삼각 치환

미적분학에서 삼각 치환(三角置換, )은 변수를 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다.

정의 
삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.

여기서 는 유리 함수이며 이다. 이는 의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.

새 변수 의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다. 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.

예

이 들어간 적분 

다음과 같은 적분을 구하자.

여기서 이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.

그러면 다음을 얻는다.
{|
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| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|}
이 적분은 와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.
{|
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| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(삼각 항등식)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(삼각 항등식)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|}
이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

이 들어간 적분 

다음을 구하자.

여기서 이다. 다음을 사용하자.

그러면 다음을 얻는다.
{|
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| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|
| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|
| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|}
이 적분은 치환  및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.
{|
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| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|
| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(변형)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(삼각 항등식)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(삼각 항등식)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(적분 상수 재정의)
|}
이 적분은 쌍곡 치환 을 통해서도 구할 수 있다.

이 들어간 적분 

편의상 이라고 하고 다음을 구하자.

여기서 이다. 다음을 사용하자.

그러면 다음을 얻는다.
{|
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| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|
| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|}
이 적분은 치환  및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.
{|
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| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|-
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| style="padding-left: 1em;" |(적분 상수 재정의)
|}
이 적분은 쌍곡 치환 를 통해서도 구할 수 있다.

정적분 
다음과 같은 적분을 구하자.

다음을 사용하자.

만약 일 경우 이므로 이며, 만약 일 경우 이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.

같이 보기 
 바이어슈트라스 치환

각주

외부 링크 
 
 

적분학
삼각법