ルベーグの被覆補題

トポロジーにおけるルベーグの被覆補題（）あるいはルベーグ数の補題（）はアンリ・ルベーグに因むコンパクト距離空間の研究における有用な補題であって、次のことを主張する：
 距離空間  がコンパクトであり、 の開被覆が与えられたなら、ある数  が存在して、 未満の直径を持つ  のどんな部分集合もその被覆のある元に含まれる。
そのような数  はその被覆のルベーグ数と呼ばれる。ルベーグ数の概念そのものも他の応用へ有用である。

証明 
 を  の開被覆とする。 はコンパクトだから有限部分被覆  を抜き取ることができる。

各  に対して、 とおいて、関数  を  で定める。

 はコンパクト集合上で連続だから、最小値  を取る。鍵となる観察は  である。もし  が  未満の直径を持つ  の部分集合なら、ある  に対して  となる。ここで  は半径  中心  の球を表す（よって  は  の任意の点としてよい）。 であるから、少なくともひとつ  が存在して  が成り立つ。ところがこのことは  を意味し、したがってとくに  である。

別証明 
 を  の開被覆とする。どんな  に対しても  は開集合である。なぜなら、各  に対して、 と  の周りのコンパクト -球の間には正の距離  があるから、開 -球もまた  に含まれる。

族  もまた  の開被覆である。 はコンパクトだから、 は有限個の  の和に既に含まれている。また  に対して  となるから、それら有限個は全て、その中のひとつに含まれている。よってある  に対して  が成り立つ。この  はルベーグ数である。

脚注

参考文献
 

位相幾何学の定理
補題
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