도널드슨 불변량

위상수학에서 도널드슨 불변량(Donaldson不變量, )은 4차원 매끄러운 다양체의 불변량의 하나로, 게이지 이론의 순간자 모듈라이 공간의 성질을 나타낸다. 도널드슨 불변량은 더 계산하기 쉬운 자이베르그-위튼 불변량과 동치인 것으로 추측된다. 도널드슨 불변량을 연구하는 위상수학의 분야를 도널드슨 이론(Donaldson理論, )이라고 한다.

정의 
도널드슨 불변량은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체 의 불변량이며, 대수적 위상수학 또는 초대칭 위상 양자장론을 통해 정의할 수 있다.

수학적 정의 
푸앵카레 쌍대성과 합곱을 사용해 2차 코호몰로지  위에 다음과 같은 교차 형식()을 정의할 수 있다.

여기서 은 의 기본류다. 이 형식의 양의 고윳값의 수를 , 음의 고윳값의 수를 이라고 하자. 물론

은 의 2차 베티 수이다. 앞으로, 이라고 가정하자.

에 임의의 리만 계량 와 SU(2) 벡터다발 을 부여하자. 이 경우, 의 SU(2) 양-밀스 순간자들의 모듈라이 공간 를 생각할 수 있다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이루고, 그 차원은 다음과 같다.

으로 주어진다. (만약 이 수가 음수라면 는 공집합이다.) 여기서 는 의 2차 천 수이고, 은 의 차 베티 수이다. (게이지 군이 SU(2)이므로, 1차 천 특성류는 항상 0이다.)

가  위에 존재하는 모든 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈라이 공간이라고 하자. 이는 무한 차원 공간이다. 이 경우, 전자는 후자의 자연스러운 부분공간을 이룬다.

는 물론 리만 계량 에 의존하지만, 이라면 호몰로지류 는 에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 따라서

를 정의할 수 있다. 이는 리만 계량에 의존하지 않지만, 의 미분 구조에 의존한다. 즉, 이는 위상동형(위상다양체로서 동형)이지만 미분동형(매끄러운 다양체로서 동형)이지 않은 다양체들을 구분할 수 있다.

스펙트럼 열을 사용하여, 다음과 같은 군 준동형을 정의할 수 있다.

은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체라고 가정하였으므로, 의 (유리수 계수) 호몰로지는 다음과 같다.

여기서 는 임의로 잡은 의 기저다. 그렇다면 다음을 보일 수 있다.
 
 의 코호몰로지 환 는 에 의하여 다항식환 와 표준적(canonical)으로 동형이다. 여기서 는 에 대응하는 생성원이다.

이제, 도널드슨 다항식(Donaldson多項式, ) 은 다음과 같은 사상이다.

물리학적 정의 
4차원 다양체 의 도널드슨 다항식 불변량은  위에 존재하는  초대칭 게이지 이론의 상관 함수로 정의할 수 있다.

 위에 임의의 리만 계량을 부여하고, 그 위에 게이지 군이 콤팩트 반단순 리 군 인  초대칭 양-밀스 이론을 생각하자. 이 이론은 로런츠 대칭과 R대칭을 갖는데, 로런츠 군

는 4차원 스핀 군이고,  R대칭군은 SU(2)R이다. 이제 새 로런츠 부분군 을 와 의 대각 성분으로 정의하여, 위상 뒤틀림()을 가한다. 그렇다면 이론의 장들은 다음과 같다.

따라서, 뒤튼 뒤에는 두 개의 스칼라장과 두 개의 벡터장만이 존재한다. 이 경우, , 는 에 대한 초다중항을 이룬다. 는  제약에 대응하며, 는 게이지 변환의 매개변수에 대응한다.

이제, 초대칭 연산자 를 BRST 대칭으로 생각하여, 모든 관측가능량을 에 의한 코호몰로지에 닫혀 있게 한다. 그렇다면 이 이론은 위튼형 위상 양자장론을 이룬다.

이제, 다음과 같은 게이지 불변, -닫힌 연산자를 생각하자.

이제 다음과 같은 일련의 연산자들을 정의할 수 있다.

는 차 코호몰로지류이다. 따라서, 임의의 차 호몰로지류 들에 대하여, 다음과 같은 상관 함수를 정의할 수 있다.

이 경우, 는 CP 위반항이므로,

는 단순히 순간자수(게이지 주다발의 2차 천 특성류)이다. 따라서 의 삽입은 상관 함수를 특별히 변화시키지 않는다. 2차 호몰로지 류  및 0차 호몰로지 류 를 사용하여, 상관 함수

를 정의할 수 있다. 이를 도널드슨 다항식이라고 하며, 이는 위상수학으로 정의한 도널드슨 다항식과 일치함을 보일 수 있다.

크론하이머-므로카 기본류 
게이지 군 가 SU(2)일 경우를 생각하자. 4차원 매끄러운 다양체  가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 단순형 다양체()라고 하자.

여기서 이며, 는 를 차수 4, 를 차수 2로 하여 센 다항식의 차수이다.

이 경우, 도널드슨 불변량은 다음과 같은 생성 함수로 완전히 결정된다.

이 생성 함수는 다음과 같은 간단한 형태로 나타내어진다.

여기서 인 2차 코호몰로지 원소들을 크론하이머-므로카 기본류()라고 하며, 이러한 기본류들의 수는 유한하다. 이 들은 자이베르그-위튼 불변량과 같다고 추측된다.

역사 
사이먼 도널드슨이 1983년에 도입하였다. 이후 에드워드 위튼이 1994년에 이를 초대칭 게이지 이론의 위상 양자장론으로 정의할 수 있음을 보였다.

피터 크론하이머와 토머스 므로카()가 1994년에 도널드슨 불변량을 크론하이머-므로카 기본류에 대한 합으로 나타낼 수 있음을 보였다. 같은 해에 에드워드 위튼은 자이베르그-위튼 이론을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이들의 크론하이머-므로카 기본류와의 관계를 제시하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

기하학적 위상수학
미분위상수학
4-다양체