근계

리 군 이론에서, 근계(根系, )는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한 차원 벡터의 집합이다. 근계의 원소인 벡터는 근(根, )이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 단순근(單純根, )의 집합을 고를 수 있고, 이를 딘킨 도표()로 나타내어 분류할 수 있다. 반단순 리 군에 근계를 대응시킬 수 있으며, 이를 통해 반단순 리 군들을 분류할 수 있다.

모든 근계는 기약 근계(旣約根系, )의 합으로 나타낼 수 있다. 기약 근계(의 동형류)는 복소수체 위의 단순 리 대수(의 동형류)와 일대일로 대응한다.

정의 
유한 차원 실수 내적 공간  속의 부분 집합 가 다음 다섯 조건들을 모두 만족시킨다면, 근계라고 한다.
 (선형 생성) . 즉, 의 모든 원소는 의 원소들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. (이는 유일하지 않을 수 있다.)
 (스칼라배의 제한) 라면, 이고, 그 밖의 다른 스칼라배  ()는 의 원소가 아니다.
 (반사에 대한 닫힘) 임의의 에 대하여, 에 대하여 수직인 초평면에 대한 의 반사도 의 원소다. 즉, 근들은 다른 근에 대한 반사에 대하여 닫혀 있다.
 (정수성) 이며, 
 유한 집합이다.
근계의 원소는 근이라고 부른다. 근계의 계수(階數, )는 의 차원이다.

두 실수 내적 공간 ,  및 그 속의 근계 , 에 대하여, 만약 가 되는 전단사 실수 선형 변환 이 존재하며, 또한

라면, 와 를 서로 동형이라고 한다.

특히, 동형이 등거리 변환일 필요는 없다. 예를 들어, 항등 함수  역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 노름을 로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은  또는 이다.)

통상적으로, 다음과 같은 표기를 사용한다.

(이는 물론 쌍선형 형식을 이루지 못한다.)

양근과 단순근 
근계 의 양근의 집합(陽根의 集合, ) 는 다음을 만족하는 부분집합이다.
 임의의 에 대하여, 이거나 이지만, 는 아니다.
 이고, 이면 이다.
양근의 집합의 원소를 양근(陽根, )이라고 한다. 양근의 집합 이 주어졌을 때, 격자

위에 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

이 구성은 리 대수의 표현론에 등장하며, 이 경우 위의 격자는 정수 무게의 격자에 해당한다.

단순근 
어떤 양근의 집합이 주어졌을 때, 단순근(單純根, )은 두 양근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근들의 집합은 의 기저를 이룬다.

카르탕 행렬 
근계 와 그 위의 순서를 매긴 단순근의 열 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 카르탕 행렬() 은 다음과 같은  정사각 행렬이다.

정의에 따라, 카르탕 행렬의 대각선 성분의 값은 모두 2이다.

카르탕 행렬이 주어지면, 이에 대응하는 근계 (및 복소수 반단순 리 대수)를 재구성할 수 있다.

딘킨 도표 

각 근계 에 대하여, 딘킨 도표(Дынкин圖表, )라는, 일종의 유향 그래프를 대응시킬 수 있다. 우선, 임의로 의 양근의 집합 를 고르자.
 딘킨 도표는 각 단순근에 대응하는 꼭짓점을 갖는다.
 두 꼭짓점 사이에는 0개, 1개, 2개, 또는 3개의 변(邊)이 존재할 수 있다. 변이 2개 또는 3개인 경우, 변은 방향을 가지며, 이 방향은 항상 더 짧은 단순근을 가리킨다. (이 경우 두 단순근의 길이는 항상 다르다.)
 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 두 단순근 사이의 각도에 대응하며, 다음 표를 따른다.
{| class=wikitable
!근 사이 각 (라디안) || 근 사이 각 (°) || 변의 종류
|-
|  || 90° || 변 없음
|-
|  || 120° || 하나의 변
|-
|  || 135° || 두 개의 변 + 화살표
|-
|  || 150° || 세 개의 변 + 화살표
|}
딘킨 도표는 단순근의 선택에 관계없이 동일하다.

