単純加群

環  上の左加群  が非自明な部分 -加群をもたないとき、 を単純加群（たんじゅんかぐん、）または既約加群（きやくかぐん、）という。これは任意の  について  となることと同値である。
これは左 -加群の圏  において、すべてのゼロでない準同型写像  は単射である、あるいはすべてのゼロでない準同型写像  は全射であることとしても特徴づけられる。
右加群に対しても同様に定義される。

例 
 有限 -加群はアーベル群と同じなので、 単純 -加群とは  でない真の部分群をもたないアーベル群、つまり位数が素数の巡回群である。
 係数環  が特に体  のとき -加群とは線型空間なので、単純 -加群とは 1 次元線型空間  のことである。
 （直前の例を一般化して）係数環  が特に体  上の全行列環 のとき 単純 -加群は  である。ただし環の作用は行列の乗法で定める。
 複素数体  上の対称群  に関する群環  の単純 -加群の同型類はで与えられる。

性質 
 環  の極大左イデアル  に対し、 は単純左加群である。逆に，すべての単純加群はこのようにして得られる。
 （直前の性質より）単純加群は常に存在する。
 単純加群は直既約加群である。
 単純加群は巡回加群である。

脚注

参考文献

関連項目 
 半単純加群
 既約表現
 シューアの補題
 ジョルダン・ヘルダーの定理

環論
加群論
数学に関する記事