ファン・デル・ヴェルデン表示

ファン・デル・ヴェルデン表示（ファン・デル・ヴェルデンひょうじ、）とは理論物理学において4次元における2成分スピノル（ワイル・スピノル）の表記法。ツイスター理論や超対称性理論においては標準的な記法となっている。オランダの数学者ファン・デル・ヴェルデンに由来する。

添字の点
以下ではカイラル表現（ワイル表現）により、ディラック・スピノル  は左右のカイラリティが上下の2成分で分かれているとする。すなわち
,
ここで  はそれぞれ2成分スピノル（ワイル・スピノル）。

点なし添字
下付の点なし（ドットなし, ）添字をもつスピノルはカイラリティ左巻きであり、カイラル・スピノルとも呼ばれる。
.

点付き添字
上付きの点付き（ドット付き, ）添字と記号の上に上線（バー）をもつスピノルは右巻きであり、反カイラル・スピノルとも呼ばれる。
.
添え字を欠く記法においても、曖昧さを無くすため右巻きワイル・スピノルには上線が残される。

ハット付き添字
ハットが付く添字はディラック添字と呼ばれ、点付きと点なし添字をまとめたものである。例えば、もしそれぞれの添字が

を動くのなら、カイラル表現の下でディラック・スピノル  は次のように表示される:
,
ここで
.

また  のディラック共役  はこのとき

と表記される。すなわち 、上線と添字の点が複素共役を意味することが分かる。

荷電共役
スピノルの荷電共役変換（ 変換）は次のように表される:
,
ここで  は荷電共役行列であり、カイラル表現においては

である。ただし
,
ここで  は2階の完全反対称テンソルである。

よって
,
ここで  はクロネッカーのデルタ  を用いた  によって定義され、{{math|ε  −ε}} を満たす。

これまでの整合性から

とすると、
.
すなわち  の添字の上げ下げには、2階の完全反対称テンソル  が用いられることが分かる。

注釈

出典

参考文献
 
 
 
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関連項目
 ディラック方程式
 
 ローレンツ変換
 パウリ方程式
 

場の量子論
スピノル
数学の表記法
物理学のエポニム
数学のエポニム