レーマーの予想

レーマーの予想 (Lehmer's conjecture)、レーマーのマーラー測度の問題(Lehmer's Mahler measure problem)としても知られている、は、(Derrick Henry Lehmer)により提起された数論の問題である。この予想は、ある絶対的な定数  が存在して、すべての整数係数の多項式  は次の性質のどちらかを満たすであろうという予想である。

  のマーラー測度  は  より大きいかまたは等しい。

  は、円分多項式もしくは単項式  の積の整数倍である。この場合は  である。（同じことであるが、 のすべての根は 1 のべき根かまたは 0 である。）

マーラー測度の定義にはいくつかあって、そのうちの一つは多項式  を  上分解して

とし、

と定義するものがある。

知られている中で最も小さな（1 よりも大きい）マーラー測度は、レーマーの多項式

のマーラー測度であり、これはサレム数(Salem number)

である。

この例が、本当に最小の値、すなわち、レーマーの予想の  であると広く信じられている。

動機 
一変数のマーラー測度を考える。イエンセンの公式は、 であれば、

であることを示している。（このパラグラフを通して、 と表すことにする。これもマーラー測度と呼ばれる。）

このことは、 が整数係数の多項式であれば、 が 1 以上の代数的数であり、従って、 は代数的整数の対数であることを示している。また、もし  であれば、 は、円分多項式、つまり、すべての根が 1 のべき根であるようなモニック多項式と、 の単項式、つまり、ある  に対してべき  の積となることも示している。

レーマー(Lehmer)は、モニック多項式  に対する整数列  の研究の中で、 が重要な数値であることに気づいた。もし  が円の上で 0 とならない場合は  であることは明らかであるが、円の上で 0 になる場合でさえも、このステートメントが成立するのではないだろうか。これにより、彼は次の問いに至った。
 が非円分的なとき、 となるような定数  が存在するかどうか？
あるいは、
 が与えられた場合、 となる整数係数の  が存在するかどうか？
以下に見るように、いくつかの肯定的な答えが知られているが、しかし、レーマー予想は完全に証明されてはおらず、多くの興味深い問いが残っている。

部分的結果

 を次数  の既約モニック多項式とする。スミス  は、自己相反多項式でない、つまり、

であるすべての多項式に対し、レーマーの予想は正しいことを証明した。

ブランクスビー(Blanksby)と(Montgomery)は、 で、ステワート(Stewart)とは独立に、絶対的な定数  が存在し、 かまたは、: を満たすことを証明した。

ドブロウォルスキー(Dobrowolski)  はこの結果を改善し

とした。彼は、 C ≥ 1/1200 を得て、十分大きな D に対し漸近的に C > 1-ε も得ている。ボウティエール D ≥ 2 に対し C ≥ 1/4 を得ている。

楕円の類似

 を数体  で定義された楕円曲線とし、 を標準的高さ（ネロン・テイトの高さ(Néron–Tate height)とも言う）函数とする。標準的高さは、函数  の楕円曲線の類似である。この高さについては、 であることと、 が  の中で捩れ点(torsion point)であることとは同値である。楕円レーマー予想(elliptic Lehmer conjecture)は、定数  が存在し、すべての捩れのない点  に対して、

となるという予想である。ここに  とする。楕円曲線 E が虚数乗法を持つとドブロウォルスキーの結果の類似は、ローラン(Laurent)のおかげで、

となる。任意の楕円曲線に対し、知られている最も良い結果は、(David Masser)による

という結果である。非整数の j-不変量を持つ楕円曲線に対しては、これが改善されて、ヒンドリー(Hindry)と(Joseph H. Silverman)による

という結果がある。

制限付きの結果
より強い結果が、多項式や代数的数に制限をつけた場合に得られている。

P(x) が相反ではないとき、

となり、これは明らかに最良の場合である。さらに、P の係数がすべて奇数であれば、

となる。

αを任意の代数的数とするとき、体 Q(α) が Qのガロア拡大であれば、αの最小多項式に関しレーマー予想が成り立つ。

参考文献

外部リンク
http://www.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ is a nice reference about the problem.

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