평균값 정리

미적분학에서 평균값 정리(平均-定理, )는 대략 구간에 정의된 함수는 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는다는 정리이다. 기하학적 관점에서, 이는 곡선이 두 끝점을 잇는 선과 평행하는 접선을 갖는다는 것과 같다. 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수의 취급에도 응용된다.

정의

롤의 정리 

함수 가 에서 연속 함수, 에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, 라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재한다. 이를 롤의 정리라고 한다.

평균값 정리 
함수 가 에서 연속 함수, 에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 적어도 하나 존재한다.

이를 평균값 정리라고 한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서 인 특수한 경우이다.

함수 를 에서 양 끝점을 지나는 직선을 뺀 함수로, 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 는 롤의 정리의 조건을 다음과 같이 만족시킨다.

따라서, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

코시 평균값 정리 

함수 가 에서 연속 함수, 에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, 라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

이를 코시 평균값 정리() 또는 확장된 평균값 정리()라고 한다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 인 특수한 경우이다.

기하학적 관점에서, 코시 평균값 정리는 평균값 정리를 함수의 그래프에서 미분 가능 단순 곡선까지 확장시킨 결과이다. 그러나 곡선의 임계점이 존재하지 않는다는 조건을 제거하면 반례가 존재한다. 예를 들어, 곡선 , 의 경우, 양 끝점 의 연결선은 수평선이지만, 수평 접선은 존재하지 않는다.

함수 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 는 롤의 정리의 조건을 다음과 같이 만족시킨다.

따라서, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

행렬식 평균값 정리 
함수 가 에서 연속 함수, 에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

코시 평균값 정리는 여기서 을 취한 특수한 경우이다.
다음과 같은 함수에 롤의 정리를 적용하여 증명할 수 있다.

다변수 함수의 경우 
함수 가 열린집합 에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, 임의의 에 대하여, 라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

일변수 함수에 대한 평균값 정리는 여기서 을 취한 특수한 경우이다.
함수 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 는 (일변수 함수에 대한) 평균값 정리의 조건을 만족시킨다. 따라서, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

적분 평균값 정리

제1 적분 평균값 정리 
연속 함수 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

보다 일반적으로, 두 함수 가 는 연속 함수, 는 부호가 일정한 (즉, 이거나 인) 적분 가능 함수라고 하자. 그렇다면 다음을 만족시키는 가 존재한다.

만약 추가로 가 연속 함수라면, 위의 조건을 만족시키는 가 존재한다. 이 두 정리는 각각 함수의 평균값과 가중 평균값이 그 함수의 치역에 속한다는 의미이다.

일반성을 잃지 않고, 라고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

만약

이라면,

이며, 임의의 를 취하면 된다. 만약

이라면,

이므로, 중간값 정리에 따라 성립한다. 추가로 가 연속 함수라면, 엄격 부등식이 성립함을 보일 수 있으므로, 를 에서 취할 수 있다.

제2 적분 평균값 정리 
두 함수 가 주어졌고, 는 적분 가능 함수라고 하자.
 만약 가 감소 함수이며, 이라면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
 
 만약 가 단조함수라면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
 

다음은 두 번째 명제의 가 항상 이거나 항상 인 경우에 대한 증명이다. 를 편의상 단조증가로 가정하면

가 성립한다. 이것을

로 놓고 다시 쓰면

와 같다. 는 미적분학의 기본정리에 의하여 연속함수이다. 따라서 여기에 중간값 정리를 적용하면 증명이 끝난다.

복소 적분 형태 
복소평면 상에서 어떤 점 을 중심으로 하는 반지름 인 원 내에서 정칙인 함수 에 대하여,
 가 성립한다. 이것을 가우스의 평균값 정리라고 한다.

코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 즉시 얻을 수 있다.

일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리라고 한다.

응용 
다음은 평균값 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다.
 구간 에 정의된 실수값함수 가 만약 에서 연속, 의 내부에서 미분 가능하며 항상 이라면, 는 에서 상수함수이다.
 가 만약 에서 연속, 내부에선 항상 라면, 는 에서 상수 차이이다.
 가 만약 에서 연속, 내부에선 항상 이라면, 는 에서 단조증가한다.
이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다.  내부의 임의의 두 점 에 대해, 는 에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 가 존재한다.

즉 . 이로써 는  내부에서 상수이다. 연속성에 의해  전체에서 상수다.

역사 
이 정리의 최초의 입안자는 인도의 Vatasseri Parameshvara로 기록되어 있으며 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다.

같이 보기 
 조화 함수
 테일러 급수

각주

참고 문헌 
 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
 
 Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

실해석학 정리
미적분학
복소해석학
측도론
미적분학 정리