완전제곱식 만들기

초등대수학에서 완전제곱식 만들기()는 이차 다항식을 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배(완전제곱식)와 상수의 합의 꼴

로 나타내는 기법이다. 완전제곱식 만들기는 이차 방정식의 풀이에 사용된다.

정의 
임의의 복소수 계수 이차 다항식

은 항상 다음과 같이 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다.

이러한 기법을 흔히 완전제곱식 만들기라고 부른다.

다변수 다항식 
개의 변수 에 대한 복소수 계수 이차 다변수 다항식

이 주어졌다고 하자. 여기서

은 복소수 열벡터이며 (), 는 영행렬이 아닌 복소수  대칭 행렬이며 (, ), 은 전치 행렬이다. 만약 추가로 가 가역 행렬이라면, 는 새로운 변수 에 대한 이차 동차 다항식과 상수의 합으로 나타낼 수 있다.

응용 
이차 함수를 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내어, 이차 함수의 여러 성질들을 구할 수 있다.

구체적인 이차 함수의 예 
실수 이차 함수

을 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내면 다음과 같다.

이로부터, 이 다항식의 다음과 같은 성질들을 구할 수 있다.
 대칭축은 직선 이다.
 최솟값은 이다.
또한,

이므로, 의 두 근은 과 이다.

일반적인 이차 함수 
더 일반적으로, 실수 이차 함수

의 대칭축은 직선 이다. 인 경우 최솟값은 이며, 인 경우 최댓값이 이다. 나 가 변화할 때, 이 이차 함수의 그래프는 가 증가하는 만큼 오른쪽으로 평행 이동하며, 가 증가하는 만큼 위로 평행 이동한다. 만약 이라면, 는 두 개의 서로 다른 실근을 가진다. 만약 이라면, 는 중복도가 2인 하나의 실근을 가진다. 만약 이라면, 는 실근을 가지지 않으며, 두 개의 서로 다른 허근을 갖는다.

참고 문헌

외부 링크 

 

초등대수학