하르톡스의 정리 (복소해석학)

하르톡스의 정리(, Hartogs' theorem, -定理)는 다변수 복소해석학의 정리로, 독일의 수학자 프리드리히 하르톡스의 이름이 붙어 있다. 다변수 복소해석학의 기초적이고 핵심적인 정리들 중 하나로, 실해석학에서는 성립하지 않는 복소 다변수만의 특성을 다룬다.

공식화 
하르톡스의 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

 f를  (n≥1) 위에서 C로 가는 복소함수라 하자. 만약 f가 n개의 모든 변수에 대해 해석 함수이면, f는 연속 함수이다.

실변수와의 비교 
실변수에서는 이러한 성질이 n≥2일 경우 일반적으로 성립하지 않는다. 에서 R로 가는 함수 f를  와 같이 정의하면, (0, 0)에서 x, y 모두 편도함수가 존재하나, 이 함수는 (0, 0)에서 x = y 및 x = -y의 두 경로에 대해 서로 다른 극한을 가져 극한이 존재하지 않으므로 여기서 불연속이기 때문이다.

그러나 실 다변수함수의 경우에도 미분가능하면, 즉 그 함수의 전미분인 선형 함수가 존재하면 연속이 된다. 또한 실수 다변수함수가 미분가능할 유용한 충분조건으로 그 함수의 모든 1계 편도함수가 존재하고 각각 연속이라는 것이 있다. 따라서, 모든 1계 편도함수가 존재하고 연속인 실수 다변수함수는 연속함수이다.

각주

참고 문헌 
 Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

복소해석학 정리
다변수 복소함수론