カーダー・パリージ・ザン方程式

カーダー・パリージ・ザン方程式（) は、、ジョルジョ・パリージ、イー・チャン・ジャン  らによって提案された、ランジュバン型の非線形の確率偏微分方程式であり、結晶の界面成長を記述する。しばしば提案した三人の頭文字を取って、KPZ方程式と略記される。

 は、時刻  での  における界面の高さを表し、 は界面張力、 は非線形効果の強さ、 は確率的なノイズを表す。ノイズ項  は、

を満たすホワイトノイズ、特にであるとする。ここで  は角括弧で囲まれた物理量の配位空間での平均を表し、 はディラックのデルタを表す。また  はノイズの強さである。

界面の高さ  は、 に対する一価関数であることを仮定する。この仮定により、KPZ方程式で記述される界面は巨視的にはオーバーハングを持たない。

方程式の構成 

右辺第2項の非線形項  がなければ、方程式はエドワーズ・ウィルキンソン方程式  になる。
界面の傾きを  とし、その方向に速度  で界面が成長すると考えると、微小時間  の間に、界面の高さは  だけ変化する。 と置き換えられることに注意すれば、
 
とテイラー展開することができる。展開の第1項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第2項の非線形項であり、これが KPZ方程式の非線形項を与える。

方程式の変形

コール・ホップ変換 
高さの関数  を関数  を用いて、 と変換すると、KPZ方程式は以下のように書き直される。この変換をコール・ホップ変換という。

これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。
この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。

上記の経路積分より、 は、 と  を結ぶ、 次元空間上の方向付きの高分子  のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせる。

バーガース方程式への変換 
別の有用な変換として、ベクトル場  を用いて、界面の高さ  を  で書き換えると、方程式は以下の形になる。

ここで  と置けば、これは  を渦なしの速度場としたときの、バーガース方程式にノイズを加えたものになっている。
あるいは  を改めて  に置き換えてもバーガース方程式の形に変形できる。

スケーリング 

KPZ方程式をバーガース方程式へ変換した後、時間と空間に対し適当なスケール変換を施すと、

ノイズ  について、 の関係を仮定したことに注意すれば、デルタ関数について、

と変換されるので、バーガース方程式は、

となる。ここで  の項はスケール変換に対して不変であるとすると、指数 ,  について、 が成り立つことになる。

注釈

出典

参考文献

関連項目 
 フラクタル
 結晶成長
 繰り込み群

結晶学
数理物理学
統計力学
微分方程式
物理学の方程式
物理学のエポニム
数学のエポニム
数学に関する記事