시그마 대수

측도론에서 시그마 대수(σ代數, )는 가산 상한과 하한을 갖는 불 대수이다. 시그마 대수의 원소 위에 측도를 정의할 수 있다.

정의

시그마 대수 
불 대수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 불 대수를 (추상적) 시그마 대수()라고 한다.
 (가산 상완비성) 의 임의의 가산 부분 집합은 상한을 갖는다.
 (가산 하완비성) 의 임의의 가산 부분 집합은 하한을 갖는다.

시그마 대수 준동형 
두 시그마 대수 ,  사이의 시그마 대수 준동형() 은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.
 임의의 가산 부분 집합 에 대하여, 이다. (특히, 일 경우, 이다.)
 임의의 가산 부분 집합 에 대하여, 이다. (특히, 일 경우, 이다.)
 임의의 원소 에 대하여, 이다.
여기서 과 은 각각 최대 원소와 최소 원소를 뜻한다.

시그마 대수와 시그마 대수 준동형은 구체적 범주 를 이룬다.

시그마 아이디얼 
시그마 대수 의 시그마 아이디얼()은 다음 조건들을 만족시키는 순서 아이디얼 이다.
 가산 상한에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 가산 부분 집합 에 대하여, 이다.

불 대수는 가환환을 이루며, 불 대수의 순서 아이디얼은 아이디얼을 이룬다. 따라서 몫 불 대수 를 정의할 수 있으며, 가 시그마 아이디얼이라면 이는 시그마 대수를 이룬다. 이를 몫 시그마 대수 라고 한다.

성질

함의 관계 
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center"
|| || 완비 격자 || ⇐ || 완비 헤이팅 대수 || ⇐ || 완비 불 대수
|-
|| || || || || || ⇓
|-
|| || ⇓ || || ⇓ || || 시그마 대수
|-
|| || || || || || ⇓
|-
| 원순서 집합 ⇐ 부분 순서 집합 ⇐ || 유계 격자 || ⇐ || 헤이팅 대수 || ⇐ || 불 대수
|}

분배 법칙 
시그마 대수 의 원소 에 대하여, 다음이 성립한다.

크기 
기수 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 인 완비 불 대수 가 존재한다.
 인 시그마 대수 가 존재한다.
 만약 가 무한 기수라면, 이다. 만약 가 유한 기수라면, 인 기수 이 존재한다.

특히, 무한 시그마 대수의 크기는 항상  이상이며, 가산 무한 시그마 대수는 존재하지 않는다. (직접적으로, 이는 모든 무한 불 대수는 가산 무한 반사슬을 갖는데, 가산 완비성에 따라 이 반사슬의 부분 집합들의 상한(또는 하한)들의 수는 이기 때문이다.)

특히, 모든 유한 시그마 대수는 (유한 불 대수이므로) 그 크기가 2의 거듭제곱이며, 어떤 유한 집합 의 멱집합 와 동형이다.

루미스-시코르스키 표현 정리 
루미스-시코르스키 표현 정리(Loomis-Sikorski表現定理, )에 따르면, 임의의 (추상적) 시그마 대수 에 대하여,

가 되는
 집합 
 시그마 대수 
 의 시그마 아이디얼 
가 존재한다. 그러나 일반적으로 이 아닐 수 있다. 즉, 멱집합의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없는 시그마 대수가 존재한다.

범주론적 성질 
시그마 대수의 범주는 (가산 무한 개의 항을 가진 연산을 갖는) 대수 구조 다양체 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 또한 자유 시그마 대수가 존재한다.

예 
집합 의 멱집합은 완비 불 대수이므로 시그마 대수이다.

측도 공간 
가측 공간 에서, 는 정의에 따라 의 부분 시그마 대수이다.

측도 공간 에서, -영집합들의 족

은 의 시그마 아이디얼을 이루며, 는 시그마 대수를 이룬다.

구체적이지 않은 시그마 대수 
폐구간의 보렐 시그마 대수 에서, 르베그 측도가 0인 보렐 집합들의 족은 시그마 아이디얼 을 이룬다. 그 몫 시그마 대수 는 멱집합 시그마 대수의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없다.

역사와 어원 
"시그마 대수"라는 이름에서, 시그마(σ)는 "가산 무한"을 뜻한다. 즉, 임의의 불 대수에서 유한 집합의 상한·하한이 존재하는 조건을 가산 집합으로 강화한 것이다.

루미스-시코르스키 표현 정리는 린 해럴드 루미스(, 1915~1994)와 로만 시코르스키(, 1925~1983)가 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

측도론
순서론
집합족