동등 연속 함수족

해석학에서 동등 연속 함수족(同等連續函數族, )은 정의역의 값이 작게 변화하면, 치역의 값이 함수족의 모든 원소에 대하여 같은 유계를 가질 정도로 작게 변화하는 함수족이다.

정의

동등 연속 함수족 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 위상 공간 
 균등 공간 
 에서 로 가는 함수족 
 
임의의 측근 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 근방 가 존재한다면, 가 에서 동등 연속 함수족()이라고 한다.
 임의의  및 에 대하여, 
모든 점에서 동등 연속인 함수족을 동등 연속 함수족이라고 한다.

균등 동등 연속 함수족 
마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 균등 공간 
 균등 공간 
 에서 로 가는 함수족 
임의의 측근 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 측근 가 존재한다면, 가 균등 동등 연속 함수족(均等同等連續函數族, )이라고 한다.
 임의의  및 에 대하여, 만약 이라면 이다.

여기서 는 인 것이다. 만약 의 균등 구조가 거리 함수로부터 유도된다면, 이는 를 어떤 양의 실수로 생각하며, 로 해석해도 좋다. ( 또한 마찬가지다.)

성질

함의 관계 
두 균등 공간 ,  사이의 함수족 에 대하여 다음과 같은 네 조건들을 정의할 수 있다.

여기서
 연속 함수족()은 단순히 (균등 공간 위상에 대하여) 모든 원소가 연속 함수인 함수족이다.
 균등 연속 함수족()은 단순히 모든 원소가 균등 연속 함수인 함수족이다.

그렇다면, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

아르첼라-아스콜리 정리 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 콤팩트 하우스도르프 공간 
 균등 공간 
 연속 함수족 
그렇다면, 함수 집합  위에 균등 수렴 위상을 부여하여 위상 공간 및 균등 공간으로 만들 수 있다.

아르첼라-아스콜리 정리()에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다.
 다음 두 조건이 성립한다.
 는 동등 연속 함수족이다.
 모든 에 대하여, 는 콤팩트 집합이다.

마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 콤팩트 균등 공간 
 균등 공간 
 균등 연속 함수족 
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다.
 다음 두 조건이 성립한다.
 는 균등 동등 연속 함수족이다.
 모든 에 대하여, 는 콤팩트 집합이다.

예 
다음과 같은 함수열을 생각하자.

이는 에서 동등 연속 함수족이 아니다. 이는 에서 기울기들의 열 이 발산하기 때문이다.

역사 
동등 연속 함수족의 개념과 아르첼라-아스콜리 정리는 19세기 말의 이탈리아 수학자 줄리오 아스콜리(, 1843~1896)와 체사레 아르첼라(, 1847~1912)가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

연속 함수