コルモゴロフの二級数定理

確率論におけるコルモゴロフの二級数定理（コルモゴロフのにきゅうすうていり、）は、確率変数からなる級数の収束に関する結果の一つ。から導くことができ、また大数の強法則の証明に用いられることがある。

定理の主張 

 を独立な確率変数列とし、期待値、分散を  としたとき  がいずれも有限値に収束するものとする。

このとき  はほとんど確実に有限値に収束する。

証明 

 として一般性を失わない。 とおくと、確率1で 

  

となることが次のようにしてわかる。

任意の  に対し

よって任意の  に対し

 

ここで2番目の不等号はコルモゴロフの不等式による。

 が収束するという仮定より、任意の  に対し、最後の項は  で 0 に収束する。よって上極限と下極限の差が正数になる確率は 0 であり、つまり差が 0 になる確率は 1 である。さらに収束先が有限であることも同様の不等式からわかり、定理が示された。

参考文献
 Durrett, Rick. Probability: Theory and Examples. Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005, Section 1.8, pp. 60–69.
 M. Loève, Probability theory, Princeton Univ. Press (1963) pp. Sect. 16.3
 W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, 2, Wiley (1971) pp. Sect. IX.9

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