最小の非可算順序数

最小の非可算順序数（）ω1の存在は、選択公理によらずに示すことができる（ハルトークス数を参照）。ω1は極限順序数で、すべての可算な順序数を含む非可算集合である。ときに Ω とも表記される。その濃度は最小の非可算基数 ℵ1 に等しい。

位相的性質
任意の順序数は、順序位相の入った位相空間と捉えることができる。位相空間 [0,ω1) および [0,ω1] は、いくつかの興味深い性質を持っている。

 [0,ω1) は点列コンパクトであるがコンパクトではない。任意の距離空間においてその二つは同値であるから、[0,ω1) は距離化不可能である。
 可算コンパクトではあるため、 [0,ω1) はコンパクトでない可算コンパクト空間の例になっている。
 [0,ω1) は第一可算公理を満たすが可分でも第二可算的でもない。
 ω1 は[0,ω1) の極限点であるが、 [0,ω1) 内の可算な点列で ω1 に収束するものは存在しない。なぜなら、可算集合の可算和はまた可算集合になるからである。よって [0, ω1] においてω1 は可算な基本近傍系を持てず、[0, ω1] は第一可算公理を満たさない。
 ω1 から実数  への任意の連続関数 f は、ある順序数から先が定数関数になる。即ち、あると実数が存在して、 ならば となる。

他にも ω1 は、長い直線やTychonoff plankといった、位相空間論における重要な反例を作り出すために用いられている。

連続体仮説

連続体仮説とは『連続濃度はω1の濃度と等しい』という命題で、19世紀にカントルによって提唱された。現在では、ZFCにおいて証明も反証もできない命題であることが知られている。この仮説との関連で、ω1 のべき集合  の構造も研究されている。

関連項目
 非可算集合
 極限順序数
 正則基数
 ボレル集合

出典

参考文献
 Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2.
 Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
 志賀浩二 『無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち』1988、日本評論社 ISBN 978-4535781610

順序数
位相空間
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