シュタイナーの内接楕円

幾何学における三角形のシュタイナーの内接楕円（シュタイナーのないせつだえん）は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する楕円である。中点楕円、ガウス楕円とも呼ばれる。この楕円はデリーによってヤコブ・シュタイナーに属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている
。

シュタイナーの名前を冠するシュタイナー楕円は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある。

以下の解説で特に説明がない場合、a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。

三角形上の座標による表記 
シュタイナーの内接楕円の座標は三線座標によって以下のように表される。

重心座標では以下のようになる。

性質 
シュタイナーの内接楕円の中心は、元の三角形の重心である。重心を中心とする唯一の内接楕円である。

シュタイナーの内接楕円の面積は、内接楕円の中で最も大きい。その面積は元の三角形の面積の 倍である 。
これは同じ三角形のシュタイナー楕円の1/4にあたる。

三角形に内接する二次曲線のうち、2辺以上の中点に接するのはシュタイナーの内接楕円のみである。

シュタイナーの内接楕円は中点三角形のシュタイナー楕円である。

シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さは以下の式で表される。

ただし Z は以下の式で与えられる。

複素数平面において、三角形の3つの頂点の座標を零点にもつような3次式を考えたとき、シュタイナーの内接楕円の焦点の座標はその3次式の導関数の零点となる。（）

長軸は、3頂点からの距離が最も短くなる直線上にある
。

G, F+, F− を三角形の重心と2つのフェルマー点とする。シュタイナーの内接楕円の長軸は∠F+GF−の2等分線上にある。また、2つの軸の長さは |GF−| ± |GF+| という式で表される。

シュタイナー内接楕円の2つの軸はキーペルト放物線に接する。この放物線は、3辺とオイラー線とも接する。

シュタイナー内接楕円の2つの焦点は17点3次曲線上にある。

三角形ABCに内接する楕円の焦点を P, Q とすると以下の式が成り立つ。

出典 

三角形
初等幾何学
円錐曲線
ヤコブ・シュタイナー
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