유클리드 벡터

수학, 물리학, 공학에서, 유클리드 벡터 또는 벡터()는 벡터의 특수한 경우로, 유클리드 공간에서 크기와 방향을 모두 포함하는 기하학적 대상이다. 주로 유향 선분 또는 화살표로 표현한다. 주로 힘이나 자기장, 전기장, 변위와 같이, 방향과 크기를 둘 다 가지는 물리적 개념을 설명할 때 이용된다. 물리적 현상을 나타낼 때는 주로 2차원 또는 3차원 벡터량을 쓴다.

크기를 표현하는 스칼라와 달리 크기와 방향을 모두 포함한다.

벡터의 차원 
스칼라량은 단지 하나의 '크기'만을 표현할 수 있지만, 벡터는 방향과 크기를 모두 표현할 수 있다. x축의 단위벡터인 e₁방향과 y축의 단위벡터인 e₂방향과 각각의 크기인 a, b를 나타내는 2차원 벡터 (a, b) 와, 여기에 z축의 단위벡터인 e₃과 크기인 c를 나타내면 3차원 벡터 (a, b, c)를 표현할 수 있다. 이와 같이 이론적으로는 n차원 벡터를 표현하는 것이 가능하지만, 물리학이나 화학 등 실제 자연현상에 대해 배우는 학문에서는 2차원 벡터와 3차원 벡터로 충분하다.

차원 벡터의 성분 
n차원 벡터에서의 성분의 표기
2차원 벡터의 성분 (a, b)가 A일때

3차원 벡터의 성분 (a, b, c)가 단위벡터에서 원점(O)으로부터 A일때

영벡터

벡터의 연산 
벡터의 덧셈과 뺄셈은, 일반적으로 삼각형법과 평행사변형법이 있다.

삼각형법은 일반적으로 꼬리 물기라고 하며, 한 벡터의 종점과 나머지 벡터의 시점이 일치하는 두 벡터가 있을 때, 이 두 벡터의 합은 일치하는 점이 아닌 시점에서 종점까지를 이은 벡터와 같다. 뺄셈 또한 이항해서 다음과 같은 식이 성립된다.

 
 
평행사변형법은 두 벡터와 각각 평행한 벡터를 만들어 평행사변형을 그리고, 원래의 두 벡터와의 만나는 점을 시점으로 평행사변형의 대각선을 끝까지 이은 벡터가 이 두 벡터의 합과 같다.

 원래의 두 벡터 , 와 각각의 벡터와 크기와 모양이 같은 새로운 두 벡터인 , 를 만들어 평행사변형을 이룰 때, 대각선인  벡터가 이 두 벡터의 합이다.

거리와 각도 

두 벡터의 사이각

따라서

관련 문서 
 벡터장
 벡터 공간
 벡터함수
 벡터 다발
 스칼라

벡터 미적분학
선형대수학
물리학 개념