フィッシャー情報量

フィッシャー情報量（フィッシャーじょうほうりょう、） は、統計学や情報理論で登場する量で、確率変数が母数に関して持つ「情報」の量を表す。統計学者のロナルド・フィッシャーに因んで名付けられた。

定義

を母数とし、を確率密度関数がで表される確率変数とする。
このとき、の尤度関数は

で定義され、スコア関数は対数尤度関数の微分

により定義される。このとき、フィッシャー情報量はスコア関数の2次のモーメント

 

により定義される。紛れがなければ添え字のを省略し、とも表記する。なお、に関しては期待値が取られている為、フィッシャー情報量はの従う確率密度関数のみに依存して決まる。よってとが同じ確率密度関数を持てば、それらのフィッシャー情報量は同一である。

スコア関数は

 

を満たす事が知られているので、

が成立する。ここで  は分散を表す。

またが二回微分可能で以下の標準化条件

を満たすなら、フィッシャー情報量は以下のように書き換えることができる。

このとき、フィッシャー情報量は、 の対数のについての2次の導関数にマイナスを付けたものになる。フィッシャー情報量は、についての最尤推定量付近のサポート曲線の「鋭さ」としてもとらえることができる。例えば、「鈍い」（つまり、浅い最大値を持つ）サポート曲線は、2次の導関数として小さな値を持つため、フィッシャー情報量としても小さな値を持つことになるし、鋭いサポート曲線は、2次導関数として大きな値を持つため、フィッシャー情報量も大きな値になる。

フィッシャー情報行列 
パラメータがN個の場合、つまり、 がN次のベクトルであるとき、フィッシャー情報量は、以下で定義されるNxN 行列に拡張される。

これを、フィッシャー情報行列(FIM, Fisher information matrix)と呼ぶ。成分表示すれば、以下のようになる。

フィッシャー情報行列は、NxN の正定値対称行列であり、その成分は、N次のパラメータ空間からなるフィッシャー情報距離を定義する。

個のパラメータによる尤度があるとき、フィッシャー情報行列のi番目の行と、j番目の列の要素がゼロであるなら、2つのパラメータ、とは直交である。パラメータが直交であるとき、最尤推定量が独立になり、別々に計算することができるため、扱いやすくなる。このため、研究者が何らかの研究上の問題を扱うとき、その問題に関わる確率密度が直交になるようにパラメーター化する方法を探すのに一定の時間を費やすのが普通である。

基本的性質

フィッシャー情報量は

を満たす。

また，が独立な確率変数であれば、

　(フィッシャー情報量の加算性）

が成立する。すなわち、「がに関して持つ情報の量」は
「がに関して持つ情報の量」と
「がに関して持つ情報の量」の和である。

よって特に、無作為に取られたn個の標本が持つフィッシャー情報量は、1つの標本が持つフィッシャー情報量のn倍である（観察が独立である場合）。

Cramér–Raoの不等式

の任意の不偏推定量は以下のCramér–Rao(クラメール-ラオ)の不等式を満たす：

 

この不等式の直観的意味を説明する為、両辺の逆数を取った上で確率変数への依存関係を明示すると、

 

となる。一般に推定量はその分散が小さいほど(よって分散の逆数が大きいほど)母数に近い値を出しやすいので、「よい」推定量であると言える。を「推定する」という行為は、「よい」推定量を使ってを可能な限り復元する行為に他ならないが、上の不等式はから算出されたどんな不偏推定量であってもが元々持っている「情報」以上に「よい」推定量にはなりえない事を意味する。

十分統計量との関係

一般にが統計量であるならば、

が成立する。すなわち、「から計算される値が持っているの情報」は「自身が持っているの情報」よりも大きくない。

上式で等号成立する必要十分条件はが十分統計量であること。
これはが に対して十分統計量であるならば、ある関数およびが存在して

が成り立つ（ネイマン分解基準）事を使って証明できる。

カルバック・ライブラー情報量との関係

を母数を持つ確率変数とすると、カルバック・ライブラー情報量 とフィッシャー情報行列は以下の関係が成り立つ。

すなわちフィッシャー情報行列はカルバック・ライブラー情報量をテイラー展開したときの2次の項として登場する。（0次、1次の項は0）。

具体例

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布は、確率θ でもたらされる「成功」と、それ以外の場合に起きる「失敗」という2つの結果をもたらす確率変数が従う分布である（ベルヌーイ試行）。例えば、表が出る確率がθ、裏が出る確率が1 - θであるような、コインの投げ上げを考えれば良い。

n回の独立なベルヌーイ試行が含むフィッシャー情報量は、以下のようにして求められる。なお、以下の式中で、A は成功の回数、B は失敗の回数、n =A +B は試行の合計回数を示している。対数尤度関数の2階導関数は、

であるから、

 

となる。但し、Aの期待値はn θ、B の期待値はn (1-θ )であることを用いた 。

つまり、最終的な結果は、

である。これは、n回のベルヌーイ試行の成功数の平均の分散の逆数に等しい。

ガンマ分布 

形状パラメータα、尺度パラメータβのガンマ分布において、フィッシャー情報行列は

で与えられる。但し、ψ(α)はディガンマ関数を表す。

正規分布 

平均μ、分散σ2の正規分布N(μ, σ2)において、フィッシャー情報行列は

で与えられる。

多変量正規分布 

N個の変数の多変量正規分布についてのフィッシャー情報行列は、特別な形式を持つ。

 
 
であるとし、がの共分散行列であるとするなら、

～のフィッシャー情報行列、の成分は以下の式で与えられる。

ここで、はベクトルの転置を示す記号であり、は、平方行列のトレースを表す記号である。また、微分は以下のように定義される。

脚注

関連項目

情報理論
測度
情報量
情報エントロピー

情報理論
推定理論
ロナルド・フィッシャー
数学のエポニム