교류 회로

교류 회로란 회로 내의 전력 공급원으로부터 발생하는 전류의 양과 방향이 주기적으로 바뀌는 회로를 말한다. 교류의 종류로는 사인파, 삼각파, 사각파 등이 있으며 그 중에서도 사인파가 가장 전형적인 교류라 할 수 있다. 이 때, 삼각파나 사각파를 비롯해 주기성을 띠는 임의의 전류는 사인파의 합성을 이용해 생성가능하다.

저항만 연결된 경우 

전원으로부터 발생하는 전압을 V, 저항체의 저항을 R이라 하자.
 
전원의 전압이 위와 같이 변한다고 하면 저항체를 지나는 전류는 아래와 같이 구할 수 있다.
 
여기서 전류의 최댓값을 이라 한다면 위식은 아래와 같이 변형가능하다.

축전기만 연결된 경우 

전압을 V, 축전기의 전기용량을 C, 축전기의 전하량을 Q라 하면
 
따라서 축전기에 흐르는 전류는
 
가 된다. 위의 식에서도 확인할 수 있듯, 축전기가 있을 때, 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다.

코일만 연결된 경우 

전압을 V, 코일의 유도용량을 L이라 하면
 
이므로 시간에 따른 전류를 아래 식으로 표현할 수 있다.
 
역시 축전기만 연결된 경우와 마찬가지로 코일이 있을 때, 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다.

저항, 축전기, 코일의 직렬연결 

저항체의 저항, 축전기의 전기용량, 코일의 유도용량이 각각 R, C, L일 때 저항체, 축전기, 코일을 직렬로 연결한 경우에 대해 키르히호프 정리를 적용하면
 
이 된다. 이 미분방정식의 해는 아래와 같다.
   (인 경우)
   (인 경우)
   (인 경우)

한편, 이 회로에서 저항이 없는 경우, 즉 R=0인경우의 해는
 
이다. 이때 회로에서는 에너지 손실이 일어나지 않고 축전기는 영원히 충전과 방전을 반복하는데 이때의 진동수를 고유진동수라 하며 그 값에 를 곱한 값을 고유 각운동량을 고유각운동량이라 한다.

교류 전압이 걸린 RLC회로 

RLC회로에 교류전압이 걸리는 경우 위 식은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있다.
 
위 이차 미분방정식의 특수해는
  (이때, )
이다. 앞에서 우변이 0일 때에 대해서 구한 일반해를 라하면 위 미분방정식의 해는 아래와 같이 표현가능하다.
  (이때, )
하지만 이때, 는 시간이 흐름에 따라 지수적으로 감소하므로 전류가 흐른 후 약간의 시간이 흐른 후부터는 를 무시할 수 있다.
위 식을 t에 대해 미분하여 얻을 수 있는 회로에 흐르는 전류의 양은 다음과 같다.
  (이때, )

이때, 이라 하면 위 식은
  (이때, )
으로 바꿀 수 있으며 이 때
 
를 RLC회로의 임피던스라 정의한다.
RLC회로는 저항이 Z인 회로에 V의 전압이 걸렸을 때와 유사한 모양을 보인다.

공진 
RLC회로에서 인 경우, 즉
 
인 경우를 공명이라 한다. 공명상태에서는 전압과 전류의 위상차가 0이 되고, 전류의 최댓값이 가장 커진다.

전기 회로