ヒルベルト・サミュエル関数

可換環論において可換ネーター局所環 A 上有限生成な 0 でない加群 M と A の準素イデアル I のヒルベルト・サミュエル関数 (Hilbert–Samuel function) は、David Hilbert と  にちなんで名づけられているが、写像  であってすべての  に対して

であるようなものである、ただし  は A 上の長さを表す。それは  のと恒等式

 

によって関連付けられる。十分大きい  に対して、それは次数が  に等しい多項式関数と一致する。

例

二変数の形式的冪級数の環  を自身の上の加群と考え順序によって次数付け、イデアルを単項式 x2 と y3 によって生成されたものとすると、

次数の制限 
ヒルベルト関数とは違って、ヒルベルト・サミュエル関数は完全列に対して加法的でない。しかしながら、アルティン・リースの補題の結果として、それはなお加法的であることにある程度近い。 でヒルベルト・サミュエル多項式を表記する。すなわち、それは十分大きい整数に対してヒルベルト・サミュエル関数と一致する。
 
 をネーター局所環とし、I を m-準素イデアルとする。

が有限生成 R-加群の完全列で、 の長さが有限であれば、

ただし F は次数が  の次数よりも真に小さい多項式で、正の leading coefficient をもつ。とくに、 であれば、  の次数は  の次数よりも真に小さい。

証明： 与えられた完全列を  でテンソルして核を計算すると、完全列

を得、これから
.
右辺第三項はアルティン・リースによって評価できる。実際、補題によって、大きい n とある k に対して、

したがって、
.
これは望んだ次数の制限を与える。

関連項目 
:en:j-multiplicity

参考文献 

可換環論
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