レヴィ–プロホロフ計量

数学の分野におけるレヴィ–プロホロフ計量（レヴィ–プロホロフけいりょう、）とは、与えられた距離空間上の確率測度の系の上の計量のことを言う（すなわち、間隔の定義である）。フランスの数学者ポール・レヴィと、ソヴィエトの数学者の名にちなむ。レヴィ計量の一般化として、1956年にプロホロフによって導入された。

定義 
 を、ボレル完全加法族  を備える距離空間とする。可測空間  上の全ての確率測度の系を  で表す。

部分集合  に対し、そのを

で定義する。ここで  は  を中心とする半径  の開球とする。

レヴィ–プロホロフ計量  は、二つの確率測度  と  の間の距離を

と定めることによって、定義される。

確率測度に対して  が成り立つことは明らかである。

人によっては、上述の定義の二つの不等式の内いずれかを省略したり、開あるいは閉のいずれかである  のみを考えることもある。片方の不等式はもう片方を意味するが、開/閉を制限することは計量の定義を変える結果につながる。

性質 
  が可分であるなら、レヴィ–プロホロフ計量における測度の収束はと同値である。したがって、 は弱収束の位相の距離化である。
 距離空間  が可分であるための必要十分条件は  が可分であることである。
  が完備であるなら  も完備である。 に含まれる全ての測度が可分な台を持つなら、その逆も成立する。すなわち、 が完備であるなら  も完備となる。
  が可分かつ完備であるなら、部分集合  が相対コンパクトであることと、その -閉包が -コンパクトであることは同値である。

関連項目 
 レヴィ計量
 ワッサースタイン計量

参考文献 
 
 

距離空間
測度論
確率論
ポール・レヴィ (数学者)
数学のエポニム
数学に関する記事