ヴェブレン階層

ヴェブレン階層（ヴェブレンかいそう）とは、ヴェブレン関数の値からなる超限次元の行列であり、フェファーマン・シュッテの順序数 (Γ0) より小さい順序数を表現する一般的な方法である。
任意の Γ0 より小さい順序数は、0 と和とヴェブレン関数の組み合わせによって、有限に記述される。
オズワルド・ヴェブレンが1908年の論文にて紹介した。

ヴェブレン階層とヴェブレン関数
ヴェブレン関数 φ は、可算な順序数の上に定義される二変数関数で、最小の非可算な順序数を Ω で表すとき、ヴェブレン関数の値からなる Ω × Ω の超限次元の行列を特にヴェブレン階層と呼ぶ。
ヴェブレン階層の α 行目、β 列目の値を φα(β) と書く。
ここでは、概略的な説明にとどめる。

まず、ヴェブレン階層の 0 行目に additive principal な順序数を小さいものから順番に置く。
（すなわち、 φ0(α) = ωα）
次に、1 行目には、 φ0(α) = α をみたすような α を小さいものから順番に置く。
これらの順序数 φ1(α) を、特に εα  と書く。
例えば、 ε0 は、 となる最小の順序数 で、直感的には の値である。
ただし、ε0ω = ε0 ではないことに注意せねばならない。
従来の羃の表記よりは、右上から左下にかけて小さく書かれている方が、意味的には正しい。
ε1 は、ε0 より大きく ωα = α であるような最小の数 α で、  の極限として与えられる。
一般に、後続順序数 α + 1 に対して、ヴェブレン階層の α+1 列目は φα(β) = β となるような β が順番に置かれ、極限順序数 λ に対しては、それより上のすべての行に現れる順序数が順番に置かれる。

このように構成されたヴェブレン階層の値は、次のように比較することができる：
次のいずれかが成り立つ場合、 φα(β) < φγ(δ)。
 α = γ かつ β < δ  
 α < γ かつ β < φγ(δ)
 α > γ かつ φα(β) < δ

フェファーマン・シュッテの順序数 
フェファーマン・シュッテの順序数とは、Γ0 と書かれ、φα(0) = α をみたすような最小の順序数 α のことである。任意の Γ0 より小さい順序数は、0 と和とヴェブレン関数の組み合わせによって、有限に記述される。

脚注

関連項目 
 順序数
 極限順序数
 超限順序数
 最小の超限順序数 
 エプシロン・ノート  
  
 （Feferman–Schütte ordinal） 
 多変数ヴェブレン階層
 (有限)多変数に拡張されたヴェブレン階層
 超限変数に拡張されたヴェブレン階層
 アッカーマン順序数（Ackermann ordinal） 
 小ヴェブレン順序数（small Veblen ordinal） 
 大ヴェブレン順序数（large Veblen ordinal） 
 順序数崩壊関数（ordinal collapsing function）
 最小の非可算順序数 
  
  （ブーフホルツのプサイ関数）

外部リンク 
 ヴェブレン関数 | 巨大数研究 Wiki | Fandom

順序構造
数理論理学的階層
数学に関する記事
数学のエポニム