아폴로니오스 정리

아폴로니오스 정리(Apollonius' theorem) 또는 중선정리(中線定理)는 중 기하학에서 삼각형의 각 변들간의 관계를 설명한 정리이다. '아폴로니오스'라는 이름은 고대 그리스의 수학자인 페르게의 아폴로니오스의 이름을 딴 것이다. 대한민국과 일본에서는 흔히 파푸스의 정리(Pappus's theorem)라는 이름으로도 알려져 있으나, 이외의 국가에서는 이러한 이름으로 불리지 않는다.

내용 

그림에서 일 때, 선분 는 중선(Median)이 되고, 다음의 관계가 성립한다.

특히, 가 성립할 경우, 피타고라스의 정리가 된다. 즉,

이 정리는 스튜어트 정리에서 를 가정할 때와 동일하므로 스튜어트 정리의 특수한 형태가 된다.

증명

코사인 법칙을 이용한 증명 

세 변이 각각 인 삼각형에서 변 를 지나도록 중선 를 긋는다.  또한, 변 를 이등분한 후, 의 절반을 이라 한다. 또 변 와 중선 가 이루는 두 각을 각각 와 이라고 한다. 이때, 는 변 와 마주보고 은 변 와 마주본다. 그러면 와 은 서로 보각이 되므로 가 된다. 이때 코사인 법칙에 의해 아래 식이 성립한다.

첫째 줄의 식과 셋째 줄의 식을 더하면, 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다.

피타고라스 정리를 이용한 증명 

에서 의 중점을 이라 하고, 점 에서 에 내린 수선의 발을 점 라 한다. 이때, 이다. 피타고라스 정리를 활용하면 아래와 같이 증명할 수 있다.

좌표를 이용한 증명 

좌표를 사용하여 증명할 수도 있다.

그림과 같이 가 축과 겹쳐지도록 한다. 에서 의 중점을 이라 하고, 점 이 원점에 오도록 한다. 각 점의 좌표는 각각 , , , 이 된다.

,

같이 보기 
 스튜어트 정리

외부 링크 
 planetmath.org의 Apollonius theorem항목

초등 기하학
기하학 정리
유클리드 기하학
평면기하학 정리