르베그 수

위상수학에서, 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수(Lebesgue數, )는 열린 덮개의 섬세함을 측정하는 수이다. 구체적으로, 르베그 수보다 더 작은 지름을 갖는 집합은 열린 덮개의 한 원소에 속하게 된다.

정의 
유사 거리 공간 의 덮개 의 르베그 수는 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 이다.
 임의의 부분 집합 에 대하여, 이면 가 존재한다.
여기서

는 유사 거리 공간의 지름이다.

성질

유일성 
유사 거리 공간 의 덮개 의 르베그 수 가 존재한다면, 보다 작은 양의 실수는 마찬가지로 의 르베그 수이다.

정의에 따라, 유사 거리 공간 의 덮개 의 르베그 수가 존재한다면, 그 최대 르베그 수가 존재하며, 이는 덮개의 불변량이다.

존재 
르베그 수 보조정리(-數補助定理, )에 따르면, 콤팩트 유사 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수는 항상 존재한다.
증명:
정의에 따라 유한 부분 덮개

를 취할 수 있다. 이제, 다음이 르베그 수임을 보이자.

임의의

에 대하여, 임의의

를 취하자. 그러면,

이므로, 다음을 만족시키는 이 존재한다.

즉,

이다.

예 
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 닫힌구간 의 열린구간 덮개 를 생각하자. 유한 부분 덮개

를 취하고,

라고 하자. 그렇다면 는 의 르베그 수이다.

각 에 대하여, 인 을 취하자. 그렇다면, 길이  미만의 구간

에 대하여, 만약

이라면,

이다. 반대로 만약

이라면,

이다.

응용 
르베그 측도가 측도의 성질을 만족하는 것을 보이기 위해 사용된다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

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