폴란드 공간

일반위상수학에서 폴란드 공간(Poland空間, )은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술적 집합론을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다.

정의 
위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 폴란드 공간이라고 한다.
 제2 가산 완비 거리화 가능 공간이다.
 분해 가능 완비 거리화 가능 공간이다.
 의 Gδ 집합과 위상 동형이다. (힐베르트 입방체() 는 실수의 닫힌구간 의 가산 무한 곱공간이다.)
 의 닫힌집합과 위상 동형이다.
마지막 조건에 따라, 힐베르트 입방체 또는 는 일종의 "보편 폴란드 공간"으로 여길 수 있다.

폴란드 군(Poland群, )은 폴란드 공간인 위상군이다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.

성질

연산에 대한 닫힘 
마주르키에비치 정리(-定理, )에 따르면, 폴란드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  역시 폴란드 공간이다.
 는 의 Gδ 집합이다.
특히, 모든 열린집합과 모든 닫힌집합은 Gδ 집합이므로, 폴란드 공간의 열린집합 또는 닫힌집합은 폴란드 공간이다.

폴란드 공간들의 모임은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.
 가산 개의 폴란드 공간들의 곱공간은 폴란드 공간이다.
 가산 개의 폴란드 공간들의 분리합집합은 폴란드 공간이다.

하우스도르프 공간  속의 부분 집합들 이 각각 폴란드 공간을 이룬다면, 그 교집합  역시 폴란드 공간을 이룬다.

위상수학적 성질 
임의의 위상 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 국소 콤팩트 폴란드 공간이다.
 제2 가산 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
 콤팩트 거리화 가능 공간이다.
 콤팩트 거리화 가능 공간의 열린집합과 위상 동형이다.
그러나 폴란드 공간이 국소 콤팩트 공간일 필요는 없다.

폴란드 공간은 제2 가산 공간이므로, 칸토어-벤딕손 정리가 성립한다.

베르 공간 은 가산 무한 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다. 칸토어 공간 은 크기 2의 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다. 이 경우,
 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 만약 이라면, 연속 전사 함수 가 존재한다.
 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 의 어떤 닫힌집합 로 가는 연속 전단사 함수 가 존재한다. (그러나 이는 위상 동형 사상이 아닐 수 있다.)
 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 만약 가 비가산 집합이라면, 는 과 위상 동형인 부분 집합 을 갖는다.

폴란드 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 고립점을 갖지 않으며 공집합이 아니다.
 연속 전사 함수 가 존재한다.

집합론적 성질 
임의의 폴란드 공간의 크기는 다음 가운데 하나이다.

다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는  이하이며, 또한 (연속체 가설과 독립적으로) 인 폴란드 공간 는 존재하지 않는다.

측도론적 성질 
폴란드 공간에 보렐 시그마 대수를 부여하면, 이는 가측 공간을 이룬다. 이와 같이, 폴란드 공간과 (가측 공간으로서) 동형인 가측 공간을 표준 보렐 공간(標準Borel空間, )이라고 한다.

두 표준 보렐 공간 , 에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.
 와 는 서로 동형이다. 즉, 와  사이에 전단사 함수 가 존재하며, 이는 와 의 보렐 시그마 대수 사이의 동형 을 유도한다.
 이다. 즉, 와 의 크기가 같다.

모든 표준 보렐 공간은 다음 가측 공간 가운데 정확히 하나와 동형이다. (가측 공간으로서의 동형은 위상 동형보다 더 약하다.)
 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선 
 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합 
 이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 인 유한 집합  ()

예 
이산 공간에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 가산 집합이다.
 제2 가산 공간이다.
 폴란드 공간이다.
(이는 비가산 이산 공간은 제2 가산 공간이 아니므로 폴란드 공간이 아니기 때문이다.)

모든 유클리드 공간 은 폴란드 공간이다. 보다 일반적으로, 모든 분해 가능 바나흐 공간은 폴란드 공간이다.

힐베르트 입방체() 는 실수의 닫힌구간 의 가산 무한 곱공간이며, 이는 폴란드 공간이다.

베르 공간 은 가산 무한 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다. 이는 무리수의 위상 공간 과 위상 동형이다.

칸토어 공간 은 크기 2의 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다.

역사 
바츠와프 시에르핀스키 · 카지미에시 쿠라토프스키 · 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.

마주르키에비치 정리는 스테판 마주르키에비치가 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

일반위상수학
집합론
기술적 집합론