나무 그래프

그래프 이론에서 나무 그래프() 또는 단순히 나무는 순환을 갖지 않는 연결 그래프이다.

정의 
그래프 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 그래프 를 숲 그래프()이라고 한다.

 는 (길이 3 이상의) 순환을 갖지 않는다.
 임의의 두 꼭짓점 에 대하여, 과  사이의 경로의 수는 1 이하이다.
 는 완전 그래프 를 마이너로 갖지 않는다.
 는 단일 연결 공간이다. (즉, 임의의 밑점 에 대하여, 1차 세포 호몰로지 가 자명군이다. 그러나 연결 공간이 아닐 수 있다.)

그래프 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 그래프 를 나무 그래프라고 한다.
 는 숲 그래프이며, 연결 그래프이다 (즉, 정확히 1개의 연결 성분을 갖는다).
 임의의 두 꼭짓점 에 대하여, 과  사이의 경로가 정확히 하나 존재한다.
 는 (1차원 세포 복합체로서) 연결 단일 연결 공간이다. (특히, 공집합이 아니다.)
 하나 이상의 꼭짓점을 가지며, 임의의 변 을 지운 그래프 는 연결 그래프가 아니다.

나무 그래프 의 잎 꼭짓점()은 차수가 1인 꼭짓점이며, 내부 꼭짓점()은 차수가 2 이상인 꼭짓점이다.

성질 
숲 그래프 에 대하여 다음이 성립한다.
 
여기서
 는 의 꼭짓점의 수이다.
 는 의 변의 수이다.
 는 의 연결 성분의 수이다.

특히, 나무 그래프의 경우 하나의 연결 성분을 가지므로, 이다.

모든 숲 그래프는 이분 그래프이자 평면 그래프이다.

나무 그래프의 수 
개의 꼭짓점을 갖는 나무 그래프의 동형류의 수는 다음과 같다 ().
1, 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 47, 106, 235, 551, 1301, 3159, … 

개의 꼭짓점을 갖는 숲 그래프의 동형류의 수는 다음과 같다 ().
1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 37, 76, 153, 329, 710, 1601, 3658, …

프뤼퍼 열 
유한 나무 그래프 의 꼭짓점 집합

에 임의의 정렬 순서를 주고, 그 순서형을 이라고 하자.

에 대하여, 꼭짓점 열

을 다음과 같이 재귀적으로 정의하자.

즉, 다음과 같다.
 임의의 순서수 에 대하여, 은 의 잎 꼭짓점 가운데, 정렬 순서에 대하여 최소 원소이다.
유한 나무 그래프의 경우, 이 열은 의 모든 꼭짓점을 한 번씩 포함한다. 즉, 의 꼭짓점 집합  위의 또다른 정렬 순서를 정의한다. (반면, 무한 나무 그래프의 경우 이는 그렇지 못할 수 있다.)

또한, 다음과 같은 꼭짓점 열

을 로부터 정의할 수 있다.

즉,
 는 에서 와 인접한 유일한 내부 꼭짓점이다. (만약 이러한 꼭짓점이 존재하지 않는다면, 이 열은 끝나게 된다.)

유한 나무 그래프의 경우, 꼭짓점 열 의 길이는 인데, 이는 맨 “마지막”의 경우 꼭짓점이 하나 밖에 남지 않기 때문이다.

를 의 프뤼퍼 열(Prüfer列, )이라고 한다.

또한, 프뤼퍼 열에 대하여 다음이 성립한다.

모든 유한 나무 그래프는 그 프뤼퍼 열로부터 재구성될 수 있다. 이 알고리즘은 대략 다음과 같다.
 우선, 각 꼭짓점 에 대하여 양의 정수 값의 변수 를, 가 프뤼퍼 열에 등장하는 수 + 1로 놓는다.
 프뤼퍼 열의 첫째 꼭짓점 에 대하여, 인 최소의 꼭짓점을 라고 하면,
 변 를 그래프에 추가하며,
 과 를 각각 1만큼 감소시킨다.
 위 단계를 프뤼퍼 열의 둘째, 셋째 등등 꼭짓점에 대하여 반복한다.
 이 과정이 끝나면, 인 꼭짓점이 두 개 남는다. 이들 사이에 변을 추가한다.
 알고리즘 종료.

