바젤 문제

바젤 문제()는 1650년 이탈리아의 수학자 피에트로 멩골리()에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다.

이 문제는 제안된 이후 80여년 동안 많은 수학자들이 도전했지만 풀 수 없었던 난제였다. '바젤 문제'라는 이름은 이 문제를 수학계에 널리 알린 야코프 베르누이가 재직하던 스위스 바젤시의 바젤 대학에서 유래된 것이다.

레온하르트 오일러는 1735년에 이 급수가  로 수렴함을 증명하였다. 그러나 그의 초기 증명은 엄밀하지 못하였으며, 그는 1741년에 더욱 엄밀한 증명을 발표하였다.

오일러의 풀이 
오일러는 다음과 같은 과정을 통해 바젤 문제의 무한 급수의 수렴값이 임을 도출해 내었다.

원래의 풀이는 엄밀하지 못한 방법이었으나, 약 100년 후 카를 바이어슈트라스가 바이어슈트라스 곱 정리를 통해 오일러의 증명이 타당함을 보였다.

먼저, 사인 함수의 테일러 급수를 생각하면

는  가 이 방정식의 근이 되므로

는 적당한 상수  에 대하여 바이어슈트라스의 곱정리에 따라 다음과 같이 인수분해할 수 있다. (오일러는 이 부분에서 엄밀하지 못한 가정을 사용하였다.)

여기서 양변에 극한을 취함으로써  의 값을 알 수 있다.

이제 우리는  에 관한 두 개의 식을 이용해 다음과 같은 항등식을 도출할 수 있다.

위 식에서 이차항을 비교하면

적절한 변형을 통해 우리가 원하는 결론을 얻을 수 있다.

오일러의 접근법을 이용한 바젤 문제의 일반화 
위에서 구한  에서 차 항을 비교하면 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다. (단, 은 베르누이 수)

좌변을 리만 제타 함수로 나타내면 0 이상의 짝수의 함수값을 구할 수 있다.

리만 제타 함수와의 관계 
오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 리만 제타 함수로 일반화하여 모든 0 이상의 짝수에 대하여 수렴값을 닫힌 형식으로 구할 수 있는 방법을 제시하였다.

오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다.

따라서 제타 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있으며 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다.

같이 보기 
 리만 제타 함수

각주

참고 문헌 
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외부 링크 
 An infinite series of surprises by C. J. Sangwin
 Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques, English translation with notes of Euler’s paper by Lucas Willis and Thomas J. Osler
 How Euler did it 
 The infinite series of Euler and the Bernoulli's spice up a calculus class
 Evaluating ζ(2) , Fourteen proofs compiled by Robin Chapman

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