アーネシの曲線

アーネシの曲線（アーネシのきょくせん） (伊: la versiera di Agnesi, 英: witch of Agnesi) またはアーネシの魔女は直交座標における方程式
 
すなわち  によって表される曲線である。

18世紀イタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージ（アーネシ）が研究したことからこの名がある。「魔女」というのはイタリア語の versiera（縄）の誤訳であって、意味はない。

原点 O と y 軸上の点 M を結ぶ線分を直径とする円がある。
原点 O から円上の点 A に直線 OA を引く。
直線 OA は M から x 軸と平行に引いた直線と、点 N で交わる。
点 N から線分 OM と平行な直線を引き、これが点 A から x 軸と平行に引いた直線と交わる点を P とする。
A の変化につれて P が描く軌跡が、アーネシの曲線である。

方程式

円の半径を a とすると（c=2a）、曲線の方程式はこうなる。
 

a = 1/2 のとき、この方程式は次のとおり単純になる。
 

t による媒介変数表示によって、次式で表すこともできる：
 

 を OM と OA とのなす角（時計回り）とすると、曲線は次式でも表せる。
 

 を x 軸と OA とのなす角（反時計回り）とすると、曲線は次式でも表せる。

性質

 y 軸に対して線対称であり、x 軸を漸近線とする。
 変曲点は  である。

 曲線と x 軸との間の領域の面積は、元の円の面積の4倍（つまり ）になる。
 上の領域の重心は、(0, a/2) である（元の円の重心は (0, a) である）。
 曲線と x 軸を y 軸の周りに回転させてできる立体の体積は、 である。

歴史

この曲線の性質については、ピエール・ド・フェルマー（1630年）、Guido Grandi（伊）（1703年）、マリア・ガエターナ・アニェージ（1748年）の研究が知られている。

イタリアではこの曲線は la versiera di Agnesi と呼ばれており、その英訳は the curve of Agnesi であるが、ケンブリッジ大学の教授 John Colson の誤訳によって、witch of Agnesi とも呼ばれる。

"The Witch of Agnesi" は Robert Spiller による創作小説。

注記 

曲線
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