중간값 정리

해석학에서 중간값 정리(中間-定理, ) 또는 사잇값 정리는 구간에 정의된 실숫값 연속 함수가 임의의 두 함숫값 사이의 모든 수를 함숫값으로 포함한다는 정리이다. 이에 따라, 실숫값 연속 함수에 대한 구간의 상은 구간이다.

정의 
연속 함수 가 주어졌다고 하자. 중간값 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

즉, 임의의 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

증명 
편의상 라고 가정하자. 임의의 에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

그렇다면, 이며, 는 의 한 상계이다. 따라서, 는 유한한 상한

를 갖는다. 가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 이 존재한다.

따라서 이다. 이제 귀류법을 사용하여 를 보이자. 먼저 라고 가정하자. 그렇다면, 가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 이 존재한다.

즉, 는 의 또 다른 상계이며, 이는 와 모순이다. 이제 를 가정하자. 그렇다면, 가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 이 존재한다.

즉, 이며, 이는 와 모순이다. 따라서 이다.

따름정리

볼차노 정리 
연속 함수 가 다음을 만족시킨다고 하자.

볼차노 정리()에 따르면, 는 에서 영점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

볼차노 정리는 중간값 정리에서 인 특수한 경우이다.

구간의 보존 
구간  및 연속 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 상 은 역시 구간이다. 이를 연결 공간의 개념을 사용하지 않고 증명하려면, 가 구간일 필요충분조건이 임의의 에 대하여 인 것이라는 보조정리를 사용해야 한다.

특히, 만약 가 닫힌구간일 경우, 의 양 끝점은 의 최댓값과 최솟값이다. 즉, 다음이 성립한다.

이 정리는 중간값 정리와 최대 최소 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

홀수차 실수 다항식의 근의 존재 
임의의 실수 홀수차 다항식은 적어도 하나의 실수 영점을 갖는다. 이는 대수학의 기본 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

홀수차 실수 다항식

이 주어졌다고 하자. 편의상 이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

예를 들어, 전자의 경우 다음과 같이 보일 수 있다.

이에 따라, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

중간값 정리를 에 적용하면, 다음을 만족시키는 의 영점 의 존재를 얻는다.

닫힌구간 위의 브라우어르 고정점 정리 
연속 함수 는 항상 고정점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

이는 브라우어르 고정점 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

다음과 같은 함수 를 정의하자.

그렇다면, 는 연속 함수이며, 이므로, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는 가 존재한다.

즉, 가 성립한다.

가역 연속 함수의 단조성 
구간  및 단사 연속 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는 순단조 함수이다. 이는 중간값 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

귀류법을 사용하여, 가 순단조 함수가 아니라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
 
  또는 
편의상 전자가 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 를 취할 수 있다. 각각 와 에 중간값 정리를 적용하면 다음을 만족시키는  및 가 존재함을 얻는다.

이는 가 단사 함수인 것과 모순이다.

일반화 
위상수학과 해석학의 몇몇 정리들은 중간값 정리를 특수한 경우로 포함한다.

연결 공간의 보존 

두 위상 공간  사이의 연속 함수 가 주어졌다고 하자. 만약 가 연결 공간이라면,  역시 연결 공간이다. 실수 집합  위에서 연결 공간은 구간과 동치이므로, 이와 같은 정리는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다.

위상 공간 와 (순서 위상을 부여한) 전순서 집합  사이의 연속 함수 가 주어졌다고 하자. 만약 가 연결 공간이라면, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

실수 집합 은 표준적인 전순서를 갖추므로, 이 정리 역시 중간값 정리를 일반화한다.

다르부 정리 

미분 가능 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

이를 다르부 정리라고 한다. 실수 연속 함수는 항상 어떤 함수의 도함수이므로, 다르부 정리는 중간값 정리의 일반화이다.

각주

외부 링크 
 
 
 

미적분학 정리
실해석학 정리
연속 함수