오일러 공식

오일러 공식(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 세계에서 가장 아름다운 공식으로도 불린다.

사용되는 경우로는 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.

오일러 공식은 다음과 같다. 실수 에 대해, 허수 지수 를 다음과 같이 정의한다.

 

여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, 는 제곱하여 이 되는() 허수단위, , 은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

에 를 대입하여, 이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다.

역사 
오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 발견하였다.

지금과 같은 모양의 오일러 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 <대수학 원론>(Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.

발견된 증명

테일러 급수를 이용한 방법 

테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.

따라서

이때 가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면

가 된다.

미분 계산을 이용한 증명방법 

 라면,

 (단, 는 상수)
(1)에 을 대입하면,

Q.E.D.

미적분을 이용한 방법 

다음과 같은 복소수 를 생각하자:

양변을 에 대해 미분하면:

이므로:

z를 이항한 후 양변을 적분하면:

(여기에서 는 적분 상수이다.)

이제 이라는 것을 증명한다. 일 경우를 계산해보면

따라서

따라서 다음과 같은 식이 성립한다:

Q.E.D.

미분방정식을 이용한 방법 

함수 를 다음과 같이 정의한다.
 

허수단위 는 상수이므로 의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다.

 

이로부터
  또는
  라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고,
일차 독립인 두 해가 발생한다.
 

한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.

(와 는 상수)

그리고 여기에 함수  의 초기 조건
  을 대입하면,

 

곧,

 

이므로

 이다.

Q.E.D.

박사가 사랑한 수식 
오일러 공식은 위 소설의 모티브로도 사용이 되었다. 오일러 공식에 숨어 있는 뜻을 cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의되는 것이다.
 
이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용되는 것이다.

쉬운 설명 
우선 이 공식을 이해하기 위해서는 멱급수가 무엇인지 알고 있어야 한다. 멱급수란 하나의 수의 지수를 증가시키며 모두 더한 값을 말하며, 지수함수의 멱급수는 다음과 같다.

이 멱급수의 지수 에 (복소수에 임의의 수 를 곱한 값)을 추가하면, 에 를 더한 값과 완벽하게 일치했다.

즉, 가 성립하는 것이다.

이 등식에서 에 를 대입했을 때 나오는 특수한 등식이 바로 오일러의 등식이다.

각주

같이 보기 
 겔폰트 상수
 오일러의 등식

복소해석학 정리
항등식
레온하르트 오일러
초등대수학