자기 수반 작용소

작용소 이론에서 자기 수반 작용소(自己隨伴作用素, )는 스스로의 에르미트 수반이 자신과 같은 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다.

정의 
가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

-힐베르트 공간  위의 조밀 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 연속 선형 변환

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 것을  위의 자기 수반 작용소라고 한다.

 대칭 작용소이며, 이다.
 임의의 에 대하여, 이다. 또한, 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.
 특히, 임의의 에 대하여, 는 유계 작용소이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수 로 유일하게 확장된다.
 이며, 모든 에 대하여 이다. 여기서 는 에르미트 수반이다.
 그래프  및 심플렉틱 사상 , 에 대하여, 이다.
 다음 조건들을 모두 만족시키는 측도 공간 과 가측 함수 과 전단사 유니터리 작용소 가 존재한다. (여기서 는 와의 점별 곱셈이다.)
 
 

마지막 정의에서 등장하는 꼴의 작용소를 곱셈 연산자()라고 한다. 즉, 자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다.

성질 
단사 자기 수반 작용소의 역함수는 자기 수반 작용소이다.

유한 차원 힐베르트 공간  위의 작용소 에 대하여, 다음이 서로 동치이다.
 는 대칭 작용소이다.
 는 자기 수반 작용소이다.
 의 행렬은 에르미트 행렬이다.

대칭 확장 
대칭 작용소 의 자기 수반 확장()은 다음을 만족시키는 자기 수반 작용소 이다.
 
 
대칭 연산자 의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.

(은 의 닫힌 부분공간이므로, 힐베르트 공간을 이룬다.)
특히, 가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은

이다. 양변의 두 수를 의 결점 지표()라고 한다.

유일한 자기 수반 확장을 갖는 대칭 작용소를 본질적 자기 수반 작용소()라고 한다.

예 
제곱 적분 가능 함수로 구성된 복소수 힐베르트 공간

을 생각하자. 이 위에서, 작용소

를 생각하자. 만약 가 제곱 적분 가능 함수라도 가 제곱 적분 가능 함수일 필요는 없으므로, 는  전체에 정의될 수 없다. 즉,

이다. 이는 의 조밀 부분 공간이며, 임의의 에 대하여

이다. 따라서 는 대칭 작용소이다. 또한, 임의의 에 대하여, 만약

라고 하자. 즉,

이다. 그렇다면 리스 표현 정리에 따라서

이므로, 정의에 따라 이게 된다. 즉, 는 자기 수반 작용소이다.

곱셈 연산자 
다음이 주어졌다고 하자.
 측도 공간 
 가측 함수  (은 보렐 시그마 대수)
 
그렇다면,  위에 작용소

를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 작용소를 곱셈 연산자라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
  위의 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다.
 임의의 -힐베르트 공간  및 자기 수반 작용소 에 대하여, 이자 가 되는 측도 공간 와 가측 함수 와 (전단사) 유니터리 작용소 가 존재한다.

특히, 만약 이 유한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 위의 자기 수반 작용소는  에르미트 행렬(또는 대칭 행렬)이며, 그 고윳값

들은 모두 실수이다. 이 경우
  (크기 의 이산 가측 공간)
  (셈측도)
 
가 된다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

함수해석학
힐베르트 공간