漸近展開

漸近展開（ぜんきんてんかい、）とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析や特殊関数に対する数値解析など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある。

漸近級数 
関数  を定義域が実数の領域で定義された関数とし、 を   の定義域内の点とする。

関数列  が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。
 

実数列  が存在して、任意の正整数 n に対し

が成立するとき、

を  の漸近級数といい、

と表す。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という。
 任意の正整数 n、 の定義域内の x に対して
 
 が成立する。

漸近関数列が   または    の形の漸近級数を、漸近冪級数という。

与えられた漸近関数列を用いて、 の漸近級数を得ることを漸近展開といい、
 の漸近級数  が存在する場合、
 は漸近展開

を持つという。

性質

一意性 
任意の関数  に対して、 に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば
 
 

しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。 

さらに、漸近級数の各係数は

で与えられる。

和と積 
点  の近傍で定義された関数  は、漸近関数列  に対する漸近展開

を持つとする。このとき、任意の α、β に対して

が成立する。

さらに、漸近関数列が   である場合、 

が成立する。

項別微分 
一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。
項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。

漸近関数列  は各 n に対して、 の近傍で微分可能であり、関数列  が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。 

 は、 の近傍で微分可能であり、

となる漸近展開を持ち、 が漸近関数列  を用いて漸近展開することができるのであれば 

が成立する。

項別積分 
 とし、 の漸近展開を

とする。定積分

が各 n に対して存在するならば、

が存在して、

が成立する。

 のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。
例えば、漸近級数が漸近冪級数

を持つ場合、

とする必要がある。

例

スターリングの公式の一般化 
ガンマ関数は

という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている。

合流型超幾何関数
合流型超幾何関数 (:en:confluent hypergeometric function):

は次の漸近展開を持つ。

は複素数の偏角であり、はポッホハマー記号である。

誤差関数 
誤差関数

は、以下の様な漸近展開を持つ。

指数積分 
指数積分

の漸近展開は、

で与えられる。

ラプラス変換 
 を何回でも微分可能な関数としたとき、 のラプラス変換 

の漸近展開は、

で与えられる。

微分方程式の解 
微分方程式

の解は

で与えられ、

という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の  で収束しないが、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。

求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。

調和級数 
調和級数は

という漸近展開を持つ。ここで、はオイラー・マスケローニ定数、はベルヌーイ数である。

脚注

注釈

出典

参考文献

和書
 
 
 
 
伏見康治「確率論及統計論」第I章　数学的補助手段 3節 漸近展開 ISBN 9784874720127 https://web.archive.org/web/20160327114852/http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204

洋書
 Bleistein, N., & Handelsman, R. A. (1986). Asymptotic expansions of integrals. Courier Corporation.
 Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. :en:Springer Science & Business Media.
 Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. :en:Cambridge University Press.
 Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). Functions of a complex variable: Theory and technique . :en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
 Erdélyi, A. (1956). Asymptotic expansions. Courier Corporation.
 Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.
 Dingle, R. B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. London: :en:Academic Press.

関連項目 
級数
テイラー展開
微分方程式
メリン変換

解析学
複素解析
数学に関する記事