자연로그의 밑

자연로그의 밑(base of the natural logarithm)은 무리수인 상수로 로 나타내어지며 기호 로 표기한다.

정의 

 는 다음의 극한값으로 표현되며, 가장 일반적으로 정의되고 있는 야코프 베르누이의 방법이다.

   

 는 좌표평면상의 네 개의 그래프  축로 둘러싸인 부분의 넓이가 일 때, 의 값이다. 이 정의는 로그함수, 극한, 정적분의 선행 없이 쓸 수 있는 정의이다. 이를 정적분으로 표현하면 다음과 같다.

  

이때 정적분 값이 항상 양수이므로 넓이로 부를 수 있다.
는 무한급수로 표현할 수도 있다.

   

이는 지수함수를 나타내는 테일러 급수   에 대하여 일 때의 값이다.

명칭 
정식 수학 용어는 자연로그의 밑이지만, 수학교육학 분야에 한정하면 로그가 선행되지 않은 상태에서 서술되는 경우가 많고 이 때에는 상수 로 지칭한다.

그외의 용어는 모두 비공식 용어이다. 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따서 부르자는 의논이 있었으나 오일러가 발견한 수가 많아서 통용되지 않고 있다. 그 외 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드의 수학자 존 네이피어를 기려 부르자는 이야기가 있었으나, 정작 그것을 발전시켜 밝혀낸 사람은 그가 아닌 야코프 베르누이여서 무산되었다.

역사 
의 값이 계산된 최초의 기록은 1618년 존 네이피어에 의해 발간된 로그표이다. 그러나 네이피어는 로그 계산의 과정에서 나온 결과 값만을 간단히 다루었을 뿐 를 상수로 취급하지는 않았다. 네이피어의 로그는  과 동치이다. 이를 오일러가 정의하여 오늘날까지 사용하고 있는 로그함수 정의로 옮기면 네이피어의 로그는

인 로그함수이다. 위의 로그에서 사용된 밑은 의 역수인 와 매우 가까운 근삿값이다. 후일 윌리엄 오트레드가 네이피어의 로그표를 사용하여 로그 계산자를 만들었지만 그 역시 를 특별한 상수로 취급하지는 않았다. 

가 특정한 상수임을 발견한 사람은 야코프 베르누이이다. 그는 복리 이자의 계산이 다음과 같은 극한을 취할 수 있다는 것을 발견하였다.
 
베르누이는 위의 식이 수렴한다는 것과 그것이 특정한 값이 된다는 것을 발견하였다. 물론 그 값은 이다.

베르누이가 정리한 위의 급수를 처음으로 상수로서 표현한 사람은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠이다. 라이프니츠는 1690년에서 1691년 사이에 크리스티안 하위헌스에게 쓴 편지에서 이 급수를 “b”로 표현하였다. 한편, 오일러는 1727년에서 1728년 사이에 이 상수를 로 표현하여 사용하기 시작하였다.  라는 표기가 정식 출판물에 처음 등장한 것은 1736년 출판된 오일러의 《메카니카》이다. 그 이전에는 수학자 마다 여러 알파벳을 사용하여 이 상수를 표기하였으나 《메카니카》의 출판이후 로 표기하는 것이 관례가 되었다.

자연로그 

를 밑으로 하는 로그인 자연로그는 여러 분야에 두루 쓰인다. 로그함수는 정의에 의해 여러 밑을 가질 수 있지만, 일반적으로 밑을 따로 표기하지 않은 는 자연로그를 뜻했다. 하지만 상용로그와 헷갈리는 문제 때문에 현재는 로 표기한다. 

로그함수 의 도함수는 이다. 즉,

이고,

이다. 이는 를 밑으로 한 자연로그의 가장 큰 특징으로 지수가 등차적으로 증가할 때 로그곡선의 기울기는 등비적으로 감소한다는 의미가 된다.

를 밑으로 하는 자연로그는 여러 가지 증정도와 밀접한 관련을 보인다. 대표적인 것으로는 자연수에서 주어진 수가 충분히 클때 1에서부터 주어진 수까지의 소수의 개수는 로그함수에 점근한다는 소수 정리가 있다. 리만 가설에서 출발한 이 정리는 1896년 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 발레푸생이 서로 독자적인 연구를 통하여 증명하였다.

이외에도 자연로그는 물리와 화학 등 여러 자연 과학의 변화량에서 사용된다. 다음은 자연로그가 자연 과학에 사용된 예이다.
 루트비히 볼츠만은 엔트로피 S와 다중도 g의 자연로그 값이 비례함을 보였다.

 두 화학 물질의 1차 반응 속도에 따른 농도의 변화량은 다음의 식으로 표현된다.
0
A0 - 초기 농도, k - 반응 계수, t - 시간, A - 해당 시간에 따른 잔여 물질의 농도

특성 
는 무리수에 속하며 초월수로 알려져 있다.

초월수 
는 대수적 방정식의 해가 될 수 없는 초월수이다. 1873년 프랑스의 수학자 샤를 에르미트에 의해 가 초월수임이 증명되었다. 가 초월수임을 증명하는 방식은 귀류법에 의한 것으로 만일 가 대수적인 수라고 가정하면 다항식을 구성하는 계수가 무한히 약분되는 모순이 생긴다는 것을 보이는 것이다.

무리수
또한 는 무리수이기도 하다. 이에 대한 증명은 다음과 같다.

