당김 (미분기하학)

미분기하학에서 당김()이란 한 다양체 위에 정의된 공변() 텐서를 다른 다양체 위에 옮겨 정의하는 방법이다.

두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 이 주어지면,  위에 존재하는 모든 공변 텐서 (즉, 첨자가 모두 아랫첨자인 경우) 에 대하여,  위에 대응하는 텐서 를 정의할 수 있다. 이를 의 당김이라고 한다. 특히, 미분형식이나 (스칼라) 함수는 공변 텐서의 특수한 경우이므로, 이들을 다른 다양체로 당길 수 있다.

정의 
을 미분가능한 함수라고 하고, 가 차 공변 텐서(개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라고 하자. 그렇다면 이 데이터로부터  위에 정의된 차 텐서 를 다음과 같이 정할 수 있다.
.
여기서 ,  (점 에서의 접공간), 은 점 에서 의 미분 사상이다.

(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수 의 당김은 함수의 합성과 같다. 즉,

이다.

성질 
f : Rn → Rm, g : Rp → Rn를 미분가능한 함수, α 와 β를 Rm에서의 k-형식, γ : Rm → R를 Rm에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.
 
 
 
여기서 α1, …, αk 가 Rm에서의 1-형식이고 ∧ 는 쐐기곱이다.
 
여기선 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.

참고 문헌 
 

미분기하학
텐서