위상동형사상

위상수학에서 위상동형사상(位相同型寫像, )은 위상적 성질(topological property)을 보존하는 동형 사상이다. 두 공간 사이에 위상동형사상이 존재할 경우, 이 둘은 서로 위상동형(位相同型, )이라고 한다. 위상수학적 관점에서 이 둘은 같은 공간이라고 말할 수도 있다. 간단하게 설명하자면, 기하학적 물체를 찢거나 붙이지 않고 구부리거나 늘이는 것으로 다른 형태로 변형하는 것을 말한다.

정의 
위상 공간 와 가 주어져 있다고 하고, 를 두 위상 공간 사이의 함수라고 하자. 만약 함수 가 다음의 세 조건을 만족하면, 를 위상동형사상이라 한다.
 는 전단사 함수이다.
 는 연속 함수이다.
 역함수 도 연속 함수이다.

만일 이러한 세 가지 조건을 만족시키는 함수가 두 위상 공간 사이에 존재하면 두 위상 공간이 서로 위상동형()이라고 한다.

예 

에서 단위원(unit circle)과 정사각형은 위상동형이다.
 개구간 (-1, +1)과 실수 전체는 위상동형이다.
두 원의 곱공간인 과 2차원 원환면은 위상동형이다.
일 때, 과 은 위상동형이 아니다.
 구와 원환면은 서로 위상동형이 아니다.

로 정의된 함수 는 전단사 함수이고 연속 함수이지만, 역함수가 연속 함수가 아니므로 위상 동형 사상이 아니다. (는 콤팩트 공간이지만 는 콤팩트 공간이 아니다.)

성질 
 두 위상동형인 공간은 위상적 성질(topological property)이 같다. 예를 들어 한 쪽이 콤팩트 공간이라면 다른 쪽도 그렇다. 만약 한 쪽이 연결 공간이라면, 가진다면 다른 쪽도 그렇다. 만약 한 쪽이 하우스도르프 공간이라면 다른 쪽도 그렇다.
 위상동형사상은 열린 사상이며 닫힌 사상이다.

같이 보기 

 국소 위상동형사상
 호모토피
 위상적 성질
 미분동형사상
 고른 동형사상(uniform isomorphism)은 고른 공간들 사이의 동형사상이다.
 등거리 변환은 거리 공간들 사이의 동형사상이다.

외부 링크 
 
 

 
함수와 사상
위상수학