Van Emde Boas木

van Emde Boas 木 () とは、 ビットの整数による連想配列を実現するための木構造である。オランダの計算機科学者 Peter van Emde Boas らによって 1975 年に開発された。探索・挿入・削除といった操作がすべて最悪計算量  で行える。 

vEB 木の空間計算量は悪く、例えば、32 bit 整数を扱おうとすると、 ビットの記憶域が必要になってしまう。ただし、工夫すれば、扱う要素の数を  として  の空間計算量を実現することもできる。

操作 
vEB 木は、順序付き連想配列の機能を持ち、挿入・削除・検索の機能を持つ。また、これに加えて、与えられた数の周辺の要素の検索も可能である。

 挿入： ビットのキーと、対応する値のペアを挿入する
 削除：与えられたキーを持つ要素を削除する
 検索：キーから要素を検索する
 後方検索： 以上で最小のキーを持つ要素を検索する
 前方検索： 以上で最大のキーを持つ要素を検索する

さらに、vEB 木は最小値・最大値のクエリにも対応可能である。  最小値と最大値は木に変数として保存されているため、これらのクエリには  で応答できる。

機能 

簡単のため、  がある整数  について成り立つとする。また、 とする。vEB 木  の根は、長さ  の配列  を持つ。 は、 から  までの要素を管理する vEB 木へのポインタを持つ。さらに、 はその最小値と最大値 、 と、補助の vEB 木  を持つ。

vEB 木には以下のようにデータが保存される。

木内の最小値は  に、最大値は  に入る。  以外の全ての値  は、 として  で管理される。 は、 のそれぞれの要素が値を持っているかを管理する。つまり、 が空でない場合のみ  は値  を持つ。

後方検索 
vEB 木上で、x 以上で最小の要素を検索する  は次のように実現できる：

・もし  なら  を返す。

・もし  ならそのような要素は存在しない。

・ として、 なら、答えは  で再帰的に探索して発見できる。

・そうでなければ、 で i 以上の最小の要素 j を検索して、 を返す。
 function FindNext(T, x)
     if x < T.min then
         return T.min
     if x ≥ T.max then // no next element
         return M
     i = floor(x/)
     lo = x mod 
     
     if lo < T.children[i].max then
         return ( i) + FindNext(T.children[i], lo)
     j = FindNext(T.aux, i)
     return ( j) + T.children[j].min
 end
最悪の場合でも、この関数で再帰呼び出し以外の計算は  で行えて、再帰のたびに木のサイズは元のサイズの平方根となるので、ビット数は半分になる。よって、時間計算量は漸化式  で与えられ、このオーダーは  となる。

挿入 
vEB 木  への値  の挿入操作  は次のように実現できる：

 もし  が空なら、 として、操作は終了する。
 もし  なら、 を対応する部分木  に挿入して、 とする。もし  がもともと空なら、 に  を挿入する。
 それ以外の場合、対応する部分木  に  を挿入して、もし  がもともと空なら、 に  を挿入する。 なら、 とする。 とする。

 function Insert(T, x)
     if T.min > T.max then // T is empty
         T.min = T.max = x;
         return
     if x < T.min then
         swap(x, T.min)
     if x > T.max then
         T.max = x
     i = floor(x / )
     lo = x mod 
     Insert(T.children[i], lo)
     if T.children[i].min == T.children[i].max then
         Insert(T.aux, i)
 end
空の vEB 木への要素の挿入は  で済む。もしアルゴリズムが再帰呼び出しを二回行っても、一度目の再帰呼び出しは空の vEB 木への挿入であるから、前節と同様に時間計算量の漸化式は  となる。

削除 
vEB 木からの削除は最も複雑な操作である。

vEB 木  からの値  の削除  は次のように実現できる：

 も なら、x が唯一の要素であるから、木は空になり、 と  とする。
  なら vEB 木で 2 番目に小さい値 y を探してそれを削除し、 とする。y は  を計算すれば求められるから、 で求まって、あとは y を部分木から削除すればよいだけである。
 かつ  なら、 から x を削除する。
 もし  なら、vEB 木で 2 番目に大きい値 y を探して、 としなければならない。前の場合と同じように x を削除した後、2 番目に大きい値は  か  であるから、 で計算できる。
 上のすべての場合において、削除によって  が空になったら、i を  から削除する。

 function Delete(T, x)
     if T.min == T.max == x then
         T.min = M
         T.max = −1
         return
     if x == T.min then
         hi = T.aux.min * 
         j = T.aux.min
         T.min = x = hi + T.children[j].min
     i = floor(x / )
     lo = x mod 
     Delete(T.children[i], lo)
     if T.children[i] is empty then
         Delete(T.aux, i)
     if x == T.max then
         if T.aux is empty then
             T.max = T.min
         else
             hi = T.aux.max * 
             j = T.aux.max
             T.max = hi + T.children[j].max
 end
この操作場合でも、挿入の場合と同じように、ひとつしか要素のない vEB 木からの削除が定数時間で行えることが重要である。2 番目の再帰呼び出しは、x が対応する部分木の唯一の要素だった時にのみ発生する。

考察 
 が整数だという仮定は実際には不要である。 と  の計算は、上位  ビットと下位  ビットを取る操作で置き換えられる。現実の計算機では、割り算や剰余の計算よりこれはずっと高速である。

実用的な実装、特にビットシフトや最上位の 0 ビットを求める命令を持つマシンでは、 がワードサイズやその小さな倍数に達したら、データの持ち方をビット配列に変更することで、パフォーマンスを向上できる。ワードサイズの値の操作は全て定数時間で行えるので、漸近的な性能には影響しないが、大部分のポインタの保存と参照を省くことができ、大幅な時間計算量と空間計算量の削減が実現できる。

明らかな vEB 木の最適化として考えられるのは、空の部分木を省くことである。必要になるまで部分木が作られないので、多くの要素を含む場合、これで vEB 木のサイズは劇的に小さくなる。最初は、要素が追加されるたびに、合計  個のポインタを含む  個の新しい木が作られる。木が大きくなるにつれて、多くの部分木が再利用されるようになり、 個の要素すべてを持つ木でも、 のメモリしか消費されない。さらに、二分探索木と異なり、このメモリの大部分はデータそのものの保存に使われる。vEB 木全体で持つポインタは、要素が数億あったとしても数千個に収まる。

これはポインタを用いて実装され、空間計算量は  となり、キーのある空間の大きさに比例する。これは次のように示される。

空間計算量に対して漸化式を立てると  となり、これを解くと  となる。さらに、数学的帰納法により  も示される。

類似のデータ構造 
 の空間計算量は、キー空間の大部分が使われる場合以外には無駄が多い。これは vEB 木が実用でそこまで使われていない理由のひとつでもある。これには、子部分木に別のデータ構造を利用することで対処できる。ひとつ考えられるのは、階層ごとに固定されたビット数のみを用いることであり、この結果 trie が得られる。あるいは、配列をハッシュテーブルに置き換え、順序付けを犠牲にして空間計算量を  （ は管理するキーの数）に減らすことも考えられる。x-fast tries や y-fast tries などの別のデータ構造では、vEB 木に匹敵する計算量を持ち、ハッシュテーブルを使って空間計算量を  や  に削減できる。

実装 
Isabelle によって、正しさと時間計算量の両面で検証された実装が存在する。

出典 

探索木
数学のエポニム
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