메넬라오스 정리

기하학에서 메넬라오스 정리()는 삼각형의 각 변 위의 점이 같은 직선 위의 점일 필요충분조건을 세 점이 각 변을 분할하는 비율 사이의 관계로 나타내는 정리이다.

정의 
점 , , 가 각각 삼각형 의 변 , , 의 직선 위의 점이라고 하자. 메넬라오스 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 , , 는 공선점이다.
 
두 번째 조건에 등장하는 세 개의 비율은 유향 선분의 비율이다. 즉, 는 가 의 내분점이면 양의 부호를, 외분점이면 음의 부호를 가지며, 남은 두 비율도 마찬가지다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 세 점이 모두 외분점이거나 정확히 하나가 외분점이어야 한다. 메넬라오스 정리는 세 점 가운데 하나가 무한원점인 경우에도 유효하다. 예를 들어, 가 직선  위의 무한원점일 경우, , , 가 공선점일 필요충분조건은 가 에 평행하는 것이며, 이 성립한다.

증명

증명 1 
우선 , , 가 공선점이라고 가정하고, 세 비율의 곱이 −1임을 보이자. 파슈 공리에 의하여 외분점은 홀수 개이므로 세 비율의 곱은 음의 부호를 갖는다. 각 꼭짓점 , , 에서 직선 에 내린 수선의 발을 , , 라고 하자. 그렇다면 , , 는 평행선이므로

이다. 따라서

가 성립한다.

반대로

이라고 가정하고 , , 가 공선점임을 보이자. 직선 가 직선 와 에서 만난다고 하자. 그렇다면 위에서 증명한 바에 의하여

이며, 따라서

이다. 직선 를 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하므로 이며, 특히 는 직선  위의 점이다.

증명 2 
우선 , , 가 공선점이라고 가정하자. 꼭짓점 를 지나는 직선 의 평행선이 대변 의 직선과 점에서 만난다고 하자. 그렇다면 삼각형 와 는 서로 닮음이며, 삼각형 와  역시 서로 닮음이다. 특히

이므로,

가 성립한다. 세 비율의 곱이 음의 부호라는 증명과 반대 방향의 증명은 첫 증명과 같다.

따름정리

변의 중점에 대한 반사 관련 성질 
점 , , 가 각각 삼각형 의 변 , , 의 직선 위의 점이라고 하고, 이들에 각각 변 , , 의 중점에 대한 반사를 가하여 얻는 점을 , , 이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 , , 는 공선점이다.
 , , 는 공선점이다.
이는 반사된 세 점의 비율이 각각 원래 세 점의 비율의 역수이기 때문이다.

내각과 외각의 이등분선의 성질 
삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 삼각형의 두 내각의 이등분선과 남은 한 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 다시 말해, 삼각형 의 세 내각 또는 외각의 이등분선 , , 가 대변 , , 의 직선과 점 , , 에서 만난다고 하자. 만약 이들이 모두 외각의 이등분선이거나 정확히 하나가 외각의 이등분선이라면, 이들의 발 , , 는 공선점이다.

수심축 

삼각형 의 각 꼭짓점 , , 에서 대변의 직선에 내린 수선의 발을 , , 라고 하고, 수심 삼각형 의 세 변 , , 가 각각 원래 삼각형의 세 변 , , 와 점 , , 에서 만난다고 하자. 그렇다면 , , 는 공선점이며, 이들의 직선을 원래 삼각형 의 수심축이라고 한다. 이는 원래 삼각형의 각 변이 수심 삼각형의 외각의 이등분선이기 때문이다.

외접원의 접선의 성질 
삼각형 의 외접원의 각 꼭짓점 , , 에서의 접선이 대변 , , 의 직선과 점 , , 에서 만난다고 하자. 그렇다면 , , 는 공선점이다.

일반화

다각형의 경우 
임의의 다각형에서도 성립한다. 예를 들어, 사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 또는 그의 연장선과 직선 l의 교점을 E, F, G, H라 하면 다음이 성립한다.

직선이 다각형을 지나지 않아도 된다.

역사 
알렉산드리아의 메넬라오스()는 저서 《구면학》()의 제3권에서 구면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 제시하였으며, 이를 평면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 사용하여 증명하였다. 평면 삼각형에 대한 정리의 증명은 이 책에서 제시되지 않았다.

같이 보기 
 체바 정리
 하루키 정리
 체바 직선
 등각 켤레점
 각의 이등분선

각주

외부 링크 

 
 
 

아핀기하학
삼각 기하학
평면기하학 정리