완전열

호몰로지 대수학에서 완전열(完全列, )은 한 사상의 상이 다음 사상의 핵과 일치하는, 사상들과 대상들로 구성된 열이다.

정의 
핵과 여핵을 가지는 범주에서 완전열은 다음과 같은 꼴의 대상들과 사상들로 구성된다.

이 열이 완전열을 이루려면, 인접한 사상들 각각에 대해 뒷쪽 사상의 핵과 앞쪽 사상의 상이 일치하여야 한다.

즉,

이어야 한다.

모든 아벨 범주 (아벨 군의 범주 등)에서는 핵과 여핵이 존재하므로, 완전열을 정의할 수 있다. 군의 범주 는 아벨 범주가 아니지만 핵과 여핵이 존재하므로, 이 범주에서도 역시 완전열을 정의할 수 있다.

특수한 경우 
영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 다음 명제들이 성립한다.
 열 가 완전열이라는 것은 사상 가 단사 사상이라는 것과 동치이다.
 열 가 완전열이라는 것은 사상 가 전사 사상이라는 것과 동치이다.
 열 가 완전열이라는 것은 사상 가 동형 사상이라는 것과 동치이다.

짧은 완전열 
영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 짧은 완전열()은 다음과 같은 모양의 완전열이다.

여기서, 는 단사 사상이며 는 전사 사상이다. 이 경우, 다음과 같은 동형이 성립한다.

예 
아벨 군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열을 생각하자.

여기에서 0은 자명군이고, 에서 로 가는 사상은 2배를 곱하는 것이고, 에서 은 정수를 modulo 2로 정의한 것이다. 인접한 사상을 각각 살펴보면 이것이 완전열임을 알 수 있다.
 사상 의 상은 자명군이고, 에 대한 핵(두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합) 또한 자명군이다. 따라서 첫 번째 에서 열은 완전열이다.
 의 상은 짝수의 부분군 이며, 의 핵 또한 짝수의 부분군 이다. 따라서, 두 번째 에 대해서도 완전열이다.
 에 대한 상은 이고, 0으로 가는 상의 핵도 이기 때문에, 열은 에서도 완전열이다.

외부 링크

같이 보기 
 분할 완전열
 뱀 보조정리
 지그재그 보조정리

호몰로지 대수학
가법적 범주