마르코프 부등식

확률론에서 마르코프 부등식()은 음이 아닌 확률 변수가 어떤 양의 실수 이상일 확률의 상계를 제시하는 부등식이다. 확률과 기댓값의 관계를 설명하고, 확률 변수의 누적 분포 함수에 대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다.

정의 
측도 공간  위의 가측 함수 가 주어졌다고 하자. 마르코프 부등식에 따르면, 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음이 성립한다.

특히, 확률 공간  위의 확률 변수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서 는 기댓값이다.

따름정리

크라메르 부등식 
확률 공간  위의 확률 변수  및 증가 가측 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음이 성립한다.

만약  ()일 경우, 이는 다음과 같다.

만약  ()일 경우, 이는 다음과 같다. 이를 크라메르 부등식()이라고 한다.

여기서 는 모멘트 생성 함수이다.

체비쇼프 부등식 

확률 공간  위의 적분 가능 확률 변수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서 는 분산이다.

역사 
마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 안드레이 마르코프의 이름에서 따온 것이다. 그러나 이 부등식은 마르코프의 스승인 파프누티 체비쇼프가 먼저 발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

확률부등식