초구

기하학에서 초구(超球, )는 2차원 곡면인 구를 임의의 차원으로 일반화한 공간이다.

정의 
차원 초구 은 차원 유클리드 공간에서, 원점에서 일정한 거리에 있는 점들의 부분 공간이다.

이는 유클리드 공간으로부터 리만 계량을 이어받아 차원 리만 다양체를 이룬다.

이는 다음과 같이 직교군 또는 스핀 군에 대한 동차 공간으로 여길 수 있다.

성질

넓이와 부피 
반지름이 인 n차원 초구의 초부피는

이다. 여기서 는 감마 함수이다.

차원 초구의 겉부피는

이다. 예를 들어, 4차원 초구의 초부피는 이고, 겉부피는 이다.

호몰로지와 호모토피 
초구의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

드람 코호몰로지에서, 이 코호몰로지류는 상수 함수 및 부피 형식의 상수배에 의하여 대표된다.

초구의 호모토피 군은 일반적으로 매우 복잡하며, 아직 완전히 계산되지 못했다.

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초구 의 (비축소) 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.

초구의 축소 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.

초구의 축소 실수 위상 K군들은 다음과 같다.

세포 복합체 구조 
차원 초구는 표준적으로 하나의 0차원 세포와 하나의 차원 세포를 가지는 세포 복합체 구조를 갖는다.

리 군과의 관계

초구 위의 리 군 구조 
리 군과 미분 동형인 초구는 다음이 전부이다.
 (2차 순환군)
 (원군)
 (2차 특수 유니터리 군)
증명:
1차원 이하의 경우는 자명하다. 2차원 이상의 초구는 콤팩트 단일 연결 공간이다. 콤팩트 단일 연결 리 군은 단순 리 군들의 직접곱이며, 단순 리 군의 3차 코호몰로지는 항상 자명하지 않다. 따라서 가능한 경우는 3차원 초구 밖에 없다. (이 경우는 SU(2)와 미분 동형이다.)

동차 공간으로의 표현 
초구 가 다음과 같이 리 군으로 표현된다고 하자.

여기서
 은 미분 동형이다. (이를 호모토피 동치로 약화시켜도 이 분류는 마찬가지로 성립한다.)
 는 연결 콤팩트 리 군이다.
 는 의 닫힌 부분군이다.
 는  위의 유효 작용을 가지며, 이는 기약 작용이다.
그렇다면, 이러한 표현은 다음이 전부이다.

특히, 이므로, 모든 초구는 대칭 공간이다.

예 
0차원 초구 은 두 점으로 이루어진 이산 공간이다.

1차원 초구는 원 (기하학)이다. 2차원 초구는 일반적인 구다. 3차원 초구는 리 군 SU(2)와 동형이다.

3차원 이상의 초구는 호프 올뭉치에 등장한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

기하학
고차원 기하학