カプレカー数

カプレカー数（カプレカーすう、Kaprekar number）とは、次のいずれかで定義される自然数である。
 2乗して上位の半分と下位の半分とに分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる自然数。
 桁を並べ替えて最大にした数と最小にした数との差を取ったとき、元の値に等しくなる自然数（カプレカー定数）。

名称は、インドの数学者 D. R. カプレカル（英語表記: D. R. Kaprekar）にちなむ。カプレカ数、カプリカ数ともいい、原語であるマラーティー語の発音に近づけてカプレカル数ともいう。

定義1 
正の整数を2乗し、上位と下位のゼロでない数桁ずつに分けて、それらの和を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカー数と呼ぶ。

例えば、297 はカプレカー数である。2972 = 88209 であり、これを上位の2桁 88 と下位の3桁 209 とに分けて足すと 88 + 209 = 297 となる。
この定義でのカプレカー数を小さな順に並べると、こうなる。
 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, … 

 正の整数の2乗を、上位と下位との桁数をほぼ等しく（桁数が等しいか、上位の桁数より下位の桁数が1だけ大きく）分けるという定義もある。つまり、2乗が偶数桁（2 桁）である場合は上位の  桁と下位の  桁とに分け、奇数桁（2+1 桁）である場合は上位の  桁と下位の +1 桁とに分けて、上位と下位との和を取る。4879 と 5292 は、この定義のクラスには含まれない。
 48792 = 23804641 であり、238 + 04641 = 4879。
 52922 = 28005264 であり、28 + 005264 = 5292。

定義1のカプレカー数は無数ある。例えば、9, 99, 999, 9999, 99999, … のように"9"のぞろ目の数は全てこの定義のカプレカー数である。

定義2（カプレカー定数） 
整数の桁を並べ替えて、最大にしたものと最小にしたものとの差を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカー数と呼ぶ。

例えば、7641 − 1467 = 6174 であるから、6174 はこの定義でのカプレカー数である。10進4桁では唯一のものであり、カプレカー定数とも呼ばれる。3桁における唯一のカプレカー定数は、495 である。

この定義でのカプレカー数（カプレカー定数）を小さな順に並べると、こうなる。
 0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, … 
なお、容易に分かるように、この定義でのカプレカー数は全て9の倍数である。

最初の数として 2005 を取り、上記の操作を繰り返すと
 5200 − 0025 = 5175
 7551 − 1557 = 5994
 9954 − 4599 = 5355
 5553 − 3555 = 1998
 9981 − 1899 = 8082
 8820 − 0288 = 8532
 8532 − 2358 = 6174
 7641 − 1467 = 6174
となり、この後は 6174 が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確かめられる（1111 の倍数だけが 0 になり，その他は 6174 になる）。カプレカル自身は4桁の数だけを考察したが、任意の桁数の整数で同じことが考えられる。ある桁数の整数は有限個であるから、この操作を繰り返すと、最終的に必ずループになる。ループの周期が 1 である場合に、その整数をカプレカー数と呼ぶのである。

この定義のカプレカー数は無数ある。例えば、6174, 631764, 63317664, 6...333...17...666...4（途中に出現する"3"と"6"との長さが等しいもの）は全てカプレカー数である。

脚注

参考文献

外部リンク 
 
  - 第1の定義によるカプレカー数
  - 第2の定義によるカプレカー数
 
 

整数の類
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