튜플

튜플()은 셀 수 있는 수량의 순서 있는 열거이다.  개의 요소를 가진 튜플을 -튜플() 또는 중쌍, 짝이라고 한다. 비어 있는 열은 유일한 0-튜플이다. 임의의 -튜플은 순서쌍의 개념을 이용하여 재귀적으로 정의된다. 튜플은 다른 수학 개념들(예를 들어 벡터)을 나타내는 데에 자주 사용된다.

튜플은 보통 원소들을 괄호 '( )'안에 쉼표 ','로 구분되게 나열하여 표시한다. 5-튜플의 예를 들면 와 같다. 때로는 대괄호 '[ ]'나 화살괄호 '< >'와 같은 다른 부호를 사용하기도 한다. 중괄호 '{ }'는 집합을 표시할 때 쓰이기 때문에 튜플 표시에는 사용하지 않는다.

컴퓨터 과학에서 튜플은 어떤 요소의 집합, 혹은 테이블에서의 행을 가리킨다(레코드와 동일한 의미). 단, 일반적인 집합과는 달리 중복이 허용될 수 있다.

튜플의 개념은 언어학과 철학에서도 사용된다.

길이에 따른 튜플의 이름

성질 
튜플의 기본 성질은 두 튜플이 같을 필요충분조건으로 나타내어진다. 일반적으로 두 -튜플

이 같다는 건 같은 위치의 성분이 각각 같다는 것, 즉 다음과 동치이다.

때문에 튜플은 집합과 구분되는 여러 성질을 갖는다.

 중복된 원소가 있을 수 있다. 튜플의 원소를 중복해서 쓰면 다른 튜플이 된다. 예: , 하지만 집합 
 정해진 순서가 있다. 튜플의 원소의 순서를 바꾸면 다른 튜플이 될 수 있다. 예: , 하지만 집합 
 튜플의 원소의 개수는 유한하다. 하지만 집합, 중복집합은 원소 개수가 무한할 수도 있다.

정의법 
튜플에게 위의 성질을 부여할 수 있는 정의법으로 다음이 있다.

함수 
-튜플을 튜플의 성분들의 첨수들의 집합을 정의역, 튜플의 성분들이 이루는 집합을 공역으로 하는 함수로 정의할 수 있다. 즉 형식적으로

여기서

덜 형식적인 표현은 다음과 같다.

내포된 순서쌍 
집합론에서 쓰이는 한 가지 방법은 튜플을 내포된(nested) 순서쌍으로서 정의하는 것이다. 순서쌍은 미리 정의하여야 한다.

 0-튜플, 즉 비어있는 튜플은 공집합 로 정의한다.
 양의 정수 에 대해, -튜플은 -튜플의 첫 성분을 첫 성분으로 하고, 나머지 성분들로 이루어진 -튜플을 둘째 성분으로 하는 순서쌍이다.
 

이 정의를 조금 큰 에 대해 펼쳐보면 다음과 같다.

예를 들면

위 정의에서 방향만 바뀐 경우인 다음의 정의법도 있다.

 0-튜플은 공집합이다.
 에 대해, -튜플은 다음과 같은 순서쌍이다.

내포된 집합 
두번째 정의법에서 순서쌍의 쿠라토프스키 정의를 쓰면 튜플을 집합만으로 정의내릴 수 있다.

 0-튜플은 공집합 이다.
 를 -튜플 이라 하자. 끝에 를 추가한 튜플 는 다음과 같은 집합이다.
 

예를 들면

원소 집합의 -튜플 
이산수학, 특히 조합론과 (유한) 확률론에서, -튜플은 세기 문제 등 다양한 곳에서 등장하며, 덜 엄밀하게 길이 의 순서있는 목록으로서 처리된다.  개의 원소를 가진 집합에서 원소를 취한 -튜플을 중복순열이라고 부른다. 이러한 튜플의 수는 이다(곱 규칙에 의해). 다른 관점에서, 집합 의 크기가 이라면, 곱집합 의 크기는 이다.

형 이론

같이 보기 
 순서쌍
 열
 형식 언어
 관계 (수학)

각주

참고 문헌 
 
 
 
 
 

데이터 관리
수학 표기법
수열
집합론의 기본 개념
유형 이론