파울리 행렬

수학과 물리학에서 파울리 행렬()은 3차원 회전군의 생성원인 세 개의 2×2 복소 행렬이다. 기호는 , , 로, 다음과 같다.

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다. 수학적으로 회전 대칭의 리 대수인 의 생성원이며, 양자역학에서 스핀이나 아이소스핀 등을 표현하는 데 쓰인다. 볼프강 파울리가 제이만 효과를 연구하기 위하여 1925년에 도입하였다.

수학적 성질 
파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다.
  : 에르미트 행렬
  : 유니타리 행렬
여기서 는 단위행렬이다.
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!증명 : 파울리 행렬은 에르미트 행렬이다.
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!증명 : 파울리 행렬은 유니타리 행렬이다.
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파울리 행렬은 에르미트 행렬이기도 하므로,
 
이다. 따라서 파울리 행렬이 유니타리 행렬이라는 것은 다음과 동치이다.
 
위의 증명은 아래와 같다.

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파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이기 때문에 아래 성질이 성립한다.

파울리 행렬의 행렬식과 대각합의 값은 다음과 같다.

이로부터, 파울리행렬의 고윳값은 ±1 임을 알 수 있다.

파울리 행렬은 다음과 같은 교환관계와 반대바꿈관계를 가진다.

여기서 εabc는 레비치비타 기호, δab는 크로네커 델타이며, 는 리 괄호이다.

위의 두 관계를 요약하면 다음과 같다.

.

예를 들어, 몇몇 값을 구해보면

이다.

또한, 위 행렬 3개를 한번에 벡터로 모아 파울리 벡터()로 사용하기도 하는데, 자세한 정의는 다음과 같다.

교환관계식을 이용하면 파울리 벡터와 교환법칙이 성립하는 임의의 벡터 a와 b에 대해 다음과 같은 성질을 가짐을 알 수 있다.

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!증명
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또한, 임의의 벡터 a와 그 방향 단위벡터 , 그 벡터의 길이 a에 대해 아래의 관계가 성립한다.

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!증명
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먼저 임의의 짝수에 대한 거듭제곱에 대해

이 성립함을 알 수 있지만, 홀수에 대한 거듭제곱에 대해서는

임을 알 수 있다. 이 두 사실과, 지수함수와 사인, 코사인 함수와의 관계
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를 이용하고 x에

을 대입하면,

을 얻는다. 여기서 왼쪽의 합은 코사인, 오른쪽의 합은 사인 함수의 급수 형태임을 알 수 있다. 따라서,

이다.
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리 대수의 발생원 
파울리 행렬은 리 대수  (또는 )의 발생원이다, 즉

이므로, 그 구조 상수는 이다.

클리퍼드 대수의 발생원 
파울리 행렬은 클리퍼드 대수의 발생원이며, 다음과 같은 디랙-클리퍼드 연산법칙을 만족한다

따라서 단위행렬과 함께 2x2의 에르미트 행렬의 기저가 된다.
일반적인 n차원의 클리퍼드 행렬을 이루는 기저는 파울리 행렬을 직화곱으로 언제나 표현할 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

군론
행렬
수리물리학