極集合

函数解析学と関連する数学の分野において、あるベクトル空間の与えられた部分集合の極集合（きょくしゅうごう、）とは、その双対空間の中のある集合のことを言う。

双対組  が与えられたとき、 のある部分集合  の極集合あるいは極とは、次で定義される  内の集合  のことを言う。

 の部分集合  の双極（bipolar）とは、 の極集合のことを言う。それは  と表記される  内の集合である。

性質 

  は絶対凸である。
  ならば  である。
 したがって  である。ここで集合の等号は必ずしも成立しない。
 すべての  に対して、次が成り立つ：
 
 双対組  に対し、 は  上のの下で  において閉である。
 ある集合  の双極  は、 の絶対凸包絡集合である。すなわち、 を含む最小の絶対凸集合である。 がすでに絶対凸であるなら、 が成り立つ。
  内の閉凸錐  に対し、極錐 は  に対する片側極集合と同値で、次で与えられる。

 .

幾何学 

幾何学において、極集合は点と平面の間の双対性を意味することもある。特に、ある点  の極集合は、 を満たす点  の集合で与えられ、それは極超平面（polar hyperplane）であり、超平面に対する双対関係はその極を与える。

関連項目 
 極錐
 双極定理

参考文献 

ポテンシャル論における極集合に関する文献：
Ransford, Thomas: Potential Theory in the Complex Plane, London Mathematical Society Student Texts 28, CUP, 1995, pp. 55-58.

関数解析学
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