関手圏

圏論という数学の分野において、与えられた2つの圏の間の関手たちは関手圏（かんしゅけん、）と呼ばれる圏をなす。その対象は関手であり、射は関手の間の自然変換である。関手圏は主に2つの理由によって興味が持たれる：
 よく現れる多くの圏は（暗に）関手圏であり、したがって一般の関手圏に対して証明された任意のステートメントは広く適用可能である；
 すべての圏は（米田埋め込みによって）関手圏に埋め込まれる；関手圏はもとの圏よりもよい性質をしばしば持っており、もとの設定では利用可能ではなかった操作ができる。

定義 
 を小さい圏とし（すなわち対象たちや射たちは真クラスではなく集合をなす）、 を任意の圏とする。 から  への関手全体のなす圏は、, , ,  などと書かれ、対象として  から  への共変関手を持ち、射としてそのような関手の間の自然変換を持つ。自然変換は合成できることに注意： が関手  から関手  への自然変換で、 が関手  から関手  への自然変換であるとき、集まり  は  から  への自然変換を定義する。自然変換のこの合成（垂直合成と呼ばれる；自然変換を参照）によって、 は圏の公理を満たす。

全く同様に、 から  への反変関手全体の圏を考えることもできる；これは と書かれる。

 と  がともに前加法圏（すなわち射の集合がアーベル群であり、射の合成が双線型）であれば、 から  への加法的関手全体のなす圏を考えることができ、 と書かれる。

例 
  が小さい離散圏（すなわち射が恒等射のみ）のとき、 から  への関手は本質的には  で添え字付けられた  の対象の族からなる；関手圏  は対応する積圏と同一視できる：元は  の対象の族で、射は  の射の族である。
   対象は  の射で、射は  の可換正方形）は単に  である、ただし  は2つの対象を持ち恒等射と一方から他方への1つの射を持つ（逆向きの射は持たない）圏である。
 有向グラフは矢印の集合と頂点の集合と、矢印の集合から頂点の集合への各矢印の始点と終点を決める2つの写像からなる。すべての有向グラフの圏はしたがって関手圏  に他ならない、ただし  は2つの射で結ばれる2つの対象からなる圏であり、 は集合の圏を表す。
 任意の群  は対象が1つのすべての射が可逆な圏と考えることができる。すべての  集合の圏は関手圏  と同じである。
 直前の例と同様に、群  の  線型表現の圏は関手圏  と同じである（ただし  は体  上のすべてのベクトル空間の圏を表す）。
 任意の環  は対象が1つの前加法圏と考えることができる； 上の左加群の圏は加法的関手圏  と同じであり（ただし  はアーベル群の圏を表す）、右  加群の圏は  である。この例により、任意の前加法圏  に対して、圏  を「 上の左加群の圏」、 を「 上の右加群の圏」と呼ぶことがある。
 位相空間  上の前層の圏は関手圏である：位相空間を対象が  の開集合で、 が  に含まれるとき、かつそのときに限り  から  へのただ1つの射があるような圏  と思う。すると  上の集合（あるいはアーベル群、環）の前層の圏は  から （あるいは , ）への反変関手の圏と同じである。この例により、圏  は、位相空間から生じない一般の圏  に対してさえも、「 上の集合の」と呼ばれることがある。一般の圏  上の層を定義するには、さらなる構造が必要である、すなわち  上のグロタンディーク位相である。（ に同値な圏を“前層圏”と呼ぶ著者もいる。）

事実 
 において実行できるほとんどの構成は、「成分ごと」に、 の各対象に対してバラバラに実行することで、 においても実行できる。例えば、 の任意の2つの対象  と  が積  を持つとき、 の任意の2つの関手  と  は次で定義される積  を持つ： の任意の対象  に対して  同様に、 が自然変換で各  が圏  において核  をもつとき、関手圏  における  の核は、 のすべての  に対して  なる関手  である。

結果として、関手圏  は  のほとんどの「よい」性質を共有するという一般的  がある：
  が完備（あるいは余完備）ならば  もそうである。；
  がアーベル圏ならば  もそうである；

また次も成り立つ：
  が任意の小さい圏ならば、の圏  はトポスである。

なので上の例から、有向グラフ、 集合、位相空間上の前層の圏はすべて完備かつ余完備なトポスで、 の表現、環  上の加群、位相空間  上のアーベル群の前層の圏はすべてアーベル、完備、余完備であることがただちに結論付けられる。

先に述べた圏  の関手圏への埋め込みは主な道具として米田の補題を用いる。 の任意の対象  に対して、 を  から  への反変表現可能関手とする。米田の補題は割り当て

が圏  の圏  への充満埋め込みであると言っている。したがって  は自然にトポスの中にいる。

同じことは任意の前加法圏  に対して実行できる：すると米田は  の関手圏  への充満埋め込みを生む。したがって  は自然にアーベル圏の中にいる。

上でのべた直感（ で実行できる構成は  に「持ち上げる」ことができること）はいくつかの方法で正確にできる；もっとも簡潔な定式化は随伴関手のことばを用いる。すべての関手  は（ との合成により）関手  を誘導する。 と  が随伴関手の対であるとき、 と  もまた随伴関手の対である。

関手圏  は指数対象のすべての形式的な性質を有する；特に関手たち  は  から  への関手たちと自然な1対1対応にある。関手が射であるすべての小さい圏の圏  はしたがってデカルト閉圏である。

注

参考文献

関連項目
 図式 (圏論)

外部リンク 
 
 

関手
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