ルジャンドルの公式

初等整数論におけるルジャンドルの公式（ルジャンドルのこうしき、）は、素数  に対して階乗  を割り切る  の最大の冪乗の指数を与える式である。アドリアン＝マリ・ルジャンドルにちなんで名付けられた。ルジャンドルの定理、にちなんでド・ポリニャックの公式とも呼ばれる。

概要 
任意の素数  と任意の非負整数  に対して、 は  を割り切る最大 -冪の指数（すなわち、 の -進付値）を表す記号とする。このとき、

である。但しここで、は床関数である。式の右辺に見かけ上の無限和が現れているけれども、 および  が固定されれば現れる非零項は有限個しかない: 実際、 を十分大きく  なるようにとれば  が成り立つ。

例 
n=6 のとき、である。それぞれの指数はである。これらは以下のようにルジャンドルの公式によって計算できる。

証明 
n!は1からnまでの積である。まず、1からnまでの範囲にあるpの倍数1つごとに、n!の素因数pを少なくとも1つ見いだすことができる。pの倍数はnまでに個存在する。また、p2の倍数があるごとにn!に素因数pをさらに1個見いだすことができる。p3以降も同様である。これらを全て加えることによって、無限和でを表すことが可能である。

他の形式 
 を底とする -進展開の観点からルジャンドルの公式を定式化し直すこともできる。をnのp進表記における各位の和とすると以下の式が成り立つ。

例えば、n =6を二進法で表記すると 610=1102 であり、である。したがって

同様に、n =6を三進法で表記すると 610=203 であり、である。したがって

である。

証明 
nはp進法で
と書ける。したがって、
であり、

応用 
ルジャンドルの公式を用いてを証明することができる。特別な場合の一つとして、 を正の整数とすると、 が  で割り切れるための必要十分条件は、 が  の冪でないことである。 

また、ルジャンドルの公式からは が収束半径  を持つことが導ける。

参考文献

外部リンク 

 

 
 

初等組合せ論
初等整数論
アドリアン＝マリ・ルジャンドル
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