メンガーのスポンジ

メンガーのスポンジとは自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元（ハウスドルフ次元、相似次元）は 次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。

メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。

面積 
メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。

表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は増加する。

穴を空ける回数をとすると、その表面積はと表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。

体積 
メンガーのスポンジの次元は3より小さいため、3次元的な大きさである体積は 0 である。

実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積はずつ減少するため、穴を空ける回数をとすると最終的に体積はとなりに収束する。

関連項目 
カール・メンガー (数学者)
フラクタル、フラクタル幾何
シェルピンスキーのギャスケット
シェルピンスキーのカーペット
立方体

フラクタル
数学に関する記事
数学のエポニム