数学原論

数学原論（すうがくげんろん、）は、数学者集団ニコラ・ブルバキ () による数学に関する専門書である。2016年現在11の部門からなり、各部門が1つあるいは複数の章に分かれている。最初の巻はエルマン (Hermann) 書店によって1939年から、はじめは小冊子の形で、後に合本として、出版された。編集者との意見の相違から、出版は1970年代にCCLSに代わり、1980年代にはマソン (Masson) 書店に代わった。2006年からは、シュプリンガー・フェアラーク (Springer Verlag) がすべての分冊を再出版している。（なお和訳は絶版である。）

書名の奇妙な "mathématique" は意図的なものであり、通常使われる複数形が示唆するかもしれないことに反し、数学は統一されているという著者の信条を表している。逆に、ブルバキの『数学史』（Éléments d'histoire des mathématiques, 数学史原論）は複数形を用いており、ブルバキ以前には数学はばらばらな分野の集まりであったが、構造の現代的な概念によって統一できるようになったことを示している。

最初の6部門は論理的な順序に従っている。他の部門は初めの6部門に述べられていたことは用いるが、順序立ってはいない。

構成 
以下の一覧において※印は和訳がないことを表す。

 （集合論。 で表される）
 形式的な数学の記述
 集合論
 順序集合 基数 自然数
 構造
要約
 （代数。 で表される）
 代数構造
 線型代数
 テンソル代数，外積代数，対称代数
 多項式と有理式
 可換体
 順序群と順序体
 主環上の加群
 半単純加群と半単純環
 準双線型形式と二次形式
 ※ホモロジー代数
 （位相。 で表される）
 位相構造
 一様構造
 位相群
 実数
 
 数空間と射影空間
 加法群 Rn
 複素数
 位相と実数
 関数空間
要約
 （関数。 で表される）
 導関数
 原始関数と積分
 初等関数
 微分方程式
 関数の局所的考察
 一般テイラー展開　オイラー＝マクローリンの総和公式
 ガンマ関数
Dictionnaire
 （位相線型空間。 で表される）
 付値体上の位相線型空間
 凸集合と局所凸空間
 連続線型写像の空間
 位相線型空間での双対性
 ヒルベルト空間（基礎論）
Dictionnaire
要約
 （積分。 で表される）
 凸不等式
 リエス空間
 局所コンパクトな空間の上の測度
 測度の延長，空間 
 測度の積分
 ベクトル値積分
 ハール測度
 畳み込みと表現
 分離位相空間上の測度
 （可換代数。 で表される）
 平坦加群
 局所化
 次数づけ、、位相
 伴う素イデアルと準素分解
 整元
 付値
 因子
 ※次元
 ※完備ネーター局所環
 ※深さ、正則性、双対性
 （スペクトル論。TS で表される）
 ノルム線型環
 可換局所コンパクト群
 （多様体。 で表される）
要約
 （リー群とリー環。 で表される）
 リー環
 自由リー環
 リー群
 コクスター群とティツ系
 
 ルート系
 ※カルタン部分環と正則元
 ※半単純リー環
 ※
 ※（代数的位相幾何学。 で表される）
 被覆空間
 
 ホモトピーとポワンカレ亜群
 
 （数学史）

版の詳細
集合論
フランス語版
 
英訳
 Theory of Sets, 2004
和訳
（第1章、第2章）
（第3章）
（第4章）

代数
フランス語版
 
 
 
 
 
英訳
 Algebra I, chapters 1-3, 1973 (Addison-Wesley), 1989
 Algebra II, chapters 4-7, 1990
和訳
（第1章）
（第2章）
（第3章）
（第4章、第5章）
（第6章、第7章）
（第8章）
（第9章）

位相
フランス語版
 
 
 
英訳
 General Topology, chapters 1-4, 1989
 General Topology, chapters 5-10, 1989
和訳
（第1章、第2章）
（第3章、第4章）
（第5章、第6章、第7章、第8章）
（第9章）
（第10章）

実一変数関数
フランス語版
 
英訳
 Functions of a Real Variable, 2004
和訳
（第1章、第2章、第3章）
（第4章、第5章、第6章、第7章）

位相線型空間
フランス語版
 
英訳
 Topological Vector Spaces, chapters 1-5, 1987
和訳
（第1章、第2章）
（第3章、第4章、第5章）

積分
フランス語版
 
 
 
 
 
英訳
 Integration I, Chapters 1-6, 2004
 Integration II, Chapters 7-9, 2004
和訳
（第1章、第2章、第3章、第4章）
（第5章）
（第6章）
（第7章、第8章）
（第9章）

可換代数
フランス語版
 
 
 
 
英訳
 Commutative algebra, chapters 1-7, 1989
和訳
（第1章）
（第3章、第4章）
（第5章、第6章）
（第7章）

リー群とリー環
フランス語版
 
 
 
 
 
英訳
 Lie groups and Lie algebras, chapters 1-3, 1989
 Lie groups and Lie algebras, chapters 4-6, 2002
 Lie groups and Lie algebras, chapters 7-9, 2005
和訳
（第1章）
（第2章、第3章）
（第4章、第5章、第6章）

スペクトル論
フランス語版
 
和訳
（第1章、第2章）

多様体
フランス語版
 
和訳

代数的位相幾何学
フランス語版
 

数学史
フランス語版
 Éléments d'histoire des mathématiques, 376 p., 1974 (reprint in 1984)
英訳
 Elements of the history of mathematics, 1994
和訳

プロジェクトの進展
最初に出版されたのは1939年の Théorie des ensembles の Fascicule de résultats であった。それに続く出版は論理的な順序通りとはいかなかった。出版は断続的に続いている。Éléments de mathématique は現在もまだ完了していない。

初版はオンラインで入手可能である。出版された本の多くは何年もの間絶版であった。シュプリンガー社が2006年に再出版を始めた。それにより、まず Algèbre commutative, Groupes et algèbres de Lie, Théorie des ensembles が、そしてその後他の本が、再版された。最も新しいものは Topologie algébrique の第1から4章であり、2016年にシュプリンガーにより出版された。

脚注

参考文献

外部リンク
ブルバキと「数学原論」　斎藤毅

ブルバキ
数学書
数学に関する記事
継続中の作品