文様群

文様群（もんようぐん、）もしくは壁紙群（かべがみぐん）は、パターンの対称性に基づく、2次元内での繰り返しパターンに関する数学的な分類である。このようなパターンは、建築や美術で頻繁に使用され、そのパターンは17種に大別される。

歴史
1891年にEvgraf Fedorovによって、2次元空間内での繰り返しパターンが17種に大別されることの証明が試みられ、1924年George Pólyaによって証明された。

卜部東介（1953–2011、当時茨城大学）が、2002年に 利根安見子、近藤誠造（京都府立大学）の協力のもと、日本の伝統文様には17種類の文様群すべてが含まれていることをインターネット上に発表した。

導入
文様群は、対称性によるパターン分類であるため、色・形状・サイズが大きく違う場合でも、同じグループに分類される。

対称性
17種のパターンは対称性の組み合わせからなっている。
 並進対称性：Translations
 回転（60°、 90°、120°、180°）：Rotations
 鏡映（鏡像対称性）：mirror isometries
 映進（並進と鏡映の組み合わせ）：Glide reflections

文様群の表記

結晶学記法
結晶は3次元空間の空間群で属するが、2次元の文様群を表記することは可能である。
基本胞（primitive cell）の場合P、中心胞 (centered cell) の場合はCが頭文字となる。
回転対称数：360°/n 回
鏡映：鏡映対称性が組み合わさった場合は、mirror isometriesからm、鏡映していない場合は1（もしくは省略）
映進：映進対称性が組み合わさった場合は、Glide reflectionsからg、映進していない場合は1（もしくは省略）

例
p2 (p211): 基本胞、回転対称2、鏡映・映進無し
c2mm: 中心胞、回転対称2、主軸と垂直の軸で鏡映
p31m: 基本胞、回転対称3、鏡軸は60°の鏡映

オービフォルド記法

17種の文様群
記号説明
 ひし形は 180° (= 360°/ 2) の回転中心
  三角形は、120° (= 360°/3) の回転中心
  正方形は、90° (= 360°/4) の回転中心
  六角形は、60° (= 360°/6) の回転中心
 太い線は鏡映軸
 鏡映と並進を組み合わせた映進軸
 黄色い領域は、基本パターンである。

p1群
P1群は、並進のみの連続パターンで、その他の回転などは含まない。
 オービフォルド記法：o
 点群: C1

p2群
 オービフォルド記法：2222
 点群: C2

pm群
 オービフォルド記法：**
 点群: D1

pg群
 オービフォルド記法：××
 点群: D1

cm群
 オービフォルド記法：*×
 点群: D1

p2mm群
 オービフォルド記法：*2222
 点群: D2

p2mg群
 オービフォルド記法：22*
 点群:

p2gg群
 オービフォルド記法：22×
 点群:

c2mm群
 オービフォルド記法：2*22
 点群:

p4群
 オービフォルド記法：442
 点群:

p4mm群
 オービフォルド記法：*442
 点群:

p4mg群
 オービフォルド記法：4*2
 点群:

p3群
 オービフォルド記法：333
 点群:

p3m1群
 オービフォルド記法：*333
 点群:

p31m群
 オービフォルド記法：3*3
 点群:

p6群
 オービフォルド記法：632
 点群:

p6mm群
 オービフォルド記法：*632
 点群:

参考文献

関連項目
 平面充填
 群 (数学)
 群論
 点群
 層群
 空間群
 結晶学
 マウリッツ・エッシャー
 (空間畏怖) - 古来から空白なく文様を充填させるのは、空虚感への恐怖からくるものだと美術史家が指摘している。名称は、哲学者アリストテレスのから。

群論
数学に関する記事
対称性
模様