マクスウェル・ベティの相反作用の定理

マクスウェル・ベティの相互作用の定理（マクスウェル・ベティのそうごさようのていり、）とは、構造力学における弾性体の定理である。1872年、エンリコ・ベッチによって発見された。弾性体上に2種類の荷重群をかけることを考える。一つ目の荷重群のみをかけたときにもう一方の荷重群の作用点の作用方向変位成分をとする。また、荷重群のみをかけたときのの作用点の作用方向変位成分をとする。このときベティの相反定理：

が成り立つ。

特にとすると、マクスウェルの相反定理：
任意の点Aに作用する単位荷重によって他の点Bに生じる変位（の、別に点Bに作用される単位荷重の方向への成分）{{math|u'''A}}は、による点Aのの方向への変位量（の、の方向への成分）に等しい。すなわち

が成り立つ。

 証明 
簡単な証明としてとし、弾性体に力PAとP''Bの2つの荷重を作用させる。ただし作用させる手順は次の2通りを考える。
 を作用させた後、を作用させる。このとき、
 を作用させた際の点Aの変位をとすると、外力仕事は
 その後を作用させた際の点A, Bの変位をそれぞれとすると、外力仕事は
 を作用させた後、を作用させる。このとき、
 を作用させた際の点Bの変位をとすると、外力仕事は
 その後を作用させた際の点A, Bの変位をそれぞれとすると、外力仕事は
弾性体に蓄えられるひずみエネルギーは経路によらないため、それぞれの手順による外力仕事の和は同じでなければならない。したがって
 
が成り立つ。

注

関連項目 
 ダランベールの原理
 相反定理

構造力学
連続体力学
物理学の定理
ジェームズ・クラーク・マクスウェル