예고로프 정리

측도론에서 예고로프 정리(Егоров定理, )는 가측 함수에 대하여, 점별 수렴과 균등 수렴이 거의 일치한다는 정리이다.

정의 
측도 공간 에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 으로 가는 일련의 가측 함수의 열

에 대하여, 다음 조건이 성립한다고 하자.
 
 은 거의 어디서나 점별 수렴한다.
예고로프 정리에 따르면, 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 가측 집합 가 존재한다.
 
 은  위에서 균등 수렴한다.

임의의 가측 함수 에 대하여,

는 가측 함수이며,

역시 연속 함수이므로 가측 함수이다. 가정에 따라 가 분해 가능 거리 공간이므로, 제2 가산 공간이며, (거리 위상의 곱위상에 대한) 보렐 시그마 대수 는 곱 시그마 대수 와 일치한다. 따라서

는 가측 함수이다.

이제, 의 거의 어디서나 점별 극한이 되는 가측 함수 를 취하자. 임의의 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 점별 수렴의 정의와 측도의 성질에 따라, 임의의 에 대하여,

이다. (함수 가 가측 함수이므로 위 집합들은 모두 가측 집합이다.) 따라서

인 이 존재한다.

이제

이라고 하자. 그렇다면

이며, 임의의 에 대하여,

이다. 즉, 는  위에서 로 균등 수렴한다.

예 
만약  조건이 없으면 이 정리는 거짓이다. 예를 들어, 함수

을 생각하자. 이는 점별로 0으로 수렴하지만, 임의의 유한 측도 르베그 가측 집합 에 대하여 이 함수열은 에서 균등 수렴하지 않는다.

역사 
이탈리아의 수학자 카를로 세베리니()가 1910년에 증명하였으나, 이탈리아어 논문에 출판하여 주목받지 못했다. 이듬해 드미트리 예고로프가 같은 정리를 재증명하여 유명 프랑스어 저널에 출판하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 루진의 정리

측도론 정리