連接環

連接環（れんせつかん、、）の概念はネーター環の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の連接層の概念も定義される。

連接環

定義 

  を環とし  を -加群とする。次が完全列になるような自由加群  と  が存在する

これは  の表示 (présentation) と呼ばれる。加群  は  が有限型であれば有限型 (type fini) であり、 と  が両方とも有限型であれば有限表示 (présentation finie) と呼ばれる。

 -加群  は有限型でありかつ  のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに連接 (cohérent) と呼ばれる。

 環  は有限型の  のすべての左イデアルが有限表示であるときに左連接 (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、連接環 (anneau cohérent) は右連接である左連接環である。

 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない。

性質 

 を環とする。

  を左 -加群とする。以下の条件は同値である：
  は左連接である。
  は有限型でありすべての整数  に対して左 -加群のすべての準同型  の核は有限型である。
  は有限型でありすべての有限型左 -加群  に対してすべての準同型  に対して  は有限型である。

 さらに、以下の条件は同値である：

  は左連接である。
 有限型左自由 -加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。
 すべての有限表示左 -加群は連接である。
 すべての整数  に対して左 -加群のすべての準同型  の核は有限型である。

 左ネーター環は左連接である。

連接シルヴェスター環 

  をとする。この環が右連接であるのは、 に元を持つすべての有限縦ベクトル（あるいは行列）の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る。

 例えば、右ベズー環は右連接シルヴェスター環である。

 可換シルヴェスター環  が連接であるのは  がGCD環であるとき、かつそのときに限る。

  を複素平面の単連結開集合とする。 内の有界解析関数のハーディ環  はベズー環でない連接シルヴェスター環である。

グロタンディーク圏における一般化

グロタンディーク圏 

次のようなアーベル圏  をグロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族  を持ち、次の条件 AB5) を満たす：  が  の対象であり  が   の部分対象でありそして  が  の部分対象の増大フィルター族であれば、

例 

 環  上の左加群の圏  は生成元として加群  を持つグロタンディーク圏である。

  を位相空間、 を  上の環の層、 を  上の左 -加群のの圏とする。この圏  はグロタンディーク圏である。 における生成元の族は faisceaux induits  からなる、ただし  は  の開集合全部の集合を表記する。

連接対象 
 
  をグロタンディーク圏とする。 の対象  は次のとき有限型 (type fini) と呼ばれる。 なる  の増大フィルターのすべての族  に対して、 となる添え字  が存在する。 の対象  は次のとき連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 、ただし  は有限型、に対して  は有限型である。

  を生成元として対象  を持つグロタンディーク圏とし

を  における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象  が有限型であるのは、完全列

  

ただし  は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、 が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 、ただし  は有限、に対して完全列

 

ただし  は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。

すべての連接対象からなる  の充満部分圏は、 と表記されるが、アーベルであり、入射  は完全である。

例 

 圏  において有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）加群全体である。

 圏  において、有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）-加群全体である。

環の連接層 
 環  の層は次のとき左連接 (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合  と左 -加群のすべての準同型写像  に対して、この準同型の核は有限型である。

 すると以下の結果が成り立つ：  を左連接環の層とする。左 -加群の層  が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 -加群の準同型  の余核に同型である、すなわち、 のすべての空でない開集合  に対して完全列

 

が存在する。

脚注と参考文献

脚注

参考文献 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

環論
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