ミンコフスキーの定理

ミンコフスキーの定理は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。
凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。

内容 
L を R n 上の格子とし、 d (L) を L に対応する行列の行列式とする。
Rn 内の、原点に関して対称で体積が  より大きい凸集合は、その内部に原点とは異なる L 上の点を有する。

特に体積が 2n より大きい、原点に関して対称な Rn 内の凸集合は必ず原点とは異なる整数点を有する。

証明 
R n の部分集合 S に対して V (S) を S の体積とする。
まず、次のから証明する。

Blichfeldt の定理 
S を体積が d (L) より大きな凸集合とすると、S は L を法として互いに合同な2点をもつ。つまり

となる  がとれる。これは次のように証明できる。

L の基底  をとり

をこの基底に対する L の基本領域とすると

が成り立つ。

に対して

を対応させる。
f は R n から F への写像で、

が成り立つ。さらに f は平行移動の貼り合わせであらわされるから、
f が S 上で単射ならば  となるはずである。しかし
f の像は F に含まれるから

となる。よって f は S 上単射ではないので

となる点  がとれる。

だから

である。

ミンコフスキーの定理の証明 
S を Rn 内の、原点に関して対称で体積が  より大きい凸集合とする。

とおく。 だから  なので
Blichfeldtの定理より

となる2点  がとれる。
 が成り立ち、
S は原点に関して対称だから  も成り立つ。
S は凸集合なので  である。一方で

であるから S は原点とは異なる L 上の点  を有する。

系 
ミンコフスキーの定理の系として、一次形式に関する次の定理が導かれる。

を n =r +2s 個の一次形式とし、そのうち l1, l2, ..., lr は実係数を持ち、 l r +j と l r +s +j ( j = 1, 2, ..., s ) は互いに共役なものとする。さらに係数の行列式 Δ ≠ 0 とする。

ここで k1, k2, ..., kr +s  が実数で

を満たすならば、

となる整数 x1, x2, ..., xn が存在する。

また k1, k2, ..., kr +s  が実数で

を満たすならば、

となる整数 x1, x2, ..., xn が存在する。

応用 
ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。
たとえばフェルマーの二平方定理は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの四平方定理は4次元空間の超球体内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる。

ミンコフスキーの定理の系から、r 個の実共役と 2s 個の（つまり s 対の共役対からなる）複素共役をもつ n =r +2s 次の、判別式 Δ をもつ代数体の イデアル類群のそれぞれの類はノルムが

を超えない（整）イデアルを含むことが従う。これをミンコフスキー限界という。

二平方定理の証明 
上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる。
実際 p を  の形の素数とすると

となる t がとれる（p を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい）。

となる点  全体は
 を基底とする格子 L と一致し、 が成り立つ。
原点を中心とする半径  の開円盤は面積  の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる L の格子点  を含む。

であるから

である。一方  は原点ではなく、かつ原点からの距離は  より小さいから

である。よって

が成り立ち、 p は2つの平方数の和であらわされる。

脚注

関連項目 
数の幾何学
離散幾何学
球充填

参考文献 

 

数の幾何学
離散幾何学
凸解析
数論の定理
ヘルマン・ミンコフスキー
数学に関する記事
数学のエポニム