세르 쌍대성

대수기하학에서 세르 쌍대성(Serre雙對性, )은 복소다양체의 코호몰로지 사이에 존재하는 관계의 하나이다. (실수) 다양체에 존재하는 푸앵카레 쌍대성과 유사하지만, 복소 구조를 사용한다. 장피에르 세르의 이름을 땄다.

정의

미분기하학 
다음이 주어졌다고 하자.
 복소수 차원 (실수 차원) 콤팩트 에르미트 다양체 
그렇다면, 호지 쌍대에 따라서

가 존재한다. 이는 복소수 선형 변환이다. 또한, 복소켤레에 따라서

이 존재한다. 이는 실수 선형 변환이지만, 복소수 반선형 변환이다. 이 두 사상은 서로 가환한다.

이제,

를 정의하자. 이는  위의 에르미트 형식을 정의한다.

이는 일반적으로 양의 정부호가 아니지만, 돌보 코호몰로지로의 몫을 취하면 이는 양의 정부호가 된다. 특히, 이 경우 코호몰로지의 동형

이 존재한다. 이를 세르 쌍대성이라고 한다.

보다 일반적으로, 정칙 벡터 다발의 계수를 생각할 수 있다. 즉, 다음이 주어졌다고 하자.
  위의 유한 차원 정칙 벡터 다발 
그렇다면, 그 쌍대 벡터 다발 을 정의할 수 있다.

이 경우, 마찬가지로

가 존재한다. 여기서

은 의 표준 선다발이다.

이는 복소수 쌍선형 함수를 이루며, 마찬가지로 층 코호몰로지를 취하면 비퇴화이다. 즉, 복소수 벡터 공간의 동형 사상

이 존재한다. 이를  계수의 세르 쌍대성이라고 한다.

푸앵카레 쌍대성은 코호몰로지류를 기본류 에 대하여 축약시켜 얻지만, 세르 쌍대성은 코호몰로지류를 표준 선다발 에 대하여 축약시켜 얻는다.

대수기하학 
더 일반적으로, 세르 쌍대성을 일반적인 연접층에 대하여 정의할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자.
 대수적으로 닫힌 체 
  위의 순수하게 차원 사영 스킴 
 의 사영 공간으로의 매장 . 그 여차원이 이라고 하자.
그렇다면, 의 쌍대화층()

을 정의할 수 있다.

이에 따라서, 다음과 같은 표준적인 동형 사상들이 존재한다.

여기서 는 쌍대 공간이고, Ext는 Ext 함자다.

예

리만 곡면 
가 콤팩트 리만 곡면이라고 하고, 이 그 위의 정칙 선다발이라고 하자. 그렇다면, 이 경우

이며, 세르 쌍대성에 따라서

이다. 여기서 는 의 표준 선다발이다.

칼라비-야우 다양체 
칼라비-야우 다양체의 경우 표준 선다발이 자명하므로 다음과 같은 관계를 유추할 수 있다.

여기서 는 호지 수이다.

같이 보기 
 푸앵카레 쌍대성

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

대수기하학
복소다양체
쌍대성이론