바이어슈트라스 타원함수

바이어슈트라스 타원함수(Weierstraß楕圓函數, )는 타원함수의 하나다. 타원곡선의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는 .

정의 
바이어슈트라스 타원함수 는 주기에 대한 격자합으로, 또는 이를 정의하는 미분 방정식으로 정의할 수 있다.

격자합 
, 에 대하여, 바이어슈트라스 타원함수 는 다음과 같다.

타원곡선 모듈러스  대신 격자 주기 를 써서 다음과 같이 )를 정의하기도 한다.

미분 방정식 
바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다.

여기서 이다. 와 는 타원 불변량()이라고 불리는 모듈러 형식이며, 이는 주기 와 다음과 같은 관계를 가진다.

이는 타원곡선의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수

를 정의하면, 이는 원환면 로부터 타원곡선 으로 가는, 복소다양체의 동형사상을 이룬다. 여기서 는 에 대한 격자

이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면임을 알 수 있다.

성질 
바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로, 다음과 같은 주기성을 가진다. 임의의 에 대하여,

또한, 모듈러 매개변수 에 대해서는 모듈러 함수의 성질을 가진다.

또한, 바이어슈트라스 타원함수는 짝함수이며, 그 도함수는 홀함수이다.

바이어슈트라스 타원함수 는 타원 곡선 에서 리만 구면 로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 리만-후르비츠 공식에 따라 총 4개의 분지점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 꼬임 부분군이다. 분지점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로 이라고 쓰며,  다음과 같다.

덧셈 공식 
삼각함수나 야코비 타원함수와 마찬가지로, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 덧셈 공식()을 만족시킨다.

만약 인 경우, 위 공식에 극한을 취해 다음과 같은 공식을 얻는다.

야코비 타원함수와의 관계 
바이어슈트라스 타원함수는 야코비 타원함수로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다.

여기서

이다.

역함수 
바이어슈트라스 타원함수가 따르는 미분 방정식을 적분하면, 바이어슈트라스 타원함수의 역함수는 다음과 같은 타원적분임을 알 수 있다.

이는 리만 구면에서 타원곡선으로 가는 사상으로 볼 수 있으며, 에서 분지점을 갖는다.

역사 
카를 바이어슈트라스가 1862년 베를린 대학교에서의 타원함수에 대한 강의에서 정의하였다. 이는 기존의 야코비 타원함수들의 복잡한 이론을 하나의 함수만을 사용하여 단순화시킨 것이다.

같이 보기 
 바이어슈트라스 제타 함수
 -불변량

참고 문헌

외부 링크 
 
 

타원함수
모듈러 형식