오일러 정리

오일러 정리()는 수론의 하나로, 페르마의 소정리를 일반화한 정리의 하나이다.

정의 
정수  및 양의 정수 이 주어졌고, 와 이 서로소라고 하자. 오일러 정리에 따르면, 과 1은 법 에 대하여 합동이다.

증명

군론을 통한 증명 
정수환의 몫환 의 가역원군 을 생각하자. 가 의 에서의 위수라고 하자. 라그랑주 정리에 따라, 는 가역원군의 크기 의 약수이다. 즉,

인 양의 정수 가 존재한다. 따라서

이다.

군론을 사용하지 않는 증명 
정수의 집합 에 대한 다음 네 조건을 생각하자.
 ㈀ 만약 라면, 이다.
 ㈁ 각 에 대하여, 와 은 서로소이다.
 ㈂ 만약 와 이 서로소라면, 인 이 존재한다.
 ㈃ 
위 네 조건을 만족시키는 정수 집합은 반드시 존재한다. 예를 들어  속의 정수 가운데 과 서로소인 것들의 집합은 네 조건을 모두 만족시킨다. 사실 각 조건은 남은 세 조건으로부터 유도될 수 있다. 예를 들어 이 조건 ㈀, ㈁, ㈃을 만족시킨다고 하자. 가 를 으로 나눈 나머지라고 하자. 그렇다면  역시 조건 ㈀, ㈁, ㈃을 만족시킨다. 의 정의에 따라 이는  속에서 과 서로소인 모든 정수의 집합이다. 만약 와 이 서로소라면, 는 그 에 대한 나머지와 합동이며, 이 나머지는  가운데 하나다.

위 네 조건을 만족시키는 정수 집합 을 취하자. 이제,  역시 네 조건을 만족시킴을 증명하자. 조건 ㈀, ㈁, ㈃을 만족시킴을 증명하면 충분하다.

조건 ㈀. 라고 하자. 은 의 약수이다. 즉, 의 중복도를 감안한 소인수들은 모두 의 소인수이다. 와 이 서로소이므로 와 은 소인수를 공유하지 않으며, 따라서 의 중복도를 감안한 소인수들은 모두 의 소인수이다. 즉, 은 의 약수이다. 따라서 이며, 이다.

조건 ㈁. 와  모두 과 서로소이므로 그 곱  역시 과 서로소다.

조건 ㈃. 첫 번째 조건에 따라 는 서로 합동이 아니며, 특히 서로 다르다.

이제, 과 이 조건 ㈀, ㈁, ㈂, ㈃을 만족시키므로, 각 에 대하여,

인 이 존재한다. 가 서로 합동이 아니므로  역시 서로 합동이 아니며, 는 서로 다르다. 즉, 은 일대일 대응이다. 따라서

이며, 와 이 서로소이므로

이다.

예

페르마의 소정리 

페르마의 소정리는 오일러 정리의 특수한 경우이다. 정수  및 소수 가 주어졌다고 하자. 또한, 가 의 약수가 아니라고 하자. 그렇다면 와 는 서로소이다. 은 모두 와 서로소이므로

이다. 따라서

이다.

오일러 피 함숫값의 홀짝성 

양의 정수 이 주어졌다고 하자. −1과 은 서로소이므로, 오일러 정리에 따라

이다. 즉, 은 짝수이다.

역사 
스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 증명하였다.

같이 보기 
 오일러 다면체 정리

수론
수론 정리
모듈러 산술
레온하르트 오일러