유한 퍼텐셜 우물

무한 퍼텐셜 우물은 이상적인 계로서 양자 역학의 기본 개념을 잘 내포하고 있지만 실제로 구현되기 어렵다.

반면에 유한 퍼텐셜 우물(Finite potential well)의 경우 실체를 기술하기에 더 적절하다.
그 예로 GaAs층이 Ga1-xAlxAs 의 두 층 사이에 끼어있는 경우 유한 퍼텐셜 우물로써 기술할 수 있다.

정의 
1차원 공간에서 퍼텐셜이 다음과 같은 구조를 가질 때 이 계를 유한 퍼텐셜 우물이라고 한다.

유도 
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)을 풀면 입자가 유한 퍼텐셜 우물속에 있을 때의 현상을 살펴볼 수 있다.

인 경우 (속박 상태) 

라고 하자.

각 영역에서 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

라고 놓으면 각 영역의 해는 다음과 같다.

경계 조건(과 에서  와  가 연속인 조건)을 이용하면 계수를 구할 수 있고, 포텐셜 우물에서의 해를 구하게 되는 것이다.

정리하면

이 되고, 연립방정식을 풀면 계수는 다음과 같다.

경계 조건을 잘 정리하면

을 얻을 수 있고, 이 식과 처음에 정의했던

을 그래프로 그려보면 속박 상태를 확인할 수 있다. 이때 그래프의 교점으로부터 속박상태의 에너지를 구할 수 있다.
최종적으로 계산한 파동함수는 다음과 같다.

기타 

의 크기가 무한히 커지는 경우 무한 퍼텐셜 우물이 된다. 유한 퍼텐셜 우물의 깊이가 깊어짐에 따라 그래프의 교점의 개수가 증가함을 확인할 수 있으므로 속박상태의 개수가 증가함을 알 수 있다.

퍼텐셜 우물의 경우 우물이 생긴 모양에 따라 대칭성을 이용하면 직관적으로 이해하기 용이하다.
Quantum Dot, Quantum well, Superlattice 같은 구조를 갖는 계의 경우 유한 퍼텐셜 우물의 관점에서 물리적인 현상을 기술할 수 있다.

같이 보기 
 양자 역학
 파동 함수
 반도체
 초격자
 상자속 입자

참고 자료 
 
 

양자역학 퍼텐셜
양자 모형