단사층

층 이론에서, 단사층(單射層, , )은 층의 범주에서의 단사 대상이다. 이를 사용하여 층 코호몰로지를 계산할 수 있다.

정의 
위상 공간 X 위의 아벨 군 값을 갖는 층들의 아벨 범주 는 항상 충분한 단사 대상을 갖지만, 충분한 전사 대상을 갖지 않는다.  위의 아벨 군 층의 범주의 단사 대상을 단사층이라고 한다. 즉, 아벨 군층 에 대하여, 만약 임의의
 층 
 의 부분층 
 층 준동형 
가 주어졌을 때, 항상 인 층 준동형 가 존재한다면, 를 단사층이라고 한다.

이 밖에도, 관련된 개념으로
 섬세층(纖細層, , )
 물렁한 층(, )
 말랑한 층(, )
 비순환층(非循環層, , )
이 있다. 이 개념들은 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서 잘 작동하지만, 대수다양체와 같은 공간에서는 잘 작동하지 않는다.

섬세층 
위상 공간 과 그 열린 덮개  및 아벨 군층 이 주어졌다고 하자. 에 종속된 의 단위 분할은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 에 대하여, 자기 사상 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 각 에 대하여, 
 각 에 대하여, 는 유한 집합이다.
 는 항등 사상이다.

파라콤팩트 하우스도르프 공간  위의 아벨 군층 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아벨 군층을 섬세층이라고 한다.
 자기 사상의 층 이 물렁한 층이다.
 임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.

물렁한 층 
위상 공간  위의 아벨 군층 에 대하여, 그 에탈레 공간 을 정의할 수 있다. 의 임의의 닫힌집합 에 대하여, 임의의 연속 함수

에 대하여, 만약 라면 를 의  위의 단면이라고 하며, 단면 집합을 라고 한다. 만약 가 파라콤팩트 공간일 경우, 이는 의 모든 열린 근방에 대하여 취한 귀납적 극한

과 같다.

위상 공간  위의 아벨 군층 에 대하여, 만약 닫힌집합  위의 모든 단면을  전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, 를 물렁한 층이라고 한다.
위상 공간  위의 아벨 군층 에 대하여, 만약 콤팩트 집합  위의 모든 단면을  전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, 를 콤팩트 물렁한 층()이라고 한다.

말랑한 층 
위상 공간  위의, 구체적 범주 의 값을 갖는 층 에 대하여, 임의의 두 열린집합 에 대하여 제한 사상

이 전사 함수라면, 를 말랑한 층이라고 한다. 즉, 임의의 열린집합에 정의된 단면을 공간 전체로 연장할 수 있는 층이다.

이름의 "말랑한"(, )은 주어진 단면을 쉽게 연장할 수 있는 성질을 말랑말랑한 찰흙 따위에 빗댄 것이다.

비순환층 
위상 공간  위의 아벨 군층 에 대하여, 만약 모든 양의 차수 층 코호몰로지 군이 자명군이라면, 를 비순환층이라고 한다.

물론, 0차 코호몰로지 군은 단면들의 군 이므로, 층이 자명하지 않는 이상 자명군이 아니다.

성질 
파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 아벨 군층들에 대하여, 다음이 성립한다.
단사층 ⊆ 말랑한 층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층
단사층 ⊆ 섬세층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층
그러나 일반적으로 물렁한 층이 아닌 섬세층이 존재하고, 또 섬세층이 아닌 물렁한 층이 존재한다.

섬세층은 비순환층이므로, 복소 대수기하학에서 단사 분해(injective resolution) 대신에 섬세층을 이용해서 다른 주어진 층들의 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 돌보 분해(Dolbeault resolution)가 대표적인 그러한 경우이다.

위상 공간 ,  사이에 연속 함수 가 주어졌을 때,  위의 말랑한 층 의 직상  역시 말랑한 층이다. 위상 공간 의 열린집합  및 말랑한 층 에 대하여, 제약층  역시 말랑한 층이다.

기약 공간 위의 상수층은 말랑한 층이다.

예 
다음과 같은 층들은 섬세층을 이룬다.
 다양체  위의 실수 연속 함수들의 층 
 매끄러운 다양체  위의 실수 매끄러운 함수들의 층 
 매끄러운 다양체  위의 차 미분 형식들의 층 
그러나 복소다양체 위의 정칙 함수들의 층은 섬세층이 아니며, 말랑한 층 또한 아니다. 즉, 임의의 열린집합 위에 정의된 정칙 함수는 공간 전체로 해석적 연속을 하지 못할 수 있다.

드람 코호몰로지의 계산 
드람 코호몰로지는 다음과 같이 계산할 수 있다. 매끄러운 다양체 위의 상수층 은 미분 형식의 층으로 다음과 같이 분해된다.

미분 형식층들은 섬세층이므로 비순환층이다. 따라서, 드람-베유 정리에 따라서

이 된다. 즉, 드람 코호몰로지는 실수 계수 코호몰로지와 동형이다.

그러나 돌보 코호몰로지를 계산하려면, 복소 미분 형식의 층은 섬세층이 아니며 비순환층도 아니다. 따라서, 드람-베유 정리를 통해 계산할 수 없으며, 이 경우 초코호몰로지()와 스펙트럼 열을 사용하여야 한다.

같이 보기 
 층 코호몰로지
 단사 대상
 단사 가군

각주

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

층론
호몰로지 대수학