그물 (수학)

위상수학에서 그물() 또는 무어-스미스 열(Moore-Smith列, )은 점렬의 일반화이다. 점렬과 달리, 그 지수가 자연수 대신 임의의 상향 원순서 집합일 수 있다.

정의 
집합  위의 그물은 어떤 상향 원순서 집합 에 대하여 에서 로 가는 함수 이다. 이는 흔히 점렬과 유사하게 첨자로 와 같이 표기한다.

점렬은 전순서 집합 에서 어떤 집합으로 가는 함수이므로, 그물은 점렬의 일반화이다.

상향 원순서 집합 와 집합  및  속의 그물  및 의 부분 집합 가 주어졌다고 하자.
 만약 가 성립하는 가 존재한다면, 가 최종적으로 에 속한다()고 한다.
 만약 임의의 에 대하여 인 가 존재한다면, 가  빈번히 에 속한다고 한다.

가 극대 그물(極大-, ultranet, universal net)일 필요충분조건은, X의 임의의 부분 집합 에 대하여 가 최종적으로 에 속하거나 최종적으로 여집합 에 속하는 것이다. 이는 극대 필터에 대응되는 개념이다.

극한 
상향 원순서 집합 와 위상 공간  및  속의 그물  및 점 가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, 가 로 수렴한다() 또는 극한 를 갖는다()고 한다.
 의 임의의 근방 에 대하여 는 최종적으로 에 속한다.
그물 가 로 수렴할 경우, 점렬의 경우처럼 다음과 같이 쓴다.
 

만약 에 기저가 주어져 있을 경우, 그물이 로 수렴하는 것을 보이기 위해서는 그물이 최종적으로 를 포함하는 기저의 원소들에 속한다는 것만 보이면 된다.

상극한과 하극한 
상향 원순서 집합 에서 실수로 가는 그물의 경우, 상극한·하극한을 점렬의 경우와 유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.

그물의 상극한과 하극한은 점렬에서와 비슷한 성질을 갖는다. 예를 들어, 다음이 항상 성립한다.

이 부등식에서 두 그물 중 하나가 수렴하면 등호가 성립한다.

성질

연속 함수 
점렬은 위상 공간의 각종 특성을 정의하는 데 자연스럽지 못한 경우가 많다. 이는 점렬이 자연수를 정의역으로 갖는데, 자연수 집합은 가산 집합이므로 지나치게 작기 때문이다. 예를 들어, 일반적인 두 위상 공간 ,  사이의 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 동치가 아니다.
 연속 함수이다.
 임의의 점렬 이 만약 에 수렴한다면,  역시 로 수렴한다.
전자는 후자를 항상 함의하며, X, Y가 제1 가산 공간일 경우에는 후자가 전자를 함의하지만, 일반적 위상 공간에 대해서는 후자가 전자를 함의하지 못할 수 있다.

그물을 사용하면 이러한 문제가 발생하지 않는다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 ,  및 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 연속 함수이다.
 임의의 그물 이 만약 에 수렴한다면, 그물  역시 로 수렴한다.

닫힌집합 · 콤팩트 집합 
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 닫힌집합이다.
  속의 임의의 그물의 임의의 ( 속에서 취한) 극한은 의 원소이다. 즉, 그물 극한은 를 벗어나지 않는다.
위상 공간 의 부분 집합  및 점 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 . 여기서 은 폐포이다.
 로 수렴하는  속의 그물이 존재한다.

볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, 위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 콤팩트 공간이다.
  속의 임의의 그물은 수렴하는 부분 그물을 갖는다.

극한의 존재·유일성 
일반적인 위상 공간에서 임의의 그물은 극한을 0개·1개·2개 이상 가질 수 있다. 그러나 하우스도르프 공간 속의 그물의 극한은 0개 또는 1개이다.

위상 공간  속의 그물 이 극한을 가질 필요충분조건은 모든 부분그물이 극한을 갖는 것이다. 이때 의 모든 극한은 모든 부분그물의 극한이 된다.

곱위상이 주어진 곱공간의 그물이 극한을 가질 필요충분조건은 그물의 각 사영(projection, 정확히 말해 어떤 공간들의 곱공간에서 원래의 공간 중 하나로 내리는 사영사상과 원래 그물의 합성함수로 이루어지는 그물)이 극한을 갖는 것이다. 이 성질과 볼차노-바이어슈트라스 정리를 이용하면 티호노프 정리를 쉽게 증명할 수 있다.

위상 공간  속의 그물  및 점 이 다음 조건을 만족시킨다면 가 의  집적점이라고 한다.
 의 임의의 근방 에 대하여 가 빈번히 에 속한다.
그물 의 집적점의 집합은 의 부분그물의 극한들을 모두 모은 집합과 같다.

역사 
미국 수학자 일라이어킴 헤이스팅스 무어와 허먼 라일 스미스()가 1922년 처음 도입하였다.

유사한 목적으로 개발된 개념으로 필터가 있다.

참고 문헌 

 
 
 
 Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and its Foundations. San Diego: Academic Press. ISBN 126227608.

외부 링크 
 
 
 
 

일반위상수학