フォワード測度

フォワード測度（フォワードそくど、）とは、数理ファイナンスにおいて、リスク中立測度と絶対連続である価格付けの測度である。しかし、としてマネーマーケットアカウントを使わず、満期が T である債券が用いられている（特に満期を明示して T–フォワード測度と言う事も多い）。フォワード測度の利用はにより1987年に始められ、の価格計算の方法として用いられている。

数学的定義 

以下の記述はに基づく。

まずニュメレールとしての銀行口座、もしくはマネーマーケットアカウントを以下のように定義する。
 
更に時点0から満期 T までの割引ファクターを以下のように定義する。
 
もし  がリスク中立測度ならば、フォワード測度  はラドン–ニコディム微分として以下のように与えられる。

上の式は利子率が非確率的ならばフォワード測度とリスク中立測度は一致することを意味している。また、ニュメレールを銀行口座もしくはマネーマーケットアカウント B(t) から満期 T の債券 P(t,T) に変えた際のニュメレール変換公式の一つでもある。実際、時点 t における満期 T のゼロクーポン債価格が

と書けるならば（  は時点 t における市場の情報を表すフィルトレーションである）、

と書ける。この式より、T–フォワード測度はとしての満期 T のゼロクーポン債と関連していることが明確になる。 
より詳細な議論についてはを参照せよ。

結果 
"フォワード測度"の名前は、フォワード測度の下でがマルチンゲールとなることに由来している。この事実は、フォワード測度を正式に定義したとされる、 によって最初に見出された。リスク中立測度の下でマルチンゲールとなる先物価格と比べると、利子率が非確率的であるならば、フォワード測度は先渡価格と先物価格は一致する事を意味している。

例えば、割引株式価格はリスク中立測度の下でマルチンゲールである。

先渡価格は  で与えられる。よって  が得られる。ラドン–ニコディム微分  と等式  を用いれば

となる。最後の項は債券価格の定義より1と等しいので以下が得られる。

参考文献

関連項目

リスク中立測度

数理ファイナンス
マルチンゲール理論
数学に関する記事