中心化群と正規化群

数学、とくに群論において、群  の部分集合  の中心化群 () とは、 の各元と可換な  の元全体からなる集合であり、 の正規化群 (normalizer) とは、「全体で」 と可換な  の元全体からなる集合である。 の中心化群と正規化群は  の部分群であり、 の構造について知る手掛かりを得られる。

定義
群  の部分集合  の中心化群 (centralizer) は次で定義される。

文脈から群  が明らかなときには、表記  から  を省くことがある。また  が単集合 } のときには中心化群  は  と略記される。この中心化群の別の表記として  もあるが、これはあまり一般的でなく、群の中心の表記と同じになってしまう。この表記では、群  の中心  と元  の中心化群  とを混同しないよう注意しなければならない。

群  における  の正規化群 (normalizer) は次で定義される。

中心化群の定義と似ているが同じではない。 が  の中心化群の元で  が  の元であれば、 でなければならないが、 が正規化群の元であれば、 とは異なってもよい  に対して  である。中心化群のときに述べた、 を省いたり単集合のときにブレース（中括弧）を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。 の正規化群を  の (normal closure) すなわち、 の生成する正規部分群  と混同してはならない。

性質
下記の性質は  による。

  の中心化群と正規化群はともに  の部分群である。
 明らかに、 である。実は、 は必ず  の正規部分群である。
  は  を含むが、 は  を含むとは限らない。 のすべての元  に対して  であれば含む。なのでもちろん  が  の可換な部分群であれば  は  を含む。
  が  の部分半群であれば、 は  を含む。
  が  の部分群であれば、 を正規部分群として含むような最大の  の部分群が  である。
 元  の属する共役類の大きさと中心化群の指数  は等しい。
 群  の部分群  と共役な部分群の数と正規化群の指数  は等しい。
  の部分群  は、 であるときに、 の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。
  の中心はちょうど  であり、 がアーベル群であることと  は同値である。
 単集合に対して、 である。
 対称性により、 と  が  の 2 つの部分集合であれば、 と  は同値である。
 群  の部分群  に対して、N/C定理 (N/C theorem) は、剰余群  は  の自己同型群  の部分群に同型であるという定理である。 および  であるから、N/C theorem は、 は、G のすべての内部自己同型からなる、 の部分群  に同型であるということも意味している。
 群準同型  を  によって定義すれば、 と  を  の  への群作用の言葉によって記述できる：  の  における安定化群は  であり、 を固定する  の部分群は  である。

脚注

参考文献

関連項目
 交換子 (commutator)
 安定化部分群 (stabilizer subgroup)
 交換団 (commutant)

抽象代数学
群論
数学に関する記事

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