양-밀스 질량 간극 가설

수리물리학과 양자색역학에서 양-밀스 이론의 존재성과 질량 간극 가설()은 미해결 문제로서, 클레이 수학연구소가 지정한 7개의 밀레니엄 수학 문제 중 하나이다.

2000년, 미국의 클레이 수학 연구소는 밀레니엄 현상 문제의 하나로서 이 문제에 100만 달러의 상금을 내걸었다. 이는 공식 문서에서 다음과 같이 설명되었다.

여기서,

 양-밀스 이론은 입자 물리학의 표준 모형에 내재하는 (비 아벨) 양자장론
 는 4차원 유클리드 공간
 질량 간극 Δ 는 이론에서 예측되는 가장 가벼운 입자의 질량이다.

따라서, 수상자는 우선 양-밀스 이론이 존재함을 증명해야 하고 이는 현대 수리물리학에 사용되는 엄밀함을 만족해야 한다. 특히 공식 설명에서 제프와 위튼이 인용한 45와 35의 논문에 사용된 구성적 양자장 이론에 입각한 엄밀함이 필요하다. 그 후 수상자는 이론에 따라 예측된 장의 가장 가벼운 입자의 질량이 명백히 양수임을 보여야 한다. 예를 들어 G=SU(3) (양자 색역학)의 경우 수상자는 글루볼이 질량의 하한이 있어서 임의로 가벼울 수 없음을 증명해야 한다.

배경 

4차원의 대부분의 알려진 그리고 자명하지 않은(상호작용하는) 양자장 이론은 컷오프 규모를 가지는 유효 이론이다. 그러한 대부분의 모델에서 베타 함수가 양수이기 때문에, 그들이 자명하지 않은 UV 고정점을 가지는지 아닌지가 명확하지 않은 채 대부분의 그런 모델은 란다우 극을 가진 것으로 보인다. 이것은 그러한 양자장 이론이 공리적 양자장 이론의 공리를 따르도록 모든 규모에서 잘 정의되면 그것은 아마 자명할(자유장 이론) 것임을 의미한다.

게이지 군이 아벨 군이 아니고, 쿼크를 포함하지 않는 양자 양 밀스 이론은 예외이다. 왜냐하면 이 이론을 대표하는 점근적 자유가 자명한 적외 고정점을 가짐을 의미하기 때문이다. 따라서 이는 가장 간단한 4차원에서의 자명하지 않은 구성적 양자장 이론이다. (양자 색역학은 쿼크를 수반하기 때문에 더욱 복잡한 이론이다.)

비 아벨 리 군에서 양자 양 밀스 이론은 색가둠이라 알려진 속성을 나타낸다는 것이 적어도 수리물리학이 아닌 이론 물리학의 엄밀함으로는 증명되어 있다.

4차원 퍼텐셜 

  여기서 는 라플라스-벨트라미 연산자이며, 이는 이 평탄할 때 라플라스 연산자와 같다.
  여기서 는 차원 디랙 델타 함수다.

가우스 법칙의 결과로 퍼텐셜 V의 음의 라플라시안은  곱하기 디랙 델타 함수와 같다.

물질(또는 전하)의 보다 일반적인 분포는 포아송 방정식을 갖는 컨볼루션에 의해 얻어진다.

여기서 ρ는 분포 함수이다. 아인슈타인의 방정식은 시공간 곡률이 물질-에너지 함량에 의해 생성된다는 것이다. 상수 γ는 아인슈타인 방정식과 관련된 4차원 퍼텐셜에서도 유사한 역할을 한다.

여기서  is는 리치 곡률 텐서, 은 스칼라 곡률,  는 미터법 텐서, Δ는 우주 상수, G는 뉴턴의 중력 상수, c는 진공에서의 빛의 속도, 는 응력-에너지 텐서이다. 아인슈타인 방정식의 왼쪽은 계량 텐서의 라플라시안의 비선형 유사체이며, 다음과 같이 약한 장 한계에서 축소된다.

아인슈타인 방정식의 왼쪽은 계량 텐서의 라플라시안의 비선형 유사체이며, 다음과 같이 약한 장 한계에서 축소된다.

각주

같이 보기 
 질량 간극
 양자장 이론
 표준 모형
 양-밀스 이론

참고 문헌 
 아서 제프와 에드워드 위튼 "Quantum Yang-Mills theory." 공식 문제 설명.

외부 링크 
 The Millennium Prize Problems: Yang–Mills and Mass Gap

양자색역학
수학의 미해결 문제
밀레니엄 문제