가우스 적분

가우스 적분(Gaussian integral)은 가우스 함수에 대한 실수 전체 범위의 이상적분으로, 그 값은 다음과 같다.

가우스 함수에 대한 일반적인 부정적분 함수는 초등 함수 범위에 있지 않고, 실수 전체 범위에 대한 이상적분은 아래의 방법들을 통해 구할 수 있다.

과정

극좌표 변환을 이용하는 경우 
를 직교 좌표계 상에서 계산하면 다음과 같다.

그리고 같은 식을 극좌표로 변환하면 다음과 같다.

따라서

그리고 는 가 실수일 때 항상 양수이기 때문에

가 성립한다.

직교좌표에서 계산하는 경우 
직교좌표계에서 푸비니-토넬리 정리를 이용하여 푸는 방법도 있다. 함수 를  × 에서 순서를 바꿔 가며 적분하는 것이다. 먼저 x부터 적분하는 경우,

반면, y부터 적분하는 경우, xy = z로 치환하고 풀면,

푸비니-토넬리 정리에 의해 이 두 적분값은 같으므로, 결국 를 얻고, 우함수의 적분법에 따라서 구하고자 하는 가우스 적분식을 얻는다.

같이 보기 
 감마함수

각주

참고 문헌 
 Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics

적분
해석학 정리
가우스 함수