애니온

통계역학에서 애니온()은 2+1차원 계에서 나타나는, 보손도 아니고 페르미온도 아닌 입자이다.

정의 
스핀-통계 정리는 4차원 이상 민코프스키 공간에서만 성립하고, 3차원 이하에서는 성립하지 않는다. 그 이유는 3차원에서는 로런츠 군 이 무한한 크기의 기본군을 갖기 때문이다. 즉, 인 경우

이므로, 그 범피복 공간

의 표현은 에 따라 보손과 페르미온으로 나뉜다. 반면 인 경우

이며, 스핀-통계 정리가 성립하지 않는다.

3차원 시공간에서 n개의 점입자들은 일반적으로 꼬임군

의 표현을 따른다. 이 경우, 보손은 의 작용에 대해 자명한 표현을 따르는 입자이고, 페르미온은 군 준동형

의 상

에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이다. (즉, 입자의 교환에 따라 이 곱해진다.)

아벨 애니온 통계 
아벨 애니온()은 상

에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이며, 위상 에 의해 정의된다. 즉, 두 입자를 교환했을 때

를 따른다. 여기서 이면 보손, 이면 페르미온이 된다.

아벨 애니온은 꼬임군 의 복소수 1차원 표현에 대응한다. 즉, 군 준동형

에 대응한다. 원군 은 아벨 군이므로, 이는 의 아벨화를 거친다.

꼬임군의 아벨화는 무한 순환군 이다. 구체적으로, 꼬임군의 표시

에 대하여,

이다. 준동형 은 물론 임의의 복소수 에 따라 분류된다.

꼬임 통계 
비아벨 애니온()은 꼬임군 의 일반적인 고차원 표현을 따르는 입자이며, 이러한 입자가 따르는 통계를 꼬임 통계()라고 한다.

파라 통계 
비아벨 애니온 가운데, 표현이 대칭군 을 거치는 것을 파라 통계()라고 한다.

파라 통계는 어떤 정수 에 의하여 정의되며, 이를 파라 통계의 차수()라고 한다. 파라 보손()의 경우, 대칭군의 표현은 영 타블로 가운데 개 이하의 행을 갖는 것들의 직합이며, 파라 페르미온()의 경우 대칭군의 표현은 영 타블로 가운데 개 이하의 열을 갖는 것들의 직합이다. 만약 를 취한다면, 맥스웰-볼츠만 통계를 얻는다. 즉, 모든 입자를 서로 구별할 수 있다.

파라 보손 · 페르미온은 고차원에서도 정의될 수 있지만, 이는 3+1차원 이상의 입자에 대해서는 클라인 변환()을 통하여 일반 보손 · 페르미온으로 나타낼 수 있다.

구체적으로, 파라 보손 장 는 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

마찬가지로, 파라 페르미온 장 는 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

예

분수 양자 홀 효과 
아벨 애니온의 간단한 예는 자기 선속 와 결합한, 전하 를 갖는 입자이다. 이러한 두 개의 합성 입자를 서로 교환하면, 자기 선속에 의하여 위상

이 발생한다. 이러한 현상은 분수 양자 홀 효과를 일으킨다.

2차원 등각 장론 
2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다.
2차원 등각 장론에서, 국소 연산자의 상관 함수는 다음과 같이 등각 블록()에 의하여 전개된다.

가능한 등각 블록들은 복소수 벡터 공간을 이루며, 유리 등각 장론()의 경우 이는 유한 차원이다.

이 경우, 만약 개의 국소 연산자들의 순서를 뒤섞는다면 모노드로미가 존재하며, 이는 등각 블록들의 공간에 선형 작용소로 표현된다. 이러한 행렬들을 꼬임 행렬() 라고 하며, 이는 꼬임군의 표현을 정의한다. 이에 따라, 2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다.

역사 
1953년에 허버트 시드니 그린()이 파라 입자의 가능성을 지적하였다.

1977년에 욘 망네 레이노스()와 얀 뮈르헤임()이 2차원 유클리드 공간 이론에서 (아벨) 애니온이 가능함을 지적하였다. 1982년에 프랭크 윌첵이 이들이 분수 양자 홀 효과에 등장함을 보였고, "애니온"이라는 이름을 붙였다. 여기서 "애니온"()은 (어떤 ~에도 상관없이, 임의의) + (입자를 나타내는 접미사)에서 왔고, 아벨 애니온이 2입자를 치환할 때 임의의 위상이 더해질 수 있다는 것에서 유래하였다.

비아벨 애니온은 1988년에 위르크 프뢸리히()와 피에르 알베르토 마르케티()가 도입하였다.

각주

참고 문헌

외부 링크 
 
 

통계역학
양자장론