오일러 수 (조합론)

조합론에서 오일러 수(Euler數, )는 주어진 개수의 역행을 가지는 순열을 세는 수이다.

정의 
오일러 수는 다음과 같다.

이를 이나 으로 쓰기도 한다.

오일러 수 는 정수의 집합 의 순열  가운데, 인 가 정확히 개 있는 순열들의 개수이다. 즉, 순열을 기본적으로 증가하는 것으로 간주할 경우, "역행"이 번 일어나는 원소 순열의 개수이다.

오일러 다항식 은 오일러 수를 계수로 하는 다항식이다.

역사 

오일러 수와 오일러 다항식은 1755년에 레온하르트 오일러의 책 《미분학의 기초 및 유한 해석과 급수에 대한 응용》()에 최초로 등장한다. 여기서 등장하는 다항식 ,  등은 오늘날 오일러 다항식와 약간의 차이를 보이지만 기본적으로 같은 대상이다.

표 
낮은 차수의 오일러 수는 다음과 같다.  이러한 표를 오일러 삼각형이라고 하며, 파스칼 삼각형과 여러 유사한 성질을 가진다. n번째 행의 수들의 합은 이다.
{| class="wikitable"
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! n \ m
! width="50" | 0
! width="50" | 1
! width="50" | 2
! width="50" | 3
! width="50" | 4
! width="50" | 5
! width="50" | 6
! width="50" | 7
! width="50" | 8
|-
! 1
| 1 || || || || || || || ||
|-
! 2
| 1 || 1 || || || || || || ||
|-
! 3
| 1 || 4 || 1 || || || || || ||
|-
! 4
| 1 || 11 || 11 || 1 || || || || ||
|-
! 5
| 1 || 26 || 66 || 26 || 1 || || || ||
|-
! 6
| 1 || 57 || 302 || 302 || 57 || 1 || || ||
|-
! 7
| 1 || 120 || 1191 || 2416 || 1191 || 120 || 1 || ||
|-
! 8
| 1 || 247 || 4293 || 15619 || 15619 || 4293 || 247 || 1 ||
|-
! 9
| 1 || 502 || 14608 || 88234 || 156190 || 88234 || 14608 || 502 || 1
|}

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

계승과 이항식 주제
정수열
열거조합론