이와사와 분해

리 군 이론에서, 이와사와 분해([岩澤]分解, )는 그람-슈미트 과정을 반단순 리 군에 일반화하여, 리 군의 원소를 멱영 성분·가환 성분·콤팩트 성분으로 나누는 분해이다.

정의

리 대수의 이와사와 분해 
다음이 주어졌다고 하자.
 실수 반단순 리 대수 
 의 카르탕 대합 
그렇다면, 이에 대한 카르탕 분해

를 정의할 수 있다. 여기서 는 콤팩트 리 대수이며, 는 일반적으로 리 대수가 아닌 실수 벡터 공간이다.

가  속의 (임의로 고른) 극대 가환 부분 리 대수라고 하자. 그렇다면 에 기저를 잡아 기저에 임의의 순서를 가하고, 이 의 제한근 가운데 양의 제한근에 대응하는 제한근 공간들의 직합이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은, 실수 벡터 공간의 직합이 성립한다.

이를 의 이와사와 분해라고 한다.

리 군의 이와사와 분해 
가 연결 실수 반단순 리 군이라고 하자. 그렇다면 그 리 대수의 이와사와 분해 에 대응하여, 각각의 지수 사상의 상

을 정의할 수 있다. 이 경우
 는 콤팩트 반단순 리 군이며, 의 닫힌 부분군이자 최대 콤팩트 부분군이다. 의 중심을 포함한다.
 는 단일 연결 아벨 리 군이며, 의 닫힌 부분군이다.
 은 단일 연결 멱영 리 군이며, 의 닫힌 부분군이다.
그렇다면, 다음과 같은 미분 동형이 존재한다. (물론, 이는 일반적으로 군 준동형이 아니다.)

따라서, 임의의 원소 를

과 같이 분해시킬 수 있다. 이것이 리 군의 이와사와 분해이다.

만약 가 연결 공간이 아닌 반단순 리 군인 경우, 만약 의 중심이 유한군이라면 역시 이와사와 분해를 정의할 수 있다. 이 경우, 는 의 (연결 공간이 아닌) 최대 콤팩트 부분군이다.

리 군 또는 리 대수의 실수 계수()는 그 아벨 성분의 실수 차원이다.

성질 
실수 반단순 리 대수 의 이와사와 분해

의 각 성분은 다음과 같은 성질을 갖는다.
 는 콤팩트 리 대수이다. 즉, 그 킬링 형식은 음의 정부호이다.
 는 가환 리 대수이다. 즉, 이다.
 은 멱영 리 대수이다. 즉, 충분히 큰 양의 정수 에 대하여 이다.

카르탕 분해와의 관계 
반단순 리 대수 의 카르탕 대합 이 주어졌을 때, 카르탕 분해

를 정의할 수 있다. 이는 같은 에 대한 이와사와 분해

와 다음과 같은 관계를 갖는다.
 카르탕 분해의 는 이와사와 분해의 와 같다.
 카르탕 분해의 는 이와사와 분해의 를 극대 아벨 부분 대수로서 포함한다. (그러나 은 일반적으로 의 부분 대수도, 의 부분 대수도 아니다.)
 카르탕 분해에서, 는 일반적으로 리 대수가 아니다. 반면 이와사와 대수의 와 은 둘 다 리 대수이다.
 카르탕 분해에서, 와 는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다. 이와사와 분해에서, 와 는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이지만, 은  및 와 직교일 필요가 없다.

예 
대표적인 리 군의 이와사와 분해는 다음과 같다.

그람-슈미트 과정 

일반선형군 의 이와사와 분해는 사실상 그람-슈미트 과정과 동치이다. 벡터 공간 의 기저 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 행렬

을 정의할 수 있다. 이 경우, 그람-슈미트 과정을 거치면, 이를

의 꼴로 분해시키게 되는데, 여기서 는 그람-슈미트 과정을 통해 얻은 정규 직교 기저를 나타내는 직교행렬이며, 는 정규 직교 기저로의 변환을 나타내는 상삼각행렬이다. 이 경우, 를 추가로 분해하여

로 놓자. 여기서 은 를 직교 기저로 놓기 위한, 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬이고, 는 직교 기저를 정규 직교 기저로 만들기 위한, 양의 성분을 가진 대각행렬이다. 즉,

가 되며, 이는 의 이와사와 분해이다.

상반평면의 이와사와 분해 
리 군 의 이와사와 분해는 보형 형식의 이론에서 등장한다. 이 경우, 복소 상반평면

은 다음과 같은 잉여류 공간으로 나타내어진다.

즉, 이는 의 이와사와 분해 에서 콤팩트 성분을 버린 것이다. 즉, 구체적인 대응 관계는 다음과 같다.

역사 
이와사와 겐키치가 1949년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

리 군