퍼텐셜 단

퍼텐셜 계단(step potential)은 양자역학과 산란이론에서 쓰이는 모델 시스템이다. 단 모양의 퍼텐셜에서의 입자에 대한 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것으로 구성되어 있고, 보통 이 모델의 퍼텐셜은 헤비사이드 계단함수로 나타낸다.

1차원 퍼텐셜 단

퍼텐셜 

1차원 퍼텐셜 단의 퍼텐셜은 다음과 같이 헤비사이드 계단함수로 주어진다.

여기서

일반해 
경계조건을 무시하고 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀면 아래와 같은 파동함수를 얻는다.

여기서,

이다.

경계조건 
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식에 의하면 각 점에서 파동함수와 파동함수의 1차미분이 연속이여야 한다. 즉, 여기서는 파동함수에 대해

이 성립해야 한다. 여기서 0-와 0+는 각각 좌극한과 우극한을 의미한다.

위를 정리하면 첫 번째 경계조건에서

두 번째 경계조건에서

를 얻는다.

반사와 산란 
이제 이 상황을 고전역학적 관점과 비교해 볼 수 있다. 고전역학에서 퍼텐셜 단이 이렇게 있으면, 에너지가 단보다 높으면 (E > V0 단을 무시하고 통과할 것이고 에너지가 단보다 낮으면 (E < V0) 단에서 모든 입자가 반사될 것이다.

하지만 양자역학적 관점에서는 다른 결과를 얻는다. 입자가 단의 낮은쪽에서 오는 경우에, 즉 D = 0 인 경우, 반사되는 입자와 관련된 상수 R = B와 투과하는 입자와 관련된 상수 T = C가 A에 대해 상대적으로 얼마의 값을 가지는지 확인해보자. 편의상 A를 1로 놓고 관계식

를 풀면

를 얻는다. 각각의 확률흐름을 계산해보면 x < 0 에서

x > 0에서

가 되고 두 흐름이 x = 0에서 같아야 하므로

를 얻는다.

이제 여기서 반사된 흐름과 투과한 흐름의 양을 구할 수 있는데 반사된 흐름은

이고, 투과한 흐름은

이다. 보다시피 두 흐름의 양을 더하면 처음의 흐름의 양과 같아진다.

같이 보기 
 유한 퍼텐셜 우물
 상자속 입자
 델타 퍼텐셜
 퍼텐셜 장벽

양자 모형
양자역학 퍼텐셜
산란 이론