一般化アペル多項式

数学において、ある多項式列  に一般化アペル表現（いっぱんかアペルひょうげん、）が存在するとは、その多項式の母関数が次の形式を取ることを言う：

ただし母関数あるいは核と呼ばれる  は、次の級数によって構成される：

 with 

および

 and all 

および

 with 

上述のように、 が次数  の多項式であることを示すことは難しくない。

より一般的なクラスの多項式として、ボアズ＝バック多項式が挙げられる。

特別な場合 
  とすると、ブレンケ多項式のクラスに属する多項式が得られる。
  とすると、ニュートン多項式のような一般差分多項式を含む多項式のシェファー列が得られる。
 それらを合わせて  および  とすることで、多項式のが得られる。

陽的表現 

一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。

この定数は

で与えられる。ただしこの和は  を  個に分割するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべての  に対して取られる。

アペル多項式に対し、これは次の公式となる。

漸化式 

核  が  に対し  と書くことが出来るための必要十分条件は

が成り立つことである。ただし  および  にはべき級数表現

および

が存在する。今

を代入することで、次の漸化式が直ちに得られる。

ブレンケ多項式の特別な場合として、 が得られ、したがって  が成り立つことから、漸化式は著しく簡易化される。

関連項目

参考文献 
 Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.
 William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, (1945) American Mathematical Monthly, 52 pp. 297–301.
 W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) (1947) Duke Mathematical Journal, 14 pp. 1091–1104.

多項式
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