지수 함수

지수 함수(指數函數, )란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다.

정의 
를 양의 상수, 를 모든 실수 값을 취하는 변수라고 할 때 로 주어지는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 는 지수함수다. 자연로그의 역함수로 주어지는 지수함수는  또는 와 같이 쓴다. 이때 를 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수  역시 그래프로 나타낼 수 있으며, 실변수 의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는 축과 만나지 않지만, 축에 점점 접근해간다.

a가 양의 실수, x가 임의의 실수일 때, a를 밑, x를 지수로 하는 지수함수를 ax 로 쓴다.
특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이 함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.
 ax는 R에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
 a0 = 1
 ap+q = apaq

극한 
함수 에서 

일 때 위 지수함수의 극한은

, 이고,

일 때 위 지수함수의 극한은

, 이다.

그리고 일 때 위 지수함수의 극한은

, 이다.

미분 
밑이 e 인 지수 함수 ex의 도함수는 ex 자신이 된다. ex를  로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 ax는 자연로그 ln 을 사용하여,  로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 ax의 도함수는 (ln a)ax = ax ln a가 된다.

는 미분방정식 의 특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식 를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.

해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가리킨다.

음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분 
음함수 미분을 이용하여 의 해를 구할 수 있다.

 라 하면 다음이 성립한다:

좌변을 에 대해 미분하면:

로그함수의 역함수로서의 정의 
로그함수를 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수함수는 거듭제곱이 아닌 로그함수의 역함수로 정의된다.

자연로그를 다음과 같이 정의하자.

이때 는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

즉, 이다. 또한,  이므로, 이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

로 놓으면
이므로 로그의 성질에 의하여 
따라서 가 성립한다.

로그함수 는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 를 만족하는 해 가 존재하며, 단사함수이므로 실수 는 단 한개만 존재한다. 방정식 의 해를 라 하자.

이제 로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다.

수학적 귀납법을 이용하면 가 자연수일 때 임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를  로 정의하자.

마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 에 대하여 임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.
1에 대하여 성립

에 대하여 성립한다는 가정 아래, 에 대하여 성립

양변에 a를 곱하면

위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.

따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수 에 대하여 로 정의된 는 a를 x번 곱한 것과 같다.

같이 보기 
 e (상수)
 행렬 지수 함수
 지수열

각주

외부 링크 

 
 

함수와 사상
초등 특수 함수
해석 함수
특수 초기하함수
거듭제곱