ハウスドルフのパラドックス

ハウスドルフのパラドックス（英: Hausdorff paradox）とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理（疑似パラドックス）である。

つまり、選択公理を仮定すると、球面 K の分割 K = Q ∪ A ∪ B ∪ C であって、A, B, C, B ∪ C は互いに合同であり、Q は可算集合となるようなものが存在する。

いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、K の有限加法的測度が 1 であるとすると、A の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。

この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。

また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ（バナフ）とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを証明した。

証明の概略

球面の回転群の構成 
をある軸の180度の回転、z軸の周りの120度の回転をとする。
これらによって生成された群をGとする。

回転軸を適当に選べば、は非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。

の2つ以上からなる積は、以下ののタイプに分類される。ただし， は1または2である． 

であることが示されれば、であることが分かる。

とすると、

であり、は、の式のを で置き換えたものである。

またはのn個の積を  に作用させると、

であることが分かる．

による  の変換結果のz座標は

である。右辺はの多項式であり、係数は代数的数である。を選んで、が超越数なるようにすれば、任意の n > 0 に対して、z ≠ 1 とすることができる。

群Gの分割 
回転 (G) を3つの集合A, B, Cに分割することができる。

 Aが単位元1を持つ。
 がAに属するとき、はA + Bに属する。
 がAに属するとき、はそれぞれB, Cに属する。

手続き (1) 
1は、Aに属するものとする。はBに属するものとする。はCに属するものとする。

手続き (2) 
を先頭が又はであるような、のn個の積とする。

を先頭がであるような、のn個の積とする。

がA, B, Cに属するならば、はB, A, Aに属するようにする。

がA, B, Cに属するならば、はB, C, Aに属するようにする。はC, A, Bに属するようにする。

このような手続きにより、Gは3つの集合に分けることが可能である（下図参照）。

選択公理の適用 
1と異なるGの要素のKでの固定点をQとする。Qは可算集合である。P = K - Qと置く。xの軌道をとすると、か、のいずれか1つが成り立つ。
そして
である．

選択公理により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これをMとする。

このとき

をA, B, Cと書き直すとであり、 

であるから、は合同となる。よって定理は証明された。

参考文献

 

群論
測度論
数学基礎論
集合論
パラドックス
数学のパラドックス
数学に関する記事
数学のエポニム