昇鎖条件

昇鎖条件（しょうさじょうけん、）および降鎖条件（こうさじょうけん、）とは、ある代数的構造が満たす有限性に関する性質である。これらの性質を持つ代数的構造で最も代表的なものに、可換環のイデアルがある。昇鎖条件および降鎖条件は、ダフィット・ヒルベルト、エミー・ネーター、エミール・アルティンらが可換環の構造に関する理論を構築する上で、重要な役割を果たした。

昇鎖条件および降鎖条件それ自体は、いかなる半順序集合に対しても意味を持つような、抽象的な形式で表すことができる。この考え方は Gabriel–Rentschler による抽象代数の次元に関する理論において有用である。

定義 
半順序集合  において、任意の真の上昇列  が有限回で止まるときに昇鎖条件が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列

に対して、ある自然数  が存在して、

が成り立つ。

同様に、半順序集合  において、任意の真の下降列  が有限回で止まるときに降鎖条件が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列

に対して、ある自然数  が存在して、

が成り立つ。

注釈 
 「無限に続く真の上昇／下降列がない」ことと少し異なるそれよりも強い条件として、「任意に長い真の昇鎖／降鎖列が存在しない」（つまり列の長さの最大値が存在する）というものがある。
 降鎖条件を満たすことと、整礎であること、つまり任意の空でない部分集合が極小元をもつことは同値である。これは極小条件  とも呼ばれる。
 昇鎖条件を満たすことと、逆整礎であること、つまり任意の空でない部分集合が極大元をもつことは同値である。これは極大条件  とも呼ばれる。
 有限半順序集合は昇鎖条件と降鎖条件を満たす。
 降鎖条件を満たす全順序集合は整列集合と呼ばれる。

脚注

関連項目 
 アルティン環・アルティン加群
 ネーター環・ネーター加群
 クルル次元
 主イデアルに対する昇鎖条件
 半群合同における極大条件

参考文献 
 
 
 
 

順序構造
数学に関する記事