ランダムウォーク

ランダムウォーク（）は、次に現れる位置が確率的に無作為（ランダム）に決定される運動である。日本語の別名は酔歩（すいほ）、乱歩（らんぽ）である。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。

ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス等の具体的モデル化に盛んに応用される。

数学的定義 
Xn (n = 1, 2, ...) を独立かつ同分布な Rd 値確率変数族とする。この時、
 
を（d 次元）ランダムウォーク  という。

特に、Xn が Zd 値であり、かつ、
 
（ は、第 j 成分が 1 の単位ベクトル）である時、Sn を（d 次元）単純ランダムウォーク  という。

直接的一般化として、結晶格子（結晶構造の抽象化）上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と砂田により証明されている。

例 

コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合の分布は、の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は）。これはおよびで無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる。

基本的性質 
 再帰性
 1または2次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3次元以上のランダムウォークは非再帰的である。
 Donsker の定理の系
 Xn (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、
 
 で定義すると、各 t ≧ 0 に対して次が成立する。

応用 
 レビのダスト
 宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。
 
 軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造、海岸線などのモデル（自己相似）として利用されている。

脚注

関連項目 
 カオス理論
 ランダム・ウォーク理論
 確率過程
 マルコフ過程
 マルコフ連鎖
 マルコフ連鎖モンテカルロ法
 ブラウン運動
 量子ウォーク

確率論
確率過程
数学に関する記事