1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯

数学において、無限級数  −  +  −  + … は絶対収束する交項級数の簡単な例である。

これは初項 、公比 − の等比数列であり、その和は以下のようになる。

ハッケンブッシュと超現実数 

この級数を僅かに変えると以下の級数になる。

この級数は正の整数に正か負の符号をつけたすべての2の負冪を含む級数を足した形であるので、超現実数  を表す無限の青赤の列で表現することができる。 
LRRLRLR… = 

Rが続く部分を除去して少しシンプルなハッケンブッシュ列を得る。
LRLRLRL… = 

ハッケンブッシュゲームの構造の言葉で言えば、この等式は右に描かれたボードが 0 の値をもつことを意味する。どちらのプレイヤーが動こうが、2番目のプレイヤーが勝つ戦術をもっている。

関連する級数 
 +  +  +  + ⋯ は絶対収束するということは、収束する。実際後者の級数は 1 に収束し、1 の二進展開の一つが 0.111… であることを証明している。
級数  −  +  −  + … の項を2つずつまとめると、同じ和をもつ別の幾何級数  +  +  +  + … になる。この級数は、数学史上最初に和が計算されたものの一つである。アルキメデスが紀元前250年から200年頃に使用したのである。
発散級数 1 − 2 + 4 − 8 + … のは、 −  +  −  + … である。したがって、前者の級数は普通の意味では和をもたないにもかかわらず、 にである。

脚注

参考文献 

級数
実数
数学に関する記事