作用・角変数

作用・角変数 (さよう・かくへんすう, action-angle variable) とは、解析力学において可積分な正準力学系に対して導入される、作用変数と角変数の組からなる正準変数のこと。

定義

可積分系 
自由度の自励正準力学系がLiouvilleの意味で可積分であるとは、個の関数的に独立な孤立積分  () が存在し、互いにPoisson可換であること、すなわち

を満足することである。このとき、リウヴィル＝アーノルドの定理は、各積分  が値  を取る超曲面  が連結かつコンパクトであるならば、この曲面はトーラス  と同相であること（Arnoldトーラスと呼ばれる）、そしてArnoldトーラスを含む近傍で定義された正準変数  が存在しハミルトニアン  が  だけの関数になることを主張する。この定理により保証される正準変数  が作用・角変数である。

変数分離系 
変数分離可能 (separable) な系に関しては、作用・角変数をより明示的に導入することができる。このような系では、適切な正準変数  を用いると、ハミルトンの特性関数  を  という形に書くことができる。積分定数  の値が特定されると、各座標  が周期運動をするならば、その運動のパターンは次の二通りが可能である。
ある有界な範囲を周期的に運動する秤動 (libration)
運動量が座標の周期関数となる回転 (rotaion)
このとき、定数  により定まる解軌道に沿った一周期に関する次の積分

により作用変数 (action variable)  が定義できる。この定義のもとでハミルトンの特性関数は  という関数に読み替えることができ、この特性関数を母関数とする正準変換  により角変数 (angle variable) 

が導入される。角変数  は運動の一周期の間に  変化する。

性質

Kronecker軌道 
作用・角変数  を用いるとき、系のハミルトニアンは  であるため、正準方程式は

となる。従ってその解はただちに

と求まる ( は定数)。従って  は運動の角振動数である。この解がArnoldトーラス上に描く軌道をKronecker軌道と呼ぶ。

振動数  がすべて互いに有理数比にある場合には、解軌道  はArnoldトーラス上の周期軌道となる。一方、そうでない場合には、解軌道はArnoldトーラスを稠密に埋め尽くし、準周期軌道 (qusi-periodic orbit) または条件周期軌道 (conditionally periodic orbit) と呼ばれる。

正準摂動論 
可積分ハミルトニアン  に摂動  が加わったハミルトニアン

を取り扱うことはしばしばある。このような近可積分系に対して適用される正準摂動論は作用・角変数に立脚して定式化される。これは、非摂動ハミルトニアン  に関する作用・角変数  から摂動後のハミルトニアンに関する作用・角変数  への正準変換  を摂動的に決定するというアイデアに基づいている。

断熱不変量 
作用変数  は、ハミルトニアンの断熱的な（運動の時間スケールに比べてゆっくりとした）変化に際して保存する断熱不変量になる。

具体例

調和振動子 
1次元調和振動子は次のハミルトニアンにより記述される。

この系はエネルギー  が保存するため可積分であり、ハミルトンの特性関数  はエネルギーを積分定数とする

という形に求まる。ここから調和振動子の作用・角変数は ,  と計算できる。

ケプラー問題 
3次元ケプラー問題のハミルトニアンは、球座標  を用いるとき変数分離系となる。

対応するハミルトンの特性関数は次式で与えられる。

系のエネルギーが負であるときには運動は有界であり、作用・角変数  は次のように求められる。

ここに  は軌道長半径、 は軌道離心率、 は軌道傾斜角、 は平均近点離角、 は近点引数、 は昇交点黄経である。このときハミルトニアンは  と表示される。なお、天体力学において用いられるドローニー変数やポアンカレ変数は、この作用・角変数に対して接触変換を施すことで得られる正準変数である。

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目 
可積分系
ハミルトン–ヤコビ方程式
天体力学
軌道要素

古典力学
天体力学
可積分系