コンパクト一様収束

数学においてコンパクト一様収束あるいはコンパクト収束、あるいは広義一様収束 (compact convergence, uniform convergence on compact sets) とは、一様収束の概念を一般化したのタイプである。コンパクト開位相と関係する。

定義
 を位相空間とし、 を距離空間とする。関数列

, 

が  のとき関数  にコンパクト収束するとは、すべてのコンパクト集合  に対して  が  のとき  上  に一様収束することをいう。これはすべてのコンパクトな  に対して

が成り立つことを意味する。

例
  および （通常の位相）とし、 とすれば、 は定数関数 0 にコンパクト収束するが、一様収束ではない。

  とし、 とすれば、 は  上 で0の値を， 上で 1の値を取る関数に各点収束するが、コンパクト収束しない。

 コンパクト収束を示す非常に強力な道具はアスコリ・アルツェラの定理である。この定理にはいくつかのバージョンがあるが、おおまかに言えば、同程度連続かつ一様有界な写像の列は連続写像にコンパクト収束する部分列を持つ、というものである。

性質
 一様に  であれば、コンパクトに  である。
  がコンパクト空間でコンパクトに  であれば、一様に  である。
  が局所コンパクトであれば、コンパクトに  であることと局所一様に  であることは同値である。
  がであり、コンパクトに  であり、各  が連続であれば、 は連続である。

関連項目

モンテルの定理

参考文献
R. Remmert Theory of complex functions (1991 Springer) p. 95

関数解析学
収束
関数空間の位相
位相空間
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