주 아이디얼 정역

가환대수학에서 주 아이디얼 정역(主ideal整域, , 약자 PID)은 모든 아이디얼이 하나의 원소로 생성되는 정역이다.

정의

주 아이디얼 환 
주 오른쪽 아이디얼 환()은 모든 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼(즉, 에 대하여 의 꼴)인 환이다.
주 왼쪽 아이디얼 환()은 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼(즉, 에 대하여 의 꼴)인 환이다. 가환환의 경우 이 두 개념이 일치하며, 주 아이디얼 가환환()이라고 한다.

주 아이디얼 정역 
정역 에 대하여 다음 조건들을 정의하자.
 (B) 베주 정역이다. 즉, 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다.
 (D) 데데킨트 정역이다.
 (UFD) 유일 인수 분해 정역이다.
 (N) 뇌터 환이다.

정역 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 주 아이디얼 정역이라고 한다.
 주 아이디얼 환이다.
 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.
 (N) + 모든 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.
 (UFD) + (D)
 (UFD) + (B)
 (UFD) + 크룰 차원이 1 이하이다.
 (UFD) + 모든 아이디얼이 평탄 가군이다.
 (UFD) + 모든 꼬임 없는 가군()은 평탄 가군이다.
 (B) + (N)
 (B) + 주 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
 적어도 하나 이상의 데데킨트-하세 노름을 갖는다.
 (D) + 피카르 군이 자명군이다.
 모든 아이디얼이 자유 가군이다.
 자유 가군의 부분 가군은 자유 가군이다.

가환환  위의 데데킨트-하세 노름() 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
 임의의 에 대하여, 이거나 아니면 인 가 존재한다. (여기서 는 와 로 생성되는 아이디얼이다.)

성질
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역  ⊋ 유클리드 정역  ⊋ 체

주 아이디얼 정역의 임의의 두 원소 에 대해, 이 둘로 생성되는 아이디얼 의 생성원은 a와 b의 최대공약수가 된다.

모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이다.

모든 환에서 임의의 극대 아이디얼은 소 아이디얼인데, 주 아이디얼 정역에서는 그 역이 '거의' 성립한다. 즉, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 기하학적으로, 이는 크룰 차원이 1이하라는 것을 뜻한다. 보다 일반적으로, 이 조건은 데데킨트 정역에서도 성립한다.

주 아이디얼 정역 위의 가군 
주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군은 항상 극소 생성 집합을 갖는다. 이는 체 상의 유한 차원 벡터 공간이 기저를 갖는다는 사실의 일반화이다.

주 아이디얼 정역  위의 임의의 유한 생성 가군 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 는 의 으뜸 아이디얼이다. 이를 의 으뜸 분해()라고 하며, 유일하다.

주 아이디얼 정역  위의 임의의 유한 생성 가군 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 는 의 아이디얼들이며, 유일하다. 이를 의 불변 인자 분해()라고 한다.

분류 
자리스키-사뮈엘 정리()에 따르면, 모든 주 아이디얼 가환환 는 다음과 같은 꼴의 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.

여기서
 각 는 주 아이디얼 정역이거나 아니면 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환이다.
헝거퍼드 정리()에 따르면, 모든 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환 는 이산 값매김환의 몫환이다.

예 
 임의의 체는 주 아이디얼 정역이다.
 정수환 는 주 아이디얼 정역이다.
 가우스 정수환 와 아이젠슈타인 정수환 는 주 아이디얼 정역이다.
 가 체일 때,  위의 일변수 다항식환 는 주 아이디얼 정역이다.

반례 
정수 계수 다항식환 는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 가 주 아이디얼이 아니기 때문이다. 체 에 대하여, 는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 가 주 아이디얼이 아니기 때문이다.

가환환

는 주 아이디얼 정역이지만 유클리드 정역이 아니다.

가 임의의 체일 때, 다항식환 는 유일 인수 분해 정역이지만 주 아이디얼 정역이 아니다. 예를 들어, 는 주 아이디얼이 아니다.

주 오른쪽 아이디얼 영역이 아닌 주 왼쪽 아이디얼 영역 
나눗셈환  위의 가 자기 준동형이지만 자기 동형이 아니라고 하자. 그렇다면 힐베르트 뒤틀린 다항식환()

는 다음 성질들을 만족시킨다.
 주 왼쪽 아이디얼 환이다. (따라서 왼쪽 뇌터 환이다.)
 영역이다.
 가환환이 아니다.
 오른쪽 뇌터 환이 아니다. (따라서 주 오른쪽 아이디얼 환이 아니다.)
따라서, 영역의 경우에도 주 왼쪽/오른쪽 아이디얼 환 조건이 서로 다르다.

역사 
1949년에 토머스 모츠킨()이 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예를 최초로 제시하였다.

자리스키-사뮈엘 정리는 1958년에 오스카 자리스키와 피에르 사뮈엘()이 증명하였다.

헝거퍼드 정리는 1968년에 토머스 윌리엄 헝거퍼드()가 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

가환대수학