ブロッホ群

数学において、ブロッホ群（）はブロッホ・ウィグナーの関数の線形関係式を記述する群であり、高次のブロッホ群は一般にブロッホ・ススリン複体のコホモロジー群として定義される。複体の名前は () と () に因む。ブロッホ群は以下に述べるように多重対数関数、双曲幾何学、代数的K理論などと密接に関係している。

ブロッホ・ウィグナーの関数
は  に対して次の冪級数で定義される。

この冪級数から二重対数関数の積分表示

が得られる。ただし二重対数関数は2点  で分岐しモノドロミー（多価性）を持つため、積分表示が冪級数表示に一致するためには 0 から  への積分路は  の非自明なサイクルを含まないようなものをとる必要がある。（一見すると  に分岐はないように見えるが、実は  を周回したシート上に  の分岐が現れる。）この積分表示によって  は  の普遍被覆空間に正則に解析接続される。

ブロッホ・ウィグナーの関数は二重対数関数を用いて次のように定義される。

 には次のような著しい性質がある。

 はモノドロミーを持たず  上の一価実解析的関数になる。

最後の恒等式は本質的に二重対数関数に対するアーベルの5項関係式である 。

ブロッホ群の定義

 を体とし、 を  の元  に対する  により Z 上生成された自由加群とする。また  を

の形の元の生成する  の部分加群とし、 と定めよう。いまブロッホ・ウィグナーの関数の定義域を  に線形に拡張し、 に対して  と定める。すると  の 5項関係式は

と言い換えられ、従って  は  上定義される。さて、

を、 に対しては  と定め、これを  に線形に拡張したものとする。（ が  上 well-defined であることをみるには  をチェックする必要がある。）このときブロッホ群  を

と定義する 。松本の定理により  を 2次の代数的K群として  が知られている。 は  の線形関係式を完全に記述する群である。すなわち次が成り立つ。

K3 とブロッホ群の関係

 を無限体とする。このとき  は  の取り方に依らない。 を無限次単項行列のなす  の部分群、 をキレンのプラス構成とすると、

が成り立つ 。ここで  は 3次の代数的K群である。
さらに、ミルナーのK群を  として、　 を  のただ一つの非自明な  拡大とする。このとき以下の完全列が知られている。

3次元双曲幾何学との関係

ブロッホ・ウィグナー関数  は  上の関数であり、次のような双曲幾何学的な意味を持つ。 を実3次元の双曲空間とし、 と半空間表示する。 の無限遠点の全体  は  とみなすことができる。無限遠点のみを頂点とする四面体を理想的四面体と呼び、 を無限遠点上の頂点として  で表す。四面体の(符号付き)体積を  と表す。このとき、計量の定数倍を適切にとれば、四面体の複比は、

であり、特に  である。 の5項関係式は、退化した理想的 4単体  の境界の体積が 0 であることと

とは同値である。

加えて、3次元双曲多様体  が与えられると、

と分解する。ここに  は、理想四面体であり、それらの頂点はすべて  上の無限遠点にある。ここに  は  となるある複素数である。各々の理想四面体は、 となる複素数  （四面体の頂点の複比となるが、）に対し  を頂点とする理想四面体のひとつにアイソメトリック(isometric)である。このように、四面体の体積は一つのパラメータ  にのみ依存する。 は、理想四面体  に対し  ただし  はブロッホ・ウィグナーの二重対数、となることを示した。一般の 3次元双曲多様体に対し、理想四面体を互いに張り合わせることにより、

を得る。モストウの剛性定理は、 であるすべての  に対する四面体の体積の値が一意に定まることを保証している。

一般化

二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は  と  により拡張された。これらの一般化ブロッホ群  が、代数的K理論やと関係するということが、広く予想されている。また、により定義された拡大されたブロッホ群のように、別の方向への一般化もある。

参考文献

  (this 1826 manuscript was only published posthumously.)

 

 

 

 

 

 

代数的位相幾何学
K-理論
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