랴푸노프 방정식

랴푸노프 방정식

제어이론에서 이산 랴푸노프 방정식은 다음과 같은 형태이다.

여기서 Q는 에르미트 행렬이다. 연속 랴푸노프 방정식의 형태는 다음과 같다.

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랴푸노프 방정식은 제어 이론의 많은 분야에서 사용되는데, 예를 들어 랴푸노프 안정성, 최적 제어 등이 있다.  이 방정식은 러시아 수학자인 알렉산드르 랴푸노프의 이름을 따온 것이다.

안정성 증명
행렬  와 대칭행렬  에 대하여 다음의 정리가 성립한다.

정리(이산 시간 버전). 주어진  에 대하여,  을 만족하는 ,  가 존재하면, 선형 시스템 는 초기조건에 관계없이 0으로 수렴한다.  이 때 이차함수 는 안정화를 확인하는 랴푸노프 함수이다.

정리(연속 시간 버전).  주어진  에 대하여,   을 만족하는 ,  가 존재하면, 선형 시스템 는 초기조건에 관계없이 0으로 수렴한다. 이 때 이차함수 는 랴푸노프 함수이다.

해의 계산
주어진   에 대하여 를 의 열을 쌓아서 벡터로 변환하는 연사자로 정의하고,
를 와  의 크로네커 곱으로 정의하자.
두 연산자를 사용하여 랴푸노프 방정식을 선형 방정식으로 변환할 수 있고, 가 안정한 경우 적분 (연속 시간의 경우) 혹은 무한급수 (이산 시간의 경우)를 사용하여 해를 표현할 수 있다.

이산 시간
연산자 의 성질인 를 이용하면, 랴푸노프 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

이 때 은 항등행렬이고,  의 원소는 의 원소의 복소켤레들이다.
위의 선형 방정식을 풀고나면 를 얻고, 이를 통해 를 얻을 수 있다. 만약 가 안정한 경우,  는 다음과 같이 구할 수도 있다.

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연속 시간
이산 시간의 경우와 마찬가지로 를 이용하여 다음의 선형 방정식을 얻을 수 있다.

만약 가 안정한 경우, 는 다음과 같이 구할 수도 있다.
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컴퓨터를 이용한 해의 계산
소프트웨어를 이용하여 랴푸노프 방정식의 해를 구할 수 있다.  이산 시간의 경우는 키타가와의 슈어 방법(the Schur method of Kitagawa (1977))이 자주 사용된다. 연속 시간의 경우는 바터와 슈튜어트의 방법(method of Bartels and Stewart (1972))을 사용한다.

관련 항목
 실베스터 방정식(Sylvester equation)

참고 문헌
 Kitagawa: An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S, International Journal of Control, Vol. 25, No. 5, p745–753 (1977).
 R. H. Bartels and G. W. Stewart: Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C, Comm. ACM, 15 (1972), p820-826.

각주 

제어이론