行列値関数

行列値関数（ぎょうれつちかんすう、）とは行列を変数に持つ特殊関数の総称である。

定義
通常の特殊関数はガンマ関数などを除いて、微分方程式の解 (可積分系の厳密解) として定義されることが多い。しかし行列値関数の場合は異なる。

初等関数
が与えられたとする。このときがどのような関数であればに行列としての意味を持たせられるかを考える。自然に思いつくのは多項式の場合：

このときは当然ながら、

と定義するのが合理的である。この考えを発展させることで

と定義されているときには

と定義すればよいということが言える (もちろん行列からなる無限列の収束を適切に定義することも必要不可欠である)。例えば行列指数関数などの初等関数は次のように定められる:

もしもがベキ級数表示を持たない場合はLagrange-Sylvester 多項式という道具を使ってを定めることができる。

特殊関数
代表的な特殊関数、具体的には
ガンマ関数
エアリー関数
ベッセル関数
直交多項式
超幾何級数
などの関数、もしくはそのq類似についても行列バージョンを考えることができる。例えば、行列からなる無限乗積の収束を適切に定義したうえで、qポッホハマー記号の行列バージョンは次のように定義できる。

これを使って、:en:q-gamma functionの行列バージョンも導入できる。

工学的重要性
行列指数関数は:en:exponential integratorなどの常微分方程式の数値解法において必要である他、統計学などにおいて重要視されている。このような背景の下で、数値線形代数の研究者たちは行列値関数の高精度計算・精度保証付き数値計算の研究に積極的に取り組んでいる。具体的には、以下の関数が取り組まれている。
行列指数関数
行列の平方根
行列の三角関数
行列の実数乗
行列の対数
行列のガンマ関数
行列の超幾何級数

関連項目

関連分野
行列解析 (en) (線型代数学の中で行列値関数の性質を調べる分科)
数値線形代数

研究者
クリーブ・モラー (en)
ニコラス・ハイアム (en) (行列値関数の研究で多くの業績がある)

主な行列値関数
行列指数関数
行列の対数
行列の平方根

出典

類似

ODEの数値計算

行列値関数の高精度計算

参考文献
 Higham, N. J. (2006). Functions of matrices. Manchester Institute for Mathematical Sciences, School of Mathematics, The University of Manchester.
 Higham, N. J. (2002). The matrix computation toolbox.
 A Survey of the Matrix Exponential Formulae with Some Applications (2016), Baoying Zheng, Lin Zhang, Minhyung Cho, and Junde Wu. J. Math. Study Vol. 49, No. 4, pp. 393-428.

外部リンク
行列の指数関数とその性質
行列関数の数値計算アルゴリズム開発
行列引数超幾何関数の数値計算と holonomic Ｄ加群、researchmapより

Highamによる著作

行列指数関数

行列論
特殊関数
数理物理学
数学に関する記事