커누스 윗화살표 표기법

커누스 윗화살표 표기법(Knuth's up-arrow notation)은 도널드 커누스가 1976년에 개발한 아주 큰 수를 표기하는 방법이다. 이 표기법은 아커만 함수와 특히 하이퍼 연산 수열과 매우 밀접한 관련이 있으며, 곱셈은 반복되는 덧셈으로 볼 수 있고, 거듭제곱도 반복되는 곱셈으로 볼 수 있다는 사실에 기반해서 아이디어를 얻었다. 이런 방식으로 계속하면 테트레이션(반복된 거듭제곱)과 보통 커누스 윗화살표 표기법으로 표시되는 하이퍼 연산 수열의 나머지로 이어진다. 이 표기법은 명시적으로 쓸 수 있는 수보다 훨씬 더 큰 수를 간단하게 표기할 수 있다.

윗화살표 한 개는 거듭제곱(반복되는 곱셈)을 의미하고, 한 개 이상의 윗화살표는 한 개 적은 화살표를 반복하는 것을 의미한다.

예를 들어,
 윗화살표 한 개는 곱셈의 반복(거듭제곱)이다 
 윗화살표 두 개는 거듭제곱의 반복(테트레이션)이다 
 윗화살표 세 개는 테트레이션의 반복(펜테이션)이다 
이 표기법의 일반적인 정의는 다음과 같다(정수 a와 음이 아닌 정수 b,n에 대해서):

소개

덧셈, 곱셈, 그리고 거듭제곱의 일반 산술 연산은 자연적으로 다음과 같이 하이퍼 연산의 수열로 확장된다.

자연수에 의한 곱셈은 덧셈의 반복으로 정의된다:

예를 들면,

자연수 지수 에 의한 거듭제곱은 곱셈의 반복으로 정의되며, 커누스는 윗화살표 한 개로 표기했다:

예를 들면,

연산의 수열을 거듭제곱을 넘어서 확장하기 위해서 커누스는 거듭제곱의 반복(테트레이션)을 의미하는 “이중 윗화살표” 연산을 정의했다:

예를 들면,

여기와 아래의 계산은 오른쪽에서 왼쪽으로 일어난다, 왜냐하면 커누스 윗화살표 연산(거듭제곱과 같은)은 Right associative 연산으로 정의했기 때문이다.

이 정의에 의해서,

etc.

이것만 해도 상당히 큰 수가 나오지만 커누스는 이 표기법을 확장했다. 커누스는 테트레이션의 반복(펜테이션)을 의미하는 “삼중 윗화살표” 연산을 정의했다:

잇따라 “사중 윗화살표“ 연산은 펜테이션의 반복(헥세이션)을 의미한다:

그리고 계속된다. 일반적인 규칙은 중 윗화살표 연산은 right-associative ()중 윗화살표 연산으로 확장할 수 있다는 것이다. 기호적으로는

예시:

의 표기는 일반적으로 에서 윗화살표가 n개인 것을 나타낸다. 사실 는 하이퍼 연산으로 a [n+2] b이다. 예를 들어, 는 39 [4] 14 ("[4]"는 테트레이션을 의미한다)로 쓸 수 있지만 39 [2] 14 = 39 × 14 = 546인 것은 아니다. 비슷하게, 은 77 [79] 77이지 77 [77] 77이 아니다.

표기법 
와 같은 표현에서, 거듭제곱의 표기법은 보통 지수 를 밑 의 윗 첨자로 쓴다. 하지만 많은 프로그래밍 언어나 이메일같은 환경은 윗첨자 조판을 지원하지 않는다. 이런 환경에서 선형 표기법인 를 적용했다. 윗화살표는 '다음을 지수로 올린다'는 것을 제시한다. 문자 인코딩에서는 윗화살표를 포함하지 않기 때문에 캐럿(^)을 대신해서 쓴다.

윗첨자 표기법 는 일반화에 도움이 되지 않는다, 이것이 커누스가 인라인 표기법 를 대신에 쓴 이유이다.

