히르체브루흐-리만-로흐 정리

수학에서 히르체브루흐-리만-로흐 정리()는 리만-로흐 정리를 임의의 차원의 복소다양체 위의 일반적인 해석적 벡터다발로 일반화한 정리다.

정의 
콤팩트 복소다양체  위에 해석적 벡터다발 가 있다고 하자. 그렇다면 의 코호몰로지와, 이에 대응하는 오일러 지표 를 정의할 수 있다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따르면, 이는 다음과 같다.

여기서 는 의 천 지표, 는 의 접다발의 토드 특성류다.

예 
가 리만 곡면이라고 하고, 이 인자류 에 대응하는 해석적 선다발이라고 하자. 그렇다면

이다. 따라서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는

이다. 복소1차원에서, 오일러 특성류는 이므로, 는 의 오일러 지표

이다. 여기서 는 의 종수(genus)다. 또한,

이다. 또한,

이고, 세르 쌍대성에 의하여

(는 표준 선다발의 인자)이므로, 리만-로흐 정리

를 얻는다.

오일러 지표 
복소수 차원 콤팩트 켈러 다양체 의 경우, 오일러 지표는 돌보 코호몰로지를 통해 계산할 수 있다. 구체적으로,

이다. 여기서 는 호지 수이며, 은 의 복소수 공변접다발이다.

분할 원리()에 따라, 을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류가

라고 하자. 즉, 공변접다발을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류는 이다. 그렇다면,

의 천 지표는 다음과 같다.

즉,

이다. 따라서, 의 오일러 지표는 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

즉, 의 최고차 천 수이다. 복소다양체의 경우 최고차 천 특성류는 오일러 특성류와 같으므로, 이는 오일러 지표를 올바르게 계산한다.

역사 
프리드리히 히르체브루흐가 1954년에 증명하였다.

참고 문헌

같이 보기 
 아티야-싱어 지표 정리
 그로텐디크-리만-로흐 정리

대수기하학
복소다양체
대수적 위상수학
베른하르트 리만
대수기하학 정리
복소기하학 정리