キーペルト双曲線

三角形におけるキーペルト双曲線（キーペルトそうきょくせん）とは、三角形の3つの頂点と重心と垂心を通る双曲線である。名前はドイツの数学者であるに由来している。

キーペルト点と存在証明 

キーペルト点は、以下の手順で作図される点である。
 三角形 ABC に対し、∠xBC = ∠xCB = θ となる点 x をとる。
 θが正の時は x は BC に対し A と逆側に取る。θ が負の時は x は BC に対し A と同じ側に取る。
 同様に y, z をとる。
 Ax, By, Cz の交点 N がキーペルト点である。
キーペルト点の軌跡がキーペルト双曲線となる。

3線が1点で交わることは以下のように証明できる。
 Ax と BC が交わる点を D とする。
 BD : DC = △ABx : △ACx = AB sin(B + θ) : AC sin(C + θ)
 同様に Bｙ とCA の交点を E, Cz と AB の交点を F とすると
 CE : EA = BC sin(C + θ) : AB sin(A + θ), AF : FB = AC sin(A + θ) : BC sin(B + θ).
 チェバの定理の逆より AD, BE, CF は1点で交わる。

性質 
上述の式からキーペルト点の重心座標は以下のようになる。
(a/sin(A + θ), b/sin(B + θ), c/sin(C + θ)).
ここで、a = BC, b = CA, c = AB である。

キーペルト双曲線の重心座標による式は以下のようになる。
 (a2 − b2)xy + (c2 − a2)xz + (b2 − c2)yz = 0.
漸近線は、ブロカール軸と外接円の交点から求められるシムソン線であり、その交点は重心座標によって以下のように表される。
((b2 − c2)2, (c2 − a2)2, (a2 − b2)2).
この点は九点円上にある。

三角形が二等辺三角形のとき、この双曲線は2本の漸近線に退化する。正三角形のとき、上述の重心座標の式の左辺は0になるため定義できない。実際 θ=-60° のとき、任意の点 P に対して AxP ByP CzP の3組は同一直線上にある。

線上の主な点 
以下の点はキーペルト双曲線上にある
 3つの頂点
 重心
 垂心
 フェルマー点
 ナポレオン点
 中点三角形の内心
 第三ブロカール点

外部リンク 
 

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