푸아송 괄호

푸아송 괄호()란 해밀턴 역학에서 쓰이는 중요한 연산자로, 어떤 물리량의 시간적 변화를 기술하는 데 중요한 역할을 하고 있다. 좀 더 일반적인 방법으로, 푸아송 괄호는 푸아송 다양체의 푸아송 대수를 정의하는 데 쓰인다. 위의 푸아송과 관련된 이름을 가진 것들은 모두 프랑스의 물리학자이자 수학자인 푸아송의 이름에서 따온 이름들이다.

정의 
일반화 좌표 에서, 다음과 같은 두 함수 , 에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다.

몇몇 경우에는 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하기도 하므로 유의하자.

두 정의의 차이점은 서로 부호가 반대이다는 점 뿐이다. 여기서는 첫 번째 정의를 사용하는 것으로 하자.

성질 
일반화 좌표 에서, 다음과 같은 세 함수 , , 에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같은 반대칭성을 가진다.

또한 다음과 같은 야코비 항등식을 만족한다.

일반화 좌표 와 일반화 운동량 사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립하며

함수 와 일반화 좌표 와 운동량 사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립한다.

해밀턴 방정식과 푸아송 괄호 
푸아송 괄호를 이용해 해밀턴 역학의 운동 방정식들을 나타낼 수 있다. 일반화 좌표 에서의 해밀턴 방정식

은 푸아송 괄호를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

원래의 해밀턴 방정식에선 일반화 좌표 와 일반화 운동량 사이에 무언가 대칭성이 있음을 유추할 수 있지만, 부호가 달랐다. 하지만 푸아송 괄호를 통한 해밀턴 방정식에선 와 사이에 대칭성이 있음을 확인할 수 있다.

운동상수와 푸아송 괄호 
만약 어떤 동역학적 물리량 가 운동상수, 즉 보존되는 물리량

이라면 물리량이 시간에 대한 직접적인 함수가 아니며

해밀토니안 와 물리량 의 푸아송 괄호가 0이 되어야 한다.

이는, 맨 첫 번째 방정식을 연쇄법칙을 이용해 전개하고 해밀턴 방정식을 대입하면 증명할 수 있다.

물리량의 시간적 변화 
어떤 동역학적 물리량 가 주어졌을 때, 위상 공간에서 이 물리량의 시간에 따른 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기에 해밀턴 방정식  와 을 대입하면

이 된다. 따라서 물리량 의 시변(시간변화 부분)은

와 같이 쓸 수 있다. 여기서 연산자 는 리우빌리안이라 불리기도 한다.

같이 보기 
 푸아송 대수
 해밀턴 역학
 교환자
 라그랑주 괄호

참고 문헌 
 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 317-9쪽.

각주 

물리학 개념
이항연산
고전역학
해밀턴 역학
심플렉틱 기하학