거울 대칭

끈 이론과 수리물리학에서 거울 대칭(거울對稱, )은 서로 다른 두 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 초끈 이론이 서로 동치인 현상이다. T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

정의 
초끈 이론은 10차원에서 존재하는 이론이다. 4차원에서의 초대칭을 보존하려면 이론을 실수 6차원 (복소수 3차원) 콤팩트 연결 칼라비-야우 다양체에 축소화하여야 한다.

거울 대칭에 따르면, (거의) 모든 칼라비-야우 다양체 에 대하여, 이에 대응하는 공간 가 존재한다. 이들의 돌보 코호몰로지 는 다음 관계를 만족한다.
.
이에 따라, 에 축소화한 ⅡA형 초끈 이론은 에 축소화한 ⅡB형 초끈 이론과 동형이다. 이에 대한 대응 관계는 다음과 같다.

이 표에서 등장하는 호지 수들은 단일 연결 콤팩트 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체의 호지 수 가운데 자명하지 않은 두 수이다.

위 표에서, 추가로 등장하는 하이퍼 초다중항의 유래는 다음과 같다.
 ⅡA: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 (의 쌍대 스칼라장) + 3차 라몽-라몽 장 ,  
 ⅡB: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 (의 쌍대 스칼라장) + 2차 라몽-라몽 장 (의 쌍대 스칼라장) + 0차 라몽-라몽 장

2차원 게이지 선형 시그마 모형 

거울 대칭의 대표적인 예는 N=(2,2) 게이지 선형 시그마 모형이다. 게이지 선형 시그마 모형은 게이지 보손을 포함하는 초다중항()과 물질을 포함하는 손지기 초다중항(), 그리고 비틀린 손지기 초다중항()을 이루는 장세기()의 페예-일리오풀로스 항을 가진다. 거울 대칭은 손지기 초다중항과 비틀린 손지기 초다중항을 서로 맞바꾼다. 호리 겐타로()와 캄란 바파는 2차원 게이지 선형 시그마 모형에 대하여 거울 대칭을 증명하였다.

이에 따라, 과녁 공간이 2차원 구인 비선형 시그마 모형은 사인-고든 모형과 대응하고, 보다 일반적으로 과녁 공간이 복소 사영 공간인 비선형 시그마 모형은 아핀 도다 모형()에 대응한다.

일반적으로, 칼라비-야우 다양체 위의 2차원  초대칭 비선형 시그마 모형 (또는 란다우-긴즈부르크 모형)은 두 가지로 위상적 뒤틀림을 가해 위튼형 위상 양자장론을 이룰 수 있다. 이를 각각 A모형()과 B모형()이라고 한다. 거울 대칭은 A모형과 B모형을 관계짓는다. 이 때, 이 두 시그마 모형의 과녁 공간은 일반적으로 다르다. 즉, 거울 대칭은 서로 다른 칼라비-야우 다양체를 관계짓는다.

이들 위상 시그마 모형을 세계면 이론으로 하는 끈 이론을 위상 끈 이론이라고 한다. 거울 대칭은 위상 끈 이론으로 확장된다.

3차원 게이지 이론 

3차원  (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론에서도 일종의 거울 대칭이 존재한다. 이는 4차원  거울 대칭을 3차원으로 차원 축소한 경우이다.

스트로민저-야우-재슬로 가설 
스트로민저-야우-재슬로(SYZ) 가설()은 수학에서, 여러 가지 거울 대칭 가설의 형태들 가운데 하나이며, 거울 대칭 짝을 T-이중성으로 해석하는 가설이다. SYZ 가설에 따르면, 거울 대칭 짝을 가지는 모든 복소 n차원 칼라비-야우 다양체는 Tn (실수 n차원 원환면) 올화()를 가지며, 이 올들은 특수 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 거울 대칭쌍 는 같은 공간  위의 원환면 올다발 , 를 이루며, 임의의 올 에 대하여 와 는

의 관계를 가진다. 이는 n차원 원환면 올에 T-이중성을 가하는 것으로 해석할 수 있다.

