ヤコビの虚数変換式

ヤコビの虚数変換式(Jacobi's imaginary transformation)は、楕円テータ関数に関する以下のような恒等式である。

この恒等式の日本語の呼称は定まっておらず、ヤコビの虚数変換式、ヤコビのモジュラー変換式、あるいは単にヤコビ変換式とも呼ばれる。テータ関数は二変数の関数であるが、第二変数を純虚数の定数として第一変数に着目すれば「虚数変換式」という呼称が的を射て、第一変数を定数として第二変数に着目すれば「モジュラー変換式」という呼称が的を射る。

公式に関する注意点

の定義は一意ではなく、いくつかの流儀があり文献によって異なるので注意が必要である(主として、の定義の違いが混乱を生んでいる)。この記事での定義は、D.Mumfordに従った次のようなものである。

「岩波数学公式集Ⅲ」p.48.では誤った式が書かれているので注意せよ。

楕円関数の虚数変換 
ヤコビの楕円関数はテータ関数の比により表される。楕円関数の周期をとすると

テータ関数の虚数変換式により

となり、楕円関数の虚数変数を得る。

証明 
の虚数変換式の両辺の比をして恒等的にであることを証明する。テータ関数の二重周期性により

であるから、はの関数として二重周期を持つ。また、テータ関数は極を持たず、零点は

であるから、はの関数として複素平面全体で有界である。したがって、リウヴィルの定理によりには依存しない。

分子のが奇数の項は正負で打ち消しあうから偶数のをに改める。

先に示したようにはに依存しないので

であり、はにも依存しない定数である。その値は

である。

出典

やこひのきよすうへんかんしき