デデキントのイータ関数

デデキントのイータ関数 (デデキントのイータかんすう、) は次のような式で定義される関数である。

ヤコビの三重積の公式により、

となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

極と零点 
であればであるから、

である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、が有理数であればであるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

テータ関数との関係 
イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて

である。また、

である。

モジュラー変換 
テータ関数の虚数変換式により

であるが、が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、

である。また、

であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。

実際、モジュラー判別式の定数倍と一致する。

関数等式 
イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c ≠ 0 のとき、ある1の24乗根  について関数等式

が成り立つ。は

により求められる。ここでは

をあらわす。

出典

参考文献 

数論
複素解析
数学に関する記事
数学のエポニム