クリーネの不動点定理

数学の順序理論や束論におけるクリーネの不動点定理（クリーネのふどうてんていり、）とは、スティーヴン・コール・クリーネによって導入された以下の定理である。

最小元を持つ ω-完備半順序  上のスコット連続関数  は最小不動点を持ち、それは  のクリーネ鎖の上限に一致する。

ここで、 のクリーネ鎖とは、 の最小元  に  を繰り返し適用することで得られる以下の鎖のことである。

最小不動点を  と書くことにすると、本定理は次式で表すことができる。

本定理はしばしばアルフレト・タルスキによるものと誤解されるが、本定理は不動点の具体的な構成方法を与えているという点で（こちらは完備束上の単調関数に関する定理である）とは異なるものである。

証明 

はじめに、 における  のクリーネ鎖の存在性を示す。
 の最小性より  が成り立つので、この両辺に単調関数  （スコット連続関数はすなわち単調である）を繰り返し適用することで以下の通りクリーネ鎖  が得られる。

これは ω-完備半順序上の ω-鎖であるから、上限  を持つ。

続いて、 が  の不動点であることを示す。
これは  のスコット連続性より次式の通り示される。（この式の最後の等号は  より成り立つ）

最後に、 が  の最小不動点であることを示す。
 の任意の不動点  を取ると、 の最小性より  が成り立つ。
この両辺に単調関数  を繰り返し適用すると  () が得られるが、 は  の不動点であるからすなわち  が成り立つ。
よって  は  以下の元からなる鎖であり、 はその上限であるから、 もまた  以下である。
斯くして  が  の最小不動点であることが示された。

関連項目 
 
 その他の不動点定理

参考文献 

順序構造
順序集合論
不動点定理
数学に関する記事