소 매듭

매듭 이론에서 소 매듭(素-, )은 자명한 매듭이 아니며, 다른 매듭의 연결합으로 나타내어질 수 없는 매듭이다.

정의

매듭의 연결합 
다음이 주어졌다고 하자.
 두 유향 매듭 
그렇다면, 다음과 같은 연산을 생각할 수 있다.
 두 매듭의 그림을 임의로 고른다.

 이 두 매듭의 그림에서, 서로 반대 방향을 향하는 두 변들을 고른다.

 이 두 변들을 잇는다.

이 연산에 따라, 유향 매듭들은 가환 모노이드를 이룬다. (그러나 이 연산은 매듭의 방향에 의존한다.) 이 연산을 매듭의 연결합이라고 하고, 로 표기하자. 이 연산은 다음을 만족시킨다.

여기서 는 유항 매듭 에서, 반대 방향을 부여한 유향 매듭이다. 그러나 일반적으로

이다. (예를 들어, 두 세잎매듭의 연결합은 방향에 따라 두 가지가 있다.)

소 매듭 
두 유향 매듭의 , 의 매듭 연결합이 자명한 매듭일 필요 충분 조건은 와  둘 다 자명한 매듭인 것이다. 또한, 자명한 매듭은 매듭 연결합의 항등원이다.

이제, 유향 매듭 이 다음 조건을 만족시킨다면, 유향 소 매듭이라고 한다.
 일 때, 와  가운데 하나가 자명한 매듭이며, 다른 하나는 자명한 매듭이 아니다.
유향 매듭 가 유향 소 매듭일 필요 충분 조건은 가 유향 소 매듭인 것이다. 즉, 이 조건은 매듭의 방향에 의존하지 않는다. 이에 따라, 임의로 방향을 부여하였을 때 유향 소 매듭이 되는 매듭을 소 매듭이라고 한다. (특히, 자명한 매듭은 소 매듭이 아니다.)

성질 
모든 유향 매듭은 유한 개의 유향 소 매듭들의 연결합으로 유일하게 표현된다. (이 정리가 성립하려면, 자명한 매듭이 소 매듭이 될 수 없다.)

각 교차수에 따라, 소 매듭의 수는 다음과 같다. 
{| class=wikitable style="text-align: right"
! 교차수
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16
|-
! 소 매듭의 수
| 0 || 0 || 1 || 1 || 2 || 3 || 7 || 21 || 49 || 165 || 552 || 2176 || 9988 || 46972 || 253293 || 1388705
|}

목록 
교차수가 7 이하인 소 매듭들의 목록은 다음과 같다.
{| class="wikitable sortable" style="text-align:center"
! 이름 !! 그림 !! 알렉산더-브리그스 표기법 !! 시슬스웨이트 표기법 !! 다우커 표기법 !! 콘웨이 표기법
|-
| 세잎매듭
| 
| 31
| 3a1
| 4 6 2
| [3]
|-
| 8자 매듭
| 
| 41
| 4a1
| 4 6 8 2
| [22]
|-
| 다섯잎매듭
| 
| 51
| 5a2
| 6 8 10 2 4
| [5]
|-
| 3겹 뒤튼 매듭
| 
| 52
| 5a1
| 4 8 10 2 6
| [32]
|-
| 하역 매듭
| 
| 61
| 6a3
| 4 8 12 10 2 6
| [42]
|-
| 밀러 연구소 매듭
| 
| 62
| 6a2
| 4 8 10 12 2 6
| [312]
|-
| 
| 
| 63
| 6a1
| 4 8 10 2 12 6
| [2112]
|-
| 일곱잎매듭
| 
| 71
| 7a7
| 8 10 12 14 2 4 6
| [7]
|-
| 5겹 뒤튼 매듭
| 
| 72
| 7a4
| 4 10 14 12 2 8 6
| [52]
|-
| 
| 
| 73
| 7a5
| 6 10 12 14 2 4 8
| [43]
|-
| 
| 
| 74
| 7a6
| 6 10 12 14 4 2 8
| [313]
|-
| 
| 
| 75
| 7a3
| 4 10 12 14 2 8 6
| [322]
|-
| 
| 
| 76
| 7a2
| 4 8 12 2 14 6 10
| [2212]
|-
| 
| 
| 77
| 7a1
| 4 8 10 12 2 14 6
| [21112]
|}

여기서, 사용된 표기법은 다음과 같다.
 알렉산더-브리그스 표기법(): 제임스 워델 알렉산더와 갈런드 버드 브리그스()의 1927년 논문에서 최초로 사용되었으며, 이후 데일 롤프슨()이 그 목록을 확장하였다. 이 표기법에서, 은 교차수 을 갖는 소 매듭을 뜻하며, 은 같은 교차수 속에서 임의로 순서를 매긴 것이다.
 시슬스웨이트 표기법(): 모원 시슬스웨이트()가 도입하였다.
 다우커 표기법(): 클리퍼드 휴 다우커()가 도입하였다.
 콘웨이 표기법(): 존 호턴 콘웨이가 도입하였다.

역사 
일부 소 매듭의 어원은 다음과 같다.
 세잎매듭() · 다섯잎매듭() · 일곱잎매듭(): 매듭의 모양을 세잎 토끼풀 및 (가상의) 다섯잎· 일곱잎 토끼풀에 빗댄 것이다.
 8자 매듭() 매듭의 중앙에 아라비아 숫자 8과 비슷한 모양이 있다.
  3겹 뒤튼 매듭() · 5겹 뒤튼 매듭(): 맨 위에 3번 · 5번 뒤튼 모양이 있다. (1겹 뒤튼 매듭은 세잎매듭과 같으며, 2겹 뒤튼 매듭은 8자 매듭과 같으며, 4겹 뒤튼 매듭은 하역 매듭과 같다.)
 하역 매듭(荷役-, ): 부두에서 짐을 싣거나 내릴 때 이 매듭을 사용했다고 한다. 는 항만(港灣) 노동자를 뜻한다.
 밀러 연구소 매듭(): 미국 캘리포니아 대학교 버클리 밀러 기초 과학 연구소()의 로고에 이 매듭이 등장한다.

참고 문헌

외부 링크 

 
 

매듭 이론