二重メルセンヌ数

二重メルセンヌ数（にじゅうメルセンヌすう）は、数学において以下の形で表されるメルセンヌ数である。

 （pは素数）

例 
二重メルセンヌ数の最初の4項は以下の通り :

二重メルセンヌ素数 
二重メルセンヌ数であり、かつ素数である数は二重メルセンヌ素数と呼ばれる。メルセンヌ数 Mp は p が素数である場合のみ素数となるため（証明はメルセンヌ数参照）、二重メルセンヌ素数 は Mp それ自体がメルセンヌ素数となる場合のみ素数となる。Mp が素数となるpの最初の値において、p = 2, 3, 5, 7のときは素数となり、p = 13, 17, 19および31のときの の陽因数が見つかっている。

次の二重メルセンヌ素数の最小の候補は、= 22305843009213693951 − 1である。この数はおよそ1.695であるため、現在知られている素数判定法で扱うには大きすぎる。4×1033より小さい素因数はない。現在知られている4つ以外に二重メルセンヌ素数はおそらくないと考えられている。

（pはn番目の素数）の素因数は以下の通り

 7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... （次は4×1033より大きい）

カタラン・メルセンヌ数の推論 
の代わりに と書く。二重メルセンヌ数は、これを再帰的に定義した数列の特別な場合である。

 2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... 

これをカタラン・メルセンヌ数という。カタランは、1876年にされたリュカによるM(127)=M(M(M(M(2)))) の素数の発見ののちに、この数列を思いついた。 カタランは、「ある限度まで」は素数であると推測した。最初の5項（M127未満）は素数であるが、それ以上の数は非常に大きいため、素数であることを（妥当な時間内に）証明する既知の方法はない。しかし、MM127 が素数でない場合、小さい素数pをいくつか法にすることでMM127 を計算して見つけることができる（再帰的冪剰余を用いる。結果の残差が0の場合、pはMM127 の因数であるため、その素数性を反証できる。MM127 はメルセンヌ数であるため、その素因数pは、2·k·M127+1の形でなければならない）。

関連項目 

 カニンガム鎖
 二重指数関数
 フェルマー数
 完全数

脚注

関連文献 

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外部リンク 
 
 Tony Forbes, A search for a factor of MM61.
 Status of the factorization of double Mersenne numbers
 Double Mersennes Prime Search
 Operazione Doppi Mersennes

整数の類
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