有限単純群の分類

有限単純群の分類 () とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。
これらの群は、全ての有限群を構成する基本的な要素として見ることが出来る。

この分類定理の証明は、主に1955年から2004年にわたり出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。ダニエル・ゴーレンシュタイン (d.1992) と、らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。

分類定理の主張

分類定理は数学の多くの分野において応用がある。
有限群（また他の数学的対象に対するそれらの作用）の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。
分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。

1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。
しかしこれはの分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。
欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、
分類定理の証明の完成が  によりアナウンスされた。

有限単純群の一覧 
以下の表において、nは自然数、pは素数、qは素数の冪を意味する。

位数の小さな非可換有限単純群の一覧 
位数の小さなものから20個を以下に列挙する。

分類定理の概観 
 は2巻からなる証明の低および奇数標数パートの要点を著し、
 は残る標数2のケースを補う第3巻を著した。
この証明は以下の幾つかの主要な部分へと分けることが出来る:

小さな階数2の群

成分型の群

標数2型の群

単純群の存在と一意性

証明の歴史

ゴーレンシュタインの問題

証明のタイムライン 
以下のリストは多くが  より取られている。
年は一般に結果の完全な証明が成された出版日とする。

第2世代の分類

何故この証明はこんなにも長いのか？ 

ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明がコンパクトリー群の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。

 最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。
 アティヤなどは、この分類は、幾何学的対象上の群の作用を構築し、それらの幾何学的構造を分類することにより単純化されるだろうと提案している。この問題は、単純群と関連するような幾何学的構造を発見するための簡単な方法を、誰も与えられるようにはなっていないということである。BN対のような幾何学的構造を発見することによりこの分類は機能する。しかしそれが叶うのは、有限単純群の構造のとても長く困難な解析の果てになるだろう。
 証明の簡略化ため、群の表現論をより一層利用しようという提案もある。しかし表現論は、群の部分群についてとてもタイトなコントロールを必要とすると言う問題がある。低い階数の群については、そのようなコントロールと表現論はとてもよく働く。しかし高い階数をもつ群については、表現論を用いて分類を単純化することには誰も成功しない。分類作業の初期においては、表現論を用いた努力も相当なされた。しかし高い階数においては、その試みは決して成功しなかった。

分類の結論 
この説では、有限単純群の分類を用いて証明された結果を並べる。

 
 
 
 全ての群に関する（これはファイト・トンプソンの定理のみを用いて）
 1より多くの元をもつ有限集合上の可移置換群が、素数位数の固定点自由な元を持つこと。
 の分類
 の分類
 シムス予想 ()
  の解の個数における

脚注

注釈

出典

参考文献 
 

 

 :en:Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.

 Mark Ronan, Symmetry and the Monster, , Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
 
 Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008,  (another introduction for the lay reader)
 Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
  – article won Levi L. Conant prize for exposition

関連項目
 :en:O'Nan–Scott theorem

外部リンク 
 
 
 
 ATLAS of Finite Group Representations. - 多くの有限単純群について、群の表現などの情報を集めた、検索可能なデータベース
 Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
 Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. - 位数  までの全ての非可換単純群のリストを含む。
 http://mathoverflow.net/questions/180355/in-what-sense-is-the-classification-of-all-finite-groups-impossible

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