体球調和関数

物理学と数学において、体球調和関数（たいきゅうちょうわかんすう、）は球面座標系でのラプラス方程式の解を指す。原点で0になる正則な（regular）体球調和関数  と、原点が特異点となる非正則な（irregular）体球調和関数  の2種がある。いずれの関数集合もポテンシャル論で重要な役割を演じ、また適当にスケーリングすることで球面調和関数が得られる。

導出および球面調和関数との関係 
空間ベクトル r の球面極座標として r, θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。

ここで l2 は無次元化した角運動量演算子

の2乗である。

知られているように、球面調和関数 Ylm は演算子 l2 の固有関数である。

Φ(r) = F(r) Ylm をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。

ラプラス方程式の解のうち一部が正則な体球調和関数

であり、また一部が非正則な体球調和関数

である。

ラカーの正規化
の正規化（Racah's normalization、またはシュミットの準正規化（Schmidt's semi-normalization））はいずれの関数にも適用でき、単位（"1"）への正規化の代わりに

とするものである（非正則な体球調和関数についても同様）。応用上多くの場合、ラカーの正規化因子は微分の下で形を変えないため便利である。

加法定理
正則な体球調和関数を平行移動したものは、次のように有限項に展開される。

ここでクレブシュ–ゴルダン係数は次式で与えられる。

類似の展開が非正則な体球調和関数に対しても行え、無限級数に展開される。

ここで  とする。ブラケットで囲まれた因子は再びクレブシュ–ゴルダン係数である。

参考文献

加法定理は著者によって様々な方法で証明されている。例えば、以下の2文献にはそれぞれの証明が載っている。
 R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977)
 M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)

実関数形式

±m についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、x, y, z についての l 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば（球面座標で書かれた）原子軌道や実数値のに現れ、重要である。以下でその導出を行う。

線形結合

先述と同じ定義で、 

ただし

ここで  は l 次のルジャンドル多項式である。

この m に依存した位相はコンドン・ショートレー位相（Condon–Shortley phase）として知られている。

実の正則体球調和関数は次のように定義される。

また m = 0 に対しては

線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。

z-依存因子 

u = cosθ と書くと、ルジャンドル多項式の m 階導関数は次のような u の多項式で書ける。

ここで

z = r cosθ だから、この導関数には適当な r の冪乗を掛ければ z のシンプルな多項式になる。

(x,y)-依存因子 

次に、x = r sinθcosφ と y = r sinθsinφ に注意すると

同様に

これらより、次のように定義する。

まとめ

低次の関数のリスト 

l = 5 以下の関数の明示式を記す。ここで 

  
低次の  と  は次の通りである。

{| class="wikitable"
|-
! m
!  Am
!  Bm
|-
| 0
| 
| 
|-
| 1
| 
| 
|-
| 2
| 
| 
|-
| 3
| 
| 
|-
| 4
| 
| 
|-
| 5
| 
| 
|}

参考文献

特殊関数
量子力学
回転対称性
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