アポロニウスの円

アポロニウスの円（アポロニウスのえん）は、2定点A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように（但しAP≠BP）したときの点Pの軌跡である。ペルガのアポロニウスの名前を残すが、起源はより古いと思われる。例えば、既にアリストテレス『気象論』第三巻で虹の形状を論じるのに用いられている。

証明

初等幾何による証明 

点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、
AQ:QB=AP:PB
AR:RB=AP:PB
内角と外角の二等分線の関係の逆より、PQとPRはそれぞれ∠APBの内角と外角の二等分線である。
よって、∠QPR=90°
ゆえに、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円である。

ベクトルによる証明（1） 
m, n を互いに異なる正の実数とする。線分ABを m ： n に内分する点を Q、外分する点をRとすると、

このとき、

したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。

ベクトルによる証明（2） 
線分QRの中点をOとすると、

したがって、

これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径  の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。

アポロニウスの円の中心 
線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、

すなわち、点Oは線分ABを  に外分する点になる。

アポロニウスの円の半径 
アポロニウスの円の半径を r とする。ここで平方完成

定義より、

したがって、

アポロニウスの問題に対する解
アポロニウスの問題に対する解はアポロニウスの円とも呼ばれる。

外部リンク 

アポロニウスの円の中心について - 『数研通信』33号
アポロニウスの円の中心と半径
アポロニウスの円～定義を少し広げる試み～
高校数学で注意して欲しいこと　2. 軌跡
角の二等分線の性質を狩る

アポロニウスの接円問題の探究 - 筑波大学数学教育研究室 代数・幾何・微積　For All プロジェクト

円 (数学)
初等幾何学
ペルガのアポロニウス
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