천 지표

대수적 위상수학에서 천 지표([陳]指標, )는 복소수 벡터 다발에 대응되는 유리수 계수 특성류이다. 위상 K이론에서 (유리수 계수) 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다.

정의 
위상 공간 가 주어졌다고 하자. 그 위의 유리수 계수 호몰로지 군

은 유리수 벡터 공간이다. 이 경우,

가 그 속의 (형식적) 가산 무한 합들의 유리수 벡터 공간이라고 하자. 즉, 의 임의의 기저 를 잡으면

인데,

로 정의하자. (만약 가 유한 차원이라면, 즉 만약 가 유한 집합이라면, 이다.)

분할 원리를 통한 정의 
 위의 복소수 선다발 의 천 지표는 1차 천 특성류의 (형식적) 지수 함수다. 즉, 다음과 같다.

일반적인 복소수 벡터 다발은 분할 원리에 따라 선다발의 합 인 것처럼 여길 수 있으며, 천 특성류는 이에 따라 다음과 같다.

직접적 정의 
분할 원리를 통해 얻는 표현을 그냥 직접적으로 천 지표의 정의로 놓을 수도 있다. 이에 따라, 천 지표는 구체적으로 다음과 같다.

여기서 는 유리수 계수 차 천 특성류이다. (정수 계수로 정의되는 천 특성류와 달리 천 지표는 유리수 계수만으로 정의된다.)

천-베유 이론을 통한 정의 
만약 가 매끄러운 다양체이며, 그 위의 차원 복소수 매끄러운 벡터 다발 가 코쥘 접속 를 가졌을 경우, 천-베유 준동형을 통해 복소수 계수 천 지표는 다음과 같은 표현으로 주어진다.

여기서
 는 의 리만 곡률이며, 값 2차 미분 형식이다.
 는  속의 형식적 지수 함수이다. 즉,  성분은 합성하고, 2차 미분 형식 성분은 쐐기곱을 취한다. (만약 가 추가로 콤팩트 공간이라면 차 초과의 베티 수가 0이므로 이 급수는 유한하다.)
 는 에서  성분의 대각합을 취하는 연산이다.
 는 드람 코호몰로지에서 미분 형식에 대응하는 코호몰로지류를 취하는 연산이다.

성질 
천 지표는 (복소수) 위상 K이론에서 유리수 계수 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다.

즉, 같은 위상 공간 위의 두 복소수 벡터 다발에 대하여 다음이 성립한다.

또한, 임의의 벡터 다발 짧은 완전열

에 대하여 다음이 성립한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

특성류