상수 함수

수학에서 상수 함수(常數函數, )는 정의역의 값에 관계없이 항상 같은 값을 갖는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 은 의 값이 무엇이든 항상 3이라는 값을 갖는다.

정의 
정의역 와 공역  사이의 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 를 상수 함수라고 한다.
 임의의 에 대하여 이다.
 임의의 에 대하여 가 되는 가 존재하며, 는 에 의존하지 않는다.
 가 공집합이거나, 또는 임의의 에 대하여 가 되는, 에 의존하지 않는 가 유일하게 존재한다.
 에 비이산 위상을 부여하고, 에 이산 위상을 부여하였을 때, 는 연속 함수이다.

정의역 와 공역  사이의 함수 가 주어졌다고 하고, 정의역 에 위상 공간의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 를 국소 상수 함수(局所常數函數, )라고 한다.
 만약 임의의 에 대하여, 가 상수 함수가 되는 근방 가 존재한다.
 에 이산 위상을 부여하였을 때, 는 연속 함수이다.

상수 사상 
상수 함수의 개념을 집합의 범주에서 임의의 범주로 일반화할 수 있다.

범주 에서, 사상 가 다음 조건을 만족시키면 상수 사상()이라고 한다.
 임의의 대상  및 사상 에 대하여, . 즉, 다음 그림이 가환한다.

범주 에서, 사상 가 다음 조건을 만족시키면 쌍대 상수 사상()이라고 한다.
 임의의 대상  및 사상 에 대하여, . 즉, 다음 그림이 가환한다.

상수 사상이자 쌍대 상수 사상인 사상을 영 사상()이라고 한다.

범주  속의 임의의 대상 에 대하여 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 가 존재한다면, 를

영 사상을 갖는 범주()라고 한다.
 임의의 대상  및 사상 에 대하여,

이 경우, 들은 항상 영 사상을 이루며, 또한 주어진 범주가 영 대상을 갖는 범주라면 그 위의 들의 집합은 유일하다. 영 사상을 갖는 범주의 개념은 점을 가진 집합의 (분쇄곱을 통한) 모노이드 범주 위의 풍성한 범주의 개념과 일치하며, 두 대상 사이의 영 사상은 점을 가진 사상 집합의 점과 같다.

성질 
두 매끄러운 다양체 ,  사이의 매끄러운 함수 는 미분을 취할 수 있다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 의 도함수 는 어디서나 0이다.
 는 상수 함수이다.

상수 함수는 (정의역에 주어진 위상에 상관없이) 국소 상수 함수이다. 또한, 함수 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 상수 함수이다.
 에 비이산 위상을 부여하였을 때, 는 국소 상수 함수이다.
 에 임의의 위상을 부여하였을 때, 는 국소 상수 함수이다.
즉, 국소 상수 함수의 개념은 상수 함수의 개념의 일반화이다.

위상 공간  위의 국소 상수 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 모든 연결 성분 에 대하여, 는 상수 함수이다. 만약 가 국소 연결 공간이라면 연결 성분이 열린집합을 이루며, 따라서 임의의 함수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 국소 상수 함수이다.
 의 임의의 연결 성분 에 대하여, 는 상수 함수이다.

국소 상수 함수의 층 
위상 공간  위에, 실수 값의 상수 함수들의 준층을 정의할 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 층이 아니며, 그 층화는 실수 값의 국소 상수 함수들의 층이다.

상수 사상의 존재 
끝 대상 을 갖는 범주에서, 상수 사상은 의 꼴의 사상들이다. 시작 대상 을 갖는 범주에서, 쌍대 상수 사상은 의 꼴의 사상들이다.

영 대상을 갖는 범주는 영 사상을 갖는 범주를 이룬다. 이 경우, 두 대상  사이의 사상은 영 대상을 통하는 유일한 사상

이다.

예 
정의역이 이산 공간인 모든 함수는 국소 상수 함수이다.

공역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다. 정의역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다.

상수 사상의 예 
집합의 범주에서, 상수 사상은 상수 함수이다. 집합의 범주에서 쌍대 상수 사상은 공집합을 정의역으로 하는 함수이다.

군의 범주에서, 상수 사상 · 쌍대 상수 사상 · 영 사상의 개념이 일치하며, 이는 상이 항등원 1인 상수 함수이다.

환  위의 왼쪽 가군들의 범주 는 영 대상을 갖는 범주이며 따라서 영 사상을 갖는다. 에서 영 사상은 0(가군 덧셈의 항등원)으로 가는 상수 함수이다. 가군 범주에서 상수 함수인 준동형은 영 사상밖에 없다.

같이 보기 
 상수층

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

초등 수학
함수의 종류
초등 특수 함수
다항식