有限アーベル群の構造定理

有限アーベル群の構造定理（ゆうげんアーベルぐんのこうぞうていり、）は、数学の特に群論における定理であり、有限アーベル群の基本定理（ゆうげんアーベルぐんのきほんていり）とも呼ばれる。
任意の有限アーベル群が巡回群の直積に同型であることを主張するもので、 によって示された。この定理はの特別の場合として、さらに単因子定理、すなわち主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理に一般化される。

定理の主張 

この一意に定まる数列を  の不変系、その各項を  の単因子と呼ぶ。

証明 
この定理の証明法はいくつも存在する。筋の良い証明の一つは群の表現論を用いるもので、ほかにも例えば有限群の指標を用いるものもある。

以下に示すものは完全に群論の枠組みに収まるもので、分解の存在性は補題 1 による（それには補題 2 を用いる）。

応用 
 上記の分解において、 の冪数は  に等しく、また  の位数は積  に等しい。したがって、有限アーベル群の位数がその冪数以下となれば、それは巡回群である。特に、可換体の乗法群の任意の有限部分群は巡回群になる。
 二つの有限アーベル群が同型となるのは、各位数の元の数がそれら二つの群において一致するときである。実際、このデータから単因子が求められる。「アーベル」であるという条件を欠かすことはできない: 例えば、任意の奇素数  に対し、位数  かつ冪数  の群がふたつ存在する。それはアーベル群  と  上のハイゼンベルク群である。

注

注釈

出典

関連項目 
 
 : 非可換群の場合の類似の定理

参考文献 
 
 
  Jean-François Labarre, La théorie des groupes, PUF, 1978
 

群論
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