置換積分

微分積分学において置換積分（ちかんせきぶん, ）は、変数変換を用いて積分を計算する方法である。

一変数の置換

不定積分の置換積分 
連続関数  と微分可能関数  について次の等式が成り立つ。

導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いる。

この等式から変換公式の両辺の不定積分は  で微分したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。

また、変換公式は形式的に  と  に分けて考えることができる。後者は厳密には微分形式の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。

定積分の置換積分
定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換される。

例

例1

 で  から  に変数変換する。ここで、 なので  である。また、 に対して  であり、 に対して  であるので、 
 
と計算できる。

例2

 で  から  に変数変換する。このとき、 である。また、 および  であることから積分区間を  に変換すると、この区間において  であることに注意して、

と計算できる。

多変数の置換

脚注

注釈

出典

文献 
 

積分法
数学に関する記事

関連項目
微分積分学の基本定理