クネーザーの定理 (組み合わせ論)

加法的組合せ論におけるクネーザーの定理（Kneser's theorem）は群の部分集合の加法的性質に関する定理で、整数列のシュニレルマン密度に関するマンの定理（シュニレルマン密度の記事を参照）に対応する定理である。
マルティン・クネーザーによって（整数列の下極限密度に関する定理と共に）1953年から1956年にかけて証明され、Kempermanによって下のわかりやすい形にまとめられた。

定理 

G をアーベル群、A, B を G の空でない有限部分集合とする。

とおく（この H は G の部分群である）。
 ならば

となる。

弱い形の定理 

となる G の非自明な部分群 H が存在することは比較的簡単に証明できる。
 に関する数学的帰納法で証明する。

 のとき、どのような部分群 H をとっても

である。

 として、定理が  となるような空でない有限部分集合  に対して成り立つとする。
任意の  に対して

が成り立つとする。このとき H を の形の元から生成される G の部分群とする。
B の元 b0 を1つとれば H は  の形の要素をすべて含むから

かつ
 に対して

となる  がとれる。
また  より A + H = A であるが、 B が空でないことから  より
A + H は G とは一致せず、特に H も G とは一致しない。よって H は G の非自明な部分群であり

が成り立つ。

次に

が成り立つ  がとれるとする。
とおく。

かつ

となる。そこで

とおく。

 より

が成り立つ。また ならば  となることから  つまり

が成り立つ。

ところで

より  だから  である。よって帰納法の仮定より

となる G の非自明部分群 H がとれる。上記の不等式を使って

がいえる。よって帰納法により弱い形の定理が証明される。

脚注

参考文献 
 
 

数論
群論
加法的整数論
組合せ論
数学に関する記事
数学のエポニム