파울리-루반스키 벡터

파울리-루반스키 벡터()는 운동량 4차원 벡터와 각운동량 4차원 텐서의 "4차원 벡터곱"인 유사벡터다. 대개 로 나타낸다. 그 제곱 은 각운동량의 노름으로서, 질량 과 함께 푸앵카레 군의 두 카시미르 불변량을 이룬다. 폴란드의 유제프 루반스키 ()가 1942년에 도입하였다.

정의 
다음과 같이 정의한다. (여기서 은 레비치비타 유사텐서고, 는 각운동량, 는 운동량이다.)

파울리-루반스키 벡터는 운동량과 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환관계는 다음과 같다.

또한 항상 운동량과 4차원 직교한다.

그 제곱 은 카시미르 불변량을 이룬다. 즉 다른 모든 연산자와 가환한다.

그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량 을 생각하면

여기서 은 질량이다.

양자화 
유질량장의 경우 는 입자의 총 스핀을 나타낸다. 그 고윳값은 다음과 같다.

여기서 는 스핀이다.

무질량장의 경우 이고, 는 나선도를 나타낸다.

참고 문헌 
 
 

특수 상대성이론
양자장론