바이첸뵈크 부등식

기하학에서 바이첸뵈크 부등식()은 삼각형의 세 변의 길이의 제곱의 합과 넓이 사이에 성립하는 부등식이다.

정의 
삼각형 의 꼭짓점 , , 의 대변의 길이를 , , 라고 하고, 넓이를 라고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 이를 바이첸뵈크 부등식이라고 한다.

등호가 성립될 필요 충분 조건은 정삼각형이다.

사실

는 삼각형 의 브로카르 각의 코탄젠트 값과 같다. 따라서 바이첸뵈크 부등식은 모든 삼각형의 브로카르 각이  이하이며, 정확히 일 필요 충분 조건은 정삼각형이라는 명제와 동치이다.

증명

증명 1 
헤론의 공식

에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.

마지막 부등식에서 등식이 성립할 필요 충분 조건은 이므로, 바이첸뵈르크 부등식에서 등식이 성립할 필요 충분 조건은 정삼각형이다.

증명 2 
편의상 라고 하자. 꼭짓점 를 지나는 대변 의 수선의 발을 라고 하자. 그렇다면 피타고라스 정리에 따라

등식이 성립할 필요 충분 조건은

이며, 이는 정삼각형과 동치이다.

역사 
오스트리아의 수학자 롤란트 바이첸뵈크()의 이름을 땄다.

각주

같이 보기 
 하트비거-핀슬러 부등식

외부 링크 
 

삼각 기하학
기하부등식