유니터리 군

수학에서 유니터리 군()은 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 .

정의 
복소수 힐베르트 공간 가 주어졌을 때, 유니터리 군 는  위의 유니터리 작용소들의 군이다.

만약 가  차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은 으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은  유니터리 행렬로 구성되는 리 군이다. 즉,

이다.

유니터리 리 대수 
유니터리 군 은 차원 실수 리 군이다. 그 리 대수는

이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬()이므로, 는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.

성질

군론적 성질 
유니터리 군 의 중심은 다음과 같은 꼴의 대각 행렬이다.

유니터리 행렬의 행렬식은 그 절댓값이 1인 복소수이다. 즉

인 군 준동형이 존재한다. 이에 대한 몫군은 특수 유니터리 군 이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

리 이론적 성질 
유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

이에 대하여 유니터리 군의 바일 군은 대칭군 이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다.

위상수학적 성질 
모든 양의 정수 에 대하여, 유니터리 군 은 연결 실수 콤팩트 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다.

유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군과 호모토피 동치이다.

호프 올뭉치

로 인하여, 만약 이라면

이다. 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.

이 주기성을 보트 주기성()이라고 한다.

불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

이에 따라, 다음과 같은 무한 유니터리 군 을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간과 호모토피 동치이다.

무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 의 유니터리 군 는 와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, 는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.

포함 관계 
유니터리 군 U(1)은 원군이다. 이는 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원 이다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 특수 유니터리 군
 직교군

리 군