파인먼-카츠 공식

확률론에서 파인먼-카츠 공식(Feynman-Kac公式, )은 확률 미분 방정식과 편미분 방정식이 어떤 관계를 맺고 있는지를 나타낸 공식이다. 이 공식을 통해 특정 확률 미분 방정식을 만족시키는 확률 과정을 찾기 위해서 어떤 편미분 방정식을 풀어야 하는지를 알 수 있으며, 따라서 이 공식은 금융공학에서 어떤 자산이 이토 확률 과정을 따르는 것으로 가정했을 때 이 자산을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격을 어떻게 구해야 하는지에 대한 해답을 찾기 위한 도구로 유용하게 쓰이고 있다.

파인먼-카츠 공식의 기본적인 근거는 어떤 함수 가 마팅게일일 경우 미분 계수 에서 시간 에 대한 변화율을 나타내는 항인 가 반드시 0이라는 데 있다. 따라서 만약 를 0으로 만들 수 있는 편미분 방정식을 찾을 수 있다면 이를 풀이함으로써 를 발견할 수 있다는 것이 파인먼-카츠 공식의 핵심적인 내용이다. 이 공식은 초기 조건 가 주어진 이토 확률 과정 에 대한 보렐 가측 함수 가 시점 에 갖는 값에 대한 시점 의 기댓값 가 마팅게일임을 이용하여 를 찾아내기 위해서 풀어야 할 편미분 방정식과 풀이에 필요한 최종 조건을 밝혀낸다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 확률 공간 
 유클리드 공간 . 그 벡터 지표를 로 나타내자 ().
  위의 위너 확률 과정 
 에 대한 이토 확률 과정 
 보렐 가측 함수 
 보렐 가측 함수 
 보렐 가측 함수 . 이는 퍼텐셜에 해당한다.

이제, 다음과 같은 확률 과정을 정의하자.

특히,

이다.

이제, 그 조건부 기댓값을 정의하자.

이 함수가 유계 함수라고 하자. 특히,

이다.

그렇다면, 이는 다음 2차 선형 비동차 편미분 방정식을 만족시킨다.

아인슈타인 표기법으로 합 기호를 생략하면, 이는 다음과 같다.

특히, 만약 인 경우 는 시간에 의존하지 않는 확률 과정, 즉 확률 변수가 된다.

이 경우

이다.

리만 다양체의 경우 
리만 다양체의 경우, 다음과 같은 파인먼-카츠 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.
 차원 연결 리만 다양체 . 그 벡터 지표를 로 나타내자 ()
 점  (초기 조건)
 양의 실수  (최종 시각)
그렇다면, 초기 조건이 인 연속 함수로 구성된 바나흐 공간

을 생각하자. 그 속에 소볼레프 공간인 캐머런-마틴 공간

을 부여하면, 이는 위너 공간을 이룬다. 즉,  위에, 열핵으로 유도되는 위너 확률 측도 가 존재한다.

또한, 임의의  (최종 조건)에 대하여, 마찬가지로

를 생각하자. 이 경우도 마찬가지로 캐머런-마틴 공간

을 통하여 위너 공간을 이루며, 이는  위의 확률 측도의 조건부 확률이다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.
  (퍼텐셜 함수)
  (초기 조건)
그렇다면, 실수 힐베르트 공간

위에 자기 수반 작용소인 해밀토니언 연산자

를 정의할 수 있다. (라플라스-벨트라미 연산자 는 음이 아닌 스펙트럼을 가지므로,  전체로 유일한 프리드릭스 확장()을 갖는다.)

이제, 이에 대한 열 방정식

을 생각할 수 있다. (해석학적 이유로 인하여, 복소수 힐베르트 공간 대신 실수 힐베르트 공간, 슈뢰딩거 방정식 대신 열 방정식을 사용하였다. 물리학에서 이는 시간의 윅 회전에 해당한다.) 힐베르트 공간의 이론으로 인하여, 이는 항상 유일한 해

를 갖는다. 브라-켓 표기법으로 이는

이다.

파인먼-카츠 공식에 따르면, 이 방정식의 해는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

증명 
편의상 , 인 경우만을 생각하자.

의 마팅게일 특성 
만약 시점 가 주어졌을 경우, 시점 와 에 가 갖는 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이 두 식과 반복 조건(iterated condition)의 법칙을 활용해 시점 에 가 갖는 기댓값을 다음과 같이 정리할 수 있다.

따라서 는 마팅게일이다.

편미분 방정식의 도출 
이토 확률 과정 에 대한 확률 미분 방정식의 해를 라고 하자. 가 마팅게일이므로 미분 계수 에서 시간 에 대한 변화율을 나타내는 항인 는 반드시 0이다. 미분 계수 를 정리하면 다음과 같다.

따라서 항 의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든 에 대해 가 만족시키는 편미분 방정식을 구할 수 있다.

역사 
리처드 파인먼과 마레크 카츠(, , 1914〜1984)의 이름을 땄다.

파인먼은 이 공식을 양자역학의 경로 적분을 정의하기 위하여 유도하였으나, 엄밀하게 증명하지 않았다. 마레크 카츠가 이 공식의 엄밀한 증명을 1949년에 출판하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

미분방정식
확률론
확률미적분학
수학 정리
리처드 파인만
확률 과정