칸토어 집합

수학에서 칸토어 집합()은 0과 1 사이의 실수로 이루어진 집합으로, 부터 시작하여 각 구간을 3등분하여 가운데 구간을 반복적으로 제외하는 방식으로 만들어진다.

정의 
칸토어 집합은 다음과 같이 만들어진다.
 처음 구간은 에서 시작한다.
  구간을 3등분한 후, 가운데 개구간 을 제외한다. 그러면 가 남는다.
 두 구간 , 의 가운데 구간을 제외한다. 
 계속해서 반복한다.
또는, 앞 단계의 구간을 크기로 줄인 다음 두 개를 배치하는 방식으로도 같은 집합을 얻을 수 있다. 즉,

이 된다.

성질

크기 
칸토어 집합에 포함되는 수는 삼진법 소수로 표기했을 때 모든 자릿수가 0 또는 2가 된다. 이것은 칸토어 집합을 만드는 각 단계마다 자릿수에 1이 있는 수를 점차적으로 제거하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 첫 번째 단계에는 가 빠지고, 두 번째 단계에는 과 가 빠지는 과정이 계속해서 일어난다. 또한 이것을 이용해 칸토어 집합의 수를 0과 1 사이의 모든 실수와 일대일 대응시킬 수 있는데, 3진수 각 자릿수의 2를 2진수에서의 1로 대응한다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

따라서 칸토어 집합은 비가산 집합이며, 크기가 이다.

측도 및 위상수학적 성질 
칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 빠지는 구간의 길이는 이 된다. 이 길이를 모두 합하면

이 된다. 즉, 칸토어 집합은 르베그 측도가 0이다. 또한, 칸토어 집합은 조밀한 곳이 없는 집합이며, 완전 집합이다.

칸토어 집합은 가산 무한 개의 두 원소 이산 공간의 곱공간 과 위상동형이다. 특히, 칸토어 집합의 작은 귀납적 차원은 0이다.

프랙털 성질 
칸토어 집합은 자기닮음 성질을 가지고 있는 프랙털이다. 칸토어 집합을 ⅓ 크기로 줄이면 원래 칸토어 집합의 왼쪽 부분과 같다. 따라서 칸토어 집합의 하우스도르프 차원은

이다.

외부 링크 
 

측도론
게오르크 칸토어