ホプキンス・レヴィツキの定理

抽象代数学の一分野である環論において、秋月・ホプキンス・レヴィツキの定理 (Akizuki–Hopkins–Levitzki theorem) は半準素環上の加群において降鎖条件と昇鎖条件を結び付ける。（単位元を持つ）環  は、 が半単純でありかつ  が冪零イデアルであるときに、半準素環 (semiprimary ring) と呼ばれる。ここで  はジャコブソン根基である。定理の主張は、 が半準素環で  が右 -加群ならば、3つの条件
  はネーター的
  はアルティン的
  は組成列を持つ
が同値であるというものである。半準素という条件がなければ、 が組成列を持てば  はネーターかつアルティンであるということしか言えない。

Charles Hopkins の論文  と  の論文  から定理は現在の形となった。そのためしばしばホプキンス・レヴィツキの定理 (Hopkins–Levitzki theorem) と呼ばれる。しかしながら、秋月康夫を含めることがある。数年早く可換環に対して結果を証明したからだ。

右アルティン環は半準素であることが知られているから、定理の直接の系として、右アルティン環は右ネーター環でもある。同様の主張は左アルティン環に対しても成り立つ。これはアルティン加群に対しては一般には正しくない。ネーター的でないアルティン加群の例が存在するからである。

別の直接の系として、 が右アルティン環であるとき、 が左アルティン環であることと左ネーター環であることは同値である。

証明の概略 
以下の主張の証明を書く： を半準素環で  を左 -加群とする。 がアルティン的あるいはネーター的であれば、 は組成列を持つ。（この逆は任意の環上正しい。）

 を  のジャコブソン根基とする。 とおく。すると -加群  を -加群と見ることができる。 は  の零化イデアルに含まれているからである。各  は半単純 -加群である、なぜならば  が半単純環だからである。さらに、 は冪零イデアルであるから、 のうち 0 でないのは有限個しかない。 がアルティン的（あるいはネーター的）であれば、 は有限の組成列を持つ。 の組成列をつないでいって、 の組成列を得る。

グロタンディーク圏において 
定理の一般化や拡張がいくつか存在する。1つはと関係するものである。 がアルティン的生成子を持つグロタンディーク圏であれば、 のすべてのアルティン的対象はネーター的である。

関連項目 
 アルティン加群
 ネーター加群
 組成列

脚注

参考文献 
 
 
 
 

抽象代数学の定理
環論
数学に関する記事