메르센 소수

메르센 수()는 2의 거듭제곱에서 1이 모자란 숫자를 가리킨다. 지수 에 대한 메르센 수는 로 나타내고 목록은 아래와 같다.
 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767... 

메르센 소수()는 메르센 수 중에서 소수인 수이다. 예를 들면 3과 7은 둘 다 소수이고 이므로 3과 7은 둘 다 메르센 소수이다. 반대로 은 합성수이다. 현대에 알려진 매우 큰 소수들 중에는 메르센 소수가 상당히 많다.
 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951... 

메르센 소수가 무한히 많이 존재하는지 아니면 그 개수가 정해져 있는지는 아직 알려져 있지 않다. 즉 이 말은 메르센 소수가 유한한지 무한한지에 대한 여부가 알려져있지 않았다는 것인데, n이 소수라고 해서 항상 해당 메르센 수가 소수가 되지는 않기 때문이다. 예를 들어 n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 일 땐 소수가 된다. 그러나 11은 소수긴 하나 n=11일 땐 2의 11제곱에서 1을 뺀 수인 2047은 23×89로 소인수분해 가능하다. 비슷한 이유로 23도 소수이나 n=23일 땐 2의 23제곱에서 1을 뺀 수인 8388607도 47×178481로 소인수분해 할 수 있기 때문이다. 마찬가지로 n=29일 때, 37일 때, 41일 때, 그리고 43, 47일 때 등등도 2의 거듭제곱 횟수는 소수이지만, 해당 메르센 수가 소수가 아닌 경우는 무수히 많다.

메르센 수의 속성 
메르센 수는 다음의 몇 가지 속성을 지닌다. :

 은 이항계수의 합에서 1을 뺀 값이다.
 

 메르센 수의 지수가 홀수소수 이면 소인수의 형태는 다음과 같음을 페르마가 증명하였다.

 (는 음이 아닌 정수)

이것은 메르센 수가 소수, 즉 메르센 소수일때도 성립한다.

또한 n이 홀수 소수인 메르센 수들의 약수들은 모두  꼴이다.

메르센 소수에 관한 정리 
 1) 만일 이 하나의 양의 정수이면, 이항정리에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다:

또는

이다( = ,  = 로,  = 로 놓았을 때).

증명

역사 
1644년 마랭 메르센은  형태가 소수가 되는 것은,  일 때  뿐이라고 발표하였다. 그러나 그 주장의 일부는 잘못임이 밝혀졌다. 목록에 포함되지 않은 , , 는 소수이며, 목록에 포함되어 있는 , 는 합성수이다.

리젤 수의 발견자이기도 한 스웨덴의 수학자인 한스 리젤이 1957년에 컴퓨터를 이용하여 18번째의 메르센 소수를 발견한 이래, 이후 컴퓨터를 활용하여 새로운 메르센 소수를 찾고 있다.

메르센 소수 찾기 
 다음 등식은 이 메르센 소수가 되기 위해서는  자신이 소수여야 한다는 것을 알려준다.

따라서, 메르센 소수를 찾기 위해서는 지수가 소수인 경우만 조사하면 되지만, 일반적으로 그 역은 참이 아니다. 즉 이 소수라고 하여  또한 소수인 것은 아니다. 예를 들어, 11은 소수지만 로 소인수분해된다.

메르센 소수 목록 

현재까지 발견한 메르센 소수 표 :

44번째 알려진 메르센 소수를 시각적으로 보여 주기 위해서는 1페이지 당, 10진수 75개 자리수의 숫자를 50줄씩 쓴 2,616페이지가 필요하다.

*표의 43번째 수인 과 49번째 수인  사이에 아직 발견되지 않은 다른 메르센 소수가 있는지는 아직 알려져 있지 않다. 따라서 이 번호들은 바뀔 수도 있다. 소수가 작은 소수부터 순차적으로 발견되는 것은 아니다. 예를 들어, 29번째 메르센 소수는 30번째와 31번째 소수의 발견 이후에 발견되었다.

**M42,643,801는 2009년 4월 12일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 6월 4일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 4월 12일 또는 6월 4일로 간주한다. 발견자 스트린드모(Strindmo)는 alias Stig M. Valstad를 사용한 것으로 보인다.

***M74,207,281는 2015년 9월 17일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 2016년 1월 7일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 2015년 9월 17일 또는 2016년 1월 7일로 간주한다.

완전수 

메르센 소수는 완전수와 여러 관련성이 있어 흥미롭다. 기원전 4세기에 유클리드는 이 메르센 소수이면 다음과 같이 짝수 완전수임을 보였다.

 

18세기에 오일러는 모든 짝수 완전수는 이와 같은 형태를 갖는다는 것을 증명했다. 홀수 완전수는 아직 발견되지 않았으며 존재하지 않는 것으로 추측된다.

일반화 
의 2진법 표현은 숫자 1이 번 반복된다. 예를 들면, 25 - 1 = 111112와 같이 표기된다. 그러므로 메르센 소수는 2를 밑으로 하는 단위 반복 소수이다.

같이 보기 
 페르마 소수
 하노이의 탑 - n개의 원반을 모두 이동하기 위해서는 최소한 메르센 수(2n−1) 만큼 이동해야 한다.

각주

외부 링크 
 Mersenne prime section of the Prime Pages: http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml
 Mersenne Prime Search home page: http://www.mersenne.org
 GIMPS status page http://www.mersenne.org/status.htm gives various statistics on search progress, typically updated every week, including progress towards proving the ordering of primes 39-42
 Discovery of the 42nd
 Mersenne numbers
 prime Mersenne numbers
 Slashdot - Discovery of the 42nd
  Proof
  Thesis
 알려진 메르센 소수의 모든 자릿수와 영어 이름

수론
소수
완전수
정수열
사람 이름을 딴 낱말
수론의 미해결 문제