グレイシャー・キンケリンの定数

数学において、グレイシャー・キンケリンの定数(Glaisher–Kinkelin constant)、またはグレイシャーの定数は、K関数やバーンズのG関数に関連する数学定数であり、通常Aとかかれる。この定数は特にガンマ関数や、リーマンゼータ関数などに関係する多くの和や積分に出現する。なお、この定数の名前の由来は数学者であるとである。

グレイシャー・キンケリンの定数の近似値は次の通りである。
   .

定義 
グレイシャー・キンケリンの定数は、

の極限である。ここで、はK関数である。この式をよく見ると、これはスターリングの近似との類似性が見つかる。

πは階乗、Aは階乗の類似物であるK関数 により表されている。

バーンズのG関数、 (ここではガンマ関数)を用いた、以下のような式もある。
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グレーシャー・キンケリン定数はリーマンゼータ関数の微分の特定の値の評価に現れる。

ここで、はオイラーの定数である。後の式は、グレーシャーにより見つけられた以下の無限積を与える。

以下は、この定数を含むいくつかの積分である。 

この定数の級数表現は、ヘルムート・ハッセにより与えられた、リーマンゼータ関数のための級数から生じる。

参考文献 
 
 (Provides a variety of relationships.)

関連項目 
 リーマンゼータ関数
 ガンマ関数
 バーンズのG関数

外部リンク 
 The Glaisher–Kinkelin constant to 20,000 decimal places

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