오차 방정식

오차 방정식(Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는

와 같다. 여기에서 는 각각 의 계수라고 한다. 또한 는 상수항이라고 부른다.

그리고 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 오차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다.

오차방정식의 근 
갈루아와 아벨은 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 반면에 일차, 이차, 삼차, 사차 방정식은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다. 종종 일반인들은 이 결과가 '5차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '5차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율을 표현할 수 없는 것과 유사하다.

실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, Laguerre의 방법, Jenkins-Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다.

근과 계수와의 관계 

오차방정식 의 다섯 근을 라고 하면,
다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다.

또한,

 의 관계가 있다.

특히 각 항()에 따른  계수의 출현에 대한 조합개수는 조합의 경우의 수로 따져 볼 수 있다.

5차방정식에 존재하는 5개의 가상의 근을 라고 하면, 1개씩의 조합의  경우의 수는 ,

2개씩의 조합의  경우의 수는 ,

3개씩의 조합의  경우의 수는 ,

4개씩의 조합의  경우의 수는 ,
이다.
5개씩의 조합의  경우의 수는 ,
이다.

차고차항 압축 정리(취른하우스 변형)   

다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의  최고차항(차항)의 의 계수, 로 나눈 다음 의 형태로 치환하면 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있다. 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라 칭한다.

이 과정을 5차방정식에 적용시키면 다음과 같이 된다.
먼저, 최고차항의 계수로 양변을 나눈다.

그리고 y로 치환한다.

그러면, 방정식은

의 꼴로 정리된다. 여기서 는 다음과 같다.

일반적인 해법이 있는 특수 5차 방정식들 
상반방정식
5차 방정식은 차수가 홀수(기수)이므로 우선, 조립제법이나 다항식 장제법으로 의 꼴과 4차 방정식으로 찻수를 낮추어 푼다.

예) :
이 식은 먼저 하나의 해는 무조건 임을 알아야 한다. 이 나올 수 있는 인수는 이므로 조립제법을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은

가 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다.

이항방정식
의 꼴은 이항방정식으로 와 근의 계수 를 찾아 5개의 근을 구할 수 있다.

오차방정식의 판별식 
오차 방정식의 판별식은 59개항으로 이루어져 있다.

실베스터 행렬의 종결식을 사용한  소행렬식의 라플라스 전개로  5차방정식의 판별식 유도가 가능하다.
을
으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬

브링-제라드 형태 
오차 방정식이 오차 항, 선형 항 및 절대 항만 포함하는 경우 이 방정식은 브링-제라드 (Bring-Jerrard) 형식을 갖는다. 십구 세기 후반에 John Stuart Glashan, George Paxton Young, Carl Runge는 초등함수를 사용하여 항상 풀 수 있는 매개변수화를 발견했다:

 

그리고 이것은 이 방정식의 일반적인 해다:

 
 

이것은 μ = 1 과 ν = 0에 대한 계산 예다:

 
 

매개변수를 변경하여 다음과 같은 방정식 및 해결책 쌍을 설정할 수 있다:

 
 
 

이 해결책 공식은 모든 실수 값 0 < y < 2에 대해 유효하다.

모듈러 타원 함수를 통한 해결책 
다음에서 이 방정식을 일반화한다:

 
 
 
 

이 공식은 아래에 설명되어 있다.

위의 방정식에서 다음 방정식이 생성된다:

 

방정식은 다음과 같이 재정렬될 수 있다:

 
 
 

그리스 기호는 테타 야코비 테타 함수를 나타낸다:

 
 

놈 함수는 문자 q로 표시된다:

 

문자 K는 제1종 완전 타원 적분을 나타낸다:

 

약어 ctlh 및 aclh로 렘니스케이트(lemniscate) 함수가 표시된다:

 
 
 
 
 
 
 
 

문자 G는 가우스 상수를 나타낸다.

로저스 라마누잔 연속 분수 
로저스 라마누잔 (Rogers Ramanujan) 연속 분수는 다음과 같이 정의된다:

 
두 개의 항목으로 구성된 대괄호 표현식은 포흐하머 기호를 나타낸다.
 
 
 
 

이 공식을 기반으로 다음 공식 쌍을 만들 수 있다:

 
 
 
 

첫 번째 계산 예:

 
 
 
 
 

두 번째 계산 예:

같이 보기 
 일차 방정식
 이차 방정식
 삼차 방정식
 사차 방정식
 육차 방정식
 칠차 방정식
 상반방정식

각주 

방정식