정규 행렬

선형대수학에서 정규 행렬(正規行列, )은 스스로의 켤레 전치와 가환하는 정사각 행렬이다.

정의 
복소수  정사각 행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 정규 행렬이라고 한다.
  (는 켤레 전치).
 실수 행렬의 경우 이 조건은 과 동치이다 (은 전치 행렬).
 (유니터리 대각화 가능성) 가 대각 행렬이 되는 유니터리 행렬 이 존재한다.
 특히, 정규 행렬의 고유 공간들은 서로 직교한다.
 이 조건은 실수 행렬에서 직교 대각화 가능성으로 대체할 수 없다. (예를 들어, 0도 또는 180도가 아닌 회전 행렬은 실수 직교 행렬이며, 특히 정규 행렬이지만, 실수 고윳값을 가지지 않는다.)

성질

연산에 대한 닫힘 
정규 행렬  및 자연수  및 복소수 에 대하여, 과  역시 정규 행렬이다. 가역 정규 행렬 에 대하여,  역시 정규 행렬이다. 그러나 두 정규 행렬의 합과 곱은 정규 행렬일 필요가 없다.

충분 조건 
다음 복소수 정사각 행렬들은 모두 정규 행렬이다.
 에르미트 행렬
 반에르미트 행렬
 유니터리 행렬
 대각 행렬

복소수 정사각 행렬에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 상삼각 정규 행렬이다.
 하삼각 정규 행렬이다.
 대각 행렬이다.

유리 표준형 
복소수  정사각 행렬 이 정규 행렬이라면, 가 유리 표준형이 되는 유니터리 행렬 이 존재한다. 만약 추가로 의 모든 성분이 실수일 경우, 가 유리 표준형이 되는 실수 직교 행렬 가 존재한다.

같이 보기 
 정규 작용소

참고 문헌

외부 링크 
 
 

행렬