하이네-보렐 정리

일반위상수학에서 하이네-보렐 정리()는 균등 공간이 콤팩트 공간일 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

정의 
하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 콤팩트 공간이다.
 완비 균등 공간이며, 완전 유계 공간이다.

특히, 가 유클리드 공간의 부분 집합이라고 하자. 그렇다면, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 완전 유계 공간이다.
 유계 집합이다.
마찬가지로, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 완비 균등 공간이다.
 닫힌집합이다.
따라서, 의 경우 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 콤팩트 공간이다.
 유계 집합이며 닫힌집합이다.

예 
 위의 이산 거리 공간을 생각하자. 그 속의 부분 집합 은 유계 닫힌집합이며 완비 거리 공간이지만 완전 유계 공간이 아니며, 따라서 콤팩트 집합이 아니다.

역사 
에두아르트 하이네와 에밀 보렐의 이름을 땄다.

참고 문헌 

 
 
 

실해석학 정리
일반위상수학
위상수학 정리