ヤコビ恒等式

数学におけるヤコビ恒等式（ヤコビこうとうしき、）とは、二項演算に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来する。

定義 
集合  に二項演算  と可換かつ単位元  を持つ二項演算  が定義され、この について、
 
が成立するとき、 はヤコビ恒等式を満たすという。

  が  によって加法群の構造を持ち、ねじれ元を持たないとき、 の元は  に関して冪零である。実際上記の恒等式で a = b = c とおけばよい。

式の解釈
 が  によって加法群の構造を持つとしよう。このときヤコビ恒等式は
 
という形で書くことができる。左辺を x に対する b * c の随伴作用と解釈すると、右辺はそれを b の作用と c の作用で逐次的に行って実現するものと解釈することができる。

例
三次元ベクトルにおける外積
三次元のベクトル空間における外積（クロス積）はヤコビ恒等式を満たす。
 

リー環
リー環における積演算である括弧積はヤコビ恒等式を満たす。

括弧積を随伴作用と考えれば、環上の微分におけるライプニッツ則として捉えることができる。すなわち、

と表せば、上述のヤコビ恒等式は

であり、ライプニッツ則として解釈できる。
ポアソン括弧
解析力学におけるポアソン括弧はヤコビ恒等式を満たす。

交換関係
量子力学における交換子はヤコビ恒等式を満たす。

脚注

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