余代数

余代数（よだいすう、）とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。

定義 
 を体、 を  上のベクトル空間とする。2つの線型写像 、 が存在して、これらが
（余結合律）、
（余単位律）
を満たすとき、即ち図式

が可換であるとき、組  を余代数という。また、 を余積、 を余単位という。

諸概念

余代数射 
、 を -余代数とする。-線型写像  が

を満たすとき  を余代数射（coalgebra morphism）という。これは以下の図式が可換であることと同値:

部分余代数 
 を余代数、 とする。 が部分余代数であるとは、 を満たすことをいう。このとき、  は余代数の構造を持つ。

余イデアル 
 を余代数  の部分ベクトル空間とする。 が余イデアル（coideal）であるとは

を満たすことをいう。このとき商  は余代数の構造を持つ。

余可換余代数と逆余代数 
写像  を  で定める。余代数  が余可換であるとは、  が成り立つことをいう。ここで新しい余積を  によって定めると、 は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと  となることは同値である。

SweedlerのΣ-記法 
 を余代数とする。 とすると、余積は

と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを

と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:
（余結合律）
（余単位律）

例
  を空でない任意の集合、 を  の元を基底とした -ベクトル空間とする。任意の  に対して余積と余単位を

で定めると、 は -余代数の構造を持つ。

  を -ベクトル空間、 をその基底とする。任意の  に対して余積と余単位を

で定めると、 は -余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。

  を  次元 -ベクトル空間、 をその基底とする。余積と余単位を

によって定めると  は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。

  を局所有限半順序集合とする。 として  を  の元全体を基底として持つ -ベクトル空間とする。任意の  に対して余積と余単位を

で定めると  は余代数となる。 

  を -ベクトル空間とし、その基底を  とする。余積と余単位を

で定めると  は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。

K-代数とK-余代数の双対空間
 を -余代数、 を -代数、とする。ここで の積を、即ち任意の に対して

で定める。 が余結合的であることから積  は結合的であることがわかる。この積によって  は -代数となり、 の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は

で与えられる。また が余可換であることと、全ての可換な  に対して  が可換であることは同値である。

逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。 を有限 -次元代数とすると、準同型写像

が存在して  となる。積と単位の双対

によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に  が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。

参考文献 
 
 
  

代数学
圏論

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