동치관계

수학에서 동치관계(同値關係, )는 논리적 동치와 비슷한 성질들을 만족시키는 이항관계이다.

정의 
집합  위의 동치관계 는 반사관계이자 대칭관계이자 추이관계인 이항관계이다. 즉, 다음 조건들이 성립하여야 한다.
 (반사관계) 임의의 에 대하여, 
 (대칭관계) 임의의 에 대하여, 만약 라면, 
 (추이관계) 임의의 에 대하여, 만약 이고 라면

동치류와 상집합 
집합  위에 동치관계 이 주어졌을 때, 원소 의, 동치관계 에 대한 동치류(同値類, ) 는 그 원소와 동치인 원소들의 집합이다 즉,

집합 의 에 대한 상집합(-集合, ) 은 에 대한 동치류들의 집합이다. 즉,

예 
 임의의 집합 위의 등호 관계
 도형 집합 위의 닮음 관계
 사람들의 집합 위의, 같은 생일을 갖는 관계

반례 
 공집합이 아닌 집합  위의 공관계는 (유일한 유형의) 반사관계가 아닌 대칭관계이자 추이관계이다.
 실수 집합 위의 순서 관계 는 대칭관계가 아닌 반사관계이자 추이관계이다.
 실수 집합 위의 이항관계 은 추이관계가 아닌 반사관계이자 대칭관계이다.

성질

표준 사상 
집합 위의 동치관계로부터, 표준사상을 구성할 수 있다. 즉, 집합  위의 동치관계 에 대하여, 함수

를 표준사상이라고 한다.

반대로, 전사함수 에 대하여, 이항관계

는 동치관계이며, 그 상집합은

이다.

집합의 분할 
집합 위의 동치관계와 그 집합의 분할 사이에는 자연적인 일대일 대응이 존재한다. 즉, 다음과 같다.

집합  위의 동치관계 에 대하여, 그 상집합 은 의 분할이다. 즉,
 임의의 에 대하여, 만약 이면, 이다.
 임의의 에 대하여, 만약 이면, 이다.
반대로, 집합 의 분할 에 대하여, 이항관계

는 동치관계이다.

같이 보기 
 집합의 분할

외부 링크 
 
 

관계 (수학)