鎖状環

数学の鎖状環（さじょうかん、）とは、可換環  であって、その素イデアルの任意の組  を結ぶ真に増大する素イデアルの極大鎖

が全て同じ有限の長さを持つもののことをいう。鎖の長さ  を幾何学的にいうと、素イデアルに対応するは素イデアルが大きくなると減少するので、これは次元の差である。

環が強鎖状環（きょうさじょうかん、）であるとは、その環上の有限生成な環が全て鎖状環であることをいう。

"catenary" という言葉は鎖（chain）を意味するラテン語の catena から来ている。

ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。

強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環

次元公式

 をネーター整域、 を  上有限生成な整域とする。 を  の素イデアル、 をこれと  の共通部分とするとき、

が成り立つ。 が強鎖状環であれば等式が成り立ち、これを強鎖状環の次元公式という。

ここで、 は  の剰余体で、 は（商体の）超越次数である。

なお、 が強鎖状ではなくとも、 であれば、等式はやはり成り立つ。

例

代数幾何学に現れるほとんどすべてのネーター環は強鎖状である。例えば次の環は全て強鎖状である。

完備ネーター局所環

デデキント環、体

コーエン・マコーレー環、正則局所環

強鎖状環を局所化した環

強鎖状環上有限生成の環

鎖状だが強鎖状ではない環

強鎖状ではないネーター環の例を作るのは簡単ではない。最初の例は永田雅宜が見つけた、鎖状だが強鎖状ではない2次元ネーター局所整域である。

永田の例は次のようなものである。 を体、 を  上の形式的ベキ級数環とし、その不定元を  とする。形式的ベキ級数  を  と  が代数的独立になるものとする。

,  と置く。

 を  と全ての  で生成される（非ネーター）環とする。

 をイデアル 、 を  と全ての  で生成されるイデアルとする。どちらも  の極大イデアルで、剰余体は  と同型である。局所環  は1次元の正則局所環で、局所環  は2次元のネーター正則局所環である（このことの証明には  と  が代数的独立であることを使う）。

 を  か  に入らない要素全体についての  の局所化とする。 は、2つの極大イデアル （高さ1）と （高さ2）を持つ2次元のネーター半局所環になる。

 を  のジャコブソン根基とし、 と置く。環  は、 を極大イデアルとする2次元の局所整域になっていて、2次元の局所整域は全て鎖状なので、鎖状である。環  は、 がネーターかつ有限  加群なので、ネーターである。しかし  は強鎖状ではない。もし強鎖状であれば、強鎖状環についての次元公式から  のイデアル  は  と同じ高さを持つはずであるが、後者のイデアルの高さは  と等しいからである。

永田の例はにもなっているので、優秀環ではない準優秀環の例にもなっている。

関連項目 

（実は強鎖状環と同じ）

脚注

参考文献

H. Matsumura, Commutative algebra 1980 .

外部リンク

代数幾何学
可換環論
数学に関する記事