シンプソンの公式

シンプソンの公式（シンプソンのこうしき、) とは、数値解析の分野における、数値積分の方法の一つである。定積分

の近似値を、関数  を二次関数で近似することによって得る。名前は、トーマス・シンプソンに因んでいる。次数2の閉じたニュートン・コーツの公式である。シンプソン則ともいう。

基本 
シンプソンの公式は、 を二次関数  で近似することによって導かれる。ここで、 は  の a, b, m における値をそれぞれとる［m は“中点”、すなわち ]。 は、ラグランジュ補間によって、次の多項式（ の二次式）になることが分かる。

この多項式を範囲 [a, b] で積分すると、次のシンプソンの公式が得られる。

シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、a と b の間にある ξ によって、次式で見積もれる（h の5次式）。

ただし、h = (b − a)/2。さらに  が2回微分可能で  が凸関数であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。

合成シンプソン公式 
シンプソンの公式は、積分範囲 [a, b] が十分小さい場合であれば適当な近似であることが分かる。したがって、積分範囲が大きい場合は、積分範囲を小さな部分区間に分割し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、合成シンプソン公式 (composite Simpson's rule) として知られている。

ただし、n は [a, b] を等しく偶数個に分割した部分区間の個数、 は各部分区間の長さ、 、特に、 。この式は、次のようにも書ける。

合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で見積もることができる。

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参考文献

外部リンク 

 
 

数値積分
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