코시-슈바르츠 부등식

선형대수학에서 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz不等式, ) 또는 코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식(Cauchy-Буняковский-Schwarz不等式, )은 내적 공간 위에 성립하는 부등식이다. 이 부등식은 무한 급수 · 함수 공간 · 확률론의 분산과 공분산 등에 널리 응용된다.

정의 
가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 -벡터 공간 
  위의 양의 준정부호 에르미트 형식  (일 때, 이는 양의 준정부호 쌍선형 형식과 같다). 즉, 다음이 성립한다. (특히, 첫째 벡터에 대하여 반선형, 둘째 벡터에 대하여 선형이라고 하자.)
 
그렇다면, 코시-슈바르츠 부등식에 의하면 다음이 성립한다.

증명:
만약 이며 일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라

이므로 자명하게 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. 마찬가지로, 만약 이며 일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라

이므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. (양의 정부호 에르미트 형식의 경우 은 을 함의하며 이는 자명하게 을 함의하므로 위와 같은 과정이 필요 없다.) 따라서,  또는  가운데 하나가 양의 실수라고 가정할 수 있다. 편의상 라고 하자.

양의 준정부호 조건에 의하여, 임의의 에 대하여

이다. 이제,

를 대입하면 다음과 같다.

이를 정리하면 다음과 같이 코시-슈바르츠 부등식을 얻는다.
또한, 만약 가 양의 정부호라면, 코시-슈바르츠 부등식에서 등호가 성립할 필요 충분 조건은 와  일차 종속인 경우이다.

부정부호의 경우 
일반적으로, 부정부호 에르미트 형식의 경우 코시-슈바르츠 부등식은 성립하지 않는다. 다만, 민코프스키 공간의 시간꼴 벡터의 경우 다음이 성립한다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 실수 벡터 공간 
  위의 쌍선형 형식 . 또한, 은 1차원 부분 벡터 공간이다.

그렇다면, 다음이 성립한다. (정부호의 경우에 대하여 부호가 반대인 것에 주의.)

증명:
만약 이라면 (좌변은 음이 아닌 실수, 우변은 양이 아닌 실수이므로) 부등식이 자명하게 성립한다. 따라서 와  둘 다 양이 아닌 실수라고 가정하자. 또한, 만약 와 가 선형 종속이라면 이 부등식은 자명하게 (등식으로) 성립한다. 따라서 이 둘이 선형 독립이라고 가정하자. 이에 따라, 가정에 따라 는 인 원소 를 포함한다. 편의상 이것이 라고 가정하자.

실수 에 대하여, 2차 다항식

를 생각하자. 그렇다면 이는 에서 양이 아닌 실수이지만, 에서는 가 음이 아닌 실수이게 된다. 즉, 는 적어도 하나의 근을 갖는다. 이것이 성립할 필요 충분 조건은 판별식

이 음이 아닌 실수인 것이며, 따라서

이다.

또한, 2차원 민코프스키 공간의 경우는 위와 같은 조건을 생략할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 실수 벡터 공간 
  위의 쌍선형 형식 . 또한, 은 1차원 이하 부분 벡터 공간이며,  역시 1차원 이하 부분 벡터 공간이다.
그렇다면, 다음이 성립한다.

증명:
임의의 두 벡터 에 대하여, 항상 다음 두 경우 가운데 하나가 성립한다.
 만약 일 때: 위의 정리를 사용한다.
 만약 일 때: 위의 정리를 에 사용한다.

예

낮은 차원 
일 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같은 꼴이 된다.

특히, 인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻는다.

특히, 2차원 민코프스키 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

르베그 공간 

가측 공간  위의  르베그 공간 은 -힐베르트 공간을 이룬다. 이 경우 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

이는 횔더 부등식의 특수한 경우이다.

C* 대수 

C* 대수  위의 상태

가 주어졌을 때,

는  위의 양의 준정부호 에르미트 형식을 이룬다. 이에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

역사 

1821년에 오귀스탱 루이 코시가 유한 차원 벡터 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식을 증명하였다.

1859년에 빅토르 야코블레비치 부냐콥스키(, , 1804~1889)가 무한 차원의 경우를 증명하였다. 그러나 부냐콥스키의 논문은 널리 알려지지 않았다. 이후 1888년에 헤르만 아만두스 슈바르츠가 무한 차원 코시-슈바르츠 부등식을 재발견하였다.

1896년에 앙리 푸앵카레가 “슈바르츠 부등식”()이라는 용어를 최초로 사용하였다. 이후 이 부등식은 서유럽 및 미국에서 통상적으로 “코시-슈바르츠 부등식”으로 일컬어지고 있다. 반면, 동유럽에서는 부냐콥스키의 업적을 기려 이를 “부냐콥스키 부등식” 또는 “코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식” 등으로 일컫는다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

부등식
선형대수학
연산자 이론
확률부등식
오귀스탱 루이 코시