不足角

不足角（ふそくかく）とは、ユークリッド幾何学においては、多面体のある頂点について、その頂点の周りの角度の和が360°に不足していることを言う。あるいはより一般に多胞体について、胞のピークの二面角が真円に足りないものを言う。

例 

全ての面が正五角形からなる正十二面体を考える。各頂点について正五角形が3つずつ集まり、正五角形の内角は108°だから、不足角は 360° − (108° + 108° + 108°) = 36° である。また頂点は全部で20個あるから、不足角の総和は 36° × 20 = 720° である。

他の正多面体についても同じ考え方を適用すれば、以下の表を得る。

デカルトの定理 

不足角におけるデカルトの定理（）とは、球と位相同型な、つまり穴のない多面体において、不足角の総和は常に 720°（）に等しいという定理である（上表も参照）。

より一般には、多面体のオイラー標数 （ここで g は「穴の数」を表す）を用いて、不足角の総和は  で表される。

これはガウス・ボネの定理においてリーマン多様体が多面体であるときの特殊なケースであり、不足角はその頂点におけるガウス曲率に一致する。このとき多面体中のガウス曲率は頂点に集中しており、辺や面におけるガウス曲率は 0 となっている。

非ユークリッド幾何学における不足角 

双曲三角形において、その角度の総和を A とすれば、全不足角は  で表される。

また球面三角形において、その角度の総和を A とすれば、全不足角は  で表される。

特筆すべきこととして、これらの三角形の面積はその全不足角に比例することが示される。

関連項目 

 ガウス・ボネの定理
 球面三角法
 球面幾何学

脚注

関連文献
Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton (2008), Pages 220–225.
デビッド・S.リッチェソン『世界で二番目に美しい数式（上）』『同（下）』根上生也訳、岩波書店、2014年、頁未確認。

外部リンク

多面体
ユークリッド幾何学
双曲幾何学
数学に関する記事