ベクトル測度

数学の分野におけるベクトル測度（ベクトルそくど、）とは、ある集合族上で定義される、ある特定の性質を備えたベクトル値関数である。非負実数値のみを取る測度の概念の一般化である。

定義と第一の帰結
集合体  とバナッハ空間  が与えられたとき、有限加法的ベクトル測度（あるいは、簡潔に測度）とは、 内の任意の互いに素な集合  と  に対して
 
が成り立つような関数  のことを言う。

ベクトル測度  が可算加法的であるとは、 内の任意の互いに素な集合の列  でその合併が　 に含まれるようなものに対して、

 

が成り立つことを言う。但し、右辺の級数はバナッハ空間  のノルムについて収束するものとする。

加法的ベクトル測度  が可算加法的であるための必要十分条件は、上述のような任意の列  に対して
 
が成り立つことである。ここで  は  のノルムである。

σ-代数上で定義される可算加法的ベクトル測度は、測度や符号付測度、複素測度よりも一般的である。ただしそれらは、それぞれ拡大区間 、実数の集合、および複素数の集合上に値を取る可算加法的関数である。

例 
区間  およびその区間に含まれるすべてのルベーグ可測集合の族  から成る集合体を考える。そのような任意の集合  に対して

 

を定義する。ここで  は  の指示関数である。この  がどの空間に値を取るかによって、次の様な二つの異なる結果が生じる。

  から Lp 空間  への関数と見なされたとき、 は可算加法的ではないベクトル測度である。

   から Lp 空間  への関数と見なされたとき、 は可算加法的なベクトル測度である。

これらの陳述は、上述の条件 (*) から簡単に従う。

ベクトル測度の変分 
ベクトル測度  に対し、その変分（variation） は

 

によって定義される。ここで右辺の上限は、 内のすべての  に対してその有限数の互いに素な集合へのすべての分割

 

に対して取られる。また  は  上のノルムである。 の変分は  に値を取る有限加法的関数である。 内の任意の  に対して

 

が成立する。 が有限であるなら、測度  は有界変分（bounded variation）に属すると言われる。 が有界変分のベクトル測度であるなら、 が可算加法的であることと  が可算加法的であることは同値である。

リャプノフの定理 
ベクトル測度の理論におけるリャプノフの定理によれば、（な）ベクトル測度の値域は閉かつ凸である 。実際、非原子的なベクトル測度の値域はゾノイド（ゾノトープの収束列の極限であるような閉凸集合）である。この定理は、数理経済学や、ビッグバン制御理論、およびにおいて用いられる。リャプノフの定理は、その離散相似と見なされるを用いることによって証明される

脚注

書籍 

 Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.

関連項目 
 ボホナー積分

測度論
関数解析学
制御理論
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