オイラーの分割恒等式

数論、組合せ論におけるオイラーの分割恒等式（オイラーのぶんかつこうとうしき）は、自然数（正の整数）を「互いに異なる自然数に分割する方法の個数」(distinct partition; 異分割) と「奇数の自然数に分割する方法の個数」(odd partotion; 奇分割) が等しいことを示す恒等式である。

分割の例 
例えば、自然数 8 を互いに異なる自然数に分割する方法
8 = 1+2+5
8 = 1+3+4
8 = 1+7
8 = 2+6
8 = 3+5
8 = 8
と奇数の自然数に分割する方法
8 = 1+1+1+1+1+1+1+1
8 = 1+1+1+1+1+3
8 = 1+1+1+5
8 = 1+1+3+3
8 = 1+7
8 = 3+5
の個数は等しく 6 である。

自然数 n をこのように分割する方法の個数を Q(n) で表すと、
Q(1) = 1, Q(2) = 1, Q(3) = 2, Q(4) = 2, Q(5) = 3, Q(6) = 4, Q(7) = 5, Q(8) = 6, Q(9) = 8, Q(10) = 10, … （）
などと続く。

母関数による表現 
オイラーは2種類の分割の方法の個数が等しいことを、母関数を用いて示した。自然数 n を互いに異なる自然数に分割する方法の数を Pd(n) とすると

である。また、自然数 n を奇数の自然数に分割する方法の数を Po(n) とすると

である。従って、オイラーの分割恒等式は

と書き表される。

証明 
母関数で書き表したものの左辺を変形すると右辺が得られる。

初等的な説明 
例として 8 を分割することを考える。ここで P を「異なる数による分割」に現れる一つの偶数をその半分の二つの整数の和にする変換、U を「奇数のみの分割」に現れる同じ二つの整数を一つの偶数にする変換とすると

このように「異なる数による分割」の方法と「奇数のみの分割」の方法との間に1対1対応がつけられる。これはPとUが互いに逆の変換であることから導かれる。したがってそれらの方法の個数は互いに等しい。ただし上記の 1+7 や 3+5 のような「異なる数による分割」と「奇数のみの分割」の両方に属するような方法は自分自身に対応づけることとする。その場合は恒等写像 I で表した。

注

参考文献 

 - 注記：原著第2版の翻訳。

 - 注記：原著第5版の翻訳。

関連項目 

 自然数の分割
 分割数
ロジャース＝ラマヌジャン恒等式: 和因子が±1 (mod 4)であるオイラーの分割恒等式のmod 5版
シューアの分割定理: 和因子が±1 (mod 4)であるオイラーの分割恒等式のmod 6版
 : オイラーの分割恒等式、およびロジャース＝ラマヌジャン分割恒等式を一般化する。グレイシャー対応。

外部リンク 
 
 Alexander D. Healy, Partition Identities
 

数論
恒等式
数学に関する記事
レオンハルト・オイラー
数学のエポニム