双球座標系

双球座標系（）は3次元の直交座標系の一つで、2次元の双極座標系を、2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させたものである。そのため、双球座標系の2焦点は回転軸上の点として維持される。

定義 
（）を焦点とする双球座標  は以下のように定義される：

 

逆変換は

 

で、、 である。座標  は焦点  で、 は z 軸上で不定となる。

各座標の範囲は

 

である。

等値面 
 の等値面は

 

で表される。 のときはリンゴ（極がへこむ）、 のときはレモン（極が尖る）のような形状になり、 のときは球である。なお、 はそれぞれ z 軸の 、 に対応する。

 の等値面は

 

で、 のときは交差しない2つの球である。なお、 は xy 平面、 は焦点  に対応する。

 の等値面は半平面

 

である。

微分 
双球座標系のヤコビ行列は

 

である。したがって計量テンソルは

 

である。
これより、微小体積要素は

 

となる。また、ラプラシアンは以下で与えられる：

応用 
双球座標の古典的な応用例は偏微分方程式である。双球座標系でラプラス方程式を変数分離することはできるが、ヘルムホルツ方程式は分離できない。たとえば、2つの導体球がつくる電場を双球座標系で解くことができる。

参考文献

外部リンク 

 Bispherical Coordinates -- from Wolfram MathWorld

座標
数学に関する記事