QR 분해

선형대수학에서 QR 분해()는 실수 행렬을 직교 행렬과 상삼각 행렬의 곱으로 나타내는 행렬 분해이다. 그람-슈미트 과정이나 하우스홀더 행렬이나 기븐스 회전을 통해 얻을 수 있으며, 선형 최소 제곱법이나 QR 알고리즘에서 쓰인다.

정의 
실수체 또는 복소수체  성분의  () 행렬 는 다음과 같이 분해할 수 있으며, 이를 의 QR 분해라고 한다.

여기서
 는  성분의  유니터리 행렬이다.
 는  성분의  상삼각 행렬이다.
몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.
 일 경우, 는 직교 행렬이 된다.
 가 가역 행렬일 경우, 의 열들은 항상 의 열공간의 정규 직교 기저를 이룬다. 또한 의 모든 대각 원소가 양수인 QR 분해는 유일하다.

방법

그람-슈미트 과정 
벡터 이 일차독립이라 하자. 행렬  에 대해, 그람-슈미트 직교정규화를 사용하면
 
인 사영 연산자를 이용해서

  
와 같이 직교정규기저 를 얻을 수 있다.
은  내적 는 노름
위 식을 다시 정리하면

가 되므로,

와 같이 놓으면 이 성립한다.

예 

정규 직교 행렬 는 의 성질을 갖고있고,

따라서,  는 다음과 같이 그람-슈미트 절차를 따라서,

그리고,

확인해보면,
이므로,

이다.
분해 된다.
그러나,

분수에의한 부동소수점연산이 관계함으로  오차가 발생할 수 있다.

RQ 분해와의 관계

 분해는 행렬 를 상삼각행렬 (직각 삼각형이라고도 함) 및 직교 행렬 의 곱으로 변환한다. 분해와의 유일한 차이점은 행렬의 순서이다.

분해는 첫 번째 열에서 시작된  행렬의 열의 그람-슈미트 직교화이다.

 분해는 마지막 행에서 시작하는  행렬의 행의 그람-슈미트 직교화이다.

장점과 단점
그람-슈미트 프로세스는 본질적으로 수치적으로 불안정할 수 있다. 투영법의 적용에는 직교화에 대한 주요한 기하학적 유추가 있지만 직교화 자체는 수치 오류가 발생하기 쉽다. 그러나 구현의 용이함이 중요한 장점이다. 사전 작성된 선형 대수 라이브러리(library)를 사용할 수 없거나 용이하지 않은 경우, 이 알고리즘을 프로토타입(prototype)에 사용할 수 있는 유용한 알고리즘으로 적용할 수 있다.

하우스홀더 방법 
하우스홀더 리플렉터(하우스홀더 변환,Householder reflection)를 이용하여 한 열씩을 상삼각행렬로 바꾸어감으로써 와을 구할 수 있다. 이 방법은 행렬을 하우스홀더 행렬의 곱으로 구해주기 때문에, 직접 를 구할 필요가 없을 때 유용하다. 또, 그람-슈미트 방법과는 달리, 부동소수점 연산에서도 오차가 누적되지 않기 때문에, 실제로 더 많이 활용된다.

예 
 

먼저 행렬  의 첫 번째 열을 벡터로 변환하는 리플렉션을 찾아야한다. 
에서,
벡터 

 

 

  

따라서,
 

하우스홀더 행렬 에서,

확인해보면,

삼각행렬에 접근하고 있음을 알 수 있다.
행열에서 의 성분 값을 으로 만들면 상삼각행렬을 얻게 된다.

 소행렬식에서 다시 위의 절차를 반복해보면,

위와 같은 방법으로 하우스홀더 변환(Householder transformation)된 행렬을 얻고,

에서 각각 전치행렬을 수행한 후 프로세스가 올바르게 작동하는지 확인해보고,

그리고나서,

그리고,

행렬 는 직교행렬이고  은 상삼각행렬이되고 로  분해된다.

기븐스 회전 
기븐스 행렬은 특정위치에서 성분값을 으로 조작할 수 있는 방법으로 기븐스 회전을 제공한다.

이것은 임의의 행렬을 직교행렬과 특정위치의 성분값이  인 상삼각행렬로 분해되게 유도할 수 있게된다.

예 
 
 

 

는 으로 조작된다.

 그리고  도 이러한 절차를 반복한다.
 그리고 으로 조작된다.
결과로 상삼각행렬을 얻는다.
따라서,

   
직교행렬에서,

그리고, 이다.
로 분해된다.

같이 보기 
 LU 분해
 특잇값 분해

각주

참고 문헌 
 

행렬 분해
수치선형대수학