ヘリーの選択定理

数学におけるヘリーの選択定理（ヘリーのせんたくていり、）は、局所的に有界変動函数であり、ある点において一様有界であるような函数は収束を持つ、ということを述べた定理である。言い換えると、空間 BVloc に対するコンパクト性定理である。オーストラリアの数学者であるエードゥアルト・ヘリーの名にちなむ。

この定理は解析学において広く応用されている。確率論において、この結果は緊密な測度の族のコンパクト性を意味する。

定理の内容 

U を実数直線のある開部分集合とし、fn : U → R, n ∈ N を函数列とする。次を仮定する。
 (fn) は U にコンパクトに埋め込まれる任意の W 上の一様有界とする。すなわち、コンパクトな閉包を持つすべての集合 W ⊆ U に対して

が成り立つ。ここで微分は緩増加超函数の意味で取られる；
 (fn) はある点において一様有界である。すなわち、ある t ∈ U に対して { fn(t) | n ∈ N } ⊆ R は有界である。

このとき、fn のある fnk, k ∈ N と、局所的に有界変動であるような函数 f : U → R が存在して、次が成立する。
 fnk は f に各点収束する；
 fnk は L1 において局所的に f に収束する（局所可積分函数を参照）。すなわち、U 内のすべてのコンパクトな埋め込み W に対して次が成り立つ。

 また U 内のコンパクトな埋め込み W に対して、次が成り立つ。

一般化 

ヘリーの選択定理には多くの一般化と拡張が存在する。バナッハ空間に値を取る BV 函数に対する次の定理は、Barbu and Precupanu によるものである。

X を回帰的かつ可分なヒルベルト空間とし、E を X の閉凸集合とする。Δ : X → [0, +∞) を正定かつ次数1の斉次函数とする。すべての n ∈ N と t ∈ [0, T] に対して zn は BV([0, T]; X) 内の一様有界列で、zn(t) ∈ E とする。このとき、ある部分列 znk と函数 δ, z ∈ BV([0, T]; X) が存在して、次が成り立つ。
 すべての t ∈ [0, T] に対して

 すべての t ∈ [0, T] に対して

 すべての 0 ≤ s < t ≤ T に対して

関連項目 

 有界変動函数

参考文献 

  

コンパクト性の定理
解析学の定理
数学に関する記事
数学のエポニム