구점원

구점원(九點圓, )은 삼각형의 각 변의 중점, 각 꼭짓점에서 마주보는 변에 내린 수선의 발, 각 꼭짓점과 수심을 이은 선분의 중점을 지나는 원이다.

성질

기본 성질 

삼각형 ABC에서, 수심을 H, 외심을 O, A에서 BC에 내린 수선의 발을 HA, BC의 중점을 M, AH의 중점을 P라 하자.

 PM은 구점원의 지름이다.

구점원은 P, HA, M을 지나며 이므로 PM은 구점원의 지름이다.

 AO와 PM이 평행하다.

AH=2OM(세르보어의 정리 참고)이므로 AP=OM이고, AP와 OM은 BC와 수직하므로 평행이다.

따라서 APMO는 평행사변형이므로 AO와 PM은 평행하다.

포이어바흐 정리 

삼각형의 구점원은 삼각형의 내접원, 세 방접원과 접한다.

이때 삼각형의 내접원과 구접원의 접점을 포이어바흐 점이라 한다.

오일러 직선 

구점원의 중심은 수심, 외심, 무게중심과 한 직선 위에 있으며, 이 직선을 오일러 직선이라 한다.

그 외 
정삼각형의 내접원과 구점원은 일치한다. 따라서 정삼각형은 외심, 내심, 무게중심, 수심, 구점원의 중심이 모두 한 점이다.

삼각 기하학
원 (기하학)
평면기하학 정리