허수 단위

허수 단위(imaginary unit 또는 unit imaginary number) 는 제곱해서 -1이 되는 복소수를 말한다. 즉 이차 방정식 을 만족하는 근  중 하나인 를 라 표기한다. 이러한 성질을 만족하는 실수는 존재하지 않으므로 를 통해 실수 체계를 복소수 체계로 확장할 수 있다.(한편, 어떤 사람은 이므로 라고 말하는 사람도 있는데, 이는 틀린 표현이다.) 이때 확장된 덧셈과 곱셈은 여전히 결합 법칙과 교환 법칙, 그리고 분배 법칙을 만족함을 알 수 있다. 복소수에서는 상수 아닌 모든 다항식이 적어도 한 개의 근을 가진다는 사실이 알려져 있다(대수적으로 닫힌 체 또는 대수학의 기본 정리 참조).

제곱해서 이 되는 복소수는 두 개, 즉 와 가 있다. 따라서 영 아닌 모든 실수는 두 개의 복소수 제곱근을 갖는다. 한편 영은 한 개의 제곱근만을 갖는다.

전자공학 등의 분야에서는 전류의 기호로 를 사용하기 때문에, 혼동을 피하기 위해 허수단위를 로 표기하는 경우도 있다.

또한, 는 정확한 수로 표현할 수 없다.(그것은 의 순서를 정할 수 없기 때문이다.)

정의 
허수 는 다음과 같이 제곱해서 이 되는 수로 정의한다.
    또는 
위의 정의로부터 간단한 계산을 통하여 와
 모두 의 제곱근임을 알 수 있다. 그러나 제곱근 -1이라는 표현은 어디에서도 찾아볼 수 없다. 와  중에서 양수를 찾아야 하는데 순서체는 실수에서만 정의되기 때문이다.(정확하게, -1의 제곱근이라는 표현도 쓸 수 없다. 일상생활에서는 허수나 허수단위라고 하면 된다.)

직관적으로 허수를 받아 들이기에 실수보다 어렵지만
수학의 관점에서 허수를 만드는 과정은 완벽하다.
수식을 다룰 때 를 미지수로 여기고,
이 나타나면 정의를 이용하여 로
바꾸는 것을 통해 실수의 연산을 허수 그리고 복소수로 확장할 수 있다.
의 세제곱, 네제곱, 다섯제곱 등은 다음과 같이 바꿀 수 있다.
 
 
 
또한, 임의의 0이 아닌 실수처럼 다음이 성립한다.
 

복소수로서 를 직교 형식으로 나타내면 로
1 단위의 허수 성분을 갖고 실수 성분은 영이다.
극 형식으로 를 나타내면 이다.
즉, 절대값(또는 크기)가 이고 편각(또는 각)이 이다.
복소 평면에서 는 원점으로부터 허수 축(실수 축과 직각을 이루는)을
따라  단위의 위치에 있는 점이다.

그리고  
이차 방정식 은 중근을 갖지 않고 서로 다른 두 근을 갖는다.
이 두 근은 동등한 자격을 가지고 각각이 서로 다른 근의 덧셈과 곱셈의 역원이다.
좀 더 정확하게 방정식의 한 근 가 주어지면 와는 다른 값인 도
근이 된다.
방정식이 의 정의로 주어졌기 때문에 의 정의는
모호해 보인다(정확하게는 잘 정의된 것이 아니다).
그러나, 근 중의 하나를 골라 라 하고 다른 근을 라 하면
모호함이 사라진다.
이러한 이유는 와 가 양적으로 똑같지는 않지만(두 수는 각각 서로 다른 수의 음수),
와 를 대수적으로 구별할 수 없기 때문이다.
두 허수는 제곱해서 이 되는 수로서 동등한 자격을 갖는다.

성질 
 
 
 
  (이상, n은 정수)

오일러 공식 

허수 단위를 e의 지수에 넣었을 때의 값을 계산하는 공식이 있다. 이를 오일러 공식이라 한다. 오일러 공식은 다음과 같다.
 
그로부터 다음과 같은 공식도 얻을 수 있다.

계승 
허수 단위 에 대한 계승 은 감마 함수로 표현될 수 있다.
 
의 절댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

i의 i제곱 

오일러 공식

에  (여기서 n은 정수)를 대입하면

이 된다. 이제 양변에 i제곱을 취하면 지수법칙에 의해

이라고 할 수 있다.(복소수에서 지수법칙을 사용하기 위해서는 보다 엄밀한 논증을 거쳐야 하지만, 이곳에서는 그냥 넘어가기로 한다.)

정의에 의해 이므로,

을 얻는다.

여기에 주 분지인 을 대입한다면, 의 수치적 값은 다음과 같이 계산된다.
 

모든 가능한 분지에 대해, 의 값은 실수이며, 또한 초월수이다.

같이 보기 
 복소수

복소수
대수적 수
수학 상수