접촉기하학

접촉기하학(接觸幾何學, )은 접촉 구조를 연구하는, 미분기하학의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 심플렉틱 기하학에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다.

정의 
이 차원의 매끄러운 다양체라고 하자.  위의 접촉 형식(接觸形式, )는 다음과 같은 조건을 만족하는 1차 미분 형식 이다.
 .
접촉 형식들의 집합에 다음과 같은 동치관계를 정의하자. 가 어디서나 0이 아닌 연속함수라면,
.
이 동치관계에 대한 동치류 를 접촉 구조(接觸構造, )라고 한다. 즉, 같은 동치류에 속하는 서로 다른 두 접촉 형식은 같은 접촉 구조를 정의한다. 또한, 접촉 형식이 국소적으로만 존재하는 경우도 있는데, 이 경우 접촉 형식들이 국소적으로 존재하여, 그 이어붙이는 구간에 서로 동치여야 한다. 이는 심플렉틱 기하학에서 심플렉틱 퍼텐셜이 국소적으로만 존재하는 것과 마찬가지다.

접촉 구조를 갖춘 매끄러운 다양체를 접촉다양체(接觸多樣體, )라고 한다.

레브 벡터장 
접촉 형식 가 주어지면, 레브 벡터장(Reeb vector場, )은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 벡터장 이다.
  (는 내부적()
 .
이 벡터장은 접촉 형식에 의존한다. 즉, 같은 접촉 구조를 나타내는 접촉 형식도 다른 레브 벡터장을 가질 수 있다.

르장드르 부분다양체 
심플렉틱 다양체에는 자연스럽게 라그랑주 부분 다양체를 정의할 수 있다. 마찬가지로 접촉다양체에도 자연스러운 부분 다양체의 개념이 존재하는데, 이를 르장드르 부분 다양체()라고 한다. 이 접촉다양체이고, 가 그 (국소적) 접촉 형식이라면, 다음을 만족하는 부분다양체 을 의 르장드르 부분 다양체라고 한다.
 모든 에서, .
이 조건은 접촉 형식의 선택에 의존하지 않는다. 즉, 서로 동치인 두 접촉 형식은 같은 르장드르 부분다양체를 정의한다.

접촉다양체의 심플렉틱화 
차원 접촉다양체 이 주어지면, 다음과 같이 을 부분 다양체로 갖는 차원 심플렉틱 다양체 를 다음과 같이 정의할 수 있는데, 이를 심플렉틱화(symplectic化, )라고 한다.

다양체로서, 이다. 여기에 다음과 같이 심플렉틱 형식 를 정의할 수 있다. 의 국소좌표계 를 잡고, 가 벡터 다발의 좌표라고 하자. 또한, 가 의 접촉 형식이라고 하자. 그렇다면 에 다음과 같이 심플렉틱 형식을 정의할 수 있다.
.

해밀턴 역학과의 관계 
해밀토니언이 시간에 의존하지 않는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 심플렉틱 기하학으로 다루어진다. 해밀토니언이 시간에 의존하는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 접촉기하학으로 다루어진다.

일반화 위치 와 일반화 운동량 , 시간 를 좌표로 하는 차원 공간 을 생각하자. 이를 확장 위상 공간()이라고 한다. 해밀토니언 는 확장 위상 공간 위에 정의된 함수다. 그렇다면 여기에 다음과 같은 접촉 형식 를 정의할 수 있다.
.
이로써 확장 위상 공간은 접촉다양체의 구조를 가진다.

이 접촉 형식의 레브 벡터장은 다음과 같다.
.
여기서

는 라그랑지언이다.

물리량 의 시간 변화는 다음과 같다.
.
(여기서 이다.) 시간 대신 작용 를 변수로 하면 다음과 같다.
.

참고 문헌 
 
 
 Geiges, H. An Introduction to Contact Topology, Cambridge University Press, 2008.
 Aebischer et al. Symplectic geometry, Birkhäuser (1994), 
 V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (1989),

같이 보기 
 사사키 다양체
 심플렉틱 다양체

외부 링크 
 

다양체 상의 구조
미분기하학