베스-추미노-위튼 모형

이론물리학과 수학에서 베스-추미노-위튼 모형(), 혹은 베스-추미노-노비코프-위튼 모형()은 간단한 2차원 등각 장론의 하나이다. 이는 비선형 시그마 모형의 일종이며, 그 과녁 공간(target space)은 (반)단순 리 군이다.

정의

리 군 위의 제르브 
다음이 주어졌다고 하자.
 콤팩트 단일 연결 단순 리 군 . 그 리 대수가 라고 하자.
그렇다면, 리 대수 코호몰로지에 의하여,

임을 보일 수 있다. 그 생성원을 라고 하자. 기하학적으로, 이는  위의 표준적인 제르브를 이룬다.

구체적으로, 의 킬링 형식

및 3차 형식

을 정의하고, 이를 이를 왼쪽 평형 이동을 통해  전체에 다음과 같이 정의할 수 있다.

여기서 는 의 마우러-카르탕 형식이다. 그렇다면, 3차 코호몰로지가 1차원이므로, 그 드람 코호몰로지는 항상 에 비례한다.

그렇다면, 의 표준적인 대표원인 3차 미분 형식을

로 정의할 수 있다.

베스-추미노-위튼 작용 
임의의 (경계가 없는) 콤팩트 리만 곡면(세계면)  및 매끄러운 함수(스칼라장)

가 주어졌다고 하자. 이에 대하여, 다음과 같은 추가 데이터를 생각하자.
 가 되는 3차원 유향 경계다양체 
 가 되는 연속 함수 
 가 되는 2차 미분 형식 

물론, 위와 같은 데이터는 유일하지 않다. 그러나 두 개의 데이터 , 가 주어졌을 때, 방향을 따라 이를 다음과 같이 이어붙일 수 있다.

이에 따라, 은 경계가 없는 콤팩트 3차원 유향 다양체를 이룬다. 정의에 따라서, 가 정수 계수 코호몰로지에 속하므로,

이다. (은 호몰로지류와 코호몰로지류 사이의 교곱이다.) 이에 따라, 스토크스 정리를 사용하여,

임을 알 수 있다.

따라서,

는 의 선택에 상관이 없음을 알 수 있다.

이제, 에 임의의 리만 계량 를 부여하자. 의 베스-추미노-위튼 작용은

이다. (의 양의 실수 스칼라배는 의 재정의로 흡수될 수 있다.) 는 준위()라고 불리는 정수이다.

이를 작용으로 하는 고전 장론을 고전적 베스-추미노-위튼 모형이라고 한다.

이 작용은 지표로 다음과 같이 표기된다. 우선, 다음과 같은 지표를 정의하자.
 리 대수 의 지표 
 의 지표 
 의 지표 
그렇다면, 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같다.

여기서 는 레비-치비타 기호, 는 리 대수의 구조 상수다.

물론, 로 인하여 오직 만이 잘 정의될 수 있다.

보다 일반적으로, 만약 세계면 에 개의 구멍이 존재한다고 하자. 구멍의 경계를 이라고 할 때, 일반적으로 는 다음과 같은 1차원 복소수 힐베르트 공간의 원소이다.

여기서
 은 고리군  위의 특별한 복소수 선다발이며, 기하학적으로 이는 아핀 리 대수 의 실수 형식에 대응하는 리 군이다. (이는 고리군의 U(1)에 의한 중심 확대이다.)
 는 의 경곗값이다. 이는 물론 고리군의 원소를 이룬다.
 는 선다발 의, 에서의 올이다.
  위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 복소수 힐베르트 공간을 이룬다.

만약 가 반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

양자화 
베스-추미노-위튼 모형의 보존류(인 일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이룬다. 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다.

그 힐베르트 공간은 다음과 같다.

여기서
 는 의 복소수 유한 차원 유니터리 기약 표현들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 가산 무한 집합이다.
 는 의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게 가 를 만족시키는 것이다. 여기서 는 의 근계의 부분 순서에 대한 (유일한) 최대 원소이다. (즉, 근계 의 양근의 집합 에 대하여, 이다.)
  및 에 대하여, 는 아핀 리 대수 의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소 의 값이 가 된다.
 는 복소수 내적 공간의, 힐베르트 공간으로의 완비화이다.
이는 물론 아핀 리 대수의 표현을 가지며, 스가와라 구성을 통해 이는 비라소로 대수의 표현을 갖는다. 이 경우

이다. 여기서 는 이중 콕서터 수이다.

이는 고리군 의, 아핀 리 대수에 해당하는 복소수 선다발의 단면의 집합으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 만약 일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로

이다.

성질

장방정식 
베스-추미노-위튼 이론의 오일러-라그랑주 방정식은

이다. (편의상,  위의 복소구조에 대한 미분을 사용하였다.)

천-사이먼스 이론과의 관계 
천-사이먼스 이론은 3차원 위상 양자장론이다. 만약 천-사이먼스 이론을 경계가 있는 3차원 다양체 위에 정의하면, 그 경계에는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다. 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태들을 대응시킬 수 있다. 이는 AdS/CFT 대응성의 단순한 경우(AdS3/CFT2)로 생각할 수 있다. 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성은 에드워드 위튼이 1989년에 발견하였다.

D막 
위와 같은 보통 베스-추미노-위튼 모형은 닫힌 끈을 나타낸다. 이 대신, 열린 끈에 대한 모형을 정의할 수도 있다. 이 경우, 정칙 진동 모드와 반정칙 진동 모드 사이에 관계를 주어야 한다.

구체적으로, 대칭류

를 생각하자. 이 경우, 조건

은 풀어 쓰면

이다. 이는

로 적을 수 있다. 이 경우, 킬링 형식을 사용하여, 의 에서의 접공간 를 딸림표현의 궤도에 평행한 부분 공간 과 수직한 부분 공간 으로 구분할 수 있다. 그렇다면, 에 제한하였을 때 이므로,

이 된다. 즉, 이는 접벡터 의, 딸림표현 궤도에 대하여 수직인 성분이 0이며, 따라서 이는 딸림표현 궤도(리 군의 켤레류)의 모양을 한 D막에 해당한다.

이 경우, 양자 이론의 확률 진폭이 잘 정의되기 위해서는 켤레류에 대응되는 무게 가 정수 무게이어야 한다. 즉, 의 극대 원환면 을 고르고, 그 리 대수(보렐 부분 대수)가 라고 하자. 그렇다면, 무게 에 대하여, 켤레류

를 대응시킬 수 있다. D막이 이 켤레류에 존재할 수 있을 필요 충분 조건은 가 정수 무게인 것, 즉 의 모든 근 에 대하여 인 것이다.

역사 
율리우스 베스와 브루노 추미노, 세르게이 노비코프, 에드워드 위튼이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 베스-추미노 모형(4차원 초대칭 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

등각 장론
리 군
수리물리학
양자장론