특수 유니터리 군

수학에서 특수 유니터리 군(特殊unitary群, )은 행렬식이 1인 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 SU(n). 유니터리 군의 부분군이다.

정의 
체 가 자기 동형

를 가진다고 하자.  위의 유한 차원 벡터 공간 와,  위의 비퇴화 반쌍선형 형식

가 주어졌을 때, 특수 유니터리 군 는 다음 조건을 만족시키는 특수선형군의 원소들의 군이다.

특히, 만약 가 차원 벡터 공간이며, 가 자명한 항등 이차 형식

일 경우, 이를 라고 쓴다. 만약 를 생략하는 경우, 를 뜻한다.

또한, 만약 이며, 그 자기 동형이 복소수 켤레이며, 가 차원 복소수 벡터 공간이며, 의 계량 부호수가 라면, 이는 라고 쓴다.

리 대수 
의 리 대수

은  반에르미트 행렬들로 구성된다. 여기서 은 에 각 성분로 켤레를 가한 뒤 전치 행렬을 취한 것이다.

특히, 는 파울리 행렬로 생성되며, 는 겔만 행렬로 생성된다.

SU*(2n) 
의 경우,  또는 로 표기되는 특별한 실수 형태가 존재한다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

체  위의 벡터 공간  위에 심플렉틱 구조

가 주어졌다고 하자. (만약 가 유한 차원일 때, 는 짝수 차원이 되며, 적절한 기저에서 를

의 꼴로 놓을 수 있다.) 그렇다면, 다음과 같은 리 군을 정의할 수 있다.

만약 일 때, 의 실수 리 대수는 의 실수 형태이다.

일 때, 이 구성은 사원수로 적을 수 있다. 우선, 사원수 벡터 공간  위의 사원수 선형 변환의 리 군

을 생각하자. 이는 실수 차원의 리 군이다. 이제, 임의의

는 의 복소구조

를 정의하며, 이 복소구조에 대하여

를 정의할 수 있다. 이 정의는 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

성질

군론적 성질 
특수 유니터리 군의 중심은 다음과 같은 순환군이다.

중심에 대한 몫군을 사영 특수 유니터리 군()이라고 한다.

리 이론적 성질 
특수 유니터리 군  은 차원 단순 리 군이며, 계수는 이다. 단순 리 군의 분류에 따른 표기는 이며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

특수 유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

특수 유니터리 군의 바일 군은 다음과 같은 대칭군이다.

대칭군 은 차원 순열 표현() 및 그 부분 표현인 차원의 표준 표현()을 갖는다. 특수 유니터리 군의 바일 군은 차원 공간의 기저에 순열 표현으로서 작용하고, 극대 원환면의 기저에는 표준 표현으로 작용한다.

위상수학적 성질 
은 콤팩트 공간이며 연결 공간이며 단일 연결 공간이다.

는 3차원 초구 와 위상동형이다.

포함 관계 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
 . 이는 복소수를 2×2 실수 행렬로 간주한 것이다. 이는  딘킨 도표에서 로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
 
 . 이는 실수  행렬을 복소수  행렬의 특수한 경우로 간주한 것이다.
 . 이는  딘킨 도표에서 로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
 
 . 이는 의 딘킨 도표를 반으로 접어서 얻는다.
 
 . 이는 E7 딘킨 도표에서, 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 을 제거하여 얻는다.
 
 . 이는 E8의  자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 을 제거하여 얻는다.

예외적 동형 
낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 예외적 동형()이 성립한다.

표현론 
의 유한 차원 연속 표현들은 영 타블로에 의하여 분류된다. 이 경우, 정의 표현() 은 차원 표현이며, 그 켤레  역시 차원 표현이다. 또한, 차원 딸림 표현이 항상 존재한다.

의 표현들은 매우 간단하며, 반정수 에 의하여 분류된다. 이를 표현의 스핀이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 클렙슈-고르단 계수에 의하여 정해진다.

응용 
SU(n)은 입자물리학의 표준 모형에서 쓰인다. SU(2)는 약전자기력에, SU(3)은 양자 색역학에 쓰인다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 SU(2)
 유니터리 군
 직교군
 심플렉틱 군

리 군
수리물리학