모멘트 생성 함수

확률론과 통계학에서, 임의의 확률변수 X의 기댓값이 존재한다면 X의 적률생성함수(moment generating function, mgf)는 다음과 같이 정의한다.
, 
t = 0 근처에서 적률생성함수가 존재한다고 가정할 때 적률생성함수를 이용하면 확률분포의 모멘트는 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.

계산 

X의 확률밀도함수가 이면 적률생성함수는 다음과 같이 구한다.

이때 는 i번째 모멘트이며 는 의 양측라플라스변환이다.

확률분포가 연속이든 아니든 F가 누적분포함수이면 적률생성함수는 다음과 같은 리만-스틸체스 적분으로 구할 수 있다.

n개의 확률변수 가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수 에 대해서 의 확률분포는  각자의 확률밀도함수를 합성곱한 것이며, 적률생성함수는 다음과 같다.

예제 
다음은 자주 사용되는 확률분포의 모멘트생성함수와 특성함수의 목록이다.

같이 보기 
 확률이론에서 적률생성함수와 같이 변환과 연관된 함수에는 특성함수와 확률생성함수 등이 있다.

 누적생성함수(cumulant-generating function)은 적률생성함수에 로그를 취한 함수이다.

확률론