反傾表現

が群で、 がベクトル空間  上の  の線型表現であるとき、反傾表現（はんけいひょうげん、）あるいは双対表現（そうついひょうげん、） は以下のようにして双対ベクトル空間  上定義される：

 は  の転置である、つまり、すべての  に対して  である。

 がリー環で  がベクトル空間  上のその表現であれば、反傾表現  は以下のようにして双対ベクトル空間  上定義される：

すべての  に対して  である。

いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。

ユニタリ表現に対しては、反傾表現はと等しい。

動機付け 
表現論において、 のベクトルと  の線型汎関数はいずれも列ベクトルと考え、したがって表現は左から（行列の乗法によって）作用できる。線型汎関数  の  への作用  は行列の乗法

によって表現できる。ただし上付きの  は行列の転置を表す。群の作用と整合的であるためには

が要求される。反傾表現の定義から、

となり、整合性を持つことが確かめられる。

リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。一般に、 がリー群の表現であれば、

によって与えられる  はそのリー環の表現である。 が  に双対であれば、その対応するリー環の表現  は、

で与えられる。

一般化
 群  の2つの表現  と  から、次のようにして  上の  の表現  が定義される：
すべての  とすべての  に対して、。
反傾表現は、 が自明表現の場合である。
環上の加群は一般には反傾表現を持たないが、ホップ代数上の加群は持つ。

関連項目

参考文献 

群の表現論
表現論
リー環論
数学に関する記事