忠実加群

環 A 上の（左または右）加群 M は、その零化イデアル AnnA (M) が {0} であるときに、忠実（）であるという。言い換えると、各  の作用が自明でない（ある x ∈ M に対して α・x ≠ 0）ということである。別の言い方をすれば、対応する表現  が単射である。

任意の加群に対して、次のようにして忠実加群を対応させることができる。環準同型  は、単射準同型  によって分解する。ker ψ は AnnA (M) に他ならないので、 によって M に A / AnnA (M)-加群としての構造が入り、このとき  は単射なので M は忠実である。

性質 
A-加群 M の任意の元 x に対して Mx = M とおくと、写像

は A-準同型である。このとき ker φ = AnnA (M) なので、準同型定理より

を得る。したがって M が忠実加群であれば、A は（自然にA-加群と見て） の部分加群に同型である。

参考文献 
 

環論
加群
加群論
数学に関する記事