双曲体積

数学の一分野の結び目理論において、(hyperbolic link)の双曲体積(hyperbolic volume)は、完備双曲計量に関する結び目補空間の体積である。体積は必然的に有限な実数である。非双曲結び目の双曲体積は、0 と定義されることがある。モストウの剛性定理により、体積は、結び目（絡み目）の(topological invariant)である。結び目不変量として双曲体積は、ウィリアム・サーストン(William Thurston)により、幾何化予想との関係で、最初に研究された。

同じ双曲体積を持つ双曲結び目は有限個しかない。双曲結び目の(mutation)は同一の体積を持つ 従って、同じ体積を持つ例をうまく作ることが可能である。実際、同じ体積の異なった結び目の集合として、任意に大きな有限集合が存在する。実際、双曲体積は、結び目を識別するために非常に有効であることが証明されていて、(knot tabulation)を拡張しようとの努力の中で使われる。(Jeffrey Weeks)の計算機プログラム SnapPea は、結び目（絡み目）の双曲体積の計算に使う、どこでも使えるツールである。

さらに一般的には、双曲体積は任意の双曲3次元多様体に対しても定義することができる。ウィークス多様体は、任意の閉多様体（結び目補空間とは異り、カスプを持たない多様体）の中で、可能な限り最小の体積を持っていて、その体積はおおよそ 0.9427 である。

リスト

 8の字結び目 = 2.0298832
 Three-twist knot = 2.82812
 Stevedore knot (mathematics) = 3.16396
 6₂ knot = 4.40083
 Endless knot = 5.13794
 Perko pair = 5.63877
 6₃ knot = 5.69302

関連項目

結び目理論
双曲幾何学
数学に関する記事