인과 구조

일반 상대성이론에서 인과 구조(因果構造, )는 시공간의 점들 사이에, 상대성이론에 따라 어떤 점이 다른 어떤 점에 물리적으로 영향을 줄 수 있는지에 대한 관계를 나타낸다.

정의 
로런츠 다양체 가 주어졌다고 하고, 계량 부호수를 −+++로 잡자.

벡터의 분류 
어떤 점 에서의 벡터 는 다음과 같이 분류된다.
 만약 이라면 를 시간꼴()이라고 한다.
 만약 이라면 를 영벡터()라고 한다.
 만약 이라면 를 공간꼴()이라고 한다.
시간꼴/영/공간꼴 벡터장은 모든 점에서 시간꼴/영벡터/공간꼴인 벡터장이다. 인과 벡터장()은 모든 점에서 시간꼴이거나 영벡터인 벡터장이다.

만약 어떤 곡선 의 접벡터 가 항상 시간꼴이라면, 이를 시간꼴 곡선이라고 한다. 마찬가지로 영벡터 곡선이나 공간꼴 곡선도 정의할 수 있다. 인과적 곡선()은 모든 점에서 접벡터가 영벡터이거나 시간꼴인 곡선이다.

시간 방향 
점 에서, 시간꼴 벡터 들의 집합에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

이에 따라, 에서의 모든 시간꼴 벡터들은 두 동치류로 분류할 수 있다. 에서의 시간 방향은 이 둘 가운데 하나를 선택한 것이며, 선택된 방향을 미래 방향, 선택되지 않은 방향을 과거 방향이라고 한다.

만약 로런츠 다양체  전체에 시간 방향을 연속적으로 줄 수 있다면 을 시간 가향()하다고 한다.

미래 방향 시간꼴 벡터장()은 모든 점에서 미래 방향 벡터 값을 갖는 시간꼴 벡터장이다. 마찬가지로, 과거 방향 시간꼴 벡터장()은 모든 점에서 과거 방향 벡터 값을 갖는 시간꼴 벡터장이다.

인과 관계 
두 점  사이에 다음과 같은 관계를 정의할 수 있다.
 만약 에서 로 가는 미래 방향 시간꼴 곡선이 존재한다면 가 보다 시간 순으로 선행한다()고 하고, 라고 쓴다.
 만약 에서 로 가는 미래 방향 인과 곡선이 존재한다면 가 보다 인과적으로 선행한다()고 하고, 라고 쓴다.
마찬가지로, 그 반대 개념인 시간 순 후행 () 및 인과적 후행()도 정의할 수 있다.

이들은 추이법칙을 만족시킨다. 즉

또한, 인과적 선행은 시간 순 선행보다 더 약한 개념이다.

시간순/인과적 선행을 사용하여, 다음과 같은 미래 및 과거 개념을 정의할 수 있다.
 점 의 시간 순 미래 는 보다 시간 순으로 후행하는 점들의 집합이다.

 점 의 시간 순 과거 는 보다 시간 순으로 선행하는 점들의 집합이다.

 점 의 인과적 미래 는 보다 인과적으로 후행하는 점들의 집합이다.

 점 의 인과적 과거 는 보다 인과적으로 선행하는 점들의 집합이다.

점근적 과거와 미래 
시공간 를 등각 콤팩트화 할 수 있다고 하자. 즉,

이다. 이 경우
 의 미래 시간꼴 무한() 는 에서 시작하는 시간꼴 곡선들의 미래 방향 끝점들의 집합이다.
 의 과거 시간꼴 무한() 는 에서 끝나는 시간꼴 곡선들의 과거 방향 끝점들의 집합이다.
 의 공간꼴 무한() 은 에서 시작하는 공간꼴 곡선들의 끝점들의 집합이다.
 의 미래 영벡터 무한() 은 에서 시작하는 영벡터 곡선들의 미래 방향 끝점의 집합이다. 이는 보통 "스크라이 플러스"로 발음하는데, 이는 LaTeX 매크로 {\scr I}^+에서 유래한다.
 의 과거 영벡터 무한() 은 에서 끝나는 영벡터 곡선들의 과거 방향 끝점의 집합이다. 이는 보통 "스크라이 마이너스"로 발음하는데, 이는 LaTeX 매크로 {\scr I}^-에서 유래한다.

참고 문헌 
 
 
 

일반 상대성이론
미분기하학