음함수 정리

다변수 미적분학에서 음함수 정리(陰函數定理, )는 변수들에 대한 방정식이 국소적으로 충분히 매끄러운 함수 관계를 나타낼 충분 조건을 제시하는 정리이다.

도입 
2차원 유클리드 공간  위에서 원점 을 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 원의 방정식

을 생각하자. 이 방정식은 에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.

또한 이 방정식은 에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.

이 방정식을 만족시키는 연속 함수는 에서 위와 같은 두 가지가 있으므로 유일하지 않다. 그러나 을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이 사실에 대한 기하학적 의미를 알아보기 위해, 다음과 같은 함수를 정의하자.

이렇게 정의한 의 그래프는 에 놓인 곡면이며, 위와 같은 원은 이 곡면과 평면 의 교선이다.  주변에서 인 점 을 임의로 취하자. 여기에는 특히  역시 포함된다. 가 고정되었을 때, 는  주변에서 에 대한 순증가 함수이기 때문에, 국소적으로 에 대하여 이 성립하며, 에 대하여 이 성립한다. 따라서 의 영점 집합은 에서 국소적으로 어떤 함수 의 그래프와 일치한다. 가 에 대한 순단조 함수가 되기 위한 한 가지 충분 조건은 이다. 이를 만족시키지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 방정식을 만족시키며 을 지나는 연속 함수는 대역적으로나 국소적으로나 유일하지 않다. 음함수 정리에서는 이 조건을 가정으로 삼아 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론으로 제시한다. 사실 은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다. 여러 개의 방정식의 연립

에서 가 국소적으로 의 함수인지를 다루려면 다음과 같은 비퇴화 조건을 사용하여야 한다.

이 부등식의 좌변은 함수 의 변수 에 대한 야코비 행렬식이다. 특히, 만약

일 경우, 위에서 정의한 야코비 행렬식은 을 상수로 간주하여 얻는 연립 일차 방정식의 계수 행렬의 행렬식 이다.

정의 
열린 근방 와  및 연속 함수 ,  (, )가 다음을 만족시킨다고 하자.
 역시 연속 함수이다. 여기서 이다.

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린 근방  및 유일한 연속 함수 가 존재한다.

 임의의 에 대하여, 
또한, 에 대하여, 만약 가  함수라면,  역시  함수이며, 의 도함수 는 다음과 같다.

여기서 이다. 이를 음함수 정리라고 한다. 가  함수임을 가정하지 않을 경우, 의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.

가장 간단한 경우 
두 열린구간 와  및 연속 함수 가 다음을 만족시킨다고 하자.
 역시 연속 함수이다.

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린구간  및 유일한 연속 함수 가 존재한다.

 임의의 에 대하여, 
또한, 에 대하여, 만약 가  함수라면,  역시  함수이며, 의 도함수 는 다음과 같다.

이는 음함수 정리에서 을 취한 가장 간단한 경우이다.

증명

수학적 귀납법을 통한 증명 
수학적 귀납법을 사용하자.

m=1 
먼저 일 경우를 증명하자. 편의상 라고 가정하자. 그러면 에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
 
 
 임의의  및 에 대하여, 
이에 따라 가 에서 순증가 함수이며, 또한 이므로, 이다. 따라서 다음을 만족시키는 가 존재한다.
 임의의 에 대하여, 
따라서, 임의의 에 대하여, 는 에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, 중간값 정리에 따라 인 유일한 가 존재한다. 이렇게 정의한 함수 는 임의의 에 대하여 를 만족시키며, 특히 이다. 이제 의 연속성을 증명하자. 임의의  및 충분히 작은 에 대하여, 이므로, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
 
 임의의 에 대하여, 
따라서, 임의의 에 대하여, 이다. 이제 의 유일성을 증명하자. 연속 함수 가 다음을 만족시킨다고 가정하자.
 
 
 임의의 에 대하여, 
그렇다면, 다음과 같은 집합이 의 열린닫힌집합임을 보이는 것으로 족하다.

우선 임의의 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
 
 임의의 에 대하여, 
따라서, 임의의 에 대하여, 이다. 즉, 는 의 열린집합이다. 또한 임의의 에 대하여, 의 연속성에 의하여 이다. 즉, 는 의 닫힌집합이다. 는 연결 집합이며, 또한 이므로, 이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다. 이제 가  함수일 때 의 성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의  및 에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

그러면 평균값 정리에 따라 다음을 만족시키는 가 존재한다.

따라서, 다음이 성립한다.

또한 와 가 연속 함수이므로, 는 연속 미분 가능 함수이다.

m>1 
이제 일 경우를 증명하자. 의 원소를 로 쓰고, 와 같이 표기하자. 또한 편의상 이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 가 존재하게 되는 가 존재한다.

 임의의  및  및 에 대하여, 
다음과 같은 함수 를 정의하자.

그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의  및 에 대하여 다음이 성립한다.

따라서 이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 가 존재하게 되는 가 존재한다.

 임의의 에 대하여, 
이제 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 는 연속 함수이며, 다음이 성립한다.

이러한 의 유일성은 의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약 가  함수라면, 각  및 에 대하여, 의 양변에 를 취하면, 연쇄 법칙에 따라 다음을 얻는다.

이를 행렬로 표기하면 의 공식을 얻으며, 따라서  역시  함수이다.

바나흐 고정점 정리를 통한 증명 
다음과 같은 함수 를 정의하자.

그러면 다음이 성립한다.

따라서 이다. 또한 이므로, 를 취하였을 때, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
 
 
 임의의  및 에 대하여, 이며 
또한, 이므로, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
 임의의 에 대하여, 
이제 임의의 에 대하여, 가  위의 -립시츠 연속 함수임을 증명하자. 우선 임의의 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

따라서 이다. 또한, 임의의 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

즉, 는  위의 -립시츠 연속 함수이다. 또한 는 바나흐 공간이므로, 바나흐 고정점 정리에 따라 는 에서 유일한 고정점 를 가진다. 즉, 다음이 성립한다.

이제 이렇게 정의한 가 연속 함수임을 증명하자. 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 다음이 성립한다.

따라서 는 연속 함수가 맞다. 의 유일성은 고정점의 유일성에 따라 성립한다. 이제 가  함수일 때 의 성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

그러면 다음이 성립한다.

마지막 등호는  때문이다. 즉,

가 성립하며, 는  함수이다.

예

닫힌 형식으로 나타낼 수 없는 함수 
어떤 에 대하여, 케플러 방정식

을 생각하자. 다음과 같은 함수 를 정의하자.

그렇다면, 임의의 에 대하여,

이므로, 인 유일한 가 존재한다. 음함수 정리에 따라, 이러한 함수 는  함수이다. 다시 말해, 케플러 방정식은 어떤 유일한 () 함수와 동치이다. 그러나 이러한 함수 는 닫힌 형식으로 나타낼 수 없다.

충분 조건의 비필요성 
다음과 같은 연속 함수  및 를 생각하자.

그러면 에 대하여 다음 세 가지가 동치이다.
 
 
 
즉, 는  또는 가 유도하는 음함수이다. 그러나 는 존재하지 않으며, 이다.

같이 보기 
 역함수 정리

미적분학 정리
실해석학 정리