화살집 게이지 이론

양자장론에서 화살집 게이지 이론(화살집gauge異論, )은 특정한 꼴의 화살집으로 정의되는 게이지 이론이다.

정의 
편의상, 4차원 시공간의  초대칭 게이지 이론을 생각하자.

화살집 게이지 이론은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 유한 화살집 
 의 각 꼭짓점 에 대하여, 연결 콤팩트 리 군 . 이는 유니터리 군 , 특수 유니터리 군 , 특수 직교군 , 심플렉틱 군  가운데 하나이어야 한다.
이 경우, 화살집 게이지 이론은 다음과 같은 4차원  초대칭 게이지 이론이다.
 게이지 군은 이다.
 의 각 변 에 대하여, 정의 표현() 로 변환하는 손지기 초장 이 존재한다.

이러한 표현을 쌍기본 표현()이라고 한다. 예를 들어, 와  사이에 있는 변은 6차원 표현 으로 변환한다.

다른 차원의 경우도 마찬가지의 꼴로 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다.

화살집 도형은 특히 등각 게이지 이론을 나타내는 데 편하다. 화살집 도형의 구조로 이론이 등각 대칭을 보존하는지 여부를 쉽게 확인할 수 있다.

성질

변칙 상쇄 조건 
편의상, 4차원  SU(N)×…×SU(N) 양-밀스 이론을 생각하자. 이는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 유한 화살집 
 함수 . 즉, 각 꼭짓점 에 대하여, 2 이상의 정수 . 즉, 이 꼭짓점은 게이지 군 에 대응한다.

이제, 다음과 같은  부호 결합 행렬()을 정의하자.

그렇다면, 부호 인접 행렬()

을 정의할 수 있다.

또한, 을  열벡터로 간주하자.

에 대응되는 화살집 게이지 이론이 게이지 변칙을 갖지 않으려면, 다음 조건이 성립해야 한다.

이는 각 꼭짓점 에서, 기본 표현과 반기본 표현의 수의 합이 0이 되어야 하기 때문이다. (만약 일 경우, 대역적 위튼 변칙이 발생한다.)

끈 이론을 통한 구성 
일부 화살집 게이지 이론은 점근 국소 유클리드 공간 위에 평행한 D-막들을 놓았을 때, 이 D-막의 포갬 위에 존재하는 유효 장론으로 구성될 수 있다.

구체적으로, SU(2)의 유한 부분군 가 주어졌을 때, 의 뒤발 특이점

을 정의할 수 있다. 이는 오비폴드이므로, 이 위의 초끈 이론을 정의할 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 오비폴드의 특이점에 개의 D5-막을 배치하자. 그렇다면, 이 위에는 의 매케이 화살집에 해당하는 5+1차원  화살집 게이지 이론이 존재한다.

이는 오비폴드를 가하기 이전의 6차원  이론에 오비폴드를 가한 것으로 볼 수 있다. 이는 (의 언어를 사용하면) 하나의 딸림표현 벡터 초다중항과 하나의 딸림표현 하이퍼 초다중항으로 구성된다. 이론의 각 오비폴드 섹터는 일반적으로 천-페이턴 지표 공간 은 의 유니터리 표현으로 분류된다. 이러한 표현을 의 기약 표현으로 분해하자.

그렇다면, 이 경우  게이지 군은

로 깨지게 된다. (이 가운데 U(1) 성분은 나머지 성분과 상호작용하지 않아, 이는 로 여겨도 무방하다.) 하이퍼 초다중항의 경우, SU(2) R대칭의 2를 따라 변환하므로, 이들은 2에 대한 매케이 화살집의 변들에 해당하는 게이지 표현을 갖는다.

D5-막 대신 T-이중성을 가하여 6차원 이하의 임의의 차원에서 위와 같은 16개의 초전하를 갖는 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다. 예를 들어, 4차원의 경우 이는  초대칭에 해당한다.

마찬가지로, SU(3)의 유한 부분군 가 주어졌을 때, 의 오비폴드

를 생각할 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 오비폴드의 특이점에 개의 D3-막을 배치하자. 그렇다면, 이 위에는 의 매케이 화살집에 해당하는 3+1차원  화살집 게이지 이론이 존재한다. 이는 4차원 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론에서 R대칭 SU(4) 가운데 SU(3)만큼을 부분군을 통하여 오비폴드를 가하는 것에 해당한다. (SU(4) 전체에 속하는 일반적 부분군을 사용하면, 아무 초대칭이 남지 못한다.) 이 경우, 스칼라 보손들은 SU(3)의 3⊕ (SU(4)의 6) 표현을 따르며, 페르미온들은 SU(3)의 3⊕1 (SU(4)의 4) 표현을 따른다. 즉, 이들은 해당 표현에 대한 매케이 화살집으로 묘사되는 게이지 표현을 따른다. 이 가운데 3(또는 )에 해당하는 것은 4차원  손지기 초다중항을 이루며, 1에 해당하는 페르미온은  벡터 초다중항의 일부이다.

예 
표준 모형의 한 세대의 장들은 다음과 같이 화살집으로 표기된다.

이로서,  및 에 대하여 게이지 변칙이 발생하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다. (그러나 이는 U(1)을 표기하지 못한다.)

역사 

게이지 이론의 구조를 화살집으로 나타내는 아이디어는 하워드 조자이가 1985년에 최초로 도입하였다. 조자이는 이러한 화살집을 “무스”()라고 불렀는데, 이는 말코손바닥사슴을 뜻한다. 이는 화살집의 모양을 수컷 말코손바닥사슴의 뿔에 빗댄 것이다.

마이클 더글러스(, 1961~)와 그레고리 윈스럽 무어가 이러한 꼴의 이론이 끈 이론에서 자연스럽게 발생한다는 것을 1996년에 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

양자장론
끈 이론