항등 함수

수학에서 항등 함수(恒等函數, ) 또는 항등 사상(恒等寫像, ), 항등 변환(恒等變換, )은 정의역과 공역이 같고, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 함수이다.

정의 
집합 의 항등 함수 는 다음과 같은 함수이다.
 
 임의의 에 대하여,

성질 
임의의 함수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

즉, 항등 함수는 집합의 범주에서의 항등 사상이다. 특히, 의 자기 함수의 집합 는 함수의 합성에 대하여 모노이드를 이룬다.

임의의 에 대하여,

이므로,

이다. 마찬가지로 임의의 에 대하여,

이므로,

이다.

임의의 함수 에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 동치이다.
 는 전단사 함수이다.
 다음을 만족시키는 함수 가 존재한다. (이를 의 역함수라고 한다.)
 
 
즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 동형 사상이다. 특히, 의 자기 전단사 함수의 집합 은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 의 대칭군이라고 한다.

예 
양의 정수의 집합 의 항등 함수는 완전 곱셈적 함수에 속한다.

실수의 집합 의 항등 함수는 일차 함수에 속한다.

관련 개념

(범주 속의) 항등 사상 
범주의 각 대상의 항등 사상(恒等寫像, )은 항등 함수의 개념의 일반화이다. 이는 일종의 무정의 용어이다.

항등 함자 
범주 의 항등 함자(恒等函子, ) 는 다음과 같은 함자이다.
 
 모든 대상 에 대하여, 
 모든 대상  및 사상 에 대하여, 
만약 가 작은 범주일 경우, 항등 함자 는 작은 범주의 범주에서의 항등 사상이다.

모든 대상 에 대하여

이며, 모든 대상  및 사상  및 에 대하여

이므로, 는 (공변) 함자이다.

항등 자연 변환 
함자 의 항등 자연 변환(恒等自然變換, ) 는 다음과 같은 자연 변환이다.
 
 모든 대상 에 대하여, 
만약 와 가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환 는 와  사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다.

모든 대상  및 사상 에 대하여,

이므로, 는 자연 변환이다.

같이 보기 
 포함 함수

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

초등 수학
함수와 사상
집합론의 기본 개념
1
함수의 종류