단사 함수

수학에서 단사 함수(單射函數, ) 또는 일대일 함수(一對一函數, )는 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수이다. 공역의 각 원소는 정의역의 원소 중 최대 한 원소의 상이다.

정의 
두 집합 ,  사이의 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 단사 함수라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이다.
 를 그 치역 에 국한시킨다면, 는 정의역 와 치역  사이의 전단사 함수를 정의한다.
 는 집합의 범주에서의 단사 사상이다. 즉, 임의의 집합  및 함수 에 대하여, 만약 라면 이다.
 는 집합의 범주에서의 분할 단사 사상이다. 즉, 가  위의 항등 함수를 이루는 함수 가 존재한다.

성질 
임의의 함수 , 가 주어졌다고 하자.
 만약 와 가 둘 다 단사 함수라면,  역시 단사 함수이다.
 만약 가 단사 함수라면,  역시 단사 함수이다. 하지만 가 단사 함수일 필요는 없다.

두 집합 , 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 단사 함수 가 존재한다.
 이다. 여기서 는 집합의 크기이다.

정의역의 크기가 0 또는 1인 함수는 항상 단사 함수이다.

예 
 항등 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
 임의의 집합  및 그 부분 집합 에 대하여, 포함 함수 는 단사 함수이다.
 로 정의된 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
 으로 정의된 함수는 단사 함수가 아니다. 예를 들어 이다.
 그러나, 만약 의 정의역을 음이 아닌 실수 로 제한한다면 는 단사 함수이다.
 지수 함수 는 단사함수이다. (하지만 음수에서의 값이 없으므로 전사 함수가 아니다.)
 자연 로그 함수 는 단사 함수이다.

역사 
유럽 언어에서 쓰이는 용어 "인젝션"(), "앵젝시옹"() 등은 "이니엑티오"()에서 유래하였으며, 이는 "인"(, 안에) + "야키오"(, 던지다)에서 기원하였다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

같이 보기 
 전단사 함수
 전사 함수
 단사 사상

각주

참고 문헌

외부 링크 

 
 

함수의 종류
집합론의 기본 개념