천 특성류

대수적 위상수학과 미분기하학에서 천 특성류([陳]特性類, )는 복소 벡터 다발에 대한 특성류이다. 매끄러운 다양체 위의 한 벡터 다발에 대한 위상적 불변량이다. 두 벡터 다발이 사실 같은 다발인지 판별하는 데 유용하다.

천 특성류와 천 지표는 아티야-싱어 지표 정리 및 그로텐디크-리만-로흐 정리 등에서 쓰인다.

정의 
매끄러운 다양체  위의 복소 벡터 다발 를 생각하자. 벡터 다발에 임의의 코쥘 접속 와 그 곡률

를 정하자. 그렇다면 다음 다항식을 정의할 수 있다.
.
여기서 는 형식적인 변수다. (는 2-형식이고, 짝수 차원의 미분형식은 가환하므로 행렬식을 정의할 수 있다.) 는 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서 동치류

를 정의할 수 있다. 이는 코쥘 접속 에 관계없음을 보일 수 있다. 즉

이다. 천 특성류의 원소 는 의 테일러 급수

의 계수다.

실수 벡터 다발에 대해서도 유사한 특성류를 정의할 수 있는데, 이를 폰트랴긴 특성류라고 한다. 또한, 슈티펠-휘트니 특성류도 실수 벡터 다발에 대한 천 특성류에 대응하는 객체로 생각할 수 있다.

대수적 천 특성류 
천 특성류는 대수기하학에서도 등장한다. 이 경우 천 특성류는 비특이 대수다양체에 대하여 정의되며, 특이 코호몰로지 대신 이보다 더 많은 정보를 담고 있는 저우 환 속의 원소가 된다. 구체적으로, 비특이 준사영 대수다양체  위에, 차원 국소 자유 가군층 가 주어졌을 때, 의 (대수적) 천 특성류

는 (정수 계수) 저우 환 의 원소이다. 마찬가지로, (대수적) 천 지표

를 유리수 계수 저우 환 속에 정의할 수 있다.

성질 
복소수 차원 복소다양체 의 접다발 의 천 특성류 는 이 개의, 모든 곳에서 선형 독립인 단면을 갖는 것에 대한 방해 조건()이다. 즉, 이어야지만 이만큼의 선형 독립 벡터장들이 존재할 수 있다. 특히, 은 모든 곳에서 0이 아닌 벡터장이 존재할 방해 조건이며, 은 모든 곳에서 0이 아닌 (복소수) 필바인이 존재할 방해 조건이다.

복소수 차원 복소다양체 의 최고차 천 특성류 는 그 오일러 특성류 과 같다.

예 
자명한 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 항상 0이다. 벡터 다발의 쌍대다발의 천 특성류는 원래 벡터 다발의 천 특성류의 −1배이다.

리만 곡면 
콤팩트 리만 곡면  위의, 인자 에 대응하는 선다발 의 천 수는 그 차수 와 같다.

특히, 리만 곡면의 접다발  및 표준 선다발(=공변접다발) 의 차수는 각각  및 이므로, 이들의 천 특성류는 다음과 같다.

만약 일 경우 (원환면 = 복소수 타원 곡면), 접다발 및 표준 선다발이 자명한 선다발임을 알 수 있다. 일 경우, 리만 곡면 위의 모든 벡터장 은 적어도 하나의 영점을 갖는다. 이는 푸앵카레-호프 정리

의 한 예이다.

복소수 사영 공간 
복소수 사영 공간 의 경우, 다음과 같은 오일러 완전열이 존재한다.

여기서 은 구조층이며, 이는 자명한 선다발이다 (복소수 사영 공간 위에 존재하는 정칙 함수는 상수 함수밖에 없다). 은 세르 뒤틀림층(=의 정의에 따라 존재하는 선다발의 쌍대 다발)이다.

완전열의 첫 항이 자명하므로, 복소수 사영 공간의 접다발의 천 특성류는 다음과 같다.

역사 
천싱선이 1946년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

특성류
중국 수학