単調族

集合族の一種である単調族（たんちょうぞく、）は、測度論においてより複雑な集合族を構成するために用いられる。

定義 
集合  の部分集合族  が単調であるとは、 の（単調増加または単調減少な列）の極限がまた  に属するときに言う。記号で書けば、

性質 
複数の単調族の交わりはまた単調族を成す。ゆえに任意の集合族  の生成する単調族が

と定義できる。これはと解釈できる。

他の集合族との関係 
 単調族を成す集合環はσ-集合環である。
 集合  の部分集合からなる単調族が、全体集合  を含み、かつその族に属する集合  が  を満たすとき必ず  もその族に属するならば、その単調族はディンキン族である。
 任意の σ-集合環は単調族である。
 集合代数の生成する単調族の全体は代数の生成するσ-集合代数の全体と対応を持つ。
 集合環の生成する単調族は、その集合環の生成する σ-集合環と一致する。

参考文献 
 Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.

関連項目

外部リンク 
 

集合族
測度論
数学に関する記事