ミルナーのK理論

ミルナーのK-理論(Milnor K-theory)は、高次代数的K-理論を定義する初期の試みであり、 により導入された。

定義
体 F の K2 の計算により、ミルナーは「高次」K-群の次の定義を発見した。

このように、a ≠ 0, 1 により生成された両側イデアル(two-sided ideal)による乗法群 F× のテンソル代数の商の次数付き部分である。n = 0, 1, 2 に対しては、これらは体のキレン(Quillen)の K-群に一致するが、n ≧ 3 に対しては一般には同値にならない。記号  を  の像として定義すると、n = 2 は、(Steinberg symbol)である。

テンソル代数のテンソル積は、 を(graded-commutative)である次数付き環とする積  を導く。

例
例えば、n ≧ 2; に対し、である。 は一意な非可算剰余群であり、 は一意的な非可算剰余群と位数 2 の巡回群の直和である。 は  の乗法群と非可算な剰余群の直和である。すべての奇素数  に対し、位数  の巡回群と位数 2 の巡回群の直和である。

応用
ミルナーのK-理論は、高次類体論で基本的な役割を果たし、1-次元類体論では、 を変更する。

ミルナーのK-理論 modulo 2 は、k*(F) と書かれ、ミルナー予想により、体 F のエタールコホモロジーとガロアコホモロジーへ関連付けられる。この事実はウラジーミル・ヴォエヴォドスキーにより証明された。
ミルナー予想の一般化であるブロック・加藤の予想（ノルム剰余同型定理）は、ヴォエヴォドスキーにより証明された。この証明にはらの結果が重要な役割を果たしている。

次のように記号を使うと、kn(F) から F の(Witt ring)への準同型が存在する。

ここに像は、次元 2n の(Pfister form)である。像は In/In+1 としてとることが可能で、写像はフィスター形式が加法的に In を生成するので全射である。ミルナー予想は、これらの写像は同型であるということと解釈することができる。

参考文献

進んだ文献
 

K-理論
代数幾何学
数学に関する記事