特殊線型群

数学において、 体  上の次数  の特殊線型群（とくしゅせんけいぐん、）とは、 行列式が  である  次正方行列のなす集合に、通常の行列の積と逆行列の演算が入った群である。この群は、行列式

の核として得られる、一般線型群 の正規部分群である。
ここで は  の乗法群（つまり、 から  を除いた集合）を表す。

特殊線型群の元は「特殊な」もの、つまりある多項式が定める一般線型群の部分代数多様体、である（行列式は多項式であることに注意）。

幾何学的解釈
特殊線型群  は、体積と向きを保つ  における線型変換のなす群として特徴付けられる。これは線型変換の行列式が、体積と向きの変化を測っていると解釈できることに対応している。

リー部分群
 が  (実数体)、または  (複素数体) であるときには、 は の  次元のリー部分群である。 のリー代数  は、トレースが  である 上の  次正方行列からなる。リー括弧積は、交換子積によって与えられる。

位相
すべての正則行列はユニタリ行列と正定値エルミート行列の積に一意的に極分解できる。
ユニタリ行列の行列式は単位円上に値をとり、正定値エルミート行列の行列式は正の実数なので、
特殊線型群に属している行列をこれらの積に分解したとき、それらの行列式は共に1である。
よって特殊線型群に属する行列は特殊ユニタリ行列と行列式が  の正定値エルミート行列の積で書ける。

よって群  の位相は特殊ユニタリ群  と行列式が  の正定値エルミート行列全体からなる群の積位相で与えられる。
行列式が  の正定値エルミート行列はトレース  のエルミート行列の指数関数行列として一意的に表せるので、その位相は  次元のユークリッド空間と同じである。

また群  の位相は特殊直交群  と行列式が  の正定値対称行列全体からなる群の積位相で与えられる。
行列式が  の正定値対称行列はトレースが  の対称行列の指数行列として一意的に表せるので、その位相は 次元のユークリッド空間と同じである。

群  は、特殊ユニタリ群  のように、単連結である一方  は、特殊直交群  のように、単連結ではない。
 は あるいは  と同じ基本群を持つ。
つまり  のときは で  のときは  である。

関連項目
 群論
 一般線型群
 正規部分群
 リー群
 リー代数
 行列の定値性
 行列指数関数

線型代数学
群論
数学に関する記事

pl:Pełna grupa liniowa#Specjalna grupa liniowa
zh:一般线性群#特殊線性群