복소수 미분 형식

미분기하학에서 복소수 미분 형식(複素數微分形式, )은 복소다양체 위에 정의한 미분 형식이다. (실수) 매끄러운 다양체 위의 미분 형식과는 달리, 정칙 형식 · 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다.

정의 
차원의 복소다양체 을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 복소화 는 복소구조 , 의 고윳값 에 따른 고유 공간

으로 분해되며, 이들은 각각 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이 가운데 은 항상 정칙 벡터 다발이지만, 은 일반적으로 그렇지 않다.

이들에 각각 올별 복소수 쌍대 공간을 취하면, 복소수 벡터 다발

을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 취하여 복소수 벡터 다발

을 취할 수 있다. (만약 이라면 이는 역시 정칙 벡터 다발이다.) 이 다발의 매끄러운 단면을 차 복소수 미분 형식이라고 한다.

은 정칙 벡터 다발이므로, 정칙 단면의 개념을 정의할 수 있다. 의 정칙 단면을 차 정칙 미분 형식(正則微分形式, )이라고 한다.

보다 일반적으로, 복소다양체  위의 정칙 벡터 다발 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 값의 복소수 미분 형식()을 의 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다. 마찬가지로, 값의 차 정칙 미분 형식은 정칙 벡터 다발 의 정칙 단면이다.

국소 좌표계로의 표현 
국소적으로, 의 임의의 점의 근방 에 복소수 좌표  ()를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수 다양체와 마찬가지로 국소적으로 복소수 미분 형식

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로

꼴의 형식을 취한다. 여기서 가  개, 가 개 있으면 이를 -형식으로 부른다.

국소 좌표계로는 p차 정칙 미분 형식 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 는 정칙 함수다. 즉, 차 정칙 미분 형식은

을 만족하는 차 복소수 미분 형식 이다.

성질

실수 미분 형식과의 관계 
복소다양체 은 복소구조를 잊으면 매끄러운 다양체이므로, 그 위에 (실수) 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우

이므로,

이 된다.

이 경우, 외미분

은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상

임을 보일 수 있다. 즉,

로 정의하면,

이다. 이 두 미분 연산자 과 을 돌보 연산자(Dolbeault演算子, )라고 부른다.

국소 좌표계로는 돌보 연산자를 외미분과 유사하게 정의할 수 있다. 즉 -형식 의 경우,

그 돌보 연산자는 다음과 같다.

여기서 , 는 다중지표다.

돌보 코호몰로지 
복소다양체의 돌보 연산자들은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

따라서  또는 로서 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 가운데, 로 정의되는 것은 의 정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산하며, 반대로 로 정의되는 것은 의 반정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산한다. 보통 정칙 함수 및 정칙 단면의 개념을 사용하므로, 보통 로 정의되는 코호몰로지를 사용한다.

즉, 다음과 같은, 복소수 벡터 공간(의 층)으로 구성된 사슬 복합체를 생각하자.

그 코호몰로지는 다음과 같이 -형식의 동치류 공간이다.

이를 돌보 코호몰로지()라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 호지 수()라고 부른다. 즉 호지 수 는 다음과 같다.

호지 수는 (복소수 벡터 공간의 차원이므로) 음이 아닌 정수 또는 무한대이다. 만약 복소다양체가 콤팩트하면 호지 수는 유한하다.

호지 수는 드람 코호몰로지의 차원인 베티 수 에 대응하며, 특히 다음이 성립한다.

차원 복소다양체는 총 개의 호지 수

를 가진다. 이 가운데 은 의 연결 성분의 수이다. 또한, 콤팩트 연결 복소다양체의 경우 세르 쌍대성

에 의하여

가 성립한다.

만약 이 켈러 다양체의 구조를 가질 경우, 항상

가 성립한다.

층 코호몰로지 
돌보 복합체

는 섬세층으로 구성되며, 차 정칙 단면들의 층의 분해를 이룬다. 즉, 그 코호몰로지는 차 정칙 단면의 층의 층 코호몰로지와 같다.

이를 돌보 정리()라고 한다. 특히, 만약 일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 정칙 함수이므로, 돌보 복합체는 구조층의 코호몰로지를 계산한다.

이는 실수 미분 형식의 경우 드람 코호몰로지가 상수층 의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다.

보다 일반적으로, 임의의 정칙 벡터 다발 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 돌보 복합체

는 의 층 코호몰로지의, 섬세층으로 구성된 분해를 이루며, 그 돌보 코호몰로지는 의 층 코호몰로지와 일치한다. (인 경우는 정칙 벡터 다발 의 층 코호몰로지이므로, 인 경우로 귀결된다.) 예를 들어

는 인  값의 (0,0)차 미분 형식의 복소수 벡터 공간, 즉 의 정칙 단면의 복소수 벡터 공간이다.

예 
리만 구  위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.

여기서 는 차의 유일한 정칙 선다발이다. 이는 복소수 1차원이므로 은 표준 선다발과 같으며, 이는 이다. (리만-로흐 정리에 의하여, 종수 의 리만 곡면의 표준 선다발의 차수는 이며, 리만 구는 인 경우이다.)

리만-로흐 정리에 의하여,

이다. 즉,
  위에 대역적으로 정의되는 0차 정칙 미분 형식(즉, 정칙 함수)은 상수 함수 밖에 없다.
  위에는 대역적으로 정의되는 1차 정칙 미분 형식이 존재하지 않는다.

마찬가지로,

이다. 여기서 세르 쌍대성을 사용하였다.

물론,  위의 (0,0)차 및 (0,1)차 및 (1,0) 차 및 (1,1)차 복소수 미분 형식들의 공간은 각각 무한 차원의 복소수 벡터 공간이다.

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

미분 형식
복소해석학
호지 이론