부풀리기

대수기하학에서 부풀리기()는 대수다양체나 스킴의 특이점을 해소하기 위하여 특이점을 특이점에 대한 사영 접평면으로 대체하는 과정이다.

정의

추상적 정의 
스킴  위의 준연접 아이디얼 층 가 있다고 하자. 그렇다면, 의 에서의 부풀리기는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 스킴 
 스킴 사상 . 또한, 는  위의 가역층이다. 이에 대응되는 유효 카르티에 인자를 의 예외 인자(例外因子, )라고 한다. 만약 이 카르티에 인자가 베유 인자일 경우, 이는 의 특별한 부분 스킴으로 간주할 수 있다.
이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.
 임의의 스킴  및 스킴 사상 에 대하여, 만약 가  위의 가역층이라면, 가 되는 스킴 사상 가 유일하게 존재한다.
이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 부풀리기는 만약 존재한다면 (유일한 동형 사상 아래) 유일하다.

구체적 정의 
스킴  위의 준연접 아이디얼 층 가 있다고 하자. 그렇다면,  위의 가환 등급환의 층

을 정의할 수 있다.

이 경우, 이에 대한 상대 사영 스펙트럼()을 취할 수 있다.

이는 정의에 따라 표준적인 스킴 사상

을 갖는다. 이를 의 에서의 부풀리기라고 한다. 이 구성이 추상적 정의의 보편 성질을 충족시킴을 보일 수 있다.

이 스킴 사상은 에서 동형 사상이다. 이 경우 아이디얼 층

으로 정의되는 카르티에 인자를 예외 인자라고 한다.

성질 
가 국소 뇌터 스킴이며, 와 가 닫힌 몰입이라고 하자. (즉, 이들은 준연접 아이디얼 층으로 정의된다.) 그렇다면, 부풀리기

를 정의할 수 있다. 이 경우, 의 부풀리기는 다음과 같다.

예 
이 체 에 대한 차원 아핀 공간이라고 하고, 이 같은 체에 대한 차원 사영 공간이라고 하자. 의 좌표를 이라고 하고, 의 동차좌표를 이라고 하자.

원점 에 대한 부풀리기 는 다음과 같은 아이디얼로 정의되는 부분 대수다양체이다. 이는 준사영 대수다양체 의 닫힌 부분 대수다양체이므로, 에 대한 준사영 대수다양체이다.
.
물론 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

.
이 사상은 체가 복소수일 경우 정칙사상(regular map)이다.

이 사상의 올은 다음 두 가지 경우가 있다.
 원점이 아닌 점 위의 올: 이 경우 올의 유일한 점은 이다. 즉, 올은 한원소 공간이다.
증명:
이 경우 인 가 존재한다. 그렇다면 임의의 에 대하여

이다. 즉, 에 의하여 모든 들이 결정된다. 사영 공간의 동차 좌표는 모두 0일 수 없으므로, 이다. 그렇다면 임의로 로 놓을 수 있으며, 그렇다면 이다.
 원점 위의 올: 이 경우 올은 (자명하게) 이다.
이 사상은 쌍유리 사상이며, 구체적으로 원점을 제외하면 대수다양체의 동형 사상이다. 에서는 이다. 즉, 은 에서 원점만을 사영 공간 로 대체하여 얻는 공간이며, 예외 인자는 이 사영 공간이다.

마찬가지로, 아핀 공간 속의 임의의 아핀 대수다양체 역시 위와 같이 부풀려질 수 있다. 구체적으로, 아핀 공간 속의 부분 대수다양체 의 원점에서의 부풀리기는 사영 사상

아래, 부풀리기를 한 점을 제외한 나머지의 원상 의 자리스키 폐포이다.

아핀 스킴의 부풀리기 
아핀 스킴 을 생각하자. 이 경우, 그 위의 준연접 아이디얼 층은 아이디얼

이다. 이 경우, 상대 사영 스펙트럼은 다음과 같은 가환 등급환의 사영 스펙트럼이다.

만약 가 추가로 뇌터 스킴이라면, 그 위의 연접 아이디얼 층은 유한 생성 아이디얼

이며, 이 경우 부풀리기를 정의하는 가환 등급환은 다음과 같다.

특히, 만약 (영 아이디얼)인 경우, 이다. 반대로, 인 경우, 이다.

자명한 경우 
스킴 를 공집합에서 부풀린다면, 이는 와 같다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층은 이다. 구체적으로

이다. 보다 일반적으로, 스킴을 ( 등의) 가역층에서 부풀린다면, 원래 스킴을 얻는다. 이 사실은 부풀리기의 보편 성질에 의하여 자동적으로 성립한다.

스킴 를  전체에서 부풀린다면, 이는 공집합이다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층은 0이다. 구체적으로

이다.

역사 
부풀리기는 대수다양체의 내재적인 변환이다. 역사적으로 이 구성은 ‘모노이드 변환’() 또는 ‘시그마 과정’() 따위로 불렸으며, 외재적으로 (즉, 사영 공간 속으로의 구체적 매장을 통하여) 정의되었지만, 사실 이 구성은 대수다양체의 사영 공간이나 아핀 공간으로의 매장에 의존하지 않는다.

부풀리기에 대하여 헤르비히 하우저()는 다음과 같이 적었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

대수기하학