편각 원리

복소해석학에서 편각 원리(偏角原理, )는 유리형 함수의 로그 도함수의 닫힌곡선을 따른 경로 적분과 경로 내부에 포함된 영점과 극점 사이의 관계를 제시하는 정리이다.

정의 
연결 열린집합  속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 가 주어졌고, 유리형 함수 가  위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면 편각 원리에 따르면 다음이 성립한다.

여기서 는 의 내부에 포함된 점들에 대한 합이며, 는

을 만족시키는 정수이다. 즉, 만약 이 영점이라면 영점의 차수이며, 이 극점이라면 극점의 차수의 −1배이며, 영점이나 극점이 아니라면 이다. 유리형 함수의 영점 또는 극점은 고립점이므로, 는 에서 유한 개의 영점 또는 극점을 가지며, 따라서 이 합은 유한하다.

증명 
우선, 는 에서 영점이나 극점을 갖지 않으므로,  위의 경로 적분이 존재한다. 임의의  내부의 점 에 대하여, 다음과 같은 유리형 함수 를 정의하자.

그렇다면, 의 정의에 의하여, 는 어떤 열린 근방 에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 따라서 는 에서 극점을 갖지 않는다. 이제 을 취하자. 그렇다면 코시 적분 정리에 의하여

이며, 따라서 유수 정리에 의하여

이다.

일반화 
연결 열린집합  속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 가 주어졌고, 유리형 함수 가  위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 임의의 정칙 함수 에 대하여,

이다. 이 정리에서

를 취하면 편각 원리를 얻으며, 어떤 에 대하여

를 취하면 코시 적분 공식을 얻는다. 이 정리는 아벨-플라나 공식을 증명하는 데 쓰인다.

역사 
프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.

같이 보기 
 루셰 정리

각주

외부 링크 
 
 
 

복소해석학 정리