ランプ関数

ランプ関数（）とは、一変数の実関数であり、独立変数とその絶対値の平均として容易に求められる。区分線形関数。

この関数は工学において（DSPの理論など）応用を持つ。"ramp function"の名は、グラフの形状が傾斜路（）に似ていることに由来する。

定義 
ランプ関数  には幾つかの同値な定義が存在する。

 場合分け
 
 指数 1 の切断冪関数
 
 最大値関数
 
 傾きが1の直線とその絶対値との平均
 
 傾きが1の直線とヘビサイド関数との積
 
 ヘビサイド関数とそれ自身の畳み込み
 
 ヘビサイド関数の積分
 
 マコーレーの括弧

解析的性質

非負性 
ランプ関数は定義域全体で非負となる。

 

そのため、関数の値はその絶対値に等しい。

導関数 
ランプ関数の導関数はヘビサイド関数に等しい。

二階導関数 
ランプ関数は次の微分方程式を満たす。但し  はディラックのデルタ関数である。

 

これは、 が二階微分作用素のグリーン関数であることを意味する。これにより、可積分な二階導関数  を持つ任意の関数  は、 のとき次の方程式を満たす。

フーリエ変換     
ランプ関数のフーリエ変換は次の通りとなる。

     

ここで  は ディラックのデルタ関数（式中では導関数が使用されていることに注意）。

ラプラス変換 
ランプ関数の片側ラプラス変換は次の通りとなる。

代数的性質

冪等性 
ランプ関数の任意の反復合成はランプ関数に等しい。

脚注

外部リンク 

実解析
特殊関数
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