코시 함수 방정식

코시 함수 방정식은 코시에 의해 제안된 것으로 알려진 다음 네 가지 형태의 함수방정식을 말한다.

가 를 만족하면 (단, k는 상수)이다.

증명
우선 는 임의의 실수 , 에 대해 구간 에서 유계임을 대전제로 갖는다.
위의 식을 만족하는 에 대해서는  가 성립한다.(n은 정수)
(n은 정수)의 식을 이용하여 수학적 귀납법을 이용하면 위와 같은 결과가 나온다.
가 에서 아래로 유계이고  라 가정하고 라는 함수를 새롭게 정의하자.
 
이 때, 원식을 이용하면 임을 확인할 수 있다.
y에 d를 대입하게 되면 이라는 식을 얻게 되어 가 주기가 인 주기함수임을 알 수 있게 된다.

와 가 일정구간 안에서 무조건 아래로 유계이므로  또한 유계이다.
그리고 위에서 밝혔듯이 는 주기함수이기 때문에 는 실수전체에서 유계이다.

0이 아닌 실수 m이 존재한다고 가정하자. 그러면 g(x)도 f(x)와 동일한 함수방정식을 만족하므로 자연수 n에 대해 g(nm)=ng(m)이다. 그렇다면 n을 충분히 크거나 작은 수로 설정하면 무한히 크거나 작은 수를 만들 수 있고, 이는 g(x)가 실수전체에서 유계라는 가정에 모순이다. 그러므로 g(m)이 0이 아닌 m은 존재할 수 없고 모든 실수에 대해 g(x)=0이다. 따라서 f(x)=(f(d)/d)x가 성립한다. f(d)/d=k라고 설정하면 f(x)=kx가 성립한다.

가 를 만족하면 (단, a는 양의 실수)이다.
가 를 만족하면 (단, 인 실수)이다.
가 를 만족하면 (단, n는 실수)이다.

선택 공리가 참이라면 상수배함수가 아닌 해가 존재한다.

같이 보기 
 가법성

각주 

함수 방정식
오귀스탱 루이 코시