샌드위치 정리

샌드위치 정리(-定理, )는 함수의 극한에 관한 정리이다. 미적분학과 해석학에서 널리 쓰인다. 이 정리에 따르면, 두 함수가 어떤 점에서 같은 극한을 갖고, 어떤 함수가 두 함수 사이에서 값을 가지면, 그 함수도 똑같은 값의 극한을 가진다. 압착 정리(壓搾定理), 스퀴즈 정리, 조임 정리로도 불린다.

역사 
샌드위치 정리를 최초로 사용한 수학자는 아르키메데스와 에우독소스로, 이들은 원주율을 기하학적으로 구하는 데에 이 방법을 사용했다.

샌드위치 정리의 현대적 증명은 카를 프리드리히 가우스에 의해 이루어졌다.

내용

수열 
수열 , , 에 대하여, 충분히 큰 모든 자연수 에 대해 이고 이면, 이다.

함수 
함수 에 대하여, 에 충분히 가까운 모든 에 대해 이고 이면, 이다.

증명 
아래는 함수에 관한 명제의 증명이다. 수열에 관한 명제도 이와 비슷하게 증명 가능하다.

모든 양의 실수 에 대하여

를 만족하는 양의 실수 가 존재한다.

또한 전제조건에 의해

를 만족하는 양의 실수 이 존재한다.

를 로 잡으면,

이다.

정리하면 모든 양의 실수 에 대하여 를 만족하는 양의 실수 가 존재한다. 그러므로 극한의 정의에 의하여 이다.

예

예 1 
극한

은 샌드위치 정리에 의해 0이다. 이는 다음 부등식이 성립하기 때문이다.

더 나아가, 임의의 무한소(즉 0을 극한으로 하는 함수)와 유계 함수의 곱은 여전히 무한소이다.

예 2 

이는 임의의 에 대해 다음 부등식이 성립하기 때문이다.

예 3 

이는 다음과 같은 분석을 통해 얻어진다.

양끝의 수열이 모두 로 수렴하므로 사이에 끼인 수열도 같은 값으로 수렴한다.

예 4 

이므로

또한 극한

의 값이 1임에 따라 부등식 양 옆의 함수의 극한은 모두 이다. 따라서 다음의 극한이 있다. (멱평균 참고)

참고 문헌

외부 링크 

 

미적분학 정리
극한
실해석학 정리