凸共役性

数学において凸共役（とつきょうやく、）とは、ルジャンドル変換の一般化である。ルジャンドル＝フェンシェル変換あるいはフェンシェル変換としても知られる（アドリアン＝マリ・ルジャンドルとの名にちなむ）。

定義 

 を実ノルム線型空間とし、 を  の双対空間とする。双対組を次で表す。

拡大実数に値を取る函数

に対する凸共役

は、上限を用いて次のように定義される。

あるいは、同値であるが、下限を用いて次のように定義される。

この定義は、函数のエピグラフの凸包の、に関する符合化と解釈することが出来る
。

例 

アフィン函数

の凸共役は

である。冪函数

の凸共役は

である。ここで  である。

絶対値函数

の凸共役は

である。指数函数  の凸共役は

である。指数函数の凸共役とルジャンドル変換は、凸共役の定義域が厳密に大きいことを除いて一致する。ルジャンドル変換は正の実数に対してのみ定義されるためである。

期待ショートフォール（リスク平均値）との関係 

F を確率変数 X の累積分布函数とする。このとき、部分積分により

は次の凸共役を持つ。

順序 

特別な解釈により次の変換が考えられる。

これは初期函数 f の非減少な書き換えである。特に、f に対する  は非減少である。

性質 

閉凸函数の凸共役は再び閉凸函数である。多面体的凸函数（多面体的エピグラフを持つ凸函数）の凸共役は、再び多面体的凸函数である。

順序の反転 

凸共役は、順序を反転させる。すなわち、 ならば  である。ここで

 

である。函数の族  に対し、上限は交換されうるという事実により、次が従う。

 

さらに最大最小不等式により、次が従う。

二重共役 

函数の凸共役は常に下半連続である。二重共役 （凸共役の凸共役）は閉凸包、すなわち、 を満たす最大の下半連続凸函数でもある。真凸函数 f に対し、次が成り立つ。 
 であるための必要十分条件は、f が凸かつ下半連続であることである（フェンシェル＝モローの定理）

フェンシェルの不等式 

任意の函数  とその凸共役  に対し、次のフェンシェルの不等式（フェンシェル＝ヤングの不等式としても知られる）は、すべての  と  に対して成立する：

凸性 

二つの函数  と  および数  に対し、次の凸関係が成立する。

この演算  はそれ自身が凸写像である。

極小畳み込み  

二つの函数 f と g の極小畳み込み（infimal convolution）は、次で定義される（epi-sum とも呼ばれる）：

f1, …, fm は Rn 上の真凸かつ下半連続な函数とする。このとき、これらの極小畳み込みは凸かつ下半連続である（が、必ずしも真凸ではない）。さらに次が成立する。

二つの函数の極小畳み込みは、次のような幾何学的解釈がある：二つの函数の極小畳み込みの（厳密な）エピグラフは、それらの函数の（厳密な）エピグラフのである。

最大化引数  

函数  が微分可能であるなら、その導函数は凸共役の計算における最大化引数（maximizing argument）である。すなわち、

 と

が成り立つ。したがって

であり、さらに次が成立する。

スケーリング性 

ある  に対し、 であるなら、次が成り立つ。

さらにパラメータ α が追加される場合は、次が成り立つ。

ここで   は最大化引数であるように選ばれる。

線型変換の下での挙動 

A を X から Y への有界線型作用素とする。X 上の任意の凸函数 f に対して、次が成り立つ。

ここで

は f の A に関する原像であり、A* は A の共役作用素である。

閉凸函数 f は、ある与えられた直交線型変換の集合 G に関して対称である、すなわち

であるための必要十分条件は、凸共役 f* が G に関して対称であることである。

代表的な凸共役の表 

次の表では、多くの有名な函数のルジャンドル変換で、有用な性質を持つものが示されている。

関連項目 
 双対問題
 フェンシェルの双対性定理
 ルジャンドル変換
 ヤングの不等式

参考文献

外部リンク 
  

 

 

凸解析
双対性定理
変換 (数学)
アドリアン＝マリ・ルジャンドル
数学に関する記事