ハッセ＝ダベンポートの関係式

数学において、 によって導入されたハッセ＝ダベンポートの関係式（ハッセ＝ダベンポートのかんけいしき、）とは、ガウス和に関する二つの関係式で、一つはハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式（Hasse-Davenport lifting relation）と呼ばれ、もう一つはハッセ＝ダベンポートの積の関係式（Hasse-Davenport product relation）と呼ばれる。ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式は、数論における異なる体上のガウス和に関連するある等式である。ヴェイユ予想に動機付けられ、 はこの式をある有限体上のフェルマー超曲面のゼータ関数を計算するために用いた。

ガウス和は有限体上のガンマ関数の類似物であり、ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は次のガウスの積公式の類似物である：

実際、ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は、p-進ガンマ関数と  のグロス＝コブリッツの公式に対する類似の乗法的公式から得られる。

ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式 
F を q 個の元を持つある有限体とし、Fs を [Fs:F] = s であるような体とする。すなわち F 上のベクトル空間 Fs の次元は s である。

 を  のある元とする。

 を F から複素数への乗法的指標 (数学)とする。

 を、 から  へのノルムで、次で定められるものとする。

今  を  上の乗法的指標で、 と、Fs から F へのノルムの合成で与えられるものとする。すなわち

とする。

ψ をある非自明な F の加法的指標とし、 を  と、Fs から F への跡の合成であるような  上の加法的指標とする。すなわち

とする。

今
 
を F 上のガウス和とし、 を  上のガウス和とする。

このとき、ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式は次で与えられる。

ハッセ＝ダベンポートの積の関係式 
ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は次で与えられる。

ただし ρ は q–1 を割る exact 位数が m の乗法的指標であり、χ を任意の乗法的指標、ψ はある非自明な加法的指標である。

参考文献 
 
 
 
  Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5

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