반직접곱

군론에서 반직접곱(半直接-, ) 또는 반직적(半直積)은 두 군의 곱집합에 군의 구조를 부여하는 한 방법이다. 두 군의 직접곱을 일반화한 개념이다.

정의 
과 가 군이라고 하자. 이 의 자기동형사상군이라고 하고, 이 군 준동형이라고 하자. 즉, 는 를 통해  위에 작용한다. 그렇다면 곱집합 에 다음과 같은 곱셈 연산을 정의하자.

이 연산은 군의 공리를 만족한다는 것을 확인할 수 있다. 집합 에 이 연산을 가진 구조를 과 의 를 통한 반직접곱 라고 한다.

성질 
라고 하자. 이 경우 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.
.
즉, 이다.

반면, 그 역은 성립하지 않는다. 일반적으로 짧은 완전열이 존재하더라도 이를 항상 반직접곱으로 나타낼 수 있지는 않다. 예를 들어

을 생각해 보자. 이므로, 반직접곱 은 항상 직접곱 밖에 존재하지 않는다. 그러나 물론 이다.

충분 조건 
슈어-차센하우스 정리()에 따르면, 만약 유한군  및 정규 부분군 이 주어졌고, 만약 과 이 서로소라면 (즉, 이 홀 부분군이라면), 는 과 의 반직접곱이다. 이는 이사이 슈어와 한스 차센하우스가 증명하였다.

외부 링크

같이 보기 
 분할 완전열
 직접곱

군론