부정적분

미적분학에서 부정적분(不定積分, )은 어떤 함수를 도함수로 하는 모든 함수를 구하는 연산이다. 부정적분이 존재할 경우, 이는 항상 고정된 함수와 임의의 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 상수만큼의 차를 무시하면 부정적분은 미분 또는 도함수를 구하는 연산의 역연산이다.

정의 
함수  ()가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 함수  ()가 존재한다면, 이를 의 원함수(原函數, ) 또는 역도함수(逆導函數)라고 한다.

함수  ()의 한 원함수 가 존재할 경우, 의 모든 원함수는 정확히 다음과 같다.

이를 의 부정적분이라고 한다. 여기서 는 임의의 상수이며, 이를 적분상수라고 부른다. 부정적분이 항상 위와 같은 꼴임은 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선 임의의 상수 에 대하여, 이므로, 이다. 즉, 는 의 원함수이다. 또한 임의의 원함수 에 대하여, 이므로, 평균값 정리에 따라 는 상수 함수이다. 따라서 는  꼴로 나타낼 수 있다.

위와 같은 꼴의 부정적분 공식은 정의역을 이루는 각각의 구간에서만 유효하다. 예를 들어, 에 대한 다음과 같은 부정적분 공식이 성립하려면 두 구간  및  가운데 하나를 선택하여야 한다.

전체 정의역 에서의 실제 부정적분은 다음과 같다.

성질

미분과의 관계 
만약 의 부정적분이 존재한다면 다음이 성립한다.

만약 가 미분 가능 함수라면 다음이 성립한다.

이에 따라 상수 차를 무시하면 부정적분은 미분의 역연산이다.

미적분학의 기본 정리 

연속 함수 의 한 원함수는 적분상한을 변수로 취한 정적분으로 나타낼 수 있다.

반대로, 연속 함수의 한 원함수 가 주어졌을 때, 정적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

선형성 
함수 의 부정적분이 존재한다면, 의 부정적분 역시 존재하며, 다음이 성립한다.

함수 의 부정적분이 존재한다면, 상수 에 대하여 의 부정적분 역시 존재하며, 일 경우 다음이 성립한다.

이에 따라 부정적분은 선형 연산이다.

치환 적분 

만약 의 한 원함수 가 존재하며, 가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.

만약 가 미분 가능 함수이며, 가 성립하며, 의 한 원함수 가 존재한다면, 다음이 성립한다.

부분 적분 

만약 가 미분 가능 함수이며, 의 부정적분이 존재한다면, 다음이 성립한다.

예

유리 함수 
모든 (실수) 유리 함수는 다항식과 진분수식의 합으로 나타낼 수 있으며, 모든 진분수식은 부분 분수 분해를 통해 다음과 같은 꼴의 분수식들의 합으로 나타낼 수 있다.
 
 
여기서 은 실수이며 은 양의 정수이다. 또한 을 만족시킨다. 이 두 가지 분수식의 부정적분은 다음과 같이 구할 수 있다.

부분 분수 분해의 각 항이 초등 함수이므로, 모든 유리 함수의 부정적분은 초등 함수이다.

삼각 유리 함수 
삼각 유리 함수는  꼴의 함수를 뜻한다. 여기서 는 2변수 유리 함수이다. 이에 대한 부정적분에 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.

만약 라면, 이는 항상  꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 이 경우 다음과 같은 더 간편한 기법을 사용할 수 있다.

마찬가지로, 만약 라면, 이는  꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

만약 라면,  꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

사실 모든 유리 함수는 위와 같은 세 유리 함수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

무리 함수 
무리 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 그러나 다음과 같은 꼴의 부정적분은 초등함수이다.

여기서 는 2변수 유리 함수이며, 는 양의 정수이며, 는 실수이다. 또한 을 만족시킨다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.

함수 를 생각하자. 여기서 는 실수이며, 는 유리수이다.  가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수가 된다. 이며 라고 하자. 여기서 는 정수이다. 만약 일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 뿐이므로, 치환 적분 를 통해 구할 수 있다. 만약 일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 뿐이므로, 역시 치환 적분 를 통해 구할 수 있다. 만약 일 경우, 함수를 와 같이 변형하였을 때 제곱근식은 뿐이므로, 치환 적분 를 통해 구할 수 있다.

보다 일반적으로, 함수 를 생각하자. 여기서 는 실수이며, 는 유리수이다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

그러면 위와 같은 꼴의 함수의 부정적분으로 변한다.

따라서  가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수이다. 반대로 가 정수가 아닐 경우 이 부정적분은 초등 함수로 나타낼 수 없음을 19세기 중엽에 파프누티 체비쇼프가 증명하였다.

초등 함수로 나타낼 수 없는 부정적분 
초등 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 부정적분들은 초등 함수가 아니다.
 (오차 함수) 
 (프레넬 함수) 
 (삼각 적분 함수) 
 (로그 적분 함수)

같이 보기 
 정적분
 적분표
 기호적분
 적분상수

각주 

적분학