일반화 좌표

일반화 좌표()는 물리적 계를 더 쉽게 분석하기 위해 사용되는 매개변수의 집합을 말한다. 데카르트 좌표계가 표준이던 시절에 붙여진 이름이다.

수학적 정의 
N개의 입자를 가진 계와 이 계의 좌표들간의 제약을 주는 k개의 홀로노믹 구속

이 있다 하자. 이 때, 이 계의 자유도는 회전과 같은 자유도를 무시하고 병진에 의한 자유도만을 고려하면 3N-k개의 자유도를 가지게 된다. 그리고 이 때, 이 계를 기술하는 3N-k개의 서로 독립인 좌표의 집합 {q1, q2, …, q3N-k}를 일반화 좌표라 한다. 이 좌표는 말 그대로 일반화된 좌표로 관성계일 필요도 없고, 뉴턴 역학에서 자주 쓰는 데카르트 좌표계일 필요도 없다. 심지어, 길이의 차원을 가지지 않는 각 또한 일반화 좌표가 될 수 있다. 임의의 3N-k개의 매개변수가 계의 상태를 완벽히 표현할 수 있다면, 이 매개변수들은 일반화좌표가 될 수 있다. 이를 통해, 기존의 좌표계들과 달리 운동을 분석할 수 있는 유연성을 제공해준다.

예 

평면 위에서 운동하는 이중진자는 데카르트 좌표계를 사용하면, 다음과 같이 {x1, y1 x2, y2} 네 개의 좌표를 사용하면 운동을 기술할 수 있다. 하지만 이 운동의 자유도는 2이기 때문에, 데카르트 좌표계보다 일반화 좌표를 사용하면 더 편리하게 운동을 기술할 수 있다. 보통 이 문제를 기술하기 위해서 왼쪽 그림과 같이 각 θ1, θ2를 일반화 좌표로 사용한다. 그에 관계된 변환식은 다음과 같다.

끈 위에서 움직이는 구슬의 경우 자유도가 1이므로 일반화 좌표를 사용하면 매우 쉽게 운동을 기술할 수 있다. 끈위의 어느 기준점으로부터 구슬까지의 끈을 따라서 잰 거리 l을 일반화 좌표로 사용하면 원래는 3차원 좌표를 써서 복잡하게 풀어야 할 문제가 1차원 문제로 쉬워지는걸 확인할 수 있다.

임의의 면 상에서 움직이는 물체의 운동은 3차원 상에서 이루어지지만 2개의 자유도를 가지고 있다. 구 위에서 움직이는 물체를 생각해보면, 구면 좌표계의 각 좌표, θ, φ를 변수로 사용하는 것이 좋다. 나머지 좌표 r은 계의 홀로노믹 구속에 의해 쉽게 없어짐을 볼 수 있다.

일반화 속도 
어떤 순간의 계의 상태를 기술하기 위해선 좌표만으로도 충분하다. 하지만 그 계의 동역학적 상태를 알기 위해선 입자들의 위치만을 알아서는 부족하다. 입자들의 운동 상태에 대한 정보도 함께 알아야 한다. 이를 기술하기 위해 각 일반화 좌표의 시간에 대한 미분, 일반화 속도()란 개념을 도입한다.

이 값을 알면 이후의 계의 상태를 추적할 수 있다. 여기에 일반화 속도의 역학적 중요성이 있다.

운동에너지 
라그랑주 역학에서는 일반화 좌표로 기술되는 운동에너지 T를 자주 구하게 된다. 하지만 이는 일반적으로 다음과 같은 일반화 속도의 이차 형식으로 나타나지 않음에 주의하자.

일반적으로 이를 구하기 위해서는 아래와 같이

데카르트 좌표계를 통해 먼저 운동 에너지를 구하고, 이를 일반화 좌표로 변환시켜 사용하게 된다.

여기서, 운동에너지를 구하기 위한 데카르트 좌표계는 항상 관성계이어야 함에 주의하자. 하지만 변환 후의 일반화 좌표는 관성계일 필요는 없다. 이 좌표 선택의 자유도가 일반화 좌표의 장점이다.

같이 보기 
 라그랑주 역학
 자유도
 가상 일

동역학계
고전역학
라그랑주 역학
해밀턴 역학
강체