꼬임군 (위상수학)

위상수학에서 꼬임군(-群, )은 주어진 개수의 실을 꼬은 모양들로 구성된 군이다. 대칭군의 일반화로 볼 수 있다.

정의 
n가닥의 꼬임군 은 다음과 같은 표시를 갖는 유한생성군이다. 꼬임군의 원소들을 꼬임()이라고 한다.

첫 번째 관계에서는 이고, 두 번째 관계에서는 이다.

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 를 번째 가닥과 번째 가닥을 한 번 꼬는 것으로 정의하자. 예를 들어, 의 생성원은 다음과 같다.
{| style="text-align:center"
|-
| style="padding: 1em" | 
| style="padding: 1em"| 
| style="padding: 1em"| 
|-
| σ1 || σ2 || σ3
|}
이 경우 군 연산은 꼬임들을 서로 연결하는 연산이다.
{| style="text-align:center"
|-
| 
| style="padding:1em" | ·
| 
| style="padding:1em" | =
| 
|-
|  || · ||  || = || 
|}
이 경우, 군 표시에서의 관계

는 꼬임의 합성의 호모토피적 동치 관계이다.

무한 꼬임군 
꼬임군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

이렇게 하여, 귀납적 극한을 취하면 무한 꼬임군 을 얻는다.

드오르누아 순서 
꼬임군  위에는 드오르누아 순서()라는 전순서가 존재하며, 이는 군의 왼쪽 작용에 대하여 불변이다. 구체적으로, 드오르누아 순서에 대하여 양인 원소들은 들 및 이들의 역원의 곱인 문자열로 나타내었을 때, 적어도 한 가 다음 세 조건을 모두 만족시키는 것이다.
 문자열은 를 포함한다.
 모든 에 대하여, 문자열은 를 포함하지 않는다.
 모든 에 대하여, 문자열은 를 포함하지 않는다.
이러한 원소들의 집합을 라고 하면, 이며, 꼬임군은

이다.

성질 
꼬임군의 모든 원소는 항등원이 아니라면 무한한 차수를 갖는다. 모든 에 대하여, 은 두 개의 원소로 생성되는 자유군을 부분군으로 갖는다.

몫군 
꼬임군의 아벨화는 무한 순환군이다.

구체적으로, 이는 다음과 같다.

꼬임군은 대칭군을 다음과 같이 몫군으로 갖는다.

중심 
일 때, 꼬임군 의 중심은 다음과 같은 원소로 생성되는 무한 순환군이다.

일 경우, 꼬임군은 아벨 군이므로 군 전체가 중심이다.

예 
낮은 차수의 꼬임군은 다음과 같다.

3차 꼬임군 
3가닥의 꼬임군 은 가장 낮은 가닥수의 비가환 꼬임군이다. 이 군은 세잎매듭 31의 매듭군 과 동형이며, 또 모듈러 군 의 중심 확대이다. 이 경우 다음과 같은 가환그림이 존재한다.

여기서 은 의 범피복군이다. 모듈러 군은 중심이 없으므로, 따라서 모듈러 군은 의 그 중심에 대한 몫군과 동형이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

매듭 이론