普遍性

数学において普遍性（、または ）とは、ある特定の状況下において一意に射（あるいは準同型、構造を保つ写像）を定めるような抽象的性質で、それが特定の構成（例えば直積や直和、加群のテンソル積、距離空間の完備化など）を特徴づけるようなものをいう。

普遍性の具体例となる構成には他にも、様々な構成における、核や余核、順極限および逆極限、群に対するアーベル化、集合や様々な空間に対する引き戻しや、ストーン－チェックのコンパクト化などが存在する。

このような構成は個別の数学の分野において議論されていたが、横断的な議論を試みたのは1948年のピエール・サミュエルの論文によって初めて行われ、その後ブルバキによって広められたとされる。

概要 
U : D → C を 圏 D から圏 C への関手とし、X をC の対象とする。X から U への普遍射 （universal morphism） は、D の対象 A とCの射 φ : X → U(A) からなる対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性（universal property）を満たす。
 Y がDの対象で f : X → U(Y) が C の射であるような場合、常に D の射 g : A → Y が一意に存在して、次の図を可換にする。

射 g の存在は、直感的には(A, φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、一方で射の一意性は、(A, φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。さらに、次の関係も成り立つ。

また、上述の定義で全ての射を逆向きにすることで、圏論的な双対を考えることができる。U から X への普遍射は、Dの対象A とCの射  φ : U(A) → X の対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性を満たす。
Y が Dの対象で f : U(Y) → X がCの射であるような場合、常に D の射g : Y → A が一意に存在して、次の図を可換にする。

ここで、人によっては一方を普遍射と呼び、もう一方を余普遍射（co-universal property）と呼ぶ場合もある事に注意されたい。どちらがどちらかはその人次第である。

表現可能関手による定義 
エミリー・リール（）は『Category Theory in Context』において、圏  の対象  に対する普遍性（）を次のように定義している：

定義を言い換えると、 の普遍性とは、(表現可能)関手  と  を用いて米田の補題から定まる自然変換  が自然同型であるという性質のことである。

圏  が小さなhom集合を持つ（各対象  について  である）とき、前節で定義した普遍射は普遍要素の特別な場合である。また逆に、普遍要素は普遍射の特別な場合である。

例

ベクトル空間のテンソル積 
体  上のベクトル空間  について、任意の双線形写像  に対して  を満たす準同型  がただ1つ存在するような -ベクトル空間  と双線形写像  の組が、同型を除いてただ1つ存在する。このときの  を  と表し、 と  のテンソル積と呼ぶ。

テンソル積を特徴づけるこの性質もまた普遍性と呼ばれる。実際、テンソル積の普遍性から、圏論的な普遍性が次のように与えられる：いま、 からの双線形写像の集合を与える対応は関手  （ とは -ベクトル空間とその間の線形写像からなる圏）を定める。このとき、テンソル積の普遍性から自然同型  が定まり、従って  は表現可能関手である。双線形写像  はこのとき、同型  によって恒等射が写る先として定まる。

また、カノニカルな双線形写像  は一点集合からの写像  によっても表される。いま、任意の  と に対して、テンソル積の性質から  が成り立つような準同型  がただ1つ定まる。従って  は一点集合から  への普遍射である。

剰余群への射影 
群  の正規部分群  について、剰余群  への射影を  で表す。群準同型  について、 が  の核  ( が  の単位元となる  の元の集合) に含まれるとき、群の準同型定理によって  を満たす群準同型  がただ1つ存在することがわかる。

(小さな) 群とその間の群準同型からなる群の圏を  で表す。群  に対して、群準同型  であって  を満たすものの集合を  とおくと、この対応は関手  をなす。準同型定理の主張から、任意の  に対して同型  が存在して、さらに唯一性からこの同型は  について自然であることがわかる。

以上のことから、剰余群  と剰余群への射影  は普遍性を持っていることがわかる。普遍性の帰結として、商群についての他のすべての性質は、これ以上余集合（剰余群の通常の構成で使われる  の各要素）に言及しなくてよくなる。

ファン・カンペンの定理 
位相空間  は、2つの開部分集合  によって覆われるものとする。すなわち、 が成り立つとする。このとき、共通部分  からの包含写像  と  による可換図式は、位相空間の圏  において普遍性を持つ。すなわち、連続写像  と  が  を満たすとき、 と  を満たすような連続写像  がただ1つ存在する。

よい条件（ は空でなく弧状連結）の下で、この図式から誘導される基本群のなす図式は同様に普遍性を持つ。これを (基本群に関する)ファン・カンペンの定理と呼ぶ。

さまざまな普遍性

随伴関手との関係 
(A1, φ1) を X1 から U への普遍射、 (A2, φ2) を X2 から U への普遍射とする。普遍性から、任意の射 h : X1 → X2 に対して一意な射 g : A1 → A2 が存在して、次の図式を可換にする。

もし 全ての C の対象 Xi  にU への普遍射が認められるならば、Xi  Ai 及び h  g によってC から D への関手 Vが定義される。 これに伴って、φi は 1C （C の恒等関手） から U V への自然変換を定義する。関手 (V, U) は随伴関手の対となる。（V は U の左随伴、及び U は V の右随伴）

同様の言明は U からの普遍射という双対な状況においても適用できる。全ての C における X  について、関手 V : C → D が得られ、これは U への右随伴になっている。（つまり U は V の左随伴である。）

実際、このような方法で全ての随伴関手の対を普遍的構成から得られる。F と G を単位（unit）η と余単位（co-unit）ε （定義は随伴関手の記事を参考のこと）によって構成される随伴関手の対とする。このとき、任意の対象 C と D への普遍射が得られる。
 C の各対象 X に対し、 (F(X), ηX) は X から G への普遍射である。つまり、任意の f : X → G(Y) に対して一意な g : F(X) → Y が存在して以下の図式を可換にする。
 D の各対象 Y に対し、 (G(Y), εY) は F から Y への普遍射である。つまり、任意の g : F(X) → Y に対して一意な f : X → G(Y) が存在して以下の図式を可換にする。

 

普遍的構成は随伴関手の対より更に一般的である。普遍的構成は最適化問題のようなもので、この問題が C 中の全ての対象 （同様に、D の全ての対象）について解を持つとき、かつそのときのみ随伴関手の対が得られる。

脚注

参考文献
 
 
 
 

ふへんせい
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