ハミング限界

ハミング限界（ハミングげんかい、）は、符号（線型符号とは限らない）のパラメータの限界値を指す。球充填の限界を情報理論の観点で言い直したものと言える。ハミング限界に従った符号を「完全符号; perfect code」と呼ぶ。

定義 
q進数の符号  が長さ  で最小ハミング距離  であるとき、その可能な最大サイズ（符号語の総数）を  とする。なお、q進数の符号は、 個の要素の体  上の線型符号である。

すると、次が成り立つ。

ここで、

証明 
 の定義から、符号語の転送において最大で  の誤りが発生したとすると、最小距離復号によって正しく復号できる（すなわち、符号化された符号語を正しく復号できる）。つまり、この符号は  個の誤りを訂正可能である。

 であるようなある符号語について、 を中心とする半径  の球を考える。このような球の範囲内なら誤り訂正が正しく行われる。符号語を構成する  個の要素のうち  個まで誤りがあっても正しく復号できるため、それぞれの球には以下の符号語が含まれる（つまり、中心にある真の符号語の一部を変更した符号語群の数）。符号語の一桁は q進数であるから、とりうる値は  種類になる。

 に存在する符号語の総数を  とする。全ての符号語から球の和集合をとると、結果として得られる符号語の総数は  以内となる。それぞれの球は重ならないので、それぞれの要素数の総和をとると、次が成り立つといえる。

従って、次が導かれる。

関連項目 
シングルトン限界
ギルバート-バルシャモフ限界
プロトキン限界
ジョンソン限界

符号理論
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