孤立点

位相空間論において、位相空間  の点  が  の部分集合  の孤立点（こりつてん、）であるとは、 が  に属し、かつ、 の近傍であって  以外の  の点がひとつも含まれないようなものが存在することをいう。

特に  がユークリッド空間（あるいはもっと一般の距離空間）の場合に即して言えば、 が  の孤立点であるとは、 を中心とする開球体のうち  以外の  の点を含まないものが存在するということを意味する。

別な言葉で言えば、点  が  において孤立するための必要十分な条件は、 が  の集積点とはならないことである。

孤立点のみから成る集合を離散集合  という。ユークリッド空間における離散部分集合は可算である（これは有理数全体のなす集合  が実数全体のなす集合  において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合  に差の絶対値を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。

孤立点を持たない集合はであるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合という。

「孤立点の数」というのは位相的性質（位相不変量）の一種である。すなわち、位相空間  と  が互いに同相ならば、それらの持つ孤立点の数は必ず等しい。

例 
以下に示す位相空間は実数直線  の部分位相空間と見なす。

 集合  において、 は孤立点である。
 集合  において、点  は孤立点だが、 以外で  にいくらでも近い点が  の中に存在するため、 は孤立点ではない。
 自然数の集合  は離散集合である。
 モースの補題はある種の函数の非退化臨界点が孤立することを述べる。

直観に反する例 
実数直線内の開区間  に属する点  であって、その二進小数展開の各位の数 (digit)  が以下のような条件をすべて満足するもの全体の成す集合を  とする。 
  または  の何れかが成り立つ。
  となる添字  は有限個しかない。
  が  なる最大の添字ならば  が成り立つ。
  かつ  ならば  または  が二者択一で成り立つ。
これは感覚的に言えば、 の二進小数展開の各位の数で  に等しいものはどれも連続した  の対で現れるが、最後の一つは孤立するということである。

さて  は全く孤立点のみからなる陽に表された集合である一方で、 はその閉包が非可算集合になるという直観に反する性質を持つ。

同様の性質を持つ集合  の別な例は、単位閉区間  内のカントール集合の補集合において、その各連結成分から一点（例えば中央点）を選び出すことでも与えられる。この集合の各点は孤立するが、 の閉包は  とカントール集合との合併であり、可算でない。

関連項目 
 
 
 集積点

注

参考文献

外部リンク 
 

位相空間論
数学に関する記事