브라마굽타 정리

기하학에서 브라마굽타 정리(定理, )는 두 대각선이 직교하고 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 교점에서 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다는 정리이다. 사실 임의의 내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 내접 사각형의 반중심이라고 한다. 이 경우 브라마굽타 정리는 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이라는 내용이다.

정의 
직교대각선 내접 사각형 의 두 대각선 , 의 교점을 라고 하고, 를 지나는 의 수선의 , 와의 교점을 , 라고 하자. 브라마굽타 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

즉, 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다.

증명 
외접원의 호 의 두 원주각 와 의 크기는 같다. 또한, 와 는 모두 직각이므로, 와 는 모두 의 여각이다. 또한, 맞꼭지각 와 의 크기는 같다. 즉,

이다. 따라서

이다. 마찬가지로

를 보일 수 있다.

일반화 

내접 사각형 의 대각선 , 의 중점을 , 이라고 하고, 두 대각선의 교점을 라고 하자. 그렇다면, 이 내접 사각형의 반중심은 삼각형 의 수심이다. 두 대각선이 직교할 경우 삼각형 은 에서 직각을 갖는 직각 삼각형이며, 이 삼각형의 수심은 두 대각선의 교점 이다. 즉, 브라마굽타 정리는 이 명제의 특수한 경우이다.

역사 
인도의 수학자 브라마굽타가 발견하였다.

각주

외부 링크 
 

사각형
유클리드 평면 기하학
평면기하학 정리