아이디얼 유군

대수적 수론과 가환대수학에서 아이디얼 유군(ideal類群, ) 또는 유군(類群, )은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정하는 아벨 군이다. 아이디얼 유군이 자명군이 아니라면 유일 인수 분해가 성립하지 않는다.

정의

아이디얼을 통한 정의 
정역 의 0이 아닌 아이디얼들의 집합 위에 다음과 같은 동치관계를 부여하자.

여기서 는 로 생성되는 주 아이디얼이다. 이 관계는 동치 관계임을 보일 수 있으며, 또한 아이디얼의 곱셈과 호환된다. 즉, 이에 따른 동치류 집합은 가환 모노이드를 이룬다. 만약 가 데데킨트 정역이라면 이 가환 모노이드는 아벨 군을 이룸을 보일 수 있으며, 이 아벨 군을 의 아이디얼 유군이라고 하고, 아이디얼 유군의 크기를 유수(類數, )라고 한다.

분수 아이디얼을 통한 정의 
아이디얼 유군은 분수 아이디얼로도 정의할 수 있다. 정역 가 주어졌을 때, 다음과 같은 가환 모노이드들을 정의할 수 있다.
 의 분수 아이디얼의 곱셈에 대한 가환 모노이드 . 및 그 가역원군 . 만약 가 데데킨트 정역이라면 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역원이다 ().
 의 주 분수 아이디얼의 곱셈에 대한 가환 모노이드  및 그 가역원군 . (여기서 는 분수체이다.)
이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.

그렇다면 다음과 같은 몫군을 의 아이디얼 유군이라고 한다.

의 분수체 가 형식적 실체라고 하자. 의 원소  가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 완전히 양의 원소()라고 한다.
 임의의 순서체 로의 매장 에 대하여, 이다.
그렇다면, 다음과 같은 추가 아벨 군을 정의할 수 있다.
 의 완전히 양의 주 분수 아이디얼()의 아벨 군 . 이는 완전히 양의 원소로 생성되는 주 아이디얼들의 곱셈에 대한 아벨 군이다.
그렇다면, 다음과 같은 몫군을 의 좁은 유군()이라고 한다.

성질 
대수적 수체의 대수적 정수환의 아이디얼 유군은 유한 아벨 군이다. (대수적 정수환이 아닌 데데킨트 정역의 경우, 아이디얼 유군이 무한 아벨 군일 수 있다.)

아이디얼 유군은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다. 즉, 데데킨트 정역 의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 유일 인수 분해 정역이다.
 는 주 아이디얼 정역이다.
 의 아이디얼 유군이 자명군이다.
 의 유수가 1이다.

2항 이차 형식과의 관계 
제곱 인수가 없는 정수 에 대하여, 다음 두 집합 사이의 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
 이차 수체의 대수적 정수환 의 아이디얼 유군 
 의 판별식과 같은 판별식 을 갖는 정수 계수 2항 이차 형식 들의 집합

제곱 인수가 없는 정수 에 대하여, 다음 두 집합 사이의 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
 이차 수체의 대수적 정수환 의 좁은 유군 
 의 판별식과 같은 판별식 을 갖는 정수 계수 2항 이차 형식 들의 집합

따라서, 이 경우 정수 계수 2항 이차 형식들의 집합은 자연스럽게 아벨 군의 구조를 가진다.

구체적으로, 의 모든 0이 아닌 분수 아이디얼 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

(여기서 이다.) 그렇다면, 위와 같은 꼴의 분수 아이디얼 에 대응하는 정수 계수 2항 이차 형식은 다음과 같다.

여기서

는 분수 아이디얼의 절대 아이디얼 노름()이다. 즉, 분수 아이디얼 에 대하여, 다음과 같다.

(여기서 분자는 몫환의 크기이며, 분모는 체 노름의 절댓값이다.)

예 
일반적으로 아이디얼 유군은 매우 복잡한 패턴을 보이며, 많은 경우 계산하기 힘들다. 계산된 아이디얼 유군 또는 유수들의 예를 다음 표에 수록하였다.
{| class="wikitable"
|-
! 수체 !! 유군 !! 유수
|-
|  || 1 || 1
|-
| ,  || 1 || 1
|-
|  ||  || 2
|-
| ,   || 1 || 1
|-
| ,   || 1 || 1
|-
|  ||  || 3
|-
|  || || 8
|-
|  || || 9
|-
|  ||  || 8
|-
|  || 1 || 1
|-
|  || 1 || 1
|-
|  || 1 || 1
|}

아이디얼 유군이 자명한 허수 이차 수체의 수는 유한하다. 에서 가능한 는 총 9개이며, 다음과 같다.
d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 
이 수들을 헤그너 수라고 한다. 이들은 카를 프리드리히 가우스가 처음 나열하였고, 쿠르트 헤그너(Kurt Heegner)가 이 목록이 전부라는 것을 증명하였다.

실수 이차 수체  가운데 유수가 1인 경우는 더 많으며, 다음과 같다.
d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, … 

아이디얼 유군이 자명한 원분체의 수는 유한하다. 이 유한한 경우는 다음과 같다.
n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 
여기서 만약 라면 이므로, 이러한 경우는 생략하였다.

소수 계수의 원분체 의 유수는 에 의하여 주어진다.

같이 보기 
 유수 공식
 이델 유군
 아이디얼
 주 아이디얼 정역
 대수적 K이론
 갈루아 이론
 페르마의 마지막 정리
 피카르 군: 대수기하학에 나타나는 유군의 일반화

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

대수적 수론
아이디얼