조화급수

조화급수(harmonic series) 란 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 급수로, 다음의 발산하는 무한급수를 가리킨다.

 

조화급수라는 명칭은 배음 또는 음악의 화성학에서 유래되었다. 악기의 진동하는 현의 배음의 파장은 현의 기본 파장의 1/2, 1/3, 1/4, ...에 해당하는 값이다. 첫 번째 값 이후에 나오는 모든 값들은 이웃 값의 조화 평균이다. 조화 평균이라는 명칭 또한 음악에서 유래하였다.



역사 
조화급수가 발산한다는 사실은 14세기 니콜 오렘에 의해 처음 증명되었으나, 이 발견은 세상에서 잊혀졌다. 그 후 17세기 피에트로 멩골리(Pietro Mengoli), 요한 베르누이, 야코프 베르누이에 의해 다시 증명되었다.

역사적으로 조화급수는 건축가들에게 특히 인기 있었다. 이러한 경향은 바로크 시대에 특히 강해서, 건축가들은 교회와 궁전을 건축할 때 평면도 및 입면도상의 비례와 건물 내·외부간의 건축 디테일의 조화를 위해 조화급수를 사용하였다.

발산성 
수열 각각의 항은 점차 0 에 가까워지고 있음에도 불구하고, 총합은 무한대로 발산한다. 발산하는 속도는 매우 느려서 에 가깝다(그래서, 조화수열과 자연로그의 오차의 극한을 나타내는 상수로 오일러-마스케로니 상수가 있다). 조화급수는 최초 개의 항을 더해도 100을 넘지 않는다. 따라서 이 급수는 수열의 항의 극한값이 0임에도 급수의 값은 수렴하지 않는 예로 자주 등장한다.

비교판정법 
니콜 오렘의 가장 유명한 발산 증명으로 개씩 항을 묶어 비교하여 작은 쪽 값의 수열의 합이 발산함을 보여서 큰 값의 수열도 발산함을 증명하는 다음과 같은 기법이다.

 

조화급수보다 작은 급수가 발산하므로, 조화급수도 발산하게 된다.

적분판정법 

적분판정법으로도 간단하게 발산함을 증명할 수 있다.

조화급수는 우측 그림에서 색칠한 사각형들의 넓이를 모두 더한 것이 된다.
그런데 만약 곡선 의 아래쪽 넓이가 무한대로 발산한다면, 조화급수도 발산하게 된다.
곡선 아래쪽의 넓이는 적분으로 다음과 같이 계산한다.

조화급수의 최초  항까지 더한 값()과 1부터  까지의 구간을 적분한 값()은 적분판정법에 의하여 동시에 발산하게 된다. 그런데

이다.

따라서 적분 판정법에 의해 조화급수도 동시에 발산하게 된다.

잘 알려진 성질 
이 무한급수는 리만 제타 함수에 1을 대입했을 때 얻어지는 수열이다. 따라서 리만 제타 함수는 1에서 특이점을 가지게 된다.

부호를 번갈아가며 쓴 교대조화급수(alternating harmonic series)는 수렴한다. 그 수렴 값은 이다. 하지만, 교대조화급수의 경우 원래의 조화급수가 발산하므로 절대 수렴하지 않는다. 따라서, 교대조화급수의 경우 항을 재배치하여 원하는 어떤 실수 값이든 만들어낼 수 있으며, 오직 가장 정상적인 자연수 순서대로 더해야 로 수렴한다.

같이 보기 
 리만 가설
 조화 수열
 조화수
 리만 제타 함수

각주 

급수