마팅게일

확률론에서 마팅게일(, )은 확률 과정의 하나로, 과거의 모든 정보를 알고 있다면 미래의 기댓값이 현재 값과 동일한 과정이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 전순서 집합 
 여과 확률 공간 
 유클리드 공간 . 이는 보렐 가측 공간으로 가정한다. (르베그 시그마 대수가 아니다.)
그렇다면,  위의 순응 확률 과정 이 만약 다음 두 조건을 만족시킨다면, 마팅게일이라고 한다.
 (기댓값의 존재) 임의의 에 대하여, . 즉, 이다.
 (마팅게일 성질) 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다. 여기서 는 의 지시 함수이다.
 물론, 이 정의에서 인 경우는 자명하게 참이다.
여기서 는 조건부 기댓값을 뜻한다.

마팅게일의 정의의 둘째 조건은 다음과 같이 풀어 해석할 수 있다.
현재 까지의 정보()만을 알고 있다면, 미래 에서의 의 값 의 기댓값 은 현재의 기댓값 과 같다.

열마팅게일과 우마팅게일 
이라고 하자. 마팅게일의 정의에서, 둘째 조건을 다음과 같이 대체할 경우, 열마팅게일(劣martingale, )의 개념을 얻는다.
 (열마팅게일 조건) 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.
마찬가지로, 마팅게일의 정의에서, 둘째 조건을 다음과 같이 대체할 경우, 우마팅게일(優martingale, )은 의 개념을 얻는다.
 (우마팅게일 조건) 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.
만약 가 열마팅게일이라면, 는 우마팅게일이며, 그 역도 마찬가지다. 열마팅게일이자 우마팅게일인 확률 과정은 마팅게일이다.

이산 시간 마팅게일 
다음과 같은 특별한 경우를 생각하자.
 가 의 자연 여과 확률 공간이다.
그렇다면, 마팅게일의 정의의 둘째 조건은 다음과 같이 나타내어진다.
 
특히, 인 경우를 생각할 수 있다.

예를 들어,  (자연수 집합)인 경우를 생각하자. 이는 이산 시간 확률 과정에 해당한다. 이 경우, 가 마팅게일이 될 조건은 다음과 같다.
 (기댓값의 존재) 임의의 에 대하여, 
 (마팅게일 성질) 
이 조건은 인 경우로, 일반적 정의보다 더 약한 것처럼 보이지만, 사실

와 같이 수학적 귀납법으로 모든 에 대하여 성립함을 보일 수 있다. 여기서 는 의 자연 여과 확률 공간이다.

예 
마팅게일의 대표적인 예로는 무작위 행보가 있다.

역사 
마팅게일()이라는 단어는 프랑스 남부의 지명 마르티그에서 유래한다. 마르탱갈은 18세기 프랑스에서 유행하였던 도박 전략의 하나를 일컫는 단어였다. 이 전략은 한 판을 이겼을 때 얻는 금액과 한 판을 졌을 때 잃는 금액이 같고 이길 확률과 질 확률 역시 동일한 형태의 도박을 할 때 사용할 수 있는 전략으로, 졌을 때 다음 판에 이번 판의 두 배에 해당하는 판돈을 걸면 결국 언젠가 이기는 순간 첫 판의 판돈에 해당하는 금액이 최종 수익으로 남게 된다는 점에 착안하여 이에 상응하는 베팅 방식을 고수한다. 만약 도박을 하는 사람의 재산이 무한하다면 거의 확실하게 이기는 순간이 오기 때문에 언젠가는 돈을 딸 수 있지만, 실제로는 재산이 유한하기 때문에 돈을 따기 전에 가진 돈을 잃을 확률이 존재하게 된다. ‘마르탱갈’이라는 단어는 이 전략의 어리석음을 마르티그 지방 사람들의 (파리 사람들의 편견에 따르면) 어리숙하고 순진함에 빗댄 것이다.

폴 피에르 레비()가 처음으로 확률론에 이 마팅게일 전략을 도입하였으며, 조지프 두브 역시 마팅게일의 이론적 발전에 크게 기여하였다. 확률론에 마팅게일이 도입된 이유 중의 하나는 마팅게일 전략으로 도박을 통해 수익을 얻는 것이 불가능하다는 것을 증명하고자 하는 데 있었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

게임 이론
확률 과정