ブレートシュナイダーの公式

ブレートシュナイダーの公式（ブレートシュナイダーのこうしき、Bretschneider's formula）は、四角形の面積を与える公式である。四角形ABCD について、p, q, r, s をそれぞれの辺の長さ、T を半周長、A と C を互いに対角とすると、四角形の面積は

に等しい。円に内接する四角形の面積を表したブラーマグプタの公式の一般化であり、任意の四角形について成り立つ。名前の由来はドイツの数学者カール・アントン・ブレートシュナイダー（1808–1878）にちなむ。

証明 
四角形の面積を S とすると、
(±は、凸四角形と凹四角形の場合を省略します)
より

を得る。また、余弦定理より、

であるから

を得る。4S についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos(A + C) = cos A cos C − sin A sin C を用いると、

となる。倍角の公式  を用いて変形すると、

となる。この式は、半周長

を用いて

となり、ブレートシュナイダーの公式を得る。

関連する公式 
円に内接する四角形については、対角の和の半分が 90°であることから、ブラーマグプタの公式

が成り立つ。また、円に外接する四角形については、対辺の和が等しく、 であることから

が成り立つ。さらに外接円と内接円を持つ四角形、つまり双心四角形については、

となる。また、上記の証明は  として三角形の面積を考えているとしても通用し、ヘロンの公式

を得る。

脚注

参考文献

関連項目 
四角形
ブラーマグプタの公式
ヘロンの公式

外部リンク 
 

初等幾何学
面積
四角形に関する定理
数学に関する記事
人名を冠した数式