특이 호몰로지

대수적 위상수학에서 특이 호몰로지(特異homology, )는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.

정의 
가 위상 공간이며, 가 (1을 갖는) 환이라고 하자. 그렇다면, 의,  계수의 특이 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

사슬 
차원 표준 단체(標準單體, ) 은 다음과 같다.
.
이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.

 위의 차원 특이 단체(特異單體, )는 연속 함수

를 뜻한다.  위의,  계수의 차원 사슬()은 모든 차원 특이 단체로 의하여 생성되는,  위의 왼쪽 자유 가군의 원소다. 이 자유 가군을 라고 쓰자. (만약 일 경우, 이는 자유 아벨 군이 된다.)

경계 
표준 단체 의 꼭짓점들을 이라고 하자. 표준 단체 의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어

의 꼴이다. 이를 편의상

로 쓰자.

차원 특이 단체 의 경계(境界, ) 는 다음과 같다.
.
경계 연산자 는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 이다. 이는  위의 가군의 가군 준동형을 이룬다. 또한, 는 항상 0이다. 따라서 은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지

들을 특이 호몰로지라고 한다. 이는  위의 왼쪽 가군을 이룬다. (사슬 가군은 자유 가군이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.)

특이 코호몰로지 
 위의 공사슬(共-, )은 가군 준동형 이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, 으로 쓴다. 공사슬의 공경계(共境界, ) 은 다음과 같다.
.
은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지

들을 특이 코호몰로지()라고 한다.

성질 
가 체라면, 보편 계수 정리에 따라서 특이 코호몰로지는 특이 호몰로지의 대수적 쌍대 공간이다.

그러나 이는 (정수환을 포함한) 일반적인 환에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 특이 코호몰로지는 사슬을 쌍대화한 뒤 호몰로지를 취한 것이지, 호몰로지를 취한 뒤 쌍대화한 것이 아니다.

예

초구 
차원 초구 의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

사영 공간 
복소수 사영 공간 의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

실수 사영 공간의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

여기서 는 표수가 2가 아닌 임의의 체이다.

원환면 
차원 원환면 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
.
여기서 는 이항계수로, 인 경우 0으로 정의한다.

같이 보기 
 단체 집합
 세포 호몰로지
 단체 호몰로지
 체흐 코호몰로지

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

호몰로지 이론