방접원

기하학에서 방접원(傍接圓, )은 주어진 삼각형의 한 변에 접하고 남은 두 변의 연장선에 접하는 원이다. 방심(傍心, )은 방접원의 중심을 일컫는다. 방심은 삼각형의 한 내각과 그와 이웃하지 않은 두 외각의 이등분선이 만나는 점이다. 삼각형에는 세 변을 따라 3개의 방접원과 3개의 방심이 있다.

정의 
삼각형 의 세 변의 직선에 동시에 접하는 원은 정확히 4개 존재한다. 한 원은 세 변의 내부에서 접하며, 이를 삼각형 의 내접원이라고 한다. 남은 3개의 원은 각각 꼭짓점 , , 의 대변의 내부와 남은 두 변의 연장선에서 접하며, 이들을 각각 꼭짓점 , , 와 마주보는 삼각형 의 방접원이라고 한다. 세 방접원의 중심을 방심 , , 라고 한다. 세 방심을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 방심 삼각형(傍心三角形, ) 라고 한다. 방심 삼각형의 외접원을 베번 원(圓, )이라고 하며, 베번 원의 중심(즉, 방심 삼각형의 외심)을 베번 점(點, ) 라고 한다.

성질 
방심과 삼각형의 세 변 사이의 거리는 같다. 이는 이 방심을 중심으로 하는 방접원의 반지름이다. 방심은 두 외각의 이등분선과 남은 한 내각의 이등분선의 교점이다.

포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 구점원은 이 삼각형의 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접한다.

반지름 
삼각형 의 꼭짓점 , , 의 대변의 길이를 , , 라고 하고, 반둘레를 라고 하고, 넓이를 라고 하자. 또한 외접원과 내접원의 반지름을 각각 와 라고 하고, 꼭짓점 , , 와 마주보는 방접원의 반지름을 , , 라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

접점 
삼각형 의 꼭짓점 , , 와 마주보는 방접원의 대변과의 접점을 , , 이라고 하자. 그렇다면 직선 , , 은 모두 삼각형 의 둘레를 이등분한다. 즉, 반둘레를 라고 할 때 다음이 성립한다.

방심 삼각형과 베번 점 
삼각형 의 내심을 , 각 꼭짓점 , , 와 마주보는 방심을 , , 라고 하자. 그렇다면 방심 삼각형의 꼭짓점 , , 에서 대변에 내린 수선의 발은 각각 점 , , 가 되며, 세 수선의 교점은 내심 가 된다. 특히, 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이며, 삼각형의 내심과 세 방심은 수심계를 이룬다. 모든 삼각형의 외심은 내심과 베번 점의 중점이다. 모든 삼각형의 슈피커 중심은 수심과 베번 점의 중점이다. 삼각형 의 한 꼭짓점 에서 대변에 내린 수선의 중점 , 그 꼭짓점과 마주보는 방접원의 접점 , 그리고 내심 는 같은 직선 위에 있다.

방심 삼각형의 수심 삼각형, 또는 수심 삼각형의 방심 삼각형은 원래 삼각형이다. 즉, 수심 삼각형과 방심 삼각형을 취하는 연산은 서로 역연산이다.

삼각형 의 반둘레를 라고 하고, 외접원의 반지름을 라고 하자. 그렇다면 방심 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

나겔 점과 외촉 삼각형 

삼각형 의 각 꼭짓점 , , 를 마주보는 방접원과 대변의 접점을 각각 , , 라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 , , 는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 의 나겔 점()) 이라고 한다. 나겔 점에 대한 체바 삼각형(즉, 세 방접원의 접점을 꼭짓점으로 하는 삼각형)을 외촉 삼각형() 이라고 한다. 나겔 점의 이름은 독일의 수학자 크리스티안 하인리히 폰 나겔()에서 왔다.

꼭짓점 , , 의 대변의 길이를 각각 , , 라고 하고, 반둘레를 라고 하자. 그렇다면

이므로,

이다. 체바 정리에 의하여, , , 는 공점선이다.

각주

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

삼각 기하학