倍積完全数

倍積完全数（ばいせきかんぜんすう、）とは、その約数の総和が元の数の整数倍になるような自然数のことである。約数関数 σ を用いて定義すると σ(n) = kn （k は自然数）を満たす自然数 n が倍積完全数であり、これを k倍完全数ともいう。

k = 2 の場合である2倍完全数は単に完全数と呼ぶ。なお、k = 1 の場合は σ(n) = n を満たす n が 1 のみであるため、1倍完全数は 1 のみである。

例えば、120 の約数の総和は
σ(120) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120
であり、120 の 3 倍となるので、120 は3倍完全数である。

具体的には 1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, …（）

p が n を割り切らない素数とすると、n が p倍完全数であることと、pn が (p + 1)倍完全数であることは同値である。例えば、3倍完全数 m が 2 で割り切れるが 4 で割り切れない場合（すなわち m が単偶数である場合）、m/2 は奇数の完全数となるが、そのような数はいまだに見つかっていない。

k倍完全数の表 
以下にそれぞれの k倍完全数 (k ≤ 11) のうち、現在見つかっている中で最小の数を挙げる。k=7 まではこれが最小であることが確認され、OEISに掲載されている（）。k=8 以降は Flammenkamp のページに拠った。

2013年現在、11倍完全数までの倍積完全数が見つかっている。

 2倍完全数 : 完全数を参照。
 3倍完全数 : 120, 672, 523776, 459818240, …（）
 4倍完全数 : 30240, 32760, 2178540, 23569920, …（）
 5倍完全数 : 14182439040, 31998395520, …（）
 6倍完全数 : 154345556085770649600, …（）

 7倍完全数 : 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000
 8倍完全数 : 8268099687077761372899241948635962893501943883292455548843932421413884476391773708366277840568053624227289196057256213348352000000000
 9倍完全数 : 56130808183737158999998793684026231356147190822348283579122819870557664808030968216100782148452765644947099984854756332066651809002612793115408005967022213284272150201873375214629478176342119709234895003815657961417701371450048608475283004587476685222825422086715415685343739904000000000

性質 
k = 2 のとき、つまり通常の完全数の場合については同項目を参照。
 k倍完全数が無数に存在するかどうかは分かっていないが、3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個がそれぞれ発見されており、これより多くは存在しないと言われている。
 k ≥ 2 とし、N を r 個の相異なる素因数を持つ k 倍完全数とする。このとき N は、k と r に依存するある定数 C 未満の自然数と、1 または偶数の完全数との積になる（Kanold, 1956）。この定数 C は実際に計算可能である（Pomerance, 1977）。
 k 倍完全数 n における約数の逆数の和は k に等しい。これは n の約数の和を N としたとき、逆数の和は  になることから証明できる。
例：n = 6 のとき 
 倍積完全数の約数の和になっている数は 1, 12, 56, 360, 992, 2016, 16256, 120960, …（）

その他倍積完全数に関すること 

 倍積完全数の中に約数の和も倍積完全数になる数がある。16番目の倍積完全数459818240の約数の和は17番目の倍積完全数1379454720になる特徴をもつ。
例．1, 459818240, 51001180160,…()

参考文献 
 H.-J. Kanold, Über einen Satz von L. E. Dickson, II, Math. Ann. 132 (1956), 246--255. 
 C. Pomerance, Multiple Perfect Numbers, Mersenne Primes, and Effective Computability, Math. Ann. 226 (1977), 195--206.

外部リンク 
 A. Flammenkamp. The Multiply Perfect Numbers page.
 C. K. Caldwell. The Prime Glossary: Multiply perfect numbers.

脚注

関連項目 
 完全数

数論
整数の類
数学に関する記事