한-바나흐 정리

함수해석학에서 한-바나흐 정리(Hahn-Banach定理, )는 열선형 함수에 대하여 지배당하는, 부분적으로 정의된 선형함수를 공간 전체로 확장시킬 수 있다는 정리다.

정의 
실수 벡터 공간  위의 열선형 함수(劣線型函數, )는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 이다.
 (동차성) 임의의 와 에 대하여, 
 (준가법성) 임의의 에 대하여, 
예를 들어, 의 모든 반노름이나 노름은 열선형 함수이다.

실수 벡터 공간 의 부분 벡터 공간  위에 정의된 선형함수 가 열선형 함수 에 대하여 지배당한다고 하자. 즉,

라고 하자. 그렇다면, 한-바나흐 정리에 따라, 를 같은 열선형 함수에 지배당하는,  전체에 정의된 선형함수 로 확장시킬 수 있다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 선형함수 가 존재한다.
 
 
다만, 이러한 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

역사 
1920년대 말에 이 정리를 독립적으로 증명한 오스트리아의 수학자 한스 한(Hans Hahn)과 폴란드의 수학자 스테판 바나흐(Stefan Banach)의 이름이 붙어 있다. 역사적으로, 1912년에 오스트리아의 에두아르트 헬리가 정리의 특수한 경우를 증명하였고, 헝가리 수학자 리스 머르첼이 1923년 한-바나흐 정리를 유도할 수 있는 일반적인 리스 확장정리를 증명하였다.

참고 문헌 

 Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math.

외부 링크

같이 보기 
 리스 확장정리
 초평면 분리정리

함수해석학
해석학 정리
함수해석학 정리