半直積

群論において、群の半直積（はんちょくせき、）とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。
群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。

定義

内部半直積 
ふたつの群 ,  に対して  の  による内部半直積とは、次の性質を満たす群  のことで、  と表す。
  は群  の正規部分群かつ  は群  の部分群であって、 を満たす
  と  は自明な共通部分をもつ：

 を群とし、 をその部分群、 を正規部分群 () とすると、以下は同値である。
 G = NH かつ N ∩ H = 1.
 G のすべての元は積 nh (n ∈ N, h ∈ H) として一意的に書ける。
 G のすべての元は積 hn (h ∈ H, n ∈ N) として一意的に書ける。
 自然な埋め込み  を自然な射影  と合成すると、H と商群  の間の同型写像となる。
 H 上恒等写像で核が N の群準同型  が存在する。

外部半直積 
 を正規部分群  と部分群  の（内部）半直積であるとする。 を  のすべての自己同型からなる群とする。次で定義される写像  は群準同型である。, ただしすべての  と  に対し、．（ は  の正規部分群であるから  であることに注意。）, ,  の三つ組は以下で示すように  を同型の違いを除いて決定する。

2つの群  と （与えられた群の部分群である必要はない）と群準同型  が与えられると、次のように定義される、 に関する  と  の（外部）半直積と呼ばれる新しい群  を構成することができる。
 集合としては、 はデカルト積  である。
  の元の乗法は、準同型  によって決定される。演算は  と  に対して

によって定義される

である。

これは群を定め、単位元は  で、 の逆元は  である。対  全体は  と同型な正規部分群をなし、対  全体は  に同型な部分群をなす。群全体はこれら2つの部分群の内部半直積になっている。

逆に、群  と正規部分群  と部分群  が与えられていて、 のすべての元  が一意的に , ただし , , の形に書けるとしよう。 を 、ただしすべての  に対して

によって与えられる準同型とする。すると  は半直積  に同型である。同型写像は積  を対  に送る。 において次が成り立ち

これは上の写像が確かに同型であることを示しておりまた  の乗法の規則の定義の説明もしている。

直積は半直積の特別な場合である。これを見るためには、 を自明な準同型、すなわち  のすべての元を  の恒等自己同型に送るものとしよう。すると  は直積  である。

ホモロジー代数的定義 
群  の 群  による半直積とは、分裂する短完全列

を持つような群  のことである。ここで、短完全列が分裂するとは切断  が存在することである。（つまり半直積  とは群  の群  による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。）

導入 
定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群 をあげることができる。 次元アフィン変換
 
は  次元一般線型変換  と 次元の並進変換  を合成したものであり、この変換の全体は群を成し、これを  で表し、 次元アフィン変換群と呼ぶ。2つのアフィン変換  と  の合成変換を考えると、
  
である。従って、アフィン変換群  の群演算は、
  
となり、 と  の単純な直積群ではないことが分かる。しかし  と  は共に  の部分群を成し、とくに  は正規部分群になる。
このような関係をさらに一般化したものが半直積である。

例

直積 
直積群は半直積群でもある。

二面体群 
位数  の二面体群  は位数  の巡回的正規部分群  の位数  の巡回群  による半直積である。

標準ボレル部分群 
一般線型群の上三角行列からなる部分群  を取る。
 を対角成分がすべて  からなる群  の部分群とし、
 を対角行列からなる群  の部分群とする。このとき次が成り立つ。

アフィン変換群 
正則アフィン変換からなる群  も半直積の例である。

半直積で表せない例 
位数  の四元数群  は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできない。

性質

位数 
位数はそれぞれの積である。

埋め込み 
もとの群は半直積群に埋め込まれる。
つまり、ふたつの単射準同型写像  と  がある。
さらに  の単射準同型像は  の正規部分群で、その剰余群は  と同型である。

異なる作用における同型 
一般に、ふたつの異なる群作用  が非同型な半直積群を定めるとは限らない。
もし  が巡回群で作用  が単射かつ  を満たすならば  である。

関連項目 
 直積
 輪積
  （有限群論における基本的な定理）
 群の拡大 （）

脚注

参考文献 
 

 
 R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge 2006. ISBN 1-4196-2722-8

群論
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