ゴロム定規

ゴロム定規（ゴロムじょうぎ、）とは、想像上の定規の上で一連の整数位置にマークを配置し、任意のマークの対の距離がどれをとっても等しくならないものをいう。ゴロム尺とも。マーク数を「次数 (order)」、2つのマーク間の距離のうち最大の距離を「長さ (length)」という。ゴロム定規の平行移動と鏡映は自明と考えられる。そのため慣例として、最小のマークを0とし、その次のマークは2つの可能な値のうち小さいほうを取る。

ソロモン・ゴロムが名前の由来だが、とBabcockも独自に発見している。

ゴロム定規は、その長さまでの全ての距離を測定できる必要はないが、全ての距離を測定できるゴロム定規を「完全 (perfect)」ゴロム定規  (PGR) という。5個以上のマークのあるゴロム定規では、完全ゴロム定規が存在しないことが証明されている。また、同一次数（マーク数）で最短のゴロム定規を「最短 (optimal)」ゴロム定規 (OGR) という。ゴロム定規を作るのは簡単だが、特定次数のゴロム定規を見つけるのは困難である。

特定次数における最短ゴロム定規の発見を分散コンピューティングを利用したプロジェクトとしてdistributed.netで進められている。distributed.netでは、次数24、次数25、次数26、次数27の最短ゴロム定規を求め、最短の候補を検証中である。

2009年から開始した次数27の最短ゴロム定規を探すプロジェクトは、予想では7年で発見できるとしていたが、2014年2月に確定したと発表した。

distributed.netは次数28の最短ゴロム定規を探索している。また、新たなアルゴリズムの改善策が見つかったため、以前ほど時間はかからないと予測している。
2022年11月22日に、約8年半かかって探査が終了したと発表した。次数28の最短ゴロム定規の探査終了時点では、想定している規模や期間から、現時点では次数29の最短ゴロム定規を探索する予定はないが、今後も継続して検討するとしている。

最短ゴロム定規は、フェーズドアレイレーダーの設計、電波望遠鏡の配置などに応用されている。

今のところ、n-次の最短ゴロム定規を求める問題の計算量は不明だが、NP困難問題だと考えられている。

既知の最短ゴロム定規 
下表は、全ての既知の最短ゴロム定規である。マークの配置が表にあるものと逆のもの（対称型）は省く。

脚注

参考文献

外部リンク 
 James B. Shearer's Golomb ruler pages
 distributed.net: Project OGR
 In Search Of The Optimal 20, 21 & 22 Mark Golomb Rulers
 "Rulers, Arrays, and Gracefulness" by Ed Pegg Jr.
 Golomb rulers up to length of over 200 (via Internet Archive)
 

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