핵 (수학)

수학에서, 어떤 사상의 핵(核, )은 0의 원상의 포함 사상으로 생각할 수 있는 특별한 단사 사상이다. 범주론을 통해 추상적으로 정의할 수 있으나, 적절한 조건을 만족시키는 구체적 범주에서는 특정 원소의 원상의 포함 함수가 된다.

정의 
영 사상을 갖는 범주  속의 사상 의 핵 은 다음과 같은 영 사상과의 동등자이다.

영 대상을 갖는 범주 속의 사상 에 대하여, 인 가 존재한다면 를 정규 단사 사상(正規單射寫像, )이라고 한다. "정규"라는 용어는 군론의 정규 부분군에서 유래하였다.  임의의 영 대상을 갖는 범주에서, 정규 단사 사상은 (동등자이므로) 단사 사상이다.

모든 단사 사상이 정규 단사 사상인 영 사상을 갖는 범주를 정규 범주(正規範疇, )라고 한다.

성질 
준가법 범주 (아벨 군의 모노이드 범주  위의 풍성한 범주)에서, 두 사상의 동등자는 그 차의 핵과 같다.

아벨 범주에서 모든 사상은 핵을 가지며, 모든 단사 사상은 정규 단사 사상이다. 구체적으로, 아벨 범주에서 모든 단사 사상은 그 여핵의 핵과 같으며, 모든 전사 사상은 그 핵의 여핵과 같다.

예

벡터 공간과 가군 
환  위의 왼쪽 가군의 범주 는 영 사상을 갖는 범주이며, 이 범주에서 모든 사상(가군 준동형)은 핵을 갖는다.
구체적으로, 의 핵 는 다음과 같은 포함 함수이다.

에서 모든 단사 사상은 정규 단사 사상이다. 이는 (군이나 유사환의 경우와 달리) 임의의 부분 가군에 대한 몫가군을 정의할 수 있기 때문이다.

특히, 선형대수학에서 가 체일 경우, 체 위의 가군들은 벡터 공간이며, 벡터 공간의 범주에서는 핵이 존재한다. 특히, 행렬은 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환을 정의하며, 행렬의 핵은 벡터 공간의 범주에서의 핵이다. 선형대수학에서 핵은 영공간(零空間, )이라고 불리기도 한다.

군 
군과 군 준동형의 범주 에서, 영 사상은 1(군 연산의 항등원)로 가는 상수 함수이다. 에서 모든 사상(군 준동형)은 핵을 갖는다.
구체적으로, 의 핵 는 다음과 같은 포함 함수이다.

이 경우, 는 의 정규 부분군을 이룬다.

군의 범주에서, 임의의 군 준동형 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 정규 단사 사상이다.
 는 단사 함수이며, 그 상 는 의 정규 부분군이다.

아벨 군과 군 준동형의 범주 에서, 영 사상과 핵은 에서와 같다. 즉, 영 사상은 0(군 연산의 항등원)으로 가는 상수 함수이며, 핵은 0의 원상으로 가는 포함 함수이다. 에서 단사 함수인 모든 군 준동형은 정규 단사 사상이다. 이는 아벨 군의 모든 부분군이 정규 부분군이기 때문이다.

유사환 
유사환과 유사환 준동형의 범주 에서, 영 사상은 0 (덧셈 항등원)으로 가는 상수 함수이다. 에서 모든 사상은 핵을 갖는다.
구체적으로, 의 핵 는 다음과 같은 포함 함수이다.

이 경우, 는 의 아이디얼을 이룬다.

유사환의 범주에서, 임의의 유사환 준동형 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 정규 단사 사상이다.
 는 단사 함수이며, 그 상 는 의 아이디얼이다.

(곱셈 단위원을 갖는) 환과 환 준동형의 범주 에서 핵은 존재하지 않는다. 이는 아이디얼은 1을 포함하지 않을 수 있어 부분환을 이루지 못할 수 있기 때문이다.

점을 가진 공간 
점을 가진 공간의 범주 에서, 영 사상은 으로 가는 상수 함수이다. 이 범주에서 모든 사상 은 핵 을 가지며, 이는 의 원상에 대한 포함 함수이다.

외부 링크

같이 보기 
 여핵
 영 대상
 아벨 범주

대수학
선형대수학
범주론