K·p 섭동 이론

응집물질물리학에서 k·p 섭동 이론()은 띠구조를 다루는 섭동 이론의 하나다.

전개 
위치 에너지  속에 있는 전자의 해밀토니언은 다음과 같다.
.
전자 파동 함수 는 슈뢰딩거 방정식

을 만족한다.

위치 에너지 은 브라베 격자의 주기성을 지닌다. 따라서 파동 함수를 블로흐 파

로 나타내자. 여기서 는 브라베 격자의 주기성을 지닌다. 그렇다면 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
.
여기서

이다. 이제 을 제외한 항들 를 원래 해밀토니언 에 대한 섭동항으로 간주하여 섭동 이론을 전개할 수 있다. 이 섭동 이론을 k·p 섭동 이론이라고 한다.

기본적인 경우 
가장 기본적인 경우로, 스핀-궤도 결합 를 무시한 경우를 생각히 보자. 만약 결정 구조가 원점 대칭을 가진다면, parity에 의해  이 성립한다. 즉, 에너지 1차 섭동은 0이다. 에너지 2차 섭동은 다음과 같다.

이 때, 고유함수를 1차항까지 전개하면,
.

유효 질량의 정의는 다음과 같다.

이 정의를 이용해 를 이차항까지 아래와 같은 꼴로 적어 준다.

이 식과 앞에서 구한, 섭동에 따른 전개식을 사용하면, 다음과 같은 결과에 도달하게 된다.

우변의 분모가 매우 작은 경우, 유효 질량 이 실제 질량 보다 매우 작게 된다. 예를 들어, 반도체 CdxHg1−xTe ()의 경우, 전도띠의 바닥 상태에서는 유효 질량이 으로 매우 작다.

스핀-궤도 결합 
스핀-궤도 결합 효과를 고려하는 경우에는 보통 다음과 같은 역학적 운동량() 를 정의한다.
.
그렇다면 섭동 해밀토니언 는 다음과 같다.

즉, 스핀-궤도 결합을 고려하려면 모든 공식에서 바른틀 운동량 를 역학적 운동량 로 치환하기만 하면 된다.

겹침이 있는 경우의 k·p 섭동 이론 
겹침이 있는 경우 k·p 섭동 이론은 더 복잡해진다. 기본적인 방법은 겹침이 없는 경우와 같으나, 기저를 새롭게 잡아서 해밀토니언의 섭동항의 대각 성분만 살려주도록 해야 한다. 경우에 따라 그 방법이 다양하다.

참고 문헌 

응집물질물리학
반도체