횔더 부등식

해석학에서 횔더 부등식()은 르베그 적분과 Lp 공간을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 부등식이다. 부등식의 이름은 오토 횔더의 이름을 따서 지은 것이다.

정의 
S,Σ,μ가 측도 공간이고, p, q ∈ R가 1 ≤ p, q ≤ ∞ 이고 1/p + 1/q = 1 을 만족한다고 하자. 이때 모든 실함수, 복소함수 가운데 S에서 가측 함수 f, g에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다.

부등식은 ||fg||1의 값이 무한일 때에도 성립하며, 우변의 값이 무한인 경우에도 성립한다. 또, 만약 f ∈ Lp(μ) , g ∈ Lq(μ)일 때, fg ∈ L1(μ)가 성립한다.

1 < p, q < ∞ and f ∈ Lp(μ) and g ∈ Lq(μ)일 때, 횔더 부등식의 등호가 성립할 필요충분조건은 |f|p 과 |g|q이 L1에서 일차 종속일 때 만족한다. 즉, α, β ≥ 0 인 α, β 가 존재하여, 측도가 0인 집합을 제외한 모든 점에서 α|f|p = β|g|q가 성립할 때 필요충분조건이 성립한다.

(||f||p = 0 인 경우, β = 0이다.||g||q = 0 인 경우,α = 0이다.)

이때 p와 q는 횔더 켤레(Hölder conjugates)이다. p = q = 2인 경우, 이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식이 된다.

횔더 부등식은 Lp(μ)에서 삼각 부등식과 민코프스키 부등식을 증명하기 위해 사용하며, Lp(μ)의 쌍대공간 Lq(μ)를 구성하기 위해 사용한다. (1 ≤ q < ∞)

횔더 부등식은 여러 규약(convention)에 많이 사용된다.

 횔더 켤레의 정의에 의하면, 1/∞은 0을 뜻한다.
 만약 1 ≤ p, q < ∞ 이면, ||f||p , ||g||q는 다음과 같이 정의한다.

   and   

 만약 p = ∞ 이면, ||f||∞는 |f|의 본질적 상한으로 정의한다. 같은 방식으로 ||g||∞도 정의한다.
 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ 과 ∞ 곱하기 0는 0으로 약속한다.

일반화 횔더 부등식 
r ∈ (0,∞) 이고 p1, …, pn ∈ (0,∞]이고 다음의 부등식을 만족한다고 가정하자.

이때, S에서 정의된 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 f1, …, fn에 대하여,

가 성립한다.

또한, 다음도 성립한다.

주의: r ∈ (0,1)에 대해, ||.||r는 일반적으로 삼각 부등식이 성립하지 않기 때문에 노름이 아니다.

역 횔더 부등식 
p ∈ (1,∞)이고, 측도 공간 (S,Σ,μ)이 μ(S) > 0를 만족한다고 가정하자. 이때, S에서 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 f, g (이때, g(s) ≠ 0 측도 μ값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 s ∈ S)에 대하여 다음이 성립한다.

만약, ||fg||1 < ∞ 이고 ||g||−1/(p−1) > 0 이면, 역 횔더 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 α ≥ 0 에 대해

    

이 측도 μ값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 집합에서 성립할 때이다.

주의: ||f||1/p 와 ||g||−1/(p−1)는 노름이 아니고, 다음의 식을 간단히 나타낸다.

   ,

조건부 횔더 부등식 
를 확률 공간이라 하고, 를 부분 시그마 대수라 하고, 횔더 켤레 p, q ∈ (1,∞)라 하면, 모든 실수, 복소수 값을 갖는 Ω에서의 확률 변수 X, Y에 대하여 다음이 성립한다.

특이 사항:
 만약 음이 아닌 확률변수 Z가 기댓값이 무한이라면, 이때 Z의 조건부 평균은 다음과 같이 정의한다.

 조건부 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ , ∞ 곱하기 0 은 0으로 생각한다. a > 0 에 ∞를 곱해도  ∞으로 생각한다.

예 
p와 q가 (1,∞) 열린구간에 속한다고 가정하자.

 n차원 유클리드 공간의 집합 S = {1, …, n} 가 셈측도를 측도로 가질 때, 다음 부등식이 성립한다.

 만약 이 셈측도를 측도로 가질 때, 수열 공간에서의 횔더 부등식을 얻을 수 있다.

 만약 S가 르베그 측도를 측도로 갖는 Rn의 가측 집합일 때, f, g는 S에서 가측 실함수, 복소함수이다. 이때, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.

 확률 공간 에서 , 를 기댓값 연산으로 정의하자. Ω에서 실수, 복소수값을 갖는 확률 변수 X와 Y에 대해, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.

