전치 행렬

선형대수학에서 전치 행렬(轉置行列, )은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 기호는 , , , , .

정의 
 행렬 의 전치 행렬 은 다음과 같은  행렬이다.

선형 변환 의 전치 선형 변환() 은 다음과 같다.

성질

전치 행렬 
행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이다. 즉,  행렬  및 스칼라 에 대하여,

가 성립하며,  행렬  및  행렬 에 대하여,

가 성립한다.

서로 전치 행렬의 계수와 대각합과 행렬식은 서로 같다.

특히,  행렬 과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다.

행렬 을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

전치 선형 변환 
선형 변환 에 대하여, 다음이 성립한다.

만약 와 가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다.

만약 라면, 인 가 존재한다. 임의의 에 대하여,

이므로, 이다. 또한,

이므로, 이다.

만약 와 가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 의 기저  및 에 대한 행렬이 이라고 하면, 전치 선형 변환 의 쌍대 기저 및 에 대한 행렬은 이다.

두 기저를 다음과 같이 쓰자.

또한 의 에 대한 행렬을 , 의 에 대한 행렬을 이라고 하자. 그렇다면,

이므로, 이다.

예 
전치 행렬의 예는 다음과 같다.
 
 
 
 여인자 행렬의 전치 행렬은 고전적 수반 행렬이다.

같이 보기 
 상관행렬

각주

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

행렬