ムーファン・ループ

数学において、とは、特別な種類の代数構造である。多くの点で群に似ているが、必ずしも結合法則を満たさない。ムーファン・ループは、 によって導入された。 ムーファン・ループは、関連する代数である がある。それはリー群に関連するリー代数があるのと類似している。

定義 
ムーファン・ループ はループ  で、任意の , ,  に対して、以下の4つの同値な恒等式を満たすものである ( の二項演算はで記述する)：
   … (N2)
   … (N1)
   … (M1)
   … (M2)
以後の説明の便宜上、式の後ろにつけた番号は、参考文献 Kunen (1995) に倣った。

例 

 任意の群は、結合的であるから、従ってムーファン・ループである。
 非ゼロな八元数は、乗算に関して、非結合的なムーファン・ループを成す。

性質

結合性 
ムーファンループは (群とは異なり) 必ずしも結合的ではない 。ムーファン恒等式は、結合法則の弱い形式と見なすことができる。
ムーファン恒等式に適当な値を代入することにより、以下の式が得られる：
  (式 (N2) において y := e を代入)
  (式 (N1) において z := e を代入)
  (式 (N2) において z := e を代入 or (N1) において y := e を代入 or (M1) において z := e を代入 or (M2) において y := e を代入)

ムーファンの定理は、ムーファン・ループにおける三つの元 x, y, z が結合法則  に従う場合、結合的な部分ループを生成すると述べている。 。

左右の乗算

可逆性

ラグランジュ性

ムーファン準群 
このセクションでは、擬群ではなく準群の場合にどうなるか考察する。
準群がムーファン恒等式の内の一つを満たす場合は、必ず単位元が存在することが示される。
以下に、証明の一部 (Theorem 2.2) だけ述べる。Theorem 2.3 はより難しいので、参考文献を見よ。

 を準群とする。ムーファンの恒等式の内 (M1) が成り立つと仮定する。
任意のを固定する。準群の定義によって、を満たすがただ一つ存在する。
この時、任意のに対して、が成り立つ。よって、準群の定義 (消去律) によってが成り立つ。従って、は左単位元である。

次に、再び準群の定義により、を満たすがただ一つ存在する。この時、
が成り立つ。再び準群の簡約律より、が成り立つ。従って、は右単位元である。
さらに、 であるから、 は(両側)単位元である。

(M2) だけを仮定する場合も、(式を鏡のように反転させて) 同様に証明できる。
この場合はに対して、を満たすを取ると、、つまり は右単位元であることが言える。
先ほどと逆に を満たす を取って、同じことをすれば、 が左単位元になることも言えるので、両側単位元である。

Open problems

脚注

注釈

訳注

出典

関連項目 
:en:Malcev algebra
:en:Bol loop
:en:Gyrogroup
:en:Moufang plane
:en:Moufang polygon

参考文献 

 

  https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356

外部リンク
 LOOPS package for GAP This package has a library containing all nonassociative Moufang loops of orders up to and including 81.
 

非結合代数
群論
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