베티 수

베티 수()는 위상 공간의 호몰로지 군의 계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는 며, 0이거나, 양의 정수이거나, 이다. 좀 더 다루기 쉬운 (콤팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느 부터 에 대하여 이다.

정의 
위상 공간 , 음이 아닌 정수 , 체 가 주어지면, 번째 베티 수 는 번째 특이 호몰로지 공간 의 (에 대한 벡터 공간으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

일반적으로, 가 주어지지 않았을 때에는  (유리수)를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간 의 계수와 같다. 의 표수가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약 가 주어지지 않으면 암묵적으로 이다.

콤팩트 공간이나 CW 복합체의 베티 수는 어떤 유한한  이상으로는 에 대하여 이다. 따라서 베티 수를 생성함수로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식()이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식 는 다음을 만족한다.

무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 급수()를 정의할 수 있다.

성질 
거칠게 말해서, 일 때 베티 수 는 차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 예를 들어 구 의 베티 수는 일 때에만 1이고 나머지 경우엔 0이다.

유한한 CW 복합체 의 경우 오일러 지표와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다.
임의의 체 에 대하여, 
여기서 는 오일러 지표이다.

임의의 (베티 수열이 유한한) 위상 공간 와 에 대하여 그 곱공간 의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 곱이다.

마찬가지로,와 의 분리합집합 의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 합이다.

닫힌 n차원 가향 다양체 의 경우, 베티 수는 다음 관계를 만족한다.

이는 푸앵카레 쌍대성 으로부터 유도할 수 있다.

예 
차원 초구 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

차원 원환면 의 푸앵카레 다항식은 원의 푸앵카레 다항식으로부터 다음과 같다.

차원 실수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

무한 차원 실수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

차원 복소수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

무한 차원 복소수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

종수 의 콤팩트 유향 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

K3 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

리 군 
콤팩트 단일 연결 단순 리 군 의 푸앵카레 다항식들은 다음과 같은 꼴이다.

여기서 는 원시 지수()라고 하며, 다음과 같다.

역사 
앙리 푸앵카레가 엔리코 베티의 이름을 따서 명명하였다.

외부 링크 
 
 
 

대수적 위상수학
위상 그래프 이론