17点3次曲線

幾何学における17点3次曲線（17てん3じきょくせん）とは、三角形に内接し長径上に重心を持つ楕円の焦点の軌跡である。トムソンの3次曲線ともいう。

三角形の五心を含む少なくとも17個の点がこの曲線上にあることからこの名がつけられた。

定義と方程式 
17点3次曲線は、「X の等角共役点 X' と重心が同一直線上にある点Xの軌跡」である。三角形の3辺の長さを a, b, c とするとこの曲線の方程式は以下のようになる。
 三線座標で表すと 。
 重心座標で表すと 。

17個の点 
この曲線は、以下の17個の点を通る。
 内心と傍心
 自身が等角共役点のため、それらと重心は同一直線上にある。
 重心と類似重心
 この2点が等角共役点であるため、明らか。
 外心と垂心
 この2点が等角共役点である。この2点と重心は共にオイラー線上にある。
 頂点
 等角共役点は存在しないが、上記の方程式に(1,0,0)を代入すれば明らかに成り立つ。
 3辺の中点
 等角共役点は存在しないが、上記の重心座標の方程式に(1,1,0)を代入すれば明らかに成り立つ。
 3本の垂線の中点

脚注

外部リンク 

三角形
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