호프 올뭉치

위상수학에서 호프 올뭉치()는 구가 다른 차원의 구 위의 올다발을 이루는 현상이다. 가장 대표적인 경우는 3차원 구가 2차원 구 위에 다발을 이루는 경우며, 유사하게 7차원 구가 4차원 구 위에, 15차원 구가 8차원 구 위에 올다발을 이룬다.

정의 
노름을 가진 나눗셈 대수 와 그 차원 가 주어졌다고 하자. 다시 말해, 는 실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수 대수 가운데 하나이고 각각의 경우 이다. 그러면 다음과 같이 의 원소 두 개의 순서쌍으로 초구 를 만들고 동치관계 을 정의할 수 있다.

 (, )
이 때,

을 얻는다. 즉, 은  위에 올다발을 이루며, 그 올은 인 것을 알 수 있다. 이를 호프 올뭉치라고 한다. 이에 따라, 다음과 같은 호프 올뭉치들을 얻는다.
 (실수)
 (복소수)
 (사원수)
 (팔원수)

일반화 
보다 일반적으로, 결합 나눗셈 대수  ()에 대하여, -사영 공간에 대한 주다발

을 정의할 수 있다. 이는 각각 다음과 같다.
 실수: . 이는 2차 순환군 에 대한 주다발이다.
 복소수: . 이는 원군 에 대한 주다발이다.
 사원수: . 이는 SU(2)에 대한 주다발이다.

마찬가지로, 두 나눗셈 대수의 포함 관계 에 대하여, , 일 때, 올다발

을 정의할 수 있다.
 실수 ⊂ 복소수: . 이는 원군에 대한 주다발이다.
 복소수 ⊂ 사원수: . 에는 리 군 구조가 존재하지 않으므로, 이는 주다발이 아닌 올다발이다.
 특히, 는 콤팩트화 4차원 시공간과 트위스터 공간 사이의 관계이다.
 실수 ⊂ 사원수: . 이는 에 대한 주다발이다.
반면, 이는 팔원수의 부분 나눗셈 대수에 대해서는 정의할 수 없다.

역사 
1931년 하인츠 호프가 을 발견하였다.
그는 1935년에 다른 차원일 때의 경우를 발표했다.

응용 
물리학, 특히 양자역학에 등장한다. 자기 홀극의 전자기 퍼텐셜은 호프 올뭉치를 이룬다.

참고 문헌 

 
 
 
 

올다발
대수적 위상수학
미분위상수학
호모토피 이론