야코비 타원함수

수학에서 야코비 타원함수(Jacobi楕圓函數, )는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다.

정의 
야코비 타원함수 sn, cn, dn은 두 개의 변수 에 대한 함수이다. 여기서 이다.

다음과 같은 타원 적분을 생각하자.

그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다.

저자에 따라, 간혹 매개변수 m 대신  또는 을 사용하는 경우도 있다. 이 경우 , 이다.

타원과의 관계 
긴 반지름이 이며 짧은 반지름이 1인 타원을 생각하자. 이 타원은 직교좌표계에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다.

이들을 극좌표계 로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다.

또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

그렇다면, 의 함수로서 , , 은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다.

이 경우, 은 타원의 이심률의 제곱이다.

보조 야코비 타원함수 
간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다.

성질

주기성 
야코비 타원함수는 타원 함수이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다. 가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면,

여기서 과 은 각각 실사분주기()와 허사분주기()라는 특수 함수이며, 다음과 같다.

즉, 야코비 타원함수는 타원 곡선  위에 정의된 유리형 함수이다.

극점과 영점 
sn, cn, dn 모두

에서 단순극을 가지며, 그 유수는 1이다.

sn, cn, dn은 타원곡선 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다.

삼각함수·쌍곡함수와의 관계 
일 때, 야코비 타원함수는 삼각함수가 된다.

반대로, 일 때, 야코비 타원함수는 쌍곡함수가 된다.

항등식 
야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

합 공식 
다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

미분 
야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

역사 
카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》()에서 도입하였다.

같이 보기 
 세타 함수
 바이어슈트라스 타원함수
 타원 적분
 타원곡선

참고 문헌

외부 링크 
 
 

타원함수