집적점

일반위상수학에서 집적점(集積點, )은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다.

정의 
기수 가 주어졌다고 하자. 위상 공간  및 부분 집합  및 점 가 다음 조건을 만족시킨다면, 가 의 -집적점(集積點, )이라고 한다.
 임의의 의 근방 에 대하여, 이다.
특히, 임의의 점  및 부분 집합 에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다.

여기서 는 의 근방 필터이다. 즉, 는 항상 의 -집적점이다.

의 -집적점들의 집합을

로 표기하자.

특별한 값의 에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다.
 의 -집적점을 완비 집적점(完備集積點, )이라고 한다.
 -집적점을 응집점(凝集點, )이라고 한다. (여기서 은 최소의 비가산 기수이다.)
 2-집적점을 극한점(極限點, )이라고 한다. (즉, 의 극한점은 임의의 근방 에 대하여, 인 점 이다.) 극한점들의 집합을 유도 집합(誘導集合, )이라고 하며, 흔히 으로 표기한다.
 의 극한점이 아닌 점 은 고립점(孤立點, , )이라고 한다. (즉, 의 고립점은 가 열린집합인 점 이다.) 위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 집합 은 를 부분 공간으로 하는 위상 공간 의 선택과 무관하며, 특히 이는 의 고립점의 집합이다.
 1-집적점을 폐포점(閉包點, ) 또는 밀착점(密着點, )이라고 한다. 의 폐포점은 의 원소이거나 아니면 의 극한점이다. 폐포점들의 집합은 폐포 라고 한다.
 임의의 는 의 0-집적점이다.

성질

폐포와의 관계 
위상 공간 의 부분 집합 과 점 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 의 폐포점이다.
 이거나, 또는 는 의 극한점이다.
다시 말해, 의 폐포는 와 그 극한점들의 집합의 합집합이다.

위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 닫힌집합이다.

T1 공간의 경우 
만약 가 T1 공간이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 극한점이다.
 는 의 -집적점이다.
따라서, T1 공간의 경우 에 대하여 -집적점을 구별하지 않아도 된다.
증명:
가 의 -집적점이 아니라고 하자. 그렇다면, 가 유한 집합인 가 존재한다. (는 의 근방 필터이다.)

가 T1 공간이므로, 한원소 집합은 닫힌집합이다. 따라서,

역시 (유한 개의 열린집합들의 교집합이므로) 열린집합이다. (여기서 는 내부를 뜻한다.) 이자 이므로 는 의 극한점이 아니다.
T1 공간의 임의의 부분 집합의 유도 집합은 닫힌집합이다.

다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 이산 공간이다.
 의 모든 부분 집합은 극한점을 갖지 않는다.

유도 집합 
다음이 성립한다.
 임의의 에 대하여, 
 임의의 집합  및 기수 에 대하여, 
 임의의 집합  및 기수 에 대하여,

예 
실수선의 부분 집합

을 생각하면, 그 집적점 집합들은 다음과 같다.

실수선 속의, 무리수의 부분 집합 을 생각하자.

실수선 속의, 유리수의 부분 집합 을 생각하자.

실수선을 스스로의 부분 집합 으로 여기자.

즉, 실수선은 자기 조밀 공간이며 고립점을 갖지 않는다.

실수선 의 부분 공간 의 고립점은 0밖에 없다.

실수선의 부분 공간 에서는 0이 아닌 다른 모든 점들이 고립점이다. 0은 고립점이 아니다.

이산 공간 
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 이산 공간이다.
 의 모든 점은 고립점이다.

역사 
유도 집합()이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1872년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

일반위상수학
해석학 (수학)
극한 집합