双曲3次元多様体

数学において双曲3次元多様体（そうきょく3じげんたようたい、）とは、定数断面曲率 -1 を持つ完備リーマン計量を備えるのことを言う。これは言い換えると、自由かつに作用する双曲等長の部分群による3次元の商である。を参照されたい。

この多様体の厚薄分解は、閉測地線の管状近傍からなる薄い部分と、ユークリッド曲面と閉半直線の積であるエンドからなる。この多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、その厚い部分がコンパクトであることである。この場合、エンドは閉半直線を横切るトーラスの形をしており、尖点（cusp）と呼ばれる。

構成 

1912年に初めて発見された、尖った双曲3次元多様体はギーゼキング多様体である。それはイデアル双曲四面体の面を貼り合わせることで構成される。

3次元球面における結び目と絡み目の補空間は、頻繁に尖った（frequently cusped）双曲多様体である。この例には、8の字結び目やボロミアン環、の補空間が含まれる。より一般に幾何化によると、でもトーラス結び目でもない結び目は、双曲結び目である。

に関するサーストンの定理では、充填スロープの有限の集まりが除かれる場合、双曲絡み目についての残ったデーン充填は双曲3次元多様体であることが示されている。は、十二面体の向かい合う面を貼り合わせることで得られる、コンパクトな双曲3次元多様体である。

任意の閉じた向き付け可能な双曲3次元多様体上には、双曲体積を定義することができる。ウィークス多様体は、任意の向き付けられた閉双曲3次元多様体の中で最小の体積を持つ多様体である。

サーストンは、が双曲であるための必要十分条件を与えた。すなわち、その束のモノドロミーがであることである。これはに対する彼の有名なの一部である。

ペレルマンによって証明されたサーストンの幾何化予想によれば、無限の基本群を持つ任意の閉、かつな3次元多様体は、双曲多様体である。境界を持つ3次元多様体に対しても、同様の主張が成り立つ。

関連項目 

 双曲多様体
 
 モストウの剛性定理
 数論的双曲3次元多様体

参考文献 

 
 
 W. Thurston, The geometry and topology of three-manifolds, Princeton lecture notes (1980).  Available via MSRI: http://www.msri.org/publications/books/gt3m/

 W. Thurston, 3-dimensional geometry and topology, Princeton University Press. 1997.

 

多様体論
双曲幾何学
位相幾何学
クライン群
リーマン多様体
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