윌슨의 정리

윌슨의 정리()는 1 보다 큰 자연수 에 대해서

위 명제가 성립함은 가 소수일 필요충분조건이라는 정수론의 정리이다.

즉, 자연수 에 대해 다음 두 명제가 성립한다:

 가 소수이면 
 가 성립하면 는 소수

증명

필요조건의 증명 
만약 가 소수이면, 의 기약잉여계 는 에 대한 가환환을 이룬다.

이것은 의 임의의 원소 에 대하여, 이 성립하는 역원 가 존재한다는 것이다.

만약 이면,

이와 같이  과 만이 자기 자신을 곱의 역원으로 가지고, 나머지 원소들은 자신이 아닌 다른 원소를 역원으로 갖는다.

따라서,  과 을 제외한 원소들을 모두 곱하면 법 에 대해 1과 합동이 되고, 의 원소들을 모두 곱한 값, 즉 의 값은 −1과 합동이 된다.

예를 들어,  인 경우:

로 성립하며,  인 경우 가 된다.

  (단, 는 소수들의 집합)

충분조건의 증명 
인  중 합성수인 가 존재한다고 가정하자.

가 합성수이면 인 의 약수 를 잡을 수 있다.

  이며 이므로 
 이므로 

즉, 는  과 의 공약수인데,

이는  와 는 서로소임에 모순된다.

따라서 귀류법을 통해 조건을 만족하는 는 모두 소수임을 알 수 있다.

  (단, 는 소수들의 집합)

따름 정리 

임의의 소수 에 대해

수론
수론 정리
계승과 이항식 주제
모듈러 산술