ケイシーの定理

数学におけるケイシーの定理（ケイシーのていり、）または一般化トレミーの定理は、アイルランドの数学者にちなむユークリッド幾何学の定理である。

主張

 を半径  の円とし、 をこの順に  に内接する、互いに交わらない4つの円とする。円  に外側の共通接線を引いたときの2接点の距離を  とすると、次の等式が成り立つ。

4つの円がみな1点にまで退化した場合、これはちょうどトレミーの定理になることに注意。

証明 

以下の証明は Zacharias に帰せられる。円  の半径を  と表し、円  との内接点を  とする。各円の中心を同じ記号  で表すことにする。
ピタゴラスの定理より、

この長さを点 を用いて表したい。余弦定理を三角形  に用いると

が得られる。円  が接していることから

 を円  の周上の点とする。正弦定理を三角形  に用いると

が得られる。これより、

以上を余弦定理の式に代入すると

よって

が得られる。円に内接する四角形  にトレミーの定理を用いて変形すると

さらなる一般化 

4つの円が最大の円に内側から接していなくともよい。実際、これらが外側から接している場合も考えることができて、その場合は以下のように定めればよい。
円  が円  の同じ側（いずれも内側か、または外側）から接しているならば、 は2円に対し外側から共通接線を引いたときの接点間の距離とする。
円  が円  の異なる側（一方が内側で他方が外側）から接しているならば、 は2円に対し内側から共通接線を引いたときの（共通接線に対し2円が反対側に位置するようなときの）接点間の距離とする。

ケイシーの定理の逆もまた成り立つ。つまり、この等式が成り立っているならば、4つの円はある1つの円に共通して接する。

応用

ケイシーの定理およびその逆は、ユークリッド幾何学の種々の命題の証明に用いることができる。例えば、の最も短い証明はケイシーの定理の逆を利用するものである。

脚注

外部リンク 

 
 

初等幾何学
円に関する定理
数学に関する記事
証明を含む記事