多項係数

数学における多項係数（たこうけいすう、）は二項係数を一般化したものである。

定義 
非負整数列  および  に対して、多項係数が定義される。

多項係数を直接表示すると

となる。ここに  は  の階乗を表す。

多項係数は帰納的に表すこともできる：

多項係数は整数となる。したがって、多項係数を規則的に並べていくと -単体となる（パスカルの単体。 のときについてはを参照）。

多項係数は二項係数を用いて

と表すこともできる。

応用と解釈

多項定理 

二項定理の拡張である、多項定理と呼ばれる等式
 
が成立する。特に  と置くことにより
 
が得られる。

多項分布 
多項係数の応用として、多項分布
 
は離散確率変数に関する確率分布である。

組合せ論的解釈

組み分け問題 
多項係数  は  個の対象を  個の区別のつく箱に分けて入れるとき、各  番目の箱に  個だけの対象が含まれるように入れる方法の総数である。

重複置換の問題 
多項係数  は、 に対して各々ちょうど  個の区別不能な対象が含まれる  個の対象の置換の総数にも等しい。

 例
 問い. MISSISSIPPI の文字を並べ替えて得られる「語」は相異なるものが全部でいくつあるか？
この11文字の並べ替えの総数を数える必要があるが、一種類目の文字 M が  個 (), 二種類目の文字 I が  個 (), 三種類目の文字 S が  個 (), 残りは P が  個 () であるから、多項係数
 
が答えを与える。これと対照的に、もし11文字全てが区別可能であったならば、その総数は  とずっと多くなる。

パスカルの単体 
二項係数に対するパスカルの三角形の類似対応物として、-変数の多項係数にも幾何学的な図形（単体）が対応し、パスカルの -単体と呼ばれる。 のときは特に、に対すると呼ばれる。

外部リンク 
 

組合せ論
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