남 방정식

이론물리학에서 남 방정식(Nahm方程式, )은 SU(2) 자기 홀극을 나타내는 연립 1차 상미분 방정식이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 실수 리 대수 
 1차원 리만 다양체 (즉, 부피 형식이 주어진 선분 또는 원) . 보통  (길이 2의 열린 선분) 또 는 (길이 의 원)으로 잡는다.

그렇다면, 남 방정식의 변수는  위의 3개의 함수

및  위의 (자명한) -주다발의 주접속

이다. 즉, 이를 통하여  위의 공변 미분

을 정의할 수 있다.

남 방정식은 다음과 같다.

여기서
 는 레비치비타 기호이다.
 는 의 리 괄호이다.
즉, 이를 풀어 쓰면 다음과 같다.

이 방정식은 4차원 양-밀스 순간자의 방정식을 1차원으로 차원 축소를 가한 것이다.

자기 홀극의 경계 조건 
 위의 보고몰니 방정식의 자기 홀극 해를 구성하기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.
 은  반(反)에르미트 행렬의 리 대수이며, 그 리 괄호는  행렬의 교환자이다.
 는 길이 2의 열린구간이다.
 는 해석 함수이다.
  또는 에서, 는 1차 극을 가지며, 그 유수는 리 대수 의 차원 표현을 이룬다. 즉, 로랑 급수

에서,

이다.

칼로론의 경계 조건 
남 방정식을 통하여 칼로론을 구성할 수도 있다. 이 경우 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.
 는 둘레 의 원이다.
 에는 특별한 점 이 주어진다.
 에서, 이다.
 들이 작용하는 복소수 차원 에르미트 벡터 다발 는 따라서 각 구간마다 차원이 다르다. 에서의 다발을 라고 하자. 특별한 점 에서, 과 의 올을 잇는 다음과 같은, 에르미트 구조를 보존하는 선형 사상이 존재한다.
 만약 라면, 단사 사상 
 만약 라면, 단사 사상 
 만약 라면, 전단사 사상 
 는 해석 함수이며, 각 특별한 점 에서 는 다음과 같은 경계 조건을 따른다.
 일 때: 에서 다음이 성립한다.

여기서 유수 는 의 기약 표현을 이룬다.
 일 때: 위와 마찬가지로 정의한다.
 일 때: 좀 더 복잡한 경계 조건이 필요하다.

성질

게이지 대칭 
의 리 군이 라면, 남 방정식과 그 경계 조건은 의 게이지 변환을 갖는다.

만약 가 선분인 경우, 게이지 대칭을 사용하여, 으로 놓을 수 있다. 그렇다면, 이 게이지 변환에서 만이 남는다. 즉, 게이지 변환 동치류들은 켤레 작용

에 대하여 불변이다.

 게이지에서, 남 방정식의 해의 공간의 차원은 이며, 남은 게이지 변환 에 대한 몫공간의 차원은 이다. 이는 n개의 자기 홀극을 포함하는 해들의 집합과 동형이다.

럭스 쌍 
남 방정식은 럭스 쌍으로 표현될 수 있다. 즉,

로 놓자. 여기서 는 어떤 형식적 변수이다. 그렇다면, 남 방정식은 다음과 같은 럭스 방정식과 동치이다.

즉, 양변을 에 대한 멱급수로 전개하고 차수별로 비교하면,

가 된다.

이에 따라, 방정식

으로 정의되는 스펙트럼 곡선은 에 대하여 불변이다. 이 방정식은 에 대한 차 방정식이다. 여기서, 는 자연스럽게 사영 직선 의 좌표로 생각할 수 있으며, 는 그 접공간  위의 좌표를 이룬다. 이는 미니트위스터 공간과 같다. 즉, 남 방정식의 스펙트럼 곡선은 미니트위스터 공간 속의 대수 곡선이다. 3차원 자기 홀극 방정식은 미니트위스터 공간을 통해서도 작도할 수 있으며, 스펙트럼 곡선은 남 방정식을 통한 작도와 트위스터를 통한 작도 사이의 관계를 나타낸다.

자기 홀극과의 관계 
유클리드 3차원 SU(2) 게이지 이론이 다음과 같은 장들을 가진다고 하자.
 SU(2) 게이지장 
 딸림표현의 실수 스칼라장 . 이는 퍼텐셜을 갖지 않는다.
(이러한 계는 4차원 순수 양-밀스 이론에서 차원 축소를 하여 얻을 수 있다.) 이 경우, 의 퍼텐셜이 0이므로 임의의 진공 기댓값 를 줄 수 있다 (힉스 가지). 이에 따라서 게이지 군은 그 카르탕 부분군 U(1)으로 깨지고, 이에 따라 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극들이 존재하게 된다. 개의 자기 홀극을 포함하는 상태들은 남 방정식을 통해 작도할 수 있다. 이러한 상태들의 모듈라이 공간의 차원은 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산할 수 있고, 이다.

여기서 지수를 이고, 이라고 하자.

남 방정식의 해 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 디랙 연산자를 정의할 수 있다.

이는 를 매개 변수로 갖는  행렬 에 작용한다. 즉,

이다.

가 의 여핵에 속한다고 하자. 즉, 그 수반 작용소 는

이므로,

인 를 생각하자. 이러한 를 찾으면, 와 는 다음과 같다.

끈 이론을 통한 해석 
남 방정식은 초끈 이론을 통해 해석될 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 다음과 같은 D-막의 배열을 생각하자.

여기서 D1-막은 D3-막에 붙어 있다. 또한, D3-막의 수가 , D1-막의 수가 이라고 하고, 이 상태가 시간에 의존하지 않는다고 하자. 그렇다면, 이 상태는 다음과 같이 묘사될 수 있다.
 D3-막 위의 이론은  𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론이며, 모든 장이 시간 불변이라면 이는 보고몰니 방정식이다. D1-막은 그 위의 개의 자기 홀극이다.
 D1-막 위의 이론은 (모든 장이 시간 불변이라면) 남 방정식이다. (이 경우, 1차원 공간에서 게이지장을 0이 되게 게이지 고정할 수 있다.)
 남 방정식의  지표는 1,2,3 방향의 O(3) 대칭에 해당한다.
 남 방정식의 장 는 D1-막의 1,2,3 방향의 위치에 해당한다. 만약 각 가 대각 행렬이라면, 그 개의 대각 성분은 개의 D1-막의 위치에 해당한다. 일반적으로 좌표가 대각 행렬이 아닌 것은 D-막이 겹쳐졌을 때 발생하는 비가환 기하학에 의한 효과이다.
따라서, 남 방정식과 보고몰니 방정식 사이의 관계는 10차원 초끈 이론의 한 상태를 서로 다르게 표현한 것이다.

아벨 리 대수의 경우 
가 (과 같은) 아벨 리 대수일 경우, 남 방정식은 선형 상미분 방정식이다. 즉,

이므로, 그 해는 상수 함수이다.

역사 
베르너 남()이 1981년 도입하였다. 이후 사이먼 도널드슨과 나이절 히친 등이 이를 연구하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

상미분방정식
수리물리학
적분가능계
물리학 방정식