.

만약 이며, 이 조건 수렴한다면, 임의의 확장된 실수 에 대하여, 이게 되는 순열 이 존재한다 (리만 재배열 정리).

노름 공간 위의 급수

정의 
-노름 공간  위의 급수  ()가 주어졌을 때, 만약 각 항에 노름을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

라면, 원래의 급수 가 절대 수렴한다고 한다.

성질 
바나흐 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다. 유한 차원 노름 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다. 이에 따라, 유한 차원 바나흐 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴과 동치이다. 무한 차원 바나흐 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다 (드보레츠키-로저스 정리).

위상 벡터 공간 위의 급수

정의 
하우스도르프 -국소 볼록 공간  위의 급수  ()가 주어졌을 때, 만약 임의의 연속 반노름 에 대하여,

라면, 원래의 급수 가 절대 수렴한다고 한다.

성질 
하우스도르프 완비 국소 볼록 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다. 특히, 프레셰 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴 및 수렴한다. 유한 차원 하우스도르프 국소 볼록 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다. 핵() 프레셰 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴과 동치이며, 비(非)핵 프레셰 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다.

각주

외부 링크 
 
 
 

적분학
급수
수렴