トリリウムの定理

トリリウムの定理 (トリリウムのていり、、）とは幾何学の定理である。

定理 
△ABCにおける内心をI、点Aに対する傍心をJとする。半直線AI（これはJを通過する）と△ABCの外接円との交点をPとする。

このとき、点I,B,J,Cは点Pを中心とする同一円周上にある。

証明 
半直線ABと傍接円との接点をHとする。

まず ∠BAP=∠CAP より PB=PC である。

次に
∠IBP=∠IBC+∠CBP=∠IBC+∠CAP=∠IBA+∠IAB=∠BIP
つまり ∠IBP=∠BIP

よって△PBIは二等辺三角形であり PB=PI である。

以上から PB=PI=PC である。

また
∠JBI=∠IBC+∠JBC=∠ABC+∠CBH=(∠ABC+∠BCA+∠CAB)=90°
つまり ∠JBI=90°

いま直角三角形JBIにおいて斜辺IJ上に点Pがあることと PB=PI が分かっている。このとき
∠PJB=90°-∠BIP=90°-∠IBP=∠PBJ
より△PBJは二等辺三角形であり PB=PJ である。

以上から PB=PI=PC=PJ である。

これが示されるべきことであった(Q.E.D.)。

参考文献

外部リンク 
（内心-傍心円）

三角形と円に関する定理
数学に関する記事