폰트랴긴 특성류

위상수학에서 폰트랴긴 특성류(Понтрягин特性類, )는 실수 벡터 다발의 특성류의 하나다. 그 복소화의 천 특성류로 정의할 수 있다.

정의 
가 매끄러운 다양체  위의 차원 실수 벡터 다발이라고 하자. 실수 벡터 다발 가 -주다발인 틀다발 의 연관 벡터 다발이라고 하자.

구체적 정의 
의 주곡률 를 정의할 수 있다. 이는 리 대수 의 값을 갖는 2차 미분 형식이다.

그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.
.
우변에서 가 홀수인 항들은 의 반대칭성에 의하여 사라진다. 는 미분 형식으로 간주하면 의 틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지는 천-베유 이론()에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소 는 실수 벡터 다발 의 위상수학적 불변량이다. 이를 차 폰트랴긴 특성류라고 한다.

총 폰트랴긴 특성류() 는 모든 차수들의 폰트랴긴 특성류의 합이다. 즉

이다.

추상적 정의 
-주다발 는 분류 공간 으로 가는 연속 함수

의 호모토피류로 분류된다. 그런데 직교군은 유니터리 군의 부분군이다.

따라서 이에 대응되는 분류 공간 사이의 함수가 존재한다.

(이는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.)  위에는 천 특성류에 해당하는 코호몰로지류

가 존재한다. 이를 당김으로서  위에 정의할 수 있는데, 이 경우

이다. 즉, 짝수 차수 천 특성류만이 살아남으며, 이를 (역사적인 이유로 부호를 붙이면) 폰트랴긴 특성류라고 한다.

이 경우, 의 폰트랴긴 특성류는 분류 공간 위의 폰트랴긴 특성류의 당김

이다.

성질 
서로 위상 동형인 다양체는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다. 즉, 폰트랴긴 특성류는 매끄러움 구조에 의존하지 않는다.

천 특성류와의 관계 
폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 특성류는 복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 이 사이에는 일련의 관계가 존재한다.

직교군과 유니터리 군 사이에는 다음과 같은 표준적인 포함 관계가 존재한다.

이는 분류 공간 사이의 연속 함수(의 호모토피류)

를 정의한다. 이에 대하여, 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 사이의 관계는 다음과 같다.

이를 벡터 다발의 언어로 번역하면 다음과 같다.
 사상 는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.
 사상 은 복소수 벡터 다발에서 복소구조를 잊는 것에 해당한다.
즉, 실수 벡터 다발 의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화 의 천 특성류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

천 특성류 는 차 코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류 는 차 코호몰로지 원소이다. (의 홀수차 천 특성류는 슈티펠-휘트니 특성류으로 나타낼 수 있다.)

반대로, 복소수 벡터 다발 의 (복소구조를 잊었을 때) 폰트랴긴 특성류는 그 천 특성류로부터 다음과 같이 주어진다.

분수 폰트랴긴 특성류 
 위의 차원 유향 실수 벡터 다발 의 스핀 구조는 그 구조군을 특수 직교군에서 스핀 군으로 올리는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.

여기서 는 몫사상

에 대응하는, 분류 공간 사이의 사상

이다.

이 경우, 스핀 군은 단일 연결 단순 리 군이므로

이다. 따라서, 스핀 군의 분류 공간의 호모토피 군은

이므로, 후레비치 준동형이 동형이며,

이다. 따라서, 그 생성원을 라고 하자. 그렇다면,

임을 보일 수 있다. 따라서, 이를 사용하여,

가 되는 특성류

를 정의할 수 있다. 이를 1차 분수 폰트랴긴 특성류(一次分數Понтрягин特性類, )라고 한다.

마찬가지로, 만약 가 끈 구조()를 갖는다면, 즉 만약 가환 그림

이 존재한다면, 2차 분수 폰트랴긴 특성류(二次分數Понтрягин特性類, )

가 존재한다. 여기서 은 끈 군이다.

예 
낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다.

역사 
러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1947년에 정의하였다. 세르게이 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

미분위상수학
특성류