함수의 합성

수학에서 함수의 합성(函數의合成, ) 또는 합성 함수(合成函數, )는 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다.

정의 
임의의 집합 , ,  및 두 함수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 두 함수의 합성 는 다음과 같은 함수이다.

합성 가 정의되려면, 의 공역과 의 정의역이 같아야 한다.

성질 
함수의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 집합 , , ,  및 함수

가 주어졌을 때,

이다. 이에 따라, (항등 함수의 존재를 추가하면) 집합과 함수들은 범주를 이루는 것을 알 수 있다.

임의의 에 대하여

이므로

이다.

임의의 집합  및 이를 정의역과 공역으로 하는 두 함수 가 주어졌을 때, 두 가지 순서의 합성 , 을 정의할 수 있다. 이 경우 교환 법칙은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 가 실수체이고,

라고 하면,

이며,

이므로 이다.

외부 링크 
 

함수와 사상
집합론의 기본 개념
이항연산