단조 수렴 정리

실해석학에서 단조 수렴 정리(單調收斂定理, )는 가측 함수의 증가 함수열의 르베그 적분과 점별 극한의 순서를 교환할 수 있다는 정리이다.

정의 
측도 공간  위의 음이 아닌 가측 함수의 열  () 및 함수 가 다음을 만족시킨다고 하자.
 (증가 함수열) 임의의  및 에 대하여, 
 (점별 수렴) 임의의 에 대하여, 
단조 수렴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
 는 가측 함수이다.
 

이는 다음과 같은 정리와 동치이다. 측도 공간  위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 에 대하여, 다음이 성립한다.
 는 가측 함수이다.
 

우선 가 가측 함수임을 보이자. 임의의 에 대하여, 각 이 가측 함수이므로, 이며, 따라서

이다. 즉, 는 가측 함수가 맞다.

임의의 에 대하여, 이므로,

이며, 이에 을 취하면

을 얻는다.

이제, 인 임의의 단순 함수 와 임의의 을 고정하고, 임의의 에 대하여

라고 하자. 그렇다면, 이며, 이다. 또한, 임의의 에 대하여,

이다. 을 취하면

를 얻으며, 다시 을 취하면

를 얻는다. 르베그 적분의 정의에 따라,

이다.

따름정리

급수에 대한 푸비니 정리 

단조 수렴 정리를 자연수의 집합  위의 셈측도 공간 에 적용하면 무한 급수에 대한 푸비니 정리를 얻으며, 이는 다음과 같다. 임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 무한차 행렬 에 대하여, 다음이 성립한다.

절대 연속 측도 

임의의 측도 공간  및 음이 아닌 가측 함수 에 대하여, 함수

는  위의 측도를 이루며, 또한 이는 -절대 연속 측도를 이룬다 (즉, 은 을 함의한다).

임의의 가산 무한 개의 서로소 집합 에 대하여, 각 은 음이 아닌 가측 함수이므로, 단조 수렴 정리에 따라

이다. 따라서 는 측도이다.

만약 이며 이라면, -거의 어디서나 이므로,

이다. 따라서 는 -절대 연속 측도이다.

같이 보기 
 파투 보조정리
 지배 수렴 정리

각주

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

실해석학 정리
측도론 정리