범주 (수학)

범주론에서 범주(範疇, )는 추상적인 구조와 이를 보존하는 변환의 개념을 형식화한 것이다. 수학의 각 분야를 범주를 통해 연구하는 분야를 범주론(範疇論, )이라고 한다. 범주는 현대 수학의 거의 모든 분야에 나타나며, 수학의 여러 분야를 공통적인 언어로 다룰 수 있게 한다. 수학 밖에도, 범주론은 컴퓨터 과학과 수리물리학에서도 쓰인다.

정의
범주 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 대상(對象, )들의 모임 . 이 모임의 원소를 의 ‘대상’이라고 한다.
 임의의 두 대상 에 대하여, 를 정의역으로, 를 공역으로 하는 사상(寫像, )들의 모임 . 에 대하여 로 쓰고, 를 ‘에서 로 가는 사상’이라고 한다. 의 사상의 모임을 로 나타낸다.
 임의의 세 대상 에 대하여, 이항 연산 . 이를 사상의 합성(合成, )이라고 한다. 와 의 합성은  또는  등으로 나타낸다.
 임의의 대상 에 대하여, 특별한 사상 . 이를 의 항등 사상(恒等寫像, )이라고 한다.
이 데이터는 다음의 조건들을 만족시켜야 한다.
 (결합 법칙) 임의의 대상  및 사상 에 대하여, 
 (항등원) 임의의 대상  및 사상 에 대하여,

작은 범주 

범주 에 대하여, 다음을 정의한다.
 만약 와 가 둘 다 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우),  를 작은 범주라고 한다.
 만약 임의의 에 대하여 가 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우),  를 국소적으로 작은 범주()라고 하며, 사상 모임을 사상 집합(寫像集合, )이라고 한다.
작은 범주가 아닌 범주를 큰 범주()라고 한다. 집합과 함수의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다.

만약 그로텐디크 전체를 사용하는 경우, 그로텐디크 전체 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.
 만약 이며 인 경우,  를 -작은 범주라고 한다.
 만약 임의의 에 대하여 인 경우,  를 -국소적으로 작은 범주라고 한다.

반대 범주 
범주 가 주어졌을 때, 다음과 같은 반대 범주(反對範疇, ) 를 정의할 수 있다.
 의 대상은 의 대상과 같다.
 에서, 대상 에서 로 가는 사상은 에서, 에서 로 가는 사상이다. 즉, 이다.
반대 범주에서는 전사 사상이 단사 사상으로, 곱이 쌍대곱으로, 극한이 쌍대극한으로 바뀐다. 만약 모노이드나 군, 환을 하나의 대상을 갖는 범주로 간주할 경우, 반대 범주의 개념은 반대 모노이드 · 반대군 · 반대환의 개념의 일반화이다.

예 
각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다.

역사 
범주의 개념은 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1942~1945년 사이에 대수적 위상수학에서 영감을 얻어 도입하였다. 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.

같이 보기 
 함자 (수학)
 자연 변환

각주

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

범주론