계수 (선형대수학)

선형대수학에서, 선형 변환의 계수(階數, )는 선형 변환의 비(非) 퇴화 정도를 나타내는 기수이다. 기호는  또는 .

정의 
체  위의 벡터 공간  위의 선형 변환 의 계수 는 의 상의 차원이다.

체  위의  행렬 의 계수 는 다음과 같은 여러 가지 정의를 가지며, 이들은 모두 서로 동치이다.
 열벡터의 왼쪽에 를 곱하는 선형 변환 의 계수. 즉, 열공간의 차원.

 행벡터의 오른쪽에 를 곱하는 선형 변환 의 계수. 즉, 행공간의 차원.

 열벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 열벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 열벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 일반적으로 유일하지 않다. 그러나 이러한 집합들의 원소 개수는 항상 같다.

 행벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 행벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 행벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 원소 개수는 항상 같다.

 0이 아닌 소행렬식의 최대 차수

성질 
계수는 행렬의 여러 성질과 관련되며, 계수가 높을수록 행렬의 퇴화 정도가 덜하다. 체  위의  행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 영행렬이다.
 
또한, 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 단사 함수이다.
 
또한, 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 전사 함수이다.
 
특히,  행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 가역 행렬이다.

계수-퇴화차수 정리 

체  위의  행렬 에 대하여, 다음의 계수-퇴화차수 정리()가 성립한다.

항등식과 부등식 
 행렬의 계수는 행의 수와 열의 수 이하이다. 즉, 체  위의  행렬 에 대하여, 다음이 성립한다.

 체  위의  행렬 , 에 대하여, 다음이 성립한다.

 체  위의  행렬  및  행렬 에 대하여, 다음이 성립한다.

 체  위의  행렬  및  행렬 에 대하여, 다음의 실베스터 부등식()이 성립한다.

체  위의  행렬  및  행렬  및  행렬 에 대하여, 다음의 프로베니우스 부등식()이 성립한다.

 실수체  위의  행렬 에 대하여, 다음이 성립한다.

 복소수체  위의  행렬 에 대하여, 다음이 성립한다.

예 
의 계수를 계산하는 가장 간단한 방법은 가우스 소거법을 이용하는 것이다. 가우스 소거법을 행하여 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들어도 계수는 보존된다. 이때 0이 아닌 행의 숫자가 곧 행렬의 계수가 된다.

예를 들어 다음과 같은 4×4 행렬에서

첫 번째 열과 세 번째 열은 선형독립이지만, 두 번째 열은 첫 번째 열의 두 배와 같고 네 번째 열은 첫 번째 열과 세 번째 열의 합과 같으므로 의 계수는 2이다. 가우스 소거법을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이때 0이 아닌 행이 두개임을 확인할 수 있다.

컴퓨터에서 부동소수점 연산을 행할 때 가우스 소거법은 부정확한 결과를 내놓을 확률이 높으므로, 특이값 분해를 통해 계수를 계산할 수 있다. 혹은 가우스 소거법보다 좀 더 안정적이고 특이값 분해보다는 빠른 QR 분해를 사용할 수도 있다.

응용

동치 표준형 
행렬의 동치 표준형은 그 계수에 따라 완전히 결정된다. 즉, 두 행렬이 동치일 필요충분조건은 계수가 같은 것이다. 체  위의  행렬 의 동치 표준형은 다음과 같다.

같이 보기 
 계수 정리

각주

외부 링크 
 
 
 
 

선형대수학