이차 수체

대수적 수론에서 이차 수체(二次數體, )는 차원이 2인 대수적 수체이다.

정의 
이차 수체는 의 꼴인 대수적 수체이다. 여기서 는 이 아닌 (음 또는 양의) 제곱 인수가 없는 정수이다. 만약 이면 를 실수 이차 수체(實數二次數體, )라고 하고, 이면 복소 이차 수체(複素二次數體, )라고 한다. 이차 수체의 대수적 정수환의 원소를 이차 정수(二次整數, )라고 한다.

성질

정수환 
이차 수체 의 대수적 정수환은 다음과 같다.

판별식 
이차 수체 의 판별식은 다음과 같다.

이는 인 경우에는

이지만, 인 경우에는

이기 때문이다.

사실, 판별식이 인 이차 수체 의 대수적 정수환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 제곱수가 아닌 에 대하여, 는 이차 수체  속의, 판별식  정환()을 이룬다. 반대로, 이차 수체 속의, 판별식이 인 정환은 이것 밖에 없다.

소수의 분기화 
체의 확대 에서, 유리 소수 는 확대에 따라서 다음과 같은 분기화를 보인다.
 만약 크로네커 기호 이라면, 는 에서 여전히 소 아이디얼이다.
 만약 크로네커 기호 이라면, 는 에서 두 개의 서로 다른 소 아이디얼의 곱이다.
 만약 라면, 는 의 어떤 소 아이디얼의 제곱이다.

유수 
이차 수체의 유수는 매우 불규칙하다.

실수 이차 수체 
유수가 인 실수 이차 수체 의 들의 목록은 다음과 같다.

허수 이차 수체 
유수가 인 허수 이차 수체 의 들의 목록은 다음과 같다. 작은 에 대하여 이 목록은 유한하며, 특히 인 경우를 헤그너 수라고 한다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 삼차 수체
 원분체
 이차 유수 상수

대수적 수론
체론