中心つき四面体数

中心つき四面体数（ちゅうしんつきしめんたいすう、）は、四面体についての中心つき図形数。非負整数 n に対して、n 番目の中心つき四面体数は

で与えられる。最初のいくつかの中心つき四面体数は
1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589, 791, ... （）
である。

定義と公式 
まず、0番目は1点のみと見なす。すなわち C0 = 1 である。以下帰納的に、n 番目の点の並びは n - 1 番目の点の周りに、四面体の面状に点を付け加えたものと見なす。付け加える点は、通常の四面体数

の点の並びのうち、表面のみの部分である。n = 1, 2, 3 に対しては全ての点が表面にあるが、n ≥ 4 に対しては表面のみの点の個数は（内部の点を抜いて）

となる。形式上、n = 1, 2, 3 に対しても Tn - 3 = 0 となるので、全ての n ≥ 1 に対して

が成り立つ。よって、

である。

性質 
 4つの連続した四面体数の和である：

ただし、n = -2, -1, 0 に対しては Tn = 0 と見なす。このことは、上記の定義から直ちに従う。四面体数は二項係数で表されるので、二項係数の性質を用いるなどして、様々な公式が得られる。例えば

が成り立つ。このことから、次のような意味付けができる。集合 X = {1, 2, 3, ..., n + 4} とその特定の部分集合 Y = {1, 2, 3, 4} を考えよう。4個の元からなる X の部分集合のうち、Y と共通部分を持つものの個数が、Cn に等しい。
 母関数は以下で与えられる：

脚注 

図形数
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整数の類