국소체

대수적 수론에서 국소체(局所體, )는 위상체의 한 종류다. 대역체의 완비화로 얻어진다.

정의 
위상체 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상체를 국소체라고 한다.
 이산 공간이 아닌 국소 콤팩트 공간이다.
 실수체 또는 복소수체이거나, 아니면 어떤 이산 값매김(discrete valuation)에 대하여 완비 거리 공간을 이루고, 또한 그 이산 값매김환의 잉여류체가 유한체이다.
 다음 목록 가운데 하나와 동형이다.
 (아르키메데스 체) 실수체  또는 복소수체 
 (체의 표수가 0인 비아르키메데스 체) p진수 의 유한 확대
 (체의 표수가 양수인 비아르키메데스 체) 유한체 계수의 형식적 로랑 급수체

비아르키메데스 국소체 
비아르키메데스 국소체 의 이산 값매김 에 대하여,

은 이산 값매김환을 이루며, 이를 의 대수적 정수환이라고 한다. 의 가역원군은

이며, 의 유일한 0이 아닌 소 아이디얼은

이다. 는 주 아이디얼 정역이므로 은 주 아이디얼인데, 의 생성원을 균일화자() 라고 한다. 의 잉여류체 는 유한체이다.

비아르키메데스 국소체 의 차 가역원군()은 다음과 같다.

0차 가역원군은 (통상적) 가역원군 이다. 이에 대하여

이며,

이다.

가역원군의 구조 
국소체 의 가역원군의 구조는 다음과 같다. 만약 가 아르키메데스 체일 경우,

는 매우 익숙한 아벨 군이다.

만약 가 비아르키메데스 체일 경우,

이다. 여기서 는 의 정수환의 유일 극대 아이디얼이며, 은 의 정수환의 잉여류체 의 1의 거듭제곱근들의 군이며, 는 1차 가역원군이다. 구체적으로, 만약 가 의 차수가 인 유한 확대라면

이다. 여기서 는 의 정수환의 잉여류체의 크기다. 만약 이라면

이다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 대역체
 유체론

체론
대수적 수론