ゲーゲンバウアー多項式

数学において、ゲーゲンバウアー多項式（ケーゲンバウアーたこうしき、）または超球多項式 (ultraspherical polynomials)  とは、 (1849–1903) にちなんで命名された、区間  上で定義される重み関数  の直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、の特殊事例である。

性質 

 次の母関数により定義される：

 次の漸化式を満たす：

 次の常微分方程式（ゲーゲンバウアーの微分方程式）を満たす：

 ロドリゲスの公式により次のように導出できる：

 次の直交関係を満たす：

 ある角度の余弦を引数とする関数値について、次式が成り立つ：

  の場合がルジャンドル多項式に、 の場合が第二種チェビシェフ多項式に相当する。

参考文献

関連項目 
 超球面

微分方程式
直交多項式
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