六進法

六進法（ろくしんほう、、）とは、6 を底とし、底およびその冪を基準に数を表す方法である。英語名の"senary"は、ラテン語で「六個一組」を意味する"senarius"にちなむ。

記数法

整数

整数の表記

六進記数法とは、六を底とする位取り記数法である。慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数で表記し、六進記数法の表記は括弧および下付の 6 で表す。六進記数法で表された数を六進数と呼ぶ。通常は、0, 1, 2, 3, 4, 5 の計 6 個の数字を用い、六を 10、七を 11、八を 12 …と表記する。

倍数判定と素数

十進法と六進法は、「10が素数二つの積」「10－1が6未満の素数かその冪数」という同じ構造を持っており、2の冪数の扱いは同じになる。しかし、六進法では「5＋1 = 10」「2×3 = 10」となるので、十進法と比べた時に、3と5の立場が逆転するだけではなく、9(＝13＝3)と5の立場も逆転する。つまり、六進法では3とその冪数が優位に立ち、5とその冪数は劣位に落ちる。更に、2と3の冪指数が同じなので、2の冪数と3の冪数が同等の地位になる。

3と5が逆転する例
六進法では、3の倍数は一の位が3か0のどれかになる。一の位が3ならば3の倍数であり、素数にはならない。
六進法では、11（七）以後の素数は、一の位が1か5のどれかである。
 11(七)から100(三十六)までの素数：11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51
 101(三十七)から300(百八)までの素数：101,105,111,115,125,135,141,151,155,201,211,215,225,241,245,251,255
十進法では1/5が0.2（つまり十分の二）だが、六進法では1/3が0.2（つまり六分の二）になる。同じく、六進法では、2の冪数の逆数は3の冪数になり、3の冪数の逆数は2の冪数になる。
 例として、冪指数が3だと、2 = 12、3 = 43、2 = 0.043、3 = 0.012 となる。
「3×5」の数は、十進法では「15」「十五」となり5の倍数の仲間だが、六進法では「23」「二六三」となり3の倍数の仲間になる。
の小数は、十進法では0.15、六進法では0.23となるが、既約分数が十進法では「二十分の三」「素因数分解すると」になるが、六進法では「二六分の五」「素因数分解すると」になる。仲間になる冪数も、十進数0.15は25 (＝5)だけに対して、六進数0.23は13 (＝3)と43 (＝3)の計二つになる。
 小数に変えると37 = 101の倍数が循環する無限小数になる単位分数は、十進法が1/3、1/3 (= 1/9)、1/3 (= 1/27) に対して、六進法では 1/5 や 1/11 (= 1/7) になる。
 例：2/5 = 0.2222…（2222 = 518）、4/11 = 0.3232…（3232 = 740）
 六進数では、5 ÷ 3（pは同じ冪指数）の小数点を消した値は、十の冪数になる。
例：5÷3 = 41÷13 = 2.44（244＝100）
例：5÷3 = 325÷43 = 4.344（4344＝1000）

9と5が逆転する例
乗算表は「九九・八十一」ではなく「五五・四六一」という呼び方になるが、五の段は「一の位」と「六の位」の和が5になる。また、5の倍数は、各位の数の和も5の倍数になる。
例：2521（= 625）→ 2＋5＋2＋1 = 14 → 1＋4 = 5
例：4344（= 1000）→ 4＋3＋4＋4 = 23 → 2＋3 = 5
 401や4001など、「4×6 + 1」となる整数は、5の倍数になる。例えば、401は十進法の145であり、4001は十進法の865である。
3の冪数は一の位も3になる。「100の1/4」と「100の3/4」は両方とも3の冪数になる上に、「100のm/4」となる整数は全て9の倍数である。1/9 (= 1/13)も0.04で、「100のm/9」となる整数は全て4の倍数である。
 100×(1/4) = 13 = 3 = 9
 100×(2/4) = 30 = 3×2 = 18
 100×(3/4) = 43 = 3 = 27
 100 = 3×2 = 36
十進法では乗算表が81（3＝81）種類になるが、六進法では16（2＝24）の倍数が81（3＝213）種類になる。同じく、81（213）の倍数も16（24）種類になる。
倍数表を乗算表に例えると、十進乗算表での9倍＝13倍の欄には、144（400）の倍数が来る。
例：「4×5 = 20」→「24×52 = 2212」。「7×9 = 63」→「24×143 = 4400」。「8×1 = 8」→「24×144 = 4424」。「9×9 = 81」→「24×213 = 10000」。
81（213）の倍数のうち奇数は、下四桁が 0213, 1043, 1513, 2343, 3213, 4043, 4513, 5343 のどれかになる。
例：13213 = 2025 → 213×41 = (81×25)
例：101043 = 8019 → 213×243 = (81×99)

