하이젠베르크 군

리 군론에서 하이젠베르크 군(Heisenberg群, )은 멱영 리 군의 하나이다. 양자역학에서 쓰인다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 표수가 2가 아닌 체 
  위의 심플렉틱 벡터 공간 
그렇다면, -벡터 공간

위에 다음과 같은 군 연산을 주자.

이는 군의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있으며, 그 항등원은

이며, 그 역원은

이다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군 라고 한다.

보통 가 명시되어 있지 않은 경우, 인 경우에 해당한다. 즉, 를 의미한다.

리 대수 
표수가 2가 아닌 체  위의 심플렉틱 벡터 공간 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터 공간  위에 다음과 같은 리 대수 구조를 줄 수 있다.

이를 하이젠베르크 리 대수() 라고 한다.

가 유한  차원일 때, 심플렉틱 기저 를 잡을 수 있다.  위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같은 꼴이다.

여기서 는 크로네커 델타이다.

성질 
하이젠베르크 군 는 아벨 군 의 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 군들의 짧은 완전열이 존재한다.

마찬가지로, 다음과 같은 리 대수의 짧은 완전열이 존재한다.

여기서 와 는 아벨 리 대수이다.

표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 멱영군이며, 하이젠베르크 리 대수는 멱영 리 대수이다.

위상수학적 성질 
만약 일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 리 군을 이룬다. 이는 연결 단일 연결 멱영 리 군이며, (정의에 따라) 유클리드 공간과 미분 동형이다.

행렬 표현 
표수 0의 체  위의 내적 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

위에 다음과 같은, 표준적인 심플렉틱 벡터 공간 구조가 존재한다.

그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

지수 사상 
하이젠베르크 군 의 리 대수 는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.

이 경우, 리 지수 사상은 다음과 같다.

표현론 
하이젠베르크 군의 군 표현론은 스톤-폰 노이만 정리에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 의 비자명 유니터리 기약 표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) 르베그 공간  위의 다음과 같은 표현 와 동형이다.

이를 리 대수 에 대하여 표기하면 다음과 같다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

리 군
양자역학
베르너 하이젠베르크
수리물리학