갈루아 확대

갈루아 이론에서 갈루아 확대(Galois擴大, )는 갈루아 군이 잘 정의될 수 있는 체의 확대이다.

정의 
갈루아 확대는 다음 세 조건을 만족시키는 체의 확대이다.
 대수적 확대이다.
 정규 확대이다. 즉, 기약 다항식 의 근 가운데 적어도 하나가 에 포함된다면, 의 모든 근들이 에 포함된다.
 분해 가능 확대이다. 즉, 모든 에 대한 최소 다항식의 각 기약 인자들의 근들이 서로 겹치지 않는다.

성질 
유한 확대 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 이 정리는 에밀 아르틴이 증명하였다.
 는 갈루아 확대이다.
 는 정규 분해 가능 확대이다.
 은 근이 겹치지 않는 (즉, 분해 가능한) 어떤 다항식 의 분해체이다.
 이다. 즉, 체의 확대의 차수 는 체의 확대의 자기동형군의 크기와 같다.

예 
유리수체 의 확대들을 생각하자.
 는 갈루아 확대이다.
 는 정규 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 의 세 근 가운데 오직 하나만을 포함한다.
 는 대수적 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 원주율 가 초월수이기 때문이다.
(유리수체는 완전체이므로, 유리수의 모든 대수적 확대는 분해 가능 확대이다.)

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

갈루아 이론
대수적 수론