冪集合公理

数学における冪集合公理（べきしゅうごうこうり、）とは、公理的集合論のツェルメロ＝フレンケルの公理系の一つである。

ツェルメロ＝フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される：

ここで P は A の冪集合  を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：

任意の集合 A が与えられたとき、ある集合  が存在し、 B のすべての元が A の元でもあるとき、またそのときに限り、 B が  に属する。

部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。

冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、においては可述性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。

帰結 

冪集合公理は、二つの集合  と  に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す：

ここで

であり、

であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。

任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：

デカルト積の存在は、におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。

参考文献 

Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded.  Springer.  ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier.  ISBN 0-444-86839-9.

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