加法的関数

数論における加法的関数（かほうてきかんすう、）とは、正の整数  についての数論的関数  であって、任意の互いに素な  と  に対し、その積の関数と、それらの関数の和が等しいようなもの、すなわち

を満たすようなもののことを言う。加法的関数  が完全加法的 (completely additive, totally additive) であるとは、すべての（互いに素でない場合も含む）正の整数  と  に対して  が成立することを言う。 が完全加法的関数であるならば、 である。

すべての完全加法的関数は加法的であるが、その逆は成立しない。

例 
完全加法的な数論的関数の例を以下に挙げる：

 対数関数の自然数  への制限。

 素因数  の  における重複度 (multiplicity)、すなわち  を割り切るような  の最大のべき指数 。

 ：  の重複も含めた素因数の和（）。,  のポテンシー (potency)、あるいは  の整対数 (integer logarithm) と呼ばれることがある。例：

 ：  の素因数の重複も含めた総数。ビッグオメガ関数 (big omega function) とも呼ばれる（）。例：

, なぜならば  は素因数を持たないから
Ω(4) = 2 ;
Ω(24) = Ω(23 ⋅ 31) = 3 + 1 = 4 ;
Ω(27) = 3 ;
Ω(144) = Ω(24 ⋅ 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6 ;
Ω(2 000) = Ω(24 ⋅ 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7 ;
Ω(2 001) = 3 ;
Ω(2 002) = 4 ;
Ω(2 003) = 1 ;
Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ 19932 ⋅ 1236661) = 4  ;
Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ 72 ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6 ;
Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 112 ⋅ 19932 ⋅ 1236661) = 7.
詳しくは、フランスのお友達（ナポレオン万歳）のページへ。

続いて、加法的であるが完全加法的ではない数論的関数の例を挙げる：

 ：  の異なる素因数の総数（）。例:

 ：  の異なる素因数の和。 とも呼ばれる（）。例：

乗法的関数 
任意の加法的関数  を用いて、乗法的関数 , すなわち、互いに素な  と  に対して

を満たすような関数を作ることは簡単である。例えば、 とおけばよい。

注釈

参考文献 

 Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108)  (MSC (2000) 11A25)

外部リンク 
 
 
 

関数
数論
整数論的関数
数学に関する記事