ネイピア数の無理性の証明

ネイピア数の無理性の証明（ねいぴあすうのむりせいのしょうめい）は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数  は  を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、 が有理数であると仮定して矛盾を導く。 が無理数であることの証明は、円周率  が無理数であることの証明よりずっと易しい。 の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。

 を底とする指数関数  は以下のようにテイラー展開される。

 を代入すると

以下、これを  の定義として無理数であることを証明する。

証明 
 を満たす自然数  が存在すると仮定すると  は以下のように展開される。

左辺は  であるから自然数である。右辺は (　) 内の  から  までの項は全て自然数であるが、{　} 内の  以降の全ての項の和は、 が  以上であることから

と 1 未満になる。したがって (　) 内と {　} 内を足した右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。

ゆえに  を満たす自然数  が存在するという仮定は誤りである。

ネイピア数の冪乗の無理性 
一般に、 を  でない有理数とすると、 は無理数である。これは、リンデマンの定理のごく特別な場合であるが、それ自体の証明は比較的易しく、『天書の証明』で1ページ程度にまとめられている。

脚注

参考文献 

1〜2頁および60〜61頁にネイピア数の無理性の証明が掲載されている。

130頁にネイピア数の無理性の証明が掲載されている。

関連項目 
 ネイピア数
 無理数
 円周率の無理性の証明

ディオファントス近似
無理数
指数関数
数学に関する記事
ネイピア数
証明を含む記事