一般ディリクレ級数

一般ディリクレ級数（いっぱんでぃりくれきゅうすう、）とは、

複素数列 、無限大に発散する狭義の単調増加列  および複素数 s に対して、

で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。

特に、 のとき、

であり、(通常)ディリクレ級数となる。

また、、 とすると、

と、ベキ級数になる。

s を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。

収束性

収束軸 
任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。
 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。
 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。
 一般ディリクレ級数が  を満たす複素数 s に対して収束し、 を満たす複素数 s に対して発散する様な実数  が存在する。

この  を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。
収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは 、常に発散する場合は  と定める。

収束軸の値の求め方

一般ディリクレ級数

の収束軸  の値は、以下の様に求められる。
  が発散する場合
  。
  が収束する場合
  。

また、

という式も知られている。

絶対収束性 
一般の級数のときと同じく、

が収束するとき、一般ディリクレ級数

は絶対収束するという。

絶対収束する複素数 s に対する、 の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。
絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは 、常に絶対収束しない場合は  と定める。

ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。

例えば

は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。

一般に、収束軸が有限の値  を持ち、

が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸  は有限の値を持ち、 であることが知られている。

絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。

一般ディリクレ級数

の絶対収束軸  の値は、以下の様に求められる。
  が発散する場合
  。
  が収束する場合
  。

また、

が成り立つ。

一様収束性 
一般ディリクレ級数を

として、s を変数とする関数とみなすと、 の一様収束性が問題となる。

一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸  および絶対収束軸  が有限の値であるならば、
このとき、
 
を満たす実数  が存在して、 を満たす複素数 s に対して、 は一様収束するが、 を満たす複素数 s に対して、 は一様収束しない。　

この  を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。
一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは 、常に一様収束しない場合は  と定める。

一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。

ディリクレ級数

の一様収束軸  の値は、以下の様に求められる。

ここで、

解析的性質

正則性 
一般ディリクレ級数

は、 で収束するならば、 で正則である。さらに、 の微分は

で与えられる。

 で正則である様な σ の下限を  とおくと。

但し、

一般ディリクレ級数の一意性 
2つのディリクレ級数

が、ある開領域内で収束し、そこで、 が成立するならば、すべての n に対して、 である。

一般ディリクレ級数の係数 
収束軸  が有限の値もしくは である、一般ディリクレ級数

に対して、ω を  を満たす様にとり、 とする。このとき

が成立する。但し、積分路は、すべての  を通らない様にとる。

さらに、 であるならば、

一般ディリクレ級数の零点の個数 
ε、 δ、T を任意の正数とする。

収束軸  が有限の値である一般ディリクレ級数

に対して、 を満たす複素数  のうち、 を満たすものの個数を  とおくと、
 は有限の値であり、

が成立する。

注釈

参考文献

関連項目 
級数
冪級数
ディリクレ級数

数論
関数
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