군의 표현

군의 표현(表現, )은 군론에서, 군을 벡터 공간의 일반선형군의 부분군으로 나타내는 군 준동형이다. 이를 사용하여, 군론의 문제를 선형대수학적 기법으로 다룰 수 있다.

정의 
군 G의 체 K 상의 벡터 공간 V에 대한 표현은 G에서 일반선형군 GL(V) 로의 군 준동형을 말한다. 즉, 표현이란 다음의 사상

로서 G의 임의의 원소 g1 와 g2 에 대하여 아래의 두 조건을 만족하는 것을 말한다.

여기서, e는 G의 항등원, 1 은 GL(V)의 항등원이다. 즉, 항등원은 항등원으로 대응되고, 군의 구조가 보존이 되는 것을 요구한다.

만약 표현이 단사 함수라면, 충실한 표현(忠實한表現, )이라고 한다.

표현으로 얻어지는 연산자들이 작용하는 벡터 공간 V를 표현 공간()이라 하고, V의 (벡터 공간으로서의) 차원을 이 표현의 차원() 이라고 한다. 기호의 남용으로서, G에서 GL(V) 로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 V를 G의 표현이라 부르기도 한다.

V 가 유한한 차원 n 일 때에는 n 을 차수()라 부르기도 한다. 이 때에는,  V의 기저를 하나 선택하여 GL(V)를 K 상의 n×n 가역행렬들의 군 GL(n, K) 와 동일시하는 것이 일반적이다.

G 가 위상군이고 V 가 위상 벡터 공간일 경우, G의 V에 대한 표현 D 가 연속 표현(連續表現, )이라는 것은

로 정의된 함수 Φ 가 연속 함수인 경우를 말한다.

동등한 표현 
두 표현 D1 : G → GL(V1) 와 D2 : G → GL(V2) 가 동등하다는 것은 벡터 공간 V1 와 V2 사이에 동형 사상 A : V1 → V2 가 있어, G의 모든 원소 g에 대해

를 만족하는 것을 말한다. 만약 두 표현의 표현 공간이 같은 경우, 위는 간단히

로 쓸 수 있다. 여기서 연산자 A를 엮음 연산자()라 하기도 한다.

불변 부분 공간과 기약 표현 

벡터 공간 V의 부분 공간 W 가 군 G의 작용에 대해 불변(不變, )이라는 것은 부분 공간 위의 임의의 벡터에 어떠한 D(g)를 작용시켜도 벡터가 부분 공간 위에 남아있는 부분 공간을 말한다. 즉, G의 모든 원소 g에 대해

이 성립하면 W를 불변부분공간(不變部分空間, )이라 한다.

약분 가능 표현()은 불변 부분 공간이 존재하는 표현이다. 약분 가능 표현이 아닌 표현은 기약 표현이라고 한다.

응용 
군 표현론은 물리학에서 물리적 계의 대칭군과 그 계를 기술하는 방정식의 해의 관계를 탐구하면서 널리 응용된다. 특히, 양자역학에서, 상태공간인 힐베르트 공간은 계의 대칭군의 표현을 이룬다.

같이 보기 
 슈어 보조정리
 슈어 직교정리
 군 표현의 지표
 리 대수의 표현

참고 문헌 
 
 
 
 
 
 응집물질물리학에 대한 응용.
 
 입자물리학에 대한 응용.

외부 링크 
 
 

군론
표현론