칸토어-르베그 정리

칸토어-르베그 정리(Cantor-Lebesgue theorem, -定理)는 조화해석학 및 실해석학의 정리로, 독일 수학자 게오르크 칸토어와 프랑스 수학자 앙리 르베그의 이름이 붙어 있다. 이 정리는 푸리에 급수의 수렴에 대한 필요조건을 제공한다.

공식화 
E를 실수의 부분집합 [0, 2π)에 속하는 양측도의 가측 집합이라 하자. 만약 다음의 무한급수

 

가 E의 모든 점 x에서 수렴한다면, 다음이 성립한다.

증명 
삼각함수 항등식에 의해 사인 함수와 코사인 함수를 하나의 코사인 함수로 묶어서 다음과 같이 쓰자.

 

여기서  이므로, an나 bn 둘 중 하나라도 무한대에서 0으로 수렴하지 않는다면 cn는 0으로 수렴하지 않는다. 이를 가정하면, 무한급수의 수렴 필요조건에서 는 0으로 수렴해야 하므로, 적당한 수열  에 대하여

 

는 0으로 수렴하게 된다. 따라서  도 0으로 수렴한다. 이제 지배 수렴 정리를 이용하면,

 
 
 

을 얻는다. 그런데 이는 E가 양측도라는 조건에 모순이다.

같이 보기 
 루진-당주아 정리

각주

참고 문헌 
 Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001.

푸리에 해석학
실해석학
해석학 정리