위상의 비교

일반위상수학과 범주론에서, 위상 함자를 통해 주어진 집합 위에 여러 위상수학적 구조를 부여할 수 있으며, 이러한 구조들은 완비 격자를 이룬다. 이 경우 한 구조가 다른 구조에 대하여 더 섬세한 구조(纖細-構造, ) 또는 더 엉성한 구조(-構造, )라고 한다.

정의 
두 범주 ,  사이의 함자 가 주어졌다고 하자. 임의의 대상 에 대하여, 다음과 같은 범주 를 생각할 수 있다.
 의 대상은 인 대상 이다.
 의 사상은 인 사상 이다.
만약 가 충실한 함자라면, 는 얇은 범주이며, 이는  위에 존재할 수 있는 -구조들의 범주로 생각할 수 있다.

는 얇은 범주이므로, 그 위에 다음과 같은 원순서가 존재한다.

이 관계를 엉성함이라고 한다. 즉, 만약  속에서 사상 가 존재한다면, 이 보다 더 엉성한() -구조이며, 반대로 는 보다 더 섬세한() -구조이다.

이 정의는 특히 위상 함자 에 대하여 적용된다.

에서 만약 최대 원소(즉, 가장 엉성한 -구조)가 존재한다면, 이를  위의 비이산 -구조()라고 한다. 반대로, 에서 만약 최소 원소(즉, 가장 섬세한 -구조)가 존재한다면, 이를  위의 이산 -구조()라고 한다.

성질 
가 위상 함자라고 한다면, 이산·비이산 구조가 항상 존재한다. 위상 함자에서는 또한 시작 구조와 끝 구조가 항상 존재한다. 이들의 존재로 인하여, 는 완비 원격자를 이룬다.

예

위상 공간 
위상 공간과 연속 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자

는 위상 함자이며 따라서 충실한 함자이다. 따라서 이 경우 더 엉성한 위상과 더 섬세한 위상의 개념을 정의할 수 있다.

집합  위의 두 위상 (열린집합의 족) 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이 보다 더 엉성하다. 즉, 항등 함수 이 연속 함수이다.
 이다. 즉, 항등 함수 가 열린 함수이다.
주어진 집합 위의 위상들은 완비 격자를 이룬다.

흔히, 위상수학에서는 엉성한/섬세한 위상 대신 "약한/강한 위상"()이라는 용어를 사용하며, 반대로 해석학에서는 "강한/약한 위상"()이라는 용어를 사용한다.

기저 
보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 를 생각하자.
 의 원소 는 집합 와 그 위의 기저 의 순서쌍이다.
 의 사상 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

그렇다면 은 의 충만한 부분 범주를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 기저를 정의할 수 있다. 집합  위의 두 기저 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 이 보다 더 엉성하다.
 임의의  및 에 대하여, 인 가 존재한다.
 에 의해 생성되는 위상 은 에 의해 생성되는 위상 보다 더 엉성하다.
주어진 집합 위의 기저들은 완비 원격자를 이룬다.

부분 기저 
보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 를 생각하자.
 의 원소 는 집합 와 그 위의 임의의 집합족 의 순서쌍이다. (이는 의 위상을 생성하는 부분 기저로 생각한다.)
 의 사상 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

그렇다면 는 의 충만한 부분 범주를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 부분 기저를 정의할 수 있다. 집합  위의 두 부분 기저 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 이 보다 더 엉성하다.
 임의의  및 에 대하여, 인 자연수  및 가 존재한다.
 에 의해 생성되는 위상 은 에 의해 생성되는 위상보다 더 엉성하다.
주어진 집합 위의 부분 기저들은 완비 원격자를 이룬다.

덮개와 유계형 집합 
다음과 같은 구체적 범주 를 생각하자.
 의 대상 은 집합 와 그 위의 덮개 의 순서쌍이다.
 의 사상 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

이렇게 정의하였을 때, 같은 집합  위의 두 덮개 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이 보다 더 엉성하다.
 은 의 세분이다.

유계형 집합의 범주 은 의 충만한 부분 범주를 이루며, 따라서 위와 같은 정의를 사용할 수 있다.

필터 
다음과 같은 범주 를 생각하자.
 의 대상 는 집합 와  위의 필터 기저 이다.
 의 사상 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

그렇다면, 집합  위의 두 필터 기저 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이 보다 더 엉성하다.
 이다. 여기서 는 필터 기저로 생성되는 필터(즉, 상폐포)를 뜻한다.

가측 공간 
가측 공간과 가측 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자

는 위상 함자이며, 따라서 이 경우 더 섬세한/엉성한 가측 공간 구조를 정의할 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

일반위상수학