항등 정리

복소해석학에서 항등 정리(恒等定理, )는 연결 열린집합 위의 정칙 함수가 정의역에서 극한점을 갖는 부분 집합만으로 결정된다는 정리이다.

정의 
연결 열린집합 에 정의된 두 정칙 함수 가 주어졌고, 집합

가 에서 극한점을 갖는다고 하자. 항등 정리에 따르면, 임의의 에 대하여 이다.

특히, 연결 열린집합 에 정의된 정칙 함수 의 영점의 집합은  전체이거나, 에서 극한점을 갖지 않는다. 후자의 경우, 의 모든 영점은 영점 집합의 고립점이며, 특히 영점 집합은 가산 집합이다.

증명 
연결 열린집합 에 정의된 정칙 함수 의 영점의 집합이 에 속하는 극한점 를 갖는다고 하자. 또한,

라고 하자. 그렇다면 임을 보이는 것으로 족하다.

우선 임을 보이자. 를 보이는 것으로 족하다. 귀류법을 사용하여 라고 하자. 그렇다면

이 정의된다. 는 연속 함수이므로, 이며, 따라서 이다. 인 을 고정하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

이다. 즉, 정칙 함수 를

와 같이 정의할 경우,

이고, 임의의 에 대하여

이다. 따라서 을 충분히 작게 다시 정의할 경우 가 에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우 는 에서 영점을 갖지 않는다. 이는 이 의 극한점인 데 모순이다.

이제 가 열린집합임을 보이자. 임의의 를 고정하고, 인 을 고정하자. 그렇다면, 는 에서 정칙 함수이므로, 임의의 에 대하여

이다. 즉, 이며, 따라서 은 의 내부점이다.

마지막으로 가 의 닫힌집합이라는 사실을 보이자. 임의의 를 고정하자. (여기서 는 에서의 극한점의 집합이다.) 그렇다면, 임의의 에 대하여, 이 연속 함수이므로 이다. 즉, 이다.

즉, 는 의 열린닫힌집합이며, 이다. 는 연결 집합이므로, 이다. 특히, 임의의 에 대하여, 이다.

예 
항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아닐 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 열린집합 가 두 연결 성분 를 가질 때, 함수

는 정칙 함수이며, 영점 집합 는 정의역  전체가 아니지만, 는 에서 의 모든 원소를 극한점으로 갖는다.

항등 정리는 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 가능성을 배제하지 않는다. 예를 들어, 정칙 함수

의 영점 집합

은 을 극한점으로 한다.

항등 정리는 실수 매끄러운 함수에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수

는 매끄러운 함수이나, 영점 0은 영점 집합

의 극한점이다.

같이 보기 
 반사 원리
 해석적 연속

각주

참고 문헌 
 

복소해석학 정리