프로베니우스 방법

프로베니우스 방법(Frobenius方法, )은 특정한 종류의 선형 상미분 방정식을 거듭제곱 급수 전개로 푸는 방법이다.

정의 
정칙 함수 가 에서 특이점을 갖지 않는다고 하자. 미지의 정칙 함수 에 대한 k차 선형 상미분 방정식

은 에서 정칙 특이점을 갖는다. 그렇다면, 프로베니우스 방법은 를 다음과 같은 급수를 가설 풀이로 대입하여 미분 방정식을 푸는 방법이다.

이 경우, 미지의 최저 차수 는 다음과 같이 구한다. 미분 방정식은  근처에서 다음과 같다.

따라서,

임을 알 수 있다. 에 대한 이 n차 다항식을 결정 다항식()이라고 하며, 는 결정 다항식의 근이다.
 만약 결정 다항식의 근들의 차가 정수가 아니라면, 모든 해들은 위와 같은 거듭제곱 급수로 전개될 수 있다.
 만약 결정 다항식의 근들 가운데 일부가 일치하거나, 아니면 근들의 차 가운데 일부가 정수라면, 일반적으로 해는 다음과 같이 로그 항이 포함될 수 있다.

다만, 항상 순수하게 거듭제곱 급수 꼴인 해가 적어도 하나는 존재한다 (푹스 정리 ).

근이 겹치는 경우 
결정 다항식의 근들이 이고, 의 중복도가 라고 하자. 또한, 인 경우 가 항상 정수가 아니라고 하자. 그렇다면 프로베니우스 방법에 의하여, 각 에 대응되는 해들은 다음과 같은 꼴이다.

여기서 는 에서 정칙 함수를 나타낸다. 이 경우, 을 반시계방향으로 한 번 돈 모노드로미는 다음과 같이 조르당 표준형이 된다.

낮은 차수 선형 방정식

1차 선형 방정식 
1차 선형 방정식의 경우 결정 방정식은 1차 방정식이므로 쉽게 풀 수 있다. 미분 방정식

의 경우, 결정 다항식은

이며, 이에 따라 해는

의 꼴이다. 물론, 이 경우는 굳이 프로베니우스 방법을 쓰지 않아도 바로

로 풀 수 있다. 이 경우, 반시계방향 회전 에 대한 모노드로미는 프로베니우스 방법과 마찬가지로

가 됨을 알 수 있다.

2차 선형 방정식 
2차 선형 방정식의 경우, 결정 다항식은 2차 방정식이므로, 쉽게 풀 수 있다.

이 경우 두 근을 라고 하자. 이 경우 다음과 같은 경우가 가능하다.
 만약 두 근이 서로 겹치지 않고, 또한 가 정수가 아니라면

와 같은 꼴의 두 해가 존재한다. 이 경우, 와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.

 만약 두 근이 서로 겹친다면 () 두 근은 다음과 같은 꼴이다.

이 경우, 와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.

 만약 두 근이 서로 겹치지 않지만 그 차 가 양의 정수라면 두 근은 다음과 같은 꼴이다.

이 경우  또는 이다. 이 경우, 와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.

예 
베셀 방정식

을 생각해 보자. 이 경우, 결정 다항식은

이다. 따라서

가 된다. 즉, 라면 해는  근처에서

의 꼴이 된다. 실제로 베셀 방정식의 두 독립해는 베셀 함수 에 의하여 주어지며, 이들은  근처에서 다음과 같다.

여기서 는 에서 정칙 함수이다.

만약 이라면, 두 근이 겹치게 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 이며,  근처에서

이다. 여기서 는 에서 정칙 함수이다.

만약 이라면, 두 근의 차가 정수가 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 가 된다. 이 경우

이다. 여기서 는 에서 정칙 함수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

상미분방정식