BF 모형

이론물리학에서 BF 모형(BF模型, )은 시바르츠형 위상 양자장론의 간단한 예이다. 게이지 이론의 매우 간단한 형태이다.

정의 
이 차원 매끄러운 다양체이고, 그 위에 올이 리 군 인 주다발 이 주어졌다고 하자. 또한, 의 리 대수  위에 비퇴화 쌍선형 형식 이 존재한다고 하자. (보통 킬링 형식의 스칼라배를 사용한다.)

BF 모형은 다음과 같은 두 장으로 구성되는 양자장론이다.
 는 의 주접속이다. 즉, 게이지 보손에 해당한다.
 는  위에 정의된, 리 대수 에 값을 갖는 차 미분 형식이다.
두 장 모두 게이지 대칭을 가진다.

여기서 이며, 이다. 즉, 는 미분 형식 전기역학에서의 퍼텐셜과 유사한 게이지 대칭을 가진다.

BF 모형의 작용은 다음과 같다.

여기서 는 의 곡률 (장세기)이다.

만약 일 경우, 특별히 다음과 같은 “우주 상수”  항을 추가할 수 있다.

성질

장방정식 
우주 상수 항이 없을 때, BF 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.
 
 
따라서, 고전적으로 는 평탄 주접속이고, 는 닫힌 미분 형식이다.

우주 상수 항을 추가하면, 에서 오일러-라그랑주 방정식은 대신 다음과 같다.

양자화 
편의상, 시공간

을 생각하자. 그렇다면, 은 와 호모토피 동치이므로, 사실  위에 -주다발 이 주어졌다고 가정할 수 있다.

이 위에서 BF 모형의 양자화를 생각하자. 이 경우, 위상 공간 은 다음과 같다.

여기서
 는 의 평탄 주접속들의 공간이다.
이 경우, 주접속 에 대응하는 일반화 운동량은 이다. 즉, 정준 교환 관계는 다음과 같다.

여기서
 는 의 부피 형식이다.

따라서, 그 힐베르트 공간은 단순히

이다.

천-사이먼스 이론과 비교했을 때, 천-사이먼스 이론의 경우 3차원에서 가 리만 곡면의 구조를 가지므로, 는 이미 켈러 다양체의 구조를 가지며,  자체가 위상 공간이며, 는 스스로의 일반화 운동량이 된다. 그러나 BF 이론에서는 는 위상 공간이 아니라 배위 공간이다.

우주 상수 항이 있는 경우의 양자화 
우주 상수 항이 있을 경우, 양자화는 다음과 같이 달라진다. 우선, 더 이상 이 아니게 된다. 우선, (평탄하거나 평탄하지 않을 수 있는) 주접속의 (무한 차원) 공간을 라고 하자. 그렇다면, 위상 공간은  속에서,

을 만족시키는 점들의 공간이다. 즉, 파동 함수는 에 대한 게이지 변환에 대하여 불변인,  위의 함수  가운데,

을 만족시키는 것이다. 만약  위의 -주다발이 (위상수학적으로) 자명한 올다발이라면, 이 편미분 방정식은 하나의 일차 독립 해를 가지며, 이는 구체적으로

이다. 여기서

는  위의 천-사이먼스 이론의 작용(천-사이먼스 형식)이다. 이는

이기 때문이다.

성질

양-밀스 이론과의 관계 
BF 모형은 부피가 0인 다양체 위의 양-밀스 이론으로 생각할 수 있다.

양-밀스 이론의 작용은

이다. 여기서 는 결합 상수이고, 는 호지 쌍대이다. 여기에 보조장 를 도입하자. 그렇다면, 양-밀스 이론은 다음과 같이 동등하게 나타낼 수 있다.

이제, 결합 상수를 0으로 보내자.

그렇다면

가 되어, BF 모형이 됨을 알 수 있다.

호지 쌍대 를 대신 부피 형식 와 내적

로 쓰자. 그렇다면

이 된다. 이는

에만 의존하게 된다. 이는 다양체 의 "부피"

로 생각할 수 있다. 그렇다면 BF 모형의 극한은 로 측정한 부피가 0으로 가는 극한으로 생각할 수 있다.

초대칭 BF 모형 
BF 모형에 초대칭을 추가하여 초대칭 BF 모형()을 정의할 수 있다. 이는 더 이상 시바르츠형 위상 양자장론이 아니며, 대신 위튼형 위상 양자장론이다. 이 경우, 장들은 다음과 같다. 모든 장은 의 딸림표현을 따른다.
 게이지 초장 . 여기서 는 U(1) 게이지 보손이며, 는 벡터 페르미온이다. 이 경우 이다.
 라그랑주 승수 초장 . 여기서 는 차 미분 형식인 보손이며,  역시 차 미분 형식인 페르미온이다. 이 경우 이다.
 유령 초장 . 이며 이다.
이에 따라, 작용은 다음과 같다.

초대칭이 없는 경우와 마찬가지로, 이 경우 이론은  위의 -평탄 주접속들의 모듈라이 공간의 특성을 계산한다.

만약 시공간이 3차원일 경우 (), 이 이론은 추가로  위상 초대칭을 갖는다. 즉, 두 개의 스칼라 초전하(BRST 연산자)를 가지며, 이 둘을 섞는 SU(2) R대칭이 존재하며, 이 아래 는 SU(2)의 2차원 기본 표현을 따른다. 이 이론은 3차원  게이지 이론의 A-뒤틂과 같으며, 이는 도널드슨 이론을 3차원으로 축소화한 것과 같다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

양자장론