類似中線

類似中線（るいじちゅうせん）は任意の三角形に対して定義される3本の直線である。

類似中線は、三角形の角の二等分線を対称軸として、中線と対称の位置にある直線である（すなわち、中線と等角共役である）。三角形における3本の類似中線は1点で交わる。この点は重心の等角共役点であり、特に類似重心またはルモワーヌ点と呼ばれる。

歴史 
フランスのエミール・ルモワーヌは、1873年に3本の類似中線が1点に交わることを証明した。それよりも前にが1847年に論文を発表している。スイスのサイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエは1809年にこの点について言及している。

性質 
円ABCの点B,Cにおける接線の交点をXとすると、AXは三角形ABCの角A内の類似中線である。
三角形ABCの角A内の類似中線と辺BCの交点をS(≠A)とすると  が成り立つ。
三角形ABCの角A内の類似中線と円ABCの交点をK(≠A)とし、辺BCの中点をMとする。このとき以下が成り立つ。
三角形ABKと三角形AMCは同じ向きに相似である。
KAは三角形KBCの角K内の類似中線である。
四角形ABKCはAB×KC=BK×CAをみたす（調和四角形である）。

類似重心 
3本の類似中線の交点は類似重心またはルモワーヌ点と呼ばれる。

三角形の3辺の長さを a, b, c とすると類似重心の三線座標は a : b : c 、重心座標は a2 : b2 : c2 となる。

内接円と辺の接点を D, E, F としたとき、三角形 DEF の類似重心は元の三角形のジェルゴンヌ点になる。

ルモワーヌ点を通り、各辺に平行に引いた直線と辺との6つの交点は同一円周上にある。この円のことを第一ルモワーヌ円と呼ぶ。また、ルモワーヌ点を通り、各辺に逆平行に引いた直線と辺との6つの交点は同一円周上にある。この円のことを第ニルモワーヌ円と呼ぶ。

他の図形との関係 
2つのブロカール点を焦点とし、3辺に接する楕円をブロカール楕円という。この楕円が辺と接する点は、辺と類似中線の交点である。

脚注

参考文献 
 Ross Honsberger, "The Symmedian Point," Chapter 7 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, The Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1995.

外部リンク 
 Symmedian and Antiparallel at cut-the-knot
 Symmedian and 2 Antiparallels at cut-the-knot
 Symmedian and the Tangents at cut-the-knot
 An interactive Java applet for the symmedian point
 Symmedian Point article at Wolfram MathWorld
 Isogons and Isogonic Symmetry

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