数のクラス分け

数のクラス分け（かずのクラスわけ）とは、Robert Munafoが考案した数字の大きさによるグループ分けであり、人間の心が数字をどのように理解するかによって分類をした。

クラス0の数字 
クラス0の数字は、わずかな時間で認識できる数字である。多くの人間にとって、その数字は0から6までである。

クラス1の数字 
クラス1の数字は、物体のまとまりとして、おおよその数を把握できる数字で、クラス0よりも大きい数字である。つまり、 がクラス1の数字であれば、 個の物体を一目で見ることができる。クラス1の数字は、超過から (100万)以下までとされている。100万個の物体を一度に視野に入れることは難しいが、不可能ではないためである。

クラス2の数字 
クラス2の数字は、10進数で正確に表記出来るだけの大きさで、クラス1よりは大きな数である。クラス2の数字は  超過から  以下までである。これは単純に、クラス0とクラス1の関係をそのまま続けて、クラス  の数の常用対数(10を底とした対数)がクラス () の数となるように定義をした。したがって、グーゴルは101桁の数字として書くことができるため、このクラスの数になる。

クラス3の数字 
クラス3の数字は、仮数・指数表記で近似的に表現できる数字である。これまでのパターンを踏襲して、数字の範囲は 超過 から  以下までとなる。グーゴルプレックスはクラス3の数字である。

コンピュータの中で指数として数字を記憶する時には、クラス3の数字  は  とほぼ等しい。

クラス4の数字 
クラス4の数字は10の対数を取るとクラス3になる。超過から  以下までの数字である。コンピュータの中で指数タワーとして記憶すると、クラス4の数字  は  とほぼ等しくなる。クラス4以上の数字は近似計算の場合、仮数・指数表記にしようとしても仮数が意味をなさなくなる。

さらに高いクラス 
クラス5の数字は10の対数を取るとクラス4になる。  超過から 以下までである。もしそれを指数タワーで表すと、クラス5の数字  は大体 である。

一般的に、クラス  の数はクラス  の数よりも大きく、10の対数を取るとクラス  となる。また、クラス  の数はハイパーE表記で  以下の数である。

定義 
0以上の実数  のクラスをとしたとき、を次のように定義する。

計算例 
実際に具体的な数がどのクラスに属するかを提示する。ここではクラス6以上の数について扱う。

 グーゴルクアドリプレックス()　クラス
 ベントレー数()　クラス
 スタインハウスのメガ()　クラス
 トリトリ()　クラス

ハイパークラス 
クラスよりも大きな数を分けるものとしてハイパークラスが定義されている。

これは、巨大数論(フィッシュ 著)の本の中でのみ使用された定義である。

定義 
以上の実数  のハイパークラスをとしたとき、を次のように定義する。

の増加速度は、テトレーションレベルである。

そのため、テトレーションの積む段数が多すぎると数を評価しにくくなる。

そのため、ペンテーションレベルの数を評価するうえでハイパークラスは適している。

ただし、ペンテーションを超えてくると評価しにくくなるので(ヘキセーションなど)、そこで頭打ちになる。

計算例 
実際に具体的な数がどのハイパークラスに属するかを提示する。

 トリトリ()　ハイパークラス
 スタインハウスのメジストロン()　ハイパークラス
 ギャゴル()　ハイパークラス
 グラハル()　ハイパークラス

それ以上の数 
グラハルの時点でハイパークラスというとんでもなく大きいクラスだが、クラス数に巨大数が使われているため分かりにくい。

これ以上の矢印を数え上げたりするような数等に関しては、急増加関数等を使って数を階層化する必要がある。

脚注

関連項目 
 巨大数
 テトレーション
 クヌースの矢印表記
 数の比較
 グラハム数を超える巨大数の一覧

参考文献 
 クラス - 巨大数研究 Wiki
 巨大数論 第2版
 巨大数入門
 クラス | 巨大数研究 Wiki | Fandom
 Large Numbers at MROB
 Large Numbers (page 2) at MROB
 数の一覧 | 巨大数研究 Wiki | Fandom

外部リンク 

巨大数
数学に関する記事