自己記述数

自己記述数（じこきじゅつすう、）とは、以下の条件を満たす整数 m のことである。
 m の桁数 b が、m の基数を示す。
 先頭の桁を0桁目としたとき、m の全ての n 桁目の数字 d が、m における数字 n の個数を示す。

例
基数10において、6210001000は以下の理由で自己記述数である。

 桁数10が、その基数10を示している。
 0桁目の数字6が、6210001000の中に数字0が6個あることを示している。
 1桁目の数字2が、6210001000の中に数字1が2個あることを示している。
 2桁目の数字1が、6210001000の中に数字2が1個あることを示している。
 3桁目の数字0が、6210001000の中に数字3が0個あることを示している。
 4桁目の数字0が、6210001000の中に数字4が0個あることを示している。
 5桁目の数字0が、6210001000の中に数字5が0個あることを示している。
 6桁目の数字1が、6210001000の中に数字6が1個あることを示している。
 7桁目の数字0が、6210001000の中に数字7が0個あることを示している。
 8桁目の数字0が、6210001000の中に数字8が0個あることを示している。
 9桁目の数字0が、6210001000の中に数字9が0個あることを示している。

他の基数における自己記述数
基数1, 2, 3, 6には自己記述数が存在しない。7以上の基数では、少なくとも以下の形式の自己記述数が必ず存在する。

この数は、0桁目の数字が b − 4 、1桁目の数字が 2、2桁目の数字が 1、b − 4 桁目の数字が 1、それ以外の桁の数字が 0 となる。

以下に、各基数における自己記述数を示す。

特性
上の表に記載されている数字からは、全ての自己記述数は全ての桁の数字の合計（数字和）が基数と一致する、また、全ての自己記述数は基数の倍数であるように見える。1つ目の事象については、自己記述数の定義より、全ての桁の数字の合計は桁数と一致し、桁数は基数を表しているということから自明である。

基数bの自己記述数が必ずその基数の倍数である（あるいは、自己記述数の最後の桁の数字が必ず0である）ことは、次のように証明できる。
 基数bの自己記述数mが、桁数はb桁だがbの倍数ではない（最後の桁の数字が0ではない）と仮定する。
 この場合、b − 1 桁目（最後の桁）の数字は少くとも1となる。これは、mに数字 b − 1 が少なくとも1つは存在することを意味する。
 数字 b − 1 がx桁目にあるとした場合、m の中に数字 x が b − 1 個存在しなければならない。
 従って、m には少くとも1の数字が1個、数字 x が少なくとも b − 1 個あることになる。ここで、x > 1 の場合、m の桁数が b を超えるので、最初の仮定と矛盾している。また、x = 0 または 1 の場合も矛盾が生じる。

基数bの自己記述数は、基数bのハーシャッド数である。

出典 
 Clifford Pickover, Keys to Infinity, Chapter 28, "Chaos in Ontario." New York: Wiley, pp. 217–219, 1995. 
 
 
 
 

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