타이히뮐러 공간

수학에서 타이히뮐러 공간()은 주어진 (위상수학적) 곡면의 복소 구조들의 모듈라이 공간이다. 이는 자연스럽게 복소 구조 및 다양한 계량들을 가진다.

역사 및 어원 
오스발트 타이히뮐러()의 이름을 땄다.

정의 
2차원 다양체  위에 복소 구조들의 집합을 라고 하자. 여기에, 다음과 같은 동치관계를 정의하자.

여기서 는 위상동형사상 들의 군이며, 는 그 가운데 단위원(항등함수)을 포함하는 연결 성분인 부분군이다. 이 동치관계에 대한 동치류 는 자연스럽게 유한차원 다양체를 이루며, 또한 자연스러운 복소 구조가 존재한다.

복소 구조의 모듈라이 공간은  대신 를 사용하여 정의한다. 따라서,

이므로, 복소 구조의 모듈러스 공간은 타이히뮐러 공간에 에 대한 몫공간을 취한 오비폴드다. 여기서 는 의 사상류군()이다. 타이히뮐러 공간과 모듈러스 공간의 차이에 대하여, 윌리엄 서스턴은 다음과 같이 적었다.

종수가 이고, 개의 점을 제거한 리만 곡면 의 타이히뮐러 공간을 으로 쓰며, 복소 모듈러스 공간을 이라고 쓴다. 즉,

이다.

성질

차원 
타이히뮐러 공간 의 접공간은 다음과 같다.

여기서
 는  위의 정칙 벡터 다발들의 선다발의 인자이다.
 는 리만 곡면의 표준 선다발의 인자이다.
두 번째 등식은 세르 쌍대성에 의한 것이다. 즉, 그 공변접공간은 이차 미분(선다발 의 단면)으로 구성된다.

인 경우, 타이히뮐러 공간 의 차원은 다음과 같다.

일 때의 유도:
타이히뮐러 공간의 차원은 그 공변접공간의 차원과 같다.

일 경우, 이는 리만 구이다. 그 위의 모든 선다발은 의 꼴이며, 그 가운데 대역적 단면을 갖는 것은 자명한 선다발  밖에 없다. 특히, 이며, 타이히뮐러 공간은 한원소 공간이다.

리만-로흐 정리에 따라,

이다. 그런데

이다. 즉,

이다. 여기서 는  위의 정칙 벡터장들의 공간의 차원이다. 이면 이러한 벡터장이 존재하지 않으므로,

이다. 일 경우, 복소수 원환면 전체에 정의되는 정칙 벡터장은 상수 벡터장이며, 그 공간은 1차원이다. 따라서

이다. 일 경우, 이며, 이므로

이다. 따라서

이다.

베유-페테르손 계량 
타이히뮐러 공간 위에는 베유-페테르손 계량()이라는 켈러 구조가 존재한다. 이는 사상류군의 작용에 불변이며, 따라서 리만 곡면의 모듈러스 공간 (즉, 복소 구조 모듈러스 공간) 위에도 존재한다.

이 경우, 임의의 접벡터 에 대하여, 베유-페테르손 계량은 다음과 같다.

여기서 우변은 코호몰로지류를 미분 형식으로 나타낸 것이며, 동치류의 원소의 선택에 의존하지 않는다.

콤팩트화 
타이히뮐러 공간에는 자연스러운 콤팩트화가 존재한다. 이는 윌리엄 서스턴이 도입하였고, 서스턴 콤팩트화()라고 한다. 이 밖에도 다른 여러 콤팩트화를 정의할 수 있지만, 서스턴 콤팩트화에서는 모듈러 군의 작용이 콤팩트화 타이히뮐러 공간 전체에 연속적으로 작용하게 되므로 가장 많이 쓰인다.

모듈러스 공간 의 경우, 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화() 또는 크누드센-들리뉴-멈퍼드 콤팩트화() 또는 안정 콤팩트화()가 존재한다. 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화 모듈러스 공간 위에서, 베유-페테르손 계량은 완비 계량이다.

예

종수 0 
종수가 0인 리만 곡면은 리만 구면 이 유일하다. 즉, 복소 모듈러스 공간 은 하나의 점만을 포함한다.

타이히뮐러 공간 , , , 은 모두 하나의 점만을 포함한다. 이는 뫼비우스 변환을 사용하여, 임의의 3개의 점을 다른 임의의 점으로 보낼 수 있기 때문이다. 즉, 서로 다른 3개의 점 이 주어진다면, 다음과 같은 뫼비우스 변환을 사용해 이들을 각각 로 보낼 수 있다.

는 1차원으로, 복소 상반평면 와 동형이다. 이 경우 복소 모듈러스 공간은 이다. 여기에 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화를 가하면 삭제된 점들이 추가돼 이 된다.

일반적으로, 모듈러스 공간 은 다음과 같다.

여기서
 는 두 개 이상의 좌표가 겹치는 점들의 집합이다.
 는 에 작용하는 뫼비우스 변환들의 군이며, 에는 대각형(diagonal)으로 작용한다.

종수 1 

종수 1의 리만 곡면은 (비특이 복소) 타원 곡선이다. 이는 복소 평면에 2차원 격자에 대한 몫공간을 취해 얻을 수 있다.
 ()
복소 구조는 두 주기의 비 에만 의존하게 된다. 이 경우, 복소 구조 모듈러스 공간 은 상반평면 에 다음과 같은 몫공간을 취한 오비폴드이다.
 ()
이 경우, 사상류군

은 모듈러 군이라고 한다. 이 경우 타이히뮐러 공간은 물론 이다.
이 몫공간은 다음과 같은 기본 영역(基本領域, )으로 나타낼 수 있다.

타원 곡선 모듈라이 공간 는 위상수학적으로 와 위상동형이다. 여기에 서스턴 콤팩트화(Thurston compactification)을 통해 와 위상동형인 콤팩트화 모듈러스 공간 을 정의할 수 있다. 이 경우, 추가된 점은 기본 영역에서 에 해당한다.
이 경우, 위상동형사상은 j-불변량 으로 주어진다.

, 은 모두 복소 상반평면 와 동형이다.

종수 2 이상 
종수 2 이상의 경우, 차원 공식에 따라서 복소 모듈러스 공간 및 타이히뮐러 공간은 유한차원이다. 이 경우, 그 사상류군은 타이히뮐러 모듈러 군()이라고 한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

리만 곡면
모듈라이 이론
기하군론