P進L関数

数学では、p-進ゼータ函数 (p-adic zeta function)、あるいはより一般的に p-進 L''-函数 (p-adic L-function) とは、リーマンゼータ函数やより一般的なディリクレの L-函数に類似した函数であるが、函数の定義域と値域が p-進的であるものを言う（ここに p は素数である）。p-進 L-函数の定義域は p-進整数環 Zp や、射有限 p-群、ガロア表現の p-進族であり、像はp-進数体 Qp もしくはその代数的閉包である。

ディリクレ L-函数

ディリクレ L-函数は、級数

の解析接続として与えられる。負の整数でのディリクレ L-函数の値は、

である。ここに、Bn,χ は一般化されたベルヌーイ数であり、導手 f を持つディリクレ指標 χ に対し、

で定義される。

補完を使った定義

久保田-レオポルドの p-進 L-函数 Lp(s, χ) は、p でのオイラー因子を取り除いたディリクレのL-函数を補完する。さらに詳しくは、Lp(s, χ) は p-進数 s の連続函数であり、p − 1 により割ることのできる正の整数 n に対し 

となる唯一のものである。この式の右辺はまさに通常のディリクレの L-函数から、p でのオイラー因子を取り除いたものである。また、 p でのオイラー因子を取り除かない
場合には、右辺は p''-進的に連続とはならない。右辺の連続性は密接に(Kummer congruence)と関連している。

n が p − 1 により割れない場合は、一般的にこのことは成立しない。代わりに、正の整数 n に対し、

が成り立つ。ここに χ は(Teichmüller character) ω のべきによりツイストされている。

p-進測度と見なすと

p-進L-函数はまた、p-射有限ガロア群上の(p-adic measures)（あるいは、(p-adic distributions)）とも考えることができる。この観点と久保田・レオポルトの観点との間の変換は（Zp 上の Qp-値を持つ函数として）、(Mazur–Mellin transform)（と類体論）を経由する。

総実体

 では、前に行われている  に立脚し、総実体の解析的 p-進L-函数を構成した。 と は独立に同じ結果を導き出したが、このアプローチは、新谷卓郎の L-値の研究のアプローチに従っている。

脚注

参考文献

ゼータ関数とL関数
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