一般化双曲型分布

一般化双曲型分布 ()は、（GIG分布）によるとして定義される連続確率分布で、1977年ににより導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。

一次元一般化双曲型分布

確率密度関数 
一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。

ここで、

 は、第3種の変形ベッセル関数。
 位置 (location) パラメータ（実数）
 （実数）
 （実数）
 歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ（実数）
 尺度 (scale) パラメータ（実数）

 のとき、
 のとき、
 のとき、

モーメント 
本節では、以下

とする。

期待値 
期待値は以下の式で与えられる。

分散 
分散は以下の式で与えられる。

モーメント母関数 
モーメント母関数は以下の式で与えられる。

特性関数 
特性関数は以下の式で与えられる。

特別なケース

の場合 
 (HYP) となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。
確率密度関数

λ=1, α=1, β=0, δ=0 の場合はラプラス分布 Laplace(μ, 1) となる。

の場合 
 (NIG) となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。
確率密度関数

の場合 
正規逆ガウス分布 (NIG) の特別な場合として、コーシー分布となる。

の場合 
自由度  の非対称なスチューデントのt分布となる。

の場合 
自由度  の（対称な）スチューデントのt分布となる。

の場合 
平均 、分散  の正規分布となる。

参考文献 

 , Karsten Prause, Oktober 1999.
 , Ernst Eberlein and Ernst August v. Hammerstein, revised April 2003.
 , Ole Eiler Barndorff-Nielsen and  Robert Stelzer, April 25, 2004.
 Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution(PDF), David Scott, Department of Statistics, The University of Auckland, July 3, 2008.
 , Scott, David J, Wurtz, Diethelm, Dong, Christine and Tran,
Thanh Tam, Dec 09, 2009.

 、増田 弘毅、統計数理 (2002) 第 50 巻 第 2 号 165–199 ©2002 統計数理研究所 特集「ファイナンス統計学」

脚注

外部リンク 
 Wolfram Demonstration Project - Generalized Hyperbolic Distribution（GH確率密度関数のグラフを見ることができる。）

確率分布