順序群

抽象代数学における（半）順序群（じゅんじょぐん、）は、両側移動不変な順序関係を付加的な構造として備えた群である。

定義 
群  と  上の順序  が与えられ  の任意の元  に対して
  ならば  かつ  が成り立つ
という意味で順序  と群演算 "" とが両立するとき、 は順序群であるという。紛れの惧れがないならばこれを単に順序群  と書く。

以下、群演算の可換性を仮定しないが、順序群は加法的に記すものとする。即ち、群演算を "", 群の単位元を ,  の逆元を  で表す。

順序群  の元  が  の正元 (positive element) とは  を満たすことを言う。 の正元全体の成す集合を  の正錐 (positive cone) と呼び、しばしば  で表す。正錐を用いれば、 と書ける。

一般の群  に対して、正錐の存在は  を順序群とする順序を一意的に定める。即ち、群  が順序群となるための必要十分条件は、以下の条件を満たす部分集合  が存在することである（この  が正錐  になる）。 
 
  かつ  ならば 
  ならば  が各  に対して成り立つ。
  かつ  ならば  である

従ってしばしばこの条件を満たす組  を順序群と定義することもある。

諸概念 
順序群  とその正錐  に対し、 が無孔 (unperforated) であるとは、適当な自然数  に対して  ならば必ず  が成り立つことを言う。 無孔であることは、正錐  に「隙間」("gap") がないことを意味する。

順序群の順序が全順序ならば全順序群（または線型順序群）といい、順序が束（つまり任意の二元集合が上限を持つ） ならば束群 (lattice-ordered group; ℓ-group) と呼ぶ。

リース群は束群より少し弱い性質を満たす無孔順序群である。つまり、リース群は
 リースの補間条件:  の任意の元  は、 を満たすならば適当な  が存在して  とすることができる
を満足する。

二つの順序群  に対して、写像  が順序群の準同型であるとは、 は抽象群の準同型であってかつ単調写像となっていることを言う。順序群の全体は、順序群の準同型を射として圏を成す。

順序群（特に順序加群）は体の賦値を定義するのに用いられる。

例 
 は順序群である。
 リース空間は束群である。
  に成分ごとの和で群演算を入れたものに、順序を  で入れたもの（右辺は整数の通常の大小関係）は順序群の典型的な例である。
 より一般に、順序群  と勝手な集合  に対し、 から  への写像全体の成す空間  は成分ごとの演算によりまた順序群になる。また、順序群  の任意の（単に群としての）部分群は  の順序をそこへ制限した順序に関して順序群を成す。

注

注釈

出典

参考文献

関連文献 
 
 , chap. 9.

関連項目 
 順序環
 順序体
 全順序群

外部リンク 
 
 
 
 

順序構造
順序群
数学に関する記事