수반 함자

범주론에서 수반 함자(隨伴函子, ) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다.

정의 
두 범주 ,  사이의 두 함자

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 와  사이의 수반() 는 다음과 같은 두 개의 자연 변환의 순서쌍이다.

여기서  및 는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다.

여기서  및 는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.

이 경우, 를 의 왼쪽 수반 함자(-隨伴函子, )라고 하고, 를 의 오른쪽 수반 함자(-隨伴函子, )라고 하며, 은 쌍대단위원(雙對單位元, ), 는 단위원(單位元, )이라고 한다. 이는 기호로

또는

와 같이 쓴다.

사상 집합을 통한 정의 
와 가 국소적으로 작은 범주라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자

는 다음과 같이 정의할 수 있다. 와  사이의 수반은 함자

사이의 자연 동형

이다.

성질

프레이드 수반 함자 정리 
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.
 는
 완비 범주이다.
 국소적으로 작은 범주이다.
 는 범주이다.
프레이드 수반 함자 정리()에 따르면, 함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
 는 모든 작은 극한을 보존하며, 해집합 조건을 만족시킨다.
여기서  해집합 조건(解集合條件, )이란 다음과 같다. 임의의 대상 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합  및 사상들의 집합 이 존재한다.
임의의  및 사상 에 대하여, 를 만족시키는  및 가 존재한다.

만약 실제로 어떤 수반 함자쌍

이 존재한다면, 대상 에 대하여

로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.

특수 수반 함자 정리 
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.
 는
 완비 범주이다.
 국소적으로 작은 범주이다.
 정멱 범주이다.
 쌍대 생성 집합을 갖는다.
 는 국소적으로 작은 범주이다.
특수 수반 함자 정리()에 따르면, 함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
 는 모든 작은 극한을 보존하며, 단사 사상들의 (집합이 아닐 수 있는) 모임의 당김을 보존한다.

예

자유-망각 수반 

대수 구조 다양체의 범주 에서, 자유 대수 함자

는 망각 함자

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

곱-지수 수반 
데카르트 닫힌 범주 의 임의의 대상 에 대하여, 곱 함자

는 지수 대상 함자

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

집합과 함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다.

다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 곱이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 텐서곱이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 이다.)

대각-극한 수반 
범주  및 범주 가 주어졌고, 모든 함자 의 극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자

는 왼쪽 수반 함자

를 가진다. 이는 의 대상을 상수 함자에 대응시킨다.

예를 들어, 가 곱을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면

는 서로 수반 함자를 이룬다.

마찬가지로, 범주  및 범주 가 주어졌고, 모든 함자 의 쌍대극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자

는 오른쪽 수반 함자

를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면

가 된다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 반사 부분 범주
 칸 확대
 모나드 (범주론)