체비쇼프 함수

해석적 수론에서 체비쇼프 함수()는 소수의 분포에 대한, 서로 연관된 두 함수를 일컫는다. 러시아의 수학자 파프누티 체비쇼프의 이름을 딴 것이다.

정의 
제1종 체비쇼프 함수 는 다음과 같이 정의된다.

위 표기는  이하의 모든 소수 에 대한 항을 모두 합한다는 뜻이다.

제2종 체비쇼프 함수 는 비슷하게 다음과 같이 정의된다.

여기서 은 폰 망골트 함수이다.

계산법과 두 체비쇼프 함수의 관계 
첫 번째 체비쇼프 함수는 주어진 값 이하의 모든 소수에 대해 의 값을 모두 더하는 함수이고, 두 번째 체비쇼프 함수는 주어진 값 이하의 모든 소수의 거듭제곱수들에 대해 의 값을 모두 더하는 함수이다. 따라서 항상 다음 부등식이 성립한다.

이해를 돕기 위해 약간 계산을 해 보면 다음과 같다.

또한 다음이 성립함을 쉽게 이해할 수 있다.

위의 합에서 이 어느 한도를 넘으면 모든 항이 사라지므로, 실제로는 유한합이 된다. 즉,

점근적 성질 
다음 세 극한은 동치이다.

여기서 는 소수 계량 함수를 의미한다. 마지막 식은 점근 표기법을 써서 다음과 같이 표현할 수 있다.

첫 번째 극한은 소수 정리이다. 소수 정리는 위 극한들이 동치라는 성질을 이용하여, 세 번째 극한을 증명함으로써 증명할 수 있다.

미분 가능화 

미분 가능화한 함수(smoothing function)는 다음과 같이 정의된다.

점근 표기법을 이용하여 다음과 같이 점근적 성질을 표현할 수 있다.

위 사실은 실제로 와 동치임을 증명할 수 있고 따라서 이 미분가능화한 함수의 점근적 성질을 증명하여 소수 정리의 해석적 증명을 할 수도 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

수론적 함수