로랑 급수

로랑 급수(Laurent級數, )는 정칙함수에 대한, 테일러 급수를 일반화한 급수이다. 테일러 급수와 달리 음의 지수의 항을 가질 수 있고, 고립 특이점을 갖는 함수를 급수로 전개할 때에도 쓸 수 있다.

역사 
피에르 알퐁스 로랑이 1843년에 발표하였다.

정의 
환영역() 는 다음과 같은 집합이다.

어떤 함수 가 환영역 에서 정칙함수라고 하자. 그렇다면 이 환영역에서 의 로랑 급수는 다음과 같은 꼴의 급수이다.

여기서, 차수가 음이 아닌 부분

을 로랑 급수의 해석부분(解析部分, ), 차수가 음수인 부분

을 로랑 급수의 주부분(主部分, )이라고 부른다.

로랑 급수의 계수 은 코시 적분공식에 의하여 주어진다.

여기서 폐곡선 는 환영역 안에 존재하는 임의의 양의 방향의 단순 닫힌 경로(감김수()가 1인 폐곡선)이다.

로랑 급수의 수렴 
주어진 로랑 급수의 경우, 로랑 급수가 균등수렴하는 최대 환영역 의 안·밖 반지름 는 다음과 같다.

환영역의 경계에서는 로랑 급수의 수렴 여부는 불분명하다.

성질 
주어진 환영역 위에서, 로랑 급수는 유일하며, 그 계수는 코시 적분공식에 의하여 주어진다. 그러나 복잡한 정의역을 갖는 정칙함수의 경우, 정의역의 서로 다른 환영역 부분집합에서 서로 다른 로랑 급수가 존재할 수 있다.

예를 들어, 정칙함수

를  근처에서 전개한다고 하자. 이 경우, 정의역

에 다음과 같은 환영역들을 정의할 수 있다.
 
 
 
이 세 환영역에서 로랑 급수는 각각 다음과 같다.
 
 
 
이 세 로랑 급수는 각각 서로 겹치지 않는 환영역에서 정의되며, 이 속에서 수렴하지만 환영역이 다르므로 서로 다른 급수이다.

같이 보기 
 테일러 급수
 코시 적분공식
 특이점
 유수
 코시 부등식
 리우빌 정리
 해석적 연속
 푸리에 급수
 형식적 로랑 급수

참고 문헌 

복소해석학
급수
사람 이름을 딴 낱말