大局次元

環論とホモロジー代数において、環 A の左（右）大局次元あるいは大域次元（）（または大局ホモロジー次元（）、ときには単にホモロジー次元（）と呼ばれる）は、すべての左（右） A-加群の射影次元の集合の上限として定義される環のホモロジー的不変量である。それは非負の整数か無限大に値をとり l. gl. dim A （r. gl. dim A ）と書かれる。さらに両者が一致するときには単に大局次元と言い gl. dim A と書かれる。

一般の非可換環 A に対しては左と右の大局次元は異なるかもしれない。しかしながら、A が左かつ右ネーター環であれば、これらの大局次元は両方とも、定義が左右対称的な弱大局次元に等しいことがわかる。したがって、左かつ右ネーター環に対しては、両者は一致し、大局次元について話すことが正当化される。

大局次元は可換ネーター環の次元論で重要な技術的概念である。

例 
A = k[x1, ..., xn] を体 k 上の n 変数多項式環とする。このとき A の大局次元は n と等しい。このステートメントはダフィット・ヒルベルトによる多項式環のホモロジー的性質の基礎的な研究にさかのぼる。を参照。より一般的に、R が有限の大局次元 d のネーター環で A = R[x] が R 上一変数の多項式環であれば、A の大局次元は d + 1 に等しい。

自然数 n が平方因子を持たないときには環 Z/nZ の大局次元は無限大である。

体 k の標数が有限群 G の位数を割り切るとき群環 kG の左大局次元は無限大である。

1次のワイル代数 A1 は大局次元 1 の非可換ネーター整域である。

大局次元の特徴づけ 
環 A の右大局次元は次の数と等しい。
 すべての巡回右 A-加群の射影次元の集合の上限
 すべての右 A-加群の射影次元の集合の上限
 すべての右 A-加群の移入次元の集合の上限
 sup{ d≥0 : Extd(M, N) ≠ 0 for some M, N ∈ Mod A }

A の左大局次元は上記リストの「右」を「左」にとりかえることによって得られる同様の特徴づけをもつ。

大局次元による特徴づけ 
環の左または右大局次元が 0 であることと半単純であることは同値である。

環 A の左（右）大局次元が1以下であることと A が左（右）遺伝環であることは同値である。とくに、体でない可換単項イデアル整域は大局次元 1 をもつ。

ジャン＝ピエール・セールは次のことを証明した。可換ネーター局所環 A が正則であるのは大局次元が有限のとき、かつそのときに限る。さらにこのとき、大局次元は A のクルル次元と一致する。この定理によってホモロジー的手法を可換代数に応用する扉が開かれた。

脚注

参考文献

関連項目 
 射影次元
 移入次元
 弱大局次元
 クルル次元

環論
加群論
ホモロジー代数
次元
数学に関する記事