ワトソンの五重積

数学において次の恒等式をワトソンの五重積 (ワトソンのごじゅうせき、Watson Quintuple Product) という。

証明 
ヤコビの三重積により

オイラーの五角数定理により

これらを用いて五重積の公式を書き直せば

となるので、この両辺が等しいことを証明する。左辺は

さて

であるから

となり、右辺を得る。

関連項目 
 ジョージ・ネビル・ワトソン (en)
 ヤコビの三重積
 ファルカシュの七重積 ()

出典

参考文献
 Bailey, W. N. (1951), "On the simplification of some identities of the Rogers-Ramanujan type", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 1: 217–221, doi:10.1112/plms/s3-1.1.217, ISSN 0024-6115, MR 0043839
 Gordon, Basil (1961), "Some identities in combinatorial analysis", The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series, 12: 285–290, doi:10.1093/qmath/12.1.285, ISSN 0033-5606, MR 0136551
 Carlitz, L.; Subbarao, M. V. (1972), "A simple proof of the quintuple product identity", Proceedings of the American Mathematical Society, 32: 42–44, doi:10.2307/2038301, ISSN 0002-9939, JSTOR 2038301, MR 0289316
 Foata, D., & Han, G. N. (2001). The triple, quintuple and septuple product identities revisited. In The Andrews Festschrift (pp. 323-334). Springer, Berlin, Heidelberg.
 Cooper, S. (2006). The quintuple product identity. International Journal of Number Theory, 2(01), 115-161.

関連文献

和文
 , 平成29年度 (第39回) 数学入門公開講座テキスト (京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日～8月3日開催)
 On Jacobi forms which connect infinite products and infinite sums, 青木宏樹, 京都大学数理解析研究所講究録 第1965巻 2015年 30-44. (五重積公式について解説がある)
  (五重積公式について解説がある)

英文
 Subbarao, M. V., & Vidyasagar, M. (1970). On Watson’s quintuple product identity. Proceedings of the American Mathematical Society, 26(1), 23-27.
 Hirschhorn, M. D. (1988). A generalisation of the quintuple product identity. Journal of the Australian Mathematical Society, 44(1), 42-45.
 Alladi, K. (1996). The quintuple product identity and shifted partition functions. :en:Journal of Computational and Applied Mathematics, 68(1-2), 3-13.
 Farkas, H., & Kra, I. (1999). On the quintuple product identity. Proceedings of the American Mathematical Society, 127(3), 771-778.
 Chen, W. Y., Chu, W., & Gu, N. S. (2005). Finite form of the quintuple product identity. arXiv preprint math/0504277.
 Chu, W., & Yan, Q. (2007). Unification of the quintuple and septuple product identities. The electronic journal of combinatorics.

楕円函数論
テータ関数
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