楕円型偏微分方程式

数学の分野における楕円型偏微分方程式（だえんがたへんびぶんほうていしき、）とは、一般的な二階の偏微分方程式
 
で次の条件を満たすもののことを言う：
 
（ここで、暗に  を意味している）。
 
円錐断面や二次形式を分類する際に判別式  を利用するように、二階の偏微分方程式に対しても、ある与えられた点において、同様の分類が行われる。ただし、上の例のように偏微分方程式の慣習として係数のひとつが「2B」であり、これを前提として対応する判別式は となる（詳細については「二階の方程式（英語版）」を参照されたい）。前述の形式は、平面上の楕円の方程式
  
と同様のものである。この方程式は（ である場合には）
 
および  へと変わる。これは、標準的な楕円の方程式  に類似している。

一般的に、n 個の独立変数 x1, x2 , ..., xn が与えられた際に、二階の線型偏微分方程式は次の形で記述される：
 , 
ここで、L は楕円型作用素である。

例えば、三次元 (x,y,z) においては

が得られる。ここで、u が（すなわち、u(x,y,z)=u(x)u(y)u(z)）である場合には、

が得られる。

これは、楕円体の方程式  と対応している。
いちばん簡単な例は,

のようなラプラス方程式である。

関連項目 
 楕円型作用素
 双曲型偏微分方程式
 放物型偏微分方程式
 ポアソン方程式

微分方程式
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