오일러의 연분수 공식

오일러의 연분수 공식(-連分數 公式, Euler's continued fraction formula)은 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 해석학의 공식이다. 기본적으로 어떠한 급수를 연분수로 전개하는 방법을 정리한 것이다. 이 공식을 이용하여 멱급수로 전개 가능한 함수를 연분수 꼴로 표현하는 것도 가능하다.

공식화 
유한 복소수항 급수에 대해 오일러의 연분수 공식은 다음과 같다. 이 형태는 오일러가 입안한 초기의 형태이다.

이것은 단순히 자연수에 대한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있는 항등식이다. 이러한 공식은 무한 항까지 자연스럽게 확장될 수 있는데, 만약 좌변이 수렴하는 무한급수라면 우변도 역시 수렴하는 무한 연분수가 된다.

현대적인 형태 
만약

이 복소 연분수이고 어느 bi 도 0이 아니라면, 그 비의 열 {ri}은 다음과 같이 정의할 수 있다.

그러면 다음 두 등식은 귀납법에 의해 증명할 수 있다.

응용

지수 함수의 연분수 표현 
복소 지수 함수는 전해석 함수이고, 테일러 급수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

그러므로 다음과 같이 즉시 오일러의 연분수 공식을 적용할 수 있다.

또는 이를 조금 보기 좋게 쓰면 다음과 같다.

π의 연분수 표현 
오일러의 연분수 공식을 응용하여 유명한 초월수인 상수 π를 연분수 꼴로 쓸 수 있다. 먼저 |z|<1에 대하여 테일러 급수를 이용하면 다음 식을 얻는다.

그러므로 오일러의 연분수 공식을 적용하면 이 함수의 연분수 표현은 이렇게 된다.

그런데 이 함수는 z = i에서 값이 존재하고, 실제로 이렇게 된다.

또 여기서 급수 표현이 수렴하므로 아벨 극한 정리에 의해 급수 표현과 이 값은 같고, π를 남기고 연분수로 표현하여 이항하면 바로 π의 연분수 표현을 얻는다.

각주

참고 문헌 
 H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company .

해석학 (수학)
연분수
수론 정리
해석학 정리
레온하르트 오일러