그린 함수

수학에서 그린 함수(Green's function)는 미분방정식을 풀기 위해 사용하는 함수로, 물리학, 공학의 전반에 걸쳐 응용되고 있으며, 특히 물리의 양자장 이론에서 자주 쓰인다.
이 함수는 1830년에 이 방법을 개발한 영국의 수학자 조지 그린의 이름을 따 명명되었다.

정의와 응용 
선형 미분 연산자  와 함수 가 정의되어 있으며,

위 식 (1)을 만족하는 를 찾으라는 문제를 풀 때 그린함수 해법을 사용할 수 있다.

상단의 문제에서, 이면 제차 상미분 방정식이므로 해를 구하기 비교적 간단하지만 이면 비제차 상미분 방정식이므로 풀기가 어려워진다. 이럴 때 그린 함수를 이용하면 비교적 간단히 해를 구할 수 있다.

 (단, 식 (2)에서 는 디랙 델타 함수)

식 (2)와 같은 성질을 가진 그린함수 를 가정하자.

식 (2)의 양변에 를 곱하고 적분하면,

은 에만 작용하는 선형연산자이므로 적분밖으로 정리하면

따라서

로 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

이렇게 해 u(x)를 구하는 방법을 미분방정식의 그린함수해법이라 한다.

관련 문서 
 그린 항등식
 미분방정식
 상미분방정식
 편미분방정식

참고 문헌 
 Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. . (Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.)
 A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. 
 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.

외부 링크 
 Tutorial on Green's function

미분방정식
수리물리학
전자기학
물리학 개념