リー・トロッター積公式

数学において、ソフス・リー (Sophus Lie, 1875) にちなんで名づけられたリーの積公式 () は、任意の実あるいは複素正方行列 ,  に対して、

が成り立つという定理である。ここで  は  の行列指数関数を表す。リー・トロッターの積公式 (Lie–Trotter product formula)  およびトロッター・加藤の定理 (Trotter–Kato theorem)  はこれをある種の非有界線型作用素 ,  に拡張する。

定理
 を同じ次数の任意の実または複素正方行列、 を自然数とするとき、次の式が成立する。 

ここで  は行列指数関数による  の像であり、次の式により定義される。

ただし、（単位行列）である。

また、行列  のノルムは次で定義するものとし、収束はこのノルムによることを意味するものとする。

ただし、 は  の  成分の絶対値、 は  の次元である。係数  は 単位行列  のノルムを 1 にするためのものであり、この係数を省いた定義を用いる文献もある(この係数が無くても、以下の論議で問題は発生しない)。

リー・トロッター積公式は、通常の指数関数における次の規則の拡張である。

この式は、 が任意の実数または複素数の場合に成立する。 を行列  で置き変え、指数関数を行列指数関数で置き変えると、この規則が成立するためには、一般に  と  が可換である必要がある。しかし、リー・トロッター積公式は、 と  が可換でなくても一般に成立する。

この公式は、の自明な系である。

より一般的には、 を行列に限定せず、任意のノルム空間  上の有限なノルムを持つ線形作用素としても、この公式は成立する。ただし、上記の行列についてのノルムは、次で定義されるノルム空間  上の線形作用素  のノルム  に置き換えるものとする。

この定義では、ノルム空間  上の恒等写像  のノルムは 1 である。

証明
特に複素正方行列の場合について証明する。以下の証明は  による。次の補題を用いる。

補題
 を同じ次数の任意の複素正方行列とすると、次の関係が成り立つ。

ただし、 はランダウの記号(ただし、行列値に拡張している)である。

補題の証明は省略する。

補題から  を自然数として任意の行列 ,  に対して次の式が成り立つ。

従って、

となるから、

が成り立つ。

応用
この公式は、量子力学における経路積分において応用されており、この公式によってシュレーディンガー時間推進作用素 (そのジェネレーターがハミルトニアンである) を、運動エネルギー作用素 (の時間積分断片)とポテンシャルエネルギー作用素 (の時間積分断片) の交互の積の列に分離することが可能になっている。同様のアイデアは微分方程式の数値解法における分割法 (離散化) を構築する上でも使われている。

脚注

参考文献 
 
 
 
 
 Sophus Lie and Friedrich Engel  (1888, 1890, 1893).  Theorie der Transformationsgruppen (1st edition, Leipzig; 2nd edition, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN 0828402329
 .
 , pp. 35.

 , pp. 99.

関連項目 
 リー群
 行列指数関数
 経路積分
 
 鈴木＝トロッター分解

線型代数学
リー群論
量子力学
数学に関する記事
人名を冠した数式