エーレンフェストの定理

エーレンフェストの定理（エーレンフェストのていり、）は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式（に大変よく似たもの）が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。

定理の主張 
ポテンシャルの影響下にある質量の粒子Aの状態が、波動関数であらわされているものとする。この状態にある粒子A（およびそれと同じ状態にある複数の粒子）の位置を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれ、、とする。このとき、

が成立する。なお、ここでは波動関数は規格化されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作は、通常量子力学で行われている方法どおりで

とする。他も同様である。

証明 
まず、期待値の定義より
 
を得る。ここでシュレーディンガー方程式より
 
部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると
 
これらを用いると
 
再度シュレーディンガー方程式を用いて
 
また部分積分を使うと、
 
加えて
 
を用いると、
 
を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法からの期待値であるから、
 
となる。

脚注

関連項目 

 古典物理学

量子力学の定理
物理学のエポニム