초평면 (수학)

수학에서 초평면(超平面, )은 3차원 공간 속의 평면을 일반화하여 얻는 개념이다.

정의

벡터 초평면 
체  위의 벡터 공간 의 부분 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 의 벡터 초평면(超平面, )이라고 한다.
 몫벡터 공간 의 차원은 1이다.
 극대 진부분 벡터 공간이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시킨다.
 
 임의의 부분 벡터 공간 에 대하여, 만약 라면, 이거나 이다.
 다음 조건을 만족시키는 쌍대 공간 원소 가 존재한다.
 
  (여기서 는 핵이다.)

우선 가 의 극대 진부분 벡터 공간라고 가정하자. 임의의 를 고정하자. 그렇다면 다음과 같은 직합 분해가 성립한다.

따라서, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 쌍대 공간 원소 를 정의할 수 있다.

이 경우 이므로 이며, 또한 이다.

반대로 와 를 만족시키는 쌍대 공간 원소 가 존재한다고 가정하자. 그렇다면 이므로 이다. 임의의 를 고정하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

이므로

이다. 따라서

이며, 는 의 극대 진부분 벡터 공간이다.

아핀 초평면 
체  위의 아핀 공간 의 부분 아핀 공간 가 주어졌다고 하자. 만약  위의 평행 이동들의 벡터 공간 이  위의 평행 이동들의 벡터 공간 의 벡터 초평면이라면, 를 의 아핀 초평면(超平面, )이라고 한다.

사영 초평면 
체  위의 벡터 공간 으로부터 유도되는 사영 공간 의 사영 초평면(射影超平面, )은 벡터 초평면 으로부터 유도되는 부분 사영 공간 이다.

성질 
체  위의 유한 차원 벡터 공간 의 부분 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 벡터 초평면이다.

각주

외부 링크 
 
 
 
 

유클리드 기하학
선형대수학
아핀기하학
사영기하학