掛谷集合

数学において掛谷集合（かけやしゅうごう、）もしくはベシコビッチ集合（）とは、ユークリッド空間において、全ての方向に単位線分を持つ点の集合のことである。名称は掛谷宗一およびに因む。任意の正の数よりも小さい測度の掛谷集合が存在する。

平面において単位線分を連続的な移動により180度回転させて、線分を元の位置に向きを逆転させて戻すことができる点の集合を掛谷針集合と呼ぶ。

掛谷針集合の諸定理
任意の正の数よりも小さい面積の掛谷針集合が存在する。

最小の凸掛谷針集合は一辺  の正三角形である。

半径 1 の円の内部で任意の正の実数 ε に対し +ε 以下の面積を持つ単連結掛谷針集合が存在する。

掛谷針集合の例
半径 0.5 の円板 

幅 1 のルーローの三角形 

一辺  の正三角形 

半径 3 / 4 の円に内接するデルトイド

出典

外部リンク
Kakeya at University of British Columbia 
Besicovitch at UCLA
Kakeya needle problem at mathworld
Dvir’s proof of the finite field Kakeya conjecture at Terence Tao's blog
An Introduction to Besicovitch-Kakeya Sets

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