환 달린 공간

수학에서 환 달린 공간(環달린空間, )은 간단히 말하면 각 열린집합마다 가환환이 달려 있어서, 그 환의 각 원소들을 열린집합 위의 일종의 함수로 볼 수 있는 공간이다. 이는 해석학 전반에서 널리 쓰이는 개념이며, 대수기하학에서 스킴을 정의하기 위해서도 사용된다.

정의
환 달린 공간 은 위상 공간 와 그 위의 가환환의 층 의 순서쌍이다. 를 의 구조층(構造層, )라고 한다.

두 환 달린 공간 ,  사이의 사상(寫像, ) 은 다음과 같은 순서쌍이다.
 는 연속 함수이다.
 는 가환환의 층의 사상이다. 구체적으로, 의 각 열린집합 에 대하여, 는 환 준동형이며, 이는 제한 사상과 호환되어야 한다.

국소환 달린 공간 
국소환 달린 공간(局所環달린空間, )은 구조층의 모든 줄기가 국소환인 환 달린 공간이다. (각 열린집합 에 대해 가 국소환일 필요는 없다.)

두 국소환 달린 공간 사이의 사상(寫像, ) 은 다음과 같은 환 달린 공간의 사상이다.
 임의의 에 대하여, 로 인하여 유도되는 줄기 사이의 환 준동형  아래, 의 유일한 극대 아이디얼의 원상은 의 유일한 극대 아이디얼과 같다.

열린 몰입 
환 달린 공간 사상 이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 열린 몰입()이라고 한다.
 의 치역 은 열린집합이며, 는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
 이 층의 동형 사상 을 유도한다.

환 달린 공간  및 의 열린집합 가 주어졌을 때, 는 환 달린 공간을 이루며, 자연스러운 포함 사상 은 열린 몰입을 이룬다. 만약 가 국소환 달린 공간이라면  역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 열린 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 열린 몰입은 그 치역에 따라 결정된다.

닫힌 몰입 

환 달린 공간 사상 이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 닫힌 몰입()이라고 한다.
 의 치역은 닫힌집합이며, 는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
 는 가환환 값의 층의 전사 사상이다. 즉, 모든 줄기 사상 은 전사 함수이다.

환 달린 공간  위의 아이디얼 층 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 지지 집합 은 닫힌집합이다.  위의 몫층 을 정의할 수 있으며, 는 닫힌 몰입을 이룬다. 만약 가 국소환 달린 공간이라면  역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 닫힌 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 닫힌 몰입은 그 아이디얼 층에 따라 결정된다. 이름과 달리, 닫힌 몰입은 그 지지 집합인 닫힌집합에 의하여 결정되지 않는다.

성질 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
환 달린 공간 ⊋ 국소환 달린 공간 ⊋ 스킴 ⊋ 아핀 스킴

범주론적 성질 
환 달린 공간의 범주 와 국소환 달린 공간의 범주 는 둘 다 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

는 의 충만한 부분 범주가 아니지만, 쌍대 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자

는 오른쪽 수반 함자를 가진다.

예 
모든 스킴은 국소환 달린 공간이다.

국소 유클리드 공간  위에 실수 값의 연속 함수의 층 을 부여한다면, 은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, 매끄러운 다양체  위에 실수 값의 매끄러운 함수의 층 을 부여한다면, 은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, 복소다양체  위에 복소수 값의 정칙 함수의 층 을 부여한다면, 은 국소환 달린 공간을 이룬다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

층론
스킴 이론
위상 공간