単純環

数学の環論において、（ を持つ可換とは限らない）環  が単純（たんじゅん、）であるとは、 の両側イデアルが  と  しか存在しないことをいう。

構造定理 
単純環は左アルティン的であれば右アルティン的でもあるため、このとき単にアルティン的単純環という。（さらにネーター的でもある。）単純アルティン環は、アルティン・ウェダーバーンの定理により、可除環上の全行列環に同型である。

より詳しくは、次が成り立つ。単純環 R について以下は同値：
R は左アルティン的
R は半単純
R は極小左イデアルを持つ
R はある自然数 n とある可除環 D について Mn(D) と同型

 を一般の単純環とすると、任意の 0 でない左イデアル  に対し、 を自己準同型環 End(RI) （右から作用すると考える）とすると、R と End(ID) は自然に同型である（後者は左からの作用を考える）。

脚注

参考文献 
 

環論
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