오일러 직선

기하학에서 오일러 직선(直線, )은 정삼각형이 아닌 삼각형의 외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심을 지나는 직선이다. 정삼각형에서는 이 네 중심이 일치하기 때문에 오일러 직선이 정의되지 않는다.

정의 
삼각형 의 외심 , 무게 중심 , 구점원의 중심 , 수심 는 공선점을 이룬다. 특히 삼각형 가 정삼각형이 아닐 경우 이들을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이 직선을 삼각형 의 오일러 직선이라고 한다. 삼각형 가 정삼각형일 경우 이 네 점은 모두 일치하므로, 이들을 모두 지나는 직선은 무한히 많으며, 이 경우 오일러 직선은 정의되지 않는다.

나겔 직선 
삼각형 의 내심 , 무게 중심 , 슈피커 중심 , 나겔 점 은 공선점을 이룬다. 특히 삼각형 가 정삼각형이 아닐 경우 이들을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이 직선을 삼각형 의 나겔 직선(直線, )이라고 한다. 삼각형 가 정삼각형일 경우 이 네 점은 모두 일치하므로, 이들을 모두 지나는 직선은 무한히 많으며, 이 경우 나겔 직선은 정의되지 않는다.

성질

오일러 직선 위의 점 
정삼각형이 아닌 삼각형 의 다음과 같은 점들은 오일러 직선 위의 점이다.
 외심 : 외접원의 중심이자, 각 변의 수직 이등분선의 교점
 무게 중심 : 세 중선의 교점
 구점원의 중심 : 각 변의 중점, 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발, 각 꼭짓점과 수심 사이의 선분의 중점을 지나는 원의 중심
 수심 : 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 교점

오일러 직선 위의 점 사이의 위치 관계 
(정삼각형일 수 있는) 삼각형의 무게 중심은 외심과 수심을 잇는 선분의 (외심에 더 가까운) 삼등분점이며, 구점원의 중심은 이 선분의 중점이다. 즉, 삼각형 의 외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심을 각각 , , , 라고 할 경우

이다.

나겔 직선 위의 점 
정삼각형이 아닌 삼각형 의 다음과 같은 점들은 나겔 직선 위의 점이다.
 내심 : 내접원의 중심이자, 세 각의 이등분선의 교점
 무게 중심 
 슈피커 중심 : 중점 삼각형의 내심
 나겔 점 : 각 꼭짓점과 대변 위 방접원의 접점을 잇는 선분의 교점

나겔 직선 위의 점 사이의 위치 관계 
(정삼각형일 수 있는) 삼각형의 무게 중심은 내심과 나겔 점을 잇는 선분의 (내심에 더 가까운) 삼등분점이며, 슈피커 중심은 이 선분의 중점이다. 즉, 삼각형 의 내심, 무게 중심, 슈피커 중심, 나겔 점을 각각 , , , 이라고 할 경우

이다.

각주

외부 링크 
 
 
 

레온하르트 오일러
삼각 기하학