산란 행렬

산란 이론에서 산란 행렬(散亂行列, ) 또는 S행렬이란 산란 과정을 겪는 소립자 또는 계의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 유니터리 행렬이다. 기호는 S. 이를 이용하여 산란 단면적이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다. 양자장론에서는 산란 행렬을 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 복소수 힐베르트 공간 
 자기 수반 작용소 , . 이를 자유 해밀토니언()이라고 하자.
 자기 수반 작용소 , . 이를 상호 작용 해밀토니언()이라고 하자.
복소수 힐베르트 공간 위의 임의의 자기 수반 작용소 에 대하여, 그 스펙트럼의 분해를 통해 를

로 분해할 수 있다. 여기서
 는 완전 연속 스펙트럼()에 대응한다.
 는 특이 연속 스펙트럼()에 대응한다.
 는 순수 점 스펙트럼()에 대응한다.
마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한 사영 작용소

를 정의할 수 있다.

또한, 자기 수반 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학()을 통해, 는 유계 함수이므로, 임의의 에 대하여 유니터리 작용소

를 정의할 수 있다.

이제, 와 에 대한 파동 연산자(波動演算子, )는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.

여기서 극한은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약 의 치역이 라면 파동 연산자를 완비 파동 연산자(完備波動演算子, )라고 하며, 이는 와  사이의 복소수 힐베르트 공간 동형 사상(전단사 유니터리 작용소)을 정의한다.

와 에 대한 산란 연산자(散亂演算子, ) 또는 산란 행렬은 다음과 같다.

만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 전단사 유니터리 변환

를 정의한다.

간혹 T 연산자를

로 정의한다. 즉, 에 제한하면, 이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.

성질 
파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.

위그너 정리에 따라, 만약 가 둘 다 완비라면,

는  유니터리 작용소이다.

존재 조건 
르베그 공간  위의 다음과 같은 두 자기 수반 작용소를 생각해보자.

여기서 는 어떤 실수이며, 는 라플라스 연산자이다.

위와 같은 경우, 다음 조건 아래 완비 과거·미래 파동 연산자 및 산란 연산자가 존재한다.
 
 이며, 

반면, 예를 들어 , 일 때는 파동 연산자가 존재하지 않는다.

응용 
하이젠베르크 묘사를 쓰자. 민코프스키 공간에서 질량 간극을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 포크 공간을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간 와 나중 상태의 포크 공간 를 다음과 같이 적을 수 있다.

이들은 자유 해밀토니언 의 고유 벡터 기저를 정의한다.

따라서 산란 연산자 는 다음과 같이 표현된다.
.

양자장론에서는 산란 연산자를 보통 상관함수를 통한, LSZ 축약 공식이라는 점근적 급수로 나타낼 수 있다. 상관함수는 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

또한, 양자장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다.
  (진공에서의 항등성)
  (단입자 상태에서의 항등성)
이는 물론 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다.

역사 
산란 행렬의 개념은 1937년에 존 휠러가 도입하였다.

참고 문헌

같이 보기 
 파인먼 도형
 LSZ 축약 공식
 윅의 정리
 S행렬이론

수리물리학
양자역학
양자장론
함수해석학
산란 이론