불 대수

순서론과 추상대수학, 논리학에서 불 대수(Boole代數, )는 고전 명제 논리의 명제의 격자와 같은 성질을 갖는 격자이다. 즉, 논리적 공리들을 만족시키는 논리합과 논리곱 및 부정의 연산이 정의된 대수 구조이다.

정의 
불 대수의 개념은 다양하게 정의할 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다.
 불 대수는 특정 조건을 만족시키는 유계 격자(또는 직교 여원 격자 또는 헤이팅 대수)로 여길 수 있다.
 불 대수는 특정 조건을 만족시키는 가환환으로 여길 수 있다.
 불 대수의 범주는 스톤 공간(Stone空間, )이라는 특정 위상 공간의 범주의 반대 범주이다. 이를 통해, 불 대수를 특정 위상 공간 속의 특정 집합족으로 여길 수 있다.

직교 여원 격자를 통한 정의 
직교 여원 격자에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 불 대수라고 한다.
 분배 격자이다.
 임의의 원소 에 대하여, 이며 인 가 유일하게 존재한다. (이는 물론 이다.)
 (엘칸 법칙 ) 임의의 에 대하여, 
 직교모듈러 격자이며, 임의의 원소 에 대하여, 다음 세 조건들을 만족시키는 함수 가 존재한다.
 
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 라면 

불 대수의 준동형은 여원과  및 을 보존시키는 격자 준동형이다. 불 대수의 정의는 대수적이므로, 불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

유계 격자를 통한 정의 
유계 격자 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 격자를 불 대수라고 한다.
 모듈러 격자이며, 임의의 에 대하여, 이자 인 원소 가 유일하게 존재한다.
 분배 격자이며, 임의의 에 대하여, 이자 인 원소 가 적어도 하나 이상 존재한다.
 임의의 에 대하여, 이자 인 원소 가 유일하게 존재하며, 또한 인 가 존재한다.
여기서 는 부분 순서 집합 의 극소 원소들의 집합이다.

헤이팅 대수를 통한 정의 
헤이팅 대수 에 대하여,

를 정의하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 헤이팅 대수를 불 대수라고 한다.
 (대합) 은 대합이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.
 (배중률) 모든 원소 에 대하여, 이다.
이 경우, 은 직교 여원 격자를 이룬다.

환론적 정의 
(단위원을 갖는) 환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 불 대수라고 한다.
 모든 원소가 멱등원이다. 즉, 모든 에 대하여, 이다.
 는 유한체 의 직접곱 의 부분환과 동형이다 (는 임의의 기수).
특히, 자명환은 불 대수이다. (둘째 정의에서 이는 에 해당한다.)

불 대수 준동형은 두 불 대수 사이의 환 준동형이다.

위상수학적 정의 
스톤 공간()은 콤팩트 완전 분리 하우스도르프 공간이다. 스톤 공간과 연속 함수의 범주를 이라고 쓰자.

스톤 공간의 열린닫힌집합들의 족은 유계 격자를 이룬다. 스톤 공간의  열린닫힌집합들의 족과 동형인 유계 격자를 불 대수라고 한다.

열린닫힌집합의 연속 함수 아래의 원상은 열린닫힌집합이다. 따라서, 두 불 대수 , 에 대응하는 스톤 공간 , 가 주어졌을 때, 연속 함수 는 함수

를 유도한다. 두 불 대수 사이의 불 대수 준동형은 이와 같이 스톤 공간 사이의 연속 함수로 유도될 수 있는 함수이다.

이에 따라, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

이 정의가 불 대수의 다른 정의들과 동치라는 사실은 스톤 표현 정리()라고 한다.

특히, 이 정의는 환론적 정의와 다음과 같은 관계를 갖는다. 모든 가환환에 대하여, 스펙트럼이라는 위상 공간을 대응시킬 수 있으며, 이는 가환환의 범주 의 반대 범주에서 위상 공간의 범주 로 가는 함자

를 정의한다. 만약 이 가환환이 불 대수를 이룬다면 그 스펙트럼은 스톤 공간을 이룸을 보일 수 있으며, 이는 열린닫힌집합족 함자의 역함자이다. 즉, 다음과 같은 두 함자가 존재하며, 이는 범주의 동치를 이룬다.

불 대수의 스펙트럼은 다음과 같이 직접적으로 묘사할 수 있다. 불 대수의 극대 아이디얼은 극대 순서 아이디얼과 일치하며, 불 대수의 쌍대성에 따라 이는 극대 필터와 일대일 대응한다. 따라서, 가 두 개의 원소의 불 대수라면, 극대 필터들의 집합은 이다. 이 위에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 부여하면, 스톤 공간을 이룬다.

이는 에 이산 위상을 부여하고, 멱집합 에 곱위상을 부여한 뒤, 에 부분 공간 위상을 부여한 것과 같다.

범주론적 정의 
모든 원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있다. 이 경우, 부분 순서 집합은 서로 동형인 두 대상이 항상 같은 원순서 집합이며, 헤이팅 대수는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주인 부분 순서 집합이다.

불 대수는 다음 조건을 만족시키는 작은 얇은 범주이다.
 서로 동형인 두 대상은 같다.
 유한 완비 범주이며 유한 쌍대 완비 범주이다.
 데카르트 닫힌 범주이다.
 임의의 두 대상 에 대하여, 다음과 같은 동형이 존재한다. (이들은 드 모르간 법칙을 범주론적 용어로 번역한 것이다.)

여기서 는 범주론적 곱이며, 는 쌍대곱이며, 은 시작 대상이며, 는 지수 대상이다.

