대칭군 (군론)

수학에서 대칭군(對稱群, )은 주어진 원소들을 재배열하는 방법(순열)들로 구성된 군이다. 순열군(順列群, ) 또는 치환군(置換群)은 대칭군의 부분군을 뜻한다.

정의 
집합 의 대칭군은 에서 로 가는 모든 전단사 함수의 집합에 군 구조를 준 것으로, 기호로는  또는 로 표기한다. 이 때, 군 연산은 함수의 합성이다. 즉, 두 함수 와 를 합성하여 새로운 전단사 함수 를 얻을 수 있다. 이 때, 는 의 모든 원소 x에 대해 로 정의한다. 이 연산과 함께 는 군을 이룬다. 이 연산은 간단히 로 쓸 수도 있다.

특별히 중요하게 다루어지는 것은 유한 집합 의 경우이다. 이 집합의 대칭군 를 간단히 으로 표기한다. 의 원소들을 의 순열이라 한다.

n개 원소에 대한 대칭군의 표시는 다음과 같다.

여기서 는 순열 에 대응한다.

성질 
n개 원소에 대한 대칭군 은 크기가 인 유한군이다. 무한 대칭군의 경우, 크기가 인 집합 위의 대칭군의 크기는

이다.

대칭군은 오직 인 경우에만 아벨 군이며, 오직 일 경우에만 가해군이다. 이것이 아벨-루피니 정리(5차 이상의 다항식은 거듭제곱근으로 풀 수 없음)의 기본적인 이유이다.

대칭군의 두 순열 이 같은 켤레류에 속할 필요충분조건은 두 순열의 순환() 구조가 같다는 것이다. 즉, 두 순열이 같은 수의 순환들로 구성되고, 각 순환들의 길이가 같을 때 서로 같은 켤레류에 속한다.

호몰로지 
대칭군의 낮은 차수의 군 호몰로지는 다음과 같다. 군의 정수 계수 1차 호몰로지는 그 아벨화와 같으며, 대칭군의 아벨화는 다음과 같다.

군의 정수 계수 2차 호몰로지는 그 슈어 승수()의 군과 같으며, 대칭군의 경우 이는 다음과 같다.

자기 동형 
대칭군의 자기 동형군과 중심은 다음과 같다.

응용 
대칭군은 수학의 다양한 분야에 등장한다. 갈루아 이론에서, n차 대칭군은 일반적 n차 다항식의 갈루아 군이다. 리 군의 이론에서, n차 대칭군은 일반선형군  및 특수선형군 의 바일 군이며, 슈어 함자()에 따라 특수선형군의 기약표현들은 대칭군의 기약표현과 대응한다. 또한, 대칭군은 콕서터 군 과 같다.

낮은 차수의 대칭군 
낮은 차수의 대칭군은 다음과 같다.

같이 보기 
 스테인하우스-존슨-트로터 알고리즘

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

순열군
대칭