주다발

위상수학에서 주다발(主-, )은 올이 위상군인 올다발이다. 이 경우, 위상군의 군론적 및 위상학적 성질이 다발의 위상학적 성질과 서로 호환되어야 한다. 즉 밑이 위상 공간 이고 올이 위상군 인 주다발은 국소적으로 와 같으나, 대역적으로 다를 수 있다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 위상 공간 
 위상군 
그렇다면, 올이 이고 밑이 인 주다발은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 올이 인 올다발 
 연속 오른쪽 작용 
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
 모든 , 에 대하여, . 즉, 각 에 대하여, 는 올  위에 작용한다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 인 가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 에 대하여, 오른쪽 작용 는 정추이적 작용이다. 여기서 는  위의 의 올이다.
두 조건 가운데 첫째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

두 조건 가운데 둘째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

만약
 가 리 군이며,
 와 가 매끄러운 다양체이며,
 가 매끄러운 함수이며,
 의 작용  역시 매끄러운 함수라면
를 매끄러운 주다발(-主-, )이라고 한다.

주다발 사상 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 두 위상 공간 , 
 위상군 와 
 -주다발 , 
이 두 주다발 사이의 주다발 사상() 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 연속 함수 
 연속 함수 
 연속 군 준동형 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.

주다발 사상 에서, 만약 이며, 가 항등 함수이며, 가 단사 함수라면 (즉, 부분군의 포함 사상이라면) 를 구조군 축소(構造群縮小, )라고 한다.

주연장 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 차원 매끄러운 다양체 
 리 군 
  위의 매끄러운 -주다발 
 자연수 (음이 아닌 정수) 
그렇다면, 다음과 같은,  위의 올다발을 정의할 수 있다.

여기서
 은  위의 차 틀다발이다. 이는  위의 주다발이며, 그 올군은 차 차원 제트 군 이다.
 는  위의 차 제트 다발이다. 이는  위의 벡터 다발이다.
 은  위의 두 올다발의 곱이다.
즉, 국소적으로 의 점은 다음과 같은 꼴이다.

여기서
 은 단사 매끄러운 함수이며, 은 열린집합이며,  역시 열린집합이다.
 는 의, 에서의 차 제트이다.
 는 의 단면이다.
이는  위의 주다발을 이룬다. 그 올군은

이다. 여기서

이며, 그 군 연산은 다음과 같다.

이 군은  위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

이를 의 차 주연장(主延長, )이라고 한다.

성질

대역적 자명화의 존재 
위상 공간  위의 주다발 에 대하여, 대역적 자명화(=주다발의 동형 )가 존재할 필요 충분 조건은 대역적 단면 가 존재하는 것이다. (이는 로 여길 수 있다.)

분류 

위상군 에 대하여, 분류 공간 을 구성할 수 있다. 그렇다면, (에 대한 적절한 조건 아래)  위의 -주다발들의 동형류들은 연속 함수 들의 호모토피류들과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 연속 함수 에 대응하는 주다발은 이다.

예

자명 주다발 
임의의 위상 공간 와 위상군 에 대하여, 는 군 작용

과 사영 사상

을 주면 주다발을 이룬다. 이를 자명 주다발(自明主-, )이라고 한다.

틀다발 

위상 공간  위의 차원 벡터 다발 가 주어졌을 때, 어떤 표준적인 -주다발을 정의할 수 있으며, 이를 틀다발이라고 한다.

응용 
주다발의 개념은 위상수학 및 미분기하학에서 쓰이고, 물리학에서도 일반 상대성 이론 및 게이지 이론을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타내어진다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 게이지 이론
 벡터 다발
 연관 다발

미분기하학
올다발