디랙 괄호

해밀턴 역학에서 디랙 괄호()는 해밀토니언과 가환하지 않는 구속이 가해진 고전적 계에서 시간 변화를 나타내는 괄호다. 폴 디랙이 도입하였다.

정의

구속된 해밀턴 계 
해밀턴 계 가 주어졌다고 하자. 여기서 심플렉틱 다양체 는 계의 위상 공간이고, 는 계의 해밀토니언이다.  위의 매끄러운 함수들의 대수를 이라고 하자. 심플렉틱 구조에 의하여, 푸아송 괄호

가 존재한다.

이 계 위에 주어진 구속() 는 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 함수들의 집합이다.
 는 의 아이디얼이자, 에 대한 자유 가군이다. 즉,
 임의의 함수  및 제약 에 대하여, 이다.
 임의의 에 대하여, 이다.
 의 기저 가 존재한다. 즉, 임의의 를  ()의 꼴로 나타낼 수 있다.
 (일관성) 쌍대가군 의 원소 가 존재하여, 다음을 만족시킨다.
여기서, 은 구속된 상태 공간 으로, 다음과 같다.

즉, 모든 구속들을 만족시키는 상태들의 집합이다.

1종 및 2종 구속 
1종 구속()의 집합 은 다음과 같다.

모든 1종 구속은 일관성 조건에 따라서 해밀토니언과 가환한다.

또한, 1종 구속들의 집합  역시 의 아이디얼이자, -가군을 이룬다. 즉, 임의의 함수 와 1종 제약 에 대하여, 이다.
이에 따라서, 구속들의 가군을 다음과 같이 분해할 수 있다.
짧은 완전열

은 분할 완전열이며, 따라서 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

물론 이러한 갈림은 표준적으로(canonical) 정의되지 않지만, 임의로 정의할 수 있다. 을 2종 구속()들의 집합이라고 한다. 1종 제약은 자유 가군의 부분가군이므로 사영 가군(벡터다발)이다.

디랙 괄호 
2차 구속 의 기저를 로 잡자. 그렇다면 행렬 를 다음과 같이 정의하자.

이 경우, 디랙 괄호 는 다음과 같다.

제약된 해밀턴 계 에서의 시간 변화는 다음과 같이 정의한다. 임의의 함수 의 시간 변화 는 다음과 같다.

이 정의에 따라서, 구속을 만족시키는 초기 조건의 시간 변화는 계속해서 제약을 만족시킨다. 

즉, 임의의 2종 구속 의 경우

이고, 임의의 1종 구속 의 경우

이다. 디랙 괄호는 일반적으로 기저 변환에 따라 바뀌지만, 에 국한하면 유일하다.

예

강한 자기장에서의 비가환 기하학 
심플렉틱 다양체  위에, 전하 의 입자가 자기장 와 위치 에너지 에 영향을 받는다고 하자. 또한, 자기장이 매우 강해 그 운동 에너지가 자기장에 의한 위치 에너지보다 매우 작다고 하자. 그렇다면 운동 에너지 항을 생략한 라그랑지언은 다음과 같다.

여기서 는 자기 퍼텐셜로,

를 만족시킨다. 편의상

으로 놓을 수 있다. 즉,

이다.

이 경우, 정준 운동량은 다음과 같다.

즉, 해밀토니언은 다음과 같다.

또한, 정준 운동량들은 시간 도함수 , 를 포함하지 않으므로, 다음과 같은 제약들이 존재한다.

이 경우, 두 구속들의 푸아송 괄호는 다음과 같다.

이는 가역행렬이므로 이들은 둘 다 2종 구속들이며, 일관적이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같다.

특히,

이므로, 이를 양자화하면

이다. 즉, 비가환 기하학을 얻는다.

이 경우에는 제약에 따라 물리적 공간  자체가 사실상 위상 공간이 된다. 이 경우에는 퍼텐셜 가 대역적으로(global) 존재하므로, 심플렉틱 구조 의 코호몰로지류 가 0이다. 따라서, 기하학적 양자화를 따르는 경우에는 유일한 준양자 구조가 존재한다. 만약 물리적 공간의 리만 계량 가 심플렉틱 구조 와 호환된다면, 이 구조는 (거의) 켈러 구조를 이뤄 기하학적 양자화가 가능하다. 물론, 퍼텐셜 의 경우 순서가 모호하게 된다.

부분다양체에 구속된 입자 
리만 다양체  위에 존재하는, 질량 의 입자가 위치 에너지 의 영향을 받고, 또한 어떤 함수 의 영집합 에 구속되었다고 하자. 이 경우, 임의의 에 대하여 다음과 같은 해밀토니언을 적을 수 있다.

물론 이 경우 다음과 같은 구속을 가해야 한다.

이 경우,

이다. 따라서, 만약 에서 이라면, 과  둘 다 2종 구속이다. (이 조건이 충족되면, 음함수 정리에 의하여 이 매끄러운 부분다양체를 이루게 된다.)

이 경우, 디랙 괄호는 다음과 같다.

예를 들어,

가 된다.

참고 문헌

각주 

해밀턴 역학
양자역학
심플렉틱 기하학