겔폰트-슈나이더 정리

겔폰트-슈나이더 정리(Gelfond-Schneider theorem, -定理)는 특정한 대수적 수의 조합이 초월수라는 것을 의미하는 대수적 수론의 정리이다.

역사 
소련의 수학자인 알렉산드르 겔폰트, 독일의 수학자인 테오도어 슈나이더가 1934년에 독립적으로 증명하였다. 이 정리는 힐베르트의 7번째 문제가 긍정적으로 해결하는 역할을 한다.

공식화와 응용 
a와 b가 대수적 수이고 a ≠ 0, log a ≠ 0이며 b가 무리수이면 ab는 초월수가 된다.

로그에 대한 등가 공식(로그의 밑이 임의로 선택됨)은 다음과 같다.

 만약 a, b가 0이나 1과 같지 않은 대수적 수라면 는 유리수이거나 초월수이다.
 만약 가 유리수에 대해 선형으로 독립적이라면 그들은 대수적 수에도 선형으로 독립적이다.

설명 
 a와 b의 값은 실수에 제한되지 않으며 복소수도 허용된다. (여기서 복소수는 실수부와 허수부 모두 실수일지라도 0이 아닌 허수부 가질 때 실수로 간주되지 않는다.)
 일반적으로 는 다가 함수이며 여기서 로그는 복소수 로그를 나타낸다. 이것은 정리의 진술에서 "임의의 값"이라는 구절을 설명한다.
 정리의 등가 공식은 다음과 같다: α와 γ가 0이 아닌 대수적 수이고 우리가 α의 0이 아닌 로그들을 취한다면 는 유리수 또는 초월수이다. 이것은 만약 , 가 유리수들에 대해 일차 독립 집합이면 대수적 수들에 대해 선형적으로 독립적인 로그라고 말하는 것으로 표현할 수 있다. 이 문장이 몇 개의 대수적 수의 로그에서 보다 일반적인 선형으로 일반화되는 것은 초월수 이론의 영역에 있다.
 a와 b가 대수라는 제한이 제거되면 일반적으로 문장은 참으로 유지되지 않는다. 예를 들어 라고 가정하자. 여기서 a는 이며 이는 (정리 자체에서 증명된) 대수적이라기보다는 초월적이다. 마찬가지로 과 가 초월적이라면 는 대수적이라고 말할 수 있다. 초월수 ab을 생성하는 a와 b에 대한 값의 특성화는 알려져 있지 않다.
 쿠르트 말러는 이러한 정리의 p진수 유사성을 다음과 같이 증명했다: a와 b가 Cp에 있고 Qp의 대수적 폐포의 완비이며 Q에 대해 대수적이라면  and  then 이다. 여기서 는 p진수 지수 함수이다.

필연적인 결과 
다음 숫자의 초월은 그 정리로부터 즉시 뒤따른다.

 겔폰트-슈나이더 상수 와 제곱근 
 겔폰트 정수

같이 보기 
 린데만-바이어슈트라스 정리
 베이커의 정리
 섀뉴얼의 추측

각주

참고 문헌 
 Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, , page 10
 Feldman, N. I.; Nesterenko, Yu. V. (1998), Transcendental numbers, Encyclopedia of mathematical sciences, 44, Springer-Verlag, , MR1603604
 Gel'fond, A. O. (1960) [1952], Transcendental and algebraic numbers, Dover Phoenix editions, New York: Dover Publications, , MR0057921

외부 링크 
 겔폰트-슈나이더 정리의 증명

대수적 수론
초월수
수론 정리