클리퍼드 대수

환론에서 클리퍼드 대수(Clifford代數, )는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다. 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다.

정의 
클리퍼드 대수의 개념은 다양하게 정의될 수 있다.
 추상적으로 어떤 보편 성질을 통해 정의될 수 있다.
 구체적으로 텐서 대수의 몫대수로 정의될 수 있다.

보편 성질을 통한 정의 
가환환  위의 가군  위의 이차 형식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 클리퍼드 대수 는 다음 공리를 만족시키는, 를 포함하는 가장 일반적인 -단위 결합 대수다.

즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.
 위의 단위 결합 대수들의 범주 에서, 를 만족시키는 임의의 대수 가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 가 존재한다.

여기서 는 보통 생략한다.

이는 이차 공간(이차 형식을 갖춘 가군)의 범주 에서 단위 결합 대수의 범주로 가는 함자를 정의한다.

(의 사상은 가군 준동형  가운데 인 것이다.)

텐서 대수를 통한 구성 
클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.

여기서 는 에 대한 -텐서 대수

이며,

는 에 의하여 생성되는 양쪽 아이디얼이다.

이 경우

이므로, 두 벡터 원소의 반교환자는 의 연관 쌍선형 형식과 같다.

등급과 여과 
텐서 대수  는 자연스러운 자연수 등급을 갖는다.

클리퍼드 대수는 텐서 대수의 몫인데, 이 경우 몫을 취하는 아이디얼(로 정의되는 동치 관계)은 일반적으로 자연수 등급을 보존하지 않는다. 다만, 이 아이디얼은  등급을 보존한다. 즉,

을 정의했을 때, 클리퍼드 대수를 구성하는 아이디얼은 위  구조를 보존하며, 따라서 클리퍼드 대수는  위의 -등급 대수를 이룬다.

특히, 클리퍼드 대수 에서, 짝수 등급 부분 대수  역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약

라면,

이다.

비록 텐서 대수의 자연수 등급은 등급으로서 살아남지 못하지만, 이는 클리퍼드 대수 위의  자연수 오름 여과를 정의한다. 구체적으로, 텐서 대수 의 등급으로 정의되는 오름 여과

를 생각하자. 그렇다면,

이다. 클리퍼드 대수를 정의하는 아이디얼 은 이 여과와 호환된다. 구체적으로,  는 의 아이디얼을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수  위에도 여과

가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다.

이 여과로부터 정의되는 자연수 등급 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다.

대합 
가환환  위의 클리퍼드 대수  위에, 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.

(만약 가환환 의 표수가 2라면 이는 항등 함수이다.) 는 항등 함수이므로 이는 대합을 이룬다.

마찬가지로,  위에 다음과 같은 반자기 동형()이 존재한다.

(여기서 는 반대환을 뜻한다.) 와 는 서로 가환하며, 이 둘을 합성하면 다음과 같은 클리퍼드 수반()을 얻는다.

와  역시 대합을 이룬다.

이 연산들은  등급이 인 원소 에 대하여 다음과 같다.

즉, 이는 에 대하여 다음과 같이 의존한다.

노름과 내적 
가환환  위의 클리퍼드 대수  위에 다음과 같은 쌍선형 형식 및 이차 형식을 정의할 수 있다.

여기서 은  등급에서, 등급 0의 성분으로의 사영을 뜻한다.

이는 다음 성질을 만족시킨다.

성질 
만약 가

라면 (즉, 라면),

가 된다. 따라서, 만약 가 반단순 가군이라면 이므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. 따라서, 가 반단순 가군일 때 클리퍼드 대수의 분해는 가 비특이 이차 형식인 경우로 귀결된다. 특히, 가 체(또는 유한 개의 체들의 직접곱)라면, 모든 가군은 반단순 가군이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다.

가 체이며, 가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 는 차원 벡터 공간이다. 이 의 기저라고 하자. 그렇다면 의 기저는 다음과 같이 주어진다.

외대수와의 관계 
체  위의 클리퍼드 대수 는 -가군으로서 외대수 와 동형이다. 만약 일 경우 는 외대수 와 대수로서 동형이지만, 일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다.

환론적 성질 
가환환  위의 유한 생성 사영 가군  위의 비퇴화 이차 형식 의 클리퍼드 대수 는 등급 아즈마야 대수()이다. 또한, 만약 모든 소 아이디얼 에 대하여 가 짝수 계수 -자유 가군이라면, 는 짝수형 등급 아즈마야 대수이며, 반대로 만약 모든 소 아이디얼 에 대하여 가 홀수 계수 -자유 가군이라면, 는 홀수형 등급 아즈마야 대수이다. (여기서 는 국소화이다.)

