비에트 정리

대수학에서 비에트 정리() 또는 근과 계수와의 관계는 다항 방정식의 근에 대한 기본 대칭 다항식과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다.

정의 
음이 아닌 정수 에 대하여, 차 복소수 다항식

이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따라, 이는 (중복도를 감안하면) 개의 영점 를 갖는다. 비에트 정리에 따르면, 각 에 대하여, 영점 을 차 기본 대칭 다항식에 대입한 값은 과 같다.

즉, 다음 개의 등식이 성립한다.

증명 
다음 등식 양끝의 다항식의 각 의 계수를 비교하면 비에트 정리를 얻는다.

예

일차 방정식 
(일차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 일차 방정식

은 유일한 복소수 해

를 가진다. 이 경우 비에트 정리는 위 등식과 일치한다.

이차 방정식 
(이차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 이차 방정식

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

삼차 방정식 
(삼차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 삼차 방정식

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 이라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

사차 방정식 
(사차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 사차 방정식

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

역사 
프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였다. 알베르 지라르()가 일반적인 경우를 증명하였다.

각주

외부 링크 
 
 
 
 
 

다항식
초등대수학