도박꾼의 파산

확률론에서 도박꾼의 파산(賭博軍의 破産, )은 유한한 초기 자산을 가지고 일련의 공평한 도박을 하는 도박꾼은 거의 확실하게 자산이 0이 되어 파산하게 된다는 정리이다.

정의 
도박꾼의 파산 문제는 다음과 같다. 두 도박꾼이 각각 초기 자산 을 가진다고 하자. 이들이 일련의 도박을 하여, 패자가 승자에게 자산 1만큼을 주게 된다고 하자. 이렇게 일련의 도박을 계속하여, 둘 중 자산이 0이 되는 경우 파산하게 된다. 각 도박꾼이 하나의 도박을 이길 확률이 과 이라고 하자. 그렇다면 각 도박꾼이 파산할 확률 은 얼마인가?

이 경우, 공평한 도박 ()에서의 파산 확률은 다음과 같다.

불공평한 도박 ()에서의 파산 확률은 다음과 같다.

두 경우 모두 이다. 즉, 둘 중 하나는 거의 확실하게 파산하게 된다.

특수한 경우 
이 문제에서 인 경우를 생각하자. 즉, 카지노가 도박꾼보다 매우 더 부유하다고 하자. 이 경우  극한을 취하면 다음과 같다.

따라서, 도박꾼은 인 경우에는 파산할 확률이 유한하고, 인 경우에는 거의 확실하게 파산하게 된다. 도박꾼은 심지어 도박이 공평한 경우()에도 거의 확실하게 파산한다.

역사 
이 문제는 1656년 블레즈 파스칼이 피에르 드 페르마에게 쓴 편지에서 최초로 등장한다. 이 문제는 같은 해 피에르 드 카르카비가 크리스티안 하위헌스에게 보낸 편지에서 다음과 같이 등장한다.

하위헌스는 이 문제를 1657년 출판된 저서 《주사위 놀이에서의 논리》()에서 문제 5번으로 이 문제를 다루었고, 각각 이길 확률의 비가
244 140 625 : 282 429 536 481
라고 계산하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

도박 용어
수학 문제
확률론
인과관계의 오류