ミンコフスキー距離

ミンコフスキー距離とは、ノルム線型空間における距離計量で、ユークリッド距離およびマンハッタン距離を一般化したものと言える。ドイツの数学者ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けられた。

定義 

ミンコフスキー距離の次数を「 (ただし、は整数)」とした時、点と点（ただし、および）の距離は、以下のように定義される。

の場合においては、ミンコフスキー距離はミンコフスキーの不等式の結果を満たす距離計量となる。もしだった場合、点(0,0)と点(1,1)の間の距離はとなるが、双方の点と点(0,1)との間の距離は1となる。これは三角不等式に反するので、の時は距離計量にはならない。しかし、このような距離計量は、単にという冪指数を除去するだけで得られる。この距離計量は同時にF-ノルムでもある。

ミンコフスキー距離は通常、が1または2の場合が用いられ、これはそれぞれマンハッタン距離とユークリッド距離に対応する。特殊な場合であるが、が無限に発散する場合はチェビシェフ距離が得られる。

同様に、が負の無限大に発散する場合は、このような式になる。:

ミンコフスキー距離は、点Pと点Qの間の成分ごとの差の累乗平均の倍数と見なすこともできる。

以下の図は、の値を様々に変化させた時の単位円（中心から等しい距離にある全ての点の集合）を示している。

関連項目
 Lp空間
 一般化平均
 p-ノルム

External links
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距離
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