정다각형 테셀레이션

정다각형 테셀레이션 또는 정다각형 타일링은 정다각형으로 유클리드 평면을 채우는 타일링으로, 고대부터 널리 쓰여 왔다. 1619년 케플러의 책 《세계의 조화》에서 이 테셀레이션에 대해 최초로 체계적이며 수학적으로 접근했다.

유클리드 타일링의 표기법 
유클리드 타일링은 대부분 Cundy & Rollett의 표기법을 사용한다. 이 표기법은 (1) 꼭짓점의 개수, (2) 각 꼭짓점이 접하는 다각형의 개수(시계 방향), (3) 그 다각형 각각의 변의 개수를 나타낸다. 예를 들어서 36; 36; 34.6에서 2가지 다른 꼭짓점 배치를 가지는 3개의 꼭짓점이 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 이 타일링을 '3-균일(2-꼭짓점 종류)' 타일링이라고 한다. 쪼개서 보면, 36; 36 (추이가 다름) 또는 (36)2에서 정삼각형 6개가 모인 꼭짓점이 2개라는 것을 알 수 있다. 마지막 꼭짓점  34.6에서는 4개의 인접한 변 길이가 같은 정삼각형과 하나의 정육각형이 모여 있다는 걸 알 수 있다.

하지만 이 표기법은 형태와 특이성이 애매해서 두 가지 큰 문제가 있다. 첫 번째, k-균일 타일링에서 이 표기법은 꼭짓점들 사이에 관계를 설명하지 않는다. 따라서 표기법만 가지고 평면을 채우는 건 불가능하다. 두 번째, 일부 테셀레이션은 표기법이 같다. 육각형의 상대적인 위치가 다르다는 것으로만 다른 테셀레이션이라는 걸 알 수 있는 것도 있다. 즉 이 표기법이 각 테셀레이션을 구별할 수 없다는 것이다.(각 테셀레이션에 대해 특이하지 않다)

이런 문제를 해결하기 위한 GomJau-Hogg의 표기법은 테셀레이션과 이중 격자(double-layer grids)의 세대(generation)와 표기법에 대해, 위의 연구와 표기법을 살짝 변형해 2012년 발표되었다. 무료 온라인 앱 Antwerp v3.0은 GomJau-Hogg의 표기법으로 직접 알 수 있는 도형 배치 단계, 반복되는 회전과 반사 변환을 통해서 무수히 많은 세대의 정다각형 타일링을 표현할 수 있다.

정규 타일링 
Grünbaum과 Shephard(section 1.3)에 따르면, 정규 타일링은 타일링의 대칭군이 기점(영어판)에 추이적으로 작용하는 것을 말한다. 여기서 기(旗, flag)는 한 꼭짓점, 그 꼭짓점에 인접한 한 모서리, 그 꼭짓점과 모서리에 동시에 인접한 한 면 (기하학) 3가지를 말한다. 다시 말해서 어떤 쌍의 기점에도, 첫 번째에서 두 번째 기점으로의 대칭 작용이 있다는 것이다.

정규 타일링은 합동인 정다각형을 통해 모서리 대 모서리로 만들어지는 타일링과 동치이다. 세 가지 정규 타일링은 정삼각형 6개, 정사각형 4개, 정육각형 3개가 한 꼭짓점에 모일 때 가능하다.

정규 타일링이 3개뿐이라는 것은 비교적 쉽게 증명할 수 있다. 정n각형의 한 내각의 크기는 인데, 정규 타일링은 모서리 대 모서리 타일링이고 한 종류의 정다각형만 사용하므로 한 내각의 크기가 360°의 약수여야 한다. n이 최소인 3일 때 60°이고 n값에 상관없이 180°보다 작으므로 가능한 경우는 =60°, =72°, =90°, =120°가 있다. 이 중 실제로 가능한 것은 60°의 정삼각형, 90°의 정사각형, 120°의 정육각형 뿐이다.

C&R: Cundy & Rollet의 표기법 
GJ-H: GomJau-Hogg의 표기법

준정규 타일링 
점추이는 임의의 한 쌍의 꼭짓점에 첫 번째에서 두 번째 꼭짓점으로 가는 대칭 작용이 있다는 것이다.

기(flag)추이의 조건이 점추이 중 하나로 약해지면, 모서리 대 모서리라는 조건이 있을 때 8개의 타일링이 더 가능하다. 이를 아르키메데스, 균일(고른), 준정규 타일링이라고 한다. 34.6 (다듬은 정육각형) 타일링은 카이랄성을 지녀서 두 거울상이 있다. 다른 나머지 정규 또는 준정규 타일링은 카이랄성이 없다.

C&R: Cundy & Rollet의 표기법
GJ-H: GomJau-Hogg의 표기법

Grünbaum과 Shephard는 이런 타일링이 각 꼭짓점의 타일 배치가 같다는 부분적(local) 특성만 지키기 때문에 아르키메데스라고 불렀다. 또 점특이의 전체적(global) 특성을 만족하기 때문에 균일하다(고르다)고 했다. 평면에서는 같은 집합의 타일링을 말하지만, 다른 공간에서는 아르키메데스 타일링 중 고르지 않은 것도 있다.

같이 보기 
 오각형 테셀레이션
 정다면체와 준정다면체
 쌍곡평면의 고른 타일링
 고른 다면체
 고른 테셀레이션
 비트호프 기호

각주 

 
테셀레이션