풍부한 가역층

대수기하학에서 풍부한 가역층(豐富한可逆層, )은 그 거듭제곱의 단면들을 사영 공간의 동차 좌표로 간주하여 대수다양체를 사영 공간에 매장시킬 수 있는 가역층이다. 복소수체 위에서, 이는 가역층의 천 특성류가 켈러 구조로 표현됨을 뜻한다.

정의

매우 풍부한 가역층 
스킴 사상  및  위의 가역층 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는
  위의 준연접층 
 -스킴의 몰입 
가 존재한다면, 이 에 대하여 매우 풍부한 가역층(, )이라고 한다.

의 단면들은 대략 사영 공간의 동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, 의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다.
매우 풍부한 인자()는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

로빈 하츠혼과 류칭이 사용하는 “매우 풍부한 가역층”의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 H-매우 풍부한 가역층이라고 하자. 이 정의는 다음과 같다.

스킴 사상  및  위의 가역층 이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 (충분히 큰) 양의 정수 에 대하여 -스킴의 몰입

이 존재한다면, 이 에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이라고 한다.

즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간 의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

풍부한 가역층 
콤팩트 분리 스킴  위의 가역층 이 다음 조건을 만족시킨다면, 풍부한 가역층(, )이라고 한다.
  위의 임의의 유한형 준연접층 에 대하여, 충분히 큰 양의 정수 에 대하여, 은 대역적 단면으로부터 생성된다.
  위의 임의의 유한형 준연접층 에 대하여, 가 의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 가 존재한다.
  위의 유한형 준연접 아이디얼 층 에 대하여, 가 의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 가 존재한다.
풍부한 인자(豊富한因子, )는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

풍부한 가역층의 개념은 매우 풍부한 가역층의 개념과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신, 스킴 자체에 대하여 정의된다.

대역적 단면으로 생성되는 층 
국소환 달린 공간  위의 아벨 군 층 가 다음 조건을 만족시킨다면, 대역적 단면으로 생성되는 층()이라고 한다.
 임의의 열린집합 에 대하여, 이다.
여기서 는 제약 사상이며, 는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다.

성질 
뇌터 환  위의 사영 스킴 가 주어졌을 때, 에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다. 뇌터 환  위의 유한형 스킴  및  위의 가역층 이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이 풍부한 가역층이다.
 충분히 큰 양의 정수 에 대하여, 은 에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이다.

모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다. 그러나 그 역은 거짓일 수 있다.

풍부함의 필요 충분 조건 
주어진 가역층이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요) 충분 조건들이 존재한다.

대수적으로 닫힌 체  위의 고유 스킴  위에 카르티에 인자 가 주어졌다고 하자. 나카이-모이셰존 조건([中井]-Мойшезон條件, )에 의하면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 에 대응하는 가역층은 풍부한 가역층이다.
 모든 정역 부분 스킴 에 대하여, 다음이 성립한다.

클라이먼 조건(Kleiman條件, )에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 X 위의 카르티에 인자 D에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 풍부한 가역층이다.
  위의 곡선뿔()을 라고 하자. 그 폐포 위의 임의의 원소 에 대하여, 이다.
클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 인 것과 대응한다.

카르탕-세르-그로텐디크 정리()에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 은 풍부한 가역층이다.
  위의 임의의 연접층 에 대하여, 이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 이 존재한다.

해석기하학에서의 풍부 
복소수 차원 복소다양체  위의 (1,1)차 복소수 미분 형식

에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 형식을 양의 (1,1)-미분 형식()이라고 한다.
 임의의 에서, 정칙 접공간 의 쌍대 공간 의 기저 을 잡았을 때, 의 꼴이며, 는 음이 아닌 실수이다.
 임의의  및 에 대하여, 이다.
 인, 양의 반정부호인 에르미트 형식 가 존재한다.
즉, 양의 (1,1)-미분 형식을 갖춘 복소다양체는 에르미트 다양체와 동치이다.

복소다양체  위의 해석적 선다발 에 대하여, 인 표준적인 접속이 존재하는데, 이를 천 접속()이라고 한다. 천 접속의 곡률 는 항상

이며, 천 특성류를 표현한다. 만약 가 양의 (1,1)-미분 형식이라면 (즉, 천 특성류가 에르미트 다양체 구조를 정의한다면), 을 양의 선다발()이라고 한다. 는 항상 닫힌 미분 형식이므로, 이는 켈러 다양체의 구조를 정의한다.

복소수체 위의 완비 대수다양체  위의 가역층 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 그 해석화 는 콤팩트 복소다양체를 이루며, 은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 은 풍부한 가역층이다.
 은 양의 선다발이다.

예

아핀 스킴 위의 가역층 
뇌터 아핀 스킴 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.

사영 공간 위의 가역층 
체  위의 사영 공간  및 정수 에 대하여, 가역층

을 정의할 수 있다. 여기서 은 보편 가역층이다. 이 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 풍부한 가역층이다.
 는 스킴 사상 에 대하여 매우 풍부한 가역층이다.
 이다.

대수 곡선 
대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 경우, 어떤 인자 에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은 인 것이다. 이는 나카이-모이셰존 조건의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 종수 의 대수 곡선의 경우, 인자 에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은

인 것이다.

예를 들어, 사영 직선()의 경우 모든 선다발은 보편 선다발의 정수차 텐서곱 이다 (버코프-그로텐디크 정리 ). 이 경우 인 경우는 매우 풍부한 가역층이며, 인 경우는 풍부한 가역층이 아니다. 예를 들어, 사영 직선  위의 가역층 을 생각하자. 의 동차 좌표계 에 대하여, 그 단면의 공간은

이다. 즉, 사상

는 매장 을 정의하며, 그 상은 대수 곡선

이다.

사영 직선의 경우와 달리, 종수가 1 이상일 경우, 풍부한 가역층이지만 매우 풍부한 가역층이 아닌 가역층이 존재한다.

대수 곡면 
나카이-모이셰존 조건에 따라서, 대수 곡면의 경우 풍부한 인자 는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다.
 의 자기 교차수 
  위의 임의의 (기약) 대수 곡선 에 대하여 
자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. 나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하였다.

역사 
나카이-모이셰존 조건은 나카이 요시카즈()와 보리스 게르셰비치 모이셰존() 이 1963년~1964년에 독자적으로 도입하였다.

클라이먼 조건은 스티븐 로런스 클라이먼()이 1966년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 파노 다양체
 렙셰츠 초평면 정리
 소멸 정리

대수기하학
벡터 다발
복소다양체