기약 근계의 딘킨 도표는 연결되어 있다. 딘킨 도표의 연결 성분 분해는 근계의 (기약 근계들로의) 직합 분해와 같다.

성질 

근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.
 
이므로,

이다. 즉, 는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.

연산

스칼라배 
근계  및 임의의 실수  및 임의의 직교 행렬 에 대하여,  역시 근계를 이루며, 이는 원래 근계 와 동형이다.

직합 
두 근계 , 가 주어졌을 때, 그 직합 은 다음과 같은 근계이다.

여기서 와 은 직합의 정의에 등장하는 표준 포함 사상이다.

기약 근계(旣約根系, )는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약 근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 긴 근(), 짧은 것은 짧은 근()으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 노름의 비는 이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) 로 잡는다.)

쌍대 근계 
근계 의 쌍대 근계(雙對根系, )는 다음과 같다.
 는 의 (대수적) 쌍대 공간이다. 물론, 내적을 사용하여 표준적인 동형 사상 이 존재한다.
 
 임의의 에 대하여, , 
그렇다면  역시 근계를 이룬다.

임의의 근계 는 그 이중 쌍대 근계 와 표준적으로 동형이다.

단순 근계 가운데, 의 쌍대 근계는 이다. 다른 단순 근계들(, , )은 스스로의 쌍대 근계이다.

분류

기약 근계의 목록 
기약 근계는 다음과 같이 분류한다. 고전 근계()는 네 개의 족 , , , 으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 예외 근계() 이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전 근계는 고전군(직교군, 특수 유니터리 군, 심플렉틱 군)의 리 대수(의 복소화)의 근계이나, 예외 근계는 그렇지 않다. 아래 표에서는 관례를 따라 긴 근의 길이가 가 되도록 정규화하였다.

고전적 기약 근계 
형 근계의 단순근은 다음과 같다. (편의상 의 원소로 표기하였다.)

형 근계의 단순근은 다음과 같다.

형 근계의 단순근은 다음과 같다.

형 근계의 단순근은 다음과 같다.

예외적 기약 근계 
예외적 기약 근계는 E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ 총 5개가 있다. 이들의 단순근들은 다음과 같다.

예

낮은 차원의 근계 
0차원 근계는 (자명하게) 하나 밖에 없다.

1차원 근계는 하나 밖에 없으며, 이다.

2차원 근계는 총 4개가 있으며, 이들 가운데 3개는 기약 근계이다. (아래 표에서, 와 는 서로 동형이며, 과  역시 서로 동형이다.)

3차원 기약 근계는 세 가지가 있으며, 이들은 정육면체·정팔면체의 모양을 가진다.

반단순 리 대수에 대응되는 근계 

복소수체 위의 반단순 리 대수  및 그 카르탕 부분 대수 가 주어졌다고 하자. 는 의 킬링 형식을 통해 자연스럽게 유한 차원 실수 내적 공간을 이룬다.

그렇다면, 의 딸림표현에 대응하는 -무게들

을 생각하자. 그렇다면, 는 근계를 이룬다. 또한, 다음이 성립한다.
 의 단순 리 대수들로의 직합 분해는 의 기약 근계들로의 직합 분해와 대응한다.
 특히, 단순 리 대수에 대응하는 근계는 기약 근계이다.
 두 반단순 리 대수가 서로 동형일 필요 충분 조건은 그 대응하는 근계가 서로 동형인 것이다.

역사 
근계의 이론은 복소수 반단순 리 대수의 표현론에서 비롯하였다. 각 반단순 리 대수에는 근계를 대응시킬 수 있으며, 단순 리 대수에 대응되는 근계는 기약 근계이다.

카르탕 행렬의 개념은 엘리 카르탕이 도입하였다. 딘킨 도표의 개념은 예브게니 딘킨이 도입하였다.

참고 문헌 

 Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.

외부 링크

같이 보기 

 무게 (표현론)
 콕서터 군

리 군
리 대수
유클리드 기하학