완전 유계 공간

해석학에서 완전 유계 공간(完全有界空間, ) 또는 프리콤팩트 공간()은 임의적으로 "작은" 집합들로 구성된 유한 덮개를 갖는 공간이다. 여기서 임의적으로 "작은" 집합의 개념은 거리 공간 구조 또는 보다 일반적으로 균등 공간 구조로 정의된다.

정의 
균등 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 균등 공간을 완전 유계 공간이라고 한다.
 임의의 측근 에 대하여, 인 유한 -덮개 , 가 존재한다.
 의 완비화는 콤팩트 공간이다.
  위의 모든 필터는 코시 부분 필터를 갖는다.
  위의 모든 극대 필터는 코시 필터이다.
(이 조건들이 동치임을 보이는 것은 선택 공리를 필요로 한다.)

성질 
완전 유계성은 완비화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 균등 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 완전 유계 공간이다.
 의 완비화 는 완전 유계 공간이다.

균등 공간에 대한 하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 콤팩트 공간이다.
 완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이다.

완전 유계 거리 공간 
거리 공간은 자연스럽게 균등 공간 구조를 갖는다. 거리 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 완전 유계 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 에 대하여, 반지름이 인 열린 공들로 구성된 유한 -덮개가 존재한다.
 의 모든 점렬은 코시 부분 점렬을 갖는다.
즉, (코시) 필터 대신 (코시) 점렬을 사용할 수 있다.

모든 완전 유계 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

예 
유클리드 공간의 부분 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 유계 공간이다.
 완전 유계 공간이다.

완전 유계 공간이 아닌 유계 공간 
임의의 바나흐 공간의 단위 초구는 유계 공간이다. 그러나 임의의 바나흐 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 단위 초구가 완전 유계 공간이다.
 유한 차원 바나흐 공간이다.

모든 (유한 또는 무한) 이산 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 임의의 이산 거리 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 완전 유계 공간이다.
 유한 집합이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

계량기하학