純虚指数函数

初等解析学における函数  とは、実数  を複素数  に対応させる関数のことである。ここで  は余弦関数、 は正弦関数、 は虚数単位である。

"" は "" の省略形である。

この函数  は、複素指数函数  を用いれば、オイラーの公式より

と表せる。すなわち純虚変数  の指数函数（じゅんきょへんすうのしすうかんすう、）として書くことができる。複素指数函数とは別にこのような表記を設けることは、一見冗長であるように思われるが、偏角  の関数であることを強調する上で有用となる。

概観 
初めて造語  が用いられたのはウィリアム・ローワン・ハミルトンの著書 Elements of Quaternions (1866)であり、引き続いてが Uniplanar Algebra (1893)などで、あるいはと が Introduction to the Theory of Analytic Functions (1898)で用いた。

cis関数は、複素数平面においてオイラーの公式を通じて三角関数と複素指数函数とを結びつけるもので、極形式を簡素化したいが、複素指数函数が教育課程で未習の場合、または何らかの理由で用いたくない場合に使用する。

情報技術において、様々な高度数学ライブラリ（例えばインテルの Math Kernel Library (MKL)）でサポートされており、多くのコンパイラやプログラミング言語（例えば C, C++, Common Lisp, D, Fortran, Haskell）およびオペレーティングシステム（例えば Windows, Linux, macOS や HP-UX）で利用できる。プラットホームによっては、正弦函数と余弦函数を個別に呼び出すよりも二倍ほど速い。

第二次世界大戦後、数式記述にタイプライターが用いられるようになったころから、この記法はより広まった。上付き添え字は '' や '' よりも小さく、また上に偏っているから、手書きの場合でさえ困ることがある。, ,  を比較してみると、読み手には  が見易く読み取り易い。

 を  と表記する  記法は、ある種の記憶術 (c,i,s → ) であり、cis函数について議論する数学者や技術者にとって、本質を強調するために有用となることがある。

性質 
複素数 （ は実数）に対して、複素指数函数は次の式で表せる：

と、

を連立することにより、 は cis関数で表せる：
 
 
 微分：
 積分：
以下はオイラーの公式から直ちに従う：
 
 
これらの等式は  が任意の複素数として成り立つ。 がともに実ならば

と評価することができる。

関連項目 
 ド・モアブルの定理
 オイラーの公式

参考文献

外部リンク 
 

複素数
三角法
初等関数
数学に関する記事