구면좌표계

구면좌표계(球面座標係, spherical coordinate system)는 3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 보통 로 나타낸다. 원점에서의 거리 은 0부터 까지, 양의 방향의 z축과 이루는 각도 는 0부터 까지, z축을 축으로 양의 방향의 x축과 이루는 각 는 0부터  까지의 값을 갖는다. 는 위도로, 는 경도로 표현되는 경우도 있기도 한다.

이 세 수치를 보고, 다음과 같은 방법으로 공간의 점을 찾을 수 있다.: 원점 에서 만큼 z축을 따라 간다. 그 지점에서 x z 평면 안에 있으면서 z축에서부터 만큼 회전한다. 이 xz 평면 전체를 z축을 축으로 만큼 반 시계방향(+x축에서 +y축 방향으로)으로 돌린다.

구면좌표계라는 이름은 이 좌표계에서 ''이 단위구(單位球)를 표현하기 때문에 붙여졌다. 또한 이 좌표계가 구대칭을 기치로 하기 때문이기도 하다.

구면좌표계와 원통좌표계는 평면 극좌표계를 공간으로 확장한 것이며, 구면좌표계는 구대칭이 나타나는 문제에서 유용하게 쓰인다. 예를 들어, 수소원자와 같이 구대칭이 있는 경우에 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 구면좌표계를 사용한다.

아래 변환식을 통해 직교좌표계와 변환할 수 있지만, 변환식에서 사용하는 역삼각함수는 일의적이지 않기 때문에, 공간상의 각 점마다 하나의 좌표만 대응하는 직교좌표계와는 달리, 구면좌표계는 한 점을 나타내는 표현이 여러 가지일 수 있다. 예를 들어, (1, 0°, 0°), (1, 0°, 45°), 과 (-1, 180°, 270°)는 모두 같은 점을 나타낼 수 있다.

표시 문자 

세 좌표의 표시를 위한 여러 가지 다른 약속이 존재한다. 국제 표준 기구의 지침(ISO 31-11)에 따라 물리학에서는 (r, θ, φ)의 문자를 사용하여 원점에서의 거리, 천정과 이루는 각도(천정거리), 방위각 등을 표시하고, (미국의) 수학에서는 고도와 방위각이 바뀌어 'φ'와 'θ'로 표시된다.

정의 

좌표 는 다음과 같이 정의 된다. 주어진 점을 P라 하자.

  : 원점으로부터 P까지의 거리.
  : z축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선까지의 각
  : x축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선을 xy평면에 투영시킨 직선까지의 각.

구면좌표계의 경우는 좌표값에 따라 한 점을 여러 좌표가 가리키는 경우가 있으므로, 각 변수의 범위를 보통 아래와 같이 제한한다.

좌표 변환 
다른 3차원 좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다.

직교좌표계 
 직교좌표계에서 구면좌표계로 변환시:

 구면좌표계에서 직교좌표계로 변환시:

지리좌표계 
, or
,

원통좌표계 
 원통좌표계에서 구면좌표계로 변환시:

 구면좌표계에서 원통좌표계로 변환시:

단위벡터 

각 단위벡터의 직교좌표에서의 표현은 다음과 같다.

단위벡터의 미분

유용한 공식들 
면적 요소

부피 요소

기울기

발산

회전

라플라시안

각주

같이 보기 
 직교 좌표계
 원통 좌표계
 적도 좌표계
 초구면 좌표계
 극좌표계
 구면 조화 함수

좌표계