コーシーの冪根判定法

コーシーの冪根判定法(―のべきこんはんていほう、root test) とは、無限級数の収束性を判定する方法の一つである。とりわけ、冪級数に関連することに有用である。「コーシーの冪根判定法」という名前は、これを最初に発見したオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する。

（"lim sup" は上極限を意味する）とするとき、C < 1 であれば級数は収束し、C > 1 であれば発散する。C = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数の項が c を中心とする冪級数

の係数であれば、この冪級数の収束半径は 1/C である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。

証明 
証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての  に対し  ならば、 が成立する。比較判定法より、幾何級数  が収束すれば、 もまた収束する。

もし、 ならば、 と比較して級数は発散する。an が非正である場合の絶対収束性は、 を用いれば同様にして証明できる。

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 収束半径

参考文献 
  
 

微分積分学
数学に関する記事
オーギュスタン＝ルイ・コーシー
数学のエポニム

pl:Kryteria zbieżności szeregów#Kryterium Cauchy'ego