몰바이데의 공식

몰바이데의 공식(, Mollweide's formula, -公式)은 삼각법과 유클리드 평면 기하학의 정리로, 임의의 삼각형에서 두 변의 길이 합 또는 차와 다른 변의 길이를 연관시키는 공식이다. 독일 수학자 카를 몰바이데(Karl Mollweide)의 이름이 붙어 있다.

각 변의 길이를 A, B, C, 그리고 그 변과 마주보는 각의 크기를 a, b, c라 하면 몰바이데의 공식은 다음과 같이 두 식으로 쓸 수 있다.

 
 

여기서 A, B, C의 선택은 임의의 변에 대해 가능하므로, 실제 한 삼각형에 대해 적용되는 몰바이데의 공식은 개가 된다.

증명 

첫 번째 식만 증명한다. 사인 법칙과 삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식, 배각 공식을 이용하면

으로 원하는 결론을 얻는다.

삼각형의 결정 조건 
몰바이데의 공식은 삼각형의 결정 조건을 검증할 때 자주 이용된다. 먼저 A + B > C를 몰바이데의 공식에 의해 풀어 쓰면,

 

이고, 양 변을 전개하면,

 

이 되는데, 이는 삼각형에서 사인의 성질에 의해 항상 성립하는 식이다. 또 A - B < C를 몰바이데의 공식에 의해 풀어 쓰면,

 

인데 양 변을 전개하면,

 

이고, 이는 삼각형에서 사인과 코사인의 성질에 의해 항상 성립하는 식이다.

같이 보기 
 사인 법칙
 코사인 법칙
 탄젠트 법칙
 코탄젠트 법칙

참고 문헌 
 Michael Sullivan, Trigonometry, Dellen Publishing Company, 1988, p. 243.

삼각법
삼각 기하학
평면기하학 정리