주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여

〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉()는 베른하르트 리만이 1859년 11월에 베를린 학술원에 발표한 8페이지짜리의 독창적인 논문이다. 비록 이것은 리만이 발표한 수론에 관한 유일한 논문이지만, 19세기말부터 현재에 이르기까지 수많은 연구자들에 영향을 미치고 있는 개념들을 포함하고 있다. 또 이 논문은 증명들을 위한 밑그림들과 발견을 돕는 논증들과 정의들, 그리고 강력한 해석학적 방법론의 응용으로 이루어져 있다. 수학적 증명의 난제로 알려진 리만 가설도 이 논문에 나온다. 이 모든 것들은 근대 해석적 수론의 필수적인 개념과 도구들이 되었다.

내용 
논문 중의 새로운 정의들은 소개하면 아래와 같다:

 이전에 오일러가 언급하였던 함수에 대한 그리스 문자 제타의 사용
 s = 1를 제외한 모든 복소수에서 리만 제타 함수 ζ(s)의 해석적 연속
 감마 함수를 통해 제타 함수와 관련된 전해석 함수 ξ(s) 정의
 이고, 소수의 거듭제곱 에서 씩 증가하는 양의 실수에서 정의된 이산 함수(discrete function) .

다음 증명들을 제시했다.
 의 함수 방정식의 두 가지 증명법
 의 무한 곱 형태 표현(일명 의 '인수분해')의 증명
 허수부가 0과  사이인 임계띠 안의 의 근의 개수의 근사식의 증명

다음 추측을 제시했다.
 리만 가설

수론에서 다음 새로운 기법을 도입했다.
 해석적 연속
 경로적분법
 푸리에 역변환 정리(Fourier inversion theorem)

각주

외부 링크 
 리만의 논문(영어 번역본)
 수론과 물리학 웹사이트 
 리만의 논문(독일어 원본)
 리만의 원본 수기 사진

해석적 수론
수학 논문
1859년 책
1859년 과학
베른하르트 리만
1859년 작품
1859년 문서