폐포 (수학)

수학에서, 어떤 집합의 그 위의 관계에 대한 닫힘()은 그 집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질이다. 어떤 집합의 어떤 성질에 대한 폐포(閉包, )는 그 집합을 포함하면서 그 성질을 만족시키는 가장 작은 대상이다. 여기서 다루는 성질은 보통 닫힘 성질이다. 폐포의 기호는  또는 .

정의

닫힘 
다음이 주어졌다고 하자.
 집합 
  위의 '항 관계' . 단, 임의의 에 대하여, 이며, 
 특히, 에 대하여,  위의 항 관계를 위 조건 및 를 만족시키는 '항 관계'로 여길 수 있다. 또한, 항 연산은 자연스럽게 항 관계로 여길 수 있다.
만약 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 가 에 대하여 닫혀있다()고 한다.
 임의의  및 에 대하여, 이면 
보다 일반적으로, 위 조건을 만족시키는,  위의 '항 관계'의 집합 가 주어졌을 때, 가 다음 조건을 만족시키면, 에 대하여 닫혀있다()고 한다.
 는 에 대하여 닫혀있다.
 즉, 임의의 에 대하여, 는 에 대하여 닫혀있다.

폐포 
다음이 주어졌다고 하자.
 집합 
 의 부분 집합들에 대한 성질 
의 부분 집합 의 에 대한 폐포 는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.
 
 임의의 에 대하여, 
폐포는 존재하지 않을 수 있으며, 존재한다면 유일하다. 가 어떤 관계(또는 관계 집합)에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 성질일 경우, 폐포는 반드시 존재하며, 에 의 원소와 관계 있는 원소들을 추가하고, 이렇게 얻은 집합의 원소들과 관계 있는 원소들을 추가하는 과정을 계속하여 얻는다.

예

위상수학 
위상 공간 의 부분 집합 가 다음 항 관계 에 대하여 닫혀있다면, 의 닫힌집합이라고 한다. 임의의 에 대하여,

여기서 는 극한점의 집합의 기호이다. 즉 닫힌집합은 극한점을 취하는 행위에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 의 부분 집합 에 대하여, 최소 닫힌집합 를 의 폐포라고 한다.

비슷하게, 점렬 닫힌집합과 점렬 폐포를 정의할 수 있다. 점렬 닫힌집합은 다음과 같은, 점렬 극한을 취하는 항 관계 에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 임의의 에 대하여,

대수학 
군 의 부분 집합 가 군의 연산 집합 에 대하여 닫혀있다면, 의 부분군이라고 한다. 에 대하여, 최소 부분군 를 로 생성되는 군이라고 한다.

대수적으로 닫힌 체 의 부분체 이  속에서  위의 다항식의 근을 구하는 행위에 대하여 닫혀있다면,  역시 대수적으로 닫힌 체이다. 부분체
의 대수적 폐포 는 최소 대수적으로 닫힌 체 이다. 이 의 부분체라는 제한을 없앨 경우, 대수적 폐포는 유일하지 않으며, 대신 동형 아래 유일하다.

집합론 
집합 가 (모든 집합의 모임  위의) 원소 관계 에 대하여 닫혀있다면, 추이적 집합이라고 한다. 집합 에 대하여, 최소 추이적 집합 를 의 추이적 폐포라고 한다.

집합  위의 이항 관계 가  위의 일항 관계 에 대하여 닫혀있다면, 즉, 이라면, 반사 관계라고 한다. 이항 관계 에 대하여, 최소 반사 관계 를 의 반사 폐포라고 한다. 비슷하게, 대칭 관계 · 대칭 폐포 · 추이적 관계 · 추이적 폐포 · 동치 관계 · 동치 폐포를 정의할 수 있다.

같이 보기 
 폐포 연산자

폐포 연산자