프톨레마이오스 정리

기하학에서 프톨레마이오스 정리(定理, ) 또는 톨레미 정리(定理)는 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다.

정의 
프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형 에 대하여, 다음이 성립한다.

이는 케이시의 정리의 특수한 경우이다.

증명

삼각형의 닮음을 통한 증명 

사각형 의 외접원의 호 와 의 원주각의 성질에 의하여 이고 이다. 선분  위에서 를 만족시키는 점 를 잡자. 그러면 이다. 따라서, 삼각형 와 는 닮음이고, 삼각형 와  역시 닮음이므로,

와

가 성립한다. 이므로

이다.

반전을 통한 역증명 

중심이 인 단위원에 대한 반전에 대한 의 상을 이라고 하자. 그러면 은 서로 다른 공선점이며, 은 와  사이의 점이다. 반전의 성질에 의하여

이며, 이므로,

가 성립한다.

따름정리

삼각 함수 항등식 
프톨레마이오스 정리에서 한 대각선이 내접원의 지름인 경우는 두 각의 합의 사인 함수에 대한 항등식과 동치이다. 즉, 내접 사각형 의 대각선 가 내접원의 중심 를 지난다고 하자. 편의상 내접원의 반지름이 1이라고 하자. 또한 이고 라고 하자. 그러면

이므로, 프톨레마이오스 정리에 의하여

가 성립한다.

프톨레마이오스 정리의 역 
프톨레마이오스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 사각형 가

를 만족시킨다면, 내접 사각형이다.

프톨레마이오스 부등식 
프톨레마이오스 부등식(不等式, )에 따르면, 임의의 사각형 에 대하여, 다음이 성립한다.

또한, 등호가 성립할 필요충분조건은 내접 사각형이다.

보다 일반적으로, 평면 위 임의의 네 점 에 대하여, 위와 같은 부등식이 성립하며, 또한 이들에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 다음 가운데 하나가 성립한다.
 
 
 
 공원점이거나 공선점이다.

역사 
고대 그리스의 천문학자이자 수학자인 클라우디오스 프톨레마이오스는 이 정리를 저서 《알마게스트》에 등장하는 현표를 만드는 데 사용하였다.

같이 보기 
 활꼴
 현

각주

외부 링크 
 
 
 
 

사각형
원 (기하학)
클라우디오스 프톨레마이오스
유클리드 평면 기하학
평면기하학 정리