ルベーグの分解定理

数学の測度論の分野における ルベーグの分解定理（ルベーグのぶんかいていり、）とは、ある可測空間  上のすべての二つのな符号付測度  および  に対して、次を満たすような二つの σ-有限な符号付測度  および  が存在することを述べた定理である。

 
 （すなわち、 は  に関して絶対連続）
 （すなわち、 と  は特異的）

これら二つの測度は、 および  によって一意的に定められる。

改良 
ルベーグの分解定理を改良する方法は多く存在する。

はじめに、実数直線上のある正則なボレル測度の特異部の分解は、次のように改良できる。
 
但し
 νcont は絶対連続（absolutely continuous）な部分
 νsing は特異連続（singular continuous）な部分
 νpp は純点（pure point）の部分（離散測度）

つづいて、絶対連続測度はラドン＝ニコディムの定理によって分類され、離散測度は簡単に理解することが出来る。したがって（特異連続測度はさておき）ルベーグの分解は測度の非常に明解な記述を提供するものとなる。カントール測度（実数直線上の確率測度で累積分布関数がカントール関数であるようなもの）は特異連続測度の一例である。

関連する概念

レヴィ＝伊藤分解 

確率過程に対する同様な分解に、次のようなレヴィ＝伊藤分解がある。ある X が与えられたとき、それは次のような三つの独立なレヴィ過程の和  に分解される。
  はドリフトを伴うブラウン運動で、絶対連続な部分に対応する；
  はで、純点の部分に対応する；
  は自乗可積分な pure-jump マルチンゲールで、有限区間においてほとんど確実に可算個の jumps を持つようなものであり、特異連続な部分に対応する。

関連項目 
 スペクトル分解
 ハーンの分解定理および対応するジョルダンの分解定理

引用

参考文献 
 
 
 
 

積分法
測度論
アンリ・ルベーグ
数学に関する記事
数学のエポニム