판별식

수학에서 판별식(判別式, )은 다항식이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다.

정의 
대수적으로 닫힌 체  계수의 0이 아닌 다항식

의 판별식은 다음과 같다.

여기서
 는 형식적 미분이다.
 는 종결식이다.
 는 행렬식이다.

성질 
대수적으로 닫힌 체  및 0이 아닌 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 중복근을 갖는다.

예

2차 다항식 
복소수 계수 2차 다항식

의 판별식은 다음과 같다.

만약 , , 가 모두 실수일 경우 판별식은 실수가 되는데, 만약 양의 실수라면 두 서로 다른 실근을 가지며, 음의 실수라면 두 서로 다른 허근을 가진다. 만약 0이라면 2중 실근을 갖는다.

3차 다항식 
복소수 계수 3차 다항식

의 판별식은 다음과 같다.

특히, 다항식

의 판별식은

이다.

4차 다항식 
복소수 계수 4차 다항식

의 판별식은

이다.

참고 문헌

외부 링크 
 

다항식
원뿔 곡선
이차 형식
행렬식
대수적 수론