국소화 (환론)

환론에서 국소화(局所化, )는 환의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 오레 조건()이라고 불리는 조건이 성립해야 한다.

가환환의 국소화

보편 성질 
가 가환환이고, 가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, 의 에 대한 국소화 는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환  및 환 준동형 으로 구성된다.
 임의의 에 대하여, 는 가역원이다.
 (1)을 만족시키는 임의의 가환환  및 환 준동형 에 대하여, 이 되는 환 준동형 가 유일하게 존재한다.

국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.

위 보편 성질은 가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약 가 곱셈 모노이드가 아니고, 가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 가 된다.

구성 
위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 , 이고 인 가 있다면

으로 정의한다. 그렇다면 로 놓자. 이는 대략 를 와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 를 로 쓰자.

 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.

.
또한, 로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.
.
이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

비가환환의 국소화 
가환환이 아닐 수 있는 임의의 환  및 부분 모노이드 에 대하여, 국소화 를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주 에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만, 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다.
 (A) 의 모든 원소 에 대하여, 가 되는  및 가 존재한다.
 (A′) 의 모든 원소 에 대하여, 가 되는  및 가 존재한다.
 (B) 의 핵은 이다.
 (B′) 의 핵은 이다.
 (C) 이며 라면 이다.
이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 보편 -가역화 환(普遍-可逆化環, )이라고 불리기도 한다.

비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자  속의, 를 가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자

를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자 를 가지며, 따라서 는 표현 가능 함자이다. 즉,

로 생각할 수 있으며, 는 국소화 를 이룬다.

만약 가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.)

구성 
비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다. 환 의 표시

를 고르자. 즉, 생성원 와 관계 로 나타내자. 그렇다면, 각 에 대하여 생성원 를 추가하고, 또 관계

를 추가하자. 그렇다면

는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다.

이 구성에서, 의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

오레 국소화 
비가환환 의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환 와 부분 모노이드 가 오레 조건()이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 오레 국소화는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다.

구체적으로, 와 부분 모노이드 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 오레 조건()이 성립한다고 한다.
 
 
마찬가지로, 와 부분 모노이드 가 다음 조건을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건()이 성립한다고 한다.
 
 

가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합  위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

그렇다면 는 집합으로서 몫집합 이다. 의 동치류를 로 표기하자.  위의 곱셈은 다음과 같다.

여기서 인 는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는
""
로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로,  위의 덧셈은 다음과 같다.

여기서 인 는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는
""
로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는
""
로 생각할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 를 구성할 수 있다.

이렇게 구성한 국소화를 오레 국소화()라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.

가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.

가군의 국소화 
환 의 곱셈에 대한 부분 모노이드  및  위의 왼쪽 가군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 에서의 국소화 은  위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다.

또한, 표준적인 -왼쪽 가군 사상 가 존재한다.

이는 함자

를 정의하며, 환 준동형 에 의한 망각 함자

의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 -왼쪽 가군의 준동형 에 대하여, 만약 임의의 에 대하여 이 전단사 함수라면, 인 -왼쪽 가군 준동형 이 존재한다.

구성 
가 가환환일 때, 가군의 국소화 는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다.

 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.

은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다. 의 동치류를 로 표기하자. 그렇다면,  위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.

성질

소 아이디얼 
가환환  및 곱셈 모노이드 에 대하여, 국소화 의 소 아이디얼들은 의 소 아이디얼 가운데 와 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.

여기서  는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.

특히, 의 소 아이디얼 에 대하여, 는 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은 에 대응한다.

국소화의 단사성과 전사성 
가환환  및 곱셈 모노이드 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 표준적 환 준동형 가 단사 함수이다.
 는 영인자를 포함하지 않는다. (0은 정의에 따라 영인자이다.)
그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.

뇌터 가환환  위의 단사 가군  및 임의의 원소 에 대하여, 는 전사 함수이다.

오레 조건의 필요충분성 
환  및 곱셈 모노이드 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다.
 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 이 존재한다.
 
 
 
또한, 이러한 조건을 만족시키는 는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.

마찬가지로, 환  및 곱셈 모노이드 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다.
 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 이 존재한다.
 
 
 

특히, 만약 가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.

예 
(비가환일 수 있는) 환  및 곱셈 모노이드 가 주어졌다고 하자.
 이라고 하자. 그렇다면 항상  (자명환)이다. 만약 가 가환환이라면, 그 역 또한 성립한다.
 이라고 하자. 그렇다면 항상 이다.

분수체 

(곱셈 항등원을 갖는) 환 에 대하여,

가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, 가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 를 의 전분수환 라고 한다.

특히, 만약 가 (가환) 정역이라면 이며, 는 체를 이룬다. 이 경우, 는 분수체라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 은 다음과 같이 의 일부분을 이룬다.

이에 따라 는 항상 분수체 의 부분환을 이룬다.

정수환 
정수환 의 소 아이디얼은 소수의 주 아이디얼  또는 영 아이디얼 이다.

정수환 를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.

즉, 분모가 의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, 는 이산 값매김환이며, 는 체이다.

정수환의 를 원소 에서 국소화하면 다음과 같다.

 (자명환)
즉, 분모가 의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 로 표기되는 p진 정수의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)

정수환의 몫환 
정수환의 몫환 을 생각해 보자. 이 소수의 거듭제곱이라면 이거나 이다. 만약 이고, 와 가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 이다. 그렇다면 이 가능한데, 이 경우 이다.

비가환환의 자명한 국소화 
체  및 정수 에 대하여, 행렬환 을 생각하자. 가 에서 성분 을 가지며, 나머지 성분이 모두 인 행렬이라고 하자. 그렇다면, 일 때, 국소화 는 자명환이다.

응용 
대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.
 원소 가 주어진 경우, 는 에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합 에 국한한 것이다.
 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 의 경우 는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간  위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, 으로 국한된 것을 알 수 있다.
 소 아이디얼 가 주어진 경우, 는 에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 의 자리스키 폐포 의 근방에 국한한 것이다.
 예를 들어, 1차원  아핀 공간의 함수환 를 극대 아이디얼 에서 국소화하면 유리 함수체 을 얻는다. 이는 의 근방에서 정의되는 유리 함수들의 체이므로, 의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다.

역사 
1927년에 하인리히 그렐(, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다. 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다. (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.)

임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프()가 도입하였다.

참고 문헌

같이 보기 
 국소환
 값매김환

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

가환대수학
환론
분수