일반위상수학

일반위상수학(一般位相數學, ), 또는 점집합 위상수학(點集合位相數學, )은 위상 공간을 일반적으로 그것을 정의하는 집합론적 공리만으로 다루는 위상수학의 한 분과이다. 그러므로 일반위상수학에서 얻은 결과는 다른 모든 위상 공간을 다루는 분야에서 사용할 수 있다.

역사 
일반위상수학은 주로 다음과 같은 분과의 문제를 다루면서 정립되었다.

 실수 집합의 부분집합에 대한 연구
 다양체 개념에 대한 연구
 거리 공간에 대한 연구, 특히 그 중에서도 현대에는 함수해석학에서 다루는 노름 공간에 대한 연구.

일반위상수학은 1940년 무렵 오늘날과 비슷한 체계를 갖추었다. 이 무렵 수학의 다른 모든 분과에 응용될 수 있는 연속 등의 개념이 일반적으로 확립되었다.

대상 
구체적으로 일반위상수학에서는 다음과 같은 대상을 일반적으로 정의하고 그에 관한 정리(예컨대, 티호노프 정리나 우리손의 보조정리)들을 다룬다.

 열린 집합, 닫힌 집합
 내부, 폐포, 근방
 콤팩트 공간, 연결 공간
 연속 함수
 수열의 극한, 그물, 필터
 분리 공리, 가산 공리, 거리 공간

보다 특수한 개념들에 집중하는 위상수학의 다른 분과로는 대수적 위상수학(호모토피와 호몰로지 등), 기하적 위상수학(다양체의 여러 기하학적/위상수학적 성질), 미분위상수학(매끄러운 다양체) 등이 있는데, 일반위상수학은 이들 분과 모두에서 사용할 수 있는 개념적 기초를 제공한다.

일반위상수학의 중요한 변형 중 하나로 점 없는 위상수학이 있는데, 이는 위상 공간을 다룸에 있어 점의 집합으로 생각하는 것을 피하고, 격자의 연구와 장소의 범주론적 연구를 통해 위상적 개념을 다루는 접근법을 취한다.

참고 문헌

외부 링크