정칙 벡터 다발

미분기하학에서 정칙 벡터 다발(正則vector다발, ) 또는 해석적 벡터 다발(解析的vector다발, )은 복소다양체 위에 정의된, 사영 사상이 정칙 함수인 복소수 벡터 다발이다.

정의 
이 복소다양체이고, 그 위에 이 복소수 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면  또한 복소다양체를 이룬다. 만약 사영 가 복소다양체 사이의 정칙 함수라면, 를 정칙 벡터 다발이라고 한다.

마찬가지로, 의 단면 가 정칙 함수라면, 이를 의 정칙 단면(正則斷面, )이라고 한다. 정칙 벡터 다발 의 정칙 단면들의 모임은 국소 자유 가군층을 이루며, 라고 쓴다. 만약 가 자명한 복소수 선다발 라면, 는 의 구조층() 과 같다.

연산 
정칙 벡터 다발 이 주어졌을 때, 정칙 벡터 다발

을 정의할 수 있다. 그 올

은 의 복소수 쌍대 공간이다.

반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.

성질 
정칙 벡터 다발 의 코호몰로지 는 그 해석적 단면들의 층 의 층 코호몰로지다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.
 는 의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
 는 자명 선다발의 에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발 들로 구성된다.

정칙 접속 
복소다양체  위의 복소수 매끄러운 벡터 다발  위의 벡터 다발 접속 
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 매끄러운 함수 위에 다음과 같이 작용한다.

그런데 복소다양체에서 쌍대접공간 의 복소화 는 다음과 같이 분해된다.

즉,

와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, 벡터 다발 접속  역시 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.

이제, 가 정칙 벡터 다발이라고 추가로 가정하자. 그렇다면, 그 단면에는

가 잘 정의된다. (이는 의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 정칙 함수이기 때문이다. 반면, 는 잘 정의되지 않는다. 물론, 만약 가 “반정칙 벡터 다발”일 경우, 반대로 이 정의되며 이 정의되지 않는다.) 만약

이라면, 접속 를 정칙 접속()이라고 한다.

에르미트 계량 
에르미트 계량 를 갖춘 복소수 벡터 다발 의 경우, 에르미트 접속의 개념이 존재한다. 만약 가 추가로 정칙 벡터 다발일 경우, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 벡터 다발 접속의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 천 접속([陳]接續, )이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식이다.

만약 가 켈러 다양체의 정칙 접다발인 경우, 천 접속은 리만 계량으로 유도되는 레비치비타 접속과 같다.

정칙 선다발 의 국소 자명화

가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가

라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상

이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은

인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은

로 주어진다.

예

정칙 접다발 
복소다양체 의 접다발 을 생각하자. 그 위에 복소구조 가 작용하며, 이는 정의에 따라 을 만족시킨다. 즉,

의 고윳값은 이며, 이에 의하여

으로 분해된다. 이 경우, 은 정칙 접다발()이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면, 은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.)

대수적 벡터 다발 
비특이 복소수 대수다양체  위의 대수적 벡터 다발 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체  및 복소다양체 사이의 정칙 함수 를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다.

반대로, 만약 가 추가로 사영 대수다양체라면,  위의 모든 정칙 벡터 다발은  위의 대수적 벡터 다발에서 유래한다. 이는 가가 정리의 한 경우이다.

자명한 다발 
복소수 벡터 공간  위의 자명한 복소수 벡터 다발

은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다.

역사 
에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 천싱선이 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

복소다양체
벡터 다발