ローブ空間

数学におけるローブ空間（）は超準解析に基づき（1975）によって導入された測度空間の一種である。

構成
ローブの構成では、はじめに内的集合体  から超準実数  への内的有限加法的測度  を考える。 を  の標準部を与える写像と定義することで、 は  から拡張実数  への有限加法的測度となる。たとえ  が超準的な σ-代数だとしても、 は一般には可算和で閉じないので、通常の意味でのσ-代数になるとは限らない。その代わりに、代数   は「 の元が   の元の可算族の和集合であるならば、その集合は実際にはその族の有限個の元の和集合である」という性質を持ち、したがってとくに、  から拡張実数へのいかなる有限加法的写像（例えば  ）も自動的に可算加法的となる。いま  を   で生成されるσ-代数とする。カラテオドリの拡張定理より、  上の測度  は  上の可算加法的測度に拡張される。これをローブ測度と呼ぶ。これをさらに完備化したものもローブ測度と呼ぶ。

例
 を超有限集合とし、 を  の内的部分集合全体の成す集合（＊冪集合）とする。このとき、内的な有限加法的確率測度（数え上げ測度）  が
 
で定まる。これをもとに作られたローブ測度を  で表す。このとき  は確率空間を成す。

いま  として  なる超有限集合を考える。ここで  は無限大超自然数である。また  を標準部関数（有限超実数をそれと無限に近い実数に写す）とする。このとき  がルベーグ可測であることと、 がローブ可測であることとは同値であり、
 
が成り立つ。ここで左辺の  はルベーグ測度である。

参考文献

外部リンク

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