剰余の定理

多項式に関する剰余の定理（じょうよのていり、）は、多項式  (x) をモニックな（つまり最高次の係数が1である）二項一次多項式 x − a で割ったときの剰余は  (a) であるという定理。とくに、 (a) = 0 ならば  (x) が x − a を因数にもつことが分かる（因数定理）。

概要 
多項式  (x) を d(x) で割るとき、次式を満たす多項式 q(x), r(x) が一意に存在する：
 ここで 
これを多項式における除法の原理といい、このときの q(x) を商、r(x) を剰余と呼ぶ。また、d(x) を除数または除多項式、 (x) を被除数または被除多項式と呼ぶこともある。deg(r) < deg(d) は、多項式 r(x) の次数が d(x) の次数より小さいことを表している（一意性のための条件）。

除多項式がモニックな二項一次式 d(x) = x − a であるとき、次数についての条件 deg(r) < deg(d) は剰余 r(x) が x に関係しないある定数 r であることを意味する。すなわち  は

と分解され、さらに x = a とおけば x − a = 0 なので  (a) = r であることが分かる。

同様に、除多項式 d(x) がモニックとは限らない二項一次式 ax + b であれば

となる多項式 q(x) と定数 r が一意に定まる。ax + b = 0 となる x, つまり  を代入すれば  を得る。

関連項目 
 除法
 因数定理
 中国の剰余定理

外部リンク 
 

多項式
初等数学
代数学の定理
数学に関する記事