밀레니엄 문제

밀레니엄 문제()는 2000년 5월 24일에 클레이 수학연구소(CMI)가 정한, 21세기 사회에 가장 크게 공헌할 수 있지만 아직까지 풀리지 않은 미해결 수학 문제 7가지를 말한다. "오랫동안 풀리지 않은 중요한 기본 문제"로 여겨지고 있다. CMI는 각 문제를 처음으로 해결하는 사람에게는 100만 달러씩을 수여한다고 하였다. 따라서 모든 문제를 한 사람이 해결하는 극단적인 경우에는 700만 달러를 받을 수도 있다고 한다. CMI는 "밀레니엄 문제"가 1900년에 다비트 힐베르트가 제시해서, 20세기 수학 발전에 지대한 영향을 주었던 힐베르트의 문제들과 같은 역할을 할지 기대하고 있다.

문제 
7개의 밀레니엄 문제는 다음과 같다:
 P-NP 문제
 호지 추측
 푸앵카레 추측
 리만 가설
 양-밀스 질량 간극 가설
 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움
 버치-스위너턴다이어 추측

P-NP 문제 
P-NP 문제는 컴퓨터가 답이 될수 있는 몇 가지 경우는 빠르게 찾을 수 있지만, 완벽한 답을 빠르게 찾을 수는 없는 모든 경우에 대한 문제이다.

호지 추측 
호지 추측은 사영 공간에서의 대수적 순환에 대한 추측이다. 호지 순환은 유리적인 대수적 순환의 일차 결합이다.

푸앵카레 정리 
푸앵카레 추측은 프랑스의 저명한 수학자인 앙리 푸앵카레가 1904년에 제기한 위상수학의 한 명제로, 위상기하학에서 2차원 구면은 단일 연결이라는 근본적인 특징을 가지고 있는데, 3차원 표면에서도 구에 대해서 그러한 사실이 성립하는지에 대한 문제이다. 구체적으로 어떤 하나의 닫힌 3차원 공간에서 모든 폐곡선이 수축되어 하나의 점이 될 수 있다면, 이 공간은 반드시 원구로 변형될 수 있다는 것이다. 러시아의 저명한 수학자인 그리고리 페렐만에 의해서 증명되었다. CMI에서 평가하는 최초로 풀린 밀레니엄 문제이다.

리만 가설 
리만 가설은 리만 제타 함수에 대한 독일의 저명한 수학자인 베른하르트 리만의 추측으로, 리만 제타 함수의 자명하지 않은 해의 실수부가 모두 1/2라는 것이다. 이것은 정수론과도 광범위한 관련이 있고, 특히 소수의 분포와도 관련이 있다. 이것은 힐베르트의 문제들 목록에서 8번째 문제였고, 2004년 미국 퍼듀 대학교의 루이스 드 브랑게스 교수가 풀었다고 하면서 가설의 증명을 발표했지만, 검토 중에 증명에 오류가 있음이 발견되었다고 한다. 결국, 2023년 현재까지 미해결 문제로 남아있다.

양-밀스 질량 간극 가설 
물리학에서 양-밀스 이론은 쿼크나 글루온과 같은 아원자 입자의 물리를 다룬다. 이 이론에서는 가장 가벼운 입자마저도(광자와 달리) 양의 질량을 가진다. 이 현상을 질량 간극이라고 한다. 이 문제는 양-밀스 이론을 수학적으로 엄밀하게 정의하고, 또한 질량 간극을 가지는 것을 수학적으로 증명하는 것이다.

나비에-스토크스 존재성과 매끄러움 
나비에-스토크스 방정식은 액체와 기체등 유체의 운동. 유체역학의 기본 방정식이다. 19세기에 이것이 발견되었지만, 아직도 완벽하게 이해되지는 않았다. 3차원 공간에서 이 방정식의 해가 존재하는지가 난제다. 나비에-스토크스 방정식보다 더 간단한 오일러 방정식조차 해의 존재성 여부가 알려져 있지 않다.

버치-스위너턴다이어 추측 
버치-스위너턴다이어 추측은 방정식 중 특정한 경우, 타원곡선을 유리수에서 정의하는 경우에 대해서 다룬다. 이 추측은 방정식이 유리해를 유한개를 가지는지, 무한개를 가지는지를 알 수 있는 간단한 방법이 있는지에 대한 추측이다. 힐베르트의 문제들 목록에 있는 10번째 문제에서는 더 일반적인 경우에 대해서 다루었고, 이 경우에는 어떤 해를 가지는 방정식을 결정하는 방법은 없다는 것이 증명되었다.

같이 보기 
 힐베르트의 문제들
 밀레니엄 공학상 : 백만유로 짜리 상
 빌의 추측 : 백만장자 앤드루 빌이 현상한 백만달러 수학 문제
 콜라츠 추측 : 임의의 자연수가 특정 조작을 거쳐 항상 1이 된다는 추측

각주 

수학의 미해결 문제
밀레니엄 문제
제3천년기 전환기