双心四角形

双心四角形（そうしんしかっけい、Bicentric Quadrilateral）とは外接円と内接円の両方をもつ四角形のことである。の一種。

面積の公式 
4辺が a, b, c, d である双心四角形 ABCD の面積は次の公式で表される。
S = √
より一般に、内接円を持つ四角形 ABCD の面積は、 とおくと次で与えられる。
S = √ sin t
双心四角形に対する公式は、t = π/2 という特殊な場合である。

証明 
双心四角形ABCD において、外接円を持つことからブラーマグプタの公式が使えて、次の式が成り立つ。
S = √
ただし 
内接円を持つ四角形の対辺の和は等しいので
a + c = b + d = s
したがって
s − a = c
s − c = a
s − b = d
s − d = b
ゆえに
S = √
（証終）

外接円を持つとは限らない一般の場合の公式は、ブレートシュナイダーの公式を用いて同様に示せる。

外接円と内接円の関係 
外接円の半径を R、内接円の半径を r、外接円の中心と内接円の中心の距離を d としたとき、
2r(R + d) = (R − d)
が成り立つ。

関連項目 

ブラーマグプタの公式

外部リンク 
 

幾何学
数学に関する記事