円分体

円分体 (えんぶんたい、) は、有理数体に、1 の  乗根  を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、 とする。

性質 
 3 以上の整数 m に対して、円分体  の拡大次数  は、 である。但し、 はオイラー関数である。
 任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
 3 以上の整数 m に対して、 ( は、相異なる素数、 と素因数分解すると、
  は、 の合成体であり、
 
 が成立する。また、円分体  で分岐する有理素数は、 に限る。
  である。この を、最大実部分体または実円分体という。
 一意分解整域となる円分体  )は、m が 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 の場合だけである。
 特に、23 以上の素数 p に対しては、円分体  は一意分解整域でない。
 類数が 2 である円分体  ) は、m = 39, 56 だけである。
 円分体  に含まれる代数的整数の集合は、 である。

円分体の判別式 
m を 3 以上の整数として、円分体を  とする。

(1) m が素数のとき

K の判別式は、 である。

(2)  (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき

K の判別式は、 である。但し、
 

(3)  ( は相異なる素数、 であるときには

円分体  の判別式を  とすると、
K の判別式は、
 
である。

アーベル拡大体の埋め込み 

クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)

K が有理数体上のアーベル拡大体のとき、ある整数  が存在して、
  となる。

例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

円分体と初等整数論

フェルマーの最終定理 
素数 p に対して、
 
の左辺を、 上で分解すると、
 
となる。
ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、 のとき、それが成立しないことを示した。
そのため、 (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。

クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。

クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。
 素数 p は、円分体  の類数を割り切らない。

正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。

クンマーの補題

素数 p が正則素数であれば、円分体  の単数 ε を、 となる有理整数 a が存在するようにとると、  の単数  が存在して、 と表される。

正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。

平方剰余の相互法則 
ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した。さらに、 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。
高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。

円分体の類数

円分体の類数の性質 
以下において、p を奇素数とする。

円分体  の類数を 、最大実部分体  の類数を  とすると、
 ( は有理整数)と表すことができる。
このとき、 を第1因子または相対類数、 を第2因子または実類数という。

第1因子については、以下の様な性質がある。

 素数 p に対して、p が  を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。
 つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。
 この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。
 素数 p に対して、p が第1因子を割り切る必要十分条件は、 が、 を割り切る様な整数 k  が存在することである。
  が奇数であるならば、 は奇数である。

クンマーは、第1因子の増大度に対して、 と予想した。
但し、 。

この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。
  。

第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。

 q を素数とし、 とする。 が素数であるならば、 である。

ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p は  を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である。

円分体の類数公式 

円分体の類数を求めるには、 より、第1因子と第2因子を求めればよい。

 第1因子
  。
 ここで、
 
 S は、 を満たす、法 m に関する指標の集合とする。

 特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。
  。

 m が素数のとき、以下の様な式がある。
 
 ここで、η は、1 の原始  乗根とし、 。
 但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、 に対して、 は、 を満たす正整数とする。

 p の倍数ではない整数 r に対して、 を、 を満たすようにとる。
 また、 を、 を満たすようにとる。
  とおくと、
  である。

 第2因子
  。
 ここで、R は、 の単数基準、T は、 を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。

 特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。
  。
 ここで、η は、1 の原始  乗根、g は、法 p に対する原始根とする。

 m が素数のとき、以下の様な式がある。
  に対して、  とおく。
 g を法 p に関する原始根とし、 とおく。
 また、σ を、 を満たす、 の生成元とする。
 
 とおくと、
  。
 但し、R は、の単数基準とする。

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目 

 1の冪根
 円分多項式
 ガロア理論
 代数体

外部リンク 
 
 
 

代数的整数論
体論
数学に関する記事