ウォルステンホルム素数

数論におけるウォルステンホルム素数（ウォルステンホルムそすう、）とは、強い形のを満たすような特別な形をした素数のことである。例えばウォルステンホルムの定理から5以上の素数 p において p−1 までの逆数の和を表す分数の分子は p を因数にもつことは知られている。この分数の分子が p の因数をもつ素数の事である。名称は19世紀にこの定理を初めて記述した数学者にちなむ。

ウォルステンホルム素数への最初の興味が湧き上がったのは、また別の数学的重要性を持つフェルマーの最終定理との関連によってであった。ウォルステンホルム素数は、この定理を一般的に証明すべく研究された、他の特別な数の集合とも関係している。

既知のウォルステンホルム素数は、16843 と 2124679 のみである（）。109 以下にはこれ以外にウォルステンホルム素数は存在しない。

定義
ウォルステンホルム素数にはいくつかの同値な定義がある。

二項係数による定義
素数 p > 7 は、次の合同関係を満たすときウォルステンホルム素数という。

ここで左辺は二項係数。

一方ウォルステンホルムの定理によれば、p > 3 なる全ての素数に対し次が成り立つ。

ベルヌーイ数による定義
素数 p は、ベルヌーイ数 Bp−3 の分子を割り切るときウォルステンホルム素数という。よってウォルステンホルム素数は非正則素数の部分集合である。

非正則素数による定義

素数 p は、(p, p–3) が非正則素数の対になるときウォルステンホルム素数という。

調和数による定義
素数 p は、調和数  を既約分数で表したときの分子が p3 で割り切れるときウォルステンホルム素数という。

研究とその現状
ウォルステンホルム素数の研究は1960年代に始まってから数十年にわたり続いている。最新の結果は2007年に発表された。最小のウォルステンホルム素数 16843 は1964年に発見されたが、当初は明示的に報告されていなかった。1964年の発見は後に1970年代の独立した発見により追認された。ほぼ20年間、これが唯一の既知のウォルステンホルム素数だったが、1993年に2番目のウォルステンホルム素数 2124679 の発見が公表された。1.2 までの範囲でこれら以外のウォルステンホルム素数は見つからず、後にこの範囲は 2 まで拡げられ（McIntosh, 1995年）、さらに 2.5 まで拡げられた（Trevisan & Weber, 2001年）。 2007年時点での最新の結果では  までの範囲でのウォルステンホルム素数はただ2つである。

ウォルステンホルム素数の個数の予想
ウォルステンホルム素数は無限個存在すると予想されている。また素数定理から x 以下のウォルステンホルム素数の個数は約 ln ln x 個（ ln は自然対数）だと予想されている。素数 p ≥ 5 に対しウォルステンホルム商 は
 
と定義される。明らかに、p がウォルステンホルム素数であることと Wp ≡ 0 (mod p) であることは同値である。数値計算からは、Wp を pで割った余りは {0, 1, ..., p–1} 上ランダムに分布することが示唆されている。

関連項目
 
 
 ウィルソン素数

脚注

参考文献

さらに詳しく

外部リンク
 Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime （"The Prime Glossary"より）
 McIntosh, R. J. Wolstenholme Search Status as of March 2004 （e-mailはPaul Zimmermannまで）
 Bruck, R. Wolstenholme's Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients
 Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums （2つのウォルステンホルム素数を含む興味深い結果）

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