倍数判定法
六進法でも、十進法と同じように倍数判定ができる。2と3の倍数が一目で判る上に、割り切れない5の倍数の判定も可能になる。十進法では 5×3 と 5×3 が判定可能なのに対して、六進法では 3 や 3×5 が判定可能になる。また、2 と 2×5 の倍数は、十進法では 5 種類になるが、六進法では 3 種類になる。

個別の倍数判定も、以下のようになる。素因数分解を左に【】で示す。

 基本的な倍数判定
【2】2：一の位が2か4か0
【3】3：一の位が3か0
【2】4：下二桁が｛04,12,20,24,32,40,44,52,00｝のどれか。計9 (= 3) 種類。
【5】5：各位の数字和が5の倍数
【2×3】10（＝6(10)）：一の位が0
【3】13（＝9(10)）：下二桁が｛13,30,43,00｝のどれか。計4 (= 2) 種類。
【2×5】14（＝10(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が 2か4か0。
【3×5】23（＝15(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が 3か0 。
【2×3】100（＝36(10)）：下二桁が00 。

 その他の主要な数
【11】11（＝7(10)）：二桁のゾロ目、あるいは二桁ゾロ目に0がいくつも付く。｛例：220(＝84(10))、3311(＝763(10))｝
【2】12（＝8(10)）：下三桁が12の倍数｛012,024,040 … 532,544,000｝。｛計43(＝27(10)) 種類。例：1224(＝304(10))｝
【2×3】20（＝12(10)）：下二桁が｛20,40,00｝のどれか。｛例：3440＝580(12)＝816(10)｝
【2】24（＝16(10)）：下四桁が24の倍数。｛計213(＝81(10)) 種類。例：12544＝1936(10)｝
【2×3】30（＝18(10)）：下二桁が 30 か00 。
【2×5】32（＝20(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ下二桁が｛04,12,20,24,32,40,44,52,00｝のどれか。｛例：13204＝510(20)＝2020(10)｝
【2×3】40（＝24(10)）：一の位が0、かつ整数第三位〜第二位が｛04,12,20,24,32,40,44,52,00｝のどれか。｛例：1520＝408(10)｝
【5】41（＝25(10)）：「一の位以外」から「一の位を4倍」を引き、その差が0か、その差を41で割って余りが0。｛例：13051 = 1975｝
【3】43（＝27(10)）：下三桁が｛043,130,213,300,343,430,513,000｝のどれか。｛例：1213 = 297｝
【2×3×5】50（＝30(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が0。
【2×5】104（＝40(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ下三桁が12の倍数。｛計43(＝27(10)) 種類。例：2012(＝440(10))｝
【2×3×5】140（＝60(10)）：各位の数字和が5の倍数、かつ下二桁が｛20,40,00｝のどれか。｛例：13100＝1980(10)｝
【3】213（＝81(10)）：下四桁が213の倍数。｛計24(＝16(10)) 種類。例：14043＝2187(10)｝
【2×5】244（＝100(10)）：「一の位以外」から「一の位を4倍」を引き、その差が0か、その差を41で割って余りが0になり、その上で下二桁が4の倍数。｛例：3412 = 800｝

