접다발

미분기하학에서, 매끄러운 다양체의 접다발(接-, )은 각 점 위의 접공간들의 서로소 합집합들로 구성된 벡터 다발이다.

정의 
이 차원 매끄러운 다양체라고 하고, 그 매끄러운 국소 좌표계

가 주어졌다고 하자 (는 의 열린 덮개).

그렇다면, 의 접다발은 다음과 같은 위상 공간이다.

여기서, 각 성분들을 이어붙이는 동치 관계 은 다음과 같다.

여기서 는 의 번째 성분이다.

그렇다면, 이는 자연스러운 사영 사상

을 통해  위의 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

의 접공간(接空間, ) 은 접다발의 올이다. 만약 에서 어떤 유클리드 공간으로의 (매끄러운) 몰입이 주어졌다면, 이는 에 "접하는" 차원 초평면으로 여길 수 있다.

매끄러운 다양체 의 접다발의 쌍대 벡터 다발 을 공변접다발(共變接- ) 또는 여접다발(餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로

와 같이 정의될 수 있다. 마찬가지로, 의 공변접공간(共變接空間, ) 은 공변접다발의 올이다.

벡터장과 텐서장 
의 접다발 의 매끄러운 단면을 벡터장이라고 한다.
의 공변접다발 의 매끄러운 단면을 1차 미분 형식이라고 한다.
의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱

의 매끄러운 단면을 차 텐서장이라고 한다.

예 
만약 어떤 매끄러운 다양체 의 (공변)접다발이 자명한 벡터 다발이라면, 을 평행화 가능 다양체()라고 한다. 초구  가운데 평행화 가능 다양체인 것은 , , ,  밖에 없다.

모든 3차원 가향 다양체는 평행화 가능 다양체이다.

리만 다양체 
준 리만 다양체 의 경우, 각 점 에서 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상

이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상을 정의한다. 이를 음악 동형(音樂同形, )이라고 한다.

여기서 "음악"이라는 어원은 악보의 올림표(♯)와 내림표(♭) 기호를 사용하기 때문이다. 이러한 기호를 사용하는 이유는, 보통 접다발의 단면은 윗첨자(), 공변접다발의 단면은 아랫첨자()로 표기하므로, 은 윗첨자를 아랫첨자로 "내리고", 는 아랫첨자를 윗첨자로 "올리기" 때문이다.

참고 문헌

같이 보기 
 공변접다발
 미분 사상
 틀다발

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

미분위상수학
벡터 다발