オイラーのコマ

力学において、オイラーのコマ(オイラーのこま、)とは、剛体の回転運動(コマの運動)の一種。重力などの外力が全く作用しない自由な運動に相当する。オイラー方程式が可積分となる例の一つとして、知られる。

概要
無重力状態で放られた剛体の回転運動や、重心で支えられた剛体の自由回転運動
など、外力が働かない剛体の運動をオイラーのコマと呼ぶ。
外力が作用しない場合、剛体の運動を記述するオイラー方程式は、

で与えられる。
但し、座標原点は剛体の固定点もしくは、剛体の重心位置とし、各座標は慣性主軸方向に一致させるものとする。
ここで、定数I1、I2、I3 は主慣性モーメントである。

オイラーのコマでは、運動エネルギーE と全角運動量の大きさL2が系の保存量となる。

運動エネルギーE と全角運動量の大きさL2を指定することで定まる等エネルギー面と等角運動量面は、(ω1, ω2, ω3)空間における2つの楕円面を成しており、運動の軌道はそれらの交わりによって定められる曲線となる。

一般解
オイラーのコマは可積分な系の一つであり、その解は楕円関数で記述できる。

I1<I2<I3の場合
慣性モーメントにI1<I2<I3 の関係が成り立つとき、運動の解はヤコビの楕円関数を用いて、

と表される。ここで、λは

で与えられる定数であり、時間tはt=0でω2=0となるように取り直している。

これらは次の周期T を持つ周期運動である。

但し、K=K(k)は第一種完全楕円積分である。

I1=I2<I3の場合
慣性モーメントにI1=I2<I3 の関係が成り立つとき、運動の解は

となる。

脚注

参考文献
 H. Goldstein，C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics;　瀬川富士、矢野忠、江沢康生 （翻訳）『古典力学〈上〉 (物理学叢書)』吉岡書店 (2006) ISBN 978-4842703367
 L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Mechanics (Volume 1 of A Course of Theoretical Physics ), Pergamon Press 1969;　広重徹、水戸巌　（翻訳）『力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程』東京図書 (1986) ISBN 978-4489011603

関連項目
独楽
オイラー方程式
自由歳差運動

力学
古典力学
可積分系
数学に関する記事
物理学のエポニム
レオンハルト・オイラー