유계 변동 함수

실해석학에서 유계 변동 함수(有界變動函數, )는 특정한 위치에서 변화할 수 있는 범위가 제한된 함수이다.

정의

1차원 유계 변동 함수 
닫힌구간 의 분할은 다음과 같은 수열이다.

닫힌구간 의 모든 분할들의 집합을 라고 적자. 이는 다음과 같은 꼴이다.

여기서 은 크기 의 분할들의 공간이며, 이는 차원 단체 와 동형이다.

임의의 함수

및 분할 
에 대하여, 변동

을 정의할 수 있다. 의 전변동(全變動, ) 는 모든 변동들의 상한이다.

임의의 함수 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치임을 보일 수 있다.
 
 인 두 증가 함수 , 가 존재한다.
 연속 함수의 공간  위에 유계 작용소 , 를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.)
이 조건을 만족시키는 함수를 유계 변동 함수라고 한다.

유계 변동 함수들의 공간을 로 표기하자. 그렇다면, 는 노름 공간을 이룬다.

다차원 유계 변동 함수 
유계 열린집합 이 주어졌다고 하자. 임의의 함수 의 전변동을 다음과 같이 정의하자.

여기서

는 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 로 구성된 공간이다.
 연속 미분 가능 함수이다 ().
 어떤 콤팩트 집합 에 대하여, 이다.
 노름이 1 이하이다. 즉, 이다. 여기서 은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉, 의 -노름이 1 이하이다.)
그렇다면, 전변동이 유한한 함수들의 공간을 라고 하자.

그렇다면, 그 위에

를 정의하면, 이는 바나흐 공간을 이룬다.

성질

연산에 대한 닫힘 
임의의 열린집합 에 대하여, 만약 라면, 다음이 성립한다.

포함 관계 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

그러나

이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.

전변동 
만약 일 경우, 그 전변동은 다음과 같다.

마찬가지로, 만약 어떤 열린집합 에 대하여
 가 콤팩트 집합이며,
 가 어떤 매끄러운 다양체의  매장이라면, 
의 경우 는 유계 변동 함수이며,

이다.

특이점 
유계 변동 함수 는 두 증가 함수의 차이므로, 의 가산 개 점을 제외한 곳에서 f는 연속이며, [a, b]의 거의 어디서나 f의 도함수가 존재한다 (르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 |f'|는 르베그 적분 가능하다.

분해 불가능성 
는 분해 가능 공간이 아니다.
증명:
임의의 에 대하여, 지시 함수

를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립함을 알 수 있다.

이제, 임의의 에 대하여 열린 공들의 족

을 생각하자. 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이루며, 따라서 는 분해 가능 공간이 아니다.

예 
다음과 같은 함수는 에서 유계 함수이고 에서 연속 함수지만, 에서 유계 변동 함수가 아니다.
{|<
|style="width: 300px" | || 
|}
다음과 같은 함수는 에서 유계 함수이고 에서 연속 함수지만 에서 유계 변동 함수가 아니다.
{|
|style="width: 300px" | ||
|}
다음과 같은 함수는 에서 유계 함수이고, 연속 함수이며, 유계 변동 함수이다.
{|
|style="width: 300px" | || 
|}

참고 문헌

외부 링크 
 
 

실해석학