소수의 역수의 합의 발산성

기원전 3세기경에 유클리드는 무한히 많은 소수가 존재함을 증명하였다. 18세기에 레온하르트 오일러가 소수의 역수의 합이 발산한다는 좀 더 강력한 정리를 증명하였다. 다시 말해서,

현재 다음과 같은 사실도 알려져 있다.

조화급수 
먼저 오일러는 조화급수(harmonic series)가 발산함을 발견하였다. 즉, 다음의 급수가 발산한다.
 
오일러는 오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)를 이용하여 소수가 무한함을 증명하였다.
 
여기서 곱은 모든 소수에 대해 계산한다. 위 결과는 산술의 기본정리 때문에 성립한다.

증명법

첫 번째 증명 
오일러 곱셈 공식을 이용하여 약간의 논리적인 갭을 수반하는 다음의 계산이 가능하다. 먼저 의 테일러 전개를 통해 다음과 같이 계산한다.
 
마지막 등식의 는 어느 상수이다. 이로써 발산하는 속도가 에 근접함을 알 수 있다.

두 번째 증명 
 번째 소수를 라 쓰기로 하자.
수렴한다고 가정해서 모순을 이끌어 낸다. 만약 수렴한다면, 무한급수에서 적당히 앞부분을 잘라 나머지 부분이 1/2 보다 작게 만들 수 있다. 즉, 다음 부등식을 만족하는 어떤 가 있다.

그 잘라낸 소수들을 모두 곱한 값을 라고 해 보자. 즉, 라 하면, 모든 자연수 에 대해 는 부터 까지 어느 소수로도 나누어떨어지지 않는다. 따라서 의 값에 관계 없이 의 모든 소인수는  이후의 소수들이 된다.

그리하여 모든 1보다 큰 에서 다음 부등식이 성립한다.

두 번째 부등식은 가정에 의해 성립한다. 첫 번째 부등식은 의 소인수가 모두 이후의 소수이므로 우변을 전개하면 좌변의 모든 항이 들어있게 된다. 그런데 좌변은 적분판정법으로 발산함을 알 수 있고 우변은 무한등비급수이므로 수렴한다. 따라서 모순이 된다.

수론
급수
수론 정리