アーベル方程式

数学において、ニールス・アーベルの名にちなむアーベル方程式（アーベルほうていしき、）とは、

あるいは

の形式で記述され、 の反復をコントロールする特殊な函数方程式のことを言う。

同値性 
上述の二つの方程式は同値である。実際、 を可逆函数とすると、二番目の方程式は

のように書くことが出来る。すると  とすることで、この方程式は

のように書くことが出来る。既知とされる函数  に対して、問題は函数  についての函数方程式を解くこととなる。また  のような追加条件も必要となる可能性がある。

実パラメータ  に対して変数変換  を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式  に書き換えることが出来る。

さらに変換  を施すことで、ボッチャーの方程式  が得られる。

歴史 
はじめ、この方程式はより一般的な形式で記述されていた
。その方程式は、一変数の場合ですら非自明なもので、特別な解析が必要とされた。
 
線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できる。

特別な場合 

テトレーションの方程式は、 であるようなアーベル方程式の特別な場合である。

整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表すものである。例えば

や

などのようになる。

ファトウ座標は、放物型不動点の近くでの離散力学系の局所的な挙動を記述する、アーベル方程式の解を表すものである。

関連項目 
 函数方程式
 反復函数
 シュレーダーの方程式
 ボッチャーの方程式

参考文献 

ニールス・アーベル
関数方程式
数学に関する記事
数学のエポニム