リード・マラー符号

リード・マラー符号（リード・マラーふごう、）は、通信で使われる線型な誤り訂正符号の1つの種類である。発見者は Irving S. Reed と D. E. Muller である。リード・マラー符号は、R(r, m) で表され、r は符号の次数、m は符号語の長さ n = 2m である。リード・マラー符号は、元が {0, 1} である有限体 GF(2m) におけるバイナリ関数に関連する。

符号 R(0, m) は反復符号、符号 R(1, m) はアダマール符号、符号 R(m − 1, m) はパリティチェック符号である。リード・マラー符号は直交性があるために興味深い特性を持ち、ブール関数空間と見なせる。

構成 
長さ n = 2m のリード・マラー符号は以下のように構成される。

まず

とおく。このとき、部分集合  に対して、指示ベクトル  を次で定義する。

また  における次の二項演算を「楔積; wedge product」と呼ぶ。

 は、体  上の m 次元ベクトル空間ゆえ、次のように記述できる。

 

このとき、n-次元空間  において次のベクトルを定義する。

ここで、Hi は における超平面

である。リード・マラー 符号 R(r, m) とは、長さ n = 2m、 次数 0 ≤ r ≤ m であり、

によって生成される符号のことである。

例  
m = 3 とする。すると n = 8 であり、次のようになる。

そして、上の構成と同様に、次のようにおく。

R(1, 3) 
r = 1 とすると、符号 R(1, 3) は次の集合から生成される。

あるいは、次の行列を生成行列とする符号である。

R(2, 3) 
r = 2 とすると、符号 R(2, 3) は次の集合から生成される。

あるいは、次の行列を生成行列とする符号である。

特性 
リード・マラー符号 R (r, m) は次の特性をもつ。
 m 番目までの vi がとりうる全ての楔積の集合は、 の基底である。
 ランクは次の通り。
 R (r, m) = R (r, m − 1) | R (r − 1, m − 1) ここで、'|' は2つの符号の bar product を表している。
 最小距離は 2m − r である。

脚注

参考文献

関連項目 
 リード・ソロモン符号

符号理論
誤り検出訂正
数学に関する記事
数学のエポニム