主イデアル

主イデアル（）、あるいは単項イデアルとは、環  の単一の元  により生成された  のイデアル  のことを言う。（要するに、単元生成されたイデアルを主イデアルと言う。）

定義
  の左主イデアル (left principal ideal) は、の形の部分集合
  の右主イデアル (right principal ideal) は、の形の部分集合
 両側主イデアル (two-sided principal ideal) は、の形の部分集合

 が可換環であれば、上の3つの定義はみな同じになる。この場合は、 で生成されるイデアルを  と記すのが一般的である。

主イデアルでないイデアルの例
全てのイデアルが、主イデアルというわけではない。

例えば、2つの変数  の、複素数を係数とする全ての多項式からなる環  を考える。 と  で生成されたイデアル  は、定数項が 0 となるような  の多項式全てから構成されるが、主イデアルではない。このことを見るために、 が  の生成元であると仮定すると、 と  は両方とも  により割り切れることになるが、このことは  が 0 でない定数でない限り不可能である。しかし 0 は  の中の唯一の定数であり、従って矛盾する。

関連する定義

全てのイデアルが主イデアルであるような環を、主イデアル環 (principal ideal ring) と言う。主イデアル整域 (PID) とは、全てのイデアルが主イデアルとなるような整域を言う。任意の主イデアル整域は一意分解整域 (UFD) であり、整数における一意分解（いわゆる、算術の基本定理）の普通の証明が任意の主イデアル整域で成り立つ。

性質

任意のユークリッド整域は主イデアル整域であり、最大公約数の計算に使われるアルゴリズムを、任意のイデアルの生成子を見つけることに使うことができる。さらに一般的には、可換環のどの2つの主イデアルも、イデアルの乗法の意味で最大公約数を持っている。そのため、主イデアル整域では、環の元の最大公約数を、単元による積を除いて、定義できる。すなわち、 をイデアル  の任意の生成子として定義する。

デデキント整域  に対し、 の 主イデアルではないイデアル  が与えられたとき、 の拡大  であって、 により生成される  のイデアルが主イデアルとなる（大ざっぱにいえば、 は  で主イデアルとなる）ようなものが存在するかと問うこともできる。この問題は、数論で代数的整数の環の研究の関連で発生し、高木貞治、エミール・アルティン (Emil Artin)、ダフィット・ヒルベルト (David Hilbert) やその他多くの数学者による類体論の発展を導いた。

は、任意の整数環  （つまり、ある代数体の整数環）に対し、それを含むような整数環  であって、 の全てのイデアルが  の主イデアルとなるようなものが存在すると言う定理である。この定理において、 を  のヒルベルト類体の整数環とすることができる。ヒルベルト類体は、 の分数体の最大の不分岐アーベル拡大（つまりガロア群が可換なガロア拡大）であり、これは  によって一意的に決定される。

クルルの主イデアル定理は、 がネーター環で、 が  の真の主イデアルであれば、 の高さは高々 1 であるという定理である。

関連項目 
主イデアルに関する昇鎖条件

参考文献
 

イデアル
可換環論
数学に関する記事