내접원

내접원(內接圓, )은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 변에 접하는 원이다. 내심(內心, )은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 삼각형 또는 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 로 표기한다.

정의 
다각형의 모든 변에 접하는 원을 이 다각형의 내접원이라고 한다. 내접원의 중심을 내심이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 외접 다각형(外接多角形, )이라고 한다.

성질 
(내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 내각 이등분선의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다.

모든 삼각형과 정다각형은 내접원을 갖는다. 정삼각형의 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 방접원은 구점원과 접한다.

반지름 
(내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름 은 넓이 와 반둘레 를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

삼각형의 세 변의 길이가 , , , 반둘레가 , 넓이가 , 외접원의 반지름이 , 방접원의 반지름이 , , 라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다.

첫 등호는 헤론의 공식에 의한다.

접점과 중심각 
삼각형 의 내심을 라고 하고, 내접원과 두 변 , 의 접점을 각각 , 라고 하고, 직선 와 의 교점을 라고 할 때, 는 의 수선이다.

삼각형 의 내접원의 , , 의 대변에서의 접점을 각각 , , 라고 하고, 반둘레를 , , , 의 대변의 길이를 각각 , , 라고 할 때, 다음이 성립한다.

삼각형 의 내심 와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다.

외접원과의 관계 
삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 , 라고 할 때, 내심 와 외심  사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).

특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 (오일러의 부등식).

삼각형 의 내심을 , 외접원의 호 의 중점 이라고 할 때, 다음이 성립한다 (맨션 정리).

내심 삼각형 
삼각형 의 내각 이등분선 , , 의 발 , , 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 의 내심 삼각형(內心三角形, ) 라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 체바 삼각형이다.

제르곤 점과 제르곤 삼각형 

삼각형 의 내접원과 꼭짓점 , , 의 대변의 접점을 각각 , , 라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 , , 는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 의 제르곤 점() 이라고 한다. 삼각형 의 내접원의 세 접점 , , 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 의 제르곤 삼각형() 또는 내촉 삼각형() 또는 접촉 삼각형() 라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 수족 삼각형이자 제르곤 점의 체바 삼각형이다.

다음 등식 및 체바 정리에 따라 선분 , , 는 한 점에서 만난다.

제르곤 점은 제르곤 삼각형의 대칭 중점이다.

삼각형 의 내접원과 꼭짓점 , , 의 대변의 접점을 각각 , , 라고 하고, 제르곤 점을 라고 하자. 제르곤 점 을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 , , 의 평행선 , , 와 원래 삼각형 의 두 변 와 , 와 , 와 의 교점을 각각 와 , 와 , 와 라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 원 위에 있다. 이 원을 삼각형 의 애덤스 원()이라고 한다. 애덤스 원은 내접원과 동심원이다.

6개의 점 , , , , , 와 내심 사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형 , , , , , 의 빗변이다. 는 내접원의 반지름이므로

를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라 를 보이는 것으로 충분하다.

같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로 이다. 직선 와 는 평행하므로 이다. 따라서 이다.

선분 , 의 연장선과 점 를 지나는 직선 의 평행선의 교점을 각각 , 라고 하자. 그렇다면 직선 와 는 평행하며 삼각형 , 는 이등변 삼각형이므로

이며, 선분 는 삼각형 의 중선이다. 직선 , , 는 각각 직선 , , 와 평행하므로, 삼각형 와 선분 의 합집합은 삼각형 와 선분 의 합집합과 닮음이다. 따라서 선분  역시 삼각형 의 중선이다. 즉, 이다.

삼각형 의 내접원과 꼭짓점 , , 의 대변의 접점을 각각 , , 라고 하고, 제르곤 점을 라고 하자. 제르곤 점 을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 , , 의 평행선 , , 와 원래 삼각형 의 두 변 와 , 와 , 와 의 교점을 각각 와 , 와 , 와 라고 하자. 직선 와 , 와 , 와 의 교점을 각각 , , 라고 하자. 그렇다면 삼각형 의 제르곤 점 은 삼각형 의 대칭 중점이며, 삼각형 의 애덤스 원은 삼각형 의 제1 르무안 원이다.

역사 
제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 프랑스의 수학자 조제프 디에즈 제르곤()의 이름을 땄다.

애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스()가 제시하였다.

각주

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

삼각 기하학
다각형