가역행렬

선형대수학에서 가역 행렬(可逆行列, ) 또는 정칙 행렬(正則行列, ) 또는 비특이 행렬(非特異行列, )은 그와 곱한 결과가 단위 행렬인 행렬을 갖는 행렬이다. 이를 그 행렬의 역행렬(逆行列, )이라고 한다.

정의 
체  위에서 정의된  행렬 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 이 조건이 성립할 경우 를 의 역행렬이라고 하며, 를 와 같이 표기한다.

체  위에서 정의된  행렬 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 가역 행렬이라고 한다.
 역행렬을 갖는다.
 유일한 역행렬을 갖는다.
 유한 개의 기본 행렬의 곱이다.
 단위 행렬과 행동치이다.
 단위 행렬과 열동치이다.
 단위 행렬과 동치이다.
 방정식 의 해는 뿐이다. 즉 이다.
 방정식 의 해는 의 값과 무관하게 항상 유일하다.
 의 열이 의 기저를 이룬다.
  (여기서 는 행렬식이다.)
  (여기서 는 계수이다.)
  (여기서 이다.)
 0을 고윳값으로 가지지 않는다.

성질

전치 행렬과의 관계 
체  위에서 정의된  행렬 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 가역 행렬이다.
 는 가역 행렬이다.
 는 가역 행렬이다.

항등식 
체  위에서 정의된  행렬 에 및 스칼라 에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
 
 
 
즉, 체  위의  가역 행렬의 집합은 군을 이루며, 이를 일반선형군 이라고 한다. 또한, 역행렬은 일반선형군의 자기 반대 동형을 정의한다.

계산

가우스 소거법 
가우스 소거법은 어떤 행렬이 가역행렬인지를 판단하고 그 행렬의 역행렬을 구할 수 있는 알고리즘이다. LU 분해를 이용해 두 개의 삼각행렬로 분해하면 가우스 소거법을 더 빨리 계산할 수 있다. 또는  행렬을 을 원소로 갖는  행렬로 나누어 재귀적으로 계산하면 행렬의 특성에 따라 더 빠른 계산이 가능하다.

수치해석적 방법 
행렬의 공통인자로 이루어진 행렬을 구해 계산하면 작은 크기의 행렬에 대해서는 더 빨리 계산할 수도 있다. (큰 행렬에 대해서는 적당치 않을수있다) 다음과 같이 공통인자 행렬을 구한다.

 여기서 가 홀수일 때 이고() 가 짝수일 때 ()이다. 즉,이다.
여기서 는 의 행렬식을 가리키고 는 행렬의 공통인자,는 행렬의 소행렬식, 는 의 전치행렬을 가리킨다.

수치 해석에서 대부분의 경우 선형 시스템을 풀기 위해 역행렬을 구할 필요는 없기 때문에 이 방법으로 실제로 역행렬을 구하는 경우는 별로 없다.

2 × 2 행렬의 역행렬 
위의 공통인자 방정식에서 이 2일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

2 × 2 행렬의 역행렬은 위 방법을 통해 빠르게 계산할 수 있다.

3 × 3 행렬의 역행렬 
위의 공통인자 방정식에서 이 3일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

작은 블록으로 나눠서 계산하는 법 
다음과 같은 식을 이용하면 행렬을 몇 개의 작은 블록 행렬로 나누어 계산할 수 있다.

는 행렬의 임의의 작은 블록이다. 이 방법은 가 대각행렬이고 의 슈어 보수행렬 이 작은 크기일 때 특히 유용하다. 두 개의 행렬에 대한 역행렬만 계산하면 되기 때문이다. 이 방법은 행렬을 더 빠르게 곱하는 슈트라센 알고리즘의 개발자 포커 슈트라센이 발견했다.

역행렬의 도함수 
행렬 가 라는 변수에 따라 변한다고 하자. 이때 의 역행렬의 도함수는 다음과 같다.

역행렬과 행렬의 나눗셈
행렬 와 에서,
 이고, 이다.
이다.
스칼라 행렬는,
 이고, 이다.

대각화행렬에서는
임의의 행렬 A를 예약하고 고윳값 행렬 P를 조사하고  P의 역행렬 P-1를 통해서,

대각화 행렬 AD를 얻을수있다. 여기서,

처럼 대각화행렬에서는 역행렬의 나눗셈 성질을 갖는다.

같이 보기 
 크라메르 공식
 전치행렬
 대칭행렬
 사다리꼴행렬
 특이값 분해
 QR 분해
 치환행렬

외부 링크 
역행렬 계산기

선형대수학
행렬
행렬식
행렬론