ヘルダー平均

ヘルダー平均（ヘルダーへいきん、）、またはべき平均（べきへいきん）、一般化平均（いっぱんかへいきん、）、とは、数の集合を集計する関数の族である。特別な場合としてピタゴラス平均（算術平均、幾何平均、調和平均）を含む。名称はオットー・ヘルダーにちなむ。

定義 
 を0でない実数とする。正の実数  に対して指数  のヘルダー平均は次で定義される：

 のときは、幾何平均（指数が0に向かうときの極限）で定義する。

さらに、重み  （正の数のセット。ただし）に対して重み付きヘルダー平均は次で定義される：

重みを考えない平均は、すべての重みを  としたものに相当する。

特別な場合 

いくつかの特定の  の値に対しては、特別の名前が付けられている。
 最小値 
 調和平均 
 幾何平均 
 算術平均 
 二乗平均平方根 
 立方平均 
 最大値 

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!の証明 (幾何平均)
|-
|
指数関数を使って の定義式を書き変える。

 の極限で指数関数の引数にロピタルの定理を適用する。分子と分母をそれぞれ  で微分することで

を得る。指数関数の連続性により上の関係を代入し直して

を得る。
|}
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!  および の証明
|-
|
（必要なら添え字を付けなおすなどして）と仮定する。すると

を得る。については より導出できる。
|}

性質 
ヘルダー平均は次の性質をもつ：
 引数  の最小値と最大値の間にある。
 
 引数に対して対称である。つまり引数を並べ替えてもその値を変えない。引数の置換演算子を  とすると次式で表される：
 
 他の平均と同様、引数  に対して斉次である。つまり  を正の実数として次式が成り立つ：
 
 と同様に、平均の計算は同じサイズのサブブロックの計算に分割できる。これにより、必要に応じて分割統治法を使用して平均を計算できる。

異なるヘルダー平均の間に成り立つ不等式 
一般に  ならば

である。また2つの平均が等しいのは  のとき、かつそのときに限る。これはイェンセンの不等式より、任意の実数  に対して
 
が成り立つためである。

特に  の場合を考えると、この不等式は調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 相加平均

を意味する。

応用

信号処理 
ヘルダー平均より非線形移動平均が導かれる。これは小さい  の場合には小さい信号値を強調し、大きい  の場合は大きい信号値を強調する。移動算術平均の効率的な実装である smooth が使えるならば、次のHaskellコードに従って移動ヘルダー平均を実装できる。

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

  が大きい場合、整流された信号の包絡線検波が得られる。
  が小さい場合、マススペクトルのベースライン検出器が得られる。

一般化 f-平均 
ヘルダー平均はさらにに一般化できる。

この式は  とすれば、極限を使うことなく幾何平均も表すことができる。ヘルダー平均は  とすることで得られる。

脚注

関連項目 
 算術幾何平均
 平均
 
 
  – これもヘルダー平均と同様に冪乗に関係する平均である。
 ミンコフスキー距離

外部リンク 
Power mean at MathWorld
Examples of Generalized Mean
A proof of the Generalized Mean on PlanetMath

平均
オットー・ヘルダー
数学のエポニム
数学に関する記事