기저 (위상수학)

일반위상수학에서, 위상 공간의 기저(基底, )는 모든 열린집합을 합집합을 통해 생성할 수 있는 열린집합들이다. 많은 경우, 열린집합을 직접 정의하는 것보다 기저나 부분 기저를 통해 위상을 기술하는 것이 더 편리하다.

정의 
집합 에 대해, 다음 성질을 만족하는 의 부분 집합들의 족 를 의 기저라고 한다.
 는 의 덮개이다. 즉, 이다. 즉, 임의의 에 대하여 를 만족하는 가 존재한다.
 임의의 에 대하여, 의 덮개를 이루는 가 존재한다 (즉, ). 다시 말해, 임의의  및 에 대하여, 인 가 존재한다.
이때 기저 에 의해 생성되는 위상 (열린집합들의 족) 는 다음과 같다.

즉, 기저 로 생성되는 위상 는 의 부분 집합들의 합집합들로 구성된다. 다시 말해, 의 부분 집합 가 열린집합일 필요 충분 조건은, 임의의 에 대하여 를 만족하는 가 존재하는 것이다.

부분 기저 
집합  속의 임의의 집합족 가 주어졌다고 하자. 이때, 로부터 생성되는 기저() 는 다음과 같다.

즉, 로부터 생성되는 기저는 의 유한 교집합들로 구성된다. 이때 를 의 부분 기저(部分基底, )라 한다.

성질 
위상 공간의 기저는 유일하지 않다. 예를 들어, 실수 집합의 위상 공간에 대응하는 기저는 열린구간들이 될 수 있고, 혹은 끝점이 유리수인 열린구간들이나 반대로 끝점이 무리수인 열린구간들도 기저가 될 수 있다.

예

비이산 위상 
비이산 공간 은 을 기저로 하며, 이 기저는 공집합을 부분 기저로 한다.

이산 위상 
이산 공간 은 한원소 집합들의 족 을 기저로 한다.

거리 위상 
거리 공간 은 (거리 위상을 부여하면) 열린 공들의 족

을 기저로 한다. 또한 반지름이 유리수인 열린 공들의 족

역시 이 위상의 기저이다. 이처럼 위상 공간의 기저는 유일하지 않다.

순서 위상 
전순서 집합 은 (순서 위상을 부여하면) 열린구간들의 족

을 기저로 한다. 또한 이 기저는 끝점에 무한대를 포함하는 열린구간들의 족

을 부분 기저로 한다.

외부 링크 
 
 
 

일반위상수학