K関数

数学において、K関数とは、ハイパー階乗(hyperfactorial)の複素数への一般化である。

定義 
形式的には、K関数は

のように定義される。これは、閉じた式としても表せ、

となる。ここで、ζ'(z)はリーマンゼータ関数の一階導関数、ζ(a,z)はフルヴィッツのゼータ関数で、

である。また、ポリガンマ関数を用いた別の式もある。

である。また、Balanced polygamma functionを使って、

とも書ける。ここで A はグレーシャーの定数である。

K関数はガンマ関数のときと同様に、スターリングの公式の類似公式を持つ。

K関数はガンマ関数やバーンズのG関数と密接な関連を持つ。正の実数nに対し、

のような関連がある。より明確に書けば、

が自然数nに対し成り立つということである。より一般に、次のような関数等式を持つ。

K関数は二重ガンマ関数の特殊な場合として捉えることができる。

倍角公式
ガンマ関数の倍角公式の類似として、次の公式が知られている。

ここで、Aはグレイシャー・キンケリンの定数である。

数値 
最初の数項の値は、
1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... ().
となる。また、は、

のように表せる。ここで A はグレーシャーの定数である。

関係式 
K関数とバーンズのG関数との積は次のようにかける。

ここで、

Benoit Cloitreは2003年、下の式を発表した。 

.

参考文献

注釈

関連項目 
 階乗
 ガンマ関数
 バーンズのG関数

外部リンク 
 

数学の表記法
特殊関数
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