표준 선다발

대수기하학에서 표준 선다발(標準線다발, ) 또는 표준 선속(標準線束)은 켈러 미분의 층의 최고차 외부 거듭제곱이다.

정의 
대수적으로 닫힌 체 위의 차원 비특이 대수다양체 의 표준 선다발 은 다음과 같은 가역층이다.

여기서 는 켈러 미분층이다. 표준 선다발에 대응하는 인자류를 표준류(標準類, )라고 하고, 표준류에 속하는 인자를 표준 인자(標準因子, ) 라고 한다.

만약 가 특이점을 가지지만 정규 대수다양체인 경우, 매끄러운 궤적() 가 존재한다. 이 경우, 의 표준 인자는 의 표준 인자로 정의한다. 보다 일반적으로, 가 S2 조건(여차원 2까지 코언-매콜리 조건이 성립)을 만족시키며 고런스틴 스킴이라면, 위와 같이 표준 인자를 정의할 수 있다.

표준 선다발의 역을 반표준 선다발(反標準線다발, ) 이라고 한다.  반표준류(反標準類, ) 및 반표준 인자(反標準因子, )는 이에 대응하는 인자(류)이다.

첨가 공식 
첨가 공식(添加公式, )은 어떤 부분 대수다양체의 표준 선다발과 전체 공간의 표준 선다발 사이의 관계를 나타내는 공식이다.

비특이 대수다양체  위의 인자 에 대하여, 다음과 같은 첨가 공식이 성립한다.

즉, 선다발로는 다음과 같다. 로 정의되는 부분다양체를 , 매장 사상을 라고 하면, 다음과 같다.

여차원이 2 이상일 경우에도 유사한 첨가 공식이 성립한다. 비특이 대수다양체 의 닫힌 비특이 부분 대수다양체 가 주어졌고, 이에 대응하는 아이디얼 층이 라고 하자. 이 경우, 는 의 자리스키 쌍대법다발이다. 이 경우, 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.

여기서 는 공변접다발이다. 완전열의 모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.

여기서 는 쌍대 다발을 뜻한다.

예 
복소수체 위의 차원 비특이 대수다양체의 경우, 표준 선다발은 행렬식 다발()이라고 하며, 차 정칙 미분 형식들의 선다발이다. (단일 연결) 칼라비-야우 다양체의 경우, 표준 선다발은 자명하다. 파노 다양체의 경우, 반표준 선다발은 풍부한 선다발이다.

리만 곡면의 표준 선다발 
리만 곡면(=1차원 복소수 비특이 대수다양체)  위의 표준 선다발은 정칙 공변접다발 와 같으며, 그 차수는 다음과 같다.

특히, 인 경우 이는 효과적 인자를 이룬다. 이 경우, 의 개의 단면들은 유리 사상 을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 표준 곡선()이라고 한다.

만약 가 초타원 곡선일 경우, 그 표준 곡선은 유리 곡선이며, 유리 사상은 두 겹 피복 공간을 이룬다. 예를 들어, 의 종수가 2이며, 가 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자.

여기서 는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 복소수 미분 형식)은 다음과 같이 두 개가 있다.

이에 따라서, 표준 곡선은

임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 피복 공간이다.

만약 가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우, 의 표준 곡선은 와 동형이다. 예를 들어, 다음과 같다.
 종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다.
 종수 4인 경우, 표준 곡선은 2차 곡면과 3차 곡면의 교집합이다.
 종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 2차 초곡면의 교집합이다.

사영 공간 
대수적으로 닫힌 체  위의 사영 공간 에 대하여, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다. 이를 오일러 완전열이라고 한다.

모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.

사영 공간 속의 초곡면 
차원 사영 공간  속에서, 동차다항식들 으로 정의되는 초곡면 들의 완전 교차()

를 생각하자. 이 경우,

이므로, 첨가 공식에 따라서 의 표준 선다발은 다음과 같다.

만약

이라면 표준 선다발은 자명하며, 이 경우 (비특이 대수다양체라면) 는 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

특히, 사영 평면 속의 차 대수 곡선 의 표준 선다발은 다음과 같다.

차 평면 대수 곡선의 경우

이므로,

이다. 리만-로흐 정리에 따라서

이므로, 다음과 같은 종수-차수 공식(種數次數公式, )을 얻는다.

이차 곡면 위의 곡선의 종수 
첨가 공식을 사용하여 이차 곡면  속의 곡선의 종수를 계산할 수 있다. 곡선 의 차수가 라고 하자. 의 표준 선다발의 차수는 이다. 즉, 의 차수는 와 의 교차곱이다. 이차 평면 위의 교차곱은 다음과 같다.

따라서, 다음이 성립한다.

즉,

이다.

참고 문헌

같이 보기 
 리만-로흐 정리
 복소수 미분 형식
 인자 (대수기하학)

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

벡터 다발
대수기하학