횔더 연속 함수

해석학에서 횔더 연속 함수(Hölder連續函數, )는 두 점 사이의 거리를 일정 거듭제곱 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 립시츠 연속 함수의 개념의 일반화이다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 두 로비어 공간 , 
 음이 아닌 실수 
임의의 함수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 가 -횔더 연속 함수라고 한다.
 모든 에 대하여, 인 가 존재한다.

만약 임의의 함수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 가 국소 -횔더 연속 함수()라고 한다.
 임의의 콤팩트 집합  및 에 대하여, 인 가 존재한다.

임의의 함수  및 에 대하여, -횔더 반노름()을 다음과 같이 정의하자.

즉, 어떤 함수가 -횔더 연속 함수인 것은 유한한 -횔더 반노름을 갖는 것과 동치이다.

-횔더 연속 함수들의 공간을 로 표기하자. 이 위에는 -횔더 반노름을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다.

성질 
0-횔더 연속 함수는 유계 함수이며, 1-횔더 연속 함수는 -립시츠 연속 함수이다. 임의의 에 대하여, -횔더 연속 함수는 연속 함수이다. (그러나 물론 유계 함수는 연속 함수가 아닐 수 있다.)

포함 관계 
만약 가 콤팩트 공간이라고 하자. 그렇다면,
의 지름이 유한하며,
임의의 에 대하여, 자연스러운 포함 사상

이 존재한다. 즉, 다음이 성립한다.

따라서, 위 포함 관계는 연속 함수이자 사실 작용소 노름이  이하인 유계 작용소이다. 또한, 아르첼라-아스콜리 정리에 의하여, 에서의 유계 집합은 에서의 상대 콤팩트 집합이다.

예 
함수

를 생각하자. 이는 연속 함수이며 (정의역이 콤팩트 공간이므로) 균등 연속 함수이지만, 0 근처에서 매우 가파르게 감소하므로 임의의 에 대하여 -횔더 연속 함수가 되지 못한다.

임의의 에 대하여, 함수

는 에 대하여 -횔더 연속 함수이지만, 일 경우 -횔더 연속 함수가 아니다.

페아노 곡선 
전사 -횔더 연속 함수

가 존재한다. 즉, 이는 페아노 곡선의 일종이다. 그러나 의 경우, 전사 -횔더 연속 함수 는 존재할 수 없다.

역사 
오토 횔더가 1882년 박사 학위 논문에서 도입하였다.

참고 문헌

같이 보기 
 립시츠 연속 함수

외부 링크 
 
 
 

연속 함수
실해석학
함수해석학