最小多項式 (線型代数学)

数学の線型代数学において、体  上の有限次元線形空間上の線形変換  の最小多項式（さいしょうたこうしき、）とは、 が零点（ で零行列）となる -係数多項式のうち、モニック多項式（最高次係数が ）で次数が最小のもののことである。特に正方行列  に対して定義される。

 の最小多項式を  とすると、 となる -係数多項式  は、最小多項式  で割り切れる。

次の3つの主張は同値である：
  は、 の最小多項式  の根である。
  は、 の固有多項式の根である。
  は、 の固有値である。
 の最小多項式  における根  の重複度は、 に対応する  のジョルダン細胞の最大次数を表す。

一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。例えば、 を考える（ は 次単位行列）。この行列の固有多項式は  である。一方、最小多項式は  である。従って、 ならば、 の最小多項式と固有多項式は一致しない。

ケイリー・ハミルトンの定理と上の注意により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが従う。

定義 
体  上の有限次元ベクトル空間  上の線型変換  に対し、

とおく。ここで  は、 上の一変数多項式環を表す。 は、 の真のイデアルとなる。 は体だから  は主イデアル整域であり、任意のイデアルは F の単元倍を除いて一意的な1つの多項式によって生成される。したがって特に  の生成元としてモニック多項式をとることができ、これを  の最小多項式と言う。最小多項式は、 中のモニック多項式の中で次数が最小のものである。

応用 
体  上の線形空間での線型変換  が対角化可能であることと、すべてのジョルダン細胞の次数が  であることは同値である。従って、線型変換  が対角化可能であるための必要十分条件は、 の最小多項式が  上で一次式の積に分解し、すべての根の重複度が  であることである。

計算法の一例 
体 F 上のベクトル空間 V とその線型変換 T および V の元 v に対して、

と定義する。これは、F[t] の自明でないイデアルとなる。 を、このイデアルを生成するモニック多項式とする。

この多項式は次の性質を満たす。
 は  を含む。
 を、 が線型独立となるような最大の自然数とする。このとき、 ある  が存在して、

が成り立ち、さらに

となる。 
V の1つの基底  を取ったとき、T の最小多項式は、すべての  たちの公約元である。

関連項目
線型代数学
跡 (線型代数学)
行列式
固有値
固有多項式
ジョルダン標準形

参考文献 
 
 

線型代数学
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