오퍼라드

대수학과 대수적 위상수학에서 오퍼라드()는 이항 연산을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 일반화·추상화한 개념이다. 대수적 대상의 (반)가환성과 결합성 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화한다.

정의
자연수를 음이 아닌 정수로 정의하자. 모노이드 범주 에서, 대상 의 원소는 사상 로 정의하자.

대칭 모노이드 범주 에서의 오퍼라드 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 (연산 집합) 모든 자연수 에 대하여, 의 대상 . 의 원소를 각각 -항 연산()이라고 한다.
 (항등 연산) 의 원소 . 이를 항등 연산()이라고 한다.
 (변수의 치환) 각 자연수 에 대하여, 군 준동형 . 여기서 은 대칭군이다.
 (연산의 합성) 자연수 에 대해, 함수들

이 데이터는 다음의 성질들을 만족시켜야 한다.
 (결합법칙)  모든 , , 에 대하여 (, ),

 (항등원의 성질) 모든 에 대하여,

 (치환의 작용) 모든  및  () 및 순열 에 대하여,

 (치환의 작용) 모든  및  및 순열  ()에 대하여,

여기서 는 군의 자연스러운 포함 관계이다.

같은 대칭 모노이드 범주  속의 두 오퍼라드 ,  사이의 사상 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 자연수 에 대하여, 사상 .
이는 다음 성질들을 만족시켜야 한다.
 (연산 합성의 보존) 모든 에 대하여,

 (항등원의 보존) 
 (대칭군의 작용의 보존)

이에 따라, 에서의 오퍼라드들은 범주 를 이룬다.

오퍼라드의 모나드 
집합의 데카르트 닫힌 범주  속의 오퍼라드 가 주어지면, 이로부터  위의 모나드 를 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 는 항상 0항 연산의 집합으로 취급할 수 있는데, 는 와 를 합성하여 정의할 수 있는 0항 연산들의 집합이다. 이 경우, 자연 변환 는 의 연산의 합성으로서 자연스럽게 정의된다.

오퍼라드 대수 

오퍼라드는 어떤 대수 구조가 만족시킬 수 있는 일련의 공리들을 정의한다. 이에 따라, 주어진 대칭 모노이드 범주 속에서, 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는 구조의 개념을 정의할 수 있으며, 이를 오퍼라드 대수라고 한다.

예

자기준동형 오퍼라드 
가 국소적으로 작은 대칭 모노이드 범주라고 하고, 그 속에 대상 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 자기준동형 오퍼라드() 는 다음과 같은 (집합 값을 갖는) 오퍼라드이다.
 각 자연수 에 대하여, 
 
 각 에 대하여,

초입방체 오퍼라드 
양의 정수 에 대하여, 차원 초입방체 오퍼라드() 는 다음과 같다.
 은 개의 차원 초입방체 를 하나의 차원 초입방체 에 서로 겹치지 않고, 의 면들이 의 면들과 서로 평행하게 매장하는 방법들이다.
 의 항등원은 초입방체  위의 항등 함수이다.
 에서, 와  ()의 합성은 매장을 합성하여, 를  속에 겹치지 않고, 면들이 평행하게 매장시키는 사상이다.

결합법칙 오퍼라드 
벡터 공간의 닫힌 대칭 모노이드 범주  위에서 다음과 같은 오퍼라드 를 정의하자.
 의 항 연산은 차원 -벡터 공간 이다. 여기서 은 크기가 인 대칭군이다.
 의 작용은 군 의 왼쪽 곱셈의 선형 확장이다.
 의 연산의 합성은 군 준동형

의 선형 확장이다.
이 경우,  위의 대수는 결합 -대수이다. 마찬가지로, 교환법칙 따위를 오퍼라드로 나타낼 수 있다.

역사와 어원 
존 피터 메이()와 마이클 보드먼(), 라이너 폭트() 가 호모토피 이론에서 도입하였다. "오퍼라드"라는 이름은 메이가 작명하였고, 이 이름을 고르는 데 일주일을 소비했다고 한다. 메이에 따르면, "오퍼라드"()는 (연산)과 (모나드)의 합성어이다.

이후 막심 콘체비치가 오퍼라드의 개념을 이론물리학 등에 응용하였다.

응용 
수학에서, 오퍼라드의 개념은 결합 대수, 가환 결합 대수, 리 대수, 거스틴해버 대수, 강한 호모토피 대수(strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 공통적으로 기술하는 편리한 용어로 쓰인다.

이론물리학에서, 오퍼라드의 개념은 양자장론 · 끈 이론 등을 다룰 때에도 쓰인다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 A∞-오퍼라드

추상대수학
범주론