(반면, 무한 나무 그래프의 경우 이는 일반적으로 불가능하다. 예를 들어, 양쪽 무한 경로 그래프는 나무 그래프이지만, 잎 꼭짓점을 갖지 않아, 프뤼퍼 열이 자명하다.)

케일리 공식 
임의의 크기 의 유한 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 를 꼭짓점으로 하는 나무 그래프의 수를 이라고 하자. (이 경우, 꼭짓점들이 서로 구별되므로, 이는 나무 그래프의 동형류의 수와 다르다.) 케일리 공식()에 따르면, 이는 다음과 같다.

증명:
꼭짓점 집합 에 임의의 정렬 순서를 주자. 그렇다면,  위의 임의의 나무 그래프는 프뤼퍼 열에 유일하게 대응하며, 반대로 모든 프뤼퍼 열은 나무 그래프에 유일하게 대응된다. 프뤼퍼 열의 수는

이다.
크기 의 유한 집합 위의 숲 그래프의 수는 다음과 같다. ()
1, 1, 2, 7, 38, 291, 2932, 36961, 561948, 10026505, 205608536, 4767440679, 123373203208, 3525630110107, 110284283006640, 3748357699560961, 137557910094840848, 5421179050350334929, 228359487335194570528, 10239206473040881277575, 486909744862576654283616, … 
이 자연수열을

라고 표기하면, 그 생성 함수는

이다.
증명:
크기 의 집합의 분할에서, 크기 의 성분의 수가 이라고 하자. 즉,

이다.

이 경우, 주어진 분할을 연결 성분 분할로 갖는 숲 그래프의 수는

이다.

크기 의 집합의 경우, 이러한 분할의 수는

이다.

따라서, 생성 함수 는 다음과 같은 유한 중복집합에 대한 합으로 나타내어진다.

여기서 는 유한 중복집합들, 즉 함수

가운데

인 것들의 족이며,

이고,
이다.

예 
정의에 따라, 모든 무변 그래프는 숲 그래프이며, 특히 한원소 그래프 은 나무 그래프이다.

임의의 양의 정수 에 대하여, 경로 그래프 은 나무 그래프이다. 또한, 양쪽 무한 경로 그래프

및 한쪽 무한 경로 그래프

역시 둘 다 나무 그래프이다.

프뤼퍼 열의 예 
다음과 같은 유한 나무 그래프 를 생각하자.

이 경우,
 잎 꼭짓점들은 이며, 이 가운데 최솟값은 1이다. 이는 꼭짓점 4에 연결되어 있다. 즉, 이며 이다. 이제, 꼭짓점 1을 제거하자.
 에서, 잎 꼭짓점들은 이며, 이 가운데 최솟값은 2이다. 이는 꼭짓점 4에 연결되어 있다. 즉, 이며 이다. 이제, 꼭짓점 2를 제거하자.
 에서, 잎 꼭짓점들은 이며, 이 가운데 최솟값은 3이다. 이는 꼭짓점 4에 연결되어 있다. 즉, 이며 이다. 이제, 꼭짓점 3을 제거하자.
 에서, 잎 꼭짓점들은 이며, 이 가운데 최솟값은 4이다. 이는 꼭짓점 5에 연결되어 있다. 즉, 이며 이다. 이제, 꼭짓점 4를 제거하자.
 에서, 잎 꼭짓점들은 이며, 이 가운데 최솟값은 5이다. 즉, 이다. 이는 꼭짓점 6에 연결되어 있으나, 이 역시 잎 꼭짓점이므로, 프뤼퍼 열은 끝난다.

즉,

이다.

역사 
케일리 공식은 1860년에 카를 빌헬름 보르하르트(, 1817~1880)가 최초로 증명하였다. 이후 1889년에 아서 케일리가 같은 정리의 새 증명을 발표하였다. 케일리는 보르하르트의 논문을 인용하였지만, 이 공식은 더 유명한 케일리의 이름을 따 불리게 되었다.

에른스트 파울 하인츠 프뤼퍼(, 1896~1934)는 1918년에 프뤼퍼 열을 도입하였으며, 이를 사용하여 이에 대한 다른 증명을 제시하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

그래프
이분 그래프