조밀 집합

일반위상수학에서 조밀 집합(稠密集合, )은 어떤 공간을 ‘조밀하게’ 채우는 부분 집합이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 그물의 극한으로 나타낼 수 있다.

정의 
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 조밀 집합이라고 한다.
 임의의 열린집합 에 대하여, 만약 라면 이다.
 임의의 닫힌집합 에 대하여, 만약 라면 이다.
 . 여기서 은 폐포이다.
 . 여기서 는 내부이다.
 모든  및 의 모든 근방 에 대하여, .
 의 모든 점들은 의 원소이거나 의 극한점이다.

성질

연산에 대한 닫힘 
임의의 위상 공간  속의 조밀 집합  및 에 대하여,  역시 의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족 은 의 멱집합  속의 상집합이다.

특히, 조밀 집합들의 합집합은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합 와 조밀 열린집합 가 주어졌을 때, 그 교집합 는 조밀 집합이다.
증명:
임의의 열린집합 가 주어졌으며, 이라고 하자. 그렇다면 가 조밀 열린집합이므로 이며, 따라서 이다.
특히, 조밀 열린집합들의 족 은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, 멱집합  속의 필터를 이룬다.

임의의 두 위상 공간 ,  사이의 전사 연속 함수 가 주어졌을 때, 조밀 집합 의 상  역시 조밀 집합이다.
증명:
임의의 에 대하여, 가 전사 함수이므로 인 가 존재하며, 가 조밀 집합이므로 로 수렴하는 그물 가 존재하며, 가 연속 함수이므로 이다. 따라서 는 의 조밀 집합이다.

조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 이며, 가 의 조밀 집합이고 가 의 조밀 집합이라면 는 의 조밀 집합이다.

가 의 열린집합이며 라고 하자. 그렇다면 는 의 열린집합이며, 이다. 가 의 조밀 집합이므로 이다. 즉, 이다. 가 의 조밀집합이므로 이다.

함의 관계 
모든 조밀 열린집합은 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다.
조밀 열린집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 제1 범주 집합의 여집합 ⇒ 준열린집합

조밀 집합은 연속 함수를 결정한다 
임의의 위상 공간 와 하우스도르프 공간  및 조밀 집합 와 두 연속 함수 가 주어졌다고 하자. 만약 라면, 이다. (여기서 은 함수의 제한을 뜻한다.)
증명:
임의의 에 대하여, 임을 보이면 족하다. 가 조밀 집합이므로, 로 수렴하는,  속의 점들로 구성된 그물 가 존재한다. 가 연속 함수이므로

이며, 가 하우스도르프 공간이므로 그물의 극한은 유일하다. 따라서 이다.

예 
위상 공간 는 스스로의 조밀 집합이다. 반면,  전체가 아닌 의 모든 닫힌집합은 의 조밀 집합이 아니다.

유한 부분 집합의 여집합 
자기 조밀 T1 공간 속에서, 임의의 유한 부분 집합의 여집합은 조밀 열린집합이다.
증명:
조밀 열린집합들은 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, 임의의 에 대하여 가 조밀 열린집합임을 보이면 족하다.
 는 T1 조건에 의하여 열린집합이다.
 는 자기 조밀 공간 조건에 의하여 닫힌집합이 아니다. 따라서 이며, 는 조밀 집합이다.

이산 공간 
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이산 공간이다.
 정확히 1개의 조밀 집합을 갖는다. (이는 물론  전체이다.)
증명:
이산 공간 에서 조밀 집합이  전체 밖에 없다는 것은 자명하다. 반대로, 위상 공간 가 이산 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, 열린집합이 아닌 한원소 집합 가 존재한다. 그렇다면, 는 의 조밀 집합이다.

비이산 공간 
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 비이산 공간이다.
 의 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다.
증명:
비이산 공간 에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀 집합이라는 것은 자명하다. 반대로, 가 비이산 공간이 아니라고 하자. 즉, 닫힌집합 가 존재한다고 하자. 그렇다면 는 조밀 집합이 아니다.

실수선의 조밀 집합 
실수선 의 부분 집합들을 생각하자.
 유리수의 집합 는 실수선의 조밀 집합이다.
 무리수의 집합  역시 실수선의 조밀 집합이다.
 반면, 자연수의 집합 , 정수의 집합 는 의 조밀 집합이 아니다.

임의의 세 실수 에 대하여,  는  안의 조밀 집합이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

일반위상수학