小数と除算

小数の位取り
＜図＞六進小数の進み方（「六分の一」の位）
  0   0.1  0.2  0.3  0.4  0.5   1   1.1  1.2  1.3  1.4  1.5   2   2.1  2.2…
  |||||||||||||||

＜図＞六進小数の進み方（「三十六分の一」の位）
  0   0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.1  0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.2  0.21 0.22 … 0.52 0.53 0.54 0.55  1   1.01…
  |||||||||||||||___||||||

六進法では「5 + 1 = 10」「2×3 = 10」になるので、2と3という基本的な数による演算が非常に容易である。小数でも、六進法では 0.1 が六つ集まると 1 になるので、0.1が1/6となり、0.3が1/2となり、0.2が1/3となり、1/3は割り切れる小数になる。0.5は「5/6」となり、「1/2」ではない。小数の位取りも、0.1が「六分の一」に続いて、0.01は「三十六分の一」、0.001は「二百十六分の一」となる。

小数の数値も整数と同様になる。右に既約分数を表記する。
(0.1)6 = 1/6 (1×6-1)
(0.01)6 = 1/36 (1×6-2)
(0.14)6 = 10/36 (1×6-1 + 4×6-2) = 5/18 = (5/30)
(0.43)6 = 27/36 (4×6-1 + 3×6-2) = 3/4
(0.001)6 = 1/216 (1×6-3)
(0.205)6 = 77/216 (2×6-1 + 0×6-2 + 5×6-3)
(0.332)6 = 128/216 (3×6-1 + 3×6-2 + 2×6-3) = 16/27 = (24/43)
(0.0001)6 = 1/1296 (1×6-4)
(0.3213)6 = 729/1296 (3×6-1 + 2×6-2 + 1×6-3 + 3×6-4) = 9/16 = (13/24)
(0.4424)6 = 1024/1296 (4×6-1 + 4×6-2 + 2×6-3 + 4×6-4) = 64/81 = (144/213)
を、それぞれ意味する。

整数と小数の桁の移動も、(12) を例に挙げると：
 (1200) = (288)
 (120) = (48)
 (12) = (8)
 (1.2) = (8/6) = 1と(2/6) = 1と1/3
 (0.12) = (8/36) = (2/9)
 (0.012) = (8/216) = (1/27)
となる。

整数の除算
六進法の整数の除算では、100や1000など桁上がりの冪数も三分割が可能になり、10(六)の冪指数と同じ2の冪数と3の冪数で割り切れることになる。例えば、1000ならば2と3の両方で割り切れ、かつ2と3の冪指数が同じになる。

 100 ÷ 3 = 20
十進法の整数の除算では、「四分割（2）は百（100）まで待たねばならない」上に、100は三分割も九分割（3）もできない。しかし、六進法の整数の除算では、「四分割は三十六（100）まで待たねばならない」が、「九分割も三十六（100）まで待てばいい」。「100個の饅頭」が、六進法では以下のように分けることができる。
 二分割：100個 ÷ 2人 = 30個 → 十進換算値は「36個 ÷ 2人 = 18個」
 三分割：100個 ÷ 3人 = 20個 → 十進換算値は「36個 ÷ 3人 = 12個」
 四分割：100個 ÷ 4人 = 13個 → 十進換算値は「36個 ÷ 4人 = 9個」「6個 ÷ 2人 = 3個」
 六分割：100個 ÷ 10人 = 10個 → 十進換算値は「36個 ÷ 6人 = 6個」
 九分割：100個 ÷ 13人 = 4個 → 十進換算値は「36個 ÷ 9人 = 4個」「6個 ÷ 3人 = 2個」

