閉凸函数

数学において、函数  が閉（へい、）であるとは、各  に対して劣位集合  が閉集合であることをいう。

また同値であるが、 で定義されるエピグラフが閉であるとき、函数  は閉となる。

この定義はすべての函数に対して適用されるものであるが、ほとんどは凸函数に対して使われている。真凸函数が閉であるための必要十分条件は、それが下半連続であることである。真凸函数ではない凸函数に対して、函数の「閉包」とは定義の上で異なる点がある。

性質 
  が連続で、集合  が閉なら、函数  も閉である。

 閉真凸函数 f は、h ≤ f を満たすすべてのアフィン函数 h（f のアフィン劣函数と呼ばれる）の集合の各点毎の上限である。

参考文献 
 
 

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