바른틀 앙상블

통계 물리학에서 바른틀 앙상블(canonical ensemble) 또는 정준 앙상블(正準-)은 온도와 계의 부피, 계 내부에 있는 입자의 수가 고정된 고립계로 이루어진 앙상블, 즉 확률 분포를 일컫는다. 입자 수 N, 부피 V, 온도 T의 약자를 따서 NVT 앙상블이라고도 한다. 온도를 고정시키기 위해서 각각의 계는 커다란 열원(heat reservoir)안에 들어있는 것으로 생각한다.

어떤 미시계 가 에너지 를 가지고 있을 확률 은 볼츠만 분포를 따른다.
. 여기에서 k는 볼츠만 상수이다.

분배 함수 

바른틀 앙상블에서, 계의 모든 미시상태에 일련 번호 (=1,2,3, ...)를 붙이고, 계가 미시상태 에 있을 때 계의 총 에너지를 로 표기하자. 일반적으로 계의 불연속적인 양자상태를 미시상태로 간주한다.

바른틀 분배함수는 다음과 같다.

 

여기서 β는 보통 다음과 같이 정의한다.

 

T는 계의 온도를 뜻하며, kB은 볼츠만 상수다. 미시상태에 겹침(degeneracy) 상태가 존재할 경우, 분배함수는 다음과 같이 쓴다.

 

여기서 는 겹침 인자다.

물리적 의미 
분배 함수는 온도 T와 미시상태 i의 에너지 Ei의 함수다. 또한 미시상태의 에너지는 입자의 개수, 계의 부피와 같은 열역학적 변수의 함수다. 미시상태의 에너지를 계산해서 분배함수를 구성할 수 있으면, 그 분배함수에서 계의 다른 열역학적 특성을 계산해낼 수 있다.

또한 분배 함수에는 중요한 통계적 의미가 있다. 계가 미시상태 j에 있을 확률 Pj은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

여기서 는 볼츠만 인자다. 여기서 분배함수는 확률값의 합을 1로 만드는 틀맞춤(Normalization) 상수로 쓰였다.

 

"분배 함수"라는 이름은 각각 다른 미시상태의 확률을 '분배'한다고 해서 붙여진 이름이다. Z란 문자는 독일어 단어 Zustandssumme에서 왔으며 "상태의 합(영어: "sum over states")"이란 뜻이다.

헬름홀츠 자유에너지 
바른틀 앙상블과 관계있는 자유에너지로, 헬름홀츠 자유에너지 A 가 있다.

이는 에너지와 다음과 같은 관계를 만족한다.

여기에서 는 엔트로피이다. 엔트로피는

이므로 따라서 아래와 같이 자유에너지를 분배함수로부터 구할 수 있다.

밀도 행렬의 대각선 성분 
바른틀 앙상블에서 에너지의 고윳값이 인 양자상태에 있을 확률은 볼츠만 인자, 로 주어진다. 밀도 행렬의 대각선 성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

밀도 연산자 
밀도 연산자 표현식은 다음과 같다.

자유에너지의 유도 
엔트로피와 자유에너지의 정의로부터 분배함수로 표현된 자유에너지를 유도할 수 있다.

이므로,

자유에너지의 정의에 의해,

응용 
바른틀 앙상블과 분배 함수는 일정한 온도를 가지고 있는 계의 열역학적 변수를 계산하는 데 쓰인다. 양자 통계 역학의 포츠 모델은 바른틀 앙상블을 확률 측도로 이용한다.

같이 보기 
 앙상블
 볼츠만 분포
 헬름홀츠 자유 에너지
 큰 바른틀 앙상블
 작은 바른틀 앙상블

통계역학
열역학