モーデル曲線

代数学において、モーデル曲線（-きょくせん、）とは、 を非零整数定数として  の形式で表される楕円曲線である。

ルイス・モーデルはこれらの曲線の格子点について詳しく研究した。彼はすべてのモーデル曲線が高々有限個の格子点  を持つと示した。言い換えれば、平方数と立方数の差は無限大に発散するということである。発散速度はベイカーの定理によって調べられている。この問題はとして取り扱われている。

性質 
 がモーデル曲線上の格子点であるとき、 も同様に格子点となる。

対応するモーデル曲線が格子点を持たないような  が存在する。例えば
 6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... （）
 −3, −5, −6, −9, −10, −12, −14, −16, −17, −21, −22, ... （）

 の場合についてはフェルマーのサンドイッチ定理（）として知られる。

解のリスト 
 の絶対値が25以下の場合のモーデル曲線  の解のリストを示す。 となる解のみ示してある。

1998年、J. Gebel, A. Pethö, H. G. Zimmer は  を満たすすべての格子点を見つけている。

2015年、M. A. Bennett と A. Ghadermarzi は  の格子点を計算した。

脚注

外部リンク 
 J. Gebel, Data on Mordell's curves for –10000 ≤ n ≤ 10000
 M. Bennett, Data on Mordell curves for –107 ≤ n ≤ 107

代数曲線
ディオファントス方程式
楕円曲線
人名を冠した数式
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