푸앵카레 군

푸앵카레 군(Poincaré群, )은 민코프스키 공간의 대칭군이다. 공간 회전 3방향과 로런츠 변환 3방향, 공간 병진 3방향과 시간 병진 1방향으로 총 10차원의 리 군을 이룬다. 앙리 푸앵카레의 이름을 땄다. 기호로는 보통 ISO(3,1)을 쓴다. "ISO"는 ""의 약자로, 즉 로런츠 군 SO(3,1)에다 병진군 를 추가한 군이다.

정의 
d 차원 푸앵카레 군은 병진 변환의 아벨 군 과 로런츠 군 의 반직접곱이다. 즉,

이다. 이때 사용되는 작용은 의 행렬로서의 자연스런 작용이다. 즉, 의 에 대한 작용은

이며, 는 행렬로서의 곱셈이다.

성질 
d차원 민코프스키 공간에서의 푸앵카레 군의 차원은

이다. 특히, 4차원 푸앵카레 변환은 10차원의 리 군을 이룬다.

푸앵카레 군 ISO(3,1)의 임의의 원소 은 사차원 벡터 에 다음과 같이 작용한다.
.
여기서 는 임의의 로런츠 변환이고, 는 임의의 사차원 벡터다. 즉, 일반적인 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 사차원 병진 변환()의 합성이다. 어떤 이론 또는 스칼라 값이 임의의 푸앵카레 변환 아래 불변이면 그 이론 또는 값이 푸앵카레 대칭성을 지닌다고 한다.

푸앵카레 변환은 민코프스키 공간의 내적

을 보존한다. 따라서 푸앵카레 군은 민코프스키 공간에 대한 유클리드 군(, 유클리드 공간의 대칭군)에 해당하는 군으로 생각할 수 있다.

푸앵카레 변환 가운데 인 경우는 로런츠 변환이고, 로런츠 변환으로 이루어진 리 군을 로런츠 군(, 기호 SO(3,1)), 로런츠 변환에 대한 대칭을 로런츠 대칭성()이라고 한다.

앞의 변환 의 연산자를 라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다.
 
 
 

푸앵카레 군의 군 표현론은 위그너 분류라고 불린다.

리 대수 
푸앵카레 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.

이것은 등각 대칭이다.

역사 
헤르만 민코프스키가 1908년에 도입하였다. 앙리 푸앵카레는 사실 푸앵카레 군에 대해 논하지 않았으나, 푸앵카레는 1905년에 로런츠 군이 군을 이룬다는 사실을 보였고, 푸앵카레의 이름을 따 명명되었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

입자물리학
상대성이론
리 군
양자장론