위상 끈 이론

이론물리학에서 위상 끈 이론(位相끈理論, )는 끈 이론의 단순한 종류의 하나이다. 이 경우, 끈의 세계면 위에 존재하는 이론은 통상적인 끈 이론과 달리, 국소적인 자유도를 갖지 않는다. 정확히 말하자면, 위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원 위튼형 위상 양자장론을 이룬다. A형과 B형 두 종류가 있으며, 이들은 서로 거울 대칭에 의하여 연관된다.

전개 
위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원  초등각 장론이다. (이는 일반적인 끈 이론의  초대칭과 다르다.) 이 경우 R대칭은 U(1)V×U(1)A이다. 이 두 성분 가운데 하나를 로런츠 대칭 SO(2)=U(1)E과 대응시켜, 위상적 뒤틂(topological twist)을 가하여 위튼형 위상 양자장론을 만들 수 있다. U(1)V로 뒤틀면 A-모형(), U(1)A로 뒤틀면 B-모형()을 얻는다.

만약 세계면 이론이 등각 대칭을 갖지 않는다면 U(1)A 대칭은 깨지게 된다. 이 경우는 오직 A-모형만을 정의할 수 있다. 예를 들어, 과녁 공간이 (칼라비-야우 다양체이 아닌) 켈러 다양체인 시그마 모형의 경우, 오직 A-모형만이 존재한다.

반대로, 과녁 공간이 이고 초퍼텐셜을 가진 란다우-긴즈부르크 모형()의 경우, 초퍼텐셜이 특수한 형태가 아니라면 U(1)V 대칭이 고전적으로 깨지게 된다. 이 경우는 오직 B-모형만을 정의할 수 있다.

A-모형과 B-모형은 거울 대칭에 의하여 서로 연관된다.

위상 시그마 모형 
이 콤팩트 칼라비-야우 다양체라고 하고, 가 콤팩트 리만 곡면(=세계면)이라고 하자. 그렇다면  위에 2차원  시그마 모형을 다음과 같이 정의하자.
 는 매끄러운 함수이다. 여기서 은 의 (비정칙) 접다발의 전체 공간이며, 이 경우 이다.
이들은 손지기 초장

으로 포함하여 쓸 수 있다. (나머지 성분들은 보조장이거나,  및 의 도함수로 구성된다.)
이들은 R대칭에 대하여 다음과 같은 전하를 갖는다.

즉, 초장 는 로런츠 스칼라이자 모든 R대칭에 대하여 중성이다. 기호에서 윗첨자 ±는 뒤틀기 전 로런츠 스핀을 나타내며, 아랫첨자 ±는 로런츠 스핀의 반대 부호이다.

이 시그마 모형의 두 가지 위상 뒤틂은 각각 다음과 같다.

다른 이론과의 관계 
A모형의 관측 가능량들은 수학적으로 그로모프-위튼 불변량()이라는 이름으로 엄밀히 정의되며, 이는 양자 코호몰로지()를 정의한다.

유효 이론 
일반적으로, (초)끈 이론은 낮은 에너지에서 (초)중력 유효 이론을 이룬다. A형 위상 끈 이론의 유효 이론은 켈러 중력()이라고 불리며, 특수한 경우 천-사이먼스 이론으로 해석할 수 있다. B형 위상 끈 이론의 유효 이론은 고다이라-스펜서 중력()이다.

쌍대성 
고파쿠마르-바파 쌍대성()에 따르면, 코니폴드 위의 열린 끈 A모형은 U(N) 천-사이먼스 이론의 큰  극한과 같다. 이는 라제시 고파쿠마르와 캄란 바파가 발견하였다.

A모형 위상 끈 이론은 또한 통계역학의 결정 융해 모형과 서로 쌍대적이라고 추측된다.

초대칭 게이지 이론 
A모형 위상 끈 이론은 4차원 또는 5차원  초대칭 게이지 이론의 프리퍼텐셜()을 계산하는 데 쓰인다. B모형 위상 끈 이론은 4차원  초대칭 게이지 이론의 초퍼텐셜()을 계산하는 데 쓰인다.

A모형 계산은 또한 BPS 블랙홀의 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 계산하는 데 쓰인다.

역사 
에드워드 위튼이 1988년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

끈 이론