真凸函数

数学の解析学（特に、凸解析）と数理最適化の分野において、真凸函数（しんとつかんすう、）とは、拡大実数に値を取る凸函数 f で、少なくとも一つの x に対して

が成立し、すべての x に対して

が成立するもののことを言う。すなわち凸函数が真であるとは、その有効領域が空でなく、値として  を取ることがないことを言う。真でない凸函数は広義凸函数（improper convex function）と呼ばれる。

真凹函数とは、 が真凸函数であるような任意の函数 g のことを言う。

性質 

Rn 上のすべての真凸函数 f に対し、ある Rn 内の b と R 内の β が存在して

がすべての x について成立する。

二つの真凸函数の和は必ずしも真あるいは凸ではない。例えば、集合  と  がベクトル空間 X 内の空でない凸集合であるなら、  と  は真凸函数であるが、 であるなら  は恒等的に  に等しい。

二つの真凸函数の最小畳み込みは凸であるが、必ずしも真凸ではない。

参考文献 

凸解析
関数
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