リース空間

数学におけるリース空間（リースくうかん、）、線型束空間あるいは束線型空間 、またはベクトル束  とは、順序構造が束を成す順序線型空間のことである。リース空間の名はリース・フリジェシュの論文  に因む。

リース空間の概念は測度論において重要で、ラドン-ニコディムの定理がフロイデンタールのスペクトル定理の特別な場合であるといったように、測度論における主要な結果はリース空間における結果として一般化して定式化できる。

定義 
実数体 R 上のベクトル空間 (X, +, •) 上に半順序関係 "≤" が定義されているとき、組 (X, +, •, ≤) がリース空間またはベクトル束であるとは、f, g, h などは X の任意の元として

 f ≤ g ならば f + h ≤ g + h が成り立つ。
 [0 ≤ a ∈ R かつ f ≤ g] ならば af ≤ ag が成り立つ。
 (X, ≤) は順序集合として束を成す

なる公理を満たすときに言う。演算や順序が明らかで誤解の虞のない場合、通例の如く台集合と同じ記号を用いてベクトル束 X とか X はベクトル束であるなどという。また、2. の条件で R 上の順序も X 上の順序も同じ ≤ で記してあるが、どの空間上の順序関係であるかは文脈から明らかであろうから、区別のための添字などは省略してある。

最初のふたつの条件は (X, +, •, ≤) が順序線型空間となることを言うものである。2. の条件は 
 [0 ≤ a ∈ R かつ 0 ≤ f] ならば 0 ≤ af が成り立つ。 
に取り替えてもよい。束演算 "∧", "∨" を通例の如く定める（束論参照）ならば、これらと線型演算 "+", "•" との間に特定の関係 (clamp-rule) が成立する。

ベクトル束 X の元 p が正  あるいは非負  であるとは、0 ≤ p となることをいう。X の正の元全体 X+ はしばしば正錐  と呼ばれる。各元 f に対して、|f| := f ∨ (−f) を f の絶対値  と呼ぶ。また、f+ := 0 ∨ f を f の正の成分  といい、f− := 0 ∨ (−f) を f の負の成分  と呼ぶ。任意の f に対して、f+, f− はともに正の元で、f = f+ − f−, |f| = f+ + f− を満たす。

例と反例 

 実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 "≤" に関してリース空間を成す。
 実数の n-組全体の成す集合 Rn は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してリース空間を成す。
 実数列全体の成す集合 RN は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してリース空間を成す。
 0 に収斂する実数列全体の成す集合 c0 は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してベクトル束を成す。
 1 ≤ p < ∞ なる p に対する、p-乗総和可能実数列の全体の成す集合 lp は成分ごとの順序から定まる順序に関してベクトル束を成す。
 有界実数列全体の成す集合 l∞ は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してベクトル束を成す。
 集合 X 上のコンパクト台つき実数値連続函数の全体の成す集合 Cc(X; R) は、点ごとの大小関係で定まる半順序に関してベクトル束を成す。
 区間 [a, b] 上の連続函数全体の成す集合 C[a, b] は点ごとの大小関係で定まる半順序に関してベクトル束を成す。
 区間 [a, b] 上の連続的微分可能函数全体の成す集合 C1[a, b] は順序線型空間を成すが、ベクトル束にはならない。

性質 
 ベクトル束は束群である。
 ベクトル束 (X, +, •, ∧, ∨) における線型構造と束構造は以下の意味で両立する。f, g, h を X の任意の元、a ≥ 0 を R の元として
 
 
 
 
 
 
 X の元 f に対し、|f| := f ∨ (−f) と置けば を得る。特にが成り立つ。
 リース空間は束として分配的である。

注

参考文献 

 Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: Integration. Chapters 1–6; ISBN 3-540-41129-1
 Riesz, Frigyes; Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires , Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928) , 3 , Zanichelli  (1930)  pp. 143–148
 
 Luxembrg, W.A.J. & Zaanen, A.C.: "Riesz spaces", North-Holland, 1971, ISBN 978-0444866264

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