부분 적분

미적분학에서 부분 적분(部分積分, )은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다.

정의 

만약 가 구간이며 가 연속 미분 가능 함수라면 (도함수 가 연속 함수라면), 다음이 성립한다.

이를  및 를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.

만약 가 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.

증명 
곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.

양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.

또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.

LIATE 법칙 (또는 로.다.삼.지 법칙) 
이 명제에서는 주어진 적분에서 와 를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을 로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을 으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 로그 함수, 역삼각 함수, 대수적 함수, 삼각 함수, 지수 함수에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를 로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙()이라고 부른다. 즉 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 '왼쪽 방향'으로 갈수록 미분에 용이하며, '오른쪽 방향'으로 갈수록 적분에 용이하다는 것이다. 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다.

따름정리 
만약 가 구간이며 가 번 연속 미분 가능 함수라면 (계 도함수 이 연속 함수라면), 다음이 성립한다.

이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.

예

첫째 예 
부정적분

을 구하자. 이며 라고 하자. 그러면 이며 (상수차를 무시하면) 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
{|
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|-
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|}

둘째 예 
부정적분

를 구하자. 이며 라고 하자. 그러면 이며 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
{|
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|-
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|-
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|
|}

셋째 예 
부정적분

을 구하자. 이며 라고 하자. 그러면 이며 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

우변의 마지막 항의 적분에서 , , , 라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
{|
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|-
|
|
|}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.

넷째 예 
부정적분

을 구하자. 이며 라고 하자. 그러면 이며 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
{|
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|-
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|-
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|
|}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.

다섯째 예 
다음과 같은 두 적분을 구하자.

이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
{|
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|-
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|-
|}
{|
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|-
|
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|}
즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다.

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.

여섯째 예 
다음과 같은 적분을 구하자.

다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자).
{|
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|-
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|}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.
{|
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|-
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|}

같이 보기 
 부정적분#부분 적분
 리만 적분#부분 적분
 아벨 변환
 아벨의 합 공식

각주

외부 링크 
 
 
 

적분학