사인 법칙

기하학에서 사인 법칙(-法則, ) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.

정의 
삼각형 의 각 을 마주보는 변을 라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다.

여기서 은 삼각형 의 외접원의 반지름이다.

증명

삼각형의 넓이를 통한 증명 

삼각형 의 변  위의 높이를 라고 하자. 삼각법에 따라 이므로, 삼각형 의 넓이 는 다음과 같다.

자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.

양변에 를 나누면 사인 법칙을 얻는다.

외접원을 통한 증명 

삼각형 의 외접원을 그리자. 를 지나는 지름을 라고 하자. 따라서 는 직각 삼각형이며, 빗변은 이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

만약 가 예각일 경우, 와 는 같은 호의 원주각이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.

만약 가 직각일 경우, 와 는 같은 점이므로, 이며 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 가 둔각일 경우, 와 는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.

코사인 법칙을 통한 증명 
코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.

결과가 에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.

구면 사인 법칙 
단위 구면 위의 구면 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.

구면 사인 법칙의 증명

순수 기하 증명 
구의 중심을 라고 하자. 에서 아무 점 를 취하자. 를 지나는 평면 의 수선을 라고 하자. 를 지나는 직선 의 수선을 각각 라고 하자. 삼수선 정리에 따라 는 각각 와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

두 식에서 를 소거하면 다음을 얻는다.

남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

벡터를 통한 증명 
구의 중심과 세 꼭짓점 를 잇는 벡터를 각각 라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.

따라서 다음이 성립한다.

여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

구면 코사인 법칙을 통한 증명 
제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.

쌍곡 사인 법칙 
가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.

여기서 는 쌍곡 사인이다.

쌍곡 사인 법칙의 증명

쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명 
제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.

같이 보기 
 코사인 법칙
 탄젠트 법칙
 코탄젠트 법칙

각주

외부 링크 

 

삼각법
각
평면기하학 정리