곱셈적 함수

수론에서 곱셈적 함수(-的函數, ) 또는 곱산술 함수(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.

정의 
함수 가 다음 조건을 만족시키면, 곱셈적 함수라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이다.

함수 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 곱셈적 함수(完全-的函數, )라고 한다.
 임의의 에 대하여, 이다.

(완전) 곱셈적 함수의 정의역은 의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.

성질

연산에 대한 닫힘 
곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.

항등식 
곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가

일 경우, 다음이 성립한다.

만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.

곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

여기서 는 뫼비우스 함수이다.

곱셈적 함수 의 정의역 이 를 만족한다면,

이다.

디리클레 합성곱 
곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 의 디리클레 합성곱

와 디리클레 역원

은 곱셈적 함수이다.

곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가

일 경우, 다음이 성립한다.

만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

예 
다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.
  (는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수
 : 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가 인 경우이다.
 : 항등 함수. 거듭제곱의 지수가 인 경우이다.
 : 이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다.
  (는 소수): 르장드르 기호. 이 에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을, 의 배수일 경우 0을 취한다.

다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.
 : 오일러 피 함수. 보다 작고 과 서로소인 양의 정수의 개수
 : 뫼비우스 함수. 이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, 의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. 이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다.
  (는 음이 아닌 정수): 약수 함수. 의 모든 양의 약수의 제곱의 합
 : 의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 인 경우이다.
 : 의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 인 경우이다.

양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수

는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.

즉,

이다.

폰 망골트 함수

는 이 어떤 소수 의 양의 정수 제곱일 경우 를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.

이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.

각주

외부 링크 
 
 

수론적 함수