유리 함수

대수학과 해석학에서 유리 함수(有理函數, )란 두 다항함수의 비로 나타낼 수 있는 함수다.

정의 
체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 변수의 유리 함수체 는 다항식환의 분수체이다.

유리 함수체의 원소를 유리 함수라고 한다.

즉, 유리 함수체에 속하는 함수는 다항식들의 비, 즉

의 꼴이며, 약분을 해서 같아지는 다항식들의 비는 같은 유리 함수로 간주한다.

성질 
체의 계수를 갖는 유리 함수들은 체를 이룬다. 즉,  교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

유리 함수체의 경우 체의 동형

이 존재한다.

유리 함수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포를 대수 함수의 체 라고 한다.

테일러 급수 
유리 함수를 테일러 급수로 표현했을 때, 그 계수를 동류항 정리를 통해 일차 점화식으로 나타낼 수 있다.

예를 들어, 다음 유리 함수의 테일러 급수를 생각하자.

양변에 분모를 곱하여 분해할 수 있다.

그리하여 동류항 정리를 통해 다음 등식을 얻는다.

결국 이 과정을 통해 최초 주어진 유리식을 테일러 전개했을 때, 계수의 일차 점화식을 얻을 수 있다. 이 점화식을 풀면 직접 일반항을 얻을 수 있다.

예 

유리 함수

는 에서 값이 정의되지 않는다.

유리 함수

는 모든 실수에서 정의되지만 모든 복소수에서 정의되는 것은 아니다.

유리 함수

는 가 무한히 커지면 에 접근한다.

같이 보기 
 유리형 함수
 유리 사상
 유리 함수층

외부 링크 
 

유리형 함수
대수다양체