최소공배수

수론에서, 여러 개의 정수/다항식/환의 원소의 공배수(公倍數, )는 그들 모두의 배수가 되는 정수/다항식/환의 원소이다. 최소공배수(最小公倍數, , 약자 LCM)는 양의 공배수 가운데 가장 작은 하나이다. 유클리드 정역에서 0으로 나누기를 정의하지 않으므로, 이 정의는 오직 다루고자 하는 정수들이 0이 아닐 때 의미가 있다. 그러나 일부 저자는 을 모든 a에 대해 0으로 정의하며, 이는 나눗셈의 격자에서 최소공배수를 최소 상한으로 간주한 것이다.

정의 
두 정수 의 최소공배수 는 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이들 정의는 서로 동치이다.
 , 의 음이 아닌 공배수 가운데 가장 작은 하나
 , 의 음이 아닌 공배수이자, , 의 모든 공배수의 약수
여러 개의 정수 의 최소공배수 는 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이들 정의는 서로 동치이다.
 음이 아닌 가장 작은 공배수
 음이 아닌 공배수이자, 모든 공배수의 약수
 (재귀적 정의)

성질 
 두 정수의 최소공배수는 최대공약수와 다음과 같은 관계를 가진다.

일 때,

특히, 두 서로소 정수의 최소공배수는 그 두 정수의 곱이다.

 공배수는 최소공배수의 배수와 동치이다.

 약수 관계는 최소공배수를 통해 다음과 같이 기술할 수 있다.

 소인수분해가 주어진 정수들의 최대공배수는 공통된 소인수의 최대 지수 거듭제곱의 곱이다. 두 정수의 경우, 소인수분해가

라면, 최소공배수는

이다.

계산법 
두 수 a와 b의 최소공배수를 구하는 방법은 소인수 분해를 사용하는 방법이 있다.

두 수 192와 72의 최소공배수를 소인수 분해를 이용하여 구하여 보자. 일단 두 수를 소인수 분해한다.

구하고 나면, 두 소인수 분해 결과의 한 소인수 중에서 지수가 가장 큰 수를 찾아 서로 곱한다. 두 결과에서 2가 여섯 번 3이 두 번 한 소인수 중에서 가장 큰 수를 찾아서 나왔다. 즉  최소공배수가 576이라는 결론이 나온다.

응용

통분 
통분은 분수끼리 더하거나 뺄 때 사용되는 기법이다. 통분 과정에서 최소공분모(=분모의 최소공배수)를 공분모로서 사용하면, 분모의 곱을 사용하는 경우보다 더 쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어,

는 최소공분모 를 사용하여 계산한 것이다.

같이 보기 
 인수 분해
 소인수 분해

수론
산수