공집합

수학에서 공집합(空集合, )은 원소가 하나도 없는 집합이다. 기호는 { } 또는  (∅) 또는 .  기호는 시행 결과로 어떠한 조건에서도 나올 수 없는 사건을 의미하는 공사건의 기호이기도 하다.

정의 
공집합 은 아무런 원소를 가지지 않는 집합이다. 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 집합이다.
 임의의 에 대하여,

성질 
모든 집합 에 대하여,
 공집합은 의 부분집합이다.

 집합 와 공집합의 합집합은 집합 A이다.

 집합 와 공집합의 교집합은 공집합이다.

 집합 와 공집합의 곱집합은 공집합이다.

공집합은 다음과 같은 성질들을 가지고 있다.
 공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.

 공집합의 멱집합은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.

 공집합의 원소의 개수는 0이다. 즉, 공집합의 기수가 0이다. 공집합은 유한집합이다.

응용

공허하게 참인 명제 
공허하게 참인 명제(空虛-命題, )는 공집합에 대한 전칭 명제나, 거짓 명제를 전제 조건으로 하는 함의 명제를 뜻한다. 그 전형적인 꼴은 다음과 같다.
 
  (여기서 는 거짓 명제이다.)
공허하게 참인 명제는 뒤에 오는 결론이 모순 명제이더라도 항상 참이지만, 실속 있는 내용이 없다.

예를 들어, 다음과 같은 명제들은 공허하게 참인 명제이다.
 임의의 에 대하여, 
 만약 라면, 이다.

공집합에 대한 합과 곱 

편의를 위해, 공집합 속의 모든 원소들의 합은 0, 곱은 1로 정의된다. 즉, 다음과 같다.

예를 들어, 합

을 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

영항 연산 

편의를 위해, 집합 의 0번 곱집합 은 임의의 한원소 집합 으로 정의된다. 이 경우, 집합  위의 영항 연산

는 의 원소

와 일대일 대응한다.

집합론 
수, 특히 자연수를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다.  이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 무한 공리에서 사용하는 방법이다.

역사 
공집합의 기호 는 프랑스의 수학자이며 니콜라 부르바키의 회원이었던 앙드레 베유가 문자 Ø로부터 도입하였다. 그리스 문자 를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.

외부 링크 
 
 
 

집합론의 기본 개념
무 (철학)