코시-리만 방정식

복소해석학에서 코시-리만 방정식(-方程式, )은 열린 집합에서 정의된 복소함수가 정칙함수일 필요충분조건인 연립 편미분 방정식이다.

정의 
평면에서 정의된 두 실함수 ,  에 대한 코시-리만 방정식은 다음과 같다.

정칙성과의 관계 
복소 평면 위의 열린 집합  위의 함수 가 다음을 만족시킨다고 하자.
 , , , 가 모두 존재한다.
 는 연속 함수이다.
루만-멘코프 정리(Looman-Menchoff theorem)에 따르면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 와 는  위에서 코시-리만 방정식을 만족시킨다.
 는  위에서 정칙함수이다.

반면, 예를 들어 함수

는 복소 평면 전체에서 코시-리만 방정식을 만족시키지만, 에서 연속 함수가 아니므로 에서 정칙 함수가 아니다.

역사와 어원 
오귀스탱 루이 코시와 베른하르트 리만의 이름을 땄다. 역사적으로, 장 르 롱 달랑베르가 1752년 유체역학을 연구하면서 처음 발견하였다. 이후 레온하르트 오일러가 이 방정식과 해석함수와의 관계를 연구하였다.
코시는 그의 함수론을 체계화하면서 이 방정식을 사용하였고, 리만은 박사 학위 논문에서 코시-리만 방정식을 다뤘다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

해석학 정리
편미분방정식
복소해석학
베른하르트 리만
오귀스탱 루이 코시
조화 함수