実効記述集合論

実効記述集合論は記述集合論で細字の定義をもつ集合や実数を扱う分野である; それはすなわち、定義にいかなる実数パラメータも要さないものである (Moschovakis 1980)。つまり実効記述集合論は、記述集合論と再帰理論を組み合わせたものである。

構成

実効ポーランド空間

実効ポーランド空間とは計算可能な表現(:en:computable presentation)を持つ完備可分距離空間のことである。このような空間は、実効記述集合論と構成的解析学の両方で研究されている。 特に、実数直線、カントール集合、ベール空間などのポーランド空間の標準的な例は全て実効ポーランド空間である。

算術的階層

算術的階層、またはクリーネ-モストフスキ階層は、ある集合を、それらを定義する式の複雑さに基づいて分類する。そのような分類を受けた集合は「算術的」と呼ばれる。

より正式には、算術的階層は一階算術の言語における論理式に分類を割り当てる。分類は自然数n（0を含む）に対してとと表される。ここでのギリシャ文字は細字記号であり、論理式に集合パラメータが含まれていないことを意味する。

論理式  が有界量化子のみを持つ論理式に論理的に同値であるとき  は分類  と  を両方割り当てる。

0より大きい各自然数 n に対する ,  は次のように帰納的に定義される:
 が （ただし、 は  式）の形の式と論理的に同値であるとき、 には分類  を割り当てる。
 が （ただし、 は  式）の形の式と論理的に同値であるとき、 には分類  を割り当てる。

参考文献
 
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実効記述集合論

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