巡回加群

数学において、巡回加群（じゅんかいかぐん、）とは、1つの元で生成される加群のことである。

定義 
環 R 上の左加群 M が巡回加群であるとは、ある x ∈ M が存在して、 となることである。右加群についても同様に定義される。

例 
 正則加群 RR は巡回 R-加群である。
 巡回群は巡回 Z-加群である。
 単純加群は巡回加群である。
 代数的閉体 F 上の線型空間 V をとる。線型作用素 T: V → V の固有値 λ に関する広義固有空間 V(λ) は巡回 F[T]-加群である。

性質 
R を環とする。左 R-加群 M が巡回加群であるための必要十分条件は、M が RR の剰余加群となることである。具体的には、M = Rx のとき、準同型定理より  となる。ただし、 である。

巡回 Z-加群の部分加群は再び巡回加群であるが、一般の環上の巡回加群の部分加群は巡回加群とは限らない。

脚注

参考文献 
 

環論
加群論
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