치환 적분

미적분학에서 치환 적분(置換積分, )은 기존의 변수를 새 변수로 치환하여 적분하는 기법이다.

정의

부정적분의 경우 

구간 와 함수  및 이 주어졌다고 하자.
 만약 의 부정적분 가 존재하고, 가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.

 만약 의 원함수 가 존재하고, 가 미분 가능 함수이며, 모든 에 대하여 이라면, 다음이 성립한다.

정적분의 경우 

만약 가 연속 미분 가능 함수이며, 가 연속 함수라면, 다음이 성립한다.

증명 
부정적분에 대한 첫 번째 명제의 조건에 따라 이며, 가 미분 가능 함수이므로, 연쇄 법칙을 적용하면 을 얻는다. 즉, 의 한 원함수는 이므로 첫 번째 명제가 성립한다.

부정적분에 대한 두 번째 명제의 조건에 따라 모든 에 대하여 이므로, 다르부 정리에 따라 모든 에 대하여 이거나 모든 에 대하여 이다. 따라서 는 존재한다. 이며, 이므로, 다음이 성립한다.

즉, 의 한 원함수는 이므로 두 번째 명제가 성립한다.

정적분에 대한 명제의 조건에 따라 와 는 연속 함수이므로, 원함수가 존재한다. 연쇄 법칙에 따라, 의 한 원함수를 라고 하면, 의 한 원함수는 이다. 미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립하므로, 명제가 성립한다.

예 (부정적분)

첫째 예 (부정적분) 
부정적분

에서 이라고 하자. 그러면 이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.

둘째 예 (부정적분) 
부정적분

에서 이라고 하자. 그러면 이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.

치환 적분 기법에 익숙할 경우 다음과 같이 두 변수 사이의 치환을 생략해도 좋다.

셋째 예 (부정적분) 
부정적분

에서 라고 하자. 그러면 이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.

넷째 예 (부정적분) 
부정적분

에서 이므로 다음이 성립한다.

다섯째 예 (부정적분) 
부정적분

에서 이라고 하자. 그러면 이므로 다음이 성립한다.

예 (정적분)

첫째 예 (정적분) 
정적분

에서 라고 하자. 그러면 이다. 또한 일 때 이며 일 때 이다. 따라서 다음이 성립한다.

둘째 예 (정적분) 
정적분

에서  ()라고 하자. 그러면 이다. 또한 다음이 성립한다.

마지막에 양수를 취한 것은 모든 에 대하여 이기 때문이다. 또한 일 때 이며, 일 때 이므로, 다음이 성립한다.

이는 사분원의 넓이 공식과 일치한다.

응용

홀함수와 짝함수의 적분 
치환 적분을 통해 대칭적인 함수의 대칭적인 구간 위의 적분에 대한 공식을 증명할 수 있다. 가 연속 함수라고 하자.
 만약 가 홀함수라면 (모든 에 대하여 라면), 다음이 성립한다.

 만약 가 짝함수라면 (모든 에 대하여 라면), 다음이 성립한다.

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 가 홀함수라면, 치환 적분 을 쓴 뒤 를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.

만약 가 짝함수라면,  치환 적분 을 쓴 뒤 를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.

주기 함수의 적분 
치환 적분을 통해 주기 함수의 한 주기 동안의 적분이 어디에서나 같음을 증명할 수 있다. 가 를 주기로 가지는 연속 함수라고 하자. 그렇다면 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 치환 적분 를 쓴 뒤 를 대입하면 다음을 얻는다.

따라서 다음이 성립하므로, 원하는 명제가 성립한다.

같이 보기 
 부정적분#치환 적분
 리만 적분#치환 적분
 변수 변환
 삼각 치환
 쌍곡 치환
 바이어슈트라스 치환
 오일러 치환
 부분 적분

각주

외부 링크 
 

적분학