ベータ関数

数学におけるベータ関数（ベータかんすう, ）とは, 特殊関数のひとつである. ベータ関数は, 第一種オイラー積分とも呼ばれる（なお, ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は, 第二種オイラー積分と呼ばれる）.

一般化された関数として, セルバーグ積分がある.

定義 
,  を満たす複素数 ,  に対して, ベータ関数は次式で定義される:

性質

対称性 
ベータ関数は次のような対称性を持つ.

証明 
置換積分による計算を行う.  とおくと,  であり, また積分区間は  から  へと変化するから,

したがって,  が示された.

関数等式 
ベータ関数は次の関係式を満たす.

積分表示 
変数変換を行うことで, 以下の形にも表示できる. いずれも, 定義域は ,  である。

ポッホハマーの表示 
 のリーマン面上の積分路として, 実軸上の  内の点から出発し,  を正の向きに,  を正の向きに,  を負の向きに,  を負の向きの順で回って, 元の点に戻るを取れば, 次のポッホハマーの表示が成り立つ.

ガンマ関数との関係 
ベータ関数は, 次のようにガンマ関数と結び付く.

級数表示 

ただし,  は下降階乗冪:

である.

無限乗積表示

評価 
スターリングの公式より, 複素数,  の実部が十分大きな正の値であるとき,

一方,  が十分大きく  が固定されているとき,

特殊値 
複素数  に対して, 以下が成り立つ.

特に, 

非負の整数 ,  に対して, 以下が成り立つ.

参考文献
E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目 

 オイラー積分
 ガンマ関数
 ガンマ分布
 二項係数
 不完全ベータ関数
 ベータ分布

外部リンク 

ベータ関数とは？ ～ 性質と公式 ～ - 数理アラカルト
ベータ関数とは～定義と性質8つとその証明～ - 数学の景色
ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 - 数学の景色

特殊関数
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