擬凸性

数学の多変数複素函数の理論において、擬凸集合（ぎとつしゅうごう、）は  次元複素空間  内のある特殊なタイプの開集合である。擬凸集合が重要となるのは、それらが正則領域の分類に有用となるからである。

今

を領域、すなわち、開連結部分集合とする。 が擬凸（あるいは、ハルトークス擬凸）であるとは、すべての実数  に対して

が  の相対コンパクトな部分集合となるような、 上のある連続多重劣調和函数  が存在することを言う。言い換えると、 が連続かつ多重劣調和なエグゾースチョン函数 (exhaustion function) を持つとき、その領域は擬凸である。

 が （二階連続的微分可能）級の境界を持つとき、この概念はより簡単に扱えるレヴィ擬凸性となる。より具体的に、 級の境界を持つ  には定義函数が存在することが示される。すなわち、 および  を満たすような  級の  の存在が示される。今、 が擬凸であるための必要十分条件は、すべての  と、 での複素接空間内の , すなわち

を満たすような  に対して、

が成立することである。

 の境界が  級でないなら、次の近似的な結果が有用となる。

命題1   が擬凸であるなら、境界が  級（滑らか）で、 内で相対コンパクトであるような有界強レヴィ擬凸領域  で

を満たすものが存在する。

この命題がなぜ成立するかと言うと、定義におけるような  に対して、実際に  エグゾースチョン函数 (exhaustion function) を得ることが出来るからである。

の場合 

複素一次元において、すべての開領域は擬凸である。したがって擬凸性の概念は、より高次元の場合においてより有意義となる。

レヴィの問題 

「擬凸領域は正則領域か？」と問う問題をレヴィの問題という。1911年にによって提出された。

多変数函数論の発展に大きな影響を与えたこの問題は1942年に岡潔によって2変数の場合にまず解かれた。その後1953年に岡によって一般次元の場合にも解かれ、1954年にやによっても独立に解かれた。なお、未公表ではあったが1943年に岡は一般次元の場合も解いていた。一松信も1949年に公表された日本語の論文の中で一般次元の場合を解いていた。

1958年には岡の証明を簡易化した。1965年にラース・ヘルマンダーは

方程式を直接解く方法による別証明を得た。

岡潔だけはこの問題をフリードリヒ・ハルトークスにちなむハルトークスの逆問題という名前で呼んでいた。レヴィの問題と異なり、ハルトークスの逆問題では境界の2回連続微分可能性を課さないので、その意味でより一般的なのだという。

この問題の解決により、正則領域がはじめて境界局所的な概念によって特徴づけられた。

出典

関連項目 
 正則凸包
 シュタイン多様体

参考文献 
 Lars Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. (ISBN 0-444-88446-7).
 Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

レヴィの問題 
 
 
 

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