페르마 두 제곱수 정리

수론에서 페르마 두 제곱수 정리(-數定理, )는 홀수 소수가 두 개의 제곱수의 합일 필요 충분 조건이 4에 대한 나머지가 1이라는 것이라는 정리이다.

정의 
홀수 소수 가 주어졌다고 하자. 페르마 두 제곱수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 정수 가 존재한다.
 

사실, 4에 대한 나머지가 1인 소수는 무한히 많이 존재하며, 이에 대한 두 제곱수로의 표현은 (더하는 순서를 무시하면) 유일하다. 작은 소수의 경우는 다음과 같다.

증명 
전자가 후자를 함의하는 것은 자명하다. 이는 제곱수의 4에 대한 나머지는 0이거나 1이므로, 두 제곱수의 합의 4에 대한 나머지는 0, 1, 2이기 때문이다. 반대 방향에 대한 몇 가지 증명은 아래와 같다.

오일러의 증명 
처음 출판된 증명은 레온하르트 오일러가 제시하였다. 이 증명은 무한 강하법을 사용하며, 이후에 제시된 증명들에 비하면 복잡하다. 이는 대략 다음과 같다.

우선, 다음과 같은 명제를 증명하자.
 어떤 두 제곱수의 합인 수 가 두 제곱수의 합인 소인수 를 갖는다면, 몫 은 두 제곱수의 합이다.
가정에 의하여, 다음이 성립한다.

즉, 이거나, 이다. 편의상 전자를 가정하자. 그렇다면, 브라마굽타-피보나치 항등식

에 의하여, 이므로, 두 수의 몫은 다음과 같이 두 제곱수의 합이다.

이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.
 어떤 두 제곱수의 합인 수 가 두 제곱수의 합이 아닌 약수 를 갖는다면, 몫 는 두 제곱수의 합이 아닌 약수를 갖는다.
귀류법을 사용하여, 의 모든 약수가 두 제곱수의 합이라고 하자. 그렇다면, 특히 의 한 소인수 는 두 제곱수의 합이며, 이전의 명제에 따라, 는 두 제곱수의 합이다. 이를 의 (중복도를 감안한) 모든 소인수에 대하여 반복하면, 가 두 제곱수의 합이라는 결론을 얻으며, 이는 모순이다.

이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.
 정수 가 이고, 이라고 하자. 그렇다면, 이고, 이며, 인 정수 가 존재한다.
다음과 같은 정수 을 취하자.

그렇다면, 이므로 이고, 또한

이다. 을 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 이다. 또한, 이므로, 이며, 이다. 따라서, 다음이 성립한다.

즉, 는 명제의 조건을 만족시킨다.

이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.
 정수 가 이라면, 의 모든 약수는 두 제곱수의 합이다.
귀류법을 사용하여, 가 두 제곱수의 합이 아니라고 가정하자. 이전의 명제에 따라, 다음을 만족시키는 정수 를 취하자.

그렇다면, 는 두 제곱수의 합이 아닌 약수 를 갖는다. 또한 이다. 이를 와 에 대하여 반복할 수 있다. 즉, 다음을 만족시키는 정수 를 취하자.

그렇다면, 는 두 제곱수의 합이 아닌 약수 를 가지며, 이다. 이와 같이 반복하면, 양의 정수의 순감소 무한 수열

를 얻으며, 이는 모순이다.

이제, 두 제곱수 정리를 증명하자. 소수 가 어떤 정수 에 대하여 라고 하자. 다음과 같은 정수 가 존재한다고 가정하자.

그렇다면, 페르마 소정리에 따라,

이다. 따라서

이며, 이전의 명제에 따라 는 두 제곱수의 합이다. 즉, 두 제곱수 정리를 증명하려면 위와 같은 를 찾으면 된다.

이를 위해, 수열

의 1계 유한 차분

을 생각하자. 귀류법을 사용하여, 1계 유한 차분의 모든 항이 를 약수로 가진다고 가정하자. 그렇다면, 2계 유한 차분의 모든 항 역시 를 약수로 가지며, 마찬가지로 3계, 4계, …, 계 유한 차분의 모든 항 역시 를 약수로 가진다. 그러나 수열 의 계 유한 차분은 모든 항이 이며, 는 의 약수가 아니다. 이는 모순이므로, 어떤 에 대하여

이 성립한다. 즉, 와 은 위와 같은 조건을 만족시킨다.

투에 보조정리를 통한 증명 
만약 라고 하자. 그렇다면, −1은 에 대한 제곱 잉여이므로,

인 정수 가 존재한다. 또한 이므로, 투에 보조정리에 따라,

를 만족시키는 정수 가 존재한다. 따라서,

이며, 이다. 또한, 이므로,

이다.

한 문장 증명 
유한 집합

위의 대합

는 유일한 고정점 를 가지므로, 는 홀수이다. 따라서 또 하나의 대합

역시 적어도 하나의 고정점 을 가지며, 이는

를 만족시킨다.

일반화

임의의 양의 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 정수 가 존재한다.
 은 4에 대한 나머지가 3인 홀수 중복도의 소인수를 가지지 않는다.
충분 조건은 어떤 두 제곱수의 합으로 표현되는 수의 곱도 두 제곱수의 합임을 이용하면 자명하다. 필요 조건의 증명에는 제곱 잉여의 이론을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

홀수 소수 에 대하여, 다음 두 조건 역시 서로 동치이다.
 인 정수 가 존재한다.

증명 
우선, 인 정수 가 존재한다고 가정하자. 그렇다면,

이므로, 어떤 정수 에 대하여

가 성립한다. 따라서,

이므로,

이다. 즉, −2는 에 대한 제곱 잉여이며, 이는

와 동치이다.

반대로,

라고 가정하자. 이는 −2가 에 대한 제곱 잉여인 것과 동치이므로, 어떤 정수 에 대하여

가 성립한다. 다음과 같은 집합을 생각하자.

여기서 는 에 대한 나머지를 구하는 함수이다. 이 집합의 원소는 많아야 개여야 하므로, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

사실, 다음과 같은 동치 관계에 따라, 이며 이다.

이제, 정수 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면,

이며,

이다. 즉, 다음을 만족시키는 정수 이 존재한다.

또한, 이므로, 이다. 만약 이라면, 는 어떤 제곱수와 다른 어떤 제곱수의 2배의 합이다. 만약 이라면, 이며,

이므로, 역시 어떤 제곱수와 다른 어떤 제곱수의 2배의 합이다.

양의 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 정수 가 존재한다.
 은 8에 대한 나머지가 5, 7인 홀수 중복도의 소인수를 가지지 않는다.

역사 
프랑스의 알베르 지라르가 1632년 처음 착상하고 역시 프랑스 수학자인 피에르 드 페르마가 1640년 마랭 메르센에게 보내는 편지에서 처음 증명을 제시하였으나 완전하지 못했다. 이 정리가 처음 증명된 것은 1749년 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 크리스티안 골트바흐에게 보내는 편지에서였다.

같이 보기 
 투에 보조정리
 라그랑주 네 제곱수 정리

각주

외부 링크 
 

수론 정리