素数階乗

素数階乗（そすうかいじょう、）とは、 以上の自然数に対してそれ以下の素数全ての総乗のことである。自然数  の素数階乗は、記号では  で表す。

これらから分かるように  は、  以下の最大の素数を  として、 に等しい。 に素数の値を小さい順に代入していくことより、素数階乗の値は小さい順に

数学的性質 
  以上の素数階乗数は全て一の位が 0 であり、十の位は 1,3,7,9 のいずれかに限られる。
 素数が無数に存在することの証明に用いられることがある。
証明：最大の素数の存在を仮定し、それを  とおくと、 は  以下の素数で割り切れない。仮定より  未満の素数は以上で全てなので  は 1 と自分自身以外の因数を持たないことが言える。したがって  は素数でなければならないことになるが、これは  を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。（証明終）
実際には、素数  に対する  は素数であることもあれば、合成数であることもある。素数である例としては  などが、合成数である例としては  などがある。いずれにせよ、 の素因子は全て  よりも大きい。
 全ての高度合成数は素数階乗数の累乗数の積で表される。

素数階乗数の一覧 
素数階乗数の最初の1個〜10個を下記する。

次に11個〜20個を下記する。

脚注

関連項目 
階乗
階乗素数
素数階乗素数

数論
素数
積
数学に関する記事
整数の類