W-대수

수학과 등각 장론에서 W-대수(W-代數, )는 2차원 등각 장론의 무질량 고차 스핀 정칙장에 의해 생성되는 대칭이다. 비라소로 대수를 일반화한다.

정의

스핀 2 
스핀 2의 W-대수 는 비라소로 대수라고 한다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 에 의해 생성되며, 비라소로 대수를 정의하는 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

여기서 는 비라소로 대수의 중심 원소이다. 이를 수로 간주하면, 이는 등각 장론의 중심 전하가 된다.

스핀 3 
스핀 3의 W-대수 는 알렉산드르 자몰롯치코프가 1985년에 발견하였다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 (에너지-운동량 텐서)과 스핀 3의 정칙 1차장 를 가지며, 이들 사이의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

여기서 는 다음과 같이 정의되는 스핀-4 연산자이다.

여기서 는 표준 순서를 나타낸다.

에 대해서도 일련의 유니터리 최소 모형을 정의할 수 있으며, 이들의 중심 전하는 다음과 같다.

특히, 인 경우()는 임계 3상태 포츠 모형으로, 이는 인 비라소로 최소 모형과 같다.

일반적인 스핀 
일반적으로, 모든 에 대하여, 스핀-N W-대수 이 존재한다. 이 경우 구체적인 연산자 곱 전개는 매우 복잡하다.

W-대수 은 총 개의 정칙 연산자들 을 포함한다. 이들의 스핀은 각각 이며, 와 는 1차 연산자이지만 는 준1차(quasiprimary) 연산자이다. 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같은 꼴이다.

여기서, 마지막 두 공식에서는 상수 계수나  및  등을 생략하였다.

무한 스핀 W-대수 
유한한 에 대한  말고도, 2 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 와, 1 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 가 존재한다.

참고 문헌 

 
 

등각 장론
적분가능계