코시 응집판정법

코시 응집판정법(-凝集判定法, )은 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙은 무한급수의 수렴판정법이다. 음이 아닌 실수의 감소수열에 대한 급수

의 수렴성을, 2의 거듭제곱번째 항만으로 재구성한 급수

의 수렴성으로 귀결시킨다.

내용 
이 실수열이고 임의의 자연수 에 대해 , 일 때, 이 수렴할 필요충분조건은 가 수렴하는 것이다. 더 나아가, 원래 급수의 합의 범위는 다음과 같이 추정된다.

극히 소수의 항만을 이용해 전체 급수의 수렴성을 판정하는 것이 이 판정법의 특징이다.

증명 
부분합에 관한 부등식

을 증명하면, 두 급수는 부분합의 유계성이 같아 단조수렴정리에 의해 수렴성이 같다. 또 여기에 극한을 취하면 위에서의 범위 추정도 증명된다. 세 부분합을 전개하고, 아래와 같이 항을 괄호로 조금씩 묶어 전개식 하나당 개의 묶음을 만들어서, 같은 위치의 묶음끼리 비교하면 (예를 들어 셋째 열에서, 이 감소함에 따라   ) 부분합에 관한 부등식은 증명된다.

예 
코시 응집판정법은 이 분모에 있는 경우에 유용하다. 전형적인 예인 조화급수 의 수렴 여부는 가 발산함에 따라 쉽게 드러난다.

조금 더 복잡한 예로, 급수

가 수렴할 필요충분조건은 1이 아닌 지수가 있고 처음으로 오는 1이 아닌 지수가 1보다 크다는 것이다. 즉 급수는 사전식 순서대로 일 때 수렴, 일 때 발산한다.

각주

외부 링크 
 

수렴판정법
실해석학
오귀스탱 루이 코시