특히, 만약 가 표수가 2가 아닌 체라면, 는 등급 중심 단순 대수()이다.
 만약 가 짝수 차원이라면 는 짝수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, 이며, -등급 구조를 잊으면 중심 단순 대수를 이룬다.
 만약 가 짝수 차원이라면 는 홀수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, -등급 구조를 잊으면 는 중심 단순 대수가 아니지만, 는 중심 단순 대수를 이룬다.

반단순성 
표수가 2가 아닌 체  위의 유한 차원 벡터 공간  위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 는 (유한 차원 -벡터 공간이므로) 항상 아르틴 환이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 반단순환이다. 즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱이다.
 모든 에 대하여 이다.
또한, 는 2개 이하의 단순환의 직접곱이다.

중심 
표수가 2가 아닌 체  위의 유한 차원 벡터 공간  위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 의 중심은 다음과 같다.

스칼라 확대 
가환환 , 과 환 준동형  및 -가군  및 그 위의 이차 형식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 스칼라 확대 의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 -등급 -대수이다.

클리퍼드 군 

클리퍼드 대수의 특정 가역원들은 클리퍼드 군이라는 군을 이룬다. 핀 군과 스핀 군은 클리퍼드 군의 부분군을 이룬다.

분류

직합에 대한 분해 
가환환  및 임의의 두 -등급 -단위 결합 대수 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

위에 다음과 같은 등급 -단위 결합 대수의 구조를 부여할 수 있다.

여기서  및 은 등급이 0 및 1인 성분들의 부분 집합이다. 이 등급 -단위 결합 대수를 으로 표기하자.

가환환  위의 두 이차 공간 , 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 직합  위의 클리퍼드 대수는 -등급 -단위 결합 대수로서 다음과 동형이다.

따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다.

체 위의 클리퍼드 대수의 분류 
표수가 2가 아닌 체  위의 차원 벡터 공간  위의 비퇴화 이차 형식 로 정의되는 클리퍼드 대수 는 등급 중심 단순 대수()이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다. 이는 다음과 같다.
 이 짝수일 때: 는  위의 중심 단순 대수이다.
  ()의 꼴이라면, 는  위의 중심 단순 대수이다.
 의 꼴이라면, 는  위의 어떤 중심 단순 대수 의 제곱과 동형이다.
 이 홀수일 때: 는  위의 중심 단순 대수이다.
  ()의 꼴이라면, 는 확대체  위의 중심 단순 대수이다.
 의 꼴이라면, 은  위의 어떤 중심 단순 대수 의 제곱과 동형이다.
아르틴-웨더번 정리에 의하여, 체  위의 차원 중심 단순 대수는 어떤 -중심 단순 대수인 차원 나눗셈환  위의 행렬환 과 동형이다.

복소수 클리퍼드 대수 
가 복소수체이며, 가 비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 로 쓰면, 이는 -단위 결합 대수로서 다음과 같다.

즉, 다음과 같은 주기 2의 보트 주기성이 존재한다.

특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다.

 (테사린, tessarine)
 (2×2 복소 행렬)

실수 클리퍼드 대수 
가 실수체이며, 가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, 가 부호수가 인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.
 (실수)
 (복소수)
 (분할복소수)
 (사원수)
 (2×2 실수 행렬)
또한, 다음과 같은 주기 8의 보트 주기성이 성립한다.

이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.

즉, 실수 클리퍼드 대수 들은 다음과 같은 클리퍼드 시계(Clifford時計, )로 나타낼 수 있다.

즉, 는 이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, 일 때

이다.

홀수 표수의 유한체 
홀수 표수의 유한체  위의 차원 벡터 공간 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식

이 주어졌다고 하자. 이 경우

을 정의하자.
이 경우, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.

표수 2의 유한체 
표수 2에서는 등급 텐서곱 이 일반 텐서곱 과 같다. 표수 2의 유한체  위의 차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2차원 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.

이 경우  및  둘 다  위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, 차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다.

 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 임의의 이차 형식 는 다음과 같이 비퇴화 이차 형식 과 다음 두 퇴화 이차 형식 가운데 하나와의 직합으로 표현할 수 있다.

 및  둘 다 외대수와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수

에서 로 놓으면 이므로 이는 단위 결합 대수로서 외대수 와 동형이다.

