내부 (위상수학)

위상수학에서 내부(內部, )는 원래의 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다. 의 내부의 기호는  또는 이다.

정의 
위상 공간 의 부분 집합 의 내부 는 를 근방으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점 들의 집합이다.
 인 열린집합 가 존재한다.
내부의 원소를 내부점(內部點, )이라고 한다.

성질

열린집합과의 관계 
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 열린집합이다.
 
 
반대로 는 의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한 의 최대 열린부분집합이다.

폐포와의 관계 
내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다.

내부와 폐포는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다.

위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 경계와 외부로 분할할 수 있다.

집합 연산과의 관계 
내부는 유한 교집합을 보존한다.

그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다.

기저와의 관계 
위상 공간 의 기저 가 주어졌을 때, 부분 집합  및 점 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 
 인 가 존재한다.
즉, 는 에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다.

예 
실수선 의 표준적인 위상은 순서 위상이며, 이는 모든 열린구간을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다.

또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다.

스콧 위상 
연속 dcpo  위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 임의의 의 상폐포의 내부는 다음과 같다.

은 스콧 열린집합: 가 상향 집합이며, 라고 하자. 가 연속 dcpo이므로, 인 가 존재한다. 즉, 이다.

: 임의의  및 상향 집합 가 주어졌으며, 또한 라고 하자. 인 를 찾으면 족하다. 는 스콧 열린집합이므로, 상집합이다. 따라서, 이다. 따라서, 는 공집합이 아니다.

같이 보기 
 외부 (위상수학)
 경계 (위상수학)
 근방

각주

외부 링크 
 
 
 

일반위상수학
폐포 연산자