二項級数

数学の特に初等解析学における二項級数（にこうきゅうすう、）は二項式ののマクローリン級数を言う。

定義 
具体的に、 を任意の複素数として、函数  が  で与えられるとき、マクローリン展開

の右辺に現れる冪級数を二項級数と言う。ここで、上の式は一般二項係数

が用いられている。

 冪指数  が自然数  のときは、上記の級数の  番目以降の項はすべて零になる（明らかに、各項の因子に  が現れる）から、このとき級数は有限和であって、代数的な二項定理が導出される。
 任意の複素数  に対して、二項級数を

なる形に書くことができるが、これは特に  において負の整数冪を扱う際に有用である。この式自体は  において  を代入して、二項係数の等式  を適用すれば導出される。

収束性 
級数  の収束は冪指数  と変数  の値に依存する。より具体的に、

いま  は非負整数ではないとし、 の場合を考えると、上で述べたことから次のことが追加で言える:
  ならば絶対収束する。
  ならば、 では条件収束し、 では発散する。
  ならば発散する。

二項級数の和の計算について通常の論法は以下のようにする: 二項級数を収束円板  内で項別微分して式  を用いれば、この級数の和が常微分方程式  を初期値  のもとで解いた解析函数解であることが知れる。この初期値問題の唯一の解は  であり、それはつまり（少なくとも  において）二項級数の和である。級数が収束する限りにおいて、この等式を  にまで延長できることは、アーベルの連続性定理を  の連続性に基づいて適用した帰結である。

歴史 
自然数冪以外の二項級数に関する結果が初めて得られたのは、アイザック・ニュートンによる、ある種の曲線の下に囲われる面積の研究においてであった。この結果を  が有理数であるところの  の形の式として利用して、ジョン・ウォリスは（現代的な記法で書けば）後続する  の係数列  は先行する係数に（自然数冪のときと同様に） を掛けることで求められることを発見した。これは二項係数に関する公式を陰伏的に与えたに等しい。ウォリスは以下の実例を陽に記している
 
 
 
それゆえに、二項級数はニュートンの（一般）二項定理とも呼ばれる。のちにニールス・アーベルは1826年に『クレレ誌』に掲載された論文においてこの主題を取り上げ、特筆すべき収束問題として扱っている。

関連項目 

 二項定理：ニュートンの一般二項定理

脚注

注釈

出典

参考文献

外部リンク 

級数
組合せ論
微分積分学
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