アルティン・リースの補題

数学において、アルティン・リースの補題（）は、ヒルベルトの基底定理のような結果とともに、ネーター環上の加群についての基本的な結果である。1950年代に数学者エミール・アルティンとによって独立に証明された。特別な場合はオスカー・ザリスキに先に知られていた。

この補題から得られる結果にクルルの交叉定理がある。また、完備化の完全性を証明するためにも使われる。

補題の主張 
I をネーター環 R のイデアルとする。M を有限生成 R-加群とし N をその部分加群とする。このときある整数 k ≥ 1 が存在して、n ≥ k に対して

が成り立つ。

証明 
必要な概念や表記が準備されてしまえば、補題は R が「ネーター的」であるという事実から直ちに従う。

任意の環 R および R のイデアル I に対して、 とおく（blow-up のbl）。部分加群の減少列  が I-フィルター（I-filtration）であるとは、 が成り立つときにいう。さらに、それが安定（stable）であるとは、十分大きい n に対して  であるときにいう。M に I-フィルターが与えられているとき、 とおく。これは  上の次数加群である。

さて、M を R-加群とし、有限生成 R-加群による I-フィルター  が与えられているとする。次のことを確認する。
 が  上有限生成加群であることと、フィルターが I-安定であることは同値である。
実際、フィルターが I-安定であれば、 ははじめの  個の  によって生成され、これらは有限生成であるので、 も有限生成である。逆に、 が有限生成であれば、 として、 に対して、各 f ∈ Mn は

と書ける。ただし  は  の生成元。つまり、 である。

これで R がネーター的であると仮定すれば補題を証明できる。 とする。すると  は I-安定なフィルターである。したがって、上記より、 は  上有限生成である。しかし  は R がネーター環なのでネーター環である。（環  はと呼ばれる。）したがって、 はネーター加群であり任意の部分加群は  上有限生成である。とくに、N に induced filtration が与えられているとき、すなわち  であるとき、 は有限生成である。すると induced filtration も上記の確認により I-安定である。

クルルの交叉定理の証明 
環の完備化における使用に加えて、補題の典型的な応用はクルルの交叉定理 (Krull's intersection theorem)
ネーター局所環の真のイデアル I に対して、
の証明である。共通部分 N に補題を適用すれば、ある k が存在して

が成り立つ。すると  なので中山の補題によって  である。

注

参考文献

外部リンク 
 

可換環論
補題
加群論
環論
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数学のエポニム