파피안

선형대수학에서 파피안()은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다.

정의 
가환환 가 주어졌으며,  계수의  실수 반대칭 정사각 행렬 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 파피안 는 다음과 같다.

여기서
 은 의 순열들의 집합이다.
 는 순열의 부호수이다.
위 공식을 따르면, 에서 의 역수가 존재해야 하는 것처럼 보이지만, 사실 그렇지 않다. 위 합에서, 각 항이 번 등장하므로, 사실 위 공식에서 나눗셈이 필요하지 않다. 구체적으로, 의 분할 가운데, 크기 2의 집합들로 구성된 것들의 집합을 이라고 하자. 그 크기는

이다. 의 원소는 표준적으로

의 꼴로 적을 수 있다. 이를 순열

로 간주했을 때, 이는 포함 사상 을 정의한다. 그렇다면, 파피안은 다음과 같다.

고윳값을 통한 정의 
실수 반대칭 행렬의 경우, 파피안은 고윳값으로 간단히 표현된다.  실수 반대칭 정사각 행렬 의 고윳값이 이라고 하자. 그렇다면 의 파피안 는 들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

성질 
파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.
.

짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은 의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬 는 다음과 같이 2차 미분 형식 로 나타낼 수 있다.
.
그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.

역사 
파피안의 개념은 아서 케일리가 1852년의 한 논문에서 도입하였으며, 요한 프리드리히 파프의 이름을 땄다. 이 논문에서 케일리는 다음과 같이 적었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

행렬식
다중선형대수학