모듈러 군

수학에서 모듈러 군() 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환의 군이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 , 로 주어진다. 기호는  또는 .

정의 
모듈러 군 는 다음과 같은 표시를 갖는 군이다.

즉, 이는 2차 순환군과 3차 순환군의 자유곱이다.

성질 
모듈러 군은 가산 무한 개의 원소를 가지는 군이며, 아벨 군이 아니다. 그 중심은 자명군이다.

상반평면 위의 작용 
모듈러 군은 상반평면 에 유리 함수로 작용한다. 이 경우 생성원 , 의 작용은 다음과 같다.

따라서 모듈러 군의 일반적인 원소는 다음과 같이 작용한다.
. ()
이 경우 행렬 의 작용이 같으므로, 이는 의 작용임을 알 수 있다.

모듈러 군의 작용의 표준적인 기본 영역()은 다음과 같다.

보다 일반적으로, 이 작용은 리만 구의 반구

위로 확장될 수 있다. 이 경우, 이는 실수 사영 직선  위에 다음과 같이 따로 작용한다. 사실, 이 작용은 대수적 수의 집합(+∞) 또는 유리수체(+∞)로 제한될 수 있다. 즉, 모듈러 군은 다음과 같은 부분 집합 위에 각각 작용한다.
  (허수 성분이 양수인 복소수)
  (초월수)
  (대수적 무리수)
  (유리수 및 무한대)

유리수체 위의 작용 
모듈러 군은 유리수 사영 직선  위에 작용한다. 구체적으로, 다음과 같은 집합을 생각하자.

그렇다면, 그 위에 의 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다.

이 경우, 위 행렬이 특수 선형군에 속하므로 그 행렬식이 1이다. 즉, 다. 따라서, 일 때

이게 된다. 이 작용은 추이적 작용이다. 즉, 임의의 에 대하여, 항상 인 이 존재한다.

이제, 다음과 같은 전사 함수를 생각하자.

즉, 를 약분 불가능 분수 로 간주하자. 물론 이므로, 이는 의 몫군 의, 유리수 사영 직선 위의 작용을 정의한다. 이 작용 역시 따라서 추이적 작용이다.

이 작용 아래 와 의 작용은 다음과 같다.

이 작용은 모듈러 군의, 복소수 상반평면 위의 작용을 유리수로 제한한 것이다.

꼬임군과의 관계 
모듈러 군의 보편 중심 확대는 3차 꼬임군 이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

여기서 는 2차원 실수 특수선형군의 범피복군이며, 는 무한 순환군(정수의 덧셈군)이다.

합동 부분군 
모듈러 군은 합동 부분군()이라는 일련의 부분군들을 가진다. 일반적으로, 합동 부분군은 (아래에 정의된) 을 부분군으로 가지는 의 부분군 이다. 이 경우, 이러한 최소 을 합동 부분군 의 준위(, )라고 한다.

흔히 쓰이는 합동 부분군으로는 , , 이 있다. 이들은 다음과 같은 관계를 가진다.

모듈러 군 Γ(N) 
모듈러 군 는 주합동 부분군(主合同部分群, )이라는 중요한 부분군들을 가진다. 가 양의 정수라고 하면, 2×2 정수 행렬의 모든 수를 에 대한 동치류들로 치환하는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

이 군 준동형의 핵을 레벨 N의 주합동 부분군 이라고 한다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다.

구체적으로, 은 다음과 같은 꼴의 행렬들로 이루어진다. 행렬

에 대하여,

특히, 는 Λ 모듈러 군()라고 불린다. 이 경우 은 3차 순환군이므로 크기가 6이다. 즉, 는 지표가 6인 부분군이다.

모듈러 군 Γ1(N) 
모듈러 군 Γ1(N)은 의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬

에 대하여,

모듈러 군 Γ0(N) 
모듈러 군 Γ0(N)은 의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬

에 대하여,

즉, 위와 같이 와 같은 군 준동형에서, 상이 상삼각행렬인 원소들이다. 은 의 부분군이다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 푹스 군
 모듈러 형식
 2차원 실수 특수선형군
 뫼비우스 변환

군론
수론
모듈러 형식
해석적 수론