K空間

核磁気共鳴画像法 (MRI) において、k空間（kくうかん、k-space）は実空間の画像データのフーリエ変換である空間をさす。すなわちk空間と実空間は互いにフーリエ変換の関係にある。実空間の座標軸は位置座標 (x , y ) であり、k空間 (kx , ky ) での軸は空間周波数である。

MRIでは、信号読みとりの間に傾斜磁場を印加し位置のエンコードを行い、時間軸をk軸に対応させており、ローデータ（raw data, 画像生データ）の集合がk空間を構成する。

k空間の低周波部分（中央部）は信号強度あるいは画像コントラストを決定し、外側の高周波成分は画像の分解能を決めている。

解説本文
磁気共鳴イメージング（MRI）において、k空間は計測された画像の2次元または3次元フーリエ変換である。1979年にLikes
に、1983年に Ljunggren
とTwiegによって導入された。

磁気共鳴イメージングでは、計画的な制御された「パルスシーケンス」（高周波パルスとグラディエントパルスの正確なタイミングでのシーケンス）を用いたMR測定中に、MR信号である複素数が得られ、それが、k-空間にサンプリングされる。実際には、k-空間は、「データ取得中にデジタル化されたMR信号からのデータが格納される『一時的な画像空間』（通常は行列）」のことを指すことが多い。k "空間が満杯になると（スキャン終了時）、データは数学的に処理され、最終的な画像が生成される。このようにk-空間には再構成の前の生のデータが保存されている。

k-空間は空間周波数領域における概念である。
我々は、  と  を、以下を満たすように定める。

ここで、
FEはfrequency encoding、
PEはphase encoding、
はサンプリング時間（サンプリング周波数の逆数）、
はGPEの期間のことである。また、
 (gamma bar)はジャイロ磁気比
mはFE方向のサンプル数
n はPE方向のサンプル数（パーティション数とも呼ばれる）である。
そして、この符号化された信号の2次元フーリエ変換により、スピン密度分布が2次元で表現される。このように、位置（x-y空間の点）（x,y）と空間周波数(k-空間の点)（, ） はフーリエ変換で対応付けられる。

通常、k空間は最終画像と同じ行数・列数を持ち、スキャン中の生データが通常は1 TR (Repetition Time) あたり1行で保持される。
MR画像は、励起後のある時点における試料中の横磁化Mxyの空間分布を複素数値で表したマップである。
従来のフーリエ解析の定性的解釈では、低空間周波数（'k空間の中心付近）には画像の信号対雑音比（イメージング）やコントラスト情報が、高空間周波数（'k空間の外周部）には空間分解能を決める情報が含まれているとされてきた。これは、最初に完全なk空間を取得し、次にk空間の中央部のみを取得するスキャンを行う「キーホール」取得などの高度なスキャン技術の基礎となっており、これにより、フルスキャンを実行しなくても異なるコントラストの画像を取得することができる。
画像磁化Mxyがコントラスト強調プロトン密度に単純に比例し、したがって、k-空間には素晴らしい対称性が存在する。k-spaceの対向する2つの位置での信号は、

となる。ここで、星印()は複素共役を表す。

このため、k空間の情報はやや冗長となり、k空間の半分のみを用いて、PE（Phase Encode）方向にスキャン時間を短縮したり（このような手法はハーフフーリエやハーフスキャンとして知られている）、FE（Frequency Encode）方向に、低いサンプリング周波数や短いエコー時間でも画像を再構築できる（このような手法はハーフエコーとして知られている）。
しかし、これらの技術は、完全に制御できることはほとんどないMRIデータの位相誤差（不完全な静磁場シム、空間選択励起の影響、信号検出コイルの特性、動きなどによる）や単なる物理的理由による非ゼロ位相（グラジエントエコー法における脂肪と水の異なる化学シフトなど）により近似的なものとなっています。

MRIのk空間はNMRの時間領域とあらゆる面で関連しており、どちらも生データの保存に使用される。
 
MRIの「k空間」とNMRの「時間領域」の唯一の違いは、MRIのデータ収集では勾配「G」が存在するが、NMRのデータ収集では存在しないことである。この違いにより、NMRの'FID'信号とMRIの'スピンエコー'信号は、以下のように異なる数学的形式をとる。
 FID=cosexp
Spin-Echo=sin
ここで、

勾配Gの存在により、空間情報rは (空間周波数情報 k'ではない) が周波数  に符号化され、同時に時間領域 は k空間 に変換される。

References

Further reading
McRobbie D., et al. MRI, From picture to proton. 2003
Hashemi Ray, et al. MRI, The Basics'' 2ED. 2004.

外部リンク 
k-spaceの正体

関連項目 
 逆格子空間

核磁気共鳴画像法