ベールイの定理

ベールイの定理（ベールイのていり、）とは、代数的数を係数として定義された任意の非特異代数曲線 C は、リーマン球面上3点のみで分岐する分岐被覆となるようなコンパクト・リーマン面であるという定理である。

この定理はによって1979年に証明された。 当時驚くべき結果だと考えられ、代数的数体上の非特異代数曲線を組合せ的なデータで記述する子供の絵の理論をグロタンディークが構築する契機となった。

上半平面の商 
ベールイの定理から、考えているリーマン面は商空間
H/Γ
を尖点でコンパクト化したものと同型となることがわかる。ここで、H は上半平面、  Γ はモジュラー群の有限指数部分群である。 モジュラー群はを持つので、これは定理の曲線がモジュラー曲線となることを意味しない。

ベールイ関数 
コンパクト・リーマン面 S からリーマン球面 P1(C)への正則写像であって、3点のみで分岐するものをベールイ関数と言う。メビウス変換と合成することにより、この3点はとすることができる。 ベールイ関数は子供の絵によって組合せ的に記述することができる。

ベールイ関数と子供の絵は、ベールイの定理は現れないものの、少なくともフェリックス・クラインの研究にまで遡ることができる。クラインは論文の中で、モノドロミー群が PSL(2,11) である複素射影直線の11重被覆の研究にこれらを用いた。

応用 
ベールイの定理はベールイ関数の存在定理であり、その発見以来、ガロアの逆問題の研究に頻繁に利用されている。

参考文献

発展資料 
 
 

代数曲線
代数幾何学の定理
数学に関する記事
数学のエポニム