칼손의 부등식

칼손의 부등식(Carlson's inequality, -不等式)은 스웨덴 수학자 프리츠 다비드 칼손(Fritz David Carlson)이 1934년 제출하여 그의 이름이 붙은 부등식이다. 여러 종류의 형식이 있는데, 대표적인 것은 코시-슈바르츠 부등식에서 순수하게 대수적으로 유도할 수 있는 합 형태와  공간에서 실해석학의 기법으로 유도할 수 있는 적분 형태의 두 종류이다. 두 경우 모두 자주 쓰이는 형태는 유사한데, 이산 형태와 연속 형태로 불리기도 한다.

합 형태 
합 형태 칼손의 부등식은 보통 다음과 같은 두 형태 중 하나로 사용된다.

 임의의 실수  에 대하여, 
 임의의 실수  에 대하여,

증명 
둘 모두 코시-슈바르츠 부등식에서 쉽게 유도가능하다. 위의  및 임의 n개의 0이 아닌 실수  에 대하여 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면,

 

을 얻는다. 여기서  라 쓰면, 이는 다음과 같은 일반적인 부등식이 된다.

 

여기서  라 할 경우,  으로부터 첫 번째 부등식이 증명된다. 다음으로, 양수 t에 대해  로 놓고 전개하면,

 

이 된다.  라 두고 를 만족하도록 t를 잡으면, 다음과 같이 식을 전개할 수 있다.

 

이제 양 변에 제곱을 취하면 두 번째 부등식을 얻는다.

적분 형태 
적분 형태 칼손의 부등식도 위와 같은 두 가지 형태가 모두 가능하다. 두 번째 형태만 직접 서술해 보면 다음과 같다.

 만약 f가 실수값 함수이고  이면,

각주

참고 문헌 
 Arthur Engel (1997), Problem-Solving Strategies, Springer Verlag,

외부 링크 
 슈프링어 온라인 레퍼런스

부등식
해석학 (수학)
대수학