알레프 수

집합론에서 알레프 수(ℵ數, )는 무한 기수를 나타내는 표기법이다. 기수의 고유 모임은 정렬 순서를 가지므로, 이에 따라 무한 기수를 순서수와 일대일 대응시킨다.

정의 
편의상, 체르멜로-프렝켈 집합론 및 선택 공리를 가정하고, 존 폰 노이만의 순서수의 정의(순서수는 그보다 작은 모든 순서수의 집합)를 사용하자. 기수 의 바로 다음 기수()는 다음과 같다.

하르톡스 정리에 따라 이 하한은 항상 존재한다. 여기서 부등식은 기수의 부등식이다.

순서수 에 대하여, 알레프 수 는 다음과 같이 초한 귀납법으로 정의된다.
  (자연수의 집합의 크기)
  (는 의 따름 순서수)
  (는 극한 순서수)

성질 
알레프 수는 순서수의 고유 모임 에서 기수의 고유모임 으로 가는 "함수"이다. (물론, 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정의역과 공역이 집합이 아니므로 이는 엄밀히 말해 함수가 될 수 없다.) 이는 "단사 함수"이며, 그 "상"은 무한 기수이다. 따라서, 모든 순서수 에 대하여,

인 기수 는 존재하지 않는다.

고정점 
기수를 순서수로 여겨, 알레프 수의 "고정점"(즉, 인 )을 생각할 수 있다. 알레프 수는 순서수의 모임 위의 순서 보존 "함수"이므로, 모든 순서수 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

모든 알레프 수의 고정점은 극한 기수이다. 모든 약하게 도달 불가능한 기수는 알레프 수의 고정점이다. 알레프 수의 최소의 고정점은 다음과 같다.

이는 약하게 도달 불가능한 기수가 아니다.

만약 라면, 는 무한 기수이며, 특히 극한 순서수이다. 따라서 는 극한 기수이다.

약하게 도달 불가능한 기수 가 주어졌을 때,

이다. (는 가 극한 순서수이기 때문이다.) 따라서, 이다.

연속체 가설 

일반화 연속체 가설에 따르면,

가 성립한다. 여기서 는 베트 수이다. 이 명제는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 독립적이다 (즉, 증명하거나 반증할 수 없다). 또한, 대부분의 큰 기수 공리들을 추가해도 이는 변함이 없다. 위 가설에서 인 특수한 경우

는 연속체 가설이라고 불리며, 역시 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 및 큰 기수 공리들에 대하여 독립적이다.

예

ℵ0 
은 가산 무한 집합의 크기이다. 예를 들어, 자연수의 집합 , 정수의 집합 , 유리수의 집합  등이 이 크기이다.

ℵ1 
은 가장 작은 비가산 기수이다. 이는 모든 가산 순서수들의 집합의 크기이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 연속체 가설이 독립적이므로, 실제로 크기가 이라고 증명할 수 있는 집합들은 그리 많지 않다.

ℵω 
가 가장 작은 무한 순서수라고 하자. 는 의 상한이다. 또한, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서

임을 증명할 수 있는 가장 작은 기수 이다.

역사 
이 표기법은 게오르크 칸토어가 기수 및 순서수 이론을 정의하면서 도입하였다. 알레프(ℵ)는 히브리 문자의 첫 글자이다. 칸토어가 왜 이 글자를 골랐는지는 확실하지 않다. 칸토어 자신이 유대인인지는 확실하지 않지만, 칸토어의 아내 발리 구트만()은 유대인이었다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 베트 수

기수
무한