Tor 함자

호몰로지 대수학에서 Tor 함자(Tor函子, )는 가군 텐서곱 함자의 유도 함자다.

정의 
이 (단위원을 가진) 환이고, 이 에 대한 왼쪽 가군들의 범주, 이 에 대한 오른쪽 가군들의 범주라고 하자. 이 범주들은 아벨 범주를 이룬다.

오른쪽 가군 와 왼쪽 가군 의 텐서곱을 취하여 아벨 군 를 취할 수 있다. 이 텐서곱 연산 는 쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서 는 아벨 군들의 범주다.

는 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 그 왼쪽 유도 함자 를 취할 수 있다. 마찬가지로,  또한 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 왼쪽 유도 함자 를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,

이다. 이 쌍함자 를 Tor 함자라고 한다.

성질 
Tor 함자는 직합을 보존한다. 즉,

이다.

만약 가 가환환인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

또한, 이 경우 은  위의 가군의 구조를 갖는다.

만약 가 가환환이며, 가 영인자가 아닐 때, 다음이 성립한다.

예

벡터 공간 
체  위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이다. 즉, 벡터 공간 의 사영 분해는 자명하다.

따라서,  위의 벡터 공간 , 가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다.

아벨 군 
정수환  위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 는 자유 아벨 군 의 몫군 으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

아벨 군 , 가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다. 의 사영 분해가

이라면, Tor 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.

따라서,

이며,

이다. 특히,

이다. 보다 일반적으로, Tor 함자는 직합을 보존하므로,

가 된다. 또한,

이므로 의 꼬임 부분군이 된다.

리 대수 호몰로지 

리 대수 호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Tor 함자와 같다.

어원 
‘Tor’는 (꼬임 부분군)의 약자다. 이는 Tor 함자가 아벨 군의 꼬임 부분군과 관련있기 때문이다.

같이 보기 
 Ext 함자
 그로텐디크 군

참고 문헌

외부 링크 
 
 

호몰로지 대수학
이항연산