상극한과 하극한

수학에서, 수열의 상극한(上極限, )과 하극한(下極限, )은 간단히 말하면 일종의 수열의 경계의 극한이다. 함수의 상극한과 하극한도 이와 비슷하다. 집합의 극한점의 상한·하한으로 생각할 수도 있다. 상극한의 기호는  또는 이며, 하극한의 기호는  또는 이다.

정의 
상극한과 하극한은 기본적으로 부분 순서를 갖춘 위상 공간 속의 점렬 및 그 일반화에 대하여 정의되는 개념이다. 위상수학에서, 점렬의 개념은 그물과 필터(또는 필터 기저)로 일반화된다. 필터는 집합족의 일종이며, 상극한·하극한의 개념은 임의의 집합족에 대하여 일반화된다.

또한, 임의의 함수  및 임의의 점 가 주어졌을 때, 가 의 근방에서 취하는 값들의 집합족을 정의할 수 있으며, 이를 통해 함수 의, 특정한 점 에서의 상극한·하극한을 정의할 수 있다.

집합족 
가 완비 격자라고 하자.  속의 집합족 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 부분 집합

을 정의할 수 있다. 만약 가 하향 집합족라면 이들 역시 하향 집합이며, 만약 가 상집합이라면 이들 역시 상집합이다. 즉, 만약 가 필터라면 이들 역시 필터이다.
증명:
가 하향 집합족이라고 하면, 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다. 그렇다면 이다.

가 상집합이며,  임의의  및 에 대하여, 라고 하자. 그렇다면 이며 이다.

이제, 에 추가로 하우스도르프 위상이 부여되었다고 하고, 가 하향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, 의 상극한은 이 그물의 극한이다.

마찬가지로, 가 상향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, 의 하극한은 이 그물의 극한이다.

그물과 점렬 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 부분 순서가 주어진 위상 공간 
 상향 원순서 집합 
  위의 그물 
그렇다면, 그물 의 꼬리들의 필터 기저

를 생각하자. 그물 의 상극한 및 하극한은 필터 기저  (또는 이로부터 생성되는 필터)의 상극한·하극한이다.

특히, 의 점렬 은 그물의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 정의된다.

특히, 가 순서 위상이 부여된 전순서 집합이며, 모든 상한과 하한이 존재한다고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 ). 그렇다면, 상극한·하극한의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다.

함수 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 부분 순서가 주어진 위상 공간 
 위상 공간 
 함수 
 점 
그렇다면, 다음과 같은 집합족을 생각할 수 있다.

여기서 는 의 근방 필터이다. 즉, 의 근방에서 가 취하는 값들의 집합족이다. 는  속의 필터를 이룬다.

의 에서의 상극한 과 하극한 은 각각 필터 의 상극한과 하극한이다.

특히, 만약 가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합이라고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 ). 그렇다면 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

성질

존재 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 
 하향 원순서 집합 
 순서를 보존하는 그물 . 즉, 만약 에 대하여 이라면 이다.
그렇다면, 는 의 하한으로 수렴한다.

증명:편의상

로 표기하자. 임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는 (하한의 정의에 의하여) 의 하계가 될 수 없으며, 따라서 인 가 존재한다. 그렇다면, 임의의 에 대하여 이다.
따라서, 만약 가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 이라면,  위의 필터 기저 는 항상 상극한과 하극한을 가지며, 이들은 다음과 같다.

특히, 확장된 실수 는 완비 전순서 집합이므로, 이 속의 그물 및 수열은 항상 상극한과 하극한을 가진다.

극한과의 관계 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 
 하향 원순서 집합 
 그물 
 점 
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 . 즉, 는 로 수렴한다.
 이다.

상극한과 하극한의 관계 
임의의 순서체  속의 집합족 에 대하여 다음이 성립한다.

마찬가지로, 임의의 순서체  위의 그물 에 대하여, 상극한과 하극한에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.

마찬가지로, 임의의 위상 공간  및 함수  및 점 에 대하여, 다음이 성립한다.

가법성 
순서체  속의 두 그물

에 대하여, 만약 아래 부등식들의 우변이 존재한다면, 다음이 성립한다.

또한, 만약 나 가 수렴한다면, 위의 두 부등식은 등식이 된다.

예 
수열 에 대하여, π가 무리수이므로 다음이 성립한다.

이는 균등 분포 정리에 의해 가 균등 분포이기 때문이다.

쌍둥이 소수 추측은 다음과 같은 내용을 담는다.

여기서 은 번째 소수이다.

함수 

위상수학자의 사인 곡선을 정의하는 함수

를 생각하자. 그렇다면,

이다. (사실, 의 값은 어떻든 상관없다.)

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

극한