シャピロの不等式

数学におけるシャピロの不等式（シャピロのふとうしき、）、またはシャピロの巡回不等式とは、によって1954年に提案された不等式である。

内容

 を自然数、  を非負の実数で、

であるとする。ただし、  とする。このとき、

  が  以下の偶数
  が  以下の奇数

のいずれかであれば、次の不等式が成り立つ。

より大きな  に対しては不等式は成り立たないが、厳密な下限  が存在する。ここで  。

重要なケース  の最初の証明は Godunova と Levin によって1976年に、もう一方の  の最初の証明は Troesch によって1989年に、それぞれ数値計算に依った方法で与えられた。2002年、P.J. Bushell と J.B. McLeod は  のときの解析的な証明を発表した。

 の値は1971年にウラジーミル・ドリンフェルト（1990年のフィールズ賞受賞者）によって求められた。特に、ドリンフェルトは下限となる  が  で与えられることを示した。ここで  は関数  と  の関数的凸包である。(つまり、  のグラフの上側の部分は、  と  のグラフの上側部分の合併の凸包になっている）。

左辺の、内部での極小値は常に  となることが1968年 Pedro Nowosad により証明された。

より大きな n に対する反例

最初の反例は、Lighthill によって1956年に発見された、  に対するものである：
 
（ここで  は 0 に極めて近いとする。）
このとき不等式の左辺は  となり、  が十分小さければ 10 より小さくなる。

次の反例は  に対するもので、1985年 Troesch により与えられた：
 

また、  に対して次の反例がある：

n が小さなときの証明 
 

より自明である。

 
この場合をといい、様々な証明が知られている。
正の数 a に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、

よって、 とおくと

ゆえに  。

 
正の数 a, b に対して、相加平均と調和平均の不等式から、

また、正の数 a, b, c, d に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、

ここで  とおくと

ゆえに  。

参考文献
 
  They give an analytic proof of the formula for even , from which the result for all  follows. They state  as an open problem.

外部リンク
 Usenet discussion in 1999 (Dave Rusin's notes)

不等式
数論
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