부분 수열

수학에서 부분 수열(部分數列, ) 또는 부분열(部分列)은 주어진 수열의 일부 항을 원래 순서대로 나열하여 얻을 수 있는 수열이다.

정의 
집합  위의 두 수열 ,  ()이 주어졌다고 하자. 만약 다음 두 조건을 만족시키는 함수 이 존재한다면, 수열 이 수열 의 부분 수열이라고 한다.
 는 순증가 함수이다. 즉, 임의의 자연수 에 대하여, 이다.
 임의의 자연수 에 대하여,

성질

순서론적 성질 
집합  위의 수열들의 집합  위에서, 부분 순서 관계는 원순서를 이룬다. 즉, 모든 수열은 자기 자신을 부분 수열로 가지며, 부분 수열의 부분 수열은 원래 수열의 부분 수열이다. 만약 의 크기가 2 이상일 경우, 부분 순서 관계는 부분 순서가 아니며, 동치 관계도 아니다. 예를 들어, 서로 다른 두 실수 수열

은 서로의 부분 수열이다.

해석학적 성질 
위상 공간  위의 수열 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 수렴한다.
 모든 부분 수열이 수렴한다.

위상 공간  위의 수열  및 점  대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 은 로 수렴한다.
 의 모든 부분 수열 은 로 수렴한다.
 의 모든 부분 수열 은 로 수렴하는 부분 수열 을 갖는다.

모든 실수 수열은 단조 부분 수열을 갖는다. 모든 유계 실수 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다 (볼차노-바이어슈트라스 정리).

예 
음이 아닌 정수의 열 은 음이 아닌 짝수의 열 을 한 부분 수열로 갖는다.

각주

외부 링크 
 

수열
관계 (수학)