산술-기하 평균 부등식

수학에서 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, )은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다.

정의 
음이 아닌 실수들 이 주어졌다고 하자. 산술-기하 평균 부등식에 따르면, 다음이 성립한다.

특히, 등호가 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

증명

귀납적 증명 
음이 아닌 실수  및 그 산술 평균

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

이를 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

우선, 인 경우 이는 자명하게 성립한다.

그 다음, 에 대하여 성립한다는 가정 아래, 에 대한 산술-기하 평균 부등식

을 보이자.

만약 라면, 자명하게 성립한다. 만약 그렇지 않다면, 보다 큰 수와 보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, 라고 하여도 무방하다. 그렇다면,

 ①

이다. 또한, 양의 실수

를 정의하면, 다음에 따라, 는 개의 음이 아닌 실수 의 산술 평균이기도 하다.

귀납 가정에 따라,

 ②

이며, 또한 ①에 따라

이므로,

 ③

이다. ②와 ③에 따라,

 ④

④에서, 이므로, 만약  가운데 0이 있다면, 첫번째 부등호는 등호일 수 없다. 만약에 그들 가운데 0이 없다면, 두번째 부등호는 등호일 수 없다. 이렇게 에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

코시의 증명

모든 항이 같은 경우 
만약

이라면, 산술 평균과 기하 평균은 로 같다.

모든 항이 같지는 않은 경우 
만약 서로 다른 두 항이 존재한다면, 당연히 이다.

n = 2 
서로 다른 두 항 가 주어지면,

이므로,

이다.

n = 2k 
이 2의 거듭제곱 꼴인 경우, 에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다.

인 경우, 즉 인 경우는 이미 증명되었다.

에 대한 부등식의 가정 아래, 에 대한 부등식을 보이자.

여기서 첫번째 부등식에서 등호가 성립하려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로

이어야 한다.

두번째 부등식에서 등호가 추가적으로 성립하려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 전반 및 후반 항들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등호이려면

이어야 한다. 그러나 서로 다른 항이므로, 둘 다 등호일 수 없다. 따라서,

이다.

n < 2k 
이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우, 보다 큰, 2의 거듭제곱 꼴의 수 을 취할 수 있다.

음이 아닌 실수  및 그 산술 평균 가 주어졌다고 하고, 그 항들을 다음과 같이 개로 확장하자.

그렇다면, 이미 증명한 에 대한 부등식에 따라,

따라서,

즉,

이다.

미분을 통한 증명 
우선, 인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다.

이제, 에 대하여 성립한다는 가정 아래, 에 대하여 증명하자. 모든 항이 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 모든 항이 같지는 않을 경우, 당연히 이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.

이는 음이 아닌 실수 을 고정하고, 함수

를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.

극값을 구하기 위해, 의 미분을 취하자.

따라서, 는 다음과 같은 임계점을 갖는다.

따라서, 의 가능한 극값은 다음과 같다.

여기서, 일 수 없는 이유는, 이미 이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의 에 대하여,

이다. 특히, 일 경우,

이다. 이렇게 에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

볼록성을 통한 증명 
산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다.

이는 로그 함수의 옌센 부등식이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법

에 따라 성립한다.

관련 정리

가중 산술-기하 평균 부등식 
가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 x1, x2, …, xn과 그에 대응하는 가중치 α1, α2, …, αn가 있을 때, 가중치의 합 이라 하면 다음이 성립한다.
 
마찬가지로 이 부등식은 모든 xk들이 같을 때 등식이 된다.

가중 산술-기하 평균 부등식의 증명 
를 가중치로 갖는 은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 는 양수라고 가정할 수 있다.

에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

일 때 는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

이다. 는 단조증가함수이므로

 

가 성립함이 증명된다.

제곱-산술-기하-조화 평균 부등식 
산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 에 대하여, 다음이 성립한다.

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

기타 
이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식과 일반화된 평균 부등식이 있다.

외부 링크 
 
 
 

부등식
평균