冪零群

群論における冪零群（べきれいぐん、）は、「ほとんど」アーベルな群である。この概念は、冪零群が可解群となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して位数が互いに素な二元は可換となる。有限冪零群はさらにでさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者の業績に帰せられる。

冪零群はガロワ理論において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、リー群の分類においても顕著である。

冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、（導来群を作る操作を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて）リー環の理論においても用いられる（冪零リー環の項を参照）。

定義 

考えている群が冪零であるとは、以下の同値な条件の何れか（したがってすべて）を満足するときに言う: 

 有限の長さのを持つ。それはすなわち、正規部分群からなる有限の系列 であって、 あるいは同じことだが  となるものである。
が有限の長さで自明群に到達する。すなわち、 および  によって定まる正規部分群の系列でとできる。
が有限の長さでもとの群に到達する。すなわち、 および  は  なる  の部分群と定めるとき、得られる正規部分群の系列でとできる。
冪零群  に対して、 が長さ  の中心列を持つとき（定義により、長さ  を持つとは中心列に自明群と  自身を含めて  個の部分群が並ぶときに言う）、そのような  の最小値を  の冪零度 (nilpotency class; 冪零性の等級) と呼び、また  は冪零度  の冪零群であるという。 の冪零度は、降中心列または昇中心列を用いても同じ値が定められる。

冪零度を上記のどの仕方で定義したとしても、直ちにわかることに「自明群が冪零度零の唯一の群である」ことおよび「冪零度  の群は非自明なアーベル群である」ことが挙げられる

例 

 既に述べたように、任意のアーベル群は冪零である。
 小位数の非アーベルな例として、最小の非アーベル -群である  を挙げることができる。その中心は位数  の  であり、昇中心列  が得られるから、これは冪零度  の例ということになる。
 実は任意の有限 -群が冪零である。位数  の -群に対し、最大の冪零度は  である。冪零度最大の -群は、四元数群、二面体群あるいはの一般化と考えられる。
 二つの冪零群の直積はまた冪零である。
 逆に、任意の有限冪零群は -群の直積になる。
 ハイゼンベルク群は非アーベル無限冪零群の例である。
 任意の体  上の -次（単上三角行列）全体の成す乗法群は、冪零度  のである。
  上の -次は一般には冪零群でない（が、可解群ではある）。

用語の説明 
冪零群の名称は、それが任意の元による「随伴作用」が冪零となることによる。つまり、冪零度  の冪零群に対して、その元  の定める作用  が  に依らず 回反復合成で自明となる（ここで、 は  の交換子である）。

これは冪零群を定義可能な特徴づけとはなっていない。実際、（既にみたように冪零度  の）随伴作用素  全体の成す群は -次と呼ばれ、一般には冪零群でない。位数有限ならば冪零であることが示され、有限生成ならば冪零であろうと予想されている。

アーベル群はちょうど、そのような群で随伴作用が冪零でも自明でもないもの（-次エンゲル群）になっている。

性質 
昇中心列の連続する部分群による各剰余群  はアーベル群であり、かつ列は有限であるから、任意の冪零群は比較的単純な構造を持つ可解群である。

冪零度  の冪零群の任意の部分群は、冪零度高々  である。加えて、 が冪零度  の冪零群上の準同型ならば、 の像は冪零度高々  の冪零群になる。

有限群に対して以下は同値であり、冪零性の有効性が顕わになる:
(a)  は冪零群である。
(b) 正規化性質:  が  の真の部分群ならば、 は（ の  における）正規化群  の真の正規部分群になる。
(c)  の任意のシロー部分群は正規部分群である。
(d)  はそのシロー部分群の直積である。

最後の性質 (d) は無限群の場合にも拡張することができる:
 命題  が冪零群ならば、 の任意のシロー -部分群  は正規であり、それらシロー部分群の直積は  における位数有限な元全体の成す部分群に一致する。

冪零群の性質の多くはと共通している。

注

注釈

出典

参考文献

関連文献 
 : review

外部リンク 
 
 
 
 

群の性質
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