ヒルベルトの定理90

数学、特に体論において、ヒルベルトの定理90 (Hilbert's Theorem 90) は、体の巡回拡大に関する重要な定理である。

ステートメント
K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、ノルム NK/k(β) が 1 であることと、ある 0≠α∈K が存在して β=α/σα となることは同値である。

加法版
K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、トレース TrK/k(β) が 0 であることと、ある α∈K が存在して β=α−σα となることは同値である。

群コホモロジーを用いた表現
K/k を有限次ガロワ拡大、G をそのガロワ群とする。このとき

が成り立つ。

例
K/k を2次拡大 とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。

K の元  はノルム  を持つ。 ノルムが1の元は  の有理数解，もしくは単位円上の有理数点に対応する。
ヒルベルトの定理90によるとノルムが1の元 y は整数 c と d で次のように表すことができる。

これは単位円上の有理数点のパラメーター付けを表している。
単位円上の有理数点はを満たすピタゴラス数を表す。

関連項目
クンマー理論
アルティン・シュライアー理論
群コホモロジー
ガロワ・コホモロジー

参考文献 

 
 
 

体論
ガロア理論
ダフィット・ヒルベルト
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