Club集合

club集合 (クラブしゅうごう) あるいは閉非有界集合は、極限順序数の部分集合のうち、順序位相の意味で閉であり、基準となっている極限順序数の中で非有界なものである。

 という名前は、 (閉) と  (非有界) の合成語である。

正式な定義 

正式には、 を極限順序数として、 が  の中で閉であるということは、任意の  に対して、「  ならば 」となることである。従って、 の中の点列の極限が  未満であればそれは  に属する。

 を極限順序数として、 が  の中で非有界であるということは、任意の  に対して、 なる  が存在するということである。

閉かつ非有界な集合をclub集合という。閉な真クラスも同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。

例として、可算極限順序数全てによる集合は  の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中ではclubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数  に対して、 未満の極限順序数全てによる集合は  内でclubである。

clubフィルター 

 を共終数  の極限順序数とする。ある  に対して、列  が  のclub集合の列であったとする。このとき、 もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。

 を任意にとる。ある  に対して  が存在するとき、 から  となるように、 をとる。これは各  が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数  未満の長さであり、この集合の上限は  未満である。そこで、これを  と定める。この方法により、可算列  を得る。

この列の極限は  の極限でもある。そして各  は閉で  が非可算なので、この極限は各  の元であるべきで、これは  より真に大きい  の元である。これで  が非有界であることが示された。このことから、 が正則基数であるとき  は非自明な  上の  -完備フィルターである。これをclubフィルターといい、 と表す。clubフィルターは対角線共通部分 () について閉じている。

これがフィルターであることを見る。

まず、 である(  自身は  のclub集合である)。  ならば、 を部分集合としてもつ  の部分集合はやはり   の元である。
 -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。

 が対角線共通部分について閉じていることを確認する。 をclub集合の列とする。 をその対角線共通部分すなわち  とする。   が閉であることを示す。 かつ  かつ  とする。このとき、 とすると、各  に対して、 である。各  について、 である。従って、 である。よって、閉集合であることは示された。 が非有界であることを示す。 として、可算列  を以下のように定義する:  とし、   を、 なるうちでの  の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして  かつ  である。それは、全ての  について、その要素が  の元だからである。よって、 は非有界である。

 が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。さらに言えば、 が正則で  を  上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて  (ただし  )の形の集合を全て要素に持つとすると  は全てのclub集合を要素に持つ。

関連項目
定常集合

参考文献

Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded.  Springer.  ISBN 3-540-44085-2.
 
 
 Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5

集合論
順序数
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