単因子

代数学において、行列の単因子（たんいんし）とは、その「標準形」を定める不変量のことである。

定義 
 を単項イデアル整域（たとえば整数環  や複素係数の一変数多項式環  などのユークリッド整域）とする。また  を  成分の  行列全体とし、特に  のときは、これを  と表すことにする。すべての行列  は、ある可逆行列  と  を使って次の形に変形できる。

ここで  かつ  である。このような  は単数倍を除いて一意に定まり、これを行列  の単因子という。右辺の行列は  のスミス標準形  あるいは単因子標準形と呼ばれる。
この行列  は行列の基本変形をして求めることができる。

性質 
 を体とする。
 行列  が相似である必要十分条件は行列  の単因子が一致することである。 

 行列  の最小多項式は行列  の最大次数の単因子（を規格化したもの）と一致する。

例 
 を複素係数の一変数多項式環  とする。次の行列  の単因子は可逆行列  として以下の行列を取れば  とわかる。

脚注

参考文献

関連項目 
 有限生成アーベル群の基本定理
 ジョルダン標準形
 主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理

外部リンク 
 

行列
環論
線型代数学
数学に関する記事