미분 연산자

수학에서 미분 연산자(微分演算子, )는 미분 연산을 포함할 수 있는, 함수 또는 단면 공간 위의 국소적 선형 변환이다.

정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 두 매끄러운 벡터 다발 
그렇다면, 와 의 매끄러운 단면들의 실수 벡터 공간

을 생각하자.

와  사이의 미분 연산자는 특별한 꼴의 실수 선형 변환

이다. 이는 다음과 같이 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

구체적 정의 
임의의 국소 좌표계에서, 다음과 같은 꼴의 연산자를 생각하자.

여기서
 는 자연수(음이 아닌 정수)이다.
 는 의 임의의 코쥘 접속이다.
 는 의 임의의 매끄러운 단면이다.
 는  위의 매끄러운 벡터장이다.
그렇다면, 미분 연산자는 위와 같은 꼴의 연산자 들의 합으로 나타내어지는 연산자이다. 여기서 합이 잘 정의되기 위해서는 다음 조건이 성립해야 한다.
 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 에 대하여, 각 에 대하여 은 유한 집합이다.
(만약 이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)

위와 같은 꼴에서 가능한 최소의 를 미분 연산자의 차수()라고 한다. (만약 이 콤팩트 공간이 아니라면 이는 무한할 수 있다.)

제트 다발을 통한 정의 
실수 선형 변환

가 주어졌다고 하자. 만약 다음과 같은 꼴의 분해가 존재한다면, 를 차 미분 연산자라고 한다.

여기서
 는 의 차 제트 연장이다.
 는 의 차 제트 다발이다.
 는 벡터 다발 사상이다.

미분 연산자는 미분 연산자들의 합으로 정의되는 국소 연산자이다. 즉, 그렇다면, 미분 연산자는 위와 같은 꼴의 연산자 들의 합으로 나타내어지는 연산자이며, 다음 조건이 성립해야 한다.
 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 에 대하여, 각 에 대하여 은 유한 집합이다.
(만약 이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)

페트레 정리를 통한 정의 
실수 벡터 공간 값의 층 사상

가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
 임의의 매끄러운 단면 에 대하여, . 여기서 은 층의 지지 집합이다.
그렇다면, 를 미분 연산자라고 한다.

이 정의가 위의 두 정의와 동치라는 사실은 자명하지 않으며, 페트레 정리(Peetre定理, )라고 한다.

성질 
콤팩트 매끄러운 다양체  위의 두 벡터 다발 가 주어졌다고 하자.  미분 연산자의 공간을 로 표기하자.

그렇다면, 모든 미분 연산자 는 유한한 차수를 가지며, 따라서 차수에 따라 자연스러운 오름 여과

가 존재한다. 그러나 이 여과는 자연스럽게 등급을 이루지 않는다.

미분 연산자의 차수 여과는 합성에 대하여 다음과 같이 호환된다.

매끄러운 다양체  위의  미분 연산자는 유사 미분 연산자이다.

등급 대수 
콤팩트 매끄러운 다양체  위의 벡터 다발 이 주어졌다고 하자. 편의상 와 같이 표기하자.

이제, 다음과 같이 등급 대수를 정의할 수 있다.

(여기서 편의상 으로 간주한다.)

이에 대하여 다음과 같은 등급 대수 동형 사상이 존재한다.

여기서
 은 그 올이 접공간의 대칭 대수인 벡터 다발이다.
 는  위의 자기 벡터 다발 사상으로 구성된 벡터 다발이다.
이는 다음과 같다.

여기서 는  위에 정의된 임의의 코쥘 접속이다.

주표상 
주표상(主表象, )은 미분 연산자의 차수를 나타내는, 여접다발 위에 정의되는 완전 대칭 다항식이다. 대략 미분 연산자의 최고차항에서 편미분 연산자를 형식적인 변수 로 치환한 것이다.

구체적으로, 매끄러운 다양체  위의 두 매끄러운 벡터 다발  사이의 미분 연산자 를 생각하자. 임의의 매끄러운 단면 에 대하여, 국소 좌표계에서 가

의 꼴이라고 하자. 여기서 는 다중지표이고, 는 다발 사상이다. 여기서 는 다중지표의 성분들의 순열에 무관하다.

의 차수

가 유한하다고 하자. 그렇다면 미분 연산자 의 주표상

은 차 완전 대칭 텐서장이며, 다음과 같다.

이것이 텐서장으로서 변환한다는 사실을 보일 수 있다.

예 
실수선 위의 미분 연산자는 이는 다음과 같은 꼴이다.

여기서 위 합이 국소적으로 유한하려면 다음 조건이 성립해야 한다.

벡터 연산자 
유클리드 공간  위의 실수 값 매끄러운 함수는 자명한 벡터 다발 의 매끄러운 단면이며, 벡터장은 자명한 벡터 다발 의 매끄러운 단면이다. 이 경우, 매끄러운 함수의 기울기

와 발산

및 회전

은 모두 1차 미분 연산자이다.

라플라스 연산자 

준 리만 다양체  위에는 2차 미분 연산자인 라플라스 연산자

가 존재하며, 그 주표상은

이다. 만약 이 리만 다양체라면 이는 타원형 미분 연산자이다.

디랙 연산자 

스핀 다양체  위의 1차 미분 연산자인 디랙 연산자

의 주표상은

이다. 여기서 은 의 스피너 다발이고, 는 디랙 행렬이다. 이는 항상 약타원형 미분 연산자이다.

역사 
미분 연산자를 (단순히 함수의 도함수를 나타내는 기호가 아니라) 스스로 존재하는 대상으로 여기는 것은 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트(, 1759~1803)의 1800년 저서가 최초라고 여겨진다.

페트레 정리는 야크 페트레(, 1935~)가 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

다변수 미적분학
 
연산자 이론