볼차노-바이어슈트라스 정리

해석학과 일반위상수학에서 볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstraß定理, )는 유클리드 공간에서 유계 닫힌집합과 점렬 콤팩트 공간의 개념이 일치한다는 정리이다.

특례

실수 
실수 집합 에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, 실수 유계 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다.

실수에 대한 증명 
이는 단조 부분 수열 정리 및 단조 수렴 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

단조 부분 수열 정리에 따르면, 실수 수열은 항상 단조 부분 수열을 갖는다. 증명은 다음과 같다.

실수 수열 에 대하여, 자연수의 성질 를 다음과 같이 도입하자.

즉, 번째 항이 뒤에 오는 모든 항보다 크다는 성질이다.

만약 를 만족하는 무한 개의 자연수

가 존재한다면, 은 단조 부분 수열이다.

만약 를 만족하는 자연수가 유한 개라면,

라고 하였을 때, 이므로,

인 이 존재한다. 마찬가지로,

인 가 존재한다. 즉, 은 단조 부분 수열이다.

실수 유계 수열 에 대하여, 위 정리에 따라, 단조 부분 수열 이 존재한다. 또한, 이는 동시에 유계 수열이므로, 단조 수렴 정리에 따라 수렴 수열이다. 즉, 실수 유계 수열은 항상 수렴 부분 수열을 갖는다.

유클리드 공간 
유클리드 공간 에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면,  속 유계 수열 은 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 유계 닫힌집합 은 점렬 콤팩트 공간이다.

더 나아가, 유클리드 공간의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
 는 점렬 콤팩트 공간이다.
 는 유계 닫힌집합이다.

유클리드 공간에 대한 증명 
유클리드 공간에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리는 실수에 대한 정리로부터 유도할 수 있다.

(유계 닫힌집합 ⇒ 점렬 콤팩트 공간) 유계 닫힌집합  속 수열

에 대하여, 은 유계 수열이므로, 실수에 대한 정리에 따라, 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 이 수렴하게 되는, 의 부분 수열 이 존재한다.

마찬가지로, 이 수렴하게 되는, 의 부분 수열 이 존재한다. 이때,  역시 수렴한다.

이와 같이 반복하면, 임의의 에 대하여 이 수렴하게 되는, 의 부분 수열 을 얻으며, 이는 물론 수렴 부분 수열이며, 가 닫힌집합이므로, 극한은 의 원소이다.

(점렬 콤팩트 공간 ⇒ 유계 닫힌집합) 점렬 콤팩트 집합 이 유계가 아니라면,

이도록 정의된 수열이 존재하며, 이는 수렴 부분 수열을 갖지 않으므로, 모순이 된다.

또한,  속의, 에서 수렴하는 수열에 대하여, 에서 수렴하는 부분 수열이 존재하며, 그 극한이 원래 수열의 것과 같으므로, 원래 수열도 에서 수렴한다. 즉, 는 닫힌집합이다.

거리 공간에서의 실패 
거리 공간에서, 점렬 콤팩트 공간은 항상 유계 닫힌집합이나, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 정수 집합 에 이산 거리 함수를 주었을 때, 유계 집합이며 닫힌집합이지만, 그 속의 수열 은 수렴 부분 수열을 갖지 못한다.

역사 
보헤미아의 베르나르트 볼차노와 독일의 카를 바이어슈트라스가 증명하였다.

같이 보기 
 실수의 완비성#볼차노-바이어슈트라스 정리
 하이네-보렐 정리
 콤팩트 공간#유클리드 공간의 콤팩트 집합

각주

참고 문헌 
 Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006.

외부 링크 
 
 

실해석학 정리
위상수학 정리