グリーン・タオの定理

ベン・グリーン (Ben Green) とテレンス・タオ (Terence Tao) により2004年に証明された、数論における定理であるグリーン・タオの定理は、素数の列は任意の長さの等差数列を含んでいるという定理である。言い換えると、任意の自然数 k に対し、k 個の項からなる素数の等差数列が存在する。証明はの拡張となっている。

2006年、テレンス・タオとタマル・ツィーグラー (Tamar Ziegler) は、この結果を polynomial progression へ拡張した。正確に言えば、定数項が 0 の、一変数の P1, ..., Pk が任意に与えられると、

が同時に素数となるような整数 x, m が無数に存在する。この特別な場合として、多項式が m, 2m, ..., km のものを考えると、長さが k の素数の等差数列が存在するということとなる。

数値計算結果

これらの結果は単に存在を保証する定理であり、どのようにして等差数列を見つけるかは示してはくれない。2007年1月18日、ヤロスラフ・ロンブロースキー (Jarosław Wróblewski) は 24 個の項からなる場合を初めて示した。
468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n,　　0 ≤ n ≤ 23.
ここで定数 223,092,870 は、23 以下の素数の積である（素数階乗を参照）。

2008年5月17日、ロンブロースキーとラーナン・チェルモーニ (Raanan Chermoni) は 25 個の素数の場合を見つけた。
6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 223,092,870 · n,　　0 ≤ n ≤ 24.

2010年4月12日、Benoãt Perichon は、PrimeGridプロジェクトのロンブロースキーとゲオフ・レイノルズのソフトウェアを使い、26 個の素数の場合を見つけた（）。
43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 · n,　　0 ≤ n ≤ 25.

関連項目

ディリクレの算術級数定理

参考文献

外部リンク
MathWorld news article on proof
Primes in Arithmetic Progression Records
P. Erdos and P.Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
AMS lecture: Structure and randomness in the prime numbers　 by Terence Tao.
 The Green-Tao theorem: an exposition by David Conlon, Jacob Fox, and Yufei Zhao

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