다르부 함수

미적분학과 위상수학에서 다르부 함수()는 연결 집합의 상이 연결 집합인 함수이다. 실수에서 실수로 가는 함수의 경우 이는 구간의 상이 구간인 함수와 동치이다. 다르부 정리() 또는 다르부 중간값 정리()에 따르면, 실수 구간에서 실수로 가는 미분 가능 함수의 도함수는 항상 다르부 함수이다. 이는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다.

정의 
두 위상 공간 ,  사이의 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 다르부 함수라고 한다.
 연결 집합의 상은 연결 집합이다. 즉, 임의의 연결 집합 에 대하여, 는 연결 집합이다.
실수 집합의 연결 부분 집합은 단순히 구간이다. 따라서, 구간  위에 정의된 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 다르부 함수이다.
 구간의 상은 구간이다. 즉, 임의의  및 에 대하여, 인 가 존재한다.

어디서나 전사 함수 
기수 가 주어졌다고 하자. 위상 공간 과 집합  사이의 함수 가 다음 조건을 만족시키면, -어디서나 전사 함수()라고 한다.
 임의의 에 대하여, 는 -조밀 집합이다 (즉, 임의의 공집합이 아닌 열린집합 에 대하여, ).
1-어디서나 전사 함수를 어디서나 전사 함수()라고 한다. 즉, 임의의 에 대하여, 는 조밀 집합이어야 한다. 이는 임의의 공집합이 아닌 열린집합 에 대하여, 인 조건과 동치이다. 위상 공간  위의 -어디서나 전사 함수 를 강하게 어디서나 전사 함수()라고 한다.

위상 공간 과 집합  사이의 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 어디서나 전사 함수()라고 한다.
 임의의 공집합이 아닌 완전 집합 에 대하여,

둘레 연속 함수 
두 위상 공간 ,  사이의 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 둘레 연속 함수()라고 한다.
 임의의  및 열린 근방 , 에 대하여, , 인 열린 근방 가 존재한다.

성질

함의 관계 
중간값 정리에 따르면, 모든 연속 함수는 다르부 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 어디서나 전사 함수 는 항상 다르부 함수이지만, 연속점을 갖지 않는다. 

함수 에 대하여, 다음 함의 관계가 성립한다.
완전 어디서나 전사 함수 ⇒ 강하게 어디서나 전사 함수 ⇒ 어디서나 전사 함수 ⇒ 다르부 함수 ⇒ 조밀 그래프를 갖는 함수 ⇒ 둘레 연속 함수
각 함의의 역은 성립하지 않는다.

다르부 정리 
다르부 정리에 따르면, 임의의 폐구간  및 미분 가능 함수 에 대하여, 도함수 는 다르부 함수이다. 특히, 임의의 에 대하여,

인 가 존재한다.

편의상 라고 하자.

라고 하자. 그렇다면 는 연속 함수이며, 어떤 에서 최댓값 를 갖는다 (최대 최소 정리).

이제, 라고 가정하자. 그렇다면 가 최댓값이므로, 임의의 에 대하여 이다. 따라서 이며, 이는 모순이다. 즉, 이다. 마찬가지로 임을 보일 수 있다. 이에 따라 이며,

이다 (페르마 임계점 정리). 즉, 이다.

충분히 많은 역의 반례의 존재 
모든 0이 아닌 원소가 어디서나 전사 함수 인 차원 실수 벡터 공간이 존재한다. 즉, 중간값 정리의 역의 반례는 ‘충분히 많이’ 존재한다. 보다 일반적으로, 체  위의 벡터 공간 의 부분 집합 에 대하여, 이 인 차원 부분 벡터 공간 가 존재하지 않는 가장 작은 기수 라고 하자. (특히, 이 따름 기수 일 경우, 는 벡터 공간 의 최대 차원이다.) 그렇다면, 에 대하여 다음 결과들이 있다.

예 
함수

는 다르부 함수이지만 0에서 연속이 아니며, 0이 아닌 모든 점에서 연속이다. 다르부 함수는 연속점을 전혀 가지지 않을 수도 있으므로, 이는 중간값 정리의 역의 비교적 ‘약한’ 반례이다.

임의의 무한 기수  및 크기 의 위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 어디서나 전사 함수 가 존재한다.
 임의의 공집합이 아닌 열린집합의 크기가 이며, 또한 개의 서로소 조밀 집합을 갖는다.
구체적으로, 개의 서로소 조밀 집합들의 집합 와 전단사 함수 가 주어졌을 때, 함수

는 어디서나 전사 함수이다. 특히, 의 경우 로 취할 수 있다.

강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수 
콘웨이 13진 함수() 는 다음과 같다.
 만약 의 13진법 전개가  (, ) 꼴이라면, 의 십진법 전개는 이다.
 만약 의 13진법 전개가  (, ) 꼴이라면, 의 십진법 전개는 이다.
 만약 의 13진법 전개가 위 두 가지 형태가 아니라면, 이다.
콘웨이 13진 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.
 어디서나 전사 함수이다. (따라서 다르부 함수이며, 연속점을 갖지 않는다.)
 강하게 어디서나 전사 함수가 아니다. (사실 임의의 의 원상은 가산 무한 집합이다.)
 주기 1의 주기 함수이다.
 유리수의 상은 유리수이다.

완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수 
끝점이 유리수인 모든 개구간의 집합 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가산 개의 서로소 칸토어 집합

이 존재한다. (이는 칸토어 집합의 르베그 측도가 0이기 때문이다.) 칸토어 집합은 곱공간

과 위상 동형이므로, 각 는 칸토어 집합과 위상 동형인 개의 서로소 집합들 의 합집합이다.

임의의 전단사 함수 들을 취하자. 다음 함수를 정의하자.

그렇다면, 는 거의 어디서나 0이며, 강하게 어디서나 전사 함수이지만, 완전 어디서나 전사 함수가 아니다 (이는 칸토어 집합 이 존재하기 때문이다).

완전 어디서나 전사 함수 
실수의 (공집합이 아닌) 완전 집합의 집합을 로 표기하자. 또한,

이라고 하자. (실수의 닫힌집합의 수는 이다. 표준적인 칸토어 집합을 평행 이동하여 얻는 집합은 모두 완전 집합이다. 따라서, 이다.) 실수의 완전 집합의 크기는 항상 이므로, 초한 귀납법을 통해 다음과 같은 실수 집합 을 취할 수 있다.

이제,

라고 하자. 그렇다면, 는 완전 어디서나 전사 함수이다.

역사 
일부 오래된 서적에서는 구간의 상이 구간인 성질이 연속 함수 의 정의로 잘못 쓰였다. (사실 이는 연속 함수보다 훨씬 약한 성질이다.) 이러한 오류는 장 가스통 다르부가 1875년에 지적하였다.

각주

같이 보기 
 다르부 정리

외부 링크 
 
 

미적분학 정리
실해석학 정리
연속 함수