ポアソン多様体

多様体  がポアソン多様体（ポアソンたようたい、）であるとは、 上の  級関数全体のなすベクトル空間を  と表すとき、次の性質を満たす写像  が存在することをいう。

  は、-双線形形式である。
  
 　:ヤコビ律
 

このとき、写像  を  上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。

例 
 をシンプレクティック多様体とする。このとき、上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

 

ここで、 はそれぞれ  から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

 をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

 

と書ける。

関連項目 

 幾何学的量子化

微分幾何学
シメオン・ドニ・ポアソン
数学に関する記事