ベールの性質

位相空間  の部分集合  が
ベールの性質を持つ、またはほとんど開な集合であるとは、その集合がある開集合との差が第一類集合であること。すなわち開集合  で  が第一類集合となるものがあることである（ここでの  は対称差を表す）。ベールの性質と言う名前はルネ＝ルイ・ベールにちなむ。

ベールの性質を満たす集合全てによる族はσ-代数をなす。すなわち、ほとんど開な集合の補集合はほとんど開であり、ほとんど開な集合の可算和や可算交叉もまたほとんど開である。

開集合はほとんど開な集合である（空集合は  である）ため、どんなボレル集合もほとんど開である。ポーランド空間の部分集合がベールの性質を持つとき、それに対応するバナッハ・マズール・ゲーム が  である。その逆は成り立たない。しかし、与えられた   に属するゲームがすべて  であるなら、 に属する集合はすべてベールの性質を持つ。

選択公理から、ベールの性質を満たさないような実数集合が存在することが導かれる。特に、ヴィタリ集合はベールの性質を満たさない。これを示すには選択公理より弱いがあれば十分で、それは自然数全体の集合の上の非単項の存在を導き、そのようなウルトラフィルターは実数の二進小数展開によってベールの性質を満たさない実数集合になる。

参考文献

関連項目 
ベールの範疇定理

集合論
数学に関する記事