케일리-해밀턴 정리

선형대수학에서 케일리-해밀턴 정리()는 정사각 행렬이 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다는 정리이다. 아서 케일리와 윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다.

정의 
가환환  위의  정사각 행렬 의 특성 다항식을

라고 하자. 여기서 는 행렬식이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

특히, 가 체일 경우 의 최소 다항식은 특성 다항식의 약수이다.

증명

행렬식을 통한 증명 
가환환

위의  행렬

을 생각하자. 여기서 는 크로네커 델타이다. 열벡터의 공간 의 표준 기저를 라고 하고, 의 고전적 수반 행렬을 라고 하자. 그렇다면,

이다. 따라서 임의의 에 대하여,

이다. 즉, 이다.

삼각화를 통한 증명 
만약 가 정역일 경우, 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상 가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. (만약 아닐 경우 의 분수체의 대수적 폐포를 취하면 된다.)

우선, 이 상삼각 행렬이라고 하자. 그렇다면, 의 최소 다항식은

이다. 은 첫째 열의 모든 성분이 0인 상삼각 행렬이며, 는 첫째 열과 둘째 열의 성분이 모두 0인 상삼각 행렬이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 을 얻는다.

이제, 이 일반적인 행렬이라고 하자. 가 대수적으로 닫힌 체이므로, 의 최소 다항식 는 에서 1차 다항식의 곱이며, 따라서 은 에서 삼각화 가능 행렬이다. 가 상삼각 행렬이 되는 가역 행렬 를 취하자. 그렇다면 의 최소 다항식 역시 이므로,

이다.

예

행렬의 거듭제곱 
A 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.
는 단위행렬(곱셈의 항등원)
이때 특성 다항식은 다음과 같다.

케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.

실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다.

위의 식을 통해 A4을 계산하면 다음과 같다.

2 × 2 역행렬

3 × 3 역행렬

각주

외부 링크 
 

선형대수학 정리
행렬론
윌리엄 로언 해밀턴