루셰 정리

복소해석학에서 루셰 정리(-定理, )는 두 정칙 함수의 영점의 수가 같을 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의 
연결 열린집합  속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 가 주어졌고, 두 정칙 함수 가 임의의 에 대하여

를 만족시킨다고 하자. 루셰 정리에 따르면, 의 내부에서 와 의 영점의 (중복도를 고려한) 개수는 같다.

증명

증명1 
우선, 가정에 의하여 와 는  위에서 영점을 갖지 않는다. 이제 다음과 같은 유리형 함수 를 정의하자.

그렇다면, 임의의 에 대하여,

이며, 는  위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 이제 의 내부에서 와 의 영점의 (중복도를 고려한) 개수를 와 라고 하자. 그렇다면, 편각 원리에 의하여

이다.

증명2 
우선, 가정에 의하여, 임의의  및 에 대하여,

이다. 편각 원리에 의하여, 연속 함수

의 상은 항상 정수이다. 즉, 는 상수 함수이며, 특히

이다.

예 
방정식

이 원

의 내부에서 몇 개의 해를 갖는지 구해보자. 다음과 같은 함수 를 정의하자.

그렇다면 는 정칙 함수이다. 또한, 삼각 부등식에 의하여 만약 이라면

이다. 는 에서 3개의 영점을 가지므로,  역시 에서 3개의 영점을 갖는다.

따름정리 
루셰의 정리를 이용하면 대수학의 기본 정리와 열린 사상 정리, 후르비츠 정리를 쉽게 증명할 수 있다.

대수학의 기본 정리 
루셰의 정리를 이용하여 간단히 대수학의 기본 정리를 증명해 보자. 임의의 n차 다항식에서 n차 항과 n-1차 이하 항을 각각 f, g로 잡자. 그러면 z의 크기를 무한대로 보낼 때 |g/f|→0 이므로, |z| = R로 둘러싸인 영역이 g의 영점을 포함하고 이 경계에서 |g| < |f|를 만족하도록 항상 적당한 R을 잡을 수 있다. 그러면 |z| = R 안에서 f는 n개의 해를 가지므로, 루셰의 정리에 의해 f+g 역시 n개의 해를 가지게 된다.

역사 
프랑스 수학자 외젠 루셰()의 이름이 붙어 있다.

각주

참고 문헌 
 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007
 Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press,

외부 링크 
 
 

복소해석학 정리