가우스-뤼카 정리

복소해석학에서, 가우스-뤼카 정리()는 복소수 다항식의 임계점이 영점의 볼록 껍질에 놓인다는 정리이다.

정의 
복소수 다항식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도함수 의 영점은 의 영점의 볼록 껍질에 속한다. 이를 가우스-뤼카 정리라고 한다.

증명 
다음과 같은 명제를 보이는 것으로 족하다.
 만약 의 모든 영점이 어떤 반평면 에 속한다면, 의 모든 영점 역시 에 속한다.
이를 위해 의 (중복도를 고려한) 영점을 이라고 하고, 라고 하자. 또한 라고 하자. 그러면 이므로, 다음이 성립한다.

이는 에 로그를 취한 뒤 에서의 도함수를 취하여 얻는다. 는 어떤 유향 직선 의 오른쪽 반평면이며, 다음과 같은 방정식을 갖는다.

따라서, 각 에 대하여, 다음이 성립한다.

역수의 허수부는 부호가 반대되므로, 다음이 성립한다.

이에 따라 다음이 성립한다.

즉, 이다.

역사 
카를 프리드리히 가우스와 에두아르 뤼카가 각각 독립적으로 제시하였다.

같이 보기 
 마든 정리

각주

참고 문헌 
 

복소해석학 정리
볼록 해석