애트우드 기계

애트우드 기계()는 1784년에 조지 애트우드가 등가속도 운동에서 뉴턴의 운동 법칙을 증명하기 위해 고안한 실험 장치이다. 고전역학의 기본적 원리를 설명하는 수업 자료로 종종 사용된다.

이상적인 애트우드 기계는 질량 , 인 물체 두 개를 질량과 신축성을 무시할 수 있는 줄로 연결하여 질량을 무시할 수 있는 도르래에 걸어놓은 형태이다.

＝라면, 질량의 위치에 관계없이 기계는 역학적 평형을 이룬다.

≠라면, 두 질량은 일정한 가속도로 운동하게 된다.

등가속도 방정식 

힘을 분석하여 가속도의 방정식을 유도할 수 있다.

줄의 질량과 신축성, 도르래의 질량을 무시할 수 있다고 할 때, 이 계에서 고려해야 하는 힘은 장력(), 두 물체의 무게(과 ) 뿐이다. 가속도를 알아내기 위해 두 물체에 각각 작용하는 힘을 밝힐 필요가 있다.

뉴턴 제2법칙을 사용하여(＞라고 기호 약속한다) 가속도()를 구하기 위한 연립 방정식을 세울 수 있다.

가속도 는 에서는 아래 방향이 양의 방향, 에서는 위 방향이 양의 방향이라고 약속하자. 과 의 무게는 각각 와 로 나타난다.

m1에 작용하는 힘은

 

m2에 작용하는 힘은

 

위의 두 방정식을 통째로 더하면 다음 식을 얻는다.

 ,

그러므로 가속도 식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

역으로, 물체들의 운동 시간을 측정하여 등가속도 운동식 에 대입 계산함으로써 중력가속도 를 구할 수도 있다.

라그랑주 역학에서 운동방정식을 유도할 때도 애트우드 기계가 사용되는 경우도 있다.

장력 방정식 
장력을 알아볼 때는, 앞에서 구한 가속도를 두 물체의 힘 방정식 중 어느 한 쪽에 대입하면 된다.

예컨대 이것을 에 대입하면,

를 얻는다.

이와 같은 방법으로 장력을 얻을 수 있다.

관성과 마찰을 반영한 방정식 
과 의 질량 차 이가 매우 작다면, 반경 인 도르래의 회전관성 를 무시할 수 없다. 줄이 미끄러지지 않는 상황에서 도르래의 각가속도 는 다음과 같이 주어진다.

 

이때 알짜 회전력 는 다음과 같다.

 

매달린 물체들에 뉴턴 제2법칙을 적용한 것과 조합하면 다음과 같은 , , 를 얻는다.

가속도 는

줄의 에 가장 가까운 부분의 장력 은

줄의 에 가장 가까운 부분의 장력 는

줄의 마찰을 무시한다면(하지만 도르래의 관성과 도르래에 걸친 줄의 변형력은 무시할 수 없다), 다음과 같이 방정식을 간략화할 수 있다.

가속도 는

줄의 에 가장 가까운 부분의 장력 은

줄의 에 가장 가까운 부분의 장력 는

같이 보기 
 캐터의 진자
 흔들리는 애트우드 기계

각주

외부 링크 

 Professor Greenslade's account on the Atwood Machine
 "Atwood's Machine" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.

고전역학
물리학 실험