Iのi乗

数学において、虚数単位  の  乗（ の  じょう）すなわち  とは、ある可算無限個の正の実数である。ネイピア数  と円周率  を用いて、
 
と書ける（ は任意の整数）。 としたとき、 は主値
 
を取る（）。

計算の方法 
まず  の偏角は（ラジアンで） （ は任意の整数）であることに注意する。
 
ただし  は複素対数函数（多価関数）であり、 は

そして指数関数  は、冪級数
 
等により定義され、虚数乗も計算できる。

ここで  は実数値関数の自然対数であり

と計算される。　とおくと

となる。主値は冒頭の通り  のときの  である。

数学的性質 
 の取る値はどれも正の実数であるが、 の整数  を適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になり、逆に  を大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になる。したがって  には最大値も最小値も存在しない。

 の主値  は

であるから、ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、超越数であるため、無理数である。同様に他の  の値も超越数である。

なお  も 

なので、 である。

テトレーション  の極限は実数ではない複素数に収束する (Macintyre 1966)。

ただし、 はランベルトのW関数である。

関連項目 
虚数単位
指数関数
0の0乗

外部リンク 

複素数
数学定数
数学に関する記事

en:Imaginary unit#i raised to the power of i