비표준 해석학

비표준 해석학(非標準解析學, )은 초실수와 그 위의 함수에 대하여 연구하는 해석학의 한 분야이다.

정의 
이 실수체이고, 이 자연수의 모노이드이라고 하자. 그렇다면 은 실수들의 수열들의 집합이다. 초실수의 체 는 의 적절한 몫으로 정의된다. 주필터가 아닌 임의의 극대 필터 를 고르자. (특히, 는 프레셰 필터(여유한 집합들의 필터)를 포함한다.) 이러한 극대 필터는 선택 공리에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다. 이 극대 필터를 사용하여, 두 수열  사이에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.

이 동치관계에 대한 몫은 곱셈에 대하여 체를 이루며, 이를 초실수의 체로 정의한다.

실해석학의 구현 
실해석학에서 극한을 통해 구현되는 표준적인 여러 연산들은 초실수를 사용하여 대수적으로 정의할 수 있다.

극한과 미분 
함수 의 에서의 극한은 다음과 같다.

함수 가 다음 조건을 만족시키면, 연속함수라고 한다.
 모든 에 대하여, 만약 라면 이다.

함수  및 에 대하여, 다음이 성립한다고 하자. 임의의 0이 아닌 두 무한소 에 대하여,

이 경우 는 에서 미분 가능하다고 하고, 의 도함수는

이다.

1차 논리로 정의할 수 있는 실함수 에 대하여, 이에 대응하는 비표준 확대

에 대하여, 다음이 동치이다.
 
 
또한, 다음이 동치이다.
 에서 는 연속함수이다.
 에서 는 연속함수이다.
또한, 다음이 동치이다.
 에서 는 미분 가능하며, 이다.
 에서 는 미분 가능하며, 이다.

적분 
초실수 체계에서, 리만 적분은 a, a + dx, a + 2dx, ... a + ndx 등으로 나누어지는 무한소의 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 dx는 무한소이며, n은 무한의 초정수이며, 적분 구간의 하한 a 와 상한 b = a + n dx인 관계를 따른다.

예 
함수 의 도함수는 비표준적으로 다음과 같이 계산할 수 있다. 가 임의의 무한소라고 하자. 그렇다면 임의의 에 대하여 다음과 같다.

참고 문헌

같이 보기 
 초실수

외부 링크 
 

해석학 (수학)
체론
무한
실폐체