標準環

数学では、（非特異な）代数多様体や複素多様体 V の 多重標準環(pluricanonical ring)は、次の標準バンドル K のベキの切断の次数付き環である。
 

この n 番目の次数の要素（ に対して)は、

であり、すなわち、標準バンドル K の n 番目のテンソル積 Kn の切断の空間である。

0 番目の次数の要素  は自明なバンドルの切断で、V が射影的なときは 1 次元である。この次数付き環により定義された射影多様体を V の 標準モデル(canonical model)といい、標準モデル の次元を小平次元と言う。

V 上のラインバンドル L に似たような環を定義することができ、この類似な次元を 飯高次元 と言う。もし飯高次元が多様体の次元に等しいときに、ラインバンドルは 大きい と言う。

性質

双有理不変性
従って、標準環は小平次元のように双有理不変量であり、コンパクトで滑らかな複素多様体の間の任意の双有理写像は、それぞれの標準環の間の同型を導く。結論として、特異点のある空間の小平次元を特異点解消した（多様体の）小平次元として定義することができる。双有理性のおかげで、これはWell-definedで、つまり、特異点の解消方法の選択とは独立している。

双有理幾何学の基本予想
双有理幾何学の基本予想とは、多重標準環はであろうという予想である。このことはの大きな一つのステップと考えられている。
  はこの証明をしたことをアナウンスした。

多重種数
次元

は、V の古典的に定義された n 番目の 多重種数 である。対応するを通した多重標準因子  は、射影空間  への写像を与え、この写像を n-標準写像(canonical map)と言う。

R の大きさは V の基本的な不変量であり、小平次元と呼ぶ。

参考文献

 

代数幾何学
双有理幾何学
多様体の上の構造
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