 1000 ÷ 3 = 200
六進法の「1000人」は十進法で「216人」、同じく「200人」は十進法で「72人」になる。従って、「1000人の1/3で200人」「1000人の1/2で43人」「1000人の1/3で12人」といった計算が可能になる。従って、単位分数以外でも2の冪数や3の冪数を分母にして「1000人の『(5×2)/3』で212人」「1000人の『5/2』で343人」といった計算も可能になる。
 二分割：1000人 ÷ 2 = 300人 → 十進換算値は「216人 ÷ 2 = 108人」
 三分割：1000人 ÷ 3 = 200人 → 十進換算値は「216人 ÷ 3 = 72人」
 四分割：1000人 ÷ 4 = 130人 → 十進換算値は「216人 ÷ 4 = 54人」
 六分割：1000人 ÷ 10 = 100人 → 十進換算値は「216人 ÷ 6 = 36人」
 八分割：1000人 ÷ 12 = 43人 → 十進換算値は「216人 ÷ 8 = 27人」「6人 ÷ 2 = 3人」
 九分割：1000人 ÷ 13 = 40人 → 十進換算値は「216人 ÷ 9 = 24人」
 二十七分割：1000人 ÷ 43 = 12人 → 十進換算値は「216人 ÷ 27 = 8人」「6人 ÷ 3 = 2人」
 八分の五：1000人 × (5/12) = 343人 → 十進換算値は「216人 × (5/8) = 135人」
 二十七分の十：1000人 × (14/43) = 212人 → 十進換算値は「216人 × (10/27) = 80人」

 10000 ÷ 3 = 2000
もし通貨を六進法にすると、「10000円」は十進法の「1296円」になり、「2000円」は十進法の「432円」になり、「10000円 ÷3 ＝ 2000円」「10000円を3人で分けて、1人2000円」といった三分割が可能になる。
 二分割：10000円 ÷ 2 = 3000円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 2 = 648円」
 三分割：10000円 ÷ 3 = 2000円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 3 = 432円」
 四分割：10000円 ÷ 4 = 1300円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 4 = 324円」
 六分割：10000円 ÷ 10 = 1000円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 6 = 216円」
 八分割：10000円 ÷ 12 = 430円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 8 = 162円」
 九分割：10000円 ÷ 13 = 400円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 9 = 144円」
 十六分割：10000円 ÷ 24 = 213円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 16 = 81円」「6円 ÷ 2 = 3円」
 二十七分割：10000円 ÷ 43 = 120円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 27 = 48円」
 八十一分割：10000円 ÷ 213 = 24円 → 十進換算値は「1296円 ÷ 81 = 16円」「6円 ÷ 3 = 2円」
通貨の列も、「100円硬貨」は十進法「36円硬貨」、「1000円硬貨」は十進法「216円硬貨」、「10000円札」は十進法「1296円札」、「100000円札」は十進法「7776円札」となり、どれも三分割・四分割・六分割・九分割が可能になる。

小数を含めた除算
 二分割と三分割
十進法は1/3が割り切れない、十六進法など「2の冪数」進法は1/3も1/5も割り切れないのに対して、六進法では十の冪数も2の冪数も三分割することができる。

 五十一の二分割
 十進法：51 ÷ 2 = 25.5
 六進法：123 ÷ 2 = 41.3
 百の三分割
 十進法：100 ÷ 3 = 33.3333…
 六進法：244 ÷ 3 = 53.2
 十進法：100 × (2/3) = 66.6666…
 六進法：244 × (2/3) = 150.4
 千の三分割
 十進法：1000 ÷ 3 = 333.3333…
 六進法：4344 ÷ 3 = 1313.2
 2の三分割
 八進法：100 ÷ 3 = 25.2525…
 十進法：64 ÷ 3 = 21.3333…
 六進法：144 ÷ 3 = 33.2
 2の三分割
 十六進法：100 ÷ 3 = 55.5555…
 十進法：256 ÷ 3 = 85.3333…
 六進法：1104 ÷ 3 = 221.2
 2の五分割
 十六進法：100 ÷ 5 = 33.3333…
 十進法：256 ÷ 5 = 51.2
 六進法：1104 ÷ 5 = 123.1111…

十進法では 1/3 メートルが割り切れずに「100 ÷ 3 = 33.3333… センチメートル」「1/3 メートル = 333.3333… ミリメートル」になってしまうが、六進法では「100」センチメートルは「244」センチメートルと表記され、1/3 メートルは「244 ÷ 3 = 53.2 センチメートル」となる。

