페르마의 소정리

수론에서 페르마의 소정리(Fermat小定理, )는 어떤 수가 소수일 간단한 필요 조건에 대한 정리이다. 추상적으로, 소수 크기의 유한체 위의 프로베니우스 사상이 항등 함수임을 의미한다.

정의 
가 소수이고, 가 정수라고 하자. 페르마의 소정리에 따르면, 법 에서 와 는 서로 합동이다.

위 식은 일 때 자명하게 성립한다. 만약 일 경우, 양변을 약분하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

이는 모든 소수가 만족시키는 필요조건이지만, 충분조건이 아니다. 즉, 페르마의 소정리에 나타난 합동식을 만족하는 수가 반드시 소수가 되지는 않는다.

를 만족하면서 소수가 아닌 를, 를 밑수로 하는  카마이클 수라고 부른다.

역사 
피에르 드 페르마의 이름이 붙어 있지만, 페르마는 이 정리를 언급했을 뿐, 정확한 증명을 제시하지는 않았다. 현재 기록상 남아 있는 증명 가운데 최초는 고트프리트 라이프니츠의 것이다.

증명 
페르마의 소정리를 증명하는 방법은 여러 가지가 있을 수 있지만, 가장 쉬운 방법으로 합동식을 이용하는 방법이 있다. 그 증명 방법을 나타내면 다음과 같다.

<li> 와 서로소인 소수 에 대해 인 개의 수를 살펴보자. 이 수들을 로 나눴을 때 나오는 나머지는 모두 다르다.
 증명 : 귀류법으로, 두 수 와 가 존재해서 그 나머지가 같다고 하자(인 정수). 그렇다면 그 두 수의 차 는 로 나누어질 것이다. 그러나 이므로 는 의 배수가 아니며, 문제의 가정에 따라 는 와 서로소이다.
 따라서 같은 나머지를 가지는 수가 없으므로, 개의 수는 모두 그 나머지가 다르다.
<li> 또 인 에 대해  역시 의 배수가 아니다. 이에 대한 증명은 위와 같으므로 생략한다.
<li> 이제 집합

를 정의하자. 이는 첫 번째에 가정한 개의 수들의 집합이다. 여기서 집합

인데, 와 서로소인 수를 로 나눌 때 생기는 모든 나머지들의 집합이다. 처음에 했던 증명에 의해, 와 의 크기는 같다.

<li> 따라서,

이다. 양변을 로 나누면,

을 얻는다.

일반화

오일러 정리 

이 정리는 오일러 파이 함수를 이용하여, 소수가 아닌 정수 n에 대해서까지 다음과 같이 일반화할 수 있다. n이 자연수, a가 n과 서로소인 자연수일 때,

이 성립한다. 식에서 는 오일러 파이 함수를 나타낸다.

유한체론 
유한체 이론에서 다항식의 나눗셈에 관련된 결과를 통해 페르마의 소정리를 일반화할 수도 있다.
표수가 인 유한체 에 대하여, 다음 두 명제가 성립한다.
 기약 다항식 에 대하여, 라면 이다.
 인 두 양의 정수 에 대하여, 를 인 k차 기약 다항식 들의 수라고 하자. 그렇다면

이다.

여기서, 뫼비우스 반전 공식에 따라 C(p, k)를 얻는 일반적인 공식을 구하면 다음과 같다.

여기서 는 뫼비우스 함수이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

수론 정리
사람 이름을 딴 낱말
모듈러 산술