리만-로흐 정리

대수기하학에서 리만-로흐 정리(Riemann-Roch 定理, )는 콤팩트 리만 곡면에 주어진 꼴의 특이점을 갖는 일차 독립 유리형 함수들의 개수에 대한 정리다.

정의 
이 콤팩트 리만 곡면이라고 하자.  위의 인자는 의 점들에 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 즉, 인자 는 다음과 같은 꼴이다.
 (, )
인자의 차수()는 다음과 같다.
.

가  위의 유리형 복소 미분 형식이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.) 는 극점과 영점()들을 갖는다. 극들이 이고, 그 차수가 각각 라고 하자. 영점들이 이고, 그 차수가 각각 라고 하자. 그렇다면 의 인자를 다음과 같이 정의한다.
.

유리형 함수(즉, 0차 유리형 복소 미분 형식)의 인자를 주인자()라고 한다. 1차 유리형 복소 미분 형식의 인자를 표준 인자()라고 한다.

인자 에 대하여, 의 계수가 모두 음이 아닌 유리형 함수 들의 복소 벡터 공간의 (복소) 차원을 라고 하자.

가  위의 인자이고, 가 표준 인자라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
.
여기서 은 의 오일러 지표이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus) 로 쓰면

이다.

선다발의 경우 
인자(의 동치류)는 정칙 선다발에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면  위에 정칙 선다발 이 있다고 하자. 그렇다면 층 코호몰로지 ( 계수 돌보 코호몰로지)  및 을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을 로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

(여기서 은 의 오일러 지표다.) 세르 쌍대성을 사용하여,

따라서, 에 대응하는 인자류가 라고 한다면

가 된다.

보다 일반적으로, 리만 곡면  위의 (임의의 계수의) 정칙 벡터 다발 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대하여 다음과 같은 리만-로흐 정리가 성립한다.

여기서
 는 의 계수이다. (즉, 선다발의 경우 1이다.)
 정칙 벡터 다발의 차수는 이다. 여기서 는 의 올별 최고차 외대수로 구성된 정칙 선다발이다.

표 
가 바이어슈트라스 점이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형 함수들의 차원 는 다음과 같다.

이며 인 경우, 특수한 점에서 가 위 표와 다른 값일 수 있다. 즉, 이러한 점에서는 이다. 이를 바이어슈트라스 점이라고 한다. 예를 들어, 인 경우 인 점이 정확히 6개 있다. 일반적으로, 주어진 종수 위에서의 바이어슈트라스 점들의 수는 유한하다.

예 
리만-로흐 정리를 써서, 곡면 종수가 인 콤팩트 리만 곡면의 표준 인자 의 차수가 임을 보일 수 있다.
 콤팩트 리만 곡면 위에서의 정칙함수는 상수함수밖에 없다. 즉, 이다. 물론 이다.
 으로 놓자. 그렇다면 이다. 즉, 이다.
 로 놓자. 그렇다면 이다. 즉, 이다.

예를 들어, 인 경우인 리만 구 를 생각하자. 이 경우, 각 차수 에 대하여 정확히 한 개의 선다발 동형류 가 존재하며, 그 단면의 차원은

이다. 그 특별한 경우는 다음과 같다.
 0차 선다발은 자명한 선다발이다. 이 경우, 이다. 이는 상수 함수 에 의하여 생성된다. (다시 말해, 리만 구 저체 위의 정칙 함수는 상수 함수 밖에 없다.)
 2차 선다발은 정칙 접다발 이다. (예를 들어, 벡터장 는 에서 가 된다.) 이 경우, 이며, 그 기저는 이다.
 −2차 선다발은 표준 선다발 이다.  (예를 들어, 복소수 미분 형식 는 에서 가 된다.) 이 경우, 이다. 즉, 그 대역적 단면은 0 밖에 없다. 반면 이며, 돌보 코호몰로지에서 그 대표원은 푸비니-슈투디 계량 로 주어진다.
 1차 선다발은 스피너 다발이다. 그 단면 공간은 2차원이며, 그 기저는 이다.

곡면 리만-로흐 정리 
대수 곡면에 대해서도 리만-로흐 정리가 존재하며, 다음과 같다. 대수적으로 닫힌 체 에 대한 비특이 대수 곡면 (2차원 비특이 완비() 대수다양체)  위에 베유 인자 가 존재한다고 하고, 그 (정칙) 오일러 지표를 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

여기서 는 의 표준 인자이고, 는 두 인자 사이의 교차수()이며, 는 의 산술종수이다.

일반화 
곡선과 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 일반화되며, 이 또한 아티야-싱어 지표 정리나 그로텐디크-리만-로흐 정리로 일반화된다.

역사 

곡선에 대한 리만-로흐 정리는 베른하르트 리만이 1857년 표준 인자 항 를 무시한, 부등식의 형태로 증명하였다. 리만의 제자였던 구스타프 로흐가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다. 로흐는 이 정리를 24세에 증명하였는데, 불행히도 2년 뒤 결핵에 걸려 26세의 나이로 요절하였다.

곡면에 대한 리만-로흐 정리는 막스 뇌터가 1886년에, 페데리고 엔리퀘스가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 귀도 카스텔누오보가 1896년에 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

대수기하학 정리
복소해석학 정리
베른하르트 리만