국소 콤팩트 공간

일반위상수학에서 국소 콤팩트 공간(局所compact空間, )은 국소적으로 콤팩트한 구조를 갖는 위상 공간이다.

정의 
임의의 위상 공간 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 를 국소 콤팩트 공간이라고 한다.
 의 모든 점은 항상 콤팩트 근방을 갖는다.

하우스도르프 분리 공리를 가정한다면, 국소 콤팩트 공간의 개념은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다. 구체적으로, 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 (1) 국소 콤팩트 공간이다.
 (2) 의 모든 점은 닫힌 콤팩트 근방을 갖는다.
 (2’) 의 모든 점은 상대 콤팩트 근방을 갖는다.
 (2’’) 의 모든 점은 상대 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
 (3) 의 모든 점은 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
 (4) 의 모든 점은 닫힌 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
 (5) 는 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간의 열린집합과 위상동형이다.
 (5’) 의 알렉산드로프 콤팩트화가 하우스도르프 공간이다.
그러나 하우스도르프 공간이 아닌 위상 공간의 경우 위 조건들이 서로 동치이지 않다. 마지막 두 조건은 스스로 하우스도르프 조건을 함의하며, 조건 (4)는 (완비) 정칙 조건을 함의한다. 위 조건들의 일반적인 함의 관계는 다음과 같다.
{| style="text-align: center"
| || || (2) ↔ (2’) ↔ (2’’)
|-
| || ↗ || || ↘
|-
| (5) ↔ (5’) → (4) || || || || (1)
|-
| || ↘ || || ↗
|-
| || || (3)
|}

성질

함의 관계 
콤팩트 공간은 (자명하게) 국소 콤팩트 공간이다.

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이며 (베르 범주 정리) 또한 티호노프 공간이다.

가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 가 닫힌집합이며, 라고 하자. 의 상대 콤팩트 근방 를 고르자. 그렇다면 는 콤팩트 집합이므로, 티호노프 공간이다. 따라서 와

를 분리하는 연속 함수

가 존재한다. 와 가 의 유한 닫힌 덮개를 이루며, 그 교집합은 에 포함되므로, 함수

는 잘 정의되며, 연속 함수이다. 또한 는

을 만족한다.

연산에 대한 닫힘 
국소 콤팩트 공간 와 위상 공간 가 주어졌다고 하자. 만약 전사 연속 열린 함수 가 존재한다면,  역시 국소 콤팩트 공간이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 닫힌집합과 열린집합은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 반대로, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 조밀 집합은 열린집합이다. 즉, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 집합은 항상 열린집합과 닫힌집합의 교집합이다.

하우스도르프 공간 의 부분집합 가 국소 콤팩트 집합이자 조밀 집합이라고 하자. 임의의 에 대하여,

인 의 열린집합 를 찾으면 족하다.

인 의 열린집합  및 콤팩트 집합 를 고르자. 이며, 가 의 닫힌집합이므로,

이다.

위상 공간들의 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 곱공간 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
 모든 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 유한 개를 제외하면 콤팩트 공간이다.

위상군 
가 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이며, 가 그 부분군이라고 하자. 그렇다면, 잉여류 공간 는 국소 콤팩트 공간이다.

예 
(유한 차원) 유클리드 공간  은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 그러나 가산 무한 곱공간 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.

p진수선 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.

모든 이산 공간은 자명하게 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 비이산 공간은 (하우스도르프 공간이 아닐 수 있지만) 항상 자명하게 국소 콤팩트 공간이다.

유리수 공간 는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

위상 공간의 성질