분기 (동역학계)

동역학계 이론에서 분기(分岐, )는 어떤 매개변수에 의존하는 동역학계의 궤도 따위가, 특정 매개변수 값에서 급격히 변하는 현상이다. 동역학계를 분기를 통하여 연구하는 수학 분야를 분기 이론(分岐理論, )이라고 한다.

정의 
분기(分岐, )는 국소적 분기()와 대역적 분기()가 있다. 전자는 평형점의 존재 또는 부재에 대한 것이고, 후자는 주기적 궤도 따위에 대한 것이다. 전자는 선형화 이론으로 다룰 수 있지만, 후자는 더 복잡하다.

국소적 분기 
어떤 차원 리만 다양체  위에, 매개변수 에 의존하는 연속 시간 동역학계

가 주어졌다고 하자. 이 동역학계의 고정점은 이 되는 이다. 각 고정점 에서 야코비 행렬

을 정의할 수 있다. 이를  실수 행렬로 간주할 때, 만약 가 실수 성분이 0인 복소수 고윳값을 갖는다면, 동역학계 가 에서 분기한다고 한다. 이 경우, 두 가지 경우를 구분할 수 있다.
 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이라면, 이는 안정 상태 분기(安定狀態分岐, )라고 한다.
 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이 아닌 허수라면, 이는 호프 분기(Hopf分岐, )라고 한다. 이 경우, 대개 어떤 고정점이 극한 주기 궤도로 변화하게 된다.

이산 시간 동역학계에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다. 이산 시간 동역학계

가 주어졌다고 하자. 이 동역학계에서 고정점은 가 되는 이다. 각 고정점 에 대하여, 야코비 행렬

을 정의할 수 있다. 이를  실수 행렬로 간주할 때, 만약 가 절댓값이 1인 복소수 고윳값을 갖는다면, 가 에서 분기한다고 한다. 이 경우, 다음과 같이 세 가지 경우가 가능하다.
 만약 절댓값이 1인 고윳값이 1이라면, 이는 안정 상태 분기(安定狀態分岐, )라고 한다.
 만약 절댓값이 1인 고윳값의 쌍이 이라면 (), 이는 호프 분기(Hopf分岐, )라고 한다.
 만약 절댓값이 1인 고윳값이 −1이라면, 이는 주기배가 분기(週期倍加分岐, )라고 한다. 이는 연속 시간 동역학계에서 나타나지 않는 분기화이다.

대역적 분기 
대역적 분기()는 주기 궤도()나 극한 주기 궤도, 끌개 등이 한 개 이상의 안정점과 충돌하게 되는 점이다. 이 역시 다양한 경우가 있다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 혼돈 이론
 파국 이론

동역학계
분기 이론
비선형계