여과 (수학)

수학에서 여과(濾過, )는 전순서 집합으로 지표화된 일련의 부분 대상들로 구성된 구조이다.

정의 
범주 의 대상 이 주어졌다고 하자. 그 위의, 부분 대상의 부분 순서 집합 을 정의할 수 있다.

전순서 집합 에 대하여,  위의 -오름 여과()는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 전순서 집합 
 순서 보존 함수 , .
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

 위의 -내림 여과()는 -올림 여과와 같은 개념이다.

흔히 의 경우 보통 자연수의 전순서 집합 이 사용된다.

마찬가지로, 부분 대상의 집합  대신 몫 대상의 집합 을 사용하면 쌍대 여과()의 개념을 정의할 수 있다. 이는 반대 범주 에서의 여과와 같다.

예

가군 
환  위의 왼쪽 가군  위의 -감소 여과

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 에 다음과 같은 기저로 정의되는 자연스러운 위상을 부여할 수 있다.

이러한 위상이 하우스도르프 공간이 될 필요 충분 조건은

인 것이다.

특히, 만약 의 양쪽 아이디얼 가 주어졌을 때, 여과

에 대응되는 위상은 진 위상()이라고 한다. 이는 대수기하학에서 등장한다.

결합 대수 
가환환  위의 결합 대수 가 주어졌으며, 그 위에 -가군으로서의 -올림 여과

가 주어졌다고 하자. (그러나 이는 -결합 대수로서의 여과가 아닐 수 있다.) 또한, 이 여과가 결합 대수 구조와 다음과 같이 호환된다고 하자.

(특히, 이어야 한다.) 그렇다면, 다음과 같은 -등급 대수를 정의할 수 있다.

그 위의 곱셈은 다음과 같다.

이 경우

이다.

여기서 자연스러운 결합 대수 사상

을 기호 사상(記號寫像, )이라고 한다.

벡터 공간 
선형대수학에서, 체  위의 벡터 공간 의 오름 여과

에서, 만약 모든 포함 관계가 자명하지 않다면, 즉

이라면, 이를 기(旗, )라고 한다.

시그마 대수 
가 원순서 집합이라고 하자. 시그마 대수  위의 (오름) 여과는 순서 보존 함수

를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립하여야 한다.
임의의 에 대하여, 
여기서 는 의 부분 시그마 대수들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합이다.
여기서, 의 원소는 보통 "시간"이라고 불린다.

여과를 갖춘 시그마 대수를 여과 시그마 대수(濾過σ代數, )라고 하며, 마찬가지로 여과 확률 공간(濾過確率空間, ) 따위를 정의할 수 있다.

이는 금융공학에서 가격의 움직임을 모형화하는 데 중요하게 쓰인다. 이 경우 는 시점 에 시장에 공개된 정보의 양을 나타내며, 따라서 여과를 통해 가격을 -마팅게일로 만듦으로써 완전 시장을 모형화할 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

범주론
확률론
추상대수학
확률 과정