하이네-칸토어 정리

해석학에서 하이네-칸토어 정리(Heine-Cantor定理, )는 두 균등 공간 사이의 함수에 대하여, 만약 정의역이 콤팩트 공간이라면 연속 함수의 개념과 균등 연속 함수의 개념이 일치한다는 정리다.

정의 
콤팩트 균등 공간 와 균등 공간  사이의 함수 가 주어졌다고 하자. 하이네-칸토어 정리에 따르면, 가 연속 함수인 것과 균등 연속 함수인 것은 동치이다.
증명:
모든 균등 연속 함수는 자명하게 연속 함수이다. 반대로, 연속 함수  및 임의의 측근 가 주어졌다고 하자. 그렇다면

가 성립하는 측근 를 찾으면 족하다.

우선,

인 대칭 측근 를 찾자.

가 연속 함수이므로, 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근 들이 존재한다.

이제

인 측근 들을 고르자. 이제,

는 의 열린 덮개이므로, 콤팩트성에 의하여 유한 부분 덮개

가 존재한다. 이제,

인 측근 를 고르자.

이제, 임의의 에 대하여 이라고 하자. 그렇다면,

인 가 존재한다. 따라서

이므로

이며, 따라서

이며, 따라서

이다.

예 
균등 공간에 대하여, 콤팩트 공간인 것은 완전 유계 공간이자 완비 균등 공간인 것과 동치이다 (하이네-보렐 정리). 만약 정의역이 완전 유계 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아니라면 하이네-칸토어 정리는 일반적으로 성립하지 않는다.
 탄젠트 함수 는 정의역이 완전 유계 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.
 지수 함수 는 정의역이 완비 거리 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.

역사 
게오르크 칸토어의 집합론 및 실수의 구성을 바탕으로, 독일의 수학자 에두아르트 하이네가 정의역이 폐구간이고 공역이 실직선인 경우의 하이네-칸토어 정리를 1872년에 증명하였다. 이 논문에서 하이네는 다음과 같이 적었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

위상수학 정리
해석학 정리
일반위상수학
연속 함수
계량기하학