ラグランジュ部分多様体

をシンプレクティック多様体であるとする。

の部分多様体が
ラグランジュ部分多様体であるとは、

(1) 

(2) 

を満たすことをいう。

例１ 
をn次元シンプレクティック多様体であるとする。
また、を次を満たす上の
滑らかな関数たちとしよう。

(i) 互いにポアソン可換である。すなわち、シンプレクティック形式から定まる
ポアソン構造に関して、が成立する。
ポアソン構造に関しては、ポアソン多様体を見よ。

(ii) は上で一次独立である。
はの外微分を表す。

からへの写像を

で定義する。

このとき、もしが
の正則値であるならば、

はラグランジュ部分多様体である。

例２ 
をｎ次元多様体とし、
でその余接バンドルを表すとする。
余接バンドルを正準２形式の入ったシンプレクティック多様体であると
思うと、はラグランジュ部分多様体である。

関連項目 
完全可積分
フロベニウスの定理

らくらんしゆふふんたようたい
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