분수체

추상대수학에서 분수체(分數體, )는 정역에 대하여 정의할 수 있는 체이다. 예를 들어, 정수환의 분수체는 유리수체다. 일반적인 가환환의 국소화의 특수한 경우다.

정의 
(곱셈 항등원을 갖는) 환 에 대하여,

가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, 가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 의 전분수환(全分數體, ) 는 국소화 이다. 이 경우, 오레 조건에 의하여 단사 함수인 환 준동형

이 존재하며, 는 그 전분수환의 부분환을 이룬다.

만약 가 가환환일 경우, 오레 조건은 자동적으로 성립한다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 가환환의 전분수환은 항상 가환환이다. 특히, 만약 가 (가환) 정역일 경우 이는 체를 이루며, 를 의 분수체라고 한다.

구성 
가 정역일 경우, 분수체는 일반적인 국소화보다 간단하게 구성할 수 있다.

순서쌍  (, )들에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

이러한 순서쌍의 동치류를 라고 쓰자.

이러한 순서쌍들의 동치류들의 집합에, 다음과 같이 체의 구조를 줄 수 있다.

이는 분수체 이며, 표준적인 단사 환 준동형

이 존재한다.

성질 
환 의 전분수환이 특별한 성질을 가질 충분조건은 다음과 같다.

골디 정리()에 따르면, 다음이 성립한다.
 오른쪽 뇌터 반소환 는 오른쪽 오레 조건을 만족시키며, 는 반단순환이다.
 특히, 만약 가 오른쪽 뇌터 소환이라면 는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.
 오른쪽 뇌터 반소환은 왼쪽 오레 조건을 만족시키며, 는 반단순환이다.
 특히, 만약 가 왼쪽 뇌터 소환이라면 는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.

골디 정리에서, 만약 가 가환환이라고 한다면, 반소환 조건은 축소환 조건과 같아진다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 만약 가 가환 뇌터 축소환인 경우, 는 유한 개의 체들의 직접곱이다. 구체적으로, 의 소 아이디얼 가운데, 포함 관계에 따라 극소 원소인 것을 이라고 하자. (그 수는 항상 유한함을 보일 수 있다.) 그렇다면

이다. 우변에서 는 모두 정역이므로, 우변은 유한 개의 체들의 직접곱이다.

만약 가 왼쪽 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역이라면, 는 항상 나눗셈환이며, 는 그 부분환을 이룬다. (오레 조건 없이는 이는 일반적으로 성립하지 않는다.) 만약 가 정역이라면 물론 는 체이다.

예 
수체 의 대수적 정수환 의 분수체는 이다.

특히, (유리수의) 정수환 의 분수체는 유리수체이다.

체의 분수체는 스스로이다. 즉, 임의의 체 에 대하여, 다음이 성립한다.

다항식환의 분수체는 유리 함수체이다. 즉, 임의의 체 에 대하여, 다음이 성립한다.

응용 
대수기하학에서, 분수체의 개념은 스킴의 유리 함수층의 개념으로 일반화된다. 만약 스킴이 아핀 정역 스킴인 경우 이는 단순히 각 열린집합에서 단면 가환환의 분수체를 취하는 것이다. 스킴이 정역 스킴이 아닌 경우, 일반적으로는 단순히 전분수환을 취하는 것보다 더 복잡한 구성을 취해야 한다.

역사 
1927년에 하인리히 그렐(, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다. 오레 조건을 만족시키는 영역의 전분수환은 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다. (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.)

골디 정리는 앨프리드 윌리엄 골디(, 1920~2005)가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

가환대수학
체론