방멱

기하학에서 방멱(方冪, )은 평면 위의 어떤 점과 원에 의하여 결정되는 수이다. 이는 점과 원의 중심 사이의 거리의 제곱과 원의 반지름의 제곱의 차와 같다. 원 외부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 접선의 길이의 제곱이며, 원 내부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 가장 짧은 반현의 길이의 제곱의 −1배이다.

정의 
평면 위에서, 중심이 이고 반지름이 인 원 의 점 에 대한 방멱은 다음과 같이 정의된다.

점원에 대한 방멱 
한 점 로 이루어진 집합은 중심이 이고 반지름이 0인 원으로 볼 수 있으며, 이를 점원이라고 한다. 이 경우 점원 에 대한 의 방멱은 단순히

이다.

직선에 대한 방멱 
직선 은 반지름이 무한대인 원으로 볼 수 있다. 이 경우 직선 에 대한 의 방멱은 정의되지 않는다. 그러나 방멱과 지름의 비의 절댓값은 다음과 같은 과정을 통해 직선에까지 확장할 수 있다. 우선 를 지나는 의 수선의 발이 라고 하고, 직선  위의 점 를 중심으로 하고 를 지나는 원 가 직선 와 두 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면, 에 대한 의 방멱과 의 지름의 비의 절댓값은

이다. 가 고정되고 와 가 에서 무한히 멀어질 때, 와 의 비는 1로 수렴하므로, 방멱과 지름의 비의 극한은 로 수렴한다. 따라서, 직선 과 점  사이의 거리

을 '방멱과 지름의 비의 절댓값'으로 삼을 수 있다.

성질 
평면 위에서 원 와 점 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
 가  내부의 점일 필요충분조건은 에 대한 의 방멱이 양수인 것이다.
 가  위의 점일 필요충분조건은 에 대한 의 방멱이 0인 것이다.
 가  외부의 점일 필요충분조건은 에 대한 의 방멱이 음수인 것이다.

평면 위에서 중심이 이고 반지름이 인 원 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대한 방멱이 인 점들의 집합은 일 경우 중심이 이고 반지름이 인 원이며, 일 경우 점원 이며, 일 경우 공집합이다.

평면 위에서 동심원이 아닌 두 원 에 대한 방멱이 같은 점들의 집합은 직선을 이룬다. 이를 두 원 의 근축이라고 부른다.

방멱 정리 
평면 위에서 점 를 지나는 직선이 원 와 (같을 수 있는) 두 점 에서 만나며, 를 지나는 또 다른 직선이 와 (같을 수 있는) 두 점 에서 만난다고 하자. 방멱 정리(方冪定理, )에 따르면, 다음이 성립한다.

여기서 은 벡터의 스칼라곱이다. 특히, 한 직선이 를 지나도록 하면 이 스칼라곱은 방멱임을 알 수 있다. 이에 따라, 는 직선 의 선택과 무관하다. 방멱 정리는 흔히 원 에 대한 점 의 상대적인 위치와 직선의 두 교점이 같은지 여부에 따라 다음과 같은 경우로 나뉘어 서술된다.

두 현에 대한 방멱 정리 
원 의 두 현 와 가  내부의 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면,

이다. 특히, 이는 에 대한 의 방멱의 −1배와 같다.

각 와 는 모두 호 에 대한 원주각이므로,

이다. 각 와 는 맞꼭지각이므로,

이다. 따라서, 삼각형 와 는 서로 닮음이며, 따라서

이다.

두 할선에 대한 방멱 정리 
원 의 두 현 와 의 연장선이  외부의 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면,

이다. 특히, 이는 에 대한 의 방멱과 같다.

편의상 이고 라고 하자. 그렇다면 각 와 는 호 에 대한 원주각이므로,

이다. 또한 삼각형 와 는 각 를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

이다.

할선과 접선에 대한 방멱 정리 
원 의 현 의 연장선과  위의 점 에서의 접선 가  외부의 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면,

이다. 특히, 이는 에 대한 의 방멱과 같다.

편의상 라고 하자. 그렇다면 각 와 는 각각 호 에 대한 원주각과 접현각이므로,

이다. 또한 삼각형 와 는 각 를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

이다.

방멱 정리의 역 
반대로, 만약 직선 와 가 점 에서 만나고,

를 만족시킨다면, 는 공원점이다.

편의상 가 직선  위의 점이 아니라고 하자. 점 를 지나는 원 가 직선 와 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면, 방멱 정리에 의하여

이므로, 이다.

원의 직교와의 관계 
중심이 이고 반지름이 인 두 원 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 와 은 서로 직교한다. (즉, 교점에서의 접선이 서로 수직이다.)
 에 대한 의 방멱은 이다.
 에 대한 의 방멱은 이다.

역사 
'방멱'이라는 개념은 스위스의 수학자 야코프 슈타이너가 처음 사용하였다.

같이 보기 
 원
 현
 할선
 접선

각주

외부 링크 
 
 

유클리드 평면 기하학
해석기하학