외적

선형대수학에서 외적(外積, )이란 벡터의 텐서곱을 일컫는 말이다. 예를 들어, 열벡터로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 행렬을 얻게 된다. 이 이름은 내적의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다.

정의

행렬에서의 정의 
두 벡터의 외적 은 와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서, 은 실수공간 에서 정의되는  열벡터, 는 에서 정의되는  열벡터를 말한다. 예를 들어, , 인 경우                                                                                 .

와 같이 외적을 쓸 수 있다. 

좀 더 복잡한 복소수공간 과 에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 전치연산  대신에 복소켤레전치 를 사용해

로 정의된다.

내적과의 비교 
만약 이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다.

이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라( 행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 유클리드 공간의 내적으로 알려져 있고, 점곱이라 하기도 한다.

추상적 정의 
주어진 벡터 와 코벡터 의 텐서곱 은 동형사상 하의 사상 을 준다.

구체적으로, 외적은 주어진 에 대해

로 정의된다. 여기서 로 계산된 로 와 곱하면 스칼라를 주게 된다.

다시말하면, 외적은  와  의 합성이다.

내적과의 비교 
만약 이면, 코벡터 와 벡터 를 와 의 쌍대의 쌍대연산 를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 내적이라 불리기도 한다.

3차원 공간에서 벡터곱과의 관계 
여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다.

3차원 유클리드 공간 에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터 와 의 외적은 다음과 같다.

여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다.

성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, 이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면,
 
여기서 를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,

이다. 그리고 여기에 를 곱하면

되고 마지막으로 을 곱하면

이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.

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