헤론의 공식

헤론의 공식은 삼각형의 세 변의 길이를 통해 넓이를 구하는 공식이다. 직선으로 둘러싸인 도형은 아무리 복잡한 형태를 하고 있다고 해도 반드시 삼각형으로 쪼갤 수 있다. 또, 이 공식을 사용하면 높이를 따로 구할 필요가 없기 때문에, 토지의 면적을 구하는 데 편리한 공식으로써도 알려져 있다.

공식 
길이가 각  인 선분으로 이루어진 삼각형이 있을 때, 면적을  라 하면,

가 성립한다. 여기서,

이다.

또 다르게 적는다면

이렇게 된다.

역사 
이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재에는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다.

증명

일반적인 방법 
삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c라고 하면, 이 삼각형의 넓이 S는

에서, 코사인 법칙을 이용하면

.
여기서 얻어진 의 값을 에 대입하면,

다른 방법 

그림과 같이 삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c 로 하고, A로부터 BC 또는 그 연장에 내린 수선 AH의 길이를 h, 선분 CH의 길이를 x라 한다. 이때 각ACB가 둔각이면 x는 음의 값을 갖는다.

피타고라스 정리에 의해 수선 AH에 의해 나뉜 삼각형AHC에 대해 다음의 식이 성립한다.

 이제 를 좌변으로 정리하면,

 같은 방법으로 삼각형 AHB에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다.

이제 를 소거하면 다음의 등식이 성립한다.

위의 등식을 간단히 정리하여 에 대해 정리하면 다음과 같다.

이를에 대입하면,

위의 등식을 h에 대해 정리하면,

삼각형ABC의 넓이 S는 다음과 같이 계산된다.

단,

좌표평면을 이용한 증명 
삼각형 ABC의 세변 BC,CA,AB를 a,b,c라고 놓자.
그리고 오른쪽 삼각형처럼 B를 원점으로 하고 한변을 X축에 놓게 좌표평면에 그릴 수 있다. 이 때 점 C는 (Z,0) 점 A는 (X,Y)라 가정할 수 있다. 먼저  라고 할 수 있다.
이때 

 =x
= x 
==

삼각형 ABC의 넓이는 밑변인 BC 와 높이를 가지고 구할 수 있다.

 증명들 중에서는 일부 창의적인 방식을 통해 증명해 나가는 경우가 있다. 보조선을 사용하는 것이 그 예이다. 이때 좌표평면을 사용하면 어려운 증명이라도 계산만 복잡할 뿐 많은 것을 증명할 수 가 있다. 이제 한번 좌표평면으로 헤론의 공식을 증명해보아 별다른 방식 없이도 가능하다는 것을 보일 수 있었다.

일반화 
헤론의 공식은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식의 특별한 경우로 생각할 수 있다.

헤론의 공식과 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 사변형에 대한 특별한 경우이다

헤론의 공식은 브라마굽타 공식 또는 브레치나이더 공식에서 사변형의 변 중 하나를 0으로 설정하여 얻을 수 있다.

또한, 헤론의 공식을 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

사면체의 부피를 케일리-멩거 행렬식을 통해 나타낸 공식은 헤론의 공식의 일반화이다. 이를 전개한 공식은 15세기에 피에로 델라 프란체스카가 발견한 공식과 일치한다.

같이 보기 
 삼각함수
 삼각행렬

각주 

삼각 기하학
평면기하학 정리