임계점 (수학)

수학에서 임계점(臨界點, ) 또는 정류점(定流點) 또는 정상점(定常點)은 함수의 도함수가 0이 되는 점이다. 극대점이나 극소점, 또는 안장점으로 분류된다.

정의 
매끄러운 다양체  위의 1차 미분 가능 실함수 의 임계점은 다음이 성립하는 점 이다. 임의의 좌표계 에서,

이 경우, 값 를 임계값()이라고 한다.

분류 
리만 다양체  위의 2차 미분 가능 실함수 의 임계점 들은 그 헤세 행렬

에 따라서 다음과 같이 분류된다.
 만약 헤세 행렬이 양의 준정부호라면 (모든 고윳값이 음수가 아니라면), 는 극대점이다.
 만약 헤세 행렬이 양의 정부호라면 (모든 고윳값이 양수라면), 는 엄격한 극대점()이다.
 만약 헤세 행렬이 음의 정부호라면 (모든 고윳값이 양수가 아니라면), 는 극소점이다.
 만약 헤세 행렬이 양의 정부호라면 (모든 고윳값이 음수라면), 는 엄격한 극소점()이다.
 만약 헤세 행렬이 둘 다 아니라면, 는 안장점이다.

페르마의 임계점 정리 
페르마의 임계점 정리()에 따르면, 연속함수 의 최대점 또는 최소점 이 존재한다면, 다음 둘 가운데 하나가 성립한다.
 는 에서 미분 불가능하다.
 는 에서 미분 가능하며, 임계점을 이룬다.

같이 보기 
 모스 이론

외부 링크 
 

다변수 미적분학
특이점 이론