교환자

군론에서 교환자(交換子, )는 두 원소 사이의 교환 법칙의 실패를 측정하는 이항 연산이다.

정의 
군 의 두 원소 의 교환자는 다음과 같다.

(일부 문헌에서는 대신 순서를 바꾸어 로 정의하기도 한다.)

성질 
임의의 두 원소 에 대하여, 일 필요 충분 조건은 인 것이다. 즉, 임의의 군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 아벨 군이다.
 모든 교환자가 1이다.

항등식 
교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다. 여기서 는 켤레 원소 를 나타낸다.
 
 
  and 
  and 
 (홀-비트 항등식 ) 
 (홀-비트 항등식 ) 
홀-비트 항등식은 환론의 교환자의 야코비 항등식과 유사하다.

또한, 임의의 군에 대하여 다음이 성립한다.

만약 의 교환자 부분군이 중심에 속한다면 (), 다음이 추가로 성립한다.

교환자 부분군 

주어진 군 의 원소들 가운데 어떤 교환자로 표현될 수 있는 것들은 일반적으로 부분군을 이루지 않지만, 교환자 부분군이라 불리는 부분군을 생성한다. 즉, 교환자 부분군은 (유한 개의) 교환자들의 곱으로 표현될 수 있는 원소들로 구성된 부분군이다.

참고 문헌

같이 보기 
 중심화 부분군
 푸아송 괄호

외부 링크 
 
 
 
 

군론
이항연산
추상대수학
항등식