제약된 극값 정리

제약된 극값 정리(制約된 極값 定理, )는 선형대수학의 정리로, 이차 형식의 최댓값과 최솟값을 단위구 상에서 구할 때의 조건에 관한 내용이다.

공식화 
A를 실수 성분만을 갖는 n×n인 대칭행렬이라 하고, 그 크기의 내림차순으로 배열된 고윳값을  라 하자. 그러면, 제약된 극값 정리는 다음 세 명제가 성립하는 것으로 표현할 수 있다.

 단위구 ||x|| = 1 위에 xTAx의 최댓값과 최솟값이 존재한다.
 최댓값은 가장 큰 고윳값인  이고, 이 최댓값은 x가  에 대응하는 A의 단위 고유벡터일 때 존재한다.
 최솟값은 가장 작은 고윳값인  이고, 이 최솟값은 x가  에 대응하는 A의 단위 고유벡터일 때 존재한다.

여기서 조건인 ||x|| = 1를 제약(constraint)이라 하고, 이 제약에서 xTAx의 최댓값 또는 최솟값을 제약된 극값(constrained extremum)이라 한다.

같이 보기 
 최대 최소 정리
 라그랑주 승수법

각주

참고 문헌 
 Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004

선형대수학
행렬론
최적화
대수학 정리