자연수 분할

수론에서 자연수 분할(自然數分割, )은 어떤 자연수를 양의 정수들의 합으로 나타내는 방법이다.

정의 
자연수 의 분할 은 다음을 만족시키는, 양의 정수들의 중복집합이다.

분할은 페러스 그림으로 나타낼 수 있다. 이 경우 각 가로의 길이는 분할의 각 원소의 크기에 대응한다.
분할수(分割數, ) 는 의 분할들의 수이다. 분할수의 값들은 다음과 같다 ().
 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, … 
은 의 분할들 가운데, 원소가 중복되지 않는 것들의 수이다. 이는 다음과 같다 ().
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, …

성질

생성 함수 
분할수의 생성함수는 다음과 같다.

여기서 는 데데킨트 에타 함수이며, 이다.

점근 공식 
매우 큰 에 대하여, 분할수 은 다음과 같은 점근 공식을 따른다. 이는 고드프리 해럴드 하디와 스리니바사 라마누잔이 1918년 하디-리틀우드 원 방법으로 유도하였고, 1942년에 에르되시 팔이 기초적인 기법만으로 재증명하였다.

마찬가지로, 은 다음과 같은 점근 공식을 따른다.

켤레 분할 
자연수 의 분할 의 켤레 분할(-分割, ) 은 페러스 그림의 각 세로의 길이로 구성된 새로운 의 분할이다. 즉, 페러스 그림의 가로와 세로를 전치하여 얻는 분할이다. 구체적으로는 다음과 같다.

각 원소가  이하인 의 분할과 원소의 개수가  이하인 의 분할은 켤레 분할을 통해 일대일 대응한다. 따라서 각 원소가  이하인 의 분할의 수는 원소의 개수가  이하인 의 분할의 수와 같다. 마찬가지로 가장 큰 원소가 인 의 분할의 수는 원소의 개수가 정확히 인 분할의 수와 같다.

예 
양의 정수 3을 생각해 보자.
 3=3
 3=2+1
 3=1+1+1
으로 총 세 가지의 경우가 있으므로,
3의 분할수는 , 가 된다.

4일 때는,
 4=4
 4=3+1
 4=2+2
 4=2+1+1
 4=1+1+1+1
총 다섯 가지이므로, 4의 분할수는 , 이 된다.

10의 분할 의 켤레 분할은 이 된다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
수론
조합론
수론적 함수
정수열