가군

환론에서 가군(加群, )은 어떤 환의 작용이 주어진 아벨 군이다. 즉, 아벨 군의 구조와 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 이 두 구조가 분배 법칙을 통해 서로 호환되는 대수 구조이다. 가군의 개념은 체 위의 벡터 공간과 아벨 군의 개념의 공통적인 일반화이다. 가군 이론은 군의 표현론과 밀접한 연관이 있으며, 가환대수학과 호몰로지 대수학의 주요 대상이며, 대수기하학과 대수적 위상수학에서 중요하게 사용된다.

정의 
환  위의 왼쪽 가군() 은 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.
 는 아벨 군을 이룬다.
 함수 는 다음 조건을 만족시킨다.
 (분배 법칙) 
 (결합 법칙) 
 (항등원) . 여기서 은 의 곱셈 항등원이다.
 위의 오른쪽 가군은 그 반대환  위의 왼쪽 가군이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 는 아벨 군을 이룬다.
 함수 는 다음 조건을 만족시킨다.
 (분배 법칙) 
 (결합 법칙) 
 (항등원) . 여기서 은 의 곱셈 항등원이다.

유사환  위의 (유사)가군은 환 위의 가군과 유사하게 정의되나, 항등원에 대한 조건이 생략된다.

왼쪽 가군인 동시에 오른쪽 가군이고, 왼쪽과 오른쪽에서 행해지는 연산이 서로 어울릴 경우 이를 쌍가군이라 한다. 이 가환환일 때는 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 아무 차이가 없으므로, 좌우 구분을 생략하고 그냥 단순히 -가군이라고 한다.

환  위의 왼쪽 가군은 아벨 군  및 환 준동형 의 쌍과 동치이다. 환  위의 오른쪽 가군은 그 반대환  위의 왼쪽 가군과 동치이다.

준동형 
환  위의 두 왼쪽 가군 ,  사이의 준동형 은 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.
 는 덧셈 아벨 군의 군 준동형이다. 즉, 임의의 에 대하여 이다.
 임의의 에 대하여, 이다.
오른쪽 가군의 준동형도 마찬가지로 정의할 수 있다.

가군의 크기 
가군의 크기를 나타내는 여러 척도가 존재한다.

길이 

가군의 길이는 부분 가군들의 사슬의 최대 길이이다.

크룰 차원 

가환환  위의 가군의 크룰 차원은 가군을  위의 벡터 다발의 일종으로 여겨 대수기하학적으로 정의하는 차원의 개념이다.

계수 
정역  위에 정의된 가군 의 계수()는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.
 . 여기서 는 의 분수체이며, 는 의 분수체 위의 벡터 공간의 차원이다.
 은 의 -선형 독립 집합의 최대 크기이다. 여기서 -선형 독립 집합이란 임의의 함수 에 대하여 만약 가 유한 집합이며 이라면 인 부분 집합 을 말한다.

아벨 군의 계수는 정수환 위의 가군으로서의 계수와 같다. 마찬가지로, 체 위의 벡터 공간의 차원은 체 위의 가군으로서의 계수와 같다.

호몰로지 차원 

호몰로지 대수학을 사용하여, 가군의 차원을 정의할 수 있다. 가군의 사영/단사 차원()은 가군의 사영/단사 분해의 길이들의 하한이다.

성질 
정역  위의 가군의 짧은 완전열

이 주어졌을 때, 계수에 대한 다음과 같은 식이 성립한다.

이는 정역의 분수체 가 의 평탄 가군이므로 가 짧은 완전열을 보존하기 때문에,  위의 벡터 공간의 완전열

이 존재하기 때문이다.

범주론적 성질 
환 에 대하여, 왼쪽 가군의 범주를 , 오른쪽 가군의 범주를 라고 한다. 이 경우, 범주의 동치

가 존재한다. 만약 가 가환환일 경우, 좌우 구분 없이 로 쓴다.

와  둘 다 아벨 범주를 이룬다. 가군의 범주에 존재하는 주요 연산은 다음과 같다.

대수기하학적 성질 
가환환  위의 가군은 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학에서, 가환환 는 어떤 "공간" 위의 함수환으로 여겨지며, 이러한 공간은 구체적으로 환의 스펙트럼 이라는 스킴이다. 스킴 의 점들은 의 소 아이디얼 들이다.

 위의 가군 은  위의 가군층을 이룬다. 이 가군층의 점  위의 올은 가군의 국소화 이다.

만약 이 유한 생성 사영 가군이라면, 이러한 가군은 세르-스완 정리에 따라서 유한 차원 대수적 벡터 다발로 생각할 수 있다. 만약 이 자유 가군 라면, 이러한 가군은 자명한 대수적 벡터 다발을 이룬다.

종류 
가환환 위의 가군들 가운데, 다음과 같은 특별한 종류의 가군들이 존재한다.
자유 가군 ⊆ 사영 가군 ⊆ 평탄 가군 ⊆ 꼬임 없는 가군
만약 가환환이 특정 조건을 만족시킨다면, 이 개념들이 다음과 같이 동일해진다.
 국소환 또는 주 아이디얼 정역 위에서는 자유 가군 = 사영 가군
 완전환(, 예를 들어 아르틴 환 등) 위에서는 사영 가군 = 평탄 가군
 데데킨트 정역 위에서는 평탄 가군 = 꼬임 없는 가군

단사 가군은 사영 가군의 반대 개념이다. 단사 가군은 위 개념들과 함의 관계를 갖지 않는다.

단순 가군은 자명하지 않는 가군을 부분 가군으로 갖지 않는 가군이다. 이는 단순군이나 단순환과 유사한 개념이다.

유한 생성 가군은 유한 생성 집합을 갖는 가군이다. 즉,  위의 왼쪽 가군 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유한 집합 이 존재한다면, 을 유한 생성 가군이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 인 함수 가 존재한다.

예 
특별한 환 위의 가군들은 특별한 이름을 갖는다.

 임의의 환 은 스스로의 가군이다.
 자명군 은 임의의 환의 가군을 이룬다. 이를 자명 가군()이라고 한다.
 군 에 대하여, 군환 는  위의 자유 가군을 이룬다.

같이 보기 

 벡터 공간
 결합 대수

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
대수 구조