힐베르트 공간

함수해석학에서 힐베르트 공간(Hilbert空間, )은 완비 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

정의 
가  또는 라고 하자. -힐베르트 공간 은 완비 거리 공간을 이루는 -내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.

이와 동치로, -힐베르트 공간을 다음과 같은 평행사변형 항등식(平行四邊形恒等式, )을 만족시키는 -바나흐 공간 으로 정의할 수 있다.

이 경우, 내적 구조는

가 된다.

분류 
힐베르트 공간 의 정규 직교 기저 는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.
 모든 에 대하여,
 다음 집합은  속의 조밀 집합이다.
초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 차원 이라고 한다.

일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.

두 -힐베르트 공간 ,  사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 와  사이에 유니터리 변환 이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다.
따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, -힐베르트 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 분해 가능 공간이다.
 이다.
즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 이다.

성질 
리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 는 스스로의 연속 쌍대 공간 와 동형이며, 만약 일 경우 이는 표준적() 동형이다.

예 
가  또는 라고 하고, 가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L2 공간 는 -힐베르트 공간을 이룬다.

만약 가 셈측도가 부여된 집합이라면

이며, 함수

는 의 정규 직교 기저를 이룬다.

만약 가 분해가능 시그마 대수(로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, 는 분해 가능 공간이다.

응용 
힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다.

푸리에 해석이 힐베르트 공간에서 이뤄진다.

양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.

역사 
1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 가 완비 거리 공간임을 증명하였다. 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 리스 표현 정리가 증명되었다.
1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 공간이 된다.
다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 을 정의하였다. 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.

각주

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

 
선형대수학
양자역학
연산자 이론
다비트 힐베르트