열린 함수와 닫힌 함수

일반위상수학에서 열린 함수(-函數, )는 열린집합의 상이 열린집합인 함수다. 마찬가지로, 닫힌 함수(-函數, )는 닫힌집합의 상이 닫힌집합인 함수다.

정의 
위상 공간  사이의 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 열린 함수라고 한다.
 모든 열린집합 에 대하여 가 열린집합이다.
 모든 에 대하여 가 열린집합인 의 기저 가 존재한다.
 임의의  및 그 열린 근방 에 대하여, 인 의 열린 근방 가 존재한다.
 임의의 에 대하여, 이다. 여기서 는 내부이다.

위상 공간  사이의 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 닫힌 함수라고 한다.
 모든 닫힌집합 에 대하여, 가 닫힌집합이다.
 임의의 에 대하여, 이다. 여기서 은 폐포이다.

성질 
함수 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 위상 동형이다.
 전단사 연속 열린 함수이다.
 전단사 연속 닫힌 함수이다.

만약 가 이산 공간이라면, 모든 함수 는 열린 함수이며 닫힌 함수이다 (그러나 연속 함수일 필요는 없다).

두 개의 열린 함수의 합성은 열린 함수이다. 마찬가지로, 두 개의 닫힌 함수의 합성은 닫힌 함수이다.

위상 공간들의 집합 의 곱공간 이 주어졌을 때, 자연스러운 사영 은 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수일 필요는 없다.

만약 가 콤팩트 공간이라면, 사영 는 닫힌 사상이다 (튜브 보조정리).

스킴 사상 
두 스킴 사이의 열린 사상 또는 닫힌 사상은 (연속 함수로서) 열린 함수 또는 닫힌 함수를 이루는 스킴 사상이다.

열린 사상과 닫힌 사상은 밑 변환에 대하여 불안정하다. 보편 열린 사상()/보편 닫힌 사상()은 다음 조건을 만족시키는 스킴 사상 이다.
임의의 스킴 사상 에 대하여, 밑 변환 은 열린 사상/닫힌 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
닫힌 사상 ∩ 준콤팩트 함수 ⊋ 보편 닫힌 사상 ⊋ 고유 사상 ⊋ 닫힌 몰입 ⊋ 스킴 동형
열린 사상 ⊋ 보편 열린 사상 ⊋ 국소 유한 표시 평탄 사상 ⊋ 열린 몰입 ⊋ 스킴 동형

가 열린 사상 · 닫힌 사상 · 보편 열린 사상 · 보편 닫힌 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 (합성에 대한 닫힘) 에 대하여, 만약 와 가 -사상이라면  역시 -사상이다.
 (fpqc 위상에서의 내림) 에 대하여, 만약 밑 변환 가 -사상이며, 가 fpqc 사상이라면  역시 -사상이다.
여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

예

열린 함수가 아닌 연속 닫힌 함수 
함수

는 연속 함수이며 닫힌 함수이지만, 열린 함수가 아니다. 예를 들어, 열린집합 의 상은 이므로 열린집합이 아니다.

연속 함수가 아닌 열린 닫힌 함수 
함수

는 (가 이산 공간이므로) 열린 함수이며, 닫힌 함수이다. 그러나 이는 연속 함수가 아니다.

함수

는 전단사 함수이며, 열린 함수이며, 닫힌 함수이지만, 연속 함수가 아니다.

닫힌 함수가 아닌 연속 열린 함수 
사영 함수

는 전사 함수이며 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수가 아니다. 예를 들어, 닫힌집합 의 상은 이므로 닫힌집합이 아니다.

외부 링크

같이 보기 
 고유 함수
 열린 사상 정리 (함수해석학)

일반위상수학
연속 함수
보조정리