하르톡스 수

집합론에서 하르톡스 수(Hartogs數, )는 주어진 집합의 어떤 부분 집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다.

정의 
집합 의 하르톡스 수 는 의 어떤 부분집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다. 즉, 단사 함수 가 존재하지 않는 최소의 순서수 이다.

하르톡스 정리(Hartogs定理, )에 따르면, 모든 집합은 하르톡스 수를 갖는다. 이 정리는 선택 공리를 사용하지 않고, 체르멜로-프렝켈 집합론에서 증명할 수 있다.

임의의 집합 가 주어졌을 때, 의 부분 집합 위에 정의된 정렬 집합들의 모임

를 생각하자. 이므로 이 모임은 집합이다. 순서수 의 크기가  이하일 필요충분조건은 어떤 와 순서 동형인 것이다. 따라서, 모임

역시 집합이다. 이제, 가 의 하르톡스 수임을 다음과 같이 증명할 수 있다.
 는 순서수
 이므로, 가 추이적 집합임을 보이면 충분하다. 만약 이며 라면, 단사 함수 가 존재하는데, 이를 로 제한하면 단사 함수 를 얻는다. 따라서 이다.
 
 순서수의 정의에 따라, (또는 ZF의 정칙성 공리에 따라,) 이다. 즉, 일 수 없다.
 의 최소성
 의 정의에 따라, 보다 작은 순서수들의 크기는  이하이다. 즉, 의 어떤 부분 집합의 크기와 같다.

성질 
하르톡스 수는 기수이다. 즉, 임의의 순서수 에 대하여, 와 의 크기는 서로 다르다.

예 
자연수 에 대하여, 이다.

역사 
독일의 수학자 프리드리히 하르톡스가 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

집합론
순서수