군의 확대

군론에서 군의 확대(群-擴大, )는 군을 정규 부분군과 몫군으로 나타내는 방법이다.

정의 
군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다고 하자.

즉,

이다. 그렇다면 를 에 의한 의 확대()라고 한다.

만약 이 의 중심의 부분군이라면, 즉

이라면 이를 중심 확대(中心擴大, )라고 한다.

의 로의 두 확대

에 대하여, 만약 다음 그림

을 가환하게 하는 군 동형 이 존재한다면, 와 을 서로 동형인 확대라고 한다.

분류 
군의 확대들의 동형류들은 2차 군 코호몰로지에 의하여 분류된다.

아벨 군의 범주 속에서의 확대 
과 가 아벨 군이며, 확대된 군  역시 아벨 군이라고 하자. 이러한 군의 확대는 Ext 함자에 의하여 분류된다. 구체적으로, 이러한 아벨 군의 범주 속에서의 확대들의 동형류들은

과 표준적으로 일대일 대응한다.

아벨 정칙 부분군의 경우 
이 아벨 군이라고 하자. 그렇다면, 의 에 대한 분류들은 다음과 같은 집합과 표준적으로 일대일 대응한다.

여기서 은 을 작용 를 갖춘 -가군으로 보았을 때의 2차 군 코호몰로지이다. 즉, 군의 확대 가 주어졌을 때, 자연스러운 준동형

이 유도되는데, 주어진 준동형 에 대응하는 확대들은 2차 군 코호몰로지 과 표준적으로 대응한다. 이는 반직접곱 가 표준적인 밑점()을 제공하기 때문이다.

특히, 의 아벨 군 에 대한 중심 확대는 자명한 작용 에 대응하며, 중심 확대는 자명한 -가군 계수의 2차 군 코호몰로지 와 표준적으로 일대일 대응한다.

무중심 정칙 부분군의 경우 
의 중심이 자명군일 경우, 의 에 대한 확대의 동형류들은 군 준동형

과 일대일 대응한다.
이는 가환 그림

에서, 이 으로부터 완전히 결정되기 때문이다. 특히, 이 자명한 중심을 갖고, 또한 외부자기동형군 역시 자명하다면, 의 모든 확대는 직접곱이다. 이러한 조건을 만족시키는 군을 완비군(完備群, )이라고 한다.

외부 자기 동형을 갖지 않는 정칙 부분군의 경우 
만약 이 자명군이라면, 준동형 은 자명한 준동형밖에 없다. 이 경우, 모든 확대들은 2차 군 코호몰로지 와 표준적으로 일대일 대응하며, 은 직접곱 에 대응한다.

구체적으로,

이므로, 짧은 완전열

이 존재한다. 이 아벨 군이며, 의 에 대한 작용은 자명하므로 가능한 들은 과 표준적으로 일대일 대응하며, 주어진 에 대하여 는 짧은 완전열

에서 유일하게 결정된다.

일반적 정칙 부분군의 경우 
일반적인 의 경우, 군의 확대의 동형류들은 여전히 2차 코호몰로지와 일대일 대응하지만, 밑점()이 유일하지 않으므로 이 대응은 더 이상 표준적이지 않다.

구체적으로, 확대

가 주어졌을 때, 표준적인 군 준동형

이 존재한다. 임의의 준동형 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 를 유도하는 군의 확대 가 존재한다.
 어떤 특정한 에 대하여, 이다.
즉, 를 통한 확대의 존재에 대한 걸림돌은 3차 군 코호몰로지의 특정 원소이다.

만약 위 조건이 성립한다면, 를 통한 임의의 두 확대 에 대하여, 둘의 "차이"를 표준적으로 과 일대일 대응시킬 수 있다. 즉, 를 통한 확대들은 과 일대일 대응하지만, 이 대응은 표준적이지 않다. 다만, 가 자명한 작용일 경우, 자명한 확대 를 밑점으로 삼으면 표준적인 일대일 대응을 얻는다.

구체적으로, 이 걸림돌 는 다음과 같다. 완전열

에 의하여, 원소

가 주어진다. 또한, 군 준동형 에 의하여, 코호몰로지 군 사이의 준동형

이 주어진다. 그렇다면

이다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 군 코호몰로지
 Ext 함자
 반직접곱
 짧은 완전열
 체의 확대

군론