데자르그의 정리

데자르그의 정리(, -定理)는 지라르 데자르그가 증명한, 임의의 두 삼각형의 위치 관계에 대한 정리이다. 파스칼의 정리 등과 함께 사영기하학의 기초를 이루는 정리이다. 다음과 같은 내용이다.

공간상의 두 임의의 삼각형 ABC와 abc에 대하여, Aa, Bb, Cc를 연장한 직선들이 한 점에서 만날 때(이하 모두 연장한 직선), AB와 ab, BC와 bc, CA와 ca의 교점은 한 직선 위에 놓인다.

사영기하학적으로는 다음과 같이 쓸 수 있다.

두 삼각형이 중심배경(central perspectivity)이면 축배경(axial perspectivity)이다.

이 정리는 일반적인 유클리드 공간이나 유클리드 평면 상에서도 성립하는 정리이나, 그보다 일반적인 사영기하학에서 통상 다루어지는 정리이다. 이 정리의 쌍대 정리는 전혀 다른 정리가 되는 것이 아니라 데자르그 정리 자체의 역이 된다.

중심배경과 축배경이 필요충분조건이라는 것을 데자르그의 정리라 보는 경우도 있다. 이 경우 데자르그의 정리는 자기쌍대적(self-dual)이다.

비데자르그 평면 
3차원 이상의 사영 공간에서는 데자르그의 정리가 항상 성립한다. 하지만 2차원 사영기하학의 공리는 2차원 데자르그의 정리와 독립적이므로 2차원에서 데자르그의 정리가 성립하지 않는 비데자르그 기하학(Non-Desarguesian geometry)을 구성할 수도 있고, 그러한 사영 평면을 비데자르그 평면(Non-Desarguesian plane)이라 한다. 반대로, 데자르그의 정리가 성립하는 사영 평면을 데자르그 평면(Desarguesian plane)이라 한다. 대표적인 예로, 실수 사영 평면은 데자르그 평면이다.

같이 보기 
 파스칼의 정리
 파푸스의 육각형 정리

각주

참고 문헌

외부 링크 
 

사영기하학
기하학 정리
평면기하학 정리
사영기하학 정리