電磁場テンソル

電磁場テンソル（でんじばテンソル）とは、電磁場を相対性理論に基づいた4次元時空の形式で記述した2階の反対称テンソル場である。以後、相対論と言えば、特に断りがなければ特殊相対性理論を指す。

定義 
電磁場の強度（） は二階のテンソル

と定義される。
ここで  は相対論的な4元ベクトルの電磁ポテンシャル

である。
また、微分も相対論的な4元ベクトル

である。

定義から電磁場テンソルは明らかに反対称テンソルである。従って独立成分は6つある。
これは3次元空間のベクトル場である電場の強度  と磁束密度  の各成分に対応する。
電場の強度と磁束密度は3次元空間の電磁ポテンシャルによって

と表される。
あるいは各成分毎に

と書くことが出来る。
具体的には

である。上付きの
 は

となる。それぞれ行列の形で表せば

となる。

双対テンソル 
完全反対称テンソル  を用いれば、電磁場の強度  に双対なテンソル

が定義される。
具体的には

であり、行列の形で表せば

となる。

媒質中の電磁場 
媒質中での電磁場を表す電束密度  と磁場の強度  は、電磁場の強度と同様に二階のテンソル  によって相対論的な形式で記述される。
それぞれの成分は具体的には

である。このテンソル  はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。
サブ電磁テンソル  は電磁場の強度  と

で関係付けられる。ここで  は分極テンソルであり、その成分は誘電分極  と磁化  である。
具体的には

である。
サブ電磁テンソル  と分極テンソル  をそれぞれ行列の形で表せば

である。

球座標表示 
球面座標系  による4元ポテンシャルの成分表示は

であり、電磁場強度  として

が得られる。
平坦な時空のミンコフスキー計量とその逆行列は球座標において

であり、電磁場強度の添え字を上げると

となる。

例えば、原点に点電荷  が存在するときの電磁場テンソルは

で表される。

マクスウェルの方程式 
電磁場テンソルによって、相対論的な形でマクスウェルの方程式を記述することができる。
定義からビアンキ恒等式

が成り立つ。
双対テンソルを用いれば

と表すことも出来る。
この式は添え字  についての4つの方程式であり、それぞれ

と対応する。

自由空間における電磁場の運動方程式は

と表される。
ここで  は4元電流密度である。
この式は添え字  についての4つの方程式であり、それぞれ

と対応する。

媒質中の運動方程式 
媒質中の運動方程式は

と表される。
成分ごとにそれぞれ

である。

ローレンツ力 
電磁場テンソルは荷電粒子に作用するローレンツ力を相対論的に記述する際に現れる。
相対論的な粒子の位置を  で表すとき、電荷  を帯びた荷電粒子に作用するローレンツ力は

となる。
ここで  は粒子の4元運動量である。ドットは運動のパラメータによる微分である。

一般相対論 
時空の曲率、すなわち重力場がある場合に、偏微分はテンソルとはならず、接続を導入して共変微分への置き換えが必要となる。しかし、電磁場強度  は偏微分による定義を変更することなくテンソルである。反対称性により共変微分の接続が相殺されるため

となる。ビアンキ恒等式は定義から成り立つので変更を要しないが、運動方程式は

であり、共変微分への置き換えが必要となる。

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目 
電磁気学
特殊相対性理論
テンソル
マクスウェル方程式
アインシュタインの縮約記法

電磁気学
微分方程式
電気理論
自然科学の法則
テンソル