フェンシェルの双対性定理

数学においてフェンシェルの双対性定理（フェンシェルのそうついせいていり、）は、の名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。

ƒ を Rn 上の真凸函数とし、g を Rn を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、

が成り立つ。ここで ƒ * は ƒ の凸共役（フェンシェル＝ルジャンドル変換とも呼ばれる）であり、g * は g の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。

数学的定理 
X と Y をバナッハ空間とし、 と  を凸函数とし、 を有界線型作用素とする。このとき、フェンシェルの問題とは

が弱双対性を満たす、すなわち  が成立することを言う。ここで  はそれぞれ f,g の凸共役であり、 は共役作用素であることに注意されたい。この双対問題に対する摂動函数は  で与えられる。

f,g および A は次のいずれかを満たす。

 f と g は下半連続で、。ここで  は代数的内部であり、 はある函数 h に対する集合  である。

 。ここで  は函数が連続であるような点である。

このとき強双対性が成立する。すなわち  となる。 であるなら、順序集合が達成される。

出典

参考文献 
  See page 327.

関連項目 
 ルジャンドル変換
 凸共役性
 
 
 

解析学の定理
最適化
凸解析
凸最適化
数学に関する記事
数学のエポニム