예 
가환환  위의 클리퍼드 대수 는 특수한 경우 다음과 같다.
 만약 이라면 는 외대수이다.
 만약 이 자명 가군이며, 이 그 위의 유일한 이차 형식이라면, 이다.

1차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 
만약 가 1차원 자유 가군이며, 라면, 이다. 따라서, 이 경우는 의 동치류 에 의하여 분류된다.

만약 추가로 가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체라면,

이다. 구체적으로, 일 경우

를 정의한다면,

이므로 가 된다.

2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 
체  위의 2차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 사원수형 대수(, )라고 한다.

체 위의 사원수형 대수는 환으로서 항상 나눗셈환을 이루거나 또는 2×2  위의 행렬환 과 동형이다. 후자의 경우, 분할 사원수형 대수(, )라고 한다.

가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 그 위의 사원수형 대수는 다음과 같이 표기한다.

보통 (사원수와 마찬가지로) 로 표기한다.

가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 가 분할 사원수형 대수이다.
 힐베르트 기호 이다. 즉, 의 해가 에서 존재한다.

사원수의 환 는 실수체 위의 사원수형 대수 이다.

클리퍼드 해석학 
복소해석학의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.

디랙 연산자 

유클리드 공간  속의 열린집합  위의  함수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 디랙 연산자

를 생각할 수 있다 (는 의 정규 직교 기저). 만약 가

를 만족시킨다면, 를 왼쪽 정칙 함수()라고 하며, 만약 가

를 만족시킨다면, 를 오른쪽 정칙 함수()라고 한다.

디랙 연산자의 제곱은

이므로, 는 라플라스 연산자 의 일종의 제곱근이다.

코시 적분 공식 
클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분 정리가 성립한다. 즉,
 두 열린집합 가 주어졌으며 (는 위상수학적 폐포)
 는 유계 집합이자 단일 연결 공간이며,
 경계 가 조각별  미분 가능 다양체를 이루며,
 는  함수이며,
 는 왼쪽 정칙 함수이며 는 오른쪽 정칙 함수라고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.

여기서
 는  위의 바깥 방향 수직 단위 벡터이며,
 는  위의 르베그 측도이다.

또한, 다음이 성립한다.

여기서

는 차원 단위 초구의 넓이이다.

등각 변환 
리만 구  위의 등각 변환은 복소수 계수의 뫼비우스 변환

로 나타낼 수 있다. 마찬가지로,  위의 등각 변환은 클리퍼드 대수  계수의 뫼비우스 변환

으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬

를 등각 변환의 알포르스-팔렌 행렬()이라고 한다. 2×2 행렬
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 은 알포르스-팔렌 행렬이다. 즉,  위의 등각 변환을 정의한다.
 이며, 이다.
특히, 이 경우 뫼비우스 변환의 역원은 다음과 같다.

응용

K이론 
위상 K이론은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다. 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 보트 주기성은 실수 클리퍼드 대수의 주기 8의 보트 주기성과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 보트 주기성은 복소수 클리퍼드 대수의 주기 2의 보트 주기성과 관련된다.

물리학 
양자장론에서, 4차원 디랙 스피너를 다룰 때 등장하는 디랙 행렬  ()들의 곱은 복소수 클리퍼드 대수 를 생성한다. 마찬가지로, 3차원 스피너를 다룰 때 등장하는 파울리 행렬 들은 를 만족시키며, 클리퍼드 대수 를 이룬다. 스피너의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 가군을 이룬다.

역사 
영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 도입하였다. 클리퍼드는 1876년 3월 10일에 런던 수학회()에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉()라는 제목의 강의를 하였으며, 그 미출판 원고는 클리퍼드 사후에 발견되었다. 1878년에 클리퍼드는 미국의 수학 저널에 관련 논문을 출판하였다.

루돌프 립시츠는 클리퍼드와 독자적으로 1880년에 클리퍼드 대수를 발견하였고, 또 클리퍼드 군을 최초로 사용하였다.

알포르스-팔렌 행렬은 오스트리아의 카를 테오도어 팔렌()이 1902년에 도입하였고, 이후 핀란드의 라르스 알포르스가 재발견하였다.

1964년에 마이클 아티야 · 라울 보트 · 아놀드 새뮤얼 샤피로()는 클리퍼드 대수가 위상 K이론과 깊은 관련이 있음을 발견하였다.

참고 문헌

같이 보기 

 기하적 대수학
 디랙 연산자
 디랙 행렬
 사원수
 스피너
 스핀 군
 스핀 다양체
 외대수
 케일리-딕슨 구성
 팔원수

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
대수
이차 형식