オメガ定数

オメガ定数(オメガていすう、) とは、

を満たす数学定数であり、およそ Ω ＝ 0.5671432904097838729999686622… である。

また、

とも定義できる（ただし、W: ランベルトのW関数）。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別称、「オメガ関数」によるものである。

オメガ定数は、黄金比に似た性質を持っている。これは

が、

と同値であるということである。このことから、初期値 Ω0 から始めて、Ω が漸化式

を用いて反復計算できることがわかる。この数列は

に収束する。

無理性 
Ω が無理数であることは、「e がすでに超越数であることが証明されている」事実を前提に、背理法で証明できる。

Ω を有理数と仮定すれば、次式を満たす整数 p, q が存在する。

これをオメガ定数の定義式に代入すれば、

これは、e が p 次の代数的数であることを示しているが、e は超越数であると証明されているため、背理法により Ω は無理数でなければならない。

その他  
高さが無限大のテトレーション  の極限は、オメガ定数 Ω に収束する。

また、の値は、e に等しい。

関連記事 
 ランベルトのW関数

脚注

外部リンク 
 Eric W. Weisstein, Omega Constant at MathWorld

参考文献 

 

数学定数
超越数
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