카탈랑의 다면체

수학에서, 카탈랑의 다면체 또는 아르키메데스 쌍대는 아르키메데스의 다면체의 쌍대다면체이다. 카탈랑의 다면체는 1865년에 처음으로 기술한 벨기에수학자 외젠 샤를 카탈랑의 이름을 따 왔다.

카탈랑의 다면체는 모두 볼록이다. 또한 면추이지만 점추이는 아니다. 그 이유는 쌍대인 아르키메데스의 다면체가 점추이지만 면추이는 아니기 때문이다. 정다면체와 아르키메데스의 다면체와 다르게 카탈랑의 다면체의 면은 정다각형이 아니다. 하지만 카탈랑의 다면체의 꼭짓점 도형은 정다각형이고, 이면각이 모두 균일하다. 카탈랑의 다면체는 면추이이기 때문에 등방체이다.

게다가 카탈랑의 다면체 중 둘은 변추이이다:마름모십이면체와 마름모삼십면체이다. 이것은 두 준정다면체의 쌍대이다.

각기둥과 엇각기둥을 아르키메데스 다면체로 보지 않는 것과 같이, 쌍각뿔과 엇쌍각뿔은 면추이임에도 불구하고 카탈랑의 다면체로 보지 않는다.

카탈랑의 다면체 중 두개는 카이랄상을 가지고 있다: 다듬은 정육면체와 다듬은 정십이면체의 쌍대인 오각이십사면체와 오각육십면체이다. 이것은 각각 거울상을 만든다. 거울상과 겹각뿔, 엇겹각뿔을 제외하면 카탈랑의 다면체는 총 13개가 있다.

대칭성 
카탈랑의 다면체에서, 쌍대인 아르키메데스의 다면체를 따라 대칭성으로 묶을 수 있다: 정사면체, 정팔면체 그리고 정이십면체. 각 그룹마다 6가지 형태가 있다. 자기쌍대인 정사면체 그룹은 유일하게 3가지가 있고 나머지 둘은 정팔면체 그룹과 같다

목록

같이 보기 
 고른 타일링의 목록
 콘웨이 다면체 표기법
 아르키메데스의 다면체
 존슨의 다면체

참조 
 외젠 샤를 카탈랑 Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
 Alan Holden Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991.
  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals)
  (Section 3-9)
  Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

외부 링크 

 
 
 
 Archimedean duals – at Virtual Reality Polyhedra
 Interactive Catalan Solid in Java

카탈란의 다면체
다면체