아벨의 합 공식

아벨의 합 공식(Abel's summation formula, -合 公式)은 해석학의 간단한 공식으로, 노르웨이 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙어 있다. 주로 해석적 수론에서 급수를 적분으로 표현하는 용도로 사용된다.

공식화 
를 실수나 복소수 항의 수열이라 하고 를  급의 함수라 하자. 그러면 다음 항등식이 성립한다.

여기서,

이는 사실 단순한 계산을 통해 증명할 수 있는 리만-스틸체스 적분에 대한 부분적분 공식과 다름없는 식이다. 보다 일반적으로는 다음 식이 성립한다.

사용례

오일러-마스케로니 상수 
만약  이고  이라면, 이상의 정의에 따라  이고 다음이 성립한다.

이러한 공식을 이용해 오일러-마스케로니 상수를 표현할 수 있다.

리만 제타 함수의 표현 
만약  이고  이라면,  이고 다음이 성립한다.

이 공식은  에 대해서 성립한다. 이 공식을 이용하면 제타함수  가 s = 1에서 유수 1인 단순극을 갖는다는 디리클레의 정리를 증명할 수 있다.

리만 제타 함수 
만약  이 뫼비우스 함수이고  이라면, 는 메르텐스 함수이고 다음이 성립한다.

마찬가지로 이 공식은 에서 성립한다.

같이 보기 
 아벨 변환
 부분적분

참고 문헌 
 Apostol, Tom (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.

수론 정리
해석학 정리
총합법