与えられた数より小さい素数の個数について

『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて、ドイツ語の原題: , 英語での定訳: ）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』() 上に掲載された。解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか9ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある。

本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。

この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は （特に ）と書くところを、リーマンゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで  と書く慣習がある。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号  を用いて記述したことから以後定着した。

導入された新定義 
リーマンゼータ関数  の  を除く全複素平面への解析接続 
整関数 
離散関数

記載された証明又は証明のあらまし 
 の関数等式についての二通りの証明
 の積表示の証明のあらまし（1896年にアダマールが完全に証明）
 の零点のうち虚部が  と  の間であるものの近似的な個数についての証明のあらまし（1905年にが完全に証明）
リーマンの素数公式の証明のあらまし（1895年にフォン・マンゴルトが完全に証明）

提起された予想 
リーマン予想：「 の全ての零点は実数である」。 を  の零点として、 の負の偶数を除く零点は  と書けるので、これは次のよく知られた形に言い換えられる。「 の非自明な零点の実部は  に等しい」

導入された新たな技法等 
解析接続（ただしワイエルシュトラス流のものとは異なる）
線積分 (contour integration)
フーリエ逆変換

リーマンはまた関数  を本質的にスティルチェス積分の尺度として用い、 と素数分布との関連を論じた。そして  との比較を通じて、論文の主結果として  を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数  の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年にとアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。

日本語訳 
 杉浦光夫訳「与えられた限界以下の素数の個数について」（リーマン(2004)、155–162頁）
 鈴木治郎訳「与えられた数より小さな素数の個数について」（エドワーズ(2012)、314–321頁）
 平林幹人訳「与えられた数より小さい素数の個数について」（鹿野(1991)、17–28頁）

注釈

出典

参考文献

関連項目 
ゼータ関数
素数定理
ベルンハルト・リーマン
リーマン予想

外部リンク 

解析的整数論
ベルンハルト・リーマン
数学に関する記事
数学の論文