반 더시터르 공간

반 더시터르 공간(反 de Sitter 空間, , 기호 AdS)은 최대 대칭적()이고, 음의 스칼라 곡률을 갖는 로런츠 다양체다. 쌍곡공간을 임의의 부호수에 대하여 일반화한 것이다. (더시터르 공간은 최대대칭적이고 양의 스칼라 곡률을 갖는 다양체다.) 빌럼 더시터르의 이름을 땄다.

반 더시터르 공간은 음의 우주상수를 가지는 일반 상대성 이론의 진공해를 이루며, 또 끈 이론에서 AdS/CFT 대응성에 중요한 역할을 한다.

정의 
부호수가 인 반 더시터르 공간은 부호수가 인 민코프스키 공간에 국소적 등거리 묻기가 가능하다. -민코프스키 공간의 계량 형식은

이다. 이 때, 반 더시터르 공간은 다음 식을 만족하는 부분공간으로 정의할 수 있다.

여기서 는 양의 실수로, 반 더시터르 반지름()이라고 불린다. 즉, 반 더시터르 공간은 민코프스키 공간에서의 구이다. 이 때, 이면 이는 일반적인 쌍곡공간이 된다.

인 경우, 이 등거리묻기를 전역적으로 생각하여 정의한 부분공간은 시간꼴 폐곡선을 지닌다. 인 경우, 이는 범피복 공간을 취하여 시간꼴 폐곡선을 없앨 수 있다. (인 경우는 그렇지 않다.) 시간꼴 폐곡선은 물리학적으로 역설적이므로, 일반적으로 물리학에서 "반더시터르 공간"이라면 범피복 공간을 취한 경우를 일컫는다.

반 더시터르 공간은 범피복 공간을 취하지 않은 경우 등거리변환군이 이다. 범피복 공간을 취하였다면, 등거리변환군은 의 어떤 피복군이 된다.

성질 
차원 (로런츠 계량 부호수) 반 더시터르 공간의 리만 곡률은 다음과 같다. ( 부호수를 사용한다.)

따라서 리치 곡률과 스칼라 곡률은 다음과 같다.

.
이로부터 반 더시터르 공간은 우주 상수

인 아인슈타인 방정식의 해임을 알 수 있다.

등각 경계 
반 더시터르 공간은 시간꼴(timelike) 등각 경계()를 가진다. n차원 반 더시터르 공간의 등각 경계는 위상수학적으로 이고, 범피복 공간을 취하였을 경우 위상수학적으로 이다. 등각 경계가 시간꼴이므로, 반 더시터르 공간은 코시 곡면(Cauchy surface)을 가지지 않는다. 즉, 주어진 시간에 초기 조건을 부여하더라도, 등각 경계에 경계 조건을 부여하지 않으면 초기값 문제를 풀 수 없다.

특히, 빛의 속력의 입자는 반 더시터르 공간의 등각 경계에 유한 시간 안에 도달할 수 있다. 정적 좌표계를 사용하고, 입자의 궤적이 라고 하자. 입자가 빛의 속력으로 움직이므로

이고, 따라서

이다. 즉,

이다. 원점 에서 등각 경계 에 도달하기 위해 필요한 시간은

임을 알 수 있다.

반 더시터르 공간의 푸앵카레 조각()은 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간이다. 푸앵카레 조각의 등각 경계는 n−1차원 민코프스키 공간이며, AdSn의 등거리사상군 SO(n−1,2)는 이 민코프스키 공간의 등각변환군으로 작용한다. 이는 AdS/CFT 대응성에 핵심적인 역할을 한다.

좌표계 
반 더시터르 공간에는 여러 좌표계를 정의할 수 있다. 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

푸앵카레 좌표계 

푸앵카레 좌표계()를 사용하면 AdSn의 계량 텐서는 다음과 같다.

반 더시터르 공간의 경계는 에 위치해 있다.

푸앵카레 좌표계는 반 더시터르 공간의 전체를 덮지 않는다. 하나의 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간을 푸앵카레 조각()이라고 한다. 범피복 공간을 취하지 않았을 경우 반 더시터르 공간은 두 개의 푸앵카레 조각으로 이루어진다.

정적 좌표계 
정적 좌표계()를 사용하면 AdSn의 계량 텐서는 다음과 같다.

반 더시터르 공간의 경계는 에 위치해 있다. 이 좌표계는 반 더시터르 공간 전체를 덮는다.

동시 좌표계 
동시 좌표계()를 통해, 반 더시터르 공간 AdSn을 쌍곡공간 Hn−1로 엽층을 줄 수 있다. 이는 FLRW 계량의 특수한 경우다.

이 좌표계는 반 더시터르 공간의 일부만을 덮는다.

반 더시터르 공간 위에서의 양자장론 
반 더시터르 공간에서의 양자장론은 민코프스키 공간이나 더시터르 공간과 구별되는 여러 다른 특성을 가진다.

초대칭 
더시터르 공간에서는 초대칭이 존재할 수 없다. 그러나 반 더시터르 공간과 민코프스키 공간에서는 초대칭이 존재할 수 있다. 반 더시터르 공간에서는 민코프스키 공간에서 존재하지 않는 초다중항이 있는데, 이들을 일중항() 표현이라고 한다.

특히, 다음과 같은 차원에서는 32개의 초전하를 가지는 초대칭이 존재하며, 이 경우 일중항 표현은 다음과 같다.

이 기하학들은 끈 이론 또는 M이론에서 존재하는 막들의 사건 지평선 근처 기하학으로 얻을 수 있다. 위 표에서 "대응하는 막"은 이 막을 일컫는다. 이들은 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.

음수 제곱 질량 
민코프스키 공간에서는 불변 질량의 제곱 이 항상 음이 아닌 실수이어야 한다. 제곱 질량이 음수인 경우는 타키온이라고 하며, 이는 진공의 불안정성을 나타낸다. 즉, 이러한 경우는 진공이 더 안정한, 타키온을 포함하지 않는 진공으로 붕괴하게 된다. 반면 반 더시터르 공간에서는 제곱 질량이 음수인 경우가 가능하다. 즉, 차원 반 더시터르 공간에서는 제곱 질량이

을 만족하면 일관적인 이론을 정의할 수 있다. 이 부등식을 브라이텐로너-프리드먼 하한()이라고 하고, 페터 브라이텐로너()와 대니얼 프리드먼()이 1982년에 발견하였다. 만약

인 경우 자유 스칼라장을 경계 조건에 따라 서로 다른 두 가지 방법으로 양자화할 수 있다. (라면 양자화는 유일하다.)

반 더시터르 공간에서 음수 제곱 질량이 가능하다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.

블랙홀과 열역학 
반 더시터르 공간은 더시터르 공간과 달리 유한한 온도를 가지지 않는다.

반 더시터르 공간 속에 존재하는 블랙홀은 최소 온도를 가진다. 이 온도는 대략

이다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 더시터르 공간
 등각 장론
 AdS/CFT 대응성

일반 상대성 이론의 엄밀해
미분기하학