 四分割と九分割（2と3）
十進法で「100分率」を作ると「百分率」だが、六進法で「100分率」を作ると「三十六分率」になる。「三十六分率」になると、十進法の1/3の数量で、「m/4」と「m/9」を同じ桁数で実行することができる。
 十進法：75 ÷ 100 = 0.75 → 75 ％
 六進法：203 ÷ 244 = 0.43 → 43 (三十六分率)
 十進法：2 ÷ 3 = 0.6666… → 66.6666… ％
 六進法：2 ÷ 3 = 0.4 → 40 (三十六分率)
 十進法：8 ÷ 9 = 0.8888… → 88.8888… ％
 六進法：12 ÷ 13 = 0.52 → 52 (三十六分率)
 十進法：90 ÷ 100 = 0.9 → 90 ％
 六進法：230 ÷ 244 = 0.5222… → 52.2222… (三十六分率)

その他、「2の冪数」や「十の冪数」の九分割の例は以下の通りになる。
 八進法：100 ÷ 11 = 7.0707…
 六進法：144 ÷ 13 = 11.04
 十六進法：100 ÷ 9 = 1C.71C71C…
 六進法：1104 ÷ 13 = 44.24
 十進法：100 ÷ 9 = 11.1111…
 六進法：244 ÷ 13 = 15.04

 八分割（2）と二十七分割（3）
十進数では m/3 (= m/27) は割り切れず、37 (= 101) の倍数三桁が循環するが、六進数では m/3 (= m/43)は割り切れて2＝12＝8の倍数になる。m/2 の小数も、十進数では 5 (= 125 = 325)の倍数だが、六進数では 3 (= 43 = 27)の倍数になる。
従って、六進数では、2 (＝12＝8)で割ると被除数の3 (＝43＝27)倍の数が現れ、3 (＝43＝27)で割ると被除数の2 (＝12＝8)倍の数が現れる。

 十進法：3 ÷ 10 = 0.3
 六進法：3 ÷ 14 = 0.14444…
 十進法：8 ÷ 27 = 0.296296…
 六進法：12 ÷ 43 = 0.144
2/3 の小数は、十進法では割り切れずに 37×8 = 296 が循環するのに対して、六進法では割り切れて 12×12 = 144 が現れ、これを十進法で換算すると 8×8 = 64 になる。「十分の三」が割り切れない一方で、その概数である「二十七分の八」は「四六三分の六二」として計数され、割り切れる小数になる。
このように、六進法は六分割で一桁下がるので、三分割、九分割、二十七分割など、3の冪数で分ける方法がかなり便利になる。

 十進法：3 ÷ 8 = 0.375
 六進法：3 ÷ 12 = 0.213
3/8の小数は、小数点を消すと十進法が 375 = 3×5 に対して、六進法は 213 = 3×3 = 81 が現れる。これらを分数化すると、十進法が (375/1000) に対して、六進法は (81/216) = (213/1000) になる。
割分厘も、十進法は「千分率」だが、六進法は「二百十六分率」になる。3/8も、十進法の「打率0.375」「3割7分5厘」に対して、六進法だと「打率0.213」「2割1分3厘」という数え方になる。

その他、2、3、列びに5を伴う除算の例は、以下のようになる。
 2 ÷ 3
 十六進法：100 ÷ 1B = 9.7B425ED09…
 十進法：256 ÷ 27 = 9.481…
 六進法：1104 ÷ 43 = 13.252
 2 ÷ 5
 十六進法：100 ÷ 17 = A.3D70A…
 十進法：256 ÷ 25 = 10.24
 六進法：1104 ÷ 41 = 14.12350…

 2と3の冪指数が4以上
六進法は2と3の冪指数が同じなので、十六分割（2）と同じく八十一分割（3）も容易である。その他、2と3の冪指数が4以上の計算例は、以下のようになる。

