리 군

리 군(Lie群, )은 매끄러운 다양체인 위상군이다. 즉 군의 연산이 매끄러움 구조에 따라 매끄러운 경우다. 소푸스 리의 이름을 땄다. 연속적인 대칭을 나타내기 위하여 쓰인다.

정의 
위상군 에 매끄러운 다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원

역시 매끄러운 함수라고 하자. 그렇다면 를 리 군이라고 한다. (사실, 힐베르트의 5번째 문제()의 해에 따라 다양체 · 매끄러운 다양체 · 해석다양체를 구분할 필요가 없다.) 범주론적으로, 이를 매끄러운 다양체의 범주에서의 군 대상으로 정의할 수도 있다. 리 군의 사상()은 매끄러운 함수인 군 준동형이다.

짝수 차원 리 군 에 복소다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원

이 정칙 함수라고 하자. 그렇다면 를 복소수 리 군()이라고 한다. 복소수 리 군의 사상()은 정칙 함수인 군 준동형이다.

표현 
리 군 G의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 공간 V 위에서의 표현(表現, )은 매끄러운 군 준동형 이다. 힐베르트 공간  위의 표현일 경우, 대개 가역 유계 작용소의 군 으로 가는 매끄러운 준동형 로 정의한다.

반단순 리 군의 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 나타내어진다.

성질 
리 군은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.
 유한 개의 리 군의 곱공간은 리 군을 이룬다. (무한 개의 리 군의 곱공간은 무한 차원이므로, 매끄러운 다양체의 정의에 속하지 않는다.)
 (카르탕 닫힌 부분군 정리 ) 리 군의 (위상적으로) 닫힌 부분군의 부분 공간 위상은 매끄러운 다양체이며, 따라서 이에 국한하면 리 군을 이룬다.
 리 군의 닫힌 정규 부분군에 대한 몫군은 리 군이다.
 리 군의 범피복 공간은 자연스러운 리 군의 구조를 갖춘다. (범피복 공간이 아닌 다른 피복 공간에서는 군 구조가 매끄럽지 않을 수 있다.)

위상수학적 성질 
국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 위상군은 항상 하우스도르프 공간이다. 따라서, 파라콤팩트 조건만을 추가하면 자동적으로 다양체를 이룬다.

힐베르트의 5번째 문제()의 해에 따르면, 임의의 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 파라콤팩트 위상군에 대하여, 이와 위상동형이자 군으로서 동형인 리 군이 존재한다. 또한, 이러한 리 군은 유일하다. 즉, 리 군을 정의할 때, 다양체와 매끄러운 다양체를 굳이 구분할 필요가 없다.

또한, 리 군의 경우, 항상 해석다양체(추이 사상이 항상 해석함수인 매끄러운 다양체)로 만들 수 있으며, 그 군 연산 또한 해석함수가 되게 할 수 있다.

두 리 군 사이의 연속 군 준동형은 항상 매끄러운 함수이자 해석함수이다.

분류 
연결 공간이 아닌 리 군 는 다음과 같이 이산군과 연결 리 군으로 분해할 수 있다. 을 단위원을 포함하는 최대 연결 부분군이라고 하자. 그렇다면 은 이산군이다. 다시 말해, 모든 리 군은 연결 리 군의 이산군에 대한 확대이다. 모든 연결 리 군은 또한 (범피복군을 취하여) 단일 연결 리 군 의 몫군  (여기서 은 이산 중심 정규 부분군)으로 나타내어진다. 따라서 리 군의 분류는 단일 연결 리 군의 분류로 귀결된다.

(유한 차원) 단일 연결 리 군은 그 리 대수로 완전히 결정된다. 리 대수는 그 가해 부분 대수와 단순 부분 대수로 분해된다. 단순 리 군은 분류가 완료되었으나, 가해 리 군의 분류는 매우 어렵다.

역사 
리 군의 이론은 노르웨이의 수학자 소푸스 리가 1873년 경에 미분 방정식의 대칭성을 연구하기 위하여 "변환군"()이라는 이름으로 도입하였다.
그러나 리의 논문들은 (처음 하나를 제외하고) 모두 독일 저널이 아닌 노르웨이 저널에 출판되었기 때문에, 수학계에서 별다른 관심을 받지 못하였다. 1884년에 젊은 독일 수학자 프리드리히 엥겔()이 리의 이론에 관심을 갖게 되었다. 리와 엥겔은 리 이론에 대한 총 3권의 책 《변환군론》()을 1888년~1893년에 독일어로 출판하였고, 이후 리 이론은 수학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다.

1888년~1890년 동안 빌헬름 킬링은 리 군과 리 대수의 개념을 독자적으로 재발견하였고, 반단순 리 군의 구조론을 제창하였다. 1893년에 리의 제자 아르튀르 트레스()는 "리 군"()이라는 용어를 최초로 사용하였다. 엘리 카르탕은 1894년 박사 학위 논문에서 킬링의 구조론을 개량·정리하였다. 카르탕은 1930년에 카르탕 닫힌 부분군 정리를 증명하였다.

헤르만 바일은 반단순 리 군의 기약 표현들을 무게로서 분류하였고, 이에 대한 바일 지표 공식을 증명하였으며, 이를 양자역학에 응용하였다. 그 뒤 클로드 슈발레와 하리시찬드라 역시 리 군의 이론에 큰 공헌을 하였고, 이는 이후 로버트 랭글랜즈의 랭글랜즈 프로그램으로 이어졌다.

참고 문헌

리 이론의 역사

응용

같이 보기 
 아벨 군
 리 대수
 대수군
 위상군

외부 링크