デデキントゼータ関数

デデキントゼータ関数（-かんすう、）とは、

代数体 K に対して

で表される関数のことをいう。但し、和は K の整イデアル全てを動き、 は整イデアル  のノルムである。従って、デデキントゼータ関数は、ヘッケのL関数の特別な場合である。
特に、K が有理数体のとき、リーマンゼータ関数になる。

与えられた整数 n に対して、ノルムが n である整イデアルは有限個しかなく、ノルムは正整数であるので、
デデキントゼータ関数は、

と、ディリクレ級数の形で表すことが出来る。

デデキントゼータ関数は、 に対して、絶対かつ一様収束する。従って、 で、 は正則関数である。

関数等式 
n 次代数体 K に対して、デデキントゼータ関数は次の関数等式を満たす：

但し、 は K の実共役体、虚共役体の個数とする。

特に、K を有理数体にすれば、よく知られたリーマンゼータ関数の関数等式

が成立する。

さらに、 に対する、代数体 K の完全ゼータ関数を

とおけば、関数等式

を満たし、 に解析接続できる。従って、 は  まで解析接続できる。

解析接続できない  では、デデキントゼータ関数は 1 位の極で、留数は

である。つまり、

である。

ただし、 は K の実共役体、虚共役体の個数、w は、K に含まれる 1 のベキ根の個数、 は、それぞれ K の類数、単数基準とする。

デデキントゼータ関数の零点 
(1) 自明な零点
  と  との関係式から自明な零点を求めることができる。
 K が総実体のとき 
 任意の正整数 k に対して、 。
 K が総実体ではないとき 
 任意の正整数 k に対して、 。

(2) 非自明な零点

s が、 である零点とすれば、 であると予想されている。これを拡張されたリーマン予想という。リーマンゼータ関数に対するリーマン予想をその特別な場合として含む予想であり、現在でも未解決である。

オイラー積 
任意の整イデアルは、素イデアルの積で表すことができるので、デデキントゼータ関数は、以下のオイラー積表示を持つ。

 のとき、

ただし、積は K の素イデアル全てを動くものとする。

ディリクレのL関数との関係 
デデキントゼータ関数のオイラー積表示により、素イデアルのノルムの値からデデキントゼータ関数を具体的に計算することができる。素イデアルのノルムは、有理素数の素イデアル分解の結果から求めることができるが、K が一般の代数体の場合、素イデアル分解が複雑であるので、具体的に計算することは大変難しい。
しかし、K が二次体または円分体であれば、素イデアル分解の様子がよく分かっているので、オイラー積を計算することができ、その結果、デデキントゼータ関数をディリクレのL関数を用いて表現することができることが知られている。

(1) K が二次体の場合

K の判別式を D とし、 を法 D に関するクロネッカー指標とすると、

が成立する。

(2) K が円分体の場合

  とする。

が成立する。ここで、最初の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標全てにわたる積とし、二番目の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標のうち、単位指標以外のもの全てにわたる積である。 

さらに、任意の有理数体のアーベル拡大体 K は、ある円分体の部分体であるので(クロネッカー＝ウェーバーの定理)、上のことから、 は、いくつかのディリクレL関数の積で表すことができる。

応用例 
デデキントゼータ関数を用いた応用例として、2つの平方数の和で表す方法の数を求めてみることにする。

これはヤコビの二平方定理として知られ、いろいろな証明方法が知られているが(ヤコビの二平方定理の証明を参照)、ここでは、デデキントゼータ関数を使った方法で証明してみる。

 とおき、K 上のデデキントゼータ関数  を二通りの方法で計算する。

まずは、ディリクレ級数の形でデデキントゼータ関数を表し、その係数を求めてみる。

とおくと、
 
が成立するので、 は、n を2つの平方数の和で表す方法の数の4倍に等しい。慣例に従って、2つの平方数の和で表す方法の数を  と書くと、

と表される。

さて、K は二次体であるので、 は、リーマンゼータ関数と、クロネッカー指標からなるディリクレL関数の積で表される。 のクロネッカー指標を具体的に求めることにより、

が成立する。二通りに表された  を比較することにより、

が成立する。これはヤコビの二平方定理に他ならない。

さらなる応用として、K を別の二次体  にすることで、上と同じ方法で、 の形での表し方の数を求めることができる。

注釈

参考文献

関連項目 
代数体
代数的整数論
リーマンゼータ関数

ゼータ関数とL関数
数論
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