リー環のコホモロジー

数学において、リー環のコホモロジー（）とは、リー環に対するコホモロジー論である。それは  によって、コンパクトリー群の位相空間としてのコホモロジーの代数的構成を与えるために、定義された。上の論文では、と呼ばれる鎖複体がリー環上の加群に対して定義され、そのコホモロジーが普通の意味で取られる。

動機付け
 がコンパクト単連結リー群のとき、 はそのリー環によって決定され、したがってそのコホモロジーはリー環から計算できるはずである。これは次のようにしてできる。そのコホモロジーは  上の微分形式の複体のド・ラームコホモロジーである。これはの複体に置き換えることができ、それは今度は適切な微分でリー環の外積代数と同一視できる。外積代数のこの微分の構成は任意のリー環に対して意味をなし、したがってすべてのリー環に対してリー環のコホモロジーを定義するのに使われる。より一般に加群に係数を持つリー環のコホモロジーを定義するために類似の構成を用いる。

定義
 を可換環  上のリー環、 をその普遍包絡環とし、 を  の表現とする（同じことだが -加群とする）。 を  の自明表現と考え、コホモロジー群

を定義する（ の定義は Ext関手を参照）。同じことだが、これらは左完全不変部分加群関手

の右導来関手である。

同様に、リー環のホモロジーを

と定義でき（ の定義は Tor関手を参照）、これは右完全関手

の左導来関手と同値である。

リー環のコホモロジーについての重要な基本的な結果の中には、、定理がある。

シュバレー・アイレンバーグ複体

体  上のLie環  の左 -加群  に値を持つリー環コホモロジーはシュバレー・アイレンバーグ複体  を用いて計算できる。この複体の -コチェインは  に値を持つ  変数の交代 -多重線型関数  である。 コチェインのコバウンダリは次で与えられる -コチェイン  である：

ただしキャレットはその引数を除くことを意味する。

小さい次元のコホモロジー
0次コホモロジー群は（定義により）加群に作用するリー環の不変加群である：

1次コホモロジー群は内部微分の空間  を法とした微分の空間  である：

ただし微分はリー環から  への写像  で

なるもので、それが内部微分とはそれがある  で

で与えられることをいう。

2次コホモロジー群

はリー環の加群  によるリー環の拡大

の同値類の空間である。

より高次のコホモロジー群に対しては同様の易しい解釈は無いようである。

関連項目
（理論物理学）

参考文献

コホモロジー論
ホモロジー代数
リー環論
数学に関する記事