아인슈타인-힐베르트 작용

일반 상대성 이론에서 아인슈타인-힐베르트 작용(Einstein-Hilbert作用, )은 아인슈타인 방정식을 오일러-라그랑주 방정식으로 가지는 작용이다. 스칼라 곡률의 시공간에 대한 적분이다. 알베르트 아인슈타인과 다비트 힐베르트가 발견하였다.

정의 
아인슈타인-힐베르트 작용 는 다음과 같다.
.
여기서 은 스칼라 곡률이고, 이다. 여기서 는 중력 상수다.

필요하면 우주 상수를 더하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
.

장 방정식 유도
이론의 완전한 작용이  아인슈타인–힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 다음 항이 더해진 것으로 주어졌다고 하자: 

그러면 최소 작용 원리는 물리법칙을 유지하기 위해선 이 작용의 역 계량에 대한 변분이 영이 되어야 함을 시사한다.

이 방정식은 임의의 변분에 대해 성립해야 하므로 , 이는

가 운동 방정식임을 보여준다.
오른쪽 항은 에너지 스트레스 텐서에 비례한다.,

왼쪽 항을 계산하기 위해 우리는 리치 스칼라 의 변분과 계량의 행렬식이 필요하다. 이는 다음과 같은 교재에 잘 나와 있다..

리만 텐서, 리치 텐서, 리치 스칼라의 변분
리치 스칼라의 변분을 계산하기 위해 먼저 리만 곡률 텐서와 리치 텐서의 변분을 계산한다. 리만 곡률 텐서는 다음과 같다:

리만 곡률 텐서는 오직 레비치비타 접속 에 대해서만 달라지므로, 리만 텐서의 변분은 다음과 같이 계산된다:

이제,  가 두 접속의 차이이므로, 이는 텐서이며 이의 공변미분은

이제, 리만 곡률 텐서의 변분의 표현은 다음 두 항의 차이와 같음을 볼 수 있다:

리치 텐서에 대해서는 간단히 두 리만 텐서의 변분의 인덱스를 빼고 팔라티니 항등식을 얻는다:

리치 스칼라는 다음과 같이 정의된다:

그러므로, 이의 역 계량에 대한 변분 은

으로 주어진다.

두번째 줄에서 the metric compatibility of the covariant derivative, 과,  리치 곡률에 대해 앞서 얻었던 결과를 썼다.

참고 문헌 
 
 Hilbert, D. (1915)  Die Grundlagen der Physik (German original for free) (English translation for $25), Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407

일반 상대성이론
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