프레셰 공간

함수해석학에서 프레셰 공간(Fréchet空間, )은 일련의 반노름들로 위상을 정의할 수 있는 위상 벡터 공간이다. 바나흐 공간의 일반화이다.

정의 
프레셰 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
 프레셰 공간은 특별한 완비 거리 공간의 구조를 가질 수 있는 국소 볼록 공간이다.
 프레셰 공간은 그 위상이 특별한 반노름들이 족으로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이다.
첫 정의는 더 간단하며 직관적이지만, 실제 정리들을 증명하기 위해서는 둘째 정의가 더 유용하다.

거리 함수를 통한 정의 
다음 조건을 만족시키는 국소 볼록 공간 를 프레셰 공간이라고 한다.
 의 위상은 평행 이동 불변(translation-invariant) 거리 함수로부터 유도될 수 있다. 또한, 이 거리 함수에 대하여 는 완비 거리 공간이다.
이 정의에서, 거리 함수 자체는 프레셰 공간을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.

반노름을 통한 정의 
실수 벡터 공간  위에, 반노름들의 집합

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 기저 로서 를 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다.

이 반노름 집합에 대하여 다음과 같은 세 조건들을 고려할 수 있다.
 ㈎ 로 유도되는 위상 공간은 하우스도르프 공간이다. 즉, 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이다.
 ㈏ 는 가산 집합이다.
 ㈐ 로 유도되는 위상에서, 모든 코시 열이 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 에 대하여, 만약 이라면, 이다.

만약 위상 벡터 공간 의 위상이 ㈎를 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, 는 하우스도르프 국소 볼록 공간이다. 만약 의 위상이 ㈎·㈏·㈐를 모두 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, 를 프레셰 공간이라고 한다.

프레셰 공간은 오직 위상 벡터 공간의 구조만 갖추고 있고, 반노름을 정의하는 데이터를 갖지 않는다. 즉, 프레셰 공간은 그 위상이 일련의 반노름들로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이지만, 일련의 반노름을 갖추지는 않는다.

정의 사이의 관계 
프레셰 공간 의 위상을 정의하는 가산 개의 반노름의 열 이 주어졌다고 하자. 그렇다면,  위에 다음과 같은 평행 이동 불변 완비 거리 함수를 줄 수 있다.

이는 원래 반노름의 열과 같은 위상을 유도하며, 정의에 따라 자명하게 평행 이동 불변이다. 위 공식은 다음과 같은 단계로 유도되었다.
 함수 는 구간 를 에 전단사로 대응시키며, 순서를 보존한다.
 따라서, 각 반노름들에 위 연산을 취하여, 을 정의한다.
 이 반노름들을 모두 더하면, 반노름 집합과 같은 위상을 유도하는 거리 함수를 구성할 수 있다. 이 경우, 합이 항상 수렴하게 하기 위하여, 계수 를 삽입한다.

성질 
프레셰 공간은 바나흐 공간의 일반화이다. 바나흐 공간은 노름을 갖추지만, 프레셰 공간은 반면 거리 공간 또는 반노름의 구조를 줄 수 있으나 노름을 갖출 필요는 없다. 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 그 역은 성립하지 않는다.

프레셰 공간의 경우 함수해석학의 주요 정리들이 성립한다. 예를 들어, 한-바나흐 정리, 열린 사상 정리, 균등 유계성 원리 등이 성립한다. 다만, 프레셰 공간에서는 (바나흐 공간과 달리) 역함수 정리가 일반적으로 성립하지 않는다.

예 
모든 바나흐 공간은 (자명하게) 프레셰 공간이다. 즉, 이 경우 하나의 (반)노름으로 위상이 정의된다.

매끄러운 함수 공간 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
  위의 매끄러운 벡터 다발 
또한,  속에 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 이 존재한다고 하자.

그렇다면, 에 대하여, 번 미분 가능한 매끄러운 단면의 집합

은 실수 프레셰 공간을 이룬다.

구체적으로, 다음의 데이터를 임의로 고르자.
 의 벡터 다발 접속 
 의 리만 계량 
 의 양의 정부호 계량 
그렇다면,  위에 다음과 같은 반노름들을 줄 수 있다.

이를 통해 는 프레셰 공간을 이룬다. 또한, 그 프레셰 공간 구조는 위에서 임의로 고른 데이터에 의존하지 않는다.

특히, 만약 이 완비 리만 다양체일 경우, 임의의 점 에 대하여 다음과 같이 콤팩트 집합의 열을 고를 수 있다.

여기서 는 리만 계량 로 유도되는 거리 함수이다.

특히, 만약 가 자명한 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간 은 프레셰 공간이다.

정칙 함수 공간 
복소평면 위의 정칙 함수 의 집합 위에 다음과 같은 반노름을 부여하자.

그렇다면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.

수열 공간 
가 바나흐 공간이라고 하자. 모든  값의 수열의 공간

위에 다음과 같은 반노름들을 부여하면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.

이 위상 벡터 공간에서, 수렴은 성분별 수렴이다.

역함수 정리의 실패 
매끄러운 함수들의 프레셰 공간

을 생각하자. 이 경우, 다음과 같은 함수를 생각할 수 있다.

이 경우, 임의의 에서,

이다. 임의의  및 에 대하여 이므로, 는 모든 에서 미분 가능 함수이며, 그 미분은 가역 선형 변환이다.

의 치역은 다음과 같이, 치역이 양의 실수로만 구성되는 매끄러운 함수들의 집합이다.

그런데 의 기저는

와 같은 꼴의 집합들로 구성되므로, 의 열린집합 가운데 의 치역의 부분 집합인 것은 공집합 밖에 없다.

역사 
모리스 르네 프레셰의 이름을 땄다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

F-공간
위상 벡터 공간