정규 부분군

군론에서 정규 부분군(正規部分群, )은 내부자기동형사상에 대해 불변인 부분군을 말한다. 정규 부분군에 대하여 몫군을 취할 수 있다.

정의 
군 의 부분군 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분군을 의 정규 부분군이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, .  즉, 내부자기동형사상에 대하여 불변이다.
 임의의 에 대하여, . 즉, 좌잉여류와 우잉여류가 일치한다.
 인 군 준동형 가 존재한다.
 정규화 부분군이  전체이다. 즉, 이다.
 정규핵이 자기 자신이다. 즉, 이다.
이 의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.

성질 
군 의 부분군 이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.
 는 아벨 군이다.
 은 의 중심이다.
 은 자명군이다.
 이다.
 는 유한군이며, 의 지표 는 의 가장 작은 소인수이다.
 는 유한군이며, 의 지표 는 2이다.
 은 의 특성 부분군이다.

임을 보이는 것으로 족하다. 가 의 최소 소인수라고 하자. 은 군의 작용

의 핵이므로, 몫군

은 대칭군 의 부분군과 동형이며, 그 크기는 대칭군의 크기 의 약수이다. 즉, 몫군

의 크기는 의 약수이다. 그러나 위 몫군의 크기는  미만의 소인수를 가질 수 없다. 따라서 크기는 1이다.

군 의  정규 부분군 가 주어졌다면, 몫군 에서 의 외부자기동형군 로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 짧은 완전열이다.

여기서 준동형 은 이며, 은 이다.

특히, 이 아벨 정규 부분군일 경우, 이 자명군이며 이므로, 다음과 같은 자연스러운 군 준동형을 얻는다.

예 
유클리드 군 은 평행 이동의 군 을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군 은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.

역사 
정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.

같이 보기 
 단순군
 특성 부분군
 아이디얼

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

군론