보손 끈 이론

보손 끈 이론(boson끈理論, )은 초대칭을 도입하지 않은 끈 이론이다.

전개 
끈이란 시공을 통해 움직이는 1차원의 개체다. 고리 모양인 (원과 동형인) 닫힌 끈()과 끊어진 (선분과 동형인) 열린 끈()이 있다. 따라서 끈은 (0+1차원의 세계선을 지니는 점입자와 달리) 1+1차원의 세계면으로 나타내어진다. 1+1차원의 세계면은 두 좌표로 나타낼 수 있다. 세계면 좌표를  ()로 쓰자. 세계면 좌표는 단위를 쓰지 않는다 (무차원).

끈은 시공간 안에 존재한다. 시공간을 1차원의 시간과  차원의 공간으로 이루어져 있다고 가정하자. (관측에 따르면 이나, 보손 끈 이론은 추가 차원을 필요로 한다.) 시공의 좌표를  ()로 쓰자. 시공간의 계량 텐서를 로 표기하자.

끈의 시공 속의 위치를 매장 로 나타낼 수 있다. 시공의 계량 텐서로부터 세계면 계량 텐서

를 정의할 수 있다.

작용 
끈을 다루는 가장 간단한 작용은 난부-고토 작용

이나, 이는 제곱근 때문에 양자화가 어렵다. 따라서 세계면 계량 텐서를 보조장으로 승격시킨 폴랴코프 작용

를 쓴다. 여기서 는 작용을 무차원화시키기 위한 상수로서, 끈의 장력 또는 에너지 밀도를 나타낸다. 는 레제 기울기() 또는 "알파 프라임"으로 불리는 상수다.

보다 일반적으로, 보손 끈은 일반적으로 운동 방정식

만으로 결정된다. (여기서 는 끈 전체의 운동량이다.) 이로부터 작용을 다음과 같이 재구성할 수 있다. 좌표 에 대하여, 세계면 위의, 에 대응하는 정준 운동량장 를 정의하자. 그렇다면, 작용

을 적을 수 있다. 여기서 첫째 항은 운동 방정식 에서 오며, 둘째 항은 와  사이의 정준 관계를 나타낸다. 이제, 의 오일러-라그랑주 방정식은

가 된다. 이를 작용에 대입하면, 폴랴코프 작용

를 얻는다.

사실, 닫힌 끈의 경우, 끈의 공간 좌표 라고 할 때, 는 서로 상호작용하지 않는 두 개의 장 이다. 반면, 열린 끈의 경우, 공간 좌표가 라고 할 때, 하나의 가 에 정의되게 된다. 두 경우 모두, 는 원 위의 주기적 경계 조건을 만족시킨다. 즉, 닫힌 끈은 (의 범위를 무시하면) 서로 상호작용하지 않는 두 개의 열린 끈으로 취급할 수 있다.

게이지 대칭 
보손 끈의 폴랴코프 작용은 세계면 계량 텐서 에 대한 미분 동형 사상 게이지 대칭을 가지며, 따라서 편의상 게이지 고정

을 가할 수 있다. 사실, 흔히 빛원뿔 좌표계가 사용된다.

이 게이지 대칭은 작용 에서 생성원 에 의하여 생성된다. 이것의 리 괄호는

이다. (여기서 은 디랙 델타의 분포로서의 도함수이다.) 즉, 이는 일종의 아핀 리 대수를 이룬다.

이 게이지 대칭에 대응하는 BRST 연산자는 유령장 에 대하여

이다. 여기서, 서로 정준 교환 관계를 갖는 , 는 양자화 이후  유령장에 대한 2차원 등각 장론을 이룬다.

방식 전개 
폴랴코프 작용을 인 등각 게이지로서 풀면, 운동 방정식

과 게이지 조건

을 얻는다. 운동 방정식은 단순히 파동 방정식이므로, 경계 조건이 주어지면 간단히 풀 수 있다. 우선 닫힌 끈의 경우 의 주기성 (periodicity) 조건을 주자. 그리고 편의상 빛원뿔 좌표계

를 정의하자. 그렇다면 파동 방정식의 해는 (왼쪽 방식()과 오른쪽 방식을 구분해 쓰면)

이 된다. 여기서 는 뇌터 정리를 쓰면 끈의 운동량임을 알 수 있다. 방식으로 전개한 이 표현에 게이지 조건 을 적용하면 임의의 에 대하여

의 조건을 얻는다. (여기서

로 정의한다.) 이 가운데 인 조건으로부터 끈의 질량 공식

을 얻는다.

양자화 
끈은 여러 가지 방법으로 양자화할 수 있으나, 그 가운데 빛원뿔 좌표계를 쓰는 양자화가 가장 간단하다. 우선, 시공의 빛원뿔 좌표

을 정의하자. 그리고 잉여 게이지 자유로

으로 쓰자. 이렇게 쓰면 계의 자유도는 , ,  ()이다.
다음에 바른틀 교환자 관계 ()를 적용시킨다.

(는 계의 고전적 자유도가 아니므로, 이는 양자화한 뒤에 연산자식으로 구속한다.) 이렇게 쓰면 정렬 모호성()으로 인해 질량 공식이

가 된다. 여기서 연산자

을 준위(準位, ) 연산자로 부르고, 이들은 자연수의 고윳값을 갖는다. 인 경우 이므로 이는 타키온을 나타낸다. 인 경우엔 로런츠 대칭을 위하여 이어야 하므로, 임을 알 수 있다. 즉 보손 끈 이론의 임계 차원은 26차원이다. 이 경우 입자는 무질량 입자인데, 이는 스핀 2의 중력자 , 스핀 1의 캘브-라몽 장  (), 스핀 0의 딜라톤 을 포함한다. 이들을 통틀어 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장 ()으로 부른다. 이상의 입자는 질량이 이므로 (대략 플랑크 질량으로 추정) 너무 커 관측되지 않는다.

성질 
보손 끈 이론은 끈 이론 가운데 가장 단순하여, 장난감 모형으로 쓰인다. 보손 끈 이론은 다음과 같은 특성을 지닌다.
 보손 끈 이론은 초대칭이 없으므로 페르미온을 포함하지 않는다. 즉 오직 NS-NS 장만을 포함한다.
 보손 끈 이론은 타키온을 포함한다. 따라서 보손 끈 이론의 진공은 자명하지 않으며, 그 참 진공은 아직 잘 밝혀지지 않았다. (이에 반하여 초끈 이론은 GSO 사영을 통하여 타키온을 없앨 수 있다.)
 보손 초끈 이론은 임계 차원이 차원이다. 즉, 26차원이 아닌 다른 차원에서는 일반적으로 로런츠 대칭을 보존하면서 유령 상태를 없앨 수 없다.  (초끈 이론에서는 초대칭에 따른 ,  유령 입자에 의하여 임계 차원이 10차원으로 줄어든다.)

역사 
보손 끈 이론은 1960년대에 끈 이론 가운데 최초로 발견되었다. 이는 원래 강입자의 스펙트럼을 설명하기 위하여 등장하였다. 현대적인 용어로, 중간자를 구성하는 두 쿼크를 잇는 글루온은 마치 끈처럼 행동하며, 그 진동 모드 스펙트럼을 끈 이론으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 상수 은 중간자의 질량-스핀 그래프의 기울기로 나타난다. 의 이름인 “레제 기울기”는 툴리오 레제의 이름을 땄으며, 여기서 유래하였다.

보손 끈 이론의 임계 차원이 26차원이라는 사실은 클로드 러블레이스(, 1934~2012)가 1971년에 발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

끈 이론