原始元 (有限体)

体論において、有限体 GF(q) の原始元 (primitive element) とは、体の乗法群の生成元のことである。言い換えると、 が、GF(q) の1の原始 (q − 1)-乗根であるとき、原始元という。つまり零以外の GF(q) のすべての元は整数 i によって αi と表すことができる。

例えば、2 ∈ GF(5) は体 GF(5) の原始元であるが、2 ∈ GF(7) は体 GF(7) の原始元ではない。なぜなら、 は位数 3 の巡回部分群 しか生成しないからである。一方、 は GF(7) の原始元である。原始元の最小多項式は、原始多項式である。

性質

原始元の数
有限体 GF(q) の原始元の数はφ(q − 1) である。ここに φ(m) はオイラーのトーシェント関数であり、1 以上 m 以下の m と互いに素な整数の個数を数える函数である。このことは、有限体 GF(q) の乗法群は位数  のであるという定理と、位数 m の巡回群の生成元は φ(m) 個あるという事実から証明できる。

関連項目
 原始元 (体論)
 原始根
原始冪根
 :en:Zech's logarithm

参考文献

外部リンク

体論
数学に関する記事