多項式の展開

数学において多項式の展開（たこうしきのてんかい、）とは、複数の多項式の積を一つの多項式で表すことをいう。これは因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧がなくなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、級数に対するものに自然に拡張される。

概要 
分配法則
 
を用いることで、多項式の積を一つの多項式で表すことが可能。まず、帰納法により、第二因子が  個の項の和である場合の分配法則を得る。
 
第一因子も複数の項の和である場合、すなわち
 
については、次のように計算される。
第一因子を  とおくと、 となる
分配法則により、これは  に等しい
この式の第  項は  であり、再び分配法則を用いると、これは  に等しい
よって、全体は  に等しい
この結果を記号  を用いて書くならば

である。言葉で表現するならば、

ということである。第一因子が  個の項の和、第二因子が  個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは  通りであるから、展開した結果は  個の項の和になる。

3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、

ことがしたがう。 個の多項式の積であって、 番目の多項式が  個の項の和であれば、展開した結果は  個の項の和になる。

具体例 
 を展開すると、 となる。展開の様子は次の表のように表せる。

展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば  を展開する場合の表は

であるが、 と  が打ち消しあうため、 となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を公式として教授することが多い。
 
 
 
右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。

冪級数への拡張 

多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である（形式的）冪級数に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1変数の冪級数

についてのみ考える。ふたつの冪級数の積は

と定義される。冪級数をその収束域に対する関数とみなした場合、これは関数の積に対応する。

例 
指数関数のテイラー展開

の右辺の平方を上記の法則で「展開」すると、

となるが、この右辺は  すなわち  のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、 にいかなる複素数を代入しても収束するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、

であるが、 は  の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、複素関数  の解析接続は  であり、これは  のみを1位の極に持ち、その他の点で正則である。

関連項目 
展開
二項定理
因数分解

外部リンク 
 
 

初等数学
多項式
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