극관성모멘트

극관성모멘트(極慣性-, polar moment of inertia)는 비틂에 저항하는 성질을 나타낸 값이다. 돌림힘이 작용하는 물체의 비틀림을 계산하기 위해서 필요하다. 휨에 대한 저항을 나타낸 값인 단면 이차 모멘트(처짐을 계산하는 데 필요함)와 유사하다.

극관성모멘트의 값이 클수록, 같은 돌림힘이 제한되었을 때 비틀림은 작아진다.

정의 

오른쪽의 그림과 같은 임의의 단면에 대해서 극관성 모멘트는

로 정의된다. 여기서

 Ip - 원점 O를 지나며 평면에 수직인 축에 대한 극관성모멘트
 dA - 미소 면적 요소
 ρ - 중심축으로부터 면적 요소 dA 까지의 거리

한편,  이므로,

로도 나타낼 수 있다. 이때 Ix, Iy는 각각 x축, y축에 대한 단면 이차 모멘트이다.

극관성모멘트를 Ip 대신 J로 나타내기도 한다.

단위 
극관성모멘트의 SI 단위는 단면 이차 모멘트와 같은 네제곱 미터(m4)이다. 야드파운드법과 미국 단위계에서는 네제곱 인치(in.4)도 사용된다.

응용 
극관성모멘트는 비틂으로 인한 전단 응력과 비틀림각에 대한 공식에 나타난다.

비틀림 공식:

 τ - 전단 응력
 T - 돌림힘
 ρ - 중심축으로부터의 거리
 Ip - 극관성 모멘트

원형단면봉에 대해서, 비틂으로 인한 최대 전단 응력은 단면의 가장 바깥 표면(돌림힘이 최대)에서 발생한다. 즉:

예제 
단면의 반지름이 r인 원형단면봉의 단면 도심을 지나며 단면에 수직한 중심축에 대한 극관성 모멘트:

같이 보기 
 단면 이차 모멘트

외부 링크 
여러 가지 단면 봉의 극관성 모멘트 - engineeringtoolbox.com

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재료역학
구조역학