소수 계량 함수

소수 계량 함수(素數計量函數, )는 주어진 양의 실수 에 대해 그 값보다 작거나 같은 소수의 개수를 세는 함수이다. 보통 그리스 소문자 π를 이용해 π(x)로 표기하지만, 원주율 π와는 관계가 없다.

역사 
정수론에서 소수 개수의 증가 속도는 매우 중요한 관심 대상이다. 18세기 말 카를 프리드리히 가우스와 아드리앵마리 르장드르는 소수 계량 함수가 에 근접함을 추측했다. 즉,

라고 생각했고, 이는 소수 정리에 해당한다. 이와 동치로서 다음 극한이 있다.

여기서 li는 로그 적분 함수를 의미한다. 1859년 베른하르트 리만이 도입한 리만 제타 함수의 성질을 이용하여 1896년에 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생이 각각 독립적으로 소수 정리를 증명하였다.

명시적 공식 
소수 계량 함수는 다음과 같은 폰 망골트 명시적 공식()을 따른다. 이는 다른 L-함수들의 명시적 공식의 시초로 볼 수 있으며, 다음과 같다.

이는 베른하르트 리만이 1859년에 발표한 논문의 주 내용인데, 엄밀한 증명은 1895년에 와서야 수학자 폰 망골트에 의해서 이루어졌다.

폰 망골트는 이 공식을 증명하면서 밑의 (사실상 동치인) 공식도 증명하였는데, 이는 다음과 같다:

여기서
는 리만 제타 함수의 임계구역(critical strip)에 있는 영점들이다.

 합 는 절대수렴하지 않는다. 이 경우 합은 의 순으로 계산하여 수렴하게 만든다.
 위 공식은 x가 특정한 정수가 아니면서 1보다 큰 실수인 경우에 유효하다. 만약 가 특정한 정수 (상단의 공식의 경우 소수, 하단의 공식의 경우 소수 및 소수의 자연수 거듭제곱)인 경우, 해당 점에서의 좌변의 좌극한과 우극한의 평균값이 우변과 같게 된다.
상단의 공식의 경우, 맨 앞의 (n을 수열의 index로 하는) 시그마 부호에서 n은 무한대까지 더할 필요 없고 x의 n제곱근이 2보다 작아지기 직전까지만 더하면 된다.

π(x), x / ln x, 및 li(x)의 수치적 계산 결과 
다음 표는 세 함수를 직접 계산한 결과를 보여준다.
{| class="wikitable" style="text-align: right"
! x
! π(x)
! π(x) − x / ln x
! li(x) − π(x)
! x / π(x)
|-
| 10
| 4
| −0.3
| 2.2
| 2.500
|-
| 10<sup>2
| 25
| 3.3
| 5.1
| 4.000
|-
| 103
| 168
| 23
| 10
| 5.952
|-
| 104
| 1 229
| 143
| 17
| 8.137
|-
| 105
| 9 592
| 906
| 38
| 10.425
|-
| 106
| 78 498
| 6 116
| 130
| 12.740
|-
| 107
| 664 579
| 44 158
| 339
| 15.047
|-
| 108
| 5 761 455
| 332 774
| 754
| 17.357
|-
| 109
| 50 847 534
| 2 592 592
| 1 701
| 19.667
|-
| 1010
| 455 052 511
| 20 758 029
| 3 104
| 21.975
|-
| 1011
| 4 118 054 813
| 169 923 159
| 11 588
| 24.283
|-
| 1012
| 37 607 912 018
| 1 416 705 193
| 38 263
| 26.590
|-
| 1013
| 346 065 536 839
| 11 992 858 452
| 108 971
| 28.896
|-
| 1014
| 3 204 941 750 802
| 102 838 308 636
| 314 890
| 31.202
|-
| 1015
| 29 844 570 422 669
| 891 604 962 452
| 1 052 619
| 33.507
|-
| 1016
| 279 238 341 033 925
| 7 804 289 844 393
| 3 214 632
| 35.812
|-
| 1017
| 2 623 557 157 654 233
| 68 883 734 693 281
| 7 956 589
| 38.116
|-
| 1018
| 24 739 954 287 740 860
| 612 483 070 893 536
| 21 949 555
| 40.420
|-
| 1019
| 234 057 667 276 344 607
| 5 481 624 169 369 960
| 99 877 775
| 42.725
|-
| 1020
| 2 220 819 602 560 918 840
| 49 347 193 044 659 701
| 222 744 644
| 45.028
|-
| 1021
| 21 127 269 486 018 731 928
| 446 579 871 578 168 707
| 597 394 254
| 47.332
|-
| 1022
| 201 467 286 689 315 906 290
| 4 060 704 006 019 620 994
| 1 932 355 208
| 49.636
|-
| 1023
| 1 925 320 391 606 803 968 923
| 37 083 513 766 578 631 309
| 7 250 186 216
| 51.939
|}

각주

외부 링크

같이 보기 
 소수 정리
 스큐스 수
 리만 제타 함수
 주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여
 리만 가설

해석적 수론
소수