운동량 사상

심플렉틱 기하학에서 운동량 사상(運動量寫像, , )은 심플렉틱 다양체 위의 군의 작용을 생성하는 해밀토니언이다. 해밀턴 역학에서의 운동량과 각운동량을 일반화한 것이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 심플렉틱 다양체 
 리 군 
 매끄러운 군 표현 가 주어졌다고 하자. 여기서 는 심플렉틱 자기 동형 사상(심플렉틱 형식 를 보존하는 미분 동형 )들의 군이다.

리 대수의 원소 에 대하여,  위에는 의 작용의 무한소 생성원인 다음과 같은 벡터장 가 존재한다.

여기서 는 리 지수 사상이다.
의 작용 의 운동량 사상 는 임의의 에 대하여 다음을 만족시키는 함수다.

이를 지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

여기서 는 접다발 의 지표이고, 는 리 대수 의 지표다.

성질 
심플렉틱 다양체  위의 리 군 의 작용의 운동량 사상 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의

에 대하여  역시 운동량 사상을 이룬다. 여기서 는 의 딸림표현의 쌍대 표현이며,

는 그 속의 불변 원소들의 집합(즉,  위의 무게의 집합, 또는  계수의 의 0차 리 대수 코호몰로지)이다.

심플렉틱 몫공간 
가 콤팩트 리 군일 경우, 부분 공간 은 의 작용에 대하여 불변이다. 이 경우 는 의 심플렉틱 구조를 물려받는다. 즉, 몫공간 는 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 심플렉틱 몫공간() 또는 마즈든-와인스타인 몫공간()이라고 하며, 라고 쓴다. 이 경우

이다.

물론, 0 대신 임의의 에 대하여 를 사용할 수도 있다.

특히, 이 추가로 켈러 다양체 를 이루며, 의 작용이 심플렉틱 구조  및 복소구조 를 보존한다고 하자. 그렇다면, 이에 해당하는 심플렉틱 몫공간

는 켈러 다양체이다.

초켈러 몫공간 
초켈러 다양체의 경우에도 몫공간을 정의할 수 있다. 초켈러 다양체 은 세 선형 독립 심플렉틱 구조  ()을 가진다. 군의 작용 이 세 개의 심플렉틱 구조를 모두 보존시킨다고 하자. 그렇다면 이에 대한 세 개의 서로 다른 운동량 사상 이 존재한다. 이들을 합쳐서

을 정의하자. 그렇다면

는 초켈러 다양체를 이룬다. 그 차원은

이다.

예 
가 1차원 아벨 리 군 이라고 하자. 그렇다면 는 해밀턴 벡터장() 를 생성시키는 해밀토니언이다.

복소수 사영 공간 
복소수 내적 공간 은 자명하게 켈러 다양체를 이룬다. 이 위에는 리 군 이 곱셈으로 작용하며, 이 가운데 심플렉틱 형식을 보존하는 것은 U(1) 부분군이다. 이에 대한 운동량 사상은 다음과 같다.

여기서 는 임의의 실수 상수이다.

이에 대하여 켈러 몫공간을 취하면, 일 때 복소수 사영 공간 을 얻으며, 그 위의 켈러 구조는 푸비니-슈투디 계량이다. 반대로, 일 경우는 공집합을 얻는다.

복소수 사영 공간의 접공간 
사원수 벡터 공간 은 자명하게 초켈러 다양체를 이룬다. 구체적으로, 이를 차원 복소수 내적 공간 에 대하여

로 적을 수 있다. 이 경우, U(1) 작용

에 대한 운동량 사상

를 취하면, 일 때

이다.  이 경우 초켈러 몫공간은  위의 사영 공간의 공변접다발 이다. 특히, 만약 가 2차원일 때, 이는 에구치-핸슨 공간이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

심플렉틱 기하학
해밀턴 역학