페르마 수

페르마 수()는 음이 아닌 정수 n에 대해

형태로 나타나는 양의 정수를 말한다. 이러한 형태의 수를 최초로 연구한 피에르 드 페르마의 이름을 딴 것이다.

최초 여덟개의 페르마 수는 다음과 같다:

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417 (오일러, 1732)
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

성질 

 1. n>1인 경우, 어떤 페르마 수의 약수를 p라고 하면, 이다.
 2. 페르마 수들은 3과 5를 제외하면 모두 7로 끝난다.
 3. 1번과 마찬가지로 n>1인 경우, 어떤 페르마 수의 약수를 p라고 하면  (k는 k>0인 정수)이다.

소수성 
2n + 1 꼴의 수가 소수라면 n은 반드시 2의 거듭제곱이어야 한다. 따라서 2n + 1 꼴의 소수는 모두 페르마 수가 된다. 이러한 소수를 페르마 소수라고 한다. 현재까지 알려진 페르마 소수는 F0,...,F4 뿐이다. 보통 어떤 수가 페르마 소수인지 확인할 때에는 페팽 소수판별법이 많이 쓰인다.

n > 4인 페르마 소수는 아직 알려져 있지 않다. 그밖에도 다음과 같은 의문은 해결되지 않고 있다.
 n > 4인 Fn이 모두 합성수인가?
 페르마 소수가 무한히 많은가?
 합성수인 페르마 수가 무한히 많은가?

5 ≤ n ≤ 32 사이의 모든 Fn은 합성수라는 것이 밝혀졌다. 이 중 5 ≤ n ≤ 11 사이의 수만이 완전한 소인수분해가 구해져 있다.

소수성 상태 

페르마 수 Fn 에 대하여 현재의 소수성 상태의 적요가 아래 표에 주어져 있다.

역사 
피에르 드 페르마는 1637년 위 형태로 쓸 수 있는 모든 정수는 소수일 것이라고 추측했으나 1732년 레온하르트 오일러가 F5=4,294,967,297를 641 × 6,700,417 로 소인수분해 함으로써 반증 되었다.

작도 가능한 다각형과의 관계 
한편, n이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱들로 표현가능하다는 것과, 정n각형은 작도 가능하다는 것이 필요충분조건이다. 즉, 다시 말해서 가 모두 서로 다른 페르마 소수일 경우 이면 정n각형은 작도 가능한 정다각형이 되고 그 역도 성립한다.

읽을거리 
 메르센 소수
 작도

각주 

수론
정수열
소수
사람 이름을 딴 낱말
작도가능한 다각형
수론의 미해결 문제