SYZ 가설(보다 일반적으로, 거울 대칭 자체)은 임의의 칼라비-야우 다양체에 대하여 성립하지 않고, 오직 칼라비-야우 다양체의 족(family)의 특정한 극한에서만 성립한다. 이는 큰 복소 구조 극한()인데, 이는 부피를 고정시키고 복소 구조 모듈러스 공간의 경계로 극한을 취하는 것이다. 예를 들어, 복소 구조와 켈러 구조를 갖춘 실수2차원 원환면(타원 곡선) 의 경우, 원환면의 넓이를 고정시키며 복소 구조 의 극한 를 취하면 원환면은 길쭉하고 가는 직선으로 수렴하게 된다. 거울 대칭은 복소 구조와 켈러 구조를 맞바꾸므로, 큰 복소 구조 극한은 큰 부피 극한()에 대응한다.

물리학적으로, SYZ 가설은 IIB종 초끈 이론의 BPS D3-막의 모듈러스 공간을 사용하여 유도된다. D3-막이 BPS이려면, 막은 3차원 특수 라그랑주 부분 다양체를 이루어야 한다. 따라서, D3-막의 모듈러스 공간은 D3-막의 가능한 위치들의 공간 와, 주어진 위치에서 D3-막의 순수 게이지 윌슨 고리들의 공간으로 이루어진다. 후자는 수학적으로 평탄한 U(1) 접속들의 집합이며, D3-막의 모양이 라면 코호몰로지 에 의하여 주어진다. 에 축소화한 IIB종 초끈 이론의 D3-막은 거울 대칭을 통해 에 축소화한 IIA종 초끈 이론의 D0-막과 같아야 한다. 즉, 에서의 D3-막의 모듈러스 공간은 에서의 D0-막의 모듈러스 공간과 같아야 한다. 그러나 후자는 이다. 즉, 는 올다발  구조를 가지며, 그 올은 가 된다.

호몰로지 거울 대칭 
이 주제 또한 수학에서, 여러 가지 거울 대칭 가설의 형태들 가운데 하나이며, 막심 콘체비치는 호몰로지 대수학을 사용하여 거울 대칭을 수학적으로 엄밀하게 정의하였다. 이를 호몰로지 거울 대칭()

호몰로지 거울 대칭의 여러 특수한 경우가 증명되었다.
 타원곡선의 경우는 1998년에 증명되었다.
 4차 곡면(quartic surface)의 경우는 2003년에 증명되었다.
하지만 호몰로지 거울 대칭의 일반적인 증명은 아직 존재하지 않는다.

호몰로지 거울 대칭에 따르면, 거울 대칭 쌍  사이에 다음과 같은 관계가 존재한다.
의 연접층의 범주의 유도 범주(derived category) = 의 후카야 범주(Fukaya category)의 유도 범주
여기서 양변은 다음과 같다.
 후카야 범주는 특수 라그랑주 부분 다양체를 대상으로 하고, 플뢰어 사슬을 사상으로 하는 범주로, A-모형()을 나타낸다. 3차원 칼라비-야우의 경우, BPS(초대칭) D3-막은 특수 라그랑주 부분 다양체를 감는다.
 연접층의 범주는 B-모형()을 나타낸다.
이 A/B-모형은 위상 끈 이론의 두 종류로, 끈 이론의 위상수학적인 부분만을 나타내는 장난감 모형이다.

예

타원 곡선 
거울 대칭의 가장 기본적인 경우는 (복소) 타원 곡선이다. 타원 곡선 는 위상수학적으로 2차원 원환면이다. 그 복소구조의 모듈라이 공간은

이다. 여기서 는 열린 상반평면이며, 는 모듈러 군이다. 만약 타원 곡선 대신 방향이 주어진 타원 곡선을 고려하면, 모듈러 군의 두 생성원

가운데 만이 허용되고, 따라서 복소구조 모듈라이 공간은

이다.

반면, 그 켈러 구조는 켈러 형식 에 의하여 결정된다. 그 모듈라이 공간은 타원 곡선의 넓이

으로 나타낼 수 있다. (여기서 는 타원 곡선의 기본류이다.) 켈러 구조 에 끈 이론에서 등장하는 캘브-라몽 장 를 더하여 다음과 같은 복소화 켈러 구조() 를 생각할 수 있다.