0 < r < s이고, p = s/r라 정의하자. 이때, q = p/(p−1)는 p의 횔더 켤레다. 횔더 부등식을 확률 변수 |X|r 과 1Ω에 대해 적용하면 다음식을 얻을 수 있다.

s의 절대 모멘트가 유한할 때, r의 절대 모멘트도 유한하다. (이 결과는 옌센 부등식을 통해서도 얻을 수 있다.)

증명

횔더 부등식의 증명 
횔더 부등식을 증명하는 방법에는 여러 개가 있으나, 영 부등식을 사용하여 증명하겠다.

만약 ||f||p = 0 이라면, f는 측도 μ값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이고, 따라서 fg도 μ값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이다. 즉, 횔더 부등식의 좌변의 값이 0이다. ||g||q = 0일 때도 같은 결론을 얻을 수 있다. 따라서, ||f||p > 0 , ||g||q > 0 이라고 가정할 수 있다.

만약 ||f||p = ∞ 또는 ||g||q = ∞ 일 때, 횔더 부등식의 우변은 무한대가 된다. 따라서 ||f||p , ||g||q 이 (0,∞) 사이의 값을 갖는다고 생각할 수 있다.

만약 p = ∞ , q = 1이면, 거의 모든 점에서 |fg| ≤ ||f||∞ |g| 가 성립한다. 르베그 적분의 단조성에 의해 횔더 부등식을 증명할 수 있다. 마찬가지로, p = 1 and q = ∞ 일 때도 이 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 p, q ∈ (1,∞)라고 가정할 수 있다.

아래의 영 부등식을 사용한다. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 음이 아닌 수 a, b에 대하여 ap = bq일 때이다.

이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

를 대입하면

주어진 양변을 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이때 ||f||p 와 ||g||q는 상수 취급을 받는다.

이때, 가정에서 p ,q∈ (1,∞) 이라 가정했으므로 , ||f||p and ||g||q 의 정의에 의해,

이므로,

그리고, 양변에 ||f||p||g||q 을 곱하면 증명이 끝난다.

등호가 성립할 필요충분조건은 거의 모든 점에서 가 성립할 때이다.

일반화된 횔더 부등식의 증명 
횔더 부등식과 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. n = 1일 때 성립한다는 사실을 쉽게 알 수 있다. n − 1에서 성립한다고 가정하자. 이때, 일반성을 잃지 않게 p1 ≤ … ≤ pn라 가정할 수 있다.

1 : pn = ∞ 일 때,

가정과 |fn|의 본질적 상한을 사용하면,

을 얻을 수 있다.

2 : pn < ∞ 일 때,

   and   

는 (1,∞)사이의 값을 갖는 횔더 켤레이다. 이에 대해 횔더 부등식을 적용하면,

이를 다시 쓰면, 다음 식이 성립한다.qr = pn이고,

이므로, 가정을 사용하면 원하는 부등식을 얻어낼 수 있다.

 역 횔더 부등식의 증명 p와

가 횔더 켤레라 하자. 횔더 부등식을 적용하면,

양변을 p제곱하여, ||fg||1에 대해 식을 쓰면 역 횔더 부등식을 얻을 수 있다.g가 거의 모든 점에서 0이 아니므로, 거의 모든 점에서 |fg| = α|g|−q/p를 만족하는 상수 α ≥ 0가 존재할 때 등호가 성립하고 그 역도 성립한다.

 조건부 횔더 부등식의 증명 
확률변수를 다음과 같이 정의하자.

이때, 이들은 부분 시그마 대수에서 측정 가능하다. 이때

집합 {U = 0}에서, 거의 확실하게(Almost Surely) |X| = 0이다. 마찬가지로, 집합 {V = 0}에서 거의 확실하게 |Y| = 0이다. 따라서,

이고, 조건부 횔더 부등식은 이 집합에서 성립한다.

우변이 무한대라도 조건부 횔더 부등식은 성립한다. 양변을 우변의 값으로 나누면, 다음과 같이 된다.

 집합 에서 거의 확실하게 성립.

이제 임의의 집합

에서 적분을 한 후에도 부등식이 성립하는지를 확인하면 된다.U, V'', 1G가 부분 시그마 대수에서 측정 가능하므로, 조건부평균의 성질과 횔더 부등식을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

역사 
횔더 부등식은 L.J 로저스가 1888년에 처음 찾아내었고, 이와는 독립적으로 횔더가 1889년에 발견하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 

부등식
대수학
함수해석학
해석학 (수학)
바나흐 공간
확률부등식
함수해석학 정리