狭義凸空間

数学における狭義凸空間（きょうぎとつくうかん、）とは、単位球が狭義凸集合であるようなノルム線型位相空間 (, ‖*‖) のことをいう。言い換えると、狭義凸空間とは、 の単位球  の境界 ∂ における任意の二点  と  に対して、それらを通るアフィン直線 (, ) が  と  でのみ境界 ∂ と交わるようなもののことをいう。狭義凸性は、その構造に関して、内積空間（すべての内積空間は狭義凸）と一般ノルム空間（すべての狭義凸空間はノルム空間）の間に位置するものである。これはまた、もし存在するなら、（狭義凸の） の部分空間  の外側から  の元に対する最適な近似の一意性を保証するものである。

性質 
 バナッハ空間 (, ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、(, ‖*‖) に対する  が  を満たすことである。

 バナッハ空間 (, ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、 かつ  であるなら  が成立することである。

 バナッハ空間 (, ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、 かつ  であるなら  がすべての  に対して成立することである。

 バナッハ空間 (, ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、 かつ  であるなら  =  がある定数  >  に対して成り立つことである。

参考文献 

 

凸解析
ノルム空間
数学に関する記事