数演算子

量子力学において数演算子（すうえんざんし）、個数演算子（こすうえんざんし）あるいは粒子数演算子（りゅうしすうえんざんし、）とは、全粒子数が保存されないような系での粒子数を表すオブザーバブルである。

定義 
生成消滅演算子を以下の交換関係を満たす演算子として定義する。

数演算子は以下のように定義される。

性質

エルミート性 
数演算子はエルミート演算子である。
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!証明
|-
| 数演算子の定義、エルミート演算子の性質と、より、

|}

生成消滅演算子との交換関係 
数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。

{|class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
!証明
|-
| 交換関係の性質としてが成り立つ。ここへ、、を代入すると、

数演算子の定義、交換関係の性質、生成消滅演算子の定義を代入すると、

2つ目の式についても同様。
|}

固有値は非負 
数演算子の固有値方程式は、

この固有値は非負である。
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!証明
|-
| 固有値方程式の左からをかけると、

数演算子の定義、固有ベクトルの規格化を代入すると、

この左辺は

|}

固有ベクトルへの消滅演算子の作用 
数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、

{|class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
!証明
|-
|の両辺にをかけると、

左辺第2項を右辺に移項すると、

この式は、の固有値に対する固有ベクトルがであることを言っている。

ただしは規格化されていないので、より正確にいえば比例している。

上述のに代入するとなので、正に選べば

よって

|}

固有値は整数 
数演算子の固有値は整数である。
{|class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
!証明
|-
|
固有値が整数でないとする。

上述のように、ある固有値に対する固有ベクトルに消滅演算子を作用させるとができる。

よって消滅演算子をくり返し作用させていくと、いつかはであるが作れてしまい、の非負性と矛盾する。

固有値が整数だと、に対する固有ベクトルに消滅演算子が作用すると以下のようにベクトルは消えてしまい、のが作れないことがわかる。

よっての非負性と整合している。
|}
よって数演算子の固有値は非負の整数である。

固有ベクトルへの生成演算子の作用 
固有ベクトルに生成演算子が作用すると、

となる。真空状態に生成演算子N回作用させた場合は、

よって、

n粒子状態 
数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態  は1粒子基底状態  から成る。

ここで数演算子を生成消滅演算子 ,  を用いて以下のように定義する。

数演算子は以下の性質を持つ。

ここで  は状態  の粒子の数である。

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!証明
|-
| 

よって

|}

参考文献 

 
 
 Second quantization notes by Fradkin

関連項目 
 調和振動子
 第二量子化
 場の量子論
 粒子数

すうえんさんし