ヘーグナー数

数論におけるヘーグナー数 (英: Heegner number)（コンウェイとガイによる命名）とは、虚二次体  の類数が  となる平方因子を持たない正の整数  のことである。言い換えれば、その整数環は一意な分解を持つ。 

このような数は類数問題の特別なケースから定まるとともに、数論におけるいくつかの注目すべき結果の根底にある。 

（ベイカー・）スターク・ヘーグナーの定理によれば、ヘーグナー数は正確に9つ存在する。 

        

この結果はガウスによって予想され、1952年にによって軽微な誤りを含む証明がなされた。  アラン・ベイカーとは1966年に結果を独立して証明し、スタークはさらにヘーグナーの証明の誤りは軽微であることを示した。

オイラーの素数生成多項式 
n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの

 

は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。 

オイラーの式において  が 1, ..., 40 の値をとるとすると、  が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。 

 

 は 

 

について、判別式  が負のヘーグナー数の場合、またそのときに限り、 に対して素数を与えることを証明した。 

（なお  を代入すると  となるため、 が n の最大値となる。） 

 を満たす p が存在しないため、機能するヘーグナー数は  であり、これらはオイラーの形の素数生成式における  にそれぞれ対応する。特にこれらの p は、によってと呼ばれている。

ほとんど整数とラマヌジャンの定数 
ラマヌジャンの定数とは超越数  のことであり、整数にという点でほとんど整数である。 

    

この数は、1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見された。サイエンティフィック・アメリカン誌の1975年エイプリルフールの記事 「数学的ゲーム」のコラムニストであるマーティン・ガードナーは、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。 

この偶然性は、 虚数乗法とj-不変量のq-展開によって説明できる。

詳細 
簡単に言えば、ヘーグナー数 d に対して  は整数であり、 が q -展開によって示される。 

もし  が二次無理数とすると、j-不変量は次数  の代数的整数であり、 の類数と が満たす最小（モニック整数）多項式は、「ヒルベルト類多項式 (Hilbert class polynomial)」と呼ばれる。 したがって、虚数の2次拡大体  の類数が 1 であれば（つまり d はヘーグナー数）、 j-不変量は整数となる。 

フーリエ級数展開を  のローラン級数として表した j の q-展開は、最初の3項は以下のとおりである： 

 

ローラン級数の係数  は漸近的に   のように増大し、また低次の係数の増大が  よりも遅いため、  において、 j は最初の2つの項で非常によく近似される。 とすると  つまり  となる。ここで  とすると、以下の式が得られる。 

 

これはすなわち 

 

であり、誤差の線形項は 

 

となるため、 が上記の範囲でほぼ整数である理由となる。

円周率の式 
1987年、は以下の式を発見した。 

 

これは、  という事実を用いている。同様の式については、を参照せよ。

その他のヘーグナー数 
大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られる 。 

 

あるいは、  

 

ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。 のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、  さえ注目に値しない。整数の j-不変量は細かく因数分解可能であるが、これは  ということに従う。素因数は以下のとおりである。 

 

これらの超越数は、（単に次数 1 の代数的数である）整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる。 

 

3次式の根は、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η(τ)の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる。 

 

括弧内の式を  とおくと（例：  ）、 はそれぞれ四次方程式を満たす。 

 

整数  の再出現と、以下の事実に注意せよ。 

 

これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。 

同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。 

 

ここで、x はそれぞれ六次式の適切な根によって与えられる。 

 

ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体  の上で2つの三次式に因数分解される（最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる）ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、  とすると、 

 

ここで、イータ商は上記の代数的数である。

類数 2 の数値 
類数  を持つ虚二次体  を与える3つの数字  は、ヘーグナー数とは見なされないが、 ほとんど整数という点で同様の特性を有する。たとえば、 

 

そして

連続素数 
p を奇素数として、 に対して   を計算すると（ なので、k の範囲はこれで十分である）、 p がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数のに続いて連続する合成数が得られる。 

詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ。

脚注

外部リンク 
 
 
 Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: 問題の詳細な歴史
 

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