양자 조화 진동자

양자 조화 진동자(量子調和振動子, )는 양자 물리계의 하나로, 고전적 조화 진동자를 양자화하여 얻는다. 양자역학에서 해석적으로 풀 수 있는 몇 안되는 계 가운데 하나다.

1차원 양자 조화 진동자

퍼텐셜 
1차원 양자 조화 진동자의 퍼텐셜은 다음과 같다.
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여기서 는 용수철 상수이고, 는 퍼텐셜에 갇힌 입자의 운동의 각진동수이다. 은 입자의 질량이다.

에너지 고유 상태 

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 (시간독립 슈뢰딩거 방정식, Time-Independent Schrödinger Equation)을 풀면 다음과 같은 에너지 고유 상태 와 에너지 준위 을 얻는다.

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여기서,
 : 에르미트 다항식

이다.

해석적인 풀이 
1차원에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

: 디랙 상수 
: 진동자의 질량
: 진동자의 파동함수
: 진동자의 에너지

여기에 다음과 같은 변수 변환

를 취하면 다음의 방정식을 얻는다. (이는 방정식에 나타난 물리량을 단위가 없는 양으로 바꾸기 위함이다.)

지금 당장 이 형태는 풀기 어렵다. 따라서, 평형점(x=0)으로부터 한없이 멀리 떨어진 곳에서의 파동함수의 거동을 살펴보자. (이렇게 하면 해를 구하는 과정에서 x → ∞ 이면 파동함수의 함수값이 0 이 되어야 한다는 양자역학의 통계적 해석에 관한 기본 조건이 풀이에 자연스럽게 이용된다.) 이 경우, 상수인 ε에 비해 y는 매우 커지므로(x → ∞ 이면 y → ∞), 위 식의 두 번째 항에서 ε항을 무시할 수 있다. 그러면,

의 간단한 방정식을 얻는다. 이 방정식의 해는 실제 파동함수가 x → ∞ 일 때 원래의 해가 점근적으로 수렴해 가는 함수이다. 이 미분 방정식을 풀면

를 얻는다. 그런데 이는 x 가 한없이 큰 곳에서의 해이므로, 실제 슈뢰딩거 방정식의 해는 특정 함수가 곱해진 형태인 다음과 같은 형태의 함수일 것이라 생각해볼 수 있다.

따라서 이 함수를 시험해로 사용하여 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 새로운 미분방정식을 얻는다.

위 방정식을 급수해 풀이법으로 풀면, 그 해로 에르미트 다항식 H(y)를 얻는다.

이를 표준화를 시키면 앞의 표준화 상수 Nn를 구할 수 있고, 다시 y와 ε을 역변환하면 아래의 양자 조화 진동자 파동함수를 얻는다.

대수적인 풀이 
양자 조화 진동자의 에너지 고유 상태와 에너지 준위의 주요한 성질은 미분 방정식을 직접 풀지 않아도 대수적인 방법으로 유추할 수 있다.

해밀토니언을 다음과 같이 인수분해하자.

.
여기서

는 사다리 연산자이다. 이들은 에르미트 연산자가 아니므로, 관측 가능량이 아니다.

다음과 같이 입자수 연산자(粒子數演算子, ) 을 정의하자.
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이는 에르미트 연산자이다. 따라서 그 고유 기저를 이라고 적자. 즉

이다.

이므로, 의 고윳값은 음이 아닌 실수다.

입자수 연산자와 사다리 연산자의 교환자는 다음과 같다.

.
따라서

이므로,

이다. 마찬가지로,

임을 보일 수 있다. 즉, 는 의 양자수를 1 감소시키고, 는 의 양자수를 1 증가시킨다. 이 때문에 를 생성 연산자(生成演算子, ), 를 소멸 연산자(消滅演算子,)라고 부른다.

그 비례 상수는 다음과 같이 계산할 수 있다.
.
따라서

이다. 마찬가지로,

이므로,

이다.

이에 따라,

이다. 만약 이 정수가 아니라면, 일 때 음의 고윳값 을 가진 고유벡터 가 존재하게 된다. 그러나 의 고윳값은 항상 음이 아닌 실수이므로, 은 항상 정수이다. 즉, 의 고윳값은 항상 음이 아닌 정수이고, 바닥 상태 로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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입자수 의 고윳값이 음이 아닌 정수이므로, 해밀토니언 의 고윳값(에너지 준위) 은 다음과 같다.
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참고 문헌

같이 보기 

 상자 속 입자
 퍼텐셜 우물
 조화 진동자
 결맞는 상태
 글라우버-수다르샨 표현

양자 모형
양자역학