모듈러 람다 함수

수학에서 모듈러 람다 함수()는 합동 부분군 에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 이 함수를 통해, 타원 곡선은 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다.

정의 
가 복소 상반평면이라고 하자. 모듈러 람다 함수 는 바이어슈트라스 타원함수로 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 이라면,

이다. 또한, 야코비 세타 함수나 데데킨트 에타 함수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

성질 
바이어슈트라스 타원함수 는 타원 곡선에서 리만 구면 으로 가는 함수이며, 이는 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다. 이 피복사상은 4개의 점

에서 분기화하며, 모듈러 람다 함수는 이 점들의 비조화비(anharmonic ratio)이다.

이에 따라, 는 비조화군(anharmonic group) 의 작용에 따라 변환한다.

함수 방정식 
모듈러 람다 함수 는 합동 부분군 에 대해 불변이다. 즉, 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 모든 에 대하여, 다음이 성립한다.

이에 따라, 모듈러 람다 함수는 종수 0의 리만 곡면인 모듈러 곡선 와 리만 구면  사이의 구체적인 동형사상을 정의한다.
모듈러 군 에 대해서는 다음과 같이 변환한다.

급수 전개 
에 대한 급수 전개는 다음과 같다.

타원의 모듈러스

정의 및 계산 
함수 λ*(x) 람다 별은 타원 모듈러스를 제공하므로 모듈러스 자체의 완전한 타원 적분으로 나눈 모듈러스의 반대 피타고라스의 완전한 타원 적분의 몫은 x의 제곱근과 같다.

K는 제 1 종 완전 타원 적분이다.

함수 λ*(x)의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다: 

함수 λ*(x) 및 λ(x)는 다음과 같이 서로 관련된다:

성질 및 값 
양의 유리수의 모든 λ*(x)-값은 대수적이다.

다음 표현식은 모든 n ∈ ℕ에 유효한다:

표현 dn은 진폭의 델타 야코비 타원함수를 나타낸다.

하나의 람다 값에서 다음과 같이 다른 람다 값이 파생 될 수 있다.

표현 sn은 진폭의 사인 야코비 타원함수를 나타낸다.

그 표현에서 n은 자연수 ℕ에 속해야한다.

이 모든 방정식도 유효하다:

홀수 (8z+1) 위치의 람다 값:

홀수 (8z+5) 위치의 람다 값:

홀수 (4z+3) 위치의 람다 값:

짝수 (8z+2) 위치의 람다 값:

짝수 (8z+6) 위치의 람다 값:

짝수 4z 위치의 람다 값:

참고 문헌

외부 링크 
 
http://amsacta.unibo.it/3883/1/JNT3-2013PostUnibo.pdf
https://arxiv.org/pdf/2006.12034.pdf

모듈러 형식
타원함수