하이퍼 연산

수학에서 하이퍼 연산 수열(Hyperoperation sequence)은 하이퍼 연산이라 불리는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱으로 시작하는 이항연산 수열이다. 이 수열의 n번째 하이퍼 연산은 n의 그리스어 접두사에 접미사 -ation을 붙인 단어로 불리며,  커누스 윗화살표 표기법에서 (n-2)개의 화살표로 표기할 수 있다.

정의 

하이퍼 연산 수열은  덧셈 (n = 1), 곱셈 (n = 2), 거듭제곱 (n = 3)으로 시작하는,  으로 첨수(添數)된 이항연산 수열이다. 하이퍼 연산 수열의 매개변수는 거듭제곱과 유사한 용어를 쓴다; 따라서 a는 밑, b는 지수
(또는 하이퍼 지수), n은 계수 (또는 등급)이다..

커누스 윗화살표 표기법을 이용하면, 우리는 하이퍼 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

(otherwise는 위에 주어진 조건들이 성립하지 않을 때를 뜻한다.)

이는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 다음에 무엇인지에 대한 답으로 해석할 수 있다. 참고로
 
 
 
는 하이퍼 연산자들의 관계를 나타내며, 더 높은 연산자들을 정의할 수 있다. 높은 연산자에는 작은 수를 대입해도 매우 큰 숫자가 나온다. 더 자세한 내용을 보려면 테트레이션 문서를 보라.

일반적으로, 하이퍼 연산자들은 이전 하이퍼 연산자의 반복을 거듭하는 것을 뜻한다. 덧셈, 곱셈, 거듭제곱의 개념은 모두 하이퍼 연산이다; 덧셈 연산은 1을 거듭 더하는 것이고, 곱셈은 한 숫자를 거듭 더하는 것이며, 거듭제곱은 한 숫자를 거듭 곱하는 것이다.

예시 

다음은 처음 여섯 개의 하이퍼 연산자이다.

하이퍼 연산의 역사 

하이퍼 연산이 맨 처음으로 토론된 경우는 1914년 알베르트 베네트가 "가환 하이퍼 연산"에 대한 이론을 개발했을 때이다. 약 12년 후, 빌헬름 아커만이 하이퍼 연산 수열과 어느 정도 연관성이 있는 함수

를 정의했다.
원래 아커만 함수는 같은 반복 규칙을 사용했지만, 현대 하이퍼 연산과 최소 2가지의 다른 점이 있다.
그리고 1947년, Reuben Goodstein은 하이퍼 연산을 현재 쓰이는 방법으로 정의하였다. 그는 와 같은 기호를 사용했는데, 이는 커누스 윗화살표 표기법에서는 와 같다. 또한, Goodstein은 "테트레이션", "펜테이션", "헥세이션" 등 거듭제곱 이상의 연산에 명칭을 부여했다.

표기법 

다음 목록은 하이퍼 연산을 표기하는 여러 가지 방법이다.

같이 보기 
 아커만 함수
 커누스 윗화살표 표기법
 콘웨이 화살표 사슬 표기법
 테트레이션
 큰 수

각주 

산술
큰 수
이항연산