F이론

끈 이론에서 F이론(F理論, )은 ⅡB종 초끈 이론의 축소화를 나타내는 이론이다. 이란인 이론 물리학자 캄란 바파가 1996년에 발표하였다. 형식적으로는 12차원 이론이나, 이는 축소화를 하지 않고는 일관적이지 않다. F이론을 사용하여 ⅡB종 초끈 이론의 수많은 축소화를 계산할 수 있고, 이들 가운데 상당수는 현상론적으로 중요하다.

정의 
10차원에 존재하는 ⅡB종 끈 이론은 SL(2;ℤ) S-이중성을 가진다. 이 이중성은 12차원의 F이론을 원환면 에 축소화하여 생긴 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 해석하면, 원환면의 모양을 나타내는 복소구조 모듈라이 를 라몽-라몽 장 (액시온) 와 딜라톤 의 합

로 해석할 수 있다. 이 복소수 값 스칼라장을 액시오딜라톤()이라고 한다. 그러나 원환면의 크기를 나타내는 켈러 모듈라이에 해당하는 장은 존재하지 않는다. 즉, ⅡB종 끈 이론은 F이론을 “크기가 0인 원환면”에 축소화한 것으로 해석할 수 있다.

보다 일반적으로, F이론은 원환면의 복소구조 모듈라이 공간()의 다발 구조를 갖춘 칼라비-야우 다양체에 축소화할 수 있다. 다발의 특이올()은 D7-막의 존재를 나타낸다. 따라서 F이론은 ⅡB종 끈 이론의 액시온과 딜라톤, D7-막의 배열을 기하학적인 데이터로 나타낸 이론이다.

성질 
ⅡA 초끈 이론은 M이론을 원 위에 콤팩트화하여 얻을 수 있지만, ⅡB 초끈 이론은 (추가로 콤팩트화한 뒤 T-이중성을 사용하지 않고는) M이론에서 직접적으로 콤팩트화하여 얻을 수 없다. 그러나 F이론을 원환면 위에 축소화하면 ⅡB 초끈 이론을 얻으며, ⅡB 초끈 이론의 SL(2;ℤ) S-이중성은 원환면의 사상류군에 대응한다.

4차원  초대칭 이론을 얻기 위해서는 ⅡB 초끈 이론을 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체에 축소화하거나, 보다 일반적으로 F이론을 복소수 4차원 칼라비-야우 다양체 위에 축소화하면 된다. 후자는 ⅡB 초끈 이론을 3차원 칼라비-야우 다양체보다 더 일반적인 공간에 축소화하는 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 하면, 4차원에서 E8 등의 게이지 군을 만들 수 있다.

М이론과의 관계 
ⅡB 초끈 이론은 M이론으로부터 다음과 같이 얻어진다.
 M이론을 원환면  위에 축소화한다.
 원 에 T-이중성을 가하여 새 원 을 얻는다.
 이제, 원환면 에서, 모양(복소구조)은 보존하지만 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취한다. 이 경우 원환면의 복소구조 모듈라이 는 ⅡB 닫힌 끈 결합 상수와 같음을 알 수 있다.
이제, 이 과정을 일반화하여, M이론을 복소수 차원의 칼라비-야우 다양체 에 축소화하고, 이 칼라비-야우 다양체가 타원 곡선 올뭉치(예를 들어, 타원 곡면) 을 이룬다고 하자. 그렇다면, 타원 곡선 올뭉치의 타원 곡선 올들의 복소수 모듈라이를 고정시킨 체 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취하자. 그렇다면, T-이중성에 따라서 새 차원이 생겨,  위의 이론을 얻는다. 이는 “12차원”의 F이론으로 여길 수 있다.

ⅡA 초끈 이론의 D6-막은 M이론의 KK 들뜬 상태이므로, 기하학적 데이터로 주어진다. 이는 T-이중성 아래 ⅡB 초끈 이론의 D7-막이 된다. 즉, 이는 F이론에서 타원 곡선 올이 퇴화하는 기하학적 데이터로 주어짐을 알 수 있다.

ⅡB 초끈 이론과의 관계 
ⅡB 초끈 이론의 섭동 이론이 유효하려면, 끈 결합 상수가 거의 어디서나 매우 작아야 한다. 이 경우, 결합 상수가 작지 않은, 복소수 여차원 1(실수 여차원 2)의 자취()는 ⅡB 초끈 이론의 D7-막에 해당한다. 이러한 극한을 센 극한(সেন極限, )이라고 한다.

구체적으로, 가장 간단한 축소화인 복소수 사영 직선 (리만 구)

위의 축소화를 생각하자. 그렇다면, 그 위의 타원 곡선 올뭉치인 타원 곡면은 복소수 가중 사영 공간

을 정의하면,

속의 대수 곡면으로, 에서 그 올은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

여기서 는 차 동차 다항식이며, 따라서 의 표준 가역층 의 거듭제곱 의 단면을 정의한다.

이 경우, 타원 곡선의 모듈라이 는 다음과 같이 j-불변량으로 주어진다.

D7-막은 인 곳, 즉 모듈러 판별식이 0인 곳

이다. 이는 에 대한 24차 다항식이다 (즉, 가역층 의 단면이다). 따라서 리만 구 위에 24개의 D7-막이 존재함을 알 수 있다.

이 수는 ⅡB 초끈 이론에서 다음과 같이 계산할 수 있다. D7-막은 10차원 초중력의 해로서 여차원 평면에  라디안의 부족각(不足角, )을 갖는다. 따라서, 리만 구를 이루기 위한 부족각  라디안을 채우려면 24개의 D7-막이 필요하다. 

일반적으로,  위의 타원 곡면의 특이올은 고다이라 구니히코가 발견한 ADE 분류를 가지며, 이 경우 특이점 근처에서 모듈라이 의 SL(2;ℤ) 모노드로미를 계산할 수 있다. 이 특이점들은 ⅡB 초끈 이론의 7-막에 해당한다. 이러한 7-막들은 액시오딜라톤의 SL(2;ℤ) 모노드로미에 의하여 분류되며, D7-막에 S-이중성을 가하여 얻는다. 이 경우, 모노드로미에 의한 7-막의 분류는 특이올의 고다이라 분류와 일치한다. 이 경우, 7-막 사이를 잇는 -끈(기본 끈과 D1-막이 겹친 상태)들의 무질량 진동 모드는 ADE 분류에 대응되는 딘킨 도표의 단순 리 군의 딸림표현을 이루며, 따라서, 이러한 축소화의 저(低)에너지 양자장론은 이러한 게이지 군의 양-밀스 이론을 포함하게 된다.

ⅡB 초끈 이론 섭동 이론이 유효하려면, 끈 결합 상수가 거의 어디서나 매우 작아야 한다. 이는 가 i∞인 것, 즉 j-불변량이 ∞가 되는 것이다. 이를 위하여, 센 극한은

으로 치환했을 때  극한으로 정의된다. 그렇다면, 모듈러 판별식과 j-불변량은

이다. 이 경우,
 인 곳은 ⅡB 초끈 이론에서 O7-평면에 해당한다.
 인 곳은 ⅡB 초끈 이론에서 D7-막에 해당한다.

역사 
1996년에 캄란 바파가 발표하였다. 이름에서 ‘F’는 ‘근본적’(), ‘아버지’() 등으로 해석될 수 있으며, 먼저 발표된 M이론과 유사하게 명명한 것이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

끈 이론