코시 부등식

복소해석학에서 코시 부등식(-不等式, ) 또는 코시 추정(-推定, )은 정칙 함수의 테일러 급수 계수의 상계를 제시하는 부등식이다.

정의 
연결 열린집합 에 정의된 정칙 함수 가 주어졌다고 하자. 코시 부등식에 따르면, 임의의 음이 아닌 정수  및  및 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서

이다.

증명 
코시 부등식은 코시 적분 공식으로부터 다음과 같이 간단히 유도된다.

따름정리

콤팩트 집합 위의 부등식 
연결 열린집합 에 정의된 정칙 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수  및 콤팩트 집합  및 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서

이다.

이는 코시 부등식에 의하여, 임의의 에 대하여

이므로,

이기 때문이다.

콤팩트 수렴 정칙 함수열의 성질 
연결 열린 집합 에 정의된 정칙 함수열 가 함수 로 콤팩트 수렴한다고 하자. (이 경우 는 정칙 함수이다.) 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 에 대하여,  역시 로 콤팩트 수렴한다.

임의의 콤팩트 집합 를 취하자. 그렇다면,

역시 콤팩트 집합이므로, 은 에서 로 균등 수렴한다. 또한, 코시 부등식에 의하여, 임의의 에 대하여,

이다. 따라서, 는 에서 로 균등 수렴한다.

리우빌 정리 
리우빌 정리에 따르면, 모든 유계 전해석 함수는 상수 함수이다.

유계 전해석 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 코시 부등식에 의하여, 임의의  및 에 대하여,

이므로,

이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이며, 따라서 는 상수 함수이다.

역사 
프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.

각주

참고 문헌 
 강승필, 『해설 복소함수론』, 경문사, 2007

외부 링크 
 

복소해석학 정리
부등식
오귀스탱 루이 코시