反対称関係

反対称関係（はんたいしょうかんけい、）とは、集合  に関する二項関係  であって、次の条件を満たすものをいう。

すなわち、 の任意の元  と  に対して「 から  への関係、および  から  への関係がともに成り立つならば、 =  である」ような関係のことである。この条件を反対称律（）という。

また、反対称律は次の条件と同値である。

すなわち、反対称関係とは「 から への関係が成り立ち、かつ  と  が等しくないならば、 から  への関係は成り立たない」ような関係であると定義してもよい。

反対称律に加え、反射律および推移律が成り立つ二項関係を、順序関係という。したがって、一般に順序関係は反対称関係である。例えば、実数における大小関係 (≦) や集合における包含関係 (⊆) は順序関係であるから、反対称関係でもある。順序関係でなく、反対称関係である関係の例としては、等号なしの大小関係 (＜) が挙げられる。

反対称関係は対称関係の論理的否定ではない。対称関係でも反対称関係でもある関係（等号＝など）もあり、また対称関係でも反対称関係でもない関係もある。対称関係でないものは非対称関係と呼ばれる。なお、ある変換により符号が反転する性質を反対称性というが、この概念とも直接の関係はない。

参考文献

関連項目 

対称関係
対称性
二項関係
反対称性
非対称関係

外部リンク 

二項関係
数学に関する記事