렙셰츠 수

일반위상수학에서 렙셰츠 수(Лефшец數, )는 콤팩트 공간 위의 연속 자기 함수의 호모토피류에 대응되는 유리수 값의 불변량이다. 렙셰츠 수가 0이 아닌 경우, 렙셰츠 고정점 정리(Лефшец固定點定理, )에 따르면 함수는 고정점을 갖는다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 위상 공간 . 또한, 그 모든 베티 수와 코호몰로지 차원이 유한하다고 하자.
 연속 함수 
그렇다면, 에 의하여 특이 코호몰로지에 대한 군 준동형이 유도된다.

특히, 유리수 계수를 취하면, 다음과 같은 유리수 선형 변환을 얻는다.

의 렙셰츠 수 는 다음과 같은 대각합들의 합인 유리수이다.

성질 
렙셰츠 고정점 정리에 따르면, 만약
 가 콤팩트 단체 복합체이며,
 이라면,
는 고정점을 갖는다. 즉, 인 가 존재한다.

그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다.

렙셰츠-호프 정리 
만약
 가 차원 콤팩트 다양체이며,
 가 오직 유한 개의 고정점을 갖는다고 하자.
의 고정점들의 집합을 라고 하자. 에 대하여, 항상 다음 조건들을 만족시키는 두 근방 , 을 찾을 수 있다.
 와 는 차원 열린 공과 위상 동형이다.
 이다.
 
 
로 가정할 수 있다. 이 경우, 다음 함수

를 생각하자. 정의역과 공역 둘 다 초구 와 동치이므로, 호모토피류 를 정의할 수 있다. 에 임의의 방향을 주었을 때, 의 브라우어르 차수 를 정의할 수 있다.

렙셰츠-호프 정리()에 따르면, 다음이 성립한다.

특히, 이 경우 렙셰츠 수는 항상 정수임을 알 수 있다.

예 
만약 가 항등 함수라면 그 렙셰츠 수는 의 오일러 지표이다.

렙셰츠 정리의 역에 대한 반례 
원  위의 항등 함수 를 생각하자. 이는 물론 연속 함수이며, 무한히 많은 고정점을 갖는다. 그러나 임의의 에 대하여 는 항등 함수와 호모토픽하지만 고정점을 갖지 않는다. 즉, 고정점을 갖는지 여부는 호모토피 불변량이 아니며, 이 호모토피류의 렙셰츠 수는 0이다.

역사 
솔로몬 렙셰츠가 도입하였다. 렙셰츠-호프 정리는 하인츠 호프가 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

대수적 위상수학
고정점 정리
대수적 위상수학 정리
연속 함수