코시 정리 (군론)

군론에서 코시 정리()는 유한군의 크기의 소인수가 항상 어떤 원소의 위수라는 정리이다. 제1 쉴로브 정리의 특수한 경우이다.

정의 
코시 정리에 따르면, 만약 소수 가 유한군 의 크기 의 소인수라면, 는 위수가 인 원소를 갖는다.

우선 가 유한 아벨 군인 경우를 증명하자. 귀류법을 사용하여 가 차 원소를 가지지 않는다고 가정하자. 편의상 가 최소 크기의 반례라고 하자. (즉, 크기가 를 소인수로 하는, 보다 작은 크기의 모든 유한 아벨 군은 차 원소를 갖는다.) 그렇다면 는 순환군일 수 없다. (만약 가 로 생성된 순환군이라면, 는 의 차 원소이며, 이는 모순이다.) 임의의 를 취하자. 가 로 생성된 순환군이라고 하자. 그렇다면 이며, 는 의 위수 의 약수가 아니다. (만약 라면, 가 차 원소를 가지므로 모순이다.) 따라서 이며, 또한 이므로, 몫군 은 차 원소  ()를 가진다. 즉, 이며 이다. 이제 가 차 원소임을 보이자. 우선

이므로 의 위수는 1 또는 이다. 만약 의 위수가 1이라면, 즉 이라면, 와 은 서로소이므로 인 정수 가 존재한다. 따라서

이며, 이는 모순이다. 즉, 의 위수는 이다.

이제 가 일반적인 유한군인 경우를 증명하자. 마찬가지로, 가 최소 크기의 반례라고 가정하자. (즉, 크기가 를 소인수로 하는, 보다 작은 크기의 모든 유한군은 차 원소를 갖는다.) 의 중심 은 의 아벨 부분군을 이루므로, 위 증명에 따라 이며, 따라서 이다. 켤레류 방정식

을 생각하자. 여기서 는 크기가 1이 아닌 켤레류들의 대표 원소들의 집합이며, 는 에 대한 의 중심화 부분군이다. , 이므로, 인 가 존재한다. 이므로, 는 차 원소를 가지며, 이는 모순이다.

차 대칭군  속의 순환 으로 생성된, 크기 의 순환군은 집합

위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

궤도-안정자군 정리에 따라 이 군의 작용의 각 궤도의 크기는 1 또는 이다. 크기 1의 궤도의 수는 인 원소 의 수와 같다. 즉, 차 원소의 수와 1차 원소(항등원 )의 수의 합이며, 특히 이는 양의 정수이다. 의 각 원소는 그 앞의 개의 성분으로 유일하게 결정되므로, 이며, 이는 의 배수이다. 또한, 궤도들은 를 분할하므로, 크기 의 궤도들의 수의 배와 크기 1의 궤도들의 수의 합은 이다. 따라서 크기 1의 궤도의 수 역시 의 배수이며, 특히  이상이다. 즉, 적어도 개의 차 원소가 존재한다.

역사 
프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙어 있다.

같이 보기 
 라그랑주 정리 (군론)
 쉴로브 정리

각주

외부 링크 
 
 
 

유한군
군론 정리
오귀스탱 루이 코시