ブラ-ケット記法

ブラ-ケット記法（ブラ-ケットきほう、）またはディラックの記法（ディラックのきほう、）は、量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。

ブラケット（）という呼称は、量子状態をブラ（）  とケット（）  と呼ばれる2つのベクトルで表すこと、またブラとケットの内積  が括弧（）を成すことに由来する。

ブラケット記法は1939年のポール・ディラックの論文で提案された。ディラックの教科書  では1947年の第3版からブラケット記法を採用している。

ブラ・ケット 

ブラ  はケット  のなすベクトル空間の双対空間の元として定義される。ケットをケットへ写す線型な関数（線型作用素）を  で表し、ケットに対する適用を  と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。

通常、上記の内積は括弧を外して  と表される。
また特に任意のケット  に作用してケット  を与える作用素は  と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号で  と表される。

性質 

ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。

また、ある状態  において、観測可能量  の期待値はブラ  とケット  の内積  として表される。

初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある（行列表示を参照）。

利点と欠点 

この記法の利点として
 基底に依存しない記述が可能
 固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える
 中身の書き方を自由に工夫して記述できる（パラメータだけを並べて  としたり、 と書くこともできる）
などがある。

無限次元での取り扱い 

ディラックの説明によればケット  の空間においてブラ  は線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。

正規直交基底とブラケット記法 
正規直交基底のうち2つのラベルを  として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて

連続基底ではデルタ関数を用いて

となる。

また正規直交基底の完全性は離散基底について、

連続基底について、

と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」  があるかのように書いている（量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照）。

第二量子化とブラケット記法 

第二量子化された粒子生成演算子  を用いて2粒子状態を

と定義する。この時  がフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係  を満たすので、

となり、反対称化されている。

また  がボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係  を満たすので、

となり、対称化されている。

波動関数との関係 
ケット  と、（位置表示の）波動関数  の関係は以下のように表される。

ただし、位置を表す演算子  の固有値を  、対応する固有ケットを  とする；。

出典

注釈

参考文献

関連項目 
 量子力学の数学的定式化#ブラベクトルとケットベクトル

量子力学
情報理論
ポール・ディラック