ゴッパ符号

ゴッパ符号（ゴッパふごう、）または代数幾何符号（だいすうきかふごう、）は、有限体  上の代数曲線 X を使って構築される線型符号である。V. D. Goppa が考案した。場合によっては、興味深い極値特性（extremal property）を示すことがある。

ゴッパ符号は、 上で定義された非特異の代数多様体 X のいくつかの有理点

P1, P2, ..., Pn

を使って構築でき、X 上の因子 G は  とは互いに素な有理点からのみ得られる。リーマン＝ロッホの定理によれば、因子 G に対応して、一意な有限次元のベクトル空間  が存在する。このベクトル空間は  の関数空間の部分空間である。

このような情報を使って構築されるゴッパ符号には、2種類のものが存在する。

関数型符号 
曲線 X、因子 G、有理点群  から構築される関数型符号は以下の通りである。

 上の L(G) の固定基底

f1, f2, ..., fk

について、対応する  内のゴッパ符号は、

(fi(P1), fi(P2), ..., fi(Pn))

というベクトルによって  上に分布する。等価的に

の像としても定義され、ここで f は  で定義される。

上記で定義された  を使って因子を  とする。通常ゴッパ符号は C(D,G) と記述される。

次に、C 上の因子 D と符号のパラメータの関係を示す。l(D) という記法は L(D) の次元を意味する。

命題 ゴッパ符号 C(D,G) の次元は

であり、2つの符号語間の最小ハミング距離は

である。

証明 

 

なので、次が成り立つことを示さなければならない。

 と仮定する。すると  なので、 である。従って  である。逆に  と仮定する。すると

なので

 

である（G は  で問題を解かないので、代わりに f でそれをする必要がある）。従って

となる。 を示すため、 のハミング重みを d とする。これはつまり、 個の  （例えば ）について  であることを意味する。従って  であり、

である。

であることに着目して両辺の次数をとると

が得られる。従って

である。Q.E.D.

留数型符号 
留数型符号は関数型符号の双対として定義されるか、 における何らかの関数の留数として定義される。

応用 
暗号理論において、ゴッパ符号はマックエリス暗号で使われている。

一般にゴッパ符号は性質の良い線型符号と見なされ、

 

の誤りを訂正可能である。また復号も簡単で、ユークリッドの互除法とベールカンプ＝マッシー法を使えばよい。

外部リンク 
 代数幾何符号の歩み 水野弘文（イオンド大学）、2004年
 An undergraduate thesis on Algebraic Geometric Coding Theory
 代数幾何符号に関する研究 上原剛（愛媛大学）、2001年

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