ディリクレの単数定理

数学において、ディリクレの単数定理(Dirichlet's unit theorem)は、ペーター・グスタフ・ディリクレ  による代数的整数論の基本的な結果である。ディリクレの単数定理は、代数体  の代数的整数がなす環  の単数群  の階数を決定する。単数基準（あるいはレギュレータ）(regulator)とは、どれくらい単数の「密度」があるかを決める正の実数である。

ディリクレの単数定理
ディリクレの単数定理は、単数群が有限生成であり、階数（乗法的に独立な元の最大数）が

に等しいと主張する。ここに  は、代数体  の実埋め込みの数で、 は虚埋め込みの共役ペアの数である。この  と  は、複素数体への  の埋め込みが次数  と同じだけあるという考えの元に特徴付けられている。これらの埋め込みは、実数への埋め込みか、または、複素共役のペアとなる埋め込みのいずれかであるので、

となる。

 が  上のガロア拡大であれば、 と  のいずれかは 0 でないが、両方が同時に 0 にならないことに注意する。

 と  を決定する他の方法は以下のとおりである。

 原始元の定理を使い  と書くと、 の実数である共役元の数は  個であり、虚数である共役元の数は  個である。

 体のテンソル積  を体の積として書くと、これは、 個の  のコピーと  個の  のコピーの積である。

例として  を二次体とすると、実二次体ではランクは 1 であり、虚二次体ではランクは 0 である。実二次体の理論は本質的には、ペル方程式の理論である。

ランクが 0 の  と虚二次体を例外として除くと、全ての数体に対するランクは正になる。単数の「サイズ」は一般に単数基準と呼ばれる行列式により測られる。原理上は、単数の基底は実効的に計算することができるが、実際の計算は  が大きいときには非常に煩雑になる。

単数群の捩れは、 の 1 のすべての冪根の集合で、有限巡回群となる。少なくとも 1つの実埋め込みを持つ数体では、捩れは  のみとなるはずである。虚二次体のように、単数群の捩れが  であるような実埋め込みを持たない数体もある。

総実体は単数の観点からは特別に重要である。 を次数が 1 より大きな有限次拡大として、 と  の整数体の単数群が同じランクとすると、 は総実で、 は総虚な二次拡大となり、逆もまた正しい。（例として、 が有理数体、 が虚二次体の場合、双方ともランク 0 である。）

ヘルムート・ハッセにより（後日、クロード・シュヴァレーにより）単数定理は一般化され、整数環の局所化での単数群の階数を決定する(S-unit)の群の構造が記述された。また、ガロア加群構造  が決定された。

単数基準
 を 1 のべき根を法とした単数群の生成元の集合とする。 が代数的数であれば、 を  や  への埋め込みとして、 をそれぞれ実埋め込み・虚埋め込みに対応して 1, 2 とすると、各要素が  である  行列は、どの行の和も 0 であるという性質をもつ（何故ならば、全ての単数はノルムが 1 であり、ノルムの log は、行の要素の和とであるからである）。このことは、任意の列を除去して作られる部分行列の行列式の絶対値  が除去した列に依存しないことを意味する。数値  は代数体の単数基準（あるいはレギュレータ）(regulator)と呼ばれる（この値は  の選び方には依存しない）。この値は単数の「密度」を測るものであり、単数基準が小さければは単数が「多く」存在することを意味する。

単数基準は次のように幾何学的に解釈される。単数  を、要素  からなるベクトルへ写す写像は、 の  次元部分空間の中に像を持ち、要素の和が 0 となる全てのベクトルからなり、ディリクレの単数定理により像はこの空間の中の格子となる。この格子の基本領域の体積は、 である。

次数が 2 以上の代数体の単数基準の計算は、普通は非常に難しいが、現在は多くの場合に計算可能なコンピュータ用の代数パッケージが存在する。普通は類数公式を使い類数  に単数基準をかけた積  の計算は容易であるので、代数体の類数の計算における困難な点は、主に単数基準を計算することにある。

例

虚二次体や有理整数体の単数基準は 1 である。（0×0 行列の行列式は 1 とする)
実二次体の単数基準は、基本単数の log である。例えば、 の単数基準は  である。このことは次のようにして分かる。基本単数は  であり、 への 2つの埋め込みの像は  と  であるので、 行列は、

である。
 を  の根とすると、  の単数基準は、およそ 0.5255 となる。べき根を法とした単数群の基底は、 である。ここに  であり、 である。

高次単数基準
高次単数基準とは、単数群に対する古典的な単数基準を、 における代数的K-群  上の函数として拡張したものである（古典的な単数基準は、群  の場合に相当する）。この理論は発展途上であり、アルマン・ボレルらが研究している。このような単数基準は、例えばベイリンソン予想で利用され、整数引数のL-函数の評価時に現れると期待されている。

スターク単数基準
スターク予想の定式化により、ハロルド・スタークは、現在スターク単数基準(Stark regulator)と呼ばれているものを提唱した。これは古典的な単数基準の類似物として、任意のに対応する単数の log の行列式としたものである。

-進単数基準
 を数体とし、 の各々の固定された有理素点上の素点  に対して、局所単数を  で表し、 で  の中での主単数の部分群を表すとする。さらに、
 
と置き、 で大域的単数  の集合を表すとする。ここで  は  の大域的単数の対角埋め込みを通して  へ写す。

 は大域的単数の有限指数部分群であるので、 は階数  のアーベル群である。-進単数基準(-adic regulator)とは、この群の生成元の -進対数で作られた行列の行列式である。は、この行列式が 0 ではないと予想している。

脚注

参考文献

関連項目
(Elliptic unit)
(Cyclotomic unit)
(Shintani's unit theorem)

数論
ペーター・グスタフ・ディリクレ
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