브뤼아 분해

리 군 이론에서, 브뤼아 분해()는 가우스-요르단 소거법을 임의의 리 군에 대하여 일반화한 분해이다.

정의 
가 대수적으로 닫힌 체에 대한 연결 가약군이라고 하자. 그렇다면, 의 보렐 부분군(최대 가해 부분군)을 라고 하며, 의 바일 군을 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

여기서

는 양방향 잉여류이며, 은 서로소 합집합을 의미한다.

예 
가 대수적으로 닫힌 체라고 하고, 가 일반선형군 라고 하자. 그렇다면 그 보렐 부분군은 상삼각행렬군

이며, 그 바일 군은 대칭군 이다. 그렇다면 브뤼아 분해에 따라서 임의의 가역 정사각행렬 을 다음과 같이 분해할 수 있다.

여기서 이며, 는 치환행렬(permutation matrix)이다. 즉,

이다. 따라서, 모든 가역행렬은 양쪽에 상삼각행렬들을 곱해 치환행렬로 놓을 수 있다. 이것은 사실상 연립일차방정식의 풀이와 같으며, 즉 가우스 소거법에 해당한다.

슈베르트 세포와의 관계 
리 군을 그 보렐 부분군에 대하여 잉여류 공간을 취한 몫공간을 (일반화) 깃발 공간()이라고 하며, 브뤼아 분해는 깃발 공간의 세포 분해를 정의한다. 이 경우, 바일 군의 각 원소는 깃발 공간의 세포에 대응하며, 이를 슈베르트 세포()라고 한다. 슈베르트 세포의 차원은 대응하는 바일 군의 (콕서터 군으로서의) 단어 길이(, 군의 원소를 반사들의 합성으로 썼을 때 반사들의 수의 최솟값)이다.

예를 들어, 최고차 슈베르트 세포는 유일하며, 이는 콕서터 군의 유일한 최장(最長) 원소에 대응한다.

역사 
프랑수아 브뤼아()가 고전군에 대하여 정의하였고, 이를 클로드 슈발레가 일반화하였다.

참고 문헌

같이 보기 
 이와사와 분해

외부 링크 
 

리 군
대수군