합동 (기하학)

기하학에서 합동(合同, )은 두 도형이 모양과 크기가 같음을 나타내는 관계이다. 즉, 두 도형을 점집합으로 생각할 때, 하나에 어떤 등거리 변환에 대한 상을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 두 도형이 합동이라고 한다. 서로 합동인 도형은 서로 닮음이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

정의 
등거리 변환은 두 점 사이의 거리를 보존하는 변환이다.

유클리드 공간 의 두 도형 이 다음 조건을 만족시키면, 이 합동이라고 한다.
 인 등거리 변환 이 존재한다.

도형의 합동은 동치 관계를 이룬다. 도형의 합동은 닮음에서 닮음비가 1인 특수한 경우다.

성질

삼각형의 합동 

두 삼각형이 합동이라면, 이 두 삼각형의 세 쌍의 변(의 길이) 및 세 쌍의 각(의 크기)은 각각 같다. 각 쌍의 변을 대응변(對應邊, )이라고 하며, 각 쌍의 각을 대응각(對應角, )이라고 한다.

삼각형 와 삼각형 의 합동은 기호로 다음과 같이 나타낸다.

단, 같은 위치의 와 , 와 , 와 는 대응점이어야 한다.

두 삼각형 가 합동일 몇 가지 충분 조건은 다음과 같다.
 SSS(변변변): 만약 , , 라면, 이다. 즉, 두 삼각형의 세 쌍의 대응변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
 SAS(변각변): 만약 , , 라면, 이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
 ASA(각변각): 만약 , , 라면, 이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
 AAS(각각변): 만약 , , 라면, 이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 아닌 변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
 RHS: 만약 , , 라면, 이다. 즉, 두 직각 삼각형의 빗변과 한 직각변이 각각 같다면, 두 직각 삼각형은 합동이다.
 RHA: 만약 , , 라면, 이다. 즉, 두 직각 삼각형의 빗변과 한 예각이 각각 같다면, 두 직각 삼각형은 합동이다.

그러나, 다음 조건 가운데 하나를 만족시키는 두 삼각형 는 합동일 필요가 없다.
 SSA(변변각): 만약 , , 이더라도, 일 수 있다. 즉, 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 아닌 한 쌍의 각이 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만, 이 각이 직각일 경우, RHS에 따라 합동이다.
 AAA(각각각): 만약 , , 이더라도, 일 수 있다. 즉, 세 쌍의 대응각기 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만 이 경우 두 삼각형은 서로 닮음이다.

구면기하학의 경우 
평면 삼각형과 달리, 구면 삼각형은 합동 조건 AA를 가지며, 합동 조건 AAS를 갖지 않는다.

각주 

유클리드 기하학