アーベル総和法

解析学において、アーベル総和法（アーベルそうわほう、）とは、級数に対し、有限値を対応させる総和法の一つ。ベキ級数におけるアーベルの定理に因む。

導入 
複素数値の数列  に対し、級数  が値  に収束するとは、部分和

が通常の数列の収束の意味で値  に収束することで定義される。一方、総和法では、通常の収束の意味を超えて、より広い形での級数の収束を定義する。

例えば、とするグランディ級数 は

となり、通常の意味では収束しない。ここで、 を  を満たす複素数とし、 を各項  に収束因子として乗ずると、ベキ級数

は、 で

に一様収束する。このとき、左極限  は収束し、

となり、級数  に値  を対応させることができる。

定義 
複素数値の数列  に対し、ベキ級数

が  で収束し、左極限が

と有限値  になるとき、値  にアーベル総和可能 (Abel summable) といい、

もしくは

と記す。また、このように  の級数を  の左極限  で定義する総和法をアーベル総和法と呼ぶ。

なお、 は部分和

によって、

とも表すことができる。したがって、 は部分和の列  に

を満たす因子  を乗じて、和を取っていることになる。

性質 
アーベル総和法はチェザロ総和法より強い。すなわち、チェザロ総和可能な級数はアーベル総和可能である。より一般的に  について、-総和可能であれば、アーベル総和可能である。

例 

で定義される数列  に対し、

は通常の意味では収束せず、またチェザロ総和法でも収束しない。一方でベキ級数

は  で収束し、

となることから1/4にアーベル総和可能である。

拡張

(A, λn)-総和法 
 を

を満たす単調増加な数列とする。ここで級数

が任意の  について収束し、かつ左極限  が存在し、

と有限値  になるとき、級数  は  に -総和可能という。
特に  の場合は、アーベル総和法に一致する。

(J, pn)-総和法 
アーベル総和法において、ベキ級数  は部分和の列  によって、

と表すことができる。より一般に、数列  が

を満たし、 によって定義されるベキ級数

が収束半径  を持つとする。このとき、

が  で収束し、かつ

が成り立つとき、値  に -総和可能という。

タウバー型定理 

一般に級数はアーベル総和であっても、通常の意味では収束しない。すなわち、ベキ級数におけるアーベルの定理の逆は成り立たない。しかしながら、級数にある種の条件を付与すれば、アーベルの定理の逆が成り立つことがある。そのような例として、1897年にオーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが示したタウバーの定理がある。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ。

フーリエ級数の収束 
アーベル総和法はフーリエ級数の収束の議論に応用される。を長さ  の有界区間  で定義されたリーマン積分可能な複素数値関数で、かつ  を満たす周期関数とする。このとき、 は次の形のフーリエ級数展開を持つ。

第一式の右辺におけるフーリエ級数が意味を持つために収束性を考える必要がある。この級数はアーベル総和可能であり、 が連続となる点において に収束する。特に  が連続関数であれば、フーリエ級数はアーベル総和の意味で一様収束する。すなわち、

を導入すると、この級数は  で収束し、かつ  が連続となる点で左極限  は  に一致する。この結果の議論はポアソン核

の性質に基づく。  上で可積分な関数、に対して、畳み込み積分を

で定義すると、

であり、総和核としてのポアソン核の性質から上述のアーベル総和に関する収束性が示される。

脚注

参考文献 
 G. H. Hardy, Divergent Series , Clarendon Press (1949)
 Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1), Princeton Univ Prress (2003) ISBN 978-0691113845
 石黒一男『発散級数論』森北出版 (1977) ISBN 978-4627031494
 江沢洋『漸近解析（岩波講座　応用数学14）』岩波書店 (1995) ISBN 4000105248

関連項目 
 アーベルの連続性定理
 ボレル総和法
 タウバー型定理

級数
総和法
漸近解析
解析学
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