산술의 기본 정리

산술의 기본 정리(算術의基本定理, )는 모든 양의 정수는 유일한 소인수 분해를 갖는다는 정리이다.

정의 
소수의 집합을 라고 하자. 산술의 기본 정리에 따르면, 임의의 양의 정수 에 대하여, 곱하여 이 되는 소수의 유한 중복집합이 유일하게 존재한다. 즉, 다음 성질을 만족시키는  및 가 존재하며, 이는 의 순열을 무시하면 유일하다.

만약 인 경우, 이며, 이 소수 중복집합은 공집합이 된다.

추상대수학의 용어를 사용하면, 이는 정수의 환 가 유일 인수 분해 정역이라는 명제와 동치이다.

증명 
이 정리의 증명은 다음과 같은 두 단계로 나뉜다.

1 단계 
첫 번째로 1보다 큰 양의 정수가 소수의 곱으로 표현할 수 있음을 증명한다. 1보다 큰 양의 정수 의 두 번째로 작은 약수는 반드시 소수여야한다.(첫 번째로 작은 약수는 1이다.) 만약 이 두 번째로 작은 약수이고, 소수가 아니라고 한다면 (즉 합성수라면), 합성수의 정의에 의해서  이면서 을 나누는 양의 정수 이 존재하게 되고, 따라서 은 도 나눌 수 있기 때문에, 이 두 번째로 작은 약수라는 가정에 모순이 생긴다. 따라서 은 반드시 소수인 약수를 갖게 되며 이를 다음과 같이 표현할 수 있다.

만약,이 소수라면, 증명은 여기서 종료된다. 하지만, 가 소수가 아니라면, 
 역시 1을 제외한 약수 중에 가장 작은 약수를 소수로 갖기 때문에 다음과 같이 표현할 수 있다.

이를 소수만 남을때까지 반복 할 수 있기 때문에, 따라서, 1보다 큰 모든 양의 정수는, 소수의 곱으로 표현 가능하다.

2 단계 
두 번째로, 그렇게 표현한 소수의 곱이 (각 인수들의 자리바꿈을 제외한다면) 유일함을 귀류법으로 증명한다. 
만약, 소수의 곱이 유일하지 않은 1보다 큰 양의 정수가 있다고 가정해 보자. 그 수 중에서 제일 작은 수를 n 이라고 한다면,

 ( 이고,  와 는 소수, 그리고 )

(이면,  인  을 얻을 수 있는데 이는 소수의 곱이 유일하지 않은 1 보다 큰 정수 중 가장 작은 수가 n이라는 가정과 모순된다.)

한편 이고 과 은 동시에 이 될 수 없으므로, 

 이라고 한다면,  이고,  또한 ,  이기 때문에, 의 유일한 소인수분해의 표현에는 과 가 동시에 존재하여야 한다.

따라서, 이므로  (는 양의정수)

양변을 으로 나누면

, 즉 

그러나 는  보다 작기 때문에 소인수분해가 유일하고 ,이면서, 동시에 은 소수이므로, 소수의 곱이 유일하지 않는 양의 정수가 있다는 가정은 모순이다.

같이 보기 
 대수학의 기본 정리
 리만 제타 함수
 오일러의 곱셈 공식
 유일 인수 분해 정역
 제곱수

수론
기본 정리