BRST 양자화

BRST 양자화() 또는 베키-루에-스토라-튜틴 양자화()는 게이지 이론을 양자화하는 한 방법이다. 게이지 이론은 비물리적인 대칭(게이지 대칭)을 지녀 그냥 양자화하기 어렵다. 게이지 대칭을 무시하고 그냥 양자화하면 그 힐베르트 공간이 양의 정부호의 내적을 얻지 못한다. 따라서 상태공간에 차수(grading)를 붙이고 코호몰로지를 만들어 물리적 힐베르트 공간을 얻는다.

역사 
카를로 베키(), 알랭 루에(), 레몽 스토라(), 러시아의 물리학자 이고리 빅토로비치 튜틴() 이 1970년대에 도입하였다.

전개 
게이지 이론의 상태공간 는 ℤ₂×ℝ차수가 붙은 벡터 공간 (graded vector space)을 이룬다. 여기서 ℤ₂는 반전성이고, ℝ은 유령수()다. 상태공간 위에 정의된 연산자도 마찬가지로 ℤ₂×ℝ차수가 붙어 있는데, 예를 들어 BRST 연산자 는 반전성  (홀수), 유령수 1을 가진다.

이 유령수 을 가진 상태공간의 부분공간이라고 하자. 그러면 이다. 이므로, 이는 코호몰로지를 이룬다. 이를 BRST 코호몰로지라고 한다.

실재하는 상태는 의 코호몰로지, 즉 벡터 공간 의 원소다.

일반적 게이지 이론의 양자화 
일련의 장 와 게이지 대칭 를 생각하자. 이들이 리 대수

를 만족한다고 하자. 경로적분을 위하여 게이지 고정 조건 을 가하자. 원래 이론의 (게이지 고정 전) 작용이 이라고 하면, 이론의 경로적분은 다음과 같다.

여기서 새 작용은 다음과 같다.

여기서 , 는 그라스만 장이다.

게이지 고정한 작용 는 다음과 같은 BRST 대칭을 만족한다.

여기서 은 그라스만 도움변수다. 이 연산자를 라고 부르자. 이는 을 만족한다. 따라서 실재하는 상태는 이다.

양-밀스 이론의 양자화 
리 대수 의 게이지군을 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 즉 게이지장은 의 값을 지닌 장이다. 게이지 고정 조건 을 도입하자. 이렇게 하면 게이지장 밖에 파데예프-포포프 유령장 와 가 필요하다. 여기에 보조장 를 추가하자.

그러면 작용은 다음과 같다.

여기에 BRST 연산자 를 다음과 같이 정의하자.

같이 보기 
 바탈린-빌코비스키 대수

각주

참고 문헌 
 
 
 
 
 
 

양자장론
양자색역학