중국인의 나머지 정리

수론과 환론에서 중국인의 나머지 정리(中國人-定理, )는 서로소 아이디얼들에 대한 몫환들의 곱에 대한 정리이다. 즉, 수론적 용어로 쓰면, 어떤 서로소 자연수들에 대한 연립 합동식의 해의 유일한 존재에 대한 정리이다.

정의

일반적 가환환에 대한 경우 
어떤 환  속의 두 아이디얼 가 를 만족시키면, 이 두 아이디얼을 서로소()라고 한다.

가 (곱셈 단위원을 갖는) 가환환이라고 하고, 가 서로소 아이디얼들이라고 하자. 또한, 이 아이디얼들의 곱을

라고 놓자. 그렇다면 다음이 성립한다.

여기서, 환 동형사상은 구체적으로 다음과 같다.

정수환에 대한 경우 
일반적 가환환에 대한 중국인의 나머지 정리를 정수의 환 에 대하여 적용하여, 정수론적인 용어로 쓰면 다음과 같다. 이 경우, 아이디얼은 자연수(음이 아닌 정수)로, 서로소 아이디얼은 서로소 자연수로 번역할 수 있다.

서로소인 음이 아닌 정수 가 주어졌다고 하고,

로 놓자. 그렇다면, 임의의 합동류들의 -튜플

가 주어졌을 때, 다음과 같은 연립 합동 방정식의 해 이 항상 유일하게 존재한다.

이에 따라서, 다음과 같은 환 동형사상이 존재한다.

증명 
여기서는 환이 정수환 인 경우만 증명한다. 각 에 대해, 와 는 서로소이기 때문에, 인 정수 가 존재한다. 여기에서 라고 놓으면,

 ()
가 성립한다.

여기에서 로 놓으면, 임의의 에 대해 가 성립한다. 즉, 가 바로 구하는 해 중의 하나이다.

이제  속에서의 유일성을 증명하기 위해, 두 해 가 존재한다고 가정하자. 그러면 이므로 는 모든 의 배수이고, 따라서 는 의 배수이다. 즉, 이므로,  속에서는 항상 유일한 해가 존재한다.

역사 
이 정리는 원래 5세기 남북조 시대의 중국 수학서 《손자산경》(孫子算經)에 최초로 등장하였다. 《손자산경》 하권(下卷) 문제 26번은 다음과 같다.

즉, 이는 다음과 같은 연립 합동 방정식에 관한 문제이다.

이 경우, 풀이에 따라

이다. 풀이에서 사용된 수는

이므로, 각 합동식에서 나머지를 하나하나씩 맞추어 가는 알고리즘이다.

이후 이러한 연립 합동 방정식의 문제의 해법은 1247년 남송의 수학자 진구소(秦九韶)가 저술한 《수서구장》(數書九章)에서 더 일반화되었다.

참고 문헌

같이 보기 
 일본인의 정리

외부 링크 
 
 

수론 정리
가환대수학
중국 수학
모듈러 산술