전사 함수

수학에서 전사 함수(全射函數, ) 또는 위로의 함수()는 공역과 치역이 같은 함수이다.

정의 
두 집합 ,  사이의 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전사 함수라고 한다.
 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.
 공역과 치역이 같다. 즉, 이다.
 는 집합의 범주에서의 전사 사상이다. 즉, 임의의 집합  및 함수 에 대하여, 만약 라면 이다.
 는 집합의 범주에서의 분할 전사 사상이다. 즉, 가  위의 항등 함수를 이루는 함수 가 존재한다. (이는 선택 공리를 가정하지 않으면 성립하지 않는다.)

성질 
임의의 함수 , 가 주어졌다고 하자.
 만약 와 가 둘 다 전사 함수라면,  역시 전사 함수이다.
 만약 가 전사 함수라면,  역시 전사 함수이다. 하지만 가 전사 함수일 필요는 없다.

두 집합 , 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 전사 함수 가 존재하거나, 아니면 이다.
 이다. 여기서 는 집합의 크기이다.

공역의 크기가 0 또는 1인 함수는 항상 전사 함수이다. (공역이 공집합이라면, 정의역 또한 공집합이어야만 함수가 존재할 수 있다.)

예 
정의역과 공역이 둘 다 실수 집합 인 함수

는 전사 함수가 아닌데, 인 실수 가 존재하지 않기 때문이다. 그러나 만약 공역이  대신, 음이 아닌 실수의 집합 이라면, 함수

는 전사 함수이다.

역사 
유럽 언어에서 쓰이는 용어 "서젝션"(), "쉬르젝시옹"() 등은 단사를 뜻하는 "인젝션"(), "앵젝시옹"()에서, 접두사 "인"(, 안으로)을 "쉬르"(, 위로)로 치환한 것이다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

같이 보기 
 단사 함수
 전단사 함수
 전사 사상

참고 문헌

외부 링크 

 
 

함수의 종류
집합론의 기본 개념