クレローの方程式

クレローの方程式（クレローのほうていしき、Clairaut's equation）とは、次の形の微分方程式である。

この方程式の名はアレクシス・クレローにちなんだものである。また、次の一階偏微分方程式もクレローの方程式と呼ばれる。

解法

常微分方程式 
常微分方程式

を解くには、まず両辺を x について微分する。

整理して

を得る。これより、

であるか、または

である。前者の場合、ある定数 C があって C = dy/dx となる。これを元の方程式に代入すると、

という関数の族が得られる。これをクレローの方程式の一般解という。

後者の場合、

という式からはただひとつの解 y(x) しか得られず、これを特異解と呼ぶ。特異解のグラフは一般解のグラフの包絡線になっている。

偏微分方程式 
クレローの一階偏微分方程式

 u = xux + yuy + f(ux,uy)

は、シャルピの解法により解ける。

 p = ux、q = uy、F(x,y,u,p,q) = u - xp - yq - f(p,q)

とおけば、同方程式は F(x,y,u,ux,uy)=0 である。

 Fx = -p、Fy = - q、Fu = 1
 Fp = -x - fp、Fq = -y - fq

だから、補助方程式は、

 

である。
後二式は dp = dq = 0 の意味だから、ux = a、uy = b とおくと、

 u = ax + by + f(a,b)　　…　(1)

である。
よって、a、b を積分定数と解すれば、(1) が完全解となる。

完全解の平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は特異解を与える。
実際、(1) を a、b で偏微分した関係式

 x + fa(a,b) = y + fb(a,b) = 0

と (1) から a、b を消去できる場合には、解が得られる。

また、任意関数 g により、完全解の平面族の積分定数に関係 b = g(a) を与えたとき、その平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は一般解を与える。
実際、(1) に b = g(a) を代入した式を a で微分した関係式

 x + g’(a)y + fa(a,g(a)) + fb(a,g(a))g’(a) = 0

と (1) から a を消去できる場合には、解が得られる。

外部リンク 

常微分方程式
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