스튜던트 t 분포

스튜던트 t 분포(Student t分布, )는 정규 분포의 평균을 측정할 때 주로 사용되는 분포이다.

정의 
스튜던트 t 분포는 다음 확률변수의 분포로 정의된다.

여기에서 는 표준정규분포, 는 자유도 인 카이제곱 분포이다.

t 분포는 종모양으로서 t=0에서 좌우대칭을 이룬다. t 분포의 모양을 결정하는 것은 자유도이며, 자유도가 커질수록 표준정규분포에 가깝게 된다.

정규분포에서의 추정 
어떤 정규분포의 평균이 이고 분산이 일 때, 그 분포에서 n개의 표본을 추출한 것을 라고 표기한다. 표본평균과 표본분산은 다음과 같다.

이 값들은 실제 평균과 분산에 대한 불편추정값이다. 이때,

은 자유도가 인 카이제곱 분포가 된다는 것이 Cochran 정리에 의해 알려져 있다. 또한

는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 가지며, 는 서로 독립이라는 것을 증명할 수 있다.

이때 에서  대신 로 대체한 추축량(pivot quantity)은 다음과 같다.

이때 에는 가 사용되지 않으므로, 이 분포는 분산을 모를 때의 평균값 를 추정하는 데에 사용이 가능하다. 이때 의 분포는 자유도 n-1인 t-분포가 된다.

구간 추정 
자유도 n-1인 t 분포 에 대해,

을 만족하는 실수 는 수치적으로 계산이 가능하다. 이때,

이므로, 정규분포의 평균은 90%의 신뢰도로  신뢰구간에 속하게 된다.

역사 
프리드리히 로베르트 헬메르트()가 1875년에 도입하였다. 이듬해 야코프 뤼로트()도 같은 분포를 재발견하였다. 그러나 헬메르트와 뤼로트의 논문은 영문 학계에 널리 알려지지 않았다.

1908년에 윌리엄 고셋이 "스튜던트"(, ‘학생’)라는 필명으로 1908년 재발견하였다. 고셋은 기네스 양조 공장에서 일했고, 맥주에 사용되는 보리의 질을 시험하기 위해 이 분포를 도입하였고, 경쟁사들에게 기네스의 획기적인 통계 기법을 숨기기 위해 필명을 사용하였다고 한다. 이후 저명한 통계학자인 로널드 피셔는 이 분포를 "스튜던트 분포"라고 불렀고, t라는 기호를 사용하였다. 피셔 이후 이 분포는 고셋의 필명을 따 "스튜던트 t 분포"로 알려지게 되었다.

참고 문헌

같이 보기 
 카이제곱 분포
 F 분포
 정규분포
 t-test
 t 테이블

연속분포
정규 분포