パップス＝ギュルダンの定理

パップス・ギュルダンの定理（）は、回転体の表面積と体積に関する相互に関連のある定理である。パップスの重心定理 (Pappus' centroid theorem)、パップスの定理 (Pappus' theorem)、ギュルダンの定理 (Guldinus theorem) とも呼ばれる。アレキサンドリアのパップスによって4世紀に発見され、後にパウル・ギュルダンによって独立に発見された。

第一定理
平面上にある有界な曲線  の長さを  とし、 と同じ平面上にあり  と共有点を持たない軸  の周りで  を一回転させた回転面の面積を  とする。回転させる曲線  の重心  から回転軸  までの距離を  としたとき、

が成り立つ。この式は、
(回転体の表面積 ) = (曲線  の重心  が回転により描く軌跡の長さ) × (曲線  の長さ ) 
と解釈することができる。

第二定理
平面上にある図形  の面積を  とし、 と同じ平面上にあり  を通らない軸  の周りで  を一回転させた回転体の体積を  とする。回転させる図形  の重心  から回転軸  までの距離を  としたとき、
 
が成り立つ。この式は、
(回転体の体積 ) = (図形  の重心  が回転により描く軌跡の長さ) × (図形  の面積 )
と解釈することができる。

脚注

外部リンク

解析学の定理
ユークリッド幾何学の定理
数学に関する記事