모레라 정리

복소해석학에서 모레라 정리(-定理, )는 단일 연결 열린집합에 정의된 복소 연속 함수에 대하여, 정칙 함수와 경로 무관성이 동치라는 정리이다.

정의 
모레라 정리에 따르면, 연결 열린집합 에 정의된 연속 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 정칙 함수이다.
 임의의 조각마다  닫힌 곡선 에 대하여, 
 임의의 삼각형 열린집합 에 대하여, 
특히, 가 단일 연결 열린집합이라면, 가 정칙 함수인 것과 경로 적분이 경로에 의존하지 않는 것은 동치이다.

증명 
코시 적분 정리에 의하여, 후자가 전자를 함의하는 것을 보이는 것으로 족하다.

임의의 를 취하자. 그렇다면, 가 어떤 볼록 열린 근방 에서 정칙 함수임을 보이는 것으로 족하다. (는 볼록 집합이므로 단일 연결 집합이다.)

함수 를

와 같이 정의하자. 여기서 는 와  사이의 닫힌 선분이다. 그렇다면, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 임의의 에 대하여, 이다. 따라서 는 에서 정칙 함수이며, 그 도함수  역시 에서 정칙 함수이다.

따름정리 
모레라 정리는 일부 함수들이 정칙 함수라는 것을 증명하는 데 사용된다.

콤팩트 수렴 정칙 함수열의 극한의 정칙성 
연결 열린집합 에 정의된 정칙 함수열 가 함수 로 콤팩트 수렴한다고 하자. 그렇다면,  역시 정칙 함수이다.

임의의 를 취하고, 를 취하자. 그렇다면, 이며, 이는 콤팩트 집합이므로, 은 에서 로 균등 수렴한다. 따라서, 는 에서 연속 함수이며, 임의의 조각마다  닫힌 곡선 에 대하여, 

이다. 모든 삼각형은 조각마다  닫힌 곡선이므로, 모레라 정리에 의하여, 는 에서 정칙 함수이다.

리만 제타 함수의 정칙성 
리만 제타 함수 는

에서 다음과 같이 정의된다.

이 급수는 바이어슈트라스 M-판정법에 따라 에서 콤팩트 수렴하며, 각 는 정칙 함수이므로, 임의의 조각마다  곡선 에 대하여,

이다. 모레라 정리에 의하여, 는 에서 정칙 함수이다.

감마 함수의 정칙성 
감마 함수 는

에서 다음과 같이 정의된다.

각 는 정칙 함수이다. 따라서, 푸비니 정리에 의하여, 임의의 조각마다  곡선 에 대하여,

이다. 모레라 정리에 의하여, 는 에서 정칙 함수이다.

각주

외부 링크 
 
 

복소해석학 정리