箙 (数学)

数学、特に結合代数の表現論において箙（えびら）あるいはクイバー（）とは、多重辺とループを許す有向グラフのことである。によって1972年に導入された。代数的閉体上の任意の有限次元代数は、ある箙から定まる道代数の商代数と森田同値になる (Gabriel)。

定義 
集合  と写像  が与えられたとき、組  を箙という。このとき  の元を頂点、 の元を辺あるいは矢という。また辺  に対して頂点  を始点、 を終点という。
 は  や  とも書かれ、,  は ,  とも書かれる。

頂点集合  と辺集合  が共に有限集合のとき、箙  は有限であるという。また、各頂点を出入りする辺が有限個であるとき、箙は局所有限であるという。

辺の列  が条件  を満たすとき、辺の列  を道という。このとき  を道の長さ、頂点  を道の始点、 を道の終点という。この道を記号で以下のように表す。

ここで、頂点  のことを便宜的に長さが 0 の（自明な）道といい、その始点と終点は  と定める。上と同様にこれを  と表す。

道代数 
箙  に対して、長さ 0 以上の道からなる集合を基底とする体  上の自由線型空間を  とおく。ここで道  と  に対して以下のように積を定める。

この代数  を道代数（）という。

例 
頂点集合  を  の組である．

この表現  が有限次元であるとは，各ベクトル空間が有限次元であることであり，このときその次元ベクトル  とは  のことである。

2つの表現の間の射は適切な整合条件を満たす線型写像の組であり、表現の全体はアーベル圏をなす。

とくに oriented cycle をもたない有限な箙については，その単純加群、直既約射影加群、直既約移入加群が極めて容易に分類できる。

有限群と群環の場合と同様、箙の表現から道代数の表現を作ることができ、逆に道代数の表現から箙の表現が得られる。

有限次元代数の表現論との関係
有限な箙  のすべての辺から生成される道代数  の両側イデアルを  とおく。このとき、道代数  の両側イデアル  が認容的（）であるとは、

となる自然数  が存在することをいう。

代数的閉体  上の任意の有限次元代数  に対して、有限な箙  とその道代数  の認容的イデアル  が存在して、有限次元代数  は商代数  と森田同値である。

ガブリエルの定理 

ガブリエルの定理は、有限な箙の表現とディンキン図形とを結びつける。

脚注

参考文献

関連項目 
 
 傾理論

外部リンク 
 
 箙について（中島啓）

多元環論
表現論
数学に関する記事