 3 ÷ 2
 九進法：10000 ÷ 17 = 505.0505…
 十進法：6561 ÷ 16 = 410.0625（十進帯分数：410と625/10000＝410と3/16）
 六進法：50213 ÷ 24 = 1522.0213（十進帯分数：410と81/1296＝410と3/16）
 (2) ÷ 3 ｛ (2) ÷ 3｝
 十六進法：1000 ÷ 51 = 32.9161F9ADD 3C0CA4587 E6B74F032…（循環節は27桁）
 九進法：5551 ÷ 100 = 55.51（十進帯分数：50と46/81）
 十進法：4096 ÷ 81 = 50.567901234…
 六進法：30544 ÷ 213 = 122.3224（十進帯分数：50と736/1296＝50と46/81）
 十進分数 11/64（11÷2）
 十進法 11 ÷ 64 = 0.171875
 六進法：15 ÷ 144 = 0.101043（十進数に換算して ）
 十進分数 31/729（31÷3）
 十進法：31 ÷ 729 = 0.04252400548…
 六進法：51 ÷ 3213 = 0.013104（十進数に換算して ）
 十進分数 135/256｛(3×5) ÷ 2｝
 十進法：135 ÷ 256 = 0.52734375
 六進法：343 ÷ 1104 = 0.30552343（十進数に換算して ）
 十進分数 2000/6561｛(2×5) ÷ 3｝
 十進法：2000 ÷ 6561 = 0.30483158055…
 六進法：13132 ÷ 50213 = 0.14545104（十進数に換算して ）

 除数が十五の倍数
除数が十五（15＝23）の倍数になる除算を割り切る条件は、被除数の因数に5が含まれていることが第一となる。
 十進法：100 ÷ 90 = 1.1111…
 六進法：244 ÷ 230 = 1.04　← 因数に5が含まれている。
 十進法：216 ÷ 75 = 2.88
 六進法：1000 ÷ 203 = 2.5140251402…　← 因数に5が含まれていない。
 十進法：500 ÷ 180 = 2.7777…
 六進法：2152 ÷ 500 = 2.44

小数表
分数を六進法の小数に変換すると、「二分の一」と「三分の一」が小数第一位、「四分の一」と「九分の一」が小数第二位、「八分の一」と「二十七分の一」が小数第三位となる。つまり、2と3がそのまま「小数第n位」になる。しかし、五分の一だけが割り切れず、循環節が一桁になる。

 小数第一位
 1/2 = 0.3
 1/3 = 0.2
 2/3 = 0.4

 小数第二位
 基本的な分数
 1/4 = 0.13（十進換算で 9/36 = 1/4）
 3/4 = 0.43（十進換算で 27/36 = 3/4）
 (1/9) = 1/13 = 0.04（十進換算で 4/36 = 1/9）
 (2/9) = 2/13 = 0.12（十進換算で 8/36 = 2/9）
 (4/9) = 4/13 = 0.24（十進換算で 16/36 = 4/9）
 (5/9) = 5/13 = 0.32（十進換算で 20/36 = 5/9）
 (7/9) = 11/13 = 0.44（十進換算で 28/36 = 7/9）
 (8/9) = 12/13 = 0.52（十進換算で 32/36 = 8/9）
 その他
 (1/12) = 1/20 = 0.03（十進換算で 3/36 = 1/12）
 (5/12) = 5/20 = 0.23（十進換算で 15/36 = 5/12）
 (7/12) = 11/20 = 0.33（十進換算で 21/36 = 7/12）
 (11/12) = 15/20 = 0.53（十進換算で 33/36 = 11/12）
 (1/18) = 1/30 = 0.02（十進換算で 2/36 = 1/18）
 (5/18) = 5/30 = 0.14（十進換算で 10/36 = 5/18）
 (11/18) = 15/30 = 0.34（十進換算で 22/36 = 11/18）

 小数第三位
分母が2
 (1/8) = 1/12 = 0.043（十進換算で 27/216 = 1/8）
 (3/8) = 3/12 = 0.213（十進換算で 81/216 = 3/8）
 (5/8) = 5/12 = 0.343（十進換算で 135/216 = 5/8）
 (7/8) = 11/12 = 0.513（十進換算で 189/216 = 7/8）

