적분 변환

함수해석학에서 적분 변환(積分變換, )은 어떤 핵()과의 적분으로 정의되는, 함수 공간 또는 단면 공간 위의 선형 변환이다.

정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발  및 
그렇다면, 곱공간 의 사영 함수

를 통해,  위의 매끄러운 벡터 다발

를 정의할 수 있다.

-핵(核函數, )은 다음과 같은 꼴의 매끄러운 단면이다.

(여기서 는 매끄러운 단면의 공간을 뜻하며, 는 무게 의 텐서 밀도의 실수 선다발을 뜻한다.)

일반화 단면 
에 추가로 매끄러운 노름이 주어졌다고 하자.

이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

여기서
 는 콤팩트 지지 매끄러운 단면들의 공간이다.
 은  위의, 무게 의 텐서 밀도의 실수 선다발이다.
이 위에는 균등 노름을 부여하여 노름 공간으로 만들 수 있다.

의 일반화 단면(一般化斷面, )의 위상 벡터 공간은 위 노름 공간의 연속 쌍대 공간이다. 이를

로 표기하자.

적분 변환 
-핵 에 대응되는 적분 변환은 다음과 같은 꼴의 실수 선형 변환이다.

성질 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 콤팩트 매끄러운 다양체 
  위의 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발  및 
 와  위의 (매끄러운) 노름
슈와르츠 핵 정리(Schwartz核定理, )에 따르면, 콤팩트 공간  위에서 핵의 공간과 적분 변환의 공간 사이에는 다음과 같은 표준적인 전단사 실수 선형 변환이 존재한다.

여기서 는 유계 작용소들의 노름 공간을 뜻한다.

예 
유클리드 공간 위의, 흔히 사용되는 적분 변환들은 다음과 같다.

역사 
슈와르츠 핵 정리는 로랑 슈와르츠가 1952년에 유클리드 공간에 대하여 발표하였다.

참고 문헌

같이 보기 
 미분방정식
 합성곱

외부 링크 

 
 
 
 
 
 

 
해석학 (수학)