超弾性

超弾性（ちょうだんせい、Hyperelasticity）とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数（単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル）を有することが特徴である。超弾性を有する物質を超弾性体とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十％～数百％の大ひずみ状態を想定している。

構成則 
弾性とは、ある位置の応力がそこの変形勾配で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力を用いると、
 
と書ける。

特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期における状態とにおける状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数が得られる。
 
 

と考えると、は
 
と書ける。
これを:と比較すると、は
 
と書ける。結局、
 
と表される。ここで、
より、をの関数として表す。
 
より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力について同様の式展開を行うと、
 
 
となる。

非圧縮性を有する場合 
まず、で表記したの式を次のように変形する。
 
非圧縮性を有することから、をに代入して、

を得る。二つの式を比較して、
 
を得る。今、は任意の係数を表す。微圧縮性の場合はのままの方が便利なので、を代入していない。変形すると、
 
ここで、と定義すると、
 
上の結果から、とは
 
のときにのみ一致する。これは、となるときに成立する。ここで、によって新たな関数を定義する。を用いると、となることが次のように示される。
 
ここで、
を用いた。

非圧縮性の場合、をで代替できるため、の式は次のように表される。
 

偏差成分は、
 
である。通常は、とは等しくないが、非圧縮性を有する場合、より成立する。

参考文献 
 
 社団法人　土木学会　応用力学委員会　編：いまさら聞けない計算力学の常識，丸善，2008．
 

応用力学
連続体力学
弾性