ラマヌジャンのタウ函数

ラマヌジャンのタウ関数（ラマヌジャンのタウかんすう）は， によって研究された関数で，次の等式によって定義される関数  である：

ただし  なる  に対し  であり， はデデキントのイータ関数であり，関数  はラマヌジャンのデルタ関数と呼ばれる，ウェイト12，レベル1の正則尖点形式である．それは整数を24個の平方数の和として表す方法が何通りあるか、数えるときの「誤差項」に関連して現れる． (Ian G. Macdonald) による公式が  において与えられた．

値 
タウ関数の最初のいくつかの値は以下の表で与えられる（）：

ラマヌジャン予想
 は  の次の3つの性質を観察したが証明はしなかった：

  が  のとき成り立つ（つまり  は乗法的関数である）．
  が  が素数で  のとき成り立つ．
  がすべての素数  に対して成り立つ．

最初の2つの性質は  によって証明され，ラマヌジャン予想と呼ばれる3つ目は，Deligne により1974年にヴェイユ予想の彼の証明の結果として証明された（具体的には，彼はヴェイユ予想をクガ・サトウ多様体に適用することによって証明した）．

タウ関数の合同関係
 と  に対して， を  の約数の  乗の和として定義する．タウ関数はいくつかの合同式を満たし，その多くが  を用いて表せる．いくつかを挙げる：

素数  に対して，次が成り立つ：
<li>
<li>
<li>

に関する予想
 はウェイト  の integer newform でありフーリエ係数  は整数であるとする．次の問題を考える：  が虚数乗法をもたないとき，ほとんどすべての素数  は  という性質を持つことを証明せよ．実際，多くの素数はこの性質を持たなければならず，したがってそれらは ordinary と呼ばれる．ドリーニュとセールによってガロワ表現について大きな進展があり， と互いに素な  に対して  が決定されたが， の計算方法の手掛かりは得られていない．この点での唯一の定理はエルキースのモジュラー楕円曲線に対する有名な結果であり，それは確かに無限個の素数  に対して  でありしたがって  であることを保証する．無限個の素数  に対して  なるウェイト  の虚数乗法を持たない  の例は知られていない（ほとんどすべての  に対しては正しいのであるが）．無限個の  に対して  であるような例もまた知られていない．本当に無限個の  に対して  であるのかどうか疑い始めた人々もいた．証拠として多くの人は（ウェイト  の）ラマヌジャンの  を挙げた． であることが分かっている最大の  は  である．方程式  の解は  まででは , , , , ,  のみである．

 はすべての  に対して  であると予想し，これはレーマーの予想と呼ばれることもある．レーマーは  に対して予想が正しいことを証明した (Apostol 1997, p. 22)．次の表はこの条件がいくつまでの  について成り立つかの進展をまとめたものである．

脚注

参考文献

モジュラー形式
乗法的関数
シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
数学に関する記事
数学のエポニム