서로 다른 정의들의 비교 
불 대수의 서로 다른 정의들은 다음과 같이 대응된다.

성질

순서론적 성질 
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center"
|| || 완비 격자 || ⇐ || 완비 헤이팅 대수 ||  ⇐ || 완비 불 대수
|-
|| || || || || || ⇓
|-
|| || ⇓ || || ⇓ || || 시그마 대수
|-
|| || || || || || ⇓
|-
| 원순서 집합 ⇐ 부분 순서 집합 ⇐ || 유계 격자 || ⇐ || 헤이팅 대수 || ⇐ || 불 대수
|}

불 대수를 가환환으로 여겼을 때, 그 아이디얼은 순서 아이디얼과 일치한다.

환론적 성질 
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
가환환 ⇐ 가환 축소환 ⇐ 가환 반원시환 ⇐ 가환 폰 노이만 정칙환 ⇐ 불 대수

임의의 불 대수 는 가환환이고 표수가 2이며 (즉 모든 원소는 자신의 덧셈 역원이다) 따라서 유한체  위의 결합 대수이다.
증명:
가환성: 임의의 에 대하여 이다.

표수 2: 위에서 이라면 이다.
(그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 는 이므로 불 대수가 아니다.)

아이디얼 
불 대수의 임의의 몫환은 불 대수이다. 불 대수의 임의의 부분환은 불 대수이다.

불 대수의 스펙트럼은 스톤 공간이다. 특히, 불 대수의 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 불 대수 의 임의의 극대 아이디얼 에 대한 몫환은 크기 2의 유한체이다.

불 대수는 폰 노이만 정칙환이며, 따라서 그 위의 모든 가군은 평탄 가군이다.

불 대수의 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다. 구체적으로

이다.

범주론적 성질 
불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 그 범주는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 자유 대상을 갖는다.

예

멱집합 

임의의 집합 의 멱집합 은 크기가 인 불 대수를 이룬다. 반대로, 모든 유한 불 대수는 어떤 유한 집합의 멱집합의 불 대수와 동형이다. 특히, 공집합의 멱집합 은 가장 작은 불 대수이며, 또한 인 유일한 불 대수이다.

집합 에 대하여, 멱집합 에 대응하는 스톤 공간은 의 스톤-체흐 콤팩트화이다.

멱집합과 동형이 아닌 무한 불 대수 또한 존재한다. 예를 들어, 집합  및 기수 가 주어졌을 때,

로 정의하자. 만약 이거나 이라면, 이는 둘 다 불 대수를 이룬다. 예를 들어, 일 경우, 는 크기가 인 불 대수이며, 따라서 멱집합과 동형일 수 없다.

자유 불 대수 
불 대수는 대수 구조 다양체를 이루므로, 임의의 생성원의 집합에 대응하는 자유 불 대수가 존재한다.

스톤 표현 정리에 따라서, 임의의 기수 에 대하여, 개의 생성원으로부터 생성되는 자유 불 대수에 대응하는 스톤 공간은

이다. 여기서 은 2개의 점을 가진 이산 공간이며, 에는 곱 위상을 준다. 이 경우, 번째 생성원은 튜플의 번째 성분이 1인 모든 원소들로 구성된 열린닫힌집합에 대응한다.

만약 가 유한할 경우, 자유 불 대수의 크기는 이며, 만약 가 무한할 경우 자유 불 대수의 크기는 이다.

사유한군 

스톤 공간을 이루는 위상군은 사유한군이라고 한다.

응용

논리학 

논리학에서, 불 대수는 고전 명제 논리의 모형을 제공한다. 만약 고전 명제 논리를 직관 논리로 약화시키면, 불 대수 대신 헤이팅 대수를 사용하여야 한다.

컴퓨터 과학 
불 대수는 디지털 회로 설계에 응용된다. 디지털 회로는 전압의 H(High), L(Low)만으로 정보를 연산하기 때문에, 기본적으로 조합 회로는 불 대수에 있는 논리식을 써서 나타낼 수 있다. (하지만, 플립플롭 등 순차 회로는 단순하게 하나의 논리식으로 나타낼 수 없다.) 높은 전압(H)를 1로, 낮은 전압(L)을 0으로 하는 논리 형식을 정논리, 낮은 전압 (L)을 1로, 높은 전압(H)를 0으로 하는 논리 형식을 부논리라고 한다.

역사 
불 대수의 개념은 1847년에 조지 불이 논리학을 형식화하기 위하여 도입하였다. 이후 불은 1854년의 저서에서 이 개념을 추가로 설명하였다. 불은 논리곱과 배타적 논리합을 기초적 연산으로 삼았는데, 이는 오늘날에 불 대수를 가환환의 일종으로 여기는 것과 같다.

이후 윌리엄 스탠리 제번스(, 1835~1882) · 찰스 샌더스 퍼스(1839~1914) · 에른스트 슈뢰더(, 1841~1902) 등이 불의 논리 대수의 연구를 계속하였다. 제번스는 1864년의 저서에서 불이 사용한 배타적 논리합 대신 (배타적이지 않은) 논리합을 최초로 사용하였다. 이 책에서 제번스는 다음과 같이 적었다.

1913년 논문에서 미국의 헨리 모리스 셰퍼(, 1882~1964)가 "불 대수"()라는 용어를 최초로 사용하였다. 이 논문에서 셰퍼는 불 대수의 모든 연산을 부정논리곱으로서 정의할 수 있음을 보였다.

스톤 표현 정리는 마셜 하비 스톤이 1936년에 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크