力の平行四辺形

力の平行四辺形（ちからのへいこうしへんけい、）は、物体に2つの力の加法によって得られる平行四辺形である。力の平行四辺形は、2つの力の合力を図示するためにしばしば用いられる。

2つより多くの力のなす図形はもはや平行四辺形ではなくなるが、それらの合力がなす図として同様に平行四辺形を作図できる。例えば、図1では、 の始点が  の終点と一致するように  を移動させるのと、 の始点と  の終点を結ぶベクトルを正味の力とするのとでは同じ結果になる。3つのベクトル  の合力の場合も同様に、 と  のなす平行四辺形として作図できる（結果は和の順序に依存しない）。

ニュートンの証明

準備: 速度の平行四辺形 
与えられた時間（例えば1秒）で粒子がAからBへの線（図2）に沿って一定の速度で移動し、同時に線ABがABの位置からDCの位置に一様に移動し、終始元の方向と平行なままであるとする。両方の運動を考慮すると、粒子は線ACをたどる。与えられた時間内の変位は速度の尺度なので、ABの長さはABに沿った粒子の速度の尺度であり、ADの長さはADに沿った線の速度の尺度であり、ACの長さはACに沿った粒子の速度の尺度である。粒子の運動はACに沿って単一の速度で移動した場合と同じである。

力の平行四辺形のニュートンの証明 
図1の原点（ベクトルの「尾」）にある粒子に2つの力が作用したとする。ベクトルF1とF2の長さは2つの力がある時間作用することにより粒子に生じる速度を表し、それぞれの方向はそれが作用する方向を表している。それぞれの力は独立に作用し、他の力が作用するかしないかにかかわらず特定の速度を作り出す。与えられた時間の終わりでは、粒子は両方の速度を持っている。上記の証明により、これは1つの速度Fnetと等価である。ニュートンの第2法則により、このベクトルはその速度を生み出す力の尺度でもあり、したがって、2つの力は1つの力と等価である。

垂直なベクトルに対するベルヌーイの証明 

力をユークリッドベクトルもしくはの要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。すなわち、任意の2つの力に対して、が存在する。

最後の仮定は2つの力の合力が回転しても変化しないことである。を任意の回転（であるの通常のベクトル空間構造の任意の直交写像）とすると、任意の力に対しは

を満たす。2つの力とは垂直で、の長さを、の長さを、およびの長さをと仮定する。
およびとして、をとの間の回転とするとである。回転が不変の下では

を得る。同様に、さらに2つの力を考える。をからへの回転とするとであり、これによりとなる。

これら2つの方程式より

を得る。とはどちらもに沿っているため、長さはに等しく、

である。このことはが長さを持ち、これはの長さであることを示している。したがって、とが垂直である場合、である。ここで、2つの補助の力を組み合わせるとき、の結合性を用いた。以下の証明にもこの追加の仮定を使用する
。

力の平行四辺形の代数的証明
力をユークリッドベクトルもしくはの要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。そのため、2つの力には、別の力が存在する。可換性を仮定する。これらは同時に加えられる力なので、順序は重要ではなく、である。

写像

を考える。
が結合的であるならば、この写像は線形である。をに、をに写すため、恒等写像である必要もある。よっては通常のベクトル加算演算子と同等でなければならない。

論争
力の平行四辺形の数学的証明は、数学的に妥当であると一般に認められていない。さまざまな証明が開発され（主にDuchaylaとポアソンのもの）、これらも反論を引き起こした。力の平行四辺形が真実であるかどうかは疑問視されなかったが、なぜ真実であったのであろうか。今日、力の平行四辺形は経験的事実として受け入れられており、ニュートンの第1原理に還元することはできない。

脚注

関連項目
Newton's Mathematical Principles of Natural Philosophy, Axioms or Laws of Motion, Corollary I, at Wikisource
空間ベクトル
合力

力 (自然科学)
ベクトル解析