사다리 연산자

양자역학에서 사다리 연산자()는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고윳값을 증가시키는 올림 연산자()와 감소시키는 내림 연산자()가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다.

정의 
주어진 에르미트 연산자 에 대하여, 연산자 가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 를 의 사다리 연산자라고 한다. 

여기서 c는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 N에 대한 고윳값이 n 인 고유벡터 |n〉의 고유값을 c 만큼 변화시키는 역할을 한다.

즉, 

이다. c 가 양수인 경우 는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 를 올림 연산자, c가 음수인 경우 는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 의 에르미트 수반 연산자  또한 사다리 연산자이며

고유벡터의 고유값을 의 반대방향인 -c만큼 변화시키는 역할을 한다.

사다리 연산자가 존재하면, 의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어, 이며 의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자 를 사용하여

와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다.

예

양자 조화 진동자 

사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계

의 표현이다. 이는 하이젠베르크 군의 리 대수에 해당한다. 이 경우, 소멸 연산자 와 생성 연산자  및 입자수 연산자 을 다음과 같이 정의하자.

여기서 은 (질량과 각진동수를 1로 놓은) 양자 조화 진동자의 진동 모드 수이며, 와 는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면

이다. 따라서, 의 고유벡터 이 주어지면

이 된다. 즉, 바닥 상태 으로부터 생성 연산자를 가해, 하이젠베르크 군의 표현을 지을 수 있다.

각운동량 

양자역학에서, 각운동량의 이론은 회전군 SO(3) 또는 Spin(3)=SU(2)의 군 표현론에 의하여 결정된다. 이 경우, 각운동량 연산자 은 SU(2)의 리 대수

를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다.
,

그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.

따라서, 상태들을 의 고유상태 로 나타내면,

이 된다. 최고 스핀 상태 는 로 상쇄되는 상태이다.

그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 표현을 지을 수 있다.

SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면, 은 정수 또는 반정수이며, 또한

이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량 에 의해 결정되며, 그 차원은 이다.

단순 리 군 
SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다. 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 최고 무게 상태()로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

등각 대수 

등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

따라서, 에 대하여,

이므로, 특수 등각 변환 는 내림 연산자, 운동량 는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화()의 경우 가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. 에 의해 상쇄되는 상태를 일차 상태()라고 하며, 이는 와 에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 이차 상태()라고 한다.

비라소로 대수 

비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

따라서, 에 대하여, 은 내림 연산자, 은 올림 연산자이다 ().

등각 장론에서, 최고 무게 상태는 일차 상태() 로 알려져 있으며, 의 고윳값 로 나타내어진다.

일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자 을 가하여 만들 수 있다.

이러한 표현을 비라소로 대수의 베르마 가군이라고 한다.

참고 문헌 

 

양자역학