아르키메데스 성질

추상대수학에서 아르키메데스 성질(Ἀρχιμήδης性質, )이란 고대 그리스 수학자 아르키메데스의 이름을 딴 성질로서, 어떤 군, 체 또는 다른 대수 구조에서 성립하는 성질을 가리킨다. 간단하게 말하면, 대수적 집합 내에 무한히 크거나, 무한히 작은 원소가 없는 것을 의미한다.

정의

아르키메데스 전순서군 
전순서를 가지는 군 G의 양의 원소 x, y가 있을 때, 모든 자연수 n에 대하여 nx가 y보다 작을 경우, x는 y에 대하여 무한소라고 한다. 즉, 모든 자연수 n에 대해 다음의 부등식이 항상 만족하는 경우이다.

 

이러한 조건을 만족하는 양의 원소 x, y 가 존재하지 않을 때, 군 G는 아르키메데스 성질을 가진다고 한다. 다시 말해서, 아무리 작은 원소라 하더라도 그것을 유한번 더해서 어떤 크기의 원소보다도 커질 수 있다면 아르키메데스 성질을 가지고 있다고 볼 수 있다.

아르키메데스 노름 체 
값매김환과 노름 공간의 이론을 적용해서 정의할 수도 있다. F가 절댓값 함수를 가진다고 하자. 절댓값 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.
 F의 원소 0에 대하여 실수 0에 대응한다.
 F의 0이 아닌 원소 x에 대하여 양의 실수 에 대응한다.
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이러한 체 F에서 0이 아닌 모든 원소 x에 대하여 다음을 만족하는 자연수 n이 존재하면
 
F가 아르키메데스 성질을 가진다고 할 수 있다.

이와 유사하게, 노름 공간에서 0이 아닌 모든 벡터 x에 대하여, n이 충분히 크면 n차례 더해서 1보다 더 큰 노름을 가지게 만들수 있다면 아르키메데스 성질을 가진다고 할 수 있다. 절댓값을 가지는 체 또는 노름 공간은 아르키메데스 성질을 가지거나, 초거리 부등식

이 성립한다.

초거리 부등식을 만족시키는 체 또는 노름 공간은 비아르키메데스 성질을 가진다고 한다.

예 
정수의 집합 는 덧셈에 대하여 표준적인 아벨 군 구조를 가지며, 또한 표준적인 전순서를 갖는다. 이 구조에 대하여, 정수의 집합은 아르키메데스 성질을 만족시킨다.

유리수체  역시 전순서 아벨 군으로서 아르키메데스 성질을 만족시킨다. 즉, 임의의 자연수 에 대하여, 를 만족하는 이 존재한다. 마찬가지로, 실수체  역시 아르키메데스 성질을 만족시킨다.

초실수체 는 아르키메데스 체가 아니다. 유한체의 경우, 전순서를 줄 수 없으므로 아르키메데스 순서체로 만들 수 없다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

체론
아르키메데스