벨 수

조합론에서 벨 수(Bell數, )는 주어진 크기의 집합의 분할의 수를 세는 정수열이다. 12정도의 해 가운데 하나이며, 또한 푸아송 분포의 모멘트이다.

정의 
n번째 벨 수() Bn은 n개의 원소들로 구성된 집합을 분할하는 방법의 가지수이다. 이는 n개의 원소들 사이의 동치 관계의 수로 생각할 수 있으며, 또 행의 시에서 가능한 각운 패턴의 수로도 여길 수 있다.

제2종 스털링 수 는 개의 원소들로 구성된 집합을 개의 조각으로 분할하는 방법의 수이다. 따라서 벨 수는 제2종 스털링 수의 합이다.

투샤르 다항식 
투샤르 다항식() 또는 벨 다항식()은 다음과 같은 다항식열이다.

이는 음계산법을 써 다음과 같이 표기할 수 있다. 하강 포흐하머 기호는 이항형 다항식열을 이루므로, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.

여기서 은 하강 포흐하머 기호이다. 이 범함수의 역범함수

를 생각하면,

가 된다.

벨 수는 투샤르 다항식의 인 값이다.

투샤르 다항식은 이항형 다항식열이다. 이에 대응하는 델타 작용소는 의 역함수인

이다.

표 
벨 수열의 값은 다음과 같다. (B0 = B1 = 1부터 시작한다.) 
1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, …

투샤르 다항식열의 값은 다음과 같다.

성질

점화식 
투샤르 다항식과 벨 수는 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.

이는 음계산법으로 표기하면 다음과 같다.

도빈스키 공식 
다음 공식은 도빈스키 공식()라고 불린다.

이에 따라, 번째 벨 수는 기댓값이 1인 푸아송 분포

의 번째 모멘트이다.

이는 음계산법으로 다음과 같이 유도할 수 있다. 우선

이다. 따라서,

이므로,

이다. 즉,

가 된다.

생성 함수 
투샤르 다항식 및 벨 수는 다음과 같은 지수 생성 함수를 갖는다.

이는 음계산법을 사용하여 쉽게 유도할 수 있다.  하강 포흐하머 기호의 델타 작용소는 전방 유한 차분

이며, 따라서

이다. 즉,

이다. 그런데

이므로

이다. 따라서

이다.

적분 표현 
지수 생성 함수에 코시 적분 정리를 사용하여, 투샤르 다항식과 벨 수를 다음과 같이 선적분으로 나타낼 수 있다.
 
 
여기서 는 원점을 시계 반대 방향으로 한 번 도는 임의의 폐곡선이다.

역사 

벨 수는 중세 일본 수학에서 최초로 등장한다. 《겐지모노가타리》에서의 한 일화로부터 겐지코()라는 놀이가 등장했는데, 이 놀이에서는 5개의 향 가운데 어떤 것들이 같은 냄새의 향인지 구별하는 것이 목표이다. 가능한 해의 수는 벨 수에 따라 총 가지다. 이 52가지의 벨 수는 겐지몬()이라는 문양으로 나타내어져, 겐지모노가타리의 54개의 장의 각 표지에 표시되었다. (이 가운데 54장 〈유메 노 우키하시〉()에는 벨 수와 관계없는 겐지몬이 붙어 있으며, 35장 〈와카나 노 게〉() 와 42장 〈니오노미야〉()의 겐지몬은 모양이 다르지만 같은 집합의 분할에 대응한다.)

1877년에 폴란드의 구스타브 도빈스키()가 오늘날 도빈스키 공식이라고 불리는, 벨 수에 대한 공식을 발표하였다. 벨 삼각형은 찰스 샌더스 퍼스가 1880년에, 알렉산더 에잇컨()이 1933년에 거론하였다.

스리니바사 라마누잔은 노트 2권 3장에서 투샤르 다항식과 벨 수에 대하여 연구하였으나, 출판하지 않았다.

에릭 템플 벨()은 이 수들에 대하여 1934년부터 다루기 시작하였다. 벨은 원래 이 수들을 "지수적 수"()라고 불렀으나, 이후 벨을 기려 "벨 수"라고 불리게 되었다. 자크 투샤르()는 투샤르 다항식을 1939년에 도입하였다.

같이 보기 
 집합의 분할
 스털링 수
 12정도
 포흐하머 기호
 음계산법
 베르누이 수

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

조합론
정수열