쌍곡 치환

미적분학에서 쌍곡 치환(雙曲置換, )은 쌍곡선 함수를 이용하는 치환 적분 기법의 하나이다.

정의 
쌍곡 치환은 삼각 치환과 마찬가지로 완전 제곱꼴의 이차식이 나오는 함수를 적분하는 데 사용되는 기법이다. 구체적으로, 유리 함수  및 이 주어졌을 때, 쌍곡 치환은 다음과 같다.

더 자세히는 다음과 같다.

예 
다음 예시는 쌍곡 치환 를 사용한다 ().
{|
|
|
| style="padding-left: 1em;" |(  )
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
| style="padding-left: 1em;" |(  )
|}

다음 예시는 쌍곡 치환 를 사용한다 ().
{|
|
|
| style="padding-left: 1em;" |(  )
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
| style="padding-left: 1em;" |(  )
|}

다음 예시는 쌍곡 치환 를 사용한다.
{|
|
|
| style="padding-left: 1em;" |(  )
|-
|
|
|-
|
|
| style="padding-left: 1em;" |(  )
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
| style="padding-left: 1em;" |(  )
|-
|
|
|}

첫째 및 둘째 예시는 쌍곡 치환이 더 간편하며, 셋째 예시는 삼각 치환이 더 간편하다.

응용 
쌍곡 치환은 다음과 같은 꼴의 적분에서도 사용된다.

여기서 은 정수이며, 은 음의 홀수이다. 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.

첫 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.

두 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.

일부 저서에서는 이를 건서 쌍곡 치환(-雙曲置換, )이라고 부른다. 이 방법은 찰스 건서()가 《삼각 및 허수 치환 적분》()이라는 교재에서 처음 공개하였다.

같이 보기 
 바이어슈트라스 치환#쌍곡선 함수의 경우
 삼각 치환

각주

외부 링크 
 

적분학