프로베니우스 다양체

미분기하학에서 프로베니우스 다양체()는 접공간에 프로베니우스 대수의 구조가 정의된, 평탄한 리만 다양체이다. 이들은 2차원 위상 양자장론의 모듈라이 공간을 나타낸다.

역사 
보리스 두브로빈(Boris Dubrovin)이 정의하였다.

정의 
편의상 아인슈타인 표기법을 사용한다.

프로베니우스 다양체 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 리만 다양체 
 3차 텐서장 . 이는 두 벡터장의 곱 를 정의한다.
이들은 다음 성질들을 만족시켜야 한다.
 (평탄성) 의 리만 곡률이 0이다. 즉, 이며, 따라서 공변 미분 이 일반 편미분 과 일치한다.
 (적분가능성) 국소적으로, 인 함수 가 존재한다. (이는 대역적으로 성립하지 않을 수 있다.) 이를 프리퍼텐셜() 또는 자유 에너지라고 부른다. 이에 따라 는 완전 대칭이다. 즉, 이다.
 (결합성) 는 결합법칙을 따른다. 즉, 이다. 성분으로 쓰면, 이다.
결합성 조건을 프리퍼텐셜로 쓰면 다음과 같다.

이를 위튼-데이크흐라프-페를린더-페를린더 방정식() 또는 WDVV 방정식이라고 하며, 에드워드 위튼, 로베르튀스 데이크흐라프, 에릭 페를린더(Erik Verlinde), 헤르만 페를린더(Herman Verlinde)가 발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

리만 다양체
심플렉틱 위상수학
적분가능계