서로소 아이디얼

수론과 환론에서 서로소(-素, )는 정수나 다항식들끼리의 최대 공약수가 1이라는 뜻의 표현이다. 즉, 서로소인 정수들의 공약수는 ±1뿐이며, 서로소인 다항식들의 공약수는 0차 다항식뿐이다. 서로소의 개념은 아이디얼의 경우에까지 확장할 수 있으며, 이는 정수와 다항식의 경우의 공통적인 일반화이다.

정의

정수의 경우 
정수 가 을 만족시키면, 이들이 서로소라고 한다. 특히 두 정수 의 최대 공약수가 1이라면, 이 두 정수가 서로소라고 한다.

정수 가 다음 조건을 만족시키면, 이들이 쌍마다 서로소(雙-素, )라고 한다.
 모든 서로 다른 두 정수의 쌍 은 서로소이다.
쌍마다 서로소는 서로소보다 강한 개념이다.

다항식의 경우 
체  위의 다항식 의 최대 공약수가 0차 다항식(즉, 1의 약수이자 1의 배수인 다항식)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 다항식의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다.

환의 원소의 경우 
정역 의 원소 의 최대 공약수가 가역원(즉, 곱셈 항등원의 약수이자 배수인 원소)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 원소의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다.

아이디얼의 경우 
환 의 아이디얼 가 다음 조건을 만족시키면, 서로소라고 한다.
 . 즉, 인 가 존재한다.
특히, 두 아이디얼 가 를 만족시키면 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 아이디얼의 쌍이 서로소라면, 이 아이디얼들이 쌍마다 서로소라고 한다.

성질

베주 항등식 

두 정수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 은 서로소이다.
 은 공통의 소인수를 갖지 않는다.
 (베주 항등식) 인 정수 가 존재한다.
 는 서로소이다.
두 다항식 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 서로소이다.
 는 공통의 기약 다항식 약수를 갖지 않는다.
 (베주 항등식) 인 가 존재한다.
 는 서로소이다.
보다 일반적으로, 환  및 그 두 원소 에 대하여, 만약 가 유일 인수 분해 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 서로소이다.
 는 공통의 소원 약수를 갖지 않는다.
만약 가 주 아이디얼 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 서로소이다.
 (베주 항등식) 인 가 존재한다.
 는 서로소이다.

중국인의 나머지 정리 

유사환의 쌍마다 서로소 아이디얼에 대하여 중국인의 나머지 정리가 성립한다. 정수나 다항식의 연립 합동 방정식의 해의 구조에 대한 명제는 이에 대한 특수한 경우이다.

확률론적 성질 
두 정수가 서로소일 확률은

이다.

소수 가 어떤 정수를 나눌 확률은 이며, 어떤 두 정수를 나눌 확률은 이다. 따라서 두 정수가 서로소일 확률은 이 둘을 모두 나누는 소수가 존재하지 않을 확률과 같으며, 이는 다음과 같다.

여기서 는 소수의 집합, 는 리만 제타 함수이다.

각주

외부 링크 
 
 

수론