디랙 연산자

미분기하학과 이론물리학에서 디랙 연산자(Dirac演算子, )는 라플라스 연산자의 제곱근인 미분 연산자이다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 리만 다양체 
 매끄러운 벡터 다발 
  위의 코쥘 접속 
 의 매끄러운 단면 . (흔히 으로 잡는다.)
그렇다면, 라플라스 연산자

및 일반화 라플라스 연산자

를 정의할 수 있다.

이 경우, 디랙 연산자

는

를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

보다 일반적으로, 디랙형 연산자(Dirac形演算子, ) 또는 일반화 디랙 연산자()

는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉,

를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

등급 디랙 연산자 
클리퍼드 대수는 자연스럽게 -등급 대수를 이룬다.

이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 리만 다양체 
 두 매끄러운 벡터 다발 . 편의상 로 표기하자.
  위의 초접속 
 의 매끄러운 단면  (복부호 동순)
그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자

를 정의할 수 있다.

그렇다면, 등급 디랙 연산자()
 (복부호 동순)
는

를 만족시키는 두 미분 연산자이다.

분류

클리퍼드 가군 다발 접속 
리만 다양체  위의 클리퍼드 가군 다발  위의 코쥘 접속 가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속이라고 하자.

여기서 는 클리퍼드 다발 위에 리만 계량으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속(레비치비타 접속)이다.

마찬가지로, 클리퍼드 가군 다발 초접속을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는, -등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속으로 정의할 수 있다.

디랙 연산자의 분류 
리만 다양체  위의 매끄러운 벡터 다발  위에 디랙 연산자 가 주어졌을 때,  위에는 자연스럽게 클리퍼드 다발 의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올 이 클리퍼드 대수 의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

여기서
 는  위의 실수 값 매끄러운 함수이다.
 은 그 기울기인 1차 미분 형식이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상 이 존재한다.
 은 클리퍼드 대수의 원소의 작용이다.
클리퍼드 다발 의 매끄러운 단면은 벡터장 으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라, 는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉,
 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다.
 주어진 클리퍼드 가군 다발  + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은  꼴의 아핀 공간이다.
 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 -등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다.
 주어진 클리퍼드 가군 다발 -등급 다발  + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은  꼴의 아핀 공간이다.

예

곡선 위의 벡터다발 
계량이 주어진 곡선  위의 다발 의 경우, 디랙 연산자는 단순히

이다.

접다발 
리만 다양체  위의 접다발 에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약 이 스핀 다양체라면, 접다발을 스피너 다발

으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다. 은 차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발  위의 클리퍼드 가군 다발이다. 이 경우 매장

이 존재한다.

이 경우 디랙 연산자는

이다. 즉,

이다.

만약 이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.

이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다.
 (복부호 동순)
따라서, 이는  위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.

호지-드람 연산자 
매끄러운 다양체  위의 미분 형식의 다발

을 생각하자. 즉,

이다. 만약 이 콤팩트 다양체라면, 외미분

의 에르미트 수반

을 정의할 수 있다. 그렇다면,

이 된다. 여기서 는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자이다. 따라서

를 정의하면, 는  위의 디랙 연산자를 이룬다.

역사 
최초의 디랙 연산자는 폴 디랙이 양자전기역학을 연구하는 도중 발견하였다.

같이 보기 
 디랙 방정식
 열핵
 클리퍼드 대수

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

미분 연산자
미분기하학
양자장론
양자역학
수리물리학