セグレの多重複素数

数学における多重複素数（たじゅうふくそすう、） は、 が導入した、各自然数（ を含む）  に対して定義される超複素数系の系列で、それぞれは  上 -次元の可換結合多元環を成す。

定義

再帰的 
多重複素数環  は、初期値  から再帰的に構成することができる。

 のとき、 がすでに得られているものとして、新たな虚数単位 を  および他の虚数単位  と可換なるものとして導入し、 と置く。

直截的 
 に対し、  および  は  の任意の数と可換、また （特に ）とする。

関係式  は代数のテンソル積を用いて  と書き直せる。さらに言えば、条件  から  であり、 と書いてもよい。 はテンソル積  の単位元であって、空積を対応付けることができる。まとめると

代数的性質 
 各階  において成分数は倍化し、 が  上一次元であるから、 は  上の次元が  である。
 各  はバナッハ代数を成す。
  に対し、可換環  は零因子を持つ: なんとなれば
 二つの自然数が  のとき、 かつ  だが  を満たす;
 二つの自然数が  のとき、 かつ  だが  を満たす。

部分環 
  に対し、 は何れも  の部分環である。
  に対し、 は  上 -次元である。
  に対し、各虚数単位  は  を満足するから、 は複素数平面の  個のコピーを含む。
  および  に対し、数  は  を満たすから、 は  個の分解型複素数平面を含む。

系列の最初のほうの代数 
小さい  に対してはよく知られた代数も含まれる:
  は実数体;
  は複素数体;
  は双複素数環;
  を三重複素数環 (tri­complex numbers) と呼ぶ。以降も同様。

関連項目

参考文献 
  
  

超複素数系
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