오일러 피 함수

수론에서 오일러 파이 함수(-函數, )는 정수환의 몫환의 가역원을 세는 함수이다. 즉, n이 양의 정수일 때, ϕ(n)은 n과 서로소인 1부터 n까지의 정수의 개수와 같다. 예를 들어, 1부터 6까지의 정수 가운데 1, 5 둘만 6과 서로소이므로, ϕ(6) = 2이다. 1부터 10까지의 정수는 모두 11과 서로소이며, 11은 자기 자신과 서로소가 아니므로, ϕ(11) = 10이다. 1은 자기 자신과 서로소이므로, ϕ(1) = 1이다.

정의 
양의 정수 의 오일러 피 함수 은 정수환의 몫환 의 가역원군의 원소 개수이다. 즉, 1부터 까지의 정수 가운데 과 서로소인 것들의 개수이다.

성질

값 
1부터 80까지의 정수의 오일러 피 함수 값은 다음과 같다.

항등식 
오일러 피 함수는 곱셈적 함수다. 즉, 만약 두 정수 이 서로소라면, 다음이 성립한다.

오일러 피 함수 값은 소인수를 통해 다음과 같이 구할 수 있다. 이를 오일러 곱 공식()이라고 한다.

예를 들어, 20의 소인수는 2, 5이므로 은 다음과 같이 구할 수 있다.

그리고, 소수 의 거듭제곱 의 오일러 피 함수 값은

이다. 특히 소수 의 경우

이다.

오일러 피 함수를 통해 항등 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이는 레온하르트 오일러가 증명하였다.

또한, 다음이 성립한다.

여기서 는 뫼비우스 함수이다.

만약 양의 정수 이 서로소라면, 다음과 같은 합동식이 성립한다. 이를 오일러의 정리라고 한다.

응용 
오일러 피 함수는 수학의 다양한 분야에서 등장한다. 예를 들어, 군론에서는 순환군 의 가능한 생성원(generator)의 수는 이다. 이는 과 서로소인 임의의 수를 사용하여 를 생성할 수 있기 때문이다.

또한, 정n각형이 작도 가능한 다각형인지, 즉 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는지는 이 2의 거듭제곱수인지와 동치이다. 즉,
n = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, …
이라면
 = 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, …
이므로 정n각형을 작도할 수 있지만, 다른 값의 경우에는 작도할 수 없다. 특히, n이 소수인 경우를 페르마 소수라고 한다.

오일러 피 함수는 암호학의 RSA 암호에서도 핵심적인 역할을 한다.

같이 보기 
 페르마의 소정리
 조르당 피 함수
 카마이클 피 함수
 토션트 합 함수

외부 링크 
 
 

수론
레온하르트 오일러
모듈러 산술