라그랑주 승수법

라그랑주 승수법(Lagrange乘數法, )은 제약이 있는 최적화 문제를 푸는 방법이다. 최적화하려 하는 값에 형식적인 라그랑주 승수(Lagrange乘數, ) 항을 더하여, 제약된 문제를 제약이 없는 문제로 바꾼다. 조제프루이 라그랑주가 도입하였다. 수학, 라그랑주 역학, 경제학, 운용 과학 등에 쓰인다.

정의 
연속미분가능함수 와 를 생각하자. 인 제약 아래 를 최적화하는 문제를 생각하자. 이 문제는 라그랑주 승수법을 써 다음과 같이 풀 수 있다. 다음과 같은 함수 을 정의하자.

의 정류점()은 오일러-라그랑주 방정식을 통하여 찾을 수 있다. 그렇다면, 다음을 보일 수 있다.
 만약 가 의 정류점이라면, 는 으로 제약한 의 정류점이다.
 만약 가 으로 제약한 의 정류점이라면, 가 의 정류점인 가 존재한다..
여기서 보조변수 를 라그랑주 승수()라고 한다.

최적화 이론에서는 (국소적) 극점()을 찾는다. 극점은 정류점의 부분집합이므로, 정류점을 모두 찾아 극점인지 확인하면 된다. 반면, 라그랑주 역학에는 단순히 정류점만을 찾으면 되므로 이는 필요없다.

같이 보기 
 오일러-라그랑주 방정식
 제약된 극값 정리
 카루시-쿤-터커 조건

참고 문헌 
 Conceptual introduction (plus a brief discussion of Lagrange multipliers in the calculus of variations as used in physics)
 Lagrange Multipliers for Quadratic Forms With Linear Constraints by Kenneth H. Carpenter
For additional text and interactive applets
 Simple explanation with an example of governments using taxes as Lagrange multipliers
 Applet
 Tutorial and applet
 Video Lecture of Lagrange Multipliers
 MIT Video Lecture on Lagrange Multipliers
 Slides accompanying Bertsekas's nonlinear optimization text, with details on Lagrange multipliers (lectures 11 and 12)
 http://eom.springer.de/L/l057190.htm

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