不完全ガンマ関数

数学において、不完全ガンマ関数（ふかんぜんガンマかんすう、）あるいは、ルジャンドルの不完全ガンマ関数は、ガンマ関数の一般化の一つ。（完全）ガンマ関数の積分表示から、積分区間の端点の一方（すなわち積分域の始点か終点）を変数に置き換えたものとして定義される。

定義 
不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。

0以上の実数 x と、 実部が正の複素数 a に対し

第1種不完全ガンマ関数 

第2種不完全ガンマ関数

性質 
ガンマ関数の定義は

であるから、

となる。

また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分を用いることで

という関係が成り立つことも分かる。

さらに、以下のような式が成り立つ。

ここで、
Ei : 指数積分
erf : 誤差関数
erfc :相補誤差関数で、erfc(x) = 1 − erf(x)
である。

微分

MeijerのG関数から:

 時 

 と

出典

参考文献 
 M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6.)
 G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
 W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.2.)

関連項目 
関数一覧
ガンマ関数
ゼータ関数
ベータ関数
階乗
特殊関数
複素解析

外部リンク 
   

特殊関数
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