重調和方程式

数学における重調和方程式（）とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である：

ここで  は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素  の自乗で、重調和作用素  として知られている。

例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。
 

重調和方程式の解は重調和関数  と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。

重調和方程式は連続体力学の分野（線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など）において現れる。

2次元空間
2次元の場合の一般解は

ここで  は調和関数で  は  の調和共役である。

2変数の調和関数は複素解析関数と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次のように書ける：

ここで  と  は解析関数である。

2次元の極座標系では、重調和方程式は

となる。これは変数分離法によって解ける。その結果はと呼ばれる。

例
 次元ユークリッド空間において、

ただし

は、 のときのみ、重調和方程式となる。

参考文献
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関連項目
 調和関数
 ラプラス作用素

外部リンク
 
 

関数
微分方程式
複素解析
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