비조화비

사영기하학에서, 비조화비(非調和比, ) 또는 복비(複比, )는 같은 직선 위에 있는 네 점의 유일한 사영 불변량이다.

정의 
같은 실수 또는 복소 직선 위에 있는 네 점 의 비조화비 는 다음과 같다.

대칭군의 작용 
네 점의 순서를 바꾸면, 비조화비 는 다음과 같이 변환한다.

이는 대칭군 의 작용으로 볼 수 있다. 다만,  가운데 일부 원소들은 자명하게 작용한다.

의 작용의 핵은 클라인 4원군 이며, 따라서 이는 사실 의 작용이 된다. 이 군을 비조화군(非調和群, )이라고 하며, 이는 모듈러 군 의 꼬임 부분군 에 대응한다.

조화비 
비조화군의 작용의 궤도 는 보통 크기가 6이지만, 예외적인 경우 크기가 이보다 작을 수 있다.

이러한 궤도는 세 가지가 있다.
 첫 번째 예외적 궤도는 이며, 이는 네 좌표  가운데 둘이 서로 겹치는 경우이다.
 두 번째 예외적 궤도는 이며, 이를 조화비(調和比, )라고 한다. 이는 차수가 2인 원소 , , 에 대응한다.
 세 번째로, 복소수체에 대한 경우 궤도 가 있다. 이는 차수가 3인 원소  및 에 대응한다.

응용 
쌍곡기하학의 벨트라미-클라인 모형에서, 두 점 사이의 쌍곡 거리는 이 두 점 사이의 (유클리드) 비조화비에 의해 주어진다.

복소 평면에서, 세 개의 점 을 잡으면, 바이어슈트라스 타원함수 는 를 분지점으로 하는, 복소 평면에서 타원 곡선 으로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 분지점들의 비조화비는 모듈러 람다 함수에 의해 주어지며, 그 값은 비조화군의 작용에 따라 변환한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

사영기하학
비 (수학)