トゥースィーの対円

トゥースィーの対円は、小さな円がその直径の2倍の直径を持つ大きな円の内側に接して回転する数学的装置である。小さな円の回転により、この円の円周上の点が、大きな円の直径に沿って直線上を往復する。トゥースィーの対円は 2 尖頭サイクロイドである。

この対円は、13 世紀のペルシャ人の天文学者で数学者のナスィールッディーン・トゥースィーによって、1247 年に彼の著書 Tahrir al-Majisti (アルマゲストの解説)の中で、内惑星の緯度運動の解決策として発表され、その後1000 年以上前にプトレマイオスのアルマゲストで導入されたエカントの代わりとして広く使用された  。

トゥースィーによる説明 

トゥースィーは曲線を次のように説明した。

 一方の直径が他方の直径の半分に等しい 2 つの同一平面上の円が、ある点で内接しているとする。接線—そして、2 つの円が反対方向に単純な動きで移動し、小さい [円] の動きが大きい [円] の 2 倍になり、小さい方が大きい方の回転ごとに 2 回転する場合、その点は最初に接線を通過する大きな円の直径上を移動し、端点間で往復する 。

代数的には、これは複素数で次のように表すことができる。

 

他の解説者は、トゥースィーの対円は、内側の円の回転が、その接点が固定された外側の円に沿って移動するため、滑りのない条件を満たす回転曲線として解釈できることに注目している。

その他のソース 
「Tusi couple」という用語は、1966 年にエドワード スチュワート ケネディが使った新しい言葉である。これは、ニコラウス・コペルニクスの「天球の回転について」のモデルに著しく類似している、後期イスラムの天体装置の 1 つであり、彼の水星モデルやTrepidationの理論も含まれています。歴史家は、コペルニクスまたは別のヨーロッパの作家がアラビア語の天文文書にアクセスしたと考えており、16世紀の科学者で旅行者のギョーム・ポステルが示唆されている  。

トゥースィーの対円はコペルニクスが数学的天文学の再定式化に使用したため、彼が何らかの方法でこの考えに気付いたというコンセンサスが広がっている。トゥースィーの対円のアイデアは、それがラテン語に任意のアラビア語のテキストを翻訳することなく、発生している可能性があり、いくつかの原稿痕跡を残して、ヨーロッパに到着している可能性があることが示唆されている 。考えられる経路の 1 つは、ビザンチン科学によるものである。グレゴリー キオニアデスは、アルトゥシの作品のいくつかをアラビア語からビザンチン ギリシャ語に翻訳した。トゥースィーの対円を含むいくつかのビザンチン ギリシャ語写本は、今でもイタリアに現存する 。

円運動を直線往復運動に変換するためのこの数学的モデルのソースは他にもある。ユークリッド原論の第一巻に関するプロクロスの注釈があり、この概念は 14 世紀半ばまでにパリで知られていた。球体に関する彼の質問(1362 年以前に書かれたもの) で、ニコール・オレズメは、周転円の半径に沿って惑星の往復直線運動を生成するために、円運動を組み合わせる方法を説明した。オレームの説明は不明瞭であり、これが独立した発明を表しているのか、不十分に理解されているアラビア語のテキストを取り込もうとする試みを表しているのかは定かではない 。

後の例 
トゥースィーの対円は天文学的な文脈の中で開発されたが、後の数学者とエンジニアは、後にハイポサイクロイド直線メカニズムと呼ばれるものの同様のバージョンを開発した。数学者のジェロラモ・カルダーノは、カルダン運動(カルダン歯車とも呼ばれる) として知られるシステムを設計した  。19 世紀のエンジニア、ジェームズ ホワイトマシュー マレーや後の設計者は、ハイポサイクロイド直線メカニズムの実用化を開発した。

ハイポトロコイド 

トゥースィーの対円の特性は、円周トレース楕円上にない内円上のポイントである。これらの楕円、および古典的なトゥースィーの対円が描いた直線は、ハイポトロコイドの特殊なケースである 。

関連項目 

 クロスヘッド ガイドまたは平行運動の代わりに Tusi カップルを利用するMurray's Hypocycloidal Engine
 遊星歯車機構
 Straight line mechanism
 スピログラフ
 Geometric lathe
 ギロシェ
 デルトイド曲線

脚注

参考資料 

 
 
 
 Ragep, F. J. "The Two Versions of the Tusi Couple," in From Deferent to Equant: A Volume of Studies in the History of Science in Ancient and Medieval Near East in Honor of E. S. Kennedy, ed. David King and George Saliba, Annals of the New York Academy of Sciences, 500. New York Academy of Sciences, 1987.  ISBN 0-89766-396-9 (pbk.)
 Ragep, F. J. Nasir al-Din al-Tusi's "Memoir on Astronomy," Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences,12. 2 vols. Berlin/New York: Springer, 1993.  ISBN 3-540-94051-0 / .

外部リンク 

 Dennis W. Duke, Ancient Planetary Model Animations includes two links of interest:
 An interactive Tusi couple
 Arabic models for replacing the equant
 George Saliba, "Whose Science is Arabic Science in Renaissance Europe?" Discusses the model of Nasir al-Din al-Tusi and the interactions of Arabic, Greek, and Latin astronomers.

直線運動
イスラム科学