ビネ・コーシーの恒等式

代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、)とは、および オーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する、次の恒等式

のことである。ここで、 は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。

 かつ 
とすれば、実数に対するが得られる。これはユークリッド空間  におけるコーシー＝シュワルツの不等式を強化したものである。

証明 
右辺第2項を展開すると

となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)

ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積 
n = 3,  のとき

すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式

が得られる。（この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。）

この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば

とベクトル三重積の公式が得られる。

また、 とおくと、

と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。

一般化 
以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である：
 を自然数とし、集合  を  と表記する。 を非負整数として、 を 行列、 を 行列とする。
 を  から  個を選んだ部分集合とし、 を  の 個の列から  に含まれる添字の列を取り出して得られた 行列、 を  の 個の行から  に含まれる添字の行を取り出して得られた 行列とする。

行列である積  の行列式は

となる。ただし、和において、 は、 の部分集合で要素数が  のものすべてを取るとする。

特別な場合として、 として

を適用すれば

となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。

脚注

参考文献

関連項目 

行列式
コーシー・ビネの公式
三重積 (ベクトル解析)
四重積 (ベクトル解析)

外部リンク 

人名を冠した数式
行列式
恒等式
数学に関する記事
線型代数学
ベクトル解析