스튀름-리우빌 연산자

상미분 방정식 이론에서, 스튀름-리우빌 연산자(Sturm-Liouville演算子, )는 이산 스펙트럼을 갖는 특별한 형태의 2차 미분 연산자이다. 그 고유 함수에 대한 2차 상미분 방정식을 스튀름-리우빌 방정식(Sturm-Liouville方程式, )이라고 하며, 이에 대한 이론을 스튀름-리우빌 이론(Sturm-Liouville理論, )이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다.

정의 
실수의 닫힌구간 이 주어졌다고 하자. 그 위의 2차 연속 미분 가능 함수에 대한 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다.

여기서
 는 양의 실수 값의 연속 미분 가능 함수이다.
 는 연속 함수이다.
 는 양의 실수 값의 연속 함수이다. (이를 무게 함수 라고 한다.)

닫힌구간  위의 로뱅 경계 조건(Robin境界條件, )이란  위의 연속 미분 가능 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다.

여기서, 다음 조건이 성립해야 한다.
  또는  가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로  또는  가운데 하나 이상이 0이 아니다.
즉, 와 는 각각 실수 사영 직선 의 두 점의 동차 좌표를 이룬다.

로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간

위의 자기 수반 작용소로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다.

스튀름-리우빌 연산자 의 고유 함수 방정식

즉 선형 상미분 방정식

을 스튀름-리우빌 방정식()이라고 한다.
이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로, 와 , 의 값에 따라 해의 공간은 벡터 공간을 이룬다. 스튀름-리우빌 문제는 스튀름-리우빌 미분 연산자의 고윳값을 구하는 문제이다.

성질

고윳값과 고유 함수 
 위의 무게 함수

에 대한 스튀름-리우빌 연산자

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼은 가산 집합이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다.

각 고윳값 에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 또한, 이 함수는 열린구간  속에서 정확히 개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들의 집합 은 (의 내적에 따라 정규화하였을 때) 의 정규 직교 기저를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

2차 선형 미분 방정식의 스튀름-리우빌 형태로의 환원 
모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자()를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, y가 스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.)

일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.
 

양변을 P(x)로 나누고, 다시 양변에 적분 인자
 
를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.

예

베셀 방정식 
베셀 방정식
 
은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.
 
즉, 이 경우 스튀름-리우빌 연산자는

이다.

르장드르 방정식 
르장드르 방정식

은 쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다.

이므로, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다.

즉, 은 스튀름-리우빌 연산자

의 고윳값이다.

더 복잡한 2차 상미분 방정식 
좀 더 복잡한 예로 다음 상미분 방정식을 생각하자.
 
양변을 x3으로 나누고

다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다.
 

그러면 다음과 같은 방정식이 나온다.
 
이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데,
 
이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다.
 
즉, 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같다.

역사 
자크 샤를 프랑수아 스튀름과 조제프 리우빌의 이름을 땄다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

연산자 이론
상미분방정식
스펙트럼 이론
경계값 문제