급수 (수학)

수학에서 급수(級數, , )는 수열의 모든 항을 더한 것, 즉 수열의 합이다. 항의 개수가 유한한 유한급수(有限級數, )와 항의 개수가 무한한 무한급수(無限級數, )로 분류된다. 무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수인 수렴급수와 그렇지 않은 발산 급수로 분류된다. 산술급수, 기하급수(등비급수)로도 분류할 수 있다. 급수의 항은 실수 · 복소수, 또는 벡터 · 행렬 · 함수 · 난수 등일 수 있으며, 이들은 주로 공식이나 알고리즘으로 표현된다. 유한급수는 대수학의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학적 수단, 특히 극한의 개념을 필요로 한다.
수열의 합에는 Σ(시그마, sigma) 기호가 쓰인다.

정의 
수열 에 대한 (무한) 급수 는 수열의 항들의 형식적인 합이다. 즉,

급수 의 부분합(部分合, ) 은 처음 오는 유한 개의 항에 대한 합이다. 즉,

부분합의 수열 이 수렴하면 이 급수를 수렴급수, 그렇지 않다면 발산 급수라고 한다. 수렴급수 의 합은 그 부분합의 극한이며, 이 역시 로 표기한다. 즉,

도 수렴하는 수렴급수를 절대 수렴급수, 그렇지 않은 수렴급수를 조건 수렴급수라고 한다.

가산 첨수 급수 
가산 무한 집합  및, 자연수 집합 과  사이의 일대일 대응 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 에 대한 급수 는 다음과 같이 정의된다.

다만, 이 정의가 유효하려면, 급수 의 합이 일대일 대응 의 선택에 의존하지 않아야 한다. 만약 급수가 적어도 하나의 에 대하여 절대 수렴한다면, 다른 모든 에 대해서도 절대 수렴하며, 의 합이 같다. 만약 급수가 적어도 하나의 에 대하여 조건 수렴한다면, 다른 합을 갖게 되는 가 존재하며, 나아가 리만 재배열 정리에 따라, 임의의 주어진 합을 갖도록 를 취할 수 있다.

임의 첨수 급수 
임의의 집합(특히 비가산 집합) 가 주어졌다고 하자. 모든 에 대해 이라고 가정하자. 급수 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

이때 집합 가 비가산 집합이면 이다.
즉 이라면

이며

이므로, 이 가산 개 유한 집합의 합집합이 되어 가산 집합이 되기 때문이다. 이에 기초하여, 함수 에 대한 급수 는 다음과 같이 가산 집합에 대한 정의로 귀결된다.

수렴성 
급수에게는 여러 유형의 수렴성이 존재하며, 이들 수렴성을 알아내는 많은 종류의 수렴 판정법이 존재한다.

발산 급수 
수렴급수가 아닌 급수를 발산 급수라고 한다.

예를 들어, 0이 아닌 상수 에 대해 상수항 급수

는 발산 급수이다.

또한 다음의  조화급수 역시 발산한다.

또한 이것은 아래의 리만 제타 함수  이기도 하다.

조건 수렴 
절대 수렴급수가 아닌 수렴급수를 보고 조건 수렴급수라고 한다.

예를 들어, 교대급수

는 자기 자신은 수렴급수이나, 절댓값을 취한 조화급수는 발산 급수이므로, 조건 수렴급수이다.

절대 수렴 
급수 에 항별로 절댓값을 취한 급수 이 수렴급수라면, 원래 급수도 자동으로 수렴급수가 되며, 이 경우 원래 급수를 절대 수렴급수라고 한다.

예를 들어, 기하급수

는 자기 자신이 수렴급수이며, 절댓값을 취한

도 수렴급수이므로, 절대 수렴급수이다.

수렴 판정법 

 (n항판정법) 만약 limn→∞ an = 0이지 않으면, ∑an은 발산한다.
 (비교판정법) 궁극적으로 |an| ≤ |bn|인 경우, ∑bn이 절대수렴하면 ∑an도 절대수렴하며, ∑an이 절대수렴하지 않으면 ∑bn도 절대수렴하지 않는다.
 (비판정법) 만약 궁극적으로  < q이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로  > q이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴하지 않는다.
 (근판정법) 만약 궁극적으로 |an| < q이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |an| > q 이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴하지 않는다.
 (적분판정법) 만약 f 가 [1, ∞)에서 단조감소하고 f (n) = an(n = 1, 2, ...)이면, ∑an과  f (x)dx는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
 (코시 응집판정법) an이 음이 아니며 단조감소하는 경우, ∑an과 ∑2ka2k은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
 (교대급수판정법) 만약 an이 단조감소하며 0으로 수렴한다면, ∑(-1)nan은 수렴한다.
 (디니 판정법)

같이 보기 

 총합
 수렴 판정법
 수열의 곱
 조화급수
 베르누이 수
 e
 수열의 합

참고 문헌 
 

미적분학