슈어 분해

선형대수학에서 슈어 분해(-分解, )는 임의의 복소수 정사각 행렬을 이와 유니터리 닮음인 상삼각 행렬로 나타내는 행렬 분해이다.

정의

슈어 분해 
임의의 복소수  행렬 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 의 (복소수) 슈어 분해((複素數)-分解, )라고 한다 (는 켤레 전치).

여기서
 는  유니터리 행렬이다.
 는 복소수  상삼각 행렬이다.
이 경우, 의 대각 성분들은 의 고윳값의 중복 집합을 이룬다. 만약 이 정규 행렬일 경우, 는 대각 행렬이 된다 (이는 상삼각 정규 행렬이 대각 행렬과 동치이기 때문이다).

실수 슈어 분해 
임의의 실수  행렬 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 의 실수 슈어 분해(實數-分解, )라고 한다 (은 전치 행렬).

여기서
 는 실수  직교 행렬이다.
 는 실수  블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은  행렬이거나, 한 쌍의 서로 다른 켤레 복소수를 고윳값으로 갖는  행렬이다.
이 경우, 의 고윳값은 의 대각 블록 성분의 고윳값이며, 실수 고윳값은 의  대각 성분이다. 만약 의 모든 고윳값이 실수일 경우, 는 상삼각 행렬이 된다. 만약 이 대칭 행렬일 경우, 는 대각 행렬이 된다.

일반화 슈어 분해 
임의의 두 복소수  행렬 , 은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 의 (복소수) 일반화 슈어 분해((複素數)一般化-分解, )라고 한다.

여기서
 와 는  유니터리 행렬이다.
 와 는 복소수  상삼각 행렬이다.
이 경우, 의 일반화 고윳값의 집합은 다음과 같다.

실수 일반화 슈어 분해 
임의의 두 복소수  행렬 , 은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 의 실수 일반화 슈어 분해(實數一般化-分解, )라고 한다.

여기서
 와 는 실수  직교 행렬이다.
 는 실수  블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은  또는  행렬이다.
 는 실수  상삼각 행렬이다.

역사 
유대계 독일인 수학자 이사이 슈어의 이름이 붙었다.

참고 문헌

외부 링크 
 

행렬 분해
행렬론