ハールウェーブレット

ハールウェーブレット（）とは、ウェーブレットの一つ。1909年に Alfréd Haar がハール列の名称で発表した。Daubechiesウェーブレットの一つでもある。

ハールウェーブレットは最も簡単なウェーブレットである。欠点は、連続では無いため、微分可能では無い事。

定義 
ウェーブレット関数の定義は以下の通り。
 

対応するスケーリング関数は以下の通り。

ハール関数とハール系 
整数 n, k に対して、下記のようにハール関数 ψn, k が定義できる。

下記の性質を持つ。δi, j はクロネッカーのデルタ。

ハール系とは下記の関数集合の事で、L2(R) の正規直交基底である。

スケール  のハール系とは下記の関数集合の事で、L2(R) の正規直交基底である。

スケーリング関数 
整数 n, k に対して、下記のように多重解像度解析のためのスケーリング関数  が定義できる。

下記の性質を持つ。

同じ解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。
 

異なる解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。

ウェーブレット関数とスケーリング関数の関係 
ウェーブレット関数やスケーリング関数は下記のトゥースケール関係が成立し、一段細かい解像度のスケーリング関数から合成できる。
 
 

解像度を指定した場合は以下の通り。
 
 

ウェーブレット関数とスケーリング関数の内積は、スケーリング関数よりウェーブレット関数の方が解像度が細かいか、もしくは、同じならば常に0。そうでは無い場合の方の式は、上記の異なる解像度のスケーリング関数の内積を代入すれば良い。

関連項目 
 ウェーブレット
 ウェーブレット変換
 離散ウェーブレット変換
 次元削減

参照 

ウェーブレット
数学に関する記事