먼저 의 테일러 전개는

이때 n까지의 부분합을 Xn라 하면,  이다

이 성립한다.

이제 를 유리수라 가정하면 양의 정수 , 에 대해

가 되어야 한다. 따라서,

이어야 하고 이 부등식의 각 변에 를 곱하면

이 된다. 한편,  =  라 가정하였으므로

이 된다. 이에 따라 와  는 양의 정수가 되어야 하므로  역시 양의 정수가 되어야 한다. 그런데 위의 식 (1)에서 는 0보다 크고 1보다 작다고 하였으므로 이는 자연수가 될 수 없다. 따라서 는 두 양의 정수의 비, 즉 유리수로 나타낼 수 없는 무리수이다.

의 근삿값은 다음과 같은 연분수의 전개를 통하여 계산할 수 있다.

계산 
테일러 전개를 이용한 의 근삿값 계산 결과는 다음과 같다.

를 사용하여 8차항까지 더하면

위 계산은 소수점 아래 4자리까지 유효하다. 계승이 증가함에 따라 역수는 빠르게  에 접근하므로 몇 차례의 계산으로도 에 매우 근접한 근삿값을 구할 수 있다.

한편 인 지수함수의 테일러 급수는

이다.

함수론 

는 함수의 미분과 적분에서 특별하게 취급된다. 에 대한 임의 차원의 지수함수인 는 이를 미분한 도함수가 다시 자기 자신이 되는 함수이다. 또한, 곡선 에 대한 에서 까지 아래 넓이는 이다.

먼저 의 미분을 보면,

이다. 이에 대한 증명은 다음과 같은 계산을 통해 확인할 수 있다.

이때, 
따라서, 

한편 오른쪽 그림과 같은 의 그래프에서 에서 까지 아래 넓이는 아래와 같다.

적용

복리문제 
복리 적금의 원리합계는 다음의 식과 같이 계산할 수 있다.
 원리 합계 = 원금 X (1 + 이율)기간
예를 들어 1,000원을 예금하였을 때의 복리 합계는 이율에 따라 다음과 같이 계산 된다.

위의 식을 이용하면 원리합계가 목표하는 금액이 되기 위해서 얼마의 기간이 필요한 지 계산할 수 있다. 예를 들어 1천원을 복리 5%로 예금할 때 원리합계가 1억원을 넘기 위해서는 236년이 걸린다. 또한, 위의 표를 보면 이율과 기간 사이에 일정한 관계가 있다는 것을 확인할 수 있다. 즉, 일정 기간이 지났을 때의 원리합계는 특정한 비율을 나타내게 된다. 베르누이는 기간이 n 일 때 이율을 이라 하면, 이 원리 합계의 극한이 다음과 같이 네이피어의 로그표에 사용된 밑에 점근한다는 것을 발견하였다.

오일러의 공식 

1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 자연 로그 함수를 복소수로 확장할 경우 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.

1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.
 
이를 오일러의 공식이라 한다.

오일러의 공식은 복소평면에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 설명하고 있다. 이러한 사실은 복소수를 복소평면 위의 한 점으로 표현할 수 있다는 것을 시사한다. 하지만 코츠나 오일러 모두 이러한 발상을 했음에도 불구하고 복소평면을 일반화하지는 않았다. 복소수를 복소평면의 한 점으로 표현하기 시작한 것은 오일러 공식이 발표된 뒤 50여년이 지난 때부터였다.

오일러 공식은 테일러 급수를 통해 유도될 수 있다. 아래는 오일러 공식의 유도 과정을 소개한 것이다.

절댓값이 1 보다 작은 어떤 수 x에 대해 다음과 같은 무한 차수 다항식이 성립한다.
 (단, |x| < 1)

삼각함수 역시 위와 같은 조건을 만족하므로 다음과 같은 무한 차수 다항식으로 표기할 수 있다. 삼각함수의 무한 차수 다항식이 실제 무한히 전개된다는 것은 영국의 브룩 테일러가 증명하였기 때문에 이 전개를 흔히 테일러 급수라고 한다. 사인 함수와 코사인 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

한편 인 지수함수의 테일러 급수는

이다. 이때, 라 하면 이 테일러 급수의 전개는 다음과 같이 변환될 수 있다.
 (i2= -1)
위 식에서 짝수 차수 항과 홀수 차수 항을 따로 모아 정리하면

가 된다. 

위 식을 살펴 보면 실수항은 코사인 함수의 테일러 급수이고 허수항은 사인 함수의 테일러 급수임을 알 수 있다. 따라서, 다음과 같은 오일러 공식이 성립한다.
 

여기에서 x에 π를 대입하면

이 되고, 이를 오일러의 등식이라고 한다.

미해결 문제 
와 연관된 여러 문제가 아직 해결되지 않았다. 대표적인 문제로는 오일러-마스케로니 상수 γ 가 무리수나 초월수인지를 밝히는 것인데, 아직까지 증명되지 않고 있다. γ 는 조화 급수와 자연로그의 차에 대한 극한으로 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

e의 소수점 아래 첫 500자리 
의 소수점 아래 첫 500자리는 아래와 같다. (줄당 100자리)

같이 보기 
 삼각함수
 수학 상수
 자연로그
 레온하르트 오일러
 야코프 베르누이
 존 네이피어

주해

각주 

수학 상수
초월수
무리수
레온하르트 오일러