ディラック共役

ディラック共役（ディラックきょうやく, ）とは、場の量子論においてディラック・スピノールに対して定められる双対操作である。ディラック共役は、スピノールを組み合わせて作った量がよい振る舞いを示すよう、上手く形式化するために作られた。普通のエルミート共役は系のローレンツ対称性を欠くため、代わりにディラック共役が用いられる。

定義 
ディラック・スピノール  のディラック共役  は、次のように定義される:

ここで  は  のエルミート共役、 はガンマ行列。

ローレンツ変換の下でのスピノール 

特殊相対論のローレンツ群はコンパクトではない。
そのためディラック・スピノール空間におけるローレンツ変換のはユニタリーではない。これは一般に

として表される。ここで  は、次のようにスピノールに対して作用するローレンツ変換である:
.

この時スピノール  のエルミート共役  は、次のように変換される:
.

そのため、通常のエルミート共役を用いた  はとならない。また  も自己共役にならない。

ここでディラック共役の定義を用いると、 は次のように変換されることが分かる:
.

ここでガンマ行列の公式  とローレンツ代数の公式  を用いると、ディラック共役の次のような変換性が得られる:
.

この結果、ディラック共役  を用いた  は

とローレンツ・スカラーの変換性を満足する。また  も自己共役となる:
.

利用法 

ディラック共役を用いて、スピン1/2の粒子場に関する4元確率の流れ  を次のように表すことが出来る:

ここで  は光速、 の成分は密度  と3元確率の流れ  を表す:
.

 と取り、再びガンマ行列の公式  を用いると、確率密度は次のようになる:
.

参考文献

関連項目 
 ディラック方程式
 ディラック場 
 ラリタ＝シュウィンガー方程式
 エルミート共役

場の量子論
スピノル
数学の表記法
ポール・ディラック