아벨-디니 판정법

해석학에서 아벨-디니 판정법(Abel-Dini Test or Abel and Dini Test) 혹은 아벨-디니 정리(Theorem of Abel and Dini)란, 어떤 양수항의 발산하는 무한급수로부터 새로운 수렴급수 혹은 발산급수를 유도해내는 방법을 제공해 주는 정리이다. 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)과 이탈리아의 수학자 울리세 디니(Ulisse Dini)의 이름이 붙어 있다. p-급수 판정법의 폭넓은 형태의 일반화로 볼 수 있는 이 판정법은 양수항 급수의 판정법들 중 비교적 고급에 속한다.

공식화
아벨-디니 판정법은 다음과 같이 공식화될 수 있다.
양수항 수열  에 대하여, 급수  가  이 무한대로 갈 때 발산한다고 가정하자.
그러면, 새로운 수열  에 대하여, 는  일 때 수렴하고,  일 때 발산한다.

증명
이 정리의 증명은 크게 두 경우로 나누어 진행할 수 있다.

r이 1보다 같거나 작은 경우
이 경우  이  인 경우만 증명하면 비교 판정법에 의하여 나머지는 자명하다. 이를 가정하자. 그리고 임의의  번째 항부터  번째 항까지를 나열하면,

와 같이 된다. 그런데 가정에 의하여  은  이 증가함에 따라 계속해서 무한대까지 증가하므로,  항을 고정하면 이    보다 작도록 에 대한  을 잡을 수 있다. 따라서 이 때,

이 성립한다. 이 조건은 코시 수렴 판정법에 어긋난다. 왜냐하면 이 판정법에 의하면, 어떤 무한급수가 수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 수 에 대해 적당한  이 존재하여 이 항부터 임의의 길이로 잡은 항들의 합이 항상  보다 작게 되어야 하기 때문이다. 그런데 위 부등식이 성립하면,  이 보다 같거나 작게 잡으면 이 조건이 성립하지 않는다. 따라서 이 급수는 발산한다.

r이 1보다 큰 경우
이 경우에는 아래에 나오는 프링스하임 판정법을 이용하면, 비교 판정법에 의해 명백하다.

프링스하임 판정법
아벨-디니 판정법과 유사한 형태를 가진 판정법으로 프링스하임 판정법(Pringsheim's Test)이 있다. 이 판정법은 다음과 같은 형태를 가지는데, 아벨-디니 판정법의 수렴 부분에서 조금 더 강한 형태이다. 이에는 독일의 수학자 알프레트 프링스하임(Alfred Israel Pringsheim)의 이름이 붙어 있다. 다음과 같이 공식화된다.
양수항 수열  에 대하여, 급수  가  이 무한대로 갈 때 발산한다고 가정하자.
그러면, 새로운 수열  에 대하여, 는  일 때 수렴한다.

r이 1일 때의 발산성
위 아벨-디니 판정법에서, 이 인 경우에도 은 발산한다. 실제로 이 때에 그 발산성은,
 ~ 
와 같이 된다.(이 때  자체는 으로 수렴한다는 조건이 필요하다) 즉,  이 무한대로 가는 극한에서 이 두 수열의 비가 1이 된다.

이는 간단하게 보일 수 있다. 먼저, 기본적인 극한의 성질에 의하여,

은 에서  로 수렴한다. 그런데,

이므로, 위 식은,

처럼 다시 쓸 수 있다. 이제 여기에 슈톨츠-체사로 정리를 적용하면, 다음과 같은 수열

역시  로 수렴하게 된다.

같이 보기 
 급수
 무한급수의 수렴 판정법

참고 문헌 
Konrad Knopp, Theory And Application of Infinite Series, Dover, 1990

수렴판정법
해석학 (수학)