완전수

수론에서 완전수(完全數)는 자기 자신을 제외한 양의 약수(진약수)를 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다. 또는 모든 양의 약수를 더했을 때 자기 자신의 2배가 되는 수를 말하기도 한다.

최초 다섯 개의 완전수는 6, 28, 496, 8128, 33550336이다.

    6 = 1 + 2 + 3
   28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

짝수 완전수 
고대 그리스인들은 이들 네 개의 완전수밖에는 알지 못했다. 유클리드는 이들을  에 알맞은 수를 대입해 구할 수 있다는 것을 발견했다.
n = 2 일 때:   21 · (22 − 1) = 6
n = 3 일 때:   22 · (23 − 1) = 28
n = 5 일 때:   24 · (25 − 1) = 496
n = 7 일 때:   26 · (27 − 1) = 8128

이때 은 언제나 소수이지만 이 소수라고 2n − 1도 꼭 소수가 되지는 않는다. 2n − 1이 소수일 때는 이를 메르센 소수라고 부른다. 마랭 메르센은 17세기에 정수론과 완전수를 연구한 수도승이었다.
 즉, 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 있다는 것이 밝혀졌다.

모든 짝수 완전수가  꼴이므로, 모든 짝수 완전수는 연속된 자연수의 합으로 표현할 수 있다. 그러나 메르센 수가 소수가 아닌 경우에는 해당 숫자는 과잉수가 된다. 그와 동시에 모두 반완전수이기도 하다. 그러한 예는 120, 2016, 32640, 130816 등이 있다. 15, 63, 255, 511 등은 모두 메르센 수들 중에서 소수가 아닌 합성수이기 때문이다.

    6 = 1 + 2 + 3
   28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
  496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 30 + 31

메르센 소수의 수가 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않다. 그러므로 짝수 완전수의 수가 무한한지도 알려져 있지 않다.

홀수 완전수 

홀수 완전수가 존재하는지는 아직 알려져 있지 않다.

만약 홀수 완전수가 존재한다면 그 수는 다음 조건을 만족한다.
 2012년에 출판된 논문에 따르면 N > 101500이다.
 N은 105로 나누어떨어지지 않는다.
 N은 N≡1(mod 12)또는N ≡ 117 (mod 468)또는N ≡ 81 (mod 324)의 형태를 띤다.
 N은

의 형태를 띠며,
 q, p1, ..., pk는 구별된 소수이다.(Euler).
 q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Euler).
 N의 가장 작은 소인수는(2k + 8) / 3보다 작다.
 qα > 1062, 또는 어떤 j에 대해 p j2ej  > 1062이다.
 N < 24k+1.
 N의 가장 큰 소인수는 108보다 크다.
 두 번째로 큰 소인수는 104보다, 세 번째로 큰 소인수는 100보다 크다.
 N은 101개 이상의 소인수로 분해되며, 적어도 10개의 서로 다른 소인수를 갖는다. 3이 소인수가 아니라면 12개의 서로 다른 소인수를 갖는다.

같이 보기 
 초완전수
 반완전수
 준완전수
 부족수
 과잉수

각주 

 
정수열
수론의 미해결 문제