順序環

抽象代数学において、順序環（じゅんじょかん、）は、演算と両立するような全順序が定義された（通常は可換な）環を言う。即ち、 が順序環であるとき、任意の元  に対し、以下の二つが成り立つ。

  ならば .
  かつ  ならば .

例 
順序環は算術においてなじみ深い代数系である。整数全体の成す集合 、有理数全体の成す集合 、実数全体の成す集合  はすべて通常の大小関係を順序として順序環となる (後ろの二つは順序体でもある)。それに対し複素数全体の成す集合  はいかなる順序のもとでも順序環にはならない（虚数単位 i を0以上としても0以下としても矛盾が生じるため）。

正元 
実数の集合における概念のアナロジーとして、 である元  は正、 である元  を負の元と呼ぶ。 は正でも負でもないとする。

順序環  の正元全体の成す集合をしばしば  と表記する。

絶対値 
順序環  の任意の元  に対し、以下のように絶対値  を定めることができる。

ここで  は  の加法逆元である。

離散順序環 
 と  との間に元を持たないような順序環を、離散順序環 (discrete ordered ring) と呼ぶ。整数全体の成す集合  などがその例であり、有理数全体の集合  や実数全体の集合  はそうではない。

性質 
の任意の元  に対し、
  かつ  ならば 。この性質を順序環の定義に用いることもある。
 。
 自明でない順序環は無限環である。
 次の:  は正、 は正、あるいは 。この性質は順序環が加法に関してアーベル群かつ全順序群であることから導かれる。これより、 が順序環にはならないことが従う。
 順序環  の正元の集合が乗法で閉じているならば、そのときに限り  は零因子を持たない。
 任意の  でない元の2乗は正になる。実際、 で  であるとすると、 かつ  となる。上述の性質より  か  のどちらかは正だから、定義の2番目の性質より  も正である。

関連項目 
 順序群
 順序体

出典
以下の出典にはIsarMathLibプロジェクトの証明を含む。

代数学
順序構造
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