위상 K이론

대수적 위상수학에서 위상 K이론(位相K理論, )은 위상 공간 위의 벡터 다발을 연구하는 분야이다. 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다.

정의

벡터 다발을 통한 정의

0차 K군 
다음이 주어졌다고 하자.
 콤팩트 하우스도르프 공간 
 기호 . 이에 대하여,
 -벡터 다발은  위의 (유한 차원, 연속) 실수 벡터 다발이다. (O는 직교군을 뜻한다.)
 -벡터 다발은  위의 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발이다. (U는 유니터리 군을 뜻한다.)
 -벡터 다발은  위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 벡터 다발 가운데, (만약 차원이라면) --주다발의 연관 벡터 다발로 표현되는 것이다. (Sp는 심플렉틱 군을 뜻한다.)
그렇다면,  위의 -벡터 다발

들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 가환 모노이드를 이루며, 인 경우 텐서곱을 통하여 가환 반환을 이룬다. (직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)

의 에 대한 K군() 는  위의 -벡터 다발들의 그로텐디크 군이다. 만약 라면, 이는 가환환을 이룬다.

흔히, 만약 를 생략하였다면, 를 뜻한다.

축소 K군 
가 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 축소 K군(縮小K群, ) 는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형이 존재한다.

그렇다면

이다.

벡터 다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

여기서 는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약 가 연결 공간이라면 이다. 이 경우 이며, 벡터 공간 은 차원 벡터 다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.

상대 K군()은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다. 가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 의 에 대한 상대 K군 는 다음과 같다.

여기서 의 점은 물론 이다.

가 (콤팩트하지 않을 수 있는) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, 콤팩트 지지 K군() 는 그 알렉산드로프 콤팩트화 의 축소 K군이다.

물론, 만약 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,

이다.

고차 K군 
−n차 축소 K군 는 다음과 같다.

여기서 는 위상 공간의 분쇄곱이고, 은 차원 초구다. 여기서 이므로, 의 정의는 일관적이다. 또한 이므로, 이다.

−n차 (비축소) K군 는 그 알렉산드로프 콤팩트화 의 축소 K군이다.

고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다.
 
 .
이를 보트 주기성()이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군 ,  등을 정의할 수 있다.

안정 벡터 다발을 통한 정의 
콤팩트 하우스도르프 공간 가 주어졌다고 하자.  위의 두 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발 ,  사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

여기서 은 차원 자명한 복소수 벡터 다발이며, 우변의 은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다.

이 동치 관계에 대한 동치류를 안정 벡터 다발(安定vector다발, )이라고 한다. 안정 벡터 다발들은 직합에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 이는 사실 아벨 군이다. 이를 의 0차 축소 K군 이라고 한다.

분류 공간을 통한 정의 
기호 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 군의 포함 관계

에 대한 분류 공간의 포함 관계

가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간  위의 -벡터 다발 가 주어졌을 때, -벡터 다발 를 취하는 것이다 (는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, 귀납적 극한

를 취할 수 있다.

이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. 직교군 의 분류 공간 은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군 의 분류 공간 은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수 차원 부분 공간들의 공간이다.

가 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면, 의 K군은 다음과 같다.

여기서 는  호모토피류들의 집합이다.

만약, 가 차원 연결 공간이고 일 때,

이 성립한다.

성질

함자성 
가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 함자를 정의한다.

여기서
 는 위상 공간의 호모토피 범주이다.
 은 가환환의 범주이다.
 은 가환군의 범주이다.
 은 반대 범주이다.

즉, 연속 함수 가 주어지면, 이에 따라 환 준동형 가 존재한다.

또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 점을 가진 공간의 범주 위의 함자를 정의한다.

특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다.

보트 주기성 
다음이 성립한다.

분류 공간으로서, 이는 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다.

코호몰로지 
위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 이어야 하지만, K이론에서는 이다.)

천 지표 
천 지표 는  위의 벡터 다발들의 가환 모노이드 로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 로 가는 모노이드 준동형이다. 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형 로 확장된다. 즉, 라고 하면,

이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형  또한 존재한다.

고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.

이므로, 이를 사용하여 천 지표를

로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는 와  사이의 동형 사상이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.

마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.

예

축약 가능 공간 
하나의 점을 포함하는 공간 의 K군들은 다음과 같다.

K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 1점 공간 의 K군과 같다.

이에 따라, 축소 K군의 경우

임을 알 수 있다.

초구 
초구 의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.

초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다.

초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.

기타 공간 
복소수 사영 공간 의 K군들은 다음과 같다.

원환면 의 K군들은 다음과 같다.

역사 
마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다.

참고 문헌 

 

대수적 위상수학
K이론