カップ積

数学、とくに代数トポロジーにおいて、カップ積（）は次数 p, q の2つのから次数 p + q の新しいコサイクルを作る手法である。カップ積はコホモロジーに結合的（かつ分配的）な次数付きの可換な積演算を定義し、空間 X のコホモロジーは次数付き環 H∗(X) となる。これをコホモロジー環と呼ぶ。カップ積は1935年から1938年に、、の研究によって導入され、1944年に Samuel Eilenberg によって完全なる一般性をもって導入された。

定義
特異コホモロジーにおいて、カップ積 (cup product) は位相空間 X の次数付きコホモロジー環 H∗(X) 上の積を与える構成である。

構成はまずの積から考える。cp が p-コチェインで dq が q-コチェインのとき、

とする。ここで σ は特異 (p + q) -単体で、 は頂点が  によって添え字付けられている -単体の中への S によって張られた単体の標準的な埋め込みである。

インフォーマルには、 は σ の p 番目の前面であり、 は q 番目の後面である。

コサイクル cp および dq のカップ積のコバウンダリは

によって与えられる。2つのコサイクルのカップ積は再びコサイクルであり、コバウンダリとコサイクルの積は（どちらの順でも）コバウンダリである。したがってカップ積はコホモロジー上の双線型演算
 
を誘導する。

性質
コホモロジーのカップ積は恒等式

を満たすので対応する積は (graded-commutative) である。

カップ積は次の意味で関手的である。

が連続写像であり、

がコホモロジーに誘導された準同型であれば、

が全ての類 α, β ∈ H *(Y) に対して成り立つ。言い換えると、f * は（次数付き）環準同型である。

他の定義

カップ積と微分形式
ド・ラームコホモロジーにおいて、微分形式のカップ積はウェッジ積によって誘導される。言い換えると、2つの閉形式のウェッジ積は2つのもとのド・ラーム類のカップ積のド・ラーム類に属する。

カップ積と幾何学的交叉

滑らかな多様体の2つの部分多様体が横断的に交わるとき、その交叉は再び部分多様体である。これらの多様体の基本ホモロジー類をとることによって、これはホモロジーに双線型な積をもたらす。この積はカップ積に双対である、すなわち2つの部分多様体の交叉のホモロジー類はそれらのポワンカレ双対のカップ積のポワンカレ双対である。

同様に、絡み数は、次元を1ずらして交叉のことばで定義することもできるし、絡み目の補集合上の消えないカップ積のことばでも定義できる。

Massey積

カップ積は二項演算であるが、それを一般化して、と呼ばれる、三項やそれ以上の演算を定義できる。これは高次のであり、部分的にしか定義されない（ある三つ組に対してしか定義されない）。

関連項目
特異ホモロジー
ホモロジー論
キャップ積

参考文献
 James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
 Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
 Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0

ホモロジー論
代数的位相幾何学
二項演算
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