導手

代数的整数論で、局所体や大域体の有限次アーベル拡大の導手(conductor)は、拡大の分岐を定量的に測るものである。導手の定義はアルティン写像に関連がある。

局所導手
L/K を非アルキメデス的局所体の有限アーベル拡大とすると、L/K の導手  は、(higher unit group) 

が NL/K(L×) に含まれるような最小の非負な整数 n である。ここに、NL/K は体のノルム(field norm)写像で、 は K の極大イデアル(maximal ideal)とする。同じことであるが、n は局所アルティン写像が  上で自明であるような最小の整数である。導手は、上記の n に対する  として定義されることもある。

拡大の導手は分岐を測る。定量的には、拡大が不分岐であることと、導手が 0 であることとは同値であり、（拡大が）(tamely ramified)であることと、導手が 1 であることとは同値である。さらに詳しくは、導手は(higher ramification group)の非自明性を測ることができる。(lower numbering)の高次分岐群 Gs が非自明であるような最も大きな整数を s とすると、 が成り立つ。ここに ηL/K は「下付添え字」を高次分岐群の(upper numbering)へ変換する函数とする。

また、L/K の導手はガロア群 Gal(L/K) の指標の(Artin conductor)とも関係している。特に、

であり、ここに χ は Gal(L/K) の(multiplicative complex characters)の全てを渡り、 は χ のアルティン導手であり、lcm は最小公倍数である。

さらに一般的な体
導手は、局所体の必ずしもアーベル的ではない有限次ガロア拡大に対しても L/K と同じ方法で定義することができる。しかしながら、導手は「ノルム限定定理」のために、L の中での K の最大アーベル拡大である Lab/K のみに依存する。ノルム極限定理は、この状況下では、

を意味している。

加えて、局所体の場合よりも少し一般的な場合、つまり、(quasi-finite)な剰余体を持つ完備付値体の場合は、導手を定義することができる。

アルキメデス的な体
大域的導手のためには、自明な拡大 R/R の導手が 0 であると定義し、拡大 C/R の導手が 1 であると定義する。

大域的導手

代数体
数体のアーベル拡大 L/K の導手は、アルティン写像を使い局所の場合と同様に定義できる。特に θ : Im → Gal(L/K) を大域的アルティン写像(global Artin map)とする。ここでは、(modulus) m は L/K の(defining modulus)である。θ が法  の(ray class group) を経由するときに、アルティン相互法則(Artin reciprocity)が m で成り立つという。L/K の導手を  と書き、相互法則の成立するモジュラスのすべての共通部分とする。実際、相互法則は、 に対し成り立つので、これは最も小さなそのようなモジュラスである

例
基礎体を有理数体とすると、クロネッカー・ウェーバーの定理は、代数体 K が Q のアーベル拡大であることと、ある円分体  の部分体であることが同値であることを言っている。従って、K の導手はそのようなものの中で最も小さな n である。
d を平方因子のない整数として， L/K を  とすると、

が成り立つ．ここで  は  の(discriminant)である。

局所導手や分岐との関係
大域導手は局所導手の積である。

結局、有限素点が L/K で分岐していることと、それが  を割ることは同値である。 無限素点 v は導手の中にあらわれることと、v が実素点で、L で複素素点となることとが同値である。

脚注

参考文献
 

 
 

類体論
数学に関する記事