덧셈

덧셈은 산술의 기본 연산 중의 하나로, 두 개의 수를 받아 한 개의 수를 계산하는 이항 연산이다. 반대되는 연산은 뺄셈이다. 현대 수학에서는 덧셈을 나타내는 기호로 더하기표(+)를 쓴다.

받아올림 

두 자리 수 이상의 자연수를 더할 때, 같은 자리의 숫자끼리의 합이 10 이상이 되면 받아올림이 필요하다. 예를 들어 를 계산할 때, 먼저 일의 자리 숫자끼리 계산하면 16이 되므로 6을 일의 자리 숫자에 적고, 1을 받아올린다. 그리고 십의 자리 숫자끼리 계산할 때 일의 자리에서 받아올린 수까지 함께 더하여 8이 되므로 8을 십의 자리 숫자에 적는다.
   ¹
   27
 + 59
 ————
   86

수의 덧셈 
덧셈은 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 등 정의역에 따라 다르게 정의할 수 있다.

자연수 
자연수 집합에 0을 추가한 집합 에 대해서, 덧셈은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다. 
 , 
 , 여기에서 a'은 a의 다음 자연수.
임의의 자연수는 0 또는 다른 자연수의 다음 자연수이므로, 임의의 의 오른쪽에 자연수를 더하는 것은 항상 두 경우 중 하나와 일치한다. 자연수 덧셈의 교환법칙과 결합법칙은 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.

정수 
두 정수를 각각 자연수의 차 , 로 표현할 때 (, , , 는 자연수), 정수의 합은 으로 정의한다. 이때, 와 는 자연수에서 정의된 덧셈의 결과이다.

유리수 
유리수에서는 덧셈을 다음과 같이 정의한다. 두 유리수를 정수의 비 ,  (, , , 는 정수이고 와 는 0이 아니다) 로 표현할 때, 유리수의 합은 다음과 같다.

분수는 유리수의 표기법이므로, 이 정의를 사용하여 분수의 덧셈을 할 수 있다. 예를 들어, 이다.

실수 
실수를 유리수의 완비 거리 공간으로 생각하였을 때, 각 실수는 유리수의 코시 열의 극한값이다. 두 실수 , (은 유리수의 코시 열) 에 대해 실수의 합은 각 유리수열에 대해 항 별로 덧셈을 하여 극한을 취한 결과인 으로 정의한다.

복소수 
복소수의 덧셈은 실수부와 허수부를 각각 더한 결과로 정의한다. 두 복소수 ,  (는 실수)에 대해, 복소수의 합은 으로 정의한다. 이때 는 실수에서 정의된 덧셈의 결과이다.

소수의 덧셈 
소수의 덧셈은 다음과 같다. 소수점이 같은 위치에 오도록 적고, 한 수에만 빈 자리가 있으면 그 자리에 0을 적는다. 그 다음에는 자연수의 덧셈과 마찬가지로 같은 자리의 숫자까리 더하되 필요한 경우 받아올림을 한다. 소수점은 더한 수와 같은 위치에 찍는다. 예를 들어 45.1 + 4.34는 다음과 같이 계산한다.
    4 5 . 1 0
 +  0 4 . 3 4
 ————————————
    4 9 . 4 4

성질

교환법칙 
덧셈에서는 교환법칙이 성립한다. 이는 덧셈을 할 때 피연산자의 배치 순서를 바꾸어도 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 에 대해

가 성립한다.

결합법칙 
덧셈에서는 결합법칙도 성립한다. 이는 세 피연산자에 대해 덧셈을 할 때 어떤 쌍을 처음 더한 후 다른 하나를 더할 때 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 , , 에 대해

가 성립한다. 결합법칙에 의해, 라는 표현은  와  중 어느 것으로 해석되더라도 같은 결과를 얻으므로 의미가 모호하지 않다.

항등원 
덧셈의 항등원은 0이다. 즉, 모든 에 대해

가 성립한다.

곱셈과의 관계 
같은 수를 여러 번 더한 것을 곱셈이라고 한다.

각주 

덧셈