라플라스 변환

라플라스 변환()은 어떠한 함수 에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.

라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식을 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.

정의 
함수 의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 로 정의된다.

 
여기서 는 를 간단히 나타낸 것이고 복소수 , σ와 ω는 실수이다.

실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 로 표기하기도 한다.

성질

선형성

미분

적분

t shifting 
 
 
참고: 는 층계 함수이다.

합성곱

주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환

역변환 
함수 의 라플라스 변환을 라 하면 다음 식을 통해 로부터 를 구할 수 있다.

하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어

로 가 주어져 있는 경우 부분분수 분해를 통해

를 얻게되고 라플라스 변환의 선형성으로부터 는 다음과 같다.

미분방정식의 풀이

상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식 
다음과 같은 차 연립 상미분 방정식을 고려하자

양변에 라플라스 변환을 취하면

이고 이를 에 관해 정리하면

이다. 따라서, 는 다음과 같다.

참고 문헌

같이 보기 
 푸리에 변환
 Z변환

해석학 (수학)
전자공학
디지털 신호 처리
수리물리학
적분 변환
푸리에 해석학