算術幾何数列

数学における算術幾何数列（さんじゅつきかすうれつ、; ）は、一次の漸化式を満足する数列で、算術数列および幾何数列をともに一般化する。

定義 
ここでは任意の可換体  をひとつ固定する（例えば実数体  や複素数体 ）。 に値をとる数列  が算術幾何数列であるとは、 の適当な元  が存在して、その数列が以下の漸化式  を満足するときに言う。

 注意
 途中の番号から始まる列  は、 と置くことにより、常に  なる形に書き直せる。そのような列  が  において上記の漸化式を満たすことと、 が算術幾何的であることとは同値になる。

性質 
 算術幾何数列は二階線型回帰数列で、斉次線型漸化式  の解として与えられる。
 算術幾何数列の「公差」 は以下の式で与えられる: 
 算術幾何数列の階差数列  は、公比  の幾何数列である。
 算術幾何数列の部分和の列  は三階の線型回帰数列で  を満足する。
 部分和の列が算術幾何数列を成すような数列は、それ自身が幾何数列を成す。

一般項

の場合 
 のとき、漸化式は、 

となり、これは算術数列の漸化式であるから、一般項は

となる。

の場合 
 と置けば、一般項は  で与えられる（ のときは  と約束する）。

定義節の注意に従えば、より一般に:  と書ける。

部分和 
 で、常に  と書くことにすれば、最初の  項（第 -項から第 (-項まで）の和はで与えられる。

これを用いて、連続する項の和も計算できる。上と同じ仮定の下  として  となる。

収束性 
一般項および幾何数列の収束条件から、算術幾何数列の極限も  の値（必要ならば  の符号も）によって決定することができる（ のとき  と置いたことに注意）。

 のときは、数列の極限は初期値が何であろうと  である。つまり、この場合の収束性は、完全に初期条件に無関係である。このような特徴は（ロジスティック列のような）非線型漸化式が極めて初期条件に鋭敏であることと対照である。マルコフ鎖において、これは鎖が安定鎖に収束することを示す。

応用 
算術幾何数列は、ある種の人口変動（変動率が一定）のモデリングとして現れる。例えば、常に  の流入と  の流出があることを  と書ける。

算術幾何数列はにも現れる。資本 C を月率 t で借りて月額 M で分割払いする返済計画を考えると、 か月後に残った借金  の成す数列  は漸化式  を満たし、算術幾何数列を成す。

算術幾何数列は二状態マルコフ鎖にも現れる。 を  とすると、関係式  から  が得られ、一方  であったから、代入して  を得る。

注

注釈

出典

関連項目 

 算術数列
 幾何数列

初等数学
数列
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