극대 아이디얼

환론에서 극대 아이디얼(極大ideal, )은 환 전체가 아닌 아이디얼들의 극대 원소이다.

정의

극대 부분 가군 
환  위의 왼쪽 가군 의 부분 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 가군을 극대 부분 가군(極大部分加群, )이라고 한다.
 이며, 의 임의의 부분 가군 에 대하여, 만약 이라면 이거나 이다. 즉, 은 부분 순서 집합 의 극대 원소이다. (여기서 은 의 진부분 가군들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합이다.)
 몫가군 은 단순 가군이다. (이 정의에서, 영가군은 단순 가군이 아니다.)
마찬가지로, 오른쪽 가군의 부분 가군에 대해서도 극대 부분 가군의 개념을 정의할 수 있다. 가군 의 극대 부분 가군들의 집합을 이라고 표기하자.

주어진 가군에서, 모든 극대 부분 가군들의 교집합을 그 근기라고 한다.

극대 아이디얼 
환 가 주어졌을 때, 1차 자유 왼쪽 가군 의 부분 가군은 왼쪽 아이디얼이며, 의 극대 부분 가군을 극대 왼쪽 아이디얼()이라고 한다. 즉, 왼쪽 아이디얼 이 극대 왼쪽 아이디얼이라는 것은, 만약 의 임의의 왼쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 라면 이거나 이라는 것이다. 마찬가지로 극대 오른쪽 아이디얼()은 1차 자유 오른쪽 가군 의 극대 부분 가군이다.

극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재하는 환을 국소환이라 한다.

가환환 의 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이러한 아이디얼을 극대 아이디얼이라고 한다.
 극대 왼쪽 아이디얼이다.
 극대 오른쪽 아이디얼이다.
 은 체이다.
 환의 스펙트럼 의 자리스키 위상에서, 은 닫힌 집합이다.
즉, 는 닫힌 점들로 구성된 부분 공간이다. 극대 아이디얼에 대한 몫환으로 얻어지는 체를 잉여류체라고 한다. 단, 비가환환의 경우 극대 아이디얼에 대한 몫환은 나눗셈환이 아닐 수 있다.

성질 
가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼  ∪  으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼
특히, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 소 주 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

존재 
크룰 정리()에 따르면, 환  위의, 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군 은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 즉, 은 공집합이 아니다.
증명:
초른 보조정리를 사용하자. 그렇다면, 공집합이 아닌 임의의 전순서 집합 에 대하여,

를 정의하였을 때, 다음 두 명제를 증명하면 족하다.
 는 -부분 가군이다. 즉, 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
 증명: 임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  및 이 되는 를 찾을 수 있다. 그렇다면 이므로 이다.
 이다.
 증명: 이 유한 생성 왼쪽 가군이므로, 이 되는 을 찾을 수 있다. 귀류법을 사용하자. 만약 이라면, 가 되는 를 찾을 수 있는데, 이 경우 이 되며, 이는 모순이다.
또한, 환  위의, 영가군이 아닌 사영 왼쪽 가군 은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 보다 일반적으로, 사영 덮개를 갖는 왼쪽 가군은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. (이는 왼쪽 가군 은 그 사영 덮개 의 잉여적 부분 가군 에 대한 몫가군 이며, 모든 잉여적 부분 가군은 항상 모든 극대 부분 가군에 포함되기 때문이다.)

특히, 자유 왼쪽 가군 는 사영 왼쪽 가군이자 유한 생성 왼쪽 가군이며, 가 자명환이 아니라면 영가군이 아니다. 따라서, 는 항상 하나 아싱의 극대 왼쪽 아이디얼을 갖는다.

(위 정리들은 오른쪽 가군/아이디얼에 대해서도 물론 성립한다.)

크룰 정리는 유한 생성 가군이 아닌 가군에 대하여 실패할 수 있다.

환 의 모든 왼쪽 가군 이 하나 이상의 극대 부분 가군을 가질 충분조건들은 다음을 들 수 있다.
 모든 단순 왼쪽 가군의 단사 껍질은 뇌터 가군이다.
 의 모든 왼쪽 가군은 사영 덮개를 갖는다. (특히, 왼쪽 아르틴 환에 대하여 이 조건이 성립한다.)

예 
정수환 의 극대 아이디얼들은 소수 에 대한 주 아이디얼 이다.

체의 극대 아이디얼은 영 아이디얼 밖에 없다.

힐베르트 영점 정리에 따르면, 대수적으로 닫힌 체  위의 유한 차원 다항식환 의 극대 아이디얼은 다음과 같은 꼴의 아이디얼이다.

극대 부분 가군을 갖지 않는 가군 
정수환  위의 가군  (유리수의 덧셈 아벨 군)을 생각하자. 그렇다면, 이는 극대 부분 가군을 갖지 않는다.

역사 
크룰 정리는 볼프강 크룰이 1929년에 초한 귀납법을 사용하여 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

아이디얼
가군론