유클리드 정역

유클리드 정역(Euclid整域, ), 또는 유클리드 환(-環, )은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역을 부르는 말이다.

정의 
정역  위의 유클리드 함수() 는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.
 임의의  및 에 대하여,이며  또는 인 가 존재한다.
유클리드 정역은 유클리드 함수가 적어도 하나가 존재하는 정역이다.

일부 문헌에서는 유클리드 함수의 정의에 다음 조건을 추가하기도 한다.
 임의의 에 대하여, 
그러나 이 조건을 추가해도 유클리드 정역의 정의는 바뀌지 않는다. 즉, (더 약한 정의에 대한) 유클리드 함수를 갖춘 정역은 항상 더 강한 정의에 대한 유클리드 함수를 갖춘다.

성질 
모든 체는 자명하게 유클리드 정역을 이루며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다. 일반적으로, 다음 포함 관계가 성립한다.
가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

예 
 정수환 는 유클리드 정역을 이루며, 이 경우 유클리드 함수를 절댓값 으로 잡을 수 있다. 절댓값이 유클리드 함수라는 것은 나눗셈 정리의 따름정리다.
 체  위의 다항식환 는 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 다항식의 차수 이다.
 체  위의 형식적 거듭제곱 급수의 환  역시 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 형식적 거듭제곱 급의 차수 이다.
 가우스 정수의 환 은 유클리드 정역이다. 이 경우 유클리드 함수는와 같이 정의할 수 있다.

다항식환의 유클리드 함수 
다항식환 에서, 차수 가 유클리드 함수를 이룬다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다. 이며, 이라고 하자. 이 경우,

이며 인 의 존재를 보이면 된다.

집합 를

와 같이 정의하자. 자명하게, 가 공집합일 수는 없다. 를 의 원소 중 차수가 제일 작은 다항식이라 하자. 그렇다면

를 만족시키는 가 존재한다. 이제, 이거나 이다. 귀류법을 사용해, 라고 가정하자.

라면,

이지만

이므로 모순이다.

유클리드 정역을 이루는 대수적 정수환 
허수 이차 수체 의 대수적 정수환 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 유클리드 정역을 이룬다.
 체 노름 은 의 유클리드 함수이다.
 

실수 이차 수체 의 대수적 정수환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 체 노름의 절댓값 은 의 유클리드 함수이다.
  
만약 일 경우, 는 체 노름이 아닌 유클리드 함수를 갖는다.

같이 보기 
 나눗셈 정리

외부 링크 
 
 
 

가환대수학
에우클레이데스