복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간은 타원 곡선의 ‘복소화 넓이’에 의하여 분류된다.

즉, 복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간(복소화 켈러 뿔 )은 이다. 따라서 유향 타원 곡선의 복소 구조 모듈러스 공간과 복소화 켈러 구조 모듈러스 공간이 로 일치함을 알 수 있다.

물리학적으로, 한 타원 곡선 위에 축소화한 ⅡA종 초끈 이론이, 그 복소구조와 복소화 켈러 구조 모듈러스를 맞바꾼 타원 곡선 위에 축소화한 ⅡB종 초끈 이론과 동형이다. 이 경우의 거울 대칭은 단순히 T-이중성의 특수한 경우이다.

K3 곡면 
대표적인 예로, K3 곡면 위의 IIA종 끈 이론을 생각하자. K3 곡면의 모듈라이 공간은 총 58차원이다. 이 가운데 개는 켈러 모듈라이, 나머지 38개는 복소구조 모듈라이에 해당한다. 여기에, 캘브-라몽 장에 의하여

개의 모듈라이가 추가된다. 이 가운데 개의 모듈라이는 K3 곡면 켈러 모듈라이와 함께 복소수 20차원(실수 40차원)의 모듈러스를 이룬다. 나머지 40개의 모듈라이들은 (일반화) 복소구조 모듈라이로 간주한다. 이 밖에도, 딜라톤에 의한 하나의 모듈라이가 더 있다. 즉, 총 40+40+1=81개의 모듈라이가 존재한다.

거울 대칭은 40개의 (일반화) 복소구조 모듈라이를 40개의 (일반화) 켈러 구조 모듈라이와 맞바꾼다. 즉, K3 곡면에 축소화한 IIA종 끈 이론은, 복소구조와 켈러 구조 모듈라이를 맞바꾼 K3 곡면에 축소화한 ⅡA종 끈 이론과 동형이다. 딜라톤 모듈라이(끈 결합 상수)는 바뀌지 않는다.

사실, 이 이론은 4차원 원환면 위에 축소화한 잡종 끈 이론과 동치이다. 차원 원환면 위의 나레인 축소화의 모듈라이의 수는 (딜라톤 진공 기댓값 = 끈 결합 상수를 포함하면) 인데, 일 때 이는 ⅡA의 81개의 모듈라이와 대응된다.

역사 
거울 대칭은 1990년에 최초로 발견되었다. 1990년에 필립 칸델라스()와 모니카 링커(Monika Lynker), 롤프 심리크(Rolf Schimmrigk)는 4차원 끈 이론 축소화를 연구하기 위하여 가중 사영 공간 속의 3차원 칼라비-야우 다양체들을 컴퓨터를 사용하여 모두 계산하였는데, 이 경우 오일러 수 와 초다중항 수 를 그래프로 표시하였더니 그 그래프가 오일러 수의 부호 에 대하여 거의 대칭이 되는 기적적인 현상을 발견하였다. 거의 동시에, 이와 독자적으로 브라이언 그린 · 로넨 플레세르()와 폴 스티븐 애스핀월() · 카르스텐 안드레브 뤼트켄() · 그레이엄 갈런드 로스() 등은 거울 대칭이 되는 칼라비-야우 다양체의 쌍을 발견하였다. 

1994년에 막심 콘체비치는 거울 대칭의 일부분을 수학적으로 공리화한 호몰로지 거울 대칭을 제안하였다. 이후 1996년에 앤드루 스트로민저와 야우싱퉁, 에릭 재슬로()가 거울 대칭을 T-이중성의 특별한 경우로 해석하였다.

호몰로지 거울 대칭에 대한 공로로 콘체비치는 기본물리학상을 2012년에 수상하였다.

참고 문헌

외부 링크 
  (케임브리지 대학교 트리니티 칼리지 강의 슬라이드)
 

끈 이론
호몰로지 대수학
심플렉틱 기하학
수리물리학