피카르-렙셰츠 이론

미분위상수학과 대수기하학에서 피카르-렙셰츠 이론()은 복소다양체 위의 정칙함수의 특이점 주위의 모노드로미를 연구하는 이론이다. 모스 이론의 복소수 버전이라고 생각할 수 있다.

피카르-렙셰츠 공식 
복소 차원 연결 복소다양체  위에 정칙함수 가 있다고 하자. 이러한 함수의 특이점은 인 점 들이다. 특이점들이 이산 공간을 이루고, 또한 그 상 들이 서로 다르다고 하자.

일반적으로, 모든 에 대하여 는 위상동형이다. 인 극한을 취하면, 의 호몰로지류 가운데 하나가 0으로 축소돼 사라지게 된다 (vanishing cycle). 이러한 호몰로지류는 항상 중간 호몰로지, 즉 차 호몰로지류 임을 보일 수 있다. (는 실수 차원이다.) 를  주위로 작은 원을 그리며 변형시키면, 이에 대한 모노드로미는 에 대한 작용으로 표현할 수 있다. 즉, 이 모노드로미는 기본군 의 에 대한 작용으로 나타내어진다.

피카르-렙셰츠 공식에 따라서, 이 작용은 다음과 같다. 가 를 반시계방향으로 도는 폐곡선이라고 하면,

이다. 여기서

이다.

역사 
에밀 피카르와 솔로몬 렙셰츠의 이름을 땄다. 에밀 피카르와 조르주 시마르()는 특이점이 2개인 경우를 1897년 다뤘고, 솔로몬 렙셰츠가 임의의 수의 특이점이 있는 경우를 1924년 다뤘다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

대수기하학