헬름홀츠 방정식

수학에서 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 물리학에서 자주 등장한다. 독일의 물리학자 및 생리학자 헤르만 폰 헬름홀츠의 이름을 땄다.

정의 
차원 유클리드 공간 위에 함수 을 생각해 보자. 그렇다면 에 대한 헬름홀츠 방정식은 다음과 같다.

여기서 는 라플라스 연산자이고, 는 상수다.

2차원 헬름홀츠 방정식 
극좌표계에서, 2차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.
.
여기서 과 은 베셀 함수다. 만약 가 원점 에서 연속적이려면 (은 원점에서 발산하므로) 이어야 한다.

3차원 헬름홀츠 방정식 
구면좌표계에서, 3차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.
.
여기서 과 은 구면 베셀 함수이고, 는 구면 조화 함수다.

응용 
이 음수일 때, 헬름홀츠 방정식은 (유클리드 계량 부호수)에서의) 클라인-고든 방정식이 된다. 따라서, 헬름홀츠 방정식의 그린 함수

는 점입자의 퍼텐셜이 된다. 유클리드 공간 에서 그린 함수는 다음과 같다. 여기서 이다.

여기서
 ()
는 반지름이 1인 차원 초구의 (초)면적이고, 는 감마 함수다. 는 베셀 함수의 하나다. 인 경우 헬름홀츠 방정식은 푸아송 방정식이 되고, 이 경우 퍼텐셜은 익숙한 역거듭제곱 법칙을 따른다. 유한한 의 경우, 이 퍼텐셜은 잘 알려진 유카와 퍼텐셜이다.

같이 보기 
 라플라스 방정식
 베셀 함수
 부분파 방법

참고 문헌 
 
 

파동
편미분방정식
헤르만 폰 헬름홀츠