생성 집합

범주론에서 생성 집합(生成集合, , )은 그 원소들의 쌍대곱의 몫 대상으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, 범주 속의 대상 집합이다.

정의 
범주  속의 대상들의 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, 의 생성 집합이라고 한다.
 임의의 두 사상 에 대하여, 만약 라면, 가 되는 대상  및 사상 가 존재한다.

만약 가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.
 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.

만약 가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 쌍대곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.
 모든 대상 에 대하여, 다음과 같은 사상이 전사 사상이다.

다시 말해, 모든 대상은 생성 집합에 속하는 대상들의 쌍대곱의 몫 대상과 동형이다.

만약 생성 집합 가 한원소 집합이라면, 를 의 생성 대상(, )이라고 한다.

위 개념을 모두 쌍대화하여 쌍대 생성 집합(, )과 쌍대 생성 대상(, , )을 정의할 수 있다. 범주  속의 대상들의 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, 의 쌍대 생성 집합이라고 한다.
 임의의 두 사상 에 대하여, 만약 라면, 가 되는 대상  및 사상 가 존재한다.

만약 가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.
 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.

만약 가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.
 모든 대상 에 대하여, 다음과 같은 사상이 단사 사상이다.

다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 곱의 부분 대상과 동형이다.

대수 구조의 경우 
대수 구조 다양체의 범주 는 항상 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합의 범주로 가는 망각 함자 및 그 오른쪽 수반 함자인 자유 대상 함자

를 생각하자. 이 경우, 한원소 집합 위의 자유 대상 은 항상 의 생성 대상을 이룬다. 한원소 집합 위의 자유 대상의 쌍대곱은 더 큰 집합 위의 자유 대상이다. 즉, 모든 집합 에 대하여 다음이 성립한다.

따라서, 이 생성 대상이라는 것은 에 속하는 모든 대수는 자유 대수의 몫대수로 나타낼 수 있음을 뜻한다.

대수 를 이와 같이 자유 대수의 몫대수로 나타내는 것을 의 표시()라고 한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 표기한다.

여기서
 는 집합이다.
 은 전사 사상 를 정의하는,  위의 합동 관계이다. 즉, 의 원소와 대수 구조 다양체 의 연산들로 적을 수 있는 두 항 에 대한 등식 의 꼴로 적을 수 있다.
군의 표시는 대수 구조의 표시의 특수한 경우다.

반면, 일반적으로 대수 구조 다양체의 범주는 쌍대 생성 대상을 가지지 않을 수 있다.

예

집합 
집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 집합과 함수의 범주 의 생성 대상이다.
 공집합이 아니다.

집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 집합과 함수의 범주 의 쌍대 생성 대상이다.
 공집합이나 한원소 집합이 아니다.

위상 공간 
위상 공간과 연속 함수의 범주 는 국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다. 이 범주에서 한원소 공간 은 생성 대상이다. 구체적으로, 한원소 공간들의 쌍대곱은 이산 공간이며, 임의의 위상 공간 에 대하여  위에 이산 위상을 부여한 공간 을 정의한다면, 수반 함자

의 쌍대단위원

은 연속 함수

를 정의하며, 이는 (전단사 함수이므로) 전사 사상이자 단사 사상이다. 즉, 모든 위상 공간은 이산 공간의 범주론적 몫 대상으로 나타낼 수 있다.

위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 위상 공간의 범주의 쌍대 생성 대상이다.
 콜모고로프 공간이 아니다.

가군 
모든 환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자.

환  위의 왼쪽 가군의 범주 는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 한원소 집합 위의 자유 가군 는 그 생성 대상을 이룬다. 마찬가지로, 는 오른쪽 가군의 범주 의 생성 대상을 이룬다.

환  위의 왼쪽 가군의 범주 는 또한 항상 쌍대 생성 대상을 갖는다. 구체적으로, 환 의 모든 왼쪽 단순 가군(=극대 왼쪽 아이디얼 에 대한 의 몫가군 )들의 (동형류의) 단사 껍질들의 직합

을 의 표준 쌍대 생성 가군()이라고 하며, 이는 의 쌍대 생성 대상을 이룬다. 특히, 모든 왼쪽 단순 가군들의 집합은 쌍대 생성 집합을 이룬다.

일반적으로, 자유 가군 는 쌍대 생성 대상이 아닐 수 있다. 환 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 모든 충실한 -왼쪽 가군은 의 쌍대 생성 대상이다.
 는 단사 가군이며 유한 쌍대 생성 가군이다.
 는 단사 가군이며, 의 모든 왼쪽 단순 가군은 왼쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, 왼쪽 카슈 환()이다.)
 는 의 쌍대 생성 대상이며, 의 모든 오른쪽 단순 가군은 오른쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, 는 오른쪽 카슈 환이다.)
 는 의 쌍대 생성 대상이며, 오른쪽 단순 가군의 동형류의 수는 유한하다.
이 조건을 만족시키는 환을 왼쪽 유사 프로베니우스 환()이라고 한다.

아벨 군 
아벨 군의 개념은 정수환  위의 가군과 같다. 이 경우 단순 가군은 소수 크기의 순환군 이며, 그 단사 껍질은 프뤼퍼 군 이다. 따라서 표준 쌍대 생성 가군은 모든 프뤼퍼 군들의 직합인 나눗셈군

이다. 즉, 모든 아벨 군 는 직접곱

보다 일반적으로, 임의의 데데킨트 정역 에 대하여, 표준 쌍대 생성 가군은 분수체의 몫가군 이다.

(쌍대) 생성 집합이 없는 범주 
범주 는 생성 대상을 갖지 않는다. 그러나

는  생성 집합을 이룬다.

다음 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않는다.
 군의 범주 . (단순군의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
 환의 범주 . (단순환, 특히 체의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
 하우스도르프 공간의 범주

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

추상대수학
범주론