ポッホハマー記号

解析学におけるポッホハマー記号（ポッホハマーきごう、）はの名に因む特殊函数で、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。

記法について 
同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。
 : 組合せ論で使用
 : 解析学、特殊函数論で使用
 : (その他の記法)

複素数  と正整数  に対して、特殊函数論では  を昇冪
 
を表すのに用いるが、組合せ論では  を降冪
 
として用いる。混乱を避けるため、昇冪を , 降冪を  でそれぞれ表すこともよく行われる。さらに  は全く別の冪乗に似た記号を用いる。
 
差分学における降冪は微分学における冪の類似対応物である。
ガンマ関数Γを用いると
 
となる（ただしガンマ関数の引数が非正整数でない場合）。さらに x が正整数のときは階乗を用いて

性質 

 ポッホハマー記号  は複素変数  に関して有理型函数である。
 任意の自然数  に対して  は  の多項式であり、 を共通根に持つ。
 変数  の符号を反転するとき

 径数  の符号を反転するとき、以下の関係式が成り立つ:
 
 
 商の法則:

 特殊値:
 
 
 二項係数との間に以下の関係がある:

応用 
ポッホハマー記号は函数の冪級数展開を表すのに用いられる。いくつか例を挙げれば、
 ニュートンの二項級数:
 
 超幾何函数:

一般化

-類似 

ポッホハマー記号の -類似に -ポッホハマー記号がある。これは

で定義される。

多重ポッホハマー記号 

多重指数に対するポッホハマー記号を以下のように定めることができる:

注釈

参考文献

外部リンク 
 

エポニム
組合せ論
特殊関数
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