는 윗화살표 n개의 더 짧은 표기법이다. 따라서 이다.

윗화살표 표기법을 거듭제곱으로 쓰기
를 익숙한 윗첨자 표기법으로 쓰려고 하면 거듭제곱의 탑을 얻게 된다.

예: 

b가 변수면 (또는 너무 크면), 거듭제곱의 탑은 점들과 탑의 높이를 나타내는 표시로 써야 할 수 있다.

이 표기법으로 계속하면, 는 각각이 위의 탑의 높이를 나타내는 거듭제곱의 탑의 스택으로 쓸 수 있다.

또 b가 변수거나 너무 클 경우에는 스택도 점들과 스택의 높이를 나타내는 표시로 써야 할 수 있다.

더 나아가서, 는 각각이 왼쪽의 스택의 개수를 나타내는 거듭제곱의 탑의 스택의 열로 쓸 수 있다:

또다시 일반적으로:

이것은 을 어떤 a, n과 b에 대해서든지 (비록 이것이 분명히 더 번거롭지만) 반복되는 거듭제곱의 반복외는 거듭제곱으로 부정적으로 나타낼 수 있다는 것을 나타낸다.

테트레이션을 사용

테트레이션 표기법 는 여전히 기하학적 표현 (이것을 테트레이션의 탑이라고 부른다)을 사용하지만 이 다이어그램을 약간 간단하게 만든다.

 

 

 

결국, 한 예로 네 번째 아커만 수 는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

일반화
어떤 수는 너무 커서 커누스 윗화살표 표기법으로 쓰기에도 버거울 수 있다. 그러면 n중 화살표 연산 이나 동동한 하이퍼 연산이 유용하다 (그리고 화살표의 개수가 변수일 때를 나타낼 때도 유용하다).

어떤 수는 너무 커서 이 표기법도 충분하지 않을 수 있다. 그러면 콘웨이 연쇄 화살표 표기법을 쓸 수 있다: 세 원소들의 연쇄 화살표는 다른 표기법과 동일하지만, 길이가 4 이상이면 더 강력하다.

보통 커누스 윗화살표는 비교적 작은 수에, 연쇄 화살표나 하이퍼 연산은 더 큰 수에 써야 한다고 주장한다.

정의 

윗화살표 표기법은 공식적으로 인 모든 정수 에 대해서 다음과 같이 정의된다.

이 정의는 곱셈을 기본 연산으로 두고, 거듭제곱 을 곱셈의 반복으로, 테트레이션 을 거듭제곱의 반복으로, 등등을 얻는다. (이 정의는 더 기본적인 두 함수가 없는것을 제외하고 하이퍼 연산 수열과 동등핟다. 여기서 없는 함수는 다음수와 덧셈으로, 이 함수를 포함하려면 정의를 더 복잡하게 하는 추가 시작값을 필요로 한다.)

모든 윗화살표 연산(평범한 거듭제곱 를 포함해서)은 right associative이다. 즉, 수식의 오른쪽에서 왼쪽으로 계산한다.
 —— not .
 is  —— not 

right-associativity 때문에 일 때 다음과 같다

각 는 화살표 연산의 왼쪽 항으로 나타나고 (화살표 연산은 가환이 아니기 때문에 이 점은 중요하다), 는 함수 를 b번 합성한 것으로 썼다. 이기 때문에, 원래 정의를 인 모든 정수 에 대해 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다:

값들의 표

2↑m n 계산

을 계산하는 것은 무한한 표에서 재기술 할 수 있다. 을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 2로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.

이 표는 과 이 약간 밀린 것과 모든 값에 3이 더해진 것을 제외하고는 아커만 함수의 표와 같다.

3↑m n 계산

을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 3으로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.

4↑m n의 계산

을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 4로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.

10↑m n의 계산

을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 10으로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.

2 ≤ n ≤ 9일 때 의 수치적인 순서는 m이 가장 우선적인 사전식 순서여서 이 8열에서 수치적인 순서는 단순히 행의 순서대로인 것을 보라. 3 ≤ n ≤ 99인 97열에도 마찬가지로 적용이 되고, m = 1에서 시작하면 3 ≤ n ≤ 9,999,999,999까지 가능하다.

