우리손 공간

일반위상수학에서 우리손 공간(Урысон空間, ) 또는 T2½ 공간(T2½空間, )은 분리공리의 일부로 다뤄지는 특정한 성질을 만족하는 위상 공간이다. 소비에트 연방의 위상수학자 파벨 사무일로비치 우리손의 이름이 붙어 있다.

정의 
다음 조건을 만족시키는 위상 공간 를 우리손 공간이라고 한다.
 임의의 두 점 은 폐포가 서로 겹치지 않는 열린 근방을 갖는다. 즉, 인 닫힌 근방 , 가 존재한다.

위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 완비 하우스도르프 공간()이라고 한다.
 임의의 두 점 에 대하여, , 인 연속 함수 가 존재한다.
 임의의 두 서로소 콤팩트 집합 에 대하여, , 인 연속 함수 가 존재한다.

모든 한원소 집합은 콤팩트 집합이므로, 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 반대로, 위상 공간 의 임의의 두 점이 연속 함수로 분리된다고 가정하고, 두 콤팩트 집합 이 주어졌으며, 이라고 하자. 각  및 에 대하여, , 인 연속 함수 를 취하자. 그렇다면 의 에서의 열린 덮개 는 유한 부분 덮개

를 갖는다. 그렇다면 연속 함수

는 , 을 만족시킨다. 마찬가지로, 의 에서의 열린 덮개 는 유한 부분 덮개

를 가지며, 연속 함수

는 , 을 만족시킨다.

성질

함의 관계 
일반적으로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
티호노프 공간(T3½) ⊆ 정칙 하우스도르프 공간(T3) ⊆ 우리손 공간(T2½) ⊆ 하우스도르프 공간(T2)
티호노프 공간(T3½) ⊆ 완비 하우스도르프 공간 ⊆ 우리손 공간(T2½) ⊆ 하우스도르프 공간(T2)
하지만 정칙 하우스도르프 공간과 완비 하우스도르프 공간 사이에는 직접적인 함의 관계가 성립하지 않는다.

범주론적 성질 
우리손 공간과 연속 함수들은 범주 를 이룬다. 이 범주는 다음 성질들을 만족시킨다.
 우리손 공간의 전사 사상 은 상 으로부터 닫힌 근방들의 교집합을 취하는 연산을 초한 번 반복하면 공역 를 얻는 연속 함수이다 (즉, 스스로의 닫힌 근방들의 교집합인 는 밖에 없어야 한다).
 쌍대 정멱 범주가 아니다.
이를 증명한 저자는 다음과 같이 평했다.

같이 보기 
 하우스도르프 공간
 정칙 공간
 티호노프 공간

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

위상 공간의 성질