擬群のアイソトピー

数学の 抽象代数学分野に於いて、アイソトピー (または イソトピー 英: isotopy) とは、擬群 の代数的概念を分類するために使われる同値関係である。

擬群および準群のアイソトピーは、 によって導入された。

準群のアイソトピー 

任意の準群は、ある擬群とアイソトピックである。

 と  を 準群 とする。
Q から P への 準群ホモトピー (英: quasigroup homotopy) とは、 Q から P への写像の三つ組み  であって、以下の条件を満たす者である。

準群の準同型 (英: quasigroup homomorphism) とは、単に、これら三つの写像がすべて同じ写像であることと定義する。

アイソトピー (または イソトピー とも発音する、英: isotopy) は、ホモトピーの特殊なケースであって、三つの写像  が 全単射　である。二つの準群が アイソトピック (イソトピック 英:isotopic) とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。ラテン方格 の言葉で言い換えると、アイソトピー  は、行の置換 α、列の置換 β、 そして γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。

オートトピー (英: autotopy) は、  からそれ自身へのアイソトピーであり。準群のすべてのオートトピーの集合は、 。 

主アイソトピー (英: principal isotopy) とは、アイソトピーで特に、γ が Q 上の恒等写像であること。
この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る 。

擬群のアイソトピー 

 と  をループとし、 をアイソトピーとする。
この時、(そのアイソトピー) は主アイソトピー  と  の  と、同型写像  と 間の  を使って、それらの になっている

 と  をループとし、e を 単位元 of  とする。さらに  を  to  への主アイソトピーとする。この時 

擬群 L が G-loop であるとは、それがすべての擬群アイソトープ擬群と同型であることと定義される。

擬群の疑似自己同型 

L を擬群、c を L の元とする。 L の全単射 α は任意の x, y に対して、下記の恒等式を満たすこ時、 と呼ばれる：

同様に、左疑似同型 () も定義される。

ユニバーサル性 

擬群についてのある性質 P が ユニバーサル (普遍的、英: universal) であるとは、その性質が、アイソトピー不変であることと定義される。すなわち、擬群 L においてある性質 P が成り立つか否かと、L のイソトープな擬群でも同様に性質 P が成り立つか否かが一致していることである。

。
実際、任意の群は、G-loop である 。

アイソトピーの幾何学的実行 

与えられた擬群 L に対して、3-net と呼ばれる  学的構造を定義することができる。
逆に、原点と直線クラスの  を固定すると、3-net は擬群を発生させる。
別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標の擬群が発生する可能性もある 。 
しかしながら、 は常にアイソトピックである。
言い換えると、二つの擬群がアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る。

代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。

 擬群のオートトピーの成す群は、3-net の  を保存する  に対応 
 疑似自己同型は、座標系の二つの軸を固定する共線変換に対応。
 コンパニオン要素の集合は、共線変換群における軸のスタビライザの軌道に対応。
 擬群が G-loop である iff. 共線変換の群の作用が 3-net の点の集合に推移的に作用するとき、またその時に限る。
 性質 P がユニバーサルである iff. 原点の選択に依存しない 。

関連項目 

Isotopy of an algebra

脚注

注釈

訳注

原文

出典

参考文献 

 

分配多元環
非結合代数
代数的構造
数学に関する記事