폐포 (위상수학)

위상수학에서 폐포(閉包, )는 주어진 위상 공간의 부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 이는 그 부분 집합의 원소와 극한점으로 구성된다. 의 폐포는  또는 와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해  또는  또는 와 같이 쓸 수도 있다. 위상이 거리 함수 로 유도되었을 경우  또는 와 같이 써도 좋다.

정의 
위상 공간 의 부분 집합 이 주어졌다고 하자. 점 이 다음 조건을 만족시킨다면, 의 폐포점(閉包點, )이라고 한다.
 의 모든 근방 에 대하여, 이다.

만약 의 국소 기저 가 주어졌을 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 폐포점이다.
 모든 에 대하여, 이다.

특히, 폐포점의 정의에서 ‘근방’을 ‘열린 근방’으로 대체할 수 있다.

위상 공간 의 부분 집합 의 폐포 는 의 모든 폐포점들의 집합이다.

성질

극한점과의 관계 
위상 공간 의 부분 집합  및 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 폐포점이다.
 이거나, 는 의 극한점이다.

즉, 의 폐포는 와 그 유도 집합의 합집합이다.

닫힌집합과의 관계 
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 닫힌집합이다.
 
 
 

반대로, 의 폐포는 를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 이는 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.

내부·경계와의 관계 
위상 공간 의 부분 집합  및 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 폐포점이다.
 는 의 내부점이거나 경계점이다.
 는 의 여집합 의 내부점이 아니다.

즉, 의 폐포는 의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한 의 내부와 경계의 분리 합집합이다.

반대로, 의 경계는 와 그 여집합의 폐포의 교집합이다.

항등식 
위상 공간 의 부분 집합  및 집합족 에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.

즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 교집합을 보존하지 않는다.

표준적인 위상을 갖춘 실수선  위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자.

그렇다면, 의 합집합 의 폐포 는 의 폐포 의 합집합 을 진부분 집합으로 포함한다. 또한, 와 의 교집합의 폐포는 공집합이며, 이는 의 폐포 와 의 폐포 의 교집합 의 진부분 집합이다.

예

이산 공간 
이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다.

비이산 공간 
비이산 공간의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.

열린 공 
에 대하여, (노름 위상을 갖춘) -노름 공간 위의 열린 공

의 폐포는 닫힌 공

이다. 일반적인 거리 공간의 경우, 열린 공은 항상 열린집합이며, 닫힌 공은 항상 닫힌집합이지만, 열린 공의 폐포는 그에 대응하는 닫힌 공이 아닐 수 있다. 예를 들어, 이산 거리 공간  위에서, 를 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 다음과 같다.

하지만 열린 공의 폐포는 자기 자신이며, 만약 인 경우 이는 닫힌 공과 일치하지 않는다.

균등 공간 
(균등 위상을 갖춘) 균등 공간 의 부분 집합 의 폐포는 의 대칭 측근들에 대한 상들의 교집합과 같다.

임의의 측근 에 대하여, 는 측근이며, 이다. 따라서, 임의의 에 대하여,

은 의 국소 기저를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다.

스콧 위상 
원순서 집합  위에 스콧 위상을 주었을 때, 한원소 집합의 폐포는 그 하폐포이다.

각주

외부 링크 
 
 
 

폐포 연산자
일반위상수학