従って、1/2にするには0.3を掛ける、1/3にするには0.2を掛ける、2/3にするには0.4を掛ける、3/4にするには0.43を掛ける、(4/9)にするには0.24を掛ける、(5/8)にするには0.343を掛ける、(8/27)にするには0.144を掛ける、という方法でも算出できる。

 通常の方法
 十進法の 99.75 → 六進法では 243.43
 十進法の 141.375 → 六進法では 353.213
小数を掛ける方法
 十進法で 100×0.5 = 50 → 六進法では 244×0.3 = 122
 十進法で 100÷3 = 33.3333… → 六進法では 244×0.2 = 53.2
 十進法で 100×(2/3) = 66.6666… → 六進法では 244×0.4 = 150.4
 十進法で 100×(7/9) = 77.7777… → 六進法では 244×0.44 = 205.44
 十進法で 1000×(4/9)＝444.4444… → 六進法では 4344×0.24 = 2020.24
 十進法で 10000×(5/8) = 6250 → 六進法では 114144×0.343 = 44534
 十進法で 2000×(16/27) = 1185.185185… → 六進法では 13132×0.332 = 5253.104

単位分数と無理数
割り切れない小数の循環節は下線で示す。六は三では割り切れるが五では割り切れないので、五で割った際に循環小数になる例が多数現れる。六進法の除算の特筆すべき点として、一桁の整数のうち、単位分数にすると割り切れない数は五だけである。六は二と三で割り切れる最小の数なので、三の累乗数である九（六進法では13）や二十七（六進法では43）でも循環小数にならずに割り切れ、小数化すると割り切れない分数はかなり少なくなる。

又、十進法と六進法に共通する特徴として、割り切れない小数に37＝101の倍数が現れる。これは、十の三乗と六の四乗が、37＝101の倍数の次に来るためである。実際に、十進法999 (= 1000－1) は六進法4343（十進換算で3×37＝999）、六進法5555 (= 10000－1) は十進法1295（六進換算で5×11×101＝5555、十進換算で5×7×37＝1295）である。6までの逆数を見ても、全体的に六進法と十進法は循環節が短い傾向が見られ、十進法で3の循環節が3桁に対して、六進法の5も循環節が5桁である。

※ 素因数分解は六進表記。

命数法 
六進命数法とは、6 を底とする命数法である。

命数法の基本構造
六進命数法は、0（零）から「10」となる六までを一つの名詞として命名し、七から十一までを「6+1」「6+2」…「6+5」という形式で命名し、六の倍数は「2×6」「3×6」「4×6」「5×6」という形式で命名する。その次は、100となる三十六や、1000となる二百十六など六の冪数（6）で新しい数詞が付けられる。「m×6」となる数も、200となる七十二は「六の二乗の二倍」「二倍の三十六」、300となる百八は「六の二乗の三倍」、4000となる八百六十四は「六の三乗の四倍」「四倍の二百十六」、5000となる千八十は「六の三乗の五倍」として命名される。

数詞 
自然言語で六進命数法の数詞を持つものは少ない。ニューギニア島近くのフレデリク・ヘンドリク島のンドム語 (Ndom) が六進法の数詞を持つと報告されている。ンドム語では、 mer が 6、 mer an thef が 12 (二六：6 × 2) 、tondor が 18、nif が 36 (62)、nif thef が 72 (62 × 2) を意味しており、六の倍数では18（三六：3 × 6）だけが独立系の数詞になっている。

この他には、南ニューギニアのングコルンプ語(Ngkolmpu)、パプアニューギニアのヤム語（:en:Yam languages）やコムンゾ語が（:en:Kómnzo language）が六進法を使用しており、六の倍数や六の冪数にも個別の数詞が付けられている。これらの言語で六が底になった由来として、「もう片手は桁上がりで六の位」とする指数えが挙げられている。

