비교판정법

비교판정법(比較判定法, )은 무한급수의 수렴판정법으로, 두 급수의 수렴성 간의 항의 관계를 항의 크기 비교를 통해 얻어낸다.

내용 
다음은 실수값 양항급수에 관한 비교판정법의 내용이다.

이 수렴급수이고 이 충분히 큰 임의의 에 대해 성립하면 도 수렴급수이다.
 이 발산급수이고 이 충분히 큰 임의의 에 대해 성립하면 도 발산급수이다.

때로는 큰 항을 가진 급수가 작은 항을 가진 급수를 (궁극적으로) 지배()한다고 한다.

이는 절대수렴을 이용한 서술로 대신할 수 있다. 이러한 서술은 복소수를 항으로 갖는 급수에도 적용된다.

가 절대수렴급수이고 이 충분히 큰 임의의 에 대해 성립하면 도 절대수렴급수이다.
가 절대수렴하지 않고 이 충분히 큰 임의의 에 대해 성립하면 도 절대수렴하지 않는다.
마지막 명제에서의 은 조건수렴일 수도, 아닐 수도 있다.

실수값 급수에 대해 위의 두 방식의 서술은 동치이다.

증명 
위 네 개의 명제의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 세 번째 명제의 증명이다.
주어진 전제 하에 일반성을 잃지 않고 이 임의의 양수 에 대해 성립한다고 하자. 부분합

그리고 의 극한 에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

첫 번째와 두 번째 부등호는 임의의 에 대해 인 것, 세 번째 부등호는 이 증가수열인 것에 의한 것이다. 따라서 은 유계인 단조수열이며 은 절대수렴한다.

유도되는 판정법 
 극한비교판정법
 만약 이 수렴급수이고 이 충분히 큰 임의의 에 대해 성립하면, 도 수렴급수이다.

이상적분 
이상적분의 비교판정법은 다음과 같다. 위의 실수값 연속함수 가 수직점근선을 가질 때,

 이상적분 이 수렴하고 임의의 에 대해 이면 이상적분 도 수렴하며 가 성립한다.
 이상적분 이 발산하고 임의의 에 대해 이면 이상적분 도 발산한다.

같이 보기 
 수렴판정법
 수렴
 지배 수렴 정리
 적분판정법
 단조 수렴 정리

각주

참고 문헌 
 
 
 
 
 
 

수렴판정법