交項級数

数学、とくに解析学における交項級数（こうこうきゅうすう）または交代級数（こうたいきゅうすう、）とは項の正負が交互に入れ替わる無限級数

 

である。同様の有限級数をしばしば交代和  と呼ぶ。

例と基本的な事実 

交代級数
 
は ln 2（=0.69314…）に収束することが知られているが、いっぽう各項の絶対値をとった級数
 
は調和級数としてよく知られた発散級数である。これは絶対収束が、級数が収束するための十分条件だが必要条件ではない（別な言い方をすれば、絶対収束は収束条件としては強すぎる）ことの例でもある。

実数項をもつ交代級数に対しては、収束判定法としてライプニッツによる「数列 {an} が単調減少で 0 に収束するならば級数 ∑ (−1)nan は収束する」というものがある（項が単調増大の場合も全体に −1 を掛けることにより単調減少の場合に帰着されるので、この場合も合わせて簡単に「数列 {an} が単調に 0 に収束する」ときと述べることもできる）。実際、交代級数

 
の項の絶対値が単調減少で 0 に収束する、すなわち
 
を満たすとき、部分和
 
の列 {sN} はコーシー列を成すことが確認できる。特に部分和の二つの部分列 {s2n}, {s2m−1} は有界な単調列ゆえにそれぞれ有限な値に収束するが
 

となり共通の極限値 S をもつので、それが求める和である。またこのとき、部分和 sN と級数の和 S との誤差は
 
と評価することができる。

関連項目 
 級数
 ライプニッツの公式
 1−2+3−4+…

外部リンク 
 

解析学
数学に関する記事
級数