メリン変換

数学におけるメリン変換（メリンへんかん、）とは、両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。

この変換の名はフィンランドの数学者の名にちなむ。

定義
局所可積分な関数 f のメリン変換は

により定義される。
任意の小さな正の数  に対して、  のとき  、  のとき  と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、  は  で解析的な関数となる。

また、メリン逆変換は

により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 c は  を満たす任意の実数である。
このような逆が存在するための条件は、で与えられている。

他の変換との関係
両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて

と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により

と表される。

メリン変換は、積分核 xs を用いた、乗法的ハール測度  についての積分と考えることが出来る。ここで  は拡張  について不変であり、したがって  が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度  についての積分と考えられる。ここで  は移動不変であり、したがって  が成り立つ。

同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、

が成立する。反対に

も成立する。メリン変換はまた、やを、の意味におけるポアソン母関数と結び付ける。

例

カヘン-メリン積分
、 および上の  に対して、

が成立する。ここで  はガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている。

数論
数論における重要な応用例として、単関数 
に対し 

が成立する、ということが挙げられる。

ゼータ関数 
メリン変換を用いることで、リーマンゼータ関数  についての公式を得ることができる。としたときよって

L2 上のユニタリ作用素として
ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。 （Lp空間を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常に  を含む。そのため、線形作用素  を

によって定義することが出来る。言い換えると、集合

を定義することが出来る。この作用素は通常  とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために  を記号として用いる。このときにより、 は可逆であって、その逆は

と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち  がすべての に対して成立することが分かる（この性質のために係数  が用いられている）。したがって、 はユニタリ作用素である。

確率論において
確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる。X を確率変数とし、} をその正の部分、} をその負の部分としたとき、X のメリン変換は
 
として定義される。ここで γ は、 を満たすもの（formal indeterminate）である。この変換は、複素帯領域 }（ただし）内のすべての s に対して存在する。

確率変数 X のメリン変換  は、その分布関数 FX を一意に定める。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: X および Y を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい。すなわち、
 
が成立する。

応用
メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。

この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。

その他の例
 ディリクレ級数へのメリン逆変換の応用について述べたものに、ペロンの公式がある。
 メリン変換は素数計数関数の解析に用いられる。またリーマンゼータ関数の議論にも現れる。
 メリン逆変換は主にリース平均に現れる。
 メリン変換はオーディオ・タイムスケール-ピッチ調整に使うことが出来る。

関連項目

ペロンの公式

注釈

参考文献

 Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

外部リンク
 Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.
 Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas
 Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (in Spanish).
 Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
 Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX

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