직교행렬

선형대수학에서 직교 행렬(直交行列, orthogonal matrix)은 행벡터와 열벡터가 유클리드 공간의 정규 직교 기저를 이루는 실수 행렬이다.

정의 
실수  행렬 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 직교 행렬이라고 한다.
 . 즉, 의 전치 행렬은 의 역행렬이다.
 의 열벡터들은 의 정규 직교 기저를 이룬다.
 의 행벡터들은 의 정규 직교 기저를 이룬다.
 의 모든 정규 직교 기저 에 대하여, 은 의 정규 직교 기저다.
 의 어떤 정규 직교 기저 에 대하여, 은 의 정규 직교 기저다.
 임의의 벡터 에 대하여, 
 임의의 벡터 에 대하여,

성질 
모든 직교 행렬은 가역 행렬이며, 직교 행렬의 곱은 항상 직교 행렬이므로,  직교 행렬의 집합은 직교군 이라는 군을 이룬다. 행렬식이 1인 직교 행렬의 집합은 특수직교군 이라는 부분군을 이룬다.

예 
실수  직교 행렬은 다음과 같은 꼴과 동치이다.

실수  직교 행렬은 다음과 같은 꼴과 동치이다.

같이 보기 
 유니터리 행렬
 특잇값 분해
 QR 분해

행렬