심프슨 공식

심프슨 공식()은 수치 해석에서 뉴턴-코츠 공식의 한 경우로, 토머스 심프슨이 만든 적분법이다. 이 법칙은 다음과 같은 적분식의 근사값을 구하는 데 쓰인다.

기본 
심프슨 공식은 라는 이차방정식을 이용해 의 근사값을 구한다. 이때 는 a, b, 그리고 둘의 중간값 에서 와 같은 값을 갖는 근사식이다. 라그랑주의 다항식 보간법을 사용해서 를 구하면 다음을 얻는다.

이 식을 전개하면 심프슨 공식으로 알려진 다음 공식을 구할 수 있다.

이 공식으로 적분을 구할 때 생기는 오차는 다음과 같다. 여기서 와 는 a와 b 사이에 있는 임의의 숫자이다.

심프슨 공식의 확장

심프슨 1법칙 
위의 공식은 적분 구간 이 작을 때는 적합하지만 그렇지 않으면 상당한 오차를 가진 값이 나온다. 대부분의 경우 적분 구간이 작지 않으므로, 먼저 몇 개의 작은 구간으로 나누고 각 구간에 심프슨의 법칙을 적용해 그 값들을 합해야 한다. 여기서 확장된 공식을 유도할 수 있다. 측량학에서는 면체적 측량 시 쓰이며 심프슨 1법칙이라고 부른다.

이 식에서 은 구간 을 나눈 부분구간의 총 개수를 뜻하며 짝수여야 하고, 은 각 부분구간의 길이이다. 면적측량 시 n이 홀수라면 남는 부분은 사다리꼴의 넓이로 계산하여 더해준다. 이 공식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수도 있다.

심프슨의 법칙의 오차로부터 이 공식의 오차를 다음과 같이 구할 수 있다. 여기서 이며 각 부구간의 크기를 나타낸다.

심프슨 2법칙 
n이 3의 배수일 때 3개의 h씩 묶어 면적을 계산하여 다음 식으로 전체 면적을 구할 수도 있다. n이 3의 배수가 아니면, 2법칙을 적용하고 남는 구간은 심프슨 1법칙으로 계산해서 더한다.

같이 보기 
 사다리꼴 공식

각주 

수치적분
사람 이름을 딴 낱말
측량학