카이제곱 분포

카이제곱 분포(χ제곱分布, ) 또는 χ2 분포는 개의 서로 독립적인 표준정규 확률변수를 각각 제곱한 다음 합해서 얻어지는 분포이다. 이 때 k를 자유도라고 하며, 카이제곱 분포의 매개변수가 된다. 카이제곱 분포는 신뢰구간이나 가설검정 등의 모델에서 자주 등장한다.

카이제곱 분포는 감마 분포의 특수한 형태로 감마 분포에서 인 분포를 나타낸다.

정의 
양의 정수 가 주어졌다고 하고, 개의 독립적이고 표준정규분포를 따르는 확률변수 를 정의하자.

그렇다면 자유도 k의 카이제곱 분포는 확률변수

의 분포이다. 즉,

이다.

성질 
카이제곱 분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

여기에서 는 감마 함수이다.

누적분포함수는 다음과 같다.

여기에서 는 하부 불완전 감마 함수이다.

비대칭도는 , 첨도는 이다. 따라서 k가 충분히 크지 않은 경우 카이제곱 분포를 중심극한정리를 통해 곧바로 정규분포로 근사하는 것은 오차가 많이 발생한다. 그 대신, 다른 방식의 근사 방식이 제안되어 있다.
 로널드 피셔는 를 정규분포로 근사하는 방법을 제안했다. 이때 평균은 , 분산은 1이 된다.
 를 정규분포로 근사할 수 있다. 평균은 , 분산은 가 된다.

각주

같이 보기 
 카이제곱 검정
 t-분포

연속분포
정규 분포