브라마굽타 공식

기하학에서 브라마굽타 공식(公式, )은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 네 변의 길이에 대한 대칭 함수로 나타내는 공식이다.

정의 
내접 사각형 의 네 변의 길이를 , , , 라고 하자. 브라마굽타 공식에 따르면, 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.

여기서

는 반둘레이다.

증명

삼각법 증명 
내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이라는 성질에 의하여,

이다. 삼각형 와 에 코사인 법칙을 적용하면 각각

와

를 얻으며, 이를 연립하면

를 얻는다. 사각형 의 넓이는 삼각형 와 의 넓이의 합이므로,

이다. 따라서

가 성립한다.

특수한 경우

헤론의 공식 

헤론의 공식은 브라마굽타 공식의 특수한 경우이다. 브라마굽타 정리에서 두 꼭짓점 C와 D가 같다고 하면, 사각형 ABCD는 삼각형 ABC가 되고, d=0, s=1/2(a+b+c)가 되어, 삼각형 ABC의 넓이는

가 된다.

이중중심 사각형의 넓이 
외, 내접을 모두하는 사각형  의 네 변의 길이를 , , , 라고 하자. 그렇다면 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.

이는 이 사각형이 내접 사각형이므로 브라마굽타 공식이 성립하고, 또한 외접 사각형이므로

이기 때문이다.

일반화

브레치나이더 공식 
브레치나이더 공식(公式, )은 브라마굽타 공식을 원에 내접하지 않을 수 있는 임의의 사각형에까지 일반화한다. 이에 따르면, 임의의 사각형 의 네 변의 길이를 , , , 라고 하고, 반둘레를 , 넓이를 라고 할 경우 다음이 성립한다.

내접 사각형에서는 이므로

이다. 즉, 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 특수한 경우이다.

역사 
인도의 수학자 브라마굽타가 7세기경에 제시하였다. 그러나 그는 이에 대한 증명을 제시하지는 않았으며, 사각형이 원에 내접해야 한다고 명시하지도 않았다.

각주

외부 링크 
 
 

사각형
유클리드 평면 기하학
평면기하학 정리