아인슈타인 다양체

미분기하학에서 아인슈타인 다양체(Einstein多樣體, )는 리치 곡률 텐서가 계량 텐서와 비례하는 준 리만 다양체다.

정의 
준 리만 다양체 가 주어졌을 때, 그 리치 곡률 을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)차 텐서장이다. 만약 다음 조건을 만족시키는 상수 가 존재한다면, 를 아인슈타인 다양체라고 한다.

여기서 물론 이다.
즉, 만약 리치 곡률 텐서에서 대각합 성분을 제거한 텐서

를 정의한다면, 다양체가 아인슈타인 다양체일 필요 충분 조건은 무대각합 리치 곡률 텐서가 0인 것이다.

켈러 다양체나 사사키 다양체가 위 조건을 만족시키는 경우, 켈러-아인슈타인 다양체 또는 사사키-아인슈타인 다양체라고 부른다.

성질

매끄러움 
임의의 리만 다양체 에서, 국소적으로 조화 좌표계를 사용할 수 있다. 즉, 좌표 함수 에 대하여

이다. (여기서 는 라플라스-벨트라미 연산자이다.) 이 좌표계에서 진공 아인슈타인 방정식은

의 꼴이며, 는 와 에 대한 2차 형식이다. 리만 계량이 양의 정부호라면, 이는 타원형 편미분 방정식이므로, 그 해는 매끄러운 함수이다.

호몰로지 
임의의 콤팩트 아인슈타인 리만 다양체에 대하여, 다음과 같은 성질이 성립한다.
 오일러 지표가 음수가 아니다. 구체적으로, 2차 특이 호몰로지의 교차 형식의 부호수가 이며, 오일러 지표가 라면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

응용 
일반 상대성 이론에서, 시공간의 차원이 3 이상일 때, 우주 상수 를 가진 진공 해는 아인슈타인 다양체에 해당한다. 물질의 에너지-운동량 텐서가 0인 경우, 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.

따라서

임을 알 수 있다. 여기서  (시공간의 차원)이다. 즉, 인 경우, 일반 상대성 이론에서의 진공은 인 준 리만 아인슈타인 다양체를 이룬다.

예 
모든 1차원 준 리만 다양체는 (리치 곡률 텐서가 0이므로) 아인슈타인 다양체이다. 모든 2차원 준 리만 다양체는 아인슈타인 다양체이다. 이 경우, 는 가우스 곡률이다.

초구와 평면, 쌍곡공간 모두 아인슈타인 다양체다. 마찬가지로, 로런츠 계량 부호수에서는 더 시터르 공간과 민코프스키 공간, 반 더 시터르 공간 모두 아인슈타인 다양체다.

푸비니-슈투디 계량을 갖춘 복소수 사영 공간은 아인슈타인 다양체다. 모든 사원수 켈러 다양체는 아인슈타인 다양체다. 또한, 칼라비-야우 다양체나 초켈러 다양체는 (리치 곡률이 0이므로) 인 아인슈타인 다양체다.

반례 
다음과 같은 다양체 위에는 임의의 양의 정부호 리만 계량을 주더라도 아인슈타인 다양체로 만들 수 없다.
 
 
  (두 4차원 원환면의 연결합)
 ,

참고 문헌

외부 링크 
 

리만 다양체
알베르트 아인슈타인
수리물리학