순환군

군론에서 순환군(循環群, )은 한 원소로 생성될 수 있는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.)

정의 
군의 원소 가 생성하는 순환군 은 다음과 같다.

차수 
군 의 차수(次數, ,ord) 또는 위수(位數)는 집합으로서의 크기 를 뜻한다.

군의 원소 의 차수 는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

지수 
군 의 지수(指數, ) 는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

분류 
순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.

성질

약수 관계 
군의 유한 차수 원소  및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 

 (⇐) 이라면, 인 가 존재하므로, 이다.
 (⇒) 이라면, 과 의 나머지 있는 나눗셈을 라고 하면, 이므로, 차수의 정의에 따라 이다. 즉, 이다.

지수가 유한한 군  및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 임의의 에 대하여, 
 

 (⇐) 이라면, 인 가 존재하므로, 임의의 에 대하여, 이다.
 (⇒) 임의의 에 대하여 이라면, 임의의 에 대하여 이므로, 지수의 정의에 따라 이다.

유한군 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

군의 유한 차수 원소  및 정규 부분군 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

항등식 
군의 유한 차수 원소  및 정수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
 
 증명: 
 
 증명: 이므로, 이므로, 이므로, 

군의 원소 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 
 
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
 
 증명: 
 
 증명: 이므로, 이므로, 이다. 비슷하게, 이다. 따라서, 이다.

반대로, 군의 원소 의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.

그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 가 존재한다.
 
 
 

베주 항등식에 따라, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다.

조건을 만족시키는 를 다음과 같이 취할 수 있다.

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
 , 
 증명: 
 , 
 증명: 

유한 아벨 군 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다.
 임의의 에 대하여, 
즉, 다음이 성립한다.

최대 차수 원소 를 취하자. 임의의 에 대하여,

라고 가정하자. 그렇다면,

를 만족시키는 소인수 가 존재한다. 이 경우,

이므로,

이며, 이는 모순이다.

순환군 
모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다.

군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 소수이다.
 는 순환 단순군이다.
 는 아벨 단순군이다.

 소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군: 가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은 밖에 없으므로, 는 단순군이다. 를 취하자. 그렇다면, 이므로, 이다. 즉, 는 순환군이다.
 순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군: 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
 아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군: 가 소수가 아니라고 가정하자. 가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, 는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. 가 순환군이 아닌 경우, 임의의 를 취하자. 그렇다면, 이며, 이므로, 는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.

순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, 의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

순환군의 몫군 역시 순환군이다.

유한군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 순환군이다.
 임의의, 의 양의 약수 에 대하여, 이다.
 임의의 에 대하여, 이다.

 (1) ⇒ (2): 순환군 의, 크기 의 부분군은 가 유일하다.
 (1) ⇐ (2): 임의의 에 대하여, 임을 증명하자. (여기서 는 오일러 피 함수이다.) 그렇다면, 특히 인 가 존재하므로, 는 순환군이다.
 증명: 인 를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여 이므로, 인 가 존재한다. 차수 공식을 사용하면 를 얻는다. 즉, 구하려는 수는 0이거나 이다. 또한, 이므로, 구하려는 수는 이다. 
 (1) ⇔ (3):: 쉴로브 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

순환군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 
 

 (⇐) 
 (⇒) 만약 이라면, 이므로, 이다.

코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 에 대하여, 인 가 존재한다.

응용

유한 아벨 군의 분해 

유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. 가 아벨 유한 p-군, 가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재한다.

귀류법을 사용하여, 가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, 이며, 이므로, 최소 차수 원소 를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
 
 증명: 그렇지 않다면,  ()이며, 이므로, 이다.  ()이라고 하자. 그렇다면, 이므로, 이다. 따라서, 이며, 인데, 이는 의 선택과 모순이다.
 
 증명:  ()라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재하며, 이다. 이는 모순이다.
 은 최대 차수 원소이다.
 증명: 우선 이다. 라고 가정하면, 이므로, 이다. 이는 모순이다. 따라서 이며, 은 최대 차수 원소이다.
 인 가 존재한다.
 증명: 
 
 증명: 우선, 이므로, 이다. 또한, 이므로, 이며, 이다.

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

아벨 군론