정역

가환대수학에서 정역(整域, )은 영인자가 존재하지 않는, 자명환이 아닌 가환환이다. 정역은 정수환의 일반화이며, 0이 아닌 원소의 역원을 추가하여 분수체를 만들 수 있다.

정의 
임의의 환 의 원소 에 대하여, 가 단사 함수일 경우 를 정칙원(正則元素, )이라고 한다.

(곱셈 항등원을 갖는) 가환환 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환환을 정역이라고 한다.
 는 다음 두 조건을 만족시킨다.
 (영인자의 부재) 모든 에 대하여, 이다.
 (비자명성) 는 자명환이 아니다. 즉, 이다.
 이 곱셈에 대하여 (공집합이 아닌) 가환 모노이드를 이룬다.
 의 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
 는 체의 부분환과 동형이다.
 는 자명환이 아니며, 의 0이 아닌 모든 원소가 정칙원이다.

스킴 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 정역 스킴(整域scheme, , )이라고 한다.
 는 공집합이 아니며, 공집합이 아닌 모든 아핀 열린집합 에 대하여 는 정역이다.
 는 축소 스킴이며 기약 스킴이다.
 는 공집합이 아니며, 모든 에 대하여 줄기 가 정역이며, 는 연결 공간이다.

성질 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역  ⊋ 유클리드 정역  ⊋ 체

정역의 환의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 양의 표수 의 정역의 경우, 프로베니우스 사상 은 단사 함수이다.

정역의 경우, 항상 분수체를 취할 수 있다.

가환환  및 아이디얼 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 가 소 아이디얼이다.
 가 정역이다.

정역의 귀납적 극한은 역시 정역이다.

가환환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 정역이다.
 아핀 스킴 는 정역 스킴이다.

웨더번 정리에 따르면, 모든 유한 정역은 유한체이다.

예 
정수환 은 정역을 이룬다. 모든 체는 정역을 이룬다. 모든 대수적 수체의 대수적 정수환 은 (데데킨트) 정역이다.

정수환의 몫환 의 경우, 이지만 이므로 정역이 아니다.

모든 대수다양체는 정역 스킴이다.

같이 보기 
 영역 (환론)
 소환 (환론)
 분수체
 영인자

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

가환대수학
스킴 이론