민코프스키 부등식

민코프스키 부등식(, Minkowski inequality, -不等式) 또는 민코프스키 삼각 부등식(-三角不等式)은 독일의 유대계 수학자인 헤르만 민코프스키가 제시한 부등식이다. 크게 세 가지 형식으로 사용되는데, 횔더 부등식 및 토넬리의 정리에 의해 유도할 수 있다. 또한 민코프스키 부등식은 하디의 부등식 등 여러 가지 부등식을 증명하는 데 이용되기도 한다.

대수적 형태 
1≤p≤∞일 때 임의의 실수  와 에 대해 민코프스키 부등식의 대수적 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다. 이는 가장 초등적인 형태이다.

 

이는 아래의 형태에서 셈측도 공간에 대해 쓴 꼴이다.

공간의 형태 
1<p<∞일 때 측도 μ가 주어진 측도 공간 X에 대하여 f, g가 X에서 [0, ∞]로 가는 가측 함수일 때, 측도 μ에 대한  공간 에서는 민코프스키 부등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

이 형태 때문에 이 부등식이 민코프스키 삼각 부등식이라 불리는 것이다. 이를 이용하면  가 복소벡터 공간이 된다는 것은 분명하다.

적분 형태 
(X, m, μ)와 (Y, n, ν)를 σ-유한 측도 공간이라 하고 F를 X×Y 위에서 정의된 m×n 가측 함수라 하자. 그러면 1≤p<∞인 경우 다음과 같은 적분 형태 민코프스키 부등식이 성립한다. 이 부등식은 '민코프스키 적분부등식'이라고도 한다.

 

위에서 p=1인 경우 이 부등식은 토넬리의 정리에서 바로 증명된다. 따라서 증명은 1<p에 대해 하면 된다. 이 정리를 증명하기 위해서는 토넬리의 정리와 횔더 부등식을 사용해야 하는데, 기본적으로는 앞의 형태들과 유사한 아이디어를 사용한다.

같이 보기 
 삼각 부등식
 횔더 부등식
 하디의 부등식
 말러의 부등식

각주

참고 문헌 
 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008
 Walter Rudin (1987), Real and complex analysis, McGraw-Hill, 
 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002

부등식
대수학
해석학 (수학)
함수해석학
바나흐 공간