リーマン和

リーマン和（リーマンわ、）とは、
実数区間  上で、  なる数列があるとし、
代表点  と数列の有限差分  が
を満たし、
区間  上で定義された実数値連続函数  があるとき、

のことである。

この  での極限が、リーマン積分

である。
ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。
最初にリーマン和を左リーマン和  と右リーマン和 の形で導入したのはオイラーであるが、
それは「積分の定義」としてではなく「積分の近似式」としてであった。
以後、ラクロワ、ポアソンを経て、コーシーが、積分の定義とし採用する。
コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった

。
"Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが，Cauchy は定積分をまず定義した後，  を定理として導いた．こうした発想の逆転も Cauchy に負う．"
これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。

リーマン和の具体例

被積分函数が単項式のとき   
例えば、 で  のとき

等差数列 
等差数列  をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

となる。

等比数列 
等比数列  をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

となる。

 は で単調増加函数なので、等差数列か等比数列かに拘わらず、左リーマン和と右リーマン和の間で

の関係が成り立つ。
連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、 の極限で収束するので、

が得られる。

積分の結果が対数となるとき   
 で  のとき

等比数列  をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

となる。
 は で単調減少函数なので、左リーマン和と右リーマン和の間で

の関係が成り立つ。
連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、 の極限で収束するので、

が得られる。

参考文献 

積分法
わ
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