階乗素数

階乗素数（かいじょうそすう、）とは、階乗との差が  である素数のことである。つまり、（ は自然数）と表される素数のことである。

階乗素数は少ないことと、自然数の中でしばしば合成数が連続して存在することが説明できる。  は  以上の自然数  で割りきれるから、連続する  個の合成数である。例えば、素数  の次の素数は  であり、これらの間の89個の自然数はすべて合成数である。しかし、2つの素数の間の長いギャップはこの方法により得られるものがすべてではない。例えば、素数   と  の間には95個の合成数が並んでいる。

2022年1月現在49個の階乗素数が知られており、その中で最大のものは  である。十進法表示したときの桁数は144万9771桁にも及ぶ。

型の階乗素数 
 が素数となる  以上の整数  は、小さい順に次のようになる。
（）
このときの実際の素数はを参照。
 であるが、 以降、急に大きくなる。

型の階乗素数 
 が素数となる  以上の整数  は、小さい順に次のようになる。
（）
このときの実際の素数はを参照。
 であるが、 以降、急に大きくなる。

その他 
  が共に素数となる自然数  は  のみが知られているだけで、他にそのような自然数  は未だに発見されていない。
  もしくは  の素数も合成数も無数に存在するかはわかっていない。
 に関してはウィルソンの定理より合成数が無数に存在することが素数の無限性より容易に示せる。

参考文献 
リチャード・ガイ著 Unsolved Problems in Number Theory, 3rd ed., Springer, 2004 ISBN 978-0387208602
 （初版の訳）一松信訳『数論における未解決問題集』シュプリンガー・フェアラーク・東京、1994年 ISBN 978-4431705840
（第三版の訳）金光滋訳『数論「未解決問題」の事典』朝倉書店、2010年 ISBN 978-4254111293

関連項目 
階乗
素数
素数階乗
素数階乗素数

外部リンク 

The Prime Pages, The Prime Glossary: factorial prime
The Top Twenty: Factorial primes
PrimeGrid, Factorial Prime Search

素数の類
数学に関する記事