아이젠슈타인 판정법

대수학에서 아이젠슈타인 판정법(-判定法, )은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분조건을 제시하는 정리이다. 고트홀트 아이젠슈타인의 이름을 땄다.

정의 
유일 인수 분해 정역 에서 계수를 취하는 차 다항식

가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 기약원 가 존재한다고 하자.

아이젠슈타인 판정법에 따르면, 는 분수체 의 다항식환  속에서 기약 다항식이다. 즉, 는 더 낮은 차수의 두  계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 가 원시 다항식이라면, 는 에서 기약 다항식이다.

보다 일반적으로, 정역 에서 계수를 취하는 차 다항식

가 주어졌고, 다음을 만족시키는 소 아이디얼 가 존재한다고 하자.

그렇다면, 는 더 낮은 차수의 두  계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 의 계수의 공약수가 가역원밖에 없다면, 는 에서 기약 다항식이다.

증명 
귀류법을 사용하여, 가 의 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면, 인 차 다항식

가 존재한다.

이며, 는 소원이므로, 이거나 이다. 편의상 이라고 하자. 그렇다면 이므로 이다. 이제,

이므로 이며,

인 를 취할 수 있다. 따라서

이며, 이므로 이는 모순이다.

예 
아이젠슈타인 판정법에 따라, 정수 계수 다항식 는 기약 다항식이다. 보다 일반적으로, 임의의  및 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 에 대하여, 는 기약 다항식이다. 이에 따라, 유리수체 의 다항식환 는 실수체나 복소수체와 달리 임의 차수의 기약 다항식을 가진다. 또한, 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 의 거듭제곱근  ()는 항상 무리수이다.

소수 번째 원분 다항식 
소수 에 대하여,

의 기약성은 아이젠슈타인 판정법으로 직접 판단할 수 없다. 하지만 의 기약성은

의 기약성과 동치이며,

이므로 (이는 분모는 의 배수이고 분자는 아니기 때문이다), 아이젠슈타인 판정법에 따라 는 기약 다항식이다. 따라서  역시 기약 다항식이다. 이는 번째 원분 다항식과 같다.

유리 함수체 위의 다항식 
아이젠슈타인 판정법에 따라, 초월 단순 확대  속 다항식

는 기약 다항식이다. 이는 가 유일 인수 분해 정역이며, 가 그 기약원이기 때문이다.

같이 보기 
 콘의 기약성 기준
 힐베르트의 기약성 정리

각주

참고 문헌 
 John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003.

외부 링크 
 
 

대수학 정리
다항식