余因子行列

数学の線形代数学において、次正方行列  の余因子行列（よいんしぎょうれつ、）あるいは古典随伴行列（こてんずいはんぎょうれつ、）とは、成分が 余因子である行列の転置行列のことであり、記号で , ,  などで表す。これは次正方行列になる。

単に 成分が 余因子である行列（転置をしない）を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。随伴行列や随伴作用素とは異なる。

余因子行列により、正則行列の逆行列を具体的に成分表示することができる。

定義 
可換環  上の 次正方行列  の余因子行列とは、成分が 余因子である 次正方行列のことであり、記号で ,  などで表す。

 の 小行列式を  で表すことにする。これは、 の第行、第列を除いてできる 次小正方行列の行列式である：

 の 余因子を  で表すと、

 を余因子展開は、 の余因子行列  により、次のように表せる：

ここで  は単位行列である。

 が特に正則行列のとき、 の逆行列は余因子行列  で表せる：

例

1次 
次正方行列  の余因子行列は、 が零行列でないときは、次単位行列

である。 は慣習上  とする。

2次 
次正方行列

の余因子行列は

なお、この 次の場合は  が成り立つ。

3次 
次正方行列

の余因子行列を考える。成分に 余因子を並べたものは、

ここで

である。余因子行列はこれの転置行列であるから、

数値計算 
例えば、実3次正方行列

の余因子行列は、

となる。実際、余因子行列の 成分は 余因子であり、それは 小行列式（第3行、第2列を除いた小行列の行列式）に符号を掛けたものに等しい：

性質 
 を 次正方行列とする。
 （ は零正方行列）
 （ は単位行列）
 （ はスカラー）
 （ は転置を表す）
 
  が正則なら、
これから次が導かれる：
  は正則で、その逆行列は
 .
  の各成分は  の成分の多項式である。特に、実数体または複素数体上では、 の各成分は、 の成分の滑らかな関数である。 
複素数体上では、
 （ は複素共役を表す）
 （ は随伴行列を表す）
 をもう1つの 次正方行列とする。

この証明には、2つの方法がある。1つは、コーシー・ビネの公式により直接計算する方法である。もう1つの方法は、正方行列  に余因子展開の等式を利用する方法である：

両辺を多項式として　 で割ると  を得る。（証明終）

これより、行列の冪乗について次が成り立つ：
（ は  以上の整数）
 が正則なら、この等式は  が負の整数の場合についても成り立つ。

等式

から導かれる。
  のとき、
  のとき、
（ のある小行列式は  でない、故に  は  でなく、したがって、階数は  以上である。等式  は、 の核の次元は  以上であることを意味する。故に、 の階数は  以下である。）
このとき、 は次のように表せる：
（ は  かつ  を満たすベクトルである）

列の置き換えとクラメルの公式 

 の列ベクトル表示を

とし、 を 次列ベクトルとする。固定された  に対し、 の第 列を  で置き換えた行列を次の記号で定義する：

この行列の行列式を第列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積  に等しくなる：

この等式は、具体的な結果を生む。線形方程式系

を考える。 を正則と仮定する。この方程式に左から  を掛け、 で割ると

ここでクラメルの公式を適用すると、

ここで  は  の第成分である。

固有多項式 
 の固有多項式を

とすると、
 の第一差商は、次対称式になる：

 の余因子行列積は、ケイリー・ハミルトンの定理  より、

特に、 の レゾルベントは次の式で定義される：

さらに上記の等式より、これは次の式に等しい：

ヤコビの公式 

行列式を微分すると、ヤコビの公式 (Jacobi's formula) により、余因子行列が現れる。 は連続的微分可能なら、

これより、行列式の全微分は、余因子行列の転置になる：

ケイリー・ハミルトンの定理 

 を線形変換  の固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、 を  に置き換えて得られる正方行列が零行列になることをいう：

定数項を分離し両辺に  を掛けることで、余因子行列は  と  の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数は の冪の跡の項で具体的に表せ、次のようになる：

ここで  は  の次数、総和  の , 数列  は次の 1次ディオファントス方程式を満たしながら取るものとする：

特に 次の場合は、次のようになる：

次の場合は

次の場合は

上記の表示式は、 の固有多項式を効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithmの最後の段階からも直接導出することができる。

外積代数との関係 
余因子行列は、外積代数の抽象的な用語を使うことで表示することができる。 を 次元ベクトル空間とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる：

ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす：

明示すると、この対は、 を  に写す：

 を線形変換とする。 の次外冪による引き戻しは線形変換空間の射を作る。このとき  の余因子変換は次の合成で定義される：

 に 基底  が与えられていて、 のこの基底に関する表現行列は  であるとき、 の余因子変換は  の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、 の基底を取る：

 の基底元  を固定する。 の  による像は、 の基底ベクトルの移る先を決定する：

この基底で、 の 次外冪  は次のように表せる：

これらのそれぞれの項の  による像は、 の項を除いて  になる。それ故、 の引き戻しは次の線形写像になる：

これは次に等しくなる：

 の逆写像を適用することより、 の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる：

故に、その表現行列は  の余因子行列である。

 に内積と体積形式が与えられていたら、この写像  はさらに分解される。この場合、 はホッジ双対と双対化の合成ととらえることができる。特に、 が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす：

これは同型写像を引き起こす：

 は次の線型汎函数に一致する：

ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は  と双対である。つまり、 は  と見なせる。

高階余因子行列 
 を 次正方行列とし、 を固定する。 の 階余因子行列とは、次正方行列であり、 で表す。その成分は  の  個元からなる部分集合  から番号を取るものとする。 はそれぞれ  の補集合を表すものとする。 は、行番号、列番号がそれぞれ  から取られる、 の小行列を表すとする。 の  成分は次の式で定義される：

ここで  はそれぞれ  の元の総和を表すとする。

高階余因子行列の基本的な性質として以下がある：
 
 
 
 
 （ は 次複合行列を表す）
高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、抽象代数学の言葉を用いても定義できる。,  をそれぞれ ,  に置き換えることでできる。

余因子行列の反復合成 
正則行列  について、余因子行列の反復合成を取ることにより、次余因子行列を考えることができる：

例えば、

関連項目 
 小行列式
 余因子展開
 ケイリー・ハミルトンの定理
 クラメルの公式
 :en:Trace diagram
 :en:Jacobi's formula
 :en:Faddeev–LeVerrier algorithm

参照

参考文献 
 Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, 
 Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press,

外部リンク 
 Matrix Reference Manual
Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) - © Rene Vapenik 2008 Compute Adjugate matrix up to order 8
 adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } } - Wolfram|Alpha

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