준자유 전자 모형

응집물질물리학에서 준자유 전자 모형(準自由電子模型, )은 결정 격자를 자유 전자가 거의 자유롭게 통과한다는 가정 아래 결정의 띠구조를 다루는 모형이다.

전개 
준자유 전자 모형은 전자의 위치 에너지 이 그 운동 에너지 보다 매우 작다고 가정하여, 위치 에너지를 섭동항으로 다루는 모형이다. 전자 사이의 상호작용은 고려하지 않는다.

중심 방정식 
전자의 파동 함수와 위치 에너지를 다음과 같이 푸리에 변환하여 정의하자.

.
여기서 는 모든 역격자 벡터 에 대한 합이다. 위치 에너지는 실수이어야 하므로

이다. 은 위치에 관계없는 값이므로 임의로 으로 놓는다.

이 변수로 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 은 전자의 질량이고, 는 전자의 총 에너지이다. 이를 중심 방정식()이라고 한다.

섭동 이론 
준자유 전자 모형에서는 위치 에너지가 매우 작다고 가정하므로, 가  보다 매우 작다고 가정하고 섭동 이론을 사용할 수 있다.

0차 섭동 이론에서는 을 놓는다. 그렇다면 자유 전자 모형과 같은 분산 관계를 얻는다.
.
1차 섭동 이론에서는 에 대하여 1차로 비례하는 항을 남긴다. 대부분의 경우에는 에너지의 1차 섭동은 0이다. 하지만 브래그 평면(역격자 벡터를 이등분하는 평면)에서는 섭동이 있을 수 있다. 파수 가 역격자 벡터 의 브래그 평면 위에 있다고 하자. 즉,

이라고 하자. 그렇다면

이므로, 와  사이에 에너지 겹침이 생긴다. 그렇다면 에너지 1차 섭동 은 다음 행렬의 고윳값이고, 에너지 고유 상태는 다음 행렬의 고유벡터이다.

즉, 에너지 1차 섭동은 다음과 같다.

따라서 띠틈이 임을 알 수 있다.

보다 일반적으로, 여러 브래그 평면의 교차점에서는 더 많은 겹침이 있을 수 있다. 예를 들어, 두 개의 브래그 평면 , 이 겹치는 지점의 경우, 에너지 1차 섭동은 다음 행렬의 고윳값이다.

참고 문헌

같이 보기 
 자유 전자 모형

띠 이론