複素数の偏角

数学において、複素数の偏角（へんかく、）とは、複素数平面上で複素数が表す点の動径が表す一般角のことである。複素数  の偏角は記号で  で表す。偏角はラジアンで表す。

複素数を極形式表示することで、絶対値と偏角が得られる。これにより、複素数の乗除が簡明に行うことができる。

複素数に対する偏角は、 の任意の整数倍を足す分だけ表し方がある。つまり、多価関数である。そこで表示を一意にするには、主値を決め、区間  などに制限する。

 の任意の整数倍の差を除いて次の等式が成り立つ：

(何れも )

定義 

複素数  の偏角は、 と書かれ、正の実軸から動径  までの角度を反時計回りに測った角度である。弧度法で表示する。時計回りに測ると負になる。

複素数に対する偏角の表示を一意にするために、主値を区間  に制限する。 にすることもある。

主値を  にすると、逆正接関数  を用いて次のように表せる：

上記の式には条件分岐が多数あるが、符号関数  やヘヴィサイドの階段関数  を用いることで次のようにまとめることもできる：

 除算を含む式 と形式的に考えることで、更にまとめることもできる：

あるいは、逆余弦関数  や逆正弦関数  を用いて次のように表すこともできる：

ここで、 は複素数の絶対値で、 である。

主値を  にするには、上記の定義で、負となる偏角の値に対しては  を加えることにすればよい。

偏角を「位相」、振幅と呼んだりすることもある。

基本的な性質 
 
 
 
  は不定

主値をとる偏角 

主値  における偏角の値を、記号で （最初の文字を大文字）で表すことがある。表記には揺れがあり、 と  が文献によって逆になることもあることに注意。

数値計算 
複素数  の偏角は逆正接関数  で表せる。

 のとき、すなわち  のとき

が成り立つが、 以外の場合の偏角を逆正接関数で表すには、場合分けが必要である。 の場合はさらに  と  の場合に分ける。

上半平面、下半平面ごとに表示することもできる：

 の主値を区間  とする変種では、値が負のときに値に  を足すことで得られる。

正接の半角公式  を用いると、1つの計算式で表せる：

ただし、この表示は、計算の精度が上記より下がる。

この表示は、 の近くでは 不定形  に近づき、浮動小数点の計算において、計算が不安定となり、オーバーフローする可能性がある。この範囲でのオーバーフローを避けるには、もう1つの正接の半角公式  を用いて次の計算式が使われる：

主値  は、プログラミング言語の数学ライブラリでは関数 atan2 あるいはその変種の言語を用いて多くの通常利用可能である。 の主値は区間  である。

積・商の偏角 
2つの複素数の乗除は、極形式表示することにより、簡明に行うことができる。複素数  の極形式表示を

とすると、

(何れも )
 で  が整数のとき、
　
例

脚注

文献

外部リンク 

へんかく
三角法
信号処理
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