順序指数体

数学における順序指数体（じゅんじょしすうたい、）は、順序体であって（実数全体の成す順序体上の指数函数の概念を一般化する）適当な条件を満たす函数を備えたものを言う。

定義 
順序体  上で定義された指数函数 (exponential)  とは、加法群  から乗法群  の上への狭義単調増大な群準同型を言い、順序体  とその上の指数函数  との対  を順序指数体と呼ぶ。

例 
 順序指数体の標準的な例は、実数全体の成す順序体  に  () の形に書ける任意の指数函数を併せたものである。そのような函数のひとつに、自然指数函数  がある。順序体  と自然指数函数との対として与えられる順序指数体を  で表す。1990年代には  がであることが示され、と呼ばれる。この結果とに関する Khovanskiĭ の定理を併せれば  が でもあることが示される。アルフレッド・タルスキ―が  の決定可能性の問題を提起したので、いまではそれをと呼ぶ。実数版のシャニュエル予想が真ならば  が決定可能であるということは知られている。
 超現実数全体の成す順序体  には  上の自然指数函数  の延長となる指数函数が定義できる。 はアルキメデス性を持たないから、これは非アルキメデス順序指数体の例を与えるものである。
 全体の成す順序体  は、標準的な指数函数を持つような仕方で具体的に構成される。

形式指数体 
形式指数体あるいは指数閉体とは、（本項で言う意味での）指数函数  を定義可能な順序体を言う。任意の形式指数体  に対し、 上の指数函数  を適当な自然数  に対して  を満たすように選ぶことができる。

性質 
 任意の順序指数体  は冪根閉 (root-closed) である。すなわち  の任意の正元が任意の正整数  に対する -乗根を持つ（別な言い方をすれば、 の正元全体の成す乗法群が可除群を成す）。このことは、任意の  に対して  となることを見ればわかる。
 これにより、任意の順序指数体はになることがわかる。 
 これにより、任意の順序指数体は順序であることがしたがう。
 任意の実閉体が必ずしも形式指数体となるわけではない。例えば、実代数的数全体の成す体には指数函数を入れることができない。なぜならば、実数体の任意の形式指数部分体  において、指数函数  は適当な元  () に対して  の形をしていなければならない、にも拘らず  が  のとき代数的でないことがゲルフォント–シュナイダーの定理から従う。
 その帰結として、形式指数体全体の成すクラスはでないことが言える（実数体と実代数的数体はな構造であった）。 
 形式指数体全体の成すクラスはである。これは体  が指数閉であるための必要十分条件が、全射  が存在して  かつ  となることであり、 に関するこれらの性質は公理化可能であることによる。

関連項目 
 指数体

注

参考文献 
 
 

モデル理論
体論
代数的構造
数学に関する記事