테일러 정리

미적분학에서 테일러 정리(-定理, )는 함수를 한 점 주변에서 다항식으로 근사하는 정리이다.

정의

페아노 나머지항 
만약 가 계 도함수를 가진다면, 다음이 성립한다.

여기서 는 과 어떤 0으로 수렴하는 함수의 곱을 나타낸다. 이는 함수와 어떤 다항식의 차가 보다 빠르게 0으로 수렴함을 나타낸다. 이러한 다항식을 차 테일러 다항식(-次-多項式, )이라고 하고, 함수와 테일러 다항식의 차를 나머지항(-項, )이라고 한다. 위와 같이 나타낸 나머지항 을 페아노 나머지항(-項, )이라고 한다. 사실, 주어진 함수와의 차가 페아노 나머지항인 차 이하의 다항식은 테일러 다항식으로 유일하다.

라그랑주 나머지항 
만약 가 번 연속 미분 가능 함수이며, 에서 계 도함수를 가진다면, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서 이다. 이와 같은 나머지항을 라그랑주 나머지항(-項, )이라고 한다. 이는 평균값 정리의 일반화이다.

적분 나머지항 
만약 가 구간이며, 가 번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

이와 같은 나머지항을 적분 나머지항(積分-項, )이라고 한다.

코시 나머지항 
만약 가 구간이며, 가 번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서 이다. 이와 같은 나머지항을 코시 나머지항(-項, )이라고 한다.

다변수 함수의 경우

페아노 나머지항 
만약 의 모든 계 편도함수가 연속 함수라면, 다음이 성립한다.

라그랑주 나머지항 
만약 가 연결 열린집합이며, 의 모든 계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 에 대하여 라면, 다음이 성립한다.

여기서 이다.

적분 나머지항 
만약 가 연결 열린집합이며, 의 모든 계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 에 대하여 라면, 다음이 성립한다.

증명

페아노 나머지항의 증명 
함수 의 테일러 다항식을 로 표기하자. 페아노 나머지항의 테일러 정리는 다음을 의미한다.

모든 에 대하여 이므로, 로피탈 법칙을 사용하면 다음을 얻는다.

첫 등호는 로피탈 법칙을 번 반복한 결과이며, 마지막 등호는 의 정의에 의한다.

테일러 다항식의 유일성의 증명 
다음이 성립한다고 가정하자.

여기서 는 상수이다. 이 식에 를 취하면 를 얻는다. 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.

여기에 를 취하면 를 얻는다. 마찬가지로 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.

여기에 를 취하면 를 얻는다. 이와 같이 반복하면 모든 에 대하여 임을 알 수 있다. 모든 테일러 정리는 페아노 나머지항을 유도할 수 있으므로 모든 테일러 정리의 테일러 다항식은 유일하다.

라그랑주 나머지항의 증명 
편의상 라고 가정하자. 다음과 같은 두 함수 를 정의하자.

그러면 는 연속 함수이며, 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.

또한 이므로, 코시 평균값 정리에 따라 다음이 성립한다.

여기서 이다. 따라서 라그랑주 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.

적분 나머지항의 증명 
미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립한다.

부분 적분을 반복하면 다음을 얻는다.

따라서 적분 나머지항의 테일러 정리가 성립한다. 적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 라그랑주 나머지항을 유도할 수 있다.

코시 나머지항의 증명 
적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 다음을 얻는다.

여기서 이다. 따라서 코시 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.

다변수 함수의 경우의 증명 
라그랑주 나머지항의 경우를 증명하자. 그 밖의 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다. 다음과 같은 함수 을 정의하자.

그러면 는 번 연속 미분 가능 함수이므로, 일변수 함수의 경우에 따라 다음이 성립한다.

여기서 이다. 또한, 연쇄 법칙에 따라 다음이 성립한다.

이를 대입하면 다음과 같은 다변수 함수의 경우를 얻는다.

같이 보기 
 평균값 정리
 테일러 급수
 로랑 급수

각주

외부 링크 
 

미적분학 정리
실해석학 정리