オイラーの定理 (数論)

数論において、オイラーの定理（Euler's theorem）は初等整数論の最も基本的な定理の一つである。

概要 
nが正の整数でaをnと互いに素な正の整数としたとき,

が成立する。
ここではオイラーのφ関数である。

この定理はフェルマーの小定理の一般化であり、この定理をさらに一般化したものがカーマイケルの定理である。

証明 
nと互いに素なn以下の正の整数の集合を
とする。
この要素のそれぞれにaを乗じた集合

を考えればaとnは互いに素だから、集合A,Bは法をnとしたときに一致し、当然その積も法nにおいて等しくなる。すなわちAの要素の積をPとすれば、

nとPは互いに素だから
 (証明終)

使用例 
例えば7^2009の下二桁を求めたいときに、次のように考えることができる。

 なので,オイラーの定理から
.

よって

ゆえに下二桁は07になる。

関連項目 
 レオンハルト・オイラー

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レオンハルト・オイラー