零射

数学の一分野圏論における零射（れいしゃ、ゼロしゃ、）は特別な種類の射で、零対象への射と零対象からの射の性質を併せ持つ。

諸定義 
圏  と  内の射  を考える。射  が定値射 (constant morphism) または左零射であるとは、 の任意の対象  と任意の射の対  に対して  を満たすときに言う。双対的に、 が余定値射 (coconstant morphism) または右零射であるとは、任意の対象  と射の対  に対して  を満足するものを言う。零射は左零かつ右零な射である。

零射を持つ圏 (category with zero morphisms) は、対象の各対  に対して一つの射  が存在して、以下の図式  を任意の対象の組  と任意の射  に対して可換にする。

この射  は零射でなければならず、零射からなる可換な系を成す。

零射を持つ圏  の零射  全体の成す集まりは一意である。

この場合、「零射」と「零射を持つ圏」という呼称とはそれぞれ無関係に定義されるものではあるが、しかし各射集合が「零射」を持つ圏は「零射を持つ圏」になる。

例 
 群の圏（や加群の圏）において、零射は準同型  であって  の任意の元を  の単位元に写すもの（零準同型）である。群の圏の零対象は自明群  でこれは同型を除いて唯一であり、任意の零射は  を経由して  と分解できる。
 より一般に  が零対象  を持つ圏ならば、対象の各対  に対して一意な射の列  が存在する。この射全体の成す族は  に零射を持つ圏の構造をもたらす。
 前加法圏  の任意の射集合  はアーベル群であるから、零元がある。それら零元の全体は  の零射からなる可換族を成し、 は零射を持つ圏となる。
 集合の圏（集合とその間の写像を射とする圏） は零対象を持たないが、空集合  を始対象にもつ。ゆえに  の右零射は存在して、各集合  に対する空写像  がそうである。

関連概念 
圏  が零対象  を持つならば、対象の各対  に対して標準的な射の対  が存在するから、合成射  は  に属する零射になる。ゆえに任意の点付き圏（零対象を持つ圏）は合成射  で与えられる零射を持つ圏である。　

圏が零射を持つならば、その圏における任意の射に対する核と余核の概念が定義できる。

参考文献 
Section 1.7 of 
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注

外部リンク 
 
 

射
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