곱집합

집합론에서 곱집합(곱集合, ) 또는 데카르트 곱(Descartes곱, )은 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 의 곱집합 는 이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합의 범주에서의 곱이다.

정의 
첨수족 의 곱집합 는 다음과 같다.

특히, 유한 개의 집합 의 곱집합 은 다음과 같다.

집합 에 대하여, 의 번 곱집합 는 다음과 같다.

특히, 집합 와 순서수 에 대하여, 의 번 곱집합 는 다음과 같다.

특히, 집합  및 음이 아닌 정수 에 대하여, 의 번 곱집합 은 다음과 같다.

성질 

 (기수의 곱의 정의) 
 (기수의 거듭제곱의 정의) 
 
 (교환 법칙의 실패) 
 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 가 존재한다.
 (결합 법칙의 실패) 
 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 가 존재한다.
 (분배 법칙) 
 (분배 법칙) 
 (분배 법칙) 
 
 
 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
 
 인 가 존재하거나, 임의의 에 대하여 이다.
 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
 
 인 가 존재한다.
 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.

 (보편 성질) 임의의 첨수된 함수족 에 대하여,  ()를 만족시키는 유일한 함수 가 존재한다.

예

역사 
르네 데카르트의 이름을 땄다.

외부 링크 
 
 
 
 
 

집합론의 기본 개념
이항연산
선택 공리