判別分析

判別分析（はんべつぶんせき、）は、事前に与えられているデータが異なるグループに分かれる場合、新しいデータが得られた際に、どちらのグループに入るのかを判別するための基準（判別関数）を得るための正規分布を前提とした分類の手法。英語では線形判別分析をLDA、二次判別分析をQDA、混合判別分析をMDAと略す。1936年にロナルド・フィッシャーが線形判別分析を発表し、1996年に Trevor Hastie, Robert Tibshirani が混合判別分析を発表した。

3つ以上のグループの判別は重判別分析や正準判別分析と呼ばれる。

判別関数の種類 
判別関数には以下の物などがある。
 線形判別関数
 超平面・直線による判別。線形判別分析は等分散性が必要。
 二次判別関数
 楕円など二次関数による判別。二次判別分析は等分散性が不要。
 非線形判別関数
 超曲面・曲線などの非線形判別関数。

前提条件 
線形判別分析は、以下の前提条件が成立する必要がある。
 各グループは多変量正規分布している
 全てのグループが同じ共分散行列を持つ（等分散性）
その上で、マハラノビス汎距離が等距離の所に直線を引く。これらの前提条件が成立しないとおかしな結果になる。

各グループの平均が異なる以上、分散が異なることは多々ある。等分散性の仮定を外した物が二次判別分析である。それぞれのグループで異なる共分散行列を使用してマハラノビス距離を計算して、等距離になる場所を判別曲面とする方法である。この方法は二次関数となり、正規分布が成立している場合は正しい結果になる。

線形判別分析において、グループ間の確率のロジットは線形関数となるが、ここで線形関数という仮定を残したまま、正規分布や等分散性の仮定を外すとロジスティック回帰や単純パーセプトロンになる。

さらに別な方法としては、線形判別関数を使用したい場合は、線形サポートベクターマシンで線形判別関数を求めるという方法もある。

線形判別分析 
線形判別関数は以下の通り。これの正負で判断。 は入力、 は平均、 は共分散行列。この式は多変量正規分布の式より導出できる。
 

より細かく、線形判別関数 () の求め方を以下に示す。

第一群、第二群についてそれぞれ積和を求める(N はサンプル数)。

第一群と第二群の平方和・積和を、同じ2変数について足し、自由度  で除す。

 を、その 行列に対応させて分散共分散行列とし、各変数にかかる係数を行列に並べた行列を、第一群の各変数の平均値から第二群の各変数を引いた数 を行列に並べた行列をとすると以下の式が成り立つ。
 ゆえに 
これにより各変数にかかる係数を求めることができる。
定数項は、
判別得点が正のとき第一群、負のとき第二群と判別される。
変数が標準化されていれば、係数の大きさは、そのままその変数が判別に与える影響の大きさである。
変数が定性的な場合は、ダミー変数を用いる。

ここに、: の番目のカテゴリーに反応するとき、しないとき。

二次判別分析 
グループの平均を中心に回転・軸方向のスケーリングを行い共分散行列を揃え、線形判別分析を行えば良い。

混合判別分析 
単一の正規分布ではなく、混合正規分布で表現した物を混合判別分析という。その場合でも共分散行列は共通の物を使う。混合正規分布を使うことにより複雑な分布も扱えるようになる。混合正規分布はEMアルゴリズムなどで求める。

脚注

関連項目 
 固有顔
 線形分類器

統計学
数学に関する記事
分類アルゴリズム
分析
消費者行動
マーケティング
心理検査
ロナルド・フィッシャー