초기하함수

초기하함수(超幾何函數, )는 기하급수를 일반화시키는 일련의 특수 함수들이다. 일련의 거듭제곱 급수로 나타내어지고, 어떤 선형 상미분 방정식을 만족시킨다.

정의 
초기하 미분 방정식()은 미지 함수 에 대한, 다음과 같은 꼴의 차 선형 상미분 방정식이다.

여기서

는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다.

여기서

은 상승 포흐하머 기호이며,

이다. 이 급수 를 초기하급수()라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 초기하함수라고 한다.

성질 
정의에 따라, 초기하함수 는 나 의 순서에 관계없다. 또한, 만약 와 에 교집합이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어 라면

이다.

미분 
급수 전개에 따라, 초기하함수의 미분은 다음과 같다.

여기서 이며, 의 경우도 마찬가지다.

모노드로미 
복소 상미분 방정식

의 개의 선형 독립 해는

이다. (여기서 는 를 제외한 목록을 뜻한다.) 이는 푹스 방정식(해가 정칙 특이점만을 갖는 방정식)이며, 리만 구 위의 (정칙) 특이점은 이다. 이들은 특이점 근처에서 모노드로미를 가진다.
  근처에서, 초기하 방정식은 개의 선형 독립 해들을 갖는다. 나머지 하나의 해는 1 근처에서 모노드로미를 가지므로 포함되지 않는다.
  또는  근처에서, 초기하 방정식의 해들은 항상 모노드로미를 가지므로, 이 근처에서는 일반적으로 해가 존재하지 않는다.
  근처에서는 개의 선형 독립 해가 존재한다.

어떤 밑점  근처에서의 위 방정식의 해의 벡터 공간을 라고 하자. 이는 차원의 복소 벡터 공간이다. 그렇다면, 모노드로미에 따라서 기본군의 다음과 같은 군 표현이 존재한다.

임의의 에 대하여, 초기하 함수
를 생각하자. 그렇다면 기본군 의 작용은 다음과 같다.
 의 고윳값은 이다 .
 의 고윳값은 이다 .
 은 중복수가 인 고윳값 1을 갖는다.
이 조건을 충족시키는 군 표현은 유일하며, 이를 초기하군 라고 한다.

예

0F0 
는 지수 함수이다.

1F0 
는 기하급수이다. 이로부터 "초기하"라는 이름이 유래하였다.

0F1 
는 합류 초기하 극한 함수()라고 하며, 다음과 같이 베셀 함수로 나타낼 수 있다.

1F1 
는 제1종 합류 초기하함수()라고 한다.

2F1 
는 가우스 초기하함수()라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다.

가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다.

여기서 는 제1종 타원적분이다.

nFn−1 
을 차 클라우센-토메 초기하함수()라고 한다. 이는 토마스 클라우센()과 카를 요하네스 토메()의 이름을 땄다. 이는 기하급수  및 가우스 초기하함수 의 일반화이며, 가우스 초기하함수와 마찬가지로 흥미로운 모노드로미 이론을 갖는다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

 
특수 함수
보형 형식
계승과 이항식 주제
상미분방정식
급수