多重線型形式

数学、より具体的には抽象代数学と多重線型代数において、多重線型形式（たじゅうせんけいけいしき、）とは、複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数であって、どの変数に関しても（ほかの変数を止めて）線型写像となっているようなものを言う。多重線型形式はテンソルの定式化において重要である。

多重線型形式（特に交代形式）重要な例として、行列式と微分形式が挙げられる。

定義 
 を体  上のベクトル空間とし、 は  の  個の直積とする。 上 -変数の函数  が -重線型または -線型であるとは、各変数  に対して  および  を満たすときに言う。 を特に指定しないとき、多重線型形式と総称する。

 上の -重線型形式全体の成す空間  は通常の和とスカラー倍に関してベクトル空間を成す。このベクトル空間は -階共変テンソルの空間 （ は  の双対空間で、 はベクトル空間のテンソル積）に自然同型であり、その意味で -重線型形式を -階共変テンソルと看做すことができる。

-重線型形式全体の成す空間  は点ごとの積に関しては閉じていないが、 の点ごとの積:  は -重線型形式となる（これを  と  とのテンソル積と呼ぶ）。したがって  であり、無限直和  はこの積に関して閉じていて、次数付き多元環として共変テンソル代数との自然な同型  がある。

このように定義された多重線型形式のテンソル積は可換でない。しかしテンソル積は結合的かつ双線型な乗法を与えている。

例 
 , すなわち変数が2つだけのときは、 を双線型形式と呼ぶ。
 重要なタイプの多重線型形式として、交代多重線型形式  —交代性: 2つの引数が同じときに消える  という追加の性質を持つもの—がある。 上の -重線型交代形式の全体  は、 の -次外冪 に同型であり、交代多重線型形式は多重余ベクトル (multi-covector) に対応する。
 微分形式は多様体上の共変テンソル場であり、多様体の各点  において  における接空間上の交代多重線型形式を与える。

関連項目
双線型写像
斉次多項式
線型写像
多重線型代数
多重線型写像

注

注釈

出典

参考文献

外部リンク 
 
 

形式
抽象代数学
線型代数学
多重線型代数
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