계차수열

수학에서, 수열의 계차수열(階差數列)은 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열

의 계차수열은

과 같다. 수열 {의 계차수열의 일반항은 이다.

정의 
수열 의 계차수열은 다음과 같은 수열 이다.

또, 의 계차수열

을 제 2계차수열이라고 하고, 으로 표기한다.

임의의 자연수 에 대하여 제 계차수열() 은 다음과 같이 정의된다.

또는 (점화식을 써서)

위에서 알 수 있듯이, 의 영계 차수열은 자기 자신, 일계 차수열은 이다.

예 
 수열 과 의 계차수열은 모두 이다.
 수열 의 계차수열은 이다.
 수열 의 계차수열은 이다. 이계 차수열은 이다.
 피보나치 수열 의 계차수열은 , 즉 0 하나를 앞에 붙인 것과 같다.
 등차수열 의 계차수열은 상수열 이다. 특별히, 상수열 의 계차수열은 영수열 이다.
 조화수열 의 계차수열은 이다.
 주어진 수열 의 합 의 계차수열은 이다.
 3차 다항식인 의 1, 2, 3계 차수열은 각각 , , 이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다.

성질 
 임의의 수열 은 초항과 일계 차수열 에 의해 유일하게 결정된다.

 다만, 홀수열 과 짝수열 처럼, 일계 차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.
 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.

 여기서 는 개의 대상 중에서  개를 고른 조합수이다.
 계 차수열의 일반항은 원래 수열의 항에 의해 다음과 같이 전개된다.

 수열의 단조성은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 이 단조증가할 필요충분조건은 이 모든 에게 성립하는 것이다. 수열 이 단조감소할 필요충분조건은, 이 모든 에게 성립하는 것이다.
 아벨 변환
 슈톨츠-체사로 정리

고계 등차수열 
계 등차수열은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

 0이 아닌 상수의 수열은 0계 등차수열이다.
 계차수열이 계 등차수열인 수열은 계 등차수열이다.

위의 예시 문단에서, 수열 은 0계 등차수열이며, 그 수열을 계차수열로 하는 수열인 은 1계 등차수열이다. 마찬가지로 은 2계 등차수열, 은 3계 등차수열이다.

어떤 수열 이 계 등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 에 대한 차 다항식이라는 것이다.

같이 보기 
 점화식
 계차
 수열

각주 

수열
유한차분법