自由代数

数学、とくに環論という抽象代数学の分野において、自由代数（じゆうだいすう、）は多項式環の非可換類似である、なぜならばその元は可換でない変数の「多項式」として書けるからである。同様に、多項式環は自由可換代数 (free commutative algebra) と見ることができる（多項式環#多項式環の普遍性参照）。

定義
可換環  に対し、 不定元  上の自由（結合的単位的）代数とは、アルファベット  上のすべての語（空な語を含み、これは自由代数の単位元である）からなる基底を持つ自由  加群である。この  加群は積を以下のように定義して  代数となる：2つの基底元の積は対応する語の結合

であり、2つの任意の元の積は、これらの積から一意的に決定される（なぜならば  代数における積は  双線型でなければならないからである）。この  代数は  と書かれる。この構成は不定元の任意の集合  に容易に一般化できる。つまり、任意の集合  に対して、 上の自由（結合的単位的）-代数は

に語の積が結合となる -双線型な積が入ったものである、ただし  は  上の自由モノイド（すなわちアルファベット  上の語すべてからなるモノイド）を表し、 は外部直和を表し、 は1元、語  上の自由  加群を表す。

例えば、 において、スカラー  に対して、2元の積の具体例は  である。

自由 -代数  は自由モノイド  の  上のモノイド環  と同一視できる。

多項式との対照
アルファベット  上の語全体は  の基底をなすから、 の任意の元が次の形に一意的に書けることは明らかである：

ただし  は  の元で、これらの元のうち有限個を除くすべては 0 である。これはなぜ  の元が「変数」（あるいは「不定元」 の「非可換多項式」としばしば呼ばれるのかを説明する；元  はこれらの多項式の「係数」と呼ばれ、 代数  は「 上の  不定元の非可換多項式環」と呼ばれる。本当の多項式環とは異なり、変数たちは可換ではないことに注意。例えば  は  と等しくない。

より一般に、任意の生成元の集合  上の自由代数  を構成することができる。環は  代数と見なすことができるから、 上の自由環''' (free ring) は自由代数  として定義できる。

体上では  不定元の自由代数は  次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できる。より一般の係数環に対しては、 生成元の自由加群を取ることで同じ構成ができる。

 上の自由代数の構成は本来関手的であり、適切な普遍性を満たす。自由代数関手は  代数の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴である。

可除環上の自由代数はである。

関連項目

テンソル代数

非可換環

参考文献
 
 

多元環
環論
自由代数的構造
数学に関する記事