ランダー・パーキン・セルフリッジ予想

ランダー・パーキン・セルフリッジ予想（ランダー・パーキン・セルフリッジよそう）とは、同じ次数の和からなる方程式の整数解についての予想であり、k乗数の和がk乗数の和と等しい場合、項の数は少なくともk個であるという予想である。フェルマーの最終定理の一般化のひとつである。

背景 
a2 + b2 = c2 の整数解を求めるディオファントス方程式は、ピタゴラスの定理以来何世紀も研究されてきた。この方程式を拡張し、フェルマーはフェルマーの最終定理として「2より大きい整数 k に対し、 ak + bk = ck は整数解(a, b, c)を持たない」と書き記した。オイラーは項の数と次数を拡張し、整数nとkが1より大きい場合、n個のk乗数の和がk乗数であれば、nは少なくともk以上であると予想した。

式で表すと 1より大きい nと、自然数

に対して

が成立する場合、n ≥ k である。

1966年には、k = 5でのオイラー予想の反例がLeon J. Lander と Thomas R. Parkin によって示された。

 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.

その後、以下に示す k = 4 を含む多くの反例が見つかった。さらに次式は、より狭いオイラーの四次の予想「a4 + b4 + c4 = d4 は整数解を持たない」を反証した。

 4145604 + 2175194 + 958004 = 4224814.

予想の内容 
1967年にL. J. Lander、T. R. Parkin、John Selfridgeの3人が提唱した予想は、

が自然数
ai ≠ bj （ 1 ≤ i ≤ n 、1 ≤ j ≤ m）に対して成立する時、 m+n ≥ kとなる。」である。この同じ次数の等式は、 (k, m, n)と略記される。

m = n = k/2 である比較的小さな例には、

や
 （1934年にK. Subba Rao が発見）がある（一般化タクシー数も参照）。

この予想は m = 1 と言う特殊な場合において、

 

が成立するならば、n ≥ k−1であることを示す。

m = 1 と言う特殊な場合においても、 1つ制約を緩めた n ≤ k に対してはいくつも解が知られている。例えば、

 k = 3
 33 + 43 + 53 = 63

 k = 4
 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814　(Roger Frye, 1988)

 304 + 1204 + 2724 + 3154 = 3534　(R. Norrie, 1911。最小の解)

 k = 5
 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445　(Lander, Parkin, 1966)

 75 + 435 + 575 + 805 + 1005 = 1075　 (Sastry, 1934, 3番目に小さい解である)

 k = 6
 未発見(2002年に、730000までには解がないことが示された。)

 k = 7
 1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 = 5687　(M. Dodrill, 1999)

 k = 8
 908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248 = 14098　 (Scott Chase, 2000)

 k ≥ 9
 未発見

予想の現状 
この予想が真であるか、また k ≥ 5 に対して ak + bk = ck + dk が成立しうるかはどちらも未解決である。

関連項目 

 Experimental mathematics (counterexamples to Euler's sum of powers conjecture, especially smallest solution for k = 4)
 Jacobi–Madden equation
 Prouhet–Tarry–Escott problem
 ビール予想
 Pythagorean quadruple
 数学上の未解決問題
 Sums of powers, a list of related conjectures and theorems

参考文献

外部リンク 

 EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
 Jaroslaw Wroblewski Equal Sums of Like Powers
 Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities
 Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--5th Powers". MathWorld.
 Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--6th Powers". MathWorld.
 Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--7th Powers". MathWorld.
 Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--8th Powers". MathWorld.
 Weisstein, Eric W. "Euler's Sum of Powers Conjecture". MathWorld.
 Weisstein, Eric W. "Euler Quartic Conjecture". MathWorld.
 Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--4th Powers". MathWorld.
 Euler's Conjecture at library.thinkquest.org
 A simple explanation of Euler's Conjecture at Maths Is Good For You!
 Mathematicians Find New Solutions To An Ancient Puzzle
 Ed Pegg Jr. Power Sums, Math Games

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