초다양체

초다양체(超多樣體, )는 초대칭을 고려하여 다양체의 개념을 일반화시킨 것이다. 비가환 다양체의 특정한 종류나, 일반적 비가환 공간보다 훨씬 더 정규적이어서, 미분기하학 등을 할 수 있다.

정의

초공간 

음이 아닌 정수 를 생각하자. (는 보손적 차원의 수, 는 페르미온적 차원의 수다.) 차원의 초공간은 다음과 같은 데이터로 주어진 환 달린 공간이다.
 두 실수 벡터 공간 ,  (, )
 자명한 벡터 다발 
 의 매끄러운 단면으로 구성되는,  등급 실수 결합 대수의 층 
이 층의 단면

은 다음과 같이 “테일러 급수” 전개를 갖는다.

이에 따라, 이는 “가환 좌표” 와 “반가환 좌표” 에 대한 “함수”로 여겨질 수 있다. 

이 환 달린 공간을 로 표기하자.

초다양체 
음이 아닌 정수 를 생각하자. (는 보손적 차원의 수, 는 페르미온적 차원의 수다.) 차원의 초다양체는 다양체이자, 국소적으로 와 동형인 환 달린 공간이다.

이는 일반적 매끄러운 다양체의 정의 (국소적으로 와 동형인 환 달린 공간)과 유사하다.

초다양체 위의 미분 형식 
직교 좌표계 를 갖는 초공간  위의 미분 형식들의 층은 다음과 같은,  등급 미분 등급 대수의 층이다.

임의의 차원 초다양체 의 미분 형식들의 층은 초공간 위의 미분 형식의 층들을 짜깁기하여 얻어진다.

분류 
이 매끄러운 다양체라고 하고, 가  위의 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 외대수 의 매끄러운 단면들의 층을 갖춘 은 초다양체를 이룬다. 이를 라고 쓴다. 는 매끄러운 벡터 다발의 범주에서 초다양체의 범주로 가는 함자이다.

특히, (접다발)인 경우 은 미분 형식들의 층 이다.

배첼러 정리(Batchelor定理, )에 따르면, 이 함자는 사실상 전사 함자이다. 즉. 모든 초다양체는 의 꼴의 초다양체와 동형이다. 그러나 이는 표준적이지 못하며, 또한, 함자 는 (초다양체의 범주에 동치류를 취하더라도) 범주의 동치를 이루지 않는다. 이는 초다양체의 사상이 벡터 다발 사상과 매우 다르기 때문이다. 구체적으로, 두 매끄러운 벡터 다발 , 이 주어졌을 때, 그 사이의 벡터 다발 사상

은 초다양체의 사상

을 유도하는데, 층 단면의 밂

는 (외대수에서 유도되는)  값의 차수를 보존하지만, 일반적으로 초다양체의 사상은  차수만을 보존한다.

초다양체 사상의 분류 
임의의 두 초다양체 , 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서
 는 실수 위의,  등급을 갖는 실수 등급 대수의 범주이다.
즉, 이는 함자

를 정의한다. 또한, 이는 충실충만한 함자이다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 초공간
 초대칭
 매끄러운 다양체
 비가환 공간

다양체 상의 구조
수리물리학
초대칭