実数値関数

実数値関数（じっすうちかんすう、）とは、値として実数を与える関数をいう。つまり、定義域のそれぞれの元に対し実数を割り当てる関数のことである。特に、定義域も実数の部分集合であるもの、すなわち実変数の実数値関数を実関数（じつかんすう、）という。

多くの重要な関数空間が、いくつかの実数値関数からなるものとして定義されている。

一般の実数値関数 
 を任意の集合とする。 を  から  への関数全体の集合で表すものとする。 は可換体であるので、 はベクトル空間であり、実数上の結合多元環は、以下のように定義できる。
 ベクトル和: 
 加法単位元: 
 スカラーとの積: 
 各点ごとの積: 
また、 は順序集合であることから、 には以下のような半順序が入る。

これによって、 はとある。

可測な実数値関数 
ボレル集合の -代数は実数上に定義される重要な構造である。 が -代数を持ち、関数  が、すべてのボレル集合  に対して、その原像  が  の -代数に属しているとき、 は可測であるという。この可測関数はまた、うえで説明したようなベクトル空間と代数をつくる。

連続な実数値関数 
実数は、位相空間であり完備距離空間である。連続な実数値関数（これは暗黙のうちに  が位相空間であることを主張する）は位相空間や距離空間の理論で重要なものである。極値定理は、コンパクト空間上のすべての連続な実数値関数には（極小、極大にとどまらない大域的な）最小値と最大値が存在することを主張する。

脚注

注釈

出典

文献 
 
 

関数
位相空間論
解析学
測度論
ベクトル空間