일차 독립 집합

선형대수학에서 일차 독립 집합(一次獨立集合, ) 또는 선형 독립 집합(線型獨立集合)은 모든 벡터가 남은 벡터들의 일차 결합으로 나타낼 수 없는 벡터들의 집합이다.

정의 
체  위의 벡터 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 의 일차 독립 집합이라고 한다.
 임의의 서로 다른  및 에 대하여, 만약 라면, 이다. (여기서 와 는 각각 와 의 덧셈 항등원이다.)
 임의의 에 대하여, 이다. (여기서 는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 벡터 공간이다.)
두 조건의 동치는 체의 모든 0이 아닌 원소가 가역원이라는 성질에 의존하며, 일반적인 환 위의 가군에서는 첫 번째 조건이 두 번째 조건을 함의한다. 일차 독립 집합이 아닌 벡터 공간의 부분 집합을 일차 종속 집합(一次從屬集合, ) 또는 선형 종속 집합(線型從屬集合)이라고 한다. 부분 중복 집합에 대하여 마찬가지로 일차 독립 중복집합(一次獨立重復集合, )과 일차 종속 중복집합(一次從屬重復集合, )을 정의할 수 있다.

성질 
일차 독립 집합의 모든 부분 집합은 일차 독립 집합이다. 일차 종속 집합을 포함하는 부분 집합은 일차 종속 집합이다.

예 
공집합은 벡터 공간의 일차 독립 집합이다. 체  위의 벡터 공간 의 한원소 부분 집합 가 일차 독립 집합일 필요충분조건은 이다.

같이 보기 
 기저 (선형대수학)
 아핀 독립 집합

참고 문헌

외부 링크 
 
 

선형대수학