平方三角数

平方三角数（へいほうさんかくすう、）は平方数のうち三角数でもある自然数である。例えば 36 は6番目の平方数 62 であり、また8番目の三角数  でもあるので平方三角数である。平方三角数は無数にあり、最小のものは 1 である。

平方三角数を小さい順に列記すると
1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, …（）
となる。

k 番目の平方三角数 Nk は

で与えられる。この公式は、1778年にオイラーが発見している。

公式の導出 
ある自然数 N が n 番目の三角数かつ m 番目の四角数であるとすると、

である。両辺を8倍して平方完成することにより (2n + 1)2 = 8m2 + 1 となる。x = 2n + 1, y = 2m とおけば、ペル方程式 x2 - 2y2 = 1 を得る。その一般解 (xk, yk) は

で与えられ、よって

である。したがって、k 番目の平方三角数 Nk = (yk/2)2 は冒頭の式で与えられる。

その他の性質 
Nk は漸化式

を満たす。その母関数は

で与えられる。

脚注

参考文献

関連項目 

三角数
平方数
ペル方程式

外部リンク 

図形数
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