코시 적분 정리

복소해석학에서 코시 적분 정리(-積分定理, )는 단일 연결 열린집합 위의 정칙 함수의 경로 적분이 경로와 무관하다는 정리이다.

정의 
유계 연결 열린집합 의 경계 가 유한 개의 조각마다  곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 가 에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

이에 따라, 단일 연결 열린집합  위의 정칙 함수 의, 임의의 두 점  사이의 경로 적분

는 경로

의 선택에 의존하지 않는다.

증명

C1을 가정하는 증명 
도함수 가 의 어떤 근방 에서 연속 함수임을 가정할 경우,

인 를 취하자. 그렇다면, 그린 정리와 코시-리만 방정식에 의하여,

이다.

C1을 가정하지 않는 증명 

위와 같은 가정을 사용하지 않을 경우, 우선 가 삼각형 열린집합인 경우를 보이자.

귀류법을 사용하여,

이라고 가정하자. 라고 하고, 삼각형 열린집합 의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 열린집합 를 생각하자. 그렇다면,

이므로,

인 가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 열린집합의 열 을 얻는다.
 
 
 
 
따라서,

인 가 존재하며, 임의의 에 대하여,

이다.

이므로, 이는 모순이다.

이제, 일반적인 경우를 보이자. 는 유한 개의 단일 연결 열린집합의 합집합으로 분할되므로, 편의상 가 단일 연결 열린집합이라고 가정하자.

임의의 에 대하여, 는 균등 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 다각형 열린집합 가 존재한다.
 
 
다각형 열린집합 는 유한 개의 삼각형 열린집합의 합집합으로 분할되므로,

이며, 따라서

이다.

각주

외부 링크 
 
 

복소해석학 정리
오귀스탱 루이 코시