바이어슈트라스 M-판정법

해석학에서 바이어슈트라스 M-판정법()은 함수항 급수가 균등 수렴할 충분 조건을 제시하는 수렴 판정법이다. 멱급수를 다룰 때 유용하다.

정의 
가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실숫값 또는 복소숫값 함수항 급수 
집합  및 함수열  ()이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 이 존재한다고 하자.
 임의의  및 에 대하여, 
 
바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 는 균등 수렴한다.

임의의 양의 실수 에 대하여, 의 부분합이 코시 수열이므로, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다.
임의의 에 대하여, 
삼각 부등식에 따라, 임의의  및 에 대하여,

이다. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따라, 은 균등 수렴한다.

바나흐 공간 값의 함수항 급수 
보다 일반적으로, 집합  및 -바나흐 공간  및 함수열  ()이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 이 존재한다고 하자.
 임의의  및 에 대하여, 
 
바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 는 균등 수렴한다.

유계 함수 의 벡터 공간  위에 다음과 같은 상한 노름을 줄 수 있다.

이 경우 는 위 노름에 대하여 바나흐 공간을 이룬다 (증명: 완비 거리 공간#완비 공간 값의 유계 함수).

각 에 대하여 이며, 이므로, 이다. 즉, 은 (상한 노름에 대하여) 절대 수렴한다. 따라서 은 (상한 노름에 대하여) 수렴한다. 즉, 균등 수렴한다.

예 
다음과 같은 함수열  ()을 생각하자.

그렇다면

이므로 각 은 에서 최댓값 을 가진다. 이므로, 은 균등 수렴한다.

역사 
카를 바이어슈트라스의 이름을 땄다.

각주

참고 문헌 
 : 148.

수렴판정법
함수해석학