エルミート標準形

数学の線型代数学におけるエルミート標準形（エルミートひょうじゅんけい、）とは、整数全体 Z についての行列の行階段形と同様の概念である。

非特異正方行列 
成分が整数であるような非特異正方行列 M = (mij) がエルミート標準形（Hermite normal form, HNF）であるとは、次を満たすときを言う：

 M は上三角行列である。
 対角成分 mii が正である。
 i > j に対し、mii > mji ≥ 0 が成立する。すなわち、ある列において、その対角成分よりも上に位置する成分は非負であり、その対角成分よりも小さい。

一般的な行列 
より一般的に、成分が整数であるような m×n 行列がエルミート標準形（HNF）であるとは、
 0 ≤ r ≤ n を満たすような r、および
 単調増加関数 f: [r + 1, n] → [1, m]
が存在し、M のはじめの r 列がゼロで、r + 1 ≤ j ≤ n に対し
 mf(j)j > 0。
 i > f(j) のときは、mij = 0。
 k < f(j) のときは、mf(j)j > mkj ≥ 0。
が成立することを言う。

エルミート標準形の一意性 
成分が整数であるような m×n 行列 A が任意に与えられたとき、
 ただし U ∈ GLn(Z)（すなわち、U はユニモジュラ行列である）
を満たすような、整数成分のエルミート標準形の m×n 行列 H が一意に存在する。H の非ゼロの列により構成される行列のことを、A のエルミート標準形と呼ぶ。

例 
以下の行列 A のエルミート標準形が、H である。

例 
行列 A のエルミート標準形が、行列 H である。

ここで r=2; f(3)=1,  f(4)=2, f(5)=3, f(6)=4 が得られる（f(j) は、列 j に含まれる最小の非ゼロ成分の行を与える）

関連項目

注釈

参考文献 
Section 2.4.2 of 

線型代数学
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