語彙
六が底になった由来は二つある。一つは、前述の「もう片手は六の位」とする指数えである。もう一つは、空間の基本的な方角が六つである事（2 面 × 3 次元 = 6。上下・左右・前後）も挙げられる。

日本語には、「十→百」という十進法が主流とされる中で、「六→三十六」という六進法に基づく語彙や名数が存在している。例として、全ての方角を指して「六合」「六方」(= 61) と呼んだり、全ての景色を指して「三十六景」「三十六峰」、全ての方策を指して「三十六策」(= 62) というように、空間や方角に関する語彙に六進法が用いられている。歌仙も「六歌仙」(= 61) や「三十六歌仙」(= 62) というように、六の累乗で数えられている。これらの数え方は、十進法が「十指の二乗で百」に対して、六進法は「六面の二乗で三十六」という発想に基づいている。

また、「二十四時間」ではなく「四六時中」(40＝24) といった六進命数法の語彙も用いられている。明治時代の新聞に「二六新報」が存在したが、「二六」とは「六の二倍」、すなわち、十進命数法の「十二」である。

単位系 
六進法は、まれに単位系で使われることがある。尺貫法では、1 間は 6 尺である。

指数え

拳を0とすれば、0から5までの六種類の数字を片手で表現できる。六進法の指数えでは、片手(主に右手)を一の位、もう片手(主に左手)を六の位として、「五六五」すなわち、三十五（55＝35）まで数える。この方法では、右手で0から5まで数えて、「左手が1」すなわち六になったら桁上がりで右手を拳に戻す。

例えば、左手が「1」と右手が「5」なら「六五」すなわち十一（15＝11）、左手が「3」で右手が「2」なら「三六二」すなわち二十（32＝20）、左手が「4」で右手が「3」なら「四六三」すなわち二十七（43＝27）を表す。

二桁で数えるので、（1）「一の位」と「六の位」、（2）「一の位」と「六分の一の位」、（3）「六分の一の位」と「三十六分の一の位」、の三種類が計算可能になり、1.1以降の小数や仮分数も表現できる。小数は0.01（十進分数1/36）から5.5（5と5/6）までをカウントできる。
前述の左手が「3」で右手が「2」なら、32で「20」の他に、3.2で「3と1/3」、それに0.32で「5/9」(＝十進分数20/36)を表現できる。
「75パーセント」すなわち3/4も、3/4＝(27/36)＝(43/100)から、左手が「4」と右手が「3」で0.43 として表現できる。

両手で十進法の指数えは、「六五」すなわち十一以降の整数を表現できず、1.1以降の小数も仮分数も表現できず、十分率しか示せないので
二分割と五分割しかできず、三分割も四分割も九分割もできない。しかし、両手で六進法の指数えは、「五六五」すなわち三十五までをカウントできる上に、1.1以降の小数も仮分数も表現できて、二分割も三分割も可能になり、両手に拡大すれば四分割と九分割も可能になる。

乗算や除算では、2のp乗、3のp乗、6×mというように段階に分ける。
 1.2×3 = 4（十進換算：1と2/6 × 3 = 4） 、12×3 = 40（十進換算：8×3 = 24）
 左手で「1×3 = 3」を行い、右手から2ずつ加えて左手に1つ加わったら右手を0（拳）に戻す。 
 100÷13 = 4（十進換算：36÷9 = 4）、1÷13 = 0.04（十進換算：1÷9 = 4/36）
「10 ÷ 3 = 2」の動作を左手で一回、更に右手でもう一回行なって完了する。
 32÷2 = 14（十進換算：20÷2 = 10）
初めに左手で「2÷2 = 1」の動作を行い、次いで「12÷2 = 4」の動作を行なって完了する。

脚注

関連項目 

 二進法
 三進法
 十二進法

 二十四進法

 三十六進法

外部リンク 
 Senary Sensation
 seximal.net
 Math is fun.com 十進小数⇔六進小数の換算
 六進指数え

数の表現
位取り記数法
数学に関する記事