콤팩트 작용소

함수해석학에서 콤팩트 작용소(compact作用素, )는 유계 집합의 상이 상대 콤팩트 집합인 바나흐 공간 사이의 선형 변환이다.

정의 
라고 하자. 두 -바나흐 공간 와  사이의 -유계 작용소 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 -선형 변환을 콤팩트 작용소라고 한다.
  속의 단위 닫힌 공 의 상 가 의 상대 콤팩트 집합이다.
  속의 임의의 유계 집합 의 상 가 의 상대 콤팩트 집합이다.
  속의 임의의 유계 집합 의 상 가 의 완전 유계 집합이다.

힐베르트 공간의 경우 
만약 와 가 -힐베르트 공간이라면, 그 사이의 -선형 변환 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이다.
 콤팩트 작용소이다.
 치역이 유한 차원 공간인 -선형 변환들의 집합을 라고 할 때, 의 폐포에 속한다. (여기서 는 유계 작용소의 공간이며, 폐포는 작용소 노름으로 정의된 거리 위상에서 취한 것이다.)
 다음과 같은 꼴의 표현을 갖는다.

여기서
 이다.
 는 감소하는 양의 실수열이다. 즉, 이며, 임의의 에 대하여 이다.
 는  속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 에 대하여 이다 (는 크로네커 델타).
 는  속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 에 대하여 이다 (는 크로네커 델타).
이러한 표현을 의 특잇값 분해라고 한다.

성질

포함 관계 
모든 콤팩트 작용소는 유계 작용소이다.

두 -힐베르트 공간 사이의 경우, 두 -힐베르트 공간 사이의 -선형 변환에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
선형 변환 ⊇ 유계 작용소 ⊇ 콤팩트 작용소 ⊇ 힐베르트-슈미트 작용소 ⊇ 대각합류 작용소
또한, 임의의 에 대하여,  두 -힐베르트 공간 사이의 차 핵작용소는 콤팩트 작용소이다. (1차 핵작용소는 대각합류 작용소이며, 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 작용소이다.)

스펙트럼 이론 
복소수 바나흐 공간 위의 콤팩트 작용소의 경우, 다음과 같은 매우 깔끔한 스펙트럼 이론이 존재한다.

임의의 복소수 바나흐 공간  위의 복소수 콤팩트 작용소

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 (프레드홀름 양도 논법 Fredholm 兩刀論法, ) 스펙트럼의 모든 0이 아닌 원소는 고윳값이다. 즉, 임의의 는 의 고윳값이다.
 만약 가 무한 차원 바나흐 공간이라면, 항상 이다.
  스펙트럼의 임의의 0이 아닌 원소  및 충분히 큰 양의 정수 에 대하여, 이며, 또한 이 부분 벡터 공간은 유한 차원이다.
 의 고윳값들의 집합의 -집적점은 (만약 존재한다면)  밖에 없다.
 는 가산 집합이다.

위 성질 가운데 "프레드홀름 양도 논법"이라는 이름은 이를 다음과 같이 적을 수 있기 때문이다.
임의의 0이 아닌 복소수 에 대하여, 다음 둘 ("양도") 가운데 정확히 하나가 성립한다.
 스펙트럼에 속하지 않는다.
 고윳값이다.

역사 
프레드홀름 양도 논법은 에리크 이바르 프레드홀름이 원래 적분 변환 연산자에 대하여 1903년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

함수해석학