영의 부등식

영의 부등식(Young's inequality, -不等式)은 영국의 수학자인 윌리엄 헨리 영이 제시한 부등식이다. 이 부등식은 옌센 부등식 및 민코프스키의 적분부등식에 의해 얻을 수 있으며, 횔더 부등식을 증명하는 데 이용된다. 크게 초등적 형태와 합성곱 형태의 두 종류가 있다.

초등적 형태 
a와 b를 음이 아닌 실수라 하자. 그리고 양의 실수 p, q가  을 만족한다고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다.

 

이 부등식은 횔더 부등식을 증명하는 데 이용된다.

증명 
이 형태의 증명에서는 로그함수가 오목함수임을 이용한다. 오목성에 의해 옌센 부등식을 적용하면 다음을 얻는다.

일반화 
n개의 양수  가  을 만족할 때, n개의 음이 아닌 실수  에 대하여 다음 부등식이 성립한다. 일반화한 이 형태 역시 옌센 부등식에 의해 얻을 수 있다.

역함수의 적분 형태 
[0, c]에서 실수로 가는 연속이고 f(0) = 0인 강증가함수 f에 대해 f의 역함수를  이라 하면, 다음 부등식이 성립한다.

 

여기서  이고 이다.

합성곱 형태 
 이고  이라 하자.  라 하면  이고, 다음 부등식이 성립한다.

 

이 부등식을 얻기 위해서는 민코프스키의 적분부등식을 이용해야 한다.

같이 보기 
 옌센 부등식
 민코프스키 부등식
 횔더 부등식

각주

참고 문헌 
 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002
 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002

부등식
대수학
해석학 (수학)