メガ素数

メガ素数（）は、100万桁以上の素数である。

、1805 個のメガ素数と 89 個の確率的メガ素数が知られている。最初に発見されたメガ素数は、メルセンヌ素数の26972593−1（2,098,960桁）で、1999年6月1日にNayan Hajratwalaが分散コンピューティング・プロジェクト、GIMPSを使用した物であった。

10進数で1,000桁以上の素数はタイタニック素数と呼ばれ、10,000桁以上の素数は巨大素数と呼ばれる。

種類別のリスト 
以下では、メガ素数または確率的メガ素数を、素数の種類別に一覧で示す。
 「Prime/PRP」欄は、素数であると証明されたものを "Prime"、底ごとのフェルマーテストなど、いくつかのテストをクリアした確率的素数を "PRP" で表している。

メルセンヌ素数 
2022年4月現在で51個のメルセンヌ素数が知られており、そのうち38番目以降の14個がメガ素数である。知られている最大の素数はほとんどの期間でメルセンヌ素数 (のいずれか) であった。これは、知られている大きな数の素数判定が  あるいは  の素因数分解に基づいており、メルセンヌ数の場合は  の素因数分解がほとんど自明であったためである。

プロス数 
正の奇数  と  を満たす  に対して、 で表される数をプロス数 () と言う。

プロス素数の探索プロジェクトとしてProth Prime Searchがある。また、探索プロジェクトを持つようなプロス数のクラスには次のようなものがある：

 第2種...  (321 Prime Search)
 カレン数 ...  (Cullen/Woodall prime search)
 シェルピンスキー問題 ... 最小のシェルピンスキー数は78557か？ (Seventeen or Bust)
 Prime Sierpiński problem ... 最小の素数であるシェルピンスキー数は271129か？ (Prime Sierpinski Problem)
 拡張シェルピンスキー問題 ... 2番目に小さいシェルピンスキー数は271129か？ (Extended Sierpinski Problem)
 フェルマー数 ...  (Distributed Search for Fermat Number Divisors)
 フェルマー数  の素因数は  と表されるため、 が十分に小さいならばプロス数である。

サービト数 

自然数  に対して  の形で表される数を、イスラムの数学者サービト・イブン・クッラの名前を冠してサービト数と言う。サービト数および第2種サービト数 (上述) である素数を探索するプロジェクトとして、321 Prime Searchが存在する。

一般化フェルマー数 

3以上の整数  に対して、 で表される数を、 を底とする一般化フェルマー数と言う。

PrimeGridのGeneralized Fermat Prime Searchは、一般化フェルマー数のうち  の範囲において素数を探索するプロジェクトである。2022年4月現在、Generalized Fermat Prime Searchは387個の一般化フェルマー素数であるメガ素数を発見している。

一般化カレン数 
整数  と  を満たす  について、 の形で表される数を一般化カレン数という。

(一般化)ウッダル数 

自然数  に対して  の形で表される数をウッダル数という。一般化カレン数と同様に、整数  と  を満たす  について、 の形で表される数を一般化ウッダル数という。

ワグスタッフ素数 

素数  に対して、の形で表される素数をワグスタッフ素数という。2022年4月現在で、ワグスタッフ素数の形である確率的素数は14個報告されており、うち4つが100万桁以上の確率的メガ素数である。

(一般化)unique素数 
2および5でない素数  について、 の逆数の循環節の長さが他のものと一致しないとき、 を  (あるいは , 英語版) という。例えば3, 11, 37, 101がそのような素数の例である。また、一般の基数  に対して、同様の条件を満たす素数  を  という。

より明示的な定義は、円分多項式  に対してが素数の冪で表されるとき、その素因数は基数  の generalized unique prime であるという。

その他

注釈

関連項目 
 完全数
 巨大な素数の一覧
 素数が無数に存在することの証明

外部リンク 

 The Top Twenty - 発見された素数の、種類別の上位20のリストと解説記事
 Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top Records - 確率的素数の報告およびランキング

出典

GIMPS

PrimeGrid

PrimePage Primes 

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数学に関する記事

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