オルンシュタイン・ゼルニケ方程式

オルンシュタイン・ゼルニケ方程式（オルンシュタイン・ゼルニケほうていしき、, OZ方程式）とは、統計力学において、を定める積分方程式の一つである。基本的には、2分子間の相関がどのように計算されるかを記述する。主に液体理論の分野に応用されている。この名称は2人の物理学者とフリッツ・ゼルニケの名に由来する。

導出 
以下の導出は、実際には発見的手法である。厳密な導出には膨大なグラフ解析または関数的技巧が要求される。全導出については文献を参照のこと。

次のように全相関関数を定義すると便利である。

 

これは分子1が、距離離れた分子2に対し、動径分布関数をもって及ぼす「影響」の度合いである。1914年にオルンシュタインとゼルニケは、この影響を2つの寄与、すなわち直接的な部分と間接的な部分とに分けることを提案した。直接的な寄与は直接相関関数によって与えられると定められ、で示される。間接的な部分は分子1から新たな分子（分子3）への影響によるものであり、そして分子3は分子2に直接的および間接的な影響を与える。間接的な効果は密度によって重み付けされ、分子3がとりうるすべての位置について平均される。この分解は数学的には次のように記述される。

 

これがオルンシュタイン・ゼルニケ方程式と呼ばれている。興味深いのは、間接的影響の除去によって、がよりも短距離的になっており、より簡単に記述することが可能となっている点である。OZ方程式は次のような興味深い性質を持っている。すなわち、方程式全体にであるを掛け、とで積分することによって、次の式を得る。

 

, のフーリエ変換をそれぞれ, と表せば、先の式は次のように書き直すことができる。

 

この式を整理して、次の表式を得る。

 

と（あるいは、等価であるが、各々のフーリエ変換）の両方を同時に解くためには、もう一つ別の方程式を必要とする。そのような方程式は関係と呼ばれている。OZ方程式は、形式的には、全相関関数による直接相関関数の定義、とみることもできる。研究対象の系の詳細（特に相互作用ポテンシャルの形状）は閉包関係の選択において考慮される。一般的に用いられる閉包関係はである。これは侵入できない中心部を持つ粒子によく適合している。もう一つよく用いられる閉包関係にがあり、「より柔らかい」ポテンシャルに広く用いられる。さらなる情報については文献を参照のこと。

関連項目 
  - OZ方程式を解くための閉包関係の一つ
  - OZ方程式を解くための閉包関係の一つ

参考文献

外部リンク 
The Ornstein–Zernike equation and integral equations
Multilevel wavelet solver for the Ornstein–Zernike equation Abstract
Analytical solution of the Ornstein–Zernike equation for a multicomponent fluid
The Ornstein–Zernike equation in the canonical ensemble
Ornstein–Zernike Theory for Finite-Range Ising Models Above Tc
OzOS（とフリッツ・ゼルニケの名に由来するLinuxディストリビューション）

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