미분 형식

미분기하학에서 미분 형식(微分形式, )은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 ,  따위를 엄밀하게 정의한 것으로, 차원의 다양체에서는 -형식을 자연스럽게 적분할 수 있다.

정의 
차원 매끄러운 다양체  위의 공변접다발 은 차원 벡터 다발이다. 여기에, 각 올에 대하여 외대수를 취하면 차원 벡터 다발

을 얻는다. 그 단면을  위의 미분 형식이라고 한다. 미분 형식의 공간을 다음과 같이 표기하자.

외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다.

차 미분 형식은 의 매끄러운 단면이다.

지표 표기법 
미분 형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다. 차원 다양체에 국소적 좌표계 를 잡으면,

는 1차 미분 형식들의 기저를 이룬다. 따라서, 임의의 차 미분 형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)

이에 따라서, 예를 들어 리만 계량 에 의한 부피 형식은

이므로,

이 된다.

무한 차원 다양체 위의 미분 형식 
국소 볼록 공간 가 주어졌을 때, 국소적으로 와 위상 동형이며, 매끄러운 전이 함수를 갖는 국소 좌표계를 갖춘 하우스도르프 공간을 -다양체라고 하자.

이 경우 마찬가지로 미분 형식의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, 위상 벡터 공간의 위상 쌍대 공간이 복잡하기 때문에, 접다발은 잘 정의되지만 일반적으로 공변접다발을 잘 정의하기 힘들며, 일반적으로 미분 형식을 어떤 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면으로 정의할 수 없다. 이 때문에, 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야만 한다.

-다양체  위의 차 미분 형식은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 각 에 대하여, 완전 반대칭 -선형 변환 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
열린집합  위의 국소 좌표 에 대하여, 는 매끄러운 함수이다.
이 경우 쐐기곱과 외미분이 잘 정의된다.

연산 
미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱과 내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

쐐기곱 
미분 형식의 쐐기곱()은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 과 , 에 대하여,
 
 (분배법칙) 
 (반대칭성) 
성분으로 적으면 다음과 같다.

여기서 는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식 , 의 쐐기곱은

이다.

외미분 
미분 형식의 외미분(外微分, )은

은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다.
 외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다.
 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉, 에 대하여, 이다.
 모든 0차 형식에 대해, 이다.
 임의의 , 에 대하여 이다.
성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의 차 미분 형식

에 대하여,

이다. 즉,

이다. 여기서 는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우

이고, 2차 형식의 경우

이다.

적분 
차원 매끄러운 다양체  위에 방향 및 차 미분 형식 가 주어졌다면, 의 적분

을 정의할 수 있다. 구체적으로, 의 좌표근방계  및 이에 종속되는 단위 분할 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김 으로서 각 에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의 차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형

을 정의할 수 있다. 그렇다면

이다. 여기서 는 차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다.

내적 
만약 차원 매끄러운 다양체  위에 (유사) 리만 계량 가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 내적 을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.
 서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다.
 내적은 쌍선형이다.
 임의의 개의 1차 형식 , 에 대하여,이다.
즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)

이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.
.

호지 쌍대 

차원 유향 (유사) 리만 다양체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호지 쌍대 연산자를 정의할 수 있다.

이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.

성분으로 쓰면 다음과 같다.

예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는

이다.

역사 
미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다.

응용 
다변수 미적분학 및 미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다.

참고 문헌

같이 보기 
 켈러 미분
 드람 코호몰로지
 복소 미분 형식

외부 링크