C-정리

양자장론에서 c-정리(c-定理, )는 2차원 양자장론들의 공간 위에서, 양자장론의 자유도의 수를 나타내고, 재규격화군 흐름에 따라서 단조적으로 감소하는 함수 c가 존재한다는 정리다. 이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 재규격화군의 고정점에서, c는 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하가 된다.

정의 
2차원 공간 위에서, 복소 좌표 를 사용하자. 2차원에서 에너지-운동량 텐서는 대칭성에 의해 세 개의 독립된 성분을 가지는데, 이를 각각

로 적자. 등각 장론의 경우 후자는 0이 된다.

양자장론은 일련의 결합 상수  및 재규격화 에너지 눈금 에 의존하는 국소 라그랑지언 밀도 에 의해 정의된다. 양자장론이 재규격화 가능하다는 것은 다음 세 조건들을 의미한다.
 유동 결합 상수 가 존재하여, 모든 에 대하여

가 성립한다.
 유동 결합 상수는 자율적 1차 상미분 방정식을 따른다. 즉, 베타 함수 가 존재하여,

이어야 한다.
 에너지-운동량 텐서의 대각합 는 다음과 같다.

c-정리에 따르면, 모든 재규격화 가능한 2차원 양자장론에 대하여 다음과 같은 함수 가 존재한다.
 (단조성) 는 에 대한 증가함수이다.
 (고정점에서의 등각 대칭) 재규격화군의 고정점 (의 영점) 에서, 이론은 2차원 비라소로 대수를 대칭으로 가진다. (즉, 단순한 축척 대칭 말고도, 모든 2차원 등각 대칭에 대하여 불변이다.)
 (등각 중심 전하와의 일치) 재규격화군의 고정점 에서, 는 이에 대응하는 2차원 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하 c와 일치한다.

c의 정의 
다음과 같은 값들을 정의하자.

이들은 모두 어떤 임의의 주어진 에너지 눈금 에서 정의된다. 정의에 따라 이들은 모두 차원이 0인 로런츠 스칼라이다. 또한,

라고 놓으면, 는 양의 정부호인 대칭 행렬이다. 이 구조에 따라서 는 리만 다양체를 이루며, 또한 항상 이 된다.

그렇다면 는 다음과 같다.

이 경우, 캘런-쥐만치크 방정식에 따라서

이 된다.

역사 
존 카디는 중심 원소 c가 계의 자유도의 수를 나타내는 것을 보였다. 이후, 알렉산드르 자몰롯치코프가 1986년 〈2차원 장론의 재규격화군의 "비가역성"〉이라는 제목의 논문에서 c-정리를 증명하였다.

고차원에서의 c-정리 
c-정리는 2차원의 경우에는 증명되었으나, 아직 고차원에서 성립하는지 알려지지 않았고, 특수한 경우에는 고차원에서의 반례도 발견되었다. 짝수 차원의 시공간에서, 존 카디는 c에 해당하는 값을 정의하였고,, 이는 a라고 불리게 되었다. 카디는 a가 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다는 가설을 세웠다. 이를 a-정리()라고 한다. 4차원의 경우, a-정리는 2011년에 증명되었다. 6차원의 경우는 아직 증명되지 않았다.

2010년에는 3차원 등각 장론에 대하여 F라는 값이 정의되었다. 이는 3차원에서 c 또는 a에 대응하는 값으로 추측된다.

2010년에는 홀로그래피 원리를 사용하여, 임의의 차원에서의 c-정리들이 제안되었다. 이는 3차원에서 이미 정의된 F와 일치한다는 사실이 증명되었다.

참고 문헌

외부 링크 
 

등각 장론
수리물리학
수리물리학 정리
양자장론
재규격화군