양의 정부호 함수

수학에서, 양의 정부호 함수()는 음이 아닌 함수의 푸리에 변환으로 볼 수 있는 복소함수이다.

정의 
국소 콤팩트 아벨 위상군  위의 함수 가 다음 성질을 만족시킨다면, 를 양의 정부호 함수라고 한다.
 (켤레 짝함수성) 모든 에 대하여, 
 (준정부호성) 모든 유한 부분집합 에 대하여,  에르미트 행렬 가 양의 준정부호 행렬이다.

성질 
보흐너 정리()에 따라서,  위의 양의 정부호 함수의 푸리에 변환은 그 폰트랴긴 쌍대군  위의 양의 유한 보렐 측도를 이루며, 그 역 또한 성립한다.

양의 정부호 함수 에 대하여,
 에 대하여, 는 양의 정부호이다. 즉, 양의 정부호 함수들은 음이 아닌 계수의 선형결합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 이들은 뿔(cone)을 이룬다.
 는 양의 정부호이다.
 는 양의 정부호이다.

모든 양의 정부호 함수 에 대하여, 다음이 성립한다. (이는 양의 정부호 함수의 정의에서, 인 경우에서 유래한다.)
 
 모든 에 대하여,

예 
양의 정부호 함수의 대표적인 예는 유클리드 공간  위의 가우스 핵

이다. 가우스 핵의 푸리에 변환은 다른 가우스 핵이므로, 보흐너 정리에 따라 이는 양의 정부호임을 쉽게 알 수 있다.

다른 예로는  위의 , , 삼각형함수  등이 있다. 이들 역시 푸리에 변환을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 실수가 아닌 양의 정부호 함수로는 가 있다.

음이 아닌 상수함수  ()는 자명하게 양의 정부호 함수이다. 이 경우,  행렬 의 모든 원소가 이며, 이 행렬의 고윳값은  (중복도 1)과  (중복도 )이다. 따라서 이 행렬은 양의 준정부호다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

함수와 사상
복소해석학
함수의 종류