チェビシェフの不等式

チェビシェフの不等式（チェビシェフのふとうしき、）は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフによって初めて証明された。

標本または確率分布は、平均の周りに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差との間の、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から標準偏差の 2 倍以上離れた値は、全体の 1/4 以下である。一般に、標準偏差の  倍以上離れた値は全体の  以下である。

歴史 
この定理はロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフの名をつけられているが、最初にこの定理を示したのは彼の友人であり同僚でもあったIrénée-Jules Bienayméである。

この定理は最初に1853年に Bienaymé によって証明がない状態で定式化され、後の1867年にチェビシェフによって証明された 。彼の教え子であるアンドレイ・マルコフは、1884年に博士論文の中で別証明を与えた。

一般的表現 
この不等式は測度論を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合（測度空間の次元が 1）として、確率論での形が導かれる。

測度論的表現 
 を測度空間、 を  上で定義された拡張実数（無限大を含む）値可測関数とすると、任意の実数  に対して

となる。より一般的には、 が非負実数値可測関数で、 の範囲で減少しないとすれば、

となる。最初の式は、ここで  を

で定義し、 の代わりに  を用いれば導かれる。

確率論的表現 
 を、期待値が , 有限の分散が  である確率変数とすると、任意の実数  に対して

ただし  の場合にだけ意味がある。

余事象について、こうなる。

例として、 を使えば、少なくとも半数の値は区間     内に存在することが分かる。

チェビシェフの不等式は大数の法則（弱法則）の証明に用いられるものとして特に重要である。

例 
分かりやすい例として、大量の文章があるとしよう。それらの文章の長さは、平均 () が 1000 文字であって、標準偏差 () が 200 文字であることが分かっているとする。すると、チェビシェフの不等式から、次の事実が導かれる。
 少なくとも 75% の文章の長さは 600 から 1400 文字である（ の場合）。
 少なくとも 88% の文章の長さは 400 から 1600 文字である（ の場合）。
 少なくとも 93% の文章の長さは 200 から 1800 文字である（ の場合）。
 少なくとも 96% の文章の長さは 2000 文字以下である（ の場合）。
 少なくとも 50% の文章の長さは 717 から 1282 文字である（ の場合）。

もし文章の長さが正規分布に従っているなら、次行がいえる。
 少なくとも 75% の文章の長さは 770 から 1230 文字である（チェビシェフの不等式で  の場合よりも範囲が狭い）。

証明

測度論的な証明 
 を } で定義すると

がすべてのに対して成り立つことより、

となる。上の不等式を  で割れば、目的の不等式が得られる。

確率論的な証明 
任意の実数確率変数  と任意の正の実数  に対して、マルコフの不等式から  が得られる。この不等式に ,  を適用すると、チェビシェフの不等式が導かれる。

また直接証明する方法もある。事象  に対し  が  の指示関数に従う確率変数である（つまり  は  が起これば 、そうでなければ ）とする。すると

と証明される。

出典

関連項目 
 マルコフの不等式

確率論
不等式
パフヌティ・チェビシェフ
人名を冠した数式
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