Tor関手

ホモロジー代数において、Tor 関手 () はテンソル積の関手の導来関手である。それらは最初一般に代数トポロジーにおいてと普遍係数定理を表現するために定義された。

特に R を環とし、R-Mod で左 R-加群の圏を、Mod-R で右 R-加群の圏を表す。R-Mod の加群 B をひとつ選んで固定する。Mod-R の対象 A に対し、T(A) = A⊗RB とおく。すると T は Mod-R からアーベル群の圏 Ab への右完全関手である。そして、その左導来関手 LnT が定義される。

 

とおく。すなわち、射影分解

 

をとり A の項を取り除き射影分解に B をテンソルして複体

 

を得る。そしてこの複体のホモロジーをとる。

性質 
 すべての n ≥ 1 に対して、Tor は Mod-R × R-Mod から Ab への加法的関手である。R が可換である場合には、Mod-R × Mod-R から Mod-R への加法的関手である。

 導来関手のすべての族に対して正しいように、すべての短完全列 0 → K → L → M → 0 は次の形の長完全列を誘導する。

 R が可換で r ∈ R が零因子でなければ、

であり、ここから用語 Tor (すなわち Torsion) が来ている。捩れ部分群参照。

 すべての n ≥ 2 に対して、Tor(A, B) = 0 である。理由：自由アーベル群の部分群は自由アーベル群なので、すべてのアーベル群 A は長さ1の自由分解をもつから。なのでこの重要な特別な場合には、n ≥ 2 の Tor 関手は消える。さらに、 f : A → A で"k 倍写像"を表すと Tor(Z/kZ, A) = Ker(f) である。

 さらに、すべての自由加群は長さ0の自由分解をもつので、上記の議論から、F が自由 R-加群であれば、すべての n ≥ 1 に対して Tor(F, B) = 0。

 Tor 関手はと任意の直和を保つ。つまり、次のが存在する。

 有限生成アーベル群の分類から、すべての有限生成アーベル群は Z と Zk のコピーの直和であることを知っている。このことと前の3つから、A が有限生成であるときにはいつでも Tor(A, B) を計算することができる。

 加群 M ∈ Mod-R が平坦であることと、Tor(M, – ) = 0 であることは同値である。このとき、すべての n ≥ 1 に対して Tor(M, – ) = 0 でさえある。実は、Tor(A, B) を計算するには、射影分解の代わりに A あるいは B の平坦分解を使ってもよい。

脚注

参考文献

関連項目 
Ext関手
弱大局次元

ホモロジー代数
二項演算
数学に関する記事