합성곱

합성곱(合成-), 또는 콘벌루션(convolution)은 하나의 함수와 또 다른 함수를 반전 이동한 값을 곱한 다음, 구간에 대해 적분하여 새로운 함수를 구하는 수학 연산자이다.

정의 

두 개의 함수 와 가 있을 때, 두 함수의 합성곱을 수학 기호로는 와 같이 표시한다.

합성곱 연산은 두 함수 f, g 가운데 하나의 함수를 반전(reverse), 전이(shift)시킨 다음,
다른 하나의 함수와 곱한 결과를 적분하는 것을 의미한다.
이를 수학 기호로 표시하면 다음과 같다.
 

또한 g 함수 대신에 f 함수를 반전, 전이 시키는 경우 다음과 같이 표시할 수도 있다. 이 두 연산은 형태는 다르지만 같은 결과값을 갖는다.
 

위의 적분에서 적분 구간은 함수 f와 g가 정의된 범위에 따라서 달라진다.

또한 두 확률 변수 X와 Y가 있을 때 각각의 확률 밀도 함수를 f와 g라고 하면, X와 Y가 서로 독립이라는 가정 하에, X+Y의 확률 밀도 함수는 로 표시할 수 있다.

이산 합성곱 
이산 함수의 경우, 합성곱을 다음과 같이 정의 한다.

두개의 다항식을 곱한 결과식의 계수는 원래 다항식의 계수들의 합성곱으로 나타낼 수 있다.

특성 
합성곱은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

교환 법칙

결합 법칙

분배 법칙

스칼라 곱의 결합 법칙 
실수 혹은 복소수 값 a에 대해서

미분 법칙 
 
는 함수 f의 미분 값을 나타낸다.
또는 이산 함수에서 미분 연산자를 나타낸다.

같이 보기 
 합성곱 신경망

해석학 (수학)
이항연산
디지털 신호 처리
푸리에 해석학