하이퍼 연산 수열에 기반한 기수법

루벤 루이스 굿스타인은 커누스 화살표와 다른 표기법 시스템을 가지고 으로 표기한 하이퍼 연산 수열을 이용해서 음이 아닌 정수에 대한 기수법을 만들었다. 대괄호 ([1], [2], [3], [4], ... )를 각각의 하이퍼 연산을 나타낸다고 하면 소위 b를 밑으로 하는 정수 n의 k단계 완전 hereditary 표현은 처음 k 하이퍼 연산과 0, 1, ..., b − 1의 자릿수와 밑인 b 자신을 포함하는 숫자들만을 이용해서 다음과 같이 나타낼 수 있다:

 0 ≤ n ≤ b-1일 때는, n은 단순히 대응하는 숫자로 표현한다.
 n > b-1일 때는, n의 표현은 재귀적으로 찾는다. 먼저 n은 다음의 형태로 나타난다:
b [k] xk [k - 1] xk-1 [k - 2] ... [2] x2 [1] x1
이 때 xk, ..., x1는 다음을 (차례로)만족하는 가장 큰 정수이다.

b [k] xk ≤ n

b [k] xk [k - 1] xk - 1 ≤ n

...

b [k] xk [k - 1] xk - 1 [k - 2] ... [2] x2 [1] x1 ≤ n

b-1을 넘는 xi는 같은 방법으로 다시 표현하고 0, 1, ..., b-1과 밑인 b만 남을 때까지 계속한다.

이 부분의 나머지는 하이퍼 연산을 표현하기 위해 윗첨자로 사용한다.

계산할 때 고차 연산에 높은 우선도를 부여해서 불필요한 괄호를 피할 수 있다; 따라서,

1단계 표현은 b [1] X의 형태를 하고, X도 이 형태이다.

2단계 표현은 b [2] X [1] Y의 형태를 하고, X,Y도 이 형태이다.

3단계 표현은 b [3] X [2] Y [1] Z의 형태를 하고, X,Y,Z도 이 형태이다.

4단계 표현은 b [4] X [3] Y [2] Z [1] W의 형태를 하고, X,Y,Z,W도 이 형태이다.

그리고 계속된다.

밑이 b인 hereditary 표현의 종류에서, 밑 자신이 {0, 1, ..., b-1}의  "자릿수"처럼 표현에서 나타난다는 점을 주목하라. 이 표현은 문자가 밑을 b로 표시했을  때 일반적인 이진법과 비교된다. 예를 들어, 일반적인 이진법에서는 6 = (110)2 = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0이고 밑이 2인 3단계 hereditary 표현은 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0)이다. hereditary 표현은 [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, 등등의 요소를 제거해서 간략하게 만들 수 있다. 예를 들어, 위의 밑이 2인 6의 3단계 표현은 2 [3] 2 [1] 2로 간단히 할 수 있다.

예:
266의 밑이 2인 유일한 1, 2, 3, 4, 그리고 5단계 표현은 다음과 같다:

1단계: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (2가 133개)
2단계: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)
3단계: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2
4단계: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2
5단계: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2

그레이엄 수 표기 
커누스 윗화살표는 그레이엄 수 G64(4)를 표기할 때 사용되고 있다. 그레이엄 수는 이름이 붙은 자연수 중에서 수학적 의미를 갖고 있는 가장 큰 수이다.

 (여기서 윗화살표의 개수는 G63(4)개이다.)

같이 보기 
 원시 재귀 함수
 하이퍼 연산
 커틀러 묶음부호 표기법
 테트레이션
 펜테이션
 콘웨이 화살표 사슬 표기법
 아커만 함수
 그레이엄 수
 스테인하우스-모서 표기법

각주

외부 링크 
 
 Robert Munafo, Large Numbers

큰 수
수학 표기법
도널드 커누스