독립 (확률론)

확률론에서 두 사건이 독립(獨立, )이라는 것은, 한 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나오는 사건에 독립적이다. 이 밖에도 다양한 독립의 개념이 존재한다. 특히 통계학에서 통계적 독립(statistically independent) 또는 독립성(independence)이라고도 한다.

정의

독립 사건 집합 
확률 공간  위의 사건들의 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, 가 서로 독립이라고 한다.
 모든 유한 집합 에 대하여,

독립 사건 시그마 대수 집합 
확률 공간  위의, 의 부분 시그마 대수들의 집합 이 다음 성질을 만족시킬 경우, 가 서로 독립이라고 한다.
 모든 유한 집합  및  ()에 대하여, 

사건의 집합 에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.
 는 사건의 집합으로서 서로 독립이다.
 는 시그마 대수의 집합로서 서로 독립이다. 여기서 는 를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.

독립 확률 변수 집합 
같은 확률 공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) 확률 변수의 집합

에 대하여, 시그마 대수

를 정의할 수 있다. 만약 가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률 변수의 집합 이 서로 독립이라고 한다.

성질 
확률 공간  위의 π계의 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 서로 독립이다.
 모든 유한 집합  및  ()에 대하여, 

확률 공간  위의 시그마 대수의 집합  및 의 분할 에 대하여, 만약 가 서로 독립이라면,

역시 서로 독립이다.

같이 보기 
 동분산성
 정규성

외부 링크 
 
 
 

확률론