数論的関数

数論的関数（すうろんてきかんすう、）とは、定義域が正整数である複素数を値に持つ関数のことである。

複素数の無限数列  は  という対応で、数論的関数とみなすことができる。

素因数分解に関連する関数 
正整数  に対して

と素因数分解する。

この項では、 が  によって得られる数論的関数について述べる。

加法的関数 
互いに素である正整数  と  に対して、 が成立するとき、加法的関数（）という。

つまり、

が成立する関数である。

特に、任意の正整数  と  に対して、 が成立するとき、完全加法的関数（）という。つまり完全加法的関数とは

が成立する数論的関数である。

例 
 対数関数:  
 n の相異なる素因数の個数を表す 
 
 n の重複度を数えた素因数の個数を表す 
 
 素数 p に対して、n を割る最大指数を表す、

乗法的関数 
互いに素である正整数 m と n に対して、 が成立するとき、乗法的関数 (multiplicative function)という。

つまり、

が成立する関数である。

特に、任意の正整数 m と n に対して、 が成立するとき、完全乗法的関数 (completely multiplicative function)という。つまり、完全乗法的関数とは

が成立する数論的関数である。

例 
 約数関数 σx(n) は乗法的関数であるが、完全乗法的関数ではない。

q進展開に関連する関数 
q を 2以上の正整数とする。

このとき、任意の正整数 n に対して

と q 進展開する。

この項では、 が  によって得られる数論的関数について述べる。

q加法的関数 
 を満たすとき、q加法的関数 (q-additive function)という。

特に、q加法的関数  が   を満たすとき、強q加法的関数 (strongly q-additive function)という。

例 
 sum of digits 関数 
 digit counting 関数  但し、b は  のいずれか。

q乗法的関数 
 を満たすとき、q乗法的関数 (q-multiplicative function)という。

特に、q乗法的関数  が   を満たすとき、強q乗法的関数 (strongly q-multiplicative function)という。

例 
 トゥエ＝モース数列 
 product of digits 関数

その他の数論的関数 
(1) 素数に関係する関数
 素数計数関数: 
 フォン・マンゴルト関数: 
 
 
 

(2) 数の表現・分割

 n を２つの平方数の和で表す表し方の数を与える 
 n を正整数の和で表す表し方の数を与える 
 ウェアリングの問題
 全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値 
 十分大きな全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値

性質

代数的性質 
数論的関数  に対して、ディリクレ積  を

と定めると、 は数論的関数となる。従って、数論的関数全体集合は多元環となる。

乗法的関数  に対して、ディリクレ積  で得られた数論的関数は乗法的関数となる。

数論的関数  が、ある正数 C と、数論的関数  が存在して、 と表されるとする。すると、 が(完全)乗法的関数である必要十分条件は、 は(完全)加法的関数である。

位数 
(1) 最大位数

数論的関数  に対して、ある単純な形をした n の関数  が存在して

が成立するとき、 の最大位数は  であるという。
 
(2) 平均位数

数論的関数  に対して、ある単純な形をした n の関数  が存在して

が成立するとき、 の平均位数は  であるという。

従って、 は、だいたい  であると思われるが、数論的関数の多くは、値の振る舞いが複雑であり、 がほぼ  である様な n は正整数のなかで少数であることも珍しいことではない。

(3) 正規位数

任意の正数 &varepsilon; とほとんど全ての正整数 n に対して

が成立するとき、 の正規位数は  であるという。

平均位数と正規位数は、常に存在する訳ではない。
平均位数は持つが正規位数はもたない、その逆で、平均位数は持たないが正規位数を持つ数論的関数が存在する。

例 
(1) 約数関数 

最大位数は、

であり、平均位数は  である。
さらに  の正規位数は  である。
従って、任意の正数 ε とほとんど全ての正整数 n に対して

が成立する。

つまり、ほとんど全ての正整数に対して、 の値は、平均位数よりも小さい。

(2) 約数和関数 

最大位数は

であり、平均位数は  である。

(3) オイラー関数 

最大位数は  であり、平均位数は  である。

(4) n の相異なる素因数の個数を表す関数 

平均位数および正規位数は共に  である。

(5) n の重複を込めた素因数の個数を表す関数 

平均位数および正規位数は共に  である。

(6) 素数の個数を表す 

正規位数は、 である。

出典

注釈

参考文献

関連項目 
関数
数列

数論
関数

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