합집합

집합론에서 둘 또는 더 많은 집합의 합집합(合集合, )은 그들의 모든 원소를 한 군데 합쳐놓은 집합이다. 즉, 그들 중 하나에라도 속하는 원소들을 모두 모은 집합이다.

두 집합의 합집합 

두 집합 A, B의 합집합 A ∪ B는, A에 속하거나 B에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 즉

여기서 '∨'는 '또는'을 뜻한다. 다른 말로,

다음은 두 집합의 합집합의 예이다.

 두 집합 {ㄱ, ㄴ, ㄷ}, {ㄴ, ㄹ}의 합집합은 {ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ}이다.
 소수의 집합 {2, 3, 5, 7, ...}과 합성수의 집합 {4, 6, 8, ...}의 합집합은, 1이 아닌 양의 정수의 집합 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}이다.

성질 

포함배제의 원리에 따르면, 두 유한집합의 합집합과 두 집합의 원소 개수 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

합집합 연산의 대수적 성질은 집합대수 문서에 자세히 기술되어 있다.

합집합 연산은 공집합이라는 항등원을 가진다. 즉, A ∪ ∅ = A는 항상 성립한다.

합집합은 이항연산으로서 결합법칙과 교환법칙을 만족한다. 이를테면 (A ∪ B) ∪ (C ∪ D)와 (C ∪ (B ∪ D)) ∪ A는 같은 집합이며, 이들을 간단히 A ∪ B ∪ C ∪ D라 표기해도 혼동의 여지가 없다. 임의의 유한 개의 집합의 합집합은, 이들 중 적어도 하나에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 예를 들어,

가산 개의 집합의 합집합 
무한히 많은 집합들이 다음과 같이 일렬로 나열 가능하다면,

이들에게 자연수 번호를 다음과 같이 줄 수 있다.

이때 이들 집합의 합집합은, 이들 중 적어도 하나에 속하는 대상들을 모아놓은 집합이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

임의의 첨수족의 합집합 
전체 자연수(1, 2, 3, ...)를 번호(첨수)로 주는 건 과분하거나(유한 개의 집합), 적당하거나(가산 개의 집합), 불충분(비가산 개의 집합)할 수 있다. 알맞은 첨수 i ∈ I를 부여받은 집합 Ai들의 합집합은, 적어도 한 집합의 원소인 대상들의 집합이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

임의의 합집합 
소위 집합의 집합에게도 합집합 연산을 정의할 수 있다. 집합족 의 합집합은 그에 속하는 집합들의 모든 원소를 한 군데 합쳐놓은 집합이다. 즉,

이는 가장 일반적인 합집합이며, 앞서 서술한 모든 정의를 포괄한다. 예를 들어, A ∪ B는 집합족 {A, B}의 합집합, 는 첨수족 의 합집합이다.

공리적 집합론에서는, 임의의 집합족 의 합집합의 집합으로서의 존재성을 합집합 공리가 보장한다.

각주

외부 링크 
 
 
 Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.

집합론의 기본 개념
이항연산
초등 수학