オイラー予想

オイラー予想（オイラーよそう）とは、スイスの数学者レオンハルト・オイラーが提唱した、フェルマーの最終定理を発展させた数学的予想である。現在では、反例によってこの予想は偽である(正しくない)ことが証明されている。

予想の内容
オイラーはフェルマーの最終定理の n = 3 のとき、すなわち
x3 + y3 = z3
を満たす自然数の解 (x, y, z) は存在しないことを証明した。
ここから、フェルマーの最終定理を拡張して、
x4 + y4 + z4 = w4
を満たす自然数の解 (x, y, z, w) は存在しない、と予想した。

同様に
x5 + y5 + z5 + w5 = v5
x6 + y6 + z6 + w6 + v6 = u6
を満たす自然数の解も存在しない、とした。

すなわち、n > 3 とすると、n − 1 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すことはできないということを示唆した。
これが、オイラー予想である。

歴史
オイラーの発表以降、比較的小さな自然数では反例を見つけることができず、長い間正しいと信じられてきた。

しかし1966年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって n = 5 の場合の反例として解 (27, 84, 110, 133, 144) が発見され、275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 が成り立つことが確認された。

この発見から n = 4 の場合も反例がある可能性があるとして研究が続けられ、1986年にハーバード大学のノーム・エルキーズ(Noam Elkies)が、楕円曲線論とコンピュータを用いて発見した。その反例は 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 という複雑なものだった。この発見と同時に解は無限に存在することも確認され、約200年間未解決となっていたオイラー予想は、否定的に解決された。

また、2004年にはジム・フライによってn=5の場合の反例852825 + 289695 + 31835 + 555 = 853595が発見された。

例 

箇条書きされている式は、n − 1 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すオイラー予想の反例である。
そうではない式は、n 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すオイラー予想に従う例である。

(R. Frye, 1988)

 (R. Norrie, 1911)
（R. Norrie によって最小の解であることが示されている。）

(Lander & Parkin, 1966)

 (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)

  (Lander, Parkin, Selfridge, second smallest, 1967)

  (Sastry, 1934, third smallest)

(M. Dodrill, 1999)

(S. Chase, 2000)

関連項目
 ランダー・パーキン・セルフリッジ予想

参考文献

数論
数学に関する記事
数学のエポニム
レオンハルト・オイラー
反証された予想