보렐 합

수학에서 보렐 합(Borel合, )은 발산하는 급수의 합을 계산하는 한 방법이다.

정의 
다음과 같은 급수

가 있다고 하자. 이 급수의 약한 보렐 합()은 다음과 같다.

약한 보렐 합이 존재하는 급수를 약하게 보렐 가합 급수()라고 한다.

보다 더 강력한 합을 정의하려면, 급수의 보렐 변환()을 다음과 같이 정의하자.

만약 보렐 변환 가 충분히 작은 에 대하여 수렴하고, 이를 모든 양의 실수값으로 해석적 연속할 수 있다면, 의 보렐 합은 다음과 같다.

보렐 합이 존재하는 급수를 보렐 가합 급수()라고 한다.

유도 
보렐 합은 다음과 같이 "유도"할 수 있다. 우선, 모든 음이 아닌 정수 에 대하여 다음이 성립한다.

따라서, 급수에 이 적분을 삽입한 뒤, 적분과 합의 순서를 바꾸자.

급수가 수렴한다면 적분과 합의 순서를 바꿀 수 있고, 따라서 보렐 합이 급수의 합과 같게 된다.

성질 
보렐 합은 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
 수렴하는 급수의 경우 보렐 합과 약한 보렐 합이 존재하며, 이는 통상적인 합과 같다.
 모든 약하게 보렐 가합 급수는 보렐 가합 급수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

예 
기하급수 는 이면 수렴하나 그 밖에서는 발산한다. 이 급수의 보렐 변환은

이다. 따라서 기하급수의 보렐 합은

이며, 이는 인 경우 수렴한다. 즉, 수열이 수렴하는 범위가 더 넓어진다.

역사 
에밀 보렐이 1899년 도입하였다. 여기에 대하여 다음과 같은 일화가 전해진다.

같이 보기 
 아벨 극한 정리

참고 문헌

외부 링크 

급수
총합법
양자색역학