가측 함수

측도론에서 가측 함수(可測函數, )는 원상이 가측성을 보존하는 함수이다.

정의 
두 가측 공간 ,  사이의 가측 함수 는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.
 모든 에 대하여, 

만약 공역이 유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역이 유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수 "는 보통 을 의미한다.

성질 
두 가측 함수

가 주어졌을 때, 그 합성 함수

역시 가측 함수이다.

보렐 가측 함수 
와 가 보렐 시그마 대수를 갖춘 위상 공간이라고 하면, 다음이 성립한다.
 와  사이의 모든 연속 함수는 가측 함수이다.
 반대로, 루진의 정리에 따르면, 가 제2 가산 공간이며 에 라돈 측도가 부여되었다면, 모든 가측 함수 는 의 (라돈 측도에 대하여) 거의 어디서나 연속 함수이다.

가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.
 두 가측 함수 에 대하여,  및 는 가측 함수이다.
 가측 함수의 열 의 점별 극한은 가측 함수이다.
 모든 르베그 적분 가능 함수 는 가측 함수이다.

르베그 가측 함수 
임의의 함수  및 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 가측 함수이다.
 다음 함수는 르베그 적분 가능 함수이다.

바나흐 공간 값 가측 함수 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 가측 공간 
 
 (표준적인 위상과 보렐 시그마 대수를 갖춘) -바나흐 공간 
그렇다면,  단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 이다.

(여기서 는 지시 함수이다.)

이제, 함수 에 대하여, 다음 세 조건을 정의하자.
 (강가측 함수, 强可測函數, ) 단순 함수의 열의 점별 극한이다.
 (약가측 함수, 弱可測函數, ) 임의의 연속 쌍대 공간 원소 에 대하여, 는 가측 함수이다.
 (분해 가능 값 함수, 分解可能값函數, ) 인 분해 가능 부분 공간 가 존재한다.
이 경우, 모든 강가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약가측 함수이다. 또한, 페티스 가측성 정리(Pettis可測性定理, )에 따르면, 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 강가측 함수이다.
 약가측 함수이며, 분해 가능 값 함수이다.
특히, 만약 가 분해 가능 바나흐 공간일 경우, 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 강가측 함수이다.
 가측 함수이다.
 약가측 함수이다.

가측 공간  및  및 두 -바나흐 공간 , 가 주어졌다고 하자. 만약 가 강가측 함수이며, 가 가측 함수라면, 는 강가측 함수이다.

예 
정의에 따르면 확률 변수는 확률 공간을 정의역으로 하는 가측 함수이다.

모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 가 가측 집합이 아닌 경우, 지시 함수 는 가측 함수가 아니다.

강가측 함수가 아닌 가측 함수 
분해 불가능 -바나흐 공간  위의 항등 함수

를 생각하자. 이는 연속 함수이므로 보렐 가측 함수이다. 그러나 가 분해 가능하지 않으므로, 페티스 가측성 정리에 따라 는 강가측 함수가 아니다.

가측 함수가 아닌 약가측 함수 
실수의 셈측도 공간  위의 르베그 공간 를 공역으로 하는, 다음과 같은 함수를 정의하자.

그렇다면, 는 약가측 함수이지만, 가측 함수가 아니다. 우선, 임의의 에 대하여,

는 가측 함수이다. 또한, 비가측 집합 에 대하여,

는 열린집합이므로 가측 집합이지만, 그 원상

는 가측 집합이 아니다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

측도론
함수의 종류