Q二項定理

数学において、q二項定理（）は二項定理のq-類似である。超幾何級数 の和は通常の二項定理
 
で与えられる。これに倣い、q超幾何級数の和を与える公式
 
をq二項定理と呼ぶ。ただし、はポッホハマー記号、はqポッホハマー記号である。

証明 
右辺をとして関数方程式を導く。
 
これにより、左辺を得る。

別証明 
左辺をとして関数方程式を導く。
 
をテイラー級数に展開しての係数を比較すると
 
となり、であるから
 
となる。これにより、右辺を得る。

コーシーの二項定理 
コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である。
 
ただし、
 
はq二項係数である。q二項定理にを代入すると
 
となるが、左辺はでとなり、右辺はの分子がの分母を打ち消す。従って、
 
である。左辺はqポッホハマー記号の変換式により、
 
となる。

出典 

q-解析学
解析学の定理
複素解析
数論
qきゆうにこうていり