산술 기하 평균

수학에서 산술 기하 평균(算術幾何平均, )은 산술 평균과 기하 평균 연산에 의한 점화 수열에 극한을 취하여 얻어진 평균값이다. 구체적으로, 두 실수 의 산술 기하 평균 는 다음과 같이 정의된다.

우선 두 수 의 산술 평균을 , 기하 평균을 라고 하자.

이후 과 을 와  자리에 넣어 이 연산을 반복하면 두 수열 을 얻게 된다.

이 두 수열은 같은 값으로 수렴하며, 이 수렴값을 와 의 산술 기하 평균이라 한다.  또는 로 표기한다.

일반화적인 산술평균 및 기하평균은 다음과 같다.

예 
24와 6의 산술 기하 평균을 구하기 위해, 먼저 그들의 산술 평균과 기하 평균을 계산한다.

이 과정을 다음과 같이 반복한다.

다섯번을 반복하면 다음의 값들을 얻는다.

{| class="wikitable"
|-
! 
! 
! 
|-
| 0
| 24
| 6
|-
| 1
| 15
| 12
|-
| 2
| 13.5
| 13.416407864998738178455042…
|-
| 3
| 13.458203932499369089227521…
| 13.458139030990984877207090…
|-
| 4
| 13.458171481745176983217305…
| 13.458171481706053858316334…
|-
| 5
| 13.458171481725615420766820…
| 13.458171481725615420766806…
|}

반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 두 배로 되는 것을 알 수 있다. 두 수열이 공동으로 가지는 극한이 곧 산술 기하 평균이다, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다.

역사  
두 수열에 기반한 최초의 알고리즘은 라그랑주의 저작에 기술되었다. 그의 성질은 가우스에 의해 분석되었다.

성질 
기하 평균은 항상 산술 평균보다 작거나 같다(산술-기하 평균 부등식), 또 기하 평균과 산술 평균 모두 두 수의 최솟값보다 크고 최댓값보다 작다. 이러한 이유로 인해

이 성립한다. 인 경우를 제외하면 모든 등호가 성립하지 않는다.

위에서 알 수 있듯이, 는 와  사이에서, 더 정확히는 기하 평균과 산술 평균의 사이에서 값을 취한다.

에 대해, 의 등식이 성립한다.

다음은 의 적분 형식이다.

여기서 는 제1종 완전 타원 적분이다.

산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 공식을 이용해 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다. 공학에서 타원 필터의 설계 등에 사용되기도 한다.

관련 개념 
1과 루트 2의 산술 기하 평균의 역수는 가우스 상수라고 불린다.

기하 조화 평균은 이와 비슷하게 기하 평균과 조화 평균을 사용해 정의한 수열의 극한값이다. 산술 조화 평균 또한 비슷한 방법으로 얻어지나, 이는 곧 기하 평균과 같다.

산술 기하 평균은 로그와 제1종 완전 타원 적분을 계산하는 데에 사용된다. 산술 기하 평균의 변형을 이용하여 제2종 완전 타원 적분을 효율적으로 계산할 수 있다.

의 존재성 증명 
두 수열 은 항상 같은 값으로 수렴한다. 다음은 이를 증명한 것이다.

산술-기하 평균 부등식에 의해 모든 에 대해 다음이 성립한다.

는 증명에 영향을 주지 않는 가정이다. 이 때 다음이 성립한다.

또한 다음과 같이  모두가 단조수열임을 보일 수 있다.

모든 부등식을 연립하면 다음을 얻는다.

따라서  모두 단조, 유계이며, 고로 수렴한다. 또한

의 양변에 극한을 취하면 두 수열의 극한값이 같다는 것을 알 수 있다.

같이 보기 
 멱평균
 산술-기하 평균 부등식
 가우스-르장드르 알고리즘

각주

참고 문헌 
 
 Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. 
 Zoltán Daróczy, Zsolt Páles, Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem. Publ. Math. Debrecen 61/1-2 (2002), 157–218.
 
 

평균
특수 함수
타원함수