バウムクーヘン積分

バウムクーヘン積分（-せきぶん）あるいは円殻積分・円殻法（えんかくせきぶん・-ほう、）とは、回転体の体積を回転軸と「垂直」方向に計算する方法。対しては回転軸と「平行」に積分する。

定義 
公式は次の通りである。-平面上での断面を -軸上で回転させることで得られる三次元での体積について考える。断面が区間  上の正函数  で定義されているとする。このとき、体積の公式は

となる。

もし函数が  座標にあり、回転軸が -軸とすると公式は次のようになる。

もし函数が線  にそって回転させるとすると、公式は
 
となり、回転軸が  の時には

となる。

公式は極座標系で二重積分を計算することで得られる。

例 
式

で定義された、区間  での断面（下に示す）の体積について考える。

の場合、与えられた  に対して  を求める必要があり、また中央部に空洞があることからその内外に対応した2つの函数を得なければならない。これらの2函数を円板法で積分した後、それらを引くことで求める体積を得る。

バウムクーヘン積分では次の公式に従えばよい。

多項式を展開することで、積分は極めて単純になる。最終的に体積  を得る。

関連項目 
回転体

参考文献 

Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaum's Outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, . pp. 244–248 ()

積分法
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