직교

직교(直交, )는 기하학의 수직을 일반화한 용어이다. 두 벡터의 내적이 0일 때, 다시 말해 이 둘이 직각을 이룰 때, 이 두 벡터가 서로 직교한다고 한다. 기호는 로 나타낸다.

어원 
Orthogonality라는 단어는 고대 그리스어로 '꼿꼿하다'는 의미의  (orthos)와 '각도'라는 의미의  (gonia)에서 유래한다. 이 둘의 합성어인 은 이후 로마에서 orthogonium로 바뀌는데 처음에는 직사각형을 나타내는 단어였다. 이후 이것이 직각삼각형 역시 의미하다가, 12세기에 처음으로 직각 또는 직각의 관계를 나타내는 단어로 사용되었다. 한문으로는 수직하여(直) 만난다(交)는 뜻이다.

정의 
가군 의 원소 와 쌍대 가군 의 원소 가 을 만족시키면, 와 이 서로 직교한다고 한다. 만약 부분 가군 의 모든 원소가 쌍대 가군의 부분 가군 의 모든 원소와 직교한다면, 가 서로 직교한다고 한다.

특히, 내적 공간  속의 두 벡터 가 만약 와 를 직교하게 만든다면, 즉 이라면, 다시 말해  사이의 각이 직각이라면, 가 서로 직교한다고 한다. 쌍마다 직교하는 벡터들의 집합을 직교 집합(直交集合, )이라고 한다. 직교 집합에서 영벡터를 제거하면 항상 선형 독립 집합이 된다. 직교 집합을 이루는 기저를 직교 기저(直交基底, )라고 한다. 이보다 더 자주 사용되는 개념은 정규 직교 집합(正規直交集合, )과 정규 직교 기저인데, 이는 단위 벡터로 구성된 직교 집합(기저)를 뜻한다. 만약 부분 공간  속의 각 벡터가 부분 공간  속의 각 벡터와 직교한다면, 가 서로 직교한다고 한다. 어떤 부분 공간과 직교하는 최대 부분 공간을 직교 여공간이라고 한다.

예 
유클리드 공간의 벡터의 수직은 내적 공간 속 벡터의 직교의 특수한 경우이다.

내적 공간의 원소가 함수일 경우, 그 속의 직교 집합을 직교 함수족이라고 한다.

각주

외부 링크 
 
 
 

추상대수학
선형대수학