맥스웰 관계식

열역학에서 맥스웰 관계식()이란 열역학 퍼텐셜들로부터 유도되는 관계식이며, 두 개의 변수에 대한 열역학 퍼텐셜의 이차도함수가 미분 순서에 관계없이 같음을 의미한다

정의 
Φ를 열역학 퍼텐설, 와 를 열역학 퍼텐셜의 자연변수라 하면, 맥스웰 관계식은 다음과 같다.

자주 사용되는 4개의 맥스웰 관계식은 다음과 같다.

여기서 각 퍼텐셜과 그 자연변수는 아래와 같다.
  : 내부 에너지
 : 엔탈피
 : 헬름홀츠 자유 에너지
 : 기브스 자유 에너지

유도 
맥스웰 관계식은 함수들 각각에 관련해 가장 편한 독립 변수들을 통해서 쓰게 된다.

내부 에너지 
S와 V가 독립변수일 때,

라고 쓰고 수학적으로 표현하게 되면

여기에서 dS와 dV의 대응하는 곁수는 같게 되어야만 하므로

이것은 이제 U에 대한 도함수는 그 미분순서와는 무관하다는 것을 이용하면 된다.

이것을 바꾸면,

이것을 정리하면

엔탈피 
이제 S와 P가 독립변수일 때,

라고 쓰고 이것을 조금 바꾸면

여기서 H는 엔탈피이다. 이제 위에서와 같이

여기에서 dS와 dp의 대응하는 곁수는 같게 되어야만 하므로

이것은 이제 H에 대한 도함수는 그 미분순서와는 무관하다는 것을 이용하면 된다.

이것을 정리하면 다음의 관계식이 나온다.

헬름홀츠 자유 에너지 
다음으로 T와 V가 독립변수일 때,

또는

라고 쓸 수 있는데, 여기서 A는 헬름홀츠 자유 에너지이다. 이제 위에서와 같이

여기에서 dT와 dV의 대응하는 곁수는 같게 되어야만 하므로

이것은 이제 F에 대한 도함수는 그 미분순서와는 무관하다는 것을 이용하면 된다.

이것을 정리하면 다음의 관계식이 나온다.

깁스 자유 에너지 
다음으로 T와 p가 독립변수일 때,

또는

라고 쓸 수 있는데, 여기서 G는 기브스 자유 에너지이다. 이제 위에서와 같이

식을 비교하면,

이것은 이제 A에 대한 도함수는 그 미분순서와는 무관하다는 것을 이용하면 된다.

이것을 정리하면 다음의 관계식이 나온다.

물리학 개념
열역학
제임스 클러크 맥스웰