定常集合

数学、特に集合論やモデル理論において定常集合（ていじょうしゅうごう、）という言葉には少なくとも三つの異なる意味がある。:

古典的な意味付け
を非可算な共終数を持つ基数とするとき、部分集合がの
いかなるclub集合とも交わるならば、を内の定常集合という。
定常でない集合は非定常集合という。

が定常でがclubなら、その共通部分はまた定常である。
それは、をclub集合とするとはclub(二つのclub集合の共通部分はclub)であり、
は空でない集合となる。
ゆえに、は定常である。

非可算な共終数に制限したのは無意味なものを避けるためである。の共終数が可算であったとして、
が内で定常であるのはが
内で有界であることと同値である。
特に、の共終数が
であるなら任意の二つのの定常集合の共通部分は定常である。

これはの共終数が非可算なときは起こらない。
実際、を正則基数でをその中の定常集合とすると、は個の互いに交わりのない定常集合に分割できる。この結果はによるもので、が後続型基数のとき、
このことはスタニスワフ・ウラムによって、
いわゆるウラム行列(Ulam matrix)と呼ばれるものを使って容易に示された。

イェフによる意味付け
の部分集合にも定常集合の概念は定義される。
ここで、はのことである。
が定常であるとは、前者と同様にSが全てのclub集合と交わることをいう。
の部分集合がclubであるとは、の下で非有界かつ、
以下の長さの鎖の合併の下で閉じていることをいう。
この二つの定常集合の概念は一般には異なるが、とすると
が定常であることと、
がの中で定常であることは一致する。

フォドアの補題はこの文脈でも同様に流用できる。

一般化された意味付け

三つめの意味は、モデル理論的な概念で、一般化された定常性として参照される。
この概念は, , サハロン・シェラハらによるものとされ、ヒュー・ウッディンによって顕著に使用された。

Xを空でない集合とする。がclubであるとは、
関数でを満たすものが存在することを言う。
ここではの有限部分集合全体による集合のことである。

がで定常であるとは、Sがの全てのclub集合と交わることを言う。

モデル理論との関連を見る。を対象領域をとする可算な言語上のストラクチャー、
がへのスコーレム関数であるとすると、定常集合は
の初等部分構造をもつ。
実際、が定常であることは、任意のこのようなストラクチャーに対して、の初等部分構造がに属することと同値である。

関連項目 
フォドアの補題
club集合
ダイヤモンド原理

参考文献 
Matthew Foreman, Stationary sets, Chang's Conjecture and partition theory, in Set Theory (The Hajnal Conference) DIMACS 

Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc. , Providence, RI. 2002 pp. 73–94 
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外部リンク 
 

集合論
モデル理論
順序数
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