ウェダーバーンの小定理

数学において、ウェダーバーンの小定理 () はすべての有限域が体であることを述べるものである。言い換えると、において、域、斜体、体の違いはない。

はこの定理を交代環へと一般化する： すべての有限単純交代環は体である。

歴史 
最初の証明は  によって1905年に与えられ、彼はその後2つの別証を与えた。別の証明は Leonard Eugene Dickson によって Wedderburn の最初の証明のすぐ後に与えられ、Dickson は Wedderburn が先であることを認めていた。しかしながら、 に述べられているように、Wedderburn の最初の証明は正しくなく――飛躍があり――彼の次の証明は Dickson の正しい証明を読んだ後に現れたのだった。そのため、Parshall は最初の正しい証明は Dickson に帰するべきだと主張している。

後に簡潔な証明が Ernst Witt によって与えられた。Witt の証明の概略は下で与えられる。また別の方法は、定理は以下の議論によって  の帰結である。D を有限可除代数で中心を k とする。 とし q を k の濃度とする。D のすべての極大部分体は qn 個の元を持つ。なのでそれらは同型でありしたがって Skolem–Noether によって共役である。しかし有限群（今の場合 D の乗法群）は真の部分群の共役の和集合ではありえない。したがって  である。

有限体の Brauer 群との関係 
定理は本質的に、有限体の Brauer 群が自明であると言うことと同値である。実は、この特徴づけから直ちに以下のように定理の証明が出る。k を有限体とする。は有限性によって消えるから、 は  と一致し、これはヒルベルトの定理90によって消える。

証明の概略 
A を有限域とする。A の各元 x ≠ 0 に対し、2 つの写像

は cancellation property によって単射であり、したがって有限性から全射である。基本的な群論からA の非零元全体は乗法について群をなすことが従う。したがって、A は斜体である。A の中心 Z(A) は体であるから、A は Z(A) 上有限 n 次元のベクトル空間である。すると我々の目標は  を示すことである。q を Z(A) の位数とすると、A の位数は qn である。中心に入っていない各  に対して、x の centralizer Zx の位数は qd である。ここに d は n より小さい n の約数である。Z(A)*, Zx*, A* を乗法について群と見て、類等式を次のように書ける

ただし和は Z(A) に入っていないすべての代表元 x を渡り、d は上で議論された数である。qn−1 と qd−1 はともに円分多項式  のことばによって分解できる。

多項式の恒等式
　および　

から、 とおくと、
　は qn−1 と  をともに割り切る

ことがわかるので、上の類等式によって  は q−1 を割らなければならず、したがって
. 

これによって n が 1 でなければならないことを見るために、 に対して
 

であることを、複素数上の分解を用いて示す。多項式の恒等式
, 

ただし ζ は 1 の原始 n 乗根を渡る、において、x を q とし、絶対値を取ると
. 

n > 1 に対して
 

であることが、複素平面での q, 1, ζ の位置を見れば分かる。したがって
.

脚注

参考文献

外部リンク 
Proof of Wedderburn's Theorem at Planet Math

環論
抽象代数学の定理
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