平行移動

ユークリッド幾何学における平行移動（へいこういどう、）は全ての点を決まった方向に一定の距離だけ動かす写像である。

物理学における平行移動は並進運動 (translational motion) と呼ばれる。

概観 
平行移動は各点に定ベクトルを加える操作として解釈することや、座標系の原点をずらす操作として解釈することもできる。定ベクトル  に対して、 に対応する平行移動  は、点  を  だけ動かす写像
 
として働く。

平行移動は二つの図形の間の一対一対応や、ある平面から別の平面への写像とみることもできる。 が平行移動であるとき、部分集合  の写像  による像を、 の  による平行移動と呼ぶ。 が定ベクトル  に対応する平行移動  であるとき、 の  による平行移動はしばしば  と書かれる。

平行移動を剛体運動として記述することもできる（平行移動の他には回転と鏡映）。-次元ユークリッド空間において任意の平行移動は等距変換である。平行移動全体の成す集合は平行移動群  を成す。この群はもとの空間（の加法群）と同型であり、ユークリッド群  の正規部分群である。 の  による剰余群は直交群  に同型:
 
である。

ベクトル変数の写像  に作用する、定ベクトル  に対応する平行移動作用素  は
 
で定義される作用素を言う。

行列表現 
平行移動は不動点を持たないアフィン変換である。一方、行列の積は必ず原点を固定する。 にも拘らず、ベクトル空間の平行移動を行列で表すことが、を用いた回避方法によって一般に行われる。

例えば三次元の場合において、ベクトル  は四成分の斉次座標 で表せる。

各点を斉次座標で書いた斉次ベクトル  を、定ベクトル  だけ平行移動させるには、平行移動行列

 
を掛ければよい。実際、以下に見るように掛けた結果
 
は所期のものであることが確認できる。平行移動行列の逆行列は、ベクトルの向きを逆にすればよいから、
 
で与えられる。同様に、平行移動行列の積は、ベクトルの和に対する平行移動
 
になる。ベクトルの和は可換であるから、平行移動行列同士の積もそうである（任意の行列の積が非可換であるのとは異なる）。

物理学における平行移動 
物理学における平行移動は並進運動とも呼ばれ、物体の位置を変える運動である（回転運動に対照する）。例えば  によれば、

平行移動は物体の各点  を
 
なる形の式に従って変化させる操作である。ただし、 は物体の各点に共通のベクトルとする。この物体の各点に共通の平行移動ベクトル  は、（「角」変位 (angular displacement) と呼ばれる回転を含む変位と区別して）ふつう「線型」変位または「直線」変位 (linear displacement) と呼ばれる特定の種類の変位を記述するものである。

時空を考えるとき、時間座標の変化は平行移動であると考えられる。例えば、ガリレイ変換群やポワンカレ群は時間に関する平行移動を含む。

参考文献

関連項目 
 移流
 回転行列
 スケール変換
 
 
 並進対称性

外部リンク 

 
 
 Translation Transform at cut-the-knot
 Geometric Translation (Interactive Animation) at Math Is Fun
 Understanding 2D Translation and Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.

ユークリッドの運動

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