토브-너트 공간

일반 상대성 이론에서 토브-너트 공간(-空間,  )은 아인슈타인 방정식의 4차원 진공해이며, 특히 4차원 초켈러 다양체이자 점근 국소 평탄 공간이다. 이 해는 여러 매우 특이한 성질들을 가진다.

정의 
토브-너트 공간은 4차원 비콤팩트 초켈러 다양체이며, 와 미분 동형이다. 이는 다양한 방법으로 구성할 수 있다.

기번스-호킹 가설 풀이를 통한 구성 
그 위의 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표

를 정의하자. 그렇다면, 토브-너트 공간의 계량은 다음과 같다.

여기서

는  위의 1차 미분 형식 가운데

인 것이다. 이는 사실  위의 1차 미분 형식으로 확장될 수 있다. 과 은 상수이다. 여기서 은 무한대에서 호프 원다발의 올의 크기 를 결정하는 상수이다.

일반 상대성 이론에서는 이 해를 로런츠 계량 부호수 −+++로 해석적 연속을 취할 수 있다. 이는 의 치환에 해당한다.

보다 일반적으로, 를

로 치환한다면, 여러 개의 토브-너트들이 공존하는 다중 토브-너트 공간()을 얻는다. 이는 A형 점근 국소 평탄 공간에 해당한다.

초켈러 축소를 통한 구성 
토브-너트 공간은 심플렉틱 몫공간 연산을 통해 정의할 수 있다.

구체적으로, 초켈러 공간

위에서 U(1)의 작용을 생각하자. 구체적으로, 평탄한 유클리드 공간  위의 적절한 좌표계 에서 평탄한 리만 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같다.

여기서 이며,

은

을 따른다. 즉, 미분 형식 표기법으로는

이다. 마찬가지로,  위의 좌표를 라고 하자. 그 위의 리만 계량은

이며, 이다. 이 위에 U(1)의 작용은

이며, 초켈러 운동량 사상은

이다.

초켈러 운동량 사상에 대한 0의 원상은 에 해당한다. 즉, 게이지 불변 좌표 를 정의하며 원상의 좌표는

이다. U(1) 게이지 변환에 대한 동치류를 취하려면, 킬링 벡터장 에 대한 직교 성분을 취해야 하므로, 마지막 항을 생략하는 것에 해당한다. 즉, 구체적 계량

을 얻는다.

남 방정식을 통한 구성 

토브-너트 공간은 활 그림()으로 구성할 수 있다. 구체적으로, 이에 대응되는 활은 다음과 같다.
 하나의 구간과 하나의 변으로 구성된다.
 구간의 길이는  (기번스-호킹 가설 풀이에서 퍼텐셜의 상수항)이다.
 구간 위의 벡터 다발의 차원은 1이다. (즉, 선다발이다.)

즉, 그 해는 남 방정식

및 복소수

로 정의된다. 은 선다발의, 구간 양끝의 올 사이의 (쌍방향의) 선형 변환에 해당한다.

이 위에는 게이지 군

이 작용한다. 게이지 군의 원소

는 다음과 같이 작용한다.

이를 사용하여, 게이지 퍼텐셜 을 상수 함수로 놓을 수 있다. 그렇다면, 남 방정식에 따라서  역시 상수 함수가 된다.

즉, 이는 의 초켈러 축소로 귀결된다.

성질

점근적 형태 
토브-너트 계량은 점근 국소 평탄 공간이다. 즉,  극한에서, 토브-너트 계량은 의 꼴을 가진다. 의 무한인  위에서, 은 호프 올뭉치의 꼴을 하며, 따라서 등각 무한의 위상은 사실 가 된다. 이 경우, 은 무한대에서 유한한 크기를 갖는다.

다중 토브-너트 공간도 마찬가지로 점근 국소 평탄 공간을 이루며, 이 경우 일반적으로 등각 무한은

의 꼴이다. 이들은 역시 올다발

를 구성한다.

극한 
 극한을 취하면, 이 해들은 점근 국소 유클리드 공간을 이룬다. 이 경우 마찬가지로 ALE 분류가 존재하며, 가장 간단한 경우는 에구치-핸슨 공간이다.

대칭 
토브-너트 공간의 등거리 대칭군은

이다. 여기서 는

의 한 부분군이며, 구체적으로 의 SO(4) 회전 가운데 를 보존하는 것들이다. 즉, 토브-너트 공간은 4개의 킬링 벡터장을 갖는다.

이 대칭군은 토브-너트 공간 위에 추이적 작용을 가지므로, 토브-너트 공간은 동질 공간()이다. 즉, 모든 점이 다 똑같이 보인다. 그러나 토브-너트 공간은 등방적()이지 못하다. 즉, 주어진 점에서부터 서로 다른 방향들이 다르게 보인다.

SO(2) 대칭 아래서, 토브-너트 공간은 하나의 고정점을 가지며, 이는 고정점의 분류에서 (1,1)차 너트에 해당한다. 반대로, 볼트는 존재하지 않는다.

일반적 다중 토브-너트 공간의 대칭군은 일 때 O(2)이며, 이에 대한 고정점들은 모두 너트이다. 이는 기번스-호킹 가설 풀이의 퍼텐셜의 개의 특이점들에 해당한다. 일 때는 대칭군은 U(1)×U(1)이며, 둘째 U(1)은 두 너트를 통과하는 축을 중심으로 하는 회전이다.

역사 

에이브러햄 해스켈 토브(, 1911〜1999)가 1951년에 발견하였다. 에즈라 시어도어 뉴먼(, 1929〜)과 루이스 탐부리노(), 시어도어 운티()가 1963년에 토브의 해를 특이점을 넘겨 연장시켰다.

로런츠 부호수의 토브-너트 공간은 여러 기묘한 성질을 보이며, 이 때문에 찰스 미스너(, 1932〜)는 “토브-너트 공간은 거의 모든 명제에 대한 예외”라는 제목의 논문을 쓰기도 했다.

다중 토브-너트 공간은 스티븐 호킹이 1977년에 발견하였다.

응용 
토브-너트 공간은 초켈러 다양체이므로, 끈 이론에서 매우 중요한 역할을 한다. 특히, M이론에서 D6-막은 토브-너트 공간으로 표현된다. 구체적으로, ⅡA종 초끈 이론에서, 어떤 7차원 준 리만 다양체 이 주어졌을 때, 에서 에 1개의 D6-막을 감은 상태는 M이론을  위에 축소화한 것에 해당한다. (여기서 TN은 토브-너트 공간을 뜻한다.) 여러 개의 D6-막을 감은 상태는 다중 토브-너트 공간에 해당한다.

로런츠 계량 부호수의 토브-너트 공간은 일반 상대성 이론의 해로 간주할 수 있다. 이 경우, 이 해는 여러 기묘한 성질을 가진다.

참고 문헌

외부 링크 
 

일반 상대성 이론의 엄밀해