점을 가진 공간

호모토피 이론에서 점을 가진 공간()은 위상 공간과 그 속의 한 점으로 이루어진 순서쌍이다.

정의 
범주 가 시작 대상 을 갖는다고 하자.

 위의 점을 가진 범주() 는 쌍대 조각 범주 이다. 즉,
 의 대상은 의 사상 이다. 이는 와 그 속의 "점" 의 순서쌍 으로 생각할 수 있다. 이를 의 밑점(-點, )이라고 한다.
 의 대상  사이의 사상 은 다음 그림을 가환하게 하는 에서의 사상 이다.

즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.

성질 
시작 대상 을 가진 범주  위의 점을 가진 범주 는 항상 영 대상 을 가진다.

영 대상을 가진 범주  위의 점을 가진 범주는 와 동치이다. 즉, 범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 영 대상을 가진다.
 인, 시작 대상을 가진 범주 가 존재한다.

망각 함자 
시작 대상 을 가진 범주  위의 점을 가진 범주 는 원래 범주 로 가는 자연스러운 망각 함자

를 갖는다.

만약 가 유한 쌍대 완비 범주라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자

를 갖는다. 이를 밑점 추가()라고 한다.

분쇄곱 
가 유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주라고 하자. 그렇다면  역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. 에서의 텐서곱은 분쇄곱() 이라고 한다. 또한, 만약 가 대칭 모노이드 범주라면  역시 대칭 모노이드 범주이다.

구체적으로,  속의 두 대상 , 의 분쇄곱 은 다음과 같은 밂이다.

이 네모의 왼쪽 변은

로부터 유도되는 사상

이다.

에서의 지수 대상 은 다음과 같은 당김이다.

의 점은 유일한 사상 에 대응한다.

예

점을 가진 집합 
집합의 범주에서, 시작 대상은 한원소 집합이다. 따라서, 점을 가진 집합()의 범주 의 원소는 집합 와 그 속의 원소 의 순서쌍 이다.

점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)

점을 가진 공간 
위상 공간의 범주 에서 끝 대상은 한원소 공간 이며, 한원소 공간에서 위상 공간 로 가는 연속 함수 는  속의 한 점 을 제시하는 것과 같다. 즉, 점을 가진 공간() 은 위상 공간 와 그 속의 한 점 로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주 의 사상인 점을 보존하는 연속 함수() 는

인 연속 함수이다.

영 대상을 가진 범주 
군의 범주 나 아벨 군의 범주 , 나아가 임의의 아벨 범주는 모두 영 대상을 가지므로 그 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다.

예를 들어, 모든 군 또는 아벨 군 에 대하여, 항등원 는 그 "점"을 이룬다.

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

호모토피 이론