군 코호몰로지

군론에서 군 코호몰로지(群cohomology, )와 군 호몰로지(群homology, )는 군 위에 정의되는 코호몰로지 · 호몰로지 이론이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 군 . 이로부터 군환 를 정의할 수 있다.
 -왼쪽 가군 

임의의 자연수 에 대하여, 의 계수 차 군 호몰로지  및 의 계수 차 군 코호몰로지 는 각각 아벨 군이다. 이들은 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.
 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자 및 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수 있다.
 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 특별한 Ext 함자 및 Tor 함자로서 정의될 수 있다.
 군 (코)호몰로지는 구체적인 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로서 정의될 수 있다.

유도 함자를 통한 정의 
군 코호몰로지는 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의될 수 있다.

구체적으로, 군 가 주어졌다고 하자. 의 왼쪽 가군들의 범주 는 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.

다음과 같은 함자를 정의하자.

즉, 이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.

는 왼쪽 완전 함자이다. 그 번째 오른쪽 유도 함자를 의 차 군 코호몰로지라고 한다.

마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자.

여기서

이다. 즉, 는 의 쌍대 불변량()으로 구성된다.

는 오른쪽 완전 함자이다. 그 번째 왼쪽 유도 함자를 의 차 군 호몰로지라고 한다.

Ext와 Tor를 통한 정의 
군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.

구체적으로, 군  및 -왼쪽 가군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 를 자명한 -왼쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의  및 에 대하여 이다.) 그렇다면, -왼쪽 가군의 범주 에서 Ext 함자를 취할 수 있다. 의  계수의 군 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.

마찬가지로, 를 자명한 -오른쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의  및 에 대하여 이다.) 그렇다면, 오른쪽 가군 와 왼쪽 가군  사이의 Tor 함자를 취할 수 있다.
의  계수의 군 호몰로지는 다음과 같은 Tor 함자이다.

군 코호몰로지의 구체적 정의 
가 군이고 이 -가군이라고 하자. 양의 정수 에 대하여, 차 공사슬(共사슬, )을  함수로 정의하고, 차 공사슬의 집합을 으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 은 군의 직접곱 이다.)

공경계 준동형(共境界準同形, ) 을 다음과 같이 정의하자.

이렇게 정의하면

임을 알 수 있다. 따라서 은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라

과 같이 코호몰로지 군 을 정의할 수 있다. 이를 계수를 가진 의 차 군 코호몰로지라고 한다.

군 호몰로지의 구체적 정의 
가 군이고 이 -왼쪽 가군이라고 하자.

양의 정수 에 대하여, 차 사슬()의 집합은

이다.

그 사이에 다음과 같은 경계 준동형(境界準同形, )을 정의하자.

그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.

(이는 막대 복합체 과 같다.)
그 호몰로지 군

을 계수를 가진 의 차 군 호몰로지라고 한다.

구체적 정의의 유도 
구체적 정의는 Ext · Tor를 사용한 정의로부터 다음과 같이 유도된다.

우선, 아벨 군의 아벨 범주 에서, -결합 대수 (즉, 환) 의 왼쪽 가군  및
오른쪽 가군 를 생각하자. 그렇다면, 물론

이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 막대 복합체를 생각하자.

그렇다면,

는 의 분해를 이룬다.

막대 복합체의 모든 성분들은 -사영 가군이므로, 막대 복합체 는 의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, Ext 함자 은 다음과 같은 공사슬 복합체의 코호몰로지로 얻어진다.

그런데 은 -자유 가군이므로, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

여기서 은 모든 함수 의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는 차 공사슬의 집합과 같다.

마찬가지로, Tor 함자 은 의 사영 분해 를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체

의 호몰로지로 계산된다.

그런데

이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는 차 사슬의 집합과 같다.

성질

낮은 차수의 군 (코)호몰로지 
군 코호몰로지의 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

마찬가지로, 군 호몰로지의 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

이에 따라, 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 다음과 같이 해석된다. (마지막 열은 의  위의 작용이 자명할 경우에 대한 특별한 해석이다.)

특히, 만약 의  위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다.

2차 군 코호몰로지 는 군 의 아벨 군 에 대한 확대들을 분류한다.

위상 코호몰로지와의 관계 
만약 의  위의 작용이 자명하다면, 군 호몰로지와 군 코호몰로지는 각각 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 의 특이 호몰로지 및 특이 코호몰로지와 동형이다.

증명:
의 분류 공간은 단체 집합 이다. 그 정수 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체

로 주어지며, 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체

으로 주어진다. 그런데 이는 군 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체와 같다.

마찬가지로, 분류 공간 의 계수 단체 코호몰로지는 공사슬 복합체
,
로 주어진다. 그런데 이는 의 계수 군 코호몰로지와 같다.
보다 일반적으로, 만약 의 작용이 자명하지 않다면, 은  위의 일종의 층 을 정의하며, 이 층의 층 (코)호몰로지는 의 계수 군 (코)호몰로지와 같다.

예

자유군 
개의 원소로 생성되는 자유군 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

순환군 
차 순환군 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

여기서 은 의 -꼬임 부분군이다.

이는 순환군의 분류 공간인 의 특이 호몰로지와 같다. 특히, 일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 의 특이 호몰로지이다.

자유 아벨 군 
차 자유 아벨 군 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

여기서 은 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군의 분류 공간인 원환면 의 특이 호몰로지와 같다.

참고 문헌

각주

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

군론
호몰로지 대수학
대수적 수론