アベル・プラナの和公式

数学において、アベル・プラナの和公式（）は留数の性質を巧みに用いて級数の和を与える公式である。

但し、がにおいて正則であり、について一様に
 
であることを条件とする。更に
 
であれば
 
となる。

証明 
はに位数1留数1の極を持つ。従って、積分経路が実軸をで切るようにすれば、留数の定理により、
 
である。積分経路の表記を
 
とすると、
 
であるが、は仮定により正則であるから、
 
である。さて、
 
であり、仮定により
 
であるから
 
である。また、
 
であるから、以上を綜合して
 
を得る。また、が整数である場合は、積分経路上にある極の留数の半分を加え、
 
となる。

オイラーの和公式との関係 
をを中心としたテイラー級数に、をを中心としたテイラー級数に展開すると、
 
となるが、最後の積分は
 
であるから
 
となり、オイラーの和公式を得る。なお、はベルヌーイ数である。

出典 

数式
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