드람 코호몰로지

대수적 위상수학과 미분위상수학에서 드람 코호몰로지()는 매끄러운 다양체의 미분 형식에 대하여 존재하는 코호몰로지로서, 외미분의 제곱이 0인 사실에서 기인한다. 미분 형식을 써 매끄러운 다양체의 위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 매끄러운 다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 매끄러운 선형 다발 
그렇다면,  위의  값의 미분 형식

을 정의할 수 있다.  위의 선형 다발 접속

을 고르면, 이로부터  값의 미분 형식의 외미분

을 정의할 수 있다. 그렇다면, 는 의 곡률에 비례하며, 만약 가 평탄 선형 다발 접속이라면 이다. 즉, 이 경우 공사슬 복합체

가 존재한다. 이를 드람 공사슬 복합체(de Rham共사슬複合體, )라고 하며, 그 코호몰로지

를  계수의 드람 코호몰로지()라고 한다.

특히, 가 자명한 선형 다발 접속을 갖춘 자명한 선형 다발인 경우,   값의 미분 형식은 단순한 미분 형식이다. 만약 계수 가 명시되지 않았다면, 이 자명한 경우를 뜻한다.

다른 형식의 외미분인 미분 형식을 완전 미분 형식(完全微分形式, )이라고 부르며, 외미분이 0인 형식을 닫힌 미분 형식(닫힌微分形式, )이라고 부른다. 따라서 드람 코호몰로지 는  값의 차 닫힌 미분 형식의 공간에서  값의 차 완전 미분 형식을 더하는 것에 대한 동치류를 취한 상공간이다.

성질

다른 코호몰로지 이론과의 비교 
매끄러운 다양체  안의 k-특이 사슬 위에 k-형식 를 적분할 수 있다. 즉 가 정의 가능하다.
이는 스토크스 정리에 따라 드람 코호몰로지 에서 실수 계수 특이 코호몰로지 으로 가는 사슬 사상을 정의할 수 있다. 드람 정리에 따라 이는 사실 사슬 동형사상이다. 이는 조르주 드 람이 1931년에 증명하였다.

콤팩트 리만 다양체 위에는 호지 이론에 따라 조화 형식의 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 호지 정리()에 따라 드람 코호몰로지와 조화 코호몰로지는 동형이다.

또한, 드람 코호몰로지는 (적절히 정의한) 체흐 코호몰로지나 알렉산더-스패니어 코호몰로지()와 동형이다.

복소다양체의 경우에는 드람 코호몰로지와 유사한 돌보 코호몰로지를 정의할 수 있다. 돌보 코호몰로지에도 스토크스 정리와 유사한 정리가 성립한다. 켈러 다양체의 경우 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지는 동형이다.

연산과의 호환 
임의의 두 매끄러운 벡터 다발 이 주어졌을 때, 다음이 성립하며, 이 동형 사상은 표준적이다.

즉, 자명한 벡터 다발과의 텐서곱에 대하여 다음이 성립한다.

특히, 0차원 벡터 다발 계수의 드람 코호몰로지는 자명군이다.

예 
항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를 들면 마이어-피토리스 열 등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한 가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한 가지는 이것이 호모토피 불변량이라는 사실이다. 몇 가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자.

초구 
차원 초구의 코호몰로지 군은

이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 가 임의의 선분일 때에,

도 성립한다.

원환면
차원 원환면의 드람 코호몰로지는 다음과 같다.

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간
구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은 를 말한다. 이때에,

{|
|-
|
|
|-
|
|
|}

뫼비우스의 띠
뫼비우스의 띠 는 원과 호모토피 동치이므로 그 드람 코호몰로지는 다음과 같다.

0차 성분 
간단한 예로, 매끄러운 다양체 이 개의 연결 성분을 지니면, 다음과 같이 계산할 수 있다.

즉, 매끄러운 다양체  위에서 정의된 매끄러운 함수의 기울기가 0이면, 그 함수는 각각의 연결 성분에서 상수 함수다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

미분 형식
호몰로지 이론