전해석 함수

복소해석학에서 전해석 함수(, ) 또는 정함수(, )란 복소평면의 모든 점에서 해석적인 복소함수를 말한다. 전해석함수는 다항함수(polynomial)와 초월 전해석 함수(다항함수가 아닌 전해석 함수, transcendental entire function)로 구분할 수 있다.

정의 
함수  가 복소 평면  위의 모든 점에서 해석적이면 를 전해석 함수라고 한다. 그러므로 전해석 함수는 복소 평면 위의 모든 점에서 무한번 미분가능한 함수이고, 테일러 급수로 나타낼 수 있으며, 코시-리만 방정식을 만족하는 복소 함수이다.

전해석 함수를 급수로 나타냈을 때 유한 급수인 것이 다항 함수이고, 무한 급수로 나타나는 것이 초월 전해석 함수이다.

성질

리우빌 정리 

리우빌 정리에 따르면, 유계 함수인 전해석 함수는 상수 함수뿐이다. 유계(bounded)는 전해석함수의 중요한 특성을 나타내고 있다. 이 정리에 따라 상수함수가 아닌 전해석함수는 반드시 무한점, 를 특이점(singular point)으로 갖는다. 무한 특이점은 극점 또는 본질적 특이점(essential singularity)이며, 무한 특이점에서 극(극점)을 갖는 전해석 함수는 다항함수이고, 본질적 특이점을 갖는 함수는 초월 전해석 함수이다.

피카르의 정리 

피카르의 소정리에 따르면, 상수 함수가 아닌 전해석 함수는 하나 이하의 값을 제외한 모든 복소수 를 함수값으로 취한다. 그렇지 않은 값이 있다면 그 수는 하나뿐이다. 즉  가 상수 함수가 아닌 전해석 함수이면 모든 복소수 에 대해  인 점 가 존재하며 그렇지 않은 점 는 기껏해야 하나뿐이라는 것이다. 예를 들어 는  인 경우를 제외하고 항상 해를 갖는다. 피카르의 소정리는 리우빌 정리보다 수학적으로 강한 의미를 갖는다.

예 
는 다항함수이고,  은 초월 전해석 함수이다. 둘 다 전해석 함수를 이룬다.

외부 링크 
 

복소해석학
해석 함수