階段関数

階段関数（かいだんかんすう、または）とは、おおまかに言って、グラフが階段状になる実関数のことである。より正確には、区間上の指示関数が有限個あって、それらの線型結合で表される関数である。有限個のみの区分を持った、区分的に定数関数である関数とも表現できる。

定義 
関数 f : R → R が階段関数であるとは、ある正整数 n が存在して、n 個の実数 α1,..., αn と n 個の区間 A1,..., An 上の指示関数 χ1,..., χn によって、

と表されることをいう。ここに、集合 A 上の指示関数 χA とは、次で定義されるものであった。

この定義において、区間 Ai たちは、次の2条件を満たすとしてもよい。
 互いに素である。すなわち、i ≠ j のとき、Ai ∩ Aj = ∅ である。
 和集合が実数全体である。すなわち、A1 ∪ … ∪ An = R である。
例えば、この条件を満たさずに階段関数

が与えられたならば、条件を満たすように

と表現することもできる。

例 

 定数関数は自明な階段関数である。階段関数の定義において、n = 1, A1 = R として得られる。
 ヘヴィサイドの階段関数は、しばしば応用に用いられる重要な階段関数である。n = 3, A1 = (-∞ 0), A2 = [0, 0], A3 = (0, ∞) として得られる。

 矩形関数は、R を5つの区間に分けて得られる階段関数である。

 床関数や天井関数は、無限個の区間に分けて与えられるため、ここでの文脈においては階段関数ではない。

性質 
階段関数のとる値は、有限個の可能性しかない。階段関数の定義において、区間 Ai たちを互いに素な R の分割にとっておけば、Ai の任意の元 x に対して f(x) = αi となる。

階段関数

のルベーグ積分は、区間 Ai の長さ L (Ai) が全て有限である場合、

で与えられる。

2つの階段関数の和や積もまた階段関数である。この演算により、階段関数全体の集合は R 上の代数を成す。

関連項目 
 単関数
 カントール関数

特殊関数
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