힐베르트 다항식

대수기하학에서 힐베르트 다항식(Hilbert多項式, )은 대수다양체의 함수 대수의 모양을 담고 있는, 생성함수의 일종이다.

정의

힐베르트 급수와 힐베르트 함수 
체  위의 등급 벡터 공간 가 주어졌다고 하고, 각 등급의 차원이 유한하다고 하자.

의 힐베르트 급수(Hilbert級數, ) 또는 힐베르트-푸앵카레 급수(Hilbert-Poincaré級數, )는 다음과 같은 형식적 멱급수이다.

의 힐베르트 함수(Hilbert函數, )는 다음과 같은, 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 함수이다.

힐베르트 다항식 
만약 다음 조건을 만족시키는 다항식  및 자연수 가 존재한다면, 이를 의 힐베르트 다항식이라고 한다.

위 조건을 만족시키는 최소의 를 의 힐베르트 정칙성(Hilbert正則性, )이라고 한다.

성질

가법성 
힐베르트 다항식과 힐베르트 급수는 짧은 완전열에 대하여 가법적이다. 즉, 체  위의 세 개의 유한 생성 등급 가환 결합 대수 , , 가 주어졌고, 이들이 등급 -가군의 짧은 완전열

을 이룬다면, 다음이 성립한다.

이는 짧은 완전열에서 (등급) 벡터 공간의 차원이 가법적이기 때문이다.

힐베르트-세르 정리 
가 단순히 등급 벡터 공간이 아니라, 유한 생성 등급 가환 단위 결합 대수라고 하자. 힐베르트-세르 정리()에 따르면, 는 항상 힐베르트 다항식을 갖는다.

구체적으로, 생성원들이 라고 하자. 그렇다면 힐베르트 급수는 다음과 같은 꼴을 취한다. 여기서 는 양의 정수 계수의 다항식이다.

만약 모든 생성원의 등급이 1일 경우, 이는 다음과 같다.

따라서,

이다. 이는 에 대한 다항식이므로,

로 놓으면

이다. 즉, 등급이 1인 유한 개의 생성원들로 생성되는 등급 가환 단위 결합 대수의 경우 힐베르트 다항식이 항상 존재하며, 이 경우 힐베르트 정칙성은  이하이다.

보다 일반적으로, 생성원들의 등급이 1이 아닐 경우에도 마찬가지 논리로 힐베르트 다항식이 존재한다.

응용 
대수기하학에서, 힐베르트 다항식은 다양하게 응용된다.

사영 대수다양체 
대수적으로 닫힌 체  위의 차원 사영 공간

은 다항식 등급환 의 사영 스펙트럼이며, 그 속의 사영 대수다양체 는 동차 아이디얼 에 의하여 정의된다. 이 경우, 사영 대수다양체

의 동차 좌표환 의 힐베르트 다항식 는 사영 대수다양체의 기하학적 성질과 다음과 같이 대응한다.
 의 (다항식으로서의) 차수는 의 차원과 같다.
 의 최고차항의 계수는 의 (대수다양체로서의) 차수와 의 차원의 계승의 비이다.

리만-로흐 문제 
대수적으로 닫힌 체  위의 비특이 대수다양체  위에 선다발 이 주어졌다고 하자. 이 경우, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라,

이며, 은 차수 의 유리수 계수 다항식이다. 만약 이 매우 풍부한 선다발이라면, 충분히 큰 에 대하여 이며, 또한 사영 공간으로의 매장

이 존재한다. 은 이 매장에 대한 힐베르트 다항식을 이룬다.

이에 따라서, 힐베르트 다항식의 0에서의 값은 의 오일러 지표가 된다.

보다 일반적으로, 만약 이 풍부한 선다발이라면, 여전히 은 다항식을 이루며, 이를 힐베르트 다항식으로 여길 수 있다.

힐베르트-사뮈엘 함수 
뇌터 가환 국소환 의 유한 생성 가군  및 의 으뜸 아이디얼 가 주어졌을 때, 등급 -가군

을 정의하자. (여기서 로 정의한다.) 이 경우, -가군을 가군의 길이로 측정한다면, 힐베르트-사뮈엘 함수()

를 정의할 수 있다. 이에 대하여 항상 힐베르트 다항식이 존재함을 보일 수 있으며, 이 힐베르트 다항식을 힐베르트-사뮈엘 다항식()이라고 한다.

힐베르트-사뮈엘 다항식 의 차수는 의 크룰 차원보다 1만큼 작다.

예

사영 공간 
사영 공간의 힐베르트 다항식은 다음과 같다. 다항식환

에서, 힐베르트 함수는 다음과 같다.

따라서, 힐베르트 다항식은 이와 같다.

대수기하학적으로, 사영 공간을 스스로에 매장된 사영 대수다양체로 여긴다면, 이는 차원의 1차 사영 대수다양체임을 알 수 있다.

여차원 1의 초곡면 
다항식환

속에서, 차 동차다항식 로 생성되는 동차 아이디얼 에 대한 몫등급환 의 힐베르트 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다. 짧은 완전열

으로 인하여, 힐베르트 함수 및 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

이를 대수기하학적으로 해석하면 차 동차다항식의 영점 집합은 차원 사영 공간 속에서 차원 차 사영 대수다양체를 정의한다.

대수 곡선 
종수 의 비특이 대수 곡선  위의 매우 풍부한 선다발 을 통하여, 를 사영 공간에 매장하였다고 하자.

이 경우, 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

여기서 은 을 정의하는 인자의 차수이다. 즉, 대수 곡선의 차수는 그 위의 인자의 차수와 일치한다.

대수 곡면 
산술 종수 의 대수 곡면  위에, 매우 풍부한 선다발 이 주어졌다고 하고, 이에 대응하는 베유 인자가 라고 하자. 그렇다면 이에 대한 단면으로서 사영 공간으로의 매장

이 유도되며, 이에 대한 힐베르트 다항식은 곡면 리만-로흐 정리에 따라서 다음과 같다.

여기서 는 의 표준 인자이다. 즉, 이 경우 매장의 차수는 자기 교차수 이며, 힐베르트 다항식의 1차 계수는 과 표준 인자의 교차수의 절반이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

가환대수학
다항식
대수기하학