큰 수의 법칙

큰 수의 법칙(큰 數의 法則, ) 또는 대수의 법칙, 라플라스의 정리는 큰 모집단에서 무작위로 뽑은 표본의 평균이 전체 모집단의 평균과 가까울 가능성이 높다는 통계와 확률 분야의 기본 개념이다.

약한 법칙 
큰 수의 약한 법칙(또는 대수의 약법칙)은 확률 변수의 무한열 X1, X2, X3, ...이 모두 같은 기댓값 μ, 분산 σ2을 가지고 서로 상관 관계가 없을 때(임의의 두 확률 변수 사이의 상관 계수가 0), 표본의 평균

이 μ로 수렴한다는 것이다. 다시 적자면, 어떤 작은 양의 수 ε에 대해서도

이 성립한다.

일반화 
대수의 약법칙은 각 X1, X2, X3, ...이 모두 기댓값  에 대하여 independent identically distributed를 만족하고, 분산  이 다르더라도 분산의 합  이 무한대로 발산한다면 성립한다. 이 경우의 공식화는 임의의 작은 양수 ε에 대해서 다음과 같다.

성립 조건 
위의 일반화된 대수의 약법칙이 성립할 조건을 약화시킬 수 있다. 먼저 를 다음과 같이 정의하자.

 

그러면,  의 확률변수열이 위의 일반화된 대수의 약법칙에 따르기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

강한 법칙 
큰 수의 강한 법칙(또는 대수의 강법칙)은 확률 변수의 무한열 X1, X2, X3, ... 이 주어지고, 각 확률 변수가 E(|Xi|) < ∞  이고 (기댓값 μ), 서로 독립이며 동일한 분포일 때,

이 성립한다. 즉 표본의 평균은 거의 확실하게 μ로 수렴한다.

같이 보기 
 중심 극한 정리

각주

참고 문헌 
 최용갑, 《확률론의 기초》, 경문사, 2006.
위키피디아, iid, 2021. 10. 20., https://en.wikipedia.org/wiki/Independent_and_identically_distributed_random_variables, 

확률론
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확률론 정리
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