配置集合

数学の集合論における配置集合（はいちしゅうごう、）あるいは集合の冪（べき、）は、二つの集合  に対する演算で、 から  への写像全体の集合を割り当てるものである。この集合は  や  などと書かれる。これはまた、 で添字付けられた  の元の族の全体 とも一致する。

例 
  は実数列全体の成す集合を表す（数列空間も参照）。
 任意の空でない集合  に対し、 から空集合  への写像は存在しない（ の元の像となるべき元の存在は、 がもともと元を持たないから、満たされることがない）。すなわち、 が成り立つ。
 任意の集合  に対して、空集合から  への写像はただ一つ存在する（空写像、すなわち空なグラフを持つ写像）。従って、配置集合  は一元集合である。

濃度 
 および  は有限集合とし、集合  の位数を  のように書くとき、配置集合の濃度に関して が成り立つことが示せる（重複順列の項を参照）。

 または  が無限集合のとき、上記の等式は濃度の冪の定義として用いられる。このとき、 の濃度が  および  の濃度のみで決まる（つまり、濃度が同じならばそのような集合の取り方に依存しない）ことが示せる。

歴史 
こんにち配置集合と呼ばれる構成を導入したのはゲオルク・カントールである。カントールが  と呼んだ「 の元に対する  に値をとる配置」（, ）とは、「 の各元  に  の定まった元を割り当てる規則であって、 の元は繰り返し用いてよい」というもので、そのような規則は今日われわれが  から  への写像と呼んでいるものに他ならない。 における個々の配置を、規則  を明示して  と書くことにすれば、すべての  を元とする集合—すなわち  に値をとる  の相異なる配置全体の成す集合— を「 の  による配置集合」と呼び、カントールはこれを  で表した—すなわち 。

注

注釈

出典

参考文献 
 

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関連項目 

 指数対象
 
 集合の圏
 冪

外部リンク 
 
 
 

ゲオルク・カントール
集合の基本概念
二項演算
行列
数学に関する記事