멱 규칙

미적분학에서 멱 규칙()은 멱함수의 도함수를 구하는 공식이다.

정의 
멱 규칙에 따르면, 멱함수  ()의 도함수는 다음과 같다.

멱함수의 원함수를 구하는 공식은 다음과 같으며, 이는 멱 규칙과 동치이다. (여기서 는 적분 상수이다.)

보다 일반적으로, 멱함수의 고계 도함수를 구하는 공식은 다음과 같다. (여기서 는 하강 계승이다.)

미분은 선형성을 가지기 때문에, 멱 규칙으로부터 다항식의 도함수를 구하는 공식을 유도할 수 있으며, 이는 다음과 같다.

마찬가지로 다항식의 원함수를 구하는 공식은 다음과 같다.

증명

자연수 지수의 경우 
자연수 에 대한 명제는 수학적 귀납법으로 증명 가능하다. 우선 인 경우는 상수 함수의 미분이 0이라는 명제가 되므로 자명하게 성립한다. 이제 어떤 에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 곱 규칙에 따라, 에 대한 명제

역시 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 멱 규칙은 임의의 자연수에 대하여 성립한다. 자연수 지수의 멱 규칙은 이항 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수도 있다.

실수 지수의 경우 
음의 정수 지수 에 대한 명제는 자연수의 경우와 몫의 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

유리수 지수 에 대한 명제는 정수의 경우와 연쇄 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

실수 지수 에 대한 명제는 지수 함수 및 로그 함수의 미분과 연쇄 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

예 
예를 들어, 낮은 양의 정수 차수의 멱함수의 도함수 공식은 다음과 같다.

자연수가 아닌 경우에 대한 몇 가지 예시는 다음과 같다.

다항식의 도함수를 구하는 예시는 다음과 같다.

외부 링크 
 
 

미적분학