비가환 원환면

비가환 기하학에서 비가환 원환면(非可換圓環面, )은 C* 대수의 하나다. (가환) 원환면 위에 존재하는 연속 함수들의 C* 대수를 일반화한 것이다.

정의

추상적 정의 
단위원을 갖는 복소수 C* 대수의 범주에서 집합으로 가는 망각 함자를 생각하자.

이는 왼쪽 수반 함자

를 가지며, 이를 통해 자유 C* 대수를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 부분 집합이 주어졌을 때, 이를 포함하는 C*-아이디얼을 정의할 수 있으며, 이에 대한 몫은 주어진 생성원과 관계로 생성되는 자유 C* 대수이다.

이제, 개의 생성원 으로 생성되는 자유 C* 대수 을 생각하자. 반대칭  실수 행렬

가 주어졌을 때, 다음과 같은 원소로 정의되는 C* 아이디얼 를 생각하자.

이에 대한 몫인 C* 대수

를 로 정의되는 차원 비가환 원환면()이라고 한다.

만약 일 경우, 이는 가환 C* 대수이며, 이는 차원 원환면 위의 복소수 값 연속 함수의 C* 대수와 동형이다. 원환면의 좌표가

일 경우 이 대응은 다음과 같이 고를 수 있다.

기하학적 정의 
무리수 가 주어졌다고 하자. 이제, 원  위의 복소수 값 제곱 적분 가능 함수의 르베그 공간

를 생각하자. 그 위의 다음과 같은 두 유계 작용소를 정의할 수 있다.

즉, 이들은 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

그렇다면, 유계 작용소의 C* 대수  속에서, 와 로 생성되는 부분 C* 대수를 생각할 수 있다. 이는 사실 관계 에 의하여 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 C* 대수이다. 이를 2차원 비가환 원환면 라고 한다.

성질 
두 비가환 원환면 와 는 다음과 같을 경우 서로 동형(isomorphic)이다.
 또는 

두 비가환 원환면 와 는 다음과 같을 경우 서로 강하게 모리타 동치(strongly Morita equivalent)이다.

여기서

이다. 즉, 비가환 원환면의 모리타 동치는 모듈러 군 SL(2,ℤ)를 따른다. 이는 M이론으로 설명할 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 

연산자 이론
비가환 기하학