斜交座標系

斜交座標系（しゃこうざひょうけい、oblique coordinate system）とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。

2次元平面における斜交座標系 
2本の数直線  が共通の原点をもち、なす角 （ただし ）で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。
座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して平行線をひくことにより、 と一意に表すことができる。
逆に座標  が与えられれば、Pの位置は一意に決定される。

なお、2本の軸のなす角  のときとして、斜交座標系は直交座標系を含む。

直交座標系との座標変換 
x軸、y軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つx'軸、y'軸からなる直交座標系について、x軸、y軸がx'軸となす角をそれぞれ  とする。
斜交座標系で  と表されている点を直交座標  に座標変換する公式は以下である：
 
直交座標系はこの表記では  の場合である．

内積 

直交座標系の場合は、2つのベクトルの内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる：
 

あるいは次のようにも表現できる：

このとき、添字が上についている量（ など）を反変成分、下についている量（ など）を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル（共変基底ベクトル）を とすれば、反変成分を用いて

と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして
 ：y軸（または）に垂直で長さが  のベクトル
 ：x軸（または）に垂直で長さが  のベクトル
とすれば、共変成分を用いて

と書くことができる。

上記の議論は を入れ替えても同様に成り立つ。

計量テンソル 
式(1)の右辺に表れた行列

は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。
斜交座標系では計量テンソルg は

となる。また反変成分と共変成分の変換は

とシンプルに表すことができる．

多次元の場合 

以上で2次元の場合を説明したが、斜交座標系はより一般の次元においても同様に考えられる。

脚注

注釈

出典

関連項目 
直交座標系
極座標系

座標
数学に関する記事
en:Cartesian_coordinate_system#Generalizations