シムソンの定理

幾何学におけるシムソンの定理とは、 の外接円上の点  から三角形の各辺  におろした垂線の足  がすべて同一直線上にある（共線関係にある）という定理である。この直線のことをシムソン線（シムソンライン）と呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレスである。

シムソン線の性質 
 三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線はPから対辺に下ろした垂線になる。またPを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は辺の1つと一致する。
 Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とする。Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線が成す角は、POP'の半分に等しい。特にPとP'が直径の両端にあるとき、2本のシムソン線は垂直に交わる。このときの交点は九点円上にある。
 三角形のABCの垂心をHとする。Pに対するシムソン線は、PHの中点を通る。
 共通の外接円を持つ2つの三角形があったとき、Pに対する2本のシムソン線が成す角はPによらず一定の値をとる。
 シムソン線による包絡線はデルトイド（内サイクロイドの一種）となる。このデルトイドをスタイナーのデルトイドという。

証明

初等幾何による証明 
A,B,Cの内の点Pの右回り隣の点をA,左回り隣の点をB,対角点をCとする。
AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。

∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。
∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある.
∠PAC<90度とする。

点A,P,N,Mは同一円周上にある。
A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから
直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから
∠PAM=∠PAC…①

直線BAに対してPとMは反対側にある。
Nは直線BA上の点だから
直線NAに対してPとMは反対側にあるから
NとAは四角形APNMの対角点となるから
∠PAM+∠MNP=180度…②

点P,L,B,Nは同一円周上にある。
B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから
直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠CBP>90度だから
直線BAに対してLとCは反対側にあるから
直線BAに対してLとPは同じ側にある。

Nは直線BA上の点だから
直線BNに対してLとPは同じ側にあるから
BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから
∠PNL=∠PBL…③

∠CBP>90度だから
(B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度.
∠PAC+∠CBP=180度だから
∠PBL=∠PAC…④

①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。
したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.

複素数による証明

参考文献 

 - 2002年にオンデマンド印刷で復刊。

脚注

関連項目

外部リンク 

Simson Line: What is it? - Cut The Knot

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