ブロカールの問題

ブロカールの問題 (ブロカールのもんだい、) とは、

を満たす整数の組 (n, m) がいくつ存在するか、という数学の問題である。ただし、 n! は階乗を表す。が1876年・1885年に自身の論文で提示した。1913年にはシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが同じ問題を独立に提示している。

ブラウン数
上式を満たす (n, m) の組はブラウン数 () と呼ばれる。ブラウン数の組は
(4,5), (5,11), (7,71)（小さい方の数は、大きい方の数はを参照）
の3つしか知られていない。ポール・エルデシュは、これ以外の解は存在しないと予想した。 は、ABC予想が真だとすれば解の個数が有限であることを示した。 は109までの n について計算を行い、その範囲で他の解がないことを確かめた。

一般化
はOverholtの結果を一般化し、ABC予想が正しければ、任意の自然数 A に対し

を満たす解は有限組しか存在しないこと、A が平方数でないときはABC予想によらず解は有限個しか存在しないこと（実際 A が p を法として平方剰余ではないような最小の素数 p をとると  は p で決して割り切れないので n < p でなければならない）を示した。その後、京都大学の望月新一（日本）によってABC予想が証明され（2020）、任意の自然数Aに対して解が有限個であることが示された。はこれをさらに一般化し、  2次以上で整数係数を持つ任意の多項式P(x)に対して

を満たす解は有限組しか存在しないことを示した。

指数が2より大きい場合、および  の形の方程式については  が既に

は 1+1=2! 以外の解を持たないこと、および

は m が 4 以外のときには解を持たず m =4 の場合にも有限個の解しか持たないことを示している。また

の解は有限個であることも示している。その後 が

は解を持たないことを示している。

参考文献
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外部リンク
 
 
 

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