피카르-린델뢰프 정리

동역학계 이론에서 피카르-린델뢰프 정리() 또는 피카르 유일성 정리() 또는 코시-립시츠 정리()는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다.

정의 
초깃값 문제

를 생각하자.

립시츠 조건 
열린집합  및 연속 함수 가 주어졌고, 가 에 대하여 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수 가 존재한다고 하자 (립시츠 조건, ).

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 에 대하여 유일한 국소적 해 를 갖는다. 만약 일 경우, 임의의 에 대하여, 위 초깃값 문제는 유일한 대역적 해 를 갖는다.

우선 인  및

를 취하자. 그렇다면 연속 함수 들의 집합  위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

이 노름은 상한 노름 과 동치이므로 은 바나흐 공간이다. 연속 함수 의 집합 은 의 닫힌집합이므로  역시 바나흐 공간이다.

이제 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.

이 작용소의 공역을 로 제한할 수 있는 것은 임의의  및 에 대하여

이기 때문이다. 정리 속 초깃값 문제의 해 는 자명하게 의 고정점과 동치이다. 바나흐 고정점 정리에 따라, 이러한 고정점이 유일하게 존재함을 보이려면 가 (노름 에 대하여) 축약 사상임을 보이는 것으로 충분하다. 이는 의 립시츠 조건에 따라 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의  및 에 대하여,

마지막으로, 위 증명은 가 고정되었을 때 를 (를 만족시키는) 더 큰 수로 대체하여도 유효하므로, 초깃값 문제의 해 는 유일하게 존재한다.

만약 일 경우 와 를 취하면 대역적 해의 존재와 유일성을 얻는다.

국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 국소적 해의 유일성은 그뢴발 부등식을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.  ()가 정리 속 초깃값 문제의 두 해라고 하고, 라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

이다. 그뢴발 부등식에 따라 이며, 즉 이다.

국소 립시츠 조건 
열린집합  및 연속 함수 가 주어졌고, 가 에 대하여 국소 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 의 근방  및 음이 아닌 실수 가 존재한다고 하자 (국소 립시츠 조건, ).

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 에 대하여 유일한 국소적 해 를 갖는다. 특히, 만약 에 대한 편미분 이 연속 함수라면, 는 국소 립시츠 조건을 만족시키므로, 유일한 국소적 해가 존재한다.

임의의 를 고정하였을 때, 는 로 제한되었을 때 립시츠 조건을 만족시키며, 따라서 정리 속 초깃값 문제는 어떤 에서 유일한 국소적 해를 갖는다.

해의 근사 
반복법을 사용하여 위 초깃값 문제의 해로 균등 수렴하는 함수열 을 다음과 같이 구성할 수 있다.

이 경우 실제 해 와의 오차는 다음과 같다.

다른 정리와의 관계 
피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분 조건(립시츠 조건)을 제시한다. 오스굿 유일성 정리는 이 충분 조건을 약화하여 얻는 정리이다. 페아노 존재 정리는 립시츠 조건 대신 연속성만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. 카라테오도리 존재 정리()는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해()의 존재만을 결론내린다.

역사 
샤를 에밀 피카르와 에른스트 레오나르드 린델뢰프()가 증명하였다.

각주

참고 문헌

외부 링크 
 
 

상미분방정식
해석학 정리