라리타-슈윙거 방정식

라리타-슈윙거 방정식()은 그래비티노와 같은 스핀 1½인 페르미온을 다루는 파동 방정식이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 스핀 다양체 의 (디랙 또는 마요라나 또는 바일 또는 마요라나-바일) 스피너 다발 
 필바인 , 
그렇다면,

에 대하여 다음과 같은 편미분 방정식을 적을 수 있으며, 이를 (무질량) 라리타-슈윙거 방정식이라고 한다.

이는 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도된다.

일부 경우 여기에 질량항을 추가할 수도 있다.

성질

게이지 변환 
개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 라리타-슈윙거 장은 (질량 껍질 밖에서) 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.

즉, 이는 차원의 게이지 변환

을 겪는다.

예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간의 경우, 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가진다. 이 경우, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×3 = 12개의 실수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군 (의 범피복군)의

표현에 해당한다.

마찬가지로, (1,5)차원의 경우, 바일 스피너는 4개의 복소수 성분을 가지며, 이에 기반하는 라리타-슈윙거 장은 4×5 = 20개의 복소수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군 의 콤팩트화 의 20차원 표현

에 해당한다.

마찬가지로, (1,10)차원의 경우, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이 경우 마요라나-슈윙거 장은 32×10 = 320개의 실수 성분을 갖는다.

질량 껍질 
질량 껍질 위에서, 개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 (무질량) 라리타-슈윙거 장은 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.

예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간의 경우, 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가지며, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×1×½ = 2개의 자유도를 갖는다. (1,3)차원에서 중력장은 개의 자유도를 가지므로, (1,3)차원  초대칭에서 이들은 하나의 초다중항을 이룰 수 있다.

역사 
1941년에 미국의 윌리엄 라리타(, 1907~1999)와 줄리언 슈윙거가 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

양자장론
편미분방정식
물리학 방정식
수리물리학
스피너