アメーバ (数学)

数学の一分野である複素解析において、アメーバ（）は、一変数、あるいは多変数の多項式に関連した集合である。アメーバは代数幾何学、特に、トロピカル幾何学へ応用を持っている。

定義 
ユークリッド空間  上に値を持つ 0 を除く複素数 n-組  の集合上に定義され、式

により与えられる函数

を考える。ここに 'log' は、自然対数を表す。p(z) が  変数の多項式であれば、そのアメーバ(amoeba)  は p の零点の集合の Log による像として定義される。

 

アメーバは 1994年、イズライル・ゲルファント(Israel Gelfand)、カプラノフ(Kapranov)、(Andrei Zelevinsky)の書籍で導入された。

性質

 アメーバは閉集合である。
 補空間  の連結成分は、凸である。
 2変数の恒等的に 0 ではない多項式のアメーバの面積は、有限である。
 2次元のアメーバは、多くの「触手」を持ち、触手は無限に長く、無限遠点では指数的に狭くなる。

ロンキン函数

アメーバを研究する有効なツールが、ロンキン函数(Ronkin function)である。n （複素）変数の多項式 p(z) に対し、式

 

により、ロンキン函数を、

 

と定義する。ここに  は  を表す。同じことであるが、 は積分

 

により与えられる。ここに

 

とする。ロンキン函数は凸函数であり、 のアメーバの補集合の各々の連結成分上では(affine)である。

例として、 である単項式

 

のロンキン函数は、

 

である。

脚注

参考文献

さらに進んだ書籍

外部リンク 

 Amoebas of algebraic varieties

代数幾何学
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