モジュラー形式の保型因子

数学において、モジュラー形式論に現れる保型因子（ほけいいんし、）は SL(2, R) 上で定義されるある種の解析函数である。さらに一般の群に対する議論は保型因子の項に譲る。

定義 
重さ k の保型因子  とは

なる函数 ν で、以下に掲げる四つの性質を満足するものを言う。ここで  は上半平面、C はガウス平面をそれぞれ表し、また Γ は例えばフックス群のような SL(2, R) の部分群である。したがって、Γ の元 γ は二行二列の行列として

 

のように書くことができる。ただし、a, b, c, d は全て実数で、ad − bc = 1 を満たすものとする。

保型因子 ν が満足すべき条件とは、

 Γ の元 γ を固定したとき、函数 ν(γ, z) は z に関して  上の正則函数である。
 一定の実数 k が存在して、 の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、 が成立する。
  の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、が成立する。ここに、δz は δ の定める一次分数変換による z の像である。
 I を二次の単位行列として、−I が Γ に属するならば、 の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、 が成り立つ。

性質 
任意の保型因子は ‖υ(γ)‖ = 1 なる函数 υ を用いて

の形に書くことができる。 函数 υ: Γ → S1 は乗因子系  と呼ばれる。明らかに

が成り立つ。一方、−I ∈ Γ なるときは

が成り立つ。

参考文献 
 Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (Chapter 3 is entirely devoted to automorphic factors for the modular group.)

モジュラー形式
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