준동형

추상대수학에서 준동형(準同型, ) 또는 준동형 사상(準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다. 이들은 범주의 사상을 이룬다.

정의
같은 부호수 의 두 구조 ,  사이의 준동형은 다음 조건을 만족시키는 함수 이다.
 (연산의 보존) 모든 항 연산  및 에 대하여,

 (관계의 보존) 모든 항 관계  및 에 대하여,

같은 부호수 의 두 구조 ,  사이의 강준동형(強準同型, )은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형 이다.
 모든 항 관계  및 에 대하여,

대수 구조의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다.

예

마그마와 군 
마그마 는 하나의 이항 연산을 갖는 대수 구조이다. 마그마 준동형 은 모든 에 대하여

인 함수이다.

군 은 이항 연산 , 일항 연산 , 영항 연산 을 갖는 대수 구조이다. 군 준동형 는 모든 에 대하여
 
 
 
인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 2번·3번 조건이 1번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

유사환과 환 
유사환 은 이항 연산  및 , 일항 연산 , 영항 연산 을 갖는 대수 구조이다. 유사환 준동형 는 모든 에 대하여
 
 
 
 
인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

(단위원을 갖는) 환 은 이항 연산  및 , 일항 연산 , 영항 연산  및 을 갖는 대수 구조이다. 환 준동형 는 모든 에 대하여
 
 
 
 
 
인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. 두 환 사이의 유사환 준동형은 일반적으로 5번 성질을 만족시키지 못하므로, 환 준동형은 유사환 준동형보다 더 강한 조건이다. 예를 들어, , 은 유사환 준동형이지만 환 준동형이 아니다.

체는 (보편 대수학에서 다루는) 대수 구조가 아니므로, 준동형의 개념이 존재하지 않는다. 체를 환으로 간주한다면, 체 사이의 환 준동형은 체의 확대이다. 체 사이의 유사환 준동형은 그 밖에 상수 함수 0만을 추가로 포함한다.

벡터 공간 
체 에 대한 벡터 공간 은 이항 연산 , 일항 연산  및 모든 에 대하여 , 영항 연산 을 갖는 대수 구조이다. 벡터 공간의 준동형은 선형 변환이라고 하며, 선형 변환 는 모든 에 대하여
 
 
 모든 에 대하여, 
 
인 함수이다. 벡터 공간의 공리에 따라 2번 및 4번 조건은 1번 및 3번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

격자 
격자 는 이항연산  및 를 갖는 대수 구조이다. 격자의 준동형 은 모든 에 대하여
 
 
인 함수이다. 격자는 표준적인 부분 순서 집합 구조를 갖는데, 이 경우 위 두 조건으로부터 격자 준동형이 항상 단조함수임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유계 격자 는 이항 연산  및 , 영항 연산  및 을 갖는 대수 구조이다. 유계 격자의 준동형 은 모든 에 대하여
 
 
 
 
인 함수이다. 이는 격자의 준동형보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

그래프 
그래프의 언어 는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 를 갖는 언어이다. 이 경우 는 "이거나, 아니면 과  사이에 변이 존재한다"로 해석한다.

이 언어의 구조는 그래프이며, 구조로서의 준동형은 그래프의 준동형이다.

전순서 
전순서 집합의 언어 는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 를 갖는 언어이며, 이 언어의 구조는 전순서 집합이다. 이 경우, 준동형은 순서 보존 함수(증가 함수)이다.

참고 문헌

같이 보기 
 사상
 동형 사상
 준동형 정리
 동형 정리
 합동 관계

외부 링크 
 
 
 

함수와 사상
추상대수학
모형 이론