비대칭도

확률 이론 및 통계학에서 비대칭도(非對稱度, ) 또는 왜도(歪度)는 실수 값 확률 변수의 확률 분포 비대칭성을 나타내는 지표이다. 왜도의 값은 양수나 음수가 될 수 있으며 정의되지 않을 수도 있다. 왜도가 음수일 경우에는 확률밀도함수의 왼쪽 부분에 긴 꼬리를 가지며 중앙값을 포함한 자료가 오른쪽에 더 많이 분포해 있다. 왜도가 양수일 때는 확률밀도함수의 오른쪽 부분에 긴 꼬리를 가지며 자료가 왼쪽에 더 많이 분포해 있다는 것을 나타낸다. 평균과 중앙값이 같으면 왜도는 0이 된다.

정의 
확률변수 X의 왜도는 3차 표준 모멘트로 정의되며 γ1로 표시한다. γ1이라는 기호는 칼 피어슨이 사용했다.
 
여기서 μi는 i번째 중심적률을 의미한다. 왜도를 Skew[X]로 표현하기도 한다. 로널드 피셔는 로 표현했지만 왜도는 음수가 될 수 있어 불편한 점이 있었다.

확률변수 X의 평균 μ, 표준편차 σ에 대해, 왜도를 나타내는 식을 풀어 쓰면

로 표현할 수 있다.

표본 왜도 
크기가 n인 표본의 왜도는

로 정의한다. 여기서 mi는 i차 표본중심적률을 의미하며 는 표본평균을 의미한다.

모집단에서 표본을 추출하였을 때 표본왜도는 모집단의 왜도의 편의추정량이다. 이산확률변수에서는 표본왜도가 정의되지 않을 수도 있다.

피어슨의 비대칭 계수 
피어슨의 비대칭 계수(Pearson's skewness coefficients)는 칼 피어슨이 비대칭도 측정을 위해 제안한 간단한 계산법으로, 일반적으로 왜도와 비슷하게 분포가 좌우로 얼마나 대칭적인지를 나타내는 통계값이다.

피어슨의 비대칭도는 다음과 같이 정의 된다.
 (평균 − 최빈값) / 표준 편차
피어슨의 첫 번째 비대칭 계수(Pearson's first skewness coefficient)
 3 (평균 − 최빈값) / 표준 편차
피어슨의 두 번째 비대칭 계수(Pearson's second skewness coefficient)
 3 (평균 − 중앙값) / 표준 편차

Cs =3*(평균 - 중앙값)/표준편차로 구할 수 있다. 중앙값, 최빈값, 평균이 일치하면 Cs=0으로 정규분포를 이룬다. Cs 값이 0보다 크면 왼쪽으로 치우치고 오른쪽으로 긴 꼬리를 가지는 분포를 이룬다. 이를 정적편포라 한다. 반대로 0보다 작으면 오른쪽으로 치우치고 왼쪽으로 긴 꼬리를 가지는 분포를 이룬다. 이를 부적편포라 한다.

같이 보기 
 첨도(Kurtosis)
 비대칭도 위험
 첨도 위험
 형상 모수(Shape parameter)
 비대칭 정규 분포

참고

외부 링크 
 An Asymmetry Coefficient for Multivariate Distributions by Michel Petitjean
 On More Robust Estimation of Skewness and Kurtosis Comparison of skew estimators by Kim and White.

확률분포
통계량