拡散数

拡散数（かくさんすう、）とは、陽解法を用いた拡散方程式の数値解析に際して、その数値的安定性を議論する上で重要な無次元数のひとつ。拡散数d は次式で定義される。
 
ここで
 k ：拡散係数
 Δt ：解析における時間間隔
 Δx ：空間方向の間隔
である。

導出 
1次元の拡散方程式：
 
ここで
 t ：時間
 x ：空間座標
を考える。差分法を用いて拡散方程式を離散化すると以下のようになる。
 
この式を拡散数d を用いて書き直すと、時間ステップn +1 における物理量uin +1 を
 
と表すことができる。

拡散数による安定性の評価 
拡散方程式を陽解法、特に差分法を用いて計算する場合、拡散数の大きさにより解析の数値的安定性をフォン・ノイマンの安定性解析により評価することができる。解析を安定に進めるためには
  
である必要がある。この式は以下のように書き換えられる。
 
つまり時間間隔Δt をある値より小さくしなければ安定に解析ができない。解析を精度よく行うために空間解像度Δx を小さくする場合、Δt はその2乗で小さくしなければならず、この条件は非常に厳しいものとなる。

参考文献

関連項目 
 拡散方程式
 クーラン数

応用力学
数値微分方程式
流体力学の無次元数
数値流体力学