頂点関数

場の量子論において、頂点関数（ちょうてんかんすう、vertex function）とは、複数の粒子が相互作用する過程を記述する相関関数である。量子電磁力学においては、電子のような荷電粒子が仮想的な光子を吸収する（放出する）過程であり、3点頂点関数に対する1ループの頂点補正（ちょうてんほせい、vertex correction）は電子の異常磁気モーメントに支配的な寄与を及ぼす。

概要
頂点関数Γμは有効作用Γeffの汎関数微分によって定義される。量子電磁力学における3点頂点関数は、電磁場との結合定数 eを用いて

となる。

頂点関数Γμの中で最も支配的な寄与は、頂点因子に含まれるガンマ行列γμである。さらに、頂点関数には量子電磁力学が持つ対称性（ローレンツ対称性、ゲージ対称性）が要請され、その形式はワード＝高橋恒等式によって以下のように制限されている。 

ここで、 であり、qνは外部から入射する光子の四元運動量である。係数F1(q2)とF2(q2)は形状因子(form factor)と呼ばれ、光子の運動量の2乗q2のみに依存する。ダイアグラムの最低次においては、F1(q2) = 1、F2(q2) = 0となり、このとき電子は内部構造を持たない点状粒子となっている。それ以上高次のF1(0)に対する補正は、繰り込みを用いて計算される。形状因子F2(0)は、電子の異常磁気モーメントaに対応しており、ランデのg因子を用いて以下のように表される。

計算例
量子電磁力学(QED)における3点頂点関数のファインマン・ダイアグラムの計算例を以下に示す。

各々の因子はファインマンルールの定義によって異なるが、ここではフェルミ粒子の伝播関数  、QEDの頂点因子などを用いて、1ループの頂点補正を計算する。頂点関数Γμは裸の頂点因子γμに補正項δΓμを加えた形式で表される（頂点因子の係数-ieをつけて表せば、）から、δΓμに対応するダイグラムを計算すればよい。入射するフェルミ粒子の運動量をp、外部から入射する光子の運動量をq、ループを作る仮想光子の運動量をkとすると、δΓμは

 = 

となる。上記のダイアグラムには便宜上、フェルミ粒子や光子の外線が引かれているが、頂点補正の計算に含まれるのは実線（フェルミ粒子）2本＋波線（光子）から成るループ部分のみである。

参考文献

関連項目
 繰り込み
 真空偏極
 自己エネルギー

場の量子論