ハイゼンベルク群

可換環  上のハイゼンベルク群 () とは、通常の行列の積に関して

の形をした行列がなす群である。これは群の中心と交換子部分群が一致する非可換な冪零群であり、  などと表される。係数環  としては実数体 、整数環 、有限体  などを考えることが多い。

 は3次元の単連結なリー群であり、任意の元は指数写像（行列の指数関数）を用いて

と表すことができる。

 は  の離散部分群であり、任意の元は

とおけば  と表せることがわかる。また  が成り立つので  は  と  の2元から生成される。

 は一般線型群  のシロー  部分群で、位数は  である。 が奇素数のとき、すべての元  は  を満たす。

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