伴う素イデアル

抽象代数学において，環  上の加群  に伴う素イデアル（）あるいは  の素因子とは， の（素）部分加群の零化イデアルとして生じる  の素イデアルのタイプである．素因子全体の集合は通常  と書かれる．

可換環論において，素因子は可換ネーター環におけるイデアルの準素分解と結びついている．具体的には，イデアル  が準素イデアルの有限交叉として分解されているとき，これらの準素イデアルの根基は素イデアルであり，素イデアルたちのこの集合は  と一致する．またイデアルの「素因子」の概念と結びついているのは，孤立素因子 (isolated prime) と非孤立あるいは埋め込まれた素因子 (embedded prime) の概念である．

定義
零でない  加群  が prime module であるとは， の任意の非零部分加群  に対して零化イデアル  となることである．prime module  に対し， は  の素イデアルである．

 加群  に伴う素イデアル (associated prime) とは， を  の prime submodule として  の形のイデアルのことである．可換環論における通常の定義は異なるが同値である： が可換であるとき， に伴う素イデアル  とは， の非零元  に対して  の形の素イデアル，あるいは同じことであるが， が  のある部分加群に同型な素イデアルのことである．

可換環  において， における（集合論的包含に関する）極小元は孤立素因子 (isolated prime) と呼ばれ，残りの素因子（すなわちある素因子を真に含むもの）は非孤立素因子 (embedded prime) と呼ばれる．

加群が coprimary であるとは，ある  に対して  ならばある正の整数  に対して  となることをいう．可換ネーター環上の零でない有限生成加群  が coprimary であることとちょうど1つの素因子を持つことは同値である． の部分加群  が -primary とは， が  で coprimary なことをいう．イデアル  が -準素イデアルであることと  は同値である；したがって概念は準素イデアルの一般化である．

性質
これらの性質や主張のほとんどは  の86ページ以降に与えられている．

  ならば， である．さらに  が  の本質部分加群ならば，それらの素因子は一致する．
 可換局所環に対してさえ，有限生成加群の素因子の集合が空であることはあり得る．しかしながら，イデアルについての昇鎖条件を満たす任意の環（例えば右あるいは左ネーター環）において，すべての非零加群は少なくとも一つの素因子を持つ．
 任意の一様加群は 0 個か 1 個の素因子を持ち，一様加群は coprimary module の例である．
 片側ネーター環に対して，直既約移入加群の同型類の集合からスペクトル  の上への全射がある． がアルティン環ならばこの写像は全単射になる．
Matlis' Theorem: 可換ネーター環  に対して，直既約移入加群の同型類からスペクトルへの写像は全単射である．さらに，それらの類の完全代表系は  で与えられる，ただし  は移入包絡であり， は  の素イデアル全体を渡る．
 任意の環上のネーター加群  に対して， の素因子は有限個しか存在しない．

以下の性質は全て可換ネーター環  に対するものである：

 すべてのイデアル  は（準素分解を通して）準素イデアルの有限交叉として表せる．これらのイデアルのそれぞれの根基は素イデアルであり，これらの素イデアルはちょうど  の元たちである．とくに，イデアル  が準素イデアルであることと  がちょうど1つの元を持つことは同値である．
 イデアル  を含む任意のは  に入る．これらの素イデアルはちょうど孤立素因子である．
  の素因子の集合論的和はちょうど  の零因子，つまり， となるある  が存在するような元 , の全体の集合である．
 が  上の有限生成加群ならば，部分加群の有限昇鎖列
 
であって各商  がある素イデアル  に対して  に同型であるようなものが存在する．さらに， のすべての素因子は素イデアル  の集合に現れる．（一般にはすべての素イデアル  が  の素因子であるわけではない．）
  を  の積閉集合とし， を自然な写像とする．このとき， 上の加群  に対して，
.
  上の加群  に対して， である．さらに， の極小元の集合は  の極小元の集合と一致する．とくに， が極大イデアルからなるとき，等号が成り立つ．
  上の加群  が長さ有限であることと  が有限生成かつ  が極大イデアルからなることは同値である．

例
 が有理整数環ならば，非自明な自由アーベル群と素冪位数の非自明なアーベル群は coprimary である．
 が有理整数環で  が有限アーベル群ならば， の素因子はちょうど  の位数を割り切る素数である．
位数 2 の群は有理整数 （自身の上の自由加群と考えて）の商であるが，その素因子  は  の素因子ではない．

脚注

参考文献

 

可換環論
素イデアル
加群論
数学に関する記事