射影被覆

数学において、射影被覆（しゃえいひふく、）とは、射影加群  と加群  へ全射準同型写像  の組のうちで、核が‘最小’になるもののことをいう（#定義）。

動機 
任意の加群  はある射影加群  の全射準同型像である。

したがって準同型定理より

である。
そこで加群  を  が‘最小’になるように選んで、射影加群  で‘近似’したものを射影被覆という。
より正確には  のすべての部分加群  に対して

が成り立つとき、 は射影被覆であるという。

定義 
 を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左  加群、射はすべて左  加群の準同型を指すことにする。

加群  の部分加群  が  の余剰部分加群（superfluous submodule, small submodule）であるとは、すべての  の部分加群  に対して

が成り立つことをいう。また全射  の核  が  の余剰部分加群であるとき、 は余剰全射（superfluous epimorphism）であるという。
射影加群  と加群  への全射

の組  が 射影被覆 であるとは、 が余剰全射であることをいう。このことを  が射影被覆であるといったり、  が射影被覆であるといったりすることもある。

性質

一意性 
一般に加群の射影被覆が存在するとは限らない。（けれども、たとえばアルティン環上の加群に対しては存在する。）
もし存在すれば一意的に定まることは次の補題からわかる。

 補題
  が射影被覆であるとする。もし  が射影加群で、全射  があれば、  となる  の部分加群  が存在して、制限  は射影被覆である。

直和 
 が射影被覆ならば、
 も射影被覆である。

既約加群の射影被覆 
 をゼロでない射影加群とする。
射影加群  がある既約加群の射影被覆である必要十分条件は、  のゼロでないすべての商加群が直既約であることである。

脚注

参考文献 
 

  数学 sugaku1947.58.413

関連項目 
 移入包絡 — 双対概念
 射影分解
 完全環 — すべての加群が射影被覆をもつような環

加群論
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