위그너 분류

위그너 분류()는 입자를 그 푸앵카레 표현에 따라 분류하는 방법이다. 유진 위그너가 1939년에 도입하였다.

4차원 위그너 분류 
푸앵카레 군은 두 개의 카시미르 불변량을 갖는다. 이는 질량 과 파울리-루반스키 벡터의 제곱 다. 이를 이용하여 입자를 분류할 수 있다.

유질량 
인 경우다. 이 때는 인 경우 (즉 정지틀에서는) 안정자군은 SO(3) (또는 페르미온의 경우 그 2겹 피복 Spin(3))이다. 따라서 유질량 입자는 양의 실수 과 Spin(3)=SU(2)의 표현으로 나타낸다. SU(2)의 표현은 정수 또는 반홀수() 0, ½, 1, 1½ 등으로 나타낸다.

무질량 
, 인 경우다. 이 때는 , , 인 경우를 생각하자. 이 때는 그 안정자군은 유클리드 군 다. 의 표현은 반정수의 나선도로 나타내어지는 것과 연속적인 실수로 나타내어지는 것이 있다. 후자는 연속 스핀 표현()이라고 하며, 자연계에 존재하지 않는다.

타키온 
인 경우는 타키온이다. 자연계에 존재하지 않는다.

진공 
, 인 경우다. 이 경우에는 표현은 단 하나밖에 없으며, 진공을 나타낸다.

3차원 위그너 분류 
3차원에서는 애니온이 존재하므로, 위그너 분류가 고차원과 다르다.

이 경우, 카시미르 연산자는 다음과 같다.

여기서 은 불변 질량이며, 는 상대론적 나선도(relativistic helicity)이다. 나선도 는 무질량 입자의 경우 정의되지 않는다. 이 경우, 음이 아닌 에너지를 가진 표현의 분류는 다음과 같다.
 유질량 . 정지틀 안정자군이 이므로, 이는 나선도 에 따라 분류된다.
 : 보손
 : 페르미온
 : 애니온
 무질량 . 이 경우 안정자군은 이며, 표현은  기약표현 과 의 기약표현으로 나타내어진다. 후자의 기약표현은 실수 에 따라 분류된다.
 무질량 보손: 
 무질량 페르미온: 
 연속 스핀 표현:  (자연계에 존재하지 않음)
 진공. 이 경우 안정자군은  전체이다. 의 표현은 여러 가지가 있으나, 자연계에 존재하는 것은 그 자명한 표현(진공)밖에 없다.

기타 대칭군 
민코프스키 공간에서의 초대칭을 나타내는 초 푸앵카레 군에 대해서도 위그너 표현이 존재한다. 이는 베르너 남이 1978년 발표하였고, 초다중항들에 해당한다.

4차원 등각 대칭군 의 경우에도 위그너 표현이 알려져 있다.

참고 문헌 

 
 

양자장론
수리물리학