ミルズ比

確率論において、 連続確率分布 のミルズ比（ミル比）は、関数

 

で表される。このとき、  はXの確率密度変数であり、

 

は生存関数（相補累積分布関数）である。 この概念は John P. Millsにちなんで名づけられている。

ミルズ比はハザード率 に関連し、

 

のときのミルズ比は

 

となる。

例 
が 標準正規分布であるとき、 ミルズ比は次のように表される。

 

このとき、記号 は2つの関数の商が のときに1に収束することを示している（詳細は:en:Q-functionを参照）。より正確な漸近線を与えることができる。

逆ミルズ比 
逆ミルズ比 は、ある分布の 相補累積分布関数 の確率密度関数の 比 である。逆ミルズ比は、下記のようなデータが切断された正規分布に用いられる。 X が平均値 μ 分散 σ2 の正規分布の確率変数 のとき、

 

このとき、  は母数,  標準正規分布の確率密度関数、 標準正規分布の累積分布関数を示す。この二つの要素が、逆ミルズ比である。

回帰分析での使用 
一般的な逆ミルズ比の適用例は、回帰分析でのセレクションバイアスの影響を補正する際に用いる。従属変数が打ち切られている（すなわちすべての変数が観測されたものではない）とき、ゼロとして観測された変数が多く存在する。この問題は、Tobin (1958)によって初めて指摘された。彼は、回帰分析での推定の際に打ち切りの影響を考慮しない場合、通常の最小二乗法による推定では偏ったパラメータ推定値が得られることを指摘している。これは、打ち切られた従属変数を用いることで、独立変数と誤差項の間の相関がゼロであるというガウス=マルコフの定理の仮定に反することからわかる。

James Heckman はセレクションバイアスを補正するために、逆ミルズ比を用いた2段階推定法を提案した。第一に、従属変数をプロビットモデルを用いた回帰分析を行う。逆ミルズ比は、ロジットモデルでは用いることができず、プロビットモデルから推定する必要がある。このプロビットモデルは、誤差項が標準正規分布に従うと仮定している。第二に、プロビットモデルを用いて推定されたパラメータを用いて逆ミルズ比を計算し、この結果を最小二乗法を用いた回帰分析の説明変数に用いる。

関連項目 

 ジェームズ・ヘックマン

参考文献 

確率分布論
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