아이젠슈타인 정수

수론에서 아이젠슈타인 정수()는 아래의 꼴로 표현될 수 있는 복소수를 말한다. 독일의 수학자 고트홀트 아이젠슈타인의 이름이 붙어 있다.

여기서 는 1의 세제곱근이다.

성질 
아이젠슈타인 정수는 원분체 의 대수적 정수환이며, 유클리드 정역을 이룬다. 그 가역원군은 6개의 원소를 가지는 순환군이며, 다음과 같다.

아이젠슈타인 소수 

아이젠슈타인 정수들은 유클리드 정역이므로, 유일 소인수분해를 가진다. 이에 따른 소수들을 아이젠슈타인 소수()라고 한다. 이들은 다음과 같다. (편의상, 통상적인, 즉 에서의 소수를 유리소수라고 하자.)

아이젠슈타인 정수 가 아이젠슈타인 소수일 필요충분조건은 다음과 같다.
 는 가역원과 인 유리소수 의 곱과 같거나,
 아니면 는 유리소수이다. (이 경우 항상 이다.)
따라서, 아이젠슈타인 소수의 목록은 다음과 같다.
 갈리지 않는 (유리소수인) 아이젠슈타인 소수.
2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, … 
 실수가 아닌 아이젠슈타인 소수
2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω, …

유리소수이지만 아이젠슈타인 소수가 아닌 수들은 다음과 같다.
3 = −(1 + 2ω)2, 7 = (3 + ω)(2 − ω), …

외부 링크

같이 보기 
 가우스 정수
 이차 정수

복소수
격자점