開平法

開平法（かいへいほう、）とは、正の数の平方根の小数表示を求めていくアルゴリズムである。開平や開平算、開平計算とも。平方根を求めることを開平するという。開法の一種。

開平法の原理 
与えられた正の数の正の平方根の小数表示を求めるために、ここではまず漸化式を立てて、一般的な求値法を求める。そして、求値の明確化のために、開平法と呼ばれる筆算の原理を導出する。以下は十進法表示の場合だが、他の位取り記数法でも同様な計算で求められる。ここで述べるのと基本的には同じ方法で、立方根を求める開立法や、もっと一般に  乗根を求めることも可能である。

問題の定式化 
与えられた  に対し、 の位  を求める：

 の首位を  とする。つまり、 は  を満たす最小の  とする。また便宜上   とする。

 の  の位より上（かみ）の位  は分かっているとし、 の位  を求めるとする。すなわち

とおく。

 は 
を満たす最大の 、すなわち
 … (1)
を満たす最大の  である。これを見つける。
 の値は  から  までの 10 通りなので、順に試していけば  は求まる。
 のとき、 より

 のとき、

 より
 
右辺の計算値により、 の値の見当を付けることができる。
これにより  が求まれば、
{{math|p  10p + a}}
の値が分かるから、

を満たす最大の  を見つければよい。

このようにして、帰納的に   の値が求まる。

 漸化式の簡略化 
不等式(1) を簡略化する。「」を基数  と合わせるため  とする。そのため

とおくと、不等式(1) は
 … (1')
である。

    
     … (2)
(1') を満たす最大の  を求めるために、 の整数部分  を、 から求める。

 とおくと、

    
    
    
 の整数部分は、 の  の位を  とすると、 に等しい。したがって、

     … (3)
(2), (3) から、(1') を満たす最大の  を求めていく。

 筆算による効率化 
 から不等式(1') を満たす最大の  を求めていくには、筆算による帰納的計算が明確である。

 から  を引き、負とならない最大の  を求める。（主算）
次の  を求めるために、 を求めておく。（副算）

 具体的な計算方法 
例として、ここでは  の正の平方根  の小数表示を求める。初期値は、
, , , , , , , , , ,  

 漸化式による求値 
 より、
まずは  を求める。

 より 

 を満たす最大の  は、 である。
次に、 を求める。

 を満たす最大の  は、 である。
 を求める。

 を満たす最大の  は、 である。
同様の計算を繰り返すと、各項の値は次の表のようになる。

 の値から

である。

 筆算による求値 
 の値は、先述の筆算による方法（開平法）によりさらに簡単に計算できる。本節は、これまでに登場した漸化式の原理により筆算の手順を説明するが、筆算の手順だけを知りたいのであれば、漸化式による説明の箇所を読み飛ばしても差し支えない''
 の正の平方根  の小数表示を求める。

まず、 の値を、小数点から2桁ずつ「ブロック」に分けて書く。

各ブロックは、 の下線部に該当する。
左側に縦2つ等しい値を書き、積が左端のブロック (5) を超えない最大の値 (2) を見つける。ブロック (5) の上に見つけた値 (2) を書く。左の筆算を立て、下に和の計算結果 (4) を書く。ブロック (5) の下に、左の筆算の、和でなく積の計算結果（この場合は和と同じ ）を書く。筆算を立て、差の計算結果 (1) をその下に書く。

 より 。 より、 を満たす最大の  は 。この時 。次の計算のために、,  を計算しておく。
差の計算結果 (1) の右隣りに、上のブロック (63) を下ろす。左の筆算の末位に縦2つ等しい値を書き、積が下ろしてできた数 (163) を超えない最大の値 (3) を見つける。ブロック (63) の上に見つけた値 (3) を書く。左の筆算を立て、下に和の計算結果 (46) を書く。下ろしてできた数 (163) の下に、左の筆算の積の計算結果 (129) を書く。筆算を立て、差の計算結果 (34) をその下に書く。

。 を満たす最大の  は 。この時 。次の計算のために、,  を計算しておく。
同様の計算を（ まで）行うと、次のようになる。

これより

である。

検算してみると、

となり

が確かに成り立つ。

珠算による開平法 
珠算による開平法として次の方法がある。
倍根法
半九九法

根の定位 
根の定位の仕方は次のようになる。
平方が整数のとき：平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の桁数となる。
平方が帯小数のとき：平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数の桁数となる。
平方が小数のとき：平方の  を2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の  の桁数となる。

倍根法 
例：

半九九法 
例：

脚注

関連項目 
ネイピアの骨 - ネイピアの骨を使った場合の開平法
開立法
平方数

外部リンク 
 

算術
初等数学
数学に関する記事