평행사변형

평면 기하에서 평행사변형(平行四邊形)은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이다. 유클리드 기하에서 평행사변형의 대변 또는 마주보는 두 변은 길이가 같고 대각의 크기가 같으며, 이는 유클리드 기하의 평행선 공준의 직접적인 결과이다. 3차원에서는 평행육면체가 대응된다.

평행사변형의 성질

평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분 한다.

증명 
 와 에서  이므로
 (엇각) ……(1)
 (엇각) ……(2)
또, 평행사변형에서 대변의 길이는 같으므로
 ……(3)
(1), (2), (3)에 의해 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로

이다.라고 한다

두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다

증명 

 와 에서  이고  이므로
 (엇각) ……(1)
 (엇각) ……(2)
는 공통인 변이다. ……(3)
(1), (2), (3)에 의해 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로

따라서

이다.

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

증명 

를 C 방향으로 연장해서 그 위의 임의의 점을 E 라고하자.
  (동위각, 엇각)
같은 방법으로 이다.

넓이 
 밑변의 길이를  그에 대한 높이를 라 하면,

 이웃하는 두 변을 각각  ,  그 끼인각의 크기를 라 하면,

특징 

 평행사변형은 사다리꼴이다.
 마름모와 직사각형은 평행사변형이다.
 두 벡터의 합을 구할 때 평행사변형법이 사용된다. 오른쪽 그림에서, DC 벡터와 DA 벡터의 합벡터는 DB 벡터이다.

조건 

 사각형 ABCD가 평행사변형일 필요충분조건들은 다음과 같다.
두 쌍의 대변이 평행하다.(정의)
두 쌍의 대변의 길이가 같다.
두 쌍의 대각의 크기가 같다.
두 대각선이 서로를 이등분한다.
한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

여러 가지 사각형의 종류

같이 보기 

 역평행사변형
 톨레미 정리

사각형