해석 함수

수학에서 해석 함수(解析函數, )란 국소적으로(locally) 수렴하는 멱급수로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 함수 가 한 점 에서 해석적이라는 것은 그 점 근방에서의 테일러 급수가 수렴하는 것과 같은 의미이고, 정의역 의 모든 점에서 해석적인 함수를 해석함수라고 한다. 일반적으로 해석 함수는 실함수와 복소 함수의 경우로 나누어 생각하며, 복소 해석 함수는 실해석 함수에 비해 수학적으로 풍부한 성질을 갖는다.

정의 
수직선 위의 열린 집합 에서 정의된 실함수  가 해석 함수라 함은 가  안의 모든 점에서 해석적임을 말한다. 또  가 한 점 에서 해석적이라 함은  근방에서 수렴하는 급수가 존재하여

와 같이 쓸 수 있음을 뜻한다.

실해석 함수는 매끄러운 함수이며, 정의역 안의 모든 점에서의 테일러 급수는  로 수렴한다. 즉, 정의역 안의 한 점  근방의 모든 점  에 대해

이다.

복소 해석 함수의 정의는 위의 정의에서 수직선을 복소 평면으로, 실함수를 복소 함수로, 급수에서 를 로 바꾸면 된다. 다만 복소 평면에서의 근방이란 면적을 갖는 열린 집합이라는 사실에 유의해야 한다. 복소 해석 함수도 실해석 함수와 마찬가지로 무한번 미분가능하며, 테일러 급수로 나타낼 수 있다. 복소 해석 함수는 코시-리만 방정식을 만족한다. 복소 평면  전체에서 해석적인 함수를 특별히 전해석 함수라고 한다.

예 
기본 함수들(다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등)은 수직선(또는 복소 평면)의 특정 영역에서 해석적이다. 다음은 해석 함수의 예이다.

 차 다항함수(실 또는 복소다항함수 모두) 는 급수 에서 일 때 인 경우로 생각할 수 있다.

 지수함수 는 점  (또는 )에서 급수  로 나타낼 수 있다.

그러나 모든 함수가 해석 함수인 것은 아니다. 예를 들어 실함수 는 에서 미분 가능 함수가 아니므로 해석적이지 않다. 또한 복소 함수 는 복소 평면 위의 어떤 점에서도 해석적이지 않다.

같이 보기 
 정칙 함수
 매끄러운 함수

 
해석학 (수학)
복소해석학