라이프니츠 대수

추상대수학에서 라이프니츠 대수(Leibniz代數, ) 또는 로데 대수(Loday代數, )는 리 대수의 개념의 “비가환” 일반화이다. 즉, 일종의 야코비 항등식을 따르지만, 이항 연산이 반대칭일 필요가 없다. 대수적 K이론에 등장한다.

정의 
가환환 가 주어졌다고 하자.  위의 왼쪽 라이프니츠 대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 -가군 
 -가군 준동형 . 편의상 로 표기하자.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
(야코비 항등식) 임의의 에 대하여, 
즉, 만약

를 정의하면, 야코비 항등식은 다음과 같다.

마찬가지로, 오른쪽 라이프니츠 대수는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

임의의 에 대하여, 
즉, 만약

를 정의하면, 야코비 항등식은 다음과 같다.

이 두 개념은 사실상 동치이며, 이항 연산의 표기에서 두 항의 순서를 바꾼 것에 불과하다. 즉, 만약 가 왼쪽 라이프니츠 대수라면,

를 정의하면 은 오른쪽 라이프니츠 대수이다.

성질 
임의의 가환환 에 대하여, 모든 -리 대수는 항상 -라이프니츠 대수이다. 반대로, -라이프니츠 대수 이 리 대수가 될 필요충분조건은

인 것이다.

역사 
1965년에 알렉산드르 블로흐()가 도입하였으며, 블로흐는 이를 “D-대수”()라고 불렀다. 이 개념은 한동안 잊혀져 있다가, 1993년에 장루이 로데가 대수적 K이론을 연구하던 도중 이 개념을 재발견하였으며, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 딴 “라이프니츠 대수”()라는 용어를 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

리 대수
비결합대수
추상대수학