리 대수의 표현

리 대수의 표현(Lie代數-表現, )은 주어진 리 대수를 벡터 공간의 선형 변환의 리 대수의 부분대수로 나타내는 준동형이다. 군의 표현과 유사한 개념이다. 특히, 대응되는 리 군의 표현과 밀접한 관계를 지닌다.

정의 
가환환  위의 리 대수  위의 표현 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 은  위의 가군이다.
 는 리 대수 준동형이다. 여기서 는 의 -가군 자기 사상들로 구성된 단위 결합 대수의 리 대수이다.
이는 의 보편 포락 대수  위의 가군과 같은 개념이다.

위 정의를 풀어 쓰면, 다음과 같다. 함수 는 다음 조건들을 모두 만족시켜야 한다.
 (쌍선형성) 는 쌍선형 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
 (스칼라곱) 임의의  및  및 에 대하여 
 (에 대한 선형성) 임의의  및 에 대하여 
 (에 대한 선형성) 임의의  및 에 대하여 
 (리 괄호의 보존) 임의의 에 대하여,

무게 

표현 의 무게()는 카르탕 부분대수의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 고유벡터의 고윳값들의 모임이다. 즉, 카르탕 부분대수를 로 쓰면, 그  대수적 쌍대공간의 원소인 의 무게 는 적어도 하나의 0이 아닌 가 모든 에 대하여 를 만족한다.

딸림표현의 무게의 집합은 근계를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다.

연산 
가환환  위의 리 대수  위의 두 표현 , 이 주어졌다고 하자.
 가군의 직합  위에 자연스럽게 -표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 직합이라고 한다.
 가군의 텐서곱  위에도 자연스럽게 -표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 텐서곱이라고 한다.

예

자명한 표현 
가환환  위의 리 대수  및 -가군 이 주어졌을 때, 상수 함수

는 의 표현을 이룬다. 이를 자명한 표현()이라고 한다.

딸림표현 

가환환  위의 리 대수 가 주어졌을 때,

로 정의하면, 는 스스로의 표현을 이룬다. 이를 리 대수의 딸림표현이라고 한다. 이는 리 군 의, 스스로의 리 대수  위의 군의 표현인 딸림표현의 무한소 형태이다.

아벨 리 대수 
가환환  위의 가군 을 아벨 리 대수로 생각하자. 임의의 -가군 준동형 가 주어졌을 때,

로 정의하면 이는 의 표현을 이룬다.

같이 보기 
 리 대수
 근계

참고 문헌 
 J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Birkhäuser, 2000

리 대수
표현론