ドルボーコホモロジー

数学、特に代数幾何学および微分幾何学におけるドルボーコホモロジー (）は複素多様体に対するドラームコホモロジーの類似対応物で、名称はに因む。複素多様体  のドルボーコホモロジー群  は整数の対  をパラメータに持ち、次数 -の複素微分形式の空間の部分商として実現される。

コホモロジー群の構成 
次数  の複素微分形式全体の成すベクトル束を  と書く。ドルボー作用素（定義は複素微分形式の項を参照せよ）は滑らかな切断上の微分作用素  として定義される。これは を満たすから、適当なコホモロジーが付随する。具体的には商空間  としてコホモロジーが定義される。

ベクトル束のドルボーコホモロジー 
 を複素多様体  上の正則ベクトル束とすれば、同様に  の正則切断の成す層  の細層分解が定義でき、そしてこれは  の層係数コホモロジーを想起させる。

ドルボーの定理 
ドルボーの定理はドラームの定理の複素版で、ドルボーコホモロジーが正則微分形式の層に関する層係数コホモロジーに同型であることを主張する。
 定理 (Dolbeault) 複素多様体  上の正則 -形式全体の成す層を  と書けば、  が成り立つ。

対数的微分形式に対する同様の定理もある。

 証明  を  次の -級複素微分形式全体の成す細層とすれば  に関するポワンカレの補題により系列  は完全である。任意の長完全列と同様にこの列を短完全列に分解し、対応するコホモロジーの長完全列を作れば、細層の高次コホモロジーは消えるのだから、所期の結果を得る。

注

注釈

出典

参考文献

外部リンク 
 
 

コホモロジー論
複素多様体論
ホッジ理論
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