有理根定理

有理根定理（ゆうりこんていり、）は整数係数の代数方程式

の有理数の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である：

定数項  および最高次の係数  がゼロでないなら、有理数解  を互いに素（最大公約数が ）な整数  で表したとき、 は以下の条件を満たす。
  は  の約数
  は  の約数

有理根定理は、多項式の因数分解に関するの特別な場合に当たる。また、最高次の係数  が  であるとき成り立つ整数根定理  は、有理根定理の特別な場合である。

証明

直接的な証明 
 なる多項式を考える。互いに素な  に対して  を満たすことを仮定する：

 から定数項  を右辺へ移項し、両辺に  を掛けることで以下の方程式を得る。

 と括弧内の整数の積は  に等しく、従って  は  を割り切れることが分かる。しかしながら、 と  は互いに素であり、ユークリッドの補題から同様に  と  も互いに素であるため、 は残る因数  を割り切ることが示される。

 から最高次の項  を右辺へ移項し両辺に  を掛けることで次の式を得る。

 と  の場合と同様の理由で、 は最高次の係数  を割り切ることが示される。

ガウスの補題による証明 
多項式のすべての係数を割り切る非自明な約数がある場合、その多項式を係数の最大公約数で割った、の意味での原始多項式が得られる。この原始多項式の有理根は元の多項式と同じであり、可約条件だけが強められる。
ガウスの補題によれば、ある多項式が有理係数の多項式  で因数分解できるなら、整係数の多項式  で因数分解することができ、原始多項式の積として表すことができる。

 の 1 次の多項式が有理根  を持つとき、 は互いに素であるとして、その多項式の原始多項式は  となる。
 を因数とする整係数多項式  について、最高次の係数は  で割り切れ、定数項は  で割り切れるので、有理根定理が得られた。

この事はより一般に、多項式  の可約でない因数は整係数を持つことができ、その最高次の係数と定数項が、対応する  の係数を割り切れることを示す。

例 
例として、方程式

のいずれの有理根も

に含まれなければならない。つまり、この方程式の根として可能なものは以下の 8 つである：

これらの候補は例えばホーナー法によってテストすることができる。今回の場合、正しい有理根は 1 つだけある。根の候補が方程式を満たさないなら、それを使って残る候補のリストを短縮できる。例えば  は方程式を満たさず、方程式の左辺は  になる。
 という置き換えをすると定数項を  とし、 の係数は  の係数に等しい  の多項式が得られる。有理根定理を適用すれば、 として可能な根は

となる。従って、元の方程式の根の候補は次の通りである。

こうして得られた候補のリストと以前のリストを比較して、両者に存在しない候補は除外することができる。結局、候補のリストは  に短縮される。

もし方程式の根の 1 つ  が発見されたなら、ホーナー法によって  次の多項式の根が得られる。これらの根は、 とともに、元の多項式の正確な根になっている。
また、いずれの候補も根でなかった場合、方程式は有理根を持たない。
定数項  がゼロの方程式は有理根として  を持つ。

関連項目 
デカルトの符号法則

脚注

参考文献 

Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp. 216–221
Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp. 116–117  () 
Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp. 23–24  ()

外部リンク 

RationalRootTheorem at PlanetMath
 Another proof that nth roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie
The Rational Roots Test at purplemath.com

代数学の定理
多項式
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