一様可積分性

一様可積分性（いちようかせきぶんせい、）とは、数学の実解析、関数解析学および測度論の分野における重要な概念で、ルベーグ可積分性の概念を拡張し、条件付き期待値やマルチンゲールの理論の発展のために重要な役割を担うものである。確率変数の収束において、この性質は、確率の意味において収束する確率変数が  の意味において収束するための必要十分条件を与える。

形式的定義
次の定義が適用される。

 確率変数のクラス  が一様可積分であるとは、 が与えられた時、 がすべての  に対して成立するような  が存在することを言う。ただし  は指示関数  である。 

 二箇条を必要とするような、別の定義は次のようなものである: 確率変数のクラス  が一様可積分であるとは、
  に含まれるすべての  に対して、 となるような有限の  が存在する。
 すべての  に対してある  が存在し、 となるようなすべての可測な  および、すべての  に対して、 が成立する。
の二つが成立することを言う。

関連する系
次のような結果がある。
 上の一つ目の定義は、次のような極限を用いることで書き換えられる:
 
 確率変数  の列を考える。 と定義する。すべての n に対して  であるため、明らかに  である。しかし、上の一つ目の定義に従えば  であることから、この数列は一様可積分ではない。すなわち、ルベーグ可積分ではあるが、一様可積分ではない。   
 上の二つ目の定義によれば、 が有界でないときにはその第一箇条目は成立しないことが分かる。もし  が一様可積分な確率変数であれば、 と区分し、それぞれを上から抑えることにより、その確率変数は  に含まれることが分かる。また、任意の  確率変数は、上の二つ目の定義の第二箇条目を満たすことが分かる。
 確率変数  のどのような列も、ある可積分な非負の  によって支配されているなら、すなわち、任意の ω と n に対して、 が成立しているなら、確率変数  のクラス  は一様可積分である。
  () において有界な確率変数のクラスは、一様可積分である。

関連する定理
 –の定理
確率変数  のクラスが一様可積分であるための必要十分条件は、それが弱位相においてであることである。
の定理
族  が一様可積分であるための必要十分条件は、ある非負の増加凸関数  で  および  を満たすようなものが存在することである。

確率変数の収束との関係

 数列  が  ノルムにおいて  へと収束するための必要十分条件は、それが  へと測度収束し、かつ一様可積分であることである。
 確率の意味において収束する確率変数列が、期待値の意味においても収束するための必要十分条件は、それが一様可積分であることである。

脚注

参考文献
 
 
 J. Diestel and J. Uhl (1977). Vector measures, Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1
  

マルチンゲール理論
確率論
関数解析学
測度論
数学に関する記事