라그랑주 정리 (군론)

군론에서 라그랑주 정리()는 유한군의 부분군의 크기가 원래 군의 크기의 약수라는 정리다.

정의 
임의의 군  및 부분군 가 주어졌다고 하자. 라그랑주 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

여기서 는 의 왼쪽 잉여류들의 집합의 크기이며 (이는 오른쪽 잉여류들의 집합의 크기와 같다), 와  사이의 곱셈은 기수의 곱셈이다. 특히, 가 유한군일 경우, 는 의 약수이다.

보다 일반적으로, 군 의 부분군 과 이에 대한 부분군 에 대하여, 다음이 성립한다.

라그랑주 정리는 (가 무한군일 수 있는 경우) 선택 공리와 동치이다. 물론, 유한군의 경우 이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

증명 
우선, 임의의 에 대하여, 이다. 이는 함수

가 전단사 함수이기 때문이다.

또한 의 왼쪽 잉여류들의 집합 는 의 분할을 이룬다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 인 가 존재한다.

인 를 취하면

이다. 이에 따라, 는  속 서로 다른 왼쪽 잉여류들의 분리 합집합이다.

선택 공리에 의하여, 임의의 왼쪽 잉여류 에 대하여, 인 군의 원소 를 취하는 함수 가 존재하며, 이 경우 임의의 에 대하여 이다. (가 유한군일 경우 이러한 함수의 존재는 수학적 귀납법에 의하여 증명할 수 있으므로 선택 공리가 필요하지 않다.) 따라서,

가 성립한다.

만약 가 유한군이라면, 위 등식의 , , 는 모두 양의 정수이므로, 는 의 약수가 된다.

따름정리 
유한군 의 임의의 원소 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 의 위수 는 의 약수이다. 이는 가 순환 부분군 의 크기이기 때문이다. 특히, 항상 가 성립한다. 여기서 는 의 항등원이다. 이를 이용하면 페르마 소정리나 오일러 정리를 쉽게 도출해낼 수 있는데, 임의의 양의 정수 에 대하여, 과 서로소인 정수의 합동류들은 곱셈에 대하여 군이 되고, 이 군의 크기가 오일러 피 함수 에 대하여 이 되기 때문이다.

소수 크기의 군은 순환군이자 단순군이다. 즉, 유한군 에 대하여, 가 소수라고 하자. 그렇다면 인 를 취할 수 있으며, 이므로 이거나 이다. 그러나 이므로 이므로 이며, 즉 는 로 생성된 순환군이다. 마찬가지로, 임의의 부분군 에 대하여, 이거나 이며, 만약 이라면 , 만약 라면 이다. 즉, 는 자명 부분군이나 자기 자신이 아닌 부분군을 갖지 않으며, 특히 는 단순군이다.

역의 반례 
유한군 와 양의 정수 가 주어졌고, 가 의 약수라고 할 때, 크기가 인 의 부분군이 존재할 필요는 없다. 예를 들어, 4차 교대군 의 크기는 12이며, 6은 12의 약수이지만, 는 크기가 6인 부분군을 갖지 않는다. 그러나, 쉴로브 정리에 따르면, 가 소수의 거듭제곱일 경우 크기가 인 의 부분군은 항상 존재한다.

역사 
라그랑주는 이 정리를 1771년 논문인 《방정식의 대수적 해법에 관한 고찰(Réflexions sur la résolution algébrique des équations)》에서 언급하였으나 증명은 하지 않았다. 이 정리가 최초로 완전하게 증명된 것은 이탈리아 수학자 피에트로 아바티 마레스코티(Pietro Abbati Marescotti)의 1803년 출판된 글에서였다. 이 정리는 이후에 코시 정리가 탄생하는 데 영감을 주기도 하였다.

각주

외부 링크 
 
 

군론 정리
유한군