근방

일반위상수학에서 근방(近傍, )은 어떤 점의 주위를 포함하는 집합이다. 어떤 점에 대한 근방이라는 것은 그 점을 포함하는 집합이 있어서 그 점에서 집합을 벗어나지 않은 채 어느 정도 '움직일' 수 있다는 것이다. 근방은 위상 공간 속의 기본적인 개념의 하나로, 열린집합과 내부의 개념과도 밀접히 연관되어 있다.

정의

점의 근방 
위상 공간  속의 점 의 근방은 x를 열린 부분집합의 원소로 포함하는 집합이다. 즉, 어떤 열린 집합 에 대하여 가 성립할 경우, 를 x의 근방이라 한다.

점 의 열린 근방은 열린집합인 근방이다. 즉, 어떤 열린 집합 가 를 만족시킨다면, 는 의 열린 근방을 이룬다.

x의 빠진 근방()은  꼴의 집합이다. 빠진 근방은 이름과 달리 근방이 아니다.

집합의 근방 
위상 공간  속의 부분공간 의 근방은 를 열린 부분집합의 부분집합으로 가지는 집합이다. 즉, 어떤 열린집합 에 대하여 가 성립할 경우, 를 의 근방이라 한다.

예 
구체적인 공간에서의 근방은 다음과 같이 정의할 수 있다.

실수선에서의 정의 
를 임의의 실수라 하자. 이 때, 반지름이 인 의 근방 은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

즉, 에서의 근방은 개구간 과 같다. 또, 여기서 가 빠진 집합을 반지름이 인 의 빠진 근방(deleted neighborhood) 이라 하고 다음과 같이 정의한다.

유클리드 공간에서의 정의 
에서 반지름이 인 의 근방 은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

정의에서 보다시피, 일 때는 가 중심이고 반지름이 이며 경계가 빠진 원판을 의미하고, 일 때는 가 중심이고 반지름이 이며 경계가 빠진 구를 의미한다.

마찬가지로 반지름이 인 의 빠진 근방 은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

외부 링크 
 
 

일반위상수학
해석학 (수학)