整拡大

可換環論において、可換環 B とその部分環 A について、B の元 b が A 係数のモニック多項式の根であるとき、b は A 上整である（integral over A）という。B のすべての元が A 上整であるとき、B は A 上整である、または、B は A の整拡大（integral extension）であるという。
本記事において、環とは単位元をもつ可換環のこととする。

定義 
B を環、A をその部分環とする。b ∈ B が A 上整であるとは、

を満たす自然数 n ≥ 1 と A の元 a0, …, an−1 が存在することである。B の元がすべて A 上整であるとき、B は A 上整である、または、B は A の整拡大であるという。

B の元で A 上整であるものすべてのなす集合は B の部分環となり、これを B における A の整閉包という。B における A の整閉包が A 自身であるとき、A は B において整閉であるという。

A と B が体のとき、整、整拡大、整閉包はそれぞれ、代数的、代数拡大、代数的閉包と呼ばれる。

例 
 整数環 Z 上整な有理数体 Q の元は整数しかない。言い換えると、Z は Z の Q における整閉包である。
 ガウス整数、すなわち  の形の複素数は、Z 上整である。 が Z の  における整閉包である。
 Z の  における整閉包は、 の形の元からなる。ただし、a と b は整数であって、 は4の倍数である。この例と直前の例は二次の整数(quadratic integer)の例である。
 ζ を1の冪根とすると、円分体 Q(ζ) における Z の整閉包は Z[ζ] である。
 Z の複素数体 C における整閉包は代数的整数の環と呼ばれる。
  が体 k の代数的閉包であれば、多項式環  は  上整である。
 有限群 G が環 A に作用しているとする。このとき A は G によって固定される元の集合 AG 上整である。ring of invariants を見よ。
 任意の環において1の冪根と冪零元は Z 上整である。
 R を環とし、u を R を含む環における単位元とする。このとき
u−1 が R 上整であるのは、u−1 ∈ R[u] であるとき、かつそのときに限る。
 は R 上整である。
 形式冪級数環 C[[x]] の、ローラン級数体 C((x)) の有限次拡大における整閉包は、 の形である(cf. ピュイズー級数)。
 正規射影多様体 X の斉次座標環の整閉包は切断の環(ring of sections)である。

整元の特徴づけ 
B を環とし、A をその部分環とする。このとき B の元 b について次は同値。
 b は A 上整
 部分環 A[b] ⊂ B は A-加群として有限生成
 A[b] は有限生成 A-加群である部分環 C ⊂ B に含まれる
 忠実な A[b]-加群 M で A 上有限生成なものが存在する
 有限生成部分 A-加群 M ⊂ B が存在し、bM ⊂ M であり、M の B における零化イデアルは0

関連項目 
 整閉整域
 上昇定理

脚注

参考文献 
 

 

 J. S. Milne, "Algebraic number theory." available at http://www.jmilne.org/math/

環論
可換環論
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