준동형 정리

추상대수학에서 준동형 정리(準同型定理, )는 수학의 여러 분야에서 나타나는 준동형에 관한 기초적인 정리이다. 동형 정리와 밀접한 관련이 있으며, 이를 증명하는 데 이용되기도 한다.

정의 
같은 형의 대수 구조 와  및 그 사이의 준동형 가 주어졌다고 하자. 그렇다면  위에 합동 관계 를

로 정의할 수 있다. 가 보다 더 고른  위의 합동 관계라고 하자. 즉,

라고 하자. 또한, 가 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. 준동형 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.
 인 준동형 가 유일하게 존재한다.
 만약 가 전사 함수라면  역시 전사 함수이다.
 만약 라면, 는 단사 함수이다.
이로부터 제1 동형 정리를 따름정리로 얻을 수 있다.

예 
이 정리는 보편 대수학의 정리이므로, 임의의 대수 구조에 대하여 성립한다.

군에 대한 형태 
군 준동형  및 정규 부분군 가 있고, 라고 하자. 가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
 인 군 준동형 가 유일하게 존재한다.
 만약 가 전사 함수라면  역시 전사 함수이다.
 만약 라면, 는 단사 함수이다.

환에 대한 형태 
환 준동형  및 의 아이디얼 가 있고, 이라고 하자. 또한, 가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
 인 환 준동형 가 유일하게 존재한다.
 만약 가 전사 함수라면  역시 전사 함수이다.
 만약 이라면, 는 단사 함수이다.

가군에 대한 형태 
환 의 왼쪽 가군  사이의 가군 준동형  및 의 부분 가군 가 있고, 이라고 하자. 또한, 가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
 인 가군 준동형 이 유일하게 존재한다.
 만약 가 전사 함수라면  역시 전사 함수이다.
 만약 이라면, 는 단사 함수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 플래닛매스, 군론에서의 형태 증명

같이 보기 
 동형 정리
 대수 구조
 준동형

추상대수학
기본 정리